NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM FAIPARI MÉRNÖKI KAR MŐSZAKI MECHANIKA ÉS TARTÓSZERKEZETEK INTÉZET. Dr. Szalai József egyetemi tanár SZTATIKA

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM FAIPARI MÉRNÖKI KAR MŐSZAKI MECHANIKA ÉS TARTÓSZERKEZETEK INTÉZET

Dr. Szalai József egyetemi tanár

MŐSZAKI MECHANIKA I. SZTATIKA

Jegyzet a faipari, könnyőipari, erdı- és környzetmérnök képzés BSC hallgatói számára

Javított és átdolgozott kiadás

Sopron 2008

2

A VERSEIM ELÉ

Majd hogyha aggkoromban látom e verseket, szólok: „Mi balga dolgok.” S jóízően mosolygok, hogy szinte könnyezek, hogy szinte könnyezek. Említem, mint a rosszat, amely feledve szebb s szilaj emlékezetben felzúg az égre kedvem, hogy szinte könnyezek, hogy szinte könnyezek. S ısz fıvel azt beszélem: „Silányka versezet. Bennök gyönyört nem érzek, elszállt az édes érzet!” S mélázva könnyezek, elmézve könnyezek. Akkorra már nem értem, mire valók ezek; a rím a hírnek álma, mely eltőn, messze szállva s majd értök könnyezek… İértök könnyezek!

Kosztolányi Dezsı

3 Tartalomjegyzék

Oldalszám Elıszó 1. A mechanika feladata, felosztása és módszerei 2. A klasszikus mechanika alapfogalmai 2.1. Általános alapfogalmak 2.2. Kinematikai alapfogalmak 2.3. Dinamikai alapfogalmak; Newton törvényei, a tömeg, az erı és a nyomaték 2.4. Kinetikai alapfogalmak 3. Sztatikai alapelemek és alapelvei 3.1. Kölönbözı erıtípusok 3.2. Az erı és nyomaték megadása, ábrázolása 3.3. Az erırendszerekkel kapcsolatos fogalmak, az erırendszerek csoportosítása 3.4. A sztatika feladata és felosztása 3.5. A sztatika általános alapelvei 3.5.1. Az anyagi pontra ható erırendszer egyensúlya, eredıje és kiegyensúlyozása 3.5.2. A merev testre ható erırendszer egyensúlya, eredıje és kiegyensúlyozása 3.5.3. A szerkezetek vizsgálatával kapcsolatos elvek és módszerek 3.5.3.1. Kényszerek és csoportosításuk 3.5.3.2. Az elkülönítés és az átmetszés elve 3.5.3.3. Szerkezetek szabadságfoka 3.5.3.4. A belsı erık és igénybevételek 3.5.3.5. Az igénybevételek és a külsı erık kapcsolata 3.5.3.6. A virtuális munka elve 3.5.3.7. A lineáris szuperpozíció elve 4. Az anyagi pontra ható erırendszerek vizsgálata 4.1. Számító eljárás 4.1.1. Térbeli erırendszer 4.1.2. Síkbeli erırendszer 4.1.3. Közös hatásvonalú erırendszer 4.2. Szerkesztı eljárás 5. A merev testre ható erırendszerek vizsgálata 5.1. Számító eljárás 5.1.1. Egyetlen egy erı 5.1.2. Két erı 5.1.3. Három erı 5.1.4. Tetszıleges számú erı 5.1.5. Párhuzamos erırendszer 5.1.6. Síkbeli erırendszer 5.2. Szerkesztı eljárás 5.2.1. Vektor- és kötélsokszög szerkesztés az eredı és az egyensúlyi állapot meghatározására 5.2.2. Síkbeli erırendszer grafikus kiegyensúlyozása 5.2.3. Síkbeli erırendszer nyomatékának szerkesztése 6. Teherviselı szerkezetek sztatikája

4 6.1. Merev szerkezetek 6.1.1. Rácsos tartók 6.1.2. Kéttámaszú és befogott, egyenes tengelyő (gerenda-) tartók 6.1.2.1. Igénybevételi függvények 6.1.2.2. A speciális tehertípusoknak megfelelı igénybevételi ábrák jellegzetességei 6.1.2.3. Az igénybevételi ábrák szerkesztése 6.1.2.4. Az igénybevételek szélsı értékeinek meghatározása 6.1.3. Több csuklós, egyenes tengelyő (Gerber-) tartók 6.1.4. Tört tengelyő és ágas tartók (keretek) 6.1.5. Íves (görbe) tengelyő tartók 6.1.6. Háromcsuklós ívek és keretek 6.1.7. Mozgó terheléső tartók 6.1.7.1. Egyenes tengelyő tartók hatásábrái 6.1.7.2. Párhuzamos övő rácsos tartók rúderı hatásábrái 6.1.7.3. A reakciók és az igénybevételek szóló értékeinek meghatározása mozgó terhelés esetén 6.2. Teherhordó kötelek 6.2.1. Koncentrált erıkkel terhelt kötél 6.2.2. Megoszló erıvel terhelt kötél 6.2.2.1. A saját súlyával terhelt kötél pontos megoldása 6.2.2.2. A saját súlyával terhelt kötél közelítı megoldása 6.2.3. Önsúlyával és egyetlen koncentrált erıvel terhelt kötél 7. Súlypont 7.1. Tömegpontrendszer súlypontja 7.2. Folytonos test (kontinuum) súlypontja 7.3. Elsırendő vagy sztatikai nyomaték 7.4. Forgástestek felszíne és térfogata 8. A súrlódás 8.1. Száraz (Coulomb-féle) súrlódás 8.2. A száraz súrlódáson alapuló, azzal kapcsolatos mechanikai jelenségek, szerkezetek 8.2.1. Csapsúrlódás 8.2.2. Csapsúrlódás csapágyakban 8.2.3. Csapsúrlódás kúpos talpcsapágyakban (fúró súrlódás) 8.2.4. Kötélsúrlódás 8.2.5. Az ék 8.2.6. A csavar 8.2.7. Gördülési ellenállás 8.2.8. Egyszerő gépek hatásfoka 9. Egyensúlyi helyzetek 10. Állékonyság Felhasznált irodalom

5 ELİSZÓ A faipari-, könnyőripari, erdımérnök és környezetmérnökképzés igényeinek megfelelıen a mechanikát – tartalmát és felépítését tekintve – úgy tárgyaljuk, hogy az megfeleljen a mőszaki mérnöki tevékenység gyakorlati igényeinek. Ilyen értelemben beszélünk mőszaki mechanikáról. E négy részbıl álló jegyzetsorozat elsı kötete a merev testek mechanikájának általános leírására és összetett – elsısorban faipari (bútor- és épület-) szerkezetekben elıforduló – feladatok tárgyalására kerül sor. A negyedik kötet témája kinematika és kinetika. A mérnökképzés törzsanyagában, két szemeszterben, az elsı két kötet mindenki számára kötelezı tananyag. A harmadik kötet a bútorszerkezetek és építési faszerkezetek tervezésével, méretezésével mélyebben megismerkedni kívánó hallgatók anyaga. A negyedik kötet a faipari és papíripari technológiát választó hallgatók, ill. a gépesítési és mőszaki szakirányt választó erdımérnök hallgatók tananyaga. A mechanika a mérnökképzés fontos mőszaki alap- és alapozó tárgya. Jellegénél fogva nem csupán mechanikai ismeretek elsajátítását tőzi célul, hanem – s ez talán még fontosabb – a mőszaki mérnöki tevékenység számára elengedhetetlen problémafelismerı- és megoldó képesség kialakításának is hatékony eszköze. Ezt a képességet az elméleti anyag elsajátításán túl gyakori feladatok megoldásán keresztül lehet megszerezni. A példák öntevékeny kidolgozása elısegíti az elmélet megértését, a mőszaki gyakorlatban elıforduló feladatok felismerését, modellezését, megoldását és a megoldás alkalmazását, tehát bizonyos értelemben már mőszaki tevékenységnek számít. A tárgy tanulása során tehát az elméleti jegyzetek mellett mindig párhuzamosan kell használni a gyakorlati jegyzeteket és példatárakat a fenti célok megvalósítása érdekében. Ezúton is szeretném kifejezni köszönetemet dr. Roller Bélának és dr. Thamm Frigyesnek, a Budapesti Mőszaki Egyetem oktatóinak a jegyzetek bírálata során nyújtott segítségükért és tanácsaikért. Szeretném kifejezni hálámat Dr. Horváth-Szováti Gézánénak a jegyzet leírásáért és Karácsony Zsoltnak a jegyzet ábráinak szerkesztéséért. Az ı önzetlen munkájuk tette lehetıvé a jegyzet elektronikus formában történı megjelenését. Szeretném remélni, hogy a mőszaki mechanika tanulmányozására fordított idı megtérül és jól kamatozik a hallgatók további egyetemi tanulmányaik folyamán és a mérnöki gyakorlatban is. Sopron, 2008. február 27. a Szerzı

6 1. A MECHANIKA FELADATA, FELOSZTÁSA ÉS MÓDSZEREI Az anyag alapvetı tulajdonsága az örökös változás. E változás lehet helyváltoztatás (ún. mechanikai mozgás), valamint hı, elektromos, kémiai, biológiai jelenségekkel kapcsolatos mozgás. A mozgások vizsgálatával a különbözı természettudományok foglalkoznak. Feladatuk a jelenségek megfigyelése, leírása, törvényeinek felismerése és azok alkalmazása. Azokat a jelenségeket, amelyek során a testek anyagi összetétele nem változik meg, a fizika tudománya tárgyalja. A fizika részét képezi a mechanika, amely az anyagok, testek helyváltoztatásával és a helyváltoztatás okaival foglalkozik. A mechanika tudománya a XX. századi jelentıs fejlıdése következtében két nagy területre bontható. Az elsı az ún. klasszikus mechanika, melyet Galilei és Newton alapozott meg – azaz kb. 300 éves múltra tekint vissza - , majd jelentıs mértékben továbbfejlesztettek és amely a földi és égi jelenségek mechanikai mozgásával foglalkozik, ha a sebesség jóval kisebb a fény sebességénél. Századunk elején alakult ki a relativisztikus mechanika, amely Einstein relativitás elméletére épül és a mechanikai mozgásokat sebességük megkötése nélkül tárgyalja. Ez a tudományterület teszi lehetıvé az atomon belüli mikrorészecskék mozgásának leírását. A mechanika egyik ága – a kinematika – a mozgásokat vizsgálja, azok leírásával foglalkozik, másik ága – a dinamika, – a testek egymásra hatását, ill. ennek következményeit tárgyalja. A dinamika felbontható sztatikára (mikor a vizsgált test nyugalomban van) és kinematikára (mikor a test mozog). A kinematika és a dinamika két különálló terület, köztük a kapcsolatot a kinetika teremti meg.

A mechanika felosztása kinematikára, sztatikára és kinetikára mind az anyagi pontra, mind bármilyen más térbeli kiterjedéső testre, ill. azok rendszerére érvényes, függetlenül attól, hogy az merev, rugalmas, képlékeny, folyékony, gáznemő vagy más módon deformálható test-e. A vizsgált test tulajdonságai szerint megkülönböztetjük a véges szabadságfokú rendszerek és a kontinuumok mechanikáját. Az elıbbi az egyetlen anyagi (tömeg-) pont és a me-

7 rev test – általánosan a véges számú jellemzıvel leírható pontrendszerek – mozgását tárgyalja, az utóbbi a rugalmas, képlékeny, folyékony és gáznemő testek – általánosan a folytonos anyageloszlású, azaz végtelen nagy szabadságfokú rendszerek – mozgását vizsgálja.

A 6. oldalon található ábra összefoglalóan szemlélteti a mechanika tudományának tagozódását, felosztását. A mechanikai kutatások és a mechanika tárgykörébe tartozó egyszerőbb feladatok megoldási módszere lényegében megegyezik. Mindig a tapasztalatból indulunk ki, amely elsısorban megfigyelésekbıl áll. A megfigyelésnél az emberi érzékszervek mellett döntı jelentıségőek a különbözı mérési eszközök, berendezések. A megfigyelések osztályozása, rendszerezése és a jelenségek szabatos leírása után válik lehetıség a törvényszerőségek felismerésére, pontos megfogalmazására. A törvényszerőségek felismerésének egyik igen nagy nehézsége az, hogy a természetben végbemenı jelenségek összetettek, más folyamatokkal kapcsolódnak, azaz egyidejőleg több hatás is érvényesül. Ezért nagyon fontos az adott problémakör szempontjából kevésbé lényeges – sokszor zavaró – tényezık elhanyagolása, kiszőrése és csupán a lényeges tényezık figyelembevétele. Az így elıálló egyszerősített viszonyokat már meg lehet fogalmazni matematikai formában, majd a törvényszerőségeket megfelelı összefüggések formájában leírni. Ilyenkor a vizsgált jelenségek az egyszerősített mechanikai modelljérıl beszélünk, amely bizonyos szempontok szerint közelíti meg a valóságos viszonyokat. A mechanikai modell és a rá vonatkozó törvényszerőségek ismeretében a feladatot többféle módon – szerkesztéssel és számítással – is megoldhatjuk. A két módszer sokszor kiegészíti egymást, ill. egymás ellenırzésére szolgálhatnak. A szerkesztı eljárásoknak fontos didaktikai szerepük lehet, míg a számítógépek alkalmazásának lehetısége – különösen összetett, sok számolást igénylı feladatoknál – az algebrai megoldásokra helyezi a hangsúlyt. A feladat megoldása után ellenırzésként ismét a gyakorlati tapasztalatokhoz kell fordulni és az eredményeket mérésekkel kell igazolni. A következı folyamatábra vázlatosan szemlélteti az elmondottakat:

8 2. A KLASSZIKUS MECHANIKA ALAPFOGALMAI 2.1. ÁLTALÁNOS ALAPFOGALMAK A test mozgása, amelynek vizsgálata a mechanika tárgyát képezi, térben és idıben játszódik le. A valóságos – és éppen az anyag változásain keresztül igen bonyolult – tér fogalma helyett, a klasszikus mechanikában egyszerősített, matematikai eszközökkel jól kezelhetı modelljével dolgozunk. Ez a geometriában használatos euklideszi tér, melynek alapelemei a pont, a sík, az egyenes stb. A tér valamely pontját, ill. egy nyugvó vagy mozgó test pontjait, azok helyét mindig egy másik testhez viszonyítva adhatjuk csak meg. Ezt a másik testet vonatkoztatási rendszernek nevezzük. A vonatkoztatási rendszer gyakorlatilag valamilyen koordinátarendszert jelent, melynek típusától függıen, különbözıképpen értelmezett és különbözı jellegő mennyiségekkel ún. koordinátákkal adhatjuk meg a pont helyzetét. A koordinátarendszerekben a tér irányait alapvektorokkal jellemezzük, melyek – célszerőségi okokból – általában egységvektorok és abban a pontban értelmezzük ıket, amelyik pontnak a helyzetét vizsgáljuk. A mőszaki gyakorlatban leggyakrabban derékszögő koordinátarendszereket használnak, amelyeknél az alapvektorok egymásra kölcsönösen merılegesek. Descartes-féle koordinátarendszer Az e x , e y , e z alapvektorok párhuzamosak a koordinátarendszer tengelyeivel és állandók. Egy tetszıleges P pont helyét az origóból a P pontba húzott vektorral, és az ún. helyvektorral adhatjuk meg (2.1. ábra): r = x e x + ye y + z e z , ahol x, y, z a helyvektor koordinátái. Henger-koordinátarendszer Az alapvektorok közül ez állandó, míg a ρ hosszúságú egyenessel párhuzamos és eρ az arra merıleges e ϕ a ϕ szög függvényei (2.2. ábra): r = ρ eρ + z e z , ahol eρ helyzetét a ϕ szög szabja meg, így a helyvektor független koordinátái ρ, ϕ, z. Térbeli polár-koordinátarendszer Az r iránnyal párhuzamos er alapvektor, valamint a ϕ hajlású, függıleges síkra merıleges eϕ és ebben a síkban lévı eϑ υ alapvektorok állása a ϕ és ϑ szögek értékétıl függ, egyik sem állandó (2.3. ábra): r = re r .

9 A független koordináták tehát r, ϕ, ϑ . Az ábrák alapján könnyen beláthatjuk, hogy egyik koordinátarendszerbıl a koordináták alkalmas transzformációjával mindig egyértelmően áttérhetünk egy másikba. Természetesen számtalan más módja is van a koordinátarendszer felvételének és mindig azt célszerő választani, amelyben az adott mechanikai probléma a legegyszerőbben leírható. A fenti koordinátarendszerekben x, y, z, ρ, és r távolságot jelentenek, megadásuk mérıszámmal és a hosszúságdimenziónak megfelelı mértékegységgel történik. Az 1980-ban bevezetett Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a hosszúság alapegysége az 1 méter, rövidítve [m] . Ennek segítségével minden geometriai méret – hosszúság, terület, térfogat – kifejezhetı. A ϕ és υ mennyiségek szögkoordinátákat jelentenek. Bár az SI megengedi a sík teljes szögének a 360-ad részének, az 1o-nak mértékegységként való használatát, célszerőbb a szög nagyságát dimenzió nélküli mennyiségként, radiánban megadni, azaz a szöget hosszmérésre visszavezetni. A radián az R sugarú körív hosszának és a sugárnak a hányadosa. Ily módon a 360o-os teljes szög 2π radiánnak felel meg és 1 rad= 360 o 2π = 57o17’45”. Az idı fogalma a környezetünkben lejátszódó ritmikusan ismétlıdı események kapcsán alakul ki bennünk. A klasszikus mechanikában az idıt a tértıl függetlennek tekintjük és egy esemény idıbeli helyét az idıskálán t idıkoordinátával adjuk meg, amely egy tetszılegesen választott kezdeti pillanattól eltelt idıérték. Az idıértéket mérıszámmal és idıegységgel fejezzük ki. Az idı SI-beli egysége a másodperc (secundum), jele [s]. Ezek után már csak a testekkel kell foglalkoznunk. A test a tér anyaggal kitöltött része. Környezetünkben az anyag szilárd, folyékony és gáz halmazállapotban van jelen. Szilárd testnek nevezzük azokat a valóságos testeket, amelyek az ıket ért mechanikai hatások következtében csak kis mértékben változtatják meg az alakjukat. A folyadékok alakjukat tetszıleges mértékben megváltoztatják, de térfogatuk megváltoztatásával szemben nagy mértékben ellenállnak. A gázok alakja és térfogata is jelentıs változást szenvedhet. A testeket további idealizált tulajdonságokkal is jellemezhetjük, melyek viselkedésük matematikai leírását jelentısen megkönnyíthetik. Így rugalmas testnek nevezzük a szilárd testet, ha a külsı hatás megszőnése után visszanyeri eredeti, deformálatlan alakját. Képlékeny testrıl beszélünk, ha a test a terhelés megszőnése után is megtartja deformálódott alakját. A mechanikai vizsgálatok egy részében a szilárd testek alakváltozása elhanyagolható. Ilyen esetben bevezethetjük a merev test fogalmát, melynek alakja semmiféle külsı hatásra sem változik meg. Amennyiben a test kiterjedése a vizsgálatban szereplı egyéb méretekhez képest elég kicsi, a test alakja is elhanyagolható. Ilyenkor anyagi (tömeg) pontról beszélünk, melyet igen kicsi kiterjedés (gyakorlatilag matematikai pont) és véges anyagmennyiség jellemez. A merev testet pl. olyan anyagi pontrendszernek tekinthetjük, amelyben az egyes pontok egymáshoz viszonyított helyzete mindig változatlan marad. 2.2. KINEMATIKAI ALAPFOGALMAK Az anyagi pont mozgása kinematikai szempontból egyértelmően adott, ha valamilyen vonatkozási rendszerben ismerjük helyvektorát az idı függvényében (2.4. ábra). Az r = r (t) =x (t) e y +z (t) e z

2.1

alakú skalár-vektor függvényt a pont mozgástörvényének nevezzük. A helyvektor végpontjait összekötı

10 görbe a pont pályája, melynek paraméteres egyenletét a mozgástörvény egységvektorai elıtt található x(t), y(t), z(t) skalárfüggvények adják. Ha a pont a pálya A pontjából t idı alatt a B pontba jut, akkor az AB =s ívhosszúság a megtett út (feltéve, hogy az AB íven nincsen fordulópont), az AB = ∆ r pedig az elmozdulásvektor (2.5. ábra). A helyvektor idıbeli változását a sebességvektorral jellemezhetjük, amely a (2.1) jelő mozgástörvény idı szerinti differenciálhányadosa: ∆r dr = . 2.2 dt ∆t →0 ∆ t A sebességvektor idıbeli változására pedig a gyorsulásvektor a jellemzı. A gyorsulásvektor a sebességvektor idı szerinti elsı, ill. a mozgástörvény idı szerinti második differenciálhányadosa (2.6. ábra): v ( t ) = lim

a ( t ) = lim ∆t → 0

∆v ∆v dv d 2 r = = = . ∆t ∆t dt dt 2

2.3

A sebesség és gyorsulásvektorok abszolút értékei, ill. a sebesség és gyorsulás-komponenesek a hosszúságból és az idıbıl leszármaztatott menynyiségek. SI-beli mértékegységük ezek szerint [ms1 ] és [ms-2]. A merev test mozgását akkor tekintjük ismertnek, ha rendelkezésre áll minden pontjának mozgástörvénye, sebessége és gyorsulása. Legyen r0 a merev test egy tetszılegesen választott 0 pontjának helyvektora, r0 j pedig a 0 pontból egy szintén tetszıleges Pj futópontba mutató helyvektora. Ekkor a Pj pont x,y,z koordinátarendszerbeli r j helyvektora a 2.7. ábra alapján: r j = r0 + r0 j .

2.4

Az összefüggés azt mutatja, hogy a Pj futópont helyvektora a Pj pontnak a 0 ponthoz viszonyított helyzetétıl és – ha a test mozog – az idıtıl függ. Általánosan r j = r j ( r0 j , t).

2.5

Ha e kétváltozós függvényben az r0 j vektorváltozót rögzítjük, megkapjuk a Pj pont r j = rj .(t) mozgástörvényét, ha a t skalárváltozót rögzítjük, megkapjuk a test pontjainak r j = r j ( r0 j ) helyét az adott pillanatban. A merev test pontjainak sebességét és gyorsulását formailag a (2.5)-ös kifejezés idı szerinti differenciálásával nyerjük:

11

vj =

dr j

aj =

dv j

dt

= v j ( r0 j , t ),

2.6

= a j ( r0 j , t ) 2.7 dt melyek rögzített r0 j esetében megadják a Pj pont sebesség- és gyorsulásfüggvényét: v j = v j ( t ), ill.

a j = a j ( t ),

2.8/a,b

rögzített t idıpontban pedig a test összes pontjának sebességét és gyorsulását: v j = v j ( r0 j ), ill.

a j = a j (r0 j ),

2.9/a,b

Ez utóbbi függvényeket a merev test adott idıponthoz tartozó sebesség-, ill. gyorsulásállapotának nevezzük. A két állapot együttesét a merev test mozgásállapotának hívjuk. Ha minden pillanatban adott a mozgásállapot, a merev test mozgását ismertnek tekinthetjük. A merev test hosszabb idıszakhoz tartozó mozgását véges mozgásnak nevezzük. A véges mozgást mindig úgy tekinthetjük, mint egymást követı, igen kicsi ∆t idıszakhoz tartozó, ún. elemi mozgások összességét. Ha a ∆t idıszakot elegendıen kicsire választjuk, akkor az – idıtıl függı – elemi mozgások helyett az adott idıszakhoz tartozó, ebben az elemi idıszakban állandónak vehetı mozgásállapottal számolhatunk. Az elemi mozgásokat az alábbiak szerint csoportosíthatjuk: α/ Elemi haladó (transzlációs) mozgás β/ Elemi forgó (rotációs) mozgás γ/ Elemi általános mozgás α/ Elemi haladó (transzlációs) mozgás Elemi haladó mozgásról akkor beszélünk, ha az elemi idıszak alatt a merev test minden Pj pontja ugyanakkora elmozdulást szenved.

∆ r j = ∆ r0

2.10

azaz minden pont elmozdulása megegyezik a viszonyítási pont elmozdulásával. A haladó mozgás szempontjából a merev test egyetlen egy ponttal (pl. a viszonyítási ponttal) helyettesíthetı. Tétel: Ha az egymást követı elemi idıszakokban a test mindig elemi haladó mozgást végez, eredı elmozdulása az egyes elmozdulások összegével egyenlı.

12 Bizonyítás: a 2.9. ábra alapján – amelyik egy tetszıleges Pj .pont egymás utáni elmozdulásait mutatja – a vektorális összegzés egyértelmően adódik. Tehát n

∆r = ∑ ∆ri , i =1

ahol ∆ri az i-edik elemi idıszak elmozdulása.

β/ Elemi forgó (rotációs) mozgás Elemi forgó mozgásról beszélünk, ha az elemi idıszak alatt létezik olyan egyenes (akár a testben, akár a testen kívül), amely körül a merev test, mint forgástengely körül ∆ϕ szöggel fordul el. A testnek azok a pontjai, amelyek rajta vannak a forgástengelyen, mozdulatlanok. Célszerően itt vesszük fel az 0 vonatkoztatási pontot is, így ∆ r0 = 0 . A forgástengelyen kívül esı Pj pont elmozdulása (2.10. ábra) a mozgás jellegébıl adódóan a Pj pont forgástengelytıl mért távolságának megfelelı sugarú köríven történhet. Ez a körív szakasz ∆t, ill. ∆ϕ kicsisége miatt jó közelítéssel egyenesnek vehetı. A ∆rj elmozdulásvektor ennek megfelelıen a forgástengely és az r0 j vektor által alkotott síkra csak merıleges lehet. Ha a ∆ϕ szögelfordulást olyan vektorként fogjuk fel, amelynek iránya a forgástengely eϕ egységvektorral jellemzett iránya, nagysága pedig a ∆ϕ szögelfordulás – azaz ∆ ϕ = ∆ϕeϕ – akkor az elmozdulásvektort a ∆rj = ∆ ϕ x r0 j

2.11

összefüggéssel adhatjuk meg, melynek helyességét a vektorális szorzat tulajdonságai alapján könnyen beláthatjuk. (2.11) szerint, ha ismerjük a forgástengely egy pontját és a ∆ ϕ szögelfordulás vektort, akkor az elemi rotációt végzı merev test minden pontjának elmozdulása meghatározható. Tétel: Ha az egymást követı elemi idıszakok mindegyikében a rest olyan forgó mozgást végez, melyek forgástengelyei egy pontban metszıdnek, akkor az eredı elmozdulást az egyes elfordulás vektorok metszéspontjában értelmezett vektoriális eredıjével számíthatjuk. Bizonyítás: Az egyszerőség kedvéért vizsgáljunk csupán két egymás utáni ∆ ϕ 1 és ∆ ϕ 2 vektorokkal megadott elfordulást. A két forgástengely metszıdjön az 0 pontban, amely legyen egyben a vonatkozási pont is. A 2.11. ábra szerint: ∆r = ∆r1 + ∆r2 .

