Oplossen van een vergelijking van de vorm ax 3 + bx 2 + cx + d =0

CARDANO’S METHODE (door ing. P.H. Stikker)

Oplossen van een vergelijking van de vorm ax3 + bx2 + cx + d =0

Versie: 18 feb. 2004

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

LET OP ER ZULLEN NOG ENKELE VOORBEELDEN LATER WORDEN TOEGEVOEGD EN IK HEB HET DOCUMENT NOG NIET ZELF VOOR 100% DOORGENOMEN. GRAAG VERNEEM IK REACTIES VIA [email protected] VOOR ONDUIDELIJKHEDEN, OPMERKINGEN EN/OF FOUTEN.

Inleiding Dit document is opgesteld om het bewijs en de methode voor het oplossen van een derdegraads vergelijking van de vorm ax3 + bx2 + cx + d =0 op te lossen aan de hand van de methode van Cardano. Ik heb dit document voornamelijk opgesteld aan de hand van de stappen die beschreven zijn op http://thesaurus.maths.org/dictionary/map/word/621. Hier staat op zich hetzelfde, alleen veel minder uitgewerkt. Voor sommige zullen enkele genomen stappen volstrekt overbodig lijken, voor andere misschien niet. In de bijlagen staan sommige stappen nog zelfs verder uitgewerkt. Ik wens u veel leesplezier. Hoogachtend,

ing. P.H. Stikker Wat is nieuw in deze versie Het bleek dat in de vorige versie een ernstige fout zat in het gedeelte ‘alles in 1 formule’ (met dank aan P.B. Hulshof voor het constateren hiervan). Deze fout is nu eruit en de gevonden formule’s zijn nu kloppend (gecheckt met Maple). Verder wordt er nu ook ingegaan waarom er 6 oplossingen zijn en niet 3 en tevens hoe van een derdemachts wortel alle drie de oplossingen kunnen worden gevonden. Als laatste zijn er in de bijlagen nog twee voorbeelden toegevoegd op verzoek. Hopelijk is zo nu alles behandeld en zal dit de laatste versie zijn J.

2 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Index Inleiding....................................................................................................................... 2 Index ........................................................................................................................... 3

Het bewijs / de methode.............................................................................................. 4 De methode ................................................................................................................ 8 Alles in 1 formule. ..................................................................................................... 10 De drie oplossingen............................................................................................... 25 Waarom er niet 6 maar twee oplossingen zijn.… .................................................. 26 Cardano werkt niet.................................................................................................... 30 Een voorbeeld ....................................................................................................... 30 Oorzaak probleem................................................................................................. 31 Probleem oplossen................................................................................................ 32

Bijlagen ..................................................................................................................... 33 1. Derdemacht wortels........................................................................................... 33 1.1. De oplossingen van 3 h .............................................................................. 33 1.2. Vereenvoudigen van derdemacht wortels................................................... 37 2. Uitgeschreven stappen...................................................................................... 38 3. Een uitgewerkte voorbeelden ............................................................................ 48 3.1. ‘Beknopt’ Voorbeeld 1................................................................................. 48 3.2. Voorbeeld 2 ................................................................................................ 52


Het bewijs / de methode We gaan dus een vergelijking van de vorm: ax3 + bx2 + cx + d =0 oplossen

1. Wegwerken van het kwadraat. We beginnen met het definiëren van een nieuwe variabele y: b y=x+ ofwel: 3a b x=y– 3a Dit invullen in de vergelijking geeft: 3

2

b  b  b     a y −  + b y −  + c y −  + d = 0 3a  3a  3a    

(v1)

Eerst maar de haakjes wegwerken: b   y−  3a  

2

b  b   =  y −  y −  3a  3a   2b b2 y+ 2 = y2 − 3a 9a

(1) Zie ook bijlage 2.1.

En voor: b   y−  3a  

3

2

b  b   =  y −  y −  3a  3a   b  2b b2  =  y −  y 2 − y+ 2 3a  3a 9a 

  

2b 2 b 2 b 2 2b 2 b3 y + 2 y− y + 2 y− 3a 3a 9a 9a 27 a 3 2b 2 b 2 b 2 2b 2 b3 = y3 − y − y + 2 y+ 2 y− 3a 3a 9a 9a 27 a 3 3b 2 3b 2 b3 3 = y − y + 2 y− 3a 9a 27a 3 b b2 b3 = y3 − y2 + 2 y − (2) a 3a 27a 3 = y3 −

Zie ook bijlage 2.2.


De resultaten (1) en (2) gebruiken in vergelijking (v1) en ook maar meteen vermenigvuldigen met het bijbehorende coëfficiënt (a, b en c): b b2 b3 2b b2 cb 2 ay 3 − a y 2 + a 2 y − a + by − b y + b + cy − +d = 0 2 3 a 3a 3a 3a 27 a 9a Vereenvoudigen: ab 2 ab 3 2b 2 b3 cb 2 ay 3 − by 2 + 2 y − + by − y + + cy − +d= 0 2 3 3a 3a 3a 27 a 9a ofwel: b2 b3 2b 2 b3 cb 2 ay 3 − by 2 + y− + by − y + + cy − +d=0 2 2 3a 3a 3a 27a 9a Zie ook bijlage 2.3. -by2 + by2 = 0 dus die kunnen we eruit halen: b2 b3 2b 2 b3 cb ay 3 + y− − y + + cy − +d=0 (v2) 2 2 3a 3a 3a 27 a 9a Nu even ordenen, eerst maar alles met een enkele y bijelkaar en vereenvoudigen:   b 2 2b 2 b2 2b 2 y + cy y− =  − + c  y 3a 3a   3a 3a  b 2 − 2b 2  =  + c  y  3a  2  b  =  − + c  y  3a   b2  =  c −  y 3a   Hetzelfde voor alles zonder y: b3 b3 cb − + − +d 2 2 3a 27 a 9a

b3 3b 3 cb + − +d 2 2 3a 27 a 27 a 2b 3 cb = − +d 2 3a 27a

(3)

= −

(4)

Opmerking: hier is gebruik gemaakt van:

b3 b3 3 3b 3 = = 9a 2 9a 2 3 27a 2


De resultaten van (3) en (4) nu invoeren in vergelijking (v2) krijgen we zo:  b2  cb 2b 3 (v3) ay 3 +  c −  y + − +d = 0 2 3a  3a 27 a  Beide kanten delen door a geeft:  b2  cb 2b 3  c −  − +d 2 a 3   a 3 3 a 27 y+ y + =0 a a Nu vervangen: b2 c− 3a = p a

cb 2b 3 − +d 2 3a 27 a =q a

en

En zo krijgen we nu: y 3 + py + q = 0

(v4)

Conclusie Met de definities van: cb 2b 3 b2 − +d 2 b 3 a 3 a a 27 en p= en q= y=x+ 3a a a Kunnen we een vergelijking van de vorm ax3 + bx2 + cx + d =0 ombuigen naar: y 3 + py + q = 0 waardoor het kwadraat is verdwenen. c−


2. De derde macht wegwerken Tijd voor 2 nieuwe variabele: p uv = ofwel: 3uv = p 3 en y=u–v Invullen in de vergelijking (v4) geeft: 3 y 3 + py + q = (u − v ) + 3uv (u − v ) + q = u − 3u v + 3uv − v + 3u v − 3uv + q = u 3 − v3 + q 3

2

2

3

2

2

=0 =0 =0

(v5) zie ook bijlage 2.4.

