OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVA 2003

0. ÚVOD 0.1. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem – vstup autora do textu, specifický způsob kterým se studentem komunikuje, povzbuzuje jej, doplňuje text o další informace. Příklad – objasnění nebo konkretizování problematiky na příkladu ze života, z praxe, ze společenské reality apod. Pojmy k zapamatování

Shrnutí – shrnutí předcházející látky, shrnutí kapitoly.

Literatura – použitá ve studijním materiálu, pro doplnění a rozšíření poznatků.

Kontrolní otázky a úkoly – prověřují, do jaké míry studující text a problematiku pochopil, zapamatoval si podstatné a důležité informace a zdaje dokáže aplikovat při řešení problémů. Úkoly k textu - je potřeba je splnit neprodleně, nebot' pomáhají dobrému zvládnutí následující látky. Korespondenční úkoly - při jejich plnění postupuje studující podle pokynů s notnou dávkou vlastní iniciativy. Úkoly se průběžně evidují a hodnotí v průběhu celého kurzu. Úkoly k zamyšlení

Část pro zájemce – přináší látku a úkoly rozšiřující úroveň základního kurzu. Pasáže i úkoly jsou dobrovolné. Testy a otázky – ke kterým řešení, odpovědi a výsledky studující najdou v rámci studijní opory. Řešení a odpovědi – vážou se na konkrétní úkoly, zadání a testy.

INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH

1

0.2. INFORMACE O PŘEDMĚTU Základním cílem předmětu je vyrovnání nestejných znalostí matematické analýzy získaných na střední škole. Po prostudování textu budete umět •

určit, zda je funkce spojitá;

•

vypočítat vlastní i nevlastní limity funkcí;

•

určit derivaci funkce;

•

s pomocí základních vlastností funkce přibližně nakreslit její graf;

•

aproximovat funkci polynomem;

•

vypočítat limity posloupností;

•

najít hromadné body a hromadné hodnoty posloupností.

Čas potřebný k prostudování textu: 25 hodin + příklady 25 hodin Použitá a doporučená literatura [1] Hans-Jochen Bartsch. Matematické vzorce. Mladá fronta, Praha, 2000. [2] Boris Pavlovič Děmidovič. Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomu analizu. Nauka, Moskva, 1977. [3] Jaroslav Hančl. Matematická analýza. Ostravská univerzita, 1998. [4] Dag Hrubý, Josef Kubát. Diferenciální a integrální počet. Prometheus, Praha, 1997 [5] Vojtěch Jarník. Diferenciální počet I. Academia, Praha, 1984. [6] Vojtěch Jarník. Diferenciální počet II. Academia, Praha, 1976. [7] Lev Dmitrievič Kudrjavcev a kol. Sbornik zadač po matematičeskomu analizu, Predel, Nepreryvnosť, Differenciruemosť. Nauka, Moskva, 1984. [8] Oldřich Odvárko. Funkce. Prometheus, Praha, 1994. [9] Oldřich Odvárko. Posloupnosti a řady. Prometheus, Praha, 1996. [10] O. Botlík, D. Souček. Kalibro test. 2000.

2

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

0.3. OBSAH 0.

1.

ÚVOD 0.1.

INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH

1

0.2.

INFORMACE O PŘEDMĚTU

2

0.3.

OBSAH

3

FUNKCE 1.1.

5

TEORETICKÉ ZÁKLADY

5

1.1.1.

Pojem funkce

6

1.1.2.

Základní vlastnosti funkcí

8

1.1.3.

Základní operace s funkcemi

1.2.

2.

1

ALGEBRAICKÉ FUNKCE

12 20

1.2.1.

Transformace grafu

21

1.2.2.

Lineární funkce

24

1.2.3.

Kvadratické funkce

26

1.2.4.

Lineární lomená funkce

27

1.2.5.

Další funkce

29

DIFERENCIÁLNÍ POČET 2.1.

SPOJITOST

34 34

2.1.1.

Okolí bodu

35

2.1.2.

Spojitost v bodě

35

2.1.3.

Spojitost na intervalu

37

2.1.4.

Věty o spojitosti

38

2.2.

LIMITA

45

2.2.1.

Pojem limity

46

2.2.2.

Věty o limitách

48

2.2.3.

Nevlastní limity

54

2.2.4.

Počítání limit

56

2.3.

TRANSCENDENTNÍ FUNKCE

62

2.3.1.

Goniometrické funkce

63

2.3.2.

Cyklometrické funkce

66

2.3.3.

Exponenciální funkce

67

2.3.4.

Logaritmická funkce

68

2.4.

DERIVACE

2.4.1. OBSAH

Pojem derivace

70 71 3

2.4.2.

Věty o počítání derivací

72

2.4.3.

Derivace elementárních funkcí

75

2.4.4.

Diferenciál funkce

77

2.4.5.

Derivace vyšších řádů

78

2.5.

Věty o spojitých funkcích

83

2.5.2.

Věty o průběhu funkce

84

2.5.3.

l’Hospitalovo pravidlo

87

EXTRÉMY, INFLEXNÍ BODY, ASYMPTOTY

92

2.6.1.

Lokální extrémy

93

2.6.2.

Inflexní body

94

2.6.3.

Asymptoty se směrnicí

95

2.6.4.

Asymptoty bez směrnice

96

PRŮBĚH FUNKCE, TAYLOROVA VĚTA

101

2.7.

2.7.1.

Průběh funkce

102

2.7.2.

Taylorova věta

105

POSLOUPNOSTI 3.1.

ÚVOD

113 113

3.1.1.

Pojem posloupnosti

114

3.1.2.

Vlastnosti posloupností

115

3.1.3.

Limita posloupnosti

116

3.1.4.

Hromadný bod, hromadná hodnota

117

3.2.

4

82

2.5.1.

2.6.

3.

ZÁKLADNÍ VĚTY MATEMATICKÉ ANALÝZY

VĚTY O POSLOUPNOSTECH

123

3.2.1.

Supremum a infimum množiny

124

3.2.2.

Věty o posloupnostech

125

3.2.3.

Stejnoměrná spojitost

130


1. FUNKCE 1.1. TEORETICKÉ ZÁKLADY Po prostudování budete schopni •

poznat, co funkcí je a co funkcí není;

•

najít definiční obor funkce;

•

provádět základní operace s funkcemi;

•

skládat funkce;

•

určit základní vlastnosti funkcí.

Klíčová slova: funkce, definiční obor, obor hodnot, graf, funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotónní, ryze monotónní, prostá, kladná, záporná, nekladná, nezáporná, sudá, lichá, periodická, inverzní, složená, součet, rozdíl, součin, podíl funkcí. Čas potřebný k prostudování této kapitoly: 150 minut + příklady 75 minut Obsah kapitoly 1.1.1.

Pojem funkce

1.1.2.


1.1.3.



5

1.1.1.

Pojem funkce

Definice 1. Nechť A je množina reálných čísel. FUNKCE f je zobrazení z množiny A do množiny R; píšeme f : A→R. Množina A se nazývá DEFINIČNÍ OBOR funkce f a značí se D(f ). Funkce f je tedy určitý předpis, který každému číslu x z jejího definičního oboru přiřadí jednoznačně jedno reálné číslo y = f (x). Tento předpis je většinou dán nějakým vzorcem, například f ( x ) = 2 x + 3 . Někdy se ovšem stává, že takový vzorec neexistuje. V tomto případě se funkce zadává například slovním předpisem. Příkladem takové funkce je třeba funkce, která každému přirozenému číslu přiřazuje počet jeho dělitelů. Příklad 1. Mějme předpis, který každému reálnému číslu x přiřadí y takové, že x = y2. Tento předpis není funkce, protože každému číslu x nepřiřazuje jednoznačně jedno číslo y. Například číslu x = 1 by odpovídaly hodnoty y = – 1 a y = 1.

Za definiční obor se obvykle bere množina všech reálných čísel x, pro které má výraz f (x) smysl. V některých případech však může být definiční obor zadán. Mějme například funkci f (x) = x2 s definičním oborem D(f ) = R+. Pak například v bodě x = – 1 má výraz x2 smysl, ale f (x) není definováno, protože x nepatří do definičního oboru D(f ). Příklad 2.

Vraťme se k funkci f ( x ) = 2 x + 3 a určeme její definiční obor.

Máme tedy určit množinu všech reálných čísel x, pro která je výraz 2 x + 3 definován. Odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla. Číslo 2x + 3 proto musí být nezáporné, neboli musí být 2x + 3 ≥ 0. To platí pro x ≥ − 32 . Definiční obor je tudíž množina − 32 ;+∞ ) .

Definice 2. GRAF FUNKCE f je množina všech bodů v rovině o souřadnicích [x, f (x)], kde x patří do definičního oboru D(f ).

Když kreslíme graf funkce, bereme jedno po druhém čísla x ∈ D(f ) a kreslíme body o souřadnicích [x, f (x)]. Jestliže je definiční obor nekonečná množina, kreslíme pouze část grafu, například pro x z intervalu 〈 – 10, 10〉. Jestliže je funkce definována na intervalu, nakreslíme dostatečně mnoho bodů z tohoto intervalu a sousední body spojíme. Na obr. 1 je graf (přesněji řečeno pouze jeho část) funkce f ( x ) = 2 x + 3 , na obr. 2 je graf funkce g(x) = y, kde y je počet dělitelů přirozeného čísla x.

obr. 1

6

obr. 2


Řekněte, kdy může být množina bodů v rovině grafem funkce. Může být třeba kružnice grafem funkce? Graf funkce je podle definice množina G všech bodů v rovině ve tvaru [x, f(x)]. Představme si (viz obr. 3), že existují (alespoň) dva různé body [x, y] a [x, z] náležející množině G. Pak by ovšem muselo platit f (x) = y a f (x) = z. Z toho však plyne, že hodnota f (x) není jednoznačně definována. Taková množina bodů tedy nemůže být grafem funkce.

obr. 3

Cvičení 1.

a) y = 2x,

Určete definiční obory a načrtněte grafy funkcí b) y = x ,

c) y =

1 . x

Definice 3. OBOR HODNOT funkce f : A→R je množina všech reálných čísel y, ke kterým existuje číslo x ∈ A tak, že platí y = f (x). Značí se R(f ), někdy také f (A).

Jestliže známe graf funkce f , můžeme obor hodnot určit snadno. Obor hodnot je podle definice množina těch čísel y takových, že bod [x, y] náleží grafu funkce pro nějaké x. Chceme-li získat obor hodnot, musíme sestrojit kolmé průměty všech bodů grafu funkce do osy y. Situaci zachycuje obr. 4.

obr. 4

Předchozí odstavec si přečtěte znovu a uvědomte si, proč tomu tak je. Příklad 3.

Určeme definiční obor funkce f ( x ) =

1 a zjistěme, zda x − 3x + 2 2

1 patří do jejího oboru hodnot. 2 Definičním oborem je množina všech reálných čísel x, pro která má uvedený zlomek smysl, tj. pro která platí x2 – 3x + 2 ≠ 0. Tento trojčlen lze rozložit na součin (x – 1)(x – 2). Přitom platí (x – 1)(x – 2) ≠ 0 právě tehdy, když x ≠ 1 a x ≠ 2. Z toho plyne, že definiční obor je množina D(f ) = R\{1, 2}. číslo y =


7

Nyní zjistěme, zda číslo y patří do oboru hodnot. Je třeba zjistit, zda existuje x 1 1 = vyřešit. takové, že platí f (x) = y. Zkusme tuto rovnici 2 x − 3x + 2 2 2 x − 3x + 2 = 2 x 2 − 3x = 0

x ( x − 3) = 0 Odtud je vidět, že pro x = 0 a x = 3 platí f (x) = y. Tedy takové x existuje a číslo 1 y = patří do oboru hodnot R(f ). 2

V dalších přednáškách si postupně ukážeme, jak se určují obory hodnot u konkrétních funkcí. Zkuste vlastními slovy říct, co to je funkce, definiční obor, obor hodnot a graf funkce. Vysvětlete, jak se určuje, zda nějaké číslo patří do definičního oboru nebo oboru hodnot.

1.1.2.


Definice 4. Funkce f a g se ROVNAJÍ právě tehdy, když mají stejné definiční obory, tedy D(f ) = D(g), a pro všechna x ∈ D(f ) platí f (x) = g(x).

x2 −1 a funkci g(x) = x + 1. Pro všechna Příklad 4. Mějme funkci f ( x ) = x −1 čísla x z definičního oboru D(f ) platí f (x) = x + 1 = g(x). Přesto se však funkce f a g nerovnají. Funkce totiž mají různé definiční obory. Definiční obor funkce f je D(f ) = R\{1}, kdežto D(g) = R. Definice 5. Nechť je funkce f definována na intervalu J. Jestliže pro všechna x, y ∈ J taková, že x < y, platí

f (x) < f (y), nazývá se funkce f ROSTOUCÍ na J; f (x) ≤ f (y), nazývá se funkce f NEKLESAJÍCÍ na J; f (x) > f (y), nazývá se funkce f KLESAJÍCÍ na J; f (x) ≥ f (y), nazývá se funkce f NEROSTOUCÍ na J. Je-li funkce f rostoucí, neklesající, klesající, nebo nerostoucí na J, nazývá se MONOTÓNNÍ na J. Je-li funkce f rostoucí, nebo klesající na J, nazývá se RYZE MONOTÓNNÍ na J. Je-li interval J přímo definičním oborem funkce f , pak se přívlastek „na J“ vynechává. Z této definice je ihned vidět, že každá rostoucí funkce je zároveň neklesající a každá klesající funkce je nerostoucí. Naopak to platit nemusí. V příkladu 5 bude ukázána funkce, která je neklesající, ale není rostoucí. Pozor! Z toho, že funkce není rostoucí neplyne, že je nerostoucí. Podobně, funkce, která není klesající, nemusí být neklesající. V příkladu 11 bude nadefinována funkce, která nemá žádnou z vlastností uvedených v definici 5.

Zda má funkce některou z uvedených vlastností, lze snadno určit z jejího grafu. Graf rostoucí funkce zleva doprava stoupá; graf klesající funkce zleva doprava klesá. Grafy neklesajících a nerostoucích funkcí mohou být někde rovnoběžné

8


s osou x. Na obr. 5 jsou uvedeny grafy čtyř funkcí. Určete u všech zobrazených funkcí, jaké vlastnosti z definice 5 mají.

obr. 5

Předpokládám, že příklad vyřešili správně: Funkce f1 je rostoucí a tudíž i neklesající. Funkce f2 je neklesající. Funkce f3 je klesající a tedy i nerostoucí. Funkce f4 je nerostoucí. Všechny funkce jsou monotónní, ale ryze monotónní jsou pouze funkce f1 a f3. Příklad 5. Celá část [x] reálného čísla x je definována jako největší celé číslo menší nebo rovné číslu x. Kupříkladu je [ – 3] = – 3, [2,85] = 2 nebo [ – 3,14] = – 4. Graf funkce celá část je na obr. 6. Tato funkce je neklesající, ale není rostoucí. To se dokáže snadno. Zvolme si různá čísla x, y tak, aby x < y. Protože je [x] ≤ x, je [x] celé číslo menší než y. Protože [y] je největší celé číslo menší než y, je [x] ≤ [y]. Celá část je tedy neklesající. Pro čísla x = 1 a y = 1,5 platí x < y, ale neplatí [x] < [y]. Proto celá část není rostoucí. Pokuste se najít funkci, která je nerostoucí, ale není klesající.

obr. 6

Definice 6. Nechť f : A→R je funkce. Jestliže pro každá dvě čísla x, y ∈ A taková, že x ≠ y, platí f (x) ≠ f (y), pak se funkce f nazývá PROSTÁ. Ekvivalentní Definice 6. Funkce f je plyne x = y.

PROSTÁ,

jestliže z toho, že f (x) = f (y),

Chceme-li zjistit, zda je funkce f prostá, postupujeme následovně: Napíšeme rovnost f (x) = f (y). Jestliže se nám ekvivalentními nebo důsledkovými úpravami podaří dojít k rovnosti x = y, pak je funkce prostá. Jestliže se nám však podaří najít čísla x, y, kde x ≠ y, taková, že f (x) = f (y), pak funkce f není prostá. Příklad 6. Funkce f (x) = x2 není prostá, protože platí – 1 ≠ 1 a f ( – 1) = f (1) = 1. Naproti tomu funkce g(x) = 2x + 3 prostá je, protože z rovnosti g(x) = g(y) ekvivalentními úpravami dostaneme x = y:


9

2x + 3 = 2 y + 3 2x = 2 y x= y Věta 1. Funkce f je prostá právě tehdy, když pro každé y ∈ R(f ) existuje jediné x ∈ D(f ) takové, že y = f (x). Důkaz. Zleva doprava provedu důkaz nepřímo. Předpokládejme, že existují různá čísla x, t taková, že f (x) = f (t) = y. Potom platí x ≠ t, ale f (x) = f (t) a podle definice 6 funkce f není prostá. Zprava doleva budu větu dokazovat také nepřímo. Z definice 6 plyne, že funkce f není prostá, jestliže existují různá čísla x, t taková, že f (x) = f (t) = y. Takže existuje číslo y a alespoň dvě čísla x taková, že y = f (x). To je ale negace výroku „pro každé y existuje jediné x tak, že y = f (x)“, c.b.d.

Jestliže tedy existuje číslo y ∈ R(f ) takové, že existují (alespoň dvě) různá čísla x, t ∈ D(f ), pro která platí f (x) = f (t) = y, pak funkce f není prostá. Toto je přímý důsledek předchozí věty. Situace je zachycena na obr. 7.

obr. 7

Věta 2.

Každá ryze monotónní funkce je prostá.

Důkaz. Větu dokážu pro rostoucí funkci. Zvolme různá čísla x, y. Je-li x < y, je f (x) < f (y) a tedy f (x) ≠ f (y). Je-li x > y, je f (x) > f (y) a tedy f (x) ≠ f (y). Pro x ≠ y tudíž platí f (x) ≠ f (y) a rostoucí funkce je prostá. Pro klesající funkci je důkaz analogický. (Proveďte.) C.b.d. Příklad 7. Pro x < y je 2x + 3 < 2y + 3. Proto je funkce f (x) = 2x + 3 rostoucí. Podle věty 2 je funkce f prostá. Definice 7.

Nechť f : A→R je funkce. Jestliže pro všechna x ∈ A platí f (x) > 0, nazývá se funkce f KLADNÁ; f (x) ≥ 0, nazývá se funkce f NEZÁPORNÁ; f (x) < 0, nazývá se funkce f ZÁPORNÁ; f (x) ≤ 0, nazývá se funkce f NEKLADNÁ.

Funkce f se tedy nazývá kladná, jsou-li všechny její hodnoty f (x) kladné. Obdobně pro ostatní vlastnosti. Z definice ihned plyne, že každá kladná funkce je zároveň nezáporná a každá záporná funkce je nekladná. Příklad 8. Funkce f (x) = x2 + 1 je kladná, protože číslo x2 + 1 je pro všechna x kladné. Funkce g(x) = x2 je nezáporná, protože číslo x2 je pro všechna x nezáporné. Přesto g není funkce kladná, jelikož pro x = 0 není číslo x2 = 0 kladné.

10


Cvičení 2.

Najděte funkci, která je nekladná a zároveň nezáporná.

Definice 8. Nechť f : A→R je funkce. Jestliže existuje konstanta m ∈ R taková, že pro všechna x ∈ A platí nazývá se funkce f ZDOLA OMEm ≤ f (x), ZENÁ; M ∈ R taková, že pro všechna x ∈ A platí nazývá se funkce f SHORA OMEf (x) ≤ M, ZENÁ. Je-li funkce f omezená zdola i shora, nazývá se OMEZENÁ.

Graf funkce zdola omezené konstantou m leží celý v polorovině „nad“ přímkou y = m. Graf funkce shora omezené konstantou M leží celý v polorovině „pod“ přímkou y = M. Graf funkce omezené konstantami m a M leží celý v rovinném pásu ohraničeném přímkami y = m a y = M. Nechť je funkce f zdola omezená konstantou m a nechť n < m. Ihned z definice plyne, že funkce f je zdola omezená i konstantou n. Obdobně, je-li funkce f shora omezená konstantou M a N > M, je funkce f shora omezená i konstantou N. Věta 3. Funkce f je omezená právě tehdy, když existuje kladná konstanta K taková, že pro všechna x ∈ D(f ) platí |f (x)| ≤ K. Důkaz. Nerovnost |f (x)| ≤ K je ekvivalentní s nerovností – K ≤ f (x) ≤ K. Při důkazu zprava doleva se má dokázat existence konstant m, M takových, že m ≤ f (x) ≤ M. Stačí tedy dosadit m = – K a M = K. Při důkazu zleva doprava je třeba najít konstantu K, aby – K ≤ f (x) ≤ K. V případě, že bude – K > m, se může stát, že bude existovat x takové, že f (x) < – K. Proto musí být – K ≤ m, neboli K ≥ – m. Obdobně musí být K ≥ M. Za konstantu K stačí zvolit větší z čísel – m a M, c.b.d. Příklad 9. Mějme dánu funkci f (x) = 1 + x2. Protože pro všechna x je x2 ≥ 0, je pro všechna x hodnota f (x) ≥ 1. Tato funkce je tedy zdola omezená konstantou m = 1. Není však shora omezená, protože pro velká x roste hodnota f (x) nade všechny meze. Cvičení 3. Určete, zdali jsou následující funkce shora nebo zdola omezené a v kladném případě určete jakými konstantami:

a) f ( x ) = x + 1 − 2 , b) f (x) = 1 + 2x – x2, c) f (x) = 2x + 3. Definice 9. Nechť f : A→R je funkce. Jestliže pro všechna x ∈ A platí – x ∈ A a zároveň platí f ( – x) = f (x), nazývá se funkce f SUDÁ; f ( – x) = – f (x), nazývá se funkce f LICHÁ.

Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Graf liché funkce je souměrný podle počátku. Příklad 10. Určeme, zda je funkce f (x) = xn, kde n ∈ N, sudá nebo lichá. Pro sudá n platí f ( – x) = ( – x)n = xn = f (x) a funkce f je sudá. Pro lichá n platí f ( – x) = ( – x)n = – xn = – f (x) a funkce f je lichá.


11

Věta 4. Nechť f je sudá funkce a a, b ∈ R jsou libovolné konstanty. Pak funkce g(x) = af (x) + b je také sudá. Důkaz. Je třeba nejdříve určit hodnotu g( – x). Platí g( – x) = af ( – x) + b. Podle předpokladu je f ( – x) = f (x) a proto g( – x) = af (x) + b = g(x). Funkce g je tedy sudá, c.b.d. Věta 5. Nechť f je lichá funkce a a ∈ R je libovolná konstanta. Pak funkce g(x) = af (x) je také lichá. Důkaz. Je třeba nejdříve určit hodnotu g( – x). Platí g( – x) = af ( – x). Podle předpokladu je f ( – x) = – f (x) a proto g( – x) = – af (x) = – g(x). Funkce g je tedy lichá, c.b.d. Cvičení 4.

Dokažte, že žádná sudá funkce nemůže být prostá.

Definice 10. Nechť f : R→R je funkce. Jestliže existuje kladná konstanta t > 0 taková, že pro všechna x ∈ R platí f (x + t) = f (x), nazývá se funkce f PERIODICKÁ s periodou t.

Indukcí lze snadno dokázat, že pro libovolné k ∈ N je číslo kt také periodou funkce. (Proveďte) Graf funkce s periodou t se vyznačuje tím, že se v něm opakují „části o šířce“ t. Na obr. 8 je graf funkce f(x) = x – [x], která má periodu t = 1.

obr. 8

Příklad 11. Nadefinujme zde tzv. Dirichletovu funkci D. Pro čísla x ∈ Q je definováno D(x) = 1, pro čísla x ∉ Q je D(x) = 0. Tato funkce je periodická. Její periodou je libovolné číslo t ∈ Q. Je třeba dokázat, že D(x + t) = D(x). Je-li x ∈ Q, je D(x) = 1 a x + t ∈ Q a tedy je D(x + t) = 1 = D(x). Je-li x ∉ Q, je D(x) = 0 a x + t ∉ Q a tedy je D(x + t) = 0 = D(x). Číslo t je proto periodou Dirichletovy funkce.

Řekněte zpaměti definici prosté, sudé, liché a periodické funkce.

1.1.3.


Definice 11. Nechť f : A→R a g : B→R jsou funkce. SOUČTEM, ROZDÍLEM, SOUČINEM a PODÍLEM funkcí f a g nazýváme postupně funkce f + g, f – g, fg a f , definované vztahy g

12


(f (f

+ g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) + g )( x ) = f ( x ) − g ( x )

( fg )(x ) = f (x )g (x ) f (x ) = f (x ) g g (x )

Chceme-li vypočítat hodnotu součtu funkcí v bodě x, vypočteme hodnoty funkcí v bodě x a tyto hodnoty jednoduše sečteme. Toto platí obdobně pro ostatní tři operace. Definiční obor součtu f + g je množina všech bodů x, ve kterých je součet f (x) + g(x) definován. V těchto bodech x proto musí být definovány hodnoty f (x) a g(x). Z toho plyne, že takové body x musí patřit jak do D(f ), tak do D(g), neboli musí být x ∈ D(f ) ∩ D(g). Definiční obor součtu funkcí je tedy roven průniku definičních oborů jednotlivých funkcí, D(f + g) = D(f ) ∩ D(g). Toto platí obdobně pro rozdíl a součin funkcí. U podílu je situace trošku složitější. K tomu, aby číslo x patřilo do D

( ) , je naf g

víc nutné, aby g(x) ≠ 0. (Proč?) Definiční obor podílu funkcí je tudíž množina bodů x • patřících do průniku definičních oborů jednotlivých funkcí, • ve kterých není jmenovatel roven nule. Jinými slovy platí D gf = D( f ) ∩ D(g ) ∩ {x ∈ R; g ( x ) ≠ 0} = D( f ) ∩ {x ∈ D( g ); g ( x ) ≠ 0} .

()

Definiční obor se však často zjednodušeně určuje jako množina všech čísel x, pro která mají všechny prováděné operace smysl. Příklad 12. Určeme součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f(x) = x3 – x2 a g(x) = x a určeme definiční obory těchto nových funkcí. ( f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) = x 3 − x 2 + (x ) = x 3 − x 2 + x

( ) ( f − g )(x ) = f (x ) − g (x ) = (x − x ) − (x ) = x − x ( fg )(x ) = f (x )g (x ) = (x − x )(x ) = x − x 3

3

2

2

3

4

2

−x

3

3 2 f (x ) = f (x ) = x − x = x 2 − x pro x ≠ 0 g g (x ) x Výrazy (f + g)(x), (f – g)(x) a (fg)(x) mají smysl pro všechna x ∈ R a proto jsou definiční obory funkcí f + g, f – g a fg rovny D(f + g) = D(f – g) = D(fg) = R f Výraz g ( x ) má smysl (přesněji řečeno operace prováděné při jeho výpočtu lze

provést) pouze pro x ≠ 0. Proto je definiční obor funkce D

Cvičení 5. funkce.

( ) = R \ {0}.

f g

roven

f g

Dokažte, že součet a součin dvou kladných funkcí jsou kladné

Definice 12. Nechť A ⊂ B jsou množiny reálných čísel a f : A→R a g : B→R jsou funkce. Dále nechť pro všechna čísla x ∈ A platí f (x) = g(x). Potom funk-


13

ce g se nazývá ROZŠÍŘENÍ funkce f na množinu B. Funkce f se nazývá (restrikce) funkce g na množinu A.

ZÚŽE-

NÍ

Příklad 13. Mějme dánu funkci f : R→R danou předpisem f (x) = x2. Tato funkce není prostá. (Proč?) Proveďme nyní zúžení funkce f na množinu 〈0; + ∞). Jinými slovy vytvořme funkci g : 〈0; + ∞)→R danou předpisem g(x) = x2. Funkce g je rostoucí a tedy je prostá. Zkuste sami najít jinou množinu M tak, aby zúžení funkce f na množinu M byla prostá funkce. na

Definice 13. Nechť f : A → B je prostá funkce. Definujme novou funkci na

f −1 : B → A tak, že každému číslu y ∈ R(f ) je přiřazeno právě to x ∈ D(f ), pro které je f (x) = y. Funkce f – 1 se nazývá funkce INVERZNÍ k funkci f. na

Výraz f : A → B v předchozí definici znamená, že A je definiční obor D(f ) a B je obor hodnot R(f ). Z definice ihned plyne: Jestliže f – 1 je inverzní funkce k funkci f, pak f – 1(y) = x právě tehdy, když f (x) = y. Dále platí f (f – 1(y)) = y pro všechna y ∈ R(f ) a f – 1 (f (x)) = x pro všechna x ∈ D(f ). Výpočet inverzní funkce provádíme ve dvou krocích. • Rovnici y = f (x) vyřešíme vzhledem k proměnné x. • Poté zaměníme všechny výskyty proměnné x za proměnnou y a naopak. Dostaneme inverzní funkci y = f – 1(x). Ukážeme si to na příkladu. Příklad 14. Mějme funkci f ( x ) =

2x + 3 a určeme k ní funkci inverzní. x −1

Abychom mohli vůbec hovořit o inverzní funkci, musíme nejdříve dokázat, že f je prostá funkce. Podle věty 1 stačí dokázat, že pro každé y existuje jediné x takové, že y = f (x). To dokážeme tak, že vyřešíme rovnici y = f (x) vzhledem k proměnné x a ukážeme, že má jediné řešení. 2x + 3 y= x −1 xy − y = 2 x + 3 x( y − 2 ) = y + 3 y+3 x= y−2 Rovnice y = f (x) má tedy jediné řešení. Z toho plyne, že funkce f je prostá. Můžeme tedy přikročit k určení inverzní funkce. První krok jsme však již uděx+3 lali. Nyní stačí zaměnit proměnné x a y. Dostaneme y = . Inverzní funkce x−2 x+3 k funkci f je tedy funkce f −1 ( x ) = . x−2 Cvičení 6.

Určete inverzní funkce k funkcím

a) y = 2x + 3, b) y = x2 – 3x + 2,

14

c) y = x3 – 3.


Zkuste vysvětlit, proč je v definici inverzní funkce nutný předpoklad, že funkce f je prostá. Předpokládejme, že funkce f není prostá. Pak existují různá čísla x, t taková, že f (x) = f (t). Označme si y = f (x). Pak by ovšem muselo být f – 1(y) = x a zároveň f – 1(y) = t a tedy hodnota f – 1(y) by nebyla určena jednoznačně. Definice 14. Nechť A, B jsou množiny reálných čísel a f : B→R a g : A→R jsou funkce. Definujme funkci f ◦ g předpisem (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Tato funkce f ◦ g se nazývá funkce SLOŽENÁ z funkcí f a g (v tomto pořadí).

Nyní se pokusme odvodit, kdy patří číslo x do definičního oboru D(f ◦ g). V prvé řadě musí být definováno číslo g(x). Číslo x proto musí patřit do množiny D(g) = A. Dále musí číslo g(x) patřit do D(f ) = B. Množina čísel x, pro které platí g(x)∈B, se označuje g – 1(B). Z tohoto plyne, že platí D(f ◦ g) = A ∩ g – 1(B). Definiční obor se však častěji určuje jako množina všech čísel x, pro která mají operace prováděné při výpočtu f (g(x)) smysl. Příklad 15. Určeme funkce f ◦ g a g ◦ f složené z funkcí

f (x ) =

g(x) = x2. Dále určeme jejich definiční obory.

( f o g )(x ) = f (g (x )) = D( f o g ) = R \ {− 1; 1}

( )

f x2 =

x2 +1 x2 −1

(g o f )(x ) = g ( f (x )) = g  x + 1  =  x + 1  D( g o f ) = R \ {− 1}

x +1 a x −1

2

 x −1   x −1 

Z předchozího příkladu je vidět, že skládání funkcí není komutativní, tj. obecně neplatí, že f ◦ g = g ◦ f. Věta 6.

Skládání funkcí je asociativní, neboli platí f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.

Z této věty plyne, že při skládání více funkcí nemusíme psát závorky. Důkaz. Označme si L = f ◦ (g ◦ h) a P = (f ◦ g) ◦ h). Dokážeme, že pro každé x platí L(x) = P(x). L(x) = (f ◦ (g ◦ h))(x) = f((g ◦ h)(x)) = f(g(h(x))) P(x) = ((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x))) Z předchozích dvou řádků plyne, že L = P, c.b.d. Cvičení 7. a) f ( x ) =

Určete funkce f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f a g ◦ g složené z funkcí

2x + 3 , g(x) = x2 + 3; x −1

b) f ( x ) = x + 1 , g(x) = x.

Cvičení 8. Zkuste na základě předešlého příkladu najít funkci e tak, aby pro všechny funkce f platilo e ◦ f = f ◦ e. Příklad 16. Jsou-li funkce f a g rostoucí, pak jsou rostoucí i funkce f ◦ g a g ◦ f. To se nahlédne snadno. Podle definice pro x < y platí g(x) < g(y). Označme si t = g(x) a u = g(y). Platí t < u a proto podle definice je f (t) < f (u). Z toho


15

ovšem plyne, že pro x < y je f (g(x)) < f (g(y)) a funkce f ◦ g je rostoucí. Obdobně pro funkci g ◦ f . Zkuste si pohrát s pojmy z definice 5 a dokažte třeba, že • složení dvou klesajících funkcí je funkce rostoucí, • složení rostoucí a klesající funkce je funkce klesající, …,

• složení n (ryze) monotónních funkcí je funkce (ryze) monotónní, • složení n prostých funkcí je funkce prostá (důsledek předchozího), … Máte-li zájem, můžete se pokusit určit, zda složení n funkcí, z nichž je m klesajících (nerostoucích), je funkce rostoucí nebo klesající (neklesající nebo nerostoucí).