(2.11) felhasználásával: ∆ r + ∆ ϕ1x r0j + ∆ ϕ2 x (r0j + ∆ r1 ) = .

= ∆ϕ1x r0j + ∆ϕ2 x ∆ r1 .

13 Mivel elemi, azaz nagyon kicsiny elmozdulásról van szó, a fenti kifejezés utolsó tagja másodrendően kicsi mennyiség, így elhanyagolható a többi mellett. Végeredményben tehát: ∆ r = (∆ ϕ1 + ∆ ϕ2 ) x r0 j = ∆ ϕ x r0 j . Külön kiemeljük, hogy ha nem elemi rotációról van szó, ill. ha a forgástengelyek nem metszıdnek egy pontban, akkor a fenti tétel már nem igaz. A haladó mozgás sebesség- és gyorsulásvektorának analógiájára definiálhatjuk a forgó mozgás szögsebesség- és szöggyorsulás vektorát:

ω = lim

∆ϕ dϕ = , dt ∆t

2.12

ε = lim

∆ω dω d 2 ϕ = = 2 ∆t dt dt

2.13

∆t →0

∆t → 0

γ/ Elemi általános mozgás A merev test a valóságban ugyanabban az elemi idıszakban egyszerre végezhet elemi haladó és forgó mozgást. A két mozgásfajta szétválasztását csak a könnyebb matematikai kezelhetıség indokolja. Mivel több elemi mozgás végeredménye az elemi elmozdulások vektorális összegzésével nyerhetı, a ∆t idıszak alatt végzett két elemi mozgásfajta - melyet elemi általános mozgásnak nevezünk - eredményeként létrejött elmozdulást a ∆rj = ∆r0 + ∆ ϕ x r0 j

2.14

összefüggéssel számítjuk. 2.3. DINAMIKAI ALAPFOGALMAK; NEWTON TÖRVÉNYEI: A TÖMEG, AZ ERİ ÉS A NYOMATÉK Azokat az alaptörvényeket, ill. alapfeltevéseket és posztulátumokat, amelyekre a mechanika további tételeit építjük, lényegében a Newton-féle axiómák tartalmazzák. Ezekkel kapcsolatban fordulnak elı elıször az erı és a tömeg alapvetı dinamikai fogalmai is. Az axiómák – a szó jelentésének megfelelıen – közvetlenül nem bizonyítható tételek, helyességüket a belılük levonható következtetéseknek a tapasztalattal való egyeztetése dönti el. 1. axióma: A tehetetlenség törvénye „Minden test megmarad a nyugalomnak vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgásnak az állapotában, míg rá ható erık állapotának megváltoztatására nem kényszerítik.”1 Az erı szó a „külsı befolyást”, azaz más testek hatását helyettesíti. A testeknek azt a tulajdonságát, hogy külsı hatás hiányában sebességüket, ill. nyugalmi állapotukat megtartják, tehetetlenségnek nevezzük. Az axióma számos tapasztalatnak ideális esetre való extrapolálása. Közvetlen kísérettel ellenırizni nem lehet, mert semmilyen testet sem tudunk teljesen kivonni más testek hatása alól. Ezen kívül az axiómának csak akkor van határozott értelme és jelentése, ha megadjuk a vonatkoztatási rendszert, melyben a mozgást leírjuk. Hiszen pl. a Földhöz kötött koordinátarendszerben nyugvó pontnak az állócsillagokhoz kötött rendszerben gyorsulása van. Newton az axiómát az „abszolút térben” nyugvó koordinátarendszerre vonatkoztatva mondta ki, ilyen 1

Newton 1687-ben megjelent „A természetfilozófia matematikai alapelvei” c. mővébıl.

14 azonban kísérletileg nem határozható meg. Elméleti szempontból az axióma pozitív tartalmának éppen azt tekintjük, hogy van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben érvényes a tehetetlenség törvénye. Az ilyen rendszert – amelyet tehát éppen az 1. axiómával definiálunk – tehetetlenségi vagy interciarendszernek nevezzük. Eddigi tapasztalataink szerint az állócsillagokhoz kötött koordinátarendszer gyakorlatilag inerciarendszernek tekinthetı, - sıt különösen rövid tartalmú mozgásoknál – a Földhöz kötött rendszer is jó közelítésben inerciarendszernek vehetı. Az I. axióma értelmében, ha az anyagi pontnak valamely inerciarendszerben gyorsulása van, az mindig annak tulajdonítható, hogy rá más testek hatással vannak. A mechanika nyelvén azt mondjuk, hogy a testek erıt gyakorolnak az anyagi pontra. Ilyen értelemben gyorsulás okát erınek nevezhetjük, de nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy a gyorsulás valóságos okát az anyagi pont, ill. test környezetében található többi anyagi test geometriai és fizikai tulajdonságaiban láthatjuk. Az erırıl tehát – legalábbis egyenlıre – csak az általa létrehozott gyorsulás útján szerezhetünk tudomást, bár az erı és gyorsulás közti kvalitatív összefüggést nem ismerjük. Ezt axiómaként definiáljuk. 2. axióma: A dinamika alapegyenlete Az erı nagysága arányos az általa létrehozott gyorsulás nagyságával, iránya pedig egyezı a gyorsulás irányával. Az arányossági tényezıt, - melyet a test tömegének nevezünk – úgy kell megállapítani, hogy kifejezze azt a tapasztalatot, hogy azonos nagyságú gyorsulás létrehozásához azonos mérető, de különbözı anyagi minıségő testek esetén különbözı nagyságú erıre van szükség. A 2. axióma matematikai alakja: F=ma ,

2.15

Az anyagi pontra ható erı vektora tehát a test tömegének és gyorsulásvektorának szorzatával egyenlı. Az axiómát az erı definíciójának is felfoghatjuk. Ismeretében már lehetıség nyílik a tömeg és az erı mérésére. A tömeg és az erı dinamikai mérése Hasson két különbözı, m1 és m2 tömegő testre ugyanakkora F erı, ekkor (2.15) alapján:

a1 m 2 = , a 2 m1 azaz a két test tömegének viszonya a gyorsulások mérésébıl meghatározható. Más erıt alkalmazva a gyorsulások mások lesznek ugyan, de arányuk s ezzel a tömegek aránya a tapasztalat szerint ugyanaz lesz, mint elıbb. Ez azt mutatja, hogy az m2 / m1 mennyiség az erıtıl független, csak a két testre jellemzı érték. Ha tehát egy megállapodás szerinti (pl. m1) test tömegét egységül választjuk, bármilyen más test tömege egyértelmően meghatározható. A tömeg egysége SI-ben a párizsi normálkilogramm tömege, az 1 kilógramm, röviden [kg]. F = m1a 1 = m 2 a 2

vagy

A tömeg egységével lerögzítettük az erı dimenzióját és egységét is. (2.15) alapján egységnyinek tekinthetjük azt az erıt, amely 1 kg tömegő testen 1 ms-2 gyorsulást okoz. Ezt az erıegységet a rövidség kedvéért és Newton iránti tiszteletbıl 1 newtonnak nevezzük, jele [N], SI-ben tehát 1 N = 1 kgms-2.

15 A tömeg és az erı sztatikai mérése A Föld minden testet vonz bizonyos erıvel, melyet földi nehézségi erınek, röviden súlynak nevezünk. A tapasztalat szerint a szabadon esı testek gyorsulása, a g nehézségi gyorsulás nagysága – a Föld adott helyén – minden testre ugyanaz (a mi szélességi körünkön g = 9,81 ms-2). A 2. axióma alapján a test súlya: G = mg , vagy skalárisan G = mg, Ami a tömeggel ellentétben a hellyel változik, de egy adott helyen a test tömegével arányos. Ez szerint 1 kg tömegő test súlya a mi szélességi körünkön G = 9,81 N. A súlyon alapszik a tömeg sztatikai mérése, amely sokkal egyszerőbb és pontosabb, mint a dinamikai tömegmérés. Kompenzáljuk ismeretlen m tömegő test F = mg súlyát ismert G = m1g súlyú testtel. Ha a két test súlya egyenlı, akkor a G = F-bıl következik, hogy mg = m1g, azaz m = m1, tehát tömegük is egyenlı. Vegyük észre azonban, hogy a mérleggel való tömegmérésnél nem a testek tehetetlen tömege (mt) – hiszen a mérésnél a testek nyugalomban vannak -, hanem az ún. súlyos tömege játszik szerepet. A tehetetlen és súlyos tömeg egyenlısége nem magától értetıdı dolog, hanem azon a tényen alapszik, hogy a nehézségi gyorsulás minden testnél ugyanaz. Ha ugyanis a G = msg súlyú testet elejtjük, az a rá ható G erı hatására a G = mta törvény szerint gyorsuló mozgást végez. A tapasztalat szerint a mindig egyenlı g-vel, így az msg = mta egyenlıségbıl az következik, hogy ms = mt. 3. axióma: A kölcsönhatás törvénye Mivel az erıt mint testek egymásra hatását értelmeztük, erı fellépéséhez legalább két testre van szükség. Az egyik létrehozza, a másik pedig elszenvedi az erıt. Legyen a k jelő test hatása az i jelő testre Fik, akkor a tapasztalat azt mutatja, hogy az i jelő test is hatással van a k jelőre, mégpedig úgy, hogy

Fki = − Fik ,

2.16

azaz a két erı azonos nagyságú, azonos hatásvonalú, de ellentétes értelmő (2.12. ábra). A hatás és ellenhatás egyenlı. Tehát mindkét testnek van a másikra hatása és mindkettı el is szenvedi ezeket a hatásokat (a hatás következménye a két testre természetesen más lehet). A (2.16) szerinti két erı ún. nulla-párt alkot. Az axiómát ezzel a fogalommal a következıképpen fogalmazhatjuk meg: az erık mindig nulla-párok formájában lépnek fel. A 3. axióma elsısorban összetett mechanikai rendszereknél, azaz pontrendszereknél, szerkezeteknél és alakítható testeknél döntı fontosságú. 4. axióma: Az erıhatások függetlenségének tétele A 2. axióma számszerő kapcsolatot teremt a test gyorsulása és az erı között, de nem válaszol arra a kérdésre, hogy mi történik akkor, ha a testre egyidejőleg több test is hatással van, azaz egyszerre több erı hat. Az egyidejőleg ható erık összességét röviden erırendszernek nevezzük. A fenti kérdésre ad választ az erıhatások függetlenségi tétele, mely szerint minden erı – függetlenül a többitıl – létrehozza a tömegen saját gyorsító hatását, az erık egymást nem zavarják. Ha az anyagi pontra Fi (i = 1,2….,n) erı hat, az általa létrehozott gyorsulás a 2. axióma értelmében

16 1 Fi . m Az anyagi pontnak, amely egyszerre csak egy irányba tud gyorsulni, a tényleges, eredı gyorsulása az egyes gyorsulások vektoriális összege lesz: ai =

n

n

i =1

i =1

a =∑ai =∑

1 1 n 1 Fi = ∑ Fi = F . m m i=1 m

Az összefüggés szerint az anyagi pont úgy mozog, mintha egyetlen F = ∑ Fi i =1

erı hatna rá. Az erırendszer hatása anyagi pont esetén egyetlen egy erıvel helyettesíthetı, melyet az egyes erık vektoriális összegzésével nyerünk. A helyettesítı erıt az erırendszer eredıjének nevezzük. Ez a - tapasztalattal is egyezı – törvény a 2. axiómával együtt azt is kimondja, hogy az erı, mint fizikai mennyiség, vektormennyiség. Newton törvényei, melyekre az egész klasszikus mechanika épül, mindenütt testet emlegetnek, de valójában véges tömeggel rendelkezı anyagi pontra érvényesek. Pontrendszerek, testek vagy szerkezetek mechanikai vizsgálatához az alaptételek következetes alkalmazásán túl újabb tapasztalati megfigyelésekre s a belılük levonható feltételezésekre és axiómákra van szükség. Az anyagi testek mechanikájával kapcsolatos fontos fogalom az erı pontra vagy atengelyre vonatkozó nyomatéka. Az erı egy tetszıleges A pontra vonatkozó nyomatékát a pontból az erı hatásvonalára bocsátott helyvektornak és az erıvektornak vektorális szorzatával definiáljuk (2.13. ábra). MA = r x F

2.17

A definícióból következik, hogy a pontra vett nyomaték vektormennyiség, merıleges az r és F vektorok által alkotott síkra ( a három vektor jobbra forduló rendszert alkot)és megállapodás szerint arra a pontra helyezzük, amelyikre vonatkozik. A vektor nagysága: M A = M A = r F sin α = F . r sin α = Fk, 2.18 azaz az erı nagyságának és az A pontnak az erı hatásvonalától mért legrövidebb távolságának – melyet erıkarnak hívunk – a szorzata. A nyomaték SI-beli egysége a [Nm]. Az F erı hatásvonala és a pont által alkotott síkot a nyomaték forgatási síkjának nevezzük. Ebben a síkban a nyomatéknak értelmet, azaz elıjelet is tulajdonítunk. Pozitív a nyomaték, ha az erı az óramutató járásával ellentétesen akar forgatni. Tétel: A pontra vonatkozó nyomaték független attól, hogy az r helyvektor az erı hatásvonalának melyik pontjába mutat.

17 Bizonyítás: Vegyünk fel egy r ’ helyvektort, melyre a 2.13 ábrának megfelelıen felírhatjuk, hogy r ’= r + λ e F , ahol eF – az F erı hatásvonalával egybeesı (párhuzamos ) egységvektor, λ – tetszıleges hosszúság dimenziójú skalármennyiség. A (2.17) definíció értelmében:

M ' A = r ' xF = ( r + λ eF ) xF = r x F + λ e F x F = r x F = M A , hiszen a harmadik egyenlıség második tagja F és e F párhuzamossága miatt eltőnik. Külön kiemeljük az erınek azt a – (2.18)-ból következı – tulajdonságát, hogy csak hatásvonalán kívüli pontra van nyomatéka. Az erı tengelyre vonatkozó nyomatéka alatt a tengely valamely pontjára számított nyomatékvektornak a tengely irányú vetületét értjük. Legyen a tengely irányát megadó egységvektor e (2.14. ábra), ekkor M e = M A e = ( r x F) e .

2.19

E szerint a tengelyre vett nyomaték skalármennyiség és a három vektor r , F , e sorrendjének megfelelı vegyes szorzatával egyenlı. Me pozitív, ha az M A és e által bezárt szög hegyesszög, ilyenkor az e irányításával szembe nézve a nyomaték az óramutató járásával ellentétesen forgat. Me nagysága a vegyes szorzat matematikai értelmezése alapján:

M e = r x F e cos β = F . r sin α . cos β = Fk cos β .

2.20

Mint látjuk, a tengelyre vett nyomaték dimenziója s ezzel SI-beli mértékegysége is megegyezik a pontra vonatkozó nyomaték nagyságának dimenziójával és egységével. Tétel: Az erı tengelyre vett nyomatéka független attól, hogy hol vesszük fel a tengelyen a vonatkoztatási pontot. Bizonyítás: Vegyünk fel a tengelyen (2.14. ábra) egy A’ pontot. Az ábráról leolvasható, hogy ____ A’A = λ e , Ahol λ - tetszıleges hosszúság dimenziójú skalármennyiség. Ezzel r ’= r + λ e .

A (2.19) definíció szerint: M ' e = M A , e = ( r ' x F) e = [( r + λ e ) x F ]e = ( r x F) e + λ ( e x F) e = ( r x F) e = M e ,

18

mert a negyedik egyenlıség második tagja itt is eltőnik, hiszen a vegyes szorzat két vektora megegyezik. A (2.19) és (2.20) alapján könnyen beállítható, hogy az erınek valamely tengelyre akkor nincs nyomatéka, ha hatásvonala metszi a tengelyt, vagy azzal párhuzamos. 2.4. KINEMATIKAI ALAPFOGALMAK Newton 1. és 2. axiómája ugyanolyan joggal sorolható a kinetikai fogalmakhoz, mind a dinamikaiakhoz. Éppen ez a két axióma kapcsolja össze az erıtant és a mozgástant. A mechanika szinte minden területén hasznosan alkalmazható kinetikai alapfogalmak és a teljesítmény. Ha az anyagi pontra a vizsgált elemi idıszakban állandónak tekinthetı F erı hat és a pont elemi elmozdulása ∆ r , az erı elemi munkája alatt a két vektor skaláris szorzatát értjük (2.15. ábra): ∆W = F∆r , 2.21/a annak, hogy az elemi elmozdulást az F erı hozza létre, vagy valamilyen más hatás következtében lép fel, semmi jelentısége sincs az erı elemi munkája szempontjából. A skalárszorzat értelmezése szerint: F . ∆ r = F ∆ r cos α = Fs . ∆ s ,

2.21/b

ahol Fs – az elmozdulás (a pálya érintı irányába esı erıkomponens, ∆s – a tömegpont által az elemi idıszak alatt megtett út, amely ∆t kicsisége miatt megegyezik az elmozdulás vektor nagyságával. Az elemi munkát (2.21/b) alapján úgy is definiálhatjuk, mint az elmozdulás ( a megtett út) nagyságának és az elmozdulás irányába esı erıkomponensnek a szorzatát. Az elemi munka felvehet pozitív, nulla és negatív értéket is aszerint, hogy az erı- és az elmozdulás vektor által bezárt szög hegyes-, derék-, ill. tompaszög-e. Míg az anyagi pont pályagörbéjének egy A pontjából véges idı alatt a B-be jut, az erı munkáján az elemi elmozdulások során végzett elemi munkák összegét értjük. Az elemi idıszakokat egyre inkább csökkentve a szummázás integrálásba megy át, a véges idı alatt végzett munka tehát az erıvektor elmozdulás vektor szerinti integrálja (vagy skalárisan, az érintıirányú erıkomponensnek az út szerinti integrálja): n

rB

s

i =1

rA

0

W AB = ∑ Fi ∆ ri = ∫ F d r = ∫ Fs d s .

2.22

Ez a véges munka általában A és B pontot összekötı pályagörbe alakjától is függ. Ha egy test Pj pontjában F j erı hat és a test elemi elmozdulása ∆rj (j =1, 2,….,n és n azon pontok száma amelyeken erı hat), a testre ható erık összes elemi munkáján az egyes elemi munkák algebrai összegét értjük (2.16. ábra):

19 n

n

j=1

j=1

∆W = ∑ ∆ Wj = ∑ Fj ∆ rj .

2.23

A munka SI-beli egysége: 1 Nm = 1 kgm2s2 = 1 joule =1 J. A teljesítmény az idıegységre esı munka. Az elemi idıszak átlagos teljesítménye: Pátlag =

∆W , ∆t

2.24/a

ha az elemi idıszakot egyre inkább csökkentjük, azaz ∆t → 0 , megkapjuk a pillanatnyi teljesítményt:

∆W dW = , ∆t →0 ∆t dt

P = lim

2.24/b

(2.2) felhasználásával P=

dW Fdr dr = = F = Fv . dt dt dt

2.24/c

A pillanatnyi teljesítmény tehát az adott idıpillanathoz tartozó erı- és sebességvektor skalár szorzataként is definiálható. Az F és v vektorok által bezárt szög függvényében a teljesítmény is pozitív, nulla és negatív értékeket vehet fel. A teljesítmény SI-beli egysége: 1 Js-1 = 1 Nms-1 = 1 kgm2 s-3 = 1 watt = 1 W. 3. A SZTATIKA ALAPELEMEI ÉS ALAPELVEI 3.1. KÜLÖNBÖZİ ERİTÍPUSOK Az erınek – amely tehát testek egymásra hatása – természetben való elıfordulásának megfelelıen alapvetıen két típusát tudjuk megkülönböztetni. Térfogati vagy tömegerı Ha a testek távol vannak egymástól, akkor az egyik testnek a másikra kifejtett hatását a következıképpen értelmezhetjük. Gondolatban bontsuk fel mindkét testet nagyon kicsi ∆V térfogatú s ennek megfelelıen kicsi tömegő részecskékre, anyagi pontok rendszerére (3.1. ábra). Az anyagi pontok között már tudjuk értelmezni a ható erıt. Az a két pontot öszszekötı egyenes mentén hat, ennek megfelelıen az egyik test ∆V térfogatú részecskéjére ható ∆ F erıt úgy foghatjuk fel, hogy az a másik test összes részecskéjének hatásaként jött létre. Így a vizsgált test minden pontjához rendelhetünk egy f erıt, melyet fajlagos térfogati- vagy tömegerınek nevezünk és az

20 ∆F dF = ∆V →0 ∆V dV

f = f (r ) = f ( x , y, z) = lim

3.1/a

Kifejezéssel értelmezünk. SI-beli egysége: [Nm-3] . Felületi erı Ha két test érintkezik egymással, az érintkezési felületen – hisz az a valóságban sohasem lehet pontszerő – ún. felületi erık ébrednek. Válasszunk ki az akár görbültnek tekintett érintkezési felületen egy ∆A nagyságú területdarabot (3.2. ábra), s ha erre a másik test ∆ F erıvel hat, akkor a vizsgált testre ható

∆F dF = ∆Α dΑ 3.1/b mennyiséget fajlagos felületi erınek vagy teherintezitásnak nevezzük, egysége SI-ben [Nm-2]. A mechanikai számításokhoz a fenti erı fajtákon kívül sokszor elınyösebben használhatók azok az erımodellek, melyeket a felületi erı absztrakciójával nyerünk. p = p( r ) = p( x, y, z) = lim

∆A→0

Vonal mentén megoszló erı Ha két test érintkezési felületének egyik mérete a másikhoz képest elhanyagolhatóan kicsi, azaz az érintkezési felület sávszerő, bevezethetjük a vonal menti megoszló erı fogalmát. Ha a 3.3. ábrán látható görbe, amely a vizsgált test felületének egy tetszıleges vonala, ∆s hosszúságú szakaszán ∆ F erı hat, akkor a q = q ( r ) = q (s) = lim

∆s →0

∆F d F = ∆s ds 3.1/c

mennyiséget vonal menti megoszló terhelésnek, ill. teherintenzitásnak nevezzük. Egysége SIben: [Nm-1]. Koncentrált erı Ha mindkét felületi méret elhanyagolhatóan kicsi (pl. a vizsgált test méreteihez képest), gyakorlatilag pontszerőnek tekinthetı, eljutunk a koncentrált erı fogalmához. Az r helyvektorú pontban ható F erıt F = F(r )

3.1/d

21 alakban adhatjuk meg (3.4. ábra). Az anyagi pont mechanikájára vonatkozó axiómák tárgyalásánál eleve ezt a fiktív erıtípust használtuk, ill. az axiómák ezt az erı fajtát definiálják. Anyagi pont esetén nincs is értelme másról beszélni. Az f , p , q erıtípusok definiálásánál is a koncentrált erı fogalmát használtuk fel. A tárfogati, a felületi és a vonal menti megoszló erıt sorra úgy is definiálhatjuk, mint az egységnyi térfogatra, egységnyi felületre és egységnyi hosszra esı koncentrált erıt. 3.2. AZ ERİ ÉS NYOMATÉK MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA A (3.1/a, b, c. d) definíciók szerint az erı – bármelyik típusról van is szó – vektormennyiség, melyet tehát hatásvonala, értelme és nagysága jellemez. A definíciók azonban azt is mutatják, hogy az erı szorosan helyhez kötött mennyiség. Támadáspontnak nevezzük azt a pontot, amelyen az erı hat. Az erı, mint fizikai mennyiség tehát kötött vektorral jellemezhetı. Analítikus úton az erı támadáspontjának helyvektora mellett magát az erıt – pl. Descartes-féle koordinátarendszerben – az

F = Fx e x + Fy e y + Fz e z

3.1/e

alakban adhatjuk meg, ahol a jobb oldal három tagját az erı x, y és z irányú komponenseinek vagy összetevıinek nevezzük. A komponensek abszolút értékének ismeretében meghatározhatjuk az erı hatásvonalának a koordinátatengelyekkel bezárt szögeit (3.5. ábra): cos α =

Fx , F

cos β =

Fy F

,

cos γ =

Fz , F

ahol F = Fx + Fy + Fz , 2

2

2

az erı nagysága.

Ha az erı hatásvonalának egységvektorát eF -el jelöljük, akkor az erı F = Fe F , ami éppen a polárkoordinátában történı megadásnak felel meg. Szerkesztı eljárásoknál szükség van az erı grafikus ábrázolására. Szerkesztéssel akkor tudunk viszonylag kényelmesen dolgozni, ha az erık hatásvonalai egy síkban vannak (térbeli feladatok grafikus megoldására ritkán vállalkozunk). Ha a rajz síkját az erık hatásvonalának síkjában vesszük fel, akkor a P támadásponton áthúzott egyenes erık hatásvonalának síkjában vesszük fel, akkor a P támadásponton áthúzott egyenes az erı hatásvonala, az ezen felmért irányított egyenes szakasz adja az erı nagyságát és értelmét. A nagyság megadásához ún. erıléptéket kell felvennünk, amely kapcsolatot teremt a rajzon felmért hosszúság és az erı nagysága között. Ez többféleképpen is történhet, pl. 1 cm = 1 N vagy 1N (3.6. ábra). Ha nem adunk meg erıléptéket, ami a feladatok kiírásánál fordulhat elı, akkor a 3.6. ábrának megfelelı ábrázolás csak az erı támadáspontjáról hatásvonaláról és értelmérıl ad tájékoztatást. Az erı nagyságát külön meg kell adnunk.

