Oceňování finančních investic A. Dluhopisy (bondy, obligace) 1. Klasifikace obligací a) podle kupónu - konvenční obligace (straight, plain vanilla, bullet bond) vyplácí pravidelný (roční, pololetní) kupón po předem stanovenou dobu, při splatnosti jednorázová splátka jistiny - obligace s nulovým kupónem (zero-coupon bond) veškerý hotovostní tok soustředěn do okamžiku splatnosti bezkupónové obligace často vznikají porcováním (stripováním) kupónové obligace - obligace s variabilním kupónem velikost kupónu je odvozena od referenční veličiny, což může být pohyblivá úroková sazba (FRN, floating rate note), inflace (indexovaná obligace), akciový index, cena suroviny, aj. b) podle termínu splatnosti - pevný termín splatnosti pětiletá (5Y) obligace, desetiletá (10Y) obligace, apod. - bez stanoveného termínu splatnosti konzola, perpetuita - variabilní termín splatnosti c) podle emitenta - vládní, komunální, podniková (korporátní) obligace - domácí (emitent je rezident) vs. zahraniční (emitent je nerezident) obligace s barvitými názvy: Samurai (Japonsko), Yankee (USA), Bulldog (UK), Matador (Španělsko), Kiwi (Nový Zéland), Alpine (Švýcarsko) v obou případech je obligace denominována v rezidentní měně - euroobligace (obligace emitovaná v nerezidentní měně) d) podle rizika úvěruhodnosti (default risk, credit risk) stupnice ratingových agentur pro kreditní riziko emitenta : Standard & Poor's, Moody's, Fitch stupně: investiční (do BBB- včetně), spekulativní, prašivé obligace (junk bond)
1
2. Oceňování obligací Korektní cena (fair price) je definována jako současná hodnota budoucího hotovostního toku obligace P ... cena obligace, M ...nominální hodnota (jistina), c ... kupónová sazba, C ( = cM ) ... velikost kupónu, r … diskontní sazba (výnosová míra), T …doba do splatnosti a) roční diskontování ročních kupónových plateb:
plochá výnosová křivka zi = r
inverzní vztah ceny a diskontní sazby (výnosu do splatnosti) c = r => P = M (obligace s prodává za pari čili za svoji nominální hodnotu) zohlednění narostlého kupónu (τ … počet dní do nejbližší výplaty kupónu)
4
Perpetuita (perpetuity, konsole)
2
3. Narostlý kupón plná cena (full price, dirty price) je cena obligace stanovená na bázi diskontované hodnoty veškerého budoucího hotovostního toku z obligace (tržní cena obligace) čistá cena (clean price) je plná cena snížená o narostlý kupón (kótovaná cena obligace) narostlý (naběhlý) kupón (accrued coupon) je částka, kterou je při prodeji obligace kompenzován prodávající resp. kupující za neobdržení alikvotní části kupónu C ... dny výplaty kupónu, celý kupón vyplacen zaregistrovanému držiteli obligace t
X ... den bez dividendy (ex-dividend day), je důležitý pro určení příjemce narostlého t
kupónu
a) obligace prodána v čase t (před dnem bez dividendy) 1
celý příští kupón C připadne kupujícímu (obligace je prodána s dividendou), 2
prodávající proto musí být kompenzován za držení obligace v období (C t ) 1, 1
zaplacená cena bude vůči čisté ceně vyšší o
b) obligace prodána v čase t (po dni bez dividendy) 2
celý příští kupón C připadne prodávajícímu (krátká doba pro přeregistraci), 2
kupující proto musí být kompenzován za držení obligace v období (t C ) zaplacená cena bude nižší o
2,
2
4. Měření výnosů obligace 3
a) výnos do splatnosti (yield to maturity, YTM) diskontní sazba, při které se diskontovaný hotovostní tok rovná ceně obligace je dána řešením rovnice
Obligace má plnou cenu 96,50 $ a anualizovaný kupón (vyplácený pololetně) 8,75 $. Zbývá jí právě jeden rok do splatnosti. Jaký je její výnos do splatnosti?
