G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg
2 Oppervlakte en inhoud 1/9
De oppervlakte van figuur 2.1 is de oppervlakte van een rechthoek van 7 bij 3 ⇒ O = 7 ⋅ 3 = 21.
1
(de halve cirkel aan de bovenkant past precies in de inham aan de onderkant)
O (ABCQPH ) = O (ABCQPH ) − O (CMQ ) (zie de figuur hieronder)
2a
2
= 13 ⋅ 3 1 − 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 1 1 = 42 1 . 2
2
2
2
1 21
1 21 2
2
2
Dit is niet de helft van 73 (de oppervlakte van fig. 2.4).
13
O (AEFGH ) = O (AES ) − O (RGFS ) − O (HGR ) (zie de figuur hiernaast)
2b
4
= 1 ⋅ 9 ⋅ 9 − 1 ⋅ 3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 4 = 18 1 . 2
2
2
Dus O (ABCDE ) = 73 − 18 1 = 54 1 . 2
5
2
4
O (AEFGH ) : O (ABCDE ) = 18 21 : 54 21 = 37 : 109.
4
b
3a
O (ABCD ) = 21 ⋅ O (AEFD ) = 21 ⋅ (a + b ) ⋅ h .
3b
O (ABCD ) = O (ABC ) + O (ADC ) (zie hiernaast) = 1 ah + 1 bh = 1 h (a + b ) = 1 (a + b )h . 2 2 2 2
3
h
a
2
4a
O = 21 ⋅ 4 ⋅ 2 = 4 cm2 . (neem de linkerkant als basis)
4b
O = 3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 ⋅ 1 − 1 ⋅ 3 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ⋅ 4 = 12 − 1 1 − 3 − 2 = 12 − 6 1 = 5 1 cm2 . (teken over roosterlijnen een rechthoek er omheen)
4c
O = Oparallellogram + Ocirkel = 4 ⋅ 3 + π ⋅ 12 = 12 + π ≈ 15,14 cm2 = 1514 mm2 .
4d
O = Otrapezium = 21 ⋅ (5 + 1) ⋅ 3 = 21 ⋅ 6 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9 cm2 .
4e
O = Orechthoek + O halve cirkel = 3 ⋅ 2 + 21 ⋅ π ⋅ 12 = 6 + 21 π ≈ 7,57 cm2 = 757 mm2 .
5
O = Ocirkel − Ovierkant = Ocirkel − 2 ⋅ O (ABC ) = π ⋅ 32 − 2 ⋅ 21 ⋅ 6 ⋅ 3 = 9π − 18 ≈ 10,27.
6a
∆ABM : ∠M = ∠AMB = 360° = 60°.
6b
AM = BM en ∠AMB = 60° ⇒ ∆ABM is gelijkzijdig ⇒ AM = BM = AB = 4. 2
2
2
2
2
2
2
6
∆ANM : AN 2 + MN 2 = AM 2
4
22 + MN 2 = 42
4
MN 2 = 16 − 4 = 12 ⇒ MN = 12. O (ABM ) = 21 ⋅ 4 ⋅ 12 = 2 12 ≈ 6, 93. O (ABCDEF ) = 6 ⋅ O (ABM ) = 6 ⋅ 2 12 = 12 12 ≈ 41, 6.
6c
2
2
Neem GR - practicum 4 door. (uitwerkingen aan het eind)
TOETS VOORKENNIS a
cos(35°) = AB ⇒ AB = 7 ⋅ cos(35°) ≈ 5, 7. 7
b
(6)
tan ∠Q = 4 ⇒ ∠Q = tan −1 4 ≈ 34°. 6
sin(35°) = BC ⇒ BC = 7 ⋅ sin(35°) ≈ 4, 0. 7
Voorkennis
1 Goniometrische verhoudingen (bladzijden 141, 142 en 143) 3 1 tan ∠A = ⇒ ∠A = tan −1 3 ≈ 31°. 2 cos(38°) = AC ⇒ AC = 17 cos(38°) ≈ 13, 4. 5 5 17 tan(55°) = DF ⇒ DF = 5 tan(55°) ≈ 7,1. sin ∠D = 8 ⇒ ∠D = sin −1 8 ≈ 47°. 5 11 11 7 sin(40°) = 7 ⇒ HG = ≈ 10, 9. cos ∠I = 4 ⇒ ∠I = cos −1 4 ≈ 66°. HG sin(40°) 10 10 MN sin(60°) = ⇒ MN = KL = 17 sin(60°) ≈ 14, 7. tan ∠K = 7 ⇒ ∠K = tan −1 7 ≈ 35°. 17 10 10 RS tan(75°) = ⇒ RS = 3tan(75°) ≈ 11,2. 7,5 7,5 3 cos ∠P = ⇒ ∠P = cos −1 ≈ 41°. 10 10
( ) ( ) ( ) ( )
( )
7
2,5 ∠AMB = 360° = 72° ⇒ ∠AMN = 36° en tan(36°) = ⇒ MN = 5
O (ABCDE ) = 5 ⋅ 21 ⋅ AB ⋅ MN = 5 ⋅ 21 ⋅ 5 ⋅
MN
2,5 ≈ 43, 01. tan(36°)
2,5 . tan(36°)
36°
2, 5
2, 5
G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg 8
2 Oppervlakte en inhoud 2/9
∠AMB = 360° = 45°. 8
1 AB cos(22, 5°) = h ⇒ h = 6cos(22,5°) en sin(22,5°) = 2 ⇒ 1 AB = 6 sin(22, 5°).
6
6
2
22, 5° 6 h
O (ABCDEFGH ) = 8 ⋅ 21 ⋅ AB ⋅ h = 8 ⋅ 6 sin(22,5°) ⋅ 6cos(22,5°) ≈ 101,82. 9
tan(70°) = 10 ⇒ AD = AD
O ( ∆ABC ) = 21 ⋅ (AD
10 10 en tan(40°) = 10 ⇒ DB = . DB tan(70°) tan(40°) 10 10 1 + DB ) ⋅ h = ⋅ ( + ) ⋅ 10 ≈ 77, 8. 2 tan(70°) tan(40°)
10
70°
10a
Zie de figuur hiernaast.
