Panitia Pengarah (Steering Committee):

Panitia Pengarah (Steering Committee): . HWXD

3URI'U%XGL1XUDQL8QLYHUVLWDV3DGMDGMDUDQ

6HNUHWDULV 3URI 'U(UQD$ SULOLDQL0.SL,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU $ QJJRWD 'U. LNL$ UL\DQWL6XJHQJ8QLYHUVLWDV ,QGRQHVLD 3URI'U=XONDUGL8QLYHUVLWDV6ULZLMD\D 3URI'U7XOXV8niversitas 6umatera 8tara 'U(PD&DUQLD 8QLYHUVLWDV3DGMDGMDUDQ 'U1XUVDQWL$ QJJULDQL (Universitas Padjadjaran) 3URI'U%DVXNL:LGRGR06F,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 3URI$ JXV6XU\DQWR8QLYHUVLWDV%UDZLMD\D 3URI'U(G\7UL%DVNRUR,nstitut 7eknologi %andung 3URI'U'LGL6XU\DGL8niversitas 3endidikan ,ndonesia 'U0XKDPPDG0DVKXUL07,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU

PANITIA PELAKSANA . HWXD3HODNVDQD

'U(UQD$ SULOLDQL06L

:DNLO. HWXD

'U6XWLNQR66L06L

6HNUHWDULV 6HNUHWDULV %HQGDKDUD

'U'ZL5DWQD6XOLVW\DQLQJUXP07 'U9 LWD5DWQDVDUL66L06L 'U0DUGOLMDK07

6LH6LGDQJGDQ$ FDUD

'U'DUPDML66L07 6XKDUWRQR66L06F'U

6LH0DNDODK

6ROHKD 66L06L 0RKDPPDG ,TEDO66L06L 'U6DQWL3XWHUL5DKD\X66L < XQLWD +DUL / LVW\RZDWL

Reviewer Extended Abstrak 0DNDODK

3URI'U,1\RPDQ%XGLDQWDUD06L 3URI%DVXNL:LGRGR'UV06F

i

6LH3URVLGLQJ

'U6HWLDZDQ06L (UPD66L06L (QGDK 503 66L06L

6LH$ NRPRGDVLGDQ7UDQVSRUWDVL

'UV'DU\RQR%XGL8WRPR06L 'U%DPEDQJ:LGMDQDUNR2WRN06L

6LH. RQVXPVL

$ OYLGD0XVWLND5XNPL66L06L 6DQWL:XODQ3XUQDPL66L06L

6LH3XEOLNDVLGDQ'RNXPHQWDVLGDQ 3HQJHORODDQZHE

'U%XGL6HWL\RQR0707 < XVXI67 $ FKPHW8VPDQ$ OL 'U&KDLUXO,PURQ0,NRPS $ QDV67

3HUOHQJNDSDQ

6LH(NVNXUVL7285

'LGLN. KXVQXO66L06L

6LH. HDPDQDQGDQ. HVHKDWDQ

'UV6HQWRW'LGLN6XUMDQWR06L 0XKDPPDG6MDKLG$ NEDU06L

6LH6SRQVRUVKLSGDQ3XEOLF5HODWLRQ

'UV6RHKDUGMRHSUL06L 'U,PDP0XNKODVK66L07 'ZL(QGDK. XVULQL66L06L

ii

TIM PROSIDING KOORDINATOR (QGDK5RNKPDWL 033K'

EDITOR D 0uhammad6\LID'XO0XILG06L E . LVWRVLO)DKLP06L F 7DKL\DWXO$ VILKDQL06L

TIM TEKNIS D E F G

6ROHKD66L06L ,TEDO66L06, 'U6DQWL3XWHUL5DKD\X66L (UPD 2NWDQLD66L06L

LAYOUT & COVER H $ FKPHW8VPDQ$ OL 6. RP I 0DIWXFKD

iii

Tim Reviewer 3URI'U+HQGUD*XQDZDQ,nstitut 7eknologi %andung 3URI'U3XGML$ VWXWL,nstitut 7eknologi %andung 3URI'U1\RPDQ%XGLDQWDUD( Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 3URI%XGL1XUDQL 8Qiversitas Padjajaran 3URI'U %DVXNL:LGRGR06F,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 3URI'U0 ,VD,UDZDQ,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 3URI 'U (UQD$ SULOLDQL06L,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 'U$ JXQJ/ XNLWR06F8niversitas Negeri Surabaya 'U,PDP0XNKODVK07,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 6XEFKDQ3K',QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 'U6XKDUWRQR06F,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 3URIAbdur Rahman $ V'DUL8niversitas 1egeri 0alang 'U&KDLUXO,PURQ0,NRPS,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 'U+DUWRQR06L8niversitas 1egeri < ogayakarta 'U$ JXV6XKDUVRQR,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 'U%XGL 6HWL\RQR07,QVWLWXW7HNQRORJL6HSXOXK1RSHPEHU 'U'DUPDML07 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 'U'ZL5DWQD6XOLVW\DQLQJUXP 07 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) (QGDK5RNKPDWL033K' (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 0 'U+HUL. XVZDQWR06L(Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 1 'U,PDP0XNKODVK07(Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 2 'U0DUGOLMDK07(Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 3 'U3XUKDGL06F(Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 4 3URI'U6ODPLQ8niversitas Negeri Jember

iv

Sambutan Ketua Panitia Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh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ema yang diambil dalam konferensi adalah “Peranan Matematika dan Statistika PHQ\RQJVRQJ $ (& $ SEAN Economics Community)”, dengan harapan sebagai persiapan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

. HWXD 3HODNVDQD . 10 ; 9 ,, 3URI'U(UQD$ SULOLDQL0.SL

v

SAMBUTAN PRESIDEN IndoMS 2012-2014 Dengan Nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

3HUWDPDWDPD NDPL SDQMDWNDQ SXML GDQ V\XNXU NH +DGOLUDW $ OODK 6:7 DWDV VHJDOD UDNKPDW VHUWD NDUXQLD1\D DOKDPGXOLOODK 3DQLWLD . RQIHUHQVL 1DVLRQDO 0DWHPDWLND ; 9 ,, . 10 ; 9 ,, WDKXQWHODKEHUKDVLOPHQ\HOHVDLNDQ3URVLGLQJ. 10; 9 ,,,QGR06EHNHUMDVDPD GHQJDQ- XUXVDQ0DWHPDWLNDVHUWD- XUXVDQ6WDWLVWLND)0,3$ ,76EHNHUMDVDPDPHODNVDQDNDQ . 10 ; 9 ,, SDGD WDQJJDO MXQL EHUWHPSDW GL *UDKD ,QVWLWXW 7HNQRORJL 6HSXOXK 1RSHPEHU6XUDED\D . 10 ; 9 ,, WDKXQ PHPLOLK WHPD “Peranan Matematika dan Statistika menyongsong AEC (ASEAN Economics Community)”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

vi

,76 3HQJXUXV ,QGR06 3XVDW PDXSXQ 3HQJXUXV ,QGR06 :LOD\DK VHUWD VHPXD SLKDN \DQJ WLGDNGDSDWNDPLVHEXWNDQVDWXSHUVDWX $ NKLUXO NDODP NDPL EHUKDUDS 3URVLGLQJ . 10 ; 9 ,, LQL PHPEHULNDQ PDQIDDW

EDJL

SHPDNDODKNKXVXVQ\DVHEDJDLWHPSDWGLVHPLQDVLKDVLOKDVLOSHQHOLWLDQVHUWDVHEDJDLZDKDQD XQWXN EHGLVNXVL DQWDU SHQHOLWL ELGDQJ DOMDEDU DQDOLVLV PDWHPDWLND NHXDQJDQ PDWHPDWLND SHQGLGLNDQ LOPX NRPSXWHU PDWHPDWLND WHUDSDQ VWDWLVWLND WHRUL JUDSK GDQ NRPELQDWRULN VHUWD WHRUL VLVWHP GDQ NHQGDOL 0XGDKPXGDKDQ SHQHUELWDQ 3URVLGLQJ . 10 ; 9 ,, LQL PHPEHULNDQ PDQIDDW EDJL SDUD SHPEDFD SHQHOLWL VHUWD PHPEHULNDQ PDVXNDQ XQWXN SHQJHPEDQJDQELGDQJPDWHPDWLNDGL,QGRQHVLD

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

%DQGXQJ 'HVHPEHU 3UHVLGHQ,QGR06

3URI 'U%XGL1XUDQL5XFKMDQD

vii

BIDANG 1.

Aljabar & Geometri

2.

Analisis

3.

Ilmu Komputer

4.

Matematika Keuangan

5.

Matematika Pendidikan

6.

Matematika Terapan

7.

Statistika

8.

Teori Graf & Kombinatorik

9.

Teori dan Sistem Kendali

DAFTAR ISI PROSIDING KNM BIDANG : ALJABAR DAN GEOMETRI (7) NO

1

JUDUL MAKALAH

PEMODELAN JADWAL MONOREL DAN TREM MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS UNTUK TRANSPORTASI MASA DEPAN SURABAYA

HAL

1

Kistosil Fahim, Lukman Hanafi, Subiono, danTahiyatul Asfihani 2

SIFAT-SIFAT ALJABAR DARI PEMETAAN TOPOLOGI TOPOGRAFI FUZZY

9

Muhammad Abdy 3

EKSISTENSI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS INTERVAL

15

Siswanto, Ari Suparwanto, dan M. Andy Rudhito 4

5

DIAGNOSIS SUATU PENYAKIT MENGGUNAKAN MATRIKS D-DISJUNCT Siti Zahidah KARAKTERISTIK ELEMEN SIMETRIS ANGGOTA RING DENGAN ELEMEN SATUAN YANG DILENGKAPI INVOLUSI Titi Udjiani SRRM, Budi Surodjo,dan Sri Wahyuni

25

37

6

ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI ATAS SEBARANG RING Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti

47

7

KAJIAN KEINJEKTIFAN MODUL (MODUL INJEKTIF, MODUL INJEKTIF LEMAH, MODUL MININJEKTIF)

59

Baidowi dan Yunita Septriana Anwar

(8) BIDANG : ANALISIS (12) NO 8

9

JUDUL MAKALAH PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL DAN SOLUSINYA MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti,dan Emacarnia INTEGRAL HENSTOCK-KURZWEIL FUNGSI BERNILAI C [a ,b ]: TEOREMA KEKONVEGENAN SERAGAM

HAL 69

77

Firdaus Ubaidillah, Soeparna Darmawijaya, dan CH. Rini Indrati 10

KAJIAN KELENGKUNGAN PERSAMAAN KURVA DI Iis Herisman dan Komar Baihaqi

85

11

KONSTRUKSI TRANSFORMASI MP-WAVELET TIPE A Kistosil Fahim dan Mahmud Yunus

93

12

PENERAPAN GARIS BERAT SEGITIGA CENTROID UNTUK MENENTUKAN KELOMPOK PADA ANALISIS DISKRIMINAN I Komang Gede Sukarsa, I Putu Eka Nila Kencana, dan NM. Dwi Kusumawardani

105

13

BEBERAPA SIFAT DARI KLAS FUNGSI P-SUPREMUM BOUNDED VARIATION FUNCTIONS Moch Aruman Imron , Ch. Rini Indrati, dan Widodo

113

14

KEKONTINUAN SIMETRIS FUNGSI BERNILAI REAL PADA RUANG METRIK Manuharawati

121

NO 15

JUDUL MAKALAH PENENTUAN POSISI SUMBER ARUS LISTRIK LEMAH DALAM OTAK DENGAN METODE INVERS

HAL 127

Muhammad Abdy

BIDANG : ILMU KOMPUTER (18) NO 16

17

18

19

20

JUDUL MAKALAH PELATIHAN JARINGAN FUNGSI BASIS RADIAL MENGGUNAKAN EXTENDED KALMAN FILTER UNTUK IDENTIFIKASI INSTRUMEN GAMELAN JAWA Abduh Riski, Mohammad Isa Irawan, dan Erna Apriliani EKSTRAKSI CIRI MFCC PADA PENGENALAN LAFAL HURUF HIJAIYAH Agus Jamaludin, dan Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom PEMILIHAN GURU BERPRESTASI BERDASARKAN PENILAIAN KINERJA GURU DENGAN METODE ANALYTIC NETWORK PROCESS (ANP) Alvida Mustika Rukmi, M. Isa Irawan, dan Nuriyatin SEGMENTASI CITRA DENGAN MENGGUNAKAN MODIFIKASI ROBUST FUZZY C-MEANS Charista Christie Tjokrowidjaya dan Zuherman Rustam PERBANDINGAN METODE LEARNING VECTOR QUANTIZATION (LVQ) DAN SUPPORT VECTOR MACHINE (SVM) UNTUK PREDIKSI PENYAKIT JANTUNG KORONER Desy Lusiyanti dan M. Isa Irawan

HAL 133

143

153

165

175

21

DETEKSI KECACATAN PERMUKAAN LOSONG AMUNISI BERBASIS PENGOLAHAN CITRA DIGITAL Dwi Ratna Sulistyaningrum, Budi Setiyono, dan Dyah Ayu Erniasanti

183

22

PENERAPAN VEKTOR PADA APLIKASI WINDOWS PHONE BERBASIS AUGMENTED REALITY Erick Paulus, Stanley P. Dewanto, InoSuryana, dan Septya Happytasari S

191

23

METODE BACKPROPAGATION JARINGAN SYARAF TIRUAN DALAM MEMPREDIKSI HARGA SAHAM

197

Feni Andriani dan Ilmiyati Sari 24

25

PEMODELAN VOLATILITAS SAHAM MENGGUNAKAN JARINGAN SYARAF TIRUAN DAN ALGORITMA GENETIKA Hasbi Yasin APLIKASI METODE FUZZY PADA PERAMALAN JUMLAH WISATAWAN AUSTRALIA KE BALI

205

211

I Putu Eka Nila Kencana dan IBK. Puja Arimbawa K 26

PREDIKSI CUACA EKSTRIM MENGGUNAKAN ALGORITMA CLUSTERING BERDASARKAN ROUGH SET

221

Mohammad Iqbal dan Hanim Maria Astuti 27

KAJIAN LANJUTAN TERHADAP KUNCI LEMAH ALGORITMA SIMPLIFIED IDEA Retno Indah dan Sari Agustini Hafman

229

28

PENGGUNAAN METODE PCA UNTUK REDUKSI DATA IMAGE PEMBULUH DARAH VENA Rifki Kosasih

241

29

IMPLEMENTASI KALIBRASI KAMERA ZHANG PADA ESTIMASI JARAK Shofwan Ali Fauji dan Budi Setiyono

249

30

KONSTRUKSI POHON FILOGENETIK MENGGUNAKAN ALGORITMA NEIGHBOR JOINING UNTUK IDENTIFIKASI HOST DAN PENYEBARAN EPIDEMI SARS Siti Amiroch dan M. Isa Irawan

259

NO 31

32

33

JUDUL MAKALAH DESAIN PENGENDALI UMPAN BALIK LINIER BERORDE MINIMUM PADA SISTEM BILINIER PEMBANGKIT LISTRIK DENGAN ALGORITMA GENETIKA Taufan Mahardhika, Roberd Saragih, dan Bambang Riyanto Trilaksono APLIKASI ENTROPI FUZZY C-MEANS UNTUK MENDIAGNOSA CANCER BERDASARKAN KONSENTRASI UNSUR KIMIA DALAM DARAH Zuherman Rustam MODEL MANAJEMEN POLA TANAM MENGGUNAKAN JARINGAN SYARAF TIRUAN FUNGSI RADIAL BASIS Alven Safik Ritonga dan Mohammad Isa Irawan

HAL 269

279

285

BIDANG : MATEMATIKA KEUANGAN (3) NO 34

35

36

JUDUL MAKALAH ESTIMASI VALUE AT RISK PADA SAHAM PT. “X” DENGAN METODE EXTRIM VALUE THEORY Mochammad Afandi dan Santi Puteri Rahayu CONDITIONAL VALUE-AT-RISK DI BAWAH MODEL ASET LIABILITAS DENGAN VOLATILITAS TAK KONSTAN Sukono, Sudradjat Supian, dan Dwi Susanti ESTIMASI VOLATILITAS UNTUK PENGHITUNGAN VALUE at RISK (VaR) SAHAM LQ-45 MENGGUNAKAN MODEL GARCH Tarno dan Hasbi Yasin

HAL 297

305

315

BIDANG : MATEMATIKA PENDIDIKAN (44) NO 37

38

39

40

41

42

43

JUDUL MAKALAH THE IMPLEMENTATION OF COOPERATIVE LEARNING BASED ON NEWMAN’S ERROR ANALYSIS PROCEDURES TO IMPROVE STUDENTS’ MATHEMATICAL LEARNING Yoga Dwi Windy Kusuma Ningtyas PERMAINAN TRADISIOANAL “ICAK-ICAKAN” PADA MATERI PERSENTASE LABA RUGI UNTUK SISWA CENDERUNG KINESTETIK Fadila Hasmita, Oryza Zafivani, dan Rully Charitas Indra Prahmana PENERAPAN PENDEKATAN PMRI UNTUK MELATIH KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA PADA MATERI BALOK DAN KUBUS Dimas Danar Septiadi MATCHAN (MATHEMATICS DAKOCAN) UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERHITUNG SISWA SEKOLAH DASAR Dwi Wulandari dan Ira Silviana Rahman PENGGUNAAN BACKWARD DESIGN DALAM MERANCANG PEMBELAJARAN MATEMATIKA YANG BERNUANSA OBSERVATION-BASED LEARNING Abdur Rahman As’ari PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATERI SEGIEMPAT BERBASIS REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME) UNTUK MELATIH KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA KELAS VII SMP Abdur Rohim, Ipung Yuwono, dan Sri Mulyati PENGEMBANGAN SOAL BERBASIS LITERASI MATEMATIKA DENGAN MENGGUNAKAN KERANGKA PISA TAHUN 2012 Ahmad Wachidul Kohar dan Zulkardi

HAL 327

335

343

355

363

371

379

NO 44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

JUDUL MAKALAH ANALISIS KEMAMPUAN ADVANCED MATHEMATICAL THINKING MAHASISWA PADA MATA KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA Andri Suryana KONTSRUKSI TEORITIK TENTANG BERPIKIR REFLEKTIF SEBAGAI AWAL TERJADINYA BERPIKIR REFRAKSI DALAM MATEMATIKA Anton Prayitno, Akbar Sutawidjaja, Subanji, dan Makbul Muksar MENGHIDUPKAN TAHAP MENANYA PADA IMPLEMENTASI PENDEKATAN SAINTIFIK DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SEKOLAH Djamilah Bondan Widjajanti PENGEMBANGAN BAHAN AJAR PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN DAN KOMUNIKASI MATEMATIS MAHASISWA MELALUI BLENDED LEARNING DENGAN STRATEGI PROBING-PROMPTING Hapizah PROFIL PEMAHAMAN SUBJEK UJI COBA 6 TERHADAP FILOSOFI, PRINSIP, DAN KARAKTERISTIK PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK Hongki Julie, St. Suwarsono, dan Dwi Juniati ANALISIS PENGUASAAN KONSEP DASAR DAN KETUNTASAN PEMAHAMAN MATERI PENCACAHAN DALAM MATEMATIKA DISKRET Luh Putu Ida Harini, I Gede Santi Astawa, dan I Gusti Ayu Made Srinadi FAKTOR-FAKTOR YANG MEMENGARUHI KEPUTUSAN SISWA SMA MELANJUTKAN STUDI S1 DI UNIVERSITAS UDAYANA Made Susilawati, I Putu Eka Nila Kencana, dan Ni Made Dwi Yana Putri PERANCANGAN DAN PEMBUATAN ENSIKLOPEDIA MATEMATIKA DIGITAL DALAM KOMUNITAS DAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA Mahmuddin Yunus, Indriati Nurul H, dan Lucky Tri O. PENGEMBANGAN BUKU ELEKTRONIK OLIMPIADE MATEMATIKA BERBASIS WEB DENGAN PENDEKATAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH Mahmuddin Yunus dan Tjang Daniel Chandra EFEKTIVITAS METODE GRUP INVESTIGASI DI KELAS KALKULUS I PADA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU KOMPUTER FMIPA UNIVERSITAS UDAYANA Ni Made Asih PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS BRAIN GYM DENGAN MEDIA MANIPULATIF UNTUK ABK Nia Wahyu Damayanti, Akbar Sutawidjajadan I Nengah Parta PENANAMAN KONSEP OPERASI PEMBAGIAN MENGGUNAKAN PERMAINAN TRADISIONAL BOLA BEKEL DI KELAS III SEKOLAH DASAR Nurochmah dan Novia Larosa MODEL PROBLEM BASED LEARNINGDALAM MENINGKATKAN KEMAMPUAN ANALISIS SISWA KELAS VIII SMP Nur Wahidin Ashari PENGEMBANGAN LKS BERCIRIKAN PENEMUAN TERBIMBING DAN DIDUKUNG GEOGEBRA PADA MATERI FUNGSI KUADRAT Nurul Firdaus

HAL 389

397

405

415

423

433

443

451

459

467

477

487

497

507

NO 58

JUDUL MAKALAH PENGARUH PERMAINAN TRADISIONAL KELERENG DALAM OPERASI PENGURANGAN DI KELAS I SD

HAL 517

Olanda Dwi Sumintra, Armianti, dan Rully Charitas Indra Prahmana 59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

IDENTIFIKASI KONSEP BERFIKIR ANAK USIA DINI DALAM KONSEP MATEMATIKA MENURUT TAHAPAN PIAGET Reni Dwi Susanti KEMAMPUAN MAHASISWA DALAM MENGANALISA KEKONVERGENAN SUATU BARISAN BERDASARKAN PENGETAHUAN KONSEPTUAL DAN PROSEDURAL Ria Amalia THINKING IMPLEMENTATION TO INTRODUCE FRACTION IN TALL’S THREE WORDS Rustanto Rahardi dan Eddi Budiono PENERAPAN STRATEGI MOTIVASI ARCS DALAM PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD PADA MATERI BALOK DI KELAS VIII SMP NEGERI 3 GRESIK Sabrina Apriliawati Sa’ad PENINGKATAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MATEMATIS MELALUI PENDEKATAN RME BERBASIS GAYA KOGNITIF SISWA Salwah, Yaya S. Kusumah, dan Stanley Dewanto PENGEMBANGAN MODUL PENERAPAN TEORI GRAPH BERBASIS ICT SEBAGAI PEDOMAN PRAKTEK KERJA LAPANGAN (PKL) MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA DI INDUSTRI Sapti Wahyuningsih dan Darmawan Satyananda PENGGUNAAN PERMAINAN TRADISIONAL YEYE DALAM PEMAHAMAN KONSEP PERKALIAN UNTUK SISWA SEKOLAH DASAR Sri Ratna Dewi, Sari Juliana, dan Rully Charitas Indra Prahmana PROSES PENALARAN ANALOGI SISWA DALAM ALJABAR Siti Lailiyah dan Toto Nusantara IMPLEMENTASI KURIKULUM 2013 DAN PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA PADA PEMBELAJARAN PECAHAN Sitti Busyrah Muchsin PEMBELAJARAN ON-LINE Suharto dan Moh. Hasan

KALULUS III BERSTANDART NCTM

PENERAPAN SELF – DIRECTED LEARNING PADA PEMBELAJARAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ORDE SATU Susi Setiawani EDUCATIONAL DESIGN RESEARCH: DEVELOPING STUDENTS’ UNDERSTANDING OF THE MULTIPLICATION STRATEGY IN AREA MEASUREMENT

525

533

543

555

565

575

591

601

607

615

625

633

Susilahudin Putrawangsa , Agung Lukito , Siti M Amin, dan Monica Wijers 71

72

PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS, DAN SIKAP SISWA TERHADAP MATEMATIKA MELALUI PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK Syaiful PERBEDAAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA LAKI-LAKI DAN SISWA PEREMPUAN

653

667

Syamsu Qamar Badu dan Siti Azizah A. Husain 73

MULTIGROUP STRUCTURAL EQUATION MODELING DENGAN PARTIAL LEAST SQUARE PADA HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS IX SMP NEGERI DI KOTA KENDARI

677

NO

JUDUL MAKALAH

HAL

Tandri Patih dan Bambang Widjanarko Otok 74

75

76

77

78

79

80

PENINGKATAN SELF-EFFICACY SISWA MELALUI PENDEKATAN PROBLEM-CENTERED LEARNING DISERTAI STRATEGI SCAFFOLDING Tedy Machmud PENERAPAN STRATEGI BELAJAR METAKOGNISI UNTUK MEMAHAMI BACAAN DALAM IMPLEMENTASI KURIKULUM 2013 Theresia Kriswianti Nugrahaningsih, Iswan Riyadi, dan Hersulastuti PENGEMBANGAN MOBILE LEARNING APPLICATION (MLA) SEBAGAI MEDIA PEMBELAJARAN ALTERNATIF PADA MATERI KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN BANGUN DATAR Wulan Marlia Sandi KEMAMPUAN BERPIKIR LOGIS MATEMATIS MAHASISWA DALAM PERKULIAHAN MATEMATIKA DASAR DAN MATEMATIKA DISKRIT Yaya S. Kusumah dan Heni Pujiastuti PENTINGNYA PENGARUH PERMAINAN TRADISIONAL LAYANG-LAYANG DALAM PEMBELAJARAN PHYTAGORAS DI KELAS VIII SMP Yuli Pinasthika dan Yuannisya Walimun PROSES BERPIKIR ALJABAR SISWA BERDASARKAN TAKSONOMI MARZANO Yunita Oktavia Wulandari, Edy Bambang Irawan, dan Toto Nusantara MASALAH NILAI YANG DICARI: PENALARAN PROPORSIONAL SISWA SETELAH MEMPELAJARI PERBANDINGAN DAN PROPORSI Zainul Imron, I Nengah Parta, dan Hery Susanto

BIDANG : MATEMATIKA TERAPAN (27) NO NO 81

82

83

JUDUL MAKALAH MAKALAH JUDUL

MODEL EPIDEMIK SIR UNTUK PENYAKIT YANG MENULAR SECARA HORIZONTAL DAN VERTIKAL Ilmiyati Sari dan Hengki Tasman HILANGNYA DUA BIFURKASI FOLD TANPA MELALUI BIFURKASI CUSP PADA SISTEM PREDATORPREY DENGAN FAKTOR PERTAHANAN GRUP DAN GANGGUAN BERKALA Harjanto, E dan Tuwankotta, J. M BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA WANGERSKY-CUNNINGHAM DENGAN WAKTU TUNDA

689

699

709

719

729

739

749

HAL HAL 757

767

773

Ali Kusnanto, Ni Nyoman Suryani, dan N K Kutha Ardana

84

PENERAPAN GOAL PROGRAMMING DALAM PENJADWALAN DAN PENUGASAN KEGIATAN KEMAHASISWAAN Anis Fauziyyah, Toni Bakhtiar, dan Farida Hanum

777

85

PENERAPAN PROJECTION PURSUIT DALAM BLIND SOURCE SEPARATION Atik Wintarti, Abadi, dan Yoyon K. Suprapto

787

86

KAJIAN NUMERIK: PENGARUH UKURAN SISTEM TERHADAP GAYA HAMBAT PADA SILINDER Chairul Imron, Basuki Widodo, dan Triyogi Yuwono

795

87

ANALISA DAN SIMULASI MODEL MANGSA-PEMANGSA YANG DILAKUKAN PEMANENAN Diny Zulkarnaen dan Linda Yunengsih

801

88

METODE OPERATOR SPLITTING : EKSPLORASI DAN SIMULASI

809

NO

JUDUL MAKALAH

HAL

Endar H. Nugrahani 89

PERAMALAN VOLUME PRODUKSI AIR DI PDAM BOJONEGORO DENGAN METODE FUNGSI TRANSFER

815

Fastha Aulia Pradhani dan Adatul Mukarromah 90

KEKUATAN INFEKSI HIV DALAM KOMUNITAS INJECTING DRUG USERS Iffatul Mardhiyah dan Hengki Tasman

823

91

METODE ELEMEN BATAS UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PERPINDAHAN PANAS Imam Solekhudin

833

92

93

94

95

96

ANALISIS PEMAKAIAN MADU PADA PENGAWETAN MAKANAN MENGGUNAKAN METODE MATEMATIKA Imelda Hendriani Eku Rimo dan Basuki Widodo SKEMA BEDA HINGGA NONSTANDAR MODEL EPIDEMI SIR DENGAN TINGKAT KEJADIAN TERSATURASI DAN MASA INKUBASI Isnani Darti dan Agus Suryanto MODEL TRANSMISI PENYAKIT TUBERKULOSIS DENGAN MEMPERHATIKAN KOMPARTEMEN VAKSINASI J. Nainggolan, S. Supian, A. K. Supriatna , dan N. Anggriani SUATU TINJAUAN NUMERIK PERSAMAAN ADVEKSI DIFUSI 2-D TRANSFER POLUTAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DU-FORT FRANKEL Jeffry Kusuma , Khaeruddin, Syamsuddin Toaha , Naimah Aris, dan Alman MASALAH TRANSPORTASI MULTIOBJECTIVE FUZZY DENGAN VARIABEL KEPUTUSAN FUZZY

839

849

855

865

871

Listy Vermana dan Salmah 97

MODEL PERTUMBUHAN KRISTAL PADA GAMBUT YANG DIBENTUK DARI KAPUR, FLY ASH DAN AIR

881

Mohammad Syaiful Pradana dan Basuki Widodo 98

99

APROKSIMASI VARIASIONAL UNTUK SOLITON DISKRIT GELAP Mahdhivan Syafwan PENGGUNAAN METODE LEVEL SET DALAM MENYELESAIKAN MASALAH STEFAN DUA FASE (KASUS MASALAH PENCAIRAN ES ) Makbul Muksar, Tjang Daniel Candra, dan Susy Kuspambudi Andaini

891

897

100

ANALISIS SENSITIVITAS MODEL EPIDEMIOLOGI HIV DENGAN EDUKASI Marsudi

907

101

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN PENDEKATAN MODEL MULTI GRUP Nur Asiyah, Suhud Wahyudi, dan M. Setijo Winarko

919

102

PEMBENTUKAN VIEWS PADA MODEL BLACK LITTERMAN Retno Subekti

933

103

104

MODELLING ROAD TRAFFIC ACCIDENT DEATHS IN SOUTH AFRICA USING GENERALIZED LINEAR MODELS Sharon Ogolla, Sony Sunaryo, dan Irhamah ANALISIS KESTABILAN DAN KEBIJAKAN KEUNTUNGAN MAKSIMAL PADA MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma, Khaeruddin, dan Mawardi

943

953

NO 105

106

107

JUDUL MAKALAH PENDEKATAN FUNGSI SELEKSI UNTUK MASALAH PEMROGRAMAN BILEVEL FUZZY DALAM PENGOPTIMALAN RETRIBUSI JALAN TO Syarifah Inayati dan Irwan Endrayanto A KAJIAN DUALITAS DAN ANALISA SENSITIVITAS MASALAH GOAL PROGRAMMING Talisadika Serrisanti Maifa MODEL MATEMATIKA PENGARUH SUHU DAN KETINGGIAN TERHADAP SPONTANEOUS-POTENTIAL UNTUK KARAKTERISASI PANASBUMI DI GEDONGSONGO, SEMARANG, JAWA TENGAH

HAL 965

985

997

Widowati, Agus Setyawan, Mustafid, Muh. Nur, Sudarno, Udi Harmoko, Satriyo, Gunawan S, Agus Subagio, Heru Tj, Djalal Er Riyanto, Suhartono, Moch A Mukid, Jatmiko E.

