Odkud se vzaly základní geometrické pojmy? Co vidíme na následujících obrázcích?
Odkud se vzaly základní geometrické pojmy? peřina deka povlak postel okno pole záhon plech ubrus koberec papír
natáhnutá, zničená kostka krabice skříň vysoký dům stůl svíčka sloup rozhledna kniha hrací bedna komín
plot ohrada vrata žaluzie záclona vlnitá stříška pruhovaná peřina duha zorané pole čokoláda rohož
natáhnutá, zničená kostka krabice z vlnité lepenky půllitr bez ucha svíčka sloup prkenný stůl plato u vody zebra radiátor skříň klobouk
polštář postel podložka pod talíř ubrus koberec deka tác místo na zaparkování
natáhnutá, zničená kostka bazén stolička stůl vagón bez kol budka na stavbě počítač překážka
záhon pole louka koberec šátek
koberec rám zrcadlo ubrus kapesník polštář krabička na CD dlaždice vitrína pekáč záplata
kostka krabice dům stůl velká postel nafukovací matrace klobouk podstavec pračka hrnec zesilovač
trojúhelník triangl dopravní značka značka na prádle okýnko
střecha špička věže stan čepice štafle hora králičí(kočičí) uši dámský podpatek
trojúhelník
křivá střecha křivý stan skluzavka skokanský můstek horská chata
lampa kopyto bedna násep hráz pyramida
vana květináč miska hrnek bez ucha kyblík košík koryto sýpka žehlička bota kopyto čepice památník hráz
kolo pneumatika kulatý kobereček stoleček poklička kulatý gauč, sedátko od židle obličej sluníčko talíř CD dort, koláč, pizza, ... půlka dortu, koláče, pizzy,... půlka CD poklička podložka arkýř stěrače půlka dortu, koláče, pizzy,... erb úsměv jeviště terasa
míč pomeranč meloun jablko kulička bazén
krtinec hromada země kopec kopule, pozorovatelna čepice boule na sněhu jáma miska květináč hrnek půlka melounu houpačka lampa skrytá kamera
měsíček balkón obličej z profilu
lampa na stěně břicho boule ňadro zvonek jeskyně skrýš ve stěně
plachty čtvrt dortu, koláče, pizzy,... helma vějíř záhon úhloměr
bunkr rozvinutý kornout kopule na hvězdárně skleník střílna čtvrtka melounu
dveře čtvrt dortu, koláče, pizzy,... kyvadlo konzole na poličku sklápěcí stoleček spoušť karlovarský trojhránek
rozvinutý kornout
OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Egypt, 2. pol. 2. tisíciletí př. Kr. Obdélník • základní tvar pole • co je třeba zjistit:
množství zasévaného obilí rozloha kvůli dani
Ramses II. (1279 – 1213 př. Kr.) rozdělil půdu mezi Egypťany tak, že každý obdržel pole čtyřúhelníkového tvaru a stejného obsahu. Z jeho výnosu odváděl každoročně faraónovi daně. Jestliže někomu byla část pole odplavena při nilských záplavách, bylo jeho povinností oznámit to faraónovi, který poslal zeměměřiče, aby škodu zjistili a podle zbylé výměry i správně určili novou daň. (Hérodotos, 5. stol. př. Kr.)
Pruhová míra
obsah pole = počet vyoraných pruhů x délka pruhu Další míry:
čtvereční královský loket secat-johet = 10 000 čtverečních královských loktů (100 vyoraných pruhů)
Trojúhelník Obsah trojúhelníka = součin poloviny základny a výšky
převod na rovnoplochý obdélník
Lichoběžník Obsah trojúhelníka = součin poloviny základny a výšky
převod na rovnoplochý obdélník
Obecný čtyřúhelník Přibližný vzorec:
Kruh
Kruh V dnešní symbolice pro kruh o průměru d:
(
S = d − 1 ⋅d 9
) ( ) 2
= 8 ⋅d 9
2
= 64 ⋅ d 2 . 81
Slovní popis Rhindův papyrus (1560 př. Kr.), příklad č. 50: Metoda výpočtu [obsahu] kruhové plochy Jaký je obsah plochy? Odečti 1/9 z toho, je to 1, zbytek je 8. Počítej s 8 osmkrát, vyjde 64. Toto je obsah v ploše: 64 secat-johet. Srovnání s naším vzorcem: 1 π ⋅ d 2 = 64 ⋅ d 2 , 4 81
tj.