Důsledek. Nechť a, b, c, d∈R jsou libovolné konstanty, přičemž a, c ≠ 0 a f je prostá funkce. Pak funkce g(x) = af (cx + d) + b je také prostá. Důkaz. Funkce p(x) = ax + b a q(x) = cx + d jsou prosté. Funkce f je podle předpokladu také prostá. Platí g = p ◦ f ◦ q. (Ověřte!) Funkce g je tedy složená ze tří prostých funkcí a podle předchozího příkladu je prostá, c.b.d. Řekněte zpaměti definici složené a inverzní funkce. Shrnutí:

Funkce je nějaký předpis přiřazující každému číslu z definičního oboru jedno číslo z oboru hodnot. Graf funkce je množina bodů [x, y] v rovině takových, že y = f (x). Funkce je rostoucí, jestliže s rostoucí hodnotou proměnné x roste hodnota f (x). Podobně se definuje funkce klesající, nerostoucí a neklesající. Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotónní. Funkce f se nazývá prostá, jestliže ke každému y existuje jediné x takové, že y = f (x). Jestliže jsou všechny hodnoty f (x) kladné, nazývá se funkce kladná. Obdobně se definuje funkce záporná, nekladná a nezáporná. Je-li graf funkce souměrný podle osy y, nazývá se funkce sudá. Je-li graf souměrný podle počátku, nazývá se funkce lichá. Jestliže se hodnoty f (x) pravidelně opakují, nazývá se funkce periodická. Hodnota součtu funkcí je součet hodnot funkcí. Podobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí. Inverzní funkce f – 1 k prosté funkci f se definuje tak, aby platilo f – 1(f (x)) = x. Složení funkcí je definováno (f ◦ g)(x) = f (g(x)).

16


Cvičení

Cvičení 9.

Určete definiční obory a obory hodnot funkcí

a) f (x) = x – [x];

b) f ( x ) =

x ; D( x )

c) f ( x ) = 1 − x 2 .

Cvičení 10. Určete funkce inverzní k funkcím a) f (x) = ax + b;

b) f (x) = D(x);

c) f (x) = x4 – 2x2 + 1.

Cvičení 11. Je dána funkce f ( x ) = 3 6 − x 3 . a) Určete funkce f ◦ f , f ◦ f ◦ f , f ◦ f ◦ f ◦ f , … b) Najděte další funkce, jež mají stejnou vlastnost jako funkce f v části a). Cvičení 12. Nechť platí f = f – 1. Dokažte, že pro všechna x ∈ D(f ) platí f (f (f (f (x)))) = x.


17

Výsledky cvičení

( )

Cvičení 1. a) D(2x) = R; b) D x = 0;+∞ ) ; c) D( 1x ) = R \ {0}; grafy jsou na obr. 9.

obr. 9

Cvičení 2. Pro všechna x ∈ D(f ) musí platit f (x) ≥ 0 a zároveň f (x) ≤ 0. Z toho plyne, že musí být f (x) = 0 pro všechna x ∈ D(f ). Cvičení 3. a) x + 1 ≥ 0 a proto f (x) ≥ – 2 je zdola omezená; b) – (x – 1)2 ≤ 0 a proto f (x) = 2 – (x – 1)2 ≤ 2 je shora omezená; c) f (x) není zdola ani shora omezená. Cvičení 4. Podle definice sudé funkce je f (x) = f ( – x). Pak ovšem existují dvě čísla x, – x taková, že f (x) = f ( – x). To ale znamená, že funkce f není prostá, c.b.d. Cvičení 5. Pro všechna x platí f (x) > 0 a g(x) > 0. Z toho plyne, že (f + g)(x) = f (x) + g(x) > 0 a funkce f + g je kladná. Obdobně pro funkci fg. Cvičení 6. a) y =

x −3 ; b) platí f (1) = f (2) = 0, proto funkce není prostá; c) 2

y = 3 x+3 . Cvičení 7. a)

( f o f )(x ) = 7 x + 3

x+4 2x2 + 9 ( f o g )(x ) = 2 x +2 7 x 2 + 6 x + 12 (g o f )(x ) = 2 x − 2x +1 (g o g )(x ) = x 4 + 6 x 2 + 12

b)

( f o f )(x ) = ( f o g )(x ) =

x +1 +1 x +1

(g o f )(x ) = x + 1 (g o g )(x ) = x

Cvičení 8. Takovou funkcí je e(x) = x. Potom platí (f ◦ e)(x) = f (e(x)) = f (x) a (e ◦ f )(x) = e(f (x)) = f (x). Příklad 16. Postupuje se podobně jako v ukázce, jen některé nerovnosti mohou být opačné. Cvičení 9. a) D(f ) = R, R(f ) = 〈0; 1); b) D(f ) = R(f ) = Q; c) D(f ) = 〈 – 1; 1〉, R(f ) = 〈0; 1〉. Cvičení 10. a) f −1 ( x ) =

18

x−b pro a ≠ 0; b), c) funkce f nejsou prosté. a


Cvičení 11. a) x = f (f (x)) = f (f (f (f (x)))) = …, f (x) = f (f (f (x))) = …; b) tuto vlastnost mají například všechny funkce f ( x ) = n a − x n . Cvičení 12. f (f (f (f (x)))) = f (f – 1(f (f – 1(x)))) = f (f – 1(x)) = x. Tato kapitola byla dle mého názoru dosti jednoduchá. Jestliže Vám však činila potíže, asi jste na střední škole neměl(a) matematiku. V tom případě Vám doporučuji pročíst si ještě jednou tuto kapitolu nebo knihu [8]. Budete se muset v tomto předmětu více snažit, ale věřím, že brzy ostatní doženete.


19

1.2. ALGEBRAICKÉ FUNKCE Po prostudování budete schopni •

nakreslit graf funkce, jestliže znáte graf podobné funkce;

•

nakreslit graf funkce, jestliže znáte graf inverzní funkce.

Budete znát •

základní vlastnosti lineárních, kvadratických a lineárních lomených funkcí;

•

definice Dirichletovy a Riemannovy funkce.

Klíčová slova: Funkce lineární, kvadratická, lineární lomená, Dirichletova, Riemannova.

Čas potřebný k prostudování této kapitoly: 75 minut + příklady 75 minut Obsah kapitoly

20

1.2.1.

Transformace grafu

1.2.2.

Lineární funkce

1.2.3.

Kvadratické funkce

1.2.4.


1.2.5.

Další funkce


1.2.1.

Transformace grafu

V případě, že Vám předchozí kapitola nečinila problémy, věnujte v částech 1.2.1–1.2.4 pozornost pouze příkladům a cvičením. V této části se dozvíte, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkce. Aby byl výklad jasnější, budu stále obměňovat funkci ϕ, jejíž graf je na obr. 10. Její graf bude vždy zelený, zatímco nové grafy budou modré. Transformace budou navíc zdůrazněny červenými šipkami.

obr. 10

Přičtení čísla k hodnotě funkce. Nechť b je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g, která vznikne přičtením čísla b k funkci f . Platí tedy g(x) = f (x) + b. Nechť bod A = [x, f (x)] patří grafu funkce f . Posunutím bodu A o b jednotek nahoru dostaneme bod B = [x, f (x) + b] = [x, g(x)]. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g proto vznikne posunutím grafu funkce f o b jednotek nahoru. (V případě b < 0 se graf samozřejmě posouvá o – b jednotek dolů.) Na obr. 11 je graf funkce ψ(x) = ϕ(x) + 1, na obr. 12 graf funkce ω(x) = ϕ(x) – 1.

obr. 11

obr. 12

Vynásobení hodnoty funkce číslem. Nechť a je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g, která vznikne vynásobením funkce f číslem a. Platí tedy g(x) = af (x). Nechť bod A = [x, f (x)] patří grafu funkce f . Vynásobením y-ové souřadnice bodu A číslem a dostaneme bod B = [x, af (x)] = [x, g(x)]. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g je tudíž množina všech bodů [x, ay] ta-

ALGEBRAICKÉ FUNKCE

21

kových, že bod [x, y] patří grafu funkce f . Na obr. 13 je graf funkce ψ( x ) = 32 ϕ( x ) , na obr. 14 graf funkce ω( x ) = − 53 ϕ( x ) .

obr. 13 obr. 14

Přičtení čísla k argumentu funkce. Nechť d je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g(x) = f (x + d). Nechť bod A = [x, f (x)] patří grafu funkce f . Posunutím bodu A o d jednotek doleva dostaneme bod B = [x – d, f (x)] = [x – d, g(x – d)]. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g proto vznikne posunutím grafu funkce f o d jednotek doleva. (V případě d < 0 se graf samozřejmě posouvá o – d jednotek doprava.) Na obr. 15 je graf funkce ψ(x) = ϕ(x + 1), na obr. 16 graf funkce ω(x) = ϕ(x – 1).

obr. 15

obr. 16

Vynásobení argumentu funkce číslem. Nechť c je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g(x) = f (cx). Nechť bod A = [x, f (x)] patří grafu funkce f . Podělením x-ové souřadnice bodu A číslem c dostaneme bod B = [ cx , f ( x )] = [ cx , g ( cx )] . Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g je tudíž množina všech bodů [ cx , y ] takových, že bod [x, y] patří grafu funkce f. Na obr. 17 je graf funkce ψ( x ) = ϕ( 32 x ) , na obr. 18 graf funkce ω( x ) = ϕ(− 54 x ) .

22


obr. 17

obr. 18

Je dán graf funkce f (x). Popište, jak se konstruují grafy funkcí f (x) + b, af (x), f (x + d), f (cx). Pokuste se vysvětlit, jak by se zkonstruoval graf funkce af (cx + d) + b. Graf inverzní funkce. Aby mohla existovat inverzní funkce f – 1 k funkci f , musí být funkce f prostá. To však naše (zelená) funkce ϕ z obr. 10 není. (Proč?) Proto zde budu pracovat s jinou funkcí χ, jejíž graf je na obr. 19.

obr. 19

Nechť bod A = [x, f (x)] patří grafu funkce f . Záměnou první a druhé souřadnice bodu A, tedy překlopením podle přímky y = x, dostaneme bod B = [f (x), x] = [f (x), f – 1(f (x))]. Bod B tedy patří grafu funkce f – 1. Graf funkce f – 1 proto vznikne překlopením grafu funkce f podle přímky y = x. Na obr. 20 je graf funkce χ – 1.

ALGEBRAICKÉ FUNKCE

23

obr. 20

1.2.2.

Lineární funkce

Definice 15. Funkce f (x) = ax + b, kde a, b ∈ R, se nazývá LINEÁRNÍ FUNKCE. Speciálně (při a = 0) se funkce f (x) = b nazývá KONSTANTNÍ FUNKCE. Protože operace prováděné při výpočtu ax + b lze provést pro všechna x ∈ R, je definiční obor roven D(f ) = R. •

Konstantní funkce f (x) = b. Graf funkce f je množina všech bodů [x, b]. Tato množina ovšem není nic jiného než přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem [0, b]. Graf funkce f je na obr. 21.

obr. 21

Funkce f nabývá pouze jediné hodnoty b a proto je R(f ) = {b}. Funkce f není rostoucí ani klesající, ale je nerostoucí a neklesající. (To není totéž!) Protože je f (x) = f ( – x) = b, je funkce f sudá. Pro všechna čísla x ∈ R a t > 0 platí f (x) = f (x + t) = b, proto je funkce f periodická a její periodou je libovolné číslo t > 0. Konstantní funkce jsou jediné funkce s touto vlastností. Funkce f není prostá, protože je periodická. •

24

Funkce f (x) = x. Graf funkce f je množina všech bodů [x, f (x)] = [x, x], tedy je to přímka procházející počátkem a svírající s osami x a y úhel 45°. Graf funkce f je na obr. 22.


obr. 22

Ke každému číslu y ∈ R existuje číslo x ∈ R takové, že y = f (x). Proto je R(f ) = R. Funkce f je rostoucí a proto prostá. Z toho také plyne, že f není periodická. Protože f ( – x) = – x = – f (x), je funkce f lichá. •

Funkce f (x) = ax + b pro a ≠ 0. Grafem funkce f je opět přímka. Tato přímka prochází na ose y bodem [0, f (0)] = [0, b]. Zjistěme, kterým bodem na ose x tato přímka prochází. Označme tento bod [x, 0]. Pro číslo x musí platit f (x) = 0. Vyřešením této rovnice dostaneme x = − ba . Graf funkce f pro a > 0, resp. a < 0 je na obr. 23, resp. obr. 24.

obr. 23

obr. 24

Protože ke každému čísly y ∈ R existuje číslo x ∈ R takové, že y = f (x), je R(f ) = R. Pro a > 0 platí x 0 funkce f rostoucí. Obdobně pro a < 0 je f klesající. Funkce f je tedy ryze monotónní a proto prostá a neperiodická. Příklad 17. Určeme číslo b tak, aby funkce f (x) = ax + b byla lichá. Musí platit – f (x) = f ( – x). Úpravou tohoto vztahu postupně dostaneme. – ax – b = – ax + b –b=b 2b = 0 b=0 Z toho plyne, že funkce f (x) = ax + b je lichá právě tehdy, když je b = 0.

ALGEBRAICKÉ FUNKCE

25

Jak se určí průsečíky grafu funkce s osami x a y?

1.2.3.

Kvadratické funkce

Definice 16. Funkce f (x) = ax2 + bx + c, kde a ≠ 0 a b, c ∈ R, se nazývá KVADRATICKÁ FUNKCE. •

Funkce f (x) = x2. Grafem funkce f je množina všech bodů [x, x2]. Je to křivka, která se nazývá PARABOLA. Graf funkce f je uveden na obr. 25.

obr. 25

Jestliže je y ≥ 0, pak existuje číslo x ∈ R takové, že f (x) = y. Je-li však y < 0, pak žádné takové x neexistuje. Proto je R(f ) = 〈0; + ∞). Funkce f je klesající na intervalu ( – ∞; 0〉 a rostoucí na 〈0; + ∞). Protože platí f ( – x) = ( – x)2 = x2 = f (x), je funkce f sudá. Z toho plyne, že f není prostá. Funkce f není periodická. •

Funkce f (x) = ax2 pro a ≠ 0. Grafem funkce f je parabola procházející body [0; 0] a [ ± 1; a]. Pro a > 0 má funkce f stejné vlastnosti jako funkce x2. Pro a < 0 je f rostoucí na ( – ∞; 0〉, klesající na 〈0; + ∞) a R(f ) = ( – ∞; 0〉. Graf funkce f pro a < 0 je uveden na obr. 26.

obr. 26

•

Funkce f (x) = ax2 + bx + c. Grafem funkce f je opět parabola. Abychom zjistili, jak tato parabola vypadá, musíme nejdříve funkci f upravit: 2 2 2 2 f ( x ) = ax 2 + bx + c = a x 2 + ba x + ac = a (x + 2ba ) − 4ba 2 + ac = a(x + 2ba ) − b 4−a4 ac

(

) (

)

Graf funkce f tedy vznikne posunutím grafu funkce ax2 o

b jednotek do2a

b 2 − 4ac leva a jednotek dolů. Situaci ilustruje obr. 27. 4a

26


obr. 27

[

Vrchol paraboly je tedy v bodě − 2ba ;− b

2

)

− 4 ac 4a

] . Pro a > 0 je parabola „ote-

vřená“ nahoru a proto R ( f ) = c − 4b a ;+∞ . Pro a < 0 je parabola „otevřená“ 2

(

dolů a proto R ( f ) = − ∞; c − 4b a . Funkce f není prostá ani periodická. Pro 2

a > 0 (a < 0) je funkce f klesající (rostoucí) na intervalu (− ∞;− 2ba a ros-

toucí (klesající) na intervalu − 2ba ;+∞ ) .

Příklad 18. Určeme číslo b tak, aby funkce f (x) = ax2 + bx + c byla sudá. Pro všechna x musí platit f (x) = f ( – x). Úpravami této rovnosti postupně dostaneme a( – x)2 + b( – x) + c = ax2 + bx + c ax2 – bx + c = ax2 + bx + c – bx = bx 2bx = 0 bx = 0 Protože rovnost má platit pro všechna x, musí být b = 0. Cvičení 13. Určete průsečíky grafu funkce f (x) = ax2 + bx + c s osami x a y.

1.2.4.


Definice 17. Funkce f ( x ) =

ax + b , kde c ≠ 0 a ad ≠ bc, se nazývá cx + d

LINEÁRNÍ

LOMENÁ FUNKCE.

Protože f (x) je zlomek, nesmí být jmenovatel roven nule. Nesmí tedy platit x = − dc . Z toho plyne, že D( f ) = R \ {− dc }.

•

1 . Grafem této funkce je křivka na obr. 28, která se nazývá x (ROVNOOSÁ) HYPERBOLA. Tato křivka se „neustále přibližuje“ k osám x a y, ale nikdy je neprotne. Funkce f ( x ) =

ALGEBRAICKÉ FUNKCE

27

obr. 28

Určeme obor hodnot. R(f ) je množina těch čísel y, pro která má rovnice f (x) = y řešení. Jednoduchou úpravou této rovnice dostaneme x = 1y . Z toho plyne, že při y = 0 nemá rovnice f (x) = y řešení, neboli R(f ) = R\{0}. Pro 0 < x < y platí 1y < 1x , neboli f (y) < f (x). Z toho plyne, že funkce f je klesající na intervalu (0; + ∞). Obdobně je f klesající na ( – ∞; 0). Přesto však f není klesající na celém svém definičním oboru, protože například f (1) = 1 > – 1 = f ( – 1). Protože ke každému číslu y ∈ R(f ) existuje jediné číslo x takové, že f (x) = y, je funkce f prostá. Z toho také plyne, že f není periodická. Protože platí f (− x ) = −1x = − 1x = − f ( x ) , je f lichá funkce.

•

Funkce f ( x ) =

a pro a ≠ 0. Odvoďte sami vlastnosti této funkce. x

•

Funkce f ( x ) =

ax + b . K určení vlastností této funkce je opět nutno ji nejcx + d

dříve upravit.

f (x ) =

ax + b = cx + d

a c

(cx + d ) − adc + b = a − cx + d

c

Graf funkce f vznikne posunutím grafu funkce a c

28

ad − bc c d c bc − ad c2

c(x +

x jednotek nahoru. Situace je zachycena na obr. 29.

o

)

= d c

bc − ad c2 d c

x+

+

a c

jednotek doleva a


obr. 29

Graf funkce f se „stále přibližuje“ k přímkám y = neprotne. Z toho plyne, že R ( f ) = R \ {ac }.

a c

a x = − dc , ale nikdy je

Odvoďte sami další vlastnosti.

1.2.5. •

Další funkce

Dirichletova funkce D(x) je funkce, definovaná na D(D) = R, pro kterou platí: pro x ∈ Q je D(x) = 1, pro x ∉ Q je D(x) = 0. Ihned z definice plyne, že R(D) = {0; 1}. Funkce D není ani rostoucí ani klesající. Již dříve bylo ukázáno, že D je periodická a její periodou je libovolné a ∈ Q+. Z toho plyne, že D není prostá.

Cvičení 14. Dokažte, že D je sudá funkce.

•

Riemannova funkce R(x) je funkce definovaná na D(R) = R následovně: R(0) = 1; pro x ∉ Q je R(x) = 0; pro číslo x = qp , kde p a q jsou nesoudělná

{

}

čísla, je R( x ) = 1q . Ihned z definice plyne, že R (R ) = {0}∪ 1q ; q ∈ N . Funk-

ce R není ani rostoucí ani klesající. R je periodická a její periodou je libovolné kladné celé číslo. Z toho plyne, že R není prostá. Graf Riemannovy funkce je na obr. 30.

obr. 30

ALGEBRAICKÉ FUNKCE

29

Cvičení 15. Dokažte, že R je sudá funkce. Shrnutí:

Graf funkce f (x) + b vznikne posunutím grafu funkce f (x) o b jednotek nahoru. Graf funkce af (x) vznikne natáhnutím grafu funkce f (x) do výšky na anásobek. Graf funkce f (x + d) vznikne posunutím grafu funkce f (x) o d jednotek doleva. Graf funkce f (cx) vznikne „stáhnutím“ grafu funkce f (x) do šířky na jednu c-tinu. Graf funkce f – 1(x) vznikne překlopením grafu funkce f (x) kolem přímky y = x.

30


Cvičení

Cvičení 16. Červená křivka na obr. 31 je graf funkce f , která je sudá a má periodu t = 4. Modrá křivka vznikla posunutím červené křivky o dvě jednotky nahoru a jednu jednotku doprava. Určete všechny funkce, jejichž grafem je modrá křivka. a) 2f (x) – 1; b) f (2x + 1); c) f (2 – x) + 1; d) f (x – 1) + 2; e) 2 + f (5 – x);

f ) 5 – f (2x); g) f (x + 7) + 2; h) 3f (2x – 1) + 2; i) f (x + 6) – 1;

obr. 31

j) f (1 – x) + 6.

Cvičení 17. Na obr. 32 jsou grafy funkcí f , g, h. Určete všechna tvrzení o těchto funkcích, která jsou pravdivá. a) Žádná z těchto funkcí není rovna funkci 2x2 + 4. b) V intervalu 〈 – 2; 2〉 existuje bod x0 takový, že g(x0)h(x0) = 0. c) Rovnice f (x) – h(x) = 0 nemá v intervalu 〈 – 2; 2〉 žádné řešení. d) Pro každé x ∈ 〈 – 2; 2〉 platí f (x) = f ( – x). e) Existuje neprázdný interval 〈a; b〉 ⊆ 〈 – 2; 2〉 takox ∈ 〈a, b〉 platí vý, že pro každé h(x) ≤ g(x) ≤ f (x). f ) Rovnice g(x) + h(x) = 0 má na intervalu 〈 – 2; 2〉 alespoň jedno řešení. obr. 32

Cvičení 18. Určete základní vlastnosti (definiční obor, obor hodnot, monotónnost, průsečíky s osami, zda je funkce sudá/lichá) následujících funkcí a načrtněte jejich grafy. a) f (x ) = 3x + 4 2x + 3 e) f (x ) = x −1 b) f (x ) = 6 − 2 x 3 x −9 f) f (x ) = c) 4 x 2 − 20 x + 24 2x − 4 2 2 d) f (x ) = ( x − 2 ) − (2 x − 1) g) f ( x ) = R( x )(1 − D( x ))

ALGEBRAICKÉ FUNKCE

31

Výsledky cvičení

Cvičení 13. Průsečík s osou y je [0; c]. Průsečíky s osou x jsou pokud je b2 ≥ 4ac; Jinak průsečíky s osou x nejsou.

[

− b ± b 2 − 4 ac 2a

]

;0 ,

Cvičení 14. Pro x ∈ Q je – x ∈ Q a platí D( – x) = 1 = D(x). Pro x ∉ Q je – x ∈ Q a platí D( – x) = 0 = D(x), c.b.d. Cvičení 15. Pro x ∉ Q je – x ∉ Q a R( – x) = 0 = R(x). Pro x = qp , kde p a q jsou nesoudělná čísla, je − x =

−p q

, přičemž čísla – p a q jsou nesoudělná.

Z toho plyne, že R(− x ) = 1q = R( x ) , c.b.d.

Cvičení 16. Modrá křivka je grafem funkcí d), e) a g). Cvičení 17. Pravdivá jsou tvrzení a), b), e) a f ). Cvičení 18. a) D(f ) = R(f ) = R, funkce je rostoucí na R, není sudá ani lichá, průsečík s osou x je [− 43 ;0] , s osou y je [0; 4], graf je na obr. 33. b) D(f ) = R(f ) = R, funkce je klesající na R, není sudá ani lichá, průsečík s osou x je [3; 0], s osou y je [0; 6], graf je na obr. 33. 2 c) f ( x ) = 4( x − 2 )( x − 3) = 4(x − 52 ) − 1 , D(f ) = R, R(f ) = 〈 – 1; + ∞), funkce je klesající na

(− ∞; 52

, rostoucí na

5 2

;+∞ ), není sudá ani lichá, průsečíky

s osou x jsou [2; 0] a [3; 0], s osou y je [0; 24], graf je na obr. 33. d) f (x) = – 3x2 + 3, D(f ) = R, R(f ) = ( – ∞; 3〉, funkce je rostoucí na ( – ∞; 0〉, klesající na 〈0; + ∞), je sudá, průsečíky s osou x jsou [ – 1; 0] a [1; 0], s osou y [0; 3], graf je na obr. 33. 5 , D(f ) = R\{1}, R(f ) = R\{2}, funkce je klesající na ( – e) f ( x ) = 2 + x −1 ∞; 1) a (1; + ∞), není sudá ani lichá, průsečík s osou x je [− 32 ;0] , s osou y je [0; 3], graf je na obr. 34. 3 3 f ) f ( x ) = − 2 , D(f ) = R\{2}, R ( f ) = R \ {32 } , funkce je rostoucí na ( – 2 x−2 ∞; 2) a (2; + ∞), není sudá ani lichá, průsečík s osou x je [3; 0], s osou y je [0; 94 ], graf je na obr. 34. g) f (x) = 0, D(f ) = R, R(f ) = {0}, funkce je konstantní (a tedy nerostoucí a neklesající) na R, je sudá i lichá, průsečíky s osou x jsou [t; 0] pro všechna t ∈ R, s osou y je [0; 0], graf je na obr. 33.

32


obr. 33

obr. 34

Tato kapitola byla snadná. Sloužila především ke shrnutí učiva ze střední školy pro studenty, jimž matematika činila potíže. Uvedené vlastnosti není třeba umět zpaměti, prtože si je lze snadno odvodit. Důležité je umět z grafu funkce vyčíst základní vlastnosti, obdobně jako ve cvičení 17.

ALGEBRAICKÉ FUNKCE

33

2. DIFERENCIÁLNÍ POČET 2.1. SPOJITOST Po prostudování budete vědět, •

co je to okolí bodu;

•

jak se určuje, zda je funkce spojitá v bodě nebo na intervalu;

•

jaké vlastnosti mají spojité funkce;

•

určit intervaly, na nichž je funkce kladná, nebo záporná;

•

co je to Darbouxova vlastnost.

Klíčová slova: Okolí bodu, spojitost v bodě, spojitost na intervalu, Darbouxova vlastnost, Weierstrassova věta.


34

2.1.1.

Okolí bodu

2.1.2.

Spojitost v bodě

2.1.3.


2.1.4.

Věty o spojitosti


2.1.1.

Okolí bodu

Definice 18. Nechť a je reálné číslo a δ > 0. Potom interval (a – δ; a + δ) se nazývá δ-OKOLÍ BODU a a označuje se Uδ(a); (a – δ; a〉 se nazývá LEVÉ δ-OKOLÍ BODU a a označuje se U δ− (a ) ;

〈a; a + δ) se nazývá PRAVÉ δ-OKOLÍ BODU a a označuje se U δ+ (a ) . Vyjmutím bodu a z (levého, pravého) δ-okolí bodu a dostaneme tzv. REDUKO− + VANÉ (LEVÉ, PRAVÉ) δ-OKOLÍ BODU a, které se označuje Pδ(a) ( Pδ (a ) , Pδ (a ) ).

Redukované okolí se také někdy nazývá PRSTENCOVÉ OKOLÍ. Jednostranná redukovaná okolí lze rovněž zapsat ve tvaru Pδ− (a ) = (a − δ; a ) , Pδ+ (a ) = (a; a + δ ) .

Příklad 19. Zapišme pomocí nerovností, že číslo x patří do prstencového 1okolí bodu 2. Platí P1(2) = (1; 2) ∪ (2; 3). Vztah x ∈ P1(2) lze zapsat ve tvaru 0 < |x – 2| < 1. Zapište pomocí nerovností, že číslo x patří do (redukovaného) (levého/pravého) δ-okolí bodu a. Správné řešení je

x ∈ U δ (a ) ⇔ a − δ < x < a + δ ⇔ x − a < δ x ∈ U δ− (a ) ⇔ a − δ < x ≤ a

x ∈ U δ+ (a ) ⇔ a ≤ x < a + δ x ∈ Pδ (a ) ⇔ 0 < x − a < δ x ∈ Pδ− (a ) ⇔ a − δ < x < a

x ∈ Pδ+ (a ) ⇔ a < x < a + δ

Cvičení 19. Vyjádřete následující intervaly jako okolí bodu a) (3; 5);

2.1.2.

b) 〈6; 7);

c) 〈0; 2〉.

Spojitost v bodě

Definice 19. Funkce f je SPOJITÁ V BODĚ a, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Uδ(a) platí f (x) ∈ Uε(f (a)), neboli stručněji ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ(a) : f (x) ∈ Uε(f (a)). Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každý bod x z δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f (a). Situace je zachycena na obr. 35.

obr. 35

SPOJITOST

35

Geometricky lze (nepřesně) říci, že funkce f je spojitá v bodě a, jestliže její graf „můžeme na okolí bodu a nakreslit jedním tahem“. Při zjišťování, zda je funkce f spojitá v bodě a, hledáme ke kladnému číslu ε kladné číslo δ tak, aby pro všechna x ∈ Uδ(a) platilo f (x) ∈ Uε(f (a)). Přitom stačí dokázat, že f (x) ∈ UKε(f (a)), kde K je nějaká kladná konstanta. Ukážeme si to na příkladu.

Příklad 20. Funkce y = x2 je spojitá v každém bodě a ∈ R. Nechť ε > 0 je libovolné pevně zvolené číslo. Máme najít číslo δ > 0 tak, aby pro všechna x ∈ Uδ(a) platilo x2 ∈ Uε(a2). Jinými slovy musí platit |x2 – a2| < ε. Pro všechna x ∈ Uδ(a) platí |x – a| < δ. Dále platí |x + a| = |(x – a) + 2a| ≤ |x – a| + 2|a| < δ + 2|a| . Z toho plyne, že |x2 – a2| = |x – a| |x + a| < δ(δ + 2|a|) . Je třeba nalézt číslo δ > 0 tak, aby δ(δ + 2|a|) ≤ ε, protože potom bude |x2 – a2| < ε pro všechna x ∈ Uδ(a). Nerovnost δ(δ + 2|a|) ≤ ε je ekvivalentní s nerovností δ2 + 2|a|δ – ε ≤ 0. Tato nerovnost platí pro δ ∈ − a − a 2 + ε ;− a + a 2 + ε . Protože je ε > 0, je a2 + ε > a2 a proto − a + a 2 + ε > 0 . Protože musí být δ > 0, lze vzít δ = − a + a 2 + ε , tedy takové číslo δ > 0 existuje, c.b.d. Z tohoto příkladu je vidět, že i v případě tak jednoduché funkce, jako je x2, je zjišťování spojitosti podle definice dosti složité. Proto se při zjišťování spojitosti většinou využívají věty uvedené v části 2.1.4. V definici spojitosti se vyskytuje číslo f (a). Aby funkce f mohla být v bodě a spojitá, musí číslo f (a) existovat. Jinými slovy musí být a ∈ D(f ). Taktéž musí existovat f (x) pro x z nějakého δ-okolí bodu a. Tedy musí být Uδ(a) ⊂ D(f ) Kontrapozicí této věty ihned dostáváme

Věta 7. Jestliže číslo a s nějakým svým okolím nepatří do definičního oboru D(f ), není funkce f v bodě a spojitá. Příklad 21. Funkce f ( x ) =

1 není definována pro x = 0 a proto není spojitá x

v bodě 0.

Příklad 22. Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodě a ∈ R. Nechť a ∈ Q. Potom je D(a) = 1. Zvolme ε < 1. V každém Uδ(a) existuje alespoň jedno číslo x ∉ Q. Pro toto x platí x ∈ Uδ(a), ale D(x) = 0 ∉ Uε(D(a)). Pro a ∉ Q je důkaz obdobný. Funkce f ( x ) = x je spojitá v každém bodě a > 0. V bodě 0 spojitá není, protože při jakémkoliv δ nepatří levé δ-okolí bodu 0 do definičního oboru. Cítíme však, že „napravo“ od bodu 0 je odmocnina v jistém smyslu „spojitá“. Proto se definují jednostranné spojitosti.

Definice 20. Funkce f je SPOJITÁ V BODĚ a ZPRAVA (ZLEVA), jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ U δ+ (a ) ( x ∈ U δ− (a ) ) platí f (x) ∈ Uε(f (a)), neboli stručněji 36


∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U δ+ (a ) : f ( x ) ∈ U ε ( f (a )) pro spojitost zprava a ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U δ− (a ) : f ( x ) ∈ U ε ( f (a )) pro spojitost zleva. Funkce f je spojitá v bodě a zprava (zleva), jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každý bod x z pravého (levého) δ-okolí bodu a zobrazí do εokolí bodu f (a). Situace je pro spojitost zprava zachycena na obr. 36. Pro spojitost zleva je situace podobná. (Nakreslete!)

obr. 36

Příklad 23. Funkce f ( x ) = x je zprava spojitá v bodě a = 0. To se dokáže snadno. Je třeba k číslu ε > 0 najít číslo δ > 0 takové, aby pro každé číslo x takové, že 0 ≤ x < δ, platilo − ε < x < ε . Umocněním poslední nerovnosti na druhou dostaneme 0 ≤ x < ε2. Stačí tedy vzít δ = ε2, c.b.d. Věta 8. Funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když je v bodě a spojitá zleva i zprava. Důkaz je snadný, ale budu ho provádět podrobně. Nejdříve provedu důkaz zleva doprava. Zvolme si libovolně číslo ε > 0. Funkce f je spojitá v bodě a a proto existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈ Uδ(a) platí f (x) ∈ Uε(f (a)). Protože je U δ+ (a ) ⊂ U δ (a ) , také pro všechna x ∈ U δ− (a ) platí f(x) ∈ Uε(f (a)). To ale znamená, že funkce f je zleva spojitá v bodě a. Obdobně platí U δ+ (a ) ⊂ U δ (a ) a proto funkce f je spojitá zprava v bodě a. Nyní provedu důkaz zprava doleva. Zvolme si libovolně číslo ε > 0. Funkce f je spojitá zleva v bodě a a proto existuje číslo δ1 takové, že pro všechna x ∈ U δ−1 (a ) platí f (x) ∈ Uε(f (a)). Funkce f je zároveň spojitá zprava a proto

existuje číslo δ2 takové, že i pro všechna x ∈ U δ+2 (a ) platí f (x) ∈ Uε(f (a)). Ji-

nými slovy platí f (x) ∈ Uε(f (a)) pro všechna x ∈ U δ−1 (a ) ∪ U δ+2 (a ) . Položme

δ = min{δ1; δ2}.

