Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100

Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100

Jean-Marie Kraemer

CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG Kraemer, Jean-Marie Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100 / Jean-Marie Kraemer ISBN 978-90-5834-105-1 Trefw.: rekenen; didactiek

© Cito B.V. Arnhem (2011) Niets uit dit werk mag zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van Cito B.V. worden openbaar gemaakt en/of verveelvoudigd door middel van druk, fotokopie, scanning, computersoftware of andere elektronische verveelvoudiging of openbaarmaking, microfilm, geluidskopie, film- of videokopie of op welke wijze dan ook. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior permission in writing from the proprietor(s).

Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100

PROEFSCHRIFT ter verkrijging van de graad van doctor aan de Technische Universiteit Eindhoven, op gezag van de rector magnificus, prof.dr.ir. C.J. van Duijn, voor een commissie aangewezen door het College voor Promoties in het openbaar te verdedigen op dinsdag 20 december 2011 om 14.00 uur.

door

Jean-Marie Kraemer geboren te Lindre-Haute, Frankrijk

Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotor: prof.dr. K.P.E. Gravemeijer

Inhoud

Hoofdstuk 1 Aanleiding en probleemstelling ..................................................... 1 1.1 Achtergrond ....................................................................................................................1 1.2 Hoofdrekenen en cijferen in de kerndoelen en de Proeve… .................................5 1.2.1 Typering van RW als leerstofgebied.............................................................5 1.2.2 Basisvaardigheden ...........................................................................................6 1.2.3 Typering van hoofdrekenen ..........................................................................6 1.2.4 De drie aangeboden hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en variarekenen .....................................................................................................7 1.2.5 Schattend rekenen ...........................................................................................8 1.2.6 Waardering van hoofdrekenen ......................................................................8 1.2.7 Didactiek en doorgaande lijn .........................................................................9 1.3 Aanleiding voor de systematische analyse van oplossingsprocedures bij aftrekken tot 100 ......................................................................................................... 10 1.3.1 Aanbod en rekenvaardigheid bij de derde PPON rekenpeiling halverwege de basisschool (1997) .............................................................. 11 1.3.2 Ontwikkelingsgericht diagnosticeren en plannen met het LOVS ........ 14 1.4 Probleemstelling .......................................................................................................... 17 1.4.1 Leren rekenen als uitdrukking van numeriek denken ............................ 17 1.4.2 Reflectieve klassengesprekken (‘mathematical discours’) als motor van de ontwikkeling ......................................................................... 22 1.4.3 Invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele opgaven .......................................................................................................... 24 1.4.4 Conclusie ....................................................................................................... 25 1.5 Richtinggevende onderzoeksvragen en algemene opzet van de studie .............. 26 1.6 Relevantie van het onderzoek ................................................................................... 29 1.6.1 Vaktheoretische en vakdidactisch relevantie ........................................... 29 1.6.2 Praktische relevantie .................................................................................... 30 1.7 Indeling van de rapportage ........................................................................................ 31 Hoofdstuk 2 Hoofdrekenen en cijferen in het nationale realistischonderwijsprogramma ................................................................. 31 2.1 Inleiding ........................................................................................................................ 31 2.2 Internationale bezinning over de betekenis van rekenen op de basisschool anno 1980 ..................................................................................................................... 32 2.2.1 De Amerikaanse Agenda for action ............................................................... 33 2.2.2 Het Engelse Cockcroft report ......................................................................... 34 2.2.3 Stille revolutie in Nederland ....................................................................... 35 2.3 Nederlandse koers: integratie van cijferen en de toepassingen met hoofdrekenen ............................................................................................................... 40

i

2.4 2.5

2.6 2.7

Uitgangspunten voor het onderwijs in optellen en aftrekken van gehele getallen .......................................................................................................................... 43 Hoofdrekenen en cijferen in het realistische programma .................................... 45 2.5.1 Tellen .............................................................................................................. 46 2.5.2 Optellen en aftrekken tot 20 ...................................................................... 46 2.5.3 Optellen en aftrekken tot 100 .................................................................... 47 2.5.4 Kanttekeningen............................................................................................. 53 2.5.5 Reacties van de ontwerpers op de reacties van de Nederlandse experts ............................................................................................................ 54 Overeenkomsten en verschillen met het nieuwe curriculum in Engeland en de V.S. ...................................................................................................................... 55 Samenvatting en conclusie ......................................................................................... 57

Hoofdstuk 3 Drie reconstructiedidactieken ..................................................... 59 3.1 Inleiding ........................................................................................................................ 59 3.2 Reconstructiedidactiek als vorm van domeinspecifiek ontwerpen ..................... 61 3.3 Uitwerking van de reconstructiedidactiek ............................................................... 63 3.3.1 Organiseren en systematiseren van de eigen rekenervaringen .............. 64 3.3.2 Encapsulation................................................................................................ 67 3.3.3 Didactische hulpmiddelen .......................................................................... 68 3.3.4 Samenvattende conclusie ............................................................................ 70 3.4 Didactische variant 1: de TAL didactiek ................................................................ 70 3.4.1 Theoretisch kader ......................................................................................... 70 3.4.2 TAL-didactiek ............................................................................................... 74 3.4.3 Kritische kanttekeningen binnen de eigen kleine en grote kring ......... 81 3.5 Didactische variant 2: probleemoplossende didactiek ......................................... 82 3.5.1 Theoretisch kader ......................................................................................... 82 3.5.2 Didactische aanpak van rekenen tot honderd ......................................... 93 3.5.3 Kernkwesties met betrekking tot aftrekken ............................................. 95 3.6 Didactische variant 3: Amerikaanse realistische didactiek ................................... 97 3.6.1 Theoretisch kader ......................................................................................... 98 3.6.2 Didactiek ...................................................................................................... 101 3.7 Afsluiting, drie stijlen van geleid uitvinden ........................................................... 106 3.8 Profiel van de drie stijlen van geleid uitvinden .................................................... 107 3.8.1 Algemeen doel ............................................................................................ 107 3.8.2 Leerstofordening ........................................................................................ 108 3.8.3 Macro structuur van verticaal mathematiseren ..................................... 110 3.8.4 Didactische middelen ................................................................................ 110 3.9 Conclusie en aandachtspunten voor de classificatieproblematiek .................... 111 Hoofdstuk 4 Classificatiesysteem ................................................................... 113 4.1 Inleiding ...................................................................................................................... 113 4.2 Belang van het onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en ‘rekenmethode'........... 114 4.3 Ambiguïteit van variarekenen ................................................................................. 121 4.4 Abstractieproces ........................................................................................................ 123 4.5 Structuur van de sequentie ...................................................................................... 124

ii

4.6

4.7 4.8

Methoden, niveaus en vormen van hoofdrekenen .............................................. 125 4.6.1 Drie hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en beredeneren ............... 125 4.6.2 Verticale mathematisering van direct modelleren ................................. 127 4.6.3 Verticale mathematisering van tellen/meten met eenheden van ‘Tien’ en ‘Één’ ............................................................................................. 128 4.6.4 Verticale mathematisering van puzzelen met geheugenfeiten ............ 129 Classificatiesysteem ................................................................................................... 129 Terugblik en vooruitblik .......................................................................................... 130

Hoofdstuk 5 Opzet en instrumentatie van het onderzoek ..............................133 5.1 Inleiding ...................................................................................................................... 133 5.2 Achtergrond en opzet van de 4e PPON rekenpeiling ......................................... 134 5.2.1 Doelen van PPON ..................................................................................... 134 5.2.2 Getoetste kennis, inzichten en vaardigheden ........................................ 134 5.2.3 Opzet van de 4e PPON ............................................................................. 137 5.2.4. Analyse van de resultaten van het PPON- en LVS-onderzoek .......... 140 5.3 Methode, opzet en instrumentatie van het onderzoek naar oplossingsmethoden ................................................................................................. 141 5.3.1 Directe observatie van oplossingsmethoden ......................................... 141 5.3.2 Voortgangsgegevens ter bevordering van objectiviteit ........................ 143 5.3.3 Instrumentatie ............................................................................................. 143 5.3.4 Opgavenkenmerken ................................................................................... 146 5.3.5 Afnameprocedure....................................................................................... 150 5.3.6 Digitale registratie, codering en interbetrouwbaarheid ........................ 152 5.4 Hoofdvragen en –analyses van de drie deelstudies ............................................. 154 Hoofdstuk 6 Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool.................................................................................................157 6.1 Inleiding ...................................................................................................................... 157 6.2 Vaardigheidsniveau in het getalgebied onder de honderd.................................. 158 6.2.1 Ontwikkelingsniveaus binnen de laagste vaardigheidsgroep (≤P33) .......................................................................................................... 158 6.2.2 Ontwikkelingsniveaus binnen middelste vaardigheidsgroep (P33P66) ............................................................................................................... 167 6.2.3 Ontwikkelingsniveaus binnen de hoogste vaardigheidsgroep (>P66) .......................................................................................................... 175 6.3 Vaardigheidsniveau bij elementair hoofdrekenen onder de duizend ............... 179 6.3.1 Niveau van de laagste vaardigheidsgroep ............................................... 179 6.3.2 Niveau van de middengroep .................................................................... 182 6.3.3 Niveau van de hoogste vaardigheidsgroep............................................. 183 6.3.4 Conclusie ..................................................................................................... 186 6.4 Onderwijsresultaten en aanbod van de leraar....................................................... 186 6.4.1 Gebruikte rekenmethoden en omgang met de eigen methode .......... 187 6.4.2 Toegepaste differentiatie ........................................................................... 188 6.4.3 Introductie en vorm van algoritmisch rekenen ..................................... 189 6.4.4 Conclusie ..................................................................................................... 189

iii

Hoofdstuk 7 Gebruikte methoden en vormen van aftrekken .......................... 191 7.1 Inleiding ...................................................................................................................... 191 7.2 Gebruikte methoden................................................................................................. 192 7.2.1 Gebruiksfrequentie .................................................................................... 192 7.2.2 Succes ........................................................................................................... 193 7.2.3 Patroon......................................................................................................... 195 7.3 Hoe leerlingen rijgen................................................................................................. 196 7.3.1 Rijgcondities ................................................................................................ 196 7.3.2 Vormen van rijgen...................................................................................... 198 7.3.3 Gebruikspatroon en succes per niveau van rijgen ................................ 198 7.3.4 Patroon en voorlopige conclusie ............................................................. 201 7.4 Hoe leerlingen splitsen ............................................................................................. 202 7.4.1 Splitscondities ............................................................................................. 202 7.4.2 Rekenvormen .............................................................................................. 204 7.4.3 Gebruiksfrequentie en succes per niveau van splitsen ......................... 204 7.4.4 Patroon en voorlopige conclusie ............................................................. 207 7.5 Hoe leerlingen beredeneren..................................................................................... 208 7.5.1 Beredeneercondities ................................................................................... 208 7.5.2 Rekenvormen .............................................................................................. 209 7.5.3 Gebruiksfrequentie en succes per niveau van beredeneren ................ 209 7.5.4 Voorlopige conclusie ................................................................................. 210 7.6 Weten .......................................................................................................................... 211 7.6.1 Indirect optelfeit en aftrekfeit als antwoord .......................................... 211 7.6.2 Frequentie, succes en conclusie ............................................................... 212 7.7 Eerste balans van de modernisering ...................................................................... 213 7.8 Staalkaart van oplossingen ....................................................................................... 218 7.8.1 Rijgen............................................................................................................ 219 7.8.2 Splitsen ......................................................................................................... 223 7.8.3 Beredeneren................................................................................................. 227 7.8.4 Weten ........................................................................................................... 232 Hoofdstuk 8 Omgang met de context en de getallen .................................... 235 8.1 lnleiding....................................................................................................................... 235 8.2 Combinatie van de hoofdrekenmethode met de aftrekstrategie ....................... 237 8.3 Invloed van de context en de getallen van de gemaakte set opgaven .............. 241 8.3.1 Relatie tussen de verschijningsvorm (c.q. betekenis) van aftrekken en het strategiegebruik ............................................................. 242 8.3.2 Relatie tussen de orde van grootte van het verschil tussen de getallen en het strategiegebruik ................................................................ 244 8.3.3 Patroon......................................................................................................... 246 8.4 Interactie tussen de betekenis van aftrekken en de relatie tussen de getallen van de opgave.............................................................................................. 246 8.4.1 Groep Laag.................................................................................................. 247 8.4.2 Groep Midden ............................................................................................ 249 8.4.3 Groep Hoog ................................................................................................ 250

iv

8.5

8.6

8.4.4 Conclusie ..................................................................................................... 252 Relatie tussen het vaardigheidsniveau, het strategiegebruik en het succes bij aftrekken................................................................................................................ 253 8.5.1 Relatie tussen vaardigheidsniveau en strategiegebruik ......................... 254 8.5.2 Relatie tussen vaardigheidsniveau en succes .......................................... 255 8.5.3 Conclusie ..................................................................................................... 256 Terugblik en afsluitende conclusie ......................................................................... 257 8.6.1 Beeld van de omgang met de context en de getallen ........................... 257 8.6.2 Tweede voorlopige balans van realistisch hoofdrekenen .................... 259

Hoofdstuk 9 Staalkaart van de gemaakte fouten............................................ 263 9.1 Inleiding ...................................................................................................................... 263 9.2 Frequentieverdeling van de drie klassen fouten ................................................... 264 9.3 Foutieve schematisering ........................................................................................... 266 9.4 Bewerkingsfouten bij rijgen ..................................................................................... 267 9.4.1 Begripsfouten .............................................................................................. 268 9.4.2 Foutieve basisoperaties.............................................................................. 270 9.4.3 Overige fouten ............................................................................................ 270 9.4.4 Conclusie ..................................................................................................... 271 9.5 Bewerkingsfouten bij splitsen ................................................................................. 273 9.5.1 Begripsfouten .............................................................................................. 274 9.5.2 Basisoperaties .............................................................................................. 276 9.5.3. Overige fouten ............................................................................................ 276 9.5.4 Conclusie ..................................................................................................... 277 9.6 Bewerkingsfouten bij beredeneren ......................................................................... 280 9.6.1 Begripsfouten .............................................................................................. 280 9.6.2 Basisoperaties .............................................................................................. 282 9.6.3 Overige fouten ............................................................................................ 282 9.6.4 Conclusie ..................................................................................................... 282 9.7 Samenvattend overzicht van de structurele fouten ............................................. 284 9.7.1 Hoofdresultaten van de foutenanalyse ................................................... 284 9.7.2 Relatie met de didactiek, evaluatie en organisatie van het leerproces ..................................................................................................... 285 Hoofdstuk 10 Balans van rijgen, splitsen en beredeneren ..............................291 10.1 Inleiding ...................................................................................................................... 291 10.2 Rijgen........................................................................................................................... 291 10.2.1 Sterke kanten van het rijgen ..................................................................... 291 10.2.2 Zwakke kanten van het rijgen .................................................................. 293 10.2.3 Balans van het rijgen .................................................................................. 294 10.3 Splitsen ....................................................................................................................... 294 10.3.1 Sterke kanten van het splitsen .................................................................. 294 10.3.2 Zwakke kanten van het splitsen ............................................................... 294 10.3.3 Balans van het splitsen .............................................................................. 295 10.4. Beredeneren ............................................................................................................... 296 10.4.1 Sterke punten van het beredeneerd aftrekken ....................................... 296

v

10.4.2 Zwakke punten van het beredeneerd aftrekken .................................... 297 10.4.3 Balans van het beredeneerd aftrekken .................................................... 298 10.5 Ontwikkelingspatroon .............................................................................................. 299

Hoofdstuk 11 Discussie ...................................................................................301 11.1 Inleiding ...................................................................................................................... 301 11.2 Interpretatie van wat er bij aftrekken onder de honderd/duizend gebeurt .... 302 11.2.1 Beweegredenen van de leerlingen........................................................... 302 11.2.2 Omgang van de leraar met de houding en gedragspatronen van de leerlingen ................................................................................................ 305 11.3 Discussie: realistische kleuring van geleid uitvinden ........................................... 307 11.3.1 Algemeen doel (focus) ............................................................................... 307 11.3.2 Leerstofstructuur ........................................................................................ 309 11.3.3 Structurering van de verticale mathematisering van tellen-metenrekenen ......................................................................................................... 311 11.3.4 Rol van contextproblemen, leermiddelen en individuele constructies.................................................................................................. 312 11.3.5 Gebruik van de samenwerking en communicatie in de groep ............ 314 11.4 Opbrengst................................................................................................................... 315 11.4.1 Onderzoektheoretische opbrengst .......................................................... 315 11.4.2 Praktische bijdrage ..................................................................................... 316 11.5 Beperkingen ............................................................................................................... 317 11.6 Aanbevelingen ........................................................................................................... 318 Literatuur ..........................................................................................................319 Appendix ......................................................................................................... 343 Summary .......................................................................................................... 353 Curriculum Vitae ............................................................................................. 359

vi

Voorwoord Deze studie wortelt in mijn eerste Nederlandse beroepservaring als ontwerper van meetkundige activiteiten voor de methode Rekenen-wiskunde. Dit avontuur, in gezelschap van Frans van Galen, Toon Meeuwisse, Willem Vermeulen en Lida Gravemeijer onder de uitdagende leiding van Koeno Gravemeijer, heeft mijn horizon geopend. Het spanningsveld tussen recht doen aan de individuele leerling en leerkracht en het objectief vaststellen en analyseren van leerprestaties ter bevordering van de kwaliteit van het onderwijsleerproces, maakt het werk op Cito zo bijzonder. Koeno Gravemeijer en Norman Verhelst hebben mij helpen nadenken over wat een juiste balans zou kunnen zijn. Koeno Gravemeijer was de mentor van het eerste uur. Sindsdien wist hij in inspirerende discussies complexe kwesties terug te brengen tot ‘big ideas’ die zicht gaven op nieuwe perspectieven. Dit “discours continu” heeft mijn denken gevormd en dit proefschrift uitgelokt. Dat mijn dagelijks werk zo spannend en verrijkend werd is aan drie directe collega’s van de sectie Cito/Primair Onderwijs te danken. Fons Moelands gaf de opdrachten waarin ik me kon uitleven en hield me in de boeien als klankbord en als advocaat van de duivel. Frank van der Schoot gaf de sectie Rekenen-wiskunde het vertrouwen, de ruimte en de middelen om kwalitatief onderzoek met de periodieke peilingen te integreren. Jan Janssen zorgde voor de integratie van de projecten, de infrastructuur en bood alle steun om de ondernomen werkzaamheden tot een goed einde te brengen. Floor Scheltens en Maayke van Schijndel hebben de ondankbare maar onontbeerlijke coderingstaak uitgevoerd voor het vaststellen van de betrouwbaarheid van het classificatiesysteem waarop alle kwalitatieve analyses van deze studie berusten. Jean-Marie Reits was de grote broer die via Skype een oogje in het zeiltje hield en voor de nodige afleiding en relativering zorgde. Rosaline Hoogstraate en Tessa Kraemer hebben het concept redactioneel verbeterd. Een collectief van Nederlandse en Portugese vrienden en collega’s heeft het manuscript en de uitgave gerealiseerd. Mario Baia was de drijvende kracht, Frank van der Schoot de onmisbare corrector. Joana Brocardo, Fatima Mendes en Catarina Delgado hebben de bibliografie weten te reconstrueren. Jan van Weerden slaagde erin met de assistentie van Johan Cremers en Berend Kemper om onder lastige omstandigheden en grote tijdsdruk deze uitgave mogelijk te maken. Joana Brocardo heeft in de loop van het project ‘These’ moeten toezien hoe een proefschrift in een andere taal en cultuur, met vallen en opstaan en onverwachte omwentelingen, tot stand kwam. Haar vertrouwen en geduld hebben mij in belangrijke mate de energie gegeven om dit project af te ronden. Dokter Hussain Roshani heeft mijn pad gekruist. Dit boek is aan hem te danken. Het wordt opgedragen aan mijn dochters Tessa en Sabine die zin gaven in ‘morgen’.

1

Hoofdstuk 1 Aanleiding en probleemstelling

1.1

Achtergrond

‘Rekenen vind ik het stomste vak van de wereld’. Dit schreef de tienjarige Martijn de Jong, begin jaren tachtig, in zijn ingezonden brief in de rubriek “Piepschuim” in de Volkskrant1. De paar aanwijzingen die hij geeft, roepen bij Treffers (1991b) het beeld op van het traditioneel rekenonderwijs dat toen op de meeste lagere scholen werd gegeven, met methoden als Naar Zelfstandig Rekenen. Martijn zit in een ‘speciale groep’ met andere leerlingen die ‘in de kleuterschool al alles af hadden’. Hij mocht daarom ‘met de stof van de eerste klas beginnen’. Dit typeert de toegepaste differentiatie naar niveau en/of tempo. Het aanbod was voor iedereen hetzelfde. Er werd alleen meer of minder geoefend en dus meer of minder leertijd aan besteed. De leerstof werd in kleine stukjes aangeboden. Er werd erg veel gecijferd, in drie van de vijf lessen in klas 3 (groep 5). Leerlingen maakten in klas 3 en 4 zo’n 10000 rekensommen. Het waren vooral ‘kale’ sommen, per soort en toenemende mate van complexiteit aangeboden, om van deelgeval tot deelgeval het eindalgoritme naar zijn hand te zetten. De toepassingsproblemen waren aangeklede rekenopgaven, bedoeld om de juiste som te abstraheren en de getallen volgens de voorschriften van het geleerde algoritme te bewerken. Met dit onderwijs raakten leerlingen ingesteld op trucs, routines en regels en werden zij in die zin in hun geestelijke ontwikkeling belemmerd. ‘Groep 4 is het stomste jaar qua rekenen’, zei Ylja, vijfentwintig jaar later, toen Marja van de Heuvel-Panhuizen (2005) aan haar en haar tweelingzus Joni vroeg wat in het rekenonderwijs van ‘nu’ zou kunnen worden verbeterd. Ze zitten dan in jaargroep 7 en brengen de frustratie perfect onder woorden die ze in de middenbouw hebben opgelopen. Ze mochten toen nog niet ‘cijferen’, dat wil zeggen, onder elkaar rekenen, volgens de voorschriften van de vier algoritmen. Ylja heeft zich heel behoorlijk aan de eenzijdigheid van optellen en aftrekken met sprongen op een getallenlijn - de nieuwe 1

Deze anekdote en de bijbehorende schets van het traditionele cijferonderwijs zijn ontleend aan Gravemeijer (1988, 11). Zie ook Treffers (1985) en De Jong (1986).

1

Hoofdstuk 1

manier van rekenen onder de honderd - geërgerd. ‘Je moest per se met de getallenlijn’, terwijl de getallenlijn, volgens Joni, juist bedoeld is ‘voor de kinderen die het niet zo goed kunnen’. ‘Er zat zo weinig afwisseling in’, licht Ylja even later toe. ‘Die getallenlijn is voor sommige kinderen heel duidelijk, (…), maar zo gauw jij ‘een andere manier kent om zulke sommen uit te rekenen’ - en ‘die sneller gaat’, vult Joni aan - ‘is die getallenlijn niet meer nodig’. Ylja doelt op cijferen. Terugblikkend, schetsen Ylja’s en Joni’s ideale traject vanaf jaargroep 4: eerst rekenen met sprongen op de lege getallenlijn, dan in groep 5 overschakelen naar rekenen ‘tussen strepen’2, dan op dezelfde manier maar onder elkaar in groep 63 en ten slotte met cijfers in groep 7. Tussen de ingezonden brief van Martijn en het interview met Ylja en Joni is het rekenonderwijs niet alleen in Nederland, maar ook wereldwijd radicaal veranderd. Deze vernieuwing vormt de achtergrond van deze studie. Ylja’s en Joni’s ideale leertraject geeft de oplossing weer die Nederlandse didactici hebben gevonden voor het traditionele (cijfer)onderwijs, dat in diskrediet was geraakt. Wat vormde ‘toen’ het probleem? En: hoe werd het ‘hier’ opgelost? Begin jaren tachtig vormt de nadruk die op de lagere school op het cijferen wordt gelegd om drie hoofdredenen een probleem. Het neemt veel leertijd in beslag, maar de resultaten zijn niet navenant. Menig scholier krijgt het eindalgoritme niet onder de knie (Treffers, 1982a; 1982b; Fuson, 1992). Leerlingen passen bovendien de geleerde algoritmen niet vanzelfsprekend toe; vaak omdat ze een eigen, informele oplossingsweg volgen die past bij het beeld dat ze zich van het probleem hebben gevormd en/of bij wat ze ‘in de getallen’ zien (Fuson, 1992). De zakrekenmachine maakt ten slotte de complexere cijferbewerkingen overbodig. Is het dan, vanuit de samenleving, de leerling en wiskunde als vakgebied bezien, nog langer verantwoord om het routinematig rekenen met de vier algoritmen tot de basisvaardigheden te beschouwen? Kan het niet beter worden afgeschaft? (Plunkett, 1979; Papert, 1980; Levin, 1981). Of, kan men er minder aandacht aan besteden en het accent op de ontwikkeling en het verstandig gebruik van de rekenvaardigheden leggen, waar de contexten van de leef- en beroepswereld een beroep op doen, zoals globaal rekenen (schatten), rekenen uit het hoofd (flexibel hoofdrekenen) en rekenen met de zakrekenmachine? (N.T.C.M., 1980; Cockcroft, 1982). In tegenstelling tot de Verenigde Staten heeft hoofdrekenen in Nederland altijd een eigen plaats in het rekencurriculum gehad. In het begin van de 20e eeuw werd het opgevat en onderwezen als niet-schriftelijk rekenen - rekenen-uit-het-hoofd – (Treffers, 1991b). Versluijs verruimde deze enge betekenis van hoofdrekenen tot een vorm van handig rekenen waarvan men de berekeningen verkort, veelal inspelend op de mogelijkheden die de getallen bieden (ibid, 2). Dit werd meestal naast het cijferen geleerd, de routinematige, voorgeschreven manier van rekenen met eenheden,

2 3

Het zogenoemde splitsend hoofdrekenen tussen positielijnen dat in paragraaf 1.2.4 wordt gepresenteerd. Het zogenoemde kolomsgewijs rekenen – de overgangsvorm naar cijferen (zie paragraaf 1.2.4.).

2

Aanleiding en probleemstelling

tientallen, etc. (zie de methode Fundamenteel rekenen). Hoofdrekenen fungeerde echter soms ook als oriëntatie in de decimaal-positionele optelen aftrekrelaties (zie de methode Functioneel Rekenen). Het is zelfs schriftelijk ‘kolomsgewijs’ geschematiseerd, als tussenvorm in de richting van de cijferalgoritmen. Vanuit die traditie stelt Treffers (1983) voor om de dichotomie hoofdrekenen versus cijferen op te heffen door cijferen met hoofdrekenen te integreren. Men kon hierbij teruggrijpen op het principe dat het Wiskobasteam in de tweede helft van de jaren zeventig voor ‘wiskundig’ leren cijferen had bedacht (de Jong, 1977) binnen haar brede opdracht een alternatief te ontwikkelen voor het traditionele rekenonderwijs dat in scholen als die van Martijn werd gepraktiseerd – het zogenoemde ‘realistisch’ rekenen. Deze integratie van cijferen met hoofdrekenen is ontwikkeld en uitgewerkt in de laatste twintig jaar van de vorige eeuw4 onder de auspiciën van de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde Onderwijs (NVORWO)5, binnen de context van de hierboven besproken internationale bezinning over de basisvaardigheden. Begin jaren tachtig moest de overheid het innovatiebeleid van de scholen centraal sturen om de politieke verantwoordelijkheid te kunnen dragen voor de twee doelen van de basisschool die in 1985 zijn ingevoerd: enerzijds de continuïteit in het onderwijsprogramma (inhoudelijke vernieuwing via doorgaande leerlijnen), anderzijds de ononderbroken ontwikkeling van de leerling tussen 4 en 11 jaar (structureel-organisatorische vernieuwing via de leerlingenzorg en het voorkomen van de uitstroom in het speciaal onderwijs) (Doornbos, 1985). Een unieke samenloop van omstandigheden heeft de voortgezette vernieuwing van de inhoud en de didactiek van ‘rekenen’ binnen wat voortaan in Nederland ‘rekenen en wiskunde’ (RW) en reken-wiskundeonderwijs (RWO) zal heten aangewakkerd en bevorderd. Het mondde uit in de uitgave van de zogenoemde Proeve van een Nationaal Programma voor het Reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (voortaan aangeduid met Proeve…) dat vanaf 1990 als baken is gebruikt voor de ontwikkeling van de derde en vierde generatie realistische methoden die bij de onderhavige studie van hoofdrekenen zijn betrokken. Hoe is dit mogelijk geweest in een land waar de pedagogische of levensbeschouwelijke identiteit zo hoog in het vaandel staat? De Projectgroep Leerplanontwikkeling Basisschool (pg LOB) die begin jaren tachtig was ingesteld om een valide leerplan op te stellen na raadpleging van vakdeskundigen en deskundigen uit de onderwijspraktijk6, slaagde daar niet in. Het lag niet aan verschillen in visie op onderwijs. De pg LOB kwam gewoon tijd tekort om voor alle vakken plannen uit te werken en de inhoud ervan in de praktijk te toetsen. Bovendien verzetten confessionele politici en besturen van bijzondere 4 5

6

Raadpleeg hoofdstuk 2 voor de historische reconstructie van dit proces. Deze vereniging is opgericht in 1982. Het biedt onderdak aan mensen met verschillende achtergronden en opvattingen: theoretici en practici, onderzoekers, ontwikkelaars van onderwijsmethoden en toetsen, Pabo-docenten, schoolbegeleiders en ook basisschoolleraren. Van Die’s (2010) historische reconstructie van deze onderwijspolitieke ontwikkelingen wordt hier geparafraseerd.

3

Hoofdstuk 1

scholen zich tegen wat zij centralisme en staatspolitiek noemden. In 1984 waren de condities wat het vak RW betreft gunstiger dan ooit. De Wiskobasvisie, principes en producten werden breed gedragen in het onderwijsveld en in vier nieuwe realistische methoden verwerkt, die ruim een kwart van de basisscholen had ingevoerd7. De overige scholen gebruikten een van de overgebleven traditioneel-mechanistische methoden of een nieuwe methode met een traditionele inslag zoals Naar Zelfstandig Rekenen (de Jong, 1985, 20). De pg LOB stond achter de Wiskobas-typering van RW als nieuw leergebied. De beschreven leerstof in haar publicatie ‘Wat krijgen ze op de basisschool?’ kwam bovendien sterk overeen met de inhoudelijke kernpunten van RW op de basisschool die de voormalige Wiskobas-leden voor ogen stonden. In die omstandigheden namen Treffers en de Moor (1984) het initiatief om, onder de paraplu van de NVORWO, een realistisch leerplan te ontwikkelen. Het werd vanuit het innovatieve standpunt van de overheid als volgt gemotiveerd: Het doel van deze publicatie is een zekere homogenisering in het rekenwiskundeonderwijs te bereiken, en gunstige condities te scheppen voor opleiding, nascholing, begeleiding, ontwikkeling en onderzoek, en de samenhang ertussen (p. 7).

In hun werkboek ‘Tien voor rekenen-wiskunde op de basisschool’ staat dat de status van het nationale plan meer zou moeten zijn dan louter die van een aanbeveling. De initiatiefnemers rekenden op een legitimering via de door Wiskobas geïnspireerde omschrijving van ‘rekenen en wiskunde’ in de wet op het basisonderwijs (artikel 9) (ibid. 6). De inhoudelijke kernpunten van het werkboek werden in de tweede helft van de jaren tachtig programmatisch uitgewerkt, daarbij rekening houdend met de formulering van de zogenoemde ‘eindtermen’ van de door de minister van OCW ingestelde landelijke ontwikkelingsgroep8. Deel 1 van de Proeve... (Treffers, de Moor & Feijs, 1989) verschijnt eind jaren tachtig. Het oriënteert de gebruikers in de domeinen, doelstellingen en didactiek van RW op de basisschool en geeft een overzicht van de algemene en concrete doelen die met honderd opgaven worden geïllustreerd. Een jaar later verschijnt deel 2 (Treffers & de Moor, 1990) over de basisvaardigheden en cijferen. Het eindtermenvoorstel van de ontwerpers van de voorlopige eindtermen werd in 1989 ingediend. Vier jaar later kwamen de kerndoelen hieruit voort. Ze kregen een wettelijke status met de publicatie van het ‘Besluit Kerndoelen voor het Basisonderwijs’ in de Staatscourant (OCW, 1993). Terugspiegelend over de betekenis van de kerndoelen voor de vernieuwing van het RWO, merkt van Die (2010, 19) op dat de twee delen van de Proeve … vier jaar te vroeg waren verschenen om de

7 8

Gedoeld wordt op Operatoir Rekenen – nieuw en op de drie eerste realistische methoden De Wereld in Getallen, Rekenen en Wiskunde en het Utrechts Reken-wiskundeprogramma. Deze groep bestond uit medewerkers van de Stichting Leerplanontwikkeling (SLO), de vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijs Computercentrum (OW & OC) van de Rijksuniversiteit te Utrecht en het Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling (Cito).

4


verwachte legitimering te krijgen. fungeren echter deel 1 en 2 van de methode- en toetsontwikkeling, Wiskobaspublicaties in de jaren onderwijsveld.

1.2

Via de formele grondslag van de Proeve…, vanaf 1990, als bakens voor opleiding en begeleiding, precies tachtig als richtlijnen fungeerden

kerndoelen onderzoek, zoals de voor het

Hoofdrekenen en cijferen in de kerndoelen en de Proeve…

Wat houdt de door Treffers en de Moor aanbevolen integratie van cijferen met hoofdrekenen in de praktijk van de basisschool in? Om daar antwoord op te kunnen geven, raadplegen we eerst de kerndoelen 1998 (OCW, 1998) die nauwelijks afwijken van de formulering van 1992. Tegen deze wettelijke achtergrond maken we kennis met de drie vormen van hoofdrekenen en de doorgaande lijn die door het programma van de basisschool is getrokken.

1.2.1

Typering van RW als leerstofgebied

In de kerndoelen 1998 (OC & W, 1998, p. 41) wordt rekenen-wiskunde als volgt getypeerd: Het onderwijs in rekenen/wiskunde is erop gericht dat de leerlingen: – verbindingen kunnen leggen tussen het onderwijs in rekenen/wiskunde en hun dagelijkse leefwereld; – basisvaardigheden verwerven, eenvoudige wiskundetaal begrijpen en toepassen in praktische situaties; – reflecteren op eigen wiskundige activiteiten en resultaten daarvan op juistheid controleren; – eenvoudige verbanden, regels, patronen en structuren opsporen; – onderzoeks- en redeneerstrategieën in eigen woorden kunnen beschrijven en gebruiken.

Bovenstaande algemene doelen geven de essentie weer van het leergebied. Uit de historische reconstructie van hoofdstuk 2 zal blijken dat ze zijn afgeleid uit Treffers’ integrale en mathematische doelen (Van Die, 2010). Ze vormen feitelijk het cement tussen de geformuleerde kerndoelen, dat de domeinen in een samenhangend leerstofaanbod met elkaar integreert.

5

Hoofdstuk 1

1.2.2

Basisvaardigheden

Onderstaande opsomming (ibid. 41) geeft een overzicht van de basisvaardigheden die betrokken zijn bij het kernonderwerp van deze dissertatie – aftrekken binnen hoofdrekenen onder de honderd: – – – – – – –

De leerlingen kunnen met wisselende eenheden tellen en terugtellen (leerdoel 1). De leerlingen kennen uit het hoofd optelen vermenigvuldigtafels tot tien (leerdoel 2). De leerlingen kunnen eenvoudige hoofdrekenopgaven vlot uitrekenen, waarbij ze verschillende bewerkingen inzichtelijk toepassen (leerdoel 3). De leerlingen kunnen schattend rekenen, waarbij ze de uitkomst globaal bepalen (leerdoel 4). De leerlingen hebben inzicht in de structuur van de gehele getallen (leerdoel 5). De leerlingen kunnen een eenvoudige, niet in wiskundige taal aangeboden probleemstelling zelf in wiskundige termen omzetten (leerdoel 6). De leerlingen kunnen de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens standaardprocedures of varianten daarvan uitvoeren en in eenvoudige situaties toepassen.

Hoofdrekenen oriënteert in en geeft toegang tot cijferen. Deze vaardigheid wordt in de kerndoelen 1998 als volgt aangeduid: De leerlingen kunnen de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens standaardprocedures of varianten daarvan uitvoeren en in eenvoudige situaties toepassen.

1.2.3

Typering van hoofdrekenen

Onderstaand citaat geeft weer hoe Treffers en de Moor (1990) hoofdrekenen in de Proeve … typeren: Hoofdrekenen staat in de vakdidactiek niet voor rekenen-uit-het-hoofd als tegenstelling tot rekenen-op-schrift, maar geldt van oudsher als de tegenvoeter van het cijferen, als flexibel rekenen versus rekenen volgens standaardmethoden (…) en wel in die zin dat daarbij efficiënt gebruik wordt gemaakt van parate kennis, rekenwetten, bijzonderheden van getallen en relaties ertussen.

6


Refererend naar Paulos (1988) en Van der Blij (1987), associeert Treffers (1989, 8) in zijn oratie hoofdrekenen met een zeker begrip van en gevoel voor getallen9, dat tot uidrukking komt in het passend en flexibel gebruik van globale methoden (schatten) en methoden van precies hoofdrekenen. Met het probleem van Hans illustreert hij de gecijferdheid en de basisvaardigheden waar basisschoolleraren zich bij het rekenen tot honderd voortaan op moeten richten.

1.2.4

De drie aangeboden hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en variarekenen

Hans maakt een tocht van 75 km. Na 48 km rust hij even. Hoeveel kilometer moet hij na zijn pauze nog afleggen? Leerlingen kunnen de verwachte precieze afstand op vier rekenmanieren uitrekenen, volgens de oplossingsprocedures van figuur 1.1 en 1.2. Treffers doelt op: – – – –

de zogeheten rijgmethode, waarbij een getal in stapjes van een ander getal wordt afgehaald of bijgeteld (rekenen-op-rij); de methode van het splitsen van tientallen en eenheden en redeneermethoden, waarbij de leerling gebruik maakt van de eigenschappen van optellen en aftrekken (variarekenen)10. het zogenoemde kolomsgewijze hoofdrekenen van figuur 1.2 fungeert als de meest abstracte en gestandaardiseerde vorm van optellen en aftrekken met tientallen en eenheden en vormt tevens de schakel met leren cijferen. Het is geïnspireerd op Maddel’s (1985) ervaring met het vrij laten uitbeelden van probleemsituaties met Dienes’ Blocks (MAB-blokken; Treffers, De Moor en Feijs, 1988, 37) en op het idee van Diels en Nauta in de methode Fundamenteel Rekenen (1936) om met de positiewaarden, van links naar rechts, ‘onder elkaar’ – kolomsgewijs – te rekenen (zie hoofdstuk 2 en 3). Hans maakte een tocht van 75km. Na 48 km rustte hij even. 1. Hoeveel kilometer moest hij na het rusten nog afleggen? 2. Hoe maakte hij die tocht, denk je: met de auto, de fiets, lopend…? 3. Hoe lang zou hij ongeveer over de hele tocht van 75km gedaan hebben? Figuur 1.1 – Het probleem van Hans (Bron: Treffers, 1989, p. 13)

In de latere publicaties verwijst Treffers (1994a) naar ‘number sense’ zoals wiskundig omschreven door McIntosh, Reys en Reys (1992). 10 Deze methoden worden uitvoerig gelegitimeerd, beschreven en geïllustreerd in de hoofdstukken 2 en 3. 9

7

Hoofdstuk 1 1.2a ‘Gestyleerde’ vorm aftrekken op-lijn 75-48=?

1.2b Gevarieerde vormen van aftrekken Aanvulvarianten van Rekenen-op-rij 48+?=75

Varianten – 75-5=70  70-40=30  30-3=27 – 65, 55, 45, 35  35-8=35-5-3=27 – 75-40=35  35-8=27

– 49(1), 50(2), 51(3) …. 75(27)  27 – 48+2=50  60, 70  70+5=75  20+5+2=27 – 48+2=50  50+25=75  25+2=27 – 58, 68  68+2=70  70+5=75  20+7=27

1.2c Kolomsgewijs aftrekken als ‘gestileerde’ vorm van hoofdrekenen

Compenseren bij afleiden uit een optelfeit 48+?=75 via 50+25=75; 48 is twee minder dan 50; dan moet ik 2 bij 25 optellen, is 27 Compenseren bij afleiden uit een aftrekfeit 75-48=? via 75-50=25; 50 is twee meer dan 48, dan houd ik er 2 meer over; 25+2=27

Figuur 1.2 – ‘Gestileerde’ en ‘gevarieerde’ vormen van hoofdrekenen (Bron: Treffers, 1989, p. 15 t/m 17)

1.2.5

Schattend rekenen

De vragen 2 en 3 van het Hans-probleem illustreren ‘natuurlijke’ ingangen voor globaal rekenen, dat beter bij dergelijke situaties past dan precies uitrekenen. Het belang van dergelijke vragen in zulke contexten is, in Treffers’ (Ibid., p. 18-19) woorden, dat er ‘ineens een mentaal gordijntje wordt opengetrokken, waardoor de leerlingen zicht krijgen op de wereld buiten de school, op getallen in de realiteit’. Dit brengt ons tot de algemene waardebepaling van schattend rekenen en hoofdrekenen.

1.2.6

Waardering van hoofdrekenen

In onderstaand citaat verwoorden Treffers en de Moor (1990, 90-91) de drie meest gebruikte argumenten voor het opnemen van hoofdrekenen in de leerplannen van veel westerse landen:

8

Aanleiding en probleemstelling Er zijn drie redenen om hoofrekenen aan te prijzen. Ten eerste blijkt uit onderzoek dat het overgrote deel van het rekenwerk in het leven van alledag uit hoofdrekenen en schattend rekenen bestaat, waarbij geen standaardmethoden van het cijferen worden gebruikt11. Hoofdrekenen heeft dus praktische waarde. Ten tweede hanteren kinderen bij het oplossen van vraagstukjes vaak informele werkwijzen12. Handig rekenen sluit daarop aan en benut die ‘natuurlijke’ aanpak. Hoofdrekenen is derhalve van persoonlijke waarde. Ten derde voegt hoofdrekenen een nieuwe dimensie aan het rekenen toe. Namelijk die van het niet-mechanistische, inzichtelijke, flexibele, probleemgerichte opereren binnen het getalsysteem. Het heeft daarom ook wiskundige waarde.

1.2.7

Didactiek en doorgaande lijn

Tussen de publicatie van deel 2 van de Proeve… (1990) en de introductie van de euro (2002) zijn reeds ingevoerde realistische methoden als De Wereld in getallen en Rekenen en Wiskunde conform het nieuwe programma en de didactische richtlijnen aangepast. En er zijn nieuwe methoden als Pluspunt, Rekenrijk en Alles telt op de markt verschenen. Deze voortgezette vernieuwing laat zich als volgt kenmerken. Optellen en aftrekken tot honderd vormt de schakel tussen het aanvankelijk rekenen in de onderbouw en het cijferen in de bovenbouw en als fundering voor flexibel rekenen en hoofdrekenen met grotere ronde getallen en met miljoenen en miljarden. De lijn die door het rekenprogramma is getrokken, gaat, zoals eerder gezegd, uit van het Wiskobas principe van de ‘progressieve schematisering’ van eigen manieren van optellen en aftrekken. Het basisidee is dat de leerling in de loop der tijd een eigen repertoire van rekenmethoden en rekenprocedures ontwikkelt, dat breed en efficiënt kan worden ingezet. Specifieke contextproblemen, visualiseringsmiddelen en modellen worden ingezet om deze rekenmanieren ‘geleid’ uit te vinden. Idealiter gaan de leerlingen letterlijk op zoek naar de wiskunde in de voorgelegde opgaven (Gravemeijer, 2003b). Ze vertellen elkaar hoe ze zich de betreffende probleemsituatie voorstellen, waar ze bij de getallen aan denken en leggen op deze manier uit hoe ze hebben gerekend, c.q. waarom men op deze manier kan (mag) rekenen. De nieuwe leerlijn loopt door de hele basisschool, vanaf de onderbouw (jaargroep 1-2) tot en met jaargroep 8. Leerlingen ontplooien hun begrip van getallen en operaties en construeren hun eigen rekengereedschappen langs oplopende niveaus van denken, symboliseren en bewerken, vanaf het naspelen van elementaire optelen aftrekproblemen met verzamelingen objecten tot algoritimisch optellen en aftrekken, via tussenvormen van tellen en hoofdrekenen.

11 12

Verwezen wordt naar Hope (1986). Treffers en de Moor baseren zich o.a. op de observaties van Reys & Reys (1986).

9

Hoofdstuk 1

–

–

–

–

1.3

Het proces vangt aan met activiteiten rond het tellen, vergelijken, structureren van hoeveelheden in betekenisvolle contexten uit het leven van alledag (leerdoel 1). Deze oriënterende fase mondt uit in het memoriseren en leren toepassen van de gereconstrueerde opteltafels en de daarvan afgeleide aftrekrelaties onder de 20 (leerdoel 2). Hierop aansluitend, start het rekenen onder de 100 met het uitbeelden en oplossen van contextproblemen met behulp van concreet materiaal (leerdoel 6). De op gang gebrachte differentiatie en formalisering van rekenprocedures verloopt vervolgens, via gradueel schematiseren, van verkort tellen tot gestandaardiseerd en flexibel hoofdrekenen (leerdoel 3), precies zoals de tweelingzussen Ylja en Joni dat aanbeleven. Eerst leren de kinderen hun oplossing van contextproblemen en kale aftrekkingen correct uit te beelden met sprongen op een zelfgemaakte getallenlijn (eind jaargroep 4).Wanneer ze dit onder de knie hebben en begrijpen wat de relatie tussen de tienvouden en eenheden impliceert voor optellen en aftrekken, leren ze met deze positiewaarden te rekenen. Het mondt uit in onder elkaar aftrekken met tekorten, zoals afgebeeld in figuur 1.2. Tegelijkertijd maken de leerlingen kennis met de ‘handige’ manieren van aftrekken, via aanvullen in plaats van aftrekken en via redeneren vanuit een bekende optelling of aftrekking. Er wordt pas vanaf de tweede helft van jaargroep 5 gestart met algoritmisch rekenen, via de verdere schematisering van de positionele, kolomsgewijze manier van hoofdrekenen (leerdoel ‘cijferen’).

Aanleiding voor de systematische analyse van oplossingsprocedures bij aftrekken tot 100

De directe betrokkenheid van Cito bij het vaststellen van de kwaliteit van het RWO en de ontwikkeling van instrumenten voor de realisering van de zorgverbreding13 bij RW gaven aanleiding om oplossingsprocedures bij rekenen tot 100 systematisch te analyseren. De studie heeft in die zin een onderwijspolitieke (kwaliteitzorg; Van der Schoot, 2001; 2008), onderwijskundige (programmatische en structureelorganisatorische vernieuwing van het basisonderwijs; Doornbos, 1995) en vakdidactische grondslag (voorgezette ontwikkeling van het RWO vanuit de realistische invalshoek (Treffers, 1987; 1989; Treffers en de Moor, 1990; TAL-team, 1999; Buijs, 2000). 13

Onder ‘zorgverbreding’ wordt verstaan een cyclisch proces van vier opeenvolgende activiteiten. De leraar neemt eerst een toets af om leerlingen met extra behoeften te signaleren, stelt vervolgens diagnostisch vast wat individuele of groepen leerlingen nodig hebben en stelt een handelingsplan op, waarna de geplande zorg wordt uitgevoerd en geëvalueerd.

10


De eerste aanleiding is de discrepantie tussen de verwachtingen van de rekenwiskundegemeenschap en de feitelijke rekenprestaties bij de presentatie van de resultaten van de derde Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON) voor rekenen/wiskunde halverwege de basisschool op de Panama najaarconferentie van 200014. De tweede aanleiding is de voortzetting van toetsontwikkeling en diagnostisch onderzoek binnen het project Cito Volgsysteem (LOVS)15 in het perspectief van ‘opbrengstgericht werken’ (Commissie Evaluatie Basisonderwijs, 1994) en ‘werken met ontwikkelingsperspectieven’ in het speciale (basis)onderwijs (Inspectie van het onderwijs, 2002; 2007).

1.3.1

Aanbod en rekenvaardigheid bij de derde PPON rekenpeiling halverwege de basisschool (1997)

Cito is in 1986 gestart met het project PPON16. De eerste eindpeiling – d.i. jaargroep 8 - vindt plaats in het voorjaar 1987, de eerste medio-peiling – d.i. jaargroep 5 - in het najaar (Wijnstra, 1988). De tweede medio-peiling wordt in 1993 uitgevoerd (Bokhove, van der Schoot & Eggen, 1995). Bij de derde medio-peiling in 1997 (Noteboom, van der Schoot, Janssen & Veldhuijzen, 2000) zijn de verwachtingen van de realistische gemeenschap hooggespannen. De basisscholen hebben namelijk, met ondersteuning van de lokale schoolbegeleiders, ‘en masse’ de nieuwe realistische methoden ingevoerd en geadopteerd. De percentages van figuur 1.3 laten zien dat in 1987 ruim 40% van de scholen nog een traditionele rekenmethode gebruikte. Tien jaar later is het marktaandeel gedaald tot minder dan 2%. Dat van de realistische rekenmethoden is fors gegroeid, vooral door de komst van Pluspunt en de nieuwe versie van de methode De Wereld in Getallen. Dat de scholen de realistische benadering adopteren, blijkt uit het feit dat 90% van de leraren in de jaargroepen 4 en 5 aangeeft dat zij de gebruikte methode vrijwel in zijn geheel volgen (ibid. 29). Hetzelfde percentage geeft aan dat hun leerlingen in de voorafgaande jaren met dezelfde reken-wiskundemethode zijn onderwezen. Zou dit alles de verwachte leereffecten opleveren? Noteboom e.a. (2000) geven daar in hun rapportage antwoorden op door de PPON resultaten af te zetten tegen de (niet wettelijk voorgeschreven) ‘tussendoelen’ (TAL-team, 1999; Buijs, 2000) die een nadere uitwerking vormen voor de kerndoelen 1998. Ze dienen als zodanig voor de planning van het onderwijsleerproces, samen met de daarbij ontwikkelde leerlijnen. Bijlage 1 geeft een overzicht van de kerninhouden van Panama staat voor Pabo Nascholing Mathematische activiteiten. Cito presenteert periodiek de resultaten van de peilingen en organiseert workshops rond de voorgelegde ontwikkelingen in het kader van deze jaarlijkse conferentie. 15 LOVS staat voor Leerling- en OnderwijsVolgSysteem. 16 De periodieke peilingen worden halverwege en aan het einde van het basisonderwijs uitgevoerd. Ze moeten empirische gegevens verschaffen over het leeraanbod en de leeropbrengst bij onder andere de Nederlandse taal en Rekenen-wiskunde om op basis van rationele argumenten daarover te kunnen discussiëren. 14

11

Hoofdstuk 1

de voor deze studie relevante onderwerpen van de peiling in relatie tot de nagestreefde tussendoelen en gemeten leerresultaten. De ordening van de opgaven in oplopende volgorde van moeilijkheidsgraad (c.q. het beheersingsniveau van de leerlingen) brengt vier patronen aan het licht: Titel methode Operatoir rekenen (oud & nieuw) De Wereld in getallen (oud) De Wereld in getallen (nieuw) Taltal Rekenen en Wiskunde Getal in beeld (hybride) Rekenwerk Pluspunt subtotaal realistisch/hybride Naar zelfstandig rekenen Niveaucursus rekenen Nieuw rekenen voor het basisonderwijs Naar aanleg en tempo De rekenboom Aktief rekenen subtotaal traditioneel overige (niet in de handel verkrijgbaar)

1987 24.8 13.7 6.0 4.2 2.1 1.1 55.3 22.5 8.8 8.5 0.7 0.7 0.4 43.3 1.4

1997 9.2 16.2 17.7 / 22.3 / 2.3 29.2 96.9 1.5 / / / / / 1.5 1.6

Figuur 1.3 – Verdeling van de gebruikte rekenmethoden (in percentage scholen) bij de 1e en 3e PPON rekenpeiling halverwege de basisschool (Bron: Wijnstra, 1988, p. 23; Noteboom e.a., 2000)

Gebrek aan inzicht in de relaties tussen tientallen en eenheden. De moeilijkheidsgraad van de opgaven rond het samenstellen en splitsen van hoeveelheden onder de 100 blijkt sterk afhankelijk te zijn van de getallen in de opgaven. Zo is de opgave 60 + .. = 100, die door het gros van de leerlingen goed wordt beheerst, gemakkelijker dan 56 + 44 (opgave 7), 64 + .. = 100 (opgave 8) en 43 + .. = 100 (opgave 12) die een beroep doen op het inzicht in de relatie tussen de tientallen en de eenheden van samengestelde getallen. Meer leerlingen ondervinden nu problemen met dergelijke ‘splitsopgaven’. Moeite met contextopgaven. In tegenstelling tot de verwachtingen, blijken sommige contextopgaven moeilijker dan ‘kale’ opgaven die een beroep op dezelfde of verwante getalrelaties en rekenhandelingen. Dit geldt zowel voor ‘optellen’ als voor ‘aftrekken’, maar de problemen bij aftrekken drukken sterker hun stempel op de prestaties dan die bij optellen. De percentiel-10 leerling beheerst bijvoorbeeld de kale optelling 45 + 8, maar de contextopgave van voorbeeld 3 (58 + 7) niet. Bij ‘aftrekken’, leveren de getallen 54 en 25 in de combinatiecontext van voorbeeldopgave 8 meer problemen op dan 64 en 28 in de kale aftrekking van voorbeeldopgave 2. De gemiddelde leerling

12


heeft ruim 50% kans om 64 - 28 correct uit te rekenen, terwijl het busprobleem ruim buiten zijn vaardigheidsbereik ligt. Getallen: Structureren 2] Joris en Ineke verdelen 100 knikkers. Ineke krijgt er 70. Joris krijgt er _______. 7] Welke twee getallen zijn samen 100? 44 65 56 66 46 45

7] Doe mee aan de Veluwse fietstocht van 3 dagen: dag 1 26 km dag 2 30 km dag 3 24 km Hoeveel is de afstand in totaal?

8] 64 + …..= 100

8] Om 10 uur waren er 48 kinderen in het zwembad. Een uur later waren er 27 kinderen bijgekomen. Hoeveel kinderen waren er om elf uur in het zwembad?

12]

9]

Hoe groot sprong?

is

de

Bewerken: optellen 1] 45 + 8 = 2] 34 + 50 =

tweede De korte paal is 76 cm hoog. De lange paal is 9 cm hoger. Hoe hoog is de lange paal?

3] Oma is 58 jaar. Opa is 7 jaar ouder. Opa is _______ jaar.

Bewerken: aftrekken 7] 50 - 26 = 8] 64 - 28 = 9] 61 -59 = 10] In de bus zijn 54 zitplaatsen. Er zitten 25 mensen in de bus. Hoeveel zitplaatsen zijn er nog vrij? 11]

Brenda heeft 74 stickers. Emilie heeft 18 stickers minder. Hoeveel stickers heeft Emilie? 12] Willemien is 9 jaar oud. Haar oma is 63 jaar oud. Hoeveel jaar is oma ouder dan Willemien?

Figuur 1.4 - Voorbeeldopgaven PPON medio 1997 (Bron, Noteboom e.a. 2000)

Sommige aftrekopgaven zijn voor vrijwel iedereen te moeilijk. Het derde probleem betreft de bewerking van getallen van kale aftrekkingen met tientaloverschrijding. Sinds de eerste peiling in 1987, behoren gevallen als 64-28 en 72-59 tot de moeilijkste aftrekopgaven (ibid. 59). Alleen de 10% meest vaardige leerlingen beheersen dergelijke aftrekkingen halverwege de basisschool. Basiskennis ontbreekt bij de zwakste groep. Aftrekken en indirect optellen (c.q. aftrekken) onder de honderd doet een beroep op bekende getalrelaties en/of rekenautomatismen. Het blijkt dat de onderste 10% tot 20% van de leerlingen nog niet over deze voorwaardelijke basiskennis beschikt (zie onderwerp Basisoperaties in bijlage 1). Het gaat daarbij om aftrekrelaties van het type (90-50, 84-40 en 56-50, 68-5 en 92-8 (ibid. 38).

13

Hoofdstuk 1

Bovenstaande resultaten van 1997 zijn vergeleken met die van de eerste en tweede medio-peiling (1987 en 1992)17. Noteboom e.a. (2000) rapporteren de volgende ontwikkelingen in de tijd: –

–

–

De vaardigheid bij Tellen en ordenen is in de loop van de tien jaar geleidelijk aan licht toegenomen. Het vaardigheidsniveau bij Structureren was in 1992 hoger dan in 1987, maar is in de loop van de hierna volgende vijf jaar licht gedaald. De optelvaardigheid bleef stabiel tussen 1987 en 1992 (Bokhove e.a., 1996). De nieuwe opgavenverzameling bevestigde dit. Over de periode 1992-1997 werd echter een klein negatief effect gevonden, zodat er sprake was van een kleine daling van de vaardigheid tussen 1987 en 1997. Deze tendens was groter bij aftrekken. De uitgebreide opgavenverzameling bevestigde de vooruitgang tussen 1987 en 1992. Het relatief grote negatieve effect over de periode 1992 – 1997 resulteerde in een significant klein negatief effect over de periode 1987 – 1997.

De problemen bij contextrekenen riepen vragen op ten aanzien van de processen die zich bij probleemoplossen afspelen. Wat zagen leerlingen in de contexten? Hoe stelden ze zich de samenhang tussen de betreffende getallen voor? En: hoe werden deze getallen bewerkt? De discrepantie tussen de resultaten en de verwachtingen en de lichte daling van de prestaties nodigden uit om te onderzoeken of de leerlingen met de nieuwe realistische rekenmethoden wel de bouwstenen construeerden die cruciaal zijn om getallen vlot en flexibel te leren bewerken, zoals bedoeld door de ontwerpers van de Proeve… In de context van de landelijke invoering van de realistische rekenmethoden kwamen Noteboom e.a. (2000) tot de conclusie dat er bij een volgend onderzoek, ‘zeker voor het onderwerp ‘Aftrekken’, meer aandacht zou moeten worden geschonken aan de invloed van de context - ‘afhalen’ versus ‘aanvullen’, ‘vergelijken’ en ‘scheiden’ – of misschien beter van de interactie tussen de context en het oplossingsgedrag van de leerlingen’ (ibid. 59 en 60). De vigerende studie is het antwoord op deze aanbeveling.

1.3.2

Ontwikkelingsgericht diagnosticeren en plannen met het LOVS

We zagen in paragraaf 1.1 dat het ministerie van OCW sinds de invoering van de wet op het basisonderwijs (1985) het innovatiebeleid van scholen zowel inhoudelijk als structureel-organisatorisch aanstuurt. Scholen moeten hun aanbod vernieuwen via de gewenste doorgaande leerlijn tussen jaargroep 1 en 8 in de onderscheiden domeinen van ‘rekenen en wiskunde’. Ze moeten er tevens voor zorgen dat iedere leerling zich tussen 4 en 11 jaar ‘ononderbroken’ blijft ontwikkelen. Deze doelstelling was gericht op het voorkomen van leerproblemen die de uitstroom van het speciaal onderwijs in 17

Bij deze vergelijking is niet gecontroleerd op effecten van methodegebruik, formatiegewicht en geslacht.

14


de hand werken. Het markeert het beginpunt van een lang proces dat in 1999 uitmondt in de invoering van de wet op het primair onderwijs – het onderwijs dat basisscholen en scholen voor speciaal onderwijs verzorgen voor kinderen van 4 tot 12 jaar. Het neemt vervolgens een nieuwe wending als gevolg van de zorgelijke uitval van leerlingen in sommige scholen in achterstandswijken. Het advies van de Onderwijsraad (1999) om zogenoemde leerstandaarden wettelijk vast te stellen, brengt de beleidsmakers op het idee om zogenoemde referentieniveaus te ontwikkelen (Expertgroep doorlopende leerlijn taal en rekenen, 2008) en deze ook wettelijk vast te stellen, als aanvulling op de kerndoelen. De kerndoelen stellen de kennis en bekwaamheid (het leerstofaanbod) vast die deoverheid per se wil garanderen. De referentieniveaus omschrijven wat elke leerling minimaal moet weten en kunnen om de drempels te kunnen nemen van de voor hem optimale schoolloopbaan - de zogenoemde ‘fundamentele’ kwaliteit en ‘streefkwaliteit’ bij taal en rekenen. Opbrengstgericht werken (Commissie Evaluatie Basisonderwijs, 1994) en werken met ontwikkelingsperspectieven (Inspectie, 2007) is het pendant van de referentieniveaus, vanuit de verantwoordelijkheid van de schoolbesturen, schoolteams en individuele leraren bezien. Het komt, pedagogisch-didactisch bezien neer op een inspanningsverplichting, namelijk: ervoor zorgen dat leerlingen continu en naar eigen leervermogen optimaal worden uitgedaagd, opdat zij een zo hoog mogelijk eindniveau bereiken. Wat motiveert Cito om vanuit dit aspect van het RWO het hoofdrekenwerk van de leerlingen systematisch te analyseren? Rond de eeuwwisseling ontwikkelde de afdeling Primair Onderwijs plannen voor de uitgave van de tweede generatie toetsen van het zogenoemde LeerlingVolgSysteem (Kraemer, 2009a), dat tegenwoordig de naam heeft van Cito Volgsysteem. Scholen hadden op grote schaal de toetsen van de eerste generatie ingevoerd (Janssen, Kraemer & Notenboom, 1995; 1996; 1997) na het zorgelijke evaluatierapport Onderwijs-op-maat van de Inspectie van het onderwijs (1997). Cito had zogenoemde Hulpboeken uitgegeven (Kraemer, 1995, 1996a) waarmee leraren de groep minst gevorderde leerlingen adequaat konden uitdagen op basis van de longitudinale analyse van de vorderingen in rekenkennis en rekenbekwaamheid. Deze hulpmiddelen werden echter niet gebruikt, ondanks de deelname van een tachtigtal Pabo-docenten en schoolbegeleiders aan de gegeven scholing ten behoeve van de regionale scholing van de leraren (Kraemer, Nelissen & Janssen, 1996). In het onderwijsverslag 2000 stelt de Inspectie (2000) vast dat er zich geen vooruitgang voordoet in de afstemming van het leerstofaanbod op de leerlingen. Zij betrekt daarbij niet de toegenomen complexiteit van de leerlingenzorg en de differentiatie als gevolg van de instroom van leerlingen met ‘speciale’ behoeften in het ‘reguliere’ primair onderwijs, na de hierboven besproken invoering van de Wet op het Primair Onderwijs (augustus 1998). De inspectie relateert de stilstand wel aan het toenemende lerarentekort. Ongeveer 40% van de school differentieert zoals bedoeld en realiseert aldoende de verwachtingen van de ononderbroken ontwikkeling van de leerling.

15

Hoofdstuk 1

Tussen deze twee evaluaties in neemt de bezorgdheid over de risico’s voor leerlingen uit maatschappelijk achterstandsgroepen toe. Voor de zwakste leerlingen dreigt, zoals de Onderwijsraad (1999) dat toen formuleerde, het gevaar dat zij in het primair onderwijs zo weinig leren, dat zij in het vervolgonderwijs en vervolgens maatschappelijk buiten de boot vallen. Daarom krijgt de Expertgroep doorlopende leerlijnen de opdracht om niveaus te beschrijven, zodat leerlingen ‘soepel’ over de ‘lastige drempels’ die in de schoolloopbaan zitten, heenkomen. De risico’s van deze leerlingen tekenen zich, wat rekenen-wiskunde betreft, duidelijk af in de gevonden effecten van het formatiegewicht en het stratum18 op de vaardigheid van de leerlingen. Bij de derde medio-peiling in het najaar van 1997 was er een klein verschil in prestatie tussen Nederlandse arbeiderskinderen (1.25-leerling) en landgenoten met hoger opgeleide ouders (1.00-leerling). Kinderen uit gezinnen waarvan ten minste een van de ouders van niet-Nederlandse herkomst is (1.90leerling), hadden een grote achterstand. De gemiddelde leerling van deze groep opereerde bij meer onderwerpen beneden het percentiel-25 niveau van de 1.00leerlingen. Vergelijkbare effecten waren gevonden bij de derde eindpeiling in het voorjaar van 1997. Deze effecten rechtvaardigen, vanuit de verantwoordelijkheid van de overheid bezien, de druk op scholen om hun aanbod aan en de begeleiding van de leerlingen (beter) te differentiëren, daarbij rekening houdend met wat cruciaal is voor de voortgang. In deze context besloot de groep Ontwikkeling & Onderzoek Rekenen-wiskunde Primair Onderwijs van Cito om het procesmatig-diagnostische gehalte van het LOVS te versterken en een referentiekader voor de gebruikers te ontwikkelen voor de observatie, diagnose en planning van het werk van de 25% minst gevorderde leerlingen. Hiertoe zouden de inzichten uit de kwalitatieve analyse van geobserveerde oplossingsprocedures worden geïntegreerd met de informatie die de psychometrische gegevens van de opgavenbanken van LOVS en PPON verschaffen. Dit kader zou geleidelijk aan moeten worden ontwikkeld via de constructie van opgaven die specifiek zijn gericht op de specifieke kennis en vaardigheden waarvan we aannemen dat ze toegang verschaffen tot de opeenvolgende niveaus van denken, symboliseren en rekenen – de in hoofdstuk 4 geëxpliceerde ‘drempelleerstof’ (Kraemer, 2009a; 2009b). Dit vormt de tweede, meer praktische aanleiding voor de onderhavige studie van het rekenwerk van leerlingen.

18

Peilingsonderzoek vindt altijd plaats bij een steekproef van scholen. De scholen zijn verdeeld in drie groepen / strata op basis van hun schoolscore. Deze schoolscore is gebaseerd op het zogenoemde formatiegewicht. Het formatiegewicht duidt op een combinatie van sociaal-ecomische status, opleidingsniveau en herkomst van de ouders.

16


1.4

Probleemstelling

In het voorgaande is een overzicht gegeven van de moeilijkheden die Noteboom e.a. (2000) hebben gesignaleerd in het domein van de Getallen en getalrelaties en de Basisautomatismen en Bewerkingen optellen-afrekken, halverwege de basisschool. Hiervan uitgaande, kunnen we het probleem waar het onderhavige onderzoek zich op richt, als volgt omschrijven: –

–

Te veel leerlingen rekenen onder het verwachte niveau in het getalgebied tot honderd. Gelet op de volgorde van aanbieding van de hoofdrekenmethoden, lopen ze het risico niet tijdig het eindniveau te bereiken dat toegang geeft tot (i) onder elkaar rekenen, (ii) optellen en aftrekken volgens vaste procedures, (iii) schattend rekenen en (iv) flexibel hoofdrekenen met veelvouden van duizend, miljoenen en miljarden. Er doen zich serieuze problemen voor bij rekenen in contexten waar aftrekken een andere betekenis heeft dan ‘afhalen’. De numerieke symbolisering van de relatie tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van de opgave en de bewerking van de getallen van de beschreven relatie brengen minstens de helft van de populatie in moeilijkheden. Wat het probleem is, is niet bekend. De wiskundige symbolisering? De bewerking van de getallen? Of: het samenspel tussen beschrijven en bewerken?

Dit alles roept de kernvraag op van de onderhavige studie: Wat doen leerlingen bij het oplossen van aftrekopgaven onder de 100 dat de discrepantie verklaart tussen de verwachtingen en de resultaten? In de oriënterende fase van de studie zijn aanknopingspunten gezocht in de onderzoeksliteratuur om deze vraag in relevante deelproblemen te kunnen uitwerken. Het leidde tot de afbakening van het onderzoeksgebied in drie met elkaar samenhangende hoofdthema’s die in het vervolg worden gepresenteerd: 1. 2. 3.

1.4.1

rekenen als uitdrukking van numeriek leren denken; reflectieve klassengesprekken als motor van dit proces en de invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele opgaven op het oplossingsproces.

Leren rekenen als uitdrukking van numeriek denken

De hierboven besproken internationale bezinning over de basisvaardigheden van rekenen-wiskunde op de basisschool heeft een ware omwenteling in het denken over ‘leren’ en ‘onderwijzen’ teweeggebracht. Becker & Selter (1996, 511) formuleren het als volgt: ‘Teaching is no longer seen as a treatment and learning as the effect. Learners are people who activeley construct mathematics’. Dit uitgangspunt, dat leerlingen hun eigen wiskundige gereedschappen construeren, is vakinhoudelijk en

17

Hoofdstuk 1

vakdidactisch verschillend ingevuld, zoals we later in hoofdstuk 3 zullen zien. Er zijn nuanceverschillen in de doelen en inhouden (wat de leraar aan de orde moet stellen en de leerling moet leren) en in de structurering van het onderwijsleerproces en de rol van de leraar en de leerling bij dit proces (hoe er wordt onderwezen en geleerd). De betrokken rekendidactici en wiskundige onderwijsspecialisten hebben elkaar echter gevonden in een aantal kernideeën en werkprincipes die we in deze dissertatie met de term ‘reconstructiedidactiek’ aanduiden. Deze onderwijsaanpak is verankerd in het gemeenschappelijke denkbeeld dat kinderen wiskundig leren denken door ‘objecten’ uit ‘handelingspatronen’ te abstraheren via de reflectie op wat ze in een bepaald activiteitengebied met een zekere vanzelfsprekendheid doen (Van Hiele, 1973; Steffe, Glaserfeld & Cobb, 1983; Gray & Tall, 1994;). Men neemt daarbij als voorbeeld (‘ontwikkelingsmodel’) de ontstaanswijze van de wiskunde als benaderingswijze en kennissysteem. Paradigmatisch hiervoor is het ontstaan van een ‘natuurlijk getal’ als ‘denkding’ om, zoals Freudenthal (1984, 92) dat formuleert, zekere verschijnselen die te maken hebben met hoeveelheden, te ordenen. In aflevering 2 van zijn reflectie rond het thema Wiskundig fenomenologisch, beschrijft Freudenthal (1990a, 13) als volgt hoe, ‘aan de wortels van de wiskunde’, het ‘natuurlijk getal’ uit het telproces is geabstraheerd. De getallenrij is de oorspronkelijke vorm, het eerste taalkundige wiskundig algoritme. Zodra de opeenvolging van de telwoorden wordt gebruikt om iets te tellen, verkrijgt de getallenrij uiteenlopende betekenissen die verbonden zijn met wat er wordt geteld, in welke context en met welke bedoeling. Door af te zien van deze verscheidenheid – wat Piaget (1972) ‘reflectieve abstractie’ noemt – wordt het getal als een op zichzelfstaande ‘entiteit’ mentaal geconstitueerd. Het fungeert vanaf dat moment als ‘ding’ (‘notie’; ‘concept’) dat vanuit haar operationele en structurele kant wordt gebruikt om over hoeveelheden te denken en ermee te manipuleren (Sfard, 1991). Laten we ‘acht’ als voorbeeld nemen. Het kan worden opgevat en gebruikt als het resultaat van ‘optellen’ via verder tellen met één (de proces-kant van getallen) en als ‘som’ (5+3=8, 6+2=8, etc.), ‘verschil’ (10-2; 12-4, etc.), ‘product’ (het dubbele van 4; vier keer twee) of ‘quotiënt’ (de helft van 16) (de structuur-kant van getallen). Vanuit deze invalshoek hebben we twee aanknopingspunten voor de observatie en analyse van oplossingswijzen gevonden. Ten eerste de twee vormen van denken die worden ingezet bij het lokaal oplossen van contextprobleem (c.q. formuleopgaven). Ten tweede de verschillen in oplossingsniveaus als neerslag van de conceptuele en operationele groei van de leerling.

‘Relationeel’ en ‘rekenkundig’ redeneren bij probleem oplossen Wat het oplossen van problemen betreft, wordt er in de realistische didactiek een verschil gemaakt tussen het beschrijven van een probleem en het bewerken van de getallen (Treffers, 1987; Gravemeijer, 1994; 2003a). In de context van de analyse van hoeveelheidsrelaties stellen Thompson & Tompson (1996) dat beschrijven een beroep doet op ‘relational reasoning’ en bewerken op ‘calculational reasoning’. Het eerste aspect van probleemoplossen heeft betrekking op het leggen van de juiste relaties tussen de

18


hoeveelheden van de probleemsituatie, het tweede op het correct berekenen van de ontbrekende term binnen de numerieke relatie die deze relatie symboliseert. Dit laat zich als volgt illustreren met het busprobleem uit de derde PPON-rekenpeiling: In de bus zijn 54 zitplaatsen. Er zitten 25 mensen in de bus. Hoeveel zitplaatsen zijn er nog vrij?

Leerlingen kunnen minstens op drie manieren de situatie interpreteren die in figuur 1.5 numeriek is weergegeven: –

–

–

Als een verzameling van 54 stoelen die bestaat uit een set van 25 bezette stoelen en een set van een onbekend aantal vrije stoelen. Deze visie laat zich met een afsplitsing symboliseren. Als een kwantitatief verschil tussen twee hoeveelheden, denkend aan hoeveel de ene hoeveelheid meer / minder is dan de andere. Dit kan met een indirecte optelling of aftrekking worden gerepresenteerd. Als het numerieke verschil dat het resultaat is van een aftrekking. Afsplitsing / Combinatie

Kwantitatief verschil

Numeriek verschil

Figuur 1.5 Drie interpretaties en passende symboliseringen van het busprobleem

Hoe de leerling vervolgens denkt bij het uitrekenen van 54 = 25 + ?, 25 + ? = 54 en 54 - ? = 25 en 54 – 25 = ? is afhankelijk van uiteenlopende procedurele kennis in de zin van Hiebert (1986): – – –

begrip van ‘splitsen’, ‘indirect optellen/aftrekken’, ‘aftrekken’ en van de relatie tussen deze operaties; inzicht in en de parate kennis van de optelen aftrekrelaties tussen 54, 25 en 29 en begrip van de (hoofdreken)methoden en procedures die hij kan inzetten om 54 = 25 + ?, 25 + ?.= 54 en 54 - ? = 25 en 54 – 25 = ? uit te rekenen.

In onderstaande oplossing beschrijft de leerling de relatie van het busprobleem met een indirecte optelling – de stipsom [25+..=54]. De numerieke uitdrukking roept het geheugenfeit [25+25=50] op en hierdoor de herleiding via de compensatie +4. Dit voorbeeld maakt de connectie zichtbaar tussen beschrijven en bewerken, via de bewustwording (c.q. het besef) van wat je ziet en doet:

19

Hoofdstuk 1

25 + ? = 54 via 25+25=50 … Oh! … natuurlijk! Het is 4 meer dan 25! 50=25+25, dus 54=25+29 Dit richt de aandacht op drie aspecten van het onderwijsleerproces: 1. 2. 3.

het op verschillende manieren symbolisch beschrijven van de relaties tussen aantallen of maten in de reële contexten van het leven van alledag; het vergelijken en manipuleren met denkbeeldige hoeveelheden en grootheden via een of andere representatie ervan; de constitutie van de rekenkennis en rekenprocedures die nodig zijn om de getallen van de gebruikte numerieke relaties inzichtelijk en vlot te bewerken.

Dit laatste punt richt de aandacht op de processen en de producten van de voortgang in kennis en bekwaamheid tussen 4 jaar en 9 jaar. Oplossingsniveaus als uidrukking van de conceptuele en operationele groei van de leerling Het Leidse onderzoeksteam19 heeft in de laatste tien jaar van de vorige eeuw het oplossingsgedrag van leerlingen met verschillende vaardigheidsniveaus breed onderzocht. De betrokken onderzoekers varieerden daarbij vrij systematisch het type probleem (van stipsommen tot geïllustreerde verschillen in prijzen en leeftijden via kale optellingen en aftrekkingen en contextproblemen) en de getallen van de opgaven (getalstructuur en orde van grootte van het verschil). Ze waren op zoek naar de mechanismen die spelen wanneer een leerling een set gevarieerde opgaven oplost. We laten hieronder de inzichten die deze studies hebben opgeleverd de revue passeren. De betreffende kwesties worden geïllustreerd met denkbeeldige oplossingsprocedures van het busprobleem (figuur 1.6) die geïnspireerd zijn door geobserveerde oplossingen van deze studie. – –

–

–

19

Een doorsnee leerling reageert eerder spontaan dan bewust op een opgave. Middenbouw-leerlingen interpreteren aftrekproblemen verschillend, afhankelijk van de context en/of de getallen. Wat ze in die context en/of deze getallen zien, bepaalt zowel de richting als de vorm van de bewerkingen. In de regel tellen leerlingen indirect op om een kwantitatief verschil te berekenen. Zij trekken af wanneer zij de relatie van de opgave als een numeriek verschil opvatten. Indirect aftrekken wordt slechts bij uitzondering toegepast, als de leerling vertrouwd is met de vereiste berekening. Leerlingen bewerken de getallen van de geabstraheerde rekenstructuur met één van de geleerde vormen van rijgen, splitsen of beredeneren. Dit betekent dat zij op een gegeven moment ook met tientallen en eenheden (splitsend)

De volgende publicaties zijn geraadpleegd: Van Mulken (1992); Hoogenberg & Paardekooper (1995); De Joode (1996); Beishuizen (1997); Beishuizen, Van Putten en Van Mulken (1997); Klein (1998); Blöte, Klein & Beishuizen (2000); Blöte, Van der Burg & Klein (2001).

20


indirect optellen (25+..=54) via 20+10=40 en 5+9=14) of redeneren vanuit een paraat optelfeit (25+..=54 via 25+25=50, dus is het 29 i.p.v. 25). Deze bewerking is vanzelfsprekend of brengt een leerling juist in verlegenheid, afhankelijk van de conceptuele en instrumentele toerusting op dat moment. Misconcepties signaleren dat leerlingen op een, voor hen, voorlopig nog te hoog abstractieniveau proberen te redeneren en te rekenen. Zij beschikken gewoon nog niet over het vereiste begrip van tientallig rekenen en voorwaardelijke rekenkennis en rekenvaardigheden. Dit geldt bijvoorbeeld voor de leerling die de eenheden verwisselt bij splitsend aftrekken en die structureel 10 hoger uitkomt bij aanvullen met tientallen en eenheden.

– –

Vanuit deze aanwijzingen, construeren we in hoofdstuk 4 de sequentie in de conceptualisering van [getal], [tellen], [optellen] en [aftrekken] en de stapsgewijze uitvinding en formalisering van de bewerkingen die hiermee gepaard gaan. We hebben namelijk een ‘model’ nodig om vast te kunnen stellen hoe en op welk niveau de geobserveerde leerlingen denken en waar de bron van de ondervonden problemen moet worden gezocht. We beschrijven de denkbeeldige (ideale) voortgang bij ‘geleid uitvinden’ vanuit de integratie van meer wiskundige (Van Hiele, 1973; Sfard, 1991; Freudenthal, 1991) en meer cognitief-psychologische (Tall, 2006) denkbeelden over de abstractie van noties van getallen uit rekenhandelingen, bij reflectieve gesprekken in de grote kring over zelf uitgevonden oplossingsprocedures. Naar het voorbeeld van Tall en Gray (1994) illustreren we deze groei in aritmetisch denken met de mentale constructies die in de internationale onderzoeksliteratuur zijn gerapporteerd. Interpretatie / Strategie

Rijgen

Via het tienvoud of direct met de 10-sprong 54-4=5040, 30 30-1=29 44, 34 34-4=3030-1=29 54-20=34; 34-5=29

Splitsen

Onbekend deel  indirect optellen: 25 + ? Rest  aftrekken: 54 – 25 = ? = 54. Via het tienvoud of direct met de 10-sprong 25+5=3040, 50 50+4-54; 20+9=29 35, 4545+5=5050+4-54; 20+9=29 25+20=45; 45+9=54; 20+9=29 Eerst de eenheden of eerst de tientallen 5+9=14; 20+20=40; dan is het 20+9-29 20+20=40; 5+9=14; Dan is het 29 Misconceptie 20+30=50; 4 erbij is 54; dus 34

Combinatie van splitsen met rijgen 50-20=30; 30+4=34; 34-5=29 50-20=30; 30-5=25; 25+4=29 Misconceptie 50-20=30; 4-5 kan niet  5-4=1, samen 21

25+25=50 54 is 4 meer dan 50. Dan wordt het 29 i.p.v. 25 Misconceptie 20+34=54, 5 meer is 39

50-25=25 54 is 4 meer dan 50. Dan houd ik er 4 meer over: 29 Misconceptie 50-25=25; 4 minder is 21

Beredeneren

Bewerkingen

meth.

Figuur 1.6 Gebruik van rijgen, splitsen en beredeneren in combinatie met indirect optellen en aftrekken bij het oplossen van het busprobleem

21

Hoofdstuk 1

1.4.2

Reflectieve klassengesprekken (‘mathematical discours’) als motor van de ontwikkeling

Binnen de reconstructiedidactiek wordt van leerlingen verwacht dat zij zelf de noties en werkwijzen ontwikkellen die hen in staat stellen kritisch, inzichtelijk en efficiënt met getalsmatige gegevens om te gaan. De kunst voor de leraar is om hiervoor de juiste condities in de klas te realiseren. Een voorbeeld daarvan is wat in de Amerikaanse reformbeweging (NCTM, 1991; Atkins, 1999; Schifter, 1996) en internationaal vergelijkingsonderzoek (Stigler & Hiebert, 1998) ‘reflective discours’ wordt genoemd. Deze reflectieve klassengesprekken komen, qua intentie en vorm, sterk overeen met de ‘interactieve’ aard van realistisch rekenen (Treffers, 1987). ‘Leren is niet louter een solo-activiteit maar speelt zich in een gemeenschap af en wordt door die sociaal-culturele context gestimuleerd’ (Treffers & de Moor, 1990). Dit sociaal-culturele aspect van leren komt op verschillende manier tot uitdrukking in de reflectieve klassengesprekken die de leraar in verschillende contexten van een les initieert en begeleidt. Leerlingen onderhandelen over de betekenis en juistheid (waarheid) van wat men in iets ziet (Bauersfeld, 1995). De gesprekken ondersteunen het begrip van het eigen denken en wekken de belangstelling op voor andermans visie, denkbeelden, manieren van doen (Cobb, 1995; Wood, 1995; Yackel, 1995). En de leraar vormt zich een beeld van hoe leerlingen denken, welke misconceptie hen tijdelijk in verwarring brengt en waar hij of zij zich op zou moeten richten om aan hun actuele behoeften te kunnen voldoen (Brown & Campione, 1994). Twee onderwijsexperimenten illustreren hoe dit ‘reflectieve discours’ als het ware de motor is van de voortgang in kennis en bekwaamheid via de reflectie op wat er aan ideeën en werkwijzen in de groep leeft. Het eerste experiment betreft de constructie van alle mogelijke afsplitsingen van ‘vijf’ (Cobb e.a., ongedateerd, Keynote Presentation)20. 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5

Figuur 1.7 Structuur van de afsplitsingen van 5

Vijf apen die in twee bomen spelen vormen de context. Ze springen van de ene boom naar de andere. De vraag is hoe dit spel met getallen kan worden beschreven. Het probleem richt de aandacht op de afsplitsingen van vijf die in de eerste fase van 20

Van den Brink (1989) heeft een vergelijkbare activiteit ontworpen rond zeven passagiers in een dubbeldekker.

22


het experiment worden geïnventariseerd. Dan verschuift de leraar de aandacht van de structurering van 5 naar de structuur in de afsplitsingen van 5, via de vraag of de groep wel alle mogelijke ‘paren’ heeft gevonden. Het tweede experiment wordt in hoofdstuk 3 besproken. Het meten wordt daarbij als ingang gebruikt om de getallenlijn te introduceren21. Het afpassen van stroken van ‘een’ en ‘tien’ (die uit het meten met stappen is geabstraheerd) legt (het patroon in) de decimaal-lineaire relaties onder de honderd bloot, zoals: 40 + 7 = 47; 30 + 17 = 47; 47 + 3 = 50; 47 + 10 = 57, of: 73 – 3 = 70; 73 – 13 = 60; 73 – 10 = 63. Van hieruit vinden de meeste leerlingen het vanzelfsprekend om dit type getalrelaties te gebruiken voor het uitbeelden van de relatie tussen de hoeveelheden van contextproblemen met sprongen op een lege getallenlijn. De klassikale reflectie betreft dan zowel het beeld dat de deelnemers zich hebben gevormd van de kwantitatieve relatie van de probleemsituatie als de getalrelaties die zijn gebruikt om de gestelde vraag te kunnen beantwoorden. Een dergelijk ‘mathematical discours’ is noodzakelijk omdat het regelmatig gebeurt dat een leerling of een groep leerlingen een voorgelegde oplossing niet kan ‘plaatsen’. Daar kunnen verschillende oorzaken voor zijn: –

– –

de leerling begrijpt de gekozen operatie niet, bijvoorbeeld wanneer er wordt gekozen voor indirect aftrekken (leegmaken), terwijl de leerling de opgave ziet als een opdracht een verschil uit te rekenen; de leerling herkent een gekozen combinatie van strategie en procedure niet, omdat de leerling die uit zichzelf nooit zou gebruiken; de leerling begrijpt de bewerking van de getallen niet, omdat die een beroep doet op een notie van getallen en rekenprocedures die nog boven zijn of haar macht ligt.

Waar het nu bij reflectieve gesprekken in de kern om gaat, is dat de groep oplossingen vanuit twee complementaire vragen bespreekt: – –

Wat is er aan de hand, wanneer eenzelfde contextprobleem verschillend wordt opgelost en de gevolgde oplossingswijzen hetzelfde antwoord genereren? Hoe komt het dat de ene combinatie van strategie en methode de bewerking van de getallen gemakkelijker maakt dan een andere?

Dergelijke gesprekken vergen veel van de leerling en van de leraar, zoals de KNAW-commisie (2008) dat recentelijk heeft vastgesteld, op basis van haar overzichtstudie naar de relatie tussen rekenvaardigheid en rekendidactiek. ‘De leraar is de spil in het onderwijsleerproces. Er worden hem hoge eisen gesteld, vooral bij onderwijs dat ruimte laat aan de inbreng van en de interactie tussen de leerlingen, zoals realistisch rekenen’, aldus de commissie (ibid., 84). Klassengesprekken staan of 21

Dit experiment is in verschillende publicaties behandeld. Raadpleeg o.a. Gravemeijer (1999a; 2000; 2004); Stephan (1998); Stephan, Cobb, Gravemeijer & Estes (2001); Stephan, Brouwers, Cobb & Gravemeijer (2004).

23

Hoofdstuk 1

vallen met de man/vrouw voor de klas. Van begin af aan hameren de vernieuwers (Fuson, 1992; Treffers, 1987) erop dat de leraren een klimaat in de klas moeten creëren dat debatteren op het ontwikkelingsniveau van de groep mogelijk maakt. De leerlingen zouden moeten weten wat de leraar in de verschillende fasen van het probleemoplossen van hen verwacht. Dit impliceert voor de leraren dat zij zogenoemde ‘socio-math norms’ (Yackel & Cobb, 1996) met hun leerlingen ontwikkellen, dat wil zeggen gedragsregels met betrekking tot de samenwerking en het debat in het eigen veld van wiskundige activiteiten in de klas. Bijvoorbeeld, wat de ‘luisteraars’ geacht worden te doen als een ‘spreker’ zijn oplossingsprocedure inbrengt (samenwerkingsnormen) en wat ‘demonstreren’, ‘toelichten’ en ‘rechtvaardigen’, wiskundig gezien inhouden, en hoe je dat kan doen. Recapitulerend, vanuit de invalshoek van rekenen als uitdrukking van numeriek leren denken, zijn vier relevante onderwerpen gevonden voor de afbakening en opzet van dit onderzoek: 1. 2. 3. 4.

leren denken in termen van relaties tussen hoeveelheden, deze relaties in termen van een operatie leren symboliseren en de relatie tussen deze operaties overzien; methoden en procedures ontwikkelen en formaliseren voor een inzichtelijke en vlotte bewerking van de getallen; strategisch leren rekenen vanuit het inzicht in de numerieke relaties en in wat een bewerking gemakkelijk of juist moeilijk maakt; didactische condities die dit alles bevorderen.

Er is tot slot binnen het onderzoeksparadigma van probleemoplossen een keten van studies verricht naar de problemen die ontstaan als contextproblemen schriftelijk worden voorgelegd. Dit onderzoek naar zogenoemde ‘word problems’ (tekstuele opgaven) heeft de invloed van opgavenkenmerken bloot gelegd die specifieke aandacht verdienen.

1.4.3

Invloed van linguïstische en vormkenmerken van tekstuele opgaven

In zijn commentaar op de resultaten van de eindpeiling van 1987, legt Theunissen (1988) zijn visie voor over de ‘extra moeilijkheden’ die het talige karakter van wat hij een ‘tekstuele’ opgave noemt, veroorzaken. Hij doelt op de ‘decodering’ van de schriftelijke informatie in de beschrijving van de situatie en de gestelde vraag. De leerling moet ‘de semantische structuur van de opgave doorgronden om tot het mentaal of conceptueel model te komen’, aldus Theunissen (ibid.171). Dit voegt een extra dimensie toe aan het hierboven geïntroduceerde ‘relational reasoning’, zoals opgevat door Thompson en Thompson (1993; 1996). Deze ‘decodering’ is binnen de ‘probleem research’ (De Corte & Verschaffel, 1987; Verschaffel & de Corte, 1997) en de ‘problem solving approach’ (Fuson, Wearne,

24


Hierbert, Murray, Human, Olivier, Carpenter & Femmena, 1997) in de afgelopen dertig jaar, internationaal en vanuit een gemeenschappelijk classificatiesysteem van ‘word problems’, uitvoerig en zeer systematisch onderzocht. De gebruikte indeling gaat uit van vier klassen van problemen die met de termen change (oorzaak verandering), combine (combinatie), compare (vergelijking) en equalize (gelijk maken) worden aangeduid. Deze studies hebben aangetoond dat specifieke kenmerken van een schriftelijk aangeboden contextprobleem het oplossingsproces negatief en positief kunnen beïnvloeden. De voor dit onderzoek relevante bevindingen laten zich als volgt samenvatten: –

–

– –

Leerlingen scannen als het ware de tekst op zoek naar ‘sleutelwoorden’ die naar een bekende klasse van problemen verwijzen, zoals ‘nog’ (aanvullen), ‘minder’ (vergelijken) en ‘over’ (afhalen) (De Corte & Verschaffel, 1987; Verschaffel & de Corte, 1997). Talige aspecten van de tekst als de (in)consistentie tussen wat een sleutelwoord suggereert en de juiste voorstelling van de probleemsituatie beïnvloeden het oplossingssucces (Van der Schoot, Vastbinder, Horsley, Reijntjes & van Lieshout, 2009; Van der Schoot, Reijntjes & van Lieshout. 2011); De volgorde van aanbieding van de relevante informatie beïnvloedt de beeldvorming van de situatie. Illustraties die relevante informatie verschaffen die de tekst niet geeft, doen een beroep op het werkgeheugen. Dit kan in het nadeel werken van leerlingen met weinig werkgeheugencapaciteit, die al moeite hebben met het mentaal bijhouden van hun rekenstappen.

Wij zullen in hoofdstuk 2 zien, dat Verschaffel (1988) vóór de uitgave van de balans al kanttekeningen had geplaatst bij het voorstel van Treffers, de Moor en Feijs (1988) om leerlingen van begin af aan met een breed scala van contextproblemen te confronteren. Hij steunde het streven, maar miste een zekere systematiek in de beschrijvende fase van het probleemoplossen. Leerlingen zouden expliciet moeten leren een contextprobleem grafisch en numeriek in kaart te brengen en in die zin ‘strategische kennis en vaardigheden’ moeten verwerven. Dit verzoek werd in die vorm niet gehonoreerd. Treffers, de Moor en Feijs (ibid.13-19) verwezen naar het vierde principe van de realistische didactiek, dat reflectieve klassengesprekken aanbeveelt ter ondersteuning van het leerproces van de individuele leerling.

1.4.4

Conclusie

Wij hebben zojuist een rondgang in de literatuur gemaakt langs het gebruik van contextproblemen en kale rekensommen bij leren hoofdrekenen, om aanknopingspunten te vinden voor de afbakening, structurering en opzet van onderhavige studie. De volgende conclusie kan uit deze oriëntatie worden getrokken.

25

Hoofdstuk 1

Het oplossen van formuleopgaven en contextproblemen is geen losstaande vaardigheid die als zodanig kan worden geleerd. Het maakt deel uit van een complexe wiskundige bekwaamheid. Het doet ten eerste een beroep op denken in termen van numerieke relaties die de relatie tussen concrete of denkbeeldige hoeveelheden en grootheden symboliseren (‘relationeel’ denken bij het wiskundig beschrijven van processen of relaties). Het vergt ten tweede de ontwikkeling van verschillende vormen van operationeel denken binnen het eigen systeem van getallen, numerieke relaties en operaties als knooppunten van relatienetten (‘rekenkundig’ denken in de bewerkingsfase van problemen oplossen). Het einddoel van adequaat en flexibel hoofdrekenen vergt ten slotte de ontwikkeling van strategisch denken vanuit het verworven inzicht in de mogelijkheden en beperkingen van het eigen rekeninstrumentarium. Basisschoolleerlingen ontplooien progressief deze drie vormen van wiskundig denken. Ze construeren stap voor stap de daarbij betrokken rekenkennis (c.q. noties/concepten; symbolen) en rekenprocedures (c.a. algoritmen) via de reflectie en discussie in klassengesprekken over persoonlijke denkbeelden en werkwijzen en die van groepsgenoten die de eigen rekenactiviteit en de communicatie erover teweeg hebben gebracht. Er is een kader nodig om deze conceptuele en operationele groei van de leerling te beschrijven, een beschrijvingskader, dat als model van de nagestreefde groei kan fungeren. In hoofdstuk 4 proberen we als het ware een prototype te construeren via de hiërarchische organisatie van de vormen van optellen en aftrekken uit constaterend onderzoek vanuit de beschikbare theorieën over de niveaus van het leerproces bij wiskunde-leren en de groei van kinderen in rekenkundig denken. We hebben in het voorgaande de sleutelkwesties van het onderzoeksgebied geïnventariseerd. Op basis van de opbrengst van deze oriëntatie zijn vijf richtinggevende onderzoeksvragen geformuleerd voor de afbakening, structurering en opzet van de vigerende studie. Ze worden in het vervolg gepresenteerd en kort toegelicht.

1.5

Richtinggevende onderzoeksvragen en algemene opzet van de studie

De volgende vragen zijn als wegwijzers gebruikt voor de afbakening, structurering en opzet van de vigerende studie: – –

Wat is de ideale progressie van de leerlingen bij leren hoofdrekenen onder de 100, volgens de principes van de realistische didactiek? (verwachtingen) Wat kunnen leerlingen met lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid halverwege de basisschool in het domein van de Getallen en getalrelaties, de Basisautomatismen en de Bewerkingen ‘optellen en aftrekken’? (feitelijke voortgang)

26


–

–

–

Ad. 1

Hoe denken en rekenen deze leerlingen bij het oplossen van aftrekopgaven? En: wat is de bron van de foutieve antwoorden die ze geven? (toepassingsvaardigheid) Wat zeggen de analyseresultaten over de groei van de leerling in numeriek denken en de verworven hoofdrekenvaardigheden halverwege de basisschool? (Balans van rijgen, splitsen en beredeneren en ontwikkelingstendens) Wat gebeurt er bij het leren rekenen onder de honderd? En: in hoeverre weerspiegelen de data de nuanceverschillen tussen de drie onderscheiden varianten van de reconstructiedidactiek? (discussie) Ideale progressie

Wij richten ons op leren en onderwijzen in het getalgebied tot 100 in het verlengde van het aanvankelijk rekenen. De ideale rekenlijn die we als ‘norm’ nemen is die van de Tussendoelen annex leerlijnen (TAL-team, 1999; Van den Heuvel- Panhuizen, Buijs en Treffers, 2001) en de leerlijn van de Proeve … (Treffers & de Moor, 1990) die als basisstructuur is gebruikt. De didactische principes zijn ontleend aan Treffers’ (1987) globale onderwijstheorie en aan de daarvan afgeleide principes voor hoofdrekenen (Treffers & de Moor, 1990). Deze realistische aanpak van leren hoofdrekenen wordt in hoofdstuk 3 gepresenteerd als een van de drie ontwikkelde varianten van de reconstructiedidactiek die is voortgekomen uit de nieuwe visie op het belang van rekenen en het actief betrekken van de leerling bij het leerproces. Ad. 2

Wat kunnen leerlingen halverwege de basisschool?

De directe observatie van de leerlingen is ingebed in de vierde PPON rekenpeiling halverwege de basisschool die in januari/februari 2002 is uitgevoerd. De afname is verschoven ten opzichte van die van de drie eerste peilingen om de relatie te kunnen leggen tussen het landelijk onderwijsniveau in de deelgebieden van rekenen-wiskunde en de algemene rekenvaardigheid van individuele leerlingen, zoals gemeten met de toetsen van het Cito volgsysteem (LOVS). Als gevolg van deze afstemming van de PPON-afname op die van het LOVS en de integratie van de gegevens bij de analyse van de resultaten, werd het mogelijk om de kennis en bekwaamheid van twee groepen leerlingen, halverwege de basisschool, onder de loep te nemen. In januari/februari 2002 zijn in het kader van de vierde PPON-rekenpeiling ongeveer 150 deelnemende leerlingen met een lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid direct geobserveerd bij het oplossen van een reeks optelen aftrekopgaven. Het jaar daarop (januari/februari 2003) zijn evenveel leerlingen uit een steekproef van LOVS-scholen geobserveerd die deelnamen aan het normeringonderzoek ten behoeve van de uitgave van de tweede generatie LOVS-toetsen. De vraag Wat kunnen leerlingen halverwege de basisschool? wordt beantwoord op basis van de resultaten van beide steekproeven van scholen, zoals gerapporteerd in de Balans [31] van het reken-wiskundeonderwijs halverwege de basischool (Kraemer, Janssen, Van

27

Hoofdstuk 1

der Schoot en Hemker, 2005)22. Hoofdstuk 6 geeft een overzicht van de opgaven die de drie vaardigheidsgroepen onvoldoende, matig en goed beheersen. Voor zover dat mogelijk is, wordt vastgesteld welke inhouden en vaardigheden de leerlingen beheersen die toegang geven tot de niveaus van denken, symboliseren en bewerken van het, in hoofdstuk 4, geconstrueerde model van de groei van de leerling. Ad. 3

Hoe denken en rekenen de leerlingen?

De directe observatie van de drie PPON- en LOVS-vaardigheidsgroepen levert het bestand van oplossingsprocedures op dat inzicht moet geven in hoe leerlingen, halverwege de basisschool, relationeel, operationeel en strategisch denken bij het oplossen van een reeks gevarieerde aftrekopgaven die in hun vaardigheidsbereik liggen. Er is bewust gekozen voor de afstemming van de opgaven op het vaardigheidsniveau van de leerlingen, zodat ze kunnen tonen wat ze van de getallen en de operaties begrijpen en daarom toepassen. Dit impliceert dat het gehanteerde onvolledige design zeer geringe mogelijkheden biedt voor de vergelijking van de oplossingsprocedures tussen de drie vaardigheidsgroepen. In hoofdstuk 5 wordt de gekozen analyse van drie aspecten van de geobserveerde oplossingsprocedures verantwoord: 1. gebruikte vormen van hoofdrekenen (aard en niveau van de bewerkingen), 2. de omgang met de context en de getallen van de opgaven (relationeel en strategisch denken) en 3. de bron van de gegeven foutieve antwoorden (begripsfouten, rekenfouten en uitvoeringsfouten). Ad. 4

Balans van rijgen, splitsen en beredeneren

Dan wordt op basis van de patronen in de resultaten van deze analyse de balans opgemaakt van rijgen, splitsen en beredeneren. Uit deze sterkte-zwakte analyse van de vaardigheid abstraheren we de dominante tendens in de groei van numeriek denken in de eerste helft van de basisschool. Het onderzoek is dan feitelijk voltooid. Ad. 5

Discussie

Wiskunde-didactici, psychologen en onderwijskundigen vormen tegenwoordig een internationale gemeenschap van experts op het probleemveld van wiskunde leren en wiskunde onderwijzen. In deze nieuwe context zijn in de laatste decennia van de vorige eeuw drie paradigmatische vormen van lesgeven in het getalgebied onder honderd ontworpen die in deze dissertatie zijn aangeduide met de term TAL-didactiek, de probleemoplossende didactiek en de Amerikaanse realistische didactiek. In het theoretische kader van hoofdstuk 3 beschrijven we vier spanningsvelden bij het ontwerpen die rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen uit de onderzoeksgemeenschap uit elkaar kunnen drijven. Dit betreft tegenstellingen ten 22

Deze analyse sluit aan bij die van de resultaten van de derde PPON rekenpeiling die in bijlage 2 van zijn samengevat.

28


aanzien van het algemene doel, de afbakening van de leerstof, de macro-structurering van het leerproces en de functie van de klas. Op basis van de gevonden patronen in de drie stijlen van ontwerpen, komen we tot de conclusie dat we kunnen spreken van een ‘algemene reconstructiedidactiek’ die verschillende kleuring krijgt, afhankelijk van het ingenomen standpunt in de ervaren spanningsvelden. In het afsluitende hoofdstuk 11 interpreteren we eerst de gevonden tendens in de groei van de leerlingen vanuit de vraag wat hen mogelijkerwijs beweegt om te handelen zoals ze dat doen en waarom de leraar hen die ruimte geeft. Van hieruit reflecteren we in de discussie over de vraag in hoeverre wat er in de klas bij hoofdrekenen gebeurt het gevolg is van het standpunt dat de Nederlandse realistische didactici hebben ingenomen ten aanzien van de vier componenten die de eigen kleuring geven aan een reconstructiedidactiek: het algemene doel, de leerstructuur, de macro-structurering van het leerproces en de functie van de klas.

1.6

Relevantie van het onderzoek

Deze studie is zowel onderzoekstheoretisch als praktisch relevant. Het slaat een brug tussen het Nederlandse fenomenologisch-didactische ontwikkelingsonderzoek voor het ontwerpen van onderwijsleeromgevingen en leertrajecten en het Amerikaanse empirische, cognitief-psychologische onderzoek naar de ontwikkeling van het getalbegrip en van optelen aftrekalgoritmen. De ontwikkelde hiërarchie van tussenvormen van hoofdrekenen biedt houvast voor zowel de toetsontwikkelaar als voor de (aanstaande) leraren, nu de overheid de continue ontwikkeling van elke leerling wil bewerkstellingen via planning- en opbrengstgericht (reken-wiskunde) onderwijs.

1.6.1

Vaktheoretische en vakdidactisch relevantie

Treffers (1987) globale onderwijstheorie, die in hoofdstuk 3 wordt gepresenteerd, heeft de basis gelegd voor de Nederlandse aanpak van het ontwerpen van onderwijsleeromgevingen en leertrajecten. Deze ontwerpactiviteiten via zogenoemd ‘ontwikkelingsonderzoek’ zijn, volgens Gravemeijer (1994; 2006), in drie peilers verankerd: het uitgangspunt van de geleide ontdekking (reinvention), de fenomenologisch-didactische analyse van de leerstof en de modellen die uit de activiteit van de leerling ‘naar boven drijven’ (emergent models). Het principe van de geleide uitvinding geeft aan dat de leerling, onder leiding van de leraar, versneld de weg van de generaties deskundigen aflegt om zelf een eigen rekeninstrumentarium te construeren binnen een kritische samenwerking en communicatie met groepsgenoten. De zogenoemde ‘fenomenologisch-didactische’ analyse van de leerstof brengt de probleemsituaties in kaart die de leraar, langs deze weg, achter elkaar aan de orde kan

29

Hoofdstuk 1

stellen, opdat de leerlingen nieuwe noties kunnen abstraheren uit hun handelingen bij het oplossen van de voorgelegde problemen. Dit proces vindt in de regel plaats via het uitbeelden van het proces of de relaties van het betreffende contextprobleem. Al doende maken leerlingen eigenschappen van getallen (c.q. relaties tussen getallen, numerieke relaties en/of operaties) zichtbaar die zij hierna kunnen onderzoeken om toegang te kunnen krijgen tot een hoger niveau van begrip en vaardigheid. Vanuit de Piagetiaanse tradities is een meer cognitief-pyschologische benaderingswijze van ontwerpen ontwikkeld. Deze aanpak is gebaseerd op min of meer systematisch opgezet empirisch onderzoek naar enerzijds de ‘natuurlijke’ processen van leren tellen en optellen en aftrekken onder de tien en anderzijds decimaal-positioneel leren denken en rekenen, dat berust op conventies, en in die zin niet ‘natuurlijk’ is en meer sturing van de leraar vergt (Carpenter, 1997). De theorie van Gray en Tall (1994) over de abstractie van noties uit de reflectie op eigen handelingen fungeert op de achtergrond als model van de nagestreefde groei in numeriek denken, precies zoals de fenomenologisch-didactische ordening de mentale objecten die de leerlingen in een realistische leeromgeving uit de eigen oplossingen van de voorgelegde keten van problemen abstraheren. Deze twee benaderingen worden in deze studie op twee niveaus geïntegreerd: eerst bij de presentatie van de varianten van de reconstructiedidactiek in hoofdstuk 3 en vervolgens bij de constructie van een model van de nagestreefde groei van de leerling tussen 4 jaar en 9 jaar bij het leren hoofdrekenen onder de honderd (c.q. de aanpassingen van de geleerde procedures voor elementaire bewerkingen met driecijferige getallen).

1.6.2

Praktische relevantie

Wij zagen in paragraaf 1.3.2 dat de druk op schoolbesturen en schoolteams toeneemt om, rekening houdend met de gedefinieerde referentieniveaus, hun onderwijs opbrengstgericht en vanuit ontwikkelingsperspectieven te plannen. Dit heeft de sectie Ontwikkeling en Onderzoek Rekenen-wiskunde Primair onderwijs aangespoord om het diagnostische aspect van de LOVS-toetsen te versterken (Kraemer, 2009a). De ontwikkelde sequentie van de formalisering van rijgen, splitsen en beredeneren geeft een overzicht van de specifieke noties en vaardigheden die volgens de geraadpleegde theorie en het empirisch onderzoek toegang geven tot de opeenvolgende niveaus van denken, symboliseren en bewerken. Deze ‘inhouden’ kunnen in principe zodanig in opgaven worden gecontextualiseerd dat adaptief diagnostisch toetsen en plannen mogelijk wordt (van den Heuvel-Panhuizen & Eggen, 2011). De sleutel tot verbetering van de rekenvaardigheid ligt in het niveau van de leraar, aldus de KNAW-commissie (2009, p. 9) in de hoofdconclusie van haar rapport over het rekenonderwijs op de basisschool. Zij expliceert haar standpunt als volgt.

30

Aanleiding en probleemstelling ‘De opleiding en nascholing van de leraar zijn in ernstige mate geërodeerd. Het Ministerie van OCW dient de pabo-opleiding aan een grondig onderzoek te onderwerpen en nascholing in rekenvaardigheid en rekendidactiek krachtig te stimuleren’ (ibid., p. 9).

De ontwikkelde sequentie zou de (aanstaande) leraar een houvast kunnen geven die nu gemist wordt om de beleidsverwachtingen waar te kunnen maken.

1.7

Indeling van de rapportage

De hoofdstukken 2, 3, 4 en 5 vormen het theoretische, empirische en methodologische kader van deze studie. We presenteren in hoofdstuk 2 het ‘hoofdrekenen’ en het ‘cijferen’ van het realistische programma dat in de onderwijspolitieke context van de jaren tachtig is ontworpen voor het leerstofgebied Rekenen-wiskunde op de basisschool tegen de achtergrond van de internationale bezinning over de betekenis van ‘rekenen’ in de basisvorming anno 1980. We beschrijven in hoofdstuk 3 de theorie achter en de methodiek van wat ‘realistisch rekenen’ werd genoemd. We beschouwen deze stijl van lesgeven als de Nederlandse karakteristieke uitwerking van algemene didactische principes waarmee in de jaren negentig wereldwijd werd geëxperimenteerd. Om de oplossingsprocedures vakinhoudelijk en in ontwikkelingsperspectief te kunnen beschrijven en vergelijken, construeren we in hoofdstuk 4 een classificatiesysteem en een sequentie van de voortgang in de begripsvorming van natuurlijke getallen, tellen, optellen en aftrekken en van de gelijktijdige formalisering van de drie geleerde methoden van hoofdrekenen: rijgen, splitsen en beredeneren. We laten ons daarbij leiden door Freudenthal’s (1989) opvatting dat de leerling op eigen kracht zijn rekenkennis en rekeninstrumenten kan (dient te) construeren, onder de vakkundige begeleiding van de leraar. We ontlenen de trend in het abstractieproces aan de theorie van hoofdstuk 3 en de methoden en vormen van bewerken aan de empirisch gefundeerde internationale documentatie. Hiermee is de basis gelegd voor de opzet van de twee uitgevoerde empirische studies die in hoofdstuk 5 worden verantwoord. Dit betreft: –

–

in studie A, het aanbod van de leerkrachten en de kennis en bekwaamheid van de drie vaardigheidsgroepen in het domein van de getallen en optellenafrekken onder de honderd met een uitbreiding tot duizend (vierde PPONrekenpeiling en het LOVS-onderzoek); in studie B, de wijze waarop de leerlingen van de drie gevormde vaardigheidsgroepen hun eigen reeks opgaven oplossen en de bron van de foutieve antwoorden die hun bewerkingen generen.

31

Hoofdstuk 1

De analyseresultaten van studie A worden in hoofdstuk 6 gepresenteerd, die van studie B in de hoofdstukken 7 t/m 9. We maken in hoofdstuk 10 de balans op van rijgen, splitsen en beredeneren en omschrijven het ontwikkelingspatroon dat we hieruit hebben geabstraheerd. In de afsluitende discussie expliciteren we wat we denken dat er bij aftrekken onder de honderd gebeurt en hoe we dit relateren aan de keuzes die de betrokken realistische rekendidactici hebben gemaakt.

32

Hoofdstuk 2 Hoofdrekenen en cijferen in het nationale realistischonderwijsprogramma

2.1

Inleiding

In tegenstelling tot andere Europese landen als Engeland, Frankrijk en Portugal, is het in Nederland niet vanzelfsprekend dat de overheid gedetailleerde voorschriften geeft over het onderwijsaanbod. Wat basisschoolleerlingen bij het vak Rekenen-wiskunde moeten leren, is aanvankelijk formeel vastgesteld in de Wet op het basisonderwijs (Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen, 1984) en nader gespecificeerd in het Besluit Kerndoelen voor het Basisonderwijs van 1993. De kerndoelen voor rekenenwiskunde zijn sindsdien nauwelijks gewijzigd, ook niet bij de herziening van de kerndoelen in 1998 (Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen, 1998). Omwille van een ononderbroken ontwikkeling van iedere leerling heeft de overheid wel het zogenoemde TAL-team eind jaren negentig gevraagd om te specificeren waar de leraar zich op moet richten bij de planning van de activiteiten bij rekenen-wiskunde (TAL-team, 1999; Van de Heuvel-Panhuizen, Buijs en Treffers, 2001. De commissie Meijerink kreeg op haar beurt, tien jaar later, de opdracht ‘referentieniveaus’ te formuleren, opdat iedere leerling in zijn hele schoolcarrière ‘over de drempels van Taal en rekenen kan gaan’ (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen bij Tal en Rekenen, 2007). Een ander verschil met de landen om ons heen is dat de Nederlandse overheid grote schoolbesturen, individuele scholen, de inspectie, onderwijsinstellingen (de vakgroep OW&OC23, SLO, Cito en landelijke pedagogische centra) en vakverenigingen de ruimte gaf om, vanuit hun reguliere activiteiten, hun eigen stempel te drukken op de doelen en inhouden van rekenen-wiskunde op de basisschool (Van Bruggen & Gorter, 1985). Dit heeft het mogelijk gemaakt dat de rekendidactici die, in 23

OW&OC staat voor Onderzoek Wiskunde en Onderwijs Computercentrum (OW&OC). Het werd later omgedoopt tot het Freudenthal Instituut dat tegenwoordig Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education (FIsme) heet.

31

Hoofdstuk 2

opdracht van de Overheid het ‘realistische’ alternatief voor traditioneel rekenen en de New Math beweging hadden ontworpen (zie paragraaf 1.1), een nationaal leerplan konden ontwikkelen en door uitgeverij Zwijsen laten uitgeven. Dit plan was een bewerking van de kerndoelen in ontwikkeling, conform de realistische filosofie, onderwijsaanpak en systematiek qua leerstofbeschrijving. In hoofdstuk 1 is deze achtergrond van het vigerende onderzoek in grote lijnen geschetst. Dit hoofdstuk zoomt erop in. Het beschrijft de wettelijke en realistische richtlijnen die voor het leerstofaanbod bij hoofdrekenen en cijferen zijn geformuleerd in de context van de internationale en landelijke ontwikkelingen in de twee laatste decennia van de vorige eeuw. De leerlingen die aan het vigerende onderzoek deelnemen, hebben leren rekenen met de onderwijsmethoden die op basis van deze referenties zijn ontworpen. De richtingwijzers voor het aanbod in hoofdrekenen vormen dan ook één van de componenten van het referentiekader dat we nodig hebben om de relatie te kunnen leggen tussen wat de deelnemers van het onderzoek in de eerste helft van hun basisonderwijs hadden moeten leren en wat ze daadwerkelijk hebben geleerd. Dit hoofdstuk reconstrueert het ontwerpproces van het nationale realistisch programma voor rekenen op de basisschool in de onderwijspolitieke omstandigheden van toen, van de eerste raadpleging van het rekennetwerk in 1984 over de inhouden en de condities tot de tweede raadpleging in 1999 over hoofdrekenen en cijferen in de bovenbouw. De wereldwijde bezinning over wat basisschoolleerlingen in een moderne samenleving bij ‘rekenen’ zouden moeten leren, vormt de achtergrond die eerst wordt geschetst. Daarna gaan we meer in detail in op de inhoud van het voorgestelde programma, met name voor zover dit het optellen en aftrekken tot 100 betreft.

2.2

Internationale bezinning over de betekenis van rekenen op de basisschool anno 1980

De jaren tachtig van de vorige eeuw staan internationaal te boek als het decennium van een ingrijpende heroriëntatie op de doelen, inhouden en didactische aanpak van leren rekenen op de basisschool. De reflectie en discussie over rekenen vangt aan in de Verenigde Staten en Engeland waar de leerlingen volgens de standaardalgoritmen leren rekenen zodra ze de voorwaardelijke rekenfeiten en automatismen beheersen. Deze paragraaf schetst de internationale context waarin de Nederlandse rekendidactici die eind jaren zestig van de vorige eeuw de opdracht hadden gekregen het rekenonderwijs te vernieuwen hun koers hebben bijgesteld, daarbij inspelend op de lopende maatschappelijke en onderwijspolitieke ontwikkelingen.

32

Hoofdrekenen en cijferen in het nationale realistisch onderwijsprogramma

2.2.1

De Amerikaanse Agenda for action

De reflectie en discussie resulteren in de Verenigde Staten in de publicatie van A agenda for action die de modernisering op gang brengt. De National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 1980) geeft daarin aan hoe het rekenonderwijs van toen zou moeten worden afgestemd op wat men als nieuwe ‘mathematical needs’ ervoer. In de Amerikaanse onderwijstraditie bleef hoofdrekenen tot dan toe beperkt tot operaties met eencijferige getallen en de automatisering van optellingen en aftrekkingen onder de twintig (Baroody, 1983; 1985). In deze fase van het aanvankelijk rekenen werd toen in de leergang optellen-aftrekken de nadruk gelegd op de begripsvorming van plaatswaarde om zo snel mogelijk over te kunnen schakelen naar het onder elkaar rekenen. In deze decennia leren Amerikaanse leerlingen cijferen volgens de structuralistische aanpak van Resnick (1981; 1987) met de zogeheten Multibase Arithmetic Blocks (MAB) van Dienes (zie Treffers, 1982a; 1982b). In haar overzichtsstudie herleidt Fuson (1992) de roep naar modernisering van dit sterk op het cijferen gerichte rekenonderwijs24 tot drie hoofdmotieven, namelijk: de magere opbrengst van het cijferonderwijs, de perspectieven die informele rekenhandelingen van jonge kinderen bieden in relatie tot nieuwe denkbeelden over leren en onderwijzen en de mogelijkheid om complexe bewerkingen met de zakrekenmachine uit te voeren. Dit laat zich als volgt begrijpen. De landelijke evaluatie van de opbrengst van leren rekenen laat onthutsende resultaten zien (Carpenter, 1981; Reys, 1985; Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist, Silver & Swafford, 198825). Op basis van de toen beschikbare data, maakt Treffers (1982, p. 108) de ruwe schatting dat 80% á 90% van de kinderen aan het einde van de basisschool de vier standaardalgoritmen beheerst. Deze beheersing varieert echter sterk per operatie. Het ligt in de buurt van 90% bij optellen, zakt tot ongeveer 80% bij aftrekken, nadert de 70% bij vermenigvuldigen en ligt omstreeks 60% bij delen. Vergelijkingen met Aziatische landen (Rohlen, 1983; Song & Ginsburg, 1987; Stevenson, Lee & Stigler, 1986) brengen volgens Fuson onweerlegbare gebreken in groep 3 tot en met 5 aan het licht in het domein van de getallen en de bewerkingen. De magere opbrengst van het cijferonderwijs in vergelijking met de geïnvesteerde leertijd is het eerste motief om het belang van routinematig gestandaardiseerd rekenen te heroverwegen. Een tweede motief wordt ingegeven door het spontane rekenwerk van de leerlingen. Onderzoek brengt aan het licht dat kinderen ‘word problems’ vaak niet volgens de geleerde algoritmen oplossen, maar juist op een persoonlijke manier, vanuit een eigen interpretatie van de context en notie van de onderliggende numerieke relatie Volgens de door de Goei (2001, p. 17) geraadpleegde data, werd in 1975 slechts 10% van de onderwijstijd aan leren hoofdrekenen besteed. 25 Een derde van de leerlingen uit jaargroep 5 kan een aftrekking als 62-48 niet correct uitrekenen. Slechts 70% van een steekproef leerlingen uit jaargroep 7 uit de omgeving van Chicago, kan een aftrekkingen met twee keer inwisselen foutloos maken (Stigler e.a., 1990). 24

33

Hoofdstuk 2

en gebruikmakend van beschikbare tel- en rekenvaardigheden. Dit spoorde aan om de rekenvaardigheid vanuit de informele notie van ‘getal’, ‘tellen’, ‘optellen’ en ‘aftrekken’ te ontwikkelen. Men besefte ook dat het stereotype en routinematig oplossen van schoolse problemen uit de tijd was en dat leerlingen de vereiste rekenkennis en vaardigheden het beste konden verwerven via het oplossen van gevarieerde optelen aftrekproblemen en de interactieve reflectie op zelf gevonden foutieve en correcte oplossingen. Fuson expliciteert de uitdaging als ‘to create a new vision of the mathematics classroom that both reflect new knowledge about children’s thinking and is consistent with the new educational goal’ (p. 243). Ze schetst, vanuit dit perspectief, als volgt het beeld dat ze zich van de ideale praktijk in de zogenoemde “reformklassen” van de Amerikaanse vernieuwingsbeweging heeft gevormd: Our envisioned school mathematics classrooms thus are places where (a) children are engaged in mathematical situations that are meaningful and interesting to hem, (b) the emphasis is on sustained engagement in mathematical situations, not on rapidly obtaining answers, (c) alternative solution procedures are accepted, discussed and justified, and, (d) errors are just expected way stations on the road to solutions and should be analyzed in order to increase everyone’s understanding (p.269).