BIDANG : STATISTIKA (39) NO 108

109

110

111

112

JUDUL MAKALAH PENENTUAN PREMI BULANAN UNTUK KONTRAK ASURANSI JIWA ENDOWMENT UNIT LINK DENGAN METODE POINT TO POINT Erna Hayati dan Sony Sunaryo ASUMSI CONSTANT FORCE PADAASURANSI DWIGUNA LAST SURVIVOR Hasriati, Azis Khan, dan Dian Fauzia Rahmi METODE PENDETEKSIAN HOTSPOT MULTIVARIAT DAN PERANGKINGAN ORDIT: Study Kasus Tingkat KesehatanIbudanBalita di Kota Depok Yekti Widyaningsih dan Titin Siswantining PREDIKSI CURAH HUJAN DI SURABAYA UTARA DENGAN MENERAPKAN FUZZY-MAMDANI Farida Agustini Widjajati dan Dynes Rizky Navianti MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIRESPON SPLINE TRUNCATED UNTUK DATA LONGITUDINAL (STUDI KASUS KEBERHASILAN KB) Dita Amelia dan I Nyoman Budiantara

HAL 1005

1015

1025

1035

1045

113

KLASIFIKASI KAYU DENGAN MENGGUNAKAN NAÏVE BAYES-CLASSIFIER Achmad Fahrurozi

1057

114

KALKULATOR SURVIVAL DAN LIFE TABEL MENGGUNAKAN SOFTWARE R Adhitya Ronnie Effendie dan Hendra Perdana

1067

115

PREDIKSI INDEKS HARGA KONSUMEN DENGAN MODEL FUZZY DAN RECURRENT NEURAL NETWORK

1073

Agus Maman Abadi 116

117

PERAMALAN PENJUALAN SEPEDA MOTOR DI PT. “X” DENGAN MENGGUNAKAN ARIMAX DI KABUPATEN PONOROGO Ani Satul Ru’yati Badriyah dan Agus Suharsono PENERAPAN MODEL ARX ORDE 1 PADA INDEKS SAHAM DAN HARGA MINYAK MENTAH DUNIA

1085

1093

Indah Pratiwi, Kankan Parmikanti, dan Budi Nurani Ruchjana 118

119

PENGELOMPOKAN KABUPATEN/KOTADI PROVINSI NTB BERDASARKAN KARAKTERSTIK KEMISKINAN MENGGUNAKAN METODE WARD Desy Komalasari PENGGUNAAN SOFTWARE MATLAB PADA MODIFIKASI SINGLE SYSTEMATIC SAMPLING Dewi Putrie Lestari dan Aini Suri Talita

1107

1115

NO 120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

JUDUL MAKALAH EVALUASI SKILL MODEL DENGAN KURVA RELATIVE OPERATING CHARACTERISTICS (ROC) Dewi Retno Sari Saputro ANALISIS SURVIVAL PADA DATA REKURENSI DENGAN COUNTING PROCESS APPROACH DAN MODEL PWP-GT Diah Ayu Novitasari dan Santi Wulan Purnami OPTIMISASI PERENCANAAN PRODUKSIMODEL PROGRAM LINEAR MULTI OBJEKTIF DE NOVO DENGAN PENDEKATAN GOAL PROGRAMMING Dwi Lestari REGRESI KUANTIL DENGAN ESTIMASI METODE SPARSITY UNTUK PEMODELAN TINGKAT PENGANGGURAN TERBUKA DI INDONESIA Dynes Rizky Navianti PREDIKSI PERMINTAAN SEPEDA MOTOR PER JENIS MERK HONDA DAN TOTAL MARKET DI KABUPATEN SIDOARJO MENGGUNAKAN VECTOR AUTOREGRESSIVE (VAR) Efrandi Andiarga dan Agus Suharsono VOLATILITAS MODEL GARCH SAHAM SYARIAH YANG BERHUBUNGAN KAUSALITAS DENGAN INDEKS PASAR Endang Soeryana Hasbullah, Ismail Bin Mohd, Mustafa Mamat, Sukono, dan Endang Rosyaman PENGARUH FAKTOR INDIVIDU DAN FAKTOR KONTEKSTUAL TERHADAP FERTILITAS DI INDONESIA TAHUN 2011 (Analisis Multilevel) Febri Wicaksono dan Dhading Mahendra KAJIAN METODE STATISTIK NONPARAMETRIK UJI HILDEBRAND SEBAGAI PADANAN ANALISIS VARIANSI DUA ARAH Fitri Catur Lestari PEMODELAN PREVALENSI KEJADIAN KUSTA DI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN SPATIAL AUTOREGRESSIVE – SEM PLS Gilang Maulana Abdi dan Ismaini Zain PENENTUAN PREMI TUNGGAL PADA KONTRAK ASURANSI jiwaENDOWMENT UNIT LINK METODE HIGH WATER MARK Gusmi Kholijah dan Sony Sunaryo PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE R Hendra Perdana, Khabib Mustofa, dan Dedi Rosadi PENGEMBANGAN GRAFIK PENGENDALI DISTRIBUSI BETA BINOMIAL SEBAGAI PENGANTI p-CHART MELALUI MCMC Hendro Permadi PENGARUH OUTLIER TERHADAP ESTIMATOR PARAMETER REGRESI DAN METODE REGRESI ROBUST

HAL 1123

1129

1139

1153

1165

1183

1193

1203

1213

1225

1241

1247

1259

I GustiAyu Made Srinadi 133

134

135

SUATU SURVEI TENTANG REGRESI BERBASIS KOPULA I Wayan Sumarjaya ANALISIS REGRESI PROBIT DENGAN EFEK INTERAKSI UNTUK MEMODELKAN ANGKA FERTILITAS TOTAL DI INDONESIA Imam Ahmad Al Fattah dan Vita Ratnasari ANALISIS GEROMBOL BERBASIS MODEL (StudiKasusStandarPelayanan Minimal SMP di KabupatenManokwari)

1267

1277

1287

NO

JUDUL MAKALAH Surianto Bataradewa, Nurhaida, Rium Hilum, dan Indah Ratih Anggriyani

HAL

136

KAJIAN ANALISIS DISKRIMINAN BERBASIS MODEL (Model Based Discriminant Analysis Study ) Indah Ratih Anggriyani

1299

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

MODEL BINOMIAL NEGATIF DAN POISSON INVERSE GAUSSIAN DALAM MENGATASI OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON. Laksmi Prita W ESTIMASI PARAMETER MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED ZERO-INFLATED POISSON REGRESSION (GWZIPR) Luthfatul Amaliana dan Purhadi ANALISIS DATA INFLASI DI INDONESIAMENGGUNAKAN MODEL REGRESI KERNEL (SEBELUM DAN SESUDAH KENAIKAN TDL DAN BBM TAHUN 2013) Suparti, Budi Warsito, dan Moch Abdul Mukid ESTIMASI DAN PENGUJIAN HIPOTESIS GEOGRAPHICALLY WEIGHTED MULTINOMIAL LOGISTIC REGRESSION M. Fathurahman, Purhadi, Sutikno, dan Vita Ratnasari PENAKSIRAN PARAMETER MODEL GENERALISASI SPACE TIME AUTOREGRESI ASUMSI HETEROSKEDASTIK Nelson Nainggolan TAKSIRAN TITIK MEAN MODEL CAR FAY-HERRIOT MENGGUNAKAN PENDEKATAN HIERARKI BAYES PADA SMALL AREA ESTIMATION Kurnia Susvitasari danTitin Siswantining PERBANDINGAN ANALISIS REGRESI COX DAN ANALISIS SURVIVAL BAYESIAN PADA PASIEN KANKER SERVIKS Rina Wijayanti dan Santi Wulan Purnami MODEL REGRESI PROBIT BIVARIAT PADA INDEKS PEMBANGUNAN GENDER DAN INDEKS PEMBERDAYAAN GENDER Ririn Wahyu Ningsih dan Vita Ratnasari PEMODELAN KUALITAS PEMBANGUNAN MANUSIA INDONESIA DENGAN PENDEKATAN MODEL PROBIT BIVARIAT Vita Ratnasari PENAKSIRAN PARAMETER UNTUK MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED REGRESSION (GWTR)

1309

1317

1327

1339

1349

1355

1363

1373

1383

1391

Harmi Sugiarti, Purhadi, Sutikno, dan Santi Wulan Purnami BIDANG : TEORI GRAPH DAN KOMBINATORIK(11) NO

JUDUL MAKALAH

HAL

147

GRAF AMALGAMASI POHON BERBILANGAN KROMATIK LOKASI EMPAT Asmiati dan Fitriani

1399

148

PELABELAN GRACEFUL SUPER FIBONACCI PADA GRAF FRIENDSHIP DAN VARIASINYA Budi Poniam dan Kiki A. Sugeng

1409

149

150

PEMANFAATAN PELABELAN GRACEFUL PADA SYMMETRIC TREE UNTUK KRIPTOGRAFI POLYALPHABETIC Indra Bayu Muktyas dan Kiki A. Sugeng PELABELAN TOTAL SUPER (A,D)- SISI ANTIMAGIC PADA GABUNGAN GRAF PRISMA

1417

1421

NO

JUDUL MAKALAH

HAL

Ira Aprilia dan Darmaji 151

BATAS ATAS DIMENSI PARTISI GRAF SUBDIVISI DARI GRAF POHON Amrullah, Edy Tri Baskoro, Saladin Uttunggadewa, dan Rinovia Simanjuntak

1427

152

PELABELAN HARMONIS PADA GRAF TANGGA SEGITIGA Kurniawan Atmadja, Kiki A. Sugeng dan Teguh Yuniarko

1435

153

PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF MERCUSUAR DAN GRAF BUNGA DHIFA Nadia Paramita, Rostika Listyaningrum dan Kiki A. Sugeng

1441

154

PEMBENTUKKAN SUPER GRAF PADA KLASIFIKASI SIDIK JARI Nurma Nugraha dan Kiki Ariyanti

1447

155

156

157

MENGKONTRUKSI SUPER EDGE MAGIC GRAPH BARU DARI SUPER EDGE MAGIC GRAPH YANG SUDAH ADA Suhud Wahyudi dan Sentot Didik Surjanto MENENTUKAN CLIQUE MAKSIMUM PADA SUATU GRAF DENGAN MENGGUNAKAN HEURISTIK GREEDY Mochamad Suyudi, Ismail Bin Mohd, Roslan Bin Hasni , Sudradjat Supian, dan Asep K. Supriatna KAJIAN EKSISTENSI GRAF BERARAH HAMPIR MOORE Yus Mochamad Cholily

1455

1465

1471

BIDANG : TEORI SISTEM DAN KENDALI (4) NO 158

159

160

161

JUDUL MAKALAH KENDALI OPTIMAL PADA MANAJEMEN PERSEDIAAN MULTI-SUPPLIER DENGAN LEAD TIME Darsih Idayani dan Subchan ANALISA PERBANDINGAN PERFORMANSI KONTROL TWO WHEELED INVERTED PENDULUM ROBOT DENGAN MENGGUNAKAN FSMC DAN T2FSMC Mardlijah dan Muh Abdillah METODE LANGSUNG PADA PERMASALAHAN KENDALI OPTIMAL DENGAN LEGENDRE PSEUDOSPECTRAL Rahmawati Erma Standsyah dan Subchan KENDALI OPTIMAL MODEL DIVERSIFIKASI BERAS DAN NON-BERAS Retno Wahyu Dewanti dan Subchan

HAL 1477

1489

1497

1507

PEMODELAN JADWAL MONOREL DAN TREM MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS UNTUK TRANSPORTASI MASA DEPAN SURABAYA Kistosil Fahim1 , Lukman Hanafi2 , Subiono3 , dan Tahiyatul Asfihani4 1 ITS, [email protected] ITS, [email protected] ITS, [email protected] 2 ITS, [email protected] 2

3

Abstrak. Transportasi memiliki peranan yang sangat penting dalam keterkaitan antar wilayah dan diharapkan menjadi sistem yang terintegrasi. Pada penelitian ini dilakukan pengkajian dalam pemodelan dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikan dengan trem di kota Surabaya dengan menggunakan aljabar maxplus. Langkah pertama yang dilakukan yaitu penyusunan graf berarah yang didasarkan pada data rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya kemudian dilakukan integrasi monorel dan trem dengan menggunakan aturan sinkronisasi. Selanjutnya dibentuk model penjadwalan untuk monorel dan trem. Kata Kunci: Aljabar Max-Plus; Integrasi; Nilai Eigen; Pemodelan.

1

Pendahuluan

Transportasi merupakan salah satu mata rantai jaringan distribusi barang dan mobilitas penumpang yang berkembang sangat dinamis, serta berperan dalam mendukung, mendorong dan menunjang segala aspek kehidupan baik dalam pembangunan politik, ekonomi, sosial budaya, dan pertahanan keamanan [1]. Di berbagai wilayah di Indonesia termasuk kota Surabaya, kebutuhan transportasi semakin meningkat. Sejalan dengan kebutuhan dan perkembangan transportasi di kota Surabaya, Pemkot Surabaya telah menyiapkan monorel dan trem sebagai transportasi massal. Monorel digunakan di jalur Timur-Barat, sementara trem pada jalur Utara-Selatan [2]. Pembangunan monorel dan trem diharapkan menjadi sebuah sistem transportasi yang terintegrasi dan memiliki managemen transportasi yang baik sehingga memenuhi kebutuhan transportasi masyarakat. Pada penelitian ini mengkaji model dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikn dengan trem dengan mensimulasikan 21 trem dan 18 monerel yang beroperasi dengan menggunakan aljabar max-plus. Pada tahap awal penelitian dikaji mengenai beberapa data mengenai rencana pembangunan jalur monorel dan trem di Surabaya, tempat pemberhentian dan pemberangkatan monorel dan trem, kecepatan monorel dan trem, dan panjang jalan. Selanjutnya disusun graph berarah dari jaringan monorel dan trem di Surabaya, node-node (titik-titik pertemuan) sebagai titik pemberangkatan dan pemberhentian dari monorel dan trem, untuk pembo-botan menggunakan waktu tempuh antar dua titik pertemuan (antara dua stasiun) pada jalur monorel/trem. 1

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya

Penyusunan model jalur monorel yang diintegrasikan dengan jalur trem dilakukan pada titik pemberhentian dan pemberangkatan yang ditentukan dengan menggunakan aturan sinkronisasi. Dari hasil analisis model yang didapat kemudian dilakukan analisis desain penjadwalan monorel dan trem sehingga diperoleh jadwal monorel dan trem yang terintegrasi.

2 2.1

Tinjauan Pustaka Penelitian Sebelumnya

Sebelum penelitian ini dilakukan, telah ada beberapa penelitian mengenai transportasi dengan menggunakan metode aljabar max-plus. Penelitian yang telah dilakukan dengan menganalisis pemodelan serta penjadwalan dengan menggunakan aljabar max-plus interval atas dan bawah untuk menentukan desain penjadwalan sebagaimana tesis yang telah ditulis oleh Nahlia dengan judul ”Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabaya menggunakan Aljabar Max-Plus”[3]. Dalam tesis tersebut dituangkan gagasan penentuan jalur busway untuk kota Surabaya yang menghubungkan Surabaya Selatan dan Utara, Surabaya Timur dan Surabaya barat serta jalur pusat. Selanjutnya pemodelan jalur busway di Surabaya yang diintegrasikan dengan KA Komuter Sidoarjo-Surabaya yang merupakan pengembangan penelitian dari [3] dilakukan oleh Kistosil Fahim(2013) yaitu ”Aplikasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Busway yang Diintegrasikan dengan Kereta Api Komuter” [4] dan penelitian yang juga membahas pemodelan yaitu ”Implementasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya)” [5] yang ditulis oleh Kresna Oktavianto. 2.2

Aljabar Max-Plus Berikut ini diiberikan pengenalan konsep dari Aljabar Maxplus.

Definisi 1 Definisi aljabar max-plus[6] Diberikan Rε = R ∪ {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε = −∞. Pada Rε didefinisikan operasi berikut: ∀x, y ∈ Rε , def

def

x ⊕ y = max{x, y} dan x ⊗ y = x + y Selanjutnya ditunjukkan (Rε , ⊕, ⊗) adalah semiring dengan elemen netral ε dan elemen satuan e = 0, karena untuk setiap x, y, z ∈ Rε berlaku: i. x ⊕ y = max{x, y} = max{y, x} = y ⊕ x, (x ⊕ y) ⊕ z = max{max{x, y}, z} = max{x, y, z} = max{x max{y, z}} = x ⊕ (y ⊕ z), x ⊕ ε = max{x, −∞} = max{−∞, x} = ε ⊕ x = x ii. (x ⊗ y) ⊗ z = (x + y) + z = x + (y + z) = x ⊗ (y ⊗ z), x ⊗ e = x + 0 = 0 + x = e ⊗ x = x, iii. x ⊗ ε = x + (−∞) = −∞ = −∞ + x = ε ⊗ x 2


iv. (x ⊕ y) ⊗ z = max{x, y} + z = max{x + z, y + z} = (x ⊗ z) ⊕ (y ⊗ z), x ⊗ (y ⊕ z) = x + max{y, z} = max{x + y, x + z} = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ y). Operasi ⊕ dibaca o-plus dan operasi ⊗ dibaca o-times dan untuk lebih ringkasnya, penulisan (Rε , ⊕, ⊗) ditulis sebagai Rmax . 2.2.1 Vektor dan Matriks Himpunan matriks n × m dalam aljabar n×m max-plus dinyatakan dalam Rmax . Didefinisikan n = {1, 2, 3, ..., n} untuk n ∈ N. Elemen dari matriks A ∈ Rn×m max pada baris ke-i kolom ke-j dinyatakan dengan ai,j , untuk i ∈ n dan j ∈ m. Dalam hal ini matriks A dapat dituliskan sebagai   a1,1 a1,2 . . . a1,m  a2,1 a2,2 . . . a2,m    A =  .. .. . . ..   . . . .  an,1 an,2 . . . an,m ada kalanya elemen ai,j juga dinotasikan sebagai [A]i,j , i ∈ n, j ∈ m Untuk penjumlahan matriks A, B ∈ Rn×m max dinotasikan oleh A⊕B didefinisikan sebagai [A ⊕ B]i,j = ai,j ⊕ bi,j = max{ai,j , bi,j } untuk i ∈ n dan j ∈ m. 2.2.2 Matriks dan Graph Misalkan matriks A ∈ Rn×n max dan suatu graph berarah dari matriks tersebut adalah G(A) = (E,V). Graph G(A) memiliki n titik dan semua himpunan titik dari G(A) dinyatakan oleh V . Suatu garis dari titik j ke titik i ada bila ai.j 6= ε, garis ini dinotasikan oleh (j, i). Himpunan semua garis dari graph G(A) dinotasikan oleh E. Bobot dari garis (j, i) adalah nilai dari ai.j yang dinotasikan oleh w(j, i) = ai.j ∈ R. Bila ai.j = ε, maka garis (j, i) tidak ada. Suatu barisan garis (i1 , i2 ), (i2 , i3 ), ..., (il−1 , il ) dari suatu graph dinamakan suatu path. Suatu path dikatakan elementer bila tidak ada titik terjadi dua + kali dalam path tersebut. Untuk suatu matriks persegi A ∈ Rn×n max , matriks A didefinisikan sebagai: def

A+ =

∞ M

A⊗i

i=1

2.2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Pengertian dari nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari suatu matriks persegi A berukuran n × n dalam aljabar linear biasa juga dijumpai dalam Aljabar Maxplus, yaitu bila diberikan suatu persamaan: A ⊗ x = λ ⊗ x. 3


dalam hal ini masing-masing vektor x ∈ Rn×n max dan λ ∈ R dinamakan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks A dengan vektor x 6= (ǫ, ǫ, ..., ǫ)T . Suatu Algoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A ∈ Rn×n max dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linier x(k + 1) = A ⊗ x(k), k = 0, 1, 2, 3, ...

(1)

Perilaku periodik dari persamaan (1) erat kaitannya dengan apa yang dinamakan vektor waktu sikel yang didefinisikan sebagai x(k) . k→∞ k lim

Limit ini ada untuk setiap keadaan awal x(0) 6= (ε, ε, ..., ε)T dan untuk matriks dalam Persamaan (1) yang tereduksi selalu bisa dijadikan suatu bentuk blok matriks segitiga atas, yang diberikan oleh bentuk   A1,1 A1,2 · · · A1,q  ε A2,2 · · · A2,q     ..  . .  ε ε . .  ε ε · · · Aq,q Dan untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., q, Ai,i berukuran qi × qi adalah matriks tak tereduksi dengan nilai eigen λi . Dalam hal yang demikian vektor waktu sikel diberikan oleh T x(k) lim = λ1 T λ2 T · · · λq T , k→∞ k T dengan tanda menyatakan transpose dari matriks dan T λ i = λ i λi · · · λi dan vektor λi berukuran qi × 1. Keujudan nilai eigen dari matriks persegi A diberikan dalam teorema berikut. Teorema 2 Bila untuk sebarang keadaan awal x(0) 6= ε sistem Persamaan (1) memenuhi x(p) = c ⊗ x(q) untuk beberapa bilangan bulat p dan q dengan p > q ≥ 0 dan beberapa bilangan real c, maka T x(k) = λ λ ··· λ k→∞ k lim

c dengan λ = p−q . Selanjutnya λ adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan vektor eigen diberikan oleh

v=

p−q M

λ⊗(p−q−i) ⊗ x(q + i − 1)

i=1

Berdasarkan Teorema 2, dapat ditemukan nilai eigen sekaligus vector eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan Algoritma Power[6], yaitu sebagai berikut: 4


1. Mulai dari sebarang vektor awal x(0) 6= ε 2. Iterasi persamaan 1 sampai ada bilangan bulat p > q ≥ 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p) = c ⊗ x(q). c 3. Hitung nilai eigen λ = p−q 4. Hitung vektor eigen p−q M λ⊗(p−q−i) ⊗ x(q + i − 1) v= i=1

Algoritma tersebut sudah diimplementasikan dengan Scilab dalam Max Plus Toolbox[7].

3 3.1

Analisis Dan Pembahasan Jalur Monorel dan Trem di Surabaya

Pada penelitian ini jalur monorel dan trem dibahas dalam koridor satu dan dua. 1. Koridor Satu Koridor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur monorel yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat . Pada koridor jalur monorel melewati Kejawan (East Coast) → Citraland → Kejawan (East Coast), lebih lengkapnya yaitu: • East Coast (SM1 ) → Mulyosari (SM2 ) → ITS (SM3 ) → GOR Kertajaya Indah (SM4 ) → Galaxy Mall (SM5 ) → Unair Kampus C (SM6 ) → Dharmahusada (SM7 ) → RS Dr.Sutomo (SM8 ) → Stasiun Gubeng (SM9 ) → Jl. Raya Gubeng (SM10 ) → Jl.Irian Barat (SM11 ) → Jl.Bung Tomo/Marvel City(SM12 ) → Ngagel (Novotel) (SM13 ) → Wonokromo (DTC) (SM14 ) → Joyoboyo (SM15 ) → Sutos (SM16 ) → Ciputra World (SM17 ) → Dukuh Kupang (SM18 ) → Bundaran Satelit (SM19 ) → HR.Muhammad (SM20 ) → Simpang Darmo Permai (SM21 ) → Simpang PTC Lenmark (SM22 ) → Unesa (SM23 ) →Citraland (SM24 ) → Unesa (SM23 ) → Simpang PTC Lenmark (SM22 ) → Simpang Darmo Permai (SM21 ) → HR.Muhammad (SM20 ) → Bundaran Satelit (SM19 ) → Dukuh Kupang (SM18 ) → Ciputra World (SM17 ) → Sutos (SM16 ) → Joyoboyo (SM15 ) → Wonokromo (DTC) (SM14 ) → Ngagel(Novotel) (SM13 ) → Jl.Bung Tomo (SM12 ) → Jl.Irian Barat (SM11 ) → Jl.Raya Gubeng (SM10 ) → Stasiun Gubeng (SM9 ) → RS Dr.Sutomo (SM8 ) → Dharmahusada (SM7 ) → Unair Kampus C (SM6 ) → Galaxy Mall (SM5 ) → GOR Kertajaya Indah (SM4 ) → ITS (SM3 ) → Mulyosari (SM2 ) → Kejawan (East Coast)(SM1 ). 2. Koridor dua Korodor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur trem yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Utara dan Selatan. Pada koridor ini terdapat jalur trem yang melewati Joyoboyo → Rajawali → Joyyoboyo, lebih lengkapnya sebagai berikut : 5


• Joyoboyo (ST1 ) → Kebun Binatang (ST2 ) → Taman Bungkul (ST3 ) → Bintoro (ST4 ) → Pandegiling (ST5 ) → Urip Sumoharjo/Keputran (ST6 ) → Kombespol M.Duryat (ST7 ) → Tegalsari (ST8 ) → Embong Malang (ST9 ) → Kedungdoro (ST10 ) → Pasar Blauran (ST11 ) → Bubutan (ST12 ) → Pasar Turi (ST13 ) → Kemayoran (ST14 ) → Indrapura (ST15 ) → Rajawali (ST16 ) → Jembatan Merah (ST17 ) → Veteran (ST18 ) → Tugu Pahlawan (ST19 ) → Baliwerti (ST20 ) → Siola (ST21 ) → Genteng (ST22 ) → Pasar Tunjungan (ST23 ) → Gubernur Suryo (ST24 ) → Bambu Runcing (ST25 ) → Sonokembang (ST26 ) → Urip Sumoharjo/Keputran (ST6 ) → Pandegiling (ST5 ) → Bintoro (ST4 ) → Taman Bungkul (ST3 ) → Bonbin (ST2 ) → Joyoboyo. Dari jalur monorel dan trem tersebut terdapat dua intermoda (titik pertemuan monorel dan trem yang memungkinkan penumpang untuk berpindah moda dari monorel ke trem ataupun sebaliknya). Intermoda pertama yang dimaksud yaitu stasiun monorel dengan stasiun trem di Joyoboyo, intermoda kedua yang dimaksud yaitu stasiun monorel di Jl.Irian Barat dengan stasiun trem di Keputran. Jalur monorel yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat terdiri dari 24 titik pertemuan/stasiun monorel. Sedangkan untuk koridor 2 terdapat 26 stasiun pemberhentian dengan dengan 2 stasiun trem yang memungkinkan penumpang untuk melakukan perpindahan dalam koridor yang sama, stasiun yang dimaksud yaitu stasiun trem yang berada di Urip Sumoharjo/Keputran dan Ps.Tunjungan Plasa dengan Embong Malang. Terdapat 24 stasiun monorel dan 26 stasiun trem yang selanjutnya akan dijadikan vertex dalam graf berarah, yaitu SM1 , SM2 , ..., SM24 dan ST1 , ST2 , ..., ST26 . 3.2

Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya

Dalam penyusunan graf berarah diperlukan data-data berupa vertex yang dapat diartikan sebagai titik-titik pemberangkatan dan pemberhentian (stasiun monorel dan stasiun trem) dan waktu tempuh antara dua vertex (antara dua stasiun). Dalam penelitian ini, jumlah alokasi monorel ataupun trem yang digunakan untuk penyusunan model yaitu berdasarkan lama waktu tempuh antar stasiun. Dari data yang diperoleh dapat digambarkan graf berarah dimana vertex-vertex nya merupakan stasiun sedangkan garis (edge) yang menghubungkan vertex-vertex tersebut dinamakan path dengan bobot pada setiap edge adalah waktu tempuh rata-rata antar stasiun ti , untuk i = 1, 2, 3, , 77. Arah graf didadapatkan dari arah monorel dan trem yang beroperasi sebagaimana telah di uraikan pada jalur monorel dan trem di kota Surabaya. Dalam pembahasan ini didapatkan graf berarah dari stasiun monorel East Cost (SM1 ) menuju stasiun monorel Mulyosari (SM2 ) dengan waktu tempuh tempuh rata-rata t1 . 3.3

Sinkronisasi Dan Penyusunan Model

Sinkronisasi menjelaskan mengenai aturan keberangkatan monorel dan trem dari suatu stasiun yang harus menunggu kedatangan monorel atau trem yang menuju ke stasiun tersebut. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin penumpang 6


dapat berpindah dari suatu moda dari jalur tertentu ke moda lainnya dengan jalur yang berbeda. Tabel 1. Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k Dari SM1 SM2 SM3 SM4 SM5 SM6 SM7 SM8 SM9 SM10 SM11 SM12 SM13 SM14 SM15 SM16 SM17 SM18 SM19 SM20 SM21 SM22 SM23 SM24 SM23 SM22 SM21 SM20 SM19 SM18 SM17 SM16 SM15 SM14 SM13 SM12 SM11 SM10 SM9

Ke SM2 SM3 SM4 SM5 SM6 SM7 SM8 SM9 SM10 SM11 SM12 SM13 SM14 SM15 SM16 SM17 SM18 SM19 SM20 SM21 SM22 SM23 SM24 SM23 SM22 SM21 SM20 SM19 SM18 SM17 SM16 SM15 SM14 SM13 SM12 SM11 SM10 SM9 SM8

Variabel x1 (k) x2 (k) x3 (k) x4 (k) x5 (k) x6 (k) x7 (k) x8 (k) x9 (k) x10 (k) x11 (k) x12 (k) x13 (k) x14 (k) x15 (k) x16 (k) x17 (k) x18 (k) x19 (k) x20 (k) x21 (k) x22 (k) x23 (k) x24 (k) x25 (k) x26 (k) x27 (k) x28 (k) x29 (k) x30 (k) x31 (k) x32 (k) x33 (k) x34 (k) x35 (k) x36 (k) x37 (k) x38 (k) x39 (k)

Dari SM8 SM7 SM6 SM5 SM4 SM3 SM2 ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST6 ST7 ST8 ST9 ST10 ST11 ST12 ST13 ST14 ST15 ST16 ST17 ST18 ST19 ST20 ST21 ST22 ST23 ST24 ST25 ST26 ST6 ST5 ST4 ST3 ST2

ke SM7 SM6 SM5 SM4 SM3 SM2 SM1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST6 ST7 ST8 ST9 ST10 ST11 ST12 ST13 ST14 ST15 ST16 ST17 ST18 ST19 ST20 ST21 ST22 ST23 ST24 ST25 ST26 ST6 ST5 ST4 ST3 ST2 ST1

Variabel x40 (k) x41 (k) x42 (k) x43 (k) x44 (k) x45 (k) x46 (k) x47 (k) x48 (k) x49 (k) x50 (k) x51 (k) x52 (k) x53 (k) x54 (k) x55 (k) x56 (k) x57 (k) x58 (k) x59 (k) x60 (k) x61 (k) x62 (k) x63 (k) x64 (k) x65 (k) x66 (k) x67 (k) x68 (k) x69 (k) x70 (k) x71 (k) x72 (k) x73 (k) x74 (k) x75 (k) x76 (k) x77 (k)

Dari Tabel 1 dan berdasarkan aturan sinkronisasi serta asumsi keberangkatan jumlah monorel dan trem yang didasarkan pada jarak tempuh antar dua stasiun. Selanjutnya apat dikonstruksi model monorel dan trem sebagai berikut: x∗ (k) = B ⊗ x(k)

(2)

dengan matriks B yanng berukuran 38 × 39 dan x∗ berukuran 38 × 1, dimana T x∗ = x∗ a x∗ b x∗ c x∗ d x∗ e 7


dengan T x∗ a = x2 x3 x5 x6 x8 x9 x11 x12 x14 T x∗ b = x16 x17 x19 x21 x23 x25 x27 x29 T x∗ c = x31 x32 x34 x35 x37 x39 x40 x42 T x∗ d = x43 x45 x46 x48 x51 x54 x57 x59 T x∗ e = x64 x66 x68 x70 x72

4

Kesimpulan

Dari hasil analisa yang telah dilakukan dalam memodelkan diperoleh model jalur monorel dan trem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakan aljabar max-plus bentuk model x(k + 1) = A ⊗ x(k) dan x∗ = B ⊗ x(k).

Daftar Pustaka [1]. Pusat Data dan Informasi Sekretariat Jenderal Kementerian Perhubungan - Republik Indonesia.2009. Rencana Pembangunan Jangka Panjang Departemen Perhubungan 2005-2025. [2]. BKKPM. Surabaya Akan Bangun Trem dan Monorel. ,2011. [3]. Rahmawati, N. Analisis Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Di Surabaya dengan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika ITS Surabaya,2012. [4]. Fahim, K. Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter, Tugas Akhir Matematika ITS Surabaya,2013. [5]. Oktavianto, K. Implementasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya, Tugas Akhir Matematika ITS,2013. [6]. Subiono. Aljabar Maxplus dan Terapannya.Buku Ajar Kuliah Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya,2012. [7]. Subiono,Fahim.K., dan Adzkiya,D .Maxplus Algebra And Petrinet Toolbox. ,2013.

8

Sifat-sifat Aljabar dari Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy Muhammad Abdy Jurusan Matematika, FMIPA - Universitas Negeri Makassar e-mail: [email protected]

Abstrak: Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy (PTTF) merupakan suatu metode baru untuk menyelesaikan masalah invers neuromagnetik dalam menentukan posisi sumber arus lemah dalam otak. PTTF terdiri dari empat komponen yang dihubungkan oleh tiga algoritma. Dalam paper ini, keempat komponen tersebut diperlihatkan sifat-sifat aljabarnya, yaitu sebagai suatu grup komutatif dan ruang vektor. Kata kunci: invers neuromagnetik, PTTF, Kontur Magnetik, Bidang Dasar Magnetik, Magnetik Fuzzy, Topografi Medan Magnet

1. Pendahuluan Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy (PTTF) merupakan suatu metode baru untuk menyelesaikan masalah invers neuromagnetik dalam menentukan posisi sumber arus lemah dalam otak. PTTF terdiri dari empat komponen yang dihubungkan oleh tiga algoritma, seperti terlihat pada Gambar 1 Bidang Kontur Magnetik

Topografi Medan Magnetik

Algoritma 1

Algoritma 3 Algoritma 2

Medan Magnetik Fuzzy

Bidang Dasar Magnetik

Gambar 1 Keempat komponen itu adalah bidang kontur magnetik (KM), bidang dasar magnetik (DM), medan magnetik fuzzy (MF) dan topografi medan magnetik (TM). KM adalah suatu medan magnet pada bidang di atas suatu sumber arus dengan z = 0. Bidang ini diturunkan ke bawah (DM) yaitu suatu bidang dimana sumber arus berada dengan z = -h. Kemudian semua elemen DM difuzzikan ke dalam suatu lingkungan fuzzy (MF), yaitu semua nilai medan magnet difuzzikan. Proses terakhir adalah defuzzifikasi dari data fuzzi medan magnet untuk mendapatkan posisi sumber arus dalam bentuk 3-dimensi (TM). Dengan

9

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya

menggunakan data simulasi medan magnet yang dibangkitkan dengan program MATLAB, Fauziah [1] menyelesaikan masalah invers neuromagnetik untuk suatu sumber arus tunggal tak terbatas dengan menggunakan PTTF. Liau [3] mengkonstruksi PTTF sebagai suatu himpunan dari model dengan empat komponen dan tiga algoritma yang menghubungkan keempat. komponen itu. Kemudian dia membuktikan bahwa keempat komponen itu adalah homeomorfik satu sama lain.