Platí

U δ− (a ) ⊆ U δ−1 (a )

a

U δ+ (a ) ⊆ U δ+2 (a ) ,

neboli

U δ− (a ) ∪ U δ+ (a ) ⊆ U δ−1 (a ) ∪ U δ+2 (a ) . Dále platí U δ (a ) = U δ− (a ) ∪ U δ+ (a ) . Z toho

ovšem plyne, že f (x) ∈ Uε(f (a)) pro všechna x ∈ Uδ(a), c.b.d.

2.1.3.


Definice 21. Funkce f je SPOJITÁ NA INTERVALU (a; b), jestliže je spojitá v každém bodě c ∈ (a; b). Funkce f je SPOJITÁ NA INTERVALU 〈a; b〉, jestliže je spojitá na intervalu (a; b) a navíc je spojitá zprava v bodě a a spojitá zleva v bodě b.

SPOJITOST

37

Jestliže je definiční obor D(f ) intervalem a funkce f je spojitá na celém D(f ), pak se stručně říká, že funkce f je SPOJITÁ. Z definice 21 ihned plyne toto: Je-li funkce f spojitá na intervalu I a J je jeho podinterval, pak je funkce f spojitá i na intervalu J.

Příklad 24. Funkce f (x) = x je spojitá na R. Zvolme si libovolně a ∈ R a ε > 0. Je třeba najít číslo δ, aby pro všechna x ∈ Uδ(a) platilo f (x) ∈ Uε(f (a)). Protože je f (x) = x a f (a) = a, je třeba, aby pro všechna x ∈ Uδ(a) platilo x ∈ Uε(a). Stačí tedy vzít δ = ε, c.b.d. Příklad 25. Konstantní funkce f (x) = c, kde c ∈ R je libovolná konstanta, je spojitá na R. Zvolme si libovolně a ∈ R a ε > 0. Je třeba najít číslo δ, aby pro všechna x ∈ Uδ(a) platilo f (x) ∈ Uε(f (a)). Protože je f (x) = f (a) = c a c ∈ Uε(c), platí f (x) ∈ Uε(f (a)) dokonce pro všechna x ∈ R. Číslo δ > 0 tedy může být libovolné, c.b.d. Cvičení 20. Dokažte, že funkce f (x) = |x| je spojitá na R.

2.1.4.

Věty o spojitosti

Věta 9. Nechť funkce f a g jsou spojité v bodě a. Pak jsou i funkce f + g, f – g a fg jsou spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) ≠ 0, je i funkce gf spojitá v bodě a. Důkaz bude uveden později. Důsledek. Jsou-li funkce f1,…,fn spojité, jsou spojité i funkce f1 +…+ fn a f1…fn. Důkaz se provede matematickou indukcí. Důsledek. Je-li funkce f spojitá v bodě a a c ∈ R libovolná konstanta, pak je funkce g(x) = cf (x) spojitá v bodě a. Důkaz. Konstantní funkce c je spojitá na R a tedy je spojitá i v bodě a. Součin dvou funkcí spojitých v bodě a je funkce podle věty 9 spojitá v bodě a, c.b.d. Důsledek. Libovolná racionální lomená funkce je spojitá ve všech bodech, ve kterých není jmenovatel roven nule. Speciálně je každý mnohočlen a0 + a1x +…+ anxn spojitý na R. Důkaz. Funkce x1 je spojitá. Předpokládejme, že je spojitá funkce xk pro nějaké k ∈ N. Pak podle věty 9 je spojitá i funkce xk + 1 = x⋅xk. Funkce xn je proto spojitá pro každé n ∈ N. Je-li an ∈ R libovolná konstanta, je podle předchozího důsledku funkce anxn spojitá. Podle prvního důsledku je spojitá i funkce (mnohočlen) a0 + a1x +…+ anxn. Podle věty 9 je podíl dvou mnohočlenů, tedy racionální lomená funkce, spojitý ve všech bodech, ve kterých není jmenovatel roven nule, c.b.d. Příklad 26. I když jsou funkce f a g nespojité v bodě a, může přesto funkce f + g být spojitá v bodě a. Příkladem jsou funkce f (x) = D(x) a g(x) = 1 – D(x). Ani jedna z nich není spojitá v žádném bodě. Ale funkce (f + g)(x) = 1 je funkce konstantní a tedy spojitá. Cvičení 21. Nechť je funkce f spojitá v bodě a a funkce g nespojitá v bodě a. Co lze o funkcích f + g a f – g? 38


Věta 10. Je-li funkce f spojitá v bodě a a funkce g spojitá v bodě b = f (a), je funkce g ◦ f spojitá v bodě a. Důkaz je uveden například v knize [5] na straně 163. Důsledek. Nechť funkce f je spojitá. Protože absolutní hodnota je spojitá funkce , je i funkce |f |(x) = |f (x)| spojitá. Cvičení 22. Existuje funkce f , která není spojitá v žádném bodě a ∈ D(f ), pro kterou je funkce |f | spojitá v každém bodě a ∈ D(f )? Věta 11. Jestliže je funkce f spojitá v bodě a a platí f (a) > 0 (f (a) < 0), pak existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Uδ(a) platí f (x) > 0 (f (x) < 0). Tato věta říká, že když je spojitá funkce v nějakém bodě různá od nuly, je na nějakém svém okolí různá od nuly. Situace je pro f (a) > 0 zachycena na obr. 37.

obr. 37

Důkaz. Větu dokážu pro f (a) > 0. Pro f (a) < 0 je situace podobná (proveďte). Z definice spojitosti pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈ Uδ(a) je |f (x) – f (a)| < ε. Zvolme ε = f (a). Potom existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈ Uδ(a) platí |f (x) – f (a)| < f (a). Tato nerovnost je ale pro f (a) > 0 ekvivalentní s nerovností f (x) > 0, c.b.d. Kontrapozicí věty 11 dostáváme Jestliže funkce f mění na okolí bodu a znaménko, pak platí f (a) = 0, nebo f není spojitá v bodě a. Z toho plyne, že funkce může (ale nemusí) měnit znaménko pouze v bodech, v nichž je rovna nule, nebo není spojitá. x 2 − 8 x + 12 Příklad 27. Určeme intervaly, na nichž je funkce f ( x ) = kladná, x3 − 4 x 2 nebo záporná. Na číselnou osu nanesme všechny body, v nichž je funkce rovna nule nebo není spojitá. Funkce může změnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plyne, že pouze tyto body mohou být krajními body intervalů, na nichž je funkce kladná, nebo záporná. K určení znaménka funkce na některém intervalu stačí určit znaménko funkce v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolit bod x, ve kterém se hodnota f (x) spočítá snadno. Funkce f (x) je rovna nule v těch bodech, ve kterých je čitatel roven nule. Řešením rovnice x2 – 8x + 12 = 0 jsou čísla x = 2 a x = 6. Funkce f (x) není spojitá v těch bodech, v nichž je jmenovatel roven nule. Řešením rovnice x3 – 4x2 = 0 jsou čísla x = 0 a x = 4. Nanesme proto na osu x body 0, 2, 4 a 6 (viz obr. 38). SPOJITOST

39

obr. 38

Nyní určeme hodnoty funkce f ve vnitřních bodech vyznačených intervalů. f (− 1) = −215 = − 215 < 0 a tedy f je záporná na intervalu ( – ∞; 0); f (1) = −53 = − 53 < 0 a tedy f je záporná na intervalu (0; 2); f (3) = −−39 = 13 > 0 a tedy f je kladná na intervalu (2; 4); f (5) = −253 = − 253 < 0 a tedy f je záporná na intervalu (4; 6);

5 f (7 ) = 147 > 0 a tedy f je kladná na intervalu (6; + ∞). Symbolicky je toto zakresleno na obr. 39.

obr. 39

Věta 12. Jestliže je funkce f spojitá v bodě a, pak existuje číslo δ > 0 takové, že funkce f je omezená na Uδ(a). Důkaz. Zvolme libovolně číslo ε > 0. Protože je funkce f spojitá v bodě a, existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Uδ(a) platí f (x) ∈ Uε(f (a)). Jinými slovy pro všechna x ∈ Uδ(a) platí f (a) – ε < f (x) < f (a) + ε. Na Uδ(a) je tedy funkce f zdola omezena konstantou f (a) – ε a shora omezena konstantou f (a) + ε, c.b.d. Přečtěte si znovu věty v části 2.1.4 a uveďte a pokuste se dokázat podobné věty pro jednostrannou spojitost.

Definice 22. Funkce f má DARBOUXOVU VLASTNOST na intervalu I , jestliže pro všechna čísla a, b ∈ I taková, že a < b a f (a) ≠ f (b), a všechna čísla d ležící mezi f (a) a f (b) existuje číslo c ∈ (a, b) takové, že f (c) = d. Je-li interval I přímo definičním oborem funkce f , pak se přívlastek „na I“ vynechává. Jinými slovy jestliže funkce mající Darbouxovu vlastnost nabývá hodnot f (a) a f (b), pak nabývá všech hodnot mezi čísly f (a) a f (b). Situaci ilustruje obr. 40.

obr. 40

Věta 13. Funkce spojitá na intervalu má na tomto intervalu Darbouxovu vlastnost. Důkaz bez využití posloupností je složitý a je uveden například v knize [5] na stranách 237–238. S využitím posloupností je bude důkaz uveden v části 3.2.2. 40


Příklad 28. Obrácená věta neplatí. Mějme funkci f : 〈 – 1; 1〉 → R definovanou následovně: Pro lichá čísla n ∈ Z je f ( 1n ) = 1 ; pro sudá čísla n ∈ Z je f ( 1n ) = 0 ; mezi body 1n a n1+1 je funkce f lineární. Graf funkce f je na obr. 41. Tato funkce má Darbouxovu vlastnost, ale v bodě a = 0 není spojitá.

obr. 41

Důsledek věty 13. Jestliže je funkce f spojitá na intervalu 〈a; b〉 a čísla f (a) a f (b) mají různá znaménka, pak existuje (alespoň jeden) bod c ∈ (a; b) takový, že f (c) = 0. Tohoto důsledku se využívá v numerické matematice při přibližném řešení rovnic ve tvaru f (x) = 0. Najdeme (například z grafu funkce) body a, b tak, aby platilo f (a) < 0 a f (b) > 0. Podle předchozího důsledku leží řešení rovnice v intervalu (a; b). Zvolíme si číslo c, které leží uvnitř intervalu (a; b). Při metodě zvané BISEKCE se volí střed tohoto intervalu, tedy číslo

c=

a+b . Jestliže je f (c) > 0, nachází se řešení v intervalu (a, c); jestliže je f(c) < 0, nachází 2

se řešení v intervalu (c, b). V obou případech je nový interval menší než původní. Tuto metodu opakujeme znovu s tímto novým intervalem. Řešme například rovnici

x +1 −

1 = 0. x

Z grafu zjistíme, že například při a = 0,7 a b = 0,8 je f (a) < 0 a f (b) > 0. Po dvaceti krocích dostaneme interval (0,7548777; 0,7548779), v němž leží řešení. Můžeme tedy říct, že přibližné řešení dané rovnice je x = 0,754878.

Věta 14. (Weierstrassova věta) Funkce, která je spojitá na uzavřeném intervalu, je na tomto intervalu omezená a nabývá na něm svého maxima a minima. Že funkce f nabývá maxima na intervalu 〈a; b〉 znamená, že existuje číslo c ∈ 〈a; b〉 takové, že pro všechna x ∈ 〈a; b〉 je f (c) ≥ f (x). Obdobně pro minimum.

Důkaz je složitý a je uveden například v knize [5] na stranách 235–237. Příklad 29. Funkce, která je definována na uzavřeném intervalu, ale není na něm spojitá, nemusí svého maxima nabývat. Příkladem je funkce f definovaná na intervalu 〈 – 1; 1〉, pro níž platí f (x) = 1 – x2 pro x ≠ 0 a f (0) = 0. V blízkosti bodu x = 0 se hodnoty funkce blíží hodnotě f (x) = 1, ale této hodnoty nedosahují. Dále také funkce, která je spojitá, avšak pouze na otevřeném intervalu, nemusí svého maxima nabývat. Ukázkou je funkce f (x) = x2 definovaná na intervalu (0; 1). V blízkosti bodu x = 1 se hodnoty funkce blíží hodnoty f (x) = 1, ale této hodnoty nedosahují. Nalezněte podobné příklady na neexistenci minima a neomezenost funkce při nesplnění předpokladů věty 14.

SPOJITOST

41

Shrnutí:

δ-okolí bodu a je interval Uδ(a) = (a – δ; a + δ), levé δ-okolí je (a – δ; a〉, pravé δ-okolí 〈a; a + δ). Redukované okolí P(a) vznikne z okolí U(a) vyjmutím bodu a. Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ(a) : f (x) ∈ Uε(f (a)). Obdobně se definuje spojitost zprava a zleva. Funkce je spojitá na intervalu, jestliže je spojitá ve všech vnitřních bodech tohoto intervalu a dále spojitá zprava v levém a zleva v pravém krajním bodě, pokud tyto body patří k intervalu. Jestliže jsou v bodě spojité dvě funkce, pak jsou v tomto bodě spojité i jejich součet, rozdíl, součin a podíl, jestliže je jmenovatel různý od nuly. Z toho plyne, že každý mnohočlen je spojitá funkce. Je-li f spojitá v a a g spojitá v f (a), pak je g ◦ f spojitá v a. Funkce má Darbouxovu vlastnost, jestliže, když nabývá dvou hodnot, pak nabývá všech hodnot mezi nimi. Funkce spojitá na intervalu má na něm Darbouxovu vlastnost. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu na něm nabývá svého maxima a minima.

42


Cvičení

Cvičení 23. Který z následujících výrazů je definicí spojitosti funkce f v bodě a? a) ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∀x ∈ Uδ(x) : f (x) ∈ Uε(f (x)); b) ∀ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ Uε(x) : f (x) ∈ Pδ(f (x)); c) ∃δ > 0 ∃ε > 0 ∀x ∈ Pδ(x) : f (x) ∈ Pε(f (x)); d) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ(x) : f (x) ∈ Uε(f (x)). Cvičení 24. Určete intervaly spojitosti následujících funkcí a) f (x) = x3 + x2 – 12x;

1 b) f ( x ) = 3 ; x + x 2 − 12 x

1 − c) f ( x ) = x 1 + x

1 x −1 . 1 x +1

Cvičení 25. Řešte nerovnice 4x − x2 x +1 x3 + x 3 ≤0; b) > 0 ; c) < 0; > 1. a) 2 3 x+7 5− x x −x x+2 Cvičení 26. Dokažte, že rovnice x3 – 5x – 1 = 0 má alespoň jeden kořen v intervalu ( – 1; 0).

SPOJITOST

43

Výsledky cvičení

Cvičení 19. a) (3; 5) = U1(4), interval lze vyjádřit i jako redukovaná jednostranná okolí P2+ (3) = P2− (5) ; b) 6; 7 ) = U1+ (6 ) ; c) interval nelze vyjádřit jako okolí.

Cvičení 20. Stačí vzít δ = ε a pohrát si s absolutními hodnotami v nerovnostech. Cvičení 21. Funkce f + g a f – g jsou nespojité v bodě a. Předpokládejme například, že funkce f + g je spojitá v bodě a. Potom by ovšem funkce g = (f + g) – f jako rozdíl dvou spojitých funkcí musela být spojitá, což je spor se zadáním. Proto musí být funkce f + g nespojitá v bodě a. Obdobně to platí pro funkci f – g. Cvičení 22. Vytvořme funkci d(x) = 2D(x) – 1. Platí d(x) = 1 pro x ∈ Q a d(x) = – 1 pro x ∉ Q. Přitom platí |d(x)| = 1 pro všechna x ∈ R. Nechť ϕ je kladná spojitá funkce. Potom funkce f (x) = d(x)ϕ(x) má požadované vlastnosti. Pro x ∈ Q platí f (x) > 0 a pro x ∉ Q platí f (x) < 0. Proto funkce f není spojitá v žádném bodě a ∈ D(f ) = D(ϕ). Funkce |f (x)| = ϕ(x) je však spojitá. Cvičení 23. Definicí spojitosti je d). Cvičení 24. a) R; b) ( – ∞; – 4), ( – 4; 0), (0; 3); c) ( – ∞; – 1),

(− 12 ;0) , (0; 1), (1; + ∞).

(

) (

(− 1;− 12 ) ,

)

Cvičení 25. a) x ∈ ( – 7; 0〉 ∪ 〈4; + ∞); b) x ∈ − ∞;− 5 ∪ − 1; 5 ; c) ( – 1; 0) ∪ (0; 1); d) ( – 2; 1). Cvičení 26. Označme f (x) = x3 – 5x – 1. Platí f ( – 1) = 3 a f (0) = – 1. Funkce f je spojitá a proto má Darbouxovu vlastnost. Z toho plyne, že k číslu 0 ∈ ( – 1; 3) existuje c ∈ ( – 1; 0) takové, že f (c) = 0, c.b.d. Tato kapitola již byla složitější, ale předpokládám, že Vám nečinila potíže. Na pojmu okolí je založena celá vyšší matematika, proto je dobré s ním umět pracovat, hlavně v ε-δ-definicích. Jestliže však znáte uvedené věty, lze se ε-δdefinicím v případě „rozumných“ funkcí vyhnout. Z tohoto důvodu si zopakujte všechny uvedené věty.

44


2.2. LIMITA Po prostudování budete •

znát definici a základní vlastnosti limity;

•

umět počítat různé typy vlastních i nevlastních limit.

Klíčová slova: Limita.


2.2.1.

Pojem limity

2.2.2.

Věty o limitách

2.2.3.

Nevlastní limity

2.2.4.

Počítání limit

LIMITA

45

2.2.1.

Pojem limity

Definice 23. Funkce f má v bodě a LIMITU A, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí f (x) ∈ Uε(A), neboli stručněji lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ Pδ (a ) : f ( x ) ∈ U ε ( A) . x→a

Ekvivalentní Definice 23. Funkce f má v bodě a LIMITU A, jestliže pro každé okolí U(A) bodu A existuje redukované okolí P(a) bodu a takové, že pro všechna x ∈ P(a) platí f (x) ∈ U(A), neboli stručněji lim f ( x ) = A ⇔ ∀ U( A)∃ P(a )∀x ∈ P(a ) : f ( x ) ∈ U( A) . x→a

Že má funkce f v bodě a limitu A, se někdy zapisuje „f (x)→A pro x→a“. Tento zápis je velmi výstižný. Jestliže se číslo x blíží číslu a, blíží se hodnota f (x) číslu A. Jinými slovy, A je číslo, ke kterému se blíží hodnota f (x), jestliže se x blíží k a. Funkce f má v bodě limitu A, jestliže ke každému libovolně malému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každý bod x z prstencového δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f (a). Situace je zachycena na obr. 42

obr. 42

Dobře si uvědomte rozdíl v definici limity a spojitosti funkce v bodě. V definici spojitosti se vyskytuje Uδ(a), zatímco v definici limity se vyskytuje Pδ(a). V definici limity se vůbec nehovoří o hodnotě f (a). Z toho vyplývá, že limita funkce f v bodě a nezávisí na hodnotě f (a), ale pouze na hodnotách funkce f na okolí bodu a. Funkce f nemusí být v bodě a vůbec definována. Při zjišťování, zda má funkce f v bodě a limitu A, hledáme ke kladnému číslu ε kladné číslo δ tak, aby pro všechna x ∈ Pδ(a) platilo f (x) ∈ Uε(f (a)). Přitom stačí dokázat, že f (x) ∈ UKε(f (a)), kde K je nějaká kladná konstanta. x3 + x a určeme lim f (x ) . x →0 x V bodě 0 není funkce f definována. Pro x blízké nule jsou hodnoty f (x) uvedeny v tabulce. 0,001 0,01 0,1 x – 0,1 – 0,01 – 0,001 f (x) 1,01 1,0001 1,000001 1,000001 1,0001 1,01 Pro x blízké nule jsou hodnoty f (x) blízké jedné. Z toho „plyne“, že by mohlo být lim f ( x ) = 1 . Toto je ovšem nutno dokázat.

Příklad 30. Označme f ( x ) =

x →0

Nechť je dáno číslo ε > 0. Je třeba najít číslo δ > 0 tak, aby pro všechna x ∈ Pδ(0) platilo f (x) ∈ Uε(1). Jinými slovy musí platit

46


x3 + x 0< x <δ⇒ −1 < ε . x

Pro x ∈ Pδ(0), tedy pro x ≠ 0, však platí

x3 + x = x 2 + 1 a proto se předchozí x

implikace zjednoduší na tvar

0 < |x| < δ ⇒ |x2| < ε. Aby tato implikace platila, stačí při daném ε zvolit δ = ε , c.b.d.

Definice 24. Bod a se nazývá BOD SPOJITOSTI, BOD ODSTRANITELNÉ NESPOJITOSTI,

jestliže platí lim f ( x ) = f (a ) ; x→a

jestliže lim f ( x ) = A f (a) ≠ A, nebo x→a f (a) není definováa no;

BOD NEODSTRANITELNÉ NESPOJIjestliže TOSTI,

lim f (x ) neexistuje. x→a

Ze stejných důvodů, z jakých se definovala jednostranná spojitost, se definují jednostranné limity.

Příklad 31. Mějme funkci a(x) = x2. Pro ni platí a(0 ) = 0 = lim a( x ) . Z toho x →0

plyne, že bod 0 je bod spojitosti funkce a. Graf funkce a je na obr. 43. Mějme funkci b(x) = |sgn x|. Připomínám, že funkce sgn x (čteme signum x) je rovna jedné pro x > 1, nule pro x = 0 a mínus jedné pro x < 0. Platí b(0) = 0, ale lim b( x ) = 1 . Z toho plyne, že bod 0 je bod odstranitelné nespojitosti funkce b. x →0

Graf funkce b je na obr. 44. 1 Mějme funkci c( x ) = . Funkce c není definována pro x = 0. Platí 1 + 1x lim c( x ) = 0 . Z toho plyne, že bod 0 je bod odstranitelné nespojitosti funkce c. x →0

Graf funkce c je na obr. 45. Mějme funkci d : 〈 – 1; 1〉→R definovanou pro n ∈ N následovně: d ( 2 n1+1 ) = 1 , d ( 21n ) = 0 a mezi těmito body je d lineární. Funkce d není pro x = 0 definována a ani neexistuje lim d ( x ) . Z toho plyne, že bod 0 je bod neodstranitelné nespox →0

jitosti funkce d. Graf funkce d je na obr. 46.

LIMITA

47

obr. 43

obr. 44

obr. 45

obr. 46

Definice 25. Funkce f má v bodě a LIMITU ZPRAVA (ZLEVA) A, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ+ (a ) ( x ∈ Pδ− (a ) ) platí f (x) ∈ Uε(A), neboli stručněji lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ Pδ+ (a ) : f ( x ) ∈ U ε ( A) pro spojitost zprava a x→a +

lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ Pδ− (a ) : f ( x ) ∈ U ε ( A) pro spojitost zleva.

x→a +

Příklad 32. Určeme jednostranné limity funkce x + sgn x v bodě a = 0. Nalevo od bodu a, tedy pro x < 0, se funkce x + sgn x chová jako funkce x – 1 a proto je lim ( x + sgn x ) = 0 − 1 = −1 . x →0 −

Napravo od bodu a, tedy pro x > 0, se funkce x + sgn x chová jako funkce x + 1 a proto je lim ( x + sgn x ) = 0 + 1 = 1 . x →0 +

Tento výpočet nebyl příliš matematický. Proto proveďte podrobný důkaz. Graf funkce x + sgn x na okolí bodu 0 je na obr. 47.

obr. 47

2.2.2.

Věty o limitách

Věta 15. Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu.

48


Věta říká, že funkce v bodě buď limitu nemá, nebo má právě jednu. Jinými slovy, jestliže má funkce v bodě limitu, pak tato limita je jediná.

Důkaz. Předpokládejme, že má funkce f v bodě a dvě různé limity A a B, bez B− A újmy na obecnosti A < B. Zvolme ε = . Protože má funkce f v bodě a li2 mitu A, existuje číslo δ1 takové, že pro všechna x ∈ Pδ1 (a ) platí f (x) ∈ Uε(A). Protože i číslo B je limitou funkce f v bodě a, existuje číslo δ2 takové, že pro všechna x ∈ Pδ 2 (a ) platí f (x) ∈ Uε(B). Zvolme δ = min{δ1; δ2}. Pro všechna x ∈ Pδ(a) musí platit f (x) ∈ Uε(A) ∩ Uε(B). Ale při takto zvoleném čísle ε platí Uε(A) ∩ Uε(B) = ∅, což je spor. Funkce f tedy může mít v bodě a nejvýše jednu limitu, c.b.d.

Věta 16. Funkce f má v bodě a limitu právě tehdy, když má v bodě a limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají. Důkaz se provede podobně jako důkaz věty 8 (funkce je spojitá právě tehdy, když je spojitá zleva i zprava), pouze se zamění U(a) za P(a) a U(f (a)) za U(A). Příklad 33. Pro funkci f (x) = x + sgn x platí lim f ( x ) = −1 ≠ 1 = lim f ( x ) . x →0 −

Z toho plyne, že limita lim f (x ) neexistuje.

x →0 +

x →0

Cvičení 27. Nechť f je sudá funkce a platí lim f ( x ) = A . Dokažte, že existuje x →0 +

lim f (x ) a určete její hodnotu. x →0

Věta 17. Funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když lim f ( x ) = f (a ) . x→a

Důkaz. Nejdříve provedu důkaz zleva doprava. Podle definice spojitosti v bodě pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé x ∈ Uδ(a) platí f (x) ∈ Uε(f (a)). Protože je Pδ(a) ⊂ Uδ(a), platí f (x) ∈ Uε(f (a)) také pro všechna x ∈ Pδ(a). Z toho ovšem plyne, že lim f ( x ) = f (a ) . x→a

Nyní provedu důkaz zprava doleva. Podle definice limity pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé x ∈ Pδ(a) platí f (x) ∈ Uε(f (a)). Pro x = a také platí f (x) [= f (a)] ∈ Uε(f (a)). Protože je Uδ(a) = Pδ(a) ∪ {a}, platí f (x) ∈ Uε(f (a)) pro všechna x ∈ Uδ(a). Z toho ovšem plyne, že funkce f je spojitá v bodě a, c.b.d.

Příklad 34. Určeme limitu lim(2 x 2 − 5) . x→2

Funkce 2x2 – 5 je spojitá v bodě 2 a proto platí lim(2 x 2 − 5) = 2 ⋅ 2 2 − 5 = 3 . x→2

V praxi se však častěji počítají limity v bodech, v nichž funkce spojitá není.

Věta 18. Nechť lim f ( x ) = A a lim g ( x ) = B . Potom platí x→a

LIMITA

x→a

49

lim( f ( x ) + g ( x )) = A + B x→a

lim( f ( x ) − g ( x )) = A − B x→a

lim( f ( x )g ( x )) = AB x→a

Je-li navíc B ≠ 0, platí lim x→a

f (x ) A = . g (x ) B

Tato věta říká, že limita součtu, rozdílu, součinu, nebo podílu je rovna součtu, rozdílu, součinu, nebo podílu limit.

Důkaz. Protože je lim f ( x ) = A , existuje k libovolnému číslu ε > 0 číslo δ1 > 0 x→a

takové, že pro všechna x ∈ Pδ1 (a ) platí f (x) ∈ Uε(A). Podobně existuje číslo δ2 > 0 takové, že pro všechna

x ∈ Pδ 2 (a ) platí g(x) ∈ Uε(B). Zvolme

δ = min{δ1; δ2}. Pro všechna x ∈ Pδ(a) platí |f (x) – A| < ε a |g(x) – B| < ε. Pro všechna x ∈ Pδ(a) platí |(f (x) + g(x)) – (A + B)| = |f (x) – A + g(x) – B| ≤ |f (x) – A| + |g(x) – B| < ε + ε = 2ε, |(f (x) – g(x)) – (A – B)| = |f (x) – A + B – g(x)| ≤ |f (x) – A| + |B – g(x)| < ε + ε = 2ε, neboli lim( f ( x ) + g ( x )) = A + B a lim( f ( x ) − g ( x )) = A − B . x→a

x→a

Důkaz pro součin a podíl je uveden například v knize [5] na stranách 172–173. C.b.d. Zde znovu uvedu obdobnou větu o spojitosti, tentokrát již i se slibovaným důkazem.

Věta 9. Jsou-li funkce f a g spojité v bodě a, jsou také funkce f + g, f – g a fg spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) ≠ 0, je také funkce gf spojitá v bodě a. Důkaz. Funkce f a g jsou spojité a proto podle věty 17 platí lim f ( x ) = f (a ) a x→a

lim g ( x ) = g (a ) . Podle věty 18 platí x→a

lim( f + g )( x ) = lim( f ( x ) + g ( x )) = f (a ) + g (a ) = ( f + g )(a ) . x→a

x→a

Z toho ovšem podle věty 17 plyne, že funkce f + g je spojitá v bodě a. Zcela analogicky se věta dokáže pro rozdíl, součin a podíl funkcí. C.b.d.

Důsledek věty 18. Nechť c ∈ R je libovolná konstanta. Potom platí lim cf ( x ) = c lim f ( x ) . x→a

x→a

Důkaz. Konstantní funkce g(x) = c je spojitá a proto podle věty 17 je lim c = c . x→a

Podle věty 18 platí lim cf ( x ) = c lim f ( x ) , c.b.d. x→a

x→a

Cvičení 28. Nechť c1, …, cn ∈ R jsou dané konstanty a nechť platí lim f1 ( x ) = A1 , …, lim f n ( x ) = An . Určete lim(c1 f1 ( x ) + L cn f n ( x )) . x→a

x→a

x→a

Věta 19. Jestliže je lim f ( x ) = A a lim g ( y ) = B a jestliže existuje číslo δ > 0 x→a

y→ A

takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí f (x) ≠ A, pak platí lim g ( f ( x )) = B . x→a

50


Důkaz je uveden například v knize [5] na stranách 174–175. Příklad 35. Podmínka ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ(a) : f (x) ≠ A je důležitá. Při jejím nesplnění nemusí věta platit. Mějme funkce f (x) = 0 a g(x) = |sgn x|. Nechť a = 0. Potom je A = lim f ( x ) = 0 x →0

a lim g ( y ) = 1 . Na druhou stranu však platí lim g ( f ( x )) = lim g (0) = g (0) = 0 . y →0

x →0

x →0

Důsledek věty 19. Nechť a, c, d ∈ R, c ≠ 0 jsou daná čísla. Potom platí lim f (cx + d ) = lim f ( y ) . Uvedená rovnost znamená: Pokud existuje jedna x→a

y →ca + d

limita, pak existuje i druhá a obě se rovnají; pokud jedna neexistuje, pak neexistuje ani druhá. Použití tohoto vzorce budu nazývat „zavedení substituce y = ax + b“.

Důkaz je uveden v knize [5] na straně 176. Příklad 36. Určeme limitu lim R( x ) . x →1

V příkladu 40 dokážeme, že lim R( y ) . Zatím mi musíte věřit, že je to pravda. y →0

Riemannova funkce má periodu t = 1 a proto platí R(y + 1) = R(y). Je vhodné zavést substituci x = y + 1, protože se limita lim R( x ) převede na limitu x →1

lim R( y ) , jejíž hodnotu známe. Platí y →0

lim R( x ) = lim R( y + 1) = lim R( y ) = 0 . x →1

y →0

y →0

(

)

Větu 19 lze také zapsat následovně: lim g ( f ( x )) = g lim f (x ) , pokud existuje x→a

x→a

číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí f (x) ≠ A. 3

 x3 − 5x 2 + 8x − 4  + 1 . Příklad 37. Určeme limitu lim 2 x→2   − + 4 4 x x   3

3

 x3 − 5x 2 + 8x − 4   x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4     lim +1 = + 1 = lim x→2     x→2 x2 − 4x + 4 x2 − 4x + 4     3

 x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4  =  lim +1 =   x→2 x 2 − 4 x + 4  

(

)

3

  ( x − 1) x 2 − 4 x + 4  =  1 = lim + 2   x→2 x 4 x 4 − +   3

=  lim( x − 1) + 1 =  x→2 

(

)

3

2 −1 +1 = 8

Věta 20. Jestliže platí lim f ( x ) < lim g ( x ) , pak existuje číslo δ > 0 takové, že x→a

x→a

pro všechna x ∈ Pδ(a) platí f (x) < g(x).

