NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM FAIPARI MÉRNÖKI KAR FIZIKAI INTÉZET

Mentes Gyula

ELEKTROTECHNIKA Egyetemi jegyzet

SOPRON 2005

Mentes Gyula

Lektorálták: Dr. Papp György egyetemi tanár

Dr. Verő József egyetemi tanár

-2-

Elektrotechnika

TARTALOMJEGYZÉK 1. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.6.1. 2.6.2. 2.6.3. 2.6.4. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.11.1. 2.11.2. 2.11.3. 3. 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.2.1. 3.3.2.2. 3.3.2.3. 3.3.3. 3.3.4. 3.3.5. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.5. 4.5.1. 4.5.2. 4.6.

Bevezetés Elektrosztatika Elektrosztatikai alapjelenségek, az elektromos töltés Coulomb törvénye Az elektromos térerősség Feszültség és potenciál Az elektrosztatika Gauss-tétele A Gauss-tétel néhány alkalmazása A felületi töltéssűrűség és a térerősség összefüggése Töltött végtelen síklemez tere Töltött fémgömb tere Végtelen hosszú vonaltöltés tere A kapacitás fogalma, kondenzátorok Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása Kondenzátorok gyakorlati megvalósítása A villamos tér energiája Az elektromos erőtér hatása a dielektrikumra A dielektrikum polarizációja Az elektromos tér energiája dielektrikumban Az elektrosztrikciós és a piezoelektromos jelenség Egyenáramú hálózatok Az ellenállás fogalma, Ohm törvénye Az ellenállás függése a hőmérséklettől és a mechanikai feszültségtől Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása Ellenállások delta és csillag kapcsolása A villamos teljesítmény fogalma, Joule törvénye Egyenáramú hálózatok számítási módszerei Kirchhoff törvényei Feszültségforrás, áramforrás Feszültségforrás (Thévenin-kép) Áramforrás (Norton-kép) A feszültség és áramgenerátorok ekvivalenciája A hurokáramok módszere Thévenin és Norton tétele Szuperpozició elve Stacionárius mágneses tér Az áram mágneses tere, a mágneses indukció és a mágneses fluxus A Biot-Savart-törvény A gerjesztési törvény Példák a gerjesztési törvény alkalmazására Végtelen hosszú egyenes vezető mágneses tere Toroid mágneses tere Szolenoid mágneses tere Erőhatások mágneses térben A Laplace-féle elemi törvény Ampère törvénye Öninduktivitás, kölcsönös induktivitás -3-

7 8 8 8 9 10 12 12 12 13 13 14 15 16 17 19 21 21 22 22 24 24 25 27 28 31 32 32 34 35 36 37 38 40 41 43 43 45 46 47 47 48 48 49 49 49 50

Mentes Gyula 4.7. 4.8. 4.8.1. 4.8.2. 4.8.3. 4.8.4. 5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.4.1. 5.4.2. 5.4.3. 6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.5.1. 6.5.2. 6.6. 7. 7.1. 7.1.1. 7.1.2. 7.1.3. 7.2. 8. 8.1. 8.1.1. 8.1.2. 8.1.3. 8.2. 8.3. 8.4. 8.4.1. 8.4.2. 9. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

Anyagok mágneses tulajdonságai Mágneses körök számítása A mágneses Ohm-törvény A mágneses vezetőképesség és az önindukciós tényező közötti kapcsolat Lineáris mágneses körök számítása Nemlineáris mágneses körök számítása Elektromágneses tér Nyugalmi elektromágneses indukció Mozgási elektromágneses indukció Váltakozó feszültség előállítása A mágneses tér energiája A mágneses tér energiája ferromágneses anyagtól mentes térben A mágneses energia ferromágneses anyagban Vasmagos elrendezésekben fellépő erőhatások Váltakozóáramú hálózatok Váltakozófeszültségű hálózatok szimbolikus (komplex) számításának elve A váltakozóáram effektív értéke Időfüggvény átírása komplex alakba és komplex alak átírása időfüggvénybe Ellenállás, tekercs és kondenzátor viselkedése váltakozóáramú hálózatokban Egyszerű váltakozóáramú áramkörök Egyszerű soros váltakozóáramú áramkörök Egyszerű párhuzamos váltakozóáramú áramkörök A váltakozóáram teljesítménye Villamos mennyiségek mérése Áram és feszültség mérése Deprez-műszerek Lágyvasas műszerek Áram- és feszültségmérők méréshatárának kiterjesztése Villamos teljesítmény mérése Háromfázisú feszültségrendszer Háromfázisú hálózat terhelése csillagkapcsolású fogyasztóval (Y kapcsolás) Csillagkapcsolás nullavezetővel (kivezetett csillagponttal) tetszőleges terhelés esetén Csillagkapcsolás nullavezető nélkül, szimmetrikus terhelés esetén Csillagkapcsolás nullavezető nélkül aszimmetrikus terhelés esetén Háromfázisú hálózat háromszögkapcsolású terheléssel ( kapcsolás) Háromfázisú áramrendszer teljesítménye Háromfázisú teljesítmény mérése Teljesítmény mérése négyvezetős (nullvezetős) háromfázisú rendszerben Teljesítmény mérése háromvezetős háromfázisú rendszerben Transzformátor Egyfázisú transzformátor felépítése és működése Az egyfázisú transzformátor helyettesítő képe A transzformátor veszteségeinek meghatározása Egyfázisú transzformátorok párhuzamos üzeme Háromfázisú transzformátorok -4-

52 56 56 57 58 58 60 60 61 62 64 64 65 67 69 69 71 72 73 76 77 79 80 84 84 84 85 85 86 88 90 90 92 92 94 95 97 97 98 103 103 105 108 109 109

Elektrotechnika 9.6. 9.6.1. 9.6.2. 9.6.2.1. 9.6.2.2. 9.6.3. 10. 10.1. 10.2. 10.3. 11. 11.1. 11.1.1. 11.1.2. 11.1.3. 11.1.4. 11.2. 11.2.1. 11.2.1.1. 11.2.1.1.1. 11.2.1.1.2. 11.2.1.1.3. 11.2.1.2. 11.2.1.2.1. 11.2.1.2.2. 11.2.2. 11.3. 11.3.1. 11.3.2. 11.3.3. 11.4. 11.5. 11.5.1. 11.5.2. 11.5.3. 11.6. 12. 12.1. 12.2. 12.3. 12.3.1. 12.3.2. 12.3.3. 12.4. 12.5. 12.5.1. 12.5.2. 12.5.3.

Különleges transzformátorok Takarékkapcsolású transzformátorok Mérőtranszformátorok Feszültségváltó Áramváltó Hegesztőtranszformátorok Szinkrongépek Szinkron gépek elve, forgó fluxus előállítása Szinkrongépek felépítése Szinkron gépek működése Aszinkron gépek Aszinkron gépek felépítése és működése A csúszógyűrűs aszinkron gép mint forgómezős transzformátor A csúszógyűrűs aszinkron gép mint fázistoló A csúszógyűrűs aszinkron gép mint frekvenciaváltó Az aszinkron motor működése Aszinkron gépek üzemi viszonyai Aszinkron gépek indítása Bekapcsolási áramlökés csökkentése rövidrezárt forgórészű motorok esetében Indítás előtétellenállással Transzformátoros indítás Indítás csillag-delta átkapcsolással Rövidrezárt forgórészű aszinkron motorok indítási nyomatékának megnövelése Mélyhornyú motor Kétkalickás motor Csúszógyűrűs aszinkron motorok indítása Aszinkronmotorok fordulatszám szabályozása A primer frekvencia változtatása A póluspárszám változtatása A szlip változtatása Aszinkronmotorok forgásirány váltása Aszinkronmotorok fékezése Haszonfékezés Ellenáramú fékezés Dinamikus fékezés Egyfázisú aszinkronmotor Egyenáramú gépek Egyenáramú generátorok működési elve Egyenáramú motorok működési elve Egyenáramú gépek felépítése és működése Egyenáramú gépek tekercselése Kefeszikrázás és armatúravisszahatás Egyenáramú gépek gerjesztőtekercsének kapcsolása Egyenáramú generátorok jelleggörbéi Egyenáramú motorok üzemi tulajdonságai Külső és párhuzamos gerjesztésű egyenáramú motorok üzemi jellemzői Soros gerjesztésű egyenáramú motorok üzemi jellemzői Vegyesgerjesztésű egyenáramú motor üzemi jellemzői -5-

111 111 111 111 112 113 114 114 115 117 118 118 119 119 120 120 124 124 125 125 126 126 128 128 128 129 129 130 131 132 132 132 133 133 134 134 137 137 139 140 140 142 143 145 147 148 150 152

Mentes Gyula 12.6. 12.6.1. 12.6.2. 12.6.3. 13.

Egyenáramú motorok üzeme Egyenáramú motorok indítása Egyenáramú motorok fordulatszámának szabályozása Egyenáramú motorok fékezése Felhasznált irodalom

-6-

152 152 153 154 155

Elektrotechnika 1. BEVEZETÉS A mindennapi életben igen gyakran használják az elektrotechnika szót. Jelentésében szerepel az elektromosság és a technika is, ezért azt mondhatjuk, hogy az elektrotechnika az elektromos és mágneses alapjelenségek alapismereteivel, műszaki vonatkozásaival és gyakorlati alkalmazásaival foglalkozó szaktudomány. Napjainkban az elektrotechnika egyes területei már önálló tudománnyá fejlődtek. Az elektrotechnikát ennek alapján két fő területre, erősáramú és gyengeáramú elektrotechnikára szokás felosztani. Az erősáramú elektrotechnika az az alkalmazott tudomány, amely a villamos gépekkel, a kis- és nagyfeszültségű villamos hálózatokkal, berendezésekkel, a villamos-energia átvitel, elosztás és fogyasztás területeivel foglalkozik. A gyengeáramú elektrotechnika a hírközlést, az információfeldolgozást, a villamos mérés- és a szabályozástechnika elektronikus eszközeit foglalja magában. Amint látható, az "erős" és "gyenge" kifejezések nem az áram értékére utalnak, hiszen egy rádióadó berendezésben sokkal nagyobbak az áramok, mint egy kis háztartási készülékben. Az elektronika a gyengeáramú technikának az a területe, amely azoknak az elektronikus eszközöknek az elméletével és felhasználásával foglalkozik, amelyekben az elektromos áramot elektromos erőterekkel vezérlik. Napjainkban az iparban és a mindennapi életben lépten-nyomon találkozunk villamos berendezésekkel. Ennek megfelelően a korszerű faipari üzemekben a fokozódó gépesítés és automatizálás következtében egyre nagyobb mennyiségben és változatosságban használnak fel villamos energiát a különböző technológiai folyamatokban. Kézenfekvő, hogy a faipari mérnök egyre gyakrabban kerülhet szembe olyan természetű feladatokkal, amelynek megoldása elektrotechnikai ismereteket igényel. Természetesen a problémák részletes megoldása villamosmérnöki feladat, de a faipari mérnöknek is szüksége van bizonyos alapismeretekre, hogy elképzeléseiben figyelembe vehesse a villamos energia, a modern elektrotechnika és elektronika nyújtotta lehetőségeket. Az elektrotechnika tárgy feladata egyrészt az, hogy kellő elméleti alapismereteket nyújtson a későbbi elektronika, automatika, méréstechnika ismeretek elsajátításához, másrészt, hogy megfelelő tudást adjon a faipari üzemekben használt villamos gépek üzemeltetéséhez. Ennek megfelelően a "FIZIKA" tárgyra építve, a jegyzet foglalkozik az elektromos és mágneses alapjelenségekkel, az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságaival, az egyenés váltakozóáramú villamos hálózatok alapvető számítási módszereivel, valmint tárgyalja az erősáramú méréstechnikában használatos feszültség-, áram-, ellenállás-, impedancia- és teljesítménymérési módszereket és az alkalmazott mérőműszerek elvét és felépítését. Ezekre építve a jegyzet - a faipari mérnök igényeinek megfelelően - részletesen foglalkozik a villamos gépek felépítésével és azok biztonságos, gazdaságos és hatékony üzemeltetésének kérdéseivel.

-7-

Mentes Gyula 2. ELEKTROSZTATIKA 2.1. Elektrosztatikai alapjelenségek, az elektromos töltés A gyapjúval megdörzsölt borostyánkő (görögül: élektron) a közelében levő papírdarabkákat magához vonzza. Hasonló jelenségek tapasztalhatók, ha pl. üvegrudat szarvasbőrrel vagy ebonitrudat szőrmével dörzsölünk. Mind a dörzsölt tárgyak, mind, pedig a dörzsölő anyagok apró, könnyű tárgyakat magukhoz vonzanak. A kísérletek során azt tapasztaljuk, hogy a szőrmével dörzsölt ebonitrúd és a szarvasbőrrel dörzsölt üvegrúd vonzza egymást, valamint a dörzsölő anyag és a dörzsölt tárgy is vonzza egymást. Két bőrrel dörzsölt üvegrúd, pedig taszítja egymást. Az említett testek a dörzsölés következtében olyan állapotba kerülnek, amelyben erőhatást fejtenek ki. Ezt az állapotot a borostyánkő görög nevéről elektromos állapotnak nevezzük és az erőhatást a testeken levő elektromos töltésnek tulajdonítjuk. Úgy képzeljük, hogy kétféle elektromos töltés van, amelyeket pozitív és negatív jelzőkkel különböztethetünk meg egymástól. A bőrrel dörzsölt üvegrúd töltését önkényesen pozitívnak, a szőrmével dörzsölt ebonitrúd töltését, pedig negatívnak nevezték el. Kísérletekkel igazolható, hogy a két különböző anyagú test dörzsölésekor a két testen felhalmozott ellentétes előjelű töltések mennyisége abszolút értékre nézve egyenlő. Ebből arra következtethetünk, hogy a dörzsölés eredményeképpen nem töltéseket hozunk létre, hanem a kétféle elektromos töltést szétválasztjuk. A különböző anyagokban a töltések gyorsan, lassan vagy igen lassan egyenlítődnek ki. Számszerűleg az anyagoknak ez a tulajdonsága a fajlagos vezetőképességgel jellemezhető és ennek viszonylag nagy ill. igen kicsi értéke szerint jó vezetőkről és jó szigetelőkről beszélünk. A jó vezetők közé tartoznak, pl. a fémek, a szén, az emberi test, a föld, a savak és lúgok vizes oldatai. A jó szigetelők közé tartoznak, pl. a borostyánkő, a kvarc, a csillám, az üveg, porcelán, a normál állapotú gázok. Az anyagok felosztása szigetelőkre vagy vezetőkre csak meghatározott körülmények fennállása esetében igaz. Pl. a gázok nagy hőmérsékleten vezetőkké válnak. A szigetelők és vezetők közötti átmenetet képező anyagokhoz sorolhatók, pl. a fa, a papír, a márvány, a bőr. 2.2. Coulomb törvénye Pontszerű töltések egymásra kifejtett erőhatásának törvényét Coulomb francia fizikus (1736-1806) igazolta először 1785-ben. Torziós ingával végzett mérései szerint két töltés között ható erő egyenesen arányos a töltések nagyságával és fordítottan arányos a közöttük levő távolság négyzetével:

F k

Q1Q 2 , r2

(2.1)

ahol Q1 és Q 2 az egymástól r távolságra levő két töltés, k pedig az arányossági tényező. A töltés egységét a Nemzetközi Mértékegység-rendszerben (SI), amely számos gyakorlati előnnyel rendelkezik, visszavezetik az áramerősség egységére, az amperre, melynek jele: A. Az SI-ben a töltés egysége a coulomb (C): [ Q ]=1 coulomb=1C=1As.

-8-

(2.2)

Elektrotechnika Ez alapján 1C az a töltés, amelyet 1A erősségű áram 1s alatt szállít egyik helyről a másikra. A szokásos töltések 1C-nál nagyságrenddekkel kisebbek, általában 1μC=10-6 C vagy 1mC=10-3 C nagyságrendűek. A töltés egységének megválasztása alapján a Coulomb-törvény k arányossági tényezőjét az alábbi alakban adják meg:

k

1 4 0

,

(2.3)

C2 vagy  0 =8,85610-12 Nm 2 Nm 2 As . A (2.3) képletbe  0 értékét behelyettesítve kapjuk, hogy k =9·109 . Így a CouVm C2 lomb-törvény alapján a töltés egységét úgy is definiálhatnánk, hogy 1C az a villamos töltés, amely a vele egyenlő töltésre 1m távolságból 9·109 N erővel hat. Ha a töltések nem vákuumban, hanem más szigetelőanyagban helyezkednek el, akkor  0 helyett    0 r mennyiséggel kell számolni, ahol  r az illető anyagnak a vákuumra vonatkozó relatív permittivitása vagy relatív dielektromos állandója. ahol  0 a vákuum dielektromos állandója és értéke:  0 =8,85610-12

2.3. Az elektromos térerősség Ha elektromos töltésű test környezetének valamely pontjában egy kis, Q töltésű, pontszerű próbatestet helyezünk el, erre meghatározott erő hat. Az elektromos töltésű test maga körül elektromos teret kelt, akkor is, ha a próbatest nincs jelen és ez a tér hat az odahelyezett próbatestre. Általánosságban, elektromos térnek nevezzük a térnek azt a részét, amelynek minden pontjához meghatározott – egy pontszerű próbatöltés segítségével meghatározható – erő tartozik. A kisméretű Q töltésű próbatestre ható F erő arányos a Q töltéssel: F  QE

(2.4)

Az elektromos térre jellemző E  F Q vektormennyiséget - amely a dimenziótól eltekintve, a pozitív egységnyi próbatöltésre ható erőt jelenti – elektromos térerősségnek nevezzük. Egy Q töltésre ható F erőt ez alapján úgy értelmezhetjük, hogy azt a többi töltés által a Q töltés helyén létrehozott elektromos tér okozza. Az elektromos térerősség egységét a (2.4) összefüggésből kapjuk meg:

E   F   1 N . Q C

(2.5)

A gyakorlatban előforduló térerősségértékekre példa, hogy jó szigetelőanyagokban kb. 10 N/C térerősség engedhető meg. Egy rádióantenna által létrehozott elektromos térerősség kb. 10-3 N/C nagyságrendű. Az elektromos teret erővonalakkal szemléltetjük. Ezek olyan görbék, amelyek érintője a tér minden P pontjában az ott uralkodó E térerősség irányába esik. Megállapodás szerint az erővonalakat a tér minden helyén olyan sűrűn húzzuk meg, hogy a rájuk felvett egységnyi 8

-9-

Mentes Gyula felületen éppen annyi erővonal haladjon át, mint amekkora a térerősség a kérdéses helyen. A nyugvó töltésektől származó (elektrosztatikai) térben: - Az erővonalak mindig pozitív töltésekből indulnak ki és negatív töltéseken végződnek (2.1. ábra). Egyetlen pozitív töltés esetén az erővonalak a töltésből indulnak és a végtelenben végződnek. Egyetlen negatív töltés esetében az erővonalak a végtelenből indulnak és a negatív töltésen végződnek (2.2. ábra). (A végtelen azt jelenti, hogy a töltések szétválasztása után a másik töltés a végtelenbe került.) Tehát nincsenek sem semmiben végződő, sem önmagukba visszafutó, zárt erővonalak. Ezt a tulajdonságot úgy fejezhetjük ki, hogy az elektrosztatikai tér örvénymentes vektortér, amelynek töltések a forrásai. - A térerősség iránya a tér minden pontjában egyértelműen meghatározott, ami azt jelenti, hogy az erővonalak egymást nem metszik. - Az elektromos tér folytonos, vagyis a tér minden pontján erővonal halad át.

+

+Q

-

2.1. ábra. Ellentétes előjelű ponttöltések tere

-Q

2.2. ábra. Egyedülálló pozitív ill. negatív ponttöltés tere

2.4. Feszültség és potenciál Eddig az elektromos teret, mint vektormezőt jellemeztük az elektromos térerősség fogalmának bevezetésével. A következőkben bevezetünk egy skaláris mennyiséget, amellyel szintén jellemezhetjük az elektromos teret. Ez a skalármennyiség a potenciál. Q töltésű pontszerű testre elektromos térben F  Q E erő hat. Ha tehát a Q töltést  F erővel az A pontból a B pontba visszük, akkor a munka definíciója alapján az F erő ellenében az alábbi munkát kell végeznünk: B

B

A

A

WAB    QE dl  Q  E dl .

(2.6)

Kimutatható, hogy ez a munka független az úttól (az A -tól B -be vezető görbétől), és így nem más, mint a próbatöltés potenciális energiájának a megváltozása. Amint (2.6)-ból látható, a Q töltés mozgatása során végzett munka arányos a töltés nagyságával. Képezzük a tér által végzett munka és a töltés hányadosát, amely ezáltal csak a tértől és a pályától függ. Ezt a hányadost az A és B pont közötti potenciálkülönbségnek vagy feszültségnek nevezzük:

- 10 -

Elektrotechnika

W  WpotA W  AB  potB    E dl , Q Q A B

U AB

(2.7)

amely tehát az a munka, amelyet az elektromos erők ellenében kell végeznünk, hogy a pozitív egységnyi próbatöltést tetszőleges úton A pontból B pontba vigyük. A pálya fordított bejárása esetén az A és B pont közötti feszültség ugyanakkora abszolút értékű, csak ellenkező előjelű. A potenciális energiához hasonlóan a potenciál értékét csak akkor adhatjuk meg, ha egy megállapodás szerinti ” O ” pontban a potenciál értékét zérusnak vesszük. Ez alapján a tér egy tetszőleges P pontjában a potenciál az A  O és a B  P jelölésekkel: P

 P  U PO    E dl .

(2.8)

0

Nullpontként vagy vonatkoztatási pontként (vonatkoztatási felületként) a gyakorlatban legtöbbször a föld ill. a vele összekötött vezető test szolgál. Elméleti számításokhoz, pedig a végtelen távoli pontot szokás alappontnak tekinteni. A definíció alapján a feszültség egysége:

U   W   1VAs  1V  1volt . Q 1As

(2.9)

A potenciált is szokásos U -val jelölni és egysége szintén a volt. A hálózati feszültség 220 V, az áramtermelő generátorok feszültsége néhányszor 10 kV, a nagyfeszültségű energiaátvitel több 100 kV, a legkisebb még mérhető feszültség 1 nV=10-9 V nagyságrendű. Tapasztalati tény, hogy nyugvó töltések terében tetszőleges zárt görbe mentén a végzett munka nulla:

W0  Q  E dl  0 .

(2.10)

l

Ezt úgy is írhatjuk, hogy:

 E dl  0 ,

(2.11)

l

vagyis az E térerősségvektor integrálja bármely zárt görbére nulla. Ebből az következik, hogy elektrosztatikus térben tetszőleges két pont közötti feszültség csak a kezdő és a végpont helyzetétől függ, az integrációs úttól független. Ez az egyenlet fejezi ki az elektrosztatikai térnek azt a fontos tulajdonságát, hogy zárt erővonalai nincsenek, más szóval az elektrosztatikai tér örvénymentes.

- 11 -

Mentes Gyula 2.5. Az elektrosztatika Gauss-tétele Az elektrosztatika Gauss-tétele az elektromos tér és az azt létrehozó töltések között teremt kapcsolatot és a kísérletek alapján azt mondja ki, hogy egy zárt felületen áthaladó elektromos erővonalak száma arányos a zárt felület által körülzárt töltéssel (2.3. ábra): 1

 E dA   A

Q.

(2.12.)

0

Az E dA szorzat képzésekor az E vektoroknak a dA felületelemre merőleges komponensét kell venni. Másképpen fogalmazva az E vektoroknak és a dA felületelem vektorának (hossza arányos a felületelem nagyságával, iránya pedig merőleges a felületelemre és zárt felület esetében kifelé mutat) skaláris szorzatát kell képezni.

Q4

A

Q1 Q2 Q  Q1  Q2  Q3

E

Q3 dA En

2.3. ábra. Az elektromos térerősség zárt felületmenti integráljának képzése 2.6. A Gauss-tétel néhány alkalmazása 2.6.1. A felületi töltéssűrűség és a térerősség összefüggése A 2.4. ábrán látható töltéssel ellátott vezető felületének egy részére írjuk fel a Gauss tételt. A kicsiny felületelem legyen az, amelyet a A alapú, h magasságú henger vesz körül. Legyen h sokkal kisebb, mint A átmérője. Ha A elegendően kicsiny, akkor a henger által körülvett vezető felület is egyenlőnek vehető A -val. Így E állandó és ugyanakkora a hengernek a levegőben levő alaplapján és a vezető felületelemén, valamint merőleges az előbbi felületekre. A henger másik alaplapján E nulla, mivel a vezető belsejében a térerősség nulla. A térerősség párhuzamos a henger palástjával, ezért elegendő a Gauss-tételt a henger külső alaplapjára alkalmazni: AE 

A , 0

- 12 -

(2.13)

Elektrotechnika ahol  a vezető felületén a felületi töltéssűrűség és A a henger által körülzárt töltés. A val való osztás után kapjuk, hogy:

  0E .

(2.14)

A



h

A

h

2.4. ábra. A    0 E egyenlőség igazolása

2.5. ábra. Végtelen sík elektromos tere

2.6.2. Töltött végtelen síklemez tere A 2.5. ábrán egy végtelen kiterjedésű síklemez egy részlete látható. Az ábrán szemléltetett esetben a felületen egyenletesen elosztott pozitív töltés van, állandó  felületi töltéssűrűséggel. Vegyük körül a felület A területű részét egy h magasságú hasábbal. Az E térerősség a vezető felületére merőleges és szimmetriaokokból a vezető sík mindkét oldalán azonos értékű. A hasáb oldallapjain a térerősség párhuzamos az oldallapokkal, ezért a felületelemek és a térerősség vektorainak skaláris szorzata itt nulla. A hasáb alap- és fedőlapjára felírva a Gauss-tételt: E2A 

A , 0

(2.15)

ahol A  Q a hasáb felülete által körülzárt töltés. A -val osztva megkapjuk a térerősséget:

E

 . 2 0

(2.16)

2.6.3. Töltött fémgömb tere Határozzuk meg a térerősség értékét egy R sugarú töltött fémgömb külső környezetében. Legyen a fémgömbön Q pozitív töltés. A gömbbel koncentrikus r  R sugarú gömbre alkalmazzuk a Gauss-tételt. E a gömbfelszínen állandó és a gömbfelszín kifelé mutató normálisával egyirányú. Tehát a Gauss-tétel szerint:

- 13 -

Mentes Gyula

 E dA  E 4r

2



Q

0

.

(2.17)

A térerősség értéke: E

1

Q . 4 0 r 2

(2.18)

Eredményünk szerint a fémgömbön kívül a térerősség úgy számítható, mintha a Q töltés a fémgömb középpontjába helyezett ponttöltés volna. Ez alapján a potenciált is egyszerűen számíthatjuk. Mivel a térerősség a gömbön kívül azonos a középpontba képzelt Q töltés terével, a potenciál is azonos lesz a gömbön kívül a ponttöltés potenciáljával. A gömb belsejében a térerősség nulla, tehát ha a feszültséget a gömb középpontjától a gömb felszínéig számítjuk, akkor nullát kapunk. Vagyis a gömb felszínétől a végtelenig ugyanakkora a feszültség, mint a gömb bármely belső pontjától a végtelenig. Tehát a gömb felszínén a potenciál: 

U   E dr  R

Q 4 0



dr

r R

2



1

Q . 4 0 R

(2.19)

A kapott eredményeinket a 2.6. ábra szemlélteti. E

U

r

E

U

r l

r

R

2.7. ábra. Végtelen hosszú vonaltöltés tere

2.6. ábra. A térerősség és potenciál töltött fémgömb terében

2.6.4. Végtelen hosszú vonaltöltés tere Legyen egy végtelen hosszú egyenes vezetőn töltés. A vonalmenti töltéssűrűség:  . Vegyük körül a végtelen vezető egy l hosszúságú darabját egy r sugarú koaxiális hengerfelülettel (2.7. ábra). Szimmetria miatt az erővonalak sugárirányúak, a henger palástján E értéke állandó. A henger fedőlapjain E és a felületi normális egymásra merőlegesek, ezért a henger felületére alkalmazva a Gauss-tételt, csak a henger palástját kell figyelembe venni: E 2rl 

l

0

,

- 14 -

(2.20)

Elektrotechnika ahol a henger palástjának területe 2r l és a henger által körülzárt töltés l . A fenti összefüggésből a térerősség értéke: E

 1 . 2 0 r

(2.21)

2.7. A kapacitás fogalma, kondenzátorok Tekintsünk két elektródát, amelyeken + Q , ill. - Q töltés helyezkedik el (2.8. ábra). A két elektróda között levő feszültség, amely az egyes elektródák töltéssel arányos potenciáljának különbsége, szintén arányos a Q töltéssel. A töltés és a feszültség közötti összefügés:

Q  CU ,

(2.22)

ahol C az elrendezés kapacitása, amely a töltéstől és a feszültségtől független, csak az elrendezés geometriájától valamint a közeg  permittivitásától függ. Ha a közeg homogén, akkor a kapacitás arányos a permittivitással. A kapacitás egysége a (2.22) definíciós egyenletből:

C   Q  1 As  1 farad  1 F . U  V

(2.23)

C +Q

-Q

U 2.8. ábra. Két elektróda kapacitásának értelmezése és a kondenzátor jelölése A kapacitás rendkívül fontos adata az elektródaelrendezéseknek, ezért meghatározása a (maximális) térerősség meghatározása mellett az elektrosztatika legfontosabb feladata. Valamely elektródaelrendezés kapacitását az alábbi módon számíthatjuk ki. Felveszünk az elektródákon egy tetszőleges + Q ill. - Q töltést, majd a térerősség vagy a potenciálfüggvény meghatározásával kiszámítjuk a két elektróda közötti U feszültséget. Ezután képezzük a C  Q / U hányadost, amelyből a felvett tetszőleges töltés kiesik. A gyakorlatban sokszor az a feladat, hogy adott kapacitású elektróda-elrendezéseket hozzunk létre. Ezeket kondenzátoroknak nevezzük. A gyakorlatban előforduló kapacitások értékei 1F -nál sokkal kisebbek: 1F  10 6 F , 1 nF  10 9 F , ill. 1 pF  10 12 F .

- 15 -

Mentes Gyula 2.8. Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása A kondenzátorokat áramkörökben szimbolikusan a 2.8. ábrán látható módon jelöljük, amely tulajdonképpen egy síkkondenzátor sematikus rajza. A gyakorlatban kívánt értékű kapacitások létrehozásához szükségünk van adott kondenzátorok (a kereskedelemben csak szabványos értékű típusok kaphatók) soros és párhuzamos kapcsolására. A 2.9a. ábrán párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok láthatók, amelyek egyetlen eredő C p kapacitással helyettesíthetők. A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok feszültsége egyforma, töltéseik általában különbözők. A helyettesítő kondenzátor kapacitását úgy kell megválasztanunk, hogy az adott feszültségen a töltése megegyezzen a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok töltésének öszszegével. Ha a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok száma n, akkor az i-dik töltése a közös U feszültséggel kifejezve Qi  CiU , i=1, 2, 3,..., n. A kondenzátorok összes töltése: n n  n  Q   Qi   CiU    Ci U  C pU , i 1 i 1  i 1 

(2.24)

amelyet U -val egyszerűsítve kapjuk, hogy a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása megegyezik az egyes kapacitások összegével: n

C p   Ci .

(2.25.)

i 1

C 1 +Q -Q C 2 +Q U2 -Q C 3 +Q U3 -Q C n +Q Un -Q

U1 Q1

Q2

Qn

Q3

U C1

C2

C3

Cn

=

U

Cp

+Q -Q

(a)

U

=U

+Q Cs

-Q

(b)

2.9. ábra. Párhuzamosan (a) és sorosan (b) kapcsolt kondenzátorok helyettesítése egy kondenzátorral A 2.9b. ábrán sorbakapcsolt kondenzátorok láthatók. A szomszédos kondenzátorok összekötött elektródái eredetileg töltetlenek voltak. Az U feszültség rákapcsolásával a szélső elektródára (fegyverzetre) + Q töltést viszünk fel, amely a vele szembenálló elektródán - Q töltést influál. Ez a töltés úgy jöhet létre, hogy a nulla ellenállású vezetővel összekötött, eredetileg semleges elektródákban a töltések szétvállnak és a negatív töltések az összekötő vezetéken keresztül az első kondenzátor pozitív töltésű elektródájával szemközti elektródára, míg a pozitív töltések a második kondenzátor elektródájára áramlanak (különnemű töltések vonzzák, azonos nemű töltések taszítják egymást). Ugyanez a jelenség játszódik le az összes sorbakötött kondenzátor esetében, ezért a sorbakötött kondenzátorok mindegyikén azonos nagyságú Q töltés helyezkedik el, míg az egyes kondenzátorok feszültsége általában különböző. Legyen a sorba kapcsolt kondenzátorok száma n , akkor az i -dik feszültsége a közös

- 16 -

Elektrotechnika töltéssel kifejezve U i 

1 Q, Ci

i =1, 2, 3, ..., n . A teljes feszültség a részfeszültségek össze-

ge: n

n

i 1

i 1

U  U i  

 n 1 1 Q    Ci  i 1 Ci

 1 Q  Q. Cs 

(2.26)

A sorba kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitásának reciproka megegyezik az egyes kapacitások reciprokának összegével: n 1 1  . C s i 1 Ci

(2.27)

Az egyes kondenzátorok feszültsége az alábbi összefüggés alapján számítható:

Ui 

C 1 Q  s U , i =1, 2, 3, ..., n . Ci Ci

Speciálisan két sorba kapcsolt kondenzátor esetében: C s  C1  C 2 

(2.28)

C1C 2 , ahol a C1  C 2 C1  C 2

művelet az ún. "replusz" művelet. 2.9. Kondenzátorok gyakorlati megvalósítása A kondenzátorokat a gyakorlatban a fém, általában alumíniumfólia elektródok közötti dielektrikum alapján szokás csoportosítani. A - lég-, vákuum-, ill. gázszigetelésű, - csillám-, - kerámia-, - papír-, - stiroflex-, polisztirol- és egyéb műanyag-, - elektrolitszigetelésű kondenzátorok a legelterjedtebbek. A lég-, vákuum-, gázszigetelésű, kerámia, és csillámkondenzátorokat kis kapacitásértékűre készítik, ill. ezekkel csak kis kapacitásértékek érhetők el. Légszigetelésű kondenzátorokat kb. 500 pF kapacitásértékig és általában változtatható kivitelben (forgókondenzátorok), többnyire rádiókészülékek hangolására állítanak elő. Ugyancsak légszigetelésű kondenzátorokat alkalmaznak kapacitás-normáliák előállítására. Ezeknél rendkívül fontos a nagy mechanikai szilárdság és a mérettartósság. A vákuum és nagynyomású gázkondenzátorokat a kis dielektrikumveszteség miatt nagyfrekvenciás és nagy áramú áramkörökben (pl. rádió-adóberendezések, dielektromos melegítőberendezések, stb. nagyfrekvenciás rezgőköreiben) alkalmazzák. Ezek a kondenzátorok általában 15 kV effektív feszültséggel és 25 A effektív árammal vehetők igénybe. A csillám néven összefoglalt természetes szigetelőanyagok (muszkovit, flogopit, stb.) igen kiváló villamos tulajdonságokkal rendelkeznek (  r =5...8). Veszteségi tényezőjük 0,5...2·10-4 nagyságrendű. A csillámok vékony lemezalakban kristályosodnak. A gyártás so- 17 -

Mentes Gyula rán a csillámlemez két oldalára ezüstréteget visznek fel. Ezek képezik a kondenzátor két elektródáját. Nagyobb kapacitás előállításához a lemezeket egymástól elszigetelve egymásra helyezik és a megfelelő ezüst-elektródákat fémesen összekötik (párhuzamos kapcsolás). A kereskedelemben 25 nF értékig kapható csillámkondenzátor. A különféle mesterségesen előállított kerámiák egy része alkalmazható kondenzátorok szigetelőanyagaként. Ezek általában két fő csoportra oszthatók: jobb minőségi jellemzőkkel, de kisebb dielektromos állandóval (  r =8...200, veszteségi tényező: 6...8·10-4) rendelkezőkre, amelyekből kisebb kapacitásértékű kondenzátorok készíthetők és gyengébb tulajdonságú, de nagy dielektromos állandójú (  r =2000...10000, veszteségi tényező: 100...300·10-4) anyagokra, amelyekből azonos méretek mellett sokkal nagyobb kapacitású kondenzátorok állíthatók elő. A kerámiából lapocskákat, csöveket készítenek és ezek két oldalára ill. külső és belső falára viszik fel az ezüst elektródákat. A kisveszteségű kerámiakondenzátorokat főleg nagyfrekvenciás áramkörökben alkalmazzák. Kerámiából változtatható ún. beállító kondenzátorokat is készítenek. A papírkondenzátorokat úgy készítik, hogy két fémfóliát egymástól papírszigeteléssel elválasztva egy magra feltekercselnek. Az így készített kondenzátornak kétszer akkora a kapacitása, mintha a két fémfólia a köztük levő papírszigeteléssel kiterítve síkkondenzátort képezne. A kondenzátorpapír (  r = 2, 6...3, veszteségi tényező: 30·10-4) általában 8...20 m vastagságú és nagyon szigorú minőségi követelményeknek tesz eleget. A papírkondenzátorok kapacitásértéke néhány pikofaradtól néhány száz mikrofaradig és feszültsége néhányszor tíz volttól néhány százezer volt névleges feszültségig terjedhet. Felhasználása a híradástechnika mellett pl. nagyfeszültségű szűrőkörökben és erősáramú fázisjavító kondenzátorként is nagyon gyakori. A műanyagszigetelésű (polisztirol, poliészter, stb.) kondenzátorok napjainkban kiszorítják a papírszigetelésűeket. Gyártásuk a papírkondenzátorokéhoz hasonló, de készülnek a csillámkondenzátorokhoz hasonló kocka kivitelben is. A műanyagszigetelésű kondenzátorok villamos tulajdonságok tekintetében megközelítik a legjobb minőségű csillámkondenzátorokat, sőt bizonyos tekintetben felül is múlják azokat. Nagyon nagy kapacitások tűrhető méretben való előállítására igen nagy villamos szilárdságú (átütési feszültségű) szigetelőre van szükség. Ilyen tulajdonsággal rendelkeznek egyes fémek (alumínium, tantál) molekuláris oxidrétegei. Az alumínium elektrolitkondenzátor egyik elektródja nagy tisztaságú alumíniumlemez, ez a kondenzátor anódja. Ennek felületét maratják, így a sima alumíniumhoz képest a hatásos felülete és ezzel együtt a kondenzátor kapacitása is 5...6-szorosára növekszik. Ezt a durvított felületű alumíniumot megfelelő elektrolitba helyezve formálják. Az alumíniumot pozitív feszültségre kapcsolják az elektrolithoz képest, aminek eredményeképpen a felületén aluminiumoxid réteg képződik. A formálásnál használt feszültségtől, azaz a leendő kondenzátor névleges feszültségétől függően az oxidréteg vastagsága 10-8-10-5 mm . A kondenzátor másik fegyverzete csak folyadék lehet, hogy az anód szabálytalan felületét követni tudja. Elektrolitként ammóniumborát és bórsav gyenge oldatát használják. Az elektrolitkondenzátor gyártásánál az anódfólia mindkét oldalára itatóspapírt és az elektrolithoz történő áramhozzávezetés céljából katódként egy másik alumíniumfóliát helyeznek el és az egészet feltekercselik, mint a papírkondenzátort. Az így feltekert elektródokat alumíniumházban helyezik el, amelyet feltöltenek elektrolittal és ezután a házat lezárják. A tantálkondenzátornál a fémtantál felületén tantálpentoxidot állítanak elő, amelyre ugyancsak itatósban felszívott elektrolitot helyeznek. A katódkivezetést rézből vagy ezüstből készítik. Az elektrolitkondenzátorokkal elérhető nagy térfogati kapacitás ára a rosszabb villamos tulajdonságokban jelentkezik. A nagy veszteségi tényező miatt az - 18 -

Elektrotechnika elektrolitkondenzátorokat egyenirányítókban és tápegységekben szűrőkondenzátorként alkalmazzák. Csak egyenfeszültségre kapcsolhatók és a házon megjelölt polaritásnak megfelelően kell őket feszültségre kapcsolni. Viszonylag kis méretben néhány száz volt névleges feszültségű több tízezer mikrofarád kapacitású kondenzátorok állíthatók elő ezzel a technológiával. 2.10. A villamos tér energiája A kísérletek tanúsága szerint az ellentétes elektromos töltések szétválasztása csak munkavégzés árán lehetséges. A villamos térben tárolt energia meghatározásához tekintsük a 2.10. ábrán látható síkkondenzátort. Ha a fegyverzetek méreteihez képest a d távolságuk kicsiny, akkor a fegyverzetek között az elektromos tér jó közelítéssel homogén. Mozdítsuk el a jobboldali lemezt s távolsággal! Ekkor a lemezek közötti távolság d + s lesz. A fegyverzeteken levő ellentétes töltések miatt a fegyverzetekre összetartó irányú erő hat. A fegyverzetek egymástól való eltávolításához ezzel ellentétes irányú F erőt kell alkalmaznunk. Ekkor a munka: W  Fs . Az F erő a fegyverzeteken levő töltés és az E térerősség szorzata: F  QE .

