OVERDISPERSI KARENA KESALAHAN SPESIFIKASI MODEL DAN CARA MENGATASINYA

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

OVERDISPERSI KARENA KESALAHAN SPESIFIKASI MODEL DAN CARA MENGATASINYA Timbang Sirait Departemen Statistika FMIPA-IPB Email: [email protected] ABSTRAK Ada beberapa penyebab terjadinya overdispersi, salah satunya adalah karena kesalahan spesifikasi model. Kesalahan spesifikasi model dapat terjadi apabila peubah penjelas yang seharusnya ada di dalam model tidak dimasukkan di dalam model. Disamping itu, dapat juga terjadi dikarenakan kesalahan dalam menentukan fungsi hubung. Penelitian ini difokuskan pada kesalahan karena peubah penjelas tidak dimasukkan di dalam model. Adanya overdispersi dapat mengakibatkan kesimpulan yang diambil menjadi tidak benar, karena nilai ragam yang lebih besar dari yang seharusnya. Model regresi yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara peubah penjelas dan peubah respon yang memiliki sebaran Poisson adalah model regresi Poisson. Dengan demikian data yang digunakan pada penelitian ini adalah data cacah. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui overdispersi yang disebabkan oleh kesalahan spesifikasi model serta cara mengatasinya menggunakan regresi Binomial Negatif. Ada empat peubah yang digunakan yaitu satu peubah respon dan tiga peubah penjelas. Pemodelan pertama menggunakan satu peubah respon dan tiga peubah penjelas (Model I). Pemodelan kedua menggunakan satu peubah respon dan dua peubah penjelas, yang mana satu peubah penjelas diabaikan (Model II). Hasil penelitian menunjukkan bahwa rasio devians dari Model I selalu lebih kecil dari Model II. Hasil ini menunjukkan bahwa dengan tidak dimasukkannya peubah penjelas yang seharusnya ada di dalam model menyebabkan rasio devians pada Model II menjadi bertambah. Ini membuktikan bahwa kesalahan spesifikasi model menyebabkan overdispersi. Penambahan sampel tidak menyelesaikan permasalahan overdispersi yang disebabkan oleh kesalahan spesifikasi model pada data cacah. Apalagi, pengaruh dari peubah penjelas yang diabaikan cukup besar. Namun, permasalahan overdispersi ini dapat diatasi menggunakan model regresi Binomial Negatif. Kata-kata kunci: data cacah, devians, model regresi Binomial Negatif, model regresi Poisson, overdispersi.

PENDAHULUAN Analisis regresi merupakan teknik statistika yang banyak digunakan untuk menyelidiki hubungan antara peubah respon dengan satu atau lebih peubah penjelas. Apabila peubah responnya menyebar Poisson, maka model regresi yang digunakan adalah model regresi Poisson. Jenis data yang digunakan dalam analisis regresi Poisson adalah data cacah (count data). Model regresi Poisson memiliki asumsi bahwa nilai tengah dan ragam bernilai sama atau dikatakan equidispersi [1]. Apabila nilai tengah dan ragam tidak sama maka telah terjadi permasalahan overdispersi/ underdispersi. Jika nilai ragam lebih besar dari nilai tengah maka terjadi overdispersi, dan sebaliknya terjadi underdispersi. Permasalahan overdispersi/ underdispersi dapat menimbulkan kesalahan dalam menarik kesimpulan. Apabila terjadi overdispersi maka keputusannya akan selalu menolak hipotesis, sedangkan jika terjadi underdispersi maka keputusannya akan selalu gagal untuk menolak hipotesis [2]. [3-10] menjelaskan bahwa overdispersi/ underdispersi pada data cacah dapat diatasi menggunakan regresi Poisson terampat, regresi

