Okruhy ot zek k Algeb e I. P.H. & J.W. 2 II. Klasikace cyklick ch grup d prvku: Nech (G ) je grupa, a 2 G. d prvku a denujeme jako nejmen slo n takov,

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

1

I. Cayleyova vta pro grupy Izomorfn
zobrazen
:

Bu G1
G2 grupy, f : G1 ! G2 . ekneme, e f je izomorfn
zobrazen
, jestlie: 1. f je bijekce (injekce, surjekce) 2. f (a)  f (b) = f (a  b), pro 8a
b 2 G (homomor smus)

Caleyova vta

Libovoln grupa G je izomorfn s jistou podgrupou grupy S (A) vech permutac mnoiny A, pro vhodn A. Za A lze vzt i G. Dkaz: Nech (G
) je lib. grupa. Pro pevn a 2 G ozname a : G ! G zobrazen de novan vztahem: a (x)=a:x, 8x 2 G Zobrazen a je : 1. injektivn: a (x)=a (y) ) ax = ay ) x = y 2. surjektivn: y 2 G, hled me x 2 G, a (x) = y ) y = a:x ) x = a;1 :y )

x2G

Zkonstruhujeme injektivn homomorsmus z G do S (G). De nujeme: f : G ! S (G) pedpisem f (a) = a pro 8a 2 G Zobrazen f je: 1. injektivn: nebo a
b 2 G, f (a) = f (b) ) a = b pro libovoln x 2 G je pak a (x) = b (x), neboli a:x = b:x ) a = b 2. homomor smus: nebo pro a
b 2 G, x 2 G: (f (a)  f (b))(x) = (a  b )(x) = a (b (x)) = a (b:x) = a:b:x () f (a:b)(x) = ab (x) = a:b:x Pak dost v me, e f je vnoen G do S (G), a tedy G je izomorfn s podgrupou f (G) grupy S (G). Dsledek: Kad konen grupa  du n je izomorfn s jistou podgrupou grupy permutac Sn .

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

2

II. Klasikace cyklickch grup d prvku:

Nech (G
) je grupa, a 2 G. 
d prvku a de nujeme jako nejmen slo n takov, e an = 1. Pokud takov slo neexistuje, ekneme, e  d prvku je 0.

< M >, genertory grupy: Bu M podmnoina grupy G. Symbolem < M > ozname prnik v ech podgrup grupy G obsahujcch mnoinu M . < M > se nazv podgrupa generovan
mnoinou M . Mnoinu M nazv me mnoinou gener
tor grupy < M >. Pokud M = fa1
: : :
an g, pak hovome o podgrup generovan prvky a1
: : :
an a oznaujeme ji < a1
: : :
an >.

Vta:

Bu M 6= podmnoina grupy G. Pak < M >= fa"11  : : :  a"n jn 2 N0
ai
: : :
an 2 M
"1
: : :
"n 2 f1
;1g g. Dkaz: n

1. (Y
:) podgrupa grupy (G
:). (a) a0 = 1 ) 1 2 Y (b) a
b 2 Y ) a:b 2 Y (c) a 2 Y ) a;1 2 Y , protoe (a"11  : : :  a"n );1 = a;n "  : : :  a;1 "1 2. M  Y : a 2 M , n = 1, a1 = a, "1 = 1 3. M  Z , Z je podgrupa (G
:) ) Y  Z . n

n

a"11  : : :  a"n 2 Y a1
: : :
an 2 M  Z je podgrupa a"11
: : :
a"n 2 Z je podgrupa a"11  : : :  a"n 2 Z n

n

n

Cyklick grupa:

Grupa (G
) se nazv cyklick
, existuje-li a 2 G takov, e < a >= G.