22 A (2.17) és (2.19) összefüggések alapján a nyomatékot az erıbıl származtattuk, bár késıbb látni fogjuk, hogy a nyomatékot önálló hatásként is értelmezhetjük, s , mint ilyen, matematikai szabad vektorral jellemezhetı, támadáspontjának tehát nincs szerepe. A Descartes-féle és a polár-koordinátarendszerben a nyomatékvektort az

M = M x e x + M y e y + M z ez = Me M 3.2 összefüggéssel adjuk meg, ahol M = Mx + My + Mz 2

2

2

és

a nyomatékvektor hatásvonalának a koordinátatengelyekkel bezárt szögei (3.7. ábra): cos λ =

My Mx M , cos χ = , cos µ = z . M M M

A nyomaték grafikus ábrázolásánál ugyanazt az elvet követjük, mint az erınél. A nyomatéklépték megadása pl. 1 cm = 1 Nm vagy egy adott távolság megadása formában történhet. A (2.17) definíció értelmében a nyomatékvektor merıleges arra a síkra, amelyben kifejti hatását. Ez lehetıséget ad arra, hogy jelképes ábrázolásnál a 3.8 ábrának megfelelıen hatássíkjában felvett, irányított félkörívet alkalmazzunk. A nyílirány adja a nyomaték értelmét. A nyomaték nagyságát pedig külön kell megadnunk. 3.3. AZ ERİRENDSZEREKKEL KAPCSOLATOS FOGALMAK, AZ ERİRENDSZEREK CSOPORTOSÍTÁSA A testre ható erık együttesét röviden erırendszernek nevezzük. Test alatt a legegyszerőbb esetben anyagi pontot értünk, a mereven összekapcsolt anyagi pontok rendszerét anyagi pontrendszernek, egy bizonyos térfogatot folytonosan kitöltı anyagi pontrendszert merev testnek, a valamilyen módon összekapcsolt merev testek rendszerét szerkezetnek nevezzük. A vizsgált testre ható idegen testek hatását külsı erınek , a testen belül, azok egyes elemei között fellépı erıket pedig belsı erınek hívjuk. Más csoportosítás szerint aktív erınek nevezzük azokat az erıket, amelyek a test nyugalmi helyzetébıl kimozdítani igyekeznek, a passzív, reakció vagy kényszererık pedig azok, amelyeket a vizsgált test elmozdulását megakadályozó testek fejtenek ki. Ha a test közvetlenül a ható erık fellépése elıtt nyugalomban volt, s nyugalmát az erık mőködése alatt is megtartja, a ható erık rendszerét egyensúlyi erırendszernek nevezzük. Egyenértékőnek vagy equivalensnek nevezzük azokat az erırendszereket, amelyek hatása megegyezik. Az egyenértékőség fogalmának csak a merev testek sztatikájában és kinetikájában van értelme és jelentısége, ezért azt célszerőbb a következıképpen definiálni. Két vagy több erırendszer egyenértékő, ha létezik egy olyan erırendszer, amely külön-külön mindegyikkel egyensúlyi erırendszert alkot. Egy erırendszer eredı erırendszere alatt az eredetivel egyenértékő legegyszerőbb erırendszert értjük.

23 Az erırendszerek támadáspontjukat tekintve lehetnek közös támadáspontúak – az anyagi pontra értelemszerően csak ilyen erık hatnak – és különbözı támadáspontúak, röviden szétszórtak. Hatásvonalukat tekintve lehetnek párhuzamos és különbözı hatásvonalúak. A hatásvonalak eshetnek egy egyenesbe, egy síkba vagy a tér tetszıleges irányába. Ilyenkor közös hatásvonalú, síkbeli, ill. térbeli erırendszerrıl beszélünk. A fenti csoportosítások kombinálhatók is egymással. Így pl. Az anyagi pontra ható erırendszer csak közös támadáspontú, de közös hatásvonalú, síkbeli és tárbeli is lehet. A testre ható erırendszer – az elıbbieken túl – lehet síkbeli párhuzamos vagy szétszórt, ill. térbeli párhuzamos vagy szétszórt. 3.4. A SZTATIKA FELADATA ÉS FELOSZTÁSA A sztatika legáltalánosabb feladata a nyugalomban lévı testre ható erık vizsgálata. Az anyagi pont és a merev test sztatikájában az erırendszerek törvényszerőségeinek a felkutatása és megfogalmazása a cél. A legfontosabb kérdések a következık: - mi az egyensúly feltétele, - mi az erırendszer eredı erırendszere, és - hogyan lehet kiegyensúlyozni az eredetileg nem egyensúlyi erırendszert. A szerkezetek sztatikájában – az elızı alapkérdésekre adott válaszok felhasználásával – a szerkezet elemei között ható erıknek, a belsı erıknek a meghatározása a legfontosabb feladat. 3.5. A SZTATIKA ÁLTALÁNOS ALAPELVEI 3.5.1. AZ ANYAGI PONTRA HATÓ ERİRENDSZER EGYENSÚLYA, EREDİJE ÉS KIEGYENSÚLYOZÁSA Az anyagi pont nyugalomban van, ha sebessége a vizsgált idıszak minden pillanatában nulla. Vizsgáljuk meg mi ennek a feltétele. Tétel: Az anyagi pont nyugalomban van, ha sebessége a vizsgált idıszak elején nulla és gyorsulása a vizsgált idıszak minden pillanatában nulla (a nyugalom kinematikai feltétele). Bizonyítás: (2.3) szerint az anyagi pont gyorsulását sebességnek idı szerinti differenciálásával kapjuk: dv ( t ) a (t) = , dt innen rögtön megállapíthatjuk, hogy amennyiben a sebesség a vizsgált idıszak alatt állandó (lehet nulla is), a gyorsulás nulla. Rendezzük át a fenti összefüggéseket és integráljuk az idı szerint: v ( t ) = ∫ a ( t ) dt + v ∗ , Ahol v ∗ integrálási állandó, értékét valamilyen feltételbıl határozhatjuk meg, pl. elıírjuk, hogy t = t0-nál, a vizsgált idıszak kezdetén a sebesség legyen v 0 . Az a(t) = 0 és a fenti kezdeti feltétel felhasználásával a sebességfüggvény: v (t) = v0 ,

24 a tömegpont sebessége a vizsgált idıszak alatt tehát kezdeti sebességével egyezik meg. A v ( t ) = 0 fennállásának szükséges és elégséges feltétele tehát a ( t ) = 0 és v 0 = 0 egyidejő teljesülése. A sztatika mint tudjuk a nyugalomban lévı testeket vizsgálja, így a mozgás jellemzıinek a számításba való bevonása kényelmetlen és célszerő. A nyugalom feltételét ezért más formában is megfogalmazzuk. Tétel: Az anyagi pont nyugalmának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a ható erık vektorális összege a vizsgált idıszak folyamán nulla legyen és kezdısebessége is nullával legyen egyenlı (az egyensúly dinamika feltétele). Bizonyítás: Hasson az anyagi pontra (3.9. ábra) Fj ( j = 1,2,...n ) erı. Ez a legáltalánosabb esetben közös támadáspontú térbeli erırendszer kehet. A 2. és 4. axióma felhasználásával a tömegpont gyorsulása: 1 n 1 a = ∑ Fj = F . m j=1 m Az

egyensúly kinematikai feltétele szerint a gyorsulásnak nullával kell egyenlınek lennie, fenti kifejezésbıl rögtön következik, hogy

így a

n

∑ j=1

Fj = F = 0

3.3

Megfordítva, ha (3.3) fennáll, akkor a tömegpont gyorsulása nulla és hozzátéve a v 0 = 0 kikötést – az elızı tétel értelmében – a pont nyugalomban van. Megemlítjük, hogy a vizsgált idıszakban az F j erıknek nem kell állandónak lenniük, de minden pillanatban ki kell elégíteniük (3.3.)-at. Mint korábban láttuk, a sztatikában a nyugalom állapotát egyensúlynak is nevezzük. Ha (3.3) és v 0 = 0 is fennáll, azt mondjuk, hogy az anyagi pontra ható erırendszer sztatikai egyensúlyban van. Ha (3.3) fennáll, de v 0 ≠ 0 , akkor az erırendszer dinamikai egyensúlyáról beszélünk. A sztatikában v 0 = 0 teljesülését – hacsak az ellenkezıjét nem hangsúlyozzuk – eleve fel szoktuk tételezni, így a fenti megkülönböztetésnek nincs különösebb jelentısége. Nyugalom esetén egyszerően egyensúlyi erırendszerrıl beszélünk. (3.3)-ben a 4. axiómán alapuló n

F = ∑ Fj

3.4

j=1

kfejezés azt mutatja, hogy az egyes erık vektori összegzésével nyert egyetlen vektor az erırendszer fontos jellemzıje. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az anyagi pontra ható, n erıbıl álló erırendszert egyetlen egy erıvel helyettesíthetjük. Az összegvektornak a támadáspontja értelemszerően csak a többi erı támadáspontja lehet, azaz maga az anyagi pont. Így már F-nek pontos fizikai értelmet tulajdoníthatunk, s mint az anyagi pontra ható erırendszer eredıje tehát az anyagi ponttal megegyezı támadáspontú egyetlen, (3.4)-nek megfelelı erı. Az anyagi pont viselkedésének leírásához elegendı ezt az eredıt ismerni. Ha F ≠ 0 , akkor a tömegpont a 2. axiómának megfelelıen gyorsuló mozgást végez, F = 0 esetén nyugalomban van.

25

Az eredı erı ismeretében az anyagi pont nyugalmának dinamikai feltételét a következıképpen fogalmazhatjuk meg: Az anyagi pont nyugalomban, azaz a közös metszéspontú erırendszer egyensúlyban van, ha a ható erırendszer eredıje nulla ( és a pont kezdısebessége is nulla). Ha az anyagi pontra ható erırendszer nem egyensúlyi, nyugalmi állapotát ún. kiegyensúlyozó erırendszerrel lehet biztosítani. Ennek az egyensúlyozó erırendszernek, a passzív, vagy reakcióerık rendszerének a meghatározása a sztatika egyik igen fontos feladata. Tétel: Az anyagi pontra ható erırendszert kiegyensúlyozó erırendszer eredıje a ható erırendszer eredıjének ellentettjével egyenlı. Bizonyítás: Legyen a ható (aktív) erırendszer eredıje: n

F = ∑ Fj , j=1

a kiegyensúlyozó (passzív) erırendszer eredıje: p

R = ∑ R j. j=1

Egyensúly esetén az aktív és passzív erık összegének nullával kell egyenlınek lenniük: n

∑ j=1

p

Fj + ∑ R j = F + R = 0 , j=1

innen n

R = − F = − ∑ Fj .

3.5

j=1

Ha a lehetı legegyszerőbb kiegyensúlyozó erıt keressük, az nem lesz más, mint az R = − F -nek megfelelı egyetlen erı. Térjünk vissza a 3.9. ábrához és képzeljük el, hogy az anyagi pontra egy másik – az elızıtıl számban, nagyságban, hatásvonalban különbözı – erırendszer hat. Határozzuk meg, mi a feltétele annak, hogy a két erırendszer hatása az anyagi pontra azonos legyen, azaz a két erırendszer egyenértékő legyen. Tétel: Az anyagi pontra ható erırendszerek egyenértékőek, ha eredıjük megegyezik. Bizonyítás: Legyen az egyik erırendszer F I j (j=1, 2, …., n), a másik F II j (j=1, 2, …, p). Egyenértékőség estén a két erırendszer által okozott gyorsulásnak meg kell egyeznie: a = a I = a II =

1 p 1 1 1 1 n F = Fj = F I = F II = F , ∑ ∑ j m j=1 m j=1 m m m

azaz, ha F I -el és F II -vel jelöljük a két eredırendszer eredıjét, akkor

26 F = F I = F II . A bizonyítást az egyenértékőség dinamikai definíciója alapján is elvégezhetjük. Tegyük fel, hogy létezik egy F ∗ eredıjő harmadik erırendszer, amelyik a másik két erırendszer mindegyikét kiegyensúlyozza, akkor n

∑

F I j + F∗ = 0

p

∑

és

j=1

F II j + F ∗ = 0 .

j=1

A két egyenlıséget egymásból kivonva kapjuk: p

n

∑

FI j -

j=1

∑

F II j = 0 ,

j=1

ahonnan az eredık felhasználásával p

n

∑ j=1

FI j =

∑

F II j = F I = F II .

j=1

Könnyő belátnunk, hogy anyagi pontra ható erırendszerek esetén végtelen sok egyenértékő erırendszer létezik, tehát egyenértékő egyensúlyi és kiegyensúlyozó erırendszer is végtelen sok van. Bár (3.3) egyértelmően megadja az egyensúly feltételét, mégis megkérdezzük, nincs-e mős mód e feltétel megfogalmazására. Ehhez elıször egy – késıbbiekben gyakran alkalmazásra kerülı – fogalommal és a hozzá kapcsolódó tétellel kell megismerkednünk. Egy vektor (akár erı vagy bármelyen más vektormennyiség) valamely tengelyre (irányra) vett vetülete alatt a vektor kezdı- és végpontjából a tengelyre bocsátott merılegesek közti tengelyszakasz elıjelhelyes hosszát értjük (3.10. ábra) A vektorok skalárszorzatának tulajdonságai alapján a v vektor e egységvektorral jellemzett tengelyre vett vetületét a

v e = v e = v e cos α = v cos α

3.6

összefüggéssel határozhatjuk meg. A tengelyre vett vetület tehát pozitív, nulla vagy negatív aszerint, hogy 0o ≤ α < 90 o , α = 90o vagy 90o < α ≤ 180o . Vegyük észre, hogy az eredeti tengellyel párh uzamos minden tengelyre ugyanaz egy vektor vetülete, ami megfelel annak, hogy a tengely e egységvektora matematikai szabad vektor Tétel: A tömegpontra ható, azaz közös támadáspontú erık valamely tengelyre vett vetületeinek összege egyenlı az erırendszer eredıjének ugyanazon tengelyre vett vetületével (vetületi tétel). Bizonyítás: Legyen a tetszılegesen választott tengely egységvektora e (3.11.ábra), amellyel szorozzuk meg skalárisan a (3.4)-es kifejezést: n

F e = ∑ Fj e , j=1

(3.6) szerint azonban n

Fe = ∑ Fje ,

3.7

j=1

ahol Fje a j-edik erı, Fe az eredı erı e tengelyre

27 vett vetülete. (3.7)-et vetületi egyenletnek nevezzük Ha (3.7) jobb oldala nullával egyenlı, az vagy azt jelenti, hogy az eredı erıvektor merıleges a tengelyre ( F ⊥ e ) , vagy azt, hogy az eredı erı nulla (F=0), azaz az erırendszer egyensúlyi Tétel: A közös támadáspontú erırendszer egyensúlyban van, ha három, nem egy síkba esı tengelyre az erık vetületösszege egyenként nulla. Bizonyítás: A szemléletesség kedvéért toljuk el az e 1, e 2 és e 3 egységvektorokkal jellemzett tengelyeket önmagukkal párhuzamosan – ezt (3.6) szerint megtehetjük – az erık támadáspontjába (3.12. ábra) és írjuk fel a vetületi egyenleteket, valamint a tétel állítása szerint tegyük ıket nullával egyenlıvé: n

n

j=1

j=1

n

n

j=1

j=1

n

n

j=1

j=1

Fe1 = F e1 = ∑ Fj e1 = ∑ Fje1 = 0, Fe2 = F e2 = ∑ Fj e2 =∑ Fje 2 = 0, Fe3 = F e3 = ∑ Fj e3 =∑ Fje3 = 0. 3.8/a,b,c (3.8) elsı két egyenlete kétféleképpen lehet nulla. Az eredı erı nulla, vagy vektora merıleges az e1 , e2 vektorok által alkotott síkra. Mivel kikötöttük, hogy a harmadik tengely nem eshet ebbe a síkba, a harmadik egyenlıség csak úgy teljesülhet, ha F valóban nulla. A (3.2) egyenleteket vetületi egyensúlyi egyenleteknek nevezzük. Amikor a (3.3) vagy (3.4) egyenleteket Descartes-féle koordinátarendszerben írjuk fel, akkor éppen a vetületi tételt alkalmazzuk abban a speciális esetben, amikor a három tengely egymásra merıleges. Így a (3.4) vektoregyenlet skaláregyenletek formájában a következı alakot ölti (3.13.. ábra): n

n

j=1

j=1

n

n

Fx = ∑ Fjx = ∑ Fj cos α j , Fy = Fz =

∑F j=1

jy

= ∑ Fj cos β j=1

n

n

j=1

j=1

3.9/a,b,c j

∑ Fjz = ∑ Fj cos γ j ,

ahol Fj – a j-edik erı nagysága, α j , β j , γ j - a j-edik erı x, y, z tengelyekkel bezárt szögei, Fx, Fy, Fz – az eredı erı x, y, z tengelyekre vett vetülete. Egyensúly esetén a három skaláregyenletnek nullával kell egyenlınek lennie: n

n

j=1

j=1

n

n

j=1

j=1

n

n

j=1

j=1

Fx = ∑ Fjx = ∑ Fj cos α j = 0, Fy = ∑ Fjy = ∑ Fj cos β j = 0, Fz = ∑ Fjz = ∑ Fj cos γ j = 0.

3.10/a,b,c

28 A kiegyensúlyozási feladatoknál felírható három skaláregyenlet éppen arra alkalmas, hogy a passzív erık eredıjének három komponensét meghatározzuk: n

n

R x = ∑ Fjx = ∑ Fj cos α j, j =1

j =1

n

n

j =1

j =1

n

n

j =1

j =1

R y = ∑ Fjy = ∑ Fj cos β j

3.11/a,b,c

R z = ∑ Fjz = ∑ Fj cos γ j . A három skaláregyenlet egyben azt is jelenti, hogy a kiegyensúlyozási feladatoknál – közös támadáspontú erırendszer esetén – csak olyan kiegyensúlyozó erırendszert tudunk egyértelmően meghatározni, amely maximálisan három skaláradattal jellemezhetı. Ha az ismeretlenek száma háromnál több, a kiegyensúlyozási feladatnak végtelen sok megoldása van. 3.5.2. A MEREV TESTRE HATÓ ERİRENDSZER EGYENSÚLYA, EREDİJE ÉS KIEGYENSÚLYOZÁSA A merev test egyensúlyának vizsgálatát visszavezethetjük az anyagi pont egyensúlyával kapcsolatos megállapításokra. Ehhez bontsuk fel a merev testet kicsi ∆Vi térfogatú, ∆m i tömegő részecskék összességére (3.14. ábra). Az anyagi pont nyugalmára vonatkozó definíció ismeretében a merev test nyugalmát úgy definiálhatjuk, hogy a merev test nyugalomban van, ha a vizsgált idıszakban a fenti módon kiválasztott összes anyagi pontjának nulla a sebessége. A merev test r i helyvektorú Pi pontját anyagi pontnak tekintve, vegyük sorra a rá ható p

erıket. Más testek hatását, azaz a Pi pontban ható külsı erık eredıjét jelöljük Fi = ∑ Fj -vel. j=1

A pontra hat még a merev test többi részének hatása. A Pk anyagi pontból ható belsı erıt jelöljük F ik-val. Errıl az erırıl – a tapasztalattal egyezıen – feltételezzük, hogy a kér pontot összekötı egyenes mentén hat és a 3. axióma értelmében F ki = F ik,

3.12

azaz a Pi pont is hat a Pk pontra, mégpedig ugyanolyan nagyságú, hatásvonalú, de ellentétes értelmő erıvel. Az erı nagyságát ugyan nem ismerjük, de mint késıbb látni fogjuk, nem is lesz rá szükség. Természetesen a test összes többi pontja is hat a Pi pontra. Ezeknek az erıknek az eredıjét jelöljük

∑F

ik

k

formában, ahol a Σ jel alatti bető az összegzı indexet mutatja. A fenti összegnek annyi tagja van, ahány anyagi pontra bontottuk a testet. A tagok számát nem írjuk ki, annak – mint látni fogjuk – úgy is csak elvi jelentısége van.

29 A merev test Pi pontjára ható összes erı a külsı és belsı erık eredıjének összege. A fenti jelölések alkalmazásával: Fi + ∑ Fik .

3.13

k

Az erık, legalábbis elvi, ismeretében megfogalmazhatjuk a merev test nyugalmának, ill. a merev testre ható erırendszer egyensúlyának feltételét. Tétel: A merev test nyugalmának szükséges és elégséges feltétele, hogy a ható külsı erık vektoriális összege és egy tetszıleges pontra számított nyomatékainak vektorális összege a vizsgált idıszak folyamán nulla legyen és valamennyi pontjának kezdısebessége is nullával legyen egyenlı ( a merev test egyensúlyának dinamikai feltétele). Bizonyítás: Alkalmazzuk a 2. axiómát a Pi tömegpontra: ∆m i a i = Fi + ∑ Fik .

3.14

k

Ha feltesszük, hogy a tömegpont a vizsgálat kezdetén nyugalomban volt, azaz kezdı sebessége v 0i = 0 , akkor a nyugalom kinematikai feltételének megfelelıen, akkor marad továbbra is nyugalomban, ha gyorsulása a vizsgált idıszakban végig nulla marad (a i ( t ) = 0 ) , (3.14) bal oldala tehát nulla. Írjuk fel gondolatban a merev test minden egyes pontjára (3.14)-et és adjuk össze az egyenleteket. a i = 0 − át is figyelembe véve kapjuk:

∑ ∆m a i

i

= 0 = ∑ Fi + ∑∑ Fik .

i

i

i

3.15

k

A jobb oldal második tagja a belsı erık teljes vektor összege, ebben minden erı párosul, nullapárok formájában lép fel, a teljes vektorösszeg tehát nulla:

∑∑ F

ik

i

=0.

k

A (3.15)-ös kifejezés ezzel a következı alakot ölti: F = ∑ Fi = 0 ,

3.16

1

amivel a tétel elsı részét bizonyítottuk. F ugyan itt is a testre ható külsı erık vektorális öszszege, mint anyagi pontnál, fizikai értelmezése mégsem olyan egyszerő, mert ha eredı erıként is fogjuk fel, támadáspontjáról semmit sem tudunk. A tétel második részének bizonyításához vegyünk fel tetszılegesen egy A pontot és szorozzuk meg (3.14)-et vektoriálisan balról az rAi helyvektorral, amely az A pontból a Pi pontba mutat (3.14. ábra): rAi x∆m i a i = rAi x Fi + rAi x ∑ Fik . k

Megint adjuk össze az összes anyagi pontra felírható egyenletet és vegyük figyelembe, hogy. a i = 0 .

30

∑ (r

Ai

x∆mi a i ) = 0 = ∑ ( rAi x Fi ) + ∑ ( rAi x Fik ) .

i

i

3.17

i

A belsı erık vektorális szorzatára azonban (3.12) figyelembevét4lével páronként felírhatjuk:

rAi x Fik + rAk xFki = ( rAi − rAk ) xFik = rki x Fik = 0 , mert az rki vektor a 3.14. ábráról is leolvashatóan párhuzamos Fik -val. (3.17) második tagja tehát páronként nulla tagokat tartalmaz, így teljes összege is nulla. (3.18)-ból már csak a ∑ (rAi xFi ) = 0 kifejezés marad, ami a (2.17) definíció értelmében nem más, mint a testre ható i

külsı erık A pontjára vonatkozó nyomatékainak vektorális összege. Így írhatjuk: M A = ∑ M Ai = ∑ ( rAi x Fi = 0, i

3.18

i

amivel a teljes tételt bizonyítottuk. Merev testre ható erırendszer egyensúlyának feltétele tehát (3.16) és (3.18) teljesülése. Annyit már eddigi vizsgálataink alapján is megállapíthatunk, hogy a merev testre ható erırendszer két fontos jellemzıje F és M A . A két vektormennyiség fizikai értelmezéséhez elıször a nyomaték tulajdonságaival, ill. az erı és nyomaték kapcsolatával kell részletesebben foglalkoznunk. A nyomaték definíciójánál láttuk, hogy az erınek minden hatásvonalán kívül esı pontra van nyomatéka. Merev test esetén, ahol nemcsak az erı támadáspontjának mozgását vizsgáljuk, hanem összes többi pontjáét is, határozzuk meg milyen kapcsolat van a különbözı pontokra számított nyomatékok között. Tétel: Egy P támadáspontú erı valamely tetszıleges B pontra vonatkozó nyomatéka egyenlı az erı egy szabadon választott A pontra vonatkozó nyomatékának és a hatásvonalával párhuzamosan az A pontba tolt erı B pontra vett nyomatékának az összegével. Bizonyítás: A P támadáspontú erı nyomatéka a B pontra a definíció szeriont: M B = r , x F, de r , = r + rBA , ahol rBA - a B pontból az A pontba mutató helyvektor (3.15 ábra).

31 Így M B = ( r + rBA ) x F = rx F + rBA x F = M A + rBA x F ,

3.19

hiszen a definíció szerint rx F az F erı A pontra vonatkozó nyomatéka, a második tagot pedig úgy képzelhetjük el – a vektori szorzat és a nyomaték definíciója alapján - mint az A támadáspontú (de az eredetivel párhuzamos) F erı B pontra vonatkozó nyomatékát. Mivel a B és A pontot tetszılegesen választottuk, (3.19) minden pontra igaz. A tétel látszólagos egyszerősége ellenére, igen fontos megállapításokra ad lehetıséget. (3.19)-et úgy is értelmezhetjük, hogyha az erıt hatásvonalával párhuzamosan eltoljuk, akkor ahhoz, hogy a tér tetszıleges pontjára ugyanakkora legyen a nyomatéka, mint eredeti helyzetében, olyan nyomatékot kell mőködtetnünk, amilyen nyomatéka az eredeti támadáspontú erınek az eltolt támadáspontra volt. A tetszıleges pontra vonatkozó nyomatékot most már M A és az eltolt támadáspontú F erı együttese adja (3.15/a. ábra). Az eljárást meg is fordíthatjuk. Ha a A pontban F erı és M A nyomaték mőködik és F ⊥ M A az F erıt hatásvonalával párhuzamosan megfelelı távolságra (új támadáspontba) eltolva elérhetjük, hogy az M A nyomaték eltőnjön. Még egyszerőbben szólva, F erıt úgy kell eltolni, hogy az eltolás következtében felveendı nyomaték MA -nak éppen ellentettje legyen. Könnyő belátni, hogy esetünkben az erıt éppen a P pontba kell visszatolni ahhoz, hogy az A pontra vonatkozó nyomatékot elhagyhassuk. (3.19) alapján azt is megállapíthatjuk, hogy a B pontra vonatkozó nyomatékot a B pontban képzelt MA és rBA xF nyomatékok vektorális összege adja (3.15/c. ábra). Ezt általánosan úgy fogalmazhatjuk, hogy a nyomatékok vektorálisan összegezhetık. Vegyük észre azt is, hogy akárhogy választjuk meg a B pontot (3.19) elsı tagja mindig ugyanaz marad (az csak az A pont választásától függ), csak a második tag változik rBA változása miatt. Úgy is fogalmazhatunk, hogy MA a tér minden pontjára ugyanaz s ilyen értelemben el is vonatkoztathatjuk attól, hogy eredetileg az F erınek az A pontra vonatkozó nyomatékáról volt szó. MA -t olyan önálló sztatikai hatásként is felfoghatjuk, amelynek csak nyomaték értéke van s az a tér minden pontjára ugyanaz. Az így értelmezett vektor, melyet koncentrált nyomatéknak nevezünk, az elıbbiek alapján matematikai szabad vektor, ami mechanikai szempontból azt jelenti, hogy önmagával párhuzamosan minden követelmény nélkül (nem úgy mint az erı) tetszılegesen eltolható. A nyomaték „önállósításának” nagy a jelentısége, mert a továbbiakban – a tapasztalattal egyezıen – azt mondhatjuk, hogy míg a koncentrált erı elemi idıszak alatt a merev testre transzláció mozgást kényszerít, addig a koncentrált nyomaték a testet elemi rotációs mozgásra készteti (a nyomatékot ezért forgató nyomatéknak is hívják) Röviden azt mondjuk, hogy az erınek transzlációs, a nyomatéknak rotációs hatása van. E két hatást kinematikai és kinetikai eszközökkel természetesen bizonyítani is lehet. Ezek után nézzük meg hogyan módosul a (3.19) kifejezés, ha a merev testre egyszerre több erı hat. Tétel:A merev testre ható erı rendszer tetszıleges B pontra vonatkozó nyomatéka egyenlı az egyes erık szabadon választott A pontra vonatkozó nyomatékösszegének és hatásvonalukkal párhuzamosan az A pontba eltolt erık vektori összegének a B pontra vonatkozó nyomatékának összegével (általános nyomatéki tétel).

