Optimale besturing van multi-echelon systemen

Optimale besturing van multi-echelon systemen Onderzoek naar de integrale continue en periodieke besturing van divergente multi-echelon systemen

Verslag van een doctoraalopdracht bij B-SIM in het kader van de studie Toegepaste Wiskunde, leerstoel Discrete Wiskunde en Mathematische Programmering aan de Universiteit Twente.

M.R.K. Mes

Enschede, augustus 2002

Beoordelingscommissie: Prof. dr. G.J. Woeginger (Universiteit Twente) Dr. J.L. Hurink (Universiteit Twente) Dr. J.C.W. van Ommeren (Universiteit Twente) Ir. J.S. Faber (B-SIM)

B-SIM B.V. Marssteden 92 7547 TD Enschede

Samenvatting In dit doctoraalverslag worden divergente multi-echelon distributieketens beschouwd waarbij een stochastische vraag alleen bij de eindafnemers binnenkomt. Doel van dit onderzoek is het ontwerp van een efficiënte integrale besturing van divergente multiechelon distributieketens zodanig dat de kosten voor de gehele keten geminimaliseerd worden terwijl aan de servicecriteria ten aanzien van leverbetrouwbaarheid kan worden voldaan. Zowel de periodieke (R,S) besturing als de continue (s,Q) besturing wordt gebruikt voor de integrale besturing van multi-echelon distributieketens. Hierbij worden de voorraadbeslissingen gebaseerd op de echelonvoorraden. Met behulp van een simulatiemodel is aangetoond dat het gebruik van een integrale besturing enorme voordelen kan opleveren. Uit de simulatieresultaten bij de continue integrale besturing zijn voorraadreducties van 35% waargenomen en bij de integrale periodieke besturing is deze voorraadreductie zelfs opgelopen tot 53%. Voorraadreducties van deze orde van grootte zullen een enorme impact hebben op de kosten in distributieketens.

Summary In this paper divergent multi-echelon supply chains, with stochastic demand at the end stock points, will be examined. General aim of this dissertation is to develop an efficient integral control policy for these multi-echelon systems in a way that the expected total cost are being minimised while service levels can be met. Both the periodic review (R,S) policy and continuous review (s,Q) policy will be used for the integral control of multiechelon supply chains. Stock decisions will be based upon multi-echelon inventories. With the aid of a simulation model it has been proven that the use of an integral control policy can result in enormous benefits. The results of the simulation show inventory reductions up to 35% when using an integral continuous review policy and reductions up to 53% when using an integral periodic review policy. Inventory reductions of this size will have an enormous impact on the cost-effectiveness of supply chains.

2

Voorwoord In januari 2002 ben ik, na het uitvoeren van mijn stage- en literatuuropdracht, begonnen met het afstudeeronderzoek waar dit verslag de afsluiting van is. Ik heb gedurende mijn afstudeerperiode een prettige tijd gehad bij B-SIM, het bedrijf waar ik het onderzoek voor heb uitgevoerd. Hierbij wil ik al mijn collega’ s bedanken voor hun steun. Verder gaat mijn dank uit naar mijn afstudeercommissie, prof. dr. J.J. Woeginger, dr. J.L. Hurink en ir. J.S. Faber voor hun commentaar, suggesties, ideeën en het gebruik van hun tijd. Martijn Mes, augustus 2002.

3

Inhoudsopgave 1

INLEIDING 1.1 1.2 1.3

2

AANLEIDING DOELSTELLING AANPAK

KETENMODEL 2.1 DISTRIBUTIEKETENS 2.2 BESTURINGEN 2.2.1 Supply Chain Management 2.2.2 Informatie Technologie 2.2.3 Echelon 2.2.4 Overzicht besturingmodellen 2.3 BEGRIPPEN EN NOTATIE

3

CONTINUE BESTURINGEN 3.1 LOKALE TOEPASSING 3.2 INTEGRALE TOEPASSING 3.2.1 Leverbetrouwbaarheid 3.2.2 Vraagverdeling 3.2.3 Bestelgrootte 3.3 ECHELONVOORRADEN

4

PERIODIEKE BESTURINGEN 4.1 LOKALE TOEPASSING 4.2 INTEGRALE TOEPASSING 4.3 SERVICEBENADERING 4.3.1 Besturing van 2-echelon systemen 4.3.2 Besturing van N-Echelon systemen 4.3.3 Kostenminimalisatie 4.4 KOSTENBENADERING

5

SIMULATIE 5.1 SIMULATIEPROGRAMMA 5.1.1 EventController 5.1.2 ModelUserInterface 5.1.3 ParameterSettings 5.1.4 Performance 5.1.5 ControlRoom 5.1.6 Batchrun 5.1.7 ModelControl 5.1.8 ProcessModel 5.2 INSTELLINGEN 5.3 RESULTATEN

6 6 6 7 8 8 11 11 12 14 15 17 19 19 23 24 26 33 36 38 38 45 52 52 58 61 63 68 68 69 69 70 70 70 70 71 71 73 75

6

CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN

80

7

LITERATUURLIJST

82

8

TABELLEN, FIGUREN EN ALGORITMEN

84

BIJLAGE 1 –VRAAGVERDELING GROOTHANDEL

85

BIJLAGE 2 - SIMULATIERESULTATEN 3-ECHELON SYSTEEM

86

4

BIJLAGE 3 –VRAAGVERDELING 3-ECHELON SYSTEEM

88

BIJLAGE 4 –KOSTENMINIMALISATIE

92

BIJLAGE 5 –DECOMPOSITIE ALGORITME

94

BIJLAGE 6 –FUNCTIONELE SPECIFICATIES

95

BIJLAGE 7 –SIMULATIE INSTELLINGEN

106

BIJLAGE 8 –VOORRAADVERLOOP

109

5

Inleiding

1 Inleiding In een snelle en dynamische markt staan veel productiebedrijven onder grote druk. Door de liberalisering van verschillende markten en de snelle opkomst van nieuwe productieen informatietechnologieën is de globalisering van industrieën de laatste jaren sterk toegenomen. Door toenemende concurrentie neemt de druk op de kosten toe. Daarnaast wordt de klantvraag steeds agressiever. Tevens heeft de toenemende concurrentie tussen de verschillende spelers in de open markt gezorgd voor een machtsverschuiving van producenten naar consumenten. De voormalige aanbodgestuurde markt verandert in een vraaggestuurde markt. In deze nieuwe situatie beslist de klant welke producten hij waar en wanneer nodig heeft en tegen welke prijs. Deze veranderde consumentenpositie dwingt de ondernemers tot verandering.

1.1 Aanleiding Traditionele productieen distributiesystemen worden drastisch gewijzigd. Bedrijven zijn dikwijls genoodzaakt tot verplaatsen of herinrichten van hun distributiestructuren in verschillende landen over de hele wereld. Nieuwe samenwerkingsverbanden tussen producenten, leveranciers, importeurs, groothandels en dealers worden aangegaan en zorgen voor veranderingen in de conventionele vrije marktstructuren. Er ontstaan distributieketens van vestigingen die mogelijk centraal kunnen worden bestuurd. Deze besturing zal de transporten en bestellingen binnen de gehele distributieketen coördineren. Dit wordt ook wel een integrale besturing genoemd. Zo kan worden beslist waar en wanneer er hoeveel producten moeten worden getransporteerd. De besturing heeft derhalve effect op de totale voorraad- en transportkosten. Door het toepassen van een efficiënte integrale besturing kunnen mogelijk voordelen voor alle vestigingen in de distributieketen worden behaald.

1.2 Doelstelling In dit verslag zullen verschillende besturingen van de zogenaamde divergente multiechelon distributieketens worden onderzocht. Deze systemen bestaan uit meerdere lagen waarbij elke vestiging maximaal één leverancier heeft en mogelijk meerdere afnemers. Indien de verschillende vestigingen bereid zijn samen te werken kan een integrale besturing worden toegepast. Hiermee komen we tot het doel van dit onderzoek: Het ontwerp van een efficiënte integrale besturing van divergente multi-echelon distributieketens zodanig dat de kosten voor de gehele keten worden geminimaliseerd terwijl aan de servicecriteria ten aanzien van leverbetrouwbaarheid kan worden voldaan. Aan de hand van dit onderzoeksdoel kunnen een aantal subdoelstellingen worden onderscheiden. Ten eerste het ontwikkelen van een integrale toepassing van zowel de continue besturing als de periodieke besturing. Deze besturingen worden veelvuldig toegepast door individuele ondernemers, over de integrale toepassing hiervan is echter minder bekend. De tweede subdoelstelling is het onderzoeken van de mogelijkheden van een besturing op basis van de zogenaamde echelonvoorraden. Hierbij worden voorraadbeslissingen van een specifieke vestiging niet langer enkel gebaseerd op zijn lokale voorraadpositie, maar worden ook de voorraden van zijn afnemers beschouwd. Deze echelonbesturing zal voor zowel de continue als de periodieke besturing worden onderzocht. Vooral over de continue besturing van multi-echelonvoorraden is zeer weinig theorie beschikbaar. Middels dit verslag hopen we hier een bescheiden bijdrage aan te

6

Inleiding

leveren. Tenslotte zal een simulatiemodel worden ontwikkeld waarmee de verschillende besturingen vergeleken en nader onderzocht kunnen worden.

1.3 Aanpak Dit verslag is als volgt ingedeeld. We beginnen met een uiteenzetting van verschillende ketenmodellen in hoofdstuk 2. Hierin zullen verschillende distributieketens en besturingen worden besproken waarna de keuze van een ketenmodel voor dit verslag volgt. In hoofdstuk 3 zal de continue besturing worden besproken en in hoofdstuk 4 de periodieke besturing. Deze besturingen zijn getoetst met behulp van een simulatiemodel. Het simulatiemodel en de simulatieresultaten zullen worden besproken in hoofdstuk 5. Tenslotte volgen in hoofdstuk 6 conclusies en aanbevelingen.

7

Ketenmodel

2 Ketenmodel Zoals in de inleiding vermeld is het onderzoeksdoel van dit verslag het ontwikkelen van een algemeen toepasbare integrale besturing voor distributieketens met als doel het minimaliseren van de totale kosten in de keten. Deze besturing zal de transporten en bestellingen binnen de distributieketen coördineren. Voor een individuele onderneming betekent de besturing het bepalen van zowel de momenten waarop gaat worden besteld als de omvang van de bestellingen. In deze opdracht hebben we echter te maken met distributieketens welke bestaan uit meerdere ondernemingen. Indien elke onderneming, door het plaatsen van bestellingen, zelf bepaalt wanneer de producten in welke hoeveelheden worden geleverd, dan spreken we van lokale besturingen. Indien er informatie-uitwisseling tussen deze vestigingen plaatsvindt, kan een integrale besturing worden gebruikt. Bij de integrale besturing bepaalt een centrale instantie wanneer de producten, in welke hoeveelheden, van welke leverancier aan welke afnemers worden geleverd met als doel de totale kosten in de hele distributieketen te minimaliseren. De hierboven beschreven besturingsproblematiek is redelijk algemeen van opzet. Zo wordt regelmatig de term distributieketen genoemd zonder deze nader te specificeren. In de komende twee paragrafen zal het gebruikte model van de distributieketen en de verschillende mogelijke besturingen worden beschreven. Ten eerste zal in paragraaf 2.1 de distributieketen worden behandeld. Hierin zullen verschillende type distributieketens worden besproken evenals het model van de distributieketen zoals dat in dit onderzoek is gebruikt. In paragraaf 2.2 zal een overzicht worden gegeven van verschillende besturingen en tevens een selectie van besturingen welke in dit verslag zijn onderzocht. Tenslotte zullen in paragraaf 2.3 de in dit verslag gebruikte begrippen en notatie worden behandeld.

2.1 Distributieketens Onder de term distributieketen wordt de verzameling van producenten en tussenhandelaren verstaan waartussen transporten plaatsvinden om vervolgens de producten aan eindgebruikers te kunnen leveren. Een voorbeeld hiervan is de distributie van Volkswagens. Vanuit de producent in Europa worden de auto’ s onder andere getransporteerd naar importeurs in Mexico, Brazilië, Zuid Afrika en China. De importeurs leveren op hun beurt aan de verschillende Volkswagendealers, waarna de eindgebruiker de auto’ s in de showroom kan bewonderen. Een karakteristiek die de modelcomplexiteit van distributieketens sterk beïnvloedt, is het aantal lagen. Het meest eenvoudige model gaat uit van slechts één laag. Dit wil zeggen dat alleen het traject tussen producent en eindgebruiker wordt geanalyseerd. Distributieketens met meerdere lagen kunnen onder meer bestaan uit producenten, importeurs, distributiecentra, groothandels en dealers. De lagen in distributieketens worden ook wel schakels genoemd. De gelaagdheid N van een distributieketen is het aantal schakels waaruit deze distributieketen bestaat. De bovenstaande begrippen worden middels Figuur 1 verduidelijkt.

8

Ketenmodel

Figuur 1 –voorbeeld distributieketen Distributieketens bestaan in vele vormen. In Figuur 2 zijn enkele modellen van distributieketens te vinden. Ten eerste zijn er de seriële distributieketens (zie Figuur 2a). In dit systeem heeft elke schakel slechts 1 vestiging. Een speciaal geval van de seriële distributieketen is de pijplijn structuur. Hierbij is er sprake van 1 schakel en vinden de transporten direct plaats van producent naar eindgebruiker. Seriële systemen hebben het voordeel dat ze relatief eenvoudig door wiskundige modellen kunnen worden beschreven.

(a) Seriële keten

(b) Divergente keten

(d) Netwerk acyclisch

(e) Netwerk cyclisch

(c) Convergente keten

Figuur 2 –distributieketen modellen Een tweede distributievorm is de divergente distributieketen (zie Figuur 2b). In dit systeem heeft elke vestiging 1 leverancier en minstens 1 afnemer. Bij de convergente

9

Ketenmodel

distributieketens (zie Figuur 2c) heeft elke vestiging 1 afnemer en minstens 1 leverancier. Bij elk van deze drie distributiestructuren vinden de transporten alleen plaats tussen de opeenvolgende schakels in de keten. Bij de algemene netwerkstructuren (Figuur 2d en Figuur 2e) hoeft dit niet langer het geval te zijn. Transporten zijn mogelijk tussen alle schakels in de keten en elke vestiging heeft mogelijk meerdere afnemers en leveranciers. In deze distributievorm zijn ook onderlinge leveranties stroomopwaarts of binnen dezelfde schakel van de keten mogelijk. Hierbij kan onderscheid worden gemaakt tussen acyclische netwerken en cyclische netwerken. Bij de acyclische netwerken vinden de transporten alleen plaats van een leverancier in een bepaalde schakel naar een afnemer in een lager gelegen schakel. Bij cyclische netwerken zijn ook transporten in de tegenovergestelde richting mogelijk. Dit verslag richt zich in het bijzonder op de divergente distributieketens. We beschouwen distributieketens welke bestaan uit N schakels, ook wel aangeduid met N-echelon of multi-echelon distributieketens. Voor een gegeven schakel k, is schakel k+1 zijn afnemer en schakel k-1 zijn leverancier. Een gegeven schakel k bestaat uit Mk vestigingen. In de eerste schakel bevindt zich altijd 1 vestiging, deze noemen we de beginafnemer. De beginafnemer wordt door de producent van voorraad voorzien. Deze producent zal altijd kunnen leveren en valt buiten de besturing. In de praktijk is het mogelijk dat beginafnemer en producent samenvallen. In dit geval zal de beginafnemer op het juiste moment een productieorder doorgeven aan de producent, welke na een vaste bewerkingstijd aan de directe afnemers van deze producent kan worden geleverd. De vestigingen die alleen leveren aan de eindgebruikers (consumenten) worden de eindafnemers genoemd. De leveranciers van de eindafnemers zullen worden aangeduid als groothandels. We veronderstellen dat de vraag van de eindgebruikers onderling onafhankelijk is verdeeld en dat deze een goederenstroom teweegbrengt tussen de beginafnemer en de eindafnemers. De levering van goederen gebeurt alleen van schakel k naar schakel k+1. Er vindt dus geen levering plaats tussen verschillende vestigingen in dezelfde schakel. Alle vestigingen tussen de producent en de eindafnemers noemen we de tussenhandel. Omdat we enkel divergente distributieketens beschouwen, nemen we aan dat elke tussenhandelaar slechts 1 leverancier en minstens 1 afnemer heeft. Indien we de distributieketen van producent richting eindgebruiker doorlopen, dan spreken we van stroomafwaarts, de tegenovergestelde richting noemen we stroomopwaarts. Distributieketens brengen vaak hoge kosten met zich mee. De verschillende vestigingen in de keten hebben te maken met kosten van personeel, gebouwen, bestellingen, naleveringen, transporten en voorraden. Transportkosten zijn onder andere afhankelijk van de getransporteerde hoeveelheden en de transportafstanden. De voorraadkosten worden veroorzaakt door rente-, ruimte- en risicokosten. De rentekosten ontstaan doordat het geïnvesteerde vermogen in voorraad geld kost en dit geld elders zou kunnen worden belegd tegen een rentepercentage. Ruimtekosten ontstaan doordat opgeslagen producten ruimte innemen. Deze ruimte kan voor andere doeleinden worden verhuurd of gehuurd. Risicokosten ontstaan doordat producten op voorraad bepaalde risico's met zich mee nemen, zoals incourantheid. Voor dit onderzoek zijn drie type voorraden van belang: § Pijplijnvoorraad: goederen die onderweg zijn van de ene naar de andere schakel. § Werkvoorraad: voorraad die nodig is om aan de verwachte vraag gedurende een bepaalde periode te voldoen. § Veiligheidsvoorraad: voorraad die wordt aangehouden ten behoeve van de opvang van fluctuaties in vraag- en/of levertijd. De omvang van bovengenoemde kosten hangt af van de bestelstrategie die wordt toegepast. Des te frequenter er wordt besteld en geleverd, des te lager de veiligheidsvoorraden zullen zijn. Indien bestellingen voor een langere termijn worden gedaan, zullen de totale transportkosten lager zijn en de kosten van de werkvoorraad hoger. De beslissingen rond bestelmomenten, bestelgroottes, voorraadniveaus en

10

Ketenmodel

veiligheidsvoorraden noemen we de besturing. Door het toepassen van een efficiënte besturing kunnen mogelijk de kosten in distributieketens worden teruggebracht. In de komende paragraaf zal de besturing verder worden besproken.

2.2 Besturingen In de voorgaande paragraaf zijn enkele modellen van distributieketens besproken. Binnen deze ketens moeten beslissingen genomen worden omtrent de bestelmomenten, bestelgroottes, veiligheidsvoorraden en voorraadniveaus; dit wordt de besturing genoemd. Het is van groot belang dat bedrijven hun middelen op een goede manier besturen. Hoe beter deze besturing is, des te beter het betreffende bedrijf de concurrentie de baas kan zijn. Wiskundige modellen kunnen mogelijk uitkomst bieden bij het vinden van een goede besturing. De belangrijkste besturingbeslissingen in distributieketens hangen samen met de voorraden. Voorraden kunnen worden gezien als een noodzakelijk kwaad. Het maakt echter wel een continue levering van producten van producent naar eindgebruiker mogelijk. Voorraden zijn echter kostbaar, ze voegen geen waarde toe aan het product en zullen derhalve tot een minimum moeten worden gereduceerd. In het ideale geval betekent dit dat een product precies op dat moment bij een vestiging arriveert wanneer het ook daadwerkelijk nodig is. Besturing van distributieketens vindt dikwijls plaats op lokaal of integraal niveau. Bij de lokale besturing worden de bestelstrategieën bij elke vestiging in de distributieketen uitsluitend gebaseerd op het voorraadniveau van deze individuele onderneming. Alle vestigingen in de distributieketen zullen dan ook alleen de eigen kosten minimaliseren. Bij het toepassen van een integrale besturing worden alle vestigingen in de keten zodanig aangestuurd dat de kosten in de gehele keten minimaal zijn terwijl toch aan de vraag kan worden voldaan. Het is dan ook goed mogelijk dat alle betrokken partijen beter op elkaar kunnen worden afgestemd zodat betere resultaten worden behaald. Bij een integrale besturing worden beslissingen veelal gebaseerd op de zogenaamde echelonvoorraden. Het begrip echelon zal in paragraaf 2.2.3 aan bod komen. Een begrip dat nauw samenhangt met de integrale besturing van distributieketens is Supply Chain Management. Dit wordt ook wel de multi-echelon voorraadtheorie genoemd, omdat elke schakel in de keten als een echelon wordt beschouwd. In paragraaf 2.2.1 zal dit begrip kort ter sprake komen. Noodzakelijke voorwaarde voor het toepassen van een integrale besturing is de bereidheid tot samenwerking en de beschikbaarheid van actuele informatie. De informatie- en communicatie technologie kan uitkomst bieden in de informatie-uitwisseling. Dit zal worden beschreven in paragraaf 2.2.2. Tenslotte zal in paragraaf 2.2.4 een overzicht van verschillende besturingen worden gegeven evenals een selectie van besturingen welke in de loop van dit verslag zullen worden besproken.

2.2.1 Supply Chain Management

De moderne denkbeelden op het terrein van ketenintegratie, waarbij de besturing van materiaal-, informatie- en geldstromen centraal worden gecoördineerd, kan worden samengevat met de term Suppy Chain Management (SCM). Voordat we dieper ingaan op de kenmerken van SCM volgen eerst een drietal definities: Supply chain management is een aanpak voor het efficiënt benutten van de keten van leveranciers, producenten, groothandelaren en dealers zodat de producten worden geproduceerd en gedistribueerd in de juiste hoeveelheden, op de juiste locaties en op het juiste moment. Dit alles om de kosten van de totale keten te minimaliseren bij gelijk serviceniveau. (gebaseerd op Nahmias [2001]) Het management van de keten die onafhankelijke klanten en leveranciers verbindt als ware het een enkele entiteit met het doel om waarde te creëren en verspilling te

11

Ketenmodel

reduceren door de vrijwillige coördinatie van de doelen en activiteiten van alle organisaties in de keten. (Veen [1999]) Supply chain management is de integratie van materiaal-, informatie- en financiële stromen in een netwerk van bedrijven en organisaties welke zorg dragen voor de distributie van producten en diensten van de aanbieder tot de afnemer. (gebaseerd op Woods [2001]) Hieruit blijkt dat in de literatuur de term Supply Chain Management bepaald niet eenduidig is. Lang niet iedereen verstaat hetzelfde onder deze term. Een aantal aspecten van de definitie van SCM is in dit onderzoek echter van bijzonder belang. Ten eerste kan het gaan om onafhankelijke partijen in de keten. In die zin moet SCM dan ook niet verward worden met verticale integratie, waarbij verschillende bedrijven in een keten worden samengevoegd binnen één bedrijf. Bij SCM wordt coördinatie verkregen door vrijwillige samenwerking en niet door hiërarchische structuren. Ten tweede dient de keten (supply chain) te worden bestuurd als een enkele entiteit. Dat wil zeggen, in van plaats dat de schakels in de keten zich concentreren op het verbeteren van eigen operaties (wellicht ten koste van andere partijen in de keten) kan het zinvoller zijn de gehele keten te verbeteren, of met andere woorden, het geheel te optimaliseren. Ten derde is het doel van SCM zo veel mogelijk waarde te creëren en tegelijkertijd naar minimale verspilling te streven. Bij waarde moet hier worden gedacht aan de verkoopprijs die de eindgebruikers voor het product moeten betalen. Onder verspilling valt alles wat geen waarde aan het product toevoegt, denk hierbij aan voorraden. Door deze verspilling tot een minimum te reduceren, kan een win-win situatie ontstaan voor alle vestigingen in de keten. Er kan onderscheid gemaakt worden tussen twee type beslissingen bij SCM, namelijk strategische en operationele beslissingen. Zoals uit de term al blijkt, worden strategische beslissingen voor een langere tijd genomen. Ze hebben te maken met de beslissingen rond de structuur van de keten. Aan de andere kant zijn de operationele beslissingen gericht op de korte termijn. Deze beslissingen hebben tot doel de productstroom in de keten efficiënt en effectief te besturen. De strategische beslissingen hebben veelal te maken met de inrichting van de distributieketen, zoals het aantal vestigingen en de lokaties hiervan. Bij de operationele beslissingen gaat het vooral om de besturing van transporten en voorraden. In dit verslag zal de inrichting van distributieketen buiten beschouwing worden gelaten. We zullen ons richten op de efficiënte besturing en integratie van deze distributieketens. Integratie van de distributieketen kan op verschillende niveaus plaatsvinden. Nambisan [2000] maakt het onderscheid tussen de volgende drie niveaus van integratie. Ten eerste is er de uitwisseling van informatie. Concreet betekent dit het beschikbaar stellen van de informatie, zoals prijzen, voorraden, vraag, aanbod en de verwachtingen hiervan, over de hele keten. Ten tweede is er de coördinatie over de gehele keten. De verschillende schakels in de keten baseren hun acties op de acties of beslissingen van anderen. Ten derde is er de totale ketenintegratie. Hierbij is elk bedrijf dat onderdeel uitmaakt van de distributieketen volledig geïntegreerd in één organisatie. Ook hierbij worden de beslissingen centraal gecoördineerd. Het bestaan van de verschillende schakels kan niet langer een negatieve invloed uitoefenen op de efficiëntie in de gehele keten. Dit betekent dat de partners niet alleen de informatie en beslissingen delen, maar ook dezelfde bedrijfsdoelen nastreven. Noodzakelijke voorwaarde voor elke integratievorm is de uitwisseling van informatie. Hiervoor is een geschikte informatie- en communicatietechnologie nodig. In de komende paragraaf zullen we hier verder op ingaan.

2.2.2 Informatie Technologie

Steeds meer bedrijven maken gebruik van centrale voorraadinformatie dankzij moderne informatie technologieën, de ICT. De afkorting ICT staat voor Informatie- en Communicatie Technologie. Dit omvat alles wat binnen de huidige samenleving wordt gebruikt aan nieuwe technologieën om informatie te verzamelen, te bewaren, te

12

Ketenmodel

versturen en te communiceren. ICT speelt een steeds grotere rol in deze samenleving. Overal, zowel in de zakelijke als in de privé-sfeer, dringt het gebruik van deze technologie door. Voor veel organisaties is het een cruciaal middel om hun bedrijfsdoelen te bereiken. Productieprocessen worden vandaag de dag grotendeels aangedreven door computergestuurde technologieën. Het effectief en efficiënt inzetten van geautomatiseerde informatiesystemen wordt ook hiermee steeds belangrijker. Niet langer wordt informatica alleen gebruikt om bestaande bedrijfsprocessen efficiënter te laten verlopen. Steeds vaker ook worden bedrijfsprocessen aangepast aan de mogelijkheden die ICT biedt en worden nieuwe producten en diensten aangeboden die enkele jaren geleden nog ondenkbaar waren. Het meest sprekende voorbeeld is de virtuele onderneming. Dit is een samenwerkingsverband tussen verschillende, zowel afhankelijke als onafhankelijke, partijen die verloopt via een computer netwerk en functioneert alsof het één identificeerbare, complete organisatie is met als doel voordelen op te leveren voor alle aangesloten partijen. Ook in de optimalisatie van distributieketens kan een virtuele organisatie uitkomst bieden. De virtuele organisatie heeft dan tot doel de distributieketen zo te besturen en de informatie zo over de keten te verdelen dat alle bestellingen kunnen worden uitgevoerd terwijl voorraad- en transportkosten worden geminimaliseerd. Ook in de privé-sfeer heeft de ICT een enorme invloed. Denk alleen maar aan de opkomst van de communicatietechnologie (Internet) en het door middel van ingebouwde software steeds slimmer worden van normale dagelijkse gebruiksvoorwerpen. Het is niet overdreven te stellen dat een effectieve toepassing van informatica van cruciaal belang is voor de toekomst van onze samenleving en in het bijzonder voor de optimalisatie van logistieke processen. Bij de integrale besturing van distributieketens zullen alle beslissingen centraal worden genomen. De instantie die is belast met de besturing van de keten zullen we in het vervolg aanduiden met de term ketenregisseur. De ketenregisseur kan echter ook een volledig geautomatiseerd systeem zijn, een zogenaamd Automated Ordering System (AOS). Noodzakelijke voorwaarde van een integrale besturing is dat de ketenregisseur op elk moment de beschikking moet hebben over alle voorraad- en verkoopgegevens. Dit is mogelijk door gebruik te maken van digitale communicatiekanalen, zoals het Internet, Intranet, Extranet, EDI en XML. Aan de hand van deze informatie zal de ketenregisseur vervolgens beslissen waar en wanneer er hoeveel producten moeten worden getransporteerd. De zojuist beschreven informatiestructuur is te vinden in Figuur 3 en zal tevens worden gebruikt in het simulatiemodel van hoofdstuk 5. Ketenregisseur Inkomende Klant Orders

Besturing

Distributieketen

Uitgaande Orders

goederen stroom informatie stroom

Figuur 3 –informatiestructuur

13

Ketenmodel

Door de opkomst van de ICT en de resulterende beschikbaarheid van gecentraliseerde voorraadinformatie is er een toenemende interesse in echelonbesturingen. Bij een echelonbesturing worden beslissingen van vestigingen namelijk niet langer genomen op basis van eigen voorraadpositie, maar op basis van de zogenaamde echelonvoorraden. In de komende paragraaf zal het begrip echelon worden besproken.

