Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek

Matematická analýza 1

Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek

2009


Obsah

Obsah 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Seznam použitých symbolů . . . . . . Funkce – Teoretické základy . . . . . Algebraické funkce . . . . . . . . . . . . Spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transcendentní funkce . . . . . . . . . Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Základní věty matematické analýzy Extrémy, Inflexní body, Asymptoty Průběh funkce, Taylorova věta . . . . Úvod do posloupností . . . . . . . . . . Věty o posloupnostech . . . . . . . . . Řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. 2 . 4 17 28 38 54 63 75 85 92 101 109 118 125


Seznam použitých symbolů

Seznam použitých symbolů a∈A A∪B A∩B A ⊆ B, B ⊇ A A\B ∅ R R+ , R− Q Z N N |x| f: A→B Dom f Rng f [x] D(x) f −1 na f: A→B f ◦g R(x) Uδ (a) + U− δ (a), Uδ (a) Pδ (a) + P− δ (a), Pδ (a) lim f (x)

x→a

Prvek a patří do množiny A Sjednocení množin A a B Průnik množin A a B Množina A je podmnožinou množiny B Rozdíl množin A a B Prázdná množina Množina všech reálných čísel Množina všech kladných, resp. záporných reálných čísel Množina všech racionálních čísel Množina všech celých čísel Množina všech přirozených čísel, N = {0; 1; 2; . . . } Množina všech kladných celých čísel, N = {1; 2; 3; . . . } Absolutní hodnota čísla x Funkce f s definičním oborem Dom f = A a oborem hodnot Rng f ⊆ ⊆ B, str. 4 Definiční obor funkce f , str. 4 Obor hodnot funkce f , str. 5 Celá část reálného čísla x, str. 8 Dirichletova funkce, str. 12 Funkce inverzní k funkci f , str. 13 Funkce s definičním oborem Dom f = A a oborem hodnot Rng f = B, str. 13 Funkce složená z funkcí f a g, str. 14 Riemannova funkce, str. 25 δ-okolí bodu a, str. 28 Levé a pravé δ-okolí bodu a, str. 28 Redukované δ-okolí bodu a, str. 28 Redukované levé a pravé okolí bodu a, str. 28 Limita funkce f v bodě a, str. 38

sgn x Funkce signum x, str. 39 lim f (x), lim f (x) Limita funkce f v bodě a zprava a zleva, str. 40

x→a+ ∗

x→a−

R +∞, −∞ n P ai

Rozšířená reálná osa, str. 47 Nevlastní reálná čísla, str. 47 Součet čísel am až an , str. 51

i=m

sin x cos x π

Funkce sinus, str. 54 Funkce kosinus, str. 54 Ludolfovo číslo, str. 54 2


Seznam použitých symbolů

tg x cotg x arcsin x arccos x arctg x arccotg x exp x, ex e ln x bx logb x f 0 , df dx 0 f (x) f+0 , f−0 df (x) O (g(x)) o (g(x)) {an }∞ n=1 lim an

Funkce tangens, str. 57 Funkce kotangens, str. 57 Funkce arkussinus, str. 59 Funkce arkuskosinus, str. 59 Funkce arkustangens, str. 59 Funkce arkuskotangens, str. 59 Přirozená exponenciální funkce, str. 60 Eulerovo číslo, str. 60 Přirozený logaritmus, str. 61 Exponenciální funkce při základu b, str. 61 Logaritmus při základu b, str. 62 Derivace funkce f , str. 63 Derivace funkce f v bodě x, str. 63 Derivace funkce f zleva a zprava, str. 64 diferenciál funkce f v bodě x, str. 71 Funkce omezená po srovnání s funkcí g(x), str. 97 Funkce nekonečně malá po srovnání s funkcí g(x), str. 97 Posloupnost, jejíž n-tý člen je an , str. 101 Limita posloupnosti {an }∞ n=1 , str. 103

sup M sup f (x)

Supremum množiny M , str. 109 Supremum množiny {f (x) : x ∈ M }, str. 109

n→∞

x∈M

inf M inf f (x) x∈M ∞ T

Infimum množiny M , str. 110 Infimum množiny {f (x) : x ∈ M }, str. 110

Jn

Průnik množin J1 ∩ J2 ∩ · · · , str. 113

Jα

Sjednocení množin Jα přes α ∈ A, str. 114

n=1

S α∈A n S

Mi

Sjednocení množin M1 ∪ M2 ∪ · · · ∪ Mn , str. 115

i=1

3


1

1 Funkce – Teoretické základy

Funkce – Teoretické základy

Obsah lekce 1.1. Pojem funkce . . . . . . . . . . . 1.2. Základní vlastnosti funkcí . . 1.3. Základní operace s funkcemi Cvičení . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 4 . 7 12 16

Klíčová slova Funkce, definiční obor, obor hodnot, graf, funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesa jící, monotonní, ryze monotonní, prostá, kladná, záporná, nekladná, nezáporná, omezená, sudá, lichá, periodická, inverzní, složená, součet, rozdíl, součin, podíl funkcí.

1.1

Pojem funkce

Definice 1.1 Nechť A je množina reálných čísel. Funkce f je zobrazení z množiny A do množiny R; píšeme f : A → R. Množina A se nazývá definiční obor funkce f a značí se Dom f . Funkce f je tedy určitý předpis, který každému číslu x z jejího definičního oboru přiřadí jednoznačně jedno√reálné číslo y = f (x). Tento předpis je většinou dán nějakým vzorcem, například f (x) = 2x + 3. Někdy se ovšem stává, že takový vzorec neexistuje. V tomto případě se funkce zadává například slovním předpisem. Příkladem takové funkce je funkce, která každému přirozenému číslu přiřazuje počet jeho dělitelů. Příklad 1.1 Mějme předpis, který každému reálnému číslu x přiřadí y takové, že x = y 2 . Tento předpis není funkce, protože každému číslu x nepřiřazuje jednoznačně jedno číslo y. Například číslu x = 1 by odpovídaly hodnoty y = −1 a y = 1. // Za definiční obor se obvykle bere množina všech reálných čísel x, pro které má výraz f (x) smysl. V některých případech však může být definiční obor zadán. Mějme například funkci f (x) = x2 s definičním oborem Dom f = R+ . Pak například v bodě x = −1 má výraz x2 smysl, ale f (x) není definováno, protože x nepatří do definičního oboru Dom f . √ Příklad 1.2 Vraťme se k funkci f (x) = 2x + 3 a určeme její definiční obor. √ Máme tedy určit množinu všech reálných čísel x, pro která je výraz 2x + 3 definován. Odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla. Číslo 2x+3 proto musí být nezáporné, 3 musí

neboli být 2x + 3 ≥ 0. To platí pro x ≥ − 2 . Definiční obor je tudíž množina 3 − 2 ; +∞ . // Definice 1.2 Graf funkce f je množina všech bodů v rovině o souřadnicích [x; f (x)] takových, že x patří do definičního oboru Dom f . 4



Když kreslíme graf funkce, bereme jedno po druhém čísla x ∈ Dom f a kreslíme body o souřadnicích [x; f (x)]. Jestliže je definiční obor nekonečná množina, kreslíme pouze část grafu, například pro x z intervalu h−10; 10i. Jestliže je funkce definována na intervalu, nakreslíme dostatečně mnoho bodů z tohoto intervalu a sousední √ body spojíme. Na ob rázku 1 je graf (přesněji řečeno pouze jeho část) funkce f (x) = 2x + 3, na obrázku 2 je graf funkce g(x) = y, kde y je počet dělitelů přirozeného čísla x. y

y

5 4 4 3 3 2

2

1

1 2

4

6

8

Obrázek 1 Graf funkce f (x) =

√

x

5

2x + 3

10

15

x

Obrázek 2 Graf funkce g(x)

Úkol Řekněte, kdy může být množina bodů v rovině grafem funkce. Může být třeba kružnice grafem funkce? Graf funkce je podle definice množina G všech bodů v rovině ve tvaru [x; f (x)]. Představme si (viz obrázek 3), že existují (alespoň) dva různé body [x; y] a [x; z] náležející množině G. Pak by ovšem muselo platit f (x) = y a f (x) = z. Z toho však plyne, že hodnota f (x) není jednoznačně definována. Taková množina bodů tedy nemůže být grafem funkce. y 3 [x; z]

2 1

−1

[x; y] 1

2

3

x

Obrázek 3 K úkolu Cvičení 1.1 Určete definiční obory a načrtněte grafy funkcí √ a) y = 2x ; b) y = x ; c) y =

1 x

.

Definice 1.3 Obor hodnot funkce f : A → R je množina všech reálných čísel y, ke kterým existuje číslo x ∈ A takové, že platí y = f (x). Značí se Rng f , někdy také f (A).

5



Jestliže známe graf funkce f , můžeme obor hodnot určit snadno. Obor hodnot je podle definice množina těch čísel y takových, že bod [x; y] náleží grafu funkce pro nějaké x. Chceme-li získat obor hodnot, musíme sestrojit kolmé průměty všech bodů grafu funkce do osy y. Situaci zachycuje obrázek 4. y

Rng f f (x)

x

Obrázek 4 Určení oboru hodnot Předchozí odstavec si přečtěte znovu a uvědomte si, proč tomu tak je. 1 Příklad 1.3 Určeme definiční obor funkce f (x) = x2 −3x+2 a zjistěme, zda číslo y = 12 patří do jejího oboru hodnot. Definičním oborem je množina všech reálných čísel x, pro která má uvedený zlomek smysl, tj. pro která platí x2 − 3x + 2 6= 0. Tento trojčlen lze rozložit na součin (x − 1)(x − 2). Přitom platí (x − 1)(x − 2) 6= 0 právě tehdy, když x 6= 1 a x 6= 2. Z toho plyne, že definiční obor je množina Dom f = R \ {1; 2}. Nyní zjistěme, zda číslo y patří do oboru hodnot. Je třeba zjistit, zda existuje x takové, 1 = 12 vyřešit. že platí f (x) = y. Zkusme tuto rovnici x2 −3x+2

x2 − 3x + 2 = 2 x2 − 3x = 0 x(x − 3) = 0 Odtud je vidět, že pro x = 0 a x = 3 platí f (x) = y. Tedy takové x existuje a číslo y = 21 patří do oboru hodnot Rng f . // V dalších lekcích si postupně ukážeme, jak se určují obory hodnot u konkrétních funkcí. Úkol Zkuste vlastními slovy říct, co to je funkce, definiční obor, obor hodnot a graf funkce. Vysvětlete, jak se určuje, zda nějaké číslo patří do definičního oboru nebo oboru hodnot dané funkce.

6


1.2


Základní vlastnosti funkcí

Definice 1.4 Funkce f a g se rovnají právě tehdy, když mají stejné definiční obory, tedy Dom f = Dom g, a pro všechna x ∈ Dom f platí f (x) = g(x). 2

−1 Příklad 1.4 Mějme funkci f (x) = xx−1 a funkci g(x) = x + 1. Pro všechna čísla x z definičního oboru Dom f platí f (x) = x + 1 = g(x). Přesto se však funkce f a g nerovnají. Funkce totiž mají různé definiční obory. Definiční obor funkce f je Dom f = = R \ {1}, kdežto Dom g = R. //

Definice 1.5 Nechť je funkce f definována na intervalu J. Jestliže pro všechna x, y ∈ J taková, že x < y, platí f (x) < f (y), f (x) ≤ f (y), f (x) > f (y), f (x) ≥ f (y),

nazývá nazývá nazývá nazývá

se se se se

funkce funkce funkce funkce

f f f f

rostoucí na J; neklesající na J; klesající na J; nerostoucí na J.

Je-li funkce f rostoucí, neklesající, klesající, nebo nerostoucí na J, nazývá se monotonní na J. Je-li funkce f rostoucí, nebo klesající na J, nazývá se ryze monotonní na J. Je-li interval J přímo definičním oborem funkce f , pak se přívlastek „na Jÿ vynechává. Z této definice je ihned vidět, že každá rostoucí funkce je zároveň neklesající a každá klesající funkce je nerostoucí. Naopak to platit nemusí. V příkladu 1.5 bude ukázána funkce, která je neklesající, ale není rostoucí. Pozor! Z toho, že funkce není rostoucí, neplyne, že je nerostoucí. Podobně, funkce, která není klesající, nemusí být neklesající. V příkladu 1.11 bude nadefinována funkce, která nemá žádnou z vlastností uvedených v definici 1.5. Úkol Zda má funkce některou z uvedených vlastností, lze snadno určit z jejího grafu. Graf rostoucí funkce zleva doprava stoupá; graf klesající funkce zleva doprava klesá. Grafy ne klesajících a nerostoucích funkcí mohou být někde rovnoběžné s osou x. Na obrázku 5 jsou uvedeny grafy čtyř funkcí. Určete u všech zobrazených funkcí, jaké vlastnosti z definice 1.5 mají. y 5 4

f3

f4

3 2 1

f1 1

f2 2

3

4

Obrázek 5 K úkolu 7

5 x



Předpokládám, že jste úkol vyřešili správně: Funkce f1 je rostoucí a tudíž i neklesající. Funkce f2 je neklesající. Funkce f3 je klesající a tedy i nerostoucí. Funkce f4 je nerostoucí. Všechny funkce jsou monotonní, ale ryze monotonní jsou pouze funkce f1 a f3 . Příklad 1.5 Celá část [x] reálného čísla x je definována jako největší celé číslo menší nebo rovné číslu x. Kupříkladu je [ − 3] = −3, [2,85] = 2 nebo [ − 3,14] = −4. Graf funkce celá část je na obrázku 6. Tato funkce je neklesající, ale není rostoucí. To se dokáže snadno. Zvolme si různá čísla x, y tak, aby x < y. Protože je [x] ≤ x, je [x] celé číslo menší než y. Protože [y] je největší celé číslo menší než y, je [x] ≤ [y]. Celá část je tedy neklesající. Pro čísla x = 1 a y = 1,5 platí x < y, ale neplatí [x] < [y]. Proto celá část není rostoucí. Pokuste se najít funkci, která je nerostoucí, ale není klesající. y

2 1

−2

−1

1

2

3 x

−1 −2

Obrázek 6 Graf funkce celá část

//

Definice 1.6 Nechť f : A → R je funkce. Jestliže pro každá dvě čísla x, y ∈ A taková, že x 6= y, platí f (x) 6= f (y), pak se funkce f nazývá prostá. Ekvivalentní definice 1.6 Funkce f je prostá, jestliže z toho, že f (x) = f (y), plyne x = y. Chceme-li zjistit, zda je funkce f prostá, postupujeme následovně: Napíšeme rovnost f (x) = f (y). Jestliže se nám ekvivalentními nebo důsledkovými úpravami podaří dojít k rovnosti x = y, pak je funkce f prostá. Příklad 1.6 Funkce f (x) = x2 není prostá, protože platí −1 6= 1 a f (−1) = f (1) = 1. Naproti tomu funkce g(x) = 2x+3 prostá je, protože z rovnosti g(x) = g(y) ekvivalentními úpravami dostaneme x = y: 2x + 3 = 2y + 3 2x = 2y x=y

//

Věta 1.1 Funkce f je prostá právě tehdy, když pro každé y ∈ Rng f existuje jediné x ∈ Dom f takové, že y = f (x).

8



Důkaz Zleva doprava provedu důkaz nepřímo. Předpokládejme, že existují různá čísla x, t ∈ Dom f taková, že f (x) = f (t) = y. Potom platí x 6= t, ale f (x) = f (t) a podle definice 1.6 funkce f není prostá. Zprava doleva budu větu také dokazovat nepřímo. Z definice 1.6 plyne, že funkce f není prostá, jestliže existují různá čísla x, t ∈ Dom f taková, že f (x) = f (t) = y. Takže existuje číslo y a alespoň dvě různá čísla x taková, že y = f (x). To je ale znamená, že není pravda, že pro každé y existuje jediné x takové, že y = f (x). Jestliže tedy existuje číslo y ∈ Rng f takové, že existují (alespoň dvě) různá čísla x, t ∈ ∈ Dom f , pro která platí f (x) = f (t) = y, pak funkce f není prostá. Toto je přímý důsledek předchozí věty. Situace je zachycena na obrázku 7. y 4 3 2 [x, y]

[t, y] 1

−2

−1

1

2 x

Obrázek 7 K výkladu definice 1.6 Věta 1.2 Každá ryze monotonní funkce je prostá. Důkaz Větu dokážu pro rostoucí funkci. Zvolme různá čísla x, y. Je-li x < y, je f (x) < < f (y) a tedy f (x) 6= f (y). Je-li x > y, je f (x) > f (y) a tedy f (x) 6= f (y). Pro x 6= y tudíž platí f (x) 6= f (y) a rostoucí funkce je prostá. Pro klesající funkci je důkaz analogický. (Proveďte.) Příklad 1.7 Pro x < y je 2x + 3 < 2y + 3. Proto je funkce f (x) = 2x + 3 rostoucí. Podle věty 1.2 je funkce f prostá. // Definice 1.7 Nechť f : A → R je funkce. Jestliže pro všechna x ∈ A platí f (x) > 0, f (x) ≥ 0, f (x) < 0, f (x) ≤ 0,


se se se se


f f f f

kladná; nezáporná; záporná; nekladná.

Funkce f se tedy nazývá kladná, jsou-li všechny její hodnoty f (x) kladné. Obdobně pro ostatní vlastnosti. Z definice 1.7 ihned plyne, že každá kladná funkce je zároveň nezáporná a každá záporná funkce je nekladná.

9



Příklad 1.8 Funkce f (x) = x2 + 1 je kladná, protože číslo x2 + 1 je pro všechna x kladné. Funkce g(x) = x2 je nezáporná, protože číslo x2 je pro všechna x nezáporné. Přesto g není funkce kladná, jelikož pro x = 0 není číslo x2 = 0 kladné. // Cvičení 1.2 Najděte funkci, která je nekladná a zároveň nezáporná. Definice 1.8 Nechť f : A → R je funkce. Jestliže existuje konstanta m ∈ R tak, že pro všechna x ∈ A platí m ≤ f (x), nazývá se funkce f zdola omezená; M ∈ R tak, že pro všechna x ∈ A platí f (x) ≤ M , nazývá se funkce f shora omezená. Je-li funkce f omezená zdola i shora, nazývá se omezená. Graf funkce zdola omezené konstantou m leží celý v polorovině „nadÿ přímkou y = m. Graf funkce shora omezené konstantou M leží celý v polorovině „podÿ přímkou y = M . Graf funkce omezené konstantami m a M leží celý v rovinném pásu ohraničeném přímkami y = m a y = M. Nechť je funkce f zdola omezená konstantou m a nechť n < m. Ihned z definice 1.8 plyne, že funkce f je zdola omezená i konstantou n. Obdobně, je-li funkce f shora omezená konstantou M a N > M , je funkce f shora omezená i konstantou N . Věta 1.3 Funkce f je omezená právě tehdy, když existuje kladná konstanta K taková, že pro všechna x ∈ Dom f platí |f (x)| ≤ K. Důkaz Nerovnost |f (x)| ≤ K je ekvivalentní s nerovností −K ≤ f (x) ≤ K. Při důkazu zprava doleva se má dokázat existence konstant m a M takových, že m ≤ f (x) ≤ M . Stačí tedy dosadit m = −K a M = K. Při důkazu zleva doprava je třeba najít konstantu K, aby −K ≤ f (x) ≤ K. V případě, že bude −K > m, se může stát, že bude existovat x takové, že f (x) < −K. Proto musí být −K ≤ m, neboli K ≥ −m. Obdobně musí být K ≥ M . Za konstantu K tedy stačí zvolit větší z čísel −m a M . Příklad 1.9 Mějme dánu funkci f (x) = 1 + x2 . Protože pro všechna x je x2 ≥ 0, je pro všechna x hodnota f (x) ≥ 1. Tato funkce je tedy zdola omezená konstantou m = 1. Není však shora omezená, protože pro velká x roste hodnota f (x) nade všechny meze. // Cvičení 1.3 Určete, zdali jsou následující funkce shora nebo zdola omezené a v kladném případě určete jakými konstantami. √ a) f (x) = x + 1 − 2 ; b) f (x) = 1 + 2x − x2 ; c) f (x) = 2x + 3 . Definice 1.9 Nechť f : A → R je funkce. Jestliže pro všechna x ∈ A platí −x ∈ A a zároveň platí f (−x) = f (x), nazývá se funkce f sudá; f (−x) = −f (x), nazývá se funkce f lichá.

10



Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic. Příklad 1.10 Určeme, zda je funkce f (x) = xn , kde n ∈ N, sudá nebo lichá. Pro sudá n platí f (−x) = (−x)n = xn = f (x) a funkce f je sudá. Pro lichá n platí f (−x) = (−x)n = −xn = −f (x) a funkce f je lichá. // Věta 1.4 Nechť f je sudá funkce a a, b ∈ R jsou libovolné konstanty. Pak funkce g(x) = = af (x) + b je také sudá. Důkaz Je třeba nejprve určit hodnotu g(−x). Platí g(−x) = af (−x) + b. Podle před pokladu je f (−x) = f (x), a proto g(−x) = af (x) + b = g(x). Funkce g je tedy sudá. Věta 1.5 Nechť f je lichá funkce a a ∈ R je libovolná konstanta. Pak funkce g(x) = af (x) je také lichá. Důkaz Je třeba nejprve určit hodnotu g(−x). Platí g(−x) = af (−x). Podle předpokladu je f (−x) = −f (x), a proto g(−x) = −af (x) = −g(x). Funkce g je tedy lichá. Cvičení 1.4 Dokažte, že žádná sudá funkce nemůže být prostá. Definice 1.10 Nechť f : R → R je funkce. Jestliže existuje kladná konstanta t > 0 taková, že pro všechna x ∈ R platí f (x + t) = f (x), nazývá se funkce f periodická s periodou t. Indukcí lze snadno dokázat, že pro libovolné k ∈ N je číslo kt také periodou funkce. (Proveďte.) Graf funkce s periodou t se vyznačuje tím, že se v něm opakují „části o šířceÿ t. Na obrázku 8 je graf funkce f (x) = x − [x], která má periodu t = 1. y 3 2 1

−3

−2

−1

1

2

x

−1

Obrázek 8 Graf funkce f (x) = x − [x]

11



Příklad 1.11 Nadefinujme zde tzv. Dirichletovu1 funkci D. Pro čísla x ∈ Q je definováno D(x) = 1, pro čísla x 6∈ Q je D(x) = 0. Tato funkce je periodická. Její periodou je libovolné číslo t ∈ Q. Je třeba dokázat, že D(x + t) = D(x). Je-li x ∈ Q, je D(x) = 1 a x + t ∈ ∈ Q, a tedy je D(x + t) = 1 = D(x). Je-li x 6∈ Q, je D(x) = 0 a x + t 6∈ Q, a tedy je D(x + t) = 0 = D(x). Číslo t je proto periodou Dirichletovy funkce. // Úkol Řekněte zpaměti definici prosté, sudé, liché a periodické funkce.

1.3

Základní operace s funkcemi

Definice 1.11 Nechť f : A → R a g : B → R jsou funkce. Součtem, rozdílem, součinem a podílem funkcí f a g nazýváme postupně funkce f + g, f − g, f g a fg , definované vztahy (f + g)(x) = f (x) + g(x) , (f − g)(x) = f (x) − g(x) , (f g)(x) = f (x)g(x) , f f (x) (x) = . g g(x) Chceme-li vypočítat hodnotu součtu funkcí v bodě x, vypočteme hodnoty funkcí v bodě x a tyto hodnoty jednoduše sečteme. Toto platí obdobně pro ostatní tři operace. Definiční obor součtu f + g je množina všech bodů x, ve kterých je součet f (x) + g(x) definován. V těchto bodech x proto musí být definovány hodnoty f (x) a g(x). Z toho plyne, že takové body x musí patřit jak do Dom f , tak do Dom g, neboli musí být x ∈ ∈ Dom f ∩ Dom g. Definiční obor součtu funkcí je tedy roven průniku definičních oborů jednotlivých funkcí, Dom(f + g) = Dom f ∩ Dom g. Toto platí obdobně pro rozdíl a součin funkcí. U podílu je situace trošku složitější. K tomu, aby číslo x patřilo do Dom fg , je navíc nutné, aby g(x) 6= 0. (Proč?) Definiční obor podílu funkcí je tudíž množina bodů x • patřících do průniku definičních oborů jednotlivých funkcí, • ve kterých není jmenovatel roven nule. Jinými slovy platí Dom

f = Dom f ∩ Dom g ∩ {x ∈ R : g(x) 6= 0} = Dom f ∩ {x ∈ Dom g : g(x) 6= 0} . g

Pokud nejsou zadány definiční obory jednotlivých funkcí, pak se definiční obor určuje jako množina všech čísel x, pro která mají všechny prováděné operace smysl.

1 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet byl německý matematik žijící v letech 1805–1859. Zabýval se teorií čísel a diferenciálními rovnicemi fyziky. Proslavil se tím, že dokázal, že v každé aritmetické posloupnosti, kde diference a první člen jsou nesoudělné, je nekonečně mnoho prvočísel.

12



Příklad 1.12 Určeme součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f (x) = x3 − x2 a g(x) = x a určeme definiční obory těchto nových funkcí: (f + g)(x) = f (x) + g(x) = x3 − x2 + x = x3 − x2 + x , (f − g)(x) = f (x) − g(x) = x3 − x2 − x = x3 − x2 − x , (f g)(x) = f (x)g(x) = x3 − x2 x = x4 − x3 , f f (x) x3 − x2 (x) = = = x2 − x pro x 6= 0 . g g(x) x Výrazy (f + g)(x), (f − g)(x) a (f g)(x) mají smysl pro všechna x ∈ R, a proto jsou definiční obory funkcí f + g, f − g a f g rovny Dom(f + g) = Dom(f − g) = Dom(f g) = R . Výraz fg (x) má smysl (přesněji řečeno operace prováděné při jeho výpočtu lze provést) pouze pro x 6= 0. Proto je definiční obor funkce fg roven Dom

f = R \ {0} . g

//

Cvičení 1.5 Dokažte, že součet a součin dvou kladných funkcí jsou kladné funkce. Definice 1.12 Nechť A a B jsou množiny reálných čísel takové, že A ⊆ B, a nechť f : A → R a g : B → R jsou funkce. Dále nechť pro všechna čísla x ∈ A platí f (x) = g(x). Potom se funkce g nazývá rozšíření funkce f na množinu B. Funkce f se nazývá zúžení (restrikce) funkce g na množinu A. Příklad 1.13 Mějme dánu funkci f : R → R danou předpisem f (x) = x2 . Tato funkce není prostá. (Proč?) Proveďme nyní zúžení funkce f na množinu h0; +∞). Jinými slovy vytvořme funkci g : h0; +∞) → R danou předpisem g(x) = x2 . Funkce g je rostoucí, a tedy je prostá. Zkuste sami najít jinou množinu M tak, aby zúžení funkce f na množinu M byla prostá funkce. // na

na

Definice 1.13 Nechť f : A → B je prostá funkce. Definujme novou funkci f −1 : B → A tak, že každému číslu y ∈ Rng f je přiřazeno právě to x ∈ Dom f , pro které je f (x) = y. Funkce f −1 se nazývá funkce inverzní k funkci f . na

Výraz f : A → B v předchozí definici znamená, že A je definiční obor Dom f a B je obor hodnot Rng f . Z definice ihned plyne: Jestliže f −1 je inverzní funkce k funkci f , pak f −1 (y) = x právě tehdy, když f (x) = y. Dále platí f (f −1 (y)) = y pro všechna y ∈ Rng f a f −1 (f (x)) = x pro všechna x ∈ Dom f .

13



Výpočet inverzní funkce provádíme ve dvou krocích. • Rovnici y = f (x) vyřešíme vzhledem k proměnné x. • Poté zaměníme všechny výskyty proměnné x za proměnnou y a naopak. Dostaneme inverzní funkci y = f −1 (x). Ukážeme si to na příkladu. a určeme k ní funkci inverzní. Příklad 1.14 Mějme funkci f (x) = 2x+3 x−1 Abychom mohli vůbec hovořit o inverzní funkci, musíme nejdříve dokázat, že f je prostá funkce. Podle věty 1.1 stačí dokázat, že pro každé y existuje jediné x takové, že y = f (x). To dokážeme tak, že vyřešíme rovnici y = f (x) vzhledem k proměnné x a ukážeme, že má jediné řešení. 2x + 3 y= x−1 xy − y = 2x + 3 x(y − 2) = y + 3 y+3 x= y−2 Rovnice y = f (x) má tedy jediné řešení. Z toho plyne, že funkce f je prostá. Můžeme tedy přikročit k určení inverzní funkce. První krok jsme však již udělali. Nyní stačí za měnit proměnné x a y. Dostaneme y = x+3 . Inverzní funkce k funkci f je tedy funkce x−2 x+3 −1 // f (x) = x−2 . Cvičení 1.6 Určete inverzní funkce k funkcím a) y = 2x + 3 ; b) y = x2 − 3x + 2 ;

c) y = x3 − 3 .

Úkol Zkuste vysvětlit, proč je v definici inverzní funkce nutný předpoklad, že funkce f je prostá. Předpokládejme, že funkce f není prostá. Pak existují dvě různá čísla x, t taková, že f (x) = = f (t). Označme y = f (x). Pak by ovšem muselo být f −1 (y) = x a zároveň f −1 (y) = t, a tedy hodnota f −1 (y) by nebyla určena jednoznačně. Definice 1.14 Nechť A a B jsou množiny reálných čísel a f : B → R a g : A → R jsou funkce. Definujme funkci f ◦ g předpisem (f ◦ g)(x) = f g(x) Tato funkce f ◦ g se nazývá funkce složená z funkcí f a g. Nyní se pokusme odvodit, kdy patří číslo x do definičního oboru Dom(f ◦ g). V prvé řadě musí být definováno číslo g(x). Číslo x tedy musí patřit do množiny Dom g = A. Dále musí číslo g(x) patřit do Dom f = B. Množina čísel x, pro které platí g(x) ∈ B, se označuje g −1 (B). Z toho plyne, že platí Dom(f ◦ g) = A ∩ g −1 (B). Nejsou-li zadány definiční obory funkcí f a g, pak se definiční obor funkce f ◦ g určuje jako množina všech čísel x, pro která mají operace prováděné při výpočtu f (g(x)) smysl.

14



a g(x) = x2 . Dále Příklad 1.15 Určeme funkce f ◦ g a g ◦ f složené z funkcí f (x) = x+1 x−1 určeme jejich definiční obory. x2 + 1 (f ◦ g)(x) = f g(x) = f x2 = 2 x −1 Dom(f ◦ g) = R \ {−1; 1} 2 x+1 x+1 (g ◦ f )(x) = g f (x) = g = x−1 x−1 Dom(g ◦ f ) = R \ {−1} // Z předchozího příkladu je vidět, že skládání funkcí není komutativní, tj. obecně neplatí, že f ◦ g = g ◦ f . Věta 1.6 Skládání funkcí je asociativní, neboli platí f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. Z této věty plyne, že při skládání více funkcí můžeme psát jednoduše f ◦ g ◦ h. Důkaz Označme si L = f ◦ (g ◦ h) a P = (f ◦ g) ◦ h. Dokážeme, že pro každé x platí L(x) = P (x). L(x) = f ◦ (g ◦ h) (x) = f (g ◦ h)(x) = f g h(x) P (x) = (f ◦ g) ◦ h (x) = (f ◦ g) h(x) = f g h(x) Z předchozích dvou řádků plyne, že L = P . Cvičení 1.7 Určete funkce f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f a g ◦ g složené z funkcí a) f (x) = √ g(x) = x2 + 3 ; b) f (x) = x + 1 , g(x) = x .

2x+3 x−1

,

Cvičení 1.8 Zkuste na základě předešlého příkladu najít funkci e tak, aby pro všechny funkce platilo e ◦ f = f ◦ e. Příklad 1.16 Jsou-li funkce f a g rostoucí, pak jsou rostoucí i funkce f ◦ g a g ◦ f . To se nahlédne snadno. Podle definice rostoucí funkce pro x < y platí g(x) < g(y). Označme si t = g(x) a u = g(y). Platí podle definice je f (t) < f (u). Z toho t < u, a proto ovšem plyne, že pro x < y je f g(x) < f g(y) a funkce f ◦ g je rostoucí. Obdobně pro funkci g ◦ f . Zkuste si pohrát s pojmy z definice 1.5 a dokažte třeba, že • složení dvou klesajících funkcí je funkce rostoucí, • složení rostoucí a klesající funkce je funkce klesající, . . . , • složení n (ryze) monotonních funkcí je funkce (ryze) monotonní, • složení n prostých funkcí je funkce prostá (důsledek předchozího), . . . Máte-li zájem, můžete se pokusit určit, zda složení n funkcí, z nichž je m klesajících (nerostoucích), je funkce rostoucí nebo klesající (neklesající nebo nerostoucí). // 15



Důsledek Nechť a, b, c, d ∈ R jsou libovolné konstanty, přičemž a, c 6= 0 a nechť f je prostá funkce. Pak funkce g(x) = af (cx + d) + b je také prostá. Důkaz Funkce p(x) = ax + b a q(x) = cx + d jsou prosté. Funkce f je podle předpokladů také prostá. Platí g = p ◦ f ◦ q. (Ověřte!) Funkce g je tedy složená ze tří prostých funkcí a podle příkladu 1.16 je prostá. Úkol Řekněte zpaměti definici složené a inverzní funkce. Shrnutí Funkce je nějaký předpis přiřazující každému číslu z definičního oboru jedno číslo z oboru hodnot. Graf funkce je množina bodů [x; y] v rovině takových, že y = = f (x). Funkce je rostoucí, jestliže s rostoucí hodnotou proměnné x roste hodnota f (x). Podobně se definuje funkce klesající, nerostoucí a neklesající. Funkce, která je rostoucí, nebo klesající, se nazývá ryze monotonní. Funkce f se nazývá prostá, jestliže ke každému y existuje jediné x takové, že y = f (x). Jestliže jsou všechny hodnoty f (x) kladné, nazývá se funkce f kladná. Obdobně se definuje funkce záporná, nekladná a nezáporná. Je-li graf funkce souměrný podle osy y, nazývá se funkce sudá. Je-li graf souměrný podle počátku soustavy souřadnic, nazývá se funkce lichá. Jestliže se hodnoty f (x) pravidelně opakují, nazývá se funkce periodická. Hodnota součtu funkcí je součet hodnot funkcí. Podobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí. Inverzní funkce f −1 k prosté funkci f se definuje tak, aby platilo f −1 (f (x)) = x. Složení funkcí je definováno (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Tato kapitola byla dle mého názoru dosti jednoduchá. Jestliže Vám však činila potíže, asi jste na střední škole neměl(a) matematiku. V tom případě Vám doporučuji pročíst si ještě jednou tuto kapitolu nebo knihu [7]. Budete se muset v tomto předmětu více snažit, ale věřím, že brzy ostatní doženete.