Binomial Negatif, atau Zero-Inflated Binomial Negative (ZINP). [11] menyatakan bahwa overdispersi dapat disebabkan oleh (1) kesalahan spesifikasi model (misalnya mengabaikan peubah penjelas, yang mana peubah tersebut tidak dimasukkan di dalam model atau kesalahan dalam menentukan fungsi hubung (link function)), atau struktur yang lebih kompleks; (2) antar peubah respon saling berkorelasi atau peubah respon tidak saling bebas (independen). Terjadinya overdispersi menyebabkan varians peubah respon lebih besar dari varian yang seharusnya. Satu pendekatan dalam mengatasinya yaitu memasukkan parameter dispersi a ke dalam model. [8] juga mengungkapkan bahwa penambahan peubah penjelas pada model dapat menurunkan nilai devians (deviance), yang menjadi alat ukur dalam menentukan terjadi tidaknya overdispersi. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui overdispersi yang disebabkan oleh kesalahan spesifikasi model serta cara mengatasinya menggunakan regresi Binomial Negatif dengan data bangkitan dari sebaran Poisson. BAHAN DAN METODE Bahan

695


Bahan dalam melakukan pembentukan model dilakukan dengan 4 langkah berikut: (1). Misalkan terdapat peubah respon Yi  dan tiga peubah penjelas  X i1 , X i 2 , X i 3  yang ditetapkan sebelumnya. Terdapat hubungan antara Yi dan X i1 , X i 2 , X i 3 dengan nilai tengah i  exp  0  1 xi1  2 xi 2  3 xi 3  (1)  exp  xTi β  i  1, , n.

peubah penjelas X i 3 diabaikan atau tidak dimasukkan di dalam model (disebut Model II), maka berdasarkan hubungan ini diperoleh persamaan log yi  0  1 xi1  2 xi 2 (3)  xTi β i  1, , n. dimana

β  0 1 2 

T

xi  1 xi1

dimana β  0

1 2

xi  1 xi1

xi 2

3 

Geometrik  12 

xi 3 

T

j  1,2,3.

untuk

Pembangkitan data terhadap X ij hanya dilakukan sekali saja, dan nilainya digunakan untuk pembangkitan data Yi dari sebaran Poisson  i  yang diulang sebanyak 10 kali. Model yang diusulkan ini diasumsikan tanpa overdispersi dengan data yang dibangkitkan sebanyak n  100 dan n  10.000. (2). Setelah data bangkitan Yi diperoleh, dilakukan pemodelan menggunakan model regresi Poisson antara peubah respon Yi dengan peubah penjelas X i1 , X i 2 , dan X i 3 (disebut Model I). Berdasarkan hubungan ini didapatkan persamaan log yi  0  1 xi1  2 xi 2  3 xi 3 (2)  xTi β i  1, , n. dimana

β  0 1 2 3 

T

xi  1 xi1

xi 2

T

0 , 1 , 2

T

Selanjutnya mengambil dua buah nilai 0 yaitu 0 dan 1, 1  2, 2  1,5, tiga buah nilai 3 yaitu 0,75, 0,5, dan 0,25 serta mengambil nilai X ij melalui pembangkitan data X ij

xi 2 

xi 3 

T

0 , 1 , 2 , 3 diduga menggunakan penduga kemungkinan maksimum (PKM) yang diperoleh dengan prosedur iterative weighted least square (IWLS), dan masing-masing penduganya adalah b0 , b1 , b2 , b3 . (3). Kemudian dilakukan pemodelan menggunakan model regresi Poisson antara peubah respon Yi dengan dua peubah penjelas (peubah penjelas yang dipilih dilihat dari tingkat kesignifikansiannya). Dalam artian, peubah penjelas dengan tingkat signifikansi yang paling tinggi dikeluarkan dari dalam model. Misalkan

diduga menggunakan PKM yang diperoleh dengan prosedur IWLS, dan masingmasing penduganya adalah b0 , b1 , b2 . (4). Kemudian dilakukan pemodelan menggunakan model regresi Binomial Negatif antara peubah respon Yi dan peubah penjelas X i1 dan X i 2 (disebut Model III). Bentuk persamaan dan teknik pendugaan parameternya sama seperti pada persamaan (3). Model Linear Terampat Model linear terampat (generalized linear model) atau yang disingkat dengan MLT merupakan perluasan model linear, yang mana sebaran peluangnya tidak diharuskan mengikuti sebaran normal, akan tetapi sebaran peluang tersebut termasuk dalam keluarga eksponensial, seperti Binomial, Poisson, Multinomial, Gamma, dan lain sebagainya [2]. Ada tiga komponen utama dalam MLT [1-2]: 1. Komponen acak 2. Komponen sistematik 3. Fungsi hubung Dalam regresi Poisson, Y merupakan komponen acak yang mana sebarannya termasuk dalam keluarga eksponensial. Dalam hal ini Yi , i  1, , n saling bebas. Komponen sistematiknya adalah η  Xβ, dimana η adalah