2. Sifat-sifat Aljabar PTTF Fauziah [2] mendefinisikan suatu formula bacaan medan magnet dalam arah yang sejajar sumbu-z sebagai µI y   BZ = 0  2 (1) 2π  y + z 2  Kemudian [3] memodifikasi persamaan (1) menjadi  y − yp µI  (2) BZ ( x , y ) = 0  2 2  0 2π ( y − y p ) + h + x − x p tg (θ − 90 )    -7 Dimana µ0 adalah permiabilitas (4π.10 meterTesla/ampere), I adalah kuat arus, θ adalah sudut antara arus dan sumbu-z, h adalah jarak antara KM dan sumber arus. Misalkan KM = {(( x, y )0 , BZ ( x , y ) ) x, y ∈ R, BZ ( x , y ) ∈ [BZ min , BZ max ]}, dan misalkan

(

)

{ ((x + x , y + y ) , B

(

)

didefinisikan suatu relasi + KM dari KM × KM ke KM seperti berikut: + KM = (( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ), ((x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ), (x3 , y3 )0 , BZ ( x3 , y3 ) | 1

2

Dengan BZ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) =

1

) = ((x , y ) , B

Z ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )

2 0

3

3 0

Z ( x3 , y 3 )

)}

(3)

 ( y1 + y2 ) − y p µ 0 I   2 2  0 2π (( y1 + y2 ) − y p ) + h + ( x1 + x2 ) − x p tg (θ − 90 ) 

(

)

  Ambil. (( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ), ((x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ), (x3 , y3 )0 , BZ ( x3 , y3 ) ∈ + KM

(

(

))

((x , y ) , B ), ((x , y ) , B ), ((x , y ) , B )∈ KM. ), ((x , y ) , B ))∈ KM × KM, dan Oleh karena itu, diperoleh ((( x , y ) , B Perhatikan bahwa

1

1 0

Z ( x1 , y1 )

(

2

(

2 0

Z ( x2 , y 2 )

3

))

3 0

Z ( x3 , y 3 )

juga diperoleh bahwa ((x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ), ((x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ), (x3 , y3 )0 , BZ ( x3 , y3 ) ∈ (KM × KM) × KM. 1

1 0

Z ( x1 , y1 )

2

2 0

Z ( x2 , y 2 )

Sehingga, + KM ⊂ (KM × KM) × KM. Jadi + KM adalah suatu relasi. Selanjutnya diperlihatkan bahwa + KM adalah suatu pemetaan dari KM × KM ke KM. Jika untuk (( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ), (( x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ), ( xa , ya )0 , BZ ( xa , ya ) ∈ + KM dan

(

(((x , y ) , B ((x , y ) , B 1

a

1 0

Z ( x1 , y1 )

a 0

Z ( xa , y a )

(

))

), ((x , y ) , B ), ((x , y ) , B ))∈ + KM , maka ) = ((x + x , y + y ) , B ) 2

2 0

1

Z ( x2 , y 2 )

2

1

b

2 0

10

b 0

Z ( xb , y b )

Z ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )


  ( y1 + y2 ) − y p µ 0 I    =  ( x1 + x2 , y1 + y2 )0 , 2  2  0 2π (( y1 + y2 ) − y p ) + h + ( x1 + x2 ) − x p tg (θ − 90 )       dan (xb , yb )0 , BZ ( xb , yb ) = ((x1 + x2 , y1 + y2 )0 , BZ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) )

(

(

)

)

  ( y1 + y2 ) − y p µ 0 I    =  ( x1 + x2 , y1 + y2 )0 , 2  2  0 2π (( y1 + y2 ) − y p ) + h + ( x1 + x2 ) − x p tg (θ − 90 )       Dengan demikian, ( xa , ya ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( xb , yb ) , sehingga xa = x1 + x2 = xb ,

(

ya = y1 + y2 = yb ,

((x , y ) , B

)

BZ ( xa , ya ) = BZ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = BZ ( xb , yb ) .

) = ((x , y ) , B dan

) . Dengan demikian, jika diberikan sebarang Jadi

diperoleh

himpunan tak kosong KM, maka + KM adalah suatu relasi sedemikian sehingga untuk setiap ((( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ), (( x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) )) ∈ KM × KM, terdapat suatu a

Z ( xa , y a )

a 0

((((x , y ) , B

elemen

b

Z ( xb , y b )

b 0

((x , y ) , B

), ((x , y ) , B

tunggal

3

3 0

)

∈

)), ((x , y ) , B

Z ( x3 , y 3 )

))

KM

sedemikian

sehingga

∈ + KM . Oleh karena itu,

+ KM .adalah suatu pemetaan dari KM × KM ke KM. Jadi, + KM adalah suatu operasi biner pada KM sedemikian sehingga ((x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ) + KM ((x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ) = ((x1 + x2 , y1 + y2 )0 , BZ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ) (4) Selanjutnya diperlihatkan bahwa kontur magnetik pada PTTF dengan operasi biner + KM adalah suatu grup dengan membuktikan Teorema 1 berikut. 1

1 0

Z ( x1 , y1 )

2

2 0

Z ( x2 , y 2 )

3

3 0

Z ( x3 , y 3 )

Teorema 1 (KM ,+ KM ) adalah suatu grup Bukti Misalkan (( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ), (( x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ) ∈ KM, maka

((x , y ) , B

) + ((x , y ) , B

) = ((x + x , y + y ) , B

Z ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )

) . Karena

x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R (bilangan rill), maka x1 + x2 , y1 + y2 ∈ R. Selanjutnya, BZ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) dapat dinyatakan dalam bentuk 1

1 0

Z ( x1 , y1 )

2

KM

2 0

Z ( x2 , y 2 )

1

2

1

2 0

 Y − yp µ 0 I   , dimana X = x + x dan Y = y + y . 1 2 1 2 2  2  0 2π (Y − y p ) + h + X − x p tg (θ − 90 )  

(

)

((x + x , y + y ) , B ) ) + ((x , y ) , B ) ∈ KM. (tertutup) ∈ KM. Jadi, (( x , y ) , B ), ((x , y ) , B ), ((x , y ) , B ) ∈ Selanjutnya, misalkan (( x , y ) , B ) + [((x , y ) , B ) + ((x , y ) , B )] KM, maka ((x , y ) , B ) + ((x + x , y + y ) , B ) = (( x , y ) , B ) (5) = (( x + ( x + x ), y + ( y + y ) ) , B Dengan demikian, BZ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ [BZ min , BZ max ] dan 1

1 0

Z ( x1 , y1 ) 1

1

1

[

1 0

1 0

Z ( x1 , y1 )

1 0

Z ( x1 , y1 )

3

2 0

Z ( x1 , y1 ) 2

KM

2

KM

2

KM

2

3 0

2 0

Z ( x2 , y 2 )

1

Z ( x2 , y 2 ) KM

3

3

2

3

1

2

3

0

11

3 0

3 0

(

Juga dapat ditulis: ((x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ) + KM ((x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ) + KM (x3 , y3 )0 , BZ ( x3 , y3 ) 1

2 0

Z ( x 2 + x3 , y 2 + y 3 )

Z ( x1 + ( x 2 + x3 ), y1 + ( y 2 + y3 ))

]

2

Z ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )

Z ( x2 , y 2 )

2

2 0

1

)

Z ( x3 , y 3 )

Z ( x3 , y 3 )


(

= (( x1 + x2 , y1 + y2 )0 , BZ ( x1+ x2 , y1+ y2 ) ) + KM ( x3 , y3 )0 , BZ ( x3 , y3 )

(((x + x ) + x , ( y + y ) + y ) , B = (( x + ( x + x ), y + ( y + y ) ) , B =

1

2

3

1

2

[

Z (( x1 + x2 ) + x3 ,( y1 + y2 ) + y3 )

3 0

)

Z ( x1 + ( x 2 + x3 ), y1 + ( y 2 + y3 ))

(

)

)

2

3

2

3

0

) + ((x , y ) , B )]+ ((x , y ) , B ) (assosiatif) ) . Perhatikan bahwa untuk setiap Selanjutnya, dalam KM terdapat ((0,0 ) , B ((x, y ) , B )∈ KM, maka ((0,0) , B ) + KM ((x, y ) , B ) = ((0 + x,0 + y ) , B ) ) . Juga dapat ditulis ((x, y ) , B ) + KM ((0,0) , B ) = = ((0,0) , B ((x + 0, y + 0) , B ) = ((0,0) , B ) . Jadi ((0,0) , B ) adalah elemen =

[((x , y ) , B

1

(6)

)]

Dari (5) dan (6), maka ((x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ) + KM ((x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ) + KM (x3 , y3 )0 , BZ ( x3 , y3 ) 1

1

1 0

Z ( x1 , y1 )

KM

2

2 0

Z ( x2 , y 2 )

0

0

0

Z ( x, y )

0

0

0

Z ( x, y )

Z ( x, y )

Z ( x +0 , y +0 )

0

Z (− x,− y )

0

Juga dapat ditulis: ((− x,− y )0 , BZ ( − x,− y ) ) + KM

((x, y ) , B 0

((x, y ) , B 0

Z ( 0, 0)

) + KM ((− x,− y ) , B

Z ( 0,0)

) ∈ KM, maka

Z ( 0, 0)

) = ((x + (− x), y + (− y)) , B ) = ((0,0) , B 0

Z ( x, y )

0

Z ( x + ( − x ), y + ( − y ))

) = ((− x + x,− y + y ) , B ) = ((0,0) , B 0

Z ( x, y )

0

Z ( x, y )

identitas dalam KM dengan operasi + KM . Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk setiap 0

Z ( x3 , y3 )

Z ( 0,0)

Z ( 0,0)

Z ( 0, 0)

((x, y ) , B

3 0

Z ( 0+ x , 0+ y )

0

0

3

KM

Z ( 0, 0)

Z ( − x+ x , − y + y )

0

)

)

(7)

(8) Jadi setiap elemen KM mempunyai elemen invers dalam KM dengan operasi + KM . ▄ 0

Z ( 0, 0)

Teorema 2 (KM ,+ KM ) adalah suatu grup komutatif Bukti Misalkan (( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) ), (( x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ) ∈ KM, maka

((x , y ) , B

) + ((x , y ) , B

) = ((x + x , y + y ) , B

Z ( x1 + x2 , y1 + y2 )

)

(9)

)

(10)

Demikian juga, ((x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ) + KM ((x1 , y1 )0 , BZ ( x1, y1 ) ) = ((x2 + x1 , y2 + y1 )0 , BZ ( x2 + x1, y2 + y1 ) ) 1

1 0

Z ( x1 , y1 )

KM

2

2 0

Z ( x2 , y2 )

1

=

2

1

2 0

((x + x , y + y ) , B

Z ( x1 + x2 , y1 + y2 )

Dari (9) dan (10), maka ((x1 , y1 )0 , BZ ( x1, y1 ) ) + KM ((x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ) = ((x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 ) ) + KM ((x1 , y1 )0 , BZ ( x1, y1 ) ) ▄ Teorema berikut memperlihatkan bahwa kontur magnetik pada PTTF adalah suatu ruang vektor. 1

2

1

2 0

Teorema 3 KM adalah suatu ruang vektor Bukti Terlebih dahulu didefinisikan operasi perkalian × pada KM sedemikian sehingga r × (( x, y )0 , BZ ( x , y ) ) = ((rx, ry )0 , BZ ( rx ,ry ) ) ; r∈R,

12


Karena rx, ry ∈ R, maka ((rx, ry )0 , BZ ( rx ,ry ) ) ∈ KM sehingga

) ∈ KM untuk setiap ((x, y ) , B ) dan r∈R. ), ((x , y ) , B ) ∈ KM dan r∈R, maka Selanjutnya, misalkan (( x , y ) , B ) + ((x , y ) , B )] = r× ((x + x , y + y ) , B ) r× [(( x , y ) , B ) = ((r ( x + x ), r ( y + y ) ) , B (11) r×

((x, y ) , B 0

0

Z ( x, y )

1

1

1 0

Z ( x1 , y1 )

1 0

2

KM

Z ( x1 , y1 )

2 0

2

2 0

Z ( x2 , y2 )

( ) ( ) ) + KM ((rx , ry ) , B ) = ((rx , ry ) , B ) = ((rx + rx , ry + ry ) , B ) = ((r ( x + x ), r ( y + y ) ) , B 1

2

[(

1 0

1

2

1

Z ( rx1 ,ry1 )

2

2 0

1

2

1

2

)

2

)

1

Z ( x1 + x2 , y1 + y2 )

2 0

Z ( r ( x1+ x2 ),r ( y1 + y2 ))

Z ( rx2 ,ry2 )

Z ( r ( x1+ x2 ),r ( y1 + y2 ))

(

0

Dari (11) dan (12), maka r× ( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) + KM ( x2 , y2 )0 , BZ ( x2 , y2 )

(

0

2

Z ( rx1 + rx2 ,ry1 + ry2 )

2 0

1

Z ( x2 , y2 )

1

Juga dapat ditulis, r× ( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) + KM r× ( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) 1

Z ( x,y )

(

)]

= r× ( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 ) + KM r× ( x1 , y1 )0 , BZ ( x1 , y1 )

(12)

)

((x, y ) , B ),dan r, t ∈ R, maka ) ) = (((r + t ) x, (r + t ) y ) , B

(r + t ) × ((x, y )0 , BZ ( x , y ) Juga dapat ditulis r× ((x, y )0 , BZ ( x , y ) ) + KM s× ((x, y )0 , BZ ( x , y ) )

Selanjutnya, misalkan

0

Z ( x,y )

0

Z (( r +t ) x ,( r +t ) y )

(13)

= ((rx, ry )0 , BZ ( rx ,ry ) ) + KM ((tx, ty )0 , BZ ( tx ,ty ) ) = ((rx + tx, ry + ty )0 , BZ ( rx+tx ,ry +ty ) )

(14) = ((r + t ) x, (r + t ) y )0 , BZ ( r +t ) x ,( r +t ) y ) ) Dari (13) dan (14), maka (r + t ) × ((x, y )0 , BZ ( x , y ) ) = r× ((x, y )0 , BZ ( x , y ) ) + KM t× ((x, y )0 , BZ ( x , y ) ) untuk setiap

((x, y ) , B 0

Z ( x, y )

)∈ KM

dan r, t ∈ R.

((x, y ) , B )∈ KM , dan r, t ∈ R, maka ) = ((rtx, rty ) , B ) = ((r (tx), r (ty)) , B

) (rt)× (( x, y )0 , BZ ( x , y ) 0 0 Z ( rtx ,rty ) Z ( r ( tx ),r ( ty )) Juga dapat ditulis r × (t × ((x, y )0 , BZ ( x , y ) )) = r × ((tx, ty )0 , BZ ( tx ,ty ) ) = ((r (tx), r (ty ) )0 , BZ ( r ( tx ),r ( ty )) ) Selanjutnya, misalkan

0

Z ( x, y )

((x, y ) , B ) = r × (t × ((x, y ) , B )∈ KM , maka Terakhir, misalkan (( x, y ) , B ) = ((1x,1y ) , B ) 1× (( x, y ) , B ) = ((1x,1y ) , B ) Juga dapat ditulis (( x, y ) , B ) = ((x, y ) , B ) Dari (17) dan (18), maka 1× (( x, y ) , B Dari (15) dan (16), maka (rt)× 0

0

0

0

Z ( x, y )

Z ( x,y )

))

(16)

Z ( x, y )

0

Z ( x, y )

0

(15)

Z (1 x ,1 y )

0

Z ( x, y )

0

Z ( x, y )

Z (1 x ,1 y )

0

(17) (18)

Z ( x, y )

Jadi KM memenuhi semua aksioma ruang vektor. ▄

Dengan cara yang serupa seperti dalam Teorema 1, Teorema 2 dan Teorema 3, maka diperoleh bahwa Bidang Dasar Medan Magnet (MD), Medan Magnet Fuzzy

13


(MF) dan Topografi Medan Magnet (TM) merupakan suatu grup komutatif dan juga merupakan suatu ruang vector, seperti dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema 4: (MD, + MD ) adalah suatu grup komutatif Teorema 5: MD adalah suatu ruang vektor Teorema 6: (MF, + MF ) adalah suatu grup komutatif Teorema 7: MF adalah suatu ruang vektor Teorema 8: (TM, + TM ) adalah suatu grup komutatif Teorema 9: TM adalah suatu ruang vektor

3. Kesimpulan Keempat komponen dalam Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy, yaitu kontur medan magneti, medan dasar magnetik, medan magnet fuzzy dan topografi medan magnet mempunyai sifat aljabar sebagai suatu grup komutatif dan sebagai suatu ruang vektor.

4. Daftar Pustaka [1] Fauziah, Z. (2000). Pemodelan Isyarat MEG. Proceeding of the 8th National Symposium of Mathematical Sciences. Kuala Trengganu: Universiti Putra Malaysia [2] Fauziah, Z. (2002). Algoritma Penyelesaian Masalah Songsang Arus Tunggal Tak Terbatas MEG. Universiti Teknologi Malaysia. [3] Liau, L.Y. (2006). Group-Like Algebraic Structures of FTTM for Solving Neuromagnetic Inverse Problem. Universiti Teknologi Malaysia

14

EKSISTENSI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS INTERVAL Siswanto1, Ari Suparwanto2, M. Andy Rudhito3 1)

Mahasiswa S3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, UGM dan Pengajar Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, UNS Jl. Ir. Sutami No. 36a, Surakarta [email protected] 2) Jurusan Matematika, Fakultas MIPA,UGM Sekip utara, Yogyakarta [email protected] 3) Program Studi Pend. Matematika, Fakultas KIP,Sanata Dharma Kampus III Paingan Maguwoharjo, Yogyakarta [email protected]

Abstrak-Makalah ini membahas kriteria sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A ⊗ � = � yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian.. Misalkan ℝ himpunan semua bilangan real dan ℝ� = ℝ ∪ {− ∞}. Aljabar maks-plus adalah himpunan ℝ� dilengkapi operasi ⊕ (= maksimum) dan ⊗ (= plus). Butkovic dan Tam telah membahas tentang kriteria sistem persamaan persamaan linear dalam aljabar maks-plus � ⊗ � = b yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian..Aljabar maks-plus interval adalah himpunan �(ℝ)� yaitu himpunan yang anggota-anggotanya interval tertutup dalam ℝ� dilengkapi dengan operasi ⊕ (= maksimum) dan ⊗ (= plus). . Kata kunci: sistem persamaan linear, aljabar maks-plus interval.

PENDAHULUAN

Aljabar maks-plus adalah himpunan ℝ� = ℝ ∪ {�}, ℝ himpunan bilangan real, � = −∞ dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗. Aljabar maks-plus merupakan semifield idempoten. Aljabar maks-plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah perencanaan, komunikasi, produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, komputasi parallel, dan lalu lintas (Baccelli, et.al [2]). Menurut Tam [9], aljabar maks-plus adalah aljabar linear atas semiring ℝ� dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗, sedangkan aljabar min-plus adalah aljabar linear atas semiring ℝ� ′ = ℝ ∪ {�′}, � ′ = ∞ dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ dan plus ⊗′ . Disamping itu, Tam [9] juga mendefinisikan aljabar maks-plus lengkap dan aljabar min-plus lengkap. Dalam tulisan ini definisi aljabar maks-plus yang digunakan diambil dari Baccelli, et.al [2]. Sejalan dengan definisi tersebut, aljabar min-plus didefinisikan sebagai himpunan ℝ�′ dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ dan plus ⊗ ′. Aljabar min-plus merupakan semifield idempoten. Selanjutnya, aljabar maks-plus lengkap adalah himpunan ℝ�,� ′ = ℝ� ∪ {�′} dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗, sedangkan aljabar min-plus lengkap adalah ℝ� ′ ,� = ℝ� ′ ∪ {�} dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ dan plus ⊗′ . Tampak bahwa ℝ�,� ′ = ℝ� ∪ {� ′ } = ℝ ∪ {�, � ′ } = ℝ ∪ {�, � ′ } = ℝ� ′ ∪ {� ′ } = ℝ� ′ ,� . Selanjutnya 15


ℝ�,� ′ dan ℝ� ′ ,� ditulis dengan ℝ. Dari himpunan ℝ� dapat dibentuk himpunan matriks berukuran � × � yang elemen-elemennya merupakan elemen ℝ� , yang selanjutnya disebut himpunan matriks atas aljabar maks-plus dan dinotasikan ×� dengan ℝ� . � Butkovic [4, 5] dan Tam [9] telah membahas tentang sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus � ⊗ � = b. Telah dibahas juga oleh keduanya mengenai kriteria sistem persamaan yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian.. Untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur seperti penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, aljabar maks-plus telah digeneralisasi menjadi aljabar maks-plus interval dan aljabar maks-plus bilangan kabur. Aljabar maks-plus interval yaitu himpunan �(ℝ)� dilengkapi dengan ��, sedangkan aljabar maks-plus bilangan kabur yaitu himpunan �� dan ⊗ operasi ⊕ � dan ⊗ � (Rudhito [7]). �(ℝ)� dilengkapi dengan operasi ⊕ Dalam tulisan ini akan dibahas tentang sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Akan diselidiki eksistensi penyelesaian, baik sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian, maupun sistem persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian. Sebelum membahas hasil dalam penelitian ini disampaikan konsep-konsep yang diperlukan dalam pembahasan. Adapun konsep-konsep yang diperlukan adalah aljabar maks-plus interval dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus, mengacu pada Akian et al.[1], Baccelli et al. [2], Butkovic [3, 4, 5], dan Schutter [8] sebagai berikut. Definisi 1.1. Diberikan � ∈ ℝ, konjugat dari � adalah �∗ = � −1 = −�. Misalkan � ×�

� = �� ∈ ℝ , konjugat matriks A adalah �∗ = ��∗ � atau �∗ = −�� . ×� Definisi 1.2. Diberikan � = (�� ) ∈ ℝ� dan � = (�1 , … , �� ) ∈ ℝ� � � . Sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus berbentuk � ⊗ � = �. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut, Tam [10] memberikan 2 definisi sebagai berikut. Definisi 1.3. Sistem persamaan linear � ⊗ � = � dapat diubah menjadi sistem ×� persamaan linear �̅ ⊗ � = 0 dengan �̅ = ��̅�� = (�� − �� ) ∈ ℝ� . Sistem � ̅ persamaan linear � ⊗ � = 0 disebut sistem persamaan linear yang dinormalkan dan proses ini disebut normalisasi. Proses normalisasi ini dapat dilakukan juga dengan mengalikan dari kiri, kedua ruas sistem persamaan linear � ⊗ � = � dengan matriks −�1 ⋯ � ⋱ ⋮ �, � = �� (−�1 , −�2 , … , −�� ) = � ⋮ � ⋯ −�� yaitu � ⊗ � ⊗ � = � ⊗ � ⟺ (� ⊗ �) ⊗ � = � ⊗ � ⟺ �̅ ⊗ � = 0. ×� Definisi 1.4. Diberikan suatu sistem � ⊗ � = � dengan � = (�� ) ∈ ℝ� , � � � = (�1 , … , �� ) ∈ ℝ� , � = {1,2, … , �} dan � = {1,2, … , �}. Didefinisikan, i. �(�, �) = {� ∈ ℝ�� |� ⊗ � = � }, ii. �� (�, �) = �� ∈ � |�� − �� = ��=1,…,� �� − �� , ∀� ∈ �, iii.

�� = �� = �−��=1,…,� �� − �� , ∀� ∈ �. Selanjutnya, jika �� memenuhi sistem persamaan linear maka �� disebut 16


penyelesaian dasar (principal solution) (Butkovic [5], Cuninghame [6], Tam [9]). Jika � = (�, �, … , �) maka �(�, �) = {� ∈ ℝ�� |�� = � jika �� ≠ �, � ∈ � }. Jika A matriks yang semua entrinya � maka �(�, �) = ℝ�� . Adapun untuk A matriks yang semua entrinya � dan � ≠ (�, �, … , �) maka �(�, �) = ∅. Oleh karena itu, diasumsikan A bukan matriks yang semua entrinya � dan � ≠ (�, �, … , �). Misalkan bahwa �� = � untuk suatu � ∈ � berarti untuk suatu � ∈ �(�, �), �� = � jika �� ≠ �, � ∈ �. Dengan demikian, persamaan ke k dapat dihapus. Demikian juga, dapat diatur sehingga �� = � untuk setiap kolom �� dimana �� ≠ �, sehingga kolom-kolom tersebut dapat dihapus dari sistem. Oleh karena itu, tanpa mengurangi keumuman bahwa b diasumsikan berhingga. Jika b berhingga dan A memuat baris yang semua elemenya � maka �(�, �) = ∅. Jika A memuat kolom yang semua elemennya �, misalkan �� = � untuk suatu j maka dapat diatur �� sebarang nilai pada penyelesaian x. Berarti, dapat diasumsikan A ℝ-astik ganda. Dengan memperhatikan beberapa kemungkinan tersebut, tanpa mengurangi ×� keumumaan dibahas sistem persamaan linear dengan � = �� ∈ ℝ� adalah � ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� . Berdasarkan Definisi 1.4, Butkovic [5] dan Tam [9] menjelaskan teorema tentang kriteria penyelesaian sistem persamaan linear. ×� Teorema 1.5. Misalkan � = [�� ] ∈ ℝ� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� . � Vektor � ∈ �(�, �) jika dan hanya jika 1) � ≤ �� dan 2) ∪� ∈�� (�, �) = � dengan �� = {� ∈ �|�� = �� }. Kemudian Butkovic [5], Cuninghame-Green [6], dan Tam [9] memberikan teorema berikut : Teorema 1.6. Sistem persamaan linear � ⊗ � = � mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika penyelesaian dasarnya yaitu �� merupakan penyelesaian. Selanjutnya, Butkovic [5] dan Tam [10] menyebutkan dua akibat yang muncul dari Teorema 1.5. Akibat pertama menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian dan akibat kedua menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian tunggal. ×� Akibat 1.7. Misalkan � ∈ ℝ� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� , tiga � pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(�, �) ≠ ∅. 2) �� ∈ �(�, �). 3) ∪� ∈� �� (�, �) = �. ×� Akibat 1.8. Misalkan � ∈ ℝ� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� , �(�, �) = � {�̅ } jika dan hanya jika 1) ∪� ∈� �� (�, �) = � dan 2) ∪� ∈�′ �� (�, �) ≠ � untuk setiap � ′ ⊆ �, �′ ≠ �. Selanjutnya disajikan tentang sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus. Menurut Tam [9], sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maksplus didefinisikan sebagai berikut, ×� Definisi 1.9. Diberikan � = �� ∈ ℝ� dan � = (�1 , … , �� ) ∈ ℝ� � � . Sistem � ⊗ � ≤ � disebut sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus. Selanjutnya Butkovic [5] dan Tam [9] menjelaskan penyelesaian dari sistem 17


pertidaksamaan linear melalui teorema berikut, Teorema 1.10. �

Diberikan � = �� ∈ ℝ

� ×�

,

�

� = (�1 , … , �� ) ∈ ℝ dan

� ∈ ℝ berlaku � ⊗ � ≤ � jika dan hanya jika � ≤ �∗ ⊗ ′�. Berdasarkan Definisi 1.4, �� = �∗ ⊗ ′� jika � adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� . Sesuai dengan Teorema 1.10, �� = �∗ ⊗ ′� merupakan penyelesaian � ×� � dan � ∈ ℝ . Berarti, dasar dari sistem � ⊗ � = � dan � ⊗ � ≤ � untuk ℝ penyelesaian dasar merupakan penyelesaian terbesar dari sistem � ⊗ � ≤ �. Berikut disajikan definisi dan teorema tentang aljabar maks-plus interval, matriks atas aljabar maks-plus interval dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval (Rudhito, [7]). Interval tertutup x dalam ℝ� adalah suatu himpunan bagian dari ℝ� yang berbentuk x = � x, x � = � � ∈ ℝ� � x ≤ � ≤ x �. Interval x dalam ℝ� disebut interval maks-plus. Suatu bilangan x ∈ ℝ� dapat dinyatakan sebagai interval [x,x]. Definisi 1.11. Dibentuk �(ℝ)� = �� = � �, � � ��, � ∈ ℝ, � < � ≤ � � ∪ { � }, �� dan dengan ε = [ε, ε]. Pada himpunan �(ℝ)� didefinisikan operasi maksimum ⊕ �� dengan x ⊕ �� y = [ x ⊕ y , x ⊕ y ] dan x ⊗ �� y = [ x ⊗ y , x ⊗ y ] plus ⊗ �� dan ⊗ untuk setiap x, y ∈ �(ℝ)� . Himpunan �(ℝ)� dilengkapi dengan operasi ⊕ merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral ε = [ε, ε] dan elemen satuan 0 = [0,0]. Selanjutnya disebut aljabar maks-plus interval dan ��, ⊗ ��. dinotasikan dengan �(ℝ)�� = ��(ℝ)� ; ⊕ Definisi 1.12. Himpunan matriks berukuran � × � dengan elemen-elemen dalam ×� �(ℝ)� dinotasikan dengan �(ℝ)� yaitu � � ×� �(ℝ)� = �A = �A�� A�� ∈ �(ℝ)� ; � = 1, 2, … , �, � = 1, 2, … , � �. Matriks ×� anggota �(ℝ)� disebut matriks interval maks-plus. Selanjutnya matriks interval � maks-plus cukup disebut dengan matriks interval. ×� ×� dan Definisi 1.13. Untuk A ∈ �(ℝ)� didefinisikan matriks A = [Aij ] ∈ ℝ� � � � ×� A = [Aij ] ∈ ℝ� masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A. ×� Definisi 1.14. Diberikan matriks interval A ∈ �(ℝ)� , dengan A dan A masing� masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks A. ×n Didefinisikan interval matriks dari A yaitu �A, A� = �� ∈ ℝm max � A ≤ � ≤ A� ×� ×� �. dan �(ℝ� )b = ��A, A�| A ∈ �(ℝ)� � � Definisi 1.15. ×� 1. Untuk α ∈ I(ℝ)max , �A, A�, �B, B� ∈ �(ℝ� )b didefinisikan � i. α ⊗ �A, A� = �α ⊗ A, α ⊗ A�, ii. �A, A� ⊕ �B, B� = �A ⊕ A, B ⊕ B�, ×� )b , �B, B� ∈ �(ℝ�×� )b didefinisikan 2. Untuk �A, A� ∈ �(ℝ� � � �A, A� ⊗ �B, B� = �A ⊗ A, B ⊗ B�. Teorema 1,16. Struktur aljabar dari �(ℝ�� ×� )b yang dilengkapi dengan operasi ⊕ �×� �� dinotasikan dengan �(ℝ�×� dan ⊗ )b ; ⊕, ⊗) merupakan dioid �� )b = (�(ℝ� �×� (semiring yang idempoten), sedangkan �(ℝ� )b merupakan semimodul atas �(ℝ)� . Definisi 1.17. Didefinisikan 18


�(ℝ)�� = {x = [x1 , x2 , … , xn ]T |xi ∈ �(ℝ)� ; i = 1, 2, … . , n}. Himpunan �(ℝ)�� dapat dipandang sebagai himpunan �(ℝ)1×� . Unsur-unsur dalam �(ℝ)�� disebut � vektor interval dalam �(ℝ)� . Vektor interval x bersesuaian dengan interval vektor yaitu x ≈ �x, x�. Definisi 1.18. Diberikan A ∈ �(ℝ)�×� dan b ∈ �(ℝ)�� . Suatu vektor interval � x ∗ ∈ �(ℝ)�� disebut penyelesaian persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b jika berlaku A ⊗ x ∗ = b. Definisi 1.19. Diberikan A ∈ �(ℝ)�×� dan b ∈ �(ℝ)�� . Suatu vektor interval � � ′ x ∈ �(ℝ)� disebut subpenyelesaian persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b jika berlaku A ⊗ x ′ ≤ b. Definisi 1.20. Diberikan A ∈ �(ℝ)�×� dan b ∈ �(ℝ)�� . Suatu vektor interval � x� ∈ �(ℝ)�� disebut subpenyelesaian terbesar persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b jika x′ ≤ x� untuk setiap subpenyelesaian x ′ dari sistem persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b. Selanjutnya, disajikan definisi konjugat matriks dari matriks atas aljabar maks-plus interval, I(ℝ)-astik dan aljabar min-plus interval yang diambil dari Siswanto [10] sebagai berikut : ×� , A ≈ [A, A] dikatakan I(ℝ)-astik Definisi 1.21. Matriks interval A ∈ �(ℝ)� � ganda jika � adalah ℝ-astik ganda untuk setiap � ∈ [A, A] . ×� Teorema 1.22. Matriks A ∈ �(ℝ)� dengan A ≈ [A, A] adalah I(ℝ)-astik ganda � jika dan hanya jika A ℝ-astik ganda. Interval tertutup x dalam ℝ�′ adalah suatu himpunan bagian dari ℝ�′ yang berbentuk x = � x, x � = �� ∈ ℝ� � x ≤ � ≤ x �. Interval x dalam ℝ�� disebut interval min-plus. Suatu bilangan x ∈ ℝ�� dapat dinyatakan sebagai interval [x,x]. Definisi 1.23. Dibentuk �(ℝ)�′ = �x = � x, x � �x, x ∈ ℝ, x ≤ � < � ′ � ∪ {ε′ }, dengan ε′ = [�′, �′]. Pada himpunan �(ℝ)�� didefinisikan operasi minimum ⊕

dan

plus

′

⊗

′

′

x ⊕ y = [ x ⊕′ � , x ⊕′ �]

dengan

′

dan

x ⊗ y = [ x ⊗′ � , x ⊗′ �] untuk setiap x, y ∈ �(ℝ)�� . Selanjutnya disebut ′

′

aljabar min-plus interval dan dinotasikan dengan �(ℝ)�� = ��(ℝ)�′ ; ⊕ , ⊗ �. Definisi 1.24. Himpunan matriks berukuran � × � dengan elemen-elemen dalam ×� �(ℝ)� dinotasikan dengan �(ℝ)� yaitu �′ � ×� �(ℝ)�′ = �A = �A�� A�� ∈ �(ℝ)�′ ; � = 1, 2, … , �, � = 1, 2, … , � �. Matriks ×� disebut matriks interval Min-Plus. anggota �(ℝ)� �′ ×� ×� dan Definisi 1.25. Untuk A ∈ �(ℝ)� didefinisikan matriks A = [A�� ] ∈ ℝ� �′ �′ � ×� A = [A�� ] ∈ ℝ�′ masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval min-plus A. ×� Definisi 1.26. Diberikan matriks interval min-plus A ∈ �(ℝ)� , dengan A dan A �′ masing-masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval min-plus A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu �A, A� = ×� ×� ×� �� ∈ ℝ� � A ≤ � ≤ A� dan �(ℝ� )b = ��A, A�|A ∈ �(ℝ)� �. �′ �′ �′ �×� Semimodul �(ℝ)�� atas �(ℝ)�� isomorfis dengan semimodul �(ℝ�×� �� )b 19


atas �(ℝ)�� , dengan pemetaan �: �(ℝ)�×� → �(ℝ�×� �′ �′ )b , �(A) = �A, A�, ∀A ∈ �×� �×� �(ℝ)�′ . Interval matriks �A, A� ∈ �(ℝ�′ )b disebut interval matriks min-plus yang bersesuaian dengan matriks interval min-plus A ∈ �(ℝ)�×� dan �� dilambangkan dengan A ≈ �A, A�. Definisi 1.27. Didefinisikan. �(ℝ)�� = {� = [x1 , x2 , … , x� ]� |xi ∈ �(ℝ)�′ ; � = 1, 2, … . , �}. Himpunan �(ℝ)��′ � dapat dipandang sebagai himpunan �(ℝ)�×1 �′ . Anggota �(ℝ)�′ disebut vektor interval atas �(ℝ)�′ . Vektor interval min-plus x bersesuaian dengan interval vektor min-plus �x, x� yaitu x ≈ �x, x�. Definisi 1.28. Aljabar maks-plus interval lengkap adalah himpunan �(ℝ)ε = �� dan ⊗ ��, sedangkan aljabar min-plus �(ℝ)ε ∪ {ε′} dilengkapi dengan operasi ⊕ interval lengkap adalah himpunan �(ℝ)� = �(ℝ)ε′ ∪ {ε} dilengkapi dengan ′

′

operasi minimum ( ⊕ ) dan plus ( ⊗ ).

