OPTIMASI: DIFERENSIAL PARSIAL MATEMATIKA TELKOM UNIVERSITY
DIFERENSIAL PARSIAL • Fungsi yang mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan. apabila y = f(x) maka turunannya hanyalah turunan y terhadap x, dengan kata lain y’= dy/dx.
DIFERENSIAL PARSIAL Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan jumlah macam variabel bebasnya. Y=f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu turunan y terhadap x atau ∂y/ ∂x dan turunan y terhadap z atau ∂y/ ∂z.
DIFERENSIAL PARSIAL 1. Y = f(x,z) a) fx (x,z) = ∂y/ ∂x Y’
b) fz (x,z) = ∂y/ ∂z dy = (∂y/ ∂x)dx + (∂y/ ∂z)dz
2. P = f(q,r,s) a) fq (q,r,s) = ∂p/ ∂q b) fr (q,r,s) = ∂p/ ∂r c) fs (q,r,s) = ∂p/ ∂s dp = (∂p/ ∂q)dq + (∂p/ ∂r)dr + (∂p/ ∂r)dr
DIFERENSIAL PARSIAL • ∂y/ ∂x dan ∂y/ ∂z serta ∂p/ ∂q, ∂p/ ∂r, dan ∂p/ ∂s dinamakan derivatif parsial. • (∂y/ ∂x)dx dan (∂y/ ∂z)dz serta (∂p/ ∂q)dq, (∂p/ ∂r)dr, dan (∂p/ ∂s)ds dinamakan diferensial parsial. Adapun dy dan dp dinamakan diferensial total. 1. ∂y = 3x2-8xz-6z2 ∂x 2. ∂y = 10z – 4x2 – 12xz + 8 ∂x
DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL MATEMATIKA EKONOMI-INSTITUT MANAJEMEN TELKOM
DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL • Fungsi dapat diturunkan dengan lebih dari satu variabel bebas dapat diturunkan lebih dari satu kali. • Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi.
DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL • Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang tinggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. • Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masih beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.
CONTOH y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7 1. ∂y = 3x2-8xz-6z2 ∂x 2. ∂y = 10z – 4x2 – 12xz + 8 ∂z
NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM • Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif. Untuk y = f(x,z), maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika: ∂y = 0 dan ∂y = 0 ∂x ∂z Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsinya mencapai titik ekstrim.
NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM • Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum atau titik minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan (sufficient condition), yakni: Maksimum bila ∂2y < 0 dan ∂2y < 0 ∂x2 ∂z2 Minimum bila ∂2y > 0 dan ∂2y > 0 ∂x2 ∂x2
CONTOH 1. Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini merupakan titik maksimum atau titik minimum: y = -x2 + 12x - z2 + 10z – 45 2. Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi p = 3q2 - 18q + r2 - 8r + 50
OPTIMISASI BERSYARAT - PENGGANDA LAGRANGE - KONDISI KUHN TUCKER MATEMATIKA EKONOMI-INSTITUT MANAJEMEN TELKOM
OPTIMISASI BERSYARAT • Dalam kenyataan seringkali kita harus mengekstrimkan atau mengoptimumkan suatu fungsi, yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi. • Fungsi yang dioptimumkan tadi menghadapi suatu kendala (constraint).
PENGGANDA LAGRANGE • Salah satu metode untuk perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain. Cara: Membentuk fungsi baru, disebut fungsi Lagrange Fungsi Lagrange Penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda Lagrange λ dengan fungsi kendalanya.
