OPTIE THEORIE
1. Inleiding
Het begrip aandeel is ongetwijfeld bij velen bekend. Je kunt op de financi¨ele pagina van een willekeurige krant elke dag de aandelenkoersen van bekende en minder bekende ondernemingen bekijken. Formeel is een aandeel een bewijs van deelneming in het kapitaal van een vennootschap, d.w.z. een NV of een BV. De eigenaar van een aandeel, de aandeelhouder, is samen met eventuele andere aandeelhouders mede-eigenaar van de vennootschap. De aandeelhouder deelt in de lusten en lasten van de vennootschap waarvan hij of zij medeeigenaar is. Dit betekent dat, bij een goede gang van zaken bij de onderneming, de aandeelhouder een hogere winstuitkering zal ontvangen; gaat het minder goed of slecht met het bedrijf, dan zal de winstuitkering lager zijn of zelfs uitblijven. Een winstuitkering op aandelen wordt dividend genoemd. Dividend wordt uitbetaald na afloop van het boekjaar, nadat de jaarcijfers van de vennootschap door de algemene vergadering van aandeelhouders zijn goedgekeurd. Om aandeelhouder van een onderneming te worden zal men op de beurs een aandeel moeten kopen. De prijs van een aandeel hangt in hoge mate af van de winst van de onderneming en vooral ook van de winstverwachting van het bedrijf. In de prijs zit meestal veel informatie en zelfs fantasie over de toekomst van het bedrijf verscholen. Tegenvallende resultaten kunnen dan ook een sterk neerwaarts effect hebben op de koers van het aandeel. Aan de andere kant kunnen onverwacht positieve resultaten de koers van het aandeel sterk opdrijven. Al met al is het rendement van een belegging met aandelen in het algemeen beduidend hoger dan van een spaarrekening, maar wel veel riskanter; je kunt ook een deel van je geld verspelen. Er zijn echter ook middelen om de risico’s bij aandelenspeculaties te verkleinen. E´en van die middelen is een zogenaamde optie. Opties in aandelen kun je vergelijken met een optie op een huis. Voor een bepaald bedrag, bijv. 5000 euro, kun je een optie nemen op een huis en alvast een prijs afspreken (bijv. 250.000 euro) waarvoor je dat huis over een jaar zal kopen. Als de prijzen van de huizen stijgen en dat huis over een jaar 300.000 euro waard is, kan jij volgens afspraak nog steeds dat huis kopen voor 250.000 euro. Je optie is dus in feite in waarde gestegen van 5000 naar 50000 euro. Vanwege de kleinere investering zelfs relatief sneller dan het huis zelf. Op dezelfde manier kunnen op de optiebeurs opties in aandelen gebruikt worden om met een kleinere investering gebruik te maken van de koersstijgingen van de aandelen. De optiebeurs wordt wel eens afgeschilderd als een plaats 1
waar louter speculatief kan worden gehandeld. Dat is een nogal eenzijdige voorstelling van zaken. Natuurlijk kan men op de optiebeurs speculeren met de daaraan verbonden grote risico’s, maar opties kunnen juist ook antispeculatief worden gebruikt om effecten en ander bezit tegen waardedaling te beschermen.
2. Opties
In een optiecontract maken twee partijen een afspraak die geldt voor een bepaalde termijn, om in beginsel een bepaalde onderliggende waarde te verhandelen tegen een vooraf vastgestelde prijs. Bij een aandelenoptie bestaat deze onderliggende waarde uit aandelen. Er zijn twee soorten aandelenopties: call-opties en put-opties. Call-opties hebben betrekking op het kopen van aandelen: een call-optie is het recht van de koper van de optie om tegen een vooraf vastgestelde prijs te mogen kopen gedurende de geldigheidstermijn van het optiecontract. Put-opties hebben betrekking op het verkopen van aandelen: een put-optie is het recht van de koper van de optie om tegen een vooraf vastgestelde prijs te mogen verkopen gedurende de geldigheidstermijn van het optiecontract. De geldigheidstermijn van een optiecontract wordt de looptijd genoemd, de vooraf vastgestelde prijs heet de uitoefenprijs. Zij opgemerkt dat een optie een recht is; de koper mag een bepaalde hoeveelheid aandelen kopen of verkopen, maar hoeft dit niet te doen. Het risico voor de koper van een optie blijft dus beperkt tot maximaal de betaalde premie verhoogd met de provisie van de bank of commissionair door wiens bemiddeling de affaire is gesloten. Dit doet zich voor wanneer de koersontwikkeling van het betreffende aandeel niet aan de verwachtingen van de koper beantwoordt en hij of zij derhalve van zijn koopof verkooprecht geen gebruik maakt. Er wordt onderscheid gemaakt tussen Europese en Amerikaanse opties. Europese opties mogen slechts uitgeoefend worden op het moment dat de in het optiecontract genoemde termijn afloopt, op wat men noemt de expiratiedatum. Amerikaanse opties mogen op elk willekeurig moment voor of op de expiratiedatum worden uitgeoefend. Hoewel de naamgeving iets anders doet vermoeden, worden op Europese effectenbeurzen voornamelijk Amerikaanse opties verhandeld en op Amerikaanse effectenbeurzen vooral Europese opties. De handel in opties vindt plaats op de optiebeurs en is volledig gestandaardiseerd. De standaardisatie heeft betrekking op de contractgrootte, de looptijd en de expiratiedatum van een optie. De contractgrootte bij opties van aandelen is bijna altijd gelijk aan 100. De looptijd van een optie is meestal 3, 6, 9 of 12 maanden. De expiratiedatum is altijd de zaterdag volgend op de derde vrijdag van de maand waarin de optie vervalt, tenzij deze derde vrijdag geen beursdag zou zijn (bijv. door een feestdag). De laatste mogelijkheid tot uitoefenen van aflopende opties is dus net voor sluitingstijd van de beurs op de derde vrijdag van de maand waarop de optie afloopt. Heb je een optie gekocht, dan kun je die uitoefenen of niet, maar ook is het mogelijk deze optie op de beurs weer te verkopen. Het verhandelen van een optie kan alleen gedurende de looptijd van de optie. 2