Cvičení Cvičení 1.9 Určete definiční obory a obory hodnot funkcí √ x a) f (x) = x − [x] ; b) f (x) = D(x) ; c) f (x) = 1 − x2 . Cvičení 1.10 Určete funkce inverzní k funkcím a) f (x) = ax + b ; b) f (x) = D(x) ;

c) f (x) = x4 − 2x2 + 1 .

√ Cvičení 1.11 Je dána funkce f (x) = 3 6 − x3 . a) Určete funkce f ◦ f , f ◦ f ◦ f , f ◦ f ◦ f ◦ f ,. . . . b) Najděte další funkce, jež mají stejnou vlastnost jako funkce f v části a). Cvičení 1.12 Nechť platí f = f −1 . Dokažte, že pro všechna x ∈ Dom f platí vztah f (f (f (f (x)))) = x. 16


2

2 Algebraické funkce

Algebraické funkce

Obsah lekce 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Transformace grafu . . . Lineární funkce . . . . . Kvadratické funkce . . . Lineární lomená funkce Další funkce . . . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

17 20 22 24 25 26

Klíčová slova Funkce lineární, kvadratická, lineární lomená, Dirichletova, Riemannova. V případě, že Vám předchozí kapitola nečinila problémy, věnujte v částech 2.1–2.4 pozor nost pouze příkladům a cvičením.

2.1

Transformace grafu

V této části se dozvíte, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkce. Aby byl výklad jasnější, budu stále obměňovat funkci ϕ, jejíž graf je na obrázku 9. Transformace budou zdůrazněny šipkami. y 4 3 2

ϕ

1 −1

1

2

3

4

5

−1

Obrázek 9 Graf funkce ϕ

17

x



Přičtení čísla k hodnotě funkce Nechť b je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g, která vznikne přičtením čísla b k funkci f . Platí tedy g(x) = f (x) + b. Nechť bod A = [x; f (x)] patří grafu funkce f . Posunutím bodu A o b jednotek nahoru dostaneme bod B = [x; f (x)+b] = [x; g(x)]. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g proto vznikne posunutím grafu funkce f o b jednotek nahoru. (V případě b < 0 se graf samozřejmě posouvá o −b jednotek dolů.) Na obrázku 10 je graf funkce τ (x) = ϕ(x)+1, na obrázku 11 je graf funkce ω(x) = ϕ(x) − 1. y

y

4

4

3

τ

3

2

ϕ

2

1 −1

ϕ

1 1

2

3

4

5

−1

x

−1

ω 1

2

3

4

5

x

−1

Obrázek 10 K textu

Obrázek 11 K textu

Vynásobení hodnoty funkce číslem Nechť a je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g, která vznikne vynásobením funkce f číslem a. Platí tedy g(x) = af (x). Nechť bod a patří grafu funkce f . Vynásobením y-ové souřadnice bodu A číslem a dostaneme bod B = [x; af (x)] = [x; g(x)]. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g je tudíž množina všech bodů [x; ay] takových, že bod [x; y] patří grafu funkce f . Na obrázku 12 je graf funkce τ (x) = 23 ϕ(x), na obrázku 13 je graf funkce ω(x) = − 35 ϕ(x). y

y

4

3

3

2

τ ϕ

2

1

1 −1

−1 1

2

3

4

5

ϕ

1

2

3

4

5

−1

x

ω

−2

−1

Obrázek 12 K textu

Obrázek 13 K textu

18

x



Přičtení čísla k argumentu funkce Nechť d je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g(x) = f (x + d). Nechť bod A = [x; f (x)] patří grafu funkce f . Posunutím bodu A o d jednotek doleva dostaneme bod B = [x − d; f (x)] = [x − d; g(x − d)]. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g proto vznikne posunutím grafu funkce f o d jednotek doleva. (V případě d < 0 se graf samozřejmě posouvá o −d jednotek doprava.) Na obrázku 14 je graf funkce τ (x) = ϕ(x + 1), na obrázku 15 je graf funkce ω(x) = ϕ(x − 1). y

y

4

4

3

3 ϕ

2

τ

1 −2 −1

1

2

3

4

ω

2

ϕ

1 −1

x

−1

1

2

3

4

5

x

−1

Obrázek 14 K textu

Obrázek 15 K textu

Vynásobení argumentu funkce číslem Nechť c je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g(x) = f (cx). Nechť bod A = [x; f (x)] patří grafu funkce f . Podělením x-ové x x x souřadnice bodu A číslem c dostaneme bod B = c ; f (x) = c ; g c . Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g je tudíž množina všech bodů xc ; y takových, že bod [x; y] 3 patří grafu funkce f . Na obrázku 16 je graf funkce τ (x) = ϕ 2 x , na obrázku 17 je graf 4 funkce ω(x) = ϕ − 5 x . y

y

4

4

3

3

2

ϕ

τ

2

ω

1

1 −1

ϕ

1

2

3

4

5

−6

x

−4

−2

2

4 x

−1

−1

Obrázek 17 K textu

Obrázek 16 K textu

Úkol Je dán graf funkce f (x). Popište, jak se konstruují grafy funkcí f (x) + b, af (x), f (x + d), f (cx). Pokuste se vysvětlit, jak by se zkonstruoval graf funkce af (cx + d) + b.

19



Graf inverzní funkce Aby mohla existovat inverzní funkce f −1 k funkci f , musí být funkce f prostá. To však naše funkce ϕ z obrázku 9 není. (Proč?) Proto zde budu pracovat s jinou funkcí χ, jejíž graf je na obrázku 18. y

y

χ

2 1 −3 −2 −1 −1

χ

2 1 1

2

−3 −2 −1 −1

x

−2

−2

−3

−3

1

2

x

χ−1

Obrázek 19 Graf funkce χ−1

Obrázek 18 Graf funkce χ

Nechť bod A = [x; f (x)] patří grafu funkce f . Záměnou první a druhé souřadnice bodu A, tedy překlopením podle přímky y = x, dostaneme bod B = [f (x); x] = f (x); f −1 (f (x)) . Bod B tedy patří grafu funkce f −1 . Graf funkce f −1 proto vznikne překlopením grafu funkce f podle přímky y = x. Na obrázku 19 je graf funkce χ−1 .

2.2

Lineární funkce

Definice 2.1 Funkce f (x) = ax + b, kde a, b ∈ R, se nazývá lineární funkce. Speciálně (při a = 0) se funkce f (x) = b nazývá konstantní funkce. Protože operace prováděné při výpočtu ax + b lze provést pro všechna x ∈ R, je definiční obor roven Dom f = R. Konstantní funkce f (x) = b Graf funkce f je množina všech bodů [x; b]. Tato množina ovšem není nic jiného než přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem [0; b]. Graf funkce f je na obrázku 20. Funkce f nabývá pouze jediné hodnoty b, a proto je Rng f = = {b}. Funkce f není rostoucí ani klesající, ale je nerostoucí a neklesající. (To není totéž!) Protože je f (x) = f (−x) = b, je funkce f sudá. Pro všechna čísla x ∈ R a t > 0 platí f (x) = f (x + t) = b, proto je funkce f periodická a její periodou je libovolné číslo t > 0. Konstantní funkce jsou jediné funkce s touto vlastností. Funkce f není prostá, protože je periodická. y

b

x

Obrázek 20 Graf konstantní funkce 20



Funkce f (x) = x Graf funkce f je množina všech bodů [x; f (x)] = [x; x], tedy je to přímka procházející počátkem soustavy souřadnic a svírající s osami x a y úhel 45◦ . Graf funkce f je na obrázku 21. y

x

Obrázek 21 Graf funkce f (x) = x Ke každému číslu y ∈ R existuje číslo x ∈ R takové, že y = f (x). Proto je Rng f = R. Funkce f je rostoucí, a proto prostá. Z toho také plyne, že f není periodická. Protože f (−x) = −x = −f (x), je funkce f lichá. Funkce f (x) = ax + b pro a 6= 0 Grafem funkce f je opět přímka. Tato přímka prochází na ose y bodem [0; f (0)] = [0; b]. Zjistěme, kterým bodem na ose x tato přímka prochází. Označme tento bod [x; 0]. Pro číslo x musí platit f (x) = 0. Vyřešením této rovnice dostaneme x = − ab . Graf funkce f je pro a > 0 na obrázku 22, pro a < 0 na obrázku 23. Protože ke každému číslu y ∈ R existuje číslo x ∈ R takové, že y = f (x), je Rng f = R. Pro a > 0 platí x 0 funkce f rostoucí. Obdobně pro a < 0 je f klesající. Funkce f je tedy ryze monotonní, a proto prostá a neperiodická. y

y b − ab

x − ab x

b

Obrázek 22 K textu

Obrázek 23 K textu

21



Příklad 2.1 Určeme číslo b tak, aby funkce f (x) = ax + b byla lichá. Musí platit −x = f (−x). Úpravou tohoto vztahu postupně dostaneme −ax − b = −ax + b −b=b 2b = 0 b=0 Z toho plyne, že funkce f (x) = ax + b je lichá právě tehdy, když je b = 0.

//

Úkol Řekněte, jak se určí průsečíky grafu funkce s osami x a y.

2.3

Kvadratické funkce

Definice 2.2 Funkce f (x) = ax2 + bx + c, kde a 6= 0 a b, c ∈ R, se nazývá kvadratická funkce.

Funkce f (x) = x2 Grafem funkce f je množina všech bodů [x; x2 ]. Je to křivka, která se nazývá parabola. Graf funkce f je uveden na obrázku 24. y 8 6 4 2 −2

−1

1

2

x

Obrázek 24 Graf funkce f (x) = x2 Jestliže je y ≥ 0, pak existuje číslo x ∈ R takové, že f (x) = y. Je-li však y < 0, pak žádné takové x neexistuje. Proto je Rng f = h0; +∞). Funkce f je klesající na intervalu (−∞; 0i a rostoucí na h0; +∞). Protože platí f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x), je funkce f sudá. Z toho plyne, že f není prostá. Funkce f není periodická.

22



Funkce f (x) = ax2 pro a 6= 0 Grafem funkce f je parabola procházející body [0; 0] a [±1; a]. Pro a > 0 má funkce f stejné vlastnosti jako funkce x2 . Pro a < 0 je f rostoucí na (−∞; 0i, klesající na h0; +∞) a Rng f = (−∞; 0i. Graf funkce f pro a < 0 je uveden na obrázku 25. −1

y

y

1 x b 2a

a

x

b2 −4ac 4a

Obrázek 25 Graf funkce f (x) = ax2

Obrázek 26 K textu

Funkce f (x) = ax2 + bx + c Grafem funkce f je opět parabola. Abychom zjistili, jak tato parabola vypadá, musíme nejdříve funkci f upravit: 2 b c c b b2 2 2 f (x) = ax + bx + c = a x + x + =a x+ − 2+ = a a 2a 4a a 2 b b2 − 4ac =a x+ − 2a 4a 2

b Graf funkce f tedy vznikne posunutím grafu funkce ax2 o 2a jednotek doleva a b −4ac jed b 4ab2 −4ac notek dolů. Situaci ilustruje obrázek 26. Vrchol paraboly je tedy v bodě − 2a ; − 4a .

b2 ; +∞ . Pro a < 0 Pro a > 0 je parabola „otevřenáÿ nahoru, a proto Rng f = c − 4a b2 je parabola „otevřenáÿ dolů, a proto Rng f = −∞; c − 4a . Funkce f není prostá ani b a periodická. Pro a > 0 (a < 0) je funkce f klesající (rostoucí) na intervalu −∞; − 2a b rostoucí (klesající) na intervalu − 2a ; +∞ .

Příklad 2.2 Určeme číslo b tak, aby funkce f (x) = ax2 + bx + c byla sudá. Pro všechna x musí platit f (x) = f (−x). Úpravami této rovnosti postupně dostaneme a(−x)2 + b(−x) + c = ax2 + bx + c ax2 − bx + c = ax2 + bx + c −bx = bx 2bx = 0 . Protože toto musí platit pro všechna x, musí být b = 0. Cvičení 2.1 Určete průsečíky grafu funkce f (x) = ax2 + bx + c s osami x a y.

23

//


2.4


Lineární lomená funkce

Definice 2.3 Funkce f (x) =

ax+b , cx+d

kde c 6= 0 a ad 6= bc, se nazývá lineární lomená funkce.

Protože f (x) je zlomek, nesmí být jmenovatel roven nule. Nesmí tedy platit x = − dc . Z toho plyne, že Dom f = R \ − dc . Funkce f (x) = x1 Grafem této funkce je křivka na obrázku 27, která se nazývá hyper bola. Tato křivka se „neustále přibližujeÿ k osám x a y, ale nikdy je neprotne. y

x

Obrázek 27 Graf funkce f (x) =

1 x

Určeme obor hodnot. Rng f je množina těch čísel y, pro která má rovnice f (x) = y řešení. Jednoduchou úpravou této rovnice dostaneme x = y1 . Z toho plyne, že při y = 0 nemá rovnice f (x) = y řešení, neboli Rng f = R \ {0}. Pro 0 < x < y platí y1 < x1 , neboli f (y) < f (x). Z toho plyne, že funkce f je klesající na intervalu (0; +∞). Obdobně je f klesající na (−∞; 0). Přesto však f není klesající na celém svém definičním oboru, protože například f (1) = 1 > −1 = f (−1). Protože ke každému číslu y ∈ Rng f existuje jediné číslo x takové, že f (x) = y, je funkce f prostá. Z toho také plyne, že f není periodická. 1 Protože platí f (−x) = −x = − x1 = −f (x), je f lichá funkce. Funkce f (x) =

a x

pro a 6= 0

Úkol Odvoďte sami vlastnosti této funkce.

Funkce f (x) =

ax+b cx+d

f (x) =

K určení vlastností této funkce je opět nutno ji nejdříve upravit.

a ad−bc bc−ad (cx + d) − ad +b a ax + b a c c c2 = c = − = + d d cx + d cx + d c c x+ c c x+ c

24


2 Algebraické funkce 2

Graf funkce f vznikne posunutím grafu funkce (bc−ad)/c o dc jednotek doleva a ac jednotek x nahoru. Situace je zachycena na obrázku 28. Graf funkce f se „stále přibližujeÿ k přímkám a d a y = c a x = − c , ale nikdy je neprotne. Z toho plyne, že Rng f = R \ c . y

a c

d c

x

Obrázek 28 K textu

Úkol Odvoďte sami další vlastnosti.

2.5

Další funkce

Definice 2.4 Dirichletova funkce D(x) je funkce definovaná na Dom D = R, pro kterou platí: pro x ∈ Q je D(x) = 1, pro x 6∈ Q je D(x) = 0. Ihned z definice plyne, že Rng D = {0; 1}. Funkce D není ani rostoucí ani klesající. Na straně 12 bylo dokázáno, že D je periodická a její periodou je libovolné a ∈ Q+ . Z toho plyne, že D není prostá. Cvičení 2.2 Dokažte, že D je sudá funkce. Definice 2.5 Riemannova2 funkce R(x) je funkce definovaná na Dom R = R následovně: R(0) = 1; pro x 6∈ Q je R(x) = 0; pro číslo x = pq , kde p a q jsou nesoudělná čísla, je R(x) = 1q . Ihned z definice plyne, že Rng R = {0} ∪ 1q : q ∈ N . Funkce R není rostoucí ani klesající. R je periodická a její periodou je libovolné kladné celé číslo. Z toho plyne, že R není prostá. Graf Riemannovy funkce je na obrázku 29. 2

Georg Friedrich Bernhard Riemann [ríman] byl německý matematik žijící v letech 1826–1866. Zabýval se komplexními funkcemi, teorií čísel a diferenciální geometrií. Jeho výsledky v geometrii na neeuklidovských prostorech byly plně pochopeny až Einsteinem, který na nich vybudoval obecnou teorii relativity.

25



Obrázek 29 Graf Riemannovy funkce

Cvičení 2.3 Dokažte, že R je sudá funkce. Shrnutí Graf funkce f (x) + b vznikne posunutím grafu funkce f (x) o b jednotek na horu. Graf funkce af (x) vznikne natáhnutím grafu funkce f (x) do výšky na a-násobek. Graf funkce f (cx) vznikne „stáhnutímÿ grafu funkce f (x) do šířky na jednu c-tinu. Graf funkce f −1 (x) vznikne překlopením grafu funkce f (x) kolem přímky y = x. Tato kapitola byla snadná. Sloužila především ke shrnutí učiva ze střední školy pro stu denty, jimž matematika činila potíže. Uvedené vlastnosti není třeba umět zpaměti, protože si je lze snadno odvodit. Důležité je umět z grafu funkce vyčíst základní vlastnosti, ob dobně jako ve cvičení 2.5.

Cvičení Cvičení 2.4 Dolní křivka na obrázku 30 je graf funkce f , která je sudá a má periodu t = = 4. Horní křivka vznikla posunutím dolní křivky o dvě jednotky nahoru a jednu jednotku doprava. Určete všechny funkce, jejichž grafem je horní křivka. a) 2f (x) − 1 b) f (2x + 1) c) f (2 − x) + 1 d) f (x − 1) + 2 e) 2 + f (5 − x) f) 5 − f (2x) g) f (x + 7) + 2 h) 3f (2x − 1) + 1 i) f (x + 6) − 1 j) f (1 − x) + 6 y 3

y 4

2

2

f

1 −2 −4 −2

2

4

−1

1

g

2x

−2

6x

h

−1

−4

Obrázek 30 Cvičení 2.4

Obrázek 31 Cvičení 2.5 26



Cvičení 2.5 Na obrázku 31 jsou grafy funkcí f , g, a h. Která z následujících tvrzení jsou pravdivá? a) Žádná z těchto funkcí není rovna funkci 2x2 + 4. b) V intervalu h−2; 2i existuje bod x0 takový, že g(x0 )h(x0 ) = 0. c) Rovnice f (x) − h(x) = 0 nemá v intervalu h−2; 2i žádné řešení. d) Pro každé x ∈ h−2; 2i platí f (x) = f (−x). e) Existuje interval ha; bi ⊆ h−2; 2i takový, že pro každé x ∈ ha; bi platí h(x) ≤ g(x) ≤ ≤ f (x). f) Rovnice g(x) + h(x) = 0 má na intervalu h−2; 2i alespoň jedno řešení. Cvičení 2.6 Určete základní vlastnosti (definiční obor, obor hodnot, monotonnost, prů sečíky s osami, zda je funkce sudá nebo lichá) následujících funkcí a načrtněte jejich grafy. a) f (x) = 3x + 4 b) f (x) = 6 − 2x d) f (x) = (x − 2)2 − (2x − 1)2 3x − 9 2x + 3 f) f (x) = e) f (x) = x−1 2x − 4

27

c) f (x) = 4x2 − 20x + 24

g) f (x) = R(x)(1 − D(x))


3

3 Spojitost

Spojitost

Obsah lekce 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Okolí bodu . . . . . . . . Spojitost v bodě . . . . Spojitost na intervalu Věty o spojitosti . . . . Cvičení . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

28 29 31 32 36

Klíčová slova Okolí bodu, spojitost v bodě, spojitost na intervalu, Darbouxova vlastnost, Weierstrassova věta.

3.1

Okolí bodu

Definice 3.1 Nechť a je reálné číslo a δ > 0. Potom interval (a − δ; a + δ) se nazývá δ-okolí bodu a a označuje se Uδ (a); (a − δ; ai se nazývá levé δ-okolí bodu a a označuje se U− δ (a); ha; a + δ) se nazývá pravé δ-okolí bodu a a označuje se U+ δ (a). Vyjmutím bodu a z (levého, pravého) δ-okolí bodu a dostaneme tzv. redukované (levé, + pravé ) δ-okolí bodu a, které se označuje Pδ (a) (P− δ (a), Pδ (a)). Redukované okolí se také někdy nazývá prstencové okolí. Jednostranná redukovaná okolí + lze rovněž zapsat ve tvaru P− δ (a) = (a − δ; a), Pδ (a) = (a; a + δ). Příklad 3.1 Zapišme pomocí nerovností, že číslo x patří do redukovaného 1-okolí bodu 2. Platí P1 (2) = (1; 2) ∪ (2; 3). Vztah x ∈ P1 (2) lze zapsat ve tvaru 0 < |x − 2| < 1. // Úkol Zapište pomocí nerovností, že číslo x patří do (redukovaného) (levého/pravého) δ-okolí bodu a. Správné řešení je x ∈ Uδ (a) x ∈ U− δ (a) + x ∈ Uδ (a) x ∈ Pδ (a) x ∈ P− δ (a) x ∈ P+ δ (a)

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

a − δ < x < a + δ ⇐⇒ |x − a| < δ , a − δ < x ≤ a, a ≤ x < a+δ, 0 < |x − a| < δ , a − δ < x < a, a < x < a+δ.

28


3 Spojitost

Cvičení 3.1 Vyjádřete následující intervaly jako okolí bodu. a) (3; 5) , b) h6; 7) , c) h0; 2i .

3.2

Spojitost v bodě

Definice 3.2 Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Uδ (a) platí f (x) ∈ Uε (f (a)), neboli stručněji ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ (a) : f (x) ∈ Uε (f (a)) . Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každý bod x z δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f (a). Situace je zachycena na obrázku 32. y f (a) + ε

f

f (a) f (x) f (a) − ε

a − δ xa a + δ

x

Obrázek 32 Spojitost funkce v bodě Geometricky lze (nepřesně) říci, že funkce je spojitá v bodě a, jestliže její graf „můžeme na okolí bodu a nakreslit jedním tahemÿ. Při zjišťování, zda je funkce f spojitá v bodě a, hledáme ke kladnému číslu ε kladné číslo δ tak, aby pro všechna x ∈ Uδ (a) platilo f (x) ∈ Uε (f (a)). Přitom stačí dokázat, že f (x) ∈ UKε (f (a)), kde K je nějaká kladná konstanta. Ukážeme si to na příkladu. Příklad 3.2 Funkce y = x2 je spojitá v každém bodě a ∈ R. Nechť ε > 0 je libovolné pevně zvolené číslo. Máme najít číslo δ > 0 tak, aby pro všechna x ∈ Uδ (a) platilo x2 ∈ Uε (a2 ). Jinými slovy musí platit |x2 − a2 | < ε. Pro všechna x ∈ Uδ (a) platí |x − a| < δ. Dále platí |x + a| = |(x − a) + 2a| ≤ |x − a| + 2|a| < δ + 2|a| . Z toho plyne, že |x2 − a2 | = |x − a| · |x + a| < δ(δ + 2|a|) . Je třeba nalézt číslo δ > 0 tak, aby δ(δ + 2|a|) ≤ ε, protože potom bude |x2 − a2 | < ε pro všechna x ∈ Uδ (a). Nerovnost δ(δ +2|a|) ≤ ε je ekvivalentní s nerovností δ 2 +2|a|δ −ε ≤ 0. Tato nerovnost platí pro D E √ √ 2 2 δ ∈ −|a| − a + ε; −|a| + a + ε . 29


3 Spojitost

√ Protože je ε > 0,√je a2 + ε > a2 , a proto −|a| + a2 + ε > 0. Protože musí být δ > 0, lze vzít δ = −|a| + a2 + ε, tedy takové číslo δ > 0 existuje a funkce x2 je spojitá v každém bodě a ∈ R. // Z tohoto příkladu je vidět, že i v případě tak jednoduché funkce, jako je x2 , je zjišťování spojitosti podle definice dosti složité. Proto se při zjišťování spojitosti většinou využívají věty uvedené v části 3.4. V definici spojitosti se vyskytuje číslo f (a). Aby funkce f mohla být v bodě a spojitá, musí číslo f (a) existovat. Jinými slovy musí být a ∈ Dom f . Taktéž musí existovat f (x) pro x z nějakého δ-okolí bodu a. Tedy musí být Uδ (a) ⊆ Dom f . Kontrapozicí této věty ihned dostáváme Věta 3.1 Jestliže číslo a s nějakým svým okolím nepatří do definičního oboru Dom f , není funkce f v bodě a spojitá. Příklad 3.3 Funkce f (x) = spojitá v bodě 0.

1 x

není definována v bodě x = 0, a proto tato funkce není //

Příklad 3.4 Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodě a ∈ R. Nechť a ∈ Q. Potom je D(a) = 1. Zvolme ε ∈ (0; 1). V každém Uδ (a) existuje alespoň jedno číslo x 6∈ Q. Pro toto x platí x ∈ Uδ (a), ale D(x) = 0 6∈ Uε (D(a)). Pro a 6∈ Q je důkaz obdobný. // √ Funkce f (x) = x je spojitá v každém bodě a > 0. V bodě 0 spojitá není, protože při jakémkoliv δ > 0 nepatří levé δ-okolí bodu 0 do definičního oboru. Cítíme však, že „na pravoÿ od bodu 0 je odmocnina v jistém smyslu „spojitáÿ. Proto se definují jednostranné spojitosti. Definice 3.3 Funkce f je spojitá v bodě a zprava (zleva), jestliže pro každé ε > 0 − existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ U+ δ (a) (x ∈ Uδ (a)) platí f (x) ∈ Uε (f (a)), neboli stručněji ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U+ δ (a) : f (x) ∈ Uε (f (a)) pro spojitost zprava a − ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ (a) : f (x) ∈ Uε (f (a)) pro spojitost zleva.

y f f (a) + ε f (x) f (a) f (a) − ε a xa + δ

x

Obrázek 33 Spojitost v bodě zprava 30


3 Spojitost

Funkce f je spojitá v bodě a zprava (zleva), jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každý bod x z pravého (levého) δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f (a). Situace je pro spojitost zprava zachycena na obrázku 33. Pro spojitost zleva je situace podobná. (Nakreslete!) √ Příklad 3.5 Funkce f (x) = x je zprava spojitá v bodě a = 0. To se dokáže snadno. Je třeba k číslu√ε > 0 najít číslo δ > 0 takové, aby pro každé číslo x takové, že 0 ≤ x < δ, platilo −ε < x < ε. Umocněním poslední nerovnosti na druhou dostaneme 0 ≤ x < ε2 . Stačí tedy vzít δ = ε2 . // Věta 3.2 Funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když je v bodě a spojitá zleva i zprava. Důkaz Je snadný, ale budu ho provádět podrobně. Nejdříve provedu důkaz zleva doprava. Zvolme si libovolně číslo ε > 0. Funkce f je spojitá v bodě a, a proto existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈ Uδ (a) platí f (x) ∈ Uε (f (a)). − Protože je U− δ (a) ⊆ Uδ (a), také pro všechna x ∈ Uδ (a) platí f (x) ∈ Uε (f (a)). To ale znamená, že funkce f je zleva spojitá v bodě a. Obdobně platí U+ δ (a) ⊆ Uδ (a), a proto funkce f je spojitá zprava v bodě a. Nyní provedu důkaz zprava doleva. Zvolme si libovolně číslo ε > 0. Funkce f je spojitá zleva v bodě a, a proto existuje číslo δ1 takové, že pro všechna x ∈ U− δ1 (a) platí f (x) ∈ ∈ Uε (f (a)). Funkce f je zároveň v bodě a spojitá zprava, a proto existuje číslo δ2 takové, že i pro všechna x ∈ U+ δ2 (a) platí f (x) ∈ Uε (f (a)). Jinými slovy platí f (x) ∈ Uε (f (a)) pro − − − + všechna x ∈ Uδ1 (a) ∪ U+ δ2 (a). Položme δ = min{δ1 ; δ2 }. Platí Uδ (a) ⊆ Uδ1 (a) a Uδ (a) ⊆ + − + − + − ⊆ Uδ2 (a), neboli Uδ (a) ∪ Uδ (a) ⊆ Uδ1 (a) ∪ Uδ2 (a). Dále platí Uδ (a) = Uδ (a) ∪ U+ δ (a). Z toho ovšem plyne, že f (x) ∈ Uε (f (a)) pro všechna x ∈ Uδ (a).

3.3

Spojitost na intervalu

Definice 3.4 Funkce f je spojitá na intervalu (a; b), jestliže je spojitá v každém bodě c ∈ (a; b). Funkce f je spojitá na intervalu ha; bi, jestliže je spojitá na intervalu (a; b) a navíc je spojitá zprava v bodě a a spojitá zleva v bodě b. Jestliže je definiční obor Dom f intervalem a funkce f je spojitá na celém Dom f , pak se stručně říká, že funkce f je spojitá. Z definice 3.4 ihned plyne toto: Je-li funkce f spojitá na intervalu I a J je jeho podinterval, pak je funkce f spojitá i na intervalu J. Příklad 3.6 Funkce f (x) = x je spojitá na R. Zvolme si libovolně a ∈ R. Dokážeme, že f je spojitá v bodě a. Nechť ε > 0. Je třeba najít číslo δ, aby pro včechna x ∈ Uδ (a) platilo f (x) ∈ Uε (f (a)). Protože je f (x) = x a f (a) = a, je třeba, aby pro všechna x ∈ Uδ (a) platilo x ∈ Uε (a). Stačí tedy vzít δ = ε. // 31


3 Spojitost

Příklad 3.7 Konstantní funkce f (x) = c, kde c ∈ R je libovolná konstanta, je spojitá na R. Zvolme si libovolně a ∈ R. Dokážeme, že f je spojitá v bodě a. Nechť ε > 0. Je třeba najít číslo δ, aby pro všechna x ∈ Uδ (a) platilo f (x) ∈ Uε (f (a)). Protože je f (x) = f (a) = c a c ∈ Uε (c), platí f (x) ∈ Uε (f (a)) dokonce pro všechna x ∈ R. Číslo δ > 0 tedy může být libovolné. // Cvičení 3.2 Dokažte, že funkce f (x) = |x| je spojitá na R.

3.4

Věty o spojitosti

Věta 3.3 Nechť funkce f a g jsou spojité v bodě a. Pak jsou i funkce f + g, f − g a f g spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) 6= 0, je i funkce fg spojitá v bodě a. Důkaz bude uveden na straně 43. Důsledek Jsou-li funkce f1 , . . . , fn spojité, jsou spojité i funkce f1 + · · · + fn a f1 · · · fn . Důkaz Provede se matematickou indukcí.

Důsledek Je-li funkce f spojitá v bodě a a c ∈ R je libovolná konstanta, pak je funkce g(x) = cf (x) spojitá v bodě a. Důkaz Konstantní funkce c je spojitá na R, a tedy je spojitá i v bodě a. Součin dvou funkcí spojitých v bodě a je podle věty 3.3 funkce spojitá v bodě a. Důsledek Libovolná racionální lomená funkce je spojitá ve všech bodech, ve kterých není jmenovatel roven nule. Speciálně je každý mnohočlen a0 + a1 x + · · · + an xn spojitý na R. Důkaz Funkce x1 je spojitá. Předpokládejme, že je spojitá funkce xk pro nějaké k ∈ N. Pak podle věty 3.3 je spojitá i funkce xk+1 = x · xk . Funkce xn je proto spojitá pro každé n ∈ N. Je-li an ∈ R libovolná konstanta, je podle předchozího důsledku funkce an xn spojitá. Podle prvního důsledku je spojitá i funkce (mnohočlen) a0 + a1 x + · · · + an xn . Podle věty 3.3 je podíl dvou mnohočlenů, tedy racionální lomená funkce, spojitý ve všech bodech, ve kterých není jmenovatel roven nule. Příklad 3.8 I když jsou funkce f a g nespojité v bodě a, může přesto funkce f + g být spojitá v bodě a. Příkladem jsou funkce f (x) = D(x) a g(x) = 1 − D(x). Ani jedna z nich není spojitá v žádném bodě. Ale funkce (f + g)(x) = 1 je funkce konstantní, a tedy spojitá. // 32


3 Spojitost

Cvičení 3.3 Nechť je funkce f spojitá v bodě a a funkce g nespojitá v bodě a. Co lze říct o funkcích f + g a f − g? Věta 3.4 Je-li funkce f spojitá v bodě a a funkce g spojitá v bodě b = f (a), je funkce g ◦ f spojitá v bodě a. Důsledek Nechť funkce f je spojitá. Protože absolutní hodnota je spojitá funkce, je i funkce |f |(x) = |f (x)| spojitá. Cvičení 3.4 Existuje funkce f , která není spojitá v žádném bodě a ∈ Dom f , pro kterou je funkce |f | spojitá v každém bodě a ∈ Dom f ? Věta 3.5 Jestliže je funkce f spojitá v bodě a a platí f (a) > 0 (f (a) < 0), pak existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Uδ (a) platí f (x) > 0 (f (x) < 0). Tato věta říká, že když je spojitá funkce v nějakém bodě různá od nuly, pak na jeho nějakém okolí nemění znaménko. Situace je pro f (a) > 0 zachycena na obrázku 34. y f f (a) + ε f (a)

0 = f (a) − ε

a−δ

a

a+δ

x

Obrázek 34 K větě 3.5 Důkaz Větu dokážu pro f (a) > 0. Pro f (a) < 0 je situace podobná (proveďte). Z definice spojitosti plyne, že pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈ Uδ (a) je |f (x) − f (a)| < ε. Zvolme ε = f (a). Potom existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈ Uδ (a) platí |f (x) − f (a)| < f (a). Z této nerovnosti ale pro f (a) > 0 plyne f (x) > 0. Kontrapozicí věty 3.5 dostáváme Důsledek Jestliže funkce f mění na okolí bodu a znaménko, pak platí f (a) = 0 nebo f není spojitá v bodě a. Z toho plyne, že funkce může (ale nemusí) měnit znaménko pouze v bodech, v nichž je rovna nule nebo v nichž není spojitá.

