Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
Spesifikasi Model Ada tiga tahapan iterasi dalam pemodelan data deret waktu, yaitu: 1. Penentuan model tentatif (spesifikasi model) berdasarkan data contoh untuk mengidentifikasi nilai p, d, dan q. 2. Pendugaan parameter model ARIMA(p, d, q) yang diidentifikasi, yaitu penduga nilai , , dan σ2𝑒 . 3. Analisis diagnostik untuk melihat kelayakan model.
Prosedur iterasi ini sering disebut ”Metode BoxJenkins”.
Untuk model ARIMA(p, d, q), spesifikasi dilakukan untuk menentukan nilai p, d, dan q.
Alat yang digunakan pada tahap identifikasi ini adalah fungsi autokorelasi.
Fungsi autokorelasi ini diduga dari data contoh atau disebut
fungsi
autokorelasi
contoh
(sample
of
autocorrelation function atau SACF atau ACF saja).
Disamping itu ada pula fungsi autokorelasi parsial (sample of partial autocorrelation function atau SPACF atau PACF saja)
a. ACF nk
rk
(Y Y )(Y
Y )
t k
t
t 1
,
n
(Y Y ) t 1
k 1, 2, ....
2
t
n
Y
Y t 1
t
n
rk merupakan penduga bagi k
1
Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
b. PACF
PACF : kk = Corr(Yt, Yt-k | Yt-1, Yt-2, …, Yt-k+1)
Berdasarkan persamaan Yule-Walker:
j = k1j-1 + k2j-2 + ... + kkj-k j = 1, 2, ..., k; Catatan: j = -j dan 0 = 1
k ACF;
kk PACF
ˆkk penduga bagi kk Contoh: Misal diketahui data : 4, 2, 5, 1. Tentukan ACF (r1, r2) dan PACF (𝜙11 , 𝜙22 ) nk
Melalui persamaan rk
(Y Y )(Y t 1
Y )
t k
t
,
n
(Y Y ) t 1
k 1, 2, ....
2
t
Dapat diperoleh penduga ACF : r1 = -0.7 dan r2 = 0.4 Berdasarkan
persamaan
Yule-Walker
dapat
diperoleh
penduga PACF kk:
j = k1j-1 + k2j-2 + ... + kkj-k Untuk k =1 j = 1
1 = 110
1 = 11(1) r1 = 𝜙11 = -0.7
Untuk k = 2 j = 1, 2
1 = 210 + 221
1 = 21 + 221
2 = 211 + 220
2 = 211 + 22
(1)2 = 211 + 22(1)2 ...... Pers(1)
2 = 211 + 22
……..
Pers(2)
2
Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
Berdasarkan Pers(1) dan Pers(2) diperoleh: (1)2 - 2 = 22(1)2 - 22
22 = {(1)2 - 2}/{(1)2 - 1} 𝜙22 = {(r1)2 - r2}/{(r1)2 - 1} = 0.09/(-0.51) = -0.176
Pengidentifikasian Model Model MA: Misal MA(1) : Yt = et - et-1
ACF :
1 2 ; k 1 k 0 ; k 1
1.0
1.0
0.8
0.8
k 0.6
rk
0.4
0.6 0.4
0.2
k
0.0 1
2
3
ACF
4
5
0.2
k
0.0 1
2
3
4
5
6
Sample of ACF
3
Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
MA(2) : Yt = et - 1et-1 - 2et-2
1 1 2 1 2 2 ;k 1 1 2 2 ACF : k ;k 2 1 12 2 2 0 ;k 2 1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0 1
2
3
4
5
6
1
ACF
2
3
4
5
6
Sample of ACF
Karena rk berasal dari data contoh maka diperlukan galat baku bagi rk yaitu Srk.
Sebagai nilai pendekatan : Srk = 1 / n , dimana n adalah banyaknya data.