Je kunt op de optiebeurs niet alleen opties kopen en verkopen, maar ook schrijven. Als je een optie (call of put) schrijft, heb je de plicht om de vastgestelde hoeveelheid aandelen tegen de uitoefenprijs te leveren (call) of te kopen (put) op het moment gedurende de looptijd van de optie dat een koper van de optie zijn recht uitoefent. Als beloning daarvoor krijg je dan een premie. Als schrijver van een optie ben je dus te tegenspeler van de koper van dezelfde optie. De optiebeurs stelt voor elk aandeel een aantal—meestal minstens drie—uitoefenprijzen vast, die zo dicht mogelijk bij de beurskoers liggen. Wanneer bijvoorbeeld de beurskoers van het aandeel ABC 80 is, dan zullen er optieseries ontstaan met als uitoefenprijzen 75, 80 en 85. Wanneer de beurskoers sterk gaat fluctueren, dan zullen nieuwe optieseries met aangepaste uitoefenprijzen worden ge¨ıntroduceerd. Bijvoorbeeld bij een stijging van de koers naar 90 zal introductie van opties met een uitoefenprijs van 90 volgen. De series 75, 80 en 85 blijven dan genoteerd tot hun expiratiedatum, want de beleggers die daar een belang bij hebben genomen moeten dit kunnen verhandelen. Voorbeeld Bij een beurskoers van 52.20 kon men op 26 juli 1996 een call-optie Gist-Brocades oktober 96 met als uitoefenprijs 55.00 (toen nog guldens) kopen voor een bedrag van fl. 1.40. Aangezien de contractgrootte 100 is, verkrijgt men voor fl. 140,- (exclusief provisie) het recht om voor oktober 96 voor een bedrag van fl. 5500,-, 100 aandelen Gist-Brocades te kopen. Als iemand de call Gist-Brocades oktober 96 met uitoefenprijs 55 schrijft, neemt hij de plicht op zich om gedurende de looptijd 100 aandelen GistBrocades te leveren aan de koper van de call, op het moment dat deze zijn recht wil uitoefenen. Ter vergoeding ontvangt de schrijver van de optie fl. 140,-. Wanneer iemand een bepaalde optie in bezit heeft, bijvoorbeeld 3 stuks van bovengenoemde callopties Gist-Brocades oktober 96 met uitoefenprijs 55, heeft deze persoon het recht om tot op de derde vrijdag van oktober 1996 driehonderd aandelen Gist-Brocades te kopen voor de prijs van fl. 55,- per stuk. Als de koers even voor de expiratiedatum tot bijvoorbeeld fl. 60,- is gestegen, dan kan de bezitter van die optie twee dingen doen: ten eerste het kooprecht uitoefenen en de aandelen tegen een goedkopere koers (fl. 55,-) kopen dan op de effectenbeurs (fl. 60,-). Ten tweede—en dat wordt meestal gedaan— de call-opties weer verkopen. De call-opties zullen immers door het stijgen van de onderliggende aandelen zelf ook meer waard geworden zijn. Vaak is het mogelijk de opties op de beurs weer te verkopen voor een hogere prijs dan die men er destijds zelf voor betaald heeft.
Uit bovenstaande zal duidelijk zijn dat een voordeel van opties is dat er slechts een beperkte downside risk is. De prijs die je voor een optie hebt betaald is het maximum bedrag dat je kunt verliezen. Bovendien hebben opties een onbeperkte upside potential. Er is immers geen bovengrens aan het bedrag dat je ermee kunt verdienen. Op de optiebeurs in Amsterdam worden opties verhandeld. Zowel professionele als particuliere beleggers kunnen daar op werkdagen tussen 10.00 en 16.00 opties kopen en verkopen. De prijzen van de meest verhandelde opties van de afgelopen dag zijn in de meeste ochtendbladen terug te vinden. Voor meer actuele informatie (de prijs van een optie kan binnen een dag behoorlijk schommelen) kun je ook Teletekst (pagina’s 575–577) raadplegen. Een nuttige pagina op het internet is die van de AEX-optiebeurs, met URL http://www.aex-optiebeurs.nl/home.htm. 3
3. De prijs van een optie
De premie die de koper van een optie aan de schrijver betaalt, vormt voor deze laatste de beloning voor het risico dat hij loopt door de op zich genomen verplichting om de vooraf bepaalde aantallen aandelen te leveren. De hoogte van die premie, dit is de prijs van de optie, hangt af van de volgende variabelen: S: de huidige koers van het aandeel K: de uitoefenprijs r: de rente t: de resterende looptijd (tijd tot expiratie) σ: de volatiliteit (beweeglijkheid) van het aandeel D: de hoogte van het dividend. We zullen achtereenvolgens de invloed van de verschillende variabelen beschouwen. We beginnen met S en K. We beperken ons in eerste instantie tot een call-optie en duiden de prijs van de call-optie aan met C. Het moge duidelijk zijn dat C afhangt van S, de koers van het aandeel op het beschouwde tijdstip en van K, maar we kunnen daar wel iets meer over zeggen. Laten we de prijs van een call-optie eerst eens bepalen op de expiratiedatum. We duiden dan met S ∗ de koers van het aandeel aan op de expiratiedatum. Als we C ∗ schrijven voor de prijs van de optie op expiratie, dan geldt op het tijdstip van expiratie (3.1)
C ∗ = max[0, S ∗ − K] .