10b
∆ADC : sin(70°) = h ⇒ h = 5 sin(70°).
40°
5
O ( ∆ABC ) = 21 ⋅ 8 ⋅ 5 sin(70°) ≈ 18, 8. 10c
6
5
h
Teken de hoogtelijn CD en noem deze h . ∆ADC : sin ∠A = h ⇒ h = b sin ∠A.
70° b 1 1 1 O ( ∆ABC ) = ⋅ AB ⋅ CD = ⋅ c ⋅ b sin ∠A = bc sin ∠A. − − − − − − − − − − 8 − − − − − − − − − 2 2 2 ONTHOUD: de oppervlakte van een driehoek is 21 × zijde × zijde × de sinus van de ingesloten hoek (door deze twee zijden)
11a
O ( ∆ABM ) = 21 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ sin(80°) = 50 ⋅ sin(80°) ≈ 49,24. (de formule van opgave 10c)
11b
80 ⋅ π ⋅ 102 − 50 sin(80°) ≈ 20, 57. O (segment) = O (sector ABM ) − O ( ∆ABM ) = 360
12
60 ⋅ π ⋅ 52 ≈ 71, 75. O (ABCDEF ) = 3 ⋅ O ( ∆ABM ) + 3 ⋅ O (sector BCM ) = 3 ⋅ 21 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ sin(60°) + 3 ⋅ 360
13
∆MDN : sin ∠DMN = 3 ⇒ ∠DMN 5
( )
= sin −1 3 . 5
(5)
∠DME = ∠AMF = ∠BMC = 2 ⋅ ∠DMN = 2 ⋅ sin −1 3 (opslaan in X ).
O (ABCDEF ) = 3 ⋅ O ( ∆MDE ) + O (3 sectoren)
14
5
F
• •
D 5
C
M 6
6
= 3 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ sin(X ) + 360 − 3X ⋅ π ⋅ 52 ≈ 66,3. 2
3 N 3
E
360
B
A
( )
2,5 2,5 ⇒ ∠RMP = sin −1 . 4 4 2,5 4 ∠QMP = 2∠RMP = 2 sin −1 (opslaan in M ). 4 2,5 2,5 ∆NRP : sin ∠RNP = ⇒ ∠RNP = sin −1 . 6 6 2,5 ∠QNP = 2∠RNP = 2 sin −1 (opslaan in N ). 6 4 O (gebied) = O (sector MPQ ) − O ( ∆MPQ ) + O (sector NPQ ) − O ( ∆NPQ ) = M ⋅ π ⋅ 42 − 1 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ sin(M ) + N ⋅ π ⋅ 62 − 1 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ sin(N ) ≈ 4,83. 360 2 360 2
∆MRP : sin ∠RMP =
( )
6
2 21
( )
2 21
( )
6
D
15a
De figuren a, b en d kunnen de uitslag van een kubus zijn.
C
D
16a
De figuren a, b en d kunnen de uitslag van een kubus zijn.
17
Zie hiernaast de uitslag van de piramide in figuur 2.31.
18a
∆ABT is een vergroting van ∆EFT (snavelfiguur).
T
T A
Omdat AB = 4 en EF AB = 4
AT = 3 + x
…
∆EFT
EF = 2
ET = x
…
D
H
C
H
G
G
T ×2
4x = 2(3 + x ) ⇒ 4x = 6 + 2x ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3. AT = 3 + x ⇒ AT = 6. 18b
D
B
= 2 is de vergrotingsfactor 4 = 2. 2
∆ABT
B
Zie hiernaast een uitslag van de afgeknotte piramide in figuur 2.32.
T
E
F
F A
F
B
B
G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg 19
2 Oppervlakte en inhoud 3/9
Zie hieronder twee mogelijke uitslagen van het lichaam in figuur 2.33. H
G
D
C
A
B
H
G
H
H
F
D
A
C
D
C
G
H
B
F
A
20
S
A
F
PM = 3 ⇒ ∆ABP , ∆BCQ , ∆CDR en ∆ADS in de uitslag te tekenen. PS in het bovenvlak is even lang als MN in het grondvlak.
