OPAKOVÁNÍ A PROHLOUBENÍ U IVA O JEDNODUCHÝCH KONSTRUKCÍCH 1,5 HODINY
D íve, než spole n p ikro íme k u ivu o množinách bod , pokusíme se zopakovat n které jednoduché konstrukce, které již znáš a které budeš v následujících kapitolách o množinách bod asto užívat. Nejprve si sám pokus narýsovat následující jednoduchá cvi ení: 1. Narýsuj si p ímku, která prochází dv ma r znými zadanými body A, B 2. Sestroj si kružnici o st edu S a polom ru 4 cm 3. Bodem X, který neleží na p ímce p, sestroj rovnob žku q s p ímkou p 4. Bodem X, který neleží na p ímce p, ve p ímek si ozna P
k p ímce p kolmici k, pr se ík obou
5. Sestroj si úse ku AB o velikosti 5,5 cm a pomocí kružítka sestroj její st ed S 6. Na libovolné kružnici se st edem S si zvol bod T a ve tímto bodem te nu k dané kružnici (vzpome si, že te na t procházející bodem T je kolmá s polom ru ST) 7. Je dána kružnice k a p ímka p. Sestroj všechny te ny kružnice k, kterou jsou s p ímkou p rovnob žné (dv ešení) Ur it si tyto velmi jednoduché úlohy bez problém zvládl. Budeme v opakování dále pokra ovat. Nyní Ti však již každý p íklad doplním o obrázek nebo komentá : 8. Sestroj použitím kružítka osu úse ky AB, jejíž délka je 6 cm Ur it víš, že osa úse ky AB prochází jejím st edem S a je kolmá na úse ku AB. Ur it také víš, že vzdálenost krajních bod A, B od st edu S jsou 3 cm (polovina délky úse ky). Postup p i rýsování osy by slovn vypadal asi takto: 1. Nejprve si narýsuješ úse ku AB 2. Poté si vezmeš do kružítka libovolnou vzdálenost, která je v tší než polovina délky úse ky (3 cm) a sestrojíš kružnice o tomto polom ru mající st edy v bodech A, B 3. Kružnice se protnou ve dvou bodech X, Y 4. T mito body vedeš p ímku o – tato p ímka je osou úse ky AB
9. Sestroj použitím kružítka osu libovolného úhlu AVB, kde V je vrchol úhlu a polop ímky VA, VB jsou jeho ramena Op t ur it víš, že osa úhlu je polop ímka VX ležící uvnit úhlu AVB, která d lí úhel AVB na dva úhly o stejné velikosti. Op t Ti uvedu slovní postup p i konstrukci osy úhlu: 1. Narýsuj si libovolný úhel AVB 2. Kružítkem si tento úhel vyzna ( ást kružnice se st edem V a libovolným polom rem mezi ob ma rameny). Pr nik kružnice s rameny si ozna Y, Z 3. Nyní si vezmi do kružítka libovolnou vzdálenost v tší než v p edchozím bod a ud lej dv stejné kružnice se st edy v bodech Y, Z 4. Tyto kružnice se Ti uvnit úhlu AVB v bod X 5. Polop ímka VX je hledanou osou úhlu AVB – ov si, že vzdálenosti bodu X od obou ramen jsou stejné a že tento poznatek platí pro každý bod osy
10. Narýsuj si libovolný trojúhelník ABC a postupn v n m vyzna : a) st ední p í ky b) t žnice trojúhelníku, t žišt c) výšky trojúhelníku d) kružnici opsanou trojúhelníku e) kružnice vepsanou trojúhelníku a) St ední p í ka trojúhelníku je úse ka, která vždy spojuje st edy dvou stran trojúhelníku a je rovnob žná se t etí stranou. Délka st ední p í ky je rovna polovin délky té strany trojúhelníku, se kterou je st ední p í ka rovnob žná viz obr.) Poznámka – na obrázku jsou pro v tší pochopení uvedeny i rozm ry stran a st edních p í ek, ty m žeš mít jiné rozm ry.
b) T žnice trojúhelníku je úse ka spojující vrchol trojúhelníku se st edem jeho prot jší strany. Všechny t i t žnice se protínají v jednom bod , který se nazývá t žišt trojúhelníku a zna í se písmenem T.
c) Výšky trojúhelníku jsou kolmé (nejkratší) úse ky spojující vrchol trojúhelníku s jeho prot jší stranou. Výškou trojúhelníku ozna ujeme jak úse ku, tak její délku. V každém trojúhelníku lze sestrojit t i výšky, které se protínají v jednom bod , který se nazývá pr se ík výšek V.
d) St ed O kružnice opsané získáme jako pr se ík os jednotlivých stran trojúhelníku, polom r r kružnice opsané je roven vzdálenosti st edu O od libovolného vrcholu trojúhelníku.
| OA | = | OB | = | OC | = r – polom r kružnice opsané k (O ; r) je kružnice opsaná trojúhelníku ABC e) St ed O kružnice vepsané získáme jako pr se ík os vnit ních úhl trojúhelníku ABC, polom r kružnice vepsané je roven vzdálenosti st edu S od jakékoliv strany trojúhelníku (vzdálenost sestrojíme tak, že z bodu S vedeme k libovolné stran kolmici).
| SX | = | SY | = | SZ | – polom r kružnice vepsané k (S ; SX) je kružnice vepsaná trojúhelníku ABC
Opakování - Jednoduché konstrukce trojúhelníku 11. (Konstrukce sss): Sestrojte trojúhelník ABC s délkami stran: | AB | = c = 8 cm | AC | = b = 7 cm | BC | = a = 6 cm a) Rozbor: zkoumám, zda jsou spln ny trojúhelníkové nerovnosti, sta í mi prozkoumat pouze barevn ozna enou (Pro ?) 1. podmínky:
8+7>6 7+6>8 8+6>7
Trojúhelníkové nerovnosti jsou spln ny, trojúhelník lze sestrojit. 2. ná rt:
C b) Postup konstrukce:
k
m
1. 2. 3. 4. 5.
