Obsah OBSAH Úvod Způsob výpoˇctu interního ratingu Definice škály interních ratingů Semimarkovské procesy 9

OBSAH

1

Obsah 1. Úvod

6

1.1. Zp°usob výpoµctu interního ratingu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. De…nice škály interních rating°u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2. Semimarkovské procesy 2.1. De…nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9

2.2. Semimarkovský proces v µcase t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. Doba do zmµeny

14

3.1. Nejjednodušší pµrístup: exponenciální rozloµzení . . . . . . . . . . . . . 14 3.2. Doba do zmµeny jako smµes -rozloµzení . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3. Pouµzití Diracova delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4. Doba do zmµeny s periodickými výkyvy . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4. Markovovy µretµezce

22

4.1. Matice pµrechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 µ 4.2. Casová homogenita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3. Závislost na ekonomickém cyklu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4. Testy markovské vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.5. Nezávislost na souµcasném stavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5. Empirická analýza

29

5.1. Pouµzitá data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2. Analýza náhodné veliµciny doba do zmµeny . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2.1. Sezónnost zmµen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2.2. Histogram doby do zmµeny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2.3. Analýza zmµeny bµehem prvního mµesíce . . . . . . . . . . . . . 34 5.2.4. Závislost doby do zmµeny na ratingu . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2.5. Závislost mezi dobou do zmµeny a smµerem zmµeny ratingu . . . 37 5.3. Matice pµrechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3.1. Empirická matice pµrechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3.2. Testy markovské vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4. Zmµeny vlastností ratingových systém°u v období …nanµcní krize . . . . 44 5.4.1. Poµcátek …nanµcní krize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.4.2. Poµcty zmµen v období …nanµcní krize . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.4.3. Zmµeny v charakteru matice pµrechodu . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4.4. Zmµeny v charakteru náhodné veliµciny doba do zmµeny . . . . . 51 5.5. Porovnání s výsledky jiných výzkum°u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6. Pouµzití teoretického rámce v praxi

55

6.1. Model zaloµzený na exponenciálním rozloµzení . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2. Periodická funkce hustoty doby do zmµeny . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.3. Model zaloµzený na smµesi s Diracovo delta . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7. Popis zpracování dat

65

7.1. Extrakce dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.2. Provedené databázové dotazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8. Závµer

71

9. Bibliogra…e

72

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta µ DISERTACNÍ PRÁCE

Mgr. Markéta Benková Semimarkovský model pro µrízení kreditního rizika Katedra pravdµepodobnosti a matematické statistiky Školitel disertaµcní práce: Prof. RNDr. Petr Mandl, DrSc. Studijní program: Finanµcní a pojistná matematika

Tímto bych chtµela podµekovat svému školiteli, Prof. RNDr. Petru Mandlovi, DrSc., za jeho cenné rady pµri psaní mé disertaµcní práce.

Prohlašuji, µze jsem svou disertaµcní práci napsala samostatnµe a výhradnµe s pouµzitím citovaných pramen°u. Souhlasím se zap°ujµcením práce. V Praze 1. 10. 2010 Markéta Benková

Název práce: Semimarkovský model pro µrízení kreditního rizika Autor: Markéta Benková Katedra: Katedra pravdµepodobnosti a matematické statistiky, obor Finanµcní a pojistná matematika Školitel disertaµcní práce: Prof. RNDr. Petr Mandl, DrSc. Abstrakt: S nástupem Nové basilejské kapitálové dohody, na kterou pµristoupila vµetšina µceských bank v pr°ubµehu let 2007 a 2008, se výraznµe zvýšila d°uleµzitost interních rating°u pro hodnocení zdraví celého …nanµcního sektoru. Interní ratingy jsou pouµzívány pro výpoµcet a alokaci kapitálu i pro stanovování úrokových sazeb a marµzí. Právµe zmµeny interních rating°u jsou velmi zµrejmými aplikacemi vícestavových model°u. Pouµzitím metod obvyklých pro analýzu semimarkovských proces°u je moµzné analyzovat strukturu zmµen interních rating°u, sledovat doby, za které se ratingy zmµení, a zamµeµrit se i na matice pµrechodu samotné. D°uleµzitou souµcástí práce je srovnání daných parametr°u sledovaných v období ekonomické stability a poté i v období …nanµcní krize, odstartované pádem banky Lehman Brothers v záµrí 2008. Klíµcová slova: Semimarkovské procesy, Markovovy procesy, Homogenita Markovových proces°u Title: Semimarkovian model for credit risk management Author: Markéta Benková Department: Department of Probability and Mathematical Statistics, Financial and Insurance Mathematics Supervisor: Prof. RNDr. Petr Mandl, DrSc. Abstract: With the arrival of the New Basel Capital Accord, which was acknowledged by most of Czech banks during the years 2007 and 2008, the importance of internal ratings for the assessment of the health of the whole …nancial sector has grown tremendously. Internal ratings are now used for the calculation and allocation of capital, as well as for the determination of interest rates and margins. It is the changes of internal ratings which are obvious applications of the multi-states models. Through the use of methods usual for the Semimarkovian chains analysis, it is possible to analyze the structure of the internal ratings changes, to monitor the periods between successive changes, and to focus also on the transition matrices themselves. The important part of this work is the comparison of given parameters as observed during steady times, and during the …nancial crises, which dates from the fall of the Lehman Brothers in September 2008. Keywords: Semimarkovian processes, Markovian processes, Homogeneity of Markovian processes

1 ÚVOD

1

6

Úvod

Jiµz v roce 2001 zveµrejnila Banka pro mezinárodní vypoµrádání koncepci Nové basilejské kapitálové dohody, jejímµz cílem byl pµresnµejší výpoµcet kapitálového poµzadavku. Toto zpµresnµení se týkalo zejména výpoµctu kapitálového poµzadavku ke kreditnímu riziku, který mµel novµe, v rámci pokroµcilých pµrístup°u, brát v potaz interní ratingy pµriµrazené jednotlivým dluµzník°um samotnými bankami. Banky se tedy zaµcaly ve velké míµre vµenovat právµe zp°usob°um stanovení interních rating°u. S tímto trendem se zároveµn objevila nutnost lepšího pochopení interních rating°u vµcetnµe de…nování správného matematického aparátu. Logickými nástroji se staly metody pouµzívané pro analýzu vícestavových model°u, mezi které se µradily zejména modely zaloµzené na Markovových a semimarkovských procesech. Tato práce si klade základní cíl, a sice vytvoµrit pµríruµcku pro implementaci semimarkovských proces°u do µrízení kreditního rizika. Ty mají oproti bµeµznµe pouµzívaným model°um dvµe velké výhody: nejsou vázány na µzádný µcasový rámec a hustota náhodné veliµciny doba do zmµeny m°uµze být de…nována libovolnµe. Ostatní modely oproti tomu vµetšinou pracují pouze s roµcním µcasovým horizontem a doba do zmµeny má exponenciální rozdµelení. Na zaµcátku tedy bude de…nován matematický aparát speci…cký právµe pro modely zmµen interních rating°u. Dále budou za pomoci reálných dat prozkoumány základní vzorce, kterými se zmµeny interních rating°u µrídí. Bude zkoumána µcasová a strukturální nehomogenita daných proces°u. V neposlední µradµe má tato práce ambici porovnat tyto vzorce chování v pµrípadµe období stabilního hospodáµrského µ r°ustu, jakým bylo v Ceské republice období do zaµcátku roku 2008, se situací …nanµcní krize, kterou je moµzno datovat od µctvrtého µctvrtletí roku 2008, kdy byla tato krize mediálnµe odstartována pádem banky Lehman Brothers. Nakonec budou sestaveny dílµcí modely vyuµzívající matematický aparát v této práci de…novaný. Po prostudování této práce by mµelo být zµrejmé, jak semimarkovské procesy pouµzít, na co se zamµeµrit a naopak které aspekty nejsou pµríliš d°uleµzité. Tato práce byla napsána v programu Scienti…c WorkPlace, který umoµzn µ uje i základní matematické výpoµcty zaloµzené na výpoµcetním programu Maple. Databázové operace byly provádµeny v programu Microsoft Access a výpoµcetní operace probíhaly v programu Microsoft Excel. Nµekteré statistické testy byly provádµeny pomocí programu Statistica, verze 8. Bibliogra…e byla vedena v programu BibDB a vygenerována standardním nástrojem BibTEX.

1 ÚVOD

1.1

7

Zp°usob výpoµctu interního ratingu

Kaµzdá banka si stanovuje systém svých interních ratingových kategorií podle vlastních kritérií. Aby bylo moµzné interní ratingy pouµzít pro výpoµcet kapitálového poµzadavku, je však nutné splnit µradu pµrísných kritérií. Minimálnµe musí …nanµcní instituce garantovat, µze ratingy jsou aktuální a pµri jejich stanovení bylo pouµzito všech dostupných informací. Bµeµznµe se pµri stanovování interních rating°u vychází z tzv. skóringu. Skóring pomocí logistické regrese pµriµrazuje vstupním parametr°um popisujícím stav daného dluµzníka urµcitou pravdµepodobnost selhání. Tyto vstupní parametry bývají µcasto zaloµzeny na …nanµcních výkazech. Tento zp°usob pµriµrazení interního ratingu se nazývá aplikaµcní skóring a jeho výsledek závisí na tom, zda se bance podaµrí získat pravdivé a aktuální …nanµcní výkazy. Další moµzností je tzv. behaviorální skóring, coµz je opµet pravdµepodobnostní model, tentokrát však zaloµzený na pr°ubµeµznµe aktualizovaných parametrech popisující chování daného dluµzníka, napµríklad jeho platební morálku. Jinými slovy, behaviorální skóring se pokouší na základµe transakµcní historie daného dluµzníka pµredpovídat jeho schopnost splácet své pohledávky. Tento zp°usob umoµzn µ uje bance pruµznµe reagovat na zmµeny v rizikovém pro…lu svých dluµzník°u. µ Casto je skóring vypoµcítaný pomocí matematického modelu dále revidován odborným pracovníkem, který na základµe konkrétních podmínek platných pro daného dluµzníka subjektivnµe stanoví interní rating. V pµrípadµe, µze se výsledný rating pµríliš liší od vypoµcítaného skóringu, m°uµze pµridµelení tohoto ratingu podléhat urµcitému schvalovacímu procesu tak, aby byl zajištµen urµcitý stupeµn objektivity. Nµekdy m°uµze být naopak expertní odhad jediným zdrojem pro urµcení interního ratingu. V takovém pµrípadµe interní rating vychází ze subjektivního názoru pµríslušného zamµestnance a banka musí mít stanoveny mechanismy, jak zajistit, aby tento subjektivní názor nevyboµcoval z urµcitých daných mezí.

1.2

De…nice škály interních rating°u

Celá škála interních rating°u také bývá nµejakým konkrétním zp°usobem de…nována. Nejµcastµejší moµzností je de…nice na základµe konstantních pravdµepodobností selhání pro jednotlivé ratingové kategorie. Znamená to, µze banky pµridµelují ratingové kategorie tak, aby se v dané ratingové kategorii nacházeli pouze dluµzníci s pravdµepodobností selhání spadající do urµcitého intervalu. Napµríklad ratingová kategorie 3 s de…novanou pravdµepodobností selhání 2% obsahuje ty dluµzníky, u nichµz banka pµredpokládá pravdµepodobnost selhání od 1,75% do 3%.

1 ÚVOD

8

V tomto pµrípadµe zajímavá situace nastává, pokud se výraznµe zmµení podmínky na trhu, napµríklad v d°usledku celosvµetové …nanµcní krize. Pravdµepodobnost selhání se zvyšuje napµríµc celou ratingovou škálou a banky, aby zajistily nemµennou pravdµepodobnost selhání v daných ratingových kategoriích, jsou nuceny sníµzit rating plošnµe velkému mnoµzství svých dluµzník°u. Další moµzností, jak de…novat škálu interních rating°u, je zachovat stabilní rating pro konkrétního dluµzníka, i pµres mµenící se podmínky na trhu. Pak je ale jasné, µze pravdµepodobnost selhání v jednotlivých ratingových kategoriích se bude mµenit a tedy napµríklad poroste bµehem …nanµcní krize. Další moµzností, kterou zde m°uµzeme zmínit, je de…nice škály interních rating°u tak, aby bylo zachováno urµcité rozloµzení rating°u napµríµc portfoliem. Napµríklad tedy ratingová kategorie 1 m°uµze být pµridµelena 1% dluµzník°u, ratingová kategorie 2 4% dluµzník°u, ratingová kategorie 3 10% dluµzník°u a tak dále. Je evidentní, µze tento zp°usob pµridµelení opµet nezaruµcuje stálé pravdµepodobnosti selhání v daných ratingových kategoriích a tento parametr se bude mµenit nejen pµri mµenících se podmínkách na trhu, ale i napµríklad pµri výraznµejší zmµenµe charakteru portfolia dané banky, pokud banka jednorázovµe uzavµre smlouvy s velkým mnoµzstvím z hlediska ratingových kategorií homogenních dluµzník°u.

2 SEMIMARKOVSKÉ PROCESY

2 2.1

9

Semimarkovské procesy De…nice

Trajektorii semimarkovského procesu popisuje Mandl v [10] jako posloupnost stav°u = f n ; n = 1; 2:::g, jimiµz trajektorie prochází, a posloupnost dob setrvání ve stavech f n ; n = 1; 2:::g. ξ3 ξ1 ξ2

σ1 τ1

ξ4 σ2

τ2

σ3 τ3

σ4 τ4

De…nice semimarkovského procesu vyµzaduje, aby byl homogenní Markov°uv µretµezec, a dále aby platilo pro libovolné t1 ; t2 : : : tn 2 [0; 1) a i1 ; i2 : : : in 2 I reprezentující mnoµzinu moµzných stav°u: P(

1

t1 ;

t2 ; : : : n tn j 1 = i1 ; 2 = i2 ; : : : = Fi1 i2 (t1 ) Fi2 i3 (t2 ) : : : Fin 1 in (tn ) ; 2

n

= in )

(1)

kde Fi1 i2 (t) = P ( 1 tj 1 = i1 ; 2 = i2 ). V dalším textu dále oznaµcíme fuv (t) hustotu odpovídající distribuµcní funkci Fuv (t) pro libovolné stavy u a v. Tuto de…nici lze zjednodušit, pokud neuvaµzujeme, µze doba do další zmµeny závisí na dalším stavu, pak fuv (t) = fu (t) pro všechna v: Zp°usob, jakým lze aplikovat teorii semimarkovských proces°u do teorie zmµen ratingových kategorií, je zµrejmý. Doby setrvání ve stavech f n ; n = 1; 2:::g nám reprezentují doby do zmµeny ratingové kategorie daného dluµzníka a posloupnost stav°u = f n ; n = 1; 2:::g vyjadµruje jednotlivé ratingové kategorie, které byly danému dluµzníkovi pµridµeleny. Matice pravdµepodobností pµrechodu odpovídající Markovovµe µretµezci bude v dalším textu oznaµcena P , její jednotlivé prvky budou znaµceny pij . Dále oznaµcíme pravdµepodobnost po n pµrechodech výrazem pij (n), tedy pij (n) = P (

n+1

= j;

1

= i):

Z vlastností matic pµrechodu víme, µze matice tvoµrená prvky pij (n) je rovna n-té mocninµe p°uvodní matice P:


10

Semimarkovský proces v µcase t

2.2

Základní otázka je, do jakého stavu se daný semimarkovský proces dostane v µcase t, respektive pravdµepodobnostní rozloµzení jednotlivých moµzností. Tuto otázku µreší se stejným výsledkem napµríklad Mandl [10], str. 75–80 nebo Howard [4], str. 694. Jak píše Howard [4], pravdµepodobnost výskytu ve stavu k v µcase t za pµredpokladu poµcáteµcního stavu i lze rozepsat jako souµcet dvou sµcítanc°u. První z tµechto výraz°u vyjadµruje pµrípad, kdy stav k je totoµzný s poµcáteµcním stavem i a bµehem doby t k µzádné zmµenµe nedojde. Druhý výraz je pak vyjádµrením pµrípadu, kdy pµred zmµenou do stavu k došlo ke zmµenµe na nµekterý stav j. pik (t) = P (Xt = kjX0 = i) = =

ik P ( 1

> tjX0 = i) +

XZ

t

fij ( ) pij pjk (t

)d :

0

j

S konvolucí funkcí fij a pjk v této rovnici lze dále pracovat pomocí Laplaceovy transformace, která je de…nována pro lokálnµe integrovatelné funkce f (t); t 0 jako Z 1 e st f (t)dt: (2) f (s) = 0

V pµrípadµe Laplaceovy transformace platí, µze Laplaceova transformace konvoluce dvou funkcí je souµcin Laplaceových transformací tµechto dvou funkcí: Z t f1 ( )f2 (t )d = f1 (s)f2 (s); 0

a dále µze Laplaceova transformace primitivní funkce je Laplaceovou transformací p°uvodní funkce, lomenou s: Z t f (s) : f ( )d = s 0 Nyní jiµz lze snadnou nahlédnout P(

1

> tjX0 = i) =

XZ

1

e

st

P(

1

> tjX0 = i)dt =

0

fij ( )

Z

1

e

st

1

0

=

1 s

1 = s

X

pij

0

j

1

Z

X j

pij d a tedy

t

j

Z

1

1

e

st

Z

j

t

0

!