PENGGANDA LAGRANGE Misalkan hendak di optimumkan z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g (x,y). Maka fungsi Lagrange nya: F(x,y,λ) = f(x,y) + λ g(x,y) Nilai ekstrim F (x,y, λ) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing derivatif-parsial pertamanya sama dengan nol. Fx(x,y,λ) = fx + λgx Fy(x,y,λ) = fy + λgy
Necessary condition
PENGGANDA LAGRANGE • Pengganda Lagrange λ : variabel tak tentu yang hanya bersifat sebagai pembantu. • Untuk mengetahui jenis nilai ekstrim, maksimum atau minimum, masih harus disidik melalui derivatif parsial keduanya, yang merupakan syarat yang mencukupkan atau sufficient condition. • Nilai ekstrim nya adalah: Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy < 0 Maksimum bila Fxx > 0 dan Fyy > 0
CONTOH SOAL 1. Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. Jelaskan jenis nilai ekstrimnya. 2. Optimumkan z = xy dengan syarat x+2y=10.
KONDISI KUHN-TUCKER • Merupakan metode pengembangan lebih lanjut dari model optimisasi bersyarat. • Mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap sebuah fungsi yang berbentuk pertidaksamaan. bentuk permasalahannya bisa berupa: Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(z,y) ≤ 0 Minimummkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(z,y) ≥ 0
KONDISI KUHN-TUCKER Prosedur penyelesaian: • Metode Lagrange yang dimodifikasi kemudian diuji dengan kondisi (persyaratan) Kuhn-Tucker. • Metode Kuhn-Tucker secara langsung.
KONDISI KUHN-TUCKER Prosedur metoda Kuhn-Tucker melalui metoda Lagrange yang dimodifikasikan dilakukan sebagai berikut: (1). Anggap kendala pertidaksamaannya sebagai sebuah persamaan
Selesaikan masalahnya dengan metode Lagrange yang biasa hingga diperoleh nilai optimum yang dicari.
Khusus dalam hal ini fungsi Lagrangenya harus dibentuk dengan cara: F(x,y,λ) = f(x,y) – λg(x,y); jadi, tidak boleh: F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER MELALUI METODA LAGRANGE YANG DIMODIFIKASI (2). Lakukan pengujian terhadap nilai λ. • Jika λ > 0 berarti nilai optimum yang diperoleh (berdasarkan kendala yang telah dimodifikasi) tadi juga merupakan nilai optimum berkenaan fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan. • Jika λ ≤ 0 berarti berarti optimisasi fungsi tujuan f(x,y) tanpa menyertakan fungsi kendala g(x,y) sudah dengan sendirinya akan memenuhi kendalanya. • Dalam hal λ ≤ 0 kendala yang bersangkutan dikatakan bersifat tidak mengikat (non-binding), oleh karenanya dapat diabaikan; • Dalam hal λ > 0 kendalanya disebut mengikat (binding).
PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER SECARA LANGSUNG Rumuskan permasalahannya, misalnya maksimumkan f(x,y) terhadap g(x,y) ≤ 0, atau minimumkan f(x,y) . terhadap g(x,y) ≥ 0
Tetapkan kondisi Kuhn-Tucker (a) ∂ f(x,y) - λ ∂ g(x,y) = 0 ∂x ∂x (b) ∂ f(x,y) - λ ∂ g(x,y) = 0 ∂y ∂y (c) λ ∂ g(x,y) = 0 di mana g(x,y) ≤ 0 atau g(x,y) ≥ 0
PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER SECARA LANGSUNG Ujilah (2c) masing-masing untuk λ=0 dan g(x,y) = 0 guna menentukan mana di antaranya yang memenuhi persamaan-persamaan (2a) dan (2b) serta pertidaksamaan kendala g(x,y). Nilai-nilai x dan y yang memenuhi ketiga kondisi ini merupakan nilai-nilai yang mengoptimumkan fungsi tujuan f(x,y
CONTOH 1. Maksimumkan f(x,y) = 10xy – 2.5x2 – y2 terhadap kendala x+y ≤ 9. 2. Maksimumkan f(x,y) = (20x)/(x+5) + 10y/(y+10) – x – y terhadap x+y ≤ 15. 3. Minimumkan f(x,y) = x2 – xy + 2y2 terhadap x+y ≥ 8.