(2.29)

Az elmozduló 2 fegyverzet úgy tekinthető, hogy az 1 fegyverzet töltésének terében van. Töltött sík terében a térerősséget a 2.6.2 fejezet alapján a 2.16 összefüggés adja: E

 , 2 0

(2.30)

-Q

Q

amelyet behelyettesítve az erő kifejezésébe:

 . F Q 2 0

F (1)

(2.31)

A fegyverzet töltését a  felületi töltéssűrűséggel kifejezve: Q  A . Ezt is behelyettesítve az erő képletébe, valamint felhasználva, hogy a fegyverzetek között E mindenütt állandó, továbbá a fegyverzet felületén    0 E (2.6.1 fejezet), kapjuk, hogy F 

(2)

d

 s

2.10. ábra. Az elektromos erőtér energiájának meghatározása

 1 A  0E2 A. 2 0 2

(2.32)

A munka kifejezésébe behelyettesítve az F erőt: 1 W   0 E 2 As , 2

(2.33)

ahol V  As a 2 fegyverzet elmozdítása következtében fellépő térfogatnövekedés. A fegyverzet eltávolításával munkát végeztünk és ennek a munkának megfelelő energia az elektromos térben halmozódott fel. Az egységnyi térfogatnövekedésre eső energiát, azaz a villa- 19 -

Mentes Gyula mos tér energiasűrűségét wE megkapjuk, ha a fenti munkát osztjuk a V  As térfogatnövekedéssel: wE 

1 0 E 2 . 2

(2.34)

A fenti képlet az elektromos tér térfogategységében felhalmozott energia és a térerősség között állapít meg fontos összefüggést. Azt fejezi ki, hogy villamos térben energia tárolódik. A (2.34) összefüggés általánosan érvényes, függetlenül attól, hogy egy speciális feladatból kiindulva vezettük le. Az energiasűrűség egysége: J / m 3 . Az energiasűrűség képletét alkalmazva az A lemezfelületű és d lemeztávolságú, V  Ad térfogatú síkkondenzátorban tárolt energiára kapjuk, hogy WC  wEV 

1  0 E 2 Ad . 2

(2.35)

Felhasználva, hogy a síkkondenzátor homogén terében a térerősséget a lemezekre kapcsolt feszültség és a lemezek közötti távolságból (2.7) alapján az E

U d

(2.36)

képlet alapján határozhatjuk meg, valamint a síkkondenzátor lemezének A felülete a töltés és a térerősség ismeretében az alábbi módon írható fel: Q

Q , 0E

(2.37)

1 Q 1 1 WC   0 E 2 d  QEd  QU . 2 0E 2 2

(2.38)

A





a síkkondenzátorban tárolt energiára kapjuk:

A Q  CU összefüggés alapján a kondenzátorban tárolt energiát az alábbi alakban is írhatjuk: WC 

1 CU 2 . 2

Ez az összefüggés a levezetéstől függetlenül bármilyen kondenzátorra érvényes.

- 20 -

(2.39)

Elektrotechnika 2.11. Az elektromos erőtér hatása a dielektrikumra 2.11.1. A dielektrikum polarizációja A dielektrikumok molekulákból épülnek fel, a molekulák pedig elektromos töltéssel rendelkező részecskékből (elektron, proton) állnak. A dielektrikumot elektromos térbe helyezve a molekulák erőhatásokat szenvednek. Szigetelőben az elemi részecskék (elektronok) nem mozoghatnak szabadon, de az atomi kötelékben maradva kismértékben elmozdulhatnak vagy a molekulák deformálódhatnak. Ennek hatására a molekulákban a pozitív és negatív töltések kissé szétválasztódnak, a molekulák kétpólussá alakulnak, polarizálódnak. A polarizációnak kétféle módját különböztetjük meg. Az egyik az influenciás polarizálódás, amelynek során az eredetileg semleges molekulák influencia révén kétpólussá válnak (2.11. ábra). A másik a paraelektromos polarizáció (2.12. ábra), amely azoknál az anyagoknál következik be, amelyeknél a molekulák már eleve dipólusok. Külső villamos erőtér nélkül ezek a dipólusok rendezetlenül helyezkednek el, ezért kifelé semleges töltést mutatnak. Elektromos tér hatására ezek a dipólusok az erővonalakkal párhuzamosan állnak be. A polarizáció miatt a fegyverzetekről induló erővonalak egy része a dielektrikum dipólusain végződik. A dielektrikumon csak az erővonalak fennmaradó része halad át (2.13. ábra). A kondenzátor fegyverzetén levő töltéseket nevezzük valódi töltéseknek, a szigetelő határfelületén influált töltéseket pedig látszólagos töltéseknek. Ennek alapján úgy tekinthetjük, hogy a dielektrikumban az elektromos teret a valódi és látszólagos töltések különbsége, az ún. szabad töltések hozzák létre. Ezzel magyarázható, hogy a kondenzátor lemezei közé szigetelőt helyezve a kondenzátorban nagyobb térerősség engedhető meg.

2.11. ábra. Dielektrikum influenciás polarizációja

2.12. ábra. Dielektrikum paraelektromos polarizációja

l



2.13. ábra. Dielektrikum hatása a térerősségre

- 21 -

Mentes Gyula 2.11.2. Az elektromos tér energiája dielektrikumban Ha a síkkondenzátor elektródái közötti teret dielektrikum tölti ki, akkor   E   0 r E . Továbbra is érvényes a kondenzátor energiáját megadó 2.38 összefüggés, amelybe a Q  A és az U  Ed összefüggéseket behelyettesítve kapjuk, hogy WC 

1 1 1 QU  E 2 Ad  E 2V . 2 2 2

(2.40)

A fenti energiát a síkkondenzátor V  Ad térfogatával osztva megkapjuk az elektromos tér energiasűrűségét dielektrikumban: 1 1 wE  E 2   0 r E 2 . 2 2

(2.41)

2.11.3. Az elektrosztrikciós és a piezoelektromos jelenség Dielektrikumok elektromos térben való polarizációja miatt két különböző dielektromos állandójú szigetelő határfelületén a különböző nagyságú látszólagos töltések miatt erőhatás lép fel (2.14. ábra). Ha  1   2 , akkor az  1 dielektromos állandójú közeg határfelületén több látszólagos töltés halmozódik fel, mint az  2 dielektromos állandójú közeg határfelületén. A töltések különbségére az elektromos tér erőt fejt ki, amely a kisebb állandójú dielektrikum felé mutat. Ezzel az erővel az anyag méretváltozása miatt az anyagban ébredő mechanikai feszültség tart egyensúlyt. Ezt a jelenséget nevezzük elektrosztrikciónak. Általánosan elmondhatjuk, hogy elektromos erőtérbe helyezett szigetelő alakváltozást szenved, ha dielektromos állandója különbözik környezetének dielektromos állandójától. 1

2

2.14. ábra. Az elektrosztrikciós hatás A 2.15. ábrán egy hexagonális rendszerben kristályosodó kvarckristály látható, melynek OO' tengelye az ún. optikai tengely. Erre a tengelyre merőleges metszet látható a 2.16. - 22 -

Elektrotechnika ábrán. A szabályos hatszög szögfelezői a villamos tengelyek. Ha a 2.15. ábrán látható kristályból egy l , d , h élű paralelepipedont vágunk ki, akkor ez a metszet a következő tulajdonságokat mutatja. Ha a villamos tengelyre merőleges felületekre F erő hat (2.16. ábra), akkor ezeken a felületeken a nyomással arányos felületi töltéssűrűség jelenik meg. A két felületen a töltések ellentétes előjelűek. Ha a nyomóerő irányt vált, akkor a töltések előjele is megváltozik. Ezt nevezzük piezoelektromos jelenségnek. Magyarázata a 2.16. ábra alapján a következő. A hatszögű kristály csúcsaiban váltakozva pozitív és negatív ionok helyezkednek el. Nyomás nélkül a pozitív és negatív töltések súlypontja egybeesik, a kristály kifelé semleges. Nyomás hatására a kristály deformálódik, a töltések elmozdulnak. A 2.16. ábrán látható esetben a pozitív töltésű ionok (fent) és a negatív töltésűek (lent) befelé elmozdulhatnak. Ezáltal a felső lapon a negatív ionok, az alsó lapon a pozitív ionok töltése kerül túlsúlyba. Ezért mondhatjuk, hogy a felső lapon negatív, az alsó lapon pozitív töltés jelenik meg. A piezoelektromos jelenség fordított folyamata is lejátszódik. Ha a kristályt elektromos erőtérbe helyezzük, pl. síkkondenzátor lemezei közé, akkor a kristály a coulomb erők hatására deformálódik. A kondenzátor fegyverzeteire váltakozó feszültséget adva a kristály mechanikai rezgéseket végez. Ha a váltakozófeszültség frekvenciája megegyezik a kristály mechanikai rezonanciafrekvenciájával, akkor a rezgések és a keletkező töltések is maximálisak. Mivel a mechanikai rezgések frekvenciája a kristály méreteitől függ és a hőmérsékletet állandó értéken tartva a mechanikai méretek nem változnak, nagyon stabil frekvencia állítható elő a fordított piezoelektromos hatás révén. A piezoelektromos effektust pl. a méréstechnikában erő, nyomás, nyomaték, gyorsulás, stb mérésére, a hangtechnikában mikrofonoknál, lemezjátszók hangszedőiben, stb. alkalmazzák. A reciprok effektust az ultrahang-technikában, rezgőkörökben, időmérésnél, a méréstechnikában és gépiparban az elektrosztikciós effektushoz hasonlóan finommozgatószerkezetek előállítására alkalmazzák. O'

F

d

l

h O

2.15. ábra. Kvarckristály

2.16. ábra. A piezoelektromos jelenség magyarázata

- 23 -

Mentes Gyula 3. EGYENÁRAMÚ HÁLÓZATOK 3.1. Az ellenállás fogalma, Ohm törvénye Ha két különböző potenciálú vezetőt fémesen összekötünk, akkor az összekötő vezetőben töltésáramlás indul meg és a potenciálkülönbség kiegyenlítődik. A kiegyenlítődés ideje függ a potenciálkülönbség nagyságától, az összekötővezeték anyagi minőségétől és geometriai méreteitől. Az összekötővezeték valamely keresztmetszetén átáramló töltésnek és az átáramláshoz szükséges időnek a hányadosát áramerősségnek nevezzük: I

Q . t

(3.1)

Az áramerősség egysége: I   1 A (amper). Az U potenciálkülönbség és az I áramerősség közötti összefüggést Ohm (17891854) állapította meg először 1821-ben, amelyet Ohm törvényének nevezünk: R

U  állandó , I

(3.2)

ahol R a vezető ellenállása. Ha a homogén vezető keresztmetszete A és hossza l , akkor az R ellenállás az alábbi módon számítható ki: R

l , A

(3.3)

ahol  a vezető fajlagos ellenállása. Az ellenállás egysége (3.2) alapján:

R  U   V   I  A

(ohm).

(3.4)

Az ellenállás reciprok értékét vezetésnek nevezzük: 1/ R  G . Egysége a siemens ( S ). Tehát 1S  11 . Megjegyezzük, hogy a vezetéknek az Ohm-törvényben szereplő ellenállását szokás "ohm"-os ellenállásnak vagy rezisztenciának is nevezni. A gyakorlatban a vezető hosszát méterben, a keresztmetszetét pedig négyzetmilliméterben fejezik ki, tehát:

    mm

2

m

,

(3.5)

(SI mértékegység rendszerben:    m ). A fajlagos vezetőképesség a fajlagos ellenállás reciproka:   1 /  . Egysége:

  

1 m ,  mm 2

(SI-ben:

  

1 S  ). m m

(3.6)

A 3.1. táblázatban néhány, a gyakorlatban használt anyag fajlagos ellenállását láthatjuk. Áramvezetésre a kis fajlagos ellenállású anyagokat (ezüst, réz, alumínium) használjuk. A mű- 24 -

Elektrotechnika szer- és híradástechnikában speciális helyeken ezüst vagy ezüstözött huzalokat ill. az alkatrészek összekapcsolására rézhuzalokat alkalmaznak. A villamos energia továbbítására kis és nagyfeszültségen - olcsósága miatt - alumínium vezetékeket használnak. A nagy fajlagos ellenállású anyagokat a műszer- és híradástechnikában ellenállások készítésére, valamint az iparban és a mindennapi életben villamos melegítő- és fűtőberendezések előállításánál alkalmazzák. 3. 1. Táblázat. Néhány vezetőanyag fajlagos ellenállása, fajlagos vezetőképessége és hőmérsékleti együtthatója 20 C°-on Vezetőanyag Fajlagos ellenállás Fajlagos vezetőké- Hőmérsékleti pesség együttható 2  m   mm       2  1 / C   mm   m   Alumínium Ezüst Higany Horgany Molibdén Nikkel Ón Sárgaréz Szén (grafit) Vas Vörösréz Wolfram Foszforbronz Manganin Konstantán Krómnikkel

0,0283 0,0163 0,958 0,059 0,057 0,10 0,115 0,075 0,33-1,85 0,098 0,0175 0,0551 0,115 0,48 0,49 1,08

35,3 61,3 1,04 17,0 17,6 10,0 8,7 13,4 3,04-0,54 10,2 57,3 18,2 8,7 2,1 2,05 0,93

0,0049 0,00381 0,00089 0,0035 0,0033 0,005 0,0042 0,002-0,007 -(0,0006 - 0,0012) 0,006 0,00393 0,0045 0,004 ~0 ~0 0,00013

3.1.1. Az ellenállás függése a hőmérséklettől és a mechanikai feszültségtől A vezeték ellenállása függ a hőmérséklettől. Az anyagok többségének ellenállása a hőmérséklet növekedésével növekszik, a változást a 3.1. ábra mutatja. A szobahőmérséklet környezetében kb. -40C-tól kb. +150C-ig az ellenállás változása lineárisnak tekinthető. Vannak anyagok, melyek ellenállása az abszolút nulla fok közelében nullára csökken, az anyag szupravezetővé válik. A szobahőmérsékletnél sokkal nagyobb hőmérsékleteken az ellenállás igen erősen növekszik. Ahol az anyag struktúrájában vagy halmazállapotában változás áll be, ott az ellenállás ugrásszerűen változik. A lineárisnak tekinthető tartományban az ellenállás megváltozása arányos a kiindulási ellenállás és a hőmérséklet növekedésének mértékével. Az arányossági tényezőt hőmérsékleti tényezőnek vagy más néven temperatúrakoefficiensnek nevezzük. A 3.1. táblázatban megadtuk az egyes anyagok hőmérsékleti együtthatóját is. A gyakorlatban kiindulási ellenállásnak a 20C-on mért ellenállást vesszük és a 3.1. táblázatban megadott fajlagos ellenállás értékek is erre vonatkoznak. Egy tetszőleges t hőmérséklethez tartozó ellenállásértéket a kiindulási ellenállásértékből az alábbi módon határozhatjuk meg: - 25 -

Mentes Gyula

Rt  R20 1   t  20.

(3.7)

Amennyiben az ellenállás változását szélesebb hőmérséklettartományban, vagy nagyon nagy pontossággal kívánjuk meghatározni, akkor a hőmérsékletfüggést már nem tekinthetjük lineárisnak. Ekkor az ellenállásnak a hőmérséklettől való függését magasabbrendű görbével közelítjük meg:





Rt  R20 1   t  20   t  20   t  20  ... . 2

3

(3.8)

Az egyes anyagokra vonatkozó magasabbrendű együtthatókat (  ,  ...) táblázatokban adják meg. Erre a magasabbfokú közelítésre nagypontosságú hőmérsékletmérés esetében van szükség. Az ellenállások hőmérsékletfüggését hőmérsékletmérésre, áramkorlátozásra és nemlineáris szabályozások esetében lehet hasznosítani. Nagyon sok helyen, pl. az erősítőtechnikában az ellenállások hőmérsékletfüggése zavaró tényezőként jelentkezik, amelynek kiküszöbölése komoly problémát jelent. R

t [C]

-273

3.1. ábra. Fémes vezetők ellenállásának függése a hőmérséklettől Mechanikai deformáció következtében a huzalellenállások geometriai méretei és fajlagos ellenállása megváltoznak, ennek következtében megváltozik a huzal ellenállása (ez általánosan, azaz nemcsak huzalból készült ellenállások esetében is igaz). Tekintsük a 3.2. ábrán látható l hosszúságú D átmérőjű ellenálláshuzalt, amely az F erő hatására deformációt szenved. A huzaldarab ellenállása (3.3) alapján az alábbi módon írható fel: R

l 4 . D2 

(3.9)

Az ellenállás logaritmusát képezve: ln R  ln   ln l  2 ln D  ln

4



és a közvetett függvények differenciálási szabályát alkalmazva kapjuk:

- 26 -

(3.10)

Elektrotechnika dR d dl dD .   2 R  l D

(3.11)

A huzal relatív átmérőváltozása és relatív hosszváltozása között Poisson szerint a következő összefüggés van: dD dl       , D l

(3.12)

ahol   0,5 , az ún. Poisson-tényező és  a relatív megnyúlás. A fenti összefüggést a relatív ellenállásváltozás képletébe helyettesítve kapjuk:

dR d ,   1  2   R 

(3.13)

ahol  1  2  fizikai jelentése az alakváltozás miatti ún. tenzometrikus ellenállásváltozás, d /  pedig az ún. piezorezisztív ellenállásváltozás. Fémeknél az előbbi, félvezetőknél pedig az utóbbi dominál. A (3.13) összefüggés a mechanikai deformációk mérésére szolgáló nyúlásmérőbélyegek működésének az alapja.

D F

F l

3.2. ábra. Ellenálláshuzal megnyúlása 3.1.2. Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása Ohm törvénye alapján meghatározhatjuk a sorba, ill. párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjét, vagyis azt az ellenállást, amellyel a sorba vagy párhuzamosan kapcsolt ellenállásrendszer helyettesíthető. Sorbakapcsolt ellenállások eredője (3.3. ábra) annak alapján határozható meg, hogy a sorbakapcsolt ellenállásokra és a vele ekvivalens R eredő ellenállásra U feszültséget kapcsolva mindkettőn ugyanaz az I áram folyik át. A soros kapcsolás esetén az egyes ellenállásokon eső feszültségek összege egyenlő a soros ellenállásokra kapcsolt U feszültséggel. A két kapcsolásra a feszültségek egyezőségét felírva: U  U1  U 2  U 3  ...  U n  IR1  IR2  IR3  ...  IRn  IR

(3.14)

és az I árammal leosztva, kapjuk a sorbakapcsolt ellenállások eredőjét: R  R1  R2  R3  ...  Rn .

- 27 -

(3.15)

Mentes Gyula R1

R2

R3

Rn

U1

U2

U3

Un

R

=

I

I

U

U

3.3. ábra. Sorbakapcsolt ellenállások eredője Párhuzamosan kapcsolt ellenállások mindegyikén ugyanaz az U feszültség van. Az egyes ellenállásokon átfolyó áramok összege I megegyezik a párhuzamosan kapcsolt ellenállásokat helyettesítő egyetlen ellenálláson (eredőn) átfolyó árammal, ha arra is U feszültséget kapcsolunk (3.4. ábra): I  I 1  I 2  I 3  ...  I n 

U U U U U    ...   . R1 R2 R3 Rn R

(3.16)

U -val leosztva kapjuk a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjét:

1 1 1 1 1 .     ...  R R1 R2 R3 Rn

(3.17)

Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredőjét az ún. „replusz” művelettel határozhatjuk meg, amelyet így jelölünk: R  R1  R2 . A 3.17 képletet speciálisan két ellenállásra felírva és reciprokképzést elvégezve az eredő ellenállás:

R  R1  R2 

R1 R2 . R1  R2

(3.18)

I

I I1

U

R1

R2

In

I3

I2

Rn

R3

=

U

R

3.4. ábra. Párhuzamossan kapcsolt ellenállások eredője 3.1.3. Ellenállások delta és csillag kapcsolása A hálózatszámítások során gyakran előfordul, hogy olyan ellenálláskapcsolások eredőjét kell meghatározni, amelyek nem tekinthetők sem párhuzamosan, sem sorosan kapcsoltaknak. Ilyen eset fordul elő, amikor kiegyenlítetlen hídkapcsolások eredő ellenállását kell meghatározni. Megoldhatjuk a feladatot, ha valamilyen módon soros - párhuzamos kapcsolássá tudjuk alakítani a hídkapcsolást. Ez kétféle módon is megvalósítható a 3.5. ábrán látható „háromszög - csillag”, ill. a 3.6. ábrán látható „csillag-háromszög” átalakítás segítségével.

- 28 -

Elektrotechnika

R2

R1

R3

RII

R2

RI

R5

RIII

R4

R4

b)

a)

3.5. ábra. Hídkapcsolás eredő ellenállásának meghatározása háromszög - csillag átalakítással

G1

G2

G1

G5 G4

G3

GII

GIII

G3

G4

3.6. ábra. Hídkapcsolás átalakítása egyszerű vegyeskapcsolássá csillag - delta transzformációval A 3.7. ábra alapján határozzuk meg az összefüggést a háromszögkapcsolás (deltakapcsolás) és a vele ekvivalens csillagkapcsolás ellenállásértékei között. A kétfajta kapcsolás akkor ekvivalens, ha az azonos jelzésű pontjai között azonos nagyságú ellenállás mérhető. Ennek az azonosságnak fenn kell állnia akkor is, ha a kapcsolások önmagukban (terheletlenül) vannak, ill. ha azonos nagyságú ellenállásokkal terhelve áramkörbe vannak bekapcsolva. C C Rb A

RC

=

Ra

RA

B

RB

Rc A

B

3.7. ábra. Deltakapcsolással ekvivalens csillagkapcsolás A deltakapcsolásban két kivezető pont között két sorosan kapcsolt, és egy velük párhuzamosan kapcsolt ellenállást találunk. A csillagkapcsolásban ugyanezen két pont között két sorbakapcsolt ellenállás van. A 3.7. ábra jelöléseivel a csillag és delta két azonos kivezetése közötti eredő ellenállások egyenlőségére három egyenletet írhatunk fel: A – B kapcsok között:

R A  RB  Rc  Ra  Rb  ;

- 29 -

Mentes Gyula RB  RC  Ra  Rb  Rc  ; RC  R A  Rb  Rc  Ra  .

B – C kapcsok között: C – A kapcsok között:

(3.19)

Az egyenletekben a „replusz“ műveleteket elvégezve:

Ra Rc  Rb Rc , Ra  Rb  Rc R R  Ra Rc , RB  RC  a b Ra  Rb  Rc R R  Ra Rb , RC  R A  b c Ra  Rb  Rc R A  RB 

(3.20)

valamint az ekvivalens csillag ellenállásokat kifejezve és az Ra  Rb  Rc  R (deltaellenállás) jelölést alkalmazva az ekvivalens csillagellenállásokra kapjuk: Rb Rc ; R R R RB  a c ; R R R RC  a b . R

RA 

(3.21)

A fenti összefüggések és az ábra alapján szavakkal is megfogalmazható a deltából csillagba való átalakítás (delta - csillag transzformáció). A csillag adott kivezető pontjához tartozó ellenállás értékét úgy kapjuk meg, ha a delta ugyanehhez a pontjához tartozó két ellenállásnak szorzatát osztjuk a deltaellenállás összegével.

C GC

C

= GA A

GB

Gb

Ga

A

B Gc

B

3.8. ábra. Csillagkapcsolással ekvivalens deltakapcsolás Csillagból deltába való transzformálás esetén hasonló összefüggést kapunk, ha vezetésekkel számolunk. Itt azzal a feltételezéssel élünk, hogy a csillag és delta ekvivalenciájának akkor is fenn kell állnia, ha két pontjukat rövidre zárjuk, azaz e két pont között zérus a feszültség (3.8. ábra). Két-két pontot rövidrezárva és kivezetve, három összefüggés írható fel a csillag és a delta vezetésértékei között: A és B-C pontok között:

Gb  Gc  G A  GB  GC  ; - 30 -

Elektrotechnika B és A-C pontok között: C és B-C pontok között:

Ga  Gc  GB  GC  G A  ; Ga  Gb  GC  G A  GB  .

(3.22)

A reciprok összegezést elvégezve az egyenletek az alábbi alakúak lesznek:

G A GB  G A GC ; G A  GB  GC G G  GB GC ; G a  Gc  A B G A  GB  GC G G  G B GC . G a  Gb  A C G A  G B  GC

Gb  Gc 

(3.23)

A csillagvezetéseket kifejezve és bevezetve a G A  G B  GC  G * jelölést, kapjuk az ekvivalens delta vezetéseket:

Ga  Gb  Gc 

G B GC

;

G* G A GC G* G AGB G*

;

(3.24)

.

Ezek szerint két pont között levő deltavezetést úgy kapjuk meg, ha ugyanezen két pont között található ekvivalens csillagvezetések szorzatát osztjuk a csillag vezetéseinek összegével. 3.2. A villamos teljesítmény fogalma, Joule törvénye. A 2. fejezetben láttuk, ha U potenciálkülönbségen Q töltés halad át, akkor a végzett munka:

W  QU .

(3.25)

Minthogy a töltés definíciója alapján Q  It , írhatjuk, hogy W  IUt ,

(3.26)

ill. Ohm törvénye alapján U  IR helyettesítéssel kapjuk Joule törvényét: W  I 2 Rt ,

(3.27)

amely megadja az R ellenállású vezetőben I áram esetében t idő alatt hővé alakult energiát.

- 31 -

Mentes Gyula Időegység alatt W  P  IU  I 2 R t

(3.28)

teljesítmény alakul át hővé. A teljesítmény egysége a P  UI összefüggés alapján: P  U I   V  A , ill. P  W  joule  J  watt W  . Tehát 1VA  1W . Ha a fejlődőtt hőmennyiséget kalórit sec undum s ában akarjuk meghatározni, akkor figyelembe kell vennünk a hőtanból ismeretes összefüggést, mely szerint 1Ws -nak megfelel 0,239 cal .

3.3. Egyenáramú hálózatok számítási módszerei Az egyenáramú hálózatok ellenállásokból és áram- ill. feszültségforrásokból, azaz áram- és feszültséggenerátorokból épülnek fel. Az összekötő vezetékeket a hálózatszámítás során ellenállásukkal vesszük figyelembe. Az ellenálláson eső feszültség és a rajta átfolyó áram között a 3.1. fejezetben ismertetett Ohm törvénye teremt kapcsolatot. A hálózatok törvényszerűségeit Kirchhoff két törvénye fejezi ki. 3.3.1. Kirchhoff törvényei Kirchhoff első vagy csomóponti törvénye a töltésmegmaradás elvét fejezi ki. A 3.9. ábra alapján t idő alatt a csomópontba befolyó töltések összegének meg kell egyezni a csomópontból kifolyó töltések összegével: Q1  Q2  Q3  Q4 .

(3.29)

Az egyenlet mindkét oldalát az idővel osztva az áramokat kapjuk:

I4

I1  I 2  I 3  I 4 .

I1

(3.30)

Ha pl. a csomópontból kifolyó áramokat negatívnak és a befolyókat pozitívnak tételezzük fel, akkor a csomóponti törvényt az alábbi formában is felírhatjuk: I3

n

I

I2

k 1

3. 9. ábra. Kirchhoff csomó-ponti törvénye

k

 0.

(3.31)

Természetesen a csomópontból kifolyó és befolyó áramok előjelét fordítva is felvehetjük. Ez a fenti egyenlet -1-gyel való beszorzását jelenti, tehát az továbbra is érvényes.

- 32 -

Elektrotechnika Kirchhoff második vagy huroktörvénye az

 E dl  0 egyenlet alkalmazása egy olyan irányí-

tott zárt görbére, amely generátorokon, ellenállásokon és vezetékeken halad keresztül (3.10. ábra). A nulla ellenállású vezetékeken eső feszültség nulla. Legyen az egyes elemeken eső feszültségek iránya a körüljárási iránynak megfelelő. Az egyes feszültségek az alábbi módon számíthatók ki: U k   Ek dl k .

(3.32)

Az összegzést a hurokban levő összes feszültségre elvégezve fenn kell állni a

U

k

0

(3.33)

k

egyenlőségnek. Az összegzés során a körüljárási iránnyal ellentétes előjelű feszültségeket negatív az egyező irányúakat pedig pozitív előjellel kell figyelembe venni. Kirchhoff huroktörvénye azt mondja ki, hogy bármely zárt hurokban a feszültségek összege nulla. U1

U6

U2

U5 U4

U3

3.10. ábra. A huroktörvény (Kirchhoff második törvénye) Az Ohm-törvény, valamint Kirchhoff törvényei lehetővé teszik a legbonyolultabb hálózatok áramainak és feszültségeinek a meghatározását is, ha a hálózat ellenállásai és feszültségforrásainak feszültségei ismertek. Bonyolultabb hálózatok esetén azonban sok egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldani, amely N cs  1 csomóponti és N h független hurokra felírt hurokegyenletből áll. Független hurok az, amelyben van legalább egy olyan ág, amelyen az összes hurok bejárása során csak egyszer megyünk végig. A hurkok kijelölése során minden ágon legalább egyszer végig kell menni. A felírandó egyenletek száma megegyezik az N á ágáramok (ismeretlen áramok) számával: N á  N h  N cs  1 . A sok egyenletből álló egyenletrendszer megoldása hosszadalmas és sok hibalehetőséget rejt magában. Az egyenletrendszer megoldása viszont az összes ismeretlent szolgáltatja. A továbbiakban a Kirchhofftörvényekből levezethető olyan általános érvényű hálózatszámítási módszereket mutatunk be, amelyek egyszerűbbé teszik a megoldást és a számítógépes hálózattervezést. Ehhez először ismertetjük a feszültség és áramforrások legfontosabb tulajdonságait.

- 33 -

Mentes Gyula 3.3.2. Feszültségforrás, áramforrás A feszültség- és áramforrásokat a hálózatszámítás szempontjából kétpólusoknak tekintjük. Kétpólusnak az olyan áramkört nevezzük, amelynek két kivezetése van. A kétpólust aktívnak nevezzük, ha kivezetéseit egy vezetékkel összekapcsolva (azaz rövidre zárva) abban áram folyik. Az ellenállás, ill. a csupán ellenállásokból felépített kétpólus mindig passzív. A különféle telepek és áramfejlesztő gépek (generátorok) aktív kétpólust alkotnak (3.11. ábra). Az ideális feszültségforrás vagy ideális feszültséggenerátor egyetlen adattal, az U 0 forrásfeszültséggel jellemezhető. A 3.12. az ideális feszültségforrás rajzi jelölését mutatja. A feszültségnyíl a pozitív saroktól a negatív felé mutat. Az ideális feszültséggenerátorra akármilyen nagyságú terhelést kapcsolunk, a kapcsain mérhető feszültség mindig a forrásfeszültség. Ez még akkor is igaz, ha rövidre zárjuk, vagyis zérus nagyságú ellenállással terheljük. Ez már csak azért is lehetetlen a valóságban, mert a zérus ellenálláson Ohm-törvénye alapján végtelen nagy áramerősségnek kellene folynia.

Passzív kétpólus

Aktív kétpólus

I=0

I>0

3.11. ábra. Az aktív kétpólust rövidrezárva a rövidre záró vezetékben áram folyik

Rb

It

+ U0

Uk=U0

U0

Uk

3.12. ábra. Ideális feszültségforrás

3.13. ábra. Valóságos feszültségforrás

A valóságos feszültségforrásnál mindig azt tapasztaljuk, hogy a terhelőellenállás csökkentésével, vagyis a terhelőáram növelésével, a kapcsain mérhető feszültség csökken. Hasonló tulajdonságot mutat egy ideális feszültségforrás és egy ellenállás sorbakapcsolásából álló kétpólus is (3.13. ábra). A valóságos feszültségforrás tehát úgy fogható fel, mint egy ideális feszültséggenerátor és egy vele sorbakapcsolt ellenállás, amelyet a valóságos feszültséggenerátor Rb belső ellenállásának nevezünk.. A belső ellenállás fizikailag nem különül el a feszültség keletkezésének helyétől. Pl. a generátorok tekercselésében indukálódó áram átfolyik a tekercseken és azok ellenállásán feszültségesés keletkezik. Tehát a generátor belső ellenállását ugyanannak a tekercsnek az ellenállása alkotja, amelyikben a forrásfeszültség keletkezik. Az ideális áramforrást vagy ideális áramgenerátort szintén egyetlen adattal, az I0 forrásárammal jellemezzük. Az ideális áramforrás jelképes jelölését a 3.14. ábrán láthatjuk. A forrásáram a pozitív kapcson folyik ki a generátorból. Az ideális áramgenerátor függetlenül a terhelő ellenállás nagyságától, a terhelésen mindig áthajtja a forrásáramot. Ez a valóságban azért lehetetlen, mert üresjárásban, vagyis, ha kapcsaira nem kapcsolunk terhelést, akkor is folyik a forrásáram a kapcsok között levő végtelen nagy ellenálláson a „szakadáson”. Emiatt a - 34 -

Elektrotechnika kapcsok között Ohm törvénye alapján végtelen feszültséget lehetne mérni. A valóságos áramforrást egy ideális áramforrásból és a vele párhuzamosan kapcsolódó belső vezetésből lehet felépíteni (3.15. ábra). Így a forrásáram egyik része a belső vezetésre jut. A gyakorlatban előforduló aktív kétpólusokat (telepek, generátorok) fizikailag a feszültséggenerátoros helyettesítőkép írja le helyesebben. Áramköri szempontból a kétféle helyettesítőkép egyenértékű, ekvivalens. Ugyanaz a gyakorlatban előforduló kétpólus megadható akár feszültség-, akár áramforrásként. A feszültségforrással történő megadást Thévenin, az áramforrással történő megadást pedig Norton-helyettesítőképnek nevezzük. It + I0

I0

Gb

Uk

-

3.14. ábra. Ideális áramforrás

3.15. ábra. Valóságos áramforrás

Az ideális feszültségforrás belső ellenállása zérus. Ha a gyakorlatban meg akarjuk közelíteni, olyan kétpólust kell kialakítanunk, amelyiknek igen kicsi a belső ellenállása. Az ideális áramforrás belső ellenállása végtelen. Ezért olyan generátorral lehet megközelíteni, amelyiknek igen nagy a belső ellenállása. A gyakorlati áramforrásokat aszerint sorolhatjuk az áram- vagy feszültséggenerátorokhoz, hogy a belső ellenállása sokkal nagyobb vagy sokkal kisebb, mint a terhelő ellenállás. 3.3.2.1. Feszültségforrás (Thévenin-kép) A terheletlen (vagy más szóhasználattal; "szakadással lezárt") feszültségforrás árama zérus. Így a belső ellenálláson nem esik feszültség. A forrásfeszültség tehát megegyezik a kapocsfeszültséggel. Ezért a forrásfeszültséget "üresjárási" feszültség mérésével határozhatjuk meg (3.16. ábra): U0  Uü .

Rb

Rb

U0

(3.34)

Uü

3.16. ábra. Szakadással lezárt feszültségforrás

U0

Irö

3.17. ábra. Rövidzárral lezárt feszültségforrás

- 35 -

Mentes Gyula A rövidzárral terhelt feszültségforrás kapocsfeszültsége zérus. A teljes forrásfeszültség a belső ellenállásra jut (3.17.ábra). Ekkor a rövidzárási áram:

I rö 

U0 . Rb

(3.35)

Az Rt ellenállással terhelt feszültségforrás kapocsfeszültsége a 3.18. ábra alapján: U k  U 0  Rb I t ,

(3.36)

A terhelő áram: It 

U0 . Rt  Rb

(3.37)

It

Rb

U0

Uk

Rt

3.18. ábra. Terhelt feszültségforrás 3.3.2.2. Áramforrás (Norton-kép) A rövidrezárt (vagy más szóhasználattal: "rövidzárral terhelt") áramforrás kapocsfeszültsége zérus. Így a belső vezetésen nem folyik áram. A teljes forrásáram tehát a rövidzáron folyik keresztül. Ezért a forrásáramot "rövidzárási" áram mérésével határozhatjuk meg (3.19. ábra): I 0  I rö .

I0

Gb

Irö

I0

3.19. ábra. Rövidzárral lezárt áramforrás

(3.38)

Gb

Uü

3.20. ábra. Szakadással lezárt áramforrás

A szakadással lezárt áramforrás terhelőárama zérus. A teljes forrásáram a belső vezetésen folyik keresztül (3.20. ábra). Így az üresjárási feszültség: - 36 -

Elektrotechnika Uü 

I 0 I rö .  Gb Gb

(3.39)

A Gt vezetéssel terhelt áramforrás terhelő árama a 3.21. ábra alapján:

I t  I 0  GbU k .

(3.40)

I0 . Gt  Gb

(3.41)

A kapocsfeszültség: Uk 

It I0

Gb Uk

Gb

Gt Uk

3.21. ábra. Terhelt áramforrás 3.3.2.3. A feszültség és áramgenerátorok ekvivalenciája A valóságos feszültség- és áramgenerátor egymással ekvivalens, ami azt jelenti, hogy azokat egy-egy zárt dobozban elhelyezve semmilyen méréssel sem lehet különbséget tenni köztük. Az üresjárási és rövidzárási terhelés alapján egyszerűen meghatározhatók az ekvivalens kétpólus adatai (3.22. ábra).