2.2.3 Echelon

Onderzoek naar multi-echelon voorraadmodellen heeft de laatste jaren aan grote belangstelling gewonnen. Dit wordt voor een groot deel veroorzaakt doordat de integrale besturing van grote distributieketens, door de opkomst van de informatie technologie, nu ook daadwerkelijk mogelijk is. Met behulp van multi-echelon voorraadmodellen kunnen distributieketens worden gemodelleerd en een optimale besturing worden bepaald. De besturing van multi-echelon distributieketens gebeurt tot op heden echter veelal volledig gedecentraliseerd. Dit wil zeggen dat de bestelbeslissingen van een individuele vestiging enkel gebaseerd zijn op de voorraadpositie van deze vestiging. Deze besturingen hebben natuurlijk het voordeel dat er geen informatie-uitwisseling met betrekking tot voorraadgegevens met andere vestigingen nodig is. Inzicht in de voorraden van je afnemers kan echter kostenbesparend werken. De meest eenvoudige manier om rekening te houden met voorraden van afnemers is door gebruik te maken van de zogenaamde echelonvoorraden. De echelonvoorraad van een vestiging bestaat uit zijn lokaal aanwezige voorraad plus de voorraden in alle stroomafwaarts gelegen voorraadpunten die door deze vestiging worden beleverd en de pijplijnvoorraden hiertussen. Anders gezegd, de echelonvoorraad van vestiging i bestaat uit alle ingekomen producten bij vestiging i minus het aantal van deze producten dat reeds aan de eindgebruikers is geleverd. Multi-echelonvoorraden zijn echelonvoorraden waarbij de gelaagdheid N van de distributieketen groter is dan 1. Dit wordt ook wel aangegeven met N-echelon. Ter verduidelijking van bovenstaande begrippen is in Figuur 4 een 4-echelon systeem te zien waarbij de echelonvoorraden van vestigingen 2 en 9 staan aangegeven. P

1 ech(2) 2

3

4 ech(9)

5

6

11

12

7

13

8

14

9

15

10

16

Figuur 4 –echelonvoorraden De basis van het onderzoek naar multi-echelon voorraadmodellen wordt toegeschreven aan Clark & Scarf [1960]. Zij hebben een serieel N-echelon systeem met een periodieke besturing onderzocht. Hoewel in de literatuur over multi-echelon voorraadmodellen hoofdzakelijk de periodieke besturing wordt toegepast, kunnen ook andere besturingmodellen worden gebruikt. In de komende paragraaf zullen verschillende besturingenmodellen besproken worden.

14

Ketenmodel

2.2.4 Overzicht besturingmodellen

Er bestaan verschillende besturingen voor distributieketens. Bij elk van deze besturingen wordt onder bepaalde voorwaarden een optimum gezocht welke de kosten minimaliseert terwijl aan alle vraag kan worden voldaan. Er kan onderscheid worden gemaakt tussen de periodieke- en continue besturingen. Bij een continue besturing wordt een aanvulorder geplaatst indien de voorraadpositie onder een bestelpunt s daalt. Indien deze orders de voorraad aanvullen tot een vooraf bepaald aanvulniveau S dan is er sprake van een (s,S) systeem. Gebruikelijk in modellen voor de continue besturing zijn bestellingen met een vaste bestelgrootte Q. Dit noemen we een (s,Q) systeem. In het geval van een periodieke besturing worden de voorraadposities eens per periode geïnspecteerd en aangevuld. Indien deze voorraad met een vaste bestelgrootte Q wordt aangevuld is er sprake van een (R,Q) systeem. Voor de periodieke besturing is het (R,S) systeem het meest gebruikelijk. Hierbij wordt de voorraadpositie tot een vooraf bepaald niveau S aangevuld. Bovengenoemde besturingen worden samengevat in het onderstaande schema:

Vaste bestelgrootte Variabele bestelgrootte

Periodieke bestellingen Continue bestellingen (R,Q) (s,Q) (R,S) (s,S)

De symbolen zijn als volgt gedefinieerd: R=

De aanvulperiode: dit is de periode tussen twee opeenvolgende tijdstippen waarop een aanvulorder wordt geplaatst. S = Het aanvulniveau: dit is het niveau tot waaraan de voorraadpositie wordt aangevuld. s = Het bestelpunt: er wordt een aanvulorder geplaatst indien de voorraadpositie onder dit bestelpunt daalt. Q = Vaste bestelgrootte. Elk van deze besturingen kan zowel lokaal als integraal worden toegepast. Bij de lokale besturing worden de bestelstrategieën bij elke vestiging in de distributieketen uitsluitend gebaseerd op de voorraadpositie van deze individuele onderneming. Alle vestigingen in de distributieketens zullen dan ook alleen de eigen kosten minimaliseren. Bij het toepassen van een integrale besturing worden de totale kosten in de distributieketen geminimaliseerd. Op deze manier kunnen alle betrokken partijen beter op elkaar worden afgestemd en betere resultaten behalen. Noodzakelijk voor het toepassen van een integrale besturing is de uitwisseling van informatie. Om goede beslissingen te kunnen nemen dient de ketenregisseur, die verantwoordelijk is voor de besturing van de keten, zicht te hebben op de aanwezige voorraden en de vraagprocessen bij de afnemers. In de voorgaande paragraaf is al opgemerkt dat dit mogelijk is door beslissingen te baseren op de echelonvoorraden. Indien er bij de besturing geen rekening gehouden wordt met de echelonvoorraden dan zal dit worden aangeduid met ‘ besturing op basis van fysieke voorraden’ . Samenvattend hebben we de volgende besturingmogelijkheden: Toepassing Bestelmogelijkheid Bestelgrootte Voorraad

Lokaal Continu Variabel Fysiek

Integraal Periodiek Vast Echelon

Tabel 1 –overzicht besturingmogelijkheden Met de mogelijkheden uit Tabel 1 kunnen in principe 16 verschillende besturingen worden gevormd. Echter, een aantal combinaties is niet realiseerbaar of minder relevant.

15

Ketenmodel

Bij de lokale toepassing is het niet mogelijk beslissingen te nemen op basis van echelonvoorraden, iedere vestiging bepaalt afzonderlijk haar eigen besturingparameters. Indien er gebruik wordt gemaakt van een continue besturing dan kan op ieder gewenst moment een bestelling worden geplaatst. Het ligt voor de hand dat een vestiging in een voor haar optimale bestelgrootte zal bestellen. Indien we te maken hebben met een relatief stabiele vraag zal deze bestelgrootte constant zijn. We zullen daarom bij de continue besturing enkel gebruik maken van vaste bestelgroottes. Bij de periodieke besturing is dit echter niet wenselijk. Omdat de bestelmomenten nu vast staan moet het mogelijk zijn de bestelgrootte te variëren. Bij de periodieke besturing zal dan ook de variabele bestelgrootte worden gehanteerd. De volgende besturingen zullen in dit onderzoek worden onderzocht: § § § § § §

Periodieke lokale besturing op basis van fysieke voorraden (PLF) Periodieke integrale besturing op basis van fysieke voorraden (PIF) Periodieke integrale besturing op basis van echelon voorraden (PIE) Continue lokale besturing op basis van fysieke voorraden (CLF) Continue integrale besturing op basis van fysieke voorraden (CIF) Continue integrale besturing op basis van echelon voorraden (CIE)

Bij elk van de bovenstaande besturingen gaan we uit van een model met een stochastische vraag van de eindgebruikers, één type product en nalevering. Nalevering wil zeggen dat wanneer een order door een specifieke vestiging niet direct uit voorraad kan worden geleverd, deze in de betreffende wachtrij zal worden geplaatst. Direct na binnenkomst van een aanvulorder bij deze vestiging zal de order uit de wachtrij worden nageleverd. Van alle besturingen wordt de lokale (s,Q) besturing in de praktijk het meest toegepast (Schwarz e.a. [1985]). Dit wordt veroorzaakt door zijn eenvoud en doordat hij gemakkelijk kan worden geïmplementeerd. De implementatie van deze besturing is echter alleen op basis van lokale voorraden, waarbij verondersteld wordt dat de leverancier altijd kan leveren. In dit verslag zal een integrale (s,Q) besturing voor divergente distributieketens worden besproken. Hierbij zullen de voorraadbeslissingen worden gebaseerd op de echelonvoorraden. Over deze continue multi-echelonbesturing is echter nog zeer weinig bekend. In de literatuur over multi-echelon besturingen wordt vooral het (R,S) systeem toegepast. Hierbij worden de echelonvoorraden van individuele vestigingen in schakel k door de leveranciers in schakel k+1 aangevuld tot een vooraf bepaald aanvulniveau S. Indien de voorraad van de leverancier hiervoor niet toereikend is, zal de beschikbare voorraad worden verdeeld onder de afnemers. Deze verdeling is gebaseerd op zogenaamde allocatieregels waarbij rekening wordt gehouden met de leverbetrouwbaarheid aan eindgebruikers. Deze leverbetrouwbaarheid wordt gedefinieerd als de fractie van de vraag die direct uit voorraad kan worden geleverd. In de literatuur is veel aandacht besteed aan deze allocatieregels van voorraden. Eppen & Schrage [1981] introduceerden de zogenaamde Fair Share (FS) allocatie regel voor 2-echelon systemen zonder tussenvoorraden. Deze allocatieregel zorgt ervoor dat alle eindafnemers een gelijke kans hebben om buiten voorraad te raken. In De Kok [1990] wordt een generalisatie van deze regel beschreven. Hierbij worden de verschillende aanvulniveaus bepaald aan de hand van vooraf opgelegde servicecriteria. Dit gebeurt eveneens voor 2-echelon systemen zonder tussenvoorraden. De Kok, Lagodimos & Seidel [1994] hebben de resultaten van De Kok [1990] gegeneraliseerd voor 2-echelon systemen waarbij het centrale magazijn wel voorraden kan aanhouden. Hierbij werd het begrip Consistent Appropriate Share (CAS) geïntroduceerd. Verrijdt & De Kok [1995] hebben laten zien dat de resultaten van De Kok [1990] ook kunnen worden toegepast op N-echelon systemen waarbij alleen de eindafnemers voorraadhoudend zijn. Een generalisatie van deze CAS-regel is de Balanced Stock (BS) regel van Van der Heijden [1995]. Hierbij worden in tegenstelling tot de CASregel de aanvulniveaus niet vooraf bepaald. In Van der Heijden, Diks & De Kok [1996]

16

Ketenmodel

wordt een generalisatie van de BS-regel gegeven voor N-echelon systemen. Een andere aanpassing van de CAS-regel wordt in Diks & De Kok [1996] beschreven. Deze aanpassing heeft geresulteerd in de Adapted Consistent Appropriate Share (ACAS) regel welke in paragraaf 4.3.1 aan bod zal komen. Een overzicht van de verschillende periodieke besturingen voor multi-echelon systemen is te vinden in In Diks [1997]. Hierbij wordt echter in de meeste gevallen geen rekening gehouden met de kosten. In deze afstudeeropdracht zal dan ook worden gezocht naar een integrale periodieke besturing welke voldoet aan de gewenste leverbetrouwbaarheid en tevens de kosten van de distributieketen minimaliseert. Over de continue multi-echelon besturingen van divergente distributieketens is zoals vermeld zeer weinig literatuur beschikbaar. In Ahire & Schmidt [1996] is de besturing van een 2-echelon systeem beschreven waarbij de eindafnemers een continue (s,Q) besturing toepassen en het centraal magazijn deze bestellingen periodiek levert. In de Bodt & Graves [1985] is een optimale (s,Q) besturing gegeven voor multi-echelon seriële systemen met een Poisson verdeelde vraag. Van Donselaar [1990] heeft de (s,nQ) besturingen in divergente 2-echelon systemen beschreven. Bij deze besturing kan elke vestiging altijd een veelvoud bestellen van de bestelgrootte Q. De artikelen over continue multi-echelon besturingen gaan uit van een 2-echelon systeem of een serieel N-echelon systeem. Beide modellen zijn echter moeilijk toepasbaar op divergente multi-echelon systemen. In dit verslag zal eerst worden gezocht naar een efficiënte integrale continue besturing op basis van fysieke voorraden. Deze resultaten zullen vervolgens worden uitgebreid naar een integrale continue besturing op basis van echelonvoorraden. Voordat we dieper ingaan op de bovenstaande besturingen zullen eerst de gebruikte begrippen en notatie in de komende paragraaf worden besproken.

2.3 Begrippen en notatie In deze paragraaf zullen de begrippen en notatie aan bod komen, die in dit verslag worden gebruikt. Ter verduidelijking zal gebruik worden gemaakt van een voorbeeldketen welke te vinden is in Figuur 5. P Producent 1 Schakel 1 2

3

4 Schakel 2

5

6

7

8

9

10 Schakel 3

11

12

13

14

15

16 Schakel 4

Figuur 5 –voorbeeldketen De gelaagdheid van een distributieketen is het totale aantal schakels waaruit deze bestaat. De voorbeeldketen heeft een gelaagdheid van 4, we geven dit ook wel aan als een 4-echelon voorraadsysteem. Met multi-echelon of N-echelon wordt aangegeven dat het gaat om een distributieketen welke bestaat uit meerdere lagen.

17

Ketenmodel

In de voorgaande paragrafen zijn verschillende termen gebruikt voor de voorraden. Om verwarring te voorkomen volgen hier de definities van de voorraadbegrippen zoals deze in dit verslag zullen worden gebruikt. De fysieke voorraad of het voorraadniveau van een vestiging is het daadwerkelijk aantal producten dat bij deze vestiging in voorraad ligt. Met de term ‘ besturing op basis van fysieke voorraad’wordt aangegeven dat de voorraadbeslissingen enkel genomen worden op basis van de lokale voorraadposities. De lokale voorraadpositie van een specifieke vestiging wordt gegeven door zijn fysieke voorraad plus de uitstaande aanvulorders minus de orders die bij deze vestiging in de wachtrij staan. De echelon voorraadpositie is analoog gedefinieerd. Zo wordt de echelon voorraadpositie van een vestiging 4 in Figuur 5 gegeven door zijn echelonvoorraad plus de uitstaande aanvulorders van deze vestiging minus de orders in de wachtrijen bij de eindafnemers 10, 14, 15 en 16. In dit verslag zal de dag als tijdseenheid worden gehanteerd. Indien bijvoorbeeld gebruik wordt gemaakt van de periodieke (R,S) besturing (zie paragraaf 2.2.4) dan wordt met R het aantal dagen tussen twee opeenvolgende bestelmomenten weergegeven. Voor de vergelijkingen van de totale verwachte kosten bij de verschillende besturingen is echter gebruik gemaakt van een grote periode T. Voor T kan bijvoorbeeld een jaar worden genomen. Omdat we voor de tijdseenheid de dag gebruiken, is in dit geval T gelijk aan 365. Een aantal van de gebruikte symbolen in dit verslag staan vermeld in Tabel 2. Tussen haakjes zijn voorbeelden te vinden aan de hand van Figuur 5. Een complete opsomming is te vinden in een uitklapbaar overzicht aan het einde van dit verslag. Symbool N Ni ech(i) pre(i) Ui Vi LLC(i)

Wi E Ei Gi M

Betekenis Aantal schakels in de keten (N=4). Verzameling van vestigingen in schakel i. (N2={2,3,4}). Verzameling van alle vestigingen die bijdragen aan de echelonvoorraad van vestiging i (ech(2)={2,5,6,11,12,13}). De leverancier van vestiging i (pre(10)=4). Alle vestigingen op de route van producent naar vestiging i (U1=∅ en U8={1,3}). Alle directe afnemers die door vestiging i worden beleverd (V4={9,10}). Iedere vestiging krijgt een ‘ low level code’toegewezen. Voor eindafnemers is dit gelijk aan 1. Voor de overige vestigingen wordt deze gegeven door: LLC (i) := 1 + max j∈Vi LLC ( j ) (LLC(4)=3). Verzameling van vestigingen met LLC(i). (W3={2,4}). Verzameling van eindafnemers. (E={5,7,8,10,11,12,13,14,15,16}). Verzameling van eindafnemers in ech(i). (E2={5,11,12,13}). Verzameling van groothandels in ech(i). (G1={3,6,9}). Verzameling van vestigingen in de tussenhandel. (M={1,2,3,4,6,9}). Tabel 2 –overzicht symbolen

18

Continue besturingen

3 Continue besturingen In dit hoofdstuk zal de continue besturing worden besproken. Belangrijkste kenmerk van deze besturing is dat er op ieder gewenst moment een bestelling kan worden geplaatst. Een voordeel hiervan is dat veiligheidsvoorraden alleen gedurende de levertijd nodig zijn om aan schommelingen in de vraag te kunnen voldoen. Op deze wijze is het mogelijk de voorraadkosten te verlagen. Bij de continue besturing kan onderscheid worden gemaakt tussen vaste of variabele bestelgrootte. Een toepassing van een continue besturing met variabele lotgrootte is de (s,S) besturing. Bij deze besturing zal een vestiging zijn voorraad aanvullen tot een aanvulniveau S, indien zijn voorraad daalt onder een niveau s. De continue besturing waarbij een vestiging een bestelling plaatst met vaste grootte Q, indien zijn voorraadpositie daalt onder een niveau s, wordt ook wel een (s,Q) besturing genoemd. In dit hoofdstuk zal alleen gebruik worden gemaakt van besturingen met vaste bestelgrootte Q. Deze bestelgrootte zal zodanig worden bepaald dat de verwachte kosten minimaal zijn terwijl toch aan de servicecriteria kan worden voldaan. In deze besturing kan belangrijk onderscheid worden gemaakt tussen de lokale en integrale toepassing hiervan. Indien een gegeven besturing wordt gebruikt door één onafhankelijk voorraadpunt dan spreken we van een lokale besturing. Bij een integrale besturing worden meerdere vestigingen in een distributieketen aangestuurd. De lokale continue voorraadbesturing wordt in de praktijk veelvuldig toegepast. Over de integrale toepassing van deze besturing is echter minder bekend. De lokale (s,Q) besturing zal in paragraaf 3.1 aan bod komen. De integrale toepassing van de (s,Q) besturing wordt in paragraaf 3.2 besproken. Deze besturing maakt echter nog geen gebruik van de echelonvoorraden. In paragraaf 3.3 wordt deze integrale besturing uitgebreid voor de besturing op basis van echelonvoorraden.

3.1 Lokale toepassing Bij de lokale toepassing van de continue besturing bepaalt iedere vestiging in de distributieketen zijn eigen besturingparameters. Bij de (s,Q) besturing gaat het om de bepaling van het bestelpunt s en de bestelgrootte Q. Een bestelling wordt geplaatst indien de voorraadpositie daalt onder het niveau s. Het moment waarop dit gebeurt zal worden aangeduid als bestelmoment. Na een vaste levertijd L zal de aanvulorder bij de betreffende vestiging arriveren en zal de voorraad met de bestelgrootte Q worden opgehoogd. Een mogelijk voorraadverloop bij deze besturing is te zien in Figuur 6. Hierin wordt met de doorgetrokken lijn het fysieke voorraadverloop afgebeeld, met de doorbroken lijn het verloop van de voorraadpositie en met de stippellijn het niveau van het bestelpunt s.

Figuur 6 –voorraadverloop (s,Q) besturing

19


De periode tussen twee opeenvolgende momenten waarop een aanvulorder binnenkomt, wordt de aanvulcyclus genoemd. In Figuur 6 wordt de aanvulcyclus gegeven door de periode [L,t+L). Het bestelpunt s wordt zodanig gekozen dat de vestiging kan voldoen aan haar servicecriterium. Als servicecriterium nemen we hier de gewenste minimale leverbetrouwbaarheid β. De leverbetrouwbaarheid wordt gedefinieerd als de fractie van de vraag van eindgebruikers gedurende een aanvulcyclus, die door deze vestiging direct uit voorraad kan worden geleverd:

β =1−

E[ vraag in een aanvulcyclus die niet direct uit voorraad is geleverd] E[ vraag in een aanvulcyclus]

(3.1)

De verwachte vraag gedurende een aanvulcyclus is gelijk aan de bestelgrootte Q. Het verwachte tekort in een aanvulcyclus is lastiger te bepalen. Indien voor de vraag x gedurende de levertijd geldt dat x>s dan zal het tekort vlak voor binnenkomst van de aanvulorder gelijk zijn aan (x-s). Het verwachte tekort wordt nu gegeven door het gewogen gemiddelde van alle mogelijke waarden (x-s) voor het tekort, met als wegingsfactor de kansdichtheid waarmee het tekort (x-s) aanneemt. Dit kan als volgt worden geschreven: ∞

β = 1−

∑

x= s + 1

( x − s ) PL ( x ) Q

(3.2)

Hierin is PL(x) de kans dat er gedurende een periode van lengte L in totaal x wordt gevraagd. Het bestelpunt s wordt zodanig gekozen dat de vestiging voldoet aan haar servicecriterium. Anders gezegd, de kans dat de vraag x gedurende de levertijd minder is dan s, moet groter dan of gelijk zijn aan de vooraf vastgestelde minimale leverbetrouwbaarheid β T:

P ( x ≤s )≥ β T

(3.3)

De verwachte vraag gedurende de levertijd L zal worden aangeduid met DL. De veiligheidsvoorraad is het gemiddelde voorraadniveau vlak voor de binnenkomst van een aanvulorder, deze wordt derhalve gegeven door:

v( s ) = s − DL

(3.4)

De veiligheidsvoorraad v(s) is onder andere afhankelijk van het bestelpunt s. Dit bestelpunt wordt zodanig gekozen dat de vestiging naar verwachting voldoet aan de gewenste leverbetrouwbaarheid. In vergelijking (3.2) is te zien dat voor een gegeven leverbetrouwbaarheid, het bestelpunt van een vestiging afhankelijk is van de bestelgrootte Q. Voor een gegeven servicecriterium β T zal de veiligheidsvoorraad kleiner worden naarmate de bestelgrootte toeneemt, de bestelgrootte neemt dan immers een deel van de bufferfunctie over. Bij grote Q is het zelfs mogelijk dat de veiligheidsvoorraad negatief wordt. De bestelgrootte Q wordt zodanig gekozen dat de verwachte totale kosten van deze vestiging minimaal zijn. Voor de berekening van Q wordt gebruik gemaakt van het klassieke Economic Order Quantity (EOQ) model uit Hadley & Whitin [1963]. Het EOQmodel is het meest fundamentele voorraadmodel en speelt een belangrijke rol in talrijke voorraadproblemen. Er dient een afweging te worden gemaakt tussen bestelkosten enerzijds en voorraadkosten anderzijds, hetgeen resulteert in een optimale bestelgrootte Q. De

20


bestelkosten BK(Q) bestaan uit vaste kosten KB voor het plaatsen van een bestelling, variabele kosten KA per kilometer transport over een transportafstand A en variabele kosten KQ per besteld product. De bestelkosten worden nu gegeven door:

BK (Q ) = KA ⋅A + KQ ⋅Q + KB

(3.5)

De voorraadkosten per product zijn afhankelijk van de inkoopprijs p per product en de jaarlijkse kosten van een voorraadlokatie KV per product. De voorraadkosten VK(s,Q) worden nu gegeven door de rentekosten per product (p.h) en de lokatiekosten KV te vermenigvuldigen met de gemiddelde voorraad:

Q  VK ( s, Q) =  + v( s ) ( p ⋅h + KV ) 2 

(3.6)

De totale kosten TK(s,Q), afhankelijk het bestelpunt s en de bestelgrootte Q, worden nu gegeven door:

TK (s , Q) = BK (Q ) + VK ( s, Q )

(3.7)

Bij de berekening van de totale kosten is echter nog geen rekening gehouden met de eenmalige investeringskosten van een vestiging in bijvoorbeeld benodigde opslagruimte. Hiertoe voeren we de eenmalige investeringskosten KL per voorraadlokatie in, waarbij een voorraadlokatie de ruimte is die wordt ingenomen door één product. Indien we de kosten KL meenemen in de kostenfunctie dan moeten de bestel- en voorraadkosten worden verdisconteerd. Voor het gemak nemen we aan dat hiervoor dezelfde verdisconteringfactor h kan worden gebruikt. Onder deze niet onredelijke aanname, kan worden aangetoond dat de totale verdisconteerde kosten TK(s,Q) per jaar, als functie van het bestelpunt s en de bestelgrootte Q, gelijk zijn aan:

TK (s , Q) = Q ⋅KL +

 1  BK (Q ) DT + VK ( s, Q )   h Q 

(3.8)

Hierin staat DT voor de verwachte vraag per periode T. De optimale bestelgrootte Q* volgt nu uit het differentiëren van de functie voor de totale kosten TK(s,Q):

DT Q  ( p ⋅h + KV ) + dTK ( s, Q ) 1 d ( KA ⋅A + KQ ⋅Q + KB ) + Q 2 = KL + dQ h dQ  v( s ) ⋅( p ⋅h + KV )  = KL −

 =   

KA ⋅A ⋅DT + KB ⋅DJ ( p ⋅h + KV ) dv( s ) ( p ⋅h + KV ) + + 2h hQ 2 dQ h

Het bestelpunt s, en daarmee de veiligheidsvoorraad v(s), is onder andere afhankelijk van de vraagverdeling PL(x). Omdat deze hier niet nader gespecificeerd wordt is de afhankelijkheid van de bestelgrootte Q niet bekend. Voor het gemak wordt verondersteld dat de invloed van de bestelgrootte Q op de veiligheidsvoorraad v(s) te verwaarlozen is. Nulstellen van bovenstaande vergelijking levert dan de gewenste bestelgrootte Q*:

Q* =

( KA ⋅A +

KB )DT p  KV  h KL + + 2 2 

(3.9)

21


Indien we de eenmalige investeringskosten buiten beschouwing laten, dan kan KL in vergelijking (3.9) eenvoudig op nul worden gesteld. Met behulp van vergelijking (3.3) en (3.9) kan elke vestiging in de distributieketen zijn besturingparameters berekenen. Bij de bepaling van het bestelpunt s zijn we ervan uit gegaan dat wanneer een vestiging i een bestelling plaatst hij deze na een vaste levertijd L geleverd krijgt. Indien de leverancier j echter ook een continue besturing toepast dan zal ook hij een zekere leverbetrouwbaarheid hebben en mogelijk buiten voorraad kunnen raken. Vestiging i zal derhalve rekening moeten houden met de leverbetrouwbaarheid van vestiging j. Indien beide vestigingen een lokale continue besturing toepassen, zullen ook beide vestigingen veiligheidsvoorraden moeten aanhouden. Indien deze vestigingen echter afspraken maken over de leverbetrouwbaarheid, veiligheidsvoorraden en bestelgroottes dan spreken we van een integrale besturing. In de komende paragraaf zullen we hier verder op ingaan.

22


3.2 Integrale toepassing In de voorgaande paragraaf hebben we gezien dat het bij de lokale continue besturing draait om de bepaling van het bestelmoment s en de bestelgrootte Q. Deze besturingparameters worden zodanig bepaald dat de verwachte kosten voor een specifieke vestiging minimaal zijn terwijl voldaan wordt aan het servicecriterium. Bij de integrale toepassing moeten de besturingparameters s en Q voor alle vestigingen in de distributieketen worden bepaald. Deze besturingparameters zullen zodanig gekozen worden dat de verwachte totale kosten in de hele distributieketen minimaal zijn terwijl de eindafnemers voldoen aan het servicecriterium. Bij de integrale toepassing van de continue besturing bepalen niet langer de vestigingen zelf hun bestelgrootte, maar zullen de optimale bestelgroottes Q per schakel in de keten worden bepaald. Hierbij zal, zonder verlies van algemeenheid, worden aangenomen dat alle eindafnemers zich bevinden in de laatste schakel (schakel N) van de distributieketen. Indien er vraag zou binnenkomen bij een stroomopwaarts gelegen vestiging, dan kan deze worden doorgestuurd naar een (eventueel nieuwe) eindafnemer met een levertijd van nul. In het vervolg geven we met Qn de bestelgrootte van alle vestigingen in schakel n aan. De bestelpunten s worden zodanig gekozen dat de eindafnemers aan het servicecriterium kunnen voldoen. Aan de leverbetrouwbaarheid van vestigingen in de tussenhandel worden geen eisen gesteld. Deze leverbetrouwbaarheid is natuurlijk wel van invloed op de leverbetrouwbaarheid van de eindafnemers. De bestelpunten si en de tekorten van een vestiging i in schakel n zullen in het vervolg worden uitgedrukt in eenheden van de bestelgrootte waarmee de afnemers in schakel n+1 bestellingen plaatsen bij vestiging i. Producent

P

Schakel 1 Beginafnemer

1

2

4

9

10

5

11

12

Schakel 2

3

13

6

14

15

16

7

17

Schakel 3 Groothandels

8

18

19

20

Schakel 4 Eindafnemers

Figuur 7 –distributieketen 4-echelon In Figuur 7 is een voorbeeld van een distributieketen te vinden met de notatie zoals deze in dit hoofdstuk zal worden gebruikt. De verzameling van vestigingen tussen producent en eindafnemers wordt aangeduid als tussenhandel. In dit hoofdstuk zullen de directe leveranciers van de eindafnemers een belangrijke rol spelen, deze worden aangeduid als groothandel. Bij de analyse van de integrale toepassing van de continue besturing zullen we als volgt te werk gaan. In de eerste plaats zal in paragraaf 3.2.1 de leverbetrouwbaarheid aan bod komen. Er zal een algoritme worden gepresenteerd voor de bepaling van de

23


leverbetrouwbaarheid van de verschillende vestigingen in de distributieketen. Van groot belang hierbij is de bepaling van de vraagverdelingen bij een vestiging gedurende de periode tussen het moment waarop deze vestiging een aanvulorder plaatst en het moment waarop de betreffende order arriveert. De bepaling van deze vraagverdeling zal in paragraaf 3.2.2 aan bod komen. Met behulp van deze verdelingen kunnen vervolgens de bestelpunten s worden bepaald. In paragraaf 3.2.3 zal de bepaling van de bestelgroottes Q worden behandeld. Tenslotte zal aan het eind van deze paragraaf de werking van deze algoritmen voor verschillende besturingparameters worden bekeken.