Aansluitend bij het constructivistische standpunt van Cobb, Yackel, Wood, Wheatley & Merkel (1988) stelt Fuson ten slotte al vast dat leraren dit pas zullen bereiken indien ze erin slagen een nieuwe cultuur en manier van communiceren met hun leerlingen te ontwikkelen die de participatie en de voortgang van elke leerling en van de groep als geheel bevorderen: Teachers will need to create new classroom norms in order for children to function in this new way so that (a) children feel free to make and correct their own errors, (b) sustained efforts and progress, not th e number of problems completed, is rewarded, and (c) children figure out their own solution and explain it rather than searching for a remembering the ‘right’ answer (ibid. 269).

2.2.2

Het Engelse Cockcroft report

Brown (1999) schetst een vergelijkbare ontwikkeling in Engeland. In tegenstelling tot de V.S. en Nederland, drukken de beleidsmakers van de opeenvolgende regeringen sterk hun stempel op het onderwijs in de klas. In een decennium van excessieve vrijheid, rijst halverwege de jaren zeventig het idee op van een uniform ‘core’ curriculum. Een onderzoekcommissie onder leiding van Sir Wilfred Cockcroft wordt ingesteld om de stand van zaken in het rekenonderwijs op te nemen naar aanleiding van klachten over gebrekkige vaardigheden van jonge werknemers. Het onderzoek brengt drie hoofdproblemen aan het licht:

34


– – –

veel volwassenen voelen zich niet veilig bij het toepassen van wat ze op school hebben geleerd; kinderen en volwassenen passen eigen rekenmanieren toe en niet de geleerde schoolalgoritmen en; de verschillen tussen de minst en de meest gevorderde leerlingen binnen een zelfde klas kunnen tot zes - zeven jaar oplopen.

Het Cockcroft rapport (1982) pleit dan ook voor een basisonderwijs dat kinderen vertrouwen geeft in eigen kennis en kunde, eigen constructies en producties bevordert en gericht is op inzichtelijk leren en verstandelijk toepassen van het geleerde. Interactieve activiteiten worden aanbevolen om deze begripsvorming en een positieve houding ten opzichte van wiskunde te bevorderen. Ook wordt aanbevolen het onderwijs te differentiëren om in te kunnen spelen op de verschillen in begrip- en vaardigheidsniveau tussen de leerlingen. Ten slotte wordt aangespoord om de zakrekenmachine in te voeren als hulpmiddel ter ondersteuning van de begripsvorming van getallen en de ontwikkeling van hoofdrekenprocedures. Als reactie op de tegenvallende resultaten op het gebied van de getallen en de bewerkingen werden onder een conservatief bewind opeenvolgende richtlijnen geformuleerd voor een ‘National Curriculum for Mathematics’. In de lijn van de Amerikaanse standaarden, wordt aanvankelijk de nadruk gelegd op de begripsvorming, hoofdrekenen en schattend rekenen, inclusief het gebruik van de zakrekenmachine, in een probleemgericht en interactief-reflectieve setting (class instruction). In haar “swing of the pendulum” memoreert Margaret Brown (1990) dat de overheid echter, onder de druk van de media en populaire opinion polls, referentieniveaus op verschillende tijdstippen van de vorming tussen 5 en 16 jaar invoert. Hierdoor individualiseren scholen en leraren hoe langer hoe meer opnieuw hun onderwijs om de verwachte norm te realiseren. Deze tegenbeweging belemmert de voortang in de ingeslagen weg van probleemgericht interactief onderwijs. Nieuwe aanwijzingen van het dominant gebruik van cijferprocedures en een gebrekkige hoofdrekenvaardigheid leiden in 1996 tot het National Numeracy project (DES, 1999) onder het nieuwe bewind van de Labour Party. ‘Mental calculation’ wordt, naast het schriftelijk rekenen, nieuw leven ingeblazen, vanuit het inmiddels mondiaal aangehangen principe dat alle leerlingen in staat zijn zelf een breed repertoire van hoofdrekenmethoden en –procedures te ontwikkelen en flexibel te leren toepassen (Thompson, 1997; 1999).

2.2.3

Stille revolutie in Nederland

Wij zagen in hoofdstuk 1 dat het Wiskobasteam in de loop van de jaren zeventig de innovatie van het rekenonderwijs op gang heeft gebracht vanuit haar opdracht om een alternatief te ontwikkelen voor het traditionele rekenonderwijs en de New Math beweging in opkomst. Ze hebben hierna hun werk voortgezet met nieuwe collega’s van de vakgroep OW&OC en in direct overleg met beleidsmedewerkers van het

35

Hoofdstuk 2

ministerie en rekenexperts uit de verzorgingstructuur. In vergelijking met de V.S. en Engeland wordt dit vernieuwingsproces in Nederland meer beleefd als een ‘stille revolutie’ (Gravemeijer, 1995; KNAW-commissie, 2009; Treffers, 2010) dan als een ‘reform’. De Engelse onderwijsgemeenschap was overgeleverd aan de grillen van de beleidsmakers en de NCTM moest, van begin af aan, haar standaarden zien te verdedigen tegen machtige lobby’s en aanhangers van de traditionele onderwijsaanpak. De vernieuwers in Nederland konden echter telkens voortbouwen op verworvenheden, in dialoog met de beleidsmakers en partners in het onderwijsveld, ook al hebben verschillen in inzichten over het belang van leerstofonderdelen, de nascholing en specialisatie van de leraar deze samenwerking tijdelijk onder druk gezet. De Moor (2009) die lid was van het Wiskobasteam onderscheidt drie fasen in zijn historische reconstructie van de ontwikkelingen vanaf 1980. Ze worden hieronder in dit perspectief gepresenteerd en in de hierna volgende paragrafen een voor een behandeld. In de periode van 1970 tot 1980 neemt het Wiskobasteam van het Instituut voor de Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs (IOWO) de leerplanontwikkeling, opleiding, heroriëntering van de leraren (nascholing) en onderzoek ter hand. Het team experimenteert van meet af aan in de praktijk en betrekt daarbij het onderwijsveld. ‘Verlevendiging van het rekenonderwijs’ is het sleutelwoord bij de productie van inhoudelijke en didactische materialen, aldus De Moor (ibid. 90). Een nieuwe stijl van hoofdrekenen wordt ontwikkeld, namelijk ‘flexibel’ (Jansen, 1973) dan wel ‘gevarieerd’ rekenen (De Moor, 1980) ‘met-het-hoofd’ en niet ‘uit-het-hoofd’. Er wordt hiernaast een eerste alternatief ontwikkeld voor de traditionele aanpak van rekenen onder elkaar: het ‘inzichtelijk’ cijferen met de abacus (De Jong, 1977). Treffers (1978) zet ten slotte met zijn proefschrift Wiskobas doelgericht de realistische theorievorming in de steigers rond het principe van de driedimensionale beschrijving van de doelen van het rekenwiskundeonderwijs. Al deze ideeën worden in meer of mindere mate verwerkt in de nieuwe rekenmethoden die in deze periode op de markt verschijnen26. De oprichting van de Stichting Leerplan Ontwikkeling (SLO) luidt de opheffing van het IOWO in. Het biedt, evenals als de vakgroep OW & OC onderdak aan de voormalige Wiskobasleden die daar hun vernieuwingswerk onder nieuwe beleidscondities voortzetten. Begin jaren tachtig verzoekt het Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen de SLO een ‘model onderwijsplan’ voor de basisschool ‘in aankomst’ te ontwerpen. Het woord ‘model’ geeft aan dat het plan een voorbeeldfunctie zou moeten hebben (van Die, 2010, p. 15) en geen afgedwongen ‘canon’ kon zijn (Van Bruggen & Gorter, 1985). Het ging erom scholen houvast te geven bij de longitudinale planning van hun onderwijs, opdat iedere leerling zich tussen 4 en 13 jaar ononderbroken kon ontwikkelen. De ingestelde Projectgroep Leerplanontwikkeling Basisschool (pg LOB) 26

Gedoeld wordt op het drietal ‘hybride’ rekenmethoden Hoy! rekenen!, Getal in beeld en Operatoir Rekenen nieuw en de methode Taltaal die, volgens de Jong (1985, p. 20), de eerste methode is die ‘vrijwel volledig op de realistische leest is geschoeid’.

36


zou hiertoe een voorstel moeten indienen na raadpleging van vakdeskundigen en deskundigen uit de onderwijspraktijk, waarop de instanties van de advies- en overlegstructuur commentaar konden leveren. De pg LOB slaagde er echter niet in om, op basis van het basismateriaal dat in de brochure ‘Wat krijgen ze op de basisschool’ werd vastgelegd, een valide leerplan voor de basisschool te ontwerpen, aldus van Die (ibid. 15). Volgens hem lag het niet aan het ontbreken van een gemeenschappelijke visie op het onderwijs. Het onderwijsplan was toen voor Nederland een brug te ver, zowel onderwijskundig als onderwijspolitiek gezien. Van Die (ibid. 15) licht dit als volgt toe: Leerplanontwikkeling is het sluitstuk van een cyclisch proces, waarin nieuwe ideeën aan de onderwijspraktijk worden getoetst en waarbij onderzoekers, ontwikkelaars en praktijkdeskundigen nauw samenwerken. Aan leerplanontwikkeling gaan onderzoek en onderwijsontwikkeling vooraf’ 27. Er waren ook principiële bezwaren tegen een onderwijsplan. Confessionele politici en besturen van bijzondere scholen verzetten zich tegen, wat ze wel noemden, centralisme en staatspedagogiek. Zij vreesden aantasting van hun pedagogische of levensbeschouwelijke identiteit en wantrouwde de plannen van PvdA minister Van Kemenade.

Dit probleem wordt pas opgelost na de integratie van het kleuteronderwijs met het lager onderwijs, via de omschrijving van het nieuwe leerstofgebied Rekenen-wiskunde en de formulering van de einddoelen als alternatief voor het onhaalbare onderwijsplan. De SLO krijgt halverwege 1987 de opdracht om voorlopige ‘eindtermen’ te formuleren. De ingestelde ontwikkelgroep28 presenteert begin 1989 haar eindvoorstel dat met moeite de raadplegings- en adviesronde overleeft door verschillen van inzichten tussen de ontwikkelgroep en de betreffende instanties over de relevantie van sommige domeinen (meetkunde) en leerdoelen (gevarieerd tellen). Dit proces leidt uiteindelijk tot de legitimering van het Besluit Kerndoelen voor het Basisonderwijs (Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen, 1993). Na de opheffing van het IOWO, richten voormalige Wiskobasleden de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-WiskundeOnderwijs (NVORWO) op om de coördinerende rol die het instituut had over te nemen en de opinievorming voort te zetten. Begin jaren tachtig neemt het marktaandeel van de realistische methoden toe door de ontwikkeling vanuit instellingen binnen de verzorgingsstructuur29 van drie nieuwe methoden op basis van de beschikbare Wiskobasmaterialen en (concept)leergangen. In die omstandigheden komt het bestuur van de NVORWO op het idee om de onderwijspolitieke ontwikkelingen als lift te gebruiken voor de bredere invoering en ook de legitimering van de realistische Vergelijk Gravemeijer (1994; 1997; 2004). Deze groep bestond uit medewerkers van SLO, OW & OC, Cito, Panama en NVORWO. 29 Zie de Wereld in getallen (schoolbegeleidingsdienst Arnhem), Rekenen en Wiskunde (OSM Rotterdam) en het Utrechts reken-wiskundeprogramma (schooladviescentrum Utrecht). 27 28

37

Hoofdstuk 2

onderwijsaanpak. Treffers en de Moor krijgen van het bestuur de opdracht te onderzoeken of het mogelijk is consensus te verkrijgen binnen de verzorgingsstructuur en het onderwijsveld over de inhoudelijke kern van een ‘nationaal plan’ voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool dat aansluit bij de omschrijving van het nieuwe vakgebied in het conceptartikel van de Wet op het basisonderwijs en Wat krijgen ze op de basisschool? De NVORWO heeft twee praktische doelen voor ogen: het bewerkstelligen van een ‘zekere inhoudelijke homogenisering’ in het reken-wiskundeonderwijs (d.w.z. in de realistische stijl) en het scheppen van ‘gunstige condities’ hiertoe op het niveau van de opleiding, nascholing, begeleiding, ontwikkeling en de samenhang hiertussen (Treffers en de Moor, 1984, 5). Tegelijkertijd streeft het realistisch netwerk naar een indirecte legitimering van de ondernomen vernieuwing via de aansluiting bij de lopende beleidsontwikkelingen en innovatieverwachtingen van de overheid (ibid. 6). Treffers en de Moor (1984) zetten in dit perspectief de beoogde kerninhouden en condities uiteen in ‘10 voor de basisvorming REKENEN/WISKUNDE’ en organiseren de raadpleging van de verzorgingstructuur op de Panamaconferentie in het najaar van 1984. Tweehonderdveertig opleiders wiskunde & didactiek, schoolbegeleiders, onderzoekers, leerplanontwikkelaars, etc.) geven schriftelijk hun mening over de voorgelegde inhouden en condities. Hun standpunten en het aanvullende veldonderzoek resulteren in de algemene goedkeuring van de voorgestelde koers die vastgesteld is in het rapport 10 voor de basisvorming onderzocht (Cadot & Vroegindeweij, 1986). Treffers, de Moor en Feijs richten zich vanaf dat moment op het ontwerp van de zogenoemde Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Het woord ‘proeve’ geeft aan wat ze met het uit te geven boek beogen, namelijk een ‘probeersel’. De ontwerpers zullen einddoelen formuleren (leergedrag), en daarbij beschrijven waaraan (leerinhouden) en hoe (didactische context) de leerling zijn kennis, inzichten en vaardigheden kan verwerven. Ze kiezen daarom voor het woord ‘programma’ in plaats van de oorspronkelijke term ‘plan’ (Treffers, de Moor en Feijs, 1987a, p. 8). Het ontwerpen van dit programma loopt parallel aan de ontwikkeling van de eindtermen door de groep waar Treffers en de Moor ook zitting hebben. Dit bevordert de kans op een indirecte legitimering van de Proeve… via de algemene doelen en kerndoelen rekenen-wiskunde. Treffers, de Moor en Feijs presenteren hun uitgewerkte voorstellen in een drietal afleveringen van de Proeve… in het Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het rekenwiskundeonderwijs (1987a; 1987b; 1988), waar de rekenexperts uit de verzorgingsstructuur direct op reageren. Deze ontwerpactiviteiten hebben vier jaar in beslag genomen. De definitieve versie van de Proeve… wordt uitgegeven door Zwijsen. Deel 1 (Treffers, de Moor & Feijs, 1989) presenteert de algemene doelen van rekenen-wiskunde en een honderdtal voorbeeldopgaven die het aanbod illustreren. Deze beschrijving komt overeen met de summiere schets van het leerstofgebied rekenen-wiskunde in het eindvoorstel Eindtermen van de SLO-ontwikkelingsgroep dat in het Besluit Kerndoelen voor het

38


Basisonderwijs (Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen, 1993) is overgenomen. Deel 2 (Treffers & de Moor, 1990) zoomt in op de basisvaardigheden en het cijferen. Het bevat de richtlijnen die de auteurgroepen hebben gevolgd bij het ontwerpen van de ‘derde’ generatie ‘realistische’ methoden tussen 1990 en 2002. Tussen 1990 en 2002 verschuift de aandacht van de vernieuwers van ‘canonvorming’ naar ontwikkelingsonderzoek. Een brede groep rekendidactici en onderzoekers experimenteert met activiteiten, leeromgevingen en -trajecten (o.a. Veltman, 1993; Klein, 1998; Boswinkel,1995; Beishuizen, 1997) voor de realisering van de kerndoelen hoofdrekenen en cijferen. Ze gaan daarbij uit van de leerprincipes van de zogenoemde ‘reconstructiedidactiek’ (Treffers, 1987) en zetten, aldoende, de zogeheten ‘lokale’ theorie voor rekenen onder de honderd in de steigers. ‘Progressief mathematiseren’ fungeert als sleutelbegrip in deze experimentele fase van de voortgezette onderwijsontwikkeling op het gebied van Rekenen-wiskunde. In de tweede helft van de jaren negentig wordt, via het schooltoezicht van de inspectie, hoe langer hoe duidelijker dat de kerndoelen schoolteams niet het houvast bieden dat zij nodig hebben om langlopende processen als leren hoofdrekenen adequaat te plannen. Het Ministerie van OCW stelt financiële middelen beschikbaar voor het project ‘Tussendoelen Annex Leerlijnen’ (TAL). Het wordt, wat rekenenwiskunde betreft, uitgevoerd door het Freudenthal Instituut en de SLO. Het zogenoemde TAL-team richt zich in eerste instantie op een scherpere markering en nadere uitwerking van de rekenlijn van de Proeve… in het domein van de gehele getallen en de bewerkingen. Dit resulteert in twee publicaties over de voortgang in de eerste helft van de basisschool (TAL-team, 1999) en in de bovenbouw (Van den Heuvel-Panhuizen, Buijs & Treffers, 2001). Auteursgroepen bewerken de gepubliceerde bevindingen, de programmaonderdelen en de rekenlijn van de Proeve… en de beschikbare conceptversies van TAL bij hun herziening van de al bestaande realistische methoden30 dan wel bij het ontwerp van nieuwe methoden met dezelfde realistische grondslag31. Het zijn deze methoden waarmee de leerlingen van het vigerende onderzoek hebben leren rekenen. Terugblikkend op deze lange ontwikkeling kunnen we concluderen dat de programmatische vernieuwing in Nederland door twee hoofdfactoren ‘stilletjes’ is verlopen, enerzijds door de politieke keuze voor kerndoelen in plaats van een nationaal onderwijsplan en anderzijds door de innovatiestrategie van het realistische netwerk. Als vereniging van experts uit de verschillende sectoren van de verzorgingstructuur kon de NVORWO doen wat het Ministerie van OCW niet werd toegestaan: het uitgeven van een onderwijsprogramma als ‘modelvoorbeeld’ voor goed reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Een programma dat hierna, met name voor het optellen en aftrekken tot 100, verder wordt uitgewerkt.

Zie de Wereld in Getallen (nieuw), Pluspunt (nieuw) en Wis en Reken (de bewerking van Rekenen en Wiskunde) 31 Gedoeld wordt op Rekenrijk, Talrijk en Alles Telt. 30

39

Hoofdstuk 2

2.3

Nederlandse koers: integratie van cijferen en de toepassingen met hoofdrekenen

De lancering van de kunstmaan Spoetnik door de Sovjet Unie in 1957 heeft veel landen ertoe gebracht het rekenonderwijs drastisch te vernieuwen door de verzamelingenleer in te voeren, vanuit de verwachting dat ze hierdoor de opgelopen achterstand in wiskunde en natuurkunde konden reduceren. Op een vergelijkbare manier heeft de toegankelijkheid van de zakrekenmachine en het toenemend gebruik van PC begin jaren tachtig de hoofdrekenbeweging doen ontstaan vanuit de overtuiging dat cijferen ‘uit de tijd’ was en dat men zich thans moest richten op de vorming van ‘gecijferde’ burgers (Paulos, 1988; MacIntosh, Reijs & Reijs, 1992). Net zoals in Engeland en de Verenigde Staten, stond Nederland eind jaren zeventig, begin jaren tachtig voor de keuze tussen het roer omgooien in de richting van hoofdrekenen en het cijferen afschaffen zoals aanbevolen door autoriteiten als Plunkett, (1979), Papert (1980) en Levin (1981) of de vigerende onderwijsaanpak bijstellen door zich te richten op de ontwikkeling door de leerling van eigen, functionele instrumenten voor globaal en precies rekenen, zoals aanbevolen door de NTCM – de Amerikaanse vereniging van wiskundedocenten. Potentiële problemen bij dit alternatief lagen in de verhouding qua leertijd, de volgorde van aanbieding en vooral de samenhang tussen globaal (schattend) rekenen en precies rekenen met een of andere hoofdrekenmethode, dan wel algoritmisch met pen en papier (cijferen) of met de zakrekenmachine. Met een serie van drie artikelen, rechtvaardigt Treffers (1982a; 1982b; 1983) de ‘derde weg’ die de realistische didactici anno 1980 inslaan, die van de integratie van cijferen en de toepassingen met hoofdrekenen, vanuit het principe van de progressieve schematisering van de rekenhandelingen. De typisch Nederlandse oplossing van tegenstellingen is het resultaat van een getrapte doordenking van het traditionele cijferen. Het veranderingsproces vangt aan in de jaren zeventig met de modernisering van de cijferdidactiek door de Wiskobasgroep. Het vindt haar beslag in de leerlijnbeschrijving ‘Kolomsgewijs rekenen en cijferen’ (Treffers, Noteboom & De Goei, 2001), die een uitwerking is van de zogenoemde ‘combinatiemethode hoofdrekenencijferen’ uit deel 2 van de Proeve… (Treffers & de Moor,1990, 191-194). In het vervolg wordt de argumentatie van deze onderwijsaanpak op hoofdpunten weergegeven. Traditie van geïsoleerd hoofdrekenen en cijferen In de Nederlandse onderwijstraditie is er naast het cijferen ook altijd veel aandacht voor het hoofdrekenen geweest (Treffers, 2010). Dit typeert het verschil met de traditie in Engeland en de Verenigde Staten waar hoofdrekenen slechts als middel fungeert om de rekenfeiten en de basisautomatismen te verwerven die voorwaardelijk zijn voor een vlotte uitvoering van de cijferalgoritmen. Er waren echter meestal geen verbindingen tussen de leergangen van cijferen en hoofdrekenen: ze stonden ‘naast

40


elkaar’ en ‘los van elkaar’, aldus Treffers (1991). En vaak werden ze ook nog ongeveer ‘gelijk gestart’. De verbinding die Diels en Nauta (1936) in de methode Fundamenteel Rekenen tussen hoofdrekenen en cijferen leggen, geldt dan ook als hét tegenvoorbeeld van de traditionele rekendidactiek. Alvorens hierop in te gaan, zetten we eerst uiteen wat men in Nederland per traditie onder ‘hoofdrekenen’ en ‘cijferen’ verstaat. De meest ‘enge’ betekenis van hoofdrekenen is wat Zernike er aan het begin van de 20e eeuw onder verstaat, namelijk ‘rekenen waarbij noch de gegeven getallen, noch de gedeeltelijke, noch de einduitkomsten worden opgeschreven’. Zijn tijdgenoot Versluijs verruimt deze opvatting van niet-schriftelijk rekenen, rekenen-uit-het hoofd als volgt: Eén groot verschil tusschen het hoofdrekenen en het cijferen bestaat hierin dan men bij het cijferen gewoonlijk begint met eenheden van den laagsten rang en bij het hoofdrekenen met de eenheden van den hoogsten rang. Bij de deling begint men altijd met eenheden van den hoogsten rang. Verder volgt men bij het cijferen meestal vaste regels, dat wil zeggen: men handelt bij gevallen van dezelfde soort steeds op dezelfde wijze. Bij het hoofdrekenen daarentegen brengt men verschillende bekortingen aan, waartoe de getallen in veel gevallen aanleiding geven (geciteerd door Treffers, 1991).

Dit beeld van hoofdrekenen als niet-cijferend rekenen, rekenen-met-het hoofd is de meest gangbare interpretatie van hoofdrekenen. Verschillende uitdrukkingen zijn in de loop der jaren bedacht om dit verschil tussen hoofdrekenen en cijferen te duiden: flexibel rekenen (Jansen, 1973), gevarieerd rekenen (De Moor, 1980), eigenschapsrekenen (Goffree, 1982) en handig rekenen (Nieland, 1986). In het werkboek 10 voor de basisvorming rekenen/wiskunde maken Treffers en de Moor (1984) onderscheid tussen drie vormen van rekenen, namelijk: – – –

elementair hoofdrekenen in de vorm routinematig optellen en aftrekken onder de 100 (1000); onder elkaar optellen en aftrekken volgens de Wiskobas cijfersystematiek en; hoofdrekenen-plus, dat zowel schattend rekenen als handig / gevarieerd rekenen omvat.

Modernisering van het traditioneel cijferen In Cijferen in het rekenonderwijs van toen en nu schetst Treffers (1982a) de algemene kenmerken van het traditionele cijferen in methoden als ‘Naar zelfstandig rekenen’32. Hij zet daar tegenover de drie nieuwe cijferdidactieken die ontwikkeld zijn in het kader van de internationale beweging van ‘wiskunde-onderwijs op de basisschool’. 32

Bij de eerste rekenpeiling halverwege de basisschool (1987) werd deze methode nog in ruim 22% van de scholen gebruikt (Wijnstra, 1988).

41

Hoofdstuk 2

Onderstaande vier kenmerken typeren volgens Treffers (ibid. 111) de traditionele cijferdidactiek: 1.

2. 3. 4.

de ordening van de leerstof volgens het principe van de ‘progressieve complicering’, ervan uitgaande dat de grootte van de getallen, het aantal inwissel- of leenhandelingen en de vereiste rekenautomatismen de moeilijkheidsgraad van de cijferhandelingen bepalen; het direct afstevenen op het eindalgoritme bij elke nieuwe stap in de leergang; de korte oriëntatie in de kenmerken van het positiesysteem ter verklaring van de schrijfwijze van de getallen en het vertikaal bewerken van de positiecijfers; het ontbreken van begripondersteunend positiemateriaal.

Deze ‘mechanistische’ aanpak wordt in drie varianten gemoderniseerd, namelijk op de leest van Dienes’ (1970) leertheorie, in een milde vorm van algoritmiseren en `á la Wiskobas’. In Dienes didactiek worden de cijferhandelingen, precies zoals bij het traditionele cijferen van deelgeval tot deelgeval c.q. van gemakkelijk naar moeilijk ‘getrapt’ geformaliseerd. Het gebruik van de inzichtondersteunende positiematerialen (MABblokken, abacus en positieschema) en de oriëntatie in positioneel rekenen via het leren rekenen in andere talstelsels maken het verschil met de ‘oude’ cijferdidactiek. De tweede variant van modern cijferen lijkt, wat de structurering van het leerproces betreft, op Dienes’ aanpak. Het verschil is dat de leerling slechts op een elementair niveau leert cijferen en de zakrekenmachine leert gebruiken om de complexere bewerkingen uit te voeren, conform Plunketts (1979) denkbeelden. Het Wiskobasteam breekt radicaal met de traditie door afstand te nemen van het direct leren van de eindvorm. Het team richt zich op de ‘groei’ van de leerling naar het eindalgoritme via het aanbrengen van verkortingen in de manier van rekenen langs verschillende niveaus van schematisering (Treffers, 1982a, p. 103), naar het voorbeeld van Wanders en Bohncke (1970) in de methode ‘Boeiend Rekenen’. Vanuit deze invalshoek wordt een conceptleergang ontwikkeld (de Jong, 1975) die het spiegelbeeld is van de cijferleergangen in de geest van Dienes (ibid. 112). Figuur 2.1 illustreert de gevolgde weg van de zogenoemde progressieve schematisering. De leerling rekent van begin af aan met relatief grote getallen en schematiseert stap voor stap (progressief) zijn handelingen langs drie niveaus van abstractie en symbolisering, namelijk 1. met de Dienes’ blokken in combinatie met een notatie in een positieschema, 2. via het schuiven van kralen op de abacus en 3. puur mentaal en op een standaardmanier, conform de handelingen met de abacus.

42


(2) Met de abakus

(1) Met MAB-blokjes en positischema

(3) Notatie met positiestrepen (zonder hulpmiddelen)

(4) Eindalgoritme

Figuur 2.1 Stappen in de progressieve schematisering van de rekenhandelingenin de Wiskobas leergang (Bron: Treffers, 1982a, p. 111)

Conclusie Concluderend kan worden gesteld dat de vernieuwers in Nederland zich strikt hebben gehouden aan de kerndoelen door vier vormen van optellen en aftrekken in de communale doelen van het realistisch programma op te nemen, namelijk –

– – –

2.4

gestandaardiseerd (‘gestyleerd’) in de vorm van sequentieel optellen en aftrekken (‘springmethode’; ‘rijmethode’; ‘rijgen’) en optellen en aftrekken met positiewaarden (‘splitsmethode’; ‘kolommethode’); ‘gevarieerd’ hoofdrekenen als het ‘flexibel’ en ‘handig’ gebruik van de eigenschappen van de getallen en de operaties; schattend rekenen en; onder elkaar rekenen met positiecijfers (cijferen).

Uitgangspunten voor het onderwijs in optellen en aftrekken van gehele getallen

De hiervoor geschetste ontwikkelingen hebben de basis gelegd voor de onderwijsvernieuwing waarvan (een deel van) de opbrengsten in dit proefschrift worden onderzocht. Voordat wordt besproken wat de vernieuwing voor het

43

Hoofdstuk 2

onderzochte leerstofgebied betekent, wordt eerst kort ingegaan op de belangrijkste uitgangspunten. Dit betreft in de eerste plaats meer aandacht voor toepasbaarheid. De leergangen van het rekenonderwijs tussen 1950-1975 omvatten vrijwel uitsluitend ‘kale’ rekensommen. Toepassingen komen pas aan het einde van het leertraject aan de orde in de vorm van ‘aangeklede’ rekenopgaven en ‘redactiesommen’. Contextproblemen komen bij uitzondering voor. Om de toepasbaarheid van de rekenen wiskundevaardigheden te waarborgen, moeten contextproblemen volgens de vernieuwers nu juist ‘in het hart’ van het reken-wiskundeonderwijs staan. Zo kunnen ze een brug slaan tussen de formele wiskunde (het rekensysteem) en de informele denkbeelden en spontane handelingspatronen van jonge kinderen. In de loop van een leergang vervullen contexten vier functies: de begripsvorming, de modelvorming, de toepasbaarheid en de oefening die Treffers en de Moor (1984) als volgt onder woorden brengen. Contextproblemen: – – – –

verschaffen in het begin van een leergang een natuurlijke en aansprekende toegang tot de wiskunde; bieden houvast bij het uitvoeren van formele operaties en procedures; leggen de realiteit als toepassingsgebied bloot en; geven betekenis aan de oefening van specifieke vaardigheden.

Contextrijk aanvangsonderwijs legt de nadruk op een samenhangend geheel van ‘onderzoeksgerichte en taalverrijkende activiteiten’ die plaats vinden in ‘probleemsituaties die nauw verbonden zijn met de echte of voorstelbare realiteit’, aldus Treffers en de Moor (ibid. 35). Voor het leren rekenen houdt dit in dat elementaire contextopgaven de ingang bieden voor tellen, vergelijken en rekenend opereren met natuurlijke getallen. Vanuit dit gezichtspunt is reken-wiskundeonderwijs dat gericht is op geïsoleerde begripsverwerving te vergelijken met taalonderwijs dat uitsluitend oog heeft voor het leren van vocabulaire. Daarnaast worden echter ook het belang van elementaire feitenkennis en hoofdrekenvaardigheid benadrukt: Het is een eerste vereiste dat leerlingen de tafels van de vier hoofdbewerkingen memoriseren. Ten tweede dienen de kinderen elementaire hoofdrekenopgaven vlot en inzichtelijk te kunnen berekenen (ibid. 38).

Tot omstreeks 1960 werden de opteltafels via klassikale mondelinge activiteiten ingeslepen. De individualisering van de jaren zeventig maakte daar zowel in Nederland (Treffers en de Moor, 1990) als in Engeland (Brown, 1999) een einde aan. Het aanvankelijke rekenen nieuwe stijl zou nu kunnen fungeren als natuurlijke aanloop tot hoofdrekenen, indien de leerlingen in staat worden gesteld de rekenfeiten onder de tien inzichtelijk te reconstrueren en optellingen en aftrekkingen over de tien en tussen tien en twintig geleidelijk aan te automatiseren. Dit vergt een nieuwe aanpak die de

44


overgang bevordert van verkort tellen naar structureren en handig rekenen, gebruik makend van de eigenschappen van optellen en de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Op een vergelijkbare manier zouden leerlingen elementaire hoofdrekenopgaven onder de honderd als 43+39 en 85-38 uiteindelijk (als eindpunt) automatisch moeten kunnen uitrekenen via het steeds ‘verder verkorten van handig rekenen op basis van kennis van de tafels, begrip van eigenschappen en inzicht in het positiesysteem’. Behalve het vlot kunnen rekenen en het kunnen omgaan met toepassingssituaties, worden er door de Nederlandse vernieuwers nog twee functies aan het onderwijs in het hoofdrekenend optellen en aftrekken tot 100 toegekend. Dit betreft enerzijds de meer strategische kant van het hoofdrekenen en anderzijds de rol die het hoofdrekenen kan vervullen als voorbereiding op het leren cijferen. Wat dit laatste betreft constateerden we in paragraaf 2.2 al dat het cijferen haar maatschappelijke functie grotendeels was kwijtgeraakt. Treffers en de Moor vertolken het Wiskobas standpunt dat aanzienlijk minder tijd aan cijferen kan worden besteed ‘indien het directe aanleren van de algoritmen wordt vervangen door geleidelijk inkorten van rekenprocedures via handig rekenen’, aldus Treffers en de Moor (ibid. 40). Ze stellen concreet voor om de cijfermethodiek te vervangen door Treffers’ (1983) aanpak van het zogenoemde ‘geïntegreerde cijferen volgens de progressieve schematisering’. Deze benadering van algoritmiseren laat een gevarieerd leertempo en uiteenlopende eindniveaus toe, afhankelijk van het leervermogen van de leerling. De meer strategische kant van het hoofdrekenen heeft in Nederland van oudsher een plaats naast de meer routinematige vorm van hoofdrekenen, en wordt met verschillende termen aangeduid: eigenschapsrekenen, handig rekenen, flexibel rekenen, gevarieerd rekenen, schattend rekenen, etc.. Treffers en de Moor vatten dit alles samen in de term ‘hoofdrekenen-plus’ (ibid. 42). Ze onderstrepen drie vormen van hoofdrekenen: handig rekenen dat tot het onderzoeksgebied van deze dissertatie behoort en redenerend rekenen en schattend rekenen, die er beide buiten vallen. Bij handig rekenen leren de kinderen handig gebruik te maken van de eigenschappen van de vier operaties en de relatie tussen deze operaties. Ze benutten daarbij de feitenkennis en basisvaardigheden die ze bij de lessen elementair hoofdrekenen verwerven. Dit handig rekenen is geen moderne versie van de ‘rekengymnastiek’ van weleer, maar komt in de praktijk neer op flexibel en gevarieerd rekenen.

2.5

Hoofdrekenen en cijferen in het realistische programma

De zojuist geschetste uitgangspunten en hiervoor geschetste ontwikkelingen vormen het kader voor de onderwijsvernieuwing waar het in dit proefschrift omgaat. In de volgende paragraaf wordt de inhoud van deze onderwijsvernieuwing uitgewerkt voor het optellen en aftrekken tot 100. Eerst wordt echter kort geschetst wat aan het optellen en aftrekken onder de honderd vooraf gaat. Dit betreft het ‘tellen’ en het

45

Hoofdstuk 2

‘optellen en aftrekken tot 20’. Daarbij wordt uitgegaan van de kerndoelen zoals die zijn uitgewerkt en verantwoord in de Proeve… (Treffers, Feijs en de Moor, 1987a; Treffers en de Moor, 1990).

2.5.1

Tellen Leerlingen kunnen gevarieerd tellen en terugtellen met eenheden, vijftallen en 33 machten van tien.

Treffers en de Moor (1990, p. 12) formuleren deze doelstelling vanuit hun visie op de dubbele rol die tellen speelt in de fase van het aanvankelijk rekenen. Het ondersteunt de ontwikkeling van het getalbegrip en vormt tevens de basis voor het vaardig rekenen. De auteurs expliciteren hun verwachtingen via de beschrijving van de activiteiten waarmee jonge kinderen zich geleidelijk aan een gedifferentieerd beeld van het ding ‘getal’ vormen en de verschillende telvormen uitvinden die de weg banen voor elementair optellen en aftrekken tot 20 en de generalisering van deze procedures in het getalgebied tot 100. Ze rechtvaardigen deze activiteiten met beschikbare observaties (van de Brink, 1982; Goffree, 1982; Pot, 1983) en onderzoeksgegevens (Baroody, 1967; Ginsburg, 1977; Labinowicz, 1985). De trend in de beschreven voortgang stemt globaal genomen overeen met de empirisch gefundeerde fasering van de ontwikkeling van tellen als ‘proces’ (Steffe e.a. , 1983; Fuson, 1988) en de conceptualisering van tweecijferige getallen (Fuson e.a., 1997)34.

2.5.2

Optellen en aftrekken tot 20

De leerling kent de opteltafels en de daaruit afgeleide aftrektafels uit het hoofd (en kan deze kennis toepassen). Beheersing van de optelen aftrektafels vormt de grondslag van rekenen tot honderd en van het cijferen. Daarom formuleren Treffers, de Moor en Feijs (1987, p. 12) in de eerste aflevering van de Proeve… bovenstaand doel van het aanvankelijk rekenen dat in jaargroep 4, hooguit jaargroep 5 zou moeten worden bereikt. Ze bevelen een aanpak aan, waarbij specifieke hulpmiddelen worden aangereikt die de leerling in principe in staat stelt zich drie natuurlijke vormen van hoofdrekenen eigen te maken en flexibel te leren gebruiken:

Aansluitend bij ‘10 voor de basisvorming rekenen/wiskunde' (Treffers en de Moor, 1984) had de ontwikkelgroep eindtermen een apart doel ‘tellen’ geformuleerd. Het werd op verzoek van de Onderwijsraad omwille van de bondigheid geschrapt. ‘Tellen’ opent echter in deel 2 van de Proeve… (Treffers en de Moor, 1990) de beschrijving van de basisvaardigheden, omdat het zowel conceptueel als operationeel de basis legt voor hoofdrekenen. 34 Deze ontwikkeling en conceptualisering worden in kaart gebracht in hoofdstuk 3. 33

46


–

–

–

2.5.3

de kralenketting met vijf-structuur ondersteunt de reconstructie en memorisering van de afsplitsingen van de getallen 2 t/m 10 via de rijgmethode van het splitsen bij vijf en tien in de telrij, vanuit de wetenschap dat optellen associatief is (8 als 5+3 en 5 als 7-2; 7+5 via 7+3=10  10+2=12); het rekenrek, een telraam met vijf- en dubbelstructuur, ondersteunt de reconstructie en automatisering van de complexere optelen aftrekrelaties ‘rondom de tien’, op basis van getalbeelden die gehecht zijn aan de vijf- en dubbelstructuur van de getallen en gebruikmakend van de associatieve en commutatieve eigenschap van optellen en; de kralenketting en vingerbeelden bij de variamethode van het handige rekenen.

Optellen en aftrekken tot 100

De leerling maakt elementaire optelen aftrekopgaven onder de honderd (duizend) vlot, handig en inzichtelijk. De conceptparagraaf van de Proeve… (Treffers, de Moor en Feijs, 1987) is nog sterk geïnspireerd door Wiskobas en leunt op de eerste Leidse onderzoeken (Beishuizen,1983; 1985; Beishuizen & Van Mulken, 1988) naar de invloed van de gebruikte rekenleermiddelen en hulpmiddelen tijdens het leerproces op de oplossingsprocedures van de leerling. De uitwerking in de uitgegeven Proeve … (Treffers & de Moor, 1990) integreert Wiskobasvondsten met Withney’s idee over lineair uitbeelden, Madells’ (1985) idee van optellen en aftrekken met MAB zonder voorschriften. Deze aanpak is gebaseerd op de experimenten in het kader van het nascholingsproject Speerpunt Rekenen (Vuurmans, 1991). De drie vormen van hoofdrekenen onder de 100 - wat in schooltal ‘rekenen tot honderd’ wordt genoemd zijn in hoofdstuk 1 gepresenteerd aan de hand van de vragen bij het Hans-probleem (zie figuur 1.2). De rekenvormen, inrichting van de leeromgeving en de inzet van contextproblemen, hulpmiddelen, schema’s en modellen voor de progressieve schematisering van de rijg- splits- en variaprocedures zijn ook verkend in het kader van het nascholingsproject Speerpunt Rekenen (Vuurmans, 1991). In onderstaande weergave van de doelbeschrijving wordt dan ook de nadruk gelegd op de waarde die aan hoofdrekenen wordt toegekend. Treffers, de Moor en Feijs (1987, 25) noemen drie redenen om hoofdrekenen aan te prijzen. Verwijzend naar een publicatie van het NTCM over hoofdrekenen als anachronisme of basisvaardigheid, stellen ze vast dat het overgrote deel van het dagelijks rekenwerk bestaat uit globaal rekenen (schatten) en hoofdrekenen. Hoofdrekenen heeft hierdoor de praktische waarde verworven die het cijferen tot dan toe had. Het feit dat kinderen vaak informele oplossingswijzen gebruiken bij het oplossen van vraagstukken motiveerde Fuson (1992) om deze eigen constructies in de rekendidactiek te benutten. Hoofdrekenen krijgt hierdoor in de ogen van Treffers, de Moor en Feis een persoonlijke waarde. Ten slotte voegt het flexibel opereren met

47

Hoofdstuk 2

getallen, numerieke relaties en operaties als knooppunten van een eigen netwerk een nieuwe dimensie aan rekenen toe die de wiskundige waarde van hoofdrekenen weerspiegelt. Er zijn kortom redenen genoeg om hoofdrekenen een volwaardige plaats te geven in het realistisch programma van de basisschool. Dat hoofdrekenen zo functioneel is, komt grotendeels door de mogelijkheid die het biedt om eenzelfde probleemsituatie, op eigen niveau van inzicht en vaardigheid, vanuit verschillende invalshoeken te benaderen en op te lossen. Dit verklaart het gekozen aanbod bij rekenen onder de honderd en de volgorde van aanbieding van de aangeleerde hoofdrekenmethoden. Aangeboden hoofdrekenmethoden en strategieën Zoals Treffers dat in zijn oratie met de Hans-som heeft geïllustreerd, laten leerlingen zich aanvankelijk sterk leiden door de semantische structuur van het rekenverhaal dat we hen voorleggen. In de terminologie van Van Hiele (1971, 1981) herkennen ze een wiskundig patroon (wiskundige ‘structuur’) dat ze eerder in andere vergelijkbare verhalen zijn tegengekomen. Deze zogenoemde ‘coping strategies’ zijn in de jaren tachtig cognitief-psychologisch uitvoerig bestudeerd en in kaart gebracht (Verschaffel & de Corte, 1997; Verschaffel, Greer & de Corte, 2000). In de Proeve… wordt impliciet aanbevolen om tweezijdig met de rijgmethode af te trekken, ‘van het einde’ (aftrekken) of ‘van het begin’, de zogenoemde ‘winkelmethode’ van indirect optellen. De splitsmethode wordt echter eenzijdig toegepast. De leerling telt in optelsituaties splitsend op of trekt in aftreksituaties splitsend af. Wat is de argumentatie voor dit aanbod van methoden en combinaties met aftrekstrategieën? Wat het aanbod van de methoden van hoofdrekenen betreft, beperken Treffers, de Moor en Feijs (ibid. 26) zich in de conceptversie van de Proeve…, tot een globale analyse van de sterke en zwakke kanten van rijgen, splitsen en variarekenen ten opzichte van elkaar en ten opzichte van rekenen onder elkaar (zoals geïllustreerd in figuur 2.2), daarbij refererend naar de hierboven vermelde Leidse onderzoeken. De splitsmethode lijkt sterk op het traditionele cijferen. Het voordeel ten opzichte van het algoritme is dat de leerling van meet af aan een idee krijgt van de orde van grootte van de uitkomst, omdat hij eerst de grootste eenheden bewerkt. Het heeft echter twee nadelen. Het belast ten eerste sterk het werkgeheugen, ‘omdat er twee gescheiden bewerkingen worden gemaakt’, aldus Treffers, de Moor en Feijs (ibid. 26). En in situaties met tientaloverschrijding, kan de leerling niet aftrekken naar analogie met de optelhandelingen. Dit is een reden waarom bij menige leerling een foutief algoritme inslijpt, wat in de Engelstalige literatuur ‘buggy procedures’ wordt genoemd (Thompson, 1999). De rijgmethode heeft hetzelfde voordeel als splitsen, maar heeft niet de nadelen ervan, aldus Treffers, de Moor en Feijs (ibid. 26). Het werkgeheugen wordt ten eerste minder belast, omdat het tweede getal stukje bij beetje bij het eerste getal wordt opgeteld of afgetrokken. Het aftrekschema spoort ten tweede met het handelingspatroon bij optellen dat bovendien ook geschikt is om aanvullend (indirect)

48


op te tellen in plaats van af te trekken, als de context en/of de getallen zich daarvoor lenen. Met het cijferalgoritme 1

5 13

38 25+ 63

63 3 825

Met de splitsmethode 38 + 25 via 30+20=50; 5+8=13, 50+13=63 63-38 via 60-30=30; 3 – 8 = ? Buggy procedure: 8-3=5; 30+5=35

Met de variamethode: 38 + 25 op basis van rekenregels – Gelijkwaardige som: 38 + 25 is evenveel als 40 + 23 en dat is 63 – Compenseren: 40+25=65; dan krijg ik 2 minder, is 63

Met de rijgmethode 38 + 25 via 38+20=58  58+5=63 63-38 via 63-30=33  33-8 via 30-5=25

Met de variamethode: 63 - 38 via – Indirect optellen 38+20=58  58+5=63, dus 25 – Compenseren: 63-40=23; dan houd ik er 2 meer over, is 25

Figuur 2.2 Bewerking van 38+25 en 63-38 met de vier aangeboden rekenmethoden

Dit illustreert tenslotte hoe rijgen een zekere basis legt voor handig en gevarieerd hoofdrekenen met de procedures van de zogenoemde ‘Variamethode’. In regenstelling tot hun Amerikaanse collega’s brengen de ontwerpers van de Proeve… twee klassen procedures onder hetzelfde label ‘Variamethode’, namelijk handige vormen van rijgend optellen en aftrekken enerzijds en optellen en aftrekken op basis van rekenregels anderzijds – wat in de Engelstalige onderzoeksliteratuur ‘derived facts strategies’ wordt genoemd (Verschaffel, Greer & de Corte, 2007). Treffers, de Moor en Feijs volgen dezelfde redenering als bij het aanvankelijk rekenen. Door alle drie de methoden aan te bieden, kan het voordeel van de ene berekeningswijze de nadelen van een andere opvangen. Zo is afleiden op basis van rekenregels aanvankelijk te hoog gegrepen voor menige leerling die wel inzichtelijk vanaf het begin en vanaf het einde kan leren rijgen. De volgorde waarin deze drie methoden volgens de Proeve… moeten worden aangeboden, is reeds in paragraaf 1.2 geschetst. Treffers en de Moor (1990, 64-65) omschrijven de ‘grote didactische lijn voor het rekenen tot honderd’ als volgt: Eerst komt het rekenen op rij, dan kolomsgewijze hoofdrekenen en ten slotte, ‘desgewenst’, het cijferend rekenen. Het gevarieerde rekenen met de variamethode loopt daar steeds doorheen.

Onderstaande tekst parafraseert de rechtvaardiging in de Proeve… van deze volgorde van aanbieding van de rekenmethoden. –

Het rekenen op rij sluit aan bij het verkort tellen en laat meerdere oplossingswijzen en verschillende verkortingsmanieren toe. De oriëntatie via de symbolisering van deel-geheel relaties met de kralenketting baant de weg voor het leren afbeelden van eigen (informele) oplossingen van gevarieerde

49

Hoofdstuk 2

–

–

contextproblemen en van kale opgaven en voor het leren modelleren van willekeurige rekensituaties met aaneengeregen getallen; Het kolomsgewijze rekenen is abstracter dan rijgen, maar concreter dan het rekenen met positiecijfers. Hoewel MAB en soortgelijk materiaal het leerproces ‘handzaam’ ondersteunen, kan deze methode echter beter niet worden aangeboden bij het rekenen tot honderd, zeker niet aan de zwakkere leerlingen; De contexten en de getallen van de ‘lokale’ rekensituatie determineren of het loont om een of andere procedure van de variamethode in te zetten. In die zin loopt het gevarieerde rekenen steeds door rijgen en splitsen heen, maar ook omdat de leerling een lange weg te gaan heeft, eer hij spontaan rekenregels inzet om de onbekende optelof aftrekrelatie van een opgave tot een bekende of toegankelijkere optelling of aftrekking te maken.

Een centraal element in deze didactische lijn voor het rekenen tot honderd is de keuze van het materiaal dat wordt gebruikt om het leerproces te ondersteunen. In de conceptversie van de doelbeschrijving pleiten Treffers, de Moor en Feijs (1987a, p. 26) voor het gebruik van het honderdveld ter oriëntatie op de sprongmethode en ‘handige’ varianten ervan (figuur 2.3). 26 + 33 met op de lege getallenlijn

26+33. Van 26 naar 36, 46 en 56 (telkens één hokje lager) en vervolgens van 56 naar 59 (drie hokjes naar rechts) 26+16. Eén hokje omlaag, 4 hokjes naar rechts en vervolgens doorgaan met een nieuwe rij. Figuur 2.3 Structurering van rijgend optellen (26+33 en 26+16) met het 100-veld (Buijs, 1988, p. 5) en met sprongen op een getallenlijn

Dit hulpmiddel is in de uitgave- versie van de Proeve… vervangen door de tientallig gekleurde kralenketting en de lege getallenlijn om in Buijs’ (1988) woorden haar ‘schaduwzijden’ op te vangen. In vergelijking met de lege getallenlijn, ondersteunt het honderdveld eerder de reflectie op de variatie in oplossingsprocedures (Freudenthal, 1984b, p. 117) dan de inzichtelijke structurering van eigen handelingen (Gravemeijer, 2003a). We komen hier in hoofdstuk 4 op terug. Buijs (ibid. 5) illustreert een essentieel nadeel van de ordening van de getallen in rijgen van 10 met de optelling 26 + 33 en 26 + 16. Figuur 2.4 maakt het verschil tussen uitbeelden met de decimaal-gekleurde kralenketting en sprongen op een lege getallenlijn zichtbaar.

50


Figuur 2.4 Representatie van 26+33 met decimaal-gekleurde kralenketting

Leerlingen oriënteren zich via het uitbeelden van telhandelingen en relaties tussen hoeveelheden met een gekleurde kralenketting. Dit slaat een natuurlijke brug tussen tellen en afbeelden met vijftallig en tientallig gestructureerde lineaire getalrelaties. Het maakt bovendien de techniek van afbeelden transparant, hoe lastig die aanvankelijk voor sommige leerlingen ook mag zijn, zoals Gravemeijer (2002a) dit in zijn experiment in West Lafayette heeft kunnen ervaren. We komen hier in hoofdstuk 3 op terug. Withney’s voorbeelden van tweezijdig aftrekken (figuur 2.5) illustreren de winst van de inzet van de decimale kralenketting en de lege getallenlijn. De leerling krijgt een middel in hand waarmee hij eigen oplossingswijzen op een consistente manier inzichtelijk kan visualiseren. Dit maakt de reflectie en discussie hierover mogelijk en bevordert in die zin de verkorting en formalisering van eigen procedure en de generalisering van de rijgmethode voor de bewerking van driecijferige getallen. 87-23=64 via 23+60+4=83 (indirect optellen) 60

23

87-23=64 via 87-20-3=64 (aftrekken) 4

83

3

87

64

20

67

87

Figuur 2.5 De aftrekking 83-27 via indirect optellen en indirect aftrekken (Withney, 1988, p. 8)

Treffers (1989) laat zien hoe de leerling deze informele procedures stapsgewijs kan verkorten en formaliseren. De opeenvolgende oplossingswijzen van het Hansprobleem in figuur 2.6 maken de grote lijn van dit proces zichtbaar: van verkort tellen tot rekenen met afsplitsingen van samengestelde getallen, via springen naar een tiental en van het ene samengestelde getal naar het andere. Deze natuurlijke progressieve schematisering van tellend rekenen tot honderd wordt in de hoofdstukken 3 en 4 verder toegelicht. Hans maakte een tocht van 75 km. Na 48 km rustte hij even. Hoeveel km moest hij na het rusten nog afleggen? 75-48 via 48+..= 75 via  49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75  48+2=50  60, 70  70+5=75; 20+2+5=27  (48)  58, 68  68+7=75; 20+7=27  48+20=68  68+7=75; 20+7=27 Figuur 2.6 Voortgang in de formalisering van de telhandelingen

51

Hoofdstuk 2

Kenmerkend voor de didactische lijn is verder dat de toepassingen telkens gekoppeld worden aan de beschreven vaardigheid. De cruciale rol die de problemen bij leren hoofdrekenen spelen, verklaren de speciale aandacht in de aparte beschrijving van de toepassingen bij hoofdrekenen (Treffers, de Moor & Feijs, 1988). Bij de behandeling ervan in het getalgebied tot honderd, benadrukken Treffers en de Moor (1990, p. 67) het structuuraspect van de contextproblemen die kinderen met verschillende betekenissen en verschijningsvormen met aftrekken associëren zoals ‘afhalen’, ‘bedekken’, ‘scheiden’, ‘vergelijken’, etc. Structuur en context vormen in die zin de belangrijkste componenten bij optellen en aftrekken tot honderd. Hun omschrijving van waar het in de kern bij de toepassingen van hoofdrekenen om gaat, roept de associatie op met de reflectieve klassengesprekken van Cobb e.a. (1988) en de noodzakelijke ontwikkeling van socio-norms als conditie voor de effectiviteit ervan (zie de probleemstelling in hoofdstuk 1): ‘het onderzoek, de uitgelokte discussie, het bewijzen van de correctheid van de gevonden oplossingen en de mogelijke weerleggingen ervan, het tekenen van plaatjes om het denken en redeneren te ondersteunen, kortom het leren in een goed wiskundig werkklimaat’ (ibid. 68).

Treffers en de Moor (ibid. 149-165) behandelen ook de toepassingen in de aparte doelstelling van hoofdstuk 8 van de Proeve…. . Deze doelbeschrijving is een uitwerking van de eerste inhoudelijke kern van 10 voor het basisvorming rekenen/wiskunde (zie de vorige paragraaf). Zij zetten daarbij de vorm en inhoud van ‘contextrijk’ onderwijs af tegen die van de traditionele toepassingen door middel van kale rekensommen, ‘aangeklede’ opgaven en vraagstukken en illustreren de vier functies van de contexten in de leergangen nader: begripsvorming, modelvorming, toepasbaarheid en oefening. Ten slotte zijn er nog twee punten die genoemd moeten worden. Dit betreft de specifieke invulling van het omgaan met verschillen tussen leerlingen en de doorgaande lijn naar het rekenen met driecijferige getallen. Omgang met verschillen tussen leerlingen Voor de dagelijkse praktijk van hoofdrekenen hebben Treffers, de Moor en Feijs (1987b) in hun voorstel vijf onderwijsprincipes geformuleerd die in deel 2 van de Proeve… zijn overgenomen (p. 96-101). Ze worden in hoofdstuk 3 gepresenteerd. Het laatste principe betreft de omgang met verschillen tussen leerlingen. Dit vormt een twistpunt in de verzorgingsstructuur, omdat politici geen aparte kerndoelen voor de leerlingen van de voormalige LOM- en MLK-scholen van het speciaal onderwijs willen formuleren. De ontwerpers van de Proeve… bevelen in die context aan om individuele verschillen tussen de leerlingen te ‘accepteren’ en ‘zelfs te benutten bij het bespreken van mogelijke strategieën’. Als bepaalde leerlingen bij het groepswerk steeds achterblijven, luidt het adagium: ‘indien het precieze berekenen niet lukt, accepteer dan (aanvankelijk) schattingen’ (zie paragraaf 3.4.1).

52


Hoofdrekenen met driecijferige getallen Optellen en aftrekken tot duizend wordt in de Proeve… slechts voorbeeldmatig beschreven (Treffers en de Moor, 1990, p. 92-93). Deze uitbreiding is in het vigerend onderzoek slechts relevant voor de beschrijving van de bekwaamheid van de 33% meest vaardige leerlingen die, halverwege de basisschool, aan deze bewerkingen toe zijn. De oplossingswijzen van figuur 2.7 laten zien wat men van de leerlingen, vanuit de realistische optiek, verwacht. Optellen en aftrekken met sprongen van honderd en tien vanaf het eerste getal: 358 – 172 via 358-100=258; 258-70=188; 188-2=186 Kolomsgewijs aftrekken (in gedachten): Varia-rekenen – Aanvullend optellen: 172+28=200; 200+158=358; 158+28=170+16=186 – Principe van het gelijke verschil: 358-172= 360-174= 200-14=186 Figuur 2.7 Generalisering van de hoofdrekenprocedures bij optellen en aftrekken tot 1000 (Bron: Treffers en de Moor, 1990, p. 93)

2.5.4

Kanttekeningen

Globaal genomen, zijn drie kanttekeningen bij de bovenstaande grote lijn te maken. Ze betreffen achtereenvolgens (i) het variarekenen, (ii) de volgorde van aanbieding en de combinatie van splitsen met rijgen en (iii) de toepassingen van hoofdrekenen. Variarekenen In de ogen van didactici en onderzoekers uit het voormalige Speciaal Onderwijs was flexibel rekenen voor ‘hun’ leerlingen nastrevenswaard, maar veelal onhaalbaar (Luit, 1988; Blakenburg, 1988). Van der Heijden (1988) voerde een omvangrijke studie uit naar handig en flexibel hoofdrekenen in het reguliere onderwijs. Hij zette ook op grond van drie aanwijzingen vraagtekens bij de haalbaarheid van flexibel hoofdrekenen. Spontaan, handig rekenen kwam weinig voor. De kleine groep leerlingen die handig rekende, bestond vooral uit de beste rekenaars van de klas. En leerlingen maakten noch aan het begin, noch aan het einde van jaargroep 5 vaker gebruik van handige rekenstrategieën dan aan het einde van jaargroep 4. Volgorde van aanbieding Eerst rijgen, pas later splitsen, zo luidt de aanbeveling van de ontwerpers van de Proeve…. Beishuizen en Van Mulken (1988) constateren in hun onderzoek dat leerlingen eerst de opeenvolging van de tientallen mentaal constitueren (10, 20, 30, …)

53

Hoofdstuk 2

en dat ze pas later de systematiek ontrafelen van getallenreeksen als 17, 27, 37 … en 82, 72, 62 …. Uit de geobserveerde oplossingen blijkt ook dat ze vrij snel de analogie ontdekten tussen optellen-aftrekken met tientallen en dezelfde operaties met eenheden (20+20 en 2+4; 60-30 en 6-3). Op grond van deze observaties pleiten ze voor de gelijktijdige aanbieding van (horizontaal) splitsen in jaargroep 4. Ze vragen in dit verband meer aandacht voor de combinatie van splitsen en rijgen die leerlingen relatief vaak gebruiken, die behoorlijk effectief is en die niet is opgenomen in het voorstel van de Proeve. Optellen: 46 + 23 via 40 + 20 = 60  60 + 6 = 66  66 + 3 = 69 Aftrekken: 42-15 via 40 – 10 = 30  30 + 2 = 32  32 – 5 = 27 Figuur 2.8 Combinatie van splitsen met rijgen (Bron: Beishuizen en van Mulken, 1988. p. 29)

Toepassingen De belangrijkste kanttekeningen hieromtrent zijn gemaakt door Verschaffel (1988) die als lid van de Leuvense onderzoeksgroep nauw betrokken was bij het onderzoek rond de zogenoemde ‘semantische structuurtypen’ van de tekstuele vraagstukken (word problems), ook ‘redactie-opgaven’ genoemd (De Corte & Verschaffel, 1988). Zij sluiten aan bij het in paragraaf 1.4.3 weergegeven commentaar van Theunissen (1988) op de resultaten van de eerste PPON. De Corte richt de aandacht op de aanwijzing dat het oplossen van een breed scala van optelen aftrekproblemen niet voor alle leerlingen even vanzelfsprekend is. Het vergt namelijk een inzicht in de aard van en de verschillen tussen klassen optelen aftreksituaties en in de wijze waarop ze kunnen worden opgelost. Verwijzend naar onder meer Schoenfeld (1985) en Van Lieshout en Jaspers (1988) werpt hij de vraag op of men het onderwijs niet zodanig zou moeten inrichten dat leerlingen expliciet de strategische kennis en vaardigheden verwerven, die nodig zijn om problemen inzichtelijk en vlot op te lossen.

2.5.5

Reacties van de ontwerpers op de reacties van de Nederlandse experts

De reactie van Treffers, de Moor en Feijs op het commentaar en de kanttekeningen van de experts van het netwerk laten zich als volgt samenvatten. Ten aanzien van de toepassingen lichten zij hun verschil in inzicht toe aan de hand van een gedachtewisseling tussen Confrey en Greeno. Het belang van de typische schoolse vraagstukken is in hun ogen ‘relatief’. Ten eerste omdat ze niet erg realistisch zijn, ten tweede omdat slechts bepaalde elementaire problemen van belang zijn voor de begripsvorming en modelvorming, en omdat het de vraag is of kinderen via de schoolvraagstukken het rekenrepertoire leren toepassen. Ze vertrouwen erop dat de

54


doelbeschrijving van de Proeve… voldoende houvast biedt. Het maakt duidelijk dat leerlingen op de eerste plaats problemen leren op te lossen door het te doen. Het geeft ook expliciet aan dat het klimaat in de klas de primaire voorwaarde vormt voor de kwaliteit en dus de opbrengst van deze activiteiten (Treffers, de Moor & Feys, 1987a, p.23). Ten aanzien van het Variarekenen, stellen Treffers, de Moor en Feijs (1988a, p. 45) vast dat de Proeve… een ‘nadere verbijzondering’ voor het speciaal onderwijs zou moeten krijgen. Zij merken op dat de doelstellingen van de Proeve… ‘modale’ doelen zijn voor het reguliere onderwijs, geënt op toekomstige eindtermen’ (de kerndoelen van het Besluit 1993) met daarin hoofdrekenen en schattend rekenen als basisvaardigheid. Naar hun mening zou men zich ook ten aanzien van de ‘zwakkere rekenaars’ op deze vaardigheden moeten richten, ‘zij het met inachtneming van het vijfde principe dat zegt dat hoofdrekenen ook “grofmazig” moet kunnen’ (zie ‘de omgang met verschillen’ hierboven). Deze ‘verfijning’ staat echter in hun ogen buiten de opdracht van de Proeve…. Het boek moet namelijk als nationaal baken fungeren en geen didactisch handboek worden met micro-didactische aanwijzingen. De consensus over een globaal didactisch kader moet ruimte laten voor diverse uitwerkingen in bepaalde leergangen. Dit verklaart waarschijnlijk waarom de ontwerpers van de Proeve… in hun reactie niet expliciet ingaan op de kanttekeningen van Beishuizen en Van Mulken (1988) over de (volgorde van) aanbieding van rijgen splitsprocedures.

2.6

Overeenkomsten en verschillen met het nieuwe curriculum in Engeland en de V.S.

Anghileri (2001) identificeert acht fundamentele verschillen tussen Engelse curricula en het realistische onderwijsprogramma. Ze passeren hieronder de revue en worden in relatie gebracht met de innovatie van het rekenen op de basisschool in de Verenigde Staten. Rol van tellen Verwijzend naar Askew & Wiliam (1965), stelt Anghileri vast dat tellen in Engeland lange tijd werd opgewaardeerd. Het werd beschouwd als een mechanische en betekenisloze activiteit die ‘primitieve’ vormen van rekenen in de hand werkt. Dit contrasteert met het expliciet gebruik in Nederland en in de Verenigde Staten (Steffe e.a., 1983; Fuson, 1988; Fuson e.a., 1997) van tellen als het ‘natuurlijke’ proces dat de eerste notie van ‘getal’, ‘optellen’ en ‘ aftrekken’ oplevert en al doende toegang verschaft tot hoofdrekenen.

55

Hoofdstuk 2

Sequentiële, positionele en relationele ordening van de getallen in relatie met hoofdrekenen We hebben het al eerder opgemerkt. Per traditie wordt zowel in Engeland als in de Verenigde State de nadruk gelegd op het cijferen. Als gevolg daarvan leren de kinderen heel vroeg tweecijferige getallen in tientallen en eenheden uiteen te leggen en met positiecijfers op te tellen en af te trekken. Men richt zich kortom op de constitutie van ‘place value’ en het gebruik ervan als ‘organizing mathematical principle for calculation’, zoals Anghileri (ibid. 6) dat formuleert. Uit de beschikbare publicaties35 kan worden opgemaakt dat dit accent op decimaal-positioneel rekenen is gebleven, in vergelijking met de ‘holistische’ benadering van de getallen en het hoofdrekenen in Nederland. Anghileri doelt op de organisatie van de getallen in de decimale herhalingsstructuur van de telrij, via de afsplitsing in tientallen en eenheden en als knooppunten van optelen aftrekrelaties, die toegang verschaft tot sequentieel (rijgen), positioneel (splitsen) en deductief (variarekenen) rekenen. Gebruikte leermiddelen Het gebruik van leermiddelen is in Engeland en de V.S. anders dan in Nederland conform de verschillen in het aanbod van rekenmethoden en de volgorde van aanbieding. Zo spelen de kralenketting en de lege getallenlijn een grotere rol in de jaargroep 4 en 5 in Nederland en de decimale hulpmiddelen als MAB een grotere in de Engelse en Amerikaanse klassen. We komen hierop terug bij de behandeling van de varianten van de reconstructiedidactieken in hoofdstuk 3. Algoritimisch rekenen Evenals in Nederland volgt het moderne curriculum in Engeland36 de verticale lijn ‘from informal mental strategies, through part-written methods, to standard written methods’. Maar de voortgang is niet eenduidig. Zo worden in jaargroep 7 verschillende methoden toegelaten. De leraren van een school kiezen in de regel één van deze ‘general methods’ voor bijvoorbeeld aftrekken. Ze verwachten dan dat alle leerlingen die gebruiken en accepteren niet dat elke leerling zijn eigen schriftelijke notatie gebruikt (Straker, 1999). Wat men onder ‘standard’ moet verstaan, blijft onderwerp van discussie. Dit alles contrasteert volgens Anghileri (ibid. 8) met de meer systematische Nederlandse voortgang volgens het principe van de progressieve schematisering langs oplopende niveaus van formalisering. Het is aan de hand van de hierboven vermelde onderzoeksliteratuur niet vast te stellen hoe de voortgang in de Amerikaanse reformscholen wordt aangestuurd, wat de vrijheid van de leraar en de leerling is in de loop van de formalisering en of iedereen uiteindelijk dezelfde Zie o.a. Fuson e.a. (1997), Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Olivier en Human, (1997), Carpenter (1997), Fuson & Smith (1997). 36 Zie DfEE (1998a) 35

56


eindvorm van schriftelijk rekenen moet bereiken. De overzichten van de rekenvormen die leerlingen met de aangereikte hulpmiddelen zelf uitvinden, suggereren dat de praktijk sterk lijkt op die van het numeracy project in Engeland. Rol van rekenmethoden Schoolboeken hebben in Engeland hoe langer hoe meer hun credit verloren, omdat de uitgewerkte lessen minder betrokkenheid van de leraar en routinematig onderwijs in de hand werkten. Dit contrasteert heel sterk met de functie van de realistische methoden die juist de meest recente inhoudelijke en didactische ontwikkelingen aanreiken. Bij de expertmeeting in Leiden merkte Carpenter (1997) wat dit betreft op, dat in de Amerikaanse reformscholen de leraar in de regel het onderwijs grotendeels zelf inricht, wat niet betekent dat er geen onderwijsmethoden worden gebruikt. Organisatie van het onderwijs De handleiding van de gebruikte rekenmethode drukt in Nederland sterk haar stempel op de organisatie van het onderwijs in de tijd en op lesniveau. Dit geldt dus veel minder in Engeland en de V.S. waar de leraar dat meer zelf moet doen. Bovendien is bij de vernieuwing meer de nadruk gelegd op de sociale aspecten van leren. Leerlingen werken hierdoor meer aan dezelfde inhouden in groepsverband en/of met de hele klas, terwijl Nederlandse leraren juist hun onderwijs naar de behoeften van de leerlingen moeten differentiëren.

2.7

Samenvatting en conclusie

Wat moeten basisschoolleerlingen in een moderne samenleving bij ‘rekenen’ leren, nu ze de complexe berekeningen met een zakrekenmachine kunnen uitvoeren? Is cijferen dan niet ‘uit-de-tijd’? Wat moet men weten en kunnen om de numerieke gegevens van het dagelijks leven met gezond verstand te interpreteren en ermee te werken? En: wat betekent dit voor het leren op school in het domein van de getallen en de operaties en nadere leerstofgebieden die beroep doen op inzichtelijk en vlot opereren met getallen? Zo luidden de kernvragen eind jaren zeventig, begin jaren tachtig, toen evident werd dat de opbrengst van het traditionele cijferonderwijs niet in verhouding stond tot de bestede leertijd en dat Amerikaanse leerlingen achter liepen in vergelijking met Aziatische leeftijdsgenoten. Wij zagen in dit hoofdstuk dat de betrokken rekenexperts ‘rekenen op de basisschool’ vanuit hun eigen onderwijstraditie en didactische stijl hebben geproblematiseerd en dat ze, afhankelijk van de politieke omstandigheden, meer of minder hun stempel hebben kunnen drukken op wat uiteindelijk in de klas werd geleerd. Uit de historische reconstructie van het proces dat in Nederland heeft geresulteerd tot de uitgave van de Proeve van een nationaal programma voor het reken-

57

Hoofdstuk 2

wiskundeonderwijs op de basisschool kunnen twee conclusies worden getrokken. De betrokken rekendidactici hebben, vanuit een uitgekiende innovatietraditie, voortgebouwd op de Wiskobasinnovatie van de jaren zeventig. Ze hebben namelijk de contouren en kerninhouden van het onderwijsplan weten te ontwerpen die vanuit overheidswege niet kon worden ontworpen. De Proeve… fungeert sindsdien als landelijk, realistisch raamwerk dat indirect is gelegitimeerd, omdat het programma geënt is op de wettelijk vastgestelde algemene en kerndoelen van rekenen-wiskunde. Dit maakt het cruciale verschil met het Engelse curriculum dat van bovenaf is afgedwongen en de standaarden van de NCTM die de status hebben van ‘afspraken binnen het netwerk van de vereniging’. De Proeve… is ook vaktheoretisch en vakdidactisch van Nederlandse signatuur. In plaats van vóór of tegen het cijferen te kiezen, integreren de voormalige Wiskobasleden het cijferen en de toepassingen met hoofdrekenen. Wij zullen in het volgende hoofdstuk zien hoe deze onderwijsaanpak zich verhoudt tot de twee andere benaderingen die in de loop van de jaren negentig zijn ontwikkeld.

58

Hoofdstuk 3 Drie reconstructiedidactieken

3.1

Inleiding

We zagen in hoofdstuk 2 dat, tien jaar voor de eeuwwisseling, de internationale gemeenschap van rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen zich tot doel stelden de dagelijkse rekenpraktijk in de klas drastisch te veranderen. Amerikaanse leerlingen die internationaal, de ‘norm’ gaven, beheersten de geleerde algoritmen onvoldoende. Bovendien rekenden ze de voorgelegde vraagstukken vaak anders uit dan met de geleerde manier van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Ze speelden namelijk lokaal verschillend in op de context en de getallen van het rekenverhaal, afhankelijk van hun voortgang in rekenkennis en –bekwaamheid. Een derde probleem maakte een heroriëntatie en vernieuwing van leren rekenen op de basisschool onvermijdelijk en urgent. Iedere burger kon een rekenapparaat aanschaffen. Men werd hierdoor ongetwijfeld minder afhankelijk van de vier algoritmen. Het apparaat maakte leren rekenen echter niet overbodig. Situaties in het privé- en beroepsleven van alledag doen herhaaldelijk een groot beroep op een zeker ‘number sense’ (gecijferdheid). Dit is een zeker inzicht in en gevoel voor getallen en bewerkingen die ervoor zorgt dat we even nadenken alvorens een informatie over aantallen of meetgetallen voor ‘waar’ te nemen. Het doet ons overwegen of we iets globaal of juist precies moeten uitrekenen en het spoort ons aan om te kijken hoe we dat efficiënt en effectief kunnen doen. Zo lag, internationaal de stand van zaken, eind jaren tachtig, wat rekenen op de basisschool betreft. In september 1991 valt op de mat van de Nederlandse abonnees van ‘Volgens Bartjens’ het eerste nummer van Willem Bartjens, het nieuwe vaktijdschrift voor de leraar. Het is om tweeërlei reden een ‘historische’ editie. Ten eerste omdat het blad binnen een samenwerkingsverband tussen de Stichting leerplanontwikkeling (SLO), de NVORWO, het Freudenthal Instituut en uitgeverij Zwijsen wordt uitgegeven. Ten tweede omdat Huitema (1991) in het openingsartikel hoofdrekenen op de schoolagenda zet. De redactie had hem niet zomaar gekozen. Hij was schoolbegeleider en auteur, had zijn commentaar gegeven op de eerste PPON rekenpeiling en was lid geweest van

59

Hoofdstuk 3

de landelijke ontwikkelgroep Speerpunt rekenen die nieuwe ideeën en principes van het rekenen tot honderd in een didactisch concept had bewerkt (Vuurmans, 1991). Huitema valt met de deur in huis. ‘Meer hoofdrekenen en minder cijferen’, zo luidt de titel van zijn artikel. Het is een pleidooi voor hoofdrekenen, in de gewone taal van de leraar, op vijf rijk geïllustreerde pagina’s. Hij schetst het belang van hoofdrekenen, geeft aan wat hoofdrekenen anders maakt dan cijferen en expliciteert hoe de leraar, met een zekere regelmaat, les kan geven in hoofdrekenen. De vuistregels die hij daarbij volgt, staan in deel 2 van de Proeve…, het landelijk realistisch onderwijsprogramma voor rekenen-wiskunde, dat Zwijsen een jaar eerder had uitgegeven (Treffers en de Moor, 1990; zie ook hoofdstuk 2). Op een vergelijkbare manier zijn scholen en leraren in menig West-Europees land, hetzij via hun vereniging, hetzij via het overheidsbeleid of een combinatie van beide aangespoord, geschoold en praktisch ondersteund om minder te cijferen en meer ‘met’ het hoofd te rekenen. Het probleem was dat ze hiertoe hun roer 180 graden moesten omgooien. Ze bleven weliswaar de ingewijde experts en eindverantwoordelijken van wat er in de klas gebeurde. De leerlingen kregen echter eigen verantwoordelijkheden en bepaalden mede zowel de inhouden als het parcours van de voortgang, via hun individuele inbreng en de samenwerking in de groep. In sommige landen als Engeland en in reformscholen in de V.S. wordt van de leraar verwacht dat hij zelf zijn lessen en onderwijsleerlijnen ontwerpt. Ze worden hiertoe opgeleid en bijgeschoold door specialisten die min of meer uitgewerkte (ketens) van onderwijsleeractiviteiten ontwerpen. In andere landen als Nederland en Duitsland zorgen uitgevers voor een aanbod van passende onderwijsmethoden. Leraren moeten lessen en de voortgang toesnijden op de maat van hun leerlingen. Deze concrete steun van de rekenspecialisten die deze materialen ontwerpen drukt ongetwijfeld haar stempel op de houding en het didactische handelen van de leraar in zijn omgang met de leerling bij hoofdrekenen. Bij de vierde rekenpeiling van 2003 blijkt echter dat menige leerling bij aftrekken tot honderd, niet de verwachte vaardigheid ontwikkeld heeft. Wat de oorzaak daarvan zou kunnen zijn, wordt in deze dissertatie onderzocht. Daartoe schetsen we in dit hoofdstuk eerst een theoretisch kader tegen de achtergrond waarvan genoemde resultaten kunnen worden geïnterpreteerd. Omdat de veranderingen in het Nederlandse rekenonderwijs deel uitmaken van een internationale ontwikkeling, oriënteren we ons daarbij op de internationale literatuur. We besteden daarbij uiteraard extra aandacht aan de ontwikkelingen en discussies in Nederland. Internationaal wordt het onderwijs waar het hier om gaat wel aangeduid als ‘reform mathematics’. In Nederland gebruikt men de term ‘reconstructiedidactiek’. Het geeft aan dat de leerling zelf de rekenbegrippen en de bewerkingen moet construeren en leren toepassen, in de geest van de generaties wiskundigen die ons rekensysteem hebben uitgevonden. Drie vragen structureren de analyse:

60

Drie reconstructiedidactieken

1. 2. 3.

Wat houdt de ‘reconstructiedidactiek’ als instructieconcept in? Hoe verschillend is dit concept in hoofddidactische varianten uitgewerkt? Wat onderscheidt de Nederlandse ‘realistische’ variant van de alternatieve varianten?

Deze analyse moet twee producten opleveren. Het moet kernaspecten van de didactiek blootleggen die als indicatoren kunnen dienen voor het leggen van relaties tussen rekenvaardigheid en didactiek. De analyse moet ook overstijgende karakteristieken van de reconstructiedidactiek zichtbaar maken. Dergelijke overkoepelende eigenschappen maken het namelijk mogelijk om 1. de varianten op onderscheidende kernpunten met elkaar te vergelijken en 2. elke variant sterker te maken, door sterke aspecten van de andere varianten te integreren. Lopende ontwikkelingen die in paragraaf 3.2 worden gespecificeerd, hebben de keuze van de drie uitwerkingen van reconstructiedidactiek bepaald. Centraal staat het model van de realistische didactiek dat in de huidige realistische onderwijsmethoden is uitgewerkt. De analyse ervan is cruciaal omdat de onderzochte leerlingen hiermee hebben leren hoofdrekenen. Daarnaast onderscheiden we twee andere modellen. Ze weerspiegelen uitgekristalliseerde ideeën en instructiewijzen die ontstaan zijn in de loop van de construerende onderzoeken in de laatste decennia van de vorige eeuw. Dit betreft de problem-solving (PS) variant die voortbouwt op de traditie van cognitiefpsychologisch onderzoek naar denken en leren. En de constructivistische variant die sterk sociaal-cultureel en pedagogisch is gekleurd. Vanuit het standpunt van de reconstructiedidactiek bekeken, vormen realistische, ontwikkelingspsychologische en constructivistische varianten weliswaar verschillende uitwerkingen, maar theoretischdidactisch gezien, kunnen ze elkaar ook versterken via de integratie van de componenten die ze didactisch ‘sterk’ maken.

3.2

Reconstructiedidactiek als vorm van domeinspecifiek ontwerpen

Terry Wood (1998) duidt met de uitdrukking ‘beyond natural teaching’ wat voor de niet ingewijde de reconstructiedidactiek zo speciaal en complex maakt. ‘Van nature’ leggen wij, volwassenen, spontaan iets uit aan een kind dat in een bepaalde situatie iets niet begrijpt. Vanuit diezelfde ‘natuurlijke’ instelling laten we het ook zien hoe een handeling, die nog niet wordt begrepen, uitgevoerd moet worden. Dit typeert de ‘natuurlijke’ tendens om hulp te bieden door spontaan iets ‘voor te zeggen’ en ‘voor te doen’. Rekenen-wiskundeonderwijs volgens de reconstructiedidactiek druist radicaal tegen deze tendens in. De leraar die op deze manier les wil geven, moet zijn roer 180 graden omgooien. ‘Vroeger’ trachtte de leraar de formele rekenalgoritmen concreet en toegankelijk te maken voor de leerling. Nu moet hij het omkeerde doen: uitgaande van

61

Hoofdstuk 3

intuïtieve en informele wiskundige gedachten en rekenprocedures de leerling helpen deze vier algoritmen op te bouwen. Het begrip ‘mathematiseren’ duidt de constructie aan van de eigen rekenwerktuigen, vanuit de intuïtieve en informele handelingen op het ‘natuurlijke’, kinderlijke niveau van ‘rekenen’. Dit basisprincipe bindt de wiskundige didactici, onderwijspsychologen en onderwijskundigen die dit onderwijsideaal hoog in het vaandel hebben staan, samen. Wat leerlingen onder leiding van de leraar met groepsgenoten ondernemen en feitelijk doen en vooral hoe, kan binnen zekere marges variëren. Het roept, hoe dan ook, gegarandeerd een spanning op, bij het ontwerpen en bij het lesgeven, tussen twee neigingen die Gravemeijer (2004, 106) als volgt aanduidt: zo goed als mogelijk ‘open staan’ voor de eigen constructies van de leerlingen en ‘zich verplicht voelen’ om het werk in de groep vooral te richten op de opbrengt die buitenstaanders verwachten. Dat er sprake is van een gemeenschappelijke agenda komt ook tot uitdrukking in de lezing ‘Ontwikkelingen in het onderzoek van het reken-wiskundonderwijs: een internationaal perspectief’, die Lieven Verschaffel (1996) hield ter gelegenheid van de opening van het Freudenthal Instituut als Expertisecentrum reken-wiskundeonderwijs. Hij schetste daarbij de wereld van verschil(len) in de onderlinge verhoudingen tussen wiskundige didactici, psychologen en onderwijskundigen eind jaren tachtig en tien jaar later, daarbij verwijzend naar Kilpatrick (1992) en een eigen studie in samenwerking met De Corte, Greer (De Corde, Greer en Verschaffel, 1996). Precies tien jaar eerder beargumenteerde Treffers (1987) dat algemene onderwijsleertheorieën geen houvast boden voor het ontwikkelen van onderwijs. Domeinspecifieke onderwijsleertheorieën waren hiertoe nodig. De tegenstelling realistisch versus structuralistisch weerspiegelde in die zin de tegenstelling algemene versus specifieke onderwijsleertheorieën. Volgens Verschaffel (1996) gebruikten psychologen en onderwijskundigen niet meer de rekenpraktijk als proefveld voor de toepassing en de verdere ontwikkeling van hun algemene theorieën over denken, leren, ontwikkeling en instructie. Het informatieverwerkingsparadigma fungeerde ook niet meer als norm. Er was een nieuwe discipline ontstaan rond wiskunde leren en wiskunde onderwijzen. De gerichtheid op hetzelfde doel van de optimale ontplooiing van de leerling in het domein van rekenen-wiskunde, had de belangstelling van wiskundige didactici, psychologen en onderwijskundigen voor elkaars ideeën en methoden van onderzoek gewekt. De dialoog die was ontstaan, richtte de aandacht, reflectie en discussie op ‘instructievariabelen’ waarvan gedacht (c.q. verwacht) werd dat ze ertoe deden, onder andere: – – –

de invloed op microniveau van specifieke (i) taken, (ii) contextproblemen en (iii) didactische hulpmiddelen; de collectieve reflectie op de individuele constructies van de leerlingen; het effect, op macroniveau, van een zekere gradatie in de mate van voorprogrammering en –structurering van de leeractiviteit en van sturing van het denken en het rekenwerk, door de volgorde van aanbieding van

62


– –

sequentieel, positioneel en deductief rekenen, en de balans tussen rekenen volgens vaste procedures en flexibel en gevarieerd rekenen; het verticaal voortbouwen op wat de leerling al weet en kan; de dwarsverbindingen van leren rekenen met vooral de ontwikkeling van het getalbegrip, de rekenfeiten en basisoperaties, het leren meten van relevante grootheden als ‘lengte’ en ‘afstand’ en omgang met geld.

De internationale inspanning voor de ontwikkeling van een instructiepraktijk ‘van deze tijd’ oversteeg, kortom, het dualisme van algemeen versus domeinspecifiek. Het concept van de reconstructiedidactiek sloeg wereldwijd bruggen tussen rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen en de leraren en leerlingen waarmee ze samen in de klas experimenteerden. In deze nieuwe context zijn nu de drie didactische varianten ontwikkeld. Het gemeenschappelijke uitgangspunt is dat de leerlingen zelf hun wiskundige kennis moeten construeren. Dit is het centrale uitgangspunt van wat internationaal ‘reform mathematics’ wordt genoemd en dat wij hier in navolging van Treffers en de Moor (1990) aanduiden als ‘reconstructiedidactiek’. Deze didactiek is slechts op een beperkt aantal plaatsen uitgewerkt tot een volledig onderwijsprogramma. Daarbinnen kunnen we drie varianten onderscheiden, de Nederlandse, realistische aanpak van Treffers zoals uitgewerkt in het TAL project, onderwijsprogramma’s die in de USA ontwikkeld zijn vanuit wat we een cognitief-psychologisch perspectief kunnen noemen en tenslotte een socio-constructivistische variant van de realistische aanpak die is voortgekomen uit samenwerking van Nederlandse en Amerikaanse onderzoekers. Voor we deze drie benaderingen meer in detail beschrijven, gaan we eerst dieper in op de idee van reconstructiedidactiek.

3.3

Uitwerking van de reconstructiedidactiek

Het concept ‘reconstructie’ sluit naadloos aan bij Freudenthal’s (1971, 1973, 1984b, 1987, 1990a, 1990b, 1991) denkbeeld van leren en onderwijzen als het verkort herhalen van het leerproces van de mensheid. Wat de wiskunde betreft, impliceert het dat de leraar de leerling in staat stelt, zelf, de werktuigen uit te vinden die hij nodig heeft om de wereld van alledag, wiskundig naar zijn hand te zetten. Dat een speciale didactiek hiertoe nodig is, is gebleken uit het ontwerpen van voorbeeldactiviteiten, lessen, -leergangen, projecten en thema’s in de vorm van ontwikkelingsonderzoek en professionele ontwerpactiviteiten. Ontwikkelingsonderzoek is binnen de kring van Nederlandse rekenen-wiskundedidactici (Streefland, 1988; Dekker, ter Heege & Treffers, 1982; Gravemeijer, 1988, 1994; Nelissen, 1987) al vroeg ingezet om instructiepraktijken te ontwikkelen die recht doet aan de eigen gedachten van de leerling en hem activeert en ondersteunt bij de verdere uitbouw van wat hij weet en kan. Later bleek dit idee van ontwikkelingsonderzoek goed te passen bij wat in de

63

Hoofdstuk 3

Engelstalige literatuur wordt aangeduid als ‘design research’ of ‘design experiments’ (Brown, 1992; Edelson, 2002; Gravemeijer & Cobb, 2007). Reflecterend op de producten van ontwerpen onderzoeksactiviteiten, heeft Treffers (1978, 1983, 1986, 1987) de ‘realistische’ manier van leren en onderwijzen onderwijstheoretisch beschreven, wat Gravemeijer (2007) verder heeft uitgewerkt in drie ontwerpheuristieken voor realistisch reken-wiskundeonderwijs, ‘guided reinvention’, ‘didactical phenomenology’ en ‘emergent modelling’.

3.3.1

Organiseren en systematiseren van de eigen rekenervaringen

De kern van de reconstructiedidactiek wordt gevormd door het idee dat de leerlingen hun eigen rekenervaringen moeten organiseren en systematiseren. Freudenthal (1971) legitimeert deze keuze met zijn antwoord op de vraag, wat wiskunde is: It is an activity of solving problems, of looking for problems, but it is also an activity of organizing subject matter. This can be a matter from reality which has to be organized according to mathematical patterns if problems from reality have to be solved. It can also be a mathematical matter, new or old results, of your own or of others, which have to be organized according to new ideas, to be better understood, in a broader context, or by an axiomatic approach (Freudenthal, 1971, 423-114).

Wanneer men het procesmatige karakter van de wiskunde benadrukt, dan vormt de wiskundige activiteit logischerwijs het doel van (reken) wiskundeonderwijs, zo redeneert Freudenthal (1991, 49-55). Hij komt dan uit op ‘her-uitvinden’ en ‘mathematiseren’ als onderwijsleerdoel. Leerlingen moeten, concreet gezegd, zich de geestelijke kunst en praktische const toe-eigenen die generaties wiskundigen hebben ontwikkeld, door hun leerproces gecomprimeerd en versneld te herhalen. Dit betekent dat men, in het wiskundeonderwijs, de nadruk zou moeten leggen op mathematiseren en niet op de wiskunde die moet worden uitgevonden, ook al moet de leeractiviteit uiteraard wel een bepaalde opbrengst hebben. Wat voor ‘wiskunde’ als wetenschappelijke discipline geldt, geldt nu ook voor ‘aritmetica’ als een van de subdomeinen van deze wetenschap. Uit bovenstaand uitgangspunt volgt de doelstelling van het getalsmatig leren beschrijven van verschijnselen en leren de wiskundige ‘denkdingen’ [getal], [tellen], [optellen] en [aftrekken] en de ‘taal’ die men hiertoe uitvindt steeds verder te organiseren, naar het voorbeeld van de generaties wiskundigen die deze dingen en taal hebben bedacht. In die zin, vormen de leerlingen van klas, zoals Fosnot en Dolk (2001) dat zo treffend formuleren, een gemeenschap ‘young mathematicians at work’ – onder de pedagogisch-wiskundige begeleiding van hun leraar. Om meer greep te krijgen op dit proces van ‘mathematiseren’ heeft Treffers (1987) twee componenten van elkaar onderscheiden: ‘horizontaal’ en ‘verticaal’ mathematiseren, die hij als volgt omschrijft:

64

Drie reconstructiedidactieken In het algemeen kan men zeggen, dat de horizontale mathematisering bestaat uit het zodanig schematiseren van het gebied, dat het probleem met mathematische middelen kan worden aangepakt. De vervolgactiviteiten, die betrekking hebben op de mathematische verwerking, de probleemoplossing en verdergaande formalisering, worden met de term verticale mathematisering aangeduid (79, cursief in het origineel).

In zijn reflectie hierop, nuanceert Freudenthal deze visie in de onderstaande bewoording: Het horizontaal mathematiseren leidt van de leefwereld naar de symboolwereld. In de leefwereld wordt geleefd, gehandeld (en geleden), in de symboolwereld worden symbolen geschapen en herschapen om van hun kant mechanisch, denkend, reflecterend te worden gemanipuleerd (Freudenthal, 1987, 7-8; 1991, 41-42).

Daarbij maakt hij, in Gravemeijer’s ogen (2005, 107), drie belangrijke kanttekeningen. De grenzen tussen de leefwereld en de symboolwereld zijn ten eerste vaag. Elke waarneming is immers doorspekt met opgedane ervaringskennis, zoals Van Hiele (1981) in zijn boek Structuur dat zo treffend illustreert. Dit betekent dat het onderscheid tussen beide werelden varieert, afhankelijk van de specifieke situatie, de persoon en diens omgeving. Routinematig handelen en het uitvoeren van algoritmen behoren, ten slotte, evenzeer tot verticaal mathematiseren als de reflectie op de eigen activiteit, het doorgronden van een idee, structuur of procedure en andere meer of puur organiserende activiteiten. Deze nuancering en kanttekeningen bewogen Gravemeijer (2005, 106-107) om scherper verschil te maken tussen de twee aspecten in Treffers’ omschrijving van ‘verticaal’, namelijk (a) het uitvoeren van wiskundige bewerkingen en (b) het verticaal mathematiseren in de strikte betekenis van ‘het mathematiseren van de eigen wiskundige activiteit’. Wat typeert tot slot de mentale processen ‘in het hoofd’ van de leerling bij de mathematisering van zijn eigen rekenactiviteit? Freudenthal’s (1989, 38) beeld van ‘verdergaande vooruitgang in gezond verstand’ vormt de tweede collectieve basisreferentie binnen het paradigma van de reconstructiedidactiek. In zijn Nederlandstalige artikelen die het fundament leggen voor zijn boek Revisiting mathematics education, introduceert Freudenthal (1989, 35) het idee van wiskunde als uitdrukking van ‘gezond verstand’. Gezond verstand is in zijn ogen de primaire en meest betrouwbare bron van zekerheid. Vanuit dit gezichtspunt, beschouwt hij het natuurlijk getal als de ‘meest opvallende wortel van de wiskunde in het gezond verstand’ (ibid., 37). Het leerproces van de mensheid komt dan neer op de steeds verdergaande ontplooiing van gezond verstand. Freudenthal (1990a, 13) stelt zich dit proces voor als een continue ‘standpuntwisseling van inhoud tot vorm en omgekeerd’. Onderstaande

65

Hoofdstuk 3

tekst verwoordt de beschrijving die hij ervan geeft in de tweede aflevering van een drietal artikelen over Wiskunde fenomenologisch. De getallenrij is de oorspronkelijke vorm. De opeenvolging van de telwoorden is feitelijk het eerste, taalkundige algoritme met een wiskundig karakter. Zodra de getallenrij wordt ingezet om iets te tellen, verkrijgt ze ‘inhoud’, beter gezegd de grote verscheidenheid van getelde verschijnselen (vier appels, zes kinderen, twaalf klokslagen….). Door abstractie van deze verscheidenheid, krijgen de getallen de status van mentale objecten, dat willen zeggen, min of meer formeel natuurlijke getallen die nog verbonden zijn met het tellen van dingen. Op een vergelijkbare manier, worden [optellen] en [aftrekken] geabstraheerd uit de verscheidenheid aan patronen van handelen met hoeveelheden: iets erbij doen of juist afhalen, dingen samen nemen of juist van elkaar scheiden, etc. Deze ‘inhoudelijke’ operaties banen in die zin de weg van de formele praktijk van optellen en aftrekken. Het zijn weer ‘inhouden’ die de commutativiteit van optellen suggereren, zoals het samenstellen van hoeveelheden of van lengtematen. Het krijgt de status van formele regel wanneer wetten worden geformuleerd voor de omgang met operaties. En het zijn weer de inhouden die optellen met aftrekken in verband brengen, alvorens deze relatie formeel wordt toegepast. Zo strekt de ontplooiing van gezond verstand zich verder uit, als eindeloze afwisseling van vorm en inhoud.

Als dit het leerproces is van de generaties wiskundigen, hoe zou het leerproces van de individuele leerling, vanuit het uitgangspunt van uitvinden en mathematiseren, idealiter, moeten worden vormgegeven en inhoudelijk ‘gevuld’? Freudenthal komt, vanuit zijn concept van wiskunde als uitdrukking van gezond verstand, tot onderstaande stelling: Het is verleidelijk om gestructureerde inhouden te onderwijzen (…). Wiskunde wordt anders geleerd en moet anders worden onderwezen: noch als inhoud noch als vorm, maar in achtneming van hun wisselspel, opgevoerd in het onderwijsleerproces. Leren is voortschrijden in kennis en bekwaamheid. Het wisselspel is een standpuntwisseling van inhoud tot vorm en omgekeerd, die tot telkens hogere standpunten leidt, bij sprongen zo hoog als de lerende aankan, door de leraar geleid maar niet opgetild (Freudenthal, 1990a, 13).

Om echt wiskundig te worden, en om vooruitgang te maken moet het gezonde verstand worden georganiseerd en gesystematiseerd. Ervaringen van gezond verstand stollen, om zo te zeggen tot regels (zoals bijvoorbeeld de commutativiteit van de optelling) en deze regels worden van hun gezond verstand, zeg van hoger orde, als grondslag van wiskunde van nog hogere orde – een geduchte hiërarchie die opgetrokken wordt in een merkwaardige wisselwerking van krachten (Freudenthal, 1990a, 11).

66


3.3.2

Encapsulation

Waar Freudenthal (ibid.) zich vooral laat leiden door wat voor hem wiskunde is, vormt voor (cognitief) psychologen en aanhangers van het constructivisme de manier waarop kennis tot stand komt de belangrijkste overweging. Voortbouwend op de Piagetiaanse denkbeelden over de cognitieve ontwikkeling van jonge kinderen, plaatsen Gray en Tall (1994) de ontwikkelingsfenomenen in een continu proces van toenemende abstractie. Daarmee doen ze wat Freudenthal (1984b)37 van psychologen vroeg. Ze proberen namelijk de conceptualisering bij leren rekenen te beschrijven als een continu proces waarbij de leerling telkens een nieuwe conceptie van ‘getal’ (concept) uit een nieuwe uitgevonden manier van opereren (procedure) abstraheert. Ze duiden dit proces aan met het begrip ‘encapsulation on successively higher levels’. Deze conceptie van de cognitieve ontwikkeling bij leren rekenen past goed bij Freudenthal’s (1987, 7) beeld van een ordeloze materie op het ene niveau, die op het volgende wordt georganiseerd. Het schema van afbeelding 3.1 maakt dit aannemelijk. Het is een sterk gecomprimeerde weergave van dit proces in de periode van het aanvankelijk rekenen tot jaargroep vier. Gray en Tall visualiseren de ‘compression’ van [resultatief tellen] tot [aantal], van [doortellen] tot [som] en van [herhaald optellen] tot [product]. Qua concept overstijgt het begrip van getallen als ‘som’ hun conceptie als ‘aantal’, precies zoals ‘doortellen’ als patroon van handeling (procedure) het ‘resultatief tellen’ overstijgt. En zo gaat het maar door. ‘Product’ overstijgt ‘som’, zoals ‘herhaald optellen’ een handeling van een hogere orde is dan gewoon ‘optellen’. In die zin zou een systematische uitwerking van het idee van Gray en Tall het beeld kunnen opleveren van de cognitieve structuur van het wisselspel van vorm tot inhoud en andersom, dat de leraar met de leerling bij leren rekenen uitvoert.

Afbeelding 3.1 – Higher-order encapsulations (Uit: Gray & Tall, 1994)

37

Zie ook het artikel waarin Freudenthal (1987) het theoretisch raamwerk van Treffers becommentarieert. Reflecterend over mathematiseren, spreekt hij de volgende gedachte uit die goedkeurend anticipeert op wat Gray en Tall proberen te doen: ‘Ergens sprak ik van een ordeloze materie op het ene niveau, die op het volgende wordt georganiseerd. Deze structurering zou wel al op spontane leerprocessen van toepassing kunnen zijn en wat betreft, zou het een zaak van psychologen zijn zich van dit model van cognitieve ontwikkeling te bedienen en het te beproeven’ (p. 7; cursief van JMK).

67

Hoofdstuk 3

3.3.3

Didactische hulpmiddelen

Bedenken welke leerprocessen er in de klas zouden moeten plaatsvinden, is cruciaal. Het gaat er echter om dat ze ook daadwerkelijk adequaat worden georganiseerd. Daarbij komt het cruciale vraagstuk van de in te zetten hulpmiddelen om de hoek kijken. Hoewel hier zekere spanningen bestaan tussen de keuzes die de experts maken, blijkt er toch sprake van een collectief streven naar een zekere balans tussen de twee extremen, ‘embeddednes’ en ‘embodiment’. Treffers (1987) karakteriseert deze dichotomie als: the naturally organisable versus the artificially organized matter; eliciting structuring activity in an everyday lift or physical or imagined reality versus debasing mathematical structures and forcing (the student) into an artificially created environment (p. 275).

We kunnen dit opvatten als een uitdrukking van Freudenthal’s (1989, 38) tegenstelling tussen, ‘leren zonder opzettelijk te worden onderwezen’ en ‘iets leren dat door anderen bruut wordt opgelegd’. De inzet van didactische middelen ter bevordering van de voortgang bij de verticale mathematisering van de eigen rekenleerervaringen is een voor de constructivistische onderzoekers zeer gevoelige kwestie. In het ‘bottom-up’ perspectief van de reconstructiedidactiek heeft, in hun ogen, het aanreiken van middelen die een wiskundige structuur (een patroon) zichtbaar maken, vanuit de leerling gezien, iets paradoxaals in zich. Dit geldt niet alleen voor de MAB-blokjes, repen en plakjes, hèt voorbeeld bij uitstek van ‘embodiment’, maar evengoed voor de vijftallige en tientallige kralenketting van Withney (1985, 1988) die de realisten hebben overgenomen en het rekenwerk voor de automatisering onder de twintig. Putnams (1988) denkbeeld van representational view of mind maakt begrijpelijk wat constructivisten met hun leerparadoxen bedoelen: To know is to represent accurately what is outside the mind; so to understand the possibility and nature of knowledge is to understand the way in which the mind is able to construct such [internal] representations (p. 3; haakjes in origineel).

Vanuit deze invalshoek bekeken, zou elke opeenvolgende mentale representatie van “getal” de neerslag moeten zijn van een ‘abstractie’ in de zin van Freudenthal en ‘encapsulation’ in de zin van Gray en Tall (zie hierboven). Met MAB maken we de eigenschap van de tientallige bundeling ‘van buitenaf’ zichtbaar, omdat kinderen die niet op eigen mentale kracht kunnen uitvinden. Ons tientallig positiesysteem berust immers op een conventie. Er is geen ‘natuurlijke’ ervaring van gezond verstand die, zonder tussenkomst van een volwassene of decimaal gestructureerd materiaal, direct tot [één] als eenheid en [tien], [honderd], [duizend], etc. als ordeningsvormen leidt. Dit

68


geldt evengoed voor de decimaal gekleurde kralenketting. Het concretiseert het mentale beeld van de ingewijde, in casus Whitneys beeld van de decimale herhalingstructuur van de telrij, precies zoals MAB Dienes’ beeld van de decimale bundeling visualiseert. Zie daar de meest controversiële kwestie binnen het paradigma van de reconstructiedidactiek. Hoe kunnen we nu het dualisme ‘embeddednes’ versus ‘embodiment’ doorbreken? Gravemeijer en Cobb (2007) komen uit op wat men ‘niveau-verhogend modelleren’ zou kunnen noemen. Het wordt geïllustreerd in paragraaf 3.6 met de leergang rond het meten van lengte als ingang voor leren modelleren op de lege getallenlijn. Gravemeijer (2004) verwoordt de systematiek als volgt: Ideally, the students should invent the necessary tools for themselves. This, however, is not really feasible. We take care, however, that the students are involved in the invention process. This can be done by a careful introduction of each new tool according to the following set up: each new tool has to come to the fore as a solution to a problem (…). In this manner, the students experience an involvement in the invention process even though they do not invent the tools for themselves. In this manner, we try to ensure that the tools emerge in a sense from the activity of the students. In addition, we make sure that the use of a new tool is grounded in some imagery for the students. That is to say, there has to be some history in the learning process of the student that renders meaning to the activity with a new tool (p. 122).

Bij deze aanpak past de ontwikkeling van een gemeenschappelijke rekentaal, ten eerste om de patronen en relaties die in een bepaalde context zijn ontdekt, als lokaal product van gezond verstand, vast te leggen en ten tweede om zelf en met de groepsgenoten daar verder over na te denken en te communiceren. Dit taalaspect van verticaal mathematiseren roept de associatie op met Van Hiele’s (1981, 7) uitspraak in zijn boek Structuur: ‘zonder taal geen denken en zonder taal geen wetenschapsontwikkeling’. Door de patronen van de betreffende probleemsituaties te symboliseren, kapselen de leerlingen letterlijk abstracte eigenschappen en relaties in die hierdoor zelf tot onderzoeksobject worden. In die zin kan gezond verstand, zonder uitbeelden niet tot ontplooiing komen. Van Hiele en Freudenthal zouden echter bij Gravemeijer’s beschrijving aantekenen dat de leerling niet alleen op oplopend niveau van denken en handelen moet leren modelleren. Ze moeten ook, al communicerend over de gemaakte afbeeldingen en de gedachten die deze oproepen, de ‘woorden’ en ‘taalstructuren’ vinden die bij het betreffende niveau van denken, structureren en symboliseren passen. Op deze manier ontwikkeld en gebruikt, vormen de geconstrueerde modellen en de taal die de leerlingen met elkaar spreken de culturele band tussen de leerlingen, en in die zin, de rode draad in de geschiedenis van hun gemeenschappelijke schoolse leerervaringen.

69

Hoofdstuk 3

3.3.4

Samenvattende conclusie

Samenvattend kunnen we vaststellen dat er niet één reconstructiedidactiek is. Binnen zekere marges, kunnen ontwerpers met verschillende achtergronden lokale onderwijsleeractiviteiten en kortere of langere leertrajecten ontwerpen die passen bij leren en onderwijzen via probleemoplossen en het mathematisch organiseren van de opgedane leerervaring. Interactief-reflectief probleemoplossen is een noodzakelijke, doch niet voldoende voorwaarde voor de verwachte voortgang in denken, rekenen en symboliseren. Er moet een rode draad door het aanbod van problemen lopen die de leerling in staat stelt ideeën en gewoonten te ontwikkelen die hem geleidelijk aan tillen tot het, voor hem, hoogst haalbare niveau van gezond verstand. Dit impliceert dat de ontwerpers de inhouden en vormen die de leerlingen moeten uitvinden en leren gebruiken in onderlinge samenhang in een leerlandschap moeten organiseren, gekoppeld aan verschijnselen en contexten waaruit de leerling die kan abstraheren. Dit impliceert vervolgens dat de ontwerper problemen zodanig aan elkaar knoopt, dat leerlingen telkens verder voortbouwen op wat zij al weten en kunnen. Binnen de zojuist geschetste reconstructiedidactiek onderscheiden we zoals gezegd drie verschillende didactieken. Deze worden achtereenvolgens in de paragrafen 3.4, 3.5 en 3.6 besproken.

3.4

Didactische variant 1: de TAL didactiek

De eerste didactische variant die we aan de orde stellen, is die waar Treffers (Treffers & de Moor, 1990) de basis voor heeft gelegd. We nemen daarbij de in het zogeheten TAL-project uitgewerkte didactiek voor leren hoofdrekenen in de onderbouw van de basisschool als uitgangspunt. Het gros van de leerlingen, wier oplossingen in dit onderzoek centraal staan, heeft namelijk leren hoofdrekenen met een methode waarvan de lessen en leergangen door deze didactiek zijn geïnspireerd. TAL staat voor Tussendoelen Annex Leerlijnen. Het is ontwikkeld in opdracht van de Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen door een landelijke groep rekendidactici, waaronder Treffers 38.

3.4.1

Theoretisch kader

Hoe kunnen de doelen van hoofdrekenen op de meest efficiënte manier worden bereikt? Deze vraag van Treffers (1987) typeert de invalshoek waaronder hij en TAL de inrichting van de 38

In de periode 1998-2000 bestond het TAL-team uit de volgende leden: J. Bokhove, J. van de Brink, A. Buter, K. Buys, E. de Goeij, M. v.d. Heuvel-Panhuizen (coördinatie), J. Menne, E. de Moor, A. Noteboom, J. Nelissen, A. Treffers, A. Veltman en J. Verwaal.

70


verticale mathematisering benaderen. Ze concentreren zich van begin af aan op de meest efficiënte overbrugging van de afstand tussen het intuïtief informeel oplossen van elementaire optelen aftrekproblemen en het puur getalsmatig denken en opereren. Ze richten hun aandacht daarbij op twee hoofdkwesties, namelijk (1) de fenomenologische oriëntatie in de aanvangsfase van het leerproces en (2) de materialen, schema’s en modellen die het meest geschikt zijn om de rekenhandelingen van de leerling op het verwachte niveau van flexibel en formeel rekenen te tillen. In 1987 is onder de titel Three dimensions - A model of Goals and theory description in mathematics – The Wiskobasproject, de Engelse vertaling van het proefschrift van Treffers uitgegeven. ‘Theory description in mathematics’ in de ondertitel, duidt de uitbreiding van de originele tekst aan. Treffers (1987) voorziet in deze uitbreiding, a posteriori, zijn oorspronkelijke driedimensionale doelbeschrijving van het wiskundeonderwijs zoals vormgegeven door Wiskobas39 van een passend onderwijstheoretisch kader. Treffers (ibid.) ziet in Freudenthal’s didactische fenomenologie en de niveautheorie van Van Hiele twee aanvullende kaders om de Wiskobas leergangen te typeren. Volgens hem biedt de niveautheorie van Van Hiele houvast om de grove macrostructuur van een leergang te schetsen. Van Hiele (1973) onderscheidt drie fases c.q. niveaus van denken in dit proces: – –

–

op het grondniveau zijn de getallen gekoppeld aan waarneembare en tastbare hoeveelheden en aan handelingen met echte objecten; het eerste niveau wordt bereikt zodra leerlingen hun aandacht richten op de relatie tussen getallen en deze relaties gebruikt om veranderingen en relaties tussen hoeveelheden te symboliseren (7 is twee meer dan 5; 4 + 4 = 8; 10 5=5; etc.); het tweede niveau wordt bereikt wanneer leerlingen de relaties zelf van hun netwerk onderzoeken om daar greep op te krijgen en deze optimaal te kunnen gebruiken.

Dan ligt het formele begrip en gebruik van de operaties in het verschiet - aftrekken als de omkeeroperatie van het optellen en delen als de omkeeroperatie van het vermenigvuldigen40. Freudenthal (1987, 7) herkende in deze niveaus het iteratief leerproces van de mensheid, waarbij de ‘ordeloze materie’ op het ene niveau, via reflectie, op het volgende wordt georganiseerd. Vanuit de Piagetiaanse traditie, beschrijven Gray en Tall (1994) hetzelfde proces. Zoals eerder beschreven (paragraaf 3.3.2) beschouwen zij vanuit hun cognitief-psychologisch perspectief Van Hiele’s niveauverhogingen als opeenvolgende abstracties van ‘denkdingen’ (noties, concepten, symbolen) die

In zijn presentatie Onderwijsontwikkeling in de praktijk zoomt Gravemeijer (1994) in op het proces van onderwijsontwikkeling in Nederland vanuit de conceptie en benadering van het IOWO. 40 Zie ook Freudenthal (1984). 39

71

Hoofdstuk 3

ontstaan uit handelingspatronen, zoals bijvoorbeeld ‘getal’ uit het tellen van iets en ‘som’ uit de uitbreiding van (denkbeeldige) verzamelingen. Wat de structurering op microniveau betreft, is Treffers (1987) evenals Freudenthal (1973) van mening, dat een leerling talloze mini-drempels moet nemen om te leren mathematiseren en al doende, voort te gaan in kennis en bekwaamheid. Deze stappen zijn, als zodanig, haast niet van elkaar te onderscheiden. Vanuit deze optiek gezien, geeft Van Hiele’s fasering van de overgang van het ene niveau naar het andere41, volgens hem geen antwoord op twee cruciale didactische vragen: 1. 2.

How to shape concretely the phenomenological exploration at the first level? Which didactical acts should be performed to raise the pupils as efficiently as possible from one level to the next the next? (Treffers, 1987, 245).

Voor het antwoord op de eerste vraag maakt Treffers gebruik van Freudenthal’s didactische fenomenologie. Zoals gezien in paragraaf 3.1 geeft deze analyse aan welke fenomenen van de realiteit de leerling wiskundig moet onderzoeken om, al explorerend en organiserend, de wiskundige middelen te construeren die nodig zijn om daar greep op te krijgen. Dit gebruik van de realiteit als bron van probleemoplossen en van de generalisatie en verdergaande formalisering van werkwijzen typeert dan ook, volgens Treffers, de Wiskobas-benadering van rekenen-wiskunde. Progressief mathematiseren volgens Wiskobas Treffers zoekt en vindt de sleutel voor het meest ‘efficiënte’ leerproces in vijf karakteristieken van de Wiskobasproducten. Ze typeren, in onderlinge samenhang, het overkoepelende principe van het zogenoemd ‘progressief mathematiseren volgens Wiskobas’42: –

–

–

de centrale plaats voor het gebruik van contexten als basis voor een fenomenologische verkenning en als bron voor de ontwikkeling van begrippen e.d.; de aandacht voor het gebruiken, verkennen en ontwikkelen van (situatie-) modellen, schema’s en symboliseringen die steun bieden bij het nemen van een bepaalde drempel; het doen van een beroep op de eigen inbreng van de kinderen door aan te sluiten bij hun fragmentarische en informele kennis en door eigen constructies en producties uit te lokken;

Van Hiele (1973) onderscheidt op pagina 148 en verder de vijf volgende fasen: 1. informatie, 2. gebonden oriëntatie, 3. explicitering, 4. vrije oriëntatie en 5. integratie. 42 Zie de context en de aanleiding in paragraaf 2.3.1. Deze principes zijn eerder beschreven in Treffers en Goffree (1985). De korte weergave ervan is ontleend aan Gravemeijer (1987, 50). 41

72


–

–

het steunen op interactief onderwijs waarbij de leerlingen worden geconfronteerd met de oplossingen van anderen en deze en eigen oplossingen bespreken en evalueren; recht doen aan de samenhang tussen de verschillende leerstofgebieden.

Deze didactische grondprincipes zijn in de Proeve… (Treffers en de Moor, 1990) dan ook omgewerkt tot ‘Vijf leerprincipes van de reconstructiedidactiek’ die sindsdien als de ‘grondprincipes van het realistisch rekenen’ worden beschouwd. Deze omschrijving integreert de realistische norm ten aanzien van de didactiek met die ten aanzien van de activiteit van de leerling. Zo zijn ze ook als richtlijn gebruikt voor het ontwerpen van de onderwijsmethoden (rond de eeuwwisseling) waarmee de geobserveerde leerlingen hebben leren hoofdrekenen (KNAW, 2007, 25) 43 Deze theorie wordt hieronder op hoofdlijnen gepresenteerd. Ze vormt immers één van de drie varianten die als uitgangspunt worden genomen om relaties te leggen tussen de gevolgde didactiek en de geobserveerde kwaliteit van hoofdrekenen.44 Onderwijsprincipes Bovenstaande karakteristieken van het progressief mathematiseren volgens Wiskobas typeren het onderwijsleerproces. Ze zijn niet geformuleerd om, op basis hiervan, lessen en leergangen te ontwerpen. Ze zijn daar ook niet geschikt voor (Gravemeijer, 1987). Hiertoe hebben Treffers, de Moor en Feys (1987b, 27-31) een aantal vuistregels uitgewerkt. Deze zogeheten onderwijsprincipes vormen de meest concrete didactische richtlijnen voor het (hoofd)rekenonderwijs in de onderbouw van de basisschool (zie ook Treffers en de Moor, 1990, 96-101). De kern ervan die het optellen en aftrekken tot 100 (1000) aangaat, wordt hieronder weergegeven. Dagelijkse oefeningen. Leerlingen moeten dagelijks even hoofdrekenen. Ze wisselen al doende ideeën uit over oplossingsmethoden, lichten de ingebrachte berekeningswijzen toe en determineren samen de sterkere en zwakkere kanten ervan. Dit hoofdrekenen is verbonden met de kernstof van het programma voor jaargroep 5, tellen en meten in getalgebied tot duizend. Inzichtelijke opbouw. De procedures van de geleerde hoofdrekenmethoden (rijgen, splitsen en variarekenen) worden inzichtelijk opgebouwd, dat wil zeggen, met behulp van passende materialen, schema’s e.d. ‘gedemonstreerd’. Deze onderwijsleerprincipes zijn in de Nederlandstalige publicaties op talloze manieren verwoord. De KNAW-commissie onderscheidt en omschrijft (1) Zelf kennis construeren, (2) Niveaus en modellen, (3) Reflectie op eigen producties, (4) Interactie en (5) Verstrengeling van leerlijnen. 44 Tussen 1987 en 2001 is Treffers’ Framework voor instruction theory aangescherpt en verder uitgebouwd. De laatste uitwerking ervan komt uit de hand van Menne (2001). Haar zogenoemde ‘lokale onderwijstheorie voor het rekenen tot honderd‘ was echter nog niet beschikbaar bij het ontwerp van de ‘euro-methoden’ waarmee de onderzochte leerlingen hebben leren rekenen. Deze lokale theorie zal dan ook slechts worden betrokken in het afsluitende hoofdstuk, bij de discussie naar aanleiding van de resultaten van onderhavige studie. 43

73

Hoofdstuk 3

Zowel mondeling als schriftelijk oefenen. Bij de dagelijkse oefeningen dienen de opgaven zowel schriftelijk als mondeling gevarieerd te worden aangeboden (ibid., 97), door gebruik te maken van sommenrijtjes, pijldiagrammen, tabellen, machientjes, getallenmolens, etc., plus spelletjes en toepassingen. Spelletjes ter verlevendiging. Spelletjes verlevendigen het hoofdrekenen en hebben als zodanig een eigen specifieke functie bij het hoofdrekenen. Didactisch gebruik en doelen aanpassen. Dit laatste principe is van cruciaal belang voor scholen die geconfronteerd worden met grote verschillen tussen hun leerlingen. Het principe luidt als volgt: we dienen bij hoofdrekenen individuele verschillen te accepteren en zelfs te benutten bij het bespreken van mogelijke strategieën. Maar wat te doen als bepaalde leerlingen bij het groepswerk steeds achterblijven? Het adagium is dan: indien het precieze berekenen niet lukt, accepteer dan (aanvankelijk) schattingen. We moeten kinderen bij het lange-termijn doel van het hoofdrekenen sterk stimuleren en er vooral voor waken dat de oefensfeer en de groepsgerichte werkvorm niet tot stresstoestanden leiden. Vandaar ook: lukt het niet exact, kies dan aanvankelijk voor de benadering van de uitkomst en juist niet voor de zekere cijfermatige aanpak – althans niet bij hoofdrekenen (ibid, 30). We kijken nu hoe het TAL-team Treffers’ richtlijnen en bovenstaande principes in haar inrichting van het rekenen tot honderd heeft uitgewerkt.