X

pij fij (s) ;

pij

Z

fij ( )d dt =

0

t

fij ( )d

!

dt =

2 SEMIMARKOVSKÉ PROCESY a

Z

11

t

fij ( ) pij pjk (t

= pij fij (s) pjk (s) :

)d

0

Díky tomu lze tento výraz zjednodušit v termínech Laplaceovy transformace jako: X 1 (1 fi (s)) + pij fij (s) pjk (s) ; kde s j X fi (s) = pij fij (s)

pik (s) =

ik

(3)

j

Jinou moµznost výpoµctu této pravdµepodobnosti nabízí Mandl [10]. I v tomto pµrípadµe hledáme pravdµepodobnost výskytu ve stavu k v µcase t: pik (t) = P (Xt = kjX0 = i): Pokud oznaµcíme distribuµcní funkci po n-té zmµenµe ratingové kategorie jako n

Fik (t) = P (

tj

n

= i;

1

= k);

n+1

pak pµríslušná hustota bude vyjádµrena výrazem n

fik (t) = =

d P( dt

d P( dtX

n

tj

P(

2

1

= i;

n+1

= i2 : : :

n

i2 :::in 2I

tj

n

1

= i;

2

= i2 : : :

n

= k)

= in j

= in ;

1

= i;

n+1

n+1

= k)

= k):

První µcást výrazu lze jednoduše rozepsat díky vlastnostem matice pµrechodu Markovova µretµezce : P(

= i2 : : : n = in j 1 = i; n+1 = k) = P ( 1 = i; 2 = i2 : : : n = in ; n+1 = k) = = P ( 1 = i; n+1 = k) pii2 pi2 i3 : : : pin k = pik (n)

2

Druhou µcást lze rozepsat pomocí konvolucí funkcí fij (t). Zvolme Gik (t) = P ( Z t = 0

n n 1

tj

1

= i;

2

= i2 ;

fiin (y) Fin k (t

3

y)dy

= i3 ; : : :

n

= in ;

n+1

= k) =


12

a pak d Gik (t) = dt Z d tn 1 fiin (y) Fin k (t y)dy = = dt 0 Z t d n 1 @ = fiin (y) Fin k (t y)dy = dt @t Z0 t n 1 = fiin (y) fin k (t y)dy =

gik (t) =

0 n 1

= fiin fin k (t) = = fii2 fi2 i3 fin k (t); kde znak

oznaµcuje konvoluci dvou funkcí.

Výraz n fik (t) pak lze zapsat následovnµe: X pii pi i : : : pi k n 2 2 3 n fik (t) = fii2 pik (n) i :::i 2I 2

fin k (t):

(4)

n

Pokud provedeme Laplaceovu transformaci na obou stranách rovnice (5), získáme rovnici: X pik (n) n fik (s) = pii2 fii2 (s) pin k fin k (s); i2 :::in 2I

a tedy lze napsat

pik (t) = P (Xt = kjX0 = i) =

ik P (

1

> tjX0 = i) +

1 X

P(

n

t<

n+1 ; n+1

= kjX0 = i):

n=1

Nyní jiµz m°uµzeme pouµzít výsledek (4) a celý výraz upravit v Laplaceovµe transformaci. Získáváme pak: X (5) pik (s) pij fij (s) pjk (s) = 0 pro i 6= k j

pii (s)

X

pij fij (s) pji (s) =

j

kde fi (s) =

X

1 (1 s

fi (s))

pij fij (s) ;

j

a tento výsledek je identický s pµredchozím výrazem (3). Vyµrešením této soustavy rovnic pak dostáváme Laplaceovu transformaci funkce pravdµepodobnosti výskytu ve stavu k v µcase t. Aby byla soustava snadno µrešitelná


13

a hledání inverzní Laplaceovy transformace nebylo pµrílišobtíµzné, je vhodné uvaµzovat zejména o takových funkcích, jejichµz Laplaceova transformace pµredstavuje nµejakou racionálnµe lomenou funkce v s. Po vyµrešení soustavy pak dostáváme výsledek opµet jako racionálnµe lomenou funkci v s, coµz umoµzn µ uje získat po rozkladu na parciální zlomky relativnµe jednoduše inverzní Laplaceovu transformaci tohoto výsledku.

µ 3 DOBA DO ZMENY

3

14

Doba do zmµeny

Doba do další zmµeny je zásadní veliµcinou, která vstupuje do analýzy semimarkovských proces°u. V této kapitole budou naznaµceny nµekteré moµznosti, jak k této náhodné veliµcinµe pµristoupit. Vzhledem k výsledk°um pµredchozí kapitoly je vhodné, zejména pokud chceme získat analytické vyjádµrení pro pravdµepodobnost pµrechodu mezi stavy po dobµe t, aby byla tato hustota funkcí, ke které lze nalézt Laplaceovu transformaci ve tvaru racionálnµe lomené funkce.

3.1

Nejjednodušší pµrístup: exponenciální rozloµzení

Doba do zmµeny se bµeµznµe v modelech vyuµzívajících pouze Markovovy µretµezce povaµzuje za veliµcinu s exponenciálním rozloµzením. Zjednodušíme prozatím naši úvahu na pµrípad, kdy doba do zmµeny nezávisí na novém stavu, tedy fij (t) = fi (t) 8j 2 Infig: Hustota je v takovém pµrípadµe vyjádµrena funkcí fi (t) = qi e qi t a qi je zde intenzita Poissonova procesu, který vyjadµruje poµcet zmµen do doby t. Laplaceova transformace této funkce je fi (s) =

qi : (s + qi )

V takovém pµrípadµe lze jednoduše ukázat, µze dosazením do vzorce (5) získáme retrospektivní Kolmogorovu rovnici: X 1 qi qi pjk (s) pik (s) = ik 1 + pij s (s + qi ) (s + q ) i j X (s + qi )pik (s) = ik + qi pij pjk (s) j

spik (s)

ik

=

qi pik (s) +

X

qi pij pjk (s)

j

a tedy po inverzní transformaci s vyuµzitím vlastnosti, µze Laplaceova transformace výrazu dtd f (t) je sf (s) f (0); lze psát: X d pik (t) = qi pik (t) + qi pij pjk (t) , (6) dt j coµz je prakticky zápis retrospektivní Kolmogorovy rovnice, ve které je pouze nutné dosadit qik = qi pik . Závµerem této krátké analýzy lze konstatovat, µze pµri volbµe exponenciálního rozloµzení náhodné veliµciny doba do zmµeny byl získán Markov°uv proces.

µ 3 DOBA DO ZMENY

3.2

15

Doba do zmµeny jako smµes -rozloµzení

Jak jiµz bylo napsáno v pµredchozí kapitole, pro snadné vyµrešení inverze Laplaceovy transformace je vhodné, aby Laplaceova transformace hustoty rozloµzení doby do zmµeny byla racionálnµe lomená funkce v s. Z tohoto d°uvodu se nabízí uvaµzovat o hustotµe rozloµzení doby do zmµeny jako o smµesi rozloµzení s celoµcíselným parametrem. Tato hustota pak má tvar: f (t) =

K X

wk

k=1

bnk k (nk

1)!

tnk 1 e

bk t

;

PK kde wk jsou váhy jednotlivých funkcí, musí tedy platit k=1 wk = 1 a wk > 0 8k. Vzhledem k tomu, µze Laplaceova transformace souµctu je souµcet pµríslušných Laplaceových transformací, získáváme f (s) =

K X

wk

k=1

.

bnk k (s + bk )nk

Speciálním pµrípadem pro K = 1, n1 = 1 je exponenciální rozloµzení. Smµes -rozloµzení také nepµredstavuje vµetší problém pµri parametrizaci, vµetšinou je moµzné pouµzít napµríklad metodu maximální vµerohodnosti, a to i pro jednotlivé váhy wi : Tato metoda je popsána napµríklad Keatingem v [9]. Poznámka 1 Intenzita této hustoty je: n PK bk k nk 1 e bk t f (t) k=1 wk (nk 1)! t : = q(t) = n Rt PK bk k 1 F (t) w [y nk 1 e bk y ] dy 1 k=1

k (nk 1)!

0

Vzhledem k vlastnostem exponenciálního funkce, µclen, který pro t ! 1 bude pro hodnotu intenzity rozhodující, je ten s nejvyšším koe…cientem exponentu, tzn. = arg min fbk ; k = 1 : : : Kg. M°uµzeme tedy psát lim q(t) = R 1

t!1

t

w tn w [y n

e b t : 1 e b y ] dy

1

Ve jmenovateli bude po integraci pouze jeden µclen stejného µrádu jako tn µclen b1 tn 1 e b t . Díky tomu lim q(t) =

t!1

1

e

b t

a sice

w tn 1 e b t = b = min fbk ; k = 1 : : : Kg : w b1 tn 1 e b t

V pµrípadµe, µze existuje více koe…cient°u stejného µrádu, napµríklad b 1 = = b K, záleµzí dále na pµríslušných koe…cientech n k : Výsledná intenzita je pak rovna koe…cientu b j ; kterému odpovídá nejvyšší n j .

µ 3 DOBA DO ZMENY

16

Poznámka 2 Pokud vezmeme v úvahu jen smµes exponenciálních rozdµelení, tzn. nk = 1 8k, je intenzita výsledné smµesi váµzeným pr°umµerem intenzit jednotlivých exponenciálních rozdµelení: X wk e bk t f (t) q(t) = = bk : P bl t 1 F (t) k=1 K l=1 wl e K

Na zaµcátku má nejvyšší váhu nejvyšší bk ; která však postupnµe klesá a s t ! 1 se zvµetšuje naopak váha nejniµzšího bk . Toto rozloµzení je popsáno Keatingem v [9] a pouµzívá se pro modelování ztrát v aktuárské praxi. Pµríklad 3 V tomto pµríkladµe se omezíme na smµes dvou -funkcí, kde n1 = 1 a n2 = 2. Parametr, který oznaµcuje váhu první funkce, oznaµcíme w. Máme tedy at

f (t) = wae

+ (1

w)b2 te

bt

a intenzita se vypoµcítá jako q(t) =

f (t) wae at + (1 w)b2 te bt = 1 F (t) we at + (1 w) (bte bt + e

bt )

:

Tato intenzita má následující vlastnosti: wa + 0 = wa t!0 w + (1 w) lim q(t) = min(a; b): lim+ q(t) =

t!1

Pµrestoµze tato funkce má relativnµe málo parametr°u, lze s ní postihnout velké mnoµzství , r°uzných pµrípad°u, at uµz postupného nár°ustu µci poklesu intenzity, nebo vysoké intenzity tµesnµe po zmµenµe. Níµze uvedené grafy ukazují tvar intenzity pro r°uzné hodnoty parametr°u a a b; parametr w = 0; 5.

y

2.0

1.5

a=1,b=5

1.0

a=2,b=1

0.5

a=0,5,b=1 0.0 0

1

2

3

4

5

x

µ 3 DOBA DO ZMENY

3.3

17

Pouµzití Diracova delta

Distribuµcní funkce náhodné veliµciny doba do zmµeny bývá vµetšinou spojitá. Nicménµe existují pµrípady, kdy se po nµejaké konkrétní dobµe od zmµeny prudce zvýší pravdµepodobnost, µze bµehem krátkého období dojde k další zmµenµe. K takové situaci dochází napµríklad pokud má banka de…nován pevný rámec pro pµrehodnocení ratingové kategorie. Tento je µcasto roµcní nebo p°ulroµcní. Nejdµríve budeme uvaµzovat hustotu, která vyjadµruje pµrípad, µze s pravdµepodobností 1 nabude náhodná veliµcina doba do zmµen hodnoty t^. Tato moµznost je diskutována napµríklad Howardem v [4], str. 688. Distribuµcní funkce je pak de…nována následujícím zp°usobem: 0 t < t^ F (t) = : 1 t t^ Je evidentní, µze v takovémto pµrípadµe má hustota náhodné veliµciny doba do zmµeny v bodµe t^ nevlastní limitu a je v tomto bodµe nespojitá. Pro oznaµcení podobných funkcí se vyuµzívá tzv. funkce Diracovo delta, která se oznaµcuje (t) a daná hustota je pak vyjádµrena jako f (t) = (t t^): Laplaceovu transformaci této funkce m°uµzeme vypoµcítat napµríklad pomocí vztahu pro Laplaceovu transformaci derivace funkce: f (s) = sF (s) kde právµe f (t) =

F (0);

d F (t): dt

Laplaceova transformace distribuµcní funkce F (t) je tedy Z 1 Z 1 st e st dt = F (t)e dt = F (s) = t^

0

=

1 e s

st

1

=

e

t^

st^

s

:

Hledaná Laplaceova transformace hustoty náhodné veliµciny doba do zmµeny je f (s) = sF (s) = s

e

F (0) =

st^

s

0=e

st^

:

Bohuµzel, jak je z výsledku evidentní, v pµrípadµe této funkce ztrácíme výhodu Laplaceovy transformace ve tvaru racionálnµe lomené funkce, která sniµzuje výpoµcetní nároµcnost µrešení pµríslušné soustavy rovnic. Poznámka 4 Stejný výsledek m°uµzeme získat, pokud vyuµzijeme µcasto pouµzívanou limitní de…nici funkce Diracova delta, jak ji uvádí napµríklad Howard v [4] na stranµe

µ 3 DOBA DO ZMENY

18

688:

1 h

(t) = lim

0

h!0

Pak f (s) =

Z

1

t^)e

(t

0

st

dt = lim

h!0

0

1 e hs

= lim

h!0

= lim

e

st^

h!0

t h : t>h

t^+h st

Z

1 e h

t^

1 e hs

= lim

h!0

t^

t^+h

(sh + O(h2 )) =e hs

st

dt =

1 s(t^+h) e hs

st^

st^

:

Nyní jiµz m°uµzeme pµristoupit k hledání hustoty náhodné veliµciny, která nabývá jedné nebo více hodnot s pravdµepodobností v otevµreném intervalu (0; 1): Tuto hustotu zkonstruujeme jako smµes jedné nebo více funkcí a dalších spojitých funkcí fk (t): f (t) =

J X

pj

(t

t^j ) +

j=1

K X

J X

pk fk (t); kde

Pokud J = 1 a K = 1, máme f (t) = p

t^) + (1

(t

pj +

j=1

k=1

K X

pk = 1:

k=1

p) f1 (t);

(7)

kde f1 (t) je hustota náhodné veliµciny doba do zmµeny na zbytku kladné reálné osy, tzn. vyjma daného jednoho bodu, pµriµcemµz tohoto bodu náhodná veliµcina nabývá s pravdµepodobností p. Metoda odhadu parametr°u této funkce je jednoduchá. Pµredpokládejme, µze funkce f1 závisí pouze na jednom parametru, který oznaµcíme : Stµrední hodnotu náhodné veliµciny s hustotou f1 oznaµcíme 1 a její varianci 21 : Napµríklad f1 m°uµze mít exponenciální rozloµzení, a tedy 1 = 1 a 21 = 12 . Nyní máme k odhadu dva parametry: pa . Odhad m°uµzeme provést momentovou metodou. Oznaµcme ^ empirický odhad stµrední hodnoty náhodné veliµciny doba do zmµeny, ^ empirický odhad její variance. Z de…nice náhodné veliµciny charakterizované hustotou f (t) = (t t^) je evidentní, µze stµrední hodnota této veliµciny je rovna t^ a variance je rovna 0. Nyní poloµzíme: Z 1 ^ ^ = p t+ (1 p) f1 (t)tdt = 0

= p t^ + (1

p)

1:

Analogicky 2

^ +^

2

= p (0 + t^2 ) + (1

p)

= p t^2 + (1

2 1

p)

+

Z

1

0 2 1

f1 (t)t2 dt = :

Z tµechto dvou rovnic jiµz m°uµzeme odhadnout parametry p i .

µ 3 DOBA DO ZMENY

3.4

19

Doba do zmµeny s periodickými výkyvy

Pouµzití multimodální hustoty pro náhodnou veliµcinu doba do zmµeny, tzn. hustoty, která nabývá svého lokálního maxima ve více neµz jednom bodµe, m°uµze mít podobné vysvµetlení jako v pµrípadµe vyloµzeném v pµredchozí kapitole. M°uµze se stávat, µze s urµcitou stálou periodou dochází k pravidelnému posouzení …nanµcního zdraví dluµzník°u a proto právµe v tµechto µcasových okamµzicích dochází ke zmµenám rating°u. Tyto periody jsou nejµcastµeji roµcní nebo p°ulroµcní. Funkce, která je logicky nasnadµe, je nµekterá z goniometrických funkcí. Aby bylo moµzné ji povaµzovat za hustotu, je nutné pµriµcíst urµcitou konstantu c 1, tak, aby výsledná funkce nenabývala záporných hodnot. Z této analýzy tedy vychází jako jedna z moµzností funkce 1 (8) f (t) = e at (cos bt + c) : k R1 a Parametr k nyní stanovíme tak, aby 0 f (x) = 1, a tedy k = ac + a2 +b Na 2. následujícím grafu je zakreslena tato funkce pro b = 3 a c = 1; 5 a a = 0; 1:

y

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

x

Zp°usob výpoµctu ostatních parametr°u této hustoty m°uµze být zaloµzen napµríklad na momentové metodµe. Parametr periody by mµel být stanoven mimo statistickou analýzu na základµe periodicity akce, která vede ke zmµenám ratingu. Nejµcastµeji se tedy bude jednat o roµcní nebo p°ulroµcní periodicitu. Pokud bychom t vyjádµrili napµríklad v mµesících, b = 3 nebo b = 6 : Stµrední hodnota je: Z 1 0

1 te k

at

1 (cos bt + c) dt = k

c a2 b2 + a2 (a2 + b2 )2

:

µ 3 DOBA DO ZMENY

20

Podobnµe lze pµri znalosti parametru stµrední hodnoty vyjádµrit varianci, poloµzit ji rovnou empirické hodnotµe a získat tak další rovnici pro výpoµcet parametr°u funkce. Zde však vyvstává problém: hodnoty variance, kterých náhodná veliµcina s takto de…novanou hustotou pµri daném a a pro r°uzné hodnoty parametru c nabývá, pocházejí z pomµernµe omezeného intervalu. To plyne z exponenciálního charakteru hustoty a poµzadavku na její nezápornost. Podívejme se proto nyní na vlastnosti této funkce, zejména s ohledem na r°uzné limitní hodnoty konstanty c. Distribuµcní funkce této hustoty je: e at a2 c + b2 c + a2 cos bt a2 c + b 2 c + a2

F (c; t) = 1

ab sin bt :