Vta:

1. Libovoln nekonen cyklick grupa je isomorfn s (Z
+). 2. Libovoln n-prvkov cyklick grupa (n 2 N ) je isomorfn se (Zn
+). Dkaz: Nech (G
:) cyklick grupa, a je jej gener tor, tj. fak jk 2 Z g = G

1. jGj @0 , pak  d a je 0 :G!Z ak 7! k je korektn (ak = al , k = l)

(a)  je homomor smus : (ak  al ) = (ak+l ) = k + l, (ak ) + (al ) = k + l (b)  je prost : k = l ) ak = al

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

3

(c)  je surjektivn : vzorem ke k je ak

2. jGj = n, n 2 N , pak a je  du n  : G ! Zn , ak 7! k]n je korektn (ak = al , k]n = l]n ) (a)  je homomor smus : (ak  al ) = (ak+l ) = k + l]n, (ak )+ (al ) = k]n +l]n = k + l]n (b)  je prost : k]n = l]n ) ak = al (c)  je surjektivn : k]n m vzor ak

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

4

III. Faktorov grupy Lev t
dy:

Bu G grupa, H jej podgrupa, a 2 G: Mnoinu aH = fa  h jh 2 H g nazv me lev
tda grupy G podle podgrupy H (uren prvkem a).

lev rozklad: G=H = faH ja 2 Gg prav rozklad: H nG = fHa ja 2 Gg Lemma I.

Bu G je grupa, H je jej podgrupa. a
b 2 G pak plat: a:H = b:H () a 2 b:H () b;1 :a 2 H

Normln
podgrupa:

Nech G je grupa. Podgrupa H se nazv norm
ln, jestlie pro 8h 2 H , 8g 2 G plat g;1  h  g 2 H .

Lemma II.

Podgrupa H grupy G je norm ln, pr v kdy pro libovoln prvky a 2 G, h 2 H existuje prvek h 2 H , takov e h:a = a:h . Dkaz: h:a = a:h ) a;1 :h:a = a;1 :a:h .

Vta o Faktorov grup (G=H
:)

Bu G grupa, H jej norm ln podgrupa. De nujeme souin dvou levch td a  H , b  H grupy G podle H vztahem: (a  H )  (b  H ) = (a  b)  H

Pak  je operace na mnoin G=H a (G=H
) je grupa. Dkaz:

1. Korektnost operace  na mnoin G=H . a:H = a0 :H , b:H = b0 :H =)? (a:b):H = (a0 :b0 ):H Nech a
a0
b
b0 2 G, a:H = a0 :H , b:H = b0 :H . Z Lemmatu I. plyne existence prvk h1
h2 2 H takov , e a = a0 :h1 , b = b0 :h2 . Z Lemmatu II. plyne: h 2 H , h1 :b0 = b0 :h Plat a:b = a0 :h1 :b0 :h2 = a0 :b0 :h :h2 2 (a0 :b0 ):H =) (a:b):H = (a0 :b0 ):H . 2. (G=H ) je grupa. (a) Asociativita: Nech a
b
c 2 G: Pak (a:H ):(b:H )]  (c:H ) = ((a:b):H ):(c:H ) = ((a:b):c):H = (a:(b:c)):H = (aH ):(b:H ):(c:H )]: Tedy (G=H ) je pologrupa. (b) Jednotkov prvek: Lev tda H = 1  H je jednotkov prvek ,nebo pro libovoln .a 2 G plat (1  H )  (a  H ) = (1  a)  H = a  H = (a  H )  (1  H ): (c) Inverzn prvek: inverznm prvkem k lev td a  H je lev tda a;1  H , nebo (a  H )  (a;1  H ) = (a  a;1 )  H = 1  H = (a;1  H )  (a  H ):

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

5

Vta:

Jestlie (G
) je grupa, H je jej norm ln podgrupa. Pak (G=H
) je opt grupa a zobrazen natH : G ! G=H , natH : a 7! aH je surjektivn homomor smus. Dkaz: (G=H
) je grupa - viz.pedchoz vta. natH (a  b) = abH natH (a)  natH (b) = aH  bH = abH -homomor smus surjektivnm vzorem aH je a - surjektivita