33


3 Spojitost 2

kladná, nebo záporná. Příklad 3.9 Určeme intervaly, na nichž je funkce f (x) = x x−8x+12 3 −4x2 Na číselnou osu nanesme všechny body, v nichž je funkce rovna nule nebo není spojitá. Funkce může měnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plyne, že pouze tyto body mohou být krajními body intervalů, na nichž je funkce kladná, nebo záporná. K určení znaménka funkce na některém intervalu stačí určit znaménko hodnoty funkce v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolit bod x, ve kterém se hodnota f (x) spočítá snadno. Funkce f (x) je rovna nule v těch bodech, ve kterých je čitatel roven nule. Řešením rovnice x2 − 8x + 12 = 0 jsou čísla x = 2 a x = 6. Funkce f (x) není spojitá v těch bodech, v nichž je jmenovatel roven nule. Řešením rovnice x3 − 4x2 = 0 jsou čísla x = 0 a x = 4. Nanesme proto na osu x body 0, 2, 4 a 6 (viz obrázek 35). − 0

2

4

6

− 0

Obrázek 35 K příkladu

−

+ 2

4

+ 6


Nyní určeme hodnoty funkce f ve vnitřních bodech vyznačených intervalů. 21 = − 21 f (−1) = −5 5 5 f (1) = −3 = − 53 −3 f (3) = −9 = 31 3 f (5) = −3 = − 25 25 5 f (7) = 147

< 0, < 0, > 0, < 0, > 0,

a a a a a

tedy tedy tedy tedy tedy

f f f f f

je je je je je

Symbolicky je toto zakresleno na obrázku 36.

záporná na intervalu (−∞; 0); záporná na intervalu (0; 2); kladná na intervalu (2; 4); záporná na intervalu (4; 6); kladná na intervalu (6; +∞). //

Věta 3.6 Jestliže je funkce f spojitá v bodě a, pak existuje číslo δ > 0 takové, že funkce f je omezená na Uδ (a). Důkaz Zvolme libovolně číslo ε > 0. Protože je funkce f spojitá v bodě a, existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Uδ (a) platí f (x) ∈ Uε (f (a)). Jinými slovy pro všechna x ∈ Uδ (a) platí f (a) − ε < f (x) < f (a) + ε. Na Uδ (a) je tedy funkce f zdola omezená konstantou f (a) − ε a shora omezená konstantou f (a) + ε. Přečtěte si znovu věty v části 3.4 a uveďte a pokuste se dokázat podobné věty pro jedno strannou spojitost. Definice 3.5 Funkce f má Darbouxovu3 vlastnost na intervalu I, jestliže pro všechna čísla a, b ∈ I taková, že a < b a f (a) 6= f (b), a všechna čísla d ležící mezi f (a) a f (b) existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f (c) = d. Je-li interval I přímo definičním oborem funkce f , pak se přívlastek „na Iÿ vynechává. 3

Jean Gaston Darboux [darbu] byl francouzský matematik žijící v letech 1842–1917. Zabýval se diferenciální geometrií a analýzou. Je po něm pojmenován Darbouxův integrál.

34


3 Spojitost

Jinými slovy, jestliže funkce mající Darbouxovu vlastnost nabývá hodnot f (a) a f (b), pak nabývá všech hodnot mezi čísly f (a) a f (b). Situaci ilustruje obrázek 37. y f (b)

f

d

f (a) a

c

x

b

Obrázek 37 Darbouxova vlastnost

Věta 3.7 Funkce spojitá na intervalu má na tomto intervalu Darbouxovu vlastnost. Důkaz je bez využití posloupností složitý. S využitím posloupností bude důkaz uveden na straně 115. Příklad 3.10 Obrácená věta neplatí. Mějme funkci f : h−1; 1i → R definovanou násle dovně: Pro lichá n ∈ Z je f n1 = 1, pro sudá n ∈ Z \ {0}, je f n1 = 0, mezi body n1 1 a n+1 je funkce f lineární. Graf funkce f je na obrázku 38. Tato funkce má Darbouxovu vlastnost, ale v bodě a = 0 není spojitá. y 1

−1

−1 −1 2 3

11 1 54 3

1 2

1 x

Obrázek 38 Graf funkce f

//

Důsledek Jestliže je funkce f spojitá na intervalu ha; bi a čísla f (a) a f (b) mají různá znaménka, pak existuje (alespoň jeden) bod c ∈ (a; b) takový, že f (c) = 0. Věta 3.8 (Weierstrassova4 věta) Funkce, která je spojitá na uzavřeném intervalu, je na tomto intervalu omezená a nabývá na něm svého maxima a minima. Že funkce f nabývá na intervalu ha; bi svého maxima, znamená, že existuje číslo c ∈ ha; bi takové, že pro všechna x ∈ ha; bi je f (c) ≥ f (x). Obdobně pro minimum. 4 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass [vajrštras] byl německý matematik žijící v letech 1815 až 1897. Zabýval se matematickou fyzikou, teorií čísel a teorií analytických funkcí.

35


3 Spojitost

Příklad 3.11 Funkce, která je definovaná na uzavřeném intervalu, ale není na něm spo jitá, nemusí svého maxima nabývat. Příkladem je funkce f definovaná na intervalu h−1; 1i, pro niž platí f (x) = 1 − x2 pro x 6= 0 a f (0) = 0. V blízkosti bodu x = 0 se hodnoty funkce blíží hodnotě 1, ale této hodnoty nedosahují. Dále také funkce, která je spojitá, avšak pouze na otevřeném intervalu, nemusí svého maxima nabývat. Ukázkou je funkce f (x) = x2 definovaná na intervalu (0; 1). V blízkosti bodu x = 1 se hodnoty funkce blíží hodnotě 1, ale této hodnoty nedosahují. Nalezněte podobné příklady na neexistenci minima a na neomezenost funkce při nesplnění předpokladů věty 3.8. // Shrnutí δ-okolí bodu a je interval Uδ (a) = (a − δ; a + δ), levé δ-okolí je (a − δ; ai, pravé δ-okolí ha; a + δ). Redukované okolí P(a) vznikne z okolí U(a) vyjmutím bodu a. Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ (a) : f (x) ∈ Uε (f (a)). Ob dobně se definuje spojitost zprava a zleva. Funkce je spojitá na intervalu, jestliže je spojitá ve všech vnitřních bodech tohoto intervalu a dále spojitá zprava v levém a zleva v pravém krajním bodě, pokud tyto body patří k intervalu. Jestliže jsou v daném bodě spojité dvě funkce, pak jsou v tomto bodě spojité i jejich součet, rozdíl, součin a podíl, jestliže je jmenovatel různý od nuly. Z toho plyne, že každý mnohočlen je spojitá funkce. Je-li funkce f spojitá v bodě a a funkce g spojitá v bodě f (a), pak je funkce g ◦ f spojitá v bodě a. Funkce má Darbouxovu vlastnost, jestliže když nabývá dvou hodnot, pak nabývá všech hodnot mezi nimi. Funkce spojitá na intervalu má na něm Darbouxovu vlastnost. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu na něm nabývá maxima a minima. Tato kapitola byla již složitější, ale předpokládám, že Vám nečinila potíže. Na pojmu okolí je založena celá vyšší matematika, proto je dobré s ním umět pracovat, hlavně v ε-δ-definicích. Jestliže však znáte uvedené věty, lze se ε-δ-definicím v případě „rozum nýchÿ funkcí vyhnout. Z tohoto důvodu si zopakujte všechny uvedené věty.

Cvičení Cvičení 3.5 Který z následujících výroků je definicí spojitosti funkce f v bodě a? a) ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∀x ∈ Uδ (x) : f (x) ∈ Uε (f (x)); b) ∀ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ Uε (x) : f (x) ∈ Pδ (f (x)); c) ∃δ > 0 ∃ε > 0 ∀x ∈ Pδ (x) : f (x) ∈ Pε (f (x)); d) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ (x) : f (x) ∈ Uε (f (x)). Cvičení 3.6 Určete intervaly spojitosti následujících funkcí 3

2

a) f (x) = x + x − 12x;

b) f (x) =

1 ; x3 +x2 −12x

36

c) f (x) =

1 x 1 x

− +

1 x−1 1 x+1

.


Cvičení 3.7 Řešte nerovnice 2 x+1 a) 4x−x ≤ 0; b) 5−x 2 > 0; x+7

3 Spojitost

c)

x3 +x x3 −x

< 0;

d)

3 x+2

> 1.

Cvičení 3.8 Dokažte, že rovnice x3 − 5x − 1 = 0 má alespoň jeden kořen v intervalu (−1; 0).

37


4

4 Limita

Limita

Obsah lekce 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Pojem limity . . Věty o limitách Nevlastní limity Počítání limit . . Cvičení . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

38 41 47 49 53

Klíčová slova Limita.

4.1

Pojem limity

Definice 4.1 Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ (a) platí f (x) ∈ Uε (A), neboli stručněji lim f (x) = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ (a) : f (x) ∈ Uε (A) .

x→a

Ekvivalentní definice 4.1 Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže pro každé okolí U(A) bodu A existuje redukované okolí P(a) bodu a takové, že pro všechna x ∈ P(a) platí f (x) ∈ U(A), neboli stručněji lim f (x) = A ⇐⇒ ∀U(A) ∃P(a) ∀x ∈ P(a) : f (x) ∈ U(A) .

x→a

Že má funkce f v bodě a limitu A, se někdy zapisuje „f (x) → A pro x → aÿ. Tento zápis je velmi výstižný. Jestliže se číslo x blíží číslu a, blíží se hodnota f (x) číslu A. Jinými slovy, A je číslo, ke kterému se blíží hodnota f (x), jestliže se x blíží k a. Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže ke každému libovolně malému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každý bod x z redukovaného δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu A. Situace je zachycena na obrázku 39. y A+ε

f

A f (x) A−ε

a − δ xa a + δ

Obrázek 39 Limita funkce 38

x


4 Limita

Dobře si uvědomte rozdíl v definici limity a spojitosti funkce v bodě. V definici spojitosti se vyskytuje Uδ (a), zatímco v definici limity se vyskytuje Pδ (a). V definici limity se vůbec nehovoří o hodnotě f (a). Z toho vyplývá, že limita funkce f v bodě a nezávisí na hodnotě f (a), ale pouze na hodnotách funkce f na okolí bodu a. Funkce f nemusí být v bodě a vůbec definována. Při zjišťování, zda má funkce f v bodě a limitu A, hledáme ke kladnému číslu ε kladné číslo δ tak, aby pro všechna x ∈ Pδ (a) platilo f (x) ∈ Uε (A). Přitom stačí dokázat, že f (x) ∈ UKε (A), kde K je nějaká kladná konstanta. Příklad 4.1 Označme f (x) =

x3 +x x

a určeme lim f (x). x→0

V bodě 0 není funkce definována. Pro x blízké nule jsou hodnoty f (x) uvedeny v tabulce. x f (x)

−0,1 1,01

−0,01 1,0001

−0,001 1,000001

0,001 1,000001

0,01 1,0001

0,1 1,01

Pro x blízké nule jsou hodnoty f (x) blízké jedné. Z toho „plyneÿ, že by mohlo být lim f (x) = 1. Toto je ovšem nutno dokázat. x→0

Nechť je dáno číslo ε > 0. Je třeba najít číslo δ > 0 tak, aby pro všechna x ∈ Pδ (0) platilo f (x) ∈ Uε (1). Jinými slovy musí platit x3 + x − 1 < ε . 0 < |x| < δ ⇒ x 3

Pro x ∈ Pδ (0), tedy pro x 6= 0, však platí x x+x = x2 + 1, a proto se předchozí implikace zjednoduší na tvar 0 < |x| < δ ⇒ |x2 | < ε . √ // Aby tato implikace platila, stačí při daném ε zvolit δ = ε. Proto je lim f (x) = 1. x→0

Definice 4.2 Bod a se nazývá bod spojitosti funkce f , jestliže platí lim f (x) = f (a); x→a

bod odstranitelné nespojitosti funkce f , jestliže lim f (x) = A a f (a) 6= A, nebo x→a f (a) není definováno; bod neodstranitelné nespojitosti funkce f , jestliže lim f (x) neexistuje. x→a

Příklad 4.2 a) Mějme funkci a(x) = x2 . Pro ni platí a(0) = 0 = lim a(x). Z toho plyne, x→0 že bod 0 je bod spojitosti funkce a. Graf funkce a je na obrázku 40. b) Mějme funkci b(x) = |sgn x|. Připomínám, že funkce sgn x (čteme signum x) je rovna jedné pro x > 0, nule pro x = 0 a mínus jedné pro x < 0. Platí b(0) = 0, ale lim b(x) = 1. x→0 Z toho plyne, že bod 0 je bod odstranitelné nespojitosti funkce b. Graf funkce b je na obrázku 41. 39


4 Limita

c) Mějme funkci c(x) = 1 1 + x1 . Funkce c není definována pro x = 0. Platí lim c(x) = x→0 = 0. Z toho plyne, že bod 0 je bod odstranitelné nespojitosti funkce c. Graf funkce je na obrázku 42. d) Mějme sudou funkci d : h−1; 1i → R definovanou pro n ∈ N následovně: d n1 = 1 pro n liché, d n1 = 0 pro n sudé různé od nuly, a mezi těmito body je funkce d lineární. Funkce d není pro x = 0 definována a ani neexistuje lim d(x). Z toho plyne, že bod 0 je x→0 bod neodstranitelné nespojitosti funkce d. Graf funkce d je na obrázku 43. y 2

y 1

1 −1

1 x

−1 −1

Obrázek 40 Graf funkce a(x)

1 x

Obrázek 41 Graf funkce b(x)

y 1

−1

y 1

1 x −1 −1

−2

Obrázek 42 Graf funkce c(x)

−1 −1 2 3

11 1 54 3

1 2

1 x

Obrázek 43 Graf funkce d(x)

//

Ze stejných důvodů, z jakých se definovala jednostranná spojitost, se definují jednostranné limity. Definice 4.3 Funkce f má v bodě a limitu zprava (zleva) A, jestliže pro každé ε > 0 − existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ P+ δ (a) (x ∈ Pδ (a)) platí f (x) ∈ Uε (A), neboli stručněji lim f (x) = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ P+ δ (a) : f (x) ∈ Uε (A) pro limitu zprava a

x→a+

lim f (x) = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ P− δ (a) : f (x) ∈ Uε (A) pro limitu zleva.

x→a−

40


4 Limita

Příklad 4.3 Určeme jednostranné limity funkce x + sgn x v bodě a = 0. Nalevo od bodu a, tedy pro x < 0, se funkce x + sgn x chová jako funkce x − 1, a proto je lim (x + sgn x) = lim (x − 1) = −1. x→0−

x→0−

Napravo od bodu a, tedy pro x > 0, se funkce x + sgn x chová jako funkce x + 1, a proto je lim (x + sgn x) = lim (x + 1) = 1. x→0+

x→0+

Tento výpočet nebyl příliš matematický. Proto proveďte podrobný důkaz. Graf funkce x + sgn x na okolí bodu 0 je na obrázku 44. y 2 1

−1

1 x −1 −2

Obrázek 44 Graf funkce x + sgn x

4.2

//

Věty o limitách

Věta 4.1 Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu. Věta říká, že funkce v bodě buď limitu nemá, nebo má právě jednu. Jinými slovy, jestliže má funkce v bodě limitu, pak je tato limita jediná. Důkaz Předpokládejme, že má funkce f v bodě a dvě limity A a B, bez újmy na obec nosti, A < B. Zvolme ε = B−A . Protože má funkce f v bodě a limitu A, existuje číslo δ1 2 takové, že pro všechna x ∈ Pδ1 (a) platí f (x) ∈ Uε (A). Protože i číslo B je limitou funkce f v bodě a, existuje číslo δ2 takové, že pro všechna x ∈ Pδ2 (a) platí f (x) = Uε (B). Zvolme δ = min{δ1 ; δ2 }. Pro všechna x ∈ Pδ (a) musí platit f (x) ∈ Uε (A) ∩ Uε (B). Ale při takto zvoleném čísle ε platí Uε (A) ∩ Uε (B) = ∅, což je spor. Funkce f tedy může mít v bodě a nejvýše jednu limitu. Věta 4.2 Funkce f má v bodě a limitu právě tehdy, když má v bodě a limitu zleva i zprava a tyto limity jsou si rovny. Důkaz se provede podobně jako důkaz věty 3.2 (funkce je spojitá v bodě právě tehdy, když je v něm spojitá zleva i zprava), pouze se zamění U(a) za P(a) a U(f (a)) za U(A). Příklad 4.4 Pro funkci f (x) = x + sgn x platí lim f (x) = −1 6= 1 = lim f (x). Z toho x→0− x→0+ plyne, že limita lim f (x) neexistuje. // x→0

41


4 Limita

Cvičení 4.1 Nechť f je sudá funkce a nechť platí lim f (x) = A. Dokažte, že existuje x→0+

lim f (x) a určete její hodnotu.

x→0

Věta 4.3 Funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když lim f (x) = f (a). x→a

Důkaz Nejdříve provedu důkaz zleva doprava. Podle definice spojitosti v bodě pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé x ∈ Uδ (a) platí f (x) ∈ Uε (f (a)). Protože je Pδ (a) ⊆ Uδ (a), platí f (x) ∈ Uε (f (a)) také pro všechna x ∈ Pδ (a). Z toho ovšem plyne, že lim f (x) = f (a). x→a

Nyní provedu důkaz zprava doleva. Podle definice limity pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé x ∈ Pδ (a) platí f (x) ∈ Uε (f (a)). Pro x = a také platí f (x)[ = f (a)] ∈ ∈ Uε (f (a)). Protože je Uδ (a) = Pδ (a) ∪ {a}, platí f (x) ∈ Uε (f (a)) pro všechna x ∈ Uδ (a). Z toho ovšem plyne, že funkce f je spojitá v bodě a. Příklad 4.5 Určeme limitu lim (2x2 − 5). x→2

Funkce 2x2 − 5 je spojitá v bodě 2, a proto platí lim (2x2 − 5) = 2 · 22 − 5 = 3. x→2

//

V praxi se však častěji počítají limity v bodech, v nichž funkce spojitá není. Věta 4.4 Nechť lim f (x) = A a lim g(x) = B. Potom platí x→a x→a lim f (x) + g(x) = A + B , x→a lim f (x) − g(x) = A − B , x→a lim f (x)g(x) = AB . x→a

Je-li navíc B 6= 0, platí

f (x) A = . x→a g(x) B lim

Tato věta říká, že limita součtu, rozdílu, součinu, nebo podílu je rovna součtu, rozdílu, součinu, nebo podílu limit. Důkaz Důkaz provedu pouze pro součet a rozdíl. Protože je lim f (x) = A, existuje k li x→a

bovolnému číslu ε > 0 číslo δ1 > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ1 (a) platí f (x) ∈ Uε (A). Podobně existuje číslo δ2 > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ2 (a) platí g(x) ∈ Uε (B). Zvolme δ = min{δ1 ; δ2 }. Pro všechna x ∈ Pδ (a) platí |f (x) − A| < ε a |g(x) − B| < ε. Dále pro všechna x ∈ Pδ (a) platí |(f (x) + g(x)) − (A + B)| = |f (x) − A + g(x) − B| ≤ |f (x) − A| + |g(x) − B| < < ε + ε = 2ε , |(f (x) − g(x)) − (A − B)| = |f (x) − A + B − g(x)| ≤ |f (x) − A| + |B − g(x)| < < ε + ε = 2ε , z čehož plyne, že lim f (x) + g(x) = A + B a lim f (x) − g(x) = A − B. x→a

x→a

42


4 Limita

Zde uvedu obdobnou větu o spojitosti, tentokrát již i se slibovaným důkazem. Věta 3.3 Jsou-li funkce f a g spojité v bodě a, jsou také funkce f + g, f − g a f g spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) 6= 0, je také funkce fg spojitá v bodě a. Důkaz Funkce f a g jsou spojité v bodě a, a proto podle věty 4.3 platí lim f (x) = f (a) x→a a lim g(x) = g(a). Podle věty 4.4 platí x→a

lim (f + g)(x) = lim f (x) + g(x) = f (a) + g(a) = (f + g)(a) .

x→a

x→a

Z toho ovšem podle věty 4.3 plyne, že funkce f + g je spojitá v bodě a. Zcela analogicky se věta dokáže pro rozdíl, součin a podíl funkcí.

Důsledek Nechť c ∈ R je libovolná konstanta. Potom platí lim cf (x) = c lim f (x). x→a

x→a

Důkaz Konstantní funkce g(x) = c je spojitá, a proto podle věty 4.3 je lim c = c. Podle x→a věty 4.4 platí lim cf (x) = c lim f (x). x→a

x→a

Cvičení 4.2 Nechť c1 , . . . cn , ∈ R jsou dané konstanty a nechť platí lim f1 (x) = A1 , . . . x→a . . . , lim fn (x) = An . Určete lim c1 f1 (x) + · · · + cn fn (x) . x→a

x→a

Věta 4.5 (Věta o limitě složené funkce) Jestliže je lim f (x) = A a lim g(y) = B x→a

y→A

a jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ (a) platí f (x) 6= A, pak platí lim g(f (x)) = B. x→a

Příklad 4.6 Podmínka ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ (a) : f (x) 6= A ve větě 4.5 je důležitá. Při jejím nesplnění nemusí věta platit. Mějme funkce f (x) = 0 a g(x) = |sgn x|. Nechť a = 0. Potom je A = lim f (x) = 0 a x→0

lim g(y) = 1. Na druhou stranu však platí lim g(f (x)) = lim g(0) = g(0) = 0.

y→0

x→0

x→0

//

Důsledek Nechť a, c, d ∈ R, c 6= 0 jsou daná čísla. Potom platí lim f (cx + d) = x→a

=

lim f (y). Uvedená rovnost znamená: Pokud existuje jedna limita, pak existuje i

y→ca+d

druhá a obě se rovnají; pokud jedna neexistuje, pak neexistuje ani druhá. Použití tohoto vzorce budu nazývat „zavedení substituce y = cx + dÿ.

43


4 Limita

Příklad 4.7 Určeme limitu lim R(x). x→1

V příkladu 4.11 dokážeme, že lim R(y) = 0. Zatím mi musíte věřit, že to je pravda. y→0

Riemannova funkce má periodu t = 1, a proto platí R(y + 1) = R(y). Je vhodné zavést substituci x = y + 1, protože se limita lim R(x) převede na limitu lim R(y), jejíž hodnotu x→1

y→0

známe. Platí lim R(x) = lim R(y + 1) = lim R(y) = 0 .

x→1

y→0

//

y→0

Věta 4.6 Jestliže je lim f (x) = A a funkce g je spojitá v bodě A, pak platí lim g f (x) = x→a x→a = g lim f (x) . x→a

Příklad 4.8 Určeme limitu lim

x→2

q

x3 −5x2 +8x−4 x2 −4x+4

3 +1 .

Budeme postupně používat větu 4.6. r r 3 3 3 x − 5x2 + 8x − 4 x3 − 5x2 + 8x − 4 lim + 1 = lim +1 = x→2 x→2 x2 − 4x + 4 x2 − 4x + 4 r 3 x3 − 5x2 + 8x − 4 lim = +1 = x→2 x2 − 4x + 4 3 r (x − 1)(x2 − 4x + 4) +1 = = lim x→2 x2 − 4x + 4 q 3 √ 3 = lim (x − 1) + 1 = 2−1+1 =8 x→2

//

Věta 4.7 Jestliže platí lim f (x) < lim g(x), pak existuje číslo δ > 0 takové, že pro x→a

x→a

všechna x ∈ Pδ (a) platí f (x) < g(x). Příklad 4.9 Obrácená věta neplatí. Pro funkce f (x) = x4 a g(x) = x2 a číslo δ = 1 platí f (x) < g(x) pro x ∈ Pδ (0), ale neplatí lim f (x) < lim g(x), protože se obě limity rovnají. x→0

x→0

Určete jejich hodnotu!

//

Platí ale věta podobná. Věta 4.8 Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ (a) platí f (x) ≤ g(x), a jestliže existují limity lim f (x) a lim g(x), pak platí lim f (x) ≤ lim g(x). x→a

x→a

x→a

x→a

Věta 4.9 Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ (a) platí f (x) = g(x), a jestliže existuje limita lim f (x), pak existuje limita lim g(x) a platí lim f (x) = lim g(x). x→a

x→a

44

x→a

x→a


4 Limita

Důkaz Označme A = lim f (x). Podle definice limity pro každé ε > 0 existuje číslo γ > 0 x→a

takové, že pro x ∈ Pγ (a) je f (x) ∈ Uε (A). Označme β = min{γ; δ}. Potom pro x ∈ Pβ (a) platí g(x) = f (x) ∈ Uε (A). To ale znamená, že lim g(x) = A. x→a

Věta 4.9 je nejdůležitější větou této kapitoly. Její využití v praxi je následující: Má se vypočítat lim f (x). Na funkci f (x) se provedou úpravy platné pro x 6= a. Takto se získá x→a

funkce g(x), která je spojitá v bodě a. Potom platí lim f (x) = g(a). x→a


x→−3

√ x+3 . x+4−1

Pro libovolné δ ∈ (0; 1) na okolí Pδ (−3) platí √ √ x+3 x+4+1 x+3 x+4+1 x+3 √ √ = =√ = x+4−1 x+4−1 x+4−1 x+4+1 √ √ x+3 x+4+1 = x + 4 + 1, = x+3 √ √ x+3 a proto je lim √x+4−1 = lim x + 4 + 1 = −3 + 4 + 1 = 2. x→−3

x→−3

Cvičení 4.3 Vypočtěte následující limity. 2 −16 2 +x−2 a) lim xx+4 , b) lim xx2 +5x+6 , x→−4

√ 2− x−3 2 x→7 x −49

c) lim

x→−2

//

.

Věta 4.10 (Věta o třech limitách, Věta o dvou policajtech, Věta o VB) Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ (a) platí g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) a jestliže platí lim g(x) = lim h(x) = A, pak platí lim f (x) = A. x→a

x→a

x→a

y

h f g

A

a

x

Obrázek 45 K větě o dvou policajtech Důkaz Podle předpokladů ke každému ε > 0 existují čísla δ1 , δ2 > 0 taková, že pro x ∈ ∈ Pδ1 (a) je g(x) ∈ Uε (A) a pro x ∈ Pδ2 (a) je h(x) ∈ Uε (A). Označme γ = min{δ; δ1 ; δ2 }. Potom pro x ∈ Pγ (a) platí A − ε < g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) < A + ε , neboli f (x) ∈ Uε (A). Odtud již plyne, že lim f (x) = A. x→a

45


4 Limita

Věta 4.11 lim f (x) = 0 platí právě tehdy, když platí lim |f (x)| = 0. x→a

x→a

Důkaz Zde provedu důkaz pouze zleva doprava. Opačným směrem se provede podobně. (Proveďte!) Podle definice limity pro každé číslo ε > 0 existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ (a) platí |f (x) − 0| < ε. Protože je |f (x)| − 0 = |f (x)| = |f (x)| = |f (x) − 0| < ε , pro všechna x ∈ Pδ (a) platí |f (x)| − 0 < ε, neboli lim |f (x)| = 0. x→a

Cvičení 4.4 S pomocí věty 4.11 určete limitu lim 2D(x) − 1 x. x→0

Věta 4.12 Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ (a) platí |f (x)| ≤ ≤ |g(x)| a jestliže platí lim g(x) = 0, pak platí lim f (x) = 0. x→a

x→a

Příklad 4.11 Určeme limitu lim R(x). x→0

Pro x ∈ (0; 1) \ Q je R(x) = 0 < x. Pro x = pq ∈ (0; 1) ∩ Q je R(x) = 1q ≤ pq = x. Z toho plyne, že R(x) ≤ x pro x ∈ (0; 1). Pro x ∈ (−1; 0) je R(x) = R(−x) ≤ −x. Z toho plyne, že |R(x)| ≤ |x| pro x ∈ P1 (0). Dále je lim x = 0. Podle věty 4.12 je lim R(x) = 0. // x→0

x→0

Věta 4.13 Jestliže je lim f (x) = 0 a existují čísla δ > 0 a K ≥ 0 taková, že pro všechna x→a

x ∈ Pδ (a) platí |g(x)| ≤ K, pak platí lim f (x)g(x) = 0. x→a

Důkaz Podle věty 4.11 platí lim |f (x)| = 0. Pro všechna x ∈ Pδ (a) platí |g(x)| ≤ K, x→a neboli |f (x)g(x)| = |f (x)||g(x)| ≤ K|f (x)| = |Kf (x)| . Dále je lim Kf (x) = K lim f (x) = 0, a tedy podle věty 4.12 je lim f (x)g(x) = 0. x→a

x→a

x→a

Věta 4.13 říká toto: Je-li lim f (x) = 0 a funkce g je omezená na okolí bodu a, pak platí x→a

lim f (x)g(x) = 0.

x→a

Příklad 4.12 Nechť d(x) je funkce z příkladu 4.2 (d body lineární). Určeme limitu lim xd(x).

1 2n+1

= 1, d

1 2n

= 0, mezi těmito

x→0

Funkce d(x) je omezená. Dále platí lim x = 0. Z toho plyne, že lim xd(x) = 0. x→0

x→0

//

Úkol Podobné věty existují i pro jednostranné limity. Projděte si všechny uvedené věty a řekněte, jak se změní.

46


4 Limita

Shrnutí 1 Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ (a) : f (x) ∈ ∈ Uε (A). Zapisujeme lim f (x) = A. Analogicky se definují limity zprava a zleva. Limita je x→a

číslo, k němuž se blíží hodnoty f (x), když se x blíží k číslu a. Funkce může mít v daném bodě nejvýše jednu limitu. Limita existuje právě tehdy, když existují obě jednostranné limity a jsou si rovny. Pro spojité funkce platí lim f (x) = f (a). Limita součtu je rovna součtu limit; analogicky pro rozdíl, součin a podíl. Jestliže se dvě funkce rovnají na něja kém redukovaném okolí bodu a, pak se jejich limity v bodě a rovnají. Limita součinu omezené funkce a funkce s limitou rovnou nule je rovna nule.

4.3

Nevlastní limity

Definice 4.4 Množina R∗ = R ∪ {−∞; +∞} se nazývá rozšířená reálná osa. Čísla +∞ a −∞ se nazývají nevlastní (nekonečná) reálná čísla. Na roozšířené reálné ose se definují následující operace: Definice 4.5

∀a ∈ R : ∀a ∈ R : ∀a ∈ R+ : ∀a ∈ R+ : ∀a ∈ R− : ∀a ∈ R− :

∀a ∈ R :

a + (+∞) = a − (−∞) = +∞ a + (−∞) = a − (+∞) = −∞ (+∞) + (+∞) = (+∞) − (−∞) = +∞ (−∞) + (−∞) = (−∞) − (+∞) = −∞ a(+∞) = (+∞)a = +∞ a(−∞) = (−∞)a = −∞ a(−∞) = (−∞)a = +∞ a(+∞) = (+∞)a = −∞ (+∞)(+∞) = (−∞)(−∞) = +∞ (+∞)(−∞) = (−∞)(+∞) = −∞ a a = =0 +∞ −∞

Nedefinuje se (±∞) − (±∞), (±∞) + (∓∞), 0(±∞), a0 , neurčité výrazy. Příklad 4.13 Určeme hodnotu výrazu

±∞ ±∞ , ±∞ . 0

Tyto výrazy se nazývají

4+(−∞) . 2−(1/+∞)

4 + (−∞) 4 + (−∞) −∞ 1 = = = (−∞) = −∞ 1 2−0 2 2 2 − +∞ Definice 4.6 Nechť K je reálné číslo. Potom K-okolí redukované K-okolí K-okolí redukované K-okolí

bodu bodu bodu bodu

+∞ +∞ −∞ −∞

je je je je

47

interval interval interval interval

UK (+∞) = (K; +∞); PK (+∞) = (K; +∞); UK (−∞) = (−∞; K); PK (−∞) = (−∞; K).