Dit is niet moeilijk in te zien. De call-optie geeft het recht om op dat moment 100 aandelen te kopen voor de prijs van K euro. Er zijn twee mogelijkheden: S ∗ > K of S ∗ ≤ K. Als S ∗ > K, is het het beste om dat recht inderdaad te gebruiken. Je koopt dan de aandelen voor de prijs K, lager dan de eigenlijke waarde S ∗ . Eventueel verkoop je de aandelen meteen weer voor de dan geldende koers van S ∗ euro. De winst is dan S ∗ − K > 0 euro per aandeel en dat is op de expiratiedatum dus de juiste prijs voor de optie. Is S ∗ ≤ K, dan is de call-optie niets waard. Het is dan beter de optie te laten expireren. Uitoefenen van het recht levert immers verlies op. Willen we iets zeggen over de prijs C van een call-optie op een moment v´ o´ or expiratie, dan lukt het op deze manier niet meer om een gelijkheid af te leiden: we verkrijgen slechts ondergrenzen. Hiertoe moeten we ook onderscheid maken tussen Amerikaanse en Europese opties. We beschouwen eerst Amerikaanse call-opties. Voor een Amerikaanse call-optie geldt C ≥ max[0, S − K] , waar C en S de prijs van de call-optie en het onderliggende aandeel voorstellen op het beschouwde tijdstip. Dit volgt, omdat de optie het recht verleent om op elk moment tot expiratie aandelen te kopen tegen de uitoefenprijs, ook op het beschouwde tijdstip zelf. Analoog aan bovenstaande redenatie voor C ∗ volgt dan namelijk dat C minstens zo groot moet zijn als max[0, S − K], eventueel meer omdat de eigenaar van de optie ook de keuze 4
heeft om te wachten met het uitoefenen van zijn recht. Voor deze gunstige positie betaalt de eigenaar van de optie dan iets meer. De waarde max[0, S − K], wordt de intrinsieke waarde van de call-optie genoemd. Het verschil tussen C en de intrinsieke waarde heet de tijdswaarde van de optie. Merk op dat met C en S, ook de intrinsieke waarde en de tijdswaarde van het beschouwde tijdstip afhangen; zo zal de tijdswaarde afnemen naarmate de expiratiedatum nadert. Opdracht 3.1 – Geef een formule voor de intrinsieke waarde van een Amerikaanse put-optie. Laat P de prijs van zo’n put-optie voorstellen, P ∗ de prijs van de put-optie op expiratie. – Laat zien dat op de expiratiedatum geldt: P ∗ + C ∗ = |S ∗ − K|. De tijdswaarde van een optie heeft ook te maken met de hoogte van de rente, aangeduid met r, die we tot nu toe buiten beschouwing hebben gelaten. Om het niet al te ingewikkeld te maken, nemen we aan dat de opties niet voor de expiratiedatum uitgeoefend kunnen worden, d.w.z. we beperken ons nu tot Europese opties. Allereerst dienen we vast te stellen wat we precies bedoelen met de hoogte van de rente. De hoogte van de rente hangt om te beginnen af van hoe lang je het geld vastzet. Voor 10 jaar vast krijg je een hogere rente dan op een rekening waar je je hele bedrag ten allen tijde mag opnemen. Dat kan zelfs nog van bank tot bank verschillen. De Nederlandse Bank, bijvoorbeeld, heeft (variabele) standaard tarieven voor rentes voor 1 en 10 jaar vast en voor daggeld rente voor bedragen die altijd opgenomen mogen worden. Voorts is er nog een verschil tussen jaarlijkse rente en continue rente. Laten we aannemen dat er een vast bedrag van EUR 100,- op een rekening staat tegen een jaarlijkse rente van 6%. Bank 1 geeft na een jaar een bedrag van EUR 6,- aan rente. Bank 2 geeft twee keer per jaar 3% rente; eerst EUR 3,- (3% van 100), de tweede keer EUR 3,09 (3% van 103). Door het cumulatieve effect van rente op rente is het resultaat van bank 2 na een jaar EUR 106,09. Opdracht 3.2 – Als bank nr. n op n tijdstippen in het jaar 6/n% rente geeft over het totale bedrag op dat moment, wat is dan het resulterende bedrag na een jaar? – Laat zien dat het resultaat een stijgende functie is van n. – Wat is de limiet voor n → ∞? Wij zullen afspreken dat als de (daggeld) rente gelijk is aan r, bij inleg van 1 euro op tijdstip t = 0, na tijdstip t (gemeten in jaren) een bedrag van ert euro teruggevorderd kan worden. We hebben al benadrukt dat we de prijs C van een call-optie of P van een put-optie beschouwen op een bepaald tijdstip. Dat tijdstip drukken we vanaf nu uit door middel van de variabele t, de resterende looptijd van de optie. Een hogere waarde van t betekent dus een langere tijd tot de expiratiedatum; t = 0 komt overeen met de expiratie. Een belangrijk economisch principe kan ons helpen om in ieder geval grenzen te bepalen aan C en P , de arbitrage-regel. Deze luidt 5
Het mag niet mogelijk zijn om zonder risico’s of zonder investering een gegarandeerde winst te behalen. Laten we dit principe eens toepassen om te laten zien dat voor een Europese call-optie geldt (3.2)
C ≥ S − Ke−rt .