Vta DLO:

Nech (G
)
(K
) jsou grupy,  : (G
) ! (K
) je surjektivn homomor smus. Pak: 1. J () = fa 2 G j(a) = 1g je norm ln podgrupou v (G
) 2. : G=J () ! K , : aJ () 7! (a) je isomor smus. 3.  natJ () =  Dkaz: 1. J () je norm ln podgrupa:

 (1) = 1  Nech a
b 2 J (), (a) = (b) = 1, pak (ab) = (a)  (b) = 1  1 = 1 =) a:b 2 J ()  (a; ) = ((a )); = 1; = 1 2 J ()  normlnost: g 2 G, (g;  a  g) = ((g));  1  (g) = 1 2 J () 1

1

1

1

1

1

2. Zobrazen je :

 korektn de nov no: aJ () = bJ () =) (a) = (b) aJ () = bJ () () ab; 2 J () () 1 = (ab; ) = (a)  (b); ) (a) = (b)  homomor smus: (aJ ()  bJ ()) = (abJ ()) = (ab) = (a):(b) (aJ ())  (bJ ()) = (a)  (b) = (ab)  surjektivn: b 2 K , exist.a 2 G tak, e (a) = b, (aJ ()) = (a) = b  prost: a
b 2 G, (aJ ()) = (bJ ()), pak (a) = (b), (a)(((b)); = 1, (ab; ) = 1, ab; 2 J (), aJ () = bJ () ?

1

1

1

1

1

3. Konen: a 2 G
( nat J ())(a) = (nat J ()(a)) = (aJ ()) = (a)

1

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

6

IV. Okruhy Zn Kongruentnost:

Bu n 2 N , a
b 2 Z . a
b se nazvaj kongruentn
modle modulu n, jestlie plat nja ; b. Peme a  b(mod n):

Zbytkov t
dy:

Bu n 2 N
a 2 Z . Mnoina a]n = fk:n + a n k 2 Z g se nazv zbytkov
tda podle modulu n.

Mno ina v ech zbytkov ch t
d: Zn = fa]n n a 2 Z g

Lemma:

a]n = b]n $ a  b(mod n) $ nja ; b

Operace  a + na mno in Zn

 a]

+ b]n = a + b]n Dkaz korektnosti: a]n = a0 ]n
b]n = b0 ]n =)? a + b]n = a0 + b0 ]n n

nj(a ; a0 )
nj(b ; b0 ) =)? nj((a + b) ; (a0 + b0 )) a]n = a0 ]n =) a ; a0 = :n
b]n = b0 ]n =) b ; b0 = :n (a + b) ; (a0 + b0) = ( + )n =) nj((a + b) ; (a0 + b0 ))

 a]  b]

= a  b]n Dkaz korektnosti: a]n = a0 ]n
b]n = b0 ]n =)? a  b]n = a0  b0 ]n n

n

nj(a ; a0 )
nj(b ; b0 ) =)? nj((a  b) ; (a0  b0 )) a]n = a0 ]n =) a ; a0 = :n
b]n = b0 ]n =) b ; b0 = :n a  b ; a0  b0 = (a0 + :n)(b0 + :n) ; a0 :b0 = a0 :b0 + a0 : :n + :n:b0 + :n: :n ; a0 :b0 = n(a0 : + b0 : + : :n) =) nj((a:b) ; (a0 :b0 ))

Grupa (Zn
+)

(Zn
+) je komutativn grupa pro libovoln n 2 N . Dkaz: 1. Zn je uzaven vzhledem k +. 2. 0]n je jednotkov prvek 0]n + a]n = a]n = a]n + 0]n 3. inverzn prvek k a]n je ;a]n : a]n + ;a]n = a + (;a)]n = 0]n = ;a]n + a]n 4. asociativita: (a]n + b]n ) + c]n = a + b]n + c]n = a + b + c]n = a]n + b + c]n = a]n + (b]n + c]n ) 5. komutativita: a]n + b]n = a + b]n = b + a]n = b]n + a]n