π = 264 = 3,1605. 81
(
S = d − 1 ⋅d 9
) ( ) = 6481 ⋅ d 2
= 8 ⋅d 9
2
2
Odhad obsahu kruhu:
182 − 68 = 256 = 16 2 čtverečků o straně 1 ⋅d 18
– to odpovídá čtverci o straně
(
16 ⋅ d = 8 ⋅ d = d − 1 ⋅ d 18 9 9
)
(výklad odpovídá hojnému využívání čtvercové sítě při projektování egyptských staveb, soch, reliéfů, malířské výzdoby apod.)
Eudoxova exhaustivní metoda Eudoxos z Knidu (asi 408 – 355 př. n. l.) – výrazný pokrok v určování obsahů a objemů – metoda založená na následujícím tvrzení: Jsou-li dány dvě nestejné veličiny a od větší odečteme její část větší než její polovina a od zbytku opět jeho část větší než jeho polovina a budeme tak činit stále, zbude nějaká veličina, jež bude menší než libovolná kladná veličina. Obsah rovinného útvaru A: vepisování mnohoúhelníků, jejichž obsahy jsou známé, S ( P1 ) < S ( P2 ) < < S ( Pn ) , a platí: S ( A) − S ( P1 ) <
( S ( A) − S ( P1 )) S ( A) S ( A) S ( A) < , S ( A) − S ( P2 ) < , … , S ( A) − S ( Pn ) < n . 2 2 4 2
Eudoxos hledal číslo B, pro něž je B − S ( Pn ) menší než libovolná kladná veličina; sporem se pak snadno dokáže, že
S ( A) = B .
Původní Eudoxovy práce se nezachovaly, jeho metoda je rozpracována v Eukleidových Základech napsaných o několik desetiletí později. (např: obsahy kruhů jsou v témže poměru jako obsahy čtverců nad jejich průměry)
Bylo známo: • Obsah kruhu je přímo úměrný druhé mocnině jeho poloměru: S = π 1r 2 • Obvod kruhu je přímo úměrný první mocnině jeho poloměru: O = 2π 2 r Proč jsou obě konstanty shodné?
Bylo známo: • Obsah kruhu je přímo úměrný druhé mocnině jeho poloměru: S = π 1r 2 • Obvod kruhu je přímo úměrný první mocnině jeho poloměru: O = 2π 2 r Proč jsou obě konstanty shodné? Archimedes (asi 287 – 212 př. n. l.) spis Měření kruhu – zachoval se zlomek obsahující tři pozoruhodné matematické věty; první z nich udává právě vztah mezi obvodem a obsahem kruhu: Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníku, jehož délky odvěsen jsou rovny poloměru a obvodu kruhu.
Archimedes (asi 287 – 212 př. n. l.) spis Měření kruhu Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníku, jehož délky odvěsen jsou rovny poloměru a obvodu kruhu.
v dnešní symbolice:
S = 1 ⋅O ⋅ r 2
po dosazení: π1r 2 = 12 ⋅ 2π 2 r ⋅ r ,
tj.
π1 = π 2
Důkaz tvrzení, že platí S = T , exhaustivní metodou:
Předpokládejme, že je S > T . Uvažujme posloupnost vepsaných n-úhelníků pro n = 4,8,16,… . Pro dostatečně vysoké n se bude obsah Sn lišit od S o méně než S − T , tj S > S n > T . Výšky trojúhelníků tvořících mnohoúhelníky jsou ale menší než r a součet délek jejich základen je menší než O, proto musí být S n < T ... spor
Předpokládejme naopak, že je S < T . Analogicky: pro dostatečně vysoké n bude T > S n > S , zároveň však S n > T ... spor
Zjednodušeně: daný kruh se rozdělí na n shodných výsečí, které se poskládají tak, jak ukazuje následující obrázek. S rostoucím n se bude vzniklý útvar přibližovat obdélníku o stranách r a O / 2 , jehož obsah je
S = 12 r ⋅ O
Jan Kepler (1571–1630) Kruh si představil rozdělen na nekonečně malé výseče, které považoval za rovnoramenné trojúhelníky; kružnici tak rozvinul do úsečky AC o délce O, kde délka úsečky X’Y’ je rovna délce úsečky XY:
Tyto trojúhelníky je možné nahradit jinými se stejnými základnami a výškou – tedy se stejným obsahem:
OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem byli egyptští počtáři schopni počítat i objem kvádru. Mezopotámské tabulky obsahují úlohy, kde se hledá objem krychle, kvádru či několika kvádrů. Postup výpočtu lze v naší symbolice napsat obvyklým způsobem:
V = a3 ,
resp.