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas hasil penelitian tentang sistem persamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. ×� Definisi 2.1. Misalkan A ∈ �(ℝ)� dan b = (b1 , … , b� ) ∈ �(ℝ)� � � . Sistem persamaan A ⊗ x = b adalah sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. )b , Misalkan A ≈ [A, A], x ≈ [x, x] dan b ≈ [b, b] dengan �A, A� ∈ �(ℝ�×� � [x, x], �b, b� ∈ �(ℝ�� )b . Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval, dilakukan dengan menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus A ⊗ x = b dan A ⊗ x = b. Definisi 2.2. Diberikan suatu sistem persamaan linear A ⊗ x = b dengan ×� � A ∈ �(ℝ)� dan b ∈ �(ℝ)� � � . Didefinisikan �(A, b) = { x ∈ �(ℝ)� |A ⊗ x = b }. Dengan memperhatikan Definisi 1.4 dan Teorema 1.5, diperoleh : Teorema 2.3. Misalkan A ∈ �(ℝ)�×� I(ℝ)-astik ganda dan b ∈ �(ℝ)� . Vektor � y ∈ �(A, b) jika dan hanya jika i. y ∈ �� A, b�, ii. y ∈ �(A, b) , iii. y ≤ y .

Selanjutnya, ditulis y ≈ �y, y�.

Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� , sedangkan b ≈ �b, b�. = [�b1 , b2 , … , b� �, �b1 , b2 , … , b� � Karena A �(ℝ)-astik ganda maka A = [A�� ] dan A = �A�� ℝ astik ganda, dan b ∈ �(ℝ)� � . � Vektor y ∈ S(A, b) berarti y ∈ �(ℝ)� dan A ⊗ y = b. Misalkan y≈ [y, y] berarti

y ≤ y , berlaku y ∈ �(A, b) dan y ∈ ��A, b�.

Sebaliknya, diketahui y ∈ �(A, b), y ∈ ��A, b� dan y ≤ y. Menurut teorema 1.5, Vektor y ∈ �(A, b) jika dan hanya jika 20


1) y ≤ y� dan 2) ∪� ∈�y �� (�, �) = � dengan �y = {� ∈ �|y� = y� � }.

dan Vektor x ∈ ��A, b� jika dan hanya jika 1) y ≤ y� dan 2) ∪� ∈�� (�, �) = � dengan �y = {� ∈ �|y� = y� � }. Selanjutnya, karena y ≤ y dapat ditulis y ≈ [y, y] maka y ∈ S(A, b) . ∎

Berdasarkan Teorema 1.5 dan Teorema 2.3, didefinisikan, Definisi 2.4. Misalkan y� dan y� masing-masing merupakan penyelesaian dasar

sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus A ⊗ x = b dan A ⊗ x = b dan berlaku y� ≤ y� . Vektor y� ≈ �y�, y�� disebut penyelesaian dasar sistem persamaan

linear dalam aljabar maks-plus interval A ⊗ x = b. Berikut dua akibat yang muncul dari Teorema 2.3 yaitu menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian dan menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian tunggal. ×� Akibat 2.5. Misalkan A ∈ �(ℝ)� adalah �(ℝ)-astik ganda dan b ∈ �(ℝ)� , tiga � pernyataan berikut ekuivalen. a. S(A, b) ≠ ∅. b. y� ∈ S(A, b). c. ∪� ∈� �� A, b� = � dan ∪� ∈� �� A, b� = �. Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� , sedangkan b ≈ �b, b� = [�b1 , b2 , … , b� �, �b1 , b2 , … , b� � dan b ∈ �(ℝ)� . Karena ×� ×� A �(ℝ)-astik ganda maka A = [A�� ] ∈ ℝ� , A = �A�� ∈ ℝ� ℝ astik ganda � � dan b ∈ ℝ� , b ∈ ℝ� . Menurut Akibat 1.7 tiga pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(A, b) ≠ ∅. 2) y� ∈ �(A, b).

3) ∪� ∈� �� A, b� = �. Demikian pula, tiga pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(A, b) ≠ ∅. 2) y� ∈ �(A, b). 3) ∪� ∈� �� A, b� = �. Oleh karena itu, terbukti bahwa tiga pernyataan berikut ekuivalen. 1) S(A, b) ≠ ∅. 2) y� ∈ S(A, b). 3) ∪� ∈� �� (A, b) = � dan ∪� ∈� �� A, b� = �. ∎ ×� Akibat 2.6. Misalkan A ∈ �(ℝ)� adalah �(ℝ)-astik ganda dan b ∈ �(ℝ)� , � S(A, b) = {y� } jika dan hanya jika a. ∪� ∈� �� A, b� = � dan ∪� ∈� �� A, b� = � b. ∪� ∈�′ �� A, b� ≠ � untuk setiap � ′ ⊆ �, �′ ≠ � dan ∪� ∈�′′ �� A, b� = � untuk setiap � ′′ ⊆ �, �′′ ≠ �. 21


Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� , sedangkan b ≈ �b, b� = [�b1 , b2 , … , b� �, �b1 , b2 , … , b� � dan b ∈ �(ℝ)� . Karena ×� ×� A �(ℝ)-astik ganda maka A = [A�� ] ∈ ℝ� , A = �A�� ∈ ℝ� ℝ astik ganda � � dan b ∈ ℝ� ,

b ∈ ℝ� . Menurut Akibat 1.8, S�A, b� = �y� � jika dan hanya jika

a. ∪� ∈� �� A, b� = � b. ∪� ∈�′ �� A, b� ≠ � untuk setiap � ′ ⊆ �, �′ ≠ �. Demikian pula, S�A, b� = �y� � jika dan hanya jika a. ∪� ∈� �� A, b� = � b. ∪� ∈�′′ �� A, b� ≠ � untuk setiap � ′′ ⊆ �, �′′ ≠ �. Oleh karena itu, S(A, b) = {y� } jika dan hanya jika a. ∪� ∈� �� (A, b) = � b. ∪� ∈�′ �� (A, b) ≠ � untuk setiap � ′ ⊆ �, �′ ≠ �. ∎ Selanjutnya, dibahas tentang sistem pertidaksamaan linear dalam alajabar maks-plus interval. ×� Definisi 2.7. Diberikan A = �A�� ∈∈ �(ℝ)� dan b = (b1 , b2 , … , b� ) ∈ � � �(ℝ) . Sistem A ⊗ x ≤ b disebut sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. ×� Teorema 2.8. Diberikan A = �A�� ∈ �(ℝ)� , b = (b1 , b2 , … , b� ) ∈ �(ℝ)� dan � ∈ �(ℝ)� , untuk x ≈ �x, x� berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b ∗

dan x ≤ A ⊗′ b. Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� , sedangkan b ≈ �b, b� = [�b1 , b2 , … , b� �, �b1 , b2 , … , b� � dan b ∈ �(ℝ)� . Diperoleh A ⊗ x ≤ b dan A ⊗ x ≤ b. Menurut Teorema 1.10, berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b dan A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ ∗

A ⊗′ b. Oleh karena itu, untuk x ≈ �x, x� berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika ∗

x ≤ A∗ ⊗′ b dan x ≤ A ⊗′ b.

KESIMPULAN

∎

Berdasarkan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. a. Sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A ⊗ x = b dapat mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian, dan tidak mempunyai penyelesaian. ×� b. Diberikan A = �A�� ∈ �(ℝ)� , b = (b1 , b2 , … , b� ) ∈ �(ℝ)� dan � ∈ �(ℝ)� , untuk x ≈ �x, x� berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika ∗

x ≤ A∗ ⊗′ b dan x ≤ A ⊗′ b.

DAFTAR PUSTAKA [1]

Akian, M., Kohen, G., Gaubert, S., Quadrat, J. P., and Viot, M., 1994. Max-Plus Algebra and Applications to System Theory and Optimal Control. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, pp : 1502-1511.

22

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya [2] [3] [4] [5] [6] [7]

[8]

[9] [10]

Baccelli, F., Kohen, G., Olsder, G. J and Quadrat, J. P., 2001. Synchronization and Linearity An Algebra for Discrete Event Systems. New York : Wiley. Butkovic, P. 2000. Simple Image Set of (max,+) Linear Mappings. Discrete Applied Mathematics. Vol. 105, pp : 73-86. Butkovic, P. 2003. Max-Algebra: The Linear Algebra of Combinatorics?. Linear Algebra and Application. Vol. 367. pp : 313-335. Butkovic, P. 2010. Max Linear Systems: Theory and Algorithm, London: Springer. Cuninghame-Green, R.A. 1979. Minimax Algebra, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Vol. 166. Berlin : Springer. Rudhito, Andy., 2011. Aljabar Maks-Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah Penjadwalan dan Jaringan Antrian. Disertasi : Program Studi S3 Matematika FMIPA UGM. Yogyakarta. Schutter, B.D., and Boom. T. V. D. 2008. Max-Plus Algebra And Max-Plus Linear Discrete Event Systems: An Introduction. Proceedings of the 9th International Workshop on Discrete Event Systems (WODES'08), pp : 36-42. Tam, K.P. 2010. Optimizing and Approximating Eigen Vectors in Max-Algebra. Birmingham: University of Birmingham. Siswanto, dkk. 2013. Minimisasi Norm Daerah Hasil (Range Norm) Himpunan Bayangan (Image Set) Matriks atas Aljabar Maks-Plus Interval. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013. Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Erlangga.

23


24

Diagnosis Suatu Penyakit Menggunakan Matriks ddisjunct Siti Zahidah Institut Teknologi Bandung, [email protected]

Abstrak-Secara historis, teori group testing muncul berkaitan erat dengan pengujian sampel darah untuk mengidentifikasi kepositifan sampel darah terhadap suatu penyakit. Berdasarkan algoritmanya, terdapat 2 jenis group testing yaitu Adaptive Group Testing (AGT) dan Non-Adaptive Group Testing (NAGT). Algoritma NAGT dapat direpresentasikan oleh matriks biner = ( ), dengan kolom matriks M menunjukkan item dan baris matriks M menunjukkan tes (blok). Kriteria matriksnya adalah = 1 jika tes ke-i memuat item j dan jika tidak = 1. Di lain pihak, hasil pengujian masing-masing blok direpresentasikan dalam vektor kolom, disebut vektor outcome. Berdasarkan representasi tersebut, permasalahan group testing dapat dipandang sebagai mencari matriks representasi M yang memenuhi persamaan = dengan y merupakan vektor outcome dan x sampel-sampel yang dites. Jika dari n sampel terdapat maksimal d sampel yang positif maka kita katakan d-Combinatorial Group Testing, disingkat dengan d-CGT. Dalam makalah ini akan ditunjukkan konstruksi matriks d-disjunct yang merupakan solusi persamaan group testing. Selanjutnya dari konstruksi tersebut akan dimodifikasi sedemikian sehingga dengan konstruksi yang baru dapat mengidentifikasi lebih dari d sampel positif. Kata Kunci: Group testing, Non-Adaptive Group Testing, Matriks d-disjunct.

1 Pendahuluan Teori group testing mulai berkembang pada tahun 1942, dimana saat itu masih berlangsung perang dunia kedua. Pada waktu itu angkatan perang Amerika melakukan tes kesehatan untuk mengidentifikasi sipilis terhadap para wajib militer [1]. Peserta wajib militer ini jumlahnya ribuan bahkan lebih, tetapi tidak menutup kemungkinan yang terinfeksi sipilis hanya puluhan orang. Jika hasilnya seperti itu maka tes individu (tes satu persatu terhadap tentara) sangat tidak efektif dan membutuhkan biaya yang besar. David Rosenblatt mempunyai ide untuk melakukan pengelompokan, yaitu sampel darah wajib militer yang akan dites sipilis dikelompokkan sehingga jika hasil tes kelompok tersebut negatif maka semua anggota kelompok terbebas dari sipilis, tetapi jika tes kelompok hasilnya positif maka minimal terdapat 1 anggota dari kelompok tersebut terinfeksi sipilis. Meskipun Rosenblatt penggagas ide, akan tetapi dalam pengembangan teorinya Rosenblatt bekerjasama dengan Robert Dorfman yang akhirnya teori group testing populer dalam jurnalnya yang berjudul “The detection of defective members of large populations”. Berdasarkan ide tersebut penulis ingin mengetahui lebih lanjut mengenai kriteria pengelompokan yang dapat mengidentifikasi sampel positif secara sekaligus. Lebih jauh, setelah dilakukan pengelompokan dapat diperoleh 25

Prosiding Konferensi Nasional Matema matika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, IITS, Surabaya

erupa matriks biner sehingga untuk selanj lanjutnya analisis representasinya berupa antuan matriks representasi pengelompokann ter tersebut. dilakukan dengan bant

ka 2 Kajian Pustaka 2.1

Group Testingg ing merupakan salah satu cara pengujiann sampel secara Group testing kepositifan sampel yang bertujuan untuk mengidentifikasi keposi berkelompok yan populasi N dengan penyakit. Secara matematis, jika diberikan popul terhadap suatuu pe nya mempunyai dua kemungkinan hasil tess positif (+) atau setiap anggotany aka kita dapat kemudian dilakukan pengelompokan, maka negatif (-), ke fungsi tes sebagai berikut : mendefinisikann fun 2 {±} ( ) be dimana bernilai positif jika memuat setidaknya 1 anggota yang be bernilai negatif. positif dan ( ) bernilai negatif jika semua anggota alahan ini akan dicari himpunan Dalam permasala terbesa besar yang semua anggotanya berni rnilai positif. Jika | | = maka dikatakan dd-Combinatorial Group Testing ata atau dapat disingkat dengan d-CGT [1]. Berdasarkann aalgoritmanya, terdapat 2 jenis group testing : 1. Adaptive Group roup T Testing (AGT) Dalam aalgoritma AGT, penentuan tes dilakuka dilakukan dengan memperhatikan kan ha hasil tes sebelumnya. 2. Non - Adaptive daptive Group Testing (NAGT) Dalam al algoritma NAGT, penentuan kelompok (bl (blok) dilakukan terlebih dahulu hulu dan tes hanya dilakukan satu kali untuk uk tiap kelompok. Lebih detilnya ya, dalam algoritma NAGT kita tentukan blok ok yang akan dites sedemikiann se sehingga dalam sekali tes dapat mengident dentifikasi semua anggota yangg posi positif dan anggota yang negatif sekaligus. Sebagaii cont contoh pengelompokan dapat dilihat dalam ga gambar 1 dengan hasil tesnya pa pada gambar 2.

Gam ambar 1. Pengelompokan dari 12 sampel menjadi 9 kelo elompok

dan setelahh dil dilakukan tes diperoleh hasil sebagai berikut :

26


Gambar 2. Hasil Tes

dari gambarr 2 diperoleh bahwa sampel dan merupaka upakan sampel yang positif sipilis. lis. Untuk selanjutnya, penulis hanya mem embahas tentang algoritma NAG AGT karena pengetesan kelompok hanya dila dilakukan satu kali dan tidak adan danya kebergantungan diantara hasil-hasil tess ke kelompok. 2.2

Sistem Himpun unan Untuk NAGT Chee [2] mende ndefinisikan sistem himpunan untuk NAGT seba sebagai berikut : Definisi 2.2.1 Si Sistem himpunan adalah suatu pasangan terur terurut = ( , ) dengan : himpunan dari anggota-anggota yang disebut sam sampel • X adalahh him • 2 ada dalah himpunan dari himpunan bagian X yangg di disebut blok , , , blok-blok di dan | | = , dual dari Misalkan sebagai sistem himpunan = ( , ) dengann : didefinisikann seba • = {1,2, , } dan = { : } • ={ } • | | = | | da dan | | = | | Contoh 2.2.2 Da Dari contoh algoritma NAGT (Gambar 1),, di diperoleh sistem himpunannya ada dalah = ( , ) dengan : ={ , , , } ={ , , , , , , , , } = ( , ) dengann : Sedangkan untuk uk dua dual sistemnya adalah ={ , , , , , , , , } ={ , , , , , , , , , , , }

Ga Gambar 3. Sistem himpunan dengan dual sistemnya

27


Chee [2] juga mendefinisikan sistem himpunan dengan kriteria tertentu, yaitu Definisi 2.2.3 Sistem himpunan ( , ) disebut d-union free jika untuk setiap , . Hwang dan S s [3] memberikan solusi dari permasalahan d-CGT dengan bantuan sistem himpunan d-union free dalam teorema berikut Teorema 2.2.4 Sistem himpunan = ( , ) merupakan solusi dari permasalahan d-CGT jika dan hanya jika = ( , ) d-union free. Setelah menentukan sistem himpunan untuk NAGT, penulis mengubah bentuk himpunan ke dalam suatu vektor (biner). 2.3 Transformasi Himpunan ke Vektor Misalkan [ ] . Definisikan vektor biner dari A adalah vec ( ) = 0, ( , , , ) dengan = 1, Contoh 2.3.1 Misalkan = {2,5,6} ⊆ [6] maka vec( ) = (0,1,0,0,1,1). Jika dalam himpunan kita kenal adanya operasi gabungan dan himpunan bagian, maka di sini penulis memberikan definisi baru untuk operasi vektor biner. Definisi 2.3.2 i. Misalkan , ∈ {0,1}, didefinisikan operasi jumlah boolean sebagai berikut 0, = = 0 ⊕ = 1, ii. Jika , ⊆ {0,1} maka gabungan dari dan didefinisikan dengan = { ⊕ ,…, ⊕ } iii. Suatu vec( ) dikatakan termuat dalam vec( ), dinotasikan vec( ) ⊆ vec( ) jika ⊆ . ( ),…, iv. Koleksi himpunan {vec ( ), ( )} dikatakan d-separable jika vec( ) ≠ vec ( ). Berdasarkan definisi-definisi tersebut penulis memperoleh lema dan teorema berikut : Lema 2.3.3 Misalkan ⊆ [ ] maka vec = ( ). . Tulis = ( , ,…, ) . Misalkan Bukti. Misalkan = = ( ) . Jika = 1 maka ∈ sehingga ∈ untuk suatu k. Akibatnya komponen ke-i dari adalah 1. Selanjutnya, jika = 0 maka sehingga ∉ untuk setiap k. Akibatnya komponen ke-i dari ∉ adalah 0 untuk setiap k. Dan dapat disimpulkan = . Teorema 2.3.4 Sistem himpunan ([ ], ) d-union free jika dan hanya jika { ( )} d-separable. Bukti. Misalkan sistem himpunan ([ ], ) d-union free maka setiap 2 koleksi yang berisi d himpunan, berlaku ≠ , dengan , ∈ . )≠ ( ) , akibatnya berdasarkan lema Dari sini didapat vec( diperoleh ( )≠ ( ) . Sehingga diperoleh { ( ) } dseparable. Sedangkan untuk arah sebaliknya, misalkan { ( ) } d-separable ( )≠ ( ) . Dan berdasarkan lema diperoleh maka vec ( )≠ ( ) akibatnya ≠ , untuk , ∈ . Jadi diperoleh sistem himpunan ([ ], ) d-union free.

28


3 3.1

Pembahasan Matriks Representasi NAGT Algoritma NAGT dapat direpresentasikan oleh matriks biner = , dengan kolom matriks menunjukkan item (sampel) dan baris matriks menunjukkan tes (blok). Dengan kriteria matriksnya = jika tes ke-i memuat item j dan jika tidak = . Sedangkan hasil tes untuk masingmasing blok direpresentasikan oleh vektor kolom, disebut vektor outcome [1]. Contoh 3.1.1 Matriks representasi dari contoh NAGT (Gambar 2) adalah

Berdasarkan representasi tersebut, permasalahan group testing untuk selanjutnya dapat dipandang sebagai mencari matriks representasi yang memenuhi solusi persamaan = dengan merupakan vektor outcome, sedangkan sampel-sampel yang dites. Misalkan matriks biner berukuran × , menyatakan kolom ke-j dari matriks . Berdasarkan teorema 2.2.4 dan teorema 2.3.4 maka di sini penulis mencari matriks representasi yang kolom-kolomnya bersifat dseparable. Berikut diberikan 2 matriks yang memenuhi solusi tersebut. Definisi 3.1.2 Matriks biner berukuran × disebut matriks d-separable jika kolom-kolomnya bersifat d-separable, dengan kata lain untuk setiap ≠ . , ⊆ [ ] dengan | | = = | | sehingga berlaku ∈ ∈ Definisi 3.1.3 Matriks biner berukuran × disebut matriks d-disjunct jika setiap kolomnya tidak termuat dalam gabungan d kolom-kolom lainnya, dengan kata lain untuk setiap ⊆ [ ] dengan | | = dan untuk setiap ∉ berlaku . ∈ Sifat 3.1.4 Jika matriks d-disjunct maka matriks d-separable. Faktanya, ketika matriks representasi merupakan matriks d-disjunct maka kolom sisa setelah mengeliminasi kolom-kolom yang termuat dalam tes yang hasilnya negatif merupakn kolom (sampel) yang positif.

29


Gam mbar 4. Identifikasi sampel positif dengan matriks d-dis -disjunct

3.2

Konstruksi Mat atriks d-disjunct Sebelum memba bahas konstruksi matriks d-disjunct, penuliss m memperkenalkan beberapa paramete eter dalam matriks biner yang dicetuskann ol oleh Kautz dan Singleton [4] Definisi 3.2.1 Misa Misalkan matriks biner. i. Bobot kolom om ke-j, dinotasikan menyatakan banyakny knya entri 1 pada kolom ke-j. j. D Didefinisikan pula : = min dan = max dengan j mel eliputi semua kolom dari . Matriks disebut ebut matriks bobot konstan jika ka bobot setiap kolom matriks sama. ii. Perkalian titi titik dari kolom ke-i (C ) dan kolom ke-j (C)), dinotasikan λ menyatakann banyaknya entri 1 pada baris yang sama di dan . Dapat dikatakann jug juga dan beririsan sebanyak kali. Dide idefinisikan pula: = max ,

Kautz dan Singl ngleton juga memberikan hasil utama sebagai ai da dasar konstruksi matriks d-disjunct unct dalam lema berikut : merupakan matriks Lema 3.2.2 Matriks riks bi biner dengan = riks d-disjunct. Yaniv Erlichh dkk. [5] mempunyai ide mengenai caraa pengelompokan yang akan dites ke dalam grup-grup, sebagai sampel-sampel yan gai ilustrasi dapat mbar 5. Dari gambar tersebut menunjukkan dilihat pada gamba ukkan bahwa matriks GT dari 20 sampel dikelompokkan ke dala representasi NAG dalam 12 tes dan kemudian tes-tess tersebut dikelompokkan lagi menjadi 2 gr grup besar (grup dari 5 tes dan grup kedua terdiri dari 7 tes) pertama terdiri dar s) dengan kriteria sampelnya yaitu item j termuat dalam tes ke-i pengelompokann sam -i ji jika : ≡ mod 5 (grup pertama) ≡ mod 7 (grup kedua)

30


Gambar 5. Contoh pengelompokan 20 sampel ke dalam 12 tes dengan 2 grup besar

Secara umum, jika tes-tes dikelompokkan ke dalam grup-grup besar , ,…, dan kriteria pengelompokan sampelnya untuk masing-masing grup besar adalah item j termuat dalam tes i jika : ≡ mod dengan = 1,2,…, dan = 1,2,…, Dengan mengacu pada lema 3.2.2, Yaniv mecoba mencari syarat tambahan agar maksimum irisan dari matriks representasinya adalah 1, yaitu dengan menambahkan 2 syarat berikut : 1. , ,…, ≥ √ , dengan n merupakan banyaknya sampel yang dites. 2. , ,…, saling prima. Dalam papernya, Yaniv belum memberikan keterangan secara eksplisit sehingga disini penulis mencoba memformalkan konstruksi matriks representasi tersebut dalam teorema berikut : Teorema 3.2.3 Misalkan = [ , ,…, ] matriks biner berukuran × dengan matriks blok berukuran × , dimana ≥ √ dan saling prima. Sedangkan konstruksi matriks untuk masing - masing blok ditentukan oleh 1 , ≡ mod ( , )= 0 , adalah 1 dan merupakan dimana = 1,2,…, maka dari matriks matriks ( − 1)-disjunct. Bukti. Andaikan > 1 , maka terdapat 2 kolom ke r,s dan blok a,b sehingga ( , )= ( , ) = 1 dan ( , )= ( , ) = 1 . Sehingga diperoleh ≡ mod dan ≡ mod yang mengakibatkan | − dan | − diperoleh | − . Padahal ≥ dan , saling prima sehingga diperoleh − = 0 yaitu = yang menunjukkan bahwa kolom ke r dan kolom ke s merupakan kolom yang sama. Jadi haruslah = 1 , sehingga berdasarkan lema 3.2.2 matriks merupakan matriks ( − 1)-disjunct. Contoh 3.2.4

31


Gambar 6. Matriks 2-disjunct

Berdasarkan bukt bukti teorema 3.2.3, penulis mengganti 2 syarat rat yang diberikan Yaniv dengan : 1. ≥ , de dengan n merupakan sampel yang akan dites. 2. , ,…,, saling prima. dan berdasarkan le lema 3.2.2 penulis memiliki ide untuk mempe perbaiki konstruksi matriks teorema 3.2.3 dengan menambahkan bobot ke setiap kolom omnya tetapi masih mempertahankan = 1.

ntuk Menentukan Penambahan Bobot 3.3 Algoritma untu lakukan penambahan bobot ke dalam setiap ap kolom matriks Sebelum melakuka gan konstruksi pada teorema 3.2.3, harus di diperhatikan juga representasi denga hankan . Sehingga langkah awal yang di dilakukan adalah cara mempertahanka mbatasan sampel-sampel yang akan dites. s. S Sebagai ilustrasi menentukan pemba dalam gambar 7. Dengan pembatasan terse ersebut diperoleh dapat dilihat dal uang untuk calon penambahan bobot dalam matr atriks representasi kemungkinan ruan seperti gambar 8.. matis, untuk mencari banyaknya ruang yan yang tidak dapat Secara matema sama halnya dengan mencari banyaknya irisan san diantara kolomditambah bobot sam Misalkan merupakan ruang pada baris ke-k -k dan kolom ke-l kolom matriks. Mi diisi dengan entri 1, dan misalkan merupa rupakan himpunan yang tidak dapatt di mbar 7 diperoleh : ruang-ruang yangg bberirisan dengan kolom ke-j, maka dari gamba = { , , , ( ) , ( ) } dan | | = 5 = ∑

Gambar 7. Eliminasi ruang untuk pembatasan

32


Ga Gambar 8. Kemungkinan ruang yang dapat ditambah bo bobot

Misalkan himpuna punan semua ruang-ruang yang tidak dapat pat ditambah bobot (tanda x) dari matri atriks representasi dinotasikan dengan , maka ka : | |= aknya ruang sisa yang dapat ditambah bobot (ruang dengan akibatnya banyakn ri 1) adalah penambahan entri | |= − −| | = ( − ) −| | nentukan ruang sisa yang dapat ditambahh bobot, langkah Setelah menent ah menambah bobot pada ruang sisa (misalkan selanjutnya adalah kan ) kemudian uang sisa yang terhapus ketika entri ada menentukan ruang adalah 1 (hal ini dilakukan dengann ttujuan mempertahankan irisan tiap kolomnya ya tidak lebih dari ustrasi dapat dilihat dalam gambar 9, ketika ent 1). Sebagai ilustra entri adalah 1 si de dengan entri 1. maka , , , , ( ) , _ ) , dan ( ) tidak dapat diisi

Gam ambar 9. Penambahan bobot dan ruang sisa yang terhapu apus

Misalkan ketika entri

m merupakan himpunan dari ruang-ruang sisa yang terhapus ada dalah 1, maka dari gambar 9 diperoleh : = { , , , , ( ), _ ), ( )} sehingga untuk me menambahkan bobot pada tiap kolom matriks riks tersebut sama halnya dengan me mencari 12 buah himpunan yang semuany uanya saling lepas, …,12. dengan = 1,2,…, iap kolom matriks untuk menambahkan bobot ke dalam setiap Secara umum,, unt ( − 1) − disjunc unct dengan konstruksi pada teorema 3.2.3 eekivalen dengan lepas, dengan = himpunan yang semuanya saling lep mencari buahh hi pi da dalam hal ini, tidak semua matriks ( − 1)) − disjunct dapat 1,2,…, . Tetapi maksimumnya 1. ditambah bobot ke dalam setiap kolomnya sehingga irisann m kolomnya, diperoleh lgoritma penentuan bobot dalam setiap kolom Sehingga dari algor gai berikut : kesimpulan sebaga

33


1. Matriks ( − 1) − disjunct tidak dapat ditambahh bobot ∑ min | | > | | 2. Matriks ( − 1) − disjunct dapat ditambahh bobot ∑ max | | < | | Contoh 3.3.1 1. Misalkann dibe diberikan matriks representasi sebagai berikut :

ketika ketika

dari representa oleh ha hasil ntasi dan setelah dianalisa lebih lanjut diperoleh • | |= ∑ ∑ = 108 • | | = ( − ) − | | = (11 − 2)20 − 108 = 72 • ∑ min in | | = 151 ∑ sehingga presentasinya tidak min | | > | | , akibatnya matriks represe dapat ditambah bah bobot lagi. 2. Misalkann dibe diberikan matriks representasi sebagai berikut :

oleh ha hasil dari representa ntasi dan setelah dianalisa lebih lanjut diperoleh • | |= ∑ ∑ = 64 • | | = ( − ) − | | = (16 − 2)20 − 64 = 216 • ∑ min in | | = 191 presentasinya dapat sehingga ∑ max | | < | |, akibatnya matriks represe bobotnya adalah ditambahh bobot lagi, dan salah satu hasil penambahann bobot

34


4

Kesimpulan Untuk mengi ngidentifikasi d sampel positif dapat dila dilakukan dengan mengkonstruksi m matriks representasi pengelompokannya ya yang merupakan matriks d-disjunct unct. Salah satu konstruksi matriks d-disjunct unct adalah matriks biner = [ , ,…, ] berukuran × dengan matriks blok berukuran × , dimana ≥ √ dan saling prima. Sedang dangkan konstruksi matriks untuk uk m masing - masing blok ditentukan oleh : 1 , ≡ mod ( , )= 0 , Dengan konst konstruksi tersebut, diperoleh hasil bahwa ma matriks d-disjunct dapat ditambah bobot ke dalam setiap kolom matriks ketika ∑ max | | < | | dan ketika m maka matriks dmatriksnya berlaku ∑ min | | > | | m disjunct tidakk dapa dapat ditambah bobot.

5

Daftar Pustak aka

[1] D.Z. Du dan F.K KH Hwang, Combinatorial Group Testing and Its Applica lications 2nd Edition, volume 12, World Sc Scientific, 2006. [2] Y. M. Chee, Tur ́ n-T -Type Problem in Group Testing, Coding Theory and C Cryptography, Ph.D. Dissertation, Univers ersity of Waterloo, 1996. [3] F.K. Hwang dan V.T. S ́ s, Non-Adaptive Hypergeometric Group Testing, g, S Studia scient. Math. Hungaria, 22 : 257 – 263, 1987. [4] W.H. Kautz dan R. R.R. Singleton, Nonrandom Binary Superimposed C Codes, IEEE Trans. Inform. Thy., 10 : 36 363 – 377, 1964. [5] Y. Erlich, K. Cha hang, A. Gordon, dkk., DNA Sudoku-Harnessing ing High-Throughput Sequencing For Multip ultiplexed Specimen Analysis, Genom Res., 19 : 1243 – 1253, 2009.

35


36

Karakteristik Elemen Simetris Anggota Ring Dengan Elemen Satuan Yang Dilengkapi Involusi Titi Udjiani SRRM1 , Budi Surodjo2 dan Sri Wahyuni3 Mahasiswa S3 Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, [email protected] 2 Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, surodjo [email protected] 3 Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, [email protected]

Abstrak. Tulisan ini membahas karakteristik elemen simetris pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi dengan menggunakan pedekatan struktur konsep invers Moore Penrose diperumum. Kata Kunci: invers inner, invers Moore Penrose, elemen simetris.