 n 1 , X adalah matriks rancangan berukuran  n  p  dan β adalah vektor parameter berukuran  p  1 atau dapat ditulis vektor berukuran

dalam bentuk kombinasi linear p

i 

 x j 0

j ij

, i  1,

,n

(4)

dimana xi 0  1 dan fungsi hubung g  i   i dengan i  E Yi  serta fungsi g memiliki invers (invertible).

696


Model Regresi Poisson Misalkan terdapat sampel acak n pasang pengamatan  yi , xi  , i  1, , n, dimana yi menyatakan nilai dari kejadian variabel hasil tercacah yang terjadi pada suatu waktu atau periode dengan nilai tengah sama dengan parameter  i dan xi adalah nilai dari peubah penjelas pada subyek ke-i. Dengan mengasumsikan bahwa Yi , i  1, , n bersebaran

Model Regresi Binomial Negatif Peubah acak Y dikatakan data cacah bersebaran Binomial Negatif (Negative Binomial distribution) dengan parameter  i dan a   0  jika fungsi kepekatan peluangnya sebagai berikut 1    yi   1  a fi  yi , i , a    1  ai  a (8) 1 yi !   a

Poisson maka fungsi kepekatan peluang Yi adalah ei iyi , yi  0,1,2, (5) P Yi  yi   yi ! dengan nilai tengah dan ragam sama, yaitu i  var Yi  dan model regresinya adalah  p  yi  exp    j xij  (6)  j 0  Overdispersi pada model regresi Poisson (data cacah) terjadi ketika var Yi   i . Namun, persoalan ini dapat diatasi dengan sebaran Binomial Negatif yang menyediakan model alternatif dengan var Yi   a i , dimana a  1 adalah paramater dispersi yang nilainya dapat diestimasi [11], [8].

Uji Parameter Dispersi Pengujian ada tidaknya overdispersi dilakukan dengan hipotesis berikut ini: H0 : a  0 (tidak ada overdispersi) H1 : a  0 (ada overdispersi) Pengujian ini dilakukan dengan menggunakan statistik uji devians, yang dinotasikan dengan D. Devians yang juga disebut statistik log likelihood (rasio) dirumuskan dengan D  2 l  bmax ; y   l  b; y  (7) dimana D bersebaran chi-square dengan derajat bebas n  p atau ditulis 2n  p  . Jika D  2n  p  maka keputusannya adalah menolak H 0 , yang berarti terjadi overdispersi. Selanjutnya, Jika model regresi Poisson yang digunakan terhadap data layak, maka nilai devians akan mendekati nilai derajat bebasnya. Hal ini dapat dijelaskan karena nilai harapan dari sebaran  2 sama dengan derajat bebasnya. Jika nilai devians jauh lebih besar dari derajat bebasnya atau rasionya jauh lebih besar dari satu maka asumsi dari sebaran Poisson tidak terpenuhi dan data menunjukkan overdispersi [11].

 1   1    ai 

 yi

, yi  0,1, 2, i  1,

, n.

Dengan nilai tengah i  exp  xi β  dan ragam

i 1  ai  . a adalah parameter dispersi dan merupakan konstanta [2] dalam [5]. Model regresinya adalah  p  yi  exp    j xij   j 0 

(9)

Pendugaan Kemungkinan Maksimum Pendugaan parameter pada persamaan (2) dan (3) sebagai berikut [11] XT WXb( m)  XT Wz (10) dimana W adalah matriks diagonal berukuran n  n dengan elemen-elemen diagonal 2

1  i    , var Yi   i  z memiliki elemen-elemen p   zi   xij b(j m 1)   yi  i   i j 1  i wii 

 ,  ( m) adalah vektor estimasi dari parameter b 0 , 1 , 2 , 3 pada persamaan (2) dan dari parameter 0 , 1 , 2 pada persamaan (3) pada iterasi ke-m dengan bentuk fungsi 1

b( m)  b( m1)  ( m1)  U( m1) . 1

 ( m 1)  adalah invers dari matriks informasi dengan elemen-elemen  jk , dimana 2

xij xik  i    i 1 var  Yi   i  dan U( m1) adalah vektor skor dengan elemen skor U j , dimana

697

n

 jk  

n  y     i U j   i xij  i i 1   var Yi   i

  .  