V = abc,
kde a je délka hrany krychle, resp. a, b, c jsou délky hran kvádru. Mezopotámští počtáři rovněž počítali objem hranolu jako součin obsahu základny a výšky, dále objem klínu (i nepravidelného) a různých těles s lichoběžníkovými podstavami (koryto, hráz).
Válec Objem válce byl ve starém Egyptě i Mezopotámii počítán obvyklým způsobem jako součin obsahu základny a výšky, přičemž obsah kruhové základny byl počítán tak, jak jsme viděli výše. Formulace úloh byla i zde praktická – hledal se například objem obilnice či studny kruhového průřezu.
Jehlan Rhindův papyrus obsahuje několik úloh, v nichž je počítán například sklon stěny pyramidy o čtvercové základně, kde je známa délka strany základny a výška, či výška pyramidy s danou čtvercovou základnou a se známým sklonem stěny.
Jehlan Moskevký papyrus obsahuje velice zajímavou úlohu na výpočet objemu pravidelné komolé pyramidy, tedy pravidelného kolmého komolého jehlanu. Slovní popis řešení této úlohy můžeme v dnešní symbolice vyjádřit vzorcem, který je zcela správný:
V = h ⋅ ( a 2 + ab + b 2 ) , 3 kde a je délka strany dolní čtvercové základny, b je délka strany horní čtvercové základny a h je výška pyramidy.
Možný postup:
( )
V = b ⋅h + 4⋅ 1 ⋅ a −b 3 2 2
2
2 2 ⋅ h + 4 ⋅ 1 ⋅ a − b ⋅ b ⋅ h = 1 ⋅ ⎛⎜ a + ab + b ⎞⎟ . 2 2 3 ⎝ 2 ⎠
– didakticky názorné, z historického hlediska problematické: nemáme žádný doklad o tom, že by Egypťané používali matematickou symboliku a prováděli algebraické úpravy (i když někteří badatelé provádění alg. úprav připouštějí)
Jiné možné odvození: Uvažujme tři takovéto komolé jehlany, první ponechejme celý a druhé dva si představme rozložené na výše uvedená tělesa. K prvnímu komolému jehlanu přidejme čtyři trojboké hranoly (na obrázku modře) odebrané od druhého jehlanu a osm jehlanů odebraných od druhého a třetího jehlanu (na obrázku červeně).
Dohromady: hranol s podstavnou hranou a a výškou h
Z druhého komolého jehlanu zbude hranol s podstavnou hranou b a výškou h, který má objem b 2 h . Třetí komolý jehlan s odebranými „rohy“ přeskládáme tak, že vznikne kvádr s délkami stran a, b, h:
Tato tři tělesa mají dohromady objem h ⋅ ( a 2 + ab + b 2 ) , objem jednoho komolého jehlanu je proto
V = h ⋅ ( a 2 + ab + b 2 ) 3
Ve výše uvedených úvahách jsme využívali poznatek, že objem jehlanu (v tomto případě pravoúhlého) je roven jedné třetině hranolu se stejnou podstavou a výškou. Je pravděpodobné, že tento poznatek staří Egypťané znali – ať již na základě měření či úvah o „rozřezávání“ hranolu. ¨ Snadno si představíme, že krychli lze rozdělit na tři shodné jehlany:
U kvádru je to o něco složitější; nelze jej rozložit na tři shodné jehlany, je však možné jej rozdělit na tři pravoúhlé jehlany, které mají stejný objem (mezi délkami stran podstavy a výškou jsou vždy všechny tři hodnoty a, b, c).
Podle dochovaných pramenů byl poznatek, že objem pyramidy závisí pouze na obsahu podstavy a na výšce, zformulován až ve starém Řecku. Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat:
Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat:
Důkaz vzorce pro objem jehlanu se dochoval v 12. knize Eukleidových Základů napsaných kolem roku 300 př. n. l. Pomocí exhaustivní metody Eukleides nejprve dokázal, že dva jehlany se shodnými základnami a výškami mají stejný objem; v důsledku toho pak platí obdobné tvrzení pro jehlany o shodných mnohoúhelníkových základnách a výškách.