Rb

It

It

Uk

U0

I0

Gb

Uk

3.22. ábra. Ekvivalens feszültség- és áramgenerátor A kétpólusok rövidzárása alapján: I0 

U0 , Rb

ill.

U 0  I 0 Rb .

(3.42)

Az üresjárás alapján pedig:

U0 

I0 , ill. Gb

- 37 -

I 0  U 0 Gb .

(3.43)

Mentes Gyula A fenti összefüggéseket egybevetve: Rb 

1 , Gb

ill.

Gb 

1 . Rb

(3.44)

Az áramforrás forrásáramának nyilát azért kell fordítva berajzolni az ekvivalens feszültségforrás feszültségnyilának irányához képest, mert generátoron az áram és a feszültség nyila ellentétes (Negatív teljesítmény!). 3.3.3. A hurokáramok módszere A hurokáramok módszerét a Kirchhoff-törvényekkel történő hálózatszámítási módszerből vezetjük le. Ehhez írjuk fel a 3.23. ábrán látható hálózatra a bejelölt körüljárási iránynak megfelelően a hurok egyenleteket! R6

I6 I1

IIII

I4 R2

I5 R5

U01

I2 R4

R3 R1

II

III

U02

I3

3.23. ábra. Egyenáramú hálózat a hurokáramok módszerének bizonyításához

I.

R2 I 4  R3 I 3  R1I1  U 01  0 ,

II.

 R3 I3  R5 I5  R4 I 2  U 02  0 ,

III.

(3.45)

R6 I 6  R5 I 5  R2 I 4  0 .

A csomóponti egyenletek felírása helyett a következőképpen járjunk el! Tekintsük a bejelölt körüljárási irányokat hurokáramoknak! Ezeket fiktív áramoknak nevezzük, mivel ezek az áramok ténylegesen nem folynak a hurokban, hiszen a hurok minden ágának más-más árama van. Ez utóbbiakat a bejelölt körüljárási iránynak megfelelően vegyük fel! A hálózat minden független hurokjának külön áramot tulajdonítunk. Ezeket a fiktív áramokat nevezzük hurokáramoknak. A hurokáramokat az ágáramoktól való megkülönböztetés céljából római számjegyekkel jelöljük. A hurokáramok irányát (a későbbiek miatt) azonos körüljárás szerint kell felvenni. Fejezzük ki az ágáramokat a fiktív hurokáramokkal és helyettesítsük be azokat a hurokegyenletekbe: - 38 -

Elektrotechnika

I1   I I ,

I 4  I I  I III ,

I 2  I II ,

I 5  I III  I II ,

I 3  I I  I II .

I 6  I III .

I.

R2 I I  I III   R3 I I  I II   R1  I I   U 01 ,

II.

 R3 I I  I II   R5 I III  I II   R4 I II  U 02 ,

III.

R6 I III  R5 I III  I II   R2 I I  I III   0 .

(3.46)

(3.47)

Rendezzük az egyenleteket a hurokáramok szerint: I.

R1  R3  R2 I I

II.

 R3 I I  R4  R3  R5 I II  R5 I III  U 02 ,

III.

 R2 I I  R5 I II  R2  R5  R6 I III  0 .

 R3 I II  R2 I III  U 01 ,

(3.48)

Ha megfigyeljük az egyenleteket, észrevesszük, hogy mindegyikben annak a huroknak az árama van megszorozva a hurokban található ellenállások összegével, amelyik hurokra az illető egyenletet felírtuk. Ezt az ellenállás összeget a hurok saját ellenállásának nevezzük és ez mindig pozitív előjelű. Az egyenletekben előforduló többi áramok két hurokhoz is tartozó ellenállások (közös ellenállások) negatív előjeles értékével vannak megszorozva, ha azokon a szomszédos hurokáramok ellentéses irányúak. Ezt a szabályt felismerve a 3.48. egyenleteket közvetlenül is felírhatjuk: az áramkör minden független hurokjában azonos körüljárással felveszünk egy-egy fiktív hurokáramot. Minden hurokra felírunk egy egyenletet. Az egyenlet bal oldalán a saját ellenállás és a saját áram szorzata, valamint a szomszédos hurkok áramainak a megfelelő közös ellenállásokkal alkotott szorzatainak összege szerepel. Ha a közös ellenálláson a hurokáramok ellentétesek, akkor az előjel negatív, ellenkező esetben pozitív. Az egyenlet jobboldalán pedig a hurokba bekapcsolt feszültségek szerepelnek, a hurokárammal ellentétes nyílirány esetén pozitív előjellel. Az ismeretlen hurokáramok az egyenletrendszer megoldásával adódnak. A hurokáramok ismeretében a keresett ágáramok vagy feszültségek már egyszerűen számíthatók. A hurokáramok módszerével végzett hálózatszámítás esetén, ha a hálózatban áramgenerátorok és vezetésükkel megadott ellenállások (vezetések) is vannak, ezeket előbb feszültséggenerátorrá illetve ellenállásokká alakítjuk át és csak ezután írjuk fel a hurokegyenleteket. Egyébként áramgenerátorok esetén megfelelő módon közvetlenül is felírhatók az egyenletek. Ekkor a hálózatban levő esetleges feszültséggenerátorokat áramgenerátorokká és az ellenállásokat vezetéssé alakítjuk és a hálózatszámítást a csomóponti potenciálok módszerével végezzük el. E módszer ismertetésére itt nem térünk ki, mivel a fentiekből látható, hogy a hurokáramok módszerével minden hálózat számítható.

- 39 -

Mentes Gyula 3.3.4. Thévenin és Norton tétele Már a 3.3.2. fejezetben láttuk, hogy az aktív kétpólus egyszerű feszültségforrásként vagy áramforrásként adható meg. Ezek szerint egy akármilyen bonyolult aktív kétpólus mindig helyettesíthető egy ideális generátorból és egy ellenállásból (vezetésből) álló egyszerű aktív kétpólussal. Ha egy bonyolult hálózat egyetlen ágának villamos állapotára vagyunk csak kiváncsiak - pl. a 3.24. ábrán az Rx ellenálláson eső feszültségre - akkor a következő módon járhatunk el. Az adott ágat, esetünkben az Rx ellenállást a hálózatból eltávolítjuk (3.24a. ábra) és a visszamaradó bonyolult aktív kétpólust egy ekvivalens egyszerű aktív kétpólussal helyettesítjük (3.24c. ábra). Ennek az egyszerű aktív kétpólusnak adatait meghatározva, a kivágott ágat rákapcsoljuk. Ebből az egyszerű áramkörből az ismeretlen áram vagy feszültség egyszerűen számítható.Természetesen ennek csak akkor van értelme, ha az Rx ellenállás pl. változtatható és ekkor nem kell minden értékéhez a hurokáramok módszerével a hálózatot megoldani.

R1

R3

R6

A

U02 R2

U01

R4

B

a)

R1

Rx

Uü

R5

R6

R3

R2

A RAB

R5 R4

B

b)

R =RAB A Rx

U0=Uü B c)

3.24. ábra. A helyettesítő feszültségforrás paramétereinek meghatározása Thévenin tétele alapján A bonyolult aktív kétpólust egyszerű ekvivalens feszültségforrássá a helyettesítő feszültségforrás tétele - Thévenin tétel - alapján alakíthatjuk át. A helyettesítő feszültségforrás - 40 -

Elektrotechnika forrásfeszültsége az eredeti kétpólus üresjárási feszültségével egyenlő. A helyettesítő feszültségforrás belső ellenállása pedig a kétpólus kapcsai között mérhető ellenállással egyenlő, ha a kétpólusban levő ideális feszültségforrásokat rövidzárral, az áramgenerátorokat szakadással helyettesítjük (3.24b. ábra). A bonyolult aktív kétpólust helyettesítő áramgenerátort Norton tétele alapján kapjuk meg. Eszerint a helyettesítő generátor forrásárama egyenlő a kétpólus rövidzárási áramával. A helyettesítő generátor belső vezetése pedig egyenlő a kétpólus kapcsai között mérhető vezetéssel, ha a kétpólusban levő ideális feszültséggenerátorokat rövidzárással, az ideális áramgenerátorokat pedig szakadással helyettesítjük. 3.3.5. Szuperpozició elve Több generátort is tartalmazó (csak lineáris) hálózatokban, egy adott ellenálláson fellépő feszültség, illetve az ellenálláson átfolyó áram az összes generátorok együttes hatásaként jön létre. Ezt nevezzük a szuperpozíció elvének. Könnyű belátni, hogy az egyes generátorok hatásai az adott elemen előjelesen összegződnek. A szuperpozició elvének alkalmazására példaként határozzuk meg a 3.25a. ábrán látható kapcsolásban az Rx ellenálláson átfolyó áramot. egyetlen ellenállásból és két feszültséggenerátorból álló áramkörre. Először csak az első generátort működtetjük, a másodikat belső ellenállásával helyettesítjük (3.25b ábra). Így az Rx ellenálláson átfolyó áram Ohm-törvénye alapján:

I1 

U1 . R1  R2  Rx

(3.49)

Ha viszont csak a második generátor működik és az elsőt helyettesítjük belső ellenállásával (3.25c. ábra) az áram:

I2 

U2 . R1  R2  Rx

(3.50)

A tényleges áram ennek a két áramnak a különbsége:

I  I1  I 2 

U1  U 2 . R1  R2  Rx

(3.51)

Más módszerekkel is ugyanerre az eredményre jutunk. Ha ugyanis a huroktörvényt írjuk fel a berajzolt áramiránynak megfelelően: I R1  R2  Rx   U 2  U1  0 .

(3.52)

Az áramot kifejezve:

I

U1 U 2 , R1  R2  Rx

az előbbi eredményt kapjuk. - 41 -

(3.53)

Mentes Gyula A szuperpozició elvét hálózatszámításokra a következő módon alkalmazhatjuk. A hálózat generátorait egyetlen egy kivételével belső ellenállásukkal helyettesítjük. Így meghatározzuk, hogy a vizsgált helyen mekkora áramot, ill. feszültséget hoz létre az éppen működő generátor. Egymás után, minden egyes generátort működtetve az általuk létrehozott áramokat, ill. feszültségeket előjelesen összegezzük és az összegezés eredménye adja a tényleges értéket. A szuperpozició elvét csak lineáris hálózatok esetén szabad alkalmazni. A lineáris hálózatok minden elemére érvényes Ohm törvénye, vagyis az áram és a feszültség egyenes arányban van rajtuk. R1

R1

R1

U1

U1

I2

I1

I Rx U2

Rx

Rx U2

R2

R2

a)

b) 3.25. ábra. A szuperpozició elvének alkalmazása

- 42 -

R2

c)

Elektrotechnika 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR Az áramtól átjárt vezető környezetében mágneses tér keletkezik. Ezt a jelenséget Oersted (1777 - 1851) dán fizikus mutatta ki 1820-ban. A mágneses tér egy áramtól átjárt vezetőre erőt fejt ki. Ez a jelenség az alapja a villamos forgógépek, a legtöbb mutatós műszer, stb. működésének. 4.1. Az áram mágneses tere, a mágneses indukció és a mágneses fluxus A tapasztalat szerint az áramtól átjárt vezetők erőt fejtenek ki egymásra. Ezt a hatást úgy értelmezzük, hogy az áram maga körül mágneses teret létesít és ez a mágneses térben levő áramra erőhatást gyakorol. Ez a jelenség alkalmas arra, hogy a mágneses teret mennyiségileg is jellemezzük. Helyezzünk különböző áramok által átjárt vezetők környezetébe egy kisméretű, zárt áramhurkot, amelynek síknak tekintett felülete A , a benne folyó áram I . Az áramhurok kialakítása olyan, hogy az oda- és visszafolyó áramok olyan közel vannak, hogy ezen a szakaszon az eredő áram nullának tekinthető (4.1. ábra). Azt tapasztaljuk, hogy a köráramra erő nem hat, de fellép egy forgatónyomaték, amely arányos az IA szorzattal és függ a köráram helyzetétől. A forgatónyomaték maximális értéke:

M max  BIA ,

B

M n

90º

 90º

A I

M I

I

4.1. ábra. Kisméretű áramhurok a mágneses tér kimutatására

(4.1)

ahol a B tényező a többi áram hatását fejezi ki a köráram helyén. A viszonyokat úgy képzelhetjük el, hogy a többi áram maga körül mágneses teret hoz létre, amely a köráramra forgatónyomatékkal hat. A mágneses tér erősségét a B mágneses indukcióval adhatjuk meg, amelyet vektormennyiségnek tekintünk. A köráram irányát az n felületi normálisának irányával adjuk meg, amelyet úgy definiálunk, hogy a köráram irányához jobbcsavar-szabály szerint rendeljük hozzá. A tapasztalat szerint a nyomaték maximális, ha az n felületi normális merőleges a B mágneses indukció vektorára. Ha a köráramra nyomaték nem hat (nyugalmi helyzet), akkor a mágneses indukció iránya egyezik a köráram felületi normálisának irányával. A forgatónyomatékot vektoriálisan az alábbi módon adhatjuk meg:

M  IAn  B .

(4.2)

A mágneses indukció egysége:

B  M   1VAs 2 I A 1A 1m

1

Vs  1tesla  1T m2

(4.3)

Az indukció mértékegységének megadása során felhasználtuk, hogy a nyomaték mértékegysége megegyezik a munka mértékegységével ( 1 Nm  1VAs ). A gyakorlatban használatos - 43 -

Mentes Gyula indukcióértékek: villamos gépekben 1 T , műszerekben 0,1 T , a Föld mágneses tere kb. 6  10 5 T . Régebben az 1 gauss=10-4 tesla egységet használták. A mágneses indukciót az elektromos térerősséghez hasonlóan erővonalakkal szemléltethetjük. Egységnyi felületen ( 1 m 2 ) annyi erővonal halad át, amennyi az indukció értéke az adott pontban. Egy adott felületen keresztülmenő összes erővonal számát fluxusnak nevezzük és  -vel jelöljük. Ha a felület merőleges az indukcióra és az indukció a felület mentén állandó, akkor a fluxus az indukció és a felület szorzata:

  BA .

(4.4)

Ha az indukció nem merőleges a felületre, akkor az indukció felületre merőleges komponensével számolunk. Egy tetszőleges felület fluxusát úgy számítjuk ki, hogy a felületet síknak tekinthető kis felületelemekre osztjuk fel és ezek fluxusait összegezzük a teljes felületre ( d  Bn dA  BdAn  BdA cos   Bd A ) (4.2. ábra):

   Bd A .

(4.5)

A

A fluxus egysége:

  BA  1 Vs2 1 m 2  1Vs  1 weber  1Wb . m

(4.6)

A gyakorlatban szokás beszélni a fluxus irányáról is, noha a fluxus nem vektormennyiség. A fluxus iránya az indukció irányával egyezik meg. Pozitív a fluxus, ha a felületi normálissal „egyező iráB nyú”, azzal hegyes szöget zár be és negatív, ha a n' felületi normálissal „ellentétes irányú”.  Fontos tapasztalati tény, hogy zárt felülen ten ugyanannyi erővonal lép ki, mint amennyi A belépett. Ennek belátásához képzeljük el tetszőleBn=Bcosα ges mágneses térben a 4.3. ábrán látható zárt felületet. Bontsuk fel a zárt felületen áthaladó induk4.2. ábra. A mágneses indukció cióvonalakat fluxus csatornák kötegeire. Nyilvánfluxusának számítása való, hogy bármelyik fluxus csatornának a zárt felületből kimetszett dA1 és dA2 metszetein ugyanannyi erővonal (ugyanaz a fluxus) halad át. A felületi normálisokat a felületből kifelé irányítva felvéve: B1d A1   B 2 d A2 ,

ill.

B1d A1  B 2 d A2  0 .

(4.7)

Mindegyik fluxus csatorna két felületelemet metsz ki a zárt felületből, amelyből következik, hogy tetszőleges zárt felületre a mágneses fluxus integrálja mindig nulla:

- 44 -

Elektrotechnika

   Bd A  0 .

(4.8)

A

Az indukcióvonalak tehát zárt görbék. Ha az indukcióvonalak valahol végződnének, tehát nem volnának zárt görbék, akkor nem volna a zárt felületre vonatkozó fluxus mindig nulla. Ez a mágneses tér egyik alapvető törvényszerűsége. Itt emlékeztetünk az elektrosztatika Gauss-tételére (2.12. képlet), amely szerint az elektromos térerősség zárt felületre vonatkozó integrálja a zárt felület által körülfogott töltéssel arányos, tehát nem nulla. Ez, mint tudjuk azét van így, mert az elektromos erővonalak pozitív töltésekből indulnak ki és negatív töltéseken végződnek. Tehát az elektromos erővonalak forrásai a töltések, a mágneses térnek nincsenek forrásai, a mágneses tér forrásmentes.

n1

dA 1 dA 2

n2

4.3. ábra. A mágneses indukció fluxusa zárt felületre nulla

4.2. A Biot - Savart-törvény A Biot (1774-1862) és Savart (1791-1841) francia fizikusok által felállított törvény olyan összefüggés, amelynek segítségével - homogén és izotrop közeget feltételezve - számítani tudjuk a mágneses tér tetszés szerinti pontjában az indukciót. A törvény szerint összefüggés van a teret létesítő áramkör geometriai viszonyai, áramerőssége és a mágneses indukció között. A Biot - Savart - törvény a 4.4. ábra alapján írható fel. Osszuk fel az ábra zárt áramkörét az áram irányának megfelelő irányú d l kicsiny szakaszokra. A vezető környezetében létrejövő mágneses tér P pontjában az indukciót az egyes Id l áramelemek által létrehozott d B elemi indukciók összege adja:

B

0 I d l  r 0 , 4  r 3

(4.9)

ahol r 0 az aktuális d l áramelemtől a P pontba mutató egységvektor és r a P pont távolsága a d l áramelemtől. A  0 arányossági tényező akkor használható, ha az áramtól átjárt vezető környezetében vákuum van. Más közeg esetén a képletbe a

  0 r

(4.10)

értéket kell behelyettesíteni.  0  4  10 7 Vs / Am , a vákuum permeabilitása,  r az adott közegnek a vákuumra vonatkoztatott relatív permeabilitása. A 4.9. egyenlet mindkét oldalát osztva a közeg minőségére jellemző permeabilitással, a Biot - Savart-törvényt a következő formában is felírhatjuk:

- 45 -

Mentes Gyula

H 

I 4

dl  r 0  r3 ,

(4.11)

ahol H a mágneses térerősség, melynek mértékegysége a fenti képletből egyszerűen meghatározható:

H   I 2dl  

r 

Am A  . m2 m

(4.12)

A mágneses térerősség segítségével a mágneses indukciót az alábbi egyszerű összefüggés segítségével írhatjuk fel: B  H   0  r H . P r 

r

dB

o

d I -

+

4.4. ábra. A mágneses indukció meghatározása árammal átjárt vezető környezetében a Biot - Savart-törvény segítségével Ik= I1 + I2 + I3 I3 I2

I4

I1 n Ht d

(4.13)

A Biot - Savart-törvény ún. elemi törvény, amely kísérletileg közvetlenül nem igazolható, mert sohasem vizsgálhatjuk meg önmagában egyetlen áramelem hatását. A törvény segítségével végzett számítások azonban a tapasztalattal megegyező eredményre vezetnek. A gyakorlatban a mágneses indukció meghatározása a Biot - Savart-törvénnyel bonyolult számításokhoz vezet. 4.3. A gerjesztési törvény A gerjesztési törvény a Biot - Savart törvénynél egyszerűbben adja meg az áram és mágneses tere közötti kapcsolatot és kísérletileg közvetlenül ellenőrizhető. A gerjesztési törvény kimondja, hogy egy zárt görbe mentén integrálva a mágneses térerősséget, megkapjuk a zárt görbe által kifeszített felületen áthaladó áramok előjeles összegét (4.5. ábra). A törvény matematikai alakja:

H

 Hd l   I l

4.5. ábra. A gerjesztési törvény értelmezése

k

.

(4.14)

k

Az összegzés során pozitív előjellel kell venni azokat az áramokat, amelyek a körüljárási iránnyal a jobbcsavar-szabály szerint vannak összehangolva, és negatív előjellel az ellenkező irányú áramokat. A gerjesztési törvény általános érvényű. Akkor is használható, ha a permeabilitás nem állandó. Általános esetben a zárt görbe által körülzárt eredő áramot úgy kapjuk meg, hogy a J áramsűrűséget (egységnyi felületen áthaladó áram) integráljuk a görbe által kifeszített felület mentén: - 46 -

Elektrotechnika

 Hd l   Jd A . l

(4.15)

A

A görbe által körülzárt áramot gerjesztésnek nevezzük és  -val jelöljük:    I k   Jd A .

(4.16)

k

4.4. Példák a gerjesztési törvény alkalmazására Az alábbiakban határozzuk meg néhány olyan egyszerű esetben az áram által létrehozott mágneses teret, amelyre a későbbiekben szükségünk lesz. 4.4.1. Végtelen hosszú egyenes vezető mágneses tere Végtelen hosszúnak tekinthető vezetőben I erősségű áram folyik. Határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezetőtől r  r0 távolságban, ahol r0 a vezető sugara. A forgási szimmetriából következik, hogy a vezetőt körülvevő erővonalak koncentrikus körök és egy kör mentén a H térerősség állandó és mindenütt érintő irányú (4.6. ábra). Az r sugarú körre alkalmazva a gerjesztési törvény 4.14. alakját az állandó H térerő az integrálból kiemelhető és az integrál az r sugarú kör kerületét adja meg: H 2r  I .

(4.17)

A térerősséget kifejezve megkapjuk az I áramtól átjárt, hosszú egyenes vezetőtől r távolságban a mágneses térerősség értékét: H r  

I . 2r

(4.18)

H H r I

2r 0

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

4.6. ábra. Végtelen hosszú vezető mágneses tere

- 47 -

Mentes Gyula 4.4.2. Toroid mágneses tere Határozzuk meg egy egyenletesen és sűrűn tekercselt toroidban a mágneses térerősséget! A forgási szimmetriából következik, hogy az áramot körülzáró erővonalak csak koncentrikus körök lehetnek és ezek mentén a térerősség állandó (4.7. ábra). A tekercs menetszáma N , a toroid közepes sugara R . Alkalmazzuk a gerjesztési törvényt (4.14) a toroid közepes sugarú erővonalára, amelynek mentén a térerő állandó és az H integrálból kiemelhető. Az integrál ebben az esetben a közepes erővonal hosszát adja. A közepes erővonal r R által kifeszített felületet a tekercs I árama azonos A irányban a menetszámnak megfelelően N -szer döfi I keresztül, tehát a körülzárt áramok eredője, a gerjeszI tés:   NI . R

H 2R  NI , I

I

b

(4.19)

amelyből a toroid térereje kifejezhető:

a

4.7. ábra. Toroid mágneses tere H

NI . 2R

(4.20)

4.4.3. Szolenoid mágneses tere Határozzuk meg a sűrűn és egyenletesen tekercselt szolenoidban (hosszához képest elhanyagolható átmérőjű tekercsben) a mágneses térerősséget (4.8. ábra)! A

A

B

D

C I

I

l

4.8. ábra. Szolenoid mágneses tere A szolenoidon belül az erővonalak sűrűn helyezkednek el, a tekercsen kívül pedig ritkán, mivel a teljes térben szóródnak. Ezért azt mondhatjuk, hogy a tekercsben a térerősség nagy, a tekercsen kívül pedig elhanyagolhatóan kicsi. Vegyük körül a tekercs egyik oldalát a 4.8. ábrán látható téglalappal. A téglalap AB oldala mentén a H térerősség állandó és párhuzamosnak tekinthető a téglalap oldalával. A BC és DA oldalak mentén a térerősség egyrészt kicsi, másrészt merőleges az oldalakra, tehát a térerősségnek nincs az oldal irányába eső komponense, ezért a vonal menti integrál itt nulla. A DC oldal mentén a térerősség nulla, tehát a vonalmenti integrál itt is nulla. Az N menetű szolenoid tekercse N -szer döfi át a téglalapot,

- 48 -

Elektrotechnika így az általa közrefogott áram (gerjesztés) NI . A téglalap AB oldala megegyezik a szolenoid l hosszával, így a szolenoid mágneses tere: H

NI . l

(4.21)

4.5. Erőhatások mágneses térben 4.5.1. A Laplace-féle elemi törvény Helyezzünk egy árammal átjárt négyszögalakú vezető keretet a 4.9. ábrának megfelelően mágneses térbe. Legyenek a keret oldalai dl1 és dl 2 hosszúságúak. Ekkor az F erőpár által létrehozott nyomaték megegyezik – a 4.2. képlettel számítható - a keretre ható nyomaték nagyságával: M  2F

Im

F

dl 2  Idl1dl 2 n  B  , 2

(4.22) d 2

-F

d 1 B

4.9. ábra. A Laplace-féle elemi törvény

amelyből a keretoldalakra ható F erő számítható:

F  Idl1 n  B  .

(4.23)

A fenti összefüggés a gyakorlati tapasztalatok alapján általánosan is érvényes. Segítségével kiszámítható egy tetszőleges dl hosszúságú árammal átjárt vezetékdarabra ható erő:

F  Id l  B .

(4.24)

Az erő irányát helyesen kapjuk, ha a vezetékszakaszt az áram irányával megegyező irányú vektornak tekintjük (4.9. ábra). 4.5.2. Ampère törvénye A Laplace-féle elemi törvényből egyszerűen levezethető Ampère törvénye, amely áramtól átjárt két párhuzamos vezető közötti erőhatást adja meg. A 4.10. ábrán látható, egymástól r távolságra elhelyezkedő párhuzamos vezetők egyikének l hosszúságú darabjára ható erő a 4.24. képlet segítségével számítható ki: F  I2 l  B .

(4.25)

F  I 2 lB .

(4.26)

Mivel l és B merőlegesek egymásra, ezért

- 49 -

Mentes Gyula

I1

B 

Ebben a képletben a B indukciót a másik vezető I 1 árama hozza létre. Hosszú egyenes vezető környezetében a mágneses térerősséget a 4.18. képlet adja meg. Ennek segítségével az indukció értéke: B  0 H  0

F

I1 . 2r

(4.27)

r

I2

Ezt az értéket behelyettesítve a 4.26 képletbe megkapjuk a két vezeték között ható erőt: F  0

4.10. ábra. Két párhuzamos, árammal átjárt vezető közötti erő

I1I 2 l. 2r

(4.28)

Ez Ampère törvénye. A 4.10. ábra alapján megállapítható, hogy azonos irányú áramot vivő vezetők között vonzás, ellenkező áramirányok esetében pedig taszítás lép fel. 4.6. Öninduktivitás, kölcsönös induktivitás A zárt vezető fluxusa, ha más árammal átjárt vezetőktől távol van, a permeabilitás állandó, arányos a benne folyó árammal:   LI .

(4.29)

Az L arányossági tényezőt a tekercs (ön)induktivitásának vagy önindukció-együtthatójának nevezzük. Az L öninduktivitás függ a zárt vezető alakjától, geometriai felépítésétől és a zárt vezetőn belüli közeg permeabilitásától, de független a zárt vezetőben folyó áramtól. Ennek belátása céljából számítsuk ki a 4.8. ábrán átható I áramtól átjárt, N menetszámú és átmérőjéhez képest nagy l hosszúságú szolenoid fluxusát. A tekercs egy menete által körülvett fluxus, ha a szolenoid keresztmetszete A a 4.21. térerősség képlet alapján számítható:   BA  

NI A. l

(4.30)

Az N menteszámú tekercs N -szer kapcsolódik az egy menet által körülvett fluxussal, mivel az a tekercs teljes hosszában állandó. Ezért a szolenoid teljes fluxusa:

N2A   N   I. l

(4.31)

A tekercs teljes fluxusát,  -t - megkülönböztetésül a tekercs egy menete által körülzárt fluxustól - fluxuskapcsolódásnak nevezzük. A 4.29 és 4.31 képletek összehasonlításából:

- 50 -

Elektrotechnika

L

N1 A1 N2 A2

I2

I1

1

(4.32)

A képletből jól látható, hogy a szolenoid öninduktivitása csak a tekercs méreteinek, menetszámának és a tekercs belsejében levő közeg permeabilitásának függvénye. Az önindukció mértékegysége a 4.29 képletből:

L    1Vs  1s  1henry  1H .(4.33) I  A

I2

2

N2A . l

I1

4.11. ábra. Szimmetrikusan egymásba helyezett szolenoidok kölcsönös induktivitása

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a térben két zárt vezető van. Tételezzük fel, hogy az egyikben I 1 erősségű áram folyik, a másik árammentes, vagyis I 2  0 . Ha a permeabilitás mindenütt állandó, akkor nemcsak az 1., hanem a 2. vezető fluxusa is arányos az 1. vezető áramával, vagyis

 21  L21I1 .

(4.34)

L21 a két vezető hurok kölcsönös induktivitása. A kölcsönös induktivitás mértékegysége megegyezik az öninduktivitás mértékegységével. Nyilvánvaló, hogy a kísérlet fordítva is elvégezhető. Ha a 2. hurokban folyik áram és az első hurok árama I 2  0 , akkor az 1. tekercsben a 2. tekercs árama által létrehozott fluxus: 12  L12 I 2 .

(4.35)

Igazolható, hogy két vezető között csak egyfajta kölcsönös induktivitás létezik:

M  L12  L21 .

(4.36)

A kölcsönös induktivitásnak előjelet is tulajdonítunk. Az áramvezető hurkok felületi normálisát a hurkokban folyó áram irányához jobbcsavar szabály szerint rendeljük. Ha az egyik hurok árama a másik tekercsben pozitív fluxust hoz létre, akkor a kölcsönös induktivitás is pozitív. Példaként számítsuk ki a 4.11. ábrán látható szimmetrikusan egymásba ágyazott szolenoidok kölcsönös induktivitását! Tegyük fel, hogy a 2. tekercsben nem folyik áram ( I 2  0 ). A 2. tekercsben a mágneses térerősség megegyezik az 1. tekercsben az I 1 áram által létrehozott térerősséggel (4.21. képlet):

H

N1I1 . l1

- 51 -

(4.37)

Mentes Gyula A 2. tekercs fluxusa:

21  N 2  21  N1  0 HA2  N 2  0

N1 I 1 NN A A2   0 1 2 2 I 1 . l1 l1

(4.38)

N1 N 2 A2 . l1

(4.39)

A kölcsönös induktivitás:

M  L12  L21   0

A kapott eredményből látható, hogy a kölcsönös induktivitás is a közeg permeabilitásától, a tekercsek menetszámának szorzatától, valamint a tekercsek geometriai méreteitől függ, vagyis független a tekercsekben folyó áramtól (ha a közeg nem ferromágneses). Ha mindkét tekercsben áram folyik, akkor bármelyik tekercs fluxusa az egyes áramok által létrehozott részfluxusok előjeles összege:

1  L11I1  L12 I 2  L1 I1  MI 2 , 2  L21I1  L22 I 2  MI1  L2 I 2 .

(4.40)

Eddigi meggondolásaink csak két vezetőre vonatkoztak. Kettőnél több áramvezető esetén az i-edik vezető teljes fluxusa: n

i   Lik I k ,

i  1,2,..., n .

(4.41)

k 1

4. 7. Anyagok mágneses tulajdonságai Az anyagok mágneses szempontból a  r 

B relatív permeabilitás értéke alapján 0 H

három csoportra oszthatók:

 r  1, diamágneses anyagok,  r  1 , paramágneses anyagok,  r  1 , ferromágneses anyagok. A dia- és paramágneses anyagok estében  r  1  10 5 , vagyis  r  1 . A továbbiakban a ferromágneses anyagok tulajdonságaival foglalkozunk, mivel ezekből épülnek fel a villamos gépek mágneses körei is. A mágneses tulajdonságok tanulmányozásához készítsünk a vizsgálandó ferromágneses anyagból egy toroidot (4.12. ábra), amelyben legyen egy nagyon keskeny l 0 méretű légrés az anyagban fellépő B indukció méréséhez. A ferromágneses anyagban a H térerősség előállításához helyezzünk a toroidra egyenletesen felcsévélt N menetű tekercset. Ekkor a tekercs belsejében, vagyis a vizsgált anyagban a térerősség a tekercs I áramának mérésével a gerjesztési törvény alapján határozható meg:

- 52 -

Elektrotechnika H

NI , 2rk

(4.42)

ahol rk a toroid közepes sugara. Ha  0  2rk , akkor a légrésben gyakorlatilag a ferromágneses anyagban fellépő indukció mérhető. Növeljük az áramot a 4.12. ábrán bejeH lölt irányban nullától folyamatosan. Ekkor a 4.13. ábrán látható szaggatott görbét kapjuk, amelyet r első mágnesezési görbének nevezünk. A görbéből rk kitűnik, hogy az áram ill. ezzel együtt a H térerő A növelésével a B indukció kezdetben lassan, majd I nagyon gyorsan és ezután ismét lassabban növekszik. Egy bizonyos H térerő fölött az indukció már nem változik, eléri a BT telítési értéket. EzuI tán a térerősséget csökkentve azt találjuk, hogy l0 H  0 esetén az indukció nem lesz nulla. Az anyag felmágneseződik, benne egy B r értékű re4.12. ábra. Ferromágneses anyagok manens indukció marad vissza. A remanens invizsgálatára szolgáló toroid dukció megszüntetéséhez a H térerősséget ellenkező irányba kell növelni. Azt a  H C térerősséget, amelynél az anyagban az indukció nullára csökken, koercitív térerőnek nevezzük. Ezután az indukciót tovább növelve, az indukció eléri a  BT telítési értéket. Csökkentve a térerősség értékét, nulla térerősségnél egy  Br remanens indukció marad vissza. A térerősség irányát megfordítva és ebben az irányban növelve, az indukció  H C értéknél ismét nulla lesz. Tovább növelve a térerősség értékét, az indukció ismét eléri a  BT telítési értéket. A 4.13. ábrán láthatjuk, hogy a térerősség B függvényében az indukció egy zárt görbe mentén változik, amelyet hiszterézisBT Br görbének nevezünk. A mágnesezési ciklust többször megismételve az indukció mindig hiszterézisgörbét ír le. Ezek kismértékben minden ciklusban eltérnek -Hmax egymástól, csúcsuk azonban mindig az -Hc Hc Hmax H első mágnesezési görbére esik. 4.13. ábra. Ferromágneses anyagok mágnesezési görbéje A ferromágneses anyagokat úgy -Br képzelhetjük el, hogy azok kis mágneses -BT tartományokból, doménekből állnak, amelyek mindegyike már külső mágneses tér nélkül is - egy "belső térerősség" hatására - telítésig mágnesezett. Ezáltal, a bennük lévő összes atomok mágneses momentumai egy irányban helyezkednek el. Külső mágneses tér nélkül a domének mágneses nyomatékai rendezetlen irányúak, tehát az anyagnak sok tar-

- 53 -

Mentes Gyula tományt magában foglaló darabja kifelé nem mágneses. Külső mágneses tér a domének mágneses momentumait a külső tér irányába rendezi (4.14. ábra).

a.

b.

4.14. ábra. Ferromágneses anyag külső mágneses tér nélkül (a), külső tér jelenlétében (b) Az első mágnesezési görbe (4.15a. ábra) kezdeti kis meredekségű szakasza (1) annak köszönhető, hogy a külső tér irányával kis szöget bezáró (kedvezőbb irányítású) mágneses momentumú tartományai a szomszédos kedvezőtlenebb irányítású domének rovására növekednek (faleltolódás). A térerőt tovább növelve - az első mágnesezési görbe 2-es meredek szakasza - a külső tér irányával nagyobb szöget bezáró domének nagy számban a térerő irányába átbillennek. A kisebb meredekségű 3-as szakaszon már csak a maradék domének állnak be a térerősség irányába, a 4-es ún. telítési szakaszon pedig már az összes domén mágneses momentuma a külső térerő irányába mutat. B

H

4



3

max

3

4 3

2

2

max 

1 1 k

k H

H

a.

b.

4.15. ábra. Az első mágnesezési görbe és a relatív permeabilitás kapcsolata A ferromágneses anyag periodikus átmágnesezése során a domének mindig a külső tér irányába állnak be. Mozgásuk során egymással súrlódnak és az az anyagot melegíti. A ferromágneses anyagok periodikus átmágnesezéséhez tehát energiára van szükség. Ez az energia bizonyíthatóan arányos a hiszterézisgörbe által körbezárt területtel, ezért ezt hiszterézis- 54 -

Elektrotechnika veszteségnek nevezzük. Villamos gépek esetében, ahol a ferromágneses anyagok periodikus átmágnesezésnek vannak kitéve, a veszteségek csökkentése érdekében "sovány" hiszterézisgörbéjű mágneses anyagokat kell alkalmazni. A mágnesezési görbéből látható, hogy az indukció és a térerősség közötti kapcsolat B nem lineáris. A   összefüggésből látható, hogy az első mágnesezési görbe valamely H pontjában a permeabilitás értékét a koordináta-rendszer kezdőpontjából a mágnesezési görbe adott pontjába húzott egyenes meredeksége adja. A mágneses permeabilitás függését a térerőtől a 4.15b. ábra mutatja. A permeabilitás csak kis térerő esetén tekinthető állandónak. Ezt az értéket  K kezdeti permeabilitásnak nevezzük. Sok anyag esetében a hiszterézishurok nagyon keskeny, ezért az az első mágnesezési görbével helyettesíthető. Néhány gyakran alkalmazott anyag mágnesezési görbéjét mutatja a 4.16. ábra.

4.16. ábra. Néhány ferromágneses anyag első mágnesezési görbéje

- 55 -

Mentes Gyula 4.8. Mágneses körök számítása 4.8.1. A mágneses Ohm-törvény Tekintsük a mágneses tér egy olyan részét, amelyet indukcióvonalak határolnak (4.17. ábra). Egy ilyen fluxuscsatorna bármelyik keresztmetszetének ugyanakkora a fluxusa, hiszen azonos számú erővonal metszi. Nevezzük mágneses feszültségnek a mágneses térerősség integrálját a csatorna két felülete között: b

U m   Hd l .

(4.43)

a

Um =Rm 



mUm a

B

A b

4.17. ábra. Fluxuscsatorna Tételezzük fel, hogy a fluxuscsatorna bármely, az erővonalakra merőleges keresztmetszetében az indukció eloszlása homogén (  állandó, A változhat). Ekkor (elhagyva a vektorjelöléseket):

 d U m   Hd   d   d    ,  A A a a a a b

b

B

b

b

(4.44)

b

d a fluxuscsatorna vizsgált szakaszának mágneses ellenállása (reluktanciája), A a melynek mértékegysége: ahol Rm  

Rm   1 A

Vs

 1H 1

(4.45)

A mágneses ellenállás reciproka a mágneses vezetőképesség (permeancia): m 

1 . Rm

- 56 -

(4.46)

Elektrotechnika Állandó keresztmetszetű és permeabilitású fluxuscsatornák esetében a mágneses ellenállás, ill. a mágneses vezetés:

l , A

Rm 

m 

A l

(4.47)

A mágneses feszültség és a fluxus kapcsolatát a mágneses Ohm-törvény fejezi ki: U m  Rm  ,

(4.48)

ahol a fluxuscsatorna Rm mágneses ellenállása megfelel az R ohmos ellenállásnak, a  fluxus az I áramnak és az U m mágneses feszültség az U feszültségnek. A mágneses feszültség mértékegysége a 4.43. összefüggés alapján határozható meg:

U m   H l   1 A 1m  1A . m

(4.49)

Írjuk fel a mágneses Ohm-törvényt a 4.7. ábrán látható zárt mágneses körre. A toroid N menetű és a tekercsben I áram folyik: U m   Hd  k

NI  k  NI   . k

(4.50)

Zárt görbére a mágneses feszültség egyenlő a körülzárt gerjesztéssel. Kirchhoff huroktörvényének analógiájára általánosan írhatjuk: n

m

i 1

k 1

  U mi   Rmk   k .