32

Bizonyítás: A nyomaték definíciójának felhasználásával és a nyomatékok vektorális összegezhetısége alapján írjuk fel a tetszılegesen választott B pontra a testre ható összes erı nyomatékát: n

n

i =1

i =1

M B = ∑ M Bi = ∑ ( rBi x Fi ). Helyettesítsük be ide a 3.16/a. ábra alapján felírható

rBi = rAi + rBA Kifejezést:

M B = ∑ [( rAi + rBA ) xFi ] = ∑ ( rAi xFi ) + rBA x ∑ Fi = M A + rBA xF . n

n

n

j=1

i =1

i =1

3.20

n

∑ (r

mert

i =1

Ai

x Fi ) a definíció értelmében az erırendszernek az A pontra vonatkozó nyomatéka,

n

∑F = F i =1

i

pedig az erırendszer erıinek vektorösszege, ( 3.20) éppen az általános nyomatéki

tétel matematikai alakja. A (3.20) kifejezésnek (3.19) felhasználásával a következı fizikai értelmet adhatjuk. Toljuk el az Fi erıt az A pontba (3.16/b. ábra) a (3.19) szerint ilyenkor egy M Ai = rAi x Fi nyomatékot kell mőködtetnünk. Az M Ai koncentrált nyomaték támadáspontját is az A pontban képzelhetjük ( bár már tudjuk, hogy a koncentrált nyomaték esetében a támadáspontnak nincs különösebb szerepe) Ha az összes n erıre elvégezzük a fenti mőveleteket, végeredményül az A pontban egy közös támadáspontú erırendszert kapunk, melynek eredıje F = ∑ Fi (támadáspontja természetesen az A pont) és egy A támadáspontú nyomatékrendi =1

szert, ennek eredıje M A = ∑ M Ai ,támadáspontja az elızı tétel szerint a tér bármely pontja i =1

lehet. Vegyük észre, hogy a nyomaték indexében az A jelölés nem a nyomaték támadáspontja szempontjából fontos, hanem ez utal arra, hogy az egyes erıket melyik pontba toltuk el, ill. ez a pont az erık eredıjének támadáspontja. A tétel tehát azt a fontos megállapítást teszi lehetıvé – összhangban az egyensúlyi tétellel- hogy a merev testre ható erırendszer mindig visszavezethetı, átalakítható egy adott támadáspontú koncentrált erıre és határozatlan támadáspon-

33 tú koncentrált nyomatékra. Figyelemre méltó, hogy míg az MA függ az A pont megválasztásától, az F attól független, ugyanakkor F támadáspontja az A pont MA pedig a tér tetszıleges pontjában elképzelhetı. F -et és MA -t a merev testre ható erırendszer eredıjének ill. az erırendszer dinámjának nevezzük. Természetesen a dinám két tagja külön-külön, de egyszerre is lehet egyenlı nullával. Ha MA = 0 , F -et totális eredı erınek, ha F = 0 , M A -t totális eredı nyomatéknak nevezzük. E két eset egyikében sem lehet a test nyugalomban, hiszen vagy az erı transzlációs hatása, vagy a nyomaték rotációs hatása érvényesül. Az általános nyomatéki tétel nemcsak pontra, hanem tengelyre vonatkozó nyomatékok esetén is érvényes. Tétel: Valamely B ponton átmenı tengelyre a merev testre ható erırendszer nyomatéka egyenlı egy tetszıleges A ponton átmenı, de az elızıvel párhuzamos tengelyre vonatkozó nyomatékának és a hatásvonalával párhuzamosan az A pontba tolt eredı erınek a B ponton átmenı tengelyre vett nyomatékának összegével. Bizonyítás: Szorozzuk meg (3.20)-at a B ponton átmenı tengely e egységvektorával:

ill.

M B e = M A e + ( rBA x F) e , M Be = M Ae + ( rBA x F) e ,

3.21

ahol a (2.19) definíció értelmében M Ae a külsı erık A pontra vonatkozó nyomatékának az A ponton átmenı, e -vel párhuzamos tengelyre vonatkozó nyomatéka, az utolsó tag pedig az A támadáspontú eredı erınek a B ponton átmenı, e -vel párhuzamos tengelyre vonatkozó nyomatéka (3.17. ábra) Az általános nyomatéki tétel jelentıségét bizonyítja, hogy segítségével meghatározhatjuk az erırendszer eredı erejét. Tétel:Ha ismerjük a merev testre ható erırendszer három, nem egy egyenesbe esı pontra vonatkozó nyomatékát, az erırendszer eredı erejét egyértelmően meghatározhatjuk. Bizonyítás: (3.20) szerint a B és A pontra vonatkozó nyomaték különbsége az eredı erınek a B pontra vonatkozó nyomatékával fejezhetı ki: M B − M A = rBA x F . A vektorális szorzat tulajdonságaiból fakadóan a fenti egyenletbıl F -nek az rBA -val párhuzamos összetevıjét nem lehet meghatározni. Ezért egy harmadik, nem az AB egyenesen fekvı pontra vonatkozó nyomatékot kell ismertetni (3.18. ábra). Erre is alkalmazva (3.20)at: M C − M A = rCA x F . A fenti két egyenletbıl (célszerően egy alkalmasan választott koordinátarendszerben tengelyekre vett nyomatékokkal dolgozva) az eredı erı komponensei meghatározhatók.

34 Az általános nyomatéki tétel speciális esetekben is fontos megállapításokra enged következtetni. Tétel: Ha az erırendszer eredıje totális eredı erı, akkor az erırendszer tetszıleges pontra vagy tengelyre vett nyomatéka egyenlı a totális eredı erı ugyanazon pontra vagy tengelyre vett nyomatékával (speciális nyomatéki tétel). Bizonyítás:Totális eredı erı esetén M A = 0, így (3.20) a következı alakot ölti (3.19. ábra). n

M B = ∑ ( rBi xFi ) = rBA x F

3.22/a

i =1

ami éppen a tétel állítása pontra vonatkozó nyomaték esetén. Tengelyre vett nyomaték esetén nem kell mást tennünk, mint (3.22/a) skalárisan megszorozni a tetszılegesen felvett tengely e egységvektorával:

  M Be = ∑ (rBi x Fi ) e = rBA x F) e .  i=1 

3.22/b

A tételt leggyakrabban arra használjuk, hogy meghatározzuk a totális eredı erı A támadáspontjának helyvektorát.

Tétel: Egy erı valamely pontra vagy tengelyre vonatkozó nyomatéka egyenlı összetevıinek ugyanazon pontra vagy tengelyre vett nyomatékainak összegével (a speciális nyomatéki tétel megfordítása). Bizonyítás: Ha az F totális eredı erıt úgy fogjuk fel. Mint egyetlen erıt, melynek összetevıi éppen az n darab Fi erı, akkor az elızı bizonyítás ennek a tételnek is bizonyítása. Tétel: Ha az erırendszer eredıje totális eredı nyomaték az erırendszert egy, a vonatkoztatási ponttól független, koncentrált nyomaték képviseli. Bizonyítás: Totális eredı nyomaték esetén F = 0 . Ezt (3.20)-ra alkalmazva kapjuk.

35 MB = MA = M ,

3.23

mert A és B tetszıleges választhatósága miatt a nyomaték a tér minden pontjában ugyanaz. Ha a testre ható erırendszer nem egyensúlyi, a test nyugalmi állapotát most is kiegyensúlyozó erırendszerrel biztosíthatjuk. Tétel: A merev testre ható erırendszert kiegyensúlyozó erırendszer eredı ereje és nyomatéka az aktív erırendszer eredı erejének és nyomatékának az ellentettje. Bizonyítás: Legyen az aktív erırendszer dinámja: n

F = ∑ Fi

n

n

i =1

i =1

n

n

i =1

i =1

M A = ∑ M Ai = ∑ ( rAi x Fi ),

és

i =1

A kiegyensúlyozó, passzív erırendszeré: n

R = ∑Ri

N A = ∑ N Ai = ∑ ( rAi xR i ) .

és

i =1

A kiegyensúlyozó erırendszert (3.16) és (3.18) szerint akkor vettük fel helyesen, ha n

n

∑ Fi + ∑ R i = F + R = 0 i =1

n

n

i =1

i =1

∑ M Ai + ∑ N Ai = M A + N A = 0 ,

és

i =1

ahonnan: n

R = − F = −∑ Fi ,

3.24/a

i =1

n

N A = − M A = −∑ (rAi xFi )

3.24/b

i =1

A lehetı legegyszerőbb kiegyensúlyozó erırendszer az R = − F -nek és az N A = − M A -nak megfelelı erı és nyomaték. Ha a merev testre egymás után több, különbözı erıkbıl álló erırendszer hat, hatásuk a testre általában különbözı lesz. Vizsgáljuk meg, mi a feltétele annak, hogy két vagy több erırendszer hatására a merev test azonosan viselkedje, azaz mi egyenértékőségük feltétele. Tétel: A merev testre ható erırendszerek egyenértékőek, ha dinamikájuk megegyezik. Bizonyítás: A bizonyítást az egyenértékőség dinamikai definíciója alapján végezzük. Legyen az egyik erırendszer a másik F II i (i = 1,2,..., p) és tegyük fel, hogy létezik egy olyan erırendszer, amelyik az elızı két erırendszer mindegyikét kiegyensúlyozza s melynek dinámja F ∗ , M ∗ A . Kiegyensúlyozás esetén az alábbi egyenlıségek állnak fenn: n

∑ F I i + F ∗ = 0, i =1 n

∑ F II i + F ∗ = 0, i =1

n

∑ (r i =1

Ai

x F I i ) + M ∗ A = 0,

n

∑ (r i =1

Ai

x F II i ) + M ∗ A = 0 .

36 Vonjuk ki egymásból az azonos jellegő egyenleteket: n

n

i =1

i =1

∑ F I i − ∑ F II i = 0 ,

n

n

i =1

i =1

n

n

i =1

i =1

∑ (rAi xF I i ) − ∑ (rAi xF II i ) = 0,

ahonnan n

n

∑ F I i = ∑ F II i = F I = F II i =1

I

I

i =1 II

∑ (rAi xF I i ) =∑ (rAi xF II i ) = M I A = M II A ,

és

II

ahol F , M A , F , M A -vel a két erırendszer dinámjait jelöltük. Könnyen beláthatjuk, hogy a merev testre ható erırendszerek esetén végtelen sok egyenértékő erırendszer létezik, s ennek megfelelıen végtelen sok egyensúlyi és kiegyensúlyozó erırendszer is található. Tétel: Ugyanarra a pontra vagy tengelyre az egyenértékő erırendszerek nyomatékai megegyeznek. Bizonyítás: Legyen az egyik erırendszer dinámja F I , M I A , a másiké F II , M II A . Egy tetszılegesen választott B pontra nyomatékuk az általános nyomatéki tétel szerint: M I B = M I A + rBA x F I ,

M II B = M II A + rBA x F II .

Egyenértékőség esetén azonban F I = F II és M I A = M II A , így a fenti összefüggésbıl rögtön következik, hogy M I B = M II B . Ha ezt az utóbbi egyenlıséget megszorozzuk a B ponton átmenı tetszıleges tengely e egységvektorával, M I Be = M II Be -t kapjuk, ami a tengelyre vett nyomatékok egyenlıségének bizonyítéka. A fenti tételt az erırendszerek egyenértékőségének szükséges feltételeként is felfoghatjuk. Nézzük meg mi az elégséges feltétel. Tétel: Két erırendszer egyenértékőségének szükséges és elégséges feltétele, hogy nyomatékaik három, nem egy egyenesbe esı pontra rendre megegyezzenek. Bizonyítás: Alkalmazzuk az általános nyomatéki egyenletet a B és C pontokra (3.20. ábra): M BI = M AI = rBA x F I = M BII = M AII + rBA x F II ,

M CI = M AI + rCA x F I = M CII = M AII + rC A x F II . Rendezve: M AI − M IIA + rBA x ( F I − F II ) = 0 , M AI − M IIA + rCA x ( F I − F II ) = 0 . A kiindulási feltételek szerint M AI = M IIA ,

M BI = IIB ,

M CI = M CII ,

37 a fenti két egyenlet elsı két tagja kiesik, a vektorlális szorzat pedig csak úgy lehet nulla, ha tényezıi nullák, vagy a két tényezı párhuzamos vektora egyszerre nem lehet párhuzamos két különbözı irányú vektorral ( rBA és rCA nem lehet párhuzamos, mert kikötöttük, hogy az A, B, C pontok nem eshetnek egyenesbe), a fenti egyenlıségek csak akkor állnak fenn, ha ( F I − F II = 0 . Ebbıb F I = F II , amiaz M AI = M AII egyenlıséggel éppen az egyenértékőség korábbi feltételét adja. Tétel: Két erırendszer egyenértékőségének szükséges és elégséges feltétele, hogy nyomatékaik két, különbözı kezdıpontú triéder éleire (azaz hat egymástól lineárisan független tengelyre) rendre megegyeznek. Bizonyítás: Legyen a kiválasztott tengelyek közül az i-ediknek az egységvektora ei . A kiindulási feltétel szerint M IAei = M IIAei , ami egyben azt is jelenti, hogy M AI = M AII . A (3.21) általános nyomatéki tétel felhasználásával:

M IBei = M IAei + ( rBA xF I ) ei = M IIBei = M IIAei + ( rBA xF II ) ei . Rendezés után:

M IAe i - M IIAe i + [ rBA x( F I - F II )]e i = 0 . A kiindulási feltétel miatt az elsı két tag összege nulla, a második tagot alakítsuk át: ( ei xrBA )( F I − F II ) = 0. Ha kikötjük, hogy rBA lehet nulla: a)

és

3.25

ei nem lehetnek nullák, a fenti kifejezés az alábbi esetekben

ei xrBA = 0, azaz ei rBA ,

b)

( ei xrBA ) ⊥ ( F I − F II ),

c)

F I − F II = 0 . Vegyünk fel tetszılegesen három tengelyt (annyi megkötéssel, hogy nem lehetnek párhuzamosak) és toljuk el ıket a tetszılegesen választott B pontba. Vizsgáljuk meg, hogy a (3.25) egyenlıség milyen feltételek mellett áll fenn. Mivel a tengelyek irányát tetszılegesen választottuk, elıfordulhat, hogy valamelyik átmegy az A ponton (3.21. ábra). Ilyenkor a) fennáll, (3.25) tehát minden egyéb feltételtıl függetlenül teljesül. Mivel a másik két tengely nem lehet párhuzamos az elızıvel,(3.25) csak úgy teljesülhet, ha b) vagy c) igaz. Ha feltesszük, hogy c) nem áll fenn, (3.25) b)-nek

38 megfelelıen teljesülhet, hiszen véletlenül felvehetjük az utóbbi két tengelyt úgy, hogy az eredı erıvektorok különbségvektora párhuzamos legyen az rBA és a két tengely által alkotott síkokkal, ami egyben azt is jelenti, hogy az ( F I − F II ) rBA . Az elsı három tengelyt tehát felvehetjük úgy, hogy (3.25) az eredı erık különbségvektorától függetlenül mindig teljesülhet. Az elıbbi gondolatmenetünket megismételhetjük egy a B ponttól különbözı helyzető, B’ ponton át felvett három tengelyre. A különbség csak annyi lesz, hogy az F I − F II vektornak most az rB'A vektorral kell párhuzamosnak lennie (3.25) fennállása érdekében. Egyidejőleg azonban az erıvektorok különbségvektora nem lehet párhuzamos rBA és rB'A vektorokkal is, hiszen B és B’ nem esnek egybe. Elıfordulhat ugyan, hogy az A, B, B’ egy egyenesbe esik, de ha A-t máshol vesszük fel ez a lehetıség már kiesik. A fentiekbıl tehát az következik, hogy a két ponton átmenı, tetszılegesen választott három egyenes tengelyre (3.25) csak akkor állhat fenn, ha F I − F II = 0, azaz F I = F II , amihez hozzávéve az M AI = M AII egyenlıséget éppen az egyenértékőség egyik kritériumát kapjuk. Mint látjuk a két ponton át a hat tengelyt tetszılegesen vehetjük fel (csak egy síkba nem eshetnek). A gyakorlati számításokhoz célszerő két, különbözı kezdıpontú, párhuzamos tengelyő, Descart-féle koordinátarendszert felvenni. Az egyenértékő erırendszerekkel kapcsolatban még egy fontos és sokszor alkalmazott tételt említünk. Tétel: Ha egy erırendszerhez egyensúlyi erırendszert adunk hozzá vagy ilyent elveszünk belıle, az új erırendszer az eredetivel egyenértékő marad. Bizonyítás: Jelöljük az eredeti erırendszer dinámját F I , M AI -el, a hozzáadandó vagy kivonandó erırendszerét F 0 és M A0 -al. Az új erırendszer dinámja: F II = F I + F 0 = F I , M AII = M AI + M A0 = M AI , mert F 0 = 0 és M A0 = 0 , az eredeti és az új erırendszer egyenértékősége tehát valóban fennáll. Térjünk most vissza az egyensúly vizsgálatára. A (3.18) feltétel szerint az egyensúlyi erırendszer nyomatéka a tér minden pontjára nulla. Felmerül a kérdés, nem lehet-e csak nyomatéki egyenletekkel eldönteni, hogy az erırendszer egyensúlyi-e. Tétel: A merev testre ható erırendszer egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele, ha három, nem egy egyenesbe esı pontra az erırendszer nyomatéke nulla. Bizonyítás: Az elıbb bizonyítottuk, hogy két erırendszer egyenértékőségének feltétele három, nem egy egyenesbe esı pontra vonatkozó nyomatékuk egyenlısége. Ha a második erırendszert eleve egyensúlyinak vesszük fel, azaz F II = 0 és M AII = 0 , ami egyben azt is jelenti, hogy B és C pontra vonatkozó nyomatékuk is nulla, akkor a kérdéses erırendszer egyenértékőségének jelen esetben egyensúlyi voltának – a tétel értelmében – a feltétele csupán az, hogy az A, B és C pontokra vett nyomatékának nullával kell egyenlınek lennie. Ez pedig a tétel kiinduló feltevése volt. Szemléletesebben is beláthatjuk a tétel igazát. A tetszılegesen választott A pontra vonatkozó nyomaték nulla volta vagy azt jelenti, hogy az erırendszer egyensúlyi, vagy azt, hogy az erırendszer eredıje totális eredı erı, melynek hatásvonala éppen átmegy az A ponton (tudjuk, hogy az erınek hatásvonalán lévı pontra nincsen nyomatéka). A tetszılegesen választott

39 B pontra vett nyomaték is lehet nulla, ha a totális eredı erı véletlenül a B ponton is átmegy. Ha a C pontot úgy vesszük fel, hogy véletlenül se essen a lehetséges totális eredı erı hatásvonalába, azaz az AB egyenesre és a nyomaték erre a pontra is nulla, biztosak lehetünk abban, hogy egyensúlyi erırendszerrel van dolgunk. Mivel egyensúlyi erırendszernek a tér minden pontjára nulla a nyomatéka, tetszıleges tengelyre vonatkozó nyomatékának is nullával kell egyenlınek lennie. Ezeket a tengelyekre írt skaláregyenleteket nyomatéki egyensúlyi egyenleteknek nevezzük. Tétel: A merev testre ható erırendszer egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele, hogy két, különbözı csúcspontú triéder éleire (azaz hat egymástól lineárisan független tengelyre) nyomatéka nullával legyen egyenlı. Bizonyítás: Használjuk fel most is az egyenértékőségre vonatkozó hasonló tételt. A II jelő erırendszert vegyük fel eleve egyensúlyinak, így ennek a lineárisan független hat tengelyre a nyomatéke nulla. A tétel értelmében a vizsgált erırendszer egyenértékőségének, ill. jelen esetben egyensúlyának feltétele az, hogy az elıbb hat tengelyre nyomatéka nullával legyen egyenlı. Ez azonban éppen a tétel kiinduló feltevése. A merev testre ható erırendszerek (ami határesetként az anyagi pontra ható erırendszereket is magába foglalja) gyakorlati számításánál a leggyakrabban Descartes-féle koordinátarendszert használunk, s a vektoregyenletek helyett, az azokat reprezentáló skaláregyenleteket alkalmazzuk. Az erırendszer eredı erejét az alábbi – (3.9)-el teljesen analóg – skaláregyenletekkel számítjuk (3.22. ábra): n

n

i =1 n

i =1 n

i =1 n

i =1 n

i =1

i =1

Fx = ∑ Fix = ∑ Fi cos α i , Fy = ∑ Fiy = ∑ Fi cos βi ,

3.26/a,b,c

Fz = ∑ Fiz = ∑ Fi cos γ i , ahol Fi a Pi pontban ható erı nagysága, αi , βi .γ i pedig hatásvonalának a koordinátatengelyekkel bezárt szögei, Fx, Fy, Fz az eredı erınek az x, y, z tengelyekre vonatkozó vetületei. Az eredı erı nagyságát és hatásvonalának koordinátatengelyekkel bezárt szögeit a következıképpen számítjuk: F F F F = Fx2 + Fy2 + Fz2 , cos α = x , cos β = y , cos γ = z . 3.27/a,b,c,d F F F

40 Az eredı nyomaték valamely A pontra számítva: n

n

n

ex

M A = ∑ M Ai = ∑ ( rAI xFi ) = ∑ x Ai i =1 i =1 i =1 Fix n

ey

ez

y Ai Fiy

z Ai = Fiz

[

]

= ∑ ( y Ai Fiz − z Ai Fiy ) e x + (z Ai Fix − x Ai Fiz ) e y + ( x Ai Fiy − y Ai Fix ) ez = i =1 n

= ∑ (M Aix e x + M Aiy e y + M Aiz e z ) = M Ax e x + M Ay e y + M Az e z ,

3.28

i =1

ahol M Ax , M Ay , M Az az M A eredı nyomaték koordinátatengelyekre vett vetületei, a determináns kifejtési szabályának alkalmazásából ((3.28) második sora) megállapíthatjuk, hogy ezek nem mások, mint egyes erık A ponton átmenı, a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesekre vonatkozó nyomatékainak összege (3.23. ábra). Ez a kapcsolat lehetıvé teszi, hogy a pontra vonatkozó nyomatékot a ponton átmenı három, egymásra merıleges tengelyre vett nyomaték vektorális összegeként értelmezzük. Tehát: n

n

i =1 n

i =1 n

i =1 n

i =1 n

i =1

i =1

M Ax = ∑ ( y Ai Fiz − z Ai Fiy ) = ∑ ( y Ai Fi cosγ i − z Ai Ff cos i ) ,

3.26/d

M Ay = ∑ (z Ai Fix − x Ai Fiz ) = ∑ (z Ai Fi cos α i − x Ai Fi cos γ i )

3.26/e

M Az = ∑ ( x Ai Fiy − y Ai Fix ) = ∑ ( x Ai Fi cos βi − y Ai Fi cos α i ) .

3.26/f

ahol xAi, yAi, zAi az A-ból a Pi mutató helyvektor koordinátatengelyekkel párhuzamos komponensei. Az eredı nyomaték nagysága és hatásvonalának koordinátatengelyekkel bezárt szögei:

M A = M 2Ax + M 2Ay + M 2Az , cos λ =

M Ax , MA

cos χ =

M Ay MA

3.29/a,b,c,d ,

M Az . MA A merev testre ható erırendszer egyensúlya esetén az alábbi skalárfeltételeknek kell teljesülniük: cos µ =

n

Fx = ∑ Fi cos α i = 0, i =1

n

Fy = ∑ Fi cos βi = 0, i =1

n

Fz = ∑ Fi cos γ i = 0 , i =1

3.30/a,b,c

41 n

M Ax = ∑ ( y Ai Fi cos γ i − z Ai Fi cos β i ) = 0, i =1 n

M Ay = ∑ (z Ai Fi cos α i − x Ai Fi cos γ i ) = 0,

3.30/d,e,f

i =1 n

M Az = ∑ ( x Ai Fi cos β i − y Ai Fi cos α i ) = 0 . i =1

A fenti hat egyensúlyi egyenletnek igen nagy jelentısége van a sztatikában, de meg kell említenünk, hogy a vetületi egyensúlyi egyenletek vagy egy részük helyett gyakran a (3.30)-ban alkalmazott tengelyektıl különbözı (azoktól lineárisan különbözı) tengelyekre vonatkozó nyomatéki egyensúlyi egyenleteket használunk. A nyomatéki egyenleteknek ugyanis megvan az a ló tulajdonsága, hogy a tengellyel párhuzamos vagy a tengellyel metszı erıknek nincs nyomatéka, így ügyesen megválasztott tengely esetén a nyomatéki egyenletekben viszonylag kevés erı fog szerepelni, ami lényegesen csökkentheti a feladat számítóigényét. Nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogy akármilyen egyensúlyi egyenletet is használunk, hatnál több egyenletnek nincs értelme, mert a haton felüli egyenlet Kiegyensúlyozási feladatoknál a (3.24/a,b) vektoregyenleteknek megfelelı skaláregyenletek: n

n

R x = −∑ Fi cos α i ,

R y = −∑ Fi cos βi ,

i =1

i =1

n

R z = −∑ Fi cos λ i .