3.4.2

TAL-didactiek

Treffers’ didactiek van het progressief schematiseren volgens de didactische drieslag is uitgewerkt in de Proeve… (Treffers en de Moor, 1989, 1990) en de TAL publicaties (TAL-team, 1999; Van de Heuvel-Panhuizen, Buys & Treffers, 2001). We concentreren ons zoals gezegd primair op de uitwerking in de TAL-publicaties. We beperken ons in de navolgende beschrijving tot de kern van de door het TAL-team aanbevolen hoofdrekendidactiek voor het onderwijs tot en met jaargroep 5. Eerst beschrijven we het rekenen tot twintig, daarop aansluitend het optellen en aftrekken tot honderd. Tellend, structurerend en formeel rekenen tot twintig Het rekenen tot twintig legt de basis voor hoofdrekenen tot honderd. De leerlingen transformeren het uitbeeldend oplossen van elementaire optelen aftrekproblemen met ondersteuning van de vingers of objecten tot het formeel symboliseren van een gebeurtenis of een relatie tussen benoemde aantallen of maten via het zogenoemde ‘structurerend’ rekenen (TAL-team (1999, 27). Deze progressieve niveauverhoging verloopt als volgt. Er wordt gestart met een brede, gecontextualiseerde oriëntatie in de wereld van tellen en meten. Dit richt de aandacht van de leerlingen op de betekenissen en

74


verschijningsvormen van de getallen, optellen en aftrekken, de plaats van de getallen in de telrij en het gebruik van de telwoorden bij tellen, vergelijken, optellen en aftrekken. Het symboliseren van hoeveelheden met een vijftallig gestructureerde kralenketting en het rekenrek opent de weg naar het structurerend rekenen. Dit bevrijdt de leerling van doortellen en terugtellen. Het stelt hem in staat getallen als knooppunten van een eigen netwerk van optelrelaties te organiseren. Dit bevordert het memoriseren van de tafels. Eenmaal zo ver, kan de leerling leren passende rekenfeiten als ‘hulpsom’ te gebruiken voor de herleiding van een onbekende optelling of aftrekking, wat Engelsen de ‘derived facts’ strategie noemen (Thompson, 2003). Dit gebeurt in de formele fase van rekenen tot twintig, wanneer de leerling (a) puur mentaal, met afgesplitste getallen kan opereren, (b) er achter is gekomen hoe ‘gelijke’ optellingen (c.q. afrekkingen ) gemaakt kunnen worden door de termen te veranderen en (c) een eerste notie heeft verworven van de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Op dit formele niveau rekenen de leerlingen via het tiental, gebruiken ze de vijfstructuur (6+7=5+1+5+2=10+3), of gebruiken ze dubbelen of omgekeerde dubbelen (8-4 en 12–6, via respectievelijk 4+4=8 en 6+6=12). Sommigen nemen zelfs de vrijheid om beide getallen van de opgaven, ‘intuïtief’ of volgens zelf bedachte regels te veranderen, zoals 9+2 in 10+1. Rijgen, splitsen en variarekenen tot honderd op drie niveaus De TAL-goep structureert de progressieve formalisering van optellen en aftrekken tot honderd in de lijn van de fasering van de voortgang bij rekenen tot twintig (Buijs, 2000; 2008). De leerling wordt geacht zijn modellering met telstappen trapsgewijs te veranderen in tientallig optellen en aftrekken met rekengetallen als knooppunten, rekenen met positiewaarden (splitsprocedures) of met hulpsommen (variaprocedures). Het TAL-team neemt voor deze organisatie van de leerstof de volgorde van aanbieden van de drie vormen van decimaal rekenen over die in de Proeve… is geschetst (Treffers & de Moor, 1990): eerst sequentieel (rijgen), dan positioneel (splitsen) en daarna meer expliciete aandacht voor de aanvullende en de deductieve vorm van handig rekenen (variarekenen). Daarmee stappen ze over de bezwaren heen, die de Leidse onderzoeksgroep formuleerde tegen deze volgorde van aanbieding van de drie hoofdrekenmethoden. Beishuizen en Van Mulken (1988) hadden in hun studie naar de oplossingen van leerlingen van groep 4 geconstateerd dat zij eerst de opeenvolging van de tientallen mentaal constitueren (10, 20, 30, …) en dit getalpatroon in drie vormen van optellen en aftrekken gebruikten (zie figuur 3.3): -

bij splitsen (acroniem 1010); bij rijgen via een sprong naar een tiental (acroniem A10) en; bij de zogenoemde combinatiemethode (acroniem s10) die relatief vaak werd ingezet en bovendien behoorlijk effectief bleek te zijn.

75

Hoofdstuk 3 Rekenen op basis van de sequentiële ordening van de tientallen – Splitsen (1010 methode) 38+25 via 30+20=50; 5+8=; 50+13=63 63-38 via 60-30=30; 3-8? Incorrect opgelost via 8-3=5; 30+5=35 Correct opgelost m.b.v. de combinatiemethode – Rijgen (A10 methode) 38+25 via 38+2=40  50, 60  60+3=63 63-38 via 63–3=60  50, 40, 30  30-5=25 Figuur 3.2 – Elementaire vormen van hoofdrekenen op basis van de decimale sequentiële ordening van de getallen (Bron: Beishuizen & Van Mulken, 1988)

Pas later in jaargroep 4 beseffen leerlingen volgens Beishuizen en Van Mulken (1988) wat de implicaties zijn van de decimaal-positionele structuur van de tweecijferige getallen voor de optelen aftrekoperaties van het type 38 + 10 en 48 – 10, de conceptuele voorwaarden om met de tiensprong te kunnen rijgen. Op basis van deze bevindingen, pleitten zij voor een gelijktijdige aanbieding van (horizontaal) splitsen en rijgen in jaargroep 4 en voor de opname van de combinatiemethode in het communale aanbod. Het zou als tussenvorm kunnen fungeren die de brug slaat naar de tweede, complexere vorm van sequentieel rekenen - de methode van de herhaalde tiensprong (acroniem G10, zie figuur 3.3) (Foxman & Beishuizen, 2003). Het TAL-team (1999) geeft twee redenen waarom er niet op dit voorstel is ingegaan. Een leermiddel (c.q. model) moet ‘breed inzetbaar’ zijn en ‘goed aansluiten bij de verschillende verschijningsvormen van de operaties’, aldus de ontwerpers (ibid., p. 50). Het team meent dat, vanuit dit oogpunt bekeken, een lijnmodel aanvankelijk meer mogelijkheden biedt dan een groepjesmodel omdat het beter aansluit bij de informele modellering met telstappen. Paradigmatisch hiervoor is de symbolisering van relatie tussen leeftijden of het uitbeelden van de vorderingen bij het lezen van een boek. Een tweede motief om het rekenen met decimale middelen uit te stellen, is het gevaar dat de leerling de misconceptie van het bekende buggy algoritme (zie figuur 3.3) inslijpt. In figuur 3.4 geven we een overzicht van de ontwikkeling van drie vormen van opereren die een voor een in het onderwijs aan bod komen. Rijgen. De eerste fase betreft de progressieve schematisering van het rijgen (of sequentieel rekenen). De overbrugging verkort tellen  puur mentaal rijgen wordt als volgt in drie fasen gestructureerd. Het proces start bij het informele oplossen van een weloverwogen afwisseling van bepaalde typen contextproblemen. Deze problemen moeten namelijk oriënteren in de verschillende structuren en betekenissen van optellen en aftrekken die relevant zijn voor het uitvinden van de verwachte vormen van optellen en aftrekken en flexibele varianten ervan. Optellen verschijnt in deze situaties als toevoegen, samennemen en ‘groter’ maken, aftrekken als weghalen, scheiden, gelijk maken en verschil bepalen. Op grond van de uitgebreide literatuur hierover, verwacht het TAL-team dat elke leerling zo een eigen oplossingsweg zal

76


volgen, ook al zullen de meeste kinderen de actie of relatie van het probleem in de lijn van het verhaal met telstappen uitbeelden. Dit breidt de rekenpatronen uit die de leerlingen al bij het rekenen tot 20 hebben uitgevonden: bijtellen (tot) en terugtellen (tot), al dan niet via de symbolisering van de telstappen met opgestoken vingers, getekende streepjes of rondjes, streepjes e.d. Lineair probleem

Decimaal probleem

Hans maakt een rit van 77 km... Progressieve schematisering van RIJGEN / Sequentieel

Kaal aftrekken

Tom heeft 77 euro. Hij geeft 29 ... 63 - 48 = _____ Progressieve schematisering van Progressieve schematisering SPLITSEN / positioneel van VARIA REKENEN / Deductief

Tellen Tweesporig tellen 76 75 74 (…) 50 49 48 1 2 3 (…) 27 28 29

Structurerend

Structurerend Met groepjesmodel

Met de sprong via het tiental

Semi-formeel, Model ondersteund Inverse relatie

Met de herhaalde tienspro

77

-10

67

-10

57

-7

50

-2

Formeel vakmatig Met samengestelde 10-sprongen 77-20=57; 57-9=48

48

Formeel vakmatig Met tekort

Misconceptie

Formeel vakmatig Compenseren

Transformeren Beide termen met evenveel ophogen: 77-29 is evenveel als 78-30

Kolomsgewijs Figuur 3.3 - Progressief schematiseren van drie vormen van opereren in het getalgebied tot 100

In de hierna volgende fase wordt de tientallig gestructureerde kralenketting en in het verlengde hiervan de lege getallenlijn ingezet om het uitbeelden met telstappen te comprimeren tot uitbeelden met passende sprongen van het ene tiental of samengesteld getal naar het andere (zie paragraaf 2.4 en paragraaf 3.5.2). Het idee voor de kralenketting en de (lege) getallenlijn is door Treffers (1989) ontleend aan Whitney (1988), die het beiden propageren als hulpmiddel bij het optellen en aftrekken tot

77

Hoofdstuk 3

honderd. De door hem voorgestelde kralenketting bestaat uit honderd kralen, ingedeeld in groepen van tien die afwisselend licht en donker gekleurd zijn (zie figuur 3.4).

Figuur 3.4 - Tientallige kralenketting

De leerling kan een aantal kralen aftellen, bijvoorbeeld 32, en dan een knijper op de kralenketting zetten. De gekleurde groepen van tien maken het echter mogelijk om 32 veel sneller te vinden, via: 10, 20, 30, 32. De kralenketting kan bovendien gekoppeld worden aan een getallenlijn, die kan worden opgevat als een schematische voorstelling van de kralenketting (zie figuur 3.5).

Figuur 3.5 - Getallenlijn als schematisering van het kralensnoer

De tientallige structuur ondersteunt het springend tellen met sprongen van tien en één. Dit baant de weg voor het rijgen met sprongen (gevisualiseerd met boogjes) op de lege getallenlijn. Het noteren van (deel)berekeningen op de lege getallenlijn, helpt de leerling bij het houden van overzicht. Het kralensnoer en de getallenlijn worden ingezet bij specifieke opdrachten als zoveel dingen zichtbaar maken of herkennen en aantallen uitbreiden, reduceren, afsplitsen, e.d. die de aandacht richten op (a) de tientallen als handige referentiepunten en (b) het decimaal patroon van de ordening. Sommige leerlingen ‘zien’ dan al het patroon in reeksen als 31, 41, 51 …; 39, 49, 59…; 42, 52, 62 …; of 48, 58, 68 … De oriëntatie leidt tot de uitvinding van de twee elementaire vormen van rijgen: 1. springen van tiental tot tiental, via de sprong naar het tiental (A10 procedure) en 2. direct springen met 10-sprong (G10) dat de meest gevorderde leerlingen een uitkomst vinden. Leerlingen moeten dan, in de derde fase van het proces deze omslachtige manier van springen zelf optimaal verdichten tot de zogenoemde ‘samengestelde 10sprongen’. Geleerd wordt hoe deze rekenhandelingen in pijlentaal kunnen worden genoteerd. Naarmate leerlingen vertrouwd raken met de gebruikte getalrelaties, wordt deze notatie overbodig. Leerlingen kunnen dan in sommentaal of zelfs puur mentaal rijgen. Al doende, bereiken ze het verwachte eindniveau van sequentieel rekenen. Dit opent de weg voor de afstemming van de geleerde rijgschema’s voor de bewerking van driecijferige getallen (van den Heuvel-Panhuizen, Buys & Treffers, 2001).

78


Tientallig splitsen. Hierna volgt de progressieve schematisering van het splitsen (of positioneel rekenen). Zoals eerder gezegd, wordt de decimaal-positionele vorm van optellen en aftrekken tot honderd pas in de tweede helft van jaargroep vier expliciet aan de orde gesteld. De richtlijnen van het TAL-team zijn, evenals die van de Proeve… zeer summier. Deze methode wordt in de publicatie van de onderbouw alleen geïllustreerd met de voorbeelden 48+29 en 77-29 (zie figuur 3.6), met daarbij de mededeling dat er ‘behoedzaam’ dient te worden gehandeld.

Figuur 3.6 – Positioneel optellen en aftrekken in pijlentaal’ (TAL, 1999, p. 52)

In de publicatie van de bovenbouw geeft Buijs (2000, p 40) aan dat het tientallig splitsen pas wordt aangeboden, als de kinderen voldoende vertrouwd zijn met de rijgaanpak en de decimale structuur van de getallen (zie figuur 3.8).

Figuur 3.7 - Horizontaal aftrekken met de combinatiemethode en met tekort (Buijs, 2000, p. 42)

De eerste procedure is de combinatie van rijgen met splitsen waar Beishuizen en Van Mulken (1988) voor pleitten. De tweede methode van horizontaal aftrekken met tekort is geïnspireerd door Maddel’s (1985) experimenten met het vrij modelleren met MAB-materiaal. In de realistische stijl van TAL beelden leerlingen ‘decimale’ contextproblemen uit met namaakgeld. Variarekenen. Tenslotte volgt het progressief schematiseren van het variarekenen, dat in de loop van groep 5 explicieter aan bod komt Conform de Proeve…, onderscheidt Buijs (2000, 42) drie klassen oplossingswijzen. De eerste groep bestaat uit oplossingen van aftrekopgaven, waarbij de leerling indirect optelt (c.q. indirect aftrekt) in plaats van aftrekt. De tweede en derde groep oplossingswijzen behoren tot wat in deze dissertatie de ‘deductieve’ vorm van hoofdrekenen wordt genoemd: enerzijds ‘compenseren’ en anderzijds ‘transformeren’. Didactische middelen In lijn met de verschillende vormen van rekenen selecteert het TAL-team passende didactische hulpmiddelen (TAL-team, 1999; Buijs, 2000). Daarbij benadrukken ze het belang van de consistentie tussen het gebruikte symboliseringsmiddel en de structuur

79

Hoofdstuk 3

van het verschijnsel bij het beschrijven en oplossen van een contextprobleem (figuur 3.3 en figuur 3.8).

Ik ben 36 jaar oud. Hoe oud ben ik over 8 jaar? Hoe oud was ik 8 jaar geleden?

Modellering van sparen: telkens 10 euro erbij

Figuur 3.8 Lineaire en positionele modellering van processen en relaties

‘Ordinale’ problemen (zie Hans) moeten met ‘lijnmodellen’ worden uitgebeeld (N blokjes in een lange file, een kralenketting en (gedeeltelijk) gemarkeerde getallenlijn), ‘decimale’ problemen (Tob) met ‘groepsjesmodellen’ (turfstreepjes, dozen van 10 stuks, namaakgeld, etc.). Door de gekozen volgorde van aanbieding, krijgen de leerlingen volop de gelegenheid om de getallen tot 100 te gaan zien als knooppunten van lineaire optelen aftrekrelaties. Dit proces start met het tellen van grote hoeveelheden, waarbij het groepjesmodel wordt geïntroduceerd. De visualisering van denkbeeldige tellingen c.q. hoeveelheden met het tientallig gestructureerde kralensnoer richt de aandacht op de tientallen als markeringspunten van de tientallige herhalingsstructuur van de getallenrij. De symbolisering ervan op een tientallig gemarkeerde getallenlijn leidt dan de lineaire organisatie in van samengestelde getallen. Dit gebeurt via opdrachten als het aanwijzen en plaatsen van getallen op een getallenlijn met eenheden of tientallen (of op een lege getallenlijn), het springen naar getallen, etc. Hiermee verwerven de leerlingen de twee bouwstenen voor het rijgen de tiensprong (e.g. 57+10=67) en de sprong naar het tiental (e.g. 57+3=60). Klassikale interactie. Opvallend is de geringe aandacht die het TAL-team besteedt aan de rol van de klas als sociale context en aan interacties - Treffers (1987) vierde fundamentele principe. De in figuur 3.9 geschetste korte uitwisseling van gedachten is paradigmatisch. Het conflict van het tekort is de gevoelige snaar van decimaal aftrekken. Het is dan ook een teken aan de wand dat de reflectie hierover zo bondig en ‘procedureel’ wordt geïllustreerd.

80

Drie reconstructiedidactieken Conflict van het tekort aan eenheden: Je hebt 83 euro en je wilt iets kopen van 47 euro. “Je het helemaal geen 7 losse euro’s. Je hebt er 3, en daar moet je die 7 vanaf halen”. “Ja, precies. Dan kun je er eerst 3 afhalen en dan moet je er nog 4 van de tientjes afhalen”

10

10 10

10

10

10

10

22 2 2 2 2

10

Figuur 3.9 Gedachtewisseling over het tekort aan eenheden bij splitsend aftrekken (Buijs, 2000, p. 42)

3.4.3

Kritische kanttekeningen binnen de eigen kleine en grote kring

Als voormalig lid van de TAL-groep en eindredacteur van het hoofdstuk over de getallen en de operaties tot honderd, blikt Buijs (2008) in zijn dissertatie terug op de toegepaste structurering in drie vormen van symboliseren en rekenen. Hij memoreert de kanttekeningen die binnen de TAL-groep en de kring eromheen zijn geplaatst ten aanzien van de onderscheiden niveaus van formalisering en het gekozen perspectief. Tellend, structurerend en formeel rijgen weerspiegelen zijns inziens de verandering in de mate van formalisering van de uitgevoerde operatie. De toename in de abstractiegraad van de handelingen karakteriseerde echter niet de niveauverhoging in haar totaliteit, aldus Buijs (ibid., 42). Ook staat Buijs stil bij de bezwaren van realistische collega’s tegen de sterke gerichtheid op de rekenhandelingen en op de schematisering ervan. Dit zou ten koste gaan van de aandacht voor de ontplooiing van wiskundig denken bij leren rekenen (Keijzer, Figueiredo, Galen, Gravemeijer & Herpen 2005; Goddijn, 2005). Het uitvoeren van bewerkingen was overbelicht, het begrijpen onderbelicht. De nadruk op de vormen (procedureel aspect van rekenen) ging ten koste van de inhouden (conceptueel aspect van rekenen). Daar kwam de kern van de kritiek op neer. Bij zijn reflectie op de kernideeën uit Freudenthal’s (1991) boek Revisiting Mathematics Education, merkt Buijs (2005) wat dit betreft op, dat men ‘wellicht’ de conceptuele ontwikkeling van de leerling als tweede dimensie van de voortang zou moeten onderscheiden. Het gaat immers niet louter om dat de leerling op een hoger niveau tot een oplossing leert te komen, maar ook dat dit gebeurt op basis van een steeds beter begrip van de betreffende operatie, van de te gebruiken getalrelaties, en dergelijke. Het is juist in dit beter begrijpen dat iets wezenlijks van het ‘steeds gezonder wiskundig verstand’ tot uitdrukking komt (p. 100).

In hoofdstuk 4 wordt een classificatiesysteem geconstrueerd voor de codering van de oplossingsprocedures en een daarbij horend patroon in het abstractieproces van de verticale mathematisering. We zullen dan bovenstaande standpunten en de vormen en niveaus van TAL tegen het licht houden van de voortschrijdende inzichten in en empirische aanwijzingen over de conceptuele en procedurele aspecten van leren

81

Hoofdstuk 3

hoofdrekenen en de relatie er tussen. We maken nu kennis met de cognitiefpsychologisch gekleurde tweede variant van de reconstructiedidactiek.

3.5

Didactische variant 2: probleemoplossende didactiek

De tweede variant van de reconstructiedidactiek die we hier bespreken, betreft de Amerikaanse cognitief-psychologische benadering van Carpenter, Fuson en anderen. Uitgangspunt vormt de bevinding dat een kind, zonder aansturing van buiten, niet op het idee komt hoeveelheden tientallig te groeperen, of positioneel te noteren, en daarbinnen niet op het idee van ‘lenen’ komt. De standaardalgoritmen zijn het eindresultaat van eeuwenlange ontwikkeling. Het berust op de conventie dat een tientallig positioneel systeem de voorkeur verdient boven andere alternatieven. Kinderen kunnen volgens de onderzoekers onmogelijk zelfstandig tot dezelfde bevindingen en uitvindingen komen in de relatief korte tijd dat ze op de basisschool zitten. Ze hebben daarom de hulp van de leraar nodig, en van materialen die het tientallig rekenen toegankelijk, want begrijpelijk maken. Men kiest daarom voor de inzet van ‘conceptueel-ondersteunende didactische middelen’ om de leerling, binnen de sociale ruimte van de groep, in te wijden in de wereld van ‘tientalligheid’. Problemen die aansluiten bij de ervaring van ‘tientalligheid’ in de diverse contexten uit het leven van alledag worden hiertoe als uitgangspunt gebuikt. De modellering ervan met uiteenlopende decimale middelen richt de aandacht van de leerlingen op de eigenschappen en de structuur van de gebruikte ordeningsvormen en de relaties ertussen, hoe getallen worden gemaakt, uitgesproken en geschreven en wat men met groepen van tien dingen (tientallen) en losse dingen (eenheden) zoal wel en niet kan (mag) doen. Op deze manier ontstaat er, geleidelijk aan, een tientallige tel- en rekencultuur in de groep. Er worden ideeën ontwikkeld, symboliseringen en werkwijzen ontdekt, uitgewisseld, kritisch doorgelicht en naar hun mate van juistheid en geschiktheid bediscussieerd, onder elkaar en met de leraar als inhoudelijke en pedagogische begeleider. Dit alles legt de basis voor het hoofddoel: de abstractie van de traditionele algoritmen uit handelingspatronen met decimale hulpmiddelen die de groep heeft goedgekeurd vanuit het verworven inzicht in tientalligheid. We komen daar later op terug.

3.5.1

Theoretisch kader

Deze variant van de reconstructiedidactiek karakteriseert de instructiepraktijk van vier verwante projecten: –

Cognitively Guided Instruction (CGI, onder leiding van Thomas Carpenter, Elizabeth Fennema en Megan Franke van de universiteit van Wisconsin);

82


– – –

Supporting Ten-Structured Thinking (STST, onder leiding van Fuson van de universiteit van Northwestern); project Conceptually Based Instruction (CBI, onder leiding van James Hiebert en Diana Wearne van de universiteit van Delaware); Problem Centered Mathematics Project (PCMP, onder leiding van Piet Human, Hanlie Murray en Alwyn Olivier van de universiteit van Stellenbosch, ZuidAfrika).

Deze projecten proberen alle vier om, vanuit eenzelfde referentiekader te onderzoeken hoe men kinderen kan helpen ‘to learn number concepts and operations with understanding’ (Fuson e.a.1997, p. 131). Hoe men dit onderwijstheoretisch en didactisch gezien moet interpreteren wordt hierna uiteengezet. Wij verkennen achtereenvolgens de algemene visie, de twee gebruikte referentiekaders en de nagestreefde verticale mathematisering als het gemeenschappelijke kader van de vier projectgroepen. Algemene visie In 1997 publiceerden de in deze projecten verzamelde onderzoekers een gezamenlijk artikel waarin ze hun positie uiteenzetten (Fuson et al, 1997). De insteek is het volgende. Het traditionele rekenonderwijs bewerkstelligt in de V.S. en andere landen het inslijpen van algoritmische procedures (‘calculation procedures’), misconcepties van de positionele eigenschap van ons getalsysteem en de plaatswaarde van getallen en ook hardnekkige bewerkingsfouten. De onderzoekers baseren zich daarbij op een achttal publicaties — waaronder die van Beishuizen (1993) over de invloed van de hulpmiddelen en modellen bij leren rekenen tot honderd. Zij presenteren hun projecten als experimenten met nieuwe instructievormen, ‘to support children’s construction of accurate and robust conceptual structures for multidigit numbers and to facilitate the use of these conceptual structures in multidigit calculation’ (Fuson et al., 1997, p. 130). Vanuit deze invalshoek richten de onderzoekers zich kort gezegd op inzichtelijk decimaal leren rekenen met meercijferige getallen vanuit een goed begrip van de twee hoofdprincipes van het decimaal-positionele systeem van natuurlijke getallen: de ‘bundeling in eenheden van tien’ en de‘positionele ordening’ van deze eenheden van klein (rechts) naar groot (links), zoals in 48 en 620. De gemeenschappelijke rapportage presenteert de opbrengst van de discussies die in de loop van de experimenten hebben plaatsgevonden over relevante aspecten van de vier projecten. Op basis hiervan worden drie componenten van het gemeenschappelijk theoretisch kader geïdentificeerd: 1.

een classificatie van ‘word problems’ (rekenverhalen) die paradigmatisch zijn voor de verschillende betekenissen en verschijningsvormen van optellen en

83

Hoofdstuk 3

2. 3.

aftrekken en die geschikt zijn om de relevante vormen van modelleren te verkennen (Carpenter, 1997); het zogenoemde UDSSI45 Triad model dat de sequentiële ontwikkeling van het getalbegrip beschrijft; het overzicht van de methoden van optellen en aftrekken die basisschoolleerlingen kunnen uitvinden op basis van hun conceptie van de getallen en de steun van de aangereikte (decimale) hulpmiddelen en modellen.

Wat dit gebruik van ‘conceptueel ondersteunende middelen’ betreft, verwerpen Fuson, e.a. (1997) de in hun ogen ‘false dichotomy’ die in het debat binnen de onderzoeksgemeenschap is geconstrueerd. Ze doelen op de tegenstelling die Treffers (1978) en Cobb, Yackel & Wood (1992) aanbrengen tussen ‘embeddedness’ en ‘embodiment’. Vanuit het principe dat iedereen zijn of haar eigen kennis zelf construeert, hebben Cobb, Yackel en Wood (1992) bezwaren tegen het gebruik van elk didactisch middel dat ontworpen is om leerlingen abstracte wiskundige concepten te laten ontdekken waar zij nog niet over beschikken. Fuson e.a. (1997) geven toe dat het in de klassen van de projecten soms lijkt of kinderen decimale middelen als de MAB-blokken als het ware ‘opnemen’ en al doende de wiskundige structuur ervan ter plekke ‘opslaan’ (internaliseren’). Echter, Our experiences instead supports a ‘meaning maker’ view of learning in which what a child ‘sees’ when looking at objects depends on the conceptual structures used by that child. A given child can be supported toward constructing conceptual structures not yet built by having particular kinds of objects available, by kinds of use and discussion of such use by other children and adults in the classroom, and by activities that help or direct the child in certain ways. But the construction of new conceptual multidigit structures is a prolonged process (cursief van de auteurs) that occurs within the classroom social and activity structures that include many elements other tan the objects (see Hiebert e.a.1997).

Er zijn volgens de onderzoekers twee kwesties. Ten eerste of er wel of niet iets is in het hoofd van de leerling is dat ‘vertaalt’ wat hij ziet en hoort en ten tweede de snelheid waarmee een kind het getalbegrip ontwikkelt. In de optiek van Fuson, e.a. (Ibid., p. 133.) fungeren de ‘conceptuele structuren’ als een dergelijke ‘tolk’(‘interpreter’):

45

UDSSI is de samentrekking van Unitary, Decade, Sequence tens, Separate tens en Integrated conception

84

Drie reconstructiedidactieken For us, a conceptual structure in use indicates/reflects the aspects of the mathematical situation considered by the user at that moment: it captures what aspects are focused on and how these aspects are interpreted. (p. 133).

Zij constateren dat de ontwikkeling van het concept ‘getal’ veel tijd in beslag neemt, gradueel verloopt en eerder wordt gekenmerkt door het herhaald herorganiseren van verworven noties in de zin van Freudenthal (1991) dan door ‘onmiddellijke’ inzichten, die ook zijn geobserveerd. In samenhang met deze visie zijn de twee referentiekaders ontwikkeld, één die de conceptuele structuren van tweecijferige getallen betreft en één die strategieën en methoden voor optellen en aftrekken beschrijft. Samen vormen ze de basis voor het onderwijs rond optellen en aftrekken. Constitutie van de conceptuele structuren van tweecijferige getallen Het Triad Model beschrijft de sequentiële ontwikkeling van de conceptuele structuren van tweecijferige getallen. Het bouwt voort op Fuson’s (1992) analyse van de conceptualisering van eencijferige getallen (zie ook Verschaffel, Greer en de Corte, 2007). In haar visie wordt een conceptie gevormd door de wederzijdse relaties tussen drie componenten: de hoeveelheid (‘quantity’), het telwoord (‘number word’) en het getalsymbool (‘written number mark’). Uitgaande van deze structuur zijn vijf opeenvolgende concepties van tweecijferige getallen geïdentificeerd en een tijdelijke misconceptie op het laagste niveau – de zogenoemde ‘concatenated single digit structure’. De leerling schrijft letterlijk op wat hij zegt: 53 voor ‘vijf-drie’ (gezien als de combinatie van 5 en 3 eenheden) of 503 voor ‘fifty-three’. Volgens dit model start het proces bij de constitutie van de triade-structuur van eencijferige getallen. Bij de confrontatie met tweecijferige getallen, generaliseert de leerling uit zichzelf het patroon van relaties vanuit de interpretatie van de triadestructuur. Dit verklaart bovenstaande misconceptie van sommige leerlingen in deze fase. In alle vier de experimenten is geobserveerd dat leerlingen in dezelfde onderwijsperiode over verschillende concepties beschikken en die in verschillende situaties toepassen. Dit maakt aannemelijk dat nieuwe concepties in het bestaande referentiekader worden opgenomen en geen oudere noties worden vervangen. De leerlingen ontwikkelen volgens de onderzoekers een reeks van triadische structuren (zie figuur 3.10), die we hieronder kort typeren. Unitary single digit en unitary multidigit. Volgens de auteurs is de aanvankelijke juiste conceptie van tweecijferige getallen een ‘extensie’ van de conceptie van eencijferige getallen: een ‘hele’ hoeveelheid wordt aan een ‘heel’ woord en een ‘heel’ symbool gerelateerd. Er worden geen groepen gemaakt en de woorden en notatie worden niet in delen gestructureerd. Decade and ones conception. Engelstalige leerlingen en leerlingen die een taal spreken met een vergelijkbare manier van uitspreken, herkennen heel vroeg (4½ jaar) het decimale

85

Hoofdstuk 3

herhalingspatroon van de telrij. Het beschreven proces komt overeen met Freudenthal’s (1984b) beeld van de structurering van de telrij via het schriftelijk voortzetten van het getalpatroon en het tellen van grote hoeveelheden objecten, waaruit de eerste noties van tientalligheid worden geabstraheerd. Sequence tens and ones conception. Leerlingen die leren tellen met groepen van tien constitueren de tientallen die samen de grote telrij vormen: 10, 20, 30 … Deze ronde getallen staan voor hoeveelheden die uit een aantal groepen van tien bestaan en die tellend met tien moeten worden vastgesteld. ‘Drieënvijftig’ duidt dan de uitkomst van de telling met eenheden van 10 en 1: 10, 20, 30, 40, 50  51, 52, 53. Het laatst uitgesproken tiental markeert het einde van de telling met groepen en de overgang naar het vaststellen van het daaraan te koppelen losse eenheden. Separate tens and ones conception. Contexten waarbij tientallen als losse entiteiten worden geteld, zoals dozen met tien eieren, bevorderen de conceptie van getallen als ‘zoveel tienen’ en ‘zoveel enen’. Nederlandstalige leerlingen en leerlingen die getallen op een vergelijkbare manier uitspreken, kunnen dan aanvankelijk deze tientallen en eenheden in de omgekeerde volgorde opschrijven: 35 in plaats van 53 – Freudenthal’s (1984b) kwestie van de ‘positionele ordening’ van de bundels. Integrated sequence separate tens conception. Op het hoogste niveau van conceptualisering, wordt de plaats van het getal binnen een interval van tien geïntegreerd met de structuur van de hoeveelheid waar het naar verwijst. Leerlingen weten dat ze 5 volle dozen van 10 kunnen vullen, wanneer ze 53 eieren inpakken. Ze hoeven niet meer de tientallen af te tellen om daar achter te komen. Ze associëren deze inpakstructuur met de plaats van 53 in de telrij en weten, andersom, door haar plaats in de telrij, hoe een getal ‘in elkaar zit’ – de zogenoemde ‘bidirectional relation’ tussen teltal en hoeveelheidgetal/meetgetal. De methoden die leerlingen nu op basis van bovenstaande concepties uitvinden, passeren hieronder de revue. Classificatie van strategieën en methode voor optellen en afrekken tot honderd Het tweede referentiekader beschrijft de drie klassen bewerkingen en vier soorten rekenmethoden die de leerlingen in de klassen van de projecten hebben uitgevonden (Fuson & Smith, 1997; Fuson e.a. 1997)46. Drie klassen bewerkingen. Aangespoord door Beishuizen’s (1997) pleidooi voor een dubbele codering (zie hoofdstuk 4), maken Fuson en Smith (1997) verschil tussen drie klassen oplossingsprocedures met tweecijferige getallen die ze aanduiden met addition, subtraction and unknown-added methods. Het woord ‘method’ is verwarrend. Het criterium voor de ‘klassen’ is namelijk niet de gebruikte rekenmethode, maar de rekenstructuur waarin de getallen zijn georganiseerd, respectievelijk een optelling, een aftrekking en een 46

Hierin worden ook de methoden voor optellen en aftrekken met driecijferig getallen gepresenteerd die in het onderhavige onderzoek alleen relevant zijn voor de analyse van het rekenwerk van de groep leerlingen met de hoogste rekenvaardigheid.

86


indirecte optelling. De onderzoekers merken op dat ze bewust de vierde klasse oplossingsprocedures niet in hun classificatiesysteem hebben opgenomen, omdat ze die zelden in de experimentele klassen hebben geobserveerd. Het zijn oplossingen van aftrekproblemen waarin de relatie tussen de hoeveelheden c.q. grootheden met een indirecte aftrekking wordt gesymboliseerd. Deze ‘aanpak’ (‘strategie’) behoort niet tot het reguliere aanbod in de V.S. We komen daar later nog op terug.

Figuur 3.10 Development sequence of children’s two-digit conceptual structures. The UDSSI Triad Model. (Uit : Fuson e.a., 1997, 139).

87

Hoofdstuk 3

Vier rekenmethoden. De bewerkingen die de leerlingen in de projectklassen met de aangereikte leermiddelen uitvinden, worden onder vier ‘methoden’ ondergebracht (figuur 3.11a,b&c): – – – –

begin-with-one-numer methods (rijgen); mixed methods (mengvorm splitsen-rijgen); change-both-numbers methods (beredeneren binnen variarekenen) en; decompose-tens-and-ones methods (splitsen).

Onder de categorie begin-with-one-number methods (rijgen) valt rekenen met (1) de tiensprong, (2) ‘samengestelde tiensprongen’, (3) de variavorm waarbij de sprong over het eindgetal wordt gecompenseerd en de sprong naar het tiental in combinatie met (4) de tiensprong en (5) ‘samengestelde tiensprongen’. Het verkort tellen en de verdichting ervan in de vorm van rijen komt niet voor. Verder maken de onderzoekers verschil tussen een informele (6) en een gestandaardiseerde (7) mixed method (mengvorm splitsen-rijgen). Op het grondniveau knopen de leerlingen tientallen en eenheden aan elkaar via het opzeggen van de telwoorden van respectievelijk de ‘grote’ en de ‘kleine’ getallenlijn. Dit wordt gecomprimeerd tot de Leidse methode waar Beishuizen en van Mulken (1988) voor hebben gepleit. Change-both-numbers methods (beredeneren binnen variarekenen) is de meest vakmatige vorm van beredenerend rekenen (Van Mulken, 1992; Menne, 2001). Leerlingen redeneren namelijk in termen van ‘gelijkwaardige som’ c.q. ‘gelijkwaardig verschil’ (zie 8 transformeren). Ten slotte onderscheiden de onderzoekers drie decompose-tens-and-ones methods (splitsen): (9) kolomsgewijs (met positiewaarden), (10) algoritmisch (met positiecijfers) en (11) de tussenvorm van toevoegen c.q. vrij maken van een tien. De aftrekvorm, waarbij een ‘tien’ wordt vrijgemaakt om de eenheden te kunnen aftrekken zou, als rekenprocedure tussen hoofdrekenen en cijferen in, een betekenisvolle schakel kunnen vormen voor de realistische integratie van cijferen met hoofdrekenen. Het wordt in dit perspectief in hoofdstuk 4 nader onder de loep genomen. De paradigmatische fout bij kolomsgewijs aftrekken is het ‘buggy algoritme’, waarbij de kleinste eenheden van de grootste worden afgetrokken: 64 – 26 via 60-40 4-6  6-4  20+2=22.

88

Drie reconstructiedidactieken Calculation methods Fuson e.a. 38 + 26 = … Begin with one number methods: Begin with one number and move up or down by tens and ones Count on/add on tens, then ones (1) 38, 48, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64 of (2) 38+20=58 58+6=64 Overshoot and come back (3) 38+30 68-4 64 Count on/add on to make a ten, count on/add on tens, then rest of ones (4) 38, 39, 40, 50, 60, 61, 62, 63, 64 of (5) 38+2  40+20  60+464 Mixed methods: Add or subtract tens, make sequence numbers with original ones, add/subtract other ones Count on/add on tens, add ones, count on/add on other ones (6) 30, 40, 50, 58,59, 60, 61, 62, 63, 64 of (7) 30+20 50+858+664 Change both numbers methods Move from one number to the other to make tens number (maintaining the total) (8) 38 =2, 26-240+2464 Decompose tens and ones methods: Add or subtract everywhere, then regroup Add tens, add ones, make 1 ten from 10 ones (9) 38 +26 50 14 64 Decompose tens and ones methods: Regroup, then add or subtract everywhere Look to see if total > 10, record or remember, then make 1 ten from 10 ones, add tens, add ones, or make 1 ten from 10 ones, add ones, add tens 4 (10) 38 38 38 38 +26 + 26 + 26 + 26 64 64 64 64 Decompose tens and ones methods: Alternate adding/subtracting and regrouping Add tens, look to see if there is another ten, add ones (11) 38 +26 5 64 of Add ones, make 1 ten from 10 ones, add tens Figuur 3.11a – Methoden en procedures voor optellen tot 100 (Bron: Fuson e.a., 1997)

89

Hoofdstuk 3 Calculation methods Fuson e.a. 64 - 26 = .. Begin with one number methods: Begin with one number and move up or down by tens and ones Count down/subtract on tens, then ones (1) 64, 54, 44, 43, 42, 41, 40, 39, 38 of (2) 60-20 44-6=38 Overshoot and come back (3) 64-30 34+4 38 Count down/subtract to make a ten, count down/subtract tens, then rest of ones (4) 64, 63, 62, 60, 50, 40, 39, 38 of (5) 64-4  60-20  40-238 Mixed methods: Add or subtract tens, make sequence numbers with original ones, add/subtract other ones Count down/subtract tens, add original ones, count down/subtract other ones (6) 60, 50, 4044, 43, 42, 41, 40, 39, 38 of (7) 60-20  40+444-638 Change both numbers methods Move from one number to the other to make tens number (maintaining the total) (8) 38 =2, 26-240+2464 Decompose tens and ones methods: Add or subtract everywhere, then regroup Subtract tens, subtract ones, combine totals (9) 6 4 - 26 4 -238 (40-2=38) Decompose tens and ones methods: Regroup, then add or subtract everywhere Make 10 ones of 1 ten, then subtract tens, subtract ones or subtract ones, subtract tens 10) 5 61 4 51 4 -2 6 -2 6 3 8 3 8 Decompose tens and ones methods: Alternate adding/subtracting and regrouping Alternate subtracting and opening a ten. Subtract tens, open a ten, subtract ones 14 64 26 40 38 Figuur 3.11b – Methoden en procedures voor aftrekken tot 100 (Bron: Fuson e.a., 1997

90

Drie reconstructiedidactieken Calculation methods Fuson e.a. 38 + .. = 64 Begin with one number methods: Begin with one number and move up or down by tens and ones Count up/add up tens, the ones like count on; keep track: count 26 like add on; keep track: added up 26 (1) 48, 58  59, 60, 61, 62, 63, 64  26 (2) 38+20= 58  58+2=60  60+4=64  26 of 38+20= 58  58+6=54  60+4=64  26 Overshoot and come back like addition, added up 26 (3) 38+30=68  68-4=64  30-4=26 Count up/add up to make a ten, count up/add up tens, then rest of ones like count on; keep track: counted up 26 like add on; keep track: added 26 (4) 39, 40  50, 60  61, 62, 63, 64  26 of (5) 38+2  40+20  60+426 Mixed methods: Add or subtract tens, make sequence numbers with original ones, add/subtract other ones Count up/add up tens, add original ones, count up/add others ones (6) 30, 40, 50  50+8=58  59, 60, 61, 62, 63, 64  26 of (7) 30+20 50+858+664  26 Change both numbers methods Make initial number a tens number, change other to maintain difference (12) 38 +2; 64+2  40 up to 66  26 Figuur 3.11c – Methoden en procedures voor indirect optellen tot 100 (Bron: Fuson e.a., 1997

Relatie tussen de verworven notie van getallen en de uitgevonden vormen van decimaal rekenen Binnen deze variant van de reconstructiedidactiek karakteriseert de mate van abstractie van de rekenhandelingen de verticale beweging van informeel naar formeel rekenen (Carpenter & Moser, 1983; Fuson, 1992; Fuson, e.a., 1997; Carpenter, Franke, Jacobs, Fennema, Empson, 1998; Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Huma, Murrray, Olivier & Wearne, 1996). Dit abstractieniveau hangt samen met het begrip van getallen en van de operaties die daarmee worden uitgevoerd (Hiebert, 1986). Carpenter (1997) spreekt in dit verband van ‘progressieve abstractie’ van de cijferalgoritmen. Er is sprake van een 'verticale beweging': – – –

–

startend bij het opereren met getallen met behulp van tientallig-gestructureerd materiaal; gevolgd door het identificeren van paradigmatische werkwijzen die worden geabstraheerd tot 'denkdingen' (mentale objecten); en het in groepsverband onderzoeken van, reflecteren op, en discussiëren over, de eigenschappen van het getalsysteem die deze vormen van rekenen rechtvaardigen; uitlopend op het verder schematiseren van de rekenhandelingen, vanuit het voortschrijdend inzicht in 'getal', 'optellen' en 'aftrekken'.

91

Hoofdstuk 3

Terzijde merken we op, dat dit idee van abstraheren sterk contrasteert met het idee van progressieve schematisering van Treffers (1987) en het TAL-team (1999; Buijs, 2000), dat uitgaat van niveaus van uitvoering. Uitgaande van dit idee van progressief abstraheren identificeren Fuson e.a. (1997) de volgende relaties tussen concepties van het triademodel en gevonden vormen van decimaal optellen en aftrekken. –

–

–

–

Op basis van de opvolgerrelatie die leerlingen bij de laagste conceptie constitueren (unitary multidigit), kunnen zij de verkorte telvormen die in het getalgebied tot 20 zijn uitgevonden generaliseren voor optellen en aftrekken met telwoorden, vanaf een term of vanaf het totaal. De sequentiële conceptie (sequence tens and ones) maakt het mogelijk om de modellering met tientallen te comprimeren tot modelleren met sprongen in de denkbeeldige telrij (overgang van verkort tellen naar rijgen met sprongen op een lege getallenlijn). Vanuit de structurering van hoeveelheden in eenheden van tien en losse eenheden (separate tens and ones) kunnen leerlingen de elementaire vormen van rekenen met tienen en lossen uitvinden evenals de combinatie van splitsen met rijgen (mixed method). De integratie op het hoogste niveau (integrated sequence-separate tens and ones) opent ten slotte de weg voor de gestandaardiseerde vormen van rijgen, splitsen en beredeneren.

Uit de gemeenschappelijke rapportage van Fuson e.a. (1997) en de artikelen van Fuson en Smith (1997) en Carpenter (1997) in de The rol of contexts… kan worden opgemaakt dat men nog niet toe is aan de constructie van een hiërarchisch model van de progressieve abstractie van de verschillende vormen van tientallig optellen en aftrekken. Wel zijn er relaties geïdentificeerd tussen concepties van het triademodel en de vormen van rekenen die leerlingen met en uit het blokjesrekenen uitvinden (zie kader). Maar volgens Verschaffel, Greer en De Corte (2007) is meer empirisch onderzoek nodig om helderheid te verkrijgen over zowel de conceptualisering als de gevonden relaties met de rekenvormen. De projectleden beperken zich voorlopig tot de beschrijving van de waargenomen ‘trek’ in het abstractieproces. Fuson en Smith (1997) spreken in dit verband over: two concurrent kinds of vertical mathematisation that specify the movement of individual students from using models of a meaningful quantity context to using models for mathematical reasoning. The first is similar to the experiential levels for single digits moving form the use of objects presenting quantities to the use of counting words presenting quantities (…) to the eventual use of addition and subtraction facts (…). The second moves through the conceptual structures for 2-digit numbers: from a unitary conception to a decade conception to the sequence-tens or the

92

Drie reconstructiedidactieken separate-tens conception and eventually to an integrated-tens and ones conception (….) (p. 191-192).

Deze dubbele beweging impliceert een aanbod van activiteiten die op deze groei zijn gericht. Onderstaande paragraaf presenteert wat, vanuit bovenstaande visie en referenties, de gemeenschappelijke stijl van geleid uitvinden in de experimentele scholen typeert en wat de eigen kleur geeft aan de afzonderlijke projecten.

3.5.2

Didactische aanpak van rekenen tot honderd

In alle vier de projecten richt men zich op het modelleren van probleemsituaties met structuurloze of tientallige leermiddelen. Het accent ligt daarbij op calculational reasoning (Thompson & Thompson 1994) in die zin dat bewerkingen het hoofdonderwerp vormen. Men volgt daarbij de weg van de inzichtelijke oriëntatie in een reconstructie van de getallen en de bewerkingen. De leerstofordening is gebaseerd op de eerder genoemde referentiekaders: de conceptuele ontwikkeling van tweecijferige getallen en de methoden die de leerling met tientallige leermiddelen kan uitvinden en formaliseren. Daarnaast wordt de classificatie van wor(l)dproblems gebruikt die voor het rekenen onder de 10 (20) was ontworpen (Fuson, 1992). Uit de publicaties van deze groep rijst een beeld op van ‘progressief abstraheren‘ van gestandaardiseerde optelen aftrekmethoden vanuit het modelleren van probleemsituaties met behulp van tientallig gestructureerde hulpmiddelen. Dit verloopt, globaal genomen, langs dezelfde niveaus als bij realistisch rekenen: – – –

van informeel modelleren van probleemsituaties met (on)gestructureerde materialen naar decimaal rekenen met ondersteuning van decimale leermiddelen naar formeel algoritmisch rekenen.

De breedte van het leerlandschap, de voorgelegde probleemsituaties en aangereikte hulpmiddelen en de duur van de informele oriëntatie variëren per project, afhankelijk van hoe snel het projectteam op de algoritmen afstevent. In die zin is er verschil tussen de smalle benadering van Carpenter’s (1997) Cognitively Guided Instruction en de brede inbedding en mathematisering van het rekenen tot honderd in het Problem Centered Mathematics Project (figuur 3.12). Het is voor de onderhavige studie niet relevant om deze nuanceverschillen verder onder de loep te nemen. Belangrijker is de rol van de klas als sociaal verband, die een cruciale rol vervult binnen de didcatiek van het primiar Onderwijs. We lichten dit kort toe.

93

Hoofdstuk 3 Variatie in instructiepraktijk Cognitively Guided Instruction. Contextproblemen vormen vrijwel altijd het vertrekpunt. Via de modellering ervan met MAB-materiaal en andere decimale middelen constitueren de leerlingen de decimale ordeningsvormen [tien] en [honderd]. Ze komen erachter dat elke reep een ‘tien’ is en vinden uit hoe ze met deze ‘tienen’ en ‘enen’ kunnen tellen en rekenverhalen uitbeelden. In de loop van de tijd, raken ze zo met de gematerialiseerde handelingen vertrouwd dat ze op een gegeven moment zonder materiaal kunnen optellen. In de loop van een jaar loopt het niveau van de leerlingen sterk uiteen. Om deze differentiatie in te perken worden groepsactiviteiten georganiseerd waarbij gevorderde leerlingen de taak krijgen hun groepsgenoten in te wijden in een materie die ze al beheersen. Conceptually Based Instruction. De leerlingen leren eerst structurerend te tellen en de uitkomsten tientallig te noteren, bijvoorbeeld 53 als 5 groepen of tientallen en 3 eenheden. Vervolgens worden problemen in gevarieerde contexten voorgelegd die uitnodigen om met eenheden van tien te werken. Op basis van deze ervaring ontwikkelen de leerlingen vormen van optellen en aftrekken met MAB. Ze wisselen hun oplossingsmethoden uit en gaan hierover in discussie. Problem Centered Mathematics Projects. De nadruk wordt eerst gelegd op vaardig tellen, inclusief met groepen van tien. MAB wordt niet gebruikt omdat de leraar dit materiaal gebruikten om direct te leren cijferen. Allerlei verpakkingsmaterialen met verschillende ordeningstructuren (2, 4, 5, 10, 20) worden hiervoor in de plaats ingezet en Montessori-kaarten om de aantallen tientallig te kunnen symboliseren. De leerlingen leren meten met natuurlijke maten als voetstappen en meetstroken. Vervolgens ontwikkelen ze in kleine groepen eigen vormen van optellen en aftrekken via de oplossing van hiertoe gekozen contextproblemen. Supporting Ten-Structured Thinking projects. De nadruk wordt gelegd op de begripsvorming van tweecijferige getallen via de structurering en getalsmatige symbolisering van hoeveelheden. MAB-materiaal wordt direct na het rekenen tot tien ingezet. Leerlingen leren, in overleg met elkaar en met de leraar, de eigenschappen van MAB uit te buiten om optellingen en aftrekkingen onder elkaar te kunnen uitrekenen. Figuur 3.12 - Verschillen tussen de projecten (Fuson et al, 1997)

Tientallig rekenen berust op conventies. Het maakt de leerling daarom afhankelijk van de hulp van buiten om zich deze vorm van rekenen eigen te kunnen maken. Schoolkinderen beschikken desondanks al over een zekere kennis en zekere vaardigheden die verbonden zijn met ‘tientallig opereren’. De leraar kan de kennis en vaardigheden die in de groep aanwezig zijn nu als uitgangspunt nemen om een proces op gang te brengen, dat de leerlingen in de wereld van ‘tientalligheid’ inwijdt: Base-ten number concepts and the standard algorithms for operating on multidigit numbers are socially constructed conventions that children will not learn independently. However, children bring all sorts of knowledge about base-ten numbers to instruction from recognition of repeating patters in counting to knowledge of the number of pennies in a dime and the numbers of dimes in a dollar. Collectively a class of first grade children has quite a bit of informal knowledge of base-ten numbers that can serve as a basis for developing more formal notions of place value and inventing procedures for adding, subtracting, multiplying, and dividing multidigit numbers (Carpenter, 1997, p 44).

94


Vanuit dit standpunt concentreert Carpenter (ibid.) zich op drie hoofdkwesties bij het ontwerpen van potentiële mathematiseringsactiviteiten: – – –

hoe individuele leerlingen de aangereikte decimale leermiddelen als MAB zouden kunnen gebruiken; wat er bij de klassengesprekken over de uitgevonden ‘blokjes procedures’ per se aan de orde zou moeten komen en; hoe leerlingen zouden kunnen demonstreren en beargumenteren wat je bij (onder elkaar) rekenen met tientallen en eenheden wel en niet mag doen.

Dit impliceert dat de leraar ‘social norms’ en ‘socio-math norms’ (Yackel & Cobb, 1996) met de leerlingen ontwikkelt, dat wil zeggen gedragsregels over de rol van de leerlingen en die van de leraar in de verschillende contexten van een les en hoe in die contexten iets wordt voorgelegd, uitgelegd en/of gedemonstreerd, verdedigd of juist weerlegd. Carpenter benadrukt echter het belang van ‘sharing strategies’, het pedagogisch-didactisch repertoire dat wordt ingezet om kennis te delen. Deze ‘sharing strategies appeared to play a critical role in students developing more advanced strategies and connecting them to existing strategies’ (Carpenter, 1997, 44). Dit betreft bijvoorbeeld het klassikaal demonstreren van de eigen bewerking. Omdat de leerlingen weten dat er van ze verwacht wordt dat ze hun strategieën toelichten, realiseren ze zich dat ze rekenmanieren moeten gebruiken die ze zo goed begrijpen dat ze deze ook kunnen uitleggen. Een gevolg van het uitwisselen van oplossingsstrategieën is ook dat de betere leerlingen strategieën modelleren voor de andere leerlingen. Dit is volgens Carpenter waardevoller dan een uitleg door de leerkracht. Tenslotte benadrukt hij het belang van het uitleggen van oplossingsmethoden. Another important aspect of sharing strategies was that students not only needed to be able to solve a problem; they needed to be able to explain their solution. The necessity of articulation their solution processes appeared to encourage students to reflect on their solutions. In fact the articulation of strategies often became a form of public reflection (Carpenter, 1997, 44).

3.5.3

Kernkwesties met betrekking tot aftrekken

Zoals we hiervoor al hebben gezien, vormen empirische data een belangrijke bron voor de vier projecten. Zo wijzen Fuson e.a. (1997) ook op de moeilijkheden die naar voren komen bij tientallig aftrekken. Het eerste probleem betreft het rijgen met tiensprong. Leerlingen denken aanvankelijk de eenheden weg om van tiental tot tiental te kunnen springen: 64 – 26 via (60) 50, 40  44  44-4  40-2=38, als opstap naar 64-26 via 54, 44  44-4  40-2=38. Het blijkt echter dat dit rijgen met tiensprong niet voor iedereen even toegankelijk is. Bij de mengvorm van splitsen-rijgen, zoals bij, 64-26 via 60-20  40+4  44-6=402=38, treden twee foutenpatronen op, die op misconcepties berusten. Leerlingen

95

Hoofdstuk 3

trekken de eenheden van beide getallen af – wellicht naar analogie met de optelprocedure – maar vergissen zich bij de tussenstap of slaan die over (64-26 via 6020=40  40-6=34). Het transformeren van opgaven, waarmee je de opgave eenvoudiger kunt maken, zoals door 64-26 te veranderen in via 68-30, blijkt problemen op te leveren, omdat het principe van het ‘ophogen’ en ‘verlagen’ van de getallen, voor veel leerlingen helemaal niet vanzelfsprekend is. Zowel bij optellen als bij aftrekken, begrijpt menig leerling niet ‘wat hetzelfde moet blijven’ Tenslotte treedt bij het splitsend aftrekken het bekende ‘buggy algoritme’ op. Bij het berekenen van een opgave als 64-26 via 60-20  4-6, wordt de paradigmatische fout gemaakt, waarbij de kleinste eenheden van de grootste worden afgetrokken: 64 – 26 via 60-40 4-6  6-4  20+2=22. Op basis van deze observaties komen de onderzoekers tot de conclusie dat er drie factoren zijn die een centrale rol spelen: de aard van de aftrekhandelingen, het aanbod en tijdelijke misconcepties. Vanuit deze analyse van de relatie tussen het aanbod en het rekenwerk van de leerling formuleren ze vier kernkwesties met betrekking tot aftrekken: – – – –

de expliciete aandacht voor indirect optellen als aftrekstrategie, de relatie tussen optellen en indirect optellen, de problematiek van decimaal-positioneel aftrekken, de moeilijkheidsgraad van sequentieel, positioneel en deductief aftrekken.

Expliciete aandacht voor indirect optellen. Door de nadruk die op cijferen wordt gelegd, krijgen Amerikaanse leerlingen doorgaans niet de kans om sequentieel af te leren aftrekken, laat staan indirect op te tellen in plaats van aftrekken. Daarom pleiten de onderzoekers voor de modellering van ‘wor(l)d-problems als ingang voor de uitvinding van ‘tweezijdig’ sequentieel aftrekken (via aftrekken en indirect optellen met de rijgmethode) vóór ze met blokjes leren rekenen of ‘naast’ het ‘blokjes rekenen’. Het primaire doel is dat de leerling de inverse relatie tussen optellen en aftrekken uit zijn oplossingspatronen abstraheert en het als middel leert gebruiken om problemen flexibel op te beschrijven en op te lossen. Indirect optellen als tegenhanger van optellen. De onderzoekers beschouwen de indirecte optelling als tegenhanger (‘counterpart’) van de optelling. Ze melden dat de leerlingen niet alleen rijgend, maar ook splitsend indirect leren optellen en schetsen de procedures zonder in te gaan op de onderliggende conceptualisering. Problematiek van decimaal-positioneel aftrekken. Aftrekken is niet commutatief. Dit vormt volgens de onderzoekers de ‘inherente’ bron van problemen bij (onder elkaar) decimaal-positioneel leren aftrekken. Moeilijkheidsgraad van sequentieel, positioneel en deductief aftrekken. Alle in figuur 3.11a,b&c onderscheiden vormen van decimaal aftrekken zorgen voor problemen. Dit

96


contrasteert met het relatieve gemak waarmee de leerlingen onder elkaar leren optellen. Drie paradigmatische handelingspatronen, die op een (tijdelijke) misconceptie zijn geënt, illustreren hoe moeilijk decimaal aftrekken is: – –

–

Veel leerlingen die aftrekkingen als 63-48 splitsend uitrekenen, trekken het kleinste aantal eenheden van het grootste af47. Bij terugtellen over een tiental is het volgende patroon geobserveerd: eenmaal aangekomen bij het tiental, trekt de leerling eerst een tiental af, alvorens door te gaan met terugtellen: 43, 42, 41, 40  30, 39, 38, …. Aftrekken met de combinatie van rijgen met splitsen genereert veel fouten.

In deze paragraaf zijn de hoofdtrekken van de probleemoplossende didactiek geschetst die haar van de realistische didactiek onderscheiden. In de volgende paragraaf beschrijven we wat de Amerikaanse stijl van realistisch rekenen zo herkenbaar maakt.

3.6

Didactische variant 3: Amerikaanse realistische didactiek

De aanduiding ‘Amerikaans realisme’ verwijst naar de integratie van de realistische onderwijsprincipes met de constructivistische opvattingen van Amerikaanse onderzoekers als Cobb, Yackel en Fosnot. Constructivisten gaan er, eenvoudig gezegd, vanuit dat iedereen zijn of haar kennis zelf construeert. Waarbij Cobb (1994) er overigens op wijst dat het hier niet gaat om een wetenschappelijk feit, maar om een model dat wordt ingezet om wiskundeonderwijs te begrijpen. Hij voegt daaraan toe dat je er ook niet zo maar een onderwijsaanpak uit kunt afleiden. Als je er immers van uitgaat dat iedereen altijd zijn of haar eigen kennis construeert, zal dat bij elke onderwijsvorm het geval zijn. De vraag is dan niet zozeer òf de leerling construeert, maar wat de aard of het karakter is van hetgeen hij of zij construeert. In verband hiermee betoogt hij dat ‘the learning of mathematics (…) must be viewed at least in part as a process of enculturation into the practices of intellectual communities’ (ibid. 4). Op dit punt vinden een aantal Amerikaanse ‘constructivisten’ en Nederlandse ‘realisten’ elkaar. Freudenthal’s (1971) startpunt in de vraag wat wiskunde is, sluit hier immers perfect op aan. Ook ideeën als wiskunde als activiteit en wiskunde leren als progressief mathematiseren, passen goed bij de constructivistische uitgangspunten. Voor de onderhavige studie zijn de samenwerkingsverbanden tussen Cobb, Yackel, Wood en Gravemeijer en die van Fosnot met Dolk en Uitenbogaart van belang, omdat zij onderwijsaanpakken hebben ontwikkeld voor het optellen en aftrekken tot de honderd en de duizend.

47

Zoals Willemsen en Harskamp (1990) dat in Nederland hebben geobserveerd.

97

Hoofdstuk 3

3.6.1

Theoretisch kader

We zagen in paragraaf 3.1 hoe Freudenthal ons aanspoorde het onderwijs te laten starten bij de ideeën en werkwijzen van het gezond verstand van de leerling. De leraar moet voor de leerling betekenisvolle taken in gevarieerde contexten aanbieden. De leraar zou telkens weer een mathematiseringsproces op gang moeten brengen dat aansluit bij de vorige onderwijsleeractiviteit. Vanuit contextproblemen zou de leraar de ‘materie’, die in die periode door de leerlingen wordt georganiseerd en gesystematiseerd, telkens vanuit de laatst ontdekte structuur of werkwijze aan de orde moeten stellen. Leerlingen zouden elkaar hun ideeën en handelwijzen moeten voorleggen, toelichten en verantwoorden om ze te kunnen beoordelen op hun waarde als een voorlopig aanvaard alternatief voor de ‘oude’ visie op de materie in kwestie. Dit beeld van leren en onderwijzen typeert nu het ideaalbeeld dat de Amerikaanse realisten hebben van het onderwijsleerproces. De leerlingen vormen een gemeenschap van jonge wiskundigen aan het werk (Fosnot en Dolk, 2001), onder de pedagogische en wiskundige leiding van hun leraar. Waar het in de klas in de kern om gaat, is samen verder voortbouwen op de verworven kennis, werkwijzen en manieren van communiceren over hoe men, binnen de eigen gemeenschap, zoal over hoeveelheden en grootheden denkt en ermee omgaat. De zogeheten learning paradox vormt een belangrijk ijkpunt voor de betrokken onderzoekers. Elk hulpmiddel dat voor het concretiseren van wiskundige kennis en inzichten is bedacht weerspiegelt de kennis en inzichten van de ontwerper. Het heeft dan ook alleen betekenis voor degenen die deze structuur al kennen, niet voor de leerlingen die nog niet in deze materie zijn ingewijd. Zie daar de bron van de ‘learning paradox’ (Bereiter, 1985), die Cobb, Yackel en Wood (1992, p. 5) beschrijven als: (T)he assumption that students will inevitably construct the correct internal representation from the materials presented implies that their learning is triggered by the mathematical relationships they are to construct before they have constructed them. (…) How then, if students can only make sense of their worlds in terms of their internal representations, is it possible for them to recognize mathematical relationships that are developmentally more advanced than their internal representations?

Cobb, Yackel en Wood (1992) zoeken nu een oplossing voor hun dilemma in een vorm van samenwerking tussen de leraar en de leerling die het dualisme doorbreekt. Vanuit wiskundig relevante invalshoeken analyseren ze, zoals Putman (1988) dat aanbeveelt, hoe leerlingen de eigenschappen, relaties en structuren kunnen abstraheren uit de handelingen die ze uitvoeren bij het oplossen van hiertoe geselecteerde problemen. Dit abstractieproces komt overeen met wat Freudenthal, Van Hiele en Gray en Tall voor ogen staat bij getalsmatig leren denken en opereren. Freudenthal (1991) ziet het als een continu wisselspel tussen vorm en inhoud. Van Hiele (1973) spreekt van opeenvolgende niveauverhogingen via de telkens weer terugkomende

98


fasen van (i) informatie, (ii) gebonden oriëntatie, (iii) explicitering, (iv) vrije oriëntatie en (v) integratie. Terwijl Gray en Tall (1994) ervan uitgaan dat leerlingen tekens weer uit hun handelingspatronen een idee van een hogere wiskundige orde abstraheren dat het desbetreffende proces in een concept ‘inkapselt’. Cobb en collega’s maken als volgt het verschil duidelijk tussen hun didactische en pedagogische intentie bij het aanreiken van hun ‘tools’ en het traditioneel gebruik van middelen als MAB: In discussing the possible educational value of such materials, we will therefore view them as the possible means that students might use to symbolize their developing mathematical activity. Further, we will call them pedagogical symbol systems rather than instructional representations to emphasize their symbolizing role in individual and collective mathematical activity. (p. 22).

Onderstaand citaat geeft aan hoe ze vanuit deze gedachtelijn, het dualisme tussen ‘embeddedness’ en ‘embodidment’ denken te kunnen oplossen: We proposed the metaphor of mathematics as an evolving social practice that is constituted by, and does not exist apart from the constructive activities of individuals as an alternative to the metaphor of mind as a mirror (Cobb, Yackel en Wood 1992, p. 28).

Ze verwoorden tot slot als volgt aan welke twee voorwaarden lokale instructies, volgens hun gezichtspunt, zouden moeten voldoen: On the one hand, they should make it possible for the teacher to draw on students’ prior experiences when guiding the negotiation of initial conventions and interpretations (…). On the other hand, students’ interpretations in these situations should constitute highly situated, intuitive bases from which they might abstract mathematical conceptions (p. 22).

Dit verlegt de aandacht van de kernkwestie van ‘abstractie’ en ‘representatie’ naar de ‘theorie’ voor het ontwerpen van lokale onderwijsleeractiviteiten en lessen, korte leertrajecten en leergangen. Onderwijs als proces van experimenteren In alle bovenstaande citaten spreken Cobb, Yackel en Wood ten aanzien van elk onderwerp in ‘veronderstellende’ zin. Dit weerspiegelt hun visie op onderwijzen als een experiment. De ontwerper houdt een ideaal traject voor ogen in de loop van de betreffende activiteit, les of keten van lessen, maar houdt er tegelijkertijd rekening mee, dat de leraar een andere route zou moeten volgen om recht te kunnen doen aan perspectiefvolle gedachten en/of handelingswijzen waar hij zelf niet aan had gedacht. Men kan zich wel degelijk van tevoren een idee vormen van hoe de handelingen, die

99

Hoofdstuk 3

leerlingen in een bepaalde context en met bepaalde middelen verrichten, hen kunnen bewegen anders tegen de betreffende materie aan te kijken en dan ook anders te denken, opereren en symboliseren dan zij tot dan toe deden. Simon (1995) spreekt in dit verband van een ‘hypothetisch leertraject’. Een special van Mathematical Thinking and Learning uit 2004 geeft een panoramisch beeld van het ‘hypothetisch leertraject’ als kernelement van het constructivistische denkkader. In zijn bijdrage maakt Gravemeijer (2004a) onderscheid tussen het plannen van instructie door de leraar voor zijn dagelijkse praktijk en het plannen van instructies voor een specifiek onderwerp dat meer de taak is van professionele ontwerpers. In zijn ogen geeft het concept ‘hypothetisch leertraject’ vooral houvast voor het ontwerpen van concrete lessen. Ontwerpen op macroniveau vergt meer kennis en deskundigheden. Instructional design heuristics48 moeten de onderzoeker/ontwerper dan de nodige richtlijnen geven bij het ontwikkelen van een lokale onderwijstheorie voor een bepaald onderwerp. Voor de leraar vormt deze lokale onderwijstheorie dan weer het referentiekader voor het ontwerpen van een hypothetisch leertraject voor de les waar zijn of haar klas op dat moment aan toe is. We lichten beide vormen van plannen en onderwerpen hieronder kort toe. Zoals gezegd, gaat Gravemeijer (2004) ervan uit dat lokale instructietheorieën als leidraad en verantwoording moeten dienen voor de planning en instructie van een specifiek onderwerp. Deze visie is in menige publicatie toegelicht en verantwoord49 aan de hand van de uitgevoerde onderwijsexperimenten rond leren rekenen tot honderd. Een daarvan betreft het meten van lengte als natuurlijke toegang tot het leren gebruik maken van de lege getallenlijn als model voor denken en opereren met getallen als knooppunten van optelen aftrekrelaties. De sequentie wordt in paragraaf 3.6.2 gepresenteerd als paradigmatisch voorbeeld van het Amerikaanse realisme. Zij is ontworpen op basis van Gravemeijer’s drie ontwerpheuristieken, die de realistische onderwijstheorie in zijn ogen typeren: geleid heruitvinden, didactische fenomenologie en emergent modelleren (Gravemeijer, 2004). Het doel van het geleid heruitvinden is niet het leren rijgen op een getallenlijn, het primaire doel is de ontwikkeling van een netwerk van getalrelaties (Gravemeijer, 2000, 2003a, 2004). Conform het principe van de didactische fenomenologie wordt Freudenthal’s (1984b) aanbeveling gevolgd om naast tellen (Candy-Shop) ook meten als ingang te gebruiken. In de lijn van het principe van emergent modelleren experimenteren de leerlingen zelf met de ‘tools’ die telkens worden aangereikt als potentiële oplossing voor wat er als probleem wordt ervaren. In de discussie erna worden de gedachten over de gevolgde werkwijze geordend. De aandacht verschuift daarbij van het handelingspatroon dat de werkwijze herkenbaar en reproduceerbaar maakt naar de gebruikte getalrelaties. En zo veranderen de modellen geleidelijk aan

48 49

Zie in dit verband ook Gravemeijer (1994, 2004). Zie: Gravemeijer (1994, 1988, 2004), Gravemeijer & Cobb (2001), Stephan, Bowers, Cobb & Gravemeijer (2000, 2004).

100


van karakter, aldus Gravemeijer (2004). Waar ze hun betekenis in eerste instantie ontlenen aan de contextproblemen die ze helpen oplossen, ontlenen ze hun betekenis meer en meer aan de wiskundige relaties die ze (zijn gaan) representeren. Twee sleutelprincipes karakteriseren het ontwerpen van lokale instructie. Ten eerste direct aansluiten bij de verworven noties en werkwijzen van de leerling en ten tweede anticiperen op hoe de leerling, door de nieuwe opdracht vanuit een hoger gelegen standpunt dan bij de start van de activiteit, zou kunnen redeneren. Wat leerlingen al weten over de desbetreffende materie vormt steeds het uitgangspunt, samen met de manieren van werken die zij in dit probleemveld hebben ontwikkeld. Steffe’s (2004) visie omvat een hypothetisch leertraject van de wiskundige opvattingen die de leerling al heeft verworven (c.q. zijn betekenisgeving en constructies), wat Freudenthal de ideeën en gewoonten ‘van gezond verstand’ noemt. De leraar kan ze daarom op twee manieren gebruiken: als aangrijpingspunt voor nieuwe mathematiseringsactiviteiten en als verantwoording van wat hij of zij met de leerling(en) heeft ondernomen. Hoe verlopen vervolgens de ontwerphandelingen? De leraar brengt de verandering in ‘opvatting’ en ‘werkwijze’ in kaart die de opdracht zou moeten bewerkstelligen en onderzoekt dan welke taak en welke probleemsituatie leerlingen zouden kunnen bewegen om iets te ‘zien’ wat zij tot dan toe nog niet zagen en dit vervolgens voor het eerst te gebruiken. Simon en Tzur (2004) duiden deze exercitie aan met de uitdrukking ‘reflection on activity-effect relationship’. Het betekent dat de leraar zich voorstelt hoe leerlingen, vanuit hun motivatie om het voorgelegde probleem op te lossen en door wat zij in de gecreëerde probleemsituaties doen, die eigenschappen, structuur of relaties gaan blootleggen die zij, zonder deze taak in die omgeving niet zou zouden hebben gezien. Bovenstaande micro- en macroprincipes gaan uit van de ontplooiing van numeriek denken (via ervaringen van gezond verstand) langs oplopende niveaus van denken, opereren en symboliseren. Battista (2004) beveelt wat dit betreft aan om, per niveau, vast te stellen wat de leerling wel en niet weet/beheerst, welke obstakels het leren kunnen belemmeren en in welke richting de leerling zou moeten leren denken om de volgende drempel te kunnen nemen. Deze werkwijze komt sterk overeen met het idee van ‘niveauverhogend diagnosticeren en plannen’ (Kraemer, 2009a) dat in de twee publicaties van het Cito volgsysteem zijn uitgewerkt voor maatwerk in het domein van de gehele getallen en hun bewerkingen (Cito, 2008; in druk).

3.6.2

Didactiek

Het afgedrukte planningsdocument van een ontworpen onderwijssequentie geeft de samenhang weer tussen vier didactische componenten in de loop van de verticale mathematisering: het gereedschap dat bij de betreffende probleemoplossende activiteit (activity) wordt ingezet (tools), de potentiële wiskundige kwesties die boven kunnen komen drijven bij de reflectieve discussie over de individuele inbreng ten

101

Hoofdstuk 3

aanzien van wat ze hebben ervaren en gedacht (potential mathematical discours topics) en wat de betekenis is van de betreffende activiteit in de aaneenschakeling van modelleringen (imagery). Wij komen hierop terug bij onderstaande karakterisering van de didactische stijl aan de hand van de onderscheiden componenten van de reconstructiedidactiek. In de terminologie van Van Hiele (1973), is de hele sequentie gericht op de opbouw van het relatienet waarbinnen de leerling in het getalgebied tot honderd moet leren opereren om verschijnselen die te maken hebben met hoeveelheden en de lengte naar hun hand te kunnen zetten. Het doel is dus niet leren meten van lengtes (measurement) noch sequentieel leren optellen en aftrekken (calculation) als zodanig. Het perspectief is ervoor te zorgen dat leerlingen stapsgewijs de bouwstenen construeren die hen uiteindelijk in staat stellen relaties tussen denkbeeldige lengtes c.q. hoeveelheden symbolisch weer te geven, gebruikmakend van (samengestelde) tweecijferige getallen als knooppunten van decimaal-lineaire optelen aftrekrelaties. Voorop staat de ontwikkeling van getalrelaties, aldus Gravemeijer (2000, p. 42): Deze getalrelaties zijn geworteld in het meten met tienen en enen wat de basis vormt voor de ontwikkeling van de meetstrook en de daarbij horende meetstrookspecifieke rekenmanieren (met tienvouden als referentiepunten). Het werken op de lege getallenlijn sluit daarop aan met het symboliseren van meetstrook-specifieke rekenmanieren. Uiteindelijk komt dit laatste in dienst te staan van het vinden en bespreken van oplossingsmethoden voor optellen en aftrekken onder de 100.

De leerstof is, zowel op macro- als op microniveau didactisch-fenomenologisch lineair-hiërarchisch in kaart gebracht, zoals omschreven in de vorige paragraaf. De kolom ‘potential mathematical discours topics’ van het planningsdocument (figuur 3.13) weerspiegelt deze analyse op het niveau van wat het individu ‘werkelijk’ verricht en van de gemeenschappelijke (mentale) meetwereld die de klas als sociaal verband construeert. Kernmerkend aan de in figuur 3.13 geschetste opbouw is de rol van ‘imagery’. Het idee is dat elke nieuwe vorm van symboliseren zijn betekenis ontleent aan wat de leerling daarvoor heeft gedaan. De leerling ziet idealiter de eerdere activiteit in de nieuwe manier van werken met nieuwe representaties. Hier ligt een essentieel onderscheid met de TAL-didactiek en de aanpak van de hiervoor beschreven problem solving aanpak van Fuson e.a. De leergang wordt als volgt kort samengevat door Gravemeijer (2003a, blz. 19 e.v.): – –

–

Meten met een natuurlijke maat (bijvoorbeeld een voet, of een blokje). Van daaruit, meten met de basiseenheid en een maat van tien basiseenheden (de leerlingen oefenen zo in het structureren van getallen in tientallen en eenheden); Constructie van een meetstrip als model van afpassen van maten van tien en van één;

102


Tool

Imagery

Feet Masking tape

Footstrip

Smurf cans

Record of activity of pacing Record of pacing (builds on masking tape) (Form/function shift: using a record of pacing as a tool for measuring) Stack of Unifix cubes signifies result of iterating

Smurf bar

Signifies result of iterating

10-strip

Signifies measuring 10s and 1s with the Smurf bar

Signifies measuring with 10 strip / Starts to signify result of measuring Measurement (Form/function shift: strip inscription developed for measuring is used for scaffolding and communicating)

Empty number line

Signifies reasoning with measurement strip

Activity/T-a-s Measuring Reasoning about activity of pacing Measuring with a “big step” of five = measuring by iterating a collection of paces Measuring by creating a stack of Unifix cubes Measuring by iterating a collection of 10 Unifix cubes Structuring distance into measures of 10s and 1s Measuring by iterating the 10-strip, and using the strip as a ruler for the 1s (1) Measuring: strip alongside item; counting by 10s and 1s  reading of endpoint (2) Reasoning about spatial extensions (results of measuring have become entities in and of themselves) Means of scaffolding & means of communicating about reasoning about number relations

Interests Potential Mathematical Discourse Topics Focus on covering distance Measuring as divorced from activity of measuring. Structuring distance in collections of 5s and 1s Builds on measuring divorced from activity of iterating

Accumulation of distances Coordinating measuring with 10s with measuring by 1s

Accumulation of distances Coordinating 10s & 1s Distance seen as already partitioned; extension already has a measure Part-whole reasoning/quantifying the gaps between two or more lengths Shift in focus: focus on number relations; developing and using emergent framework of number relations Numbers as mathematical entities (numbers derive their meaning from a framework of number relations) Various arithmetical strategies

Figuur 3.13 Role of Tools in the Instructional Sequence (Bron: Stephan, Bowers, Cobb & Gravemeijer, 2004)

–

Oplossen van opgaven rond toevoegen, afhalen en vergelijken met behulp van de meetstrip (de meetstrip biedt de mogelijkheid meet- en telstrategieën te vervangen door rekenstrategieën; hierbij wordt gebruik gemaakt van de kennis opgedaan bij het structureren van getallen in tientallen en eenheden);

103

Hoofdstuk 3

–

– –

Symboliseren van oplossingsmethoden/rekenstrategieën, die gebaseerd zijn op het in de voorgaande activiteiten ontwikkelde netwerk van getalrelaties, met sprongen op een lege getallenlijn; De lege getallenlijn als hulpmiddel en als communicatiemiddel gebruiken. Geleidelijk aan de getallenlijnnotatie vervangen door somnotaties, al dan niet in pijlentaal.

De gedachte is dat de leerling aan het eind van dit proces getallen hanteert als wiskundige objecten (rekendingen) die hun betekenis ontlenen aan het ontwikkelde netwerk dat geënt is op de decimaal-positionele structuur van de getallen en de decimale herhalingstructuur van de getallenrij tot honderd. Deze lineaire opbouw van het leertraject contrasteert met de meer ‘open’ benadering waar Fosnot en Dolk (2001) voor pleiten. In overeenstemming met Lesh en Yoon (2004) benadrukken ze dat het leerproces ‘niet lineair’ verloopt. Leerlingen kunnen de ideeën, procedures en modellen van een leerlandschap langs verschillende wegen construeren, afhankelijk van wat ze in de voorgelegde probleemsituaties wel en niet ‘zien’. Zij krijgen daar bewust de vrijheid voor: Children do not construct each of these ideas and strategies in an ordered sequence. They go off in many directions as they explore, struggle to understand, and make sense of their world mathematically (Fosnot & Dolk, 2001, p. 18). Didactische middelen In de eerste paragraaf is de rol van de didactische middelen bij het onderwijsproces kort aangestipt. Dit betreft de contextproblemen, aangereikte tools en de klas als sociaal verband. Hoe deze binnen de Amerikaans-realistische benadering worden ingevuld, wordt hieronder nader toegelicht. Contextproblemen spelen een belangrijke rol in de voortgang van het leerproces. Elk nieuw probleem komt voort uit de voortgang in dit proces. Dit betekent dat het aansluit bij de noties en werkwijze van het laatst bereikt standpunt en tegelijkertijd de leerling kan bewegen om juist dit standpunt te herzien en de relaties tussen lengtes c.q. hoeveelheden op een formeler niveau uit te beelden, met een model dat past bij de abstractere wiskundige structuur die hij of zij ziet. Deze problemen zijn in de twee betekenissen van Freudenthal (1991) ‘reëel’, ‘werkelijk’. Ze behoren tot de fysieke wereld die wordt gemathematiseerd en ‘resoneren’ in het hoofd van de leerling, omdat ze associaties oproepen met hun ervaringen van gezond verstand. De tools die worden aangereikt hebben elk hun eigen specifieke rol in de overgang van tellend meten/rekenen naar rekenen in contexten, gebruikmakend van getallen als knooppunten van decimaal-lineaire optelen aftrekrelaties. De ‘leergang’ zet een verticaal mathematiseringsproces aan de gang via het meten met telstappen. Het meten buigt op een gegeven moment richting rekenen om. Het leidt er uiteindelijk toe dat de leerlingen het vanzelfsprekend vinden individuele oplossingen van optelen

104


aftrekproblemen met sprongen op een lege getallenlijn uit te beelden en die vervolgens door te lichten en te organiseren. Gravemeijer (2003a) expliciteert de pedagogische intentie hierachter als volgt: In discussing the possible educational value of such materials, we will therefore view them as the possible means that students might use to symbolize their developing mathematical activity. Further, we will call them pedagogical symbol systems rather than instructional representations to emphasize their symbolizing role in individual and collective mathematical activity (p. 22).

Lokale instructies moeten dan ook voldoen aan twee voorwaarden: On the one hand, they should make it possible for the teacher to draw on students’ prior experiences when guiding the negotiation of initial conventions and interpretations (…). On the other hand, students’ interpretations in these situations should constitute highly situated, intuitive bases from which they might abstract mathematical conceptions (p. 22).

In de ontworpen leergang, geven de meetactiviteiten betekenis aan de getallenlijnnotatie. Al metend en redenerend bouwen de leerlingen zo een netwerk van getalrelaties op, dat ze vervolgens kunnen benutten voor het flexibel rekenen onder de honderd. Van de ene probleemsituatie naar de andere transformeren ze hun eigen mentaal symbolische wereld via de nieuwe wiskundige werkelijkheid die ze scheppen. Deze continue aansluiting bij en transformatie van de gedachtewereld van de leerling en het cultuurgoed van de klas vormen dan ook het watermerk van de constructivistisch(-realistische) stijl van ontwerpen en geleid uitvinden. De rol van de klas als sociaal verband is hierboven al uitvoerig behandeld. Wij staan even stil bij het belang dat gehecht wordt aan de ontwikkeling van socio-math norms. De constructivistische stijl van geleid uitvinden staat of valt namelijk met het klimaat in de klas (Jackel en Cobb, 1996). Om probleemgericht, interactief-reflectief onderwijs te kunnen geven, moet de leraar met de leerlingen normen ontwikkelen ten aanzien van de verwachte kwaliteit van de samenwerking en de reflectieve gesprekken in de verschillende contexten van een les (zie ook Wood, 1999). In dit verband associeert Simon (2001) drie rollen van ‘adequaat’ omgaan met de leerlingen. Ten eerste met de leerlingen overeenkomen volgens welke waarden en normen men met elkaar samenwerkt en communiceert, ten tweede het lokale mathematiseringsproces initiëren en, ten derde, in het verlengde hiervan het mathematische discours (reflectieve gesprekken in de grote kring) in goede banen leiden. Nu de drie theoretische kaders en stijlen van geleid uitvinden zijn geschetst, keren we terug naar het uitgangspunt van de theoretische en empirische fundering van de onderhavige studie, alvorens de drie didactieken van het rekenen tot honderd met elkaar te vergelijken.

105

Hoofdstuk 3

3.7

Afsluiting, drie stijlen van geleid uitvinden

Wiskundige didactici, psychologen en onderwijskundigen vormen tegenwoordig een internationale gemeenschap van experts op het probleemveld van wiskunde leren en wiskunde onderwijzen. In de laatste decennia van de vorige eeuw zijn, in deze nieuwe context, drie paradigmatische vormen van lesgeven in het domein van optellen en aftrekken tot honderd ontwikkeld, die in deze dissertatie zijn aangeduid met de term TAL-didactiek, de probleemoplossende didactiek en de Amerikaanse realistische didactiek. In de inleiding op dit hoofdstuk werden vier spanningsvelden bij ontwerpen geïdentificeerd die rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen uit de onderzoeksgemeenschap uit elkaar kunnen drijven. Dit betreft tegenstellingen ten aanzien van het algemene doel, de afbakening van de leerstof en macrostructurering van het leerproces en de functie van de klas. –

Men kan zich meer focussen op de opbouw van een relatienet (conceptuele oriëntatie) of meer op de eindvormen van optellen en aftrekken van het programma (procedurele oriëntatie);

–

Men kan de leerstof ordenen in voorwaardelijke noties van getallen en tel- en rekenvaardigheden die toegang geven tot tussenvormen van decimaal rekenen (bouwstenen en tussenproducten) of in wiskundige onderwerpen die betrekking hebben op het leren gebruiken van de getallen, tellen en de bewerkingen om hoeveelheden en grootheden als lengte te kwantificeren en ermee te manipuleren (lagen in de wiskundige realiteit van de leerling);

–

Men kan contextproblemen, leermiddelen en individuele constructies expliciet inzetten om een specifieke perfectionering van een bepaalde rekenmethode te bewerkstelligen (geleide niveauverhoging) of voortbouwen op de ondernomen mathematisering van een probleemveld, waarbij de opeenvolgende gereedschappen die worden gebruikt deel uitmaken van de activiteit zelf (progressief modelleren en symboliseren);

–

Men kan de samenwerking en communicatie meer gebruiken ter bevordering van de voortgang van individuele leerlingen (nadruk op de individuele voortgang) of juist als de bouwstenen van het referentiekader dat de klas als gemeenschap steeds verder uitbouwt (nadruk op de sociale activiteit van de groep).

De gevonden patronen leidden tot de voorlopige conclusie dat men kan spreken van een ‘algemene reconstructiedidactiek’ die verschillende kleuring krijgt, afhankelijk van het ingenomen standpunt in de ervaren spanningsvelden. Uit deze analyse zijn de didactische componenten geabstraheerd die het mogelijk maakt om vast te stellen wat

106


de onderscheiden didactieken zo herkenbaar maakt. Het algemene doel, de leerstofordening, de macrostructuur van het leerproces en de didactische middelen (contextproblemen, leermiddelen en modellen en de klas als sociaal verband) worden gebruikt om vergelijkenderwijs het profiel te maken van de drie stijlen van geleid uitvinden en, aldoende, de theoretische fundering van de onderhavige studie af te sluiten.

3.8

Profiel van de drie stijlen van geleid uitvinden

In figuur 3.14 typeren we de drie profielen die aan de hand van bovenstaande didactische componenten zijn opgesteld. De gelegde relaties zijn direct afgeleid uit het theoretisch kader en de didactiek van de paragrafen 3.4 t/m 3.6 en deels ook uit het programmatische vernieuwingskader van hoofdstuk 2. In dit verband moet worden aangetekend dat externe macro-factoren hun stempel drukken op de werkzaamheden van de ontwerpers: – – – – – –

de onderwijscultuur en –traditie die bepaalde verwachtingen scheppen; het onderwijsbeleid en de innovatiestrategie die de handelingsruimte sterk bepalen; de officiële taak en verantwoordelijkheden bij de ondernomen innovatie; de verwachtingen van de eigen werkkring en de wetenschappelijke oriëntatie; de rol van de leraar en van de methoden in een innovatiecontext, etc.

In die zin lopen wij een zeker risico appels met peren te vergelijken. De verwantschap in denken en ontwerpen legitimeert echter een vergelijking die gericht is op de versterking van de realistische stijl daar waar het kan (moet) worden verbeterd. In het vervolg worden de geïdentificeerde overeenkomsten en verschillen per didactische component gepresenteerd.

3.8.1

Algemeen doel

Wat het algemene doel betreft, deelt het TAL-team met de ontwerpers van de probleem oplossende stijl dezelfde oriëntatie op inzichtelijk en efficiënt toewerken naar de nagestreefde eindvormen van decimaal rekenen. Deze oriëntatie contrasteert met de gerichtheid binnen de Amerikaans realistische stijl op de progressieve mathematisering van het probleemveld. ‘Progressief modeleren’ karakteriseert de algemene ‘trek’ in de geleidelijke verticale mathematisering binnen de Amerikaanse realistische aanpak. ‘Progressief schematiseren’ typeert de didactische drieslag [informeel  semiformeel  vakmatig] van de TAL-didactiek, ‘progressief abstraheren’ de getrapte formalisering van het

107

Hoofdstuk 3

modelleren met MAB en het ‘blokjesrekenen’ bij de probleemoplossende stijl van geleid uitvinden. Wat de ontwerpers bij de verticale mathematisering benadrukken, komt vanzelfsprekend tot uitdrukking in de accenten die bij ‘leren’ en ‘instrueren’ worden gelegd. Realisten verwachten primair van de leerlingen dat zij aftrekopgaven gaandeweg beknopter, abstracter en flexibeler (via aftrekken dan wel via indirect optellen) oplossen. Op een vergelijkbare manier bevordert de inzet van de middelen binnen de probleem oplossende benadering de continue reorganisatie van concepties en manieren van doen, via de reflectieve klassengesprekken over uitgevonden procedures en ontdekte eigenschappen van getallen, optellen en aftrekken. Dit gebruik van ‘mathematical discours’ als de sociale context waar elke nieuwe individuele constructie binnen de symbolische wereld van de klas als gemeenschap wordt georganiseerd, slaat een brug tussen aanhangers van het Amerikaamse realisme en de probleem oplossende benadering. In beide Amerikaanse varianten moeten leraren grotendeels zelf de onderwijsleeractiviteiten plannen en inrichten. Ze moeten reflectieve gesprekken initiëren en zo zien te bewerkstrelligen dat de groep de individuele constructies organiseert zoals verwacht. Dit impliceert een grote investering in de ontwikkeling van regels voor wat onder ‘goed’ samenwerken, nadenken en discussiëren verstaan wordt (socio-math normen).

3.8.2

Leerstofordening

Qua leerstofordening is er een structureel verschil tussen de twee realistische varianten aan de ene kant en de probleem oplossende variant aan de andere kant. Realisten ankeren hun onderwijsleeractiviteiten in een didactisch-fenomenologische analyse van kwantificeren en getalsmatig ordenen en opereren met (denkbeeldige) hoeveelheden en grootheden. Onder invloed van hun cognitief-psychologische achtergrond, laten ontwerpers binnen de probleem oplossende aanpak zich leiden door de geconstrueerde sequentie van de conceptualisering van tweecijferige getallen (het UDSSi triade model) en de classificatie van de vormen van sequentieel, positioneel en deductief rekenen die leerlingen op basis van deze concepties en met de steun van decimale leermiddelen kunnen uitvinden.

108

Algemeen doel Leerstofordening Macro structuur van het leerproces Rol van de contextproblemen Rol van de hulpmiddelen Rol van de klas

TAL-didactiek Progressief schematiseren: stapsgewijze overbrugging van het verschil in niveau tussen informeel en formeel rekenen Blauwdruk van de inbedding van de getallen, tellen, optellen en aftrekken in relevante contextproblemen uit het leven van alledag de decimale structurering en organisatie van tweecijferige getallen in netwerken van optelen aftrekrelaties

Probleem oplossende stijl Progressief abstraheren: stapsgewijze abstractie van vormen van optellen en aftrekken met tweecijferige getallen uit de modellering van probleemsituaties met decimale leermiddelen Sequentie van conceptualisering van tweecijferige getallen Classificatie van methoden van decimaal optellen en aftrekken die leerlingen met conceptueel ondersteunende leermiddelen kunnen uitvinden Classificatie van contextproblemen

Amerikaans realistische stijl Progressief modelleren: ontplooiing van getalsmatig denken, symboliseren en operen Ruimtelijke ordening in een leerlandschap van potentiële leidende ideeën, symboliseringsmiddelen en werkwijzen van een activiteit, les, leertraject versus sequentieel-hiërarchische ordening van de wiskundige onderwerpen van en gereedschappen voor de mathematisering van het probleem(veld)

(Sequentiële) ordening van de ‘kwesties’ van een lokale mathematisering Nadruk op sequentieel rekenen Voortgang langs drie niveaus van schematisering: informeel, context gebonden; semi-formeel, modelondersteund; formeel, vakmatig Eerst rijgen, dan splitsen en variarekenen Bevorderen de begripsvorming de modelvorming de toepasbaarheid de oefening Visualiseren de getalstructuren- en relaties en de structuur van de telrij die de leerling moet constitueren en leren gebruiken Worden daarom afgestemd op de vorm van rekenen die de leerling spontaan met de context associeert (lineaire # decimale # tweedimensionale modellen) Adequate notatie (symbolisering) van de mentale rekenhandelingen Sociaal-culturele context die de individuele constructies en producties stimuleert

Nadruk op positioneel rekenen Voortgang langs drie niveaus van abstractie: informele modellering met materialen rekenen met conceptueel ondersteunende leermiddelen; schriftelijk algoritmisch rekenen Van sequentieel naar positioneel rekenen Oriënteren in de semantische structuren van optellen en aftrekken Bevorderen de uitvinding van indirect optellen als alternatief voor aftrekken

Geen helder beeld van het aanbod Geen kant-en-klare macro structurering Sequentie van potentiële langlopende activiteiten die de bouwstenen opleveren voor de constructie van een relatienet en de bijbehorende gereedschappen

Maken decimale getalpatronen en ordeningsvormen zichtbaar Bevorderen de uitvindingen en het begrip van vormen van decimaal rekenen Rekentalen (notatievormen) ter symbolisering van de operaties

Breed scala van tools voor het vastleggen van ontdekte structuren de communicatie hierover de reflectie hierop

Sociaal-culturele context waarbinnen de deelnemers tot een consensus komen over de regels bij decimaal rekenen

Sociale inbedding van de lokale mathematisering en van de collectieve verticale organisatie van wat het heeft opgeleverd.

Aanleiding tot en context van de voortgezette mathematisering

Figuur 3.14 – Profiel van de drie varianten van de reconstructiedidactieken

Hoofdstuk 3

Op het grondniveau van rekenen tot honderd, benaderen de ontwerpers binnen de Amerikaanse tak van het realisme het sequentieel rekenen via het tellen van grote hoeveelheden en het meten van lengtes, terwijl het TAL-team afstandsrelaties direct in contextproblemen aan de orde stelt, zoals in het Hans-probleem van Treffers’ (1989) oratie. In beide gevallen fungeert de getallenlijn aanvankelijk als ‘tool’ voor beschrijven (model van) en ondersteunt later, op een abstracter niveau van symboliseren, het redeneren binnen een lokaal netwerk van decimaal-lineaire optelen aftrekrelaties. In TAL ontbreken ook activiteiten gericht op het ontrafelen van de structuur van de optelen aftrekrelaties in de tweedimensionale ordening van de getallen op het honderdveld. Wij komen hierop terug in hoofdstuk 4, bij de beschrijving van de verticale ‘trek’ bij de formalisering van het rijgen. Het TAL-team geeft ten slotte de prioriteit aan en legt de nadruk op sequentieel rekenen, terwijl de leerlingen van de vier Amerikaanse ‘problem solving’-experimenten eerder op het spoor van schriftelijk positioneel rekenen worden gezet.

3.8.3

Macro structuur van verticaal mathematiseren

In alle drie de varianten volgen de leerlingen een weg langs oplopende niveaus van abstractie. De macro-structuur van de progressieve schematisering binnen de TAL-didactiek is geënt op de mate van verkorting, formalisering en generalisering van de rekenprocedures (Treffers, 2005). De toenemende abstractie karakteriseert ook de continue herziening van het verworven beeld van tweecijferige getallen en de toegestane handelingen ermee. Deze structurering contrasteert met de meer vloeiende progressieve mathematisering van de omgang met hoeveelheden en grootheden binnen de Amerikaans realistische stijl van rekenen tot honderd. Typerend voor de probleem oplossende benadering is de getrapte abstractie van de traditionele algoritmen uit de uitgevonden vormen van ‘blokjesrekenen’.

3.8.4

Didactische middelen

Rol van de contextproblemen. Het TAL-team gebruikt contextproblemen om verschillende doeleinden inzetten: (i) ter oriëntatie, (ii) als middel om een drempel te nemen en (iii) achteraf als model voor een klasse van bewerkingen, (iv) om de geleerde manieren van denken en rekenen te leren toepassen en (v) om inzichtelijk te oefenen. Binnen de Amerikaanse variant vormen de contextproblemen in de regel de aanleiding en context van de voortgezette mathematisering op het betreffende probleemgebied, zoals het gebruik van een lege getallenlijn als model om de eigen voorstelling van de relatie tussen twee hoeveelheden met aaneengeregen getallen te symboliseren. Binnen de probleemoplossende didactiek worden de problemen hoofdzakelijk gebruikt als

110


verkenning van manieren van modeleren met decimale middelen die decimaal denken ontluikt. Rol van de hulpmiddelen (c.q. rekentaal en modellen). Het gebruik van hulpmiddelen vormt de grootste bron van spanning binnen de Amerikaanse reformbeweging tussen de realistische stijl en de probleemoplossende stijl. Het TAL-team neemt een tussenpositie in. Dit moet als volgt worden gezien. Precies zoals hun Amerikaanse collega’s uit de vier experimentele ‘problem solving’-projecten, zet het TAL-team voorgestructureerde leermiddelen in die het denken van de leerling sturen. De decimaal gestructureerde kralenketting moet de leerling bevrijden van de modellering met telstappen. Op een vergelijkbare manier oriënteert, op het grondniveau van splitsen, de modellering van probleemsituaties met namaakgeld zich op decimaalpositioneel rekenen met tientallen en eenheden. Tegenover deze werkwijze staat de progressieve modellering binnen de Amerikaanse realistische aanpak die op het structuurloze grondniveau van symbolisering start en elk nieuw gereedschap aanreikt als potentiële oplossing voor wat de leerling in de betreffende situatie als probleem ervaart. In die zin fungeert elk nieuw geïntroduceerd middel als het medium waarmee vooruitgang is geboekt. Rol van de klas als sociaal verband. Leren komt tot uitdrukking in individuele constructies. Deze constructies worden echter gevoed door de betrekkingen en de cultuur in de sociale context van de klas. In die zin zijn de idiosyncratische constructies sociaalcultureel gekleurd. Er tekent zich wat dit betreft wel degelijk een verschil af tussen het TAL-team aan de ene kant en hun Amerikaanse collega’s aan de andere kant. In de TAL-didactiek werkt de groep meer als prikkelende en ondersteunende achtergrond. In de Amerikaanse klassen fungeert de grote groep als de sociale ruimte waarin de individuele constructies ‘collectief’ worden georganiseerd. Dit proces maakt de individuele leerlingen en de leraar bewust van de tijdelijke denkbeelden en gewoonten die in de groep leven en die als zodanig de voortgang in het leerproces van het ‘collectief’ herkenbaar maken.

3.9

Conclusie en aandachtspunten voor de classificatieproblematiek

In paragraaf 3.2 kwamen we tot de voorlopige conclusie dat er binnen de onderzoeksgemeenschap voldoende consensus bestond over kernkwesties om de drie ontwikkelde stijlen van ontwerpen en lesgeven in het getalgebied tot honderd als varianten van een ‘algemene reconstructiedidactiek’ te beschouwen. Bovenstaande vergelijking heeft bruggen tussen de drie varianten geslagen en de geïdentificeerde spanningsvelden verhelderd. Het geheel ondersteunt het beeld van een consensus over het kernprincipe van wiskunde leren. Ontwerpers van een reconstructiedidactiek gaan ervan uit dat de leerlingen van een klas bij eigen tel-, meet- en rekenactiviteiten lering

111

Hoofdstuk 3

trekken uit progressief mathematiseren in probleemsituaties die hiertoe zijn ingericht, gebruikmakend van geijkte instrumenten en reflecterend in de grote kring over elkaars ervaringen, denkbeelden en werkwijzen. De gevonden tegenstellingen signaleren de gevoelige onderwerpen die de speciale kleuring geven aan de eigen stijl van ontwerpen en lesgeven en de actuele geschilpunten bij leren rekenen tot honderd. De geconstrueerde profielen fungeren daarom als referentie voor het leggen van relaties tussen de geobserveerde vaardigheid en de TAL-didactiek (hoofdstuk 11) en voor de discussie over de mogelijke versterking van deze stijl van ontwerpen en lesgeven (hoofdstuk 12).

112

Hoofdstuk 4 Classificatiesysteem

4.1

Inleiding

In het voorafgaande hebben we het theoretisch kader van de studie naar oplossingsprocedures uiteengezet. We hebben nu een nomenclatuur en ontwikkelingsmodel nodig om de rekenhandelingen van de leerlingen zo te beschrijven en te vergelijken, dat we een beeld krijgen van het bereikte niveau van numeriek denken en van de symboliseringsmiddelen en rekenprocedures die leerlingen in elementaire toepassingssituaties gebruiken. Dit is het doel van dit hoofdstuk. We nemen in dit perspectief een dubbel standpunt in: dat van de leerling die zijn kennis en instrumenten zelf construeert en dat van de leraar die hem daarbij inhoudelijk begeleidt. Dit impliceert dat we de sleutelideeën van de hiervoor omschreven ‘algemene reconstructiedidactiek’ als theoretische grondslag gebruiken. Het betekent concreet dat we uitgaan van de volgende drie principes: 1. 2.

3.

Leerlingen vinden de verschillende methoden en vormen van hoofdrekenen uit via de continue organisatie en systematisering van hun eigen rekenervaringen (verticale mathematisering); Deze verticale mathematisering houdt, ontwikkelingspsychologisch en mathematisch gezien in, dat leerlingen continu een nieuwe conceptie van ‘getal’ (concept) abstraheren uit handelingspatronen die verbonden zijn met een voor hen vanzelfsprekend geworden manier van doen in paradigmatische probleemsituaties (‘encapsulation’) als abstractieproces; Leraren leiden en ondersteunen de leerlingen door hen de middelen aan te reiken die hen in staat stellen om wat ze in fenomenen zien (verschijnselen uit de leefwereld en/of eigen wiskundige constructies) zichtbaar te maken en de betreffende denkbeelden in reflectieve klassengesprekken te kunnen bespreken en organiseren.

113

Hoofdstuk 4

Het classificatiesysteem en de sequentie van de verticale mathematisering van de eigen rekenactiviteit die we in dit hoofdstuk construeren zijn verankerd in deze drie principes. De inhoud ervan wordt als volgt gevonden. We nemen het Leidse classificatiesysteem (Klein, 1998) als uitgangspunt voor de definiëring van de hoofdrekenmethoden en bijbehorende rekenvormen. Als model voor de toenemende abstractie nemen we het idee van reification (Freudenthal,1984; Van Hiele, 1973; Sfard, 1991; Gray & Tall, 1994). Het idee daarbij is dat processen na verloop van tijd worden opgevat als objecten (wiskundige handelingstructuren; vormen) waaruit concepten worden geabstraheerd (wiskundige begrippen; inhouden) die op hun beurt een hogere vorm voortbrengen. We nemen vanuit deze invalshoek Gray & Talls (1994) model van ‘encapsulation on successively higher levels’ als leidend principe (zie hoofdstuk 3). De beschikbare internationale documentatie over de wiskundige ‘inhouden’ (concepten c.q. mentale objecten) en ‘vormen’ (handelingstructuren c.q. rekenprocedures) die de leerlingen construeren bij numeriek leren denken en hoofdrekenen vormt de empirische grondslag van het classificatiesysteem en de ontwikkelingssequentie. We beginnen de constructiewerkzaamheden met de bespreking van de kwestie die een nieuwe wending heeft gegeven aan de studie naar oplossingsprocedures: Beishuizen’s (1997) onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en ‘rekenmethode’ en zijn visie op de relatie ertussen en de implicaties voor voortgezet onderzoek naar flexibel hoofdrekenen.

4.2

Belang van het onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en ‘rekenmethode'

Sinds de start van zijn onderzoek naar oplossingsmethoden binnen het project ‘Cognitieve strategieën’ van de vakgroep Onderwijsstudies in Leiden heeft Beishuizen een brug proberen te slaan tussen de denkwereld van realistische didactici en die van onderwijs- en ontwikkelingspsychologen (zie hierover Van Mulken, 1992; Verschaffel en Ruijssenaars, 2002). In de overlegsfeer van de internationale expertmeeting Leiden on Sea50 beveelt hij vanuit deze instelling zijn landgenoten en buitenlandse collega’s aan om nauwkeuriger over oplossingsmethoden van leerlingen te communiceren. De gebezigde terminologie zou verwarrend werken en hierdoor voortschrijdend inzicht blokkeren in hoe leerlingen denken en rekenen bij het oplossen van rekenvraagstukken. De kwestie die hij aan de orde stelt betreft de vraag naar 1. wat men onder ‘strategy’ en ‘method’ verstaat (c.q. dient te verstaan) en 2. hoe men met de relatie ertussen omgaat (c.q. dient om te gaan). Onderstaand citaat uit Beishuizen’s (1997) bijdrage in de

50

Zie het voorwoord van de organisatoren in Beishuizen, Gravemeijer & van Lieshout (1997).

114

Classificatiesysteem

publicatie van de meeting The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures geeft de kern van zijn uitdagende stellingname weer. In todays’s literature we see a widespread use of the term strategy (…). The concept ‘solution strategy’ is much more in focus than ‘computation procedure’. And indeed the influence of (semantic) problem structure, of informal strategy and strategy choice as opposed to merely procedural computation and memorization of number facts, adds much more to new insights in the solution behavior of pupils (…). However, the other side of this picture in our opinion is the inflated use of the term strategy in today’s literature: almost everything is called a strategy. It seems as if authors have a preference for speaking of strategy and have an aversion to the term procedure. However from a psychological point of view there are many types of proceduralization (…). Nevertheless the term strategy is often over-used, notably in cases where speaking of procedure would be more appropriate in our opinion. For instance Carpenter and Moser (1984) described the mathematical development in a longitudinal study from grade 1 through grade 3 as follows: ‘Modeling strategies were gradually replaced with more sophisticated counting strategies’ (p. 179). But our question is if it would be more appropriate to call strategies like counting-on a procedure in the sense of Anderson’s (1982) psychological theory of proceduralization. Compare also Reys, Reys, Nohda and Emori (1995) describing their study as ‘Mental computation performance and strategy use of Japanese students in grades 2, 4, 6 and 8’. (ibid., 129-130; cursief in het origineel).

Beishuizen (ibid.) illustreert het belang van het onderscheid tussen ‘rekenstrategie’ en ‘rekenmethode’ aan de hand van drie oplossingsprocedures (figuur 4.1) van leerlingen die deel hadden genomen aan Klein’s (1998) onderwijsexperiment met twee instructiemethodieken voor flexibel leren rekenen onder de honderd, namelijk de Proeve-lijn versus de Stadia-lijn. De eerste methodiek is het prototype van de TALdidactiek. Het bevordert van begin af aan, via de modellering van hiertoe aangeboden typen problemen, een breed pallet van oplossingsprocedures. De Stadia-methodiek bevordert juist eerst de ontwikkeling van vaste vormen van rekenen op lijn (rijgmethode) en stimuleert pas later de uitvinding van ‘handige’ vormen van ‘gevarieerd’ rekenen. Wat beschouwt Beishuizen in deze oplossingsprocedures als ‘strategie’ en ‘methode’? Hoe ziet hij de relatie ertussen? En: welke implicaties trekt hij voor voortgezet onderzoek naar flexibel hoofdrekenen? We richten ons hieronder op de kern van deze kwesties.

115

Hoofdstuk 4

Figuur 4.1 Drie oplossingen van het probleem “Leiden on Sea” (Bron: Beishuizen, 1997, 128)

Verschil tussen ‘strategie’ en ‘methode’ We nemen de handgeschreven codering van figuur 4.1 uit het Leidse classificatiesysteem (Kein, 1998) als aangrijpingspunt. De bovenste code duidt de gevolgde ‘strategie’ aan. In Gravemeijer’s (2003a) terminologie is dit de wijze waarop de leerling de strandwandeling wiskundig beschrijft: –

–

AOT (Adding-On-To solution)  Indirect Optellen) geeft aan dat Wilco en Eddy een aanvulstructuur in dit probleem zien c.q. herkennen. Ze ‘lopen’ als het ware in gedachte van kilometerpaal 9 naar kilometerpaal 31 en overbruggen, al doende de afstand tussen 9 km en 31 km. SUB (SUBtraction  AFtrekken), bij Brit’s oplossing, geeft aan dat zij het probleem opvat als een verschil in ‘aantal’ kilometer dat kan worden gevonden door het kleinste aantal km van het grootste af te trekken, wat Thompson (1993, 166) een ‘numeriek verschil’ noemt.

Het probleem van de wandeling laat zich echter ook op een derde manier benaderen, namelijk via ‘indirect aftrekken’. Het kan worden opgeroepen door de

116


suggestie van de leraar: “Stel je je eens voor dat je van paal 31 naar paal 9 loopt …?”. TakingAway-To solution is dus de derde aftrekstrategie die Beishuizen onderscheidt. Het wordt in de realistische reken-wiskunde handleidingen en in de klas geassocieerd met een klasse contextproblemen die uitnodigen om “terug te rekenen” of “leeg te maken”, in plaats van “verder op te tellen” of ”aan te vullen”. De strategie duidt, concluderend de rekenstructuur waarmee de leerling de relatie tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van een aftrekprobleem associeert. Het komt cognitief-psychologisch en mathematisch gezien neer op de abstractie van een operatie uit de gegevens van de betreffende probleemsituatie: – – –

een aftrekking bij ‘aftrekken’  c – b = ? een optel-stipsom bij ‘indirect optellen’  a + ? = c; en aftrek-stipsom bij ‘indirect aftrekken’  c - ? = b

De drie opgaven van figuur 4.2 representeren de typen contextproblemen die het TAL-team (1999; Buijs, 2000), geheel in de lijn van de Proeve …, gebruikt om in de fase van informeel, contextgebonden rekenen (c.q. de generalisering van geleerde strategieën) flexibel “af te trekken”. De nadruk wordt daarbij echter gelegd op wat Veltman en Treffers (1993) in het perspectief van leren rekenen op de lege getallenlijn, “aftekken van het begin” (indirect optellen) en “aftrekken van het einde” (aftrekken) noemen, het zogenoemde “tweezijdig” aftrekken. Leerlingen associëren beide uitdrukkingen met het schuiven van kralen op de gekleurde kralenketting, zoals toegelicht en geïllustreerd in hoofdstuk 2. “Aftrekken van het begin” had ten slotte ook een andere connotatie, namelijk die van teruggeven van geld bij betalen aan de kassa. Digitaal afrekenen heeft deze zogenoemde “winkelmethode” van aftrekken om zeep geholpen. ?

595 ?

900

De ouders van Mario hebben 900 euro op hun spaarrekening. Ze gebruiken dit geld om een fiets van 595 euro te kopen. Hoeveel geld houden ze over?

? 36

25

Er zijn 36 verschillende plaatjes van bijzondere dieren. Nicky heeft er al 25. Hoeveel plaatjes mist ze nog?

18

22

Joyce weegt 18 kilo, Lex 22 kilo. Hoeveel kilo is Joyce lichter dan Lex?

Figuur 4.2 Drie opgaven uit het onderhavig onderzoek die respectievelijk ‘afrekken’, ‘indirect optellen’ en ‘indirect aftrekken’ suggereren

117

Hoofdstuk 4

De tweede code van de oplossing van Wilco, Eddy en Brit duidt de toegepaste methode van hoofdrekenen aan, wat Gravemeijer (2003a) met ‘het uitvoeren van bewerkingen’ associeert: –

Het acroniem A10 geeft aan dat Wilco op-lijn, d.w.z. met de rijgmethode, springt van de ene paal naar de andere (met sprongen van 10 km) nadat hij eerst naar de dichtst bijzijnde paal heeft gesprongen: (9)  10  20  30  31, samen 1+10+10+1=22 km.

–

Het acroniem N10C, bij de oplossingen van Eddy en Brit, duiden de twee verschillen met Wilco’s bewerkingen aan. N10 geeft aan dat beide leerlingen ook rijgen, echter zonder tussenstap naar het tiental. Eddy ‘springt’ 30 verder, vanaf het ‘begingetal’ (paal 9). Brit springt met 10 terug, vanaf het ‘eindgetal’ (paal 31). Hoofdletter ‘C’ bij N10 staat voor ‘Compensation’. Het geeft aan dat Eddy bewust voorbij paal 31 ‘springt’ en Brit express voorbij paal 9 en daarna deze handeling compenseren. Eddy: 9+30=39  39-8=31 (incorrect) in plaats van 30-8=22 Brit: 31-10=21 21+1=22 (correcte compensatie)

Relatie tussen ‘strategie’ en ‘methode’ De drie voorbeelden maken de relatie zichtbaar tussen ‘strategie’ en ‘procedure’. De strategie determineert de aard van de rekenhandelingen: afrekken, indirect optellen of indirect aftrekken. De rekenmethode duidt de hoofdrekenmanier aan, waarop de getallen worden bewerkt (rijgen, splitsen of variarekeken), die verschillende gedaanten aanneemt (rekenvorm), afhankelijk van het niveau van formalisering van de rekenhandelingen (bijvoorbeeld rijgen met de 10-sprong of met de sprong naar het tiental of met compensatie, etc.). Betekenis voor onderzoek naar flexibel hoofdrekenen Beishuizen beargumenteert aan de hand van onderstaande aanvullende informatie het belang van zijn dubbele codering voor voortgezet onderzoek naar flexibel hoofdrekenen. Wilco behoort tot de groep leerlingen die het basale niveau van rijgen hebben bereikt. Hij heeft geleerd de tientallen als knooppunten te gebruiken en overbrugt op deze manier probleemloos de betrekkelijk kleine afstand tussen 9 en 31. Eddy behoort ook tot de groep ‘zwakke’ rekenaars die, via de Proeve-methodiek, kennis heeft gemaakt met de ‘handige’ vorm van ‘rekenen op lijn’ (rijgen) met compensatie. Hij rekent ‘vooruit, net als Wilco, maar telt in één mentale handeling 30 bij 9 op, wetend dat het evenveel is als 39. Wat hij (nog) niet overziet, zijn de implicaties van de afwijking van deze uitkomst met die van de stipsom van de wandeling: 9 + 30 = 39 versus 9 + ? = 31.

118


Brit behoort ten slotte tot de groep “goede” rekenaars. Zij negeert de gesuggereerde overbrugging 9  31 en trekt bovendien één te veel af (31-10 i.p.v. 319) wat met ‘plus één’ wordt gecompenseerd. In die zin combineert Brit ‘aftrekken’ met de handige compenseerprocedure van de zogenoemde ‘variamethode’. Wat is nu de betekenis van deze dubbele codering voor voortgezet onderzoek naar flexibel rekenen? De dubbele codering maakt zichtbaar dat de moeilijkheidsgraad van een opgave en dus de kans op succes van een leerling direct afhangt van enerzijds de gebruikte combinatie van strategie en methode en anderzijds van de mate waarin de gebruiker over de noties (concepties) en vaardigheden beschikt, waar deze combinatie een beroep op doet. –

– –

Eddy valt uit de boot omdat hij, in tegenstelling tot Wilco, een onbekende stipsom uit een optelfeit probeert af te leiden wat, deductief gezien, zeer complex is. Wilco volgt echter de weg van de geringste weerstand: eerst van 9 naar 10, dan van 10 naar 20 en 30 en ten slotte van 30 naar 31. Eddy maakt het zich ook moeilijk, in vergelijking met Brit die ook een geheugenfeit als ‘hulpsom’ gebruikt. Wetend dat 31 – 10 = 21, ziet Brit dat zij er één te veel heeft afgetrokken met als gevolg dat zij, bij 31 - 9 er één meer overhoudt: 21 wordt 22.

In het vervolg beargumenteert Beishuizen (1997) in zijn bijdrage in het Leidse conferentieboek aan de hand van voorbeelden van andere relevante Leidse studies51 dat methoden en strategieën, gedurende het langlopende proces van leren afrekken, meer of minder bij elkaar passen, afhankelijk van de voortgang van de leerling in de conceptualisering en formalisering van aftrekken onder de honderd. Tot het er niet meer toe doet, omdat de leerling dan puur met afsplitsingen van getallen en rekeneigenschappen opereert. We lichten zijn denkbeeld (ibid. 137; 156) kort toe aan de hand van geobserveerde oplossingen van de drie opgaven die de drie aftrekstructuren (c.q. strategieën) vertegenwoordigen. Het TAL-team (1999; Buijs, 2000) legt in jaargroep 4 de nadruk op rijgen in combinatie met aftrekken en indirect optellen. Deze twee combinaties genereren de meest toegankelijke vormen van rekenen met tientaloverschrijding (gearceerde oplossingen van figuur 4.3). –

51

Splitsen in combinatie met aftrekken wordt in de regel uitgesteld tot begin jaargroep 5 door de complexiteit van procedure E en het gebruik van negatieve getallen bij procedure C en L.

Van Mulken, 1992; van der Heijden, 1993; Hoogenberg & Paardekoper, 1995; De Joode,1996; Beishuizen, van Putten & van Mulken, 1997.

119

Hoofdstuk 4

–

–

Splitsen in combinatie met indirect optellen wordt niet aangeboden. Leerlingen bedenken dit zelf, met veel misconcepties (zie de gearceerde oplossingen) in contexten die indirect optellen suggereren en/of bij het ‘speels’ oplossen van vlekopgaven/kale stipsommen (zie voetnoot 2). De oplossingen H, I en J (verschil in leeftijd) en Q en R (fiets kopen) vallen bij de TAL-didactiek onder de noemer “variarekenen”, dat in de loop van jaargroep 5 wordt aangeboden. Dit is begrijpelijk in de context van de jaren tachtig, maar conflicteert nu met de nieuwe oriëntatie in het onderzoek naar flexibel hoofdrekenen sinds Beishuizen’s onderscheid tussen strategie en methode. Dit vraagt om een toelichting.