Maar ook geldt natuurlijk: p p uv = => v = 3 3u Dit nu invoeren in (v5): 3

u −v +q 3

3

= = = =

 p u −  +q  3u  p3 u3 − +q 27u 3 p3 u 3u 3 − u 3 + qu 3 27u 3 2 p3 u3 − + qu 3 27 3

( )

=0 =0 =0 =0

Vervangen we u3 door bv. g dan krijgen we: p3 g 2 + qg − =0 (v6) 27 Hierin zijn dus q en p reeds te berekenen (constant) en is dit dus een kwadratische functie wat met de abcD formule is op te lossen.


De methode De te ondernemen stappen zijn dus eigenlijk als volgt:

cb 2b 3 b2 − +d 2 a 3 3 a a 27 Bereken p en q, met = p en =q a a p3 op te lossen met de abcD-formule (zal 0, 1 of 2 Bereken g door g 2 + qg − 27 antwoorden geven). Bereken u door middel van: u = 3 g (zal 3 antwoorden opleveren) p Bereken v met v = 3u Bereken y met y = u – v b Bereken x met x = y – 3a c−

1. 2. 3. 4. 5. 6.



Alles in 1 formule. Nu we toch hebben aangetoond dat deze methode werkt kunnen we alles ook in 1 formule krijgen. cb 2b 3 b2 − +d c− 2 3a 3a = p en 27 a 1. Bereken p en q, met =q a a p3 op te lossen met de abcD-formule (zal 0, 1 of 2 2. Bereken g door g 2 + qg − 27 antwoorden geven). 3. Bereken u door middel van: u = 3 g (zal 3 antwoorden opleveren) p 4. Bereken v met v = 3u 5. Bereken y met y = u – v b 6. Bereken x met x = y – 3a

Stap 1 invoeren in stap 2 We hebben: b2 c− 3a p= a

cb 2b 3 − +d 2 3a q = 27a a

Dus oplossen: p3 = 0 staat nu gelijk aan: g2 + qg 27 3

 b2  c−  3a    a  2b 3 cb − +d   2   =0 2 3 a 27 a g + g− a 27

Dit is nog te vereenvoudigen want: 2b 3 cb − +d 2 2b 3 − 9acb + 27da 2 3a 27 a = a 27a 3 Zie ook bijlage 2.5. En verder nog:  b2  c−  3a    a      27

3

=

(3ca − b 2 ) 3 ⋅ 729a 6 10


Zie ook bijlage 2.6. Ofwel we hebben nu: 3

 b2  c−  3a    a  2b 3 cb − + d   2  =0 3a g− g 2 + 27 a a 27 is hetzelfde als: g2 +

2b 3 − 9acb + 27 da 2 (3ca − b 2 ) 3 g − =0 27a 3 729a 6

Nu de abcD-formule invullen, met de juiste coefficienten: − b ± b 2 − 4ac echter we hebben reeds een a, b en c, dus even vervangen door 2a andere variabelen: a => k, b => m, c => n − m ± m 2 − 4kn en dus met: 2k k=1 2b 3 − 9acb + 27da 2 27a 3 (3ca − b 2 ) 3 n= − 729a 6

m=

Dan krijgen we dus:

g1,2

2

 2b 3 − 9acb + 27 da 2 2b 3 − 9acb + 27 da 2 − ±  27 a 3 27 a 3  = 2

  (3ca − b 2 ) 3   − 4 −  729a 6   

 2b 3 − 9acb + 27da 2 2b 3 − 9acb + 27 da 2  − ± 27 a 3 27a 3  = 2

 4(3ca − b 2 ) 3  + 729a 6 

2

Dat wordt weer vereenvoudigen:

 2b 3 − 9acb + 27da 2  27a 3 

  

=

(2b

=

(2b

2

3

− 9acb + 27 da 2

(27a )

)

2

3 2

3

)( (a )

− 9acb + 27da 2 2b 3 − 9acb + 27 da 2 27

2

)

3 2


=

4(3ca − b 2 ) 3 729a 6

4b 6 − 36cab 4 + 108b 3 da 2 + 81c 2 a 2 b 2 − 486cba 3 d + 729d 2 a 4 729a 6

4(27c 3 a 3 − 27c 2 a 2 b 2 + 9cab 4 − b 6 ) = 729a 6 =

108c 3 a 3 − 108c 2 a 2 b 2 + 36cab 4 − 4b 6 729a 6


En dus bijelkaar: 4b 6 − 36cab 4 + 108b 3 da 2 + 81c 2 a 2 b 2 − 486cba 3 d + 729d 2 a 4 108c 3 a 3 − 108c 2 a 2 b 2 + 36cab 4 − 4b 6 + g1,2 = 729a 6 729a 6 4b 6 − 36cab 4 + 108b 3 da 2 + 81c 2 a 2 b 2 − 486cba 3 d + 729d 2 a 4 + 108c 3 a 3 − 108c 2 a 2 b 2 + 36cab 4 − 4b 6 = 729a 6 =

108b 3 da 2 − 27c 2 a 2 b 2 − 486cba 3 d + 729d 2 a 4 + 108c 3 a 3 729a 6

=

4b 3 da 2 − c 2 a 2 b 2 − 18cba 3 d + 27d 2 a 4 + 4c 3 a 3 27a 6

=

4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 27a 4

Ofwel:

g1,2

 2b 3 − 9acb + 27da 2 2b 3 − 9acb + 27 da 2  − ± 27 a 3 27a 3  = 2

2

 4(3ca − b 2 ) 3  + 729a 6 

2b 3 − 9acb + 27 da 2 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a ± 27 a 3 27a 4 = 2 Verder is nog te vereenvoudigen: −

4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 27a 4

= ±

1 1 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 2 a 9 Zie ook bijlage 2.7.


En dus: 2b 3 − 9acb + 27da 2 1 1 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a ±± 2 3 9 27 a a = 2 3 2 3 − 2b + 9acb − 27 da ± 3a 3 4b d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a = 54a 3 Zie ook bijlage 2.8. −

g1,2

Ik wil nu even om het overzichtelijk te houden een tijdelijke variabele lanceren, die ik even j noem en als volgt definier: j=

4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a

Dus hebben we nu voor g: − 2b 3 + 9acb − 27da 2 + 3aj 3 − 2b 3 + 9acb − 27 da 2 − 3aj 3 en 54a 3 54a 3 eerst verder met de ‘+’ variant.