(4.51)

Egy-egy "mágneses csomópontra" a fluxusok előjeles összege nulla: p

 i 1

i

 0.

(4.52)

Ezzel Kirchhoff törvényeit általánosítottuk mágneses körök számítására. 4.8.2. A mágneses vezetőképesség és az önindukciós tényező közötti kapcsolat Egy tekercs öninduktivitása felírható a mágneses vezetőképesség segítségével is. A mágneses Ohm-törvény szerint a tekercs fluxusa arányos a mágneses vezetőképességgel:     NI .

Az önindukció definiciója (4.29) alapján:

- 57 -

(4.53)

Mentes Gyula

L

 N N2 .   N 2  I I Rm

(4.54)

4.8.3. Lineáris mágneses körök számítása A 4.15. ábrán láthattuk, hogy a ferromágneses anyag permeabilitása az anyagban lévő mágneses térerősség függvénye. Az anyag mágneses ellenállása a permeabilitás függvénye, tehát függvénye az anyagban fellépő mágneses térerőnek. Ezért egy adott gerjesztéshez tartozó indukció nem határozható meg, mivel a mágneses ellenállások kiszámításához már ismernünk kellene a végeredményt. Ezzel a problémával a következő fejezetben a nemlineáris mágneses körök számítása kapcsán foglalkozunk. Bizonyos esetekben feltételezhető, hogy a vasban az indukció a térerősséggel arányosnak tekinthető. A 4.15. ábrán láthatjuk, hogy ez csak addig a térerőig érvényes, ameddig a (kezdeti) permeabilitás állandó. Porvasmagok esetében a permeabilitás a teljes tartományban állandó. Ebben az esetben a mágneses kört az egyenáramú hálózatokhoz hasonlóan számíthatjuk. A mágneses kör egyes ágain levő gerjesztéseket feszültséggenerátorokkal helyettesítjük, az ágak ellenállásait pedig a 4.47. összefüggés segítségével a geometriai adatokból és az anyagra érvényes permeabilitásból számítjuk ki. A 4.18. ábra a lineáris mágneses kör egyenáramú hálózattal való helyettesítését mutatja be. Az egyes ágakban fellépő mágneses térerősségek (áramok) ezután az egyenáramú hálózatok számításánál megtanult módszerekkel határozhatók meg. I1A1

I4A4

I3A3 

R1

I5A5



I1



I1

R3 I3

I2 R2

I2

I0A0



R4



I2A2

I6A6

R5

UG1

UG2

R0 R6

4.18. ábra. Lineáris mágneses kör helyettesítése egyenáramú hálózattal 4.8.4. Nemlineáris mágneses körök számítása Általános esetben a permeabilitás függ az indukciótól, ezért ebben az esetben vissza kell nyúlnunk az általános törvényekhez: a gerjesztési törvényhez, a fluxusra vonatkozó csomóponti törvényhez és az anyag mágnesezési görbéjéhez. Nemlineáris mágneses körök számítását a 4.19. ábra mágneses köre alapján mutatjuk be. Az ismertetésre kerülő módszer csak akkor alkalmazható, ha a légrésindukció vagy a fluxus adott. Ekkor a szükséges gerjesztés meghatározható. Induljunk ki abból, hogy a B0 légrésindukció adott. Ebből mind a légrésben levő mágneses térerősség H 0 , mind pedig a mágneses kör  fluxusa meghatározható: - 58 -

Elektrotechnika

H0 

B0

0

,

  B0 A0 .

(4.55)

Az egyes ágak Bk indukciója az ágak Ak keresztmetszetéből és a  fluxusból határozható meg, az egyes ágakban a Bk indukcióhoz tartozó H k mágneses térerősséget az anyag mágnesezési görbéjéből olvassuk le: Bk 

 , Ak

H k  f Bk  .

(4.56)

A gerjesztési törvényt alkalmazva a zárt hurok középvonalára megkapjuk a szükséges gerjesztést: n

H k 0

l  .

(4.57)

k k

Csomópontot is tartalmazó többhurkos mágneses körök esetében az egyes ágak fluxusa a fluxusra vonatkozó 4.52 csomóponti törvényből határozható meg. A feladat megoldásához szükséges minden független hurokra felírni a gerjesztési törvényt is.

2, A2 I 0, A0 3, A3 1, A1

4, A4

4.19. ábra. Példa nemlineáris mágneses kör számítására Ha a gerjesztés adott és a fluxust vagy a légrésindukciót keressük, akkor a feladat csak iteratív eljárással határozható meg. Ekkor felveszünk például egy légrésindukció értéket és meghatározzuk a gerjesztést a fenti módszerrel. Ha a kapott gerjesztés például kisebb, mint a megadott, akkor felveszünk nagyobb légrésindukciót és ismételten kiszámítjuk a gerjesztést. Az eltéréstől függően ismét felveszünk légrésindukció értéket és a számítást addig ismételjük, amíg megkapjuk a megadott gerjesztést. Ekkor a felvett légrésindukció tartozik a megadott gerjesztéshez.

- 59 -

Mentes Gyula 5. ELEKTROMÁGNESES TÉR 5.1. Nyugalmi elektromágneses indukció A tapasztalat szerint az időben változó mágneses tér elektromos teret hoz létre. Ezt az 5.1. ábrán látható kísérlettel igazolhatjuk. A majdnem zárt vezető hurok időben változó mágneses teret fog körül, a hurok kapcsain pedig mérjük a feszültséget, melynek értéke: ui  

 . t

(5.1)

A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a fluxusváltozás iránya és az indukált feszültség iránya a jobbcsavar-szabállyal ellentétesen van összerendelve. Az 5.1. összefüggést Faraday-féle indukciótörvénynek nevezzük. Ei Tudjuk, hogy a feszültség a térEi erősség vonalmenti integrálja, és a feszültség előjeles mennyiség. Ahol feszültség van ott villamos térerősség is + van. Jelen esetben a vezető mentén az Ei B indukált térerősség vonal menti integrált ja adja az ui indukált feszültséget. A Faraday-féle törvény szerint az indukált 5.1.ábra. Nyugalmi elektromágneses indukció térerősség a vezető mentén a fluxus, ill. az indukció idő szerinti deriváltjához, a B vektorhoz balcsavar-szabály szerint van rendelve. A zárt vonal iránya a fluxus, ill. az t indukció irányához jobbcsavar szabály szerint rendelődik. Az indukciótörvény bal oldalát ekkor így írhatjuk:

u i   Ed l ,

(5.2)

   Bd A .

(5.3)

L

a fluxus pedig:

A

A fenti összefüggéseket felhasználva a Faraday-féle indukciótörvény az alábbi formába is írható:

B

 E d l    t d A . i

L

- 60 -

(5.4)

Elektrotechnika Ez a villamosságtan egyik legfontosabb törvénye, és egyben ez Maxwell második törvényének integrális alakja. A törvény alapján azt a fontos megállapítást is tehetjük, hogy az időben változó mágneses tér villamos teret hoz létre, amelynek jelenlétéhez a zárt vezető jelenléte nem lényeges. Ha az 5.1. ábrán szereplő körvezetőnket zárjuk, akkor az indukált térerősség hatására a vezetőben áram folyik mindaddig, amíg van indukált térerősség. Az áram iránya megegyezik a térerősség irányával. Az indukált áram irányához az általa létrehozott indukció a jobbcsavarszabály szerint van hozzárendelve. Az 5.2. ábrán látható, hogy az indukált áram által létrehozott fluxus az őt létesítő fluxusváltozást csökkenteni igyekszik. Ezt a megállapítást nevezzük Lenz törvényének.

B t Ei

R i 5.2. ábra. Lenz törvénye

5.2. Mozgási elektromágneses indukció Mozogjon Q töltés d l elemi út mentén v sebességgel (Rowland kísérletileg bizonyította, hogy a vezető jelenléte mellékes). Ez úgy is felfogható, mint ha a d l elemi út mentén I áram folyna, melynek értéke: I

Q v Q . t dl

(5.5)

A fenti összefüggést felhasználva Laplace törvénye az alábbi módon is felírható:

F  I d l  B   Qv  B .

(5.6)

A teljesség kedvéért megemlítjük, hogy ha a mágnses tér mellett elektromos erőtér is jelen van, akkor a mozgó töltésre ható erő Lorentz erőtörvénye alapján számítható:

F  QE  v  B .

(5.7)

Mozogjon egy vezető mágneses térben, akkor a vezetőben levő tetszőleges Q töltésre ható erő az 5.6. összefüggés segítségével számítható. Az egységnyi töltésre ható fajlagos erő, azaz a térerősség:

E  v B .

(5.8)

Ez a kifejezés a mozgási elektromágneses indukció törvénye. A mágneses térben mozgó vezetőben a fenti térerősség hatására a szabad elektronok elmozdulnak és nyitott vezető esetében a vezető egyik végén elektrontöbblet, a másik végén pedig elektronhiány alakul ki. A vezetőben indukált feszültség a térerősség vonalmenti integrálja: - 61 -

Mentes Gyula

ui   v  B d l   vBdl  vBl . l

(5.9)

l

Az integrál kiszámításánál a vezető irányítását a térerősség irányába vettük fel és figyelembe vettük, hogy v és B egymásra merőlegesek. Az 5.9. összefüggés szerint abban a speciális esetben, amikor egy l hosszúságú vezető önmagára és a B indukcióra merőlegesen mozog v sebességgel, akkor a benne indukált feszültség:

ui  Blv .

(5.10)

A fenti összefüggést nevezzük Neumann törvényének. A nyugalmi és a mozgási indukció fizikai alapjaiban lényegesen különbözik egymástól. A nyugalmi indukció feltétele, hogy a mágneses tér időben változzék, míg a mozgási v indukció esetében indukált feszültség  R csak akkor keletkezik, ha a mágneses térben mozgó töltések vannak jelen. + Ez utóbbiak úgy keletkeznek, hogy a I Ei mágneses tér a benne mozgó vezetőben a töltéseket szétválasztja. Az így keletkezett villamos tér nem örvé5.3. ábra. A mozgási elektromágneses indukció nyes, mert az a szétválasztott töltéseken ered ill. végződik, ellentétben a nyugalmi indukcióval, amelynél az időben változó mágneses tér örvényes villamos teret hoz létre. B

5.3. Váltakozó feszültség előállítása Forgassuk meg az 5.4a. ábrán látható fémkeretet B indukciójú homogén térben. A keret kapcsain mérhető indukált feszültséget, mind a mozgási, mind pedig a nyugalmi indukció alapján számíthatjuk. Az alábbiakban mindkét megoldást ismertetjük, mert a villamos gépek működésének megértéséhez mindkét elv jól használható. Számítsuk ki először az indukált feszültséget a mozgási indukció alapján. Az 5.4b. ábrán elölnézetben ábrázoltuk a keret egyik oldalát. A keret állandó  szögsebességgel forog az óramutató járásával ellentétes irányban, v kerületi sebessége érintő irányú és állandó. Az 5.10. összefüggés alkalmazásához meg kell határozni a sebességnek az indukcióra merőleges komponensét, amely az 5.4b. ábra alapján: vn  v sin   v sin t .

(5.11)

A fenti összefüggést az 5.10 Neumann formulába behelyettesítve: ui  Blv sin t .

- 62 -

(5.12)

Elektrotechnika Az átellenes tekercsoldalban indukálódó feszültség ellentétes irányú, mivel ennek a keretoldalnak az indukcióra merőleges sebességkomponense ellentétes irányú a másik keretoldal indukcióra merőleges sebességkomponensével. Az egyes keretoldalakban indukálódó ellentétes irányú feszültségek a keret körbejárása során összeadódnak, ezért a keret A és B kapcsai között az indukált feszültség: u AB t   2Blv sin t  Uˆ sin t .

(5.13)

A keret kapcsain tehát Uˆ amplitúdójú,  körfrekvenciájú váltakozófeszültség jelenik meg.

B ω d=2r

Ui

φ v vn φ=ωt

A Ui B

l

a.

b.

5.4. ábra. Mágneses térben forgó vezető keretben indukált feszültség számítása a mozgási indukció alapján A keret indukált feszültsége az 5.5. ábra alapján számítható ki a nyugalmi indukció alapján. Ebben az esetben a számítást azon az alapon végezzük, hogy a forgó keretnek a forgás során változik az indukcióra merőleges An felülete és ezáltal változik a keret fluxusa: ui  

dBAn d dBA cos  d cos t     BA  BA sin t . dt dt dt dt

(5.14)

Ha az 5.13. képletben a kerületi sebességet a szögsebességgel írjuk fel és figyelembe véve, hogy a keret felülete A  2rl , az indukált feszültségre ugyanazt az eredményt kapjuk a mozgási indukció alapján, mint amit a nyugalmi indukció törvényt alkalmazva kaptunk:

ui  B2lr sin t  BA sin t  Uˆ sin t .

(5.15)

A képletből látható, hogy a váltakozófeszültség amplitúdója, vagy csúcsértéke arányos az indukcióval, a keret felületével és szögsebességével.

- 63 -

Mentes Gyula

B 

B d=2r

Ui



A A



An =Acos 

Ui B 

5.5. ábra. Mágneses térben forgó vezető keretben indukált feszültség számítása a mozgási indukció alapján 5.4. A mágneses tér energiája 5.4.1. A mágneses tér energiája ferromágneses anyagtól mentes térben Kapcsoljunk egy L önindukciós tényezőjű R ohmos ellenállású tekercsre U 0 feszültséget. Ekkor a tekercs önindukció feszültsége Lenz törvénye értelmében a tekercs áramát csökkenteni igyekszik, ezért a zárt áramkörre írhatjuk, hogy:

U0  L

dI  IR , dt

(5.16)

amelyet rendezve és mindkét oldalt Idt -vel beszorozva: U 0 Idt  I 2 Rdt  LIdI ,

(5.17)

ahol az egyenlet bal oldalán az áramforrás dt idő alatt végzett munkája áll, a jobboldal első tagja a áramforrás munkájának hővé alakuló része és a második tag az áram mágneses terének U növelésére fordított munka. Ha az áram 0-tól az állandósult állapotban folyó I 0  0 értékig R nő, akkor a mágneses tér növelésére fordított munkát a I0

WL   LIdI  0

1 2 LI 0 2

(5.18)

integrál adja. Ezt nevezzük a tekercs mágneses energiájának. Tételezzük fel, hogy a tekercs egy l hosszúságú, A keresztmetszetű, N menetszámú szolenoid. Ekkor a szolenoidban lévő indukció a 4.21. összefüggéssel számítható mágneses térerő segítségével írható fel:

- 64 -

Elektrotechnika B  0

NI 0 , l

(5.19)

amelyből I0 

Bl . N 0

(5.20)

A szolenoid önindukciós együtthatóját a 4.32. összefüggés adja, amelyet az 5.20. összefüggésből számítható árammal együtt az 5.18. képletbe behelyettesítve megkapjuk a szolenoidban tárolt mágneses energiát: 1 N 2 A  Bl  WL   2 l  N 0

2

 AlB 2 1    B 2V , 2 0 2 0 

(5.21)

ahol V  Al a szolenoid térfogata. Az egységnyi térfogatra jutó mágneses energia a mágneses energiasűrűség:

wm 

WL 1 1 1  B2   0 HB  HB . V 2 0 2 0 2

(5.22)

5.4.2. A mágneses energia ferromágneses anyagban A fenti összefüggések levezetése során feltételeztük, hogy a szolenoid belsejében vákuum, levegő, vagy más nem ferromágneses anyag volt. A tekercsnek egy geometriai méretektől függő L állandó értékű induktivitásával számolhattunk. Ferromágneses anyag jelenlétében a tekercs fluxusa nemlineárisan függ a gerjesztőáramtól, tehát nem áll fenn a   LI összefüggés. Ebben az esetben is érvényes az 5.16. összefüggés azzal a módosítással, hogy a d LdI baloldal második tagjába helyett az általánosan érvényes N indukált feszültséget dt dt írjuk. Az egyenletet rendezve és 5.17-hez hasonlóan mindkét oldalt Idt -vel szorozva és 0-tól t1 -ig integrálva: t1

t1

t1

0

0

0

2  U 0 Idt   I Rdt   NI

d dt . dt

(5.23)

A jobboldali második tag ismét a tekercs mágneses terének kialakításához szükséges energiával egyenlő. Ha a tekercset homogén permeabilitású anyag tölti ki, akkor a mágneses térerő: H

NI , l

(5.24)

amelyből I kifejezhető, valamint felhasználva, hogy a tekercs egy menetével kapcsolódó fluxus   BA , akkor írhatjuk, hogy

- 65 -

Mentes Gyula t1

Wm   N 0

t Hl d BA dt  Al  HdB . N dt 0 1

(5.25)

Felhasználva, hogy V  Al a szolenoid térfogata, valamint azt, hogy a bekapcsolás pillanatában az indukció nulla, feltéve, ha a ferromágneses anyag még nem volt mágneses térben, továbbá azt hogy t1 idő után az indukció értéke B1 : B1

Wm  V  HdB .

(5.26)

0

A határozott integrál kiszámítása ferromágneses anyag esetén nem történhet egyszerű integrálással, mert H függvénye ugyan B -nek, de csak grafikusan áll rendelkezésünkre. A mágneses energiát a térfogattal elosztva megkapjuk a mágneses energiasűrűséget: B

w   HdB .

(5.27)

0

A fenti integrál arányos az első mágnesezési görbe és az indukciótengely által bezárt területtel (5.6. ábra). Ha a első mágnesezési görbe mentén mozgunk, tehát az első felmágnesezést végezzük, akkor a görbe alatti terület a mágnesezéshez szükséges munkával arányos. A Vs J A H dB   3 szorzat az egységnyi térfogatú ferromágneses anyag fel2 mm m mágnesezéséhez szükséges energiát (munkát) adja meg. Ez az energia pozitív, mert H és dB is pozitívak. Vizsgáljuk meg ezután, hogy egy teljes átmágnesezéshez mennyi energia szükséges. Induljunk ki az 5.7. ábrán látható hiszterézisgörbe 1 pontjából és mágnesezzük fel B az anyagot a maximális indukcióig (3 pont). Az 1-2-3 szakaszon végzett munka pozitív, mivel H és dB is pozitív. Ezen a szakaszon w13V munB kát kell végeznünk, tehát ennyivel nő meg az  energia (vízszintesen vonalkázott terület). A 3-4 szakaszon w34V energia szabadul fel, mivel itt H pozitív, dB pedig negatív és ezért a kettő szorzata, vagyis a végzett munka is negatív (ferdén vonalkázott terület). A 4-5-6 szakaszon H és H dB is negatív, tehát a végzett munka pozitív H (függőlegesen vonalkázott terület). A 6-1 szaka5.6. ábra. Ferromágneses anyag első szon a végzett munka ismét negatív, mivel H felmágnesezéséhez szükséges energia negatív, dB pedig pozitív (ferdén vonalkázott terület). A pozitív energia munkabefektetést jelent, a negatív pedig visszakapott munkát. A teljes átmágnesezés során visszakapott energia a ferdén vonalkázott területtel arányos, tehát a hiszterézishurok területével (vízszintesen és függőlegesen vonalkázott területek összege) arányos energia az átmágnesezésnél fellépő ún. hiszterézisveszteség, amely nem halmozódik fel, mint térenergia, hanem hővé alakul.

- 66 -

Elektrotechnika 5.4.3. Vasmagos elrendezésekben fellépő erőhatások

B

A vasmagos elrendezésekben fellépő erőhatások meghatározásánál arra a gyakorlatban legtöbbször előforduló esetre szorítkozunk, amikor egy légréssel ellátott zárt mágneses kör esetében a légrésben fellépő erő meghatározása a cél (pl.: elektromágneses emelő). Az erő meghatározása során feltételezzük, hogy a vasmagban a permeabilitás állandó és a gerjesztés nem változik. Ebben az esetben a mágneses energia megváltozása teljes egészében mechanikai munka végzésére fordítódik:

3 4

5

2

H

1 6

5.7. ábra. Ferromágneses anyag teljes átmágnesezéséhez szükséges energia

dW  Fs ds ,

(5.28)

amelyből az erő: Fs 

W . s

(5.29)

Az energia kifejezhető a vasmagos elrendezés induktivitásával, az induktivitás pedig a mágneses vezetőképességgel, ill. a mágneses ellenállással (4.54. összefüggés): Fs 

1 2 L 1 2 2  1 2  1 , I  I N   2 s 2 s 2  s Rm

(5.30)

amelyből

1  2  Rm . Fs   2 Rm2  s

(5.31)

Példaképpen határozzuk meg az 5.8. ábrán látható emelőmágnes esetében az erő értékét. A soros kör mágneses ellenállása: Rm 

2s 2h  l   .  0 ab  0  r ab

(5.32)

Az emelőerő:

F

 0  2 ab 2  . 2 2  ab  2     0 hl h  l   4 s   s   2    ab  r   r   0  2

Ha a vas mágneses ellenállását elhanyagolhatjuk, vagyis - 67 -

(5.33)

Mentes Gyula s 

hl

r

,

(5.34)

akkor

F

 0  2 ab 4s 2

.

(5.35)

I

a r h b F

a

r

s a 

5.8. ábra. Elektromágnes

- 68 -

Elektrotechnika 6. VÁLTAKOZÓÁRAMÚ HÁLÓZATOK Ha homogén mágneses térben egy vezető keretet egyenletes szögsebességgel megforgatunk, akkor a kapcsain szinuszos feszültség (6.1. ábra) indukálódik (5.3. fejezet): u  ut   Uˆ sin t ,

(6.1)

ahol Uˆ a feszültség amplitúdója,  pedig a forgó keret szögsebessége. Ha egy teljes körülfordulás ideje T , akkor



2  2f . T

(6.2)

Az időegységre jutó körülfordulások, ill. periódusok számát frekvenciának nevezzük: f 

1 . T

(6.3)

A körfrekvencia mértékegysége:   

1 1 , a frekvencia mértékegysége pedig  f    1Hz s s (hertz). A körfrekvenciától való megkülönbözteu(t) tés miatt a frekvencia mértékegységeként mindig hertz-et használunk. U Az alábbiakban olyan lineáris, váltakozóáramú hálózatokkal foglalkozunk, amelyekben azonos frekvenciájú szinuszos feszültségű vagy t áramú generátorok vannak. Ezekben a hálóT zatokban - mint később látni fogjuk - valamennyi áram és feszültség szinuszos. A hálózatszámítások során előforduló számítási műveletek - szinu6.1. ábra. Szinuszos feszültség szos feszültségek összeadása, kivonása, szorzása és osztása - elvégzése igen nehézkes, ezért a váltakozóáramú hálózatok számítására egy szimbolikus módszert vezetünk be.

6.1. Váltakozófeszültségű hálózatok szimbolikus (komplex) számításának elve A matematikából ismert, hogy a szinuszfüggvényt egy rögzített pont körül forgó egységnyi hosszúságú sugár segítségével definiáltuk. A forgó sugár elfordulási szögének függvényében ábrázoltuk a forgó sugárnak a függőleges tengelyre eső merőleges vetületét. A szinuszos feszültséget vagy áramot olyan forgóvektorral ábrázolhatjuk, amely az óramutató járásával ellentétes irányba forog  szögsebességgel és amelynek hossza a feszültség vagy áram csúcsértékével egyezik meg. A 6.2. ábra két szinuszos forgóvektor vetületét ábrázolja az   t elfordulási szög függvényében. Az u 2 feszültség  szöggel késik az u1 feszültséghez képest, ezért az Uˆ síkvektor  szöggel késve követi az  szögsebességgel forgó Uˆ síkvek1

2

tort. Bizonyítható, hogy a két forgóvektor eredője a két szinuszfüggvény összegét írja le. Ha a

- 69 -

Mentes Gyula síkvektorokat valamilyen egyszerű módon matematikailag le tudjuk írni, akkor a szinuszos feszültségű hálózatok számítása is egyszerűen elvégezhető.

6.2. ábra. Szinuszos feszültségek forgó síkvektorokkal írhatók le Mivel a komplex számsíkon minden komplex számhoz húzhatunk egy helyvektort, a síkvektorok leírása komplex számokkal történhet (6.3. ábra). A helyvektor képzetes tengelyre eső vetülete írja le a váltakozó feszültség vagy áram időfüggvényét, amely a komplex szám trigonometrikus alakjából következik:

z  a  jb  r cos   jr sin  , Im

b

r a

Re

6.3. ábra. Komplex szám ábrázolása síkvektorral

(6.4)

ahol j   1 , a képzetes egységnek az elektrotechnikában szokásos jelölése. Az időfüggvényt a komplex vektornak a valós tengelyre való vetületéből is meghatározhatnánk, mivel a koszinusz függvény egy 90 fokkal eltolt szinusz függvényként is felfogható. A gyakorlatban azonban a képzetes tengelyre való merőleges vetületből határozzuk meg. A szinuszos feszültség (vagy áram) időfüggvénye általános esetben: ut   Uˆ sint    .

(6.5)

A komplex leírásnál úgy képzeljük, hogy a vektor  szögsebességgel forog óramutató járásával ellentétes irányba és csak a t  0 időpillanatban ábrázoljuk. Több feszültség vagy áramvektor esetében ez azt jelenti, hogy a vektorok egymással mereven összekapcsolódva együtt forognak és a számítások szempontjából csak a vektorok egymáshoz képesti helyzete - egymáshoz képesti sietésük vagy késésük - érdekes. A 6.4. ábrán az u1 t   Uˆ 1 sint  1  és az u 2 t   Uˆ 2 sint   2  időfüggvények komplex vektorai láthatók a t =0 időpillanatban. A 1 és 2 szögeket kezdő fázisszögeknek nevezzük.

- 70 -

Elektrotechnika

Im



A komplex feszültség és komplex áram hányadosát komplex impedanciának (váltakozóáramú ellenállásnak) nevezzük:



U1 U2

1 2

Z 

U , I

(6.6)

Re 6.4. ábra. Különböző fázisú komplex feszültségek

melynek reciproka a komplex admittancia (váltakozóáramú vezetés): Y 

1 I  . Z U

(6.7)

A szinuszos feszültségeket és áramokat leíró komplex vektorok és a komplex impedancia, valamint a már tanult hálózatszámítási módszerek segítségével a váltakozóáramú hálózatok számítása elvégezhető. Az eredményül kapott komplex számokból az időfüggvények meghatározhatók. A váltakozó áramú hálózatoknak ezt a komplex leírását ill. számítását szimbolikus módszernek nevezzük. Az elnevezésnek az az oka, hogy a váltakozóáramú hálózatok valós áramait komplex számokkal írjuk le. A váltakozó áramot, ill. feszültséget a komplex számítások során – eltérően a 6.2. ábrán bemutatott időfüggvény leírástól - nem a csúcsértékkel, hanem az ún. effektív értékkel írjuk le. Ezt az időfüggvény komplex alakba, ill. a komplex alak időfügvénnyé való átírása során figyelembe kell venni. Az effektív érték alkalmazását többek között az indokolja, hogy a mérőműszerek effektív értéket mutatnak, ezért az áramkörök vektorábrái közvetlenül a mérési eredmények alapján, átszámolás nélkül megrajzolhatók. Az időfüggvényre való visszatérésre csak ritkán van szükség. 6.2. A váltakozóáram effektív értéke Egy adott csúcsértékű váltakozóáram effektív értéke annak az egyenáramnak az értékével egyezik meg, amely egy adott ellenálláson ugyanannyi villamos munkát végez, mint a váltakozóáram. A villamos munka: t1

W   Ri 2 dt .

(6.8)

0

Számítsuk ki egy periódus idejére egy adott R ellenálláson a váltakozóáram és az egyenáram munkáját. A kettőt egyenlővé téve az effektív érték meghatározható. Az I egyenáram munkája T periódusidő alatt: W  RI 2T .

(6.9)

Az Iˆ csúcsértékű váltakozóáram munkája:

1  cos 2t 1  sin 2t  1 W  RIˆ 2  sin 2tdt  RIˆ 2  dt  RIˆ 2 t   RIˆ 2T .  2 2 2  0 2 0 0 T

T

T

- 71 -

(6.10)

Mentes Gyula Az egyen- és váltakozóáram munkáját egyenlővé téve: RI 2T 

1 ˆ2 RI T 2

(6.11)

és az egyszerűsítéseket elvégezve kapjuk:

I eff  I 

Iˆ

.

2

(6.12)

Hasonló módon meghatározhattuk volna a szinuszos váltakozófeszültség effektív értékét is:

U eff  U 

Uˆ 2

.

(6.13)

 I  2I ,

(6.14)

Mivel

Uˆ  2U ,

ill.

ezért a 2 értéket a szinuszos feszültség vagy áram csúcsértékének nevezzük. Ez az érték csak szinuszos jelalakra érvényes, más pl. háromszög vagy négyszög alakú áramra vagy feszültségre a csúcsérték különböző. Ezt a mérőműszerek mutatásánál figyelembe kell venni. A váltakozóáramú elektromos berendezések igénybevételét (pl. szigetelését) a csúcsértékre kell tervezni. 6.3. Időfüggvény átírása komplex alakba és komplex alak átírása időfüggvénybe Az időalak átírása komplex alakba és fordítva a 6.5. ábra alapján végezhető el. Az u  ut   Uˆ sint     2U sint   

(6.15)

időfüggvénnyel leírható feszültséget komplex feszültségként közvetlenül exponenciális vagy trigonometrikus alakban írhatjuk fel, amelyekből az algebrai alak egyszerűen előállítható. Ahogy azt az előző fejezetben láttuk a komplex feszültséget vagy áramot egy olyan komplex vektorral adjuk meg, amelynek hossza megegyezik a feszültség vagy áram effektív értékével. A vektort (komplex számot) a t =0 időpillanatban tartozó helyzetben ábrázoljuk. A 6.15. időfüggvénynek megfelelő feszültség a fentiek alapján exponenciális alakban az időfüggvényből közvetlenül felírható: U  Ue j .

A trigonometrikus alak:

- 72 -

(6.16)

Elektrotechnika

U  U cos   j sin  

(6.17)

és ebből az algebrai alak már könnyen meghatározható: U  a  jb  U cos   jU sin  .

(6.18)

A komplex feszültség vagy áram visszaírása időfüggvénnyé az exponenciális vagy trigonometrikus összefüggésből közvetlenül elvégezhető. A komplex alak azonban a számítások elvégzése után általában algebrai alakban áll rendelkezésre. Ebből kell meghatározni az effektív értéket, amely a komplex szám abszolút értéke:

U  a2  b2 ,

(6.19)

valamint a fázisszöget meghatározni, amely a komplex szám képzetes (imaginárius) és valós (reális) részének a hányadosából határozható meg: tg 

U=Ucos+jUsin

ImU b  . Re U a

u=u(t)=2Usin(t+) U(t)

 Im Usin

(6.20)

Û=2U U

 Ucos

Re

t 

6.5. ábra. Időfüggvény és komplex alak egymásnak való megfeleltetése 6.4. Ellenállás, tekercs és kondenzátor viselkedése váltakozóáramú hálózatokban Kapcsoljunk egy R ohmos ellenállásra a 6.6. ábrának megfelelően u  Uˆ sin t váltakozó feszültséget, ekkor Kirchhoff huroktörvénye értelmében u  iR , amelyből az ellenálláson átfolyó áram időfüggvénye: i

u Uˆ sin t Uˆ   sin t  Iˆ sin t . R R R

(6.21)

Láthatjuk, hogy az ellenálláson szinuszos feszültség hatására szinuszos áram folyik. Az áram és a feszültség azonos fázisúak. Az áram és a feszültség csúcsértéke között Ohm törvényének

- 73 -

Mentes Gyula megfelelően az ellenállás teremt kapcsolatot. Az ellenállásra Kirchhoff törvényét az U  Ue jt komplex feszültséggel felírva a komplex áramot kapjuk:

U Ue jt U jt I   e  Ie jt . R R R

(6.22)

A fenti összefüggés szerint az áram és a feszültség effektív értéke között is az ellenállás teremt kapcsolatot Ohm törvényének megfelelően. A 6.6. ábra mutatja az ellenálláson az áram és feszültség időfüggvényét, valamint a komplex áram és feszültség vektorokat. (Az elektrotechnikában a komplex koordinátarendszert nem szokás felrajzolni.)

u i u=u(t)

i(t) i=i(t) u(t)

R

t

I U

6.6. ábra. Ellenállás viselkedése váltakozóáram esetében Kapcsoljunk u  Uˆ sin t feszültséget egy L önindukciós együtthatójú tekercsre! Ekdi di kor Kirchhoff második törvénye szerint a körben a feszültség u  L  0 , azaz u  L . dt dt Ebből u i   dt . L

(6.23)

Ebbe a feszültség időfüggvényét behelyettesítve az áram az alábbi módon kapható meg: i

Uˆ Uˆ Uˆ  sin t   cos t  sin(t  ) . L L L 2

(6.24)

  Mivel  cos t  sin t   , azt mondhatjuk, hogy az ideális tekercsen az áram 90-kal 2  késik a feszültséghez képest. A feszültséget komplex módszerrel felírva, U  Ue jt és (6.23)-ba behelyettesítve a tekercs árama: i

U U U jt U . dt   e jt dt  e  L L jL jL

- 74 -

(6.25)

Elektrotechnika A fenti összefüggésből láthatjuk, hogy a tekercs váltakozóáramú ellenállása vagy más néven reaktanciája (látszólagos ellenállása): X L  jL ,

(6.26)

Könnyen belátható, hogy az induktív impedancia (reaktancia) is ellenállás dimenziójú:

X L    L  1 s   . s

(6.27)

A 6.25. összefüggésben a j -vel való osztás, vagy ami azzal egyenértékű, a  j -vel való szorzás, 90-kal való elforgatást jelent óramutató járásával egyező irányban. Ez azt jelenti, hogy a komplex feszültségvektor 90-kal siet a komplex áramvektorhoz képest. A tekercsen folyó áram és a rajta eső feszültség időfüggvényét, valamint a komplex vektorábrát a 6.7. ábra mutatja.

u i i(t)

i(t) u(t)

u(t)

U

L I

6.7. ábra. Tekercs viselkedése váltakozóáramú hálózatban Kapcsoljunk egy C kapacitású kondenzátorra uC  Uˆ sin t szinuszos feszültséget. Q Ekkor Kirchhoff második törvénye szerint u   0 . Q   idt -t felhasználva írhatjuk, hogy C  idt  Cu . Ebből: iC

du dUˆ sin t ˆ   C  UC cos t  UˆC sin(t  )  Iˆ sin(t  ) , dt dt 2 2

(6.28)

ahol Uˆ Iˆ  . 1 C

(6.29)

A 6.28. összefüggésből látható, hogy a kapacitás árama 90-kal siet a feszültségéhez képest. Az áramot a komplex feszültségből számítva:

- 75 -

Mentes Gyula

I C

dU dUe jt U C  jCUe jt  e jt , 1 dt dt jC

(6.30)

Az

XC 

1 jC

(6.31)

a kondenzátor váltakozóáramú ellenállása vagy reaktanciája. A kapacitív reaktancia dimenziója is Ohm:

X C   mivel C   1F  1

1 1  ,  C  1 s s

(6.32)

As s 1 . V 

A 6.30. összefüggésből felírható

I C  jCUe jt  jCU C ,

(6.33)

amelyből látható hogy a kapacitás komplex áramvektora 90-kal előresiet a komplex feszültségvektorhoz képest. A kapacitáson levő feszültség és a rajta átfolyó áram időfüggvényét, valamint a komplex vektorábrát a 6.8. ábra mutatja.

u i

u(t)

i(t)

I

i(t) u(t)

U

C

6.8. ábra. Kondenzátor viselkedése váltakozóáramú hálózatban 6.5. Egyszerű váltakozóáramú áramkörök Néhány egyszerű áramkör esetében bemutatjuk a komplex módszer alkalmazását. A megoldás során feltételezzük, hogy a bekapcsolástól már olyan hosszú idő eltelt, hogy a bekapcsolási (tranziens) jelenségek lejátszódtak, azaz az áramkör áramai és feszültségei ún. állandósult állapotban vannak. A komplex módszer csak állandósult, stacionárius állapotban írja le helyesen az áramkörök működését. Ha tranziens jelenségeket is vizsgálni szeretnénk, akkor az áramkör differenciál egyenletét kell felírni és megoldani.

- 76 -

Elektrotechnika 6.5.1. Egyszerű soros váltakozóáramú áramkörök A 6.9a. ábra egy soros R-L kört mutat, amelyben a generátor feszültsége megegyezik az ellenálláson és az induktivitáson eső feszültségek vektori összegével: U  U R  U L . A 6.9b. ábra a komplex feszültségek összegzését mutatja be. Az ellenálláson eső feszültség fázisban van az I árammal, ezért a komplex U R feszültség vektorát az áramvektorral azonos irányba rajzoljuk be. A tekercs U L feszültsége 90°-kal siet az áramhoz képest, ezért a tekercs feszültségvektorát az áramvektorhoz képest óramutató járásával ellentétes irányban 90°-kal elforgatva rajzoljuk fel. Az eredő U feszültség és az I áram között  fázisszög van, amelyet mindig az áramtól a feszültség irányába mérünk (ezt jelzi a körívre rajzolt nyílhegy) és akkor tekintjük pozitívnak, ha a mérési irány az óramutató járásával ellentétes.

R

I

jL

UR U UL

L

Z

U

UL 



UR

R

I

a.

b.

c.

6.9. ábra. Soros R  L kör és vektorábrái Itt jegyezzük meg, hogy az áramkörök vektorábrájának felrajzolását mindig azzal a mennyiséggel kezdjük, amely az adott áramkörben minden elemen azonos (jelenleg az áram). Ennek vektorát tetszőleges irányban felrajzolhatjuk (Célszerű jobbramutató irányban, vízszintesen. Ezt az irányt tekinthetjük a valós tengely irányának is.) és ehhez viszonyítva rajzoljuk be az áramkör többi mennyiségét. Az áramkör impedancia vektorábrája (6.9c. ábra) hasonló a feszültség vektorábrához, mivel az impedanciát a feszültségből a konstans árammal való osztással kapjuk. Az eredő Z  R  jL impedancia szintén  szöget zár be az R ellenállás irányával (a valós tengelylyel). A fázisszöget az alábbi módon számíthatjuk ki:

  arctg

XL UR

 arctg

L R

.

(6.34)

A soros R  L kör eredő árama:

I

U U  , Z R  jL

(6.35)

amelynek segítségével az egyes feszültségek meghatározhatók:

U R  IR

és

U L  IX L  IjL .

- 77 -

(6.36)

Mentes Gyula A soros R  C kör kapcsolását és vektorábráit mutatja a 6.10. ábra. A soros R  L körhöz képest az eltérés csak annyi, hogy a kondenzátoron a feszültség 90°-ot késik az áramhoz képest, ezért az U C feszültségvektort az I áramvektorhoz képest 90°-kal óramutató járásával megegyező irányba elforgatva rajzoljuk be (6.10b. ábra). I

UR 

R

I

R 

UR U

U

Z

UC C

1 -j C

UC

a.

b.

c.