Zvolíme nyní cn = n a podíváme se na vlastnosti funkcí Fn = F (cn ; t) pro n ! 1: lim F (cn ; t) =

n!1

lim 1

n!1

= 1

e

at

e at a2 cn + b2 cn + a2 cos bt a2 c n + b 2 c n + a2 8t 2 (0; 1);

ab sin bt

=

coµz je distribuµcní funkce exponenciálního rozdµelení s parametrem a. Tuto konvergenci de…nuje napµríklad Lachout [7]. V souladu s jeho de…nicí 14.1. tedy platí, µze distribuµcní funkce Fn konvergují k exponenciálnímu rozdµelení v podstatµe. Podle stejného zdroje platí, µze konvergence v podstatµe a v distribuci jsou pro reálné náhodné veliµciny ekvivalentní. Stµrední hodnota náhodné veliµciny doba do zmµeny pro c ! 1 je tedy rovna a1 a variance této náhodné veliµciny je rovna a12 : Nyní se podívejme na minimální hodnotu parametru c; a sice c = 1: Hustota se v tomto pµrípadµe rovná: f (t) = stµrední hodnota je

2a4 +a2 b2 +b4 2a5 +3a3 b2 +ab4

1 1 a

+

a a2 +b2

e

at

a variance je

(cos bt + 1) ;

4a8 +7a4 b4 +8a2 b6 +b8 . a2 (2a4 +3a2 b2 +b4 )2

Pµri pouµzití reálných dat typicky získáváme a < 0; 2: Z tohoto d°uvodu vypustíme z vypoµcítané stµrední hodnoty a variance všechny µcleny, jejichµz koe…cient u a je vyšší neµz 2. Získáváme pak: E Var

1 a2 1+ 2 a b 1 a2 1 + 4 a2 b2

Závµer 5 Pokud urµcíme parametr a tak, aby stµrední hodnota odpovídala pozorované hodnotµe, variance výsledného rozdµelení se v závislosti na hodnotµe parametru c bude pohybovat v intervalu 1 1 a2 ; 1 + 4 : a2 a2 b2

µ 3 DOBA DO ZMENY

21

Jinými slovy, toto rozdµelení se hodí pouze pro ty datové vzorky, u kterých se stµrední hodnota pµríliš neliší od smµerodatné odchylky. Na závµer této kapitoly m°uµzeme ještµe vyjádµrit Laplaceovu transformaci této funkce:

f (s) =

Z

0

1

1 e k 1

(a+s)t

(cos bt + c) dt =

(a + s) c = + 2 2 + a+s (a + s) + b a (a + b2 ) (a2 c + b2 c + cs2 + 2as + a2 + s2 + 2acs) = : (a2 c + b2 c + a2 ) (a + s) (a2 + 2as + b2 + s2 ) =

c a

a a2 +b2 2

Získáváme racionálnµe lomenou funkci v s, coµz usnadní zpµetný výpoµcet pravdµepodobnosti výskytu procesu v µcase t.

µ µ 4 MARKOVOVY RET EZCE

4

22

Markovovy µretµezce

Základní vlastnosti semimarkovských proces°u závisí na vlastnostech Markovových µretµezc°u, na kterých jsou zaloµzeny. Pokud se pµri modelování zmµen ratingových kategorií dluµzník°u pouµzívají Markovovy µretµezce, jedná se obvykle o µretµezce vztahující se k urµcitému µcasovému rámci, typicky jednoletému. Matice pµrechodu pak vyjadµruje pravdµepodobnosti, s jakými se zmµení ratingová kategorie na jinou právµe za toto dané µcasové období. Je nutné si uvµedomit, µze v pµrípadµe Markovových µretµezc°u, na kterých jsou zaloµzeny semimarkovské procesy, se se µzádným takovým µcasovým rámcem nepoµcítá. Zmµena µ ratingové kategorie je sledována vµzdy v okamµziku, kdy ke zmµenµe dojde. Cas do , zmµeny je modelován zvlášt. Mezi tµemito dvµema Markovovými µretµezci, z nichµz kaµzdý popisuje z jiného pohledu stejný proces, je nutné rozlišovat. V následujícím textu bude pojem Markov°uv µretµezec vµzdy oznaµcovat µretµezec, na jehoµz základµe je de…nován pµríslušný semimarkovský proces, a pojem Markov°uv µretµezec s µcasovým rámcem bude oznaµcovat µretµezec, ve kterém jsou zmµeny ratingových kategorií hodnoceny v rámci nµejakého µcasového období. K pµríslušnému Markovovu µretµezci lze dodat následující: Poµcet prvk°u mnoµziny stav°u, tedy hodnot, kterých m°uµze nabývat posloupnost stav°u , je roven poµctu ratingových kategorií, doplnµená o kategorii v selhání. Kategorie v selhání je vµetšinou povaµzována za absorpµcní. Jednotlivé ratingové kategorie bývají seµrazeny podle kvality, nicménµe to není pravidlem. M°uµze existovat i napµríklad dvojrozmµerná ratingová škála, kde jedna dimenze je de…nována statistickým hodnocením dluµzníka na základµe jeho hospodáµrských výsledk°u, druhá dimenze m°uµze pµredstavovat subjektivní hodnocení pµríslušného experta. Nicménµe v kaµzdém pµrípadµe lze urµcit jednoznaµcné kritérium, na základµe kterého se ratingové kategorie podle kvality seµradí, napµríklad podle pravdµepodobnosti selhání.

4.1

Matice pµrechodu

Nejjednodušším zp°usobem analýzy semimarkovských proces°u je pomocí pµríslušného Markovova µretµezce a jeho matice pµrechodu. Základním zp°usobem, jak matici pµrechodu zkonstruovat, je vypoµcítat relativní µcetnosti pµrechodu mezi ratingovými kategoriemi z empirických dat. Pµríslušné vztahy m°uµzeme odvodit napµríklad pomocí maximalizace vµerohodnostní funkce. Promµenné pij jsou teoretické pravdµepodobnosti


23

pµrechodu, nij jsou empirické µcetnosti pµrechodu mezi jednotlivými ratingovými kategoriemi. Maximalizujeme následující vµerohodnostní funkci: Y n L (P ) = pijij ; i;j

ln L (P ) =

X ij

Z µcehoµz jiµz triviálnµe

nij log pij =

X

nij log pij +

i6=j

X i

nii log 1

X

pij

i6=j

nij : pij = P k nik

!

:

(9)

Tato metoda se také nazývá metodou kohorty, jak uvádí Lando a Skodberg [8], a ve jmenovateli se nachází všichni dluµzníci, kteµrí byli na poµcátku ve stavu i. Tato metoda nemusí být vµzdy úplnµe pµresná, zejména pokud vµetší poµcet dluµzník°u bµehem sledovaného období migruje pryµc z portfolia. Stejný zdroj nabízí i druhou moµznost výpoµctu, a sice: nij (T ) ; pij = R T Y (s)ds i 0

kde nij (T ) je poµcet pµrechod°u ze stavu i do stavu j a Yi (s)ds znaµcí poµcet dluµzník°u s ratingem i v µcase s. Tato metoda bere do úvahy migraci dluµzník°u z portfolia, nicménµe je mnohem nároµcnµejší na datové zdroje. Je nutné pµresnµe de…novat, co znamená migrace dluµzníka z portfolia nebo do portfolia. Vµetšinou není vhodné za µ tuto skuteµcnost povaµzovat okamµzik, kdy dluµzník pµreruší s bankou spolupráci. Casto je nutné sledovat, zda má dluµzník v°ubec nµejaké aktivní obchody, protoµze m°uµze být klientem banky i pokud vyuµzívá pouze pasivní produkty, jako napµríklad bµeµzný úµcet, pµriµcemµz v takovém pµrípadµe není banka nucena revidovat jeho …nanµcní situaci a tím nedochází ani pµri zhoršení jeho …nanµcní situace ke zmµenµe jeho ratingu. Všechny matice pµrechodu mají následující vlastnosti: Všechny prvky jsou nezáporné. Souµcet všech prvk°u v daném µrádku je roven 1. Matice pµrechodu mezi ratingovými kategoriemi mají ještµe zpravidla tyto další vlastnosti: Prvky na diagonále jsou nulové. Kategorie v selhání je absorpµcním stavem. Pravdµepodobnost selhání je vµzdy niµzší pro lepší ratingové kategorie.


24

Pravdµepodobnost zmµeny na nový rating je tím niµzší, o co je nový rating odlišnµejší (µrádková monotonie v°uµci diagonále). Pravdµepodobnost migrace do daného ratingu by mµela být vµetší pro dluµzníky s ménµe odlišným ratingem (sloupcová monotonie v°uµci diagonále). V pµrípadµe matic pµrechodu Markovových µretµezc°u s µcasovým rámcem prvky na diagonále nejsou nulové, ale naopak mají nejvyšší hodnotu ze všech ostatních prvk°u, matice je tzv. striktnµe diagonálnµe dominantní.

4.2

µ Casová homogenita

Základním pµredpokladem pro vybudování fungujícího modelu je µcasová homogenita pµríslušného Markovova µretµezce. Pro testování µcasové homogenity je nutné zvolit obµ dobí, v jehoµz rámci má být proces homogenní. Casovou homogenitu tedy musíme hodnotit u matic pµrechodu s µcasovým rámcem; dále za pµredpokladu, µze máme pozorování o relativních µcetnostech z T období. Uvaµzujeme tedy následující statistiku: L (P (t) j všechna data) =

T Y

L (P (t)) :

t=1

Výrazem L (P (t)) oznaµcujeme stejný výraz jako v pµredchozím odstavci pojednávající o maximální vµerohodnosti. Tuto statistiku nejdµríve maximalizujeme po jednotlivých násobitelích, tzn. hledáme jednotlivé pravdµepodobnosti pµrechodu za více období: max

P (1);P (2):::P (T )

T Y

L (P (t)) :

t=1

Ve druhém kroku tuto statistiku maximalizujeme jako celek. Prvky v násobitelích, které odpovídají pµríslušným vµerohodnostním funkcím za více období, nahradíme výrazy, které obsahují pouze prvky odpovídající jednomu období. Tedy napµríklad pro pravdµepodobnost za dvµe období: pij (2) =

N X

pik pkj :

k=1

Obdobnµe postupujeme pro delší období. Maximalizujeme tedy následující statistiku: max P (1)

T Y

L (P (t)) :

t=1

Podle Kiefer a Larson [5] platí následující vµeta:


25

Vµeta 6 Statistika 2

max

P (1);P (2):::P (T )

ln

T Y t=1

!

L (P (t))

max ln P (1)

T Y t=1

!!

L (P (t))

má v pµrípadµe, µze neexistují statistické odchylky mezi jednotlivými obdobími, asymptoticky 2 ((T 1)(k 1)) rozdµelení. Problémem m°uµze být výskyt nulových prvk°u v ratingových kategoriích, pro které µ ením m°uµze být seµcíst podobné kategorie do jedné neexistují µzádná pozorování. Reš a tím zvýšit robustnost celé analýzy.

4.3

Závislost na ekonomickém cyklu

Je evidentní, µze v dobµe …nanµcní krize bude chování dluµzník°u jiné, neµz bµehem ekonomicky stabilního období. Jedna z moµzností, jak pµrizp°usobit model aktuálnímu stavu ekonomiky, je popsána Kimem v [6]. K modelování pµrechod°u mezi ratingovými kategoriemi v pµrípadµe Markovových µretµezc°u s µcasovým rámcem se bµeµznµe pouµzívají kvantily normálního rozdµelení. Normální rozdµelení je zde zvoleno zejména proto, protoµze výpoµcetní operace s vícerozmµerným normálním rozdµelením s danou kovarianµcní maticí jsou pomµernµe jednoduché. V tomto pµrístupu je reálná osa rozdµelena kvantily normálního rozdµelení tak, aby plocha pod funkcí hustoty normálního rozdµelení pµres jednotlivé úseky odpovídala pravdµepodobnostem pµrechodu z jedné konkrétní ratingové kategorie (na obrázku BBB) do ostatních ratingových kategorií. Úsek°u je tedy stejný poµcet, jako ratingových kategorií:


26

Podle Kima [6] pak jediné, co je nutné v pµrípadµe zhoršení ekonomické situace upravit, je posunout o urµcitou vzdálenost funkci hustoty normálního rozdµelení. Tuto situaci popisuje následující obrázek:

Tímto zp°usobem dojde ke zvýšení pravdµepodobnosti pµrechodu do horších ratingových kategorií. Tento model je sice popsán pro klasické Markovovy µretµezce s µcasovým rámcem, nicménµe úprava pro semimarkovský proces je pomµernµe jednoduchá, staµcí vµzdy vynechat prvek v matici, který odpovídá setrvání v daném stavu, v pµrípadµe graf°u v této kapitole tedy prvek BBB.

4.4

Testy markovské vlastnosti

Další d°uleµzitou vlastností Markovových µretµezc°u je nezávislost na pµredchozím stavu, v našem pµrípadµe tedy na pµredchozí ratingové kategorii. Pro testování je moµzné pouµzít klasické 2 testy dobré shody pµri známých parametrech. Tento test je zaloµzen na následující vµetµe (viz napµríklad Andµel [1]): Vµeta 7 Jestliµze náhodný vektorP(ni1 :::nik )T má multinomické rozdµelení o parametrech M (ni ; pi1 :::pik ), kde ni = kj=1 nij , pak Pearsonova statistika 2

=

k X (nij j=1

má pµri n ! 1 asymptotické rozdµelení

ni pij )2 ; ni pij

2 k 1:


27

Index i v našem pµrípadµe oznaµcuje konkrétní interní rating, u kterého chceme testovat nezávislost na pµredchozím stavu. Výbµer ratingových kategorií je dále nutné podµrídit tomu, jak velký datový vzorek máme k dispozici. Jak uvádí Andµel [1], je nutné, aby pro kaµzdou ratingovou kategorii i a j platilo ni pij

5:

Tuto analýzu se pokusíme zjednodušit tím, µze budeme zkoumat, zda nová ratingová kategorie nezávisí na tom, zda byla pµredchozí ratingová kategorie výsledkem zhoršení nebo zlepšení situace daného dluµzníka. Jinými slovy, zda z nµejakého d°uvodu po zhoršení ratingové kategorie nem°uµze s vyšší pravdµepodobností opµet dojít ke zhoršení, nebo naopak ke zlepšení. Pro testování výše uvedené hypotézy je nutné mít k dispozici hodnoty empirické pravdµepodobností pµrechodu, získané napµríklad metodou maximální vµerohodnosti, a dále hodnoty pravdµepodobností pµrechodu pro dluµzníky, u kterých pµri pµredchozí zmµenµe došlo ke sníµzení resp. zvýšení ratingové kategorie. Formálnµeji: oznaµcme P matici empirických pravdµepodobností pµrechod°u, získanou metodou maximální vµerohodnosti, dále N + matici empirických µcetností pµrechod°u pµri vyuµzití dat pouze tµech dluµzník°u, u kterých došlo pµri pµredchozí zmµenµe ke zlepšení ratingové kategorie, a nakonec N matici empirických µcetností pµrechod°u získanou metodou maximální vµerohodnosti pµri vyuµzití dat pouze tµech dluµzník°u, u kterých došlo pµri pµredchozí zmµenµe ke zhoršení ratingové kategorie. Nyní m°uµzeme otestovat, zda empirické µcetnosti v maticích N + a N odpovídají matici pµrechodu P , a to pro jednotlivé ratingové kategorie i. Vytvoµríme tedy z matic P , N + a N nové matice P 0 , M + a M o pouze 2 sloupcích a K µrádcích, kde X p0i1 = pij a i>j

p0i2 =

X

pij pro libovolné i.

i<j

Vzhledem k tomu, µze v pµrípadµe semimarkovského procesu povaµzujeme pii za nulové, není nutné se tímto pµrípadem zabývat. Analogicky provedeme stejné výpoµcty pro M + a M . Prvek m+ ríklad reprezentuje poµcet dluµzník°u, kteµrí zlepšili 31 tedy napµ cet dluµzník°u, kteµrí sv°uj rating z ratingu 3 po pµredchozím zlepšení, prvek n+ 32 zase poµ zhoršili sv°uj rating z ratingu 3 po pµredchozím zlepšení. Testovat pak budeme statistiky 2 1

2 2

= =

m+ i1

+ 0 m+ i1 + mi2 pi1 + 0 m+ i1 + mi2 pi1

2

mi1

mi1 + mi2 p0i1 mi1 + mi2 p0i1

2

+ +

m+ i2

+ 0 m+ i1 + mi2 pi2 + 0 m+ i1 + mi2 pi2

2

mi2

mi1 + mi2 p0i2 mi1 + mi2 p0i2

2

a

(10) (11)


28

které mají 2 rozdµelením s pouze 1 stupnµem volnosti. Pomocí první statistiky lze testovat, zda nová zmµena závisí na pµredchozím zlepšení, pomocí druhé, zda nová zmµena závisí na pµredchozím zhoršení. Pokud proces opravdu splµnuje markovskou vlastnost, musí být obµe statistiky být niµzší neµz kritická hodnota pµri zvoleném koe…cientu spolehlivosti. Další otázkou je, jak postupovat v pµrípadµe, µze vyjde významná závislost napµríklad na pµredchozím vývoji. V takovém pµrípadµe se doporuµcuje rozšíµrit poµcet ratingových kategorií následujícím zp°usobem: rozdµelit kategorii i na i+ a i . Kategorie i+ bude nyní popisovat vývoj tµech dluµzník°u, u kterých pµri pµredchozí zmµenµe došlo ke zlepšení, kategorie i bude popisovat vývoj dluµzník°u, u kterých došlo ke zhoršení. Pokud je napµríklad µcastµejší, µze po zlepšení bude následovat opµet zlepšení, neµz µze po zlepšení bude následovat zhoršení, mµelo by platit pi+ j > pi j pro i > j. Pµrechody v rámci stejné kategorie, tzn. mezi kategoriemi i+ a i , by nebyly moµzné.