 2 log l  i , a, yi 

Persamaan (3) akan menghasilkan model yang overdispersi, karena telah terjadi kesalahan spesifikasi model yaitu peubah penjelas xi 3 tidak dimasukkan di dalam model. Fungsi kemungkinan maksimum dari sebaran Binomial Negatif [5] adalah

a 2



i 1

  1    yi  a   1  a  1a     i 1 i 1  y !   i a    n

 yi

 1 1  log 1  ai   yi log 1  a  ai

   

karena 1    yi   yi yi 1 a       yi   k   a  yi   ayi  ak  1 a 1  k 1  k 1   a

maka yi n  log l  i , a, yi      log  yi !   log  ayi  ak  1 i 1  k 1

 1    yi   log 1  ai   yi log  i   a  

derivatif orde pertama  log l  i , a, yi   log l  i , a, yi       n y  i  i xi i 1 1  a i a

n  yi log 1  ai  yi  k     a2 i 1  k 1 ayi  ak  1 1    yi   i  a    1  ai   

derivatif orde kedua

 2 log l  i , a, yi  

T

n  1  ay   i i    2  i 1  1  ai 

a

3



2i a 1  ai  2

n    y  i  i     i x 2  i i 1  1  a i    

   

   1    yi  a   n   log l  i , a, yi      log  yi !   log   1      i 1   a        

 log l  i , a, yi 

2log 1  ai 

1 2   yi   i  a   2  1  ai     2 log l  i , a, yi   2 log  i , a, yi   a a

n

l  i , a, yi    f i  yi , i , a 

 1  1    ai 

 yi   y  k 2  i      2   i 1  k 1  ayi  ak  1   n

 T  xi xi  

Matriks informasi harapan  ,a  dapat dipartisi menjadi   , a  a , a    , a      a  , a  aa , a   dimana elemen-elemen dari matriks yang dipartisi tersebut adalah sebagai berikut   2 log l  i , a, yi      E  adalah matriks  T   simetrik berukuran p  p.

  2 log l  i , a, yi   a  Ta   E   adalah vektor a   berukuran p  1.   2 log l  i , a, yi   aa   E   a 2   skalar atau konstanta.

adalah

sebuah

HASIL DAN DISKUSI Data bangkitan ini menggunakan software R versi 3.0.2. Model I pada masing-masing n  100 dan n  10000 untuk pilihan β yang ditetapkan memberikan tingkat signifikansi yang sama sebesar 0,001 untuk ketiga peubah penjelas. Dengan demikian untuk melakukan Model II, penelitian ini menggunakan peubah penjelas X i1 dan X i 2 (peubah penjelas X i 3 diabaikan), seperti pada persamaan (3). Hasil simulasi untuk n  100 dengan rasio devians terhadap derajat bebas disajikan pada tabel 1 sampai dengan tabel 6. Tabel 1. Rasio devians terhadap derajat bebas* Ulangan

698

Devians : Derajat bebas

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922 Model I 1,22 0,85 1,11 0,76 1,05 0,78 1,02 0,94 0,98 0,98

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

* β  1

Model II 5.354 5.387 5.373 5.379 5.378 5.392 5.407 5.380 5.392 5.392

tetapi, dengan mengurangi besarnya pengaruh X i 3 pada model telah menurunkan besarnya rasio devians terhadap derajat bebas, yang dapat diketahui dari nilai rasio Model II pada tabel 1, tabel 2, dan tabel 3. Permasalahan overdispersi yang terjadi pada Model II dapat diatasi menggunakan regresi Binomial Negatif, seperti pada Model III. Nilai rasio devians terhadap derajat bebas jauh berkurang dari Model II ke Model III, yang mana nilainya sudah mendekati nilai 1.