Stap 2 invoeren in Stap 3 u

=

3

g

=

3

− 2b 3 + 9acb − 27 da 2 + 3aj 3 54a 3

=

1 3 2916 3 − 2b 3 + 9acb − 27 da 2 + 3aj 3 54a 3

=

2916 3 − 2b 3 + 9acb − 27da 2 + 3aj 3 54a

Om het straks allemaal enigzinds overzichtelijk te houden even weer een nieuwe variabele lanceren: t=

3

− 2b 3 + 9acb − 27da 2 + 3aj 3

en zo krijgen we dan: u=

t 3 2916 54a


Stap 3 invoeren in Stap 4 v

=

p 3u

b2 3a a = 3 t 2916 3⋅ 54a c−

=

18ac − 6b 2 at 3 2916 Zie ook bijlage 2.9.

Stap 4 invoeren in Stap 5 y

=u–v =

t 3 2916 18ac − 6b 2 − 3 54a at 2916

(t =

3

2916

)

2

3

54at 2916

(t =

3

(t

3

=

2916

)

2

−

(

54 18ac − 6b 2

)

3

54at 2916

(

− 54 18ac − 6b 2

)

3

54at 2916

)

2

2916 − 972ac + 324b 2 54at 3 2916


Stap 5 invoeren in Stap 6 x

b 3a

=y–

(t

=

3

)

2

2916 − 972ac + 324b 2 3

54at 2916

−

b 3a

Dit maar eens gaan vereenvoudigen. Er geldt natuurlijk: t

(

3

)

2

2916

= t2

(

)

2

3

2916

=

3

2916 2

=

3

8503056

Verder ook :

(

3

2916

)

2

= 162 3 2 en dus: x

=

(t

3

)

2

2916 − 972ac + 324b 2 3

54at 2916

=

162t 2 3 2 − 972ac + 324b 2 3

54at 2916

−

b 3a

−

b 3a

−

b 3a

−

b 3a

Verder nog: 3 2916 = 93 4 En dus: x

=

162t 2 3 2 − 972ac + 324b 2 3

54at 9 4

=

162t 2 3 2 − 972ac + 324b 2 3

at 486 4

=

t 2 3 2 − 6ac + 2b 2 3

3at 4

−

b 3a

Omdat t ook een derdemacht wortel is geldt: t3 4

= 3

=

3

4 3 − 2b 3 + 9acb − 27da 2 + 3aj 3

(

4 − 2b 3 + 9acb − 27da 2 + 3aj 3 3

)

− 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12aj 3

Laten we k nu definieren als: 16 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

k = 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12aj 3

x

=

t 2 3 2 − 6ac + 2b 2 3at 3 4

−

b 3a

=

t 2 3 2 − 6ac + 2b 2 b − 3ak 3a

=

t 2 3 2 6ac − 2b 2 b − − 3ak 3ak 3a

=

=

t23 2 3at 3 4 t3 2 3a 3 4

−

−

6ac − 2b 2 b − 3ak 3a

6ac − 2b 2 b − 3ak 3a

=

t 3 4 6ac − 2b 2 b − − 3a 2 3ak 3a

=

k 6ac − 2b 2 b − − 6a 3ak 3a

=

k 2(3ac − b 2 ) b − − 6a 3ak 3a

Nu eens alles terug invullen geeft: 3 2 2 2 2 3 k = 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12aj 3 en j = 4b d − c b − 18cbad + 27 d a + 4c a

Dus samen: k = 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3

en dus:


x 3

=

2(3ac − b 2 ) b − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 − − 6a 3a 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 3a


Maar er zijn toch drie oplossingen? Er geldt algemeen (zie bijlage 1): 3

h oplossing 1=

3

h

oplossing 2 =

3 −3 h h +i 3 2 2

oplossing 3 =

3 −3 h h −i 3 2 2

De tweede oplossing: Voordat we verder gaan, laten we even een vereenvoudiging toepassen: h = − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 3 = − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12aj 3 En dus:

h 2(3ac − b 2 ) b − − 6a 3a 3a 3 h

3

x=

h 2(3ac − b 2 ) b => − − 6a 3a 3a 3 h

3

3 −3 h h +i 3 2 2 − 6a

2(3ac − b 2 )

− h h  3a +i 3 2   2 3

3

−

b 3a

De eerste term weer bekijken 3 3 h −3 h h −3 h +i 3 i 3 2 2 = 2 + 2 6a 6a 6a

=

3 −3 h h +i 3 12a 12a


De tweede term 2 3ac − b 2 2 3ac − b 2 = 3 3 −3 h − 3a 3 h h h   + i 3 a 3 3a +i 3  2 2 2   2

(

)

=

=

=

(

)

(

)

2 3ac − b 2

− 3a h + i3a 3 3 h 2 3

(

4 3ac − b 2

− 3a h + i3a 3 3 h

(

)

4 3ac − b 2 3a 3 h − 1 + i 3

(

(

4 3ac − b 2 =

)

3

(

)

) 14 (− 1 − i 3 )

3a 3 h − 1 + i 3

) 14 (− 1 − i 3 )

(3ac − b )(− 1 − i 3 ) 2

=

=

=

=

3a 3 h − 3ac + b 2 − 3aci 3 + b 2 i 3 3a 3 h − 3ac + b 2 3a 3 h − 3ac + b 2 3

3a h

−

3aci 3 + b 2 i 3 3a 3 h

(3ac + b )i − 2

3

3

3a h


En dus krijgen we samen: x=

3 −3 h h  − 3ac + b 2 (3ac + b 2 )i 3  b − +i 3 − −  3a 12a 12a  3a 3 h 3a 3 h 

=

3 −3 h h 3ac + b 2 (3ac + b 2 )i 3 b +i 3 + + − 12a 12a 3a 3a 3 h 3a 3 h

2 2 3 3 = − h + 3ac + b − b + i 3  h + 3ac + b  12a 12a 3a 3a 3 h 3a 3 h 

   

2 2 3 3  = − h + 3ac + b − b + i 1 3 h + 2(3ac + b )   3 3 12a 3a 2  6a 3a h 3a h 

Nu h weer invullen geeft:

− 3 h 3ac + b 2 b 1  3 h 2(3ac + b 2 )   = + − + i 3 + 2  6a 12a 3a 3a 3 h 3a 3 h  − 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 3ac + b 2 b + − + 12a 3a 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 3a

i

 1  3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 2(3ac + b 2 )  3 +  2 6a 3a 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3  


De derde oplossing 3 −3 h h h 2(3ac − b 2 ) b => −i 3 − − 3a 2 2 6a 3a 3 h

3

3 −3 h h −i 3 2 2 − 6a

2(3ac − b 2 )

− h h  −i 3 3a 2   2 3

3

−

b 3a

De eerste term weer bekijken 3 3 −3 h h h −3 h −i 3 i 3 2 2 = 2 − 2 6a 6a 6a

=

3 −3 h h −i 3 12a 12a


De tweede term 2 3ac − b 2 2 3ac − b 2 = 3 3 −3 h − 3a 3 h h h   − 3 3 i a 3a −i 3  2 2 2   2

(

)

=

=

=

(

)

(

)

2 3ac − b 2

− 3a h − i3a 3 3 h 2 3

(

4 3ac − b 2

− 3a h − i3a 3 3 h

(

)

4 3ac − b 2 3a 3 h − 1 − i 3

(

(

4 3ac − b 2 =

)

3

(

)

) 14 (− 1 + i 3 )

