Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata
Bozóki Sándor MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport Budapesti Corvinus Egyetem Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2010. április 23. – p. 1/24
˝ Az eloadásban Temesi Józseffel, Dezso˝ Lindával és Poesz Attilával ˝ közös kutatásaink elozményei és célkituzései ˝ szerepelnek.
Temesi József: BCE Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék Dezso˝ Linda: BCE ISP, SZTE-GTK Poesz Attila: BCE Közgazdaságtani Doktori Iskola
– p. 2/24
Vázlat Többszempontú döntések Páros összehasonlítás mátrixok Korábbi empirikus vizsgálatok Céljaink, hipotéziseink, kérdéseink
– p. 3/24
Példák többszempontú döntési feladatokra: szegedi villamostender és trolitender A 4-es metró nyomvonal-változatainak összehasonlító vizsgálata környezeti hatástanulmányok
– p. 4/24
˝ A többszempontú döntési problémák jellemzoi: A szempontok sokszor egymásnak ellentmondóak Nincs (matematikai értelemben vett) egyetlen legjobb megoldás ˝ szerepeltetése Szubjektív tényezok Csoportos döntéshozatal
– p. 5/24
A döntési feladat célja: adott alternatívák közül adott szempontoknak összességében legjobban megfelelo˝ legjobb alternatíva kiválasztása vagy az alternatívák rangsorolása. A megoldáshoz szükség van a szempontsúlyokra, és az alternatívák szempontok szerinti értékelésére.
– p. 6/24
– p. 7/24
Páros összehasonlítások Condorcet szavazási modellje (1780) Thorndike, Thurstone (1920, 1927) Guilford (1936) Churchman-Ackoff (1957) Saaty (1980)
– p. 8/24
Tegyük fel egy pillanatra, hogy a döntéshozó ismeri a w1 , w2 , . . . , wn szempontsúlyokat. Az wi xij := wj
szabályt alkalmazva minden i, j indexpárra írjuk fel az alábbi négyzetes mátrixot: w1 w1 w1 1 w2 w3 . . . wn w2 w2 w2 1 . . . w1 wn w3 w3 w3 w 3 . 1 . . . X= w w w 2 n 1 . . . . . ... . . . . . . . wn wn wn 1 w1 w2 w3 . . .
– p. 9/24
1
w1 w2
w2 w1 w3 X= w1 .. .
1
wn w1
w1 w3 w2 w3
w3 w2
.. .
1 .. .
... ... ... ...
wn w2
wn w3
...
w1 wn w2 wn w3 wn .
.. . 1
Ekkor minden i, j, k = 1, . . . , n indexre xij > 0, 1 xij = , xji xij xjk = xik .
Az xij elem megmutatja, hogy az i-edik szempont hányszor fontosabb a j -edik szempontnál. – p. 10/24
A továbbiakban feltesszük, hogy a döntéshozó nem ismeri számszeruen ˝ a w1 , w2 , . . . , wn szempontsúlyokat. A páros összehasonlítás mátrix ekkor is felírható, ha a döntéshozó meg tudja válaszolni a Hányszor fontosabb az i-edik szempont a j -edik szempontnál? típusú kérdéseket minden i, j 1 a12 a21 1 A= a31 a32 .. .. . . an1 an2
pár esetén:
a13 . . . a1n a23 . . . a2n 1 . . . a3n , .. . . .. . . . an3 . . . 1 – p. 11/24
1 a12 a13 a21 1 a23 A= a31 a32 1 .. .. .. . . . an1 an2 an3
. . . a1n . . . a2n . . . a3n , . . . .. . ... 1
ahol i, j = 1, . . . , n−re aij > 0, 1 aij = . aji
A feladat: a fenti A páros összehasonlítás mátrix ismeretében a w = (w1 , w2 , . . . , wn ) ∈ Rn+ súlyvektor meghatározása vagy legalábbis közelítése. – p. 12/24
Adott
1 a 21 A = a31 . . . an1
a12
a13
...
1
a23
...
a32 . ..
1 . ..
... .. .
an2
an3
...
a1n
a2n a3n . .. 1
ismeretében keressük a w1 , w2 , . . . , wn ∈ R+ változók azon értékeit, amelyre az
1 w2 w1 w 3 X = w1 . . .
wn w1
w1 w2
w1 w3 w2 w3
...
...
. . .
1 . . .
wn w2
wn w3
...
1 w3 w2
...
..
.
w1 wn w2 wn w3 wn
.
. . . 1
mátrix közel van a döntéshozó által kitöltött A mátrixhoz. A feladatnak számos matematikai modellje és megoldása létezik, távolságminimalizálók és nem távolságminimalizálók egyaránt. – p. 13/24
A páronként összehasonlítandó objektumok lehetnek: Szempontok fontossága (szempontsúlyok) Alternatívák értékelése adott szempont szerint ˝ (kompetenciasúlyok) Döntéshozói szavazóerok Események szubjektív valószínusége ˝ ...
– p. 14/24
Hasonlítsa össze az A és B elemeket! Melyik tetszik jobban? Hányszor jobban tetszik? Arányskála 1 - ugyanannyira tetszik 3 - mérsékelten jobban tetszik 5 - sokkal jobban tetszik 7 - nagyon sokkal jobban tetszik 9 - rendkívüli mértékben jobban tetszik Köztes értékek is felhasználhatók, pl. 2 vagy 1.5
– p. 15/24
Empirikus vizsgálatok A páros összehasonlítás mátrixok témájában ezres nagyságrendu˝ cikk született. Ezek közül 10-15 foglalkozik a valós szituációkból származó mátrixok vizsgálatával.
– p. 16/24
Példa empirikus vizsgálatra Gass és Standard (2002) kimutatták, hogy ha az 1-3-5-7-9 módon mutatjuk be az arányskálát, akkor a döntéshozók által beírt páratlan értékek gyakorisága 1.5-2-szer nagyobb, mint a párosaké. Poesz Attila (2008) is kimutatta a fenti jelenséget egy olyan mátrixokból álló mintán, amelyek valós problémákból származnak és tudományos folyóiratokban esettanulmányként publikált dolgozatokban szerepelnek.
– p. 17/24
Saját kísérleteink ˝ 2009 oszén kezdtük el felépíteni a kísérleteket, behatárolni a vizsgálandó kérdéseket. ˝ A kérdoíveket leteszteltük, az éles kísérleteket a jövo˝ héten kezdjük.
– p. 18/24
Kérdéseink, hipotéziseink a páros összehasonlítások sorrendjének hatása a feladat objektív-szubjektív jellege a mátrix méretének (= az összehasonlítandó elemek számának) szerepe
– p. 19/24
12
13
14
15
23
24
25
34
35
45 – p. 20/24
35
15
31
45
12
52
42
14
23
43 – p. 21/24
12
53
41
32
45
13
24
51
34
25 – p. 22/24
˝ ma nem volt szó Amirol a kísérleteink eredményei a páros összehasonlítás mátrix inkonzisztenciájának mérése nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok
– p. 23/24
Köszönöm a figyelmet.
[email protected] http://www.sztaki.hu/∼bozoki – p. 24/24