//


4 Limita

Zde znovu připomínám definici limity: Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže pro každé okolí U(A) bodu A existuje redukované okolí P(a) bodu a takové, že pro všechna x ∈ P(a) platí f (x) ∈ U(A). S pomocí definice 4.6 již můžeme nadefinovat nevlastní limity. Definice 4.7 Funkce f má v bodě a ∈ R (nevlastní) limitu +∞, jestliže pro každé K ∈ R existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pδ (a) platí f (x) > K, neboli stručněji lim f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀K ∈ R ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ (a) : f (x) > K .

x→a

Funkce f má v (nevlastním) bodě +∞ limitu A ∈ R, jestliže pro každé ε > 0 existuje K ∈ R takové, že pro všechna x > K platí f (x) ∈ Uε (A), neboli lim f (x) = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃K ∈ R ∀x > K : f (x) ∈ Uε (A) .

x→+∞

Funkce f má v (nevlastním) bodě +∞ (nevlastní) limitu +∞, jestliže pro každé L ∈ R existuje K ∈ R takové, že pro všechna x > K platí f (x) > L, neboli stručněji lim f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀K ∈ R ∃K ∈ R ∀x > K : f (x) > L .

x→+∞

Situaci ilustrují postupně obrázky 46, 47 a 48. y

f (x) K f a − δ ax a + δ

x

Obrázek 46 Nevlastní limita y

y

A+ε f (x) A

f (x)

f

f L

A−ε K

x

x

K

x

x

Obrázek 48 Nevl. limita v nevl. bodě

Obrázek 47 Limita v nevlastním bodě

Analogicky se definují limity lim f (x) = −∞, lim f (x) = A, lim f (x) = ±∞ a x→a

x→−∞

lim f (x) = ±∞. Proveďte!

x→a±

48

x→±∞


4 Limita

Úkol Téměř všechny věty z části 4.2 platí i pro nevlastní limity a limity v nevlastních bodech. Důkazy se musí rozdělit na případy, kdy jsou limity vlastní, nebo nevlastní a ve vlastních (konečných), nebo nevlastních bodech. Přitom se využívají vztahy uvedené v definicích 4.5 a 4.6. Určete, jaký tvar mají tyto věty pro nevlastní limity. Pro nevlastní limity platí samozřejmě i další věty. Zde uvedu pouze jednu. Věta 4.14 Nechť platí lim f (x) > 0 a lim g(x) = 0 a nechť existuje číslo δ > 0 takové, x→a

x→a

f (x) x→a g(x)

že pro všechna x ∈ Pδ (a) platí g(x) > 0. Potom platí lim

= +∞. Podobně platí

f (x) = −∞ , x→a x→a x→a g(x) f (x) lim f (x) < 0 ∧ lim g(x) = 0 ∧ ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ (a) : g(x) > 0 ⇒ lim = −∞ , x→a x→a x→a g(x) f (x) = +∞ . lim f (x) < 0 ∧ lim g(x) = 0 ∧ ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ (a) : g(x) < 0 ⇒ lim x→a g(x) x→a x→a lim f (x) > 0 ∧ lim g(x) = 0 ∧ ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ (a) : g(x) < 0 ⇒ lim

4.4

Počítání limit

V této části se zaměřím na počítání limit racionálních lomených funkcí. V následujícím textu budou P a Q mnohočleny, které nejsou identicky rovny nule, a číslo a bude konečné. Že mnohočlen P není identicky roven nule, znamená, že existuje (alespoň jeden) bod x ∈ ∈ R, pro který platí P (x) 6= 0. 4.4.1

P (x) x→a Q(x)

Limita lim

Případ Q(a) 6= 0 V tomto případě je funkce platí

lim P (x) x→a Q(x)

=

P (x) Q(x)

v bodě a spojitá a podle věty 4.3

P (a) . Q(a)

Případ Q(a) = 0 a P (a) = 0 V tomto případě je číslo a kořenem rovnice Q(x) = = 0, a proto lze mnohočlen Q vyjádřit ve tvaru Q(x) = (x − a)Q1 (x), kde Q1 je nějaký mnohočlen. Analogicky platí P (x) = (x − a)P1 (x). Dále existuje redukované okolí bodu a, (x−a)P1 (x) P1 (x) P (x) na kterém platí Q(x) 6= 0. Na tomto okolí platí Q(x) = (x−a)Q =Q a podle věty 4.3 1 (x) 1 (x) P (x) P1 (x) P (x) = lim Q . Vyšetřování limity lim Q(x) se takto Q(x) (x) 1 x→a x→a x→a P1 (x) limity lim Q , ve které se vyskytují jednodušší mnohočleny. x→a 1 (x)

platí lim

převede na vyšetřování

Případ Q(a) = 0 a P (a) 6= 0 Tento případ je nejsložitější, protože je třeba vyšetřovat jednostranné limity. Dále zde předpokládejme, že P (a) > 0. (Případ P (a) < 0 je stejný, pouze s opačnými znaménky.) Jestliže na nějakém redukovaném pravém okolí bodu a platí Q(x) > 0, podle věty 4.14 P (x) P (x) platí lim Q(x) = +∞. Obdobně pro limitu zleva. Aby mohla limita lim Q(x) existovat, x→a+

x→a

musí se limity zleva a zprava rovnat. 49


4 Limita

Tento postup budu ilustrovat na příkladu. 2

v bodech a = 1; 2; 3; 4. Příklad 4.14 Vypočtěme limitu funkce f (x) = xx2 −6x+8 −5x+6 a) Případ a = 1: Pro x = 1 je jmenovatel roven dvěma, a tedy funkce f je spojitá v bodě 1. V tomto případě je limita rovna přímo hodnotě funkce, neboli lim f (x) = x→1

= f (1) = 23 . b) Případ a = 2: Pro x = 2 je jmenovatel roven nule. Čitatel je také roven nule. Proto lze 2 (x−2)(x−4) x−4 = (x−2)(x−3) = x−3 , z čehož zlomek zkrátit výrazem (x − 2). Pro x ∈ P1 (2) platí xx2 −6x+8 −5x+6 2

−6x+8 plyne, že lim xx2 −5x+6 = lim x−4 . Funkce x−4 je v bodě 2 spojitá, a proto lim x−4 = 2−4 = x−3 2−3 x→2 x→2 x−3 x→2 x−3 = 2. x−4 c) Případ a = 3: Na okolí bodu 3 platí f (x) = x−3 . Zde je čitatel nenulový, ale jmenovatel je roven nule. Proto je nutné šetřit znaménka funkce na okolí bodu 3. Nalevo je x−4 < 0 a 2 x − 3 < 0, a proto lim xx2 −6x+8 = +∞. Napravo (blízko bodu 3) je x − 4 < 0 a x − 3 > 0, a −5x+6

proto

x→3− x2 −6x+8 = −∞. lim 2 x→3+ x −5x+6

Protože se jednostranné limity nerovnají, (oboustranná) limita

v bodě 3 neexistuje. d) Případ a = 4: Zde je čitatel roven nule a jmenovatel různý od nuly. Nenechte se zmást. Hodnota čitatele není důležitá. Důležité je, že jmenovatel je různý od nuly, a proto je f spojitá v bodě a a platí lim f (x) = f (4) = 0. // x→4

4.4.2

Limita lim xn x→±∞

Při výpočtu této limity je také nutno vyšetřit několik případů. Případ x → +∞ a n > 0 V tomto případě platí lim xn = +∞. To se dokáže snadno. x→+∞

Je třeba dokázat, že pro každé L > 0 existuje K > 0 takové, že pro všechna x > K platí √ xn > L. Stačí zvolit K = n L. Případ x → −∞ a n > 0 sudé Postupuje se zavedením substituce y = −x. Potom platí lim xn = lim (−y)n = lim y n . Podle předchozího případu je lim xn = +∞ x→−∞

y→+∞

y→+∞

x→+∞

Případ x → −∞ a n > 0 liché Postupuje se zavedením substituce y = −x. Potom platí lim xn = lim (−y)n = − lim y n . Podle prvního případu je lim xn = −∞. x→−∞

y→+∞

y→+∞

x→−∞

1 1 . −n = lim x−n x→±∞ x x→±∞ lim xn = 0. x→±∞

Případ n < 0 V tomto případě platí lim xn = lim x→±∞

staneme výraz

1 , ±∞

který je roven nule. Proto platí

50

Zde vždy do


4.4.3

4 Limita

P (x) x→±∞ Q(x)

Limita lim

Zde budu používat zkrácený zápis sčítání n X

ai = am + am+1 + · · · + an .

i=m

Předpokládejme, že stupeň mnohočlenu je P je m. To znamená, že P (x) =

m X

pi xi = pm xm + · · · + p1 x + p0 ,

i=0

kde pm 6= 0. Dále předpokládejme, že stupeň mnohočlenu Q je n a Q(x) =

n X

qi x i = qn x n + · · · + q1 x + q0 ,

i=0

kde je qn 6= 0. Vyšetřujme danou limitu pro x → +∞. Nejdříve je třeba limitu trochu upravit. m P

P (x) = lim i=0 n x→+∞ P x→+∞ Q(x)

m−1 P xm pm + pi xi−m

pi xi = lim

lim

qi

x→+∞

xi

xn

i=0

x = lim

x→+∞

m

qn +

i=0 n−1 P

qi

xi−n

=

i=0

m P

pm +

x n qn +

j=1 n P

pm−j x

−j

qn−j x−j

j=1

V posledním kroku byla v čitateli použita substituce j = m − i, ve jmenovateli j = n − i. Nyní použijeme větu 4.4 (o limitě součtu, . . . ). S využitím diskuze o předchozí limitě postupně dostaneme

xm = lim n · x→+∞ x

xm = lim n · x→+∞ x

pm + qn + pm + qn +

m P j=1 n P j=1 m P j=1 n P

pm−j lim x−j x→+∞

= pn−j lim

x→+∞

pm−j · 0

x−j

xm pm · . x→+∞ xn qn

= lim pn−j · 0

j=1

Z tohoto je vidět, že při vyšetřování limity racionální lomené funkce v nevlastním bodě se stačí omezit na členy nejvyššího řádu, tedy členy s nejvyšší mocninou. Opět je třeba rozlišit několik případů. 51


4 Limita

Případ m < n Protože je m − n < 0, dostáváme s využitím předchozího P (x) pm xm pm m−n pm lim = lim n = lim x = · 0 = 0. x→+∞ Q(x) x→+∞ x→+∞ qn x qn qn Případ m = n Zde je

xm xn

P (x) x→+∞ Q(x)

= 1, a proto platí lim xm n x→+∞ x

Případ m > n Zde platí lim stejná znaménka, je číslo

pm qn

=

pm qn

.

= +∞, protože je m − n > 0. Mají-li čísla pm a qn P (x) = pqmn lim xm−n = +∞. x→+∞ Q(x) x→+∞ P (x) číslo pqmn záporné, a proto lim Q(x) x→+∞

kladné, a proto je lim

naopak mají čísla pm a qn různá znaménka, je

Jestliže = −∞.

Limita pro x → −∞ se substitucí y = −x převádí na předcházející případy. Proveďte podrobnou diskuzi všech případů. Příklad 4.15 Vypočtěme následující limity 2x3 − x2 + 5 2x3 = 2 lim x = 2(+∞) = +∞ = lim x→+∞ x→+∞ x2 x→+∞ x2 + x − 2 3 3 4x − x + 2 4 4x 4 lim = lim = lim = x→−∞ 3x3 + x2 + x − 1 x→−∞ 3 x→−∞ 3x3 3 x2 − 2x + 5 x2 =0 = lim lim x→+∞ 2x3 x→+∞ 2x3 − x2 + 4 lim

//

Shrnutí 2 K-(redukované) okolí bodu +∞ je interval (K; +∞). K-(redukované) okolí bodu −∞ je interval (−∞; K). Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže ∀U(A) ∃P(a) ∀x ∈ ∈ P(a) : f (x) ∈ U(A). Při výpočtu limity racionální lomené funkce ve vlastním bodě a je nutno rozlišit několik případů. Když je jmenovatel nenulový, je limita rovna přímo hod notě f (a). Je-li čitatel i jmenovatel roven nule, lze zlomek zkrátit výrazem (x − a). Když je jmenovatel nulový a čitatel nenulový, jsou jednostranné limity nekonečné; znaménka je třeba určit z chování funkce na okolí P (a). Při výpočtu limity racionální lomené funkce v nevlastním bodě se počítá pouze se členy s nejvyšší mocninou. Když je mocnina u čitatele menší než u jmenovatele, je limita rovna nule. Když se obě mocniny rovnají, pak je limita rovna podílu koeficientů u těchto mocnin. Když je mocnina u čitatele větší než u jmenovatele, je limita nekonečná. Limita patří k nejdůležitějším pojmům matematické analýzy a proto je nutné umět limity počítat rychle. Dosud máme k dispozici málo funkcí, a proto jsme mohli probrat pouze pár typů limit. V následujících kapitolách nadefinuji další funkce. Limity těchto funkcí se často převádějí na limity racionálních lomených funkcí. Proto je nutné, abyste uměli tyto limity rychle vyčíslit. Ale brzy uvidíte, že některé limity spočítáte hned, jak se na ně podíváte.

52


4 Limita

Cvičení Cvičení 4.5 Určete následující limity. x2 − 1 x3 − 3x + 2 x3 − 2x2 − 4x + 8 e) lim h) lim x→0 2x2 − x − 1 x→1 x4 − 4x + 3 x→2 x4 − 8x2 + 16 x2 − 1 x2 − 5x + 6 x3 − 2x − 1 b) lim 2 f) lim 2 i) lim 5 x→1 2x − x − 1 x→3 x − 8x + 15 x→−1 x − 2x − 1 4 (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 x − 3x + 2 (x2 − x − 2)20 g) lim 5 j) lim 3 c) lim x→1 x − 2x + 1 x→2 (x − 12x + 16)10 x→0 x 5 (1 + x) − (1 + 5x) d) lim x→0 x2 + x5 a) lim

Cvičení 4.6 Určete následující limity. x2 x→+∞ 2x2 − x − 1 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) b) lim x→+∞ (5x − 1)5 (2x − 3)20 (3x + 2)30 c) lim x→+∞ (2x + 1)50 a) lim

53

2x + 3 x→+∞ 3x − 1 3x − 1 e) lim 2 x→+∞ x + 1 x3 − 3x + 1 f) lim x→+∞ 2 − x2 − x3

d) lim


5

5 Transcendentní funkce

Transcendentní funkce

Obsah lekce 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

54 59 60 61

Klíčová slova Goniometrické, cyklometrické, exponenciální, logaritmické funkce.

5.1

Goniometrické funkce

Věta 5.1 Existuje jediná dvojice funkcí ϕ : R → R a ψ : R → R a jediné číslo π > 0 splňující následující podmínky:

(1) ∀x ∈ R : ϕ2 (x) + ψ 2 (x) = 1 , (4) ϕ jerostoucí na 0; π2 , (2) ∀x, y ∈ R : ϕ(x + y) = ϕ(x)ψ(y) + ϕ(y)ψ(x) , (5) ϕ π2 = 1 , = 1, (6) ψ(π) = −1 . (3) lim ϕ(x) x x→0

Výraz ϕ2 (x) se používá jako zkratka výrazu (ϕ(x))2 . Obdobně pro ψ 2 (x) a podobně. Důkaz Není složitý, ale je až příliš „matematickýÿ. Zde uvedu pouze důkaz jednoznač nosti čísla π. Předpokládejme, že existují čísla π1 a π2 splňující podmínky újmy na obec

π2 (1)–(6). Bez π1 π2 nosti nechť je π1 < π2 . Podle (4) je ϕ rostoucí na 0; . Dále je < , a proto 2 2 2 π1 π2 π1 π2 ϕ 2 < ϕ 2 . Podle (5) však platí ϕ 2 = ϕ 2 = 1, což je spor. Takové číslo π tedy existuje právě jedno. Definice 5.1 Funkce ϕ a ψ z věty 5.1 se po řadě nazývají sinus a kosinus a označují se sin a cos. Číslo π se nazývá Ludolfovo5 číslo. 5

Ludolph van Ceulen (1540–1610) byl německý učitel matematiky a šermu. Proslavil se svým výpočtem čísla π s přesností na 35 desetinných míst pomocí mnohoúhelníku s 4 611 686 018 427 387 904 stranami.

54



S využitím definice 5.1 lze vztahy (1)–(6) zapsat takto: (1) ∀x ∈ R : sin2 x + cos2 x = 1 , (2) ∀x, y ∈ R : sin(x + y) = sin x · cos y + sin y · cos x , (3) lim sinx x = 1 , x→0

(4) sin je rostoucí na 0; π2 , (5) sin π2 = 1 , (6) cos π = −1 .

Vlastnosti funkcí sin a cos Lze je dokázat z uvedených šesti vlastností. Vlastnosti označené (!) je velmi dobré umět zpaměti. Součtové vzorce (!) sin(x + y) = sin x · cos y + sin y · cos x cos(x + y) = cos x · cos y − sin x · sin y Hodnoty funkcí dvojnásobného argumentu (!) sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x Hodnoty funkcí polovičního argumentu Tyto vzorce lze snadno odvodit z předcho zích vzorců. r x sin = 1 − cos x 2 2 r cos x = 1 + cos x 2 2 √ √ Skutečná hodnota sin x2 , tedy sin x2 = · · ·, nebo sin x2 = − · · ·, se určí podle toho, zda je sin x2 větší, nebo menší než nula. Obdobně pro funkci cos.

Hodnoty funkcí na intervalu 0; π2 (!) x

0

sin x

0

cos x

1

π 6 1 2 √ 3 2

55

π 4 √ 2 2 √ 2 2

π 3 √ 3 2 1 2

π 2 1 0



Tyto hodnoty se dobře pamatují za předpokladu, že se vyjádří v následujícím tvaru: x

π 6 √ 1 2 √ 3 2

0 √ 0 2 √ 4 2

sin x cos x

π 4 √ 2 2 √ 2 2

π 3 √ 3 2 √ 1 2

π 2 √ 4 2 √ 0 2

Další hodnoty funkcí (!) sin(x + π) = − sin x cos(x + π) = − cos x sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cos x , obě funkce mají periodu 2π π = cos x sin x + 2 sin(π − x) = sin x cos(−x) = cos x , funkce cos je sudá sin(−x) = − sin x , funkce sin je lichá x

0

π 2

π

3π 2

2π

sin x cos x

0 1

1 0

0 −1

−1 0

0 1

Spojitost Funkce sin a cos jsou spojité na R. Grafy funkcí (!) Jsou na obrázcích 49 a 50. y

y

1

1

π

−π

2π

π

−π

3π x

−1

2π

3π x

−1

Obrázek 49 Graf funkce sin x

Obrázek 50 Graf funkce cos x 56



Geometrický význam Sledujte obrázek 51. Mějme jednotkovou kružnici (tj. o polo měru r = 1) se středem v počátku. Dále mějme polopřímku svírající s kladným směrem osy x úhel ϕ (v radiánech). Označme A průsečík této polopřímky a kružnice. Potom bod A má souřadnice A = [cos ϕ; sin ϕ]. y 1 sin ϕ

A

ϕ cos ϕ 1 x

−1

−1

Obrázek 51 K textu Protože plný úhel má velikost 2π, je bod A při úhlech ϕ a ϕ + 2π tentýž, z čehož také plyne perioda 2π funkcí sin a cos. Příklad 5.1 Určeme limitu lim

x→0

sin mx , nx

kde m, n ∈ R a n 6= 0.

sin mx m sin mx = lim x→0 nx n x→0 mx lim

Substitucí y = mx ihned dostaneme =

sin y m m m lim = ·1= . y→0 n y n n

sin x Definice 5.2 Funkce tg x = cos se nazývá tangens. Funkce cotg x = x kotangens. Funkce sin, cos, tg a cotg se nazývají goniometrické funkce.

Vlastnosti funkce tg Plynou přímo z vlastností funkcí sin a cos. Hodnota funkce dvojnásobného argumentu. tg 2x =

Hodnoty na intervalu 0; π2 (!) x

0

tg x

0

π 6

π 4

√

3 3

57

1

π 3

√

3

2 tg x 1 − tg2 x

//

cos x sin x

se nazývá


V bodě

π 2


není funkce tg definována, ale platí lim tg x = +∞ ,

x→ π2 −

lim tg x = −∞ .

x→ π2 +

Další hodnoty funkce tg π 1 tg −x = 2 tg x −1 π = tg x + 2 tg x tg(x + π) = tg x , funkce tg má periodu π tg(−x) = − tg x , funkce tg je lichá Spojitost Funkce tg je spojitá ve všech bodech x ∈ R s výjimkou bodů x = (2k + 1) π2 , kde k ∈ Z. Graf funkce tg (!) Je na obrázku 52. y 5 π

−π

2π

x

−5

Obrázek 52 Graf funkce tg x tg x . x→0 x


tg x 1 sin x 1 sin x = lim = lim =1 x→0 x x→0 cos x x 1 x→0 x lim

//

Úkol Odvoďte základní vlastnosti funkce cotg. Spousta dalších vzorců týkajících se goniometrických funkcí je uvedena v knize [1] na stranách 357–367.

58


5.2


Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní ke goniometrickým funkcím. Protože goniome trické funkce jsou ryze monotonní pouze na určitých intervalech, je třeba nejdříve provést zúžení funkcí na dané intervaly. Definice 5.3

π π a) Funkce arcsin : h−1; 1i → − 2 ; 2 je funkce inverzní k funkci sin zúžené na interval

π π − 2 ; 2 ; nazývá se arkussinus. b) Funkce arccos : h−1; 1i → h0; πi je funkce inverzní k funkci cos zúžené na interval h0; πi; nazývá se arkuskosinus. c) Funkce arctg : R → − π2 ; π2 je funkce inverzní k funkci tg zúžené na interval − π2 ; π2 ; nazývá se arkustangens. d) Funkce arccotg : R → (0; π) je funkce inverzní k funkci cotg zúžené na interval (0; π); nazývá se arkuskotangens. Ihned z definice plyne, že sin arcsin x = x cos arccos x = x tg arctg x = x cotg arccotg x = x

pro pro pro pro

x ∈ h−1; 1i , x ∈ h−1; 1i , x ∈ R, x ∈ R.

Vlastnosti cyklometrických funkcí Hodnoty funkcí opačného argumentu arcsin(−x) = − arcsin x arccos(−x) = π − arccos x arctg(−x) = − arctg x arccotg(−x) = π − arccotg x Monotonnost funkcí Funkce arcsin a arctg jsou rostoucí. Funkce arccos a arccotg jsou klesající. Spojitost Všechny uvedené cyklometrické funkce jsou spojité (na svých definičních obo rech).

59



Limity funkcí (!) lim arctg x =

x→+∞

π 2

lim arctg x = − π2

x→−∞

lim arccotg x = 0

x→+∞

lim arccotg x = π

x→−∞

Další vlastnosti a vzorce týkající se cyklometrických funkcí jsou uvedeny v knize [1] na stranách 376–378.

5.3

Exponenciální funkce

Věta 5.2 Existuje jediná funkce ϕ splňující následující podmínky: (1) ∀x, y ∈ R : ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y) ,

ϕ(x) − 1 = 1. x→0 x

(2) lim

Definice 5.4 Funkce ϕ z věty 5.2 se nazývá exponenciální funkce (při základu e), nebo přirozená exponenciální funkce, a označuje se exp x, častěji však ex . Číslo e = exp 1 se nazývá Eulerovo6 číslo. Přirozené exponenciální funkci se často stručně říká funkce „e na x-touÿ. Zde uvedu náznak důkazu, že pro všechna x ∈ R platí exp x = (exp 1)x , neboli, že můžeme psát ϕ(x) = ex . (Pro stručnost budu psát ϕ namísto exp.) Z vlastnosti (1) plyne, že ϕ(2) = ϕ(1 + 1) = ϕ(1)ϕ(1) = ϕ2 (x). Indukcí se snadno dokáže, že ϕ(n) = ϕn (1). Z vlastnosti (2) plyne, že ϕ(0) = 1. Dále je 1 = ϕ(0) = ϕ(n)ϕ(−n), neboli ϕ(−n) = = ϕ−n (1). Pro všechna x ∈ R je ϕ(2x) = ϕ2 (x) ≥0. Z vlastnosti (1) plyne, že ϕn n1 = = ϕ(1). Protože je ϕ ≥ 0, existuje jediné číslo ϕ n1 = ϕ1/n (1). Dále je ϕ m = ϕm n1 = n = ϕm/n (1). Pomocí posloupností (a věty 11.7) se pak dokáže, že ϕ(x) = ϕx (1) pro všechna x ∈ R. Kdybychom počítali s ϕ(y) namísto ϕ(1), dostali bychom ϕx (y) = ϕ(xy), neboli (ey )x = exy , z čehož plyne, že se ex chová jako klasická mocnina. Číslo e = e1 = exp 1 se chová jako základ této mocniny. S využitím definice 5.4 lze vztahy (1)–(2) věty 5.2 zapsat takto: (1) ∀x, y ∈ R : ex+y = ex ey , 6

ex − 1 = 1. x→0 x

(2) lim

Leonhard Euler [ojler] byl švýcarský matematik žijící v letech 1707–1783. Byl jedním z největších matematiků v historii. Jeho vliv je patrný v mnoha oblastech matematiky. Zabýval se mimo jiné analýzou, analytickou a diferenciální geometrií, trigonometrií, teorií čísel, diferenciálními rovnicemi matematické fyziky, byl jedním ze zakladatelů variačního počtu, vybudoval teorii analytických funkcí komplexní proměnné. Rovněž hrál nazenedbatelnou roli v mnoha oblastech fyziky.

60



Vlastnosti exponenciální funkce (!) ex+y = ex ey exy = (ex )y

ex je rostoucí a spojitá lim ex = 0 x→−∞

x

lim ex = +∞

e >0

x→+∞

Graf funkce ex (!) Je na obrázku 53. y 4 3 2 1 −2

−1

1

2 x

−1

Obrázek 53 Graf funkce ex ex+h −ex h h→0


při daném x.

ex eh − ex eh − 1 ex+h − ex = lim = ex lim = ex · 1 = ex h→0 h→0 h→0 h h h lim

5.4

//

Logaritmická funkce

Definice 5.5 Funkce ln : (0; +∞) → R je funkce inverzní k funkci ex . Nazývá se (přiro zená) logaritmická funkce, nebo zkráceně (přirozený ) logaritmus. Ihned z definice plyne, že platí eln x = x pro x ∈ (0; +∞) a ln ex = x pro x ∈ R. Vlastnosti přirozeného logaritmu (!) Plynou ihned z vlastností přirozené exponen ciální funkce. ln xy = ln x + ln y ln xy = y ln x ln x je rostoucí a spojitá ln 1 = 0 ln e = 1 lim ln x = −∞

x→0+

lim ln x = +∞

x→+∞

Definice 5.6 Nechť b > 0 je dané číslo. Potom funkce bx = ex ln b se nazývá exponenciální funkce při základu b. 61



Exponenciální funkci o základu b se stručně říká funkce „b na x-touÿ. Úkol Funkce bx se chová jako klasická mocnina. Dokažte její základní vlastnosti po mocí vlastností přirozené exponenciální a logaritmické funkce a načrtněte graf. Rozlište případy b < 1, b = 1 a b > 1. Definice 5.7 Nechť b > 0, b 6= 1 je dané číslo. Funkce logb : (0; +∞) → R je funkce inverzní k funkci bx ; nazývá se logaritmická funkce při základu b, nebo jen logaritmus při základu b. Ihned z definice plyne, že platí blogb x = x pro x ∈ (0; +∞) a logb bx = x pro x ∈ R. Příklad 5.4 Vyjádřeme funkci logb pomocí funkce ln. Vztah x = blogb x lze zapsat ve tvaru eln x = (eln b )logb x = eln b·logb x . Protože funkce ex je x rostoucí a tedy prostá, musí platit ln x = ln b · logb x. Z toho plyne, že logb x = ln . // ln b Úkol Na základě posledního vztahu odvoďte základní vlastnosti logaritmu při základu b. Rozlište případy b < 1 a b > 1.

Tato kapitola sloužila ke shrnutí základních vlastností základních transcendentních funkcí. Tyto vlastnosti asi již znáte ze střední školy. Tam jste si je však definovali ne úplně matematicky. (Například exponenciální funkci jste si definovali jako nějakou mocninu. Pomocí této definice lze dokázat základní vlastnosti, ale složitější vlastnosti by vůbec dokázat nešly. Jak později uvidíte, má funkce ex mnoho zajímavých vlastností a dokonce jsou i vlastnosti, které mezi všemi funkcemi tvaru ax má pouze funkce ex . Tyto vlastnosti samozřejmě není možné dokázat z definice exponenciální funkce jako mocniny.) Zde jsem však tyto funkce zavedl matematicky: Uvedl jsem několik vlastností, dokázal jsem, že existuje jediná funkce mající tyto vlastnosti a tuto funkci jsem pojmenoval. Na základě těchto několika vlastností lze pak určit všechny další vlastnosti a lze dále s těmito funkcemi pracovat. Z mnoha vlastností, jež tyto funkce mají, jsem zde uvedl ty, které jsou důležité pro matematickou analýzu. Vlastnosti označené (!) byste měli znát nazpaměť.

62


6

6 Derivace

Derivace

Obsah lekce 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Pojem derivace . . . . . . . . . . . Věty o počítání derivací . . . . Derivace elementárních funkcí Diferenciál funkce . . . . . . . . . Derivace vyšších řádů . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

63 65 69 71 72 74

Klíčová slova Derivace, diferenciál.

6.1

Pojem derivace

Definice 6.1 Nechť f je funkce a x ∈ Dom f číslo. Potom limita f (x + h) − f (x) h→0 h lim

se nazývá derivace funkce f v bodě x. Uvedená limita závisí na hodnotě čísla x; je to tedy funkce proměnné x. Derivace funkce f se značí f 0 , někdy také df . Derivace funkce f v bodě x se značí f 0 (x). dx Jestliže se v uvedené limitě zavede substituce t = x + h, lze psát f (t) − f (x) . t→x t−x

f 0 (x) = lim

Geometrický význam derivace Derivace f 0 (x) určuje směrnici tečny ke grafu funkce f v bodě [x; f (x)]. Sledujte obrázek 54. Sestrojme ke grafu funkce f tečnu v bodě [x; f (x)]. Označme α úhel, který tato tečna svírá s osou x. Potom platí f 0 (x) = tg α. y f f (x)

α x

x

Obrázek 54 Geometrický význam derivace 63


6 Derivace

Pojem derivace patří k základním pojmům celé matematiky. Proto je nutné umět derivace počítat hbitě, doslova „ jako násobilkuÿ. Příklad 6.1 Vypočtěme derivaci funkce f (x) = x1 . 0

f (x) = lim

h→0

1 x+h

− h

1 x

= lim

x−(x+h) x(x+h)

h

h→0

= lim

h→0

−h x(x+h)

h

−1 1 =− 2. h→0 x(x + h) x

= lim

√ Příklad 6.2 Vypočtěme derivaci funkce f (x) = 2 + x. √ √ 2+x+h− 2+x 0 f (x) = lim = h→0 h √ √ √ √ 2+x+h− 2+x 2+x+h+ 2+x √ = lim ·√ = h→0 h 2+x+h+ 2+x 2 + x + h − (2 + x) h = lim √ = √ √ = lim √ h→0 h h→0 h 2+x+h+ 2+x 2+x+h+ 2+x 1 1 √ = lim √ = √ h→0 2 2+x 2+x+h+ 2+x

//

(1)

//

Z tohoto příkladu je vidět, že počítání derivací složitějších funkcí může být obtížné. Pro elegantnější výpočet derivací se využívají vztahy uvedené v částech 6.2 a 6.3. Protože derivace je speciálním případem limity, existují i jednostranné derivace. Definice 6.2 Nechť f je funkce a x ∈ Dom f číslo. Potom limita f (x + h) − f (x) , h→0+ h lim

resp.

f (x + h) − f (x) , h→0− h lim

se nazývá derivace funkce f v bodě x zprava, resp. zleva. Derivace funkce f zprava, resp. zleva, se značí f+0 , resp. f−0 . Příklad 6.3 Vypočtěme jednostranné derivace funkce f (x) = |x| v bodě 0. Určeme nejdříve f+0 (0). |h| |h| − |0| = lim . h→0+ h h→0+ h

f+0 (0) = lim |h| h→0+ h

Protože je h > 0, je |h| = h a lim

h h→0+ h

= lim

způsobem se ukáže, že f−0 (0) = −1.

= 1. Platí tedy f+0 (0) = 1. Podobným //

Úkol Než budete číst dále, pokuste se na základě předchozího příkladu určit, zda existuje derivace funkce f (x) = |x| v bodě 0.

64


6 Derivace

Odpověď na položenou otázku podává následující věta. Věta 6.1 Derivace funkce f v bodě x0 existuje právě tehdy, když existují derivace funkce f v bodě x0 zleva i zprava a jsou si rovny. Důkaz Věta plyne přímo z věty 4.2 (limita existuje právě tehdy, když existují limity zleva a zprava a jsou si rovny) a z definice derivace jako limity. Věta 6.2 Jestliže je derivace f 0 (x0 ) konečná, pak je funkce f spojitá v bodě x0 . Důkaz Jestliže je f 0 (x0 ) konečná, pak platí f (x0 + h) − f (x0 ) h = f 0 (x0 ) lim h = f 0 (x0 ) · 0 = 0 , lim f (x0 + h) − f (x0 ) = lim h→0 h→0 h→0 h neboli lim f (x0 + h) = f (x0 ). Z toho plyne, že funkce f je spojitá v bodě x0 . h→0

6.2

Věty o počítání derivací

Abych mohl demonstrovat následující věty na příkladech, musím nejdříve vypočítat deri vace základních funkcí. Příklad 6.4 Derivace funkce f (x) = x je f 0 (x) = 1. Přímým dosazením do vzorce dostaneme f 0 (x) = lim

h→0

x+h−x h

h h→0 h

= lim

= 1.