3a 3 h − 1 + i 3

) 14 (− 1 + i 3 )

(3ac − b )(− 1 + i 3 ) 2

=

=

=

=

3a 3 h − 3ac + b 2 + 3aci 3 − b 2 i 3 3a 3 h − 3ac + b 2 3a 3 h − 3ac + b 2 3

3a h

+

+

3aci 3 − b 2 i 3 3a 3 h

(3ac − b )i 2

3

3

3a h


En dus krijgen we samen: x

=

3 −3 h h  − 3ac + b 2 (3ac − b 2 )i 3  b − −i 3 − +  3a 12a 12a  3a 3 h 3a 3 h 

=

3 −3 h h 3ac − b 2 (3ac − b 2 )i 3 b −i 3 + − − 12a 12a 3a 3a 3 h 3a 3 h

2 2 3 3  = − h + 3ac − b − b − i 3  h + 3ac − b   12a 3a 3a 3 h 3a 3 h   12a 2 2 3 3  = − h + 3ac − b − b − i 1 3  h + 2(3ac − b )   3 3 12a 3a 2  6a 3a h 3a h 

Nu h weer invullen geeft:

− 3 h 3ac − b 2 b 1  3 h 2(3ac − b 2 )   = + − − i 3 + 2  6a 12a 3a 3a 3 h 3a 3 h  − 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 3ac − b 2 b + − − 12a 3a 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 3a

i

 1  3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 2(3ac − b 2 )  3 +  2 6a 3a 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3  


De drie oplossingen 3

x=

x=

i

− 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 3ac + b 2 b + − + 3 3 2 3 2 2 2 2 3 12a 3 a 3a − 8b + 36acb − 108da + 12a 4b d − c b − 18cbad + 27d a + 4c a 3

 1  3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 2(3ac + b 2 )  + 3  3 2 6a 3 2 3 2 2 2 2 3 3a − 8b + 36acb − 108da + 12a 4b d − c b − 18cbad + 27d a + 4c a 3  

x=

i

2(3ac − b 2 ) b − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 − − 6a 3a 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 3a

− 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 3ac − b 2 b + − − 12a 3a 3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 3a

 1  3 − 8b 3 + 36acb − 108da 2 + 12a 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 2(3ac − b 2 )  3 +  3 2 6a 3 2 3 2 2 2 2 3 3a − 8b + 36acb − 108da + 12a 4b d − c b − 18cbad + 27d a + 4c a 3  


Waarom er niet 6 maar twee oplossingen zijn.… We hebben nu de ‘+’ variant van g genomen. De ‘-‘ variant zal dezelfde antwoorden geven. Het probleem ontstond bij de oplossingen voor: p3 g 2 + qg − =0 27 Dit geeft algemeen als oplossing 4 p3 4 p3 2 −q+ q + −q− q + 27 27 g1 = en g2 = 2 2 2

Als we nu verder gaan met g1 dan wordt u =

3

g =

3

En voor v v=

p

p p = = 3 3u 3 g 3

3

− q + q2 +

4 p3 27

2


− q + q2 + 2

4 p3 27

v3

p3

=

− q + q2 + 27

4 p3 27

2 2 p3

=

− 27 q + 27 q 2 +

4 p3 27

3  − q − q2 + 4 p  27 2  = 3  27   − q + q 2 + 4 p  − q −  27  

 3 p   q2 +

4 p3 27

   

3   − q − q2 + 4 p  p3 27  2  = 27 4 p3 2 2 q −q − 27

 4 p3 2 − q − q 2 +  27 =  − 4 p3 − q − q2 + =

 3 p  

4 p3 27

−2

4 p3 q+ q + 27 = 2 2

En wordt dus y = u – v gelijk aan:

3

− q + q2 + 2

4 p3 4 p3 2 q + q + 27 − 3 27 2


Als we hetzelfde verhaal nu doen voor g2 krijgen we:

u=

v=

3

g =

3

− q − q2 +

4 p3 27

2 p

p p = = 3 3u 3 g

− q − q2 +

3

3

v3

2

p3

=

− q − q2 + 27

=

4 p3 27

4 p3 27

2 2 p3

− 27 q − 27 q 2 +

4 p3 27

3  − q + q2 + 4 p  27 2  = 3  27   − q − q 2 + 4 p  − q +  27  

 3 p   4 p3 q + 27 2

   

3   − q + q2 + 4 p  p3  27  2  = 27 4 p3 q2 − q2 − 27

 4 p3 2  2 −q+ q +  27 =  − 4 p3 − q + q2 + =

 3 p  

4 p3 27

−2


En is dus y = u – v nu: 4 p3 4 p3 2 −q− q + −q+ q + 27 − 3 27 2 −2 2

3

Dus de twee verschillende oplossingen zijn dus:

3

− q + q2 + 2

4 p3 4 p3 2 q + q + 27 − 3 27 en 2

3

− q − q2 + 2

4 p3 4 p3 2 − q + q + 27 − 3 27 −2

Maar deze zijn aan elkaar gelijk: 3

− q + q2 + 2

4 p3 4 p3 4 p3 4 p3 2 2 2 q + q + − q + q + − q − q + 27 − 3 27 = − 3 27 + 3 27 2 −2 2

=

3

− q − q2 + 2

4 p3 4 p3 2 − q + q + 27 − 3 27 −2

Dus zullen de oplossingen of we nu g1 of g2 gebruiken uiteindelijk ook hetzelfde zijn.


Cardano werkt niet Een voorbeeld Neem de volgende vergelijking: 0 = 3x3 + 18x2 + 36x + 24 Ofwel: a=3 b = 18 c = 36 d = 24 Dan geldt: 18 2 3⋅ 3 = 0 p= 3 2 ⋅ 183 36 ⋅ 18 − + 24 2 3 3 ⋅ 27 3 ⋅ q= =0 3 36 −

Alhoewel dit reeds merkwaardig is, geeft dit nog geen problemen. 0 = g 2 + qg −

p3 = g2 27

g=0 Ook tot nu toe nog geen problemen. u= 3 0 =0 Kan ook nog net, maar: p 0 = = onbepaald. v= 3u 0 We hebben dus een probleem.


Oorzaak probleem Het probleem ontstaat omdat u = 0, ofwel: 3 g = 0, ofwel g = 0 Dus: p3 2 g + qg − 0= 27 g = 0 invullen geeft: p3 − 0 = 27 Uitwerken geeft: p=0 Nu de definitie van p gebruiken geeft: b2 c− 3a 0= a Ofwel: b2 0=c− 3a Oplossen met de abcD-formule geeft: b = 3 ca

of

b = − 3 ca

In het voorbeeld is dit inderdaad waar: b = 3 ca b = 3 3 ⋅ 36 b = 18 En inderdaad konden we de vergelijking niet oplossen.