S
B 3
De lengte van de cilindermantels (de rechthoeken) is 5 (cm).
omtrek grondcirkel = lengte boog 2π ⋅ r = 90 ⋅ 2π ⋅ 3 360 90 ⋅ 3 = 3 (cm). r = 360 4
22b omtrek grondcirkel = lengte boog 2π ⋅ r = 210 ⋅ 2π ⋅ 2,5
omtrek grondcirkel = lengte boog 2π ⋅ r = p
p 360
22c
⋅ 2π ⋅ R
Q
omtrek grondcirkel = lengte boog 2π ⋅ r = 300 ⋅ 2π ⋅ 2 360
210 ⋅ 2,5 ≈ 1, 5 (cm). r = 360
24
P
S
360
r = 300 ⋅ 2 ≈ 1, 7 (cm). 360
omtrek grondcirkel = lengte boog (met middelpuntshoek p °) 2π ⋅ 3 =
p
r = 360 ⋅ R .
p 360
⋅ 2π ⋅ 5
= 3 ⋅ 360 = 216 ⇒ de middelpuntshoek is 216°. 5
omtrek grondcirkel = lengte boog (met middelpuntshoek p °) 2π ⋅ 3 =
p 360
⋅ 2π ⋅ 5 (R 2 = 32 + 4 2 = 9 + 16 = 25 ⇒ R = 5)
5
p = 35 ⋅ 360 = 216 ⇒ middelpuntshoek is 216°.
De uitslag is 3 deel van een cirkel met straal 5. 5 (zie het grijs gemarkeerde deel hiernaast)
25b
Q
M
2π
25a
C
A
De straal van de blauwe cirkels is 0, 8 (cm) ⇒ het is figuur 2.35b.
23
Q
N
Dus de omtrek van de cirkels is 2π r = 5 ⇒ r = 5 ≈ 0, 8 (cm).
22a
R
D
F
Zie hiernaast een uitslag van het lichaam in figuur 2.34. 21
P
S
5
omtrek grondcirkel = lengte boog (met middelpuntshoek p °) 2π ⋅ 4 =
p 360
72° 72° 72° 72° 72°
⋅ 2π ⋅ 5 (R 2 = 32 + 4 2 = 25 ⇒ R = 5)
p = 54 ⋅ 360 = 288 ⇒ middelpuntshoek is 288°.
De uitslag is 4 deel van een cirkel met straal 5. 5 (zie het gearceerde deel hiernaast)
26a
De uitslag van de cilindermantel is een rechthoek van 2π ⋅ 2 = 4π cm bij 5 cm.
26b
Zie een schets van de rechthoek hiernaast, de diagonaal stelt het touwtje voor.
26c
De stelling van Pythagoras geeft AB = (4π )2 + 52 ≈ 13, 5 (cm).
27
B
A touwtje 5
B
4π
A
Over een hoogte van 6 − 1 = 5 meter is het touw precies vier keer strak om de mast gewonden, dus over een hoogte van 125 cm is het touw precies één keer strak om de mast gewonden. De diagonaal van de mantel van de cilinder met h = 125 (cm) en r = 4,5 (de diameter van de mast is 9 cm) is (2π ⋅ 4,5)2 + 1252 (de diagonaal in een rechthoek van 2π ⋅ 4, 5 cm bij 125 cm) ⇒ het touw is 4 ⋅ Ans ≈ 513 cm lang.
28
O (cilinder) = 2 ⋅ O (grondcirkel) + O (cilindermantel) = 2 ⋅ π r 2 + 2π r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 32 + 2π ⋅ 3 ⋅ 4 = 18π + 24π = 42π ≈ 132 (cm2 ).
G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg
2 Oppervlakte en inhoud 4/9
29a
omtrek grondcirkel = lengte boog (met middelpuntshoek p °)
29b 29c
p ⋅ 2π ⋅ 5 (R 2 = 32 + 42 = 25 ⇒ R = 5). Dus p = 3 ⋅ 360 = 216 ⇒ middelpuntshoek is 216°. 360 5 2 2 216 O (kegelmantel) = 360 ⋅ π ⋅ 5 = 15π ≈ 47 (cm ). O (kegel) = O (grondcirkel) + O (kegelmantel) = π ⋅ 32 + 15π = 9π + 15π = 24π ≈ 75 (cm2 ).
30
sin(22,5°) = 7 ⇒ R =
2π ⋅ 3 =
R
7 sin(22,5°)
P (cirkel) = 2π r 22, 5°
O (kegel) = O (grondcirkel) + O (kegelmantel) = π r 2 + π rR ≈ 556,2 (cm2 ). 31
32
O (cirkel) = π r 2 O (cilindermantel) = 2π rh O (kegelmantel) = π rR
R
O (grondcirkel) = π r 2 = 100 ⇒ r 2 = 100 ⇒ r = 100 . π π R 2 = r 2 + h 2 = 100 + 10 = 100 + 100 ⇒ R = 100 + 100. π π π 2 O (kegelmantel) = π rR ≈ 203, 5 (cm ).
7
O (grondcirkel) = π r 2 = 50 ⇒ r 2 = 50 ⇒ r = 50 . π π . O (kegelmantel) = π rR = 75 ⇒ R = π75 r
Noem de halve tophoek α dan sin α = r ⇒ α = sin −1 ( r ) ⇒ tophoek 2α ≈ 84°. R
33a 33b
R
∽
∆MAT ∆NBT (snavelfiguur). 5x = 2(6 + x ) ⇒ 5x = 12 + 2x ⇒ 3x = 12 ⇒ NT = x = 4 (en MT = 10).