Opgave en aftrekstructuur

Methode Rijgen

Splitsen verschil in leeftijd

Variarekenen

Rijgen

Splitsen

Strategie Aftrekken 22-18 via A 22-10  12-8 22-18 via B 20-10=10; 10+2=12; 12-8 of C 20-10=10; 2-8 is 6 tekort, dus 10-6=4 22-18 via D 22-20=2; 18 is 2 minder dan 20, dan is het verschil 2 meer, dus 4 i.p.v. 2

900-595 via K 900-500  400-90 310-5 900-595 via L 900-500=400; 90 tekort, dus 310 en 5 tekort dus 305

fiets kopen 900-595 via M 900-600=300; 5 méér is 305 Variarekenen

Indirect optellen 18+..=22 via E (18)  20, 22, dus 4 18+..=22 via Misconceptie F 10+10=20; 8+4=12, dus 14 Correct aanvulling G 8+4=12, dus 4 18+..=22 via Misconceptie H 10+10=20 en 8+4=12, 14 Correcte afleiding I Ik zie het zo! Het is 4! of J 18+..=22 is evenveel als 20+..=24, dus 4 595+…=900 via N 595+5  600+300  305 595+…=900 via Misconceptie O 5+4=9 en 95+5=100, dus 495 Correcte aanvulling P 500+300=900; 95+5=100; 300+5=305 595+…=900 via Misconceptie Q 500+400=900 en 95+5=100, dus 405 Correcte afleiding R 600+300=900; 600 is 5 meer dan 595, dus is het 5 meer dan 300  305

Figuur 4.3 Variatie in moeilijkheidsgraad, afhankelijk van de gebruikte combinatie van strategie en methode en het niveau van formalisering van de bewerkingen

120


Ter inleiding van deze kwestie, komen we terug op Beishuizen’s aanname dat het onderscheid tussen strategie en methode op het hoogste niveau van flexibel rekenen er waarschijnlijk niet meer toe doet. De oplossing in “knopentaal” van het probleem van het verschil in gewicht en de aanschaf van de fiets van figuur 3 die in figuur 4.3 is weergegeven visualiseert de interpretatie van de auteur van dit proefschrift.

Figuur 4.4 Redeneren binnen een relatienet met behulp van rekeneigenschappen op het hoogste niveau van flexibel hoofdreken

De knopennotatie (Gravemeijer, persoonlijke communicatie) laat de kern van flexibel hoodfrekenen zien op het, voor de basisschool, hoogste niveau van ‘numeriek denken’. De leerlingen knopen numerieke relaties via gemeenschappelijke termen aan elkaar, daarbij gebruikmakend van de eigenschappen van optellen en van de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Zij redeneren in die zin binnen een ‘relatie’, in de betekenis van Van Hiele (1973) en Gravemeijer (1988; 1994). Er valt dan niet meer te zeggen – en het is ook niet meer relevant - of de leerling aftrekt, indirect optelt of indirect aftrekt. “Aftrekken” is immers tot “driezijdige” mentale handeling geworden (vergelijk Freudenthal, 1984a, 118).

4.3

Ambiguïteit van variarekenen

“Variarekenen” neemt in de realistische literatuur verschillende gedaanten aan. Bij het aanvankelijk rekenen is het verbonden met structurerend optellen en aftrekken in de fase van de reconstructie van de opteltafels en de daarvan afgeleide aftrekrelaties met behulp van de getalbeelden van het zogenoemde rekenrek. Variarekenen komt in deze periode overeen met wat binnen de probleemoplossende didactiek (Fuson, 1992; Fuson e.a., 1997) en in Engeland (Thompson, 2000) ‘derived facts strategies’ wordt genoemd (zie ook Verschaffel e.a. 2007), in de traditie van de chronometrische onderzoeken (o.a. Groen & Parkman, 1972) en de studies met interviewmethoden (Baroody, 1983; Woods & Resnick, 1975) naar de basisautomatismen bij aftrekken. ‘Variarekenen’ houdt dan concreet in dat de leerling optellingen en afrekkingen die hij nog niet paraat heeft op de volgende manieren snel reconstrueert, via een geheugenfeit dat erop lijkt, al dan niet in combinatie met verder tellen en terugtellen, zoals

121

Hoofdstuk 4

onderzocht door Groenewegen en Gravemeijer (1988). Leerlingen herleiden dan optellingen c.q. aftrekkingen op basis van (i) de associatieve en/of commutatieve eigenschap van optellen (bijvoorbeeld 5 + 4 via 4 + 4 = 8 en één erbij is 9), (ii) de inverse relatie tussen optellen en aftrekken (bijvoorbeeld 9 – 5 = 4 want 5 + 4 = 9, dat weet ik!) en/of (iii) analogie (bijvoorbeeld 18 – 3 = 15 want 8 – 3 = 5). Typerend in deze fase is dat leerlingen aftrekkingen leren oplossen via de daarbij passende optelling door de associatie met een parate ‘dubbel’ of ‘bijna-dubbel’, wat onderzoekers als Baroody e.a., (1982) aanduiden met de term ‘inverse ties’ binnen het gebruik van ‘addition-substraction complement principle’. Bij rekenen onder de honderd neemt variareken drie gedaanten aan: – rijgen ‘van het begin’, dus indirect optellend; – ‘handig’ rijgen, zoals Eddy en Brit in Klein’s experiment (1998) dat deden; – ‘afleiden’, zoals geleerd bij structurerend optellen en aftrekken onder de twintig, in de vorm van ‘compenseren’ (62 - 48 via 62 – 50 = 12 en 2 erbij is 14) en ‘transformeren’(62 - 48 is evenveel als 64 - 50, dus 14). Aansluitend bij Treffers en de Moor (1990), neemt het TAL-team (1990; Buijs, 2000) daarbij aan dat ‘handig rijgen’ de inzichtelijke basis legt voor ‘formeel’, dat wil zeggen puur getalsmatig compenseren en transformeren. Dit maakt ‘variarekenen’ vandaag de dag zo ambigu in het perspectief van flexibel hoofdrekenen. Als we er van uitgaan dat flexibel hoofdrekenen gebaseerd is (dient te zijn) op het strategisch gebruik van een beschikbare combinatie van ‘aftrekstrategie’ en ‘bewerkingsmethode’, dan past de categorie ‘variakenen’ in de zin van Treffers en de Moor (1990) en van het TAL-team (1999; Buijs, 2000) niet meer. Dit nu heeft ons bewogen om een classificatiesysteem te construeren dat uitgaat van drie aftrekstrategieën die leerlingen - uit zichzelf – met de drie hoofdrekenmethoden ‘in ontwikkeling’ proberen te combineren, zoals afgebeeld in figuur 4.5.

Figuur 4.5 Structuur van de gereedschapskist voor flexibel hoofdrekenen

Dit betekent niet dat hierdoor een cruciaal kenmerk van realistisch hoofdrekenen van tafel wordt geveegd. In tegendeel, deze constructie versterkt in principe de horizontale en verticale samenhang binnen hoofdrekenen onder de honderd/duizend. Het schept bovendien de contouren van een theoretisch en empirisch kader dat naadloos aansluit bij het voortgezet onderzoek, sinds de eeuwwisseling, naar het gebruik van rekeneigenschappen bij ‘rekenen’ en van de inverse relatie tussen optellen en aftrekken bij het oplossen van contextproblemen in het bijzonder. We lichten dit kort toe.

122


Het septembernummer van Mathematical thinking and learning van 2009 geeft een overzicht van de meest recente bevindingen in dit domein. Het valt op hoe vaak de auteurs naar de Leidse studies refereren die in deze dissertatie als cruciale bronnen zijn geraadpleegd. Hieruit blijkt dat het fenomeen ‘indirect aftrekken’ wereldwijd een ‘kwestie’ is geworden. Het heeft hoe dan ook bruggen geslagen tussen de Leidse (Blöte, Klein & Beishuizen, 2000; Blöte, Van der Burg & Klein, 2001) en de Leuvense (Torbeyns, De Smedt, Stassens, Ghesquière & Verschaffel, 2009; Torbeyn, De Smedt, Ghesquière & Verschaffel, 2009) onderzoeksgroep. Centraal staat in al deze studies de vraag welke factoren sommige kinderen en volkwassenen bewegen om in toepassingssituatie gebruik te maken van de rekeneigenschappen, terwijl de grote meerderheid dat niet doet. Het valt op dat vanuit dit nieuwe perspectief naar Gray en Tall’s (1994) visie op de groei naar numeriek denken wordt verwezen. Hiermee zij we gekomen op de kwestie van de aard en de trend in het abstractieproces bij leren aftrekken onder honderd, die moeten worden geschetst om het classificatiesysteem en de sequentie van geleid uitvinden daadwerkelijk te kunnen construeren. Hiertoe keren we terug naar het tweede sleutelprincipe van de algemene reconstructiedidactiek van paragraaf 3.3.2.

4.4

Abstractieproces

In de lijn van het theoretisch kader integreren we, wat de nagestreefde conceptualisering en de formalisering betreft, het standpunt van Freudenthal (1984) met dat van Gray en Tall (1994). We benaderen de verticale mathematisering als een iteratieve organisatie van wat de leerling op het spoor is gekomen, maar (nog) niet overziet. Denk daarbij aan de buggy-algoritmen bij splitsend afrekken en aan Eddy die nog niet begrijpt hoe compenseren bij indirect optellen werkt. Vanuit dit standpunt zullen we de vormen van rekenen die de leerlingen uitvinden verticaal ordenen, daarbij uitgaande van de conceptuele wiskundige grondslag ervan. Hierbij laten we ons leiden door Gray en Tall’s idee van ‘encapsulation’. Volgens dit model neemt de conceptualisering bij leren rekenen de vorm aan van een continu proces, waarbij leerlingen continu een nieuwe conceptie van ‘getal’(concept) abstraheren uit handelingspatronen die verbonden zijn met een voor hen vanzelfsprekend geworden manier van doen in paradigmatische probleemsituaties Gray en Tall (1994) duiden dit proces aan met het begrip ‘encapsulation on successively higher levels’. We gebruiken de getrapte structuur van hun model als skelet van de sequentie en geven hem ‘inhoud’ met de gedocumenteerde rekenvormen van de internationale onderzoeksliteratuur. We integreren ten slotte drie ideeën voor de macrostructurering van het langlopende proces tussen jaargroep 2 en jaargroep 6:

123

Hoofdstuk 4

– het onderscheid dat Tall (2006, 197) maakt tussen visueel-enactive en proceptueel-symbolisch aritmetisch denken; – de in hoofdstuk 3 besproken niveautheorie van Van Hiele (1973) en – het theoretisch kader van Fuson e.a. (1997) met betrekking tot de ontwikkeling van de conceptuele structuren van natuurlijke getallen, de optelling en de aftrekking (zie hoofdstuk 3). We lichten dit kort toe aan de hand van de schets van de structuur van de sequentie.

4.5

Structuur van de sequentie

Het hele proces wordt in drie fasen gestructureerd: A. direct modelleren met verzamelingen objecten; B. denken en symboliseren in termen van getalrelaties; C. formeel opereren binnen een eigen systeem van numerieke relaties en rekenregels

Figuur 4.6 Structuur van de verticale mathematisering van het rekenwerk

– Het proces start bij het inslijpen van wat Freudenthal (1990) het eerste algoritme met een wiskundige structuur noemt: de opeenvolging van de telwoorden (een, twee, drie, …) – Rekenen begint bij het direct modelleren van elementaire optelen aftreksituaties met verzamelingen objecten, op Tall’s (2007) en Van Hiele’s (1973) niveau van visueel-enactive denken en symboliseren (zie ook Freudenthal, 1984; Fuson e.a., 1997). – Van hieruit ontwikkelt de leerling, trapsgewijs, op elkaar aansluitende en telkens abstractere manieren van denken en symboliseren en de daarbij formelere vormen van rekenen op basis van getalrelaties. De leerling tilt zichzelf dan ‘proceptueel-symbolisch’ op langs de niveaus van Van Hiele.

124


– Het eindniveau wordt bereikt als een leerling, los van enige context en hulpmiddelen, puur getalsmatig, binnen een eigen systeem van numerieke relaties en rekenregels opereert. We vullen hierna deze structuur in met de daarbij horende methoden en vormen van hoofdrekenend bewerken van natuurlijke getallen.

4.6

Methoden, niveaus en vormen van hoofdrekenen

Omwille van het overzicht presenteren we eerst de drie onderscheiden vormen van hoofdrekenen. Van hieruit zoemen we in op de opeenvolgende niveauverhogingen om de uit te vinden vormen van hoofdrekenen te kunnen onderscheiden en de dwarsverbindingen er tussen te kunnen leggen.

4.6.1

Drie hoofdrekenmethoden: rijgen, splitsen en beredeneren

In het eerste deel van hoofdstuk 13 uit het Second handbook of research on mathematics teaching geven Verschaffel, Greer en De Corte (2007) een overzicht van de rekenvormen die leerlingen met de didactiek die hoofdstuk 3 is beschreven zoal uitvinden. Deze nomenclatuur weerspiegelt de actuele consensus over flexibel hoofdrekenen als één van de kerndoelen en over de rekenstrategieën en rekenmethoden die daarbij betrokken zijn. De verwijzingen naar studies uit alle windstreken geeft aan hoe breed deze visie op hoofdrekenen wordt gedragen (ibid.,569). In onderstaand citaat gaan Verschaffel e.a. (ibid. 575) uit van drie methoden van hoofdrekenen die verbonden zijn met drie concepties van natuurlijke getallen. Opvallend genoeg gebruiken ze de term ‘strategie’, terwijl ze de ‘methoden’ van hoofdrekenen van elkaar onderscheiden. Ze nemen ook het ‘variarekenen’ van de TAL-didactiek over en niet de ‘compensating strategies’ van de problemsolving benadering die we in hoofdstuk 3 hebben beschreven. Most classifications of children’s procedures for operating on multidigit numbers distinguish among three basic categories of strategies of mental arithmetic (which seem to be closely linked to different conceptions of numbers): – Jumping strategy in which the numbers are seen primarily as objects in the counting row and for which the operations are movements along the counting row – further (+) of back (-) or repeatedly further (x) or repeatedly back (:). – Split strategy in which the numbers are seen primarily as objects with a decimal structure and in which operations are performed by splitting and processing the numbers on the basis of this structure.

125

Hoofdstuk 4 – Varying strategies based on arithmetic properties in which the numbers are seen as objects that can be structured in all sorts of ways and in which operations take place by exploiting a suitable structure and using the appropriate arithmetic properties (Buys, 2001).

We hebben in paragraaf 4.3 beargumenteerd dat het ‘variarekenen’ van de Proeve … ambigu is en bovendien conflicteert met de nieuwe visie op flexibel hoofdrekenen als de strategische inzet van een efficiënte combinatie van strategie en bewerkingsmethode. Een bijkomend probleem is dat het TAL-team het leren getalsmatig herleiden (compenseren en transformeren) enten op rijgen op een lege getallenlijn (oplossing van Brit) en/of in peilentaal (oplossing van Eddy) (zie figuur 4.7). We zoomen in op hun oplossing om de cruciale wijzingen te kunnen verantwoorden die we hebben aangebracht aan het Leidse classificatiesysteem dat als uitgangspunt is genomen.

9+30=39 39-8=31 Antwoord: 38 (fout)

31-10=21 21+1=22 Antwoord: 22

Figuur 4.7 Symbolisering van compenseren in peilentaal en met sprongen op een lege getallenlijn

Conform de Proeve-lijn (Treffers en de Moor, 1990) beschouwt Beishuizen (1997, 126-128) de rekenhandelingen van Eddy en Brit als flexibele vormen van rijgen. Wij zijn van mening dat ze niet sequentieel maar deductief rekenen, en dus niet rijgen, maar ‘beredeneren’: –

–

Eddy associeert - via de commutatieve eigenschap - 9 en 30 met 39 en probeert van daaruit de aanvullende term 9 + ? = 31 af te leiden uit 9 + 30 = 39; Brit richt zich op het numeriek verschil tussen 31 km en 9km en rekent 31 - 9 uit via de bekende aftrekking 31 – 10 = 21

We beschouwen om die reden beide bewerkingen als uitdrukking van wat we ‘deductief’ rekenen hebben genoemd, in beide gevallen in de vorm van ‘compenseren’. De codering van Eddy’s oplossing wordt Indirect Optellen/Beredenerend compenseren, die van Brits oplossing Aftrekken/ Beredenerend compenseren. We onderscheden, concluderend, drie hoofdrekenmethoden: –

Rijgen, waarbij termen van lineaire getalrelaties als knooppunten worden gebruikt, dat voortkomt uit de getrapte verdichting van direct modelleren met verzamelingen objecten (sequentieel rekenen);

126


– –

Splitsen, waarbij getallen in eenheden van 1, 10 en 100 worden gesplitst (positioneel rekenen) en Beredeneren, dat berust op het gebruik van relatie tussen getalrelaties en dat voortkomt uit de organisatie en systematisering van de getalrelaties en rekeneigenschappen die bij het contextrekenen worden gebruikt (vergelijk Van Hiele, 1973 en Freudenthal, 1984) (deductief rekenen).

We zoomen nu in op rijgen, splitsen en beredeneren om de niveaus en vormen ervan te kunnen onderscheiden.

4.6.2

Verticale mathematisering van direct modelleren

We beschikken tegenwoordig over een zeer uitgebreid internationaal empirisch gefundeerde documentatie van de opeenvolgende vormen van sequentieel rekenen die leerlingen vanaf de kleuterleeftijd tot en met eind jaagroep 5-6 uitvinden. Het schema van figuur 4.8 brengt de opeenvolgende niveauverhogingen en de bijbehorende vormen van sequentieel rekenen in beeld. Deze manieren van rijgen zijn stuk voor stuk ontleend aan de internationale documentatie waar Verschaffel e.a. (2007) naar refereren. Ze komen sterk overeen met onder andere de classificatie die Fuson e.a. (1997) hanteren (zie hoofdstuk 3). De tabel van figuur 4.9 toont de onderscheiden vormen van rijgen. We gaan daarbij uit van drie eigenschappen die met elkaar samenhangen: 1. de aard van de rekenhandelingen, 2. de onderliggende wiskundige structuur en 3. het gebruikte symboliseringsmiddel.

Figuur 4.8 Contextgebonden hoofdrekenen op basis van getalrelaties (proceptueel-symbolisch niveau)

127

Hoofdstuk 4 Nv.

Vorm van rijgen

8

Gestandaardiseerd

7

Idem, in combinatie met de factor 10 Met niet tientallig afgesplitste getallen

6

5 4

Met samengestelde getallen als knooppunten Met tienvouden als knooppunten

3

Idem zonder objecten

2

Verkort tellen met objecten

1

Direct modelleren

Wiskundige structuur netwerk van relaties tussen numerieke relaties die verankerd zijn in rekeneigenschappen schaalvergroting getal als object dat een eigen betekenis heeft in haar relatie tot andere getallen integratie van teltal en aantal getallen als knooppunten van lineair-decimale getalrelaties

getal als som van twee andere getallen (8 als 7+1, 5+3; 4+4, … aantal als term van een numerieke relatie perceptueel-enactieve structuren

Symbolisering puur mentaal

– knopentaal – sommentaal

– afpassen met meetstroken / schuiven met kralen – sprongen op een lege getallenlijn – peilentaal – sommentaal telwoorden

gesymboliseerde telstappen (turfjes, rondjes, opgestoken vingers, etc.) Breek-maak-transformaties

Figuur 4.9 Onderscheidende eigenschappen van de vormen van rijgen

4.6.3

Verticale mathematisering van tellen/meten met eenheden van ‘Tien’ en ‘Één’

We zagen in hoofdstuk 3 dat binnen de Amerikaanse reformbewegingen leerlingen het optelen aftrekalgoritmen getrapt abstraheren uit tel- en meethandelingen en het daarop aansluitende rekenen met MAB-blokjes. Het TAL-team ent echter het splitsen op het rijgen met niet-tientallig gesplitste getallen, zoals weergegeven in figuur 4.10 (zie hoofdstuk 3). De tabel van figuur 4.11 geeft de criteria aan waarop de vormen van splitsen van elkaar zijn onderscheiden. rijgen met niet-tientallig gesplitste getallen 62-48 via 62-40=22  22-8=14

splitsten via de combinatiemethode 62-48 via 60-40=20  20+2=22  22-8=14

Figuur 4.10 Overgang van rijgen naar splitsen volgens de TAL-methodiek

128

Classificatiesysteem Vorm van splitsen

Wiskundige structuur

Symbolisering

Formeel algoritmisch

positionele ordening van de eenheden

traditioneel algoritme

kolomsgewijs

verticale ordening van rekenhandelingen

tussen strepen, onder elkaar, kolomsgewijs

Met positiewaarden – met tekort – via het vrij maken van een tien – buggy algoritme

positionele structuur van de getallen

– met decimale hulpmiddelen – horizontaal, in sommentaal

Combinatie van rijgen met splitsen

integratie van teltal en aantal

horizontaal, in sommentaal of peilentaal

Optellen en aftrekken en eenheden van 10 en 1, zonder tientaloverschrijding

analogie in de structuur van tellen met eenheden van 10 en 1

– met decimale hulpmiddelen – horizontaal, in sommentaal

Figuur 4.11 Onderscheidende eigenschappen van de vormen van splitsen

4.6.4

Verticale mathematisering van puzzelen met geheugenfeiten

Er bestaat nog geen consensus over ‘derived facts stategies’ in het getalgebied onder de honderd in relatie tot de recente onderzoeken naar het gebruik van indirect optellen bij het oplossen van contextproblemen (Verschaffel, Greer & De Corte, 2007; Baroody, Thorbeyns & Verschaffel, 2009). We maken daarom verschil tussen de twee vormen van beredeneren die in elk geval in de onderzoeksliteratuur worden genoemd: compenseren en transformeren. We beschouwen deze laatste vorm als eindniveau, omdat de leerling dan redeneert vanuit het principe van de gelijkwaardige som c.q. het gelijkwaardige verschil. We nemen daarbij aan de leerling op het spoor van deze principes kan komen via de organisatie en de systematisering van zijn compenseeroplossingen. Informele oplossingen waarbij de leerling de stipsom van een contextprobleem met optelfeiten probeert samen te stellen, gaf aanleiding om deze procedure als startniveau te beschouwen van deductief rekenen onder de honderd. We zijn nu toegekomen aan de integratie van bovenstaande mathematiseringslijnen binnen eenzelfde classificatiesysteem.

4.7


Het geconstrueerde systeem van uit te vinden methoden en vormen van hoofdrekenen is afgebeeld in figuur 4.12, op de laatste pagina van dit hoofdstuk. Hierin staan denkbeeldige en geobserveerde oplossingen van de aftrekking 62-48. De twee eerste niveaus zijn niet afgebeeld, omdat ze niet relevant zijn voor aftrekken onder de honderd. We expliciteren ter afsluiting de dwarsverbindingen.

129

Hoofdstuk 4

Leerlingen die niveau 4 hebben bereikt, kennen de opeenvolging van de tienvouden (zie Fuson e.a. 1997: Sequence-tens- and ones conception; zie hoofdstuk 3). Op grond hiervan kunnen zij in principe met tienvouden als knooppunten leren rijgen en met eenheden van 10 en 1 leren splitsen in situaties zonder tientaloverschrijding. Op basis van de Separate-tens and ones conception kunnen leerlingen in principe met samengestelde getallen leren rijgen. De combinatie van rijgen met splitsen is dan ook in principe toegankelijk. Om met niet-tientallig afsplitsingen van getallen te kunnen rijgen, moeten leerlingen beseffen dat getallen (i) op zichzelf bestaan, los van de hoeveelheden en grootheden van de leefwereld, (ii) dat ze als zodanig eigen kenmerken hebben en (iii) dat ze, op grond van die kenmerken, op verschillende manieren kunnen worden gemaakt en afgebroken, waardoor ze verschillende banden met verschillende getallen houden. Eenmaal zover kunnen leerlingen zich richten op de laatste, meest abstracte fase van het leerproces dat leidt tot formeel rekenen binnen het geconstrueerde systeem van relaties en rekenregels.

4.8

Terugblik en vooruitblik

Het doel van dit hoofdstuk was een referentiekader te construeren waarmee oplossingsprocedures kunnen worden gecodeerd en geanalyseerd. Het resultaat is het classificatiesysteem van figuur 4.12a en figuur 4.12b. Het wijkt op essentiële punten af van Klein’s (1998) systematiek die als uitgangspunt is genomen om te kunnen aansluiten bij de meest recente ontwikkelingen bij het voortgezet onderzoek naar flexibel aftrekken in toepassingsituaties. In het hierna volgende hoofdstuk zetten we uiteen hoe dit referentiekader wordt gebruikt bij de analyses van de vier deelstudies van dit dissertatieonderzoek.

130

Classificatiesysteem NV 8 7

6

RIJGEN Gestandaardiseerd 62-40=22  22-8=14 Niet van toepassing in het getalgebied tot honderd

Met niet-tientallig afgesplitste getallen 62-40=22  22-8 via 22-2=20  20-6=14

SPLITSEN

BEREDENEREN

Met positiecijfers het traditionele aftrekalgoritme

Transformeren 62-48 wordt 64-50 is 14

Kolomsgewijs 62 4820 614

Compenseren 62-48 via 62-50=12; 2 teveel eraf, dus 2 meer over, is 14

Met positiewaarden Het kleinste van het grootste aftrekken 60-40=20  2-8 wordt 8-2=6  20+6=26

Puzzelen met optelfeiten Niet van toepassing bij aftrekken

Met tekort 60-40=20  2-8 is 6 tekort  20-6=14 Een tien vrij maken 62 wordt [50+12] en 48 blijft [40+8]; dan: 50-10=10 en 12-8=4 samennemen: 10+4=14 5

Met samengestelde getallen 73, 63, 53, 43, 33  33-3  30-4

Mengvorm splitsen-rijgen 60-40=20  20+2=22  22-8=14 of via tussenstap of via 20-8=12  12+2=14

4

Met tienvouden na de sprong naar het tienvoud 62-2=60  50, 40, 30, 20  20-6=14 geautomatiseerd of terugtellend

Optelen/aftrekken met eenheden van 10 en 1

3

niet van toepassing bij tientaloverschrijding

Met telstappen 61, 60, 59, 58 … Figuur 4.12a Niveaus en vormen van rijgen, splitsen en beredeneren via aftrekken: [62-48=?]

131

Hoofdstuk 4 NV

RIJGEN

SPLITSEN

BEREDENEREN

8

Gestandaardiseerd Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie

Met positiecijfers 48 ?? + 62

Transformeren Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie

7

Niet van toepassing in het getalgebied tot honderd

Kolomsgewijs Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie

Compenseren Foutief 48+..=62 via 40+20=60  8+4=12  20+4=24 Correct 40+10=50  8+4=12  10+4=14

6

Met niet-tientallig afgesplitste getallen Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie; zie 8

Met positiewaarden Foutief 48+..=62 via 4+2=6  8+4=12  20+4=24

Puzzelen met optelfeiten 48+..=62 40+20=60 8+2=1010+2=12 8+4=12 40+10=50  50+12=62

Anticiperen op het ontstaan van een tiental bij het toevoegen van eenheden 4+1=5  8+4=12  10+4=14 5

Met samengestelde getallen 67, 77  77 + 3  80+3

Mengvorm splitsen-rijgen Niet van toepassing bij dit type getalcombinatie; zie 8

4

Met tienvouden na de sprong Optelen/aftrekken met naar het tienvoud eenheden van 10 en 1 geautomatiseerd of terugtellend Niet van toepassing bij 57+3  70, 80  80 + 3 tientaloverschrijding

3

Met telstappen 49, 50, 51, 52, … Figuur 4.12b Niveaus en vormen van rijgen, splitsen en beredeneren via indirect optellen: [48+?=62]

132

Hoofdstuk 5 Opzet en instrumentatie van het onderzoek

5.1

Inleiding

De aanleiding voor deze studie wordt, zoals eerder opgemerkt, gevormd door het peilingsonderzoek voor rekenen-wiskunde halverwege de basisschool dat in 1997 werd uitgevoerd. Dit was de derde in een serie van rekenpeilingen die plaatsvonden in 1987 (Wijnstra, 1988), 1992 (Bokhove, Van der Schoot & Eggen, 1996) en 1997 (Noteboom, Van der Schoot, Janssen & Veldhuijzen, 2000). Naar aanleiding van de analyse van de resultaten bij het aftrekken in de derde peiling, adviseerde Noteboom (ibid.) als vakinhoudelijke expert van de auteurgroep, een kwalitatief onderzoek naar oplossingswijzen. Dit onderzoek zou toegevoegd moeten worden aan de vierde PPON rekenpeiling, die voor 2003 was gepland, om zo inzicht te krijgen in factoren die hun stempel drukken op de moeilijkheidsgraad van de voorgelegde typen kale aftrekkingen en contextopgaven. De vierde PPON rekenpeiling heeft in de periode januari/februari 2003 plaats gevonden. Het is uigevoerd tegelijk en in samenhang met het onderzoek in de jaargroepen 3, 4 en 5 voor een nieuw te ontwikkelen leerlingvolgsysteem (LOVS). Deze 4e PPON rekenpeiling vormt het kader waarbinnen het onderzoek, dat het onderwerp van deze dissertatie vormt, werd uitgevoerd. De gesprekken met de leerlingen uit de steekproef van de deelnemende PPON-scholen zijn direct na de afname van de schriftelijke toetsten gehouden, volgens de systematiek die later wordt beschreven. Het kwalitatief onderzoek is, in een aangepaste vorm, een jaar later herhaald met een groep leerlingen uit de steekproef van LOVS-scholen die deelnamen aan het vervolgonderzoek in de hogere leerjaren van de basisschool. We schetsen nu eerst de achtergronden en opzet van het PPON onderzoek.

133

Hoofdstuk 5

5.2

Achtergrond en opzet van de 4e PPON rekenpeiling

5.2.1

Doelen van PPON

In 1986 is in opdracht van de Minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen het project Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON) gestart. Het belangrijkste doel van het project is periodiek gegevens te verzamelen over het onderwijsaanbod en de onderwijsresultaten in het basisonderwijs en het speciaal basisonderwijs. Deze informatie zou een empirische basis moeten bieden voor de algemene maatschappelijke discussie over de inhoud en het niveau van het onderwijs. Het onderzoek richt zich in hoofdzaak op een drietal vragen: – – –

Waaruit bestaat het onderwijsaanbod in een bepaald leer- en vormingsgebied? Welke kennis en bekwaamheid verwerven de leerlingen halverwege en aan het einde van de basisschool in de onderscheiden leerstofdomeinen? Welke veranderingen of ontwikkelingen in aanbod en opbrengst zijn er in de loop van de tijd te traceren?

Een van de uitgangspunten van peilingsonderzoek is dat men probeert zo nauwkeurig en gedetailleerd mogelijk een beeld van de vaardigheden van leerlingen te schetsen. Daarmee is het peilingsonderzoek een van de instrumenten van de overheid voor de externe kwaliteitsbewaking van het onderwijs (Netelenbos, 1995). Maar daarnaast zijn de resultaten van de peilingsonderzoeken van belang voor allen – onderwijsorganisaties, onderzoekers en ontwikkelaars van methoden, onderwijsbegeleiders en lerarenopleiders, inspectie, leraren basisonderwijs en ouders – die betrokken zijn bij de discussie over en de vormgeving en kwaliteit van het onderwijs op de basisschool.

5.2.2

Getoetste kennis, inzichten en vaardigheden

Een domeinbeschrijving vormt de basis voor ieder peilingsonderzoek. Hierin worden de inhouden van het curriculum beschreven, die worden getoetst. Deze beschrijving vormt het uitgangspunt voor de ontwikkeling van de toetsitems. In de domeinbeschrijving voor de 4e PPON rekenpeiling halverwege de basisschool zijn tien onderwerpen onderscheiden (Kraemer e.a., 2005)52. Van deze tien onderwerpen worden er drie betrokken bij de analyse van de oplossingsmethoden van aftrekopgaven, namelijk Getallen, Basisoperaties en Bewerkingen.

52

Zie de tekst van J.M. Kraemer in hoofdstuk 1 van Balans [31], p. 13-15.

134

Opzet en instrumentatie van het onderzoek

Getallen en getalrelaties Bij het onderwerp getallen en getalrelaties ligt de nadruk op de ontwikkeling van getalgevoeligheid. Dit gevoel voor getallen komt voort uit de vertrouwdheid met getalstructuren, getalpatronen en relaties tussen getallen, de organisatie van getallen in netwerken van relaties en de ontwikkeling van een eigen systeem van ervaringsgegevens over allerlei hoeveelheden en grootheden. De vaardigheid van de leerlingen wordt op basis van vier aspecten gemeten (Kraemer e.a., 2005): – – – –

tientallig ontleden van twee- en driecijferige getallen en het plaatsen van deze getallen in de denkbeeldige telrij (c.q. op een getallenlijn); resultatief tellen met wisselende eenheden (1, 2, 5, 10, 15, 20, 25, 50, 100, 125, 250) en het verder tellen en terugtellen met deze eenheden; gevarieerd splitsen en ontbinden in factoren; vergelijken en afronden.53

Basisoperaties Optellen-afrekken Bij basisoperaties gaat het om de competenties om snel en vaardig elementaire contextloze operaties uit te kunnen voeren. Voor zover leerlingen de uitkomst niet paraat hebben, kunnen zij een geautomatiseerde hoofdrekenprocedure toepassen of de uitkomst uit bekende getalrelaties en met behulp van rekeneigenschappen snel afleiden. In de rekenpeiling halverwege de basisschool worden de rekenfeiten, algoritmische rekenprocedures en elementaire vormen van afleiden die goed van pas komen bij rijgend, splitsend en handig hoofdrekenen, getoetst. Dit zijn: – –

alle optellingen en aftrekkingen uit het getallengebied tot 20; feiten, procedures en herleidingen met getallen tot 100 en 1000.

In het getalgebied tot honderd is de toets toegespitst op het gebruik van parate kennis (100 – 90 = 10), getalstructuren en getalrelaties (56 – 50 = 6) of geautomatiseerde rekenprocedures (92 – 6 via 90 – 4 = 86 en 84 – 40 via 4 tientallen wegdenken, 80 – 40 = 40 en 4 erbij is 44). De opzet van dit PPON onderzoek is, zoals gezegd, afgestemd op het onderzoek naar oplossingsmethoden. Zo zijn de toetsopgaven voor een deel afgeleid uit de geheugenfeiten, relaties en operaties die leerlingen nodig hebben bij het rijgend en/of splitsend oplossen van de 17 opgaven van het kwalitatief onderzoek. Vanuit deze analyse54 is de nadruk is gelegd op: – Opgaven waarbij gerekend wordt binnen een interval van 10 58 – 4; 36 – 5; 50 – 8; 32 + 8; 100 – 9

53 54

Zie de details in de tekst van J.M. Kraemer in hoofdstuk 4 balans [31], p. 43-45. Zie de details van deze analyse in Balans [31], pagina 57 en 58.

135

Hoofdstuk 5

–

– – – –

Opgaven waarbij de leerlingen gebruik kunnen maken van de 10-structuur van de getallen 63 + 10, 88 – 10 en 87 – 7 Opgaven die vragen om een combinatie van de twee genoemde aspecten 80 + 15, 18 + 40 en 50 + 39 Rekenen met tientallen 20 + 70 en 90 – 70; 100 – 50, 100 – 40 en 100 – 80 Gebruik van de veelvouden van 25 en 50 25 + 25 en 25 + 50 Bij optellen kunnen rekenen met tienen over de honderd 60 + 70 en 80 + 40

De nadruk in het getalgebied tot duizend is, vanuit dezelfde analyse, gelegd op: –

–

– –

Aanvullen tot het volgende tiental (143 + 7) of honderdtal 100 (30 + 570), waarbij de leerling handig gebruik kan maken van de splitsingen van 10 en 100 en de commutatieve eigenschap van optellen). Aftrekken binnen het eerste interval van 10 (800 - 10) en 100 (800 - 700). Ook hier kan de leerling gebruikmaken van de splitsingen van respectievelijk 10 en 100. Aftrekken over een honderdtal (130 - 40). Aftrekken van tientallen van een samengesteld getal (690 - 30).

Bewerkingen Optellen-aftrekken Bij het onderdeel bewerkingen ligt de nadruk op het vaardig en adequaat oplossen van elementaire toepassingsproblemen en contextloze bewerkingen. In groep 5 staat bij optellen en aftrekken het rekenen tot 100 centraal en de toepassing en aanpassing van de geleerde vormen van hoofdrekenen voor de bewerking van driecijferige ronde getallen. De gekozen contexten en getallen lokken de drie basisvormen van hoofdrekenen uit: rijgen, splitsen en handig rekenen. Soms moet de leerling relevante informatie zelf uit een afbeelding of een tabel halen. Alle bewerkingen en problemen met getallen groter dan 100 kunnen rijgend of handig rekenend worden opgelost. De leerling is natuurlijk vrij om de methode van kolomsgewijs rekenen toe passen, als die is aangeboden. De contextopgaven sluiten direct aan bij de rekenstructuren die leerlingen met de contextopgaven uit hun rekenmethode kennen. Optellen heeft in deze contexten de betekenis van toevoegen, samennemen of vergelijkend bepalen hoe groot of hoeveel iets is. In de voorgelegde aftrekproblemen verwijst het verhaal naar wegnemen, aanvullen (gelijk maken), scheiden of vergelijkend bepalen hoeveel of hoe groot iets is of een verschil uitrekenen. De optelopgaven en kale optellingen omvatten twee of meer getallen. De uitkomst ligt onder of net boven 100, zoals bij 34 + 50, 32 + 17, 45 + 8, 37 + 63, 28 + 27, 98 +

136


3. Bij de voorgelegde aftrekopgaven en kale aftrekkingen komen alle mogelijke typen voor, met en zonder overschrijding van het tiental, zoals 82 – 7, 85 – 50, 67 – 5, 74 – 30. Om de vaardigheid van de meest gevorderde leerlingen adequaat vast te kunnen stellen, zijn in het domein van de bewerkingen tot 1000 naast contextloze opgaven ook reële problemen die in dagelijkse rekensituaties voorkomen, opgenomen. Optellen en aftrekken hebben in deze contextproblemen dezelfde betekenis en structuur als de opgaven in het getalgebied tot 100. Ze lokken in principe vertrouwde vormen van rijgen en splitsen uit. Om meer gedetailleerd de vaardigheden van leerlingen te kunnen beschrijven, worden de resultaten in Balans 31 (ibid.; zie voetnoot 2) per getalgebied gerapporteerd. Alle opgaven in het getalbereik van 100 tot 1000 vormen echter samen de schaal Bewerkingen Optellen-aftrekken (ibid.)55.

5.2.3

Opzet van de 4e PPON56

Zoals gezegd in de inleiding, is het 4e peilingsonderzoek voor rekenen uitgevoerd in januari/februari 2003, tegelijk en in samenhang met het onderzoek voor een nieuw te ontwikkelen leerlingvolgsysteem (LOVS) in de jaargroepen 3, 4 en 5. Waarom PPON met het LVS-onderzoek is geïntegreerd, zal worden toegelicht bij de verantwoording van de data-analyse. Beide onderzoeken zijn echter apart uitgevoerd in twee verschillende steekproeven van scholen. Als productgroepmanager draagt Frank van der Schoot de eindverantwoordelijkheid voor deze peiling. Hij is tevens auteur van de in voetnoot 5857 aangegeven hoofdstukken van Balans [31]. Het kwalitatief onderzoek is opgezet door Jean-Marie Kraemer, in overleg met Norman Verhelst. Hij draagt tevens de inhoudelijke verantwoordelijkheid voor de peiling en de itemconstructie en is de auteur van de overige hoofdstukken van Balans [31]58. In het PPON onderzoek wordt onder andere informatie verzameld over het onderwijsaanbod en de achtergrondkenmerken van de leerlingen. In het onderhavige onderzoek staan echter de schriftelijke toetsen centraal. De opgaven van de verschillende onderwerpen zijn overigens in clusters van vijf over een groot aantal toetstboekjes verdeeld. Dit betekent dat niet alle leerlingen dezelfde opgaven van dezelfde onderwerpen maken.

Zie de details in de tekst van J.M. Kraemer in hoofdstuk 4 balans [31], p. 75-76. Deze beschrijving is ontleend aan het door Van der Schoot geredigeerde hoofdstuk 2 (17-32) van Balans [31] 57 Inleiding (9-10); (2) Het peilingsonderzoek (17-27); (6) Verschillen tussen leerlingen (151-158). 58 (1) Domeinbeschrijving (13-15); (4) Getallen en bewerkingen (41-109) en (5) Meten en verhoudingen (121-143). 55 56

137

Hoofdstuk 5

Toetsen De totale opgavenverzameling van het PPON-onderdeel waar het ons in dit onderzoek om gaat, bestond uit 216 unieke PPON-opgaven, aangevuld met 143 opgaven uit het LVS-onderzoek voor einde jaargroep 4, medio jaargroep 5 en einde jaargroep 5. Vrijwel alle opgaven waren open-antwoord vragen, waarbij de leerlingen dus zelf het antwoord moest opschrijven. Leerlingen waren ook vrij om de opgave in het boekje met pen en papier uit te rekenen of eventuele tussenoplossingen te noteren. Figuur 5.1 geeft de verdeling van de opgaven weer die gebruikt zijn voor de toetsing van de drie onderwerpen die betrokken zijn bij de vraagstelling van dit dissertatieonderzoek. Het betreft 1. Getallen en getalrelaties, 2. Basisoperaties optellen en aftrekken (hoofdrekendictee) 3. Bewerkingen: optellen en aftrekken (met aantekeningen op papier). Leerlingenlijst Bij PPON en LVS worden gegevens over de achtergrondkenmerken van de leerlingen met een leerlingenlijst verzameld. We gebruiken deze gegevens voor de analyses van verschillen tussen leerlingen. Het betreft dan gegevens over geslacht, leeftijd en formatiegewicht van de leerling. PPONopgaven

LVS opgaven

48

24

Getallen en getalrelaties

36

24

Bewerkingen: optellen en aftrekken

36

24

Onderwerp Hoofdrekendictee Basisoperaties optellen en aftrekken Schriftelijke toetsopgaven

Figuur 5.1 - Verdeling van de opgaven over de drie onderwerpen

Steekproef van scholen en leerlingen Peilingsonderzoek vindt altijd plaats door middel van een steekproef van basisscholen. Uitgaande van een gemiddelde jaargroepgrootte van 25 leerlingen per school was de gewenste steekproefomvang vastgesteld op 80 basisscholen, ongeveer 2000 leerlingen. Voor de steekproeftrekking zijn de scholen verdeeld in drie groepen of strata, op basis van hun schoolscores. De schoolscore is gebaseerd op de formatiegewichten van de leerlingen. De stratumindeling weerspiegelt, globaal genomen, een indeling van de schoolpopulatie op basis van de sociaal-economische achtergrond van de schoolbevolking. Naar rato van de omvang van ieder stratum binnen de populatie basisscholen is een basissteekproef van 81 scholen getrokken. Voor elke school van de basissteekproef zijn ook reservescholen getrokken met dezelfde of meest naastgelegen

138


schoolscore59. In totaal zijn er 215 scholen benaderd, waarvan er 77 (dat is 35,8%) aan het peilingsonderzoek hebben meegedaan. De redenen waarom scholen niet meedoen zijn verschillend, maar hebben vaak te maken met de werkdruk. De definitieve steekproefomvang is 95% van de beoogde omvang van 80 scholen. Stratum

Aantal leerlingen

1 2 3 Totaal

1304 534 150 1998

1.00 88% 73% 33% 80%

Formatiegewicht 1.25 10% 16% 11% 12%

1.90 2% 11% 55% 8%

Figuur 5.2 - Verdeling van de formatiegewichten in de drie steekproefstrata

Er hebben in totaal 2032 leerlingen aan het peilingsonderzoek deelgenomen. De beoogde steekproefomvang is daarmee gerealiseerd. De toetsen zijn door voldoende leerlingen gemaakt om een betrouwbaar beeld te kunnen schetsen van de vaardigheid in de populatie leerlingen. Binnen elk stratum is de verdeling van de steekproef van scholen over de schoolscores representatief voor de verdeling in de populatie. Ook wat de regionale spreiding betreft, zijn er binnen de steekproef geen significante afwijkingen ten opzichte van de schoolpopulatie gevonden. De precieze verdeling is weergegeven in figuur 5.2. Uitvoering van het onderzoek Het peilingsonderzoek vond plaats in de periode januari/februari 2003. Het onderzoek is uitgevoerd door vooraf geïnstrueerde toetsassistenten. De toetsassistenten bezochten meestal gedurende een ochtend een groep voor het afnemen van de toetsen. Nadat ze zichzelf en het onderzoek kort hadden geïntroduceerd, kreeg elke leerling een mapje met daarin: (a) één toets Basisautomatismen, (b) twee toetsen Overige onderwerpen en (c) een blad voor het hoofdrekendictee (zie paragraaf analyse). De toetsassistenten gaven vervolgens een klassikale instructie aan de hand van een drietal voorbeeldopgaven. De leerlingen werden erop gewezen dat zij de ruimte naast de opgaven in het boekje als uitrekenpapier mochten gebruiken. De schriftelijke toetsen en het rekendictee werden in de ochtend afgenomen. Het individueel onderzoek met de drie geselecteerde leerlingen (Laag, Midden, Hoog) vond in de middag plaats. De toetsassistenten hebben een vaste procedure gevolgd, op basis van de hiertoe opgestelde Aanwijzingen voor de toetsleiders (Van der Schoot, 2002). Deze procedure voorkwam dat een leerling hardop een opgave moest oplossen die hij in de ochtend al bij de schriftelijke toets had gemaakt.

59

Zie de details op pagina 21 van balans [31].

139

Hoofdstuk 5

5.2.4. Analyse van de resultaten van het PPON- en LVS-onderzoek Het onderzoeksdesign voor het vierde peilingsonderzoek verschilt sterk van de eerdere PPON onderzoeken60. De peiling is ten eerste geïntegreerd met de normeringsonderzoeken voor de ontwikkeling van een nieuw leerlingvolgsysteem. Er is ten tweede gekozen voor een onderzoeksdesign waarbij alle kinderen in principe opgaven maakten over alle onderwerpen. De PPON-toetsboekjes verschillen dan, qua structuur, niet van de LVS-toetsboekjes. We lichten de twee hoofdaspecten van de analyse, het afnamedesign en de kalibratie van de opgaven, hieronder nader toe. Afnamedesign De 4e PPON rekenpeiling is, qua design, uitgevoerd in een zwaluwstaartconstructie met de onderzoeken die plaatsvonden voor de ontwikkeling van een nieuw leerlingvolgsysteem. In januari/februari en mei/juni 2003 en 2004 zijn voor dit leerlingvolgsysteem onderzoeken gehouden in de onderbouw van het basisonderwijs. De zwaluwstaartconstructie houdt in dat opgaven voor het PPON-onderzoek ook vertegenwoordigd waren in het LVS-onderzoek en omgekeerd. Door deze integratie werd het mogelijk om de resultaten van beide onderzoeken op een veel bredere opgavenverzameling te analyseren. De tweede verandering ten opzichte van de drie eerste peilingen betreft de samenstelling van de individuele toetsboekjes. Elke leerling heeft in 2003 in principe minstens vijf opgaven uit elk onderwerp van de peiling gemaakt. Deze blokken van vijf opgaven waren systematisch verdeeld over het totaal aantal toetsboekjes, zoals aangegeven in bijlage 2 Design afname PPON-M561. Kalibratie van de opgaven Het ordenen van opgaven in een vaardigheidsschaal op basis van hun moeilijkheidsgraad en gewicht is vaak een omvangrijk werk. Het is hier niet de plaats om daar uitvoerig op in te gaan. In het intern projectmemo ‘Kwaliteitscontrole van PPON-schalen’ heeft Verhelst een aantal procedures bijeengezet die een rol kunnen spelen bij de kalibratie van de opgaven voor een vaardigheidsschaal. Zeker wanneer er onvoldoende passing wordt verkregen tussen opgaven en schaal, vinden er controles plaats op multidimensionaliteit van de opgavenverzameling en van homogeniteit van de leerlingpopulatie met betrekking tot de opgaven. Uiteindelijk wordt een opgavenverzameling verkregen waarvoor in principe geldt dat a) individuele opgaven binnen het model passen, b) opgaven in verschillende groepen op dezelfde wijze functioneren, dus onafhankelijk van de groep (vrijwel) dezelfde itemparameters hebben, c) er zoveel mogelijk een homogene verdeling is van de p-waarden op de Si-

60 61

Zie hoofdstuk 2 van Balans [31] Zie de details op pagina 22 van balans [31].

140


toetsen over het interval (0,1) met zo weinig mogelijk significante waarden en waarbij d) de R1c-toets niet significant is. Op basis van het geheel aan gegevensbestanden zijn psychometrische analyses met behulp van OPLM uitgevoerd (Verhelst, Glas & Verstralen, 1993). Deze analyses hebben geresulteerd in tien vaardigheidsschalen, een voor elk onderwerp in de peiling62.

5.3

Methode, opzet en instrumentatie van het onderzoek naar oplossingsmethoden

De schriftelijke toetsen van de 4e rekenpeiling stellen ons in staat om vast te stellen wat leerlingen met een lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid weten en kunnen in de relevante deelgebieden van onderhavig dissertatieonderzoek: 1. Getallen en getalrelaties, 2. Basisoperaties optellen-aftrekken en 3. Bewerkingen optellen-aftrekken. Het daaraan gekoppelde kwalitatieve onderzoek naar oplossingsprocedures moet zichtbaar maken hoe de drie vaardigheidsgroepen opgaven die min of meer bij hun voortgang in kennis en bekwaamheid passen oplossen en wat in hun manier van denken en rekenen foutieve antwoorden genereert. We beschrijven hierna de gebruikte methode, de algemene opzet van het onderzoek en de instrumentatie.

5.3.1

Directe observatie van oplossingsmethoden

Carpenter en Moser (1983), die een belangrijk aandeel hebben in het onderzoek naar oplossingswijzen, stellen dat het lastig is om oplossingsmethoden van leerlingen te identificeren omdat de denkhandelingen van de leerlingen niet direct observeerbaar zijn. Bovendien reageren leerlingen vaak zo spontaan (vanuit hun gezond verstand) op het voorgelegde probleem, dat ze zich vaak niet bewust zijn van hoe ze hebben gedacht en gerekend. Carpenter en Moser schetsten als volgt de voor- en nadelen van de drie meest gebruikte onderzoeksmethoden te weten: 1. individuele interviews, 2. ‘response latencies’ en 3. de analyse van foutenpatronen. Het houden van individuele gesprekken met leerlingen is de meest directe weg om waar te nemen wat leerlingen tijdens het oplossen van een opgave doen en zeggen (Carpenter & Moser, 1982; Steffe, Thompson & Richards, 1982; van de Berg, van Eerde & Lit, 1994). Opgaven worden achter elkaar voorgelegd. Observatoren registreren wat zij zien en horen, stellen vragen hierover, zowel tijdens het oplossingsproces (introspectie) als achteraf. Zij kunnen ook overwegen een variant van de opgave voor te leggen om de juistheid van hun interpretatie van de waarneming te controleren (of 62

Raadpleeg Balans [31], pagina 22-24 voor nadere psychometrische informatie over de analyse van de drie dataverzamelingen: de PPON,- en LOVS-afname 2003-2004 en de PPON najaarafname 2003.

141

Hoofdstuk 5

de grenzen van de getoonde rekenkennis en -bekwaamheid af te tasten). De denken rekenhandelingen worden, hoe dan ook, afgeleid uit (1) wat de observator, door eigen observatie heeft gezien/gehoord, (2) wat de leerling, via zelfwaarneming, daaraan heeft toegevoegd en (3) wat observator en leerling, achteraf, hebben kunnen reconstrueren (retrospectie). Er kleven twee problemen aan de beschrijving van oplossingsmethoden op basis van de registratie van waarnemingen via observatie, introspectie en retrospectie. Een eerste serieus probleem is dat leerlingen bij hun uitleg van wat zij hebben gedaan, hun gedachten en rekenhandelingen niet accuraat (genoeg) weergeven. Ten eerste omdat zij het oplossingsproces niet goed uiteen kunnen leggen. Ten tweede omdat hun rekentaal tekort schiet. Ten derde, omdat zij ondertussen zich een ander beeld van het probleem hebben gevormd en, al pratend met de observator, anders dan aanvankelijk denken en rekenen. Een tweede probleem is dat observatoren zich een subjectief beeld van de leerling kunnen vormen waardoor zij die handelingen ‘herkennen’ die bij dit beeld passen. De techniek van ‘response latencies’ is in de jaren zeventig intensief gebruikt63 bij het onderzoek naar de automatisering onder de tien om meer ‘objectief’ te kunnen meten (Groen & Parkman, 1972; Groen & Poll, 1973; Wood, Resnick & Groen, 1975). De onderzoekers nemen aan dat de benodigde oplossingstijd een functie is van het aantal te maken rekenstappen. Ze structureren dan de verwachte oplossingsmethoden in ketens van uit te voeren rekenstappen. De vermoedelijk gevolgde oplossingsmethode wordt dan vastgesteld op basis van de ingeschatte benodigde rekentijd. Volgens Carpenter en Moser kleven minstens drie problemen aan het gebruik van deze techniek. Het is ten eerste vooral geschikt voor de observatie van telachtige oplossingsmethoden en minder voor complexere modelleringen als uitbeelden met opgestoken vingers en herleiden op basis van geheugenfeiten. De oplossingstijd varieert ten tweede niet alleen in functie van het aantal te maken rekenstappen. De getallen van de opgaven determineren mede de moeilijkheidsgraad van de bewerkingen door het beroep dat ze doen op specifieke feitenkennis geautomatiseerde rekenhandeling en inzicht in de relatie tussen de rekensom van de opgave en andere rekensommen die erop lijken. Leerlingen volgen ten slotte niet een vast oplossingspatroon, maar reageren afhankelijk van de context en de getallen. Onderzoekers lopen dan het risico dat ze aannemen dat de leerling consistent volgens een bepaalde strategie en methode werkt terwijl het, in werkelijkheid, slechts gaat om het oplossingspatroon van een klasse opgaven (problemen) met specifieke kenmerken, bijvoorbeeld aanvullen om een klein verschil als 22 - 18 uit te rekenen. De analyse van foutenpatronen is de derde methode die gebruikt wordt om oplossingsprocessen te analyseren. Refererend naar Brown & Van Lehn (1982) stellen Carpenter en Moser vast dat het achterhalen van oorzaken bij relatief simpele 63

Zie de overzichtstudie van Groenewegen en Gravemeijer (1988).

142


problemen onder de tien complexer is dan bij de analyse van algoritmische oplossingen met meercijferige getallen. Door de oplossingen van klassen problemen met elkaar te vergelijken, kunnen zowel oplossingspatronen als de typen fouten die de leerlingen daarbij maken, worden opgespoord. Dit biedt dan de mogelijkheid om, aan de hand van geobserveerde fouten, hypotheses te formuleren over de strategie en methode die de leerling vermoedelijk heeft gebruikt. Carpenter en Moser concluderen dat alle drie de methoden hun beperkingen hebben. Ondanks haar zwakte, geeft de observatie de meest directe informatie over het oplossingsproces, terwijl response latencies en foutenanalyse overtuigende patronen aan het licht kunnen brengen. Ze pleiten daarom voor een combinatie van interview met de analyse van foutenpatronen of response latencies.

5.3.2

Voortgangsgegevens ter bevordering van objectiviteit

Van den Berg e.a. (1994) hebben voor hun diagnostiek van het rekenen tot honderd met succes de methode van de directe observatie toegepast. Dit verklaart, samen met de beschikbare middelen binnen het PPON-project, de keuze voor onze kwalitatieve studie. In navolging van Van Eerde (1996), die wijst op de wenselijkheid van triangulatie van psychometrische gegevens over toetsprestaties en observatiegegevens, gebruiken we informatie over wat de leerlingen kunnen die via de schriftelijke PPONtoetsen wordt verkregen als hulpmiddel om te begrijpen welke oplossingmethoden uit de observatiegegevens kunnen worden afgeleid. Omgekeerd zetten we kennis over oplossingsmethoden in om relevante opgaven met betrekking tot optellen en aftrekken voor de PPON toetsen te construeren (zie de toets Basisoperaties hierboven). Dit gebeurt mede op basis van eerder verrichte vooronderzoeken in het kader van PPON en het LOVS, waarin geobserveerde oplossingsmethoden van leerlingen van jaargroep 4 en 5 zijn geanalyseerd. Deze verantwoording leidt de instrumentatie van het onderzoek in.

5.3.3

Instrumentatie

We beginnen met een beschrijving van de onderzoeksgroep, daarna gaan we in op het afname design Onderzoeksgroep De onderzoeksgroep voor het oplossingsmethodenonderzoek bestaat uit twee subgroepen. De eerste groep heeft deelgenomen aan de 4e PPON rekenpeiling van januari-februari 2003, de tweede aan het LOVS-onderzoek van januari-februari 2004. In beide steeproeven van scholen zijn vijftig groepen van drie leerlingen aangewezen voor het individueel onderzoek. In overleg met de toetsassistent koos de betreffende leraar drie leerlingen: één leerling met een relatief hoge rekenvaardigheid, één leerling

143

Hoofdstuk 5

met een gemiddelde rekenvaardigheid en een met een lage vaardigheid – op basis van de in figuur 5.3 beschreven criteria. De aanwijzingen in de afzonderlijke handleiding voor de individuele afname informeerde verder over de te volgen procedure. De opgaven voor het individueel onderzoek maken deel uit van de verzamelingen schriftelijke opgaven. Bij de samenstelling van de sets is hier rekening mee gehouden, om te voorkomen dat een leerling bij het individuele onderzoek een opgave zou gaan maken die hij al eerder schriftelijk had opgelost. Voor een leerling met

selecteert u

een laag niveau

Een leerling op de grens van de niveaus E/D op de LVS-toets of een van de zwakkere rekenaars in de groep, niet noodzakelijk de zwakste.

een gemiddeld niveau

Een leerling op de grens van niveaus B/C op de LVS-toets of met een gemiddeld rekenvaardigheidsniveau.

een hoog niveau

Een leerling met niveau A op de LVS-toets of een van de goede/betere rekenaars in de groep, maar niet noodzakelijk de beste.

Figuur 5.3 - Criteria voor de selectie van deelnemende leerlingen medio jaargroep 5

Op deze manier is een groep van 300 leerlingen gevormd (zie figuur 5.4). De leerlingen uit de PPON-groep hebben 7 opgaven uit de schriftelijke toets Bewerkingen Optellen-aftrekken mondeling opgelost, de LOVS-groep 9 opgaven uit de LOVS-toets. Vaardigheidsgroep

Onderzoeksgroep PPON-steekproef

LOVS-steekproef

Laag

50 leerlingen

50 leerlingen

Midden

50 leerlingen

50 leerlingen

Hoog

50 leerlingen

50 leerlingen

Totaal

150

150

Figuur 5.4 – Samenstelling van de onderzoeksgroep

Afnamedesign Hoe de verdeling van de opgaven over de leerlingen is gemaakt, is schematisch weergegeven in figuur 5.5. Ook toont deze figuur de wijze waarop de ontworpen reeksen opgaven zijn voorgelegd. De opgaven voor de PPON-groepen zijn zo gekozen dat de opgaven 6 en 7 de ankers vormden tussen de itemsets voor de groepen Laag en Midden, en de opgaven 11 en 12 tussen de sets voor Midden en Hoog. Opgave 7 en opgave 15 zijn kale optellingen die buiten dit dissertatieonderzoek zijn gehouden. De analyse van deze bewerkingen zijn in Balans 40 gerapporteerd (Kraemer, 2010). De moeilijkheidsgraad van de gebruikte opgaven is achteraf vastgesteld, via de klassieke en de psychometrische statistische analyse van de antwoorden die in de

144


schriftelijke toetsen zijn geobserveerd. Op enkele uitzonderingen na, correspondeert de vastgestelde moeilijkheidsgraad vrij goed met de gemaakte schatting. Uitzonderingen zijn opgave 11, die uiteindelijk een van de gemakkelijkste opgave bleek te zijn, en opgave 1, die toch moeilijker bleek dan aanvankelijk geschat. Design PPON-afname M5 - Januari/Februari 2003 Laag Midden Hoog Opgave P-waarde

1 67

2 85

3 73

4 79

5 85

6 69

7 85

8 64

9 56

10 67

11 89

12 54

13 43

14 30

15 57

16 35

17 24

Laag Midden Hoog Design LOVS-afname M5 - Januari/Februari 2004 (optelopgaven in cursief). Figuur 5.5 – Afnamedesign vaan het individuele PPON- en LOVS-onderzoek

Naar aanleiding van de verkennende analyses van de rekenoplossingen van de PPON-afname in 2003 is het design voor de LOVS-afname in 2004 enigszins aangepast om meer verschillen tussen de rekenhandelingen van de drie vaardigheidsgroepen te kunnen opsporen. Bij deze tweede afname (onderste design van figuur 5.5) maakte elke leerling twee extra opgaven om de overlap tussen de drie sets groter te maken. Twee opeenvolgende groepen konden hierdoor vijf in plaats van twee gemeenschappelijke opgaven maken en álle leerlingen konden opgave 6, 9 en 11 op hun eigen vaardigheidsniveau oplossen. De klassieke statistische vergelijking van de moeilijkheidsgraad van de drie oorspronkelijke sets met die van de aangepaste sets laat zien dat de gemiddelde moeilijkheid van de sets in beide onderzoeken oploopt. In de PPON-groepen neemt het toe van p = 0,78 (set 1; Laag) naar p = 0,69 (set 2; Midden) en p = 0,47 (set 3; Hoog). In de LOVS-groep loopt de p-waarde op van 0,76 naar 0,66 en 0,51. Het streven om drie inhoudelijk aansluitende opgavenverzamelingen te maken in opklimmende moeilijkheidsgraad is dus geslaagd. Met de chi-kwadraat toets is de geobserveerde frequentieverdeling van goede antwoorden van de groep Laag afgezet tegen die van groep Midden en de groep Hoog zowel in de PPON-onderzoeksgroep als in de LOVS-groep. Hiermee kan worden vastgesteld in hoeverre de gemaakte set binnen het vaardigheidsbereik van de drie groepen ligt. Voor de PPON-groep zou er geen significant verschil moeten zijn tussen het geobserveerde en het verwachte aantal goede antwoorden, omdat de opgaven ‘op maat’ waren toegewezen. In de LOVS-groep werden juist wel verschillen verwacht: de twee extra-opgaven 9 en 11 van de groep Laag deden immers een beroep op een hoger vaardigheidsniveau. Voor leerlingen uit de groep Hoog gold het omgekeerde. Extra-opgave 6 was gemakkelijker dan die van de eigen set (P69) en extra-opgave 9

145

Hoofdstuk 5

behoort tot de gemakkelijkste opgaven van de uitgebreide set (P56). De resultaten van de twee toetsen zijn in beide gevallen in overeenstemming met de geformuleerde hypothese: –

–

Het verschil tussen de gevonden en de verwachte aantallen goede antwoorden zijn in de PPON-onderzoeksgroep door toeval veroorzaakt (chikwadraat=1,902; N=132; df6; n.s.). Er is echter wel een significant verschil in de LOVS-groep (chikwadraat=17,358; N=133; df6; p<.01).

Dit bevestigt dat de gevormde sets aan de verwachtingen voldoen. Bij de PPONafname zijn de kansen op succes in alle drie de vaardigheidsgroepen ‘gelijk’ door een juiste afstemming van de moeilijkheidsgraad van de voorgelegde reeks op het vaardigheidsniveau van de leerlingen. De opgaven van de LOVS-groep maken het verschil juist beter zichtbaar binnen de groep Laag, omdat de twee extra-opgaven een beroep doen op kennis en vaardigheden die tot een hoger ontwikkelingsniveau behoren.

5.3.4

Opgavenkenmerken

De 15 aftrekopgaven, die in de drie gemaakte sets zijn opgenomen, staan in bijlage 3. Ze zijn geselecteerd op basis van drie eigenschappen die volgens de in hoofdstuk 3 en 4 besproken onderzoeksliteratuur er toe doen, namelijk: 1. de moeilijkheidsgraad, 2. de verschijningsvorm van aftrekken (semantische structuur) en 3. kenmerken van de getallen. We zagen in hoofdstuk 4 dat de moeilijkheidsgraad toeneemt naarmate de bewerkingsmethode die de leerling met de aftrekstrategie combineert een beroep doet op feitenkennis, concepties van getallen en aftrekken of specifieke vaardigheden die tot een hoger ontwikkelingsniveau behoren. Leerlingen herkennen aan de context en het taalgebruik van een aftrekprobleem een rekenstructuur die ze eerder in vergelijkbare contexten zijn tegengekomen. De getallen roepen op hun beurt associaties op met geheugenfeiten en/of numerieke relaties die sterk lijken op de rekensom die de leerling uit de opgave abstraheert. De 15 geselecteerde aftrekopgaven worden hieronder, vanuit deze drie inhoudelijke oogpunten geordend. Moeilijkheidsgraad. Hierboven is al gezegd dat de moeilijkheidsgraad van de voorgelegde opgaven pas na de individuele afnamen is vastgesteld, via kalibratie van de opgaven voor de constructie van de schaal Bewerkingen: optellen en aftrekken. De grafiek van figuur 5.6 toont deze opgaven in oplopende volgorde van moeilijkheidsgraad. De lijnen P33 en P66 vormen de grens tussen respectievelijk de groep Laag en Midden en de groep Midden en Hoog. De twee aanvulproblemen van opgave 5 (25 + .. = 36 # 36 – 25 = ..) en opgave 11 (90 + .. = 102 # 102 – 90 = ..) zijn de gemakkelijkste opgaven van de totale verzameling (Groep Laag en LOVS-overall). Het zuivere aftrekprobleem van opgave 16 (900 - 595 # 595 + … = 900) en het combinatieprobleem van opgave 14

146


(370 + … = 620 # 620 - 370) zijn de twee moeilijkste opgaven met driecijferige getallen. Vlekopgave 17, die een beroep doet op inzicht in de positionele opbouw van de getallen (998 + .. = 1662), sluit het rijtje af.

Figuur 5.6 Moeilijkheidsgraad en beheersingsniveau van de 15 voorgelegde aftrekopgaven

Verschijningsvormen van aftrekken. Uitgaande van de in hoofdstuk 3 en 4 samengevatte onderzoeksliteratuur zijn de aftrekopgaven geselecteerd op basis van de volgende vier verschijningsvormen van ‘aftrekken’: – – – –

afhalen aanvullen (volmaken) verschil bepalen deel uitrekenen (scheiden)

Er zijn drie formele aftrekkingen geselecteerd. Omdat onderbouw-leerlingen het minteken sterk associëren met ‘afhalen’, vormen deze opgaven, samen met opgave 16, de klasse “afhalen”. Bij de overige opgaven wordt om twee redenen de nadruk gelegd op problemen waarin aftrekken niet de betekenis heeft van aftrekken. Ten eerste omdat het de typen contextopgaven zijn die een aanzienlijke groep leerlingen niet foutloos kan oplossen. Ten tweede omdat deze klassen aftrekproblemen een grote variatie in combinaties van strategie en rekenprocedures uitlokken. Figuur 5.7 presenteert de 15 opgaven geordend naar verschijningsvorm en moeilijkheidsgraad binnen de onderscheiden klassen. In de drie laatste kolommen staan de operaties die

147

Hoofdstuk 5

de beschrijving van de probleemsituatie en de geformuleerde vraag (en de afbeelding) suggereren. Merk het verschil op bij de categorie ‘verschil bepalen’ tussen opgaven 2 en 6 die indirect aftrekken uitlokken (Hoeveel jaar/euro minder?) en opgave 13, waarvan de vraag neutraal is geformuleerd (Hoe groot is het verschil in hoogte?). Bij de categorie ‘scheiden’ worden de drie alternatieve operaties weergegeven, omdat de tekst of de illustratie deze rekensommen kunnen uitlokken. Aftrekstructuur Aftrekken

Aanvullen

Verschil bepalen

Scheiden

Opgaven

Pwaarde

04 kaal 10 kaal 12 kaal 16 05 11 01 08 17 02 06 13 03 09 14

79 67 54 35 85 89 67 64 24 85 69 43 73 56 30

Vgr L M M+H H L L+M+H L+M M H L L+M+H M+H L L+M+H H

Aftrekking

Indirecte optelling

Indirecte aftrekking

60 - 35 100 - 86 62 - 48 900 - 595 25 + .. = 36 92 + .. = 102 12 + .. = 25 32 + .. = 50 998 + … = 1662

250 – 188 = … 50 – 25 = … 100 – 48 = .. 620 – 370 = …

188 + … = 250 25 + … = 50 48 + .. = 100 370 + … = 620

22 - .. = 18 40 - .. = 24 250 - … = 188 50 - …= 25 100 - .. = 48 620 - … = 370

Figuur 5.7 – Ordening van de individuele opgaven naar (semantische) aftrekstructuur

Kenmerken van de getallen. Uit de geraadpleegde onderzoeksliteratuur blijkt dat de getallen zowel de strategie als de bewerking beïnvloeden. Ze lokken aftrekken dan wel overbruggen uit en determineren de aard van bewerkingen als de leerling rijgt, splitst of beredeneert. Deze potentiële invloed van de getallen wordt in deze paragraaf in kaart gebracht. Getalkenmerk Aftrekker en verschil ≤ 19 Aftrekker > 19 en verschil ≤ 19 Aftrekker en verschil > 19

Opgaven 2, 1 11, 5, 10, 6, 8, en 12 4, 3 en 9; 13, 14, 16 en 17

Niveau van formalisering Met hooguit één 10-sprong, onafhankelijk van de strategie Met hooguit één 10-sprong bij indirect optellen/aftrekken springend of met afgesplitste getallen bij aftrekken Springend of met afgesplitste getallen, onafhankelijk van de strategie

Figuur 5.8 - Relatie tussen getalkenmerken, strategie en niveau van formalisering van de rijgbewerkingen

148


Orde van grootte van het verschil: aanvullen of aftrekken Van de leerlingen wordt verwacht dat ze rekening houden met de orde van grootte van het verschil tussen de twee getallen van een aftrekopgave om te bepalen of aanvullen dan wel aftrekken het meest voor de hand ligt. Op opgaven 1, 3 en 9 na, lenen alle opgaven zich meer voor indirect optellen dan voor aftrekken. Aftrekken versus overbruggen en springend versus structurerend rijgen Figuur 5.8 laat zien hoe de grootte van de aftrekker en van het verschil tussen aftrektal en aftrekker de mate van complexiteit van de rijghandelingen determineren. Als de aftrekker kleiner dan 19 is en het verschil tussen aftrektal en aftrekker kleiner dan 19, hoeft de leerling, onafhankelijk van de strategie, maximaal één sprong van tien te maken. In alle andere gevallen zijn handelingen complexer en vooral bij aftrekken, waar meer getalcombinaties een beroep doen op het gebruik van een lang getalpatroon dan wel een complexe vorm van structurerend aftrekken. Tekort/Tientaloverschrijding De getallen determineren op een vergelijkbare manier de moeilijkheidsgraad van de splitsbewerkingen. Getalkenmerk Eenheden van het aftrektal > dan die van de aftrekker Voorbeeld: 25-12 en 36-25

2 opgaven

Rond getal als aftrektal Voorbeeld: 60-35; 100-86

6 opgaven

Eenheden/tientallen van de aftrekker > dan die van het aftrektal. Voorbeeld: 62-48, 620-370 en 250-188

7 opgaven

Figuur 5.9 - Relatie tussen getalkenmerken en de complexiteit van de splitsbewerkingen

Bruikbare getalrelaties We zagen ten slotte in hoofdstuk 4 dat de meest gevorderde leerlingen hoe langer hoe meer afstand nemen van de contexten en zich meer op de getallen richten. In de set opgaven van de groep Laag zijn daarom vijf opgaven opgenomen die de associatie met bekende ‘dubbelrelaties’ kunnen oproepen. Leerlingen uit de groep Laag kunnen in twee gevallen afronden en compenseren en in twee gevallen het principe van het gelijk blijvend verschil toepassen. De opgaven van de leerlingen met een hogere vaardigheid lenen zich minder voor het gebruik van een inverse, maar bieden vaker de mogelijkheid de uitkomsten via afronden en compenseren en het principe van het gelijk blijvend verschil te herleiden. Figuur 5.10 toont de geheugenfeiten die leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep zouden kunnen gebruiken.

149

Hoofdstuk 5 Opgaven 11 04 kaal 03 06 01 09

pwaarde 89 79 73 69 67 56

Aftrekking 102-90 60-35 50-25 40-24 25-12 100-48

(Bijna) omgekeerde dubbel

Afronden & compenseren 90+10=100

30+30=60 25+25=50 20+20=40 12+12=24 50+50=100

50+50=100

Figuur 5.10 – Bruikbare relaties bij beredeneren in de set opgaven van de groep Laag

5.3.5

Afnameprocedure

De individuele gesprekken zijn gehouden in de middag tussen ± 13.30 en 14.30, na de schriftelijke toetsafname in de ochtend. De volgende procedure is toegepast. – – –

De leerling krijgt een toetsboekje dat begint met een voorbeeldopgave. De toetsassistent legt aan de hand van dit voorbeeld de procedure uit. De leerling maakt aantekeningen als daar behoefte aan is en noteert het antwoord in het hokje.

Op elke opgavenblad staat vervolgens de tekst van de opgave met of zonder afbeelding, precies zoals deze in de schriftelijke PPON- en LVS-afname wordt aangeboden. De leerling beschikt over voldoende ruimte om de situatie naar behoefte te tekenen en een rekenhandeling helemaal uit te schrijven. De gesprekstechnische aanwijzingen zijn geïnspireerd door de handleiding van de Kwantiwijzer voor leraren (Van de Berg e.a. 1994). De afnameprocedure is beschreven in de handleiding voor de individuele afnamen. Daarin komen een aantal punten aan de orde die hieronder worden beschreven. Bij de start van het gesprek stelt de toetsassistent zich nog eens voor, stelt vervolgens de leerling op zijn of haar gemak, behandelt dan een voorbeeldopgave en sluit het gesprek af met een compliment. Onderstaande tekst geeft een idee van de gegeven aanwijzingen in deze fase van het gesprek. U zegt: ‘Lees eens deze voorbeeldopgave hardop voor. Begrijp je alle woorden van het verhaal? Zie je dit vakje? (wijs aan). Daar kun je in tekenen, schrijven of iets uitrekenen als je dat handig vindt om de som te maken. Ik probeer in mijn boekje op te schrijven hoe jij de som uitrekent. Ik stel je alleen vragen als ik niet begrijp wat je zegt of wat je doet. Vertel mij nu eens nu hoe je het antwoord op deze vraag vindt. Als je klaar bent, schrijf het antwoord in dit hokje (wijs aan)

150

Opzet en instrumentatie van het onderzoek Dat heb je goed gedaan. Weet je nu hoe het gaat? Dan maken we nu de echte vragen’.

Vervolgens start de toetsassistent de cassetterecorder en legt de opgaven achter elkaar voor, volgens onderstaande vaste systematiek: 1. 2. 3.

4. 5.

Hij/zij laat de leerling de opgave hardop voorlezen. Controleert of de taal geen probleem vormt. Laat de leerling de opgave hardop oplossen, eventueel met aantekeningen op papier. Vraag indien nodig om een toelichting en noteer de oplossingsstrategie in het observatieboekje, maar voorkom de suggestie van een oplossingsstrategie die de leerling zou kunnen overnemen. Laat de leerling het antwoord in het hokje schrijven (of op de gegeven antwoordlijn). Sluit af met een aanmoediging en/of complimentje.

De handleiding specificeert wat toetsassistenten wel en niet mogen zeggen en doen – – –

–

als de taal van de opgave een probleem vormt, als de leerling het probleem niet begrijpt, bij reacties van de leerling die aanleiding geven om door te vragen, omdat hij iets doet dat niet direct observeerbaar is, als iets uit het hoofd uitrekenen en stiekem met zijn vingers tellen. Na de laatste opgave, stopt de assistent de cassette en bedankt de leerling voor zijn inspanning: ‘Ik vind dat je goed je best hebt gedaan. Knap hoor! Dank je wel en tot ziens’.

De meeste toetsassistenten hebben vaker PPON- en/of LOVS afnamen georganiseerd en uitgevoerd. Voor de 4e rekenpeiling en de LOVS-afname een jaar later is bovendien een tweedelige workshop georganiseerd. In het eerste deel werden de toetsassistenten ingeleid in de wereld van hoofdrekenen. In het tweede deel hebben ze de meest voorkomende vormen van rijgen, splitsen en beredeneren leren herkennen via de analyse in kleine groepen van hiertoe geselecteerde paradigmatische oplossingsmethoden. Bij deze gelegenheid is benadrukt hoe belangrijk het was dat de toetsassistent zich als nieuwsgierige onderzoeker opstelde en niet als docent die wil weten wat de leerling wel en niet kan. Uit zijn of haar opmerkingen, commentaren, vragen, etc. moest de leerling begrijpen dat zijn hoofdtaak was de toetsassistent duidelijk te maken hoe hij dacht en rekende. De toetsassistenten beschikken over een observatieformulier om de waargenomen oplossingsmethoden te registreren. In de kern gaat het er om dat ze nauwkeurig noteren wat de leerling zegt en doet. Om controle achteraf mogelijk te maken, zijn alle gesprekken op geluidsbanden opgenomen. In de fase van de codering van de geregistreerde oplossingsmethoden, zijn deze opnamen alleen in de volgende gevallen afgeluisterd:

151

Hoofdstuk 5

– – –

5.3.6

bij zeer summiere of onduidelijke aantekeningen van de toetsassistent; bij twijfels over de interpretatie van de toetsassistent, op basis van wat de leerling in het boekje had getekend en/of opgeschreven; bij tekens/vermoedens dat de toetsassistent het oplossingsproces had gestructureerd.

Digitale registratie, codering en interbetrouwbaarheid

Alle oplossingsmethoden zijn in een Access bestand, per vaardigheidsgroep geregistreerd. Elke digitale oplossing is driedimensionaal gecodeerd, volgens de criteria van het in hoofdstuk 4 geconstrueerde classificatiesysteem (figuur 5.11). Dimensie Strategie

Methoden

Vorm/Niveau

Categorieën 1 Optellen 2 Indirect optellen 3 Aftrekken 4 Indirect aftrekken 5 Niet vast te stellen 10 Rijgen 20 Splitsen 30 Beredeneren 40 Weten 50 Anders 60 Rest Rijgen 3 Met telstappen 4 Met tientallen als knooppunten (met eerst een sprong naar het tienvoud) 5 Met samengestelde getallen als knooppunten (direct met de 10-sprong) 6 Met afsplitsingen van getallen anders dan in tientallen en eenheden 7 Idem in combinatie met de factor 10 8 Gestandaardiseerd Splitsen 4 Reken met ‘tienen en lossen’ (in situaties zonder tientaloverschrijding) 5 Splitsen in combinatie met rijgen 6 Horizontaal met tekorten of een tien openen / Buggy algoritmen 7 Kolomsgewijs, met positiewaarden en van links naar rechts 8 Met positiecijfers (standaardalgoritme) Beredeneren 6 Puzzelen met optelfeiten 7 Afsplitsen en compenseren 8 Transformeren

Figuur 5.11 Driedimensionale codering van aftrekoplossingen in het getalgebied tot duizend

152


De betrouwbaarheid van het classificatiesysteem is gemeten met Cohens coëfficiënt voor de mate van overeenstemming tussen beoordelaars. Op basis van de codering door twee beoordelaars van een steekproef van 103 oplossingen is een kappa van 0,86 gevonden (0.75 is excellent) bij de codering van ‘strategie’ en ‘methode’ en van 0,74 bij de driedimensionale codering. De volgende procedure is gevolgd. –

– –

–

–

De onderzoeker heeft eerst aan twee beoordelaars aan de hand van de aftrekking 64 - 48 de systematiek en de categorieën van het systeem gepresenteerd. Het drietal heeft hierop aansluitend een steeproef van vijftien opgaven (vijf per vaardigheidsgroep) interactief gecodeerd. Vervolgens zijn de coderingen vergeleken en de afwijkingen besproken. Dit leidde tot een nadere toelichting van de onderscheidende criteria voor ‘methode’ en ‘niveau van formalisering’ (vooral m.b.t. de oplossingen met driecijferige getallen). Ten slotte hebben de twee beoordelaars twee uur lang (met de nodige onderbrekingen) drie steekproeven oplossingen uit het digitale bestand van de drie vaardigheidsgroepen gecodeerd. Kappa is op basis van deze coderingen uitgerekend.

De beoordelingsessie is afgesloten met een korte groepsevaluatie. Het betrof drie kwesties. De codering van de ‘strategie’ is eenduidig. Maar de codering van de ‘methode’ kan bij twee klassen bewerkingen onderstaande twijfels bij beoordelaars oproepen. –

Leerlingen gebruiken uitdrukkingen die niet dekken wat ze mentaal doen: “Ik ga terugtellen”, bij 36 - 25 via (36)  26, 16  16-5-11 “Ik tel verder”, bij 25 + .. = 36 via (25)  35  35 + 1 = 36, dus 11 In beide gevallen rijgt de leerling met ’samengestelde getallen’ en niet met ‘telstappen’.

–

Aftrekkingen van het type 60 - 35 en 100 - 86 (aftrekken vanaf een tienvoud) worden in twee opeenvolgende bewerkingen gestructureerd: 60 - 30  30 - 5 100 - 80  20 - 6 Beoordelaars kunnen dit associëren met de combinatie van splitsen (60 – 30 = 30, denkend aan 6 – 3 = 3; 100 – 80 = 20, denkend aan 10 – 8 = 2) en rijgen (30 - 5; 20 - 6). Het onderscheidend criterium is de wijze waarop de leerling de uitkomst van de bewerking van de tienvouden verantwoordt. Wordt de analogie met aftrekken onder de tien gebruikt, dan wordt het label ‘Splitsen in combinatie met rijgen’ toegekend.

153

Hoofdstuk 5

De codering van het ‘niveau’ roept ten slotte alleen misverstanden/twijfels op bij rijgen met driecijferige getallen. Leerlingen gebruiken aanvankelijk bijna systematisch een honderdtal als eerste knooppunt. Dit roept begrijpelijk de associatie op met de sprong naar het tienvoud (niveau 4): 370 + .. = 620 via 370 + 30 = 400  400 + 200  600 + 20 620 - 370 via 620 – 20 = 660  600 - 300  300 - 50 Het gebruik van afsplitsingen van getallen (anders dan in tientallen en eenheden) in combinatie met de factor tien is het onderscheidende criterium. Het is rijgen op niveau 7.

5.4

Hoofdvragen en –analyses van de drie deelstudies

Het onderzoek naar oplossingsprocedures is gestructureerd uitgaande van drie hoofdaspecten van het rekenwerk: 1. de gebruikte methoden en vormen van rekenen en de resultaten die de drie vaardigheidsgroepen ermee behalen, 2. de wijze waarop ze omgaan met relevante opgavenkenmerken en 3. de bron van de foutieve antwoorden die ze geven. Gebruiksfrequentie en resultaten Drie vragen staan bij deze analyse - per vaardigheidsgroep - centraal:

–

Hoe vaak zijn de geleerde hoofdrekenmethoden gebruikt en met welke resultaten? Hoe formeel rijgen, splitsen en beredeneren de leerlingen?

–

Hoe varieert het succes per niveau van rijgen, splitsen en beredeneren?

–

De analyses spreken voor zich.

–

De tweede analyse moet primair inzicht verschaffen in het pallet van bewerkingen die leerlingen zoal gebruiken, de derde in hoe het, halverwege de basisschool met de progressieve schematisering staat. Omgang met de context en de getallen We zagen in hoofdstuk 3 en 4 dat leerlingen verschillend op de context en de getallen van eenzelfde opgave reageren, dat de combinatie van strategie en rekenvorm de moeilijkheidsgraad van de betreffende bewerking determineert en dat zowel leerlingkenmerken als het aanbod en de kwaliteit van de instructie de flexibiliteit van de leerling beïnvloeden. Het onvolledige design maakt een systematische analyse van deze flexibiliteit onmogelijk. We beperken ons dan ook tot het identificeren van patronen in de reactie van de drie vaardigheidsgroepen op de voorgelegde typen aftrekstructuren en/of

154


specifieke eigenschappen van de getallen (zie figuur 5.7 t/m 5.10). We gaan daarbij uit van de in hoofdstuk 4 onderscheiden combinaties van ‘aftrekstrategie’ (aftrekken; indirect optellen; indirect aftrekken) en hoofdrekenmethoden (rijgen; splitsen; beredeneren/weten). De leidende vragen zijn: – –

Welke combinaties worden het meest gebruikt en met welke resultaten? In hoeverre zijn de geïdentificeerde klassen oplossingsprocedures verbonden met specifieke (combinaties van) eigenschappen van de opgaven?

Foutenpatronen In Balans [40] (Kraemer, 2010) zijn de specifieke problemen van de drie vaardigheidsgroepen in kaart gebracht64. De foutenanalyse van het dissertatieonderzoek heeft een andere functie. Het is gericht op de identificatie van de aspecten van rijgen, splitsen en beredeneren die de leerlingen in moeilijkheden brengen en in die zin foutenpatronen genereren. We zagen in hoofdstuk 1 dat er in de realistische didactiek verschil wordt gemaakt tussen het beschrijven van een probleem en het bewerken van de getallen (Treffers, 1987; Gravemeijer, 1994; 2003a). In de context van de analyse van hoeveelheidsrelaties stellen Thompson & Tompson (1994) dat beschrijven een beroep doet op ‘relational’ reasoning en bewerken op ‘calculational’ reasoning. We hebben nu vanuit deze invalshoek alle oplossingsprocedures geanalyseerd, waarbij (a) de beschrijving van het probleem of (b) de bewerking van de getallen een foutief antwoord genereert. Twee vragen structureren deze foutenanalyse: – –

Hoe vaak wordt een contextopgave onjuist beschreven? En: wat is het dominante patroon in deze foutieve horizontale mathematisering? Wat zijn de dominante patronen in de rijg-, splitsen beredeneerbewerkingen die een foutief antwoord genereren?

Voor deze analyse van de bewerkingen maken we onderscheid tussen drie categorieën oorzaken: 1. begrip van de rekenprocedure (begripsvorming als oorzaak); 2. rekenfout (memoriseren c.q. automatisering als oorzaak) en 3. uitvoering (verlies van de grip op het proces van bewerken). Hiermee zijn we aan het einde gekomen van de verantwoording van de theoretische, empirische en methodologische grondslagen van onderhavig dissertatieonderzoek. We rapporten in het vervolg de analyseresultaten van de voortgang zoals gemeten bij de 4e PPON rekenpeiling (hoofdstuk 6) en van de drie onderscheiden aspecten van de oplossingsprocedures: de toegepaste methoden en vormen van hoofdrekenen, de omgang met relevante opgavenkenmerken en de bron van foutieve antwoorden (hoofdstukken 7 t/m 9). 64

Zie paragraaf 9.5 (rijgen), 10.5 (splitsen) en 11.5 (beredeneren) van deze balans.

155

Hoofdstuk 6 Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool

6.1

Inleiding

In dit hoofdstuk en de hierna volgende hoofdstukken 7, 8 en 9 wordt gerapporteerd over de analyseresultaten van het onderwijsniveau en de oplossingswijzen van de onderzochte leerlingen. Hoofdstuk 8 slaat een brug tussen de kwantitatieve beschrijving van de voortgang van referentieleerlingen en de kwalitatieve analyse van hun hoofdrekenbekwaamheid. Het brengt, per vaardigheidsgroep, de vormen van rijgen, splitsen en beredeneren die de onderzochte leerlingen zoal hebben gebruikt in kaart. Voorbeelden van oplossingswijzen maken zichtbaar hoe zij op hun vaardigheidsniveau denken, (hoofd)rekenen en symboliseren. In dit perspectief, hebben we de onderwijsresultaten van de 4e rekenpeiling (Kraemer e.a. 2005) tegen het licht gehouden van de reconstrueerde sequentie van de formalisering van rijgen, splitsen en beredeneren om de voortgang van de gebruikelijke referentieleerlingen goed in kaart te kunnen brengen. We gebruiken hier de voorbeeldopgaven uit de drie relevante schalen voor Bewerkingen enerzijds en Getallen en getalrelaties en Basisautomatismen anderzijds. Ze maken beschikbare conceptuele en instrumentele bouwstenen zichtbaar en hierdoor het bereikte niveau van formalisering van de betreffende leerlingen. Onderstaande rapportage geeft antwoord op de vier vragen van deze oriënterende didactische doorlichting van de resultaten van de 4e PPON rekenpeiling: – – –

Welke typen opgaven kunnen leerlingen met een lage, gemiddelde en hoge vaardigheid zoal succesvol oplossen? Welke bouwstenen van rijgen, splitsen en beredeneren liggen in het vaardigheidsbereik van deze leerlingen? Welke resultaten van het onderwijs in het domein van de Getallen en getalrelaties, Basisautomatismen en Bewerkingen stemmen overeen met het aanbod dat de leraren zeggen te geven?

157

Hoofdstuk 6

–

Op welke essentiële punten wijken deze resultaten af van de verwachtingen, zoals geformuleerd in (i) de Tussendoelen, annex leerlijnen en (ii) de standaarden die de geraadpleegde experts hebben geformuleerd?

We beschrijven per vaardigheidsgroep, het bereikte niveau in het getalgebied tot honderd en stellen daarbij de bouwstenen vast die ze hebben verworven. Dat schetst de voortgang in het getalgebied. We leggen ten slotte een verband tussen de voortgang in kennis en bekwaamheid en het aanbod dat de leerkrachten zeggen te geven.

6.2

Vaardigheidsniveau in het getalgebied onder de honderd

We schetsen de ontwikkeling van de (hoofd)rekenvaardigheid in het getalgebied tot 100, zoals gemeten in 2003 bij de 4e rekenpeiling halverwege de basisschool65. Voorbeeldopgaven uit de schaal Bewerkingen maken de variatie in niveaus zichtbaar binnen de betreffende vaardigheidsgroep, voorbeeldopgaven uit dezelfde schaal en de schalen Getallen en getalrelaties en Basisautomatismen signaleren bouwstenen in ontwikkeling. In een concluderende paragraaf maken we de balans op van de ontwikkeling halverwege de basisschool.

6.2.1

Ontwikkelingsniveaus binnen de laagste vaardigheidsgroep (≤P33)

Tabel 6.1 toont de mate waarin de percentiel-10, percentiel-25 en percentiel-33 leerlingen voorbeeldopgaven uit de rapportage van de 4e peiling beheersen. De opgaven die de meest gevorderde leerlingen beheersen, zijn afgebeeld in figuur 6.1. De opgaven, die in hun zone van naaste ontwikkeling liggen, behoren tot de verzameling opgaven van figuur 6.4, die de meest gevorderde leerlingen van de middengroep (percentiel-66 leerlingen) al beheersen.

65

Deze beschrijving is gebaseerd op mijn rapportage in hoofdstuk 4 van Balans [31] uit de PPON-reeks: Kraemer e.a., 2005. Zie Getallen en getalrelaties (p. 45-50), Basisoperaties (p. 59-63) en Bewerkingen (p. 75-84).

158

Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool Getallen en getalrelaties 1]

Zet deze getallen op volgorde van klein naar groot. Schrijf de getallen in de hokjes. 2]

Op de plank staan 3 volle dozen. Er liggen ook nog losse schriften. Hoeveel schriften zijn dat samen? 3]

Basisautomatismen 1] 12 – 7 = _______ 2] 32 + 8 = _______ 3] 100 – 9 = _______ 4] 84 – 40 = _______ 5] 58 – 4 = _______ 6] 14 – 7 = _______ 7] 48 + 40 = _______ 8] 27 + 50 = _______ 9] 70 – 7 = _______ 10] 56 – 50 = _______ 11] 15 – 8 = _______ 12] 79 – 5 = _______ 14] 45 + 55 = _______ Bewerkingen 1]

4] Reken dit handig uit:

5] 6]

58 rode en 34 gele ballonnen gaan de lucht in. Hoeveel ballonnen zijn dat samen? 7]

In het dierentehuis wonen 80 dieren: 30 katten en verder alleen maar honden. Hoeveel honden wonen er? 4]

Opa had 68 euro in zijn portemonnee. Hij heeft voor 60 euro boodschappen gedaan. Hoeveel euro heeft hij over? Alles is nu 5 euro goedkoper. Hoeveel euro betaal je dan voor 2] de jas? 8]

Moeder verdeelt 60 euro eerlijk over drie kinderen. Hoeveel euro krijgt ieder? 5]

In het hok staan 5 getallen. Welke van die getallen liggen op de getallenlijn tussen 60 en 70? ________ en ________ 6]

Juf Leony haalt 34 balpennen uit de kast. Hoeveel doosjes van 10 pakt ze en hoeveel losse pennen?

Er zijn 36 verschillende plaatjes. In de pot zaten 100 knikkers. Nicky heeft al 25 plaatjes. Janine heeft er 12 knikkers Hoeveel plaatjes mist zij nog? uitgehaald. Hoeveel knikkers zitten nu nog in 3] de pot? 9]

De school gaat met 2 bussen op schoolreis. In de ene bus zitten 50 leerlingen en in de Dit zijn bij elkaar 50 rozen. In de witte emmer staan 25 witte andere bus 45. Hoeveel leerlingen gaan mee? rozen. Hoeveel rode rozen staan dan in de grijze emmer?

Figuur 6.1 – Voorbeeldopgaven, in het getalgebied tot 100, die de percentiel-33 leerling beheerst

159

Hoofdstuk 6 Tabel 6.1 – Voortgang van percentiel-10, -25 en -33 leerlingen in het getalgebied tot 100

Referentieleerling P33

P25

P10

Mate van beheersing* Onvoldoende Matig Goed Onvoldoende Matig Goed Onvoldoende Matig Goed

Voorbeeldopgaven uit de schaal Bewerkingen Getallen en Basisautomatismen optellen-aftrekken getalrelaties optellen-aftrekken Overige 10 t/m 14 1 t/m 9 Overige 7 t/m 14 1 t/m 6 Overige 2 en 4 t/m 10 1 en 3

Overige 7 t/m 9 1 t/m 6 Overige 6 t/m 9 1 t/m 5 Overige 5 en 6 1 t/m 4

Overige 13 en 15 t/m 18 1 t/m 12 en 14 Overige 13 t/m 17 1 t/m 12 overige 1 en 3 t/m 12 2

(*) Interpretatie Onvoldoende = Minder dan 50% kans op succes / Minder dan 5 van de 10 opgaven van het betreffende type goed Matig = Tussen 50% en 80% kans op succes / Tussen 5 en 8 van de 10 opgaven van het betreffende type goed Goed = Meer dan 80% kans op succes / Meer dan 8 van de 10 opgaven van het betreffende type goed

Voortgang bij (hoofd)rekenen met pen en papier De meest gevorderde leerlingen van de laagste vaardigheidsgroep beheersen opgaven met bewerkingen zoals die van voorbeeldopgaven 1 t/m 9 goed. Het zijn optelen aftrekproblemen en kale rekensommen met onderstaande typen optellingen, stipsommen en aftrekkingen:         

68 - 60 36 - 25 / 25 + .. = 36 50 + 45 30 + 5 + 15 + 20 97 - 70 34 + 58 63 - 5 100 - 12 50 - 25 / 25 + .. = 50

De voorgelegde problemen confronteren de leerling met alle geleerde betekenissen en vormen van optellen en aftrekken: – –

wat optellen betreft: (i) samennemen, (ii) erbij doen en (iii) vergelijken; wat aftrekken betreft: (i) afhalen, (ii) combineren/vol maken, (iii) scheiden en (iv) vergelijken.

Bewerkingen zoals die van voorbeeldopgaven 10 t/m 14 (zie figuur 6.4) liggen in de zone van naaste ontwikkeling (matige beheersing).

160

Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool

De percentiel-25 leerling beheerst de zes eerste typen bewerkingen goed en die van voorbeeldopgaven 7 t/m 14 matig, terwijl de percentiel-10 leerling alleen bewerkingen als 68 - 60 en 50 + 45 uit de voorgelegde verzameling goed beheerst. Deze leerling heeft echter maar tussen 50% en 80% kans om de getallen van de voorbeelden 2 en 4 t/m 10 correct te bewerken. Bouwstenen van rijgen en splitsen Figuur 6.2 brengt de vormen van tientallig optellen en aftrekken van de geconstrueerde sequentie in beeld (zie hoofdstuk 4) die direct aansluiten bij het tellen van hoeveelheden. We sporen de bouwstenen ervan op in de schriftelijke toetsresultaten. NV

RIJGEN

SPLITSEN

5

Met samengestelde getallen

Mengvorm splitsen-rijgen

4

Met tienvouden na de sprong

Optelen/aftrekken met eenheden van 10 en

3

Met telstappen Figuur 6.2 Vormen van optellen en aftrekken die leerlingen in de eerste en tweede fase van optellen en aftrekken tot honderd kunnen uitvinden

Niveau 3 - Verkort tellen. Conceptueel gezien, doet verkort rijgen een beroep op de wetenschap dat twee gehele getallen bij elkaar opgeteld een nieuw geheel getal vormen (inclusierelatie; associatieve eigenschap van optellen) en dat de volgorde van de getallen er niet toe doet (commutatieve eigenschap). De leerling moet ook de structuur kennen in het systeem van de telwoorden, dat wil zeggen, weten dat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 telkens met de tientallen 10, 20, 30, etc. worden gecombineerd. De gemakkelijkste opgaven van de schaal Getallen en getalrelaties doen een beroep op deze inzichten. De leerling moet getallen als 7 en 60 samennemen en, omgekeerd, getallen met de termen van een som weergeven, bijvoorbeeld 45 als 5 + ?. Instrumenteel gezien kunnen leerlingen pas vlot op dit niveau rijgen als zij vanuit een willekeurig getal met één verder kunnen tellen en terugtellen, al dan niet met behulp van een of andere visualisering van de gemaakte telstappen. De opgaven, waarbij de leerling een reeks telwoorden moet voortzetten (77, 78, 79, …; 83, 82, 81…) vergen meer vaardigheid dan bovenstaande taken. Leerlingen, die op en onder het niveau van de percentiel-10 leerling opereren, beheersen nu deze vier typen opgaven nog maar matig. Dit betekent dat de groep 10% laagst presterende leerlingen nog niet beschikt over alle basale bouwstenen voor rekenen tot 100. Niveau 4 – Rijgen via het tiental. Conceptueel gezien, doet rijgen via het tiental een beroep op de volgende kennis van getallen: 1. Elk geheel getal bestaat uit de unieke combinatie van een aantal tientallen en aantallen eenheden. 2. Alle getallen kunnen

161

Hoofdstuk 6

met de combinatie van de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, en 9 worden gesymboliseerd. 3. Uit de unieke combinatie van tientallen en eenheden volgt dat elk getal ook een unieke plaats heeft in de tientallige herhalingstructuur van de telrij. Instrumenteel gezien moet de leerling (i) vlot binnen een interval van tien kunnen optellen en aftrekken en (ii) vanaf een willekeurig tiental, 10 verder en tien terug kunnen springen, zoals hieronder aangegeven: Basisautomatismen binnen een interval van 10 – 24 + ? = 30 en 30 – 6 = ? bij de eerste stap (vol maken en leeg maken van een tiental); – 60 + 2 = ? en 60 - 2 bij de laatste stap (bewerking van de 2e term van de afgesplitste eenheden) Optellen en aftrekken met tien via – verder tellen: 30, 40, 50, etc. – terugtellen: 80, 70, 60, etc. Taken zoals die van voorbeeldopgave 2, 6, 7 en 11 van de schaal Getallen en getalrelaties doen een beroep op het vereiste getalbegrip en de daarbij horende telvaardigheden. Voorbeeldopgaven 1, 5 en 8 doen op hun beurt een beroep op het gebruik van de decimaal-positionele opbouw van gehele getallen en/of hun plaats binnen de intervallen van tien, om getallen te ordenen of te positioneren en om schattingen te beoordelen. Ze geven in die zin de nodige aanvullende informatie. De percentiel-10 leerling kan nu een viertal samengestelde getallen in oplopende volgorde ordenen (voorbeeldopgave 1) en het aantal bepalen van afgebeelde hoeveelheden die in groepen van 10 zijn geordend (voorbeeldopgave 2). Deze leerling kan echter een willekeurig aantal objecten en maten zoals 34 pennen en 73 euro nog maar matig met zoveel eenheden van tien en zoveel lossen samenstellen (voorbeeldopgaven 6 en 7). Dit maakt het verschil uit met de percentiel-33 leerling, die de eerste zes voorbeeldopgaven van de schaal Getallen en getalrelaties al beheerst. Uit de opgaven van de schaal Basisoperaties en Bewerkingen kan worden opgemaakt dat de percentiel-10 leerling, in tegenstelling tot de percentiel-25 leerling, ook niet over alle instrumentele voorwaarden beschikt. Hij kan foutloos binnen zeven seconden 32+8 uitrekenen (voorbeeldopgave 2), maar vergist zich regelmatig bij aftrekkingen als 70-7 vanaf een tiental (voorbeeldopgave 7). Voor beide types basisoperaties geldt, dat vaardige tellers er uit komen door telkens met één te tellen (verder en terug). Leerlingen die het dubbeltellen minder goed beheersen, maken meer kans om fouten te maken naarmate ze een langere afstand verder en vooral terug moeten tellen. Deze resultaten betekenen dat leerlingen die onder het niveau van de percentiel-33 leerling opereren in die fase verkeren waarin de bouwstenen voor rijgen op basis van afstandrelaties tussen gehele getallen worden geconstrueerd. De beheersing van onderstaande opgaven van de schaal Bewerkingen maakt aannemelijk dat ze, op een

162


relatief korte rijgafstand, met telstappen binnen en over een interval kunnen rekenen en deze stappen van één efficiënt met de 10-sprong weten te combineren:      

52 + 7 en 56 - 5 18 + 8; 38 + 6; 50 + 19 en 50 + 45 (voorbeeldopgave 3) 74 + .. = 80 en 25 + .. = 36 (voorbeeldopgave 2) 10 + 45 + 10 30 + 5 + 15 + 20

Niveau 4 – Startniveau van splitsen: optellen en aftrekken met tienen en lossen. Conceptueel gezien doet splitsen zonder tientaloverschrijding een beroep op hetzelfde begrip van tellen en van gehele getallen als rijgen via het tiental. Deze manier van optellen en aftrekken vergt echter het inzicht dat men de tientallen en eenheden van twee getallen ‘apart’ bij elkaar kan optellen, omdat elk geheel getal de som is van een veelvoud van 10 en 1:    

12 + 14 12 = 10 + 2; 14 = 10 + 4  12 + 14 is evenveel als (10 + 10) + (2 + 4) 36 - 25 36 = 30 + 6; 25 = 20 + 5  36 - 25 is evenveel als (30 - 20) + (6 - 5)

De optelling 50 + 45 van voorbeeldopgave 3 en de aftrekking 36 - 25 van voorbeeldopgave 2 van de schaal Bewerkingen laten zien dat een leerling over de vier ondertaande automatismen moet beschikken om op deze manier te kunnen optellen en aftrekken: –

Getallen decimaal afsplitsen: 50 + 45  50; 45 = 40 + 5 36 - 25  36 = 30 + 6 en 25 = 20 + 5

–

Optellen en aftrekken van tientallen 50 + 45  50 + 40 via 60(1), 70(2), 80(3), 90(4) 36 - 25  30 - 20 via 20(1), 10(2)

–

Optellen en aftrekken onder de 10, (a) tellend, (b) met ondersteuning van vingerbeelden of (c) direct en indirect met parate feitenkennis: 50 + 45  5 + 0 = 5 36 - 25  6 – 5 = 1

–

Samen nemen van tientallen en eenheden: 50+45  90+5=95 36-25  10+1=11

Een leerling kan elk van deze rekenhandelingen tellend (met één of met tien) uitvoeren, inclusief het samennemen van tientallen en eenheden. De beheersing van onderstaande opgaven van de schaal Bewerkingen maakt aannemelijk dat deze

163

Hoofdstuk 6

procedure daarom zeer toegankelijk is en dus ook zeer aantrekkelijk voor de 10% minst vaardige leerlingen.      

5 + 73; 52 + 7 en 56 - 5; 24 + 24, 12 + 14, 44 + 43 50 + 45 (voorbeeldopgave 3), 55 + 20 en 45 - 30 37 - 20, 82 - 40, 68 - 60 (voorbeeldopgave 1) 10 + 45 + 10 30 + 5 + 15 + 20

Bovenstaande resultaten betekenen dat de minst gevorderde leerlingen op een elementair niveau minimaal over drie hoofdrekenprocedures kunnen beschikken: 1. verkort tellen, 2. rijgen via het tiental en 3. optellen en aftrekken met tienen en enen. Niveau 5 – Direct springen met tien. Conceptueel gezien doet direct rijgen met de 10sprong een beroep op het inzicht dat “tien verder” neerkomt op één tiental bij het betreffende aantal optellen (tien ‘meer’) en “tien terug” op de omgekeerde handeling: één tien van het aantal aftrekken (tien ‘minder’). De ordening van de getallen 1 t/m 100 in rijen van 10 (100-veld) geeft toegang tot deze structuur en relatie. Afgezien van de opgaven waarbij de leerling getalpatronen als 46, 56, 66 … en 85, 75, 65, …moet voortzetten, zijn geen taken voorgelegd die dit inzicht in de eigenschap van de optelling en aftrekking meten. Deze opgaven geven nu aan dat de percentiel-10 leerling, in tegenstelling tot de percentiel-25 leerling, nog niet in staat is om willekeurige reeksen van dit type te reconstrueren. Het feit dat deze leerlingen bij de rekendictees optellingen als 78 + 10 en aftrekkingen als 88 - 10 uit de schaal Basisoperaties wel correct uitrekenen, maakt aannemelijk dat ze het inzicht in de wiskundige structuur van de getalpatronen missen. Instrumenteel gezien, doet direct rijgen met de 10-sprong een beroep op optelen aftrekken binnen en over een interval van 10, die onder andere met onderstaande voorbeeldopgaven van de schaal basisautomatismen zijn getoetst: –

Basisautomatismen binnen een interval van 10 type 62 + 7 8] 58 - 4 en 12] 79 - 5

–

Basisautomatismen over een interval van 10 13] 45 + 9 en 19] 98 + 7 16] 92 - 6

Het aftrekken van eenheden van een samengesteld getal vergt meer of minder vaardigheid, afhankelijk van de getallen. Zo is de aftrekking 79 - 5 (5 als kern van 9) moeilijker dan 58 - 4 (8 als dubbel 4). De percentiel-25 leerling kan al vlot binnen een interval optellen en aftrekken. Hij moet vooral over een tiental leren aftrekken. Dit maakt het verschil met de percentiel-10 leerling die de meeste instrumentele voorwaarden nog moet verwerven.

164


Zoals aangegeven bij de aanvang van deze beschrijving, beheerst de percentiel-25 leerling de eerste zes voorbeeldopgaven van de schaal Bewerkingen. De percentiel-33 leerling beheerst ook de hierna volgende drie opgaven goed en voorbeeldopgaven 10 t/m 14 matig. De getallen die de leerling in die gevallen moet bewerken, lenen zich bij uitstek voor direct rijgen met 10 over een afstand die groter is dan 10. Dit maakt aannemelijk dat deze leerlingen in elke geval op dit niveau de tientallen kunnen bewerken, ook al moet ze de eenheden nog tellend of via het tiental, toevoegen / afhalen.        

97 - 70 34 + 58 50 - 25 of 25 + .. = 50 12 + 24 + 36 54 - 30 85 + .. = 100 56 - .. = 34, 34 + .. = 56 of 56 – 34 = 87 + .. = 96 / 96 - 87 =

Uit bovenstaande resultaten kunnen twee conclusies worden getrokken: 1.

2.

De groep 10% laagst presterende leerlingen beschikt niet over de voorwaarden om een grotere afstand met opeenvolgende sprongen van 10 te rijgen, noch om een groot aantal eenheden bij een samengesteld getal op te tellen of ervan af te trekken. Leerlingen verwerven hoe langer hoe meer de vereiste voorwaarden. Ze blijven echter lang afhankelijk van verder tellen en terug tellen om eenheden over een tiental af te trekken of op te tellen. Dit betekent dat ze, door de telfouten en vergissingen die ze kunnen maken, nog lang een foutief antwoord kunnen geven. Dit geldt zowel voor de percentiel-25 leerling als voor de meeste gevorderde leerling van de laagste vaardigheidsgroep.

Niveau 5 – Rijgen in combinatie met splitsen. De fundamentele verandering ten opzichte van splitsen op niveau 4 is dat de leerling op niveau 5 verschil maakt tussen 1. optellingen die 1 t/m 9 eenheden opleveren (50+45) en optellingen die 10 of meer eenheden geven (34 + 58) 2. aftrekkingen die wel en niet gaan (36 - 25 versus 62 - 48). Leerlingen die met een realistische methode leren rekenen, komen daar achter via het uitbeelden van rekensituaties (zoals die van de voorbeeldopgaven van de schaal Bewerkingen) met decimale hulpmiddelen als dozen van 10 stuks, namaakgeld en MABblokjes en staven. Ze leren hiermee rijgen met splitsen te combineren om het overschot / het tekort aan eenheden op te lossen. Conceptueel gezien, doet deze procedure een beroep op het begrip van wat er met de tientallen en eenheden van een samengesteld getal gebeurt, als men zoveel eenheden bij dit getal optelt of juist ervan aftrekt:

165

Hoofdstuk 6

– – –

Wanneer verandert alleen het aantal eenheden? Wanneer verandert ook het aantal tientallen? Waarom? En: hoe?

Er zijn geen opgaven voorgelegd die direct informatie verschaffen over het verworven inzicht in dit positionele aspect van optellen en aftrekken. Echter, op voorbeeldopgave 6 na, liggen alle opgaven van de schaal Bewerkingen met een overschot of tekort aan eenheden in of buiten de zone van de naaste ontwikkeling van de leerlingen uit de groep Laag (zie voorbeeldopgave 7, 8, 10, 11, 12, 14; 15, 16, 17 en 18). Dit maakt aannemelijk dat deze leerlingen nog niet het vereiste niveau van decimaalpositioneel denken hebben bereikt. Instrumenteel gezien vergt deze combinatie geen specifieke feitenkennis, noch rekenautomatismen. Dit betekent dat het begrip van de positionele eigenschappoen van optellen en aftrekken doorslaggevend is voor het nemen van deze drempel. Conclusie ten aanzien van de leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep In de resultaten van de groep leerlingen met de laagste vaardigheid bij de onderwerpen Bewerkingen, Getallen en getalrelaties, Basisautomatsimen en Bewerkingen, tekent zich, concluderend, de volgende trend af: –

–

–

–

De eerste 10% leerlingen van de laagste vaardigheidsgroep beschikt over de conceptuele en instrumentele bouwstenen die hen in staat stelt om optelen aftrekopgaven 1. verkort tellend, 2. springend met 10 in de telrij via een tiental en 3. optellend en aftrekkend met tienen en enen op te lossen. Deze leerlingen kunnen in principe ook vanaf een mentaal aantal direct met sprongen van 10 optellen en aftrekken, mits de rijgafstand niet al te groot is. Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep, die dit niveau overstijgen, beschikken wel over de voorwaarden om inzichtelijk en vlot met de 10-sprong te rijgen, ook al zullen ze regelmatig de eenheden tellend of via het tiental moeten bewerken. Instrumenteel gezien is de percentiel-25 leerling toe aan de combinatie van rijgen met splitsen. Er zijn echter aanwijzingen dat deze leerling nog niet het vereiste niveau van positioneel denken heeft bereikt dat toegang geeft tot rijgen in combinatie met splitsen. Er zijn ten slotte sterke aanwijzingen dat de percentiel-33 leerling grotendeels de vereiste bouwstenen heeft verworven om met de twee rijgprocedures en de combinatie van rijgen met splitsen te kunnen hoofdrekenen.

Het vervolg van deze rapportage beschrijft de bouwstenen die leerlingen met meer vaardigheid hebben verworven.

166


6.2.2

Ontwikkelingsniveaus binnen middelste vaardigheidsgroep (P33P66)

Tabel 6.2 toont de mate waarin de percentiel-33, percentiel-50 en percentiel-66 leerling voorbeeldopgaven uit de rapportage van de 4e rekenpeiling beheerst. De opgaven die de meest gevorderde leerlingen van deze middengroep beheersen, zijn afgebeeld in figuur 6.4. De opgaven die in hun zone van naaste ontwikkeling liggen, behoren tot de verzameling opgaven van figuur 6.5, die de ‘voorlopers’ halverwege de basisschool al beheersen. Tabel 6.2 – Voortgang van percentiel-33, -50 en -66 leerlingen in het getalgebied tot 100

Referentieleerling P66

P50

P33

Mate van beheersing Onvoldoende Matig Goed Onvoldoende Matig Goed Onvoldoende Matig Goed

Voorbeeldopgaven uit de schaal Bewerkingen Getallen en Basisautomatismen optellen-aftrekken getalrelaties optellen-aftrekken 18 15 t/m 17 1 t/m 14 18 15 t/m 17 1 t/m 14 Overige 10 t/m 14 1 t/m 9

Overige 9 t/m 12 1 t/m 8 Overige 7 t/m 11 1 t/m 6 Overige 7 t/m 9 1 t/m 6

20 en 21 19 1 t/m 18 Overige 15 t/m 18 1 t/m 14 Overige 13 en 15 t/m 18 1 t/m 12 en 14

Voortgang bij (hoofd)rekenen met pen en papier Voorbeeldopgaven 10 t/m 14 enerzijds en 15 t/m 17 anderzijds geven een idee van het verschil in kennis en vaardigheid tussen de minst en de meest gevorderde leerling van de middengroep. De percentiel-66 leerling beheerst de eerste cluster voorbeeldopgaven goed, terwijl de percentiel-33 leerling deze typen opgaven nog maar matig beheerst. De ‘voorlopers’ van deze middengroep zijn toe aan de taken van voorbeeldopgaven 15 t/m 17, die (ver) buiten het bereikt van de ‘achterlopers’ liggen. In de rapportage van de Balans wordt de vaardigheid van de gemiddelde leerling tegen die van de percentiel-75 leerling afgezet, die tot de groep leerlingen met de hoogste vaardigheid behoort. Voorbeeldopgaven 15 t/m 17 uit figuur 6.5 maken dit verschil zichtbaar, zoals dit verder in deze rapportage wordt beschreven. Bouwstenen van rijgen, splitsen en beredeneren Figuur 6.3 brengt de twee nieuwe vormen van rijgend en splitsen optellen en aftrekken en de informele vorm van beredeneren, die in de tussenfase van leren rekenen onder de honderd worden uitgevonden, in beeld. We gaan, zover de toetsresultaten dat

167

Hoofdstuk 6

toelaten nu na of de middengroep over voorwaardelijke kennis en vaardigheden beschikt. Zodra de leerling beseft dat het oplossen van optelen aftrekproblemen neerkomt op het ‘uitbeelden’ van de relatie tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van een contextopgave met min of meer vertrouwde optellingen en aftrekkingen, openbaart zich een nieuwe wereld. Leerlingen bereiken dit niveau eerder of later, naarmate zij meer getallen in netwerken van optelen aftrekrelaties organiseren, op basis van het verworven inzicht in (i) de structuren van de natuurlijke getallen, (ii) de analogie tussen rekenen tot 100 en rekenen onder de 10 onder door de decimaal-positionele eigenschappen van de getallen en (iii) de eigenschappen van optellen en de inverse relatie met aftrekken. Nv

Rijgen

6

Met niet-tientallig getallen

5

Met samengestelde getallen

afgesplitste

Splitsen

Beredeneren

Met positiewaarden

Puzzelen met optelfeiten

Mengvorm splitsen-rijgen

Figuur 6.3– Hoger gelegen vormen van hoofdrekenen

Niveau 6 – Rijgen met niet-decimaal afgesplitste getallen. Conceptueel gezien kunnen leerlingen pas op dit niveau rijgen als zij zich realiseren dat optellen en aftrekken neerkomt op het symboliseren van de relatie tussen aantallen (objecten of maten) met bekende optelen aftrekrelaties. Onderstaande voorbeelden illustreren dit: – –

58 + 34 via 58 + 30 = 88  88 + 4= 92 62 - 48 via 62 – 40 = 22  22 – 8 = 14

Dit type berekeningen houdt in dat de leerling: – – –

getallen als term van een afsplitsing (c = a + b), een optelling (a + b = c) of aftrekking (c – b = a of c – a = b) beschouwt, deze getallen zodanig afsplitst dat ze in een optelling of aftrekking aan elkaar kunnen worden gekoppeld, hiertoe gebruik maakt van (i) de dubbelen vijf-structuur van de getallen in combinatie met de factor tien (analogie met afsplitsen en samenstellen onder de 10) en (ii) de associatieve en commutatieve eigenschap van optellen.

In die zin rijgt de leerling die dit niveau heeft bereikt met termen van rekensommen en niet meer met aantallen op basis van afstandsrelaties tussen natuurlijke getallen. De schaalopgaven geven vier aanwijzingen over het vaardigheidsniveau dat een leerling moet bereiken om zo te kunnen denken, rekenen en symboliseren:

168


– – – –

de relatie tussen decimaal afsplitsen, optellen en aftrekken; het flexibel samenstellen van getallen, het gebruik van de analogie tussen samenstellen (optellen) en afsplitsen (aftrekken) met eenheden en dezelfde operaties met tientallen en het netwerk van getalrelaties die de leerling heeft ontwikkeld.