1

Pendahuluan

Pada tulisan ini R adalah ring dengan elemen satuan. Involusi ”∗” pada R adalah fungsi a∈R→a∗ ∈R sedemikian sehingga : (a∗ )∗ = a, (a + b)∗ = a∗ + b∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ untuk setiap a,b ∈ R. Elemen a∈R disebut simetris jika a∗ = a. Himpunan elemen simetris anggota R disimbolkan Rsym . Elemen a∈R disebut regular jika terdapat elemen b∈R sedemikian sehingga aba = a[1]. Selanjutnya elemen b disebut invers inner dari a. Invers inner b∈R dari elemen regular a∈R dikatakan ternormalisasi jika b adalah elemen regular dan a adalah invers inner dari b. Yaitu jika aba = a and bab = b. Koliha [2] mendefinisikan invers grup dari a∈R sebagai elemen b∈R yang memenuhi : 1. aba = a 2. bab = b 3. ab = ba Invers grup dari a disimbolkan dengan a♯ dan R♯ adalah himpunan elemen anggota R yang mempunyai invers grup. Struktur konsep invers Moore Penrose dari a∈R disampaikan oleh Koliha[2] dan Patricio [3] sebagai elemen b∈R yang memenuhi 1. aba = a 2. bab = b ∗ 3. (ab) = ab 4. (ba)∗ = ba Invers Moore Penrose dari a disimbolkan dengan a+ dan himpunan elemen anggota R yang mempunyai invers Moore Penrose disimbolkan R+ . Dari kegiatan penelitian yang sudah dilakukan telah diperoleh bahwa dengan mengabaikan syarat ternormalisasi invers inner dari a∈R maka invers Moore Penrose dari a masih dapat diperoleh, sehingga dihasilkan sebuah terminologi baru

37


mengenai struktur konsep invers Moore Penrose. Terminologi baru ini merupakan perumuman dari struktur konsep invers Moore Penrose dan selanjutya disebut dengan invers Moore Penrose diperumum. Berikut ini definisi dan sifat sifat dari invers Moore Penrose diperumum. Definisi 1. Diketahui R adalah ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan involusi ”∗” dan a∈R. Invers Moore Penrose diperumum dari a∈R adalah elemen b∈R yang memenuhi : 1. aba = a 2. (ab)∗ = ab 3. (ba)∗ = ba Invers Moore Penrose diperumum dari a disimbolkan dengan a+ g dan himpunan elemen anggota R yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum disimbolkan dengan Rg+ . Tidak setiap elemen anggota ring mempuyai invers Moore Penrose diperumum dan jika ada maka invers Moore Penrose diperumum tidak selalu tunggal. Himpunan semua invers Moore Penrose diperumum dari a∈Rg+ dinotasikan dengan − + (a+ g ) . Beberapa sifat dari a∈Rg yang telah diperoleh disampaikan dalam teorema sebagai berikut : Teorema 1. Jika a∈Rg+ maka ∗ ∗ + + + ∗ + + − ∗ + ∗ + − 1. (a∗ )+ g a (a )g = (ag aag ) , untuk setiap ag ∈(ag ) dan (a )g ∈((a )g ) . + + − ∗ + ∗ + − ∗ + ∗ + − 2. Untuk setiap ag ∈ (ag ) , (a )g ∈ ((a )g ) , (aa )g ∈ ((aa )g ) demikian juga ∗ + − (a∗ a)+ g ∈((a a)g ) berlaku ∗ ∗ + + + ∗ + ∗ ∗ + (a∗ a)+ g a a(a a)g = ag aag (a )g a (a )g

(1)

∗ ∗ + ∗ + ∗ ∗ + + + (aa∗ )+ g aa (aa )g = (a )g a (a )g ag aag

(2)

dan + − ∗ + ∗ ∗ + 3. Untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku a = ag aa = a aag + + − ∗ + ∗ + − ∗ + − 4. Untuk setiap ag ∈(ag ) , (aa )g ∈((aa )g ) dan (a a)g ∈((a∗ a)+ g ) berlaku + ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ + a+ g aag = (a a)g a a(a a)g a = a (aa )g aa (aa )g

(3)

+ + − ∗ ∗ + ∗ + ∗ ∗ + ∗ + ∗ ∗ + 5. (a∗ )+ g a (a )g = (a a)g a a(a a)g a = a(aa )g aa (aa )g untuk setiap ad ∈(ag ) , ∗ + − ∗ + ∗ + − ∗ + ∗ + − (a∗ )+ g ∈((a )g ) , (aa )g ∈((aa )g ) dan (a a)g ∈((a a)g )

Telah diperoleh bahwa jika a∈Rg+ maka aa∗ ∈Rg+ . Demikian juga a∗ a∈Rg+ . Sementara aa∗ dan a∗ a adalah elemen simetris. Sehingga diperoleh peluang untuk menyelidiki karakteristik elemen simetris dengan menggunakan pedekatan struktur konsep invers Moore Penrose diperumum.

38


Mosic dan Djordjevic[4] telah menghasilkan syarat perlu dan cukup elemen a∈R+ adalah elemen simetris, yang dinyatakan dalam beberapa persamaan eki+ − valen yang melibatkan a+ dan a∗ . Disisi lain telah diperoleh bahwa jika a+ g ∈(ag ) + + + + + + + maka a+ g = ag aag atau ag 6= ag aag dan a adalah kejadian khusus dari ag un+ + tuk a+ g = ag aag . Sehingga dapat disimpulkan bahwa karakteristik elemen simetris yang dinyatakan dengan melibatkan a+ dan a∗ adalah karakteristik elemen simetris + + + yang melibatkan a∗ dan a+ g untuk ag = ag aag . Tulisan ini bertujuan membangun karakteristik elemen simetris anggota ring + − dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi dengan melibatkan setiap a+ g ∈(ag ) .

2

Karakteristik Elemen Simetris

Melalui kegiatan penelitian yang telah dilakukan diperoleh hasil berikut : + − Teorema 2. Jika a∈Rg+ maka terdapat dengan tunggal a+ dengan a+ g ∈(ag ) g = + + ag aag . − Teorema 3. Jika a∈Rg+ , maka terdapat dengan tunggal k∈(a+ g ) dengan kak=k + − + + sedemikian sehingga untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku ag aag = k.

Dari teorema 1 telah ditunjukkan bahwa jika a∈Rg+ maka aa∗ , a∗ a∈Rg+ , sementara aa∗ , a∗ a∈Rsym . Sehingga diperoleh hubungan antara Rg+ dan Rsym . Diperoleh T T juga Rg+ Rsym 6=∅ karena 1∈Rg+ Rsym . Selanjutnya dengan mengeksploitasi sifat sifat yang dimiliki oleh a∈Rg+ dan a∈Rsym diperoleh teorema sebagai berikut : Teorema 4. Diketahui R ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi ”∗” + − + + dan a∈Rg+ . Jika a simetris maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku aag = ag a. ∗ Bukti. Jika a∈Rg+ dan a simetris maka menurut teorema 1 bagian 1 berlaku (aa+ g) + − + + + + + ∗ ∗ + ∗ ∗ + ∗ + = (aag aag ) = (ag ) a (ag ) a = ag aag a = ag a untuk setiap ag ∈(ag ) . Semen∗ + + − berlaku (aa+ tara untuk setiap a+ g ) = aag . Sehingga diperoleh bahwa g ∈(ag ) + + + − + untuk setiap ag ∈(ag ) berlaku ag a = aag .

Pernyataan pada teorema 4 tidak berlaku sebaliknya. Dengan menambahkan + + + − sifat simetris pada a∈Rg+ yang mempunyai sifat a+ g a = aag untuk setiap ag ∈(ag ) , selanjutnya dapat dibangun beberapa persamaan ekivalen yang menjelaskan syarat perlu dan cukup elemen anggota ring yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum adalah elemen simetris. Penjelasan mengenai hal ini disampaikan melalui teorema 5 berikut ini. Teorema ini dimotivasi oleh tulisan Mosic dan Djordjevic [4] yang membangun karakteristik elemen simetris yang melibatkan a∗ dan a+

39


Teorema 5. Diketahui R ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi ”∗” dan a∈Rg+ . Elemen a simetris jika dan hanya jika satu dari pernyataan pernyataan ekivalen dibawah ini dipenuhi : + − ∗ + 1. Untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku a = aaag 2. aa = a∗ a + ∗ + + + − 3. Untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku aag = a ag aag + Bukti. 1. Dengan menggunakan teorema 4 maka a∗ = a = aa+ g a =aaag untuk ∗ + + ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗ + − setiap a+ g ∈(ag ) . Sebaliknya, a = (a ) = (aaag ) = (aag ) a = aaag = a untuk + − setiap a+ g ∈(ag ) . + − + 2. Menurut teorema 4 maka a∗ a = aaa+ g a = aa untuk setiap ag ∈(ag ) . Seba+ liknya, dengan menggunakan teorema 1) bagian 2) maka a∗ = a∗ aa+ g = aaag untuk + − + setiap ag ∈(ag ) . Sehingga teorema 5 bagian 1 dipenuhi. + + + + + 3. Berdasarkan teorema 4 maka a∗ a+ g aag = aag aag aag = aag untuk setiap + ∗ + + + − + + − a+ g ∈(ag ) . Sebaliknya, jika untuk setiap ag ∈(ag ) berlaku aag = a ag aag maka ∗ + dengan mengalikan kedua sisi kanan dengan a selanjutnya diperoleh a = a ag a un+ − tuk setiap a+ g ∈(ag ) . Selanjutnya berdasarkan teorema 1 bagian 2) dan teorema 4 ∗ ∗ + ∗ ∗ + + ∗ + ∗ + maka a = (a ag a) = (a+ g a) a = ag aa = ag aa ag a = a ag a = a.

Selanjutnya telah diperoleh bahwa jika a∈Rg+ maka belum tentu a∈R♯ . Tetapi dapat ditunjukkan bahwa jika aa∗ ∈Rg+ maka aa∗ ∈R♯ . Demikian juga jika a∗ a∈Rg+ maka a∗ a∈R♯ . Sementara a∗ a dan a∗ a adalah elemen simetris. Dari kegiatan penelitian yang dilakukan dapat dibangun teorema sebagai berikut : + − Teorema 6. Jika a∈Rg+ dan a simetris maka a∈R♯ dan untuk setiap a+ g ∈(ag ) ♯ + berlaku a+ g aag = a .

Bukti. Dengan menggunakan teorema 4 jika a∈Rg+ dan a simetris maka untuk + − + + + + + setiap a+ berlaku aa+ g ∈(ag ) g aag = ag aag a. Selanjutnya karena aag aag a = a + + + + + + + + ♯ dan ag aag aag aag = ag aag maka ag aag = a . Selanjutnya dengan menghimpun elemen elemen a∈Rg+ ∩R♯ yang mempunyai + ♯ + + − sifat a+ g aag = a untuk setiap ag ∈(ag ) , diperoleh sifat sifat sebagai berikut: Teorema 7. Diketahui a∈Rg+ ∩R♯ . + + + − aa♯ simetris jika dan hanya jika a♯ = a+ g aag untuk setiap ag ∈(ag ) . Demikian ♯ juga untuk a a. Bukti. Karena aa♯ simetris maka (aa♯ )∗ = aa♯ , (a♯ a)∗ = (aa♯ )∗ = aa♯ = a♯ a. Se− mentara aa♯ a = a dan a♯ aa♯ = a♯ . Sehingga diperoleh k = a♯ ∈(a+ g ) dengan kak = + + + − k. Selanjutnya berdasarkan teorema 3 maka a♯ = a+ g aag untuk setiap ag ∈(ag ) . ♯ + + + + ∗ + + ∗ ♯ ∗ Sebaliknya aa = aag aag = aag = (aag ) = (aag aag ) = (aa ) . Dengan cara sama demikian juga untuk a♯ a.

40


Dari kegiatan penelitian yang dilakukan diperoleh bahwa pernyataan pada teorema 6 tidak berlaku sebaliknya. Selanjutnya diperoleh peluang untuk membangun syarat perlu dan cukup elemen anggota ring yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum adalah elemen simetris dengan melibatkan struktur konsep invers grup. Penjelasan mengenai hal ini disampaikan melalui teorema 5 berikut ini. Teorema ini dimotivasi oleh tulisan Mosic dan Djordjevic[4] yang membangun karakteristik elemen simetris yang melibatkan a∗ dan a+ Teorema 8. Diketahui a∈Rg+ . Elemen a simetris jika dan hanya jika a∈R♯ dan satu dari pernyataan pernyataan ekivalen berikut dipenuhi : + + + − 1. aa♯ = a∗ a+ g aag untuk setiap ag ∈(ag ) ♯ ∗ ♯ 2. aa = a a + − + ∗ + 3. aa♯ = a+ g aag a untuk setiap ag ∈(ag ) + − ♯ ∗ + + 4. ag a = a a untuk setiap ag ∈(ag ) 5. a∗ aa♯ = a 6. a∗ a∗ a♯ = a∗ + ♯ + + − 7. a∗ a+ g aag = a untuk setiap ag ∈(ag ) + − + + + + ♯ 8. a∗ a+ g aag a = ag aag untuk setiap ag ∈(ag ) + − ♯ + + ♯ ∗ + 9. a ag aag a = a untuk setiap ag ∈(ag ) 10. a∗ a♯ a♯ = a♯ + − + + 11. a♯ a∗ a♯ = a+ g aag untuk setiap ag ∈(ag ) ∗ + + ♯ + − 12. aa ag aag a = a untuk setiap ag ∈(a+ g) + − Bukti. 1. Berdasarkan teorema 6 maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + ♯ a+ g aag = a

(4)

+ Selanjutnya dengan mengalikan sisi kiri persamaan (4) dengan a diperoleh aa+ g aag ♯ + + − ∗ + + ♯ = aa untuk setiap ag ∈(ag ) . Karena a simetris maka a ag aag = aa untuk setiap + − ∗ + + ♯ + + − ∗ + + a+ g ∈(ag ) . Sebaliknya jika a ag aag = aa untuk setiap ag ∈(ag ) maka a ag aag a + − + + − = aa♯ a untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Sehingga untuk setiap ag ∈(ag ) . + a ∗ a+ g aag a = a

(5)

+ + ∗ + + Dengan mengalikan sisi kanan persamaan (5) dengan a+ g aag maka aag = a ag aag + − untuk setiap a+ g ∈(ag ) , sehingga teorema 5 bagian 3) berlaku. + − 2. Dengan menggunakan teorema 6 maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) , + ♯ a+ g aag = a

(6)

Kemudian dengan mengalikan sisi kiri persamaan (6) dengan a dan karena a + ♯ + + − simetris maka a∗ a+ g aag = aa untuk setiap ag ∈(ag ) . Selanjutnya dengan meng∗ ♯ ♯ gunakan teorema 6 maka a a = aa . Sebaliknya jika a∗ a♯ = aa♯ maka a∗ a♯ a =

41


aa♯ a. Karena a∈R♯ maka a∗ a ♯ a = a

(7)

Dengan mengalikan sisi kanan persamaan (7) dengan a maka a∗ a♯ aa = aa. Selanjutnya a∗ a = aa dan teorema 5 bagian 2) berlaku. + − 3. Menurut teorema 6 maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) , ♯ + a+ g aag = a

(8)

Karena a∈R♯ dan a simetris maka dengan menggunakan persamaan (8) + ∗ aa♯ = a♯ a = a♯ a∗ = a+ g aag a

(9)

+ − untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Sebaliknya jika sisi kiri persamaan (9) dikalikan dengan + − + ∗ a maka a = aag a untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Selanjutnya dengan menggunakan sifat + − + involusi maka a∗ = aaa+ g untuk setiap ag ∈(ag ) , sehingga teorema 5 bagian 1) berlaku. + − 4. Berdasarkan teorema 6 maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + ♯ a+ g aag = a

(10)

Jika sisi kanan persamaan (10) dikalikan a dan karena a simetris maka a♯ a∗ = a+ ga

(11)

+ − untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Sebaliknya dengan mengalikan sisi kiri persamaan (11) dengan a maka aa♯ a∗ = a (12) + − ∗ untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Selanjutnya dari persamaan (11) dan (12) maka a = + ∗ + ∗ + ♯ ∗ + ♯ ∗ ♯ ♯ ∗ ♯ (aag a) = ag aa = ag aaa a = ag aa = a a a = a aa a a = a aa = a. + − 5. Menurut teorema 6 untuk setiap a+ g ∈(ag ) , + ♯ a+ g aag = a

(13)

Kemudian dengan mengalikan sisi kiri persamaan (13) dengan a∗ a diperoleh a∗ aa♯ + + − = a∗ aa+ g untuk setiap ag ∈(ag ) . Selanjutnya dengan menggunakan teorema 1 bagian 2 dan karena a simetris maka a∗ aa♯ = a

42

(14)


Sebaliknya karena a∗ aa♯ = a dan a∈R♯ maka a∗ aa♯ = aa♯ a

(15)

Kemudian dengan mengalikan sisi kanan persamaan (15) dengan a maka a∗ a = aa sehingga teorema 5 bagian 2) berlaku. + − 6. Dengan menggunakan teorema 6 untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + a♯ = a+ g aag

(16)

+ − Kemudian jika sisi kiri persamaan (16) dikalikan a∗ a maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) ,

a∗ aa♯ = a∗ aa+ g

(17)

Selanjutnya dengan menggunakan teorema 1 bagian 2 dan karena a simetris maka a ∗ a∗ a♯ = a∗

(18)

Sebaliknya berdasarkan persamaan (18) dan karena a∈Rg+ maka + ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ ♯ + ∗ ♯ aa+ g = (ag ) a = (ag ) a a a = aag a a

(19)

+ − untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (19) maka ♯ + ∗ ♯ ♯ + ∗ ♯ aa♯ = aa+ g aa = aag a a aa = aag a a

(20)

+ − + + − untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Dari persamaan (19) dan (20) maka untuk setiap ag ∈(ag ) ♯ + + + − ♯ berlaku aa+ g = aa . Karena aag simetris untuk setiap ag ∈(ag ) , maka aa juga + − simetris. Selanjutnya dengan menggunakan teorema 7 maka untuk setiap ag ∈(a+ g) berlaku + (21) a♯ = a+ g aag + − Sehingga diperoleh bahwa untuk setiap a+ g ∈(ag ) maka + a+ g a = aag

(22)

Berikutnya berdasarkan persamaan (19), (20) dan (21) maka a = aa♯ a = ∗ ∗ + ∗ ∗ + + ∗ ♯ + ∗ ♯ ∗ ♯ ∗ ♯ ∗ + aa+ g a a a = ag aa a a = a a a = a aa = a aag aag = a aag = a (aag ) = a + − 7. Diketahui untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + a♯ = a+ g aag

43

(23)


Jika pada persamaan (23) sisi kiri dikalikan a dan sisi kanan dikalikan a♯ maka ♯ a♯ = aa+ ga

(24)

+ − untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (24) dan karena a simetris maka ∗ + + + + + a♯ = aa+ g ag aag = a ag ag aag

(25)

+ − ♯ untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Sebaliknya jika persamaan (25) berlaku maka aa = + + ♯ + + + + − + aa∗ a+ g ag aag = aa aag = aag untuk setiap ag ∈(ag ) . Karena aag simetris un+ − tuk setiap a+ maka aa♯ juga simetris. Selanjutnya dengan menggunakan g ∈(ag ) + − teorema 7 maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + a♯ = a+ g aag

(26)

+ + ∗ + ♯ Dengan persamaan (25) dan (26) diperoleh a = a♯ aa = a∗ a+ g ag aag aa = a ag a aa ∗ ♯ + ∗ + ∗ + = a∗ a + g a = a ag a = a ag aag a = a a a, sehingga pernyataan 5 berlaku.

8. Karena a∈Rg+ ∩Rsym maka dengan menggunakan teorema 6 dan mengalikan sisi + − ♯ + kiri dengan a dan sisi kanan dengan a♯ diperoleh a♯ = aa+ g a untuk setiap ag ∈(ag ) . + + − + ♯ + Selanjutnya karena a = ag aag untuk setiap ag ∈(ag ) dan a simetris maka + ∗ + ♯ a+ g aag = a ag a

(27)

+ − ♯ + ♯ untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Sebaliknya jika persamaan (27) berlaku maka aa = aag aa ∗ + ♯ ♯ ∗ + ♯ + + + + + − + = aa ag a aa = aa ag a = aag aag = aag untuk setiap ag ∈(ag ) . Karena aag + − ♯ simetris untuk setiap a+ g ∈(ag ) maka aa juga simetris. Selanjutnya dengan meng+ − gunakan teorema 7 maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + a♯ = a + g aag

(28)

+ ∗ + ♯ Berdasarkan persamaan (27) dan (28) maka aa♯ = a♯ a = a+ g aag a = a ag a a = ♯ ∗ ♯ a∗ a+ g aa = a a , sehingga pernyataan 2 berlaku. + − 9. Dengan menggunakan teorema 6 maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) , + a♯ = a+ g aag

(29)

Selanjutnya dengan mengalikan sisi kiri persamaan (29) dengan a∗ dan sisi kanan + − ∗ ♯ ♯ + + ♯ dengan a♯ diperoleh a∗ a+ g aag a = a a a untuk setiap ag ∈(ag ) . Karena a simetris + − ∗ + + ♯ ♯ ♯ + + − maka a ag aag a = aa a untuk setiap ag ∈(ag ) . Selanjutnya untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + ♯ ♯ a∗ a+ (30) g aag a = a

44

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya ♯ + ∗ + + ♯ + Sebaliknya jika persamaan (30) berlaku maka aa+ g = a aaag = a ag aag a aaag + + ∗ + + + + − = a∗ a+ g aag aag = a ag aag untuk setiap ag ∈(ag ) sehingga teorema 5 bagian 3) berlaku.

10. Karena a∈Rg+ ∩Rsym maka dengan menggunakan teorema 6 dan mengalikan sisi kiri dengan a dan sisi kanan dengan a♯ diperoleh + ♯ a♯ = aa+ g aag a

(31)

+ − untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Selanjutnya karena a simetris maka

a♯ = aa♯ a♯ = a∗ a♯ a♯

(32)

Sebaliknya dengan mengalikan sisi kanan persamaan (32) dengan a maka aa♯ = a∗ a♯ , sehingga pernyataan 2 dipenuhi. + − 11. Dengan menggunakan teorema 6 maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) , + ♯ a+ g aag = a

(33)

+ Kemudian dengan mengalikan sisi kanan persamaan (33) dengan aa+ g aag untuk + − setiap a+ g ∈(ag ) , maka + ♯ + + (34) a+ g aag = a aag aag + − untuk setiap a+ g ∈(ag ) . Selanjutnya berdasarkan persamaan (33), (34) dan karena + − a simetris maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) , + ♯ ∗ ♯ a+ g aag = a a a

(35)

Sebaliknya berdasarkan persamaan (35) maka + ♯ ♯ ∗ ♯ ♯ ∗ ♯ + + + a♯ a = a♯ aa+ g aag a = a aa a a a = a a a a = ag aag a = ag a

(36)

+ − + + + − untuk setiap a+ maka aa♯ g ∈(ag ) . Karena aag simetris untuk setiap ag ∈(ag ) juga simetris. Selanjutnya dengan menggunakan teorema 7 maka untuk setiap + − a+ g ∈(ag ) berlaku + a♯ = a+ (37) g aag + − Dengan menggunakan persamaan (36) dan (37) maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) + + ♯ ∗ ♯ ♯ ∗ ♯ ♯ ∗ + + ♯ ∗ + ♯ ∗ berlaku ag aag a = a a a a = a a aa = a a aag aag = a a aag = a a , sehingga pernyataan 4 berlaku. + − 12. Dengan menggunakan teorema 6 maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) , + ♯ a+ g aag = a

45

(38)


Selanjutnya dengan mengalikan sisi kiri persamaan (38) dengan aa maka diperoleh + ♯ + + − aaa+ g aag = aaa untuk setiap ag ∈(ag ) . Selanjutnya karena a simetris maka untuk + + − setiap ag ∈(ag ) berlaku + (39) aa∗ a+ g aag = a + − Sebaliknya dengan menggunakan persamaan (39) maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + ♯ + + a♯ a = a♯ aa∗ a+ (40) g aag = a aaag = aag + + − Karena aa+ maka berdasarkan persamaan (40) g simetris untuk setiap ag ∈(ag ) ♯ maka aa juga simetris. Selanjutnya dengan menggunakan teorema 7 maka untuk + − setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + a♯ = a+ (41) g aag + − Berdasarkan persamaan (39), (40) dan (41) maka untuk setiap a+ g ∈(ag ) berlaku + + ♯ + + + + ∗ + + + ∗ + + ∗ + + aa+ g aag = aag = a a = ag aag a = ag aag aa ag aag = ag aa ag aag = a ag aag sehingga teorema 5 bagian 3) berlaku.

3

Daftar Pustaka

[1]. Boasso E., On The Moore Penrose Inverse in C* Algebras, Extracta Mathematicae, 2006. [2]. Koliha J.J., The Drazin and Moore penrose Inverse in C* Algebras, Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy, 1999. [3]. Koliha J.J. dan P. Patricio, Elements of Rings with Equal Spectral Idempotents, Australian Mathematical Society , 2001. [4]. Mosic D. and Djordjevic D.S., Partial Isometries and EP Elements in Rings with Involution, Electronic Journal of Linear Algebra , 2009.

46

ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI ATAS SEBARANG RING Uha Isnaini1 dan Indah Emilia Wijayanti2 2

S2 Matematika FMIPA UGM, [email protected] Jurusan Matematika FMIPA UGM, ind [email protected]

Abstrak. Diketahui R ring dengan elemen satuan, MR merupakan R−modul kanan dan S ⊆ R himpunan denominator kanan. Dapat dibentuk ring fraksi kanan Q = RS −1 dan Q−modul kanan M S −1 . Selanjutnya apabila terdapat Ass(MR ) dapat −1 −1 dibentuk Ass(M SR ) dan Ass(M SQ ). Oleh karena itu di dalam tulisan ini dibicarakan bentuk dan beberapa sifat dari assosiasi prima pada modul fraksi yang meliputi: Karakterisasi assosiasi prima pada modul fraksi, hubungan antara assosiasi prima pada modul fraksi dengan modul awal- nya, beberapa sifat assosiasi prima jika R merupakan ring Noetherian kanan, hubungan antara assosiasi prima dengan himpunan semua elemen pembagi nol dari Q dan bentuk assosiasi prima pada jumlah langsung dan pergandaan Kartesius dari modul-modul fraksi atas ring yang sama. Kata Kunci: Assosiasi Prima, Ring Fraksi, Modul Fraksi.

1

Pendahuluan

Pengertian assosiasi prima dilatarbelakangi oleh pengamatan hubungan modul dengan ringnya. Assosiasi prima digunakan untuk mengkarakterisasi submodul P −primer. Submodul N di R−modul M merupakan submodul P −primer jika dan hanya jika Ass(M/N ) = {P }. Oleh karena itu, penelitian mengenai sifatsifat dari assosiasi prima banyak dilakukan. Salah satu peneliti adalah Annin [1,2] yang mengkaji bentuk assosiasi prima pada modul fraksi atas sebarang ring (dimungkinkan non komutatif). Pembahasan assosiasi prima pada modul fraksi tersebut hanya pada bentuk dan syarat yang diperlukan dalam pembentukannya. Selain itu syarat 1 ∈ S berdasarkan pengamatan dapat diperumum dengan S 6= ∅. Oleh karena itu di paper ini, diberikan sifat-sifat assosiasi prima pada modul fraksi atas sebarang ring, dengan S tidak harus memuat elemen satuan yang belum pernah dikaji oleh peneliti sebelumnya.

2

RING DAN MODUL FRAKSI KANAN

Pengertian ring fraksi (ring of fractions) dilatarbelakangi oleh pengamatan hubungan himpunan semua bilangan bulat Z dengan himpunan semua bilangan rasional Q. Untuk kasus R ring sebarang, didefinisikan Definisi 1. [3] Ring RS dikatakan ring fraksi kanan dari ring R atas S ⊆ R jika ada homomorfisma ring ϕ : R → RS sedemikan hingga 1. ∀s ∈ S, ϕ(s) unit di RS . 2. ∀x ∈ RS , x = ϕ(a)ϕ(s)−1 untuk suatu a ∈ R dan s ∈ S. 3. Ker ϕ = {r ∈ R|rs = 0 untuk suatu s ∈ S}. 47


Terdapat sedikit perbedaan Definisi 1 dengan definisi di buku Lam (1998). Menurut hasil pengamatan, elemen satuan tidak harus termuat di S karena pembentukan ring fraksi kanan tersebut masih bisa dilakukan tanpa syarat tersebut. Untuk menjamin eksistensi dari ring fraksi kanan, himpunan multiplikatif S harus memenuhi syarat perlu berikut: 1. Untuk setiap a ∈ R dan s ∈ S, aS ∩ sR 6= ∅. Selanjutnya S disebut permutabel kanan. 2. Untuk setiap a ∈ R jika s′ a = 0 untuk suatu s′ ∈ S maka as = 0 untuk suatu s ∈ S. Selanjutnya S disebut reversibel kanan. Selanjutnya himpunan multiplikatif ∅ 6= S ⊆ R dan 0 ∈ / S yang memenuhi 1 dan 2 disebut dengan himpunan denominator kanan. Jika diambil sebarang ring dengan elemen satuan R dan himpunan denominator kanan S ⊆ R dapat dibentuk ring fraksi kanan. Pertama-tama dibentuk himpunan R × S = {(r, s)|r ∈ R, s ∈ S} dan dilengkapi dengan relasi ekuivalensi berikut: (r, s) ∼ (r′ , s′ ) ⇔ ∃x, y ∈ R sedemikian hingga rx = r′ y ∈ R dan sx = s′ y ∈ S. Selanjutnya kelas ekuivalensi yang terbentuk dinotasikan dengan r s

= {(r′ , s′ ) ∈ R × S|(r′ , s′ ) ∼ (r, s)}.

Himpunan semua kelas-kelas di R × S dinamakan RS −1 , yaitu RS −1 = { rs |(r, s) ∈ R × S}. Selanjutnya jika diambil sebarang ab , dc ∈ RS −1 , didefinisikan ab = dc jika dan hanya jika (a, b) ∼ (c, d). Notasi rs juga dapat ditulis sebagai rs−1 , kemudian di dalam RS −1 didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sebagai berikut: rx + r′ y r r′ + ′ = s s sx rp r r′ · ′ = ′ s s sq dengan sx = s′ y ∈ S dan sp = r′ q ∈ R. Diperoleh RS −1 merupakan ring fraksi kanan R atas S. Diberikan modul M atas ring R yang memuat elemen satuan. Jika diberikan himpunan denominator kanan S ⊂ R maka terdapat modul M S −1 yang merupakan modul fraksi kanan dari modul M atas S. Pertama-tama dibentuk himpunan M × S = {(m, s)|m ∈ M, s ∈ S} dan dilengkapi dengan relasi ekuivalensi berikut (m, s) ∼ (m′ , s′ ) ⇔ ∃x, y ∈ R sedemikian hingga mx = m′ y ∈ M dan sx = s′ y ∈ S. 48


Selanjutnya kelas ekuivalensi yang terbentuk dinotasikan dengan m s

= {(m′ , s′ ) ∈ M × S|(m′ , s′ ) ∼ (m, s)}

Himpunan semua kelas-kelas di M × S dinamakan M S −1 , yaitu M S −1 = { ms |(m, s) ∈ M × S}. ′

′

Diambil sebarang ms , ms′ ∈ M S −1 , didefinisikan ms = ms′ jika dan hanya jika (m, s) berelasi dengan (m′ , s′ ). Notasi ms juga dapat ditulis sebagai ms−1 . Di′ ambil sebarang ms , ms′ ∈ M S −1 dan rt ∈ RS −1 , kemudian di dalam M S −1 didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut: m m′ mx + m′ y + ′ = s s sx m r mp · = s t tq dengan sx = s′ y ∈ S dan sp = rq ∈ S untuk suatu x, y, p, q ∈ R. Diperoleh M S −1 merupakan RS −1 −modul fraksi kanan M atas S.