Příklad 38. Obrácená věta neplatí. Pro funkce f (x) = x4 a g(x) = x2 a číslo δ = 1 platí f (x) < g(x) pro x ∈ Pδ(0), ale neplatí lim f ( x ) < lim g ( x ) , protože se x →0

x →0

obě limity rovnají. Určete jejich hodnotu. LIMITA

51

Věta 21. Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí f (x) ≤ g(x), pak platí lim f ( x ) ≤ lim g ( x ) . x→a

x→a

Věta 22. Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí f (x) = g(x), pak platí lim f ( x ) = lim g ( x ) . x→a

x→a

Důkaz. Podle předpokladu pro všechna x ∈ Pδ(a) platí f (x) ≤ g(x) a zároveň g(x) ≤ f (x). Podle věty 21 platí lim f ( x ) ≤ lim g ( x ) a lim g ( x ) ≤ lim f ( x ) , nebox→a

li lim g ( x ) = lim f ( x ) , c.b.d. x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

Věta 22 je nejdůležitější větou této kapitoly. Její využití v praxi je následující: Má se vypočítat lim f (x ) . Na funkci f (x) se provedou úpravy platné pro x ≠ a. x→ a

Takto se získá funkce g(x), která je spojitá v bodě a. Potom platí lim f ( x ) = g (a ) . x→a

Příklad 39. Určeme limitu lim

x → −3

x+3 = x + 4 −1 a proto je lim

x → −3

x+3 . Na libovolném okolí Pδ( – 3) platí x + 4 −1

(

)

(

)

x+3 x + 4 + 1 ( x + 3) x + 4 + 1 ( x + 3) x + 4 + 1 = = = x + 4 +1 x + 4 −1 x+3 x + 4 −1 x + 4 +1

(

)

x+3 = lim x + 4 + 1 = − 3 + 4 + 1 = 2 . x + 4 − 1 x →−3

Cvičení 29. Vypočtěte následující limity. x 2 − 16 x2 + x − 2 2− x−3 ; b) lim 2 ; c) lim 2 . a) lim x → −4 x + 4 x → −2 x + 5 x + 6 x →7 x − 49 Věta 23. (O dvou policajtech) Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) a platí lim g ( x ) = lim h(x ) = A , pak x→a

platí lim f ( x ) = A .

x→a

x→a

Situaci ilustruje obr. 48.

obr. 48

Důkaz. Pro všechna x ∈ Pδ(a) platí g(x) ≤ f (x) a zároveň f (x) ≤ h(x). Podle věty 21 platí lim g ( x ) ≤ lim f ( x ) a lim f ( x ) ≤ lim h( x ) . Protože je však x→a

x→a

x→a

lim g ( x ) = lim h(x ) = A , platí lim f ( x ) = A , c.b.d. x→a

52

x→a

x→a

x→a


Věta 24. lim f (x ) = 0 platí právě tehdy, když platí lim f ( x ) = 0 . x→a

x→a

Důkaz provedu zleva doprava. Podle definice limity pro každé číslo ε > 0 existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí |f (x) – 0| < ε. Protože je ||f (x)| – 0| = ||f (x)|| = |f (x)| = |f (x) – 0| < ε, . pro všechna x ∈ Pδ(a) platí ||f (x)| – 0| < ε, neboli Důkaz zprava doleva se provede analogicky. (Proveďte!). C.b.d.

Cvičení 30. Určete lim(2 D( x ) − 1)x . x →0

Věta 25. Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí |f (x)| ≤ |g(x)| a jestliže platí lim g ( x ) = 0 , pak platí lim f (x ) = 0 . x→a

x→a

Příklad 40. Určeme limitu lim R( x ) . x →0

Pro x ∈ (0; 1)\Q je R(x) = 0 < x. Pro x = qp ∈ (0;1) ∩ Q je R( x ) = 1q ≤

p q

= x.

Z toho plyne, že R(x) ≤ x pro x ∈ (0; 1). Pro x ∈ ( – 1; 0) je R(x) = R( – x) ≤ – x. Z toho plyne, že |R(x)| ≤ |x| pro x ∈ P1(0). Dále je lim x = 0 . Podle věty 25 je x →0

lim R( x ) = 0 . x →0

Věta 26. Jestliže je lim f (x ) = 0 a existují čísla δ > 0 a K ≥ 0 taková, že pro x→a

všechna x ∈ Pδ(a) platí |g(x)| ≤ K, pak platí lim f ( x )g ( x ) = 0 . x→a

Důkaz. Podle věty 24 platí lim f ( x ) = 0 . Pro všechna x ∈ Pδ(a) platí |g(x)| ≤ K, x→a

neboli |f (x)g(x)| = |f (x)| |g(x)| ≤ K|f (x)| = |Kf (x)|. Dále je lim Kf ( x ) = K lim f (x ) = 0 a tedy podle věty 25 je lim f ( x )g ( x ) = 0 , x→a

x→a

x→a

c.b.d. Věta 26 říká toto: Je-li lim f (x ) = 0 a funkce g je omezená na okolí bodu a, x→a

pak platí lim f ( x )g ( x ) = 0 . x→a

Příklad 41. Nechť d(x) je funkce z příkladu 31 ( f ( 2 n1+1 ) = 1 , f ( 21n ) = 1 , mezi těmito body lineární). Určeme limitu lim xd ( x ) . x →0

Funkce d(x) je omezená. Dále platí lim x = 0 . Z toho plyne, že lim xd ( x ) = 0 . x →0

x →0

Podobné věty existují pro jednostranné limity. Projděte si všechny uvedené věty a řekněte, jak se změní. Shrnutí:

Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ(a) : f (x) ∈ Uε(A). Analogicky se definují limity zprava a zleva. Limita je číslo, k němuž se blíží hodnoty f (x), když se x blíží k číslu a. Funkce může mít v daném bodě nejvýše jednu limitu. Limita existuje právě LIMITA

53

tehdy, když existují obě jednostranné limity a rovnají se. Pro spojité funkce platí lim f (x) = f (a). Limita součtu je rovna součtu limit; analogicky pro rozdíl, součin a podíl. Jestliže se dvě funkce rovnají na nějakém redukovaném okolí bodu a, pak se jejich limity v bodě a rovnají. Limita součinu omezené funkce a funkce s limitou rovnou nule je rovna nule.

2.2.3.

Nevlastní limity

Definice 26. Množina R* = R ∪ { – ∞, + ∞} se nazývá ROZŠÍŘENÁ REÁLNÁ OSA. Čísla + ∞ a – ∞ se nazývají NEVLASTNÍ (NEKONEČNÁ) REÁLNÁ ČÍSLA. Na rozšířené reálné ose se definují následující operace:

Definice 27.

∀a ∈ R : ∀a ∈ R :

∀a ∈ R + : ∀a ∈ R + : ∀a ∈ R − : ∀a ∈ R − :

∀a ∈ R :

a + (+ ∞ ) = a − (− ∞ ) = +∞

a + (− ∞ ) = a − (+ ∞ ) = −∞

(+ ∞ ) + (+ ∞ ) = (+ ∞ ) − (− ∞ ) = +∞ (− ∞ ) + (− ∞ ) = (− ∞ ) − (+ ∞ ) = −∞ a (+ ∞ ) = (+ ∞ )a = +∞ a (− ∞ ) = (− ∞ )a = −∞ a (− ∞ ) = (− ∞ )a = +∞ a (+ ∞ ) = (+ ∞ )a = −∞ (+ ∞ )(+ ∞ ) = (− ∞ )(− ∞ ) = +∞ (+ ∞ )(− ∞ ) = (− ∞ )(+ ∞ ) − ∞ a a =0 = +∞ −∞

Nedefinuje se (± ∞ ) − (± ∞ ), (± ∞ ) + (m ∞ ), 0(± ∞ ), 0x , zývají NEURČITÉ VÝRAZY.

±∞ 0

,

±∞ ±∞

. Tyto výrazy se na-

4 + (− ∞ ) . 2 − +1∞ 4 + (− ∞ ) 4 + (− ∞ ) − ∞ 1 = = = (− ∞ ) = (− ∞ ) 2 − +1∞ 2−0 2 2

Příklad 42. Určeme hodnotu výrazu

Definice 28. Nechť K je reálné číslo. Potom K-okolí bodu + ∞ je interval redukované K-okolí bodu + ∞ je interval K-okolí bodu – ∞ je interval redukované K-okolí bodu – ∞ je interval

UK( + ∞) = (K, + ∞); PK( + ∞) = (K, + ∞); UK( – ∞) = ( – ∞, K); PK( – ∞) = ( – ∞, K).

Znovu zde připomínám definici limity (Ekvivalentní Definice 23): Funkce f má v bodě a LIMITU A, jestliže pro každé okolí U(A) bodu A existuje redukované okolí P(a) bodu a takové, že pro všechna x ∈ P(a) platí f (x) ∈ U(A). S pomocí definice 28 již můžeme nadefinovat nevlastní limity.

54


Definice 29. Funkce f má v bodě a ∈ R (NEVLASTNÍ) LIMITU + ∞, jestliže pro každé K ∈ R existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí f (x) > K, neboli stručněji lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀K ∈ R∃δ > 0∀x ∈ Pδ (a ) : f (x ) > K . x→a

Funkce f má V (NEVLASTNÍM) BODĚ + ∞ limitu A ∈ R, jestliže pro každé ε > 0 existuje K ∈ R takové, že pro všechna x > K platí f (x) ∈ Uε(A), neboli stručněji lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0∃K ∈ R∀x > K : f ( x ) ∈ U ε ( A) . x → +∞

Funkce má V (NEVLASTNÍM) BODĚ + ∞ (NEVLASTNÍ) LIMITU + ∞, jestliže pro každé L ∈ R existuje K ∈ R takové, že pro všechna x > K platí f (x) > L, neboli stručněji lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀L ∈ R∃K ∈ R∀x > K : f ( x ) > L . x → +∞

Analogicky se definuje, že lim f ( x ) = −∞, lim f ( x ) = a, lim f ( x ) = ±∞ . Prox→a

x → −∞

x → ±∞

veďte! První tři části definice 29 ilustrují postupně obr. 49, obr. 50 a obr. 51.

obr. 49

obr. 50

obr. 51

Téměř všechny věty z části Příklad 32 platí i pro nevlastní limity a limity v nevlastních bodech. Důkazy se musí rozdělit na případy, kdy jsou limity vlastní, nebo nevlastní a ve vlastních (konečných), nebo v nevlastních bodech. Přitom se využívají vztahy uvedené v definicích 27 a 28. Určete, jaký tvar mají tyto věty pro nevlastní limity. Pro nevlastní limity platí samozřejmě i další věty. Zde uvedu pouze jednu.

Věta 27. Nechť platí lim f (x ) > 0 a lim g ( x ) = 0 a nechť existuje číslo δ > 0 x→a

x→a

takové, že pro všechna x ∈ Pδ(a) platí g(x) > 0. Potom platí lim x→a

LIMITA

f (x ) = +∞ . g (x ) 55

Podobně platí:

f (x ) = −∞ g (x ) f (x ) lim f ( x ) < 0 ∧ lim g ( x ) = 0 ∧ ∃δ > 0∀x ∈ Pδ (a ) : g ( x ) > 0 ⇒ lim = −∞ x→a x→a x→a g (x ) f (x ) lim f ( x ) < 0 ∧ lim g ( x ) = 0 ∧ ∃δ > 0∀x ∈ Pδ (a ) : g ( x ) < 0 ⇒ lim = +∞ x→a x→a x→a g (x ) lim f ( x ) > 0 ∧ lim g ( x ) = 0 ∧ ∃δ > 0∀x ∈ Pδ (a ) : g ( x ) < 0 ⇒ lim x→a

2.2.4.

x→a

x→a

Počítání limit

V této části se zaměřím na počítání limit racionálních lomených funkcí. V následujícím textu budou P a Q mnohočleny, které nejsou identicky rovny nule, a číslo a bude konečné. Že mnohočlen P není identicky roven nule, znamená, že existuje bod x ∈ R, pro který platí P(x) ≠ 0.

2.2.4.1 Limita lim x→a •

P(x ) . Q(x )

Případ Q(a) ≠ 0: V tomto případě je funkce P( x ) P(a ) = . x→a Q(x ) Q(a )

P(x ) v bodě a spojitá a podle Q( x )

věty 17 platí lim •

Případ Q(a) = 0 a P(a) = 0: V tomto případě je číslo a kořenem rovnice Q(x) = 0 a proto lze mnohočlen Q vyjádřit ve tvaru Q(x) = (x – a)Q1(x), kde Q1 je nějaký mnohočlen. Analogicky platí P(x) = (x – a)P1(x). Dále existuje okolí bodu a, na kterém platí Q(x) ≠ 0. Na tomto okolí platí P( x ) ( x − a )P1 ( x ) P1 ( x ) P(x ) P (x ) = a podle věty 17 platí lim = = lim 1 . x→a Q(x ) x→a Q (x ) Q( x ) ( x − a )Q1 ( x ) Q1 ( x ) 1 P(x ) Vyšetřování limity lim se takto převede na vyšetřování limity x→ a Q ( x ) P (x ) lim 1 , ve které se vyskytují jednodušší mnohočleny. x→a Q (x ) 1

•

Případ Q(a) = 0 a P(a) ≠ 0: Tento případ je nejsložitější, protože je třeba vyšetřovat jednostranné limity. Dále zde předpokládejme, že P(a) > 0. (Případ P(a) < 0 je stejný, pouze s opačnými znaménky.) Jestliže na nějakém redukovaném pravém okolí bodu a platí Q(x) > 0, podP(x ) le věty 27 platí lim = +∞ . Jestliže na nějakém redukovaném pravém x→a + Q(x ) P(x ) okolí bodu a platí Q(x) > 0, podle věty 27 platí lim = −∞ . Obdobně x→a + Q(x ) P(x ) pro limitu zleva. Aby mohla limita lim existovat, musí se limity zleva x→ a Q ( x ) a zprava rovnat.

Tento postup budu ilustrovat na příkladu.

56


Příklad 43. Vypočtěme

limitu

funkce

f (x ) =

x2 − 6x + 8 x 2 − 5x + 6

v bodech

a = 1, 2, 3, 4. a) Případ a = 1: Pro x = 1 je jmenovatel roven dvěma a tedy funkce f je spojitá v bodě 1. V tomto bodě je limita rovna přímo hodnotě funkce, neboli lim f ( x ) = f (1) = 32 . x →1

b) Případ a = 2: Pro x = 2 je jmenovatel roven nule. Čitatel je také roven nule. Proto lze zlomek zkrátit výrazem (x – 2). Pro x ≠ 2 platí x 2 − 6 x + 8 ( x − 2 )( x − 4 ) x − 4 , z čehož plyne, že = = x 2 − 5 x + 6 (x − 2 )( x − 3) x − 3 x2 − 6x + 8 x−4 = lim . Funkce x→2 x 2 − 5 x + 6 x→2 x − 3 x−4 2−4 lim = = 2. x→2 x − 3 2−3 lim

x−4 x −3

je v bodě 2 spojitá a proto

x−4 . Zde je čitatel nenulový, ale x−3 jmenovatel je roven nule. Proto je nutné šetřit znaménka funkce na okolí box2 − 6x + 8 du 3. Nalevo je x – 4 < 0 a x – 3 < 0 a proto lim 2 = +∞ . Napravo x →3 − x − 5 x + 6 x2 − 6x + 8 (blízko bodu 3) je x – 4 < 0 a x – 3 > 0 a proto lim 2 = −∞ . Protože x →3 + x − 5 x + 6 se jednostranné limity nerovnají, (oboustranná) limita v bodě 3 neexistuje. d) Případ a = 4: Zde je čitatel roven nule a jmenovatel je různý od nuly. Nenechte se zmást. Hodnota čitatele není důležitá. Důležité je, že čitatel je různý od nuly a proto f je spojitá v a a platí lim f ( x ) = f (4) = 0 . c) Případ a = 3: Na okolí bodu 3 platí f ( x ) =

x→4

2.2.4.2 Limita lim x n x → ±∞ Při výpočtu této limity je také nutno vyšetřit několik případů. •

Případ x→ + ∞ a n > 0: V tomto případě platí lim x n = +∞ . To se dokáže x → +∞

snadno. Je třeba dokázat, že pro každé L > 0 existuje K > 0 takové, že pro všechna x > K platí xn > L. Stačí zvolit K = n L , c.b.d. •

Případ x→ – ∞ a n > 0 sudé: Zvolme substituci y = – x. Potom platí n lim x n = lim (− y ) = lim y n . Podle předchozího případu je lim x n = +∞ . x → −∞

•

y → +∞

x → −∞

Případ x→ – ∞ a n > 0 liché: Zvolme substituci y = – x. Potom platí n lim x n = lim (− y ) = − lim y n . Podle prvního případu je lim x n = −∞ . x → −∞

•

y → +∞

y → +∞

y → +∞

x → −∞

Případ n < 0: V tomto případě platí lim x n = lim x → ±∞

dostaneme výraz

LIMITA

1 ±∞

y → ±∞

1 1 . Zde vždy = n x lim x n x → ±∞ n

, který je roven nule. Proto platí lim x = 0 . x → ±∞

57

•

Případ n = 0: V tomto případě není limita lim x n definována. Jedná se o x → ±∞

0

tzv. neurčitý výraz ∞ .

2.2.4.3 Limita xlim → ±∞

P( x ) Q( x )

Zde budu často používat zkrácený zápis sčítání n

∑a

i

i =m

= am + am +1 + L + an .

Předpokládejme, že stupeň mnohočlenu P je m. To znamená, že m

P( x ) = ∑ pi x i = pm x m + L + p1 x + p0 , i =0

kde je pm ≠ 0 Dále předpokládejme, že stupeň mnohočlenu Q je n a n

Q( x ) = ∑ qi x i = qn x n + L + q1 x + q0 , i =0

kde je qn ≠ 0. Vyšetřujme danou limitu pro x→ + ∞. Nejdříve je třeba limitu trochu upravit. m m −1 m   m −j m i −m  i   + x p p x + x p p x   p x ∑ m m j − ∑ m i ∑   i P( x ) j 1 = i = 0     = lim i =n0 = lim = lim lim n 1 − n x → +∞ Q ( x ) x → +∞ x → +∞   x →+∞ n   qi x i x n  qn + ∑ qi x i − n  x  qn + ∑ qn − j x − j  ∑ i =0 i =0   j =1   V posledním kroku byla v čitateli použita substituce j = m – i, ve jmenovateli j = n – i. Nyní použijeme větu 18 (o limitě součtu, …). S využitím diskuse o předchozí limitě postupně dostaneme m

xm = lim n ⋅ x → +∞ x

pm + ∑ pm − j lim x j =1 n

x → +∞

qn + ∑ qn − j lim x − j j =1

m

−j

xm = lim n ⋅ x → +∞ x

x → +∞

pm + ∑ pm − j ⋅ 0 j =1 n

qn + ∑ q n − j ⋅ 0

x m pm ⋅ x → +∞ x n qn

= lim

j =1

Z tohoto je vidět, že při vyšetřování limity racionální lomené funkce v nevlastním bodě se stačí omezit na členy nejvyššího řádu, tj. členy s nejvyšší mocninou. Opět je třeba rozlišit několik případů. •

Případ m < n: Protože je m – n < 0, dostáváme s využitím předchozího p P ( x ) pm x m pm lim = lim n = lim x m − n = m ⋅ 0 = 0 . x → +∞ Q ( x ) x → +∞ x → +∞ qn x qn qn

•

Případ m = n: Zde je

•

58

xm P ( x ) pm = 1 a proto platí lim = . n x → +∞ Q ( x ) x qn

xm Případ m > n: Zde platí lim n = +∞ , protože je m – n > 0. Mají-li čísla x → +∞ x pm pm a qn stejná znaménka, je číslo kladné a proto je qn


P ( x ) pm = lim x m − n = +∞ . Jestliže naopak mají čísla pm a qn různá x → +∞ Q ( x ) qn x →+∞ p P( x ) = −∞ . znaménka, je číslo m záporné a proto lim x → +∞ qn Q( x ) lim

Limita pro x→ – ∞ se substitucí y = – x převádí na předcházející případy. Proveďte podobnou diskusi všech případů.

Příklad 44. Výpočet nevlastních limit racionálních lomených funkcí 2 x3 − x 2 + 5 2 x3 lim 2 = lim 2 = 2 lim x = 2 ⋅ (+ ∞ ) = +∞ x → +∞ x + x − 2 x → +∞ x x → +∞ 3 3 4x − x + 2 4x 4 4 lim = lim 3 = lim = x → −∞ 3 x 3 + x 2 + x − 1 x → −∞ 3 x x → −∞ 3 3 2 2 x − 2x + 5 x lim 3 = lim 3 = 0 2 x → +∞ 2 x − x + 4 x → +∞ 2 x Shrnutí:

K-(redukované) okolí bodu + ∞ je interval (K; + ∞). K-(redukované) okolí bodu – ∞ je interval ( – ∞; K). Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže ∀U(A) ∃P(a) ∀x ∈ P(a) : f (x) ∈ U(A). Při výpočtu limity racionální lomené funkce ve vlastním bodě a je nutno rozlišit několik případů. Když je jmenovatel nenulový, je limita rovna přímo hodnotě f (a). Je-li čitatel i jmenovatel roven nule, lze zlomek zkrátit výrazem (x – a). Když je jmenovatel nulový a čitatel nenulový, je limita nekonečná; znaménko je třeba určit z chování funkce na okolí P(a). Při výpočtu limity racionální lomené funkce v nevlastním bodě se počítá pouze se členy s nejvyšší mocninou. Když je mocnina u čitatele menší než u jmenovatele, je limita rovna nule. Když se obě mocniny rovnají, pak je limita rovna podílu koeficientů u těchto mocnin. Když je mocnina u čitatele větší než u jmenovatele, je limita nekonečná.

LIMITA

59

Cvičení

Cvičení 31. Určete následující limity x2 −1 x 2 − 5x + 6 a) lim 2 f ) lim 2 x →0 2 x − x − 1 x →3 x − 8 x + 15 x2 −1 x 4 − 3x + 2 b) lim 2 g) lim 5 x →1 2 x − x − 1 x →1 x − 2 x − 1 ( 1 + x )(1 + 2 x )(1 + 3 x ) x3 − 2 x 2 − 4 x + 8 c) lim h) lim x →0 x→2 x x 4 − 8 x 2 + 16 5 3 (1 + x ) − (1 + 5 x ) x − 2x −1 d) lim i) lim 5 2 5 x →0 x → −1 x − 2 x − 1 x +x 20 3 x − 3x + 2 x2 − x − 2 e) lim 4 j) lim 10 x →1 x − 4 x + 3 x→2 x 3 − 12 x + 16

(

(

)

)

Cvičení 32. Určete následující limity 2x + 3 x2 −1 a) lim 2 d ) lim x → +∞ 2 x − x − 1 x → +∞ 3 x − 1 ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)( x − 4)( x − 5) 3x − 1 b) lim e) lim 2 5 x → +∞ x → +∞ x + 1 (5 x − 1) 20 30 (2 x − 3) (3x + 2) x 3 − 3x + 1 c) lim f ) lim x → +∞ x → +∞ 2 − x 2 − x 3 (2 x + 1)50

60


Výsledky cvičení

Cvičení 27. Pro x < 0 je f (x) = f ( – x) ∈ Uε(A) a proto lim f ( x ) = A . Z toho již x →0 −

plyne výsledek.

Cvičení 28. lim (c1f 1(x) + … + cnf n(x)) = c1A1 + … + cnAn. To se dokáže indukcí z předchozího důsledku. Cvičení 29. a) – 8; b) – 3; c) − 561 . Cvičení 30. Platí |2D(x) – 1| = 1, dále lim |x| = 0 a proto lim (2D(x) – 1)x = 0. Cvičení 31. a) 1; b) Cvičení 32. a)

1 2

; b)

2 3

; c) 6; d) 10; e)

1 2

; f ) − 12 ; g) 1; h)

( 32 )30 ; d)

2 3

; e) 0; f ) – 1.

1 3125

; c)

1 4

; i)

1 3

; j)

( 32 )10 .

Limita patří k nejdůležitějším pojmům matematické analýzy a proto je nutné je umět počítat rychle. Dosud máme k dispozici málo funkcí a proto jsem mohl probrat pouze pár typů limit. V následujících kapitolách nadefinuji další funkce. Limity těchto funkcí se často převádějí na limity racionálních lomených funkcí. Proto je nutné, abyste uměli tyto limity rychle vyčíslit. Ale brzy uvidíte, že některé limity spočítáte hned, jak se na ně podíváte.

LIMITA

61

2.3. TRANSCENDENTNÍ FUNKCE Po prostudování budete znát •

definice transcendentních funkcí a

•

jejich základních vlastností

Klíčová slova: Goniometrické, cyklometrické, exponenciální, logaritmické funkce


62

2.3.1.


2.3.2.


2.3.3.


2.3.4.



2.3.1.


Věta 28. Existuje jediná dvojice funkcí ϕ a ψ a číslo π splňující následující podmínky: (1) ∀x ∈ R : ϕ2(x) + ψ2(x) = 1, (4) ϕ je rostoucí na 0; π2 , (2) ∀x,y ∈ R : ϕ(x + y) = ϕ(x)ψ(y) + ϕ(y)ψ(x),

(5) ϕ( π2 ) = 1 , (6) ψ(π) = – 1.

ϕ( x ) = 1, x →0 x

(3) lim

Výraz ϕ2(x) se často používá jako zkratka výrazu (ϕ(x))2. Obdobně pro výraz ψ2(x) apod.

Důkaz není složitý, ale je až příliš „matematický“.Zde uvedu pouze důkaz jednoznačnosti čísla π. Předpokládejme, že existují čísla π1 a π2 splňující podmínky (1)–(6). Bez újmy na obecnosti nechť je π1 < π2. Podle (4) je funkce ϕ rostoucí na 0; π22 . Dále je π1 2

π2 2

( ) ( )

( ) = ϕ( ) = 1 , což je spor.

a proto ϕ π21 < ϕ π22 . Podle (5) však platí ϕ Takové číslo π tedy existuje právě jedno, c.b.d. <

π1 2

Definice 30. Funkce ϕ a ψ z věty 28 se po řadě nazývají označují se sin a cos. Číslo π se nazývá LUDOLFOVO ČÍSLO.

π2 2

SINUS

a

KOSINUS

a

S využitím definice 30 lze vztahy (1)–(6) zapsat takto: (1) ∀x ∈ R : sin2 x + cos2 x = 1,

(4) sin je rostoucí na π (2) ∀x,y ∈ R : sin (x + y) = sin x⋅cos y + sin y⋅cos x, 0; 2 , (5) sin π2 = 1 ,

sin x =1, x →0 x

(3) lim

(6) cos π = – 1.

Vlastnosti funkcí sin a cos lze dokázat z uvedených šesti vlastností. Vlastnosti označené (!) je velmi dobré umět zpaměti. •

Součtové vzorce (!) sin (x + y) = sin x⋅cos y + sin y⋅cos x cos (x + y) = cos x⋅cos y – sin x⋅sin y

•

Hodnoty funkcí dvojnásobného argumentu (!) sin 2x = 2sin x⋅cos x cos 2x = cos2 x – sin2 x = 1 – 2sin2 x

•

Hodnoty funkcí polovičního argumentu. Tyto vzorce lze snadno odvodit z předchozích vzorců. x 1 − cos x sin = 2 2 cos


x 1 + cos x = 2 2

63

Skutečná hodnota sin 2x , tedy sin 2x = L , nebo sin 2x = − L , se určí podle toho, zda je sin 2x větší, nebo menší než nula. Obdobně pro funkci cos. •

Hodnoty funkcí na intervalu 0; π2 (!) x

0

sin x

0

cos x 1

π 6 1 2 3 2

π 4 2 2 2 2

π 3 3 2 1 2

π 2 1 0

Tyto hodnoty se dobře pamatují za předpokladu, že se vyjádří v jiném tvaru. π π π π x 0 6 4 3 2 0 1 2 3 4 sin x 2 2 2 2 2 4 3 2 1 0 cos x 2 2 2 2 2 •

Další hodnoty funkcí (!) sin ( x + π ) = − sin x cos( x + π ) = − cos x sin ( x + 2π ) = sin x cos( x + 2π ) = cos x, obě funkce mají periodu 2π sin (x + π2 ) = cos x

sin (π − x ) = sin x cos(− x ) = cos x, funkce cos je sudá sin (− x ) = − sin x, funkce sin je lichá π 3π x 0 π 2π 2 2 sin x 0 1 0 − 1 0 cos x 1 0 − 1 0 1 •

Spojitost. Funkce sin a cos jsou spojité na R.

•

Grafy funkcí (!).

64


obr. 52: sin x

obr. 53: cos x

Geometrický význam. Sledujte obr. 54. Mějme jednotkovou kružnici (tj. o poloměru r = 1) se středem v počátku. Dále mějme polopřímku svírající s kladným směrem osy x úhel ϕ (v radiánech). Označme A průsečík této polopřímky a kružnice. Potom bod A má souřadnice A = [cos x; sin x].

obr. 54

Protože plný úhel má velikost 2π, je bod A při úhlech ϕ a ϕ + 2π tentýž, z čehož plyne perioda 2π funkcí sin a cos. sin mx , kde m, n ∈ R, n ≠ 0. x →0 nx sin mx m sin mx lim = lim x →0 x → 0 nx n mx Substitucí y = mx ihned dostaneme sin y m m m = lim = ⋅1 = n y →0 y n n


Definice 31. Funkce tg x =

sin x cos x se nazývá TANGENS. Funkce cotg x = cos x sin x

se nazývá KOTANGENS.

Vlastnosti funkce tg plynou přímo z vlastností funkcí sin a cos. •

Hodnota funkce dvojnásobného argumentu. tg 2 x =


2 tg x 1 − tg 2 x

65

•

Hodnoty na intervalu 0; π2 ) (!) π π π 6 4 3 3 tg x 0 1 3 3 není funkce tg definována, ale platí x

V bodě

π 2

0

lim tg x = +∞

π x→ − 2

lim tg x = −∞

π x→ + 2

•

Další hodnoty funkce tg. 1 tg x −1 tg (x + π2 ) = tg x tg ( x + π ) = tg x, funkce tg má periodu π tg ( π2 − x ) =

tg (− x ) = − tg x, funkce tg je lichá

•

Spojitost. Funkce tg je spojitá ve všech bodech x ∈ R s výjimkou bodů x = (2k + 1) π2 , kde k ∈ Z.

•

Graf funkce tg (!).

obr. 55

tg x . x tg x 1 sin x 1 sin x lim = lim = lim =1 x →0 x x →0 cos x x 1 x →0 x

Příklad 46. Určeme limitu lim x →0

Odvoďte základní vlastnosti cotg. Spousta dalších vzorců týkajících se goniometrických funkcí je uvedena v knize [1] na stranách 357–367.

2.3.2.


Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní ke goniometrickým funkcím. Protože goniometrické funkce jsou ryze monotónní pouze na určitých intervalech, je třeba nejdříve provést zúžení funkcí na dané intervaly. 66


Definice 32. Funkce arcsin : − 1;1 → − π2 ; π2 je funkce inverzní k funkci sin na intervalu − π2 ; π2 ; nazývá se ARKUSSINUS. Funkce arccos : 〈 – 1; 1〉→〈0; π〉 je funkce inverzní k funkci cos na intervalu 〈0; π〉; nazývá se ARKUSKOSINUS. Funkce arctg : R → (− π2 ; π2 ) je funkce inverzní k funkci tg na intervalu (− π2 ; π2 ) ; nazývá se ARKUSTANGENS. Funkce arccotg : R→(0; π) je funkce inverzní k funkci cotg na intervalu (0; π); nazývá se ARKUSKOTANGENS. Ihned z definice plyne, že sin arcsin x = x cos arccos x = x tg arctg x = x cotg arccotg x = x

pro x ∈ 〈 – 1; 1〉 pro x ∈ 〈 – 1; 1〉 pro x ∈ R pro x ∈ R

Vlastnosti cyklometrických funkcí. •

Hodnoty funkcí opačného argumentu. arcsin ( – x) = – arcsin x arccos ( – x) = π – arccos x arctg ( – x) = – arctg x arccotg ( – x) = π – arccotg x

•

Monotónnost funkcí. Funkce arcsin a arctg jsou rostoucí. Funkce arccos a arccotg jsou klesající.

•

Spojitost. Všechny uvedené cyklometrické funkce jsou spojité (na svých definičních oborech).

•

Limity funkcí (!).

lim arctg x =

x → +∞

π 2

lim arctg x = − π2

x → −∞

lim arccotg x = 0

x → +∞

lim arccotg x = π

x → −∞

Další vlastnosti a vzorce týkající se cyklometrických funkcí jsou uvedeny v knize [1] na stranách 376–378.

2.3.3.


Věta 29. Existuje jediná funkce ϕ splňující následující podmínky: ϕ(x ) − 1 (1) ∀x, y ∈ R : ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y), =1. (2) lim x →0 x Důkaz zde neuvádím. Definice 33. Funkce ϕ z věty 29 se nazývá EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE (PŘI ZÁKLADU e), nebo PŘIROZENÁ EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE, a označuje se exp x, častěji však ex. Číslo e = exp 1 se nazývá EULEROVO ČÍSLO. Přirozené exponenciální funkci se často „obyčejně“ říká funkce „e NA x-TOU“.