Taken als die van voorbeeldopgave 2 van de schaal Getallen en getalrelaties (80 = 30 + ..) toetsen direct het basale begrip van (i) decimaal afsplitsen, (ii) de relatie tussen ‘afsplitsen’, ‘optellen’ en ‘aftrekken’, (iii) de associatieve en commutatieve eigenschap van optellen en (iv) de analogie met rekenen onder de tien. Een leerling kan de tweede term op verschillende niveaus vinden. Hij kan verder tellen met tien, redeneren op basis van onderstaande vingerbeelden (analogie van 80 = 30 + … met 8 als 5 + 3) of feitenkennis (het moet 50 zijn want 80 = 50 + 30) of puur gewoon ‘weten’ dat het 50 is. – – – –

80 = 30 + 50 precies zoals 8 = 3 + 5 (vijf als kern van het getal) 60 = 30 + 30 precies zoals 6 = 3 + 3 (dubbel) 70 = 30 + 40 precies zoals 7 = 3 + 4 (bijna dubbel) 100 = 20 + 80, precies zoals 10 = 2 + 8 (afsplitsingen van 10)

De percentiel-25 leerling kan dit type afsplitsingen al foutloos oplossen. Twee andere typen afsplitsingen van de rekenschaal vergen veel meer vaardigheid. Afsplitsingen als 45 = 30 + .. liggen binnen het vaardigheidsbereik van de gemiddelde leerling, afsplitsingen als 100 = 53 + … binnen dat van de percentiel-75 leerling. Rekenkundig gezien zit het verschil in de combinatie van tientallen en eenheden. Op het laagste niveau (80 = 30 + ..) ‘ breekt’ en ‘maakt’ de leerling tientallen vanuit de analogie met optellen en aftrekken onder de 20. Op het tussenniveau (45 = 30 + ..) moeten leerlingen deze wetenschap en kunde combineren met hun inzicht in de positionele structuur van samengestelde getallen. Afsplitsen op het hoogste niveau (100 = 53 + …) vergt het begrip van het effect van het optellen en aftrekken van eenheden op gehele getallen. Deze schaalopgaven geven nu aan dat halverwege de basisschool de percentiel-25 leerling het laagste niveau heeft bereikt, de gemiddelde leerling het tussenniveau en de percentiel-75 leerling het hoogste niveau. Een aantal opgaven van de schaal Getallen en getalrelaties doet een beroep op het samenstellen en herstructureren van getallen met verschillende eenheden. Ze liggen allemaal in het vaardigheidsbereik van de groep leerlingen met de hoogste rekenvaardigheid. Voorbeeldopgave 12 is er daar een van. Deze doet een beroep op het inzicht in de decimaal-positionele vermenigvuldigstructuur van gehele getallen en de associatieve eigenschap van vermenigvuldigen: 68 is niet alleen 60 + 8, opgevat als (6 x 10) + (8 x 1). In deze context, is 68 ook evenveel als 50 + 18, gezien als (5 x 10) + (3 x 6). Halverwege de basisschool hebben alleen de meeste gevorderde leerlingen (≥ P90) dit niveau van getalbegrip en structurering bereikt.

169

Hoofdstuk 6 Getallen en getalrelaties

11]

12]

7] 75 euro is _____ briefjes van 10 en _____ euro’s. 8] Rik heeft 100 punten en Saskia 85. Hoeveel punten heeft Rik meer?

4 kinderen raden hoeveel ballen in de bak zitten. In de bak zitten 88 ballen. Wie raadt het best? 9]

Opa wordt 65. Oma wil daarom 65 ballonnen loslaten. Hoeveel zakken van 10 ballonnen moet ze dan kopen?

Basisautomatismen 13] 45 + 9 = _______ 15] 60 – 35 = _______ 16] 92 – 6 = _______ 17] 75 – 25 = _______

13]

Kevin heeft 56 knikkers. Na een paar spelletjes met zijn vriendje Pol heeft hij er nog 34 over. Hoeveel knikkers heeft Kevin verloren? 14]

18] 80 – 34 = _______ Deze 4 kisten zijn vol. De groenteboer doet alle appels in zakken van 5. Hoeveel volle zakken kan hij maken?

Bewerkingen 10]

10]

Liam koopt deze 3 fotorolletjes. Hoeveel foto's kan ze De pijl wijst de plaats van een getal hiermee maken? op de getallenlijn aan. 11] Welk getal is dat? Kies uit: A 72 B 78 C 82 D 87

Eva was vorig jaar 87 centimeter lang. Ze is nu 96 centimeter. Hoeveel centimeter is ze gegroeid?

Hoeveel kilo weegt Vincent? Figuur 6.4 – Voorbeeldopgaven op beheersingsniveau van de percentiel-66 leerling

Rekenen met getallen als termen van een optelling (c.q. aftrekking) houdt bij de eerste rekenstap in dat de leerling optelen aftrekrelaties van het type 58+30=88 en 62-40=22 inzet. Door de eenheden van de eerste term even weg te denken, kunnen leerlingen de bruikbare afsplitsing herkennen: 88 = 58 + 30 in het geval van 58 + 30 =

170


88 en 62 = 40 + 22 in het geval van 62 – 40 = 22, daarbij denkend aan 80 = 50 + 30 (8 = 5 + 3) en 60 = 40 + 20 (6 = 4 + 2). Deze operaties zijn opgenomen in de toets Basisoperaties, en in Balans 31 met onderstaande voorbeeldopgaven 4, 7 en 8 en 10 geïllustreerd: 4] 84 - 40 10] 56 - 50 7] 48 + 40 en 8] 27 + 50 Ook voor deze operaties geldt, dat de leerling op verschillende manieren en niveaus het correcte antwoord kan vinden. Hij kan: –

de eerste term in tientallen en eenheden afsplitsen, de tientallen apart bewerken en de eenheden eraan toevoegen (drempel 4-5 van splitsen) 84 = 80 + 4  80 - 40 via 70, 60, 50, 40  40 + 4 = 44

–

de eenheden even wegdenken, met 10-sprong verder tellen en terugtellen, en de eenheden aan het laatst uitgesproken tiental toevoegen (drempel 4 van rijgen) (84)  (80)  70, 60, 50, 40  44

–

vanaf de eerste term direct verder springen en terugspringen met 10 (drempel 5 van rijgen) (84)  74, 64, 54, 44

–

structurerend optellen en aftrekken naar analogie met optellen en aftrekken tot 10 (de zesde drempel van rijgen): 84 – 40 = 44, denkend aan 84 = 44 + 40, al dan niet via 84 = 80 + 4, dus 84 = 40 + 40 + 4

Uit de geobserveerde oplossingswijzen zal moeten blijken vanaf welk vaardigheidsniveau een leerling vlot naar analogie kan rijgen. De percentiel-25 leerling kan, hoe dan ook, de vier voorbeeldopgaven foutloos reconstrueren (ruim 80% kans op succes), de percentiel-10 leerling nog niet (tussen 60% en 70% kans op succes). Dit ondersteunt de conclusie van de vorige paragraaf ten aanzien van het verschil in begrip en vaardigheid tussen deze referentieleerlingen. Concluderend maken deze resultaten aannemelijk dat leerlingen die onder het niveau van de gemiddelde leerling opereren nog onvoldoende de voorwaarden realiseren om vlot te kunnen optellen en aftrekken met getallen als knooppunten van optelen aftrekrelaties. Het vervolg van deze rapportage sluit aan bij de eerste aanwijzing dat de percentiel-66 leerling, op grond van het verworven begrip van getallen, optellen en aftrekken, daar wel toe in staat is en hierdoor ook om met positiewaarden op te tellen en af te trekken.

171

Hoofdstuk 6

Niveau 6 Optellen en aftrekken met tientallen en eenheden als positiewaarden. Het is het begrip van het effect van het optellen en aftrekken van eenheden, dat de combinatie van rijgen met splitsen overbodig maakt. Wanneer de optelling meer dan 10 eenheden oplevert, kan men 10 eenheden door een tiental vervangen. Andersom, wanneer er te weinig eenheden zijn, kan men een tiental ‘openen’. Er komen dan 10 ‘extra’ eenheden, genoeg om 1 t/m 9 af te trekken. Dit vormt de conceptuele stap bij de overgang niveau 5 naar niveau 6 bij de formalisering van splitsen. In de realistische methoden komen leerlingen hier achter via het uitbeelden van hiertoe ontworpen optelen aftrekproblemen met de decimale hulpmiddelen die bij de combinatie van rijgen met splitsen zijn geïntroduceerd. Deze vorm van splitsen met tientaloverschrijding vergt, bij gevallen als 58 + 34 en 62 - 48, het volgende begrip van gehele getallen en optellen: a.

Elk getal bestaat uit de unieke combinatie van tientallen en eenheden (decimaal-positionele structuur van getallen en associatieve eigenschap van optellen) 58 = 50 + 8 en 34 = 30 + 4 62 = 60 + 2 en 48 = 40 + 8

b.

Elke optelling / aftrekking kan daarom volgens deze structuur worden afgesplitst (associatieve eigenschap van optellen); 58 + 34 = (50 + 30) + (8 + 4) 62 - 48 = (60 - 40) + (2 - 8)

c.

Tientallen laten zich, precies zoals de getallen 2 t/m 9 samenstellen en afsplitsen volgens dubbelen vijfstructuur van de getallen en analogie tussen optellen onder de 10 en optellen onder de 100): 58 + 34  50 + 30 = 80, zoals 5 + 3 = 8 62 - 48  60 – 40 = 20, zoals 6 - 4 = 2

d.

Als de som van de eenheden groter is dan tien, telt men één tiental bij het totaal aantal tientallen op (overdracht van de kleinere eenheden naar de grotere) en voegt daarna de overgebleven eenheden toe. Als er te weinig eenheden zijn, kan men er tien extra krijgen, door één tiental van het grootste getal te openen: 58 + 34  8 + 4 = 12  80 + 12 = 80 + 10 + 2 = 92 62 - 48  2 - 8 gaat niet  ik neem 10 van de 60: 12 – 8 = 4  de 20 wordt 10  10 + 4 =14

In de realistische methoden wordt het openbreken van één tiental van het aftrektal om 10 eenheden vrij te maken echter niet geleerd. Daarvoor in de plaats leren de leerlingen met ‘tekorten’ af te trekken, zoals hieronder geïllustreerd. Deze manier van

172


splitsend doet een beroep op een elementaire notie van negatieve getallen en de basisautomatismen van aftrekken over de nul: –

Aftrekken met tekort: 62- 48 = via 60 – 40 = 20  2 – 8 = -6  20 – 6 = 14 2 - 8 via 2 – 2 = 0 en 8 = 2 + 6  6 te weinig Drie clusters opgaven uit de rekendictees van de schaal Basisoperaties die hieronder met voorbeeldopgaven zijn geïllustreerd doen hoe dan ook een beroep op drie aspecten van het decimaal positioneel-denken met de tientallen 10 t/m 90 en de getallen 1 t/m 9 als positiewaarden:

–

Tientallig-positioneel afsplitsen en optellen, rekening houdend met het ontstaan van een tiental (inwisselen van 10 eenheden voor een tiental) 14] 45 + 55 = 100 want (50 + 40) + (5 + 5) = 100  100 = 55 + 45 of 100 = 45 + 55 20] 63 + 37 = 100 want (60 + 30) + (3 + 7) = 100  100 = 63 + 37 of 100 = 37 + 63

–

Tientallig-positioneel afsplitsen en aftrekken, rekening houdend met het tekort aan eenheden (eenheden van de tientallen aftrekken) 15] 60 – 35 = 25 want evenveel als (60 - 30) - 5  60 = 35 + 25 of 60 = 25 + 35 18] 90 – 34 = 56 want evenveel als (90 - 30) - 4  90 = 56 + 34 of 90 = 34 + 56

–

Gebruik van de passende optelling (inverse relatie tussen optellen en aftrekken) 17] 75 – 25 = 50 want 75 = 50 + 25

De rekensommen uit bovenstaande voorbeeldopgaven 14 en 20, 15 en 18 en 17 behoren nu tot de moeilijkste taken van de schaal Basisautomatismen. De percentiel-66 leerling kan al deze typen optellingen en aftrekkingen, op het moeilijkste type na (63 + 37 =), foutloos binnen 7 seconden reconstrueren. De gemiddelde leerling beheerst het type 45 + 55 goed en de overige typen matig tot onvoldoende. Al deze basisoperaties liggen, op die van voorbeeldopgave 14 na, buiten het vaardigheidsbereik van de percentiel-33 leerling. Aftrekkingen als 60 - 35 en 90 - 34 (vanaf een tiental) zijn ook in aftrekproblemen van de schaal Bewerkingen voorgelegd. In voorbeeldopgave 9 is 50 - 25 gecontextualiseerd, in voorbeeldopgave 11 de aftrekking 54 - 30. De percentiel-33 leerling heeft in beide typen situaties veel meer kans op succes dan onder de conditie van het rekendictee. Dit maakt aannemelijk dat sommige leerlingen niet splitsen maar rijgen en dat de splitsers,

173

Hoofdstuk 6

onder de gewone afnamecondities, meer tijd nemen dan de zeven beschikbare seconden tijdens de rekendictees. In contextproblemen zoals die uit voorbeeldopgaven 12, 14, 18 kan een leerling een aftrekking herkennen en deze rekensom splitsend proberen uit te rekenen. In dit geval moeten leerlingen, evenals bij kale aftrekkingen als 76-48, rijgen met splitsen combineren of met tekorten rekenen (c.q. een tien openen om 10 eenheden vrij te maken). Deze opgaven lenen zich ook stuk voor stuk voor een of andere manier van rijgen. Al deze voorbeelden geven de volgende informatie over de verschillen in niveaus binnen de middengroep. Leerlingen tussen percentiel-50 en percentiel-66 kunnen nu opgaven als de voorbeeldopgaven 9 t/m 14 foutloos uitrekenen. Ze beheersen kale aftrekkingen als 76-48 nog maar matig en hebben minder dan 50% kans om problemen als die van voorbeeldopgave 18 correct op te lossen. Voorbeeldopgave 9 markeert het beheersingsniveau van percentiel-66 leerlingen, zoals voorbeeldopgaven 16 en 18 de grens van hun kennis en bekwaamheid duiden. Bovenstaande resultaten scherpen, concluderend, het beeld van de verschillen binnen de middelste vaardigheidsgroep aan. Ze maken aannemelijk dat een leerling minstens de kennis en bekwaamheid van de gemiddelde leerling moet verwerven om op niveau 6, met getallen als positiewaarden, dan wel knooppunten van optelen aftrekrelatie op te tellen en af te trekken. Niveau 6 - Puzzelen met optelfeiten. Op dit startniveau van beredeneren reconstrueren leerlingen de optelling of de stipsom die zij in een opgave herkennen met elementen van parate optelfeiten. De twee onderstaande voorbeelden illustreren hoe zij losse termen en sommen, als stukken van een puzzel, tot de optelling / stipsom van de opgave combineren: 25 + .. = 50 via 40 + 10 = 50 20 + 20 = 40 10 + 10 = 20 5 + 5 = 10 20 + 5 = 25 25 + 25 = 50

24 + .. =40 via 20 + 4 = 24 20 + 20 = 40 16 + 4 = 20  24 + 16 = 40

Conceptueel gezien kunnen leerlingen die op dit niveau rijgen en splitsen ook hun parate feitenkennis op deze manier gebruiken. Zij weten immers 1. dat elk getal de som is van positiewaarden, 2. dat optellen associatief en commutatief is en 3. dat aftrekken het omgekeerde is van optellen. De enige extra kennis is het besef dat men op basis van deze drie elementen elke willekeurige (indirecte) optelling met rekenfeiten kan ‘maken’, precies zoals men elk willekeurig getal met twee andere getallen kan ‘maken’. Dit bepaalt dan of een leerling wel of niet het initiatief neemt om deze stap te

174


nemen. De kans dat leerlingen dat doen neemt rekenkundig gezien toe naar mate zij meer getallen in hun mentaal netwerk van optelen aftrekrelaties integreren. Conclusie ten aanzien van de leerlingen uit de middengroep In bovenstaande resultaten tekent zich, concluderend een tweedeling af. Leerlingen die onder het niveau van de gemiddelde leerling opereren beschikken nog niet over de vereiste voorwaarden om het rijgen met sprongen te verdichten tot optellen-aftrekken met niet-decimaal afgesplitste getallen. Ze missen ook de bouwstenen om de drempel van optellen-aftrekken met positiewaarden te kunnen nemen. Leerlingen die dit niveau overstijgen zijn daar op (zeer) korte termijn wel aan toe. Ze volgen de percentiel-66 leerling op de voet, die nu al op grond van het verworven begrip van getallen, optellen en aftrekken op dit niveau onder de honderd rekenen. Hieronder beschrijft het derde deel van de rapportage de vorderingen in de eindfase van het leerproces.

6.2.3

Ontwikkelingsniveaus binnen de hoogste vaardigheidsgroep (>P66)

Voortgang bij (hoofd)rekenen met pen en papier Tabel 6.3 toont de mate waarin de percentiel-66, percentiel-75 en percentiel-90 leerlingen voorbeeldopgaven uit de rapportage van de 4e rekenpeiling beheersen. De opgaven die de ‘voorlopers’ halverwege de basisschool beheersen, zijn afgebeeld in figuur 6.5. Tabel 6.3 – Voortgang van percentiel-66, -50 en 90 in het getalgebied tot 100 Percentielleerling

Mate van beheersing* Onvoldoende

P90

Matig Goed

P75

P66

Voorbeeldopgaven Bewerkingen Volledige beheersing

Getallen en Getalrelaties

Basisautomatismen

Geen

21

13 en 14

20

1 t/m 12

1 t/m 19

Onvoldoende

Geen

14

21

Matig

18

10, 12 en 13

19 en 20

Goed

1 t/m 17

1 t/m 9 en 11

1 t/m 18

Onvoldoende

18

Overige

20 en 21

Matig

15 t/m 17

9 t/m 12

19

Goed

1 t/m 14

1 t/m 8

1 t/m 18

De percentiel-90 leerling beheerst alle voorgelegde opgaven van de schaal Bewerkingen goed. Voorbeeldopgaven 15 t/m 18 duiden het verschil aan tussen deze leerling en de percentiel-66 leerling, waaronder de kale aftrekking 76-48 die tot de cluster moeilijkste

175

Hoofdstuk 6

opgaven van aftrekken tot honderd behoort. Alle bewerkingen doen een beroep op hoofdrekenen met tientaloverschrijding. De percentiel-75 leerling doet nauwelijks onder voor de voorlopers. Bewerkingen zoals die uit voorbeeldopgave 18 (81 - 58, dan wel 58 + .. = 81 of 81 - .. = 58) duiden het verschil aan met de percentiel-90 leerling. Bouwstenen van rijgen, splitsen en beredeneren In de laatste fase van de formalisering comprimeren leerlingen hun rijghandelingen tot bepaalde manieren van ‘maken’ en ‘breken’ van getallen (niveau 8). Tegelijkertijd, passen zij, op niveau 7, de uitgevonden vormen van rijgen met niet-tientallig afgesplitste getallen aan voor de bewerking van (ronde) getallen met drie cijfers. Zij leren in die fase ook formeler te herleiden, eerst via het compenseren en vervolgens via het transformeren van bekende (c.q. meer toegankelijke) optellingen (c.q. aftrekkingen). Getallen en getalrelaties

14]

17]

12]

De getallenlijn van 0 tot 100 is verdeeld in 4 stukken. Welk getal moet bij de pijl staan?

De kaasboer zet de 68 eieren in dozen. Hij maakt 5 dozen van 10 vol. Basisautomatismen De rest zet hij in dozen van 6 eieren. 19] 98 + 7 = _______ Hoeveel dozen van 6 zijn dat? 13]

20] 63 + 37 = _______

De lap stof is 100 centimeter lang. Moeder knipt een stuk stof af dat 48 centimeter lang is. Hoe lang is het stuk dat ze overhoudt? 18]

Bewerkingen 15]

De broek is goedkoper Hoeveel kilometer is het van Port geworden. naar Wos? Hoeveel euro is de broek Vader heeft deze bonnen voor goedkoper geworden? zijn verjaardag gekregen. 16] 76 – 48 = _______ Voor hoeveel euro kan hij boeken kopen? Figuur 6.5 – Moeilijkste opgaven die de percentiel-90 leerling beheerst

176


Leerlingen die met een realistische methode leren rekenen, schakelen ook in deze fase over van splitsend hoofdrekenen met positiewaarden naar - onder elkaar algoritmisch optellen en aftrekken met positiecijfers, via het zogenoemde kolomsgewijs optellen en aftrekken. Het schema van figuur 6.6 brengt deze vorderingen in beeld. Voor zover de schaalgegevens dit toelaten, schetst onderstaande beschrijving de voortgang in de verwerving van de bouwstenen van deze vormen van optellen en aftrekken. Niveau 7 – Kolomsgewijs optellen en aftrekken. Het onder elkaar opschrijven van de getallen maakt aanvankelijk het verschil tussen splitsen op niveau 6 en splitsen op niveau 7. Echter, naarmate leerlingen in het hoofd vaker tientallen en eenheden optellen (5 + 3 = 8 en 6 – 4 = 2 i.p.v. 50 + 30 = 80 en 60 -40 = 20), nemen zij meer en meer afstand van rekenen met getalwaarden. Leerlingen, die ook op deze manier driecijferige getallen proberen te bewerken, doorzien de analogie en opereren in die zin op een hoger niveau. Nv

Rijgen

Splitsen

Beredeneren

8

Formeel

Met positiecijfers

Transformeren

7

Idem in combinatie met de factor 10

Kolomsgewijs

Compenseren

6

Met niet-tientallig afgesplitste getallen

Met positiewaarden

Puzzelen met optelfeiten

Figuur 6.6 Vormen van optellen en aftrekken die leerlingen in de laatste fase van optellen en aftrekken tot 100 kunnen uitvinden

Er zijn geen (clusters) opgaven uit de schalen Getallen en getalrelaties en Basisautonatismen die specifieke informatie geven over de mate waarin de leerlingen, halverwege de basisschool, toe zijn aan deze vorm van onder elkaar optellen en aftrekken met positiewaarden. De geobserveerde oplossingswijzen zullen de ontbrekende informatie moeten verschaffen. Niveau 7 – Herleiden via compenseren. Leerlingen zijn, conceptueel gezien, toe aan compenseren zodra zij zich realiseren dat zij de rekensom die zij in een opgave herkennen, kunnen reconstrueren door de termen ervan te vergelijken met die van een rekensom die zij kennen. Het mes snijdt aan twee kanten: de leerling hoeft niet meer de termen van meer optelfeiten te puzzelen en kan bovendien ook parate aftrekfeiten inzetten om op een vergelijkbare manier onbekende aftrekkingen uit te rekenen. We zagen in hoofdstuk 4 dat leerlingen aanvankelijk vooral (omgekeerd) dubbelen (c.q. bijna dubbelen) inzetten en later ook optellingen en aftrekkingen met een rond getal als tweede of eerste term. Deze opgaven zijn echter over de gehele schaal verspreid. Ook voor deze opgaven geldt, dat de mondelinge oplossingen moeten aangeven in hoeverre leerlingen uit de lagere en middelste vaardigheidsgroepen

177

Hoofdstuk 6

sommige rekenfeiten op deze manier inzetten. Dit geldt ook voor transformeren op niveau 8. Niveau 8 – Herleiden via transformeren. Zodra leerlingen begrijpen welke handelingen een optelling (c.q. aftrekking) veranderen en welke niet en waarom dat zo is, kunnen zij de rekensom van de opgave direct herleiden tot een gelijkwaardige rekensom, door beide termen systematisch te veranderen. Voorbeeldopgaven 6 en 16 uit schaal Bewerkingen laten zich, onder andere, op deze manier uitrekenen: 6] 16]

34 + 58  32 + 60 = 92 76 - 48  78 – 50 = 28

Omdat dergelijke gevallen over de gehele schaal verspreid liggen, zullen de oplossingswijzen moeten aantonen of en hoe goed sommige leerlingen op dit hoogste niveau van beredeneren kunnen hoofdrekenen. Niveau 8 - Gestandaardiseerd rijgen. Op het meest formele niveau van rijgen rekent de leerling met zo weinig mogelijk optellingen of aftrekkingen. Dit komt neer op het handig ‘maken’ of ‘breken’ van getallen uit de beschikbare relatienetten:

Rekentechnisch gezien bewerkt de leerling de eenheden naar analogie met optellen en aftrekken over de tien. Dit maakt, instrumenteel gezien, het verschil met structurerend rijgen op niveau 6, waarbij de leerling de eenheden met telstappen of via het tiental optelt of aftrekt. Onderstaande voorbeeldopgaven illustreren de typen voorwaardelijke operaties die met de rekendictees zijn getoetst: –

aftrekken over de 10 1] 6] 11]

–

12 - 7 14 - 7 15 - 8

optellen en aftrekken over een tiental en zelfs 100 13] 16] 19]

45 + 9 92 - 6 98 + 7

178


De schaalopgaven geven nu aan dat alle leerlingen die op en boven het niveau van de gemiddelde leerling presteren vlot met een tiental kunnen optellen en aftrekken. Dit vormt de eerste aanwijzing van het vereiste vaardigheidsniveau om, rekentechnisch gezien, op het hoogste niveau te kunnen rijgen. Niveau 8 – Algoritmisch optellen en aftrekken met positiecijfers. Deze vorm van optellen en aftrekken valt buiten het onderzoeksgebied. Er zijn ook geen opgaven voorgelegd met de intentie om deze vaardigheid te toetsen. Er zijn enkele berekeningen van dit type geobserveerd. Die zullen in hoofdstuk 7 worden besproken. Conclusie ten aanzien van de leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep Uit bovenstaande resultaten kunnen drie conclusies worden getrokken: – –

–

–

de meest gevorderde leerlingen hebben de geïdentificeerde bouwstenen verworven; leerlingen die op en boven het niveau van percentiel-75 opereren, beschikken over de belangrijke bouwstenen die toegang bieden tot de meest formele vorm van rijgen; leerlingen die onder het gemiddelde presteren, lopen het risico om op niveau 6 te blijven steken, door hun gebrekkige automatisering van optellen en aftrekken over een tiental. op basis van de schaalopgaven kunnen we geen uitspraken doen over de bouwstenen van splitsen en beredeneren.

Zoals aangegeven in de inleiding van deze rapportage beperken we ons, wat de getallen en optellen-aftrekken tot duizend betreft, tot de beschrijving van de trend in de resultaten bij de onderwerpen Bewerkingen, Getallen en getalrelaties en Basisoperaties. Deze trend wordt hieronder geschetst met de voorbeeldopgaven van balans 31.

6.3

Vaardigheidsniveau bij elementair hoofdrekenen onder de duizend

Tabel 6.4 brengt de toename in de beheersing van de voorgelegde opgaven uit het domein van de Bewerkingen, de Getallen en getalrelaties en de basisautomatismen tot 1000 in beeld. We schetsen in het vervolg wat de drie vaardigheidsgroepen halverwege de basisschool zoal weten en kunnen. We beginnen met de laagste vaardigheidsgroep.

6.3.1

Niveau van de laagste vaardigheidsgroep

Figuur 6.7 toont de voorbeeldopgaven uit de schalen Bewerkingen, Getallen en getalrelaties en Basisautomatismen, die voorlopers uit de laagste vaardigheidsgroep goed beheersen

179

Hoofdstuk 6

(minstens 80% kans op succes). Deze leerlingen kunnen bovendien al met een redelijke kans op succes een deel van de opgaven van figuur 6.8 maken, die de voorlopers van de middengroep al beheersen. Tabel 6.4 – Voortgang van de referentieleerlingen in het getalgebied tot 1000 Referentieleerling

P90

P75

P66

P50

P33

P25

P10

Mate van beheersing

Voorbeeldopgaven uit de schaal Bewerkingen optellen-aftrekken

Getallen en getalrelaties

Basisautomatismen optellen-aftrekken

Onvoldoende

Geen

Geen

21

Matig

15 t/m 18

8 en 9

20

Goed

1 t/m 14

1 t/m 7

1 t/m 19

Onvoldoende

Overige

Geen

Overige

Matig

6 t/m 14

7 t/m 9

19 en 20

Goed

1 t/m 5 en 9

1 t/m 6

1 t/m 18

Onvoldoende

Overige

Overige

Overige

Matig

6 t/m 10

7

19

Goed

1 t/m 5

1 t/m 6

1 t/m 18

Onvoldoende

Overige

Overige

Overige

Matig

6 t/m 10

4 t/m 7

15 t/m 19

Goed

1 t/m 5

1 t/m 3

1 t/m 14

Onvoldoende

Overige

Overige

Overige

Matig

1 en 3 t/m 5

2 t/m 6

11 t/m 15

Goed

2

1

1 t/m 10

Onvoldoende

Overige

Overige

Overige

Matig

1 en 3 t/m 5

2 t/m 4

7 en 8 t/m 15

Goed

2

1

1 t/m 6 en 8

Onvoldoende

Overige

Overige

Overige

Matig

1 t/m 3

1

5 t/m 10

Goed

Geen

Geen

1 t/m 4

Uit de voorbeelden van de toets Getallen en getalrelaties kan worden afgeleid dat deze leerlingen het volgende al redelijk goed tot goed kunnen: – – – – –

ronde getallen als 220 en 280 op een tientallig gemarkeerde getallenlijn kunnen plaatsen; aantallen als 450 planten, met eenheden van 100 en 10 samenstellen; het aantal objecten dat in rijen van 10 is geordend, bepalen; iets, dat 799 euro kost, met briefjes van 100 betalen; 1000 met twee veelvouden van tien samenstellen.

180

Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool Getallen en getalrelaties

Basisautomatismen

1] Trek een lijn van het kaartje 280 naar de goede plaats op de getallenlijn.

1] 30 + 120 = _______

8] 130 – 40 = _______

2] 300 + 500 = _______

9] 70 + 80 = _______

3] 150 – 30 = _______

10] 500 – 90 = _______

4] 800 – 400 = _______

Bewerkingen

5] 200 – 50 = _______

2] 425 + 150 = _______

6] 70 + 70 = _______ Figuur 6.7 (Getalgebied tot 1000) - Voorbeeldopgaven in die de percentiel-33 leerling beheerst

De kale optellingen en aftrekkingen van de schaal Basisautomatismen die deze leerlingen in zeven seconden denktijd correct reproduceren, geven een idee van de typen afsplitsingen van getallen die ze in optelen aftreksituaties kunnen inzetten. Ze staan hieronder op een rijtje: –

Getalbeelden van tientallen 1] 150 als 120 + 30 3] 180 als 150 + 30 5] 200 als 150 + 50 en 7] 770 als 750 + 20

–

Getalbeelden van 2 t/m 9 als 2] 500 + 300 en 4] 400 + 400

–

Dubbelen 6] 140 als 70 + 70

–

Analogie met optellen over de tien 8] 130 als 70 + 40 en 9] 150 als 70 + 80

–

Ronde afsplitsingen van veelvouden van 100 10] 500 als 410 + 90

Op basis van bovenstaande kennis en rekenvaardigheid kunnen de meest gevorderde leerlingen de gemakkelijkste opgaven van de schaal Bewerkingen met minstens 80% kans op succes oplossen. Deze contextproblemen en formele rekensommen doen een beroep op de volgende typen bewerkingen: –

elementair optellen binnen of over één interval van 100 1] 675 - 40 2] 425 + 150

–

elementair optellen met veelvouden van 25 3] 175 + 125

181

Hoofdstuk 6

–

aanvullen / aftrekken over de 100 4] 90 + .. = 102; 102 – 90 =

–

aanvullen vanaf een veelvoud van honderd / aftrekken van een veelvoud van honderd 5] 300 + .. = 465; 465 – 300 =

In paragraaf 6.2.3 is aangegeven dat leerlingen op niveau 7 van de geconstrueerde sequentie hun hoofdrekenprocedures aanpassen voor de bewerking van getallen met drie cijfers. Op grond van bovenstaande resultaten kan nu worden aangenomen dat de voorlopers uit de laagste vaardigheidsgroep in deze fase zijn beland. Hun getalbegrip, kennis van de herhalingstructuur van de telrij en rekenautomatismen stellen deze leerlingen op zijn minst in staat om met tientallen en honderdtallen als knooppunten te rijgen en met positiewaarden - zonder overschrijdingen – op te tellen en af te trekken. Het verschil met de 10% minst gevorderde leerlingen is aanzienlijk. Het gros van de voorgelegde opgaven ligt namelijk buiten het vaardigheidsbereik van deze groep. De optellingen en aftrekkingen van de eerste vier voorbeeldopgaven uit het onderwerp Basisautomatismen weerspiegelen wat ze van de getallen tot 1000 weten en hoe ze deze kennis bij optellen en aftrekken kunnen inzetten.

6.3.2

Niveau van de middengroep

De voorbeeldopgaven van figuur 6.8 weerspiegelen de kennis en bekwaamheden van de middengroep in het getalgebied tot 1000. De gemiddelde leerling onderscheidt zich van de voorlopers uit de laagste vaardigheidsgroep door een ruimere kennis en vermoedelijk begrip van de decimaalpositionele opbouw van de getallen, in relatie tot hun plaats in de telrij enerzijds (voorbeeldopgaven 2 en 3 van het onderwerp Getallen en getalrelaties) en hun mogelijke afsplitsingen in twee termen van een optelling of een aftrekking anderzijds (voorbeeldopgaven 5 t/m 14 van het onderwerp basisautomatismen). Deze extra kennis en vaardigheid maakt het verschil met de groep Laag bij elementair hoofdrekenen met driecijferige getallen. Een gemiddelde leerling beheerst de bewerkingen die de eerste vijf voorbeeldopgaven oproepen al goed en heeft bovendien al (ruim) 50% kans om die van voorbeeldopgaven 6 t/m 10 correct op te lossen: 6] In context: 360 - 250, dan wel 360 - .. = 250 of 250 + .. = 360 7] In context: 325 + 175 8] Kaal: 620 - 370 9] In context: 275 + .. = 350, dan wel 350 - 275 10] Kaal: 700 - 32

182

Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool Getallen en getalrelaties

Bewerkingen

6]

2]

1] 675 – 40 = _______ 3]

Het getal op het middelste kaartje ligt precies in het midden tussen 280 en 320. Welk getal is dat? Schrijf dat getal op het kaartje 3] Musab doet 450 plantjes in dozen van 100 en dozen van 10. Hij gebruikt zoveel mogelijk dozen van 100. Hoeveel dozen van 100 en hoeveel dozen van 10 heeft hij nodig? _______ dozen van 100 en _______ dozen van 10 4] In de filmzaal staan 13 rijen stoelen. In elke rij staan 10 stoelen. Hoeveel stoelen staan er in totaal?

Je betaalt met briefjes van honderd. Hoeveel briefjes heb je nodig? Er zijn 175 meisjes en 125 jongens lid van ‘Op rolletjes’. Basisautomatismen Hoeveel kinderen zijn dit in totaal? 7] 720 + 50 = _______ 4] 11] 30 + 570 = _______ 12] 143 + 7 = _______ 13] 800 – 10 = _______ 14] 800 – 70 = _______

5]

15] 690 – 300 = _______

820

630 260 530

470

16] 80 + 580 = _______ 17] 825 + 75 = _______ 18] 620 – 60 = _______

Twee van deze getallen zijn samen evenveel als 1000. Welke getallen zijn dat? _______ en _______

102 wielrenners doen mee aan de wedstrijd. 90 renners zijn al over de top van de berg gereden. Hoeveel wielrenners moeten nog over de top rijden?

Figuur 6.8 (Getalgebied tot 1000) – Voorbeeldopgaven die de percentiel-66 leerling beheerst

Voor deze bewerkingen geldt, dat de leerling met honderdtallen als knooppunten kan rijgen of met positiewaarden kan optellen en aftrekken. Leerlingen die positioneel rekenen, moeten dan wel ‘inwisselen’ en met een tekort of via het openen van een honderdtal aftrekken. De voorlopers uit de middengroep overstijgen slechts gradueel het niveau van de gemiddelde leerling. Ze beheersen alle typen opgaven van figuur 6.4 goed en hebben meer kans op bij hoger gelegen opgaven van figuur 6.6.

6.3.3

Niveau van de hoogste vaardigheidsgroep

De voorbeeldopgaven van figuur 6.9a en figuur 6.9b geven een idee van de voortgang van de leerlingen met de hoogste vaardigheid in het getalgebied tot 1000. De voorbeeldopgaven uit de toets Getallen en getalrelaties geven de volgende informatie. Deze leerlingen:

183

Hoofdstuk 6

– – –

kennen de herhalingstructuur van de telrij en tot minstens 10 000; weten hoe getallen tot 1000 worden gemaakt en met de cijfers 0 t/m 9 worden genoteerd en kunnen tellen, afpassen, samenstellen met losse eenheden in combinatie met veelvouden van tien en honderd.

Getallen en getalrelaties 7]

8]

Meneer Koppels bestelt 160 liter aarde. Hoeveel zakken van 20 liter zijn dat? 9]

In elke la liggen nu 25 kralen. Sonia doet er in elke la 20 kralen bij. Hoeveel kralen zitten daarna in de 4 laden samen?

Basisautomatismen 19] 259 + 8 = _______ 20] 670 + 55 = _______ 21] 570 + 540 = _______ Hoeveel schriften zijn dit bij elkaar? Figuur 6.9a (Getalgebied tot 1000) - Voorbeeldopgaven in het vaardigheidsbereik van de 33% meest gevorderde leerlingen (groep Hoog)

Deze leerlingen beheersen vrijwel alle opgaven van de toets Basisautomatismen. Dit betekent dat ze al goed vertrouwd zijn met de structuren van driecijferige getallen en met de analogie tussen optellen-aftrekken onder de tien en optellen-aftrekken met tientallen en eenheden. De typen bewerkingen die ze al goed (voorbeeldopgave 8) en matig (voorbeeldopgave 16) beheersen doen een beroep op dit getalbegrip en inzicht in de decimaal-positionele eigenschappen van optellen, zoals hieronder geïllustreerd: 6] 360 – 250 via 360 – 200 = 160  160 – 50 = 110 of via 300 – 200 = 100  60 – 50 = 10  110 7] 325 + 175 via 325 + 75 = 400  400 + 100 = 500 of via  325 + 100 = 425  425 + 75 = 500  300 + 100 = 400  75 + 25 = 100  400 + 110 = 500 16] 620 – 370 via 620 – 300 = 320  320 – 70 = 300 – 50 = 250 of via  620 – 70 = 550  550 – 300 = 200  600 – 300 = 300  60 - 50 is 10 tekort  300 – 10 = 290 want 290 + 10 = 300

184

Vaardigheidsniveaus en bouwstenen halverwege de basisschool Bewerkingen

11]

15]

6]

Het vliegtuig maakt een duik van 360 meter naar 250 meter in de lucht. Hoeveel meter is het gedaald? 7] Hoeveel zeehonden telde men dit jaar? 8] 620 – 370 = _______

Met het schoolreisje gaan 296 kinderen mee. Er gaan 3 leerkrachten, 5 moeders en 4 vaders mee. Voor iedereen wordt een zakje brood gemaakt. Hoeveel zakjes brood moeten er gemaakt worden? 12] Het hoogste gebouw is 250 meter hoog. Het laagste gebouw is 189 meter hoog. Hoe groot is het verschil? 13]

9]

Minka mag 350 gram drop kopen. Ze heeft al 275 gram in het zakje gedaan. Hoeveel gram mag er nog bij?

Laurie koopt deze fiets. Voor haar oude fiets krijgt zij € 75,- terug. Hoeveel moet ze nog bijbetalen? 14] Bonga had vorig jaar 930 inwoners. Nu zijn het er 142 minder. Hoeveel inwoners heeft Bonga nu?

Hoeveel euro is de stereo-set goedkoper geworden? 16]

620 kinderen hebben gestemd. 370 kinderen willen eerst een zwembad. De andere willen eerst een speelplein. Hoeveel kinderen willen eerst een speelplein? 17] In een frisdrankfabriek vulde de machine 1475 flessen per uur. De machine is verbeterd en vult nu 1600 flessen per uur. Hoeveel flessen zijn dat per uur meer? 18]

10] 700 – 32 = _______ Dit huis is in 2000 opgeknapt. Hoeveel jaar was het huis toen oud? Figuur 6.9b (Getalgebied tot 1000) - Voorbeeldopgaven in het vaardigheidsbereik van de 33% meest gevorderde leerlingen (groep Hoog)

De percentiel-75 leerling kan in tegenstelling tot de gemiddelde leerling en de voorlopers van de middengroep (i) getallen als achttienhonderd al correct interpreteren en met cijfers noteren, (ii) veelvouden van 20, 50 en 100 correct op een duizendlijn plaatsen en herkennen en (iii) meer getallen samenstellen en uit elkaar halen. Dit stelt hen in

185

Hoofdstuk 6

principe in staat om ronde getallen als knooppunten te gebruiken voor het uitbeelden van veranderingen en relaties als die van bovenstaande voorbeeldopgaven 6 en 7.

6.3.4

Conclusie

Het geheel overziend, kunnen we concluderen dat het verschil in voortgang tussen de minst en de meest gevorderde leerling halverwege de basisschool wel erg groot is. Op basis van het getalbegrip, het inzicht in optellen en aftrekken, de feitenkennis en de basisautomatismen die de 10% laagst presterende leerlingen hebben verworven, kunnen deze leerlingen slechts op een basaal niveau hoofdrekenen. Het komt neer op verkort tellen, rijgen via het tiental of direct met één 10-sprong en optellen-aftrekken met honderden, tienen en enen. De voorlopers beheersen optellen en aftrekken tot honderd. Met hun kennis van driecijferige getallen kunnen ze in principe al rijgen met honderdtallen en zelfs getallen als 420 en 570 als knooppunten van aaneengesloten optellingen en aftrekkingen gebruiken en ook met positiewaarden (met overschrijding van eenheden) optellen en aftrekken. De overige leerlingen opereren daar tussen, langs de verschillende niveaus van de geconstrueerde sequentie van leren hoofdrekenen (zie hoofdstuk 4), naarmate ze over de specifieke kennis en bekwaamheden waar de verschillende klassen bewerkingen een beroep op doen, beschikken. Zo ver reikt de kwantitatieve kerninformatie die de 4e PPON rekenpeiling verschaft. Hoofdstuk 7 zal de rekenvormen die de leerlingen feitelijk gebruiken in beeld brengen.

6.4

Onderwijsresultaten en aanbod van de leraar

Welke van de bovenstaande resultaten komen overeen met het aanbod dat de leraren zeggen te geven? Deze paragraaf geeft, voor zover dat mogelijk is, antwoord op deze derde vraag van de didactische doorlichting van de data van de 4e PPON rekenpeiling. De gebruikte gegevens zijn ontleend aan de rapportage van de analyseresultaten van de aanbodpeiling66. Drie aspecten van het aanbod zijn voor de kwalitatieve analyse van de hoofdrekenbekwaamheid relevant, namelijk 1. de gebruikte rekenmethode en de omgang met deze methode, 2. de toegepaste differentiatie en 3. de introductie en vorm van algoritmisch rekenen. De relevante informatie wordt in deze volgorde gepresenteerd.

66

Zie hoofdstuk 3 van balans 31 van de PPON reeks (Kraemer e.a. 2005).

186


6.4.1

Gebruikte rekenmethoden en omgang met de eigen methode

De relevante informatie uit de balans laat zich als volgt samenvatten. Gebruikte rekenmethoden De invoering van de euro heeft veel scholen aangespoord om snel een nieuwe rekenwiskundemethode aan te schaffen. Een jaar na de invoering, wordt in ruim 80% van de steekproef van scholen in de onderbouw een nieuwe euro-rekenmethode gebruikt. De grootste groep deelnemende scholen werkt met Pluspunt (50%). De Wereld in Getallen komt op de tweede plaats (ruim 20%), op enige afstand gevolgd door de methode Rekenrijk (ongeveer11%). Andere methoden worden op minder dan 5% van de PPON-scholen gebruikt. Er is een relatie tussen de gebruikte methode en de schoolpopulatie. De nieuwste (euro)versies van Pluspunt en De wereld in getallen komen relatief vaker voor in scholen van stratum 167 dan in scholen van stratum 3 en omgekeerd, terwijl leraren van stratum 3-scholen vaker Wis & Reken en Alles telt noemen. De laatste nieuwe methode Rekenrijk wordt ook vaker genoemd in stratum 1- en stratum 2- scholen dan in scholen van stratum 3. Omgang met de methode In alle drie de jaargroepen zegt meer dan 90% van de leraren dat zij de methode vrijwel in hun geheel volgen. De overige leraren geven aan dat zij sommige elementen weglaten. Leraren die specificeren wat ze dan doen, zeggen dat zij minder oefenstof aanbieden, vanwege tijdgebrek en/of omdat leerlingen dat soms niet nodig hebben. Er wordt, hoe dan ook, geen leerstofonderdeel van het onderwijsaanbod structureel weggelaten. Leraren onderwijzen kortom in de regel wat er in hun methode staat. Relatie aanbod-onderwijsresultaten In alle gebruikte methoden wordt de realistische lijn van hoofdrekenen gevolgd. Dit betekent dat de leerlingen eerst met tweecijferige getallen leren rijgen, vervolgens splitsen en ten slotte beredeneren. Een leerling krijgt tot eind jaargroep 6 de tijd om het hoogste niveau van hoofdrekenen onder de 100 te bereiken. Rijgen met driecijferige getallen vangt gewoonlijk aan in de tweede helft van jaargroep 5. Naarmate de leerlingen vorderen, leren ze ook kolomsgewijs en beredenerend op te tellen en af te trekken. De resultaten maken nu een evident verschil zichtbaar tussen de voortgang en de prestaties in het getalgebied tot 100 en in het getalgebied tot 1000. Dit betekent dat de

67

Stratum 1: schoolscore ≤ 1.00; Stratum 2: schoolscore 1.01 – 1.20; Stratum 3: schoolscore >1.20 (vooral Nederlandse arbeiderskinderen en allochtone kinderen

187

Hoofdstuk 6

resultaten van de leerlingen sterk overeenstemmen met het aanbod van de realistische methoden in het domein van de gehele getallen en de hoofdrekenbewerkingen.

6.4.2

Toegepaste differentiatie

In de gebruikte aanbodvragenlijst is de leraren gevraagd aan te geven welke van de vier voorgelegde organisatievormen het meest overeen kwam met wat zij deden. Tabel 6.5 toont de sterke tendens om alleen de verwerking en de oefenstof te differentiëren. Deze voorkeur komt overeen met de zogenoemde ‘differentiatie in voorkeur en niveau’ die de auteurs van de realistische methoden aanbevelen. Leerlingen krijgen de ruimte om de rekenvorm te kiezen die zij in de gegeven rekencontext vertrouwen. Niet iedereen hoeft op hetzelfde moment, op dezelfde manier en op hetzelfde niveau van formalisering te rekenen. Leraren volgen kortom, ook wat de instructie en maatwerk betreft, hun methoden. Tabel 6.5 - Differentiatievormen (% leraren) Differentiatievormen 1. In het algemeen krijgen alle leerlingen tegelijk dezelfde instructie en maken zij ook dezelfde oefenstof. 2. De instructie is in het algemeen voor alle leerlingen gelijk; bij de verwerking van de oefenstof wordt gedifferentieerd naar niveau en/of tempo. 3. De instructie wordt per niveau- of tempogroep gegeven, eventueel met verdere differentiatie bij de verwerking van de oefenstof 4. De instructie wordt individueel gegeven en ook de oefenstof wordt per leerling bepaald.

Jg

%

3

31,6

4

20,5

5

13,5

3

61,9

4

68,5

5

75,9

3

5,8

4

9,9

5

9,9

3

0,7

4

0

5

0,7

In de conclusie van paragraaf 6.2.3 werd vastgesteld dat halverwege de basisschool aanzienlijke verschillende tussen de minst en de meest gevorderde leerlingen zijn ontstaan. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat de tendens om de verwerking en de leerstof te differentiëren leerlingen die meer in hun mars hebben de kans geeft om vooruit te lopen. In die zin zou de sturing van het leerproces de toename van verschillen tussen de minste en de meest gevorderde leerlingen in de hand kunnen werken.

188


6.4.3

Introductie en vorm van algoritmisch rekenen

De leraren van de jaargroepen 4 en 5 hebben aangegeven of, en zo ja, op welk tijdstip ze onder elkaar optellen en aftrekken met positiewaarden (kolomsgewijs rekenen) en/of met positiecijfers (traditionele algoritmen) instrueerden. Tabel 6.6 geeft een beeld van de praktijk. Tabel 6.6 - Introductie kolomswijs en cijferend optellen en aftrekken (% leraren) Rekenvorm

Operatie

1e helft jg 5

2e helft jg 5

Jg 6

Kolomsgewijs

Optellen

12,5

60

28

Aftrekken

7,5

49

44

Optellen

12,9

37

52

Aftrekken

11,1

23,2

65,7

Cijferend

De antwoorden van de vragenlijsten tonen vijf opvallende tendensen (zie pagina 38 en 39 van de balans): 1. Er zijn nauwelijks leraren die al in jaargroep 4 onder elkaar leren optellen en aftrekken. Bijna de helft van de leraren die op dit niveau lesgeeft zegt ook niet te weten welke rekenwijze in de bovenbouw wordt aangeleerd. 2. In jaargroep vijf zegt bijna de helft van de leraren (44%) dat ze beide vormen van rekenen aanbieden. Ongeveer een derde van de respondenten zegt dat alleen de cijferalgoritmen worden aangeleerd, 8% dat alleen kolomsgewijs rekenen wordt geïnstrueerd. De overige leraren weten gewoon niet wat de school in de bovenbouw aanbiedt. 3. Leerlingen algoritmiseren eerst hun optelhandelingen en pas daarna hun aftrekprocedures. 4. Kolomsgewijs rekenen slaat een brug tussen hoofdrekenen en cijferen. 5. Er tekent zich een relatie af tussen de gebruikte methode en de wijze en mate van algoritmisering van optellen en aftrekken (zie pagina 39 van de balans). Een grote groep leraren uit jaargroep 5 die een ‘oude’ methode gebruikt onderwijst alleen het cijferalgoritme (60%); De aantekeningen die de leerlingen in hun toetsboekjes hebben gemaakt, zijn niet systematisch geïnventariseerd. Hierdoor kan geen relatie worden gelegd tussen het aanbod en de onderwijsresultaten. We zullen hiertoe de geobserveerde oplossingswijzen moeten gebruiken.

6.4.4

Conclusie

Bovenstaande informatie van de aanbodinventarisatie geven aanleiding om twee conclusies te trekken. Leerlingen presteren ten eerste in de lijn van het aanbod en de toegepaste sturing van het leerproces. Er zijn daarnaast ook aanwijzingen dat

189

Hoofdstuk 6

schoolteams van elkaar verschillen in de mate waarin ze afspraken maken over algoritmiseren in de bovenbouw en over het tijdstip van aanbieding van onder elkaar rekenen, naast of in het verlengde van hoofdrekenen aanbieden, met of zonder kolomsgewijs rekenen als overgangsvorm. De kwalitatieve analyse van de oplossingen moet nu overtuigende aanwijzingen voor de werking van deze onderwijsfactoren verschaffen.

190

Hoofdstuk 7 Gebruikte methoden en vormen van aftrekken

7.1

Inleiding

In het voorgaande hoofdstuk zijn de verschillen in vaardigheidsniveau tussen de leerlingen in kaart gebracht. In dit hoofdstuk bespreken we nu hoe leerlingen rijgen, splitsen en beredeneren, bij het oplossen van een reeks aftrekopgaven die grotendeels in hun vaardigheidsbereik liggen. De aandacht gaat uitsluitend uit naar de gebruikte rekenvormen, los van de gevolgde strategie die in het hierna volgende hoofdstuk, in combinatie met de rekenvormen, de volle aandacht zullen krijgen. In onderstaand verslag van de analyse van de gebruikte vormen van rijgen, splitsen en beredeneren, is als volgt rekening gehouden met de invloed van de context en de getallen en met de illustratie ervan in hoofdstuk 8. De verwachte invloed van de context en de getallen op de gebruiksfrequentie van de beschreven vormen is telkens geëxpliciteerd. Ook is per vaardigheidsgroep aangeven in hoeveel opgaven van de gemaakte set de betreffende kenmerken de frequentie van de betreffende vormen kunnen beïnvloeden. De vier onderzoeksvragen luidden als volgt: Ten aanzien van de gebruikte hoofdrekenmethoden: 1. Hoe vaak gebruiken de leerlingen de vier geleerde hoofdrekenmethoden om een opgave van de eigen set op te lossen (gebruiksfrequentie)? 2. Hoe vaak gaat dit gepaard met het vinden van het juiste antwoord? (succes) Ten aanzien van de gebruikte vormen van rijgen, splitsen en beredeneren 3. Met welke vormen van rijgen, splitsen en beredeneren bewerken de leerlingen de getallen van hun opgaven? (vormen / niveau van hoofdrekenen) 4. Volgens welk patroon worden deze vormen gebruikt? En: hoe varieert het succes per niveau van formalisering? In totaal zijn 1852 aftrekoplossingen geanalyseerd en in een van de zes onderscheiden categorieën gecodeerd: (1) rijgen, (2) splitsen, (3) beredeneren, (4)

191

Hoofdstuk 7

weten, (5) anders en (6) rest. De vorm van rijgen, splitsen en beredeneren is vastgesteld op basis van de drie indicatoren die in hoofdstuk 4 zijn geïntroduceerd: 1. de aard van de rekenhandelingen, 2. de onderliggende wiskundige structuur en 3. het gebruikte symboliseringsmiddel. Op basis van deze codering, zijn de oplossingen in klassen gesorteerd die de wijze van rijgen, splitsen en beredeneren zichtbaar maken. Pregnante voorbeelden van elke klasse brengen in dit hoofdstuk de trend in de ontwikkeling van hoofdrekenen in beeld, langs de onderscheiden niveaus van de geconstrueerde sequentie van de formalisering van rijgen, splitsen en beredeneren. We presenteren eerst de gevonden patronen in het gebruik van rijgen, splitsen en beredeneren (en van geheugenfeiten) bij de bewerking van de getallen van de voorgelegde reeksen aftrekopgaven.

7.2

Gebruikte methoden

We brengen eerst de gebruiksfrequentie van de methoden en het succes van de vaardigheidsgroepen in kaart.

7.2.1

Gebruiksfrequentie

We beginnen met de gebruiksfrequenties. De gebruiksfrequenties zijn per groep berekend als het deel van de oplossingen van die groep dat als zodanig is gecategoriseerd. De percentages van tabel 7.1 geven per vaardigheidsgroep aan (1) hoe vaak de betreffende leerlingen de vier onderscheiden hoofdrekenmethoden hebben toegepast (rijgen; splitsen; beredeneren; weten), (2) hoe vaak ze ‘anders’ hebben gerekend en (3) hoeveel oplossingen tot de categorie ‘rest’ behoren (onjuiste schematisering, sturing door de leraar of kan de opgave niet aan). Tabel 7.1 - Gebruiksfrequentie van de geobserveerde hoofdrekenmethoden Rijgen

Splitsen

Beredeneren

Weten

Anders

Rest

Aantal oplossingen

Laag

Groep

57 %

8%

8%

7%

11 %

9%

602

Midden

65 %

17 %

8%

2%

4%

4%

610

Hoog

74 %

11 %

8%

2%

3%

3%

640

Totaal aantal oplossingsprocedures

1852

Het gebruikspatroon laat zich als volgt beschrijven. Rijgen wordt, in alle drie de vaardigheidsgroepen het vaakst gebruikt. De gebruiksfrequentie in de totale onderzoeksgroep bedraagt 63%. Wanneer we dit vergelijken met het springend rekenen op scholen waar het honderdveld, in de jaren tachtig, werd gebruikt (Beishuizen, 1986; Beishuizen en Van Mulken, 1986), ligt het huidige rijgpercentage ongeveer 10% hoger. Leerlingen uit de groep Laag drukken dit

192

Gebruikte methoden en vormen van aftrekken

gemiddelde naar beneden, door het aandeel van twee andere categorieën: direct ‘weten’ en ‘anders’ rekenen. Afgezien van de categorie Anders in de groep Laag, komt Splitsen op de tweede plaats en Beredeneren op de derde. De frequentie van splitsen is gekelderd, in vergelijking met het gebruik van deze methode in de jaren tachtig. Het aandeel van splitsen varieerde, afhankelijk van de gebruikte rekenmethode, tussen 40% en 60%, terwijl de huidige onderzoeksgroep in slechts 12% van de oplossingen heeft gesplitst. Het laagste percentage van 8% in de groep Laag valt op, omdat juist ´rekenzwakke´ leerlingen in die periode sterk geneigd waren om te splitsen (Vuurmans, 1990). Deze tendens lijkt nu verschoven te zijn naar de middengroep (aandeel=17%). Als we het aandeel van Beredeneren en Weten samen nemen, kunnen we vaststellen dat weinig leerlingen de onbekende term van een aftrekopgave direct uit een rekenfeit hebben afgeleid. Het hoogste aandeel van 15% in de groep Laag valt des te meer op, ook al leenden de getallen van de gemaakte reeks opgaven zich vaker voor deze procedure dan de getallen van de reeks die de groepen Midden en Hoog hebben opgelost (zie paragraaf 8.5 en 8.6)68. De oplossingen van de categorieën Anders en Rest zijn uitgebreid behandeld in hoofdstuk [12] van Balans 40 (Kraemer, 2010). Hier volstaan we echter met te constateren, dat het contrast tussen Laag aan de ene kant en Midden en Hoog aan de andere kant zich vermoedelijk laat verklaren door een combinatie van factoren waaronder de taligheid van de aftrekproblemen in relatie tot het verworven inzicht in de aftrekstructuren. Er zijn echter sterke aanwijzingen dat de factor ‘taal’ veel minder een probleem vormt dan wel wordt verondersteld.

7.2.2

Succes

In het onderzoek is nagegaan, hoe vaak het gebruik van de vier methoden van hoofdrekenen gepaard gaat met het vinden van het juiste antwoord. De resultaten worden beschreven in tabel 7.2, waarin de percentages correcte antwoorden binnen de vijf klassen berekeningen van elke vaardigheidsgroep worden weergegeven. De oplossingen van de categorie Rest zijn niet in deze tabel opgenomen, omdat ze per definitie als ‘foutief’ worden beschouwd. Het aantal oplossingen van dit type bepaalt wel mede de gemiddelde totale goedscore van elke vaardigheidsgroep. Zo drukken de 9% restoplossingen van de leerlingen met de laagste vaardigheid hun groepscore ongeveer 6% naar beneden. De analyseresultaten geven nu de volgende aanwijzingen over hoe goed de leerlingen met de gebruikte methoden (hoofd)rekenen. Leerlingen die de getallen van de opgave direct met een rekenfeit associëren, geven in de meest gevallen het correcte antwoord (laag, 96%; midden, 90% en hoog, 100%). Dit geldt ook voor de leerlingen uit de groep Laag (96% goed). Dit gegeven is om twee redenen opmerkelijk. Ten eerste, omdat men in het verleden ‘rekenzwakke’ 68

Deze invloed van de getallen komt uitgebreid aan de orde in hoofdstuk 8.

193

Hoofdstuk 7

leerlingen sterk associeerde met kinderen die eerder ‘mechanistisch’ dan ‘inzichtelijk’ rekenden. Ten tweede, omdat de laag presterende leerlingen van dit onderzoek veel goede antwoorden hebben gevonden via de optelling die bij de aftrekking van de opgave hoorde. Volgens recente bevindingen van onder ander Torbeyns, De Smedt e.a.(2009), gebruiken basisschoolleerling namelijk zelden deze inverse relatie tussen optellen en aftrekken. De onderzoekers identificeerden vier factoren die ongetwijfeld een rol hebben gespeeld: (i) opgavenkenmerken, (ii) het aanbod, (iii) leerlingkenmerken en (iv) de kwaliteit van de instructie. De meta-analyse van beschikbare data over aftrekken via indirect optellen, zoals uitgevoerd door Gilmoer & Papadatou-Pastou (2009), bevestigt de werking van deze factoren. Een van de gevonden patronen maakt de verschillen in aantallen oplossingen van het type ‘weten’ en het hoge aantal correcte antwoorden begrijpelijk. Een contextopgave, al dan niet in combinatie met een afbeelding, bevordert namelijk de associatie van de aftrekking van deze opgave met de passende indirecte optelling. Voor de aftrekopgaven van dit dissertatieonderzoek geldt, dat de getallen van de opgave de invloed van de context kunnen aansterken (of juiste verzwakken), zoals beschreven in hoofdstuk 8. Tabel 7.2 - Percentage correcte antwoorden per gebruikte hoofdrekenmethode Groepen

Rijgen

Splitsen

Redeneren

Weten

Anders

Totaal

Laag

83 %

35 %

50 %

96 %

20 %

63%

Midden

87 %

43 %

63 %

90 %

31 %

71%

Hoog

91 %

58 %

69 %

100 %

24 %

82%

Rijgen gaat in alle drie de vaardigheidsgroepen gepaard met een hoog tot zeer hoog percentage correcte antwoorden. Dit succes komt overeen met het geobserveerde succes in de jaren tachtig. ‘Rijgers’ presteerden toen stelselmatig beter dan ‘splitsers’ (o.a. Beishuizen, 1985, 1989, 1993). De mate van succes bij rijgen komt ook overeen met dat van de leerlingen in de onderwijsexperimenten van de jaren negentig (Selter, 1996; 1997; 2002; Selter & Sundermann, 1997; Klein, 1998; Menne, 2001). Splitsen en Beredeneren worden het minst toegepast maar gaan, verhoudingsgewijs, gepaard met het grootst aantal fouten. Dit is vooral ernstig voor de leerlingen uit de groep Midden, omdat ze relatief vaak splitsen (17% splitsberekeningen). Ze geven in slechts 43% van deze oplossingen het juiste antwoord. Leerlingen uit de middengroep komen beter uit de verf wanneer ze opgaven beredenerend oplossen (63% goed). Dit geldt ook, zij het in mindere mate, voor de leerlingen uit de twee andere vaardigheidsgroepen. Een oplossing valt onder categorie ‘Anders’ als de leerling niet duidelijk kan maken hoe er is gerekend (onherkenbare rekenvorm). Het relatief hoge percentage correcte antwoorden in deze categorie wijst uit, dat leerlingen correct kunnen rekenen, ook al slagen ze er niet in om uit te leggen hoe ze denken en rekenen (c.q. hebben gedacht en gerekend).

194


7.2.3

Patroon

De gebruiksfrequentie van de hoofdrekenmethoden maken vier patronen in de verworven hoofdrekenbekwaamheid aannemelijk. 1. In alle drie de vaardigheidsgroepen rekenen de leerlingen in de lijn van de verwachte invloed van kenmerken van de voorgelegde opgaven (zie hoofdstuk 5). Dit wijst erop dat ze zich sterk door de vorm, de context en/of de getallen van een aftrekopgave laten leiden. We komen hier uitvoerig in hoofdstuk 8 op terug. 2. Leerlingen met een lage vaardigheid rekenen anders tot honderd dan vóór de modernisering van het rekenonderwijs. Ze rijgen beduidend meer en met veel succes. Wanneer ze de aftreksom of stipsom, die ze in een opgave herkennen met een bekend aftrekfeit of de passende optelling direct associëren, doen ze dat meestal goed (zie Weten). Ze proberen zelfs deze som beredenerend te herleiden, wat echter in 50% van de gevallen boven hun wiskundige kracht ligt. 3. Leerlingen uit de middengroep hebben een zekere neiging ontwikkeld om positioneel te rekenen. Het gaat hen echter niet goed af. Ze lijken in die zin op de ‘rekenzwakke’ leerlingen in de jaren tachtig, die een sterke voorkeur hadden voor splitsen, maar bij aftrekken vaak een foutief antwoord gaven door het mechanisch gebruik van een foutieve vorm van splitsen. 4. Leerlingen met de hoogste rekenvaardigheid behalen zeer goede resultaten met de rijgmethode, ook al maken ze relatief veel opgaven met driecijferige getallen die nog weinig (c.q. niet) in de klas aan de orde zijn geweest. Beredeneren en vooral splitsen gaan hen beduidend minder goed af, waardoor de totaal gemiddelde goedscore niet meer dan ‘goed’ is, namelijk 82%, tegen 71% in de middengroep en 63% in de groep Laag. Dit patroon introduceert de laatste conclusie. 5. Zowel de gebruiksfrequentie van rijgen, splitsen, beredeneren en weten als het succes dat de leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen met deze methoden hebben, stemmen overeen met (a) de volgorde van aanbieding in de realistische methoden die leraren gebruiken en (b) de introductie van een of andere vorm van algoritmisch aftrekken. ‘Eerst rijgen, dan splitsen en vervolgens variarekenen’, zo luidt het adagio van de didactici van de TAL-groep (zie paragraaf 3.4.2). Leerlingen uit de middengroep gebruiken deze methoden in aflopende volgorde van frequentie, de overige leerlingen vooral rijgen en beredeneren/weten en daarnaast ook splitsen. Wie algoritmisch rekent, trekt systematisch af, zij het kolomsgewijs, zij het cijferend. Beide type berekeningen vallen onder de categorie ‘splitsen’. Het (zeer) lage percentage splitsoplossingen maakt aannemelijk dat weinig leerlingen algoritmisch aftrekken.

195

Hoofdstuk 7

Al met al rekenen de leerlingen, kort gezegd, in de lijn van de volgorde van aanbieding van hoofdrekenmethoden en de daarop volgende introductie van het algoritmisch rekenen.

7.3

Hoe leerlingen rijgen

Rijgen is de meest gebruikte en de meest effectieve hoofdrekenmethode. We presenteren in deze paragraaf de vormen van rijgen die de drie onderzochte vaardigheidsgroepen hebben gebruikt, het patroon in het gebruik ervan en het succes per niveau van rijgen. Paragraaf 7.4.1 geeft, per vaardigheidsgroep, de rekencondities weer, die de context en de getallen opleggen. Deze informatie helpt om de resultaten van de analyse van de gebruikte vormen van rijgen (paragraaf 7.4.2) en van de variatie in oplossingsniveaus en succes (paragraaf 7.4.3) correct te interpreteren.

7.3.1

Rijgcondities

De leerlingen kunnen een in een context aangeboden aftrekprobleem op drie manieren vertalen in een rekenopgave, door een aftrekking uit de opgave te distelleren, of door er een indirecte optelling, of indirecte aftrekking van de maken (zie paragraaf 5.3). Deze keuze wordt beïnvloed door de context en door de getallen in de opgave. Sommige opgaven lenen zich meer voor aanvullen/ indirect optellen, andere meer voor aftrekken/indirect aftrekken. De gemaakte keuze heeft gevolgen voor de complexiteit van de bewerking die vervolgens uitgevoerd moet worden (zie 5.3). De situatie is wat dit betreft niet voor alle leerlinggroepen gelijk, omdat de opgavensets voor de groepen laag, midden en hoog zijn in dit opzicht niet identiek zijn. De voorbeelden van tabel 7.3 illustreren hoe een leerling de tekst en context van een aftrekprobleem verschillend kan interpreteren en de getallen van de opgave anders in relatie tot elkaar kan brengen, waardoor de getallen ook anders rijgend kunnen worden bewerkt. Deze voorbeelden laten goed zien dat de leerling meer of minder getallen aan elkaar koppelt (c.q. meer of minder sprongen van 10 en telstappen moet maken), afhankelijk van (a) de grootte van de aftrekker en van het verschil tussen de het aftrektal en de aftrekker getallen van de opgave en (b) de gekozen modellering: een stip om bij indirect optellen / aftrekken (a + ? = c of c - ? = a) en een aftrekking (c – b = a), bij aftrekken.

196

Gebruikte methoden en vormen van aftrekken Tabel 7.3 Invloed van de getallen en de gekozen strategie op de complexiteit van de rijgbewerkingen

Opg.

Indirect optellen*

Aftrekken*

1

12+..=25 12+10=22  22+3=25  13

25-12=.. 25-10=15  15-2=13 of met 2 telstappen

12

48+..=62 48+10=58  58+4=62  14

62-48=.. 62-10  52  52-10=42  42-10=32  3210=22  22-8=14 of met 8 telstappen

9

48+..=100 48+10=58 58+10=68  68+10=78  78+10=88  88+10=98  98+2=100 10, 20, 30, 40, 50, 52

100-48=.. 100-10=90  90-10=80  80-10=70 7010=60  60-8=52 of met 8 telstappen

(*) De afgelegde afstand met de 10-sprong is schuin gedrukt.

In tabel 7.4 beschrijven we de variatie in rijgcondities tussen de drie groepen, die ontstaan als gevolg van verschillen in de contexten en de getallencombinaties van de aangeboden opgaven (zie ook paragraaf 5.4.3). Tabel 7.4 Verschillen in rijgcondities als gevolg van verschillen in contexten en getallen Vgr

Condities

Laag

– De PPON- en de LOVS-steekproeven hebben een kale aftrekking (opgave 4) gemaakt. Drie van de 5 (c.q. 7) contextproblemen sporen (sterk) aan om aan te vullen, geen een om af te trekken. – Twee opgaven (1 en 2) kunnen, onafhankelijk van de modellering, met slechts één sprong worden opgelost. Alle overige opgaven vergen opeenvolgende sprongen, sommigen alleen bij aftrekken (opgaven 5, 6 en 11), anderen zowel bij aftrekken als bij overbruggen (3, 4 en 9).

Midden

– De PPON-groep heeft een kale aftrekking gemaakt (opgave 10) en één aftrek probleem dat sterk aanstuurt om aan te vullen tegen twee in de LOVS-groep. Geen een opgave lokte expliciet aftrekken uit. – De LOVS-groep heeft ook opgave 1 gemaakt die met één sprong van 10 kan worden opgelost. De overige opgaven vergen opeenvolgende sprongen, alleen bij aftrekken (opgaven 6, 8, 11, 12) of zowel bij aftrekken als bij overbruggen (9 en 13).

Hoog

– De PPON- en de LOVS-steekproeven hebben één kale aftrekking gemaakt (opgave 12) en één aftrekprobleem dat sterk aanstuurt om af te trekken (opgave 16). Opgave 17, die beide steekproeven hebben gemaakt, vragen expliciet om aan te vullen. De LOVS-groep heeft ook opgave 11 gemaakt die sterk aanstuurt om aan te vullen. – Alle opgaven vergen opeenvolgende sprongen, alleen bij aftrekken (opgaven 6, 11 en 12) of zowel bij aftrekken als bij overbruggen (9, 13, 14, 16 en 17).

197

Hoofdstuk 7

7.3.2

Vormen van rijgen

Bij het beschrijven van de vormen van rijgen gaan we uit van de in hoofdstuk 4 geconstrueerde sequentie van rijgvormen (zie figuur 4.11). De cijfers 3 t/m 8 duiden het niveau van formalisering van de betreffende rijgprocedures aan, zoals aangegeven in het schema van figuur 7.1. Verkort tellen komt voort uit de telvormen die de leerling in de onderbouw uitvindt: verkort tellen met objecten op niveau 2, als gecomprimeerde vorm van direct modelleren met verzamelingen objecten (startniveau van rijgen).

Aard v/d rekenhandelingen 8 Formeel 7 idem, in combinatie met de factor 10

netwerk van relaties tussen numerieke relaties die verankerd zijn in rekeneigenschappen schaalvergroting getal als object dat een eigen betekenis heeft in haar relatie tot andere getallen

6 met niet tientallig afgesplitste getallen 5 met samengestelde getallen als knooppunten 4 met tienvouden als knooppunten 3 idem zonder objecten 2 verkort tellen met objecten 1 direct modelleren

Eigenschappen van rijgen Onderliggende wiskundige structuur

integratie van teltal en aantal getallen als knooppunten van lineair-decimale getalrelaties getal als som van twee andere getallen (8 als 7+1, 5+3; 4+4, … aantal als term van een numerieke relatie perceptueel-enactieve structuren

Symboliseringsmiddel puur mentaal – knopentaal – sommentaal

– afpassen met meetstroken / schuiven met kralen – sprongen op een lege getallenlijn – peilentaal sommentaal

telwoorden gesymboliseerde telstappen (turfjes, rondjes, opgestoken vingers, etc.) breek-maak-transformaties

Figuur 7.1 Onderscheidende niveaus en vormen van rijgen

7.3.3

Gebruikspatroon en succes per niveau van rijgen

Alvorens het patroon te beschrijven volgens welk deze vormen worden gebruikt en hoe het succes per vorm/niveau van rijgen varieert, geven we eerst een korte toelichting van de uitgevoerde analyse. Om de onderzoeksvragen te kunnen beantwoorden, zijn de in figuur 7.1 onderscheiden vormen van rijgen ingedikt tot vier hoofdcategorieën: – –

tellen”: met (gesymboliseerd) telstappen springen: met tienvouden of samengestelde getallen als knooppunten van lineair-decimale optelof aftrekrelaties

198


– –

structureren: met niet-tientallig afgesplitste getallen (rekenen onder de 100) en in combinatie met de factor 10 (rekenen onder de 1000); gestandaardiseerd: redenerend op basis van rekenregels binnen een eigen relatienet

Deze vier klassen rijgbewerkingen dekken de niveauverhoging van tellen naar springen, structureren en standaardiseren van de geconstrueerde sequentie van de formalisering van de rijgprocedures. De gebruiksfrequentie is voor deze analyse gedefinieerd als het totaal aantal keer dat de betreffende vorm(en) in de betreffende vaardigheidsgroep is gebruikt. Het succes is de totaal gemiddelde goedscore in de vier klassen rijgbewerkingen: tellen, springen, structureren en gestandaardiseerd. De variatie in de condities waaronder de leerlingen van de onderzoeksgroepen hebben geregen betekent dat de analyseresultaten relatieve verschillen in de mate van formalisering binnen de vaardigheidsgroepen weergeven. Ze brengen tot uitdrukking het verworven vertrouwen in een beperkt repertoire van verschillende handelingspatronen die de getallen (en de context) van de opgave oproepen. Springen, structureren en gestandaardiseerd houden, kort gezegd, in de groep Laag iets anders in dan in de middengroep en in de groep Hoog. Tabel 7.5 brengt de analyseresultaten in beeld. De trend in deze data geeft nu de volgende aanvullende informatie over de verworven rijgvaardigheid van de onderzoeksgroep. Tabel 7.5 – Gebruiksverdeling van de vormen van rijgen en succes per niveau van rijgen Niveau van formalisering Gestandaardiseerd (8) Structureren (6-7) Springen (4-5) Tellen (3)

Vaardigheidsgroepen Midden Freq. % goed 37% 89%

Laag Freq. 27% 5% (N=16)54% 14%

% goed 88%

Hoog Freq. % goed 30% 93%

13 v/d 16

21%

81%

48%

87%

83% 68%

41% 1% (N=4)

88% 3 v/4

22% /

99 /

Groep Laag Er is in de groep Laag in 27% van de oplossingen op het gestandaardiseerde niveau geregen. De totaal gemiddelde goedscore bedraagt 88%. Dit betekent dat de betreffende leerlingen betekenisvol redeneren binnen het gebruikte relatienet. In de set aftrekopgaven die de PPON- en LOVS-steekproef hebben gemaakt (respectievelijk 6 en 8 items), waren er twee die, onafhankelijk van de gekozen strategie, met één sprong konden worden opgelost (opgaven 1 en 2). Alle overige opgaven vergden opeenvolgende sprongen, hetzij alleen bij aftrekken (opgaven 5, 6 en 11), hetzij zowel bij aftrekken als overbruggen (3, 4 en 9).

199

Hoofdstuk 7

Drie tot zes van de 6 c.q. 8 opgaven konden ‘structurerend’ worden opgelost. Het is slechts zestien keer waargenomen (5% van de rijgoplossingen). Dit maakt aannemelijk dat structurerend rijgen medio jaargroep 5 nog niet vanzelfsprekend is voor leerlingen met een lage vaardigheid, wat onze analyse van de bouwstenen ondersteunt (zie paragraaf 6.2.1). De gebruikers rekenen wel inzichtelijk. In ruim de helft van de oplossingen past de leerling één van de twee vormen van springen toe. Dit wijst erop dat menige leerling zowel conceptuele als procedurele bouwstenen mist om de springhandeling van niveau 6 te kunnen verdichten tot rijgen met niet-tientallig afgesplitste getallen (niveau 6). De frequentie van rijgen met telstappen is ten slotte opmerkelijk hoog voor leerlingen halverwege de basisschool. Het lage succes (68%) heeft alles te maken met de oplopende kans op vergissingen en telfouten naarmate de telafstand toeneemt (zie de foutenanalyse van hoofdstuk 9). Al met al, ondersteunen bovenstaande aanwijzingen de conclusies die getrokken is bij de doorlichting van de onderwijsresultaten van de 4e PPON rekenpeiling (zie paragraaf 6.2). Leerlingen met een lage vaardigheid zijn vooral goed vertrouwd met de basale handelingspatronen van het rijgen. Ze blijven echter sterk afhankelijk van één voor één tellen om de eenheden te bewerken. Middengroep Er is in de groep Midden in 37% van de oplossingen op het gestandaardiseerde niveau geregen. De betreffende leerlingen beheersen de toegepaste procedures zeer goed (89% goede antwoorden). Deze brede middengroep is nog sterk afhankelijk van de twee vormen van springen (41%) die ze zeer goed beheersen (89%), in vergelijking met structureren (21%). Bij dit rijgen met niet-tientallig afgesplitste getallen bewerken sommige leerlingen uit de middengroep de eenheden (nog) in twee stappen (via een tiental) en/of verder tellend/terugtellend met stappen van één. De gemiddelde goedscore van 81% suggereert dat sommigen de vereiste basisautomatismen (nog) onvoldoende beheersen. Rijgen met uitsluitend telstappen is in deze middengroep maar vier keer, dus bij uitzondering toegepast. Op grond van de kwantitatieve voortgangsgegevens is in paragraaf 6.6 vastgesteld dat de gemiddelde leerling voldoende kennis en bekwaamheid heeft verworven om op het structurerend niveau van de sequentie te kunnen rijgen. Dit beeld moet worden genuanceerd. De kwalitatieve data suggereren eerder dat er, binnen de middengroep, twee subgroepen bestaan. Één met een lagere vaardigheid die meer lijkt op de meest vaardige leerlingen van de groep Laag en nog sterk afhankelijk is van springen. Één met een hogere vaardigheid die leerlingen uit de groep Hoog op de voet volgen en al redelijk goed structurerend kunnen rijgen. Vermoedelijk zijn het deze leerlingen die de twee relatief moeilijke opgaven met driecijferige getallen (12 en 13) ook correct kunnen oplossen en de hun minder vaardige groepsgenoten die nog af en toe tellend rekenen.

200


Groep Hoog De meest gevorderde leerlingen rijgen op de drie hoogste niveaus van de sequentie. Twee aspecten van de verdeling vallen op. Er wordt vooral met niet-tientallig afgesplitste getallen geregen (48%) en in 30% van de oplossingen op het gestandaardiseerde niveau. Dit is een prestatie van formaat, als we ons realiseren dat deze groep drie opgaven heeft gemaakt met driecijferige getallen (13, 14 en 16), plus de indirecte optelling 998 + … = 1662. Gestandaardiseerd bij gevallen als 250 - 189 of 189 + … = 250; 620 370 of 370 + .. = 620 en 990 - 595 of 595 + … = 900 doet een beroep op rekenkennis en rekenvaardigheden die, volgens de voortgangsgegevens van hoofdstuk 6, globaal genomen door de 10% meest gevorderde leerlingen zijn verworven. Het ligt voor de hand aan te nemen dat dit rekenen in het gebied boven de honderd de relatieve lage frequentie van gestandaardiseerd rijgen en dus hoge frequentie van structurerend rijgen verklaart. De hele groep rijgt, hoe dan ook, als groep boven het niveau van de middengroep. Op basis van deze gegevens ligt het, concluderend, voor de hand om aan te nemen, dat deze leerlingen de (meeste) bewerkingen onder en over de honderd op gestandaardiseerd niveau uitvoeren en één of meer opgaven met meer cijfers, op een niveau lager, structurerend modelleren.

7.3.4

Patroon en voorlopige conclusie

Het geheel overziende maken de resultaten van de analyse van de rijgoplossingen en het bereikte niveau van de drie vaardigheidsgroepen het volgende patroon zichtbaar. –

–

Leerlingen rijgen, halverwege de basisschool, op vier opeenvolgende niveaus: (i) met telstappen (informeel), (2) met sprongen in de telrij (springen), (3) met getallen als knooppunten van optelof aftrekrelaties (structurerend) en (4) met termen van operaties (gestandaardiseerd). De verschillen tussen de leerlingen zijn, zowel binnen de groep Laag als tussen de drie vaardigheidsgroepen, groot tot zeer groot. De minst gevorderde leerlingen uit de groep Laag hebben nog behoefte om met gesymboliseerde telstappen te rekenen, terwijl hun groepsgenoten de gemakkelijkste aftrekopgaven, sprongsgewijs en gestandaardiseerd kunnen uitrekenen. Sommige leerlingen uit de groep Midden bereiken het gestandaardiseerde niveau van rijgen niet, omdat ze de voorwaardelijke basisautomatismen nog niet beheersen. Dit geldt ook voor plusminus twintig procent van de leerlingen uit de groep Hoog, wanneer ze opgaven met driecijferige getallen bewerken. Deze vaardigheidsgroep rekent echter vrijwel foutloos en gestandaardiseerd tot 100.

Dit patroon geeft aanleiding tot drie voorlopige conclusies ten aanzien van de didactiek van het leren rijgen.

201

Hoofdstuk 7

1. De prioriteit die aan rijgen wordt gegeven werpt, wat het succes betreft, de verwachte vruchten af. 2. De aanzienlijke variatie in niveaus van rijgen en succes weerspiegelt de toegepaste differentiatie naar voorkeur en niveau van de leerlingen, die de auteurs van de gebruikte rekenmethoden aanbevelen en die een grote groep leraren zegt toe te passen. 3. Het patroon in de resultaten geeft aanleiding om aan te nemen dat de leerlingen met de hoogste vaardigheden (op of boven percentiel-75) het meest profiteren van de condities waaronder ze leren rijgen en dat leerlingen met de laagste vaardigheid juist de prikkel en steun missen die ze nodig hebben om hun informele procedures, tijdig, naar behoren te verkorten en te formaliseren.

7.4

Hoe leerlingen splitsen

Het splitsen wordt zoals we hierboven zagen minder toegepast dan het rijgen. Leerlingen uit de middengroep hebben het vaakst gesplitst, in ongeveer één op de vijf oplossingen. We zagen in paragraaf 7.2 dat het hen niet goed afging. Zelfs de leerlingen met de hoogste vaardigheidsgroep, die in één op de tien oplossingen splitsen, komen niet verder dan 58% goede antwoorden. Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep komen in slechts één op de drie oplossingen op het goede antwoord. In deze paragraaf brengen we de vormen van splitsen die de leerlingen hebben gebruikt in kaart. We beschrijven hoe vaak de leerlingen op de verschillende niveaus hebben gesplitst en met welk succes. Het geheel geeft een beeld van de kernproblemen die de drie vaardigheidsgroepen bij splitsen ondervinden en roept vragen op ten aanzien van de gevolgde rekendidactiek. We beginnen met een bespreking van de variatie in kenmerken van de opgaven in de verschillende opgaven sets.

7.4.1

Splitscondities

Wanneer de leerlingen splitsen, betekent dit niet automatisch dat ze aftrekken. Leerlingen combineren ook, bij het rekenen in context, uit zichzelf splitsen met indirect optellen. De voorbeelden van tabel 7.6 illustreren de complexiteit van deze e splitsbewerkingen In tabel 7.6 beschrijven we de variatie in splitscondities tussen de drie groepen, die ontstaan als gevolg van verschillen in de contexten en de getallencombinaties van de aangeboden opgaven (zie ook paragraaf 5.4.3).

202

Gebruikte methoden en vormen van aftrekken Tabel 7.6 Invloed van de getallen en de gekozen strategie op de complexiteit van de splitsbewerkingen Opg. 1 12

9

Indirect optellen*

Aftrekken*

12+..=25 10+10=20  2+3=5 10+3=13 48+.. =62 Foutief 40+20=60  8-2=6  20+6=26 Correct 40+10=60  8+4=12  10+4=14 48+.. =100 Foutief 48+60=100  8+2=10  60+2=62 Correct 40+50=90  8+2=10  50+2=52

25-12=.. 20-10=10  5-3=2  10+3=13 62-48=.. Foutief 60-40=20  8-2=6  20+6=26 Correct 60-40=20  2-8 is 6 te weinig;  20-6=14 100-48=.. Foutief 100-40=60  de 8 weer bij is 68 of 8 van de 10 rest 2, dus 62 Correct 100-40=60  60-8=52

(*) De foutieve splitshandelingen zijn in cursief gedrukt Tabel 7.7 Verschillen in splitscondities als gevolg van verschillen in contexten en getallen

Vgr

Laag

Condities – De PPON- en de LOVS-steekproeven hebben een kale aftrekking (opgave 4) gemaakt. Drie van de 5 (c.q. 7) contextproblemen sporen (sterk) aan om aan te vullen, geen een om af te trekken. – Beide groepen hebben twee opgaven zonder tientaloverschrijding gemaakt (1 en 5). De PPON-groep heeft drie opgaven gemaakt met een tekort aan eenheden, met een veelvoud van tien als aftrektal (3, 4 en 6). De LOVS-groep heeft ook ankeropgave 9 gemaakt die dezelfde splitscondities oplegt. Deze groep heeft ook twee standaardopgaven met tientaloverschrijding gemaakt (2 en 11) tegen één in de PPONgroep (opgave 2).

– De PPON-groep heeft kale aftrekking gemaakt (opgave 10) en één aftrekprobleem dat sterk aanstuurt op aanvullen tegen twee in de LOVS-groep. Geen enkele opgave lokte expliciet aftrekken uit. Midden – De LOVS-groep heeft ook opgave 1, zonder tientaloverschrijding, gemaakt. In vier opgaven met een tekort aan eenheden was het aftrektal een veelvoud van tien (6, 8, 9 en 10). De LOVS-groep heeft één standaardopgave met tientaloverschrijding meer gemaakt dan de PPON-groep, namelijk ankeropgave 13, naast de opgaven 11 en 12.

Hoog

– De PPON- en de LOVS steekproeven hebben één kale aftrekking gemaakt (opgave 12) en één aftrekprobleem dat sterk aanstuurt om af te trekken (opgave 16). Opgave 17, die beide steekproeven hebben gemaakt, vragen expliciet om aan te vullen. De LOVS-groep heeft ook opgave 11 gemaakt die sterk aanstuurt om aan te vullen. – In alle opgaven komen de leerlingen eenheden tekort. Het aftrektal is slechts in twee extra ankeropgaven die de LOVS-groep heeft gemaakt een veelvoud van tien (opgaven 6 en 9).

203

Hoofdstuk 7

7.4.2

Rekenvormen

Om de gebruikte vormen van spitsen in kaart te brengen, is wederom gebruik gemaakt van de in hoofdstuk vier beschreven sequentie (zie figuur 7.2). De cijfers 3 t/m 8 duiden het niveau van formalisering van de betreffende splitsprocedures aan. We bespreken achtereenvolgens: – – – –

het rekenen met tienen en lossen, de combinatie van rijgen met splitsen, op niveau 5, het optellen en aftrekken met positiewaarden op niveau 6 en 7, en het algoritmisch aftrekken, al dan niet met positiecijfers. Eigenschappen van splitsen

Aard van de rekenhandeling

Onderliggende wiskundige structuur

Symboliseringsmiddel

8 formeel

positionele ordening van de eenheden

traditioneel algoritme

7 kolomsgewijs

verticale ordening van rekenhandelingen

Tussen strepen Onder elkaar, kolomsgewijs

6 Met positiewaarden met tekort via het vrij maken van een tien buggy algoritme

positionele structuur van de getallen

met decimale hulpmiddelen horizontaal, in sommentaal

5 Combinatie van rijgen met splitsen

integratie van teltal en aantal

horizontaal, in sommentaal of peilentaal

4 Optellen en aftrekken en eenheden van 10 en 1, zonder tientaloverschrijding

analogie in de structuur van tellen met eenheden van 10 en 1

met decimale hulpmiddelen horizontaal, in sommentaal

Figuur 7.2 Onderscheiden niveaus en vormen van splitsen

7.4.3

Gebruiksfrequentie en succes per niveau van splitsen

Deze paragraaf presenteert het gevonden patroon in het gebruik van bovenstaande vormen van splitsen en in het succes per vorm/niveau, op basis van de condities van tabel 7.8 en de codering van figuur 7.2. Het aantal waarnemingen is relatief laag. De gebruiksfrequentie wordt daarom zowel in percentages als in aantal berekeningen uitgedrukt. Het succes per niveau/vorm van splitsen is uitgedrukt in een totaal aantal correcte antwoorden. Deze analyseresultaten geven onderstaande aanvullende informatie over de verworven splitsvaardigheid van de drie onderzochte groepen leerlingen.

204

Gebruikte methoden en vormen van aftrekken Tabel 7.8 – Gebruiksverdeling van de vormen van splitsen en succes per niveau van splitsen Niveau van formalisering

Vaardigheidsgroepen Laag

Midden

Hoog

Freq.

% goed

Freq.

% goed

Freq.

% goed

30 (61%) (N=28)

2

49 (47%) (35)

10

21(30%) (16)

2

Met positiewaarden/ (6 of 7)

/

/

14 (13%)

13

27 (39%)

24

Mengvorm splitsen-rijgen (5)

/

/

32 (31%)

14

21 (30%)

14

19 (39%)

15

9 (9%)9

8

/

/

49

17 (35%)

104

45 (43%)

69

40 (58%)

Algoritmisch (8) buggys

Met eenheden van 10-1 (4) Totaal

Groep Laag De verdeling laat zien dat leerlingen uit de groep Laag óf met eenheden van tien en één - op het meest informele niveau - splitsen, óf algoritmisch proberen af te trekken of aan te vullen. Ze laten zich daarbij sterk door de context en de getallen leiden. Ze trekken af of vullen aan ‘met tienen en lossen’ bij de opgaven zonder tientaloverschrijding en algoritmisch bij opgaven met een tekort aan eenheden. Het zijn, op opgave 2 na, telkens rekensituaties met een veelvoud van tien als aftrektal, bijvoorbeeld 60 bij de kale aftrekking 60 - 35 en 40 bij opgave 6, waarin 40 - 24 (c.q. 24 + .. = 40) is gecontextualiseerd. Leerlingen zouden opgave 2 waarin het verschil tussen 22 jaar en 18 jaar is gecontextualiseerd met de mengvorm (20 – 10 + 2 - 8) of met tekort (20 – 10 - 6) kunnen uitrekenen. Ze vullen echter wijselijk genoeg aan tot 22 of springen terug naar 18. Het patroon in succes weerspiegelt het verschil in abstractieniveau. Wie met tienen en lossen aftrekt of aanvult, komt praktisch altijd op het goede antwoord, wie dat algoritmisch probeert te doen, maakt vrijwel altijd de fout die het gebruikte buggy algoritme automatisch genereert. Dit is het geval in 28 van 30 algoritmische berekeningen. De totaal gemiddelde score bij splitsen is navenant, slechts 35%. Deze analyse van hoe leerlingen met een lage vaardigheid splitsen bevestigt de eerdere indruk (hoofdstuk 6) dat het gros van de leerlingen slechts op een zeer elementair niveau positioneel kan denken. Het gevonden patroon bij splitsend aanvullen en aftrekken geeft aanleiding om aan te nemen dat leerlingen die splitsen, automatisch op de (context en de) getallen van de betreffende opgave reageren en het overschot / het tekort aan eenheden nog niet als zodanig hebben geproblematiseerd. Wat dit betreft, is er geen verschil tussen de huidige leerling met een lage vaardigheid en de ‘rekenzwakke’ leerling die, eind jaren tachtig, met het instrumentarium van het Speerpunt rekenen werd geobserveerd (Vuurmans, 1990).

205

Hoofdstuk 7

Middengroep De middengroep splitst meer gedifferentieerd in de lijn van de mogelijkheden die de context en de getallen van de voorgelegde opgaven bieden. De frequentieverdeling maakt het volgende patroon zichtbaar: – –

–

In bijna de helft van de berekeningen bewerkt de leerling de getallen algoritmisch, hetzij met aftrekhandelingen, hetzij aanvullend. De tweede meest gebruikte vorm is de combinatie van rijgen met splitsen in 31% van de oplossingen, die ook Selter (2002) in zijn onderzoek heeft geobserveerd. In de resterende 13% berekeningen trekt de leerling met tekorten af. Het succes verschilt sterk per oplossingsniveau. Het varieert van slechts één op de vijf goed bij algoritmisch rekenen (eindniveau) tot bijna 100% goed bij rekenen met tienen en lossen (startniveau) en bij aftrekken met tekorten op niveau 6 en 7. De combinatie van rijgen met splitsen op niveau 5 leidt in slechts één op de twee berekeningen tot een goed antwoord.

Bij de opsporing van de bouwstenen in hoofdstuk 6 werd aangenomen dat deze mengvorm nog niet toegankelijk was voor de doorsnee leerling met een lage vaardigheid. Bovenstaande resultaten geven aan, dat ook een deel van de leerlingen uit de middengroep belangrijke bouwstenen mist. Dit resultaat spreekt de verwachting van Beishuizen en van Van Mulken (1986; 1988) in de jaren tachtig tegen, dat de mengvorm perspectieven biedt, door de integratie van rijgen met splitsen. Deze integratie blijkt nu, in elk geval wat aftrekken betreft, complexer dan vermoed. Het opmerkelijkste resultaat is echter, dat in 35 van de 49 formele berekeningen, het leerlingen uit de brede middengroep zijn die een buggy algoritme inzetten. Daar tegenover staat de bijna 100% goedscore in de cluster berekeningen met tekorten Dit patroon maakt (samen met de voortgangsgegevens van hoofdstuk 6) aannemelijk, dat de minst vaardige leerlingen uit de middengroep eerder met de mengvorm en/of algoritmisch proberen te splitsen, terwijl de meest vaardige leerlingen eerder met tekorten aftrekken. Groep Hoog Het meest opmerkelijk in het splitsgedrag van de leerlingen met de hoogste vaardigheid is het gebruik van een buggy algoritme in bijna één op de vier splitsberekeningen. Het beperkte succes bij splitsen met de mengvorm – twee op de drie goed – bevestigt de veronderstelde complexiteit van deze manier van bewerken. Wij moeten echter niet uit het oog verliezen, dat de betreffende leerlingen wellicht ook opgaven met drie getallen op dit niveau hebben geprobeerd op te lossen, wat in de meest klassen op dat moment nog niet aan de orde is gesteld. Een tweede opmerkelijk resultaat is het contrast in succes tussen splitsen met tekorten op niveau 6-7 (17 van de 24 goed) en algoritmisch splitsen op niveau 8 (2 van

206


de 21 goed). Dit wekt de indruk dat leren aftrekken met tekorten en algoritmisch leren aftrekken los van elkaar staan.

7.4.4

Patroon en voorlopige conclusie

Het geheel overziende, maken de resultaten van de analyse van de splitsprocedures en van het niveau van de drie vaardigheidsgroepen het volgende patroon zichtbaar. Splitsen vormt, in alle drie de vaardigheidsgroepen, om verschillende redenen een serieus probleem: –

–

– –

Het gemeenschappelijk kernprobleem is dat sommige leerlingen automatisch reageren op bepaalde opgaven door met één van de vier geïdentificeerde buggy algoritmen af te trekken of aan te vullen. Een tweede gemeenschappelijk probleem van leerlingen met een middelmatige en hoge rekenvaardigheid is, dat wie rijgen met splitsen combineert, te vaak niet tot het juiste antwoord komt. Aftrekken met tekort is in beide vaardigheidsgroepen wel erg effectief. Het succes contrasteert echter extreem met de zeer lage prestaties op het hoger gelegen niveau van algoritmisch aftrekken/aanvullen via een of andere vorm van lenen/inwisselen. Leerlingen met een lage vaardigheid komen niet verder dan een redelijke beheersing van aanvullen/aftrekken bij opgaven zonder tientaloverschrijding. Het valt ten slotte op, dat de resultaten bij rekenen onder de duizend, globaal genomen overeen komen met die van Duitse leerlingen in Selters (1996; 1997, 2002) studies van rekenen met driecijferige getallen (zie ook Selter & Sundermann, 1997).

Dit patroon geeft aanleiding om vier voorlopige conclusies te trekken ten aanzien van de didactiek van leren splitsen (we komen daar nog op terug bij de analyse van de omgang met de context en de getallen van de opgaven en bij de analyse van de gemaakte splitsfouten). 1. Het uitstellen van leren splitsen, zoals TAL dat aanbeveelt, voorkomt niet dat leerlingen zichzelf foutieve algoritmen aanleren. Het gebruik van contexten bij leren hoofdrekenen werkt bovendien in de hand, dat leerlingen ook foutieve aanvulalgoritmen bedenken. Dit vergroot de kans op foutieve antwoorden. 2. De mengvorm veronderstelt een zekere symbiose tussen lineair en positioneel decimaal denken. Er zijn sterke aanwijzingen dat, met de huidige rekenlijn, leerlingen daar pas aan toe zijn, als ze het niveau van de gemiddelde leerling halverwege jaargroep 5 hebben bereikt. 3. Aftrekken met tekort is toegankelijk voor de middengroep en voor leerlingen met een hoge rekenvaardigheid. Het bepaalt grotendeels het succes in beide vaardigheidsgroepen.

207

Hoofdstuk 7

4. Er zij echter sterke aanwijzingen dat deze vorm van splitsen los staat van algoritmisch leren aftrekken. Dit roept de vraag op naar de voordelen van de realistische lijn via de mengvorm, aftrekken met tekort en kolomsgewijs aftrekken ten opzichte van leren successief en synchroon inwisselen zodra de leerling structurerend kan rijgen. Hoofdrekenen zou op deze manier oriënteren op lenen, wat aftrekken met tekort niet doet, omdat inwisselen/lenen daar juist bewust worden omzeild. 5. De geobserveerde foutieve aanvulalgoritmen met positiewaarden en met positiecijfers ondersteunen niet de verwachting dat leren cijferen op de Oostenrijkse manier (Lorenz en Radatz, 1993) perspectiefvol is. De splitsresultaten tonen, al met al, ondubbelzinnig aan dat de actuele instructie, de controle van de vorderingen van de leerlingen en de aansluiting bij wat leerlingen weten en kunnen ontoereikend zijn om zinvol en effectief te leren splitsen. Het gevonden patroon in het splitsgedrag ondersteunt, wat dit betreft, de aanwijzing bij rijgen, dat leerlingen met de hoogste vaardigheid het meeste profijt trekken van de huidige realistische onderwijsleercondities en de leerlingen met de laagste vaardigheid het minst.

7.5

Hoe leerlingen beredeneren

Beredeneren is de derde, meest omstreden hoofdrekenmethode, die in het nieuwe rekencurriculum is ingevoerd (zie hoofdstuk 2 en 3). We beschrijven hier de gebruiksfrequentie van beredeneren en het succes dat de drie vaardigheidsgroepen hiermee behalen. We bespreken echter eerst de relevante kenmerken van de opgave en hoe deze over de opgavensets zijn verdeeld.

7.5.1

Beredeneercondities

Kenmerkend voor beredeneren is dat de leerling de rekensom van de voorgelegde opgaven reconstrueert of herleidt, gebruikmakend van (a) parate rekenfeiten, (b) de associatieve en commutatieve eigenschap en (3) de relatie tussen optellingen (c.q. aftrekkingen). Bij de opzet van het onderzoek is gekozen om vooral leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep uit te dagen vertrouwde relaties beredenerend te gebruiken. Vijf opgaven van hun set kunnen de associatie oproepen met bekende ‘dubbelrelaties’. Ze kunnen ook in twee gevallen afronden en compenseren. De leerlingen uit de twee andere vaardigheidsgroepen kunnen minder vaak een (omgekeerde) dubbel gebruiken, maar vaker afronden en compenseren en het principe van het gelijkblijvend verschil toepassen. De tabel van het gearceerde informatiekader brengt deze condities in kaart (zie hoofdstuk 5).

208

Gebruikte methoden en vormen van aftrekken Tabel 7.9 Bruikbare relaties bij beredeneren Getalrelatie

Laag

Midden

Hoog

(Bijna) dubbel

Opgaven 1, 2, 3, 4, 6 en 9

Opgaven 1, 6 en 9

Opgaven 1, 6 en 9

Afronden en compenseren

Opgaven 9 en 11

Opgaven 9, 11, 12 en 13

Opgaven 9, 11, 12, 13, 16, 17

Gelijkblijvend verschil

Geen

7.5.2

Opgaven 9 en 12 t/m 17

Rekenvormen

We gaan uit van het onderscheid dat we in hoofdstuk 4 hebben gemaakt tussen 1. Puzzelen met optelfeiten (niveau 6), Compenseren (niveau 7) en Transformeren (niveau 8).

7.5.3

Gebruiksfrequentie en succes per niveau van beredeneren

De totaal gemiddelde goedscore bij beredeneren bedraagt 50% in de groep Laag, 63% in de middengroep en 69% in de groep Hoog. Tabel 7.10 laat zien hoe het succes varieert, afhankelijk van de vorm die de leerling toepast. Tabel 7.10 – Gebruiksverdeling van de vormen van beredeneren en succes per niveau Niveau van formalisering Transformeren (8) Compenseren (7) Puzzelen met optelfeiten (6) Totaal

Laag Freq. 1 33 12

% goed 1 12 10

46

23 (50%)

Vaardigheidsgroepen Midden Freq. % goed / / 37 22 12 9 49

31 (63%)

Freq. 8 32 9 49

Hoog % goed 6 23 5 34 (69%)

Deze data laten zich als volgt samenvatten: 1. In alle drie de vaardigheidsgroepen passen de leerlingen vooral afsplitsen en compenseren toe. De frequentie heeft een orde van grootte van respectievelijk 70% in de groep Laag, 75% in de middengroep en 65% in de groep Hoog. 2. De twee onderste vaardigheidsgroepen beredeneren volgens hetzelfde patroon. Er wordt in plusminus een kwart van hun herleidingen gepuzzeld en slechts bij uitzondering op het hoogste niveau geredeneerd. 3. In de hoogste vaardigheidsgroep wordt juist even vaak op het hoogste niveau geredeneerd als op het laagste.

209

Hoofdstuk 7

4. Het aantal goede antwoorden geeft aan dat puzzelen loont, maar dat compenseren en transformeren niet vanzelfsprekend is.

7.5.4

Voorlopige conclusie

We zagen in hoofdstuk 6, dat de schriftelijke toets van de 4e rekenpeiling slechts indirect, en in bescheiden mate, aanwijzingen geven over de mate waarin de leerlingen, halverwege de basisschool, over de bouwstenen voor het beredeneren beschikken. De analyse van de steekproef oplossingswijzen geeft nu een concreet beeld van hoe ze zoal kunnen beredeneren, hoe klein het aantal waarnemingen ook mag zijn. Deze kleinschalige studie geeft aanleiding om de twee volgende voorlopige conclusies te trekken. 1. Precies zoals bij splitsen, is er sprake van een structureel probleem bij leren beredeneren. Het gevonden patroon maakt aannemelijk dat drie factoren, in een soort kettingreactie, op elkaar inwerken. De probleemgerichte aanpak van hoofdrekenen, geeft leerlingen de kans om, op eigen kracht, een primitieve vorm van herleiden onder de honderd te bedenken. Deze komt voort uit het verworven inzicht in (a) de aard van een natuurlijk getal (som van twee kleinere getallen), (b) de associatieve en commutatieve eigenschap bij optellen en (c) de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Dit, zogenoemde ‘puzzelen’ met optelfeiten biedt echter, evenmin als verkort tellen bij rijgen en rekenen met tienen en lossen bij splitsen, perspectief op langere termijn. Alle drie de vaardigheidsgroepen komen relatief vaak tot een foutief antwoord bij herleiden op basis van een bekend optelof aftrekfeit. Dit maakt aannemelijk dat een aanzienlijke groep leerlingen de conceptuele basis mist om inzichtelijk te kunnen compenseren. Een conceptuele basis, die ze onder andere zouden kunnen verwerven door te onderzoeken hoe het komt dat men de rekensom met ‘stukken’ van bekende sommen kan samenstellen en wat de regels van dit puzzelspel zijn. Alleen leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep komen aan transformeren toe. Dit maakt aannemelijk dat het gros van de leerlingen niet de kans krijgt om zelf het principe van het gelijkblijvend verschil uit te vinden, vanuit de ontdekking van het wiskundige patroon achter alle herleidingen van het type afsplitsen en compenseren. Dit alles wijst erop dat de gevolgde didactiek ertoe leidt dat slechts een (zeer?) beperkte groep leerlingen vertrouwd is met beredenerend herleiden, zoals bedoeld. 2. De wijze van herleiden bevestigt de ontstane indruk bij rijgen en splitsen, dat leerlingen met de hoogste vaardigheid het meeste van deze didactiek profiteren.

210


3. Onder bovenstaande condities kunnen de voordelen van beredeneren, als derde methode van het driespan Rijgen-Splitsen-Variarekenen, onmogelijk de nadelen van rijgen en splitsen opvangen, zoals verwacht bij de invoering van deze drie hoofdrekenmethoden in het nieuwe rekencurriculum.

7.6

Weten

In 67 van de 1852 oplossingen heeft de leerling de gegevens van de opgave (vrijwel) onmiddellijk met een geheugenfeit geassocieerd. Op basis van de verantwoording van de leerlingen kon worden vastgesteld of zij een aftrekfeit of de equivalente optelling paraat hadden. In onderstaand verslag van de analyse van de oplossingen worden voorbeelden van beide type antwoorden getoond en de gebruiksverdeling en het succes in kaart gebracht.

7.6.1

Indirect optelfeit en aftrekfeit als antwoord

Kinderen die, na het hardop lezen van de opgave, na enkele seconden een correct antwoord geven, legitimeren hun antwoord door optelfeit of een aftrekfeit te noemen: – – –

Het moet 25 postzegels zijn want 25+25=50, dat weet ik; Het is 52 want 100-48=52, dat weet ik uit mijn hoofd 102-90 is 12, dat zie ik zo

Bij de constructie van de sequentie van de formalisering van beredeneren is verantwoord waarom in deze dissertatie aanvullend optellen als aftrekstrategie wordt beschouwd en niet als vorm van handig rekenen (variarekenen). Ook is het gemaakte verschil verantwoord tussen enerzijds het onmiddellijk associëren van de gegevens van een aftrekopgave met de equivalente optelling (weten) en anderzijds het afleiden van de indirecte optelling van een aftrekopgave uit een bekende som (afsplitsen en compenseren). Het gevolg van deze keuze is dat de zogenoemde ‘boogprocedure’ van het variarekenen in onderhavig onderzoek onder ‘Weten’ valt, als leerlingen onmiddellijk aan een optelfeit denken en onder ‘Beredeneren’, als zij moeten afsplitsen en compenseren om het antwoord te kunnen geven. Figuur 7.3 laat zien hoe aftrekken als het inverse van optellen is gebruikt. Deze directe reacties laten zien dat het soms moeilijk is om, aan de hand van de gemaakte protocollen, vast te stellen of de getallen (en de tekst) van de opgave direct de passende optelling uit het geheugen oproepen (het criterium voor Weten). De houding en communicatie van de toetsassistent bij doorvragen kan veel uitmaken. Op de vraag hoe ze op hun antwoord zijn gekomen, reageren sommige kinderen door te zeggen dan ze dat gewoon weten ( tweede oplossing van voorbeeld 84). Andere leerlingen verantwoorden hun optelling door de onderliggende getalrelaties (uitvoerig)

211

Hoofdstuk 7

te expliciteren ( tweede oplossing van voorbeeld 81). De tweede oplossing van voorbeeld 82 illustreert hoe kinderen dan in de war kunnen raken. 78] Opgave 1: 25-12= of 12+..=25 – –

82] Opgave 9: 100-48= of 48+..=100

Moet je 12 erbij 13 doen en dat is 25. 13 bij! Ziet het zo.

48+52=100 Zegt 100-48. Assistent vraagt: Wat heb je in je hoofd gedaan? 8-2...Ik weet het niet meer!... 48+52 is samen 100

– –

79] Opgave 2: 22-18= of 18+..=22

83] Opgave 10: 100-86= of 86+..=100

18 erbij …is 22. Dat is 4! Wist ze gewoon.

14! 86 erbij 14 is 100 want 80+10 en 6+4 is samen 100

80] Opgave 3: 50-25= of 25+..=50

84] Opgave 11: 102-90= of 90+.=100

Ik weet ook al wat het antwoord is, 25 want 25+25=50. Hoeft ze niet over na te denken.

–

81] Opgave 6: 40-24= of 24+..=40 –

–

Erbij tellen van 90 naar 102 is 12. Dat weet ik! 12! Dat weet ik gewoon. Die som hebben we al eens gehad: 10+90=100; dan nog die 2

–

85] Opgave 16: 900-595 of 595+…=900

6! Hoe kom je eraan? Omdat 24 erbij 16 is 40. Hoe kom je aan 16! 4 erbij 6 is 10, dan 20 erbij 10 is 30. Samen 40. 24+16=40; 24 plus iets is 40; dus 16 euro goedkoper

Hij ziet gewoon dat het verschil 305 is. 900-305=595 305! Hij ziet gewoon dat 305 erbij 900 geeft

– – – –

Figuur 7.3 - Voorbeelden van de directe associatie van de aftrekking van de opgave met de passende optelling

7.6.2

Frequentie, succes en conclusie

Tabel 7.11 geeft aan hoe vaak optelfeiten en aftrekfeiten zijn gebruikt en hoe vaak het antwoord juist was. Door de beperkingen van het onderzoeksdesign en het zeer klein aantal waarnemingen, zeggen deze resultaten echter nog maar weinig. Tabel 7.11 Gebruiksverdeling van de vormen van beredeneren en succes per niveau

Niveau van formalisering

Vaardigheidsgroepen Laag

Midden

Hoog

Freq.

% goed

Freq.

% goed

Freq.

% goed

Aftrekfeit

10

10

4

4

5

5

Indirecte optelling

35

33

6

5

7

7

Totaal

45

10

212

12


Het is hoe dan ook zeer opmerkelijk, dat de leerlingen met de laagste vaardigheid de numerieke gegevens van een aftrekopgave direct met het daarbij passende optelfeit associëren. Dit kan worden gezien als een sterk punt van realistisch hoofdrekenen in Nederland in vergelijking met de onderzochte klassen in België, waar de inverse relatie tussen optellen en aftrekken, volgens de recente data van Torbeyns, De Smedt e.a. (2009), zelden wordt gebruikt. De geobserveerde leerlingen uit het onderhavige onderzoek maken in 7% van de oplossingen inzichtelijk, functioneel en effectief gebruik van parate afsplitsingen van getallen die ze met de stipsom/aftrekking van de opgave associëren. Dit geldt ook voor leerlingen uit de hogere vaardigheidsgroepen die, zoals het informatiekader van paragraaf 7.5.1 dat aangeeft, minder opgaven hebben gemaakt die zich hiervoor lenen.

7.7

Eerste balans van de modernisering

In hoofdstuk 2 is de context geschetst waarin de doelen, inhouden en didactiek van leren rekenen in het getalgebied tot 1000 structureel zijn gemoderniseerd in de lijn van de door WISKOBAS in gang gebrachte Nederlandse vernieuwing van het rekenonderwijs (jaren zeventig) en de internationale gerichtheid op het verwerven van de functionele gecijferdheid waar het aangebroken tijdperk van de informatietechnologie een beroep op doet. De kerndoelen die aangeven wat de leerling moet leren zijn in de jaren negentig geïmplementeerd. In dezelfde periode hebben rekendidactici, al dan niet in samenwerking met onderzoekers, de realistische lijn en didactiek van het rekenen tot 1000 ontwikkeld, zowel via leerplanontwikkeling (Talteam, 1999; Van de Heuvel-Panhuizen e.a. 2001), als via onderwijsexperimenten (o.a. Vuurmans, 1991; Veltman, 1994; Klein, 1998; Menne, 2001). Sindsdien, maken de auteurs van de realistische rekenmethoden, naar eigen inzicht, filosofie en behoeften daar gebruik van (zie hierover Menne, 2001b; KNAW-commissie, 2009). Het is niet mogelijk om de invloed van deze verandering op de rekenprestaties van de leerlingen, direct vast te stellen. Afgezien van de rekenpeilingen, zijn de hoofdrekenprestaties in Nederland namelijk telkens gedurende korte leerperioden, vanuit verschillende invalshoeken en in verschillende contexten onderzocht en niet systematisch, noch longitudinaal, vanuit een vast theoretisch kader en onderzoeksdesign, zoals dat bij PPON gebeurt. We kunnen echter de resultaten van de zogenoemde Leidse onderzoeksgroep die in de tachtiger en negentiger jaren zijn uitgevoerd als ijkpunten nemen om de balans op te maken van wat de modernisering teweeg heeft gebracht. Deze paragraaf integreert nu in dit perspectief de aanwijzingen die de analyse van de voortgang geven (hoofdstuk 6) met bovenstaande analyseresultaten van de gebruikte methoden en vormen van hoofdrekenen rond drie kernkwesties die een eerst, voorlopig beeld geven van merkbare veranderingen en onderwijsleerproblemen:

213

Hoofdstuk 7

– – –

de mate van succes de verworven hoofdrekenbekwaamheid; factoren die het onderwijsleerproces en de opbrengst ervan beïnvloeden

De concluderende paragrafen van deelrapportages worden hiertoe als bron gebruikt. Mate van succes Louter afgaande op het aantal correcte antwoorden die rijgen, splitsen en beredeneren in de oplossingen van de onderzochte leerlingen opleveren, is de trend in de opbrengst van hoofdrekenen vrij stabiel gebleven, in vergelijking met de trend die relevante empirische data van de periode 1985-1995. laten zien: – –

–

rijgen blijft de meeste effectieve methode (vergelijk Beishuizen, 1986; Beishuizen, Van Putten en Van Mulken, 1997); splitsen genereert nog steeds de meeste fouten, door de toegepaste buggy algoritmen (vergelijk Willemsen en Harskamp, 1990), een tendens die ook zichtbaar is in de oplossingen waarin de leerling afsplitst en compenseert (beredeneren). Handig rekenen werd, als communaal doel, aanvankelijk door specialisten van het speciaal onderwijs, eerst afgewezen (zie hoofdstuk 2). Alleen de voorlopers van jaargroep 5 in het reguliere basisonderwijs behalen een redelijk niveau van beredenerend herleiden, precies zoals in het dissertatieonderzoek van Van der Heijden (1993).

Ons onderzoek naar oplossingsprocedures geeft de volgende aanvullende en relativerende informatie. 1. Het succes van de laagste vaardigheidsgroep bij rijgen (83%) noopt om drie redenen tot een matig optimisme: (a) omdat deze leerlingen opgaven hebben gemaakt die een beroep doen op de meest elementaire vormen van rijgen; (b) omdat sommige leerlingen nog structureel verkort tellen en (c) omdat de eenheden in relatief veel oplossingen, één voor één verder tellend en terugtellend worden bewerkt. 2. Splitsen vormt structureel een ernstig probleem, omdat leerlingen foutieve algoritmen toepassen en/of vormen van splitsen waar ze nog onvoldoende mee vertrouwd zijn. Dit speelt vooral de onderste helft van de verdeling van leerlingen parten, waaronder de leerlingen van de middengroep die graag splitsen. 3. Deze zwakte van splitsen wordt enigszins gecompenseerd door het effectieve gebruik van (a) optelfeiten bij het puzzelend reconstrueren van de indirecte optelling die de leerling in een aftrekopgave herkent en (b) de parate indirecte optelling die de leerling onmiddellijk met de getallen van de aftrekopgave associeert.

