Obchodní akademie, České Budějovice, Husova 1 Tvorba výukových materiálů pro žáky podle ŠVP Množiny – pracovní list 13
Vztahy mezi množinami
′ 1) ( AU′ ) U = A 2) A ∪ ∅ = A 3) A ∩ ∅ = ∅
8) A ∪ B = B ∪ A 9) A ∩ B = B ∩ A ′ 10) ( A ∪ B ) = B′ ∩ A′ ′ 11) ( A ∩ B ) = B ′ ∪ A′ 12) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) = A ∪ B ∪ C 13) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) = A ∩ B ∩ C 14) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ (B ∪ C ) 15) ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
4) A ∪ U = U 5) A ∪ A = A 6) A ∩ A = A 7) A ∩ U = A
Problém k zamyšlení: Uměli byste A-B a B-A vyjádřit pomocí průniku, sjednocení a doplňku množin? [ A − B = A ∩ B ′, B − A = B ∩ A′ ]
Příklad 1: ′ Rozhodněte, zda platí rovnost: ( A ∩ B′) = A′ ∪ B ′ ′ a) L = ( A ∩ B′) = A′ ∪ (B ′) = A′ ∪ B = P podle vztahu 11 podle vztahu 1 b) pomocí Vennových diagramů (řešením jsou fialově zbarvená pole)
(A
′ ∩ B ′)
A′ ∪ B
A ∩ B′
Obrázek 1 - L
Obrázek 2 - P
L=P Množiny – pracovní list 14
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D Ě L Á V Á N Í
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Obchodní akademie, České Budějovice, Husova 1 Tvorba výukových materiálů pro žáky podle ŠVP Rovnost množin – příklady Příklad 1 Pomocí Vennových diagramů rozhodněte, zda platí: ′ b) ( A′ ∪ B ) = A − B a) A′ ∩ (B ∪ A) = B − A [Výsledky: a) ano, b) ano, c) ne]
c) ( A ∩ B′) ∪ (B − A) = A ∩ B
Příklad 2 Pomocí Vennových diagramů nebo vztahů mezi množinami rozhodněte, zda platí:
[Výsledky: a) ano, b) ano]
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D Ě L Á V Á N Í
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Obchodní akademie, České Budějovice, Husova 1 Tvorba výukových materiálů pro žáky podle ŠVP Množiny – pracovní list 15
Slovní úlohy řešené množinovým rozborem Příklad 1 Dopravní podnik města ČB zkoumal, jak studenti využívají MHD – autobusy a trolejbusy. Bylo zjištěno, že z 85 dotázaných jezdí aspoň jedním dopravním prostředkem 70 osob, autobusem jezdí 50 lidí, trolejbusem 25 studentů. a) Kolik studentů jezdí oběma dopravními prostředky? b) Kolik osob jezdí jen autobusem? c) Kolik studentů využívá nejvýš jeden dopravní prostředek?
1) Z textu úlohy vyplývá, že žádný dopravní prostředek nepoužívá 15 dotázaných, údaj doplníme do příslušného pole. 2) Zbývající údaje nelze jednoznačně doplnit, sestavíme rovnice: X + Y = 50 Řešení: X + Y = 50 => 50 +Z = 70 => Z = 20, Y+20 = 25 => Y = 5, Y + Z = 25 X + 5 = 50 => X = 45 X+Y+Z = 70 3) Řešením soustavy rovnic jsou čísla: x = 45, y = 5, z = 20.
C A
T
x 45
y 5
z 20
15
Odpověď: a) Oběma dopravními prostředky jezdí 5 studentů. b) Jen autobusem jezdí 45 osob. c) Nejvýš jeden dopravní prostředek využívá 80 osob. Uměli byste zformulovat další otázky a odpovědět na ně? Množiny – pracovní list 15
Slovní úlohy řešené množinovým rozborem
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D Ě L Á V Á N Í
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Obchodní akademie, České Budějovice, Husova 1 Tvorba výukových materiálů pro žáky podle ŠVP Příklad 1 Dopravní podnik města ČB zkoumal, jak studenti využívají MHD – autobusy a trolejbusy. Bylo zjištěno, že z 85 dotázaných jezdí aspoň jedním dopravním prostředkem 70 osob, autobusem jezdí 50 lidí, trolejbusem 25 studentů. a) Kolik studentů jezdí oběma dopravními prostředky? b) Kolik osob jezdí jen autobusem? c) Kolik studentů využívá nejvýš jeden dopravní prostředek?