Příklad 6.5 Derivace konstantní funkce f (x) = c je f 0 (x) = 0. Přímým dosazením do vzorce dostaneme f 0 (x) = lim c−c = lim h0 = 0. h h→0

h→0

//

//

Věta 6.3 Nechť funkce f a g mají v bodě x konečné derivace f 0 (x) a g 0 (x). Potom funkce f + g a f g mají v bodě x také konečnou derivaci a platí (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) ; (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) . Je-li navíc g(x) 6= 0, pak platí 0 f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) f (x) = . g g 2 (x)

65


6 Derivace

Tuto větu lze stručně zapsat (f + g)0 = f 0 + g 0 , (f g)0 = f 0 g + f g 0 , Důkaz

0 f g

=

f 0 g−f g 0 . g2

f (x + h) + g(x + h) − f (x) − g(x) = h→0 h f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x) = lim + lim = f 0 (x) + g 0 (x) h→0 h→0 h h

(f + g)0 (x) = lim

Cvičení 6.1 Statistiky ukazují, že pouze 62,8% studentů se při čtení snaží pochopit uvedené důkazy. Tito studenti pak mají v průměru o jeden stupeň lepší známku. Proč se k nim nepřidáte? Můžete začít u důkazu věty 6.1. Důsledek Nechť c ∈ R je libovolná konstanta a f je funkce. Potom platí (cf )0 (x) = = cf 0 (x). Důkaz Podle příkladu 6.5 je c0 = 0. Dále je (cf )0 = c0 f + cf 0 = 0f + cf 0 = cf 0 .

Důsledek (c1 f1 + · · · + cn fn )0 = c1 f10 + · · · + cn fn0 . Důkaz se provede matematickou indukcí. Příklad 6.6 Spočtěme derivaci funkce f (x) = x2 + 2x + 3. Podle věty 6.3 platí f 0 (x) = (x2 )0 + 2x0 + 30 . Derivace funkce x je x0 = 1, derivace konstanty 3 je 30 = 0. Proto je f 0 (x) = (x2 )0 + 2. Zbývá určit (x2 )0 . Protože je x2 = x · x, platí (x2 )0 = x0 · x + x · x0 = 1 · x + x · 1 = 2x . Z toho plyne, že f 0 (x) = 2x + 2.

//

Důsledek Nechť n ∈ N. Potom platí (xn )0 = nxn−1 . Důkaz Provede se matematickou indukcí. Pro n = 0 uvedený vztah platí, protože (x0 )0 = 10 = 0 = nxn−1 . Předpokládejme, že uvedený vztah platí po n. Potom (xn+1 )0 = (x · xn )0 = x0 · xn + x · nxn−1 = 1 · xn + n · xn = (n + 1)xn a uvedený vztah platí pro n + 1.

Úkol Než budete číst dále, dokažte, že pro všechna z ∈ Z platí (xz )0 = zxz−1 . 66


6 Derivace

Předpokládám, že jste důkaz nalezli. Je jednoduchý. Pro z ∈ N byl tento vztah dokázán dříve. Jestliže z 6∈ N, potom existuje n ∈ N takové, že z = −n. Podle věty o derivaci podílu funkcí ihned dostaneme 0 1 −(xn )0 −nxn−1 z 0 −n 0 (x ) = (x ) = = = = −nx−n−1 = zxz−1 . xn (xn )2 x2n Cvičení 6.2 Určete derivaci funkce f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 . Věta 6.4 Nechť je funkce f spojitá a ryze monotonní na intervalu J a nechť x0 je vnitřní bod intervalu J. Označme y0 = f (x0 ). Dále nechť funkce g je inverzní funkce k funkci f a g 0 (y0 ) existuje a platí g 0 (y0 ) 6= 0. Potom má funkce f v bodě x0 derivaci f 0 (x0 ) =

1 g 0 (y

0)

.

Příklad 6.7 Nechť q ∈ Z \ {0} a a = 1q . Potom pro x > 0 platí (xa )0 = axa−1 . Funkce inverzní k funkci f (x) = x1/q je g(x) = xq . Při výpočtu derivace inverzní funkce se snažíme výraz g 0 (y) upravit tak, aby byl vyjádřen pouze pomocí členů g(y). Poté všechny výskyty g(y) zaměníme neznámou x. Zde je g(y) = y q , a proto se výraz g 0 (y) = qy q−1 musí upravit na tvar q(y q )(q−1)/q . Podle věty 6.4 platí (xa )0 = f 0 (x) =

1 g 0 (y)

=

1 1 1 1 1 1 1−q = x q = x q −1 = axa−1 . q−1 = q−1 = q−1 qy q q q(y q ) q qx q

//

Příklad 6.8 Určeme derivaci funkce f (x) = ln x. Funkce inverzní k funkci f je g(x) = ex . Již v předchozí přednášce bylo dokázáno, že funkce ex je rostoucí a že ex+h − ex = ex . (ex )0 = lim h→0 h Podle věty o derivaci inverzní funkce platí (ln x)0 = f 0 (x) =

1 g 0 (y)

=

1 1 1 = ln x = . y e e x

//

Věta 6.5 Nechť funkce z = g(x) má derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f (z) má derivaci v bodě z0 = g(x0 ). Potom má složená funkce y = f (g(x)) derivaci v bodě x0 a platí 0 f (g(x)) x=x0 = f 0 (g(x0 )) · g 0 (x0 ) .

67


6 Derivace

Na levé straně rovnosti je derivace funkce f ◦ g v bodě x0 . Na pravé straně je derivace funkce f v bodě g(x0 ) vynásobená derivací funkce g v bodě x0 . S pomocí druhého zápisu derivace lze tuto větu symbolicky zapsat ve tvaru dy dz dy = . dx dz dx Příklad 6.9 Vypočtěme derivaci funkce y = (x5 + 2x + 1)7 . Funkce y je složená z funkcí y = z 7 a z = x5 + 2x + 1. Funkce y = z 7 má derivaci dy dz funkce z = x5 + 2x + 1 má derivaci dx = 5x4 + 2. Pro derivaci dx platí

dy dz

= 7z 6 ,

dy dy dz = = 7z 6 (5x4 + 2) . dx dz dx Nyní je třeba dosadit za z výraz x5 + 2x + 1. Takto dostaneme dy = 7(x5 + 2x + 1)6 (5x4 + 2) . dx

//

Cvičení 6.3 Nechť p, q ∈ Z. Označme a = pq . Vypočtěte (xa )0 . Důsledek (věty 6.5) Jestliže funkce f (x) má derivaci f 0 (x), pak funkce f (ax + b) má derivaci 0 f (ax + b) = af 0 (ax + b) . Důkaz Derivovaná funkce je složená z funkcí y = f (z) a z = ax + b. Podle věty 6.5 platí 0 dz f (ax + b) = dy = f 0 (z) · a = af 0 (ax + b) . dz dx Cvičení 6.4 Určete derivaci funkce ef (x) . Důsledek (věty 6.5) Nechť funkce t = h(x) má derivaci v bodě x0 , nechť funkce z = g(t) má derivaci v bodě t0 = h(x0 ) a nechť funkce y = f (z) má derivaci v bodě z0 = g(t0 ). Potom má složená funkce y = f (g(h(x))) derivaci v bodě x0 a platí 0 f (g(h(x))) x=x0 = f 0 (g(h(x0 ))) · g 0 (h(x0 )) · h0 (x0 ) ,

neboli

dy dy dz dt = . dx dz dt dx

Podobně platí f (g(h(k(x))))

0 x=x0

= f 0 (g(h(k(x0 )))) · g 0 (h(k(x0 ))) · h0 (k(x0 )) · k 0 (x0 ) , neboli

dy dy dz dt du = , dx dz dt du dx

a tak dále.

68


6 Derivace

Derivování složené funkce je jako loupání cibule. Nejdříve se derivuje vnější funkce. Pak se derivuje vnitřnější funkce, . . . Nakonec se derivuje nejvnitřnější funkce. Všechny tyto derivace se nakonec vynásobí. √ 2 Příklad 6.10 Spočtěme derivaci funkce y = ln 1 + e x . √ Funkce y je složená z funkcí y = z 2 , z = ln t, t = 1 + u, u = ev a v = x. Platí

dy dy dz dt du dv = . dx dz dt du dv dx √ Funkce y = z 2 a v = x = x1/2 jsou mocninné funkce, a proto se derivují podle vzorce dv (xa )0 = axa−1 . Platí tedy dy = 2z a dx = 12 x−1/2 = 2√1 x . Funkce t = 1 + u má derivaci dz dy dt = 1. Pro zbývající dvě funkce podle příkladu 6.8 platí dz = 1t a du = ev . Derivace dx du dt dv je tedy rovna dy 1 1 = 2z · · 1 · ev · √ . dx t 2 x Nyní je třeba se vrátit k proměnné x. Dosazováním příslušných výrazů za z, t, u a v postupně dostaneme √ √ ln 1 + e x e x 1 ln t ev ln(1 + u) ev ln(1 + ev ) ev dy v 1 √ √ = √ = √ = √ . = 2 ln t · · 1 · e √ = dx t t 2 x 1+u 1 + ev 2 x x x x 1+e x //

6.3

Derivace elementárních funkcí

Příklad 6.11 Pro x > 0 a a ∈ R je (xa )0 = axa−1 . Pro některá a lze obor proměnné x rozšířit, například pro a ∈ Z platí vzorec pro všechna x ∈ R (kromě x = 0 při a < 0). Pro všechna a ∈ R platí xa = ea ln x . S využitím již dokázaných vztahů (ex )0 = ex a (ln x)0 = x1 dostaneme a a = xa = axa−1 . x x √ 0 x = 2√1 x . a

(xa )0 = (ea ln x )0 = ea ln x Často se vyskytují případy

1 0 x

= − x12

//

Příklad 6.12 Pro x ∈ R a a > 0 je (ax )0 = ax ln a. Protože výraz ln a je konstantní, je (x ln a)0 = ln a. Dále platí (ax )0 = (ex ln a )0 = ex ln a ln a = ax ln a . Pokud dosadíme a = e, dostaneme (ex )0 = ex .

69

//


6 Derivace

Příklad 6.13 Pro a > 0, a 6= 1 a x > 0 platí (loga x)0 = x ln1 a . x Protože je loga x = ln a ln a je konstanta, platí ln a 0 1 (ln x)0 1 ln x 0 x = = = . (loga x) = ln a ln a ln a x ln a 0 Příklad 6.14 Nechť f (x) > 0 a nechť existuje f 0 (x). Potom platí ln f (x) =

// f 0 (x) . f (x)

Rovnost plyne ihned z věty 6.5 (o derivaci složené funkce), f 0 (x) 1 0 f (x) = . f (x) f (x)

0 ln f (x) =

Příklad 6.15 Pro x ∈ R platí (sin x)0 = cos x. Budu používat vztahy sin α − sin β = 2 cos α+β · sin α−β a lim 2 2

h→0

//

sin h h

= 1.

h 2 cos x + · sin h2 sin h2 sin(x + h) − sin x h 0 2 (sin x) = lim = lim = lim cos x + · h = h→0 h→0 h→0 h h 2 2 (2) = cos x · 1 = cos x

//

Příklad 6.16 Pro x ∈ R je (cos x)0 = − sin x. Příklad lze řešit podobně jako předchozí příklad. Zdevšak budu využívat větu 6.5 (o de rivaci složené funkce). Protože je cos x = sin x − π2 , platí (sin x)0 = sin x − π2 . Dále platí 0 = sin x − π2 − π2 · 1 = sin(x − π) = − sin x . // (cos x)0 = sin x − π2 Cvičení 6.5 Určete derivace (tg x)0 a (cotg x)0 . Příklad 6.17 Pro x ∈ (−1; 1) je (arcsin x)0 =

√ 1 . 1−x2

Funkce inverzní k funkci f (x) = arcsin x je g(x) = sin x. Podle věty 6.4 (o derivaci inverzní funkce) platí (arcsin x)0 =

1 1 1 1 1 = =p =p =√ . 0 2 (sin y) cos y 1 − x2 1 − sin y 1 − sin2 arcsin x

//

Cvičení 6.6 Určete derivaci (arccos x)0 . 1 Příklad 6.18 Pro x ∈ R je (arctg x)0 = 1+x 2. Funkce inverzní k funkci arctg x je tg x, a proto

(arctg x)0 =

1 = (tg y)0

1 1 cos2 y

=

1 cos2 y+sin2 y cos2 y

70

=

1 1 = . 2 1 + tg y 1 + x2

//


6 Derivace

Shrnutí 1 Derivace elementárních funkcí jsou (xa )0 = axa−1

(ln x)0 =

(cotg x)0 =

(ax )0 = ax ln a

(sin x)0 = cos x

(ex )0 = ex

(cos x)0 = − sin x

(loga x)0 =

1 x ln a

(tg x)0 =

−1 sin2 x 1 (arcsin x)0 = √ 1 − x2 −1 (arccos x)0 = √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2

1 x

1 cos2 x

Vzorce pro počítání derivací jsou 0 f (x) + g(x) 0 f (x)g(x) 0 f (x) g(x) 0 f (g(x))

= f 0 (x) + g 0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) =

f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) g 2 (x)

= f 0 (g(x))g 0 (x)

Je-li y = f (x) a g je funkce inverzní k funkci f , pak platí f 0 (x) =

6.4

1 g 0 (y)

.

Diferenciál funkce

Definice 6.3 Nechť f je funkce a x0 ∈ Dom f pevně zvolený bod. Jestliže existuje číslo A takové, že f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah lim = 0, (3) h→0 h pak říkáme, že funkce f je v bodě x diferencovatelná. Výraz Ah (což je funkce proměnné h) se nazývá diferenciál funkce f v bodě x0 . Diferenciál funkce f v bodě x0 se značí df (x0 ). Věta 6.6 Funkce f je v bodě x0 diferencovatelná a má diferenciál Ah právě tehdy, když existuje vlastní (konečná) derivace f 0 (x0 ). Potom platí A = f 0 (x0 ). Důkaz Jednoduchou úpravou rovnice (3) dostaneme ekvivalentní rovnici f (x0 + h) − f (x0 ) . h→0 h

A = lim

Výraz na pravé straně je samozřejmě roven f 0 (x0 ).

71


6 Derivace

Z věty 6.6 ihned plyne, že df (x) = f 0 (x)h. Určeme diferenciál funkce ϕ(x) = x. Pro funkci ϕ(x) = x platí ϕ0 (x) = 1, a proto je dx = 1 · h = h. Z toho ovšem ihned plyne, že pro diferencovatelnou funkci f platí df (x) = f 0 (x) dx . Podělením poslední rovnosti výrazem dx dostaneme f 0 (x) = něnost druhého zápisu derivace.

df (x) . dx

Odtud je vidět opráv

Význam diferenciálu Pomocí diferenciálu lze jednoduše určit přibližnou hodnotu složi tého výrazu. Jestliže je dx malé, pak přibližně platí . f (x0 + dx) = f (x0 ) + df (x0 ) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) dx .

(4)

Toto vyjádření je tím přesnější, čím menší (v absolutní hodnotě) je dx. Tohoto se využívá v případě, že hodnoty f (x0 ) a f 0 (x0 ) jsou známé nebo je možné je snadno určit. √ Příklad 6.19 Určeme přibližně hodnotu y = 2 · 16 2. 1 Jednoduchými úpravami lze tento výraz převést na tvar y = 21+ 16 . Označme f (x) = 2x . 1 1 . Označíme-li dále x0 = 1 a dx = 16 , S pomocí tohoto označení můžeme psát y = f 1 + 16 0 můžeme y převést na tvar (4). Určeme hodnoty f (x0 ) a f (x0 ). Platí f (x0 ) = f (1) = 2 , . f 0 (x0 ) = f 0 (1) = (2x ln 2)x=1 = 2 ln 2 = 1,386 . Nyní již můžeme určit přibližnou hodnotu y. . . . y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) dx = 2 + 1,386 · 0,0625 = 2,087 Přesnější hodnota y je y = 2,088548. Odtud je vidět, že s pomocí elementárních operací a derivace jsme dostali dost přesný odhad složitého výrazu. // Cvičení 6.7 Pomoci diferenciálu přibližně určete hodnotu výrazu

6.5

√ 3

1,03.

Derivace vyšších řádů

Definice 6.4 Derivace funkce f 0 se nazývá druhá derivace (derivace druhého řádu) 2 funkce f ; označuje se f 00 nebo ddxf2 . Dále derivace (n − 1)-ní derivace funkce f se nazývá n n-tá derivace (derivace n-tého řádu) funkce f ; označuje se f (n) nebo ddxnf . Bývá účelné označovat samotnou funkci f jako nultou derivaci funkce f . Podle definice tedy pro všechna n ∈ N platí f (n+1) = (f (n) )0 . Je vidět, že platí (f (m) )(n) = (f (n) )(m) = f (m+n) .

72


6 Derivace

Příklad 6.20 Určeme čtvrtou derivaci funkce f (x) = x4 − ln x. Postupným derivováním dostaneme f 0 (x) = 4x3 −

1 x

0 1 f 00 (x) = f 0 (x) = 12x2 + 2 x 0 2 000 00 f (x) = f (x) = 24x − 3 x 0 6 (4) 000 f (x) = f (x) = 24 + 4 . x

//

Příklad 6.21 Určeme n-tou derivaci funkce sin x. Platí sin0 x = sin x − π2 , sin00 x = sin x − π2 − π2 = sin x − 2π , 2 sin000 x = sin x − 2π − π2 = sin x − 3π . 2 2 Vypadá to, že sin(n) x = sin x − nπ . To je ovšem nutno dokázat matematickou indukcí. 2 Pro n = 0 tvrzení platí. Předpokládejme, že platí sin(n) x = sin x − nπ . Potom platí 2 sin(n+1) x = sin x −

nπ 2

0

= sin x −

nπ 2

−

π 2

= sin x −

(n+1)π 2

.

Tvrzení je tedy pravdivé pro n+1, a proto pro všechna n ∈ N platí sin(n) (x) = sin x− nπ . 2 // Cvičení 6.8 Určete n-tou derivaci funkce ex . Vzorce pro výpočet n-tých derivací lze většinou snadno odvodit postupným derivováním. Zájemci si mohou přečíst knihu [1] na stranách 228–231. f (x+h)−f (x) . h h→0

Shrnutí 2 Derivace funkce f je limita f 0 (x) = lim

Podobně se definuje de

rivace zprava a zleva. Derivace n-tého řádu je definována jako derivace (n − 1)-ní deri vace funkce f , f (n) = (f (n−1) )0 . Diferenciál funkce f je df (x) = f 0 (x) dx. Přibližně platí f (x0 + dx) = f (x0 ) + df (x0 ). Stejně jako limita, patří i derivace k základním pojmům matematické analýzy, a proto je nutné umět derivovat rychle. Derivace elementárních funkcí musíte znát zpaměti. Pro počítejte si uvedené příklady, popřípadě si vymýšlejte další. Doporučuji Vám si spočíst některé příklady ze stran 90–98 knihy [3]. Uvidíte, že za chvíli Vám derivování půjde.

73


6 Derivace

Cvičení Cvičení 6.9 Určete derivace následujících funkcí. a) 4x3 + πx2 − 7x b) x5 − 2 · 3x + 7 tg x x2 − 1 c) 2 x +1 2x + 5 d) 3 x + 7x − 5 1 e) sin x 1 f) cos2 x g) ln(x2 + 1)

k) ln cos x l) ln tg x

u) sin arccos mx v) ln sin(x3 − 2x + 1)

m) ln cotg x

w) ln(ex + e−x )

n) ln x +

√

x2 + 1

o) sin3 x

√

p) sin x3

z) a

q) arcsin

x2

x +1

i) ln3 x

sin x 1 + cos x s) arctg(x2 + 1)

j) ln sin x

t) arcsin(n sin x)

h) ln x3

2x + 7 (x3 + 2x + 5)2 1 − cos x y) 1 + cos x x)

r)

74

x

α) x ln x 1 √ x + a2 + x 2 γ) tg arccos mx x δ) √ 2 x +a

β)


7

7 Základní věty matematické analýzy

Základní věty matematické analýzy

Obsah lekce 7.1. Věty o spojitých funkcích 7.2. Věty o průběhu funkce . . 7.3. l’Hospitalovo pravidlo . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

75 78 81 83

Klíčová slova Rolleova, Lagrangeova, Cauchyova věta, konvexní a konkávní funkce, l’Hospitalovo pra vidlo

7.1

Věty o spojitých funkcích

Věta 7.1 (Rolleova7 věta) Nechť funkce f má následující vlastnosti: • f je spojitá na intervalu ha; bi; • f 0 (x) existuje pro všechna x ∈ (a; b); • platí f (a) = f (b). Potom existuje (alespoň jedno) číslo c ∈ (a; b) takové, že f 0 (c) = 0. Geometrický význam Rolleovy věty je následující: Při splnění daných třech podmínek existuje bod c uvnitř intervalu (a; b) takový, že tečna ke grafu funkce v bodě [c; f (c)] je rovnoběžná s osou x. Situaci ilustruje obrázek 55. y

f (a) = f (b) a

c

b x

Obrázek 55 Rolleova věta

7

Michel √ Rolle [rol] žil v letech 1652–1719. Zabýval se algebrou, geometrií a teorií rovnic. Zavedl značení n x pro n-tou odmocninu.

75



Příklad 7.1 Nechť P je mnohočlen stupně n > 1 a nechť rovnice P (x) = 0 má pouze reálné kořeny, navzájem různé. Dokažme, že rovnice P 0 (x) = 0 má také pouze reálné kořeny, navzájem různé. Protože mnohočlen P má stupeň n, má rovnice P (x) = 0 právě n reálných kořenů. Ozna čme tyto kořeny x1 , . . . , xn tak, aby x1 < · · · < xn . Pro libovolné j ∈ {1; . . . ; n − 1} platí, že • funkce P je spojitá na intervalu hxj ; xj+1 i, • P 0 (x) existuje pro všechna x ∈ (xj ; xj+1 ) a • P (xj ) = P (xj+1 ) = 0. Tím jsou splněny předpoklady Rolleovy věty. Proto existuje bod cj ∈ (xj ; xj+1 ) takový, že P 0 (cj ) = 0. Číslo cj je tedy reálný kořen rovnice P 0 (x) = 0. Protože intervaly (xj ; xj+1 ) jsou disjunktní (nemají společný bod), jsou čísla cj navzájem různá a jejich počet je n − 1. Protože mnohočlen P 0 má stupeň n − 1, nemá rovnice P 0 (x) = 0 žádný jiný kořen. // Věta 7.2 (Cauchyova8 věta) Nechť funkce f a g jsou spojité na intervalu ha; bi a mají derivace f 0 (x) a g 0 (x) pro všechna x ∈ (a; b). Potom existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f 0 (c) g(b) − g(a) = g 0 (c) f (b) − f (a) . Příklad 7.2 Dokažme, že existuje číslo c ∈

π π ; 8 2

takové, že platí

ec (1 + c) π 4eπ/2 − eπ/8 . = cos c 8 1 − sin π8 π 0 x 0 Označme f (x) = xex , g(x) = sin x, a = π8 a b = 2 . Platí f (x) = e (1 + x) a g (x) = cos x. π π Podle Cauchyovy věty existuje číslo c ∈ 8 ; 2 takové, že π π π π/2 π π/8 c e (1 + c) sin − sin = cos c · e − e . 2 8 2 8

Jednoduchou úpravou dostaneme požadovanou rovnost.

8

//

Augustin Louis Cauchy [koši] byl francouzský matematik žijící v letech 1789–1857. Byl průkopníkem reálné a komplexní analýzy a teorie grup permutací. Také se zabýval konvergencí a divergencí nekonečných řad, diferenciálními rovnicemi, determinanty, pravděpodobností a matematickou fyzikou.

76



Věta 7.3 (Lagrangeova9 věta, Věta o přírůstku funkce, Věta o střední hodnotě) Nechť funkce f má následující vlastnosti • f je spojitá na intervalu ha; bi a • f 0 (x) existuje pro všechna x ∈ (a; b). Potom existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f 0 (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Geometrický význam Lagrangeovy věty: Při splnění daných podmínek existuje bod c uvnitř intervalu (a; b) takový, že tečna ke grafu funkce v bodě [c; f (c)] je rovnoběžná se spojnicí bodů [a; f (a)] a [b; f (b)]. Situaci ilustruje obrázek 56. y f (a)

f (b) a

c

b x

Obrázek 56 Lagrangeova věta Důkaz V Cauchyově větě stačí položit g(x) = x.

Příklad 7.3 Automobil jel z místa X do místa Y průměrnou rychlostí v¯. Dokažme, že během jeho jízdy existoval okamžik, ve kterém byla okamžitá rychlost automobilu rovna v¯. Označme S vzdálenost míst X a Y a T čas, za který tuto vzdálenost automobil ujel. Dále označme s(t) vzdálenost od místa X, kterou urazil automobil za čas t. Platí s(0) = 0, s(T ) = S a v¯ = TS . Protože okamžitá rychlost je rovna derivaci dráhy (vzdálenosti) podle času, platí také, že s0 (t) je okamžitá rychlost automobilu v čase t. Funkce s(t) je zřejmě spojitá. Automobil jel v každém okamžiku nějakou rychlostí, a tedy s0 (t) existuje pro všechna t ∈ (0; T ). Podle Lagrangeovy věty existuje číslo c ∈ (0; T ) takové, že s0 (c) =

s(T ) − s(0) S = = v¯ . T −0 T

V okamžiku c byla tedy okamžitá rychlost automobilu rovna jeho průměrné rychlosti. // 9

Joseph-Louis Lagrange [lagranž] (1736–1813) byl francouzský matematik narozený v Turíně. Ve svých devatenácti letech byl jmenován profesorem matematiky na Královské dělostřelecké škole v Turíně. Zabýval se mnoha oblastmi matematiky. Mimo jiné ukázal, že rovnice do čtvrtého stupně jsou řešitelné pomocí odmocnin. Byl jedním ze zakladatelů variačního počtu.

77


7.2


Věty o průběhu funkce

Věta 7.4 Nechť funkce f je spojitá na intervalu J a má derivaci ve všech jeho vnitřních bodech. Potom, jestliže ve všech vnitřních bodech x intervalu J platí f 0 (x) > 0, f 0 (x) ≥ 0, f 0 (x) < 0, f 0 (x) ≤ 0,

je je je je


f f f f

rostoucí na J; neklesající na J; klesající na J; nerostoucí na J.

Důkaz Zde dokážu pouze první část věty. Ostatní části se dokážou podobně. Nechť x1 a x2 jsou libovolné body intervalu J takové, že x1 < x2 . Potom platí x2 − x1 > 0. Podle Lagrangeovy věty existuje číslo c ∈ (x1 ; x2 ) takové, že platí f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (c)(x2 − x1 ) . Podle předpokladu je f 0 (c) > 0, z čehož plyne, že f (x1 ) < f (x2 ). Protože body x1 a x2 byly libovolné, je funkce f rostoucí na J. Důsledek Je-li funkce f spojitá na intervalu J a ve všech vnitřních bodech x intervalu J platí f 0 (x) = 0, pak je f konstantní na J. Důkaz Z předpokladu platí f 0 (x) = 0, neboli f 0 (x) ≥ 0 a f 0 (x) ≤ 0. Podle věty 7.4 je f na J neklesající a zároveň nerostoucí, tedy konstantní. Příklad 7.4 Je-li funkce f rostoucí, nemusí ještě pro všechna x platit f 0 (x) > 0. Funkce f (x) = x3 je rostoucí na R, ale f 0 (0) = 0. // Cvičení 7.1 Dokažte, že součet dvou rostoucích funkcí je rostoucí funkce. Příklad 7.5 Určeme intervaly, na nichž je funkce f (x) = x3 − 3x rostoucí, nebo klesající. (Stručněji: Určeme intervaly monotonnosti funkce f .) Na číselnou osu nanesme všechny body, v nichž je derivace rovna nule, nebo není defi nována. Derivace může měnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plyne, že pouze tyto body mohou být krajními body intervalů, na nichž je funkce rostoucí, nebo klesa jící. K určení znaménka derivace na některém intervalu stačí určit znaménko v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolit bod x, v němž se hodnota f 0 (x) určí snadno. Derivace f 0 (x) = 3x2 − 3 je spojitá a je rovna nule v bodech x = −1 a x = 1. Nanesme proto body −1 a 1 na osu x. (Viz obrázek 57.) −1

1


→

→

→

−1

1

Obrázek 58 K příkladu 78



Nyní určeme hodnoty f 0 (x) ve vnitřních bodech vyznačených intervalů. f 0 (−2) = 9 > 0, a tedy f je rostoucí na (−∞; −1); f 0 (0) = 3 < 0, a tedy f je klesající na (−1; 1); f 0 (2) = 9 > 0, a tedy f je rostoucí na (1; +∞). Symbolicky je to zakresleno na obrázku 58.

//

Definice 7.1 Jestliže pro všechny body x1 < x2 < x3 intervalu J leží bod [x2 ; f (x2 )] „podÿ přímkou spojující body [x1 ; f (x1 )] a [x3 ; f (x3 )], „podÿ touto přímkou, nebo na ní, „nadÿ touto přímkou, „nadÿ touto přímkou, nebo na ní,


se se se se

f f f f

ryze konvexní na J; konvexní na J; ryze konkávní na J; konkávní na J.

Je-li interval J přímo definičním oborem funkce f , pak se přívlastek „na Jÿ vynechává. Tato definice není matematicky přesná, ale je názorná. Situaci navíc ilustrují obrázek 59 (ryze konvexní funkce) a obrázek 60 (konvexní, ryze konkávní, konkávní funkce). y

y

f (x1 ) f (x3 ) f (x2 ) x1

x2

x3

x

x

Obrázek 59 Ryze konvexní funkce

Obrázek 60 Vlastnosti z definice 7.1

Příklad 7.6 Funkce f (x) = |x| je konvexní, ale není ryze konvexní.

//

Rovnice přímky spojující body [x1 ; f (x1 )] a [x3 ; f (x3 )] je y=

f (x3 ) − f (x1 ) (x − x1 ) + f (x1 ) . x3 − x1

Proto funkce f je ryze konvexní na intervalu J právě tehdy, když pro všechna x1 < x2 < x3 platí f (x2 ) <

f (x3 ) − f (x1 ) (x2 − x1 ) + f (x1 ) . x3 − x1

Funkce f je konvexní (ryze konkávní, konkávní), jestliže v předchozí nerovnosti platí znak ≤ (>, ≥).

79



Věta 7.5 Nechť funkce f je spojitá na intervalu J a má druhou derivaci ve všech jeho vnitřních bodech. Potom, jestliže ve všech vnitřních bodech x intervalu J platí f 00 (x) > 0, f 00 (x) ≥ 0, f 00 (x) < 0, f 00 (x) ≤ 0,

je je je je


f f f f

ryze konvexní na J; konvexní na J; ryze konkávní na J; konkávní na J.

Příklad 7.7 Jestliže je funkce f ryze konvexní, nemusí ještě pro všechna x platit f 00 (x) > > 0. Funkce f (x) = x4 je ryze konvexní na R, ale f 00 (0) = 0. // Cvičení 7.2 Dokažte, že funkce ex je ryze konvexní na R. Cvičení 7.3 Dokažte, že funkce f je (ryze) konvexní právě tehdy, když je funkce −f (ryze) konkávní.

(

(

Příklad 7.8 Určeme intervaly, na nichž je funkce f (x) = (x − 1)3 konvexní, nebo kon kávní. Na číselnou osu nanesme všechny body, v nichž je druhá derivace rovna nule, nebo není definována. Druhá derivace může měnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plyne, že pouze tyto body mohou být krajními body intervalů, na nichž je funkce konvexní, nebo konkávní. K určení znaménka druhé derivace na některém intervalu stačí určit zna ménko v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolit bod x, v němž se hodnota f 00 (x) určí snadno. Druhá derivace f 00 (x) = 6(x − 1) je spojitá a je rovna nule v bodě x = 1. Nanesme proto na osu x bod 1 (viz obrázek 61). 1

1



Nyní určeme hodnoty f 00 ve vnitřních bodech vyznačených intervalů. f 00 (0) = −6 < 0, a tedy f je konkávní na (−∞; 1); f 00 (2) = 6 > 0, a tedy f je konvexní na (1; +∞). Symbolicky je to zakresleno na obrázku 62.

80

//


7.3


l’Hospitalovo pravidlo

Věta 7.6 (l’Hospitalovo10 pravidlo) Nechť platí lim f (x) = lim g(x) = 0 nebo 0 (x) (x) lim|g(x)| = +∞. Potom, jestliže existuje limita lim fg0 (x) , existuje i limita lim fg(x) a platí lim

f 0 (x) f (x) = lim 0 . g(x) g (x)

Symbol lim přitom může mít libovolný z následujících významů (samozřejmě v celé větě stejný): lim , lim , lim , lim , lim . x→a x→a+ x→a− x→+∞ x→−∞

Tato věta v sobě zahrnuje celkem deset vět – pro různé typy a různé hodnoty limit. l’Hospitalovo pravidlo umožňuje počítat limity typu 00 , nebo ∞ . Použití l’Hospitalova ∞ `’H

pravidla budu značit symbolem =. ln x . x→+∞ x

Příklad 7.9 Určeme limitu lim Jde o limitu typu

∞ . ∞

Protože platí lim x = +∞, lze použít l’Hospitalovo pravidlo. Platí x→+∞

1 1 ln x `’H = lim x = lim = 0. x→+∞ 1 x→+∞ x x→+∞ x

//

lim

0

(x) Jestliže je lim fg0 (x) opět limita typu 00 , nebo

∞ , ∞

lze l’Hospitalovo pravidlo použít znovu.