Eukleides, Základy: Libovolný trojboký hranol lze rozdělit na tři trojboké jehlany téhož objemu
ABED je rovnoběžník, trojúhelníky ABE, EDA jsou proto shodné a leží v jedné rovině; jehlany s podstavami ABE, resp. EDA a vrcholem C mají proto stejný objem. Analogicky: že stejný objem mají i jehlany s podstavami ACD, resp. FDC a vrcholem E. Původní hranol jsme tak rozdělili na tři jehlany se shodným objemem: ACDE, ABEC, FDCE. Protože libovolný hranol s mnohoúhelníkovou podstavou lze rozložit na trojboké hranoly, platí i pro libovolný jehlan s mnohoúhelníkovou podstavou, že jeho objem je roven jedné třetině hranolu se stejnou podstavou a výškou.
Kužel Důkaz tvrzení, že objem kužele je roven jedné třetině objemu válce se stejnou podstavou a výškou, dokázal rovněž Eukleides v 12. knize Základů, a to opět exhaustivní metodou. Důkaz není příliš náročný, je však poněkud pracný. Vztah pro povrch pláště kužele odvodil ve svém spise O kouli a válci Archimedes. S využitím exhaustivní metody dokázal: Povrch pláště kužele o poloměru základny r a straně s je roven obsahu kruhu o poloměru rs . Ve školské matematice: Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) Geometria indivisibilius continuorum, 1635 určoval objem tělesa na základě porovnání plošných vrstviček, tzv. indivisibilií (nedělitelné), daného tělesa s obdobnými vrstvičkami v jiném tělese známého objemu. Své výsledky shrnul ve formulaci, kterou dnes nazýváme Cavalieriho principem: Když dvě tělesa mají stejnou výšku a když řezy rovinami, které jsou rovnoběžné s jejich podstavami a mají od nich stejnou vzdálenost, jsou takové, že poměr jejich obsahů je vždy stejný, potom objemy těles mají týž poměr.
V případě kužele s poloměrem podstavy r a výškou h stačí uvažovat jehlan se stejnou výškou a se čtvercovou podstavou o straně 1:
Roviny, které jsou rovnoběžné s podstavami obou těles a jsou vedeny ve stejné výšce, protínají tato tělesa v kruhu, resp. čtverci, jejichž obsahy jsou v konstantním poměru π r 2 :1 . Pro objemy těles pak podle Cavalieriho principu platí: Vk = π r2, Vj
tedy
Vk = π r 2V j ,
kde Vk je objem daného kužele a V j je objem uvedeného jehlanu s jednotkovou 2 1 podstavou, který je roven V j = 13 h . Objem kužele je proto roven Vk = 3 π r h .
Koule Archimedes (asi 287 – 212 př. n. l.), spis O kouli a válci pomocí exhaustivní metody dokázal:
• Povrch koule je roven čtyřnásobku obsahu kruhu o stejném poloměru. • Objem koule je roven čtyřnásobku objemu kužele, jehož poloměr základny i výška jsou rovny poloměru koule. ⇒ konstanta π vystupující ve vzorcích pro výpočet obvodu a obsahu kruhu, se objevuje i ve vzorcích pro výpočet objemu a povrchu koule
Jiná formulace:
• Povrch koule je roven dvěma třetinám povrchu opsaného válce, tj. povrchu pláště opsaného válce. • Objem koule je roven dvěma třetinám objemu opsaného válce.
Uvedená tvrzení jsou pro žáky dobře zapamatovatelná a mohou jim proto sloužit k vybavení vzorců pro výpočet povrchu a objemu koule. Budeme-li totiž uvažovat kouli o poloměru r a jí opsaný válec, tedy válec o poloměru r a výšce 2r, pak objem tohoto válce je π r 2 ⋅ 2r = 2π r 3 a povrch 2π r ⋅ 2r + 2π r 2 = 6π r 2 ; podle zmíněných tvrzení tedy pro objem a povrch koule platí:
V = 4 π r3, 3
S = 4π r 2 .
Důsledek: Objemy kužele o poloměru základny r a výšce 2r, koule o poloměru r a válce o poloměru r a výšce 2r jsou v poměru 1 : 2 : 3.
Jan Kepler (1571–1630) Předpis pro objem koule: Kouli o poloměru r si představil rozřezanou na nekonečně mnoho jehlanů s vrcholy ve středu koule, základnou na povrchu a výškou rovnou poloměru koule.
Součet objemů těchto jehlanů: V=⅓ Ar kde A = 4π r 2 je povrch koule.
Objem koule je tedy
V = 43 π r 3 .