1) Z textu úlohy vyplývá, že žádný dopravní prostředek nepoužívá 15 dotázaných, údaj doplníme do příslušného pole. 2) Zbývající údaje nelze jednoznačně doplnit, sestavíme rovnice: X + Y = 50 Řešení: X + Y = 50 => 50 +Z = 70 => Z = 20, Y+20 = 25 => Y = 5, Y + Z = 25 X + 5 = 50 => X = 45 X+Y+Z = 70 3) Řešením soustavy rovnic jsou čísla: x = 45, y = 5, z = 20.
C A
T
x 45
y 5
z 20
15
Odpověď: a) Oběma dopravními prostředky jezdí 5 studentů. b) Jen autobusem jezdí 45 osob. c) Nejvýš jeden dopravní prostředek využívá 80 osob. Uměli byste zformulovat další otázky a odpovědět na ně?
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D Ě L Á V Á N Í
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Obchodní akademie, České Budějovice, Husova 1 Tvorba výukových materiálů pro žáky podle ŠVP Množiny – pracovní list 16
Slovní úlohy řešené množinovým rozborem Příklad 1 Mezinárodní konference s 60 účastníky měla tři jednací jazyky: ANJ, NEJ a FRJ. Žádný účastník neovládal současně angličtinu a francouzštinu. Anglicky a německy mluvilo 14 účastníků. Anglicky hovořilo 32 osob, německy 36 osob, francouzsky 28 osob. Každý z účastníků znal aspoň jeden z jednacích jazyků. Kolika účastníkům je třeba překládat z němčiny? Kolik jich mluvilo jen německy? Řešení: Pozorně přečteme text úlohy, doplníme známé údaje do Vennova diagramu.
ANJ
U
FRJ 0
z
18 0
y
14 0
x
NEJ
Řešení: x + y = 22 => 22+z+32 = 60 => z = 6 y + 6 = 28 => y = 22 x + 22 = 22 => x = 0
x + y + 14 = 36 y+z = 28 x + y + z + 32 = 60 Odtud plyne: x = 0, y = 22, z = 6
Z němčiny je třeba překládat 24 účastníkům konference. Jen německy nemluvil nikdo. Zformulujte další otázky a odpovězte na ně.
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D Ě L Á V Á N Í
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Obchodní akademie, České Budějovice, Husova 1 Tvorba výukových materiálů pro žáky podle ŠVP Množiny – pracovní list 17
Slovní úlohy řešené množinovým rozborem Příklad 1 Ve třídě s 30 žáky se vyučují dva cizí jazyky – angličtina a němčina. Bylo zjištěno, že každý žák se učí aspoň jeden jazyk. Angličtinu studuje 20 žáků, němčinu 18 žáků. a) Kolik žáků mluví jen anglicky? b) Kolik žáků ovládá oba jazyky? c) Kolik žáků mluví právě jedním jazykem?
Z ANJ
NEJ x = 12 y=8
z = 10
0
Odpověď: a) Jen anglicky mluví 12 žáků. b) Oba jazyky ovládá 8 žáků. c) Právě jedním jazykem mluví 22 žáků.
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D Ě L Á V Á N Í
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Obchodní akademie, České Budějovice, Husova 1 Tvorba výukových materiálů pro žáky podle ŠVP Příklad 2: V anketě odpovídali žáci 1. ročníku na otázku oblíbeného předmětu. 12 žáků uvedlo jako oblíbený předmět matematiku, 40 žáků baví studium cizího jazyka. 12 žáků nebaví žádný z uvedených předmětů. Právě jeden oblíbený předmět uvedlo 44 žáků. a) Kolik žáků odpovídalo na anketní otázku? b) Kolik dotázaných baví matematika i cizí jazyky?