Model III 1,20 1,19 1,20 1,19 1,18 1,19 1,19 1,21 1,19 1,20

2 1,5 0,75

T

Tabel 4. Rasio devians terhadap derajat bebas*

Tabel 2. Rasio devians terhadap derajat bebas* Ulangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

* β  1

Ulangan

Devians : Derajat bebas Model I Model II Model III 1,18 1.366 1,09 1,13 1.363 1,11 1,00 1.385 1,11 0,94 1.372 1,15 1,08 1.374 1,13 0,99 1.363 1,11 0,88 1.375 1,13 0,94 1.364 1,11 0,91 1.372 1,12 0,93 1.363 1,14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

* β  0

2 1,5 0,5

Ulangan

* β  1

2 1,5 0,75

T

T



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Ulangan

Devians : Derajat bebas Model I Model II Model III 1,08 209 1,17 0,87 207 1,01 1,05 202 1,05 0,97 208 1,14 1,36 212 1,17 0,98 207 1,13 0,91 199 1,04 0,80 204 1,16 1,14 210 1,11 1,35 203 1,23

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

* β  0

2 1,5 0, 25


2 1,5 0,5

T

T

Hasil simulasi yang disajikan pada tabel 1, tabel 2, dan tabel 3 menunjukkan bahwa dengan menghilangkan peubah penjelas X i 3 dari dalam model telah meningkatkan nilai rasio devians terhadap derajat bebas, tanpa memandang besarnya pengaruh X i 3 pada model, yang dapat dilihat dari nilai rasio pada Model I dan Model II. Dalam hal ini, telah terjadi overdispersi. Akan

Hal yang sama juga berlaku apabila dalam pembentukan model mengambil nilai 0  0. Namun, dengan mengambil 0  0, nilai rasio devians terhadap derajat bebas pada Model II menjadi berkurang jika dibandingkan pada model awal yang mana 0  1. Akan tetapi, penyelesaian overdispersi menggunakan Model III baik pada model dengan 0  0 dan 0  1 tidak begitu jauh berbeda, yang terlihat dari nilai rasio

699


devians terhadap derajat bebas besarannya tidak begitu jauh berbeda, seperti disajikan pada tabel 4, tabel 5, dan tabel 6.

5 6 7 8 9 10


* β  0


* β  1

Selanjutnya, hasil simulasi untuk n  10000 dengan rasio devians terhadap derajat bebas disajikan pada tabel 7 sampai dengan tabel 12. Tabel 7. Rasio devians terhadap derajat bebas*

* β  1

* β  1

2 1,5 0, 25

T

Tabel 10. Rasio devians terhadap derajat bebas* Ulangan

T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pada kasus sampelnya ditambah atau diperbesar, persoalan overdispersi tetap tidak dapat diselesaikan. Akan tetapi, nilai rasio devians terhadap derajat bebas pada model II untuk setiap ulangan nilainya cenderung tidak jauh berbeda atau hasilnya cenderung konvergen, seperti disajikan pada tabel 7 sampai dengan tabel 12. Tabel 8. Rasio devians terhadap derajat bebas*

1 2 3 4


Selain itu, penyelesaian overdispersi menggunakan Model III cenderung menghasilkan nilai rasio devians terhadap derajat bebas yang lebih kecil dan cenderung konvergen. Namun, tidak berlaku sebaliknya untuk pengaruh yang besar pada peubah penjelas yang diabaikan. Nilai rasionya justru semakin bertambah baik dengan mengambil 0  0 dan 0  1, yang dapat dilihat pada tabel 7 dan tabel 10 jika dibandingkan pada tabel 1 dan tabel 4.

Devians : Derajat bebas Model I Model II Model III 1,02 1.413.087 1,28 1,04 1.413.087 1,28 1,02 1.413.087 1,28 1,01 1.413.087 1,28 1,01 1.413.087 1,28 1,02 1.413.087 1,28 1,02 1.413.087 1,28 1,05 1.413.087 1,28 1,04 1.413.087 1,28 1,02 1.413.087 1,28

Devians : Derajat bebas Model I Model II Model III 1,02 553.883 1,11 0,98 553.883 1,10 1,02 553.883 1,11 1,01 553.883 1,11