214


Kwaliteit van de verworven hoofdrekenbekwaamheid Het onderhavige onderzoek heeft verder het onderstaande patroon in de kwaliteit van de verworven hoofdrekenbekwaamheid aan het licht gebracht. Gebruikspatroon van de hoofdrekenmethoden. Deze resultaten maken zichtbaar dat leerlingen ‘nu’ anders rekenen dan ‘toen’. Alle drie de vaardigheidsgroepen hebben nu een sterke voorkeur voor rijgen. De neiging die ‘rekenzwakke’ leerlingen ‘toen’ hadden om te splitsen (Vuurmans, 1991), tekent zich ‘nu’ in de middengroep af. Begripsmatig versus procedureel hoofdrekenen. Er is een sterk contrast tussen het inzichtelijk gebruik van getalrelaties bij rijgen en parate kennis als de leerling het antwoord direct weet en de meer mechanische en instrumentele manier van splitsen en beredeneren. Dit roept de associatie met het verschil dat cognitieve psychologen als Gray and Tall (1994) maken tussen ‘proceptual’ en ‘procedural’ thinkers, dat wil zeggen tussen leerlingen die meer rekenen vanuit hun conceptueel begrip van de getallen en de operaties en leerlingen die meer vanuit hun begrip van de geleerde procedure rekenen (zie ook Hiebert en Grouws, 2007). Vanuit deze invalshoek bekeken, tonen de oplossingswijzen (a) of twee gezichten van dezelfde leerlingen, of (b) de constructies van twee subgroepen leerlingen binnen de drie vaardigheidsgroepen, of (c) een mengeling van beide. In het eerste geval hebben alle drie de vaardigheidsgroepen de neiging om begripsmatig te rijgen en meer procedureel te splitsen en te beredeneren. In het tweede geval zijn er, binnen elke vaardigheidsgroep, leerlingen die op hun niveau conceptueel sterk in hun schoenen staan, en leerlingen die meer eigen handelingsvoorschriften of die van de leraar volgen. In de regel leren de leerlingen met de huidige realistische methoden eerst rijgen en vervolgens splitsen en handig rekenen (beredeneren). De meeste tijd en aandacht gaan echter, zeker tot medio jaargroep 5, uit naar rijgen. Dit betekent dat leerlingen onder deze omstandigheden ruim de tijd krijgen om geleidelijk aan de conceptuele en procedurele bouwstenen te verwerven die nodig zijn om de rijghandelingen te formaliseren, zoals de gegevens over het behaalde niveau uit hoofdstuk 6 dat zichtbaar maken. De aanzienlijke verschillen in succes, het structureel gebruik van buggy algoritmen bij splitsen en de foutief samengestelde sommen en onjuiste compensaties bij beredeneren maken aannemelijk dat dit minder (niet?) geldt voor de bouwstenen van splitsen en beredeneren. Leerlingen zouden dan vanzelf hun uitweg proberen te vinden door geleerde voorschriften uit hun geheugen op te halen en/of zelf bedachte voorschriften te volgen Vormen en niveaus van hoofdrekenen. Leerlingen rijgen, splitsen en beredeneren in verschillende vormen op verschillenden niveau. Twee realistische condities maken dit mogelijk: (1) de probleemgerichte aanpak van leren hoofdrekenen in combinatie met het aangeboden driespan Rijgen-Splitsen-Variarekenen en (2) de differentiatie in voorkeur en niveau. In de traditionele redactiesommen moest de leerling de juiste aftrekking in de tekst en de getallen herkennen en de getallen vervolgens met het aftrekalgoritmen

215

Hoofdstuk 7

bewerken. De auteurs van realistische methoden leggen nu juist problemen voor die zich verschillend laten schematiseren, conform de betekenis en verschijningsvorm van aftrekken in de betreffende situatie. De leerling symboliseert dan de verandering of relatie die in het voorgelegde probleem is gecontextualiseerd soms met een aftrekking (c – b = ?), soms met een indirecte optelling (a + . = c), soms met een indirecte aftrekking (c - ? = a). Hierdoor ontwikkelt hij naar eigen vermogen passende vormen van rijgen, splitsen en beredeneren. Omdat elke startvorm gradueel wordt geformaliseerd, impliceert deze didactische keuze dat de huidige leerling veel meer opeenvolgende manieren van rekenen moet leren dan de leerling van de jaren zeventigtachtig. De geïdentificeerde vormen van rijgen, splitsen en beredeneren maken deze invloed van de Nederlandse uitwerking van de realistische didactiek zichtbaar en in die zin aannemelijk. In hoofdstuk 2 is vastgesteld dat realistische didactici aanbevelen om het leerproces naar voorkeur en niveau te differentiëren. Niet iedereen hoeft in dezelfde periode met dezelfde methode op hetzelfde niveau te rekenen. Zelfs het eindniveau staat bij realistisch hoofdrekenen niet vast, in die zin dat een leerling met minder capaciteiten geholpen wordt om zo formeel mogelijk, doch onder het nagestreefde eindniveau te rekenen. De geobserveerde vormen van rijgen, splitsen en beredeneren maken ook deze invloed van de didactiek aannemelijk. Het volgende patroon tekent zich in deze differentiatie af. –

–

–

Een kleine groep leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep blijft steken bij verkort tellen. De voorlopers uit deze groep kunnen wel degelijk, op hun ontwikkelingsniveau, gestandaardiseerd rijgen. Niemand opereert echter inzichtelijk op het formele niveau van splitsen en beredeneren. De leerlingen uit de middengroep overstijgen het niveau van tellend rekenen. De verdeling in gebruik en succes roept het beeld op van een subgroep met minder begrip van positioneel rekenen die eerder de mengvorm probeert toe te passen en/of foutief algoritmisch aftrekt en een subgroep die inzichtelijk met tekort heeft leren aftrekken. De data van de groep leerlingen met het hoogste vaardigheidsniveau roepen ook dit beeld op. Het verschil met de middengroep is dat de meest vaardige subgroep het rekenen tot 100 onder de knie heeft en met driecijferige getallen al behoorlijk inzichtelijk en vlot kan rekenen, terwijl de gemaakte typen opgaven meestal pas in de tweede helft van jaargroep 5 worden behandeld.

Factoren De analyseresultaten laten sporen zien van de invloed van vier factoren: 1. de gevolgde didactiek, 2. het aanbod en de organisatie in de klas, 3. kenmerken van de voorgelegde opgaven en 4. het vaardigheidsniveau van de leerlingen. Deze invloed laat zich als volgt duiden.

216


TAL-didactiek. Hierboven zijn al drie essentiële aspecten van de TAL-didactiek aan de orde geweest, namelijk de probleemgerichte aanpak, de volgorde van aanbieding van de drie geleerde methoden van hoofdrekenen en de differentiatie naar voorkeur en niveau. We kunnen hier een vierde aspect aan toevoegen: de gevolgde lijn in de formalisering en gebruikte hulpmiddelen. In hoofdstuk 2 en hoofdstuk 3 is de leerlijn gepresenteerd die de betrokkene Nederlandse realistische didactici hebben geconstrueerd voor leren hoofdrekenen tot honderd en duizend en de hulpmiddelen, modellen en notatiewijzen die daarbij worden ingezet. Deze lijn is nu zonder meer herkenbaar in – – –

de geïdentificeerde vormen en niveaus van rijgen en splitsen, de manier waarop de leerlingen de verandering of relatie van de opgaven symboliseren en de wijze waarop ze hun rekenhandelingen verwoorden en/of in rekentaal noteren.

De invloed van de rekenlijn is om twee redenen minder pregnant in de oplossingen van het type ‘Beredeneren’. Ten eerst omdat deze methode anders is gedefinieerd dan ‘Variakenen’ - de corresponderende methode van het driespan. Ten tweede omdat de meest informele vorm – puzzelen met optelfeiten - niet wordt aan aangeboden, en dus door de leerlingen zelf wordt uitgevonden. De invloed van de drie aspecten van de realistische didactiek is, zo kunnen we concluderen, in de gebruikte vormen van hoofdrekenen aanwijsbaar: 1. de geleerde methoden, 2. de leerlijn en de bijbehorende volgorde van aanbieding en ingezette hulpmiddelen en notatiewijzen en 3. de differentiatie in voorkeur en niveau. Aanbod en organisatie in de klas. In hoofdstuk 6 zijn de relevante data van de aanbodpeiling gepresenteerd. De grootste groep leraren zegt de aanwijzingen van de gebruikte realistische methode te volgen. Dit houdt in dat ze de doorgaande rekenlijn volgen en de verwerking en de oefenstof differentiëren – wat in de praktijk neerkomt op differentiatie in voorkeur en niveau. Er tekent zich echter een grotere differentiatie af wat de aanbieding van algoritmisch optellen en aftrekken betreft. Vast staat dat de meeste leraren pas vanaf de tweede helft van jaargroep 5 onder elkaar leren rekenen, hetzij met positiewaarden, van links naar rechts (kolomsgewijs), hetzij met positiecijfers, van rechts naar links (traditionele algoritmen). Er zijn, hoe dan ook, geen scholen waar leerlingen al in jaargroep 4 cijferend leren aftrekken. Deze trend is eveneens duidelijk herkenbaar in de gebruikte vormen van hoofdrekenen en de variatie in niveau van rekenen binnen de vaardigheidsgroepen. Er zijn, concluderend, sterke aanwijzingen dat de leerlingen hoofdrekenen, zoals ze dat met hun rekenboeken, onder leiding van hun leraar hebben geleerd. Het meest opmerkelijke in relatie met de organisatie in de klas, is het grote aantal foutieve antwoorden die voortkomen uit de inzet van een foutief algoritme bij splitsen en/of een gebrekkig begrip van de mengvorm (splitsen) en compenseren

217

Hoofdstuk 7

(beredeneren). Dit wekt de indruk dat veel leraren de begripsproblemen niet tijdig opmerken, of niet weten hoe ze die moeten opvangen en/of er niet in slagen om de leerling adequaat te helpen. De dagelijkse observatie, evaluatie en diagnostiek is dan in het geding, de mate waarin en wijze waarop de leraar zijn leerlingen volgt, niet alleen wat de geleerde procedures betreft, maar ook wat betreft het verwachte begrip van getallen, optellen en aftrekken. Opgavenkenmerken en vaardigheidsniveau van de leerling. In bovenstaande rapportage is de verwachte invloed van de context en de getallen aangeduid. Pregnante voorbeelden van aanvullend rijgen, splitsen en beredeneren hebben deze invloed geïllustreerd. Hoe en in welke mate leerlingen zich nu door de context en de getallen laten leiden is in de tweede kwalitatieve analyse van de oplossingswijzen onderzocht. De resultaten ervan worden in het hierna volgende hoofdstuk beschreven. Het onderzoeksdesign laat, op zes ankeropgaven na, niet toe om de oplossingswijzen van de drie vaardigheidsgroepen met elkaar te vergelijken. In die zin geven bovenstaande analyseresultaten strikt genomen geen empirische aanwijzingen over de invloed van het vaardigheidsniveau. De drie vaardigheidsgroepen hebben echter opgaven die in hun vaardigheidsbereik liggen gemaakt. Verschillen tussen de totale gemiddelde scores weerspiegelen dan wel degelijk de invloed van het vaardigheidsniveau van de groep. Binnen de uitgevoerde studie naar de invloed van de context en de getallen is ook, in oriënterende zin, onderzocht of het vaardigheidsniveau een rol heeft gespeeld bij de oplossing van de zes ankeropgaven: opgaven 6, 9 en 11 die leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen hebben gemaakt en opgaven 1 (groep Laag en Midden) en opgaven 12 en 13 (groep Midden en Hoog). Deze analyse en de resultaten hiervan worden besproken in hoofdstuk 8. Op dit punt van de rapportage gekomen, weten we met welke vormen van rijgen, splitsen en beredeneren en welke parate kennis de onderzochte leerlingen hebben ingezet om opgaven van hun reeks op te lossen. We hebben ook de eerste aanwijzingen van hoe de didactiek, opgavenkenmerken en het vaardigheidsniveau van de leerlingen hun wijze en niveau van hoofdrekenen beïnvloeden. Om beter te kunnen begrijpen hoe dit in zijn werk gaat, zijn zoals gezegd twee aanvullende analyses uitgevoerd. Het hierna volgende hoofdstuk presenteert de analyseresultaten van de omgang van de drie vaardigheidsgroepen met de context en getallen van hun opgaven, in hoofdstuk 9 analyseren we de oplossingen met een foutief antwoord.

7.8

Staalkaart van oplossingen

Zoals eerder aangegeven sluiten we dit hoofdstuk af met een overzicht van oplossingen die de in de voorgaande analyse gebruikte categorieën illustreren.

218


7.8.1

Rijgen

Bij rijgen onderscheidden we verkort tellen, springen, structureren en gestandaardiseerd rijgen. Hieronder geven we voorbeelden van leerlingoplossingen binnen deze vier categorieën. Verkort tellen Voorbeeldoplossingen 1 t/m 3 illustreren de informele vormen van optellen en aftrekken die vooral in de groep Laag zijn toegepast. Enkele leerlingen uit de middengroep hebben daar bij uitzondering ook gebruik van gemaakt. 1] Opgave 2: 18+.=22 Antwoord: 4

2] Opgave 6: 24+.=40 Antwoord 16

1. 2. 3. 4

1, 2, 3, (…), 14, 15, 16

3] Opgave 5: 60-35 Terugtellen met de vingers: 60-59-58-57-56… wacht even! Begint opnieuw. Telt dan structurerend terug, door telkens een interval leeg te maken en houdt de stand met de vingers van de twee handen bij: Van 60, 59, 58 … 51, 50 naar 49, 48, 47 … 40 naar 39, 38, 37 … naar 29, 28, 27, 26, 25. Ik doe er steeds 10 eraf, voor de zekerheid. Van de meester moet het met tientallen. Dat móet niet, maar dat gaat sneller. Voor de zekerheid doe ik dat niet. Ik onthoud dat goed in mijn hoofd. Figuur 7.4 – Voorbeelden van verkort tellen

De leerling van voorbeeld 1 handelt vanuit het inzicht dat elk natuurlijk getal (behalve 1) de som is van twee andere natuurlijke getallen: 22 = 18 + ?. De rondjes stellen de telstappen voor die hij maakt om het verschil te bepalen: 19(1), 29(2), 21(3), 24(4), dus 4 jaar. Er wordt twee geteld: één keer om de telstappen van de overbrugging te visualiseren en één keer om het aantal gemaakte stappen te bepalen. Dit is een schoolvoorbeeld van de toepassing van twee keer tellen in de eerste fase van leren aftrekken tot 100. De leerling redeneert en vult aan vanuit het verworven inzicht in de inclusierelatie tussen aantallen (Freudenthal, 1984; Cowan, 2003) en via de visualiseringen van telstappen, zoals Steffe e.a (1983) en Fuson (1988) dat hebben beschreven. De oplossing van opgave 2 maakt zichtbaar hoe de leerling, die op dit niveau rekent, de hoeveelheden van de opgaven met aantallen symboliseert (24 en 40), maar de relatie ertussen via het opzeggen van telwoorden vaststelt. Streepjes stellen in dit voorbeeld de telstappen voor. Ze laten goed zien dat de leerling de opvolgrelatie tussen natuurlijke getallen gebruikt en dat aanvullend optellend wordt opgevat als verder tellen met telkens één tot het gewenste aantal wordt bereikt.

219

Hoofdstuk 7

Het derde voorbeeld toont, ten slotte, wat leerlingen doen, wanneer ze niet met sprongen durven te rijgen (zoals hun leraar dat verwacht). Ze lopen de telrij af, van het ene tiental naar het andere en houden met hun twee handen, de stand van de gemaakte stappen bij. Springen De voorbeelden van figuur 7.5 maken de kenmerken van de twee springvormen goed zichtbaar. In voorbeeld 8 laat de leerling de handigheid zien die hij heeft bedacht om direct vanaf het mentaal aantal, 10 erbij op te tellen of er van af te trekken. De bedenkers van de voorbeelden 4, 5, 6 en 7 laten zien hoe ze het langdradig opzeggen van de telwoorden hebben gecomprimeerd en geformaliseerd tot rijgen met tientallen als knooppunten van afstandrelaties. De sprongen van 10 en 1, die de leerling van voorbeeld 4 heeft getekend, zijn opmerkelijk. Ze schematiseren namelijk de uit te voeren bewerking (60 - 35) volgens het patroon van de decimale herhalingstructuur tot 100. In vergelijking hiermee is de modellering van de leerling van voorbeeld 5 veel informeler. De leerling van voorbeeld 6 en die van voorbeeld 8 demonstreren dat men in de twee telrichtingen, via het tiental kan rijgen, en hoe het werkt. De eerste springt in één handeling naar het tiental (32+8=40), de tweede trekt in één handeling de eenheden af (30-6=24). Al doende tonen ze aan, dat ze over essentiële instrumentele voorwaarden beschikken om vlot op dit niveau te rijgen. Groepsgenoten die nog zo niet ver zijn, springen met sprongen van 2 of 3 en/of tellen verder met stappen van één naar het tiental, en trekken de eenheden, één voor één terugtellend af, zoals de leerling van voorbeeld 5 en die van voorbeeld 8 dat doen. De twee leerlingen van voorbeeld 9 en voorbeeld 10 maken, met hun aanvulhandelingen, goed zichtbaar hoe de getallen van de opgave de bewerking gemakkelijker of moeilijker maken. Structureren De voorbeeldoplossingen van figuur 7.6 tonen hoe leerlingen zich bevrijden van het springen door met bekende afsplitsingen van getallen aan te vullen of af te trekken. Oplossing 15 laat zien hoe ze dan handig gebruik maken van de decimaal-positionele structuur van de getallen. In dit geval lost de leerling de kale aftrekking 60-35 op door een denkbeeldige hoeveelheid van 60 dingen met 6 rijen van 10 rondjes zichtbaar te maken. In één kruisbeweging trekt deze leerling 30 af en in één streepbeweging de 5 eenheden erbij. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat de leerling dan 25 herkent als 20+5, twee rijen van 10 en 5 erbij. De oplossingen 12, 13 en 14 van figuur 7.6 zijn geënt op de opbouw van de getallen in tientallen en eenheden en de analogie van optellen en aftrekken van tientallen met optellen en aftrekken van eenheden:

220


  

62 – 40 = 22 via (60 + 2) – 40 = (60 - 40) + 2 48 + 40 = 88 via (40 + 8) + 40 = (40 + 40) + 8 100 – 48 = 52 via 100 - (40 + 8) = (100 - 40) - 8 Via het dichtstbijzijnde tienvoud (niveau 4)

4] Opgave 4: 60-35= Antwoord: 25

5] Opgave 9: 100-48 Antwoord 53

6] Opgave 5: 32+.=50 Antwoord 18

7] Opgave 6: 40-.=24 Antwoord 16

Via het wegdenken van de eenheden (niveau 4) 8] Opgave 12: 62-48= Antwoord 14 Eerst twee wegdenken. Dan springen met tien: (60) 50,40,30, 20. Dan de twee erbij doen: 20+2=22

Direct met de 10-sprong (niveau 5) 9] Opgave 9: 48+.=100 Antwoord 52

10] Opgave 6: 24+..=40 Antwoord 16

Figuur 7.5 – Voorbeelden van rijgen met sprongen

In voorbeeld 12 en 13 gebruikt de leerling mogelijk de analogie met de afsplitsingen onder de tien (60 = 40 + 20 Ξ 6 =4 + 2) en (80 = 40 + 40 Ξ 8 = 4 + 4; dubbelstructuur), in voorbeeld 14 die met de afsplitsingen van 10 (100 = 60 + 40 Ξ 10 = 6 + 4). De voorbeelden 16 t/m 24 van figuur 7.6 laten zien hoe leerlingen deze manier van structurerend rijgen aanpassen voor de bewerking van driecijferige getallen volgens het handelingspatroon (schema) van aanvullen (c.q. leeg maken) en aftrekken. In de voorbeelden 16 t/m 21 gebruikt de leerling een honderdtal of 1000 als eerste knooppunt. De leerling rekent in die zin volgens hetzelfde patroon als springen via het

221

Hoofdstuk 7

dichtstbijzijnde tiental. Op een vergelijkbare manier rekent de leerling in de voorbeelden 22, 23 en 24 volgens het principe van direct springen vanaf een mentaal aantal. In beide gevallen behandelt de leerling de honderdtallen zoals ze, onder de honderd, de tientallen behandelen, en de tientallen zoals ze met eenheden opereren. Tot honderd 13] Opgave 9: 48+.=100 Antwoord: 52 48+40=88; 88+2=90; 90+10=100 40+10+2=52 12] Opgave 12: 62-48= Antwoord 14

15] Opgave 4: 60-35= Antwoord: 25

14] Opgave 9: 100-48 Antwoord: 52 100-40=60; 60-8=52 via 59, 58, 57 ...

Boven de 100, met een honderdtal (c.q. duizend) als knooppunt 16] Opgave 14: 620-370= Antwoord 250 620-20=600 600-300=300 300-50= 250

18] Opgave 13: 189+…=250 Antwoord 61 189+1=190 190+10=200 200+50=250 50+10+1=61

20] Opgave 16: 595+…=900 Antwoord 305 595+5=600 600+300=900  300+5=305

17] Opgave 14: 370+…=620 Antwoord 250 370+30=400 400+200=600 500+20-620 200+30+20=250

19] Opgave 16: 900-595 Antwoord: 305 900-500=400 400-90=310 310-5=305

21] Opgave 17: 998+…=1662 Antwoord 664 998+2=1000 1000+600=1600 1600+62=1662 2+600+62=664

Met een samengesteld getal als knoppunt 22] Opgave 14: 620-370= Antwoord 250 620-300=320; 320-20=300; 300-50=250

23] Opgave 16: 900-595 Antwoord 305 900-95=805 805-50=305

24] Opgave 14: 250-189= Antwoord 61 250-100=150  150-50=100 100-30=70  79-9=61

Figuur 7.6 – Voorbeelden van structurerend rijgen met afgesplitste getallen

Gestandaardiseerd rijgen De voorbeelden 25 t/m 37 van figuur 7.7 tonen de gestandaardiseerde vormen van structurerend rijgen onder en boven de honderd volgens het schema van aanvullend optellen, aftrekken en leeg maken. In alle gevallen gebruikt de leerling slechts één getal als knooppunt. Als we de nullen van de voorbeelden 35 en 36 wegdenken, zien we goed de analogie van rijgen met driecijferige getallen met rijgen met tweecijferige getallen.

222


7.8.2

Splitsen

Bij splitsen onderscheidden we de categorieën ‘rekenen met tienen en lossen’, splitsen in combinatie met rijgen’, ‘rekenen met tekorten’, ‘(buggy) algoritmen’. Hieronder geven we voorbeelden van leerlingoplossingen binnen deze vier categorieën. Tot honderd 25] Opgave 10: 100-86 Antwoord 14



26] Opgave 10: 86+..=100 Antwoord 14 Dan doe ik 86 erbij 4 is 90; dan 10 erbij en dan 10+4=14

29] Opgave 9: 48+=100 Antwoord 52


27] Opgave 10: 100-…=86 Antwoord 14

30] Opgave 9: 48+=100 Antwoord 52

Boven de 100 33] Opgave 13: 250-189 Antwoord 61 / Puur mentaal 250-100=150 150-80=70  70-9=61

35] Opgave 14: 620-370 Antwoord 250 Puur mentaal 620-70=550 550-300=250

34] Opgave 13: 189+…=250 Antwoord 61

36] Opgave 10: 370+…=620 Antwoord 250 Puur mentaal 370+50=420 420+200=620  250

37] Opgave 16: 900-595 Antwoord 305 Puur mentaal 900-500=400 400-95=305

Figuur 7.7– Voorbeelden van formeel rijgen met termen van operaties

Rekenen met tienen en lossen De voorbeelden van figuur 7.8 illustreren hoe een leerling, in situaties zonder tientaloverschrijding, splitsend aftrekt of aanvult. Ze spreken voor zich. De tekst is de letterlijke weergave van wat de betreffende leerlingen heeft gezegd.

223

Hoofdstuk 7 38] Opgave 1: 25-12 Antwoord 13 Puur mentaal Gewoon: eerst de tienen en dan de lossen: 20-0=10  5-2=3

39] Opgave 1: 12+.=25 Antwoord 25 Puur mentaal 12+13=25 want 2+3 = 5 en 10+10 erbij is al 20, dus 5+20=25

40] Opgave 5: 36-25= Antwoord 11 Puur mentaal 30-20=10 6-5=1, dus 11

41] Opgave 5: 5+.=36 Antwoord 11 Puur mentaal 24+11=36 want 5+1=6 en 20+10=30

Figuur 7.8 – Voorbeelden van splitsen met tienen en lossen zonder tientaloverschrijding

Splitsen in combinatie met rijgen We zagen in hoofdstuk 4 dat de leerling moet begrijpen hoe het toevoegen / afhalen van ‘tienen en lossen’ een getal met twee cijfers verandert om een oplossing te kunnen zoeken voor het probleem dat ontstaat wanneer men meer dan 10 eenheden krijgt bij optellen en er te weinig van heeft om af te trekken. De voorbeelden van figuur 7.9 tonen de procedures die leerlingen aanvankelijk bedenken. Deze combinatie van splitsend aftrekken van de tientallen en rijgend aftrekken van de eenheden is niet nieuw. Zij werd al vóór de modernisering van het rekenprogramma gebruikt, zoals onder andere Beishuizen en van Mulken (1986; 1988) hebben gesignaleerd. De leerling van voorbeeld 42 volgt het standaardschema die leraren met de actuele realistische methoden helpen uitvinden. De leerling hergroepeert de eenheden van het aftrektal, nadat hij de tientallen heeft afgetrokken. De leerling van voorbeeld 43 doet dit pas ‘aan het einde’, als hij de tientallen en de eenheden van het kleinste getal heeft afgetrokken. De leerling van voorbeeld 44 en 45 behoren tot de groep leerlingen met het hoogste vaardigheidsniveau. Ze laten zien hoe ze, op basis van het verworven inzicht in het decimaal-positioneel systeem en in de systematiek van aftrekken met tientallen en eenheden de mengvorm van voorbeeld 42 en voorbeeld 43 hebben aangepast voor de bewerking van driecijferige getallen. Met tweecijferige getallen 42] Opgave 12: 62-48 Antwoord 14


Met driecijferige getallen 44] Opgave 14: 620-370 45] Opgave 14: 620-370 Antwoord 250 / Puur mentaal Antwoord 250 / Puur mentaal 600-300=300  300+20=320  320-50=250 600-300=300  300-70=230  230+20=250 Figuur 7.9 – Voorbeelden van splitsen in combinatie met rijgen, met twee- en driecijferige getallen

224


Rekenen met tekorten De berekeningen van voorbeelden 46 t/m 49 uit figuur 7.10 illustreren hoe het aftrekken met tekorten de combinatie van rijgen met splitsen overbodig maakt. Dit aftrekken met tekorten is geïnspireerd door de zogenoemde ‘front-end substraction’ uit de onderwijsexperimenten van Madell (1985). Leerlingen kwamen hierop door vrij met MAB-materiaal uit te zoeken hoe decimaal–positioneel optellen en aftrekken werkt. De leerling van voorbeeld 46 verwisselt de eenheden om uit te rekenen hoeveel hij ‘te weinig’ heeft en trekt dit verschil vervolgens af. De leerling van voorbeeld 47 symboliseert het tekort van 8 direct met -8. Dit zou een teken kunnen zijn dat hij meer vertrouwd is met dit gebruik van negatieve getallen. Deze berekening is overigens één van de 7 geobserveerde oplossingen waarin de leerling ‘tussen streepjes’ aftrekt. Dit aantal waarnemingen is ontoereikend om vast te kunnen stellen of leerlingen die tussen streepjes aftrekken het tekort direct met een negatief getal symboliseren. Geen enkele leerling trekt overigens kolomsgewijs met tekort af. Voorbeelden 48a en 48b tonen ten slotte hoe leerlingen uit de groep Hoog de procedure voor aftrekken onder de honderd generaliseren voor aftrekkingen met driecijferige getallen. Deze berekeningen zijn bijzonder, omdat dergelijke bewerkingen niet op het programma van de eerste helft van groep 5 staan. De kans is dus groot dat de betreffende leerlingen deze vormen van splitsend aftrekken op eigen kracht hebben uitgevonden. Met tweecijferige getallen 46] Opgave 12: 62-48 Antwoord 14


Met driecijferige getallen 48a] Opgave 13: 250-189 Antwoord 61 / Puur mentaal 200-100=100; 50-89=39; 100-39=61

48b] Opgave 14: 620-370 Antwoord 250 / Puur mentaal 600-300=300; 20-70=-50; 300-50=250

Figuur 7.10 – Voorbeelden van aftrekken met tekort met twee- en driecijferige getallen

Algoritmen en buggy algoritmen De voorbeelden 49 en 50 en 51 en 52 van figuur 7.11a illustreren ten slotte de meest abstracte en formele vorm van splitsend aftrekken en aanvullend optellen met positiewaarden, de voorbeelden 53 en 54 van figuur 7.11b de analoge algoritmische vorm van aftrekken en aanvullend optellen met positiecijfers. De leerlingen van voorbeeld 49 en voorbeeld 50 van figuur 7.11a demonstreren hoe het tekort aan eenheden op het eindniveau van splitsend hoodfrekenen wordt

225

Hoofdstuk 7

opgelost. Ze maken één tiental van het aftrektal vrij om een getal te krijgen dat groot genoeg is om de eenheden van het kleinste getal af te trekken. Deze vorm van aftrekken staat in de Amerikaanse reformscholen bekend als ‘alternate subtracting and opening a ten’ (Fuson e.a. 1997), in de Nederlandse onderzoeksliteratuur als ‘successief’ of ‘simultaan’ inwisselen (Van Mulken, 1992). De leerling trekt aanvankelijk eerst de tientallen af, zoals gebruikelijk, maar houdt er rekening mee, dat dit wellicht niet de definitieve uitkomst zal zijn. Dit verklaart waarom de leerling van voorbeeld 49 hardop zegt dat hij nog niet moet invullen. Bij de ‘simultane’ variant van voorbeeld 50, trekt de leerling direct 40 van 50 af. In de voorbeelden 51 en 52 past de leerling deze hoofdrekenvorm van inwisselen toe in combinatie met aanvullen. Hij anticipeert in beide gevallen op het ontstaan van een tiental. Successief inwisselen bij aftrekken

Simultaan inwisselen bij aanvullend

49] Opgave 12: 62-48 optellen Antwoord 14 / Puur mentaal 51] Opgave 3: 25+..=50 60-40=20, nog niet invullen; 2-8...kan niet? Vroeger Antwoord 25 ruilde ik het om: 8-2. Maar nu weet ik dat niet goed is. 20+20, dan 5+5, is bij elkaar 50. Het is Van de 20, maak ik 10. Dan doe ik er 2 bij is 12. Dan dus 24 doe ik er 8 af is 4. Samen met 10 is het 14. 52] Opgave 9: 48+…100 Simultaan inwisselen bij aftrekken Antwoord 52 / Puur mentaal 50] Opgave 12: 62-48 40+50=90  8+2=10  50+2=52 Antwoord 14 / Puur mentaal 50-40=10  12-8=4  10+4=14 Figuur 7.11a – Hoofdrekenvormen van inwisselen / lenen

Bewerking 53 uit figuur 7.11b is het unieke geval van zuiver cijferend aftrekken. De leerling heeft echter niet onder elkaar op papier gerekend, maar uit zijn hoofd. In twee andere oplossingen heeft de leerling geprobeerd cijferend aan te vullen. De correcte berekening is bewerking 54. Beide oplossingen komen overeen met de zogenoemde ‘Oostenrijkse’ methode69 van het omgekeerde optelalgoritme (Lorenz en Radatz, 1993). 53] Opgave 14: 620-370 Antwoord 250 / Hoofdcijferend via 0+0=0  7+5=12  1+3=4  4+2=6 370 370 370 370 ???+ ??0+ ?50+ 250+ 620 ??0 20 620

54] Opgave 6: 24+..=40 Antwoord 16 Eerst 10 erbij: 20+10=30 Dan 6 bij 4 wordt 10 24 24 1 16 40 40

Figuur 7.11b – Unieke voorbeelden van cijferend aftrekken en van een correcte toepassing van aanvullend cijferen

69

Zie De Goei (2001), pagina 14

226


Buggy algoritmen Een opmerkelijk resultaat van de analyse is dat relatief veel leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen foutieve splitsalgoritmen toepassen, die in de Engelstalige litteratuur ‘buggy algorithms‘ worden genoemd (Verschaffel, Greer en De Corte, 2007). De foutieve bewerkingen van de voorbeelden 55, 56 en 57 van figuur 7.12 illustreren de drie ‘buggy algorithms‘ die de onderzoeksgroep heeft toegepast: (1) de bekende verwisseling van de eenheden (omkeringsfout; ‘false reversal’ of ‘small from large’ procedure) en wat men (2) een wegdenk-fout en (3) maak-een-tien-fout zou kunnen noemen. Foutieve aftrekalgoritmen Het kleinste van het grootste aftrekken

De losse opzij zetten (wegdenken) en weer aan de tientallen plakken

Aanvullen tot 10 en wat erbij komt bij tientallen optellen

55] Opgave 6: 40-24 Antwoord 24 via 40-20=20; 4-0=4; 20+4=24

56] Opgave 6: 40-24 Antwoord 24 via 4 even wegdenken 40-20=20; vier plakken, is 24

57] Opgave 6: 40-24 Antwoord 26 via 40-20=20; van 4 tot 10 is 6, dus 20+6=26

Foutieve aanvulalgoritmen 56] Opgave 6: 24+..=40 Antwoord 26 via 20+20=40  4+6=10 Dan is het 20+6=26

57] Opgave 9: 48+..=100 Antwoord 68 via 40+60=100  8+2=10; 20+20=40  4+6=10 Dan is het 20+6=26

Figuur 7.12 – Voorbeelden van de vier toepaste foutieve aftrekalgoritmen (‘buggy algorithms‘)

Naast bovenstaande typen foutieve aftrekalgoritmen, passen leerlingen uit de groep Laag en sommige leerlingen uit de middengroep ook de foutieve aanvulalgoritmen toe. Voorbeeld 56 en voorbeeld 57 maken goed zichtbaar dat de leerling juiste afsplitsingen van 10 en 100 probeert te gebruiken, echter zonder zich te realiseren dat het aanvullen van de eenheden een tiental oplevert. Deze leerlingen moeten in die zin nog het principe van inwisselen uitvinden.

7.8.3

Beredeneren

Bij beredeneren onderscheidden we ‘puzzelen’, ‘afsplitsen & compenseren’, en ‘transformeren’. Hieronder geven we voorbeelden van oplossingen van leerlingen binnen deze drie categorieën.

227

Hoofdstuk 7

Puzzelen met optelfeiten Het proces bij rekenen tot 100 vangt aan op niveau 6. De leerlingen puzzel dan met optelfeiten, handig gebruikmakend van de associatieve en commutatieve eigenschap van optellen. Zodra zij zich realiseren dat zij de termen als schakel tussen twee rekensommen kunnen gebruiken, worden afsplitsen en compenseren toegankelijk. Wanneer zij ten slotte begrijpen hoe een rekensom verandert, als men één term verandert, staan zij op de drempel van het, voor basisschoolleerlingen, hoogste niveau van beredeneren. Onderstaande voorbeelden illustreren deze drie vormen van beredeneren. Ze maken al doende de twee opeenvolgende niveauverhogingen zichtbaar. Voorbeelden 58 t/m 60 geven een idee van correcte en foutieve meest informele vormen van beredeneren die de leerlingen hebben toepast. Deze drie oplossingen brachten, onder andere, Gravemeijer (persoonlijke communicatie) op de term ‘puzzelen’. De leerling modelleert de situatie in de structuur van een stipsom. Deze som wordt niet in de letterlijke zin van het woord ‘uitgerekend’, maar eerder, in de zin van Freudenthal70, als rekenkundige uitdrukking gereconstrueerd: wat er links staat (a + . ) moet “maken” wat er rechts staat (c): Opgave 3  [25 + ..] = [50] Opgave 4  [35 + .. ] = [60] Opgave 9  [24 + .. ] = [40]

De term ‘puzzelen’ duidt nu perfect deze reconstructie aan. De leerling stelt de stipsom samen met op zichzelf staande optelfeiten, zoals hij de afbeelding van een puzzel met losse stukken reconstrueert. 58] Opgave 3: 25+.=50 59] Opgave 4: 60-35 Antwoord 25 via Antwoord 25 via 25+20… of moet het 25 5+5=10 zijn?... Daar is 3 van (wijst de 3 aan) 20+20= 40 30+30=60 10+10=20 Dus dan 35 erbij 5 is 20 5+5=10 (bedoelt: 60=35+5+20) 20+5=25 Dan is het 20+5=25 dan is het 25+25

60] Opgave 6: 24+..=40 Foutieve herleiding Antwoord 26 via 24+20=44-4 dan 10=4+6 24+6 …Komt er niet uit. Nieuwe poging: 24! 20+20=40; 40-20=20; het is 26

Figuur 7.13 – Voorbeelden van puzzelen met optelfeiten

Deze werkwijze is in veel gevallen nauwelijks te onderscheiden van de oplossingen waarin de leerling splitsen met aanvullen combineert, omdat dezelfde optelfeiten en 70

In Appels en peren, gaat Freudenthal uitgebreid in op het fenomeen (stip)som en de status van het “isteken”. Aan de hand van uitdrukking [4 + 3 = 7], maakt hij duidelijk dat dit teken niets anders betekent dan dat “aan weerszijden namen van hetzelfde ding staan en dat [4 + 3] een intentie overbrengt, die van sommetje (1984, p. 37-42).

228


dezelfde redenering wordt gevolgd. In deze studie is het volgende criterium voor Beredeneren gebruikt: de leerling vult niet letterlijk aan met tienen en lossen, maar combineert passende optelfeiten als de puzzelstukken die de gewenste stipsom opleveren: Afsplitsen en compenseren We zagen in de theoretische en empirische grondslagen van hoofdstuk 3 en bij de constructie van de sequentie van de formalisering, dat afsplitsen en compenseren onder de honderd de aangepaste vorm is van herleiden onder de 20 op basis van geheugenfeiten en met hulp van de eigenschappen van optellen en de inverse relatie met aftrekken. In deze paragraaf passeren de geïdentificeerde vormen van afsplitsen en compenseren de revue die de leerlingen in combinatie met enerzijds aftrekken en anderzijds met indirect optellen hebben gebruikt. In de eerste klasse oplossingen redeneert de leerling op basis van een aftrekfeit, in de tweede uitgaande van een optelfeit, al dan niet naar analogie met rekenen onder de twintig. Leerlingen hebben op drie manieren gebruik gemaakt van aftrekfeiten, namelijk in combinatie met: – – –

het afronden van de aftrekker; het afronden van het aftrektal; het aanpassen van de eenheden om een rond verschil te krijgen.

Pregnante voorbeelden worden achter elkaar, aan de hand van drie overzichten, gepresenteerd. Voorbeelden 61 en 62 van figuur 7.14 tonen correcte en foutieve voorbeelden van afronden van de aftrekker. De twee berekeningen van voorbeeld 61 zijn de twee unieke oplossingen van opgave 9. Ze suggereren dat beide leerlingen zich door de verhouding 1:2 (dubbelrelatie) laten leiden. In de voorbeeldoplossingen 62a en 62b probeert de leerling 900 - 595 af te leiden uit 900 - 600 = 300 (veelvouden van 300), in die van voorbeeldoplossingen 62c uit 900 – 500 - 400 (vijf-structuur). Dat in vier daarvan de leerling in de verkeerde richting compenseert, wijst naar een begripsprobleem. Één leerling uit de groep Hoog heeft ten slotte de stipsom 998 + .. = 1662 met 1662 – 1000 = 662 geassocieerd. Hij compenseerde echter niet met ‘met plus 2 is 664’. Voorbeelden 63 en 64 illustreren het afronden van het aftrektal. Drieëntwintig leerlingen hebben opgave 63, 102 - 90 via 100 – 90 = 10 opgelost. Het leidde echter in slechts 14 oplossingen tot het juiste antwoord, een tweede teken dat compenseren niet vanzelfsprekend is. Leerlingen die rijgend aftrekken onder de 100 hebben geautomatiseerd, gebruiken het aftrekfeit 40 -20 = 20 om 40 - 24 uit te rekenen. Voorbeeldoplossing 64 illustreert de foutieve compensatie die gemaakt wordt als leerlingen de 4 van 24 eerst wegdenken. Zij associëren 40 - 24 met 40 - 20, maar tellen

229

Hoofdstuk 7

de 4 eenheden van 20 (die ze opzij hadden gezet) bij de rest op, in plaats van met -4 te compenseren. Correcte en foutieve voorbeelden van afronden van de aftrekker 61] Opgave 9: 100-48 via 100-50=50 De helft van de plank is 50 cm; dan is die 52 Is 52. Ik weet dat 48 op 50 lijkt. 50 is de helft van 100.

62b] Opgave 16: 900-595 Foutief opgelost via 900-600=300 595 van de 900 af; 595 dicht bij 600; 600-900=300; min 5 is 295 900-595; ik leen er 5; dan wordt dat 60-300=300; 300-5=295

62a] Opgave 16: 900-595 Correct opgelost via 900-600-300 900-300=600, plus 5 is 305 Van 595 maak ik 600; 300 houd ik over. Daarna doe ik er 5 af, eh..bij, eh..bij ja: 305.

62c] Opgave 16: 900-595 Foutief opgelost via 900-500=400 Denkt lang na: 900-595=404, nee 405 (Had moeten zijn: 95 eraf is 305) Dan doe je 900-500=400; 400+95=495; In boek: 900-500=400; 900+95=995

Correcte en foutieve voorbeelden van afronden van het aftrektal 63a] Opgave 9: 109-90 Correct opgelost via 100-90=10 100 eraf 90 is 10; 2 erbij 10 is12 Ik doe 2 van de 100 af. 100-90=10. Dan doe ik de 2 erbij, omdat ik die er net heb afgeteld

63]b Opgave 9: 109-90 Foutieve oplossingen 100-90=10; 10-2=8 Eerst 100 en dan eraf 90 dat is 10; en dan hou je er nog 2 over. Dat moet je 10 bijtellen en dat is dan 102. Dus moet je eerst plus 10

64] Opgave 6: 40-24 via 40-20-20/Foutieve oplossing Je hebt eerst 40-24. Maar dan doen we eerst nog 24 eraf 4, dus dan hebben we 20. Dan nog 20 eraf halen van de 40, dat is 20. En nu moet je er nog 4 bij doen; dat is 24 (het antwoord).

Voorbeelden van aanpassen van de eenheden om een rond verschil te krijgen 65] Opgave 12: 62-48 62-42=22. Nee! 62-42=20; dan nog 6 eraf, dat is 14

66] Opgave 14: 620-370 Dan doe ik eerst 620-320=300; nog 50 eraf is 250

Figuur 7.14 – Correcte en foutieve voorbeelden van afronden van de aftrekker

Voorbeelden 65 en 66 tonen ten slotte de twee unieke oplossingen waarin dezelfde leerling uit de groep Hoog de eenheden aanpast om een rond verschil te krijgen. In het merendeel van de geobserveerde oplossingen lost de leerling het aftrekprobleem op door de geabstraheerde stipsom uit één aftrekfeit af te leiden. Bij specifieke combinaties van context en getallen herkennen sommige leerlingen echter een stipsom die ze direct uit een bekend optelfeit proberen af te leiden. Ze overstijgen, al doende, het niveau van puzzelen met losse optelfeiten. In de onderzoeksliteratuur wordt aangenomen dat leerlingen in eerste instantie de zogenoemde ‘inverse ties’ (inverse dubbelrelatie) en in het verlengde hiervan de bijna dubbelen gebruiken wanneer ze op basis van de inverse relatie redeneren (Woods, Resnick en Groen, 1975). De voorbeeldoplossingen van figuur 7.15 tonen een vergelijkbaar gebruik van bijna dubbelen:

230


– – – –

de dubbelstructuur (opgaven 1, 6, 9, 14 en 24); de vijfstructuur (opgaven 9, 13 en 16); afsplitsingen van 50 (opgave 8); afsplitsingen van 100 en 1000 (opgaven 9 en 16). Met tweecijferige getallen

Met driecijferige getallen

67] Opgave 1: 12+..=25 via 12+12=24 12+12=24; dan maak ik er 13 van, is 25 68] Opgave 24+..=40 via 20+20=40 Eerst: 20 goedkoper. Nee! Het is 16. Dit is 24 en dit is 40. Als het 20 was, was het 20. Maar nu is het 16, want de 4 komt er ook bij. 69] Opgave 8: 32+.=50 via 30+20=50 Dat is 18. 30+20=50; 2 eraf is 18 70] Opgave 9: 48+.=100 via 50+50=100 50+50=100, eraf 2 is 98, omdat het 48 is. Ze komt tot de conclusie dat het een minsom moet worden: 100-52=48 71] Opgave 9: 48+.=100 via 40+60=100 Bij 48, eerst 60 erbij gedaan en weer 2 vanaf gehaald, dan kom ik op 52. Bedoelt: 8 van de 60 af is 52.

72] Opgave 13: 189+.=250 via 90+60=150 Ik maak 189 even 90, dan weet ik dat 90+60=150. 1 teveel erbij gedaan. Het wordt 61. 73] Opgave 14: 370+.=620 via 370+300=670 370+300=670; doe ik nog 50 af, van 300, dan heb ik 620. Dan is het 250 74] Opgave 16: 595+.=900 via 600+400=1000 Naar 600 is 5; van 600 naar 1000 is 400; 400+5=405. Dan is het 305 naar 900 75] Opgave 16: 595+.=900 via 500+400=900 500+400=900; dan moet je nog -595, dat is dan 5; dan houden ze 305 over.

Figuur 7.15 – Voorbeelden van afsplitsen en compenseren in combinatie met indirect optellen

Transformeren Op het hoogste niveau van beredeneren nemen leerlingen de maximale afstand van de opgave door beide getallen van het rekenverhaal of de kale aftrekking te veranderen. Daarom spreken Engelstalige onderzoekers als Fuson e.a. (1997) over de Change-BothNumbers method. Aritmetisch gezien herleiden de leerlingen de aftrekking dan tot een andere gelijkwaardige aftrekking, door beide termen met evenveel op te hogen of te verlagen. Als leerlingen aanvullend redeneren, moeten zij, precies zoals bij aftrekken, beide termen met evenveel verhogen. Deze vorm van beredeneerd hoofdrekenen is, op één uitzondering na, slechts in de groep Hoog geobserveerd. De betreffende leerlingen redeneren meestal verbaal en maken soms aantekeningen in formuletaal. In alle gevallen wordt het principe van het ‘gelijkblijvend verschil‘ toegepast. De voorbeeldoplossingen van figuur 7.16 tonen hoe leerlingen de kale aftrekking 62 - 48 via 60 - 46 herleiden en de aftrekkingen 102 - 90 en 620 - 370 die in het probleem van opgave 11 en opgave 14 zijn gecontextualiseerd in respectievelijk 100 - 88 en 600 - 350 veranderen, om gemakkelijker te kunnen aftrekken.

231

Hoofdstuk 7

De uitleg van de leerlingen die correct redeneren toont hoe lastig het voor hen is om duidelijk te maken hoe ze denken. Sommige leerlingen, zoals die van voorbeeld 76a en 76b, kunnen hun oplossing niet of slechts zeer summier toelichten en/of onderbouwen. Dit komt zeer waarschijnlijk door het abstractieniveau van de mentale operaties. Deze leerlingen moeten nog, al communicerend over hun oplossingen, de woorden en uitdrukkingen ‘vinden’ die het nieuw verworven idee / principe helder weergeeft. In de terminologie van Freudenthal (1988) is de ‘verbalisering’ van de eigen gedachten in het geding. Groepsgenoten die hun oplossing wel kunnen verantwoorden doen het meer instrumenteel procedureel dan formeel redenerend. Ze beschrijven eerder de rekenstappen die ze zeggen te hebben gemaakt dan dat ze de relatie tussen de termen expliciteren die de gevolgde redeneringen rechtvaardigen. In die zin verbaliseren ze eerder in de lijn van algoritmisch rekenen dan conform de systematiek van regel geleid afleiden. Met tweecijferige getallen 76a] Opgave 12: 62-48 via 60-46 62 eraf 2 is 60. Eraf 46 is ….(denkt na) 14. Toetsassistent vraagt dan uitleg. De leerling herhaalt wat hij eerder zei. Toetsassistent vraagt dan hoe hij aan 14 kom: Eraf 40, eraf 6. Bedoelt: 6040=20; 20-6=14. 76b] Opgave 12: 62-48 via 60-46 8-2=6. Dus als ik min 2 doe, dan hoef ik nog maar min 46 te doen, is 14

Met driecijferige getallen 77a] Opgave 14: 620-370 via 600-350 600-300=300: 50 eraf is 250 want ik had 600-300 gedaan. Er moest eigenlijk 620-370, dus dan moet er nog eraf 50. 77b] Opgave 14: 620-370 via 600-350 600-300=300; 620-20=600; 320+50=370; 300 en 50 eraf is 250 77c] Opgave 14: 620-370 via 600-350 300-600=300. Nog 20 eraf, dat is 300; 50 over, dat haal je eraf, dan heb je 250.

Figuur 7.16 – Voorbeelden van transformeren

7.8.4

Weten

Bij de constructie van de sequentie van de formalisering van beredeneren is verantwoord waarom in deze dissertatie aanvullend optellen als aftrekstrategie wordt beschouwd en niet als vorm van handig rekenen (variarekenen). Ook is het gemaakte verschil verantwoord tussen enerzijds het onmiddellijk associëren van de gegevens van een aftrekopgave met de equivalente optelling (weten) en anderzijds het afleiden van de indirecte optelling van een aftrekopgave uit een bekende som (afsplitsen en compenseren). Het gevolg van deze keuze is dat de zogenoemde ‘boogprocedure’ van het variarekenen in onderhavig onderzoek onder ‘Weten’ valt als de leerling onmiddellijk aan een optelfeit denkt en onder ‘Beredeneren’ als hij moet afsplitsen en compenseren om het antwoord te kunnen geven. Figuur 7.17 toont geobserveerde voorbeelden van dit gebruik van de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Deze directe reacties laten zien dat het soms moeilijk is

232


om, aan de hand van de gemaakte protocollen, vast te stellen of de getallen (en de tekst) van de opgave direct de passende optelling uit het geheugen oproepen (het criterium voor Weten). Met tweecijferige getallen 78] Opgave 1: 25-12= of 12+..=25 Moet je 12 erbij 13 doen en dat is 25. 13 bij! Ziet het zo. 79] Opgave 2: 22-18= of 18+..=22 18 erbij …is 22. Dat is 4! Wist ze gewoon. 80] Opgave 3: 50-25= of 25+..=50 Ik weet ook al wat het antwoord is, 25 want 25+25=50. Hoeft ze niet over na te denken. 81] Opgave 6: 40-24= of 24+..=40 Denkt na en zegt: 24+16=40 6! Hoe kom je eraan? Omdat 24 erbij 16 is 40. Hoe kom je aan 16! 4 erbij 6 is 10, dan 20 erbij 10 is 30. Samen 40. 24+16=40; 24 plus iets is 40; dus 16 euro goedkoper

Met driecijferige getallen 82] Opgave 9: 100-48= of 48+..=100 48+52=100 Zegt 100-48. Assistent vraagt: Wat heb je in je hoofd gedaan? 8-2...Ik weet het niet meer!... 48+52 is samen 100 83] Opgave 10: 100-86= of 86+..=100 14! 86 erbij 14 is 100 want 80+10 en 6+4 is samen 100 84] Opgave 11: 102-90= of 90+.=100 90+12=102. Dus moet hij nog 12 bladzijde lezen. Erbij tellen van 90 naar 102 is 12. Dat weet ik! 12! Dat weet ik gewoon. Die som hebben we al eens gehad: 10+90=100; dan nog die 2 85] Opgave 16: 900-595 of 595+…=900 Hij ziet gewoon dat het verschil 305 is. 900-305=595 305! Hij ziet gewoon dat 305 erbij 900 geeft

Figuur 7.17 - Voorbeelden van de directe associatie van de aftrekking van de opgave met de passende optelling

De houding en communicatie van de toetsassistent bij doorvragen kan veel uitmaken. Op de vraag hoe ze op hun antwoord zijn gekomen, reageren sommige kinderen door te zeggen dan ze dat gewoon weten ( tweede oplossing van voorbeeld 84). Andere leerlingen verantwoorden hun optelling door de onderliggende getalrelaties (uitvoerig) te expliciteren (tweede oplossing van voorbeeld 81). De tweede oplossing van voorbeeld 82 illustreert hoe kinderen dan in de war kunnen raken. Met deze observatie sluiten we de staalkaart van methoden en vormen van aftrekken af.

233

Hoofdstuk 8 Omgang met de context en de getallen

8.1

lnleiding Nog sterker dan voor ‘Bewerkingen optellen’, geldt bij aftrekken dat de mate van beheersing sterk wordt beïnvloed door de context van de opgave. De context zorgt ervoor dat aftrekken de betekenis kan hebben van vergelijken, van aanvullen of van wegnemen, terwijl bij een ‘kale opgave’ de betekenis eenduidig door het bewerkingsteken ‘-‘ wordt aangegeven. Opgaven die leerlingen wel beheersen wanneer zij als een contextloze aftrekking worden aangeboden, worden niet meer of minder goed beheerst wanneer de leerling de bewerking uit de context moet afleiden. In dit geval is het probleem zelfs zo groot dat we afzonderlijke ontwikkelingslijnen afbeelden voor aftrekopgaven zonder context en aftrekopgaven met context (Noteboom e.a. 2000, 57). Zeker voor het onderwerp ‘Bewerkingen aftrekken’ geldt dat bij een volgend onderzoek meer aandacht geschonken moet worden aan de invloed van de context of misschien van de interactie tussen de context en het oplossingsgedrag van de leerlingen (ibid. 61-62).

Zoals gezegd in de inleiding van deze dissertatie, waren bovenstaande aanwijzing en verzoek van Noteboom en haar collega’s die verantwoordelijk waren voor de derde rekenpeiling halverwege de basisschool, de aanleiding om bij de vierde rekenpeiling oplossingswijzen systematisch te verzamelen en te analyseren. Hoofdstuk 7 heeft de gegevens van de eerste analyse in kaart gebracht: de vormen van rijgen, splitsen en beredeneren/weten die de leerlingen gebruiken, het patroon in de gebruiksfrequentie ervan en succes per niveau van hoofdrekenen. Hoofdstuk 8 zoomt nu in op de relatie tussen de context en de getallen van de opgaven en de wijze waarop de leerlingen de gegevens van de opgave wiskundig organiseren en de getallen aritmetisch bewerken. Het vormt het tweede luik van de analyse van de oplossingswijzen. Het derde luik van hoofdstuk 9 rapporteert ten slotte de resultaten van de analyse van wat er bij beschrijven en bewerken mis gaat en wat de bron van het probleem is.

235

Hoofdstuk 8

Zoals eerder betoogd blijkt uit de literatuur, dat inhoudelijke aspecten en vormaspecten van een contextprobleem, via de grafische, tekstuele en numerieke informatie van de opgave, de schematisering en bewerking beïnvloeden. Dit bracht Beishuizen (1997) op het idee om de berekeningen van de onderzochte leerlingen ‘dubbel’ te coderen, na de ontdekking van patronen in oplossingswijzen die met de gebruikelijke Leidse codering verborgen bleven (zie hoofdstuk 4). Deze dubbele codering werkt als volgt. Het eerste toegekende label, de strategie, verwijst naar de wiskundige schematisering, de manier waarop de leerling de numerieke gegevens en het onbekende van het probleem met elkaar in verband brengt, die wordt gekenmerkt door de rekensom die dit oplevert. Het tweede toegekende label, de methode, verwijst naar de aritmetische bewerking van de getallen, dat wil zeggen naar de rekenmethode die de leerling gebruikt om de getallen van een ‘som’ te bewerken. Dit principe is nu toegepast om patronen op te sporen in het gebruik van de mogelijke combinaties van aftrekstrategie en rekenmethode die wijzen op de invloed van (a) de context, (b) de getallen, (c) de interactie tussen beide en (d) de interactie tussen deze opgavenkenmerken en het niveau van de drie vaardigheidsgroepen. Bij de beschrijving van de opzet en de analyse van de oplossingen vanuit deze invalshoek (paragraaf 5.4.2) is expliciet aangegeven dat het onderzoeksdesign op de eerste plaats is gekozen om de leerlingen de kans te geven om hun kennis en kunde te tonen, om zo systematisch mogelijk te beschrijven hoe en op welk niveau van formalisering zij PPON-opgaven oplossen. Het design is dus niet opgezet om de invloed van de context, de getallen, het vaardigheidsniveau en de interactie tussen deze variabelen systematisch te onderzoeken. De contexten, getallen en ankeropgaven zijn echter zodanig gekozen, dat deze invloed en interactie kleinschalig en oriënterend kan worden verkend. Op grond van de gevonden patronen formuleerde Beishuizen (1997) de hypothese dat de gebruikte combinatie van strategie en methode de moeilijkheidsgraad van een opgave direct beïnvloedt, door het beroep dat deze combinatie doet op specifieke rekenkennis (getalbegrip en begrip van aftrekken als conceptuele bouwstenen) en specifieke procedures (tel- en rekenvaardigheden als instrumentele bouwstenen). Vanuit deze invalshoek oppert Beishuizen dat alle geleerde manieren van rijgen zich probleemloos met de drie aftrekstrategieën laten combineren: aftrekken, aanvullen en leeg maken en dat deze flexibiliteit van rijgen voor een groot deel het succes van alle vaardigheidsgroepen bij rijgen verklaart. Aanvullen via het tiental zou, vanuit dit oogpunt bekeken, verklaren waarom een leerling met een lage vaardigheid een opgave op deze manier correct oplost, terwijl een groepsgenoot met meer vaardigheid een foutief antwoord geeft, bijvoorbeeld omdat deze een passend optelfeit probeert te gebruiken en zich vergist bij het compenseren. De oplossingswijzen zijn nu, vanuit deze invalshoek, op drie niveaus geanalyseerd. Paragraaf 8.2 brengt op het niveau van de vaardigheidsgroep het gebruikspatroon van de combinatie van strategie en hoofdrekenmethode en de variatie in succes in kaart. In het verlengde hiervan presenteert paragraaf 8.3 de gevonden patronen bij het

236

Omgang met de context en de getallen

opsporen van de verwachte invloed van twee eigenschappen van de opgaven: (a) de betekenis van aftrekken die de leerling in de opgave herkent en (b) de orde van grootte van het verschil tussen de getallen. Paragraaf 8.4 zoomt in op het strategiegebruik per opgave van de gemaakte set. De gebruiksverdeling van ‘aftrekken’, ‘optellen tot’ en ‘aftrekken tot’ wordt daarbij als indicator gebruikt voor de mate van invloed van de context en de vorm van de opgave (via de betekenis van aftrekken die de leerling herkent) en de getalrelatie die de leerling kan benutten als indicator van de invloed van de getallen van deze context- of formuleopgave. Paragraaf 8.5 rapporteert de analyse van het strategiegebruik in de oplossingen van de zogenoemde ankeropgaven, dat wil zeggen van de opgaven die leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen hebben gemaakt. Het laat binnen de beperkte mogelijkheden van het onderzoeksdesign de overeenkomsten en verschillen zien tussen de drie vaardigheidsgroepen in de schematisering van eenzelfde opgave en de bijbehorende variatie in de mate van succes. Paragraaf 8.7 integreert ten slotte de bevindingen en brengt het geheel in verband met de eerste balans die gemaakt is aan het einde van hoofdstuk 7. Het introduceert, al doende, het derde luik van de rapportage in de vorm een staalkaart van de onjuiste (c.q. incorrecte) manieren van schematiseren, bewerken en terugkoppelen als bron van foutieve antwoorden.

8.2

Combinatie van de hoofdrekenmethode met de aftrekstrategie

Hoe vaak combineren de drie vaardigheidsgroepen rijgen, splitsen, beredeneren en weten met ‘aftrekken’ of ‘overbruggen’? En: hoe sterk varieert het succes dat met deze combinaties wordt behaald? Deze paragraaf geeft hier antwoordt op. Hiertoe toe zijn 1646 oplossingen van het bestand van 1852 geregistreerde oplossingen geanalyseerd. Oplossingen van het type Anders (N=107) zijn buiten beschouwing gelaten, omdat men in die oplossingen niet herkent hoe de leerling schematiseert en/of de getallen bewerkt. De 99 Restoplossingen tellen ook niet mee, omdat ze geen relevante informatie verschaffen. De gebruiksfrequentie en het succes zijn, in percentages, in de tabellen 8.1a/b t/m 8.3 a/b in beeld gebracht. De patronen die deze data zichtbaar maken worden hieronder per vaardigheidsgroep beschreven. Groep Laag De percentages van tabel 8.1a tonen een dominant gebruik van overbruggen (68%) en van de combinatie met rijgen-overbruggen (49%) door de leerlingen uit groep Laag.

237

Hoofdstuk 8 Tabel 8.1a - Gebruiksfrequentie (in percentages) van de combinatie strategie-methode in de groep Laag Strategie Aftrekken Overbruggen Totaal

Rijgen 22 (N=106) 49 (N=238) 71

Methode Splitsen Beredeneren 5 3 (N=26) (N=13) 5 7 (N=24) (N=33) 10 10

Aantal bewerkingen

Weten 2 (N=9) 7 (N=36) 9

32

(N=154)

68

(N=331) 100 (N=485)

We herkennen in de verdeling het gebruik van optelfeiten bij direct weten (37 keer) en de lage gebruiksfrequentie van splitsen (10%). De verdeling verschaft een belangrijke informatie: de leerlingen passen vrijwel even vaak splitsen toe in combinatie met overbruggen als in combinatie met aftrekken. De analyse op opgaveniveau geeft aan dat ze aftrekken óf aanvullen, en nooit splitsend leeg maken. Tabel 8.1b - Succes (in percentage) in de groep Laag per gebruikte combinatie Strategie

Methode Rijgen

Splitsen

Beredeneren

Weten

Aftrekken

87

31 (8 van de 26)

15 (2 van de 13)

100 (9 van de 9)

Overbruggen

81

42 (10 van de 24)

64 (21 van de 33)

94 (34 van de 36)

De variatie in succes geeft nieuwe informatie in vergelijking met de aanvankelijke analyse zonder onderscheid van strategie (vergelijk tabel 7.2) –

–

–

–

Beide rijgcombinaties gaan vaak gepaard met een goed antwoord en, omgekeerd, geven leerlingen vaak een foutief antwoord, wanneer ze splitsend aftrekken of aanvullen; Leerlingen die splitsend aanvullen komen iets vaker op een goed antwoord dan leerlingen die splitsend aftrekken. Dit laat zich verklaren door de verhouding tussen het aantal opgaven met tientaloverschrijving die met een foutief aftrekalgoritme worden opgelost en het aantal opgaven zonder tientaloverschrijving waarbij de leerling de tienen en lossen (tellend) kan aanvullen. Deze tendens is veel sterker bij beredeneren. Ze laat zich verklaren door het aantal oplossingen waarin de leerling correct met optelfeiten puzzelt en de foutieve compensatie bij herleiden op basis van een aftrekfeit. Puzzelen op dit ontwikkelingsniveau loont, afsplitsen en compenseren (nog) niet. De omgekeerde tendens tekent zich ten slotte bij rijgen af: de combinatie met aftrekken leidt vaker tot een correct antwoord dan de combinatie met aanvullen / leeg maken. Dit is om twee redenen zeer opmerkelijk. Ten eerste, omdat

238


rekendidactici bewust contextproblemen voorleggen die aansporen om aan te vullen of leeg te maken, opdat leerlingen op termijn aftrekopgaven waarvan de getallen zich daarvoor lenen, op deze manier ‘handig’ kunnen uitrekenen. Ten tweede, omdat de leerlingen beduidend vaker rijgen met overbruggen dan met aftrekken combineren (respectievelijk 49% en 22%), terwijl ze met deze combinatie vaker een foutief antwoord vinden (resp. 19% en 13%). Overbruggen loont in die zin tegen de verwachting in, minder dan aftrekken. Groep Midden De frequentieverdeling van tabel 8.2a toont een evenwichtig gebruik van aftrekken en overbruggen (52% tegen 48%) en van de twee meest gebruikte combinaties: Rijgenoverbruggen (39%) en Rijgen-aftrekken (32%) bij de groep Midden. Tabel 8.2a - Gebruiksfrequentie (in percentages) van de combinatie strategie-methode in de groep Midden Strategie Aftrekken Overbruggen Totaal

Rijgen 32 (N=177) 39 (N=217)

Splitsen 14 (N=79) 4 (N=25)

71

18

Methode Beredeneren 5 (N=26) 4 (N=23) 9

Weten 1 (N=4) 17 (N=6) 2

Aantal bewerkingen 52 (N=286) 48 (N=271) 100 (N=557)

Tabel 8.2b - Succes (in percentages)in de groep Midden per gebruikte combinatie Strategie Aftrekken

Rijgen 86

Overbruggen

87

Methode Splitsen Beredeneren 42 62 (8 van de 26) (16 van de 26) 48 64 (10 van de 24) (15 van de 23)

Weten 100 (9 van de 9) 89 (4 van de 5)

Dat deze groep iets vaker indirect optelt (aanvult) duidt op de invloed van de getallen. Deze leerlingen hebben immers twee kale aftrekkingen (van de 6 of 8 opgave) gemaakt, die in de regel door het minteken aftrekken uitlokken. Dat de groep vaker aftrekt bij splitsen past bij positioneel rekenen en bij de getallen van de gemaakte opgaven die, op één na, allemaal een beroep doen op aftrekken vanaf een rond getal of met de mengvorm, dan wel met tekort of via het openen van een tiental. We herkennen ook in de tabel het gebruik van optelfeiten bij beredeneren/weten die ook duiden op de invloed van context en de getallen. De percentages/aantallen van tabel 8.2b laten zien dat succes min of meer onafhankelijk is van strategie. Dit wijst erop dat in de middengroep de strategische component van de combinatie er minder toe doet dan de procedurele component. Een

239

Hoofdstuk 8

gemiddelde leerling is, globaal genomen, meer vertrouwd met rijgen dan met beredeneren en splitsen. In die zin weerspiegelt de verworven hoofdrekenbekwaamheid van de middengroep de volgorde van aanbieding bij de geleerde methode. Groep Hoog De groep Hoog heeft in één op de vier oplossingen met ± 90% succes geregen. De gebruiksfrequentie van tabel 8.3a laat zien dat deze leerlingen in deze bewerkingen bijna drie keer zo vaak het verschil tussen beide getallen uitrekenen als dat ze het kleinste getal van het grootste aftrekken (57% tegen 21%). Dit geeft aan dat de hoofdrekenbekwaamheid in grote mate berust op het verworven vertrouwen in rijgen en op de voordelen die aanvullen en/of het gebruik van optelfeiten en optelrelaties oplevert ten opzichte van aftrekken en/of de inzet van aftrekfeiten en/of aftrekrelaties. Tabel 8.3a - Gebruiksfrequentie (in percentages) van de combinatie strategiemethode in de groep Hoog Strategie Aftrekken Overbruggen Totaal

Rijgen 21 (N=127) 57 (N=347) 78

Methode Splitsen Beredeneren 10 4 (N=63) (N=27) 2 4 (N=6) (N=22) 12

8

Weten 1 (N=4) 1 (N=8) 2

Aantal bewerkingen 37 (N=221) 63 (N=383) 100 (N=604)

Tabel 8.3b - Succes (in percentages)in de groep Hoog per gebruikte combinatie Strategie

Methode Rijgen

Splitsen

Beredeneren

Weten

Aftrekken

88

60 (8 van de 63)

67 (18 van de 27)

100 (4 van de 4)

Overbruggen

93

33 (2 van de 6)

73 (16 van de 22)

100 (8 van de 8)

De neiging tot overbruggen bij rijgen drukt haar stempel op het totaal gemiddelde gebruik van overbruggen (63% tegen 37% aftrekken). In die zin maken leerlingen met de hoogste vaardigheid optimaal gebruik van de kans die realistisch hoofdrekenen biedt om veelzijdig en flexibel te rijgen. De tweedeling in de data, wat het succes betreft, tussen rijgen aan de ene kant en splitsen en beredeneren aan de andere kant, relativeert echter de kracht en voordelen van realistisch hoofdrekenen. Ze scherpt de indruk aan die wij in hoofdstuk 7 van beide methoden hebben gekregen. De meest vaardige leerlingen kunnen niet goed genoeg splitsen en beredeneren om ook optimaal te kunnen profiteren van de voordelen die splitsend én beredenerend aftrekken kunnen hebben.

240


Patroon Concluderend kunnen we vaststellen dat de dubbele codering van de oplossingswijzen, zoals aanbevolen door Beishuizen (1997), de relatie heeft bloot gelegd tussen de gebruikte combinatie van aftrekstrategie en methode en de mate van succes (en dus van de moeilijkheidsgraad van de gemaakte set opgaven). De verdeling per vaardigheidsgroep laat zich als volgt weergegeven. Bij realistisch probleemoplossen spelen drie clusters van factoren op elkaar in: – – –

de conceptuele en procedurele voorwaarden waar de combinatie van strategie en methode een beroep op doet, de kenmerken van de opgaven die de geschiktheid van de combinatie bepalen en de beschikbare kennis en bekwaamheid van de leerling die de mate van inzichtelijk denken en automatisch handelen bepalen.

Het gevolg van de wisselwerking is dat, op tijdstip t van de voortgang, het voor een leerling uit de vaardigheidsgroep v, meer of minder loont, om strategie s met de methode m te combineren, afhankelijk van de bouwstenen b, waar de verschillende combinaties een beroep op doen (zie paragraaf 4.6.2). De analyseresultaten maken nu een sterke kant en een zwakke kant van de verworven hoofdrekenbekwaamheid aannemelijk. Rijgen loont in alle drie de vaardigheidsgroepen, omdat de leerlingen over voldoende bouwstenen beschikken om deze methode flexibel in te zetten. Dat wil zeggen dat ze de methode rijgen passend gebruiken in combinatie met de strategieën aanvullen dan wel leeg maken en aftrekken. Leerlingen met de hoogste vaardigheid zijn daar meester in geworden. Leerlingen met de laagste vaardigheid lijken niet optimaal te profiteren van de flexibiliteit van de rijghandelingen door problemen die ze ondervinden bij aanvullen en/of leeg maken. De verworven bouwstenen, en dus de volgorde van aanbieding van de drie methoden, maken dat beredeneren en splitsen minder goed uit de verf komen en relativeren in die zin de kracht van realistisch hoofdrekenen ‘hier’ en ‘nu’. Het gros van de leerlingen mist teveel conceptuele en procedurele voorwaarden om deze methoden adequaat en effectief te kunnen afwisselen met rijgen. De invloed van de context en de getallen van de voorgelegde set opgaven is nu vanuit deze veronderstelling verkend, eerst globaal per set en vervolgens verfijnd per opgave. De resultaten van deze oriëntatie worden in de hierna volgende paragrafen gepresenteerd.

8.3

Invloed van de context en de getallen van de gemaakte set opgaven

De uitgevoerde analyse is gebaseerd op de bevinding dat leerlingen de relatie, die in een contextprobleem wordt beschreven, verschillend interpreteren, afhankelijk van de

241

Hoofdstuk 8

betekenis die zij, in die context, aan aftrekken hechten. Daarnaast kunnen leerlingen ook een formele aftrekopgave als 62 - 48 verschillend interpreteren, als aftrekking of als verschil. Freudenthal (1984b) en de vernieuwers van het rekenprogramma gingen er van uit dat leerlingen vrij snel beseffen dat zij ‘van het begin’ of ‘van het eind’ kunnen aftrekken (Veltman, 1993) en dat zij het ook vrij snel vanzelfsprekend vinden om de helft van het verschil tussen beide getallen als criterium te nemen voor de keuze tussen ‘aanvullen’ en ‘aftrekken’. Deze paragraaf geeft nu antwoorden op de twee vragen omtrent deze invloed van de context en de getallen op het niveau van de gemaakte sets opgaven: welk patroon tekent zich af in de relatie tussen het strategiegebruik en (a) de verschijningsvorm van aftrekken in de gemaakte opgaven en (b) de orde van grootte van het verschil tussen de twee getallen? De analyseresultaten worden hieronder in de volgorde van de vragen gepresenteerd.

8.3.1

Relatie tussen de verschijningsvorm (c.q. betekenis) van aftrekken en het strategiegebruik

Tabel 8.4 geeft een overzicht van de gevormde analyse-eenheden. Tabel 8.4 – Analyse-eenheden bij het opsporen van de invloed van de context Betekenis en/of verschijningsvorm *

Oplossingswijzen** Laag

Midden

Hoog

Aanvullen

Opgaven 1, 5 en 11

Opgaven 1, 8 en 11

Opgaven 11 en 17

Verschil bepalen

Opgaven 2 en 6

Opgaven 6 en 13

Opgaven 6 en 13

Deel uitrekenen

Opgaven 3 en 9

Opgave 9

Opgaven 9 en 14

Afhalen

Opgaven 4

Opgaven 10 en 12

Opgaven 12

(*) De drie formuleopgaven (60-35=; 100-86=; 62-48=) zijn beschouwd als opgaven met de betekenis van ‘aftrekken’ (**) De ankeropgaven zijn onderstreept.

Algemene tendens De staven van diagram 8.1 maken de tendens in de totale groep zichtbaar. Op dit analyseniveau is geen verschil gemaakt tussen de twee overbruggingstrategieën optellen tot en aftrekken tot, omdat ‘leeg maken’ slechts bij uitzondering is gebruikt.

242

Omgang met de context en de getallen Gebruiksverdeling van aftrekken en overbruggen in de totale onderzoeksgroep

frequentie

aftrekken

overbruggen

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% aanvullen

verschil bepalen

deel uitrekenen

afhalen

Verschijningsvorm Diagram 8.1 - Gebruiksverdeling van aftrekken en overbruggen in de totale onderzoeksgroep

De staafverdeling laat zien dat de leerlingen de overbruggingsstrategie vooral gebruiken bij het oplossen van opgaven waarin aftrekken de vorm aanneemt (c.q. de betekenis heeft) van ‘aanvullen’, ‘verschil bepalen’ en ‘deel uitrekenen’ en dat ze de opgaven van de categorie ‘afhalen’ (waaronder de drie ‘kale' aftrekkingen) overwegend via aftrekken uitrekenen. Gebruiksfrequentie per vaardigheidsgroep Tabel 8.5 toont, per vaardigheidsgroep, de gebruiksfrequentie van de strategieën aftrekken en overbruggen per onderscheiden klassen opgaven. De percentages maken de volgende trend zichtbaar. 1. Aanvulopgaven worden overwegend overbruggend opgelost. Leerlingen uit de middengroep passen in hun contextproblemen van dit type het vaakst de aftrekstrategie tot (30%). 2. Hetzelfde patroon komt terug in de oplossingen waar een verschil of het deel van iets wordt uitgerekend, zij het dat elke vaardigheidsgroep vaker aftrekt en de middengroep het vaakst (36%). 3. ‘Afhaalopgaven’ opgaven worden ten slotte in de groepen Laag en Midden meer eenzijdig met aftrekhandelingen uitgerekend dan in groep Hoog, waar overbruggen in 30% van de oplossingen van deze klasse opgaven wordt toegepast, waaronder die van het unieke ‘afhaalprobleem’.

243

Hoofdstuk 8 Tabel 8.5 - Gebruiksverdeling (in percentages) van aftrekken en overbruggen in de drie vaardigheidsgroepen per verschijningsvorm (c.q. betekenis) van aftrekken Groep

Betekenis (c.q. verschijningsvorm) van aftrekken Verschil Deel Aanvullen bepalen uitrekenen 8 30 21 91 70 79 100 100 100 30 36 39 70 64 61 100 100 100 13 23 36 87 77 64 100 100 100

Strategie Aftrekken Overbruggen Totaal Aftrekken Overbruggen Totaal Aftrekken Overbruggen Totaal

Laag Midden Hoog

Afhalen 91 9 100 93 7 100 70 30 100

Deze tendens betekent, concluderend 1. dat alle drie de vaardigheidsgroepen globaal genomen, volgens hetzelfde patroon op de verschijnvorm (c.q. betekenis) van aftrekken reageren en 2. dat de variatie in het gebruik van aftrekken en overbruggen sterk overeenkomt met de geobserveerde verschillen in de gebruiksfrequentie van de combinaties van aftrekmethode en strategie.

8.3.2

Relatie tussen de orde van grootte van het verschil tussen de getallen en het strategiegebruik

In deze paragraaf gaan we na of er aanwijzingen zijn, dat de leerlingen - lettend op de orde van grootte van het verschil tussen het aftrektal en de aftrekker - bewust kiezen tussen aftrekken en overbruggen. Tabel 8.6 toont hoe de 646 berekeningen zijn gesorteerd om dit vast te kunnen stellen. Tabel 8.6 – Analyse-eenheden bij het opsporen van de invloed van de orde van grootte van het verschil Verschil aftrektal aftrekker

Oplossingswijzen* Laag

Midden

≤ ½ van aftrektal

Opgaven 1, 3 en 9

Opgave 1

> ½ van aftrektal

Opgaven 2, 4, 5, 6, 9 en 11

Opgaven 6, 8, 9, 10, 11, 12 en 13

Hoog

Opgaven 6, 9, 11, 12, 13, 14, 16 en 17

*Ankeropgaven zijn onderstreept

Invloed van de orde van grootte van de getallen De in diagram 8.2 samengevatte resultaten laten zien dat de leerlingen tegen de verwachting in handelen. Aftrekken domineert namelijk in de berekeningen van de klasse opgaven met getallen die beter met aanvullend optellen kunnen worden bewerkt.

244

Omgang met de context en de getallen Relatie tussen het strategiegebruik en de orde van grotte van het verschil tussen aftrektal en aftrekker

frequentie

overbruggen

aftrekken

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

≤ de helft > de helft ≤ de helft > de helft ≤ de helft > de helft LAAG

MIDDEN

HOOG

Diagram 8.2 - Orde van grootte van het verschil tussen de getallen en strategiegebruik

Dit patroon maakt aannemelijk dat andere kenmerken van de getallen in het spel zijn dan de orde van grootte van het verschil tussen aftrektal en aftrekker. Gebruikspatroon bij aftrekken als ‘afhalen’ Diagram 8.3 toont de gebruiksverdeling van aftrekken en overbruggen in de berekeningen van de drie formluleopgaven 4 (60 - 35), 10 (100 - 86) en 12 (62 - 48) en die van contextprobleem 16 (900 - 595), waar aftrekken de betekenis heeft van ‘afhalen’. Deze opgaven lenen zich stuk voor stuk meer voor aanvullend optellen dan voor aftrekken. De staafverdeling laat zien dat de leerlingen in het gros van de oplossingen juist de tegenovergestelde strategie volgen. De drie kale aftrekkingen worden slechts bij uitzondering via aanvullend optellen opgelost, 100 - 86 vaker dan 62 48 en 60 - 35. In de groep Hoog contrasteert de schematisering van het ‘afhaalprobleem’ met de aanpak van de kale aftrekking 62-48 (opgave 12). De helft van de leerlingen negeert de context en gebruikt 600 als knooppunt om de stipsom 598 + .. = 900 uit te rekenen, terwijl de aftrekking 62 - 48 in slechts 7% van de berekeningen overbruggend wordt uitgerekend. De nog lagere gebruiksfrequentie van overbruggen in de groep Midden ondersteunt de veronderstelling dat leerlingen zich door andere eigenschappen van deze opgave laten leiden dan door de orde van grootte van het verschil tussen 48 en 62. De oplossing van de tweede formuleopgave 100 - 86 bevestigt dit. In één op de tien oplossingen heeft de leerling 86 + .. = 100 (meestal correct) uitgerekend in plaats van 86 van 100 af te trekken. Een voor de hand liggende verklaring is dat de combinatie van 86 met 100 sterk de associatie oproept met de bekende splitsing van 100 in 80 + 20.

245

Hoofdstuk 8 Strategiegebruik bij de vier opgaven waar aftrekken de betekenis heeft van 'afhalen' 100%

aftrekken

overbruggen

frequentie

80% 60% 40% 20% 0% opgave 04 (L) opgave 10 (M) opgave 12 (M) opgave 12 (H) opgave 16 (H) 60-35 100-86 62-48 62-48 900-595

Diagram 8.3 - Strategiegebruik bij de vier opgaven waar aftrekken de betekenis heeft van ‘afhalen’

8.3.3

Patroon

Bovenstaande analyseresultaten maken, concluderend, drie aspecten aannemelijk van de wijze waarop leerlingen halverwege de basisschool met de context en de getallen van hun aftrekopgaven omgaan: – –

–

Ze laten zich in de regel sterk leiden door de context. Ze passen daarbij de overbruggingsstrategie vooral toe in situaties waar er sprake is van ‘aanvullen’, ‘verschil bepalen’ en ‘deel uitrekenen’ en de aftrekstrategie vooral bij het uitrekenen van formuleopgaven. Als ze het minteken van een formuleopgave of de suggestie van de stam en de vraag van een zuiver aftrekprobleem negeren, komt het eerder door de directe associatie van de getallen van de opgave met een bekend rekenfeit (c.a. afsplitsing van een getal), dan door een bewuste afweging op basis van de orde van grootte van het verschil tussen de getallen.

Dit patroon is nu kwalitatief en per set, op opgavenniveau opgespoord. De resultaten van deze analyse worden hieronder per vaardigheidsniveau gepresenteerd.

8.4

Interactie tussen de betekenis van aftrekken en de relatie tussen de getallen van de opgave

‘Vroeger’ werden leerlingen geacht de juiste aftrekking uit de tekst en de vraag van een redactieopgave te abstraheren. ‘Nu’ wordt juist verwacht, dat zij de bewerking adequaat op de getallen afstemmen. Om zichtbaar te maken of ze dat doen en om bovenstaande

246


aanname hieromtrent te kunnen toetsen, zijn de oplossingen van de drie vaardigheidsgroepen, per opgave en per aftrekstrategie gesorteerd. De staven van de diagrammen 8.4, 8.5 en 8.6 geven de gebruiksverdeling van (i) aftrekken), (ii) optellen tot en (iii) aftrekken tot, per opgave weer. De opgaven zijn per type context gegroepeerd. De mate van overeenkomst tussen de meest gevolgde strategie en de betekenis van aftrekken in de betreffende cluster aftrekproblemen bepaalt de volgorde van de opgaven in deze cluster. De resultaten van deze analyse worden hieronder per vaardigheidsgroep gepresenteerd. Telkens worden eerst de invloed van de context geëxpliciteerd en vervolgens die van de getallen die de invloed van de context versterkt of juist tegenwerkt.

8.4.1

Groep Laag

Afgezien van opgave 2 en 6, toont de staafverdeling van diagram 8.4 een stabiel patroon in het gebruik van de drie aftrekstrategieën. Invloed van de context De leerlingen reageren conform de hierboven gerapporteerde algemene trend. De drie aanvulproblemen (opgave 1, 5 en 11) worden vrijwel uitsluitend aanvullend optellend opgelost. Een verschil of het onbekende deel van iets wordt eveneens overbruggend opgelost (opgaven 2 en 6), terwijl de kale aftrekking 60 - 35, op één oplossing na, aftrekkend wordt uitgerekend. Stragiegebruikper opgave in de groep Laag aftrekken

optellen tot

aftrekken tot

100% 90% 80% frequentie

70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

opgave 1

opgave 5 opgave 11 opgave 2 aanvullen

opgave 6

verschil

opgave 3

opgave 9

opgave 6

deel-geheel

Diagram 8.4 – Strategiegebruik per opgave in de groep Laag (frequentie in %)

247

afhalen

Hoofdstuk 8

Invloed van de getallen Er zijn twee aanwijzingen voor de invloed van de getallen. Het eerste is de gevolgde rekenrichting bij het uitrekenen van het verschil in leeftijd bij opgave 2 en in prijs bij opgave 6, het tweede de relatieve hoge gebruiksfrequentie van aftrekken bij opgaven 3, 6 en 9. Zowel bij opgave 2 als bij opgave 6 sporen de tekst, de presentatie van de gegevens en de gestelde vraag sterk aan om het betreffende verschil van ‘hoog’ naar ‘laag’ in de aftrekrichting, dus via indirect aftrekken tot, uit te rekenen: Joyce weegt 18 kilo en Lex 22. Hoeveel kilo is Joyce lichter dan Lex? 22-..=18 en niet 18+..=22 De bloes met de korte mouwen is goedkoper (€ 24) dan de bloes met de lange mouwen (€ 24). Hoeveel euro goedkoper? 40-..=24 en niet 24+..=40

Bij opgave 6 negeren de meeste leerlingen de gesuggereerde rekenrichting. Ze vullen aan in plaats van leeg te maken. Een aanzienlijke groep leerlingen rekent echter het verschil tussen 18 jaar en 22 jaar van ‘hoog’ naar ‘laag’ uit, conform de tekst en structuur van de opgave. De voor de hand liggende verklaring voor aanvullen tegen de context in is, dat veel leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep (a) inmiddels weten dat het er in dergelijke situaties niet toe doet of ze aanvullen of leeg maken en (b) bij voorkeur in de telrichting verder tellen (19, 20, 21, 22  4), dan wel verder springen via het tiental (2022 4) of over het tiental verder optellen (18+4=22, dus 4). De getallen versterken de sturing door de context in die zin, dat ze aansluiten bij de wetenschap van de tweezijdigheid van ‘verschil bepalen’ en vertrouwde aanvulprocedures. Op een vergelijkbare manier houden de getallen, evenals de context, aftrekken (22– 18=) buiten het blikveld, zoals de staafverdeling dat zichtbaar maakt. De verdeling in opgave 6 roept echter eerder het beeld op van een krachtenspel tussen aantrekkelijke bewerkingen: ‘aanvullen van 24 tot 40’ enerzijds en ‘24 van 40 aftrekken’ anderzijds. Aanvullen is om dezelfde redenen als bij opgave 2 aantrekkelijk. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat aftrekken aantrekkelijk is voor elke leerling die €40 en €24 direct met 40 - 20 = 20 associeert. Een tweede teken van de invloed van de getallen is de relatieve hoge gebruiksfrequentie van aftrekken bij opgaven 3, 6 en 9. Het gemeenschappelijke kenmerk van de drie geabstraheerde aftrekkingen is de combinatie van een rond aftrektal met een samengestelde aftrekker: Opgave 3: 50-25= Opgave 6: 40-24 Opgave 9: 100-48

248


De vertrouwdheid met 50 - 20, 40 - 20 en 100 - 40 (c.q. de parate kennis) zou deze aanpak in de hand kunnen werken. De getallen van deze opgaven trekken in die zin aftrekken aan bij leerlingen die ‘achter deze getallen’ een aftrekfeit herkennen die ze voor een vertrouwde aftrekbewerking kunnen gebruiken.

8.4.2

Groep Midden

De invloed van de context is in de staafverdeling van de middengroep (diagram 8.5) duidelijk herkenbaar. De variatie in de verdeling van de staven roept echter de associatie op met een gedifferentieerde (c.q. flexibele) omgang met de context en vooral met de getallen van de opgaven (c.q. een flexibel gebruik van de drie strategieën). Strategiegebruik per opgave in de groep Midden aftrekken

optellen tot

aftrekken tot

100% 90% 80%

frequentie

70% 60% 50% 40%

30% 20% 10% 0% opgave 1

opgave 8 opgave 11 opgave 6 opgave 13 opgave 9 opgave 10 opgave 12 aanvullen

verschil

deel-geheel

afhalen

Diagram 8.5 – Strategiegebruik per opgave in de groep Midden (frequentie in %)

Invloed van de context Leerlingen uit de groep Midden reageren, globaal genomen, conform de algemene tendens op de voorgelegde betekenis (c.q. verschijningsvorm) van aftrekken. Twee van de drie aanvulproblemen (opgave 1 en 11) worden vrijwel uitsluitend via optellen tot opgelost. Veel leerlingen rekenen het verschil van opgave 13 en het onbekende deel van opgave 9 overbruggend uit, terwijl de twee formuleopgaven overwegend aftrekkend worden opgelost. Het gebruik van aftrekken tot en vooral het dominante gebruik van aftrekken in de oplossingen van opgave 8 (13%) zijn tegenstrijdig met het aanbod. Dit type aftrekproblemen wordt namelijk in alle rekenmethoden gebruikt om de zogenoemde

249

Hoofdstuk 8

winkelmethode te introduceren en aan te bevelen, dat wil zeggen, aanvullend optellend, via het dichtstbijzijnde veelvoud van (vijf of) tien, zoals de kassajuffrouw dat doet: 32+.-=50 via 32 en 3 is 35, en 5 is 40 en 10 is 50, dus 3+5+10 is samen 18 euro Het woord ‘terug’ in de vraag Hoeveel euro krijgt hij terug? kan, semantisch gezien, overbruggen van ‘hoog’ (50) naar ‘ laag’ (32) verklaren, maar zeker niet aftrekken. Het aandeel van aftrekken tot in de oplossingen van opgave 6 bevestigt overigens de hierboven veronderstelde invloed van tekstuele kenmerken. Invloed van de getallen De staafverdeling ondersteunt bovenstaande veronderstellingen ten aanzien van het krachtenspel tussen de context en de getallen dat tot uitdrukking komt in het aandeel van aanvullen aan de ene kant en aftrekken aan de andere kant. –

–

8.4.3

De combinatie van een rond getal als grootste getal met een samengesteld kleiner getal spoort veel leerlingen aan om opgave 8 (aanvullen), opgave 6 (verschil bepalen) en opgave 9 (deel uitrekenen) met aftrekhandelingen op te lossen, respectievelijk via 50 - 32, 40 - 24 en 100 - 48. .Wie 50 - 30, 40 - 20 en/of 100 - 80 paraat heeft, zou deze relaties ‘vanzelf’ kunnen inzetten. De vergelijkbare directe associatie van 86 met een ‘deel’ van 100 zou de aanvuloplossingen van opgave 10 (kale aftrekking 100 - 86) kunnen verklaren, wellicht via de associatie met 80 + 20 = 100 (wat moet ik dan bij 84 optellen om 100 te krijgen?).

Groep Hoog

Diagram 8.6 toont tenslotte een structureel gebruik van alle drie de strategieën bij de groep hoog, geheel in de lijn van de hierboven veronderstelde rol van de context en de getallen.

250


Strategiegebruik per opgage in de groep Hoog aftrekken

optellen tot

aftrekken tot

100% 90% 80%

frequentie

70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%

0% opgave 11 opgave 17 opgave 6 opgave 13 opgave 9 opgave 14 opgave 12 opgave 16 aanvullen

verschil

deel-geheel

afhalen

Diagram 8.6 – Strategiegebruik per opgave in de groep Hoog (frequentie in %)

Invloed van de context Contextprobleem 11 en vlekopgave (17) worden geheel in de lijn van de context, van ‘laag’ naar ‘hoog’ opgelost. Het minteken van opgave 12 trekt, zoals in de groep Midden, sterk aftrekhandelingen aan, terwijl de overige aftrekproblemen meer gedifferentieerd worden opgelost. Invloed van de getallen Het meest opmerkelijk in dit diagram is de staafverdeling van het uniek zuivere aftrekprobleem (opgave 16). Het ligt voor de hand om aan te nemen dat 595 in combinatie met 900 aanvullen via het dichtstbijzijnde tiental aantrekt bij leerlingen die 595 direct met ‘5 minder dan 600’ associëren (600 = 595 + 5, dan wel 595 + 5 = 600 of 600 – 5 = 595). De aftrekoplossingen van opgave 6 (verschil) en 9 (deel van) bevestigen dat de combinatie van een rond groot getal met een samengesteld kleiner getal aftrekhandelingen aantrekt. De staafverdeling van de opgaven 6, 13 en 16 laat ten slotte zien dat sommige leerlingen adequaat ‘terugrekenen’ in contexten die dat niet suggereren. Alleen bij opgave 6 kan uit de tekst en de vraag verklaard worden waarom ze aftrekkend overbruggen en niet aanvullend: 40-..=24 in plaats van 24+..=40 620-..=370 in plaats van 370+..=620 900-..=595 in plaats van 595+..=900

251

Hoofdstuk 8

8.4.4

Conclusie

Concluderend kan worden vastgesteld dat de leerlingen volgens een vrij stabiel patroon op de context en de getallen reageren. De geobserveerde variatie maakt aannemelijk dat de vertrouwdheid van leerlingen met specifieke getalrelaties hen ‘natuurlijkerwijs’ aanspoort om eerder de ene strategie te volgen dan de twee andere alternatieven. Als deze veronderstelling correct is, neemt de kans dat leerlingen zich meer door de getallen dan door de context laten leiden toe zodra zij beseffen dat een willekeurig aftrekprobleem (c.q. kale aftrekking) op drie manieren kan worden herleid en naarmate zij meer getallen flexibel kunnen afsplitsen (c.q. kunnen samenstellen) op basis van hun optelen aftrekrelaties met andere getallen, bijvoorbeeld 40 = 24 + 16, wetend dat 24 + 16 = 40 en dat 40 -16 dus evenveel is als 24. De geobserveerde herleidingen bij beredeneren en de oplossingen van het type ‘weten’ ondersteunen deze gedachte. Leerlingen gebruiken vooral optelrelaties die bij de aftrekking van de opgave passen. De oplossingspatronen van de drie vaardigheidsgroepen laten zien dat de leerlingen op drie manieren op de verschijningsvorm (c.q. betekenis) van aftrekken en op de tekstuele en picturale kenmerken van aftrekopgaven reageren: 1. ze volgen ‘letterlijk’ de meer impliciete of expliciete suggesties (‘conformeren’), 2. maken gebruik van alternatieve werkwijzen (accommoderen) of 3. rekenen geheel tegen de context in (negeren), dit alles, mede afhankelijk van de getalrelaties die de getallen van de context uit het geheugen oproepen, bij de interpretatie van de gegeven informaties). Vier mechanismen zijn bij dit proces geïdentificeerd: A. Het minteken van kale aftrekkingen lokt sterk aftrekken uit. B. Aanvulproblemen sporen sterk aan om aanvullend op te tellen. C. Problemen waar er sprake is van een verschil en combineren/scheiden lokken meer of minder gedifferentieerde oplossingswijzen uit, afhankelijk van de getallen. D. De combinatie van een groot rond getal (veelvoud van tien) en een samengesteld klein getal trekt sterk aftrekhandelingen aan, door de associatie die de leerling bij dergelijke paren maakt met vertrouwde aftrekkingen als 50 – 30 = 20 (afsplitsing van 50), 60 – 30 = 30 (omgekeerde ‘dubbel’) en 100 – 80 = 20 (afsplitsing van honderd’). Bovenstaande analyse ging uit van de interactie tussen de moeilijkheidsgraad van een opgave en de beschikking over de conceptuele en procedurele bouwstenen waar het gebruik van een combinatie van strategie en procedure een beroep op doet. Vanuit deze invalshoek ligt het voor de hand om aan te nemen dat het vaardigheidsniveau van de leerling haar stempel drukt op de wijze waarop de leerling een aftrekopgave schematiseert en de getallen van de geabstraheerde rekensom (c – b = ? of b + ? = c dan wel c - ? = b) bewerkt. Het onderzoeksdesign biedt, zoals eerder vastgesteld slechts de mogelijkheid om de tendens van de invloed van de voortgang in de

252


oplossingen van een vijftal ankeropgaven op te sporen. De hierna volgende paragraaf presenteert de resultaten van deze verkenning.

8.5

Relatie tussen het vaardigheidsniveau, het strategiegebruik en het succes bij aftrekken

Verschillen leerlingen uit de groep Laag, Midden en Hoog bij in de manier waarop zij de ankeropgaven schematiseren? Zo luidt de vraag bij de uitgevoerde analyse. In totaal zijn 960 ankeroplossingen geanalyseerd. De kleinste cluster oplossingen is dat van opgave 9 in de groep Laag (N=27), de grootste dat van opgave 12 in de groep Hoog (N=90). Het gemiddelde aantal waarnemingen per analyse-eenheid bedraagt 64. Tabel 8.7 geeft een overzicht van de opgavenkenmerken die een rol kunnen spelen. De verwachte verschillen in beïnvloeding zijn onder de tabel nader geëxpliciteerd. Tabel 8.7 – Kernmerken van de ankeropgaven Opg.

P waarde

1 6 9 11 12 13

67 69 56 89 54 43

Betekenis van aftrekken Aanvullen Verschil bepalen Deel uitrekenen Aanvullen Afrekken (formuleopgave) Verschil bepalen

Onderliggende aftrekking 25-12 40-24 100-48 102-90 62-48 250-189

Vaardigheidsgroep Laag en Midden Laag, Midden en Hoog Laag, Midden en Hoog Laag, Midden en Hoog Midden en Hoog Midden en Hoog

Verwachte verschillen in beïnvloeding van de ankeropgaven Betekenis Formuleopgave 12 spoort, door het minteken, sterk aan tot aftrekken, terwijl het voorgelegde aftrekprobleem meer aanstuurt op overbruggen. Opgave 6 onderscheidt zich van alle andere contextopgaven door de tekst en de vraag die aansporen om terug te rekenen. Getallen Het loont in alle gevallen om aan te vullen in plaats van af te trekken. In vier opgaven is het aftrektal een rond getal dat, blijkens bovenstaande analyse, sommige leerlingen aanspoort om af te trekken (of leeg te maken) in plaats van aan te vullen. Opgaven 6 en 9 lijken sterk op elkaar door de voor de hand liggende associatie met een bekend dubbel die zowel aanvullen als aftrekken kan uitlokken: 40 als dubbel 20 en 100 als dubbel 50. De getallen van opgaven 11 lokken daarentegen sterk aanvullend optellen uit, door het kleine verschil tussen aftrektal en aftrekker en omdat 92 dicht bij 90 ligt.

253

Hoofdstuk 8

8.5.1

Relatie tussen vaardigheidsniveau en strategiegebruik

Diagram 8.7 maakt de variatie in schematisering zichtbaar. Het beïnvloedingspatroon wordt hieronder per uitgevoerde vergelijking beschreven. Laag versus Midden versus Hoog Er zijn maar drie ankeropgaven die door leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen zijn gemaakt: – – –

opgave 6: N Laag=74; N Midden=76; N Hoog=47 opgaven 9: N Laag=27; N Midden=76; N Hoog=47) opgave 11: N Laag=38; N Midden=81; N Hoog=89)

De staafverdeling van deze opgaven laat zien dat de leerlingen uit de groep Laag deze opgaven zichtbaar minder gedifferentieerd modelleren. Ze vullen aan of trekken af, terwijl hun klasgenoten met een hoger vaardigheidsniveau ook terugrekenen (aftrekken tot). De middengroep onderscheidt zich op haar beurt van de twee andere door vaker af te trekken, een tendens die in alle uitgevoerde analyses is geconstateerd. Strategiegebruik in de oplossingen van de ankeropgaven optellen tot

aftrekken tot

Opgave 6

Opgave 9

Opgave 11

Hoog

Midden

Hoog

Midden

Midden

Laag

Hoog

Midden

Laag

Hoog

Midden

Laag

Hoog

Midden

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Laag

frequentie

aftrekken

Opgave 1 Opgave 12 Opgave 13

Diagram 8.7 – Strategiegebruik (percentage) in de oplossingen van de ankeropgaven

Laag versus Midden Welke verschillen tekenen zich af tussen de groep Midden en de groep Hoog, als we ook de oplossingen van ankeropgave 1 bij de vergelijking betrekken? De staafverdeling van deze opgave laat zien dat beide groepen op dezelfde manier op de tekst en de getallen van opgave 1 reageren, zij het dat aftrekken in de middengroep

254


iets vaker wordt toepast. Deze sterkere neiging tot aftrekken is in de verdeling van alle opgaven, op die van opgave 6 na, zichtbaar en het sterkst bij opgave 9 (40% tegen 20% in de groep Laag). De contexten verklaren de variatie: – – –

aanvullen, bij opgave 11 versus verschil bepalen, bij opgaven 6 versus combineren/scheiden, bij opgave 9.

Er tekenen zich, concluderend, twee verschillen af tussen leerlingen met een lage vaardigheid en leerlingen met een gemiddelde vaardigheid. Ze trekken enerzijds minder vaak af en profiteren anderzijds minder van de mogelijkheid om terug te rekenen. In die zin zouden leerlingen met een lage vaardigheid minder flexibel en gevarieerd hoofdrekenen dan leerlingen met een middelmatige vaardigheid. Midden versus Hoog Leerlingen uit de groepen Midden en Hoog hebben 4 ankeropgaven gemaakt, drie onder de honderd (6, 9 en 12), één over de honderd (11) en één met driecijferige getallen (13). De staafverdeling laat zien dat leerlingen uit de groep Hoog, globaal genomen, niet anders op de betekenissen van aftrekken en de getallen reageren dan de leerlingen uit de middengroep. Er tekent zich slechts een gradueel verschil af in de verhouding tussen aftrekken en overbruggen. De middengroep trekt in absolute zin vaker af, terwijl de meest vaardige leerlingen vaker beide overbruggingstrategieën toepassen, onder andere bij het oplossen van de kale aftrekking 62 - 48 van opgave 12.

8.5.2

Relatie tussen vaardigheidsniveau en succes

De percentages van tabel 8.8 tonen een grote variatie in succes. Het succes per opgave weerspiegelt de verschillen in de voortgang die op basis van de schriftelijke toets van de 4e PPON rekenpeiling zijn vastgesteld (zie hoofdstuk 6). Tabel 8.8 – Gemiddeld percentage correcte antwoorden per ankeropgave, vaardigheidsgroep en toegepaste strategie Ankeropgave 6 9 11 1 12 13

Laag

Midden

Hoog

P

AF

OV.

P

AF

OV.

P

50 63 87 67

53 60 33 100 Niet gemaakt Niet gemaakt

48 64 91 66

76 86 89 83 62 56

83 93 67 100 62 18

72 80 95 81 50 71

98 94 87

P=P-waarde; AF=Aftrekken; OV=Overbruggen

255

89 82

AF

OV.

94 100 92 94 88 99 Niet gemaakt 83 100 53 89

Hoofdstuk 8

Het percentage correcte antwoorden per strategie scherpt de algemene tendens aan die de analyse van het gebruikspatroon per vaardigheidsgroep aan het licht heeft gebracht. –

–

–

–

8.5.3

Overbruggen drukt in de groep Hoog in het algemeen en in alle drie de vaardigheidsgroepen bij de gemakkelijkste opgave 11 positief haar stempel op het succes van de leerling. Omdat de leerlingen in die oplossingen vooral aanvullend rijgen, komt deze combinatie van strategie en procedure in aanmerking als een bevorderende factor voor succes. Dit stemt overeen met de bevindingen van Beishuizen (1997) in de tweede helft van de jaren negentig. De lagere goedscores bij overbruggen in de groep Laag (afgezien van de oplossingen van opgave 11) en bij drie van de zes opgaven die de middengroep heeft gemaakt, bevestigen de eerdere aanwijzingen, dat aanvullend optellen (c.q. leeg maken) niet als zodanig ‘automatisch’ meer kans op succes geeft dan aftrekken. Het structureel verschil tussen overbruggen en aftrekken is, dat de opeenvolgende aftrekhandelingen direct tot het antwoord leiden, terwijl de leerling het verschil tussen de twee getallen indirect uit de overbruggingshandelingen (aanvullen dan wel leeg maken) moet afleiden. De kans dat de leerling ergens in de bewerking een vergissing of een fout maakt is, in die zin, bij overbruggen veel groter dan bij aftrekken. Aftrekken stelt structureel de leerlingen uit de groep Laag voor problemen. De percentages maken de interactie tussen de getallen en het vaardigheidsniveau zichtbaar. De goedscore zakt in de groep Laag tot 33% bij het uitrekenen van 102 - 90, tegen 67% in de groep Midden en 88% in de groep Hoog. Een vergelijkbaar patroon is zichtbaar in de bewerkingen van de twee hoogste vaardigheidsgroepen bij het uitrekenen van de kale aftrekking 62 - 48 (opgave 12) en 250 - 189 die sommige leerlingen uit opgave 13 abstraheren. Het succes zakt van ± 92% bij opgave 9 tot 62% in de groep Midden en 83% in de groep Hoog bij opgave 12 en tot respectievelijk 18% en 53% bij opgave 13. Deze verschillen stemmem overeen met de in hoofdstuk 6 geconstateerde verschillen in voortgang bij rekenen tot honderd en duizend.

Conclusie

Uit bovenstaande resultaten kunnen twee drie conclusies worden getrokken: 1. De verworven conceptuele en procedurele bouwstenen bepalen sterk (a) welke combinatie van aftrekstrategie en hoofdrekenprocedure een leerling meer vanzelfsprekend vindt, (b) daarom vaker gebruikt en (c) al doende meer succes heeft.

256


2. Leerlingen met een lagere vaardigheid kunnen in die zin niet alleen minder abstract en beknopt hoofdrekenen, zoals vastgesteld in hoofdstuk 7, maar ook minder gedifferentieerd (c.q. flexibel, gevarieerd). De volgende verschillen tekenen zich wat dit betreft af. Leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep rekenen het meest gedifferentieerd door hun gebruik van alle drie strategieën. Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep leunen vooral op de combinatie van rijgen met aanvullen en aftrekken. Leerlingen uit de middengroep nemen een tussenpositie in. Ze trekken vaker af, maar maken minder gebruik van terugrekenen. 3. Aanvullend rijgen bevordert evident het succes. Deze combinatie geeft echter in de groep Midden en vooral Laag, ook evident aanleiding om vergissingen of fouten te maken, die in het hierna volgende hoofdstuk worden gepresenteerd.

8.6

Terugblik en afsluitende conclusie

In paragraaf 7.7 is op grond van de analyseresultaten van de voortgang en de bouwstenen enerzijds (hoofdstuk 6) en van de vormen en niveaus van hoofdrekenen anderzijds (hoofdstuk 7), een voorlopige balans opgemaakt van de realistische modernisering van het rekenonderwijs. Deze paragraaf scherpt deze interpretatie van de opbrengsten en de beperkingen van de vernieuwing aan op basis van de informatie die de omgang met de context en de getallen heeft opgeleverd. Daarom worden hiertoe eerst de bevindingen per uitgevoerde analyse geïnventariseerd.

8.6.1

Beeld van de omgang met de context en de getallen

Binnen de mogelijkheden die het design toeliet is gepeild hoe flexibel en gevarieerd de onderzochte groepen leerlingen de aftrekopgaven van hun eigen set hebben opgelost. Recapitulerend zijn de volgende conclusies getrokken op basis van de resultaten van de analyse van de 970 bruikbare oplossingen van het type rijgen, splitsen, beredeneren en weten. A. Op basis van de resultaten van het behaalde succes bij de combinatie van de vier methoden met strategieën aftrekken en overbruggen is in paragraaf 8.2 de hypothese geformuleerd dat rijgen structureel loont, omdat elke vaardigheidsgroep over voldoende bouwstenen beschikt om deze methode passend te gebruiken, in combinatie met aanvullen dan wel leeg maken en aftrekken. Leerlingen met de hoogste vaardigheid zijn daar evident expert in geworden. Leerlingen met de laagste vaardigheid lijken juist niet optimaal te profiteren van de flexibiliteit die de rijghandelingen bieden, door problemen die ze ondervinden bij aanvullen en/of leeg maken.

257

Hoofdstuk 8

De verworven bouwstenen maken in die zin het verschil tussen rijgen aan de ene kant en beredeneren en splitsen aan de andere kant. In alle drie de vaardigheidsgroepen mist het gros van de leerlingen evident teveel conceptuele en procedurele voorwaarden om beredeneren en splitsen adequaat en effectief te kunnen afwisselen met rijgen. B. Op ditzelfde niveau is verkend wat de invloed is van de betekenis van aftrekken in de gemaakte opgave en de orde van grootte van het verschil tussen de twee getallen van deze opgave. In paragraaf 8.3 is vastgesteld dat de leerlingen, in alle drie de vaardigheidsgroepen, volgens een vrij stabiel patroon op de context en de getallen reageren. Ze modelleren in de lijn van de impliciete of expliciete suggesties van de tekst (‘conformeren’), maken gebruik van alternatieve werkwijzen (accommoderen) of rekenen geheel tegen de context in (negeren). De analyse van de invloed van de getallen maakt aannemelijk dat een leerling niet strategisch rekening houdt met de orde van grootte van het verschil tussen de getallen, maar eerder spontaan gebruik maakt van de beschikbare getalrelatie die de twee getallen van de opgave (vrijwel) onmiddellijk oproepen bij het lezen van de tekst van de opgave. In die zin beïnvloedt de interactie tussen de beschikbare bouwstenen en de parate feitenkennis daarbinnen aan de ene kant en de verschijningsvorm (c.q. betekenis van aftrekken) en eigenschappen van de twee getallen van een opgave aan de andere kant de aanpak en bewerking van deze opgave. C. De gedetailleerde analyse op opgavenniveau per set heeft bovenstaande aanwijzingen aangescherpt. Vier mechanismen zijn in paragraaf 8.4 geïdentificeerd: 1. Het minteken van kale aftrekkingen lokt sterk aftrekken uit, 2. Aanvulproblemen sporen sterk aan om aanvullend op te tellen, 3. Problemen waarbij sprake is van een verschil en van combineren/scheiden lokken meer of minder gedifferentieerde oplossingswijzen uit, afhankelijk van de getallen en 4. De combinatie van een groot rond getal (veelvoud van tien) met een samengesteld klein getal trekt sterk aftrekhandelingen aan, via de associatie met vertrouwde aftrekkingen als 50 – 30 = 20 (afsplitsing van 50), 60 – 30 = 30 (omgekeerde ‘dubbel’) en 100 – 80 = 20 (afsplitsing van honderd). D. De analyse van het strategiegebruik in de oplossingen van de ankeropgaven heeft enige informatie verschaft over de invloed van het vaardigheidsniveau op de omgang met de context en de getallen van de opgaven. Leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep buiten de drie aftrekstrategieën uit en rekenen in die zin meest gedifferentieerd. Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep leunen echter vooral op de combinatie van rijgen met aanvullen en aftrekken. Leerlingen uit de middengroep nemen een tussenpositie in. Ze trekken vaker af, maar maken minder gebruik van terugrekenen. Aanvullend rijgen bevordert evident het succes. Leerlingen uit de groepen Laag en Midden hebben daar echter evident minder baat bij door de vergissingen of

258


fouten die ze maken, als ze aanvullen met rijgen, dan wel splitsen en/of beredeneren combineren (paragraaf 8.5).

8.6.2

Tweede voorlopige balans van realistisch hoofdrekenen

In paragraaf 7.7 zijn drie aspecten als indicatoren gebruikt om de eerste voorlopige balans te maken van de realistische modernisering van het rekenonderwijs: 1. de mate van succes van de leerlingen, 2. de kwaliteit van de verworven hoofdrekenbekwaamheid en 3. aspecten van de didactiek aan de ene kant en van het aanbod en de organisatie van de leraar aan de andere kant die in aanmerking komen als onderwijsfactoren die hun stempel drukken op dit succes en deze kwaliteit. Als we nu de kerngegevens over (a) het vaardigheidsniveau, (b) de vormen en niveaus van rekenen en (c) de omgang met de context en de getallen samen nemen, dan tekenen zich onderstaande vier hoofdtrekken af van de huidige stand van zaken bij leren aftrekken tot honderd en duizend: 1. De huidige leerlingen lossen contextopgaven op met verschillende typen getallencombinaties waarin aftrekken verschillende betekenissen heeft en evident niet eenzijdig met aftrekhandelingen. Ze symboliseren op verschillende manieren de verandering of de relatie die in een aftrekprobleem is beschreven en bewerken de getallen van de geabstraheerde som met verschillende methoden en op verschillende manieren, niveaus en wijze van structureren. Al doende maken de huidige leerlingen, wat de manier van aftrekken betreft, de verwachtingen van het kerndoel hoofdrekenen waar. 2. Het contrast dat zich aftekent tussen efficiënt en effectief rijgen en direct associëren met parate kennis (weten) aan de ene kant en minder adequate en vaak incorrect beredeneren en vooral splitsen aan de andere kant en de zichtbare tendens om formuleopgaven meer eenzijdig te benaderen en te herleiden dan contextopgaven maken de kracht en de zwakke kanten van de actuele rekenlijn en rekendidactiek zichtbaar. 3. Onder de huidige onderwijscondities reageren de leerlingen spontaan op de tekst (en vraag) van de opgaven en de getallen van deze opgaven vanuit de (onmiddellijke) associatie met het paraat rekenfeit dat bij de herkende betekenis van aftrekken past. 4. De oplossing van reeksen opgaven genereert rekenschema’s die beschikbaar zijn voor een gedifferentieerde modellering van elke willekeurige aftreksituatie en voor een daarbij passende bewerking van de getallen. We lichten dit kort toe, alvorens over te gaan naar het derde luik van de rapportage in het hierna volgende hoofdstuk.

259

Hoofdstuk 8

Ad.1

Veelzijdig herleiden van aftrekopgaven

De traditionele splits-bij-tien methodiek bij rekenen tot twintig berustte op de eenzijdige gerichtheid op aftrekken in de vorm/betekenis van wegnemen: bij een ‘min’-som als 12 - 6, trek je af via de 10: 12 – 2 - 4. Door de ‘afhaal’-problemen af te wisselen met andere problemen waarbij sprake is van scheiden, gelijk maken en vergelijken, zouden leerlingen van begin af aan, natuurlijkerwijs worden geprikkeld gebruik te maken van de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Vanuit deze veelzijdige modellering van problemen zouden ze verschillende vormen en procedures van afsplitsend rekenen kunnen ontwikkelen (rijgen, splitsen en variarekenen) die ze, in de middenbouw, vanzelfsprekend zouden kunnen leren aanpassen voor de bewerking van twee- en driecijferige getallen (hoofdrekenen tot honderd en duizend) (zie de paragraven 2.5.2 en 2.5.4). Het strategiegebruik (paragrafen 8.2 t/m 8.5) en de structurering van de rijghandelingen tonen aan dat het gros van de onderzochte leerlingen deze verwachting (op eigen niveau van kennis en bekwaamheid), wat de manier van aftrekken betreft, op de drie kernpunten waar maakt: – – –

Ze organiseren de numerieke gegevens van een opgave in drie verschillende rekenstructuren (of c – b = ?, of b + ? = c, of c - ? = b) bewerken de getallen met één van de vier geleerde methoden (rijgen, splitsen, beredeneren en weten) en maken daarbij gebruik van verschillende rekenvormen op verschillende niveaus van denken, rekenen en symboliseren.

Men kan nu deze veelzijdige modellering van de relatie tussen de aantallen en meetgetallen van aftrekproblemen met optelen/of aftrekrelaties zien als een cruciale opbrengst van de probleemgerichte en interactief-reflectieve aanpak van het realistisch hoofdrekenen. De leerlingen leren evident adequaat ‘kwantitatief’ denken in de zin van Thompson (1994) en efficiënt ‘aritmetisch’ symboliseren in de zin Tall en Gray (1994). Ad.2 Kracht en zwakke kanten van de huidige realistische rekenlijn en de didactiek Vier kernaspecten typeren de realistische aanpak van leren aftrekken tot honderd en duizend: 1. het gebruik van contextproblemen als bron, model, aanjager van niveauverhoging, oefening en toepassing, 2. de interactieve reflectie op en organisatie van uitgevonden aanpakken en bewerkingen, 3. eerst leren rijgen als basisbekwaamheid en pas daarna splitsen en variarekenen en 4. de progressieve schematisering van de drie hoofdrekenmethoden via de didactische drieslag informeelcontextgebonden, semiformeel-modelondersteunend en formeel-vakmatig (hoofdstuk 2 en 3). De analyse (per set en per opgave) van hoe de onderzochte leerlingen de gegevens van hun aftrekopgaven met elkaar in verband brengen en de getallen van de

260


betreffende ‘rekensom’ (aftrekking of stipsom) bewerken, maakt drie patronen zichtbaar die aannemelijk maken dat bovenstaande vier kernaspecten van de didactiek zowel positieve als negatieve effecten hebben. Het gros van de leerlingen heeft efficiënt en effectief leren rijgen, ook al verloopt aanvullend optellen in de groep Laag niet probleemloos. Tegenover deze kracht van rijgen staan de zwakte van splitsen en de middelmaat van beredeneren. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat twee factoren de leerlingen parten spelen. De rijgende manier van modelleren in de eerst fase van het leerproces werkt natuurlijkerwijs aanvullend splitsen en beredeneren in de hand. Deze twee combinaties doen nu, afhankelijk van de getallen, een beroep op conceptuele kennis en specifieke vaardigheden waar sommige leerlingen (nog) niet over beschikken. Een tweede factor is de volgorde van aanbieding. Het gros van de leerlingen heeft vooral leren rijgen en relatief weinig leren splitsen en beredenerend leren herleiden. De kans dat sommigen, vanuit hun intuïtieve notie van positioneel en relationeel denken, uit zichzelf foutieve procedures bedenken, neemt dan toe, naarmate de leraar het leren splitsen en beredeneren uitstelt, omdat rijgen nog onvoldoende is beheerst. Deze leerlingen maken dan gedurende een zekere periode ‘tijdelijk’ de geobserveerde incorrecte bewerkingen die Beishuizen (1997) voor het eerst heeft gesignaleerd. Er zijn te weinig formuleopgaven voorgelegd om de oplossingen ervan met die van contextproblemen te kunnen vergelijken. Het zichtbare contrast tussen de flexibele schematisering van de aftrekproblemen in combinatie met een gevarieerde bewerking van de getallen aan de ene kant en de sterke tendens om de drie voorgelegde formuleopgaven vooral met aftrekhandelingen uit te rekenen doet echter vermoeden dat een aanzienlijke groep leerlingen niet beseft dat de kale aftrekkingen die de leraar aan de orde stelt niets anders zijn dan de ‘rekensommen’ die zij in aftrekproblemen kunnen herkennen en die ze soms in een stipsom veranderen. Als deze interpretatie van de data correct is, werken twee aspecten van de huidige probleemgerichte aanpak een zekere systeemscheiding in de hand. Ten eerste de langdurige contextgebonden aanloop via verkort tellend en springen. Ten tweede de formalisering in de eindfase van het proces. Leerlingen leren niet hun modellering met sprongen systematisch te transformeren in structurerend optellen en aftrekken met adequate afsplitsingen van getallen, de rekenwijze die de weg opent voor het contextloos formele rekenen (zie niveau 6 van de sequentie in paragraaf 7.3). Ad. 3 Spontane schematisering op basis van vertrouwde getalrelaties en rekenschema’s De analyse van het strategiegebruik op opgavenniveau heeft aan het licht gebracht dat drie eigenschappen van een aftrekopgave een rol spelen bij de oplossing van een aftrekopgave: 1. de betekenis/verschijningsvorm van aftrekken die de tekst en de vraag van een contextprobleem evoceren, 2. het ‘plusteken’ van een stipsom/vlekkenopgave en het ‘minteken’ van een kale aftrekking die als signaal werken voor respectievelijk ‘verder optellen’ en ‘aftrekken’ en 3. het getalpaar van een

261

Hoofdstuk 8

context of van een kale rekensom die de associatie oproept met een paraat feitenkennis en een daarbij passende manier van aftrekken, aanvullen of leegmaken. De gevonden patronen maken twee mechanismen aannemelijk. De context (c.q. het bewerkingsteken van de rekensom) en de getallen van de opgaven versterken elkaar of werken juist elkaar tegen. Onder deze omstandigheden determineren de parate kennis van de leerlingen en het verworven vertrouwen in een bepaalde manier van structuren hoe zij de getallen van de opgave met elkaar in verband brengen en bewerken. In die zin maakt eerder de voortgang in kennis en bekwaamheid het verschil tussen leerlingen bij schematiseren dan de mate waarin ze vooraf strategisch afwegen welke structurering loont. In die zin ondersteunen de data eerder Gravemeijer’s (2007) aanname van spontaan modelleren dan de visie op modelleren op basis van strategische kennis en vaardigheden, zoals Corte en Verschaffel (1988) dat destijds hebben aanbevolen en zoals Van Mulken (1992) dat heeft onderzocht. Ad. 4

Algemeen toepasbare handelingspatronen

Wij kunnen uit de geobserveerde oplossingswijzen duidelijk twee algemene toepasbare handelingspatronen abstraheren die in principe efficiënt zijn: aftrekken in combinatie met rijgen, splitsen en beredeneren en indirect optellen in combinatie met rijgen. Hiermee kan een leerling elk willekeurig aftrekprobleem en elke formuleopgaven oplossen. De data geven de indruk dat veel foutieve antwoorden voortkomen uit de generalisering van de strategie van indirect optellen, wat de bewerkingen met splitsen en beredeneren complexer maakt. Dit leidt de foutenanalyse van het hierna volgende hoofdstuk in.

