7.3 Odpory při valení Valení je definováno tak, že dotykové body valícího se tělesa a podložky jsou v relativním klidu. Je zaručeno příkladně tak, že těleso omotáme dvěma vlákny, která jsou upevněna na podložku – obr.94.
Obr.94. Tečná reakce Tr musí být menší nebo rovna třecí síle Ft Tr ≤ Ft ≤ f ⋅ N . f – součinitel tření mezi tělesy, N – normálová reakce. V místě dotyku tělesa a podložky vzniká valivý odpor v důsledku plastické i elastické deformace. Tento složitý jev modelujeme zjednodušeně tak, že posouváme normálovou reakci z místa geometrického styku ve smyslu valení o délku e zvanou rameno valivého odporu – obr.95.
Obr.95.
Pro početní řešení nahrazujeme reakci R dvěma složkami, normálovou N a tečnou reakcí Tr. Velikost tečné reakce je omezena velikostí třecí síly f.N. Není-li tato podmínka splněna nastává smýkání. Výsledná reakce R může být od normály odkloněna maximálně o úhel ϕ.
7.4 Trakční odpory Budeme sledovat případ uvolněného kola, které se valí po vodorovné podložce – obr.96.
Obr.96. Trakční odpory zahrnují vliv valivého odporu a čepového tření. Znedbáme tíhu kola na které působí reakce čepu Rx a Ry, normálová reakce N, tečná reakce Tr a dvojice čepového tření Mč. Početní řešení: Ze složkových a momentových podmínek rovnováhy a za předpokladu, že reakce R x je podstatně menší než Ry můžeme psát R ≅ Ry , R x = Tr ,
R y= N,
R y ⋅ e + f č ⋅ rč ⋅ R y − R x ⋅ r = 0 .
Odtud určíme
Rx =
e + f č ⋅ rč ⋅ Ry = ψ ⋅ Ry . r
Součinitel ψ nazýváme trakční součinitel. Grafické řešení: Grafické řešení je zobrazeno v pravé části obr.96. Nositelka výsledné reakce podložky Rp a výsledná reakce čepu R prochází bodem A, určeným ramenem valivého odporu e a dotýká se třecí kružnice o poloměru fč . rč. Úhel α, který svírá tečna k frikční kružnici s normálovou reakcí je tgα =
b ≅ e + f č ⋅ rč ,
b , r
při čemž míru x zanedbáváme.
7.5 Tření vláken Tření vláken se týká takových ojektů, jejichž délkový rozměr převládá a které můžeme považovat za dokonale ohebné – obr.97.
Obr.97. Pro většinu praktických úloh postačí určit vztah mezi osovými silami F1 a F2, které působí na vlákno. Setkáváme se nejčastěji s případy, kdy plocha po níž se vlákno pohybuje, má tvar rotačního válce. Plocha je buď nehybná , nebo se pohybuje. Pro řešení je nutné znát smysl pohybu vlákna nebo plochy, tedy rychlost v nebo úhlovou rychlost ω. Závislost mezi silami F1 a F2 je dána Eulerovou rovnicí F1 = e f ⋅α ⋅ F2 , kde
α = úhel opásání mezi normálami n1, n2, e = 2,72 je základ přirozených logaritmů, f = koeficient smykového tření mezi vláknem a plochou.
Příklady použití vláknového tření jsou na obr.98.
Obr.98.
7.6 Tření u šroubů Pro jednoduchost budeme řešit šroub s plochým závitem – obr.99.
Obr.99. Závit má stoupání určené úhlem α, vřeteno se otáčí, ve smyslu rotace působí silová dvojice M, proti pohybu vřetene působí síla F. Na elementární část střední šroubovice působí výsledná reakce dR, která je odchýlena o úhel ϕ od normály. Výslednou reakci dR nahradíme dvěma složkami, dRa ve směru osy šroubu a dRo obvodovou složkou. dR0 = dRa ⋅ tg (ϕ + α ). Silová dvojice způsobená obvodovou složkou reakce dRo přeložené do osy šroubu je pak dM = dR0 ⋅ r = r ⋅ dRa ⋅ tg (ϕ + α ). Na základě podmínek rovnováhy je součet elementárních složek dRa ve směru osy šroubu roven zátěžné síle šroubu F. Pak součet elementárních dvojic dM je roven vnější dvojici M, která působí na vřeteno a otáčí jím. Platí
M = r ⋅ F ⋅ tg (ϕ ± α ). Znaménko minus patří otáčení v opačném smyslu. Je-li α < ϕ je šroub samosvorný a nemůže se při libovolné zátěžné síle F dát do pohybu bez působení vnější dvojice.
7. Mechanická práce Mechanická práce je veličina, která vyjadřuje účinek síly při pohybu jejího působiště. Definuje se jako součin z průmětu síly do směru dráhy jejího působiště a velikosti dráhy. Protože obecně síla mění svůj směr i velikost a dráha je křivočará, vycházíme od elementární práce r r dA = F .dr ,
r kde dr je elementární změna polohového vektoru působiště síly, vedeného z libovolného bodu O - obr.100.
Obr.100. Je –li F velikost síly, ds element dráhy jejího působiště a úhel α definovaný mezi tečnou k dráze působiště síly a nositelkou síly, bude výraz pro práci
dA = F ⋅ cos α ⋅ ds. Mechanická práce je veličina jak kladná, tak i záporná. Do náčrtku uspořádání kreslíme síly obvykle podle skutečné orientace. Mohou se vyskytnout dva případy – obr.101.
Obr.101.
Síla má stejnou orientaci jako element dráhy, nebo orientaci opačnou. Potom píšeme
dA = ± Fx ⋅ dx. Působí-li ve společném bodě několik sil, pak celková práce je dána výrazem
r r r r dA = ∑ dAi = ∑ Fi ⋅ dr = F ⋅ dr .
Dále budeme sledovat případ, kdy na rotující těleso působí síla F1 a silová dvojice M2 – obr.102.
Obr.102. Sílu F1 přeložíme do osy rotace a připojíme příslušnou silovou dvojici M1. Pootočí-li se těleso o elementární úhel dψ pak síly F1 a -F1, jejichž nositelky procházejí osou rotace, nekonají žádnou práci. Práci koná jen síla F1 příslušející silové dvojici M1.
F1 ⋅ ds = F1 ⋅ r1 ⋅ dψ = M 1 ⋅ dψ = dA1 . Zbývá určit práci silové dvojice M2
dA2 = −M ⋅ dψ . Výsledná práce
dA = dA1 + dA2 = (M 1 − M 2 ) ⋅ dψ . Práce síly působící na těleso otočně uložené je dána prací silové dvojice, kterou získáme přeložením síly na osu rotace.