67

Zde uvedu náznak důkazu, že pro všechna x ∈ R platí exp x = (exp 1)x, neboli, že můžeme psát ϕ(x) = ex. (Pro stručnost budu psát ϕ namísto exp.) Z vlastnosti (1) plyne, že ϕ(2) = ϕ(1 + 1) = ϕ(1)ϕ(1) = ϕ2(1). Indukcí se snadno dokáže, že ϕ(n) = ϕn(1). Z vlastnosti (2) plyne, že ϕ(0) = 1. Dále je 1 = ϕ(0) = ϕ(n)ϕ( – n), neboli ϕ( – n) = ϕ – n(1). Pro všechna x ∈ R je ϕ(2x) = ϕ2(x) ≥ 0. Z vlastnosti (1) plyne, že ϕ

( ) = ϕ(1) . Protože je ϕ ≥ 0, existuje jediné

n 1 n m/n

( ) = ϕ (1) . Dále je ϕ( ) = ϕ ( ) = ϕ (1) . Pomocí posloupností (a věty 71) se

číslo ϕ

1 n

1/ n

m n

m 1 n

pak dokáže, že ϕ(x) = ϕx(1) pro všechna x ∈ R. Kdybychom počítali s ϕ(y) namísto ϕ(1), dostali bychom ϕx(y) = ϕ(xy), neboli (ey)x = exy, z čehož plyne, že se ex chová jako klasická mocnina. Číslo e = e1 = exp 1 se chová jako základ této mocniny.

S využitím definice 33 lze vztahy (1)–(2) věty 29 zapsat takto: (1) ∀x, y ∈ R : ex + y = exey,

ex −1 (2) lim = 1. x →0 1

Vlastnosti exponenciální funkce (!). ex + y = exey exy = (ex)y ex > 0 ex je rostoucí a spojitá lim e x = 0 lim e x = +∞ x → −∞

•

x → +∞

Graf funkce ex (!).

obr. 56

e x+h − e x při daném x. h →0 h e x+h − e x e x eh − e x eh − 1 x lim = lim = e lim = e x ⋅1 = e x h →0 h h → 0 → 0 h h h


2.3.4.


Definice 34. Funkce ln : (0; + ∞)→R je funkce inverzní k funkci ex; nazývá se (PŘIROZENÁ) LOGARITMICKÁ FUNKCE, nebo zkráceně (PŘIROZENÝ) LOGARITMUS. Ihned z definice plyne, že platí eln x pro x ∈ (0; + ∞) a ln ex pro x ∈ R.

Vlastnosti přirozeného logaritmu (!) plynou ihned z vlastnosti přirozené exponenciální funkce. ln xy = ln x + ln y ln xy = y ln x ln x je rostoucí a spojitá ln 1 = 0 ln e = 1 68


lim ln x = −∞

x →0 +

lim ln x = +∞

x → +∞

Definice 35. Nechť b > 0 je dané číslo. Potom funkce bx = ex ln b se nazývá EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE PŘI ZÁKLADU b. Exponenciální funkci o základu b se „obyčejně“ říká funkce „b NA x-TOU“. Funkce bx se chová jako klasická mocnina. Dokažte její základní vlastnosti pomocí vlastností přirozené exponenciální a logaritmické funkce a načrtněte graf. Rozlište případy b < 1, b = 1 a b > 1.

Definice 36. Nechť b > 0, b ≠ 1 je dané číslo. Funkce logb : (0; + ∞)→R je funkce inverzní k funkci bx; nazývá se LOGARITMICKÁ FUNKCE PŘI ZÁKLADU b, nebo jen LOGARITMUS PŘI ZÁKLADU b. Ihned z definice plyne, že platí b logb x = x pro x ∈ (0; + ∞) a logb bx = x pro x ∈ R.

Příklad 48. Vyjádřeme funkci logb pomocí funkce ln.

( )

log b x

= e ln b⋅logb x . Protože funkce Vztah b logb x = x lze zapsat ve tvaru e ln x = e ln b ex je rostoucí a tedy prostá, musí platit ln x = ln b⋅logb x. Z toho plyne, že ln x . log b x = ln b Na základě posledního vztahu odvoďte základní vlastnosti logaritmické funkce při základu b. Rozlište případy b < 1 a b > 1. Tato kapitola sloužila ke shrnutí základních vlastností transcendentích funkcí. Tyto vlastnosti asi již znáte ze střední školy. Tam jste si je však definovali ne úplně matematicky. (Například exponenciální funkci jste si definovali jako nějakou mocninu. Pomocí této definice lze dokázat základní vlastnosti, ale složitější vlastnosti by vůbec dokázat nešly. Jak později uvidíte, má funkce ex mnoho zajímavých vlastností a dokonce jsou i vlastnosti, které mezi všemi funkcemi tvaru ax má pouze funkce ex. Tyto vlastnosti samozřejmě není možné dokázat z definice exponenciální funkce jako mocniny.) Zde jsem však tyto funkce zavedl matematicky: Uvedl jsem několik vlastností, dokázal jsem, že existuje jediná funkce mající tyto vlastnosti a tuto funkci jsem pojmenoval. Na základě těchto několika vlastností lze pak určit všechny další vlastnosti a dále s těmito funkcemi pracovat. Z mnoha vlastností, jež tyto funkce mají, jsem zde uvedl ty, které jsou důležité pro matematickou analýzu. Vlastnosti označené (!) byste měli znát nazpaměť.


69

2.4. DERIVACE Po prostudování budete schopni

•

určit derivaci funkce;

•

jednoduše určit přibližnou hodnotu složitějšího výrazu;

•

najít derivace vyšších řádů.

Klíčová slova: Derivace, diferenciál.


70

2.4.1.

Pojem derivace

2.4.2.


2.4.3.


2.4.4.

Diferenciál funkce

2.4.5.



2.4.1.

Pojem derivace

Definice 37. Nechť f je funkce a x ∈ D(f ) číslo. f (x + h ) − f (x ) lim se nazývá DERIVACE funkce f v bodě x. h →0 h

Potom

limita

Uvedená limita závisí na hodnotě čísla x, je to tedy funkce proměnné x. Deridf vace funkce f se značí f ′, někdy také . Derivace funkce f v bodě x se značí dx f ′ ( x) Jestliže

se

v uvedené f (t ) − f ( x ) . f ′( x ) = lim t→x t−x

limitě

zavede

substituci

t = x + h,

lze

psát

Pojem derivace patří k základním pojmům celé matematiky. Proto je nutné je umět počítat hbitě, doslova „jako násobilku“.

Geometrický význam derivace. Derivace f ′(x) určuje směrnici tečny ke grafu funkce f v bodě [x, f (x)]. Sledujte obr. 57. Sestrojme ke grafu funkce f tečnu v bodě [x, f (x)]. Označme α úhel, který tato tečna svírá s osou x. Potom platí f ′(x) = tg α.

obr. 57

1 . Podle definice derivace je x x − (x + h ) −h 1 1 − −1 1 x( x + h ) x( x + h ) f ′( x ) = lim x + h x = lim = lim = lim =− 2 . h →0 h →0 h →0 h →0 x ( x + h ) h h h x

Příklad 49. Vypočtěme derivaci funkce f ( x ) =

Příklad 50. Vypočtěme derivaci funkce f ( x ) = 2 + x . f ′( x ) = lim h →0

 2+ x+h − 2+ x 2+ x+h − 2+ x = lim h →0 h h 

2+ x+h + 2+ x  = 2 + x + h + 2 + x 

2 + x + h − (2 + x ) h = lim = h →0 h 2 + x + h + 2 + x h →0 h 2 + x + h + 2 + x 1 1 = lim = h →0 2+ x+h + 2+ x 2 2+ x

= lim

DERIVACE

(

)

(

)

71

Z tohoto příkladu je vidět, že počítání derivací složitějších funkcí může být obtížné. Pro elegantnější výpočet derivací se využívají vztahy uvedené v částech 2.4.2 a 2.4.3. Protože derivace je speciální případ limity, existují i jednostranné derivace.

Definice 38. Nechť f je funkce a x ∈ D(f ) číslo. Potom limita f (x + h ) − f (x ) f (x + h ) − f (x ) lim , resp. lim , se nazývá DERIVACE funkce h →0 + h →0 − h h f v bodě x ZPRAVA, resp. ZLEVA. Derivace funkce f zprava, resp. zleva, se značí f +′ , resp. f −′ .

Příklad 51. Vypočtěme jednostranné derivace funkce f (x) = |x| v bodě 0. Určeme nejdříve f +′ (0 ) . h−0 h f +′ (0) = lim = lim x →0 + h →0 + h h h h Protože je h > 0, je |h| = h a lim = lim = 1 . Platí tedy f +′ (0 ) = 1 . Podobh→0+ h h →0 + h ným způsobem se ukáže, že f −′ (0 ) = −1 . Než budete číst dále, pokuste se na základě předchozího příkladu určit, zda existuje derivace funkce f (x) = |x| v bodě 0. Odpověď na položenou otázku podává následující věta.

Věta 30. Derivace funkce f v bodě x0 existuje právě tehdy, když existují derivace funkce f v bodě x0 zleva i zprava a rovnají se. Důkaz plyne přímo z věty 16 (limita existuje právě tehdy, když existují limity zleva a zprava a rovnají se) a z definice derivace jako limity. Věta 31. Je-li f ′(x0) konečná, pak je funkce f v bodě x0 spojitá. Důkaz. Jestliže je f ′(x0) konečná, pak platí f ( x0 + h ) − f ( x0 ) lim( f ( x0 + h ) − f ( x0 )) = lim h = f ′( x0 ) lim h = f ′( x0 ) ⋅ 0 = 0 , h →0 h →0 h→0 h neboli lim( f ( x0 + h ) − f ( x0 )) = 0 . Z toho plyne, že funkce f je spojitá v bodě x0, h →0

c.b.d.

2.4.2.


Abych mohl demonstrovat následující věty na příkladech, musím nejdříve vypočítat derivace základních funkcí.

Příklad 52. Derivace funkce f (x) = x je f ′(x) = 1. Přímým dosazením do vzorce dostaneme f ′( x ) = lim h →0

x+h−x h = lim = 1 . h →0 h h

Příklad 53. Derivace konstantní funkce f (x) = c je f ′(x) = 0. Přímým dosazením do vzorce dostaneme f ′( x ) = lim h →0

c−c 0 = lim = 0 . h → 0 h h

Věta 32. Nechť funkce f a g mají v bodě x konečné derivace f ′(x) a g′(x). Potom funkce f + g a fg mají v bodě x také derivaci a platí 72


(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x) (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) Je-li navíc g(x) ≠ 0, pak platí ′ f  f ′( x )g (x ) − f (x )g ′(x )   (x ) = . g 2 (x ) g Tuto větu lze f g′ − fg ′ f ′ = . g g2

()

stručně

(f + g)′ = f ′ + g′,

zapsat

(fg)′(x) = f ′g + fg′,

Důkaz.

f (x + h ) + g (x + h ) − f (x ) − g (x ) ( f + g )′ (x ) = lim = h →0 h

f (x + h ) − f (x ) g (x + h ) − g (x ) + lim = f ′(x ) + g ′( x ) h →0 h →0 h h Pro součin a podíl je důkaz uveden například v knize [5] na stranách 214–215. C.b.d. = lim

Důsledek. Nechť c ∈ R je libovolná konstanta a f je funkce. Potom platí (cf)′(x) = cf ′(x). Důkaz. Podle příkladu 53 je c′ = 0. Dále je (cf)′ = c′f + cf ′ = 0f + cf ′ = cf ′. c.b.d. Důsledek. (c1f1 + … + cnfn)′ = c1f1′ + …cnfn′. Důkaz se provede matematickou indukcí. Příklad 54. Spočtěme derivaci funkce f (x) = x2 + 2x + 3. Podle věty 32 platí f ′(x) = (x2)′ + 2x′ + 3′. Derivace funkce x je x′ = 1, derivace konstanty 3 je 3′ = 0. Proto je f ′(x) = (x2)′ + 2. Zbývá určit (x2)′. Protože je x2 = x⋅x, platí (x2)′ = x′⋅x + x⋅x′ = 1⋅x + x⋅1 = 2x. Z toho plyne, že f ′(x) = 2x + 2. Důsledek věty 32. Nechť n ∈ N. Potom platí (xn)′ = nxn – 1. Důkaz se provede matematickou indukcí. Pro n = 0 věta platí, protože (x0)′ = 1′ = 0 = nxn – 1. Předpokládejme, že věta platí pro n. Potom (xn + 1)′ = (x⋅xn)′ = x′⋅xn + x⋅nxn – 1 = 1⋅xn + n⋅xn = (n + 1)xn, c.b.d. Než budete číst dále, dokažte, že pro všechna z ∈ Z platí (xz)′ = zxz – 1. Předpokládám, že jste důkaz nalezli. Je jednoduchý. Pro z ∈ N byl tento vztah dokázán dříve. Jestliže z ∉ N, potom existuje n ∈ N takové, že z = – n. Podle věty o podílu funkce ihned dostaneme ′ n ′ n −1  1  − (x ) − nx z ′ −n ′ (x ) = (x ) =  x n  = n 2 = x 2n = −nx −n−1 = zx z −1 , c.b.d.   (x )

Cvičení 33. Určete derivaci funkce f (x) = anxn +… + a1x + a0.

DERIVACE

73

Věta 33. Nechť je funkce f spojitá a ryze monotónní v intervalu J a nechť x0 je vnitřní bod intervalu J. Označme y0 = f (x0). Dále nechť funkce g je inverzní funkce k funkci f a g′(y0) existuje a platí g′(y0) ≠ 0. Potom má funkce f v bodě x0 1 derivaci f ′( x0 ) = . g ′( y0 ) Důkaz je uveden například v knize [5] na stranách 216–217. 1 . Potom pro x > 0 platí (xa)′ = axa – 1. q Funkce inverzní k funkci f (x) = x1/q je g(x) = xq. Při výpočtu derivace inverzní funkce se snažíme výraz g′(y) upravit tak, aby byl vyjádřen pouze pomocí členů g(y). Poté všechny výskyty g(y) zaměníme neznámou x. Zde je g(y) = yq a proto se výraz qyq – 1 musí upravit na tvar q(yq)(q – 1)/q. Podle věty 33 platí 1− q 1 1 1 1 1 1 q 1 q −1 a ′ x = f ′( x ) = = q −1 = = q −1 = x = x = ax a −1 , c.b.d. q −1 ′ g ( y ) qy q q q yq q qx q

Příklad 55. Nechť q ∈ Z a a =

( )

( )

Příklad 56. Určeme derivaci funkce f (x) = ln x. Funkce inverzní k funkci f je g(x) = ex. Již v předchozí přednášce bylo dokázáno, že funkce ex je rostoucí a ′ e x+h − e x = e x . Podle věty o derivaci inverzní funkce platí že e x = lim h→0 h (ln x )′ = f ′(x ) = 1 = 1y = 1ln x = 1 . g ′( y ) e x e

( )

Věta 34. Nechť funkce z = g(x) má derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f (z) má derivaci v bodě z0 = g(x0). Potom má složená funkce y = f (g(x)) derivaci v bodě x0 a platí [ f (g (x ))]′x= x = f ′(g (x0 )) ⋅ g ′(x0 ) . 0

Na levé straně rovnosti je derivace funkce f ◦ g v bodě x0. Na pravé straně je derivace funkce f v bodě g(x0) vynásobená derivací funkce g v bodě x0. S pomocí druhého zápisu derivace lze tuto větu symbolicky zapsat ve tvaru dy dy dz = . dx dz dx

Důkaz je složitý a je uveden např. v knize [5] na stranách 217–219. Příklad 57. Vypočtěme derivaci funkce y = (x5 + 2x + 1)7. Funkce y je složedy ná z funkcí y = z7 a z = x5 + 2x + 1. Funkce y = z7 má derivaci = 7 z 6 , funkce dz dz dy = 5 x 4 + 2 . Pro derivaci platí z = x5 + 2x + 1 má derivaci dx dx dy dy dz = = 7 z 6 5 x 4 + 2 . Nyní je třeba dosadit za z výraz x5 + 2x + 1. Takto dx dz dx 6 dy = 7 x5 + 2 x + 1 5x 4 + 2 . dostaneme dx

(

(

)

)(

)

Cvičení 34. Nechť p, q ∈ Z. Označme a = qp . Vypočtěte (xa)′. 74


Důsledek věty 34. Jestliže funkce f (x) má derivaci f ′(x), pak funkce f (ax + b) má derivaci [f (ax + b)]′ = af ′(ax + b). Důkaz. Derivovaná funkce je složená z funkcí y = f (z) a z = ax + b. Podle věty 34 platí [ f (ax + b )]′ = dy dz = f ′(z ) ⋅ a = af ′(ax + b ) , c.b.d. dz dx Cvičení 35. Určete derivaci funkce e f (x). Důsledek věty 34. Nechť funkce t = h(x) má derivaci v bodě x0, nechť funkce z = g(t) má derivaci v bodě t0 = h(x0) a nechť funkce y = f (z) má derivaci v bodě z0 = g(t0). Potom má složená funkce y = f (g(h(x))) derivaci v bodě x0 a platí [ f (g (h(x )))]′x = x0 = f ′(g (h(x0 ))) ⋅ g ′(h(x0 )) ⋅ h′(x0 ) , neboli dy = dy dz dt . dx dz dt dx Podobně platí [ f (g (h(k (x ))))]′x = x = f ′(g (h(k (x0 )))) ⋅ g ′(h(k (x0 ))) ⋅ h′(k (x0 )) ⋅ k ′(x0 ) , 0

neboli

dy dy dz dt du = ,… dx dz dt du dx

Derivování složené funkce je jako loupání cibule. Nejdříve se derivuje vnější funkce. Pak se derivuje vnitřnější funkce, … Nakonec se derivuje nejvnitřnější funkce. Všechny tyto derivace se nakonec vynásobí.

((

Příklad 58. Spočtěme derivaci funkce y = ln 1 + e

x

)) . Funkce y je složená 2

dy dy dz dt du dv = . dx dz dt du dv dx Funkce y = z2 a v = x = x1/ 2 jsou mocninné funkce a proto se derivují podle dy dv 1 −1/ 2 1 = x = . Funkce vzorce (xa)′ = axa – 1. Platí tedy = 2z a dz dx 2 2 x dt t = 1 + u má derivaci = 1 . Pro zbývající dvě funkce podle příkladu 56 platí du dz 1 du dy dy 1 1 = a = e v . Derivace je tedy rovna = 2 z ⋅ ⋅1 ⋅ e v ⋅ . Nyní je t dt t dv dx dx 2 x třeba se vrátit k proměnné x. Dosazováním příslušných výrazů za z, t, u, v postupně dostaneme dy 1 1 ln t e v ln (1 + u ) e v ln 1 + e v e v ln 1 + e x e x v = 2 ln t ⋅ ⋅1⋅ e ⋅ = = = = t t 2 x dx 1+ u 1 + ev 2 x x x x 1+ e x . z funkcí y = z2, z = ln t, t = 1 + u, u = ev a v = x . Platí

(

2.4.3.

)

(

)


Příklad 59. Pro x > 0 a a ∈ R je (xa)′ = axa – 1. Pro některá a lze obor proměnné x rozšířit, např. pro a ∈ Z platí vzorec pro všechna x ∈ R.

DERIVACE

75

Pro všechna a ∈ R platí xa = ea ln x. S využitím již dokázaných vztahů (ex)′ = ex ′ ′ a a ′ a (ln x ) = 1x dostaneme x a = e a ln x = e a ln x = x a = ax a −1 , c.b.d. x x

( ) (

)

′ 1 1 Často se vyskytují případy   = − 2 a x  x

( x )′ = 2 1 x .

Příklad 60. Pro x ∈ R a a > 0 je (ax)′ = ax ln a. Protože výraz ln a je konstantní, je (x ln a)′ = 1⋅ln a = ln a. Dále platí (ax)′ = (ex ln a)′ = ex ln a ln a = ax ln a, c.b.d. Speciálně je (ex)′ = ex. ′ Příklad 61. Pro a > 0, a ≠ 1 a x > 0 platí (log a x ) =

1 . x ln a

ln x a ln a je konstanta, platí ln a ′ ′ 1 1 ′  ln x  (ln x ) (log a x ) =   = , c.b.d. = x = ln a ln a x ln a  ln a 

Protože je log a x =

′ 1 Speciálně je (ln x ) = . x ′ f ′(x ) . Příklad 62. Nechť f (x) > 0 a existuje f ′(x). Potom platí (ln f ( x )) = f (x ) Rovnost plyne ihned z věty 34 (o derivaci složené funkce). ′ (ln f (x ))′ = 1 f ′(x ) = f (x ) , c.b.d. f (x ) f (x )

Příklad 63. Pro x ∈ R platí (sin x)′ = cos x. Důkaz provedu s využitím vztahů

sin α − sin β = 2 cos

α +β α −β ⋅ sin 2 2

a

sin h =1. h 2 cos(x + h2 ) ⋅ sin h2 sin h sin ( x + h ) − sin x (sin x )′ = lim = lim = lim cos(x + h2 )⋅ h 2 = cos x ⋅1 = cos x h →0 h →0 h→0 h h 2 lim h →0

C.b.d.

Příklad 64. Pro x ∈ R je (cos x)′ = – sin x. Důkaz lze provést podobně jako v předchozím příkladu. Zde však provedu důkaz pomocí věty 34 (o derivaci složené funkce). Protože je cos x = sin (x − π2 ) , ′ platí (sin x ) = sin (x − π2 ) . Dále platí (cos x )′ = (sin (x − π2 ))′ = sin ((x − π2 ) − π2 )⋅1 = sin (x − π) = − sin x , c.b.d.

Cvičení 36. Určete derivace (tg x)′ a (cotg x)′.

76


′ Příklad 65. Pro x ∈ ( – 1; 1) je (arcsin x ) =

1 1− x2

.

Funkce inverzní k funkci f (x) = arcsin x je g(x) = sin x. Podle věty 33 (o derivaci inverzní funkce) platí 1 1 1 (arcsin x )′ = 1 ′ = 1 = = = , c.b.d. 2 2 (sin y ) cos y 1 − sin y 1 − sin arcsin x 1 − x 2

Cvičení 37. Určete derivaci (arccos x)′. ′ Příklad 66. Pro x ∈ R je (arctg x ) =

1 . 1+ x2

Funkce inverzní k funkci arctg x je tg x, proto (arctg x )′ = 1 ′ = 11 = 2 1 2 = 1 2 = 1 2 , c.b.d. cos y + sin y 1 + tg y 1 + x (tg y ) 2 cos y cos 2 y

Shrnutí: Derivace elementárních funkcí jsou ′ (ln x )′ = 1 x a = ax a −1 x ′ x ′ x a = a ln a (sin x ) = cos x

( ) ( )

(e )′ = e x

(log a x )′ =

(cotg x )′ = (arcsin x )′ =

(cos x )′ = − sin x (arccos x )′ =

x

1 x ln a

(tg x )′ =

1 cos 2 x

−1 sin 2 x 1 1 − x2 −1

1 − x2 (arctg x )′ = 1 2 1+ x

Vzorce pro počítání derivací jsou

( f (x ) + g (x ))′ = f ′(x ) + g ′(x ) ( f (x )g (x ))′ = f ′(x )g (x ) + f (x )g ′(x ) ′  f (x )  f ′( x )g ( x ) − f ( x )g ′( x )  =  g 2 (x )  g (x )  ( f (g (x )))′ = f ′(g (x ))g ′(x )

Je-li y = f (x) a g je funkce inverzní k f , pak platí 1 f ′( x ) = g ′( y )

2.4.4.

Diferenciál funkce

Definice 39. Nechť f je funkce a x ∈ D(f ) pevně zvolený bod. Jestliže existuje číslo A takové, že

DERIVACE

77

f (x + h ) − f ( x ) − Ah =0 h →0 h pak říkáme, že funkce f je v bodě x DIFERENCOVATELNÁ. Výraz Ah (což je funkce proměnné h) se nazývá DIFERENCIÁL funkce f v bodě x. lim

Diferenciál funkce f v bodě x se značí df (x).

Věta 35. Funkce f má v bodě x0 diferencovatelná a má diferenciál Ah právě tehdy, když existuje vlastní (konečná) derivace f ′(x0). Potom platí A = f ′(x0). Důkaz. Jednoduchou úpravou rovnice uvedené v definici diferenciálu dostaf ( x0 + h ) − f ( x0 ) neme ekvivalentní rovnici A = lim , c.b.d. h →0 h Z věty 35 ihned plyne, že df (x) = f ′(x)h. Určeme diferenciál funkce f (x) = x. Pro funkci f (x) = x platí f ′(x) = 1 a proto je dx = 1⋅h = h. Z tohoto ovšem ihned plyne, že platí df (x) = f ′(x)dx. Podělením poslední rovnosti výrazem dx dostaneme f ′( x ) =

df ( x ) . Odtud je dx

vidět oprávněnost druhého zápisu derivace.

Význam diferenciálu. Pomocí diferenciálu lze jednoduše určit přibližnou hodnotu výrazu. Jestliže je dx malé, pak přibližně platí f (x0+ dx) = f (x0) + df (x0) = f (x0) + f ′(x0)dx. Toto vyjádření je tím přesnější, čím menší (v absolutní hodnotě) je dx. Tohoto se využívá v případě, že hodnoty f (x0) a f ′(x0) jsou známé nebo je možné je snadno určit. Příklad 67. Určeme přibližně hodnotu y = 2 ⋅ 16 2 . Jednoduchými úpravami 1+

1

lze tento výraz převést na tvar y = 2 16 . Označme f ( x ) = 2 x . S pomocí tohoto označení můžeme psát y = f (1+ 161 ) . Označíme-li dále x0 = 1 a dx = 161 , můžeme y převést na tvar uvedený v předchozím odstavci. Určeme hodnoty f (x0) a f ′(x0). Platí f ( x0 ) = f (1) = 2

(

)

f ′( x0 ) = f ′(1) = 2 x ln 2 x =1 = 2 ln 2 = 1,386 Nyní již můžeme určit přibližnou hodnotu y. y = f (x0) + f ′(x0)dx = 2 + 1,386⋅0,0625 = 2,087 Přesná hodnota y je y = 2,088548. Odtud je vidět, že s pomocí elementárních operací a derivace jsme dostali dost přesný odhad složitého výrazu.

Cvičení 38. Pomocí diferenciálu přibližně určete hodnotu výrazu 3 1,03 .

2.4.5.


Definice 40. Derivace funkce f ′ se nazývá DRUHÉHO ŘÁDU)

78

funkce f ; označuje se f ′′ nebo

DRUHÁ DERIVACE

(DERIVACE

2

d f . Dále derivace (n – 1)-ní dx 2


derivace funkce f se nazývá n-TÁ dn f . f ; označuje se f (n) nebo dx n

DERIVACE (DERIVACE

n-TÉHO

ŘÁDU)

funkce

Bývá účelné nazvat samotnou funkci f nultou derivací funkce f. Podle definice tedy pro všechna n ∈ N platí f (n + 1) = (f (n))′. Je vidět, že platí (f (m))(n) = (f (n))(m) = f (n + m).

Příklad 68. Určeme čtvrtou derivaci funkce f (x) = x4 – ln x. Postupným derivováním dostaneme 1 f ′( x ) = 4 x 3 − x 1 ′ f ′′( x ) = ( f ′( x )) = 12 x 2 + 2 x 2 ′ f ′′′( x ) = ( f ′′( x )) = 24 x − 3 x 6 ′ f (4 ) ( x ) = ( f ′′′( x )) = 24 + 4 x Příklad 69. Určeme n-tou derivaci funkce sin x. Platí sin ′( x ) = sin (x − π2 )

sin ′′( x ) = sin ((x − π2 ) − π2 ) = sin (x − 22π )

sin ′′′( x ) = sin ((x − 22π ) − π2 ) = sin (x − 32π )

Vypadá to, že sin (n ) ( x ) = sin (x − n2π ) . To je ovšem nutno dokázat matematickou

indukcí. Pro n = 0 tvrzení platí. Předpokládejme, že platí sin (n ) ( x ) = sin (x − n2π ) . ′ Potom platí sin (n +1) (x ) = (sin (x − n2π )) = sin x − sin (n ) ( x ) = sin x − (n +21)π . Tvrzení

(

je tedy pravdivé a pro všechna n ∈ N platí sin

)

(n )

(

(x ) = sin (x − ) .

)

nπ 2

Cvičení 39. Určete n-tou derivaci funkce ex. Vzorce pro výpočet n-tých derivací lze většinou snadno odvodit postupným derivováním. Zájemci si mohou přečíst knihu [5] na stranách 228–231.

Shrnutí:

f (x + h ) − f (x ) . Podobně se definuje h →0 h derivace zprava a zleva. Derivace n-tého řádu je definována jako derivace (n – 1)-ní derivace funkce f , f (n) = (f (n – 1))′. Diferenciál funkce f je df (x) = f ′(x)dx. Přibližně platí f (x0 + dx) = f (x0) + df (x0). Derivace funkce f je limita f ′( x ) = lim

DERIVACE

79

Cvičení

Cvičení 40. Určete derivace následujících funkcí

a) 4 x 3 + πx 2 − 7 x b) x 5 − 2 ⋅ 3 x + 7 tg x x2 −1 c) 2 x +1 2x + 5 d) 3 x + 7x − 5 1 e) sin x 1 f) cos x g) ln (x 2 + 1)

k) ln cos x l) ln tg x

u) sin arccos mx v) ln sin (x 3 − 2 x + 1)

m) ln cotg x

(

n) ln x + x 2 + 1 o) sin 3 x p) sin x 3 q) arcsin

x x +1 2

i) ln x j) ln sin x

t) arcsin(n sin x )

3

80

x)

(x

r)

2x + 7

+ 2 x + 5) 1 − cos x y) 1 + cos x

z) a

sin x 1 + cos x s) arctg(x 2 + 1)

h) ln x 3

)

w) ln (e x + e − x )

2

3

x

α) x ln x β)

1

x + a2 + x2 γ ) tg arccos mx x δ) x2 + a


Výsledky cvičení

Cvičení 33. f ′(x) = nanxn – 1 + (n – 1)an – 1xn – 2 + … + a1. Cvičení 34. (xa)′ = axa – 1. Cvičení 35. (e f (x))′ = e f (x)f ′(x).

′ Cvičení 36. (tg x ) =

(cotg x )′ =

1 ; cos 2 x

′ Cvičení 37. (arccos x ) =

−1 1− x2

−1 . sin 2 x

.

Cvičení 38. f ( x ) = 3 x , x0 = 1, dx = 0,03, 1,009902.

3

1,03 =& 1,01 . Přesná hodnota je

Cvičení 39. (ex)(n) = ex. Cvičení 40. a) 12 x 2 + 2πx − 7

k) − tg x

b) 5 x 4 − 2 ln 3 ⋅ 3 x + c) d)

(x

4x

)

2

7 cos 2 x

+1 − 4 x 3 − 15 x 2 − 45 2

(x

+ 7x − 5 cos x e) − sin 2 x sin x f) cos 2 x 2x g) 2 x +1 3 h) x 3 i) ln 2 x x 3

j) cotg x

)

2

2 sin 2 x −2 m) sin 2 x 1 n) x2 +1 3 o) sin x ⋅ sin 2 x 2

l)

p) 3x 2 cos x 3 1− x2 1 2 1+ x 1+ x2 + x4 1 r) 1 + cos x 2x s) 4 x + 2x 2 + 2 n cos x t) 1 − n 2 sin 2 x q)

u)

− m2 x

1 − m2 x2 3x 2 − 2 v) tg x 3 − 2 x + 1 e x − e −x w) x − x e +e − 10 x 3 − 42 x 2 − 4 x − 18 x) 3 x3 + 2x + 5 2 sin x y) (1 + cos x )2 ln a x z) a 2 x

(

)

(

)

α) ln x + 1 β) γ) δ)

(

−1

a2 + x2 x + a2 + x2 −1 mx 2 1 − m 2 x 2 a x2 + a

3

Stejně jako limita, patří i derivace k základním pojmům matematické analýzy a proto je nutné umět derivovat rychle. Derivace elementárních funkcí musíte znát zpaměti. Propočítejte si uvedené příklady, popřípadě si vymýšlejte další. Doporučuji Vám si také spočíst některé příklady ze stran 90–98 knihy [2]. Uvidíte, že za chvíli Vám derivování půjde.

DERIVACE

81

)

2.5. ZÁKLADNÍ VĚTY MATEMATICKÉ ANALÝZY Po prostudování budete schopni •

určit intervaly, na nichž je funkce rostoucí, nebo klesající;

•

určit intervaly, na nichž je funkce konvexní, nebo konkávní;

•

pomocí l’Hospitalova pravidla jednoduše určit hodnoty složitějších limit.

Klíčová slova: Rolleova, Lagrangeova, Cauchyova věta, konvexní a konkávní funkce, l’Hospitalovo pravidlo


82

2.5.1.


2.5.2.


2.5.3.



2.5.1.