3.31/a,b,c

i =1

Valamint: n

N Ax = ∑ ( y Ai Fi cos γ i − z Ai Fi cos βi ) = 0, i =1 n

N Ay = ∑ (z Ai Fi cos α i − x Ai Fi cos γ i ) = 0,

3.31/d,e,f

i =1 n

N Az = ∑ ( x Ai Fi cos βi − y Ai Fi cos α i ) = 0 . i =1

A hat skaláregyenlet azt jelenti, hogy csak olyan kiegyensúlyozási feladatokat lehet egyértelmően megoldani, ahol a skalárismeretlenek száma nem több hatnál. A kiegyensúlyozó erırendszer dinámját tehát mindig meg tudjuk határozni. A hatnál több ismeretlent tartalmazó feladatokat sztatikai eszközökkel nem lehet egyértelmően megoldani. A felesleges ismeretleneknek tetszıleges értéket felvéve (3.20) vagy (3.31) alapján a reakciókomponensek ugyan számíthatók, de a megoldás a kezdeti értékfelvételtıl függ, azaz a feladatnak végtelen sok megoldása van. 3.5.3. A SZERKEZETEK VIZSGÁLATÁVAL KAPCSOLATOS ELVEK ÉS MÓDSZEREK Az anyagi pont és a merev test sztatikai vizsgálatánál a vizsgált testet kiszakítottuk környezetébıl, ill. annak mechanikai hatását, azaz az erıket ismertnek, esetleg a kiegyensúlyozási feltételekbıl meghatározhatónak tételeztük fel. A gyakorlatban azonban ezt az ideális állapotot csak komoly absztrakció után érhetjük el. A sztatikának éppen ez az absztrahálás, tehát a külsı környezet erıtani modellezése az egyik legkényesebb feladata. A vizsgált anyagi test mindig kapcsolatban van más testekkel, a valóságban tehát mindig szerkezetekkel van dolgunk. Ezeknek a testeknek egy része sztatikai szempontból pontosan és egyértelmően modellezhetı erıhatást jelent, sok test hatását azonban csak részben vagy egyáltalán nem ismerjük.

42 A gyakorlatban alkalmazott szerkezetek legtöbbjének közös tulajdonsága, hogy valamilyen módon nyugalomban lévı, vagy nyugalomban lévınek tekintett testekhez kapcsolódnak. A mérnöki szerkezetek többféle feladatot látnak el. Az elıre meghatározott mozgás létrehozására szolgáló szerkezetek a mechanizmusok vagy hajtómővek. Ezekben az egyes szerkezeti elemek az eleve nyugalomban lévınek képzelthez képest, de egymáshoz képest is elmozdulhatnak. A fıként teherhordást végzı szerkezetek a tartók. Ezeknél általában az a cél, hogy sem az egész szerkezet, sem annak részei a nyugvóhoz képest ne mozduljanak el. A két funkció néha egy szerkezetben is jelentkezhet. A sztatikában – jellegénél fogva – elsısorban tartószerkezetekkel foglalkozunk. 3.5.3.1. KÉNYSZEREK ÉS CSOPORTOSÍTÁSUK A szerkezet egyes merevnek tekintett részeit tagoknak, a tagok közötti kapcsolatot kinematikai párnak vagy kényszernek nevezzük. Azokat a kapcsolódó elemeket, amelyek a szerkezetet a nyugalomban lévınek képzelt testhez kötik, külsı kényszernek, amelyek a szerkezet többi elemét kapcsolják össze, belsı kényszernek hívjuk. A kényszerek anyagi valóságukban, szerkezeti megvalósításukban, végtelen sokfélék lehetnek. Mechanikai szempontból azonban az a lényeges tulajdonságuk, hogy bizonyos mozgáskomponenseket gátolnak s, mint testek tulajdonképpen erıhatást jelentenek. A kényszerekben ébredı erıket reakció- vagy kényszererıknek nevezzük. Tartószerkezetek esetén a kényszerek biztosítják a szerkezet nyugalmát, azaz az általuk kifejlesztett passzív erırendszer egyensúlyozza ki a szerkezetre ható aktív erık rendszerét. Ahhoz, hogy megállapíthassuk, hogy egy kényszerfajta milyen erıhatást képvisel, emlékezzünk arra, hogy elemi transzlációt koncentrált erı, elemi rotációt koncentrált nyomatékot hoz létre. A mozgás akadályozásához – nyilvánvalóan – az egyes elmozdulás- és elforduláskomponensekkel ellentétes értelmő erı- és nyomatékkomponensekre van szükség. A kényszert technikai szempontból úgy kell kialakítani, hogy benne az akadályozni kívánt elmozdulásokkal ellentétes értelmő erı- vagy nyomaték-összetevı kialakulhasson. A kényszerek osztályozása is éppen az alapján történhet, hogy milyen mozgáskomponens kialakulását gátolják, ill. milyen dinám rendszert fejtenek ki. A testek, ill. szerkezetek nem korlátozott mozgáslehetıségeinek, szabad mozgáskomponenseinek számát szabadságfoknak, a korlátozottakét kötöttségnek vagy kötöttségi foknak nevezzük. A 3.24. ábra táblázatában a kényszereket a kötöttségi fok (ill. szabadságfok) alapján osztályokba, a haladó és forgó mozgási lehetıségek alapján fajtákba soroltuk. A táblázat az A és B jelő tagok kapcsolatát, pontosabban az A tagnak a B taghoz viszonyított mozgáslehetıségeit mutatja. Térben a kötöttségek nélküli test szabadságfoka hat, kényszererı nincs. Ha a test egy másik testtel valamilyen kapcsolatba kerül – vele kinematikai párt alkot – mozgáslehetıségeinek száma általában kisebb lesz, kötöttsége pedig nı. A táblázat alapján megállapíthatjuk, hogy a szabadságfok és a kötöttségi fok összege egyetlen egy merev test esetén térben hat. Csak síkbeli mozgásokat lehetıvé téve, ugyanez az összeg mindig három, hiszen síkban csak két transzlációs és a egy rotációs komponensnek van csak értelme. Mivel a legtöbb térbeli feladat sztatikai szempontból síkbelivel modellezhetı, a 3.25. ábrán külön összefoglaltuk a síkbeli kényszereket, jelölésüket és a rájuk jellemzı dinámokat. A síkban egykötöttségő kényszert támasztásnak nevezzük. Amely akkor jön létre, ha két test egymással érintkezésbe kerül és a súrlódás elhanyagolhatóan kicsi. A vakóságban mindig fellépı súrlódás csökkentésére különbözı technikai megoldásokat alkalmaznak, amelyek közös neve mozgó csukló. A kényszer az érintkezési pont közös érintısíkjára, ill. a támasztósíkra merıleges irányú elmozdulást akadályozza meg, benne tehát a támasztósíkra merıleges hatásvonalú erı ébred. A reakcióerı támadáspontja és hatásvonala ismert, ismeretlent

43

44 csak az erı nagysága jelent (az erı értelme a szerkesztés vagy számítás során automatikusan adódik).

Azt a síkbeli kényszert, amely az érintkezési pont tanszlációját megakadályozza, de a merev testnek az érintkezési pont körüli elfordulását nem, álló csuklónak nevezzük. A súrlódás következtében fellépı ellenállást itt is elhanyagolhatóan kicsinek tételezzük fel. A reakcióerı támadáspontja a csukló középpontja, hatásvonala azonban határozatlan. A reakcióerı megadásához így nagyságát és hatásvonalának valamilyen iránnyal bezárt szögét, azaz két adatot kell megadnunk. Sokszor célszerőbb elıre kijelölni két, a csukló középpontjában átmenı hatásvonalat és az ezeken mőködı erık nagyságát keresni, ill. megadni. Matematikai szempontból azonban a feladat mindenképpen két ismeretlent jelent. Szintén két ismeretlenes síkbeli kényszer a vezeték, amely a test elfordulását és egy adott irányú transzlációját akadályozza meg. Az elfordulást gátló nyomatékot nagysága egyértelmően jellemzi (hiszen síkja adott, értelme pedig automatikusan adódik), í reakció erı támadáspontjának – jó közelítéssel – a csúszka középpontját vehetjük, hatásvonala pedig merıleges a vezeték érintıjére, így csak az erı nagysága marad ismeretlen. Merev megfogás vagy befogás esetén a test tetszıleges erırendszer esetén is nyugalomban marad, azaz mindhárom mozgáskomponense gátolt. A két összekapcsolódó tag egyetlen egy merev rendszert alkot. A transzlációt akadályozó erı támadáspontja a befogás keresztmetszetének közepe, hatásvonala és nagysága határozatlan. A reakciót itt is két komponensre bontva célszerő megadni. A rotációs nyomatékkel gátoljuk, melyet – mivel hatósíkja

45 ismert – nagysága egyértelmően jellemez (az erık és nyomatékok értelme automatikusan adódik). A merev befogás matematikai szempontból tehát három ismeretlent jelent. Már említettük, hogy a kényszerek technikai megvalósítása igen sokféle lehet, így pl. általánosan alkalmazott – és elvi jelentıségében sem elhanyagolható – az ún. támasztó-rudak és függesztı kötelek használata. A kifejezetten kényszerek céljára szolgáló rudakról feltételezzük, hogy abszolút merevek, súlytalanok, két végükön csuklón keresztül kapcsolódnak a többi szerkezeti elemhez, s csak végeiken terheltek. Alakjuk tetszıleges (sík-) görbe lehet. A támasztó-rudak megakadályozzák a rúd két végpontját összekötı irányban a merev test transzlációját, ennek megfelelıen a reakcióerı hatásvonala átmegy a rúd két végpontján, csak nagysága ismeretlen. A kényszer céljára szolgáló kötelet abszolút nyújthatatlannak, hajlékonynak és súlytalannak tekintjük (ez az egyetlen „merev” test a sztatikában, amely megváltoztatja a terhelı erırendszernek megfelelıen az alakját).Két végüket kivéve terheletlenek,így alakjuk csak egyenes lehet. A függesztı kötél megakadályozza azt, hogy a merev test a kötél középvonalának irányában eltávolodjon eredeti helyzetétıl (közelebb kerülhet). Ennek megfelelıen a reakcióerı hatásvonala maga a kötélirány, csak nagysága ismeretlen, sıt most még az erı értelme is csak olyan lehet, amely elmutat a vizsgált testtıl. A kötélben ébredı erı értelmére vonatkozó egyoldalasság matematikailag szabatos figyelembevétele nemlineáris programozási feladatokra vezet. Ennek elkerülésére a függesztı köteleket mindig úgy kell elhelyezni, hogy húzottak legyenek (ha ezt elıre nem lehet megállapítani, akkor egymással szemben két kötelet kell alkalmazni, ami biztosítja, hogy az egyik mindig dolgozik). A 3.25. ábra utolsó oszlopában láthatjuk, hogy a különbözı kötöttségi fokoknak megfelelı kényszerek támasztó-rudak, ill. alkalmasan elhelyezett függesztı kötelek segítségével is mindig megvalósíthatók. 3.5.3.2. AZ ELKÜLÖNÍTÉS ÉS AZ ÁTMETSZÉS ELVE A szerkezet tagjaira ható, a kényszerek által kifejtett erıket és nyomatékokat az egyensúly feltételeinek, ill. a kiegyensúlyozás egyenleteinek felhasználásával, valamint az elkülönítés és az átmetszési módszerek alkalmazásával határozzuk meg. Az elkülönítés módszere azt jelenti, hogy a szerkezetben feloldjuk (gondolatban eltávolítjuk) az összes kényszert és a most már különálló, egymástól független tagokra mőködtetjük a kényszerek jellegének megfelelı, de még ismeretlen dinámokat. Átmetszésrıl akkor beszélünk, ha nem minden szerkezeti elemet különítünk el, hanem csak bizonyos, alkalmasan választott szerkezeti részeket. Az átmetszéskor el nem távolított kényszereket nem kell dinámokkal pótolni. A szerkezetet képzeletben két vagy több részre is bonthatjuk, sıt átmetszéskor nemcsak a kényszerek helyén választhatjuk szét, hanem – a tagokban fellépı belsı erık meghatározására – magukat a merev szerkezeti elemeket is kettévághatjuk. Ha egy merev testet átmetszéssel kettévágunk, akkor – mivel eredetileg a test két része egymáshoz képest nem mozdulhat el – az átvágás keresztmetszete merev befogásnak tekinthetı, melynek dinámja térben hat, síkban három skalár-ismeretlent jelent. Az elkülönítés vagy az átmetszés után abból a nyilvánvaló megállapításból indulunk ki, mely szerint, ha a szerkezet egésze nyugalomban van, akkor részei – bárhogyan is választjuk meg ıket – is nyugalomban vannak. Az anyagi pont és a merev test nyugalmának feltételénél már megtanultuk, hogy a rájuk ható aktív és passzív erık egyensúlyban vannak. Ezekbıl az egyensúlyi egyenletekbıl az ismeretlen passzív erık általában meghatározhatók. Egy adott szerkezeten elkülönítést csak egyféleképpen, átmetszést azonban végtelen sokféleképpen tudunk végrehajtani. Ezek közül azokat kell kiválasztani, amelyek a legegyszerőbben vezetnek az ismeretlenek meghatározásához. Ehhez természetesen bizonyos gyakorlatra van szükség. A szerkezet egészére alkalmazzuk az egyensúlyi feltételeket. További átmetszésekkel vagy elkülönítéssel az eltávolítva képzelt kényszerek belsı reakcióit formálisan

46 külsıvé alakítjuk és újra alkalmazzuk az egyensúlyi feltételeket. A feladat legcélszerőbb megoldására nincs általánosan alkalmazható eljárás. Az átmetszések és elkülönítés után felírható egyensúlyi egyenletek közül esetenként kell kiválasztani azokat, amelyek egymástól lineárisan függetlenek és számítástechnikailag egyszerőek. A felesleges egyensúlyi egyenletek ellenırzésre szolgálnak. Elıfordulhat azonban az is, hogy a rendelkezésre álló egyenletek nem elegendık az ismeretlen reakciókomponensek számításához. A megoldás létezésének és egyértelmőségének feltételét a sztatikai határozottság fogalmának bevezetésével fogalmazhatjuk meg. 3.5.3.3. SZERKEZETEK SZABADSÁGFOKA Bevezetjük a szerkezet szabadságfokának fogalmát: f=f0-z,

3.32/a

ahol f0 - a szerkezet elkülönítéssel felszabadított tagjainak összes szabadságfoka, azaz összes mozgáslehetıségeinek száma, egyenlı az egymástól lineárisan független egyensúlyi egyenletek számával, z – az összes ismeretlen reakciókomponens száma, azaz a kinematikai párok összes kötöttségi száma. A szerkezet szabadságfoka alapján a következı csoportosítást végezhetjük el. Ha

f 〈 0,   f = 0, a szerkezet általában f 〉 0 

s ztatikailag határozatlan,  sztatikailag határozott  sztatikailag túlhatározott

(3.32/a) szerint sztatikailag határozott szerkezetek esetén a rendelkezésre álló, egymástól lineárisan független egyenletek száma és az ismeretlen reakciókomponensek száma megegyezik. Az ismeretlenek tetszıleges terhelés esetén egyértelmően meghatározhatók. Sztatikailag határozatlan szerkezetek esetén f negatív szám. Az − f értéket a sztatikai határozatlanság fokának nevezzük. Ilyenkor az ismeretlen reakciókomponensek száma nagyobb, mint a rendelkezésre álló független egyenletek száma. Az − f számú ismeretlent paraméterként kezelve, az egyenletek számának megfelelı ismeretlen reakciókomponensek kifejezhetık, de a választott paraméternek megfelelıen határozatlanok (azaz végtelen sok megoldás lehetséges). A mőszaki gyakorlatban sokszor alkalmaznak sztatikailag határozatlan tartószerkezeteket. Ezeknek a valóságnak megfelelı erıjátékát a merevségi feltétel feladásával, a szerkezeti elemek alakváltozásának figyelembevételével lehet meghatározni (ez azonban már a szilárdságtan témakörébe tartozó feladat). Sztatikailag túlhatározott szerkezetek estén a reakciókat tetszıleges terhelı erırendszer esetén nem lehet meghatározni. f ilyenkor pozitív, értékét a túlhatározottság fokának is nevezzük. Mivel az egyensúlyi egyenleteket nem lehet kielégíteni, a túlhatározott szerkezet nem maradhat nyugalomban, elmozdul. Labilis tartónak ill. mechanizmusnak vagy hajtómőnek nevezzük. A túlhatározottság foka, azaz a szerkezet szabadságfoka éppen azoknak a független skalárkomponenseknek a számával egyenlı, amelyekkel a mechanizmus mozgását egyértelmően jellemezni tudjuk. Elıfordulhat, hogy bizonyos speciális terhelésnél a labilis tartó egyensúlya biztosítható, sıt a túlhatározott tartó egy része önmagában határozatlan is lehet, ezért áll a sztatikai határozottság definíciójában az az „általában” kifejezés.

47 A szabadságfok meghatározásánál a következı gondolatmenetet alkalmazzuk. Térbeli szerkezet esetén, ha a szerkezet az elkülönítés után n tagra bontható (n-be beleszámoljuk az eleve mozdulatlannak tekintett tagot is) az összes szabadságfok száma: f0=6(n-1),

3.33/a

mert a teljesen szabadon mozgó tagok szabadságfoka 6, míg az eleve mozdulatlannak tekintett tag szabadságfoka nulla. Az ismeretlen reakciókomponensek száma pedig a szerkezetben található kinematikai párok kötöttségi fokának összegével (3.24 ábra) egyezik meg: 6

z = 1p1 + 2p 2 + 3p 3 + 4p 4 + 5p 5 = ∑ ip i ,

3.33/b

i =1

ahol pi – az i kötöttségő kinematikai párral összekapcsolt két tagot természetesen egyetlen egy merev testnek is tekinthetjük, ilyenkor p6-ot nullának vesszük, n pedig kisebb lesz). A szerkezet szabadságfoka tehát: 5

f = f 0 − z = 6(n − 1) − ∑ ip i .

3.32/b

i =1

A kifejezés azonban csak akkor általános érvényő, ha a szerkezet sem kiegészítı, sem passzív kötöttségeket nem tartalmaz. Passzív kötöttséget jelentenek azok a szerkezeti elemek, amelyek a szerkezet mozgását nem befolyásolják, de plusz szabadságfokot visznek a rendszerbe. Kiegészítı kötöttség úgy keletkezik, ha a kinematikai párok jellege olyan, hogy a szerkezetnek eleve csak valamilyen speciális mozgását teszik lehetıvé (pl. ha a csuklók forgástengelyei egymással párhuzamosak, csak síkmozgás jöhet létre). Kiegészítı kötöttségek esetén (3.32/b) módosul: f = (6 − k )(n − 1) −

6

∑ (i − k)p

i = k +1

i

,

3.32/c

ahol k – a kiegészítı kötöttségnek megfelelı számérték (síkmozgásnál k=3). A síkbeli szerkezetek nagyon fontos szerepet játszanak – mert a legtöbb térbeli szerkezet mechanikai szempontból síkban modellezhetı, ezért felírjuk (3.22/c)-t eleve síkra vonatkoztatva is: f sík = 3(n − 1) − 1p1 − 2p 2 , 3.32/d ahol pi – a síkban i kötöttségő kinematikai párok száma (3.25 ábra). A szabadságfok meghatározása a fenti képletek alkalmazásával a kiegészítı és a paszszív kötöttségek miatt nem mindig egyszerő, ill. nem mindig kapunk a képletek automatikus alkalmazásával helyes eredményt. A végeredményt mindig ellenırizni kell a szemléleten alapuló és gyakorlással megszerezhetı érzékekkel. Különösen mechanizmusok, tehát túlhatározott tartók esetén kell abból a szempontból átvizsgálni a szerkezetet, hogy nincsenek-e benne sztatikailag határozatlan részek, ill. hány adat szükséges a szerkezet mozgásának egyértelmő megadásához. A sztatikai határozottság kérdését, szükséges és elegendı feltételét matematikailag szabatos, számítógéppel is kiértékelhetı formában az alábbiak szerint fogalmazhatjuk meg. Ha a szerkezet elkülönített tagjaira felírható, összes egyensúlyi egyenletbıl álló egyenletrendszert mátrix formában adjuk meg, akkor a határozottság kérdését az f0 számú sorból és a z számú oszlopból álló együtthatómátrix elemzésével dönthetjük el. A mátrix rangja határeset-

48 ben éppen sorai vagy oszlopai számának kisebbikével egyezik meg, ρ =Min(f0,z). Ha a mátrixban lineárisan függı sorok (oszlopok) vannak, rangja még kisebb lehet, ρ <Min(f0,z). Az alábbi táblázatban összefoglaltuk a lehetséges variációkat és a nekik megfelelı csoportosítást. Az utolsó oszlopnak megfelelı esetben a szerkezet egy része sztatikailag határozatlan is lehet. Sztatikailag határozatlan

határozott ρ <Min(f0,z) (f0=z)

(f0
túlhatározott (f0>z)

ρ <Min(f0,z) -

3.5.3.4. BELSİ ERİK ÉS IGÉNYBEVÉTELEK Már korábban szóltunk arról, hogy átmetszéssel nemcsak kényszereket választhatunk szét, hanem merev testeket is. Tegyük fel, hogy a 3.26 ábrán látható, már elkülönített merev testre ható összes erıt, aktívat és passzívat egyaránt ismerjük. Vágjuk el a test – azaz alkalmazzuk az átmetszést – speciálisan egy síkkal. a síktól balra esı testrészen ható erırendszert jelöljük p

∑F I =1

i

b

-vel, dinámját F , M − vel, a jobb oldalra esıt b

b S

q

∑F i =1

i

j

-vel, ill. F j , M Sj -vel. Vonatkozta-

tási pontként az átvágott keresztmetszet súlypontját választottuk. Ha a szerkezet eredetileg nyugalomban volt, elkülönített tagjának is nyugalomban kell lennie, így a ráható összes erınek egyensúlyi erırendszert kell alkotnia: p

q

i =1

i =1

∑ Fib + ∑ Fi j = F b + F j = 0 p

q

i =1

i =1

∑ (rSi xFi b ) + ∑ (rSi xFi j ) = MSb + MSj = 0

3.34/a

3.34/b

Csak a jobb vagy csak a bal oldali erırendszer azonban általában nem egyensúlyi. Az átmetszési elv szerint, ha az eredeti test egyensúlyban volt, akkor részei is egyensúlyban vannak. Ebbıl rögtön következik, hogy az átvágás után az egyes részekre még valamilyen erınek, erıknek mőködniük kell. Kézenfekvı az a feltevés, hogy ezek az erık éppen az átvágási felületen hatnak. Úgy képzelhetjük el, hogy az átvágási felület síkjának minden kis elemi felületdarabján az átvágás elıtt a felület jobb és bal oldalán kicsi ∆B j és ∆B b erık hatnak az ún. belsı erık, melyeket éppen az átmetszéssel tettünk láthatóvá, formailag külsıvé. Az átvágás után tehát mindkét részre egy felületen megoszló erırendszer mőködik. Legyen ennek a belsı erırendszernek a bal oldali testrészre ható dinámja B b , WSb , a jobb oldali testrészre hatóé B j , WSj .

49 Tétel: A jobb oldali testrészre ható belsı erık dinámja a bal oldali testrészen mőködı külsı erık dinámjával egyenlı, vagy a bal oldali testrészre ható belsı erık dinámja a jobb oldali testrészen mőködı külsı erık dinámjával egyenlı. Bizonyítás: A nyugalom feltevése miatt a jobb oldali testrészre ható összes erınek egyensúlyinak kell lennie: q

∑F i =1

j

i

q

∑ (r i =1

Si

+ B j = F j + B j = 0,

3.35/a

xFi j + WSj = M Sj + WSj = 0 .

3.35/b

Ezt (3.34/a, b)-vel összehasonlítva rögtön adódik, hogy p

B j = F b = ∑ Fi b

p

és

i =1

WSj = M Sb = ∑ (rSi x Fi b ).

3.36/a,b

i =1

Ugyanezt a gondolatmenetet a bal oldali részre megismételve kapjuk: q

B b = F j = ∑ Fi j

q

és

i =1

WSb = M Sj = ∑ ( rSi x Fi j ).

3.36/c,d

i =1

Tétel: A jobb és bal oldalról számított belsı erık dinámjai egymásnak ellentettjei. A (3.36) összefüggéseket (3.34)-be helyettesítve kapjuk: Bb + B j = 0 Bb = −B j

és és

W b + W j = 0, W b = −W j .

Az állítás egyébként Newton kölcsönhatási tétele. A szétvágás elıtt ezek a belsı erık nullapárt alkottak. Ha nem vágjuk szét a testet, akkor ezek az egyensúlyi egyenletekbıl kiesnek. Az egyensúlyi egyenletek felírásakor tehát a belsı erıkkel nem kell törıdnünk. A fenti két tétel legnagyobb jelentısége az, hogy a belsı erırendszer dinámját anélkül is meg tudjuk határozni, hogy ismernénk azok felületi megoszlását. A belsı erırendszer dinámja – úgy ahogy azt a befogási kényszernek megfelelıen vártuk – egy eredı erı és egy súlypontra vonatkoztatott eredı nyomaték. A szilárd testek sztatikájában szükség lesz a belsı erık bizonyos komponenseire. A belsı erık eredı erejének és nyomatékának a keresztmetszet síkjával párhuzamos és arra merıleges öszetevıit igénybevételnek nevezzük (3.26. ábra). A belsı erık eredı erejének a keresztmetszet síkjára merıleges összetevıje a normálerı vagy normáligénybevétel, jele N, ha értelme a keresztmetszettıl elmutat, húzó-, ha rámutat, nyomóigénybevételrıl beszélünk. A belsı erık eredı erejének keresztmetszettel párhuzamos komponense a nyíróerı vagy nyíróigénybevétel, jele T. A belsı erık eredı nyomatékának a keresztmetszet síkjára merıleges komponense a csavarónyomaték vagy csavaróigénybevétel, jele Mc, a keresztmetszet síkjával párhuzamos összetevıje a hajlítónyomaték vagy hajlítóigénybevétel, jele Mh.