3.2.1 Leverbetrouwbaarheid

In deze paragraaf zal de leverbetrouwbaarheid bij de continue integrale besturing worden besproken. Aan de hand van de gewenste leverbetrouwbaarheid kunnen vervolgens de bestelpunten s voor de verschillende vestigingen in de distributieketen bepaald worden. Als servicecriterium nemen we hier wederom de leverbetrouwbaarheid β. Omdat de distributieketen nu integraal wordt bestuurd, zal de minimale leverbetrouwbaarheid alleen gelden voor de eindafnemers. De vestigingen in de tussenhandel worden zodanig aangestuurd dat de eindafnemers aan hun servicecriteria kunnen voldoen. De leverbetrouwbaarheid definiëren we als de fractie van de vraag bij de eindafnemers die direct uit voorraad kan worden geleverd:

βi = 1 −

E[tekort in een aanvulcyclus] i = 1 − Pout E[vraag in een aanvulcyclus]

(3.10)

Hierin is Piout de kans dat eindafnemer i buiten voorraad is. De kans om buiten voorraad te raken noemen we in het vervolg de stockout kans. De verwachte vraag in een aanvulcyclus bij een eindafnemer wordt gegeven door Qn, waarbij n de schakel van de betreffende vestiging is. Het verwachte tekort bij vestiging i gedurende de aanvulcyclus is echter afhankelijk van de leverbetrouwbaarheid van zijn leverancier pre(i). Met ξini duiden we het verwachte tekort bij vestiging i per aanvulcyclus aan wanneer zijn leverancier voorraad heeft en met ξouti het verwachte tekort bij vestiging i per aanvulcyclus indien zijn leverancier buiten voorraad is. Het tekort van een specifieke vestiging in schakel n wordt echter uitgedrukt in eenheden Qn+1 waarmee de afnemers in schakel n+1 bestellingen plaatsen. De kans dat een vestiging i in schakel n buiten voorraad is, wordt nu gegeven door:

P = i out

i Qn+ 1 ( (1 − Poutpre (i ) )ξini + Poutpre (i )ξout )

Qn

(3.11)

Het verwachte tekort ξini in een aanvulcyclus wordt gegeven door het verwachte tekort aan het einde van de aanvulcyclus minus het verwachte tekort aan het begin van de aanvulcyclus. Bij een specifieke vestiging i in schakel n zal een tekort aan het einde van een aanvulcyclus optreden wanneer er gedurende de levertijd Ln meer dan si producten worden besteld. Indien er gedurende de levertijd Ln meer dan si+Qn producten worden besteld, dan zal de aanvulorder Qn niet toereikend zijn om alle orders uit de wachtrij te kunnen naleveren. Er zal dan een tekort aan het begin van een aanvulcyclus optreden. De term ξini kan nu op de volgende wijze worden geschreven: ∞

ξini = ∑ ( x − si ) P Ln ( x ) − x = si

∞

∑

x = si + Qn

( x − si − Qn ) P Ln ( x)

(3.12)

Hierin staat PL(x) voor de verdelingsfunctie van de vraag x gedurende de levertijd L. We nemen aan dat deze verdelingsfunctie voor de eindafnemers gegeven is. Bij de

24


berekening van ξouti zal rekening moeten worden gehouden met een vertraging in de levertijd. Deze vertraging is de tijd tussen het moment waarop de order is geplaatst en het moment dat de leverancier de order uitlevert. In Chew & Johnson [1996] is een benadering van deze vertraging te vinden. In dit verslag gebruiken we een constante term τ voor de vertraging. De term ξouti kan nu op de volgende wijze worden geschreven:

ξ

i out

∞

= ∑ ( x − si ) P

Ln + τ

(x) −

x = si

∞

∑

x = si + Qn

( x − si − Qn ) P Ln + τ ( x )

(3.13)

De bovenstaande vergelijkingen worden verduidelijkt door middel van Figuur 8. Hierin zijn twee mogelijke situaties voor het voorraadverloop bij een vestiging te zien. In situatie 1 heeft de leverancier van de betreffende vestiging voorraad zodat de aanvulorder na een levertijd L bij de vestiging arriveert. Het verwachte tekort is in deze situatie gelijk aan ξini. In situatie 2 is de leverancier buiten voorraad zodat er een vertraging τ in de levertijd optreed. Het verwachte tekort wordt nu gegeven door ξouti.

Figuur 8 –verwachte tekort Door nu de bovenstaande vergelijkingen voor de verschillende schakels te doorlopen, kunnen de stockout kansen voor alle vestigingen in de distributieketen worden bepaald. Hiertoe zal gebruik gemaakt worden van een algoritme dat we hier zullen aanduiden met Service Level Approximation (SLA) algoritme. In dit algoritme worden de stockout kansen voor alle vestigingen per schakel in de keten benaderd, te beginnen bij schakel 1. Er is hier sprake van een benadering omdat gekozen is voor een constante vertraging τ in de levertijd. Aan de hand van de gevonden stockout kansen kan vervolgens de leverbetrouwbaarheid van de eindafnemers worden bepaald.

25


SLA algoritme Stap 1: Initialiseren: QN+1=Q ξout1=0 Pout0=0 n:=1 Stap 2: Bepalen van Pout voor alle vestigingen i per schakel n: begin while n
ξini = ∑ ( x − si ) P Ln ( x ) −

∞

∑

x = si

x = si + Qn

∞

∞

i ξout = ∑ ( x − si ) P Ln + τ ( x ) − x = si

i Pout =

( x − si − Qn ) P Ln ( x )

∑

x = si + Qn

( x − si − Qn ) P Ln + τ ( x )

(

Qn+ 1 i (1 − Poutpre (i ) )ξini + Poutpre (i )ξout Qn

)

end end n:=n+1;

end Stap 3: Bepalen van de leverbetrouwbaarheid βj bij alle eindafnemers: for i∈ NN do begin i βi = 1 − Pout

end end Algoritme 1 –SLA Voor een gegeven verzameling besturingparameters si en Qi kan met behulp van het SLA algoritme een benadering gevonden worden voor de stockout kansen voor alle vestigingen in de tussenhandel en de leverbetrouwbaarheid van alle eindafnemers. Deze bestelpunten si zullen vervolgens zodanig gekozen moeten worden dat de eindafnemers naar verwachting kunnen voldoen aan het servicecriterium. De bestelgroottes Qi worden zodanig gekozen dat de verwachte totale kosten minimaal zijn. Benodigde gegevens van het SLA algoritme zijn dus de bestelpunten si, de bestelgroottes Qi maar ook de kansverdelingen Pt(x). De bepaling van de bestelgroottes zal aan bod komen in paragraaf 3.2.3. De bepaling van de kansverdelingen is een stuk complexer. Deze vraagverdeling zal in de komende paragraaf worden behandeld.

3.2.2 Vraagverdeling

In de voorgaande paragraaf is het onderwerp leverbetrouwbaarheid aan bod gekomen. We hebben gezien dat aan de hand van de gewenste leverbetrouwbaarheid van de eindafnemers de bestelpunten voor alle vestigingen in de distributieketen kunnen worden vastgesteld. Voor de bepaling van de verwachte leverbetrouwbaarheid van de eindafnemers is het SLA algoritme opgesteld. Echter, een vereiste voor dit algoritme is de vraagverdeling bij de verschillende vestigingen gedurende de levertijd. De verdeling van de vraag wordt aangeduid met Ptj(x), dit is de kans op x orders bij vestiging j gedurende een periode van lengte t. Zoals gezegd is voor de bepaling van de leverbetrouwbaarheid van eindafnemers, de leverbetrouwbaarheid van de leveranciers van belang. De directe leveranciers van eindafnemers noemen we de groothandels.

26


In deze paragraaf zal eerst de vraagverdeling van een groothandel in een 2-echelon systeem worden bepaald. Vervolgens zullen deze resultaten worden gebruikt voor de toepassing in algemene multi-echelon systemen. Tenslotte zal aan het einde van deze paragraaf een toepassing van het SLA algoritme worden besproken voor dit onderzoek. Beschouw nu een 2-echelon systeem bestaande uit |N2| eindafnemers die allen bestellen bij dezelfde groothandel. Een voorbeeld hiervan is te vinden in Figuur 9, waarbij |N2|=5. Producent

P

Schakel 1 Groothandel

1

2

3

4

5

6

Schakel 2 Eindafnemers

Figuur 9 –distributieketen 2-echelon Op een bepaald moment zal de voorraad van de groothandel onder zijn bestelpunt s dalen. Na een levertijd L1 zal de aanvulorder bij de groothandel binnenkomen. Gedurende deze levertijd loopt de groothandel echter de kans dat er meer dan s wordt gevraagd. In dit geval zal de groothandel gedurende een bepaalde tijd buiten voorraad zijn. De bepaling van de stockout kansen voor alle vestigingen in de distributieketen is zeer complex. Deze complexiteit wordt deels veroorzaakt doordat de eindafnemers bestellen in batches maar vooral door de interactie tussen de eindafnemers en de groothandel. De voorraadbesturing die door de eindafnemers wordt toegepast, beïnvloedt de vraagverdeling en stockout kansen van de groothandel. Indien de groothandel buiten voorraad is dan zal de eindafnemer te maken krijgen met een vertraging in de levering van een aanvulorder. Voor de bepaling van de stockout kans van de groothandel zullen we de kansverdeling van de vraag bij de groothandel gedurende de periode L1 onderzoeken. Laat nu WL(1)i het aantal orders van eindafnemer i bij de groothandel zijn gedurende de periode (t,t+L1], waarbij t het tijdstip is waarop de groothandel een aanvulorder doet. Met WL(1) geven we het aantal orders aan dat door de |N2| eindafnemers bij de groothandel wordt geplaatst gedurende het interval (t,t+L1]. We kunnen nu schrijven: N2

WL1 = ∑ WLi1

(3.14)

i =1

In Deuermeyer & Schwarz [1981] wordt gesteld dat indien de vraag bij eindafnemers Poisson verdeeld is, de exacte verdeling van vergelijking (3.14) moeilijk verkrijgbaar is. Zij stellen een methode voor waarbij via numerieke convolutie van de exacte verdelingen van de eindafnemers de verdelingsfunctie van de vraag bij de groothandel wordt verkregen. In Chew & Johnson [1996] wordt een benadering van de verdeling van WL(1) geven, waarbij de tijden tussen aankomsten van bestellingen van eindgebruikers bij de eindafnemers onafhankelijk en identiek Erlang zijn verdeeld. De situatie waarin de vraag van eindgebruikers Poisson is verdeeld, wordt behandeld in Svoronos & Zipkin [1988]. Omdat de meeste modellen uitgaan van een Poisson verdeelde vraag en dit in veel gevallen een goede weergave van de werkelijkheid biedt, zullen we in de rest van dit onderzoek uitgaan van een Poisson verdeelde vraag van de eindgebruikers bij de eindafnemers. De berekening van de verwachting en variantie van het verwachte aantal bestellingen bij de groothandel gedurende de levertijd, welke te vinden is in Svoronos & Zipkin [1988],

27


zal nu kort worden besproken. Het aantal afnemers van de groothandel zal worden aangeduid met |V1|. De verwachte vraag bij een eindafnemer i wordt aangegeven met λi. L1 is de levertijd van de producent naar de groothandel, L2 de levertijd van de groothandel naar een eindafnemer, Q2 de bestelgrootte van de eindafnemers en WL(1) staat voor het aantal bestellingen bij de groothandel gedurende het interval (t,t+L1]. De afnemer die de voorraad van de groothandel beneden het bestelpunt s heeft gebracht, en derhalve de aanvulorder heeft veroorzaakt zal worden aangeduid met a. In Svoronos & Zipkin [1988] wordt de volgende benadering voor de verwachting en variantie van WL gegeven: a i E WL1  = E  WL1   + (| V1 | − 1) E  WL1   a i Var  WL1   = Var  WL1   + (| V1 | − 1)Var  WL1  

(3.15)

waarbij:

 λi  E WLi1 = L1  Q   2  λi 1 Q2 − 11 − e( − θ k λi L1 ) cos(− γk λi L1 )   Var WLi1 = L1  + Q 2 L Q 2 ∑  θk 1 2 k =1  2 

[ ]

[ ]

 λi 1 − Q2 1 a  E W = L  1 L  1 Q + L 2Q + 2 L Q 1 2 1 2  2

(

  γk sin(γλ k i L1 ) e( − θk λi L1 ) cos(γλ  k i L1 ) +  θk k =1  

Q2 − 1

∑

)

2

a a a Var  WL1  = E  WL1  − E  WL1   +

 λ2 L 2(Q − 1)λ 1 Q − 1 2 i 2 2  i 21 − +   + 2 Q2 L1  Q2   Q2   cos(2πk / Q2 + λγ  cos(4πk / Q2 + λγ  ( − λθk L1 ) i k L1 ) i k L1 ) − +   λi L1e  Q2 − 1 θ θ 1 k k    L1 + ∑  L1Q22 k =1  cos(2πk / Q2 + λγ  ( − λθk L1 ) cos(2πk / Q2 ) i k L1 )  ⋅e −    θk θk     Q2 − 1  ( − λθi k L1 ) −  Q2 − 1  cos(γλ L ) + γ k sin(γλ k i L1 ) e   k i 1 2 ∑    L1Q2  k =1  θk  

              

θk = 1 − cos(2πk / Q2 ) γ k = sin(2πk / Q2 ) Indien de kans dat afnemer a, die de aanvulorder van de groothandel heeft veroorzaakt, binnen de levertijd nogmaals een aanvulorder plaatst, kan worden verwaarloosd, dan kan de volgende vereenvoudiging van vergelijking (3.15) worden gebruikt: i E WL1   = (| V1 | − 1) E  WL1   i Var  WL1   = (| V1 | − 1)Var  WL1  

(3.16)

28


Het is interessant de bovenstaande benaderingen te vergelijken met de resultaten van een simulatiemodel. Het simulatiemodel dat hiervoor gebruikt is zal nader worden beschreven in hoofdstuk 5. Er zijn in totaal vijf simulatieruns gedaan met verschillende instellingen. Bij elke run wordt het aantal bestellingen bij de groothandel gedurende de perioden (t,t+L1] bijgehouden. Aan de hand van deze gegevens kan de verwachting en variantie van WL(1) in het simulatiemodel worden berekend. In Bijlage 1 is voor elk van deze simulatieruns een histogram van het aantal bestellingen WL(1) opgenomen. Vervolgens kunnen de resultaten van de simulatieruns worden vergeleken met de uitkomsten van de bovenstaande vergelijkingen. De resultaten hiervan zijn te vinden in Tabel 3. In de kolom Instellingen zijn de instellingen van de verschillende simulatieruns opgenomen, het verwachte aantal orders per dag λ is voor alle eindafnemers gelijk. In de kolom Simulatie vinden we het gemiddelde aantal bestellingen WL(1) bij de groothandel en de variantie hiervan, deze worden respectievelijk aangegeven met E[x] en Var[x]. In de kolom Calculatie staan de uitkomsten vermeld die volgen uit vergelijking (3.15) en in de laatste kolom staan de uitkomsten van de benadering (3.16). Run Instellingen 1 λ=50; L1=20; Q2=70; |V1|=10; 2 λ=50; L1=20; Q2=50; |V1|=20; 3 λ=50; L1=40; Q2=50; |V1|=25; 4 λ=80; L1=25; Q2=100; |V1|=35; 5 λ=25; L1=16; Q2=20; |V1|=20;

Simulatie E[x]=5,2 Var[x]=1,48 E[x]=15,9 Var[x]=1,77 E[x]=41,0 Var[x]=2,41 E[x]=28,4 Var[x]=2,29 E[x]=16,1 Var[x]=1,87

Calculatie E[x]=5,36 Var[x]=1,47 E[x]=15,95 Var[x]=1,73 E[x]=41,04 Var[x]=2,35 E[x]=28,37 Var[x]=2,20 E[x]=16,07 Var[x]=1,95

Benadering E[x]=5,36 Var[x]=1,47 E[x]=15,83 Var[x]=1,70 E[x]=40,00 Var[x]=2,34 E[x]=28,33 Var[x]=2,20 E[x]=15,83 Var[x]=1,90

Tabel 3 –verwachting en variantie De resultaten in Tabel 3 laten zien dat de uitkomsten van de berekeningen uit deze paragraaf redelijk overeenkomen met de simulatieresultaten. Zoals verwacht liggen de uitkomsten van vergelijking (3.15) en vergelijking (3.16) dichter bij elkaar naarmate de kans dat afnemer a opnieuw binnen de levertijd een aanvulorder doet kleiner is. Voor de verwachting en variantie van het aantal orders WL(1) is nu een goede benadering gevonden. Voor de bepaling van de stockout kansen met behulp van het SLA algoritme zijn we echter op zoek naar een verdelingsfunctie van WL(1). De kansdichtheidsfunctie van WL(1) wordt gegeven door:

p(WL1 ) = p(W L11 ) ⊗ p(WL21 ) ⊗ ⋅⋅⋅⊗ p(WLa1 ) ⊗ ⋅⋅⋅⊗ p(WL|V1 1 | )

(3.17)

Hierin staat ⊗ voor de convolutieoperator. Door middel van numerieke convolutie kan een exacte oplossing van de kansdichtheidsfunctie van WL(1) worden gegeven. Deze procedure is echter complex en vergt veel tijd. Het is daarom wenselijk een eenvoudigere benadering voor de verdeling van WL(1) te gebruiken. Zowel in Chew & Johnson [1996] als in Deuermeyer en Schwarz wordt hiervoor de normale verdeling gebruikt. In Svoronos & Zipkin [1988] worden drie mogelijke verdelingen onderzocht. Naast de normale verdeling, wordt ook een mix van twee Erlang verdelingen en een mix van twee Poisson verdelingen onderzocht. Deze laatste verdeling blijkt de verdeling van WL(1) het beste te benaderen. Voor de bepaling van de verdelingen WL(N-1) in een N-echelon systeem is deze benadering echter minder geschikt. In dit verslag zullen we daarom gebruik maken van de normale verdeling, waarbij de verwachting en variantie van WL(N-1) gegeven worden door vergelijking (3.15). Om een indruk te krijgen van het verloop van de normale verdeling is in Bijlage 1 bij de simulatieresultaten de

29


normale benadering van WL(1) bij de groothandel opgenomen. Mogelijke nadelen van deze benadering worden besproken in Svoronos & Zipkin [1988]. Voor de vraagverdeling van de leveranciers van de groothandels in een N-echelon systeem (N=3) geldt dat deze eveneens kan worden beschreven met behulp van de normale verdeling. Immers de som van een aantal onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen is eveneens normaal verdeeld. Hierbij is de verwachting van de leverancier gelijk aan de som van de verwachtingen van zijn afnemers en de variantie gelijk aan de som van de varianties bij zijn afnemers. Aan de hand van de verdeling van de vraag bij de groothandels kunnen we de vraagverdelingen voor alle vestigingen in de distributieketen bepalen. Vervolgens kunnen aan de hand van deze vraagverdelingen de stockout kansen van de verschillende vestigingen worden bepaald. Voor de bepaling van deze stockout kansen maken we gebruik van het SLA algoritme uit paragraaf 3.2.1. Ter verduidelijking van de werkwijze van dit algoritme maken we gebruik van een voorbeeld. Beschouw de 3-echelon distributieketen uit Figuur 10. P L1 = 2 dagen Q1 = 1500 1

λ1=300 L2 = 1 dag Q2 = 600

2

3

λ2=150

λ3=150 L3 = 1/2 dag Q3 = 200

4

5

6

λ4=50 λ5=50 λ6=50

7

8

9

λ7=50 λ8=50 λ9 =50

Figuur 10 –distributieketen 3-echelon Voor het gemak is gekozen voor gelijke verwachte vraag per dag bij alle eindafnemers, de levertijden worden gegeven tussen de verschillende schakels in de keten. De verwachting en variantie van WL(3) is derhalve voor alle eindafnemers gelijk. De verwachting en variantie van de groothandels 2 en 3 zijn ook gelijk. Deze worden berekend met behulp van vergelijking (3.15). De uitkomsten hiervan worden gegeven door:

E WL2   = 0,50 Var  WL2   = 0,61 De uitkomst van E[WL(2)] is eenvoudig te verklaren. Iedere eindafnemer heeft te maken met een verwachte vraag van 50 producten per dag. Zij hanteren zelf een bestelgrootte van 200 producten. Daarmee zal een specifieke eindafnemer naar verwachting eens in de vier dagen een bestelling plaatsen bij de groothandel. De kans dat de vestiging die de voorraad van de groothandel onder het bestelpunt deed dalen, binnen de levertijd L2 nogmaals een bestelling plaatst bij deze groothandel is zeer klein. Het verwachte aantal bestellingen van de resterende twee eindafnemers bij deze groothandel gedurende de levertijd L van één dag is derhalve gelijk aan ½ . De verwachte vraag per dag bij de beginafnemer (vestiging 1) is gelijk aan de som van de verwachte vraag van alle eindafnemers en is derhalve gelijk aan 300. De bestelgrootte van

30


de groothandels is gelijk aan 600. Vanwaar er naar verwachting één order per twee dagen bij de beginafnemer zal worden geplaatst. Hieruit volgt dat gedurende de levertijd van twee dagen van producent naar beginafnemer er naar verwachting één order bij de beginafnemer zal worden geplaatst. Deze berekening kan in het algemeen voor een tussenhandelaar i in schakel n als volgt worden geschreven:

E[W ] = i Ln

∑λ j∈ Ei

j

Qn+ 1

(3.18)

Ln

Voor de variantie van de vraag bij de beginafnemer geldt dat deze gelijk is aan de som van de varianties van de groothandels die door deze beginafnemer worden beleverd. In het voorbeeld van Figuur 10 hebben we reeds gezien dat de variantie van het aantal orders bij elk van de groothandels gedurende de periode L2 gelijk is aan 0,61. De variantie van het bestelde aantal producten (de vraag) gedurende deze periode wordt gegeven door de variantie van het aantal orders maal de bestelgrootte van de eindgebruikers en is gelijk aan 122. Sommeren van deze variantie over alle groothandels levert ons de variantie van de vraag bij de beginafnemer per dag, per product en is gelijk aan 244. Vermenigvuldigen van deze variantie met de levertijd L1 en delen door de bestelgrootte Q2 levert vervolgens de variantie van het aantal orders bij de beginafnemer gedurende de levertijd WL(1). Deze is in dit voorbeeld gelijk aan 0,81. De bovenstaande berekening wordt in het algemeen voor een tussenhandelaar i in schakel n gegeven door vergelijking (3.19).

L Var[W ] = n Qn + 1 i Ln

∑

j∈ Gi

QN ⋅Var[WLNj − 1 ] LN − 1

(3.19)

Aan de hand van bovenstaande vergelijkingen kan voor alle vestigingen in de distributieketen de verwachting en variantie van WL(n) worden berekend. De vraagverdelingen bij de vestigingen worden nu gegeven door een normale verdeling met zojuist berekende verwachting en variantie. Deze vraagverdeling wordt in het SLA algoritme gebruikt voor de bepaling van de stockout kansen bij alle vestigingen. Het SLA algoritme uit paragraaf 3.2.1 zal nu worden toegepast voor de berekening van alle bestelpunten in de distributieketen. De bestelpunten van vestigingen in de tussenhandel zijn altijd een veelvoud van de bestelgrootte van de afnemers. De bestelpunten van de eindafnemers worden zodanig bepaald dat naar verwachting voldaan wordt aan de vooraf opgegeven minimale leverbetrouwbaarheid βT. Toepassing van bovenstaande vergelijkingen in het SLA algoritme ziet er nu als volgt uit:

31


Toepassing SLA algoritme Stap 1: Bepaling van Pout voor de beginafnemer in schakel 1. begin

E[W ] = 1 Ln

∑

j∈ E1

λj L1

Q2

1 r1 =  E[WLn ] 

s1 = rQ 1 2 L Var[W ] = 1 Q2 1 Ln

QN ⋅Var[W LNj ]

∑

−1

LN − 1

j∈ G1 ∞

E ( s1 , Q1 ) = ξin1 = ∫ ( x − r1 ) f L1 ( x )dx x = r1

1 Pout =

Q2 E ( s1 , Q1 ) Q1

end Stap 2: Bepaling van Pout voor alle vestigingen in de tussenhandel. begin n:=2; while n
E[W ] = i Ln

∑λ j∈ Ei

j

Qn+ 1

Ln

i ri =  E[WLn ]  si = rQ i n+ 1

L Var[W ] = n Qn+ 1 i Ln

∑

j∈ Gi

∞

QN ⋅Var[W LNj − 1 ] LN − 1

ξini = ∫ ( x − ri ) f Li ( x )dx − x = ri ∞

∞

∫

x = ri + Qi

i ξout = ∫ ( x − ri ) f Li + τ ( x )dx − x = ri

( x − ri − Qi ) f Li ( x )dx

∞

∫

x = ri + Qi

( x − ri − Qi ) f Li + τ ( x )dx

i E (si , Qi ) = (1 − Poutpre ( i ) )ξini + Poutpre (i )ξout i Pout =

Qn+ 1 E ( si , Qi ) Qn

end end n:=n+1; end

32


Stap 3: Bepaling van bestelpunten voor alle eindafnemers aan de hand van de servicelevels. begin for i∈ NN do ∞

ξini = ∑ ( x − ri ) P LN ( x ) −

∞

∑

x = ri

x = ri + QN

∞

∞

i ξout = ∑ ( x − ri ) P LN + τ ( x ) − x = ri

E ( si , Qi ) = (1 − P

pre ( i ) out

i Pout =

( x − ri − Q N ) P LN ( x )

∑

x = ri + QN

( x − ri − Q N ) P LN + τ ( x )

i )ξ + Poutpre (i )ξout i in

Q E ( si , Qi ) QN

oplossen naar ri: i Pout = 1 − βiT

si = rQ i end end Algoritme 2 –toepassing SLA Met behulp van Algoritme 2 kan aan de hand van de bestelgroottes en een vooraf bekende vraagverdeling bij de eindafnemers, de leverbetrouwbaarheid van alle vestigingen in de distributieketen worden bepaald. Voor de bestelpunten is gekozen dat deze gelijk zijn aan het verwachte aantal orders gedurende de levertijd maal de bestelgrootte van de afnemers. Verandering van deze bestelpunten bij de tussenhandel zal invloed hebben op de leverbetrouwbaarheid van de eindafnemers. In Stap 3 van Algoritme 2 worden de bestelpunten van de eindafnemers echter zodanig bepaald dat zij naar verwachting kunnen voldoen aan hun servicecriterium. Voor de bestelgroottes tussen de verschillende schakels in de keten is nog geen uitdrukking gevonden. In de komende paragraaf zal hier verder op worden ingegaan.

3.2.3 Bestelgrootte

In de voorgaande paragraaf is een toepassing van het SLA algoritme besproken. Aan de hand van de bestelpunten van de tussenhandel en de bestelgroottes tussen alle schakels in de distributieketen worden de bestelpunten van de eindafnemers zodanig gekozen dat deze kunnen voldoen aan hun servicecriterium. De invloed van de bestelpunten op de leverbetrouwbaarheid is reeds aan bod gekomen in paragraaf 3.2.1. In deze paragraaf zal bepaling van de optimale bestelgroottes worden behandeld. Daarmee beschikken we over alle besturingparameters die als invoer dienen voor het SLA algoritme. Aan het slot van deze paragraaf zal de toepassing van het SLA algoritme worden getoetst door middel van een simulatiemodel. Bij de bepaling van de bestelgroottes bij de integrale besturing maken we gebruik van de lokale kostenfunctie uit paragraaf 3.1. Bij de lokale continue besturing zal echter elke vestiging haar bestelgrootte Q zodanig keizen dat haar verwachte totale kosten minimaal zijn. Bij de integrale besturing hebben we echter gekozen voor vaste bestelgroottes per schakel in de distributieketen. Door nu de totale verwachte kosten van alle vestigingen in een specifieke schakel van de keten te sommeren en het totaal vervolgens te minimaliseren wordt een optimale bestelgrootte Qn per schakel n in de keten gevonden.