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

7

Monoid (Zn
:)

(Zn
:) je komutativn monoid pro libovoln n 2 N . Dkaz: 1. Zn je uzaven vzhledem k operaci . 2. 1]n je jednotkov prvek: 1]n :a]n = a]n = a]n  1]n 3. asociativita: (a]n  b]n )  c]n = a:b]n  c]n = a:b:c]n = a]n  b:c]n = a]n  (b]n  c]n ) 4. komutativita: a]n  b]n = a:b]n = b:a]n = b]n  a]n

Grupa (Zn
:)

Bu n prvoslo, Zn = 1]n
: : :
n ; 1]n vech nenulovch zbytkovch td podle modulu n. Pak (Zn
:) je grupa. Dkaz: Nech a]n
b]n 2 Zn .  n 6 ja
 n 6 jb =) n 6 ja:b Tedy a:b]n 2 Zn . (a
n) = 1 pro libovoln a 2 Z . (Zn
:) je grupa pokud libovoln a]n 2 (Zn
:) m inverzn prvek. Pedpokl dejme existenci takovho inverznho prvku b]n . Plat a]n  b]n = 1]n =) a:b = q:n + 1 =) a:b + n:(;q) = 1. Existence sel b
q plyne z Bezoutovy vty: f a.u + b.v = 1 , (a,b)=1 g nebo (a
n) = 1.

Okruh (Zn
+
:)

Bu n 2 N pak (Zn
+
:) je okruh. Dkaz: 1. (Zn
+) je komutativn grupa. 2. (Zn
:) je monoid. 3. Distributivita: a]
b]
c] 2 Zn a]  (b] + c]) = a]  b + c] = a  (b + c)] = a:b + a:c] = a]  b] + a]  c] (b] + c])  a = b + c]  a] = (b + c)  a] = b:a + c:a] = b]  a] + c]  a]

Lemma o tlese:

Netrivi ln komutativn okruh (R
+
:) je tleso, pr v kdy (R
:) je grupa.

Obor integrity (Zn
+
:)

(Zn
+
:) je obor integrity, pr v kdy n je prvoslo. V tomto ppad je Zn dokonce t leso. Dkaz: Je-li n prvoslo, pak (Zn
+
:) je tleso, nebo (Zn
:) je grupa, d le z lemmatu o tlese. Pokud n nen prvoslo, pak n = k:m, kde 1  k
m  n. Ze vztahu k]:m] = k:m] = 0] plyne, e k]
m] jsou dlitel nuly v (Zn
:). Tedy (Zn
+
) nen obor integrity.

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

8

V. Podlov tleso Denice R:

De nujme R = R ; f0g.

Lemma:

Nech R = (R
+
) je obor integrity. na mnoin R  R de nujeme relaci  takto: (a
b)  (c
d) , a  d = b  c: Pro libovoln a
c 2 R, b
d 2 R je  relace ekvivalence. Dkaz:

1. re$exivita (a
b)  (a
b) , ab = ba 2. symetrie z de nice 3. tranzitivita (a
b)  (c
d) ^ (c
d)  (e
f ) =)? (a
b)  (e
f ) M me ad = bc , cf = de a chceme (a
b)  (e
f ) , af = be. ale acf = bce, adf = bcf = bde =) d(af ; be) = 0, (d 6= 0) =) af ; be = 0 =) af = be

P
eme:

(a
b)] = ab
Q(R) = f ab ja 2 R
b 2 R g = (R  R = 
+
)

Na R  R =  de nujeme operace +
 takto: a + c = ad + bc
a  c = ac b d bd b d bd

Lemma:

Uveden formulky korektn de nuj operace na Q(R). Dkaz: Nech ab = ab
dc = dc . ac Chceme: adbd+bc = a db +db c , ac bd = b d , 0 0 0 0 0 0 0 0 ab = ba , cd = dc , ab cd = a bc d, (chceme: (ad + bc)b0 d0 = bd(a0 d0 + b0 c0 ), a0 c0 bd = b0 d0 ac), ale (ad + bc)b0 d0 = ab0 dd0 + bb0 cd0 = a0 bdd0 + bb0c0 d = bd(a0 d0 + b0 c0 ) ab0 cd0 = a0 bc0 d 0

0

0

0

0

0

0 0

0

0 0

0

0

0

Vta:

Je-li (R
+
:) obor integrity, pak Q(R) = (R  R )= 
+
) je tleso. Dkaz: (R  R
+) komutativn grupa:

 asociativita: (

+ebd + dc ) + fe = adbd+bc + fe = adf +bcf bdf cf +cd +cbf c e a a = adf +bcf b + ( d + f ) = b + df bdf komutativita: ab + dc = dc + ab a b

  neutr ln prvek: + =  Inverzn prvek: ; + = ; Dkaz: (R  R
:) grupa:  asociativita: ( : ): = : a b

0 1

a b

a b

a b

a c b d c:e d:f

e f

:( : ) = :( ) = c e d f

a b

0b+1a 1b

ab+ab bb

a:c e b:d f a:c:e b:d:f

 komutativita: zejm

= ab = bb0 = 0

a:c:e = b:d:f

Okruhy ot
zek k Algebe I.

 neutr ln prvek:  inverzn prvek: (

1 1 a b

P.H. & J.W.

9

);1 = ab

Distributivita:

 

a b

+d:e +a:d:e :( dc + fe ) = ab : c:fd:f = a:c:fb:d:f , a:c:b:f +b:d:a:e +a:d:e a:e : + ab : fe = a:c = a:c:fb:d:f b:d + b:f = b:d:b:f

a c b d

Vta:

Nech R = (R
+
) je obor integrity a : R ! (R  R = ) je de nov na pedpisem a 7! a1 .Pak: 1. je prost homomor smus. 2. Pro libovoln tleso S (S
+
:) a prost homomor smus  : R ! S existuje homomor smus : Q(R) ! S tak, e  =  Dkaz: (Q
+
:) := Q(Z
+
:) 1. Zobrazen je: (a) prost: a1 = 1b ) a = b (b) homomor smus: i. (1) = 11 ii. (a + b) = a+1 b
(a) + (b) = a1 + 1b = a+1 b a b a:b iii. (a:b) = a:b 1
(a): (b) = 1 : 1 = 1 2. Zobrazen : Q(R) ! S spl&ujc  =  mus bt d no tmto pedpisem: ( ab ) := (a):((b));1  Uk eme e:  =  ) ( ab ) = (a):((b));1   (a) = ( a1 ) = (a) ) ( a1 ) = (a)   (b;1) = ( 1b ) = (b;1) ) ( 1b ) = (b;1 ) = (b);1   (a:b;1) =  (a):  (b;1) = (a):((b));1 3. Zobrazen je homomor smus: (a) ( 11 ) = (1)  ((1));1 = 1 (b) ( ab + dc ) = ( adbd+bc ) = (ad + bc)  (bd);1 ( ab ) + ( dc ) = (a)  (b);1 + (c)  (d);1 = ((ad) + (bc))  ((bd);1 ) = (ad + bc):(bd);1 (c) ( ab : dc ) = ( ab : dc ) (d) ( )(a) = ( (a)) = ( 1c ) = (a):((1));1 = (a)

Pod
lov tleso

(Q(R)
+
) nazv me podlov t leso.

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

10

VI. Euklidv algoritmus Dlitelnost:

Bu R komutativn okruh, a
b 2 R. ekneme e prvek b d l prvek a, jestlie existuje prvek q 2 R takov, e a = q:b. Peme bja.