∆MAT
MA = 5 MT = 6 + x
…
∆NBT
NB = 2
…
NT = x
×2 21
Van de kegel met top T en straal grondcirkel r = AM = 5 is
R 2 = r 2 + h 2 = 52 + 102 = 25 + 100 = 125 ⇒ R = 125 ⇒ O (kegelmantel) = π rR = π ⋅ 5 ⋅ 125 ≈ 175, 62. 33c
Van de kegel met top T en straal grondcirkel r = NB = 2 is
R 2 = r 2 + h 2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20 ⇒ R = 20 ⇒ O (kegelmantel) = π rR = π ⋅ 2 ⋅ 20. Dus O (mantel van afgeknotte kegel) = 5π 125 − 2π 20 ≈ 147, 52. 33d 34
O (afgeknotte kegel) = O (mantel) + O (gondcirkel) + O (topcirkel) = 5π 125 − 2π 20 + π ⋅ 52 + π ⋅ 22 ≈ 238, 63. ∆MAT
∽ ∆NBT (snavelfiguur). (zie voor de letters figuur 2.51)
10x = 4(11 + x ) ⇒ 10x = 44 + 4x ⇒ 6x = 44 ⇒ NT = x
= 22 (en MT = 3
55 ) 3
.
∆MAT
MA = 10 MT = 11 + x
…
∆NBT
NB = 4
…
NT = x
Van de kegel met top T en straal grondcirkel r = AM = 10 (cm) is )2 = 3925 ⇒ R = 3925 (cm) ⇒ O (kegelmantel) = π rR = π ⋅ 10 ⋅ 3925 (cm2 ). R 2 = r 2 + h 2 = 102 + ( 55 3 9 9 9 Van de kegel met top T en straal grondcirkel r = NB = 4 (cm) is )2 = 628 ⇒ R = 628 (cm) ⇒ O (kegelmantel) = π rR = π ⋅ 4 ⋅ 628 (cm2 ). R 2 = r 2 + h 2 = 42 + ( 22 3 9 9 9
O (lampenkapje) = 10π 3925 − 4π 628 ≈ 551 (cm2 ). 9 9 35
O (linker cilinder) = 2 ⋅ O (gondcirkel) + O (cilindermantel) = 2 ⋅ π r 2 + 2π r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 42 + 2π ⋅ 4 ⋅ 10 = 32π + 80π = 112π . O (rechter cilinder) = 2 ⋅ O (gondcirkel) + O (cilindermantel) = 2 ⋅ π r 2 + 2π r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 22 + 2π ⋅ 2 ⋅ h = 8π + 4π h . 8π + 4π h = 112π ⇒ 4π h = 104π (delen door π ) ⇒ 4h = 104 ⇒ h = 26.
36
O (skatebaan) = O (rechthoek) + 21 ⋅ O (cilindermantel)
= l ⋅ b + 1 ⋅ 2π r ⋅ h = (12 − 2 ⋅ 3) ⋅ 6 + 1 ⋅ 2π ⋅ 3 ⋅ 6 = 6 ⋅ 6 + π ⋅ 18 = 36 + 18π (m2 ). 2
2
De materiaalkosten van de staalplaten (€ 1,75/dm2 ⇒ € 175/m2 ) is (36 + 18π ) ⋅ 175 ≈ 16196 (€) 37
O (mantel figuur 2.55a) = 21 ⋅ O (cilindermantel figuur 2.55b) = 21 ⋅ 2π r ⋅ h = π ⋅ 12 ⋅ 20 = 240π (cm2 ).
38
O (twee bolletjes met straal r ) = O (bol met straal 5) 2 ⋅ 4π r 2 = 4π ⋅ 52 ⇒ 8π r 2 = 100π ⇒ r 2 = 12,5 ⇒ r = 12, 5 ≈ 3,54.
P (cirkel) = 2π r O (cirkel) = π r 2 O (bol) = 4π r 2
×2 21
G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg 39
2 Oppervlakte en inhoud 5/9
P (aardbol) = 2π r = 40 000 (km) ⇒ r = 40000 = 20000 (km). π 2π
O (oceanen) = 0, 71 × O (aarbol) = 0, 71 × 4π r 2 ≈ 361 600 000 (km2 ). 40a
O (cilindermantel) = 2π r ⋅ h = 2π ⋅ 3 ⋅ 12 = 72π
2
(cm ).
(in figuur 2.59a zie je dat h = 4r = 12 ⇒ r = 3)
O (bal) = 4π r 2 = 4π ⋅ 32 = 4π ⋅ 9 = 36π 40b
2
(cm ). Dus Linda heeft gelijk.
M
Zie de figuur hiernaast. In ∆ABM is sin(60°) = r .
3−r
3 −r
A
Intersect geeft r ≈ 1,39 (cm). 40c
r
60°
r
B
Vier lagen van drie knikkers. Als de lagen precies op elkaar liggen komen ze 8r < 8 ⋅ 1, 5 = 12 cm hoog. (als de lagen in de kuiltjes liggen komen ze minder hoog)
40d
O (twaalf knikkers) = 12 ⋅ O (knikker) = 12 ⋅ 4π r 2 = 48π r 2 ≈ 292 (cm2 ).
40e
O (twee ballen) = 2 ⋅ 36π = 72π (cm2 ). 2 O (twaalf knikkers) ÷ O (twee ballen) = 48π r ≈ 1,29.
72π
41a
I (kegel) = 31 ⋅ I (cilinder) = 31 ⋅ π r 2h = 31 π r 2h .
I (bol) = 4 ⋅ I (kegel) = 4 ⋅ 31 π r 2h (in figuur 2.64 is h = r ) = 34 π r 3 .
42
Er passen 3 ballen in de doos ⇒ h = 6r . Dus I (doos) = G ⋅ h = π r 2 ⋅ 6r = 6π r 3 ( = 100%).