0

(x) Příklad 7.10 Jestliže lim fg0 (x) neexistuje, nehovoří l’Hospitalovo pravidlo nic o limitě (x) lim fg(x) . sin x . x→+∞ x

Pokusme se vypočítat limitu lim

0

(x) Zde limita lim fg0 (x) = lim cos x neexistuje, proto x→+∞ sin x však x→+∞ x

(x) nelze použít l’Hospitalovo pravidlo. Limita lim fg(x) = lim

existuje. Určete její

hodnotu.

//

Jiné typy limit je třeba převést na typ 00 , nebo

∞ . ∞

Limita typu 0 · ∞ Je-li lim f (x) = 0 a |lim g(x)| = +∞, potom platí lim f (x)g(x) = lim přičemž uvedené limity jsou typu 00 , nebo

f (x) 1 g(x)

= lim

g(x) 1 f (x)

,

∞ . ∞

10

Guillaume Franc ¸ ois Antoine Marquis de l’Hôpital [lopital] byl francouzský matematik žijící v letech 1661–1704. Je autorem první učebnice matematické analýzy.

81



Příklad 7.11 Určeme limitu lim (1 − sin x) tg x. π x→ 2 +

(1 − sin x) tg x = lim lim π π

x→ 2 +

1 − sin x 1 tg x

x→ 2 +

`’H

= lim π

− cos x

x→ 2 +

1 − sin x `’H = x→ 2 + cotg x

= lim π

cos x · sin2 x = 0 · 1 = 0 . = lim π

−1 sin2 x

x→ 2 +

//

Limita typu (+∞) − (+∞) Je-li lim f (x) = +∞ a lim g(x) = +∞, potom platí lim f (x) − g(x) = lim

1 g(x)

−

1 f (x)

1 f (x)g(x)

,

přičemž uvedená limita je typu 00 . Příklad 7.12 Určeme limitu lim

x→1

1 1 − lim x→1 x − 1 ln x

1 x−1

−

1 ln x

.

1 −1 ln x − (x − 1) `’H x = lim = lim x→1 1 + ln x − x→1 (x − 1) ln x −1 1 `’H = lim =− x→1 1 + 1 + ln x 2

1 x

= lim

x→1

1−x `’H = x + x ln x − 1 //

Limita typu 00 , ∞0 , nebo 1∞ Jestliže platí lim f (x) = 0 a lim g(x) = 0, nebo lim f (x) = ∞ a lim g(x) = 0, nebo lim f (x) = 1 a lim g(x) = ∞, potom platí lim f (x)g(x) = lim eg(x) ln f (x) = elim g(x) ln f (x) , přičemž limita v exponentu je typu 0 · ∞. Příklad 7.13 Určeme limitu lim (sin x)tg x . π x→ 2 +

lim

Platí lim (sin x)tg x = ex→(π/2)+ π

tg x·ln sin x

x→ 2 +

. Limita v exponentu je rovna

ln sin x `’H cotg x = − lim sin x · cos x = 1 · 0 = 0 , = lim 1 π x→ 2 + cotg x x→ π2 + x→ 2 + − 2 sin x

tg x · ln sin x = lim lim π π

x→ 2 +

a proto platí lim (sin x)tg x = e0 = 1. π

//

x→ 2 +

82



Shrnutí Nechť jsou funkce f a g spojité na uzavřeném intervalu ha; bi a nechť mají v každém jeho vnitřním bodě derivaci. Potom existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f 0 (c) = (a) = f (b)−f (Lagrangeova věta). Také existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f 0 (c) g(b)−g(a) = b−a = g 0 (c) f (b) − f (a) (Cauchyova věta). Jestliže platí f (a) = f (b), pak existuje číslo c ∈ ∈ (a; b) takové, že f 0 (c) = 0 (Rolleova věta). Funkce je ryze konvexní, jestliže její graf leží nad svou tečnou. Podobně je definována konvexní, ryze konkávní a konkávní funkce. Jestliže na intervalu platí f 0 (x) > 0, pak je funkce f na tomto intervalu rostoucí. Obdobně pro neklesající, klesající a nerostoucí funkci. Jestliže na intervalu platí f 00 (x) > 0, pak je funkce f na tomto intervalu ryze konvexní. Obdobně pro konvexní, ryze konkávní a konkávní funkci 0 (x) (x) Jestliže je lim f (x) = lim g(x) = 0, nebo lim|g(x)| = +∞, pak platí lim fg(x) = lim fg0 (x) , pokud limita vpravo existuje. Ostatní typy limit se na tento tvar převedou. Věty uvedené v první části se používají hlavně při důkazech složitějších vět, přesto je dobré je znát. Doporučuji Vám v rychlosti si projít druhou část. Již její název napovídá, že ji budete potřebovat později při zjišťování průběhu funkce. Ze třetí části je důležité umět, kromě samotného l’Hospitalova pravidla, hlavně postupy, kterými se různé limity převedou na l’Hospitalovo pravidlo. Jestliže se Vám některé z těchto postupů budou zdát těžko zapamatovatelné, spočítejte si pár příkladů a uvidíte, že to není tak hrozné.

Cvičení Cvičení 7.4 Určete intervaly monotonnosti následujících funkcí. 2 a) x + x1 ; b) e−x ; c) xe−x . Cvičení 7.5 Určete intervaly, na nichž jsou následující funkce konvexní nebo konkávní. 3 a) −x3 + 6x2 + 32; b) x+2 ; c) ex .

83



Cvičení 7.6 Pomocí l’Hospitalova pravidla určete následující limity. 3x2 + 4x − 7 (x + 1) ln(1 + x) − x esin x − ex k) lim u) lim x→1 2x2 + 3x − 5 x→0 x→0 sin x − x ex − x − 1 ln cos x (a + x)x − ax v) lim sin x · ln cotg x lim l) lim x→0 x→0 ln cos 3x x→0 x2 2 20 ln(x − 8) x − 2x + 1 3 lim 2 m) lim 30 w) lim xn e−x x→3 2x − 5x − 3 x→1 x − 2x + 1 x→+∞ xa − 1 x10 − 10x + 9 n) lim x) lim (xx − 1) ln x lim 2 x→1 x→0+ x→1 xb − 1 (x − 1) ln cos ax x50 − 50x + 49 1 1 lim o) lim 100 y) lim − x→0 x→1 x x→0 sin x x2 − 100x + 99 x 4 3 2 a x 2x + 3x − 4x − 9x − 4 1 1 x −a p) lim z) lim − x lim x→−1 3x4 + 5x3 + 3x2 + 3x + 2 x→0 x x→a ax − aa e −1 a x a+2 a+1 x −a ax − (a + 1)x +x a b lim q) lim α) lim − x→a xa − aa x→1 x→1 1 − xa (x − 1)2 1 − xb 1 ln(1 + x) − x ln x r) lim β) lim x x−1 lim 2 x→0+ ln sin x x→1 x→0 tg x 2 4 sin x − 6 sin x + 2 ln(1 − cos x) limπ s) lim γ) lim (1 + x)ln x 2 x→0+ x→0+ x→ 6 6 sin x + 5 sin x − 4 ln tg x sin x x3 − 3x2 + 7x − 5 3 + ln x 1 t) lim δ) lim lim 4 x→0+ 2 − 3 ln sin x x→0+ x x→1 x − 5x + 4

a) lim b) c) d) e) f) g) h) i) j)

84


8

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty

Extrémy, Inflexní body, Asymptoty

Obsah lekce 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Lokální extrémy . . . . . . Inflexní body . . . . . . . . Asymptoty se směrnicí . Asymptoty bez směrnice Cvičení . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

85 86 88 89 91

Klíčová slova Lokální extrém, inflexní bod, asymptota se směrnicí, asymptota bez směrnice.

8.1

Lokální extrémy

Definice 8.1 Nechť funkce f je definována na nějakém intervalu obsahujícím bod c. Existuje-li číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ (c − δ; c + δ) platí f (c) ≥ f (x), f (c) > f (x), f (c) ≤ f (x), f (c) < f (x),

má má má má


f f f f

v v v v

bodě bodě bodě bodě

c c c c

lokální maximum; ostré lokální maximum; lokální minimum; ostré lokální minimum.

Lokálnímu maximu a minimu se souhrnně říká lokální extrém. Ostrému lokálnímu maximu a minimu se souhrnně říká ostrý lokální extrém. Věta 8.1 Jestliže má funkce f v bodě c lokální extrém a existuje-li f 0 (c), pak je f 0 (c) = 0. Důkaz Zde provedu důkaz sporem pro lokální maximum. Pro lokální minimum je důkaz podobný. Protože je v bodě c lokální maximum, existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Uδ (x) (c) je f (x) ≤ f (c). Předpokládejme, že f 0 (c) > 0, neboli, že lim f (x)−f > 0. Podle věty 4.7 x−c x→c (c) platí f (x)−f x−c

existuje číslo γ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Pγ (c) > 0. Pro x ∈ (c; c + γ) f (x)−f (c) je x − c > 0. Aby mohlo být x−c > 0, musí být f (x) > f (c). Označme β = min{γ; δ}. Na intervalu (c; c + β) by tedy mělo platit f (x) ≤ f (c) a zároveň f (x) > f (c), což je spor. Podobně se dojde ke sporu při f 0 (c) < 0. Z této věty plyne, že funkce může mít lokální extrémy pouze v bodech, v nichž je její derivace rovna nule, nebo v nichž neexistuje. Příklad 8.1 Jestliže je f 0 (c) = 0, nemusí mít ještě funkce f v bodě c extrém. Funkce f (x) = x3 má v bodě 0 derivaci f 0 (0) = 0, ale extrém v bodě 0 nemá. // 85



Při zjišťování, zda je v bodě c, pro který platí f 0 (c) = 0, extrém, je třeba určit chování funkce na okolí bodu c. Jestliže jak na levém, tak na pravém okolí bodu c platí f 0 (x) > 0, nemá funkce f v bodě c extrém. Je-li však f 0 (x) > 0 na levém a f 0 (x) < 0 na pravém okolí bodu c, má funkce f v bodě c lokální maximum. Úkol Podrobně rozeberte ostatní kombinace znamének hodnoty f 0 (c). Jestliže má funkce f v bodě c druhou derivaci, lze při určování extrému použít následující větu. Věta 8.2 Nechť f 0 (c) = 0 a f 00 (c) existuje. Potom, jestliže platí f 00 (c) > 0, má funkce f v bodě c ostré lokální minimum; f 00 (c) < 0, má funkce f v bodě c ostré lokální maximum.

Příklad 8.2 Je-li f 0 (c) = f 00 (c) = 0, nelze podle této věty o existenci extrému v bodě c rozhodnout. Funkce x3 a x4 mají v bodě 0 první i druhou derivaci rovnu nule. Funkce x3 nemá v bodě 0 lokální extrém; funkce x4 má v bodě 0 lokální minimum. // Důkaz Větu 8.2 dokážu pro případ f 00 (c) > 0. Obdobně jako při důkazu věty 8.1 lze ukázat, že f 0 (x) < 0 (f je klesající) na levém a f 0 (x) > 0 (f je rostoucí) na pravém okolí bodu c. Z toho plyne, že funkce f má v bodě c ostré lokální minimum. Podobně se dokáže druhá část věty. Tuto větu je vhodné použít v případě, že určení druhé derivace v bodě c je jednodušší než určení znaménka první derivace na okolí bodu c. Příklad 8.3 Najděme lokální extrémy funkce f (x) = x3 − 3x2 . Protože je derivace f 0 definována pro všechna x ∈ R, mohou extrémy nastat pouze v bo dech x, v nichž je f 0 (x) = 0. Proto nejdříve vyřešme rovnici f 0 (x) = 3x2 − 6x = 0. Ta má řešení x = 0 a x = 2. Ke zjištění, zda je v těchto bodech skutečně extrém, je třeba určit hodnotu druhé derivace v těchto bodech. Platí f 00 (x) = 6x − 6. V bodě x = 0 je f 00 (0) = −6 < 0, a proto v bodě x = 0 má funkce f lokální maximum. Toto maximum má hodnotu f (0) = 0. V bodě x = 2 je f 00 (2) = 6 > 0, a proto v bodě x = 2 má funkce f lokální minimum. Toto minimum má hodnotu f (2) = −4. //

8.2

Inflexní body

Definice 8.2 Nechť na nějakém okolí U(c) bodu c existuje f 0 . Potom se bod c nazývá inflexní bod funkce f , jestliže výraz f (x) − (f (c) + f 0 (c)(x − c)) x − c nemění na P(c) znaménko. Někdy se také říká, že funkce f bodě c inflexi. 86



Tato definice není příliš názorná. Názornější (ale bohužel méně přesná) je tato definice inflexního bodu: Bod c je inflexní bod funkce f , jestliže na levém okolí bodu c je funkce f ryze konvexní a na pravém okolí ryze konkávní, nebo naopak. Graf funkce ryze konvexní (ryze konkávní) na intervalu J leží „nadÿ („podÿ) tečnou ke grafu funkce v bodě x ∈ J. Proto c je inflexní bod, jestliže graf funkce přechází v bodě c z polohy „nadÿ tečnou do polohy „podÿ tečnou, nebo naopak. Situaci ilustrují obrázky 63 a 64. y

y

c

c

x

Obrázek 63 Inflexní bod

x

Obrázek 64 Inflexní bod

Inflexní bod funkce f se chová stejně jako lokální extrém funkce f 0 . Proto si zopakujte, jak se určuje, zda má funkce f v bodě c extrém. Následující věty budu uvádět bez důkazu. Věta 8.3 Jestliže je c inflexní bod funkce f a jestliže existuje f 00 (c), pak platí f 00 (c) = 0. Bod c je inflexní bod funkce f , je-li f 00 (x) < 0 pro x ∈ (c − δ; c) a f 00 (x) > 0 pro x ∈ (c; c + δ), nebo f 00 (x) > 0 pro x ∈ (c − δ; c) a f 00 (x) < 0 pro x ∈ (c; c + δ). Věta 8.4 Nechť f 00 (c) = 0 a f 000 (c) existuje. Potom, jestliže f 000 (c) 6= 0, je c inflexní bod funkce f . Příklad 8.4 Je-li f 00 (c) = f 000 (c) = 0, nelze podle této věty rozhodnout, zda je c inflexní bod. Funkce x4 a x5 mají v bodě 0 druhou i třetí derivaci rovnu nule. Pro funkci x5 je bod 0 inflexní bod, ale pro funkci x4 ne. // Tuto větu je vhodné použít v případě, že určení třetí derivace je jednodušší než určení znaménka druhé derivace na okolí bodu c. x Příklad 8.5 Určeme inflexní body funkce f (x) = 1+x 2. Inflexní body mohou být pouze ty body x, v nichž je f 00 (x) = 0. Proto nejdříve vyřešme rovnici 2x3 − 6x f 00 (x) = = 0. (1 + x2 )3

87



√ √ Ta má řešení x = − 3, x = 0 a x = 3. Ke zjištění, zda tyto body jsou skutečně inflexní, je třeba určit hodnotu třetí derivace v těchto bodech. Platí f 000 (x) =

−6x4 + 36x2 − 6 . (1 + x2 )4

√ √ √ 3 V bodě x = − 3 je f 000 (− 3) = 16 6= 0, a proto bod x = − 3 inflexní. Obdobně je √ √ 3 // f 000 (0) = −6 6= 0 a f 000 ( 3) = 16 6= 0, a proto i body x = 0 a x = 3 jsou inflexní.

8.3

Asymptoty se směrnicí

Definice 8.3 Přímka o rovnici y = px + q se nazývá asymptotou se směrnicí grafu funkce f pro x → +∞, jestliže platí lim f (x) − (px + q) = 0 . x→+∞

Přímka o rovnici y = px+q se nazývá asymptotou se směrnicí grafu funkce f pro x → −∞, jestliže platí lim f (x) − (px + q) = 0 . x→−∞

Asymptota se směrnicí je přímka, ke které se přibližuje graf funkce f (x) pro x → ±∞. x Příklad 8.6 Graf funkce f (x) = x + 1+|x| má pro x → +∞ asymptotu y = x + 1 a pro x → −∞ asymptotu y = x − 1. To se dokáže snadno. Pro x → +∞ platí x x lim f (x) − (x + 1) = lim x + − x − 1 = lim −1= x→+∞ x→+∞ x→+∞ 1 + |x| 1 + |x| x − 1 = 1 − 1 = 0. = lim x→+∞ 1 + x

Podobně se dokáže rovnice asymptoty pro x → −∞. Situaci ilustruje obrázek 65. y

x


88

//



Věta 8.5 Jestliže má graf funkce f (x) pro x → +∞ asymptotu y = px + q, pak platí f (x) x→+∞ x

p = lim

f (x) x→+∞ x

Obráceně, jsou-li čísla p = lim

q = lim f (x) − px .

a

x→+∞

a q = lim f (x) − px konečná, pak je přímka x→+∞

o rovnici y = px + q asymptotou grafu funkce f pro x → +∞. Obdobná věta platí pro x → −∞. x Úkol Určete znovu asymptoty grafu funkce f (x) = x + 1+|x| , tentokrát pomocí věty 8.5. Myslíte si, že může mít graf nějaké funkce pro x → +∞ dvě různé asymptoty?

Cvičení 8.1 Dokažte, že graf funkce f (x) má pro x → +∞ asymptotu o rovnici y = q právě tehdy, když platí lim f (x) = q. x→+∞

8.4

Asymptoty bez směrnice

Definice 8.4 Přímka o rovnici x = a se nazývá asymptotou bez směrnice grafu funkce f , jestliže platí lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞ nebo lim f (x) = −∞. x→a+

x→a+

x→a−

x→a−

Asymptota bez směrnice je přímka, ke které se graf funkce přibližuje. Pro x → a− se k ní přibližuje zleva, pro x → a+ zprava. Pro lim f (x) = +∞ se přibližuje „nahořeÿ, pro lim f (x) = −∞ se přibližuje „doleÿ. Příklad 8.7 Funkce f (x) =

1 x−1

1 x→1+ x−1

má asymptotu bez směrnice x = 1. Protože je lim 1 x→1− x−1

= +∞, přibližuje se k ní graf zprava „nahořeÿ. Protože je lim

=

= −∞, přibližuje se

k ní graf zleva „doleÿ. Situaci ilustruje obrázek 66. y

−1


x

//

Jestliže je funkce f v bodě a spojitá, je na jeho okolí omezená, a tedy nemůže být lim f (x) = ±∞. Při hledání asymptot bez směrnice proto nejdříve určíme všechny body

x→a±

nespojitosti a. Je-li v nějakém bodě lim f (x) = ±∞, pak graf funkce f má asymptotu x→a±

bez směrnice x = a. 89


8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 3

2

+x−1 . Příklad 8.8 Určeme asymptoty bez směrnice grafu funkce f (x) = x −x x2 −x Body nespojitosti funkce f jsou 0 a 1. Pro nalezení asymptot bez směrnice je třeba určit jednostranné limity v bodech 0 a 1.

x3 − x2 + x − 1 x→0− x2 − x 3 x − x2 + x − 1 lim x→0+ x2 − x 3 x − x2 + x − 1 lim x→1− x2 − x x3 − x2 + x − 1 lim x→1+ x2 − x lim

= −∞ = +∞ x2 + 1 =2 x→1− x x2 + 1 = lim =2 x→1+ x = lim

Z toho plyne, že asymptota bez směrnice je pouze x = 0. Zleva se k ní graf přibližuje „doleÿ a zprava „nahořeÿ. Graf funkce je na obrázku 67. y

2 1

x


//

Shrnutí Funkce má v bodě c lokální maximum, jestliže na nějakém okolí bodu c platí f (c) ≥ f (x). Obdobně se definuje ostré lokální maximum, lokální minimum a ostré lokální minimum. Jestliže platí f 0 (c) = 0 a f 00 (c) < 0, má funkce v bodě c lokální maximum, při f 00 (c) > 0 lokální minimum. Bod c se nazývá inflexní bod, jestliže je funkce na jeho levém okolí ryze konvexní a na pravém ryze konkávní, nebo naopak. Inflexní bod se chová stejně jako extrém první derivace. Jestliže platí f 00 (c) = 0 a f 000 (c) 6= 0, pak je bod c inflexní. Asymptota je přímka, ke které se graf funkce přibližuje. Pro x → +∞ nebo x → −∞ má graf asymptotu se směrnicí o rovnici y = px + q, jsou-li čísla p = lim f (x) aq = x→±∞ x = lim f (x) − px konečná. Pro x → c má graf asymptotu bez směrnice o rovnici x = c, x→±∞

jestliže alespoň jedna jednostranná limita funkce f v bodě c je nekonečná. Tato kapitola dle mého názoru patřila k nejsnadnějším, protože jste v ní hodně využili věci, které již znáte. Nalezení extrémů, inflexních bodů a asymptot je důležité k sestrojení grafu funkce, jemuž se budeme věnovat v příští kapitole. Proto, jestli Vám nebude něco jasné, projděte si to ještě jednou. Nalezení extrémů funkce se používá nejen v matematice, ale i v jiných přírodních vědách, například ve fyzice nebo chemii.

90



Cvičení Cvičení 8.2 Určete lokální extrémy následujících funkcí. a) (2x + 3)(x2 + x + 1); b) ln2 x; Cvičení 8.3 Najděte inflexní body následujících funkcí. x2 2x a) − 1+x b) x+1 ; 2;

2

c) xe−x .

c)

ln x . x

Cvičení 8.4 Určete asymptoty ke grafům následujících funkcí. 2 +1 3 x2 ; b) 3x + x−2 ; c) x−2 . a) xx+3

91


9

9 Průběh funkce, Taylorova věta

Průběh funkce, Taylorova věta

Obsah lekce 9.1. Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.2. Taylorova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Klíčová slova Průběh funkce, Taylorova věta.

9.1

Průběh funkce

K určení průběhu funkce je třeba • zjistit, zda je funkce sudá, lichá nebo periodická; • určit definiční obor a obor hodnot; • najít průsečíky s osami x a y a určit intervaly, na nichž je funkce kladná, nebo záporná; • vypočítat limity v nevlastních bodech a jednostranné limity v bodech nespojitosti; • určit první derivaci, její nulové body, body, v nichž není definována, a určit intervaly, na nichž je funkce rostoucí, nebo klesající; • najít lokální extrémy funkce; • určit druhou derivaci, její nulové body, body, v nichž není definována, a určit inter valy, na nichž je funkce ryze konvexní, nebo ryze konkávní; • najít inflexní body; • určit asymptoty funkce; • přibližně nakreslit graf funkce. Příklad 9.1 Určeme průběh funkce f (x) = x2 e−x . • Funkce není periodická. Funkce f není lichá, protože f (−x) = (−x)2 e−(−x) 6= −f (x). Není sudá, protože f (−x) 6= f (x). • Operace prováděné při výpočtu f (x) jsou definovány pro všechna x ∈ R, a proto Dom f = R. Obor hodnot určím později. 92



• Průsečík s osou y je bod o souřadnicích [0; f (0)] = [0; 0]. Průsečíky s osou x jsou body [x; 0] takové, že platí f (x) = 0. Vyřešme proto rovnici x2 e−x = 0. Výraz e−x je pro všechna x ∈ R nenulový, a proto jím lze rovnici podělit. Dostaneme rovnici x2 = 0, která platí pouze pro x = 0. Jediný průsečík s osou x je tedy bod [0; 0]. Jediný bod, v němž je funkce rovna nule nebo není spojitá, je bod 0. Nanesme proto bod 0 na číselnou osu. Viz obrázek 68. Protože je f (−1) = (−1)2 e1 = e > 0, je f kladná na intervalu (−∞; 0). Protože je f (1) = 12 e−1 = e−1 > 0, je f kladná i na intervalu (0; +∞). Symbolicky je to zakresleno na obrázku 69. +

+

0

0



• Limity v nevlastních bodech jsou x2 `’H 2x `’H 2 2 = lim x = lim x = = 0, x x→+∞ e x→+∞ e x→+∞ e +∞ = (+∞)e+∞ = (+∞)(+∞) = +∞ .

lim x2 e−x = lim

x→+∞

lim x2 e−x

x→−∞

Limita funkce v bodě −∞ je +∞. Z toho plyne, že na okolí bodu −∞ nabývá funkce libovolně velkých hodnot. Zároveň nabývá v bodě 0 hodnoty 0. Protože je spojitá, musí nabývat i všech hodnot mezi. Dále je to funkce nezáporná. Z toho všeho plyne, že Rng f = h0; +∞). • Derivace funkce je f 0 (x) = x(2 − x)e−x . Nulové body derivace jsou body x = 0 a x = 2. Derivace je definována pro všechna x ∈ R. Na číselnou osu proto nanesme body 0 a 2. Viz obrázek 70. Platí f 0 (−1) = (−1) · 3 · e1 = −3e < 0 , f 0 (1) = 1 · 1 · e−1 = e−1 > 0 , f 0 (3) = 3 · (−1) · e−3 = −3e−3 < 0 . Z toho plyne, že f je klesající na intervalech (−∞; 0) a (2; +∞) a rostoucí na intervalu (0; 2). Symbolicky je to zakresleno na obrázku 71. →

0

2


→

→

0

2


• Extrémy funkce mohou být pouze v bodech, v nichž je derivace rovna nule, nebo v nichž není definována, tedy v bodech zakreslených na obrázku 71. Z téhož obrázku je vidět, že na levém okolí bodu 0 je f klesající a na pravém okolí rostoucí. Z toho plyne, že funkce f má v bodě 0 lokální minimum. Toto minimum má hodnotu f (0) = 0. Na levém okolí bodu 2 je f rostoucí a na pravém okolí klesající. Z toho plyne, že f má v bodě 2 lokální maximum. Toto maximum má hodnotu . f (2) = 22 e−2 = 4e−2 = 0,541. 93



• Druhá derivace funkce je f 00 (x) = (x2 − 4x + 2)e−x . Nulové body druhé derivace jsou body platí rovnost x2 − 4x + 2 = 0. √ x, pro něž √ Tato rovnost platí pro body x1;2 = 4± 216−8 = 2 ± 2. Druhá derivace je definována √ . pro všechna x ∈ R. Na číselnou osu proto nanesme body α = 2 − 2 = 0,586 a √ . β = 2 + 2 = 3,414. Viz obrázek 72. (Čísla jsem označil řeckými písmeny, aby obrázky byly přehlednější.) Platí f 00 (0) = 2e0 = 2 > 0 , f 00 (1) = −1e−1 = −e−1 < 0 , f 00 (4) = 2e−4 > 0

α

α

β


(

(

(

√ √ Z toho plyne, že f je ryze konvexní √ na intervalech (−∞; 2 − 2) a (2 + 2; +∞) √ a ryze konkávní na intervalu (2 − 2; 2 + 2). Symbolicky je to zakresleno na obrázku 73. β


• Inflexní body mohou√být pouze body, které jsou zakresleny na obrázku 73. Na levém √ okolí konkávní, a proto je √ okolí bodu 2 − 2 je funkce√f konvexní, na √ pravém −2+ 2 . = 0,191. Na levém okolí 2 − 2 inflexní bod. Platí f (2 − 2) = (6 − 4 2)e √ √ bodu 2 + 2 je funkce f√konkávní, na pravém okolí konvexní, a proto je 2 + 2 √ √ . inflexní bod. Platí f (2 + 2) = (6 + 4 2)e−2− 2 = 0,384. • Určeme asymptotu pro x → +∞. Platí 1 x `’H 1 f (x) = lim xe−x = lim x = lim x = = 0, x→+∞ e x→+∞ x→+∞ e x→+∞ x +∞ q = lim f (x) − px = lim f (x) = 0 .

p = lim

x→+∞

x→+∞

Pro x → +∞ je tedy asymptotou grafu funkce přímka o rovnici y = 0. Nyní určeme asymptotu pro x → −∞. Platí f (x) = lim xe−x = (−∞)e+∞ = (−∞)(+∞) = −∞ . x→−∞ x x→−∞

p = lim

Číslo p není konečné, a proto asymptota pro x → −∞ neexistuje. Protože je funkce f spojitá, nemá asymptoty bez směrnice. √ √ √ √ • Graf funkce f √prochází body [0; 0], 2 − 2; (6 − 4 2)e−2+ 2 , [2; 4e−2 ], 2 + 2; √ (6 + 4 2)e−2− 2 . Funkce f je kladná na intervalech (−∞; 0) a (0; +∞); rostoucí na intervalu na (−∞; 0) a (2; +∞); ryze konvexní √ √ na intervalech √ √ (0; 2) a klesající (−∞; 2 − 2) a (2 + 2; +∞) a ryze konkávní na intervalu (2 − 2; 2 + 2). V bo dech 0 a 2 má funkce f lokální extrémy, a proto tečna k jejímu grafu sestrojená v bo dech [0; 0] a [2; 4e−2 ] je rovnoběžná s osou x. Funkce má pro x → +∞ asymptotu y = 0. Tyto vlastnosti jsou shrnuty na obrázku 74. Nyní již stačí proložit body křiv kou, která splňuje uvedené vlastnosti. Tato křivka je grafem funkce f a je uvedena na obrázku 75. // 94



y

y 4e

−2

f (β) 1

f (α)

2

→

+

→

→

(

(

x

β

−1

(

α +

2

3

4

5

6

x

Obrázek 75 Graf funkce x2 e−x


Cvičení 9.1 Určete průběhy následujících funkcí. a) x4 − 6x2 + 5 , b) x2x+1 ,

9.2

1

c) ln(1 − x2 ) .

Taylorova věta

Věta 9.1 (Taylorova11 ) Nechť je funkce f definována na nějakém okolí U(a) bodu a a nechť na tomto okolí existují derivace až do řádu n + 1. Potom pro každé x ∈ U(a) existuje číslo ξ ležící mezi čísly a a x takové, že platí f 0 (a) f 00 (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n + 1! 2! n! f (n+1) (ξ) + (x − a)n+1 = (n + 1)! n X f (n+1) (ξ) f (k) (a) = (x − a)k + (x − a)n+1 k! (n + 1)! k=0

f (x) = f (a) +

Symbol n! se čte „n faktoriálÿ a znamená součin všech celých kladných čísel menších nebo rovných číslu n; n! = 1 · 2 · . . . · n. Definuje se 0! = 1; platí 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, . . . . Definice 9.1 Výraz n

X f (k) (a) f 0 (a) f 00 (a) f (n) (a) 2 n f (a) + (x − a) + (x − a) + · · · + (x − a) = (x − a)k 1! 2! n! k! k=0 se nazývá Taylorův polynom n-tého stupně funkce f (x) v bodě a. Jestliže je a = 0, pak se tento polynom někdy nazývá Maclaurinův12 . 11

Brook Taylor [tejlor] byl anglický matematik žijící v letech 1685–1731. Zabýval se matematickou analýzou a diferenciálními rovnicemi. 12 Colin Maclaurin [mekloren] byl skotský matematik žijící v letech 1698–1746. Zabýval se analýzou a geometrií.

95



Taylorovým polynomem lze přibližně určit hodnotu f (x). Tato hodnota je tím přesnější, čím větší je číslo n a čím menší je vzdálenost x a a. Příklad 9.2 Určeme Taylorův polynom n-tého stupně funkce f (x) = ex v bodě a = 0. Platí f 0 (x) = f (x). Indukcí lze snadno dokázat, že f (k) (x) = f (x) pro všechna k. Z toho plyne, že f (k) (0) = f (0) = e0 = 1. Taylorův polynom je tedy n X f (k) (a) k=0

k!

(x − a)k =

n n X 1 k X xk x2 xn x = =1+x+ + ··· + . k! k! 2 n! k=0 k=0

Na obrázku 76 jsou zakresleny graf funkce ex a grafy Taylorových polynomů nultého, prvního, druhého, třetího, čtvrtého a pátého stupně. y 4 3 2 1 −2

−1

1

2 x

−1


//

Z tohoto grafu je opravdu vidět, že s rostoucí vzdáleností čísel x a a je přibližná hodnota, určená Taylorovým polynomem, méně přesná. Také je vidět, že s rostoucím stupněm se hodnota zpřesňuje. Už graf Taylorova polynomu pátého stupně na dosti velkém okolí bodu 0 téměř splývá s grafem funkce ex . Cvičení 9.2 Určete Taylorovy polynomy n-tého řádu funkcí sin x a cos x v bodě 0. Příklad 9.3 Věta 5.1 (o jednoznačnosti goniometrických funkcí) říká mimo jiné, že exis tuje jediné číslo π. Jeho hodnotu lze určit pomocí Taylorova polynomu. Taylorův polynom funkce arctg x v bodě 0 je n X k=0

(−1)k

x2k+1 x3 x5 x7 x2n+1 =x− + − + · · · + (−1)n . 2k + 1 3 5 7 2n + 1

Určitě víte, že tg π4 = 1, neboli π = 4 arctg 1. Dosazením x = 1 do Taylorova polynomu dostaneme přibližnou hodnotu 1 1 1 1 . n π = 4 1 − + − + · · · + (−1) . 3 5 7 2n + 1 Tato hodnota je tím přesnější, čím vyšší je hodnota n.