AB ; |AB| = 8 cm k ; k (A ; r = 7 cm) m ; m (B ; r = 6 cm) C k m ABC
c) Vlastní konstrukce:
d) Záv r: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin . 12. (Konstrukce sus): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: | AB | = c = 8 cm | AC | = b = 6 cm = 60˚ Ná rt a Rozbor: 60˚ < 180º - trojúhelník lze sestrojit – podmínka
C
k
Postup konstrukce:
1. AB ; |AB| = 8 cm 2. BAX ; | BAX | = 3. k ; k (A ; r = 6 cm) 4. C k ABC 5. Vlastní konstrukce:
AX
= 60°
AX
d) Záv r: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin . Poznámka (d ležitá): Velmi asto se vyskytuje chyba v bod 4 p i postupu konstrukce (C k AX), kdy studenti píší, že bod C získají jako pr nik úhlu a kružnice, nikoliv jako pr nik polop ímky a kružnice. Podívej se na obrázek a uvidíš, pro je tento zápis nesprávný a nepravdivý. Na obrázku jsem vyzna il modrou barvou celý úhel . Podívej se na bod Z. Ten ur it nespl uje zadání úlohy ( ekni pro ), ale leží v pr niku úhlu a kružnice.
13. (Konstrukce usu): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: | AB | = c = 9 cm = 80˚ = 40˚ Ná rt a rozbor: 80˚ + 30˚ < 180º - podmínka (trojúhelník lze sestrojit)
C Postup konstrukce: 1. AB ; |AB| = 9 cm 2.
BAX ; | BAX | =
= 80°
3.
ABY ; | ABY | =
= 40°
4. C AX 5. ABC Vlastní konstrukce:
BY
AX
BY
Záv r: Trojúhelník odpovídá zadání, 1 ešení v dané polorovin . 14. (Konstrukce Ssu): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: | AB | = c = 9 cm | AC | = b = 6 cm = 70˚ Ná rt a rozbor: 70˚ < 180º - Podmínka (trojúhelník lze sestrojit) Poznámka: Na tomto typu konstrukce uvidíš, že p edchozí podmínka není jedinou podmínkou. Zatím ji zám rn neuvádím, sám na ni p ijdeš.
C Postup konstrukce: 1. AC ; |AC| = 6 cm 2. ACX ; | ACX | = 70 ° 3. k; k (A, r = 9 cm) 4. B AX 5. ABC Vlastní konstrukce:
k
k
AX
Záv r: Trojúhelník odpovídá zadání, 1 ešení v dané polorovin . Poznámka: Nyní si spole n zkusíme prozkoumat již zmín nou druhou podmínku. Necháme si stejné zadání, jen velikost strany c bude nejprve 6 cm (tedy stejná jako velikost menší strany b), posléze pak nap íklad 5 cm (tedy menší než velikost strany b). Oba p ípady si zkus pouze narýsovat. Poté se pokus vyslovit podmínku. Na obrázku máš znázorn nu situaci, kdy je velikost strany c = 6 cm.
Všimni si, že polop ímka AX a kružnice k se neprotínají, a tedy nemohu sestrojit hledaný bod B a tedy ani trojúhelník ABC. Stejn dopadneš i v p ípad , kdy délka strany c bude 5 cm. Už tušíš druhou podmínku ? Shr si p edchozí p ípady: b > c ……..Trojúhelník lze sestrojit – jedno ešení b = c ……..Trojúhelník nelze sestrojit b < c ……..Trojúhelník nelze sestrojit Podmínka: Strana naproti úhlu musí být vždy v tší, než strana k úhlu p ilehlá, pak lze trojúhelník vždy sestrojit a hovo íme o konstrukci Ssu. 15. (Op t konstrukce Ssu): Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 4 cm b = 5 cm = 45˚ Ná rt a Rozbor: 45˚ < 180º - první podmínka je spln na. Druhá podmínka není nyní spln na (strana p ilehlá k úhlu je nyní v tší než strana naproti úhlu, nejedná se tedy o konstrukci Ssu). Už jsme se setkali s tímto p ípadem a zjistili jsme, že daný trojúhelník nelze sestrojit. Zkusme se tedy podívat, zda to samé platí i pro tento p ípad:.
C Postup konstrukce:
k
AX
1. AC ; |AC| = 5 cm 2. CAX ; | CAX | = 45° 3. k; k (C, r = 4 cm) 4. B AX 5. ABC
k
Vlastní konstrukce:
Záv r:Trojúhelník vyhovuje zadání, 2 ešení v dané polorovin (trojúhelníky ABC, AB1C). Shrnutí: 1. Jedná-li se o konstrukci Ssu, musí platit podmínka, podle které je strana ležící naproti zadanému úhlu vždy v tší než strana k úhlu p ilehlá. Daná konstruk ní úloha pak má jedno ešení v dané polorovin . 2. Pokud není podmínka spln na, nejedná se o konstrukci Ssu, ale i tak úlohu ešíme. P itom úloha m že mít v dané polorovin dv nebo žádné ešení.