Sehingga hipotesis H0 : k = 0 ditolak jika | rk | > 2Srk atau | rk | > 2 / n .
Misalnya, jika | r1 | > 2 / n dan | rk | < 2 / n untuk k = 2, 3, …, maka model tentatifnya adalah MA(1).
Model AR : Misalkan AR(1) : Yt = Yt-1 + et
ACF : k = k ; k = 1, 2, …
Untuk model AR, ACF merupakan fungsi eksponensial sehingga ACF tidak dapat digunakan untuk menentukan nilai p dalam AR(p).
PACF : untuk k = 1 1 = 11 untuk k = 2 1 = 21 + 221 .... (1)
2 = 211 + 22 .... (2)
4
Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
Berdasarkan persamaan (1) dan (2) 22 = 0. Demikian juga 33 = 44 = ... = 0. 1 Sehingga PACF AR(1): kk 0
; k 1 ; k 1
Dengan demikian PACF dapat digunakan sebagai penentu nilai p dalam model AR(p).
1.0 1.0
0.8
kk
0.8
ˆ
0.6
kk
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2 0.0
0.0 1
2
3
4
1
5
2
3
4
5
6
Sample of PACF
PACF
Hipotesis H0 : kk = 0 ditolak jika | ˆkk | 2 / n .
Pengidentifikasian nilai p dan q 1.0
tails off
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sample of ACF
1.0
cuts off after lag q
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sample of ACF
5
Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
Identifikasi p dan q melalui nilai ACF dan PACF ACF
PACF
Model Tentatif
Cuts off after lag q
Tails off
MA(q)
Tails off
Cuts off after lag p
AR(p)
Cuts off after lag q
Cuts off after lag p
MA(q) atau AR(p), pilih model terbaik
Tails off
Tails off
ARMA(p, q) Cek pada berbagai kombinasi p dan q. Misal ARMA(1, 1), ARMA(1, 2), dsb. Kemudian pilih model terbaik.
Tails off (slowly)
Model tidak stasioner. Perlu proses pembedaan (differencing) terlebih dahulu hingga data menjadi stasioner.
6
Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
Output Minitab (sample of ACF, sample of PACF)
Autocorrelation
Autocorrelation Function for Profit 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
2
7
12
Lag
Corr
T
LBQ
Lag
Corr
T
LBQ
1
-0.53
-3.74
14.90
8
-0.09
-0.50
20.35
2 3 4
0.12 -0.10 -0.07
0.67 -0.56 -0.41
15.67 16.23 16.54
9 10 11
-0.00 0.00 0.02
-0.02 0.02 0.13
20.35 20.35 20.38
5 6
0.16 -0.10
0.89 -0.54
18.05 18.63
12
0.07
0.35
20.68
7
0.14
0.75
19.81
Partial Autocorrelation
Partial Autocorrelation Function for Profit 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
2
7
Lag PAC
T
1 -0.53
-3.74
8
0.05
0.34
2 -0.23 3 -0.22 4 -0.34
-1.62 -1.51 -2.36
9 10 11
0.03 0.03 0.10
0.23 0.24 0.72
5 -0.13 6 -0.13
-0.88 -0.94
12
0.19
1.32
7
0.22
0.03
Lag PAC
12
T
Kandidat Model untuk Data Profit : Berdasarkan ACF ARIMA(0, 0, 1) Berdasarkan PACF ARIMA(1, 0, 0)
7
Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
Autocorrelation
Autocorrelation Function for Ekspor 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
1
2
3
4
5
6
7
8
Lag
Corr
T
LBQ
Lag
Corr
T
LBQ
1
0.34
2.33
5.79