Stel dat C < S − Ke−rt . Dan kunnen we door de volgende strategie altijd winst behalen. Koop de call-optie voor het bedrag C, verkoop het aandeel voor het bedrag S en zet een bedrag Ke−rt op een rekening met rente r. Dit levert netto een bedrag op van S −Ke−rt − C > 0 euro. Op de expiratiedatum zijn er twee mogelijkheden: S ∗ ≥ K of S ∗ < K. In het eerste geval kan de call uitgeoefend worden en kopen we het aandeel terug voor de prijs van K euro. Dit kan gefinancierd worden uit de opbrengst van het bedrag op de rekening dat inmiddels precies K euro waard is geworden. Als S ∗ < K laten we de call expireren en kopen we het aandeel op de beurs voor S ∗ euro. Dit kunnen we weer betalen uit de opbrengst van het bedrag van K euro op de rekening en we halen zelfs een extra winst van K − S ∗ euro. Opdracht 3.3 – Leid voor de prijs P van een Europese put-optie met resterende looptijd t, uitoefenprijs K, aandeelprijs S en rente r een ondergrens af analoog aan (3.2).
De ongelijkheid (3.2) en Opdracht 3.3 maken aannemelijk dat C een stijgende functie en P een dalende functie van r is. Tenslotte komt de volatiliteit van het onderliggende aandeel aan bod. We concentreren ons eerst weer op de call-optie. Om de invloed van de volatiliteit te bekijken, beschouwen we de situatie dat op een bepaald moment voor de expiratiedatum de koers van het aandeel onder de uitoefenprijs ligt, dus S < K en de intrinsieke waarde van de call is nul. Let wel, dit hoeft nog niet te betekenen dat C = 0; het betekent alleen dat de waarde van de call alleen uit tijdswaarde bestaat. Hoe hoger de volatiliteit, hoe sneller en vaker de koers weer boven K kan noteren, en hoe meer mogelijkheden er zijn om de call daadwerkelijk uit te oefenen. Dit voordeel uit zich in een hogere prijs voor de call bij een hogere volatiliteit van het aandeel. Voor de volledigheid noemen we nog de invloed van dividend. In deze opdracht zullen we de invloed van dividend steeds verwaarlozen. Het is echter in werkelijkheid zo dat call-opties dalen in waarde en put-opties stijgen in waarde bij een hoger dividend, mits dat dividend wordt uitgekeerd gedurende de looptijd van de optie. Dit heeft te maken met het feit dat het aandeel op de dag dat het dividend wordt uitgekeerd “ex-dividend” gaat. Dat wil zeggen dat de koers van het aandeel op die dag verminderd wordt met het bedrag dat aan dividend wordt uitgekeerd. In de prijs van de optie zit dat gegeven al verwerkt. Het blijkt dat het bij een call-optie van een aandeel dat gedurende de looptijd geen dividend uitkeert nooit gunstig is om voor expiratie het kooprecht uit te oefenen, in verband met de tijdswaarde van de optie. Zodoende zal in zo’n geval de prijs van twee voor het overige identieke call-opties Amerikaans en Europees aan elkaar gelijk zijn. Dit is echter niet het 6
geval voor een put-optie. Daar kan het wel zo zijn dat het gunstig is om het verkooprecht voor expiratie al uit te oefenen; de prijs van een Amerikaanse put-optie kan dus iets hoger zijn dan die van de Europese put-optie met dezelfde expiratie en uitoefenprijs. De analyse die we in de volgende paragraaf zullen uitvoeren geldt voor Europese opties. Omdat op de Europese markt voornamelijk in Amerikaanse opties wordt gehandeld, zou het kunnen zijn dat bij de laatste opdracht (Opdracht 6.3) de gevonden prijzen van met name de put-opties iets te laag uitkomen in vergelijking met de echte prijzen in de markt. Globaal kunnen we het volgende schema maken voor het effect van een stijging van de zojuist genoemde factoren op de prijzen van opties. factor huidige koers aandeel (S) uitoefenprijs (K) rente (r) resterende looptijd (t) volatiliteit (σ) dividend (D)
P ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑
C ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓
Tabel 3.1. Effect van bepalende factoren op optieprijs
4. Een binomiaal model voor de prijzen van opties
We zullen in deze paragraaf nagaan hoe de prijs van een optie meeverandert met de koers van het onderliggende aandeel. We gaan ons daarvoor om te beginnen eens concentreren op ´e´en handelsperiode en we nemen aan dat dat de laatste handelsperiode is voor het bereiken van de expiratiedatum van de optie. Later breiden we uit naar twee en naar meer handelsperioden. Wederom beperken we ons in eerste instantie tot call-opties. We nemen voor het gemak aan dat het aandeel geen dividend betaalt gedurende de looptijd van de optie, dat de rente r constant is en we vergeten even alle belastingen en provisies. We zullen hier leren dat een call-optie equivalent is aan een portefeuille van een aantal van de betreffende aandelen en een bedrag waarover rente gevangen kan worden. Een verandering over ´e´en handelsperiode van de koers van het aandeel en het bedrag—door rente—resulteert dan in een door die portefeuille bepaalde verandering van de prijs van de call-optie. De relatie tussen de prijs van de call-optie en de portefeuille wordt gegeven door (4.1)
C = S∆ + B .