50 Ha az igénybevételek számításánál a belsı erık dinámját nem kívánjuk meghatározni, az igénybevételeket – a fentiek alapján – a következıképpen is definiálhatjuk. Tegyük fel, hogy a jobboldali testrészen mőködı igénybevételeket kívánjuk meghatározni, akkor - a normáligénybevétel a keresztmetszet síkjától balra esı külsı erık keresztmetszet síkjára merıleges komponenseinek algebrai összege, - a nyíróigénybevétel a keresztmetszet síkjától balra esı külsı erık keresztmetszet síkjával párhuzamos komponenseinek algebrai összege, - a csavaróigénybevétel a keresztmetszet síkjától balra esı külsı erık keresztmetszet súlypontjára számított nyomatékának a keresztmetszet síkjára merıleges összetevıje, - a hajlítóigénybevétel a keresztmetszet síkjától balra esı külsı erık keresztmetszet súlypontjára számított nyomatékának a keresztmetszet síkjával párhuzamos összetevıje. Amennyiben a bal oldali testrészen ható igénybevételeket kívánjuk meghatározni, akkor a fenti definíciókon csak annyit kell változtatni, hogy a bal oldalon levı külsı erık helyett, a jobb oldalon mőködı külsı erıket vesszük számításba. A kölcsönhatás törvénye miatt a belsı erık dinámjának összetevıi balról és jobbról számítva egymásnak éppen ellentettjei. Az igénybevétel azonban a keresztmetszetre jellemzı mennyiség, nem függhet attól, hogy melyik oldalról számítjuk. Ennek az ellentmondásnak a kiküszöbölésére a balról és a jobbról számított igénybevételek elıjelét különbözıképpen (éppen ellentétesen) kell definiálni. A definíciót a (3.27) ábrán láthatjuk. Ezen a balról és jobbról számított, pozitív igénybevételeket tüntettük fel síkbeli esetben. Síkban a normál- és nyíróerı hatásvonala, valamint a hajlítónyomaték hatássíkja beleesik a modell síkjába, a csavarónyomaték pedig eltőnik. 3.5.3.5. AZ IGÉNYBEVÉTELEK ÉS A KÜLSİ ERİK KAPCSOLATA A belsı erıket a testre ható külsı erık egyértelmően meghatározzák. Nézzük meg, hogy a belsı erık komponensei, az igénybevételek, milyen kapcsolatban vannak egymással és a külsı terheléssel. Vizsgáljuk ehhez a (3.28) ábrán látható merev testet, melyet síkban modellezhetınek képzelünk (a test súlyvonala síkgörbe). A külsı terhelésrıl feltételezzük, hogy a súlyvonal síkjában hat. A testre általános esetben koncentrált nyomaték, koncentrált erı és vonal menti megoszló terhelés hathat. Mivel a koncentrált nyomaték erıpárral helyettesíthetı, a koncentrált erı és vonal menti megoszló terhelés hathat. Mivel a koncentrált nyomaték erıpárral helyettesíthetı, a koncentrált erı pedig rövid szakaszon ható, nagy intenzitású megoszló teherként fogható fel, a test terhelése elvileg egy, a súlyvonalon megoszló erırendszerként vehetı számításba. Ezt a megoszló terhelést felbonthatjuk a súlyvonal valamely s ivkoordinátával jellemzett helyén egy a tartótengelyre merıleges q(s) és egy a tartótengellyel párhuzamos p(s) teherkomponensre. A terhelés a valóságban általában nem a súlyvonalon, hanem a test felszínén támad. Ennek elhanyagolása az igénybevételek meghatározásánál – különösen elnyúlt, rúd alakú testek esetén – nem okoz jelentıs hibát. Az igénybevételek és a külsı terhelés közötti kapcsolat meghatározásához vágjuk ki a test egy ∆s hosszúságú, elemi darabját és mőködtessük rajta a lehetséges belsı erıket az

51 elıjelkonvenciónak megfelelı pozitív értelemmel. Ezek formailag külsı erıkké válnak és a tényleges külsı erıkkel egyensúlyi erırendszert kell alkotniuk. A ∆s szakaszon - ∆s kicsisége miatt – a q(s) és p(s) teherintenzitást állandónak tekinthetjük. Az elemi tartódarab két végkeresztmetszete által bezárt szöget ∆ϕ-vel, a súlyvonal s ivkoordinátához tartozó görbületi sugarát pedig R-rel. Az egyensúlyi feltételek felírásához szükséges koordinátarendszert úgy vegyük fel, hogy az y-z sík legyen a test súlyvonalának síkja és az y tengely felezze a ∆ϕ szöget.

Tétel: A normál- és nyíróigénybevétel, valamint külsı terhelés tartótengellyel párhuzamos komponense között a dN(s) T (s) − = −p(s) ds R

3.37/a

kapcsolat áll fenn. Bizonyítás: Fogalmazzuk meg a (3.28) ábrának megfelelıen a z tengelyre vonatkozó vetületi egyensúlyi egyenletet. ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∑ Fz = 0 = − N(s)cos 2 + N(s + ∆s )cos 2 − T(s)sin 2 − T(s + ∆s )sin 2 + p(s )∆s . Rendezés után vegyük a ∆s → 0 határátmenetet:

 N(s + ∆s) − N(s) T (s + ∆s) + T (s)  lim  − = − p(s ) . ∆s → 0 ∆s 2R   ∆ϕ ∆ϕ ≅ ∆ϕ / 2, cos ≅ 1 és a 2 2 ∆s = R∆ϕ összefüggést. A határátmenetképzést elvégezve éppen a bizonyítani kívánt (3.37/a)

Az átalakítás során felhasználtuk, hogy kis szögek esetén sin

52 összefüggést nyerjük. Egyenes tengelyő rudaknál R= ∞ , így (3.37/a) a következı alakba megy át: dN(s) = − p(s). ds

3.37/b

Megfogalmazhatjuk tehát a következı tételt: Tétel: Egyenes tengelyő rudaknál a normális igénybevétel hely (ívkoordináta) szerinti deriváltja egyenlı a megoszló terhelés tartótengellyel párhuzamos komponensének ellentettjével. Tétel: A normál- és nyíróigénybevétel, valamint a külsı terhelés tartótengelyre merıleges komponense között a dT (s) N(s) + = −q (s) ds R

3.37/c

kapcsolat áll fenn. Bizonyítás: Használjuk fel az y tengelyre vonatkozó vetületi egyensúlyi egyenletet:

∑F

y

= 0 = N(s) sin

∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ + N(s + ∆s) sin − T (s) cos + T (s + ∆s) cos + q (s)∆s. 2 2 2 2

Az elızı közelítéseket figyelembe véve, rendezve és határátmenetet képezve:

 T (s + ∆s) − T (s) N(s + ∆s) + N(s)  lim  + = −q (s) . ∆s 2R  

∆s →0

Ha elvégezzük a határátmenet-képzést, éppen 3.37/c-t kapjuk. Egyenes tengelyő rudaknál a fenti kifejezés a dT (s) = −q (s) ds

3.37/d

alakba megy át. Tétel: Egyenes tengelyő rudaknál a nyíróigénybevétel hely szerinti deriváltja egyenlı a megoszló terhelés tartótengelyre merıleges komponensének ellentettjével. Tétel: T(s)A hajlítóigénybevétel hely szerinti deriváltja egyenlı a nyíróerıvel. Bizonyítás: Írjuk fel az elemi darab jobb oldali keresztmetszetének súlypontjára a nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

∑M

S

= 0 = M (s) − M (s + ∆s) +T (s)∆s − q (s)∆s

Rendezés és határértékképzés után:

∆s . 2

53 ∆s   M (s + ∆s) − M (s) lim  = T (s) − q (s)  . ∆s →0 2 ∆s  dM (s) = T (s), ds

…….3.37/e

Mert a jobb oldal második tagja ∆s → 0 esetén eltőnik. Egyenes tengelyő rudakra is ugyanez az összefüggés érvényes. Tétel: Egyenes tengelyő rúd esetén a hajlítóigénybevétel hely szerinti második deriváltja egyenlı a megoszló terhelés tartótengelyre merıleges komponensének ellentettjével. Bizonyítás: (3.37/e) újabb hely szerinti deriválása után használjuk fel (3.37/d)-t: d 2 M (s) dT (s) = = −q (s). ds 2 ds

3.37/f

Megjegyezzük, hogy a (3.37) kifejezések jobb oldalán álló negatív elıjelek annak köszönhetık, hogy a megoszló terhelés komponenseit a 3.28. ábrának megfelelı értelem esetén választottuk pozitívnak. Ellenkezı választás vagy az igénybevételek elıjelkonvenciójának megváltoztatása esetén a negatív elıjelek eltőnnek, ill. máshol jelentkeznek. A rugalmasságtanban szükségünk lesz arra, hogy a görbe tengelyrúd súlyvonalának egy tetszıleges pontját ne az s ívkoordinátával, hanem egy ϕ központi szöggel (3.28. ábra) adjuk meg, ill. az igénybevételeket is e szög függvényeként kezeljük. Az igénybevételek és a külsı terhelés kapcsolatát kifejezı összefüggések – a ∆s = R∆ϕ kifejezést figyelembe véve – az alábbi formát öltik:

dN (ϕ) − T (ϕ) = − Rp(ϕ), dϕ dT (ϕ) + N (ϕ) = −Rq (ϕ) , dϕ dM (ϕ) = RT (ϕ) . dϕ

3.37/g 3.37/h 3.37/i

3.5.3.6. A VIRTUÁLIS MUNKA ELVE A sztatikai feladatokat az eddig megismert alapelvek és tételek következetes alkalmazásával ugyan mind meg lehet oldani, mégis létezik egy, az egész mechanikában általános érvényő elv, a virtuális munka elve, amellyel a mechanikai s így a sztatikai feladatokat is lényegében az eddigiektıl függetlenül, de azoknak nem ellentmondva, oldhatjuk meg. A virtuális munka elve a merev testre ható erık összegzési törvényébıl nyert általános tétel, amely egyszerőbb esetekben ugyan levezethetı, de teljesen általános értelemben tökéletesen nem bizonyítható. Ezért használjuk az elv kifejezést, amely arra utal, hogy a közvetlenül bizonyíthatón túlmenıen is igaznak tekinthetı, mert a belıle levonható következtetések maradéktalanul beigazolódtak. Ez az elv ugyanakkor a mechanika egyik legjelentısebb eredménye és nemcsak a merev testek sztatikájában, de a rugalmas testeknél is, különösen a szerkezetek

54 sztatikájában – amelyeknél a rugalmas alakváltozás virtuális elmozdulásnak tekinthetı – és a mechanikai rendszerek kinematikájában is igen nagy jelentısége van. Az elv analítikus kifejezése érdekében vezessük be a virtuális munka, fogalmát. Az erı virtuális elmozdulás során végzett munkáját virtuális munkának nevezzük. Virtuális elmozdulásról – amit a továbbiakban δ r -rel, ill. δϕ -vel jelölünk – akkor beszélünk, ha a szerkezet (merev test vagy anyagi pont) elmozdulása: - elemi, - kinematikailag lehetséges (összeférhetı vagy kompatibilis), - képzelt. Az elmozdulás elemi voltára azért van szükség, mert az elemi elmozdulások – mint láttuk – vektoriálisan összegezhetık, azaz a részelmozdulások lineárisan egyesíthetık, aminek az egymásra halmozás elvében van nagy gyakorlati jelentısége. A kinematikailag lehetséges elmozdulás azt jelenti, hogy csak olyan lehet, amit a szerkezet kapcsolatai, kényszerei lehetıvé tesznek, azok geometriai és fizikai követelményeit kielégítik. Nem feltétlenül valamilyen konkrét erıhatás következtében kell fellépniük, elég ha mértani fikciónak elképzelésnek tekintjük. Ennek az a jelentısége, hogy, míg az elemi elmozdulás létrejöttéhez mindig bizonyos idıre van szükség (dt ≠ 0) addig a virtuális elmozdulás – éppen azért, mert képzelt, végtelen kicsi idı alatt mehet végbe (δ t = 0) . Tétel: Anyagi pontra ható erırendszer virtuális munkája egyenlı az erık vektorális összegének, azaz az erırendszer eredıjének ugyanazon virtuális elmozdulás során végzett munkájával. Bizonyítás: Hasson az anyagi pontra Fj (j=1,2,….n) erırendszer és adjunk neki δ r virtuális elmozdulást. Az erırendszer virtuális munkája (2.21) és (2.23) alapján: n

n

n

j =1

j =1

j =1

δ W = ∑ δWj = ∑ Fjδ r = δ r ∑ Fj = Fδ r .

3.38

Tétel: Ha az anyagi pontra ható erırendszer egyensúlyi, akkor annak munkája tetszıleges virtuális elmozdulás esetén nulla. Bizonyítás: Egyensúlyi erırendszer esetén F = 0 , így (3.38)-ból azonnal következik, hogy

δ W = F δ r = 0 δ r = 0.

3.39

(3.39) tulajdonképpen a virtuális munka elve anyagi pontra ható erırendszer esetén. Nem más, mint a sztatika ismert egyensúlyi feltételeinek közvetlen következménye. Az erık vektorális öszegezhetıségének tételét mondja ki. A tétel megfordítását axiómaként kezelve az anyagi pont egyensúlyának szükséges és elégséges feltételét kapjuk. δ r tetszıleges volta miatt n

δ W = 0 csak akkor állhat fenn, ha F = ∑ Fj = 0 , ami az egyensúlyi feltétel szokásos formája. j=1

Merev testre ható erırendszer esetén a virtuális munkát a következı tétel alapján számíthatjuk. Tétel: A merev testre ható erırendszernek a test virtuális elmozdulása során végzett munkáját a külsı erık eredıjének egy tetszıleges vonatkoztatási pont transzlációjával való szorzatának

55 és vonatkoztatási pontra vett eredı nyomatékának a merev test szögelfordulásával való szorzatának összegével számítjuk. A belsı erık virtuális munkájának összege nulla. Bizonyítás: Bontsuk fel megint a testet anyagi pontok összességére, melyeken mőködtessük a külsı és belsı erıket. A Pi pontra ható erık tehát Fi + ∑ Fik . Ha az A pontot választjuk vonatkoztak

tási pontnak, akkor a test merevségi feltétele miatt a Pi pont virtuális elmozdulását (2.14)-gyel fejezhetjük ki (2.21) és (2.23) alapján a merev testre ható összes erı virtuális munkája (3.39) ábra. δW = ∑ δW1 = ∑ ( Fi + ∑ Fik )δri = ∑ ( Fi + ∑ Fik )(δrA + δϕxrAi ) = 1

1

∑ [Fδr i

A

1

k

i

k

  + Fi (δϕxrAi )]∑ ∑ Fik δrA + ∑ Fik (δϕxrAi ) .  i  k k

Vegyük észre, hogy a jobb oldal elsı tagja a külsı erık, másik tagja a belsı erık munkája. Vizsgáljuk ıket külön-külön: δWbelsı = δrA ∑∑ Fik + δϕ∑ (rAi x ∑ Fik ) =δrA 0 + δ ϕ 0 = 0 , i

k

1

3.40

k

hiszen már korábban beláttuk, hogy a belsı erık egész testen vett eredıje és tetszıleges pontra vett nyomatékainak összege eltőnik. (3.40) a tétel második állításának igazolása. A külsı erık virtuális munkáját is tovább alakíthatjuk. δWkülsı = δFA ∑ Fi + δϕ ∑ ( rAi x Fi ) FδrA + M A δϕ, i

mert

∑ F = F, ∑ ( r i

i

Ai

3.41

i

x Fi ) = M A a külsı erırendszer dinámja.

i

Így δW = δWkülsı + Wbelsı = Wkülsı = FδrA + M A δϕ .

3.42

(3.42) lehetıvé teszi a virtuális munka elvének egyetlen merev testre vonatkozó megfogalmazását. Tétel: Ha a merev testre ható erırendszer egyensúlyi, a külsı erık munkája a tetszıleges virtuális elmozdulás esetén nulla. Bizonyítás: Egyensúlyi erırendszer estén F = 0 és M A = 0 . Ez (3.42)-vel együtt azt adja, hogy δW = δWküls ı = 0 δrA + 0 δrA + 0 δ ϕ = 0 . 3.43 A fenti szemlélet alapján a külsı és belsı erık virtuális munkája egymástól teljesen szétválasztható és egyensúly esetén mindegyik külön-külön eltőnik. Azt is mondhatjuk, hogy

56 merev testre vonatkozóan a virtuális munka elve éppen azt mondja ki, hogy a belsı erık virtuális munkája önmagában eltőnik, amibıl azután a külsı erık virtuális munkájának eltőnése következik. A tételt megfordítva így fogalmazhatunk. Ha tetszıleges virtuális elmozdulás esetén a külsı erırendszer munkája nulla, akkor a merev testre ható erırendszer egyensúlyi. Hiszen δW = 0 tetszıleges δrA és δϕ esetén csak akkor áll fenn, ha F = 0 és M A = 0 , ami az egyensúlyi feltétel korábbi megfogalmazása. Anyagi pontra vagy merev testre felírva a virtuális munka elvét – a három, ill. hat szabadságfoknak megfelelıen – három, ill. hat munkaegyenletet írhatunk fel, amelyek a sztatika már ismert egyensúlyi feltételeihez vezetnek. Az elv alkalmazása ezért ezekben az esetekben nem jár különösebb elınnyel. Szerkezetre alkalmazva az elvet, a következı megállapítást tehetjük. Tétel: Ha a nyugalomban lévı szerkezetre (merev testek rendszerére) ható külsı erırendszer egyensúlyi, a szerkezet tetszıleges virtuális elmozdulása során végzett munka nulla. A kényszererık és -nyomatékok virtuális összmunkája mindig nulla. Bizonyítás: Lássuk be elıször a tétel második állítását. Vizsgáljuk elıször a külsı kényszereket , amelyek a szerkezetet a z állónak képzelt környezethez kötik. Átmetszés után az állónak képzelt tagra ható, felszabadított reakciókomponensek támadáspontjai semmilyen elmozdulást nem szenvedhetnek. Így ezek virtuális munkája csak nulla lehet. Az elmozduló tagokra ható reakciókomponensek, melyek az elıbbieknek ellentettjei, munkájánál pedig azt kell belátnunk, hogy a kényszerre éppen az a jellemzı, hogy benne olyan erı- vagy nyomatékkomponens ébred, amilyen irányban az elmozdulást vagy elfordulást akadályozza. Így ezeknek a kényszererıknek a virtuális munkája is nulla. Pl. támasztókényszernél az elmozdulás csak a kényszererı hatásvonalára merıleges síkban léphet fel, (2.23) szerint azonban ilyenkor munkavégzés nincs. Álló csuklónál az erıkomponensek elmozdulása nulla, a megengedett rotációhoz pedig nem kapcsolódhat nyomaték. Merev befogásnál minden elemi elmozduláskomponens tiltott. A többi szerkezeti elemet összekapcsoló belsı kényszereknél (3.24 és 3.25 ábra) csak a leggyakrabban alkalmazottakat vizsgáljuk. Ha két tag között támasztókényszer van, akkor elmozdulás csak az érintkezési pont érintısíkjában léphet fel, míg a reakcióerı erre éppen merıleges, munkavégzés tehát nincs. Álló csukló esetén a két test csuklóban érintkezı pontja tetszıleges δrC transzlációt végezhet és a csuklóban ébredı erı iránya is tetszıleges lehet, de tudjuk, hogy a két testre egymásnak éppen ellentettjei: R és − R. A két erı virtuális összmunkája R δrC + (− R )δrC = 0, azaz éppen megsemmisítik egymást. Hasonló gondolatmenettel a (3.24) ábra minden kényszerére beállíthatnánk a virtuális munkák eltőnését. Ha a kényszerekben fellépı súrlódást elhanyagoljuk (vagy csak olyan virtuális elmozdulásokat engedünk meg, melyek során a súrlódó erık nem végeznek munkát), teljes általánosságban elfogadhatjuk, hogy kényszererık virtuális elmozdulás során végzett összmunkája nulla. Ezek után alkalmazzuk a szerkezetre az elkülönítés módszerét és a tagokra mőködtessük, a külsı erık mellett, a kényszernek megfelelı dinámokat. Minden egyes tagra felírhatjuk a virtuális munka elvét: δWk = Fk δrAk + M Ak δ ϕk = 0, k = 1,2,......, n , 3.44

ahol Fk - a k-adik tagra ható aktív és passzív erık eredı ereje, M Ak - a k-adik tagra ható aktív és passzív erık eredı nyomatéka a tetszılegesen választott A pontra, δrAk - a k-adik tag A pontjának elemi transzlációja, δϕk - a k-adik tag elemi rotációja. Míg az egyes tagok egymástól függetlenek (szétválasztottak), a δrAk és δϕk vektorokat tetszılegesen választhatjuk. A (3.44) egyenletrendszer ismét a szokásos egyensúlyi feltételekhez vezet. Másként alakul a helyzet, ha a virtuális munka elvét a szét nem szedett, f ≥ 1

57 szabadságfokú szerkezetre alkalmazzuk. Az egész szerkezetre a munkaegyenlet formálisan (3.44) összegzésével adódik: n

n

k =1

k =1

δW = ∑ δWk = ∑ ( Fk .δrAk + M Ak .δ ϕk ) = 0 ,

3.45

amelyben a formai egyezésen túl, komoly tartalmi különbség van, hiszen benne a transzlációés rotációvektorokat már nem választhatjuk meg szabadon, azok között az f szabadságfoknak megfelelıen szoros, általában egyértelmően megadható kapcsolat van. Ugyanakkor a z = fo-f számú kényszerkomponens a virtuális elmozdulás során nem végez munkát, azaz az egyenletben egyáltalán nem szerepelnek. Ez utóbbi gondolat (3.45)-el együtt éppen a tétel bizonyítása. Az elv alkalmazásával éppen annyi egymástól lineárisan független egyenletet írhatunk fel, ahány szabadságfokkal rendelkezik a rendszer. Ezekbıl az egyenletekbıl aztán meghatározhatjuk adott külsı erık esetén a szerkezet egyensúlyi alakját, vagy az adott alakot egyensúlyinak képzelve a szükséges külsı erıket, ill. ezek viszonyát. Így pl. egy szabadságfokú szerkezetnél egyetlen egy munkaegyenlettel és az elmozdulások közötti geometriai feltételek megfogalmazásával meghatározhatjuk a szerkezet egyensúlyi helyzetét, vagy az egyensúly fenntartásához szükséges külsı erıt. Az elv alkalmas a reakciókomponensek meghatározására is. Sztatikailag határozott szerkezeteknél a keresett reakciókomponens kényszerét átmetszéssel felszabadítjuk. A szerkezet ezáltal egyszeresen túlhatározottá válik, a kényszererı pedig formailag külsıvé alakul. Virtuális elmozdulást adva a szerkezetnek, a munkaegyenletben ismeretlenként éppen a keresett reakciókomponens fog szerepelni, ahonnan az kifejezhetjük. 3.5.3.7. A LINEÁRIS SZUPERPOZICIÓ ELVE Végezetül még egy fontos – a mechanika szinte minden területén érvényes – elvet tárgyalunk. Az egymásrahalmozás vagy más szavakkal lineáris szuperpozició elvét. A sztatikában a kényszererık és az igénybevételek meghatározásánál alkalmazhatjuk hatékonyan. Az elv a bonyolult feladatok megoldását egyszerősíti és azon alapszik, hogy a szerkezetek reakcióinak és belsı erıinek meghatározása lineáris algebrai vagy mértani feladat. Tétel: Valamilyen összetett terhelés hatására fellépı reakciódinám vagy belsı erıdinám a részterhelések következtében fellépı dinámok vektori összegével egyenlı. Bizonyítás: Az egyszerőség kedvéért a teljes terhelést, melynek dinámja F és M A , bontsuk I

I

II

II

csak két részre. Legyen az egyik részteher dinámja F , M A , a másiké F , M A . I

I

Az elsı részteher hatására fellépı reakció dinámja, vagy belsı erı dinámját jelöljük R , N A II

II

el, a második hatására keletkezıét R , N A -vel. A két terhelési esetre az egyensúly miatt fennáll: I

I

I

I

II A

II A

F + R = 0, M A + N A = 0 II

II

és

F + R = 0, M + N = 0 Az egymás alatti egyenleteket összeadva és rendezve: I

II

I

II

I

II

F + F + R + R = 0, M A + N A + N A = 0 ,

58 ami éppen a tétel állítása. 4. AZ ANYAGI PONTRA HATÓ ERİRENDSZEREK VIZSAGÁLATA Az anyagi pontra ható erırendszerek közös tulajdonsága, hogy közös támadáspontúnak tekinthetık. Az erık hatásvonala szerint lehetnek térbeliek, síkbeliek és közös hatásvonalúak. 4.1. SZÁMÍTÓ ELJÁRÁS Számítással történı megoldásnál célszerő az – egyébként tetszılegesen válaszható – koordinátarendszer kezdıpontját magán az anyagi ponton felvenni. A koordinátatengelyeket úgy választjuk meg hogy minél több erı hatásvonala legyen velük párhuzamos. 4.1.1. TÉRBELI ERİRENDSZER Az egyensúlyi feltételeket, az eredı és a kiegyensúlyozó erı számító algoritmusát (3.3) – (3.5) jelő vektori, ill. a (3.9) – (3.11) jelő skalárösszefüggések adják. A független skaláregyenletek száma három, egyértelmően tehát három ismeretlenes feladatokat oldhatunk meg. 4.1.2. SÍKBELI ERİRENDSZEREK A koordinátarendszer két tengelyét (pl. x, y-t) az erık hatásvonalának síkjában vesszük fel. A (3.3) – (3.5) vektoregyenletek most is érvényesek, de a nekik megfelelı skaláregyenletek harmadik kifejezése értelmetlenné válik. Az egyértelmően meghatározható ismeretlenek száma kettı. Ez jelenthet két erınagyságot, két hatásvonalat (azok valamilyen iránnyal bezárt szögét) vagy egy erınagyságot és egy szöget. 4.1.3. KÖZÖS HATÁSVONALÚ ERİRENDSZER A koordinátarendszer valamelyik tengelyét (pl. x-et) az erık közös hatásvonalában vesszük fel. A vektorösszefüggések általános érvényessége mellett a skaláregyenletek közül csak egynek van használható jelentése, így egyértelmően csak egyismeretlenes feladatok oldhatók meg. a hatásvonal adott. A hatásvonal adott, így egy erınagyságot tudunk meghatározni. 4.2. SZERKESZTİ ELJÁRÁS Szerkesztést viszonylag kényelmesen csak síkban tudunk végezni. Anyagi pontra ható erırendszer esetén tehát elsısorban a síkbeli és a közös hatásvonalú erırendszer szerkesztı megoldásának van jelentısége. Ha a (3.9 – (3.11) jelő összefüggéseket a,b; a,c csoportosításban vizsgáljuk, megállapíthatjuk, hogy a térbeli erırendszernek a koordinátasíkokra vett vetületi erıi közötti, azaz a síkbeli erırendszernek megfelelı összefüggésekrıl van szó. Ez lehetıséget ad arra, hogy a térbeli feladatokat is megoldjuk szerkesztéssel. Nem kell mást tennünk, mint a térbeli erırendszer három, célszerően egymásra merıleges síkra vetítjük, a síkokon elvégezzük a megfelelı szerkesztést, majd a síkbeli eredményekbıl visszaállítjuk a térbeli feladatot. Síkbeli feladatok szerkesztı megoldásánál a (3.3) – (3.5) vektoregyenletek grafikus ábrázolásából indulunk ki. Alkalmas erılépték felvételével egy K kezdıpontból kiindulva felhordjuk a

59 n

∑F i =1

i

kifejezés egyes erıit egymás után (4.1/a, b ábra).