Probleem oplossen Als Cardano dus niet werkt, weten we dat geldt: b = 3 ca of − b = 3 ca Ofwel, we hebben dus een vergelijking van de vorm: ax 3 + x 2 3 ca + cx + d = 0 We gebruiken gewoon opnieuw: cb 2b 3 b2 − +d c− 2 3a 3a = p en 27 a =q a a Maar nu dus: p= en

( c− (

3 ca 3a a

2 3 ca 27 a 2 q=

)

3

)

2

=

(

( c−

3 ca 3a a

)

2

=

c−

3ca 3a = c − c = 0 a a

)

c 3 ca +d − c 3 ca 3a = +d a 9a

−

En dus hebben we een vergelijking van de vorm: y3 + q = 0 En geldt er dus: y =3 −q Als dan y eenmaal gevonden is geldt natuurlijk nog steeds dat: b x=y– 3a In dit geval dus: 3 ca x= y− 3a In het voorbeeld is q = 0 en krijgen we dus als oplossing: 3 36 ⋅ 3 x = 0− = −2 3⋅a


Bijlagen 1. Derdemacht wortels 1.1. De oplossingen van

3

h

Ieder getal valt als een complex getal te noteren, zelfs als het geen complex getal is. a + bi Nu valt ieder complex getal ook met poolcoordinaten te schrijven. Poolcoordinaten is een andere manier om een punt aan te geven. Normaal gebruikt men x en y. Bij poolcoordinaten gebruikt men de lengte van de vector (r) en de hoek met de positieve x (φ ) as. Een complex getal wordt tevens aangegeven door middel van het complexe vlak. Waarin het reele gedeelte van het complexe getal (a) op de horizontale as wordt aangegeven, en het imaginaire gedeelte (b) op de verticale as. Hieronder een grafische weergave:

Het mag duidelijk zijn dat dus: r = a2 + b2 en tan φ =

b a

En tevens:

a = r cos(φ ) b = r sin(φ )

en dus:

a + bi = r cos(φ ) + ri sin(φ )

= r (cos(φ ) + i sin(φ ) )


Vervolgens hebben we nog een laatste herschrijving nodig. In de reele getallen kennen we de exponentiele functie f ( x) = e x met de volgende eigenschappen: 1) f (0) = 1 2) f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) ofwel e x1 ⋅ x2 = e x1 ⋅ e x2 3) f ( x ) > 0 , in het bijzonder f ( x ) ≠ 0 Dan bekijken we nu de functie E van C naar C, gedefinieerd door: Alz z = a + bi dan E ( z ) = e x (cos b + i sin b ) . Voor reele waarden van z geldt dat het imaginaire gedeelte (Im(z)) gelijk is aan 0, ofwel b= 0. Dus als z een element is van de reele getallen volgt precies: z = a => E (a ) = e a (cos 0 + i sin 0) = e a (1 + 0) = e a Laten we de eigenschappen nu eens gaan testen. 1) E (0) = e 0 (cos 0 + i sin 0) = e 0 (1 + 0) = 1(1 + 0) = 1 2) E ( z1 + z 2 ) = e a + a (cos(b1 + b2 ) + i sin (b1 + b2 )) = e a e a (cos b1 cos b2 − sin b1 sin b2 + i (sin b1 cos b2 + sin b2 cos b1 )) = e a (cos b1 + i sin b1 )e a (cos b2 + i sin b2 ) = E (z1 ) ⋅ E (z 2 ) Voor de derde eigenschap kunnen we gebruik maken via een bewijs uit het ongerijmde. 1

1

2

2

1

2

als E (z ) = 0 dan moet gelden e a (cos b + i sin b ) = 0. en dus moet dan cos b + i sin b = 0 Maar dan moet ook gelden: i sin b = − cos b . Maar dat kan niet omdat we nu links een complex getal hebben staan en rechts niet. Er is dus voldaan aan alle voorwaarden, dus we kunnen definieren: e z = E (z )

Voor een (zuiver) imaginair getal z geldt dan dus E (iy ) = e 0 (cos y + i sin y ) = cos y + i sin y => e iy = cos y + i sin y En dus nog algemener: r (cos(φ ) + i sin(φ ) ) = re iφπ a + bi = r (cos(φ ) + i sin(φ ) ) = re iφπ


Dan nu eindelijk de oplossing. De algemene oplossing voor z n = c met c = a + bi wordt dan: n

z = re

(φ + 2 kπ )i

1 n

= r e

 φ 2 kπ   + i n n 

met k = 0.. n – 1 In ons geval is k = 3, dus: 1

 φ 2 kπ   + i 3 

z 3 = r 3 e 3

met k = 0..2 Voor k = 0 1 3

r e

φ i 3

= r 3 (e φi )3 1

1

1

= r 3 (cos(φ ) + i sin(φ )) 3 1

= (r (cos(φ ) + i sin(φ ) ))3 1

= (a + bi )3 1

Voor k = 1 1

 φ 2 kπ   + i 3 

r 3 e 3

1

 φ 2π   + i 3 

= r 3 e 3 1

φ

= r 3e 3

i+

1 1 φi 3 3

2π i 3

= r e e

2π i 3

= r 3 (eφi )3 e 1

1

2π i 3

= (a + bi )3 e 1

2π i 3

1 = (a + bi )3  cos 2π  + i sin  2π  

 3 



 3 

1  = (a + bi ) 3  − 1 + i 3   

 2

(a + bi ) 3 = −

2 

1

2

+ i(a + bi ) 3 1

3 2


Voor k = 3 1

 φ 2 kπ   + i 3 

 φ 4π   + i 3 

1

r 3 e 3

= r 3 e 3

1 φ 4π i+ i 3 3 3

= r e 1

φi

1

4π

= r 3e 3e 3

i

4π

= r 3 (eφi )3 e 3 1

1

i

4π

= (a + bi )3 e 3 1

i

1 = (a + bi )3  cos 4π  + i sin  4π  

 3 



 3 

1  = (a + bi )3  − 1 − i 3   

 2

(a + bi ) 3 = −

2 

1

2

− i (a + bi )3 1

3 2

De drie oplossingen zijn dus:

(a + bi ) , − (a + bi ) 3 1

1 3

2

(a + bi ) 3 − i (a + bi )13 3 3 en − 2 2 2 1

+ i(a + bi )

1 3

Als b = 0 krijgen we dus: 1 1 3

a , −

3

a + ia 2

1 1 3

1

3 a3 3 en − − ia 3 2 2 2

ofwel: 1 3

3

3 3 a 3 a3 en − a, − +i a − i3 a 2 2 2 2


1.2. Vereenvoudigen van derdemacht wortels We willen dus eigenlijk

3

p + qi herschrijven naar iets met a + bi

Er geldt algemeen = a 3 − 3ab 2 + I 3a 2 b − b 3 (a + bi )3

(

)

Er moet dus gelden: a 3 − 3ab 2 =p En dus: b= ±

a3 − p 3a

Tevens moet dan ook gelden: 3a 2 b − b 3

(

)

= b 3a 2 − b 2 = q

Als er een ‘mooie’ oplossing is dan moet a een deler zijn van p. De methode is dus om alle delers (zowel positief als negatief) van ‘a’ in te vullen en te controleren of deze voldoet aan de voorwaarden.