Hier is C de prijs van de call-optie op een bepaald tijdstip, S de koers van het betreffende aandeel op datzelfde tijdstip, ∆ een vaste hoeveelheid van die aandelen (niet noodzakelijk geheel) en B de hoogte van het bedrag op de rekening. Dat bedrag B varieert ook met 7
de tijd, doordat er een rente op gegeven wordt van r · 100%. Als de koers van het aandeel stijgt of daalt over een bepaalde tijdsperiode, stijgt of daalt de prijs van de call-optie mee op een manier die bepaald wordt door (4.1). We beginnen eenvoudig en stellen ons in de denkbeeldige situatie dat alleen op bepaalde perioden gehandeld kan worden en dat er op dit moment nog ´e´en zo’n handelsperiode te gaan is voordat de optie expireert. De rente over ´e´en handelsperiode zullen we gelijk stellen aan rˆ, hetgeen betekent dat een bedrag van B euro na een handelsperiode (1 + rˆ)B euro waard is. Voor het gemak defini¨eren we ρ = 1 + rˆ. Verder nemen we aan dat de koers van het aandeel over een handelsperiode ofwel omhoog kan naar u · S ofwel omlaag naar d · S. Deze u en d zullen we later, als we de call-optie en het aandeel zullen volgen over meer dan ´e´en handelsperiode, gelijk nemen voor elke handelsperiode. De kans dat de koers stijgt is q en de kans dat de koers daalt is 1 − q. We zullen nu over deze ene handelsperiode de prijsontwikkeling van de call-optie en van de equivalente portefeuille bestuderen. E´en handelsperiode voor expiratie is de prijs van de call C en de koers van het aandeel S. Na het eind van de handelsperiode zijn er voor de portefeuille twee mogelijkheden: S∆ + B wordt
uS∆ + ρB , met kans q dS∆ + ρB , met kans 1 − q .
Aan de andere kant geldt voor de call-optie, omdat deze na de handelsperiode expireert, dat Cu = max[0, uS − K] , met kans q C wordt Cd = max[0, dS − K] , met kans 1 − q . Het aandeel kan gestegen of gedaald zijn. We kunnen ervoor zorgen dat in beide gevallen de waarde van de equivalente portefeuille, niet alleen op dit moment, maar ook na deze ene handelsperiode, gelijk is aan de prijs van de call-optie. Opdracht 4.1 Uit dit gegeven volgen twee vergelijkingen. – Los hieruit ∆ en B op. – Druk ze uit in d, u, ρ, S, Cu en Cd . – Druk nu m.b.v. (4.1) ook C uit in dezelfde grootheden.
Door de arbitrage-regel volgt dat voor de ∆ en B, gevonden in Opdracht 4.1, C = S∆ + B de correcte prijs voor de call-optie moet zijn op het betreffende moment, d.w.z. ´e´en periode voor expiratie. Immers, als C > S∆ + B, dan verkopen we de call-optie en kopen we de portefeuille. Dit levert een positief netto-bedrag op van C − (S∆ + B) euro. Aan het eind van de handelsperiode kopen we eenvoudig de call-optie terug en verkopen we de portefeuille weer. We hebben gezien dat ook aan het eind van de handelsperiode de waarde van de call en de portefeuille gelijk zijn. We hebben de portefeuille immers met zorg zo samengesteld. Deze slot-transactie levert dus niets op maar kost ook niets. We kunnen zo zonder enig risico een bedrag van C − (S∆ + B) euro in onze zak steken. En: wat ´e´en keer kan, kan ook in het honderd- of duizendvoudige. Dergelijke zaken moeten niet mogelijk zijn. Dat is de arbitrage-regel. 8
Opdracht 4.2 – Bedenk zelf een strategie waarmee zonder risico geld verdiend kan worden in het geval dat C < S∆ + B.
Uit Opdracht 4.1 blijkt dat (4.2)
C = ρ−1 [pCu + (1 − p)Cd ] ,
ρ−d . Men kan p opvatten als de waarde die q zou hebben als de verwachte koers waar p = u−d van het aandeel na een handelsperiode gelijk zou zijn aan wat je van een bedrag zou terug krijgen als je het zonder risico op een rekening zet. Met andere woorden, p is de oplossing voor q van de vergelijking quS + (1 − q)dS = ρS .
Het blijkt, verrassend genoeg, dat de “echte” kans waarmee de koers van het aandeel omhoog of omlaag gaat, helemaal niet van invloed is op de prijs van de optie. Er is hier een sterkere macht in het spel die als het ware de prijs van de optie dicteert, de arbitrage-regel. Bij overtreden daarvan kan met absolute zekerheid, zonder enig risico, een onbegrensde hoeveelheid geld verdiend worden. Dit is uitgesloten. In de volgende opdracht zullen we de call-optie bekijken met nog twee handelsperioden te gaan voor expiratie. De koers van het aandeel op dat moment, S, kan beide keren ofwel omhoog (vermenigvuldigd met u) ofwel omlaag (vermenigvuldigd met d). Opdracht 4.3 Stel voor het gemak dat ρ = 1 (de rente is dus 0). Stel dat S = 36, u = 3/2 en d = 2/3. – Maak een binaire boom met in de knopen de koersontwikkeling van het aandeel over twee handelsperioden. – Maak een tweede binaire boom waar aan de uiteinden de prijzen ingevuld zijn van een call-optie van dat aandeel met als uitoefenprijs K = 30, voor de bijbehorende expiratiekoersen van het aandeel. Gebruik hierbij (4.2) om de prijs van de call-optie te vinden ´e´en periode voor expiratie. Gebruik (4.2) nogmaals om de prijs van de call-optie twee perioden voor expiratie te vinden.