Az így keletkezett ábrát vektorsokszögnek nevezzük. A vektorsokszög kommutativitása miatt a vektorok sorrendje tetszıleges. Különbözı sorrend esetén a vektorsokszög alakja ugyan más lesz, de azonos kezdıpontból kiindulva az utolsó erıvektor V végpontja mindig ugyanarra a helyre kerül. Tétel: Közös támadáspontú egyensúlyi erırendszer vektorsokszögének kezdı- és végpontja egybe esik, azaz a vektorsokszög folytonos nyílértelemmel záródik. Bizonyítás: n

∑F

i

(3.3)

szerint

egye4nsúly

esetén

= 0, tehát az erıvektorok összege éppen a

i =1

nullvektort adja, ami a K és V pontok összeesésének felel meg (4.1/c. ábra). Tétel: Közös metszéspontú erırendszer eredıje a vektorsokszög kezdı- és végpontját összekötı, az adott erık nyílfolyamával ellentétes értelmő egyenes szakasz, az eredı tehát ütközı nyílértelemmel zárja a vektorsokszöget. n

Bizonyítás: Alakítsuk át (3.4)-et a

∑ F + (−F) = 0 i =1

i

formába, ami azt jelenti, hogy az eredı

ellentettje az adott erıkkel egyensúlyi erırendszert alkot, aminek folyamatos nyílértelemmel záródó vektorsokszög felel meg. Maga az eredı erı, a K és V pontot összekötı egyenes szakasz lesz az elızıhöz képest fordított nyílértelemmel (4.1/d. ábra). Tétel: A közös metszéspontú erırendszert kiegyensúlyozó erı az adott erık vektorsokszögének kezdı- és végpontját összekötı, folytonos nyílértelmő egyenes szakasz. Bizonyítás: Az elızı két tétel gondolatmenete magában foglalja e tétel bizonyítását is (4.1/d. ábra). Könnyen beláthatjuk, hogy síkbeli erırendszer szerkesztésénél – a számítóeljárásokkal összhangban – két ismeretlent tudunk meghatározni, amelyek itt is erı nagyságát vagy az erı hatásvonalának valamely iránnyal bezárt szögét jelentik. 5. MEREV TESTRE HATÓ ERİRENDSZEREK VIZSGÁLATA A merev testre ható erırendszerek esetén az erık támadáspontja a test tetszıleges pontja lehet (úgy képzeljük, hogy éppen a merev test hordja az erıket, az teremti meg közöttük a kapcsolatot, az együttmőködés lehetıségét). Ez nehezíti meg az erırendszer vizsgálatát, mint láttuk, nem elég az erıknek csak transzlációs hatásával foglalkozni, rotációs hatásukat is figyelembe kell venni. Ha a testre ható erırendszer erıi a test ugyanazon pontján támadnak – szerkesztés és számítás szempontjából – úgy kezelhetık, mint az anyagi pontra ható erırendszerek, de nem

60 szabad megfeledkeznünk arról, hogy merev test esetén az eredı erınek a saját hatásvonalán kívüli pontjaira forgatónyomatéka is van. Tétel: Az erı saját hatásvonalán tetszılegesen eltolható.

Bizonyítás: Hasson a merev test egy A pontján F erı. Hatásvonalának egy tetszıleges B pontjában mőködhessünk egy olyan, két erıbıl álló, egyensúlyi erırendszert, amelyre fennáll, hogy F1 = − F2 = F. A korábban tárgyalt tétel szerint egyensúlyi erırendszer hozzáadásával az eredeti erırendszer hatása változatlan marad. A hozzáadott erırendszer speciális megválasztása miatt azonban F és F2 is egyensúlyi erırendszert alkot, tehát eltávolíthatók (5.1. ábra). Így csak a B támadáspontú F1 = F erı marad, amelynek hatása a fentiek értelmében azonos az A támadáspontú F erıvel. Mivel B-t tetszılegesen választottuk, az erı hatásvonalának bármely pontjába eltolható anélkül, hogy hatása megváltozna. A hatásvonalán eltolt erı a nyomaték szempontjából is egyenértékő, mert egy tetszıleges pontra vonatkozó nyomatéka – egy korábban bizonyított tétel szerint – független attól, hogy a vonatkoztatási pontból kiinduló helyvektor az erı hatásvonalának melyik pontjába mutat. Megjegyezzük, hogy a fenti tétel csak a merev testek sztatikájában, ott is csak bizonyos korlátozásokkal érvényes. Jelentısége ennek ellenére nem hanyagolható el, mert lehetıvé teszi, hogy a merev testre ható, egy pontban metszıdı hatásvonalú erırendszereket – az erıket hatásvonalukon a metszéspontba tolva – közös támadáspontúként kezeljük. Mielıtt a legáltalánosabb merev testre ható erırendszer részletes vizsgálatára, számító és szerkesztı módszereire rátérnénk, megvizsgálunk néhány speciális erırendszert. Ezek specialitásuk mellett általános érvényő megállapításokra is lehetıséget adnak. 5.1. SZÁMÍTÓELJÁRÁS 5.1.1. EGYETLEN EGY ERİ (3.16) szerint egyetlen erı hatására a test nem lehet nyugalomban, sıt (3.18) alapján az erınek a test minden pontjára – az erı hatásvonalát kivéve – nullától különbözı forgatónyomatéka van. Egyetlen erınek, mint erırendszernek a dinámja – kinetikai okokból vonatkoztatási pontként a test súlypontját választva – az alábbi formát ölti (5.2. ábra): F, M S = r SA x F , A test tehát transzlációs és rotációs mozgást végez egyszerre.

61 5.1.2. KÉT ERİ Hasson a testre, annak két különbözı pontján egy-egy teljesen tetszıleges erı (5.3. ábra). Az erırendszer test súlypontjára vonatkozó dinámja: F = F1 + F2 , M S = r S1x F1 + r S 2 x F2 . Ha a dinám két tagja együttesen nem nullával egyenlı, a test nem lehet nyugalomban. Tétel: Ha két erı hatásvonala egy pontban metszıdik, az eredı totális eredı erı, melynek vektora F = F1 + F2 , hatásvonalának egy pontja pedig a két erı hatásvonalának metszéspontja. Bizonyítás: (3.16)-ból az eredı vektora azonnal következik. A két erı hatásvonalának metszéspontjára írt nyomaték nulla értéke (hiszen az erıknek saját hatásvonalukra nincs nyomatéka) pedig a totális eredı erı létezését bizonyítja. A totális eredı támadáspontjának meghatározásához alkalmazzuk a speciális nyomatéki tételt (5.4. ábra): M S = r S1x F1 + r S2 x F2 = r S0 x F1 + r S0 x F2 = r S0 x (F1 + F2 ) = r S0 x F = r SF x F , ahol r SF - az eredı hatásvonalának egy pontját megadó helyvektor. A fenti egyenlet utolsó egyenlısége szerint r SF = r S0 , Tehát az eredı hatásvonala valóban átmegy a két erı hatásvonalának metszéspontján. Tétel: Két erı egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele az, hogy hatásvonaluk egy egyenesbe essen, nagyságuk megegyezzen, és értelmük ellentétes legyen. Bizonyítás: Az egyensúly F = F1 + F2 = 0 , ahonnan

F2 = −F1 ,

(3.16)

feltétele

alapján

5.1

ami azt jelenti, hogy a két erı egyenlı nagy, ellentétes értelmő, hatásvonaluk pedig „legalább” párhuzamos. (3.46) 5.5/a ábrán látható erırendszert még lehetıvé teszi. Az egyensúlyi (3.18) feltétele szerint:

MS = r S1x F1 + r S2 x F2 = 0. (5.1) felhasználásával: M S = r S1x F 1 + r S2 x (−F1 ) = (r S1 − r S 2 ) x F1 = 0 .

62 Mivel F1 ≠ 0 , a fenti vektorális szorzat csak akkor lehet nulla, ha r S1 − r S2 = 0 , tehát a két erı közös támadáspontú, vagy r S1 − r S2 F1. Az 5.5/b ábrán láthatjuk, hogy ez pedig akkor áll fenn, ha két erı hatásvonala egy egyenesbe esik. Térjünk vissza az 5.5/a ábrához. Itt egy olyan speciális erırendszer hat a merev testre, amely két, egyenlı nagy, ellentétes értelmő, párhuzamos hatásvonalú erıbıl áll. Határozzuk meg az erırendszer dinámját:

F = F1 + F2 = F1 + (− F1 ) = 0, M S = r S1x F1 + r S 2 x F2 = (r S1 − r S2 ) x F ≠ 0 .

5.2/a,b

Az erırendszer eredıje tehát totális eredı nyomaték. Ez az „erıhatás” fontos szerepet játszik a mőszaki gyakorlatban s ezzel a mechanikában is. Neve: erıpár. Az erıpárnak nincs transzlációs, csak rotációs hatása. Tétel: Az erıpár nyomatéka a tér minden pontjára ugyanaz. Bizonyítás: Mivel a merev testre az erıpár két erejének támadáspontja tetszıleges lehet, a súlypont az erıpárhoz képest egy teljesen általános helyzető pont, így (5.2/b) általános érvényő. A nyomatékvektor hatásvonala – a vektorális szorzat definíciója alapján – merıleges az (r S1 − r S2 ) és az F1 vektorokra, azaz a két párhuzamos erıvektor által alkotott síkra. A nyomaték nagysága pedig az 5.5/a. ábra felhasználásával: M S = M S = r S1 − r S 2 F1 sin α = F1d,

5.3

ahol d – a párhuzamos hatásvonalak közti távolság, d-t az erıpár karjának, F1 = − F2 -t az erıpár alapjának nevezzük. Ezek nem függvényei a választott vonatkozási pontnak, így a tétel valóban fennáll. Az erıpár nyomatékát akkor tekintjük pozitívnak, ha a forgatósíkjának normálisával szembe nézve az óramutató járásával ellentétesen forgat. A tétel lehetıvé teszi, hogy az erıpár nyomatékvektorát a korábban megismert önálló koncentrált nyomatékként kezeljük, melyet matematikailag szabad vektor jellemez, azaz a nyomatékvektor hatásvonalán és hatásvonalával párhuzamosan tetszılegesen eltolható. Mivel a koncentrált nyomatékot nagysága és forgatósíkja egyértelmően jellemzi, minden olyan erıpár egyenértékő, amelyek forgatósíkja azonos vagy párhuzamos és Fd szorzatuk megegyezik. Ez lehetıséget ad arra, hogy a koncentrált nyomatékot kisebb erı esetén nagyobb karral érhetünk el. Természetesen az is, hogy az erıpárok összegzése, azaz több erıpár eredı hatásának meghatározása a koncentrált nyomatékoknál leírt módon történik, azaz az erıpár nyomatékvektora az egyes erıpárok nyomatékvektorainak vektori összegzésével adódik. 5.1.3. HÁROM ERİ Tetszıleges három erı eredı dinámja (5.6. ábra): F = F1 + F2 + F3 , MS = rS1x F1 + rS2 x F2 + rS3x F3 .

63 Vizsgáljuk meg, milyen feltételek mellett lehet három erı egyensúlyban. Tétel: Három erı egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele az, hogy - mindhárom erı hatásvonala ugyanabban a síkban lgyen, - hatásvonalaik egy pontban metszıdjenek, - vektori összegük nullavektort adjon, ill. – szerkesztéssel – a három vektor folytonos nyílértelemmel záródó sokszöget alkosson. Bizonyítás: Az egyensúly általános feltétele: F = F1 + F2 + F3 = 0

és

MS = rS1xF1 + rS 2 x F2 + rS3 x F3 = 0

54/a,b

Írjuk át az elsı egyenlıséget az alábbi formába: F1 = −( F2 + F3 ) = − F23 ,

5.5

ahol F23 - részeredı, az F2 és F3 erık vektori összege. (5.5) azt jelenti, hogy az F1 erı és az F23 részeredı egyenlı nagyok, egymásnak ellentettjei és „legalább” párhuzamosak. Helyettesítsük be (5.5)-öt (5.4/b)-be: MS = rS1x (− F23 ) + rS2 x F2 + rS3 x F3 = ( rS2 − rS1 ) x F2 + ( rS3 − rS1 ) x F3 = 0, innen (rS2 − rS1 ) x F2 = −( rS3 − rS1 ) x F3 , Ami azt jelenti, hogy az F2 és F3 erıknek az F1 erı hatásvonalának valamely 01 pontjára számított nyomatékai egymásnak éppen ellentettjei (5.6. ábra). Ez csak akkor lehetséges, ha a két nyomatékvektor hatásvonala párhuzamos, ami viszont azt jelenti, hogy a két erı hatásvonalának és az 01 pontnak ugyanabban a síkban kell lennie. Ebben a síkban kell lennie az F23 részeredınek is, amivel F1 éppen ellentétes. Mivel F1 átmegy az 01 ponton, a fentiek szerint önmagának is bele kell esnie a másik két erı által alkotott síkba. Egyensúly esetén tehát a három erınek ugyanabban a síkban kell hatnia. Térjünk vissza (5.5)-re. Mivel a három erı nyomatékának nullával kell egyenlınek lennie, (5.5) nemcsak azt jelenti, hogy F1 és F23 egymással párhuzamos, hanem azt is, hogy hatásvonaluk közös, mert különben erıpárt alkotnának, aminek sohasem lehet nulla a nyomatéka. Mivel az F23 részeredı hatásvonala az F2 és F3 erık hatásvonalának metszéspontján megy át, ezen a ponton kell átmennie az F1 hatásvonalának is. Ezzel a második feltételt is beláttuk. A harmadik feltétel (5.4/a)-ból rögtön következik. A három erıbıl álló egyensúlyi erırendszer tehát közös metszéspontú (vagy az erı hatásvonalán való eltolhatósága következtében közös támadáspontú), síkbeli erırendszernek tekinthetı, ahol az egyensúly szerkesztési feltétele a folytonos nyílértelemmel záródó vektorháromszög. A gyakorlati számítások során sokszor elıfordul, hogy a több erıbıl álló az erırendszert három erıre vezetjük vissza (azaz addig határozzuk meg az egyes erık részeredıit, míg végül három erı marad). Ha az így nyert három erıre nem teljesülnek a tétel feltételei az eredeti erırendszer sem lehet egyensúlyi. Az álló csuklóban ébredı reakcióerı hatásvonalát – három erıre visszavezetett erırendszer esetén –a tétel második feltételébıl határozhatjuk meg.

64 5.1.4. TETSZİLEGES SZÁMÚ ERİ Háromnál több erı esetén – ha csak valamilyen egyéb specialitás nem áll fenn – tulajdonképpen a merev testre ható erırendszerek elvi vizsgálatánál nyert (3.16), (3.18), (3.24), ill. a neki megfelelı (3.26), (3.30) és (3.31) skaláregyenletek érvényesek. Tudjuk, hogy általános térbeli erırendszer eredı dinámja a legáltalánosabb esetben egy erı és egy nyomaték. A két vektor által bezárt szöget a skalárszorzat felhasználásával könnyen meghatározhatjuk:

ϕ = arc cos

F M + Fy M 0 y + Fz M 0 z FM0 = arc cos x 0 x . FM 0 R M0

5.6

Az általános térbeli erırendszer eredı dinámjának átalakítása: Az eredı dinám két vektorának állásától, ill, közbezárt szögüktıl függıen az erırendszer eredıjét más formában is megadhatjuk. α/

F ≠ 0 , M 0 ≠ 0, ϕ ≠ π / 2

Bontsuk fel az eredı nyomatékot az eredı erıvel párhuzamos és arra merıleges összetevıkre (5.7/b. ábra). A nyomatékösszetevık nagysága:

M 0 = M 0 cos ϕ,

M 0 ⊥ = M 0 sin ϕ

5.7/a,b

A merıleges nyomatékkomponens hatássíkjában az F erı benne van. Helyettesítsük a merıleges nyomatékkomponenst egy olyan erıpárral, melynek alapja F. E választás egyben meghatározza az erıpár karját, hiszen d=M0sin ϕ / F . Toljuk és forgassuk el az erıpárt úgy, hogy − F ereje az eredeti v eredıvel egyensúlyi, s ezzel kivehetı erırendszert alkosson (5.7/c. ábra). Végeredményként a d távolsággal eltelt F eredı erıt és a tetszılegesen eltolható, így F hatásvonalába vitt M 0 párhuzamos nyomatékkomponenst kapunk (5.7/d. ábra). Az eredı erırendszernek ezt a formáját, amely az eredetivel teljesen egyenértékő, erıcsavarnak nevezzük. Az erıcsavar eredı erejének hatásvonalát az erırendszer centrális tengelyének , nyomatékát fıerıpárnak hívjuk. Mivel az erırendszer eredı ereje , annak támadáspontja (hatásvonala) és az eredı nyomaték eredı erıvel párhuzamos komponense fizikai valóság, értékük nem függhet a koordinátarendszer felvételétıl. Így az eredı erı és a fıerıpár nagysága a koordinátarendszer felvételétıl független állandók (akármilyen koordinátarendszert is veszünk fel, mindig ugyanazokat az értékeket kapjuk): F = Fx2 + Fy2 + Fz2 ,

M 0 = M 0 cos ϕ = M 0

F M 0 Fx M 0 x + Fy M 0 y + Fz M 0 z = . FM 0 F

5.8/a,b

Az elsı kifejezést és a második kifejezés számlálóját az erırendszer invariánsainak nevezzük.

65

Átalakíthatjuk a kiinduló eredı dinámot másként is. Helyettesítsük a teljes eredı nyomatékot hatássíkjában egy erıpárral, melynek karja és alapja közül az egyiket szabadon választhatjuk, a másikra teljesülnie kell az M0=kQ egyenlıségnek (5.7/e. ábra. Az erıpár egyik alakját az eredı F erıvel összevonva, végeredményül két, kitérı hatásvonalú erıt kapunk (5.7/f. ábra). Az eredı erırendszernek ezt a formáját társerınek nevezzük. Az erıpár alkalmas megválasztásával és elforgatásával elérhetjük, hogy a társerık hatásvonalai egymásra merılegesek lesznek (5.7/g,h. ábra), ilyenkor erıkereszt a nevük. β/ F ≠ 0, M 0 ≠ 0, ϕ = π/2 Az eredınyomaték erıpárral történı helyettesítése után – az 5.8. ábrának megfelelıen – a dinám egyetlen erıvé redukálható. Az erırendszer eredıje totális eredı erı.

γ/ F ≠ 0, M 0 ≠ 0 Az erırendszer eredıje totális eredı erı. Az elıbbi esethez hasonló attól annyiban különbözik, hogy a vonatkozási pontot (a koordinátarendszer kezdıpontját) véletlenül éppen az eredı erı hatásvonalán vettük fel. δ/ F = 0, M0 ≠ 0 , az erırendszer eredıje totális eredı nyomaték, azaz fıerıpár. ε/

F = 0, M0 = 0 ,

az erırendszer egyensúlyi.

66 Ezek után még két speciális erırendszerrel foglalkozunk, melyeknek a mőszaki gyakorlatban igen nagy jelentıségük van. 5.1.5. PÁRHUZAMOS ERİRENDSZER Hasson a merev test ri helyvektorú Pi pontjában olyan erı, melyre fennáll: Fi = Fi e,

(i = 1,2,...., n )

Ami azt jelenti, hogy az erık hatásvonalai mind párhuzamosak egymással s az e egységvektorral (5.9.ábra). Tétel: A párhuzamos erırendszer eredıje vagy totális eredı erı vagy totális eredı nyomaték. Bizonyítás: Az erırendszer eredı dinámja: n

n

n

i =1

i =1

F = ∑ Fi = ∑ Fi e = e ∑ Fi = Fe, i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

M 0 = ∑ ( ri x Fi ) = ∑ (ri xFi e ) = (∑ ri Fi ) x e. Az eredı erı hatásvonala is párhuzamos az adott erık hatásvonalával, nagysága pedig azok algebrai összegével egyezik meg. Az eredı nyomatékvektor merıleges e -re, ezzel az F eredı erıre is, a két vektor által bezárt szög ϕ = π / 2. Ez az elıbbi csoportosítás β / esetének felel meg, ahol láttuk, hogy az eredı mindig totális eredı erı. Abban a speciális esetben. mikor F = 0, de M 0 ≠ 0 , az eredı totális eredı nyomaték, azaz fıerıpár. Tétel: Párhuzamos erırendszer esetén mindig található egy olyan pont, amelyen a támadáspontjuk körül tetszılegesen elforgatott, de továbbra is párhuzamos erırendszer eredıjének hatásvonala átmegy. Ezt a pontot a párhuzamos erırendszer középpontjának nevezzük. A pont helyét megadó vektor az n

rK =

∑rF

i i

i =1 n

∑F

5.9

i

i =1

kifejezéssel számítható. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a totális eredı erı támadáspontját az rK helyvektor adja és alkalmazzuk a speciális nyomatéki tételt: n

rK x F = ∑ ( ri x Fi ). i =1

Alakítsuk át az összefüggést: n

n

i =1

i =1

rK x e ∑ Fi − ∑ ( ri xFi e ) = 0,

67 n

n

i =1

i =1

rK ∑ Fi ) x e − (∑ (ri Fi ) x e = 0, n

n

i =1

i =1

(rK ∑ Fi − ∑ ri Fi ) x e = 0 . Az erık elforgatása azt jelenti, hogy e -t tetszılegesen választhatjuk. Mivel a fenti egyenlıségnek minden e -re fenn kell állnia, a zárójelben lévı kifejezésnek nullával kell egyenlınek lennie. Az egyenlıségbıl rK kifejezhetı, s éppen a bizonyítandó összefüggést adja. Vegyük észre, hogy a párhuzamos erık középpontjával kapcsolatban nem alkalmazható, nem érvényes az erı saját hatásvonalán való eltolhatóságának tétele. (5.9) alapján azonnal látszik, hogy akár csak egy erıt is eltolva, a középpont is máshová kerül. Párhuzamos erırendszerek szám párhuzamos legyen az erık hatásvonalával. A (3.26), (3.30), (3.31) skaláregyenletek közül csak az a, e, f jelőeknek van értelme, hiszen az erık y és z tengelyekre vett vetülete, ill. az x tengelyre vett nyomatéka nulla (5.10. ábra). Az eredı erı nagyságát (3.26/a) adja: n

F = Fx = ∑ Fi .

5.10/a

i =1

Az eredı erı hatásvonalának y, z síkon való döféspontjának koordinátáit a speciális nyomatéki tétellel számíthatjuk: n

z F F = ∑ z i Fi ,

5.10/b,c

i =1 n

y F F = ∑ y i Fi , i =1

ahonnan a döféspont yF, zF koordinátái meghatározhatók. Az egyensúly feltételeként az (3.30/a, e. f) összefüggéseknek kell teljesülniük. A három egyensúlyi egyenletnek megfelelıen térbeli párhuzamos erırendszer esetén az egyértelmően meghatározható ismeretlenek száma három. 5.1.6. SÍKBELI ERİRENDSZER Már többször utaltunk arra, hogy a síkbeli erırendszernek milyen nagy a gyakorlati jelentısége. Ezért itt összefoglaljuk az ezek számításához szükséges legfontosabb tudnivalókat. Tétel: Síkbeli erırendszer eredıje vagy totális eredı erı, vagy totális eredı nyomaték. n

Bizonyítás: Az F = ∑ Fi összefüggés szerint, ha az összetevı erık azonos síkban vannak, i =1

n

akkor az eredı erı is ugyanebbe a síkba esik. Az M 0 = ∑ ( ri x Fi ) eredı nyomaték kifejezése i =1

pedig azt mutatja, hogy M 0 merıleges az ri , Fi vektorok által alkotott síkra. Ez azonban ép-

pen az eredı síkja, így F és M 0 által bezárt szög ϕ = π / 2 , ami a csoportosítás β / esetének megfelelıen mindig egyetlen, totális eredı erıt von maga után. Ha F = 0 és M 0 ≠ 0, az eredı totális eredı nyomaték fıerıpár.

68 Síkbeli erırendszer esetén a koordinátarendszer két tengelyét (pl. x, y-t) célszerően az erık hatásvonalának síkjában vesszük fel. Egy erı megadásához – támadáspontján kívül – két skaláradat szükséges. Az erı két, Fix, Fiy komponense, vagy az erı Fi nagysága is hatásvonalának egy tengellyel (pl. az x tengellyel) bezárt α i szöge (5.11). ábra). Síkbeli általános erırendszer esetén a térben érvényes hat egyenletbıl (3.26) csak az a, b, f jelőeknek van értelme. Ezeket is egy kicsit megváltoztatjuk, mert síkban a β i szöget α i függvényeként kezelhetjük. Az erırendszer eredı dinámja a koordinátarendszer kezdıpontjára vonatkoztatva skalár összefüggésekkel kifejezve: n

Fx = ∑ Fi cos α i . i =1

n

Fy = ∑ Fi sin α i .

5.11/a,b

i =1

Az eredı nagysága, hatásvonalának x tengellyel bezárt szöge: F = Fx2 + Fy2 ,

α F = arc tg

Fx . F

5.11/c,d

A koordinátarendszer kezdıpontjára vonatkozó nyomaték: n

M 0 = ∑ (ri x Fi ). i =1

Könnyen beláthatjuk, hogy a fenti nyomatékvektor nagysága éppen a z tengelyre számított nyomatékkal egyezik meg: n

M z = M 0 = ∑ ( x i Fi sin α i − y i Fi cos α i ).

5.11/e

i =1

A síkbeli ábrázolás megkönnyítésére az x, y síkban ható nyomatékot irányított félkörívvel jelöljük, vagy a nyomatékértéknek megfelelı erıpárral adjuk meg. Egyensúly esetén az (5.11) kifejezéseknek nullával kell egyenlınek lenniük: n

Fx = ∑ Fi cos α i = 0, i =1 n

Fy = ∑ Fi sin α i = 0,

5.12/a,b,c

i =1 n

M z = M 0 = ∑ ( x i Fi sin α i − y i Fi cos α i ) = 0. i =1

(5.12)-ben három ismeretlen szerepelhet ahhoz, hogy egyértelmően meghatározhassuk ıket. Természetesen itt is – mint térbeli erırendszernél – lehetıség van arra, hogy a fenti egyensúlyi egyenletek helyett, három, tetszılegesen választható, de nem egy egyenesbe esı pontra írjunk nyomatéki egyensúlyi egyenletet. Alkalmasan választott vonatkoztatási pontok esetén a három egyenletbıl álló egyenletrendszer az ismeretlenek szempontjából három, különálló egyenletre esik szét, ami a számítási idıigényét jelentısen csökkentheti.