MAT
Z
CJ X 36
Y 4
Z 8
12
Odpověď: a) Na anketní otázku odpovídalo 60 žáků. b) 4 žáky baví matematika i cizí jazyky.
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D Ě L Á V Á N Í
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Obchodní akademie, České Budějovice, Husova 1 Tvorba výukových materiálů pro žáky podle ŠVP Množiny – pracovní list 18
Slovní úlohy řešené množinovým rozborem Příklad 1 Mezi zákazníky supermarketu probíhal výzkum oblíbené příchutě ovocných sirupů. Celkem bylo osloveno 90 osob. Z toho 10 osob uvedlo, že sirupy nekupuje. Sirupy s citrónovou i pomerančovou příchutí kupuje 20 zákazníků, pomerančové sirupy kupuje 42 zákazníků. a) Kolik zákazníků kupuje jen citrónové sirupy? b) Kolik zákazníků kupuje jen pomerančové sirupy?
Z C
P x 38
20
y 22 10
Odpověď: a) Jen citrónové sirupy kupuje 38 zákazníků. b) Jen pomerančové sirupy kupuje 22 zákazníků.
Příklad 2 Ve třídě je 30 žáků, z nichž každý ovládá aspoň jeden z jazyků ANJ, NEJ, FRJ. Francouzsky mluví 9 žáků, jen německy 2 žáci. Právě jedním jazykem hovoří 20 žáků, anglicky a německy 9, anglicky a francouzsky 3 žáci. Všemi jazyky mluví 3 žáci. a) Kolik žáků mluví německy? b) Kolik žáků mluví anglicky?
Z
A X 13
0 3
6 0
F
Y 5 Z 1
2
N
Odpověď: a) Německy mluví 12 žáků.
I N V E S T I C E
b) Anglicky mluví 22 žáků.
D O
R O Z V O J E
V Z D Ě L Á V Á N Í
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Obchodní akademie, České Budějovice, Husova 1 Tvorba výukových materiálů pro žáky podle ŠVP Množiny – pracovní list 19
Slovní úlohy řešené množinovým rozborem Příklad 1 200 pracovníkům firmy byla položena otázka, zda čtou některý z časopisů Reflex, Týden nebo Ekonom. Bylo zjištěno, že aspoň jeden časopis čte 120 dotázaných, Ekonom a Reflex čte 45 pracovníků, Ekonom a Týden 38 osob. Všechny časopisy sleduje jen 10 oslovených, právě jeden časopis čte 43 osob. Týden čte 52 pracovníků, Reflex 79 pracovníků. a) Kolik pracovníků čte jen Ekonom? b) Kolik oslovených čte právě dva časopisy? c) Kolik oslovených čte aspoň dva časopisy?
R t
x 35 80
10 z
Z
T y 28
E
Odpověď: a) Jen Ekonom čtou 3 lidé. b) Právě dva časopisy čte 67 lidí. c) Aspoň dva časopisy čte 77 lidí. Příklad 2 100 žáků školy vyplnilo anketu o svých kulturních zálibách. Sledován byl zájem žáků o divadlo, film a vážnou hudbu. Každý z dotázaných uvedl aspoň jednu oblíbenou kulturní akci. O divadlo se zajímá 52 dotázaných, o film 45, o hudbu 73 žáků. Film i hudba zajímá 25 osob, divadlo a hudba 40 osob. Film, hudba i divadlo baví 8 žáků. a) Kolik žáků chodí jen do divadla? F Z z D b) Kolik žáků chodí jen do kina? x y c) Kolik žáků se nezajímá o vážnou hudbu? d) Sestavte další otázky a odpovězte na ně. 8 32 17 Odpověď:
a)7
b) 15
I N V E S T I C E
c) 27
D O
R O Z V O J E
0
16
H
V Z D Ě L Á V Á N Í
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
32