4.5

Nezávislost na souµcasném stavu

V pµrípadµe testování Markovových µretµezc°u lze µcasto narazit i na testy homogenity, které vychází z test°u klasických kontingenµcních tabulek. Jedná se o 2 testy nezávislost na µrádkovém indexu i, µcímµz se v podstatµe jedná o nezávislost na souµcasném stavu. V našem pµrípadµe jsou tyto testy prakticky bezpµredmµetné, protoµze tuto závislost zcela jasnµe pµredpokládáme.

5 EMPIRICKÁ ANALÝZA

5

29

Empirická analýza

V této µcásti budou pouµzity metody popsané v pµredchozích kapitolách k analýze dat poskytnutých tµremi µceskými bankami.

5.1

Pouµzitá data

V analýze byla pouµzita data o zmµenách ratingových kategorií v letech 2003 aµz 2009, která poskytly tµri µceské banky. Celková bilanµcní suma tµechto tµrí bank k 31.12.2008 µcinila 1.7 bil. CZK, coµz je 42% veškerých aktiv µceského bankovního sektoru. Data pro tento výpoµcet byla získána µ z webových prezentací jednotlivých bank a z webu Ceské národní banky. Díky tomuto vysokému procentu m°uµzeme zobecµnovat vµetšinu závµer°u této práce pro celý µceský bankovní sektor. Banky poskytly údaje o zmµenách ratingových kategorií svých korporátních portfolií. V drtivé vµetšinµe se jedná o data subjekt°u, které lze zaµradit do kategorie malí podnikatelé, tzv. ”small business”, proto jednotlivá portfolia lze povaµzovat za homogenní. V následující tabulce jsou znázornµeny nµekteré základní údaje o jednotlivých bankách:

Počet ratingových kategorií Banka 1 Banka 2 Banka 3

Kategorie v selhání Pravděpodobnost selhání 22 20-22 2,4% 14 14 2,9% 10 10 2,3%

Tabulka µc. 1 V µcitateli údaje Pravdµepodobnost selhání byl pr°umµerný poµcet dluµzník°u v kategoriích v selhání v letech 2007–2009. Ve jmenovateli byl celkový poµcet dluµzník°u, o nichµz banky poskytly nµejaké informace. Skuteµcná pravdµepodobnost selhání m°uµze být tedy o nµeco podcenµena, protoµze urµcité procento dluµzník°u portfolio banky bµehem sledované doby opustilo –z údaj°u Banky 2 lze usoudit, µze migrace dluµzník°u dosahuje pµribliµznµe 6% roµcnµe, tzn. za 7-leté období se jedná o cca 40% dluµzník°u. Pµri zapoµctení migrace µciní pr°umµerná pravdµepodobnost selhání v celém sledovaném portfoliu 4,2%. Pokud chceme získat pµredstavu o rizikovosti tohoto portfolia jen na základµe pravdµepodobnosti selhání, m°uµzeme se podívat na výši rizikovµe váµzených aktiv, které


30

by musela banka k portfoliu s touto pravdµepodobností selhání alokovat. Pouµzijeme tedy tuto pravdµepodobnost selhání ve vzorcích, kterými se poµcítá kapitálový poµzadavek podle Nové basilejské kapitálové dohody, viz dokument Banky pro mezinárodní vypoµrádání [12] str. 60. Výsledkem je, µze pµri pravdµepodobnosti selhání 4,2% jsou riziková aktiva ohodnocena na 107% µcerpané µcástky, coµz odpovídá srovnání s p°uvodním konceptem výpoµctu kapitálové pµrimµeµrenosti, kde v pµrípadµe podnikových klient°u byla rizikovµe váµzená aktiva vypoµctena jako 100% µcerpané µcástky. Z hlediska rizikovosti se tedy jedná o zcela standardní portfolio. Na úvod této kapitoly je také vhodné poznamenat, µze ve sledovaném období docházelo k implementaci Nové basilejské kapitálové dohody, coµz znamenalo zejména zavedení nových a pµresnµejších ratingových model°u, µcímµz mohla být ovlivnµena homogenita celé µcasové µrady. Jednotlivé banky dále odpovídaly na otázku, jakým zp°usobem pµridµelují jednotlivé ratingy a jakým zp°usobem jsou de…novány jejich ratingové kategorie. Odpovµedi shrnuje následující tabulka:

Banka 1

Banka 2

Banka 3

Definice ratingových kategorií Cílem je udrž et konstantní pravděpodobnost selhání v jednotlivých ratingových stupních Cílem je udrž et konstantní pravděpodobnost selhání v jednotlivých ratingových stupních Konstantní pravděpodobnost selhání se neudrž uje

Způsob přidělování ratingů Aplikační i behaviorální skóring, expertně je mož né libovolně zhoršit a vylepšit maximálně o 4 kategorie Aplikační i základní behaviorální skóring kombinovaný s expertními zásahy Aplikační skóring kombinovaný s kvalitativním hodnocením

Zcela zásadní je zde existence behaviorálního skóringu. Tento skóring je vµetšinou zaloµzen na transakµcní historii daného dluµzníka, díky µcemuµz je banka schopna detekovat zmµenu pravdµepodobnosti splacení celé pohledávky velmi rychle. Na druhou stranu, po zmµenµe z d°uvodu nového behaviorálního skóringu µcasto dochází ke zpµetné korekci, tedy ke zmµenám dochází zµrejmµe µcastµeji, neµz pokud by behaviorální skóring aplikován nebyl.

5.2

Analýza náhodné veliµciny doba do zmµeny

Náhodná veliµcina doba do zmµeny je klíµcová pro sestavení celého modelu semimarkovského procesu. V této kapitole nás zajímá zejména:


31

Jaký tvar má hustota této náhodné veliµciny. Zda se tvar mµení v závislosti na novém ratingu. Zda se tvar mµení v závislosti na typu zmµeny ratingu, tzn. zda došlo ke zlepšení nebo zhoršení. Zda bude moµzné modelovat hustotu pomocí nµejakého typického spojitého nebo diskrétního rozdµelení, nebo bude nutné provést speci…cké úpravy.

5.2.1

Sezónnost zmµen

Nejdµríve je d°uleµzité odpovµedµet na otázku, zda neexistují období, kdy je rating mµenµen systematicky více dluµzník°um najednou (napµríklad kaµzdý leden). Níµze uvedený graf zobrazuje, ke kolika zmµenám ratingu došlo ve kterém mµesíci.

Počet změn v daném měsíci - Banka 1

25.11.2009

29.5.2009

30.11.2008

3.6.2008

6.12.2007

9.6.2007

11.12.2006

14.6.2006

16.12.2005

19.6.2005

21.12.2004

24.6.2004

27.12.2003

30.6.2003

1.1.2003

4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0

Graf µc. 1 Prostým nahlédnutím lze konstatovat, µze µzádný výrazný sezónní trend není patrný. Vzhledem k tomu, µze nár°ust v první polovinµe roku 2006 je trvalý a nejedná se o nár°ust poµctu dluµzník°u (za Banku 1 do analýzy vstoupili jen dluµzníci, se kterou Banka spolupracovala dlouhodobµe), musíme se domnívat, µze banka zavedla nový zp°usob pµridµelování ratingu, který zapµríµcinil, µze zaµcalo docházet k více zmµenám neµz dµríve. Výrazný výkyv v záµrí 2009 bude nejspíše zp°usoben korekcí ratingových kategorií u velkého poµctu dluµzník°u kv°uli probíhající …nanµcní krizi.


32

Počet změn v daném měsíci - Banka 2 700 600 500 400 300 200 100 30.11.2008

29.5.2009

25.11.2009

30.11.2008

29.5.2009

25.11.2009

3.6.2008

6.12.2007

9.6.2007

11.12.2006

14.6.2006

16.12.2005

19.6.2005

21.12.2004

24.6.2004

27.12.2003

30.6.2003

1.1.2003

0

Graf µc. 2 µ Zádný trend nebo sezónnost poµctu zmµen ani zde není patrná.

Počet změn v daném měsíci - Banka 3 1000 800 600 400 200 3.6.2008

6.12.2007

9.6.2007

11.12.2006

14.6.2006

16.12.2005

19.6.2005

21.12.2004

24.6.2004

27.12.2003

30.6.2003

1.1.2003

0

Graf µc. 3 Výrazný výkyv v µcervenci a záµrí 2009 bude nejspíše opµet zp°usoben zmµenou rating°u u velkého poµctu dluµzník°u kv°uli probíhající …nanµcní krizi. Závµer 8 Neexistence sezónního trendu je velmi výhodná, a to proto, µze sezónní trend neovlivní další µcásti analýzy. V pµrípadµe, µze by docházelo k hromadné zmµenµe rating°u napµríklad v lednu, bylo by jasné, µze zmµena nezávisí tolik na aktuální …nanµcní situaci daného dluµzníka, jako na okamµziku, kdy ke zmµenµe ratingu došlo.

5 EMPIRICKÁ ANALÝZA 5.2.2

33

Histogram doby do zmµeny

Nyní jiµz m°uµzeme pµristoupit k samotné analýze náhodné veliµciny doba do zmµeny. Následující graf znázorµnuje relativní µcetnosti doby do zmµeny po jednotlivých mµesících. Doba do změny 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0

6

12

18

24

30

Počet měsíců Banka 1

Banka 2

Banka 3

Graf µc. 4 Z daného grafu je vidµet, µze existují období, ve kterých se poµcet zmµen výraznµe vymyká trendu. Prostým nahlédnutím lze urµcit, µze se jedná o období kolem 6 mµesíc°u, 12 mµesíc°u a 24 mµesíc°u. Je zµrejmé, µze z tohoto d°uvodu nebude moµzné modelovat tuto náhodnou veliµcinu µzádným typickým rozdµelením, ale bude nutné zvolit jiné rozdµelení v souladu se závµery kapitoly pojednávající o hustotµe veliµciny doba do zmµeny. D°uvod°u pro tento výsledek je nµekolik: Dluµzníci pµredkládají své hospodáµrské výsledky v nµejaké periodicitµe, typicky 1 rok. Banka se tak o jejich pµrípadných problémech, nebo naopak o zlepšení situace, dozví spoleµcnµe s novými výsledky. µ Casto je také rating revidován v okamµzicích, kdy dochází k prolongaci jiµz existujícího úvµerového rámce. Tyto úvµerové rámce mají typicky šestimµesíµcní nebo roµcní lh°utu splatnosti. Závµer 9 Závµer z této analýzy je ten, µze existují faktory, které náhodnou veliµcinu doba do zmµeny ovlivµnují tak, µze zvyšují pravdµepodobnost zmµeny v urµcitých konkrétních


34

momentech. Pµri konstrukci vícestavových model°u kreditního rizika je tedy vhodné vzít v úvahu, kdy byl danému dluµzníkovi naposledy zmµenµen rating. Zejména u kratších µcasových rámc°u (napµríklad p°ul roku) se m°uµze jednat o velmi podstatnou informaci.

5.2.3

Analýza zmµeny bµehem prvního mµesíce

Zajímavé je, µze nejµcastµeji dochází ke zmµenám ratingové kategorie bµehem prvního mµesíce po pµredchozí zmµenµe. Proto jsem se rozhodla zaµradit tuto kapitolu, ve které se m°uµzeme pokusit odhalit, proµc k tomu dochází. V následující tabulce je ukázáno, µze v prvním mµesíci dochází v pµribliµznµe stejné míµre ke zlepšení, jako ke zhoršení ratingové kategorie. Výjimkou je Banka 3, u které dochází v prvním mµesíci µctyµrikrát µcastµeji ke zhoršení ratingu neµz ke zlepšení. V pµrípadµe Banky 3 je ale také procento zmµen bµehem prvního mµesíce nejniµzší.

Procento Banka 1 Banka 2 Banka 3

Zhoršení ratingu Zlepšení ratingu Zhoršení ratingu Zlepšení ratingu Zhoršení ratingu Zlepšení ratingu

50% 50% 51% 49% 80% 20%

Tabulka µc. 2 Dále si m°uµzeme klást otázku, zda se jedná o zmµenu pouze o jednu, nebo o více ratingových kategorií. Na to odpovídá další tabulka:

Změna o kolik kategorií Banka 1 Banka 2 Banka 3

O O O O O O

více než jednu jednu více než jednu jednu více než jednu jednu

Procento 35% 65% 39% 61% 13% 87%

Tabulka µc. 3 M°uµzeme tedy konstatovat, µze banky v prvním mµesíci po zmµenµe provedou korekci nejµcastµeji pouze o jednu ratingovou kategorii. Poslední otázka, která m°uµze být v této souvislosti zodpovµezena, je, zda zmµena po jednom mµesíci je urµcitou korekcí pµredešlého vypoµcítaného ratingu, a je tedy opaµcného charakteru, neµz zmµena pµredchozí.


35

Poslední dvě změny Banka 1 Banka 2 Banka 3

Procento

Stejné Různé Stejné Různé Stejné Různé

27% 73% 26% 74% 87% 13% Tabulka µc. 4

Závµer 10 Závµer z této analýzy m°uµze být pµrekvapivý. Dalo by se oµcekávat, µze banka nejdµríve zmµení rating o nµekolik ratingových kategorií, a další korekce bude stejným smµerem, pokud se pµredchozí zmµena ukáµze jako nedostateµcná. U Banky 1 a Banky 2 ale pozorujeme opaµcný trend, a sice korekce jde proti smµeru pµredchozí zmµeny. To m°uµze být zp°usobeno existencí behaviorálního skóringu, kde na základµe de…novaných pravidel dojde automaticky ke zmµenµe ratingové kategorie, a v krátké dobµe je tato automaticky vypoµcítaná kategorie revidována zpátky na p°uvodní hodnotu. Banka 3 naopak vzhledem ke zp°usobu stanovování ratingových kategorií pµredevším pomocí aplikaµcního skóringu nevrací pµridµelený rating tak rychle na p°uvodní úroveµn.

5.2.4

Závislost doby do zmµeny na ratingu

V této kapitole nás bude zajímat, zda existuje nµejaká závislost mezi dobou do zmµeny a p°uvodním nebo novým ratingem. Pµresnµeji µreµceno, zda distribuµcní funkce Fi1 i2 (t) uvedená ve vztahu (1) na stranµe 9 závisí na indexech i1 nebo i2 . První moµzností je pouµzít lineární regresi, kde závislá promµenná bude doba do zmµeny, a nezávislá promµenná p°uvodní rating nebo rating. Problém tµechto výpoµct°u tkví v tom, µze hodnota ratingu je pouze formální promµenná a její hodnota je má pouze formální µcíselné oznaµcení. Nicménµe i tato promµenná zachovává poµradí, tedy µcím vyšší hodnota ratingu, v tím horší …nanµcní situaci se daný dluµzník podle dostupných informací nachází. Následující dvµe tabulky shrnují výsledek této analýzy. Hodnota významnosti koe…cientu beta bylo nastaveno na 5%.

pro stanovení


36

Nezávislá promµenná: Rating

Průsečík Banka 1 Banka 2 Banka 3

Beta (Rating) 226 0,023 232 0,038 489 -0,021

Beta Hodnota t-p-level významné? testu Ano 6,4 Ano 4,3 Ne -1,7

0,00% 0,00% 8,21%

Tabulka µc. 5 Nezávislá promµenná: Minulý rating


Beta (Rating) 285 -0,019 315 -0,042 643 -0,132

Beta Hodnota t-p-level významné? testu Ano -5,5 Ano -4,8 Ano -11,0

0,00% 0,00% 0,00%

Tabulka µc. 6 Pµri bliµzším pohledu na tyto tabulky je zµrejmé, µze závislost doby do zmµeny na ratingu není pµríliš výrazná. Hodnoty koe…cientu beta jsou velmi nízké. Dokonce i pro pµrípady statisticky významných beta se liší znaménkem, v pµrípadµe nezávislé promµenné Rating je kladná (nový horší rating znamená delší dobu do zmµeny), v pµrípadµe nezávislé promµenné Rating minulý je záporná (horší p°uvodní znamená kratší dobu do zmµeny). Takovýto charakter závislosti je stejný u všech bank, které se do studie zapojily. Závµer 11 Závislost doby do zmµeny na p°uvodním nebo novém ratingu zµrejmµe existuje, nicménµe není výrazná a není nutné ji ve výsledném modelu zohledµnovat. Nakonec nás m°uµze zajímat, zda existuje vztah mezi dobou do zmµeny a velikostí dané zmµeny, tzn. poµctem ratingových kategorií, o které se p°uvodní rating zmµenil. Výsledek této lineární regrese ukazuje následující tabulka:


Beta (Rating) 217 0,112 221 0,127 521 -0,092

Beta Hodnota t-p-level významné? testu Ano 31,7 Ano 14,4 Ano -7,7

0,00% 0,00% 0,00%


37 Tabulka µc. 7

V pµrípadµe Banky 1 a Banky 2 jsou hodnoty parametru beta i hodnota t-testu vyšší, lze tedy usuzovat na silnµejší závislost neµz v pµredchozím pµrípadµe. Z tohoto poznatku lze udµelat následující závµer: Závµer 12 Doba do zmµeny je tím delší, o co významnµejší zmµenu se jedná. Jinými slovy, zmµena o jednu ratingovou kategorii pµrijde dµríve, neµz zmµena o více ratingových kategorií. Tento závµer bylo moµzné oµcekávat; pokud banka najednou zmµení rating o velký poµcet ratingových kategorií, zµrejmµe u daného dluµzníka mohlo pµredtím dojít k nµekolika skuteµcnostem, které, pokud by byly bance známy, by samy zp°usobily menší korekce ratingu.