6.10. ábra. Soros R  C kör és vektorábrái

Soros R  L  C kör esetében az ellenálláson eső U R feszültség fázisban van az I árammal, a tekercs U L feszültsége 90°-kal siet, a kondenzátor U C feszültsége pedig 90°-kal késik az áramhoz képest (6.11b. ábra). A három feszültség vektori összege egyenlő a generátor feszültségével: U  U R  U L  U C . A 6.11c. ábrán látható impedancia vektorábra hasonló a feszültség vektorábrához. Az eredő impedancia az egyes impedanciák összege: Z  R  X L  X C  R  jL 

1 1    R  j L  . jC C  

-j I U

R

UR

L

UL

C

UC

(6.37)

1 C

UC UL



UR

 I

UC

a.

Z

jL

U

b.

-j

R

1 C

c.

6. 11. ábra. Soros R  L  C kör, a valóságos soros rezgőkör és vektorábrái 1 , akkor a Z impedancia valóssá válik és értéke R . Ebben az esetben a soros C R  L  C kör rezonanciában van, ezért szokás soros rezgőkörnek nevezni. A rezonancia az 1 körfrekvencián következik be (Thomson képlet). A soros R  L  C körnek ezt a 0  LC tulajdonságát adott frekvenciájú jel kiválasztására lehet felhasználni. Ha az R ellenállás érté-

Ha L 

- 78 -

Elektrotechnika ke nulla, azaz a rezgőkör csak tekercset és kondenzátort tartalmaz, akkor a kör eredő ellenállása rezonanciafrekvencián nulla. Ezt nevezzük ideális soros rezgőkörnek, mivel a valóságban a rezgőkörben mindig van ohmos ellenállás is. Gondoljunk csak arra, hogy a tekercs vezetőből készül, amelynek mindig van ohmos ellenállása, de ugyanez mondható el az összekötő vezetékekről is. 6.5.2. Egyszerű párhuzamos váltakozóáramú áramkörök Párhuzamos R  L kör látható a 6.12. ábrán. Mind az ellenálláson, mind pedig a tekercsen U feszültség van. Az ellenálláson átfolyó I R áram fázisban van az U feszültséggel, a tekercs I L árama pedig 90°-kal késik hozzá képest (6.12b. ábra). Az eredő áram:

I  IR  IL 

U U .  R jL

(6.38)

1 =G R

U 

I R

U



IR

-j

IL

L

Y

I IR

1 L

IL

a.

b.

c.

6.12. ábra. Párhuzamos R  L kör és vektorábrái

I

IR

IC Y

I U

R

C

IC IR

a.

jC

1 =G R

U

b.

c.

6.13. ábra. Párhuzamos R  C kör és vektorábrái A párhuzamos R  L kör eredő admittanciája:

Y

1 1 1 .   Z R jL

Az admittancia vektorábra az áram vektorábrához hasonló, mivel Y 

- 79 -

(6.39) 1 1 I . Z U

Mentes Gyula Párhuzamos R  C kör (6.13. ábra.) esetében az ellenálláson átfolyó I R áram fázisban van az U feszültséggel, míg a kondenzátor I C árama 90°-kal siet hozzá képest. Az eredő áram:

I  I R  IC 

U U .  1 R jC

(6.40)

1 R IR I IR U

R

IL L

IC

C

U



 Y

IL

I IC

a.

jC

b.

-j

1 L

c.

6.14. ábra. Párhuzamos R  L  C kör, párhuzamos rezgőkör és vektorábrái Párhuzamos R  L  C kör esetében az ellenállás I R árama fázisban van az U feszültséggel, míg a tekercs I L árama 90°-kal késik és a kondenzátor I C árama pedig 90°-kal siet hozzá képest (6.14 ábra). A párhuzamos R  L  C kör eredő admittanciája: Y

1 1 1    Z R jL

1 1 1     j  C  . 1 R L   jC

A képletből látható, hogy az admittancia értéke egy adott    0 

(6.41)

1

estében tisztán vaLC lós értékű. Ezt a körfrekvenciát rezonancia-körfrekvenciának nevezzük. A párhuzamos R  L  C kört párhuzamos rezgőkörnek nevezzük. Ha R   , vagyis az áramkörben csak kapacitás és induktivitás van, akkor a párhuzamos rezgőkör admittanciája nulla, impedanciája pedig végtelen nagy. A valóságos rezgőkörben mindig van ellenállás, ezért a rezgőkör ellenállása rezonanciafrekvencián igen nagy érték, de nem végtelen. 6.6. A váltakozóáram teljesítménye Legyen egy tetszőleges fogyasztón a váltakozófeszültség időfüggvénye ˆ ut   U sint  és a rajta átfolyó áram időfüggvénye it   Iˆ sint    . A váltakozóáram pillanatnyi teljesítményét a feszültség és az áram pillanatnyi értékeinek szorzata adja:

- 80 -

Elektrotechnika pt   ut it   Uˆ sint Iˆ sint    .

(6.42)

Felhasználva a sin     sin  cos   cos  sin  összefüggést: pt   UˆIˆ sint sint cos   cost sin  

(6.43)

pt   UˆIˆ sin 2 t cos   UˆIˆ sint cost sin  .

(6.44)

Alkalmazva a sin 2  

1  cos 2 2

és a

sin  cos  

1 sin 2 2

(6.45)

összefüggéseket, a teljesítményt az alábbi alakban írhatjuk fel: pt  

ˆˆ UˆIˆ 1  cos2t cos    UI sin2t sin  . 2 2

(6.46)

Az effektív értékeket bevezetve: UˆIˆ Uˆ Iˆ   UI 2 2 2

(6. 47)

a váltakozóáram pillanatnyi teljesítménye az alábbi módon írható fel:

pt   UI cos  1  cos2t   UI sin  sin2t  .

(6.48)

A fenti függvény három tagját a 6.15. ábra mutatja. A (6.48.) összefüggés első tagjának átlagértéke a periódusidő egészszámú többszörösére: UI cos  , mivel az ábrán a sraffozott területek előjeles összege nulla. A váltakozó áram hatásos teljesítménye:

Ph  UI cos  ,

(6.49)

vagyis a váltakozó feszültség és áram effektív értékeinek szorzata szorozva a közbezárt szög koszinuszával. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a hatásos teljesítmény egyenlő a váltakozófeszültség és a váltakozóáram feszültség irányába eső komponensének ( I cos  ) a szorzatával (6.16. ábra). Ez utóbbit hatásos áramnak is nevezzük:

I h  I cos  .

(6.50)

A 6.48. összefüggés második tagjának a periódus egésszámú töbszörösére vett integrálja nulla, mivel a függvény az időtengelyre szimmetrikus. A teljesítménynek ez a komponense hasznos munkát nem végez. Ennek a görbének az amplitúdóját nevezzük meddő teljesítménynek: Pm  UI sin  .

- 81 -

(6.51)

Mentes Gyula A meddő teljesítményt úgy is felfoghatjuk, mint a feszültségnek és az áram feszültségre merőleges komponensének a szorzata. Ez utóbbit az áram meddő komponensének is nevezzük (6.16. ábra).

6.15. ábra. A váltakozóáramú teljesítmény

U

A váltakozófeszültséget mérő műszerek effektív értéket mutatnak, ezért a feszültség és áram effektív értékének szorzatát látszólagos teljesítménynek nevezzük:

Pl  UI .

Ih=Icosφ I φ

(6.52)

A látszólagos, a meddő és a hatásos teljesítmények között az alábbi összefüggés áll fenn:

Pl 2  Ph2  Pm2 ,

(6.53)

sin 2   cos 2   1

(6.54)

amelyet a

Im=Isinφ

6.16. ábra. A hatásos és meddő áram definiciója

összefüggés segítségével könnyen igazolhatunk:





Pl 2  U 2 I 2 cos 2   U 2 I 2 sin 2   U 2 I 2 cos 2   sin 2   U 2 I 2 (6.55) A háromféle teljesítményt a villamos berendezéseken a teljesítmény mértékegységének különböző írásával különböztetik meg. A hatásos teljesítményt W , a látszólagos teljesítményt VA és a meddő teljesítményt VAr (ejtsd: volt-amper reaktív) jelöli. A váltakozóáramú hálózatok számítása során az áramok és feszültségek komplex számok. A teljesítmény ezek segítségével is meghatározható. A fogyasztón átfolyó komplex áram és a rajta eső komplex feszültség segítségével számított ún. komplex teljesítményt megkapjuk, ha a komplex feszültséget szorozzuk a komplex áram konjugáltjával: S  UI  .

(6.56)

A komplex teljesítmény valós része a hatásos teljesítményt, képzetes része pedig a meddő teljesítményt adja: - 82 -

Elektrotechnika Ph  Re S

és

Pm  Im S .

(6.57)

Induktív fogyasztón a komplex teljesítmény képzetes része pozitív (az áram késik a feszültséghez képest), mert az induktív fogyasztó meddő teljesítményt vesz fel. Kapacitív fogyasztón a komplex teljesítmény képzetes része negatív (az áram siet a feszültséghez képest), mert a kapacitív fogyasztó meddő teljesítményt ad le. A 6.49. és 6.51. képletekkel számított teljesítményeket akkor kapjuk előjelhelyesen, ha a  fázisszöget az I áramtól az U feszültség felé mérjük, vagyis a fázisszöget akkor tekintjük pozitívnak, ha az áram késik a feszültséghez képest. Ekkor az áramtól a feszültség irányába (óramutató járásával ellentétesen) mért fázisszög pozitív.

- 83 -

Mentes Gyula 7. VILLAMOS MENNYISÉGEK MÉRÉSE Ebben a fejezetben csak az elektromechanikus műszerekkel foglalkozunk. A korszerű elektronikus elven működő analóg és digitális műszerek elvével az „Elektronika„ című tantárgy keretében ismerkedünk meg. 7.1. Áram és feszültség mérése 7.1.1. Deprez-műszerek Áram- és feszültségmérésre leggyakrabban használt elektromechanikus műszer a Deprez-műszer, amelynek felépítését a 7.1. ábra mutatja. A műszer működése azon alapul, hogy egy árammal átjárt vezetőkeretre mágneses térben nyomaték hat. Deprez-műszerekben a mágneses teret állandómágnes segítségével állítják elő. Állandómágnes A mágneses erővonalak a mágneshez csatlakozó lágyvassaruk és a köztük lévő lágyvashengeren keresztül záródnak. A saruk Skála és a lágyvashenger közti légrésben forog az Lágyvassaruk áramtól átjárt finoman csapágyazott könnyű keret, amelynek tengelye a legkisebb áram Lágyvashenger hatására is beállna a mágneses tér irányába. Hogy az árammal arányos kitérést kapjunk, Spirálrugó egy spirálrugó egyik vége a keret tengelyé Tekercs hez, másik része pedig a műszer állórészéhez csatlakozik. A keret ill. a hozzá erősített mutató addig tér ki, míg a keret árama által létrehozott kitérítő nyomaték és a spirálrugó visszatérítő nyomatéka egymással egyenlő I nem lesz M K  M V  . Az áram által létrehozott kitérítő7.1. ábra. Deprez-műszer elve nyomaték arányos a keret által kifeszített felülettel, a légrésben lévő indukcióval. Mivel mindkettő állandó nagyságú, ezért írhatjuk, hogy M K  kI . A rugó visszatérítő nyomatéka arányos a kitéréssel és a rugóállandóval, vagyis M V  Cr . A két nyomaték egyenlőségéből következik, hogy a Deprez-műszer kitérése arányos az árammal:



k I  k' I . Cr

(7.1)

Feszültség mérése esetén a tekercsbe a feszültséggel arányos áramot vezetünk be. A Deprez-műszer kitérítéséhez szükséges áram és feszültség közötti kapcsolatot a műszer Rb belső ellenállása fejezi ki. Azt az áramot ill. feszültséget, melynek hatására a műszer végkitérésbe tér ki U m -mel ill. I m -mel jelöljük. E kettő között is a műszer Rb belső ellenállása teremt kapcsolatot:

- 84 -

Elektrotechnika

Rb 

Um . Im

(7.2)

A Deprez-műszereket e három mennyiség közül kettő egyértelműen jellemzi. Deprezműszerekkel váltakozó áram közvetlenül nem mérhető, mivel az áram iránya periódikusan változik, és a változó irányú nyomaték hatására a mutató ide-oda leng. Nagyobb frekvencia esetén a lengőrész a gyors irányváltozásokat nem képes követni, ezért a műszer nem tér ki. Deprez-műszerekkel váltakozó áram vagy feszültség csak úgy mérhető, ha előbb azt egyenirányítják. 7.1.2. Lágyvasas műszerek A lágyvasas műszerek egyaránt alkalmasak egyen ill. váltakozó feszültség mérésére. E műszereknél a forgástengelyre C  excentrikusan ékelt aszimmetrikus lágyvaslemezke B  helyezkedik el az álló tekercsben  A , amely a benne folyó áram erősségétől függően a lemezkét magába húzza, vagyis az aszimmetrikus lemezkét a tekercs mágneses tere elforgatja. A visszatérítő nyomatékot itt is spirálrugó D  szolgáltatja (7.2. ábra). A lengőrész lengéseinek csillapítására az E csillapító szolgál. Lágyvasas műszerek esetében az állótekercs az áram irányától függetlenül vonzza a lágyvaslemezkét. Ezért használhatók ezek a műszerek egyen és váltakozó áramok mérésére.

7.2. ábra. Lágyvasas műszer felépítése 7.1.3. Áram- és feszültségmérők méréshatárának kiterjesztése A Deprez ill. lágyvasas műszerekkel közvetlenül mérhető áramok és feszültségek nagyságrendje 10A . . .100 mA ill. 10V . . .1V . Ha ennél nagyobb áramokat ill. feszültségeket szeretnénk mérni, akkor a műszer méréshatárát meg kell növelni. Legyen az alapműszer U végkitéréséhez szükséges feszültség U m , ekkor a műszeren I m  m áram folyik át. Ha azt Rb szeretnénk, hogy a műszer U  n  U m hatására térjen ki végkitérésbe, akkor egy R e előtétellenállást kapcsolunk sorba a műszerrel (7.3a. ábra), amelynek értéke:

Re 

U  U m n U m  U m U   n  1 m  n  1Rb . Im Im Im

- 85 -

(7.3)

Mentes Gyula Árammérő méréshatárát a 7.3b. ábra kapcsolása szerint egy párhuzamosan kapcsolt, Rs söntellenállás segítségével növelhetjük meg. Ha azt akarjuk, hogy a műszer I  n  I m áram hatására kerüljön végkitérésbe, akkor a söntellenállás értéke:

Rs 

Um Um  I  Im n  Im  Im

Um I R  m  b . n 1 n 1

Rb Im

Rb

Im

V

(7.4)

A Um Rs

Um

I-Im

U-Um

I

Re U

a.

b.

7.3. ábra. Feszültség- (a) és árammérő (b) méréshatárának kiterjesztése 7.2. Villamos teljesítmény mérése Ha a Deprez-műszerben az állandómágnes helyett a mágneses teret I a egyenáramú gerjesztéssel állítjuk elő, akkor elektrodinamikus műszerről beszélünk (7.4. ábra). Ha ez az áram állandó, akkor a műszer áram- és feszültségmérésre használható. Az elektrodinamikus műszer a fogyasztó teljesítményének mérésére alkalmas, ha a mágneses teret a fogyasztón átfolyó árammal gerjesztjük, a műszer forgórészébe pedig a fogyasztón eső feszültséggel arányos áramot vezetünk. A műszer váltakozóáramú teljesítmény mérésére is alkalmas, mivel a fogyasztó áramának és feszültségének iránya mindig azonos. Matematikailag bizonyítható, hogy a műszer kitérése:

Ia

Skála Lágyvassaruk Lágyvashenger 

Spirálrugó Tekercs

If=cU

  kIa  I f cos   kI  cU cos   k ' IU cos  , 7.4. ábra. Elektrodinamikus műszer vagyis a műszer hatásos teljesítményt mér. (wattmérő) elve A fogyasztó teljesítményének mérése és a wattmérő jelképi jelölése a 7.5. ábrán látható. A műszer kitérése akkor pozitív, ha a fogyasztón átfolyó áram a wattmérő áramtekercsének I K -val jelölt, ill. a fogyasztó feszültségével arányos áram a feszültség (forgórész) tekercs - 86 -

Elektrotechnika

U K -val jelölt kezdetén folyik be. Ezért a feszültség és áramtekercs kezdetét mindig össze kell kötni. Az áramtekercs közel nulla ellenállása miatt a feszültségtekercsre jutó feszültség közel megegyezik a fogyasztó feszültségével. Ia=I

UK

IK U

áramtekercs feszültség tekercs

Rf

7.5. ábra. Fogyasztó teljesítményének mérése elektrodinamikus wattmérővel

- 87 -

Mentes Gyula 8. HÁROMFÁZISÚ FESZÜLTSÉGRENDSZER Háromfázisú feszültséget a 8.1. ábra szerinti elrendezésben, három egymással 120°-t bezáró tekercsben egy állandómágnes körbeforgatásával állíthatunk elő, ha az állandómágnes által létrehozott mágneses tér kerületi eloszlása szinuszos. Ekkor az egyes tekercsekben indukálódó feszültségek időfüggvényei az alábbi módon adhatók meg: u R  Uˆ sin t  2U sin t , u S  Uˆ sin t  120   2U sin t  120  , u  Uˆ sin t  240   2U sin t  240  , T

 

 

 

 

(8.1)

tehát az u R feszültséghez képest az uS 120 -kal, az uT pedig 240  -kal késik a mágnes forgási irányának megfelelően.

UR

É



UT

US D

8.1. ábra. Háromfázisú szinuszos feszültségrendszer előállítása

A háromfázisú feszültséget előállító generátorokban a tekercsek egyik végét egy pontban az ún. csillagpontban összekötik (csillagkapcsolás) és csak a tekercsek másik végét, az ún. fázisvezetőket, valamint a csillagpontot vezetik ki. Ez utóbbit nullavezetőnek nevezzük, mivel a földdel is összekötik. A továbbiakban a háromfázisú hálózatokban a generátor tekercseit nem rajzoljuk be. Az egyes fázisvezetők és a nullavezető között kapjuk az u R , u S , uT fázisfeszültségeket (8.2. ábra).

- 88 -

Elektrotechnika

R URS UTR

UR US

UST UT

S

R S T N

T

8.2. ábra. A háromfázisú szinuszos feszültségrendszer értelmezése A háromfázisú feszültségrendszert a komplex írásmóddal akkor írhatjuk le egyszerűen, ha valamelyik feszültség a pozitív valós tengely irányába mutat. Legyen ez a feszültség U R , ekkor az egyes fázisfeszültségek komplex értékei rendre: UR U 

U S  Ue  j120

(8.2)



U T  Ue  j 240

Ha a pozitív valós tengely függőlegesen felfelé mutat, akkor a három feszültségvektort a 8.3. ábrán látható módon lehet ábrázolni. Természetesen a három fázisfeszültség közül bármelyiket választhatjuk valósnak, csupán arra kell ügyelnünk, hogy az óramutató járásával megegyező irányban a vektorok R  S  T ( S  T  R vagy T  R  S ) sorrendben következzenek egymás után.

Valós t. UR=U

Képzetes t.

UT=Ue-j240

120

240

US=Ue-j120

8.3. ábra. A háromfázisú feszültségrendszer komplex ábrázolása

- 89 -

Mentes Gyula A 8.2. ábrán a fázisvezetők között mérhetjük az U RS , U ST , U TR vonali feszültségeket, amelyek két fázisvezető közötti feszültségek különbségeként definiálhatók a 8.4. ábrán megadott módon. A 8.4a. ábrából jól látható, hogy a vonali feszültségek vektorai is 120°-ot zárnak be egymással. A fázisfeszültségek effektív értéke U f  U R  U S  U T és a vonali feszültségek effektív értéke U v  U RS  U ST  U TR közötti összefüggést a 8.4b. ábra alapján vezethetjük le. A vonali feszültségek egyenlő oldalú háromszöget alkotnak. Az oldalak U v hossza a fázisfeszültség vektorok U f hosszával az alábbi módon fejezhető ki:

Uv 3 ,  U f cos 30   U f 2 2

(8.3)

U v  3U f .

(8.4)

amelyből

-UT

UR

UTR

U 2

UR UTR=UR-UT

UST

0 120

Uf 30

URS=US-UR

0

-US

US UT

UT URS

UST=UT-US

US

-UR

a.

b.

8.4. ábra. A fázis és vonali feszültségek közötti kapcsolat 8.1. Háromfázisú hálózat terhelése csillagkapcsolású fogyasztóval (Y kapcsolás) 8.1.1. Csillagkapcsolás nullavezetővel (kivezetett csillagponttal) tetszőleges terhelés esetén Kapcsoljunk a négyvezetékes háromfázisú rendszerre három különböző értékű impedanciát Z R  Z S  Z T  az egyes fázisok és a nullavezető közé a 8.5. ábrán látható módon (aszimmetrikus terhelés). Ezt nevezzük csillagkapcsolásnak. A 8.5a. és 8.5b. ábra a csillagkapcsolás különböző ábrázolási módjait mutatja. Az egyes fogyasztókra a fázisfeszültség jut, a fogyasztók áramai rendre:

IR 

U UR U , I S  S , IT  T . ZR ZS ZT - 90 -

(8.5)

Elektrotechnika

A 8.5. ábrára nézve láthatjuk, hogy a fogyasztókon keresztülfolyó áram, a fázisáram megegyezik a vonalon folyó ún. vonali árammal. Az N -nel jelzett ún. nullavezetőn folyó áramot megkapjuk, ha az 0 csomópontra felírjuk a csomóponti egyenletet (8.5a. ábra): I 0  I R  I S  IT .

(8.6)

A fogyasztók feszültségeit és áramait, valamint a nullavezetőn folyó áramot a 8.6. ábra mutatja. R

R

S

S

T

T

N

N URT

UST UTR

URS

URS R Z R

ZR R III. IR

T ZT

I.

UR

UT

UST

ZS

IT II. US

US

UR

T ZT UT

IR

IS

0

S ZS

IS

IT

S

a.

b.

8.5. ábra. Háromfázisú hálózat csillagkapcsolású fogyasztóval

R S T UR

N UST

S Z

R Z UR

US

T Z

0 I0

UT IS

IR

IS

IR

UST

URS

UT

IT

a.

I0

IT

IT US

IS

b.

8.6. ábra. Aszimmetrikus csillagkapcsolású terhelés esetén a fogyasztók és a nullavezető áramai

- 91 -

Mentes Gyula 8.1.2. Csillagkapcsolás nullavezető nélkül, szimmetrikus terhelés esetén Szimmetrikus terhelés esetén Z R  Z S  Z T  Z (8.7a. ábra). Szimmetriaokok miatt a fogyasztóra jutó fázisfeszültségek egyenlők egymással. A fogyasztók áramainak abszolút értékei is egyenlők:

I R  I S  IT  I f  I v 

Uf Z

(8.7)

.

A fogyasztók feszültségeit és áramait a 8.7b. ábra mutatja. Mivel az impedanciák azonosak, az egyes fázisáramok ugyanakkora  szöggel sietnek vagy késnek a fázisfeszültségekhez képest. (A 8.7b.ábra induktív jellegű terhelés esetén mutatja a vektorábrát.) Az egyes áramvektorok hossza megegyezik, a vektorok egymással szintén 120°-os szöget zárnak be, ezért eredőjük nulla, vagyis a nullavezetőn nem folyik áram: I R  I S  IT  0 .

(8.8)

A nullavezető tehát szimmetrikus terhelés esetén el is hagyható. R S T UR UTR URS R Z UR

S Z US

IR

IR

UST T

IT

Z



 0 

IS IT

UT IS

US

UT

IT

IS

a.

b.

8.7. ábra. Szimmetrikus csillagkapcsolású terhelés 8.1.3. Csillagkapcsolás nullavezető nélkül aszimmetrikus terhelés esetén Aszimmetrikus terhelés esetén az egyes fázisáramok összege nem nulla (8.6. ábra), ezért a nullavezetőn a fázisáramok összege folyna. Mivel nincs nullavezető, ezért az egyes fázisok feszültsége változik meg úgy, hogy a fázisáramok eredője nulla legyen. A vonali feszültségből alkotott háromszög megmarad szabályos háromszögnek, mert a hálózat feszültsége rögzített, de az impedenciák különbözősége miatt a 0  csillagpont most nem esik egybe a szabályos háromszög K  középpontjával (8.8. ábra). - 92 -

Elektrotechnika R

UTR

UR

U’R

URS

K UT

U0 U’T

T

0

U’S

US

UST

S

8.8. ábra. Csillagponteltolódás

Tételezzük fel, hogy a csillagpont U 0 feszültséggel tolódott el. Ha a megváltozott fázisfeszültségeket vesszővel jelöljük, akkor a 8.8. ábra alapján írhatjuk:

U R,  U R  U 0 , U S,  U S  U 0 ,

(8.9)

U  UT U 0. , T

Ha az egyes fázisimpedanciák: Z R , Z S és Z T , akkor a fázisáramok:

U R, U R  U 0 IR   , ZR ZR IS 

U S, U S  U 0  , ZS ZS

IT 

U T, U T  U 0  . ZT ZT

(8.10)

Ez a három egyenlet négy ismeretlent tartalmaz. A negyedik egyenletet a csillagpontra felírt csomóponti törvény adja. Minthogy nincs nullavezeték: I R  I S  IT  0 .

(8.11)

Ide behelyettesítve I R , I S és I T értékét:

U R  U 0 U S  U 0 UT  U 0    0. ZR ZS ZT Ha az impedanciákkal tagonként osztunk, akkor a rendezés után:

- 93 -

(8.12)

Mentes Gyula

 1 U R U S UT 1 1   .    U 0    Z R Z S ZT  Z R Z S ZT 

(8.13)

Innen a csillagponteltolódás értéke: U R U S UT   Z R Z S ZT U0  1 1 1   Z R Z S ZT

(8.14)

8.2. Háromfázisú hálózat háromszögkapcsolású terheléssel (  kapcsolás) A fogyasztókat (impedenciákat) a 8.9. ábra szerint is kapcsolhatjuk. Az ábrán látható két kapcsolás megegyezik egymással. Az ábrából látható, hogy ebben az esetben a fogyasztó fázisára jutó feszültség megegyezik a vonali feszültséggel, tehát U f  Uv .

(8.15)

Aszimmetrikus terhelés esetén Z R  Z S  Z T  a fogyasztó fázisáramai rendre:

I RS 

U RS U U , I ST  ST , I TR  TR . Z RS Z ST Z TR

(8.16)

A hálózatot terhelő vonali áramokat megkapjuk, ha a 8.9. ábra R , S , T pontjaira felírjuk a csomóponti egyenleteket:

I R  I RS  I TR I S  I ST  I RS

(8.17)

I T  I TR  I ST R

R

S

S

T

T

UST UTR IT

R

UTR URS

URS IR

R

IS

UST S

IRS ITR

T IST

ITR

IRS ZRS

ZTR ZRS

ZST

ZTR

ZST

T

IST

S

8.9. ábra. Háromfázisú hálózat deltakapcsolású terheléssel

- 94 -

Elektrotechnika Szimmetrikus a terhelés, ha Z R  Z S  Z T  Z . Ekkor a fogyasztó fázisáramainak abszolút (effektív) értékei is megegyeznek:

I RS  I ST  I TR  I f 

Uf Z



Uv . Z

(8.18)

A fázisáramok az impedanciák jellegétől függően  szöggel késnek vagy sietnek a saját fázisfeszültségükhöz képest (8.10. ábra), és irányuk egymással 120-ot zár be. A vonali áramok, amelyek a 8.17. összefüggésekkel számíthatók, szintén azonos abszolút értékűek és a közöttük lévő szög 120. A 8.10. ábrába a vonali áramokat is berajzoltuk. Az ábrára pillantva beláthatjuk, hogy:

I v  2 I f cos 30   3 I f .

(8.19)

URS =UV

IR =IV

30  I =I RS f

ITR =If  UTR =UV

IS =IV



IST =If

UST =UV

IT =IV 8.10. ábra. Háromfázisú hálózat feszültségei és áramai szimmetrikus deltakapcsolású terhelés esetén 8.3. Háromfázisú áramrendszer teljesítménye Minthogy a háromfázisú rendszer három egyfázisúból tevődik össze, ezért a fázisteljesítmények összege adja a háromfázisú teljesítményt. A hatásos teljesítmény:

P  PR  PS  PT ,

(8.20)

a meddő teljesítmény:

Q  QR  QS  QT ,

(8.21)

a látszólagos teljesítmény:

S  P2  Q2 .

(8.22)

Aszimmetrikus terhelés esetén mindegyik fázisban más és más a fáziseltolás, ezért a

- 95 -

Mentes Gyula cos  

P S

(8.23)

képletből számított teljesítménytényezőnek fizikai értelme nincsen. Szimmetrikus terhelés esetén az egyes fázisok teljesítménye és teljesítménytényezője azonos, ezért PR  PS  PT  U f I f cos 

(8.24)

P  3U f I f cos  .

(8.25)

QR  QS  QT  U f I f sin  ,

(8.26)

Q  3U f I f sin  .

(8.27)

és így

Hasonló módon:

és így

Minthogy most mind a három fázisban azonos a fáziseltolás, ezért: cos  

P . S

(8.28)

Szimmetrikus terhelés esetén a vonali értékkel is kiszámíthatjuk a teljesítményt. Csillagkapcsolásban: Uf 

Uv

P3

Uv

3

, I f  Iv ,

(8.29)

I v cos   3U v I v cos  .

(8.30)

ezért:

3

Háromszögkapcsolásban: U f  Uv , I f 

Iv 3

ezért:

- 96 -

,

(8.31)

Elektrotechnika P  3U v

Iv 3

cos   3U v I v cos  .

(8.32)

Ezek szerint mind csillag-, mind háromszögkapcsolásban a vonali értékekkel kifejezett hatásos teljesítmény:

P  3U v I v cos  .

(8.33)

Hasonlóképpen kimutatható, hogy a meddő teljesítmény:

Q  3U v I v sin  ,

(8.34)

S  3U v I v .

(8.35)

és a látszólagos teljesítmény:

8.4. Háromfázisú teljesítmény mérése Attól függően, hogy a terhelés szimmetrikus, vagy aszimmetrikus és hogy három vagy négyvezetékes rendszerrel állunk-e szemben, a háromfázisú teljesítmény mérését többféleképpen végezhetjük el. 8.4.1. Teljesítmény mérése négyvezetős (nullvezetős) háromfázisú rendszerben. Az aszimmetrikus terhelés miatt mindhárom fázisban más és más a fogyasztók teljesítményfelvétele, ezért az általuk egyidejűleg felvett teljesítményt csak három wattmérővel mérhetjük meg a 8. 11. ábrán látható módon. A wattmérők áramtekercsein az egyes fázisok áramai folynak át, a feszültségtekercsek pedig a fázisfeszültségekre (egy fázisvezeték és a nullvezeték közti feszültség) vannak kapcsolva, tehát a wattmérők egy-egy fázis teljesítményét mérik. A háromfázisú teljesítményt a három wattmérő által mutatott érték összege adja. Ez a módszer mind szimmetrikus, mind aszimmetrikus terhelés esetén helyes eredményt ad.

Rx fogyasztó felé

Sx Tx

x

nullvezeték

8.11. ábra. Aszimmetrikus terhelés által felvett teljesítmény mérése nullvezetékes rendszerben

- 97 -

Mentes Gyula Szimmetrikus terhelés esetén a teljesítményt egy wattmérővel is megmérhetjük a 8.12. ábrán látható módon és a fogyasztó által felvett teljesítményt az egy fázisban mért teljesítmény háromszorosa adja. Aszimmetrikus terhelés esetén ez a módszer nem használható. Ha azonban a fogyasztó által felvett teljesítmény mindhárom fázisban időben állandó, akkor az egyes fázisok teljesítményeit egymás után megmérve a felvett teljesítményt a három teljesítmény összege adja. Természetesen ez a módszer folyamatosan üzemelő fogyasztó esetében nem alkalmazható.

Rx fogyasztó felé

Sx Tx

nullvezeték 8.12. ábra. Háromfázisú teljesítmény mérése négyvezetékes rendszerben szimmetrikus terhelés esetén 8.4.2. Teljesítmény mérése háromvezetős háromfázisú rendszerben Nullvezeték nem lévén a három wattmérő feszültségtekercseinek végeit mesterséges csillagpontban egyesítjük. A háromfázisú teljesítményt úgy kapjuk, hogy az egyes wattmérők által mutatott értékeket összeadjuk. Ez a módszer mind szimmetrikus, mind aszimmetrikus terhelés esetén és akkor is használható, ha a három wattmérő feszültségkörének ellenállása nem egyenlő, tehát pl. ha három különböző típusú más-más méréshatárú wattmérővel mérünk. A háromfázisú teljesítmény a három wattmérő által mutatott érték összegével egyenlő, azonban ebben az esetben az egyes wattmérők által jelzett teljesítménynek külön-külön fizikai értelme nincs.

Rx Sx

fogyasztóhoz

Tx

8.13. ábra. Háromfázisú teljesítmény mérése háromvezetékes rendszerben

- 98 -

Elektrotechnika Háromvezetékes rendszerben a teljesítményt két wattmérővel is megmérhetjük a 8.14. ábrán látható Áron-kapcsolásban. Ez a módszer szimmetrikus és aszimmetrikus terhelés esetén egyaránt helyes eredményt ad, azonban feltétel, hogy nullvezeték ne legyen. A fogyasztó akár csillagba, akár deltába kapcsolható ez a mérés eredményét nem befolyásolja.

Rx

WI

IR

UR-US Sx

IS

0 UT –US

Tx

IT WII

8.14. ábra. Áron-kapcsolás Most vizsgáljuk meg, hogy hogyan kapjuk a háromfázisú teljesítményt. Jelöljük az egyes fázisokban folyó áramok pillanatértékeit i R -rel, iS -sel és iT -vel ill. az egyes fázisok feszültségének pillanatértékeit u R -rel, u S -sel és uT -vel. A W I wattmérő áramtekercsében i R fázisáram folyik csillagkapcsolású fogyasztót tételezve fel - míg a wattmérő feszültségtekercse a uR  uS  uV vonalfeszültségre van kapcsolva, tehát az általa mutatott teljesítmény: PI .  iR u R  u S  .

(8.36)

A W II wattmérő áramtekercsében ugyancsak iT fázisáram folyik, feszültségtekercse pedig a uT  u S  uV vonalfeszültségre van kapcsolva, tehát a WII által mutatott teljesítmény: PII .  iT uT  u S  .

(8.37)

Ha a két wattmérő által jelzett teljesítményeket összeadjuk, akkor megkapjuk a fogyasztott háromfázisú teljesítmény nagyságát: P  PI .  PII .  iR u R  u S   iT uT  u S  .

(8.38)

Ezen állításunkat az alábbi módon bizonyíthatjuk be. A csillagpontra mint csomópontra felírható Kirchhoff I. törvénye: i R  iS  iT  0 ,

(8.39)

ebből

iS  i R  iT .

(8.40) - 99 -

Mentes Gyula Írjuk fel a háromfázisú teljesítmény pillanatértékét a fázisáram és a fázisfeszültség pillanatértékeivel: P  iR u R  iS u S  iT uT .

(8.41)

Ebbe az összefüggésbe 8.40. kifejezést behelyettesítve: P  iR u R  u S  iR  iT   iT uT ,

(8.42)

ebből P  iR u R  u S   iT uT  u S   PI .  PII . ,

(8.43)

tehát előbbi állításunkat igazoltuk. Ha ez a megállapítás a pillanatértékekre igaz, igaz a wattmérők által jelzett időbeli középértékekre is. Ennél a kapcsolásnál előfordul, hogy - mindkét wattmérő helyes bekötésének ellenére - az egyik wattmérő negatív irányba tér ki. Ez akkor fordul elő, ha a fogyasztó fázisszöge 60nál nagyobb. Ennek igazolására rajzoljuk fel az Áron-kapcsolás vektorábráját. US UR

UV

IR UV -US



30 IT UT



 30

US IS

8.15. ábra. Áron-kapcsolás vektorábrája Az ábrából látható, hogy W I -es wattmérő áramtekercsén I R fázisáram folyik, feszültségtekercse pedig vonalfeszültségre van kapcsolva, a WII wattmérő áramtekercsén ugyancsak fázisáram I T folyik, feszültségtekercse pedig szintén U T  U S  U V vonalfeszültségre van kapcsolva. A vektorábra csillagkapcsolású fogyasztóra vonatkozik, a levezetett összefüggések azonban deltakapcsolású fogyasztóra is érvényesek. Írjuk fel a vektorábra alapján a W I -es és WII -es wattmérők által mutatott teljesítményeket. PI .  I RU V cos30    ,

(8.44)

PII .  I T U V cos30    .

(8.45)

Nézzük meg, hogy szimmetrikus induktív jellegű fogyasztók esetében, különböző  értékeknél milyen lesz az egyes wattmérők kitérése. - 100 -

Elektrotechnika 1.   0 mindkét wattmérő kitérése egyenlő 2.   60 mindkét wattmérő kitérése pozitív 3.   60 WI -es wattmérő kitérése nulla 4.   60 WII -es wattmérő kitérése negatív A 4-es esetben a wattmérő feszültségtekercsének kapcsait fel kell cserélni, ekkor a wattmérő pozitív irányban fog kitérni, de jelzett teljesítményt a WII wattmérő által jelzett teljesítményből le kell vonni. Tehát ha cos   0,5 , akkor a két wattmérő kitérését össze kell adni, ha cos   0,5 , akkor ki kell vonni. Ha nem ismerjük a fázisszöget és a kapcsolásból nem tudjuk egyértelműen eldönteni, hogy a két wattmérő teljesítményét összeadjuk-e vagy kivonjuk, akkor a következőképpen járunk el. A W I -es tehát kisebb kitérést mutató wattmérő feszültségtekercsének S fázishoz kapcsolt végét, felváltva a T ill. az S fázisokhoz kapcsoljuk. Ha mindkét kitérés azonos irányú, akkor cos   0,5 a wattmérő kitérését pozitívnak kell venni és a két műszer által mutatott értéket össze kell adni. Ha a kitérés egyik esetben pozitív, a másik esetben negatív, akkor a két wattmérő által mutatott teljesítményt egymásból kivonjuk. Ha a terhelés szimmetrikus, akkor a két wattmérő által jelzett teljesítményből a fogyasztó fázisszöge kiszámítható. Alkalmazzuk a 8.44 és 8.45 összefüggésekben a szögek öszszegének és különbségének koszinuszára vonatkozó trigonometriai összefüggéseket, valamint az I R  I T  I f  I V összefüggést, amely azt fejezi ki, hogy csillagkapcsolású szimmetrikus fogyasztó esetében a fázisáramok megegyeznek a vonali áramokkal és minden fázisban azonosak: PI .  I V U V cos 30 cos   I V U V sin 30 sin  ,

(8.46)

PII .  I RU V cos 30 cos   I RU V sin 30 sin  .