96

//



Cvičení 9.3 S využitím příkladu 9.2 najděte přibližnou hodnotu čísla e. Definice 9.2 Funkce f se nazývá omezená po srovnání s funkcí g pro x → x0 , jestliže existují konstanta K > 0 a okolí P(x0 ) bodu x0 takové, že pro všechna x ∈ P(x0 ) platí |f (x)| ≤ K|g(x)|. Připouští se také x0 = +∞ nebo x0 = −∞. Tato skutečnost se zapisuje f (x) = O (g(x)) pro x → x0 . Stručněji lze definici 9.2 zapsat takto: f (x) = O (g(x)) ⇐⇒ ∃K > 0 ∃P(x0 ) ∀x ∈ P(x0 ) : |f (x)| ≤ K|g(x)| . Symbol O se často užívá při porovnávání složitostí algoritmů. Definice 9.3 Funkce f se nazývá nekonečně malá po srovnání s funkcí g pro x → x0 , jestliže pro každé číslo ε > 0 existuje okolí P(x0 ) bodu x0 takové, že pro všechna x ∈ P(x0 ) platí |f (x)| ≤ ε|g(x)|. Připouští se také x0 = +∞ nebo x0 = −∞. Tato skutečnost se zapisuje f (x) = o (g(x)) pro x → x0 . Stručněji lze definici 9.3 zapsat takto: f (x) = o (g(x)) ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃P(x0 ) ∀x ∈ P(x0 ) : |f (x)| ≤ ε|g(x)| . Ihned z definice plyne, že platí f (x) = o (g(x)) pro x → x0 ⇐⇒ lim

x→x0

f (x) = 0. g(x)

Nyní uvedu několik jednoduchých vět, s jejichž pomocí poté budeme moci snadněji určit některé limity. Věta 9.2 Jestliže je a < b, pak pro x → 0 platí xb = o (xa ). xb = lim xb−a = 0b−a = 0 x→0 x→0 xa

Důkaz

lim

Podobně se dokáže, že pro x → x0 platí (x − x0 )b = o ((x − x0 )a ). Cvičení 9.4 Dokažte, že pro a < b a x → +∞ naopak platí xa = o xb . Věta 9.3 Jestliže platí f (x) = o (h(x)) a g(x) = o (h(x)), pak platí f (x)+g(x) = o (h(x)).

Důkaz

lim

f (x) + g(x) f (x) g(x) = lim + lim =0+0=0 h(x) h(x) h(x)

97



S pomocí vět 9.2 a 9.3 lze Taylorovu větu psát v následujícím tvaru: Nechť je funkce f definována na nějakém okolí U(a) bodu a a nechť na tomto okolí existují derivace až do řádu n + 1. Dále nechť nechť je f (n+1) (x) omezená na U(a). Potom pro x ∈ U(a) platí f 0 (a) f 00 (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n + o ((x − a)n ) = 1! 2! n! n (k) X f (a) (x − a)k + o ((x − a)n ) . = k! k=0

f (x) = f (a) +

Věta 9.4 Jestliže platí f (x) = o (g(x)) pro x → x0 , pak platí lim f (x) + g(x) = x→x0

= lim g(x). x→x0

Tato věta říká, že při x → x0 lze funkci f (x) zanedbat ve srovnání s funkcí g(x). Symbo licky lze tuto větu zapsat ve tvaru lim g(x) + o (g(x)) = lim g(x) . Důkaz f (x) f (x) + g(x) = lim g(x) · lim +1 lim f (x) + g(x) = lim g(x) x→x0 x→x0 g(x) x→x0 x→x0 g(x) = lim g(x) · 1 = lim g(x) x→x0

x→x0

o(g(x)) . Symbol o (g(x)) x→x0 o(g(x)) (x) = 0. (Nic dalšího o lim fg(x) x→x

Pozor! Nelze říct nic o limitě lim

v čitateli znamená nějakou

funkci f (x), pro kterou platí

funkci f nevíme.) Podobně

0

h(x) x→x0 g(x)

symbol o (g(x)) ve jmenovateli znamená nějakou funkci h(x), pro kterou platí lim

=

= 0. Pro hledanou limitu tedy platí f (x) o (g(x)) = lim = lim lim x→x0 o (g(x)) x→x0 h(x) x→x0

f (x) g(x) h(x) g(x)

=

0 . 0

Protože o funkcích f a h nic dalšího nevíme, nelze ani jinými způsoby určit hodnotu hledané limity.

98



Taylorovy rozvoje elementárních funkcí Vzorce, které zde uvedu, není problém si odvodit. Doporučuji Vám na procvičení si odvodit některé z nich. x2 x3 x4 xn + + + ··· + + o (xn ) 2! 3! 4! n! x2n+1 x3 x5 + − · · · + (−1)n + o x2n+2 sin x = x − 3! 5! (2n + 1)! 4 2n 2 x x n x + − · · · + (−1) + o x2n+1 cos x = 1 − 2! 4! (2n)! 3 5 x x x2n+1 arctg x = x − + − · · · + (−1)n + o x2n+2 3 5 2n + 1 xn x2 x3 ln(1 + x) = x − + − · · · + (−1)n+1 + o (xn ) 2 3 n ex = 1 + x +

pro x → 0 pro x → 0 pro x → 0 pro x → 0 pro x → 0

Taylorovy rozvoje dalších funkcí jsou uvedeny například v knize [1] na stranách 702–705. Nyní již ukážu slibovanou metodu výpočtu některých limit. Tato metoda ovšem vyžaduje znalost Taylorových polynomů alespoň uvedených základních funkcí. Hlavní trik spočívá v převedení funkcí na Taylorovy polynomy dostatečného stupně. Větši nou stačí stupeň druhý nebo třetí. 1−cos x . 2 x→0 sin x


Zde stačí zvolit Taylorovy polynomy druhého stupně. Platí x2 cos x = 1 − + o x2 , 2

x2 + o x2 . a tedy 1 − cos x = 2

Dále platí sin x = x + o (x2 ). Dosazením do limity dostaneme 2

2

x x + o (x2 ) 1 − cos x 1 1 2 2 = lim = lim = lim = . lim 2 2 x→0 x + o (x2 ) x→0 2 x→0 sin x x→0 (x)2 2

Pokud bychom zvolili Taylorovy polynomy prvního stupně, k výsledku bychom nedospěli. 1 − (1 + o (x)) o (x) o (x) 1 − cos x = lim 2 = lim 2 = lim 2 x→0 o (x) x→0 x→0 x x→0 sin x x + o (x)

//

lim

Pozor! Pokud počítáme limitu v bodě a, je třeba použít Taylorův polynom v bodě a. x Kdybychom například počítali limitu lim 1−cos , museli bychom nejdříve určit Taylorovy 2 x→π sin x polynomy v bodě π. V tomto případě je však možno určit uvedenou limitu jiným způso bem. Proveďte. Příklad 9.5 Určeme limitu lim (1 + ax)1/x . x→0

Nejdříve limitu upravíme na tvar lim eϕ(x) a poté použijeme Taylorovu větu na exponent. 1 x

lim (1 + ax) = lim e

x→0

x→0

ln(1+ax) x

lim

=e

x→0

ln(1+ax) x

99

lim

=e

x→0

ax+o(x) x

=e

lim ax x→0 x

= ea

//



P (k) Shrnutí Taylorův polynom n-tého řádu funkce f v bodě a je nk=0 f k!(a) (x − a)k . Tay lorův polynom v bodě 0 se nazývá Maclaurinův polynom. Pomocí Taylorova polynomu lze přibližně určit hodnotu f (x), je-li x blízko a. Funkce f je omezená po srovnání s funkcí g pro x → a (píšeme f (x) = O (g(x))), jestliže ∃K > 0 ∃P(a) ∀x ∈ P(a) : |f (x)| ≤ K|g(x)|. Funkce f je nekonečně malá po srovnání s funkcí f (píšeme f (x) = o (g(x))), jestliže ∀ε > 0 ∃P(a) ∀x ∈ P(a) : |f (x)| ≤ ε|g(x)|. Pomocí vztahu lim g(x) + o (g(x)) = lim g(x) lze snadněji určit limity. První část této kapitoly byla shrnutím celé předcházející látky, a proto doufám, že jste s ní neměli problémy. Z druhé části je dobré znát alespoň základní Taylorovy rozvoje. Taktéž je dobré si pamatovat, které funkce lze zanedbat ve srovnání s ostatními, neboli které funkce jsou o (g(x)). Zájemcům o srovnávání složitějších funkcí s jednoduššími doporučuji přečíst si strany 245–251 a 382–420 knihy [6].

Cvičení Cvičení 9.5 Najděte Maclaurinovy polynomy třetího řádu následujících funkcí. 1 a) 1+x ; b) ax ; c) tg x.

100


10

10 Úvod do posloupností

Úvod do posloupností

Obsah lekce 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

Pojem posloupnosti . . . . . . . . . . . Vlastnosti posloupností . . . . . . . . . Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . Hromadný bod, hromadná hodnota Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

101 102 103 105 108

Klíčová slova Posloupnost, posloupnost vybraná, konvergentní, divergentní, hromadný bod, hromadná hodnota.

10.1

Pojem posloupnosti

Úmluva Symbolem N označím množinu N = {1; 2; 3; . . . }. Pokud nebude uvedeno jinak, bude vždy n ∈ N. Definice 10.1 Posloupnost {an }∞ n=1 je zobrazení z množiny N do množiny R. Číslo an se nazývá n-tý člen posloupnosti {an }∞ n=1 . Posloupnost je tedy předpis přiřazující každému číslu n nějaké číslo an . Příklad 10.1 Příkladem je posloupnost druhých mocnin {n2 }∞ n=1 = {1; 4; 9; 16; . . . }. 2 Zde je n-tý člen přímo určen vzorcem an = n ; v tomto případě říkáme, že posloupnost je určena vzorcem pro n-tý člen. // Příklad 10.2 Dalším příkladem posloupnosti je tzv. Fibonacciho13 posloupnost. Tato posloupnost je určena rekurentně. To znamená, že je dán jeden nebo několik prvních členů a je dán vzorec, kterým se n-tý člen určí pomocí členů předchozích. U Fibonacciho posloupnosti {an }∞ n=1 jsou dány první dva členy a1 = a2 = 1 a pro n > 2 je dán vzorec an = an−2 + an−1 . Třetí člen je tedy roven součtu prvního a druhého členu, neboli a3 = = a1 + a2 = 1 + 1 = 2. Dále platí a4 = a2 + a3 = 3, atd. // Posloupnosti jsou definovány na množině N, a proto se často používá takzvaný důkaz matematickou indukcí. Důkaz matematickou indukcí probíhá ve dvou krocích: 1) Dokážeme, že tvrzení platí pro první člen; 2) Dokážeme, že z předpokladu, že tvrzení platí pro k-tý člen, plyne, že platí pro (k + 1)-ní člen. 13

Leonardo Pisano Fibonacci [fibonači] byl italský obchodník a cestovatel žijící v letech 1170 až 1250. Zasloužil se o znovuoživení antické matematiky. Do Evropy přivedl desítkovou číselnou soustavu a arabské číslice.

101



2 n Příklad 10.3 Posloupnost {an }∞ n=1 je určena rekurentně takto: a1 = 1, an+1 = n+1 an . Dokažme, že vzorec pro n-tý člen je an = n12 . Pro n = 1 vzorec platí, protože je 112 = 1 = a1 . Předpokládejme, že vzorec platí pro n = k, tedy předpokládejme, že ak = k12 . Je třeba 1 dokázat, že vzorec platí pro n = k + 1, neboli, že je ak+1 = (k+1) 2 . Platí ak+1 =

k k+1

2

ak =

k k+1

2

1 k2 1 1 = = , k2 k 2 (k + 1)2 (k + 1)2

což uzavírá důkaz matematickou indukcí. Uvedený vzorec tedy platí pro všechna n.

//

Cvičení Pokuste se dokázat, že pro Fibonacciho posloupnost {an }∞ n=1 = {1; 1; 2; 3; 5; . . . } platí √ √ 1+ 5 n 1− 5 n − 2 2 √ an = . 5 ∞ Definice 10.2 Posloupnost {bk }∞ k=1 se nazývá posloupnost vybraná z posloupnosti {an }n=1 , ∞ jestliže existuje posloupnost {nk }k=1 splňující pro všechna k ∈ N tyto podmínky: 1) nk ∈ ∈ N; 2) nk < nk+1 ; 3) bk = ank .

Symbol ank znamená nk -tý člen posloupnosti {an }∞ n=1 . 2 ∞ Příklad 10.4 Posloupnost {bk }∞ k=1 = {(2k + 1) }k=1 = {9; 25; 49; . . . } je posloupnost ∞ 2 ∞ vybraná z posloupnosti {an }n=1 = {n }n=1 = {1; 4; 9; . . . }. ∞ ∞ To se dokáže snadno. Hledaná posloupnost {nk }∞ k=1 je {nk }k=1 = {2k+1}k=1 . Nyní dokážu požadované tři vlastnosti. 1) Protože je k ∈ N, je také 2k + 1 ∈ N; 2) 2k + 1 < 2(k + 1) + + 1 = 2k + 3; 3) bk = (2k+1)2 = a2k+1 = ank . //

∞ ∞ Cvičení 10.1 Mějme dány posloupnosti {ak }∞ k=1 a {bk }k=1 . Najděte posloupnost {cn }n=1 ∞ ∞ tak, aby obě posloupnosti {ak }∞ k=1 a {bk }k=1 byly posloupnosti vybrané z {cn }n=1 . Kolik ∞ takových posloupností {cn }n=1 existuje?

10.2

Vlastnosti posloupností

Protože posloupnost je zvláštní případ funkce (definiční obor je N ⊆ R), je většina vlast ností podobných jako u funkcí. Proto tyto vlastnosti uvedu jen stručně. ∞ Definice 10.3 Posloupnosti {an }∞ n=1 a {bn }n=1 se rovnají, jestliže pro všechna n ∈ N platí an = bn .

∞ Příklad 10.5 Posloupnosti {an }∞ n=1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . } a {bn }n=1 = {2; 1; 4; 3; 6; 5; . . . } se nerovnají. Obsahují sice stejné členy, ale například a1 = 1 6= 2 = b1 . //

102



Definice 10.4 Jestliže pro an < an+1 , an ≤ an+1 , an > an+1 , an ≥ an+1 ,

všechna n ∈ N platí nazývá se posloupnost nazývá se posloupnost nazývá se posloupnost nazývá se posloupnost

{an }∞ n=1 {an }∞ n=1 {an }∞ n=1 {an }∞ n=1

rostoucí; neklesající; klesající; nerostoucí.

Je-li posloupnost rostoucí, neklesající, klesající, nebo nerostoucí, nazývá se monotonní. Cvičení 10.2 Dokažte, že posloupnost {an }∞ n=1 je rostoucí právě tehdy, když pro každá m, n ∈ N taková, že m < n, platí am < an . Obdobně pro zbývající tři vlastnosti. Definice 10.5 Jestliže pro všechna n ∈ N platí an > 0, nazývá se {an }∞ n=1 posloupnost an ≥ 0, nazývá se {an }∞ n=1 posloupnost an < 0, nazývá se {an }∞ n=1 posloupnost an ≤ 0, nazývá se {an }∞ n=1 posloupnost

s kladnými členy; s nezápornými členy; se zápornými členy; s nekladnými členy.

Definice 10.6 Jestliže existuje konstanta m ∈ R taková, že pro všechna n ∈ N platí m ≤ an , nazývá se {an }∞ n=1 zdola omezená; M ∈ R taková, že pro všechna n ∈ N platí an ≤ M , nazývá se {an }∞ n=1 shora omezená. Jestliže je {an }∞ n=1 omezená zdola i shora, nazývá se omezená.

10.3

Limita posloupnosti

Definice 10.7 Číslo A se nazývá limita posloupnosti {an }∞ n=1 , jestliže pro každé ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí an ∈ Uε (A), neboli stručněji lim an = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : an ∈ Uε (A) .

n→∞

Připouští se také A = +∞, nebo A = −∞. Limita posloupnosti se chová stejně jako limita funkce pro x → +∞. Je to tedy číslo, ke kterému se s rostoucím n blíží hodnoty an . Situaci ilustruje obrázek 77. y A−ε an A A−ε n0

n

x

Obrázek 77 Limita posloupnosti

103



n ∞ 1 1 1 1 = −1; ; − ; ; − ; . . . se s rostoucím n Příklad 10.6 Členy posloupnosti (−1) n 2 3 4 5 n=1 blíží nule. (Graf je na obrázku 77, přičemž je A = 0.) Limita této posloupnosti by tedy mohla být rovna nule. To je ovšem nutno dokázat. Nechť je dáno číslo ε > 0. Je třeba najít číslo n0 ∈ N takové, aby pro všechna n > n0 platilo |an − 0| = |an | < ε. Platí |an | = n1 . Má být n1 < ε, neboli n > 1ε . Za n0 tedy stačí dosadit celou část čísla 1ε . Z toho plyne, že n = 0. // lim (−1) n n→∞

Definice 10.8 Jestliže limita posloupnosti vlastní (konečná), říkáme, že posloupnost je konvergentní nebo že konverguje. Jestliže posloupnost není konvergentní, říkáme, že je divergentní nebo že diverguje. Protože se limita posloupnosti chová stejně jako limita funkce pro x → +∞, platí i pro ni podobné věty jako pro limitu funkce. Proto následující věty uvádím většinou bez důkazů. Věta 10.1 Posloupnost má nejvýše jednu limitu. Věta 10.2 Jestliže má posloupnost {an }∞ n=1 limitu A, pak má každá z ní vybraná po ∞ sloupnost {ank }n=1 limitu A. Důkaz Především si uvědomte, že nk je rostoucí posloupnost přirozených čísel, a proto je nk ≥ k. Nechť je dáno číslo ε > 0. Protože lim an = A, existuje n0 takové, že pro n > n0 n→∞

je an ∈ Uε (A). Avšak pro k > n0 je nk > n0 , neboli pro všechna k > n0 platí ank ∈ Uε (A). Z toho plyne, že lim ank = A. k→∞

Věta 10.3 Nechť platí lim an = A a lim bn = B. Potom platí n→∞

n→∞

lim (an + bn ) = A + B ,

n→∞

lim (an − bn ) = A − B ,

n→∞

lim (an bn ) = AB .

n→∞

Je-li navíc B 6= 0, platí an A = . n→∞ bn B lim

Důsledek Nechť c ∈ R je libovolná konstanta. Potom platí lim can = c lim an . n→∞

n→∞

Cvičení 10.3 Označme P (n) = ar nr + · · · + a1 n + a0 a Q(n) = bs ns + · · · + b1 n + b0 , kde P (n) ar 6= 0 a bs 6= 0. Určete limitu lim Q(n) . n→∞

104



Věta 10.4 Jestliže platí lim an < lim bn , pak existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro n→∞ n→∞ všechna n > n0 platí an < bn . Věta 10.5 Jestliže existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí an ≤ bn , pak platí lim an ≤ lim bn . n→∞

n→∞

Věta 10.6 Jestliže existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí an = bn , pak platí lim an = lim bn . n→∞

n→∞

Věta 10.7 Jestliže existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí bn ≤ an ≤ cn , a jestliže platí lim bn = lim cn = A, pak platí lim an = A. n→∞

n→∞

n→∞

Věta 10.8 lim an = 0 platí právě tehdy, když platí lim |an | = 0. n→∞

n→∞

Věta 10.9 Jestliže existuje číslo n0 ∈ N takové, že pro všechna n > n0 platí |an | ≤ |bn |, a jestliže platí lim bn = 0, pak platí lim an = 0. n→∞

n→∞

Věta 10.10 Jestliže je lim an = 0 a existují čísla n0 ∈ N a K ≥ 0 taková, že pro všechna n→∞

n > n0 platí |bn | ≤ K, pak platí lim an bn = 0. n→∞

10.4

Hromadný bod, hromadná hodnota

Definice 10.9 Číslo A se nazývá hromadný bod posloupnosti {an }∞ n=1 , jestliže ke kaž dému číslu ε > 0 existuje číslo n ∈ N takové, že an ∈ Pε (A). Hromadný bod posloupnosti je tedy číslo, do jehož každého prstencového okolí patří nějaký člen této posloupnosti. ∞ Příklad 10.7 Posloupnost n1 n=1 má hromadný bod 0. To se dokáže snadno. Nechť je 1 dáno číslo ε > 0. Má se najít 1 číslo n ∈ N takové, že an ∈ Pε (0), neboli −ε < n < ε. Takové n je například n = ε + 1. // Uvědomte si rozdíl mezi limitou a hromadným bodem. U limity musí v Pε (A) ležet všechny členy posloupnosti od jistého členu počínaje. U hromadného bodu stačí, když v Pε (A) leží jeden člen posloupnosti. Na rozdíl od mít posloupnost hromadných bodů více. limity může ∞ Na obrázku 78 je graf posloupnosti (−1)n 1 − n1 n=1 , která má hromadné body A = −1 a B = 1. (Dokažte, že A a B jsou skutečně hromadné body.) Věta 10.11 Číslo A je hromadný bod posloupnosti právě tehdy, když ke každému ε > 0 leží v Pε (A) nekonečně mnoho členů této posloupnosti. 105



y

y B+ε B B−ε

A+ε A+ζ A A−ζ A−ε

nA nB

x

A+ε A A−ε

n1

Obrázek 78 Hromadné body posloupnosti

n2

n3 m x

Obrázek 79 K důkazu věty 10.11

Důkaz Zprava doleva je zřejmý. Jestliže v Pε (A) leží nekonečně mnoho členů, pak tam leží jeden člen. Protože toto platí pro každé ε > 0, je A hromadný bod dané posloupnosti. Zleva doprava provedu důkaz sporem. (Při čtení zároveň sledujte obrázek 79, který situaci ilustruje pro p = 3.) Předpokládejme, že v Pε (A) leží pouze konečný počet členů posloup nosti. Označme počet těchto členů p a členy samotné an1 , . . . , anp . Označme ζ nejmenší „vzdálenostÿ nějakého členu ank od čísla A; přesněji, označme ζ = min |ank −A|. Protože k=1;... ;p

všechny členy ank leží v Pε (A), je ank 6= A, a tedy ζ > 0. Protože Pζ (A) = (A − ζ; A + ζ) \ \ {A}, neleží žádný ze členů ank v Pζ (A). Podle definice hromadného bodu však do Pζ (A) patří nějaký člen am . Tento člen musí být různý od všech ank . Protože je Pζ (A) ⊆ Pε (A), leží člen am v Pε (A). Členů posloupnosti ležících v Pε (A) je tedy p + 1, což je spor. Z toho plyne, že v Pε (A) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. Definice 10.10 Číslo A se nazývá hromadná hodnota posloupnosti {an }∞ n=1 , jestliže exis ∞ tuje posloupnost {bk }∞ vybraná z posloupnosti {a } taková, že platí lim bk = A. n n=1 k=1 k→∞

Příklad 10.8 Měli jste že A = −1 a B = 1 jsou hromadné body po za núkol dokázat, ∞ 1 ∞ sloupnosti {an }n=1 = (−1) 1− n n=1 . Nyní dokážeme, že A i B jsou zároveň hromadné 1 hodnoty. Vyberme z posloupnosti {an }∞ posloupnost {bk }∞ = {a2k+1 }∞ = 2k+1 − n=1 k=1 k=1 ∞ 1 − 1 k=1 . Tato posloupnostmá limitu lim bk = lim 2k+1 − 1 = 0 − 1 = −1, z čehož plyne, k→∞ k→∞ 1 ∞ ∞ = {a že A je hromadná hodnota. Volbou {bk }∞ 2k }k=1 = 1 − 2k k=1 se podobně dokáže, k=1 že i B je hromadná hodnota. // Z předchozího příkladu lze vytušit, že každý hromadný bod by zároveň mohl být hromad nou hodnotou. Toto skutečně platí, jak ukazuje věta 10.12. Věta 10.12 Je-li A hromadný bod posloupnosti {an }∞ n=1 , pak je A zároveň hromadná hodnota této posloupnosti.

106



Důkaz Označme b1 = a1 a dále označme jako bk člen an s nejmenším n takový, že je různý od čísel b1 , . . . , bk−1 a že platí an ∈ P1/k (A). Uvědomte si, že takové an musí existovat. (Přesný důkaz existence není složitý, ale „ je v něm hodně písmenekÿ, a proto ho zde ∞ neuvádím.) Z konstrukce čísel bk plyne, že {b z {an }∞ n=1 . 1k}k=1 je posloupnost vybraná 1 Zvolme libovolně číslo ε > 0 a označme k0 = ε . Nechť k > k0 . Platí k < ε. Pro číslo bk platí bk ∈ P1/k (A) ⊆ Pε (A), neboli bk ∈ Pε (A), z čehož plyne, že lim bk = A. k→∞

Příklad 10.9 Obrácená implikace nemusí platit. Vezměme si posloupnost {an }∞ n=1 = = {1; 1; 1; . . . }. Tato posloupnost má limitu A = 1, a proto každá vybraná posloupnost má také limitu A = 1. Jinými slovy, A je hromadná hodnota. Přesto pro libovolné ε > 0 neleží v Pε (A) ani jeden člen an . Číslo A = 1 tedy není hromadný bod. // Věta 10.13 Jestliže má posloupnost {an }∞ n=1 limitu A, pak A je hromadná hodnota. Důkaz Stačí si uvědomit, že {an }∞ n=1 je posloupnost vybraná ze sebe sama.

Obrácená implikace opět neplatí. Posloupnost v příkladu 10.8 měla dvě hromadné hod noty. Limita však může být maximálně jedna. Z toho plyne, že alespoň jedna hromadná hodnota není limitou původní posloupnosti. Věta 10.14 Jestliže má posloupnost alespoň dvě hromadné hodnoty, pak nemá limitu. Věta 10.15 Každá posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Shrnutí Posloupnost je funkce N → R, a proto má stejné vlastnosti jako funkce. Po ∞ sloupnost {bk }∞ k=1 je posloupnost vybraná z posloupnosti {an }n=1 , jestliže existuje rostoucí ∞ posloupnost {nk }k=1 taková, že bk = ank . Posloupnost má limitu A, jestliže ∀ε > 0 ∃n0 ∈ ∈ N ∀n > n0 : an ∈ Uε (A). Jestliže má posloupnost konečnou limitu, je konvergentní, jinak je divergentní. Limita posloupnosti má stejné vlastnosti jako limita funkce a platí pro ni i podobné věty. Číslo A je hromadný bod, jestliže ∀ε > 0 ∃n ∈ N : an ∈ Pε (A). Číslo A je hromadná hodnota, jestliže existuje vybraná posloupnost mající limitu A. Ka ždý hromadný bod je hromadná hodnota, ne naopak. Tato kapitola byla jednoduchá, protože části 10.2 a 10.3 byly opakováním první kapitoly a lišily se pouze v tom, že definiční obor nebyl R. Problémy jste mohli mít v části 10.4. Jestliže se tak stalo, přečtěte si tuto část ještě jednou. Není to tak těžké.

107



Cvičení Cvičení 10.4 Určete následující limity. 5 n 9 + n+1 n−1 a) lim e) lim n→∞ 2 + 1 n→∞ n n n3 + 27 3 + 0,5n f) lim b) lim n→∞ n4 − 15 n→∞ 0,3n+1 + 5 n (n + 5)3 − n(n + 7)2 c) lim g) lim n→∞ 3n + 2 n→∞ n2 2 − n n2−n n2 + 1 3n2 + 1 + h) lim − d) lim n→∞ 2n + 1 n→∞ n + 1 n+2 6n + 1 Cvičení 10.5 Najděte hromadné body posloupností. ∞ ∞ 1 + (−1)n (1 − (−1)n )2n + 1 b) a) n 2n + 3 n=1 n=1

108

(−1)n + n1 n→∞ 12 − (−1)n n 3n j) lim n→∞ 5 + 3n+1 2n+2 + 3n+3 k) lim n→∞ 2n + 3n 5 · 2n − 3 · 5n+1 l) lim n→∞ 100 · 2n + 2 · 5n i) lim

c)

np n

4(−1)n

o∞ +2 n=1


11

11 Věty o posloupnostech

Věty o posloupnostech

Obsah lekce 11.1. Supremum a infimum množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 11.2. Věty o posloupnostech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 11.3. Stejnoměrná spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Klíčová slova Supremum, infimum, Bolzano-Cauchyho věta, Cantorova věta, Borelova věta, stejnoměrná spojitost.

11.1

Supremum a infimum množiny

Definice 11.1 Číslo α ∈ R se nazývá supremum množiny M ⊆ R (značí se sup M ), jestliže a) pro každé x ∈ M platí x ≤ α; b) ke každému c < α existuje x ∈ M takové, že c < x. Jestliže M není shora omezená, definuje se sup M = +∞. Supremum množiny {f (x) : x ∈ ∈ M } se označuje sup f (x). x∈M

Vlastnost a) říká, že žádné číslo množiny M není větší než α. Vlastnost b) říká, že α je nejmenší ze všech čísel majících vlastnost a). Příklad 11.1 Určeme supremum množiny M = (0; 1). Pro všechna x ∈ M platí 0 < x < 1. Pro každé číslo α ≥ 1 tedy platí x ≤ α. Pro 1 1+c každé c < 1 však číslo x = max 2 ; 2 patří do množiny M a platí c < x. Z toho plyne, že sup M = 1. // Supremum je podobné maximu. Mezi nimi je však rozdíl. Maximum množiny M je de finováno jako číslo α ∈ M takové, že pro všechna x ∈ M platí x ≤ α. Na rozdíl od suprema musí maximum patřit do množiny M . Maximum nemusí vůbec existovat, napří klad u množiny M = (0; 1). Věta 11.1 Pro každou množinu M ⊆ R existuje jediné číslo sup M . Důkaz Provedu jej pouze pouze pro jednoznačnost, a sice důkaz sporem. Předpoklá dejme, že α < β jsou suprema množiny M . Podle vlastnosti a) čísla α neexistuje v M číslo větší než α. Podle vlastnosti b) čísla β, protože α < β, existuje číslo x ∈ M větší než α, což je spor. Důkaz existence je uveden například v knize [5] na stranách 58–59.

109



Věta 11.2 Jestliže existuje číslo max M , pak platí sup M = max M . Definice 11.2 Číslo α ∈ R se nazývá infimum množiny M ⊆ R (značí se inf M ), jestliže a) pro každé x ∈ M platí x ≥ α; b) ke každému c > α existuje x ∈ M takové, že c > x. Jestliže M není zdola omezená, definuje se inf M = −∞. Infimum množiny {f (x) : x ∈ M } se označuje inf f (x). x∈M

Vlastnost a) říká, že žádné číslo množiny M není menší než α. Vlastnost b) říká, že α je největší ze všech čísel majících vlastnost a). Pro infimum platí podobné věty jako pro supremum. Věta 11.3 Pro každou množinu M ⊆ R existuje jediné číslo inf M . Věta 11.4 Jestliže existuje číslo min M , pak platí inf M = min M . Příklad 11.2 Určeme inf n1 . n∈N

Jinými slovy máme určit infimum množiny M = 1; 21 ; 31 ; 14 ; . . . . Všechny prvky mno žiny M jsou větší než nula. Jestliže však zvolím libovolné c > 0, pak vždy existuje číslo x ∈ M , které je menší než c. Takové x je například x = n1 , kde n = 1c + 1. Z toho plyne, že inf n1 = inf M = 0. // n∈N

11.2

Věty o posloupnostech

Věta 11.5 Každá monotonní omezená posloupnost má vlastní limitu. Tato věta v sobě zahrnuje dvě věty: Každá neklesající shora omezená posloupnost má limitu a Každá nerostoucí zdola omezená posloupnost má limitu. Důkaz Provedu jej pro neklesající posloupnost. Posloupnost {an }∞ n=1 je shora omezená, a proto existuje sup an = α ∈ R. Podle vlastnosti b) suprema existuje ke každému ε > 0 n∈N

číslo n takové, že α − ε < an . Posloupnost je neklesající, a proto an ≤ an+1 ≤ · · · , neboli pro všechna k ∈ N platí α − ε < an+k . Jinými slovy ke každému ε > 0 existuje n takové, že pro všechna m > n platí am ∈ Uε (α). To ale neznamená nic jiného než, že posloupnost má limitu α. Důsledek Pro neklesající shora omezenou posloupnost platí lim an = sup an . Pro ne n→∞

rostoucí zdola omezenou posloupnost platí lim an = inf an . n→∞

110

n∈N

n∈N



√ Příklad 11.3 Nechť a > 0 je dané reálné číslo. Zvolme kladné číslo x1 tak,aby x1 > a. 1 a Nalezněme limitu posloupnosti {xn }∞ n=1 určené vztahem xn+1 = 2 xn + xn . 1 a Pomocí derivace √ funkce f (t) = 2 t + t lze snadno dokázat, že pro všechna t > 0 platí f (t) ≥ a. Z toho plyne, že √ a ≤ xn a a ≤ xn xn a + xn ≤ 2xn xn 2xn+1 ≤ 2xn a posloupnost {xn }∞ n=1 je zdola omezená a nerostoucí. Z toho plyne, že má limitu. Určeme ∞ tuto limitu. Uvědomme si, že posloupnosti {xn }∞ n=1 a {xn+1 }n=1 mají stejnou limitu. Označme ji A. Potom platí lim xn = lim xn+1 n→∞ 1 a lim xn = lim + xn n→∞ n→∞ 2 xn 1 a A= +A 2 A A2 = a . √ √ Protože je A ≥ a, musí platit A = lim xn = a. n→∞ Pro a = x1 = 3 dostaneme posloupnost {xn }∞ = 3; 2; 47 ; 97 ; 18817 ; . . . , která se n=1 56 10864 √ √ // k číslu 3 blíží velmi rychle. Její desátý člen se od 3 liší jen o 5,04 · 10−293 . n→∞

Věta 11.6 (Bolzano14 -Cauchyho (pro posloupnosti)) Posloupnost {an }∞ n=1 je konver gentní právě tehdy, když pro každé ε > 0 existuje k ∈ N takové, že pro všechna m, n ≥ k platí |an − am | < ε. Podmínka ∀ε > 0 ∃k ∈ N ∀m, n ≥ k : |an − am | < ε se nazývá Bolzano-Cauchyho podmínka (zkráceně BC-podmínka) pro posloupnosti. Všim něte si, že Bolzano-Cauchyho věta nic neříká o hodnotě limity, ale pouze o její existenci. Situaci ilustruje obrázek 80. 14

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano byl český matematik žijící v letech 1781–1848. Úspěšně očistil matematickou analýzu od pojmu nekonečně malý. Také ukázal příklady bijekcí mezi prvky nekonečné množiny a prvky její vlastní podmnožiny.