41b
3 I (drie ballen) = 3 ⋅ I (bal) = 3 ⋅ 34 π r 3 = 4π r 3 . Het percentage is dus 4π r 3 × 100% = 23 × 100% ≈ 66, 7%.
6π r
43a
G = 21 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ sin(60°) = 18 sin(60°). I (prisma) = G ⋅ h = 18 sin(60°) ⋅ 8 = 144 sin(60°) ≈ 124, 7.
43b
G = 21 ⋅ 10 ⋅ 12 = 60.
2
2
(Zij M het midden van HK , dan HM + GM = HG
2
2
2
2
⇒ 5 + GM = 13 ⇒ GM = 132 − 52 = 144 = 12)
I (piramide) = 31 Gh = 31 ⋅ 60 ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180.
43c
I (kegel) = 31 Gh = 31 ⋅ π ⋅ 22 ⋅ 12 ≈ 14,5. (22 + h 2 = 42 ⇒ h = 42 − 22 = 12)
44
I (piramide) = 1 Gh = 1 ⋅ (2 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ⋅ 1) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3 1 ⋅ 3 ≈ 2, 0 (cm3 ). (12 + h 2 = 22 ⇒ h = 22 − 12 = 4)
45
Noem P het snijpunt van AE en GH ; Q het snijpunt van IH en CF (B is het snijpunt van AE en CF ). I (woning) = I (T .ABCD ) − I (EIJ .PHK ) − I (K .PBQH ) − I (QHK .FGL) = I (piramide) − I (prisma) − I (piramide) − I (prisma)
3
3
2
3
2
= 1 ⋅ 16 ⋅ 16 ⋅ 12 − 1 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 − 1 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 6 − 1 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 4 3
2
3
= 1 024 − 96 − 32 − 48 = 848 (m3 ). 46
2
Het huis bestaat uit twee prisma's ieder met een vijfhoek als grondvlak en een piramide die de zolders verbindt.
I (huis) = I (prisma op de voorgond) + I (prisma) + I (piramide op de achtergrond) = G 1 ⋅ h 1 + G 2 ⋅ h 2 + 31 ⋅ G 3 ⋅ h 3 = (4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4 ⋅ 4) ⋅ 5 + (6 ⋅ 3 + 1 ⋅ 6 ⋅ 4) ⋅ 14 + 1 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 2
2
3 2
= (12 + 8) ⋅ 5 + (18 + 12) ⋅ 14 + 2 ⋅ 4 = 20 ⋅ 5 + 30 ⋅ 14 + 8 = 100 + 420 + 8 = 528 (m3 ). 47
Het grondvlak en zeshoek met zijden van 1,5 ⋅ 5 = 7, 5 cm; de hoogte van de doos is 2, 75 ⋅ 5 = 13, 75 cm.
I (doos) = I (prisma) = G ⋅ h = 6 ⋅ 21 ⋅ 7, 5 ⋅ 7,5 ⋅ sin(60°) ⋅ 13, 75 ≈ 2 009 (cm3 ). (G is de oppervlakte van 6 gelijkzijdige diehoeken met zijden van 7,5 cm)
48
I (bol) = 43 π r 3 = 34 π ⋅ 53 = 34 π ⋅ 125 = 500 π (cm3 ). 3 I (kegel) = 31 Gh = 31 π r 2h = 31 π r 2 ⋅ 10 = 10 π r 2 = 500 π (cm3 ) ⇒ r 2 = 50 ⇒ r kegel = 50 ≈ 7,1 (cm). 3 3 I (cilinder) = Gh = π r 2h = π r 2 ⋅ 10 = 10π r 2 = 500 π (cm3 ) ⇒ r 2 = 50 ⇒ r cilinder = 50 ≈ 4,1 (cm). 3 3 3
G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg 49
I (bol) =
4 π r 3; 3
2 Oppervlakte en inhoud 6/9
I (kegel) = 31 Gh = 31 π r 2 ⋅ 2r = 23 π r 3 en I (cilinder) = Gh = π r 2 ⋅ 2r = 2π r 3 .
I (kegel) : I (bol) : I (cilinder) = 32 π r 3 : 34 π r 3 : 2π r 3 = 23 : 34 : 36 = 2 : 4 : 6 = 1 : 2 : 3. 50a
I (systeem) = I (balk) + I (buizen) = 200 ⋅ 15 ⋅ 15 + π ⋅ 7,52 ⋅ (2 ⋅ 200 − 2 ⋅ 15) ≈ 110 384 (cm3 ).
50b
I (extra buis) = π ⋅ 7,52 ⋅ h = I (systeem) ⇒ h =
51a
Bereken lichaaamsdiagonaal AG in de kubus met ribbe AB = 4 (cm).
I (systeem) ≈ 625 (cm). 7,52 π
D, H
AG = 2r = 42 + 42 + 42 = 3 ⋅ 42 = 4 3 (cm) ⇒ r = 423 = 2 3 (cm). I (bol) − I (kubus) = 34 π r 3 − 43 = 34 π ⋅ (2 3)3 − 43 ≈ 110,12 (cm). 51b
Teken het bovenvlak van de kubus met daar omheen de cirkel met straal r = 2 3 ≈ 3,5 (cm). Zie hiernaast.