omezení: i) ignorováno reinvestiční riziko
levá strana: výnos ze zainvestované částky ve výši ceny obligace pravá strana: koncová hodnota průběžně reinvestovaných kupónů ekvivalence obou investičních příležitostí nastává pouze v případě, že všechny kupóny lze reinvestovat za YTM sazbu ii) výnos do splatnosti nezajímavý v případě prodeje obligace před splatností
b) faktický výnos obligace výnos do splatnosti je nahrazen explicitním odhadem budoucích reinvestičních sazeb
4
P ... kupní cena obligace, P ... očekávaná prodejní cena obligace, r ... očekávané B
S
reinvestiční sazby omezení: nejistota odhadů budoucích úrokových sazeb
t
c) běžný výnos (current yield)
omezení: nebere v úvahu kapitálový zisk/ztrátu, proto je vhodný pro obligace s dlouhou dobou do splatnosti, kdy je kapitálový zisk méně významný d) jednoduchý výnos do splatnosti
Obligace s kupónem 8,75 $ na 100 $ nominále je zakoupena za 95,3 $ a držena dva roky do splatnosti.
e) výnos peněžního trhu obligace krátce před splatností představuje krátkodobou investiční příležitost, jejíž výnosnost je třeba porovnat s ostatními instrumenty peněžního trhu použity konvence peněžního trhu (přesný počet dní v měsíci, jednoduché úročení, aj.) f) paritní výnos kupónová sazba, při které se cena obligace rovná své nominální hodnotě paritní výnos pro T-letou splatnost se získá řešením rovnice
5
kupón pari obligace je současně jejím výnosem do splatnosti odvození pari sazeb z nulových sazeb:
d je diskontní faktor t-leté bezkupónové obligace t
6
B. ANALÝZA VÝNOSOVÉ KŘIVKY 1. Empirická výnosová křivka Výnosová křivka (yield curve) resp. splatnostní struktura úrokových sazeb (term structure of interest rates) je funkční vztah mezi výnosovou mírou a splatností. Je konstruovaná z existujících obligací téže třídy rizika (vládní dluhopisy, podnikové obligace, apod.)
nedostatky: - implicitní předpoklad, že kupón je reinvestován při úrokové sazbě rovné výnosu do splatnosti (abstrahováno od reinvestičního rizika) - souběžná existence obligací se stejnou splatností ale rozdílným kupónem a tržní cenou (proto i s odlišným výnosem do splatnosti) 2. Křivka nulových sazeb (zero-coupon yield curve) t-letá nulová sazba (z ) je výnos t-leté bezkupónové obligace t
7
výnosy bezkupónových obligací nejsou vždy přímo pozorovatelné, odvozují se však z výnosů dostupných obligací metodou extrakce (bootstrapping) porcování obligace (stripping) při absenci arbitrážních příležitostí by se současná hodnota obligace vyplácející kupón měla rovnat současné hodnotě souboru bezkupónových obligací, jejichž hotovostní tok je replikou hotovostního toku podkladové obligace
formulace problému: na trhu lze odpozorovat výnosy r1, r2, …., rT kupónových pari obligací se splatnostmi 1, 2, …, T pari obligace je taková obligace, která se prodává za svoji nominální hodnotu, takže její kupón se současně rovná výnosu do splatnosti (obecně se dá použít jakákoli sada obligací, výsledek porcování však bude tímto arbitrárním rozhodnutím ovlivněn) hledá se soubor nulových sazeb z1, z2, …., zT jako výnosů hypotetických bezkupónových obligací • nulová sazba pro jednoletou splatnost jednoletá obligace je bezkupónová obligace