3

ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI

Pada bab ini akan disajikan definisi assosiasi prima pada modul atas sebarang ring beserta contohnya dan sifat terkait. Pada keseluruhan pembahasan subbab ini diasumsikan R merupakan ring dengan elemen satuan, S ⊆ R merupakan himpunan denominator kanan dan Q = RS −1 merupakan ring fraksi kanan dari R atas S. Selanjutnya MR merupakan R−modul kanan dan yang dikatakan ideal merupakan ideal dua sisi. Sebelum dibahas lebih lanjut diberikan definisi dari berasosiasi prima sebagai berikut. Definisi 2. Diberikan R−modul kanan MR . Ideal A di R dikatakan berasosiasi prima dengan modul MR jika A = Ann(NR ) untuk suatu R−modul prima tak nol NR ⊂ MR . Berikut sifat jika R merupakan ring komutatif. Proposisi 1. Diberikan R−modul kanan MR . Ideal A di R berasosiasi prima dengan modul MR jika dan hanya jika A ideal prima dan A = Ann(x) untuk suatu 0 6= x ∈ MR . Bukti. Pertama-tama ditunjukkan untuk arah ke kiri. Diberikan A suatu ideal prima di R dengan A = Ann(x) untuk suatu 0 6= x ∈ M. Dibentuk submodul terkecil yang memuat x yaitu < x >= xR. Pertama-tama ditunjukkan bahwa A = Ann(xR). Jelas bahwa xR merupakan submodul tak nol. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa xR merupakan modul prima. Selanjutnya ditunjukkan untuk arah ke kanan. Diberikan A ideal di R dengan A = Ann(NR ) untuk suatu R−modul prima tak nol NR ⊂ MR . Diambil sebarang elemen taknol x ∈ NR selanjutnya dibentuk submodul xR ⊆ NR . Karena NR modul prima, diperoleh A = Ann(NR ) = Ann(xR). Akan ditunjukkan bahwa A = Ann(x). Jelas bahwa karena x ∈ xR diperoleh A ⊆ Ann(x). 49


Diambil sebarang p ∈ Ann(x). Perhatikan bahwa p mengenolkan x. Sehingga diperoleh p juga mengenolkan modul yang dibangun oleh x. Karena NR merupakan R−modul prima, diperoleh pengenol submodul tersebut sama dengan Ann(NR ) = A. Dapat ditunjukkan A ideal prima di R. Jadi A merupakan ideal prima di R dengan A = Ann(x). Selanjutnya himpunan semua assosiasi prima dari M dinotasikan dengan Ass(M ). Selanjutnya pada keseluruhan bab ini diasumsikan R dan S memenuhi kondisi berikut: Untuk setiap NR merupakan R−submodul dari Q−modul MQ berlaku ideal kanan Ann(NR )e dari Q merupakan ideal dua sisi di Q. (1) Sebelum dipaparkan mengenai bentuk assosiasi prima pada modul fraksi, terlebih dahulu diberikan teorema sebagai berikut: Teorema 1. Diberikan R−modul kanan M dan S ⊆ R himpunan denominator kanan dengan 1 ∈ / S. Selanjutnya dapat dibentuk himpunan S¯ = S ∪ {1}. −1 Selalu berlaku RS = RS¯−1 dan M S −1 = M S¯−1 . Bukti. Perhatikan bahwa karena S ⊆ S¯ diperoleh RS −1 ⊆ RS¯−1 . Selanjutnya diambil sebarang rs ∈ RS¯−1 . Untuk s 6= 1 jelas bahwa rs ∈ RS −1 . Untuk s = 1, diambil sebarang t ∈ S diperoleh rs = 1r = rtt ∈ RS −1 . Untuk kasus modul fraksi analog. Dengan kata lain ada tidaknya elemen satuan pada himpunan S tetap diperoleh ring fraksi kanan dan modul fraksi kanan yang sama. Selanjutnya diberikan Teorema sebagai berikut. Teorema 2. Asumsikan pernyataan (1) berlaku dan M merupakan Q−modul kanan. Diperoleh Ass(MQ ) = {Ae |A ∈ Ass(MR ) dan A ∩ S = ∅} = {I|I c ∈ Ass(MR ) dan I c ∩ S = ∅} Sebelum membuktikan Teorema 2 kita akan ditunjukkan beberapa lemma yang digunakan pada hubungan antara annihilator dan modul prima atas R dan Q. Kondisi (1) diperlukan untuk pembuktian tersebut. Diberikan sebarang R−submodul NR dari suatu Q−modul MQ , diberikan N e = N ·QQ merupakan Q−submodul dari MQ yang dibangun oleh NR . Dengan kata lain N e = N · QQ = {Σi∈I

n i si t i ti |ni ∈ N, ∈ QQ }. si si si

Selanjutnya diberikan lemma sebagai berikut. Lemma 1. Diberikan MQ merupakan Q−modul kanan. Diperoleh, 1. Ann(MR ) = Ann(MQ )c 2. Diberikan NR suatu R−submodul dari Q−modul MQ . Didapat Ann(NQe ) ⊆ Ann(NR )e dan jika pernyataan (1) dipenuhi, diperoleh persamaan yang sama. 50


Bukti. Diambil sebarang y ∈ Ann(MR ), diperoleh xy = 0 untuk setiap x ∈ MR . Perhatikan bahwa jika diambil sebarang ms ∈ Q, diperoleh ψ(y) ∈ Ann(MQ ), dengan kata lain y ∈ Ann(MQ )c . Selanjutnya diambil sebarang y ∈ Ann(MQ )c ∈ Ann(MQ ). Diambil sebarang m ∈ M , diperoleh dan g ∈ S, diperoleh yg g mg ∈ Q. Perhatikan bahwa karena yg ∈ Ann(MQ ) diperoleh my = 0 untuk g g setiap m ∈ M , dengan kata lain y ∈ Ann(MR ). Diambil sebarang NR merupakan R−submodul di MQ . Pertama-tama ditunjukkan Ann(NQe ) ⊆ Ann(NR )e . Diambil sebarang xy ∈ Ann(NQe ), dengan x ∈ R dan y ∈ S. Selanjutnya diambil sebarang n ∈ N , diperoleh nx = 0. Jadi didapat x ∈ Ann(NR ). Selanjutnya diambil sebarang as ∈ Ann(NR )e dan r ∈ Q. Menggunakan sifat permutabel kanan didapat ada c ∈ R dan u ∈ S t sedemikian hingga tc = au. Perhatikan bahwa au ∈ Ann(NR ) karena untuk setiap n ∈ N berlaku (au)n = a(un) = 0. Selanjutnya karena Ann(NR )e merupakan ideal dua sisi, diperoleh c = 1t au ∈ Ann(NR )e . Karena c ∈ R rc = 0. Jadi didapat didapat c ∈ Ann(NR ). Perhatikan bahwa n rt as = n su e e Ann(NR ) ⊆ Ann(NQ ). Selanjutnya diberikan Lemma berikut. Lemma 2. Diberikan MQ merupakan Q−modul kanan dan memenuhi pernyataan (1). Jika MQ prima maka MR prima. Bukti. Diambil sebarang MR′ merupakan R−submodul di MR . Akan ditunjukkan Ann(MR ) = Ann(MR′ ). Dari Lemma 1 bagian kedua dan (MQ′ )e submodul di MQ dan MQ prima diperoleh Ann((MQ′ )e ) = Ann(MQ ). Didapat Ann(MR′ ) = Ann(MR′ )e ∩ R = Ann(MQ ) ∩ R = Ann(MR ). Jadi MR merupakan modul prima. Selanjutnya diberikan proposisi sebagai berikut Proposisi 2. Diberikan himpunan denominator kanan S ⊆ R dan Q = RS −1 . ∈ U (Q), s ∈ S}, didapat Selanjutnya dibentuk S¯ = {u ∈ R| us s 1. S¯ merupakan himpunan denominator kanan 2. RS¯−1 = RS −1 Bukti. Jelas bahwa S¯ merupakan himpunan denominator kanan. Selanjutnya ditunjukkan RS −1 = RS¯−1 . Pertama-tama ditunjukkan RS −1 ⊆ RS¯−1 . Diam2 ¯ mengakibil sebarang s ∈ S, jelas bahwa ss ∈ U (Q). Jadi diperoleh S ⊆ S, −1 −1 −1 −1 batkan RS ⊆ RS¯ . Selanjutnya karena S¯ ⊆ Q diperoleh RS¯ ⊆ Q. Selanjutnya diberikan Lemma sebagai berikut. Lemma 3. Diberikan as11 , as22 , · · · , askk ∈ Q. Terdapat t ∈ S sedemikian hingga ai t ∈ R, dengan 1 ≤ i ≤ k. si 51


Bukti. Dapat ditunjukkan menggunakan induksi matematika dan sifat permutabel kanan S. Selanjutnya diberikan Lemma sebagai berikut. Lemma 4. Diberikan R−submodul NR di MQ . Jika pernyataan (1) berlaku dan NR modul prima maka NQe merupakan modul prima. Bukti. Perhatikan bahwa NR modul prima, sehingga berakibat NQe 6= {0}. Diambil sebarang NQ′ merupakan Q−submodul tak nol di NQe . Diambil seP barang n′ ∈ NQ′ dengan n′ 6= 0. Misalkan n′ = ki=1 ni ( asii ) dengan ni ∈ NR , ai ∈ R dan si ∈ S. Menggunakan Lemma 3 terdapat t ∈ S sedemikian hingga n′ t ∈ NR ∩ NR′ dan n′ t 6= 0. Selanjutnya karena NR modul prima diperoleh Ann(NR ) = Ann(NR ∩ ′ NR ) ⊇ Ann(NR′ ). Diberikan sebarang as ∈ Ann(NQ′ ), diperoleh a ∈ Ann(NR′ ) sedemikian hingga a ∈ Ann(NR ). Menggunakan Lemma 1 diperoleh as ∈ Ann(NQe ). Sehingga didapat Ann(NQ′ ) = Ann(NQe ). Selanjutnya akan diberikan bukti dari Teorema 2 sebagai berikut. Bukti. Diambil sebarang I ∈ Ass(MQ ). Dari definisi, terdapat {0} = 6 NQ ⊆ MQ dengan NQ merupakan Q−modul prima dan I = Ann(NQ ). Dibentuk himpunan A = I c . Karena Q 6= I = I ce = Ae dapat ditunjukkan A ∩ S = ∅. Selanjutnya ditunjukkan arah sebaliknya. Diambil sebarang Ae dengan A ∈ Ass(MR ) dan A ∩ S = ∅. Karena A ∈ Ass(MR ), terdapat modul prima tak nol NR ⊆ MR dengan A = Ann(NR ). Menggunakan Lemma 1 dan Lemma 4 diperoleh NQe merupakan Q−modul prima. Jadi Ae ∈ Ass(MQ ). Selanjutnya bukti untuk persamaan kedua analog. Hasil tersebut masih dapat dikaji lebih lanjut. Namun sebelumnya diberikan Lemma sebagai berikut. Lemma 5. Diberikan MR merupakan R−modul kanan dan MR merupakan S bebas torsi. Diperoleh Ass(MR ) = Ass(M SR−1 ). Bukti. Perhatikan bahwa MR merupakan S bebas torsi dan terdapat penyisipan MR ke M SR−1 . Jelas bahwa Ass(MR ) ⊆ Ass(M SR−1 ). Selanjutnya akan ditunjukkan Ass(M SR−1 ) ⊆ Ass(MR ). Diambil sebarang A ∈ Ass(M SR−1 ). Menurut definisi, terdapat R−modul prima NR sedemikian hingga A = Ann(NR ). Diambil sebarang ms ∈ NR \ {0}, dengan m ∈ MR dan s ∈ S. Diperoleh m 6= 0. Selanjutnya dibentuk submodul siklik tak nol ms RR di NR . Karena s ∈ R, diperoleh m = ms s ∈ ms RR . Diambil MR′ = mRR . Lebih lanjut diperoleh Ann(MR′ ) = Ann(NR ) = A. Jadi ketika diambil m ∈ MR diperoleh MR′ ⊆ MR . Dapat disimpulkan bahwa A ∈ Ass(MR ). Dari Teorema 2 dan Lemma 5 diperoleh akibat sebagai berikut. Corollary 1. Diberikan R−modul kanan MR dan MR merupakan S bebas torsi. Asumsikan bahwa MR memenuhi pernyataan (1), diperoleh Ass(M SQ−1 ) = {Ae |A ∈ Ass(MR ) dan A ∩ S = ∅} = {I|I c ∈ Ass(MR ) dan I c ∩ S = ∅} 52

(1) (2)


Bukti. Menggunakan Teorema 2 diperoleh bahwa Ass(M SQ−1 ) = {Ae |A ∈ Ass(M SR−1 ) dan A ∩ S = ∅}

(3)

= {I|I c ∈ Ass(M SR−1 ) dan I c ∩ S = ∅} Selanjutnya menggunakan Lemma 5, dengan mengganti Ass(M SR−1 ) = Ass(MR ) Akibat 1 terbukti. Terdapat kondisi alternatif yang mengakibatkan pernyataan (1) berlaku meskipun R dan Q bukan ring Noetherian kanan. Kondisi tersebut adalah Untuk setiap t ∈ S, terdapat t′ ∈ R dan q ∈ C(Q) sedemikian hingga dengan C(Q) merupakan himpunan center di Q. (2)

1 t

= t′ q,

Selanjutnya diberikan proposisi sebagai berikut. Proposisi 3. Asumsikan pernyataan (2) berlaku untuk S. Jika A merupakan ideal dua sisi di R maka Ae merupakan ideal dua sisi di Q. Lebih lanjut pernyataan (1) berlaku untuk R dan Q. Bukti. Diberikan A merupakan ideal dua sisi di R. Diambil sebarang as ∈ A dan rt ∈ Q. Cukup ditunjukkan bahwa Ae tertutup terhadap perkalian dari kiri. Diambil sebarang c ∈ R dan u ∈ S sedemikian hingga tc = au. Menggunakan pernyataan (2) diperoleh untuk suatu t′ ∈ R dan q ∈ C(Q), berlaku ra rc rt′ auq uq rt′ aq = = = rt′ a = ∈ Ae . ts su su su s Kesamaan tersebut berlaku karena q merupakan center di Q. Perhatikan bahwa pernyataan (2) selalu berlaku jika S merupakan subset multiplikatif central di R. Dari proposisi tersebut dapat ditarik kesimpulan yaitu, maka Teorema 2 dan Akibat 1 selalu berlaku jika S sentral. Sebelum diberikan contoh mengenai bentuk assosiasi prima pada modul fraksi, diberikan terlebih dahulu teorema berikut. Teorema 3. Diberikan ring matriks Mn (R) dengan R merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Elemen A ∈ Mn (R) merupakan unit jika dan hanya jika det(A) merupakan unit di R. Pertama-tama diberikan contoh ring fraksi kanan dan modul fraksi kanan pada ring matriks berukuran n × n sebagai berikut. Contoh 1. Diberikan ring komutatif dengan elemen satuan R dan dibentuk ring matriks segitiga bawah Mn∗ (R). Perhatikan bahwa Mn (R) merupakan Mn∗ (R)−modul kanan. Selanjutnya dibentuk S ⊆ Mn∗ (R) merupakan himpunan matriks-matriks dengan elemen diagonalnya 1 ∈ R. Diperoleh S merupakan himpunan denominator kanan. Terdapat ring fraksi kanan P (Mn∗ (R))S −1 = { |P ∈ Mn∗ (R), A ∈ S}. A Selanjutnya karena Mn (R) merupakan Mn∗ (R)−modul kanan, dengan mengambil himpunan S yang sama diperoleh modul fraksi kanan (Mn (R))S −1 = {

M |M ∈ Mn (R), A ∈ S}. A 53


Selanjutnya diberikan contoh assosiasi prima pada modul fraksi sebagai berikut. Contoh 2. Diberikan Mn (Z)−modul kanan Mn (Z6 ). Selanjutnya menggunakan S seperti pada Contoh 1, secara analog dapat ditunjukkan S merupakan himpunan denominator kanan di Mn (Z). Jadi dapat dibentuk modul fraksi kanan M (Mn (Z6 ))S −1 = { |M ∈ Mn (Z6 ), A ∈ S}. A Selanjutnya diperoleh Ass(Mn (Z6 )) = {Mn (2Z), Mn (3Z)}. Selanjutnya menggunakan Akibat 1 diperoleh Ass(M SQ−1 ) = {Ae |A ∈ Ass(MR ) dan A ∩ S = ∅} = {(Mn (2Z))e , (Mn (3Z))e } (4) Selanjutnya akan dibahas mengenai beberapa sifat assosiasi prima pada modul fraksi. Pada keseluruhan subbab ini, apabila tidak ada keterangan lain diasumsikan ring yang dimaksud merupakan dengan elemen satuan dan memenuhi kondisi (1). Pertama-tama didefinisikan (Ass(MR ))e = {Ae ⊆ M SQ−1 |A ∈ Ass(MR )} dan (Ass(M SQ−1 ))c = {I c ⊆ MR |I ∈ Ass(M SQ−1 )}. Pertama-tama diberikan lemma sebagai berikut Lemma 6. Diberikan R−modul M dan S ⊆ R himpunan denominator kanan. Selalu berlaku Ass(M SQ−1 ) ⊆ (Ass(MR ))e dan (Ass(M SQ−1 ))c ⊆ Ass(MR ). Bukti. Diambil sebarang I ∈ Ass(M SQ−1 ). Menggunakan Teorema 1 diperoleh I ∈ (Ass(MR ))e . Selanjutnya jika diambil sebarang I ∈ (Ass(M SQ−1 ))c maka I e ∈ Ass(M SQ−1 ). Menggunakan Akibat 1 kesamaan kedua diperoleh I ∈ Ass(MR ). Perhatikan bahwa Lemma 6 sama saja mengatakan banyak elemen dari Ass(M SQ−1 ) kurang dari atau sama dengan banyak elemen dari Ass(MR ). Pertama-tama diberikan karakterisasi dari asosiasi prima sebagai berikut. Proposisi 4. Diketahui M merupakan suatu R-modul dan P ideal prima di R. Ideal P berasosiasi dengan M jika dan hanya jika ada monomorfisma modul dari R/P ke M . Lebih lanjut jika N submodul di M maka Ass(N ) ⊆ Ass(M ). Bukti. Jelas, dengan pemetaan f : R/P → M dengan f (r + P ) = xr. Berikut diberikan karakterisasi dari asosiasi prima pada modul fraksi. Proposisi 5. Diketahui MR merupakan suatu R-modul dan P ideal prima di R. Ideal P e berasosiasi dengan M SQ−1 jika dan hanya jika ada monomorfisma modul dari R/P ke MR dan P ∩ S = ∅. Lebih lanjut jika N submodul di M maka Ass(N SQ−1 ) ⊆ Ass(M SQ−1 ). 54


Bukti. (⇒) Diketahui P e berasosiasi prima dengan M S −1 . Menggunakan Teorema 1 diperoleh P ∈ Ass(MR ) dan P ∩ S = ∅. Selanjutnya menggunakan Proposisi 4 terdapat monomorfisma modul dari R/P ke MR dan P ∩ S = ∅. (⇐) Diketahui terdapat monomorfisma modul f : R/P → MR . Menggunakan Proposisi 4 diperoleh P berasosiasi prima dengan MR . Menggunakan Akibat 1 diperoleh P e ∈ Ass(M SQ−1 ). Diberikan lemma sebagai berikut. Lemma 7. Diberikan R−modul tak nol MR , S ⊆ R himpunan denominator kanan dan R−submodul NR . Jika N = {0} maka N SQ−1 = {0}. Konversnya berlaku jika z(N ) ∩ S = ∅. Bukti. Diambil NR merupakan R−submodul di MR dengan NR = {0}. Perhatikan bahwa N SQ−1 = { 0s |s ∈ S} = { 0s }. Jadi diperoleh N SQ−1 himpunan nol. Untuk sebaliknya, diasumsikan z(N ) ∩ S = ∅. Andaikan N SQ−1 himpunan nol dan NR bukan himpunan nol. Terdapat n ∈ NR sedemikian hingga n 6= 0. Karena z(N ) ∩ S = ∅ , terjadi kontradiksi. Jadi NR = {0}. Selanjutnya diberikan proposisi berikut. Proposisi 6. Diberikan R−modul M . Jika M = {0} maka Ass(M ) merupakan himpunan kosong. Konversnya berlaku jika R merupakan ring Noetherian. Bukti. Jelas. Selanjutnya diberikan proposisi berikut. Proposisi 7. Diberikan R−modul tak nol M dan R−submodul N . Jika N = {0} maka Ass(N SQ−1 ) merupakan himpunan kosong. Konversnya berlaku jika R merupakan ring Noetherian kanan dan z(N ) ∩ S = ∅. Bukti. Diambil sebarang R−modul tak nol M dan N merupakan R−submodul. Jika N = {0} maka N SQ−1 juga nol. Sehingga diperoleh Ass(N SQ−1 ) merupakan himpunan kosong. Sebaliknya diketahui Ass(N S −1 ) merupakan himpunan kosong. Selanjutnya menggunakan Proposisi 6 dan Lemma 7 diperoleh NR = {0}. Pertama-tama diberikan z(M ) merupakan himpunan elemen pembagi nol di M . Diperoleh z(M ) = {r ∈ R|xr = 0 untuk suatu x ∈ M dengan x 6= 0}. Selanjutnya diberikan teorema berikut. Teorema 4. Diketahui M merupakan suatu R-modul. Selalu berlaku ∪{P |P ∈ Ass(M )} ⊆ z(M ). Selanjutnya hal tersebut menjadi sama jika R merupakan ring Noether. Bukti. Jelas. 55


Diberikan z(M SQ−1 ) merupakan himpunan elemen pembagi nol di Q−modul M SQ−1 . Diperoleh z(M SQ−1 ) = { rs ∈ Q = RS −1 | xt rs = u0 untuk suatu xt ∈ M SQ−1 dengan x 6= 0 dan u ∈ S}. Selanjutnya diberikan teorema berikut. Teorema 5. Diketahui M SQ−1 merupakan suatu Q-modul. Diperoleh ∪{P e |P ∈ Ass(M ) dan P ∩ S = ∅} ⊆ z(M SQ−1 ). Selanjutnya hal tersebut menjadi sama jika R merupakan ring Noetherian kanan. Bukti. Diambil sebarang P e ∈ ∪{P e |P ∈ Ass(M ) dan P ∩ S = ∅}. Menggunakan Akibat 1 diperoleh P e ∈ Ass(M SQ−1 ). Selanjutnya menggunakan Teorema 4 diperoleh P ∈ Ass(M SQ−1 ). Selanjutnya diasumsikan R merupakan ring Noetherian kanan. Diambil sebarang I ∈ z(M SQ−1 ). Menggunakan Proposisi 4 diperoleh z(M SQ−1 ) = {I|I ∈ Ass(M SQ−1 )}. Jadi diperoleh I ∈ Ass(M SQ−1 ). Menggunakan Teorema 2 diperoleh I ∈ ∪{P e |P ∈ Ass(M ) dan P ∩ S = ∅}. Proposisi 8. Diberikan R−modul M . Jika N merupakan R−submodul di M maka Ass(M ) ⊆ Ass(N ) ∪ Ass(M/N ). Bukti. Jelas. Selanjutnya dapat ditunjukkan hasil lain dari proposisi 5. Proposisi 9. Jika NR submodul di MR maka Ass(M SQ−1 ) ⊆ Ass(N SQ−1 ) ∪ Ass(M SQ−1 /N SQ−1 ). Bukti. Diambil sebarang P ∈ Ass(M SQ−1 ). Perhatikan bahwa karena NR ⊆ MR diperoleh N SQ−1 ⊆ M SQ−1 . Jelas bahwa N SQ−1 merupakan Q−submodul di M SQ−1 . Sehingga dapat dibentuk r r M SQ−1 /N SQ−1 = { + N SQ−1 | ∈ M SQ−1 }. s s Menggunakan Proposisi 8 diperoleh P ∈ Ass(M SQ−1 /N SQ−1 ). Jadi diperoleh Ass(M SQ−1 ) ⊆ Ass(N SQ−1 ) ∪ Ass((M SQ−1 )/(N SQ−1 )). Selanjutnya diberikan akibat sebagai berikut. Corollary 2. Diberikan R−modul Mj , dengan j ∈ J merupakan himpunan indeks terhitung dan S ⊆ R himpunan denominator kanan. Diperoleh Ass((

M

[

Mj )S −1 ) =

j∈J

Ass(Mj S −1 ).

j∈J

L L Bukti. Jelas bahwa ( j∈J Mj )S −1 ∼ = j∈J Mj S −1 . Menggunakan Proposisi 5 didapat [ M Ass(Mj S −1 ) ⊆ Ass( Mj S −1 ). j∈J

L

Dapat ditunjukkan Ass( j∈J Mj S −1 ) ⊆ duksi matematika dan Proposisi 9.

S

j∈J j∈J

Ass(Mj S −1 ) menggunakan in-

Pertama-tama diberikan contoh assosiasi prima pada direct sum dari modul fraksi pada kasus berhingga sebagai berikut: 56


Contoh 3. Diberikan Mn (Z)−modul M1 , M2 , dan M3 dengan M1 = Mn (Z6 ), M2 = Mn (Z10 ) dan M3 = Mn (Z15 ). Diambil S himpunan matriks segitiga bawah atas Z yang entri-entri pada diagonalnya 1. Analog dengan contoh 1 diperoleh S merupakan himpunan denominator kanan. Jadi dapat dibentuk modul fraksi kanan (M1 ⊕ M2 ⊕ M3 )S −1 . Diperoleh Ass(M1 ⊕M2 ⊕M3 ) = Ass(M1 )∪Ass(M2 )∪Ass(M3 ) = {Mn (2Z), Mn (3Z), Mn (5Z)} (5) Menggunakan Akibat 2 diperoleh Ass((M1 ⊕ M2 ⊕ M3 )S −1 = Ass(M1 S −1 ) ∪ Ass(M2 S −1 ) ∪ Ass(M3 S −1 ) (6) = {(Mn (2Z))e , (Mn (3Z))e , (Mn (5Z))e }

(7)

Selanjutnya diberikan akibat sebagai berikut. Corollary 3. Diberikan R−modul Mj , dengan j ∈ J merupakan himpunan indeks terhitung dan S ⊆ R himpunan denominator kanan. Diperoleh Ass((

Y

Mj )(

j∈J

Bukti. Perhatikan bahwa ( Proposisi 5 didapat [

Y

S)−1 ) =

j∈J

Q

j∈J

[

Ass(Mj Sj−1 ).

j∈J

Mj )(

Q

j∈J

Q S)−1 ∼ = j∈J Mj S −1 . Menggunakan

Ass(Mj S −1 ) ⊆ Ass(

j∈J

Y

Mj S −1 ).

j∈J

Untuk arah sebaliknya, bukti analog dengan bukti pada Akibat 2. Sehingga S Q diperoleh Ass( j∈J Mj S −1 ) = j∈J Ass(Mj S −1 ).

4

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat ditarik sejumlah kesimpulan sebagai berikut : 1. Sifat-sifat assosiasi prima pada kasus ring komutatif masih dipertahankan pada kasus sebarang ring. 2. Assosiasi prima dari pergandaan kartesius sama dengan gabungan assosiasi prima dari modul-modul penyusunnya. 3. Misalkan untuk setiap NR merupakan R−submodul dari Q−modul MQ berlaku ideal kanan Ann(NR )e dari Q merupakan ideal dua sisi di Q. dan R merupakan S bebas torsi. Himpunan assosiasi prima dari M SQ−1 adalah himpunan ekstensi dari elemen-elemen di Ass(MR ) yang irisannya dengan S merupakan himpunan kosong. Lebih lanjut Ass(M SQ−1 ) juga dapat dipandang sebagai himpunan semua ideal di RS −1 yang hasil kontraksinya berada di Ass(MR ) dan irisannya dengan S merupakan himpunan kosong. 4. Banyak elemen dari Ass(M SQ−1 ) kurang dari atau sama dengan banyak elemen dari Ass(MR ). 57


5. Syarat perlu dan cukup ideal P e berasosiasi dengan M SQ−1 adalah terdapat monomorfisma modul dari R/P ke MR dan irisan P dengan S merupakan himpunan kosong. Lebih lanjut jika N submodul di M maka Ass(N SQ−1 ) subhimpunan dari Ass(M SQ−1 ). 6. Diberikan R−modul tak nol M dan R−submodul N . Himpunan N = {0} merupakan syarat cukup bagi Ass(N SQ−1 ) sama dengan himpunan kosong. Konversnya berlaku jika diberi tambahan syarat R merupakan ring Noetherian kanan dan tidak ada elemen S yang mengenolkan elemen N . 7. Selalu berlaku gabungan dari P e dengan P ∈ Ass(M ) dan P ∩ S = ∅ merupakan subhimpunan z(M SQ−1 ). Jika ditambahkan syarat R merupakan ring Noetherian kanan maka diperoleh himpunan yang sama. 8. Syarat perlu NR submodul di MR adalah Ass(M SQ−1 ) merupakan subhimpunan dari Ass(N SQ−1 ) digabung dengan Ass(M SQ−1 /N SQ−1 ). 9. Himpunan asssosiasi prima dari jumlahan langsung terhitung dari modul fraksi sama dengan gabungan dari assosiasi prima masing-masing modul fraksi tersebut.

Daftar Pustaka [1]. Annin S, 2011, Associated Primes over Skew Polynomial Rings, Communications in Algebra, 30(5), 25112528 (2002). [2]. Annin S dan Warner, N.J., 2012, Associated Primes under Noncommutative Localization, Preliminary version. [3]. Lam, T.Y.,1998, Lectures On Modules and Rings ISBN 0-387-98428-3 , California. [4]. Deore, R.P., 2008, On Associated Primes and Primary Subsemimodule, International Journal of Algebra, Vol. 2, 2008, no.16, 795-801. [5]. Dummit, D.S dan Foote, R.M.,2003, Abstract Algebra ISBN 0471433349, 9780471433347 , California. [6]. Mc Casland, R.L. and Smith, P.F.,2008, Generalized Associated Primes and Radicals of Submodules International Electronic Journal of Algebra Volume 4 (2008) 159-176. [7]. Savitt D,2000, Associated Primes and Primary Decomposition Preliminary version. [8]. Tavallaee, H.A.,2010, On Associated and Supported Primes Mathematical Sciences Vol. 4, No. 1 (2010) 49-66.

58

Kajian Keinjektifan Modul (Modul Injektif, Modul Injektif Lemah, Modul Mininjektif ) Baidowi1 , Yunita Septriana Anwar2 1

2

Jurusan PMIPA FKIP Universitas Mataram, [email protected] Jurusan PMIPA FKIP Universitas Muhammadiyah Mataram, na2 [email protected]

Abstrak. Diberikan M adalah R-modul. Modul M dikatakan injektif jika untuk setiap monomorfisma φ : M → N dan setiap homomorfisma ψ : M → Q terdapat homomorfisma h : N → Q sedemikian hingga ψ = hφ. Modul M dikatakan injektif-lemah jika M adalah N -injektif lemah untuk setiap modul N yang dibangun berhingga. Sedangkan M dikatakan mininjektif jika untuk setiap homomorfisma dari f : K → Q dengan K ideal sederhana dari R, terdapat homomorfisma ϕ: R → Q sedemikian hingga f = ϕi. Kajian keinjektifan dalam tulisan ini meliputi modul injektif, modul injektif-lemah, dan modul mininjektif yang mengkaji karakterisasi dari masing-masing modul. Khusunya ketiganya memiliki karakterisasi yang khusus pada jumlahan tak berhingganya. Kata Kunci: Modul injektif, modul injektif-lemah, modul mininjektif

1

Pendahuluan

Modul injektif pertama kali muncul dalam konteks grup Abelian. L. Zippin meneliti di tahun 1935 bahwa grup Abelian disebut injektif jika dan hanya jika grup Abelian tersebut merupakan penjumlah langsung dari sebarang grup yang memuatnya sebagai subgrup. Perumuman dari modul injektif atas sebarang ring pertama kali diteliti oleh R. Baer di tahun 1940 [1]. Baer bekerja dengan apa yang disebutnya modul lengkap (complete module) atas ring R. Baer membuktikan bahwa suatu modul dikatakan lengkap jika dan hanya jika modul tersebut merupakan penjumlah langsung dari setiap modul yang memuatnya. Modul lengkap inilah yang kemudian disebut modul injektif. Modul M disebut relatif injektif terhadap modul N atau N -injektif, jika untuk setiap monomorfisma β : X → N dan setiap homomorfisma ψ : X → M terdapat homomorfisma σ : N → M sedemikian hingga ψ = σβ. Modul M disebut modul injektif jika M adalah R-injektif. Sebarang jumlahan berhingga dari keluarga R-modul injektif juga merupakan modul injektif tetapi tidak berlaku untuk jumlahan tak berhingganya. H. Bass dan Z. Papp mengkaji bahwa jumalahan tak berhingga keluarga R-modul injektif juga merupakan modul injektif asalkan R adalah ring Noetherian. Modul M dikatakan relatif injektif lemah terhadap modul N atau N injektif lemah jika untuk setiap homomorfisma ψ : N → E(M ) berlaku ψ(N ) ⊂ X ∼ = M untuk setiap submodul X dari E(M ). Sedangkan modul M dikatakan injektif-lemah jika M merupakan modul N -injektif lemah untuk setiap modul N yang dibangun berhingga. Modul injektif-lemah tertutup terhadap jumlahan langsung berhingga dan perluasan esensialnya, tetapi terhadap penjumlah langsungnya modul injektif-lemah tidak bersifat tertutup. 59


Begitu juga untuk jumlahan langsung sebanyak tak berhingga dari modul injektif-lemah belum tentu kembali menjadi modul injektif-lemah. Dalam Teorema 3 dinyatakan bahwa untuk R ring q.f.d, maka jumlahan langsung sebanyak tak berhingga R-modul injektif-lemah adalah modul injektif-lemah. Modul M disebut modul mininjektif jika untuk setiap homomorfisma dari f : K → M dengan K ideal sederhana dari R, terdapat homomorfisma ϕ: R → M sedemikian hingga f = ϕi. Setiap modul injektif adalah modul mininjektif. Yang menarik dari karakterisasi modul mininjektif adalah bahwa jumlahan tak berhingga keluarga modul mininjektif juga merupakan modul mininjektif untuk sebarang ring R. Dalam tulisan ini diasumsikan bahwa R adalah ring asosiatif dengan elemen identitas dan semua R-modul kanan unital. Misalkan R ring, M dan N adalah R-modul. Submodul K dari dari R-modul M disebut esensial di M , jika untuk setiap submodul tak nol L ⊂ M berlaku K ∩ L 6= 0. Modul M disebut perluasan esensial dari K dan dinyatakan dengan K ✂ M . Lebih lanjut, monomorfisma f : L → M disebut esensial jika Im f merupakan submodul esensial di M . Notasi N ⊂ess M , N ⊂⊕ M , dan E(N ) berturut-turut menyatakan N submodul esensial dari M , N jumlahan langsung dari M , dan amplop injektif dari N . Karakterisasi dari modul injektif diambil dari [2], [3], [4], [5], karakterisasi modul injektif lemah diambil dari [6], [7], sedangkan karakterisasi modul mininjektif diambil dari [8], [9].