Laten we Cuu schrijven voor de waarde van de call twee periodes van nu als de koers van het onderliggende aandeel twee keer omhoog is gegaan; Cud , Cdu en Cdd defini¨eren we analoog. Het moge duidelijk zijn dat Cud = Cdu . Opdracht 4.4 – Gebruik het principe van Opdracht 4.3 om af te leiden dat C = ρ−2 p2 Cuu + 2p(1 − p)Cud + (1 − p)2 Cdd .
– Controleer of deze uitkomst overeenkomt met de uitkomst van Opdracht 4.3. 9
In Opdracht 4.3 hebben we een voorbeeld gezien waar we de prijs van een call-optie als het ware teruggaand in de tijd hebben gereconstrueerd. De prijs van de call op expiratie ligt vast door middel van (3.1) en stap voor stap konden we gebruik maken van (4.2) voor alle knopen van de lagen daarvoor. De basis van (4.2) was een denkbeeldige portefeuille, bestaande uit ∆ van de onderliggende aandelen en een bedrag B op een rekening die zowel op als na het betreffende tijdstip dezelfde waarde heeft als de call-optie. De bijbehorende waarden van ∆ en B (de precieze samenstelling van de portefeuille) hebben we in een tussenstap bepaald, in Opdracht 4.1. Opdracht 4.5 – Schrijf in de boom van Opdracht 4.3 met de prijzen van de call-opties de waarden van ∆ en B erbij, ´e´en handelsperiode voor expiratie. – Doe hetzelfde twee handelsperioden voor expiratie. Controleer steeds of C = S∆ + B geldt. N.B. negatieve waarden zijn in principe mogelijk, zowel voor ∆ als voor B.
In Opdracht 4.5 hebben we in feite een strategie beschreven om de call-optie over twee handelsperioden te volgen m.b.v. een portefeuille van aandelen en een bedrag op een rekening, die op elk moment dezelfde waarde heeft als de call-optie. Opdracht 4.6 – Volg een pad in de boom van Opdracht 4.3 en 4.5. Begin twee perioden voor expiratie en beschrijf op elk moment hoe de portefeuille is samengesteld en hoe de portefeuille aangepast moet worden om ervoor te zorgen dat ook op het volgende moment de portefeuille en de call-optie gelijke waarde hebben. Stel dat twee perioden voor expiratie de call op de markt te kopen en te verkopen is voor een prijs van een euro meer dan de prijs gevonden in Opdracht 4.3. – Beschrijf voor het gekozen pad in de boom een strategie om, zonder risico, een euro te verdienen.
We gaan nu nog een stapje verder en we breiden uit naar n handelsperioden. C en S zijn nu de prijs van de call-optie en het onderliggende aandeel, op het tijdstip van n handelsperioden voor expiratie. Stel dat over deze n periodes de prijs van het aandeel j keer is gestegen en n − j keer is gedaald. Dan is op de expiratiedatum de koers van het aandeel dus gelijk aan uj dn−j S. Voor de prijs van de bijbehorende call op expiratie, aangeduid met Cuj dn−j , geldt dus (4.3)
Cuj dn−j = max[0, uj dn−j S − K] .
Opdracht 4.7 – Werk terug vanaf de expiratiedatum en pas herhaaldelijk formule (4.2) toe. Laat zien 10
dat C = ρ−n
(4.4)
n X n
j=0
j
pj (1 − p)n−j Cuj dn−j
,
met Cuj dn−j als in (4.3). We definieren nu a als het kleinste positieve gehele getal, zodanig dat ua dn−a S > K. Opdracht 4.8 – Laat met behulp van (4.3) zien door C in (4.4) in twee termen te verdelen dat
(4.5)
C=S
n X n
j=a
j
j n−j
pj (1 − p)n−j
u d ρn
− Kρ−n
n X n
j=a
j
pj (1 − p)n−j
.