33


Met behulp van vergelijking (3.8) kan nu voor de totale verwachte kosten TK per periode T in schakel n als functie van de bestelpunten si en de bestelgrootte Qn worden geschreven:

  BK i (Qn ) ∑ DT , j   1  j∈ Ei TK (si , Qn ) = ∑ Qn ⋅KLi +  + VK i ( si , Qn )  h Qn i∈ N n      n

(3.20)

De bestelkosten BK en de voorraadkosten VK worden gegeven door:

BK i (Qn ) = KA ⋅Ai + KQ ⋅Qn + KBi

(3.21)

Q  VKi ( si , Qn ) =  n + vi (si ) ( p ⋅h + KVi ) 2 

(3.22)

Na substitutie van vergelijking (3.21) en (3.22) in (3.20) kan de vergelijking voor de totale kosten TKn(si,Qn) als volgt worden geschreven:

 1   h ⋅Q ∑ ∑ DT , j ( KA ⋅Ai + KQ ⋅Qn + KBi ) +  n i∈ Nn j∈ Ei  TK n (si , Qn ) =    p KVi vi ( si )  ( + + ) + ( ⋅ + ) Q KL p h KV  ∑ n i i   i∈ N  2 2h h   n 

(3.23)

We zijn nu op zoek naar die Qn die de verwachte totale kosten in schakel n minimaliseert. Hiertoe zal bovenstaande kostenfunctie worden gedifferentieerd:

    ∑ ∑ DT , j ⋅KQ   i∈ N n j∈ Ei  −   hQn     D KA A KQ Q KB ( ⋅ + ⋅ + ) ∑ ∑ T, j i n i dTK n (si , Qn )  i∈ N n j∈ Ei  = +  2 dQn hQn      p KVi   ∑ KLi + +   2 2h  i∈ N n        

(3.24)

*

Nulstellen van vergelijking (3.24) levert vervolgens de optimale bestelgrootte Qn :

Q = * n

∑∑

i∈ N n j∈ Ei

DT , j ( KA ⋅Ai + KBi )

p KVi   h ⋅KLi + + ∑ 2 2h    i∈ N n

(3.25)

Met behulp van vergelijking (3.25) kunnen de optimale bestelgroottes Qn per schakel in de distributieketen worden berekend. Indien nu voor een specifieke vestiging i in schakel

34


n-1 de bestelgrootte Qn van zijn afnemers in schakel n bekend is, dan zal vestiging i zelf altijd een veelvoud bestellen van de bestelgrootte van zijn afnemers. In vergelijking (3.25) wordt echter nog geen rekening gehouden met de bestelgroottes van de afnemers van een specifieke vestiging. Voor de berekening van de bestelgroottes per schakel, afhankelijk van de onderliggende schakel, zal gebruik worden gemaakt van het onderstaande algoritme. Hierin staat γ n voor het veelvoud waarmee vestigingen in schakel n bestellen ten opzichte van hun afnemers in schakel n+1. Algoritme bepaling bestelgroottes begin n:=N; QN+1:=Q; while n≥1 do begin

γ n =

∑∑

i∈ Nn j∈ Ei

DT , j ( KA ⋅Ai + KBi )

 p KVi   Qn2+ 1  ∑ h ⋅KLi + +  2 2h   i∈ N n  Qn = γn ⋅Qn + 1 end n:=n+1; end Algoritme 3 –bepaling bestelgroottes Het is nu interessant de werking van het SLA algoritme te vergelijken met een simulatie. Doel hiervan is de betrouwbaarheid van het SLA algoritme te onderzoeken. Gekozen is voor een 3-echelon distributieketen welke bestaat uit 1 beginafnemer en 8 groothandels die elk op hun beurt 8 eindafnemers beleveren. De bestelgroottes zijn berekend met behulp van Algoritme 3. Voor de bepaling van de bestelpunten is geen gebruik gemaakt van het toegepaste SLA algoritme (Algoritme 2). De vooraf ingestelde waarden voor de bestelpunten per vestiging, de levertijden tussen de verschillende schakels in de keten en de verwachte vraag per dag per eindafnemer zijn te vinden in Bijlage 2. Deze verschillende instellingen dienen vervolgens als invoer voor zowel het simulatiemodel als het SLA algoritme (Algoritme 1). In totaal zijn er met de verschillende invoerparameters 11 simulatieruns gedaan. Ook het SLA algoritme is met deze verschillende instellingen doorlopen. Hierbij is gebruik gemaakt van de vraagverdelingen, zoals deze in paragraaf 3.2.2 zijn besproken. In Tabel 4 zijn de resultaten van zowel het simulatiemodel als het SLA algoritme te vinden. Tabel 4 wijst uit dat de geschatte leverbetrouwbaarheid van de eindgebruikers, met behulp van het SLA algoritme, goed overeenkomt met de leverbetrouwbaarheid die volgt uit de simulatie. Wat echter opvalt, is dat de waarden in de kolom SLA structureel iets lager zijn dan de waarden in de kolom Simulatie. Dat wordt veroorzaakt door de keuze van de vertraging τ in vergelijking (3.13). Beschouw hiertoe een vestiging i in schakel n die op tijdstip t een aanvulorder bij zijn leverancier j plaatst. Indien de leverancier j direct uit voorraad kan leveren zal de order op tijdstip t+Ln bij vestiging i arriveren. Als de leverancier echter buiten voorraad is dan zal vestiging i met een vertraging τ te maken krijgen. In het ergste geval zal de leverancier j pas op tijdstip t een aanvulorder plaatsen. Indien de leverancier van vestiging j direct uit voorraad kan leveren, dan zal vestiging i zijn order op tijdstip t+Ln+Ln-1 binnenkrijgen. De vertraging τ voor vestiging i is dan gelijk aan Ln-1. In het gebruikte SLA algoritme is gekozen voor deze vertraging. De vooraf berekende leverbetrouwbaarheid zal dan in de meeste gevallen een ondergrens zijn.

35


Run 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

SLA 0.958 0.975 0.985 0.924 0.939 0.951 0.923 0.978 0.983 0.963 0.971

Simulatie 0.960 0.976 0.985 0.926 0.948 0.957 0.926 0.983 0.984 0.969 0.971

Tabel 4 –vergelijking leverbetrouwbaarheid In Bijlage 2 is een uitgebreid overzicht te vinden van de simulatieresultaten en de berekende waarden met behulp van de vergelijkingen uit paragraaf 3.2.2. De verwachte leverbetrouwbaarheid van de beginafnemer, de groothandels en de eindafnemer zijn berekend met behulp van het SLA algoritme. De verwachting en variantie van WL bij de groothandels en de beginafnemer zijn berekend met behulp van vergelijking (3.18) en (3.19). De relatieve afwijking van de vooraf berekende leverbetrouwbaarheid bij de verschillende schakels in de keten ten opzichte van de leverbetrouwbaarheid in het simulatiemodel blijkt steeds minder dan 1% te zijn. Ook de verwachting en variantie van WL bij de groothandels en de beginafnemer blijken goed overeen te komen met de simulatieresultaten. In Bijlage 3 zijn de histogrammen van de vraagverdelingen gedurende de levertijd bij zowel de groothandels als de beginafnemer te vinden. We hebben nu gezien hoe de continue besturing integraal kan worden toegepast. Tevens zijn enkele methoden besproken voor de bepaling van de besturingparameters. Zo kunnen de bestelgroottes worden bepaald met behulp van Algoritme 3 en de bestelpunten met behulp van Algoritme 2. Bij de bepaling van deze besturingparameters wordt echter geen rekening gehouden met de echelonvoorraden. In de komende paragraaf zal de integrale continue besturing op basis van echelonvoorraden worden besproken.

3.3 Echelonvoorraden In de continue modellen die we tot nu toe hebben beschouwd, worden de beslissingen genomen op basis van fysieke voorraden. Indien de fysieke voorraad van een bepaalde vestiging i op tijdstip t onder zijn bestelpunt s daalt, zal deze vestiging direct een aanvulorder plaatsen. Zoals we reeds hebben gezien, is dit bestelpunt gebaseerd op het verwachte aantal orders gedurende de levertijd. Echter, indien deze vestiging zijn afnemers zojuist heeft beleverd, ofwel als zijn afnemers nog voldoende voorraad hebben, zal het aantal orders gedurende de periode (t,t+L] kleiner zijn dan verwacht. De voorraden van afnemers kunnen op gemakkelijke wijze worden meegenomen indien we gebruik maken van de echelonvoorraden. Dit komt erop neer dat een vestiging i een bestelling zal plaatsen op het moment dat zijn echelonvoorraad daalt onder het echelon bestelpunt se. De bestelpunten zijn nu dus afhankelijk van de echelonvoorraad in plaats van de fysieke voorraad zoals in paragraaf 3.2. Daarom zullen de bestelpunten aangepast moeten worden. Voor de bepaling van de bestelpunten kan wederom gebruik worden gemaakt van het SLA algoritme. De bestelpunten van de eindafnemers blijven ongewijzigd, omdat hun echelonvoorraad gelijk is aan hun fysieke voorraad. De bestelpunten van vestigingen in de tussenhandel moeten echter worden opgehoogd met de verwachte echelonvoorraden van hun afnemers. We beschouwen hiertoe een

36


tussenhandelaar i in schakel n van de distributieketen. De verwachte fysieke voorraad bij alle directe afnemers van vestiging i wordt gegeven door:

∑ v (s ) + j∈Vi

j

j

1 2

(3.26)

Qn + 1

Hierin is vj(sj) de veiligheidsvoorraad van vestiging j waarbij sj berekend is met behulp van Algoritme 2. Voor de verwachte echelonvoorraden van alle directe afnemers van vestiging i in schakel n kunnen we nu schrijven:

Vafn(i, n) = ∑ ( v j ( s j ) + j∈Vi

1 2

Qn+ 1 + Vafn( j, n + 1) )

(3.27)

Het echelon bestelpunt sei voor een specifieke vestiging i in schakel n wordt nu eenvoudig bepaald door de verwachte echelonvoorraden van alle directe afnemers van vestiging i bij het bestelpunt si op te tellen:

sie = si + Vafn(i, n)

(3.28)

Met deze kleine aanpassing van de besturingparameters kunnen mogelijk de voorraadkosten in de distributieketen worden verlaagd. De mogelijke voordelen van besturing op basis van echelonvoorraden zijn onderzocht met behulp van een simulatiemodel. Ook de lokaal continue besturing uit paragraaf 3.1 en de integraal continue besturing op basis van fysieke voorraden uit paragraaf 3.2 zijn door middel van dit simulatiemodel onderzocht. De resultaten hiervan zullen worden besproken in hoofdstuk 5. In het komende hoofdstuk zal de periodieke besturing worden behandeld.

37

Periodieke besturingen

4 Periodieke besturingen In dit hoofdstuk zullen de periodieke besturingen worden besproken. Het belangrijkste kenmerk van deze besturing is dat er een periodieke bestelmogelijkheid is. Dit wil zeggen dat de periodelengte tussen twee opeenvolgende bestelmomenten precies R dagen bedraagt, zodat alleen iedere Re dag een bestelling wordt geplaatst. Mogelijke voordelen van een periodieke bestelmogelijkheid zijn de verlaging van zowel de transportkosten als de voorraden bij de tussenhandel. Verlaging van de transportkosten is mogelijk omdat de verschillende afnemers van een vestiging allemaal tegelijkertijd kunnen worden beleverd. Omdat voor alle vestigingen in de tussenhandel bekend is wanneer zij de voorraden van hun afnemers moeten aanvullen, is het niet nodig tussentijds reservevoorraden aan te houden. Op deze wijze kunnen ook de voorraadkosten worden teruggedrongen. De periodieke besturing speelt een belangrijke rol in distributieketens. Omdat de voorraden in deze ketens op verschillende lokaties aanwezig zijn, is coördinatie hiertussen wenselijk. Deze coördinatie kan op verschillende manieren vorm krijgen. Hiertoe maken we het onderscheid tussen integraal en lokaal gestuurde systemen. De lokale besturing zal in paragraaf 4.1 aan bod komen. De integrale periodieke besturing zal in paragraaf 4.2 worden behandeld. Hierin bepaalt niet langer een individuele vestiging zijn eigen besturingparameters, maar worden de besturingparameters centraal voor alle vestigingen in de distributieketen bepaald zodanig dat de verwachte kosten in de gehele keten minimaal zijn. Deze integrale besturingparameters zullen direct worden gebaseerd op de echelonvoorraden. De integrale besturing op basis van fysieke voorraden, zoals deze gebruikt is in het simulatiemodel, zal kort ter sprake komen in Hoofdstuk 5. We onderscheiden vervolgens twee benaderingen voor de bepaling van deze integrale besturingparameters, namelijk de service- en kostenbenadering. Bij de servicebenadering worden de besturingparameters van alle vestigingen zodanig gekozen dat de eindafnemers naar verwachting precies kunnen voldoen aan hun servicecriterium. Deze benadering zal worden behandeld in paragraaf 4.3. In paragraaf 4.4 zal de kostenbenadering aan bod komen. In deze benadering wordt er aan de eindafnemers niet vooraf een minimale leverbetrouwbaarheid opgelegd, maar worden er tekortkosten in rekening gebracht wanneer een eindafnemer niet direct uit voorraad kan leveren. De besturingparameters worden vervolgens zodanig gekozen dat de verwachte totale kosten in de keten minimaal zijn. Om meer inzicht te verkrijgen in de analyse van de integrale periodieke besturing zal nu eerst de lokale toepassing worden besproken.

4.1 Lokale toepassing In deze paragraaf zal het model met slechts één voorraadpunt worden besproken. Dit model dient vervolgens als basis voor de analyse van de besturing van distributieketens. We gaan ervan uit dat iedere R tijdseenheden een aanvulorder wordt geplaatst van een zodanige omvang dat de voorraadpositie op niveau S wordt gebracht. Dit model wordt het (R,S)-model genoemd. Voor de tijdseenheid zullen we in het vervolg een dag nemen. In deze paragraaf zal eerst iets gezegd worden over de ideale aanvulperiode R. Vervolgens zal het aanvulniveau S aan bod komen en de invloed hiervan op de leverbetrouwbaarheid. Tenslotte zal het gedrag van de kosten bij verschillende besturingparameters worden onderzocht. Het voordeel van de periodieke modellen is dat deze vaak goed kunnen worden geanalyseerd aan de hand van de gebeurtenissen in één aanvulcyclus. Een aanvulcyclus wordt hier gedefinieerd als de periode tussen de binnenkomst van twee opeenvolgende aanvulorders. In Figuur 11 is een mogelijk voorraadverloop gedurende een aanvulcyclus te zien.

38


Figuur 11 –voorraadverloop lokale (R,S) besturing In Figuur 11 wordt op tijdstip t=0 gekeken wat de vestiging in voorraad heeft en hoeveel er nodig is om de voorraadpositie van deze vestiging tot het niveau S aan te vullen. Na een levertijd L komt de order bij de vestiging binnen. Op t=R begint een nieuwe aanvulcyclus. Het idee is nu dat een lange periode kan worden opgedeeld in opeenvolgende aanvulperiodes en dat het systeem zich in iedere aanvulcyclus gemiddeld hetzelfde gedraagt. Als we het systeemgedrag in een aanvulcyclus goed hebben beschreven, hebben we het systeemgedrag op lange termijn ook goed beschreven. We zoeken nu die besturingparameters S en R die de kosten voor deze vestiging minimaliseren terwijl aan de leverbetrouwbaarheid wordt voldaan. De ideale lengte R* van een aanvulcyclus kan worden bepaald door de ideale bestelgrootte Q* te delen door de verwachte vraag λ per dag:

R* =

Q* λ

(4.1)

De bepaling van de bestelgrootte Q* is reeds aan bod gekomen bij de continue besturing in paragraaf 3.1. Omdat het gehanteerde model en de kosten van voorraad en transport in dit hoofdstuk gelijk zijn aan die in Hoofdstuk 3, kan dezelfde optimale bestelgrootte Q* worden gebruikt. Het ideale aanvulniveau S* kan op twee manieren worden bepaald, namelijk via de leverbetrouwbaarheid of met behulp van tekortkosten. Indien het aanvulniveau wordt bepaald aan de hand van een vooraf vastgestelde minimale leverbetrouwbaarheid, dan zal de vestiging haar aanvulniveau zodanig kiezen dat aan de leverbetrouwbaarheid kan worden voldaan. Indien het aanvulniveau S groter is dan de verwachte vraag DL+R gedurende de levertijd en de aanvulperiode dan is er sprake van een veiligheidsvoorraad v(S)=S-DL+R. Een andere mogelijkheid voor de bepaling van het aanvulniveau S is door kosten in rekening te brengen indien de vestiging een order niet uit voorraad kan leveren, de zogenaamde tekortkosten. Door nu de verwachte totale kosten te minimaliseren kan het ideale aanvulniveau S* worden bepaald. Meest gebruikelijk is echter het aanvulniveau S te bepalen aan de hand van de leverbetrouwbaarheid. Evenals in paragraaf 3.1 kan nu voor de leverbetrouwbaarheid β worden geschreven:

β =1−


(4.2)

De vraag in een aanvulcyclus is gelijk aan Rλ. Het verwachte tekort in een aanvulcyclus is lastiger te bepalen. We weten dat het verwachte tekort aan het einde van de aanvulcyclus (vlak voor de binnenkomst van de aanvulorder) gelijk is aan DL+R-S, indien DL+R>S. Echter, hierin kan ook al een tekort zitten dat aan het begin van de aanvulcyclus reeds aanwezig

39


was. Dat wil zeggen, dat de vorige aanvulorder niet toereikend was voor de nalevering van alle orders in de wachtrij. We veronderstellen hier echter dat dit tekort te verwaarlozen is. In De Kok [1990] is een aanpassing beschreven die wel rekening houdt met een tekort aan het begin van een aanvulcyclus. De verwachte vraag in een aanvulcyclus die niet uit voorraad kan worden geleverd is daarmee gelijk aan het verwachte tekort aan het einde van de aanvulcyclus. Het verwachte tekort is afhankelijk van de vraag x en wordt gegeven door: ∞

E[tekort aan einde aanvulcyclus] = ∫( x − S )dF L+ R ( x )

(4.3)

S

Hierin is FL+R(x) de verdelingsfunctie van de vraag x gedurende de levertijd L en de aanvulperiode R. In tegenstelling tot Hoofdstuk 3 wordt hier een continue vraagverdeling gebruikt. In hoofdstuk 3 was het nodig vooraf een discrete vraagverdeling te kiezen, zodat de verwachte stockout kansen voor alle vestigingen in de distributieketen konden worden benaderd. In dit hoofdstuk zal de verdelingsfunctie niet nader worden gespecificeerd, waardoor de resultaten meer algemeen toepasbaar zullen zijn. De leverbetrouwbaarheid wordt nu gegeven door: ∞

β = 1−

∫( x −

S )dF L+ R ( x ) (4.4)

S

Rλ

Het verwachte tekort aan het einde van een aanvulcyclus wordt ook wel aangegeven met (-J)+. In het algemeen wordt met J de verwachte voorraad aan het einde van een aanvulcyclus aangegeven, dus vlak voor binnenkomst van een aanvulorder. Deze wordt gegeven door: ∞

J = ∫( S − x )dF R + L ( x ) = S − ( R + L)λ

(4.5)

0

Voor het verwachte tekort kan (-J)+ kan nu (zie vergelijking (4.3)) de volgende uitdrukking worden opgesteld: ∞

(− J ) = ∫( S − x )dF +

R+ L

∞

∫ (S − λL − u)dF

( x) =

S

R

(u)

(4.6)

S − λL

De verwachte positieve voorraad (J)+ wordt gegeven door: S

( J )+ = ∫( S − x )dF R + L ( x ) = 0

S − λL

∫ (S − λL − u)dF

R

(u )

(4.7)

0

De voorraadpositie van een vestiging, vlak voordat deze zal worden aangevuld tot het niveau S, wordt weergegeven met I. De voorraadpositie na allocatie van de aanvulorder gegeven we aan met Î. De bovenstaande begrippen worden verduidelijkt door middel van Figuur 11. Bij de integrale toepassing van de periodieke besturing, die in de hierop volgende paragrafen aan bod zal komen, wordt met J en I respectievelijk de echelonvoorraad en de echelon voorraadpositie aangegeven.

40


Indien nu de verdelingsfunctie FL+R(x), de verwachte vraag λ, de aanvulperiode R en een gewenste leverbetrouwbaarheid βT bekend zijn, dan kan met behulp van vergelijking (4.4) het aanvulniveau S worden bepaald. Een andere mogelijkheid voor de bepaling van het aanvulniveau S is, zoals gezegd, door gebruik te maken van de kostenfunctie waarin tekortkosten zijn opgenomen indien een order niet uit voorraad kan worden geleverd. De kostenfunctie bestaat uit voorraadkosten, bestelkosten en kosten van nalevering. De voorraadkosten per product zijn afhankelijk van de inkoopkosten p per product en de kosten van een voorraadlokatie KV. De voorraadkosten VK(S) worden nu gegeven door de rentekosten p.h en de lokatiekosten KV te vermenigvuldigen met de gemiddelde voorraad GV(S):

VK ( S ) = ( p ⋅h + KV ) ⋅GV (S )

(4.8)

Voor de bepaling van de gemiddelde voorraad GV(S) beschouwen we eerst een mogelijk voorraadverloop zoals deze in onderstaande figuren is te zien.

Figuur 12 –voorraadverloop 1 (R,S) besturing

Figuur 13 –voorraadverloop 2 (R,S) besturing

In Figuur 12 is het voorraadverloop te zien van een vestiging die een positieve voorraad heeft vlak voor binnenkomst van de aanvulorder. Na een eenvoudige berekening wordt de volgende benadering voor de gemiddelde voorraad GV(S) gevonden:

GV ( S ) =

(

1 (S − λL) + ( J )+ 2

)

(4.9)

In Figuur 13 is een mogelijk voorraadverloop te zien indien de vestiging vlak voordat een aanvulorder binnenkomt een negatieve voorraad heeft. In dit geval wordt na een eenvoudige berekening de volgende benadering voor GV(S) gevonden:

 1  ( S − λL) 2 GV ( S ) =  +  2  ( S − λL) + (− J ) 

(4.10)

Een algemene benadering voor de gemiddelde voorraad GV(S) volgt uit combinatie van vergelijking (4.9) en (4.10). Deze wordt gegeven door:

 1  ( S − λL)2 GV ( S ) =  + ( J )+  + 2  ( S − λL) + (− J ) 

(4.11)

41


De bestelkosten BK(Q) bestaan uit vaste kosten KB voor het plaatsen van een bestelling, transportkosten die afhankelijk zijn van de transportafstand A en bestelkosten die afhankelijk zijn van de bestelgrootte. De bestelkosten worden gegeven door:

BK ( R) = KA ⋅A + KQ( R ⋅λ) + KB

(4.12)

De kosten van nalevering zijn gelijk aan het verwachte tekort aan het einde van de aanvulperiode maal de tekortkosten KN per product. De totale verwachte kosten TK(R,S) per periode T, afhankelijk van de aanvulperiode R en het aanvulniveau S, wordt gegeven door:

TK (R , S ) = VK (S ) +

(

T BK ( R) + KN ⋅( − J )+ R

)

(4.13)

Na substitutie van vergelijkingen (4.8) en (4.12) in (4.13) kan nu voor de totale verwachte kosten TK per periode T worden geschreven:

   1  (S − λL)2 + ( J )+ +  ( p ⋅h + KV ) ⋅  + 2  ( S − λL) + (− J )   TK =  T   KB + KA ⋅A + KQ ( R ⋅λ) + KN (− J )+  R  2     (S − λL) +     ∞ R    ( S − λL) +  (S − λL − u)dFi (u) ∫ ( p ⋅h + KV ) 1    + S − λL    2 S − λL  =   R    ∫ ( S − λL − u)dFi (u )   0      ∞  R T KB + KA ⋅A + KQ( R ⋅λ) + KN (S − λL − u )dFi (u)  ∫ R  S − λL   

(

)

(4.14)

Om een indruk te krijgen van het gedrag van de kosten voor een specifieke vestiging is in Figuur 14 het verloop van de verwachte jaarlijkse kosten als functie van S en R afgebeeld.

42


Figuur 14 –jaarlijkse kosten als functie van S en R (p=10, L=1, A=50, KA=1, KB=50, KQ=1, KN=0.5, KV=0.01, λ=20, T=365)

In Figuur 14 is te zien dat voor een gegeven periode R er een aanvulniveau S bestaat waarbij de totale kosten minimaal zijn. Het optimale aanvulniveau S* kan worden bepaald door de kostenfunctie (4.14) te differentiëren naar S.

  (S − λL)2 +   ∞ R   (S − λL) + ∫ (S − λL − u)dFi (u) ( p ⋅h + KV ) 1 d  S − λL 2 dS S − λL dTK  =  R dS   ∫ ( S − λL − u)dFi (u )  0  ∞    R + T KN d ( S − λ L − u ) dF ( u )  i  R dS S −∫ λL   

   +    

           

Na enkele tussenstappen kan de volgende vergelijking worden opgesteld:

  2( S − λL)   (S − λL) + (− J )+ −     ( S − λL) 2 2 − F R + L ( S ) ( p ⋅h + KV ) 1  dTK  2  (S − λL + (− J )+ )2 =  dS  F R + L ( S )     T R+ L  KN (1 − F (S )) R

(

(

)

)+  

    +     

            

(4.15)

43


Nulstellen van deze gedifferentieerde kostenfunctie levert vervolgens het optimale aanvulniveau S*. Afhankelijk van de gekozen kansverdeling van de vraag bij de eindafnemers kan deze bepaling behoorlijk complex zijn. Voor de berekening kan gebruik worden gemaakt van numerieke methoden of met behulp van wiskundige software pakketten zoals Maple. In paragraaf 4.4 wordt een oplossing verkregen door enkele vereenvoudigingen aan te brengen in de kostenfunctie. Tevens wordt in deze paragraaf verwezen naar een bewijs van de convexiteit van deze kostenfunctie. Ter illustratie van het optimale aanvulniveau S* is in Figuur 15 het verloop van de jaarlijkse kosten als functie van het aanvulniveau S te zien. Bij de gegeven instellingen zijn de kosten minimaal bij een aanvulniveau van 147 producten. Gekozen is voor een aanvulperiode van 7 dagen, een levertijd van 1 dag en een verwachte vraag van 20 producten per dag. Het verwachte tekort vlak voor binnenkomst van een aanvulorder zal derhalve gelijk zijn aan (7+1)⋅20-147=13, hierover moeten tekortkosten worden betaald.

Figuur 15 –jaarlijkse kosten als functie van S (p=10, L=1, A=50, KA=1, KB=50, KQ=1, KN=0.5, KV=0.01, R=7, λ=20, T=365)

Met behulp van de in deze paragraaf besproken methoden kan elke vestiging in de distributieketen zijn besturingparameters vaststellen. De periodieke besturing is echter bijzonder geschikt voor een integrale toepassing. Hierbij worden de besturingparameters voor alle vestigingen gezamenlijk vastgesteld. De periodieke besturing van een distributieketen vergt een geheel andere aanpak dan die van één enkel voorraadpunt. In de komende paragrafen zullen we hier verder op ingaan.

44


4.2 Integrale toepassing In de komende paragrafen zal de integrale toepassing van de periodieke besturing aan bod komen. Er wordt een aanvulperiode voor de gehele keten bepaald en voor elke vestiging een aanvulniveau. Deze besturingparameters worden zodanig gekozen dat de verwachte totale kosten minimaal zijn terwijl voldaan wordt aan het servicecriterium. Hierbij zullen de beslissingen direct gebaseerd worden op de echelonvoorraden. Deze paragraaf vormt een inleiding op de integrale periodieke besturingen. De zogenaamde allocatiefuncties worden behandeld evenals het gedrag van de kosten in de keten. De methoden voor de bepaling van de besturingparameters zullen in de hierop volgende paragrafen aan bod komen. Voor de integrale periodieke besturing in dit onderzoek zijn een drietal aannames gedaan. Ten eerste gaan we ervan uit dat de gehele keten dezelfde aanvulperiode R hanteert. Hierdoor kunnen de verschillende vestigingen in de tussenhandel zo op elkaar worden afgestemd dat zij voornamelijk een doorgeeffunctie vervullen. Ten tweede wordt aangenomen dat de voorraadkosten per product stroomafwaarts in de keten zullen toenemen. Dit zal in de praktijk ook veelal het geval zijn, de waarde van een product zal immers alleen maar toenemen naarmate deze zich dichter bij de eindgebruiker bevindt. Hierdoor is het mogelijk de lokatiekosten van een vestiging uit te drukken in de toegevoegde waarde van een product bij deze vestiging. De lokatiekosten worden dan indirect doorberekend door de rente over de waarde van de voorraad. In het vervolg zullen de lokatiekosten KV buiten beschouwing worden gelaten daar dit de complexiteit van de formules aanzienlijk vermindert. Gegeven dat in de hele distributieketen eenzelfde aanvulperiode wordt gehanteerd. Dan zal na binnenkomst van een aanvulorder bij een tussenhandelaar, deze direct worden gebruikt om de voorraden van zijn afnemers aan te vullen. Beschouw nu een vestiging i in de tussenhandel. Aan het begin van een periode, op tijdstip t-Li zal deze vestiging zijn echelon voorraadpositie aanvullen tot het aanvulniveau Sei. Na een levertijd Li komt deze aanvulorder bij de vestiging binnen. De verwachte echelonvoorraad direct na binnenkomst van de aanvulorder zal derhalve op tijdstip t gelijk zijn aan zijn aanvulniveau Sei minus de verwachte vraag gedurende de levertijd:

Jˆti = Sie − Dti− Li ,t

(4.16)

Deze voorraad zal vervolgens worden gebruikt om de voorraden van zijn afnemers aan te vullen. Hierbij kan het volgende onderscheid worden gemaakt: 1. De voorraad van vestiging i is voldoende om de voorraadposities van zijn directe afnemers aan te vullen tot het gewenste aanvulniveau. De echelon voorraadposities van de afnemers zijn op tijdstip t, direct na allocatie van de aanvulorder, derhalve gelijk aan de gewenste aanvulniveaus:

Iˆt j = S ej ,

voor alle j∈ Vi

(4.17)

2. De voorraad van vestiging i is niet toereikend om de voorraadposities van zijn afnemers tot het gewenste niveau aan te vullen. De beschikbare voorraad van vestiging i zal dan volledig worden verdeeld over zijn afnemers j∈ Vi, door gebruik te maken van allocatiefuncties. Neem aan dat voor elke afnemer j, zijn echelon voorraadpositie tot het niveau zj(x) wordt aangevuld, waarbij x de totale echelonvoorraad is van vestiging i. De echelon voorraadposities van de afnemers op tijdstip t worden derhalve gegeven door:

Iˆt j = z j ( Sie − Dti− Li ,t ) ,

voor alle j∈ Vi.