Spolen dlitel:

Bu R komutativn okruh, a
b 2 R. Prvek c 2 R se nazv spolen d litel prvk a
b, pokud cja a cjb.

Nejvt
spolen dlitel:

Bu R komutativn okruh, a
b 2 R. Prvek c 2 R se nazv jejich nejv t m spolenm d litelem, zkr cen nsd(a
b), jestlie je jejich spolenm dlitelem a pro libovoln spolen dlitel x 2 R prvk a
b plat, e xjc.

Vta o dlitelnosti:

Bu R obor integrity, f
g 2 Rx] a nech vedouc koe cient polynomu g je jednotka okruhu R. Pak existuje pr v jedna dvojice polynom q
r 2 Rx] takov , e st(r) < st(g) a f = g:q + r.

Euklidv algoritmus:

Bu R tleso. Pak v Rx] libovoln dva nenulov polynomy maj nejvt spolen dlitel k jeho nalezen slou Euklidv algoritmus. Bute f , g nenulov polynomy z Rx]. Z vty o dlitelnosti plyne, e existuje nez porn cel slo n a polynomy q1
:::qn+1
r1
:::
rn 2 Rx] takov, e st(g) > st(r1 ) > ::: > st(rn ) 0 a plat:

f g r1 rn;3 rn;2 rn;1

= g:q1 + r1 = r1 :q2 + r2 = r2 :q3 + r3 .. . = rn;2 :qn;1 + rn;1 = rn;1 :qn + rn = rn :qn+1

Dkaz: 1. Dok eme, e rn je spolen dlitel polynom f , g. rn j rn;1 z poslednho  dku rn j rn;2 z pedposlednho  dku .. .

rn j g rn j f

2. Dok eme, e rn je nsd(f
g). ((a j f ) ^ (a j g) ) a j rn ) a j f ^ a j g ) a j r1 z 1. rovnice a j g ^ a j r1 ) a j r2 z 2. rovnice .. . a j rn;2 ^ a j rn;1 ) a j rn z (n+2). rovnice

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

11

VII. Nsobnost ko ene, pouit derivace Lemma pro R komutativn
okruh 1. (f + g)(c) = f (c) + g(c) 2. (f:g)(c) = f (c)  g(c)

Koen polynomu:

Nech R je okruh, c 2 R, f 2 Rx]
f = an xn + : : : + a1 x + a0 . Pokud plat f (c) = an cn + : : : + a1 c + a0 = 0, pak c je koenem polynomu.

Vta o koenu polynomu:

Bu R komutativn okruh. Pak c 2 R je koen polynomu f 2 Rx], pr v kdy (x ; c)jf . Dkaz: (= q 2 Rx]. (x ; c):q = f , 0 = (c ; c):q(c) = f (c), c je koen f . =) Nech c je koen pak podle: f=g.q + r existuj q
r 2 Rx], takov, e r je konstantn a f = (x ; c):q + r ) r = f ; (x ; c):q ) r = r(c) = f (c) ; (c ; c):q(c) = 0: Tedy (x ; c)jf .

Nsobnost koene polynomu:

Bu R komutativn okruh, f 2 Rx], c je koen f . 'slo k n
sobnost koene c, jestlie (x ; c)k jf a (x ; c)k+1 6 jf .

2 N se nazv

Derivace:

Nech R je okruh, f = an xn + : : : + a1 x + a0 2 Rx]. Polynom f 0 = nanxn;1 + : : : + 2a2 x + a1 2 Rx] se nazv derivace polynomu f .