5. De formule van Black-Scholes
Het is natuurlijk om iedere handelsperiode in de vorige paragraaf te associeren met een tijdsinterval met een bepaalde lengte, bijvoorbeeld een dag. Als je dit bedenkt, is het model van de vorige paragraaf niet erg bevredigend. Ten eerste zijn er na een dag handelen wel meer dan twee mogelijke koersen van het aandeel denkbaar. Ten tweede wordt er niet een keer op een dag gehandeld maar veel vaker; handel vindt eigenlijk continu plaats. Gelukkig is het model dat we ontwikkeld hebben tegen deze tegenwerpingen bestand. Niets weerhoudt ons ervan om veel kleinere intervallen te bekijken, een uur, een minuut, of nog veel korter. Dan zijn er na een dag veel meer dan twee koersen mogelijk en we hebben de mogelijkheid ingebouwd om veel vaker dan een maal per dag te handelen. We moeten er dan echter wel voor zorgen dat de waarden van u, d en q voor een model waar eens per dag gehandeld wordt verschillen van die waar eens per minuut of nog veel vaker gehandeld wordt. Bij kleinere tijdsintervallen zullen we u en d om te beginnen veel dichter bij 1 kiezen. Om dit alles preciezer te maken, laten we t de kalendertijd voorstellen (in jaren) tot expiratie van de optie. We verdelen t in n tijdsintervallen van gelijke lengte en noemen deze lengte h, dus h = t/n. De resterende looptijd t zelf zal niet van het aantal handelsperioden afhangen. Naarmate handelen vaker plaatsvindt, wordt h kleiner en kleiner. We passen dan de variabelen u, d en ρ (die van de lengte van de handelsperiode afhangen) aan, zodanig dat we realistische resultaten krijgen voor n → ∞. De variabelen u, d en ρ hangen dus af van n! 11
Laat rˆ de rente zijn over ´e´en handelsperiode, ρ = 1 + rˆ, en laat r de daggeld rente voorstellen. De rente over n handelsperioden (ρn ) over een tijd t (in jaren) moet dan gelijk zijn aan ert , m.a.w. ρ = ert/n . De koers van het aandeel op het moment waar we de optie willen prijzen noemen we weer S; S ∗ stelt de koers van het aandeel op expiratie voor. Tijdens iedere handelsperiode gaat de koers van het aandeel, onafhankelijk van de gebeurtenissen van alle andere handelsperioden, omhoog (vermenigvuldigd met u, met kans q) of omlaag (vermenigvuldigd met d, met kans 1 − q). Laat N een stochastische grootheid zijn met een binomiale verdeling met parameters n en p. Dan kunnen we de laatste som van (4.5) ook lezen als (5.1)
n X n j=a
j
pj (1 − p)n−j = P (N ≥ a) = 1 − P (N ≤ a − 1) .
Als p = q, dan kunnen we N zien als het aantal keer dat het aandeel in koers gestegen is. Opdracht 5.1 – Laat zien dat voor een of andere ε ∈ [0, 1), (5.2)
a−1=
log(K/S) − n log d −ε . log(u/d)
We hebben al gesuggereerd dat we een realistisch model krijgen als we u, d, ρ en daarmee ook p en a van n laten afhangen. We zullen van nu af aan al deze grootheden dan ook consequent van een subscript voorzien. Hoe kunnen we die afhankelijkheid op een redelijke manier introduceren? Hoe groter n, hoe korter de handelsperiode t/n en hoe minder de aandelen omhoog of omlaag kunnen gaan tijdens ´e´en periode. Zowel un als dn zullen dan dus dichter bij 1 liggen en wel op een zodanige manier dat un → 1 en dn → 1 als n → ∞. Een handige manier om dat te doen is te kiezen √ √ (5.3) un = eσ t/n , dn = e−σ t/n , voor zekere σ > 0. Deze σ wordt de jaarlijkse volatiliteit van het aandeel genoemd. Merk op dat un · dn = 1, d.w.z. de sprong omhoog is relatief even groot als de sprong omlaag over ´e´en handelsperiode. Met ρn = ert/n zien we dat √ ρn − d n ert/n − e−σ t/n √ = √ . (5.4) pn = un − dn eσ t/n − e−σ t/n Het is bekend dat als X een binomiale verdeling met parameters n en q, voor vaste q ∈ (0, 1), (5.5)
X − nq D p → N (0, 1) . nq(1 − q) 12
Dit is een bijzonder geval van de centrale limietstelling. We willen voor (5.1) ook een normale benadering als (5.5) toepassen. Alleen: bij ons is q niet vast, maar varieert met n. De centrale limietstelling blijkt toch op te gaan, mits q = qn convergeert naar een constante in (0, 1). Opdracht 5.2 – Laat zien dat voor pn , gedefinieerd door (5.4), geldt: 2
1 r − σ2 pn ≈ + 2 2σ
(5.6)
r
t . n
– Pas nu de centrale limietstelling toe en laat met behulp van (5.1), (5.2) en (5.6) zien dat als n → ∞, (5.7)
n X n j log(Ke−rt /S) 1 √ n−j √ + σ t . 1− p (1 − pn ) →Φ 2 j n σ t j=a n
We hebben hiermee een relatief eenvoudige uitdrukking gevonden voor het laatste gedeelte van (4.5). Het eerste gedeelte van (4.5) kan op een analoge manier ook aangepakt worden. We nemen dan p0n = (un /ρn )pn . Opdracht 5.3 – Laat zien, gebruik makend van (5.3), dat 2
1 r + σ2 0 pn ≈ + 2 2σ
(5.8)
r
t . n
– Pas weer de centrale limietstelling toe en laat met behulp van (5.1), (5.2) en (5.8) zien dat als n → ∞, (5.9)
n j n−j X n j log(Ke−rt /S) 1 √ n−j un dn √ 1− p (1 − pn ) →Φ − σ t . j n ρnn 2 σ t j=a n
Opdracht 5.4 – Combineer (4.5), (5.7), (5.9) en de symmetrie-eigenschap van de verdelingsfunctie van de standaard normale verdeling, Φ(z) = 1 − Φ(−z) , 13
dat
(5.10)
n n X j n−j X n j n j u d n−j C=S − Kρ−n p (1 − p ) pn (1 − pn )n−j n nn n n j n j ρn j=an j=an log(S/(Ke−rt )) 1 √ log(S/(Ke−rt )) 1 √ −rt √ √ → SΦ + σ t − Ke Φ − σ t . 2 2 σ t σ t
We hebben de formule van Black-Scholes voor call-opties afgeleid. De prijs van een putoptie is nu niet moeilijk meer: die volgt uit de zogenaamde put-call parity, geldig voor Europese opties P = C − S + Ke−rt
(5.11) die we niet zullen bewijzen. Opdracht 5.5 – Leid een formule af voor P .