262

Hoofdstuk 9 Staalkaart van de gemaakte fouten

9.1

Inleiding

De drie voorafgaande analyses hebben belangrijke patronen aan het licht gebracht die samenhangen met de voortgang van de leerlingen in de conceptualisering van de getallen, tellen en de operaties samen met het verworven begrip van de in hoofdstuk 4 onderscheiden vormen van rijgen, splitsen en beredeneren. Leerlingen rijgen vaak en met goede resultaten. De kans op fouten neemt echter sterk toe als ze de getallen beredenerend en vooral met de splitsmethode bewerken. De analyse van het gebruik van de geleerde vormen van rijgen, splitsen en beredeneren heeft aangetoond dat ze bij splitsen vaak foutieve algoritmen toepassen, fouten maken in de omgang met de context, dat indirect optellen in combinatie met rijgen, splitsen en beredeneren foutgevoelig is. Deze data vormen de aangrijpingspunten voor de foutenanalyse van dit hoofdstuk. In Balans [40] (Kraemer, 2010) zijn de specifieke problemen van de drie vaardigheidsgroepen in kaart gebracht71. De foutenanalyse van het onderhavige dissertatieonderzoek heeft een andere functie. Het is gericht op de identificatie van die aspecten van rijgen, splitsen en beredeneren die leerlingen in moeilijkheden brengen en in die zin foutenpatronen genereren. We gaan daarbij uit van Gravemeijer’s (1994) onderscheid tussen het beschrijven van een probleem en het bewerken van de getallen dat past bij Thompson & Tompson’s (1994) onderscheid tussen relational’ reasoning en ‘calculational’ reasoning. We hebben nu vanuit deze invalshoek alle oplossingsprocedures geanalyseerd, waarbij (a) de beschrijving van het probleem of (b) de bewerking van de getallen een foutief antwoord genereert. Twee vragen structureren deze foutenanalyse: –

71

Hoe vaak wordt een contextopgave onjuist beschreven? En: wat is het dominante patroon in deze foutieve horizontale mathematisering?

Zie paragraaf 9.5 (rijgen), 10.5 (splitsen) en 11.5 (beredeneren) van deze balans.

263

Hoofdstuk 9

–

Wat zijn de dominante patronen in de rijg-, splitsen beredeneerbewerkingen die een foutief antwoord genereren?

De 1852 geregistreerde oplossingen zijn in twee klassen gesorteerd. De eerste groep bestaat uit oplossingen waarin de leerling de twee getallen en de onbekende derde correct met elkaar in verband heeft gebracht, de tweede uit oplossingen met een foutieve schematisering van het probleem. Op grond van dit onderscheid is verschil gemaakt tussen drie klassen fouten: 1. foutieve schematisering, 2. bewerkingsfouten en 3. restfouten. ‘Bewerkingsfouten’ zijn fouten die de leerling maakt bij de bewerking van de getallen vanuit een correcte schematisering van de situatie, ‘Restfouten’ wat leerlingen doen in de oplossingen waarin zij op een onherkenbare manier rekenen en daarom ook geen informatie verschaffen, behalve dat de leerling ‘faalt’. Uitgaande van het verschil tussen ‘conceptuele’ en ‘instrumentele’ bouwstenen aan de ene kant en tussen de mentale structurering van en de gelijktijdige controle op de uitgevoerde rekenhandelingen aan de andere kant, zijn drie soorten bewerkingsfouten onderscheiden: 1. begripsfouten c.q. misconcepties die naar de conceptuele bouwstenen verwijzen, 2. foutieve basisoperaties die naar instrumentele tel- en rekenvoorwaarden verwijzen en 3. overige fouten die ontstaan bij een verlies van de greep op de bewerking (getalverwisseling, verwarring, vergissing, omissie, etc.). Alle oplossingen uit de categorie rijgen, splitsen en beredeneren, waarin de leerling een foutief antwoord geeft, zijn vanuit deze drie onderscheidingscriteria geanalyseerd. Het resultaat is een staalkaart van geïdentificeerde typen begripsfouten, foutieve basisoperaties en overige fouten die foutieve antwoorden teweeg brengen bij het rijgend, splitsend en beredenerend bewerken van de getallen. We presenteren eerst een overzicht van hoe vaak de drie typen zijn gemaakt.

9.2

Frequentieverdeling van de drie klassen fouten

Diagram 9.1 toont de frequentieverdeling van de foutieve antwoorden per onderscheiden klasse incorrecte oplossingen: 1. Schematiseren, 2. Bewerken en 3. Rest. In de categorie ‘schematiseren’ zijn alle oplossingen samengebracht waarin de leerling de twee gegeven getallen en het derde onbekende onjuist aan elkaar heeft gekoppeld. Onder ‘bewerken’ vallen alle oplossingen waarin de gegevens van de opgave correct zijn geïnterpreteerd en in kaart gebracht, maar waarin een gebrekkig begrip van de procedure, een foutieve rekenoperatie of een ‘overige’ fout een foutief antwoord voortbrengt. De verzameling Rest bestaat uit alle overige oplossingen waarvan het antwoord als ‘fout’ wordt beschouwd omdat de toetsassistent de oplossing heeft beïnvloedt of omdat de leerling vastloopt en aangeeft dat een dergelijke opgave niet te kunnen maken en uit de oplossingen van de categorie ‘anders’ (niet geïdentificeerde rekenmanier) met een foutief antwoord.

264

Staalkaart van de gemaakte fouten 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Laag

Midden Schematiseren

Bewerken

Hoog Rest

Diagram 9.1 – Aantal fouten per onderscheiden klassen

In 32 oplossingen van de groep Laag, in 12 van de groep Midden en in 2 van de groep Hoog heeft de leerling de gegevens van de opgave onjuist geschematiseerd. Dit betekent dat respectievelijk 14%, 7% en 2% van de gemaakte fouten uit een foutieve horizontale mathematisering voortkomt. Het grootste gedeelte van de gemaakte fouten komt voort uit een foutieve bewerking van de getallen: 76% in de groep Laag, 85% in de groep Midden en 84% in de groep Hoog. Het aandeel van de ‘restfouten’ bedraagt 9% in de groepen Laag en Midden en bereikt 15% in de groep Hoog. Dit komt onder meer doordat gevorderde leerlingen sommige van de voorgelegde opgaven met driecijferige getallen nog niet zelfstandig kunnen oplossen. Tabel 9.1 geeft de gedetailleerde frequentieverdeling weer van de gemaakte fouten per onderscheiden klasse en het aandeel van de fouten in het totaal aantal oplossingen per categorie. Om een en ander in perspectief te plaatsen roepen we het totaal aantal waarnemingen in de betreffende vaardigheidsgroep in herinnering: 602 oplossingen in de groep Laag, 610 in de groep Midden en 640 in de groep Hoog. Tabel 9.1 – Frequentieverdeling van de gemaakte fouten Groep Laag Midden Hoog

Sch. 32 (15%) 12 (7%) 2 (2%)

R 60 (27%) 53 (30%) 41 (35%)

Bewerking van de getallen S B W 32 23 2 (14%) (10%) (1) 59 18 1 (34%) (10%) (/) 29 15 / (25%) (13%)

Rest A 50 (23%) 18 (10%) 13 (11%)

S=Schematisering; R=Rijgen; S=Splitsen; B=Beredeneren; W=Weten; A=Anders; S=Sturing; GO=Geen Oplossing

265

S 12 (5%) 7 (4%) 5 (4%)

GO 9 (4%) 8 (5%) 12 (10%)

Totaal 221 (100%) 176 (100%) 117 (100)

Hoofdstuk 9

9.3

Foutieve schematisering

Leerlingen vergissen zich op twee manieren bij de decodering van de tekst van de opgave en/of de rekenkundige organisatie van de numerieke gegevens. In het gros van de gevallen (30 van de 32 oplossingen in de groep Laag, 9 van de 12 in de groep Midden en 2 in de groep Hoog) ‘zien’ ze een optelling (a + b = ?) in plaats van een indirecte optelling (a + ? = c). Bij uitzondering hechten ze een onjuiste betekenis aan de beschreven handeling of relatie, die een foutieve schematering en redenering teweeg brengt, zoals in de voorbeelden van figuur 9.1. Opgave 9: 48+..=100 (Groep Laag) De leerling kijkt naar de afbeelding en zegt: 49! Het andere stuk is meer, dus 49 of ook 48, want ze zijn even lang! Opgave 1: 90+..=102 (Groep Midden) Plus 10 is honderd. Twee keer honderd meer is 210. Toetsassistent vraagt om de som nog eens goed te lezen. De leerling blijft bij 210. Opgave 13: 189+...=250 (Groep Hoog) 189? ....De leerling denkt na, schrijft op 189+250=150 en geeft 150 als antwoord Figuur 9.1 – Voorbeelden van incidentele foutieve schematisering en redenering op grond van een incorrecte interpretatie van de gegevens (en afbeelding) van een contextopgave

De geobserveerde foutieve beschrijvingen laten zich op twee manieren duiden. Semantisch gezien verwart leerling de structuur van optelproblemen die de betekenis hebben van ‘erbij doen’ of ‘samen nemen’ met die van aftrekproblemen waarin ‘aftrekken’ de betekenis heeft van ‘aanvullen’, ‘vol maken’, ‘gelijk maken’ en dergelijke. Puur rekenkundig gezien, is er sprake van een verwarring tussen aanvullend optellen als een van de drie alternatieve aftrekstrategieën en optellen als rekenoperatie. De tekening van opgave 9 bevordert een begripsfout in vier oplossingen van de groep Laag, Midden en Hoog. De betreffende leerlingen ‘zien’ – in de letterlijke zin van het woord - dat de plank doormidden wordt gezaagd. In de drie resterende foutieve oplossingen van deze opgave wordt de situatie op een onbegrijpelijke manier geïnterpreteerd. Uit deze data kunnen twee conclusies worden getrokken. Het zijn vooral leerlingen met een lage rekenvaardigheid die zich vergissen bij de interpretatie en organisatie van de tekstuele en numerieke gegevens van een aftrekprobleem. Ze verwaren dan in de meeste gevallen optellen als operatie met de betekenis van ‘samen nemen’ of ‘erbij doen’ met aanvullend optellen als aanpak in situaties waar er sprake is van ‘aanvullen’, ‘vol maken’, ‘gelijk maken’ en dergelijke. Contextproblemen zijn in de realistische methoden geïntroduceerd om de begripsvorming van optellen en aftrekken te bevorderen, leerlingen te helpen de hoofdrekenmethoden vanuit hun eigen informele oplossingen en producties te differentiëren en te perfectioneren en de verworven procedures flexibel (adequaat) te leren

266

Staalkaart van de gemaakte fouten

toepassen. Het geringe aantal ‘pure’ schematiseringsfouten geeft aan dat leraren deze doelstelling bij het gros van hun leerlingen realiseren. In de terminologie van Thompson (1993), onderscheidt het gros van de leerlingen klassen aftrekproblemen op grond van de aard van de ‘kwantitatieve’ relatie tussen de betreffende hoeveelheden (c.q. grootheden) (afhalen, vergelijken, scheiden, gelijk maken) en symboliseren zij deze relaties adequaat in de vorm van drie beschikbare rekenstructuren: een aftrekking (c – b = ?), een indirecte optelling (b + ? = c) of een indirecte aftrekking (c - ? = b). Vijftien procent van de gemaakte fouten in de groep Laag komt echter juist uit een foutieve schematisering van de probleemsituatie voort. Dit maakt aannemelijk dat deze leerlingen meer leertijd en expliciete begeleiding nodig hebben om 1. de (semantische) structuur van optelen aftrekproblemen te onderzoeken en te organiseren en 2. op hun begripsniveau uit te vinden waarom eenzelfde aftrekprobleem op drie manieren kan worden gemodelleerd en wat dat voor het oplossen van een willekeurig probleem (en een kale aftrekking) betekent. In die zin zouden leerlingen, via de reflectie op en organisatie van eigen schematiseringen, de strategische kennis en vaardigheden kunnen verwerven waar De Corte en Verschaffel (1988) op doelden in hun kanttekeningen bij de Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundigonderwijs op de basisschool (zie paragraaf 2.6.5). De geobserveerde foutieve schematiseringen in onderhavig onderzoek vormen in die zin aangrijpingspunten voor het onderzoek naar de rol van heuristische en metacognitieve vaardigheden van een effectieve instructiemethode, zoals bedoeld door de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (2010) in haar programmeringsstudie voor rekenonderzoek in het primair onderwijs72.

9.4

Bewerkingsfouten bij rijgen

Diagram 9.2 toont de frequentieverdeling van de drie onderscheiden typen fouten bij rijgen (begripsfout; basisoperatie; overige) per vaardigheidsgroep en gevolgde strategie. In deze globale analyse zijn de oplossingen van het type optellen tot en aftrekken tot samen genomen in dezelfde categorie ‘overbruggen’. Het volgende patroon tekent zich af: –

–

72

Het aandeel van de begripsfouten en overige fouten is in alle drie de vaardigheidsgroepen groot in vergelijking tot het aantal foutieve basisoperaties. Leerlingen uit de groep Laag maken het vaakst uitvoeringsfouten (categorie ‘overige’).

Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (2010), pagina 9

267

Hoofdstuk 9

–

–

Leerlingen uit de groep Midden vallen op door het relatief hoge aantal rekenfouten bij aftrekken (categorie ‘basisoperaties’) en conceptuele fouten bij overbruggen (categorie ‘begrip’). In de groep Hoog genereert overbruggen (indirect optellen of indirect aftrekken) meer problemen dan aftrekken.

De meest voorkomende fouten worden hieronder, per categorie, met kenmerkende voorbeelden gepresenteerd. 45 40

Aantal fouten

35 30 25 20 15 10 5 0 Laag

Midden

Hoog

Laag

Overbruggen

Begrip

Midden

Hoog

Aftrekken

Basisoperaties

Overige

Diagram 9.2 - Verdeling van de rijgfouten per vaardigheidsgroep en per strategie

9.4.1

Begripsfouten

In 47 van de 154 rijgoplossingen met een foutief antwoord (31%) veroorzaakt een (tijdelijke) begripsfout een incorrecte bewerking. Drie typen zijn geïdentificeerd: 1. de leerling slaat de eerste en/of laatste stap over bij de modellering met (gesymboliseerde) telstappen; 2. de leerling geeft een tussenliggend getal of het eindgetal als antwoord bij overbruggen; 3. de leerling knoopt getallen niet correct aan elkaar. Modellering met gesymboliseerde telstappen De enkele leerlingen die de relatie tussen de aantallen of meetgetallen van de opgave twee keer tellend met rondjes, puntjes of turfjes uitbeelden, doen dat meestal goed. De eerste foutieve oplossing van figuur 9.2 illustreert de complexiteit van turven in

268


combinatie met het begin- en eindgetal. In drie overbruggingsoplossingen zonder pen en papier, maakt de leerling de bekende starten eindfouten (Van de Berg, van Eerde & Lit, 1994) die de twee oplossingen van voorbeeld 2 illustreren. 1] Opgave 3: 25+.=50 De leerling schrijft 25 aan de linker kant van het blad en 50 aan de rechter kant. Hij telt vervolgens door vanaf 25 tot 50 en symboliseert elke telstap met een streepje. Hij symboliseert niet de stap van 49 naar 50, omdat het getal 50 al staat. Hij telt vervolgens de streepjes een voor een geteld en komt, al doende tot één tekort.

2] Opgave 2: 18+..=22 Startfout: 18 19 20 21 22, is 5 Eindfout: Tel ik door naar 22 (19, 20, 21), dat is 3 Figuur 9.2 – Voorbeelden van incorrect modeleren met (gesymboliseerde) telstappen

Tussenliggend getal of het eindgetal als antwoord In 17% van de rijgoplossingen met een foutief antwoord geeft de leerling het bereikte getal als antwoord, als hij aanvult of leegmaakt. Een voor de hand liggende verklaring is dat het aan elkaar knopen van geschikte getallen zoveel inspanning kost, dat het middel (overbruggen) tot doel verwordt (tot n springen). De leerling verliest, anders gezegd, de context en de vraag uit het oog. Uit onderstaande voorbeelden kan worden afgeleid dat dergelijke fouten vooral worden gemaakt door leerlingen die, door hun een beperkt inzicht in te gebruiken getalrelaties, een lange omslachtige rijgweg volgen. Dit geldt des te meer voor de leerling die puur uit het hoofd rijgt (en geen sprongen op een getallenlijn tekent). 3] Opgave 11: 90+.=102 Antwoord: 102 via 90+10=100; 100+2=102

5] Opgave 16: 900-.=595 Antwoord: 595 via 900 min... effe kijken... 900-300=600; dan 600-5=595

Figuur 9.3 – Voorbeelden tussenliggend getal en eindegetal als antwoord

Onjuist aaneenknopen van getallen In de derde klasse begripsfouten mist de leerling het inzicht in het netwerk van optelof aftrekrelaties om de handeling of relatie van de opgave te kunnen symboliseren.

269

Hoofdstuk 9 Aanvullend optellen

Aftrekken

7] Opgave 3: 25+..=50 Ik heb er 20 bijgeteld en daarna 5, is 25 of eh … 35.

13] Opgave 10: 100-86 100-20=80, eraf 20 is 69, eraf 30 is 30 eraf 6 is 22 (10 te weinig eraf; onjuiste compensatie)

8] Opgave 6: 24+..=40 Ik heb er 20 bijgedaan… dan kom je op 34 en dan nog 6 erbij, zo kom ik op 26

16] Opgave 6: 40-24 40-10=30, 10 eraf is te veel, 10 erbij weer teveel. Zes aftellen, kom je op 24; heb je 26 eraf gedaan  26

9] Opgave 17: 998+…=1662 98+2=1000  16 tienen of zo …600; 602…, zoiets! 998+2=1000  62 erbij 62+2=64  64 is de uitkomst 998+4= 1002  1002+60=1062  1062+600=1662  660 is de uitkomst.

18b] Opgave 13: 250-159= 250-100=150, 150-90=60 en nog die 1 eraf is

Figuur 9.4 – Voorbeelden van incorrect aaneenknopen van getallen

9.4.2

Foutieve basisoperaties

Het antwoord van 32 rijgoplossingen is fout, omdat de leerling onjuist heeft opgeteld of afgetrokken (21%). De meeste fouten worden gemaakte door leerlingen van de middengroep bij aftrekhandelingen. Hieronder staan enkele geobserveerde foutieve basisoperaties bij overbruggen en bij aftrekken. Het zijn stuk voor stuk bekende fouten die deels door ‘slordigheid’ of gebrek aan concentratie worden gemaakt, bijvoorbeeld:     

9.4.3

34 + 8 = 40 400 – 90 = 410 20 – 4 = 26 en 20 – 4 = 24 150 – 80 = 30 400 - 95 = 495

Overige fouten

De overige 74 geobserveerde fouten (48%) zijn onder de categorie ‘overig’ gerangschikt. De leerling volgt in deze oplossingen meestal een omslachtig rijgweg en/of verliest de greep op de modellering met telstappen of getalrelaties. Leerlingen die zonder aantekeningen rijgen overbelasten hun werkgeheugen. Leerlingen die hun handelingen niet overzichtelijk noteren raken in verwarring of maken slordigheidsfouten. Het feit dat leerlingen in die oplossingen vaak ‘onwaarschijnlijke’ antwoorden geven - wat ook voorkomt in de oplossingen met bovenstaande begripsfouten - geeft aan dat ze eerder ‘spontaan’, ‘op het gevoel’ of ‘automatisch’ rekenen dan ‘bewust’,

270


‘planmatig’ en ‘kritisch’. In deze categorie zien we telkens drie soorten fouten: niet correct bijhouden van telstappen, getalverwisseling en omissie, vergissing, verwarring e.d..

9.4.4

Conclusie

Samenvattend kan worden geconcludeerd, dat drie aspecten van de rijgbewerkingen de bron van problemen vormen die zich bij rijgen voordoen: 1. de relationele en procedurele aspecten van de symbolisering met getalrelaties, 2. de beheersing van de voorwaardelijke rekenautomatismen en 3. het houden van de greep (c.q. controle) op de bewerkingen. Dit wordt hieronder kort toegelicht, alvorens over te gaan naar de analyseresultaten van de splitsfouten. Ad. 1 Relationele en procedurele aspecten van de symbolisering met getalrelaties De vorige analyses hebben aan het licht gebracht dat het succes bij rijgen in alle drie de vaardigheidsgroepen te danken is aan het feit dat de leerlingen over voldoende conceptuele en instrumentele bouwstenen beschikken om de flexibiliteit van de rijgmethode uit te kunnen buiten en dat leerlingen met de hoogste vaardigheid daar expert in zijn geworden. De foutenanalyse maakt nu aannemelijk dat twee voorwaarden het verschil maken tussen deze leerlingen en hun minder vaardige groepsgenoten. De leerlingen die voorlopen hebben een eigen rekensysteem opgebouwd, waarin de getallen de knooppunten vormen van netwerken van optelen aftrekrelaties. Dit maakt het hun mogelijk om telkens een parate getalrelatie te gebruiken die geschikt is om de relatie tussen de drie grootheden of hoeveelheden van een aftrekprobleem te symboliseren, dan wel de relatie tussen de getallen van een kale aftrekking te herleiden. In de terminologie van Thompson e.a. (1994), beheerst de leerling die gestandaardiseerd rijgt de kunst om de meest efficiënte getalrelatie(s) in te zetten om het kwantitatieve verschil tussen de aantallen (c.q. maten) van een aftrekprobleem te symboliseren, dan wel het verschil in waarde tussen de getallen van een kale aftrekking uit te rekenen. Als deze interpretatie van de data correct is, bepaalt de mate van formalisering van rijgen, via de ingezette getalrelaties, direct de mate van efficiency en effectiviteit van de rijghandeling. Modelleren op basis van de opvolgrelatie tussen de telwoorden (verkort tellen) is omslachtiger en in de regel minder efficiënt en effectief dan modelleren op basis van de afstandrelatie tussen de natuurlijke getallen (springen), die op haar beurt omslachtiger is dan modelleren in termen van afgesplitste getallen (structureren). Deze relatie met de formalisering vraagt aandacht voor de begripsfouten van de kleine groep leerlingen op het startniveau van rijgen en voor de verwarring die rijgen over een langere afstand met zich meebrengt.

271

Hoofdstuk 9

Rijgen is verankerd in het gebruik van telwoorden om aantallen vast te stellen. De fouten die de tellers maken zijn ernstig, omdat ze het verschil tussen een getal als ‘aantal’ en het getal als ‘teltal’ niet doorzien en daarom niet kunnen begrijpen hoe de relatie hiertussen bij verkort tellen wordt gebruikt. Het niet paraat hebben van adequate getalrelaties is, zoals hierboven gezegd, de bron van de meeste begripsfouten in het relatief kleine cluster foutieve rijgoplossingen. De foutieve structurering bij overbruggen maakt ons attent op het risico dat leerlingen lopen naarmate zij zich meer moeten inspannen om passende optellingen (c.q. aftrekkingen) uit hun geheugen op te roepen en aan elkaar te knopen. Overbruggen kan doel op zich worden, met als gevolg dat leerlingen het getal dat zij met veel moeite hebben bereikt als antwoord geeft. De gelijkenis tussen de optelhandelingen en de aanvulhandelingen versterkt nog eens de kans op verwarring bij de combinatie van rijgen met indirect optellen. Ad. 2

Basisoperaties

Elk vorm van rijgen doet een beroep op specifieke basisautomatismen. Het relatief grote aandeel van de rekenfouten in de middengroep bij de combinatie van rijgen met aftrekken bevestigt het beeld dat de vorige analyses van deze leerlingen hebben gegeven. Ze combineren rijgen ongeveer even vaak met aftrekken als met aanvullen. Leerlingen die onder het niveau van de gemiddelde leerling presteren, beheersen echter nog onvoldoende de basisoperaties om routinematig over een tiental (92 – 6 = 86) af te trekken of zoveel tientallen van een samengesteld getal af te trekken (62 – 40 = 22). Dit suggereert om, bij de overgang van springen naar structureren, de leerlingen de tijd te gunnen om, met en zonder ondersteuning van een context te onderzoeken hoe ronde en samengestelde getallen op basis van hun mogelijke afsplitsingen met elkaar in verband staan en, vanuit dit inzicht, de voorwaardelijke basisautomatismen in te slijpen. Ad. 3

Controle op de bewerking

De geobserveerde ‘overige’ fouten zijn gelieerd aan enerzijds de omslachtigheid van de gebruikte procedure en anderzijds aan aspecten van de rekenhouding die de leerling bij hoofdrekenen ontwikkelt. De telfouten en de getalverwisselingen, omissies, vergissingen e.d. die leerlingen maken wanneer ze over een lange afstand in de telrij springen, tonen daarnaast de invloed van de gebrekkige automatisering. Dat leerlingen dan relatief vaak een ‘onwaarschijnlijk’ antwoord geven ondersteunt de aanname in de interpretatie van de omgang met de context en de getallen in hoofdstuk 8, dat de leerlingen, bij het schematiseren en bewerken van een opgave, eerder ‘spontaan’ en ‘automatisch’ handelen dan ‘planmatig’ en ‘kritisch’. In het debat over de doelen en inhouden van het rekencurriculum gingen Treffers, Feys en de Moor (1987b) er van uit dat rijgen als groot voordeel had, dat ‘de orde van grootte van de uitkomst van meet af aan in zicht komt’. De data maken nu aannemelijk dat dit

272


een kritische rekenhouding vraagt die het gros van de leerlingen onder de huidige leercondities niet ontwikkelt, hoewel het een cruciaal aspect vormt van de nagestreefde gecijferdheid (McIntosch, Reys & Reys, 1992). Dit structurele probleem ondersteunt het belang - dat bij de interpretatie van de incorrecte schematisering van contextproblemen is geformuleerd (zie paragraaf 9.3) van meer gerichte en systematische aandacht voor de drieslag schematiseren-uitrekenenterugkoppelen in de contextgebonden fase van leren rijgen. Leraren zouden op deze manier kunnen voorkomen dat leerlingen ‘onnodige’ fouten maken bij de organisatie van de numerieke gegevens van een aftrekopgave in een rekensom, de bewerking van de getallen van deze som en de interpretatie van de uitkomst van de berekening. Het grote aantal ‘overige’ fouten wijst wat dit betreft op de noodzaak om, bij de overgang van de verkort tellen naar springen en structureren met afsplitsingen van getallen, telkens met de leerlingen een adequate rekentaal en symbolische notatie van de rekenhandelingen te ontwikkelen. In eerste instantie ter ondersteuning van de schematisering, de bewerkingen en de terugkoppeling in de loop van het oplossingsproces, in tweede instantie ter ondersteuning van de reflectie op en de communicatie over de gebruikte rijgschema’s/rekensommen en getalrelaties erna, bij de verticale mathematisering van de uitgevoerde hoofdrekenactiviteit. Bovenstaand beeld van de fouten en van de mogelijke invloed van de condities waaronder leerlingen leren rijgen relativeren aanzienlijk het geobserveerde flexibel en gevarieerd gebruik van rijgen en het succes dat leerlingen uit de groepen Laag en Midden met deze methode behalen dat naar voren kwam in de presentatie van de vormen en niveaus van rijgen in hoofdstuk 7 en de omgang met de context en de getallen in hoofdstuk 8. Het geheel roept de conclusie op dat er nog winst te behalen is, ook al rechtvaardigen de gemiddelde goedscores van 83% in de groep Laag, 87% in de groep Midden en 91% in de groep Hoog de kwalificatie ‘goed’. We moeten ons immers realiseren 1. dat deze prestaties de oplossingen betreft van opgaven op het niveau van de leerling en 2. dat het om de rekenvaardigheid gaat waar de meeste aandacht naar toe is gegaan en waar leerlingen het meest afhankelijk van zijn. In die zin blijven de ‘goede’ scores bij rijgen onder de verwachte mate van gecijferdheid halverwege de basisschool. Ze vallen ook tegen in het licht van de verwachtingen die de positieve effecten van de realistische onderwijsexperimenten voor de eeuwwisseling hebben gekweekt: enerzijds de meer open, realistische vormgeving van leren rijgen (Klein, 1998) en anderzijds de daarbij passende vormen van productief oefenen (Menne, 2001).

9.5

Bewerkingsfouten bij splitsen

In deze paragraaf geven we volgens dezelfde systematiek als bij rijgen, een overzicht van de meer structurele en meer incidentele problemen die zich voordoen, wanneer de

273

Hoofdstuk 9

leerling een van de geleerde vormen van splitsen inzet om af te trekken, dan wel indirect op te tellen (aanvulstrategie).

Aantal

Frequentieverdeling van de splitsfouten per vaardigheidsgroep 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Laag

Midden

Hoog

Aftrekken Begrip

Laag

Midden

Hoog

Indirect optellen Basisoperaties

Uitvoering

Diagram 9.3 – Frequentieverdeling (aantallen) van de splitsfouten per vaardigheidsgroep

Het contrast in de verdeling van de staafdiagrammen tussen de begripsfouten aan de ene kant en de foutieve basisoperaties en de gemaakte uitvoeringsfouten aan de andere kant maakt het structureel probleem zichtbaar. In alle drie de vaardigheidsgroepen zetten leerlingen procedures in die incorrect zijn of die ze onvoldoende begrijpen. Dit gebeurt het vaakst bij de combinatie van splitsen met aftrekken. Niet minder dan 73% van de fouten die de middengroep bij splitsen maakt, komt voort uit een of andere begripsfout bij aftrekken. Deze problemen spelen leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep juist minder parten, omdat ze in slechts 8% van de oplossingen splitsen. Pregnante voorbeelden duiden hieronder, per categorie, de bron van de problemen aan, die de leerlingen bij hun splitsbewerkingen ondervinden.

9.5.1

Begripsfouten

Honderd twaalf (112) van de 120 foutieve antwoorden komen voort uit een of ander type begripsfout. In 28 oplossingen - ruim 23% van de gevallen - heeft de leerling een onjuiste aanvulprocedure uitgevoerd. Op twee gevallen na, zijn het leerlingen uit de groep Laag (N=14) en Midden (N=12) die een of ander aspect van indirect optellen met tientallen en eenheden niet (goed) begrijpen. We hebben twee klassen begripsfouten geïdentificeerd. Er wordt niet geanticipeerd op het ontstaan van een tiental. Dit veroorzaakt 18% van het totaal aantal foutieve splitsfouten. Daarnaast maken leerlingen ook een klein aantal overige begripsfouten. De voorbeelden van figuur 9.5 laten ‘kopieën’ van de foutieve aanvulhandelingen zien die van Mulken (1992) voor het eerst in zijn dissertatie heeft gesignaleerd bij indirect optellen met tientallen en

274


eenheden. Wij zagen in het theoriedeel van deze dissertatie dat Beishuizen (1997) dit als een ’tijdelijk’ probleem beschouwde. Wie incorrect aanvult heeft, simpel gezegd, nog niet begrepen wat decimaal-positioneel optellen inhoudt en hoe het in combinatie met aanvullen werkt. De geobserveerde correcte en incorrecte oplossingen van de onderhavige studie sluiten aan bij de data van Mulken en ondersteunen Beishuizen’s visie op de onderliggende problematiek. Bij de overige begripsfouten, geeft de leerling het eindgetal als antwoord, precies zoals dat (veel vaker) bij rijgen gebeurt. Soms interfereert ‘optellen’ met de mengvorm splitsen-rijgen met aanvullen met 10 en 1, denkt de leerling eenheden weg en vergeet die later te bewerken of probeert de leerling kolomsgewijs te rekenen, etc.. . Niet anticiperen op het ontstaan van een tiental bij het aanvullen van de eenheden 32] Opgave 1: 12+.=25 2+3=5; 10+10 erbij is al 20, dus 5+ 20=25; 25 is het antwoord

34] Opgave 10: 100-86= 6+4=10, dus; 100-80=20; 20+4=24

33] Opgave 6: 24+..=40 Het is 26 euro goedkoper: 20+20=40… plus…. 4+6=10…26

35] Opgave 14: 370+…=620 300 plus 300 is 600, moet 20 zijn, 70 erbij geteld; 70-20=50, dus 350

Figuur 9.5 – Voorveelden van begripsfouten bij aanvullend splitsen

Positioneel structureren van aftrekhandelingen In 57 berekeningen - 48% van de foutieve splitsoplossingen – passen leerlingen een ingeslepen foutief aftrekalgoritme toe (buggy’s) en in 27 berekeningen (23%) vormen van splitsen die zij niet goed begrijpen: de mengvorm splitsen-rijgen, aftrekken met tekort of lenen. De voorbeelden van figuur 9.6 illustreren de vier geïdentificeerde typen begripsfouten. Buggy algoritmen

Begripsfout bij mengvorm splitsen-rijgen

Het kleinste van het grootste aftrekken 40] Opgave 1: 22-18 Eerst tientallen: 10 eraf is 10, dan de getallen uitrekenen 8-2=6; 16

Eenheden van beide getallen eraf 46] Opgave 12: 62-48 60-40=20; 20-8=12; 12-2=10, ik was de 2 vergeten.

Eenheden wegdenken en weer toevoegen. 43] Opgave 5: 60-35 60-30 en dan doe ik die 5 er weer bij, is 35

Eenheden van het aftrektal niet bewerkt 47] Opgave 12: 62-48 Eerst 40 van de 60 afhalen is 20; 20-8=12

44] Opgave 10: 100-86 10-8=2; ik maak er 20 van; 6 erbij is 26

Begripsfout bij aftrekken met tekort 48] Opgave 14: 620-370 600-300=300, van 70 doe ik 50 eraf is weer 20, dus 350

Verschil met 10 toevoegen 45] Opgave 10: 100-86 8 van de 10, 2 over; 60+2=62

49] Opgave 13: 250-289 100 van 200 eraf is 100; 80 eraf 50 is 30 tekort; 30 van 100 af is 70; 9 erbij is 79

Figuur 9.6 – Voorbeelden van begripsfouten bij splitsend aftrekken

275

Hoofdstuk 9

Buggy algoritmen De voorbeelden illustreren de geïdentificeerde foutieve aftrekalgoritmen die in paragraaf 7.4.2 zijn gepresenteerd. Deze procedures generen 25 van de 59 foutieve antwoorden in de middengroep (42%) die het vaakst splitst, maar ook 14 van de 29 foutieve splitsantwoorden van de groep Hoog (48%) en 18 van de 32 in de groep Laag (56%). De leerlingen trekken het vaakst het kleinste aantal eenheden van het grootste af, zelfs sommige leerlingen uit de groep Hoog, bij de bewerking van driecijferige getallen. De twee andere foutieve algoritmen - ‘wegdenken en weer toevoegen’ en ‘verschil met 10 toevoegen’ - worden veel minder frequent toegepast. Dit geeft aan dat er wel degelijk sprake is van ‘buggys’. De gebruiksfrequenties is overigens niet per leerling vastgesteld, omdat het aantal waarnemingen daarvoor te klein is. Overige begripsfouten –

–

–

9.5.2

Er zijn twee tijdelijke misconcepties van de mengvorm geobserveerd. Sommige leerlingen trekken de eenheden van beide getallen af, terwijl andere de eenheden niet van de aftrekker afhalen. Deze begripsfouten verklaren 22 van de 120 foutieve splitsantwoorden (18%). Bij rekenen met tekorten kan de leerling het tekort aan tienvouden bij de resterende honderdtallen toevoegen of de eenheden van het kleinste getal toevoegen in plaats van aftrekken. Weinig leerlingen komen aan lenen toe. De voorbeelden illustreren ondervonden moeilijkheden.

Basisoperaties

Er zijn nauwelijks foutieve basisoperaties geobserveerd bij splitsen, één terugtelfout in de groep Midden en drie aftrekfouten in de groepen Midden en Hoog. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat dit samenhangt met het feit dat leerlingen weinig splitsen en dat ze relatief vaak een buggy algoritme toepassen.

9.5.3. Overige fouten Tegen de verwachting van de vernieuwers in, komen ‘overige’ fouten nauwelijks voor bij splitsen, en dit zeker in vergelijking met indirect aanvullen met de rijgmethode. Dit komt ongetwijfeld door het kleiner aantal rekenstappen. In de geobserveerde gevallen verwisselen leerlingen een getal of verliezen zij de greep op de bewerking.

276


9.5.4

Conclusie

Samenvattend kan worden geconcludeerd dat drie aspecten van de splitsbewerkingen de meest voorkomende foutieve antwoorden voortbrengen: – – –

het routinematig toepassen van ingeslepen foutieve aftrekalgoritmen (aandeel=48%); het onjuist indirect optellen met tientallen en eenheden bij het oplossen van aftrekproblemen via aanvullen (aandeel=23%) en het incorrect bewerken van de eenheden bij de combinatie van rijgen met splitsen (aandeel=18%).

De overige fouten komen incidenteel voort uit (a) lokale begripsfouten bij aanvullen, (b) onbegrip van aftrekken met tekort dan wel inwisselen en (c) uitvoeringsfouten van het type getalverwisseling en verwarring/vergissen. Deze aanvullende data over de verworven splitsvaardigheid richten de aandacht op drie aspecten van de actuele onderwijscondities: 1. het volgen van leerlingen in hun ontwikkeling bij leren hoofdrekenen (evaluatiepraktijk) en het vaststellen van het bereikte niveau van denken en rekenen (diagnostiek) in relatie met 2. de didactiek bij leren splitsen aan de ene kant en 3. de differentiatie van leren hoofdrekenen aan de andere kant. Ad. 1

Evaluatiepraktijk en diagnostiek

Ruim 70% van de gemaakte splitsfouten komt voort uit tijdelijke begripsfouten die kunnen ontstaan zodra leerlingen de basale notie van ‘tiental’ en ‘eenheid’ hebben verworven. Zij kunnen dan uit zichzelf de splitsing van getallen in zoveel tienen en zoveel lossen gebruiken om aantallen en maten samen te stellen, te vergelijken/ordenen en bij elkaar op te tellen/van elkaar af te trekken. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat de meeste leerlingen die buggy-algoritmen toepassen en systematisch foutief aanvullen hun incorrecte procedures in de loop van groep vier of de eerste helft van jaargroep vijf hebben bedacht. Als deze aanname correct is, betekent dit dat wat eerst een te verwachten tijdelijke begripsfout was een probleem is geworden dat de voortgang blokkeert. De vernieuwers van het rekencurriculum en de rekendidactiek zijn er destijds van uitgegaan dat leerlingen minder risico’s zouden lopen, wanneer ze pas later zouden leren splitsen, in het verlengde van de opgedane ervaring met rijgen, tellen en meten met tien en samenstellen van grote hoeveelheden. De oplossingen en gemaakte fouten tonen aan, dat uitstellen van splitsen en eerst leren rijgen niet voorkomt dat leerlingen buggy algoritmen bedenken. Wij kunnen achteraf vaststellen dat de vernieuwers daarbij een cruciale factor over het hoofd hebben gezien: namelijk wat er zich tijdens een hoofdrekenactiviteit in de klas afspeelt en de rol die de leraar daarbij speelt. De data plaatsen, wat dit betreft, vraagtekens bij:

277

Hoofdstuk 9

– – – –

de kwaliteit van de dagelijkse observatie van de leerlingen en analyse van de eigen constructies, de omgang met een begripsfout die zich in de communicatie en/of in het schriftelijke werk van de leerlingen manifesteert, de uitvoering van de voortgangsevaluatie, diagnostiek en leerlingenzorg, zoals aanbevolen en georganiseerd in de gebruikte rekenmethode en het functioneel gebruik van de halfjaarlijkse methode-onafhankelijke evaluatie met de LOVS-toetsen.

Het ligt voor de hand om aan te nemen dat de leraar niet tijdig een begripsfout waarneemt en hierdoor niet direct inspeelt op onjuiste mentale representaties van tientallig aftrekken bij de ontplooiing van positioneel denken. Daarbij spelen de prioriteiten van de methode en de leerkracht een rol, de leertijd en de deskundigheid van de individuele leraar om in te spelen op de verschillen tussen de leerlingen. Splitsen vormt kortom om twee redenen een structureel probleem. Aan de ene kant speelt de didactiek niet adequaat in op de begripsvorming van decimaalpositioneel denken en rekenen en de aantrekkingskracht van opereren met tientallen en eenheden. Aan de andere kant schiet de leraar tekort bij de evaluatie van de voortgang en het diagnostisch vaststellen van tijdelijke begripsfouten en zelf bedachte foutieve procedures. Ad. 2

Tekortkomingen van de aanpak van leren splitsen

De realistische aanpak van leren splitsen is geschetst in hoofdstuk 3. Er wordt gestart bij het uitbeelden van probleemsituaties met hulpmiddelen als namaakgeld die uitnodigen om het tekort aan eenheden eerst op te vangen via de combinatie van rijgen met splitsen en vervolgens via aftrekken met negatieve positiewaarden dat uiteindelijk leidt tot onder elkaar aftrekken met negatieve getallen. Deze benadering omzeilt de mentale constructie van een of andere vorm van ‘lenen’ met positiewaarden, zoals dat in sommige reformklassen van de problemsolving didactiek gebeurt (zie de classificatie van Fuson e.a.,1997, in hoofdstuk 3). Het gros van de onderzochte leerlingen nu valt uit bij het uitrekenen van een aftrekopgave met tientaloverschrijding via aftrekken of aanvullen met een van de beschikbare splitsprocedures. Vier geïdentificeerde kernproblemen tonen aan dat de gevolgde leerweg niet vanzelfsprekend is en ook niet effectief: – – –

een grote groep leerlingen past, precies zoals vóór de modernisering (Willemsen en Harskamp, 1990), foutieve aftrekalgoritmen toe; de aanloop via rijgen werkt de ontwikkeling van foutieve aanvulalgoritmen in de hand; de mengvorm, waar Beishuizen en Van Mulken (1988) voor pleiten, is zelfs voor sommige leerlingen met een gemiddelde en hoge vaardigheid te complex om als startprocedure te kunnen fungeren;

278


–

op enkele uitzonderingen na, komen de leerlingen niet aan inwisselen toe, terwijl de voortgangsgegevens signaleren dat de leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep over de bouwstenen beschikken om de hoofdrekenmanier te leren via het adequaat afsplitsen van het aftrektal (open maken van een tien of een honderd), zoals geïllustreerd in hoofdstuk 3.

Dit geeft aan dat men de huidige lijn van leren splitsen ‘realistischer’, consistenter met de sleutelprincipes en systematischer zou moeten proberen in te richten. Men zou klassengesprekken kunnen houden over aftrekken en aanvullen met tientallen en eenheden en daarbij aansluiten bij het beeld dat de leerlingen zich hebben gevormd van (a) de decimaal-positionele opbouw van tweecijferige getallen, (b) de associatieve en commutatieve eigenschap van optellen en (c) de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Ad. 3

Differentiatie van leren hoofdrekenen

De geconstrueerde sequentie van de formalisering (zie hoofdstuk 4) is gebaseerd op de geraadpleegde theoretische literatuur en empirische evidenties. De onderscheiden niveaus markeren de weg waarlangs leerlingen, geleidelijk aan, de bouwstenen ontwikkelen die hen uiteindelijk in staat stellen om een willekeurig aftrekopgave puur formeel te herleiden, lineair (rijgend), dan wel positioneel (decimaal splitsend) of deductief (beredenerend). De resultaten van de foutenanalyse scherpen het beeld aan dat we ons hebben gevormd van het differentiatieproces tussen de leerlingen bij leren hoofdrekenen op basis van de analyseresultaten. Een ware kloof isoleert de minst gevorderde leerklingen uit de laagste vaardigheidsgroep van de voorlopers uit de hoogste vaardigheidsgroep. Twee opmerkelijke gegevens typeren wat dit betreft de huidige stand van zaken. In vergelijking met de situatie vóór de modernisering, ondervinden nu de leerlingen van de middengroep de meeste problemen, omdat ze graag splitsen. Ze lijken in die zin op de ‘rekenzwakke’ leerlingen die aan het einde van de jaren tachtig in het kader van het Speerpunt rekenen (Vuurmans, 1991) en de ontwikkeling van Kwantiwijzer voor leraren (van de Berg, van Eerde & Lit, 1994) diagnostisch zijn geïnterviewd. Een opmerkelijke trend in alle data is dat een ‘vaardige’ leerling zich van andere groepsgenoten lijkt te onderscheiden door de neiging om (a) zeer flexibel te rijgen en (b) splitsen vooral in te zetten om aftrekproblemen of kale aftrekkingen met aftrekhandelingen op te lossen (dus niet in combinatie met indirect optellen). De data weerspiegelen in die zin de differentiatie in voorkeur en niveau die in de rekenmethoden wordt aanbevolen en die een grote groep leraren zegt toe te passen. De zeer gebrekkige splitsvaardigheid die een grote groep leerlingen (waardonder leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep) heeft verworven, roept de vraag op of een aanzienlijke groep leerlingen niet onder hun capaciteiten hoofdrekent, omdat de

279

Hoofdstuk 9

leraar hen, onder andere, onvoldoende of niet adequaat uitdaagt om positioneel te leren denken en aftrekken. Concluderend, sporen de geïdentificeerde problemen bij aftrekken en aanvullen met splitsprocedure aan om de positie en de ontwikkeling van leren splitsen binnen hoofdrekenen en in relatie met onder elkaar leren aftrekken te heroverwegen. Dit vormt een van de kernonderwerpen van de problematisering van hoofdrekenen en de discussie in de afsluiting van deze dissertatie.

9.6

Bewerkingsfouten bij beredeneren

Wat is het structureel probleem bij beredeneren? Dit derde deelverslag van de uitgevoerde analyse geeft hier antwoord op.

9.6.1

Begripsfouten

De Leerlingen gebruiken optelfeiten of aftrekfeiten om de rekensom van de opgave te reconstrueren. Hier treden begripsfouten op die de voorbeelden van figuur 9.7a illustreren: de leerling geeft het eindgetal als antwoord of stelt dit getal niet goed samen met optelfeiten en compenseert niet of niet goed bij het herleiden van de rekensom van de opgave tot een paraat optelfeit of een vertrouwde aftrekking. Samengesteld getal als antwoord

Term van de indirecte optelling als antwoord

54] Opgave 6: 24+..=40 /Antwoord 25 10+10=20; 2+2=24; erbij is 25 Tekent de stapels na en maakt de eerste even hoog als de tweede. 24: 2x10=20; 2x2=4, dus 24 erbij

55] Opgave 1: 12+..=25 / Antwoord 12 12! ... Ik doe er gewoon 12 bij, dan weet ik het... 12 erbij 12 is 25... dus…12 58] Opgave 10: 48+..=100 / Antwoord 60 Dat is plus 60 dan heb je nog 8 over. Die doe je er vanaf. Dan is dat 100; dit is het andere stuk en dat is dan 60 cm .

Figuur 9.7a Voorbeelden van begripsfouten bij (aanvullend) beredeneren

Samen te stellen getal (of term van de indirecte optelling) als antwoord Dertien van de 56 foutieve antwoorden (aandeel=23%) lijken sterk op fouten die ook bij aanvullend rijgen en splitsen worden gemaakt. Leerlingen verliezen uit het oog dat zij de ontbrekende term van de indirecte optelling moeten vinden en richten zich louter op de reconstructie van de optelrelatie: a + b = c. Het gevolg daarvan is dat zij of het samen te stellen getal als antwoord geven (voorbeeld 54) of één term van de gebruikte relatie (voorbeeld 55).

280


Deze fouten zijn nauwelijks te onderscheiden van de foutieve splitsprocedures, omdat dezelfde optelstructuren en optelrelaties worden gebruikt. Het gebruikte criterium is dat leerling die splitsend aftrekt dat algoritmisch doet, terwijl leerlingen die beredenerend samenstellen bekende sommen of producten als puzzelstukken gebruiken. Onjuist samenstellen met optelfeiten De voorbeelden geven een idee van de redenering die leidt tot een foutieve reconstructie van een indirecte optelling met beschikbare ‘sommen’. Het probleem komt steeds voort uit de associatie van de getallen van de opgave met één of meer bekende sommen. De leerling probeert dan de indirecte optelling van de opgave tot de betreffende som te herleiden of met passende optelfeiten samen te stellen. Niet of onjuist compenseren Wij weten uit hoofdstuk 6 dat een aantal leerlingen uit de groepen Midden en Hoog de indirecte optelling (c.q. aftrekking) van een aftrekprobleem tot een bekende optelling (c.q. aftrekking) probeert te herleiden. Sommige komen daar niet uit, omdat ze niet doorzien hoe compenseren, onder verschillende omstandigheden werkt. De voorbeelden van figuur 9.7b illustreren deze problemen Niet en onjuist compenseren van het verschil met een paraat optelfeit

Niet en onjuist compenseren van het verschil met een vertrouwde aftrekking

62] Opgave 1: 12+.=25 Antwoord: 12 rest 1 12+12=24; nog 1 erbij is 25; 24 rest 1.

63] Opgave 3: 60-35 Eerst 60-30=30;30+5=35

59] Opgave 8: 32+.=50 ? Antwoord 22 30+20=50; 30+2=32 en 20+2=22, dus 22

64] Opgave 6: 40-24 / Antwoord 24 Eerst 40-20=20, dan 4 erbij is 24 euro of: 4020+4=24; dus 40 min 24 is 24

60] Opgave 6: 24+.=40 / Antwoord 24 24+20=44; 44-4=40; dus 20 of via 20+20=40, dus 24

65] Opgave 16: 900-595 / Antwoord 295 595 van de 900 af; 595 dicht bij 600; 900600=300; min 5 is 295

61] Opgave 13: 189+.=250 / Antwoord 59 Ik maak er 190 van; 60 erbij om 250 te krijgen. Maar ik moet er nog eentje afdoen, en dan krijg ik 59 Figuur 9.7b – Voorbeelden van niet of onjuist compenseren

Onjuist compenseren van het verschil met een paraat optelfeit. Wij zagen in paragraaf 9.4.1 hoe leerlingen de context uit het oog kunnen verliezen, wanneer zij moeizaam rijgend aanvullen en in paragraaf 9.5.1 dat splitsend aanvullen in situaties met tientaloverschrijding complex is, omdat leerlingen moet anticiperen op het ontstaan van een tiental, dan wel achteraf hun aanvulhandelingen bij moet stellen. De voorbeelden tonen de complexiteit van het herleiden van de indirecte optelling van

281

Hoofdstuk 9

een aftrekprobleem tot een paraat rekenfeit. Leerlingen die daar nog niet aan toe zijn, slaan op drie manieren de plank mis. In de meeste gevallen compenseren ze in de verkeerde richting. Soms wordt er gewoon niet gecompenseerd. Een op de vijf foutieve antwoorden bij beredeneren komt uit deze begripsfouten van aanvullend beredeneren voort. Onjuist compenseren van het verschil met een vertrouwde aftrekking. Het grootste aantal foutieve antwoorden bij beredeneren komt echter voort uit afsplitsen en compenseren op basis van een aftrekfeit (23 van de 56; aandeel=46%). De leerling van voorbeeld 63 compenseert niet, die van voorbeeld 64 en voorbeeld 65 wel, maar in de tegenovergestelde richting.

9.6.2

Basisoperaties

Er is bij beredeneren slechts één zuiver geval van foutief aftrekken geobserveerd: ‘88 van de 100 is 28’. Deze aftrekfout van een leerling uit de groep Hoog is consistent met het foutief gebruik van de splitsingen van 10 en 100 om indirecte sommen op te lossen.

9.6.3

Overige fouten

Wat voor splitsen geldt, geldt ook voor beredeneren. Er worden zelden fouten van het type overige fouten gemaakt.

9.6.4

Conclusie

Wij zagen bij de analyse van de rijgpoplossingen hoe gevarieerd de leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen de relatie tussen de hoeveelheden (c.q. grootheden) van de voorgelegde aftrekproblemen met optelof aftrekrelaties kunnen weergeven. Dit leidde in de tweede voorlopige balans van de modernisering tot de vaststelling dat de probleemgerichte en interactief-reflectieve aanpak van realistisch hoofdrekenen een grote groep leerlingen in staat stelt adequaat ‘kwantitatief’ te denken en de relaties tussen aantallen en meetgetallen efficiënt ‘aritmetisch’ te symboliseren. De modellering van dezelfde problemen door dezelfde leerlingen in de oplossingen van het type Weten en Beredeneren maken nu de beperkingen zichtbaar van de verworven bekwaamheid in aritmetisch redeneren en symboliseren. Uit de geobserveerde correcte en foutieve oplossingen kan worden afgeleid dat de leerlingen –

weten dat de getallen van een contextopgave voor een aantal dingen of maten staan;

282


–

het verschil in aantal dingen of maten soms goed en soms onjuist met parate optelfeiten en/of aftrekfeiten weergeven (aritmetisch symboliseren).

Het beeld van het bereikte niveau van beredeneren is dat van leerlingen, die in de lokale situatie van een aftrekopgave en met de specifieke getallen van deze rekensituatie, telkens weer uitzoeken hoe zij de relatie tussen de betreffende aantallen dingen of maten met geschikte getalrelaties correct kunnen weergeven. Het is het beeld van de puzzelaar die nog niet in staat is om vanuit een hoger gelegen standpunt numerieke relaties als ‘rekendingen’ in te zetten, 1. omdat de getalrelaties nog te sterk verbonden zijn met de fenomenen van de contexten en 2. omdat hij nog niet even vertrouwd is met alle rekenregels die nodig zijn om op deze formele manier met geschikte optellingen en aftrekkingen te symboliseren. In de terminologie van Treffers (1987) blijven de onderzochte leerlingen steken op het niveau van de lokale (contextgebonden) horizontale beschrijving met numerieke relaties. Als deze interpretatie van de resultaten bij beredeneren correct is, moeten ze deze lokale symboliseringen nog vertikaal organiseren, in de zin die Freudenthal (1991) en Gravemeijer (2003a) aan de verticale mathematisering bij (hoofd)rekenen geven. Dit betekent concreet dat ze, uit de grote verscheidenheid van herleidingen die ze in de verschillende contexten hebben gemaakt, rekenregels moeten leren abstraheren die de omgang met optellingen en aftrekkingen bij het symboliseren van processen en fenomenen regelen. Vanuit dit oogpunt bekeken laat de beperkte opbrengst bij beredeneren zich verklaren door het feit dat het gros van de onderzochte leerlingen het niveau van contextgebonden symboliseren niet overstijgt (niveau 6 en 7 van de ontwikkelde sequentie). Aftrekproblemen met een optelstructuur sporen leerlingen aan de ene kant aan om met optelrelaties te symboliseren, terwijl ze nog niet beschikken over het inzicht in de operaties en de rekenregels, waar deze ‘indirecte’ symbolisering een beroep op doet. Aan de andere kant is een zeer grote groep leerlingen, waaronder leerlingen met een middelmatige vaardigheid, nog onvoldoende vertrouwd met aftrekken onder de honderd. Ze hebben daarom nog te weinig getallen in netwerken van aftrekrelaties georganiseerd om geschikte aftrekfeiten uit dit systeem vanzelfsprekend als ‘hulpsom’ te kunnen gebruiken. In die zin heeft het langdurig aftrekken in contexten en de inzet van aftrekproblemen met een optelstructuur om veelzijdig te leren symboliseren, zoals dat bij realistisch hoofdrekenen gebeurt, ook nadelen. Vanuit het oogpunt van de verwachtingen beschouwd, vertraagt deze aanpak ons inziens in de groepen Laag en Midden de begripsvorming van ‘aftrekken’ en, in alle drie de vaardigheidsgroepen, de ontwikkeling en automatisering van gestandaardiseerde aftrekprocedures. Het belemmert ons inziens tevens de toegang tot de voor basisschoolleerlingen hoogste vorm van herleiden en symboliseren via de transformatie van de geabstraheerde aftrekking van een aftrekprobleem (c.q. een kale aftrekking) in een meer toegankelijke gelijkwaardige aftrekking.

283

Hoofdstuk 9

9.7

Samenvattend overzicht van de structurele fouten

In hoofdstuk 10 maken we de balans op van hoofdrekenen. Het brengt de sterke en zwakke kanten van de verworven bekwaamheid in relatie met de resultaten van de 4e rekenpeiling en de kernaspecten van de realistische hoofdrekendidactiek die de auteurs van de gebruikte rekenmethode als referentie nemen. Deze paragraaf inventariseert in dit perspectief de hoofdresultaten van de foutenanalyse en brengt ze in verband met de relevante aspecten van de realistische didactiek en met de huidige praktijk van de evaluatie en de organisatie van het leerproces door de leraar in de klas (zoals gepeild).

9.7.1

Hoofdresultaten van de foutenanalyse

De oplossingswijzen geven de volgende aanwijzingen over tekortkomingen op het niveau van de schematisering en de bewerking van de getallen. Ten aanzien van de schematisering blijkt dat, als leerlingen foutief schematiseren, zij dan meestal de getallen van een aftrekprobleem in een optelsom organiseren die aanvullend optellend kan worden opgelost. Zij verwarren in die zin optellen als een operatie met aanvullend optellen als aftrekstrategie. Bij het “bewerken”, tekenen zich de volgende patronen af in de fouten die leerlingen maken en die foutieve antwoorden genereren: 1. De meeste foutieve antwoorden komen voort uit het routinematige gebruik van opgeslagen foutieve splitsalgoritmen en tekortkomingen in de uitvoering van indirect optellen met een vorm van rijgen, splitsen en beredeneren. 2. Leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep missen de bouwstenen om op de hoger gelegen niveaus te kunnen herleiden. Hierdoor gebruiken ze omslachtige manieren van structureren (met telstappen en/of met veel getallen als knooppunten) die gemakkelijker fouten generen. 3. De onderzochte middengroep splitst graag, zet relatief vaak buggy algoritmen in, zowel bij aftrekken als bij aanvullen en mist bovendien voorwaardelijke aftrekautomatismen. Deze groep blijft vooral hierdoor steken op een middelmatig niveau van hoofdrekenen. Daarnaast mist een deel van de leerlingen de bouwstenen om (a) inzichtelijk rijgen met splitsen te kunnen combineren en (b) vanzelfsprekend te compenseren, wanneer ze m.b.v. een geheugenfeit proberen te herleiden. 4. Leerlingen met de hoogste vaardigheid maken twee typen fouten. Sommige generaliseren de foutieve aftrek- en aanvulalgoritmen die ze hebben bedacht voor indirect optellen en aftrekken tot honderd. Andere maken dezelfde typen fouten als leerlingen uit de middengroep bij de aanpassing van de combinatie splitsen-rijgen en van afsplitsen en compenseren voor de oplossing van opgaven met driecijferige getallen.

284


9.7.2

Relatie met de didactiek, evaluatie en organisatie van het leerproces

Bovenstaande resultaten ondersteunen aan de ene kant de voorlopige balans die aan het einde van hoofdstuk 7 is gemaakt. Ze dragen aan de ander kant nieuwe elementen aan die het beeld van de invloed van ‘onderwijsfactoren’ differentiëren en aanscherpen. Dit geldt vooral voor het aandeel van het dagelijks volgen van de leerling, het diagnosticeren van de stand van zaken en het afstemmen van de activiteiten, taken en opdrachten van de methode op de behoeften en mogelijkheden van individuele en groepen leerlingen. De aangrijpingspunten voor de definitieve balans van deel III worden hieronder gepresenteerd: 1. 2. 3. 4.

de kwaliteit van de dagelijkse evaluatie van en reactie op de processen in de klas; het differentiatieproces; de taal van hoofdrekenen; de kracht en de beperkingen van veelzijdig contextgebonden hoofdrekenen.

Ad.1 Kwaliteit van de dagelijkse evaluatie van en reactie op de processen in de klas De geïdentificeerde begripsfouten, foutieve algoritmen en aftrekfouten roepen de vraag op of leraren wel dagelijks de balans opmaken van 1. het doel dat ze voor ogen hadden en wat de leerlingen feitelijk hebben bereikt en 2. wat er zich, onder hun begeleiding, tussen de leerlingen heeft afgespeeld en 3. de verandering die deze interacties teweeg hebben gebracht in de gebruikelijke manier van denken, rekenen en symboliseren van individuele leerlingen en subgroepen. Tijdelijke begripsfouten en foutieve procedures maken natuurlijkerwijs deel uit van rekenen-wiskunde leren. Leerlingen moeten immers telkens opnieuw vanuit een hoger gelegen aritmetische standpunt, hun beeld van de getallen en hun wijze van omgaan met deze getallen bijstellen en de ontdekte abstractere structureren en relaties leren gebruiken om hun gebruikelijke manier van aftrekken en indirect optellen verder te formaliseren. De geconstateerde fouten zijn echter van een andere orde. De foutieve aftrekalgoritmen worden doorgaans in de loop van groep 4 uitgevonden. De foutieve aanvulalgoritmen zijn direct gelieerd aan het dagelijks rekenen in contexten. Rationeel gezien, kan een leraar deze twee typen fouten niet over het hoofd zien, noch het systematisch foutief combineren van rijgen met splitsen, noch systematisch in de verkeerde richting compenseren. Dit betekent dat leraren óf niet tijdig begripsfouten identificeren, óf niet weten hoe ze adequaat op deze begripsfouten kunnen reageren, óf maatregelen op schoolniveau missen die het mogelijk maken om tijdig te signaleren en adequaat didactisch te handelen. Deze problemen roepen nu het beeld op van de knelpunten in het rekenonderwijs, zoals weergegeven door de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk

285

Hoofdstuk 9

Onderzoek (2010) in haar programmeringsstudie. Wijzend naar een recent rapport van de Inspectie van het Onderwijs over opbrengstgericht werken en de relatie met rekenprestaties (Timminga & Swanborn, 2010), richt de NWO de aandacht op het instructie- en communicatieproces in de klas73 en het ‘samenspel’ van rekendoelen, leerstofaanbod, instructiewijzen, groeperingsvormen en evaluatie, afgestemd met andere klassen: Er komen uit onderzoek ook signalen dat de instructie in het rekenonderwijs niet ver is ontwikkeld. Deze betreffen bijvoorbeeld het ondersteunen van het zelfstandig oplossen van complexe opgaven, het voeren van interactieve gesprekken met leerlingen over hun oplossingswijzen, het analyseren van het rekenwerk van kinderen en het geven van procesgerichte feedback tijdens de les. Leerkrachten gebruiken rekentoetsen vooral voor het maken van een overzicht van de resultaten en het bieden van herhalingsstof aan zwakke rekenaars. Zij geven doorgaans geen gerichte extra instructie over rekenonderdelen die kinderen niet goed beheersen (p. 10).

Vanuit dit oogpunt bekeken, mist de leraar enerzijds een zeker vakmanschap (Simon, 1995; Hiebert & Grouws, 2007) en anderzijds de structuur en steun van een professionele schoolorganisatie (Inspectie van het Onderwijs, 2008). Ad. 2

Differentiatieproces

De resultaten van de foutenanalyse bevestigt de ware kloof die is ontstaan tussen de minst gevorderde leerlingen die het verschil tussen 12 en 25 munten nog turvend modelleren en de meest gevorderde leerlingen die de vlekopgave 998 + … = 1662 oplossen door direct 2 bij 662 op te tellen. De fouten maken twee patronen zichtbaar. De verschillen ontstaan zowel bij de formalisering van rijgen dat de eerste prioriteit krijgt als bij leren splitsen en variarekenen. En bij alle drie de leerprocessen profiteren de meest vaardige leerlingen het meest van de actuele instructie- en differentiatiepraktijk. Wij zagen in hoofdstuk 4 dat de NWO (ibid. 12-13) in haar programmeringsstudie, wat dit aspect van leren rekenen betreft, er van uitgaat dat de rekenprestaties geen duidelijk verschil laten zien in het effect van de toegepaste vorm van differentiëren. De twee gangbare conclusies worden overgenomen: 1. differentiëren in niveaugroepen over de hele school of binnen een klas werkt vooral in het voordeel van de betere rekenaars en 2. het effect van differentiatie binnen een klas is groter naarmate de verschillen in rekenniveau van leerlingen van de klas groter zijn. De resultaten van onderhavige onderzoek komen in die zin overeen met de trend in internationale data. De geïdentificeerde problemen passen bovendien bij de patronen die in de Nederlandse klassen zijn gevonden (Timminga & Swanborn, 2010). Nederlandse leerkrachten differentiëren tegenwoordig de verwerkingstof (laag, midden, hoog) op basis van de aanwijzingen van hun rekenmethode, maar stemmen 73

Zie de knelpunten in de rekendidactiek van paragraaf 2.1.

286


de instructie en begeleiding vaak niet af op verschillen tussen leerlingen. Dit vormt een reëel knelpunt, te meer omdat een grotere differentiatie in aanbod en instructie/verwerking, zoals leraren in scholen voor speciaal basisonderwijs dat bijvoorbeeld doen, op gespannen voet staat met goed realistisch lesgeven (Kraemer, 2009c). Ad.3

Taal van hoofdrekenen

In hoofdstuk 3 is de rol van de taal vanuit twee oogpunten aan de orde gesteld: aan de ene kant, tijdens het proces van realistisch probleemoplossen, aan de andere kant met betrekking tot de langlopende organisatie van de leerervaring in de loop van de verticale mathematisering van hoofdrekenactiviteit en de uitgevonden procedures voor rijgen, splitsen en beredeneren. Bij het oplossen van contextopgaven doen zich drie problemen voor die verbonden zijn met taal als communicatie- en symboliseringsmiddel: 1. het ontrafelen (decoderen) van de relevante informatie uit de tekst en de vraag van een opgave, 2. het interpreteren van deze gegevens in termen van een kwantitatieve relatie tussen de hoeveelheden van de betreffende probleemsituatie en 3. het symboliseren van deze relatie met passende getalrelaties. Dit spoort aan om, zoals gezegd in de conclusie van paragraaf 9.3, een passende oriëntatie en begeleiding van de leerlingen uit te vinden. Door oplossingen, redeneringen en ideeën taalkundig en grafisch weer te geven, kunnen de leerlingen hierover nadenken en discussiëren. In die zin vormt de mondelinge, grafische en getalsmatige rekentaal een sturende factor bij de geleidelijke formalisering van de hoofdrekenprocedures. De gemaakte fouten signaleren wat dit betreft vier problemen. 1. Het patroon in de interviewsituatie is dat de leerling uit zijn hoofd rekent, het antwoord geeft en vervolgens mondeling uitlegt (c.q. probeert uit te leggen) hoe hij heeft gedacht en gerekend. Het grootste deel van de geanalyseerde oplossingen is op deze manier tot stand gekomen (retrospectie). In de overige oplossingen heeft de leerling hardop gedacht en daarbij aantekeningen op papier gemaakt of alle rekenstappen symbolisch weergegeven (hardop denken). Het aanbod en de praktijk maken de wisselwerking tussen factoren aannemelijk. In de huidige rekenboeken en rekenpraktijk in de klas, gaat de aandacht bij hoofdrekenen vooral naar de rekenprocedure, namelijk zo kort en/of handig mogelijk rekenen en veel minder naar (a) de wiskundige grondslag van de procedure, dat wil zeggen de numerieke aspecten die deze procedure rechtvaardigen en (b) het bedenken van een functionele symbolisering van de uitgevonden modellering met getalrelaties in de vorm van een passende bewoording en schriftelijke notatiewijze. Onder deze omstandigheden hechten leerlingen ten eerste een zeer hoge status aan rekenen uit het hoofd en ze beschouwen het maken van aantekeningen als een teken van ‘zwakte’.

287

Hoofdstuk 9

Leerlingen die op een formeel niveau denken en rekenen, kunnen dan een afkeer ontwikkelingen voor een symbolisering van een lager orde en ‘faute de mieux’ uit het hoofd rekenen, d.w.z. omdat ze geen functionele notatiewijze voor hun manier van modelleren hebben geleerd74. 2. Sommige leerlingen uit de laagste vaardigheidsgroep vallen terug op lagere, meer omslachtige vormen van symboliseren die ze niet goed toepassen. 3. Als gevolg van probleem 1, maken leerlingen bij rijgen, alleen gebruik van de symbolisering met sprongen op een getallenlijn of in formele rekentaal. 4. De getallen van een aftrekprobleem bepalen de moeilijkheidsgraad van aanvullen met de splitsmethode en via herleiden met optelfeiten. Leerlingen die de relatie van een dergelijk probleem met tientaloverschrijding op deze manier proberen op te lossen, komen regelmatig in de problemen, omdat ze niet onder woorden kunnen brengen hoe ze denken en/of rekenen en/of een notatiewijze missen die bij deze aanvulhandelingen passen. De data ondersteunen de aanname in deze studie, dat progressief schematiseren impliceert dat leerlingen, bij elke niveauverhoging, hun mondelinge rekentaal en notatiewijze afstemmen op de abstractere eigenschappen van de nieuwe uitgevonden rekenprocedure. Ad.4

Kracht en beperkingen van gevarieerd contextgebonden hoofdrekenen

Bovenstaande resultaten van de foutenanalyse scherpen ten slotte het beeld aan van de sterkere en zwakkere kanten van de TAL-didactiek. Deze aanpak heeft als voordeel dat het gros van de leerlingen de relatie tussen de hoeveelheden (c.q. grootheden) van de verschillende klassen aftrekproblemen meestal efficiënt en effectief met relaties tussen hele getallen leert symboliseren. De geïdentificeerde fouten maken vier nadelen zichtbaar: 1. Deze aanpak verhindert niet dat leerlingen, die daar conceptueel nog niet aan toe zijn, aan om aftrekproblemen met een optelstructuur ook positioneel en/of beredenerend met optelrelaties te modelleren, precies zoals Beishuizen (1997) dat heeft gesignaleerd. 2. De nadruk op veelzijdig aftrekken gaat ten koste van de aandacht voor de problematisering van ‘aftrekken’ als rekenoperatie, vanuit het oogpunt van rijgen, splitsen en beredeneren, met als gevolg dat leerlingen foutieve aftrekalgoritmen inslijpen en niet echt weten wat ‘compenseren’ inhoudt bij het herleiden tot een aftrekfeit. 3. Het langdurig rekenen in contexten en de vigerende afwisseling van rekenen met en zonder context lijkt ertoe te leiden dat heel veel leerlingen de rekenwereld in twee subwerelden scheiden. Aan de ene ligt de wereld van de 74

Zie in dit verband de opmerkingen van de tweelingzussen Ylja en Joni in hoofdstuk 1 over rekenen op de lege getallenlijn in het interview van Marja van de Heuvel-Panhuizen.

288


contextproblemen die veelzijdig, gevarieerd en vooral rijgend worden opgelost, aan de andere kant die van de ‘aftreksommen’ die eenzijdig met aftrekprocedures, zij het rijgend, zij het splitsend worden uitgerekend. Het gevolg daarvan is dat, afgezien van een kleine groep leerlingen met een hogere rekenvaardigheid, het gros van de leerlingen niet toe lijkt te komen aan de ontdekking dat een uitdrukking als 62 – 48 = 40 zowel het aftrekken van 48 van 62 symboliseert als het verschil tussen 62 en 48. De huidige praktijk blokkeert in die zin de toegang tot puur getalsmatig - lineair of deductief - aftrekken op niveau 8 van de ontwikkelde sequentie. Leerlingen maken hierdoor gedurende een lange periode aftrekfouten die de leraar zou kunnen voorkomen door (a) aftrekken tijdig en adequaat te problematiseren en (b) daarbij de relatie te leggen tussen de symbolisering van de kwantitatieve relatie bij probleemoplossen met optelen aftrekrelaties en de herleiding van kale aftrekkingen met dezelfde getalrelaties. 4. Leerlingen mogen lang op eigen niveau rijgend modelleren. Dit bevordert het maken van fouten bij aanvullend rijgen op een langere afstand door de omslachtigheid van modelleren met telstappen en sprongen van 10 en vertraagt tegelijkertijd de ontwikkeling van de bouwstenen voor structurerend leren rijgen met passende afsplitsingen van getallen. Deze globale aanduiding van de kracht en beperkingen van de realistische didactiek vraagt om een uitgewerkte balans en problematisering. Het introduceert in die zin de balans van de verworven bekwaamheid van hoofdstuk 10 en de analyse van de relatie tussen de opbrengst van rekenen onder de honderd en de TAL-didactiek in het slothoofdstuk.

289

Hoofdstuk 10 Balans van rijgen, splitsen en beredeneren

10.1

Inleiding

In de voorgaande hoofdstukken zijn de resultaten van de twee uitgevoerde empirische onderzoeken gerapporteerd. We hebben in kaart gebracht wat leerlingen zoal kunnen en rapporteerden over de gevonden patronen in de gebruikte methoden en vormen van hoofdrekenen, de omgang met de context en de getallen van de opgaven en de gemaakte fouten. In dit hoofdstuk maken we de balans op. We doen dit in de vorm van een sterkte-zwakte analyse op basis van de patronen die we in de clusters correcte en foutieve oplossingsprocedures hebben geïdentificeerd. Uit de balans van de plussen en de minnen distilleren we de hoofdtendensen in de wijze van beschrijven en bewerken. Op basis daarvan schetsen we ten slotte een aannemelijk beeld van het patroon in de ontwikkeling van numeriek leren denken onder de actuele condities van leren hoofdrekenen onder de honderd.

10.2

Rijgen

Rijgen is de methode die het vaakst wordt gebruikt (L=57%; M=65%; H=74%). De toegepaste vormen van rijgen genereren ook het hoogste percentage correcte antwoorden (L=83%; M=87%; H=91%). Deze methode wordt ook het vaakste toegepast in de meeste oplossingen van de gemeenschappelijke opgaven (ankeropgaven 1, 6, 9, 11, 12 en 13). De data van de vorige hoofdstukken tonen echter zowel sterke als zwakke kanten van rijgen.

10.2.1 Sterke kanten van het rijgen Een van de sterke kanten van het rijgen is dat het zich met alle drie de aftrekstrategieën laat combineren en daarom breed toepasbaar is. Het sluit direct aan

291

Hoofdstuk 10

bij het tellend aftrekken en bevordert het getalbegrip en de opbouw van netwerken van getalrelaties. Dit komt als volgt tot uitdrukking in de analyseresultaten. De hoge frequentie van rijgoplossingen in combinatie met de grote variatie in aanpakken en oplossingswijzen en het hoge percentage correcte antwoorden bewijst dat de geleerde rijgvaardigheid breed toepasbaar is. Leerlingen hebben, op basis van het aanbod in de rekenboeken, verschillende rijgschema´s ontwikkeld en leren gebruiken. Ze herkennen de probleemtypen, organiseren de gegevens in een passende rekenstructuur en bewerken de getallen op verschillende niveaus met een breed arsenaal van adequate rekenvormen. In die zin beschikt het gros van de leerlingen over een breed toepasbare aftrekvaardigheid. Typerend voor de Nederlandse leerlingen in vergelijking met leerlingen in de Amerikaanse reformklassen (Fuson, Wearne e.a., 1996) is dat ze de geleerde vormen van rijgen (tellen, springen en structureren) niet alleen met aftrekken en indirect optellen combineren, maar ook met indirect aftrekken. Al doende, maken ze de verwachtingen bij rijgen waar. Op enkele leerlingen na, heeft iedereen minstens vier aftrekschema’s paraat. Die bestaan uit een combinatie van aftrekken of indirect optellen enerzijds en springen via het tiental of springen met de 10-sprong anderzijds. Eén van de argumenten om met rijgen te beginnen was dat deze methode direct aansluit bij het informeel oplossen van aftrekproblemen met telstappen (Treffers, Feys en de Moor, 1990). We zagen in hoofdstuk 7 dat een groep leerlingen met een lage rekenvaardigheid (de) opgaven van hun reeks met telwoorden modelleren, met en/of zonder symbolisering van de telstappen met streepjes, opgestoken vingers e.d. Bij een groot aantal springoplossingen zetten leerlingen, die niet vlot over een tiental kunnen springen, telvaardigheden in om de eenheden van het tweede getal te bewerken. Rijgen vormt in die zin letterlijk een natuurlijke schakel tussen de oorspronkelijke vormen van aftrekken met verzamelingen objecten en het gedifferentieerd modelleren op basis van de splitsstructuren van getallen en de relatie tussen optelen aftrekrelaties. Deze oplossingen bevestigen de bevinding in de Amerikaanse reformklassen, dat leerlingen de telmethoden die ze bij leren rekenen tot 10 en 20 ‘natuurlijkerwijs’ uitvinden, ook uit zichzelf in het getalgebied tot 100 generaliseren (Carpenter, 1997; Fuson, Wearne, e.a., 1997). Een ander argument om rijgen in te voeren was dat leerlingen hun getalkennis op verschillende manieren en niveaus kunnen benutten. Rijgen zou hierdoor kunnen voorkomen dat leerlingen met getallen goochelen, zoals dat gebeurt als ze, splitsend in tientallen en eenheden, met cijfers proberen op te tellen en af te trekken. De modellering van de ingebrachte oplossingen op een zelf gemaakte getallenlijn zou bovendien, via de vergelijking van de gebruikte knooppunten, inzicht verschaffen in de structuur van de tientallige lineaire relaties tussen deze getallen. De gebruiksfrequentie van rijgen en het aandeel van de rijgoplossingen in het succes van de leerlingen staven dit argument. Bij de verschillende combinaties van springend en structurerend rijgen met aftrekken, indirect optellen (aanvullen) en indirect aftrekken (leeg maken) maken de leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen op verschillende

292


niveaus van verkorting inzichtelijk gebruik van passende en correcte netwerken van getallenrelaties. Leerlingen die het niveau van springen overstijgen, benutten het verworven inzicht optimaal in de getallen en de rekenrelaties in het getalgebied tot twintig. De meest gevorderde leerlingen, die vlot met driecijferige getallen rijgen, maken bovendien gebruik van de factor tien, de analogie van rekenen tot 1000 met rekenen tot 100 en netwerken van relaties met driecijferige getallen en geheugenfeiten. Dit alles laat zien hoe sterk rijgen bijdraagt tot het begrip van getallen en tientalligheid en aan de mentale constructie van gedifferentieerde netwerken van getalrelaties. De grote variatie in aanpakken en rijgbewerkingen geeft verder aan dat dit te danken is aan het feit dat iedere leerling op eigen niveau kan rijgen, omdat de formalisering van de procedures synchroon loopt met de begripsvorming. Er wordt op alle onderscheiden niveaus van de gereconstrueerde sequentie geregen, van verkort tellen tot gestandaardiseerd. Naarmate de leerlingen vorderen in de formalisering van de rijghandelingen tot honderd, leggen ze ten slotte natuurlijkerwijs de basis voor rekenen onder de 1000. Dit blijkt uit de vanzelfsprekendheid waarmee de meest gevorderde leerlingen de procedures voor rijgen onder de honderd generaliseren voor de bewerking van driecijferige getallen. Sommigen kunnen zelfs al 620-370 of 370+…=620 gestandaardiseerd uitrekenen, terwijl dergelijke bewerkingen nog niet structureel zijn aangeboden.

10.2.2 Zwakke kanten van het rijgen Drie patronen geven echter aanleiding om de kracht van de verworven rijgvaardigheid te relativeren. In de eerste plaats zijn er sterke aanwijzingen dat het brede pallet van oplossingsprocedures die leerlingen inzetten sterk verbonden is met de klassen opgaven die ze zelf onderscheiden. Als deze interpretatie van de data correct is, worden de getallen meer ‘instrumenteel’ dan `flexibel` bewerkt. In de tweede plaats constateren we grote verschillen in de gemiddelde gebruiksfrequentie en goedscores bij tellen, springen, afsplitsen en gestandaardiseerd rijgen (paragraaf 7.3.3). Dit maakt aannemelijk dat een relatief grote groep leerlingen de conceptuele en procedurele bouwstenen mist die toegang verschaffen tot aftrekken en indirect optellen met afgesplitste getallen, los van enige context. Dit vormt een extra probleem bij het overschakelen van rijgen met benoemde getallen naar rekenen met getallen als rekenobjecten en rekeneigenschappen. Een bijkomend probleem ten slotte is dat de kans op een foutief antwoord bij rijgen groot blijft wanneer de leerling over een langere afstand met telstappen modelleert of met aaneengeregen tienvouden c.q. samengestelde getallen werkt. Leerlingen die op deze manier indirect optellen, lopen de meeste risico’s, zeker als ze geen aantekeningen maken. Deze handelingen belasten hun werkgeheugen namelijk zodanig, dat ze de controle op hun bewerking verliezen en hierdoor het bereikte getal als antwoord geven, getallen verwisselen, of iets over het hoofd zien.

293

Hoofdstuk 10

10.2.3 Balans van het rijgen Samenvattend: rijgen wordt het vaakst toegepast en behaalt goede resultaten. Menig leerling blijft echter steken op het niveau van opgavenspecifiek hoofdrekenen. Dit vormt een extra belemmering voor de leerlingen die ook de bouwstenen missen om over te kunnen schakelen naar een hoger niveau van symboliseren en sequentieel rekenen.

10.3

Splitsen

De onderzochte leerlingen hebben veel minder vaak gesplitst dan geregen (L=8%; M=17%; H=11%). Het zeer hoge percentage foutieve antwoorden (L=64%; M=57% en H=42%) geeft al aan, dat sterke aspecten van het splitsgedrag de tekortkomingen niet kunnen compenseren.

10.3.1 Sterke kanten van het splitsen Deze sterke kanten betreffen de volgende aspecten. Leerlingen met een lage vaardigheid kunnen foutloos aanvullen en aftrekken bij opgaven zonder tientaloverschrijding. Als leerlingen met een hoge vaardigheid met tekort aftrekken, doen ze dat inzichtelijk en foutloos. Het grootste pluspunt van splitsen is dat deze methode, in tegenstelling tot rijgen, nauwelijks uitvoeringsfouten in de hand werkt. Verder blijkt dat een klein aantal leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep de mengmethode correct toepast, terwijl die in de regel nog niet is aangeboden (620 - 370 via 600 - 300  300 + 20 320 -70 = 250). Deze leerlingen tonen al doende aan, dat ze vooruit lopen in de conceptualisering van tientallig aftrekken met positiewaarden. Ze onderscheiden zich in die zin van Duitse (Selter, 2002) en Amerikaanse (Fuson e.a. 1997) leeftijdsgenoten die moeite hebben met deze mengmethode of deze niet gebruiken.

10.3.2 Zwakke kanten van het splitsen Over het geheel genomen komt het gros van de foutieve antwoorden bij het splitsen voort uit het onbegrip van de gebruikte procedure. Dit typeert de algemene tendens bij het bewerken van de getallen met de splitsmethode. Het signaleert de gebrekkige conceptuele basis van de doorsnee leerling. De foutenanalyse heeft de begripsfouten aan het licht gebracht die de ernst van het probleem zichtbaar maken. Het hoofdprobleem is dat een grote groep leerlingen foutieve algoritmische manieren van aftrekken en indirect optellen met tientallen (c.q. tienvouden) en eenheden heeft ingeslepen, die verbonden zijn met bepaalde typen contexten en kale

294


aftrekkingen. De data maken aannemelijk dat ze ‘automatisch’ worden ingezet, net zoals de correcte vaste vormen van rijgen. In de aftrekbewerkingen gebruiken de geobserveerde leerlingen dezelfde ‘buggy algoritmen’ (en varianten ervan) als de Amerikaanse leerlingen (Fuson, e.a., 1997). Het voorkomen van dergelijke buggys wekt om twee redenen verbazing. Ten eerste wordt in de Nederlandse onderwijscultuur van leraren verwacht dat zij begripsfouten tijdig signaleren en daar adequaat op reageren. Hoe komt het dan dat zoveel leerlingen in deze onderwijsperiode als het ware hun gang mogen gaan? Ten tweede was het voor de eeuwwisseling al bekend, dat splitsend aanvullen in situaties met tientaloverschrijding een beroep doet op inzichten en vaardigheden die de doorsnee leerling in jaargroep vijf nog niet heeft verworven (Van Mulken, 1992; De Jode, 1996; Hoogenberg en Paardekooper, 1996). In de onderhavige studie komt 38% van de foutieve splitsantwoorden van de laagste vaardigheidsgroep voort uit een onjuiste mentale representatie van de aanvulhandelingen. Ze denken en rekenen net zoals hun leeftijdsgenoten tien jaar eerder. Ze beseffen niet dat het aanvullen van de eenheden een ‘extra’ tiental oplevert, waardoor ze telkens ‘tien hoger’ uitkomen. Dit ondersteunt overigens Beishuizen’s (1997) standpunt dat splitsen, in tegenstelling tot rijgen, aanvankelijk niet geschikt is om indirect op te tellen. Dat leerlingen zonder argwaan ‘26’ als antwoord geven op de opgave 24 + … = 40, maakt aannemelijk dat ze ‘mechanisch’ rekenen, zonder enige aandacht voor de geloofwaardigheid van een gevonden uitkomst (24 + 26 = 40!). Het doet vermoeden dat het probleem ernstiger is dan een tijdelijke misconceptie van splitsend aanvullen. Een tweede structureel probleem is dat de mengvorm een barrière vormt in de progressieve mathematisering. De meeste leerlingen zijn noch conceptueel, noch procedureel geëquipeerd om de positionele en sequentiële manier van denken en rekenen in één methode te integreren. Dit typeert het verschil met de leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep, die aftrekkingen als 620 - 370 al vlot en inzichtelijk met de mengprocedure kunnen uitrekenen. Aftrekken met tekorten is ten slotte niet voor iedereen even vanzelfsprekend.

10.3.3 Balans van het splitsen Uit bovenstaande plussen en minnen kunnen we niet anders concluderen dan dat splitsen halverwege de basisschool in elk geval tijdelijk en wellicht ook structureel een probleem vormt. De volgende tendensen typeren de stand van zaken wat betreft de ontwikkeling van positioneel denken en rekenen, al of niet in combinatie met sequentieel opereren. De meerderheid van de leerlingen mist de conceptuele bouwstenen voor betekenisvol opereren met positiewaarden in aftreksituaties met tientaloverschrijding. In alle drie de vaardigheidsgroepen slijpt menige leerling foutieve algoritmische manieren van aftrekken in, naast het indirect optellen, als gevolg van een gerichtheid op specifieke opgavenkenmerken. Dit alles belemmert de voortgang in

295

Hoofdstuk 10

verticale mathematisering van positioneel denken en rekenen, te meer omdat leraren de geobserveerde extreme verschillen in begripsvorming toelaten.

10.4. Beredeneren Beredeneren wordt in slechts 8% van de oplossingen van alle drie de vaardigheidsgroepen toegepast. Het percentage correcte antwoorden bedraagt 50% in de groep Laag, 63% in de groep Midden en 69% in de groep Hoog. Ook voor deze methode geldt, dat de verwachte en de geobserveerde bekwaamheid behoorlijk van elkaar verschillen. Belangrijke sterke punten die eerst aan de orde komen, maken het verschil met splitsen.

10.4.1 Sterke punten van het beredeneerd aftrekken Succes bij beredeneren komt voort uit twee sterke kanten van de verworven bekwaamheid. De leerlingen maken efficiënt en effectief gebruik van (a) de inverse relatie en gememoriseerde optellingen en (b) het principe van het gelijkblijvend verschil. Dit verkleint de kans op rijgen splitsfouten. Twee rekenmanieren tonen het voordeel dat leerlingen trekken van de verworven redeneervaardigheid. Ten eerste laten leerlingen die op het grondniveau opereren zien dat ze betekenisvol optelfeiten als puzzelstukken samenstellen om de stipsom van een aftrekprobleem (bijvoorbeeld 25 + .. = 50) te construeren, daarbij vanzelfsprekend gebruik makend van associativiteit en commutativiteit: [25 = 20 + 5]; [5 + 5 = 10]; [10 + 10 = 20]; [20 + 20 = 40]  25 + 25 = 50. Deze werkwijze slaat een natuurlijke brug tussen ‘structurerend’ rekenen onder de tien op basis van getalbeelden c.q. geheugenfeiten en ‘tientallig herleiden’, gebruikmakend van de relatie tussen numerieke relaties, wat in de Engelstalige literatuur ‘derived facts strategies’ wordt genoemd (zie hoofdstuk 4). In het gebruikte categorieënsysteem wordt een onderscheid gemaakt tussen Weten en Beredeneren (paragraaf 4.3). Beredeneren neemt meer tijd in beslag omdat de leerling een of andere herleidingsprocedure moet toepassen. In oplossingen van het type “Weten” associeren leerlingen vrijwel onmiddellijk de getallen van de aftrekopgave met een geheugenfeit. We zagen nu in hoofdstuk 7 dat menige leerling uit de laagste vaardigheidsgroep op deze manier een kleine klasse aftrekopgaven die aan twee criteria voldoet, succesvol kan oplossen. Het zijn contextproblemen waarin aftrekken de betekenis van ‘vergelijken’ of ‘scheiden’ heeft en waarvan de getallen de associatie oproepen met een ‘inverse’ (bijna) dubbel (50 als 25 + 25 = 50; 25 als 13 + 12 = 25; 100 als 48 + 52) of met een splitsing van honderd. Leerlingen uit de middengroepen lossen op een analoge manier de kale aftrekking 100 - 86 op, via de directe associatie met 86 + 14 = 100. Daarmee onderscheiden ze zich in die zin van de Amerikaanse

296


leerlingen uit de reformscholen (Fuson, e.a., 1997) en de Vlaamse leerlingen in het onderzoek van Torbeyn e.a. (2006), die zelden gebruik maken van indirect optellen. De keerzijde van deze medaille is echter dat de leerlingen als het ware automatisch op de prikkel van de opgave reageren, en niet vanuit de beoogde aritmetische houding. Dit duidt op een sterke overeenkomst in de beperking van de verworven deelvaardigheden, die immers ook voor rijgen en splitsen geldt.

10.4.2 Zwakke punten van het beredeneerd aftrekken Tegenover de sterke punten staan echter vier nadelige tendensen binnen het beredenerend herleiden: 1. de leerlingen missen de conceptuele basis van afsplitsen en compenseren, 2. ze komen niet toe aan transformeren, 3. ze vergissen zich bij compenseren bij aanvullend herleiden en 4. ze ontwikkelen niet de functionele taal die ze nodig hebben ter ondersteuning van het denken en voor de communicatie met de leraar en groepsgenoten. Zoals eerder opgemerkt (zie hoofdstuk 5) zijn de voorgelegde opgaven niet specifiek geselecteerd om te toetsen in hoeverre leerlingen via compenseren en/of transformeren kunnen herleiden. Zes opgaven lenen zich echter voor afronden en compenseren en zeven voor transformeren op basis van het principe van het gelijk verschil. De foutieve herleidingen binnen deze twee clusters wijzen erop dat de leerlingen hier (nog) niet goed mee omgaan. In een relatief groot cluster van 64 oplossingen wordt de aftrekking, die uit een contextprobleem is geabstraheerd, opgelost via een bekende aftrekking die erop lijkt.    

40-24 via 40-20=20 (opgave 6) 100-48 via 100-50=50 (opgave 9) 900-595 via 900-600 of 900-500 (opgave 16) 1662-998 via 1662-1000=662 (opgave 17)

De compensatie genereert in die gevallen 46% van de foutieve antwoorden van de beredeneeroplossingen. Het is dus bij lange na niet vanzelfsprekend. Dit is om minstens drie redenen merkwaardig. Deze vorm van beredeneren staat officieel op het programma van hoofdrekenend aftrekken tot 100. Het krijgt expliciet aandacht in diagnostische activiteiten van onder andere de Kwantiwijzer voor leraren (van de Berg et al. 1994). En deze vorm sluit direct aan bij het gebruik van getalbeelden en bekende aftrekfeiten bij de reconstructie van de tafels. Dat transformeren problematisch is, is minder verrassend gezien het feit dat deze ‘rekenmanier’ gezien wordt als sluitstuk van het zogenoemde ‘variarekenen’. Het principe van het gelijkblijvend verschil is door de leerlingen slechts in een achttal oplossingen toegepast (dit betreft op één na leerlingen uit de hoogste vaardigheidsgroep):

297

Hoofdstuk 10

  

62-48 via 64-50=14 (opgave 12) 102-90 via100-88 (opgave 11) 620-370 via 650-300 (opgave 14)

Wat ten slotte in de protocollen is opgevallen, is dat leerlingen moeilijk kunnen vertellen wat ze in een opgave zien, hoe ze de getallen van de opgave met elkaar in verband brengen en met de termen van andere vertrouwde numerieke relaties en binnen dit lokaal relatienet redeneren, vanuit het verworven inzicht in de rekeneigenschappen. Wij zagen wat dit betreft (hoofdstuk 3), dat Freudenthal (1981) en van Hiele (1973; 1981) ervan uitgaan dat de taal een essentiële rol speelt in de verticale mathematisering van de eigen activiteit bij numeriek en meetkundig leren denken als medium om denkbeelden en werkwijzen te objectiveren, bespreekbaar te maken en te organiseren. In de meeste interviews herleidt de leerling puur mentaal (uit het hoofd). Leerlingen die aantekeningen maken, symboliseren hun gedachtegang met de ‘losse sommen’ of met aaneensluitende operaties die de stappen in de gevolgde redenering symboliseren. Dit betekent dat ze weten dat abstracte redeneringen in sommentaal kunnen worden genoteerd. Dat leerlingen zo vaak niet of onjuist compenseren en hun gedachtegang ook vaak niet goed onder woorden kunnen brengen, zou een signaal kunnen zijn dat ze een functionele mondelinge en schriftelijke ‘redeneertaal’ missen.

10.4.3 Balans van het beredeneerd aftrekken Zoal verwacht, lijkt de hoofdtendens die we in de correcte en foutieve herleidingen kunnen distilleren sterk op het hoofdpatroon dat we in de splitsbewerkingen hebben geïdentificeerd. Leerlingen die op het grondniveau betekenisvol met optelfeiten manipuleren, staan conceptueel en procedureel gezien, op verre afstand van groepsgenoten die puur redeneren op basis van relaties tussen numerieke relaties. Wat ze qua numeriek denken met elkaar verbindt, is het gebruik van de associatieve en commutatieve eigenschap van optellen en de inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Het cruciaal verschil zit in de ‘rekenobjecten’ waarmee ze manipuleren, namelijk met weetjes (rekenfeiten) of met numerieke relaties, die met de gegeven optelling, aftrekking of splitsing in verband worden gebracht. Het leerprobleem is echter om twee redenen minder ernstig dan bij splitsen. Ten eerste, omdat beredeneren alleen lokaal, in specifieke gevallen loont. Ten tweede, omdat vrijwel iedereen op een elementair niveau heeft leren gebruik te maken van de gereedschappen van deductief rekenen: geheugenfeiten en de rekeneigenschappen. In die zin is een inzichtelijke basis gelegd die bij splitsen ontbreekt.

298


10.5

Ontwikkelingspatroon

Ter afsluiting typeren we de voortgang in het numerieke denken op basis van de gevonden tendensen in ‘beschrijven’ en ‘bewerken’. Er wordt vaak geregen en met goede resultaten. Wanneer leerlingen de getallen anders bewerken, genereren de gevolgde redenering en uitgevoerde rekenhandelingen in alle drie de vaardigheidsgroepen veel meer foutieve antwoorden, vooral als gevolg van begripsfouten en in het bijzonder bij splitsend aftrekken of indirect optellen. Er is in die zin sprake van een scheefgroei tussen enerzijds sequentieel denken en anderzijds deductief en vooral positioneel denken aan de andere kant. Er zijn sterke aanwijzingen dat leerlingen uit de middengroep daar het meest last van hebben, omdat ze de getallen van hun opgaven relatief vaak met een of andere splitsprocedure proberen te bewerken. Leerlingen uit alle drie de vaardigheidsgroepen reageren in de regel (vrijwel) ‘onmiddellijk’ (‘spontaan’; ‘automatisch’) op wat ze in de betreffende opgave zien. Ze gaan af op (een combinatie van) specifieke kenmerken die geassocieerd zijn met ‘klassen opgaven’ en daaraan verbonden paradigmatische oplossingsprocedures. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat twee factoren voor een groot deel determineren wat de leerling ziet en wat hij ermee doet. Enerzijds het gebruik van specifieke contextproblemen en kale aftrekkingen tijdens de instructie (de gevolgde rekendidactiek). Anderzijds, het bereikte niveau van begrip en vaardigheid (de voortgang van de leerling in numeriek denken). De drie clusters oplossingsprocedures maken ten slotte aannemelijk dat de scheefgroei en het gebruik van opgavenspecifieke oplossingsprocedures gepaard gaat met het bestendigen (en wellicht het vergroten) van de verschillen die bij rekenen onder de twintig tussen de leerlingen zijn ontstaan. Dit bemoeilijkt aanzienlijk de verwachte afstemming van de voortgang en de activiteiten van de gebruikte methode op de gedachten en werkwijzen van de leerlingen. Ten eerste omdat de leraar moet voortbouwen op wat leerlingen al weten en kunnen. Ten tweede vanwege de grote verschillen in abstractieniveau tussen informeel en formeel tientallig denken en hoofdrekenen. Bovenstaand patroon is geabstraheerd uit de oplossingswijzen van drie vaardigheidsgroepen die, op hetzelfde afnamemoment, een eigen set opgaven hebben gemaakt en niet uit een analyse van de ontwikkeling van oplossingswijzen in de loop van de tijd. Dit noopt tot enkele kanttekeningen. Ten eerste relativeert het de empirische fundering van het patroon. Ten tweede moeten we bedenken dat we niet weten, hoe de geobserveerde leerlingen zich verder, in de tweede helft van jaargroep 5 en in de bovenbouw, hebben ontwikkeld. Slaagt het gros van de leerlingen er toch in positioneel (en deductief) te denken en te rekenen, zoals verwacht? Of: zet de scheefgroei zich juist voort? Het antwoord hierop bepaalt hoe we de geobserveerde stand van zaken moeten beoordelen. Als de tijdelijke, aanvaardbare gevolgen van het

299

Hoofdstuk 10

aanbod of als structureel probleem dat een structurele herziening van de gevolgde didactiek vereist. Dit brengt ons tot het vervolg van deze studie. In feite zijn we met het tegen elkaar afwegen van de patronen die in de analyseresultaten zijn gevonden en het beschrijven van de wijze waarop de onderzochte leerlingen hun opgaven analyseren en schematiseren, aan het eindpunt gekomen van de studie naar hoe de drie vaardigheidsgroepen denken en rekenen bij het maken van opgaven in het gebied van het aftrekken tot 100, respectievelijk 1000. In het hierna volgende hoofdstuk interpreteren we eerst wat er bij leren aftrekken onder de honderd gebeurt. We reflecteren van hieruit over de vraag in hoeverre de geobserveerde ontwikkelingstendens het gevolg is van de standpunten die de Nederlandse didactici hebben ingenomen ten aanzien van de gevoelige onderwerpen die de speciale kleuring geven aan de realistische stijl van ‘geleid uitvinden’, zoals omschreven in hoofdstuk 3.

300

Hoofdstuk 11 Discussie

11.1

Inleiding

Dit dissertatieonderzoek is opgezet om vaststellen welke bouwstenen van hoofdrekenen leerlingen een lage, gemiddelde en hoge rekenvaardigheid halverwege de basisschool hebben verworden, hoe ze denken en rekenen bij het oplossen van een reeks aftrekopgaven in het getalgebied tot honderd (met een uitbreiding in het gebied tot duizend), die bij hun ontwikkelingsniveau passen en in hoeverre hun oplossingsprocedures het aanbod en de gevolgde didactiek weerspiegelen. We spitsen de discussie toe op de relatie tussen wat leerlingen doen en kenmerkende aspecten van de gevolgde instructiewijze. We hebben in het vorige hoofdstuk de dominante ontwikkelingstendens beschreven op basis van de gevonden patronen in de analyse van de oplossingsmethoden en gemaakte fouten. We kwamen tot de conclusie dat er sprake was van een scheefgroei tussen enerzijds sequentieel denken en anderzijds deductief en vooral positioneel denken, dat aan vier aspecten kan worden herkend: – –

–

–

Er wordt vaak inzichtelijk en gevarieerd geregen en met goede resultaten. Wanneer leerlingen de getallen anders bewerken, genereren begripsfouten in alle drie de vaardigheidsgroepen veel meer foutieve antwoorden, in het bijzonder bij splitsend aftrekken of indirect optellen. Typerend voor alle drie vaardigheidsgroepen is dat de leerlingen afgaan op (een combinatie van) specifieke kenmerken die geassocieerd zijn met ‘klassen opgaven’ en daaraan verbonden paradigmatische oplossingsprocedures. De achterstand die sommige leerlingen hebben opgelopen bij het rekenen onder de twintig wordt niet goedgemaakt en neemt wellicht bij sommige (groepen) leerlingen zelfs toe.

Met deze typering van de stand van zaken bij aftrekken onder de honderd, zijn we in feite aan het eindpunt gekomen van de studie.

301

Hoofdstuk 11

In de context van het publieke debat over traditioneel versus realistisch rekenen en van ontwikkelingen binnen het project Cito-Volgsysteem (LOVS) spitsen we de discussie toe op twee vragen die de geïdentificeerde ontwikkelingstendens oproept: – –

Wat gebeurt er bij tientallig leren aftrekken? In hoeverre weerspiegelt het contrast tussen de verworven vaardigheden het standpunt dat het TAL-team heeft ingenomen ten aanzien van de gevoelige kwesties binnen het concept van de reconstructiedidactiek met betrekking tot het algemene doel, de afbakening van de leerstof en macrostructurering van het leerproces en de functie van de klas (zie hoofdstuk 3)?

Het uitgevoerde onderzoek heeft, wat beide vragen betreft, essentiële beperkingen die we aanstippen en die aanleiding geven om de rapportage af te sluiten met een drietal aanbevelingen voor vervolgstudies.

11.2

Interpretatie van wat er bij aftrekken onder de honderd/duizend gebeurt

Om ons voor te kunnen stellen wat er gebeurt, verplaatsen we ons eerst in de positie van de leerling en vervolgens in die van de leraar. We laten ons bij deze interpretatie leiden door de twee voor de hand liggende complementaire vragen: – –

Wat beweegt de leerlingen om te handelen, zoals we dat hebben geobserveerd? En: Hoe komt het dat zij van de leraar de ruimte krijgen om dat te doen?

11.2.1 Beweegredenen van de leerlingen We richten ons eerst op de vraag naar wat de leerlingen beweegt om zo vaak te rijgen en daarbij opgave-specifieke oplossingen te gebruiken. We menen het antwoord hierop te vinden in Klein’s (1998) onderwijsexperiment met twee instructiemethodieken (zie ook Klein e.a., 1998): de Proeve-leerlijn (Treffers & de Moor, 1990; zie hoofdstuk 2) die wordt vergeleken met de Stadia-lijn (de meer gestructureerde en procedurele aanpak van de Leidse onderzoeksgroep). De Proeveleerlingen van jaargroep 4 werden van begin af aan gestimuleerd om verschillende oplossingsprocedures te gebruiken via de inzet van contextproblemen en het tweezijdig leren aftrekken, vanuit de visualisering van aantallen en hoeveelheidsrelaties met de tientallig gekleurde kralenketting. Onder deze condities ontwikkelden zowel “sterke” als “zwakke” rekenaars een flexibelere manier van hoofdrekenen dan de Stadia-leerlingen. De groep zwakste leerlingen had qua prestatie ook een klein tot groot voordeel bij deze aanpak in de loop van het experiment. Het effect op “sterke

302

Discussie

rekenaars” liep uiteen van een matig voordeel tot een licht nadeel van de Proeveaanpak. In de eerste periode van jaargroep 5 zijn geen verschillen geobserveerd bij de generalisering van de geleerde procedures voor de bewerkingen van getallen met drie cijfers (rekenen onder de 1000). De Proeve-leerlingen bleven echter meer ‘flexibel’ rekenen dan de Stadia-leerlingen. Ze stemden vaker hun oplossingsprocedure op relevante opgavenkenmerken af. Het oplossingsgedrag en de rijgprestaties van de leerlingen van onderhavig onderzoek komen sterk overeen met Klein’s observaties. De combinatie van inzichtelijk, vlot en succesvol rijgen doet aannemen dat de succeservaring de ‘hoofdoorzaak’ is van de sterke neiging tot rijgen. Waarom zou je anders rekenen als vertrouwde rekenmanieren werken? Dat de nadruk tot zeker eind jaargroep 4/begin jaargroep 5 op flexibel rijgen wordt gelegd, maakt deze aanname des te geloofwaardiger.

Figuur 11.1 – Oplossingen van Wilco (“zwakke” leerling van jaargroep 4) in het voorjaar (Bron: Beishuizen, 1997, 151).

De ingezette types contextproblemen komen in aanmerking als oorzaak van de neiging om opgave-specifieke oplossingsprocedures te gebruiken. We zagen in hoofdstuk 4 dat de onderzoekers hiervoor het Leidse classificatiesysteem hebben

303

Hoofdstuk 11

uitgebreid met twee nieuwe categorieën: ‘clever’ (45 + 39 via 44 + 40; 65 - 49 via 66 50) en ‘connecting arc’, Treffers’ (1994) zogenoemde ‘boogmethode’75 (51 - 49 via 49+2=51). We kunnen ons voorstellen dat, via de systematische afwisseling van ‘afhaal-opgaven’ met ‘verschil-opgaven’ en relevante variatie van de getallen, leerlingen gaandeweg oplossingspatronen inslijpen die ze spontaan inzetten in situaties waarin ze de betreffende rekenstructuur c.q. type getalrelaties herkennen (zie figuur 11.1 voor enkele voorbeelden). Dit effect kan worden versterkt in klassen waar de leraar het leerproces naar zijn hand zet door de betreffende procedure stap voor stap op het bord te instrueren, verlengde instructies hierover te geven en extra te oefenen, zoals Winnubst (2001) net voor de eeuwwisseling heeft geobserveerd bij zijn begeleiding van leerkrachten op scholen die één van de nieuwe realistische methoden hadden ingevoerd. Flexibel rekenen neemt dan de gedaante aan van vaardigheidstraining. Waarom wijken leerlingen dan toch bij sommige opgaven van deze gedragslijn af? Aansluitend bij Beishuizen (1997), nemen we aan dat dit komt door de voortgang in de begripsvorming. In de loop van jaargroep 4 raken leerlingen geïntrigeerd door de verschillende ‘uitdrukkingen’ van ‘tientalligheid’, als (i) de structuur van het systeem van telwoorden, (ii) de relatie tussen de hoeveelheid, de uitspraak en de notatiewijze van getallen en (iii) getalpatronen als 25, 35, 45, … en 51, 41, 31, … Deze ‘rekenfenomenen’ zetten leerlingen vermoedelijk natuurlijkerwijs aan het denken. Het ligt vanuit die optiek voor de hand om aan te nemen dat geobserveerde correcte positionele optelen aftrekhandelingen in contexten zonder tientaloverschrijding de neerslag daarvan is, evenals de buggy algoritmen die we hebben geobserveerd. Bovendien ontwikkelen kinderen heel vroeg de neiging om efficiënt met getallen te opereren. In vergelijking met rijgen met de 10-sprong, loont het om bijvoorbeeld 42 van 68 splitsend af te trekken (58, 48, 38, 28  26 versus 60 – 40 = 20  8 – 2 = 6  20 + 6 = 26). Ten slotte kan ook de geleidelijke organisatie van de getallen, geheugenfeiten, optellingen en aftrekkingen en het verworven begrip van de rekeneigenschappen leerlingen ertoe bewegen iets te ondernemen dat nog boven hun macht ligt. Het schoolvoorbeeld hiervan is de oplossing van Eddy in Beishuizen’s (1997, 128) observatie (figuur 11.2; zie hoofdstuk 4). Dan blijft de vraag over waarom leerlingen telkens weer hun buggyprocedures inzetten, terwijl ze stelselmatig een foutief antwoord genereren, wat weer de vraag oproept waarom de leraar dat toelaat. We kunnen ons drie verklaringen voorstellen. Ten eerste, ze zijn er zich niet van bewust, omdat ze te sterk zijn gericht op het vinden van het antwoord. Ten tweede, omdat ze een breed pallet van oplossingsprocedures gebruiken, waardoor de foutieve bewerkingen minder opvallen. En ten derde, gewoonweg omdat de leraar daar niet op reageert. Dit nodigt uit om ook vanuit het standpunt van de leraar naar de houding van de leerlingen en hun correcte en foutieve bewerkingen te kijken.

75

Zie ook Treffers & Veltman, (1994).

304

Discussie

Figuur 11.2 Foutieve compensatie bij indirect optellen, gebruik makend van commutativiteit (30+9=9+30) in combinatie met de decimale opbouw van 39) (Bron: Beishuizen, 1997, 128)

11.2.2 Omgang van de leraar met de houding en gedragspatronen van de leerlingen De verschillen in succes bij de bewerkingen die de leerlingen uitvoeren zijn de neerslag van de interacties in de klas. De doorslaggevende factor bij realistisch rekenen is de volgorde waarin en de wijze waarop de leerkracht rijgen, splitsen en beredeneren aanbiedt en leert formaliseren en toepassen. Uit de opgedane ervaring met de implementatie van realistische methoden en het toezicht op de kwaliteit van het basisonderwijs (Inspectie van het onderwijs, 2004) weten we dat wat de leerkracht aan de orde stelt de neerslag is van een complex spel van factoren, o.a.: – – – –

afspraken die in het team zijn gemaakt over de doorgaande lijn bij rekenen; de behoeften aan aanpassingen door kenmerken van de schoolpopulatie; het begrip van wat de bedoeling is bij het behandelen van de leerstof in de les; wat de leerkracht zelf in deze leerstof belangrijk vindt.

We zagen wat dit betreft in hoofdstuk 6 dat meer dan 90% van de leerkrachten die aan de 4e PPON rekenpeiling hebben deelgenomen zegt dat ze de aanwijzingen van hun methode vrijwel in hun geheel volgen. Dat bijna de helft van de leraren van jaargroep 4 zegt niet te weten hoe het rekenen met gehele getallen ‘verder loopt’ op school is een teken dat er iets aan de verwachte regie vanuit het schoolteam schort. Dit kan het blind volgen van de methode (Winnubst, ibid.) in de hand werken en de focus daarbij op het doel en de leerstof van de opeenvolgende lessen. Dit gaat ten koste van de aandacht voor de gedachten, werkwijzen en begripsfouten die in de groep leven. Vanuit deze optiek is het denkbaar dat leerkrachten om twee hoofdredenen niet ingaan op begripsfouten en foutieve bewerkingen die leerlingen tijdens een

305

Hoofdstuk 11

groepsgesprek of een ‘tweegesprek’ inbrengen. Ze vinden dat de betreffende procedures buiten het doel van de les vallen en/of schatten in dat te veel leerlingen zullen afhaken bij de klassikale behandeling ervan. Als deze interpretatie correct is, betekent dit dat de kans op scheefgroei toeneemt, naarmate splitsen en beredeneren langer worden uitgesteld. Dit heeft precies het omgekeerde effect van de bedoeling achter de aanbevolen volgorde van rijgen naar splitsen, met het variarekenen parallel daaraan. Er is ten slotte een derde factor in het spel, die wellicht de hoofdrol neemt. Het betreft het methodegebonden systeem van de leerlingenzorg op groepsniveau. Dit systeem omvat de hele cyclus van activiteiten waar de Inspectie van het onderwijs op toeziet. Van de signalering van de problemen tot de evaluatie van het effect van het aanbevolen maatwerk, via de voorgestelde diagnostische gesprekken en adaptatie van aangedragen remediërende activiteiten. Het contrast tussen de vaardigheden wekt de indruk dat extra leertijd, verlengde instructies en extra oefenen eerder voor de perfectionering van rijgen worden benut dan voor inzichtelijk leren splitsen en bedeneren. Hetzij omdat de methode daar de nadruk op legt, hetzij om de door de buitenwereld verwachte minimumdoelen en rekenprestaties te kunnen realiseren. Waarom zou je immers investeren in moeilijk te leren manieren van hoofdrekenen als iedereen inzichtelijk en gevarieerd kan leren rijgen? Het ontbreken van expliciete aanwijzingen over wat leerlingen met name bij splitsen en beredeneren moeten weten en kunnen zou deze begrijpelijke houding kunnen versterken. De observatie van leerkrachten uit Winnubsts (ibid. 79) begeleidingspraktijk dat ‘dingen’ die blijkbaar cruciaal zijn onvoldoende in de handleiding zijn geëxpliceerd, maken dit aannemelijk. Wellicht zouden methodeschrijvers vooral de gemaakte keuzes en/of aanbevelingen (beter) moeten beargumenteren en dit met schoolvoorbeelden moeten illustreren om de aandacht van de leerkracht op de betreffende kwestie te richten. Een bijkomende beperking is ten slotte het gegeven dat het in de Nederlandse scholen niet gebruikelijk is (zoals in de Amerikaanse reformscholen) dat de leraar zelf een les organiseert om denkbeelden en werkwijzen (inclusief misconcepties en buggy procedures) die in de groep ‘leven’ individueel te onderzoeken en klassikaal te organiseren en te systematiseren, zoals Amerikaanse realisten dat aanbevelen (zie hoofdstuk 3). Hoe geloofwaardig bovenstaande interpretatie ook klinkt, zij mist nog de nodige theoretische grondslag. Daarom keren we bij de afsluitende discussie terug naar het theoretische kader van hoofdstuk drie, waarin we vier spanningsvelden binnen de zogenoemde ‘algemene reconstructiedidactiek’ hebben geïdentificeerd. De leidende vraag is in hoeverre het contrast tussen de verworven vaardigheden het standpunt weerspiegelt dat het TAL-team heeft genomen ten aanzien van de tegenstellingen met betrekking tot het algemene doel, de afbakening van de leerstof en macrostructurering van het leerproces en de functie van de klas.

306

Discussie

11.3

Discussie: realistische kleuring van geleid uitvinden

We zagen in hoofdstuk 2 dat zo’n tien jaar voor de eeuwwisseling, de internationale gemeenschap van rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen zich tot doel stelde de dagelijkse rekenpraktijk in de klas drastisch te veranderen. Ze zetten daarbij hun koers op wat we in hoofdstuk 3 de ‘reconstructiedidactiek’ hebben genoemd, een instructiewijze ‘beyond natural teaching’, zoals Wood (1998) dat formuleerde. ‘Vroeger’ trachtten leraren de formele rekenalgoritmen concreet en toegankelijk te maken voor de leerling. Nu moeten zij het omkeerde doen: uitgaande van intuïtieve en informele wiskundige gedachten en rekenprocedures, de leerling helpen deze vier algoritmen op te bouwen. Het begrip ‘mathematiseren’ duidt deze constructie aan van de eigen rekenwerktuigen, vanuit de intuïtieve en informele handelingen op het ‘natuurlijke’, kinderlijke niveau van ‘rekenen’. Dit concept van de reconstructiedidactiek gaat uit van drie sleutelprincipes: het organiseren en systematiseren van de eigen rekenervaringen, de getrapte abstractie van wiskundige ‘dingen’ (concepten c.q. mentale objecten) uit eigen handelingspatronen (‘encapsulation’) en het systematische gebruik van contextproblemen, hulpmiddelen en modellen, en de klas als sociaal verband. We constateerden echter dat vier spanningsvelden bij het ontwerpen de rekendidactici, psychologen en onderwijskundigen uit de onderzoeksgemeenschap uit elkaar kunnen drijven. Dit betreft de tegenstellingen ten aanzien van het algemene doel, de afbakening van de leerstof en macrostructurering van het leerproces en de functie van de klas die we in hoofdstuk 3 hebben geëxpliciteerd. In de laatste decennia van de vorige eeuw zijn, in deze nieuwe context, drie paradigmatische vormen van lesgeven in het domein van optellen en aftrekken tot honderd ontwikkeld die in deze dissertatie zijn aangeduid met de term TAL-didactiek, de probleemoplossende didactiek en de Amerikaanse realistische didactiek. De vergelijking van deze ‘varianten van de reconstructiedidactiek’ toont aan dat men kan spreken van een ‘algemene reconstructiedidactiek’ die een verschillende inkleuring krijgt, afhankelijk van het ingenomen standpunt in de ervaren spanningsvelden. We nemen deze conclusie als uitgangspunt voor de discussie. We laten de tegenstellingen de revue passeren. We reflecteren telkens over de relatie tussen het ingenomen standpunt van het TAL-team en de gedragspatronen van de verworven hoofdrekenvaardigheid en vragen ons daarbij af in hoeverre alternatieve standpunten kansen bieden ter versterking van de TAL-didactiek.

11.3.1 Algemeen doel (focus) Men kan zich, wat het algemene doel betreft meer focussen op de opbouw van een relatienet (conceptuele oriëntatie) of meer op de eindvormen van optellen en aftrekken van het programma (procedurele oriëntatie).

307

Hoofdstuk 11

Wat het algemene doel betreft, deelt het TAL-team met de ontwerpers van de probleemoplossende didactiek de oriëntatie op inzichtelijk en efficiënt toewerken naar de nagestreefde eindvormen van optellen en aftrekken onder de honderd (c.q. duizend). Deze oriëntatie contrasteert met de gerichtheid binnen de Amerikaans realistische didactiek op de progressieve mathematisering van de relevante probleemvelden: tellen, meten en rekenen. In het voetspoor van Treffers (1987) focust het TAL-team op ‘efficiënt aansturen’ van de ‘progressieve schematisering’ die de leerling tot het verwachte eindniveau moet brengen. Dat is formeel gestandaardiseerd rijgen en splitsen enerzijds en handig en flexibel rekenen anderzijds, gebruikmakend van allerlei getalrelaties en rekeneigenschappen. De geobserveerde scheefgroei roept vraagtekens op, in eerste instantie ten aanzien van de aansturing van de progressieve schematisering bij leren splitsen en beredeneren, maar ook ten aanzien van de voltooiing van de formalisering van de rijghandelingen. De discussie hieromtrent is echter lastig, omdat het TAL-team geen tussendoel voor medio jaargroep vijf heeft geformuleerd. De richtlijnen van het TAL-team met betrekking tot rekenen tot 100 (zie hoofdstuk 2) komen op het volgende neer: –

–

–

Eind groep vier (E4) kunnen leerlingen optelen afrekopgaven tot 100 zowel kaal als toegepast rijgend oplossen (op de getallenlijn, in sommentaal of helemaal uit het hoofd); Eind groep vijf (E5) wordt verwacht dat ze deze opgaven vlot en met inzicht uit het hoofd berekenen, desgewenst met tussennotatie. De leerlingen kunnen dan drie methoden inzetten: naast rijgen, ook splitsen en/of de handige vormen van variarekenen. Eind groep zes (E6) moet de leerlingen routinematig onder de honderd kunnen rekenen.

