Onderzoeksvragen en -hypothesen
Illustraties vanuit het wiskundedidactisch onderzoek naar de lineariteitsillusie
Dirk De Bock Zomerschool Vakdidactisch Onderzoek Leuven, 8-10 september 2010
Centrum voor Instructiepsychologie en -technologie K.U.Leuven Hogeschool-Universiteit Brussel
VERDUBBELING VAN HET VIERKANT “Om een vierkant met de dubbele oppervlakte te tekenen moet je de zijde verdubbelen.” (Slaaf in Plato’s dialoog Meno)
HET PROBLEEM VAN DE DOBBELSTENEN
P(minstens 1 zes in 4 worpen met één dobbelsteen) 0.5177 4/6
=
P(minstens 1 dubbele zes in 24 worpen met twee dobbelstenen)
0.4914 24 / 36
“He [de Méré] applied the mathematics he knew, the kind of mathematics which in my childhood was called the rule of three… Maybe he would have performed better if he had never learned mathematics at all! (Freudenthal, 1973)
CORRECTE WISKUNDIGE PRINCIPE LINEAIRE VERGROTING MET FACTOR k: OPPERVLAKTE × k2 EN VOLUMES × k3
1
k2
k
k
k3
k2 1
k
1
k3 k
DEFINITIE Neiging van leerlingen om gelijk welke numerieke relatie tussen grootheden te gaan behandelen alsof het een recht evenredige of lineaire relatie betrof. Freudenthal, 1983
De neiging om lineariteit of proportionaliteit gelijk waar te gaan toepassen
DEFINITIE In heel diverse domein • elementaire rekenkunde • algebra • meetkunde • kansrekening • fysica • biology •…
Verband lineaire afmetingen ↔ oppervlakte/volume van (lineair) vergrote/verkleinde meetkundige figuren: De overtuiging dat – wanneer een meetkundige figuur vergroot wordt met factor k – de oppervlakte en het volume van die figuur ook toenemen met factor k
EN HEDEN TEN DAGE? In responding to questions about the effect of halving and doubling lengths of the sides of a square, most students said that the area was also halved or doubled. NCTM, 1989
De verkleinde Standaard (De Standaard, 8 maart 2004)
EN HEDEN TEN DAGE? Wij vragen normaalschoolstudenten wat er zal gebeuren als ze twee Din-A4 bladen naast elkaar leggen en met de fotokopie-machine verkleinen om ze samen op één Din-A4 blad te krijgen. Steevast krijgen we als antwoord dat de tekst niet langer leesbaar zal zijn, de hoogte en de breedte van de letters en van de tekeningen zou worden gehalveerd Feys, 1995
•China : Economische groei van 14% per jaar • Filip: “Inkomen van de inwoners verdubbelt elke 7 jaar”
(14 % x 7 = 98 %)
ONDERZOEK OPSTARTEN (Anecdotische) vermeldingen, vaak in de marge van onderzoek met een andere inhoudelijke focus, doch geen “harde” empirische data beschikbaar…
ONDERZOEKSLIJN Collectieve toetsen Individuele interviews Onderwijsexperiment
INITIËLE ONDERZOEKSVRAGEN
Sterkte van de lineariteitsillusie + invloed van leeftijd ? Zelfgemaakte en aangeboden tekeningen
Aard van de figuur
COLLECTIEVE TOETSEN Grote groepen 12-16-jarigen losten proportionele en niet-proportionele items op onder verschillene experimentele condities 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
proportioneel niet-proportioneel
12-13jarigen
15-16jarigen
COLLECTIEVE TOETSEN Collectieve toetsen – 12-13 and 15-16-jarigen
Zelfgemaakte en aangeboden tekeningen • Geen significant effect • Betere prestatie indien effectief tekening gemaakt / gebruikt
Aard van de figuur • vierkant > cirkel > onregelmatige figuur
Overgeneralisatie-effect!
VERVOLGSTUDIES Metacognitieve hulp
Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit
Collectieve toetsen
VERVOLGSTUDIES Metacognitieve hulp
Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit
Collectieve toetsen
Vervolgstudie 1
VERVOLGSTUDIES
Collectieve toetsen
Vervolgstudie 1
Metacognitieve hulp Confrontatie vooraf met niet-proportionele opgave Adequate visuele ondersteuning Tekeningen op ruitjespapier aangeboden
Collectieve toetsen
VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 1 100% 80%
100%
93% 89%
80%
60%
60%
40%
40% 18% 12%
20% 0%
92% 90%
17%
20%
13%
0%
Proportioneel
Nietproportioneel
Proportioneel
Controlegroep Metacognitieve hulp Ruitjespapier
Nietproportioneel
VERVOLGSTUDIES
Collectieve toetsen
Metacognitieve hulp
Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit
Vervolgstudie 2
VERVOLGSTUDIES
Collectieve toetsen
Vervolgstudie 2
Ontbrekende-waarde-opgaven “Om een vierkant stuk grond met zijde 200 m te bemesten, heeft Louis 8 uur nodig. Hoeveel uur zal hij ongeveer nodig hebben om een vierkant stuk grond met zijde 600 m te bemesten?”
Vergelijkingsopgaven “Louis heeft vandaag een stuk grond bemest. Morgen moet hij een stuk grond bemesten waarvan de zijde driemaal zo groot is. Hoeveel keer meer tijd heeft hij daar ongeveer voor nodig?