2. Uitgeschreven stappen 2.1. b   y−  3a  

2

b  b   =  y −  y −  3a  3a   2b b2 y+ 2 = y2 − 3a 9a

Als we hebben (a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd Neem maar bijvoorbeeld: (5 – 2)(4 – 3) = 5·4 – 5·3 – 2·4 + 2·3 = 20 – 15 – 8 + 6 =5–8+6 = -3 + 6 =3 En inderdaad (5 – 2)(4 – 3) = 3·1 = 3 Nu hetzelfde doen maar dan met: b  b  b b b b  − y+ = yy − y  y −  y −  3a 3a 3a 3a 3a  3a   Nu geldt dat yy = y2 b  b b  b −y − y = − y +  3a 3a  3a 3a  b = − y2 (omdat t + t = 2t) 3a 2b b ab = −y (omdat a = ) 3a c c En het laatste deel: b b bb = 3a 3a 3a3a b2 = 3 ⋅ 3aa b2 = 9a 2 Dus alles tezamen geeft dit nu: b  b  2b b2  2 y − y − = y − y +    3a 3a  3a  9a 2 


2.2. Deze bijlage behandeld de stappen die genomen zijn om van 3 b 2 b2 b3 b   3 te komen. Hieronder een tabel, links steeds  y −  naar y − y + 2 y − 3a  a 3a 27a 3  de stap, rechts staat vermeld wat er eigenlijk gedaan is. uit de algemene regel van a3 = a·a·a = a·a2

2

b  b    y −  y −  3a  3a   b  2 2b b2   − + − y y y   3a  3a 9a 2 

  

y3 −

2b 2 b 2 b 2 2b 2 b3 y + 2 y− y + 2 y− 3a 3a 9a 9a 27 a 3

y3 −

2b 2 b 2 b 2 2b 2 b3 y − y + 2 y+ 2 y− 3a 3a 9a 9a 27 a 3

3b 2 3b 2 b3 y + 2 y− 3a 9a 27a 3 b b2 b3 y3 − y2 + 2 y − a 3a 27a 3 y3 −

2

b    y −  vervangen door 3a    2 2b b2   y − y + 2  dit hadden we reeds 3 a 9a   behandeld in bijlage 1. van de algemene regel: (a – b)(c – d + e) = ac – ad + ae – bc + bd – be (zie ook uitwerking 1) Hier is alleen de volgorde veranderd, zodanig dat alle y2 en y’tjes bijelkaar staan Een vereenvoudiging (zie ook uitwerking 2) Een vereenvoudiging (zie ook uitwerking 3)

Uitwerking 1 2b b2 b 2 b 2b b b2 b  2 2b b2   2 yy + 2 y − y + y− y + 2  = yy −  y −  y − 3a 3a 3a 3a 3a 9a 2 3a  3a 9a 9a   Verder geldt nu dat: yy 2 = y 3 2b 2b 2 yy = y 3a 3a b 2b 2bb 2b b 2b b y= y= y= 2 y 3a 3a 3a3a 3 ⋅ 3aa 9a 2 2 3 b b bb b b3 = = = 3a 9a 2 3a9a 2 3 ⋅ 9aa 2 27 a 3 Dit alles tezamen geeft inderdaad het resultaat.


Uitwerking 2 2b 2 b 2  2b b  2 2b − b 2 b 2 y − y = − y =− y − − y = − 3a 3a 3a 3a  3a 3a   b2 b2 b 2 + 2b 2 2b 2 2b 2  3b 2 y + 2 y =  2 + 2  y = y= 2 y 9a 2 9a 9a  9a 2 9a  9a Uitwerking 3 In deze laatste stap is een vereenvoudiging van de vorige stap: 3b 3 b b b = = 1⋅ = 3a 3 a a a 2 2 3b 3b 1 b 2 1b 2 b2 = = = = 9a 2 9 a 2 3 a 2 3a 2 3a 2


2.3. b 2 b2 b3 2b b2 cb 2 y +a 2 y−a + by − b y + b + cy − +d = 0 2 3 a 3a 3a 3a 27 a 9a Hier is het resultaat uit bijlage 1 en 2, ingevoerd in de algemene vergelijking

ay 3 − a

ay 3 − by 2 +

ab 2 ab 3 2b 2 b3 cb 2 y − + by − y + + cy − +d 2 2 3 3a 3a 3a 27 a 9a

Hier is alles vermenigvuldigd met de bijbehorende coëfficiënt. a Verder is meteen a

b ab = . c c

b 2 b ab a y vereenvoudigd omdat: a = = b = 1b = b a a a a

b2 b3 2b 2 b3 cb 2 y− + by − y + + cy − +d=0 2 2 3a 3a 3a 27a 9a Hier zijn de volgende vereenvoudigingen toegepast: ab 2 ab 2 a b 2 b2 b2 1 = = = = 3a 3a 3a 2 3aa a 3a ab 3 a b3 b3 b3 = = 1 = 27a 3 a 27a 2 27 a 2 27 a 2

ay 3 − by 2 +


2.4. y 3 + py + q = (u − v ) + 3uv (u − v ) + q Alles uitvermenigvuldigen: (u − v )3 = (u − v )(u − v )2 = (u − v ) u 2 − 2uv + v 2 = u 3 − 2u 2 v − uv 2 − vu 2 + 2uv 2 − v 3 = u 3 − 3u 2 v + uv 2 − v 3 3

(

en:

3uv(u − v )

)

= 3u 2 v − 3uv 2

Dit tezamen geeft: u 3 − 3u 2 v + 3uv 2 − v 3 + 3u 2 v − 3uv 2 + q en omdat: − 3u 2 v + 3u 2 v = 0 en 3uv 2 − 3uv 2 = 0 blijft er over u 3 − v3 + q


2.5. 2b 3 cb − +d 2 2b 3 − 9acb + 27da 2 3a In deze bijlage de stappen van 27 a = a 27a 3 2b 3 cb − +d 2 3a 27 a a

= = = =

=

2b 3 27a 2 a 2b 3 27a 3 2b 3 27a 3 2b 3 27a 3

cb d − 3a + a a cb d − 2 + a 3a cb 9a d 27a 2 − 2⋅ + ⋅ 3a 9a a 27a 2 9acb 27 da 2 − + 27a 3 27a 3

Eerst opsplitsen geeft:

a a geeft: Gebruik maken van b = c bc a a c Noemers gelijknamig maken via = ⋅ geeft. b b c Uitwerken geeft: Terug onder een noemer geeft:

2b 3 − 9acb + 27da 2 27a 3


2.6. 3

 b2  c−  3a    a    2 3  = (3ca − b ) ⋅ In deze bijlage de stappen van  27 729a 6  b2  c−  3a    a      27

3

3

a3 a Maak gebruik van   = 3 b b

3

a a geeft: Gebruik maken van b = c bc

3

 b2   c −  voluit schrijven geeft: 3a  

 b2   c −  3a   a3 = 27

 b2   c −  3a  =  27a 3 c 2 b 2 cb 4 b6 c3 − + 2 − a 3a 27 a 3 = 3 27 a 2 2 c b cb 4 b6 c3 − + 2 − 3 a 3a 27 a 3 ⋅ 27 a = 27 a 3 27 a 3 27c 3 a 3 − 27 a 2 c 2 b 2 + 9acb 4 − b 6 = ⋅ 729a 6 (3ca − b 2 ) 3 = ⋅ 729a 6