Věta 36. (Rolleova věta) Nechť funkce f má následující vlastnosti: 1) f je spojitá na 〈a; b〉, 2) f ′(x) existuje pro všechna x ∈ (a; b), 3) platí f (a) = f (b). Potom existuje (alespoň jedno) číslo c ∈ (a; b) takové, že f ′(c) = 0. Geometrický význam Rolleovy věty je následující: Při splnění daných třech podmínek existuje bod c uvnitř intervalu (a, b) takový, že tečna ke grafu funkce v bodě [c, f (c)] je rovnoběžná s osou x. Situaci ilustruje obr. 58.

obr. 58

Důkaz je uveden například v knize [5] na straně 241. Příklad 70. Nechť P je mnohočlen stupně n > 1 a nechť rovnice P(x) = 0 má pouze reálné kořeny, navzájem různé. Dokažme, že rovnice P′(x) = 0 má také pouze reálné kořeny, navzájem různé. Protože polynom P má stupeň n, má rovnice P(x) = 0 právě n reálných kořenů. Označme tyto kořeny x1,…,xn tak, aby x1 < … < xn. Pro libovolné j ∈ {1;…;n – 1} platí: 1) funkce P je spojitá na 〈xj; xj + 1〉, 2) P′(x) existuje pro všechna x ∈ (xj; xj + 1), 3) Platí P(xj) = P(xj + 1) = 0. Tím jsou splněny požadavky Rolleovy věty. Proto existuje bod cj ∈ (xj; xj + 1) takový, že P′(cj) = 0. Číslo cj je tedy reálný kořen rovnice P′(x) = 0. Protože intervaly (xj; xj + 1) jsou disjunktní (nemají společný bod), jsou čísla cj navzájem různá a jejich počet je n – 1. Protože polynom P′ má stupeň n – 1, nemá rovnice P′(x) = 0 žádný jiný kořen, c.b.d. Věta 37. (Cauchyova věta) Nechť funkce f a g jsou spojité na 〈a; b〉 a mají derivace f ′(x) a g′(x) pro všechna x ∈ (a; b). Potom existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f ′(c)(g(b) – g(a)) = g′(c)(f (b) – f (a)) . Důkaz je uveden například v knize [5] na straně 243. Příklad 71. Dokažme, že existuje číslo c ∈ ( π8 ; π2 ) takové, že platí π

π

ec (1 + c ) π 4 e 2 − e 8 = . cos c 8 1 − sin π 8 x π Označme f (x) = xe , g(x) = sin x, a = 8 a b = π2 . Platí f ′( x ) = e x (1 + x ) a g ′( x ) = cos x . Podle Cauchyovy věty existuje číslo c ∈ ( π8 ; π2 ) takové, že

 π π2 π π8  π  π e (1 + c ) sin − sin  − cos c ⋅  e − e  . 2 8 8   2 Jednoduchou úpravou dostaneme požadovanou rovnost, c.b.d. c


83

Věta 38. (Lagrangeova věta, věta o přírůstku funkce, věta o střední hodnotě) Nechť funkce f má následující vlastnosti: 1) f je spojitá na 〈a; b〉, 2) f ′(x) existuje pro všechna x ∈ (a; b). Potom existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f (b ) − f (a ) f ′(c ) = . b−a Geometrický význam Lagrangeovy věty: Při splnění daných podmínek existuje bod c uvnitř intervalu (a; b) takový, že tečna v bodě [c; f (c)] je rovnoběžná se spojnicí bodů [a; f (a)] a [b; f (b)]. Situaci ilustruje obr. 59.

obr. 59

Důkaz. V Cauchyově větě stačí položit g(x) = x. C.b.d. Příklad 72. Automobil jel z místa X do místa Y průměrnou rychlostí v . Dokažme, že během jeho jízdy existoval okamžik, ve kterém byla okamžitá rychlost automobilu rovna v . Označme S vzdálenost míst X a Y a T čas, za který tuto vzdálenost automobil ujel. Dále označme s(t) vzdálenost od místa X, kterou urazil automobil za čas t. Platí s(0)=0, s(T)=S a v = TS . Protože okamžitá rychlost je rovna derivaci dráhy (vzdálenosti) podle času, platí také, že s′(t ) je okamžitá rychlost automobilu v čase t. Funkce s(t) je zřejmě spojitá. Automobil měl v každém okamžiku nějakou rychlost a tedy s′(t ) existuje pro všechna t ∈ (0;T ) . Podle Lagrangeovy věty existuje číslo c ∈ (0; T ) takové, že s (T ) − s (0) S s′(c ) = = =v. T −0 T V okamžiku c byla tedy okamžitá rychlost automobilu rovna jeho průměrné rychlosti, c.b.d.

2.5.2.


Věta 39. Nechť funkce f je spojitá na intervalu J a má derivaci ve všech jeho vnitřních bodech. Potom, jestliže ve všech vnitřních bodech x intervalu J platí f ′(x) > 0, je funkce f rostoucí na J; f ′(x) ≥ 0, je funkce f neklesající na J; f ′(x) < 0, je funkce f klesající na J; f ′(x) ≤ 0, je funkce f nerostoucí na J. Důkaz první části věty. Nechť x1 a x2 jsou libovolné body intervalu J takové, že x1 < x2. Potom platí x2 – x1 > 0. Podle Lagrangeovy věty existuje číslo c ∈ (x1; x2) takové, že platí f (x2) – f (x1) = f ′(c)(x2 – x1). Podle předpokladu je f ′(c) > 0, z čehož plyne f (x2) > f (x1). Protože body x1 a x2 byly libovolné, je funkce f rostoucí na J. Obdobně se dokáží zbývající části věty. C.b.d. 84


Důsledek. Je-li funkce f spojitá na intervalu J a ve všech vnitřních bodech x intervalu J platí f ′(x) = 0, je f konstantní na J. Důkaz. Z předpokladu platí f ′(x) = 0, neboli f ′(x) ≥ 0 a f ′(x) ≤ 0. Podle věty 39 je f na J nerostoucí a zároveň neklesající, tedy konstantní, c.b.d. Příklad 73. Je-li f rostoucí, nemusí ještě pro všechna x platit f ′(x) > 0. Funkce f (x) = x3 je rostoucí na R, ale f ′(0) = 0. Cvičení 41. Dokažte, že součet dvou rostoucích funkcí je rostoucí funkce. Příklad 74. Určeme intervaly, na nichž je funkce f (x) = x3 – 3x rostoucí, nebo klesající. (Stručněji: určeme intervaly monotónnosti funkce f ). Na číselnou osu nanesme všechny body, v nichž je derivace rovna nule, nebo není definována. Derivace může měnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plyne, že pouze tyto body mohou být krajními body intervalů, na nichž je funkce rostoucí, nebo klesající. K určení znaménka derivace na některém intervalu stačí určit znaménko v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolit bod x, v němž se hodnota f ′(x) určí snadno. Derivace f ′(x) = 3x2 – 3 je spojitá a je rovna nule v bodech x = – 1 a x = 1. Nanesme proto body – 1 a 1 na osu x (viz obr. 60)

obr. 60

Nyní určeme hodnoty f ′ ve vnitřních bodech vyznačených intervalů. f ′( – 2) = 9 > 0 a tedy f je rostoucí na ( – ∞; – 1); f ′(0) = – 3 < 0 a tedy f je klesající na ( – 1; 1); f ′(2) = 9 > 0 a tedy f je rostoucí na (1; + ∞). Symbolicky je toto zakresleno na obr. 61.

obr. 61

Definice 41. Jestliže pro všechny body x1 < x2 < x3 intervalu J leží bod [x2; f (x2)] „pod“ přímkou spojující body [x1; f (x1)] a [x3; nazývá se f RYZE KONVEXNÍ f (x3)], na J; „pod“ touto přímkou, nebo na ní, nazývá se f KONVEXNÍ na J; „nad“ touto přímkou, nazývá se f RYZE KONKÁVNÍ na J; „nad“ touto přímkou, nebo na ní, nazývá se f KONKÁVNÍ na J. Je-li interval J přímo definičním oborem funkce f , pak se přívlastek „na J“ vynechává. Tato definice není matematicky přesná, ale je názorná. Situaci navíc ilustrují obr. 62 (ryze konvexní funkce) a obr. 63 (konvexní, ryze konkávní, konkávní funkce).


85

obr. 62

obr. 63

Příklad 75. Funkce f (x) = |x| je konvexní, ale není ryze konvexní. Rovnice přímky spojující body [x1; f (x1)] a [x3; f (x3)] je f ( x3 ) − f ( x1 ) (x − x1 ) + f (x1 ) . Proto funkce f je ryze konvexní právě tehdy, y= x3 − x1 když pro všechna x1 < x2 < x3 ∈ J platí f ( x3 ) − f ( x1 ) (x2 − x1 ) + f (x1 ) . f ( x2 ) = x3 − x1 Funkce f je konvexní (ryze konkávní, konkávní), jestliže v předchozí nerovnosti platí znak ≤ (>, ≥).

Věta 40. Nechť funkce f je spojitá na intervalu J a má druhou derivaci ve všech jeho vnitřních bodech. Potom, jestliže ve všech vnitřních bodech x intervalu J platí f ′′(x) > 0, je funkce f ryze konvexní na J; f ′′(x) ≥ 0, je funkce f konvexní na J; f ′′(x) < 0, je funkce f ryze konkávní na J; f ′′(x) ≤ 0, je funkce f konkávní na J; Důkaz je uveden například v knize [5] na stranách 250–251. Příklad 76. Jestliže je funkce f ryze konvexní, nemusí ještě pro všechna x platit f ′′(x) > 0. Funkce f (x) = x4 je ryze konvexní na R, ale f ′′(0) = 0. Cvičení 42. Dokažte, že funkce ex je ryze konvexní na R. Cvičení 43. Dokažte, že funkce f je (ryze) konvexní právě tehdy, když je funkce – f (ryze) konkávní. Příklad 77. Určeme intervaly, na nichž je funkce f (x) = (x – 1)3 konvexní, nebo konkávní. Na číselnou osu nanesme všechny body, v nichž je druhá derivace rovna nule, nebo není definována. Druhá derivace může měnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plyne, že pouze tyto body mohou být krajními body intervalů, na nichž je funkce konvexní, nebo konkávní. K určení znaménka druhé derivace na některém intervalu stačí určit znaménko v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolit bod x, v němž se hodnota f ′′(x) určí snadno. Druhá derivace f ′′(x) = 6(x – 1) je spojitá a je rovna nule v bodě x = 1. Nanesme proto na osu x bod 1 (viz obr. 64).

86


obr. 64

Nyní určeme hodnoty f ′′ ve vnitřních bodech vyznačených intervalů. f ′′(0) = – 6 < 0 a tedy f je konkávní na ( – ∞; 1); f ′′(2) = 6 > 0 a tedy f je konvexní na (1; + ∞). Symbolicky je toto zakresleno na obr. 65.

obr. 65

2.5.3.


Věta 41. (l’Hospitalovo pravidlo) Nechť platí lim f (x) = lim g(x) = 0 nebo f ′( x ) lim |g(x)| = + ∞. Potom, jestliže existuje limita lim , existuje i limita g ′( x ) f (x ) f (x ) f ′( x ) lim a platí lim . Symbol lim může mít libovolný z těchto = lim g (x ) g (x ) g ′( x ) významů (samozřejmě v celé větě stejný): lim, lim , lim , lim , lim . x → a x → a + x → a − x → +∞ x → −∞

Tato věta v sobě zahrnuje celkem deset vět – pro různé typy a různé hodnoty limit.

Důkaz všech částí této věty je uveden například v knize [5] na stranách 270– 276. l’Hospitalovo pravidlo umožňuje počítat limity typu 00 , nebo

Příklad 78. Určeme lim x = +∞ ,

x → +∞

∞ ∞

.

ln x . Jde o limitu typu ∞∞ . Protože platí x použít l’Hospitalovo pravidlo. Platí

lim

x → +∞

lze

1 ln x 1 = lim x = lim = 0 . x → +∞ x x → +∞ 1 x → +∞ x

lim

Jestliže je lim

f ′( x ) opět limita typu 00 , nebo ′ g (x )

∞ ∞

, lze l’Hospitalovo pravidlo po-

užít znovu.

f ′( x ) neexistuje, nehovoří l’Hospitalovo pravidlo nic g ′( x ) f (x ) sin x . Pokusme se vypočítat limitu lim . Zde limita o limitě lim x → +∞ g (x ) x f ′( x ) lim = lim cos x neexistuje, proto nelze použít l’Hospitalovo pravidlo. g ′( x ) x → +∞ f (x ) sin x = lim však existuje. Určete její hodnotu. Limita lim g ( x ) x → +∞ x Příklad 79. Jestliže lim

Jiné typy limit je třeba převést na typ 00 , nebo ZÁKLADNÍ VĚTY MATEMATICKÉ ANALÝZY

∞ ∞

. 87

•

Limita typu 0 ⋅ ∞ . Je-li lim f (x) = 0 a |lim g(x)| = + ∞, potom platí f (x ) g (x ) lim f ( x )g ( x ) = lim = lim , 1 1 g (x ) f (x ) 0 ∞ přičemž uvedené limity jsou typu 0 , nebo ∞ .

Příklad 80.

Určeme limitu lim (1 − sin x ) tg x . π x→ + 2

− cos x cos3 x 1 − sin x = lim = lim = 2 π π π 1 1 1 x→ + x→ + x → + cotg x 2 2 − 2 tg 2 x cos 2 x tg x

lim (1 − sin x ) tg x = lim

π x→ + 2

cos3 x = lim = lim cos x ⋅ sin 2 x = 0 ⋅ 1 = 0 π cos 2 x π x→ + x→ + 2 2 sin 2 x •

Limita typu (+ ∞) – (+ ∞). Je-li lim f (x) = + ∞ a lim g(x) = + ∞, potom platí 1 1 − g (x ) f (x ) lim( f ( x ) − g ( x )) = lim , 1 f ( x )g ( x ) 0 přičemž uvedená limita je typu 0 .

1   1 − Příklad 81. Určeme limitu lim . x →1 x − 1 ln x   1 −1 1  ln x − (x − 1) 1− x  1 x − = lim = lim = lim = lim  x →1 x − 1 x →1 1 x →1 x + x ln x − 1 ln x  x →1 ( x − 1)ln x  1 + ln x − x −1 1 = lim =− x →1 1 + 1 + ln x 2

•

Limita typu 00, ∞0, nebo 1∞. Jestliže platí lim f (x) = 0 a lim g(x) = 0, nebo lim f (x) = ∞ a lim g(x) = 0, nebo lim f (x) = 1 a lim g(x) = ∞, potom platí lim f (x)g(x) = lim eg(x) ln f (x) = elim g(x) ln f (x), přičemž limita v exponentu je typu 0⋅∞.

Příklad 82. Určeme limitu lim (sin x )

tg x

π x→ + 2

Platí lim (sin x )

tg x

π x→ + 2

lim tg x ⋅ln sin x

= e x →π / 2+

.

. Limita v exponentu je rovna

cotg x ln sin x = lim = − lim sin x ⋅ cos x = 1 ⋅ 0 = 0 π π π 1 1 1 x→ + x→ + x→ + 2 2 − 2 2 2 tg x cos x tg x

lim tg x ⋅ ln sin x = lim

π x→ + 2

88


a proto platí lim (sin x )

tg x

π x→ + 2

= e0 = 1 .

Shrnutí:

Nechť jsou funkce f , g spojité na uzavřeném intervalu 〈a; b〉 a nechť mají v každém jeho vnitřním bodě derivaci. Potom existuje číslo c ∈ (a; b) takové, f (b ) − f (a ) že f ′(c ) = (Lagrangeova věta). Jestliže platí f (a) = f (b), pak exisb−a tuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f ′(c) = 0 (Rolleova věta). Také existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f ′(c)(g(b) – g(a)) = g′(c)(f (b) – f (a)) (Cauchyova věta). Funkce je ryze konvexní, jestliže její graf leží nad svou tečnou. Podobně je definována konvexní, ryze konkávní a konkávní funkce. Jestliže na intervalu platí f ′(x) > 0, pak je f na tomto intervalu rostoucí. Obdobně pro neklesající, klesající a nerostoucí funkci. Jestliže na intervalu platí f ′′(x) > 0, pak je funkce na tomto intervalu ryze konvexní. Obdobně pro konvexní, ryze konkávní a konkávní funkci. Jestliže je lim f (x) = lim g(x) = 0, nebo lim |g(x)| = + ∞, pak platí f (x ) f ′(x ) , pokud limita vpravo existuje. Ostatní typy limit se na lim = lim g (x ) g ′( x ) tento tvar převedou.


89

Cvičení

Cvičení 44. Určete intervaly monotónnosti následujících funkcí. 2 1 a) x + b) e − x c) x e − x x Cvičení 45. Určete intervaly, na nichž jsou následující funkce konvexní, nebo konkávní. 3 c) e x a) − x 3 + 6 x 2 + 32 b) x+2 Cvičení 46. Pomocí l’Hospitalova pravidla určete následující limity. (x + 1)ln(1 + x ) − x esin x − e x 3x 2 + 4 x − 7 u) lim k) lim a) lim 2 x →1 2 x + 3 x − 5 x →0 x → 0 sin x − x ex − x − 1 x x (a + x ) − a ln cos x l) lim v) lim sin x ⋅ ln cotg x b) lim x → 0 ln cos 3 x x →0 x→0 x2 2 20 3 x − 2x + 1 ln x − 8 c) lim 2 m) lim 30 w) lim x n e − x → +∞ x →3 2 x − 5 x − 3 x →1 x x − 2x + 1 xa − 1 x10 − 10 x + 9 n) lim x) lim x x − 1 ln x d) lim b 2 x →1 x→0+ x →1 x − 1 (x − 1) 50 x − 50 x + 49 1 ln cos ax  1 −  y) lim e) lim o) lim 100 2 x→0 x →1 x x → 0 sin x x x − 100 x + 99  4 3 2 a x x −a 1  2 x + 3x − 4 x − 9 x − 4 1 z) lim − x  f ) lim x p) lim 4 3 2 a x → −1 3 x + 5 x + 3 x + 3 x + 2 x →0 x x→a a − a e −1  a+2 a +1 a x x −a ax − (a + 1)x + x b   a α) lim − g) lim a q) lim  2 a a x →1 x →1 1 − x x→a x − a 1 − xb  (x − 1)  1 ln x ln (1 + x ) − x x −1 x β ) lim r) lim h) lim x →0 x → 0 + ln sin x x →1 tg 2 x 2 ln (1 − cos x ) 4 sin x − 6 sin x + 1 ln x γ ) lim (1 + x ) s) lim i) lim 2 π 3 sin x + 5 sin x − 4 → + 0 x →0 + x ln tg x x→

(

)

(

6

x3 − 3x 2 + 7 x − 5 j) lim x →1 x4 − 5x + 4

90

3 + ln x t) lim x → 0 + 2 − 3 ln sin x

1 δ) lim   x →0 + x  

)

sin x


Výsledky cvičení

Cvičení 41. Jsou-li funkce f a g rostoucí, pak pro x < y je f (x) < f (y) a g(x) < g(y). Sečtením posledních rovností dostaneme (f + g)(x) < (f + g)(y) a funkce f + g je rostoucí. (Kdyby pro všechna x platilo f ′(x) > 0 a g′(x) > 0, bylo by možné použít větu 39. Potom by bylo f ′(x) + g′(x) > 0 a funkce f + g by byla rostoucí.) Cvičení 42. Platí (ex)′′ = ex > 0 pro všechna x ∈ R. Podle věty 40 je ex konvexní na R. Cvičení 43. Důkaz se provede přímým dosazením do definice. V případě konvexní funkce je f ′′(x) ≥ 0 a proto ( – f (x))′′ ≤ 0 a – f je konkávní. Cvičení 44. a) rostoucí na ( – ∞; – 1), (1; + ∞), klesající na ( – 1; 0), (0; 1); b) rostoucí na ( – ∞; 0), klesající na (0; + ∞); c) rostoucí na ( – ∞; 1), klesající na (1; + ∞). Cvičení 45. a) konvexní na ( – ∞; 2), konkávní na (2; + ∞); b) konvexní na ( – 2; + ∞), konkávní na ( – ∞; – 2); c) konvexní na R. Cvičení 44. 10 k) 1 a) 7 1 1 b) l) a 9 6 9 c) m) 7 14 a d) n) 45 b a2 49 e) − o) 198 2 1 1 − 1 p) − f) ln a 6 a (a + 1) g) 1 − ln a q) 2 1 h) − r) 1 2 1 s) 2 i) − 4 1 j) − 2 t) − 3

u) 1 v) 0 w) 0 x) 0 y) 0 1 2 a −b α) 2 z)

β) e γ) 1 δ) 1

Věty uvedené v první části se používají hlavně při důkazech složitější vět, přesto je dobré je znát. Doporučuji Vám v rychlosti si projít druhou část. Již její název napovídá, že ji budete potřebovat později při zjišťování průběhu funkce. Ze třetí části je důležité umět, kromě samotného l’Hospitalova pravidla, hlavně postupy, kterými se různé limity převedou na l’Hospitalovo pravidlo. Jestliže se Vám některé z těchto postupů budou zdát těžko zapamatovatelné, spočítejte si pár příkladů a uvidíte, že to není tak hrozné.


91

2.6. EXTRÉMY, INFLEXNÍ BODY, ASYMPTOTY Po prostudování budete schopni najít •

extrémy funkce;

•

inflexní body funkce;

•

asymptoty grafu funkce.

Klíčová slova: Lokální extrém, inflexní bod, asymptota se směrnicí, bez směrnice.


92

2.6.1.

Lokální extrémy

2.6.2.

Inflexní body

2.6.3.


2.6.4.



2.6.1.

Lokální extrémy

Definice 42. Nechť funkce f je definována na nějakém intervalu obsahujícím bod c. Existuje-li číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ (c – δ; c + δ) platí f (c) ≥ f (x), má funkce f v bodě c LOKÁLNÍ MAXIMUM; f (c) > f (x), má funkce f v bodě c OSTRÉ LOKÁLNÍ MAXIMUM; f (c) ≤ f (x), má funkce f v bodě c LOKÁLNÍ MINIMUM; f (c) < f (x), má funkce f v bodě c OSTRÉ LOKÁLNÍ MINIMUM. Lokálnímu maximu a minimu se souhrnně říká LOKÁLNÍ EXTRÉM. Ostrému lokálnímu maximu a minimu se souhrnně říká OSTRÝ LOKÁLNÍ EXTRÉM.

Věta 42. Jestliže má funkce f v bodě c lokální extrém a existuje-li f ′(c), pak je f ′(c) = 0. Důkaz provedu pro lokální maximum, a sice důkaz sporem. Protože v bodě c je lokální maximum, existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Uδ(x) je f (x) ≤ f (c). Předpokládejme, že f ′(c) > 0, neboli, že f ( x ) − f (c ) lim > 0 . Podle věty 20 existuje číslo γ > 0 takové, že pro všechna x→c x−c f ( x ) − f (c ) x ∈ Pγ(c) platí > 0 . Pro x ∈ (c, c + γ) je x – c > 0. Aby mohlo být x−c f ( x ) − f (c ) > 0 , musí být f (x) > f (c). Označme β = min{γ; δ}. Na intervalu x−c (c, c + β) by tedy mělo platit f (x) ≤ f (c) a zároveň f (x) > f (c), což je spor. Obdobně nemůže být f ′(c) < 0. Proto musí být f ′(c) = 0, c.b.d. Z toho plyne: Funkce f může mít extrémy pouze v bodech, v nichž je derivace rovna nule, nebo neexistuje.

Příklad 83. Jestliže je f ′(c) = 0, nemusí mít ještě funkce f v bodě c extrém. Funkce f (x) = x3 má v bodě 0 derivaci f ′(0) = 0, ale extrém v bodě 0 nemá. Při zjišťování, zda je v bodě c, pro který platí f ′(c) = 0, extrém, je třeba určit chování funkce f na okolí bodu c. Je-li f rostoucí (tedy f ′(x) > 0) jak na levém, tak na pravém okolí bodu c, nemá funkce f v bodě c extrém. Je-li však f rostoucí (f ′(x) > 0) na levém a klesající (f ′(x) < 0) na pravém okolí bodu c, má funkce f v bodě c lokální maximum. Podrobně rozeberte ostatní kombinace znamének hodnoty f ′(c). Jestliže má funkce f v bodě c druhou derivaci, lze při určování extrému použít následující větu.

Věta 43. Nechť f ′(c) = 0 a f ′′(c) existuje. Potom, jestliže platí f ′′(c) > 0, má funkce f v bodě c ostré lokální minimum; f ′′(c) < 0, má funkce f v bodě c ostré lokální minimum. Příklad 84. Je-li f ′(c) = f ′′(c) = 0, nelze podle této věty o existenci extrému v bodě c rozhodnout. Funkce x3 a x4 mají v bodě 0 první i druhou derivaci rovnou nule. Funkce x3 nemá v bodě 0 lokální extrém; funkce x4 má v bodě 0 lokální minimum. EXTRÉMY, INFLEXNÍ BODY, ASYMPTOTY

93

Důkaz věty 43 provedu pro případ f ′′(c) > 0. Obdobně jako při důkazu věty 42 lze ukázat, že f ′(x) < 0 (f klesající) na levém a f ′(x) > 0 (f rostoucí) na pravém okolí bodu c. Z toho plyne, že funkce f má v bodě c ostré lokální minimum. Podobně se ukáže druhá část věty. C.b.d. Tuto větu je vhodné použít v případě, že určení druhé derivace v bodě c je jednodušší než určení znaménka první derivace na okolí bodu c.

Příklad 85. Najděme lokální extrémy funkce f (x) = x3 – 3x2. Extrémy mohou nastat pouze v bodech x, v nichž je f ′(x) = 0. Proto nejdříve vyřešme rovnici f ′(x) = 3x2 – 6x = 0. Ta má řešení x = 0 a x = 2. Ke zjištění, zda je v těchto bodech skutečně extrém, je třeba určit hodnotu druhé derivace v těchto bodech. Platí f ′′(x) = 6x – 6. V bodě x = 0 je f ′′(0) = – 6 < 0 a proto v bodě c = 0 má funkce f lokální maximum. Toto maximum má hodnotu f (0) = 0. V bodě x = 2 je f ′′(2) = 6 > 0 a proto v bodě x = 2 má funkce f lokální minimum. Toto minimum má hodnotu f (2) = – 4.

2.6.2.

Inflexní body

Definice 43. Nechť na nějakém okolí P(c) bodu c existuje f ′. Potom se bod c nazývá INFLEXNÍ BOD funkce f , jestliže výraz (f (x) – (f (c) + f ′(c)(x – c)))(x – c) nemění na P(c) znaménko. Někdy se také říká, že funkce f má v bodě c INFLEXI. Tato definice není příliš názorná. Názornější (ale bohužel méně přesná) je tato definice inflexního bodu: Bod c je inflexní bod funkce f , jestliže na levém okolí bodu c je funkce f ryze konvexní a na pravém okolí ryze konkávní, nebo naopak. Graf funkce ryze konvexní (ryze konkávní) na intervalu J leží nad (pod) tečnou ke grafu funkce v bodě x ∈ J. Proto c je inflexní bod, jestliže graf funkce přechází v bodě c z polohy „nad“ tečnou do polohy „pod“ tečnou, nebo naopak. Situaci ilustrují obr. 66 a obr. 67.

obr. 66

obr. 67

Inflexní bod funkce f se chová stejně jako lokální extrém funkce f ′. Proto si zopakujte, jak se určuje, zda má funkce f v bodě c extrém. Následující věty budu uvádět bez důkazu.

Věta 44. Jestliže je c inflexní bod funkce f a jestliže existuje f ′′(c), pak platí f ′′(c) = 0.

94


Bod c je inflexní bod funkce f , je-li f ′′(x) < 0 pro x ∈ (c – δ, c) a f ′′(x) > 0 pro x ∈ (c, c + δ), nebo f ′′(x) > 0 pro x ∈ (c – δ, c) a f ′′(x) < 0 pro x ∈ (c, c + δ).

Věta 45. Nechť f ′′(c) = 0 a f ′′′(c) existuje. Potom, jestliže f ′′′(c) ≠ 0, je c inflexní bod funkce f. Příklad 86. Je-li f ′′(c) = f ′′′(c) = 0, nelze podle této věty rozhodnout, zda je c inflexní bod. Funkce x3 a x4 mají v bodě 0 druhou i třetí derivaci rovnou nule. Pro funkci x3 je bod 0 inflexní bod, ale pro funkci x4 ne. Tuto větu je vhodné použít v případě, že určení třetí derivace v bodě c je jednodušší než určení znaménka druhé derivace na okolí bodu c.

Příklad 87. Určeme inflexní body funkce f ( x ) =

x . 1 + x2

Inflexní body mohou být pouze ty body x, v nichž je f ′′(x) = 0. Proto nejdříve 2 x3 − 6 x vyřešme rovnici f ′′( x ) = = 0 . Ta má řešení x = − 3 , x = 0 a x = 3 . 3 1 + x2 Ke zjištění, zda tyto body jsou skutečně inflexní, je třeba určit hodnotu třetí de− 6 x 4 + 36 x 2 − 6 rivace v těchto bodech. Platí f ′′′( x ) = . V bodě x = − 3 je 4 1 + x2 f ′′′ − 3 = 163 ≠ 0 a proto bod x = − 3 je inflexní. Obdobně f ′′′(0) = – 6 ≠ 0 a

(

( ) f ′′′( 3 ) =

2.6.3.

)

(

3 16

)

≠ 0 a proto i body x = 0 a x = 3 jsou inflexní.


Definice 44. Přímka o rovnici y = px + q se nazývá ASYMPTOTOU SE SMĚRNICÍ grafu funkce f PRO x→ + ∞, jestliže platí lim ( f ( x ) − ( px + q )) = 0 . Přímka o x → +∞

rovnici y = px + q se nazývá ASYMPTOTOU SE x→ – ∞, jestliže platí lim ( f ( x ) − ( px + q )) = 0 .

SMĚRNICÍ

grafu funkce f PRO

x → −∞

Asymptota se směrnicí je přímka, ke které se přibližuje graf funkce f (x) pro x→ ± ∞.

Příklad 88. Graf funkce

f (x ) = x +

x 1+ x

má pro x→ + ∞ asymptotu

y = x + 1 a pro x→ – ∞ asymptotu y = x – 1. To se dokáže snadno.    x  x  − 1 = lim x − 1 = 1 − 1 = 0 − x − 1 = lim  lim ( f (x ) − ( x + 1)) = lim  x + x → +∞ x → +∞ x → +∞ 1 + x  x → +∞ 1 + x 1+ x     Podobně se dokáže rovnice asymptoty pro x→ – ∞. Situaci ilustruje obr. 68.


95

obr. 68

Věta 46. Jestliže má graf funkce f (x) asymptotu y = px + q pro x→ + ∞, pak f (x ) platí p = lim a q = lim ( f ( x ) − px ) . Obráceně, jsou-li čísla x → +∞ x → +∞ x f (x ) a q = lim ( f ( x ) − px ) konečná, pak je přímka o rovnici p = lim x→ +∞ x → +∞ x y = px + q asymptotou grafu funkce f pro x→ + ∞. Obdobná věta platí pro x→ – ∞.

Důkaz této věty zde neuvádím. Určete znovu asymptoty grafu funkce f ( x ) = x +

x , tentokrát po1+ x

mocí věty 46. Může mít graf funkce pro x→ + ∞ dvě asymptoty?

Cvičení 47. Dokažte, že graf funkce f (x) má pro x→ + ∞ asymptotu o rovnici y = q právě tehdy, když platí lim f (x ) = q . x → +∞

2.6.4.


Definice 45. Přímka o rovnici x = a se nazývá ASYMPTOTOU BEZ SMĚRNICE grafu funkce f , jestliže platí lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = +∞ nebo lim f ( x ) = −∞ .

x→a +

x→a +

x→a −

x→a −

Asymptota bez směrnice je přímka, ke které se graf funkce přibližuje. Pro x→a – se k ní přibližuje zleva, pro x→a + zprava. Pro lim f (x) = + ∞ se přibližuje „nahoře“, pro lim f (x) = – ∞ „dole“.

Příklad 89. Funkce f ( x ) =

1 má asymptotu bez směrnice x = 1. Protože x −1

1 = +∞ . přibližuje se k ní graf zprava „nahoře“. Protože je x →1+ x − 1 1 = −∞ , přibližuje se k ní graf zleva „dole“. Situaci ilustruje obr. 69. lim x →1− x − 1

je lim

96


obr. 69

Jestliže je funkce f v bodě a spojitá, je na jeho okolí omezená a tedy nemůže být lim f ( x ) = ±∞ . Při hledání asymptot bez směrnice proto nejdříve určíme x→a ±

všechny body nespojitosti a. Je-li v nějakém bodě lim f ( x ) = ±∞ , pak graf x→a ±

funkce f má asymptotu bez směrnice x = a.

Příklad 90. Určeme asymptoty bez směrnice grafu funkce 3 2 x − x + x −1 . Body nespojitosti funkce f jsou 0 a 1. Pro nalezení f (x ) = x2 − x asymptot bez směrnice je třeba určit jednostranné limity v bodech 0 a 1. x3 − x 2 + x − 1 lim = −∞ x →0 − x2 − x x3 − x 2 + x − 1 lim = +∞ x →0 + x2 − x x3 − x 2 + x − 1 x2 + 1 = =2 lim lim x →1− x →1− x2 − x x x3 − x 2 + x − 1 x2 + 1 lim = lim =2 x →1+ x →1+ x2 − x x Z toho plyne, že asymptota bez směrnice je pouze x = 0. Zleva se k ní graf přibližuje „dole“ a zprava „nahoře“. Graf funkce f je na obr. 70.

obr. 70

Shrnutí:

Funkce má v bodě c lokální maximum, jestliže na nějakém okolí bodu c platí f (c) ≥ f (x). Obdobně se definuje ostré lokální maximum, lokální minimum a ostré lokální minimum. Jestliže platí f ′(c) = 0 a f ′′(c) < 0, má funkce v bodě c EXTRÉMY, INFLEXNÍ BODY, ASYMPTOTY

97

lokální maximum, při f ′′(c) > 0 lokální minimum. Bod c se nazývá inflexní bod, jestliže je funkce na jeho levém okolí ryze konvexní a na pravém ryze konkávní, nebo naopak. Inflexní bod se chová stejně jako extrém první derivace. Jestliže platí f ′′(c) = 0 a f ′′′(c) ≠ 0, pak bod c je inflexní. Asymptota je přímka, ke které se graf funkce přibližuje. Pro x→ + ∞ nebo x→ – ∞ má graf f (x ) asymptotu se směrnicí o rovnici y = px + q, jsou-li čísla p = lim a x → ±∞ x q = lim ( f (x ) − px ) konečná. Pro x→c má graf asymptotu bez směrnice o rovx → ±∞

nici x = c, jestliže alespoň jedna jednostranná limita funkce f v bodě c je nekonečná.