52a
Zet het karretje "op z'n kop" (en sloop het onderstel). Zie hiernaast. (omdat EF =
52b 53
1 2
C ,G
r M B,F
A, E
AB en FG = 21 BC is de hoogte van de hele piramide 4 meter)
I (kar) = 31 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 4 − 31 ⋅ 1,5 ⋅ 1 ⋅ 2 = 8 − 1 = 7 (m3 ).
1,5
1
De emmer heeft de vorm van een afgeknotte piramide. ∆ABT ∆DCT (snavelfiguur).
∽
∆ABT
AB = 1,5
BT = x + 2,5
…
∆DCT
DC = 1
CT = x
…
x
×1 21
3
dm
2
1,5x = x + 2,5 ⇒ 0, 5x = 2,5 ⇒ x = CT = 5 dm (en BT = 7, 5 dm).
1 dm 1 dm
I (emmer) = 1 ⋅ π ⋅ 1, 52 ⋅ 7,5 − 1 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 5 ≈ 12, 4 (dm3 = liter). 3 3
2,5 dm 1,5 dm
1,5 dm
Diagnostische toets D1a
O = 4 ⋅ 4 − 21 ⋅ 2 ⋅ 2 − 21 ⋅ 2 ⋅ 1 − π ⋅ 12 = 16 − 2 − 1 − π = 13 − π ≈ 9, 86 cm2 = 986 mm2 .
D1b
O = 4 ⋅ 2 + 21 ⋅ 2 ⋅ 1 − 21 ⋅ 2 ⋅ 1 + 21 ⋅ π ⋅ 12 = 8 + 1 − 1 + 21 π = 8 + 21 π ≈ 9,57 cm2 = 957 mm2 .
D2a
∠AMB = 360° = 45° ⇒ ∠MAB + ∠MBA = 180° − 45° = 135° 8 ∠MAB = ∠MBA ⇒ 2∠MBA = 135° = ∠ABC .
D2b De omtrek van omgeschreven cirkel is 2π r = 10π (gegeven) ⇒ r = 10π = 5 ( = MA ). sin ∠AMN = sin(22,5°) =
1 AB 2
5
2π
⇒ 1 AB = 5 sin(22,5°) ⇒ AB = 10 sin(22,5°). 2
Omtrek(ABCDEFGH ) = 8 ⋅ AB = 8 ⋅ 10 sin(22, 5°) ≈ 30, 6. O (ABCDEFGH ) = 8 ⋅ 1 ⋅ MA ⋅ MB ⋅ sin ∠AMB = 8 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ sin(45°) ≈ 70, 7. 2
2
22, 5° 5 h
5
G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg D3
2 Oppervlakte en inhoud 7/9
sin ∠AMN = 3 ⇒ ∠AMN ≈ 36, 9°. ∠AMB = 2∠AMN (opslaan in M ). 5
5
M ⋅ π ⋅ 52 − 1 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ sin(M ) ≈ 4, 09. O (segment) = O (sector) − O ( ∆AMB ) = 360 2
D4a
BT = CT = 42 + 32 = 5. Zie hieronder de uitslag. T 5
4
B
D4b
Zie de uitslag hiernaast. A
5
3
4
4
3
C
4
A
3
5
T
5
B
5
B
5
3
4
3
T A
D5a
3
3
4
A
4
C
R 2 = 22 + 62 = 4 + 36 = 40 ⇒ R = 40. omtrek grondcirkel = lengte boog (met middelpuntshoek p °) 2π ⋅ 2 =
p=
p 360
⋅ 2π ⋅ 40
2 ⋅ 360 ≈ 114 ⇒ middelpuntshoek is (ongeveer) 114°. 40
40
D5b De uitslag van de kegelmantel zie je hiernaast. (haal R =
40
40 uit een driehoek met rechthoekszijden 2 en 6)
2
114° 6
40
D6a
R 2 = r 2 + h 2 = 52 + 102 = 25 + 100 = 125 ⇒ R = 125 O (kegel) = O (grondcirkel) + O (kegelmantel) = π r 2 + π rR = π ⋅ 52 + π ⋅ 5 ⋅ 125 ≈ 254,2.
D6b Van de topkegel met h = 10 − 4 = 6 en straal grondcirkel r = 6 ⋅ 5 = 3 (snavelfiguur) is 10
R 2 = r 2 + h 2 = 32 + 62 = 9 + 36 = 45 ⇒ R = 45 ⇒ O (kegelmantel) = π rR = π ⋅ 3 ⋅ 45. O (mantel van afgeknotte kegel) = 5π 125 − 3π 45 ≈ 112, 4. D7a O (cilinder) = 2 ⋅ O (grondcirkel) + O (cilindermantel) = 2 ⋅ π r 2 + 2π rh = 2 ⋅ π ⋅ 42 + 2π ⋅ 4 ⋅ 8 = 32π + 64π = 96π . 96π × 100% = 3 × 100% = 150%. O (bol) = 4π r 2 = 4π ⋅ 42 = 64π ( = 100%) en O (cilinder) = 64 2 π Dus O (cilinder) is 50% groter dan O (bol).
D7b O (cilinder) = 2 ⋅ O (grondcirkel) + O (cilindermantel) = 2 ⋅ π r 2 + 2π rh = 2 ⋅ π ⋅ r 2 + 2π ⋅ r ⋅ 2r = 2π r 2 + 4π r 2 = 6π r 2 . 2 O (bol) = 4π r 2 ( = 100%) en O (cilinder) = 6π r 2 × 100% = 23 × 100% = 150%.