3

Noemers in de teller wegwerken via

a a c = ⋅ b b c

Teller ontbinden in factoren geeft:


2.7. In deze bijlage de stappen van 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 27a 4 1 1 =± 2 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a a 9 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 27a 4 = = = =

1 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 27 a4 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a a4

1 9⋅3 1 3 3

3 3 3

ab = a b

Maak gebruik van

a = b

Opnieuw

4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a a4

1 3

Maak gebruik van

Wortel in noemer weg via

(

b 9 =3 a a c = ⋅ b b c

a a = a geeft dus:

4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a a4

1 1 = 3 4 ⋅ 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 9 a

ab = a b en

a

)

Nu hetzelfde verhaal maar met a4

1 1 3 4 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 9 a 1 1 = ± 2 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a a 9 =


2.8. In deze bijlage de stappen van 2b 3 − 9acb + 27da 2 1 1 − ±± 2 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 − 2b 3 + 9acb − 27 da 2 ± 3a 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 27a a 9 = 2 54a 3 2b 3 − 9acb + 27da 2 1 1 − ±± 2 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 27a a 9 2 2b 3 − 9acb + 27 da 2 1 − ± 2 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3 27 a 9a = 2 3 2 2b − 9acb + 27 da 1 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a − 3 2 27 a = ± 9a 2 2 = −

2b 3 − 9acb + 27 da 2 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a ± 54a 3 18a 2

2b 3 − 9acb + 27 da 2 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27d 2 a 2 + 4c 3 a 3a = − ± ⋅ 3a 54a 3 18a 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2b − 9acb + 27 da 3a 3 4b d − c b − 18cbad + 27d a + 4c a = − ± 3 54a 54a 3 = − =

2b 3 − 9acb + 27 da 2 ± 3a 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 54a 3

− 2b 3 + 9acb − 27 da 2 ± 3a 3 4b 3 d − c 2 b 2 − 18cbad + 27 d 2 a 2 + 4c 3 a 54a 3


Maak gebruik van ± ± = ±

Opsplitsen geeft:

a a geeft: Gebruik maken van b = c bc a a c Noemers gelijknamig maken via = ⋅ b b c Uitwerken:

Weer samenvoegen omdat

a c a+c ⋅ = b b b

De – voor de breuk wegwerken geeft:

2.9. In deze bijlage de stappen van

p 18ac − 6b 2 = 3u at 3 2916

p 3u

b2 c− 3a a = t 3 2916 3⋅ 54a  b2   c − 54a 3a =  3  3at 2916

a ad Gebruik maken van b = geeft: c bc d

 b2   c − 18 3a  =  3 t 2916

Haakjes wegwerken

18b 2 3a t 3 2916

18c − =

6b 2 a = 3 t 2916 18ac − 6b 2 = 3 a t 2916 18ac − 6b 2 = at 3 2916 18c −

Vereenvoudigen

Vereenvoudigen

Noemers gelijk maken

a a Gebruik maken van b = geeft: c bc

47


3. Een uitgewerkte voorbeelden 3.1. ‘Beknopt’ Voorbeeld 1 Neem de vergelijking: 2x3 + 6x2 – 20x – 48 = 0 ofwel: a=2 b=6 c = -20 d = -48 cb 2b 3 − +d 2 3a 27a =q a

b2 3a = p en a

c− Stap 1. Bereken p en q, met

p=

− 20 −

62 3 ⋅ 2 = −13

2 2 ⋅ 63 − 20 ⋅ 6 − − 48 2 3 ⋅ 2 27 ⋅ 2 = −12 q 2 Stap 2: Bereken g door g 2 + qg − 0 = g 2 − 12 g −

p3 27

(− 13)3 = g 2 − 12 g + 133 27

27

geeft: a=1 b = -12 2197 c= 27 Invullen in de abcD-formule: 2197 12 + 144 − 4 ⋅ 27 g= 2

en

g=

12 − 144 − 4 ⋅

2197 27

2

Met complexe getallen theorie levert dit op: g = 6+

35 i 3 9

en

g = 6−

35 i 3 9

48


Stap 3: Bereken u door middel van: u =

3

g

Ofwel: u = 3 6+

35 i 3 9

en

u =3 6−

35 i 3 9

We werken nog steeds in de complexe getallen theorie, dus beide geven drie oplossingen: 1 u = 2 + i 3 of 3 1 7 = − − i 3 of 2 6 3 5 = − + i 3 of 2 6 1 = 2 − i 3 of 3 1 7 = − + i 3 of 2 6 3 5 = − − i 3 2 6 (zie ook bijlage 1)

49


Stap 4: Bereken v met v =

p 3u u

v 1 −13 6+I 3

1 2+ i 3 3

1 3+7I 3

−

1 7 − i 3 2 6

26

−

3 5 + i 3 2 6

−26

1 2− i 3 3

1 −9 + 5 I 3

13

1 −6 + I 3

1 9+5I 3

−

3 5 − i 3 2 6

26

−

1 7 + i 3 2 6

−26

1 −3 + 7 I 3

Stap 5: Bereken y met y = u – v u 1 2+ i 3 3

v 1 −13 6+I 3 1 3+7I 3

−

1 7 − i 3 2 6

26

−

3 5 + i 3 2 6

−26

1 2− i 3 3

1 −9 + 5 I 3

y=u–v 4 -1 -3

13

1 −6 + I 3

4

1 9+5I 3

-3

−

3 5 − i 3 2 6

26

−

1 7 + i 3 2 6

−26

1 −3 + 7 I 3

-1

50


Stap 6: Bereken x met x = y – x=y–

b 3a

6 3⋅ 2

y

x

4

3

-1

-2

-3

-4

51


3.2. Voorbeeld 2 7 x 3 − 14 x 2 − 161x + 420 = 0 a = 7, b = -14, c = -161, d = 420 b2 3a = p a

c− 1. Bereken p en q, met

− 161 −

p

= − 73 = 3

en

cb 2b 3 − +d 2 3a 27a =q a

(− 14)2 3⋅7

7

2(− 14 ) − 161(− 14) − + 420 2 3⋅7 = 27 ⋅ 7 7 3

q

=

1190 27

2. Bereken g door g 2 + qg −

p3 op te lossen met de abcD-formule (zal 0, 1 27

of 2 antwoorden geven).

g

 − p3   − q + q 2 − 4  27  = 2   − 73  3  −   2 1190   3    1190  − +   − 4  27 27  27        = 2

=

− 595 + 4i 3 27

52


3. Bereken u door middel van: u =

u

g (zal 3 antwoorden opleveren)

− 595 + 4i 3 27

=

3

=

5 4 + i 3 3 3

4. Bereken v met v =

v

3

p 3u

− 73 3 =  5 4 3 + i 3   3 3 =

− 73 5 4  9 + i 3  3 3 

5. Bereken y met y = u – v y

=

=

=

5 4 − 73 + i 3− 3 3 5 4  9 + i 3  3 3  

5 4 73 + i 3+ 3 3 5 4  9 + i 3  3 3  5 + 4i 3 73 + 3 3 5 + 4i 3

(

)