Collectieve toetsen
VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 2 100%
87%
80% 60%
68% 41%
40%
23%
20% 0%
Proportioneel
Nietproportioneel
Controlegroep Vergelijkingsopgaven
VERVOLGSTUDIES
Collectieve toetsen
Metacognitieve hulp
Adequate visuele ondersteuning Alternatieve probleemformulering Authentische context Geïntegreerde tekenactiviteit
Vervolgstudie 3
VERVOLGSTUDIES
Collectieve toetsen
Vervolgstudie 3
Authentische context Video over bezoek Gulliver aan eiland Lilliputters Alle toetsopgaven aan deze video gekoppeld
Geïntegreerde tekenactiviteit Tekening maken voor aanbieding numerieke gegevens
Collectieve toetsen
VERVOLGSTUDIES Vervolgstudie 3 100% 80%
100%
97%
80%
93%
94% 96%
60%
60% 40%
41%
40%
44%
20%
25%
20%
23%
0%
0%
Proportioneel
Nietproportioneel
Proportioneel
Controlegroep Authentische context Geïntegreerde tekening
Nietproportioneel
CONCLUSIES
Collectieve toetsen
Collectieve toetsen Kleine positieve effecten van experimentele manipulaties Hardnekkig en weerkerend fenomeen Resistent tegen diverse vormen van hulp
METHODOLOGISCHE SHIFT …
De Bock et al. Collective toetsen Onderliggende processen ?
Individuele interviews
Observeren van individuele leerlingen « Luidop denken » Doorvragen
ONDERZOEKSVRAGEN Onderliggende processen ? Hoe Illusion diepgeworteld of linearity? Overtuigd dat alle grootheden proportioneel gelinkt zijn Ongeoorloofde generalisatie van lineaire functies
Wiskundige misconceptie
Andere processen Oppervlakkig modelleren Uitsluiten alledaagse kennis Intuïtief redeneren
Hoe diepgeworteld ?
Doorbreekbaar ?
Lack of « sensemaking »
Individuele interviews INDIVIDUELE DIEPTE INTERVIEWS 12-jarigen en 16-jarigen (n = 20 + 20) UITGEBALANCEERD DESIGN Leerlingen lossen vraagstuk op « luidop denkend » Vragen door de interviewer Adaptieve / semi-gestructureerd: Toenemende vormen van hulp / cognitief conflict
Individuele interviews
Probleem
Een reclameschilder heeft 6_ml verf nodig om de kleine kerstman op een etalageruit te schilderen. Hoeveel verf zal hij ongeveer nodig hebben voor de vergrote versie van deze figuur? Hoogte: 56 cm
Hoogte: 168 cm
Individuele interviews
Probleem
2
Correct
Vragen
38
Waarom ? Hoe zeker? 3 Zeker fout
Waarschijnlijk fout
Ik weet het niet
15 Waarschijnlijk juist
20 Zeker juist
Individuele interviews
2
Probleem
Correct
Vragen HULP
38 We gaven dit vraagstuk aan leerlingen in een andere school. Zij gaven de volgende antwoorden … Antwoord 18 ml 54 ml andere
Aantal leerlingen 41% 41% 18%
Individuele interviews
2
Probleem
Correct
Vragen HULP
2
Correct
38 HULP
36
Een leerling die 54 ml antwoordde, zei me dat de kerstman drie keer hoger en drie keer breder wordt, zodat je negen keer meer verf nodig hebt …
Individuele interviews
2
Probleem
Correct
Vragen HULP
2
Correct
38 HULP
14
36 HULP
22
Correct
Individuele interviews
2
Probleem
Correct
Vragen HULP
2
Correct
38 HULP
14
Correct
36 HULP
9
Correct
22 HULP
13
Kun je de oppervlakte van de twee rechthoeken berekenen? Hoeveel keer groter …
Individuele interviews
2
Probleem
Correct
Vragen HULP
2
Correct
38 HULP
14
Correct
36 HULP
9
Correct
22 HULP
5
13 STOP
8
Correct
Op zoek naar de wortels Intuïtiviteit van het lineair model “The idea of linearity immediately comes to the mind, because there are no simpler relations than linear ones” (Rouche, 1989)
Effecten van onderwijs “the acivity of solving word problems in school is not the same as „the same‟ activity or contents embedded in other systems of activity in other parts of life” (Lave, 1992)
Op zoek naar de wortels Domein-specifieke elementen “De hoogte en de breedte van de figuur worden verdrievoudigd, dus de oppervlakte wordt ook verdrievoudigd” (student in interview studie door De Bock et al., 2002)
ONDERWIJSEXPERIMENT Onderzoeksvraag: Hoe kan deze lineariteitsillusie doorbroken worden? - (hoe) kan een leeromgeving ontworpen worden
- die leerlingen de nodige kenniselementen, vaardigheden en houdingen laat verwerven
- om de lineariteitsillusie te overwinnen i.e. het onderscheid (kunnen) maken tussen proportionele en niet-proprotionele situaties in de context van de vergroting / verkleining van figuren, en hierop op adequate wijze reageren
ONDERWIJSEXPERIMENT Experimentele lessenreeks van 10 uur Pretest
Posttest
Experim. groep
10 exper. Lessen
Controle groep
Reguliere lessen
(6 months)
Retentie test
+ klasobservaties, leerlingen vragenlijsten, …
SECONDARY SCHOOL PUPILS’
ILLUSION OF LINEARITY
Hoeveel weegt een kabouter ?
Mens 180 cm 70 000 gr
Kabouter : 12 : 123
15 cm 40,5 gr
RESULTATEN EXPERIMENTELE GROEP % CORRECT ANSWERS
100 75 niet-proportionele items proportionele items
50 25 0 pre
post TEST
retentie
CONCLUSIES De lineariteitsillusie doorbroken? - Ja (minder onterecht lineair redeneren)
- MAAR- Key word strategy - Verworven kennis is onstabiel - Nieuwe misconcepties
- Blijft (intrinsiek?) moeilijk cfr. project (kabouters), retentie?
Detailed information?
ISBN: 978-0-387-71082-2