2 2.1

Pembahasan Modul Injektif

Modul injektif secara formal merupakan dual dari modul proyektif. Dualitas yang dimaksud adalah dengan membalik semua arah panah pada pemetaan dalam modul proyektif dan menukar epimorpisma dengan monomorphisma. Suatu R-modul Q disebut injektif jika untuk setiap barisan eksak pendek 0 → L → M → N → 0 dengan L, M , N adalah R-modul, maka kontravariant fungtor Hom(−, Q) eksak kanan. Definisi modul injektif dapat juga dinyatakan dalam diagram komutatif berikut. Definisi 1. Suatu R-modul Q disebut modul injektif jika untuk setiap monomorfisma φ : M → N dan setiap homomorfisma ψ : M → Q terdapat homomorfisma h : N → Q sedemikian hingga diagram berikut komutatif: φ

0 −−−→ M −−−→ N   ψy Q yaitu ψ = hφ Himpunan bilangan rasional Q sebagai Z-modul merupakan salah satu contoh dari modul injektif. Modul U dikatakan relatif injektif terhadap modul M 60


atau M -injektif jika untuk setiap monomorfisma f : K → M dan setiap homomorfisma g: K → U , terdapat homomorfisma h: M → U sedemikian hingga diagram berikut komutatif: f

0 −−−→ K −−−→ M   gy U yaitu hf = g. Sifat-sifat dari modul injektif dan M -injektif dapat dirujuk pada [2], [3], [4], dan [5]. Hasil kali langsung atau jumlahan berhingga dari keluarga modul injektif juga merupakan modul injektif seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut. Q Teorema 1. Hasil kali langsung ( direct product) Q = α∈I Qα dari modulmodul injektif Q adalah modul injektif jika dan hanya jika untuk setiap Q adalah modul injektif. Q Bukti. Misalkan Q = α∈I Qα adalah modul injektif dan fα : M → Qα adalah sebarang homomorfisma. Karena Q adalah hasil kali langsung modul-modul injektif, maka untuk setiap α ∈ I terdapat inklusi iα : Qα → Q dan proyeksi πα : Q → Qα sedemikian hingga πα iα = 1Qα . Perhatikan diagram berikut: φ

0 −−−→ M −−−→ N   fα y i

α Qα −−− → Q

dengan 0 → M → N adalah barisan eksak pendek. Karena Q modul injektif, terdapat homomorfisma hα : N → Q sedemikian hingga hα φ = iα fα . Didefinisikan ψα : N → Qα sebagai ψα = πα hα . Karena πα iα = 1Qα , diperoleh ψα φ = πα hα φ = πα iα fα = fα , yaitu diagram berikut komutatif. φ

0 −−−→ M −−−→   fα y Qα

N   y hα Q

Q sehingga Qα adalah modul injektif. Sebaliknya, misalkan Q = α∈I Qα . Misalkan setiap modul Qα adalah modul injektif. Perhatikan diagram berikut dimana 0 → M → N adalah barisan eksak pendek. φ

0 −−−→ M −−−→ N   fy Q Untuk setiap α ∈ I, terdapat inklusi iα : Qα → Q dan proyeksi πα : Q → Qα . Sehingga dapat dibentuk homomorfisma πα f : M → Qα . Mengingat Qα 61


adalah modul injektif, terdapat homomorfisma hα : N → Qα sedemikian hingga hα φ = πα f . Didefinisikan homomorfisma h : N → Q sebagai h(x) = {hα (x)}α∈I untuk setiap n ∈ N . Tinggal ditunjukkan diagram berikut φ

0 −−−→ M −−−→   fy π

N   y hα

α Q −−− → Qα

komutatif. Perhatikan bahwa hφ(x) = {hα φ(x)}α∈I . Akibatnya f = hφ dan Q adalah modul injektif. Dari Teorema 1 diperoleh bahwa jumlah langsung yang berhingga dari modul-modul injektif juga merupakan modul injektif. Tetapi secara umum untuk jumlahan langsung tak berhingga modul-modul injektif belum tentu merupakan modul injektif. H. Bass dalam [10] dan Z. Papp dalam [11] mengkaji bahwa jumalahan tak berhingga keluarga R-modul injektif juga merupakan modul injektif asalkan R adalah ring Noetherian seperti yang dinyatakan teorema berikut. Teorema 2. Suatu ring R merupakan ring Noetherian jika dan hanya jika setiap jumlahan langsung dari modul-modul injektif atas R adalah modul injektif. Bukti. Misalkan R adalah ring Noetherian dan I adalah ideal kanan di R. Mengingat setiap ideal dari ring Noetherian dibangun berhingga, maka I dibangun berhingga, yaitu terdapat himpunan berhingga {x1 , x2 , · · · ,P xn } generatorgenerator I. Sehingga setiap x ∈ I dapat dinyatakan sebagai x = ni=1 xi ai . Misalkan Q = ⊕j∈J Qj , dimana Qj adalah R-modul injektif. Dibentuk homomorfisma ϕ: I → Q = ⊕j∈J Qj . Untuk setiap generator xi di I terdapat hanya sebanyak berhingga j sedemikian hingga ϕ(xi ) memiliki komponen ke-j tidak sama dengan nol. Karena hanya terdapat sebanyak berhingga xi , maka terdapat subset I0 dari J sedemikian hingga ⊕j∈J0 Qj ⊂ ⊕j∈J Qj . Dilain pihak, karena ⊕j∈J0 Qj adalah modul injektif, maka untuk sebarang diagram θ

0 −−−→ I −−−→ R   ϕy Q dapat dibentuk diagram komutatif 0 −−−→

θ

I   ϕy

−−−→ R

⊕j∈J0 Qj   σy Q

62


dengan σ adalah inklusi dan gθ = ϕ dimana g: R → ⊕j∈J0 Qj . Dengan memisalkan g ′ = σg diperoleh Q adalah modul injektif. Sebaliknya, misalkan Q = ⊕j∈J Qj adalah modul injektif dengan setiap Qj adalah R-modul injektif. Andaikan R bukan ring Noetherian. Maka terdapat tak berhingga rantai naik dari idelS ideal: I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · ·. Misalkan I = In . Karena setiap modul merupakan submodul dari suatu modul injektif (Teorema Baer), maka untuk sebarang n terdapat modul injektif Qn sedemikian hingga barisan 0 → I/In → Qn eksak. Didefinisikan S ϕ: I → Q dengan ϕ(x) = ⊕ϕn (x + In ) untuk setiap x ∈ I. Mengingat I = In , untuk setiap x ∈ I terdapat n sedemikian hingga x ∈ In . Akibatnya, ϕn (x + In ) = 0 untuk sebanyak berhingga n. Sehingga ϕ(x) ∈ ⊕n∈S ϕn (x + In ) = Q′ , dimana S adalah himpunan berhingga. Sehingga Q′ adalah modul injektif. Oleh sebab itu, terdapat homomorfisma g: R → Q′ sedemikian hingga diagram berikut θ

0 −−−→ I −−−→ R   ϕy Q′

komutatif. Dalam kasus ini ϕn (x + In ) = gn dengan g(x) = ⊕gn (x). Tetapi ϕn (x + In ) = gn (x) = xgn (1) untuk setiap x ∈ In . Ini berakibat gn (1) 6= 0 untuk setiap n ∈ S. Sehingga g(1) ∈ / Q′ . Timbul kontradiksi, sehingga haruslah R adalah ring Noetherian. 2.2

Modul Injektif Lemah

Diberikan M dan N adalah R-modul. Modul M disebut modul N -injektif lemah jika untuk setiap homomorfisma φ : N → E(M ) terdapat submodul X ⊂ E(M ) yang isomorfis dengan M sedemikian hingga φ(N ) ⊂ X. Jika modul M adalah N -injektif lemah untuk setiap modul N yang dibangun berhingga, maka modul M dikatakan injektif-lemah. Modul M disebut modul kuasi injektif-lemah jika M adalah M -injektif lemah. Dengan cara yang sama, R-modul M disebut Rn -injektif lemah jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , · · · , xn ∈ E(M ) terdapat submodul X dari E(M ) sedemikian hingga xi ∈ X ⊂ M , i = 1, 2, · · · , n. Definisi dari modul N -injektif lemah dapat juga dinyatakan dalam diagram komutatif seperti pada lemma berikut. Lemma 1. Modul M adalah N -injektif lemah jika dan hanya jika untuk setiap homomorfisma φ : N → E(M ), terdapat monomorfisma σ : M → E(M ) dan homomorfisma σ ¯ : N → M sedemikian hingga diagram berikut komutatif, φ

0 −−−→ N −−−→ E(M )   σ ¯y M yaitu σ¯ σ = φ. 63


Suatu modul M dikatakan N -injektif lemah jika dan hanya jika M juga K-injektif lemah untuk setiap submodul K dari N . Ini juga ekuivalen dengan M adalah N/K-injektif lemah seperti yang dinyatakan dalam lemma berikut. Lemma 2. Misalkan M dan N adalah R-modul. Pernyatan berikut ekuivalen: 1. Modul M adalah N -injektif lemah; 2. Modul M adalah N/K-injektif lemah untuk setiap K ∈ N ; dan 3. Untuk setiap monomorfisma φ : N/K → E(M ) terdapat monomorfisma ˆ : N/K → M sedemikian hingga φ = σ h, ˆ untuk σ : M → E(M ) dan h setiap submodul K dari N . Lemma berikut menyatakan sifat relatif injektif-lemah tertutup terhadap jumlahan berhingga dan perluasan esensialnya. Lemma 3. Diberikan M ,N , dan L adalah R-modul. 1. Jika L dan M adalah modul N -injektif lemah, maka L ⊕ M adalah N injektif lemah. 2. Jika M adalah N -injektif lemah dan L perluasan esensial dari M , maka L adalah N -injektif lemah. Bukti. 1. Diberikan L dan M adalah modul N -injektif lemah. Akan ditunjukkan L ⊕ M adalah N -injektif lemah. Karena L modul N -injektif lemah, maka untuk setiap ϕ1 : N → E(L) terdapat submodul X1 ⊂ E(L) sedemikian hingga ϕ1 (N ) ⊂ X1 ≃ L. Dengan cara yang sama, karena M modul N injektif lemah, maka untuk setiap homomorfisma ϕ2 : N → E(M ) terdapat submodul X2 ⊂ E(M ) sedemikian hingga ϕ2 (N ) ⊂ X2 ≃ M . Didefinisikan ϕ: N → E(L ⊕ M ) sebagai ϕ(N ) = ϕ1 (N ) + ϕ2 (N ). Pilih X = X1 ⊕ X2 , sehingga ϕ(N ) = ϕ1 (N ) + ϕ2 (N ) ⊂ X1 ⊕ X2 ⊂ X. Jadi L ⊕ M adalah N -injektif-lemah. 2. Diberikan M modul N -injektif lemah dan L perluasan essensial dari M . Akan ditunjukkan L modul N -injektif lemah. Misalkan σ: N → E(L) sebarang homomorfisma. Karena M modul N -injektif lemah, maka untuk setiap homomorfisma ϕN → E(M ), terdapat submodul X ⊂ E(M ) yang isomorfis dengan M sedemikian hingga ϕ(N ) ⊂ X. Mengingat L✂M , maka E(L) ≃ E(M ). Sehingga σ(N ) ⊂ E(M ) = E(L) ⊂ X. Jadi M modul L-injektif-lemah. Suatu R-modul M disebut modul seragam jika untuk setiap dua submodul taknol di M beririsan tidak trivial. Ini ekuivalen dengan mengatakan setiap submodul di M merupakan submodul esensial. Suatu R-modul M dikatakan memiliki dimensi seragam n ∈ Z (ditulis n · dim M = n) jika terdapat submodul esensial V ⊂ess M yang merupakan jumlahan langsung sebanyak n dari submodul-submodul seragam. Jika tidak terdapat bilangan bulat n yang bersifat demikian dikatakan n · dim M = ∞. Untuk sebarang modul M , 64


n · dim M = 0 jika dan hanya jika M = 0. Begitu juga, n · dim M = 1 jika dan hanya M adalah modul seragam. Suatu R-modul M disebut relatif rapat (tight) ke R-modul N jika untuk setiap modul faktor N/K dari N dapat disisipkan di E(M ), N/K juga dapat disisipkan di M (dapat dengan penyisipan yang berbeda). Modul M dikatakan rapat jika M adalah N -rapat untuk setiap modul N yang dibangun berhingga. Hubungan antara relatif rapat dan relati injektif-lemah menjadi ekuivalen untuk setiap modul seragam seperti yang dinyatakan dalam lemma berikut. Lemma 4. Untuk setiap modul seragam M , modul M adalah N -injektif lemah jika dan hanya jika M adalah N -rapat. Jumlahan langsung sebanyak tak berhingga dari modul injektif lemah (rapat) belum tentu menjadi modul injektif lemah (rapat). Tetapi jika ring R merupakan ring q.f.d, jumlahan langsung sebanyak berhingga dari modul injektiflemah (rapat) juga merupakan modul injektif-lemah (rapat). Sebelumnya diberikan dahulu definisi mengenai ring q.f.d. Definisi 2. Ring R disebut ring q.f.d jika dan hanya jika untuk setiap Rmodul siklik memiliki dimensi seragam yang berhingga (Goldie). Ini ekuivalen dengan mengatakan setiap R-modul siklik atau setiap R-modul yang dibangun berhingga memiliki socle yang dibangun berhingga yang mungkinkan sama dengan nol. Lebih lanjut, ring R disebut q.f.d jika dan hanya jika setiap R-modul yang dibangun berhingga memiliki dimensi seragam yang berhingga. Teorema berikut menjamin jumlahan langsung dari R-modul injektif lemah juga kembali menjadi modul injektif lemah asalkan ring R merupakan ring q.f.d. Teorema 3. Untuk ring kanan R, kondisi berikut ekuivalen: 1. Ring R adalah ring q.f.d kanan; 2. Setiap jumlah langsung dari R-modul injektif adalah modul injektif-lemah; 3. Setiap jumlah langsung dari R-modul injektif lemah adalah modul injektiflemah; 4. Setiap jumlah langsung dari R-modul injektif lemah adalah R-injektif lemah; 5. Setiap jumlah langsung dari R-modul injektif yang tidak dapat dikomposisikan adalah R-injektif lemah. Bukti. Ditunjukkan dahulu (1) ⇒ (2). Misalkan M = ⊕i∈Λ Ei , dimana untuk setiap i ∈ Λ, Ei adalah R-modul injektif. Misalkan N adalah submodul E(M ) yang dibangun berhingga. Karena R adalah ring q.f.d, maka N memuat jumlahan langsung dari submodul-submodul seragam U1 ⊕· · ·⊕Uk sebagai submodul esensialnya. Karena M ⊂ess E(M ), maka terdapat 0 6= qi ∈ Ui ∩ M . Sehingga, ⊕ki=1 qi R termuat di dalam jumlah langsung berhingga Ei1 ⊕ · · · ⊕ Eit dari M , dimana j = 1, · · · , t, ij ∈ Λ. Karena jumalahan langsung berhingga dari R-modul injektif juga merupakan R-modul injektif, diperoleh Ei1 ⊕· · ·⊕Eit juga R-modul injektif. Mengingat bahwa amplop injektif suatu R-modul merupakan R-modul injektif minimal yang memuat suatu R-modul, ini berakibat Ei1 ⊕· · ·⊕Eit memuat amplop injektif E dari ⊕ki=1 qi R. 65


Selanjutnya, karena E adalah modul injektif dan termuat di M , maka M dapat dinyatakan sebagai M = E ⊕ K, untuk suatu submodul K dari M . Misalkan E(N ) amplop injektif dari N di dalam E(M ). Sehingga E(N ) = ⊕ki=1 E(Ui ) = ⊕ki=1 E(qi R) ≃ E. Karena ⊕ki=1 qi R ⊂ess E(N ), sehingga E(N ) ∩ K = 0. Selanjutnya, misalkan X = E(N ) ⊕ K ≃ E ⊕ K = M . Diperoleh N ⊂ X. Jadi M adalah R-modul injektif-lemah. Kondisi (2) berakibat langsung pada kondisi (5). Selanjutnya, ditunjukkan (5) ⇒ (1). Misalkan R/I adalah modul siklik. Jika Soc(R/I) = 0 bukti selesai. Andaikan bahwa M = Soc(R/I) 6= 0. Misalkan M = ⊕i∈Λ Si dengan Si dari R-modul sederhana. Akan ditunjukkan M dibangun berhingga. Perhatikan bahwa : E(M ) = E(⊕i∈Λ Si ) = E(⊕i∈Λ E(Si )). b = E(⊕i∈Λ E(Si )). Karena sebarang modul sederhana merupakan Misalkan E modul yang tidak dapat didekomposisikan, dari hipotesis yang diberikan diperb = E(⊕i∈Λ E(Si )) merupakan oleh jumlah langsung dari modul sederhana E modul R-injektif lemah. b = E(⊕i∈Λ E(Si )) merupakan R/IDari Lemma 2 (ii) diperoleh bahwa E injektif lemah. Perhatikan diagram berikut: ϕ b = E(⊕i∈Λ E(Si )) M = ⊕i∈Λ Si −−−→ E   λy

R/I b terdapat homomordimana ϕ dan λ adalah inklusi. Dari sifat injektif di E, b = E(⊕i∈Λ E(Si )) sedemikian hingga ϕλ fisma ϕ: b R/I → E b = ϕ. Lebih lanjut, b karena E = E(⊕i∈Λ E(Si )) merupakan R/I-injektif lemah, terdapat submodul b sedemikian hingga ϕ(1 X ⊂E b + I) ∈ X ≃ ⊕i∈Λ E(Si ). Akibatnya, terdapat subset berhingga Γ dari Λ dan keluarga submodul-submodul yang saling lepas {Xi }i∈Γ sedemikian hingga ϕ(1 b + I) ∈ ⊕i∈Γ Xi dan Xi ≃ E(Si ) untuk setiap i ∈ Γ . Begitu juga, M = ϕ(M ) ⊂ ϕ(R/I) b = ϕ(1+I) b ⊂ ⊕i∈Γ Xi . Mengingat setiap Xi adalah modul seragam, maka M memuat berhingga dimensi seragam. Akibatnya, M dibangun berhingga. Dengan demikian R adalah ring q.f.d. Selanjutnya ditunjukkan (2) ⇒ (3). Misalkan M = ⊕i∈Λ Mi , dimana Mi merupakan modul injektif lemah untuk setiap i ∈ Λ. Misalkan N adalah submodul dari E(M ) yang dibangun berhingga. Dari asumsi yang diberikan, jumlahan langsung dari ⊕i∈Λ E(Mi ) juga modul injektif lemah. Selanjutnya, M ⊂ess ⊕i∈Λ E(Mi ) ⊂ess . Mengingat ⊕i∈Λ E(Mi ) merupakan modul injektif lemah, terdapat submodul Y ⊂ E(M ) sedemikian hingga N ⊂ Y dan Y ≃ ⊕i∈Λ E(Mi ). Misalkan Y = ⊕i∈Λ E(Yi ) sedemikian hingga Mi ≃ Yi untuk setiap i ∈ Λ. Karena N submodul E(M ) yang dibangun berhingga, terdapat subset berhingga Γ ⊂ Λ sedemikian hingga N ⊂ ⊕i∈Γ E(Yi ) = E(⊕i∈Γ Yi ). Karena setiap Yi merupakan modul injektif lemah, jumlahan berhingga ⊕i∈Γ Yi juga merupakan modul injektif lemah. Sehingga, terdapat Xi ≃ ⊕i∈Γ Yi ≃ ⊕i∈Γ Mi 66


sedemikian hingga N ⊂ X1 ⊂ E(⊕i∈Γ Yi ). Tetapi N ⊂ X1 ⊕(⊕i∈Λ−Γ )Yi = X ≃ M. Selanjutnya, R-modul injektif-lemah ekuivalen dengan R-modul rapat dimana ring R merupakan ring q.f.d. Teorema 4. Jika R ring q.f.d, maka setiap R-modul rapat adalah R-modul injektif-lemah. Bukti. Terdapat di Teorema 2.10 dalam [6]. Dengan memanfaatkan Teorema 4, Teorema 3 dapat diperluas menjadi teorema berikut. Teorema 5. Untuk ring kanan R, kondisi berikut ekuivalen: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Ring R adalah ring q.f.d kanan; Setiap jumlah langsung dari R-modul injektif kanan adalah injektif-lemah; Setiap jumlah langsung dari R-modul injektif kanan adalah rapat; Setiap jumlah langsung dari R-modul rapat adalah rapat; Setiap jumlah langsung dari R-modul injektif-lemah kanan adalah rapat; Setiap jumlah langsung dari R-modul injektif-lemah kanan adalah R-rapat; dan 7. Setiap jumlah langsung dari injektif kanan R-modul yang tidak dapat dikomposisikan adalah R-rapat. 2.3

Modul Mininjektif

Jika R ring, suatu R-modul Q disebut modul mininjektif jika untuk setiap homomorfisma dari f : K → Q dengan K ideal sederhana dari R, terdapat homomorfisma ϕ: R → Q sedemikian hingga f = ϕi. Setiap modul injektif adalah modul mininjektif. Sifat dasar dari mininjektif modul diberikan teorema berikut. Teorema 6. Misalkan Q adalah R-modul dan Q = Q1 ⊕ Q2 . Maka 1. Modul M adalah mininjektif jika dan hanya jika setiap Mi adalah mininjektif. 2. Jika M adalah mininjektif lemah, maka setiap Mi juga mininjektif lemah. Suatu R-modul N disebut modul M -mininjektif jika untuk setiap homomorfisma f : X → N dengan X submodul M -siklik sederhana dari M , terdapat homomorfisma dari ϕ: M → N sedemikian hingga f = ϕi. Jika N adalah modul dengan socle nol, maka N adalah M -mininjektif. Lebih lanjut, jika M memiliki radikal nol, maka setiap R-modul N adalah M -mininjektif. Karakterisasi dasar dari modul mininjektif diberikan dalam teorema-teorema berikut. Teorema 7. Misalkan M dan N adalah R-modul. 1. Jika N adalah M -mininjektif, maka N adalah X-mininjektif untuk setiap submodul M -siklik X dari M . 67


2. Jika N adalah M -mininjektif dan X ≃ N , maka X adalah M -mininjektif. Teorema 8. Misalkan M adalah R-modul dan N adalah modul M -mininjektif. Jika N esensial di modul K, maka K juga modul M -mininjektif. Seperti halnya pada modul injektif dan modul injektif-lemah, jumlahan berhingga dari keluarga modul mininjektif juga merupakan modul mininjektif, tetapi pada modul mininjektif jumlahan tak berhingga keluarga modul mininjektif juga merupakan modul mininjektif untuk sebarang ring. Teorema 9. Misalkan M adalahQR-modul dan {Ni |i ∈ I} adalah keluarga dari M -mininjektif modul. Maka i∈I Ni adalah M -mininjektif. Q Bukti. Misalkan ϕ: s(M ) → i∈I Ni adalah homomorfisma dengan s ∈ S = EndR (M ) dan s(M ) sederhana. Maka φi ϕ adalah homomorfisma dari s(M ) ke Ni untuk setiap i Q ∈ I. Dari hipotesis yang diberikan dan definisi dari produk, Q terdapat ϕ: b M → i∈I Ni . jadi i∈I Ni adalah modul M -mininjektif. Teorema 10. Jumlahan langsung dari modul-modul M -mininjektif adalah M mininjektif. Bukti. Misalkan ϕ: s(M ) → ⊕i∈I Ni dengan s ∈ S = EndR (M ), s(M ) adalah sederhana setiap Ni adalah M -mininjektif. Karena ϕs(M ) sederhana, maka ϕs(M ) termuat dalam jumlahan berhingga ⊕i∈I0 Ni , dimana I0 adalah subset berhingga dari I. Dengan menggunakan Teorema 9, dapat ditemukan suatu homomorfisma ϕ: b M → ⊕i∈I0 Ni . Jadi ⊕i∈I Ni adalah modul M -mininjektif.

Daftar Pustaka [1]. Baer, R., direct summands of every containing Abelian group, Bull. Amer. Math. Soc.v.46 (1940), 800-806. [2]. Adkins, W.A and Weintraub,S.H., Algebra, An Aproach via Module Theory, Springer Verlag, New York, 1992. [3]. Fuller, A., Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York, 1992. [4]. Hazewinkel et al, Algebras, Rings and Modules, Kluwer Academics Publishers, New York, 2004. [5]. Wisbauer, R., Foundation of Modul and Ring Theory, Gordon and Breach, 1991. [6]. Jain, S.K and Lopez-Permouth, S.R., A Survey on the Theory of Weakly-Injective Modules, Computational Algebra, Marcel Dekker. 205-232. [7]. Nicholson, W.K. and Yousif, M.F., Quasi-Frobenius Rings, Cambridge University Press, 2003. [8]. Nicholson, W.K., Mininjective Rings, Journal of Algebra 187, 548-579 (1997). [9]. Harada, Manabu, Self-Miniinjekctive Rings, Osaka J. Math, 19 (1982), 587-597. [10]. Bass,H., Injective dimension in Noetherian rings , Trans. Amer.Math. Soc. v.102 (1962), 18-29. [11]. Papp, Z., On algebraically closed modules, Publ. Math. Debrecen v.6 (1959), 311-327.

68

PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL DAN SOLUSINYA MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE Endang Rusyaman 1, Kankan Parmikanti 2, Ema carnia3 1

Departemen Matematika FMIPA Unpad, [email protected] Departemen Matematika FMIPA Unpad, [email protected] 3 Departemen Matematika FMIPA Unpad, [email protected] 2

Abstrak. Transformmasi Laplace sangat efektif digunakan untuk menyelesaikan sebuah persamaan diferensial biasa berorde bilangan asli. Namun demikian, sejauh mana efektifitasnya apabila digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial berorde fraksional. Dengan didahului pembahasan tentang generalisasi transformasi Laplace untuk fungsi turunan berorde fraksional, dalam makalah ini akan dikaji suatu bahasan tentang persamaan diferensial berorde fraksional, mulai dari bentuk umum, metode penyelesaian, dan beberapa contoh permasalahan. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa metode Laplace bekerja efektif untuk persamaan diferensial fraksional. Kata kunci: persamaan diferensial, fraksional, Laplace, PDF.

1. Pendahuluan Telah diketahui secara umum bahwa tranformasi Laplace banyak berperan penting dalam menyelesaikan masalah Persamaan Diferensial Biasa. Akan dilihat sejauh mana keefektifannya dalam menyelesaikan persamaan diferensial berorde fraksional (PDF). Untuk itu, terlebih dahulu disajikan beberapa definisi dan teorema yang akan digunakan dalam kajian ini. Definisi 1.1: Fungsi Gamma yang dinotasikan dengan sebagai ;

(n)

didefinisikan

>0.

Sebuah rumus rekursi dari fungsi Gamma adalah ( + 1) = ( ), di mana (1) = 1. Akibat dari rumus rekursi di atas diperoleh rumus turunannya, yaitu 69

Nasional Matematika XVII - 2014

11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya

+ 1) = ! .

Salah satu fungsi khusus lain yang sangat penting dalam kalkulus fraksional adalah fungsi Mittag-Reffler yang diperkenalkan th.1953. Fungsi tersebut tersaji pada definisi berikut [1]. Definisi 1.2: Transformasi Laplace dari fungsi f(t) didefinisikan sebagai ( )

L {f(t)} = F(s) =

.

Sebaliknya, f(t) disebut invers transformasi Laplace dari F(s) yang dinotasikan dengan L -1{F(s)} = f(t). Berikut adalah tiga buah contoh transformasi Laplace dan invergsnya. (

1. L {tn} =

)

2. L {eat} = 3. L -1

; p > –1 ,

;s>a,

dan

= 2 t3 .

Teorema 1.3: Jika f(t) fungsi yang terdiferensial n kali, maka berlaku L {f(n)(t)} = sn L {f(t)} – sn-1 f(0) – sn-2 f’(0) – . . . – f (n-1) (0) . ( ) merupakan turunan dari f(t) terhadap t dengan orde Dalam hal fraksional α, maka tranformasi Laplace dengan syarat awal nol adalah: L{

\

( ); } = sα L {f(t)} = sα F(s) .

. . . (1)

Definisi 1.4: Fungsi Mittag-Leffler yang merupakan fungsi dengan dua parameter α dan β adalah ,

( )=

(

;

+ )

>0,

> 0.

Secara lebih khusus, untuk beberapa nilai α dan β tertentu diperoleh fungsi-fungsi yang lebih dikenal, antara lain:

1.

,

( )=

2.

,

(

3.

,

( )=

)=

( + 1)

=

!

=

( ) = ( 2 + 1) ( + 2)

=

.

( 1) (2 )! ( + 1) ! 70

=

= cos 1

.

.

Nasional Matematika XVII - 2014


4.

,

( )=

( 2 + 1)

=

= cosh

(2 )!

.

Dalam hal β = 1, fungsi Mittag-Leffler menjadi fungsi dalam satu parameter yaitu ( )

,

( )=

(

+ 1)

.

Fungsi lain dari tipe Mittag-Leffler yang juga diperkenalkan oleh Podlubny th.[3], adalah ( ) ), ε ( ,λ ; , ) = . . . (2) , (λ di mana yaitu

( ) , (

) adalah turunan ke-k dari fungsi Mittag-Leffler dua parameter ( ) , (

( + )! ; ! ( + + )

)=

= 0, 1, 2,

.

Contoh transformasi Laplace dari beberapa fungsi Mittag-Leffler adalah sebagai berikut (Magin, 2008 ; Podlubny[3]): ,

( λ

) =

λ

,

( λ

) =

λ

1.

L

2.

L

3.

L {ε ( , ±λ ;

α

, )} =

(

!

, , dan . . . (3)

λ)

2. Persamaan Diferensial Fraksional Persamaan diferensial fraksional adalah persamaan diferensial di mana turunannya berorde fraksional. Ada tiga bentuk yang akan dibahas dalam makalah ini. 2.1 Bentuk-1:

a y (α) + b y = 1 dengan

1

α

Untuk mendapatkan solusi dari persamaan menggunakan transformasi Laplace diperoleh

2

diferensial

. . . (4) ini,

L { a y (α) + b y } = L { 1 }.

Dengan menggunakan sifat kelinearan transfomasi Laplace, didapat a L { y (α) } + b L { y } = L { 1 }, 71

dengan

! " #$$ Nasional Matematika XVII - 2014


sehingga dengan rumus (1) menjadi a sα F(s) + b F(s) =

,

atau F(s) ( a sα + b) =

.

Dengan demikian % &

.

=

Solusi umum y(t) dengan menggunakan (3) diperoleh y(t) = L -1{F(s)}

!

= L -1 ,

ε

=

;

,

+1 .

Selanjutnya dengan menggunakan (2) diperoleh bentuk lain dari y(t) yaitu ,

y(t) =

.

Akhirnya, berdasarkan definisi fungsi Mittag-Leffler diperoleh solusi dari persamaan diferensial fraksional (4), yaitu ( ) = =

1 1

(

+

+ 1)

(

+ )!

.

Sebagai contoh, untuk α = 1 dengan a = 2 , b = 1 , dan syarat awal y(0) = 0 solusi persamaan diferensial fraksional di atas adalah: 1 1 2 = ( + 1)! 2

1 ( ) = 2

1 2

= 1

atau

( ) = 1

1 2 ( + 1)!

!

.

Dengan cara yang sama, solusi untuk α = 2 dengan a = 2 , b = 1 dan syarat awal y(0) = 0, dan y’(0) = 0 adalah: ( ) = 1 cos 2 .

72

'()*+,+-. /)-01(1-*+ Nasional Matematika XVII - 2014


Sebagai ilustrasi, enam buah grafik fungsi solusi berorde α terlihat di bawah ini.

α = 2,0

α = 1,9

α = 1,8

α = 1,5

α = 1,2

α = 1,0

Gambar-1 Grafik fungsi Solusi Bentuk-1

2.2 Bentuk-2:

a y’’ + b y(α) + c y = r(t) dengan

α<2

1

Dengan mengambil nilai a = 2 ; b = 5 ; c = 2 ; r = 2 , transformasi Laplace menghasilkan 2 L { y (2) } + 5 L { y (α) } + 2 L { y } = L { 2 }, sehingga dengan rumus (1) menjadi 2 s2 F(s) + 5 sα F(s) + 2 F(s) =

,

atau F(s) ( 2 s2 + 5 sα + 2) =

.

Dengan demikian 2 3=

4

α

5

Untuk menentukan solusi menggunakan invers transformasi Laplace, tidak sederhana karena faktor penyebut memiliki tiga suku. Namun dengan menggunakan pendekatam numerik, diperoleh grafik fungsi solusi sebagai berikut.

73

6789:;:<= >8

α =1,9

α =1,7

α =1,5

α =1,2

α =1,1

α =1,0

Gambar-2 Grafik Fungsi Solusi Bentuk-2

2.3 Bentuk-3:

a y(α) + b y(β ) + c y = r(x) dengan α > 2 , 0

β<2

Untuk nilai a = 1 , b = 0,6 , c = 1 , dan r(x) = 1, dengan cara yang sama melalui pendekatan numerik diperoleh grafik fugsisolusi

α = 2,1 , β = 0,7

α = 2,1 , β = 0,5 Gambar-3 Grafik fungsi Solusi Bentuk-3

74

α = 2,1 , β = 0,3

ABCDEFEGH ICGJKBKGDE Nasional Matematika XVII - 2014


3. Kesimpulan Transformasi Laplace masih cukup efektif digunakan untuk mencari solusi suatu persamaan diferensial fraksional, khusunya jika F(s) sebagai transformasi dari fungsi solusi memiliki dua suku pada penyebutnya yang akan memudahkan mengeinversikannya jadi fungsi Mittag-Leffler. Selain itu, dari tampilan beberapa contoh grafik fungsi solusi, terlihat bahwa apabila barisan orde fraksional (αn) konvergen ke α , maka barisan fungsi solusi Lα M akan konvergen ke LαM .

Daftar Pustaka [1]. Podlubny, I.; Chechkin. A.; Skovranek, T.; Chen, Y. Q. and Vinagre, B. M. J. Matrix approach to discrete fractional calculus II: Partial fractional differential equations, Journal of Computational Physics, Vol. 228, 3137–3153, 2009. [2]. Petraš, I. Fractional Derivatives, Fractional Integrals, and Fractional Differential Equations in Matlab Technical University of Košice Slovak Republic, 2011. [3]. Podlubny, I. Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego,1999. [4]. D. Matignon. Generalized Fractional Differential and Difference, Equations: Stability Properties and Modelling Issues. Proc. of Math. Theory of Networks and Systems Symposium, Padova, Italy, 1998. [5]. Yang Quan Chen, Ivo Petr´aˇs and Dingy¨u Xue, 2009, Fractional Order Control A Tutorial, American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA June 10-12, http://fractionalcalculus.googlepages.com, 2009.