(5 + 4i 3 ) + 73 = 3(5 + 4i 3 ) 3(5 + 4i 3 ) 2

=

− 23 + 40i 3

(

3 5 + 4i 3

)

+

(

73

3 5 + 4i 3

) 53


=

− 23 + 40i 3 + 73 3 5 + 4i 3

=

50 + 40i 3 3 5 + 4i 3

=

10 5 + 4i 3 3 5 + 4i 3

=

10 3

(

)

(

)

( (

) )

6. Bereken x met x = y –

x

=

10 − 14 − 3 3⋅7

=

10 2 + 3 3

b 3a

=4 Controle: 7 x 3 − 14 x 2 − 161x + 420 = 0 7 ⋅ 4 3 − 14 ⋅ 4 2 − 161 ⋅ 4 + 420 = 0 448 − 224 − 644 + 420 = 0

KLOPT

54


De tweede oplossing: −3

u

=

− 595 − 595 3 + 4i 3 + 4i 3 27 27 +i 3 2 2

=

5 4 5 4 − i 3 + i 3 3 3 3 3 +i 3 2 2

= −

5 4 5 4  − i 3 + i 3 + i 3  6 6 6 6 

−

5 6

4 6

5 6

5 6

1 6

12 6

4 6

= − − i 3 + i 3 + i 3i 3 = − + i 3− = −

17 1 + i 3 6 6


v

p 3u

− 73 3 =   17 1 3 − + i 3   6 6  =

− 73  17 1  9 − + i 3   6 6 

55


5. Bereken y met y = u – v y

= −

= −

=

=

− 73 17 1 + i 3− 6 6   17 1 9 − + i 3    6 6 73 17 1 + i 3+ 6 6   17 1 9 − + i 3    6 6

− 17 + i 3 73 + 6  17 + i 3   9 −  6   − 17 + i 3 73 + 6 − 51 + i3 3 2

=

− 17 + i 3 146 + 6 − 51 + i3 3

=

− 17 + i 3 146 + 6 3 − 17 + i 3

(

)

(− 17 + i 3 ) + 146 = 6(− 17 + i 3 ) 3(− 17 + i 3 ) 2

=

286 − 34i 3 292 + 6 − 17 + i 3 6 − 17 + i 3

=

286 − 34i 3 + 292 6 − 17 + i 3

=

578 − 34i 3 6 − 17 + i 3

(

) (

(

(

)

)

)

56


(

=

− 34 − 17 + 2i 3 6 − 17 + i 3

=

− 17 3

(

)

)


x

=

− 17 − 14 − 3 3⋅ 7

=

− 17 2 + 3 3

b 3a

= -5 Controle: 7 x 3 − 14 x 2 − 161x + 420 = 0 7 ⋅ (− 5) − 14 ⋅ (− 5 ) − 161 ⋅ (− 5 ) + 420 = 0 3

2

− 875 − 350 + 805 + 420 = 0 KLOPT

57


De derde oplossing De tweede oplossing: −3

u

=

− 595 − 595 3 + 4i 3 + 4i 3 27 27 −i 3 2 2

=

5 4 5 4 − i 3 + i 3 3 3 −i 3 3 3 2 2

= −

5 4 5 4  − i 3 − i 3 + i 3  6 6 6 6 

−

5 6

4 6

5 6

4 6

= − − i 3 − i 3 − i 3i 3 = − =

5 9 12 − i 3+ 6 6 6

7 9 − i 3 6 6


v

p 3u

− 73 3 = 7 9  3 − i 3  6 6  =

− 73 7 9  9 − i 3  6 6 

58


8. Bereken y met y = u – v − 73 7 9 y = − i 3− 6 6  7 9 9 − i 3  6 6   =

=

73 7 9 − i 3+ 6 6  7 9 9 − i 3   6 6

7 − 9i 3 73 + 6 21 − 27i 3 2

=

7 − 9i 3 146 + 6 21 − 27i 3

=

7 − 9i 3 146 + 6 3 7 − 9i 3

(

)

(7 − 9i 3 ) + 146 = 6(7 − 9i 3 ) 3(7 − 9i 3 ) 2

=

=

− 194 − 126 3 146 + 6 7 − 9i 3 3 7 − 9i 3

(

)

− 194 − 126 3

(

6 7 − 9i 3

)

(

+

292

(

6 7 − 9i 3

=

− 194 − 126 3 + 292 6 7 − 9i 3

=

98 − 126 3 6 7 − 9i 3

=

14 7 − 9 3 6 7 − 9i 3

(

( (

) )

)

)

(

) )

=

7 3

59



x

=

7 − 14 − 3 3⋅7

=

7 2 + 3 3

b 3a

=3 Controle: 7 x 3 − 14 x 2 − 161x + 420 = 0 7 ⋅ 33 − 14 ⋅ 3 2 − 161 ⋅ 3 + 420 = 0 189 − 126 − 483 + 420 = 0

KLOPT

60


Bewijs dat: 3

− 595 5 4 5 + 4i 3 + 4i 3 = + i 3 = 27 3 3 3

3

− 595 + 4i 3 27

− 595 4 ⋅ 27i 3 + 27 27

=

3

=

13 − 595 + 4 ⋅ 27i 3 3

=

13 − 595 + 108i 3 3

En rest er nog:

3

− 595 + 108i 3 = 5 + 4i 3

(a + bi )3

= a 3 − 3ab 2 + I (3a 2 b − b 3 )

Er moet dus gelden: = -595 a 3 − 3ab 2 3a 2 b − b 3

= b(3a 2 − b 2 ) = 108 3

Laten we b = t 3 En dus:

( )

a 3 − 3ab 2 = -595 => a 3 − 3a t 3

2

= a 3 − 9at 2 = -595

en b(3a 2 − b 2 ) = t 3 (3a 2 − 3t 2 ) = 108 3 Ofwel t (a 2 − t 2 ) = 36

61


Als er een ‘mooie’ oplossing is dan moet a een deler zijn van 595, en dus: a = 1, -1, 5, -5, 7, -7, 17, -17, 595 of -595 Als a = 1 a 3 − 9at 2 = -595 1 − 9t 2 = -595 t2 =

594 9

t = ± 66

maar: t (a 2 − t 2 )

=

66 (1 − 66)

=

66 − 66 66

KLOPT NIET MET t (a 2 − t 2 ) = 36 Als a = -1 a 3 − 9at 2 = -595 − 1 + 9t 2 = -595 t 2 = − 66 t =

− 66

maar: t (a 2 − t 2 )

=

− 66 (1 + 66)

=

− 66 + 66 − 66

KLOPT NIET MET t (a 2 − t 2 ) = 36

62


Als a = 5 a 3 − 9at 2 = -595 125 − 45t 2 = -595 t 2 = 16 t

= ± 16 = 4 of -4

als t = 4 dan: t (a 2 − t 2 ) = 4(25 − 16) = 100 − 64 KLOPT MET t (a 2 − t 2 ) = 36

63


Oplossen van een vergelijking van de vorm ax 3 + bx 2 + cx + d =0

Recommend Documents