6. Toepassen van de formule van Black-Scholes
Om de formule van Black-scholes toe te passen, moeten alle variabelen S, K, t, σ en r ons bekend zijn. Zodra we op een bepaald moment hebben vastgesteld om welke optie het gaat, liggen daarmee K en t vast. Deze laatste is het resterende aantal beursdagen tot de expiratiedatum, en dat gedeeld door het aantal beursdagen in een jaar, ongeveer 250. Als de looptijd van de optie niet al te kort is (meer dan een maand) kan men als benadering ook het aantal kalenderdagen tot expiratiedatum nemen, gedeeld door 365. De koers van het aandeel is op te zoeken in de krant, evenals de hoogte van de rente. De enige onbekende is daarmee σ, de jaarlijkse volatiliteit van het aandeel. We zullen deze gaan schatten. Laten we als voorbeeld de wekelijkse slotkoersen bekijken van het aandeel Hagemeyer: 190496 260496 030596 100596 170596 240596 310596 070696
113.20 116.70 115.50 118.00 115.30 116.60 117.50 124.80
140696 210696 280696 050796 120796 190796 260796 020896
121.20 121.00 121.60 130.00 129.00 131.00 129.00 124.00 Tabel 6.1. Wekelijkse slotkoersen van Hagemeyer 14
Vaak wordt aangenomen dat de logaritme van de koersen van aandelen normaal verdeeld is en dat de logaritme van de relatieve koers (d.w.z. de huidige koers gedeeld door de vorige koers) over een periode (hier een week) een normale verdeling heeft met verwachting en variantie proportioneel met de lengte van de periode. Bovendien wordt dan aangenomen dat de relatieve koersen onderling onafhankelijk zijn. De eerste vier koersen van Tabel 6.1 zijn bijvoorbeeld 113.20, 116.70, 115.50 en 118.00, dus de eerste drie relatieve koersen zijn 116.70/113.20 = 1.031, 115.30/116.70 = 0.990 en 118.00/115.50 = 1.022. De natuurlijke logaritmen daarvan zijn log(1.031) = 0.0305, log(0.990) = −0.0101 en log(1.022) = 0.0218. Onder de zojuist genoemde voorwaarden vormen deze drie een onderling onafhankelijke steekproef uit een normale verdeling met als standaard deviatie σ ˜ de wekelijkse volatiliteit van het aandeel. Als we de volledige data van Tabel 6.1 zouden gebruiken, dan hadden we een onafhankelijke steekproef van lengte 15 uit deze normale verdeling. Algemeen, als Sk de prijs van het aandeel is in week k, dan is log(Rk ) = log(Sk /Sk−1 ) normaal verdeeld met parameters µ ˜ en σ ˜ 2 . Een zuivere schatter voor σ ˜ 2 wordt dan gegeven door 2 ˆ σ ˜ =
n
1 X ˆ˜)2 , (log Rk − µ n−1 k=1
met n
X ˆ˜ = 1 µ log Rk . n k=1
2
ˆ De jaarlijkse variantie kan dan geschat worden met 52σ ˜ en de jaarlijkse volatiliteit σ die we in de formule van Black-Scholes gebruiken met de wortel daarvan. Opdracht 6.1 – Schat de jaarlijkse volatiliteit van Hagemeyer op grond van de data uit Tabel 6.1. Ook op grond van dagelijkse slotkoersen kunnen we σ 2 schatten. We gaan dan weer uit van 250 beursdagen in een jaar. Opdracht 6.2 Verzamel van het aandeel Ahold de slotkoersen van de 40 meest recente beursdagen. – Schat op grond daarvan de jaarlijkse volatiliteit van het aandeel. Slotkoersen staan bijvoorbeeld in de Volkskrant. Deze zijn te raadplegen bij de Persdocumentatie van de bibliotheek van de VU, eerste verdieping van het hoofdgebouw, de meest recente op papier, oudere op microfiche. Raadpleeg een medewerker daar.
Opdracht 6.3 Beschouw weer het aandeel Ahold – Bepaal de prijzen van calls en puts voor de drie dichtstbijzijnde expiratie-data op de dag 15
van de vorige opdracht. Neem twee uitoefenprijzen: de twee die zich het dichtst bij de huidige koers bevinden. In totaal moeten dus 12 opties (6 calls en 6 puts) geprijsd worden. Gebruik hierbij de geschatte volatiliteit van Opdracht 6.2. – Vergelijk de berekende prijzen met prijzen uit de krant en/of internet (http://www.debeurs.nl), voorzover die beschikbaar zijn. – Bereken tevens de prijzen van een zelf gekozen langlopende (2 of 3 jaar) Ahold optie, zowel call als put. – Stel dat de koers van het aandeel precies een jaar later 5,- euro gestegen is, wat is dan op dat moment de prijs van de call-optie? – Vergelijk de procentuele stijging van de call-optie met die van het aandeel. NB. Vermeld bij deze opdracht duidelijk welke bronnen (m.n. welke dagen) geraadpleegd zijn, op welk moment de opties geprijsd zijn en wat op dat moment de koers van het aandeel was.
16