T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 1,5 0,75

Ulangan

1,11 1,11 1,10 1,10 1,11 1,11

2 1,5 0,5

Ulangan

T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

553.883 553.883 553.883 553.883 553.883 553.883


2 1,5 0, 25

Ulangan

1,02 1,02 1,03 1,00 1,02 1,02

* β  0

700

Devians : Derajat bebas Model I Model II Model III 1,04 1,163,024 1,25 1,02 1,163,024 1,25 1,05 1,163,024 1,25 1,01 1,163,024 1,25 1,04 1,163,024 1,25 1,05 1,163,024 1,25 1,04 1,163,024 1,25 1,04 1,163,024 1,25 1,01 1,163,024 1,25 1,06 1,163,024 1,25

2 1,5 0,75

T



* β  0


2 1,5 0,5

T


* β  0


2 1,5 0, 25

T

Artinya, walaupun sampelnya ditambah, jika terjadi kesalahan spesifikasi maka overdispersi tetap terjadi. Hasil ini melalui Model III juga menunjukkan bahwa permasalahan overdispersi dapat diatasi dengan model regresi Binomial Negatif. KESIMPULAN Kesalahan spesifikasi model pada data cacah dapat menyebabkan terjadinya overdispersi. Penambahan sampel tidak menyelesaikan permasalahan overdispersi yang disebabkan oleh kesalahan spesifikasi model pada data cacah. Apalagi, pengaruh dari peubah penjelas yang diabaikan cukup besar. Namun, permasalahan overdispersi ini dapat diatasi menggunakan model regresi Binomial Negatif. Kesalahan spesifikasi pada penelitian ini dibatasi pada peubah penjelas yang tidak dimasukkan di dalam model. Pada penelitian berikutnya dapat ditambahkan dengan fungsi hubung yang tidak sesuai.

DAFTAR PUSTAKA [1] Agresti, A.,An Introduction to Categorical Data Analysis, 2nd Ed. John Wiley and Sons, Hoboken, New Jesey, 2007. [2] McCullagh, P. and Nelder FRS, J.A.,GeneralizedLinear Models, 2nd Ed. New York, 1989. [3] S.A. Sarpong and A.K. Brobbey, “Poisson Regression Modeling For Incidence of Maternal Deaths In Ghana,”Mathematical Theory and Modeling,ISSN 2224-5804 (Paper) ISSN 22250522 (online), vol.3, no.2, 2013. [4] I.P.Y.E.Putra, I.P.E.N.Kencana, dan I.G.A.M.Srinadi, “Penerapan Regresi Generalized Poisson untuk Mengatasi Fenomena Overdispersi pada Kasus Regresi Poisson,”E-Jurnal Matematika, vol.2, no.2, hal. 49-53, 2013. [5] D.T. Molla and B. Muniswamy, “Power of Tests for Overdispersion Parameter in Negative Binomial Regression Model,”IOSR Journal of Mathematics, vol. 1, Issue 4, pp. 29-36, 2012. [6] K.A. Yulianingsih,K.G.Sukarsa, dan L.P.Suciptawati, “Penerapan Regresi Poisson untuk mengetahui Faktor-Faktor yang Memengaruhi Jumlah Siswa SMA/SMK yang Tidak Lulus UN di Bali,”e-Jurnal Matematika, vol.1, no.1, hal. 59-63, 2012. [7] B. Ariawan, Suparti, dan Sudarno, “Pemodelan Regresi Zero-Inflated Negative Binomial (ZINB) untuk Data Respon Diskrit dengan Excess Zero,”Jurnal Gaussian, vol. 1, no. 1, hal. 55-64, 2012. [8] S. Coxe, S.G. West, and L.S. Aiken, “The Analysis of Count Data: A Gentle Introduction to Poisson Regression and Its Alternatives,”Journal of Personality Assessment, 91(2), pp. 121-136, 2009. [9] N. Ismail and A.A. Jemain, “Handling Overdispersion with Negative Binomial and Generalized Poisson Regression Models,”Casualty Actuarial Society Forum, Winter. 2007. [10] D.W. Osgood,“Poisson-Based Regression Analysis of Aggregate Crime Rates,”Journal of Quantitative Criminology,vol. 16, no. 1,pp. 21-43, 2000. [11] Dobson, A.J.,An Introduction to Generalized Linear Models, 2nd Ed.Chapman & Hall/CRC, USA, 2002.

701

OVERDISPERSI KARENA KESALAHAN SPESIFIKASI MODEL DAN CARA MENGATASINYA

Recommend Documents