(8.47)

Az ismert szögfüggvényértékeket behelyettesítve: PI .  I V U V

3 sin  , cos   I V U V 2 2

(8.48)

PII .  I T U V

3 sin  cos   I V U V 2 2

(8.49)

és a két wattmérő által mutatott teljesítmények összegét és különbségét felírva

PII .  PI .  3I V U V cos  ,

(8.50)

PII .  PI .  I V U V sin  .

(8.51)

A két egyenletet egymással osztva a fázisszög számítható:

tg  3

PII .  PI . . PII .  PI .

- 101 -

(8.52)

Mentes Gyula Háromvezetékes rendszernél szimmetrikus terhelés esetén egy wattmérővel is megmérhető a teljesítmény a 8.16. ábrán látható módon. A wattmérő által mutatott értéket hárommal szorozva megkapjuk a háromfázisú teljesítményt.

Rx fogyasztóhoz

Sx Tx

mesterséges csillagpont 8.16. ábra. Szimmetrikus terhelésű fogyasztó teljesítményének mérése háromvezetékes rendszerben egy wattmérővel.

- 102 -

Elektrotechnika 9. TRANSZFORMÁTOR A transzformátorok olyan átalakítók, amelyek adott váltakozó áramú és feszültségű villamos teljesítményt másik feszültségű és áramú villamos teljesítménnyé alakítanak át. Szokás a transzformátort a villamos gépek közé is sorolni. A transzformátorok egyik legfontosabb felhasználási területe a villamos energiagazdálkodás és továbbítás. Mint tudjuk, azonos teljesítményt nagy feszültségen kisebb árammal lehet átvinni, ezért a vezetéken eső veszteség csökken, ill. az adott teljesítmény átviteléhez kisebb keresztmetszetű vezeték szükséges, ami az energiaátviteli hálózat építési költségeit csökkenti. A gyakorlatban az ún. energiaátviteli (egy- és háromfázisú) transzformátorok mellett nagyon sokféle, pl. leválasztó-, mérő-, takarék-, hegesztő-, fázisváltó, impulzustechnikai, hiradástechnikai, légmagos, stb. transzformátort alkalmaznak. E jegyzetben ezek közül csak néhány működését ismertetjük. 9.1. Egyfázisú transzformátor felépítése és működése Az egyfázisú transzformátor egy zárt vasmagon elhelyezett két tekercsből áll. Az egyik az N 1 menetszámú primer, a másik pedig az N 2 menetszámú szekunder tekercs. A primer tekercset U 1 feszültségre kapcsoljuk és az U 2 áttranszformált feszültséget a szekunder tekercsről vesszük le. Az egyfázisú transzformátor felépítését a 9.1. ábra jelképi jelöléseit pedig a 9.2. ábra mutatja.

I2

Φ

I1

N1

U1

S2

U2

N2

S1

oszlop

járom

9.1. ábra. Az egyfázisú transzformátor felépítése Ha a primer tekercset szinuszos váltakozófeszültségre kapcsoljuk, akkor az A keresztmetszetű vasmagban egy szinuszosan váltakozó fluxus jön létre, amely mind a primer, mind a szekunder tekercsen áthalad, ezért ezt főfluxusnak nevezzük:

ˆ  sin t  Bmax  A sin t 

- 103 -

(9.1)

Mentes Gyula Ez a fluxus mind a primer, mind pedig a szekunder tekercsben feszültséget indukál: ui1 t   N1

ill.

d d (sin t )  N1 Bmax  A  N1 Bmax  A cos t dt dt

d d (sin t ) ui 2 t   N 2  N 2 Bmax  A  N 2 Bmax  A cos t dt dt

(9.2)

A 9.1 és 9.2 képletek összehasonlításából láthatjuk, hogy szinuszosan változó főfluxus esetén a primer és szekunder indukált feszültségek koszinuszosan változnak, vagyis az indukált feszültségek 90  -kal sietnek a főfluxushoz képest. A feszültségek csúcsértékei

Uˆ i1  N1 Bmax  A

Uˆ i 2  N 2 Bmax  A

ill.

(9.3)

A csúcsértékekből az effektív értékeket felírva és felhasználva, hogy   2f : U i1 

N1 BA 2  N1 BAf  4,44 N1 BAf 2 2

(9.4)

ill. hasonló levezetéssel a szekunder indukált feszültség effektív értéke U i 2  4,44 N 2 BAf .

(9.5)

A primer indukált feszültség (9.4) és a szekunder indukált feszültség (9.5) hányadosát a transzformátor áttételének nevezzük:

a

u i1 N1  ui 2 N 2

A transzformátort veszteségmentesnek feltételezve, a primer oldalon felvett teljesítmény P1 egyenlő a szekunder oldalon leadott P2 teljesítménnyel:

U1 I1  U 2 I 2 ,

(9.6)

U1 I 2  U 2 I1

(9.7)

amelyből

Ezt az összefüggést a transzformátor áttételének képletébe behelyettesítve:

a

N1 U 1 I 2   . N 2 U 2 I1

(9.8)

A gyakorlatban megvalósított transzformátorok veszteségesek. Hatásfokuk:   95 ... 99 % . Minél nagyobb méretű a transzformátor, általában, annál nagyobb a hatásfoka.

- 104 -

Elektrotechnika

I2

I1

U1

I1

U2

I2

U1

U2

9.2. ábra. Az egyfázisú transzformátor jelképi jelölései Veszteségmentes transzformátort feltételezve, a primer és szekunder gerjesztések egyensúlyt tartanak egymással ( N1 I1  N 2 I 2 ). Veszteséges transzformátor esetében a primer és szekunder gerjesztések különbsége egyenlő a főfluxust létrehozó gerjesztéssel, amelyet a primer tekercs hoz létre: N 1 I 1  N 2 I 2  N1 I g . (9.9) Ebből a primer áramot kifejezve: I1  I g 

I2 . a

(9.10)

A fenti összefüggésből látható, hogy a primer áram a főfluxust létrehozó gerjesztőáramból és a szekunder áram a-ad részéből tevődik össze. 9.2. Az egyfázisú transzformátor helyettesítő képe Az egyfázisú transzformátor helyettesítő képét a 9.1. ábra alapján rajzolhatjuk meg. Az ábrából láthatjuk, hogy a primer tekercs létrehozza a szekunder tekercsen keresztül záródó  főfluxust, amely az indukált feszültségeket hozza létre. Ezen kívül mind a primer, mind pedig a szekunder tekercs létrehoz olyan fluxust is, amely csak saját magában a primer (  s1 ) vagy szekunder (  s 2 ) tekercsben záródik és nem vesz részt az indukált feszültség létrehozásában. Mindegyik fluxust úgy tekinthetjük, mintha különálló tekercsek hoznák létre azokat. Mindegyik tekercsnek van ohmos ellenállása. Ennek megfelelően a transzformátor primer és szekunder körének helyettesítő képét a 9.3. ábra mutatja. Az ábrán R1 és R2 a primer és a szekunder tekercs ohmos ellenállása X S 1 és X S 2 a tekercsek fluxusát reprezentáló szórási reaktanciák és X m a főfluxust létrehozó reaktancia. A primer és szekunder oldal (az A-B és C-D pontok) nem köthetők össze, mivel U i1 a transzformátor áttétele miatt nem egyenlő U i 2 vel, vagyis az A-B és C-D pontok csak akkor köthetők össze, ha az A-C és B-D pontok közötti feszültség megegyezik. A két feszültség egyenlővé tehető, ha a transzformátor szekunder

- 105 -

Mentes Gyula oldali mennyiségeit a primer oldalra redukáljuk. Ehhez írjuk fel a huroktörvényt a szekunder oldalra a berajzolt körüljárási irány szerint és fejezzük ki U i 2 -t: U i 2  I 2  X S 2  I 2R2  U 2 .

(9.11)

Szorozzuk be a fenti egyenletet a transzformátor áttételével, vagyis a -val: aU i 2  aX s 2 I 2  aR2 I 2  aU 2 .

(9.12)

A fenti egyenletben az I 2 -t tartalmazó tagokat szorozzuk és osszuk a -val:

aU i 2  a 2 X s 2

I2 I  a 2 R2 2  aU 2 . a a

(9.13)

Mivel aU i 2  U i1 , ezért a primer és szekunder oldal összeköthető. Ekkor a szekunderköri elemek értéke a fenti egyenletnek megfelelően megváltozik. R2'  a 2 R2 a transzformátor primer oldalra redukált szekunderköri ellenállása, X S' 2  a 2 X S 2 a transzformátor szekunderköri szórási reaktanciájának primer oldalra redukált értéke (primer oldalra redukált szekunder szóI rási reaktancia), I 2'  2 a primer oldalra redukált szekunder áram, U 2'  aU 2 a primer oldala ra redukált szekunder feszültség. Láthatjuk, hogy a szekunder feszültséget és áramot a 9.8 összefüggésnek megfelelően transzformálja a transzformátor a primer oldalra, a szekunderköri ellenállást ill. reaktanciát pedig az áttétel négyzetével.

I1

U1

R1

XS1

A

Ui1

B

Ui2

Xm

C

XS2

I2

R2

U2

D

9.3. ábra. A transzformátor primer és szekunder körének helyettesítő képe A 9.4. ábrán látható helyettesítő kép nem veszi figyelembe a transzformátor veszteségét, amely két részből, hiszterézis és örvényáramú veszteségből tevődik össze. A  főfluxus szinuszosan változik, ezért a transzformátor vasmagja periódikus átmágnesezésnek van kitéve. A vasmag mágneses doménjei mindig a külső tér irányába állnak be, ezért ide-oda forognak. Eközben a domének egymáson súrlódnak, amely a vasat melegíti. Mivel a vasmag periódikus átmágnesezéséhez szükséges energia a mágnesezési (hiszterézis) görbe területével arányos, ezért ezt a veszteséget hiszterézis veszteségnek nevezzük. Ez a veszteség sovány hiszterézisgörbéjű ferromágneses anyag alkalmazásával csökkenthető.

- 106 -

Elektrotechnika

I1

R1

X’S2

XS1

U1

Xm

R’2

Ui1

I’2

U’2

9.4. ábra. A transzformátornak a vasveszteségek elhanyagolásával kapott helyettesítő képe

A  főfluxus nemcsak a tekercsekben, hanem a vasmagban is indukál feszültséget. Vágjuk el gondolatban a primer tekercsnél az oszlopot a tekercsre merőlegesen. A metszetet a 9.5a. ábra mutatja. Az ábrán a primer tekercset csak egyetlen menet jelöli. A vasmag az örvényáramok szempontjából úgy fogható fel, mintha koncetrikusan elhelyezett körvezetőkből állna. A primer tekercsben folyó áram által létrehozott fluxus – Lenz-törvénye értelmében – a vasban olyan irányú örvényáramokat indukál, amely az őt létrehozó változást csökkenteni igyekszik, vagyis I ö ellentétes irányú az I 1 -gyel. Az örvényáramú veszteséget a vasmag ellenállásának növelésével lehet csökkenteni. Ha a vasmag ellenállását k -szorosára növeljük I Rv'  kRv , akkor az örvényáram I ö'  ö lesz, és az örvényáram veszteség Pö  I ö2  Rv  is k k 2 I 2R   Iö  ' ad részére csökken, mind Pö     k  Rv  ö v . A vasmag ellenállását az Rv   A k k  összefüggésnek megfelelően a fajlagos ellenállás és az  áramút megnövelésével lehet elérni. A fajlagos ellenállást a vasmag 2 ... 4 % Si ötvözésével, míg az áramutat a 9.5b. ábrán látható módon a vasmag lemezelésével és a lemezek egymástól való elszigetelésével növelik meg.

Iö

I1

a.

b.

9.5. ábra. Örvényáramok keletkezése (a) és az örvényáram veszteség csökkentése (b) a vasmag lemezelésével A transzformátor helyettesítőképében a vasveszteséget akkora ellenállással vesszük figyelembe, amely annyit fogyaszt, amennyi a transzformátor vesztesége. A 9.6. ábra a vas- 107 -

Mentes Gyula magos transzformátor helyettesítő képét mutatja. A helyettesítő kép egyes ellenállásainak (reaktanciáinak) egymáshoz viszonyított értékei: R1  R2'  0,1....10 ; X S1  X S' 2  2R1;

I1

R1

X m  1000R1;

X’S2

XS1

RV  10 X m .

I’2

R’2

Ig U1

Im

Ui1

Xm RV

U’2

IV

9.6. ábra A vasmagos transzformátor helyettesítő képe

9.3. A transzformátor veszteségeinek meghatározása A transzformátor üresjárásában I 2'  0 , ezért R2' és X S' 2 a helyettesítő képből elhagyható. A felvett áramot X m és RV határozza meg, mivel értékük több nagyságrenddel nagyobb, mint R1 és X S1 értéke. Üresjárásban RV határozza meg a felvett hatásos teljesítményt, amely a vasveszteséget adja meg (9.7. ábra).

I1

R1

XS1

Ph U1

Xm

RV

9.7. ábra. Transzformátor vasveszteségének meghatározása az üresjárásban felvett hatásos teljesítmény mérésével

A transzformátor tekercselési vagy más néven rézveszteségét úgy határozhatjuk meg, hogy megmérjük a transzformátor által felvett hatásos teljesítményt akkor, ha a szekundertekercs rövidre van zárva. Ebben az esetben a primer tekercset nem kapcsolhatjuk az U 1n névleges feszültségre, mert a transzformátor tönkremegy. (A transzformátor névleges teljesítményének, áramának, feszültségének azt a teljesítményt, áramot ill. feszültséget nevezzük, amelyre a transzformátort készítették.) Rövidre zárt szekunder esetén a primerre akkora U 1Z - 108 -

Elektrotechnika feszültséget kapcsolunk, amely esetében a szekunder tekercsben a szekunder névleges áram I 2n  folyik. Mivel X m és RV sokkal nagyobb mint R1  R2' és X S1  X S' 2 , ezért rövidzárásban az X m -en és RV -n átfolyó áram elhanyagolható és a hatásos teljesítmény egyenlőnek vehető az R1 és R2' ellenállásokon, azaz a tekercsek ohmos ellenállásán elvesző teljesítménynyel (9.8. ábra).

I1=I’2n

R1

XS1

X’S2

R’2

Ig 0

Ph U1Z

9.8. ábra. A transzformátor rézveszteségének mérése

9.4. Egyfázisú transzformátorok párhuzamos üzeme Ha egy transzformátorral a szükséges teljesítmény nem vihető át, akkor megfelelő feltételek teljesülése esetén több transzformátor párhuzamosan kapcsolható. A párhuzamosan kapcsolhatóság feltételei: 1. Azonos primer névleges feszültség esetén legyenek a szekunder névleges feszültségek azonosak (azonos amplitúdó és fázis). 2. A transzformátorok dropja legyen azonos! Ha rövidrezárt szekunder esetén a primerre adható U 1Z feszültséget az U 1n primer névleges feszültséghez viszonyítjuk, akkor a transzformátor egyik igen fontos adatát, a dropot kapjuk: U   1Z  100 % . (9.14) U 1n A drop a transzformátor belső ellenállásával kapcsolatos mérőszám. Azonos szekunder névleges feszültségű transzformárorok szekunderfeszültsége azonos terhelés esetén ugyananynyit csökken, ha a dropjuk azonos. Ezáltal a párhuzamosan kapcsolt transzformátorok a terhelőáramot névleges teljesítményeik arányában szolgáltatják. 9.5. Háromfázisú transzformátorok A háromfázisú villamos teljesítmény transzformálása három darab egyfázisú transzformátorral is történhet. Ezt a megoldást azonban csak igen nagy teljesítmények transzformálásánál alkalmazzák. Egyéb esetben a háromfázisú transzformátorokat – hacsak a szállíthatóság azt nem korlátozza – háromoszlopos vasmaggal építik (9.9. ábra). A háromoszlopos vasmag minden oszlopán egy primer és egy szekunder tekercs helyezkedik el. Mind a primer, mind pedig a szekunder tekercsek csillagba, deltába vagy zeg-zugba kapcsolhatók. Zeg-zug - 109 -

Mentes Gyula kapcsolás esetén a primer vagy a szekunder tekercseket kettéosztják és a tekercs egyik felét másik oszlopon helyezik el. Az ilyen transzformátorok az aszimmetrikus terhelést jobban bírják. Csillag-csillag kapcsolású transzformátor aszimmetrikus terhelés átvitelére nem alkalmas, mert oszlopaiban kiegyenlítetlen gerjesztések lépnek fel. U

W

V

N1

N1

N1

N2

N2

N2

w

v

u

9.9. ábra. Csillag-csillag kapcsolású háromfázisú transzformátor

A transzformátor kapcsolásának jelölésére a primer oldalon nagybetűt (csillag: Y , delta: D , zeg-zug: Z ), míg a szekunder oldalon kisbetűt használnak. A 9.10a. ábra egy csillag-delta Yd  a 9.10b. ábra pedig egy delta-zeg-zug Dz  kapcsolású transzformátort mutat. Ha a csillagpont ki van vezetve, akkor azt az Y0 , ill. az y 0 jelölés mutatja. A betűcsoport utáni szám a primer és szekunder feszültség közötti fázistolásra utal, pl. Dy0 5 . Ez a jelölés adja meg a háromfázisú transzformátorok kapcsolási csoportját, ami a párhuzamosan kapcsolhatóság szempontjából igen fontos. Háromfázisú transzformátorok párhuzamosan kapcsolhatóságának feltételei között szerepelnek az egyfázisú transzformátornál leírtak, továbbá a fázissorrendnek és a kapcsolási csoportnak is egyezni kell. R S T

R S T

u

v

w

u

a.

v

w

b.

9.10. ábra. Csillag-delta Yd  kapcsolású (a) és deltazeg-zug Dz  kapcsolású (b) transzformátor

- 110 -

Elektrotechnika 9.6. Különleges transzformátorok 9.6.1. Takarékkapcsolású transzformátorok A takarékkapcsolású transzformátornak csak egy tekercse van, amely a két vége között valahol egy megcsapolással rendelkezik (9.11. ábra). I1 A közönséges transzformátor mindkét tekercsét a névleges (látszólagos) teljesítményre kell méretezni. U1-U2 I1 I2 Ugyanakkora teljesítménnyel terhelhető a takarékkapU 1 csolású transzformátor is, de tekercseit elegendő kiI1-I2 U2 sebb teljesítményre méretezni. A névleges teljesítményt ezért átmenő teljesítménynek, a tekercsek teljesítményeit pedig belső teljesítménynek nevezzük. A 9.11. ábra. Takarékkapcsolású 9.11. ábra alapján a belső teljesítmény: transzformátor (9.15) Pb  U 2 I 1 I 2   I1 U1  U 2  A megtakarításra jellemző a belső és az átmenő (névleges) teljesítmény viszonya:

Pb I 1 U 1  U 2  U 1   1 2  1 Pn I 1U 1 U1 a

(9.16)

Az a teljesítmény, amire a tekercset méretezni kell:  1 Pb  Pn 1   .  a

(9.17)

Látható, hogy a takarékkapcsolású transzformátor használata akkor célszerű, ha a  1 . a  3 -ra már nem készítenek takarékkapcsolású transzformátort. Mivel a takarékkapcsolású transzformátorok rövidzárási feszültsége kicsi (kicsi a dropja), ezért a rövidzárásra igen érzékenyek. A takarékkapcsolású transzformátorok másik hátránya, hogy a primer és a szekunder tekercsek fémesen össze vannak kötve, ezért a szekunder oldalon a földhöz képest primer feszültség jelenhet meg. Ezért olyan helyeken nem alkalmazhatók, ahol életvédelmi szempontból feszültségcsökkentést írnak elő. 9.6.2. Mérőtranszformátorok E transzformátorok egyrészt a nagy feszültségeket és áramokat transzformálják le olyan értékűre, hogy azok mérőműszereinkkel mérhetők legyenek (100-150 V, 1-5 A), másrészt mérőműszereinket életvédelmi okokból elválasztják a nagyfeszültségű oldaltól. 9.6.2.1. Feszültségváltó A feszültségváltó transzformátorok általában egyfázisra készülnek. Nagy menetszámú primer tekercsük a mérendő nagyfeszültségre kapcsolódik és kis menetszámú szekunder tekercsükre kapcsoljuk a nagy belső ellenállású feszültségmérőt. Ezért a feszültségváltó gyakorlatilag üresjárásban működik. Az U 2 szekunderfeszültség szorozva az áttétellel megadja az - 111 -

Mentes Gyula

U 1 primer feszültséget. Mivel az U 1 nem pontosan egyenlő az aU 2 -vel, ezért a feszültségváltóknak van feszültséghibájuk: h

aU 2  U 1 , U1

(9.18)

amely kb 0,1 és 3 % között van. A szekunder feszültség fázisa nem pontosan egyezik a primer feszültség fázisával, ami teljesítmény mérés esetén okozhat hibát. A feszültségváltók szöghibája: 4-40’. Életvédelmi okokból a szekundertekercs egyik kapcsát és a vasmagot le kell földelni (9.12. ábra). 9.6.2.2. Áramváltó Az áramváltó kis menetszámú (gyakran 1 menetes) primertekercsén a mérendő áram folyik át, (átkényszerítjük a fogyasztó áramát), nagy menetszámú szekunder tekercsére a közel nulla belső ellenállású ampermérő csatlakozik (9.13. ábra), ezért ha az ampermérőt kiveszszük, vagyis a szekunder kört megszakítjuk, akkor a primer áram gerjesztésével semmi sem tart egyensúlyt és a szekunder körben akkora feszültség indukálódik, amely tönkreteheti az áramváltót és a kezelő életét is veszélyezteti. Ezért az ampermérőt csak a szekunder rövidrezárása után lehet kivenni az áramkörből. A vasmagot és a szekunder tekercs egyik kivezetését életvédelmi szempontból földelni kell. Az ampermérő által mutatott I 2 áramot az áramváltó áttételével osztva megkapjuk a mérendő I 1 primer áramot. Az áramváltó áramhibája: I2  I1 a , h I1

(9.19)

amely általában 0,1-1 %. A szöghiba értéke: 6-60’.

U1=Umérendő

I1

U2 A V

9.13. ábra. Áramváltó

9.12. ábra Feszültségváltó

- 112 -

Elektrotechnika 9.6.3. Hegesztőtranszformátorok A normál transzformátorok esetében alapvető követelmény, hogy kapocsfeszültségük minél kisebb mértékben függjön a terhelő áram változásától. Vannak azonban olyan alkalmazások, ilyen pl. a villamos ívhegesztés, amelynél követelmény, hogy a szekunderfeszültség az üresjárás és a rövidzárás között meredeken változzon. Ívhegesztés esetén a felületek megolvasztásához szükséges hőmennyiség és ezzel az áramerősség is a hegesztő anyagok méreteitől és minőségétől függ. Ugyanakkor a hegesztés folyamán az ívhossz állandóan változik. Ebből következnek a hegesztőtranszformátorokkal szemben támasztott követelmények: a rövidzárási áramot károsodás nélkül viselje el, a rövidzárási áram változtatható legyen, a hegesztési ívhez tartozó árama minél közelebb legyen a rövidzárási áramához. A 9.14. ábra mutatja a különböző (  1 ) hosszúságú villamos ívek karakterisztikáját. A transzformátornak az ív begyújtásához 70 … 90 V-ot kell szolgáltatnia és azt az értéket életbiztonsági okokból nem szabad túllépnie. A hegesztőtranszformátor karakterisztikájának a kívánt üresjárási feszültségből közel vízszintesen kell kiindulnia és a kívánt hegesztőáram környezetében igen meredeken kell esnie. Az ív jelleggörbéjének és az áramforrás jelleggörbéjének metszéspontja adja a U munkapontot és ez határozza meg a hegesztési áramerősséget. A hegesztőtranszformátor egy kialakítási lehetőségét mutatja a 9.15. I ábra. A transzformátor középső oszlopában II l2 légrés van, amelynek méretét az ék elmozdításával lehet változtatni. Az ék teljesen betolt l 1 M helyzetében is van légrés a középső oszlopban. Üresjárásban a primer tekercs fluxusa a Ih Iz1 Iz2 I középső oszlopban lévő légrés miatt a szekunder tekercsen keresztül záródik és elegen9.14. ábra. A villamos ív és a hegesztődően nagy feszültséget hoz létre az ív begyújtranszformátor karakterisztikái tásához. Ha a szekunder tekercsben áram folyik, akkor az egymás ellen ható primer és szekunder gerjesztések egyre több erővonalat kényszerítenek arra, hogy a középső oszlopon az ún. mágneses söntön haladjanak át. Ezáltal a szekunder feszültség a növekvő szekunder árammal rohamosan csökkenni kezd. Ha a középső oszlopban a légrés méretét az ék kihúzásával (II. helyzet) megnöveljük, akkor a feszültség esése csak nagyobb szekunder áramnál kezd meredeken csökkenni a 9.14. ábrán látható II. görbének megfelelően. Az ábrán az  1 hosszúságú ív és II. I. betolt ék esetén mutatja a kialakuló munkapontot és az I h hegesztési áramot.

10. SZINKRONGÉPEK

9.15. ábra. Hegesztőtranszformátor egy megvalósítási lehetősége

- 113 -

Mentes Gyula

10.1. Szinkron gépek elve, forgó fluxus előállítása A szinkrongépek működése legegyszerűbben két állandó mágnes közötti kölcsönhatás segítségével érthető meg. Legyen az egyik mágnes egy olyan belül üres henger, amelynek póluskiképzése a 10.1a. ábra szerinti. A henger belsejében forogjon egy rúdmágnes, melynek forgástengelye egybeesik a henger tengelyével. A hengermágnes északi pólusa magához vonzza a rúdmágnes déli pólusát. Ha a hengermágnest a 10.1a. ábrán látható módon, az óramutató járásával ellentétesen  0 szögsebességgel forgatjuk, akkor vele együtt szinkron forog a rúdmágnes is. Ha a rúdmágnesre az  0 szögsebességgel ellentétes irányú M t terhelőnyomaték hat, akkor a rúdmágnes  szöggel lemarad a hengermágneshez képest, de továbbra is  0 szögsebességgel forog (10.1b. ábra). A terhelőnyomatékot tovább növelve a  szög is növekszik. Ha a nyomaték egy adott értéket túllép, akkor a hengermágnes már nem képes a rúdmágnest magával ragadni és az már nem fog a hengermágnessel együtt forogni, vagyis kiesik a szinkronból. Ez a leszakadás   90  esetén következik be. A jelenség úgyis felfogható, mintha a mágneses erővonalak gumifonalak lennének, amelyek a terhelőnyomaték növekedésével megnyúlnak és egy adott nyomatékot meghaladva a gumiszálak elszakadnak. Ha a rúdmágnest forgatjuk és a hengermágnesre hat a terhelőnyomaték, akkor a rúdmágnes siet előre  szöggel a hengermágneshez képest.   90  esetében az erővonalak elszakadnak és a hengermágnes nem fog a rúdmágnessel együtt (szinkron) forogni, azaz a hengermágnes megáll (10.1c. ábra), vagyis kiesik a szinkronból.



0

0

É

D

 0

É

0

Mt

É 0

D

Mt

0 É

É

D

a.

D

D

b.

c.

10.1. ábra. Szinkrongép modellezése állandómágnesekkel (a) terheletlen forgórész, (b) terhelt forgórész (motor), (c) terhelt generátor (forgórész siet)

Ezek után nézzük meg, hogy miképpen hozható létre olyan forgó mágneses tér, amelyet a hengermágnes állít elő. Ebből a célból helyezünk el három egymással 120-os szöget bezáró vezető keretet egy ferromágneses anyagból készült, belül üres henger belső palástjába mart hornyokban a 10.2. ábrán látható módon és kapcsoljunk a vezetőkeretekre egymáshoz képest 120-kal késő feszültségeket, vagyis háromfázisú feszültségrendszert. Jelöljük az egy fázishoz tartozó keretek vezetőit R  R' , S  S ' és T  T ' betűkkel. A keretekben folyó áramokat úgy jelöljük, hogy amennyiben valamelyik fázisfeszültség képzetes része pozitív, akkor az áram

- 114 -

Elektrotechnika az R, S , T -vel jelölt vezetékeken befelé az R' , S ' , T ' vezetékeken kifelé folyik, egyébként az áramirány fordított. Ha valamelyik feszültségvektor a valós tengelybe esik, akkor az adott tekercsben az áramot nullának vesszük és irányát nem jelöljük. Az ábrán a befelé folyó áramot kereszt, a kifelé folyót pedig pont jelöli. A vezetőkeretek oldalai által létrehozott mágneses erővonalakat a szaggatott vonalak jelölik, az eredő fluxust  a jelöli. A 10.2. ábra a forgó háromfázisú feszültségrendszert három helyzetben mutatja. Az ábrából láthatjuk, hogy a háromfázisú rendszer elfordulásával együtt a tekercsek által létrehozott eredő fluxus is elfordul. Hasonló módon bizonyítható, hogy két fázis felcserélésével a fluxus forgási iránya is megfordul. A forgó fluxus szögsebessége megegyezik a vektorcsillag szögsebességével. Könnyen kimutatható, hogy állandó amplitúdójú forgó fluxus akkor keletkezik, ha az egyes tekercsek közötti geometriai szög megegyezik a fázisfeszültségek közötti időbeni fáziseltolódás szögével.

Im

Im

R

R



Im



 30

S

60

R S

Re

T

Re

S

T

T

R

R

S’ T’

Re

a

S’

S’

a

T’

R T’ a

S

T

30

R’

S



T

S R’

a.

b.

60

T R’

c.

10.2. ábra. Forgó mágneses tér (forgó fluxus) kialakulása

10.2. Szinkron gépek felépítése A szinkron gépek állórésze hengeres vastest, amely gyűrű alakú lemezekből épül fel. A hornyokban három, egymással 120-ot bezáró tekercs van. Az egyenárammal gerjesztett forgórész kétféle kialakítású lehet: kiálló vagy hengeres pólusú. Az utóbbiakat általában nagy teljesítményű gépekhez készítik és mindig kétpólusúak (10.3a. ábra). A kiálló pólusú forgórészt kisebb teljesítményű gépeknél alkalmazzák és több pólusúak is lehetnek (10.3b. ábra). A forgórész mindig tömör vastest, mivel egyenáramú mágnesezésnek van kitéve. A forgórész kialakítása olyan, hogy az általa létrehozott indukció kerületmenti eloszlása szinuszos, ezért a kétpólusú (egy póluspárú) forgórész egy körülfordulása alatt egy fázistekercsben szinuszos - 115 -

Mentes Gyula feszültséget indukál. Ebben az esetben az indukált feszültség f frekvenciája megegyezik a forgórész másodpercenkénti n0 fordulatszámával. A 10.4. ábrán egy három póluspárú  p  3 szinkrongép felépítése látható. Az állórészen annyi háromfázisú tekercselés helyezkedik el, ahány póluspárú a gép. Azokat a tekercseket, amelyekben azonos feszültség indukálódik, sorba vagy párhuzamosan lehet kapcsolni attól függően, hogy nagyobb feszültség vagy áram előállítása a cél. Több pólusú gép esetében egy körülfordulás alatt annyi egész periódusú szinuszos feszültség indukálódik, amennyi a póluspárok száma:

f  pn0 .

(10.1)

É

É

Ug

D

D

a.

b.

10.3. ábra. Hengeres és kiálló pólusú forgórész

R

60

R’

10.4. ábra. Hárompóluspárú szinkrongép felépítése

10.5. ábra. Tényleges állórésztekercselés szinkron gépeknél

A gyakorlatban az állórész egy fázisának tekercse nem egy keretből, hanem sokmenetes tekercsből áll, amely a kerület egyharmad részét foglalja el (10.5. ábra). Az ábra csak egy fázis tekercselését tünteti fel. Mivel az egyes tekercsoldalakban a forgórész fluxusa időben

- 116 -

Elektrotechnika egymás után indukál maximális feszültséget, ezért a feszültségeket vektorosan kell összegezni. 10.3. Szinkron gépek működése A szinkron gépek, akár generátorról, akár motorról van szó, adott frekvenciájú és feszültségű hálózatra kapcsolva működnek. A szinkrongenerátorok állórészének tekercselésében (armatúratekercselés) indukálódó feszültség frekvenciáját az f  pn0 összefüggés határozza meg, tehát a póluspárszám, a forgási sebesség és a frekvencia között merev kapcsolat van. Ezért, ha a generátor olyan nagyteljesítményű hálózatra kapcsolódik, amelynek frekvenciáját a hálózatra kapcsolt többi generátor már meghatározza, akkor a szinkron generátor csak f az n0  fordulatszámmal járhat. Ugyanez vonatkozik a szinkron motorokra is, mivel a p  f forgófluxus fordulatszámát  n0   szintén a hálózat frekvenciája határozza meg. Tehát a p  szinkron gép forgórészének fordulatszáma mindkét esetben megegyezik a forgófluxus fordulatszámával. Az egyenárammal gerjesztett forgórész által létrehozott mágneses tér feszültséget indukál az állórész tekercseiben. Ezt a feszültséget U p pólusfeszültségnek nevezzük. Ez a feszültség tart egyensúlyt az U k hálózati feszültséggel. Mivel az állórész tekercselése kis ellenállású, ezért az álló szinkrongép hálózatra kapcsolásakor igen nagy áramok alakulnak ki, rövidzáráshoz hasonló jelenségek lépnek fel. Ezért a szinkrongépet csak akkor szabad a hálózatra kapcsolni, ha az összekötendő kapcsok között a feszültség minden időpillanatban nulla. Ez akkor áll fenn, ha -

a hálózat és a gép feszültségének effektív értéke egyenlő, a hálózat és a gép frekvenciája azonos, a hálózat és a gép feszültségvektorai azonos irányúak, a hálózat és a gép fázissorrendje azonos.

A fenti követelmények teljesítéséhez a szinkrongépet külső gép segítségével szinkron fordulatra pörgetik fel és amikor minden feltétel teljesül, akkor a gépet a hálózatra kapcsolják. Ezt a folyamatot nevezzük szinkronozásnak. A szinkron gép nyomatéki görbéjét, vagyis a M nyomatékot a  terhelési szög függvényében a 10.6. Stabilis üzem Megnövelt ábra mutatja. A szinkron gép M b billenőnyomatéka Mb gerjesztés a forgórész gerjesztésével, vagyis a pólusfeszültség növelésével növelhető. Biztonsági okokból szinkrongépeknél a névleges nyomaték esetén a   30   +90 -90 os terhelési szöget nem lépik túl. Szinkron gépeket Alap az indítási nehézségek miatt általában csak ott algerjesztés kalmaznak, ahol változó nyomaték esetén is szigorúan állandó fordulatszámra van szükség. Ezenkívül a szinkrongépek jól használhatók a meddőenergia gaz- 10.6. ábra. Szinkron gép nyomatéka a terhelési szög függvényében dálkodásban. A túlgerjesztett szinkrongép U p  U k  meddőáramot ad le, az alulgerjesztett U k  U p  pedig meddőáramot vesz fel. - 117 -

Mentes Gyula 11. ASZINKRON GÉPEK A villamos gépek közül az aszinkron gépeket használják a legnagyobb számban. Ennek oka az aszinkron gépek egyszerű felépítése, megbízható üzeme és kedvező ára. Generátorüzemre az aszinkron gépek kevésbé alkalmasak, de különleges esetekben – az utóbbi időben pl. csúcserőművekben – alkalmazást nyernek. 11.1. Aszinkron gépek felépítése és működése Az aszinkron gépek álló- és forgórésze egyaránt dinamólemezből készül az örvényáramú veszteség csökkentése céljából. Az állórész hornyaiban háromfázisú tekercselést helyeznek el, vagyis az aszinkron gépek állórésze megegyezik a szinkrongépek állórészével. A forgórész csúszógyűrűs és rövidrezárt lehet. Csúszógyűrűs forgórészű gépeknél a hengeralakú, lemezelt forgórész palástjába mart hornyokban ugyanolyan háromfázisú tekercselés helyezkedik el, mint az állórészen (11.1. ábra). A három tekercs egyik vége csillagba van kötve, a másik pedig a tengelyre, egymástól és a tengelytől szigetelten felerősített három rész csúszógyűrűhöz van kivezetve. A csúszógyűrűkhöz kefék segítségével lehet kívülről csatlakozni (11.1b. ábra). U

állórész

W

V U W’

V

w’ v

u

v

w

forgórész u

V’

v’

csúszógyűrűk

w u’ W

U’

a.

b.

11.1. ábra. Csúszógyűrűs aszinkron motor elvi felépítése (a) és a tekercsek kapcsolása (b)

A rövidrezárt forgórészű aszinkron gépek működése megegyezik a csúszógyűrűs gépek működésével, ezért az aszinkron gép működését a csúszógyűrűs gépekkel kapcsolatban tárgyaljuk. A rövidrezárt forgórészű aszinkron gépek felépítését később ismertetjük.

- 118 -

Elektrotechnika 11.1.1. A csúszógyűrűs aszinkron gép mint forgómezős transzformátor Kapcsoljuk az aszinkron gép állórészét háromfázisú feszültségre. Ekkor a szinkrongépnél leírt módon forgófluxus keletkezik, amely a forgórész tekercselésében feszültséget indukál. Ha a forgórészt megfogjuk, akkor a forgórészben indukált feszültség f 2 frekvenciája megegyezik az állórész f 1 frekvenciájával, mivel a forgófluxus másodpercenként f 1 -szer metszi a forgórész tekercseit. Ekkor a csúszógyűrűkről az álló- és forgórész menetszámarányának megfelelő nagyságú feszültség vehető le. Mivel itt a szekunder feszültséget nem lüktető fluxus, hanem forgófluxus hozza létre, ezért a megfogott forgórészű aszinkron gépet forgómezős transzformátornak nevezzük. Mivel az álló- és forgórész között légrés van, amelynek nagy a mágneses ellenállása, ezért a forgórész rövidrezárható, ellentétben a közönséges vasmagos transzformátorral, amelynek szekunderét rövidrezárva a transzformátor tönkremegy. 11.1.2. A csúszógyűrűs aszinkron gép mint fázistoló Ha a megfogott forgórészű aszinkron gép álló- és forgórész tekercseinek tengelyei egybeesnek, akkor a csúszógyűrűkről a hálózati feszültséggel azonos fázisú feszültség vehető le. Ha a tengelyt  szöggel elforgatjuk a fluxus forgásirányába, akkor a fluxus a forgórész tekercseit  szöggel később metszi mint az állórész tekercseket, tehát a csúszógyűrűkről a hálózati feszültséghez képest  szöggel késő feszültség vehető le. A 11.2. ábra mutatja, az álló- és forgórész által bezárt  szöget (a) és az állórész feszültségéhez képest  szöggel késő forgórész feszültséget egy fázis esetében (b). A forgórészt önzáró csigahajtással lehet a kívánt  helyzetbe állítani. Ez ugyanis megakadályozza, hogy a forgórész magától elmozduljon.