98


Cvičení

Cvičení 48. Určete lokální extrémy následujících funkcí. 2 a) (2 x + 3)(x 2 + x + 1) b) ln 2 x c) x e − x Cvičení 49. Najděte inflexní body následujících funkcí. x2 ln x 2x b) c) a) − 2 1+ x x +1 x Cvičení 50. Určete asymptoty ke grafům následujících funkcí. x2 + 1 x2 3 c) b) 3x + a) − x+3 x−2 x−2


99

Výsledky cvičení

Cvičení 47. Je-li y = q asymptotou, pak podle definice je lim (f (x) – q) = 0, nef (x ) q boli lim f (x) = q. Je-li lim f (x) = q, je lim = lim = 0 a lim (f (x) – x x 0x) = q a y = q je asymptotou. Cvičení 48. a) extrémy nejsou; b) v bodě 1 minimum 0; c) v bodě mum

2 maxi2

1 1 2 , v bodě − . minimum − 2 2e 2e

Cvičení 49. a) − 3; 0; 3 ; b) inflexní body nejsou; c) e e . Cvičení 50. a) x = – 3, y = x – 3; b) x = 2, y = 3x; c) x = 2, y = x + 2. Tato kapitola dle mého názoru patřila k nejsnadnějším, protože jste v ní hodně využili věci, které již znáte. Nalezení extrémů, inflexních bodů a asymptot je důležité k sestrojení grafu funkce, jemuž se budeme věnovat v příští kapitole. Proto, jestli Vám nebude něco jasné, projděte si to ještě jednou. Nalezení extrémů funkce se používá nejen v matematice, ale i v jiných přírodních vědách, například ve fyzice nebo chemii.

100


2.7. PRŮBĚH FUNKCE, TAYLOROVA VĚTA Po prostudování části 2.7.1 budete schopni •

shrnout všechny dosavadní dovednosti a díky tomu

•

přibližně nakreslit graf dané funkce.

Po prostudování části 2.7.2 budete schopni •

Nahradit složitější funkci mnohočlenem,

•

zanedbat část výrazu, která je ve srovnání se zbytkem zanedbatelná,

•

a díky tomu jednodušeji spočítat některé limity.

Klíčová slova: Průběh funkce, Taylorův polynom, MacLaurinův polynom, symboly O, o.


2.7.1.

Průběh funkce

2.7.2.

Taylorova věta


101

2.7.1.

Průběh funkce

K určení průběhu funkce je třeba • zjistit, zda je funkce sudá, lichá nebo periodická; • určit definiční obor a obor hodnot; • najít průsečíky s osami x a y a určit intervaly, na nichž je funkce kladná, nebo záporná; • vypočítat limity v nevlastních bodech a jednostranné limity v bodech nespojitosti; • určit první derivaci, její nulové body, body, v nichž není definována, a určit intervaly, na nichž je funkce rostoucí, nebo klesající; • najít lokální extrémy funkce; • určit druhou derivaci, její nulové body, body, v nichž není definována, a určit intervaly, na nichž je funkce ryze konvexní, nebo ryze konkávní; • najít inflexní body; • určit asymptoty funkce; • nakreslit graf funkce.

Příklad 91. Určeme průběh funkce f (x) = x2e – x. • Funkce není periodická Funkce f není lichá, protože f ( – x) = ( – x)2ex ≠ – f (x); není sudá, protože f ( – x) ≠ f (x). • Operace prováděné při výpočtu f (x) jsou definovány pro všechna x ∈ R a proto D(f ) = R. Obor hodnot určím později. • Průsečík s osou y je bod o souřadnicích [0; f (0)] = [0; 0]. Průsečíky s osou x jsou body [x; 0] takové, že platí f (x) = 0. Vyřešme proto rovnici x2e – x = 0. Výraz e – x je pro všechna x ∈ R nenulový a proto jím lze rovnici podělit. Dostaneme rovnici x2 = 0, která platí pouze pro x = 0. Jediný průsečík s osou x je tedy bod [0; 0]. Jediný bod, v němž je funkce rovna nule nebo není spojitá, je bod 0. Nanesme proto bod 0 na číselnou osu; viz obr. 71.

obr. 71

Protože je f ( – 1) = ( – 1)2e1 = e > 0, je f kladná na intervalu ( – ∞; 0). Protože je f (1) = 12e – 1 = e – 1 > 0, je f kladná i na intervalu (0; + ∞). Symbolicky je to zakresleno na obr. 72.

obr. 72

•

Limity v nevlastních bodech jsou 2x x2 2 2 2 −x lim x e = lim x = lim x = lim x = =0 x → +∞ x → +∞ e x → +∞ e x → +∞ e +∞ lim x 2 e − x = (+ ∞ )e + ∞ = (+ ∞ )(+ ∞ ) = +∞ x → −∞

Limita funkce v bodě – ∞ je + ∞. Z toho plyne, že na okolí bodu – ∞ nabývá libovolně velkých hodnot. Zároveň nabývá v bodě 0 hodnoty 0. Protože 102


•

je spojitá, musí nabývat i všech hodnot mezi. Dále je to funkce nezáporná. Z toho všeho plyne, že R(f ) = 〈0; + ∞). Derivace funkce je f ′(x) = x(2 – x)e – x. Nulové body derivace jsou body x = 0 a x = 2. Derivace je definována pro všechna x ∈ R. Na číselnou osu proto nanesme body 0 a 2; viz obr. 73.

obr. 73

Platí

f ′( – 1) = ( – 1)⋅3⋅e1 = – 3e < 0 f ′(1) = 1⋅1⋅e – 1 = e – 1 > 0 f ′(3) = 3⋅( – 1)⋅e – 3 = – 3e – 3 < 0 Z toho plyne, že f je klesající na intervalech ( – ∞; 0) a (2; + ∞) a rostoucí na intervalu (0; 2). Symbolicky je to zakresleno na obr. 74.

obr. 74

•

•

Extrémy funkce mohou být pouze v bodech, v nichž je derivace rovna nule, nebo v nichž není definována, tedy v bodech zakreslených na obr. 74. Z téhož obrázku je vidět, že na levém okolí bodu 0 je f klesající a na pravém okolí rostoucí. Z toho plyne, že funkce f má v bodě 0 lokální minimum. Toto minimum má hodnotu f (0) = 0. Na levém okolí bodu 2 je f rostoucí a na pravém okolí klesající. Z toho plyne, že f má v bodě 2 lokální maximum. Toto maximum má hodnotu f (2) = 22 e −2 = 4 e −2 =& 0,541 . Druhá derivace funkce je f ′′(x) = (x2 – 4x + 2)e – x. Nulové body druhé derivace jsou body x, pro něž platí rovnost x2 – 4 ± 16 − 8 = 2 ± 2 . Druhá 4x + 2 = 0. Tato rovnost platí pro body x1, 2 = 2 derivace je definována pro všechna x ∈ R. Na číselnou osu proto nanesme body α = 2 − 2 =& 0,586 a β = 2 + 2 =& 3,414 ; viz obr. 75. (Čísla jsem označil řeckými písmeny, aby obrázky byly přehlednější.)

obr. 75

Platí

0 f ′′(0) = 2e = 2 > 0 –1 –1 f ′′(1) = – 1e = – e < 0 –4 f ′′(4) = 2e > 0 Z toho plyne, že f je ryze konvexní na intervalech

(2 +

)

(

)

(− ∞;2 − 2 )

a

2 ;+∞ a ryze konkávní na intervalu 2 − 2 ;2 + 2 . Symbolicky je to zobrazeno na obr. 76.


103

obr. 76

•

Inflexní body mohou být pouze body, které jsou zakresleny na obr. 76. Na levém okolí bodu 2 − 2 je funkce f konvexní, na pravém okolí konkávní a

(

) (

)

proto je 2 − 2 inflexní bod. Platí f 2 − 2 = 6 − 4 2 e − 2 +

levém okolí bodu 2 + 2 je funkce f konkávní, na pravém okolí konvexní a proto je 2 + 2 inflexní bod. Platí f 2 + 2 = 6 + 4 2 e − 2 − 2 =& 0,384 . Určeme asymptotu pro x→ + ∞. Platí f (x ) 1 1 x p = lim = lim x e − x = lim x = lim x = =0, x → +∞ x → +∞ x → +∞ e x → +∞ e x +∞ q = lim ( f ( x ) − px ) = lim f ( x ) = 0 .

(

•

x → +∞

•

=& 0,191 . Na

2

) (

)

x → +∞

Pro x→ + ∞ je tedy asymptotou grafu funkce přímka o rovnici y = 0. Nyní určeme asymptotu pro x→ – ∞. Platí f (x ) p = lim = lim x e − x = (− ∞ )e + ∞ = (− ∞ )(+ ∞ ) = −∞ . x → −∞ x → −∞ x Číslo p není konečné a proto asymptota pro x→ – ∞ neexistuje. Graf funkce f prochází body [0; 0], 2 − 2 ; 6 − 4 2 e −2 + 2 , [2; 4e – 2],

[2 + 2; (6 + 4 2 )e

−2 − 2

[

].

(

)

]

Funkce f je kladná na intervalech ( – ∞; 0) a (0; + ∞); rostoucí na intervalu (0; 2) a klesající na ( – ∞; 0) a (2; + ∞); ryze konvexní na intervalech − ∞;2 − 2 a 2 + 2 ;+∞ a ryze konkávní na in-

(

)

(

) (

)

tervalu 2 − 2 ;2 + 2 . V bodech 0 a 2 má funkce f lokální extrémy a proto tečna k jejímu grafu sestrojená v bodech [0; 0] a [2; 4e – 2] je rovnoběžná s osou x. Funkce má pro x→ + ∞ asymptotu y = 0. Tyto vlastnosti jsou shrnuty na obr. 77.

obr. 77

Nyní již stačí proložit body křivkou, která splňuje uvedené vlastnosti. Tato křivka je grafem funkce f a je uvedena na obr. 78.

104


obr. 78

Cvičení 51. Určete průběhy následujících funkcí. x a) x 4 − 6 x 2 + 5 b) 2 c) ln 1 − x 2 x +1

(

2.7.2.

)

Taylorova věta

Věta 47. (Taylorova) Nechť je funkce f definována na nějakém okolí U(a) bodu a a nechť na tomto okolí existují derivace až do řádu n + 1. Potom pro každé x ∈ U(a) existuje číslo ξ ležící mezi čísly a a x takové, že platí (n ) ( n +1 ) ′′ f ′(a ) (x − a ) + f (a ) (x − a )2 + L + f (a ) (x − a )n + f (ξ ) (x − a )n +1 = f ( x ) = f (a ) + (n + 1)! n! 1! 2! n

=∑ k =0

( n +1 ) f (k ) (a ) (x − a )k + f (ξ ) (x − a )n +1 (n + 1)! k!

Že číslo ξ leží mezi čísly a a x znamená, že ξ ∈ (x, a) pro x < a a ξ ∈ (a; x) pro a < x. Symbol n! se čte „n faktoriál“ a znamená součin všech celých kladných čísel menších nebo rovných číslu n; n! = 1⋅2⋅…⋅n. Definuje se 0! = 1; platí 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, …

Definice 46. Výraz (n ) (k ) n ′′ f ′(a ) (x − a ) + f (a ) (x − a )2 + L + f (a ) (x − a )n = ∑ f (a ) (x − a )k f (a ) + 1! 2! k! n! k =0 se nazývá TAYLORŮV POLYNOM n-tého stupně funkce f (x) v bodě a. Jestliže je a = 0, pak se tento polynom někdy nazývá MACLAURINŮV. Taylorovým polynomem lze přibližně určit hodnotu f (x). Tato hodnota je tím přesnější, čím větší je číslo n a čím menší je vzdálenost čísel x a a.

Příklad 92. Určeme Taylorův polynom n-tého stupně funkce f (x) = ex v bodě a = 0. Platí f ′(x) = f (x). Indukcí lze snadno dokázat, že f (n)(x) = f (x). Z toho plyne, že f (n)(0) = f (0) = e0 = 1. Taylorův polynom je tedy n n n f (k ) (a ) xk 1 k x2 xn k ( ) x a x x 1 − = = = + + + L + . ∑ ∑ ∑ k! 2 n! k =0 k = 0 k! k = 0 k! Na obr. 79 jsou nakresleny graf funkce ex (černě) a grafy Taylorových polynomů nultého, prvního, druhého, třetího, čtvrtého a pátého stupně.


105

obr. 79

Z tohoto grafu je opravdu vidět, že s rostoucí vzdáleností čísel x a a je přibližná hodnota, určená Taylorovým polynomem, méně přesná. Také je vidět, že s rostoucím stupněm se hodnota zpřesňuje. Už graf Taylorova polynomu pátého stupně na dosti velkém okolí bodu 0 téměř splývá s grafem funkce ex.

Cvičení 52. Určete Taylorovy polynomy n-tého řádu funkcí sin x a cos x. Příklad 93. Věta 28 (o jednoznačnosti goniometrických funkcí) říká mimo jiné, že existuje jediné číslo π. Jeho hodnotu lze určit pomocí Taylorova polynomu. Taylorův polynom funkce arctg x je 2 k +1 2 n +1 n x3 x5 x7 k x n x ( ) ( ) x − 1 = − + − + + − 1 L . ∑ 2k + 1 3 5 7 2n + 1 k =0 Určitě víte, že tg π4 = 1 , neboli π = 4 arctg 1. Dosazením x = 1 do Taylorova polynomu dostaneme přibližnou hodnotu 1   1 1 1 n π =& 41 − + − + L + (− 1) . 2n + 1   3 5 7 Tato hodnota je tím přesnější, čím vyšší je hodnota n. Definice 47. Funkce f (x) se nazývá OMEZENÁ PO SROVNÁNÍ S FUNKCÍ g(x) PRO x→x0, jestliže existují konstanta K > 0 a okolí P(x0) bodu x0 takové, že pro všechna x ∈ P(x0) platí |f (x)| ≤ |g(x)|. Připouští se také x0 = ∞. Tato skutečnost se zapisuje f (x) = O(g(x)) pro x→x0. Stručněji lze definici 47 zapsat takto: f ( x ) = O( g (x )) ⇔ ∃K > 0∃ P(x0 )∀x ∈ P( x0 ) : f ( x ) ≤ K g ( x ) Symbol O se často užívá při porovnávání složitosti algoritmů.

Definice 48. Funkce f (x) se nazývá NEKONEČNĚ MALÁ PO SROVNÁNÍ S FUNKCÍ g(x) PRO x→x0, jestliže pro každé číslo ε > 0 existuje okolí P(x0) bodu x0 takové, že pro všechna x ∈ P(x0) platí |f (x)| ≤ ε|g(x)|. Připouští se také x0 = ∞. Tato skutečnost se zapisuje f (x) = o(g(x)) pro x→x0. Stručněji lze definici 48 zapsat takto: f ( x ) = o( g ( x )) ⇔ ∀ε > 0∃ P( x0 )∀x ∈ P( x0 ) : f (x ) ≤ ε g ( x ) Ihned z definice plyne, že platí

f ( x ) = o( g ( x )) pro x → x0 ⇔ lim

x → x0

106

f (x ) = 0. g (x )


Nyní uvedu několik jednoduchých vět, s jejichž pomocí poté budeme moci snadněji určit některé limity.

Věta 48. Jestliže je a < b, pak pro x→0 platí xb = o(xa).

xb = lim x b − a = 0b − a = 0 C.b.d. x→0 xa x→0

Důkaz lim

Podobně se dokáže, že (x – x0)b = o((x – x0)a).

Cvičení 53. Dokažte, že pro a < b a x→∞ naopak platí xa = o(xb). Věta 49. Jestliže platí f (x) + g(x) = o(h(x)). Důkaz lim

f (x) = o(h(x))

a

g(x) = o(h(x)),

pak

platí

f (x ) + g (x ) f (x ) g (x ) = lim + lim = 0 + 0 = 0 C.b.d. h( x ) h( x ) h( x )

S pomocí vět 48 a 53 lze Taylorovu větu psát v následujícím tvaru:

Nechť je funkce f definována na nějakém okolí U(a) bodu a a nechť na tomto okolí existují derivace až do řádu n. Potom pro x→a platí (n ) ′′ f ′(a ) (x − a ) + f (a ) (x − a )2 + L + f (a ) (x − a )n + o (x − a )n = f ( x ) = f (a ) + 1! 2! n! (k ) n f (a ) (x − a )k + o (x − a )n =∑ k! k =0

(

(

)

)

Věta 50. Jestliže platí f (x) = o(g(x)) pro x→x0, pak platí lim ( f ( x ) + g ( x )) = lim g ( x ) . x → x0

x → x0

Tato věta říká, že při x→x0 lze funkci f (x) zanedbat ve srovnání s funkcí g(x). Symbolicky lze tuto větu zapsat takto: lim (g(x) + o(g(x))) = lim g(x)

Důkaz

    f (x )   f (x )  + 1 = lim g ( x ) ⋅ 1 = lim g ( x ) lim ( f ( x ) + g ( x )) = lim  g ( x ) + g ( x ) = lim g ( x ) ⋅  lim  x → x0 x → x0 x → x0 g (x )   x → x0  x → x0  g ( x )   x → x0

C.b.d. o( g ( x )) . Symbol o(g(x)) v čitateli x → x 0 o( g ( x )) f (x ) . (Nic víc o funkci znamená nějakou funkci f (x), pro kterou platí lim x → x0 g ( x ) f nevíme.) Podobně symbol o(g(x)) ve jmenovateli znamená nějakou funkci h( x ) h(x), pro kterou platí lim . Pro hledanou limitu tedy platí x → x0 g ( x )

Pozor! Nelze říct nic o hodnotě limity lim

f (x ) o( g ( x )) = lim = lim x → x 0 o( g ( x )) x → x 0 h( x ) x → x0 lim

f (x ) g (x ) h(x ) g (x )

=

0 . 0

Protože o funkcích f a h nic více nevíme, nelze ani jinými způsoby určit hodnotu hledané limity.


107

Taylorovy rozvoje elementárních funkcí. Vzorce, které zde uvedu, není problém si odvodit. Doporučuji Vám na procvičení si odvodit několik z nich. x 2 x3 x 4 xn ex = 1 + x + + + +L+ + o xn pro x → 0 n! 2 3! 4! x3 x5 x 2 n +1 n sin x = x − + − L + (− 1) + o x 2 n + 2 pro x → 0 (2n + 1)! 3! 5! 2 4 2n x x n x cos x = 1 − + − L + (− 1) + o x 2 n +1 pro x → 0 (2n )! 2! 4! 2 n +1 x3 x5 n x arctg x = x − + − L + (− 1) + o x2n + 2 pro x → 0 3 5 2n + 1 n x 2 x3 n +1 x ln (1 + x ) = x − + − L + (− 1) + o xn pro x → 0 n 2 3

( ) (

(

)

)

(

)

( )

Taylorovy rozvoje dalších funkcí jsou uvedeny například v knize [1] na stranách 702–705. Nyní již ukážu slibovanou metodu výpočtu některých limit. Tato metoda ovšem vyžaduje znalost Taylorových polynomů alespoň uvedených základních funkcí. Hlavní trik spočívá v převedení funkcí na Taylorovy polynomy dostatečně vysokého stupně. Výraz „dostatečně vysoký stupeň“ působí asi odstrašujícím dojmem, ale většinou stačí stupeň druhý až třetí. 1 − cos x . sin 2 x Zde stačí zvolit Taylorovy polynomy druhého stupně. Platí x2 x2 cos x = 1 − + o x 2 a tedy 1 − cos x = + o x 2 . Dále platí sin x = x + o(x2). 2 2 Dosazením do limity dostaneme

Příklad 94. Určeme limitu lim x →0

( )

( )

( ) ( ))

x2 x2 + o x2 1 1 1 − cos x = lim 2 = lim 2 2 = lim = . lim 2 2 x → 0 sin 2 x x →0 x →0 (x ) x→0 2 2 x+o x Pokud bychom zvolili Taylorovy polynomy prvního stupně, k výsledku bychom nedospěli. 1 − (1 + o( x )) o( x ) o( x ) 1 − cos x = lim = lim 2 = lim lim 2 2 x → 0 sin x x → 0 ( x + o( x )) x→0 x x → 0 o( x )

(

Příklad 95. Určeme limitu lim(1 + ax )

1/ x

x→0

.

Nejdříve limitu upravíme na tvar lim eϕ(x) a poté použijeme Taylorovu větu na exponent. 1

lim(1 + ax ) x = lim e x→0

108

x →0

ln (1+ ax ) x

lim

= e x →0

ln (1+ ax ) x

lim

= e x →0

ax + o ( x ) x

lim

ax

= e x →0 x = e a


Shrnutí:

f (k ) (a ) (x − a )k . Taylo∑ k! k =0 rův polynom v bodě 0 se nazývá MacLaurinův polynom. Pomocí Taylorova polynomu lze přibližně určit hodnotu f (x), je-li x blízko a. Funkce f je omezená po srovnání s funkcí g pro x→a, (píšeme f (x) = O(g(x))), jestliže ∃K ∃P(a) ∀x ∈ P(a) : |f (x)| ≤ Kg(x). Funkce f je nekonečně malá po srovnání s funkcí g pro x→a (píšeme f (x) = o(g(x))), jestliže ∀ε > 0 ∃P(a) ∀x ∈ P(a) : |f (x)| ≤ εg(x). Pomocí vztahu lim (g(x) + o(g(x))) = lim g(x) lze přibližně určit limity. n

Taylorův polynom n-tého řádu funkce f v bodě a je


109

Cvičení

Cvičení 54. Najděte MacLaurinovy polynomy třetího řádu následujících funkcí 1 a) ; b) ax; c) tg x. 1+ x

110


Výsledky cvičení

Cvičení 51. a) Funkce je sudá, kladná na − ∞;− 5 , (− 1;1), 5 ;+∞ , záporná na

( ) ( (− 5;−1), (1; 5 ), (− 3;0), ( 3;+∞), (− ∞;− 3 ), (0; 3 ) ,

)

rostoucí

na

klesající

na

konvexní na ( – ∞; – 1), (1; + ∞), konkávní na ( – 1; 1); lokální maximum v bodě 0 má hodnotu 5, lokální minima v bodech ± 3 mají hodnotu – 4; inflexní body jsou ± 1; asymptoty nejsou; graf je na obr. 80

obr. 80

b) Funkce je lichá, kladná na (0; + ∞), záporná na ( – ∞; 0), rostoucí na ( – 1; 1), klesající na ( – ∞; – 1), (1; + ∞), konvexní na − 3;0 , 3;+∞ , kon-

(

(

)( ) 3 ), (0; 3 ) ; lokální

kávní na − ∞;− maximum v bodě 1 má hodnotu 12 , lokální minimum v bodě – 1 má hodnotu − 12 ; inflexní body jsou 0, ± 3 ; asymptota je y = 0; graf je na obr. 81.

obr. 81

c) Funkce má definiční obor ( – 1; 1), je sudá, záporná na ( – 1; 0), (0; 1), rostoucí na ( – 1; 0), klesající na (0; 1), konkávní na ( – 1; 1); lokální maximum v bodě 0 má hodnotu 0; inflexní body nejsou; asymptoty jsou x = ± 1; graf je na obr. 82. obr. 82

Cvičení 52. Polynomy již byly uvedeny dříve. Cvičení 53. Důkaz se provede obdobně jako důkaz věty 48. Cvičení 54. a) 1 − x + x 2 − x 3

b) 1 + x ln a +

x 2 ln 2 a x 3 ln 3 a + 2 6

c) x +

x3 3

První část této kapitoly byla shrnutím celé předcházející látky a proto doufám, že jste s ní neměli problémy. Z druhé části je dobré znát alespoň základní Taylorovy rozvoje. Taktéž je dobré si pamatovat, které funkce lze zanedbat ve srovnání s ostatními, neboli které funkce jsou o(g(x)). Zájemcům o srovnávání


111

složitějších funkcí s jednoduššími doporučuji přečíst si strany 245–251 a 382– 420 knihy [7].

112


3. POSLOUPNOSTI 3.1. ÚVOD Po prostudování budete schopni •

určit limitu posloupnosti;

•

najít hromadné body posloupnosti;

•

nalézt hromadné hodnoty posloupnosti.

Klíčová slova: Posloupnost, posloupnost vybraná, konvergentní, divergentní, hromadný bod, hromadná hodnota.


3.1.1.

Pojem posloupnosti

3.1.2.


3.1.3.

Limita posloupnosti

3.1.4.


ÚVOD

113

3.1.1.

Pojem posloupnosti

Úmluva. Symbolem N označím množinu N = {1; 2; 3; …}. Pokud nebude uvedeno jinak, bude vždy n ∈ N. Definice 49. POSLOUPNOST {an }n =1 je zobrazení z množiny N do množiny R. ∞

Číslo an se nazývá n-tý člen posloupnosti {an }n =1 . ∞

Posloupnost je tedy předpis přiřazující každému číslu n nějaké číslo an.

Příklad 96. Příkladem

{n }

posloupnosti

je

posloupnost

druhých

mocnin

= {1;4;9;16;K} . Zde je n-tý člen přímo určen vzorcem an = n ; v tomto případě říkáme, že posloupnost je určena vzorcem pro n-tý člen. 2 ∞ n =1

2

Příklad 97. Dalším příkladem posloupnosti je tzv. Fibonacciho posloupnost. Tato posloupnost je určena rekurentně. To znamená, že je dán jeden nebo několik prvních členů a je dán vzorec, kterým se n-tý člen určí pomocí členů ∞ předchozích. U Fibonacciho posloupnosti {an }n =1 jsou dány první dva členy a1 = a2 = 1 a pro n > 2 je dán vzorec an = an – 2 + an – 1. Třetí člen je tedy roven součtu prvního a druhého členu, neboli a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2. Dále platí a4 = a2 + a3 = 3, atd. Posloupnosti jsou definovány na množině N a proto se často používá takzvaný důkaz matematickou indukcí. Důkaz matematickou indukcí probíhá ve dvou krocích: 1) Dokážeme, že tvrzení platí pro první člen; 2) dokážeme, že z předpokladu, že tvrzení platí pro k-tý člen, plyne, že platí pro (k + 1)-ní člen.

{an }∞n =1

Příklad 98. Posloupnost

je

určena

rekurentně

takto:

a1 = 1,

2

1  n  a n +1 =   an . Dokažme, že vzorec pro n-tý člen je an = 2 . n  n +1 1 Pro n = 1 vzorec platí, protože 2 = 1 = a1 . Předpokládejme, že vzorec platí pro 1 1 n = k, tedy předpokládejme, že ak = 2 . Je třeba dokázat, že k 2

1  k  a k +1 =  . Platí  ak = (k + 1)2  k +1 2

2

2 1 1  k   k  1 k = , c.b.d. a k +1 =   ak =   2 = 2 2 k (k + 1) (k + 1)2  k +1  k +1 k

Pokuste se dokázat, že pro Fibonacciho posloupnost n

{an }∞n =1 = {1;1;2;3;5;K}

platí

n

1+ 5  1− 5       2  − 2      . an = 5

Definice 50. Posloupnost

{bk }∞k =1

se

nazývá

POSLOUPNOST

VYBRANÁ

z posloupnosti {an }n =1 , jestliže existuje posloupnost {nk }k =1 splňující pro všechna k ∈ N tyto podmínky: 1) nk ∈ N; 2) nk < nk + 1; 3) bk = ank . ∞

114

∞


Symbol ank znamená nk-tý člen posloupnosti {an }n =1 . ∞

{

Příklad 99. Posloupnost {bk }k =1 = (2k + 1) ∞

{ }

vybraná z posloupnosti {an }n =1 = n 2 ∞

∞ n =1

}

2 ∞ k =1

= {9;25;49;K} je posloupnost

= {1;4;9;K} .

To se dokáže snadno. Hledaná posloupnost {nk }k =1 je {nk }k =1 = {2k + 1}k =1 . Nyní dokážu požadované tři vlastnosti. 1) protože je k ∈ N, je také 2k + 1 ∈ N; 2 2) 2k + 1 < 2(k + 1) + 1 = 2k + 3; 3) bk = (2k + 1) = a2 k +1 = ank , c.b.d. ∞

∞

∞

Cvičení 55. Mějme dány posloupnosti {ak }k =1 a {bk }k =1 . Najděte posloupnost ∞

∞

{cn }∞n =1 tak, aby obě posloupnosti {ak }∞k =1 a {bk }∞k =1 byly posloupnosti vybrané z {cn }∞n =1 . Kolik takových posloupností {cn }∞n =1 existuje?

3.1.2.


Protože posloupnost je zvláštní případ funkce (definiční obor je N ⊂ R), je většina vlastností podobných jako u funkcí. Proto tyto vlastnosti uvedu jen stručně.

Definice 51. Posloupnosti {an }n =1 a {bn }n =1 se ∞

∞

ROVNAJÍ,

jestliže pro všechna

n ∈ N platí an = bn. Příklad 100. Posloupnosti {an }n =1{1;2;3;4;5;6K} a {bn }n =1{2;1;4;3;6;5;K} se nerovnají. Obsahují sice stejné členy, ale například a1 = 1 ≠ 2 = b1. ∞

∞

Definice 52. Jestliže pro všechna n ∈ N platí ∞ an < an + 1, nazývá se posloupnost {an }n =1

an ≤ an + 1, nazývá se posloupnost {an }n =1 ∞ an > an + 1, nazývá se posloupnost {an }n =1 ∞

ROSTOUCÍ; NEKLESAJÍCÍ; KLESAJÍCÍ;

an ≥ an + 1, nazývá se posloupnost {an }n =1 NEROSTOUCÍ. ∞ Je-li posloupnost {an }n =1 rostoucí, neklesající, klesající, nebo nerostoucí, nazývá se MONOTÓNNÍ. ∞

Cvičení 56. Dokažte, že posloupnost {an }n =1 je rostoucí právě tehdy, když pro každá m, n ∈ N taková, že m < n, platí am < an. Obdobně pro zbývající tři vlastnosti. ∞

Definice 53. Jestliže pro všechna n ∈ N platí ∞ an > 0, nazývá se {an }n =1 POSLOUPNOST S KLADNÝMI ČLENY;

an ≥ 0, nazývá se {an }n =1 ∞ an < 0, nazývá se {an }n =1 ∞

an ≤ 0, nazývá se {a

}

∞ n n =1

POSLOUPNOST S NEZÁPORNÝMI ČLENY; POSLOUPNOST SE ZÁPORNÝMI ČLENY; POSLOUPNOST S NEKLADNÝMI ČLENY.

Definice 54. Jestliže existuje konstanta

m ∈ R taková, že pro všechna n ∈ N platí nazývá se {an }n =1 ZENÁ; m ≤ an, ∞

ÚVOD

ZDOLA OME-

115

M ∈ R taková, že pro všechna n ∈ N platí nazývá se {an }n =1 ZENÁ. an ≤ M, ∞ Jestliže je {an }n =1 omezená zdola i shora, nazývá se OMEZENÁ. ∞

3.1.3.

SHORA OME-

Limita posloupnosti

Definice 55. Číslo A se nazývá

LIMITA

posloupnosti {an }n =1 , jestliže pro kaž∞

dé ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí an ∈ Uε(A), neboli stručněji lim an = A ⇔ ∀ε > 0∃n0 ∈ N ∀n > n0 : an ∈ U ε ( A) . n →∞

Připouští se také A = + ∞, nebo A = – ∞. Limita posloupnosti se chová stejně jako limita funkce pro n→ + ∞. Je to tedy číslo, ke kterému se s rostoucím n blíží hodnoty an. Situaci ilustruje obr. 83.

obr. 83 ∞

 (− 1)n   1 1 1 1  Příklad 101. Členy posloupnosti   = − 1; ;− ; ;− ;K se  n n =1  2 3 4 5  s rostoucím n blíží nule. (Graf je na obr. 83, přičemž je A = 0.) Limita této posloupnosti by tedy mohla být rovna nule. To je ovšem nutno dokázat. Nechť je dáno číslo ε > 0. Je třeba najít číslo n0 ∈ N taková, aby pro všechna n > n0 platilo |an – 0| = |an| < ε. Platí an = 1n . Má být 1n < ε , neboli n > 1ε . Za n0 tedy stačí dosadit celou část čísla

1 ε

. Z toho plyne, že lim

(− 1)n

n →∞

n

= 0 , c.b.d.

Definice 56. Jestliže je limita posloupnosti vlastní (konečná), říkáme, že posloupnost je KONVERGENTNÍ, nebo, že KONVERGUJE. Jestliže posloupnost není konvergentní, říkáme, že je DIVERGENTNÍ, nebo, že DIVERGUJE. Protože se limita posloupnosti chová stejně jako limita funkce pro x→∞, platí i pro ni podobné věty jako pro limitu funkce. Proto následující věty uvádím bez důkazů.

Věta 51. Posloupnost má nejvýše jednu limitu. Věta 52. Jestliže má posloupnost {an }n =1 limitu A, pak má každá vybraná po∞

{ }

sloupnost ank

116

∞ k =1

limitu A.