Vta o potu koen:

Bu R obor integrity. Pak nenulov polynom f 2 Rx] m nejve n = st(f ) koen, pot me-li kad koen tolikr t, kolikr t je n sobn. Dkaz: Nech f m koeny c1
: : :
cl , (po dvou rzn) n sobnost k1
: : :
kl . Pak (x ; c1 )k1
: : :
(x ; cl )k dl f . Chceme uk zat e: f = (x ; c1 )k1  : : :  (x ; cl )k  q, kde q 2 Rx], pak st(f ) = k1 + : : : + kl + st(q), k1
: : :
kl  st(f ), tedy k1 + : : : + kl + st(q)  st(f ). l

l

1. (x ; c1 )k1 jf 2. (x ; c2 )k2 jf , f = (x ; c1 )k1 h1 f(x ; c)l , (kx2 ; d)k c 6= d, jsouk nesoudln )k1jednoznanost rozklad g ) (x ; kc2) jh1 ) : : : (x ; cl ) k1jf = (x ; c1) k : : :  (x ; cl;1)k ;1jhl;1 ) (x ; cl ) jhl;2 ) f = (x ; c1 )  : : :  (x ; cl )  q l

l

Lemma:

Bu R okruh, f
g 2 Rx]. Pak plat: 1. (f + g)0 = f 0 + g0 2. (f:g)0 = f 0 :g + f:g0

l

l

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

12

Vta I.

Je-li prvek c komutativnho okruhu R k-n sobnm koenem polynomu f 2 Rx], pak c je i koenem polynom f 0
f 00
: : :
f (k;1) Dkaz: Pokud a je k-n sobnm koenem pak f = (x ; c)k :q, q 2 Rx]. D le (q:(x ; c)k )0 = k(x ; c)k;1 :q + (x ; c)k :q0 = (x ; c)k;1 (k:q + (x ; c):q0 ) Odsud plyne tvrzen vty. 0

Dsledek vty o potu koen, pou it
derivace.

Bu (R
+
) tleso charakteristiky 0, f 2 Rx], f 6= 0, a 2 R koen f , pak pro libovoln k 2 plat: a je k n sobn koen f () a je (k ; 1) n sobn koen (f
f 0 ) Dkaz: =) Je-li a k n sobn koen, pak a je podle vty I. (k ; 1) n sobn koen f 0 , take (x ; a)k jf , (x ; a)k;1 jf 0 =) (x ; a)k;1 j(f
f 0 ) (x ; a)k 6 jf 0 take urit (x ; a)k;1 6 j(f 0
f ), tedy a je (k ; 1) n sobn koen (f
f 0 ). (= Je-li (k ;1) n sobn koen (f
f 0 ) pak zejmna a je koen f s n sobnost l. Podle pedpokladu pedchoz  sti dkazu je a (l ;1)n sobn koen (f
f 0 ) odtud lze (k ; 1) = (l ; 1) =) k = l

Vta II.

Bu R tleso charakteristiky 0, f 2 Rx], a 2 R a k 2 2 N . Pak plat: Je-li a k-n sobn koen f pak a je (k-1) n sobn koen f 0, d le je-li a jednoduch koen f pak a nen koenem f 0 . Dkaz: Bu a k-n sobn koen f . Pak (x ; a)k jf , (x ; a)k+1 6 jf , d le f = (x ; a)k :g, g 2 Rx] Pak f 0 = ((x ; a)k )0 :g +(x ; a)k :g0 = k(x ; a)k;1 :g +(x ; a)k :g0 = (x ; a)k;1 kg + (x ; a)g0 ] tedy (x ; a)k;1 jf 0 . Kdyby (x ; a)k jf 0 potom vzhledem k jednoznanosti rozkladu v Rx] (x ; a)jkg +(x ; a)g0] odtud (x ; a)jkg. Ponvad k 6= 0 ((R
+
:) je charakteristiky 0) potom (x ; a)jq platilo by (x ; a)k+1 jf . . . SPOR. Tedy (x ; a)k 6 jf 0 ili a je (k ; 1) n sobn koen f 0 .