111



y

<ε

k

m

n

x

Obrázek 80 BC-podmínka pro posloupnosti Důkaz Provedu jej pouze zleva doprava. Nechť je posloupnost {an }∞ n=1 konvergentní. Označme α = lim an . Podle definice limity pro každé ε > 0 existuje k ∈ N takové, že pro n→∞

všechna m ≥ k je |am − α| < 2ε . Podobně pro všechna n ≥ k platí |an − α| ≤ 2ε . Sečtením posledních dvou nerovností dostaneme |an − am | ≤ |an − α| + |α − am | <

ε ε + =ε 2 2

pro všechna m, n ≥ k. Důkaz zprava doleva je uveden například v knize [4] na stranách 26–27.

Příklad 11.4 Pomocí Bolzano-Cauchyho věty ukažme, že pokud existuje limita posloup ∞ nosti {an }∞ n=1 , pak existuje limita posloupnosti {an+1 }n=1 a tyto limity si jsou rovny. ∞ Vytvořme posloupnost {bn }∞ n=1 , kde bn = an+1 − an . Protože {an }n=1 je konvergentní, pro každé ε > 0 existuje k ∈ N takové, že pro všechna n ≥ k platí |an+1 − an | < ε. (Toto je BC-podmínka pro m = n + 1.) To ale neznamená nic jiného než, že posloupnost {|an+1 − ∞ ∞ − an |}∞ n=1 má limitu nula. Z toho plyne, že i posloupnost {bn }n=1 = {an+1 − an }n=1 má limitu nula. Protože an+1 = an + bn , platí lim an+1 = lim an + lim bn = lim an + 0 = lim an .

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Věta 11.7 (Heineho15 ) Nechť je funkce f definována na nějakém prstencovém okolí bodu c. Potom lim f (x) = A platí právě tehdy, když pro všechny posloupnosti {an }∞ n=1 x→c takové, že • lim an = c a n→∞

• pro všechna n ∈ N je an 6= c, platí lim f (an ) = A. n→∞

15 Heinrich Eduard Heine [hajne] byl německý matematik žijící v letech 1821–1881. Jeho práce vedla k zavedení stejnoměrné spojitosti.

112



Heineho věta udává vztah mezi limitou funkce v bodě a limitou posloupnosti. Věta 11.8 (Bolzano-Cauchyho (pro funkce)) Nechť funkce f je definována na něja kém prstencovém okolí bodu c. Potom existuje vlastní limita lim f (x) právě tehdy, když x→c

pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, y ∈ Pδ (c) platí |f (x) − f (y)| < ε. Podmínka ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ Pδ (c) : |f (x) − f (y)| < c se nazývá Bolzano-Cauchyho podmínka (zkráceně BC-podmínka) pro funkce. Stejně jako Bolzano-Cauchyho věta pro posloupnosti, tato věta nic neříká o hodnotě limity, ale pouze o její existenci. Situaci ilustruje obrázek 81. y f <ε

c − δx c yc + δ

x

Obrázek 81 BC-podmínka pro funkce Důkaz je podobný jako důkaz věty 11.6, protože obě věty jsou hodně podobné. Při důkazu se využije Heineho věta. Věta 11.9 (Cantorova16 ) Nechť {Jn }∞ n=1 je posloupnost uzavřených intervalů tako ∞ T vých, že J1 ⊇ J2 ⊇ · · · . Potom platí Jn 6= ∅. n=1

Symbol

∞ T

Jn znamená průnik množin (intervalů) J1 ∩ J2 ∩ J3 ∩ · · · .

n=1

Cantorova věta tedy říká, že uzavřené intervaly J1 , J2 , . . . takové, že J1 ⊇ J2 ⊇ · · · , mají neprázdný průnik. Důkaz Označme Jn = han ; bn i. Potom pro všechna n ∈ N platí an ≤ an+1 , an ≤ bn a bn ≥ bn+1 . Z toho plyne, že pro všechna n ∈ N je an ≤ b1 a bn ≥ a1 . Posloupnost {an }∞ n=1 je neklesající a shora omezená, má tedy limitu α. Posloupnost {bn }∞ n=1 je nerostoucí a zdola omezená, proto má limitu β. Protože pro všechna n ∈ N je an ≤ bn , platí α ≤ β a hα; βi není prázdná množina. Podle věty 11.5 platí α = sup an a β = inf bn . Z toho plyne, n∈N

n∈N

že pro všechna n ∈ N je an ≤ α ≤ β ≤ bn , neboli hα; βi ⊆ han ; bn i. Protože toto platí pro ∞ T han ; bn i. Protože všechny intervaly han ; bn i, platí to i pro jejich průnik, neboli hα; βi ⊆ ∞ n=1 T han ; bn i = 6 ∅. je hα; βi = 6 ∅, je také n=1 16 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor [kantor] (1845–1918) byl německý matematik, žijící do svých jedenácti let v Rusku. Byl zakladatelem teorie množin a svým objevem kardinálních čísel umožnil určovat mohutnosti nekonečných množin. Také se zabýval studiem trigonometrických řad.

113



Příklad 11.5 Pro otevřené nebo polouzavřené intervaly věta platit nemusí. Mějme po ∞ 1 1 ∞ sloupnost {Jn }n=0 = 0; n n=1 . Protože je n+1 < n1 , je Jn ⊇ Jn+1 . Nyní dokážu, že ∞ T žádné číslo x ∈ R nepatří do J = Jn . Je-li x ≤ 0, nebo x > 1, nepatří x do žád n=1 ného Jn , a tedy ani do J. Je-li x ∈ (0; 1i, potom pro n = x1 + 1 je x 6∈ Jn , a proto x 6= J. ∞ T Z toho plyne, že J = Jn = ∅. // n=1

Před následující větou je třeba učinit několik poznámek z teorie množin. S Symbol Jα znamená sjednocení množin Jα přes všechna α ∈ A. Je to zobecnění α∈A

klasického sjednocení množin X ∪ Y . Je definováno takto: [ x∈ Jα ⇐⇒ ∃α ∈ A : x ∈ Jα . α∈A

Pro pochopení uvedu krátký příklad. Příklad 11.6 Určeme M =

S

(α; α2 ).

α∈h2;5)

Zde je A = h2; 5) a pro všechna α ∈ A je Jα = (α; α2 ). Například pro α = 3 je J3 = (3; 9), pro α = 4,9 je J4,9 = (4,9; 24,01). Aby mohlo být x ∈ M , musí existovat α ∈ h2; 5) tak, aby x ∈ (α; α2 ), neboli α < x < α2 . Pro žádné x ≤ 2 nemůže existovat α ≥ 2 takové, že α < x. Pro žádné x ≥ 25 nemůže existovat kladné α < 5 takové, že x < α2 . Pro x ∈ ∈ (2; 25) naopak α takové, že α < x < α2 , existuje; například α = 2+x pro x ∈ (2; 8) 2 q 25+x a α = pro x ∈ h8; 25). Z toho plyne, že x ∈ M právě tehdy, když x ∈ (2; 25), 2 S neboli M = (α; α2 ) = (2; 25). // α∈h2;5)

Definice S 11.3 Systém intervalů {Jα : α ∈ A} se nazývá pokrytí množiny M , jestliže platí Jα ⊇ M . Pokrytí se nazývá otevřené , jsou-li všechny intervaly Jα otevřené. α∈A

Pokrytí se nazývá konečné , je-li množina A konečná, neboli je-li intervalů Jα konečný počet. Pokrytí se nazývá nekonečné , je-li množina A nekonečná, neboli, je-li intervalů Jα nekonečně mnoho. Systém {(α; α2 ) : α ∈ h2; 5)} je tedy nekonečné otevřené pokrytí intervalu (2; 25). Nyní již uvedu slibovanou větu. Věta 11.10 (Borelova17 o otevřeném pokrytí) Nechť A je libovolná množina a ha; biSlibovolný uzavřený interval. Dále nechť pro každé α ∈ A je Jα otevřený inter S val a Jα ⊇ ha; bi. Potom existuje konečná množina K ⊆ A taková, že Jα ⊇ ha; bi. α∈A

α∈K

17

Félix Edouard Justin Émile Borel byl francouzský matematik žijící v letech 1871–1956. Vytvořil první efektivní teorii míry bodových množin, čímž dal základy moderní teorii funkcí reálné proměnné.

114



Pro konečnou množinu A je věta bezvýznamná, stačí zvolit K = A. Svůj význam nabývá až pro nekonečné množiny A. Věta říká, že z každého (nekonečného) otevřeného pokrytí intervalu ha; bi lze vybrat konečné pokrytí téhož intervalu. Příklad 11.7 V minulém příkladu bylo uvedeno nekonečné pokrytí {(α; α2 ) : α ∈ h2; 5)} intervalu h3; 24i. (Nemohl jsem vzít interval (2; 25), protože v předpokladu Borelovy věty se vyskytuje uzavřený interval.) Podle Borelovy věty lze vybrat konečné pokrytí téhož intervalu. Takové pokrytí je například pokrytí intervaly J2 = (2; 4), J3,5 = (3,5; 12,25) a J4,9 = (4,9; 24,01). Hledaná množina K ⊆ A je tedy K = {2; 3,5; 4,9}. Platí [ Jα = J2 ∪ J3,5 ∪ J4,9 = (2; 24,01) ⊇ h3; 24i . // α∈K

Jako ukázku použití Borelovy věty uvedu důkaz věty o Darbouxově vlastnosti spojité funkce. Věta 3.7 Funkce spojitá na intervalu má na tomto intervalu Darbouxovu vlastnost. Důkaz Nechť je bez újmy na obecnosti f (a) < f (b). Má se dokázat, že pro každé d ∈ ∈ (f (a); f (b)) existuje c ∈ (a; b) takové, že f (c) = d, neboli f (c) − d = 0. Předpokládejme naopak, že existuje d ∈ (f (a); f (b)) takové, že pro všechna c ∈ (a; b) je f (c) − d 6= 0. Protože je funkce f (x) − d spojitá, pro všechna x ∈ ha; bi existuje číslo δ(x) > 0 takové, že f (x) − d nemění na Uδ(x) (x) znaménko. (Číslo δ(x) je závislé na čísle x.) Systém {Uδ(x) (x) : x ∈ ha; bi} je otevřené pokrytí intervalu ha; bi. Podle Borelovy věty existují n S čísla x1 , . . . , xn ∈ ha; bi taková, že Uδ(xi ) (xi ) ⊇ ha; bi. Z toho ovšem plyne, že f (x) − d i=1

nemění znaménko na ha; bi, neboli, že f (a) − d a f (b) − d mají stejné znaménko. Podle předpokladu však je f (a) < d, neboli f (a) − d < 0, a f (b) > d, neboli f (b) − d > 0, a čísla f (a) − d a f (b) − d mají různá znaménka, což je spor.

11.3

Stejnoměrná spojitost

Abyste si uvědomili rozdíl mezi spojitostí a stejnoměrnou spojitostí, znovu uvedu definici spojitosti na intervalu. Definici však uvedu trochu jinak, aby se tento rozdíl zdůraznil. Ekvivalentní definice 3.4 Funkce f je spojitá na intervalu J, jestliže pro každé ε > 0 a každé x ∈ J existuje δ > 0 takové, že pro všechna y ∈ J platí tvrzení „ jestliže je |x − y| < δ, pak je |f (x) − f (y)| < εÿ, neboli stručněji ∀ε > 0 ∀x ∈ J ∃δ > 0 ∀y ∈ J : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε . V případě spojitosti tedy může číslo δ záviset na čísle x. Definice 11.4 Funkce f je stejnoměrně spojitá na intervalu J, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, y ∈ J platí tvrzení „ jestliže je |x − y| < δ, pak je |f (x) − f (y)| < εÿ, neboli stručněji ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ J ∀y ∈ J : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε .

115



V případě stejnoměrné spojitosti tedy číslo δ nemůže záviset na čísle x. Věta 11.11 Každá funkce stejnoměrně spojitá na intervalu J je na tomto intervalu spojitá. Příklad 11.8 Obrácená implikace nemusí platit. Příkladem je funkce f (x) = x2 , která je spojitá na R, ale není na R stejnoměrně spojitá. To se dokáže snadno. Nechť je dáno ε > 0 a nechť δ > 0 je libovolné. Zvolme y = x + 2δ . 2 Potom je |x − y| < δ a |x2 − y 2 | = xδ + δ4 . Ke každému (libovolně malému) číslu δ však vždy existuje (dostatečně velké) číslo x takové, že |x2 − y 2 | ≥ ε. // Věta 11.12 Nechť J ⊆ R je interval. Jestliže existuje konstanta K > 0 taková, že |f 0 (x)| < K pro všechna x ∈ J, pak je funkce f stejnoměrně spojitá na J. Důkaz Podle Lagrangeovy věty existuje číslo ξ ležící mezi x a y takové, že f (x) − f (y) = = (x − y)f 0 (ξ). Protože ξ ∈ J, je |f 0 (ξ)| < K, a proto |f (x) − f (y)| < K|x − y|. Stačí tedy zvolit δ = Kε . Příklad 11.9 Funkce sin x je stejnoměrně spojitá na R, protože platí sin0 x = cos x a |cos x| < 2 pro všechna x ∈ R. // Cvičení 11.1 Dokažte, že funkce arctg x je stejnoměrně spojitá na R. Věta 11.13 Nechť je funkce f spojitá na ha; bi. Potom je f stejnoměrně spojitá na ha; bi. Příklad 11.10 Funkce x2 je spojitá na R, a proto je spojitá na libovolném uzavřeném intervalu ha; bi ⊆ R. Z toho plyne, že na libovolném uzavřeném intervalu ha; bi je funkce x2 stejnoměrně spojitá. // Cvičení 11.2 Nechť je funkce f stejnoměrně spojitá na intervalu J a nechť I je podin terval intervalu J. Dokažte, že f je stejnoměrně spojitá na I. Shrnutí Číslo α je supremum množiny M , jestliže (∀x ∈ M : x ≤ α) ∧ (∀c < α ∃x ∈ ∈ M : c < x). Podobně se definuje infimum. Každá monotonní omezená posloupnost má limitu. Bolzano-Cauchyho věta říká, že posloupnost je konvergentní právě tehdy, když ∀ε > 0 ∃k ∈ N ∀m, n ≥ k : |an − am | < ε. Cantorova věta říká, že z každého otevřeného pokrytí uzavřeného intervalu lze vybrat konečné podpokrytí. Funkce je stejnoměrně spo jitá na J, jestliže platí ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ J : (|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε). Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá, ne naopak. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na něm stejnoměrně spojitá.

116



Tato kapitola patřila k těm teoretičtějším. Opět musím opakovat, že učivo není moc těžké. Když něco nepochopíte, přečtěte si to ještě jednou a uvidíte, že Vám to půjde. Protože toto je poslední kapitola, přeji Vám mnoho štěstí u zkoušek a z matematické analýzy jedničku.

117


Řešení

Řešení Cvičení 1.1 a) R ; b) h0; +∞) ; c) R \ {0} . Grafy jsou na obrázku 82. y c)

2 1 −3 −2 −1 b) −1

1

2

x

−2 a)

−3

Obrázek 82 Cvičení 1.1 Cvičení 1.2 f (x) = 0 pro všechna x ∈ Dom f . Cvičení 1.3 a) Zdola omezená konstantou −2; b) Shora omezená konstantou 2; c) Není omezená zdola ani shora. Cvičení 1.4 Pro sudou funkci f platí f (x) = f (−x), což znamená, že ve dvou různých bodech má stejnou hodnotu a proto není prostá. Cvičení 1.5 Pro všechna x je f (x) > 0 a g(x) > 0. Odtud plyne, že f (x) + g(x) > 0 a f (x)g(x) > 0 pro všechna x. √ Cvičení 1.6 a) x−3 ; b) Funkce není prostá; c) 3 x + 3. 2 Cvičení 1.7 7x + 3 a) (f ◦ f )(x) = , x+4 2x2 + 9 (f ◦ g)(x) = 2 , x +2 7x2 + 6x + 12 (g ◦ f )(x) = 2 , x − 2x + 1 (g ◦ g)(x) = x4 + 6x + 12 ;

b) (f ◦ f )(x) = (f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x) =

q √ √ √

x + 1 + 1,

x + 1, x + 1,

(g ◦ g)(x) = x .

Cvičení 1.8 e(x) = x pro všechna x ∈ Dom e. Cvičení 1.9 a) Dom f = R, Rng f = h0; 1); b) Dom f = Rng f = Q ; c) Dom f = h−1; 1i, Rng f = h0; 1i. Cvičení 1.10 f −1 (x) =

x−b a

pro a 6= 0; b), c) Funkce f nejsou prosté.

Cvičení 1.11 a) x = (f ◦ f )(x) = (f ◦ f ◦ f ◦ f )(x) = · · √ · , f (x) = (f ◦ f ◦ f )(x) = · · · ; b) Tuto vlastnost mají například všechny funkce f (x) = n a − xn . 118


Řešení

Cvičení 1.12 (f ◦ f ◦ f ◦ f )(x) = ((f −1 ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ f ))(x) = x. Cvičení 2.1 Průsečík s osou y je [0; c]. Průsečíky s osou x jsou b2 ≥ 4ac.

−b±√b2 −4ac 2a

; 0 , pokud je

Cvičení 2.2 Pro x ∈ Q je D(x) = 1 a −x ∈ Q, a proto D(−x) = 1. Pro x 6∈ Q je D(x) = 0 a −x 6∈ Q, a proto D(x) = 0. Cvičení 2.3 Pro x = 0 je −x = 0, a proto R(x) = R(−x) = 0. Pro x 6∈ Q je R(x) = 0 a −x 6∈ Q, a proto R(−x) = 0. Pro x = pq , kde p a q jsou nesoudělná, jsou čísla −p a q nesoudělná a R(x) = R(−x) = 1q . Cvičení 2.4 d), e) a g). Cvičení 2.5 a), b), e) a f) Cvičení 2.6 a) Dom f = Rng f = R, funkce je rostoucí na R, není sudá ani lichá, průsečík 4 s osou x je − 3 ; 0 , s osou y je [0; 4], graf je na obrázku 83. b) Dom f = Rng f = R, funkce je klesající na R, není sudá ani lichá, průsečík s osou x je [3; 0], s osou y je [0; 6], graf je na obrázku 83. 5 2 c) f (x) = 4(x − 2)(x − 3) = 4 x −

2 −1, Dom f = R, Rng f = h−1; +∞), funkce je klesající na −∞; 25 , rostoucí na 25 ; +∞ , není sudá ani lichá, průsečíky s osou x jsou [2; 0] a [3; 0], s osou y je [0; 24], graf je na obrázku 83. d) f (x) = −3x2 + 3, Dom f = R, Rng f = (−∞; 3i, funkce je rostoucí na (−∞; 0i, klesající na h0; +∞), je sudá, průsečíky s osou x jsou [±1; 0], s osou y je [0; 3], graf je na obrázku 83. 5 e) f (x) = 2 + x−1 , Dom f = R \ {1}, Rng f = R \ {2}, funkce je klesající na (−∞; 1) a (1; +∞) není sudá ani lichá, průsečík s osou x je − 32 ; 0 , s osou y je [0; −3], graf je na obrázku 84. 3/2 f) f (x) = 23 − x−2 , Dom f = R \ {2}, Rng f = R \ 32 , funkce je rostoucí na (−∞; 2) a (2; +∞), není sudá ani lichá, průsečík s osou x je [3; 0], s osou y je 0; 94 , graf je na obrázku 84. g) f (x) = 0, Dom f = R, Rng f = {0}, funkce je konstantní (a tedy nerostoucí a neklesa jící) na R, je sudá i lichá, průsečíky s osou x jsou [t; 0] pro každé t ∈ R, s osou y je [0; 0], graf je na obrázku 83. y b)

10

y c)

a)

10

5

5

f)

−2 −1 −5

1

−10

e)

g) −2 −1 −5 −10

1

2

3

x

d)

−15

2

3

x

−15

Obrázek 83 Cvičení 2.6

Obrázek 84 Cvičení 2.6 119


Řešení

− + Cvičení 3.1 a) (3; 5) = U1 (4) = P+ 2 (3) = P2 (5); b) h6; 7) = U1 (6); c) h0; 2i není okolí.

Cvičení 3.2 Pro dané a ∈ R a ε > 0 zvolme δ = ε. Potom pro x ∈ Uδ (a) je |f (x) − f (a)| = = |x| − |a| ≤ |x − a| < δ = ε. Cvičení 3.3 Funkce f + g a f − g jsou nespojité v bodě a. Kdyby funkce f + g byla spojitá v bodě a, pak by funkce g = (f + g) − f jako rozdíl funkcí spojitých v bodě a byla spojitá v bodě a, což je spor. Podobně pro funkci f − g. Cvičení 3.4 Taková funkce existuje, například f (x) = 2D(x) − 1. Cvičení 3.5 d) Cvičení 3.6 a) R; b) (−∞; −4), (−4; 0) a (0; 3); c) −∞; −1, −1; − 12 , − 21 ; 0 , (0; 1) a (1; +∞). √ √ Cvičení 3.7 a) x ∈ (−7; 0i∪h4; +∞); b) x ∈ (−∞; − 5)∪(−1; 5); c) x ∈ (−1; 0)∪(0; 1); d) x ∈ (−2; 1). Cvičení 3.8 Označme f (x) = x3 − 5x − 1. Platí f (−1) = 3 a f (0) = −1. Funkce f je spojitá, a proto má Darbouxovu vlastnost. Z toho plyne, že pro 0 ∈ (−1; 3) existuje c ∈ (−1; 0) takové, že f (c) = 0. Cvičení 4.1 Pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro x ∈ (0; δ) je f (x) ∈ Uε (A). Pro x ∈ (−δ; 0) platí x ∈ Dom f a f (x) = f (−x). Proto pro x ∈ (−δ; 0) je f (x) = f (−x) ∈ ∈ Uε (A) a lim f (x) = A. Odtud plyne, že lim f (x) = A. x→0−

x→0

Cvičení 4.2 c1 A1 + · · · + cn An . 1 Cvičení 4.3 a) −8; b) −3; c) − 56 . Cvičení 4.4 Platí lim 2D(x) − 1 x = lim |x| = 0, a proto lim 2D(x) − 1 x = 0. x→0

x→0

x→0

Cvičení 4.5 a) 1; b) 23 ; c) 6; d) 10; e) 21 ; f) − 12 ; g) 13 ; h) 41 ; i) 31 ; j) Cvičení 4.6 a) 12 ; b)

1 ; 3125

c)

3 30 ; 2

3 10 . 2

d) 23 ; e) 0; f) −1.

Cvičení 6.1 Lenost nebo tvrdohlavost. Cvičení 6.2 nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 . Cvičení 6.3 axa−1 . Cvičení 6.4 ef (x) f 0 (x). Cvičení 6.5 (tg x)0 =

1 ; cos2 x

(cotg x)0 = − sin12 x .

1 Cvičení 6.6 − √1−x 2.

Cvičení 6.7 Při použití f (x) =

√ 3

x, x0 = 1 a dx = 0,03 dostaneme 120

√ 3

. 1,03 = 1,01.


Řešení

Cvičení 6.8 (ex )(n) = ex pro každé n. Cvičení 6.9 2

a) 12x + 2πx − 7 b) 5x4 − 2 · 3x ln 3 + c) d) e) f) g) h)

k) − tg x 7 cos2 x

2 sin 2x 2 m) − sin 2x 1 n) √ 2 x +1 3 o) sin x · sin 2x 2 l)

4x + 1)2 −4x3 − 15x2 − 45 (x3 + 7x − 5)2 cos x − sin2 x 2 sin x cos3 x 2x 2 x +1 3 x (x2

p) 3x2 cos x3 1 1 − x2 √ 2 1 + x 1 + x2 + x4 1 r) 1 + cos x

q)

2

i)

3 ln x x

s)

j) cotg x

x4

−m2 x 1 − m2 x2 3x2 − 2 tg(x3 − 2x + 1) ex − e−x ex + e−x −10x3 − 42x2 − 4x − 18 (x3 + 2x + 5)3 2 sin x (1 + cos x)2 ln a √x √ a 2 x

u) √

2x + 2x2 + 2 n cos x

t) p 1 − n2 sin2 x

v) w) x) y) z)

α) ln x + 1 β) − √ γ) − δ) √

a2

mx2

+ √

x2

1 √ x + a2 + x2

1 1 − m2 x2

a x2 + a

3

Cvičení 7.1 Jestliže f a g jsou rostoucí funkce, pak pro každé x a y takové, že x < y, platí f (x) < f (y) a g(x) < g(y). Odtud plyne f (x) + g(x) < f (y) + g(y). Cvičení 7.2 Pro všechna x ∈ R platí (ex )00 = ex > 0, a proto je funkce ex konvexní. Cvičení 7.3 Funkce f je konvexní právě tehdy, když pro x1 < x2 < x3 platí f (x2 ) ≤

f (x3 ) − f (x1 ) (x2 − x1 ) + f (x1 ) . x3 − x1

To je ekvivalentní s nerovnicí −f (x2 ) ≥

(−f (x3 )) − (−f (x1 )) (x2 − x1 ) + (−f (x1 )) , x3 − x1

která platí právě tehdy, když je funkce −f konkávní. U ryzí konvexity jsou uvedené nerovnosti ostré. Cvičení 7.4 a) Rostoucí na (−∞; −1i a h1; +∞), klesající na h−1; 0) a (0; 1i; b) rostoucí na (−∞; 0i, klesající na h0; +∞); rostoucí na (−∞; 1i, klesající na h1; +∞). Cvičení 7.5 a) konvexní na (−∞; 2i, konkávní na h2; +∞); b) konvexní na (−2; +∞), konkávní na (−∞; −2); c) konvexní na R. 121


Řešení 2

2 ; b) 91 ; c) 67 ; d) ab ; e) − a2 ; f) ln1a − 1; g) 1 − ln a; h) − 21 ; i) − 11 ; j) −4; Cvičení 7.6 a) 10 7 a(a+1) 9 49 k) 1; l) a1 ; m) 14 ; n) 45; o) 198 ; p) − 61 ; q) 2 ; r) 1; s) 2; t) − 13 ; u) 1; v) 0; w) 0; x) 0; 1 a−b y) 0; z) 2 ; α) 2 ; β) e; γ) 1; δ) 1. Cvičení 8.1 Pokud y = q je asymptota, platí lim f (x) − q = 0, tedy lim f (x) = q. Pokud je lim f (x) = q, platí lim f (x) − q = 0 a y = q je asymptota. √

2 2

Cvičení 8.2 a) Extrémy nejsou; b) v bodě 1 minimum 0; c) v bodě √

v bodě −

2 2

maximum

√1 , 2e

minimum − √12e .

√ √ √ √ Cvičení 8.3 a) − 3; 23 , [0; 0], 3; − 23 ; b) funkce nemá inflexní body; c) e3/2 ; 32 e−3/2 .

Cvičení 8.4 a) bez směrnice x = −3, se směrnicí y = x − 3 pro x → +∞ i x → −∞; b) bez směrnice x = 2, se směrnicí y = 3x pro x → +∞ i x → −∞; c) bez směrnice x = 2, se směrnicí y = x + 2 pro x → +∞ i x → −∞. Cvičení 9.1 a) Funkce je sudá, neperiodická, √ její definiční obor√ je R, obor hodnot je 5; 0], [−1; 0], [1; 0] √ a [ 5; 0]. Funkce h−4; +∞), průsečíky s √ osami jsou [0; 5], [− √ √ je kladná na intervalech (−∞; záporná na √ √ − 5), (−1; 1) a ( 5; +∞), √ √(− 5; −1) a (1; 5), rostoucí na h− 3; 0i a h 3; +∞), klesající na (−∞; − 3i a h0; 3i, konvexní na (−∞; −1i a h1; +∞) konkávní na h−1; 1i, lokální maximum v bodě 0 má hodnotu 5, lokální minima √ v bodech ± 3 mají hodnotu 4, inflexní body jsou [−1; 0] a [1; 0], asymptoty nejsou, graf je na obrázku 85. y 0,4

y 6 4

0,2

2 −4 −2

−1

1

2 x

−2

2

4 x

−0,2

−2 −0,4

−4

Obrázek 85 Cvičení 9.1 a)

Obrázek 86 Cvičení 9.1 b)

b) Funkce je lichá, neperiodická, její definiční obor je R, obor hodnot − 21 ; 21 průsečík s osami je [0; 0]. Funkce je kladná na (0; +∞), √ záporná na kle √ (−∞; 0), rostoucí na h−1; 1i, √ sající√ na (−∞; −1i a h1; +∞, konvexní na h− 3; 0i a h 3; +∞), konkávní na (−∞; − 3i a h0; 3i, lokální maximum v bodě 1 má√ hodnotu 12 , lokální minimum v bodě −1 má √ √ √3 3 1 hodnotu − 2 , inflexní body jsou − 3; − 4 , [0; 0] a 3; 4 , asymptota pro x → +∞ i x → −∞ je y = 0, graf je na obrázku 86. c) Funkce je sudá, má definiční obor (−1; 1), a proto je neperiodická, obor hodnot je (−∞; 0i, průsečík s osami je [0; 0]. Funkce je záporná na (−1; 0) a (0; +1), rostoucí na (−1; 0i, klesající na h0; 1), konkávní na (−1; 1), lokální maximum v bodě 0 má hodnotu 0, inflexní body nejsou, asymptoty jsou x = −1 a x = 1, graf je na obrázku 87. 122


Řešení

y −1

−0,5

0,5

1x

−1 −2 −3

Obrázek 87 Cvičení 9.1 c) Cvičení 9.2 Taylorův polynom pro funkci sin n n−1 x x3 x5 x7 + − + · · · + (−1) 2 , 3! 5! 7! n! n x3 x5 x7 xn−1 pro sudé n je x − + − + · · · + (−1) 2 −1 . 3! 5! 7! (n − 1)!

pro liché n je x −

Taylorův polynom pro funkci cos n−1 xn−1 x2 x4 x6 + − + · · · + (−1) 2 , 2! 4! 6! (n − 1)! n n x x2 x4 x6 pro sudé n je 1 − + − + · · · + (−1) 2 . 2! 4! 6! n!

pro liché n je 1 −

. Cvičení 9.2 e = 1 + xa b x→+∞ x

Cvičení 9.4 lim

1 1!

+

1 2!

+

1 3!

+ ··· +

1 . n!

= lim xa−b = 0. x→+∞

Cvičení 9.5 a) 1 − x + x2 − x3 ; b) 1 + x ln a +

x2 ln2 a 2

+

x3 ln3 a ; 6

c) x +

x3 . 3

Cvičení 10.1 Například {a1 ; b1 ; a2 ; b2 ; a3 ; b3 ; . . . }. Posloupností s uvedenou vlastností je ne konečně mnoho, protože například pro libovolné t ∈ R má posloupnost {t; a1 ; b1 ; a2 ; b2 ; . . . } uvedenou vlastnost. Cvičení 10.2 Je-li posloupnost {an }∞ n=1 rostoucí, pak pro m < n je am < am+1 < · · · < an . Je-li am < an pro m < n, pak pro n = m + 1 dostáváme am < am+1 a {an }∞ n=1 je rostoucí. Cvičení 10.3 Pro r < s je lim = 0. Pro r = s je lim = absr . Pro r > s je lim = +∞, mají-li ar a bs stejná znaménka, a lim = −∞, mají-li ar a bs různá znaménka. Cvičení 10.4 a) 5; b) 0,6; c) 13 ; d) −1; e) 1; f) 0; g) 1; h) − 61 ; i) −1; j) 0; k) 27; l) − 15 . 2 Cvičení 10.5 a) −1 a 1; b) 0 a 2; c) 1. Cvičení 11.1 Platí (arctg x)0 = spojitá.

1 1+x2

a |(arctg x)0 | < 2, a proto je funkce arctg stejnoměrně

123


Řešení

Cvičení 11.2 Jestliže vztah |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε platí pro všechna x, y ∈ J a jestliže I ⊆ J, musí uvedený vztah platit i pro všechna x, y ∈ I.

124


Reference

Reference [1] Hans-Jochen Bartsch. Matematické vzorce. Mladá fronta, Praha, 2000. [2] O. Botlík, D. Souček. Kalibro test. 2000. [3] Boris Pavloviq Demidoviq. Sbornik zadaq i upraneni po matematiqeskomu analizu. Nauka, Moskva, 1977. [4] Jaroslav Hančl. Matematická analýza. Ostravská univerzita, 1998. [5] Vojtěch Jarník. Diferenciální počet I. Academia, Praha, 1984. [6] Lev Dmitrieviq Kudrvcev et al. Sbornik zadaq po matematiqeskomu analizu, Predel, Nepreryvnost~, Differeciruemost~. Nauka, Moskva, 1984. [7] Oldřich Odvárko. Funkce. Prometheus, Praha, 1994. [8] MacTutor History of Mathematics. http:// www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians.

125

Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek

Recommend Documents