5.2.5

Závislost mezi dobou do zmµeny a smµerem zmµeny ratingu

V této kapitole budeme zkoumat, zda pr°umµerná doba do zmµeny závisí na tom, zda pµred zmµenou došlo ke zhoršení nebo ke zlepšení ratingu. V následující tabulce je pµrehled pr°umµerné doby do zmµeny vyjádµrený ve dnech v závislosti na zlepšení nebo zhoršení ratingu:

Došlo ke: Banka 1 Banka 2 Banka 3

Zhoršení Zlepšení Zhoršení Zlepšení Zhoršení Zlepšení

Průměrná doba do Počet pozorování změny 267 42 653 246 36 610 290 6 637 246 5 981 504 4 030 403 2 894 Tabulka µc. 8

Doba do zmµeny sice není normálnµe rozdµelena, nicménµe pro oblast, která nás zajímá, toto lze pµredpokládat. Pokud aplikujeme na data dvojstranný t-test i dvojstranný z-test (pµri nerovnosti rozptyl°u), musíme zamítnout hypotézu, µze stµrední hodnoty jsou shodné. M°uµzeme pµredpokládat, µze rozdíl mezi stµredními hodnotami je takový, jaký udává rozdíl mezi obµema pr°umµernými dobami, tzn. 21 dní v pµrípadµe první banky, 44 dní v pµrípadµe druhé banky a 101 dní v pµrípadµe tµretí banky. V relativních µcíslech se jedná o 8%, resp. o 15%, resp. o 20% delší pr°umµernou dobu do zmµeny v pµrípadµe zhoršení. Závµer 13 Závµer z tµechto výpoµct°u není nijak pµrekvapivý. Lze oµcekávat, µze dluµzníci v pµrípadµe zhoršení své …nanµcní situace mohou skrývat svou skuteµcnou …nanµcní situaci


38

pµred bankou, aby zabránili zhoršení podmínek, za kterých jim jsou poskytovány úvµery. Naopak v pµrípadµe zlepšení své …nanµcní situace mohou proaktivnµe poµzádat banku o zlepšení podmínek poskytování úvµer°u. Dostupná data tento trend u všech tµrí bank potvrzují. Nicménµe rozdíl není tak dramatický, aby nebylo moµzné povaµzovat systém pµridµelování interních rating°u za dostateµcnµe efektivní. Závµer 14 Rozdíl mezi tím, za jak dlouho dojde ke zlepšení nebo zhoršení je o nµeco niµzší v pµrípadµe bank pouµzívajících behaviorální skóring, neµz u Banky 3, která jej nepouµzívá. Toto m°uµze být zp°usobeno tím, µze automatický systém behaviorálního skóringu upozorní banku na moµzné zhoršení dluµzníkovy …nanµcní situace dµríve, neµz systém zaloµzený na analýze …nanµcních výkaz°u.

5.3

Matice pµrechodu

V této kapitole pµristoupíme k analýze matic pµrechodu mezi ratingovými kategoriemi. Pokud nebude explicitnµe µreµceno jinak, bude maticí pµrechodu myšlena matice pµrechodu Markovova µretµezce popsaného ve výrazu (1), tato matice pµrechodu nebude tedy záviset na µzádném µcasovém rámci, ale bude odpovídat pµrechod°um pµri první zmµenµe ratingu. V této kapitole nás zajímá zejména: Stanovení empirické matice pµrechodu. Zda pozorované zmµeny splµnují markovskou vlastnost, tzn. nezávisí na pµredchozím vývoji ratingu.

5.3.1

Empirická matice pµrechodu

Zp°usob výpoµctu empirické matice pµrechodu byl popsán jiµz v pµredchozím textu, pro úµcely výpoµctu tedy bude pouµzit vzorec (9). Empirické matice pµrechodu jednotlivých bank jsou v následujících tabulkách:


39

Banka 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

1 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

2 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

3 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

4 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

5 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

6 0% 0% 0% 0% 0% 0% 9% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 0% 0% 0% 1% 1% 0%

7 0% 0% 0% 10% 0% 9% 0% 11% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

8 0% 0% 0% 30% 0% 7% 35% 0% 5% 2% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

9 10 0% 14% 0% 100% 21% 58% 30% 20% 0% 50% 8% 14% 20% 18% 38% 29% 0% 74% 25% 0% 5% 34% 4% 13% 3% 9% 2% 6% 2% 5% 2% 7% 2% 4% 0% 2% 2% 9% 5% 9% 0% 0% 7% 0%

11 71% 0% 16% 10% 50% 25% 5% 12% 10% 46% 0% 35% 19% 13% 11% 10% 5% 3% 7% 4% 2% 14%

12 14% 0% 0% 0% 0% 10% 6% 4% 6% 14% 33% 0% 28% 17% 12% 12% 7% 3% 7% 4% 3% 0%

13 0% 0% 0% 0% 0% 5% 2% 3% 2% 6% 12% 24% 0% 28% 18% 12% 7% 4% 8% 7% 0% 0%

Tabulka µc. 9 Banka 2: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2 0% 33% 1% 10% 0% 0% 2% 0% 0% 2% 0% 0% 1%

3 55% 0% 10% 21% 6% 1% 3% 2% 0% 3% 1% 1% 0%

4 0% 5% 0% 11% 4% 5% 2% 2% 1% 1% 0% 0% 0%

5 17% 24% 22% 0% 9% 7% 11% 4% 2% 4% 1% 1% 0%

6 0% 3% 9% 7% 0% 10% 5% 7% 2% 1% 1% 0% 0%

7 0% 1% 15% 4% 23% 0% 15% 16% 7% 6% 1% 1% 0%

8 10% 6% 6% 15% 8% 21% 0% 12% 9% 12% 4% 3% 0%

9 0% 1% 5% 2% 11% 9% 10% 0% 7% 9% 3% 1% 1%

10 0% 1% 3% 1% 4% 8% 4% 10% 0% 14% 4% 2% 1%

11 16% 14% 16% 18% 13% 16% 29% 19% 50% 0% 37% 31% 22%

Tabulka µc. 10 Banka 3: 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0% 19% 4% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

3 51% 0% 24% 6% 1% 1% 1% 1% 0%

4 24% 54% 0% 27% 10% 4% 2% 2% 0%

5 10% 10% 41% 0% 21% 9% 4% 3% 0%

6 3% 11% 15% 41% 0% 30% 15% 11% 2%

7 6% 4% 10% 16% 47% 0% 34% 22% 5%

Tabulka µc. 11

8 4% 3% 4% 7% 15% 48% 0% 30% 7%

9 1% 0% 1% 2% 4% 5% 40% 0% 85%

10 1% 0% 1% 1% 1% 2% 4% 32% 0%

12 2% 7% 10% 8% 16% 16% 16% 21% 17% 35% 0% 29% 46%

13 0% 3% 2% 2% 3% 4% 3% 3% 4% 6% 40% 0% 29%

14 0% 0% 1% 0% 3% 2% 1% 4% 2% 5% 8% 31% 0%

14 0% 0% 5% 0% 0% 5% 1% 1% 1% 3% 7% 11% 22% 0% 27% 12% 9% 4% 4% 2% 0% 0%

15 0% 0% 0% 0% 0% 5% 2% 1% 1% 2% 4% 6% 11% 21% 0% 22% 16% 17% 9% 6% 1% 14%

16 0% 0% 0% 0% 0% 5% 0% 0% 0% 1% 3% 4% 4% 7% 14% 0% 28% 23% 19% 19% 1% 7%

17 0% 0% 0% 0% 0% 1% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 1% 3% 3% 8% 0% 19% 6% 3% 0% 0%

18 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 2% 5% 9% 0% 13% 6% 1% 0%

19 0% 0% 0% 0% 0% 3% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 1% 1% 3% 4% 7% 16% 0% 10% 1% 0%

20 0% 0% 0% 0% 0% 2% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 1% 5% 4% 7% 15% 0% 11% 21%

21 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 1% 1% 13% 0% 36%

22 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 10% 77% 0%


40

Nµekolik poznámek k tµemto maticím: Velmi málo pozorování je k dispozici pro dluµzníky s velmi dobrým ratingem. Proto vypoµcítané pravdµepodobnosti pµrechodu nemohou být brány za smµerodatné. Kategorie v selhání ve skuteµcnosti nejsou absorpµcní. Otázkou je, zda se pµri tak vysokém poµctu pozorování nem°uµze jednat napµríklad o administrativní nebo datovou chybu. Empirické matice Banky 1 a Banky 2 není monotónní v°uµci diagonále, matice Banky 3 tuto vlastnost splµnuje.

5.3.2

Testy markovské vlastnosti

V této kapitole aplikujeme postupy zaloµzené na testech binomického rozdµelení uvedené v kapitole 4.4 na stranµe 26. Podle popsaného postupu jsou vytvoµreny dvµe matice, které budou reprezentovat pµrípady, u kterých pµred aktuální zmµenou došlo ke zhoršení, respektive ke zlepšení ratingové kategorie. V tµechto maticích jsou seµcteny všechny prvky od zaµcátku µrádku aµz po diagonálu. Tyto pak reprezentují pravdµepodobnost zlepšení ratingové kategorie. Dále jsou seµcteny všechny prvky od diagonály do konce µrádku, tento souµcet reprezentuje pravdµepodobnost zhoršení ratingové kategorie. Vytvoµríme testovací statistiku danou vzorcem (10) popsanou v kapitole 4.4. Zvolíme hladinu spolehlivosti = 5%; výsledek testu tedy budeme porovnávat s hodnotou 20;05 (1) = 3; 84: Zobrazeny jsou jen ty výsledky, které odpovídají podmínce ni pij > 5.


41

Banka 1:

Ratingový stupeň

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Hodnota testu v případě předchozího zlepšení 4,52 27,08 455,17 361,29 230,46 204,03 121,97 56,66 0,41 6,37 0,00 2,03

Hodnota testu v případě předchozího zhoršení 40,02 510,17 1096,61 403,05 128,35 109,14 43,71 15,40 0,11 1,10 0,00 0,10

Rating je závislý na předchozím stavu Ano Ano Ano Ano Ano Ano Ano Ano Nepotvrzeno Ano Nepotvrzeno Nepotvrzeno

Tabulka µc. 12 Banka 2:

Ratingový stupeň

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Hodnota testu v případě předchozího zlepšení 14,51 1,58 19,84 3,29 2,70 25,61 8,72 3,89 290,49 100,34 24,56

Hodnota testu v případě předchozího zhoršení 28,20 15,88 43,89 14,04 23,73 73,66 20,38 23,03 280,38 21,74 0,74

Tabulka µc. 13

Rating je závislý na předchozím stavu Ano Ano Ano Ano Ano Ano Ano Ano Ano Ano Ano


42

Banka 3:

Ratingový stupeň

4 5 6 7 8

Hodnota testu v případě předchozího zlepšení 1,44 2,17 3,18 11,60 12,60

Hodnota testu v případě předchozího zhoršení 5,23 3,92 5,18 7,89 2,28

Rating je závislý na předchozím stavu Ano Ano Ano Ano Ano

Tabulka µc. 14

U vµetšiny ratingových kategorií byla potvrzena závislost na smµeru pµredchozí zmµeny. Dále nás zajímá, jaký charakter má tato závislost. Abychom to zjistili, porovnáme pravdµepodobnosti zlepšení ratingové kategorie pro dvµe situace: 1. pµredchozí zmµenou bylo zlepšení, 2. pµredchozí zmµenou bylo zhoršení. Pokud má platit markovská vlastnost, tzn. nová zmµena závisí pouze na pµredchozím ratingu, mµely by obµe pravdµepodobnosti být shodné, nemµelo by tedy záviset na tom, zda p°uvodní ratingová kategorie byla výsledkem zlepšení nebo zhoršení …nanµcní situace dluµzníka. V úvahu opµet budou vzaty pouze ty ratingové kategorie, u kterých je poµcet pozorování vyšší neµz 20. V analýze nebudou brány v potaz kategorie v selhání.


43

Banka 1:

Ratingový stupeň

Předchozí Předchozí Rozdíl mezi změnou bylo změnou bylo změnami zlepšení zhoršení 8 10% 37% -27% 9 4% 35% -31% 10 20% 55% -36% 11 31% 54% -23% 12 42% 61% -19% 13 46% 66% -20% 14 54% 72% -18% 15 67% 79% -13% 16 76% 77% -1% 17 70% 79% -10% 18 76% 76% 0% 19 76% 85% -9% -17% Průměr hodnot rozdílů 11% Směrodatná odchylka Tabulka µc. 15 Banka 2:

Ratingový stupeň

Předchozí Předchozí Rozdíl mezi změnou bylo změnou bylo změnami zlepšení zhoršení 3 26% 61% -35% 4 7% 40% -33% 5 34% 73% -39% 6 13% 42% -29% 7 22% 54% -32% 8 32% 70% -39% 9 37% 62% -25% 10 23% 47% -24% 11 30% 82% -53% 12 26% 58% -32% 13 29% 69% -40% -35% Průměr hodnot rozdílů 8% Směrodatná odchylka Tabulka µc. 16


44

Banka 3:

Ratingový stupeň

Předchozí Předchozí Rozdíl mezi změnou bylo změnou bylo změnami zlepšení zhoršení 3 22% 9% 13% 4 33% 17% 16% 5 36% 25% 11% 6 39% 29% 11% 7 49% 34% 15% 13% Průměr hodnot rozdílů 2% Směrodatná odchylka Tabulka µc. 17 V pµrípadµe nezávislosti na pµredchozím stavu by mµely být pravdµepodobnosti v prvních dvou sloupcích stejné. Jak je ale vidµet ze tµretího sloupce, rozdíl mezi nimi m°uµze být znaµcný. Z tµechto výsledk°u m°uµzeme uµcinit dva závµery: Závµer 15 Principy Nové basilejské kapitálové dohody nutí banky alokovat sv°uj kapitál právµe na základµe interních rating°u. Aby banka na daném segmentu dluµzník°u byla schopna dosáhnout dostateµcného výnosu v porovnání s alokovaným kapitálem, je nucena výraznµe uzp°usobit svou cenovou politiku stanovování výše úrok°u právµe systému interních rating°u. Tím m°uµze vytváµret úµcinný tlak na …rmy, které potµrebují …nancovat sv°uj chod z cizích zdroj°u, aby tomuto pµrizp°usobily své chování. Tím pádem, jak bylo pozorováno v pµrípadech Bank 1 a 2, pokud dojde ke zhoršení ratingu, mají dluµzníci zájem na tom, aby rychle následovala zpµetná korekce a zlepšení ratingu. Závµer 16 Druhým zásadním závµerem této kapitoly je ten, µze v tomto pµrípadµe záleµzí na tom, zda banka provozuje v nµejaké formµe behaviorální skóring nebo ne. V pµrípadµe Bank 1 a 2, které deklarují pouµzívání behaviorálního skóringu, dochází po zhoršení ratingu µcastµeji k jeho zlepšení a obrácenµe. Naopak u Banky 3, která behaviorální skóring nepouµzívá, je pozorován opaµcný trend, a to po zhoršení dochází k dalšímu zhoršení a naopak.

5.4

Zmµeny vlastností ratingových systém°u v období …nanµcní krize

V této kapitole se pokusíme nastínit, k jakým zmµenám v charakteru matice pµrechodu nebo doby do zmµeny dochází v pµrípadµe …nanµcní krize. Klademe si tedy následující


45

cíle: µ Urµcit okamµzik, od kterého lze v Ceské republice datovat recesi zp°usobenou celosvµetovou …nanµcní krizí. Porovnat poµcet selhání a obecnµe poµcet zmµen v období …nanµcní krize a ekonomické stability. Zjistit zmµeny v charakteru matice pµrechodu. Zjistit zmµeny v charakteru náhodné veliµciny doby do zmµeny.

5.4.1

Poµcátek …nanµcní krize

Za zaµcátek celosvµetové …nanµcní krize povaµzují zejména americká média pád banky Lehman Brothers, ke které došlo 15.záµrí 2008. Tato banka, zaloµzená v roce 1850, byla jednou z nejvýznamnµejších amerických institucí, a její pád, který nebyl nijak zmµekµcen vládními zásahy, byl celosvµetovµe velkým pµrekvapením. Nicménµe jiµz o nµekolik mµesíc°u dµríve se dostala do výrazných problém°u jiná americká …nanµcní instituce, Bear Stearns. V tomto pµrípadµe také americká centrální banka (FED) odmítla poskytnout jiµz dµríve slíbený úvµer ve výši 30 mld. USD, coµz nejspíše donutilo dne 16.bµrezna 2008 banku Bear Stearns prodat své akcie velmi nevýhodnµe svému konkurentu, investiµcní bance JP Morgan Chase. D°uvodem tµechto problém°u byl zejména rizikový pro…l daných bank, který se jejich manaµzer°um zcela vymkl kontrole. Zjistilo se, µze banky v podstatµe nemají pµredstavu, jak riziková jsou aktiva, která mají ve své bilanci. Poté, co došlo k revizi kvality portfolií, se zaµcaly i další americké banky, mezi tµemi nejvýznamnµejšími napµríklad Citibank a Bank of America, doµzadovat …nanµcní pomoci ze strany státu. µ V Ceské republice mají banky tu výhodu, µze v relativnµe nedávné dobµe došlo u vµetšiny z nich k jejich prodeji zahraniµcním vlastník°um. Bµehem prodeje byla jejich portfolia pod velmi pµrísným dohledem, jejich rizikový pro…l byl velmi pµresnµe stanoven a za rizikovµejší µcást bilance se novým zahraniµcním vlastník°um zaruµcil µceský stát. Další výhodou je nedávná implementace pokroµcilých metod Nové basilejské kapitálové µ dohody, která byla kontrolována ze strany Ceské národní banky, bµehem níµz také došlo k revizi portfolia aktivních obchod°u. Vzhledem k tµemto fakt°um se …nanµcní krize velkých µceských …nanµcních institucí nijak dramaticky nedotkla. Vzhledem k úzké provázanosti µceské ekonomiky s ostatními svµetovými ekonomikami se však …nanµcní krize projevila i u nás. Jednou z moµzností urµcení poµcátku …µ nanµcní krize je sledování meziroµcního r°ustu HDP. Tento údaj zveµrejµnuje Ceský staµ tistický úµrad µctvrtletnµe na svých stránkách, viz webové stránky CSÚ [14]. Jedná se o srovnání daného µctvrtletí se µctvrtletím minulého roku tak, aby bylo moµzné


46

odstranit sezónní vlivy jednotlivých sektor°u. Následující graf ukazuje vývoj tohoto ukazatele v letech 2003–2009:

Meziroční vývoj HDP

1-2003 2-2003 3-2003 4-2003 1-2004 2-2004 3-2004 4-2004 1-2005 2-2005 3-2005 4-2005 1-2006 2-2006 3-2006 4-2006 1-2007 2-2007 3-2007 4-2007 1-2008 2-2008 3-2008 4-2008 1-2009 2-2009 3-2009 4-2009

10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% -2,00% -4,00% -6,00% -8,00%

Čtvrtletí Graf µc. 5 Z grafu je evidentní, µze k prvnímu výraznému propadu došlo ve µctvrtém µctvrtletí 2008. µ Jinou moµzností, kterou opµet nabízí výkazy Ceského statistického úµradu, je vzít v potaz tzv. Indikátor d°uvµery, sestavovaný v rámci konjunkturálního pr°uzkumu, µ µ viz opµet webové stránky CSÚ [13]. Tyto pr°uzkumy jsou podle CSÚ "významným zdrojem informací v zemích s ekonomikou zaloµzenou na trµzních vztazích, protoµze poskytují informace o oµcekávaných tendencích ve vývoji hlavních oblastí podnikové ekonomiky v nejbliµzší budoucnosti". Napµríklad v podnikové sféµre jednotlivé subjekty odpovídají na otázky, zda jejich oµcekávané zakázky pro nejbliµzší 3 mµesíce vzrostou, poklesnou, nebo se nezmµení. Indikátor d°uvµery v sobµe obsahuje i informace o oµcekáváních spotµrebitel°u; ti odpovídají napµríklad na to, jaký vývoj oµcekávají v pµrípadµe své zamµestnanosti, své úrovnµe úspor nebo své …nanµcní situace. Následující graf ukazuje vývoj tohoto indikátoru (souhrnného za všechna odvµetví i spotµrebitele).