75


76

Integral Henstock-Kurzweil Fungsi Bernilai C[a, b]: Teorema Kekonvergenan Seragam Firdaus Ubaidillah1 , Soeparna Darmawijaya2 , dan Ch. Rini Indrati3 1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember, firdaus [email protected] Mahasiswa Program Doktor di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta, [email protected] 3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta, [email protected]

1

Abstrak. Diberikan C[a, b] merupakan ruang linear dari semua fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada selang tertutup [a, b] ⊂ R. Di dalam tulisan ini, didefinisikan integral Henstock-Kurzweil fungsi bernilai C[a, b] yang terdefinisi pada selang tertutup [f, g] ⊂ C[a, b] dan sebagian sifat dasar integral Henstock-Kurzweil. Tujuan dalam tulisan ini adalah untuk membuktikan bahwa kekonvergenan seragam barisan fungsi-fungsi terintegral Henstock-Kurzweil mengakibatkan limit barisannya terintegral Henstock-Kurzweil. Kata Kunci: Fungsi bernilai C[a, b], konvergen seragam, integral Henstock-Kurzweil, fungsi terintegral Henstock-Kurzweil.

1

Pendahuluan

Dalam literatur-literatur telah banyak dibahas integral Henstock-Kurzweil fungsi-fungsi bernilai ruang Riesz yang terdefinisi pada selang tertutup [a, b] ⊂ R, diantaranya oleh Halusca [1], McGill [2], Rieˇ can [3], Rieˇ can dan Neubrunn [4], Rieˇ can dan Vr´ abelov´ a [5]. Sedangkan Bocutto dkk [6] telah membahas lebih jauh integral Henstock-Kurzweil di dalam ruang Riesz dengan berasumsi ruang Riesz yang lengkap Dedekind. Sebuah ruang Riesz X dikatakan lengkap Dedekind jika setiap himpunan bagian dari X yang terbatas ke atas mempunyai supremum. Dalam tulisan ini, C[a, b] menyatakan ruang linear dari semua fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada selang tertutup [a, b] ⊂ R. Dengan mendefinisikan relasi urutan ”≤” di dalam C[a, b], yakni jika f dan g elemenelemen di dalam C[a, b] pengertian f ≤ g bermakna f (x) ≤ g(x) untuk setiap x di dalam [a, b], (C[a, b], ≤) merupakan ruang Riesz. Namun, C[a, b] bukan merupakan ruang Riesz yang lengkap Dedekind, sebab barisan {fn } ⊂ C[0, 1] yang didefinisikan fn (x) = 1 − xn , untuk setiap x ∈ [0, 1] merupakan barisan terbatas ke atas tetapi barisan {fn } tidak mempunyai supremum.

2

Pembahasan

Untuk setiap f, g ∈ C[a, b] dan setiap α, β ∈ R berlaku αf + βg ∈ C[a, b]. Dengan mendefinisikan perkalian di dalam C[a, b], yakni f g ⇔ (f g)(x) = 77


f (x)g(x) untuk setiap x ∈ [a, b], C[a, b] merupakan aljabar komutatif dengan elemen satuan e, dengan e(x) = 1 untuk setiap x ∈ [a, b]. Jika f, g ∈ C[a, b], didefinisikan f = g ⇔ f (x) = g(x), f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x) dan f < g ⇔ f (x) < g(x) untuk setiap x ∈ [a, b]. Untuk selanjutnya dalam tulisan ini, penulisan g ≥ f maksudnya adalah f ≤ g dan penulisan g > f maksudnya adalah f < g. Lebih jauh, dalam C[a, b] memenuhi sifat-sifat f ≤ g ⇒ f + h ≤ g + h untuk setiap h ∈ C[a, b], f ≤ g ⇒ αf ≤ αg untuk setiap α ∈ R+ . Oleh karena itu C[a, b] merupakan ruang Riesz. Sifat-sifat dasar aljabar komutatif dan ruang Riesz dapat dilihat di Zaanen [7] dan Meyer-Nieberg [8], dan lebih jauh karakteritik C[a, b] dapat pula dilihat di Albiac dan Kalton [9] dan Meyer-Nieberg [8]. Selanjutnya, jika f, g ∈ C[a, b], didefinisikan fg , f ∨ g, f ∧ g, dan |f | dengan (x) untuk setiap x ∈ [a, b] dimana g(x) 6= 0, ( fg )(x) = fg(x) (f ∨ g)(x) = supx∈[a,b] {f (x), g(x)}, (f ∧ g)(x) = inf x∈[a,b] {f (x), g(x)}, |f |(x) = |f (x)| untuk setiap x ∈ [a, b].

Bartle dan Sherbert [10] telah menunjukkan bahwa jika f, g ∈ C[a, b] maka f g, f ∨ g, f ∧ g, |f | dan fg dengan g(x) 6= 0 untuk setiap x ∈ [a, b], merupakan elemen-elemen di dalam C[a, b]. Untuk f, g ∈ C[a, b] dengan f < g, didefinisikan selang (f, g) = {h ∈ C[a, b] : f < h < g} disebut selang terbuka di dalam C[a, b], dan [f, g] = {h ∈ C[a, b] : f ≤ h ≤ g} disebut selang tertutup di dalam C[a, b]. Definisi 1. Barisan {fn } ⊂ C[a, b] dikatakan konvergen di C[a, b] jika ada f ∈ C[a, b] sehingga untuk setiap bilangan ǫ > 0 terdapat bilangan asli K sehingga untuk setiap n ≥ K berlaku |fn − f | < ǫe. Jika demikian halnya, barisan {fn } dikatakan konvergen ke f dan dapat dituliskan lim fn = f. n→∞

Definisi 2. Diberikan fungsi-fungsi F, Fn : A ⊂ C[a, b] → C[a, b], untuk setiap n ∈ N. Barisan fungsi {Fn } dikatakan konvergen seragam pada A ke fungsi F jika untuk setiap bilangan ǫ > 0 terdapat bilangan asli L sehingga untuk setiap n ≥ L berlaku |Fn (h) − F (h)| < ǫe untuk setiap h ∈ A. 78


Diberikan h0 , h1 , h2 , · · · , hn ∈ C[a, b] dengan h0 = f, hn = g dan hi−1 < hi untuk setiap i = 1, 2, · · · , n dan diberikan fungsi positif δ pada [f, g], yakni δ(h) > θ untuk setiap h ∈ [f, g] dengan θ merupakan elemen nol di C[a, b] yang didefinisikan θ(x) = 0 untuk setiap x ∈ [a, b]. Koleksi berhingga pasangan selang dan elemen D = {([hi−1 , hi ], ti )}ni=1 disebut partisi δ-fine pada [f, g] jika ti ∈ [hi−1 , hi ] ⊂ (ti −δ(ti ), ti +δ(ti )) untuk setiap i = 1, 2, · · · , n, (hi−1 , hi )∩ (hj−1 , hj ) = ∅ untuk i 6= j dan ∪ni=1 [hi−1 , hi ] = [f, g]. Diperhatikan, jika δ1 dan δ2 fungsi-fungsi positif pada [f, g] dengan δ1 (h) ≤ δ2 (h) untuk setiap h ∈ [f, g] maka setiap D partisi δ1 -fine pada [f, g] juga merupakan partisi δ2 -fine pada [f, g]. Sebagai kesepakatan, jika {[hi−1 , hi ]}ni=1 partisi pada [f, g] dan h ∈ [f, g] dengan h tidak komparabel dengan hi untuk suatu i, yakni h hi dan hi h, maka h pada selang [hi−1 , hi ] dipandang sebagai h ∨ hi−1 jika hi−1 (x) < h(x) untuk setiap x ∈ [a, b], h jika hi−1 (x) ≤ h(x) ≤ hi (x) untuk setiap x ∈ [a, b] dan h ∧ hi jika h(x) ≤ hi (x) untuk setiap x ∈ [a, b]. Untuk selanjutnya, pengertian selang [f, g] di dalam C[a, b] yang dimaksudkan adalah jika f < g. Definisi 3. Fungsi F : [f, g] ⊂ C[a, b] → C[a, b] dikatakan terintegral Henstock-Kurzweil pada [f, g] jika terdapat r ∈ C[a, b] sehingga untuk setiap bilangan ǫ > 0 terdapat fungsi positif δ pada [f, g] sehingga untuk setiap D = {([hi−1 , hi ], ti )}ni=1 partisi δ-fine pada [f, g] berlaku |S(F, D) − r| < ǫe, dengan S(F, D) =

Pn

i=1

F (ti )(hi − hi−1 ).

Elemen r ∈ C[a, b] yang disebutkan di dalam Definisi 3 bernilai tunggal dan disebut nilai integral Henstock-Kurzweil fungsi F pada [f, g] dan ditulis dengan Z g

r = (HK)

F.

f

Selanjutnya, koleksi semua fungsi yang terintegral Henstock-Kurzweil pada selang [f, g] dinyatakan oleh HK[f, g]. Teorema 1. Jika F, G ∈ HK[f, g] maka F +G ∈ HK[f, g] dan αF ∈ HK[f, g] untuk setiap α ∈ R. Lebih lanjut, Z g Z g Z g G F + (HK) (F + G) = (HK) (HK) f

f

f

dan (HK)

Z

g

αF = α(HK) f

Z

g

F. f

Bukti. Diberikan sebarang bilangan ǫ > 0. Karena F ∈ HK[f, g], terdapat fungsi positif δ1 pada [f, g] sehingga untuk setiap D1 partisi δ1 -fine pada [f, g] berlaku Z g ǫe F| < . |S(F, D1 ) − (HK) 2 f 79


Karena G ∈ HK[f, g], terdapat fungsi positif δ2 pada [f, g] sehingga untuk setiap D2 partisi δ2 -fine pada [f, g] berlaku Z g ǫe G| < . |S(G, D2 ) − (HK) 2 f Definisikan fungsi positif δ pada [f, g] dengan δ(h) = δ1 (h)∧δ2 (h) untuk setiap h ∈ [f, g]. Oleh karena itu untuk setiap D partisi δ-fine pada [f, g] merupakan partisi δ1 -fine dan partisi δ2 -fine pada [f, g], sehingga diperoleh Z g Z g Z g F G ≤ S(F, D) − (HK) F + (HK) S(F + G, D) − (HK) f f f Z g G + S(G, D) − (HK) Z gf F ≤ S(F, D1 ) − (HK) f Z g G + S(G, D2 ) − (HK) f

ǫe ǫe < + = ǫe. 2 2

Jadi, F + G ∈ HK[f, g] dan Z Z g (F + G) = (HK) (HK) f

g

F + (HK) f

Z

g

G. f

Diberikan bilangan real α. Karena F ∈ HK[f, g], terdapat fungsi positif δ’ pada [f, g] sehingga untuk setiap D partisi δ’-fine pada [f, g] berlaku Z g ǫe . F < S(F, D) − (HK) |α| + 1 f Jika B adalah partisi δ’-fine pada [f, g], maka diperoleh Z g Z g F F = αS(F, B) − α(HK) S(αF, B) − α(HK) f Z fg F = |α| S(F, B) − (HK) f

ǫe < |α| < ǫe. |α| + 1

Jadi, αF ∈ HK[f, g] dan (HK)

Z

g

αF = α(HK) f

Bukti telah lengkap. 80

Z

g

F. f


Teorema 2. Jika F ∈ HK[f, g] dengan F (h) ≥ θ untuk setiap h ∈ [f, g], maka Z g F ≥ θ. (HK) f

Bukti. Diberikan sebarang bilangan ǫ > 0. Karena F ∈ HK[f, g], terdapat fungsi positif δ pada [f, g] sehingga untuk setiap D = {([hi−1 , hi ], ti )}ni=1 partisi δ-fine pada [f, g], berlaku Z g F | < ǫe. |S(F, D) − (HK) f

Karena F (h) ≥ θ untuk setiap h ∈ [f, g], maka S(F, D) =

n X

F (ti )(hi − hi−1 ) ≥ θ.

i=1

Jadi θ ≤ S(F, D) < (HK) Karena ǫ > 0 sebarang, disimpulkan (HK)

Z

g

F + ǫe. f

Rg f

F ≥θ.

Teorema 3. Jika F, G ∈ HK[f, g] dengan F (h) ≤ G(h) untuk setiap h ∈ [f, g] maka Z Z g

g

F ≤ (HK)

(HK)

G.

f

f

Bukti. Definisikan fungsi H pada [f, g] dengan H(h) = G(h) − F (h) untuk setiap h ∈ [f, g]. Karena F, G ∈ HK[f, g], berdasarkan Teorema 1 maka H ∈ HK[f, g]. Lebih lanjut, berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 2 diperoleh Z g Z g Z g F. G − (HK) H = (HK) θ ≤ (HK) Jadi (HK)

f

f

f

Z

g

F ≤ (HK) f

Z

g

G. f

Dengan menggunakan teorema-teorema di atas, selanjutnya akan dibuktikan Teorema Kekonvergenan Seragam berikut. Teorema 4. (Teorema Kekonvergenan Seragam) Diberikan {Fn } ⊂ HK[f, g]. Jika {Fn } konvergen seragam ke F pada [f, g], maka F ∈ HK[f, g] dan Z g Z g F. Fn = (HK) lim (HK) n→∞

f

81

f


Bukti. Diberikan bilangan ǫ > 0 sebarang. Karena barisan {Fn } konvergen seragam ke F pada [f, g], maka terdapat bilangan K ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ K berlaku |Fn (h) − F (h)| < ǫe, untuk setiap h ∈ [f, g]. Akibatnya, jika n, m ≥ K diperoleh −2ǫe < Fn (h) − Fm (h) < 2ǫe, untuk setiap h ∈ [f, g]. Dengan menggunakan Teorema 1 dan Teorema 3, diperoleh Z g Z g Fm < 2ǫ(g − f ), Fn − (HK) −2ǫ(g − f ) < (HK) f

f

atau

Z (HK)

g

Z

g

Fm < 2ǫ(g − f ). Fn − (HK) f f Rg Karena bilangan ǫ > 0 sebarang, maka barisan {(HK) f Fn } merupakan barisanRCauchy di C[a, b]. Menurut Teorema 9 di Ubaidillah dkk [11], barisan g {(HK) f Fn } konvergen di C[a, b], katakan Z g Fn = s. lim (HK) n→∞

f

Diberikan bilangan ǫ > 0 sebarang dan bilangan asli K seperti di atas. Karena Fk ∈ HK[f, g] untuk setiap k ≥ K, terdapat fungsi positif δk pada [f, g] sehingga untuk setiap D = {([hi−1 , hi ], ti )}ni=1 partisi δk -fine pada [f, g] diperoleh n X Fk (ti ) − F (ti ) (hi − hi−1 ) S(Fk , D) − S(F, D) = ≤

i=1 n X

|Fk (ti ) − F (ti )|(hi − hi−1 ) < ǫ(g − f ).

i=1

Rg Tetapkan bilangan asli p ≥ K sehingga |(HK) f Fp − s| < ǫe. Diberikan δp fungsi positif pada [f, g] sehingga untuk setiap D partisi δp -fine pada [f, g] berlaku Z g Fp < ǫe. S(Fp , D) − (HK) f

Dengan demikian diperoleh Z g Fp S(F, D) − s ≤ S(F, D) − S(Fp , D) + S(Fp , D) − (HK) f Z g + (HK) F p − s f

< ǫ(g − f ) + ǫe + ǫe = ǫ(g − f + 2e).

Karena ǫ > 0 sebarang, disimpulkan F ∈ HK[f, g] dan Z g Z g Fn . F = s = lim (HK) (HK) f

n→∞

Bukti telah lengkap. 82

f


3

Kesimpulan

Sebuah barisan fungsi-fungsi bernilai C[a, b] yang terintegral HenstockKurzweil dan konvergen seragam ke sebuah fungsi di dalam C[a, b] pada sebuah selang tertutup mengakibatkan limit barisannya juga terintegral HenstockKurzweil.

Daftar Pustaka [1]. Halusca, J., On Integration in Complete Vector Lattices, Tatra Mt. Math. Publ. 3 (1993), 201-212. [2]. McGill, P., Integration in Vector Lattices. J. Lond. Math. Soc. 11 (1975), 347-360. [3]. Riecan, B., On the Kurzweil Integral for Functions with Values in Ordered Spaces, I, Acta Math. Univ. Comenian 56-57 (1989), 411-424. [4]. Riecan, B dan Neubrunn, T., Integral, Measure and Ordering, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997. [5]. Riecan, B. dan Vrabelova, M., On the Kurzweil Integral for Functions with Values in Ordered Spaces, II, Math. Slovaca 43 (1993), 471-475. [6]. Boccuto, A., Riecan, B. dan Vrabelova, M., Kurzweil-Henstock Integral in Riesz Spaces, Bentham, 2009. [7]. Zaanen, A.C., Introduction to Operator Theory in Riesz Spaces, Springer-Verlag, 1997. [8]. Meyer-Nieberg, P., Banach Lattices, Springer-Verlag, 1991. [9]. Albiac, F. dan Kalton, N.J., Topics in Banach Space Theory, Springer Inc, 2006. [10]. Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., Introduction to Real Analysis, third edition, John Wiley & Sons, New York, 2000. [11]. Ubaidillah, F., Darmawijaya, S. dan Indrati Ch. R., Kekonvergenan Barisan di dalam Ruang Fungsi Kontinu C[a,b], Cauchy 2 (4), 184 188, 2013.

83


84

KAJIAN KELENGKUNGAN PERSAMAAN KURVA DI �� Iis Herisman, Komar Baihaqi

Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya [email protected], [email protected]

Abstrak. Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk mengkaji salah satu aplikasi turunan pada geometri differensial, yaitu menurunkan formula-formula kelengkungan, jari-jari kelengkungan dan persamaan lingkaran kelengkungan serta evolute dari kurva di �2 . Secara umum, fokus pembahasan adalah pada tahap-tahap pembentukan persamaan kurva fungsi eksplisit, selanjutnya pembentukan persamaan kurva dalam bentuk fungsi parameter dan bentuk fungsi polar. Hasil pengkajian membuktikan teorema-teorema dari sifat-sifat kelengkunagn dengan memberikan contoh-contoh kajian kurva pada �2 . Kata Kunci

: kelengkungan,persamaan lingkaran kelengkungan, evolute

1. Pendahuluan Suatu kurva dalam bentuk fungsi ekplisit yang kontinu dan differensiabel di suatu titik �(�0 , �0 ) pada � 2 , memiliki sifat-sifat kelengkungan dengan persamaan lingkaran kelengkungan serta evolute dititik tersebut. Sifat-sifat tersebut akan dikaji dalam bentuk fungsi parameter dan bentuk polar. Dalam perkembangannya, sifat-sifat kelengkungan merupakan teorema-teorema yang akan dibuktikan dan dapat digunakan untuk merepresentasikan sifat-sifat kelengkungan (lihat [2]). Seringkali sifat-sifat kelengkungan langsung menggunakan formulasi-formulasi dan langsung diterapkan dalam bidang ilmu lainnya yang berkaitan dalam geometri differensial. Dalam makalah ini akan dilakukan kajian tentang sifat-sifat kelengkungan baik dalam bentuk fungsi ekplisit, dalam bentuk fungsi parameter maupun dalam bentuk fungsi polar, dengan meberikan contoh-contoh. Sebelum mengkaji permasalahan dibutuhkan dahulu aplikasi turunan dalam mencari panjang kurva yang kontinu dan differensiabel pada interval (�, �) ∈ �1 .

2. Kurva Pada Bidang �2

Makalah ini akan mengkaji suatu kurva pada bidang � 2 dengan memiliki unsur-unsur kelengkungan, persamaan lingkaran kelengkungan serta evolute. Suatu kelengkukan dari kurva persamaan, adalah merupakan laju perubahan sudut terhadap panjang suatu kurva. Akibatnya kurva persamaan tersebut harus kontinu dan differesiabel pada selang tertentu. Kajian kelengkungan, merupakan salah satu aplikasi turunan dan unsur yang dimiliki oleh suatu kurva pada suatu titik. Ketiga bentuk persamaan, memiliki hubungan yang saling keterkaitan dan sangat penting untuk dikaji sebelumnya. Dalam proses untuk mendapatkan nilai kelengkukan dari fungsi yang kontinu dan differensiabel, perlu dikaji hubungan dan mendefinisikan turunan atau differensial dari bentuk-bentuk fungsi.Hubungan dalam proses untuk mendapatkan nilai

85


kelengkukan dari fungsi yang kontinu dan differensiabel, perlu dikaji hubungan dan mendefinisikan turunan atau differensial dari bentuk-bentuk fungsi. 3. Metode Penelitian Tujuan utama pada makalah ini adalah menurunkan atau mebuktikan rumus kelengkungan suatu kurva yang berbentuk fungsi parameter dan bentuk polar atau kutub. Beberapa pertanyaan utama yang diteliti adalah • Bagaimana persamaan suatu kelengkungan dari suatu fungsi, jika disajikan dalam bentuk ekplisit atau parameter ataupun dalam bentuk polar ? • Kajian kelengkungan mana yang memberikan hasil yang lebih mudah dan cepat untuk diperoleh nilai kelengkungan? Untuk menjawab pertanyaan utama tersebut, dalam makalah ini digunakan hubungan fungsi-fungsi ekplisit, parameter dan fungsi dalam bentuk polar atau kutub.Proses untuk mendapatkan nilai suatu kelengkungan diperlukan bagaimana untuk mendapatkan turunan dari suatu fungsi baik dalam bentuk ekplisit atau parameter maupun dalam bentuk polar. 4. Hasil dan Pembahasan Sebelum mengkaji kelengkungan, terlebih dahulu mengkaji hubungan kurva persamaan ekplisit dan polar atau kutub, mendefinisikan turunannya, serta panjang kurva. 1. Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat siku-siku, ditunjukan pada gambar : �

�(�, �) atau �(�, �)

�

� = ��

�

� = ��

Gambar 1

dengan hubungan �

� = � cos � � = � sin �

�

atau �

�2 = �2 + �2 � �� = �

2. Turunan dari fungsi � = �(�) terhadap � didefinisikan: �(� + ∆�) − �(�) ∆�→0 ∆�

� ′ = � ′ (�) = ��

� = �(�) dan urunan dari fungsi � didefinisikan: � = �(�) �� ′ � �� ; . . . �� ; � ′′ = �′ = ��

86

; � (�) =

(1)

�� (�−1)� ��

(2)

(3)


3. Jika fungsi kontinu pada [�, �], masing-masing kurva didefinisikan, untuk fungsi � = �(�), derivatif panjang kurva: �� 2 � = 1+� � �� = �(�) untuk fungsi � , derivatif panjang kurva: � = �(�)

(4)

�� 2 �� 2 = �� + � � �� untuk fungsi � = �(�), derivatif panjang kurva:

(5)

�� 2 2 � = � +� � ��

(6)

Suatu kurva dalam bentuk fungsi ekplisit yang kontinu dan differensiabel. Pandang fungsi � = �(�) maka kelengkungan dititik � didefinisikan sebagai berikut: Definisi 4.1: Diberikan sebarang titik � dan � lihat pada Gambar 1, adalah berdekatan dan terletak pada kurva � = �(�) yang kontinu dan differensibel, maka kelengkungan di

Y

y = f(x)

.

. A O

.

P s

Q ∆� ∆�

� + ∆�

�

X

Gambar 2

titik � didefinisikan: � = ��→�

∆�

∆� 1

jari-jari kelengkungan adalah � = � .

∆�

⇔ � = ��∆�→0 ∆� ⇔ � =

��

dengan

Hasil dari definisi dikembangkan untuk mendapatkan rumus kelengkungan pada teorema berikut:

87


Teorema 4.1: Diberikan kurva fungsi eksplisit � = �(�) yang kontinu dan differensiabel. Maka kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari kurva masingmasing adalah: �=

2

� ′′

3 [1+(� ′ )2 ] �2

dan � =

�1+�� ′ � � � ′′

3� 2

(7)

. ⇔� =

��

.

= 1+(� ′ )2 dan disubstitusikan ke persamaan � =

��

,

Bukti: Menurut aturan berantai, didefinisikan bahwa: � = Dari Persamaan (4)

� = �� ′ ⇔

didapat 2

�1+�� ′ � � � ′′

��

��

��

= �1 + (� ′ )2 ⇔ � ′′

� ′′

kelengkungan � = 1+(� ′ )2

3� 2

. ∎

��

1

=

1

�1+(� ′ )2

⇔ �=

�1+(� ′ )2

��

�� ′

dengan �� = � ⇔

� ′′

3 [1+(� ′ )2 ] �2

dengan

��

�=

Diberikan pusat kelengkungan �(�, �) dari kurva � = �(�) (pada gambar 3), didapat: Y

.

�(�, �) � � = �(�)

Q

O

�

.

�(�, �)

�

N

X

Gambar 3

� = � − � sin � dan � = � + � ��

Menurut Teorema 4.1 dan dari �� = � ′ ⇒ sin � = 1

�1+(� ′ )2

jika disubstitusikan ke persamaan (8), didapat: 2

�=�−

� ′ �1+�� ′ � � � ′′

dan � = � +

(8) �′

�1+(� ′ )2

1+�� ′ � � ′′

dan �� =

2

(9)

dengan persamaan lingkaran kelengkungan (� − �)2 + (� − �)2 = �2 . Tempat kedudukan dari pusat-pusat kelengkungan untuk semua titik pada kurva dikatakan evolute dan diperoleh dengan eliminasi � dan � dari persamaan (9).

88


Berdasarkan Teorema 4.1 dikembangkan untuk mengkaji kelengkungan kurva parameter dan kurva kutub atau polar. Teorema 4.2: Diberikan kurva fungsi parameter � = �(�) ; � = �(�) yang kontinu dan differensiabel, maka kelengkungan kurva: �=

�′′ (�)� ′ (�) − �′ (�)� ′′ (�)

(10)

3� 2

[{� ′ (�)}2 + {�′ (�)}2 ]

��

�� = � ′ (�) � = �(�) �� Bukti: Menurut definisi turunan � ⇒ �� ⇒ � ′ = �� ⇔ �� = �(�) = �′ (�) ��

�′ =

� ′ (�) � ′ (�)

(� ′ )2

=

⇒

2 � ′ (�) � ′ (�)� �

′′

dan � =

�� ′ � ��

⇔�

′′

�� ′′ (�)� ′ (�)−� ′ (�)� ′′ (�)�� ′ (�)�

⇔ � ′′ =

� ′ (�)

�� ′′ (�)� ′ (�)−� ′ (�)� ′′ (�)� �� ′ (�)�

3

2

.

Kemudian (� ′ )2 dan � ′′ disubstitusikan ke persamaan (7) didapat: �=

�=

�� ′′ (�)� ′ (�)−� ′ (�)� ′′ (�)�� ′ (�)� 3 2 �2 � ′ (�) �1+� ′ � � � (�) ′ ′ ′′ � (�)� (�)−� (�)� ′′ (�) 3 [{� ′ (�)}2 +{� ′ (�)}2 ] �2

3

, disederhanakan didapat

. ∎

Teorema 4.3: Diberikan kurva polar � = �(�) yang kontinu dan differensiabel, maka kelengkungan kurva: �� 2 �2 � � 2 + 2 � � − � 2 (�) − �′ (�)� ′′ (�) �� (11) �= 3� ′ 2 ′ 2 [{� (�)} + {� (�)} ] 2 Bukti: Dari hubungan koordinat cartesius dan kutub, didapat: �� = � ′ (�) � = �(�) = � ′ (�)�� − �(�)�� = � �� ⇒ �� = �(�)�� ⇒ �� ⇔ ′ (�)�� = � + �(�)�� = � �� = �(�)��

��

menurut aturan berantai : ��

′

=� =

��

��

��

= �� − ��

(12)

��

= �� + �� ′

⇔ � =

89

�� +�� −��

��

.

(13)

Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya 3 3

2 2

�� +�� −�� 3� 2 �� 2 �� 2 +� � � �� 3 ��

[1 + (� ′ )2 ]2 = �1 + � 3

⇔ [1 + (� ′ )2 ]2 =

Persamaan (10) diturunkan terhadap � : �� 2 � 2� � −� 2 �� 2 �� −��

��

� 2 +2�

′′

� =

dan didapat:

�� ′ � ��

��

�� ′ ��

−��

.

= ��

′′

⇔ � =

� � (14)

�� +�� −��

��

� ⇔

� 2� �� 2 � −� 2 �� 3 �� −��

� 2 +2�

�� ′ ��

=

.

(15) Persamaan (11) dan (12), disubstitusikan ke persamaan (4) didapat �=

� 2� �� 2 � 2 +2� � −� 2 �� 3 �� −��

�

�� 2 +�

��

3� 2 �� 2 � � ��

3 �� −��

⇔�=

� 2� �� 2 � −� 2 �� 3� 2 �� 2 �� 2 +� � � ��

� 2 +2�

. ∎

Salah satu aplikasi kelengkungan sering dipakai pada pergerakan suatu benda yang sepanjang kurva reguler �(�) yang diasumsikan sebagai kecepatan benda tersebut, sebagai contoh pada teorema Frenet-Serret. Teorema 4.4 (Teorema Frenet-Serret): Jika �(�), adalah kurva satuan kecepatan regular dengan kelengkungan tidak nol, maka � ′ = �(�)�(�); � ′ (�) = −�(�)�(�) + �(�)�(�); �′ (�) = −�(�)�(�)

(16)

Persamaan (16) disebut kerangka Frenet-Serret pada � 3 yang ortonormal. 5. Kesimpulan

Berdasarkan hasil-hasil pada bagian sebelumnya dapat ditarik kesimpulan: 1. Kelengkungan adalah perubahan sudut antara garis singgung dengan kurva terhadap panjang kurva di suatu titik yang terletak pada kurva, dan jari-jari kelengkungan didefinisikan dengan seper-kelengkungan. 2. Suatu kurva persamaan akan memiliki nilai kelengkungan dengan syarat kontinu dan differensiabel. 3. Kelengkugan dari kurva persamaan parameter � = �(�) ; � = �(�) yang kontinu dan differensiabel, didefinisikan: � =

� ′′ (�)� ′ (�)−� ′ (�)� ′′ (�) 3 [{� ′ (�)}2 +{� ′ (�)}2 ] �2

.

4. Kelengkungan dari kurva persamaan � = �(�) yang kontinu dan differensiabel, didefinisikan:

5.

�=

�� 2 � 2� � −� 2 (�)−� ′ (�)� ′′ �� 3 [{� ′ (�)}2 +{� ′ (�)}2 ] �2

� 2 +2�

(�)

.

Untuk makalah lanjut, perlu dilakukan kajian lebih mendalam berkaitan dengan pengembangan kelengkungan dan torsi pada kerangka Frenet-Serret, khususnya geometri ruang � � . 90


Daftar Pustaka [1] John McCleary., Geometry From A Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 1994. [2] Soehardjo., Diktat Matematika I, Jurusan Matematika F.MIPA ITS, 1999.

91


92

KONSTRUKSI TRANSFORMASI MP-WAVELET TIPE A Kistosil Fahim1, Mahmud Yunus2 1

Jurusan Matematika, FMIPA, ITS, Surabaya, [email protected] Jurusan Matematika, FMIPA, ITS, Surabaya, [email protected]

2

Abstrak. Sekarang ini banyak dikembangkan metode penyelesaian masalah secara komputasi. Dalam hal ini tidak hanya hasil yang dilihat tetapi juga waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah tersebut (running time). Pada penelitian ini dikonstruksi suatu transformasi wavelet menggunakan operator dalam aljabar max-plus yang disebut sebagai MP-Wavelet. Hasil konstruksi ini secara komputasi membutuhkan waktu yang lebih cepat daripada transformasi wavelet pada umumnya. Pada konstruksi ini dihasilkan satu tipe MP-Wavelet yang disebut dengan MP-Wavelet tipe A. MP-Wavelet tipa ini merupakan pengembangan dari penelitian Fahim yang dipublikasikan pada “Seminar Nasional Pendidikan Sains Tahun 2014”. Tipe A ini digunakan untuk pemampatan citra. Untuk melihat hasil rekonstruksi pada proses pemampatan citra digunakan tiga jenis citra. Setiap jenis citra dilakukan pengubahan bit per pixel (bpp) sehingga didapat suatu grafik bit per pixel - peak signal to noise ratio (bpp-PSNR) yang menggambarkan perbedaan antara citra awal dengan citra hasil rekonstruksi. Dari simulasi ini didapatkan bahwa MP-Wavelet tipe A ini menghasilkan rekonstruksi citra yang lebih baik daripada tipe I yang dikonstruksi oleh Nobuhara (2010)[9] dan Fahim (2014)[6]. Namun Wavelet Haar masih lebih baik daripada MPWavelet tipe ini. Kata Kunci: Aljabar Max-plus, Transformasi Wavelet

1. Pendahuluan Saat ini telah banyak dikembangkan metode untuk menyelesaikan masalah secara komputasi. Namun kebanyakan metode menggunakan operasi perkalian yang membutuhkan biaya komputasi yang cukup besar. Untuk itu dalam hal ini akan dikembangkan suatu metode penyelesaian masalah dengan hanya menggunakan operasi maksimum dan penjumlahan yaitu transformasi wavelet menggunakan aljabar max-plus (MP-Wavelet). Dalam hal ini MP-Wavelet dapat didefinisikan berdasarkan struktur aljabar max-plus atas bilangan bulat dengan mempertimbangkan sifat-sifat aljabar maxplus sebagai berikut: a. tidak adanya perhitungan floating point dan perkalian, sehingga kecepatan perhitungan MP-Wavelet sangat tinggi.

93

Panitia Pengarah (Steering Committee):

Recommend Documents