Důkaz. Především si uvědomte, že nk je rostoucí posloupnost přirozených čísel a proto nk ≥ k. Nechť je dáno číslo ε > 0. Protože lim an = A , existuje n0 takon→∞

vé, že pro n > n0 je an ∈ Uε(A). Avšak pro k > n0 je nk > n0, neboli pro všechna k > n0 platí ank ∈ U ε ( A) . Z toho plyne, že lim ank = A , c.b.d. n →∞

Věta 53. Nechť platí lim an = A a lim bn = B . Potom platí n→∞

n →∞

lim (an + bn ) = A + B

n →∞

lim (an − bn ) = A − B

n →∞

lim (anbn ) = AB

n →∞

Je-li navíc B ≠ 0, platí lim

n →∞

an A = . bn B

Důsledek. Nechť c ∈ R je libovolná konstanta. Potom platí lim can = c lim an . n →∞

n →∞

r

P(n) = arn + … + a1n + a0

Cvičení 57. Označme

P(n ) Q(n) = bsns + … + b1n + b0, kde ar ≠ 0 a bs ≠ 0. Určete limitu lim . n → ∞ Q (n )

a

Věta 54. Jestliže platí lim an < lim bn , pak existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro n →∞

n →∞

všechna n > n0 platí an < bn. Věta 55. Jestliže existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí an ≤ bn, pak platí lim an ≤ lim bn . n →∞

n →∞

Věta 56. Jestliže existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí an = bn, pak platí lim an = lim bn . n →∞

n →∞

Věta 57. Jestliže existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí bn ≤ an ≤ cn a jestliže platí lim bn = lim cn = A , pak platí lim an = A . n→∞

n→∞

n→∞

Věta 58. lim an = 0 platí právě tehdy, když platí lim an = 0 . n →∞

n→∞

Věta 59. Jestliže existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí |an| ≤ |bn| a jestliže platí lim bn = 0 , pak platí lim an = 0 . n→∞

n →∞

Věta 60. Jestliže je lim an = 0 a existují čísla n0 ∈ N a K ≥ 0 taková, že pro n →∞

všechna n > n0 platí |bn| ≤ K, pak platí lim anbn = 0 n →∞

3.1.4.


Definice 57. Číslo A se nazývá HROMADNÝ BOD posloupnosti {an }n =1 , jestliže ke každému číslu ε > 0 existuje číslo n ∈ N takové, že an ∈ Pε(A). ∞

Hromadný bod posloupnosti je tedy číslo, do jehož každého prstencového okolí patří nějaký člen této posloupnosti.

ÚVOD

117

Příklad 102. Posloupnost

{1n }∞n =1

má hromadný bod 0. To se dokáže snadno.

Nechť je dáno číslo ε > 0. Má se najít číslo n ∈ N takové, že an ∈ Pε(0), neboli − ε < 1n < ε . Takové n je například n = [1ε ] + 1 , kde [1/ε] je celá část čísla 1/ε, c.b.d. Uvědomte si rozdíl mezi limitou a hromadným bodem. U limity musí v Pε(A) ležet všechny členy posloupnosti od jistého členu počínaje. U hromadného bodu stačí, když v Pε(A) leží jeden člen posloupnosti. Na rozdíl od limity může posloupnost mít hromadných bodů více. Na obr. 84 je graf posloupnosti

{(− 1) (1 − )} n

1 n

∞ n =1

, která má hromadné body A = – 1 a B = 1. (Dokažte, že A a B

jsou skutečně hromadné body.)

obr. 84

Věta 61. Číslo A je hromadný bod posloupnosti právě tehdy, když ke každému ε > 0 leží v Pε(A) nekonečně mnoho bodů této posloupnosti. Důkaz zprava doleva je zřejmý. Jestliže v Pε(A) leží nekonečně mnoho členů, pak tam leží jeden člen. Protože toto platí pro každé ε > 0, je A hromadný bod dané posloupnosti. Zleva doprava provedu důkaz sporem. (Při čtení zároveň sledujte obr. 85, který situaci ilustruje pro p = 3.) Předpokládejme, že v Pε(A) leží pouze konečný počet členů posloupnosti. Označme počet těchto členů p a členy samotné an1 ,K, an p . Označme ζ nejmenší „vzdálenost“ nějakého členu ank od čísla A; přesněji, označme min ank − A . Protože všechny body ank leží v Pε(A), je k =1,K, p

ank ≠ A a tedy ζ > 0. Protože Pζ(A) = (A – ζ; A + ζ) \ {A}, neleží žádný ze členů ank v Pζ(A). Podle definice hromadného bodu však do Pζ(A) patří nějaký člen am. Tento člen musí být různý od všech ank . Protože je Pζ(A) ⊂ Pε(A), leží člen am v Pε(A). Členů posloupnosti ležících v Pε(A) je tedy p + 1, což je spor. Z toho plyne, že v Pε(A) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti, c.b.d.

118


obr. 85

Definice 58. Číslo A se nazývá

HROMADNÁ HODNOTA

posloupnosti {an }n =1 , ∞

jestliže existuje posloupnost {bk }k =1 vybraná z posloupnosti {an }n =1 taková, že platí lim bk = A . ∞

∞

k →∞

Příklad 103. Měli jste za úkol dokázat, že A = – 1 a B = 1 jsou hromadné body

{

}

posloupnosti {an }n =1 = (− 1) (1 − 1n ) n =1 . Nyní dokážeme, že A i B jsou zároveň ∞

hromadné

{b }

∞ k k =1

= {a

hodnoty.

}

∞ 2 k −1 k =1

∞

n

Vyberme

= {2 k1+1 − 1}k =1 . ∞

z posloupnosti Tato

{an }∞n =1

posloupnost

posloupnost má

limitu

lim bk = lim 2 k1−1 − 1 = 0 − 1 = −1 , z čehož plyne, že A je hromadná hodnota.

k →∞

k →∞

Volbou {bk }k =1 = {a2 k }k =1 = {1 − 21k }k =1 se podobně dokáže, že i B je hromadná ∞

∞

∞

hodnota, c.b.d. Z předchozího příkladu lze vytušit, že každý hromadný bod by zároveň mohl být hromadnou hodnotou. Toto skutečně platí, jak ukazuje věta 62.

Věta 62. Je-li A hromadný bod posloupnosti {an }n =1 , pak je A zároveň hromadná hodnota této posloupnosti. ∞

Důkaz. Označme jako bk člen an s nejmenším n takový, že je různý od čísel b1, …, bk – 1 a že platí an ∈ P1/k(A). Uvědomte si, že takové an musí existovat. (Přesný důkaz existence není složitý, ale „je v něm hodně písmenek“ a proto ho ∞ zde neuvádím.) Z konstrukce čísel bk plyne, že {bk }k =1 je posloupnost vybraná z Zvolme libovolně číslo ε > 0 a označme k = [1ε ] + 1 . Platí 1k < ε . Pro číslo bk platí bk ∈ P1/k(A) ⊂ Pε(A), neboli bk ∈ Pε(A), z čehož plyne, že lim bk = A , c.b.d.

{an }∞n =1 . k →∞

Příklad 104. Obrácená implikace nemusí platit. Vezměme si konstantní po∞ sloupnost {an }n =1 = {1;1;1;K}. Tato posloupnost má limitu A = 1 a proto každá vybraná posloupnost má také limitu A = 1. Jinými slovy, A je hromadná hodnota. Přesto pro libovolné ε > 0 neleží v Pε(A) ani jeden člen an. Číslo A = 1 tedy není hromadný bod. Věta 63. Jestliže má posloupnost {an }n =1 limitu A, pak A je hromadná hodnota. ∞

ÚVOD

119

Důkaz je zřejmý. Stačí si uvědomit, že {an }n =1 je posloupnost vybraná ze sebe sama. C.b.d. ∞

Obrácená implikace opět neplatí. Posloupnost v příkladu 103 měla dvě hromadné hodnoty. Limita však může být maximálně jedna. Z toho plyne, že alespoň jedna hromadná hodnota není limitou původní posloupnosti. Dokažte, že když má posloupnost alespoň dvě hromadné hodnoty, pak nemá limitu.

Věta 64. Každá posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Důkaz této věty neuvádím. Shrnutí:

Posloupnost je funkce N→R a proto má stejné vlastnosti jako funkce. Posloup∞ ∞ nost {bk }k =1 je posloupnost vybraná z posloupnosti {an }n =1 , jestliže existuje rostoucí posloupnost {nk }k =1 taková, že bk = an k . Posloupnost má limitu A, jestliže ∞

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : an ∈ Uε(A). Jestliže má posloupnost limitu, je konvergentní, jinak je divergentní. Limita posloupnosti má stejné vlastnosti jako limita funkce a platí pro ni i podobné věty. Číslo A je hromadný bod, jestliže ∀ε > 0 ∃n ∈ N : an ∈ Pε(A). Číslo A je hromadná hodnota, jestliže existuje vybraná posloupnost mající limitu A. Každý hromadný bod je hromadná hodnota, ne naopak.

120


Cvičení

Cvičení 58. Určete následující limity. 5 9 + nn+1  n −1 a) lim e) lim   n→∞ n→∞ 2 + 1  n  n

2

3 + 0,5 n + 27 f ) lim 4 + n 1 n → ∞ 0,3 n → ∞ n − 15 +5 (n + 5)3 − n(n + 7 )2 n c) lim g) lim n → ∞ 3n + 2 n →∞ n2  n 2 + 1 3n 2 + 1   2 − n n ⋅ 2− n    h) lim  d) lim  − + n →∞ n + 1 n → ∞ 2n + 1 n+2  6n + 1    n

(− 1)n + 1n n → ∞ 1 − (− 1)n n

i) lim

3

b) lim

3n n → ∞ 5 + 3n +1 2 n + 2 + 3n + 3 k) lim n n →∞ 2 + 3n 5 ⋅ 2 n − 3 ⋅ 5 n +1 l) lim n → ∞ 100 ⋅ 2 n + 2 ⋅ 5n j) lim

Cvičení 59. Najděte hromadné hodnoty posloupností ∞

(

)

∞

∞ 1 + (− 1)n n   1 − (− 1)n 2n + 1 n 4(−1)n + 2  a)  b)  c)      n =1 n 2n + 3  n =1  n =1

ÚVOD

121

Výsledky cvičení

Cvičení 55. Například {a1, b1, a2, b2, a3, b3, …}. Posloupností s uvedenou vlastností je nekonečně mnoho, protože například pro libovolné t ∈ R má posloupnost {t, a1, b1, a2, b2, …} také uvedenou vlastnost. Cvičení 56. Jestliže pro všechna m < n platí am < an, pak (speciálně pro n = m + 1) platí am < am + 1. Jestliže naopak pro všechna platí an < an + 1, pak platí an + 1 < an + 2, neboli an < an + 2. Dále se pokračuje matematickou indukcí. ar , Pro r > s je lim = + ∞, bs mají-li ar a bs stejná znaménka, lim = – ∞, mají-li ar a bs různá znaménka.

Cvičení 57. Pro r < s je lim = 0. Pro r = s je lim =

Cvičení 58. a) 5 e) 1 b) 0,6 f ) 0 1 c) g) 1 3 d) − 1

h) −

i) − 1 j) 0 k) 27 1 6

l) −

15 2

Cvičení 59. a) – 1; 1; b) 0; 2; c) 1. Tato kapitola byla jednoduchá, protože části 3.1.2 a 3.1.3 byly opakováním první kapitoly a lišily se pouze v tom, že definiční obor nebyl R. Problémy jste mohli mít v části 3.1.4. Jestliže se tak stalo, přečtěte si tuto část ještě jednou. Není to tak těžké.

122


3.2. VĚTY O POSLOUPNOSTECH Po prostudování budete schopni •

najít supremum a infimum množiny a posloupnosti;

•

poznat, kdy je funkce stejnoměrně spojitá.

Klíčová slova: Supremum, infimum, Bolzano-Cauchyho věta, Cantorova věta, Borelova věta, stejnoměrná spojitost.


3.2.1.


3.2.2.


3.2.3.



123

3.2.1.


Definice 59. Číslo α ∈ R se nazývá SUPREMUM množiny M ⊆ R (značí se sup M), jestliže 1) pro každé x ∈ M platí x ≤ α, 2) ke každému c < α existuje x ∈ M takové, že c < x. Jestliže M není shora omezená, definuje se sup M = + ∞. Supremum množiny {f (x) | x ∈ M} se označuje sup f ( x ) . x∈M

Vlastnost 1) říká, že žádné číslo množiny M není větší než α. Vlastnost 2) říká, že α je nejmenší ze všech čísel majících vlastnost 1).

Příklad 105. Určeme supremum množiny M = (0; 1). Pro všechna x ∈ M platí 0 < x < 1. Pro každé číslo α ≥ 1 tedy platí x ≤ α. Pro 1 1 + c  každé c < 1 však číslo x = max  ;  patří do množiny M a platí c < x. 2 2  Z toho plyne, že sup M = 1. Supremum je podobné maximu. Mezi nimi je však rozdíl. Maximum množiny M je definováno jako číslo α ∈ M takové, že pro všechna x ∈ M platí x ≤ α. Na rozdíl od suprema musí maximum patřit do množiny M. Maximum nemusí vůbec existovat, například u množiny M = (0; 1). Bez důkazu uvádím dvě věty o supremu.

Věta 65. Pro každou množinu M ⊆ R existuje jediné číslo sup M. Důkaz provedu pouze pro jednoznačnost, a sice důkaz sporem. Předpokládejme, že a < b jsou suprema množiny M. Podle vlastnosti 1) čísla α neexistuje v M číslo větší než α. Podle vlastnosti 2) čísla β, protože α < β, existuje číslo x ∈ M větší než α, což je spor. Důkaz existence je uveden například v knize [5] na stranách 58–59. C.b.d. Věta 66. Jestliže existuje číslo max M, pak platí sup M = max M. Definice 60. Číslo α ∈ R se nazývá INFIMUM množiny M ⊆ R (značí se inf M), jestliže 1) pro každé x ∈ M platí x ≥ α, 2) ke každému c > α existuje x ∈ M takové, že c > x. Jestliže M není zdola omezená, definuje se inf M = – ∞. Infimum množiny {f (x) | x ∈ M} se označuje inf f ( x ) . x∈M

Vlastnost 1) říká, že žádné číslo množiny M není menší než α. Vlastnost 2) říká, že α je nejmenší ze všech čísel majících vlastnost 1). Pro infimum platí podobné věty jako pro supremum.

Věta 67. Pro každou množinu M ⊆ R existuje jediné číslo inf M. Věta 68. Jestliže existuje číslo min M, pak platí inf M = min M. 1 . n∈N n

Příklad 106. Určeme inf

124


Jinými slovy máme určit infimum množiny M = {1; 12 ; 13 ; 14 ;K}. Všechny prvky množiny M jsou větší než nula. Jestliže však zvolíme libovolné c > 0, pak vždy existuje číslo x ∈ M, které je menší než c. Takové x je například x = 1n , kde n = [1c ] + 1 . Z toho plyne, že inf 1n = inf M = 0 . n∈N

3.2.2.


Věta 69. Každá monotónní omezená posloupnost má limitu. Tato věta v sobě zahrnuje dvě věty: Každá neklesající shora omezená posloupnost má limitu a každá nerostoucí zdola omezená posloupnost má limitu.

Důkaz provedu pro rostoucí posloupnost. Posloupnost {an }n =1 je shora omeze∞

ná a proto existuje sup an = α ∈ R . Podle vlastnosti 2) suprema existuje ke n∈N

každému ε > 0 číslo n takové, že α – ε < an. Posloupnost je neklesající a proto an ≤ an + 1 ≤ …, neboli pro všechna k ∈ N platí α – ε < an + k. Jinými slovy ke každému ε > 0 existuje n takové, že pro všechna m > n platí am ∈ Uε(α). To ale neznamená nic jiného než, že posloupnost má limitu α, c.b.d.

Důsledek. Pro neklesající shora omezenou posloupnost platí lim an = sup an . n →∞

n∈N

Pro nerostoucí zdola omezenou posloupnost platí lim an = inf an . n→∞

n∈N

Příklad 107. Nechť a > 0 je dané reálné číslo. Zvolme kladné číslo x1 tak, aby ∞ x1 > a . Nalezněme limitu posloupnosti {xn }n =1 určené rekurentně  1 a xn +1 =  + xn  . 2  xn 

1a  Pomocí derivace funkce f (t ) =  + t  lze snadno dokázat, že pro všechna 2 t  t > 0 platí f (t ) > a . Z toho plyne, že a < xn a a < xn xn a + xn < 2 xn xn a posloupnost {x

}

∞ n n =1

2 xn +1 < 2 xn je zdola omezená a klesající. Z toho plyne, že má limitu.

Určeme tuto limitu. Uvědomte si, že posloupnosti {xn }n =1 a {xn +1}n =1 mají stejnou limitu. Označme ji α. Potom platí ∞


∞

125

lim xn = lim xn +1

n →∞

n →∞

 1 a lim xn = lim  + xn  n →∞ n →∞ 2 x   n 1 a  α =  + α 2α  α2 = a . Protože je α ≥ a , musí platit α = lim xn = a . n →∞

Pro a = x1 = 3 dostaneme posloupnost k číslu

{xn }∞n =1 = {3;2; 74 ; 9756 ; 18817 ;K}, 10864

která se

3 liší jen o 5,04⋅10 – 293.

3 blíží velmi rychle; její desátý člen se od

Věta 70. (Bolzano-Cauchyho (pro posloupnosti)) Posloupnost {an }n =1 je konvergentní právě tehdy, když pro každé ε > 0 existuje k ∈ N takové, že pro všechna m, n ≥ k platí |an – am| < ε. ∞

Podmínka ∀ε > 0 ∃k ∈ N ∀m, n ≥ k : |an – am| < ε se nazývá Bolzano-Cauchyho podmínka (zkráceně BC-podmínka) pro posloupnosti. Všimněte si, že Bolzano-Cauchyho věta nic neříká o hodnotě limity, ale pouze o její existenci. Situaci ilustruje obr. 86.

obr. 86

Důkaz provedu pouze zleva doprava. Nechť je posloupnost {an }n =1 konvergentní. Označme α = lim an . Podle definice limity pro každé ε > 0 existuje ∞

n →∞

k ∈ N takové, že pro všechna m ≥ k je am − α < 2ε . Pro všechna n ≥ k musí platit an − α < 2ε . Sečtením posledních dvou rovností dostaneme an − am ≤ an − α + α − am < 2ε + 2ε = ε

pro všechna m, n ≥ k. Důkaz zprava doleva je uveden například v knize [3] na stranách 26–27. C.b.d.

Důsledek. Pokud existuje limita posloupnosti {an }n =1 , pak existuje limita po∞

sloupnosti {an +1}n =1 a tyto limity jsou si rovny. ∞

Důkaz. Vytvořme posloupnost {bn }n =1 , kde bn = an + 1 – an. Protože {an }n =1 je konvergentní, pro každé ε > 0 existuje k ∈ N takové, že pro všechna n ≥ k platí |an + 1 – an| < ε. (Toto je BC-podmínka, kde m = n + 1.) To ale neznamená nic ∞

126

∞


jiného než, že posloupnost {an +1 − an }n =1 má limitu nula. Z toho plyne, že i po∞

sloupnost {bn }n =1 = {an +1 − an }n =1 má limitu nula. Protože an + 1 = an + bn, platí lim an +1 = lim an + lim bn = lim an + 0 = lim an , c.b.d. ∞

∞

n →∞

n →∞

n →∞

n →∞

n →∞

Věta 71. (Heineho) Nechť je funkce f definována na nějakém prstencovém okolí bodu c. Potom lim f ( x ) = A platí právě tehdy, když pro všechny posloupx→c

nosti {a } takové, že 1) lim an = c a ∞ n n =1

n→∞

2) pro všechna n ∈ N je an ≠ c, platí lim f (an ) = A . n →∞

Heineho věta udává vztah mezi limitou funkce v bodě a limitou posloupnosti.

Důkaz zde neuvádím. Věta 72. (Bolzano-Cauchyho (pro funkce)) Nechť funkce f je definována na nějakém prstencovém okolí bodu c. Potom lim f ( x ) = A právě tehdy, když pro x→c

každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, y ∈ Pδ(c) platí |f (x) – f (y)| < ε. Podmínka ∀ε > 0∃δ > 0∀x, y ∈ Pδ(c) : |f (x) – f (y)| < c se nazývá Bolzano-Cauchyho podmínka (zkráceně BC-podmínka) pro funkce. Stejně jako Bolzano-Cauchyho věta pro posloupnosti, tato věta nic neříká o hodnotě limity, ale pouze o její existenci. Situaci ilustruje obr. 87.

obr. 87

Důkaz je podobný jako důkaz věty 70, protože obě věty jsou velmi podobné. Při důkazu se využije Heineho věta. C.b.d. Věta 73. (Cantorova) Nechť {J n }n =1 je posloupnost uzavřených intervalů ta∞

kových, že J1 ⊇ J2 ⊇ J3 ⊇ …. Potom platí

∞

IJ

n

≠ ∅.

n =1

∞

Symbol

IJ

n

znamená průnik množin (intervalů) J1 ∩ J2 ∩ J3 ∩ …. Cantoro-

n =1

va věta tedy říká, že uzavřené intervaly J1, J2, … takové, že J1 ⊇ J2 ⊇ …, mají neprázdný průnik.


127

Důkaz je snadný, ale provedu ho důkladně, abyste si uvědomili chyby, které mohou nastat při práci s množinami. Především si uvědomte, že, jsou-li 〈a1, b1〉 ⊇ 〈a2, b2〉 uzavřené intervaly, pak platí a1 ≤ a2, b1 ≥ b2 a 〈a1, b1〉 ∩ 〈a2, b2〉 = 〈a2, b2〉. Tyto vztahy lze snadno zobecnit pro n intervalů. Platí 〈a1, b1〉 ∩ … ∩ 〈an, bn〉 = 〈an, bn〉. Vypadá to, že by mohlo

∞

IJ

n

být

n =1

rovno limitě posloupnosti {J n }n =1 . Ale pozor! Limita posloupnosti byla definována pouze pro posloupnosti reálných čísel. Pro posloupnosti množin jsme limitu vůbec nedefinovali. Tuto obtíž však lze snadno obejít. Označme Jn = 〈an, bn〉. Potom pro všechna n ∈ N platí an ≤ an + 1, an ≤ bn a bn ≥ bn + 1. ∞ Z toho plyne, že pro všechna n ∈ N je an ≤ b1 a bn ≥ a1. Posloupnost {an }n =1 je ∞

neklesající a shora omezená, má tedy limitu α. Posloupnost {bn }n =1 je nerostoucí a zdola omezená, proto má limitu β. Protože pro všechna n ∈ N je an ≤ bn, platí α ≤ β a 〈α, β〉 není prázdná množina. Podle věty 69 platí α = sup an a β = inf bn . Z toho plyne, že pro všechna n ∈ N je an ≤ α ≤ β ≤ bn, ∞

n∈N

n∈N

neboli 〈α, β〉 ⊆ 〈an, bn〉. Protože toto platí pro všechny intervaly 〈an, bn〉, platí to ∞

i pro jejich průnik, neboli α; β ⊆ I an ; bn . Protože je 〈α, β〉 ≠ ∅, je také n =1

∞

Příklad otevřené, nebo polouzavřené intervaly věta platit nemusí. an ; bn108. ≠ ∅Pro , c.b.d. I ∞ ∞ n =1 Mějme posloupnost {J n }n =1 = {(0; 1n }n =1 . Protože je n1+1 < 1n , je Jn ⊇ Jn + 1. Nyní ∞

dokážu, že žádné číslo x ∈ R nepatří do J = I J n . Je-li x ≤ 0, nebo x > 1, nen =1

patří x do žádného Jn a tedy ani do J. Je-li x ∈ (0; 1〉, potom pro n = [1x ] + 1 je ∞

x ∉ Jn a proto x ∉ J. Z toho plyne, že J = I J n ≠ ∅ , c.b.d. n =1

Před následující větou je třeba učinit několik poznámek z teorie množin. Symbol

UJ

α

znamená sjednocení množin Jα přes všechna α ∈ A. Je to zo-

α∈ A

becnění klasického sjednocení množin X ∪ Y. Je definováno takto: x ∈ U J α ⇔ ∃α ∈ A : x ∈ J α . α∈ A

Pro pochopení uvedu krátký příklad.

Příklad 109. Určeme M =

U (α) ; α ) . 2

α∈ 2; 5

Zde je A = 〈2; 5) a pro všechna α ∈ A je Jα = (α; α2). Například pro α = 3 je J3 = (3; 9), pro α = 4,9 je J4,9 = (4,9; 24,01). Aby mohlo být x ∈ M, musí existovat α ∈ 〈2; 5) tak, aby x ∈ (α; α2), neboli α < x < α2. Pro žádné x ≤ 2 nemůže existovat α ≥ 2 takové, že α < x. Pro žádné x ≥ 25 nemůže existovat α < 5 takové, že x < α2. Pro x ∈ (2; 25) naopak α takové, že α < x < α2, existuje; na-

128


2+ x 25 + x pro x ∈ (2; 8) a α = pro x ∈ 〈8; 25). Z toho plyne, 2 2 že x ∈ M právě tehdy, když x ∈ (2; 25), neboli M = U α; α 2 = (2;25) .

příklad α =

(

α∈ 2; 5 )

)

Definice 61. Systém intervalů {Jα | α ∈ A} se nazývá POKRYTÍ množiny M, jestliže platí U J α ⊇ M . Pokrytí se nazývá OTEVŘENÉ, jsou-li všechny intervaα∈ A

ly Jα otevřené. Pokrytí se nazývá KONEČNÉ, je-li množina A konečná, neboli, je-li intervalů Jα konečný počet. Pokrytí se nazývá NEKONEČNÉ, je-li množina A nekonečná, neboli, je-li intervalů nekonečně mnoho. Systém {(α; α2) | α ∈ 〈2; 5)} je tedy nekonečné otevřené pokrytí intervalu (2; 25). Nyní již uvedu slibovanou větu.

Věta 74. (Borelova o otevřeném pokrytí) Nechť A je libovolná množina a 〈a, b〉 libovolný uzavřený interval. Dále nechť pro každé α ∈ A je Jα otevřený interval a U J α ⊇ a; b . Potom existuje konečná množina K ⊆ A taková, že α∈ A

U J α ⊇ a; b .

α∈K

Větu uvádím bez důkazu. Pro konečnou množinu A je věta bezvýznamná, stačí zvolit K = A. Svůj význam nabývá až pro nekonečné množiny A. Věta říká, že z každého (nekonečného) otevřeného pokrytí intervalu 〈a, b〉 lze vybrat konečné pokrytí.

Příklad 110. V minulém příkladu bylo uvedeno nekonečné otevřené pokrytí {(α, α2) | α ∈ 〈2; 5)} intervalu 〈3; 24〉. (Nemohl jsem vzít interval (2; 25), protože v předpokladu Borelovy věty se vyskytuje uzavřený interval.) Podle Borelovy věty lze vybrat konečné pokrytí. Takové pokrytí je například pokrytí intervaly J2 = (2; 4), J3,5 = (3,5; 12,25) a J4,9 = (4,9; 24,01). Hledaná množina K ⊆ A je tedy {2; 3,5; 4,9}; platí U J α = J 2 ∪ J 3,5 ∪ J 4,9 = (2; 24,01) ⊃ 3; 24 . α∈K

Jako ukázku použití Borelovy věty uvedu důkaz věty o Darbouxově vlastnosti spojité funkce.

Věta 13. Funkce spojitá na intervalu má na tomto intervalu Darbouxovu vlastnost. Důkaz. Nechť je bez újmy na obecnosti f (a) < f (b). Má se dokázat, že pro každé d ∈ (f (a), f (b)) existuje c ∈ (a, b) takové, že f (c) = d, neboli f (c) – d = 0. Předpokládejme naopak, že existuje d ∈ (f (a), f (b)) takové, že pro všechna c ∈ (a, b) je f (c) – d ≠ 0. Protože je funkce f (x) – d spojitá, pro všechna x ∈ 〈a, b〉 existuje číslo δ(x) > 0 takové, že f (x) – d nemění na Uδ(x)(x) znaménko. (Číslo δ(x) je závislé na čísle x.) Systém {Uδ(x)(x) | x ∈ 〈a, b〉} je otevřené pokrytí intervalu 〈a, b〉. Podle Borelovy věty existují čísla x1,…,xn ∈ 〈a, b〉 taková, že

n

UU ( ) ( x ) ⊃ i =1


δ xi

i

a; b . Z toho ovšem plyne, že f (x) –

129

d nemění znaménko na 〈a, b〉, neboli, že f (a) – d a f (b) – d mají stejné znaménko. Podle předpokladu však je f (a) < d, neboli f (a) – d < 0, a f (b) > d, neboli f (b) – d > 0, a čísla f (a) – d a f (b) – d mají různá znaménka, což je spor, c.b.d.

3.2.3.


Abyste si uvědomili rozdíl mezi spojitostí a stejnoměrnou spojitostí, znovu uvedu definici spojitosti na intervalu. Definici však uvedu trochu jinak, aby se tento rozdíl zdůraznil. (Dokažte, že obě definice spojitosti na intervalu jsou ekvivalentní.)

Definice 21. Funkce f je spojitá na intervalu J, jestliže pro každé ε > 0 a každé x ∈ J existuje δ > 0 takové, že pro všechna y ∈ J platí tvrzení „jestliže je |x – y| < δ, pak je |f (x) – f (y)| < ε“, neboli stručněji ∀ε > 0 ∀x ∈ J ∃δ > 0 ∀y ∈ J : (|x – y| < δ ⇒ |f (x) – f (y)| < ε). V případě spojitosti tedy může číslo δ záviset na čísle x.

Definice 62. Funkce f je STEJNOMĚRNĚ SPOJITÁ na intervalu J, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, y ∈ J platí tvrzení „jestliže je |x – y| < δ, pak je |f (x) – f (y)| < ε“, neboli stručněji ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ J ∀y ∈ J : (|x – y| < δ ⇒ |f (x) – f (y)| < ε). V případě stejnoměrné spojitosti tedy číslo δ nemůže záviset na čísle x.

Věta 75. Každá funkce stejnoměrně spojitá na intervalu J je na tomto intervalu spojitá. Důkaz více než do matematické analýzy spadá do predikátové logiky. Zde uvedu větu, na jejímž základě se dokáže věta 75. Nechť V(s, t) je nějaký výrok o proměnných s, t. Potom, jestliže platí ∃s ∀t : V(s, t), pak platí ∀t ∃s : V(s, t). Ve větě 75 je s = δ, t = x a V(s, t) = ∀y ∈ J : (|x – y| < δ ⇒ |f (x) – f (y)| < ε).

Příklad 111. Obrácená implikace nemusí platit. Příkladem je funkce f (x) = x2, která je spojitá na R, ale není na R stejnoměrně spojitá. To se dokáže snadno. Nechť je dáno ε > 0 a nechť δ > 0 je libovolné. Zvolme y = x + δ2 . Potom je |x – y| < δ a x 2 − y 2 = xδ +

δ2 4

. Ke každému (libovolně malému) číslu δ však

vždy existuje (dostatečně velké) číslo x takové, že |x2 – y2| ≥ ε, c.b.d.

Věta 76. Nechť J ⊆ R je interval. Jestliže existuje konstanta K > 0 taková, že |f ′(x)| < K pro x ∈ J, pak je funkce f stejnoměrně spojitá na J. Důkaz. Podle Lagrangeovy věty existuje číslo ξ ležící mezi x a y takové, že f (x) – f (y) = (x – y)f ′(ξ). Protože ξ ∈ J, je |f ′(ξ)| < K a proto |f (x) – f (y)| < K|x – y|. Stačí tedy zvolit δ = Kε , c.b.d. Příklad 112. Funkce sin x je stejnoměrně spojitá na R, protože platí sin′ x = cos x a |cos x| < 2 pro všechna x ∈ R. Cvičení 60. Dokažte, že funkce arctg x je stejnoměrně spojitá na R. Věta 77. Nechť je funkce f spojitá na 〈a, b〉. Potom je f stejnoměrně spojitá na 〈a, b〉. 130


Důkaz je uveden například v knize [6] na stranách 147–148. Příklad 113. Funkce x2 je spojitá na R a proto je spojitá na libovolném uzavřeném intervalu 〈a, b〉 ⊂ R. Z toho plyne, že na libovolném uzavřeném intervalu 〈a, b〉 je funkce x2 stejnoměrně spojitá. Cvičení 61. Nechť je funkce f stejnoměrně spojitá na intervalu J a nechť I je podinterval intervalu J. Dokažte, že f je stejnoměrně spojitá na I.

Shrnutí:

Číslo α je supremum množiny M, jestliže (∀x ∈ M : x ≤ α)∧(∀c < α ∃x ∈ M : c < x). Podobně se definuje infimum. Každá monotónní omezená posloupnost má limitu. Bolzano-Cauchyho věta říká, že posloupnost je konvergentní právě tehdy, když ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m, n > n0 : |an – am| < ε. Cantorova věta říká, že uzavřené intervaly takové, že J1 ⊇ J2 ⊇ … mají neprázný průnik. Borelova věta říká, že z každého otevřeného pokrytí uzavřeného intervalu lze vybrat konečné podpokrytí. Funkce je stejnoměrně spojitá na J, jestliže platí ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ J : (|x – y| < δ ⇒ |f (x) – f (y)| < ε). Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá, ne naopak. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na něm stejnoměrně spojitá.


131

Výsledky cvičení

′ Cvičení 60. Platí (arctg x ) =

1 ≤ 1 a proto je funkce arctg stejnoměrně 1 + x2

spojitá, c.b.d.

Cvičení 61. Jestliže platí vztah (|x – y| < δ ⇒ |f (x) – f (y)| < ε) pro všechna x, y ∈ J a jestliže I ⊆ J, musí uvedený vztah platit i pro všechna x, y ∈ I, c.b.d. Tato kapitola patřila k těm teoretičtějším. Opět musím opakovat, že učivo není moc těžké. Když něco nepochopíte, přečtěte si to ještě jednou, uvidíte, že Vám to půjde. Protože toto je poslední kapitola, přeji Vám mnoho štěstí u zkoušek a z matematické analýzy jedničku .

132


OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

Recommend Documents