U

állórész

U

U(t)

W

V u

u(t) u



v

w

forgórész

t

 w

v

a.

b. 11.2. ábra. Az aszinkrongép mint fázistoló

- 119 -

Mentes Gyula 11.1.3. A csúszógyűrűs aszinkron gép mint frekvenciaváltó Az előző fejezetben láttuk, hogy a megfogott forgórészt a forgófluxus az állórészre kapcsolt feszültség frekvenciájának megfelelően n0 -szor metszette. Ha a forgórészt egy külső géppel forgatjuk a forgófluxus irányának megfelelően n fordulatszámmal, akkor a forgórész tekercseit egy körülfordulás alatt a forgófluxus n0  n -szer metszi. A forgórészben indukált feszültség frekvenciája f 2  n0  n . Az aszinkron gép fordulatszámát külső géppel 0 és n0 között változtatva, a csúszógyűrűkről az f 1 hálózati frekvencia és 0 közötti frekvenciájú feszültség vehető le. Az aszinkron gépnek, mint frekvenciaváltónak a szerepe a félvezetős frekvenciaváltók megjelenésével lényegesen lecsökkent. 11.1.4. Az aszinkron motor működése Zárjuk rövidre a csúszógyűrűket. Ez a velük érintkező kefék fémes összekötésével valósítható meg (11.3. ábra). Ekkor a forgórész tekercsei párhuzamosan kapcsolódnak. Mivel a forgórész tekercstengelyei 120-ot zárnak be egymással, ezért a forgófluxus a forgórész tekercseléU sében háromfázisú feszültséget indukál, amelynek következtében az egyes tekercsekben egymással azonos nagyságú, de 120-os szöget bezáró áramok folynak, amelyek eredője a csomópontokban nulla (11.4. ábra). A forgórészben folyó V W áramok az állórész mágneses teréu vel kölcsönhatásba lépnek, nyomaIu ték keletkezik és a forgórész gyorsulva forogni kezd. A forgórész fordulatszáma azonban nem érheti el a forgófluxus n0 fordulatszámát, w v Iv Iw azaz nem foroghat vele szinkronban. Ugyanis ebben az esetben a fluxus mindig azonos lenne a forgórész tekercsekben – nem lenne 11.3. ábra. Motorként üzemelő aszinkrongép fluxusváltozás – és emiatt a forgórészben nem indukálódna feszültség ill. áram, a nyomaték megszünne. Mivel a forgórészbe kívülről nem vezetünk be gerjesztő áramot, azt a forgófluxus indukálja a forgórész tekercselésében, ezért az aszinkron motort szokás indukciós motornak is nevezni. A 11.4. ábrán láttuk, hogy a forgórész tekercsei párhuzamosan kapcsolódnak. A tekercsek helyett vezetőből készült rudak is lehetnek. Mivel a forgórész tekercselés az állórész tekercseléshez hasonlóan a kerület mentén egyenletesen elosztott (egy fázis tekercselése 120ot foglal el), ezért a forgórész hornyaiban tetszőleges számú rudat helyezhetnek el. Ezeket a rudakat a forgórész mellső- és hátsórészén gyűrűk zárják rövidre. Innen a „rövidrezárt forgórészű aszinkron gép” elnevezés. Mivel az így kialakított forgórész (11.5. ábra) kalickára hasonlít, szokás az ilyen felépítésű gépeket kalickás forgórészű aszinkron gépeknek is nevezni. - 120 -

Elektrotechnika A kisgépek kalickáit alumíniumból öntik és a rövidrezáró gyűrűkre ráöntik a ventillátorlapátokat is. A rövidrezárt forgórész minden rúdja külön horonyban fekszik, így minden rúdban más-más fázisú feszültség indukálódik, ezért a rövidrezárt forgórész annyi fázisú, amennyi a rudak száma. A Iv 1 Iu Iw fázisonkénti menetszám pedig . 2 A 11.6. ábra egy csúszógyűrűs a 11.7. ábra pedig egy kalickás forgórészű aszinkron motor szerkezeti felépítését mutatja. Iu 120120 120

Iw

Iv Iv Iu Iw

11.4. ábra. Aszinkron motor forgórész tekercsei és áramai

11.5. ábra. Kalickás forgórész

11.6. ábra. Csúszógyűrűs aszinkron motor szerkezeti felépítése (1 tengely; 2 pajzs; 3 külső szellőző; 4 tekercsfej; 5 vastest; 6 állórész vastest; 7 bordák; 8 burkolat; 9 pajzs; 10 rövidrezáró gyűrűk; 11 belső szellőző; 12 tekercsfej; 13 csúszógyűrű; 14 kefecsap) - 121 -

Mentes Gyula

11.7. ábra. Rövidrezárt forgórészű aszinkron motor szerkezeti felépítése (1 állórész vastest; 2 állórész tekercsek; 3 szorítógyűrük; 4 forgórész vastest; 5 kalickarudak; 6 rövidrezáró gyűrük; 7 szellőzőszárnyak; 8 bordák; 9 ventillátorok; 10 pajzsok; 11 összefogó csavarok; 12 kapocstábla) Szokás a forgófluxus n0 szinkronfordulatszámának és a forgórész n fordulatszámának különbségét az n0 szinkronfordulatszámához viszonyítani. A viszonyszámot szlipnek nevezzük: n n . (11.1) s 0 n0 Az előzőekben láttuk, hogy a forgórészben indukált feszültség f 2 frekvenciája megegyezik a forgófluxus és a forgórész fordulatszámának különbségével:

f 2  n0  n

(11.2)

A 11.1 képletből n -et kifejezve és a 11.2-be helyettesítve, megkapjuk f 2 -t a szlip függvényében:

f 2  sf1 .

(11.3)

A szinkrongépek tárgyalásakor láttuk, hogy a szinkronmotor n0 fordulatszáma és a f1 összep függés áll fenn. Ez az aszinkron gép forgófluxusának fordulatszámára is igaz, mivel az állóréf szek azonosak. A 11.1 képletből n -et kifejezve és n0  1 -t behelyettesítve megkapjuk az p aszinkron gép fordulatszám képletét:

motort tápláló feszültség f 1 frekvenciája valamint a póluspárok száma között n0 

n  n0 1  s  

- 122 -

f1 1  s  p

(11.4)

Elektrotechnika A 11.8. ábra a szlip változásait mutatja a fordulatszám függvényében. Az ábra feltünteti a forgórészben indukált feszültség f 2 frekvenciáját is. s 1

f2 f1

n0 féküzem

motorüzem

n generátorüzem

11.8. ábra. A szlip változása a fordulatszám függvényében

Álló helyzetben a szlip 1, a forgórészben indukált feszültség frekvenciája megegyezik az állórészt tápláló feszültség f 1 frekvenciájával. n  n0 esetében s  0 és f 2  0 . Az aszinkron gépet szinkronfordulatszám fölé pörgetve a gép átmegy generátor üzembe és energiát táplál vissza a hálózatba. Ebben az esetben a szlip negatív. Ha az aszinkrongépet forgófluxussal ellentétes irányban hajtjuk, akkor a gép féküzemben működik. Az aszinkron gépek üzemi viszonyainak tanulmányozásához fontos a gép nyomatéka és fordulatszáma közötti kapcsolat ismerete. A levezetés mellőzésével az aszinkron gép nyomatéki görbéjét a 11.9. ábra mutatja. A nyomatéki görbéből látható, hogy az aszinkron gép motorüzemben maximálisan az M bm billenőnyomatékkal terhelhető, a generátor pedig az M bg billenőnyomatékkal hajtható. Ennél nagyobb nyomatékkal hajtva a generátor megszalad. A generátoros billenőnyomaték nagyobb, mint a motoros: M bg  M bm . A generátoros billenőnyomatékhoz tartozó szlip abszolút értékben megegyezik a motoros billenőnyomatékhoz tartozó szlippel. A nulla fordulatszámhoz tartozó nyomatékot M i  indítónyomatéknak nevezzük. Ez lényegesen kisebb, mint a billenőnyomaték. Ez azt jelenti, hogy a motor kisebb nyomatékkal indítható, mint amivel terhelhető. A gyakorlatban sok esetben szükséges lehet a motort az indítónyomatéknál nagyobb terhelőnyomatékkal indítani. Erre lehetőséget ad az, hogy a motor nyomatéki görbéje a forgórész ellenállásának változtatásával módosítható. Ez csúszógyűrűs motorok esetében a csúszógyűrűkhöz kapcsolt RK külső ellenállás segítségével érhető el. Ebben az esetben az RK külső ellenállás sorbakapcsolódik a forgórész ellenállásával és megnöveli azt. Az aszinkron motor nyomatéki görbéjének változását az RK függvényében a 11.10. ábra mutatja. Természetesen a kalickás motorok forgórészével nem lehet ellenállást sorbakapcsolni, ezért ott a nyomatéki görbe befolyásolására más módszereket dolgoztak ki. Ezeket a megoldásokat a kalickás motorok indításának tárgyalása során ismertetjük.

- 123 -

Mentes Gyula

M

Mi Mbm s=1 n=0 féküzem

s=0 motorüzem

n0

n generátorüzem

Mbg

11.9. ábra. Aszinkron gép nyomatéki görbéje

M Rk0=0 Rk10 Rk2Rk10

n0

n

11.10. ábra. A csúszógyűrűs aszinkron motor nyomatéki görbéje a forgórésszel sorbakapcsolt RK külső ellenállások esetében

11.2. Aszinkron gépek üzemi viszonyai 11.2.1. Aszinkron gépek indítása Aszinkron gépek bekapcsolásakor névleges áramuknak kb. 5-6-szorosát veszik fel. Nagyteljesítményű gépek esetében a bekapcsolási áramlökés igen nagy. Ez egyrészt erősen megterheli a hálózatot. A hálózati feszültségesés más berendezések működésében zavart okozhat, ezért az áramszolgáltató megadja, hogy maximálisan mekkora teljesítményű motorok indíthatók közvetlen hálózatrakapcsolással. Másrészt az indítási áramlökés igen erősen igénybe veszi a motor tekercsfejeit (azonos irányú árammal átjárt vezetékek taszítják egymást), ezért nagyteljesítményű motorok esetében megerősített tekercsfejű motort kell a gyártótól rendelni. Nagy ipartelepeken lehetőség van 500 kW teljesítményű motorok közvetlen hálózatrakapcsolással való indítására is.

- 124 -

Elektrotechnika Másik követelmény az aszinkron motorok indításával kapcsolatban az indítási nyomaték megnövelése. Amint azt a nyomatéki görbéből láttuk, az indítási nyomaték lényegesen kisebb, mint a motor maximális terhelőnyomatéka, az M b billenőnyomaték. Mivel gyakran szükséges a motort terhelve indítani (pl. daruk esetében), ezért az M i indítónyomatéknál nagyobb terhelőnyomaték esetében gondoskodni kell az indítónyomaték megnöveléséről. A későbbiekben látni fogjuk, hogy az indítási áramlökés csökkentése és az indítónyomaték növelése egymásnak ellentmondó követelmények. 11.2.1.1. Bekapcsolási áramlökés csökkentése rövidrezárt forgórészű motorok esetében A bekapcsolási áramlökés csökkentése kalickás forgórészű aszinkron gépek esetében a gép kapcsaira jutó feszültség csökkentésével érhető el. Ez három alapvető módon valósítható meg: 1. a hálózat és a gép kapcsai közé ellenállást kapcsolunk, 2. a gépre jutó feszültséget transzformátorral csökkentjük, 3. csillag-delta átkapcsolás. 11.2.1.1.1. Indítás előtétellenállással Az indítási áramlökés csökkentésének elve az, hogy a motor és a hálózat kapcsai közé kapcsolt ellenálláson feszültség esik, és a motorra kisebb feszültég jut, ami miatt csak kisebb áramlökés tud kialakulni (11.11. ábra). Ha a hálózati kapocsfeszültség U 1 és az ellenálláson U eső feszültség miatt a motorra csak 1 feszültség jut, akkor Ohm törvénye értelmében a moa tor indító áramlökése a -ad részére csökken. Ugyanannyi lesz a hálózatot terhelő áramlökés is, mivel az aszinkron motor nyomatéka a kapocsfeszültség négyzetével arányos, azért a motor indítónyomatéka az eredetihez M i  K  U12 képest a 2 -ed részére csökken:





2

M U  M i  K   1   2i a  a 

I I  i a  i

(11.5)

R S T

Ri

Ri I i 

Ri

Ii a

M

11.11. ábra Indítási áramlökés csökkentése előtétellenállással

Láthatjuk, hogy ha az indítási áramlökést pl. felére csökkentjük, akkor a motor indítási nyomatéka a negyedére csökken. Nagy motorok esetében nem célszerű az előtét ellenállás használata, mivel igen nagy lesz az indítási veszteség, és az ellenállásokat nagy hőleadásra kell méretezni. Ellenállásuk helyett váltakozóáramú reaktanciát, ún. forgótekercset (légréssel ellátott vasmagos tekercs) is alkalmazhatunk.

- 125 -

Mentes Gyula 11.2.1.1.2. Transzformátoros indítás Ezzel a módszerrel nagyfeszültségű motorokat célszerű indítani és takarékkapcsolású transzformátort célszerű alkalmazni a 11.12. ábrán látható módon. A takarékkapcsolású transzformátornál ezt a K 2 kapcsoló segítségével csillagba kapcsoljuk és a K 1 kapcsolóval a motort a hálózatra kapcsoljuk. A motor közvetlenül a transzformátor leágazásához csatlakoU zik. Indításkor K 3 az ábrán rajzolt helyzetben van. Ekkor a motorra U 1  1 feszültség jut. a A motort terhelő indítási áramlökés az eredeti I i Ii . Az indítónyomaa ték az ellenállásos indításhoz hasonlóan a 2 -ed M részére csökken: M i  2i . a A hálózatot ebben az esetben nem a motor árama, hanem a transzformátor primer árama terheli, amely a szekunder áram a -ad része. Így a hálózatot terhelő áramlökés a terhelő áramlökés I I a -ad része lesz: I i  i  i2 , vagyis az indítási a a 2 áramlökés a -ed része a közvetlen indításkor fellépő áramlökésnek A motor felpörgése után a K 2 kapcsoló nyitásával (ábrán bejelölt helyzet) megszüntetjük a transzformátor csillagpontját. Ekkor a transzformátornak a megcsapolás előtti menetei a motorral sorbakapcsolt folytótekercsként (ld. előtétellenállásos indítás) szerepelnek. Ezt követően a K 3 zárásával a motor kapcsait közvetlenül a hálózatra kötjük.

áramlökés a -ad része: I i 

R S T K1

A1

C

B

A

C1

B1

Tr K2 N K3 U

V

W

M

~

11.12. ábra. Transzformátoros indítás 11.2.1.1.3. Indítás csillag-delta átkapcsolással Az üzemszerűen deltakapcsolásban működő kisteljesítményű motorokat 3KW teljesítmény fölött csillag-delta átkapcsolással indítják. Ez azt jelenti, hogy indításkor a motort a csillagban kapcsolják hálózatra és felpörgése után átkapcsolják deltába. Deltakapcsolásban a U motor fázistekercseire U 1 vonali feszültség jut, míg csillagkapcsolásban 1 (11.13. ábra). 3 Ha deltakapcsolásban a motor egy tekercsének fázisárama I i , akkor a hálózati terhelő vonali áram I iv  3I i . Csillagkapcsolásban a motort terhelő indítóáram a feszültség miatt I i 

Ii

3 -adára csökkent fázis-

, amely megegyezik a hálózatot terhelő árammal. A deltakapcsolás3 hoz képest csillagkapcsolásban a hálózatot terhelő áramlökés egyharmadára csökken:

- 126 -

Elektrotechnika

Ii Ii 1 3   . Mivel csillagkapcsolásban a motor fázistekercseire jutó feszültség az üzemI iv 3I i 3 szerű deltakapcsoláshoz képest

3 -adára csökken, ezért a motor indítási nyomatéka a delta1 kapcsolásban működő motorénak -a lesz. 3

U1

U1 U1

Ii 3

3

I if 3



I i  3I f

Ii 3

Iif

11.13. ábra. A csillag- ill. deltakapcsolás áram- és feszültségviszonyai

Egy aszinkron motor cos  -je annál rosszabb, minél kevésbé van terhelve. A meddő teljesítmény-fogyasztás nagymértékben csökkenthető, ha a kevésbé terhelt motorokat csillagba kapcsolják. Ekkor a fázistekercsekre jutó feszültség a vonali feszültség 3 -ada és így az indukció is 3 -ára csökken (a mágnesezési görbe nemlinearitását elhanyagolva). Mivel a mágneses energia az indukció négyzetével arányos, ezért a csillagkapcsolásban felvett meddő1 teljesítmény -a a deltakapcsolásban R 3 S felvettének. Emiatt a motorokat 40 % -os T terhelésig célszerű csillagkapcsolásban járatni. A motorok indítása kézi csillagU W V delta átkapcsolással történik, de vannak  automatikus átkapcsolók is. A 11.14. ábra 0 y csillag-delta átkapcsolót mutat, a K kapy x z csoló a motor bekapcsolására szolgál. Ha X Y Z az Y érintkezők záródnak, akkor a motor csillagban működik ( D érintkezők nyitottak). Fordított esetben a motor deltakapcsolásban üzemel. Az ábra a motor 11.14. ábra. Csillag-delta átkapcsoló kapcsait mutatja. Az egyes fázistekercsek az U  x, V  y, W  z jelű kapcsok közé vannak kötve.

- 127 -

Mentes Gyula 11.2.1.2. Rövidrezárt forgórészű aszinkron motorok indítási nyomatékának megnövelése Aszinkron motorok indítási nyomatéka a nyomaték-fordulatszám karakterisztika módosításával, azaz a forgórész ellenállásának megnövelésével lehetséges. Mivel rövidrezárt forgórészű motorok forgórészébe külső ellenállás nem köthető be, ezért az ilyen motoroknál mélyhornyú vagy kétkalickás forgórészt készítenek. 11.2.1.2.1. Mélyhornyú motor A mélyhornyú motor elvét 11.15. ábra mutatja. Az ábrán a kalickának csak egy rúdja látható, amely keskeny téglalap alakú. Osszuk fel gondolatban ezt a vezető rudat több egymástól elszigetelt vezetőre a 11.16. ábrán látható módon. Az ábrába berajzoltuk az egyes vezetőkhöz tartozó mágneses erővonalak útját is. A ferromágneses anyagból készült forgórészének sokkal kisebb a mágneses ellenállása, mint a széles horonynak (a horonyban lévő vezető nem ferromágneses anyag, ezért mágneses ellenállása a levegőével azonos nagyságrendű), ezért valamennyi vezetőt körülvevő erővonal körülveszi az alsó vezetőt is. Az ábrából látható, hogy minél mélyebben helyezkedik el egy vezető, annál több mágneses erővonal veszi körül. Ez úgy is felfogható, hogy a belső vezetőknek nagyobb az Lb önindukciós tényezője, mint a külső vezetőké Lk  . Emiatt az indítás pillanatában, amikor a forgórészben indukált feszültség frekvenciája nagy (  nagy), a belső veze11.15. ábra. Mélyhornyú motor tők szórási reaktanciája nagyobb, mint a külsőké: forgórészének egy hornya a kalickarúddal X b  X k . Az áram a belső vezetőkből kiszorul a külső vezetőkbe, ami azt jelenti, hogy lecsökken az áramvezető keresztmetszete, vagyis megnő a kalicka ellenállása. Ha a forgórész felpörög, akkor a benne X =L indukálódó feszültség frekvenciája kicsi lesz, ezért X b és X k közel megegyezik és az áram visszatér a X =L belső vezetőkbe, a kalicka ellenállása lecsökken. Ezzel a megoldással az indítás (felpörgés) idő tartamára a forgórész ellenállása és ezzel együtt a motor indító11.16. ábra. A mélyhornyú motor nyomatéka automatikusan megnövelhető. egy kalickarúdját körülfogó erővonalak 11.2.1.2.2. Kétkalickás motor A motor forgórésze két különálló kalickával készül a 11.17. ábrán látható módon. A külső kalicka nagy ellenállású, amelyet nemcsak a kisebb keresztmetszettel, hanem nagy fajlagos ellenállású vezető alkalmazásával érnek el. A belső kalicka kis ellenállású. Indításkor a belső kalickából kiszorul az áram a nagy ellenállású külső kalickába a mélyhornyú motornál ismertetett módon. Ezáltal indításkor a forgórészellenállás és ezzel együtt az indítónyomaték megnövekszik. 11.2.2. Csúszógyűrűs aszinkron motorok indítása - 128 -

k

k

b

b

11.17. ábra. Kétkalickás motor forgórésze

Elektrotechnika

Csúszógyűrűs motorok indítási nyomatékának megnövelése a forgórész ellenállásának megnövelésével történik a csúszógyűrűkhöz kapcsolt külső ellenállás segítségével. Ez egyúttal az indítási áramlökést is csökkenti. Az indítási folyamatot a 11.18. ábra szemlélteti. A csúszógyűrűkhöz akkora Rk 2 ellenállást kapcsolunk, hogy a motor indítási nyomatéka nagyobb legyen, mint az M t terhelő nyomaték. Ekkor a motor forogni kezd és fordulatszáma n 2 -ig növekszik.

M Rk=0 Mt

Rk1 Rk2Rk1

n2

n1

nü

n0

n

11.18. ábra. Csúszógyűrűs aszinkron motor indítása Ekkor az Rk 2 -nél kisebb Rk1 ellenállást beiktatva a fordulatszám tovább növekszik n1 -ig, ezután a csúszógyűrűket rövidre zárva a fordulatszám az nü fordulatszámig növekszik. A gyakorlatban akkor kapcsolunk át a kisebb ellenállású fokozatra, ha a motor alapján azt tapasztaljuk, hogy a fordulatszám már nem növekszik tovább. Megbízhatóbban állapítható meg, hogy mikor lehet a következő fokozatba kapcsolni, ha a motor és a hálózat közé kapcsolt ampermérőn látjuk, hogy az indítási áram már nem csökken tovább. Fokozatmentes lehet az indítás, ha a forgórészkörbe folyadékos indítóellenállást kapcsolnak. Ennek egymástól elszigetelt lemez-elektródái vannak, amelyeket elektrolitba lehet meríteni. Teljesen kiemelt elektródák esetén az ellenállás végtelen nagy. Minél nagyobb az elektrolitbe merített lemezfelület, annál kisebb az ellenállás. Ha az elektródákat teljesen besüllyesztjük, akkor azokat fém érintőkhöz zárják rövidre. 11.3. Aszinkronmotorok fordulatszám szabályozása Az aszinkronmotorok fordulatszámát az egyenáramú motorokkal szemben csak jelentős veszteségek árán vagy költséges segédberendezésekkel lehet változtatni. A fordulatszám változtatásának módszerei a (11.1) fordulatszám képletből n

f1 1  s  p

(11.1)

olvashatók ki. Eszerint az aszinkronmotorok fordulatszámát a primer frekvencia (az állórészt tápláló feszültség frekvenciája), a pólusszám vagy a szlip változtatásával lehet befolyásolni. 11.3.1. A primer frekvencia változtatása - 129 -

Mentes Gyula

Mivel a hálózati frekvencia állandó, ezért az f 1 primer frekvencia változtatása csak a hálózat és a motor közé kapcsolt frekvenciaváltó segítségével lehetséges. Ilyen frekvenciaváltó a csúszógyűrűs aszinkron gép, amelyet külső géppel forgatunk. A csúszógyűrűkről levett feszültség frekvenciája f 2  sf1 , tehát a szlippel változik. A csúszógyűrűs aszinkronmotor frekvenciaváltóként való alkalmazása a félvezetős frekvenciaváltók segítségével jelentősen lecsökkent. Ezért az ilyen elven működő fordulatszabályozós gépcsoportokat új hajtásokban nem alkalmazzák. A 11.19. ábra egy félvezetős frekvenciaváltó invertert mutat. Ennél a hálózati feszültséget előbb egyenirányítják, majd ebből a motor hajtásához szükséges háromfázisú feszültséget állítanak elő. Mivel a motor tekercselésében a primer indukált feszültség a frekvenciával arányosan változik, ezért a motor feszültségét a frekvenciával arányosan kell változtatni, ha azt akarjuk, hogy a motor fluxusa és ezzel együtt a nyomatéka ne változzék. A motor vesztesége a frekvencia négyzetével arányos, ezért a névleges frekvencia fölött a kapocsfeszültséget már nem lehet a frekvenciával arányosan növelni, ezért a nyomaték lecsökken. Kis frekvenciák esetében a tekercselés ohmos ellenállása dominál, ezért itt a feszültséget a frekvenciánál nagyobb mértékben kell növelni az állandó nyomaték érdekében.

R S T

Egyenirányító

Háromfázisú áramirányító

Ue

U1f1

U V W

M

U2f2 Vezérlő- és szabályzókör U1

f1

11.19. ábra. Aszinkronmotor fordulatszámának szabályozása félvezetős frekvenciaváltóval Ha a motort az inverterrel a fent leírt módon vezéreljük, akkor a nyomatéki görbe alakja nem változik. A frekvenciát változtatva az M  n jelleggörbék önmagukkal párhuzamosan tolódnak el a fordulatszám tengely mentén (11.20. ábra). A félvezetős frekvenciaváltók ára többszöröse az aszinkronmotorénak, ezért a fordulatszám szabályozásának ez a módja igen költséges.

M

0,2n0 0,4n 0,6n 0,8n0 n0

1,2n

n

11.20. ábra. A szinkron motor nyomatékának változása a primer frekvencia változtatásával

- 130 -

Elektrotechnika 11.3.2. A póluspárszám változtatása A tekercselés pólusszámának megváltoztatásával többfokozatú fordulatszám szabályozás érhető el, mivel minden pólusszámnak más-más szinkron fordulatszám felel meg. Elvileg a legegyszerűbb megoldás az lenne, ha az állórészbe több egymástól független különböző pólusszámú tekerU U cselést építenénk, amelyek közül mindig a kíX vánt szinkron fordulatÉ É D számhoz tartozót kapcsolnánk a hálózatra. D É Valójában az ilyen gép D nem gazdaságos, mivel a beépített rézmennyiségX nek csak egy része van a. b. kihasználva, és a teker- 11.21. ábra Póluspárok számának változása Dahlander kapcsocselés helyszükséglete lás esetén miatt a vastest méretei is megnövekednek. Ehelyett olyan tekercselést szokás alkalmazni, amely megfelelő átkapcsolásokkal két különböző pólusszámra használható, ezt a megoldást, felfedezőjéről Dahlander-féle kapcsolásnak is szokás nevezni (11.20. ábra). Dahlander a megfelelően kialakított egyetlen tekercselést két részre osztotta, és a két tekercselést sorban vagy párhuzamosan kötötte. A soros kapcsolásnál a pólusok száma kétszer annyi, mint párhuzamos kapcsolásnál. A 11.21a. ábrán a tekercsek sorba vannak kötve. A pillanatnyi áramirányt berajzoltuk. Ugyancsak feltüntettük a tekercsoldalakhoz tartozó erővonalakat. Látható, hogy négy pólus alakult ki. A 11.21b. ábrán a tekercseket párhuzamosan kapcsoltuk. A pillanatnyi R R áramirányok és erővoS S T T nalirányok mutatják, hogy most csak két pólus keletkezett. A módszerrel a fordulat1U-2N 1U-2N számot 1:2 arányban lehet változtatni. Az ábrán csak az I I U fázishoz tartozó két tekercset tüntettünk fel. 2W 2W 2V 2V Megjegyezzük, hogy I I soros kapcsolásoknál a menetszám megduplázódik, ami P2 a fluxus csökkentését okozza 2U 1V-2N 1W-2N 2U 1V-2N 1W-2N ( U e  4,44 N1 f1 kifejezés a. b. szerint). A bajon Dahlander 11.22. ábra Dahlander kapcsolás (háromszög-kettős csilazzal segített, hogy soros lag) kapcsolásnál a három fázist deltába (11.22a. ábra), párhuzamos kapcsolásnál pedig csillagba kötötte (11.22b. ábra). Ez megfelel egy kettős csillagnak (11.22b. ábra). Ezzel elérte, hogy nagyobb menetszámnál a fázisfeszültség nagyobb, így a fluxus lényegesen nem változik. Csúszógyűrűs motornál, mind az állórész, mind a forgórész tekercset pólusátkapcsolósra kell készíteni. Kalickás gépnél csak az állórész tekercset, mivel a kalickás forgórész mindig az állórésznek megfelelő pólusszámú.

- 131 -

Mentes Gyula 11.3.3. A szlip változtatása Az aszinkron motor szlipje a forgórészben veszteséggé alakuló teljesítménytől függ. Csúszógyűrűs motorok esetében külső ellenállások segítségével a forgórész veszteségi teljesítményét megnövelhetjük, ezáltal a fordulatszám széles határok között változtatható. Egy adott terhelőnyomaték esetében minden ellenálláshoz más-más fordulatszám tartozik (11.23. ábra).

M Rk=0 Mt

Rk1 Rk2Rk1

n2

n1

nü

n0

n

11.23. ábra. A fordulatszám szabályozása a szlip változtatásával Az indító és a fordulatszám szabályozó ellenállás között a különbség csak az, hogy az utóbbit tartós terhelésre méretezik. Az indítás időtartama ugyanis rövid, míg a fordulatszám szabályozó ellenállás tartósan be van kapcsolva. A gyakorlatban fordulatszám szabályozó ellenállás nagy hőterhelése miatt a szlipszabályozással a fordulatszámot csak a fordulatszám tartomány 20 … 30 %-ában változtatják. A fordulatszám szabályozásnak ez a módja nagyon veszélyes, ezért az utóbbi időben olyan fordulatszám szabályozási módszereket dolgoztak ki, amelynél a csúszógyűrűkről levett teljesítmény hasznosítható. Egy ilyen megoldás például, amikor a csúszógyűrűkről levett teljesítményt egyirányítják, amelyet félvezető inverterrel háromfázisú teljesítménnyé alakítanak és visszatáplálnak a hálózatba. A forgórészből kivett teljesítmény és ezáltal a motor fordulatszáma az inverter kivezérlésével változtatható. Mivel a kalickás motorok forgórésze nem hozzáférhető, ezért ezeknek a motoroknak a fordulatszáma a szlippel nem változtatható. 11.4. Aszinkronmotorok forgásirány váltása Az aszinkrongépek forgásirányának megváltoztatása a fluxus forgásirányának megváltoztatásával érhető el. Ez utóbbi, ahogy azt a 10.1 fejezetben a forgófluxus keletkezésének tárgyalásakor láttuk, két fázis felcserélésével érhető el. 11.5. Aszinkron motorok fékezése Fékezésre az aszinkron gép többféleképpen is felhasználható. Minden esetben a követelmények alapján kell kiválasztani a megfelelő módszert.

- 132 -

Elektrotechnika 11.5.1. Haszonfékezés Teher süllyesztés vagy lejtmenet esetében az aszinkron gép fordulatszáma a szinkron fölé emelkedik a motor átmegy generátorüzembe és a tengelyen felvett mechanikai energiát villamos energiává alakítva visszatáplálja a hálózatba. A 11.24. ábrán látható, hogy a fordulatszám csak a generátoros billenőnyomatékig nőhet. Ennél nagyobb nyomaték esetében a forgórészkörbe iktatott ellenállás segítségével a motor fordulatszáma változtatható.

M

n1 n2 n0

n

Mt

11.24. ábra. Haszonfékezés aszinkron motorral

11.5.2. Ellenáramú fékezés A forgófluxus forgásiránya, tehát a motor nyomatéka is ellentétes a forgás irányával. Ez kétféleképpen valósulhat meg: 1. A munkagép forgásiránya, vagyis a terhelőnyomaték iránya változatlan marad és két fázis megcserélésével megfordítjuk a forgófluxus irányát. Ezt nevezzük lassító fékezésnek. Ebben az esetben vigyázni kell, hogy a motor a megállásig ne lassuljon, mert ha a a motort a megállás pillanatában nem kapcsoljuk ki, akkor ellenkező irányba kezd forogni. A 11.25. ábrán a  M jelű görbe mutatja az ellenkező irányba forgó fluxusú gép nyomatéki görbéjét. A fékezés az a jelű görbeszakaszon megy végbe. A forgórészkörbe iktatott ellenállás segítségével elérhető, hogy a fékezés a billenőnyomatékkal kezdődjön ( b jelű görbe). 2. A forgófluxus iránya változatlan marad és megváltozik a munkagép forgásiránya. Ezt, tehersüllyesztésnek nevezzük. Ebben az esetben a forgórészbe iktatott ellenállás nélkül nem lehet stabil üzemállapotot megvalósítani. Ez utóbbi megvalósításához akkora külső ellenállást kell a csúszógyűrűkhöz kapcsolni, hogy a billenőnyomaték a féktartományba kerüljön (11.26. ábra). M M=f(n)

M

-n n1

n0

0 -M1=f(n)

n

Mt

a

n0 b

-M=f(n)

-nf

-M

n0

11.26. ábra. Tehersüllyesztés

11.25. ábra Lassítófékezés

- 133 -

n

Mentes Gyula 11.5.3. Dinamikus fékezés Ennél a fékezési módnál a gépet lekapcsoljuk a hálózatról és egyenáramra kapcsoljuk, a csúszógyűrűkhöz pedig fékező ellenállásokat kapcsolunk. A 11.27 ábra két megvalósítási lehetőséget mutat. Ebben az esetben az állórészben folyó egyenáram egy állandó nagyságú álló fluxust gerjeszt, amely metszi a forgórész tekercseket és azokban olyan áramot indukál, amely a forgórész forgási sebességét csökkenti. Ie

Ie

2 Ie 3

Ie 2 Ie 3

Ie

I g  Ie 3

1 Ie 3

Ie I g  Ie

Ie 3 2 Ie 3

Ie 2 Ie 3

11.27. ábra. Példák az állórész egyenfeszültségre kapcsolására dinamikus fékezés esetén

11.6. Egyfázisú aszinkronmotor Ha egy háromfázisú aszinkronmotor egyik fázisát megszakítjuk, akkor az tovább forog. Ha megállítjuk, akkor magától nem indul el. A 11.28. ábrán látható, ha egy fázist megszakítunk, akkor a gép egyfázisú táplálást kap, a két sorba kapcsolt tekercsre vonali feszültség jut. Ez egy szinuszosan lüktető álló fluxust hoz létre, amely egy   max és   max között változik. Lüktető fluxus két egymással szembeforgó fluxus eredőjeként állítható elő a 11.29. ábrán látható módon. Amíg a forgórész áll, a két szembeforgó összetevő egyenlő fordulatszámmal forog hozzá képest. A forgórész tekercselésében a két összetevőnek megfelelően két indukált feszültséget és két áramot képzelhetünk el, amelyek abszolút - 134 -

R S T

X

11.28. ábra. Egyfázisú aszinkronmotor

Elektrotechnika értékei azonos nagyságúak. A mágneses tér összetevői a saját áramokkal olyan nyomatékot hoznak létre, amelyik a forgórészt a mező forgásirányába akarja magával vinni. A teljes szimmetria miatt ezek a nyomatékok egyenlő nagyok, de ellentétes irányúak, így a forgórész  nem tud elindulni. Az egyfázisú aszinkronmotor úgy fogható fel, mint két összekapcsolt tengelyű, egymással szemben forgó háromfá’ ” zisú aszinkronmotor (11.30. ábra).

U

”

’

=0

’

V

W

”

U0

Uv ”

’

n0 

A ng

’

”



11.29. ábra. Lüktető fluxus előállítása két szembeforgó fluxus eredőjeként

B n

11.30. ábra. Az egyfázisú aszinkronmotor mint két egymással szembenforgó háromfázisú aszinkronmotor

A 11.31. ábra a két szemben forgó háromfázisú aszinkronmotor nyomatéki görbéit tünteti fel irányhelyesen. A két görbe eredője adja az egyfázisú aszinkronmotor nyomatéki görbéjét. Az eredőből látható, hogy az egyfázisú aszinkronmotornak nincs indítónyomatéka. Ha valamelyik irányban forgásba hozzuk a gépet, akkor az együttfutó fluxus fékezőnyomatékot ad. Igazolható, hogy az egyfázisú aszinkronmotor teljesítménye 0,58-szorosa a háromfázisú táplálás esetén leadott teljesítménynek. Mivel az egyfázisú aszinkronmotornak indítónyomatéka nincs, a gép indításához se2 gédfázist alkalmaznak. Az egyfázisú aszinkron gép állórészének részét foglalja el a főfázis 3 1 tekercselésébe, részét pedig a segédfázisé. Állandó amplitudójú forgófluxus keletkezik, ha 3 a főfázis és a segédfázis tekercsei közötti térbeli szög megegyezik a tekercsekben folyó áramok közötti időbeli fáziseltolás szögével. Az egyfázisú gép főfázis tekercsével 90-os szöget zár be a segédfázis tekercse: 90-os fáziseltolást kellene megvalósítani a főfázis árama és a segédfázis árama között. - 135 -

Mentes Gyula A közel 90-os fáziseltolás kondenzátorral valósítható meg. A szaggatott vonallal jelzett kapcsolás adja az ellentétes forgásirányt. A segédfázist kapcsolón keresztül csatlakoztatjuk a hálózatra. Indítás után a segédfázist kikapcsoljuk, ezzel csökkentjük a gép üzemi veszteségét. A kondenzátort helyettesíthetjük fojtótekerccsel, vagy ellenállással is.

M ~

-n0 n0

n Ff

XC

R

XL

Sf

11.31. ábra. Egyfázisú aszinkronmotor nyomatéki görbéje

11.32. ábra. A segédfázisos motor kapcsolása

- 136 -

Elektrotechnika 12. EGYENÁRAMÚ GÉPEK A villamos gépek elterjedésnek kezdeti korszakában többnyire egyenáramú gépeket használtak. Hamar rájöttek azonban, hogy a villamos energia továbbítása váltakozó áramon sokkal gazdaságosabban valósítható meg. Váltakozófeszültségű hálózatokban a villamos energia kis feszültségen állítható elő, nagy feszültségen kisebb áramerősséggel szállítható és kis feszültségen használható fel. Ez a körülmény a váltakozó áramú gépek kifejlesztéséhez vezetett, amelyek ma már könnyebbek, üzembiztosabbak és olcsóbbak az egyenáramú gépeknél. Az egyenáramú gépeknek - főként a motoroknak – azonban bizonyos üzemi tulajdonságai, mint például az indítás, fordulatszám szabályozás, nyomaték – fordulatszám karakterisztika, olyan előnyösek, amilyenekkel a váltakozó áramú gépek nem rendelkeznek. Ezért sok feladatra - ahol ezek az előnyös tulajdonságok különösen fontosak – ma is egyenáramú gépeket használnak. Az egyenáramú motorok alkalmazását nagymértékben megkönnyíti az a tény, hogy a működésükhöz szükséges egyenfeszültség a háromfázisú feszültségből félvezető egyenirányítóval könnyen előállítható. A motorgyártó cégek a motorokat az egyenirányítóval egybeépített vezérlővel együtt szállítják, ezért ezek a motorok a legkülönfélébb feladatok megoldására könnyen alkalmazhatók. A vezérlőkészülékeket különböző interfészekkel szállítják, így a számítógépes vezérlés könnyen megoldható. A félvezetős egyenirányítók miatt az egyenáramú generátorok felhasználási köre jelentősen csökkent. 12.1. Egyenáramú generátorok működési elve Az egyenáramú generátorok elve azon alapul, hogy ha egy vezető keretet B indukciójú homogén térben megforgatunk, akkor benne szinuszos feszültség indukálódik. Forgassunk meg egy vezető keretet egy állandó mágnes vagy egyenárammal gerjesztett elektromágnes két pólusa között. A keret két végét kössük a keret tengelyén – attól elszigetelten – elhelyezett két csúszógyűrűhöz (12.1a. ábra). A csúszógyűrűkkel érintkező kefékről ekkor szinuszos feszültség vehető le: ui  BA sin t

(12.1)

É

É

lágyvas henger  D

D

a.

b.