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

13

VIII. Racionln ko eny polynom nad Q Primitivn
polynom:

Nenulov polynom g 2 Z x] se nazv primitivn, je-li nejvt spolen dlitel vech koe cient roven 1.

Irreducibiln
polynom:

Polynom f 2 Rx] se nazv irreducibiln, jestlie je nekonstantn a nelze jej zapsat ve tvaru souinu dvou nekonstantnch polynom.

Vta o koenu polynomu

Bu R komutativn okruh. Pak c 2 R je koen polynomu f 2 Rx] () (x ; c)jf . Dkaz: (= Jakmile x ; cjf , zejm f (c) = 0. ( f = (x ; c):q ) 0 = (c ; c):q(c) = f (c) ) =) Nech c je koen pak: f = g:q + r existuj q 2 Rx], r 2 R takov, e f = (x ; c):q + r ) r = f ; (x ; c):q ) r = f (c) ; (c ; c):q(c) = 0: Tedy x ; cjf .

Asociovan polynomy:

Bu R tleso. Polynomy f
g 2 Rx] nazvejme asociovan pr v kdy existuje 0 6= c 2 R, tak e plat f = c:g

Lemma:

Kad polynom f 2 Qx] je asociovan s njakm polynomem g 2 Z x]. Dkaz: Nech ( ab )xn + : : : + ( ab11 )x + ( ab00 ), f 2 f x]. c = b1  : : :  bn . Potom jist g = c:f , g 2 Z x]. Dsledek: Pi vyetov n koen polynom z Qx] se sta omezit na Z x]. n

n

Vta o racionln
ch koenech polynomu:

Nech f = an xn + : : : + a1 x + a0 a 2 Z x] a rs je racion ln koen polynomu f takov, e (r
s) = 1. 1. Pak sjan a rja0 . 2. Pro libovoln c 2 Z je (r ; cs)jf (c) Dkaz: 1. Polynom an xn + : : : + a1 x + a0 = 0. Za x dosadme koen ( rs ). an ( rs )n + an;1 ( rs )n;1 + : : : + a1 ( rs ) + a0 = 0j  sn aPnn:rn + an;1 rn;1 :s +P : : n: + a1 :r:sn;1 + a0 :sn = 0 n ; j j :s = j=0 aj :rj :sn;j j =0 an;j :r :sn ) rja0
nebo(r
s) = 1: Pak protoe koen je tvaru ( rs ), rsjjaa0 :r n ) sjan
nebo(r
s) = 1: 0 2. Dlenm polynomu f polynomem (x ; c) nad Z se zbytkem dostaneme: f = (x ; c)h + f (c), h 2 Z x], odtud f (c) = f ; (x ; c)h. Dosazenm ( rs ) za x m me f (c) = f ( rs ) ; ( rs ; c):h( rs ) = ;( rs ; c)h( rs ) nebo rs je koen f . Vyn sobenm sn dostaneme f (c)sn = ;(r ; cs):(sn;1 :h( rs )) take (r ; cs)jf (c)sn , ale ponvad (r
s) = 1 tak (r ; cs
s) = 1, odtud (r ; cs)jf (c).

Okruhy ot
zek k Algebe I.

P.H. & J.W.

14

Dsledek: Tato vta n m umo&uje najt racin ln koeny polynomu, nebo pokud ( rs ) je koenem f pak s:x ; rjf podle vty o koenu polynomu.

Einsensteinovo kritrium:

Bu an xn + : : : + a1 x + a0 a 2 Z x], p prvoslo, pja0
: : :
pjan;1
p 6 jan
p2 6 ja0 . Pak f je irreducibiln nad Qx].

Vta:

Polynom f 2 Z x] je irreducibiln , je irreducibiln nad Q.

K vytvo
en tohoto textu ns pohnla nouze, ale nakonec se nm obma "straka alb
ka" poda
ilo udolat. Aby se Vm poda
ilo tot  Vm p
ej: Petr Handlar Ji
 Wotke