4π r
Dus O (cilinder) is steeds 50% groter dan O (bol). Het hangt niet af van de grootte van de straal r van de bol. D8a
I (cilinder) = G ⋅ h = π r 2h = π ⋅ 52 ⋅ 10 = π ⋅ 25 ⋅ 10 = 250π ≈ 785 (cm3 ).
D8b I (bol) = 4 π r 3 = 4 π ⋅ 53 = 4 π ⋅ 125 = 500 π ≈ 524 (cm3 ). 3
D9a
3
3
3
I (piramide) = 31 G ⋅ h = 31 ⋅ 21 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ sin(60°) ⋅ 10 = 6 ⋅ sin(60°) ⋅ 10 = 60 ⋅ sin(60°) ≈ 51, 96.
D9b I (afgeknotte piramide) = 1 ⋅ 1 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ sin(60°) ⋅ 10 − 1 ⋅ 1 ⋅ 3,6 ⋅ 3,6 ⋅ sin(60°) ⋅ 6 ≈ 40, 74. 3 2 (de maten in de toppiramide die eraf gehaald is, zijn
D9c
6 10
3 2 deel van de maten in gegeven priramide)
Zie het bovenaanzicht (dit is het grondvlak) hiernaast. (T ligt precies boven M ) 3 In de grijs gemarkeerde driehoek is: cos(30°) = 3 ⇒ r = .
cos(30°) r 3 )2 ⋅ 10. 3 3 3 cos(30°) I (kegel buiten de piramide) = 1 π ⋅ ( 3 )2 ⋅ 10 − 60 ⋅ sin(60°) (zie D9a) ≈ 73, 70. 3 cos(30°)
I (kegel) = 1 G ⋅ h = 1 π r 2 ⋅ h = 1 π ⋅ (
r 30° 3
3
G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg
2 Oppervlakte en inhoud 8/9
Gemengde opgaven 2. Oppervlakte en inhoud G13a ∠AMB = 360° = 72° ⇒ ∠AMN = ∠AMB = 36°. 5
5
sin(36°) = AN = AN ⇒ AN = 10 sin(36°). r
36°
36°
10
10
Dus a = AB = 2AN = 20 sin(36°) ≈ 11,8.
r
G13b O (ABCDE ) = 5 ⋅ O ( ∆ABM ) = 5 ⋅ 1 ⋅ r ⋅ r ⋅ sin(72°). 2
2,5 2,5 sin(36°) = AN = r ⇒r = . r sin(36°) O (blauw) = π r 2 − 2,5r 2 ⋅ sin(72°) ≈ 13,8.
2,5
G14a Noem M het middelpunt van c 1 en N het middelpunt van c 2 . (dan eenvoudiger te noteren) Er geldt MN = MQ = MP = MQ = NQ = r = 3. Het parallellogram bestaat uit 2 gelijkzijdige driehoeken. Zie de figuur hiernaast.
2,5
3
3
O (MPNQ ) = 2 ⋅ O ( ∆MNQ ) = 2 ⋅ 21 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ sin(60°) = 9 sin(60°) ≈ 7, 79. G14b De gevraagde oppervlakte is de oppervlakte van het parallellogram (zie G14a) en daarnaast nog 4 keer de oppervlakte van het grijs gemarkeerde segment.
3
60 ⋅ π ⋅ 32 − 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ sin(60°). O (segment) = O (setor MNQ ) − O (∆MNQ ) = 360 2 O (overlapping in figuur G .8) = O (MPNQ ) + 4 ⋅ O (segment) ≈ 11, 06.
G15
De lengte van het langste lint is: AA = 392 + 392 = 392 ⋅ 2 = 39 2 (cm). 2
2
3
3
13
2
De lengte van het middelste lint is: BB = 26 + 26 = 26 ⋅ 2 = 26 2 (cm). 13 De lengte van het kortste lint is: CC = 132 + 132 = 132 ⋅ 2 = 13 2 (cm). De totale lengte van de drie linten is: 39 2 + 26 2 + 13 2 ≈ 110 (cm).
13 13
13
13
G16a Zie de uitslag hiernaast. (er is langs de opstaande ribben opengeknipt) G16b In ∆ADT : AT = 52 + 52 = 52 ⋅ 2 = 5 2 (cm) ⇒ AM = 1 AT = 2 1 2 (cm). 2
In ∆CDM : CM = G17
2
(5 + 2 1 2)2 + 52 ≈ 9, 9 (cm). 2
5
5 2
5 5
O (cilindermantel) = 2π rh = 2π ⋅ 4 ⋅ 10 = 80π . (rcilinder ≠ r kegel ) Bij de kegel is R = r 2 + h 2 = r 2 + 100 ⇒
5 2
5 5 2
5
O (kegelmantel) = π rR = π ⋅ r ⋅ r 2 + 100. Er geldt dus: 80π = π ⋅ r ⋅ r 2 + 100. De optie intersect geeft dan r ≈ 6, 66. G18
Het pijpje is te maken van een cilinder met h = 12 + 9 + 2 ⋅ 3 = 27 (cm).