47

Souhrnný indikátor důvěry 110,0 100,0

96,1 91,5 87,1

90,0 80,0

79,5 73,8

70,0

1-2003 2-2003 3-2003 4-2003 1-2004 2-2004 3-2004 4-2004 1-2005 2-2005 3-2005 4-2005 1-2006 2-2006 3-2006 4-2006 1-2007 2-2007 3-2007 4-2007 1-2008 2-2008 3-2008 4-2008 1-2009 2-2009 3-2009 4-2009

60,0

Čtvrtletí Graf µc. 6 V obdobích 1/2003–9/2008 byl tento indikátor pravidelnµe nad úrovní 95, po tomto mµesíci však došlo k prudkému poklesu aµz na minimum ve výši 73,8 v období 2/2009. µ Na základµe tµechto údaj°u m°uµzeme usoudit, µze se celosvµetová …nanµcní krize v Ceské republice poprvé významnµe projevila 1.10.2008.

5.4.2

Poµcty zmµen v období …nanµcní krize

V následující tabulce je ukázáno, kolik zmµen ratingových kategorií za jeden mµesíc evidují jednotlivé banky. Je zajímavé, µze tento pomµer se pro r°uzné banky mµení:

Banka 1 Banka 2 Banka 3

Počet změn v období ekonomické stability za měsíc

Počet změn v období finanční krize za měsíc 917 251 125

Poměr

1 782 145 316

1,9 0,6 2,5

Tabulka µc. 18 Následující tabulka ukazuje nár°ust poµctu dluµzník°u v selhání v období …nanµcní krize:



48

Počet selhání v období ekonomické stability za měsíc

Počet selhání v období finanční krize za měsíc 6 10 4

Poměr

38 21 14

6,4 2,0 3,1

Tabulka µc. 19

5.4.3

Zmµeny v charakteru matice pµrechodu

Na úvod této kapitoly by bylo vhodné pµripomenout, jakým zp°usobem banky tvoµrí svou ratingovou škálu. Z odpovµedí jednotlivých bank vyplynulo, µze se vµetšinou snaµzí o stabilitu pravdµepodobností selhání pro jednotlivé ratingové kategorie. To znamená, µze v pµrípadµe …nanµcní krize, kdy se plošnµe zvyšuje pravdµepodobnost selhání všech subjekt°u v ekonomice, by mµelo docházet ke sníµzení ratingu velké µcásti portfolia tak, aby byly zachovány konstantní pravdµepodobnosti selhání v jednotlivých ratingových kategoriích. Matici pµrechodu m°uµzeme analyzovat stejným zp°usobem, jaký jsme navrhli v kapitole Nezávislost na pµredchozím stavu. Opµet m°uµzeme rozdµelit matice pravdµepodobností na dvµe µcásti a seµcíst pravdµepodobnosti pµred diagonálou a za ní, µcímµz dostaneme pravdµepodobnost zlepšení a pravdµepodobnost zhoršení subjektu nacházejícího se v pµríslušné ratingové kategorii. Tyto pravdµepodobnosti pak m°uµzeme vypoµcítat pro situaci pµred poµcátkem …nanµcní krize a bµehem ní. Následující tabulky ukazují výsledky pro jednotlivé banky. Ukázány jsou vµzdy jen ty ratingy, u kterých bylo zaznamenáno více neµz 20 pozorování a nejsou zahrnuty kategorie v selhání.


49

Banka 1: pravdµepodobnosti zlepšení

Ratingová kategorie

Ekonomická stabilita

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Průměr hodnot rozdílů Směrodatná odchylka

Finanční krize Rozdíl mezi změnami

1% 9% 15% 8% 26% 41% 53% 61% 70% 80% 81% 83% 84% 93%

0% 10% 8% 4% 29% 39% 51% 54% 62% 70% 63% 61% 65% 73%

1% -2% 7% 4% -3% 2% 2% 7% 8% 9% 18% 23% 20% 20% 8% 8%

Tabulka µc. 20 Banka 2: pravdµepodobnosti zlepšení



3 5 7 8 9 11 12 13 Průměr hodnot rozdílů Směrodatná odchylka


0% 10% 20% 25% 38% 28% 57% 57%

Tabulka µc. 21

0% 20% 0% 3% 41% 0% 11% 26%

0% -10% 20% 21% -3% 28% 46% 31% 17% 18%


50

Banka 3: pravdµepodobnosti zlepšení



3 4 5 6 7 8 9 Průměr hodnot rozdílů Směrodatná odchylka


24% 35% 44% 47% 66% 84% 81%

15% 22% 22% 21% 28% 27% 33%

9% 14% 22% 26% 38% 57% 47% 22% 10%

Tabulka µc. 22 Závµer 17 Závµer z této analýzy je evidentní a zcela v souladu s oµcekáváním. Aµz na dvµe výjimky v pµrípadµe ratingu 5 a 9 u Banky 2, ve všech pµrípadech je bµehem období ekonomické stability vyšší pravdµepodobnost zlepšení, neµz bµehem …nanµcní krize. Dále je z tabulek evidentní, µze rozdíly mezi pravdµepodobnostmi zlepšení v r°uzných období jsou vyšší pro horší ratingy, coµz je opµet oµcekávaný výsledek — není pµrekvapením, µze lepší dluµzníci si udrµzí svou stabilitu i bµehem …nanµcní krize. Nyní se m°uµzeme pokusit pouµzít návod popsaný Kimem [6] a zmínµený v kapitole 4.3 na stranµe 25. V analýze pouµzijeme data Banky 3, u které jsou rozdíly zmµen, mµeµreno jejich pr°umµerem, nejvýraznµejší. Tento návod pµredpokládá, µze v dobµe …nanµcní krize pouze posuneme pµríslušné normální rozdµelení o urµcitou hodnotu, která bude však napµríµc jednotlivými ratingovými kategoriemi stejná. Musíme se tedy nejdµríve zamµeµrit na to, zda je hodnota posunutí skuteµcnµe stejná. Podíváme se na tµri ratingy, u kterých byl dosaµzen nejvyšší poµcet pozorování V tabulce je vyznaµcena hodnota rozdílu mezi pµríslušným prahem pro danou ratingovou kategorii v období ekonomické stability a mezi tímto prahem vypoµcítaným z dat nasbíraných v dobµe …nanµcní krize:


2 6 7 8

-7,0 0,6 0,0

3 0,2 0,4 0,2

4 0,4 0,2 0,5

5 0,7 0,5 0,5

Tabulka µc. 23

6

1,0 0,7

7

8

9

-0,2

-0,3 -0,2

-8,0 -0,1 0,0

1,6


51

Je evidentní, µze nelze nalézt jednu hodnotu, kterou by bylo moµzné reprezentovat všechny hodnoty, ba ani jednu hodnotu, která by byla spoleµcná pro jednotlivé µrádky. Z tohoto d°uvodu m°uµzeme konstatovat, µze metoda navrµzená Kimem [6] není v této situaci pµríliš vhodná.

5.4.4

Zmµeny v charakteru náhodné veliµciny doba do zmµeny

Nejdµríve m°uµzeme porovnat základní charakteristiky náhodné veliµciny doba do zmµeny v pµrípadµe …nanµcní krize a v pµrípadµe ekonomické stability. Srovnání ukazuje následující tabulka (údaje jsou v mµesících):


Ekonomická stabilita Finanční krize Ekonomická stabilita Finanční krize Ekonomická stabilita Finanční krize

Střední Směrodatná hodnota odchylka 8,77 8,80 7,74 9,29 8,15 8,78 13,00 15,95 12,58 7,89 17,75 14,07

Počet pozorování 54293 24970 11020 1598 3434 3490

Tabulka µc. 24 Závµer 18 Je zajímavým závµerem, µze bµehem …nanµcní krize se doba do zmµeny prodluµzuje, jak je tomu v pµrípadµe Banky 2 a Banky 3. Vysvµetlením tohoto pozorování m°uµze být to, µze v pµrípadµe …nanµcní krize dochází ke zmµenµe ratingu i u jinak stabilních dluµzník°u, u kterých se pak jedná o první zmµenu po delší dobµe. Dále je vhodné porovnat rozdµelení obou náhodných veliµcin. Relativní µcetnosti výskyt°u náhodné veliµciny doba do zmµeny po jednotlivých mµesících ukazuje následující graf. V tomto grafu jsou zahrnuty pouze zmµeny, ke kterým došlo po 1.10.2008.


52

Doba do změny během finanční krize 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0

6

12

18

24

30


Banka 2

Banka 3

Graf µc. 7 Tento graf m°uµzeme porovnat s grafem, ve kterém byly zahrnuty naopak pouze zmµeny, ke kterým došlo pµred 1.10.2008:

Doba do změny během ekonomicky stabilního období 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0

6

12

18

24

30


Banka 2

Banka 3

Graf µc. 8 Dané dva výbµery lze porovnat standardním Kolmogorov-Smirnovovým testem. V tomto pµrípadµe bude pouµzita statistika D pro dvouvýbµerový test, pµrizp°usobená poµctu pozorování v kaµzdé kategorii, na hladinµe spolehlivosti 5%. Tato statistika se vypoµcítá


53

vzorcem

r n1 + n2 D = c( ) : n1 n2 Pro = 5% je c( ) = 1; 36: Nulová hypotéza je, µze oba výbµery pochází ze stejného rozdµelení. Tato hypotéza musí být zamítnuta, pokud absolutní hodnota maximálního rozdílu bude vµetší, neµz µciní statistika D . Výsledky ukazuje následující tabulka.


Maximální Maximální Maximální Počet pozorování Hodnota Ekonom. Fin. krize statistiky D záporný kladný rozdíl stabilita rozdíl rozdíl -0,01 0,11 0,11 54293 24970 0,01 -0,17 0,04 0,17 11020 1598 0,04 -0,21 0,12 0,21 3434 3490 0,03 Tabulka µc. 25

Ve všech pµrípadech je maximální rozdíl vyšší neµz hodnota pµríslušné statistiky. Musíme tedy zamítnout hypotézu, µze výbµery pochází ze stejného rozdµelení. Závµer 19 Statistické testy potvrdily významný rozdíl mezi distribuµcními funkcemi náhodné veliµciny doba do zmµeny v pµrípadµe dat nasbíraných v dobµe …nanµcní krize a v dobµe ekonomické stability.

5.5

Porovnání s výsledky jiných výzkum°u

Výsledky prezentované v této kapitole budou porovnány se závµery zveµrejnµenými D’Amico a kol. [2] a [3], coµz je v souµcasné dobµe jeden z nejzµretelnµejších zdroj°u propagace semimarkovských proces°u v oblasti µrízení kreditního rizika. Tento výzkum se zabývá výhradnµe externími ratingy, tzn. ratingy pµriµrazenými ratingovými spoleµcnostmi jako jsou Standards and Poors nebo Moodys. Závµery tµechto výzkum°u jsou následující: Pravdµepodobnost zmµeny ratingu závisí na tom, jak dlouho jiµz daný dluµzník pµríslušný rating má. Rating závisí významnµe také na fázi hospodáµrského cyklu, ve kterém se ekonomika právµe nachází. Nový rating nezávisí pouze na jediném pµredchozím ratingu, ale i na pµredchozích ratinzích. Problém je popisován v souvislosti se sníµzením ratingu, podle [2] pak existuje vyšší pravdµepodobnost dalšího pohybu smµerem dol°u.


54

Srovnání poskytuje následující tabulka: Sledovaný jev Pozorování dle této práce Pravdµepodobnost Evidentní je zejména fakt, zmµeny ratingu µze v nµekterých µcasech je závisí na dobµe pravdµepodobnost zmµeny setrvání v daném vyšší neµz v jiných, napµrístavu. klad po 6 nebo 12 mµesících. K modelování doby do zmµeny m°uµze být tedy pouµzita periodická funkce, nebo hustota, ve které je pravdµepodobnost nµekterých konkrétních bod°u na reálné ose nenulová. µCasová neho- Podle našeho pozorování má mogenita …nanµcní krize vliv na matice pµrechodu i na dobu do zmµeny. V pµrípadµe matic pµrechodu se zvyšuje pravdµepodobnost zhoršení a to zejména pro ménµe kvalitní protistrany. Doba do zmµeny se nµekdy m°uµze i zkracovat, vzhledem k µcastµejším korekcím rating°u ze strany bank. Závislost nejen V tomto pµrípadµe velmi na posledním záleµzí na tom, zda banka ratingu ale i provozuje behaviorální na pµredchozích skóring. V takovém pµríratinzích. padµe dochází µcasto po zmµenµe ratingu ke korekci, kterou m°uµze iniciovat i sám dluµzník. V pµrípadµe bank, které provozují behaviorální skóring je tedy µcastµejší, µze po zhoršení dojde ke zlepšení a naopak. Naopak v pµrípadµe instituce, která behaviorální skóring neprovozuje, tento efekt sledován není.

Pozorování dle D’Amico D’Amico pouµzívá standardní exponenciální rozdµelení, nicménµe nabízí jako alternativu i Weibullovo rozdµelení.

Obecnµe je také sledována závislost na bodµe hospodáµrského cyklu, ve kterém se daná ekonomika právµe nachází.

Je pozorována závislost zejména v pµrípadµe pohyb°u smµerem dol°u. Pokud dojde ke zhoršení ratingu, je v dalším kroku vyšší pravdµepodobnost, µze další zmµena bude opµet zhoršením. V pµrípadµe zlepšení nebyl µzádný efekt pozorován.

µ 6 POUZITÍ TEORETICKÉHO RÁMCE V PRAXI

6

55

Pouµzití teoretického rámce v praxi

V této kapitole bude doposud vyloµzený teoretický aparát aplikován na reálná data tak, aby byl co nejlépe vyuµzit potenciál konceptu semimarkovských proces°u.