• nulová sazba pro dvouletou splatnost současná hodnota pari obligace:
současná hodnota stripované pari obligace:
8
absence arbitrážních příležitostí zajišťuje rovnost obou výrazů, což implikuje jednu rovnici pro neznámou z 2
alternativní odvození: zakoupení dvouleté pari obligace a současně emitování jednoleté obligace o nominální hodnotě rovné diskontované hodnotě prvního kupónu dvouleté obligace
výnos investice do syntetické dvouleté bezkupónové obligace
• nulová sazba pro T-letou splatnost při postupné znalosti sazeb z , …, z 1
T-1
lze z získat řešením rovnice T
9
Stanovení nulových sazeb pro zadanou splatnostní strukturu Splatnost 1 2 3
r
z
t
t
10,00 10,00 10,25 10,26 10,75 10,83
praktické problémy: - volba reprezentanta mezi kupónovými obligacemi dané splatnosti (pari výnosy nemusí být vždy k dispozici) - mezery ve splatnostech (použity techniky interpolace výnosů a prokládání výnosové křivky ¨
3. Implikované forwardové sazby implikovaný forwardový výnos (forward-forward yield) je teoretický výnos bezkupónové obligace dané splatnosti zakoupené ve stanoveném budoucím okamžiku f
t t+p
... výnos p-leté bezkupónové obligace nabyté ode dneška za t období (symbolika FRA: 3*6, 6*12, apod.)
vztah nulových a forwardových sazeb investiční alternativy: - zakoupení dvouleté bezkupónové obligace o dnes známém výnosu z
2
- zakoupení jednoleté obligace o dnes známém výnosu z a reinvestování výtěžku opět do jednoleté obligace o dnes neznámém výnosu f absence bezrizikové arbitráže:
1
1 2
10
nulová sazba je geometrickým průměrem forwardových sazeb (z1 = 0f1) obecný vztah nulových a forwardových sazeb
z ... nulová sazba t-leté bezkupónové obligace (t = 1,...,T) t
f ... (T-t)-letá forwardová sazba očekávaná ode dneška za t období
t T
Predikování úrokových sazeb Teorie ryzího očekávání (PEH): implicitní forwardová sazba je nejlepším odhadem budoucí úrokové sazby
rostoucí výnosová křivka (z < z ) implikuje očekávání růstu úrokových sazeb 1
2
klesající výnosová křivka (z > z ) implikuje očekávání na pokles sazeb 1
2
Příklad: Na trhu lze pozorovat výnos jednoleté, resp. dvouleté obligace ve výši 6,5 %, resp. 7 %. Jaký jednoletý výnos trh momentálně očekává ode dneška za rok?
Trh očekává růst výnosů čili pokles cen obligací. 11
4. Oceňování obligací s pohyblivým kupónem Hotovostní tok obligace s pohyblivým kupónem je odvozen od budoucích (dnes neznámých) sazeb. lze aplikovat forwardové sazby jako nejlepší dostupnou prognózu
Příklad: Obligace o nominální hodnotě 100 mil EUR vyplácí kupón v pravidelných šestiměsíčních intervalech indexovaný sazbou 6M Libor. Jakou hodnotu má obligace, jestliže k nejbližší výplatě kupónu zbývají 2 měsíce? Aktuální 2M Libor činí 6,5 % a 6M Libor platný před 4 měsíci byl 7,5 %.
Prezentace a příklady z přednášek a cvičení:
E:\VSFS\OFI\ E:\VSFS\OFI\Cvičení\ E:\VSFS\OFI\Cvičení\ Přednášky\02\OFI_2_Interest 02\Moody rates.ppt Sovereign Ratings.xls 01\Bond Issue All.xls
E:\VSFS\OFI\Cvičení\ 02\Bond YC HW.xls
Literatura: Cipra, T. – Matematika cenných papírů, HZ, 2000 Budinský,P., Záškodný,P. – Finanční a investiční matematika, VŠFS
12