Ui

12.1. Egyenáramú generátor elve

- 137 -

semleges vonal

Mentes Gyula Mivel adott indukció előállításához annál kisebb gerjesztés szükséges, Ui minél kisebb a légrés, ezért a vezető keretet egy lágyvas henger hornyában helyezik el. A légrésben az indukció nem homogén, hanem a 12.1b. ábrán bemutatott módon torzul, ezért az indukált t feszültség eltér a szinuszostól és a 12.2. ábrán szaggatott vonallal jelölt alakú lesz. Ha a keret két oldalát egymástól elszigetelt két félgyűrűhöz kötjük a 12.2. ábra. Egyenáramú generátor forgórész 12.3a. ábrán látható módon, akkor a ketekercsében indukált feszültség (szaggatott vofékről lüktető egyenfeszültség vehető le. nal) Amikor a vízszintes síkba kerülő vezetőkeretben az áram iránya megfordul, akkor a szegmensek is helyet cserélnek. Tehát a felső szegmens mindig az északi, az alsó pedig a déli pólus alatt mozgó vezetékhez csatlakozik. Ezért az áram a felső szegmensen mindig kifelé, az alsó szegmensen pedig mindig befelé foUi

É

+

t -

D

a.

b. 12.3. ábra. Kommutátor

A

U

a t b

B

a.

b.

12.4. ábra. Több vezetőkeret és kommutátorszelet esetén kialakuló egyenfeszültség

- 138 -

Elektrotechnika lyik. A szegmensekről tehát a 12.3b. ábrán látható lüktető egyenfeszültség vehető le. A felső szegmens az ábrán látható egyenáramú generátor pozitív pólusa. A két szegmensből álló gyűrűt kommutátornak nevezzük. A célunk azonban az, hogy minél simább egyenfeszültséget állítsunk elő, ezért a forgórészre több keretet helyezünk el és minden keretoldalt egy szegmenshez csatlakoztatunk a 12.4a. ábrán látható módon. A kapott feszültséget 12.4b. ábra mutatja. Könnyű belátni, hogy minél több keretoldal helyezkedik el a kerület mentén, annál simább egyenfeszültséget kapunk. Ennek a megoldásnak az a hátránya, hogy a kefék mindig csak egy kerethez tartozó kommutátorszeletekkel kerülnek érintkezésbe, ezért a kefékről levehető indukált feszültség kicsi. A gyakorlatban megvalósított gépeknél ezért más tekercselési módokat alkalmaznak. 12.2. Egyenáramú motorok működési elve Az egyenáramú motor felépítése megegyezik az egyenáramú generátoréval (12.5. ábra). A keretbe az áramot a két szegmensből álló kommutátoron keresztül táplájuk be. Ha a 12.5. ábra szerint a felső kefére kapcsoljuk az U egyenfeszültség + sarkát, akkor az 1 tekercsoldalon befelé a 2 tekercsoldalon pedig kifelé folyik az áram, amit a kereszt és a pont jelölnek. A tekercsoldalakra az ábrán bejelölt erők hatnak, amelyek a keretet a nyíllal jelölt irányba elforgatják. A keret síkja merőleges lesz az indukcióvonalakra és tovább nem fordul, mivel az északi pólus alatt a 2-es tekercsoldalra a déli pólus alatt az 1-es tekercsoldalra ellentétes irányú erő hatna, ha tovább is az 1-es tekercsoldalon befelé, a 2-esen pedig kifelé folyna az áram. A 12.5b. ábrán azonban látható, hogy a semleges vonalban lévő keretben a kommutátor megfordítja az áram irányát, mivel a 2-es keretoldalhoz tartozó szegmens csúszik a felső kefe alá. Ezen a kefén az áram mindig befelé folyik, ezért az északi pólus alá érkező 2-es keretoldalban az áram befelé fog folyni, míg a déli pólus alatti keretoldalban mindig kifelé. Tehát a keretoldalakra mindig egyirányba forgató erőpár hat. Ha a forgásirányt meg akarjuk változtatni, akkor vagy az északi és déli pólusokat cseréljük meg, vagy megfordítjuk a keretet tápláló feszültség polaritását.

I

U

I

I

1

F

É

É

É

2

F

U

Semleges vonal

U 2

1

2

F

1

F

D

D

D

a.

b.

12.5. ábra. Egyenáramú motor működési elve

- 139 -

c.

Mentes Gyula A generátorhoz hasonlóan a motorok forgórészén is több kommutátorszeletet és vezető keretet helyezhetünk el. Ekkor azonban olyan tekercselést kell alkalmazni, hogy ne csak a kefékkel érintkező keretben, hanem mindegyikben folyjék áram a nagy nyomaték érdekében. A különböző tekercselési módokkal a következő fejezet foglalkozik. 12.3. Egyenáramú gépek felépítése és működése 12.3.1. Egyenáramú gépek tekercselése A működési elvből láttuk, hogy az egyenáramú motor és generátor azonos felépítésű. Láttuk továbbá, hogy mind a generátor, mind pedig a motor esetében a kommutátorszeletekhez kapcsolódó önálló keretek a gyakorlatban nem jó megoldások, ezért egyenáramú gépekben más tekercselési eljárásokat használnak. Ezek megértéséhez nézzük meg a ma már nem használatos Gramme-féle motor felépítését. A motor forgórésze gyűrű alakú, amelyet a 12.6a. ábrán látható módon tekercselnek be. A tekercselés önmagában záródik és minden esetben több menet után leágazást készítenek a kommutátorszeletekhez. Mivel a ferromágneses gyűrű belsejébe a mágneses tér nem hatol be, ezért a gyűrű belsejében menő menetoldalakban nem indukálódik feszültség. A belső palást vezetői csak sorbakötik a külső vezetőket, amelyeknek a feszültségei mind az északi, mind pedig a déli pólus alatt sorbakapcsolódnak. Az AB síkkal határolt két féltekercs U feszültsége szembemutat és egyenlő, ezért a zárt tekercselésben áram nem folyik. Ha a két kefe közé fogyasztót kapcsolunk, akkor erre nézve a két féltekercs párhuzamosan kapcsolt generátornak tekinthető, amelyek a fogyasztón áramot hajtanak keresztül (12.6b ábra). Motor esetében az UK-val ellentétes irányú feszültséget kell az AB kapcsok közé kapcsolni, hogy a forgórész az ábrán bejelölt irányba forogjon. Az A-B vonalat semleges vonalnak nevezzük, mivel tőle balra és jobbra az északi és déli pólusok alatt az áramirányok ellentétesek. Akkor kapjuk a legnagyobb feszültséget, ha a kefék a semleges vonalban lévő kommutátorszeletekhez csatlakoznak. Ha a keféket pl. a CD vonalban helyezzük el, akkor a forgórészről levehető feszültség csökken, mivel a fogyasztón a CD vonaltól balra és jobbra lévő feszültségek lerontják egymást ( U K  U DC  U DA  U CA ). A tekercsáramok egy része ellentétesen folyik át a fogyasztón. ω

B

D

B

B

UBD I

É

D

U

UK

Rt

D

U UBC

UCA A C

UK*

UDA

C

A

A

a.

b.

c.

12.6. ábra. Kétpólusú Gramme-gyűrűs forgórész (a), a tekercselés és a benne ébredő feszültség (b), a fogyasztóra jutó feszültség, ha a kefék nem a semleges vonalban vannak (c)

- 140 -

Elektrotechnika

A 12.7. ábrán egy kétpóluspárú Gramme-gyűrűs egyenáramú gép látható. A pólusok közötti semleges vonalban helyezkednek el a kefék. A két pozitív, ill. a két negatív jelű kefét összekötve, az azonos feszültségű tekercsrészek egymással párhuzamosan kapcsolódnak és a gép nagyobb áram leadására képes. A Grammeféle tekercselést ma már nem használják, mivel D a hengerben lévő vezetőkben nem indukálódik + feszültség, a beépített tekercselőanyag nincs jól kihasználva, ezért helyette a hurkos vagy hullámos tekercselést alkalmazzák. É É A hurkos tekercselés (12.8. ábra) elnevezés onnan ered, hogy kommutátorszelettől kommutátorszeletig egy hurkot ír le a tekercs. + Egy horonyban gyakran nemcsak egy vezető C fekszik. A következő kommutátorszelethez akD kor csatlakozunk, amikor a meghatározott menetszámot elértük. A hullámos tekercselés (12.9. ábra) kiin12.7. ábra. Kétpóluspárú (négypólusú) dulása megegyezik a hurkos tekercselésével. Gramme-gyűrűs egyenáramú gép Egy hullám elkészítése után azonban itt nem térünk vissza a kiindulás melletti szegmenshez, hanem egy további félhullámot írunk le. A kommutátorszeletekhez tehát csak minden második pólusszámnak megfelelő helyen csatlakozunk. tekercsfejek

É

tekercsfej

tekercsoldal

D

12.8. ábra. Hurkos tekercselés

d D

É

D

É

a c

5 3 1 0

4 2

12.9. ábra. Hullámos tekercselés - 141 -

b

Mentes Gyula Mind a hullámos, mind pedig a hurkos tekercselésre érvényes, hogy a legnagyobb feszültség levételéhez a keféket a pólusok közötti semleges vonalban kell elhelyezni. A továbbiakban a kommutátort nem rajzoljuk be az ábrába, a keféket a semleges vonalban elhelyezkedő keretoldalakhoz rajzoljuk be a 12.7. ábrán látható módon.

12.3.2. Kefeszikrázás és armatúravisszahatás Amikor a kefe átcsúszik a kommutátor egyik szegmenséről a másikra, akkor rövidrezárja a két szegmenst és ezzel együtt a tekercselés egy részét, ahogy azt a 12.10. ábra mutatja. A rövidrezárt tekercsrészben nagy áram folyik, amely megszakad, amikor a kefe teljesen lecsúszik az egyik szegmensről. Ekkor Lenz-törvénye értelmében olyan indukált feszültség keletkezik, amely az eredeti rövidzárási áramot igyekszik fenntartani, ezért a kefe lecsúszó éle szikrázik. A szikrázás annál naÉ D gyobb, minél nagyobb az önindukciós feszültség. A kefeszikrázást úgy szüntethetjük meg, ha az önindukciós feszültséget kompenzáljuk. Ezt kétféleképpen tehetjük meg. Nagyobb gépeknél a főpólusok közé, a semleges vonalban keskeny segédpólusokat építenek be, amelyek gerjesztése olyan irányú, hogy a kefeszikrázást létrehozó önindukciós feszültséggel 12.10. ábra. A kefeszikrázást létrehozó ellentétes irányú feszültséget indukáljon a önindukciós feszültség kommutációban résztvevő rövidrezárt tekercsben. Mivel a kefeszikrázást létrehozó önindukciós feszültség a gép terhelésének, vagyis a forgórészben folyó armatúraáram függvénye, ezért a segédpólusokat az armatúraárammal gerjesztik (12.11. ábra). Kisgépek kefeszikrázását úgy szüntetik meg, hogy a keféket elforgatják a semleges vonalból, mégpedig generátorüzemben a forgás irányában, motorüzemben pedig a forgással ellentétes irányban. Ekkor a rövidrezárt tekercsrészben a főpólusok olyan feszültséget indukálnak, amely a + + GM kefeszikrázást előidéző önindukciós feszültség ellen hat. A módszer hibája, hogy minden terhelési állapotnak más kefehelyzet felel meg. Egyenáramú gépekben nemcsak a gerjesztőpólusok hoznak létre mágneses teret, hanem az armatúrában folyó áram is. A gép tényleges mágneses tere a kettő eredőjeként jön létre a 12.11. ábra. Kefeszikrázás kompenzá12.12. ábrán látható módon. A 12.12a. ábra a lása a főpólusok között elhelyezett gerjesztőpólus, míg a 12.12b. ábra a forgórész segédpólusokkal vagy más néven az armatúra által létrehozott mágneses teret mutatja. A gépben a két tér eredője van, amit a 12.12c. ábra mutat. Az ábrából látható, hogy az armatúra mágneses terének hatása az ún. armatúra visszahatás kétféle módon jelentkezik:

- 142 -

Elektrotechnika -

-

A semleges vonal  szöggel elfordul. Az elfordulás mértéke függ az armatúraáramtól, vagyis a gép terhelésétől. Az elfordulás generátorüzemben a forgásiránnyal egyező, motorüzemben azzal ellentétes. A pólusok egyik oldalán a légrésben megnövekszik az indukció, a másik oldalon pedig lecsökken. Mivel a gépet üzeme során a telítési indukcióig mágnesezik fel, ezért tulajdonképpen csak a gyengítő hatás érvényesül.

Nagyobb teljesítményű egyenáramú gépek esetében az armatúra visszahatást kompenzálni kell. Ezt a főpólusok hornyaiban elhelyezett ún. kompenzáló tekerccsel lehet megvalósítani, amelyen az armatúra áramot kell átvezetni, hogy a terheléstől függő kompenzáció megvalósuljon. A kompenzáló tekercs elhelyezését és bekötését 12.13. ábra mutatja. É

É É



D

a.

D

D

b. 12.12. ábra. Armatúra visszahatás

c.

É

Ia D

12.13. ábra. Kompenzálótekercs

12.3.3. Egyenáramú gépek gerjesztőtekercsének kapcsolása Az egyenáramú gépek üzemi tulajdonságai attól függnek, hogy a gép fluxusa hogyan függ a terheléstől. Ez a gerjesztőtekercs kapcsolásával befolyásolható. Aszerint, hogy a gerjesztőtekercs milyen kapcsolatban van az armatúrával, megkülönböztetünk külső, párhuzamos (sönt vagy mellékáramkörű), soros és vegyes gerjesztésű gépet.

- 143 -

Mentes Gyula A külső gerjesztésű gép gerjesztőtekercse semmilyen kapcsolatban nincs az armatúrával, azt külön áramforrásról tápláljuk (12.14. ábra.). A fluxust csak az armatúra visszahatása befolyásolja. A söntgerjesztésű gép gerjesztőtekercsét az armatúrával párhuzamosan kapcsoljuk, ezáltal generátorüzemben a gép gerjesztése függ a kapocsfeszültségtől. Motorüzemben a gépet a hálózati feszültségről tápláljuk, amely állandó, ezért motorüzemben a söntgerjesztés megegyezik a külső gerjesztéssel (12.15. ábra). Soros gerjesztés esetén a gerjesztőtekercset sorbakapcsoljuk az armatúrával, ezért azon a terhelőáram folyik keresztül és a fluxus a terheléssel együtt változik (12.16. ábra). A vegyesgerjesztésű gép pólusain két tekercs van. Ezek közül az egyik sorba, a másik pedig párhuzamosan kapcsolódik az armatúrával (12.17. ábra). A söntgerjesztés helyett adhatunk külső gerjesztést is. Ha a sönt és a soros gerjesztés azonos irányú, akkor a gép kompaund, ha ellentétes irányú, akkor a gép antikompaund. + -

+ -

Terhelés

Ia

+

-

Ig

+

Ia

Ia

Ia

12.14. ábra. Külső gerjesztésű egyenáramú gép

Ig

a. b. 12.15. ábra. Párhuzamos gerjesztésű egyenáramú gép. (a) generátor, (b) motor

+ -

+ Ia

Ia Ia I'g

Ig=Ia I"g

12.16. ábra. Soros gerjesztésű egyenáramú gép

12.17. ábra. Vegyesgerjesztésű egyenáramú gép

- 144 -

Elektrotechnika 12.4. Egyenáramú generátorok jelleggörbéi Az egyenáramú generátorok üzemi viszonyairól a jelleggörbék adnak felvilágosítást. A belső jelleggörbék a generátor feszültsége ( U io üresjárási indukált feszültség, U i indukált feszültség, U kapocsfeszültség) és gerjesztőárama közötti függvénykapcsolatot adják meg, míg a külső jelleggörbék vagy terhelési görbék pedig a kapocsfeszültség és az armatúraáram közötti kapcsolatot mutatják. A jelleggörbéket mindig állandó fordulatszámnál veszik fel. Külső gerjesztésű generátor belső jelleggörbéje az indukált feszültség U i  és a gerjesztőáram közötti függvénykapcsolatot mutatja. A belső jelleggörbét méréssel határozhatjuk meg. A generátort állandó árammal terheljük ( I a  const . ) és nullától kezdve fokozatosan növeljük n = áll U I = áll Ui0 B a az I g gerjesztőáramot, miközben mérjük a generátor Ui U kapocsfeszültségét. Az üresjárási feszültséget természeIR Un tesen nulla terhelőáramnál mérjük. Az üresjárásban inUi dukált feszültség - minthogy a fordulatszám állandó - a Un  fluxussal és így végső soron a B indukcióval arányos. A B indukció és az I g gerjesztőáram közötti kap- Ur Ig1 Ig2 Ig3 Ig 0 csolatot pedig a mágnesezési görbe adja. Mivel a vasban 12.18. ábra. Egyenáramú generámindig visszamarad remanens indukció, ezért az U i 0 tor belső jelleggörbéje üresjárási jelleggörbe az U r remanens feszültségről indul és a mágnesezési görbéhez hasonlóan egy meghatározott gerjesztési áramtól már nem növekszik tovább (12.18. ábra). Az U terhelési jelleggörbe az üresjárási jelleggörbe alatt halad. Ennek oka, hogy az indukált feszültség (az ábrán a szaggatott görbe) az armatúrareakció miatt kisebb az üresjárási indukált feszültségnél, továbbá a terhelőáram a generátor belső ellenállásán feszültséget ejt. A külső jelleggörbe felvételéhez a fordulatszámot és a gerjesztőáramot állandó értéU Uio ken tartják és az armatúraáramot változtatják. A } 12.19. ábra feltünteti az U i indukált feszültséIRa Ui get, amely az armatúravisszahatás miatt kisebb, mint az üresjárási indukált feszültség. Az U U kapocsfeszültség az armatúra belső ellenállásán IaR eső feszültséggel kisebb, mint az indukált fe} I R a szültség. Mivel az egyenáramú generátorok Ian Ia belső ellenállása igen kicsi, ezért a feszültség12.19. ábra. Egyenáramú generátor külesés is kicsi, vagyis a külső gerjesztésű egyenáső jelleggörbéje ramú generátor feszültségtartó gép. A söntgenerátor gerjesztőfeszültségét saját kapcsairól kapja. Ha a generátor forgórészét megforgatjuk, akkor a gerjesztő pólusokban visszamaradó remanens indukció feszültséget indukál a forgórészben és a gerjesztőtekercs feszültséget kap. A söntgenerátor csak akkor gerjed fel, ha a gerjesztőtekercsben folyó áram erősíti a remanens indukciót. Az öngerjedés elvét Jedlik Ányos fedezte fel és 1861-ben készítette el az első öngerjedő generátort. Találmányát azonban sosem ismertette. Tőle függetlenül Werner Siemens is felfedezte az öngerjedő generátor elvét és 1867-ben szabadalmaztatta. Az öngerjedés elvét Siemens dinamó-elektromos elvnek nevezte el, ezért az öngerjedő söntgenerátorokat dinamóknak is nevezik. A söntgenerátor felgerjedése az alábbi módon játszódik le (12.20. ábra). A remanens indukció feszültséget hoz létre a gép kapcsain, amely áramot hajt át a gerjesztő tekercsen. - 145 -

Mentes Gyula Ennek következtében a kapocsfeszültség megnövekszik, amely tovább növeli a gerjesztőáramot. A gép kapocsfeszültsége a felgerjedés folyamán minden pillanatban egyenlő a gerjesztőkör ohmos ellenállásán eső feszültség és a gerjesztőtekercs önindukciós feszültségének összegével: dig . (12.2) U io  Rmig  Lg dt Ha a gép felgerjedt, akkor a gerjesztőáram már nem változik, az önindukciós feszültség nulla lesz. A gép mindig arra a feszültségre gerjed fel, amelynél kapocsfeszültsége egyenlő a gerjesztőtekercs ohmos ellenállásán eső feszültséggel: U k  Rm I gn . a RmIg Ellenállás{ egyenes Lgdig dt

Uio

U Uioknt U”oi

(12.3)

Ui

U

Ia R

Rmig

U’oi

I aR

Ia R



Ur

I’g I”gIgknt

ig

Ign

Ig

12.20. ábra. Söntgerjesztésű generátor belső jelleggörbéje és felgerjedési folyamata

Iz

Ih

I

12.21. ábra. Söntgenerátor külső jelleggörbéje

A söntgenerátor külső jelleggörbéjének felvétele során állandó értéken tartjuk a fordulatszámot, valamint a gerjesztőkör ellenállását és fokozatosan növeljük a terhelőáramot. A külső jelleggörbét a 12.21. ábra mutatja. Látható, hogy a generátor árama a terhelés növelésével csak egy I h határáramig növekszik, ezután csökken és az I z zárlati áram már csak néhány százaléka a névleges áramnak. A zárlati áramot a remanens indukció tartja fenn. Az ábrán a folyamatos vonallal rajzolt görbe mutatja a kapocsfeszültséget, amely a belső ellenálláson eső feszültséggel kisebb, mint az indukált (üresjárási) feszültség. A névleges áramig a söntgenerátor is feszültségtartó gép. Soros gerjesztésű generátor esetében Uio U a külső és belső jelleggörbe azonos, mivel Ui az armatúraáram megegyezik a gerjesztőárammal. A jelleggörbe kezdetben emelkedik, majd csökken. A soros gerjesztésű gép IgR nem feszültségtartó. Ha a terhelési jellegU görbéhez (folyamatos vonal) hozzáadjuk az IgR armatúra ellenállásán eső feszültséget, akkor megkapjuk az üresjárási indukált feIz szültséget (12.22. ábra) Ia 12.22. ábra. Soros gerjesztésű egyenáramú generátor jelleggörbéje - 146 -

Elektrotechnika Vegyes gerjesztésű generátor pólustörzsére a sönttekercsen kívül még soros tekercset is elhelyeznek. Ha a soros tekercs gerjesztése hozzáadódik a sönttekercs gerjesztéséhez és a soros tekercs kompenzálja az armatúrareakció fluxuscsökkentő hatását, U U (hiperkomp) valamint a belső feszültségesést, akkor a generátor feszültsége gyakorlatilag U (komp) állandó, nem függ az armatúraáramtól (kompaund generátor). Ha a soros tekercs gerjesztése az aramatúrareakció U (sönt) U (antikomp) fluxuscsökkentő hatásán és a belső feszültségesésen kívül még a fogyasztókhoz csatlakozó vezetékek feszültségesését is kompenzálja, akkor a növekvő armatúraáram hatására a gép Ia kapocsfeszültsége is nő (hiper. kompaund generátor). A generátor 12.23. ábra. Vegyesgerjesztésű egyenáramú kapocsfeszültsége csökken az armatúgenerátor jelleggörbéi raáram növekedésével, ha a soros tekercs gerjesztése szembe dolgozik a sönt gerjesztésével (antikompaund generátor). Antikompaund generátort pl. hegesztőgenerátorként alkalmaznak, mivel karakterisztikája illeszkedik a villamos ív karakterisztikájához. A vegyesgerjesztésű egyenáramú generátor jelleggörbéit a 12.23. ábra mutatja. 12.5. Egyenáramú motorok üzemi tulajdonságai Motorüzemben külső áramforrásból vezetünk áramot az armatúratekercsbe. Az armatúraáram és a mágneses tér kölcsönhatására nyomaték keletkezik, az armatúra forgásba jön. A forgórészben indukált feszültség iránya ellentétes az áramforrás feszültségével és kisebb annál, ezért az armatúra vezetékeiben folyó áram iránya megegyezik az indukált feszültség irányával. Az Ra Ia egyenáramú gép helyettesítő kapcsolását motorüzemben a 12.24. ábra mutatja. Az ábrából látható, hogy a motor kapocsfeszültsége éppen az I a Ra feszültségUi Uk eséssel nagyobb az indukált feszültségnél, ezért: U k  U i  I a Ra .

(12.4)

A motor mechanikai teljesítménye a belső teljesítménnyel egyenlő:

Mm  Ui I a .

12.24. ábra. Egyenáramú motor helyettesítő kapcsolása (12.5)

A (12.1) indukált feszültség képletéből látható, hogy az armatúrában indukált egyenfeszültség, amely megegyezik az indukált váltakozófeszültség amplitúdójával, arányos a fluxussal és a forgórész szögsebességével: U i  k .

- 147 -

(12.6)

Mentes Gyula Ezt az előző képletbe helyettesítve kapjuk, hogy a motor nyomatéka a fluxus és az armatúraáram szorzatával arányos: M m  kI a  f I a  .

(12.7)

Ha a gép fluxusa állandó (többnyire ez az eset fordul elő), akkor a motor nyomatéka az armatúraáram lineáris függvénye. Az indukált feszültséget felírva az n fordulatszám segítségével, valamint a k és 2 konstansokat egyetlen c konstansban összevonva kapjuk, hogy:

U i  cn .

(12.8)

A (12.4) összefüggésből az indukált feszültséget kifejezve és a (12.8) összefüggést behelyettesítve: cn  U k  I a Ra ,

(12.9)

amelyből a motor fordulatszáma az armatúraáram függvényében kifejezhető: n

U k  I a Ra  f I a  . c

(12.10)

A (12.7) nyomatékegyenletből az armatúraáramot kifejezve és a (12.10) fordulatszám képletbe behelyettesítve megkapjuk a motor fordulatszáma és nyomatéka közötti összefüggést, a motor mechanikai jelleggörbéjét: n

Uk R  a 2 M  f M  . c ck

(12.11)

12.5.1. Külső és párhuzamos gerjesztésű egyenáramú motorok üzemi jellemzői Motorüzemben a külső és a párhuzamos (sönt) gerjesztésű gép között nincs különbség, mert mindkét gép gerjesztőtekercsét állandó feszültség táplálja, ezért a gerjesztőáram független a terheléstől. A különbség a két gép között csak annyi, hogy a külső gerjesztésű gép gerjesztőfeszültsége általában nem egyezik meg a motort tápláló hálózat feszültségével (12.13. és 12.14b. ábrák). A külső ill. a párhuzamos gerjesztésű motor n  f I a  jelleggörbéje megegyezik a (12.10) képlettel megadott görbével. Ugyanis a fluxus nem függ a gép terhelésétől: n

U k Ra  Ia . c c

(12.12)

Uk c

(12.13)

Ha I a  0 , akkor n  n0 

- 148 -

Elektrotechnika az üresjárási fordulatszám. A tökéletesen kompenzált gépben az armatúrareakció nem csökkenti a fluxust, tehát az a terhelőáramtól függetlenül állandónak tekinthető: Ra  A  const . c

(12.14)

A fentiek alapján a motor fordulatszámát az armatúraáram függvényében az

n  n0  AI a

(12.15)

egyenlet írja le (12.25. ábra). A fordulatszám-armatúraáram összefüggés tehát egy enyhén lejtő egyenes. A nem tökéletesen kompenzált gépekben az armatúrareakció csökkenti a fluxust. A fluxuscsökkenés miatt az (12.12) egyenlet nevezője az armatúraáram növekedésével csökken. Így a forgási sebesség csökkenésének mértéke kisebb lesz, mint ahogy azt az (12.15) egyenlet előírja. A jelleggörbe eltér az egyenestől, felülről nézve homorú (12.25. ábra szaggatottan kihúzott görbéje). M n no

Ia

Ia

12.25 ábra. Külső és söntgerjesztésű egyenáramú motor fordulatszámarmatúraáram jelleggörbéje

12.26. ábra. Külső és söntgerjesztésű egyenáramú motor nyomatékarmatúraáram jelleggörbéje

Az M  f I a  jelleggörbe a (12.7) képlet alapján határozható meg. Ha feltételezzük a tökéletes kompenzációt, akkor k  K  áll . és így

M  KI a ,

(12.16)

vagyis a nyomaték az armatúraárammal arányos, ill. másképpen fogalmazva: az armatúraáramot csakis a terhelőnyomaték határozza meg. A nyomatéki görbe az M és az I a koordinátarendszer kezdőpontján átmenő egyenes (12.26. ábra). Ha figyelembe vesszük az armatúrareakció fluxuscsökkentő hatását, akkor a növekvő I a -hoz csökkenő  tartozik, megszűnik az arányosság és a nyomatéki görbe az egyenes alatt halad (az ábra szaggatott görbéje).

- 149 -

Mentes Gyula Az n  f M  függvénykapcsolathoz úgy jutunk, ha a (12.11) egyenletbe behelyettesítjük a (12.13) összefüggést: R (12.17) n  n0  M. ck 2 Ha feltételezzük, hogy a  fluxus állandó, akkor a fenti egyenlet olyan ferde egyenest ír le, amelyik az ordinátatengelyt n0 magasságban metszi. Ha a fluxus nem állandó, n hanem a terhelés növekedésével csökken, akkor a függvénygörbe menetére csak neno hezen tudunk következtetni a (12.17) egyenletből. Az n  f I a  és az M  f I a  görbét ismerve (12.25. és 12.26. ábrák) könnyen megszerkeszthető a motor mechanikai jelleggörbéje (12.27. ábra). A két ábrán azonos armatúraáramok esetében leolvassuk a fordulatszámokat ill. a nyomatékokat és az összetartozó fordulatszám nyomaték értékeket külön koordinátaM rendszerben ábrázoljuk. A jelleggörbék alapján kimondhat12.27. ábra. Külső és söntgerjesztésű egyejuk, hogy a külső és párhuzamos gerjeszténáramú motor fordulatszám-nyomaték jelsű motorok fordulatszámtartók, mert forgáleggörbéje si sebességük csak kis mértékben változik a terheléssel. 12.5.2. Soros gerjesztésű egyenáramú motorok üzemi jellemzői A soros motor gerjesztőtekercsén az armatúraáram folyik keresztül (12.16. ábra), ezért a fluxus az armatúraáram függvénye. Ha eltekintünk a vastelítődéstől, akkor a fluxus arányos az armatúraárammal:   I a .

(12.18)

Ezt az (12.10)-be helyettesítve:

n

U  Ia R U R A    B cI a cI a c I a

(12.19)

A

U R  áll. és B   áll. c c

(12.20)

ahol

Az (12.19) egyenlet olyan hiperbolát ír le, amelyiknek függőleges aszimptotája az ordinátatengely, vízszintes aszimptotája az abszcissza tengely alatt B távolságban fekvő vízszintes egyenes (12.28a. ábra vékonyan rajzolt görbéje).

- 150 -

Elektrotechnika A valóságban nem hanyagolható el a vas telítődése. A 12.28a. ábrán feltüntettük a  i  I a egyenest és a vastelítést figyelembe vevő   f I a  görbét. A tényleges n  f I a  görbe egyes pontjai i /  arányban a hiperbola fölött vannak (12.28a. ábra vastagon rajzolt görbéje). Az M  f I a  kapcsolat megállapításakor első lépésben ismét tekintsünk el a vastelítéstől, tehát a i  I a értéket helyettesítsük a (12.7)-be: M  k I a2  KI a2 .

(12.21)

A nyomaték tehát az áramerősség négyzetével arányos (12.28b. ábra vékonyan kihúzott görbéje). Nagyobb armatúraáram hatására telítődik a vastest: megszűnik a fluxus és az armatúraáram közötti arányosság (12.28a. ábra) és a valóságos nyomatéki görbe i /  arányában a parabola alatt halad (12.28b. ábra vastagon kihúzott görbéje).



Ia



Ia

=f(Ia)

=f(Ia)

Ia

Ia

n

M M(Ia)

n(Ia) Ia

-B

Ia

a.

b.

12.28. ábra Soros gerjesztésű egyenáramú motor fordulatszáma (a) és nyomatéka (b) az armatúraáram függvényében (a vastag vonal a vas telítődésének hatását mutatja)

Az n  f M  mechanikai jelleggörbét legcélszerűbb M  f I a  és az n  f I a  jelleggörbéből megszerkeszteni. A két görbéből azonos armatúraáramoknál leolvassuk a nyomatékot és a fordulatszámot és ezeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk (12.29. ábra). - 151 -

Mentes Gyula A mechanikai jelleggörbe világosan mutatja, hogy a terhelés csökkenésével a fordulatszám rohamosan növekszik. Ha nagyon kicsiny a terhelés, a fordulatszám olyan nagy lehet (a motor megszalad), hogy a motor ezt szilárdságilag már nem bírja ki. A soros motornak nincsen meghatározott üresjárási fordulatszáma.

n

M

12.29. ábra. Soros gerjesztésű egyenáramú motor fordulatszám-nyomaték jelleggörbéje

12.5.3. Vegyesgerjesztésű egyenáramú motor üzemi jellemzői A soros motor igen kedvező tulajdonsága a nagy indítónyomaték, hátrányos tulajdonsága, hogy kis terhelésen kicsiny a fluxus és ezért megszaladásra hajlamos. Ha a soros gerjesztésen kívül még néhány százalék söntgerjesztést is adunk a motornak (12.17. ábra), akkor a söntgerjesztés üresjárásban is biztosít annyi fluxust, amely nem engedi a motor fordulatszámát veszélyes értékig növekedni. Ezáltal a motornak van egy határozott üresjárási fordulatszáma (12.30. ábra). 12.6. Egyenáramú motorok üzeme

n

M 12.30. ábra. Vegyesgerjesztésű egyenáramú motor fordulatszám-nyomaték jelleggörbéje

12.6.1. Egyenáramú motorok indítása Az egyenáramú motor forgórészében a gerjesztőpólusok által létrehozott fluxus U i feszültséget indukál, amely egyensúlyt tart a hálózati U k feszültséggel (12.24. ábra). Az Ri Ia Ra indukált feszültség az armatúraellenálláson eső feszültséggel kisebb a kapocsfeszültségnél ( U i  U k  I a Ra ). A bekapcsolás pillanaUi Uk tában, amikor a forgórész még áll, az indukált feszültség nulla. Mivel a forgórész tekercsellenállása a veszteségek csökkentése érdekében kicsi, ezért a motor névleges áramának 10-20-szorosa alakulhat ki indításkor. A motor bekapcsolásának pillanatában a nagy áram 12.31. ábra. Egyenáramú motor indítása kialakulását az armatúra induktivitása késlelindítóellenállással teti. Ha a motor tehetetlenségi nyomatéka kicsi, akkor a motor gyorsan felpörög és a - 152 -

Elektrotechnika forgórészben indukált feszültség megakadályozza az indítási áramlökés kialakulását. Ebben az esetben a motort közvetlenül hálózatra kapcsolással indíthatjuk. Nagy tehetetlenségi nyomatékú forgórészek esetében, amikor a forgórész lassan pörög fel, az indukált feszültség csak lassan növekszik, ezért a nagy bekapcsolási áramlökés ki tud alakulni. Ezeket a motorokat csökkentett feszültséggel indítjuk. Ha a motor kapocsfeszültsége szabályozható, akkor az indítás egyszerűen, csökkentett feszültséggel való indítással megoldható. Egyéb esetben a motor kapocsfeszültségét indítóellenállással csökkenthetjük 12.31. ábrán látható módon. Az indítóellenállást, amely az esetek többségében szabályozható kivitelben készül, a motor felpörgése során fokozatosan iktatjuk ki. 12.6.2. Egyenáramú motorok fordulatszámának szabályozása Az egyenáramú motor fordulatszáma (12.10 ): n

U k  I a Ra . c

(12.22)

A képletből látható, hogy az egyenáramú motorok fordulatszámát háromféle módon tudjuk változtatni: 1. A motor kapocsfeszültségének változtatásával. A 12.32. ábra egy külsőgerjesztésű motor fordulatszám-nyomaték görbeseregét mutatja különböző kapocsfeszültségek esetén. 2. Az armatúrakör ellenállásának, vagy ami ezzel egyenértékű, az armatúraáram változtatásával. Mivel az armatúrakör ellenállását külső ellenállás sorbakapcsolásával csak növelni lehet, ezért ezzel a módszerrel a fordulatszám csak csökkenthető. Ez a szabályozási módszer ritkán használatos, mivel az előtétellenálláson nagy a veszteség. 3. A fluxus változtatásával. Mivel a gépben a nagy nyomaték miatt nagy indukciót állítanak elő (a vasat telítésig mágnesezik), ezért a fluxust csak csökkenteni lehet. Ezért ezt a módszert mezőgyengítésnek nevezik. Korszerű félvezetős egyenáramú motorvezérlő rendszerekben az ún. áramirányítókban a kapocsfeszültség (armatúraáram) és a fluxus változtatásának együttes módszerét alkalmazzák fordulatszám szabályozására. Az áramirányítók háromfázisú (esetleg egyfázisú) n váltakozó-feszültségből szabályozható egyenfeszültséget állítanak elő, mind a Uk4  Uk3 kapocsfeszültség, mind pedig a gerjesztőfeszültség szabályozására. A Uk3  Uk2 motor fordulatszáma, mind kézzel, mind Uk2  Uk1 pedig távirányítással, számítógépes vezérUk1 léssel változtatható. Áramirányítós motorvezérlés blokkvázlatát mutatja a 12.33. ábra. M

12.32. ábra. Külső gerjesztésű egyenáramú motor fordulatszámának függése a kapocsfeszültségtől - 153 -

Mentes Gyula

U V W Kézi vezérlés

Számítógép interfész

Áramirányítás

Ug M

12.33. ábra. Áramirányítás egyenáramú motorvezérlő

12.6.3. Egyenáramú motorok fékezése Egyenáramú motoroknál háromféle fékezést különböztetünk meg: 1. Haszonfékezés. Ebben az esetben a motor fordulatszáma megnő (pl. lejtőn lefelé menő villamos) és a motor indukált feszültsége nagyobb lesz, mint a kapocsfeszültsége. A motor villamos energiát táplál vissza a hálózatba. Mivel a soros gerjesztésű motornak nincs üresjárási fordulatszáma, ezért ezzel a motorral nem lehet haszonfékezést megvalósítani. 2. Dinamikus fékezés. A hálózatról lekapcsolt motort a mozgási energiája forgásban tartja. Ha a kapcsaira ellenállást kapcsolunk, akkor a tengelyén felvett mechanikai energia az ellenálláson hővé alakul. Soros gerjesztésű motorral a dinamikus fékezés csak úgy valósítható meg, ha az ellenállásra kapcsolás pillanatában a gerjesztőtekercs kapcsait is felcseréljük. 3. Ellenáramú fékezés. A motort a forgásiránnyal ellentétes nyomatékot adó kapocsfeszültségre kapcsoljuk (lejtőn lefelé haladó villamos esetében a kapocsfeszültséget felcseréljük). A nagy áramerősség kialakulását a motorral sorbakapcsolt ellenállással korlátozzuk. Ekkor a motor a tengelyén mechanikai energiát, kapcsain pedig villamos energiát vesz fel. Mindkét energia a motort melegíti.

- 154 -

Elektrotechnika FELHASZNÁLT IRODALOM

Barabás Miklós: Villamosgépek I., 1. rész, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1993. Barabás Miklós: Villamosgépek II., Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1993. Budó Ágoston: Kísérleti Fizika II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1968. Fodor György: Elméleti Elektronika I-II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1970. Klaus Fuest, Peter Döring: Elektrische Maschinen und Antriebe. Fried. Vieweg und Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweg/Wiesbaden, 2000. Mersich Ivánné, Nagy Lóránt, Farkas András, Peresztegi Sándor: Különleges villamos gépek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1983. Selmeczi Kálmán – Schnöller Antal: Elektronika I. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1968. Uray Vilmos: Erősáramú Elektronika I, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1968.

- 155 -