Wat opvalt is dat de uitdrukking ‘vlot en met inzicht uit het hoofd rekenen’ (E5) geen houvast geeft, omdat het niet consistent is met het streven naar de efficiënte aansturing van het formaliseringsproces. Het specificeert niet de aard noch het abstractieniveau van de betreffende rijg-, splitsen gevarieerde procedures die overigens niet in de doelbeschrijving zijn geëxpliciteerd. Dit roept in het perspectief van de noodzakelijke differentiatie van de conceptualisering van de getallen, tellen, optellen en aftrekken en de formalisering van de rekenhandelingen, zeer specifieke vragen op als: –

Mogen de leerlingen nog met de 10-sprong rijgen? Of: wordt er van hen verwacht dat ze met tienvouden optellen en aftrekken? 48+..=100 via 58, 68, 78, 88  90  100 (dus 52) versus 48+50  98+2 (dus 52)

308

Discussie

–

Moeten ze bij rijgen de eenheden van het tweede getal in één handeling toevoegen of afhalen? Of mogen ze dat via het dichtstbijzijnde tienvoud doen? 62-48= via 62-40  22-8 via 22-2 en 20-6=14 versus 62-40  22-8=14

– –

Welke vorm van splitsen moeten ze vlot en met inzicht kunnen toepassen? En: vanuit welke afwegingen? Idem voor variarekenen.

Door de gekozen focus op de eindprocedures en getrapte formalisering van de telhandelingen, hebben zowel de methodeschrijvers als de leerkrachten die op de handleiding koersen, meer gedetailleerde onderscheidingscriteria nodig om, bijvoorbeeld bij rijgen, de overgang van individuele c.q. groepen leerlingen te kunnen initiëren van verkort tellen naar springen, rekenen met tienvouden en gestandaardiseerd rijgen. De didactische drieslag ‘informeel-semi-formeel-formeel’ van Treffers (1987), het TAL-team (1999) en Menne (2001) is, om in de termen van Treffers (ibid.) te spreken te ‘grof’ om het efficiënt aansturen dat men nastreeft in de praktijk van de zorgverbreding te kunnen realiseren. Voor dit doel zou de progressieve schematisering verder moeten worden gestructureerd, in bijvoorbeeld de vorm van de sequentie van onderhavige studie. Dat het TAL-team dat niet heeft gedaan is begrijpelijk vanuit de bezwaren die ‘Amerikaanse realisten’ als Cobb (1997) en Fosnot en Dolk (2001) hebben tegen hiërarchisch uitgelijnde instructiesequenties die inspelen op de verwachte continue stroom van gedachten en constructies van individuele leerlingen. De TAL-didactiek was al voor sommige collega’s uit eigen kring (Keizer, Figueiredo, van Galen, Gravemeijer & van Herp, 2005) te eenzijdig gericht op de procedurele verkorting van de rekenhandelingen. Zij misten, in Buijs’ (2007, 40) woorden, ‘de ontwikkeling van fundamentele wiskundige inzichten’. Deze collega’s verwachtten wat de Amerikaanse realisten proberen te realiseren. Dit is de geleidelijke opbouw van de relatienetten waarop hoofdrekenen is gebaseerd, via de mathematisering van de processen waaruit ze voortkomen. Dit verlegt de aandacht van de gerichtheid naar de structuur van de leerstof en van de formalisering bij leren aftrekken onder de honderd.

11.3.2 Leerstofstructuur Men kan de leerstof ordenen in voorwaardelijke noties van getallen en tel- en rekenvaardigheden die toegang geven tot tussenvormen van decimaal rekenen (bouwstenen en tussenproducten) of in wiskundige onderwerpen die betrekking hebben op het leren gebruiken van de getallen, tellen en de bewerkingen om hoeveelheden en grootheden als lengte te kwantificeren en ermee te manipuleren (lagen in de wiskundige realiteit van de leerling).

309

Hoofdstuk 11

Het verschil in gerichtheid drijft, in samenhang met de onderwijstraditie en de wetenschappelijke achtergrond, de experts van de drie stromingen uit elkaar. De Amerikaanse reformbeweging houdt het schriftelijk algoritmisch rekenen hoog in het vaandel, terwijl het TAL-team het heeft vervangen door het passend gebruik van flexibel hoofdrekenen en schriftelijk gestandaardiseerd rekenen met positiewaarden al dan niet verder geformaliseerd in de vorm van de vier algoritmen. Vanuit beide perspectieven dienen zich twee invalshoeken aan. Het TAL-team en de cognitief-psychologisch georiënteerde experts van de problem solving didactiek gaan meer uit van een ordening van specifieke kennis en (tel- en reken)vaardigheden die toegang geven tot een hoger, formeler/abstracter niveau van rekenen. Amerikaanse realisten gaan, in de lijn van Freudenthal (1991), juist uit van een ordening en systematisering ‘in lagen’ van ervaringen van gezond verstand. De positionering van het TAL-team resulteert in de bekende volgorde van aanbieding die ontleend is aan de Proeve… (Treffers & de Moor, 1990): eerst rijgen, dan splitsen en variarekenen er door heen. We missen echter zowel in de Proeve… als in de twee TAL-publicaties de explicitering van de ‘diepe’ didactische gedachte achter deze ordening. Methodeschrijvers moeten zich verdiepen in Menne’s (2001) lokale theorie van het rekenen onder de honderd en haar ‘Geschiedenis van de getallenlijn’ (2004) om daar achter te komen. De rijgmethode structureert in haar ogen het rekenen met telstappen via het gebruik van de tientallige herhalingsstructuur van de getallenrij. “Tevens wordt via het gevorderde rijgen de weg naar de decimale splitsmethode en het gevarieerd hoofdrekenen geplaveid” (ibid. 11). Dit maakt realistisch rekenen zo herkenbaar binnen de algemene reconstructiedidactiek. Rijgen speelt een drieledige rol. Het brengt ten eerste het lineair-decimaal rekenen op gang via de structurering van de informele telhandelingen. Het baant ten tweede de weg voor rekenen met positiewaarden (splitsen) via het decimaal afsplitsen van het tweede getal (62 - 48 via 62 - (40 + 8)) en het rekenen met tienvouden (60 - 48 via 60 – 40 = 20  20 – 8 = 12). Het legt ten slotte de basis voor het gebruik van allerlei getalrelaties en rekeneigenschappen in de vorm van compenseren (62 - 48 via 62 - 50) en transformeren (62 - 48 via 64 - 50 of 60 - 46). Het TAL-team kapitaliseert in die zin op rijgen. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat deze drieledige functie van het rijgen de voornaamste oorzaak is van de geobserveerde scheefgroei. Wat missen Nederlandse leerlingen, wat Amerikaanse groepsgenoten in de reformscholen wel krijgen, door de nadruk die op rijgen wordt gelegd? De hoge gebruiksfrequentie van buggy algoritmen en de begripsfouten bij de combinatie van splitsen met rijgen geeft aan dat men te veel ‘in de marge’ aandacht besteedt aan wat in Engeland en de Verenigde Staten ‘unitizing’ wordt genoemd. Dit komt neer op het systematiseren van inpak- en uitpakhandelingen, gebruikmakend van de twee eigenschappen van het systeem van natuurlijke getallen: het bundelen in eenheden van tien en de positionele ordening van deze eenheden. Terwijl leerlingen in de reformklassen, onder leiding van de leraar, letterlijk onderhandelen over wat er in uiteenopende probleemsituaties bij aftrekken met positiewaarden wel en niet mag,

310

Discussie

worden Nederlandse leerlingen, na uitgebreide ervaring met het rijgen, ‘getild’ op het niveau van rekenen met ‘tienen en lossen’, via een bescheiden aantal activiteiten rond het uitbeelden van ’afhaal-contextproblemen’ met passende decimale hulpmidden als namaakgeld, eierendozen en MAB-blokjes. Het is aannemelijk dat deze naar achteren geschoven, marginale en eenzijdige aandacht voor positioneel denken en rekenen menige leerling parten speelt. Ze gaan op eigen initiatief met ‘tienen en lossen’ experimenteren, met alle risico’s van dien. We kunnen twee lessen uit het onderhavige onderzoek trekken. Het uitstellen van splitsen voorkomt niet dat leerlingen buggy algoritmen uitvinden en gebruiken. En de contextgebonden verankering van splitsen in het rijgen heeft niet het verwachte effect. We moeten daarbij aantekenen dat de bewerking van de TAL-methodiek door de methodeschrijvers en mogelijke aanpassingen van de leerkracht een cruciale rol kunnen spelen, onder andere bij de start van eenvoudige aftrekkingen als 36 - 25. Op grond van de experimenten hebben Fuson e.a. (1997) vastgesteld dat tientallig leren aftrekken bij lange na niet vanzelfsprekend is. Ook de Amerikaanse varianten van geleid uitvinden vanuit het perspectief van unitizing hebben hun beperkingen, als we louter kijken naar de bewerkingen die de leerlingen uiteindelijk maken. De gekozen optie voor de algemene gerichtheid en de leerstofordening werkt in alle drie die varianten door in de macrostructurering van de tel-, meet- en rekenactiviteiten van de leerlingen. Wat kan de impact ervan zijn op de groei van de leerlingen?

11.3.3 Structurering van de verticale mathematisering van tellen-metenrekenen In de TAL-didactiek vormt het rijgen in haar verschillende gedaanten het integrerende element in de differentiatie, formalisering en flexibilisering van hoofdrekenen. In de probleemoplossende methodiek vormt de getrapte abstractie van het optelen aftrekalgoritme uit blokjesrekenen via de contextgebonden tel- en meetactiviteiten de rode draad van het langlopende proces. Ten slotte vormt wat Stephan, Bowers, Cobb & Gravemeijer (2003) ‘imagery’ noemen het integrerend element in de mathematisering in de verschillende probleemvelden van het Amerikaanse realisme bij (i) de eerste oriëntatie in tientallig opereren in de context van onder andere de ‘candy shop’ (Cobb, Gavemeijer, Yackel, McCains & Whitenack, 1997), (ii) de hierop aansluiten geleide uitvinding van gecombineerd (‘gecoördineerd’) gebruik van eenheden c.q. maten via het meten van lengtes (Stephan, ibid.; zie ook Gravemeijer, 2000; 2003a) en (iii) de verdere formalisering van positioneel denken, symboliseren en rekenen via de systematisering van inpak- en uitpakhandelingen in o.a. de context van de ‘candy factory’ (Cobb, Yackel; Wood,1992, 22 en verder). Op afstand bekeken, illustreren deze thematisch opgezette onderwijsleeractiviteiten Gravemeijers (2004) ontwerpprincipe van ‘emergent modelleren’. Leerlingen objectiveren in de loop der

311

Hoofdstuk 11

tijd de ontdekte wiskundige structuren met ‘taal’ (modellen, symbolen, etc.) die bij hun inzicht en handelingsbekwaamheid past. Wat de TAL-didactiek ook ‘speciaal’ maakt, is de ondernomen poging om splitsen en beredeneren met elkaar te integreren via rijgen. Er zijn wat dat betreft sterke aanwijzingen dat de gekozen methodiek onvoldoende aansluit bij de ervaringen van gezond verstand van de leerlingen. Als onze data representatief zijn en bovenstaande interpretatie ervan correct is, dan is het zeer de vraag of de generalisering van de didactische drieslag voor de formalisering van splitsen en variarekenen (c.q. beredeneren), zoals Menne (2001) dat in haar lokale theorie voor rekenen tot honderd heeft gedaan, perspectief biedt voor de versterking van de TAL-didactiek (figuur 11.3).

Niveau van formalisering

rekenen tot honderd formeel, vakmatig semi-formeel, modelondersteund informeel, contextgebonden rijgen

splitsen

varia

hoofdrekenmethoden Figuur 11.3 Macro-structurering van de progressieve schematisering bij hoofdrekenen onder de honderd op basis van de generalisering van Treffers’ (1987) didactische drieslag (Bron: Menne, 2001, 31)

11.3.4 Rol van contextproblemen, leermiddelen en individuele constructies Men kan contextproblemen, leermiddelen en individuele constructies expliciet inzetten om een specifieke perfectionering van een bepaalde rekenmethode te bewerkstelligen (geleide niveauverhoging) of voortbouwen op de ondernomen mathematisering van een probleemveld, waarbij de opeenvolgende gereedschappen die worden gebruikt, deel uitmaken van de activiteit zelf (progressief modelleren en symboliseren); De rol van de contextproblemen is vooral relevant in relatie tot de observatie dat alle drie de vaardigheidsgroepen, doch vooral leerlingen met een lage en gemiddelde vaardigheid, de neiging hebben opgavenspecifieke oplossingsprocedures te gebruiken. De cruciale verandering in de loop van de jaren negentig is het systematisch variëren van de condities van de toepassingen via de afwisseling van contexten en aftrekken. Er wordt daarbij op drie klassen oplossingen gefocust die onder de noemer ‘tweezijdig’ aftrekken vallen (Veltman, 1993):

312

Discussie

– – –

‘aftrekken’ via ‘terugspringen’ op een (denkbeeldige) getallenlijn (63-48=); ‘indirect optellen’ (48 + .. = 63) of ‘indirect afrekken’ (63 - .. = 48), via respectievelijk ‘verder springen tot’ en ‘terugspringen tot’; redeneren vanuit het beeld van ‘aftrekken’ als de ‘omgekeerde operatie’ van optellen (63 - 59 via 59 + 4 = 63; figuur 11.4), die in de methoden en in de klas met de term ‘boog-methode’ wordt aangeduid (Treffers & Veltman, 1994).

Figuur 11.4 ‘Boog-benadering’ van aftrekken (Bron: Treffers, 1994).

Het ligt voor de hand om aan te nemen dat leerlingen hierdoor een houding kweken die hun aandacht richt op vertrouwde eigenschappen van de opgaven die verbonden zijn met de in de klas behandelde paradigmatische oplossingen. Splitsen en beredeneren worden op rijgen geënt en via de modellering van didactisch relevante contextproblemen in de steigers gezet. Buijs’ (2000, 42) probleem in figuur 11.5 illustreert zowel de rol van de context als dat van de hulpmiddelen en de eigen constructies van de leerlingen bij de benadering van splitsen. Conflict van het tekort aan eenheden: Je hebt 83 euro en je wilt iets kopen van 47 euro. “Je het helemaal geen 7 losse euro’s. Je hebt er 3, en daar moet je die 7 vanaf halen”. “Ja, precies. Dan kun je er eerst 3 afhalen en dan moet je er nog 4 van de tientjes afhalen” Figuur 11.5 Gedachtewisseling over het tekort aan eenheden bij splitsend aftrekken (Buijs, 2000, p. 42)

Vanuit het oogpunt van de conceptualisering gezien, verschilt deze benadering via de modellering van een wiskundig ‘arm’ contextprobleem niet van wat er in de reformklassen van de probleemoplossende benadering gebeurt. Er is echter een groot contrast tussen de zeer beknopte en rekentechnische argumentatie in het tweegesprek tussen de leerlingen en de ‘onderhandelingen’ die onderzoekers als Carpenter (1997, 44) vanuit het principe van ‘sharing strategies’ in de grote kring organiseren. Dit voorbeeld roept meer het beeld op van twee leerlingen die al hebben begrepen ‘hoe het zit’. Ze gebruiken eerder het namaakgeld ter bevestiging van hun begrip van de implicaties van de relatie tussen de tientallen en eenheden (die met briefjes van tien en euromunten worden gesymboliseerd) voor ‘aftrekken’, dan dat ze ontdekken hoe

313

Hoofdstuk 11

aftrekken met tekorten werkt. Het is zeer de vraag of leerlingen die deze implicaties nog niet kennen van deze dialoog wijzer worden. Dit brengt ons op de rol van de eigen constructies. Terwijl ‘sharing’ het sleutelwoord is in de probleemoplossende didactiek, geldt ‘stimulering van niveauverhoging’ als principe voor het gebruik van de eigen constructies binnen de TAL-didactiek. Waar het om gaat, is dat individuele leerlingen van elkaars gedachten en uitvindingen leren en niet zozeer dat ze gezamenlijk, onder leiding van de leraar, deze constructies tot producten van de klas als sociale groep organiseren en systematiseren. Dit zou de kloof kunnen verklaren tussen de kleine groep voorlopers die de regels doorzien van de geleerde vormen van splitsend aftrekken met tientaloverschrijding en de grote meerderheid die het tekort aan eenheden nog als rekenkundig probleem onder woorden moet brengen en als zodanig onderzoeken. Dit verlegt de aandacht naar het laatste spanningsveld.

11.3.5 Gebruik van de samenwerking en communicatie in de groep Men kan de samenwerking en communicatie meer gebruiken ter bevordering van de voortgang van individuele leerlingen (nadruk op de individuele voortgang) of juist als de bouwstenen van het referentiekader dat de klas als gemeenschap steeds verder uitbouwt (nadruk op de sociale activiteit van de groep). In de Amerikaanse reformklassen fungeert de grote groep als sociale ruimte waarin de individuele constructies ‘collectief’ worden georganiseerd. Dit proces maakt de individuele leerlingen en de leraar bewust van de tijdelijke denkbeelden en gewoonten die in de groep leven en die als zodanig de voortgang in het leerproces van het ‘collectief’ herkenbaar maken. Dit verschilt sterk van de cultuur in de Nederlandse klassen. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat zowel de gekozen optie van het TAL-team als de verwachtingen van de buitenwereld hun stempel drukken op wat er in de klas gebeurt. Het TAL-team stelt de individuele ontwikkeling voorop en gebruikt de groep als stimulans. Van schoolteams en van de leerkrachten wordt echter ook expliciet verwacht dat ze hun onderwijs differentiëren. Dit rechtvaardigt het standpunt van het TAL-team, ook al menen we dat in de huidige school- en klassencultuur verschillen tussen leerlingen de samenwerking en communicatie zo sterk kunnen belemmeren dat geleid uitvinden niet goed uit de verf kan komen.

314

Discussie

11.4

Opbrengst

De studie levert zowel een onderzoektheoretische als een praktische bijdrage.

11.4.1 Onderzoektheoretische opbrengst Wiskunde-didactici, psychologen en onderwijskundigen vormen tegenwoordig een internationale gemeenschap van experts op het probleemveld van wiskunde leren en wiskunde onderwijzen. Hun inspanning voor de ontwikkeling van een instructiepraktijk ‘van deze tijd’ overstijgt het dualisme van algemeen versus domeinspecifiek dat lang de internationale samenwerking heeft tegengewerkt. Het breed gedragen uitgangspunt is dat de leerlingen zelf hun wiskundige kennis moeten construeren. Dit is het centrale uitgangspunt van wat internationaal ‘reform mathematics’ wordt genoemd. In navolging van Treffers en de Moor (1990) beschouwen we in deze studie dit vernieuwingsconcept als ‘reconstructiedidactiek’. In deze studie zijn nu theoretische en didactische bruggen geslagen tussen de drie onderscheiden paradigmatische uitwerkingen van de zogenoemde ‘algemene reconstructiedidactiek’. Het betreft de Nederlandse, realistische aanpak van Treffers zoals uitgewerkt in het TAL-project, onderwijsprogramma’s die in de USA ontwikkeld zijn vanuit wat we een cognitiefpsychologisch perspectief kunnen noemen en tenslotte een socio-constructivistische variant van de realistische aanpak die is voortgekomen uit samenwerking van Nederlandse en Amerikaanse onderzoekers. Hieruit zijn didactische componenten geabstraheerd die het mogelijke maken om vast te stellen wat de onderscheiden didactieken zo herkenbaar maakt. De vergelijking tussen het algemene doel, de leerstofordening, de macrostructuur van het leerproces en de didactische middelen (contextproblemen, leermiddelen en modellen en de klas als sociaal verband) heeft spanningsvelden binnen het vernieuwingsconcept van de reconstructiedidactiek zichtbaar gemaakt die houvast bieden voor de reflectie en discussie ter versterking van de eigen methodiek en voortgezette internationale samenwerking. De TAL-didactiek fungeert in Nederland als model voor het ontwerpen van de leergangen van de realistische reken-wiskundemethoden in het domein van de getallen en de operaties. Deze instructiemethodiek is verankerd in Treffers’ (1987) algemene realistische onderwijstheorie. Deze studie levert een bijdrage ten aanzien van twee cruciale aspecten van deze realistische theorie en didactiek: de samenhang tussen de ‘hoofdrekenmethode van bewerken’ en de ‘gevolgde rekenstrategie’ in toepassingssituaties, het onderscheid tussen ‘sequentieel’ (rijgen), ‘positioneel’ (splitsen) en ‘deductief‘ (variarekken) hoofdrekenen en ‘vormen’ daarbinnen die de voortgang van de leerling in denken, symboliseren en bewerken in het getalgebied herkenbaar maken. Deze studie slaat wat dit betreft een brug tussen het Nederlandse fenomenologisch-didactische ontwikkelingsonderzoek voor het ontwerpen van

315

Hoofdstuk 11

onderwijsleeromgevingen en -trajecten en het Amerikaanse empirische, cognitiefpsychologische onderzoek naar de ontwikkeling van het getalbegrip en optelen aftrekalgoritmen. Vanuit deze integratie van idee en data is ten slotte een sequentie ontwikkeld van de groei van de leerling in wat in deze studie ‘numeriek denken’ wordt genoemd. Deze sequentie gaat uit van drie fasen in de verticale mathematisering: 1. direct modelleren met verzamelingen objecten (visueel-motorisch niveau), het symboliseren van de relaties tussen de hoeveelheden c.q. grootheden van een contextprobleem met getalrelaties (proceptueel niveau) en 3. formeel opereren binnen een eigen systeem van getalrelaties en rekenregels. De gemaakte analyse brengt aan het licht dat het Nederlandse en Amerikaanse realisme tekort schiet in de afsluitende fase van de conceptualisering van de ‘aftrekking’ als mentale handeling, zoals opgevat door Freudenthal (1984b) en Van Hiele (1973). De betrokken didactici blijven steken op het niveau van mentaal opereren met rekengetallen als knooppunten van lineair-decimale netwerken van optelen aftrekrelaties. Ze verzuimen de slag te maken naar mentaal opereren met numerieke relaties als rekenobjecten vanuit het verworven inzicht in de eigenschappen van optellen en relatie tussen ‘optellen’ en ‘aftrekken’ als rekenkundige ‘operatie’. Dit richt de aandacht op de praktische bijdrage van de studie.

11.4.2 Praktische bijdrage De geconstrueerde sequentie van de formalisering van rijgen, splitsen en beredeneren organiseert in een hiërarchische volgorde de vormen van optellen en aftrekken die leerlingen, onder de vakinhoudelijke begeleiding van hun leraar zelf kunnen uitvinden, mits deze leraar conform de sleutelprincipes van de reconstructiedidactiek handelt. Deze sequentie biedt daarom methodeschrijvers, schoolteams en individuele leerkrachten de mogelijkheid om het langlopende proces van leren optellen en aftrekken onder de duizend op kortere of langere termijn te plannen, daarbij rekening houdend met differentiatiemogelijkheden. De toegevoegde waarde in vergelijking met de Proeve-lijn (Treffers en de Moor, 1990; Klein, Beishuizen en Treffers, 1997) en de TAL-lijn (TAL,1999; Buijs, 2000) komt door drie elementen. Ten eerste is dit de eenduidige classificatie van strategieën, hoofdrekenmethoden en vormen van rijgen, splitsen en beredeneren. Ten tweede de geëxpliciteerde visie op de samenhang tussen de getrapte conceptualisering van ‘getal’, ‘tellen’, ‘optellen’ en ‘aftrekken’ en de stapsgewijze differentiatie en formalisering van de rekenhandelingen, vanuit de directe modellering van de relatie tussen hoeveelheden tot en met het mentaal manipuleren met numerieke relaties en rekeneigenschappen. Ten derde, het overzicht van de rekenkennis, tel- en rekenvaardigheden die de vlotte uitvoering van een nieuwe manier van rekenen mogelijk maakt (rekentechnische voorwaarden). Hiermee is tevens de waarde van de studie aangeven voor voortgezette toetsontwikkeling en onderzoek in het kader van de projecten Cito Volgsysteem (LOVS) enerzijds en PPON anderzijds, binnen de beleidsperspectieven van de kwaliteitszorg in het primair onderwijs. Dit leidt de beperkingen in van de studie.

316

Discussie

11.5

Beperkingen

Er kleven minstens vier beperkingen aan dit dissertatieonderzoek. De gebruikte realistische methoden zijn niet geanalyseerd. Er is niet in de klas geobserveerd. De analyse betreft oplossingswijzen van één momentopname. De onderzoeker analyseert ten slotte het werk van de leerlingen vanuit Freudenthal’s (1989) standpunt dat de leerling zelf zijn rekenkennis en –instrumenten construeert. Wat voor de ‘algemene reconstructiedidactiek geldt’, geldt ook voor de varianten ervan, dus ook de TAL-didactiek. Methodeschrijvers kunnen een eigen standpunt innemen ten aanzien van het algemene doel van rekenen onder de honderd, de leerstofstructuur in relatie tot de macrostructuur van de formalisering en de ingezette instrumentatie. Menne (2004,p. 10-11) observeerde, wat dit betreft vier patronen in de reken-wiskundemethoden die tussen 1990 en 2001 zijn gebruikt. De lege getallenlijn wordt in alle methoden als model gebruikt om eigen oplossingsprocedures vast te leggen (visualiseren; symboliseren). Alle methoden volgen de niet-realistische systematiek van de progressieve complicering. Dit betekent dat in het eerste half jaar van jaargroep 4 alleen eenvoudige opgaven worden voorgelegd die direct aansluiten bij inpak- en uitpakhandelingen met groepen/rijen van 10 objecten en losse objecten (35+24; 5935). Hierna worden de complexere opgaven met tientaloverschrijding voorgelegd (24+28; 52-28). Rijgen staat alleen in één methode voorop. In de andere methoden worden de rijgen de splitsmethode gelijktijdig geïntroduceerd. Ook de gebruikte taal (springentaal, pijlentaal en sommentaal) en hulpmiddelen variëren per methode. Dit alles betekent dat realistisch rekenen ‘veel gezichten heeft’, zoals de KNAWcommissie (2009, p. 26) dat constateerde. In tegenstelling tot Menne die een afwijking observeert in de volgorde van aanbieding en aspecten van de instrumentatie, zien de commissieleden, aansluitend bij Wittmann (2005), een afwijking in de verticale mathematisering. In vergelijking met Treffers’ (1987) concept, zoals geëxpliciteerd met zijn vijf principes van de realistische didactiek, zou tegenwoordig te veel aandacht worden besteed aan de verkenning in contexten ten koste van de formalisering van het denken en de bewerkingen. Dit alles toont het belang van de analyse van de methoden, als het dagelijks gereedschap van de leerkracht. Het MORE-onderzoek (Gravemeijer, van den Heuvel-Panhuizen, Dinselaar, Ruesink, Streefland, Vermeulen, te Woerd, & van der Ploeg, 1993), Winnubst (2001) en de doorlichting door de Inspectie van het onderwijsleerproces en de leerlingenzorg in de klas (Inspectie van het onderwijs, 2004) hebben informatie verschaft over de implementatie van realistische methoden en de realisering van wat er die methoden staat. In de onderhavige studie ontbreekt dergelijk onderzoek naar de onderwijspraktijk die de geobserveerde scheefgroei nader zou kunnen verklaren. De tendens in de groei van de leerling is bovendien geabstraheerd uit het rekenwerk van één momentopname en niet uit opeenvolgende constructies in de loop van jaargroepen 4-5-6. Dit beperkt de empirische fundering van de beschrijvingen.

317

Hoofdstuk 11

Het is ten slotte bekend dat ontwerpen in het perspectief van de constructiedidactiek vanzelf spanningen oproept tussen ‘open staan voor de gedachten en constructies van de leerlingen’ en ‘zich verplicht voelen met de leerlingen naar verwachte eindproducten te werken’ (Gravemeijer, 2004, 106). De huidige schoolpraktijk, de eisen die door de buitenwereld worden gesteld en de professionalisering van de leerkrachten vormen een forse beperking voor het onderwijsideaal van leerlingen die in samenwerking met hun medeleerlingen zelf wiskundige kennis ontwikkelen. Dit legitimeert de keuze van het TAL-team om te kiezen voor inzichtelijk en efficiënt toewerken naar de eindvormen van optellen en aftrekken. Deze studie toont echter ook de nadelen van deze keuze. Er lijdt geen twijfel dat dit de overwegingen van het TAL-team sterk heeft beïnvloed, terwijl wij ons vrij voelde om in Freudenthal’s voetspoor te treden.

11.6

Aanbevelingen

De patronen in de analyseresultaten verklaren de discrepantie, bij de derde PPON rekenpeiling (Notenboom e.a., 2000), tussen de verwachtingen binnen de realistische kring en de feitelijke resultaten bij aftrekken onder de honderd (hoofdstuk 1). Ze vragen om een reflectie op de gekozen opties ten aanzien van het algemene doel, de leerstofordening, de macrostructuur van het leerproces en de didactische middelen (contextproblemen, leermiddelen en modellen en de klas als sociaal verband) en over de implicaties voor de opvang van de geobserveerde nadelen van de gemaakte keuzes. De feitelijke versterking zou empirisch moeten worden onderbouwd, bijvoorbeeld binnen de programmering van de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO). Het is van cruciaal belang dat dit ontwikkelingsonderzoek plaatsvindt in de praktijk van de schoolorganisatie en onderwijs in de klas, in continue samenwerking en communicatie met de betrokkene schoolteams en individuele leerkrachten. Het mes zou, vanuit deze benadering, van twee kanten kunnen snijden. De onderwijsexperimenten zouden enerzijds het programma en de methodiek van realistisch rekenen kunnen versterken en anderzijds de ervaringen van gezond verstand van de leraren generen die kunnen worden ingezet ter versterking van de opleiding, nascholing en begeleiden van (aanstaande) leerkrachten en schoolteams. Drie uitdagingen dienen zich aan. Een betere balans tussen splitsen en rijgen, de versterking van het beredeneren en meer aandacht voor ‘big ideas’ zoals unitizing en eigenschapsrekenen. Dit alles in een klassencultuur die meer activeert om gezamenlijk te werken aan gedeelde wiskundekennis.

318

Literatuur

Anghileri, J.(2001). Contrasting approaches that challenge tradition. In J. Anghileri (Ed.), Principles and practice in arithmetic teaching: Innovative approaches for the primary classroom (pp. 4-14). Buckingham: Open University Press. Askew, M. & William, D. (1965). Recent research in mathematics education. London: HMSO. Atkins, S. (1999). Listening to students: The power of mathematical conversations. Teaching children mathematics, 5(5), 289-295. Ball, D. (1993). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching elementary school mathematics. Elementary school journal, 93, 373-397. Baroody, A. (1983). The development of procedural knowledge: An alternative explanation for chronometric trends in mental arithmetic. Developmental review, 3, 225-230. Baroody, A. (1985). Mastery of basic number combinations: Internalization of relationships or facts? Journal for research in mathematics education, 16(2), 83-98. Baroody, A., J., Torbeyn, J. & Verschaffel, L. (2009). Young children’s understanding and Young Children's Understanding and Application of Subtraction-Related Principles. Mathematical Thinking and Learning, 11, 2–9. Battista, M. (2004). Applying cognition-based assessment to elementary school students’ development of understanding of area and volume measurement. Mathematical thinking and learning, 6(2), 205-226. Bauersfeld, H. (1995). "Language games" in the mathematics classroom: Their function and their effects. In P. Cobb & H. Bauersfeld (Eds.), The emergence of mathematical meaning: Interaction in classroom cultures (pp. 271-289). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Becker, J. & Selter, C. (1996). Elementary school practices. In Bishop, A., Clements, K., Keitel, C., Kilpatrick, J. and Laborde, C. (Eds.). International handbook of mathematics education, (pp. 511-564). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Beishuizen, M. (1983). Invloeden van leermiddelen op de uitvoering van rekenhandelingen. In G. De Zeeuw, W. Hofstee & J.Vastenvouw (Red.) Funderend onderzoek van het onderwijs en onderwijsleerprocessen. Bijdrage ORD 1983 (pp. 45-54). Lisse: Swets & Zeitlinger.

319

Beishuizen, M. (1985a). Evaluation of the use of structured materials in the teaching of primary mathematics. In B. Alloway & G. Mills (Eds.), New Directions in education and training technology: Aspects of educational technology (Vol 18, pp. 246258). London: Kogan Page. Beishuizen, M. (1985b). Vervolgonderzoek: Invloeden van leermiddelen op de uitvoering van rekenhandelingen. In S. Dijkstra & P. Spa. (Red.). Leerprocessen en instructie. Bijdrage ORD 1985 (pp. 131-144). Lisse: Swets & Zeitlinger. Beishuizen, M. (1993). Mental strategies and materials or models for addition and subtraction up to 100 in Dutch second grades. Journal for research in mathematics education, 24(4), 294-323. Beishuizen, M. (1997). Development of mathematical strategies and procedures up to 100. In M. Beishuizen, K. Gravemeijer & E. van Lieshout (Eds.), The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures (pp. 127-162). Utrecht: CD-β Press / Freudenthal Instituut. Beishuizen, M. & Mulken, F. van (1986). Rekenleermiddelen en hoofdrekenen. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonerwijs, 4/5(4/1), 2529. Beishuizen, M., Mulken, F. van, (1988). Twee veelgebruikte oplossingsmanieren bij hoofdrekenen. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonerwijs, 6, 32-36. Beishuizen, M., Gravemeijer. K. & Lieshout, E. van (1997). The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedure. Utrecht: Freudenthal Institute. Beishuizen, M., Putten, C. van & Mulken, F. van (1997). Mental arithmetic and strategy use with indirect number problems up to one hundred. Learning and Instruction, 7(1), 87-106. Bereiter, C. (1985). Towards a solution of the learning paradox. Review of educational research, 55, 201-226. Berends, I. van de & Lieshout, E. van (2009). The effect of illustrations in arithmetic problem-solving: Effects of increased cognitive load. Learning and instruction, 19, 345-353. Berg, W., Eerde, D. van & Lit, S. (1994). Kwantiwijzer voor leerkrachten.Werkboek 8, aftrekken onder de 100. Tilburg: Zwijsen. Beth, E. & Piaget, J. (1966). Mathematical Epistemology and Psychology (W.Mays, trans.), Dordrecht: Reidel. Blakenburg, K. (1988). Relativering van hoofdrekenen. Panama-post, 6 (3), 27 – 28.

320

Blij, F. van der (1987). Hoe ver moet je komen? In E. Feijs en E. de Moor (Eds.). Innovatie realistisch reken-wiskundeonderwijs, (Panama Cursusboek 5) (pp. 83-92). Utrecht: OW&OC. Blöte-Aanhane, A., Klein, A. & Beishuizen, M. (2000). Mental computation and conceptual understanding. Learning and instruction, 10, 221-247. Blöte-Aanhane, A., Burg, E. van der & Klein, A. (2001). Student's flexibility in solving two digit addition and subtraction problems: Instructing effects. Journal of educational psychology, 93, 627-638. Boer, C. van den (2003). Als je begrijpt wat ik bedoel. Een zoektocht naar verklaringen voor achterblijvende prestaties van allochtone leerlingen in het wiskundeonderwijs (dissertatie). Utrecht: CD β Press. Bokhove, J., Schoot, F. van der & Eggen, T. (1996). Balans van het rekenonderwijs halverwege de basisschool 2. Uitkomsten van de tweede peiling rekenen/wiskunde medio basisonderwijs (PPON-reeks 8b.). Arnhem, Cito. Boswinkel, N. (1995). Interactie, een uitdaging. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 14 (1), 4-13. Boswinkel, N. & Nelissen, J. (2007). Leerstoflijnen in methoden. Leerstoflijnen uit ‘Speciaal Rekenen’ nader toegelicht. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 26, 4, 43-50. Bouman, P. & Zelm, J. (1918). De rekenkundige denkbaarheden in logischen samenhang met – als proeve van toegepaste logica – een rekenmethode voor de lagere school. Amsterdam: Versluys. Brink, F. (1989). Realistisch rekenonderwijs aan jonge kinderen (dissertatie). Utrecht: OW&OC. Brown, A., & Campione, J. (1994). Guided discovery in a community of learners. In K. McGilly (Ed.), Classroom lessons: Integrating cognitive theory and classroom practice, (pp. 229-270). Cambridge, MA: MIT Press. Brown, J., & Lehn, K. van (1982). Towards a generative theory of ‘bugs’. In T. Carpenter, J. Moser, & T. Romberg (Eds.), Addition and subtraction: A cognitive perspective (pp. 117-135). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Brown, M. (1992). Researching primary numeracy. In A. Cockburn & E. Nardi, (Eds.) Proceedings of the 26th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education ( pp. 1.015-1.030). Norwich. Brown, M. (1999). Swings of the pendulum. In I. Thomson (Ed.), Issues in teaching numeracy in primary schools (pp 3-16). Buckingham: Open University Press. Bruggen, J. van & Gorter, R. (1985). De Canon voor het onderwijsaanbod in de basisschool. Pedagogische Studiën, 62(4), 184-194. Bruinsma, B. (Red.) (1969). Nieuw rekenen voor het basisonderwijs. Algemene Inleiding. Baarn: Bosch en Keuning.

321

Bruner, J. (1967). Toward a theory of instruction. Cambridge: Harvard University Press. Buijs, K. (1988). Schaduwzijden van het honderdveld – een reactie op de Proeve (2). Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 6 (4), 3–10. Buijs, K. (2000). Hoofdrekenen. In M. van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A. Treffers (Red.), Kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele getallen, Bovenbouw basisschool (pp. 37-64). Utrecht: Freundental Instituut/SLO. Buijs, K. (2005). Wiskunde leren - een kwestie van gezond verstand -. In H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.). Freudenthal 100 (pp. 98-105). Utrecht: Freudenthal instituut. Buijs, K. (2008). Leren vermenigvuldigen met meercijferige getallen (dissertatie) [Learning to multiply with multidigit numbers (dissertation)]. Utrecht: Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education. Buijs, K. (2007). Leren vermenigvuldigen en delen met meercijferige getallen (proefschrift). Utrecht: Bètawetenschappen. Buijs, K. (2011). Instructie in het rekenwiskundeonderwijs: op zoek naar verborgen kwaliteiten. Presentatie op de Panamaconferentie 2011. Buijs, K. & Eerde, D. van (1991). Tellen en rekenen tot twintig. ’s-Hertogenbosch: Katholiek Pedagogisch centrum (KPC). Cadot, J. & Vroegindeweij, D. (1986). 10 voor de basisvorming rekenen/wiskunde onderzocht. Op weg naar een nationaal plan voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool en het gebruik van de computer daarbinnen. Utrecht: OW&OC. Carpenter, T. (1981). Problem structure and first-grade children’s initial solution processes for simple addition and subtraction problems. Journal for research in mathematics education, 12, 27-39. Carpenter, T. (1985). Learning to add and subtract: An exercise in problem solving. In E. Silver (Ed.), Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research perspectives (pp. 17-40). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Carpenter, T. (1997). Models for reform of mathematics teaching. In M. Beishuizen, K. Gravemeijer & van E. Lieshout (Eds.). The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures (pp. 35-54). Utrecht: Freudenthal Instituut. Carpenter, T. & Moser, J. (1982). The development of addition and subtraction problem-solving skills. In T. Carpenter. J. Moser & T. Rombergs (Eds.), Addition and subtraction: A cognitive perspective. New Jersey: Erlbaum. Carpenter, T. & Moser, J. (1983). The acquisation of addition and subtraction concepts. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), The acquisation of mathematical concepts and processes (pp. 7-14). New York: Academic Press.

322

Carpenter, T., Hiebert, J., & Moser, J. (1981). Problem structure and first grade children’s initial solution processes for simple addition and subtraction problems. Journal for research in mathematics education 12 (1), 27-39. Carpenter, T., Hiebert, J., & Moser, J. (1982). Cognitive development and children’s solutions to verbal arithmetic problems. Journal for research in mathematics education, 13 (2), 83-98. Carpenter, T., Franke, M., Jacobs, V., Fennema, E., & Empson, S. (1998). A longitudinal study of invention and understanding in children’s multidigit addition and subtraction. Journal for research in mathematics education, 29 (1), 3-20. Carpenter, T., Fennema, E., Franke, L., Levi, L., & Empson, S. (1999). Children’s mathematics: Cognitively guided Instruction. Portsmouth, NH: Heinemann. Cito (2008). Diagnosticeren en plannen in de onderbouw. Leerling- en onderwijsvolgsysteem. Arnhem: Cito. Cito (in druk). Diagnosticeren en plannen in de onderbouw. Leerling- en onderwijsvolgsysteem. Arnhem: Cito. Cobb, P. (Ed.) (1994). Learning mathematics: Constructivist and interactionist theories of mathematical development. Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic. Cobb, P. (1995). Cultural tools and mathematics learning: A case study. Journal for research in mathematics education, 26(4), 362-385. Cobb, P. (1997). Instructional design and reform: a plea for developmental research in context. In M. Beishuizen, K. Gravemeijer & E. van Lieshout (Eds.), The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures (pp. 273-291). Utrecht: CD-β Press / Freudenthal Instituut. Cobb, P., Yackel, E., Wood, T., Wheatley, J. & Merkel, G. (1988). Creating a problem solving atmosphere. Arithmetic teacher, 36(1), 46-47. Cobb, P., Yackel, E., & Wood, T. (1992). A constructivist alternative to the representational view of mind in mathematics education. Journal for research in mathematics education, 23 (1), 2-33. Cobb, P., Wood, T. &, Yackel, E. (1993). Discourse, mathematical thinking and classroom practice. In E. Forman, N. Minick, & C. Stone (Eds.), Contexts for learning: Sociocultural dynamics in children's development (pp. 91-119). New York: Oxford University Press. Cobb, P., & Yackel, E. (1996). Constructivist, emergent, and sociocultural perspectives in the context of developmental research. Educational Psychologist, 31, 175–190. Cobb, P., Boufi, A., McClain, K. & Whitenack, J. (1997). Reflective discourse and collective reflection. Journal for research in mathematics education, 28 (3), 258-277. Cobb, P., Gravemeijer, K., Yackel, E., McClain, K., & Whitenack, J. (1997). Mathematizing and symbolizing: The emergence of chains of signification in

323

one first-grade classroom. In D. Kirschner & J. Whitson (Eds.), Situated cognition theory: Social, semiotic, and neurological perspectives (pp. 151–233). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. Cobb, P., McClain, K., & Gravemeijer, K. (2003). Learning about statistical covariation. Cognition and instruction, 21, 1–78. Cockcroft, W. (1982). Mathematics counts (report of the committee of inquiry into teaching of mathematics in school)). London: Her Majesty Stationery Office. Commissie Evaluatie Basisonderwijs (1994). Inhoud en opbrengsten van het basisonderwijs. Evaluatie van het basisonderwijs. De Meern: Inspectie van het onderwijs. Commissie Herziening Kerndoelen (2002). Verantwoording delen. Herziening van de kerndoelen basisonderwijs met het oog op beleidsruimte voor scholen. Den Haag: Sdu. Corte, E. de & Verschaffel, L. (1984). Redactie-opgaven in Vlaamse rekenmethoden voor de eerste klas. In E. de Moor (Red.). Panama cursusboek 2. Utrecht, SOL/OW&OC. Corte, E. de & Verschaffel, L. (1985). Werken met eenvoudige rekenvraagstukjes in de eerste klas (Red.). Panama Cursusboek 3. Utrecht, SOL/OW&OC. Corte, E. de & Verschaffel, L. (1987). The effect of semantic structure on first graders’ solution strategies of elementary addition and subtraction word problems. Journal for research in mathematics education, 18 (5), 363 – 381. Corte, E. de, & Verschaffel, L. (1988). Computer simulation as a tool in research on problem solving in subject-matter domains. The international journal of educational research, 12, 49-69. Corte, E. de, Greer, B., & Verschaffel, L. (1996). Mathematics teaching and learning. In D. Berliner & R. Calfee (Eds.), The handbook of educational psychology (pp.491-549). New York: Macmillan. Cowan, R. (2003). Does it all add up? Changes in children´s knowledge of addition combinations, strategies and principles. In A. Baroody & A. Dowker (Eds.), The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise. Mahwah, New Jersey/London: Lawrence Associates Publishers. Craats, J. van (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Nieuw archief voor wiskunde, 8, 132-136. Dekker, A., Heege, H. ter & Treffers, A. (1982). Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens Wiskobas. Utrecht: OW & OC. DES (Departement of Education and Science) (1987). The National curriculum 5-16: A consultation document. London: Her Majesty Stationery Office.

324

DES (Departement of Education and Science) (1999). The national numeracy strategy: framework for teaching mathematics from reception to year 6. London: Her Majesty Stationery Office. DfEE. (1998a). The Implementation of the National Numeracy Strategy: The final report of the Numeracy Task Force. London: DfEE. DfEE (1998b). Framework for Numeracy. London: Department for Employment, Standards and Effectiveness Unit. Die, H. van (2010). De betekenis van de kerndoelen voor de vernieuwing van het reken-wiskundeonderwijs. Reken-wisksundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 29 (4), 13-22. Diels, P. & Nauta, J. (1936). Fundamenteel rekenen. Groningen: Wolters. Dienes, Z. (1970). Wij bouwen wiskunde op. ’s-Hertogenbosch: Malmberg. Dolk, M., Goffree, F. & Hertog, J. den (1997). Het fundament. Module ontworpen door het MILE-team i.s.m. de aan het project MILE deelnemende opleiders. Utrecht: Freudenthal Instituut. Doornbos, K. (1985). Het schoolconcept van de nieuwe basisschool; vernieuwing en integratie. Pedagogische Studiën, (62), 159-173. Edelson, D. (2002). Design research: What we learn when we engage in design. The journal of the learning sciences, 11 (1), 105-121. Eerde, D. van, (1996). Kwantiwijzer. Diagnostiek van het reken-wiskundeonderwijs (dissertatie). Tilburg: Zwijsen. Eerde, D. van, Hajer, M., Koole, T. & Prenger, J. (2002). Betekenisconstructie in de wiskundeles. De samenhang tussen interactief wiskunde- en taalonderwijs. Pedagogiek, 22 (2), 134 – 147. Expertgroep doorlopende leerlijn taal en rekenen (2008). Over de drempels met taal en rekenen. Hoofdrapport van de Expertgroep Doorlopende leerlijnen Taal en Rekenen. Enschede: Expertgroep Doorlopende leerlijnen Taal en Rekenen.Expertgroep Doorlopende Leerlijnen bij Taal en Rekenen, (2007). Over de drempels met taal en rekenen. Hoofdrapport van de expertgroep doorlopende leerlijnen bij taal en rekenen. Enschede. Fennema, E., Carpenter, T., Franke, M., Levi, L., Jacobs, V. & Empson, S.(1996). A Longitudinal Study of Learning to Use Children’s Thinking in Mathematics Instruction. Journal for research in mathematics education, 27, 403-434. Fernandez, C. & Yoshida, M. (2004). Lesson study: A Japanese approach to improving mathematics teaching and learning. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. Flexer, R. (1986). The power of five: the step before the power of ten. Arithmetic teacher, 34, 5-10. Fosnot, C. & Dolk , M. (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition and subtraction. Portsmouth: Heinemann.

325

Fosnot, C. & Dolk, M. (2002). Het leerlandschap (1). Panama-Post. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 21 (2), 29–37. Foxman, D. & Beishuizen, M. (2003). Mental calculation methods used by 11-year olds in different attainment bands: A reanalysis of data from the 1987 APU survey in the UK. Educational studies in mathematics, 51, 41-69. Freudenthal, H. (1971). Geometry between the devil and the deep sea. Educational studies in mathematics, 3, 413-435. Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: Reidel. Freudenthal, H. (1984a). Appels en peren / wiskunde en psychologie. Apeldoorn: Van Walraven. Freudenthal, H. (1984b). Didactische fenomenologie van wiskundige structuren. Utrecht: OW&OC. Freudenthal, H. (1987). Theorievorming bij het wiskundeonderwijs. Geraamte en gereedschap. Panama-post, 5 (3), 4 – 15. Freudenthal, H. (1989). Wiskunde fenomenologisch. Panama-post, 8 (2), 33 – 40. Freudenthal, H. (1990a). Wiskunde fenomenologisch (aflevering 2). Panama-post, 8 (3), 11 – 20. Freudenthal, H. (1990b). Wiskunde fenomenologisch (aflevering 3, slot). Panama-post, 8 (4), 51 – 61. Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic. Fuson, K., (1982). An analysis of the counting-on solution procedure in addition. In T. Carpenter, J. Moser & T. Romberg (Eds.), Addition and subtraction: A cognitive perspective. Hillsdale. N.J.: Erlbaum. Fuson, K. (1988). Children’s counting and concepts of number. New York: Springer-Verlag. Fuson, K. (1992). Research on whole numbers addition and subtraction. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research in mathematics teaching and learning (pp. 243 – 275). New York: Macmillan. Fuson, K. & Fuson, A. (1992). Instruction Supporting Children’s Counting On for Addition and Counting Up for Subtraction, Journal for research in mathematics education, 23 (1), 52–78. Fuson, K., Wearne, D., Hiebert, J., Murray, H., Human, P., Olivier, A., Carpenter, T. & Fennema, E. (1997). Children's Conceptual Structures for Multidigit Numbers and Methods of Multidigit Addition and Subtraction. Journal for research in mathematics education, 28(2), 130-162. Fuson, K. & Smith, S. (1997). Supporting multiple 2-digit conceptual structures and calculation methods in the classroom: Issues of conceptual supports, instructional design, and language. In M. Beishuizen, K. Gravemeijer & E.

326

van Lieshout (Eds.). The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures (pp.163 – 198). Utrecht: Freudenthal Instituut. Ginsburg, H. (1977). Children’s arithmetic: The learning process. New York: Van Nostrand. Goddijn, A. (2005). Breuk, komma, getal. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 24, 2, 30-36. Goei, E. de (2001). Aftrekken volgens een standaardprocedure (1). Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 20 (2), 12-20. Goei, E. de (2002). Aftrekken volgens een standaardprocedure (2). Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 20 (3), 3-9. Goffree, F. (1982). Wiskunde & didactiek, deel 1 [Mathematics and pedagogics, part 1]. Groningen: Wolters-Noordhoff. Gravemeijer, K., (1983). De grondslagen van het programma Rekenen en Wiskunde. Rotterdamse mededelingen 87. Rotterdam: Project OSM. Gravemeijer, K. (1987). Three dimensions – een model voor doelen theoriebeschrijving. Panamapost, 5(3), 46-55. Gravemeijer, K. (1988). De grondslagen van het programma ‘Rekenen en Wiskunde’. Achtergronden programma-ontwikkeling project O.S.M.. Rotterdam: Project Onderwijs en Sociaal Milieu. Gravemeijer, K. (1994). Developing realistic mathematics education. Utrecht: CD-β Press. Gravemeijer, K. (1995a). Onderwijsontwikkeling in de praktijk. In M. Dolk (Red.) Vijfentwintig jaar ontwikkeling reken-wiskundeonderwijs – verleden, heden, toekomst, 21-32. Utrecht: NVORWO. Gravemeijer, K. (1995b). Het belang van social norms en socio-math norms voor realistisch reken-wiskunde onderwijs. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs. 14 (2), 17-21. Gravemeijer, K. (1996). Polsstok of prothese. Paper gepresenteerd op de Panama voorjaarsdag 1996. Gravemeijer, K. (1997). Instructional design for reform mathematics education. In M. Beishuizen, K.P.E. Gravemeijer & E.C.D.M. van Lieshout (Eds.), The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures (pp. 13-34). Utrecht: Technipress, Culemborg. Gravemeijer, K. (1998a). Developmental research as a research method. In J. Kilpatrick & A. Sierpinska (Eds.), Mathematics education as a research domain: A search for identity (An ICMI study) (Vol. 2 ,pp. 277–295). Dordrecht: Kluwer Academic. Gravemeijer, K. (1998b). Symboliseren en modelleren als wiskundige activiteit. In N. Boswinkel & M. Dolk (Red.). Over rekenen gesproken – taal in/en rekenen (pp. 35 – 51). Utrecht: Panama/Freudenthal Instituut.

327

Gravemeijer, K. (1999a). How emergent models may foster the constitution of formal mathematics. Mathematical thinking and learning, 1, 155–177. Gravemeijer, K. (1999b). Van concreet naar formeel. In W. Faes & W. Oonk (Red.), Van Rekenend Nederland voor Fred Goffree. 65/2 Onderwijsverhalen voor pabostudenten (pp. 62-64). Groningen: Wolters Noordhof. Gravemeijer, K. (2000). Meten als basis voor het rekenen met de lege getallenlijn. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 18 (3), 37 – 46. Gravemeijer, K. (2002). Preambule: From models to modeling. In K. Gravemeijer, R. Lehrer, B. van Oers & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and tool use in mathematics education (pp. 7–12). Dordrecht: Kluwer Academic. Gravemeijer, K. (2003a). Didactisch gebruik van de lege getallenlijn, Een persoonlijk perspectief. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het rekenwiskundeonderwijs, 21 (2), 11 – 23. Gravemeijer, K. (2003b). Betekenisvol Rekenen. Willem Bartjens, 22 (4), 5 – 8. Gravemeijer, K. (2004). Local instruction theories as means of support for teachers in reform mathematics education. Mathematical thinking and learning, 6(2), 105–128 Gravemeijer, K. (2005). Revisiting ‘mathematics education, revisited. In H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.). Freudenthal 100 (pp. 106-113). Utrecht: Freudenthal instituut.. Gravemeijer, K. (2006). Dyscalculie of ernstige rekenproblemen: een vakdidactisch perspectief. In M. Dolk, M. en M. van Groenestijn (Eds.), Dyscalculie in discussie (pp. 34-42). Assen: Van Gorcum. Gravemeijer, K. (2007). Emergent modelling as a precursor to mathematical modelling. In W. Blum, P. Galbraith, H-W, Henn & M. Niss (Eds.), Modelling and Applications in Mathematics Education. The 14th ICMI study. New ICMI study series Vol. 10 (pp. 137-144). New York: Springer. Gravemeijer, K., Heuvel-Panhuizen, M. van den, Dinselaar, G. van de, Ruesink, G., Streefland, N., Vermeulen, W., Woerd, E. te & D. van der Ploeg (1993). Methoden in het reken-wiskundeonderwijs, een rijke context voor vergelijkend onderzoek. Utrecht: CDβ-press. Gravemeijer, K. & Cobb, P. (2001). Designing classroom-learning environments that support mathematical learning. Paper presented at the Conference of the American Educational Research Association. Seattle: WA. Gravemeijer, K. & Keizer, R. (2002). Kerndoelen in discussie. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs. 20 (4), 3-6. Gravemeijer, K. & Eerde, D. van (2004). Verschil maken. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 23 (1), 3 – 15.

328

Gravemeijer, K. & Cobb, P. (2007). Ontwikkelingsonderzoek als methode voor onderzoek rond innovatieve leergangen. Pedagogische studiën, 84(5), 330-339. Gray, E. (1994) Spectrums of performance in two digit addition and subtraction in: J. P. Ponte $ J. F. Matos. (Eds.) Proceedings of the 18th International Conference for the Psychology of Mathematics Education. Lisbon, Portugal. Gray, E. & Tall, D. (1994). Duality, Ambiguity and Flexibility: A proceptual view of simple arithmetic. The journal for research in mathematics education. 26 (2), 115-141. Greer, B., & Verschaffel, L. (Eds) (1997). Wor(l)d problems in elementary school mathematics. (Special issue). Learning and instruction, 7, 293-397. Groen, G. & Parkman, J. (1972). A chronometric analysis of simple addition. Psychological review. 79, 329-343. Groen, G. & Poll, M. (1973). Subtraction and the solution of open sentence problem. Journal of experimental child psychology,16, 92-302. Groenewegen, J. & Gravemeijer, K. (1988). Rekenen en Wiskunde, Achtergronden programma-ontwikkeling project OSM. Het leren van de basisautomatismen voor optellen en aftrekken. Rotterdam, Project Onderwijs en Sociaal Milieu. Harskamp, E. & Suhre, C. (1995). Hoofdrekenen in het speciaal onderwijs. Groningen: GION. Hatano, G. (1982). Learning to add and subtract: a Japanese perspective. In: T. Carpenter, J. Moser & T. Romberg (Eds.). Addition and subtraction: a cognitive perspective, (pp. 211-224). Hillsdale: Lawrence Erlbaum. Heijden, M. van der & Beishuizen, M. (1986). Rekenmiddelen en hoofdrekenen. Panama-post, 4, 25 – 29. Heijden, M. van der (1988). Onderwijs in handig rekenen – wanneer, aan wie en hoe? Enkele kantekeningen bij de ‘Proeve…’(1) en (2). Panama-post, 6 (3), 29 – 31. Heijden, M. van der (1993). Consistentie van aanpakgedrag – een procesdiagnostisch onderzoek naar acht aspecten van hoofdrekenen (dissertatie). Lisse, Swets & Zeitlinger. Heuvel-Panhuizen, M. van den (2005). Twee ‘didacticikids’ over de lege getallenlijn. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.). Freudenthal 100 (pp. 82-89). Utrecht: Freudenthal instituut. Heuvel-Panhuizen, M. van den & Goffee, F. (1986). Zo rekent Nederland. Enschede: SLO. Heuvel-Panhuizen, M. van den & Vermeer, H. (1999). Verschillen tussen meisjes en jongens bij het vak rekenen-wiskunde op de basisschool. Eindrapport MMOJ onderzoek. Utrecht: CDβ-press. Heuvel-Panhuizen, M. van den, Buys, K. & Treffers, A. (Eds.) (2001). Kinderen leren rekenen. Tussendoelen annex leerlijnen. Hele getallen bovenbouw basisschool. Groningen: Wolters-Noordhoff.

329

Heuvel-Panhuizen, M., van den & Eggen, T. (2011). Verbetering toetspraktijk. Onderzoeksvoorstel oor R&D onderzoek naar rekenen in het primair onderwijs. FIsme / Universiteit Utrecht Hiebert, J. (Ed.) (1986). Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Hiebert, J. & Wearne, D. (1993). Instructional tasks, classroom discourse and students' learning in second-grade arithmetic. American educational research journal, 30, 393- 425. Hiebert, J. & Wearne, D. (1996). Instruction, understanding and skill in multidigit addition and subtraction. Cognition and instruction, 14, 251-284. Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K., Human, P., Murray, H., Olivier, A. & Wearne, D. (1997). Problem-solving as a basis for reform in curriculum and instruction: the case of mathematics. Educational researcher 25, 12-21. Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A. & Human, P. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Hienemann. Hiebert, J. & Grouws, D. (2007). The effects of classroom mathematics teaching on students’ learning. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 371- 404). Greenwich, CT: Information Age Publishing. Hiele, P. van (1973). Begrip en inzicht. Purmerend, Muusses. Hiele, P. van (1981). Struktuur. Purmerend: Muusses. Hoogenberg, E. & Paardekooper, E. (1995). Strategiegebruik en getalkenmerken bij redactiesommen en contextopgaven tot 20 en 100 (doctoraalscriptie). Leiden. Hope, J. (1986). Mental calculation: Anachronism or basic skill? In H. Schoen & M. Zweng (Eds). Estimation and mental computation (pp. 45-54). Reston: NTCM. Houtveen, A. (1994). Onderwijs op maat in het basisonderwijs. Utrecht: ISOR Huitema, S. (1988). We overvragen de basisschool. Balans van het rekenonderwijs in de basisschool. Uitkomsten van de eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs (pp. 163168). Arnhem: Cito (PPON-reeks nr. 1). Huitema, S. (1991). Meer hoofdrekenen en minder cijferen. Willem Bartjens, 11 (1), 4 – 8. Inspectie van het onderwijs (1996). Onderwijs-op-maat in het primair onderwijs: Toetsingskader. Arnhem: Inspectie van het onderwijs. Inspectie van het onderwijs (2000). Onderwijsverlag 1999/2000. Utrecht: Inspectie van het onderwijs. Inspectie van het onderwijs, (2002). De kwaliteit van het speciaal basisonderwijs. Nulmeting bij een nieuw schooltype. Utrecht: Inspectie van het onderwijs.

330

Inspectie van het onderwijs (2004). Onderwijsverlag 2003/2004. Utrecht: Inspectie van het onderwijs. Inspectie van het onderwijs, (2007). De kwaliteit van het speciaal basisonderwijs in 2005 en 2006. Utrecht: Inspectie van het onderwijs. Internationaal perspectief. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het rekenwiskundeonderwijs,15 (2), 40-45. Jansen, H. (1973). Wat hoofdrekenen is, weet iedereen, Wiskobasbulletin, 2(3), 784-786. Janssen, J., Kraemer, J-M & Noteboom, A. (1995). Leerlingvolgsysteem Rekenen-Wiskunde voor goep 3 en 4. Arnhem: Cito.anssen, J., Kramer, J-M & Noteboom, A. (1996). Leerlingvolgsysteem Rekenen-Wiskunde voor goep 5 en 6. Arnhem: Cito. Janssen, J., Kraemer, J-M & Noteboom, A. (1996). Leerlingvolgsysteem Rekenen-Wiskunde voor goep 5 en 6. Arnhem: Cito. Janssen, J., Kraemer, J-M & Noteboom, A. (1997). Leerlingvolgsysteem Rekenen-Wiskunde voor goep 7 en 8. Arnhem: Cito. Janssen, J., Schoot, F. van der, Hemker, B. & Verhelst, N. (1999). Balans van het rekenwiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 3. Uitkomsten van de derde peiling in 1997. Arnhem, Cito. (PPON-reeks nr. 13). Janssen, J., Scheltens, F. & Kraemer, J.M. (2007). Leerling- en onderwijsvolgsysteem. Handleiding groep 5. Arnhem: Cito. Jaspers, M. & Lieshout, E. van (1991). Training specific modelling strategies for word problem solving in a computer assisted instruction program. Lisse: Swets & Zeitlinger Publishers. Jong, R. de (Ed.) (1977). De abakus [The abacus]. Utrecht: IOWO. Jong, R. de (1985). Een opmerkelijke omwenteling. In: E. de Moor (ed.), Panamacursusboek 3. Reken-wiskundeonderwijs anno 1984. Utrecht: SOL / OW & OC. Jong, R. de (1986). Wiskobas in methoden (dissertatie). Utrecht: OW & OC. Joode, M. de (1996). Rekenstrategieën bij redactiesommen en contextopgaven in Groep 5. (doctoraalscriptie). Leiden Universiteit. Keijzer, R. (2000). Derde PPON-peiling: terugblik en overwegingen. In R. Keijzer & W. Uittenboorgaard, Tien jaar PPON – lessen voor de toekomst (pp. 11-21). Utrecht: Panama/Freudenthal Instituut. Keijzer, N., Figueiredo, N., Galen, F. van, Gravemeijer, K. & Herpen, E. van (2005). Breuken procenten, kommagetallen en verhoudingen. Tussendoelen annex leerlijnen. Groningen: Wolters-Noordhoff. Kilpatrick, J. (1992). A history of research in mathematics education. In D. Grows (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York, NY: Macmillan.

331

Klein, A. (1998). Flexibilization of mental arithmetic strategies on a different knowledge base: the empty number line in a realistic versus gradual program design (dissertatie). Utrecht: CD-β Press/Freudenthal Insitituut. Klein, A. & Beishuizen, M. (1994). Flexibilisering van rekenstrategieën op een verschillende kennisbasis. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het rekenwiskundeonderwijs, 13 (1), 32 – 38. Klein, A., Beishuizen, M. & Treffers, A. (1998). The empty number line in Dutch second grades: Realistic versus gradual program design. Journal for research in mathematics education, 29(4), 443-464. Klep, J. (2002). Kerndoelen rekenen-wiskunde in een politiek krachtenveld. Voorstellen voor kerndoelen rekenen-wiskunde. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 20 (4), 11-16. KNAW-commisie (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. Kouba, V., Brown, C., Carpenter, T., Lindquist, M., Silver, E. & Swafford, J. (1988). Results of the fourth NAEP assessment of mathematics: Numbers, operations, and word problems. Arithmetic teacher, 35(8), 14-19. Kraemer, J-M. (1995a). Rekenen-wiskunde. Hulpboek groep 3 en 4. Arhnem: Cito. Kraemer, J-M. (1995b). Beleidsvoorwaarden voor een voortgezette onderwijsontwikkeling. In M. Dolk (Red.) Vijfentwintig jaar ontwikkeling rekenwiskundeonderwijs – verleden, heden, toekomst, (pp. 9-20). Utrecht: NVOWO. Kraemer, J-M. (1996a). Rekenen-wiskunde. Hulpboek groep 5 en 6. Arhnem: Cito. Kraemer, J-M. (1996b). Aanknopingspunten voor de versterking van het aanvankelijk rekenen in LOM- en MLK-scholen. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs. 14 (2), 3-16 en 14(3), 3-16. Kraemer, J-M. (1996c). Aanknopingspunten voor de versterking van het aanvankelijk rekenen in LOM- en MLK-scholen. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 14 (3), 3-16. Kraemer, J-M. (2002/2003). Hulpboek groep 3 t/m 6. Euro uitgave. Arhnem: Cito. Kraemer, J-M. (2009a). Drempelverleggend leren en onderwijzen met LOVS. Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk. 27(3/4), 88-103. Kraemer, J-M. (2009b). Ideeën, handelingen en symboliseringen van leerlingen als leerinhouden. In:M. van Zanten (Ed.). Leren van evalueren – de lerende in beeld bij reken-wiskundeonderwijs -. Utrecht: Panama / FIsme / Universiteit Utrecht. Kraemer, J-M. (2010). Balans (40) van de strategieën en procedures bij het hoofdrekenen halverwege de basisschool. Uitkomsten van de peiling in 2005. Arnhem: Cito. Kraemer, J-M., Schoot, F. van der & Rijn, P. van (2009). Balans (39) van het rekenwiskundeonderwijs in het speciaal basisonderwijs. Uitkomsten van de derde peiling in 2006. Arnhem: Cito.

332

Kraemer, J-M., Nelissen, J. & Janssen, J. (1996). Nascholingscursus rekenen-wiskunde, groep 3-4. Cito: Arnhem. Kraemer, J-M., Janssen, J., Schoot, F. van der & Hemker, B. (2005). Balans van het rekenwiskundeonderwijs halverwege de basisschool 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2003. PPON-reeks 31. Arnhem, Cito. Kraemer, J-M. & Jansen, C. (2010). Ontwikkelingsgericht diagnosticeren & plannen in het speciaal basisonderwijs. Rapportage van een experiment in het kader van het vaststellen van het ontwikkelingsperspectief van leerlingen in het sbo (Interne nota). Labinowicz. E (1985). Learning from children. Menlo Park, CA: Addison-Wesley Publishing Company. Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer. American educational research journal, 27(1), 29-64. Lesh, R., & Yoon, C. (2004). Evolving communities of mind---in which development involves several interacting and simultaneous developing strands. Mathematical thinking & learning, 6(2), 205-226. Levin, J. (1981) Estimation techniques for mathematics: every day math and mathematics instruction. Educational studies in mathematics, 12, 421-435. Lieshout, E. van (1997). What can research on word and context problems tell about effective strategies to solve subtraction problems. In M. Beishuizen, K. Gravemeijer, & E. van Lieshout (Eds.), The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures (pp. 79-111). Utrecht: CDβ Press. Lorenz, J. & Radatz, H. (1993). Handbuch des Förderns im Mathematikunterricht. Hannover, Schroedel. Luit, J. van (1988). Naar een verfijning van de ‘Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool’ (2) ten behoeve van het speciaal onderwijs. Panama-post, 6 (3), 23 – 26. Maddel, R. (1985). Children’s natural processes. The arithmetic teacher, 32, 7, 20-22. McIntosh, A., Reys, B. & Reys, R. (1992). A proposed framework for examining basic number sense. For the learning of mathematics, 12(3), 2-8. McKnight, C., Crosswhite, F., Dossey, J., Kifer, E., Swafford, J., Travers, K. & Cooney, T. (1987). The underachieving curriculum: Assessing U.S. school mathematics from an international perspective. Champaigne, IL: Stipes. Melissen, M. & Drent, M. (2008). TIMSS 2007 Nederland. Trends in leerprestaties in exacte vakken in het basisonderwijs. Enschede: Universiteit Twente. Menne, J. (2001). Met sprongen vooruit. Een productief oefenprogramma voor zwakke rekenaars in het getallengebied tot 100 – een onderwijsexperiment (dissertatie). Utrecht: Freudenthal Instituut.

333

Menne, J. (2004). Geschiedenis van de lege getallenlijn. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 20 (1), 3 – 14. Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen (1992). Wet op de basisvorming. Staatsblad 270. Den Haag: Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen. Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen (1993). Besluit kerndoelen voor het basisonderwijs. Den Haag: Sdu. Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen (1998). Kerndoelen basisonderwijs 1998. Den Haag: Sdu. Mommers, C. & Janssen, G. (1997). De toekomst van het basisonderwijs. In Zwijsen, een passie voor uitgeven, (pp. 243-245). Tilburg: Zwijsen. Moor, E. de (1980). Gevarieerd rekenen. Leerplanpublikatie 11. Wiskobas-Bulletin, 9 (1/2/9) Utrecht: IOWO, Rijksuniversiteit Utrecht. Mulken, F. van (1992). Hoofdrekenen en strategisch handelen. Het gevarieerd gebruik van twee grondvormen van optellen en aftrekken tot honderd (dissertatie). Leiden. Mullis, I., Martin, M., Olson, J., Berger, D., Milne, D. & Stanco, G. (2008). TIMSS2007 Encyclopedia. A guide to mathematics and science education around the world. Part 2, Boston: Boston College, TIMSS & PITLS International Study Center. NCTM (1980). An agenda for action. Recommendations for school mathematics of the 1980’s. Reston, NCTM. NCTM (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: NCTM. NCTM Research Advisory Committee. (1996). Justification and reform. Journal for research in mathematics education, 27, 516–520. Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (2010). Programmeringsstudie Rekenonderzoek in het primair onderwijs Rekenonderzoek in het primair onderwijs. Den-Haag: NOWO. Nelissen, J. (1987). Kinderen leren wiskunde. Een studie over constructie en reflectie in het basisonderwijs. Gorinchem: De Ruiter. Netelenbos, T. (1995). De school als lerende organisatie. Den Haag: Sdu. Nieland, J. (1986). Wat was en is hoofdrekenen eigenlijk? Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 5, 1, 3-6 Noteboom, A., Schoot, F. van der, Janssen, J. & Veldhuijzen, N. (2000). Balans van het rekenwiskundeonderwijs halverwege de basisschool 3. Uitkomsten van de derde peiling in 1997. PPON-reeks 15. Arnhem, Cito. Nye, B., Konstantopoulos, S. & Hedges, L. (2004). How large are teacher effects? Educational evaluation and policy analysis. 26(3), 237-257. Onderwijsraad (1999). Zeker weten. Leerstandaarden als basis voor toegankelijkheid. Den Haag: Onderwijsraad.

334

Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas. New York: Basic Books. Paulos, J. (1988). Innumeracy. Mathematical illiteracy and its consequences. New York: Hill & Wang. Piaget, J. (1972). The principles of genetic epistemology. London: Routledge & Kegan Paul. Plunkett, S. (1979). Decomposition and all that rot. Mathematics in school, 8(3), 2–5. Prenger, J. (2005). Taal telt! Een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het realistisch wiskundeonderwijs (dissertatie). Groningen: Rijksuniversiteit Groningen. Prenger, J. (2007) Met taal kun je rekenen. De rol van taalvaardigheid en tekstbegrip bij het oplossen van een wiskundeopgave. Volgens Bartjens...Tijdschrift voor rekenwiskundeonderwijs, jaargang 26, 4 – 7. Putnam, H. (1988). Representation and reality. Cambridge: Bradford books. Radatz, H. (1980). Student’s errors in mathematical learning process: a survey. For the learning of mathematics, 16-21. Rademakers, G., Putten, C. van, Beishuizen, M. & Janssen, J. (2004). Traditionele en realistische algoritmen bij het oplossen van deelsommen in groep 8. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 23 (4), 3 – 7. Resnick, L. (1981). Instructional psychology. Annual review of psychology, 32, 659-704. Resnick, L. (1987). Syntax and semantics in learning to subtract. In T. Carpenter, J. Moser & T. Romberg (Eds.), Addition and subtraction: A cognitive perspective (pp. 41-97). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Resnick, L. & Ford, W. (1981). The psychology of mathematics for instruction. Hillsdale, NJ: Erlbaum. Reys, B. (1985). Mental computation. Arithmetic teacher, 32(6), 43-46. Reys, B. & Reys, R. (1986). Mental computation and computational estimation – their time has come. The arithmetic teacher, 33, 4-6. Rezigt, G.J. (1993). Effecten van differentiatie op de basisschool. Groningen: RION. Rohlen, T. P. (1983). Japan's high schools. Berkeley: University of California Press. Schifter, D. (1996). What's happening in math class? Reconstructing professional identities. Vol. 2. New York: Teachers College Press. Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press. Schoot, F. van der (2001). Standaarden voor kerndoelen basisonderwijs. De ontwikkeling van standaarden voor kerndoelen basisonderwijs op basis van de resultaten uit peilingsonderzoek (dissertatie). Arhnem: Cito. Schoot, F. van der (2002). Aanwijzingen voor de toetsleiders (Interne nota). Arnhem: Cito,

335

Schoot, F. van der (2008). Onderwijs op peil? Een samenvattend overzicht van 20 jaar PPON. Arhnem: Cito. Schoot, M. van der, Reijntjes, A. & Lieshout, E. van (2011). How do children deal with inconsistencies in text? An eye fixation and self-paced reading study in primary school children. Reading and writing: An interdisciplinary journal Schoot, M. van der, Vasbinder, A., Horsley, T., Reijntjes, A. & Lieshout, E. van (2009). Lexical ambiguity resolution in good and poor comprehenders: An eye fixation and self-paced reading study in primary school children. The journal of educational psychology, 101(1), 21-36. Selter, C. (1996). Doing mathematics while practicing skills. In C. van den Boer & M. Dolk (Eds.), Modellen, meten en meetkunde. Paradigma’s van adaptief onderwijs (pp. 31-44). Utrecht: Freudental Instituut. Selter, C. (1997). Instructional design for teacher education. In M. Beishuizen, K. Gravemeijer, & E. van Lieshout (Eds.), The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures (pp. 55-78). Utrecht: CD-β Press / Freudenthal Instituut. Selter, C. (2002). Addition and subtraction of three-digit numbers: German elementary children’s success, methods and strategies. Educational studies in mathematics, 47, 145-173. Selter, C. & Sundermann, B. (1997). Engenproduktionnen – von Anfang an! Die Grundschulzietschrift, 110, 12-15. Senge, P., Cambron, N., Lucas, T., Smith, B., Dutton, J. & Kleiner, A. (2000). Het vijfde discipline Praktijkboek. Strategieën en instrumenten voor het bouwen van een lerende organisatie. Schoonhoven: Academic Service. Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational studies in mathematics, 22, 1-36. Simon, M. (1995). Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist perspective. Journal for research in mathematics education, 26(2), 114-145, Simon, M. (2001). De rol van de leerkracht in het bevorderen van begripontwikkeling. In R. Keizer & W. Uittenbogaard. Uit de lengte of uit de breedte - de kwaliteit van het meetonderwijs (pp. 71-82). Utrecht: Panama/Freudenthal Instituut. Simon, M. & Tzur, R. (2004) Explicating the role of mathematical tasks in conceptual learning: An elaboration of the hypothetical learning trajectory. Mathematical thinking and learning, 6, 91-104. Slavin, R. & Lake, C. (2008). Effective programs in elementary mathematics. A bestevidence syntheses. Review of educational research, 78, 427-515

336

Song, M., & Ginsburg, H. (1987). The development of informal and formal mathematical thinking in Korean and U.S. children. Child development, 58, 12861296. Steffe, L., Thompson, P. & Richards, J. (1982). Children’s counting in arithmetical problem solving. In T. Carpenter, T. Romberg & J. Moser (Eds.), Children’s arithmetic: A cognitive perspective (pp. 83-98). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Steffe, L., Glasersfeld, E. von, Richards, J. & Cobb, P. (1983). Children’s counting types. Philosophy, theory and application. New York: Praeger Publishers. Steffe, L. (2004). On the construction of learning trajectories for children: The case of commensurate fractions. Mathematical thinking and learning, 26(2), 129-162. Stein, M., Grover, B. & Silver, E. (1991). Changing instructional practice: A conceptual framework for capturing the details. In R. Underhill (Ed.), Proceedings of the thirteenth annual meeting of the north American chapter of the International group for the Psychology of mathematics education, Vol. 1 (pp 36-41). Virginia: Virginia Tech. Stein, M., Remillard, J. & Smith, M. (2007). How curriculum influences student learning. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 319-369) . Charlotte, NC: Information Age. Stephan, M. (1998). Supporting the development of one first-grade classroom’s conception of measurement: Analyzing student’s learning in social context. Unpublished doctoral dissertation. Vanderbilt University, Nashville, TN. Stephan, M., Bowers, J., Cobb, P., & Gravemeijer, K. (Eds.) (2004). Supporting students’ development of measuring conceptions: Analyzing students’ learning in social context. Journal for research of mathematics education monograph, 12. Stephan, M., Cobb, P., Gravemeijer, K. & Estes, B. (2001). The role of tools in supporting students’ development of measuring conceptions. In A. Cuoco (Ed.), The roles of representation in school mathematics (pp. 63–76). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Stevenson, H., Lee, S. & Stigler, J. (1986). Mathematics achievement of Chinese, Japanese, and American children. Science, 231, 693-699. Stigler, J., Lee, S. & Stevenson, H. (1990). The mathematical knowledge of Japanese, Chinese and American elementary school children. Reston, VA: NCTM. Stigler, J. & Hiebert, J. (1997). Understanding and improving classroom mathematics instruction: an overview of the TIMSS video study. Phi delta kappan, 79, 14-21. Stigler, J. & Hiebert, J. (1998). Teaching is a cultural activity. American educator, 4-10. Straker, A. (1999). The national numeracy project 1996 – 99. In I. Thompson (Ed.), Issues in teaching numeracy in primary school (pp. 39-48). Buckingham: Open University Press.

337

Streefland, L. (1998) Realistisch breukenonderwijs (dissertatie). Utrecht: Freudenthal Instituut. Tall, D. (2006). A theory of mathematical growth through embodiment, symbolism en proof. Annales de didactique et de sciences cognitives, 11, 195-215. Strasbourg: IREM TAL-team (1999). Jonge kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele Getallen. Onderbouw Basisschool. Groningen, Wolters-Noordhoff. Groningen, WoltersNoordhoff. Theunissen, J. (1988). Een hoge norm. In J. Wijnstra (Red.). Balans van het rekenonderwijs in de basisschool. Uitkomsten van de eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs, (pp. 169-181). Arnhem: Cito (PPON-reeks nr. 1). Thompson, A., Philipp, R., & Thompson, P. (1994). Calculational and conceptual orientation in teaching mathematics. 1994 Yearbook of the NCTM. Reston: National Council of Teachers of Mathematics Thompson, A., Philipp, R., Thompson, P. & Boyd, B. (1994). Calculational and conceptual orientations in teaching mathematics. In A. Coxford (Ed.), 1994 Yearbook of the NCTM (pp. 79-92). Reston: NCTM. Thompson, A. & P. Thompson (1996). Talking about rates conceptually, part II: Mathematical knowledge for teaching. Journal for research in mathematics education, 29, 121-142. Thompson, I. (Ed.) (1997). Teaching and learning early number. Buckingham (UK): Open University Press. Thompson, I. (Ed.) (1999). Issues in teaching numeracy in primary school. Buckingham (UK): Open University Press. Thompson, I. (2000). Mental calculation strategies for addition and subtraction – Part 2. Mathematics in school, Volume 29 (1), 24-26. Thompson, I. (2003) Deconstructing the National Numeracy Strategy’s approach to calculation. In I. Thompson (Ed.), Enhancing primary mathematics teaching, (pp. 16-28). Maidenhead: Open University Press. Thompson, P. (1993). Quantitative reasoning, complexity, and additive structures. Educational studies in mathematics, 25(3), 165-208. Thompson, P. & Saldanha, L. (2003). Fractions and multiplicative reasoning. In J. Kilpatrick, G. Martin & D. Schifter (Eds.), Research companion to the principles and standards for school mathematics (pp. 95-114). Reston: NTCM Thurston, W.P. (1990). Mathematical education. Notices of the American mathematical society, 27 (7), 844-850. Timminga, E. & Swanborn, M. (2010). Stand van Zaken Opbrengstgericht werken in het Basisonderwijs bij Rekenen-wiskunde. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs.

338

Torbeyns, J., Smedt, B. de, Ghesquière, P. & Verschaffel, L. (2009). Acquisition and use of shortcut strategies by traditionally-schooled children. Educational studies in mathematics. 71 (1), 1-17. Torbeyns, J., Smedt, B. de, Stassens, N., Ghesquière, P. & Verschaffel, L. (2009). Solving subtraction problems by means of indirect addition. Mathematical teaching and learning, 11, 79-91. Treffers, A. (1975). De kiekkas van Wiskobas. Utrecht: IOWO. Treffers, A. (1978). Wiskobas doelgericht (dissertatie). Utrecht: IOWO. Treffers, A. (1982a). Cijferen in het rekenonderwijs van toen en nu. Pedagogische Studiën (59) 97-115. Treffers, A. (1982b). Basisalgoritme in het wiskunde-onderwijs op de basisschool. Pedagogische Studiën, 59 ,471-483. Treffers, A. (1983). Geïntegreerd cijferen volgens progressieve schematisering. Pedagogische Studiën 60, 351 – 362. Treffers, A. (1985). Reken-wiskundeonderwijs in historisch perspectief. In E. de Moor (Ed.), Panama cursusboek 3. Reken- wiskundeonderwijs anno 1984 (pp. 9-15). Utre cht: OW & OC. Treffers, A. (1986). Analyseren en ontwikkelen van reken/wiskunde-onderwijs vanuit twee verschillende basisconcepties. Pedagogische studiën (63), 97-115. Treffers, A. (1987). Three dimensions: A model of goal and theory description in mathematics instruction. The Wiskobas project. Dordrecht: Kluwer. Treffers, A. (1988). Over de merkbare invloed van onderwijsmethoden op leerprestaties. In J. Wijnstra, (Red.) (1988). Balans van het rekenonderwijs in de basisschool. Uitkomsten van de eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs (pp. 181 – 190). Arnhem: Cito (PPON-reeks nr. 1), Treffers, A. (1989). Het voorkomen van ongecijferdheid op de basisschool (oratie). Utrecht: OW & OC. Treffers, A. (1991a). Realistic mathematics education in the Netherlands 1980-1990. In L. Streefland (Ed.) Realistic Mathematics Education in primary school (pp. 1120).Utrecht: CD β Press. Treffers, A. (1991b). Hoofdrekenen toen en nu. In M. Dolk & E. Feijs, (Eds.). Panamacursusboek 9: Deskundigheid. (pp. 41–47). Utrecht: OW&OC. Treffers, A. (1993). Wiskobas en Freudenthal realistic mathematics education. Educational studies in mathematics, 25, (1-2), 89-108. Treffers A. (1994a). Basale (on)gecijferdheid. In M. Dolk, H. van Luit & E. te Woerd (Red.). Speciaal rekenen. Utrecht: Panama/HMN/FI, 11-28. Treffers A. (1994b). Het voorkomen van ongecijferdheid op de basisschool (oratie). Utrecht: OW & OC, Rijksuniversiteit Utrecht.

339

Treffers, A., (1999a). Rekenen tot twintig (1), Willem Bartjens, 18 (4), 4–9. Treffers, A., (1999b). Rekenen tot 20. In A. Treffers, M. van den Heuvel-Panhuizen & K. Buys (Eds.). Jonge kinderen leren rekenen (pp. 45-71). Groningen: Wolters-Noordhoff. Treffers, A. (2005). De (on)navolgbare Freudenthal. In H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.). Freudenthal 100 (pp.135-144).Utrecht: Freudenthal instituut, Treffers, A. (2010). De stille revolutie. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 29 (4), 13-11. Treffers, A. & Moor, E. de (1984). 10 voor de basisvorming rekenen-wiskunde. Op weg naar een nationaal plan voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool en het gebruik van de computer daarbinnen. Utrecht: OW&OC/Panama/SOL. Treffers, A. & Goffree, F. (1985). Rational analysis of realistic mathematics education- the Wiscobas Program. In L. Streefland (Ed.). Proceedings of the ninth international conference of psychology of mathematics education (pp. 97-123). Utrecht: OW & OC. Treffers, A., Feys, E. & Moor, E. de (1987a). Proeve van een nationaal program voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (1). Panama-post, 6 (1), 7-28. Treffers, A., Feys, E. & Moor, E. de (1987b). Proeve van een nationaal program voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (2). Panama-post, 6 (3), 24-31). Treffers, A, Moor, E. de & Feijs, E. (1988). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (3). Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs. 6 (3), 57-65. Treffers, A., Moor, E. de & Feijs, E. (1989). Proeve van een nationaal program voor het rekenwiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 1. Overzicht einddoelen. Tilburg: Zwijsen. Treffers, A. & Moor, E. de (1990). Proeve van een nationaal programma voor het rekenwiskundeonderwijs op de basisschool, deel 2. Basisvaardigheden en cijferen. [WEG! Standards for primary mathematics teacher education, part 2]. Tilburg: Uitgeverij Zwijsen. Treffers, A. & Veltman, A. (1994). Relatie-boogje als brug tussen bewerkingen. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 12, 3, 11 – 14. Treffers, A. & Veltman A. (1996). Onder nul: rekenen met negatieve leeftijdsgetallen. Willem Bartjens, 15 (4), 38 – 41. Treffers, A., Noteboom, A. & Goei, E. de (2001). Kolomsgewijs rekenen en cijferen. In M. van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A. Treffers (Red.), Kinderen leren rekenen. Tussendoelen annex leerlijnen. Hele getallen, bovenbouw basisschool (pp. 65-89). Groningen: Wolters-Noordhoff.

340

Veldhuis, E. (1981). Deelleergang cijferend optellen en aftrekken, volgens het principe van progressieve schematisering, gegeven in het kader van remedial teaching van vier kinderen in het buitengewoon onderwijs (doctoraalscriptie). Utrecht: IPAW. Veltman, A. (1993). Van het begin en van het eind: ontwikkelingsonderzoek naar het rekenen tot 100 op de lege-getallenlijn (doctoraalscriptie). Utrecht: Faculteit Sociale Wetenschappen. Verhelst, N., Glas, C., & Verstralen, H. (1993). OPLM: One parameter logistic model. Computer program and manual. Arnhem: Cito. Verschaffel, L. (1988). Enkele kanttekeningen bij de ‘Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool’ (3). Panama-post, 6 (4), 11-16. Verschaffel, L. (1996). Ontwikkelingen in het onderzoek van het reken/wiskundeonderwijs: een internationaal perspectief. Panama-Post, 15, nr. 2, 40-45. Verschaffel, L. & Corte, E. de (1993). A decade of research on word-problem solving in Leuven: Theoretical, methodological and practical outcomes. Educational Psychology Review, 5, 239-256. Verschaffel, L., Corte, E. de, Struyf, E. & Gielen, I. (1995). Handig en flexibel hoofdrekenen in het getalgebied 1-20. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs,13 (3), 28 – 36. Verschaffel, L. & Corte, E. de (1997). Teaching realistic mathematical modeling in the elementary school. A teaching experiment with fifth graders. Journal for Research in Mathematics Education, 28, 577-601. Verschaffel, L., Greer, B. & De Corte, E. (2000). Making sense of word problems. Lisse: Swets & Zeitlinger. Verschaffel., L. & Ruijssenaars, W. (2002). Keuze en ontwikkeling van aanvankelijke rekenstrategieën: inleiding tot het themanummer. Pedagogische studiën. Tijdschrift voor onderwijskunde en opvoedkunde. 79, (2), 83-88. Verschaffel, L., Greer , B. & Corte, E. de (2007). Whole number concepts and operations. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 557-628). Greenwich, CT: Information Age Publishing. Visser, J. (2008). Rapportage oriëntatiefase LOVS speciaal (basis)onderwijs (Interne nota) SO.2008.003. Vos, W. de (1998). Het methodegebruik op de basisschool. Maastricht: Shaker publishing. Vuurmans, A. (Red.) (1991). Rekenen tot honderd. Handleiding. ’s-Hertogenbosch: Katholiek Pedagogisch Centrum (KPC). Whitenack, J. & Yackel, E. (2002). Making Mathematical Arguments in the Primary Grades: The Importance of Explaining and Justifying Ideas. Teaching children mathematics, 8, 524-527.

341

Whitney, H. (1985). Taking responsibility in school mathematics education. In L. Streefland (Ed.), Proceedings of the ninth international conference for the psychology of mathematics education. Vol. 2. Utrecht: OW&OC. Whitney, H. (1988). Mathematical reasoning, early grades: growth through involvement, curriculum outline. Princeton: Institute for Advanced Study (unpublished manuscript). Wijnstra, J. (Red.) (1988). Balans van het rekenonderwijs in de basisschool. Uitkomsten van de eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs. Arnhem: Cito (PPON-reeks nr. 1). Willemsen, T. & Harskamp, E. (1990). Systematische fouten in het optellen en aftrekken tot honderd. Panama-post 8,(4), 20 – 25. Winnubst, J. (2001). Onderzoek naar de huidige situatie inzake realistisch rekenonderwijs op basisscholen. In R. Keijzer & W. Uittenbogaard, Uit de lengte of uit de breedte – de kwaliteit van het meetonderwijs (pp. 71-82). Utrecht: Panama/Freudenthal Instituut, Wittmann, E. (2005). Realistic mathematics education, past and present. Nieuw archief woor wiskunde, 5/6 (4), 294-296. Woods, S., Resnick, L. & Groen, G. (1975). An experimental test of life process models for subtraction. Journal of educational psychology, 67, 17-21. Wood, T. (1995). An emerging practice of teaching. In P. Cobb & H. Bauersfeld (Eds.), The emergence of mathematical meaning: Interaction in classroom cultures (pp. 203-227). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Wood, T. (1998). Creating classroom interactions for mathematical reasoning: beyond ‘natural thinking’. In P. Abrantes, J. Porfírio & M. Baía (Eds.), The interactions in the mathematics classroom – Proceedings of CIEAEM 49 (pp. 34 - 43). Setúbal: Escola Superior de Educação. Wood, T. (1999). Creating a context for argument in mathematics class. Journal for research in mathematics education, 30, 171-187. Wood, T. & Sellers, P. (1997). Deepening the analysis: longitudinal assessment of a problem-centered mathematics program. Journal for research in mathematics education, 28, 163-186. Yackel, E. (1995). Children's talk in inquiry mathematics classrooms. In P. Cobb & H. Bauersfeld (Eds.), The emergence of mathematical meaning: Interaction in classroom cultures (pp. 131-162). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Yackel, E. & Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for research in mathematics education. 27 (4), 458-477.

342

Appendix

343

Bijlage 1 Kerninhouden per onderwerp in relatie tot de tussendoelen en de gemeten leerresultaten bij de derde peiling rekenen-wiskunde halverwege de basisschool in 1997 Bron: Noteboom, van der Schoot, Janssen & Veldhuijzen (2000)

Onderwerpen

Kerninhouden

Domeinen/Tussendoelen

Leerresultaten

Kennis van de telrij Tellen van hoeveelheden en aantallen, Vergelijken en ordenen van getallen Globaal en precies positioneren van deze getallen op een getallenlijn. Het betreft voornamelijk het getallengebied tot 100 maar ook getallen uit het gebied tussen 100 en 1000 komen voor. De volgende typen opgaven worden zowel kaal als in context voorgelegd: – verder tellen en terug tellen met sprongen van 1, 10 en 100 vanaf een bepaald punt in de telrij – verder tellen en terug tellen met sprongen van 5, 20 of 25 vanaf daarbij horende mooie getallen – tellen van geordende hoeveelheden (zoals rijen postzegels op een vel) – grootste of kleinste getal uit een aantal getallen bepalen – getallen in volgorde zetten van klein naar groot – getallen plaatsen tussen andere getallen in de telrij – getallen globaal en precies plaatsen op de getallenlijn en de plaats van getallen op de getallenlijn herkennen.

GEHELE GETALLEN A. De kinderen kunnen de telrij tot honderd opzeggen en vanaf ieder getal in dit domein door- en terug tellen. Dit geldt zowel voor de kleine telrij met enen (1, 2, 3, …) als de grote telrij met tienen (10, 20, 30, …).

De percentiel-90 leerling realiseert beide verwachtingen ten aanzien van tellen en positioneren. De percentiel-10 leerling komt niet verder dan een goede beheersing van tellen met sprongen van één.

– – – –

Tellen en ordenen

345

B. De kinderen zijn instaat om getallen tot honderd te positioneren op de (bijna) lege getallenlijn, te structureren in tientallen en eenheden, en te contextualiseren in zinvolle situaties.

Globaal genomen, beheerst 75% van de leerlingen tussendoel [A] goed. Deze groep leerlingen beheerst het precies plaatsen van getallen op de getallenlijn goed tot matig en het globaal plaatsen matig tot onvoldoende.

Structureren

Basisautomatismen: optellen

Basisautomatismen: aftrekken

Het gaat om de vertrouwdheid met en het gebruik van de structuren van getallen tot en met 100 en 1000. De nadruk ligt daarbij op samenstellen, dan wel afsplitsen (structureren) of aanvullen gebruikmakend van (de relatie tussen) honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). De volgende typen opgaven worden o.a. in contexten, ‘kaal’ of met afbeeldingen voorgelegd: – getallen en aantallen samenstellen met H, T en E (bijvoorbeeld het bepalen van een totaalbedrag van bankbiljetten van 100 en van 10 en losse guldens); – getallen en aantallen splitsen in H, T en E (345 = 300 + 5 + ?) of in een context (bijvoorbeeld een aantal van 46 eieren verpakken in doosjes van 10 en aangeven hoeveel doosjes nodig zijn of hoeveel volle doosjes gemaakt kunnen worden; – splitsen van 100 en 1000 in twee getallen en aanvullen tot 100/1000 of veelvouden van tien en honderd (bijvoorbeeld 100 = 80 en ?; 58 + ? = 100; 850 + ? = 1000; 54 + ? = 60). – Alle optellingen uit het getallengebied tot 20, met en zonder overschrijding van 10 – De volgende basisoptellingen uit het g tallengebied tot 100: (i) 20 + 60, (ii) 24 + 5, (iii) 24 + 7 en 46 + 4 en (iv) 36 + 20 en 70 + 15 – Alle aftrekkingen uit het getallengebied tot 20, met en zonder overschrijding van 10 – De volgende basisaftrekkingen uit het getallengebied tot 100: 70 – 50; 67 – 5; 40 – 6; 92 – 8; 74 – 60

346

Minder dan 75% van de leerlingen beheerst het tussendoel van structureren in voldoende mate (50% tot 80% kans op succes). De percentiel-25 leerling kan 100 in twee ronde getallen als 70 + 30 goed afsplitsen zie voorbeeldopgave [2] van figuur 1.3), de percentiel-10 leerling nog maar matig. De percentiel-50 leerling heeft maar 60% kans om een stipsom als 64 + ? = 100 van voorbeeldopgave [8] correct op te lossen, bijvoorbeeld vanuit de wetenschap, dat 100 evenveel is als 60 + 40 en 70 + 30. De percentiel-90 leerling heeft evenveel kans om de moeilijkste opgave van de schaal (voorbeeldopgave [12] van figuur 1.4) correct op te lossen: 43 + ? = 100 ELEMENTAIRE BEWERKINGEN C. Eind groep 4 hebben de kinderen de optellingen en aftrekkingen tot tien gememoriseerd en tot twintig geautomatiseerd.

Vrijwel alle leerlingen beheersen de in het tussendoel beschreven vaardigheid en de vaardigheid van de meeste leerlingen overstijgt duidelijk het niveau van de tussendoelen. – 93% tot 99% van de leerlingen beheerst de optelopgaven opgaven onder de 10 en onder 20 goed en 80% tot 99% de aftrekopgaven’; – 90 tot 95% van de leerlingen is vertrouwd met optellingen als 20 + 50, 73 + 10 en 25 + 6 en 80% tot 93% met aftrekkingen als 90 - 40 en 40 – 6

Bewerkingen: optellen

Bewerkingen: aftrekken

De nadruk ligt op optellen onder 100. Het betreft alle optellingen met twee of meer getallen, waarbij de uitkomst kleiner dan 100 of net boven 100 ligt. Bijvoorbeeld: 34 + 50; 32 + 17; 45 + 8; 37 + 63; 28 + 27, 98 + 3. Er worden echter ook enkele opgaven ‘over de honderd’ en in het gebeid onder de 1000 aangeboden. Het gaat dan om het rekenen met ronde getallen, bijvoorbeeld: 180 + 40 en 420 + 150. De opgaven worden zowel in formele rekentaal, als in contexten aangeboden. De optelling kan de betekenis van ‘toevoegen’ aannemen of van ‘samennemen’. Hoewel de kinderen de meeste opgaven waarschijnlijk uit hun hoofd kunnen uitrekenen, hebben ze de mogelijkheid tussennotaties op papier te noteren Aftrekken onder 100 en het aftrekken onder 1000 met afgeronde getallen worden getoetst. Alle aftrekkingen met en zonder overschrijding van het tiental komen in aanmerking, bijvoorbeeld 82 – 7; 85 – 50; 67 – 25; 74 – 38. Ook komen er opgaven voor waarbij het honderdtal net wordt overschreden (bijvoorbeeld 103 – 5) of waarbij het verschil tussen de gegeven getallen heel klein is (bijvoorbeeld in de opgave 103 – 99). Aftrekken onder 1000 wordt beperkt tot rekenen met ronde getallen waarbij de leerling honderdvouden, en tienvouden moet bewerken, zoals bij 120 – 30. De opgaven worden zowel in formele rekentaal als in contexten aangeboden. Aftrekken kan de betekenis hebben van ‘eraf halen’, ‘aanvullen’ en ‘verschil bepalen’.

347

BEWERKINGEN (hoofdrekenen) D. De kinderen zijn in staat optelen aftreksommen tot honderd zowel kaal als in toepassingen op te lossen. Ze maken daarbij gebruik van de getallenlijn, of noteren tussenstappen in sommentaal, of rekenen helemaal uit het hoofd.

Dit tussendoel wordt wel door de gemiddelde leerling goed beheerst, en min of meer ook door leerlingen op percentielniveau 25. Zij beheersen optellingen als 53 + 16 en 27 + 13, zowel in een kale presentatie als in eenvoudige contexten en ook beheersen ze kale optellingen als 45 + 8, maar als die worden aangeboden in een context, waarin de optelling niet direct herkenbaar is, dan beheersen deze leerlingen dergelijke opgaven niet goed, maar matig. Onder het voorbehoud dat de context de optelling niet te veel versluiert, kunnen we constateren dat dit tussendoel door zo’n 75% van de leerlingen wordt bereikt. De beheersing is zeker nog onvoldoende. Met name aftrekkingen van het type 64 – 28 worden door veel leerlingen nog niet goed beheerst. Wanneer de aftrekking dan bovendien uit de context opgemaakt moet worden, dan ontstaan er voor veel leerlingen toch extra problemen. Aftrekkingen tot honderd in toepassingen zoals in het tussendoel wordt beschreven zijn voor veel leerlingen nog moeilijk.

Bijlage 2 Design afname van de vierde PPON (2003), halverwege de basisschool Onderstaand overzicht laat zien hoe de tien toetsboekjes (b1 t/m b10) van de 4 e PPON zijn samengesteld uit blokjes opgaven van: – het LOVS onderzoek (afname eind jaargroep 4, medio jaargroep 5 en eind jaargroep 5); – de verzameling unieke opgaven die voor deze 4e PPON van 2003 zijn ontworpen. Elke blok bestaat uit 4 t/m 14 unieke opgaven van de onderscheiden categorieën. De getallen van het overzicht duiden aantallen opgaven aan.

349

Bijlage 3 De aftrekopgaven van de kwalitatieve studie (schaal Bewerkingen: Optellen-aftrekken) 1

6

Hoeveel munten moet je op de stapel van 12 leggen om een stapel van 25 munten te krijgen? ______ munten

De bloes met de korte mouwen is goedkoper dan de andere bloes. Hoeveel euro goedkoper? ______ euro

2

13

8

Het hoogste gebouw is 250 meter hoog. Het laagste gebouw is 189 meter hoog. Hoe groot is het verschil? ______ meter 14

Joyce weegt 18 kilo. Zij is lichter dan Lex. Hoeveel kilo lichter? ______ kilo

Jeroen betaalt met een briefje van 50 euro. Hoeveel krijgt hij terug? ______ euro 9

3

Fatima bewaart 50 postzegels in deze doos. In de la van België liggen 25 postzegels. Hoeveel postzegels liggen dan in de la van Nederland? ______ postzegels 4

Je zaagt de plank door. Het ene stuk is 40 centimeter lang. Hoe lang is het andere stuk? ______ centimeter

16

10 100 – 86 = ______ 11

60 – 35 = ______ 5

Er 36 verschillende plaatjes. Nicky heeft al 25 plaatjes. Hoeveel plaatjes mist zij nog? ______ plaatjes

620 kinderen uit Maasbroek hebben gestemd. 370 kinderen willen eerst een zwembad. De anderen willen eerst een speelplein. Hoeveel kinderen willen eerst een speelplein? ______ kinderen

Het boek heeft 102 bladzijden. Joost heeft 90 bladzijden gelezen. Hoeveel bladzijden moet hij nog lezen om het boek uit te krijgen? ______ bladzijden

De ouders van Mario hebben 900 euro. Ze gebruiken dit geld om deze fiets te kopen. Hoeveel geld houden ze over? ______ euro 17

12 62 – 48 = ______

351

Welk getal ligt onder de vlek? ______

Summary

Solution methods for subtraction up to 100

In the last decades of the 20th century, a new approach was developed for teaching how to add or subtract small numbers in primary school. This new approach advises to ground the process of learning to add and subtract in activities such as counting, comparing, and manipulating quantities. In addition, students are to be stimulated to reflect on solution methods of both contextual problems and bare sums, in order to help them in developing a higher level of thinking. This then will have to be accompanied by a directed effort to foster the clever use of number relations and arithmetical properties. The underlying idea is to ground student understanding in contextual problems and foster progressive mathematization of their own mathematical activity in order to ensure the development of both student understanding and proficiency with applications. Between 1990 and 2002, this new approach—which became known as ‘realistic mathematics education’ (RME) in the Netherlands—is worked out in a new generation of textbook series, which are introduced in almost all Dutch primary schools. The result of the innovation, however, was less than expected. The Dutch assessment institute Cito regularly monitors the level of proficiency in various school subjects, such as mathematics, halfway and at the end of primary school. This is a national survey, called PPON, which has as its objective to enable informed discussions about the results of schooling. The results of the third survey (1997) showed that the Dutch students were not as proficient in subtracting two-digit numbers as might have been expected. They were still unsuccessful in tasks such as 62-48, and also seemed to have trouble with solving subtractions that were presented as contextual problems where subtracting does not come to the fore as ‘taking away’. This generated questions about how students proceed when solving bare subtraction problems, or subtraction problems in contexts, and why this causes difficulties. This study on the solution procedures of students is designed to answer those questions. About 1850 individual solutions of about 300 Dutch third-grade students are assembled in the months January and February of 2003 and 2004. These are analyzed to find patterns in the ways students think, symbolize and calculate when solving subtractions that fit their ability level. To do so three groups of students were created, according to their ability; high, middle and low.

353

Chapter 1 describes the background of the study, presents the problem definition, and delineates the research domain. The new approach of primary school mathematics is elaborated against the background of the societal, political, and scientific developments of the 1980’s when the new approach emerges. Earlier, in reaction to the launch of the Sputnik by the USSR, traditional arithmetic instruction had been replaced in many countries by what became known as ‘New Math’. Now the societal relevance of the written algorithms is questioned. Research shows that students have great difficulty in mastering the four basic written algorithms, in addition it shows that students invent informal solution procedures to solve applied problems, instead of applying the standard algorithms. These developments trigger an international reconsideration of what basic mathematical skills the average citizen will need to survive in daily life and work, now that almost everybody owns a pocket calculator and the use of personal computers is growing. In the Netherlands, this reconsideration coincides with the reorganization of lower secondary education, known as ‘Basisvorming’. In this chapter, we describe how mathematics educators, under the auspices of the Dutch Association for Improvement of Mathematics Education (NVORWO), respond to these developments by developing, in their own circles, a new curriculum that fits the national innovation policy for primary education. This new curriculum is elaborated in the ‘Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool’ (Proof of a national program for mathematics education in primary school) that is published in 1990. In spite of the renewal of the textbooks on the basis of the national program, the results of the 3rd PPON in 1997 are disappointing. Too many student fail to reach the intermediary goals for addition and subtraction up to 100 (1000). This implies that they run the risk to keep on lagging behind, especially when the transition is made towards the written algorithms. The PPON results also show that contextual problems, in which subtraction has another meaning than ‘taking away’, generate problems of which the cause is not known. In order to try to explain the results, the research of this study aims at three key aspects of the students’ understanding: understanding how to use numerical symbolizations to represent relations between quantities or magnitudes (relational understanding), understanding how the numbers that have to be operated on can be manipulated (operational understanding), and understanding how to circumvent difficult operations by responding to the opportunities the given numbers offer (strategical understanding). According to the instructional approach that is proposed by the aforementioned Dutch mathematics educators students need to be given the opportunity to construct mathematical knowledge and tools by themselves, under guidance of the teacher. Important in this process are whole class discussions in which students reflect on the different ways they and their peers interpret relations between numbers in contextual problems or bare sums, and how they translate these into mathematical operations. The latter aspect of learning mental arithmetic relates to the fact that linguistic and design features of textual problems are known to influence solution processes in positive or negative ways. Depending on what the student sees or recognizes in the task and the

354

demands of the chosen solution procedure on specific arithmetical knowledge and skills. Chapter 2 offers a historical reconstruction of the development of the national program for mathematics education in primary school. We depict this program as a response tot the international problems of functional mathematical knowledge and – skills in the 1980’s. The Dutch response differs considerably from the ‘Agenda for Action’ of the American National Council of Teachers of Mathematics (2x of?) (NCTM) and the British ‘Cockcroft report’. In contrast to the English speaking countries, mental arithmetic always has had it’s own place in the Dutch curriculum, next to the written algorithms. Within this tradition, the Dutch mathematics educators choose for an integrated program for mental arithmetic and the algorithms. This is elaborated in the following manner. Mental arithmetic is linked to a certain understanding and feel for numbers, which is used as a basis for the development of the written algorithms. Treffers, de Moor and Feijs, elaborate this idea in a series of articles, resulting in an instructional sequence that is part of the aforementioned national program. This instructional sequence starts with the so-called ‘rijgmethode’, or ‘jumping method’, in which numbers are incremented or decremented by jumping with a multiple of 10s and 1s (e.g. 62-48 via 62-40=22, 22-8=14). When the students have mastered this method, they are to shift towards the method of splitting tens and ones; first in combination with the jumping method, (62-48 via 60-40=20; 20+2=22; 22-8=14), then by the method of ‘deficits’ (62-48 via 60-40=20; 2-8 is -6; 20-6=14). The latter method is standardized into a written algorithm, known as ‘column-wise subtraction’, which preludes the traditional standard algorithm. The realistic approach and its theoretical foundation constitute the topic of chapter 3. Since the realistic approach can be seen as one of several international elaborations of what the Dutch call a ‘reconstruction pedagogy’, we add two alternatives of what is internationally denoted ‘reform mathematics’. These two are, the problem-solving approach that builds on cognitive psychology research, and a socio-constructivist approach that was strongly influenced by RME—and which may be called an American version of RME. All three approaches emphasize that students have to construct mathematical concepts and procedures by themselves in a manner that reflects the mathematical activity of the generations of mathematicians who invented our arithmetical system. Students are expected to organize and systematize their own mathematical experiences. In doing so, they develop concepts of numbers, and concepts of addition and subtraction, which give them access to higher levels of numerical thinking and acting. In relation to this, we discern three distinct instructional approaches, which represent three forms of guided reinvention. We show that one may indeed speak of one ‘reconstruction approach’ that is colored in different ways, depending on the choices made on four central points: the instructional focus, the instructional sequencing, the way formalizing is organized, and the role group processes. The Dutch realistic approach, for instance, is characterized by (1) the focus on steering the process of progressively schematizing calculation methods in an efficient manner; (2) the grounding of ways of calculating in modeling contextual problems; (3) formalizing along three levels of thinking, symbolizing and

355

calculating via specific contextual problems; and (4) using the group for fostering the progress of individual students. In chapter 4 the interpretative framework, which is necessary to categorize and analyze the solution procedures of the students, is developed. It consists of a classification system and a sequence of levels of formalization along three forms of mental arithmetic, jumping (rijgen), splitting tens and ones, and reasoning. The latter refers to a deductive form of mental arithmetic in which the result of an addition or subtraction is derived from known addition or subtraction facts. The various forms and levels of jumping, splitting, and reasoning are distinguished on basis of three connected characteristics: the kind of number relations that are used to model the problem, the character of the arithmetic operations, and the way they are symbolized. This framework is based on theories of abstraction that have been found in the literature and documentation of self-invented solution methods of students. Chapter 5 describes the research design and instruments. The research of solution procedures is embedded in two regular research projects of Cito, the 4th PPON halfway primary school held in January-February 2003 and the standardization research for the new tests of the ‘Cito Volgsystem’ (a test system that aims at charting the progress of primary school students on a regular basis), which has been carried out in January-February 2004. In both cases three groups of about 50 students (with a low, average, and high ability respectively) solve a series of tasks that correspond to their ability level have been observed by test assistants. We use the results of the 4th PPON as quantitative empirical data about the students’ proficiency with whole numbers, adding, subtracting, and counting, which are requisite for progressive formalization, and flexibilization of mental arithmetic. We therefore, first sketch the design of the PPON at the beginning of this chapter. Next we describe the design and the instruments of the research on solution procedures. Concerning the latter we have chosen for direct observation, following the successful use of this method in diagnostic research in the area of arithmetic up to one hundred by the Kwantiwijzer project. Which also points to the value of linking observational data to quantitative data for which we use the PPON results. We have chosen to develop three different sets of tasks for the three ability groups (high, average, and low) to allow for tasks that would fit the level of each group, in order to create optimal conditions for the students to show their understanding and skills. The downside of this set up is that the three groups can only be compared via some anchoring items. The main part of the items consists of contextual problems, with a variation of number combinations, in which subtraction has a meaning different from ‘taking away’. This is done, to evoke a broad pallet of solution procedures. The solution procedures of the students are analyzed from three complementary perspectives in three sub-studies. These concern: the methods and forms of mental arithmetic, the handling of the contexts and the numbers in the tasks, and the errors of the students. All solutions are coded on three levels. Following Beishuizen we discern between strategy (direct subtraction, indirect subtraction or indirect addition), and the calculation method (jumping, splitting, reasoning or knowing). The third code indicates the level of formalization.

356

Chapter 6 charts the advancement of the three ability groups in the domain of whole numbers, addition and subtraction up to 100 (respectively 1000), and identifies which of the building blocks that are needed for mental arithmetic are acquired. It shows that there is a strong differentiation both between and within the three ability groups. The 10 percent weakest students were conceptually and instrumentally insufficiently equipped to surpass the elementary level of curtailed counting and jumping, while the 10 percent strongest students mastered arithmetic up to 100 and had acquired the building blocks for solving three-digit additions and subtraction with jumping or splitting. The other students operate on different levels of the postulated learning route, depending on whether they posses the specific knowledge and skills needed for the various forms of jumping, splitting or reasoning. The information given by the teachers about their instruction shows that the measured advancement reflects the common practice in the classrooms. The chapters 7, 8 and 9 describe the patterns found in (i) the methods and forms of mental arithmetic that were used, the way the contexts and numbers were used, and (iii) the errors made by the students. The results show that jumping was the most used method, splitting the second one and reasoning the third—if we do not take into account the solution categories ‘other’ and ‘rest’. The students of the low-ability group use jump methods more often than splitting methods—in this the results differ from the 1980’s when the weaker students used the jumping method less frequently. They further linked their solutions in 8% of the cases directly to a known fact, and they also applied basic forms of reasoning in the same number of the cases. The students of the middle group distinguish themselves by their strong tendency to use the splitting method, which was only successful in 43% of the cases. Overall, the splitting method, with 35% correct in the low-ability group, and 48% correct in the high-ability group, is less effective than the jumping method (L=82%, M=87%, H=91%). The results of the analysis of the data on the forms of jumping, splitting and reasoning, fit with the data on student achievement and the differentiation in levels of formalizing described in chapter 6. They reveal a contrast between the use of insightful and fluent jumping methods at various levels of formalization en the lack understanding of reasoning methods, and especially the splitting method. The patterns in the way contexts and numbers are treated, and information on the calculations that generate wrong answers, offer important clues about the sources of the problems of the students with subtraction up to 100. Jumping is more rewarding than reasoning or splitting, because every student has sufficient understanding and instrumental skills to solve subtraction problems on their own level, independent whether the problem is interpreted as direct subtraction, indirect subtraction or indirect addition. The data reveal a strong tendency to solve contextual problems in two directions, and bare sums primarily in one direction, direct subtraction, which is not always wise. The results of the analysis of the errors illuminate this further. There are three causes for the erroneous answers: incorrect algorithmic operations with tens and ones, insufficient understanding of the splitting or reasoning methods, and the inclination to use indirect addition to solve contextual problems, although this is still to difficult for most students.

357

In chapter 10 we consider the findings, to observe that here is an imbalance that comes to the fore in various ways. The jumping method is used frequently, and with good results. But when the students use different methods, a lack of understanding generates wrong answers, especially when splitting methods are used for direct subtraction or indirect addition. All three ability groups tend to be guided by specific characteristics of contextual problems, which are tied to ‘problem types’ with their own specific solution procedures. Finally, the students who already were behind with addition and subtraction up to 20, do not catch up. The closing chapter 11, focuses on what might move students, who are taught with the modern textbooks, to act as they do, and on why teachers allow them to do so. In addition, the question is addressed, whether or how the resulting contrast between jumping and splitting/reasoning reflects the way the realistic approach is elaborated by the Dutch mathematics educators for subtraction up to 100. The observed imbalance raises questions about the guidance of the progressive mathematization of splitting and reasoning, but also about the final phase of the jumping operations. The data call attention up on three major issues. First, they suggest that the way in which the learning process is structured has to be refined to address the barriers the students meet. Second, delaying the splitting method does not keep the students from experimenting with splitting numbers in tens and ones when solving subtraction problems, and it shows that the jumping method does not prepare them for this. Third, the didactical use of specific types of context problems creates the risk of students developing problem-specific solution methods. Fourth, the use of reflective whole-class discussions, which aim at stimulating individual students to start using more sophisticated solution methods, may contribute to enhancing the difference between students. Based on the results of our research, we advise mathematics educators to reconsider the realistic approach as it is currently worked out for subtraction up to 100, and strengthen it by trying to find a better balance between working on the splitting method and the jump method, together with an effort to enhance the reasoning method, and pay more attention to the ‘big ideas’ such as unitizing and arithmetical properties. This within a classroom culture that activates to work collaboratively on shared mathematical understanding.

358

Curriculum Vitae

Jean-Marie Kraemer voltooide in juni 1968 de opleiding tot onderwijzer op de École Normale te Metz (Frankrijk). Hij begon zijn loopbaan als onderwijzer in scholen in achterstandswijken en met leerlingen uit de Maghreblanden. Hierna sloot hij zijn Franse onderwijscarrière af als leraar basisonderwijs op het Lycée Français te DenHaag, tussen september 1971 en juni 1977. In deze overgangsperiode voltooide hij de avondopleiding MOA-pedagogiek aan de Katholieke Leergangen. Hij studeerde hierop aansluitend Pedagogiek aan de Rijksuniversiteit van Leiden, specialisatie Onderwijskunde. Zijn Nederlandse loopbaan vangt aan met de functie van student-assistent binnen de ontwikkelgroep Rekenen & Wiskunde van het project Onderwijs en Sociaal Milieu te Rotterdam. Daar ontwikkelt hij tussen 1977 en 1986 de leergang meten-meetkunde van de methode Rekenen & Wiskunde en verzorgt hij de scholingsactiviteiten op dit gebied. Na afloop van dit project, onderzocht hij tussen 1986 en 1989, op de Erasmus universiteit te Rotterdam, de invloed van ‘onderwijsfactoren’ op de prestaties van ‘allochtone’ leerlingen bij taal en rekenen, in ‘zwarte’ scholen van de Randstad. Van 1989 tot medio 2011 werkt hij als wetenschappelijke medewerker Rekenenwiskunde op de afdeling Basis- en Speciaal Onderwijs van Cito, te Arnhem. Hij richt zich daar op drie activiteitengebieden: de periodieke peiling van het rekenniveau (PPON) medio jaargroep 5 en in het speciaal onderwijs, diagnostisch onderzoek en ontwikkelingsactiviteiten ten behoeve van de leerlingenzorg en scholing ‘leerlingenzorg’ en experimenten rond de inzet van het Cito-volgsysteem bij de integratie van scholing met de verbetering van de adaptief plannen en lesgeven. Sinds augustus 2011 woont hij in Portugal. Hij bouwt daar voort op zijn rol van buitenlands adviseur en scholer bij het project Desenvolvendo o sentido du número (ontwikkeling van gecijferdheid).

359

Oplossingsmethoden voor aftrekken tot 100

Recommend Documents