(4.18)

45


Zoals gezegd gebeurt de verdeling van de voorraden met behulp van allocatiefuncties. Hiervoor zal gebruik gemaakt worden van de allocatiefunctie afkomstig uit De Kok, Lagodimos & Seidel [1994] en Van der Heijden [1995]. Deze wordt gegeven door:

  z j ( x ) := S ej − q j ∑ Sne − x , n∈Vi 

voor alle j∈ Vi

(4.19)

met

x ≤ ∑ Sne , n∈Vi

∑q j∈Vi

j

= 1, q j > 0

Per definitie wordt de gehele echelonvoorraad x van vestiging i verdeeld over zijn afnemers. Deze verdeling gebeurt door middel van de zogenaamde allocatiefracties. De allocatiefractie van vestiging j geven we aan met qj. Door nu voor elke afnemer j een fractie qj van het tekort van vestiging i in mindering te brengen op het gewenste aanvulniveau Sej, worden de aangepaste echelon aanvulniveaus zj gevonden. Gebruikmakend van (4.17), (4.18) en (4.19) volgt nu voor de echelon voorraadposities:

Iˆt j = S ej − q j ( Dti− Li ,t − ∆i ) + ,

voor alle j∈ Vi

(4.20)

Hierin wordt met ∆i de maximale fysieke voorraad weergegeven bij vestiging i. Indien nu vestiging i een aanvulorder krijgt geleverd, zal hij deze direct gebruiken om de voorraden van zijn afnemers aan te vullen. De voorraad die bij vestiging i achterblijft na het versturen van de aanvulorders is maximaal gelijk aan ∆i . Per definitie wordt ∆i gegeven door:

∆i = Sie −

∑S j∈Vi

e j

(4.21)

De zojuist beschreven methoden voor de allocatie van een aanvulorder zullen nu worden verduidelijkt door middel van een voorbeeld. Voorbeeld 1 We beschouwen een 2-echelon distributieketen waarbij de voorraadpositie van de beginafnemer op tijdstip t=0 zal worden aangevuld. De beginafnemer zal vervolgens de voorraden van de eindafnemers aanvullen. Gebruikte gegevens:

P

S1e = 420 Sie = 100, i ∈ V1 L2 = 2

1

Li = 1, i ∈ V1 qi = 14 , i ∈ V1 2

3

4

5

∆1 = S1e −

∑S i∈V1

e i

= 420 − 400 = 20

46


Fysieke voorraden (t=0) 1 10 2 20 3 15 4 10 5 15

Fysieke voorraden (t=2) 1 360 2 9 3 7 4 4 5 8

Transport aantallen 1 2 97-9=88 3 97-7=90 4 97-4=93 5 97-8=89

Op tijdstip t=0 zal de echelon voorraadpositie van vestiging 1 worden aangevuld tot het gewenste aanvulniveau 420. Vlak voor allocatie van deze aanvulorder wordt de echelon voorraadpositie van vestiging 1 gegeven door:

I 01 = 10 + 20 + 15 + 10 + 15 = 70 De echelon voorraadpositie van vestiging 1 vlak na allocatie van de aanvulorder wordt gegeven door:

Iˆ01 = S1e = 420 In totaal zullen er dus 420-70=350 producten naar vestiging 1 worden getransporteerd. Na een levertijd van twee dagen zal de aanvulorder bij vestiging 1 arriveren. Gedurende deze tijd zijn de voorraden van de eindafnemers gewijzigd. De echelon voorraad van vestiging 1 vlak voor binnenkomst van de aanvulorder wordt gegeven door:

J 21 = 10 + 9 + 7 + 4 + 8 = 38 De totale vraag in ech(1) gedurende de levertijd L1 van twee dagen is eenvoudig af te leiden uit de verandering in fysieke voorraden bij de eindafnemers: 1 D0,2 = (20 − 9) + (15 − 7) + (10 − 4) + (15 − 8) = 32

De echelonvoorraad van vestiging 1 vlak na binnenkomst van de aanvulorder wordt gegeven door:

Jˆ21 = 420 − 32 = 388 Vestiging 1 zal nu proberen de echelon voorraadposities van zijn afnemers tot de gewenste aanvulniveaus aan te vullen. In totaal zijn er dan 400-9-7-4-8=372 producten nodig. Vestiging 1 heeft echter 360 producten in voorraad. Er is dus sprake van een tekort van 12 producten. Dit tekort zal worden verdeeld over de eindafnemers. Na allocatie van de aanvulorders worden de echelon voorraadposities van de eindafnemers gegeven door: 1 Iˆ2i = Sie − qi ( D0,2 − ∆1 )+ = 100 −

1 4

(32 − 20) = 97, i ∈ V1

Van alle eindafnemers worden de echelon voorraadposities dus aangevuld tot 97 producten. In totaal zal de beginafnemer 88+90+93+89=360 producten transporteren naar zijn afnemers. Dit is precies gelijk aan het aantal producten dat vestiging 1 op tijdstip t=2 in voorraad heeft. Gegeven de aanvulperiode van de keten en de aanvulniveaus en allocatiefracties per vestiging kunnen de totale verwachte kosten in de distributieketen worden bepaald. De totale kosten bestaan uit voorraadkosten, bestelkosten en kosten van nalevering. De voorraadkosten zijn afhankelijk van de waarde per product en de gemiddelde voorraad. De waarde van een product wordt bepaald door alle vestigingen die waarde aan dit product hebben toegevoegd. Voor een specifieke vestiging i wordt de waarde van een product gegeven door:

47


pi +

∑

n∈U i

pn

Hierin staat pn voor de toegevoegde waarde van een product bij vestiging n. Bij de bepaling van de gemiddelde fysieke voorraad zal onderscheid worden gemaakt tussen die van de eindafnemers en die van vestigingen in de tussenhandel. Voor de eindafnemers geldt dat het voorraadverloop overeenkomt met die van de lokale periodieke besturing welke reeds in paragraaf 4.1 aan bod gekomen is. De gemiddelde fysieke voorraad GViE van een eindafnemer i wordt gegeven door:

 1 xi2 GVi E =  + ( J ti ) +  i + 2  xi + (− J t ) 

(4.22)

Hierin staat xi voor de echelonvoorraad van vestiging i vlak na binnenkomst van een aanvulorder. De gemiddelde voorraad van een vestiging i in de tussenhandel GViM wordt bepaald door zijn fysieke eindvoorraad. Dit is de fysieke voorraad vlak voor binnenkomst van een aanvulorder. Bij aankomst van een aanvulorder bij de tussenhandel zal deze namelijk geheel of gedeeltelijk direct worden doorgestuurd naar zijn afnemers. De voorraad van de tussenhandel is dus gedurende een hele periode R gelijk. De gemiddelde fysieke voorraad van een vestiging in de tussenhandel is derhalve gelijk aan haar verwachte fysieke eindvoorraad. Gebruikmakend van Diks [1997] kan nu voor de gemiddelde voorraad GVM van een vestiging in de tussenhandel worden geschreven:

GVi M = J ti −

∑

j∈Vi

J tj

(4.23)

De totale kosten in de distributieketen per periode T worden nu gegeven door de som van voorraadkosten van alle vestigingen in de tussenhandel VKM, de voorraadkosten van de eindafnemers VKE (inclusief de tekortkosten) en de bestelkosten BK voor alle vestigingen in de distributieketen.

TK = VK E + VK M + BK

(4.24)

met

  T VK E = ∑ h( pi + ∑ pn )GVi E + KN (− J ti ) +  R i∈ E  n∈U i    VK M = ∑ h( pi + ∑ pn ) GVi M i∈ M  n∈U i  T BK = ∑ ( KBi + KA ⋅Ai + KQi (R ⋅λ) ) i∈ M ∪ E R

(4.25)

(4.26) (4.27)

Gezocht zal worden naar die integrale periodieke besturingparameters die de totale verwachte kosten in de distributieketen minimaliseren. Het minimaliseren van bovenstaande kostenfunctie is echter zeer complex. De voorraden van de verschillende vestigingen hebben invloed op elkaar en er zal rekening gehouden moeten worden met de allocatiefuncties. De vergelijkingen (4.22) en (4.23) voor de bepaling van de gemiddelde voorraden zijn uitgedrukt in de verwachte echelonvoorraden J. Ook de besturing door middel van de besturingparameters Se en q gebeurt op basis van de echelonvoorraden. Er zal dan ook gezocht worden naar een uitdrukking voor de kosten in een echelonsysteem. Dit wil zeggen dat voor een vestiging i de kostenfunctie de totale kosten berekent in ech(i), dus voor alle vestigingen in het echelonsysteem van vestiging i.

48


Door de kostenfunctie op deze wijze te herschrijven en bij de berekening te beginnen bij de eindafnemers en zo stroomopwaarts de keten in te werken, zullen de totale kosten eenvoudiger geminimaliseerd kunnen worden. Hiertoe zal vergelijking (4.24) worden herschreven door deze te splitsen in drie delen, de echelonvoorraadkosten die worden veroorzaakt door de eindgebruikers EVKE, de echelonvoorraadkosten van de tussenhandel EVKM en de transportkosten KT. Allereerst zal vergelijking (4.26) herschreven worden. Na substitutie van (4.23) in (4.26) kunnen de voorraadkosten VKM van de vestigingen in de tussenhandel op de volgende wijze geschreven worden:

VK M = ∑ h( pi + i∈ M

∑

n∈U i

pn )GVi M =

  h∑ ( pi + ∑ pn ) J ti − ( pi + ∑ pn ) ∑ J t j  = i∈ M  n∈U i n∈U i j∈Vi  i i i h∑ pi J t + h∑ ∑ pn J t − h ∑ ∑ pn J t = i∈ M

i∈ M n∈U i

h∑ pi J ti − h∑ i∈ M

∑

i∈ E n∈U i

(4.28)

i∈ M ∪ E n∈U i

pn J ti

Voor de totale kosten TK per periode T, afhankelijk van de echelonvoorraadkosten EVK en de bestelkosten BK volgt:

TK = EVK M + EVK E + BK

(4.29)

met

EVK M = h ∑ pi J ti

(4.30)

i∈ M

  T EVK E = ∑ h( pi + ∑ pn )GVi E + KN (− J ti )+ − h ∑ pn J ti  R i∈ E  n∈U i n∈U i  T BK = ∑ ( KBi + KA ⋅Ai + KQi ( R ⋅λ)) i∈ M ∪ E R

(4.31) (4.32)

Met behulp van bovenstaande vergelijkingen kan een uitdrukking voor de echelonvoorraadkosten worden opgesteld. Hiertoe zal gebruik worden gemaakt van de functie Hj(xj,Ψ j). Dit zijn de verwachte totale echelonkosten van vestiging i, gegeven de besturingparameters Ψ j van zijn afnemers en zijn eigen verwachte aanvulniveau xi. Stel nu dat de voorraad van vestiging i, direct na binnenkomst van de aanvulorder, voldoende is om de voorraden van zijn afnemers tot het gewenste aanvulniveau aan te vullen en dat de verwachte vraag gedurende de levertijd Li gelijk is aan u, dan geldt:

Sie − u >

∑S j∈Vi

e j

,

voor alle j∈ Vi

De verwachte totale echelonkosten van een afnemer j∈ Vi wordt dan gegeven door Hj(Sej,Ψ j). Indien echter geldt dat:

Sie − u < ∑ S ej ,

voor alle j∈ Vi

j∈Vi

49


dan wordt de echelon voorraadpositie van afnemer j opgehoogd tot zj(Sei-u). De verwachte totale echelonkosten van afnemer j wordt dan gegeven door Hj(zj(Sei-u),Ψ j). Bij de bepaling van de verwachte echelonkosten wordt onderscheidt gemaakt tussen de vestigingen in de tussenhandel en de eindafnemers. De echelonkosten Hj(Sej) van de eindafnemers worden berekend met behulp van vergelijkingen (4.31) en (4.32) na substitutie van GVE met behulp van vergelijking (4.22) en de verwachte echelonvoorraden. De echelonvoorraden J, (J)+ en (-J)+ kunnen worden bepaald met behulp van vergelijking (4.5), (4.6) en (4.7) uit paragraaf 4.1. De echelonkosten Hj(Sej,Ψ j) van vestigingen j in de tussenhandel worden bepaald met behulp van vergelijking (4.30) en (4.32). Hierbij worden eerst de verwachte kosten van alle eindafnemers in ech(i) berekend en vervolgens stroomopwaarts naar vestiging i gewerkt. Na wat schrijfwerk kunnen de volgende uitdrukkingen voor de verwachte totale echelonkosten worden opgesteld:

   (Sie − λi Li ) 2 +    ∞   S e − λ L + (v − S e )dF R + Li (v )  i i i ∫ i i 1  + H i ( Sie ) = h( pi + ∑ pn )  Sie   2 n∈U i  Sie    ∫(Sie − v)dFi R + Li (v )     0   ∞  T  R+ L  KN ∫(v − S ie )dFi i (v ) + ( KBi + KA ⋅Ai + KQi λi R) −  R   Sie   e pn ( Si − ( Li + R)λi )  h ⋅n∑  ∈U i

    ,           

T  e h ⋅pi (Si − ( Li + R)λi ) + R ( KBi + KA ⋅Ai + KQi λi R )+  e e  H i ( Si , Ψ i ) =  H j ( S j , Ψ j ) +   ∞  ∑  Li e e j∈Vi ∫ H j ( z j ( Si − u), Ψ j ) − H j ( S j , Ψ j ) dFi (u)    ∆    i

    , voor i∈ M     

(

)

voor i∈ E

(4.33)

(4.34)

Doel van dit onderzoek is een optimale besturing te vinden, die de totale kosten in de distributieketen minimaliseert. Dit komt neer op het minimaliseren van H1(Se1,Ψ 1), de verwachte totale echelonkosten per periode T van de beginafnemer. In Figuur 16 zien we een mogelijk gedrag van H1(Se1,Ψ 1) in een 2-echelon systeem.

50


Figuur 16 –echelonkosten per jaar als functie van Se en R (KN=0.5, pi=10 Li=1 Ai=50 (i∈ E), p1=100, L1=2, KB=50, KA=1, KQ=1, |V1|=5, T=365)

In paragraaf 4.4 wordt bewezen dat Hi(Sei) voor een gegeven R convex is en er een globaal optimum Sei* bestaat. Voor een gegeven R kan dus altijd een optimale Sei worden gevonden. In paragraaf 4.4 zal voor een gegeven verzameling mogelijke aanvulperiode R en de bijbehorende optimale aanvulniveaus Se, de verwachte totale kosten in de distributieketen worden geminimaliseerd. Indien er geen sprake is van tekortkosten, er dus geen extra kosten en rekening worden gebracht wanneer een bestelling niet direct uit voorraad kan worden geleverd, dan is deze optimale Sei* voor alle R nagenoeg gelijk. Echter, naarmate de aanvulperiode langer is, des te meer er naar verwachting zal worden besteld. Een toename van R zal derhalve moeten leiden tot een toename van Sei. Indien er zeer hoge tekortkosten in rekening worden gebracht dan zal een stijging van R direct leiden tot een toename van Sei. Bij deze bepaling van Sei* wordt echter geen rekening gehouden met het servicecriterium. In dit verslag worden de besturingsparameters zowel bepaald met behulp van de tekortkosten als door het in acht nemen van de servicecriteria. In paragraaf 4.4 zullen de besturingparameters worden bepaald aan de hand van tekortkosten en het minimaliseren van de verwachte totale kosten in de gehele keten. Dit zal worden aangeduid als kostenbenadering. In de komende paragraaf komt de zogenaamde servicebenadering aan bod. Hierbij worden de besturingparameters voor de gehele keten zodanig bepaald dat de eindafnemers naar verwachting precies voldoen aan het servicecriterium.

51


4.3 Servicebenadering Indien er rekening wordt gehouden met de leverbetrouwbaarheid en de tekortkosten buiten beschouwing worden gelaten, dan wordt een optimum gevonden indien precies aan het servicecriterium wordt voldaan. Een hogere leverbetrouwbaarheid dan dat door het servicecriterium is vereist, zal resulteren in hogere voorraadkosten terwijl een lagere leverbetrouwbaarheid niet is toegestaan. Doel van dit hoofdstuk is de besturingparameters (Sei,qi) te bepalen bij alle vestigingen in de distributieketen zodanig dat alle eindafnemers voldoen aan het vooraf vastgestelde servicecriterium ßT. Voor de leverbetrouwbaarheid β van de eindafnemers geldt:

β =1−


De verwachte vraag in een aanvulcyclus bij eindafnemer i is gelijk aan R.λi. De verwachte vraag in een aanvulcyclus die niet direct uit voorraad wordt geleverd is gelijk aan het verwachte verschil tussen het aantal naleveringen aan het begin van een aanvulperiode en het aantal naleveringen aan het einde van een aanvulperiode. Beschouw nu een eindafnemer i. Direct na allocatie van een aanvulorder, wordt de voorraadpositie van vestiging i gegeven door Îti. Indien er gedurende de levertijd Li meer dan Îti producten bij deze vestiging worden gevraagd, dan zal de aanvulorder niet toereikend zijn voor het leveren van alle orders in de wachtrij. Er is dan sprake van een tekort (DiL(i)- Îti)+ aan het begin van de aanvulperiode. Een tekort aan het einde van een aanvulperiode wordt veroorzaakt doordat er gedurende de levertijd Li en de aanvulperiode R meer dan Îti producten worden gevraag bij deze vestiging. De volgende uitdrukking voor de leverbetrouwbaarheid in multi-echelonvoorraden kan nu worden opgesteld:

βi = 1 −

E[( DLi i + R − Iˆti )+ − ( DLi i − Iˆti )+ ] Rλi

,

voor alle i∈ E

(4.35)

In de literatuur zijn verschillende methoden te vinden voor een benadering van de besturingparameters zodanig dat de eindafnemers naar verwachting voldoen aan een vooraf vastgestelde minimale leverbetrouwbaarheid. In de komende paragrafen zullen eerst de meest relevante methoden uit de literatuur worden besproken om deze vervolgens toe te passen op dit onderzoek. In paragraaf 4.3.1 worden twee methoden besproken voor zogenaamde 2-echelon systemen. Een 2-echelon systeem bestaat uit een beginafnemer i welke |Vi| eindafnemers belevert. Vervolgens zullen de resultaten hiervan in paragraaf 4.3.2 worden toegepast op divergente distributieketens die bestaan uit meerdere schakels, de multi-echelon systemen. Tenslotte zal in paragraaf 4.3.3 de resultaten worden gebruikt voor de kostenminimalisatie van distributieketens die voor dit verslag van belang zijn.

4.3.1 Besturing van 2-echelon systemen

In de voorgaande paragraaf is reeds vermeld hoe de leverbetrouwbaarheid van een eindafnemer kan worden berekend indien de besturingparameters R, Sei en qi bekend zijn. In deze paragraaf zullen enkele benaderende methoden voor de bepaling van deze besturingparameters in 2-echelon systemen worden besproken. In de literatuur is veel aandacht besteed aan de bepaling van deze besturingparameters. Eppen & Schrage [1981] hebben de Fair Share (FS) verdelingsmethode geïntroduceerd voor 2-echelon systemen zonder tussenvoorraden. Deze verdelingsmethode zorgt voor een gelijke stockout kans voor alle eindafnemers. Uitbreidingen van deze methode worden gegeven door Federgruen & Zipkin [1984]. In Federgruen [1993] wordt een overzicht gegeven van de verschillende verdelingsmethoden. In De Kok [1990] wordt een generalisatie van de

52


verdelingsmethode uit Eppen & Schrage [1981] beschreven waarbij de besturingparameters in een 2-echelon systeem zonder tussenvoorraden zo worden bepaald dat aan een vooraf opgelegde minimale leverbetrouwbaarheid kan worden voldaan. De Kok, Lagodimos & Seidel [1994] hebben deze resultaten verder gegeneraliseerd naar een 2-echelon systeem waarbij de beginafnemer wel voorraden kan aanhouden. Zij introduceerden het begrip Consistent Appropriate Share (CAS). In Verrijdt & De Kok [1996] is een aanpassing van de methode uit De Kok [1990] te vinden die ook geschikt is voor systemen met zeer uiteenlopende waarden voor βT bij de verschillende eindafnemers. In Verrijdt & De Kok [1995] wordt een toepassing besproken voor de Nechelon systemen. Een geheel andere methode is recentelijk ontwikkeld door Van der Heijden [1995]. Hierin wordt de Balanced Stock (BS) verdelingsmethode besproken voor divergente N-echelon systemen. In deze paragraaf zullen de bovengenoemde verdelingsmethoden voor de bepaling van de allocatieparameters en aanvulniveaus in een 2-echelon systeem worden besproken. Deze methoden vormen vervolgens de basis voor de uitbreiding naar N-echelon systemen.

Consistent Appropriate Share algoritmen

In de CAS methode worden de aanvulniveaus op de volgende wijze bepaald:

S ej := λech ( j ) + q j ∑ ( Ske − λech( k ) )

(4.36)

k∈V j

Hierin staat qj voor de in paragraaf 4.2 geïntroduceerde allocatiefractie. De λech(j) wordt als volgt gedefinieerd:

λech (i ) :=



 L j ) + Ln + R λn n∈ Ei  j∈U n ∩ ech ( i ) 

∑ ( ∑

(4.37)

Voor een eindafnemer i is λech(j) daarmee gelijk aan de verwachte vraag gedurende een periode R en de levertijd Lj. Deze definitie wordt verduidelijkt in onderstaand voorbeeld: Voorbeeld 2 E1={2,3}; E2={2}; E3={3} U1=∅ ; U2={1}; U3={1} ech(1) ={1,2,3}; ech(2)={2}; ech(3)={3}

P

L1 1

L2 2

L3 3

  ( ∑ L j ) + Ln + R λn = ( L1 + L2 + R)λ2 + ( L1 + L3 + R )λ3 n∈{2,3}  j∈{1}    = ∑ ( ∑ L j ) + Ln + R λn = ( L2 + R)λ2 n∈{2}  j∈{∅ } 

λech (1) = λech (2)

λech (3) =

∑

  ( ∑ L j ) + Ln + R λn = ( L3 + R)λ3 n∈{3}  j∈{∅ } 

∑

Substitutie van (4.36) in (4.20) en vervolgens in (4.35) levert de volgende uitdrukking voor de leverbetrouwbaarheid βj van de eindafnemers:

53


β j = 1−

E[( DLj j + R − λech( j ) − q j O1 )+ − ( DLjj − λech ( j ) − q j O1 )+ ] Rλj

(4.38)

met

O1 = S1e − ∆1 − ( DL11 − ∆1 )+ −

∑λ

n∈V1

ech( n)

= ∑ (S ej − λech ( j ) ) − ( DL11 − ∆1 )+

(4.39)

j∈Vi

Hierin is O1 de zogenaamde geprojecteerde netto systeemvoorraad, zoals deze in De Kok, Lagodimos & Seidel [1994] is te vinden. Hiermee wordt weergegeven hoeveel producten er nog moeten worden verdeeld over de eindafnemers nadat er reeds λech(j) aan elke eindafnemer j is toebedeeld. De bepaling van de allocatiefacties qi en de aanvulniveaus Sei welke resulteren in de gewenste leverbetrouwbaarheid βjT voor elk van de eindafnemers komt nu neer op het oplossen vergelijking (4.40).

E[( DLj j + R − λech ( j ) − q j O1 ) + − ( DLj j − λech( j ) − q j O1 ) + ]

1−

Rλj

∑q j∈Vi

j

= β Tj , j ∈ Vi (4.40)

=1

De verwachte vraag Dti bij vestiging i gedurende een periodelengte t, de aanvulperiode R, ∆i en λech(i) worden in vergelijking (4.40) bekend verondersteld. De besturingparameters qi en Sei worden nu verkregen door het oplossen van de vergelijking naar qj en O1. Het bovenstaande probleem is echter moeilijk oplosbaar. In de literatuur zijn echter een aantal CAS heuristieken voor een benaderende oplossing van dit probleem te vinden. Vijf van deze CAS heuristieken zullen nu worden besproken. De eerste twee duiden we hier aan met CAS1 en CAS2, deze zijn afkomstig van De Kok, Lagodimos & Seidel [1994] en zijn gebasseerd op een eerder werk van De Kok [1990]. De volgende twee, CAS3 en CAS4, zijn afkomstig uit Verrijdt & De Kok [1996]. De stappen in deze algoritmen zijn een toevoeging op het CAS2 algoritme. Een aanpassing van de CAS algoritmen heeft geresulteerd in de Adapted Consistent Appropriate Share rationing (ACAS) afkomstig van Diks & De Kok [1996]. De genoemde CAS heuristieken zullen nu successievelijk worden behandeld. Voor verdere toelichting op de genoemde heuristieken wordt verwezen naar Diks [1997]. CAS1 Algoritme: 1. Initialiseren van SeI en ε > 0. 2. Gebruik (4.38) om de allocatie-fractie qj voor elke eindafnemer j te bepalen. 3. Indien q < 1 − ε verlaag Se en ga naar 2.

∑ Indien ∑

j∈V1 j∈V1

1

j

q j > 1 − ε verhoog Se1 en ga naar 2. Algoritme 4 –CAS1

Nadat het aanvulniveau Se1 voor de beginafnemer en de allocatiefracties qj van de eindafnemers zijn bepaald, kunnen de aanvulniveaus Sej voor de eindafnemers eenvoudig worden afgeleid met behulp van vergelijking (4.21):

∑S j∈V1

e j

= S1e − ∆1

54


De CAS1 procedure heeft als nadeel dat er in stap 2 |V1| vergelijkingen moeten worden opgelost. In De Kok, Lagodimos & Seidel [1994] wordt gebruik gemaakt van de bisection methode voor het oplossen van deze vergelijkingen. In Diks & De Kok [1996] wordt echter gesteld dat dit alleen mogelijk is voor hoge leverbetrouwbaarheid βjT. Zij hebben dan ook de procedure aangepast met als resultaat de ACAS procedure. Het aantal vergelijkingen dat moet worden opgelost kan ook worden verkleind door gebruik te maken van de CAS2 procedure. CAS2 Algoritme: 1. Bepaal voor elke eindafnemer j het aanvulniveau Se’ j zodanig dat de leverbetrouwbaarheid bij de vestigingen gelijk is aan ßjT en ? 1 oneindig is. Deze aanvulniveaus kunnen worden bepaald uit (4.35) na substitutie van Îtj = Se’ j. (zie vergelijking (4.17)) 2. Herschrijven van (4.36) levert:

q j :=

S ej ' − λech( j )

∑ (S

e' k

− λech ( k ) )

,

voor alle j∈ V1

(4.41)

k∈V1

3. 4.

Gebruik (4.38) voor de bepaling van Sej voor elke eindgebruiker j, zodanig dat βj gelijk is aan ßjT. Noem dit vervolgens Se1[j]. Gebruik de volgende definitie voor de bepaling van alle aanvulniveaus:

S1e :=

∑ S [ j] j∈V1

e 1

V1 Algoritme 5 –CAS2 In het CAS2 algoritme wordt een benadering gegeven voor de allocatiefracties. Hierdoor kan sneller een oplossing worden berekend. In Verrijdt & De Kok [1996] wordt gesteld dat het CAS2 algoritme alleen bruikbaar is indien de verschillen tussen de waarden S’ 1[j] uit stap 3 voor de verschillende eindafnemers klein zijn. Wanneer we echter te maken hebben met grote verschillen in leverbetrouwbaarheid voor de eindafnemers dan moet het CAS2 algoritme worden uitgebreid. Deze uitbreidingen hebben geresulteerd in CAS3 en CAS4.

CAS3 Algoritme: 5. Bepaal een vestiging m ∈ Vi waarvoor geldt:

S1e ' [m] − S1e ' ≥ S1e ' [ j ] − S1e ' , 6.

e

voor alle j∈ V1

e

Als S ’ 1[k] < S ’ 1 dan worden de aangepaste allocatiefuncties gedefinieerd door:

 qj − δ  ~ qj q j :=  q + δ j  1 − qm 

j=m j≠m

e Als Se’ 1[k] > S ’ 1 dan worden de aangepaste allocatiefuncties gedefinieerd door:

7.

 qj + δ  ~ qj q j :=  − δ q j  1 − qm 

j=m

j≠m

Ga naar stap 3 van het CAS2 algoritme totdat δde volgende functie minimaliseert: e' e' S1.max − S1.min S1e ' − λech (1) e e e Waarbij Se’ 1,max:=max{S ’ 1[j] | j ∈ V1} en S ’ 1,min:=min{ S ’ 1[j] | j ∈ V1 }.

Algoritme 6 –CAS3

55


CAS4 Algoritme: 5. Verdeel de afnemers van vestiging i in twee groepen A en B

A := { j ∈ V1 | S1e ' [ j ] < S1e ' } B := { j ∈ V1 | S1e ' [ j ] ≥ S1e ' } 6.

7.

Verdeel de aangepaste allocatiefunctie:

(1 − δ)q j  1 + δ− 2δ ∑ k∈ A qk ~ :=  q  j (1 + δ)q j   1 + δ− 2δ∑ k∈ A qk

j∈ A j∈ B

Ga naar stap 3 van het CAS2 algoritme totdat δde volgende functie minimaliseert: e' e' S1.max − S1.min S1e ' − λech (1) e e e Waarbij Se’ 1,max:=max{S ’ 1[j] | j ∈ V1} en S ’ 1,min:=min{ S ’ 1[j] | j ∈ V1 }.