6.1

Model zaloµzený na exponenciálním rozloµzení

V tomto pµríkladµe se budeme zabývat modelem popisující chování externích rating°u spoleµcnosti Moodys. K dispozici máme zprávu této spoleµcnosti vydanou v srpnu 2007, viz [11]. Tato zpráva obsahuje mj. roµcní a pµetileté matice pµrechodu a také procento ohodnocených dluµzník°u v kaµzdé z ratingových kategorií. Z tµechto dat se m°uµzeme pokusit sestavit klasický semimarkovský model zaloµzený na spojitých funkcích hustot doby do zmµeny. Pro pµrehlednost se budeme zabývat pouze tµremi stavy: 1. Investiµcní kategorií, do které spadají všechny ratingové kategorie Aaa aµz Baa3. Tato kategorie bude oznaµcována indexem 1. 2. Spekulativní kategorií, do které spadají všechny ratingové kategorie Ba1 aµz C. Tato kategorie bude oznaµcována indexem 2. 3. Kategorií v selhání, kterou budeme v souladu s ratingovou spoleµcností Moodys povaµzovat za absorpµcní stav. Tato kategorie bude oznaµcována indexem d. Matice pµrechodu má následující tvar: 0

1 0 p12 p1d P = @ p21 0 p2d A : 0 0 1

Pro zpµrehlednµení jiµz dále neoznaµcujeme prvky této matice indexem . Zda se jedná o pravdµepodobnost pµrechodu Markovova µretµezce, nebo pravdµepodobnost výskytu semimarkovského µretµezce v µcase t, je právµe vidµet díky promµenné t, pµrípadnµe s, pokud se jiµz jedná o Laplaceovu transformaci. Dobu do zmµeny v pµrípadµe zmµeny ratingové kategorie do jiné neµz kategorie v selhání budeme modelovat klasickým exponenciálním rozloµzením, hustota tedy bude rovna a1 e a1 t , respektive a2 e a2 t . Dále pouµzijeme dva r°uzné pµredpoklady: 1. Nejdµríve budeme pµredpokládat, µze doba do zmµeny do kategorie v selhání je opµet exponenciálnµe rozdµelená se stejnou hustotou jako v pµrípadµe zmµeny do kategorie jiné neµz kategorie v selhání, tzn. má hustotu a1 e a1 t , respektive a2 e a2 t :


56

2. Zadruhé budeme pµredpokládat, µze hned po zmµenµe ratingu je pravdµepodobnost, µze se dluµzník dostane do selhání, nízká, hustotu doby do zmµeny v závislosti na µcase proto budeme modelovat funkcí b21 te b1 t , respektive b22 te b2 t : Grafy obou tµechto funkcí jsou na obrázku (se stµrední hodnotou rovnou jedné):

y

1.0

Predpoklad 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

Predpoklad 2

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

x

V této úloze nás zajímá pravdµepodobnost výskytu dluµzníka v ratingové kategorii k v µcase t: V závislosti na poµcáteµcním stavu i oznaµcme: pik (t) = P (Xt = kjX0 = i): Z teorie semimarkovských proces°u plyne X pik (s) pij fij (s) pjk (s) = j

a

fi (s) =

X

ik

1 (1 s

fi (s)) ;

pij fij (s) ;

j

kde * je oznaµcena Laplaceova transformace pµríslušné hustoty. Podle pµredpokladu 1 máme tedy f12 (t) f21 (t) f1d (t) f2d (t)

= a1 e a1 t ; = a2 e a2 t ; = a1 e a1 t a = a2 e a2 t :

Dále musíme vyjádµrit hustotu doby do zmµeny ze stav°u 1 a 2 bez zohlednµení podmínky, do kterého stavu se dostanou: f1 (t) = p12 f12 (t) + p1d f1d (t) f2 (t) = p21 f21 (t) + p2d f2d (t)


57

Laplaceovy transformace jednotlivých hustot pro investiµcní kategorie jsou následující: a1 a1 + s a2 f21 (s) = f2d (s) = a2 + s a1 f1 (s) = (p12 + p1d ) a1 + s a2 (p21 + p2d ) f1 (s) = a2 + s

f12 (s) = f1d (s) =

Je zároveµn nutné si uvµedomit: Kategorie v selhání je absorpµcní stav a pravdµepodobnost, µze dluµzník opustí kategorii v selhání je nulová: pdi (t) = 0, i = 1; 2: Naopak pravdµepodobnost, µze dluµzník v kategorii v selhání setrvá, je stále rovna jedné: pdd (t) = 1 a tedy pdd (s) = 1s : Z tµechto vztah°u lze získat následující soustavu rovnic. 1 a1 p21 (s) = a1 + s s a1 p (s) = 0 p12 (s) p12 a1 + s 22 a2 p (s) = 0 p21 (s) p21 a2 + s 11 a2 1 p22 (s) p21 p12 (s) = a2 + s s a1 1 a1 p2d (s) p1d =0 p12 a1 + s a1 + s s a2 a2 1 p21 p1d (s) p2d =0 a2 + s a2 + s s p11 (s)

p1d (s) p2d (s)

p12

1

p12

a1 a1 + p1d a1 + s a1 + s

1

p21

a2 a2 + p2d a2 + s a2 + s

Analogicky lze sestavit stejnou soustavu rovnic pro pµredpoklad 2. V tomto pµredpokladu máme následující systém hustot f12 (t) f21 (t) f1d (t) f2d (t)

= = = =

a1 e a1 t ; a2 e a2 t ; b21 te b1 t a b22 te b2 t ;

Navíc budeme poµzadovat b1 = 2a1 a b2 = 2a2 , aby byly zachovány stejné stµrední hodnoty náhodných veliµcin doba do zmµeny pµri stejných výchozích ratingových kategoriích. Pµri pouµzití pµredpokladu 2 a pouµzití Laplaceovy transformace ve tvaru

µ 6 POUZITÍ TEORETICKÉHO RÁMCE V PRAXI b21 (s+b1 )2

pro hustotu b21 te

p2d (s)

získáváme následující soustavu rovnic:

a1 1 p21 (s) = a1 + s s a1 p12 (s) p12 p (s) = 0 a1 + s 22 a2 p (s) = 0 p21 (s) p21 a2 + s 11 a2 1 p22 (s) p21 p12 (s) = a2 + s s 2 a1 b1 1 p12 p2d (s) p1d =0 2 a1 + s (s + b1 ) s a2 b22 1 p21 p1d (s) p2d =0 2 a2 + s (s + b2 ) s p11 (s)

p1d (s)

b1 t

58

p12

1

p12

a1 b21 + p1d a1 + s (s + b1 )2

1

p21

a2 b22 + p2d a2 + s (s + b2 )2

Další analytické vyjádµrení je jiµz pµrílišnepµrehledné, proto budeme pracovat s konkrétními hodnotami. Pro tyto úµcely pouµzijeme jednoleté matice pµrechodu zveµrejnµené spoleµcností Moodys [11]. Tento model ovšem poµcítá pouze se dvµema ratingovými kategoriemi, jednotlivé µrádky a sloupce proto slouµcíme tak, aby informace z kaµzdé ratingové kategorie byla váµzena svým relativním zastoupením. Tímto získáme matici pµrechodu P o 3x3 prvcích. Abychom mohli pokraµcovat, potµrebujeme získat jednotlivé intenzity doby do zmµeny. K tomu vyuµzijeme vµetu, která aplikuje Taylor°uv rozvoj logaritmu pro pouµzití s maticí: , Vµeta 20 Necht M = (mij ) je µctvercová striktnµe diagonálnµe dominantní matice pµrechodu, tzn. mii > 21 pro všechna i. Pak následující µrada Ql =

l X

( 1)k+1

I)k

(M

k=1

k

konverguje geometricky rychle a zároveµn pro její limitu Q platí M (t) = etQ : Tato matice má pak následující vlastnosti: 0

qii < 1 qij 0 X qij = 0: j


59

Abychom byli schopni díky znalosti matice intenzit doby do zmµeny vypoµcítat matici pµrechod°u v semimarkovském µretµezci, pouµzijeme výsledek (6) ze strany (14): qik = qi pik , i 6= k a tedy qik pik = , kde qi = qii : qi

(12)

Výpoµcet matice P tedy probíhá následovnµe: Nejdµríve z webových stránek spoleµcnosti Moodys [11] zjistíme matici pµrechodu s horizontem jeden rok: 0 1 98; 98% 0; 99% 0; 03% PMoodys = @ 3; 46% 92; 74% 3; 80% A : 0 0 1 Dále pouµzijeme výše uvedenou vµetu pro získání matice intenzit. Výsledkem je: 0 1 0; 01043 0; 01033 0; 00010 0; 07556 0; 03945 A : Q = @ 0; 03611 0 0 0

Z tohoto výsledku tedy máme a1 = 0; 01043 a a2 = 0; 07556. Dále pouµzijeme vztah (12) a tím získáme matici pµrechod°u v daném semimarkovském procesu: 0 1 0; 00% 99; 04% 0; 96% P = @ 47; 79% 0; 00% 52; 21% A : 0; 00% 0; 00% 100% Matice P byla posledním vstupem, který pµri konstrukci soustavy rovnic chybµel. Vyµrešením této soustavy rovnic získáme vztahy pro pij (s) : Napµríklad pro pµredpoklad 1 a investiµcní kategorii platí: 25s + 1; 889 2; 15 s + 25s2 + 0; 0104 0; 258 p12 (s) = 2; 15s + 25s2 + 0; 010 4 0; 0025s + 0; 010 4 p1d (s) = 0; 010 4s + 2; 15 s2 + 25 s3 p11 (s) =

Vzhledem k tomu, µze výsledkem jsou racionální lomené funkce, je moµzné získat analytické vzorce i pro pij (t). Opµet napµríklad pro pµredpoklad 1 a investiµcní kategorii platí: p11 (t) = e 0;043t (cosh 0; 0379t + 0; 86 sinh 0; 0379t) p12 (t) = 0; 273e 0;043t sinh 0; 0379t p1d (t) = 1 e 0;043t (cosh 0; 0379t + 1; 13 sinh 0; 0379t)


60

Tyto funkce bude jednodušší porovnat gra…cky: Pµredpoklad 1

Pµredpoklad 2

Pravdepodobnost setrvani ve stavajicim ratingu

y

Pravdepodobnost setrvani ve stavajicim ratingu

1.0

y Investicni kategorie

0.8

Investicni kategorie

0.8

Spekulativni kategorie

0.6

1.0


0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0.0

0.0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

x

1

Pravdepodobnost selhani

y

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Pravdepodobnost selhani

0.4

y

0.3

0.4

0.3

Spekulativni kategorie 0.2

0.2

0.1


0.1



0.0

0.0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

x

Pravdepodobnost prechodu do opacneho ratingu

y

y

0.4

0.4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Pravdepodobnost prechodu do opacneho ratingu

0.3 0.3


Spekulativni kategorie 0.2

0.2


0.1

0.0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9


0.1

10

x

0.0 0

1

2

3

4

5

6

7

V této situaci m°uµze být zajímavé porovnat hodnoty jednotlivých funkcí pro t = 5 s pµetiletými pravdµepodobnostmi pµrechodu tak, jak je spoleµcnost Moodys skuteµcnµe

8

9

10

x


61

pozorovala. Srovnání nabízí následující tabulka: Odhad p11 (5) p12 (5) p1d (5) p22 (5) p21 (5) p2d (5)

Pµredpoklad 1 95,3% 4,2% 0,5% 68,9% 14,7% 16,4%

Pµredpoklad 2 95,4% 4,4% 0,2% 76,2% 14,7% 9,1%

Skuteµcnost 94% 6% 0,6% 63% 13% 24%

Na tomto místµe je však nutné poznamenat, µze porovnávané pravdµepodobnosti nevyjadµrují zcela stejnou vµec. V pµrípadµe pravdµepodobností vypoµcítaných semimarkovským modelem se jedná o portfolio dluµzník°u, u kterých byla v µcase 0 právµe zmµenµena ratingová kategorie na pµríslušnou výchozí ratingovou kategorii, kdeµzto ve druhém pµrípadµe se jedná o portfolio dluµzník°u, kteµrí se v µcase 0 jiµz v pµríslušné ratingové kategorii nacházeli, bez ohledu na to, jak dlouho v ní jiµz setrvávali. Závµer 21 Závµerem tedy lze µríci, µze dodateµcný pµredpoklad 2 jiného rozdµelení doby do zmµeny neµz exponenciálního se neukázal jako vhodný. Podle výše uvedené tabulky se druhý pµredpoklad neosvµedµcil zejména pµri odhadu pravdµepodobnosti selhání jak z investiµcní, tak ze spekulativní kategorie.

6.2

Periodická funkce hustoty doby do zmµeny

V této kapitole se pokusíme zkonstruovat hustotu náhodné veliµciny doba do zmµeny za pouµzití periodické funkce cosinus. Pro modelování této veliµciny pouµzijeme hustotu popsanou na stranµe 19: 1 f (t) = e at (cos bt + c) ; k kde parametr k je stanoven jako k =

c a

+

a : a2 +b2

Tato hustota bude aplikována na data získaná od Banky 1 nasbírané v dobµe ekonomické stability, která vykazuje nejvýraznµejší periodicitu hustoty náhodné veliµciny doba do zmµeny. Perioda v tomto pµrípadµe je rovna 6 mµesíc°um, parametr b tedy nabývá hodnoty 3 : Pro sestavení hustoty je nutné znát stµrední hodnotu a smµerodatnou odchylku pµríslušného datového vzorku. Tyto hodnoty jsou: ^ = 8; 7 mµesíce, ^ = 8; 8 mµesíce. Pokud chceme pouµzít tuto konkrétní hustotu pro modelování náhodné veliµciny doba do zmµeny, je nutné, aby se stµrední hodnota pµríliš neodchylovala od smµerodatné od-


62

chylky, coµz je v tomto pµrípadµe splnµeno. Sestavíme rovnice, pomocí kterých odhadneme chybµející parametry: k =

Z

0

1 k 1

1 (t k

c a2 b 2 + a2 (a2 + b2 )2

8; 7)2 e

at

c a + 2 a a + b2

= 8; 7

(cos bt + c) dt = 8; 82 = 77; 44 b =

3

Na základµe tµechto rovnic získáme µrešení: a = 0; 114; b = 1; 047; c = 3; 0 a k = 26; 405: Na grafu je zakreslena hustota spoleµcnµe s empirickými µcetnostmi:

Doba do změny během ekonomicky stabilního období 20% 15% 10% 5% 0% 0

6

12

Empirické četnosti

18

24

30

Vypočítaná hustota

Z tohoto grafu je patrné, µze daná funkce dobµre vystihuje trend zmµen, nicménµe také podceµnuje velikost zmµeny v okamµziku t = 12 mµesíc°u. Bylo by tedy vhodné tuto funkci ještµe doplnit o skok právµe v tomto bodµe.

6.3

Model zaloµzený na smµesi s Diracovo delta

Dalším pµrístupem bude kombinování nµejaké typické hladké funkce, napµríklad exponenciálního rozdµelení, s tzv. Diracovým delta, tedy funkcí, která pµriµradí nµekterým bod°um na reálné ose nenulovou pravdµepodobnost. Postupujeme podle vzorce (7) na stranµe 18: f (t) = p (t t^) + (1 p) f1 (t): Tato hustota bude aplikována na data získaná od Banky 3, která vykazují nejvýraznµejší nár°ust pravdµepodobnosti zmµeny ratingu v okamµziku 12 mµesíc°u po poslední


63

zmµenµe. Opµet se budeme zabývat pouze daty získanými v dobµe ekonomické stability. Pro zjištµení parametr°u této hustoty potµrebujeme znát empirickou stµrední hodnotu a varianci, ty jsou k dispozici zde: ^ = 12; 58 mµesíce, ^ = 7; 89 mµesíce. D°uleµzitá je samozµrejmµe i volba funkce f1 :V úvahu vezmeme dvµe r°uzné funkce: g(t) = h(t) =

e ta 2 te t :

Pro první pµrípad tedy máme soustavu rovnic 1 p 12p + = 12; 58; 122 p + 2

1

p 2

= 7; 892 + 12; 582 :

Z této soustavy získáme odhad parametr°u p = 0; 676 47, 0; 985 56, = 0; 01917 1:

= 0; 07250 2 nebo p =

Podobnµe pro druhý pµrípad máme soustavu rovnic 1 p = 12; 58; 12p + 2 122 p + 6

1

p 2

= 7; 892 + 12; 582 :

Z této soustavy získáme odhad parametr°u p = 0; 236 56, 0; 990 82, = 0; 02660 2.

= 0; 156 74 nebo p =

Vzhledem k tomu, µze není moµzné zakreslit funkci Diracovo delta do grafu, budeme porovnávat místo hustot distribuµcní funkce. Doba do změny během ekonomicky stabilního období 100% 80% 60% 40% 20% 0% 0

6

12

Empirické četnosti

18 Hustota g

24 Hustota h

30


64

Evidentnµe lépe popisuje daná data druhá distribuµcní funkce, zaloµzená na gama rozdµelení h(t) = 2 te t .

7 POPIS ZPRACOVÁNÍ DAT

7

65

Popis zpracování dat

V této ryze technické kapitole bude popsáno, jakými prostµredky a postupy byla data zpracovávána. V první kapitole bude popsán zp°usob extrakce dat a sestavení tabulek. Ve druhé kapitole pak budou popsány jednotlivé databázové dotazy, které byly v celé práci pouµzity. Vzhledem k relativnµe velkému rozsahu pouµzitých dat bylo nutné pµri zpracování pouµzít klasické databázové prostµredky. Volba padla na produkt spoleµcnosti Microsoft, software Microsoft Access.

7.1

Extrakce dat

Vstupní tabulka získaná od kaµzdé ze tµrí spolupracujících bank obsahovala následující sloupce: Sloupec Datum ratingu Rating Identi…kátor dluµzníka

Popis sloupce Datum, kdy došlo ke zmµenµe ratingu. Nový rating Identi…kátor, který umoµzní pµriµrazení jednotlivých zmµen rating°u k jednomu danému dluµzníkovi

Nejdµríve bylo nutné poskytnutá data vyµcistit. Základní operace popisuje tento seznam: Banky µcasto deklarovaly stejný rating nµekolik období po sobµe. V prvním kroku proto byly odstranµeny všechny záznamy, které nepµredstavovaly zmµenu ratingu, a v databázi byly ponechány jen ty, které nµejakou zmµenu oznamovaly. V poskytnutých záznamech bylo moµzné nalézt pµrípady, kdy byly vykázány dvµe r°uzné zmµeny v jeden den. Jaká zmµena nakonec nastala bylo tedy nejasné. Tyto záznamy byly z analýzy vylouµceny. Byly vylouµceny záznamy, u kterých údaje z nµejakého d°uvodu nesouhlasily, napµríklad datum nespadalo do sledovaného období nebo rating neodpovídal zvolené škále. V pµrípadµe Banky 2 došlo k tomu, µze oznaµcení Rating 1 bylo pouµzito kromµe samotného oznaµcení ratingové kategorie ještµe k oznámení faktu, µze rating není k dispozici. Tyto záznamy byly z analýzy vylouµceny. V pµrípadµe této banky dále byly k 1.1.2003 poskytnuty údaje o známém ratingu, nicménµe nebylo známo, kdy byl tento rating pµridµelen. Znalost rating°u k 1.1.2003 byla tedy vzata v úvahu pouze v tµech analýzách, kde datum jejich pµridµelení nehrálo roli, napµríklad pµri analýze zhoršení nebo zlepšení.