2 21 2 2 21 2
(denk de versteknaad los en stukjes pijp in elkaars verlengde tegen elkaar aan)
O (pijpje) = O (cilindermantel) = 2π rh = 2π ⋅ 3 ⋅ 27 = 162π ≈ 509 (cm2 ). G 19 De emmer is een afgeknotte kegel. De hoogte van de hele kegel is h = 3 ⋅ 35 = 105 (cm). (de diameter aan de bovenkant van de emmer is 33 cm; 35 cm lager is de diameter nog 22 cm, dus 11 cm minder; weer 35 cm lager is de diameter nog 11 cm en nog één keer 35 cm lager is de diameter dan 0 cm ⇒ dit is de top van de kegel) I (emmer) = I (KEGEL) − I (kegel) = 31 π ⋅ ( 33 )2 ⋅ 105 − 1 π ⋅ ( 22 )2 ⋅ 70 (cm3 ). 2 3 2 I (druppel) = 34 π r 3 = 34 π ⋅ 0,23 (cm3 ). 1 π ⋅ 332 ⋅ 105 − 31 π ⋅ 222 ⋅ 70 3
In de emmer passen
≈ 629 000 druppels. ⋅ 0,23 Het duurt dus ongeveer 1258 000 seconden. Dat is Ans : 60 (minuten) : 60 (uur) : 24 (dagen) ≈ 14, 6 dagen. Dus ruim 2 weken. 4 π 3
G20 I (onderste helft) = I (KEGEL) − I (kegel) = 1 π ⋅ 22 ⋅ 6 − 1 π ⋅ 12 ⋅ 3 = 8π − π = 7π . 3 3 Dus I (diabolovormige lichaam) = 2 ⋅ 7π = 14π .
G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg
2 Oppervlakte en inhoud 9/9
G21a I (piramide) = 1 Gh = 1 (4 ⋅ 6 + 1 ⋅ 6 ⋅ 2) ⋅ 10 = 1 (24 + 6) ⋅ 10 = 1 ⋅ 30 ⋅ 10 = 10 ⋅ 10 = 100. 3
3
2
3
3
G21b Op hoogte 3 (7 onder de top) zijn de lengtematen in het hor. vlak 7 deel van de lengtematen in vijfhoek ABCDE . 10
Op hoogte 5 (5 onder de top) zijn de lengtematen 5 deel (de helft) van die in vijfhoek ABCDE . 10
7 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 6 + 1 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 2) ⋅ 7 ⋅ 10 − 1 ( 1 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 6 + 1 ⋅ 1 ⋅ 6 ⋅ 1 ⋅ 2) ⋅ 1 ⋅ 10 = 21,8. I (vraag 21b) = 31 ( 10 10 2 10 10 10 3 2 2 2 2 2 2
G22a sin α = r ⇒ R = r R
sin α
invullen in O (kegelmantel) = π rR geeft O (kegelmantel) = π r ⋅ r β
sin α
β
2 = πr .
sin α
O (kegelmantel) = O (cirkelsector) = 360° ⋅ π R 2 ⇒ 360° ⋅ π R 2 = π rR ⇒ β = 360° ⋅ π rR2 = 360° ⋅ Rr = 360° ⋅ sin α . πR G22b O (kegelmantel) = π rR maar ook O (kegelmantel) = β
Dus π rR =
360°
β 360°
⋅ π R 2.
⋅ π R 2 ⇒ π r ⋅ 10 = 135° ⋅ π ⋅ 102 ⇒ r = 135 ⋅ 10 = 15 .
Dus O (grondcirkel) = π r
2
=π
360° 2 225 15 ⋅ = π ≈ 44,2. 16 4
360
4
( )
G22c O (kegel) = O (grondcirkel) + O (kegelmantel) ⇒ 4 ⋅ O (grondcirkel) = O (grondcirkel) + O (kegelmantel). O (kegel) = 4 ⋅ O (grondcirkel) (gegeven) Dus 3 ⋅ O (grondcirkel) = O (kegelmantel). 2
π r ⇒ 3 = 1 ⇒ sin α = 1 ⇒ α = sin −1 ( 1 ) ⇒ de tophoek is 2α = 2 sin −1 ( 1 ) ≈ 39°. Dit geeft 3 ⋅ π r 2 = sin α sin α 3 3 3
TI-84
4. Goniometrie en geheugen
1c 1d
1 ⋅ 7 2 ⋅ sin(72°) ≈ 23,30. 2 12 ≈ 12,39. tan(15°) + tan(35°)
(7)
2c
∠A = tan −1
( ) ≈ 24°.
2d
∠A = sin −1 5 + 6
1a 1b
10 sin(15°) ≈ 2,59.
2a
∠A = sin −1 3 ≈ 25°.
2b
∠A = cos −1
3a 3b
∠A = 12 en PQ = tan6∠A ⇒ KL = 12 ⋅ (5 + 3PQ ) ≈ 908,29. 13
20 ≈ 20, 71. cos(15°)
53 8
5,17 tan ∠E = 12 en CD = ⇒ AB = 13
sin ∠E
( ) ≈ 24°. ( ) ≈ 39°. 1,6 13
8 + 15
80 ≈ 2,28. 6 + CD 2
4π A = 2,123456; B = 3 en C = 10,3498 .
C 2 + AB ≈ 5,152.
5a
Voer de formules in op de GR. In het derde scherm (hieronder) zie je de coördinaten van het rechter snijpunt.
5b
De coördinaten van het laatst gevonden punt in het grafiekenscherm kunnen in het basisscherm met X en Y worden opgeroepen.
3A − B ≈ 4, 638.
4c 4d
B 2 − 4AC ≈ −7,313.
4a 4b
C 2 − AB ≈ −0,572. A +B