Algoritme 7 –CAS4 Gebruikmakend van vergelijking (4.20) uit paragraaf 4.2 en vergelijking (4.36) kan voor de echelonvoorraadpositie van een eindafnemer j worden geschreven:

Iˆt j = λech( j ) + q j O1 ,

voor alle j∈ V1

(4.42)

Zoals gezegd, wordt met O1 het aantal producten weergegeven dat moet worden verdeeld over de eindafnemers nadat er λech(j) producten aan elke eindafnemer j is gealloceerd. Met de CAS methoden wordt er altijd een vaste fractie qj van dit aantal producten O1 gealloceerd aan een vestiging j. Omdat nu O1 negatief kan zijn, hoeft een toename van qj niet direct een verbetering van de leverbetrouwbaarheid in te houden. Wanneer de geprojecteerde systeemvoorraad O1 op tijdstip t negatief is, zal een toename van qj voor een specifieke eindafnemer j betekenen dat deze vestiging minder producten zal krijgen toebedeeld. Terwijl bij een positieve systeemvoorraad O1 een toename van qj resulteert in een toename van Îtj. In Diks & De Kok [1996] wordt een aanpassing van op de CAS methoden beschreven zodanig dat een toename van qj altijd zal resulteren in een toename van Îtj en dus van βj. Hiertoe zal vergelijking (4.38), die wordt gebruikt in stap 2 van het CAS1 algoritme, worden vervangen door onderstaande vergelijking:

 E ( DLj + R − λech ( j ) − q j O1 − rj (− O1 )+ )+   −  1 −  j   Rλj βj =    E ( DLj j − λech( j ) − q j O1 − rj (− O1 )+ )+         R λ j  

(4.43)

met

rj :=

V1 q j − 1 V1 − 1

Het ACAS algoritme is verder identiek aan het CAS1 algoritme. In tegenstelling tot CAS1 levert stap 2 van ACAS echter altijd een unieke oplossing.

56


ACAS: 1. Initialiseren van Se1 en ε>0. 2. Gebruik (4.43) om de allocatie-fractie qj voor alle eindafnemers j te bepalen. 3. Indien q < 1 − ε verlaag Se en ga naar 2.

∑ Indien ∑

j∈V1 j∈V1

1

j

q j > 1 − ε verhoog Se1 en ga naar 2. Algoritme 8 –ACAS

Balanced Stock

Een andere methode voor de bepaling van de besturingparameters is de Balanced Stock verdeling. In Van der Heijden [1995] wordt gesteld dat er betere resultaten kunnen worden verkregen wanneer de aanvulniveaus niet vooraf worden gedefinieerd, zoals in (4.36). Van der Heijden bepaalt eerst de allocatiefuncties {qj} j∈ Vi zodanig dat de verwachte onbalans zo klein mogelijk is. Dit wil zeggen dan een aanvulorder bij een vestiging i altijd zo gealloceerd kan worden dat iedere eindafnemer in ech(i) een gelijke stockout kans heeft in de komende aanvulperiode. Vervolgens worden de aanvulniveaus {Sej} j∈ Vi bepaald zodanig dat aan de gewenste leverbetrouwbaarheid van de eindafnemers wordt voldaan. Er is sprake van onbalans indien een bepaalde vestiging een negatieve levering krijgt toegewezen. Dit wordt vaak veroorzaakt doordat de ene afnemer volledig buiten voorraad is terwijl de andere nog royaal in de voorraad zit. De onbalans van vestiging j op tijdstip t wordt gegeven door:

Ω j (t ) := (− Q j (t ))+ ,

voor j∈ V1

(4.44)

Hierin is Qj(t) de grootte van de levering voor vestiging j op tijdstip t. In Van der Heijden [1995] is aangetoond dat de allocatiefunctie die de onbalans van eindafnemer j minimaliseert wordt gegeven door:

q = * j

σ 2j 2σ12

,

voor j∈ V1

(4.45)

Helaas is de som van deze {q*j} j∈ V1 niet gelijk aan 1, maar aan ½ . Om nu de allocatiefuncties te vinden die sommeren tot 1 terwijl de onbalans wordt geminimaliseerd, heeft Van der Heijden [1995] de volgende uitdrukking opgesteld:

 λΩ φ 1 j σΩ  1j σΩ 1 j

   T (2q σ 2 − σ 2 ) = c , 1 j 1 j 1

voor j∈ V1

(4.46)

met

λΩ1 j = − Rλj σΩ2 1 j = 2q2j T1σ12 + ( R − 2q jT1 )σ 2j T1 = min( R, L1 ) Hierbij staat φ voor de kansdichtheid van de standaard normale verdeling. De c1 wordt bepaald zodanig dat de allocatiefuncties qj naar 1 sommeren. Voor verdere toelichting wordt verwezen naar Van der Heijden [1995].

57


In Van der Heijden [1995] is tevens een algoritme te vinden voor de bepaling van alle besturingparameters in de keten, deze zullen we hier aan duiden met BS1. Een variant hierop is ontwikkeld door Van Donselaar [1990] welke we met BS2 zullen aanduiden. BS1 1. 2. 3.

Bereken de ondergrenzen qj* van qj voor j∈ V1 met behulp van (4.45). Gebruik de bisection methode voor het bepalen van c1 uit (4.46). In elke stap van de bisection worden de corresponderende waarden voor {qj} j∈ V1 gevonden in een andere bisection, waarbij qj ligt in het interval [qj*,1]. Bepaal voor elke eindafnemer j het aanvulniveau Sej zodanig dat de leverbetrouwbaarheid van vestiging j gelijk is aan βjT. Dit aanvulniveau kan worden verkregen uit (4.35) na substitutie j e + van: Iˆt = S j − q j ( DLi − ∆1 ) . (zie vergelijking (4.20))

4.

Het aanvulniveaus Se1 volgt uit:

S1e = ∑ S ej + ∆1 (zie vergelijking (4.21)) j∈V1

Algoritme 9 –BS1 BS2 Van Donselaar [1990] heeft stap 1 en 2 van het BS1 algoritme vereenvoudigd door gebruik te maken van de volgende allocatiefuncties:

q j :=

σ 2j 2σ

2 1

+

1 , 2 V1

voor j∈ V1

(4.47)

Van belang hier is een toepassing van deze algoritmen voor distributieketens met meer dan twee schakels. Hoewel we in de praktijk geregeld te maken hebben met grootschalige productieen distributienetwerken wordt hier in de literatuur weinig aandacht aan besteed. In de volgende paragraaf zal een uitbreiding van het CAS algoritme voor N-echelon systemen worden besproken.

4.3.2 Besturing van N-Echelon systemen

In de voorgaande paragraaf zijn enkele algoritmen behandeld voor de bepaling van besturingparameters in 2-echelon systemen. Generalisatie van deze algoritmen is echter noodzakelijk voor de toepassing op algemene distributieketens. In deze paragraaf zal zowel de toepassing van CAS als van BS op N-echelon systemen besproken worden. Vervolgens zal de toepassing hiervan voor dit onderzoek worden geïllustreerd. Een generalisatie van het CAS2 (alsmede CAS3 en CAS4) is ontwikkeld door De Kok [1994]. Hierin wordt aan elke vestiging een Low Level Code (LLC) toegekend. Voor een vestiging i wordt LLC(i) gegeven door het maximaal aantal schakels in keten ech(i). Per definitie is de LLC van een eindafnemer i gelijk aan 1, dit duiden we aan met LLC(i):=1. Voor een vestiging i in de tussenhandel geldt:

LLC (i) := 1 + max j∈Vi LLC ( j )

(4.48)

De verzameling van alle vestigingen met een LLC van n duiden we aan met Wn. Deze notatie maakt het mogelijk eerst de besturingparameters voor de eindafnemers te bepalen en vervolgens voor vestigingen met oplopende LLC. De besturingparameters van vestiging i in de tussenhandel worden berekend gegeven de besturingparameters van stroomafwaarts gelegen vestigingen. Een generalisatie van het CAS algoritme, afkomstig uit Diks [1997], bestaat uit de volgende stappen.

58


CAS voor N-echelon systemen 1. n:=1. 2. Bepaal voor elke eindafnemer j het aanvulniveau Se’ j zodanig dat de leverbetrouwbaarheid βj bij elk van deze vestigingen j gelijk is aan βTj, ervan uit gaande dat ∆i oneindig is voor alle i∈ M. t e Deze Se’ j kunnen bepaald worden met behulp van (4.35) na substitutie van î j = S ’ j. 3. n:=n+1. 4. Bekijk vestiging i∈ Wn. Bepaal voor elke j∈ Vi:

S ej ' − λech ( j )

q j :=

∑ (S

k∈Vi

5. 6.

− λech ( k ) )

Bepaal voor elke eindafnemer k∈ Ej met j∈ Vi het benodigde aanvulniveau van vestiging i: T Se’ i[j,k], zodanig dat elke eindafnemer voldoet aan het servicecriterium β k. Definieer:

Sie ' := 7.

e' k

∑∑

j∈Vi k∈ E j

Sie ' [ j, k ] Ei

Indien we gebruik maken van de CAS3 of CAS4 uitbreidingen, dan moeten de allocatiefuncties uit de stappen 5 en 6 van het CAS3 en CAS4 algoritme worden toegepast. Ga terug naar stap 5 totdat totdat δde volgende functie minimaliseert: ' ' Sie.max − Sie.min Sie ' − λech (i )

8. 9.

e e e Waarbij Se’ i,max:=max{S ’ i[j] | j ∈ Vi} en S ’ i,min:=min{ S ’ i[j] | j ∈ Vi }. Voer stap 4-7 uit voor elke vestiging i∈ Wn. Als n
Algoritme 10 –CAS voor N-echelon systemen De CAS procedure voor N-echelon systemen is een generalisatie van het CAS2 algoritme inclusief de uitbreidingen CAS3 en CAS4. In Verrijdt & De Kok [1995] is het CAS algoritme voor N-echelon systemen te vinden waarbij ? i=0 voor alle vestigingen i in de tussenhandel. In De Kok [1994] wordt het N-echelon CAS algoritme besproken voor het geval waarbij de tussenhandel wel voorraden kan aanhouden. Ook de Balanced Stock methode kan met een kleine wijziging worden toegepast op N-echelon systemen. De allocatiefuncties worden wederom gevonden met behulp van (4.45) na substitutie van:

λj → σ 2j →

∑

λk

∑

σk2

k∈ E ∩ ech( j )

k∈ E ∩ ech ( j )

(4.49)

Hierin is door Van der Heijden [1995] verondersteld dat de variatie van het voorraadniveau vlak na binnenkomst van een aanvulorder slechts een klein effect heeft op de allocatiefracties. De Balanced Stock heuristiek ziet en nu als volgt uit:

59


BS voor N-echelon systemen 1. Bepaal voor elke vestiging i∈ M een ondergrens {q*j} j∈ Vi voor {qj} j∈ Vi door substitutie van (4.49) in (4.45). 2. Bepaal voor elke vestiging i∈ M de waarde ci van (4.46) (wederom na substitutie van (4.49)) zodanig dat de allocatiefuncties tot 1 sommeren. In elke stap van de bisection worden de corresponderende waarden voor {qj} j∈ Vi gevonden in een andere bisection, waarbij qj ligt in het interval [q*j,1]. 3. n:=1. 4. Bepaal voor elke eindafnemer j het aanvulniveau Sej zodanig dat de leverbetrouwbaarheid gelijk is aan βjT. Deze aanvulniveaus kunnen verkregen worden uit (4.35). 5. n:=n+1; 6. Bepaal voor elke vestiging i∈ Wn het aanvulniveau Sei door:

Sie = ∑ S ej + ∆i j∈Vi

7.

Als n
60


4.3.3 Kostenminimalisatie

In de continue besturing uit hoofdstuk 3 hebben we gezien dat de bestelpunten zo gekozen worden dat aan de servicecriteria kan worden voldaan terwijl de bestelgroottes zo gekozen worden dat de totale voorraad- en transportkosten minimaal zijn. Tot nu toe hebben we bij de periodieke besturing de aanvulniveaus zo gekozen dat aan de servicecriteria kan worden voldaan terwijl de aanvulperiode als gegeven is beschouwd. In deze paragraaf zal het CAS algoritme voor N-echelon systemen zo worden uitgebreid dat naast de bepaling van de aanvulniveaus en de allocatiefracties ook een gunstige aanvulperiode voor de gehele distributieketen wordt bepaald. Deze aanvulperiode zal zodanig gekozen worden dat de verwachte kosten in de distributieketen per dag minimaal zijn. Met behulp van vergelijking (4.24) uit paragraaf 4.2 volgt voor de totale kosten per dag:

    1 E KN (− J ti ) + +  ∑ h( pi + ∑ pn )GVi + R n∈U i  i∈ E        M   TK = ∑ h( pi + ∑ pn ) GVi + i∈ M  n∈U i     1   R ∑ ( KBi + KA ⋅Ai + KQi ( R ⋅λ) )   i∈ M ∪ E   

(4.50)

We gaan nu als volgt te werk. Eerst zal er een schatting worden gemaakt voor een gunstige aanvulperiode R*. Met behulp van deze R* en het CAS algoritme voor N-echelon systemen zullen vervolgens de besturingparameters worden bepaald. Aan de hand van deze besturingparameters worden de verwachte kosten in de distributieketen berekend. Dit proces zal worden herhaald door de lengte van de aanvulperiode R* te variëren. Hiervoor zal gebruik worden gemaakt van de stapgrootte ε. Indien bijvoorbeeld de mogelijke aanvulperiode R een veelvoud van een week moet zijn, dan is ε gelijk aan 7. Omdat nu de kostenfunctie convex is, zullen uiteindelijk die besturingparameters worden gevonden, die de verwachte totale kosten in de keten bij benadering minimaliseren. Voor de schatting van R* maken we gebruik van een tweetal vereenvoudigingen. Ten eerste dat de voorraden bij de tussenhandel te verwaarlozen zijn en ten tweede dat alle eindafnemers een veiligheidsvoorraad van nul hebben. Met behulp van deze vereenvoudigingen kan vergelijking (4.50) voor de verwachte totale kosten per dag in de distributieketen als volgt herschreven worden:

    1 ∑ h( pi + ∑ pn )( ⋅R ⋅λ) +  2 i∈ E  n∈U i    TK = 1   KB KA A KQ R + ⋅ + ( ⋅ λ ) ) i i R ∑ ( i  i∈ M ∪ E 

(4.51)

Differentiëren van bovenstaande kostenfunctie naar R levert:

 dTK = ∑ h( pi + dR i∈ E 

∑

n∈U i

1  1 pn )( λ) − 2 2  R

∑ ( KB +

i∈ M ∪ E

i

KA ⋅Ai )

(4.52)

Nulstellen van (4.52) en oplossen naar R levert vervolgens de gewenste aanvulperiode R*:

61


R = *

∑ ( KB +

i∈ M ∪ E

 h( pi + ∑ i∈ E 

i

∑

n∈U i

KA ⋅Ai ) 1  pn )( λ)  2 

(4.53)

Aan de hand van de gewenste stapgrootte ε, bijvoorbeeld dag, week of maand, kan R* worden afgerond. Indien deze naar beneden is afgerond dan zal de zoekrichting d in eerste instantie gelijk zijn aan +1 en anders aan -1. Deze zojuist gevonden aanvulperiode R*, de stapgrootte ε en de zoekrichting d zijn de startwaarden van het onderstaande algoritme. Kostenminimaliserende CAS voor N-echelon systemen 1. Initialiseren van de stapgrootte ε en TKoud=8 . 2. Bepaling van R met behulp van vergelijking (4.53). Vervolgens afronden naar de stapgrootte ε en bepaal de zoekrichting d. Roud= R. 3. Gebruik Algoritme 10 voor de bepaling van de besturingparameters Sei en qi voor alle vestigingen i in de distributieketen. 4. Berekening op basis van de in stap 3 gevonden besturingparameters de verwachte totale kosten H1(Se1,Ψ 1) met behulp van vergelijking (4.34), Noem deze TKnieuw. 5. § Indien TKnieuw< TKoud: Opslaan van de in stap 3 gevonden besturingparameters. Roud:= R; R:=R+d.ε; ga naar stap 3. § Indien TKnieuw> TKoud en Roud=R: d:=-d; R=R+d*ε; ga naar stap 3. § Anders: Stop. Hanteer Roud en de opgeslagen besturingparameters. Algoritme 12 –kostenminimaliserende CAS voor N-echelon systemen Met behulp van het bovenstaande algoritme kunnen de besturingparameters voor alle vestigingen in de distributieketen worden bepaald, zodanig dat de verwachte totale kosten minimaal zijn terwijl de eindafnemers naar verwachting aan het servicecriterium kunnen voldoen. De periodieke integrale besturing op basis van echelonvoorraden is getoetst met behulp van een simulatiemodel. Hierbij is gebruik gemaakt van het bovenstaand CAS algoritme voor N-echelon systemen. De resultaten hiervan zullen in hoofdstuk 5 aan bod komen. Zoals in de inleiding van dit hoofdstuk al is opgemerkt, is het ook mogelijk de besturingparameters voor de integrale periodieke besturing te bepalen zonder vooraf opgelegde servicecriteria. Dit kan door gebruikt te maken van tekortkosten en vervolgens de verwachte totale kosten in de distributieketen te minimaliseren. Deze kostenbenadering zal in de komende paragraaf aan bod komen.

62


4.4 Kostenbenadering In de voorgaande paragrafen zijn enkele methoden besproken voor de bepaling van de besturingparameters zodanig dat de eindafnemers naar verwachting precies aan hun servicecriterium zullen voldoen. In deze paragraaf gaan we er van uit dat er vooraf geen servicecriterium is opgelegd, maar dat een tekort gepaard gaat met kosten van nalevering. Doel is nu de besturingsparameters Se1,Ψ 1 te bepalen terwijl de totale kosten H1(Se1,Ψ 1) in de distributieketen worden geminimaliseerd. In Diks [1997] wordt aangetoond dat dit door middel van het decompositie algoritme, zoals deze te vinden is in Langenhoff & Zijm [1990] en Van Houtum & Zijm [1992], kan worden opgelost. Toepassing van het decompositie algoritme betekent dat eerst de besturingparameters voor de eindafnemers worden bepaald en vervolgens per schakel stroomopwaarts wordt gewerkt. In Diks [1997] wordt de volgende decompositie structuur uiteengezet: Decompositie aanpak 1. n:=1 2. • Initieer ψ i:=∅ voor alle vestigingen i∈ E • Bepaal het optimale aanvulniveau Sei per vestiging i∈ E 3. n:=n+1 4. Bepaal voor elke vestiging i∈ Wn: • De optimale allocatiefuncties {z j } j∈ Vi voor alle x • Ψ i := 5.

U

j∈Vi

( z j , S ej , Ψ j ) voor i∈ Wn

• Optimale aanvulniveau Sei Als n
63


vergelijkingen (4.25) en (4.26) voor de voorraadkosten aan het einde van een periode als volgt worden herschreven:

VK E = h( pi +

VK M = h( pi +

( )+ +

∑

pn ) J ti

∑

 pn ) J ti − 

n∈U i

n∈U i

(

T KN − J ti R

)

+

(4.54)

 Jtj  j∈Vi 

∑

(4.55)

Hiermee wijzigt vergelijking (4.31) voor de echelonvoorraadkosten van de eindafnemers:

  i + Rλ h( pi + ∑ pn ) ( J t ) + + 2   ∈ n U i EVK E = ∑   i∈ E T i + pn J ti   R KN (− J t ) − hn∑ ∈U i   i h ⋅pi ⋅J t +  ∑ i∈ E  h( pi + ∑  n∈U i 

T ( KN + h( pi + R pn )

Rλ 2

∑

n∈U i

  =    

(4.56)

 pn ))(− J ti )+ +      

Voor de verwachte totale kosten per periode T voor tussenhandel en eindafnemers kan nu worden geschreven:

  Rλ e h( p +  pn ) + h ⋅pi ( Si − ( Li + R)λi ) +  i n∑  2 ∈U i   T e   H i ( Si ) = ( KBi + KA ⋅Ai + KQi λi R) + R    ∞  T R + Li e ( KN + h( pi + ∑ pn ))  ∫(v − Si )dFi (v )   S e   R n∈U i i  

T  e h ⋅pi (Si − ( Li + R)λi ) + R ( KBi + KA ⋅Ai + KQi λi R ) +  e  H i ( Sie , Ψ i ) =  H j ( S j , Ψ j ) +   ∞  ∑  Li e e j∈Vi ∫ H j ( z j ( Si − u), Ψ j ) − H j ( S j , Ψ j ) dFi (u)    ∆    i

(

)

(4.57)

   (4.58)     

Ter illustratie zijn de kosten H1(Se1,Ψ 1) van een 2-echelon systeem voor verschillende Sei en R weergegeven in Figuur 17.

64


Figuur 17 –kosten per dag in 2-echelon als functie van Se en R (λi=10 pi=8 Li=1 Ai=50 i∈ V1, |V1|=5, p1=2, L1=2, A1=50, KA=1, KB=100, KQ=1, KN=4)

In Diks [1997] is tevens bewezen dat Hi(Sei,Ψ i) convex is in Sei, en strikts convex wanneer Fi(x) een strikt stijgende functie is voor x≥0. De optimale besturingparameters kunnen derhalve gevonden worden door de afgeleide van Hi(Sei,Ψ i) nul te stellen. Voordat het resultaat hiervan wordt gepresenteerd, introduceren we eerst de notatie αki(Sei). Hiermee wordt de kans aangeduid dat een eindafnemer k geen tekort heeft aan het einde van een aanvulcyclus indien de stroomopwaarts gelegen leverancier i een echelon aanvulniveau heeft ter grootte Sei. Voor een eindafnemer i is dit de kans dat er gedurende de levertijd Li en de aanvulperiode R meer dan Sei producten zullen worden gevraagd:

α ii ( Sie ) = Fi Li + R ( Sie ) Indien gebruikt gemaakt wordt van de lineaire allocatiefunctie (4.19) dan wordt de αki(Sei) gegeven door vergelijking (4.59). De afleiding en het bewijs van deze vergelijking is te vinden in Diks [1997].

 ( LK + R ) e ( Si ) i∈ E Fk  ∞ α ki ( Sie ) = ∫ α kj ( z j ( Sie − u ))dFi ( Li ) (u) i ∈ M , ∆i < 0 0  ∞ ∆  α kj ( z j ( Sie − u − ∆ i ))d Fi ( Li ) i (u) i ∈ M , ∆i ≥ 0 ∫ 0

(

(4.59)

)

De optimale besturingparameters worden gevonden door het differentiëren en nulstellen van de kostenfunctie. De afleiding is hiervan is te vinden in Bijlage 4. Het resultaat wordt gegeven door vergelijking (4.60).

65


T KN + h ∑ pn R n∈U i

α ki ( Sie ) = (

T KN + h( pi + R

∑

n∈U i

,

voor k∈ Ei

(4.60)

pn ))

waarbij α k ( Si ) wordt gegeven door vergelijking (4.59). i

e

Met behulp van een decompositie algoritme kunnen nu de besturingparameters per schakel in de keten worden bepaald. Het gebruikte algoritme is afkomstig uit Diks [1997] en is te vinden in Bijlage 5. De procedure ComputeLocalParameters is gebaseerd op het CAS algoritme welke reeds is beschreven in paragraaf 4.3.1. Zoals gezegd, kunnen de besturingparameters nu zodanig worden bepaald dat de verwachte totale kosten in de keten minimaal zijn. In deze kostenbenadering worden echter geen beperkingen opgelegd ten aanzien van de leverbetrouwbaarheid. Bij lage tekortkosten KN per product, zal er sprake zijn van een lage leverbetrouwbaarheid terwijl bij zeer hoge tekortkosten de verwachte leverbetrouwbaarheid zeer hoog zal zijn. In paragraaf 4.3 is de servicebenadering aan bod gekomen. Hierbij worden alle besturingparameters zodanig bepaald dat de eindafnemers naar verwachting precies aan hun servicecriterium kunnen voldoen. Combinatie van deze twee methoden schept een aantal nieuwe mogelijkheden. Ten eerste ontstaat de mogelijkheid bij de kostenbenadering toch rekening te houden met de servicecriteria. Ten tweede kan er een afweging worden gemaakt tussen de leverbetrouwbaarheid en de kosten die hiermee gepaard gaan. Indien we de besturingparameters willen bepalen op basis van tekortkosten, zodanig dat de verwachte kosten in de keten minimaal zijn, terwijl toch wordt voldaan aan een minimale leverbetrouwbaarheid dan gaan we daarbij als volgt te werk. Bepaal eerst de besturingparameters met het decompositie algoritme uit Bijlage 5. Gebruik deze besturingparameters en vergelijkingen (4.35) of (4.38) voor de bepaling van de verwachte leverbetrouwbaarheid bij de eindafnemers. Indien deze lager is dan de minimale leverbetrouwbaarheid gebruik dan het CAS algoritme uit paragraaf 4.3 voor de benadering van de besturingparameters. Deze besturingparameters zullen dan zodanig worden bepaald dat de eindafnemers naar verwachting precies zullen voldoen aan het servicecriterium. Op deze wijze kan een optimum worden bepaald waarbij rekening wordt gehouden met de tekortkosten en het servicecriterium. Bij de servicebenadering uit paragraaf 4.3 worden de besturingparameters altijd zodanig gekozen dat de verwachte leverbetrouwbaarheid precies voldoet aan het servicecriterium. De resulterende kosten bij deze besturing kunnen eenvoudig worden berekend met behulp van vergelijking (4.50). De besturingparameters die volgen uit het decompositie algoritme, zoals in deze paragraaf is besproken, zal mogelijk lagere kosten met zich meebrengen. Het verschil in kosten en leverbetrouwbaarheid tussen beiden methoden kan inzicht geven in de afweging tussen leverbetrouwbaarheid en de bijbehorende kosten. Hogere leverbetrouwbaarheid brengt namelijk hogere voorraadkosten met zich mee. Mogelijk kan de eindgebruikers een voordeel worden aangeboden indien deze vestiging een lagere leverbetrouwbaarheid hanteert. Een extreem voorbeeld hiervan is ‘ make-to-order’ . Hierbij worden de orders van de eindgebruikers niet langer meer direct uit voorraad geleverd, maar worden de orders op bestelling geproduceerd of getransporteerd. In dit hoofdstuk is de periodieke besturing aan bod gekomen. Eerst is de lokale toepassing besproken en vervolgens de integrale toepassing. Hierbij is onderscheid gemaakt tussen de servicebenadering en de kostenbenadering. In de servicebenadering zijn de besturingparameters zodanig bepaald dat de eindafnemers naar verwachting voldeden aan het servicecriterium. In de kostenbenadering is het servicecriterium buiten beschouwing gelaten en zijn de besturingparameters bepaald aan de hand van

66


tekortkosten. Zowel de periodieke als de continue besturing uit hoofdstuk 3 zullen worden getoetst door middel van een simulatiemodel. Bij de periodieke besturing zal in het simulatiemodel alleen gebruik worden gemaakt van de servicebenadering. De kostenbenadering zal achterwege worden gelaten omdat bij deze besturing geen restrictie aan de leverbetrouwbaarheid is opgelegd zodat de resultaten moeilijk vergeleken kunnen worden met die van andere besturingen. Dit simulatiemodel en de resultaten van de verschillende simulatieruns zullen in het volgende hoofdstuk worden gepresenteerd.

67

Simulatie

5 Simulatie In de voorgaande hoofdstukken zijn verschillende besturingen besproken voor het voorraadbeheer in distributieketens. Een precieze wiskundige analyse van de effecten van deze besturingen in verschillende distributieketens is echter zeer complex. In een distributieketen hebben we te maken met onzekerheid in de vraag en vele afhankelijkheden. Bij elke beslissing moet een afweging gemaakt worden tussen transportkosten, voorraadkosten en de leverbetrouwbaarheid. Door gebruik te maken van een simulatie kunnen de verschillende besturingen op eenvoudige wijze met elkaar worden vergeleken. Een simulatie maakt gebruik van een vereenvoudigde weergave van de werkelijkheid waarmee verschillende scenario’ s kunnen worden getoetst. Op deze wijze biedt een simulatie de mogelijkheid om de gevolgen van bepaalde veranderingen in een bedrijfsproces door te rekenen en te bestuderen. Op basis hiervan kan worden besloten om al dan niet actie te ondernemen, voordat er daadwerkelijk actie ondernomen wordt. Speciaal voor deze opdracht is een simulatiemodel ontwikkeld waarmee de effecten van verschillende besturingen in distributieketens kunnen worden onderzocht. De werking en structuur van het simulatiemodel zal in paragraaf 5.1 worden besproken. Vervolgens komen in paragraaf 5.2 de verschillende instellingen en besturingen die zijn gebruikt aan bod. Tenslotte zullen de simulatieresultaten in paragraaf 5.3 worden gepresenteerd.

5.1 Simulatieprogramma Om de functionaliteiten en de benodigde elementen van de simulatie te beschrijven, is gebruik gemaakt van de zogenaamde IDEF0 specificatiemethode. IDEF staat voor Integrated computer aided manufacturing DEFinition language. De IDEF0 techniek wordt gebruikt om complexe systemen op een grafische manier weer te geven. De IDEF0 specificatie voor het simulatiemodel is opgenomen in Bijlage 6. Naast het opstellen van de functionele specificaties voor het simulatiemodel is het ontwikkelde simulatiemodel ook functioneel getest. Deze functionele testgevallen zijn gebaseerd op de functionele specificaties, waarbij gecontroleerd is of alle functionaliteiten voldeden aan de verwachting. Het ontwikkelde simulatieprogramma bestaat uit een model voor distributieketens, verschillende besturingen waaruit gekozen kan worden en enkele software componenten die de simulatie mogelijk maken. We kunnen de volgende componenten onderscheiden: § § § § § § § §

EventController ModelUserInterface ParameterSettings Performance ControlRoom Batchrun ModelControl ProcessModel

In het onderdeel ModelControl zijn de verschillende besturingen van het simulatieprogramma opgenomen. Het onderdeel ProcessModel bestaat uit het model voor distributieketens. De verschillende componenten van het simulatiemodel zullen in de komende paragrafen stuk voor stuk worden behandeld.