8
-0.21
-0.91
42.76
2 3 4
-0.38 -0.52 -0.12
-2.33 -2.88 -0.56
13.08 27.08 27.81
9 10 11
-0.13 0.06 0.15
-0.55 0.23 0.64
43.77 43.96 45.43
5 6
0.32 0.34
1.53 1.55
33.49 40.03
7
0.04
0.16
40.11
9
10
11
10
11
Partial Autocorrelation
Partial Autocorrelation Function for Ekspor 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
1
2
3
4
Lag PAC 1
5
T
0.34
2.33
2 -0.56 3 -0.21 4 -0.00
-3.82 -1.44 -0.01
5 6
0.10 0.04
0.71 0.27
7
0.04
0.25
6
7
Lag PAC 8
8
9
T
0.03
0.20
9 0.11 10 -0.00 11 0.05
0.77 -0.03 0.35
Kandidat Model untuk Data Ekspor : Berdasarkan ACF ARIMA(0, 0, 3) Berdasarkan PACF ARIMA(2, 0, 0)
8
Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
Autocorrelation
Autocorrelation Function for Impor 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
2
7
12
Lag
Corr
T
LBQ
Lag
Corr
T
LBQ
1
0.86
5.92
37.34
8
-0.06
-0.19
90.62
2 3 4
0.70 0.54 0.38
3.07 2.00 1.31
62.62 77.93 85.79
9 10 11
-0.14 -0.23 -0.28
-0.47 -0.73 -0.90
91.86 95.06 100.04
5 6
0.25 0.14
0.83 0.46
89.22 90.32
12
-0.30
-0.94
105.86
7
0.04
0.13
90.41
Autocorrelation
Autocorrelation Function for Impor(Lag1) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
1
2
3
4
5
6
7
8
Lag
Corr
T
LBQ
Lag
Corr
T
LBQ
1
0.68
4.67
23.21
8
-0.05
-0.20
42.37
2 3 4
0.44 0.26 0.18
2.16 1.16 0.80
33.02 36.48 38.25
9 10 11
-0.09 -0.19 -0.28
-0.38 -0.79 -1.15
42.87 45.09 50.04
5 6
0.18 0.17
0.80 0.74
40.12 41.79
7
0.09
0.37
42.24
9
10
11
10
11
Partial Autocorrelation
Partial Autocorrelation Function for Impor(Lag1) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
1
2
3
4
Lag PAC
5
6
7
8
T
Lag PAC
T
0.68
4.67
8 -0.14
-0.99
2 -0.05 3 -0.04 4 0.07
-0.33 -0.29 0.46
9 0.05 10 -0.19 11 -0.17
0.31 -1.30 -1.15
5 0.10 6 -0.00
0.68 -0.00
7 -0.11
-0.77
1
9
Kandidat Model untuk Data Impor (Setelah Differencing): Berdasarkan ACF ARIMA(0, 1, 2) Berdasarkan PACF ARIMA(1, 1, 0)
9
Dr. Kusman Sadik Dept. Statistika IPB, 2015
Pustaka 1. Cryer, J.D. and Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis with Application in R. Springer 2. Montgomery, D.C., et.al. 2008. Forecasting Time Series Analysis 2nd. John Wiley 3. Abraham, B. and Ledolter, J. 2005. Statistical Methods for Forecasting. John Wiley 4. Pustaka lain yang relevan.
Latihan untuk Praktikum: Bandingkan antara hasil penghitungan manual dengan output komputer: 1. Diketahui data : 3, 6, 2, 5, 4. Tentukan ACF (r1, r2, r3) dan PACF (𝜙11 , 𝜙22 , 𝜙33 ). 2. Diketahui data : 5, 2, 9, 7, 12, 17. Lakukan proses pembedaan ordo pertama pada data tersebut. Untuk data yang telah mengalami proses pembedaan tersebut tentukan ACF (r1, r2, r3) dan PACF (𝜙11 , 𝜙22 , 𝜙33 ). 3. Dari 100 data pengamatan diketahui bahwa r1 = 0.39, r2 = -0.31, r3 = 0.18, r4 = -0.15, dan r5 = 0.13. Tentukan model ARIMA tentatif yang mungkin.
10