66

Aby byly analýzy co nejrobustnµejší, bylo vhodné mít k dispozici co nejdelší µcasové µrady pro co nejvµetší mnoµzství dluµzník°u. Tyto poµzadavky jsou však protich°udné, µcím delší poµzaduji µcasovou µradu, pro tím ménµe dluµzník°u je tak dlouhá µrada k dispozici. Napµríklad v pµrípadµe Banky 1, kde došlo v pr°ubµehu sledovaného období k výraznému nár°ustu sledovaných dluµzník°u, byly do analýzy pµrijati jen ti dluµzníci, které tato instituce sledovala uµz pµred nár°ustem. V pµrípadµe ostatních bank k µzádnému podobnému kroku pµristoupeno nebylo, vzhledem k tomu, µze poµcet dluµzník°u s ratingem byl relativnµe stabilní. Po ukonµcení výše popsané úpravy dat byly pµridány následující sloupce: Sloupec Poµradí Rating minulý Datum minulého ratingu Rating pµredminulý Datum pµredminulého ratingu Od poslední zmµeny

Mµesíc°u od poslední zmµeny Instituce

Popis sloupce Poµradové µcíslo dané zmµeny ratingu pro daného dluµzníka Rating, který pµredcházel novému ratingu Datum, kdy byl pµridµelen minulý rating Rating, který pµredcházel minulému ratingu Datum, kdy byl pµridµelen pµredminulý rating Poµcet dní mezi posledními dvµema zmµenami, tzn. mezi datem ratingu a datem minulého ratingu, analogicky sloupec od pµredposlední zmµeny Poµcet mµesíc°u mezi posledními dvµema zmµenami, analogicky sloupec mµesíc°u od pµredposlední zmµeny Oznaµcení banky, která daný záznam poskytla

Celá tabulka byla pojmenována Ratings_unique. Pµríklad O daném dluµzníkovi máme informaci, µze probµehly následující úpravy ratingu:

Datum Rating 5.3.2004 7 2.8.2005 14 2.5.2007 15 23.2.2009 12 Tomuto dluµzníkovi byly bµehem zpracování dat pµriµrazeny následující hodnoty v jednotlivých sloupcích:


Datum

5.3.2004 2.8.2005 2.5.2007 23.2.2009

Datum 5.3.2004 2.8.2005 2.5.2007 23.2.2009

Rating

67

Rating minulý

Pořadí

7 14 15 12

Od poslední změny

515 638 663

1 2 3 4

Datum minulého ratingu

7 14 15

Měsíců od poslední změny

5.3.2004 2.8.2005 2.5.2007

Od předposlední změny

17 21 21

1153 1301

Rating předminulý

7 14

Měsíců od předposlední změny

17 21

Datum předminulého ratingu

5.3.2004 2.8.2005

Použ ít v analýze PRAVDA PRAVDA PRAVDA PRAVDA

Z takto pµripravených dat byly získány potµrebné informace. Napµríklad matice pµrechodu byla sestavena jako dvojrozmµerná tabulka, kde svisle bylo pouµzito pole Rating, vodorovnµe pole Rating minulý a brány v potaz byly jen ty µrádky, ve které hodnota ve sloupci Rating minulý nechybµela. Analýzy dob do zmµeny byly provádµeny na základµe hodnot ve sloupci Od poslední zmµeny, pµrípadnµe Mµesíc°u od poslední zmµeny. Dále byly sestrojeny dvµe pomocné tabulky, první nazvaná Default, ve které byly pµriµrazeny ke kaµzdé instituci její kategorie v selhání, a druhá tabulka nazvaná Období, ve které byla µrada sledovaných období po mµesících od 1.1.2003 do 31.12.2009.

7.2

Provedené databázové dotazy

V této kapitole budou popsány de…nice jednotlivých dotaz°u, díky kterým bylo moµzné provést v této práci popsané analýzy. Tato kapitola je velmi technická a byla zaµrazena jen z d°uvodu snadné ovµeµritelnosti všech µcísel, které tato práce prezentuje. Dotazy byly napsány v aplikaci Microsoft Access, soubor má název Analyzy.mdb. Vzhledem k tomu, µze data nejsou veµrejná, ve veµrejnµe dostupné verzi této práce budou jednotlivé záznamy smazány, databáze bude ale pµresto obsahovat všechny níµze uvedené dotazy.


68

Kapitola 5.1 Pouµzitá data, Tabulka µc. 1 µet default° Pomocí dotazu Tab01_Poc u za rok byl vygenerován poµcet sledovaných selhání od 1.1.2007. Z tµechto údaj°u za tµri roky byl vypoµcítán pr°umµerný poµcet selµet hání za jeden rok. Dále pomocí dotazu Tab01_Seskupení klienti a Tab01_Poc klient° u za celé období byl vyµcíslen celkový poµcet klient°u. Pr°umµerné pravdµepodobnosti selhání byly vypoµcteny z tµechto dvou údaj°u v aplikaci Microsoft Excel. Kapitola 5.2.1 Sezónnost zmµen, Graf µc. 1–3 µet zmµ µet zmµ Pomocí dotaz°u Graf01_Poc en v mµ esíci Banka 1, Graf02_Poc en v mµ eµet zmµ síci Banka 2 a Graf03_Poc en v mµ esíci Banka 3 byly vyµcísleny poµcty zmµen pro kaµzdé období, které pak byly zpracovány v aplikaci Microsoft Excel. Kapitola 5.2.2 Histogram doby do zmµeny, Graf µc. 4 Pomocí dotazu Graf 4_Histogram doby do zmµ eny, ve kterém byly postupnµe mµenµen parametr ve sloupci Instituce oznaµcující jednotlivé banky, byly vygenerovány µcetnosti doby do zmµeny po jednotlivých mµesících. Zbytek byl zpracován v aplikaci Microsoft Excel. Kapitola 5.2.3 Analýza zmµeny bµehem prvního mµesíce, Tabulka µc. 2 Pomocí dotazu Tab2_Zmµ eny do 1 mµ esíce a zhoršení byly zjištµeny poµcty zmµen s délkou 0-1 mµesíc, a ty pak byly roztµrídµeny podle toho, zda se jednalo o zhoršení, nebo zlepšení ratingové kategorie. Kapitola 5.2.3 Analýza zmµeny bµehem prvního mµesíce, Tabulka µc. 3 µet kategorií byly zjištµeny poµcty Pomocí dotazu Tab3_Zmµ eny do 1 mµ esíce a poc zmµen s délkou 0-1 mµesíc, a ty pak byly roztµrídµeny podle toho, zda se jednalo o zmµenu o jednu, nebo o více kategorií. Kapitola 5.2.3 Analýza zmµeny bµehem prvního mµesíce, Tabulka µc. 4 Pomocí dotazu Tab4_Zmµ eny do 1 mµ esíce a zmµ ena smµ eru byly zjištµeny poµcty zmµen s délkou 0-1 mµesíc, a ty pak byly roztµrídµeny podle toho, jaká byla minulá a pµredminulá zmµena, zda se jednalo o zhoršení nebo zlepšení. V aplikaci Microsoft Excel pak byly seµcteny údaje patµrící stejným a r°uzným zmµenám. Kapitola 5.2.4 Závislost doby do zmµeny na ratingu, Tabulka µc. 5–7 Celá tabulka Ratings_unique byla exportována pomocí ODBC rozhraní do aplikace Statistica. V modulu Multiple Regression byly získány potµrebné výsledky regresí, jejichµz výsledky jsou k dispozici v pracovním sešitµe PhD.stw.


69

Kapitola 5.2.5 Závislost mezi dobou do zmµeny a smµerem zmµeny ratingu, Tabulka µc. 8 Pomocí dotaz°u Tab8_Doba do zmµ eny v závislosti na typu zmµ eny byla zjištµeny pr°umµerné doby do zmµeny i poµcty pozorování. Kapitola 5.3.1 Výpoµcet matice pµrechodu, Tabulka µc. 9–11 Pomocí kµríµzových výbµerových dotaz°u Tab09_Matice pµ rechodu Banka 1, Tab10_Matice pµ rechodu Banka 2 a Tab11_Matice pµ rechodu Banka 3, kde sloupce byly de…novány pomocí sloupce Rating a µrádky pomocí sloupce Rating minulý, byly postupnµe zjištµeny poµcty migrací z jednotlivých kategorií. Pravdµepodobnosti vyjádµrené procenty byly vypoµcteny v aplikaci Microsoft Excel. Do analýzy byly zahrnuty jen ty záznamy, u kterých existovala delší historie, tzn. byl znám i pµredminulý rating. Kapitola 5.3.2 Testy markovské vlastnosti matice pµrechodu, Tabulka µc. 12–14 Nejdµríve byly pomocí kµríµzových výbµerových dotaz°u opµet vygenerovány matice pµrechodu pro pµrípady, kdy došlo pµri pµredchozí zmµenµe ke zlepšení (tzn. Rating minulý < Rating pµredminulý) a kdy došlo pµri pµredchozí zmµenµe ke zhoršení (tzn. Rating minulý > Rating pµredminulý). K tomu byly pouµzity dotazy Tab12_Matice pµ rechodu pµ redcházelo zhoršení Banka 1 a Tab12_Matice pµ rechodu pµ redcházelo zlepšení Banka 1, respektive Banka 2, respektive Banka 3. V aplikaci Microsoft Excel pak byly seµcteny prvky od zaµcátku µrádku k diagonále a od diagonály do konce a z tµechto údaj°u byla vypoµctena hledaná statistika. Kapitola 5.3.2 Testy markovské vlastnosti matice pµrechodu, Tabulka µc. 15–17 Pro sestavení tµechto tabulek byly vyuµzity stejné dotazy, jako pro sestavení Tabulek 12–14, popsané výše. Z nich bylo moµzné získat všechny potµrebné údaje o souµcasné i pµredchozí zmµenµe. V aplikaci Microsoft Excel byly také vypoµcítány pr°umµer a smµerodatná odchylka. Kapitola 5.4.2 Poµcty zmµen v období …nanµcní krize, Tabulka µc. 18 µet zmµ µní krize byly zjištµeny poµcty zmµen Pomocí dotazu Tab18_Poc en bµ ehem financ bµehem období ekonomické stability a bµehem …nanµcní krize, v aplikaci Microsoft Excel pak byly vydµeleny pµríslušným poµctem mµesíc°u a byly dopoµcítány pomµery mezi výsledky. Kapitola 5.4.2 Poµcty zmµen v období …nanµcní krize, Tabulka µc. 19 µet default° µní krize byly zjištµeny poµcty Pomocí dotazu Tab19_Poc u bµ ehem financ selhání bµehem období ekonomické stability a bµehem …nanµcní krize, v aplikaci Mi-


70

crosoft Excel pak byly vydµeleny pµríslušným poµctem mµesíc°u a byly dopoµcítány pomµery mezi výsledky. Kapitola 5.4.3 Zmµeny v charakteru matice pµrechodu, Tabulka µc. 20-22 Nejdµríve byly pomocí kµríµzových výbµerových dotaz°u opµet vygenerovány matice pµrechodu pro záznamy spadající do období ekonomické stability a pro záznamy spadající µní do …nanµcní krize. K tomu byly pouµzity dotazy Tab20_Matice pµ rechodu financ krize Banka 1 a Tab20_Matice pµ rechodu stabilita Banka 1, respektive Banka 2, respektive Banka 3. V aplikaci Microsoft Excel pak byly seµcteny prvky od zaµcátku µrádku k diagonále a od diagonály do konce µrádku a vytvoµreny pµríslušné tabulky. Kapitola 5.4.3 Zmµeny v charakteru matice pµrechodu, Tabulka µc. 23 Pro sestavení této tabulky byly vyuµzity dotazy popsané výše speci…cké pro Banku 3, µní krize Banka 3 a Tab22_Matice pµ tzn. Tab22_Matice pµ rechodu financ rechodu stabilita Banka 3. V aplikaci Microsoft Excel byla z relativních µcetností vytvoµrena empirická distribuµcní funkce, jejíµz hodnoty byly pµrevedeny na úseky normálního rozdµelení pomocí funkce NORMINV(X;0;1). Hodnoty získané pomocí této funkce z obou matic pµrechodu byly nakonec od sebe odeµcteny. Kapitola 5.4.4 Zmµeny v charakteru náhodné veliµciny Doba do zmµeny, Tabulka µc. 24 µní krize byl zjišPomocí dotazu Tab24_Pr° umµ ery a smµ erodatné odchylky financ tµen pr°umµer i smµerodatná odchylka náhodné veliµciny doba do zmµeny. Kapitola 5.4.4 Zmµeny v charakteru náhodné veliµciny Doba do zmµeny, Graf µc. 7–8 µní krize a Graf08_Doba do zmµ Pomocí dotaz°u Graf07_Doba do zmµ eny financ eny ekonomická stabilita, ve kterých byly postupnµe mµenµeny parametry ve sloupci Instituce oznaµcující jednotlivé banky, byly vygenerovány µcetnosti doby do zmµeny po jednotlivých mµesících. Zbytek byl zpracován v aplikaci Microsoft Excel. Kapitola 5.4.4 Zmµeny v charakteru náhodné veliµciny Doba do zmµeny, Tabulka µc. 25 Byl vytvoµren datový soubor, ve kterém byl sloupec Instituce zmµenµen tak, µze záznamy týkající se Banky 1 a období …nanµcní krize oznaµceny 1, …nanµcní stability 4; analogicky pro Banku 2 oznaµceny µcísly 2 a 5 a pro Banku 3 µcísly 3 a 6. Tento datový soubor byl analyzován software Statistica modulem Nonparametrics, výsledky byly pµridány do pracovního sešitu PhD.stw.

µ 8 ZÁVER

8

71

Závµer

Cílem této práce bylo aplikovat teorii semimarkovských proces°u na strukturu zmµen mezi interními ratingovými kategoriemi. Teorie semimarkovských proces°u umoµzn µ uje oproti ostatním model°um bµeµznµe pouµzívaným pµri µrízení kreditního rizika dvµe vµeci. První z nich je volba libovolné hustoty doby do zmµeny, oproti bµeµznému pµredpokladu exponenciálního rozdµelení. Druhou výhodou je moµznost urµcit pravdµepodobnost pµrechodu z jednoho ratingu do druhého v libovolném µcasovém horizontu. Tato práce si dále kladla za cíl prozkoumat data o pµrechodech mezi interními ratingovými kategoriemi poskytnutá tµremi µceskými bankami. Základním pµrínosem této práce je právµe spojení obou tµechto cíl°u a vytvoµrení jednotného teoretického rámce, který lze vyuµzít pµri µrešení otázky sestavení modelu pµrechod°u mezi interními ratingy. Na základµe empirických poznatk°u práce de…nuje µctyµri r°uzné funkce vhodné pro modelování doby do hustoty. Tyto funkce jsou parametrizovány, jsou stanoveny podmínky, za kterých lze kterou funkci pouµzít, a jsou pµredstaveny metody výpoµctu jednotlivých parametr°u. Pouµzití funkcí je demonstrováno na tµrech r°uzných pµríkladech, opµet vyuµzívajících empirická data. Jedna z funkcí je pouµzita pro sestrojení modelu, díky kterému je moµzné urµcit pravdµepodobnost zmµen ratingových kategorií i v r°uzných µcasových horizontech. Tento model se sice omezuje pouze na dvµe r°uzné ratingové kategorie a na jednu kategorii v selhání, nicménµe jeho rozšíµrení na vµetší poµcet ratingových kategorií je jiµz triviální. Pomocí empirické analýzy dat práce ukazuje, které obecnµe pµrijímané pµredpoklady v praxi vµetšinou neplatí. Jedná se zejména o markovskou vlastnost matice pµrechodu, tzn. zda nová zmµena závisí pouze na aktuálním stavu. Je také provedena analýza dopadu …nanµcní krize na matici pµrechodu, pµriµcemµz je jasnµe prokázán vztah mezi stavem ekonomiky a pravdµepodobnostmi zlepšení nebo zhoršení jednotlivých dluµzník°u. Zajímavý závµer, který je v této práci prezentován, se týká rozdíl°u mezi ratingovým systémem banky, která pouµzívá behaviorální skóring, a systémem banky, která ho nepouµzívá. Je evidentní, µze pouµzívání behaviorálního skóringu zvyšuje poµcet zmµen, z nichµz nµekteré jsou v následujícím kroce anulovány, ale na druhou stranu v jiných pµrípadech celý systém zefektivµnuje. Tuto práci lze pouµzít jako podrobný návod pro to, jak prozkoumat empirická data dostupná jednotlivým …nanµcním institucím, a na základµe výsledk°u tµechto zkoumání sestrojit velmi pµresný a na míru šitý model pouµzitelný ve všech oblastech µrízení kreditního rizika.

9 BIBLIOGRAFIE

9

72

Bibliogra…e

[1] Jiµrí Andµel, Základy matematické statistiky, Matfyzpress, Praha, 2007. [2] Guglielmo D’Amico, Jacques Janssen, and Raimondo Manca, Homogeneous semi-markov reliability models for credit risk management, Decisions in Economics and Finance (2005), 79–93. [3]

, Semi-markov reliability models with recurrence times and credit rating applications, Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences (2009).

[4] Ronald A. Howard, Dynamic probabilistic systems, vol. II: Semi-Markov and Decision Processes, John Wiley and Sons, 1971. [5] Nicholas M. Kiefer and C. Erik Larson, Testing simple markov structures for credit rating transitions, Departments of Economics and Statistical Sciences, Cornell University (2004). [6] Jongwoo Kim, A way to condition the transition matrix on wind, Risk Metrics Group Research Papers (May 1999). [7] Petr Lachout, Teorie pravdµepodobnosti, Univerzita Karlova v Praze, 2004. [8] David Lando and Torben M. Skodberg, Analyzing rating transitions and rating drift with continuous observations, Journal of Banking and Finance 26 (2002), 423–444. [9] Clive L.Keatinge, Modeling losses with the mixed exponential distribution, Proceedings of the Casualty Actuarial Society LXXXVI (1999), 654–698. [10] Petr Mandl, Pravdµepodobnostní dynamické modely, Academia Praha, 1985. [11] Albert Metz, Introducing moody’s credit transition model, 2007. [12] Bank For International Settlement, International convergence of capital measurement and capital standards: A revised framework, November 2005. µ [13] Ceský statistický úµrad, Konjunkturální pr°uzkumy, http://www.czso.cz/, 2010. [14]

µ , Ctvrtletní úµcty, http://www.czso.cz, 2010.

Obsah OBSAH Úvod Způsob výpoˇctu interního ratingu Definice škály interních ratingů Semimarkovské procesy 9

Recommend Documents