68

Simulatie

5.1.1 EventController

De EventController is de eerste vereiste voor elke simulatie. Het is een soort klok die de verschillende gebeurtenissen gedurende een simulatierun coördineert en synchroniseert.

5.1.2 ModelUserInterface

In de ModelUserInterface kan de simulatie door de gebruiker worden ingesteld. Deze instellingen kunnen worden onderverdeeld in simulatie-, keten- en besturinginstellingen. Bij de simulatie-instellingen kan de totale simulatietijd en de opwarmtijd worden ingevoerd. Gedurende de opwarmtijd zal de simulatie wel gewoon lopen, er worden echter geen gegevens bijgehouden. Tevens kunnen batchruns worden ingesteld bij de simulatie-instellingen. Dit begrip zal in paragraaf 5.1.6 aan de orde komen. Bij de keteninstellingen kan de structuur van de distributieketen en de kosten worden ingesteld. Bij de ketenstructuur moet voor elke vestiging in de distributieketen de volgende gegevens worden ingevoerd: § § § § § § § §

Schakel Aantal afnemers Leverancier Transportafstand Transporttijd Orders per dag Waarde Bestelkosten

Overige parameters die moeten worden ingevoerd, zijn de voorraadkosten per geïnvesteerde euro per jaar, de transportkosten per kilometer en de transportkosten per onderdeel. Een extra mogelijkheid is te kiezen voor de verkorte ketenstructuur. Hierbij kunnen de vestigingparameters per hele schakel in de keten worden ingevoerd. Bij de besturinginstellingen kan gekozen worden uit de volgende besturingen: § § § § § §

Continu lokaal (CLF). Continu integraal op basis van fysieke voorraden (CIF). Continu integraal op basis van echelon voorraden (CIE). Periodiek lokaal (PLF). Periodiek integraal op basis van fysieke voorraden (PIF). Periodiek integraal op basis van echelonvoorraden (PIE).

Afhankelijk van de gekozen besturing zal bij het onderdeel ModelControl uit paragraaf 5.1.7 de besturingparameters worden bepaald. Bij elk van deze besturingen kan worden gekozen voor de zogenaamde Dynamische Control Update (DCU). De DCU is een zelflerend systeem dat bestaat uit een performance gedeelte en een leeralgoritme. Het performance subsysteem heeft als invoer het aantal orders dat direct uit voorraad is geleverd (DUin), het aantal orders dat uit de wachtrij is geleverd (DUout) en het aantal updates dat reeds is doorgevoerd (DUcount). Deze aantallen worden bijgehouden voor alle vestigingen in de keten die gebruik maken van de DCU. Het leeralgoritme bekijkt in hoeverre de huidige leverbetrouwbaarheid afwijkt van de gewenste leverbetrouwbaarheid. Aan de hand hiervan worden de besturingparameters bijgewerkt. In het geval van een continue besturing worden de bestelpunten s aangepast en in het geval van een periodieke besturing de aanvulniveaus S. De aanpassing gebeurt op de volgende wijze: Continue besturing:

sinieuw = si + Qi ( β T − βi )

Periodieke besturing:

Sinieuw = Si + Rλi ( β T − βi )

69

Simulatie

Nadat de besturingparameters van een specifieke vestiging zijn aangepast, worden de aantallen DUout en DUin in het performance gedeelte weer op nul gezet en wordt DUcount opgehoogd. De leverbetrouwbaarheid wordt steeds gemeten over een aantal aanvulperioden. Het aantal perioden van de meettijd is afhankelijk van het aantal doorgevoerde wijzigingen DUcount van een specifieke vestiging. Naarmate meer wijzigingen in de besturingparameters zijn doorgevoerd, zal de meettijd langer zijn. Op deze wijze worden snel goede besturingparameters gekozen en nemen de schommelingen in de loop der tijd af. Meer informatie over de werking van de DCU in het simulatiemodel zal aan bod komen bij ProcessModel in paragraaf 5.1.8.

5.1.3 ParameterSettings

In het onderdeel ParameterSettings zijn alle instellingen van het simulatiemodel te vinden. Deze instellingen kunnen allemaal worden gewijzigd via de ModelUserInterface.

5.1.4 Performance

In het onderdeel Performance worden alle resultaten van het simulatiemodel bijgehouden. De volgende resultaten worden hierin bijgehouden: § Voorraden: fysieke voorraad, echelonvoorraad, aantal producten in bestelling en het aantal orders in de wachtrij per vestiging. § Orders: aantal orders bij en van elke vestiging. § Transporten: aantal transporten, transporttijden en transportgrootte naar elke vestiging. § Leverbetrouwbaarheid: aantal orders direct uit voorraad geleverd, aantal via wachtrij en het aantal aanvulorders dat niet toereikend is gebleken voor het legen van de wachtrij. § Wachttijd: gemiddelde en totale wachttijd van bestellingen per vestiging. § Besturingen: de vooraf berekende besturingparameters en de door de DCU gewijzigde besturingparameters. § Voorraadkosten: voorraadkosten per vestiging § Dynamische besturing: het aantal keren dat de besturingparameters van een vestiging is aangepast en het aantal orders dat, na de laatste aanpassing van de besturingparameters van een specifieke vestiging, uit voorraad is geleverd (DUin) en het aantal orders dat via de wachtrij is geleverd (DUout). Na wijziging van de besturingparameters van een specifieke vestiging worden de DUin en DUout weer op nul gezet. § Voorraadplot: voor elke schakel in de keten wordt van een vestiging het voorraadverloop geplot. § Indicatoren: dagnummer, het aantal gemeten dagen, de totale voorraadkosten, de totale transportkosten, de totale kosten en de gemiddelde leverbetrouwbaarheid van eindafnemers.

5.1.5 ControlRoom

In de ControlRoom wordt de meest relevante data uit ParameterSettings en Performance overzichtelijk getoond. De resultaten die in paragraaf 5.3 zullen worden besproken zijn allemaal afkomstig uit de ControlRoom.

5.1.6 Batchrun

Bij de simulatierun kan worden gekozen voor een batchrun. Een batchrun bestaat uit meerdere runs die met verschillende seedvalues worden doorlopen. Seedvalues zijn reeksen random getallen die worden gebruikt voor de statistische verdelingen in het simulatiemodel. Door nu het simulatiemodel met specifieke instellingen met verschillende seedvalues te simuleren, wordt duidelijk hoe het model reageert op statistische fluctuaties. Op deze wijze kunnen betrouwbaarheidsintervallen worden opgesteld voor de uitkomsten.

70

Simulatie

5.1.7 ModelControl

In dit onderdeel zijn enkele besturingcomponenten voor het simulatiemodel onder gebracht. § Start: het starten van een nieuwe simulatierun. § NieuweDag: het starten van een nieuwe dag. Van de oude dag worden enkele relevante resultaten berekend, zoals de voorraad- en transportkosten. Indien gekozen is voor de periodieke besturing wordt aan het begin van de nieuwe dag de methode Periodiek aangeroepen. § Eind: indien de eindtijd is bereikt wordt de simulatie gestopt en de controlroom geopend. § Periodiek: bekeken wordt welke vestigingen vandaag moeten worden beleverd. § BuildModel: bij het starten van de simulatie worden de performance tabellen aangemaakt en startvoorraden gekozen. § BuildChain: aan de hand van de ingevoerde ketenstructuur wordt een model van de keten opgebouwd. § BuildControl: Afhankelijk van de gekozen besturing worden de besturingparameters bepaald. Tevens worden geschikte startwaarden voor de voorraden van de vestigingen gekozen.

5.1.8 ProcessModel

Bij het onderdeel ProcessModel vindt de eigenlijke simulatie van de distributieketen plaats. Hierbij onderschieden we twee verschillende stromen, de informatie- en materiaalstromen. De informatiestromen simuleren de bestellingen van klanten bij de eindafnemers en alle informatieuitwisseling die nodig is voor de besturing. De materiaalstromen simuleren de transporten binnen de distributieketen. Bij de opzet van het ProcessModel is rekening gehouden met de informatiestructuur, zoals deze is besproken in paragraaf 2.2.2. In Figuur 18 is een schematische voorstelling van het ProcessModel te zien.

Figuur 18 –ProcessModel

71

Simulatie

Bij Inkomende Orders worden de klantorders voor een hele dag gegenereerd volgens een vooraf gespecificeerde vraagverdeling. Deze orders worden vervolgens naar Besturing gestuurd. In de praktijk kan dit een bestelsysteem zijn, bijvoorbeeld via het Internet. Bij Besturing wordt gekeken welke actie er op de ingekomen order moet worden ondernomen. Indien de order direct uit voorraad kan worden geleverd, wordt deze order ingepland. Bij het inplannen van een order wordt direct de voorraad van de leverancier bijgewerkt en wordt de order naar Uitgaande Orders doorgestuurd. Als de order niet uit voorraad kan worden geleverd, wordt deze in de wachtrij geplaatst. Op het moment dat de voorraad van de betreffende vestiging wordt aangevuld, zullen de orders uit de wachtrij worden verwerkt. Indien gekozen is voor de continue besturing wordt gekeken of de voorraad van de betreffende vestiging is gedaald onder zijn bestelpunt. Wanneer dit het geval is, zal een aanvulorder worden geplaatst. Bij Uitgaande Orders stopt de informatie stroom die door deze order is veroorzaakt en wordt de werkelijke goederenstroom in de Distributieketen gestart. In het onderdeel Distributieketen vindt de simulatie van de transporten tussen de vestigingen in de distributieketen plaats. Van een bestelling wordt eerst gekeken of het een klantorder of een aanvulorder betreft. Dit gebeurt met de methode Vertrek. Een klantorder wordt direct aan de klant geleverd terwijl in geval van een aanvulorder een vrachtwagen wordt geplaatst bij de betreffende leverancier welke vervolgens vertrekt. Na een levertijd zal de vrachtwagen op zijn bestemming aankomen, hierop wordt de methode Aankomst aangeroepen. De voorraad van de betreffende afnemer wordt hierop direct opgehoogd en indien deze vestiging nog orders in de wachtrij heeft staan worden deze, zover mogelijk, opnieuw in behandeling genomen. Indien bij de besturing gekozen is voor de DCU bij deze vestiging zal de methode DCU worden gestart. Deze methode bekijkt of de leverbetrouwbaarheid gedurende voldoende perioden is bijgehouden. Indien dit het geval is en deze leverbetrouwbaarheid significant afwijkt van de gewenste leverbetrouwbaarheid zal de besturingparameter van deze vestiging worden bijgesteld op de wijze zoals reeds besproken is in paragraaf 5.1.2. Bij het aanbreken van een nieuwe dag wordt de methode NieuweDag aangeroepen, zoals is beschreven bij het onderdeel ModelControl. Hierop wordt het bovenstaande proces opnieuw doorlopen. Nu de werking van het simulatieprogramma is besproken, zijn we toegekomen aan de verschillende instellingen van de simulatie. Deze zullen in de komende paragraaf worden behandeld. De simulatieresultaten die bij deze instellingen horen, zullen in paragraaf 5.3 aan bod komen.

72

Simulatie

5.2 Instellingen In de simulatieruns is gebruik gemaakt van twee type distributieketens. De eerste is te vinden in Figuur 19. Deze distributieketen bestaat uit drie schakels, een beginafnemer, drie groothandels en twaalf eindafnemers. De groothandels hebben allemaal een verschillend aantal afnemers. 1

2

5

3

6

7

8

9

4

10

11

12

13

14

15

16

Figuur 19 –instellingen, keten 1 De tweede keten is te vinden in Figuur 20. Deze keten bestaat eveneens uit drie schakels, in totaal bevinden zich echter 25 vestigingen in deze distributieketen. Elke groothandel heeft nu 5 afnemers. 1

2

6

7

8

3

9

10

11

12

13

5

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Figuur 20 –instellingen, keten 2 In totaal zijn er 6 simulatie scenario’ s onderzocht. Een simulatie scenario bevat specifieke instellingen die gebruikt worden in de simulatieruns. Een kort overzicht van deze scenario’ s is te vinden in Tabel 5. Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3 Scenario 4 Scenario 5 Scenario 6

Keten 1; uitgangssituatie. Keten 1; uitgangssituatie, maar nu met toegevoegde waarde in de keten; dat wil zeggen een product aan het begin van de keten is goedkoper dan bij de eindafnemer. Keten 1; uitgangssituatie, maar nu met langere levertijden binnen de keten. Keten 2; uitgangssituatie. Keten 2; uitgangssituatie, maar nu met relatief lagere voorraadkosten en hogere transportkosten. Keten 2; uitgangssituatie, maar nu met minder klantorders. Tabel 5 –instellingen simulatieruns

73

Simulatie

De eerste drie scenario’ s worden doorlopen met de 6 besturingen uit paragraaf 5.1.2. Bij scenario 4, 5 en 6 is de lokale periodieke besturing (PLF) buiten beschouwing gelaten. De periodieke besturing is namelijk minder geschikt voor een lokale toepassing. Doordat de verschillende aanvulperioden niet op elkaar zijn afgestemd, zijn hogere veiligheidsvoorraden noodzakelijk om aan de gewenste leverbetrouwbaarheid te kunnen voldoen. Het doorlopen van een scenario met een specifieke besturing zal in het vervolg met simulatierun worden aangegeven. Echter, elke simulatierun bestaat weer uit een batch van 10 runs die doorlopen zijn met verschillende seedvalues (zie paragraaf 5.1.6). Op deze wijze kan voor de verschillende waarden een betrouwbaarheidsinterval worden opgesteld. In totaal zijn er dus 33 simulatieruns gedaan. Bij de instellingen van scenario 2 en 3 is slechts 1 onderdeel gewijzigd ten opzichte van de instellingen van scenario 1, dit geldt eveneens voor de verschillende scenario’ s bij Keten 2. Op deze wijze kunnen de resultaten op eenvoudige wijze met elkaar worden vergeleken. De precieze instellingen van de verschillende simulatie scenario’ s zijn te vinden in Bijlage 7. Zoals gezegd wordt elk scenario voor de verschillende besturingen doorlopen. Voor de bepaling van deze besturingparameters is gebruik gemaakt van de vergelijkingen en algoritmen zoals deze in dit verslag besproken zijn. In Tabel 6 is een overzicht te vinden van de verschillende methoden die gebruikt zijn voor de bepaling van de besturingparameters. PLF

Gekozen is voor een aanvulperiode Ri, waarmee alle afnemers van vestiging pre(i) zullen worden beleverd. De onderstaande vergelijking is gebaseerd op vergelijking (4.1).

  ( KA ⋅A j + KB j ) DJ , j Ri = ∑   pj   j∈Vl λ h KL +  j   2    

Si =  ( Ri + Li )λi   PIF

  , l = pre(i )    

De aanvulperiode R voor de gehele keten wordt bepaald met behulp van vergelijking (4.53) en vervolgens afgerond in gehele weken.

( R + Li )λi − (1 − β T ) Rλi , i ∈ E  Si =   ( R + Li )λi , i ∈ M Si qi = S pre (i ) PIE CLF

CIF CIE

De aanvulperiode R voor de gehele keten en de aanvulniveaus Sei en allocatiefracties qi per vestiging i in de distributieketen worden bepaald met behulp van Algoritme 12.

( KA ⋅Ai + KBi ) DJ ,i p  h KL + i  2  si =  Li λi  

Qi =

De bestelgroottes Qn per schakel n in de distributieketen worden bepaald met behulp van Algoritme 3. De bestelpunten si zijn bepaald met Algoritme 2. De bestelgroottes Qn per schakel n in de distributieketen worden bepaald met behulp van Algoritme 3. De bestelpunten sei zijn bepaald met behulp van Algoritme 2 en vergelijkingen (3.27) en (3.28). Tabel 6 –bepaling besturingparameters

74

Simulatie

Bij de lokale besturingen is altijd gekozen voor de dynamische besturingparameters (DCU). Immers, in de praktijk zal bij een lokale besturing iedere vestiging haar eigen besturingparameters keizen en deze bijstellen indien de leverbetrouwbaarheid teveel afwijkt van de gewenste leverbetrouwbaarheid. Bij de integrale besturingen is hier geen gebruik van gemaakt, maar zijn de besturingparameters vooraf berekend (zie Tabel 6) en gedurende de hele simulatieperiode gelijk gebleven. Op deze wijze kunnen de verschillende besturingen goed met elkaar worden vergeleken. In de komende paragraaf zullen de uitkomsten van de verschillende simulatieruns worden besproken.

5.3 Resultaten Om meer inzicht te verkrijgen in het voorraadverloop bij de verschillende besturingen zijn tijdens de simulatie enkele voorraadplots gemaakt. Van de eerste drie scenario’ s zijn de voorraadplots te vinden in Bijlage 8. In Figuur 21 zijn hiervan enkele opvallende details gepresenteerd. Voorraadniveau van de beginafnemer Schaal 1:1000 Voorraadniveau van 1 groothandel Schaal 1:500 Voorraadniveau van 1 eindafnemer Schaal 1:100

Bestelpunt/Aanvulniveau beginafnemer Schaal 1:1000 Bestelpunt/Aanvulniveau groothandel Schaal 1:500 Bestelpunt/Aanvulniveau eindafnemer Schaal 1:100

(a) PLF-besturing

(b) PIF-besturing

(c) PIE-besturing

(d) CLF-besturing

(e) CIF-besturing

(f) CIE-besturing

Figuur 21 –details voorraadverloop Bij de lokaal periodieke besturing zijn zeer hoge veiligheidsvoorraden nodig. Dit is te zien in Figuur 21a waar vlak voor binnenkomst van de aanvulorder bij de eindafnemer nog een grote voorraad aanwezig is. Bij de integraal periodieke besturing uit Figuur 21b zijn de aanvulperioden op elkaar afgestemd, zodat de tussenhandel een aanvulorder direct kan doorsturen naar zijn afnemers. Om te kunnen voldoen aan de leverbetrouwbaarheid zijn deze aanvulorders vaak groter dan beslist noodzakelijk. Dit is te zien aan de voorraad die achterblijft na uitlevering van de aanvulorders aan de afnemers. Bij de echelonbesturing van Figuur 21c is dit niet langer het geval. De besturing gebeurt nu namelijk op basis van echelonvoorraden, waardoor goed kan worden geraamd hoeveel

75

Simulatie

voorraad er nodig is in de keten. Een aanvulorder die bij de tussenhandel aankomt is bijna volledig nodig om de echelonvoorraden van de afnemers aan te vullen. Hierdoor worden de voorraden in de tussenhandel tot een minimum gereduceerd. Bij de continue besturing op basis van echelonvoorraden (Figuur 21f) is te zien dat de voorraadniveaus duidelijk lager zijn dan bij de lokale continue besturing uit Figuur 21d. Ook bij de integrale continue besturing op basis van fysieke voorraden (Figuur 21e) zijn grotere veiligheidsvoorraden nodig dan bij de echelonbesturing. Dit wordt veroorzaakt doordat bij de continue echelonbesturing een aanvulorder binnenkomt op het moment waarop deze ook daadwerkelijk nodig is. De verwachting is dan ook dat de echelonbesturingen, voor zowel de periodieke als de continue bestelmogelijkheid, grote kostenbesparingen met zich mee brengen. We zullen nu verder ingaan op de effecten van de verschillende besturingen. In Tabel 7 is een overzicht te vinden van de meest relevante simulatieresultaten. Hierin staat LB voor de gemiddelde leverbetrouwbaarheid van eindafnemers, KV voor de totale voorraadkosten, KT voor de totale transportkosten, TK voor de totale kosten, AT voor het totaal aantal transporten en GV voor de gemiddelde voorraad in de gehele keten per dag.

Scenario 1 LB KV KT TK AT GV Scenario 2 LB KV KT TK AT GV Scenario 3 LB KV KT TK AT GV Scenario 4 LB KV KT TK AT GV Scenario 5 LB KV KT TK AT GV Scenario 6 LB KV KT TK AT GV

PLF 94,1 313.601 251.426 565.026 628 7.465 94,48 205.131 191.043 396.173 576 10.539 94,1 323.632 249.694 573.326 627 7.664

PIF 96,03 102.457 252.993 355.449 576 2.278 96,09 152.287 144.263 296.549 288 3.776 96,07 145.152 252.991 398.142 576 3.322 95,99 245.561 345.583 591.144 900 5.622 95,99 87.701 398.863 486.563 900 5.622 96,05 133.686 277.809 411.494 780 3.038

PIE 96,11 70.221 252.984 323.204 576 1.465 96,16 142.004 144.245 286.249 288 2.966 96,08 75.183 252.983 328.166 576 1.569 95,96 126.083 345.572 471.655 900 2.631 95,96 45.030 398.852 443.881 900 2.631 96,17 74.730 277.802 352.531 780 1.560

CLF 96,19 273.057 247.460 520.517 609 6.486 96,19 175.317 192.290 367.607 564 9.069 96,2 277.471 247.774 525.244 610 6.588 95,92 387.587 380.831 768.417 1.002 9.104 95,98 251.253 268.794 520.046 535 16.497 96,04 270.560 255.903 526.462 705 6.352

CIF 96,11 242.110 295.517 537.627 642 5.657 96,06 177.967 202.425 380.392 569 9.148 96,02 224.542 272.876 497.417 631 5.255 95,92 319.356 424.509 743.865 1.050 7.430 96,11 222.343 288.481 510.823 555 14.434 96,13 248.743 286.947 535.689 735 5.823

CIE 95,96 180.747 298.478 479.224 668 4.178 96,05 155.936 202.903 358.838 570 7.428 95,96 189.011 272.299 461.309 631 4.391 95,94 259.303 424.190 683.492 1.050 5.923 95,94 171.293 288.820 460.113 555 10.902 96,09 188.049 286.863 474.911 737 4.315

Tabel 7 –resultaten simulatieruns

76

Simulatie

In Tabel 7 is te zien dat bij de lokale periodieke besturing niet wordt voldaan aan het vooraf ingestelde servicecriterium van 96% leverbetrouwbaarheid. Dit wordt veroorzaakt doordat de verschillende aanvulperioden binnen de keten niet op elkaar zijn afgestemd. Hierdoor verschuiven de aanvulperioden ten opzichte van elkaar waardoor onverwachte effecten kunnen optreden. Bij elk van de andere besturingen ligt de leverbetrouwbaarheid wel rond het servicecriterium. Verder zien we dat de voorraadkosten en daarmee ook de gemiddelde voorraden, voor de verschillende besturingen bij een gegeven simulatie scenario behoorlijk verschillen. In Figuur 22 zijn de gemiddelde voorraden bij de verschillende simulatie scenario’ s overzichtelijk in beeld gebracht.

Figuur 22 –gemiddelde voorraden bij verschillende besturingen De relatieve verschillen tussen de verschillende besturingen zijn te vinden in Tabel 8. Hierin staat PIF-PIE voor de procentuele verandering van PIE ten opzichte van PIF, deze notatie is ook voor de andere kolommen gebruikt. Vooral interessant zijn de rijen GV waar de relatieve voorraadreductie is te vinden door de besturing te baseren op de echelonvoorraden. In Tabel 8 is te zien dat bij een integrale periodieke besturing de voorraadreductie kan oplopen tot 53% wanneer de beslissingen worden genomen op basis van echelonvoorraden. Bij de continue besturing kan deze voorraadreductie oplopen tot 35% ten opzichte van de gebruikelijke lokaal continue besturing. Dit zou in de praktijk forse besparingen kunnen opleveren. Het is nu interessant de resultaten uit Tabel 8 eens nader onder de loep te nemen.

77

Simulatie

In de eerste plaats beschouwen we de periodieke besturing. Het aantal transporten bij een integrale periodieke besturing op basis van echelonvoorraden (PIE) blijft ongewijzigd ten opzichte van de integrale besturing op basis van fysieke voorraden (PIF). Ook de verandering in de transportkosten zijn bij alle scenario’ s gering terwijl de voorraadkosten enorm worden gereduceerd. Deze reductie kan oplopen tot bijna 50%. De daling van de gemiddelde voorraden is echter groter dan de daling van de voorraadkosten. Dit wordt veroorzaakt doordat de waarde van een product niet gelijk is in de gehele keten. Vooral bij scenario 2 is er een groot verschil tussen de daling van de voorraadkosten en de daling van de gemiddelde voorraad. Bij scenario 2 is immers de waarde van het product aanmerkelijk lager in de schakels 1 en 2. Een ander opvallend punt is dat bij een keten met langere levertijden (scenario 3) grotere voordelen optreden. Langere levertijden impliceren immers hogere veiligheidsvoorraden, zodat het gebruik van een echelonbesturing meer wenselijk zal zijn.

Scenario 1 TK AT GV Scenario 2 TK AT GV Scenario 3 TK AT GV Scenario 4 TK AT GV Scenario 5 TK AT GV Scenario 6 TK AT GV

PIF-PIE -9,07 0,00 -35,69 -3,47 0,00 -21,45 -17,58 0,00 -52,77 -20,21 0,00 -53,20 -8,77 0,00 -53,20 -14,33 0,00 -48,65

CLF-CIE -7,93 9,69 -35,58 -2,39 1,06 -18,09 -12,17 3,44 -33,35 -11,05 4,79 -34,94 -11,52 3,74 -33,92 -9,79 4,54 -32,07

CIF-CIE -10,86 4,05 -26,14 -5,67 0,18 -18,80 -7,26 0,00 -16,44 -8,12 0,00 -20,28 -9,93 0,00 -24,47 -11,35 0,27 -25,90

Tabel 8 –relatieve verschillen Vervolgens worden de continue besturingen beschouwd. De integrale continue besturing op basis van echelonvoorraden (CIE) resulteert in lagere voorraadkosten in vergelijking met zowel de lokaal continue besturing (CLF) als de integraal continue besturing op basis van fysieke voorraad (CIF). Echter, wat opvalt is dat transportkosten bij de CIE besturing hoger zijn dan bij de CLF besturing. Dit wordt veroorzaakt door het feit dat bij de lokale besturing elke afnemer zijn bestelgrootte zodanig kiest dat de transportkosten minimaal zijn, terwijl hier bij de integrale besturing beperkingen in zijn aangebracht. Bij de integrale continue besturing worden de bestelgroottes immers per schakel in de keten gekozen en zal elke vestiging zelf altijd een veelvoud van de bestelgrootte van zijn afnemers bestellen. Bekijken we de verandering van CLF naar CIE besturing dat zien we dat de voorraadreductie van de verschillende runs bij deze besturingen vrijwel gelijk is. Alleen bij scenario 2, waarbij sprake is van een sterke waardetoevoeging, is de voorraadreductie beduidend minder. Bij de verandering van CIF naar CIE besturing zien we grotere verschillen. In vergelijking met de andere besturingen is er een relatief lage voorraadreductie bij scenario 3. Dit wordt veroorzaakt doordat bij verandering van besturing van CLF naar CIF de voorraad al behoorlijk wordt gereduceerd. Het aantal transporten bij de CIE besturing is ongeveer gelijk aan die bij de CIF besturing. Ook het verschil tussen de transportkosten van deze besturingen is gering (maximaal 1%). De daling van de gemiddelde voorraad ligt echter tussen de 16% en 26%. Dergelijke

78

Simulatie

voorraadreducties bij vrijwel gelijkblijvend aantal transporten zullen invloed hebben op de totale kosten. Bij de verandering van CIF naar CIE liggen deze besparingen rond de 9%. Over het algemeen kunnen we aan de hand van Tabel 8 concluderen dat door toepassing van een echelonbesturing de voorraad aanzienlijk kan worden gereduceerd. Voor de periodieke integrale echelonbesturing in het simulatiemodel betekent dit een reductie van 20% tot 50% ten opzichte van de periodieke integrale besturing op basis van fysieke voorraden. De continue integrale echelonbesturing leidt tot een reductie van 20% tot 30% ten opzichte van de gebruikelijke lokale continue besturingen. Voorraadreducties in deze orde van grootte zullen een enorme impact hebben op de kosten in distributieketens. We hebben gezien dat bij het toepassen van een echelonbesturing het aantal transporten nagenoeg gelijk blijft terwijl de voorraden enorm worden gereduceerd. Onafhankelijk van de hier gekozen kosten in de distributieketen kan derhalve worden geconcludeerd dat echelonbesturingen tot enorme voorraadreducties zullen leiden. De conclusies die uit dit onderzoek kunnen worden getrokken, zullen in het komende hoofdstuk aan bod komen.

79

Conclusies en aanbevelingen

6 Conclusies en aanbevelingen In dit hoofdstuk zullen conclusies worden getrokken die betrekking hebben op de gevonden resultaten in hoofdstuk 5 en op de besproken besturingen. Na de conclusies volgen enkele aanbevelingen voor verder onderzoek. Doel van dit onderzoek is het ontwerp van efficiënte integrale besturingen voor divergente multi-echelon distributieketens zodanig dat de kosten worden geminimaliseerd terwijl aan de servicecriteria ten aanzien van de leverbetrouwbaarheid kan worden voldaan. We hebben gezien dat een besturing zowel lokaal als integraal kan worden toegepast. Bij een lokale besturing bepaalt iedere vestiging, door het plaatsen van bestellingen, in principe zelf wanneer en in welke hoeveelheden de producten worden geleverd. Indien informatie-uitwisseling plaatsvindt, kan een integrale besturing worden gebruikt. Bij een integrale besturing optimaliseren de individuele vestigingen niet langer hun eigen besturingparameters, maar wordt de keten in zijn geheel beschouwd. Hierdoor kunnen voordelen voor alle partijen optreden. Bij een integrale besturing is het mogelijk de beslissingen niet langer te baseren op de fysieke voorraden, maar op de zogenaamde echelonvoorraden. De echelonvoorraad van een vestiging bestaat uit zijn lokaal aanwezige voorraad plus de voorraden in alle stroomafwaarts gelegen voorraadpunten, die door deze vestiging worden beleverd en de pijplijnvoorraden hiertussen. Naast het onderscheid tussen lokale en integrale besturingen is er ook onderscheid gemaakt tussen de continue en de periodieke besturingen. Meest gebruikelijke continue besturing is de (s,Q) besturing. Hierbij wordt door een vestiging een bestelling geplaatst ter grootte Q op het moment dat zijn voorraad daalt onder het niveau s. Bij de integrale toepassing van de continue besturing worden de bestelgroottes van alle vestigingen zodanig op elkaar afgestemd dat iedere vestiging altijd een veelvoud besteld van zijn afnemers. Bij de integrale continue besturing op basis van echelonvoorraden worden de bestelpunten s vervangen door echelonbestelpunten. Dit wil zeggen dat voor een individuele vestiging een aanvulorder wordt geplaatst op het moment dat zijn echelonvoorraad daalt onder het echelonbestelpunt se. Voor de bepaling van deze bestelpunten is het SLA algoritme ontwikkeld. Hiermee kunnen de bestelpunten en stockout kansen voor alle vestigingen in de distributieketen worden bepaald, zodanig dat de eindafnemers voldoen aan het servicecriterium. Voor de periodieke besturing is het (R,S) model gebruikt. Hierin wordt eens per aanvulperiode R de voorraadpositie van een vestiging tot het aanvulniveau S aangevuld. Bij de integrale periodieke besturing is gekozen voor één aanvulperiode voor de gehele keten. De voorraden van de tussenhandel zullen hierdoor aanzienlijk worden verminderd, omdat zij hoofdzakelijk een doorgeeffunctie vervullen. De integrale periodieke besturing op basis van echelonvoorraden maakt gebruik van de echelon aanvulniveaus. Hierbij wordt eens per aanvulperiode R de echelonvoorraad van een vestiging opgehoogd tot het echelonaanvulniveau Se. Kenmerkend voor de periodieke besturing is de bepaling van alle aanvulniveaus en de daarbij behorende allocatiefracties. Deze worden zo gekozen dat alle eindgebruikers voldoen aan een vooraf vastgestelde leverbetrouwbaarheid. Hiervoor zijn twee type algoritmen ontwikkeld. Ten eerste is in De Kok, Lagodimos & Seidel [1994] de CAS besturing gepresenteerd. Daarnaast is in Van der Heijden [1997] de BS besturing geïntroduceerd. Er zijn, voor de bepaling van de besturingparameters, verschillende uitbreidingen op deze algoritmen ontwikkelt. In dit onderzoek is gebruik gemaakt van het CAS algoritme voor N-echelon systemen uit Diks [1997]. Hierbij wordt de aanvulperiode zodanig gekozen dat de verwachte kosten minimaal zijn terwijl de aanvulniveaus zo worden gekozen dat de eindafnemers naar verwachting precies aan het servicecriterium kunnen voldoen. Een andere mogelijkheid is in plaats van een restrictie op te leggen ten aanzien van de leverbetrouwbaarheid, kosten in rekening te brengen als een bestelling bij

80

Conclusies en aanbevelingen

een eindafnemer niet direct uit voorraad kan worden geleverd. Deze methode is in paragraaf 4.4 aan bod gekomen. Verwacht wordt dat een echelonbesturing in de praktijk tot enorme voordelen zal leiden. Dit geldt voor zowel de periodieke als de continue echelonbesturing. Bij de periodieke echelonbesturing kunnen de voorraden van de tussenhandel mogelijk zelfs tot nul worden teruggebracht. De bovenstaande besturingen zijn getoetst door middel van een simulatiemodel. De resultaten hiervan waren zeer positief in die zin dat ze de bovenstaande beweringen onderstrepen. In het simulatiemodel is aangetoond dat bij een integrale periodieke besturing de voorraadreductie kan oplopen tot 53% wanneer de beslissingen worden genomen op basis van echelonvoorraden. Bij de continue besturing kan deze voorraadreductie oplopen tot 35%. Omdat het aantal transporten bij het toepassen van een echelonbesturing nagenoeg gelijk blijft, terwijl de voorraden enorm worden gereduceerd, zou dit in de praktijk forse besparingen kunnen opleveren. Een belangrijke les die hieruit kan worden geleerd is dat door de keten in zijn geheel te beschouwen voor alle partijen voordelen kunnen worden behaald. De beschikbaarheid van informatie is hierbij echter noodzaak. Door de opkomst van de informatie- en communicatietechnologie is dit nu ook mogelijk. In hoofdstuk 2 is een informatiesysteem besproken waarbij de besturing van de keten gebeurt door middel van een ketenregisseur. In het simulatiemodel is gekozen voor dezelfde structuur door het scheiden van de informatie- en goederenstromen. De besturing van het simulatiemodel kan hiermee direct worden geïmplementeerd in een praktijksituatie. Voor verbetering kan echter nog een aantal aanbevelingen worden gedaan. De conclusies die op basis van de simulatieresultaten zijn getrokken, berusten op een relatief kleine datahoeveelheid. Aanbevolen wordt om het simulatiemodel met meer verschillende instellingen te doorlopen. Voor een praktische toepassing van de besturing is het verstandig eerst een dataonderzoek te verrichten en de resultaten hiervan vervolgens te gebruiken in het simulatiemodel. Verder is er in dit onderzoek geen rekening gehouden met verschillende producttypen. Het is aan te bevelen het model uit te breiden voor meerdere producttypen, zodat het beter aansluit op de praktijk. Daarnaast zijn we uitgegaan van een stochastische vraag waarvan de verwachting vooraf bekend is. Hierdoor is het model niet geschikt voor vraagfluctuaties door bijvoorbeeld seizoensinvloeden. De besturing zal dan ook moeten worden aangepast, zodat deze reageert op een verandering in de vraag. Naast deze praktische aanbevelingen voor een verbetering van het model is ook verder onderzoek nodig naar de integrale continue besturing. Over de continue besturingen van multi-echelonvoorraden is zeer weinig literatuur beschikbaar. In de gevonden literatuur over continue besturingen worden alleen modellen voor 2-echelon of seriële multiechelon systemen besproken. In dit onderzoek is echter wel aangetoond dat ook bij een continue besturing voordelen kunnen worden behaald door rekening te houden met de echelonvoorraden. Er zal dan ook verder onderzoek nodig zijn voor de continue besturing van divergente multi-echelon systemen.

81

Literatuurlijst

7 Literatuurlijst De onderstaande lijst met titelbeschrijvingen bestaat uit alle literatuur die voor dit afstudeeronderzoek is gebruikt. De lijst is alfabetisch gesorteerd op de achternaam van de (belangrijkste) auteur. 1. Ahire, S.L. & Schmidt, C.P. (1996). A model for a Mixed Continuous-Periodic Review One-Warehouse, N-Retailer inventory system. European Journal of Operational Research 92, nr. 1, pp. 69-82. 2. Axsäter, S. (1993). Exact and approximate evaluation of batch-ordering policies for two-level inventory systems. Operations research 41, nr. 4, pp. 777-785. 3. Axsäter, S. & Rosling, K. (1993). Notes: Installation vs. echelon stock policies for multilevel inventory control. Management Science 39, nr. 10, pp. 1274-1280. 4. Bodt, M.A. de & Graves, S.C. (1985). Continuous-review policies for a multi-echelon inventory problem with stochastic demand. Management Science 31, nr. 10, pp. 1286-1299. 5. Chen, F. (1998). Echelon Reorder Points, Installation Reorder Points, and the Value of Centralized Demand Information. Management Science 44, nr. 12, pp. 221-234. 6. Chen, F. & Zheng, YS. (1997). One-Warehouse Multiretailer Systems with Centralized Stock Information. Operations research 45, nr. 2, pp. 275-287. 7. Chew, E.P. & Johnson, L.A. (1996). Service level approximations for multiechelon inventory systems. European Journal of Operational Research 91, pp. 440-455. 8. Clark, A. & Scarf, H. (1960). Optimal policies for a multi-echelon inventory problem. Management Science 6, pp.475-490. 9. Deuermeyer, B.L. & Schwarz, L.B. (1981). A Model for the Analysis of System Service Level in Warehouse/ Retailer Distribution Systems: The Identical Retailer Case. Management Science 16, pp. 163-193. 10. Diks, E.B. (1997). Controlling divergent multi-echelon systems. Eindhoven: Eindhoven University of Technology. 11. Diks, E.B. & Heijden, M.C. van der (1996). Modeling stochastic lead times in multiechelon systems. Working paper, Universiteit Twente, Enschede. 12. Diks, E.B. & Kok, A.G. de (1996). Controlling a divergent 2-echelon network with transhipments using the consistent appropriate share rationing policy. International Journal of Production Economics 45, nr. 1-3, pp. 369-379. 13. Diks, E.B. & Kok, A.G. de (1999). Computational results for the control of a divergent N-echelon inventory system. International Journal of Production Economics 59, nr. 13, pp. 327-336. 14. Donselaar, K. van (1990). Integral stock norms in divergent systems with lot-sizes. European Journal of Operational Research 45, pp. 70-84. 15. Eppen, G. & Schrage, L. (1981). Centralized ordering policies in a multi-warehouse system with lead times and random demand. Management Science 16, pp. 51-67. 16. Federgruen, A. (1993). Centralized planning models for multi-echelon inventory systems under uncertainty. In Graves, A.H.G., Kan, R. & Zipkin, P.H. (eds.). Logistics of production and inventory, Handbooks in Operations Research and Management Science 4. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V. pp. 133-173. 17. Federgruen, A. & Zipkin, P. (1984). Approximations of dynamic, multilocation production and inventory problems. Management Science 30, pp. 69-84. 18. Hadley, G. & Whitin, T.M. (1963). Analysis of Inventory Systems. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. 19. Heijden, M.C. van der (1995). Supply rationing in multi-echelon divergent systems. Working paper, Universiteit Twente, Enschede. 20. Heijden, M.C. van der, Diks, E.B. & Kok, A.G. de (1996). Stock allocation in general multi-echelon distribution systems with (R, S) order-up-to policies. Working paper, Universiteit Twente, Enschede.

82

Literatuurlijst

21. Houtum, G.J. van & Zijm, W.H.M. (1992). Theoretische en numerieke analyse van multi-echelon voorraadsystemen met distributiestruktuur. Working paper, Eindhoven University of Technology, Faculty of mathematics and Computing Science, Eindhoven. 22. Kok, A.G. De (1990). Hierarchical production planning for consumer goods. European Journal of Operational Research 45, pp. 55-69. 23. Kok, A.G. De (1994). Multi-echelon order-up-to-policy systems with service-level constraints; performance and optimization, 8th ISIR conference, Budapest, Hungary. 24. Kok, A.G. De, Lagodimos, A.G. & Seidel, H.P. (1994). Stock allocation in a twoechelon distribution network under service-constraints. Department of Industrial Engineering and Management Science, Eindhoven University of Technology. 25. Langenhoff, L.J.G. & Zijm, W.H.M. (1990). An analytical theory of multi-echelon production/ distribution systems. Statistica Neerlandica 44, pp. 149-174. 26. Mes, M.R.K. (2001). Optimalisatie van distributieketens. Stageverslag, Universiteit Twente, Enschede. 27. Mes, M.R.K. (2002). Optimale besturing van multi-echelon voorraden. Literatuurverslag, Universiteit Twente, Enschede. 28. Minner, S. (2000). Strategic Safety Stocks in Supply Chains. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Berlin: Springer. 29. Nambisan, S. (2000). EC and Supply Chain Management: Towards Cross-Industry Supply Chains. Electronic Markets 10, nr. 3, pp. 197-202. 30. Schwarz, L.B., Deuermeyer, B.L. & Badinelli, R.D. (1985). Fill-Rate Optimization in a One-Warehouse N-Identical Retailer Distribution System. Management Science 31, nr. 4, pp. 488-498. 31. Silver, E.A. & Peterson, R. (1985). Decision Systems for Inventory Management and Production Planning. New York: John Wiley and Sons. 32. Svoronos, A. & Zipkin P. (1988). Estimating the performance of multi-level inventory systems. Operations research 36, nr. 1, pp. 57-72. 33. Tersine, R.J. (1994). Principles of inventory and materials management. 4. New Jersey: Prentice-Hall. 34. Veen, J.A.A. van der & Robben, H.S.J. (1999). Demand & Supply Chain Management. Breukelen: Nyenrode University Press 1999. 35. Verrijdt, J.H.C.M. & Kok, A.G. de (1995). Distribution planning for a divergent Nechelon network without intermediate stocks under service restrictions. International Journal of Production Economics 38, pp. 225-243. 36. Verrijdt, J.H.C.M. & Kok, A.G. de (1996). Distribution planning for a divergent depotless two-echelon network under service restrictions. International Journal of Production Economics 89, pp. 341-354. 37. Woods, J.A. & Marien, E.J. (2001). The Supply Chain Yearbook. 2001 Edition. New York: McGraw-Hill.

83

Tabellen, figuren en algoritmen

8 Tabellen, figuren en algoritmen Gebruikte figuren:

Figuur 1 –voorbeeld distributieketen ........................................................................... 9 Figuur 2 –distributieketen modellen ............................................................................ 9 Figuur 3 –informatiestructuur ................................................................................... 13 Figuur 4 –echelonvoorraden ..................................................................................... 14 Figuur 5 –voorbeeldketen......................................................................................... 17 Figuur 6 –voorraadverloop (s,Q) besturing................................................................. 19 Figuur 7 –distributieketen 4-echelon ......................................................................... 23 Figuur 8 –verwachte tekort....................................................................................... 25 Figuur 9 –distributieketen 2-echelon ......................................................................... 27 Figuur 10 –distributieketen 3-echelon ....................................................................... 30 Figuur 11 –voorraadverloop lokale (R,S) besturing ..................................................... 39 Figuur 12 –voorraadverloop 1 (R,S) besturing ............................................................ 41 Figuur 13 –voorraadverloop 2 (R,S) besturing ............................................................ 41 Figuur 14 –jaarlijkse kosten als functie van S en R ...................................................... 43 Figuur 15 –jaarlijkse kosten als functie van S.............................................................. 44 Figuur 16 –echelonkosten per jaar als functie van Se en R ........................................... 51 Figuur 17 –kosten per dag in 2-echelon als functie van Se en R ................................... 65 Figuur 18 –ProcessModel ......................................................................................... 71 Figuur 19 –instellingen, keten 1................................................................................ 73 Figuur 20 –instellingen, keten 2................................................................................ 73 Figuur 21 –details voorraadverloop ........................................................................... 75 Figuur 22 –gemiddelde voorraden bij verschillende besturingen ................................. 77

Gebruikte tabellen:

Tabel 1 –overzicht besturingmogelijkheden ............................................................... 15 Tabel 2 –overzicht symbolen..................................................................................... 18 Tabel 3 –verwachting en variantie............................................................................. 29 Tabel 4 –vergelijking leverbetrouwbaarheid ............................................................... 36 Tabel 5 –instellingen simulatieruns............................................................................ 73 Tabel 6 –bepaling besturingparameters..................................................................... 74 Tabel 7 –resultaten simulatieruns .............................................................................. 76 Tabel 8 –relatieve verschillen..................................................................................... 78

Gebruikte algoritmen:

Algoritme 1 –SLA..................................................................................................... 26 Algoritme 2 –toepassing SLA .................................................................................... 33 Algoritme 3 –bepaling bestelgroottes........................................................................ 35 Algoritme 4 –CAS1 .................................................................................................. 54 Algoritme 5 –CAS2 .................................................................................................. 55 Algoritme 6 –CAS3 .................................................................................................. 55 Algoritme 7 –CAS4 .................................................................................................. 56 Algoritme 8 –ACAS .................................................................................................. 57 Algoritme 9 –BS1..................................................................................................... 58 Algoritme 10 –CAS voor N-echelon systemen ............................................................ 59 Algoritme 11 –BS voor N-echelon systemen............................................................... 60 Algoritme 12 –kostenminimaliserende CAS voor N-echelon systemen.......................... 62 Algoritme 13 –decompositie aanpak......................................................................... 63

84

Bijlage 1 –Vraagverdeling groothandel

Bijlage 2 –Simulatieresultaten 3-echelon systeem Instellingen Run 1 Q1 6000 L1 25 s1 2 Run 2 Q1 6000 L1 25 s1 3 Run 3 Q1 6000 L1 25 s1 4 Run 4 Q1 32000 L1 48 s1 2 Run 5 Q1 32000 L1 48 s1 3

? =25 Q2 600 L2 14 s2 1 ? =25 Q2 600 L2 14 s2 2 ? =25 Q2 600 L2 14 s2 3 ? =50 Q2 1600 L2 21 s2 1 ? =50 Q2 1600 L2 21 s2 2

Q3 60 L3 8 s3 7

Q3 60 L3 8 s3 8

Q3 60 L3 8 s3 9

Q3 80 L3 15 s3 30

Q3 80 L3 15 s3 30

Simulatie

Calculatie

Verschil

FR1

0.936

0.932

-0,43 %

E1 VAR1 FR2 E2 VAR2 FR3

2.37 1.12 0.911 1.75 1.16 0.960

2.43 1.42 0.908 1.80 1.21 0.958

FR1

0.977

0.979


2.35 1.25 0.969 1.71 1.13 0.976

2.43 1.42 0.972 1.73 1.15 0.975

FR1

0.996

0.996


2.38 1.28 0.993 1.70 1.12 0.985

2.43 1.42 0.995 1.71 1.14 0.985

FR1

0.920

0.925


3.54 1.05 0.848 4.04 1.55 0.926

3.50 1.05 0.842 4.16 1.43 0.924

FR1

0.958

0.967


3.82 1.05 0.905 3.88 1.37 0.948

3.50 1.05 0.901 3.97 1.37 0.939

-0,33 %

-0,21 % 0,20 %

0,31 %

-0,10 % 0,00 %

0,20 %

0,00 % 0,54 %

-0,71 %

-0,22 % 0,94 %

-0,44 %

-0,95 %

Instellingen Run 6 Q1 32000 L1 48 s1 4 Run 7 Q1 42000 L1 72 s1 3 Run 8 Q1 42000 L1 144 s1 3 Run 9 Q1 42000 L1 144 s1 4 Run 10 Q1 4000 L1 96 s1 5 Run 11 Q1 75600 L1 25 s1 1

? =50 Q2 1600 L2 21 s2 3 ? =75 Q2 3000 L2 24 s2 2 ? =30 Q2 3000 L2 84 s2 4 ? =30 Q2 3000 L2 84 s2 5 ? =10 Q2 400 L2 48 s2 3 ? =50 Q2 5400 L2 14 s2 1

Q3 80 L3 15 s3 30

Q3 200 L3 12 s3 25

Q3 200 L3 48 s3 60

Q3 200 L3 48 s3 60

Q3 50 L3 24 s3 10

Q3 300 L3 8 s3 8

Simulatie

Calculatie

Verschil

FR1

0.984

0.991

0,71 %


3.56 1.13 0.947 3.87 1.37 0.957

3.50 1.05 0.951 3.87 1.33 0.951

FR1

0.915

0.907


3.93 1.44 0.925 2.89 1.56 0.926

4.20 1.79 0.924 2.99 1.46 0.923

FR1

0.955

0.959


3.04 1.39 0.975 3.83 1.23 0.983

3.36 1.06 0.975 3.80 1.37 0.978

FR1

0.987

0.990


3.05 1.40 0.995 3.69 1.25 0.984

3.36 1.06 0.995 3.71 1.33 0.983

FR1

0.924

0.918


5.49 1.24 0.942 2.91 1.32 0.969

5.60 2.27 0.933 3.06 1.41 0.963

FR1

1.000

0.994


0.29 0.47 0.992 0.67 0.77 0.971

0.54 0.54 0.990 0.68 0.79 0.971

0,42 %

-0,63 % -0,87 %

-0,11 %

-0,32 % 0,42 %

0,00 %

-0,51 % 0,30 %

0,00 %

-0,10 % -0,65 %

-0,96 %

-0,62 % -0,60 %

-0,20 %

0,00 %

Bijlage 3 –Vraagverdeling 3-echelon systeem

Bijlage 4 - Kostenminimalisatie De verwachte totale kosten per dag voor de tussenhandel en de eindafnemers wordt gegeven door:

  Rλ e h( p +  p h p S L R λ ) + ⋅ ( − ( + ) ) + n i i i i  i n∑  2 ∈U i   T e  , H i ( Si ) = ( KBi + KA ⋅Ai + KQi λi R ) + R    ∞  T R + Li ( KN + h ⋅R ( pi + ∑ pn ))  ∫(v − Si )dFi (v )   S e   R n∈U i i  

voor i∈ E

T   e h ⋅pi (Si − ( Li + R )λi ) + R (KBi + KA ⋅ Ai + KQi λi R )+    e  , H i ( Sie , Ψ i ) =  H j ( S j , Ψ j ) +    ∞   ∑  Li e e j∈Vi ∫ H j ( z j ( Si − u ), Ψ j ) − H j ( S j , Ψ j ) dFi (u )     ∆      i

(

voor i∈ M

)

Er wordt verondersteld dat de aanvulperiode R gegeven is. Voor de bepaling van de optimale besturingparameters zullen de bovenstaande vergelijkingen worden gedifferentieerd naar het echelon aanvulniveau Se. Voor de beginafnemers wordt de gedifferentieerde kostenfunctie gegeven door:

∂H i ( Sie ) T = h ⋅pi + ( KN + h( pi + e ∂Si R h ⋅pi − (

T KN + h( pi + R

∑

n∈U i

∑

n∈U i

∞  d   ∫(v − Sie )dFi R + Li (v ) = pn ))  dSi S e i 

pn ))(1− α ii (Sie ))

Voor de vestiging in de tussenhandel wordt de gedifferentieerde kostenfunctie gegeven door:

H j (S ej , Ψ j ) +  ∞  ∂H i ( S , Ψ i ) ∂ = h ⋅pi + = e ∑  e e Li ∂S ∂Si j∈Vi ∫ H j ( z j ( S j − u ), Ψ j ) − H j (S j , Ψ j ) dFi (u )  ∆i    e i e i

h ⋅pi +

(

∞ dzˆ ( x ) ∑j∈V ∫ dxj i ∆i

(

)

∂H j ( S ej , Ψ j ) x = Sie − u

∂S ej

(

 dFi Li (u) =  S ej = zˆj ( Sie − u ) 

h ⋅pi + ∑ qi h ⋅ pi + ∑ qi h ⋅pi + ... + n− 1 n− 1 n− 2 n− 2  in − 1∈Vi in− 2 ∈Vin− 1     T qi1 h ⋅pi − ( KN + h( pi + ∑ pn ))(1− α ii (Sie )) ... ∑  i ∈V R n∈U i   1 i2 

    )) 

Voor de afleiding van bovenstaande vergelijkingen is gebruik gemaakt van Diks[1997]. In Diks[1997] is tevens bewezen dat Hi(Si,Ψ i) convex is in Si, en strikts convex wanneer Fi(x) een strikt stijgende functie is voor x≥0. De optimale besturingparameters kunnen derhalve gevonden worden door de bovenstaande vergelijkingen nul te stellen. Voor de besturingparameters van een eindafnemer i moet gelden:

T h ⋅pi − ( KN + h( pi + R h ⋅pi = (

T KN + h( pi + R

α ii ( Sie ) =

∑

pn ))(1− α ii (Sie )) = 0 ⇒

∑

pn ))(1− α ii (Sie )) ⇒

n∈U i

n∈U i

− h ⋅pi T ( KN + h( pi + R

+ 1⇒

∑

pn ))

n∈U i

T KN + h ∑ pn R n∈U i

α ii ( Sie ) = (

T KN + h( pi + R

∑

pn ))

n∈U i

De besturingparameters van een vestiging i in de tussenhandel moeten voldoen aan de volgende vergelijking:

(

(

h ⋅pi + ∑ qi h ⋅ pi + ∑ qi h⋅ pi + ...+ n− 1 n− 1 n− 2 n− 2  in− 1∈Vi in− 2 ∈Vin− 1     T qi1 h ⋅pi − ( KN + h( pi + ∑ pn ))(1− α ii (Sie )) ...  ∑ i ∈V R n∈U i   1 i2  h ⋅pi +

∑

in− 1∈Vi

(

qin− 1 h ⋅ pin− 1 +

∑

in− 2 ∈Vin− 1

(

  = 0 ⇒  )) 

qin− 2 h⋅ pin− 2 + ...+

  T qi1 h ⋅pi − ( KN + h( pi + ∑ pn ))(1 − α ii (Sie )) ... )) = 0 ⇒ R i1∈Vi2 n∈U i   T T − ( KN + h ∑ pn ) + ( KN + h( pi + ∑ pn ))α ki ( Sie ) = 0, k ∈ Ei ⇒ R R n∈U i n∈U i

∑

α ki ( Sie ) =

T KN + h ∑ pn R n∈U i T ( KN + h( pi + R

∑

n∈U i

, k ∈ Ei pn ))

Bijlage 5 - Decompositiealgoritme: procedure Main begin n:=1; while n
∆i := Sie −

∑S

n∈Vi

e* n

;

for j∈ Vi do Begin for k∈ Ej do bepaal qj(k) uit α ki(∆i,qj(k)) met behulp van vergelijking (4.60);

∑

q j :=

k∈ E j

q j(k ) E j

End if

∑q

≤1 − ε

then Sei:=Sei+stepsize;

∑q

≥ 1− ε

then Sei:=Sei+stepsize;

n

n∈ Vi

if

n

n∈Vi

until

∑q

n∈Vi

n

− 1 <ε

Se*i:=Sei end procedure Adaptation(i) begin if

Sie* < ∑ Sne*

then

n∈Vi

begin for j∈ Vi do begin Se*j:=zj(Se*i); Adaptation(j) end end end

Bijlage 6 –Functionele Specificaties Deze gegevens zijn niet openbaar.

Bijlage 7 –Simulatie instellingen Scenario 1

Scenario 2

Scenario 3

B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

SK 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 SK 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 SK 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

V 3 3 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V 3 3 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V 3 3 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

L 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 L 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 L 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4

TA 1000 600 600 600 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 TA 1000 600 600 600 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 TA 1000 600 600 600 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200

TT 30 12 12 12 9 5 6 9 7 9 7 8 5 8 10 8 TT 30 12 12 12 9 5 6 9 7 9 7 8 5 8 10 8 TT 60 30 30 30 17 16 17 15 20 19 18 17 18 19 16 20

D 470 110 190 170 40 40 30 40 30 40 30 50 40 40 40 50 D 470 110 190 170 40 40 30 40 30 40 30 50 40 40 40 50 D 470 110 190 170 40 40 30 40 30 40 30 50 40 40 40 50

P 400 450 450 450 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 P 100 225 225 225 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 P 400 450 450 450 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500

KB 1500 250 250 250 12 12 12 15 15 15 15 15 10 10 10 10 KB 1500 250 250 250 12 12 12 15 15 15 15 15 10 10 10 10 KB 1500 250 250 250 12 12 12 15 15 15 15 15 10 10 10 10

Meettijd Aanlooptijd Kosten voorraad Kosten transport per kilometer Koster transport per onderdeel Servicecriterium

250 99-999 0,14 0,7 0,1 96%


250 99-999 0,14 0,7 0,1 96%


250 99-999 0,14 0,7 0,1 96%

Scenario 4

Scenario 5

B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

SK 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 SK 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

V 4 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V 4 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

L 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 L 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5

TA 1000 600 600 600 600 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 TA 1000 600 600 600 600 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200

TT 60 30 30 30 30 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 TT 60 30 30 30 30 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17

D 800 200 200 200 200 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 D 800 200 200 200 200 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

P 400 450 450 450 450 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 P 400 450 450 450 450 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500

KB 1500 250 250 250 250 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 KB 1500 250 250 250 250 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12


250 99-999 0,14 0,7 0,1 96%


250 99-999 0,05 0,9 0,1 96%

Scenario 6

Symbool B SK V L TA TT D P KB

B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

SK 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

V 4 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

L 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5

TA 1000 600 600 600 600 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200

Betekenis Vestiging Schakel Aantal afnemers Levertijd Transportafstand Transporttijd Verwachte vraag per dag Waarde van het product Bestelkosten

TT 60 30 30 30 30 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17

D 400 100 100 100 100 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

P 400 450 450 450 450 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500

KB 1500 250 250 250 250 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12


250 99-999 0,14 0,7 0,1 96%

Bijlage 8 –Voorraadverloop Voorraadniveau beginafnemer Schaal 1:1000 Voorraadniveau van 1 groothandel Schaal 1:500 Voorraadniveau van 1 eindafnemer Schaal 1:100

Bestelpunt/Aanvulniveau beginafnemer Schaal 1:1000 Bestelpunt/Aanvulniveau groothandel Schaal 1:500 Bestelpunt/Aanvulniveau eindafnemer Schaal 1:100

Scenario 1, lokaal periodieke besturing.

Scenario 1, integraal periodieke besturing op basis van fysieke voorraden.

Scenario 1, integraal periodieke besturing op basis van echelonvoorraden.

Scenario, lokaal continue besturing.

Scenario 1, integraal continue besturing op basis van fysieke voorraden.

Scenario 1, integraal continue besturing op basis van echelon voorraden.



Scenario 2, integraal periodieke besturing op basis van echelon voorraden.

Scenario 2, lokaal continue besturing.

Scenario 2, integraal continue besturing op basis van fysieke voorraden.

Scenario 2, integraal continue besturing op basis van echelon voorraden.



Scenario 3, integraal periodieke besturing op basis van echelon voorraden.

Scenario 3, lokaal continue besturing.

Scenario 3, Integraal continue besturing op basis van fysieke voorraden.

Scenario 3, Integraal continue besturing op basis van echelon voorraden.

Optimale besturing van multi-echelon systemen

Recommend Documents