69 Sokszor elıforduló síkbeli feladat, mikor egy adott erıt kell egyensúlyozni (vagy összetevıkre bontani) három, adott hatásvonalon mőködı erıvel (5.12. ábra). Könnyen beláthatjuk, hogy a feladatnak végtelen sok megoldása van, ha mind a négy hatásvonal egy pontban metszıdik, ill. egy megoldása sincs, ha csak a három adott hatásvonal metszıdik egy pontban. Minden egyéb esetben a feladat sztatikailag határozott (három ismeretlenhez, három egyensúlyi egyenlet áll rendelkezésre). A feladatot az (5.12) egyenletek alkalmazásával megoldhatjuk. Az egyenletrendszer megoldásának elkerülése azonban jobb, ha nyomatéki egyensúlyi egyenleteket használunk. Ezt a módszert Ritter-féle számítóeljárásnak nevezzük. Ha pl. az α hatásvonalon mőködı kiegyensúlyozó erıt akarjuk meghatározni, akkor célszerően a másik két ismeretlen erı hatásvonalának metszéspontján vesszük fel a vonatkoztatási pontot. Ezt a Pα -val jelölt pontot az α hatásvonalon mőködı erı nyomatéki fıpontjának nevezzük. A nyomatéki egyensúlyi egyenletben csak a kiegyensúlyozandó erı és az ismeretlen Fα fog szerepelni: M P = Fα d α − Fd F = 0,

5.13

amelybıl a keresett Fα egyszerően kifejezhetı. A β és γ hatásvonalakon mőködı kiegyensúlyozó erıket a Pβ és Pγ nyomatéki fıpontokra írt egyensúlyi nyomatéki egyenletekbıl lehet a fentiekhez hasonlóan kifejezni. Elıfordulhat, hogy a három adott hatásvonal közül kettı párhuzamos egymással. A harmadik erınek a nyomatéki fıpontja ilyenkor a végtelenbe esik, amire a nyomatéki egyenlet értelmetlen. Ebben az esetben a párhuzamosokra merıleges tengelyre vett vetületi egyensúlyi egyenletet használhatunk, amely az (5.13)-hoz annyiban hasonlít, hogy benne csak az adott erı és a harmadik, keresett erı szerepel. Ha a nyomatéki fıpontok nagyon messzire esnek és az erıkarok meghatározása bonyolult, akkor legjobb visszatérni az (5.13)-as egyenletekhez. A fenti feladatot szerkesztéssel az ún. Culmannféle eljárással oldhatjuk meg. Itt visszavezetjük a feladatot két közös metszéspontú erırendszerre. Hozzuk metszésre az adott erı hatásvonalát valamelyik adott hatásvonallal és keressük meg a másik két hatásvonal metszéspontját is (5.1.3/a. ábra). A két metszéspontot összekötı egyenest segédegyenesnek nevezzük. Ezután egyensúlyozzuk az F erıt a hatásvonalán metszıdı adott hatásvonal és segédegyenes mentén haladó erıkkel (5.13/b. ábra). A segédegyenes mőködı erıt pedig helyettesítsük a hatásvonalán metszıdı másik két erıvel (5.13/b. ábra). A segéderı a valóságban nem létezik, ahogy a neve is mutatja, csak segédeszköz. A feladat megoldása egyértelmő, hiszen mindkét metszéspontban két-

70 két ismeretlen erıkomponens szerepel. A két vektorháromszöget egyetlen vektorábrába szoktuk összerajzolni. Vegyük észre, hogy, amennyiben helyesen vesszük fel az erık értelmét (az egyensúlyozásnak, ill. a helyettesítésnek megfelelıen), a vektornégyszög folytonos nyílértelemmel záródik, ami az egyensúly egyik feltétele általános síkbeli erırendszer esetén. A másik feltételt, a nyomatéki kiegyensúlyozást azzal biztosítjuk, hogy a segéderı bevezetésével a feladatot két közös metszéspontú síkbeli erırendszerre vezettük vissza. Ha az adott erıt összetevıkre akarjuk bontani, akkor a számítással vagy szerkesztéssel kapott erık értelmét az ellenkezıjére kell változtatni. 5.2. SZERKESZTİ ELJÁRÁS Ha merev testre ható erırendszerek számítására szolgáló (3.26), (3.30), (3.31) skaláregyenleteket az a, b, f; b, c, d és a, c, e csoportosításban vizsgáljuk, megállapíthatjuk, hogy azok az erırendszer koordináta síkokra vett vetületeire vonatkozó törvényszerőségeket tartalmazzák. Másképpen kifejezve, az általános térbeli erırendszerre vonatkozó törvények síkbeli megfelelıi minden megszorítás nélkül érvényesek a térbeli erırendszernek tetszıleges síkra vetített erırendszerére. A térbeli vizsgálat tehát három síkbeli vizsgálattal helyettesíthetı. Mivel a térbeli feladatok szerkesztéssel történı megoldása meglehetısen komplikált, ezek szerkesztésére a fenti elvet használjuk fel. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a térbeli erırendszert három (célszerően egymásra merıleges) síkra vetítjük, ezeken külön-külön viszonylag kényelmesen – elvégezzük a szerkesztést, majd visszaállítjuk a síkbeli megoldás alapján a feladat térbeli megfelelıjét (megjegyezzük, hogy elegendı két képsíkon elvégezni a szerkesztést, mert ezek alapján a harmadik képsík és a térbeli megoldás már rekonstruálható). A fentiek alapján elegendı a síkbeli erırendszerek szerkesztı eljárásaival foglalkoznunk. A következıkben grafikus úton válaszolunk azokra a kérdésekre, amelyek a síkbeli erırendszerekkel kapcsolatban már felmerültek s, amelyeket számítással már megoldottunk. 5.2.1.VEKTOR ÉS KÖTÉLSOKSZÖG SZERKESZTÉS AZ EREDİ ÉS AZ EGYENSÚLYI ÁLLAPOT MEGHATÁROZÁSÁRA Elsıként határozzuk meg az 5.14/a ábrán látható általános (síkbeli) erırendszer eredıjét (az áttekinthetıség kedvéért csak három erıt adunk meg, de a szerkesztés természetesen tetszıleges számú erı esetén is alkalmazható). Elvileg megoldhatnánk a feladatot úgy, hogy veszünk két erıt, ezeknek meghatározzuk az eredıjét (ezt meg tudjuk tenni, ha a két erı hatásvonalának a metszéspontja elérhetı közelségben van), majd ehhez a részeredıhöz hozzávesszük a következı adott erıt, ezeknek is megszerkesztjük az eredıjét és az eljárást az utolsó erıig folytatjuk. Az utolsó eredı erı az egész erırendszer eredıje lesz, nagyságát, értelmét és hatásvonalát egyértelmően meghatározzuk. Mégsem ezt a módszert alkalmazzuk az eredı erı

71 meghatározásához, mert az esetek többségében az erık, ill. a részeredık hatásvonalainak metszéspontja gyakorlatilag elérhetetlen távolságra esik. Az eredımeghatározást inkább két lépésre bontjuk. Elıször külön ábrán megszerkesztjük az adott erık vektori összegét. Ezt már ismerjük, nem kell mást tennünk, mint – külön ábrán (5.14/b. ábra) – a megfelelı léptékben felvett erıket egymás után felhordjuk. Az eredı erıt az ütközı nyílértelemmel záródó vektorsokszög adja. Innen nagyságát, értelmét és hatásvonalának valamilyen iránnyal bezárt szögét kivehetjük. Csupán azt nem tudjuk, hogy az erı hatásvonala hol helyezkedik el. Ennek meghatározásához az adott erık rendszerét egy azokkal egyenértékő, de csupán két erıbıl álló rendszerre vezetjük vissza. Ezt a következıképpen tesszük. Helyettesítsük az F1 erıt az 5.14/b. ábrán látható módon K1 és K 2 erıkkel ( a két erı közül az egyiket teljesen szabadon vezetjük fel). Az F1 erı a K1 és K 2 erık eredıjeként fogható fel, így biztos, hogy a három erı hatásvonalának ugyanabban – bár tetszılegesen választható – P1 pontban kell metszıdnie (5.14/a. ábra). Helyettesítsük ezután F2 -t is két erıvel, de most annyi megkötéssel, hogy az egyik összetevı K 2 ellentettje, azaz - K 2 legyen. A - K 2 és K 3 helyettesítı erık helyét úgy kapjuk, hogy - K 2 -t a K 2 hatásvonalában vesszük fel, s ahol ez metszi F2 hatásvonalát, onnan indul ki K 3 . Ugyanezt az eljárást alkalmazzuk a harmadik, s ha van a többi erıre is. Végeredményül kapunk egy K i erırendszert, amely a kiinduló erırendszerrel egyenértékő. A vektorsokszögben könnyen ellenırizhetjük, hogy

∑K

i

= F.

i

A helyettesítı K i erıket kötélerınek nevezzük. A kötélerık bal oldali ábráján, melyet kötélsokszögnek, a benne szereplı egyeneseket kötéloldalaknak nevezzük, azonban jól látszik, hogy a kötélerık egy része páronként egyensúlyi rendszert alkot, így azok minden következmény nélkül eltávolíthatók. Minden esetben csak az elsı és utolsó kötélerı marad meg. Két erı eredıjét már könnyen megszerkeszthetjük. A vektorsokszögbıl azonnal adódik, hogy F = K1 + K 4 , aminek természetesen fenn kell állnia. Az eredı erı hatásvonalának egy pontja pedig az elsı és utolsó kötélerı hatásvonalának metszéspontja. Az eredı erı tehát párhuzamos a vektorsokszög F vektorával és átmegy PF ponton. A fenti logikai meggondolásokon alapuló szerkesztést a gyakorlati feladatok megoldása során csupán receptszerően alkalmazzuk. A szerkesztés menetét az alábbiakban foglaljuk össze: - megrajzoljuk – alkalmas rajzléptéket felvéve – a kiinduló feladatot, azaz az adott erık hatásvonalát, - megrajzoljuk – alkalmas erıléptéket felvéve – a vektorsokszöget, azaz meghatározzuk az eredı nagyságát, értelmét és hatásvonalának dılésszögét, - felveszünk tetszılegesen egy pontot, az ún. póluspontot, amely a kötélerık kiindulási pontja és innen kiindulva egyeneseket húzunk a vektorsokszög erıinek kezdı és végpontjához, - tetszıleges P1 pontban elkezdve a kötélerık hatásvonalával párhuzamosakat húzunk az adott erık hatásvonalai között (a rajzoláshoz jó támaszpontot ad az a tulajdonság, hogy a vektorsokszög minden háromszögének, ill. az abban szereplı három erınek a kötélsokszögben egy olyan pont felel meg, amelyen a három erı hatásvonala metszıdik), - a kötélsokszög elsı és utolsó kötéloldalának metszéspontja adja az eredı erı hatásvonalának egy pontját. Ezek után nézzük meg, alkalmas-e a fenti szerkesztés annak eldöntésére, hogy az erırendszer eredıje totális erı nyomaték vagy egyensúlyi lesz-e.

72

Vizsgáljuk meg elıször az 5.15. ábra szerkesztését. Tudjuk, hogy totális eredı nyomaték esetén az adott erık vektorális összege nullavektort ad. A szerkesztés szempontjából ez azt jelenti, hogy az adott erıknek folytonos nyílértelemmel záródó vektorsokszöget kell adniuk (5.15/b. ábra). E miatt a tetszıleges póluspontból húzott kötélerık közül az elsı és utolsó egymásnak éppen ellentettje: K 4 = − K1. Megrajzolva a kötélsokszöget és kiemelve az egyensúlyban lévı erıket, a megmeredı két erı most is az elsı és utolsó kötélerı lesz, melyek hatásvonala – a szerkesztés jellegébıl kifolyóan – párhuzamos lesz. Az elsı és utolsó kötélerı tehát erıpárt alkot. Ha az elsı és utolsó kötéloldal párhuzamosai közti távolság d, akkor a

totális erı nyomaték vagy erıpár nyomatékértéke: M 0 = K1d = − K 4 d. Hatássíkja természetesen az adott erık síkja, értelme pedig a korábbi elıjel-definíciónak megfelelı. Tartsuk meg az elızı három erıt, de legyenek közös metszéspontúak. A három erı egyensúlyi feltételei alapján tehát elıre tudjuk, hogy egyensúlyi erırendszerrıl van szó. Rajzoljuk meg a vektor- és kötélsokszöget (5.16. ábra). Amennyiben pontosan szerkesztünk, azt fogjuk tapasztalni, hogy a kötélsokszög elsı és utolsó oldala, a kötélerık hatásvonala egy egyenesbe esik. Az eredeti erırendszerrel egyenértékő K1 és K 4 erırendszer K 4 = − K1 miatt tehát egyensúlyi erırendszert alkot, így az adott erık rendszere is egyensúlyi.

73 Tétel: Ha az erırendszer eredıje totális eredı erı, akkor a vektorsokszög nyitott (az adott erıket egymás után felmérve a kezdı- és végpont nem esik egybe), a kötélsokszög elsı és utolsó oldala metszésre hozható. Tétel: Ha az erırendszer eredıje totális eredı nyomaték, a vektorsokszög zárt (az adott erık folytonos nyílértelmő, záródó sokszöget adnak) a kötélsokszög elsı és utolsó oldala párhuzamos. Tétel: Egyensúlyi erırendszer esetén a vektorsokszög zárt, a kötélsokszög elsı és utolsó oldala egy egyenesbe esik. A fenti három tételt a szerkesztés logikai felépítésével bizonyítottuk. Ezután megismerkedünk a vektor- és kötélsokszög-szerkesztés egy fontos törvényszerőségével, az ún. Culmann-féle egyenessel és tulajdonságával. Tétel: két különbözı póluspontból megszerkesztett kötélsokszög megfelelı oldalainak metszéspontjai egy egyenesre, a Culmann-féle egyenesre esnek, amely párhuzamos a két póluspontot összekötı egyenessel. Bizonyítás: Vegyük fel az 5.17. ábrának megfelelı, három erıbıl álló erırendszert és egy tetszıleges 01 póluspontból szerkesszük meg – a korábbi megoldásainknak megfelelı – kötélsokszöget. Ennek megfelelıen a K jelő vektor- és kötélsokszög az adott erıkkel egyenértékő erırendszert képvisel. Vegyünk fel ezután egy másik, 02 póluspontot és ezzel is rajzoljunk egy kötélsokszöget, azzal a különbséggel, hogy ne helyettesítsük, hanem egyensúlyozzuk az adott erıket. Ez a különbség csak az 02 póluspontból húzott kötélerık nyílértelmének az 01 póluspontból húzott kötélerık nyílértelméhez képest ellenkezıre váltásában nyilvánul meg. Ha nem értelmezzük a kötélerık jelentését, akkor a két szerkesztés formai szempontból tökéletesen megegyezik. Most azonban nem szabad megfeledkeznünk arról, az S jelő vektor- és kötélsokszög az adott erırendszert kiegyensúlyozó erırendszert képvisel. A K és S jelő erırendszer együtt tehát egyensúlyi. De nemcsak az egész erırendszer, hanem bizonyos részei is egyensúlyi erırendszert alkotnak. Hiszen a K1 , K 2 erık az F1 erıt helyettesítik, míg az S1 , S2 erık az F1 erıt egyensúlyozzák. A K1 , K 2 , S1 és S2 erıknek tehát egyensúlyi erırendszert kell alkotniuk. A vektorsokszög alapján nyilvánvaló, hogy K1 , K 2 , S1 és S2 erıknek tehát egyensúlyi erırendszert kell alkotniuk. A vektorsokszög alapján nyilvánvaló, hogy K1 + S1 = Q = −(K 2 + S2 ) = − Q2 , hiszen Q1 és Q2 részeredık a két póluspontot összekötı egyenes szakasz irányának és nagyságának felelnek meg ellentétes nyílértelemmel. Q1 hatásvonala az 5.17/a. ábrán a K1 és S1 hatásvonalának metszéspontján megy át, Q2 hatásvonala pedig K 2 és S2 hatásvonalának metszéspontján. Mivel Q1 és Q2 egyensúlyi erırendszert alkot, kell, hogy hatásvonaluk egy egyenesbe essen. Hasonlóan láthatjuk, hogy a többi adott erıt helyettesítı és kiegyensúlyozó erık megfelelı hatásvonalai is egy egyenesbe esnek. Ugyanakkor, mivel K 2 és − K 2 , valamint S2 és − S2 egymásnak ellentettjei és közös hatásvonalon mőködnek, az összes Q1 és Q2 részeredınek ugyanarra az egyenesre kell esnie. A gondolatmenet alapján nyilvánvaló, hogy ez az egyenes – melyet Culmann-egyenesnek nevezünk – párhuzamos a két póluspontot összekötı egyenessel. A Culmann-egyenes tulajdonságait akkor használhatjuk fel eredményesen, ha a kötélsokszöget valamilyen, elıre megadott ponton kell átvezetni. Ha pl. az lenne a feladat, hogy

74

rajzoljunk olyan kötélsokszöget, amelyik átmegy az elıre megadott A és B ponton (5.17/a. ábra), akkor elıször tetszıleges 01 póluspontból rajzolunk egy olyan kötélsokszöget, amelynek egyik oldala átmegy az A ponton. Az utolsó oldal a B ponton csak véletlenül mehet át. Ezért felveszünk tetszılegesen egy Culmann-egyenest, mellyel a 01 ponton át párhuzamost húzunk. Ezen az egyenesen lesz rajta az új póluspont. Hozzuk metszésre a már megrajzolt kötélsokszög utolsó oldalát a Culmann-egyenessel és a metszéspontot kössük össze a B ponttal. Ez az egyenes lesz az új kötélsokszög utolsó oldala. Ezzel párhuzamost húzva a vektorsokszögben az utolsó adott erı végpontjából, az egyenes kimetszi az 01 ponton át felvett, a Culmann-egyenessel párhuzamos egyenesen az új, 02 póluspontot. Ebbıl a póluspontból megrajzolva a kötélsokszöget, az át fog menni a B ponton. 5.2.2. SÍKBELI ERİRENDSZER GRAFIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSA A sztatikailag meghatározott rögzítéső síkbeli tartók esetén a merev test nyugalmát az esetek többségében az 5.18. ábrán látható kényszercsoportokkal biztosítják. Az a/ ábrarészleten az aktív erık rendszerét három, adott hatásvonalon mőködı erıvel, a b/ árbarészleten egy adott hatásvonalon és egy adott ponton átmenı erıvel, a d/ ábrarészleten egy adott ponton átmenı erıvel és egy koncentrált nyomatékkel kell kiegyensúlyozni. Mindegyik esetben háromismeretlenes feladattal állunk szemben, így mindegyik feladatnak létezik egyértelmő

75

megoldása (a., b. és c. ábrán alkalmazott tört hatásvonalú nyíl olyan erıt jelképez, amelynek sem nagyságát sem hatásvonalának dılését nem ismerjük). Ha az aktív erık rendszerét eredıjükkel helyettesítjük, akkor az 5.18/a. ábrának megfelelı feladatot visszavezettük adott erı három, adott hatásvonalon történı kiegyensúlyozására, melynek a Culmann-féle szerkesztéssel való megoldását már megismertük. Az 5.18/b. ábrának megfelelı feladatot is megoldhatjuk úgy, hogy meghatározzuk az aktív erık eredıjét, amivel a problémát három erı egyensúlyára vezettük vissza. Az A ponton átmenı reakcióerı hatásvonalát abból a feltételbıl határozzuk meg, hogy annak át kell menni az eredı erı hatásvonalának és a β egyenes metszéspontján. A most már ismert három hatásvonallal megrajzoljuk a folytonos nyílértelmő vektorháromszöget, ahonnan a két reakcióerı nagysága és értelme kivehetı. A már ismert vektor- és kötélsokszög szerkesztés azonban

lehetıséget ad arra, hogy az aktív erık erdıjének meghatározása nélkül keressük meg a reakcióerıket. Rajzoljuk meg az 5.19.ábrán látható három aktív erıre a vektor- és kötélsokszöget úgy, hogy az 1-es jelő kötéloldal menjen át az állócsukló középpontjának megfelelı A ponton. Ha az egyelıre ismeretlen reakcióerıket is az erırendszerhez képzeljük, akkor az 1-es jelő kötéloldal elıtt és az utolsó, jelen esetben 4-es kötéloldal után kell még lennie egy-egy kötéloldalnak. Az összes, most már egyensúlyi erırendszert alkotó erıt figyelembe véve ezek lesznek az elsı és utolsó kötéloldalak ( az ábrán 0-val és 5-tel jelölve). Tudjuk azonban, hogy egyensúlyi erırendszer esetén az elsı és utolsó kötéloldalnak egy egyenesbe kell esnie, ami meghatározza a két kötéloldal irányát, azoknak az A pontot és a 4. kötéloldalnak a β hatás-

76 vonallal való PB metszéspontját összekötı egyenesen kell mőködniük. Ezt az egyenest mesterséges záróoldalnak nevezzük és z-vel jelöljük. A kötélsokszög A pontján átmenı három erı (a 0 és 1 jelő kötélerı, valamint az A reakcióerı) a vektorsokszögben háromszöget alkot, a PB ponton átmenı háromerı (4.5 jelő kötélerı, valamint a B reakcióerı) szintén. Ha tehát a pólusponton a z záróoldallal párhuzamost húzunk, az F3 végpontjából β -val párhuzamosan húzott egyenes z metszéspontjáig megadja a B reakció nagyságát. A metszéspontból ( B végpontjából) az F1 kezdıpontjáig tartó szakasz pedig az A reakció nagyságát és hatásvonalának dılését. A reakcióerık értelmét az szabja meg, hogy az összes erınek folytonos nyílértelemmel záródó vektorsokszöget kell adnia.

Az 5.18/c ábrának megfelelı merev befogás reakcióit a következıképpen határozhatjuk meg. A reakció dinám csak egy koncentrált erıt tartalmaz, ezért a befogás keresztmetszetének középpontjában (A pont) ébredı erı nagyságát, értelmét és hatásvonalának dılését az aktív erık vektorösszegét folytonos nyílértelemmel záró vektor adja (5.20/b. ábra). Mivel a vektorsokszög záródik, az erırendszer ( A -t is beleértve) lehet egyensúlyi vagy olyan, melynek eredıje totális eredı nyomaték, azaz erıpár. Ennek eldöntésére rajzoljuk meg a kötélsokszöget. Ha elsı és utolsó oldala nem esik egy egyenesbe, az erırendszer eredıje erıpár, K1d nyomatékértékkel. Ezt a nyomatékot kell kiegyensúlyozni a befogás keresztmetszetében, ott tehát az elızı erıpárral ellentétes értelmő, K1d nagyságú reakciónyomatékot kell mőködtetni (5.20/a. ábra). 5.2.3. SÍKBELI ERİRENDSZER NYOMATÉKÁNAK SZERKESZTÉSE A szerkezeti elemek hajlítóigénybevételének meghatározásánál fontos szerepet játszik az eljárás, amely lehetıvé teszi a síkbeli erırendszer tetszıleges, de a síkban lévı pontra vonatkozó eredı nyomatékának szerkesztését. A speciális nyomatéki tétel azt mondja ki, hogy az erırendszer nyomatéka megegyezik eredıjének nyomatékával. Kézenfekvı tehát, hogy meghatározzuk az erırendszer eredıjét. Ehhez ismét a vektor- és kötélsokszögszerkesztést használjuk (5.21. ábra). A nyomatékot

77 mégsem úgy határozzuk meg, hogy az eredı erı nagyságát szorozzuk az A pontra vonatkozó karjával, hanem felbontjuk az F eredı erıt a K1 és K 4 kötélerıkkel párhuzamos

összetevıkre, de úgy, hogy K 4 menjen át az A ponton. Mivel ennek nincs nyomatéka az A pontra, az egész erırendszer nyomatéka a K1 erı A pontra vett nyomatékával egyezik meg. Bontsuk fel K1 -et is két összetevıre, mégpedig úgy, hogy az egyik összetevı legyen párhuzamos az F eredıvel és menjen át az A ponton, a másik összetevı pedig legyen merıleges az eredıre. Jelöljük ıket K1ll -sal és K1⊥ -sel. Nagyságukat a vektorsokszögben könnyen meghatározhatjuk. Mivel a párhuzamos összetevınek az A pontra megint nincs nyomatéka, az eredeti erırendszer nyomatéka megegyezik K1⊥ erınek nyomatékával. Az erı karja az A pontból a K1⊥ erıkomponens hatásvonalára húzott merıleges szakasz hossza, az 5.21/a. ábrán y ,A vel jelöltük. Ez a távolság azonban – egybevágó háromszögek miatt – nem más, mint az A ponton át, az F eredı hatásvonalával párhuzamosan húzott egyenesnek a kötélsokszög elsı és utolsó oldala által közrezárt szakasza. Az ábrán yA-val jelöltük és nyomatéki metszéknek hívjuk. A K1⊥ erıt általánosságban pólustávolságnak nevezzük és p-vel jelöljük. A pólustávolság tehát nem más, mint a póluspontnak az eredı hatásvonalától mért távolsága s ennek megfelelıen erı dimenziójú mennyiség. Az erırendszer nyomatékát tehát úgy kapjuk meg, hogy a pólustávolságot szorozzuk a nyomatéki metszékkel: MA=pyA.

78 Ha az erırendszernek egy másik pontra kívánjuk meghatározni a nyomatékát, akkor az új ponton át ismét párhuzamost húzunk az eredı erı hatásvonalával. Az egyenesbıl az elsı és utolsó kötéloldal által közrezárt szakasz adja az új nyomatéki metszéket, melyet a változatlan pólustávolsággal kell megszorozni. Könnyen beláthatjuk, hogy a nyomaték értelme akkor pozitív, ha nyomatéki metszék az 1-es kötéloldal fölött helyezkedik el.

Sokszor szükség van arra is, hogy csak az erırendszer egy részének nyomatékát keressük. Az 5.22. ábrán pl. meghatároztuk az F1 és F2 erık A pontra vonatkozó nyomatékát. Az elsı és utolsó kötéloldal most az 1 és 3. Ezek zárják közre az A ponton át az F12 részeredıvel párhuzamos egyenes szakaszt, a nyomatéki metszéket. Ezt kell szoroznunk a pólustávolsággal, amely most értelemszerően p’-re változik. A szerkesztett nyomatéknak különösen akkor van nagy jelentısége, ha párhuzamos síkbeli erırendszer nyomatékát akarjuk meghatározni. Ilyenkor ugyanis a vektorsokszög külsı erıi mind egy egyenesbe esnek, így a pólustávolság akár a teljes erırendszerrıl, akár részeredıkrıl van szó, mindig ugyanaz. A nyomatéki metszékek is mindig párhuzamosak a ható erıkkel, így az elsı kötéloldal és a többi által közrezárt szakaszok arányosak a szakasztól balra esı külsı erıknek a szakasz egyenesébe felvett pontra vonatkozó nyomatékával (az arányossági tényezı éppen p) (5.23. ábra). 6. TEHERVISELİ SZERKEZETEK SZTATIKÁJA A mőszaki gyakorlatban elıforduló teherhordásra szolgáló szerkezeteket, a tartókat, mechanikai szempontból az esetek többségében síkban lehet modellezni. Ez azt jelenti, hogy mind a térbeli szerkezetet, mind a reáható térbeli erırendszert síkba redukáljuk. A síkban nem modellezhetı tartók vizsgálata a térbeli erırendszerek törvényszerőségeinek ismeretében és a síkbeli szerkezeteknél tanultak alkalmas kibıvítésével elvégezhetı. Tanulmányaink során csak síkbeli tartószerkezetekkel foglalkozunk, melyeket az alábbiak szerint csoportosíthatjuk: I. Merev szerkezetek: - 1. Rácsos tartók - 2. Kéttámaszú és befogott egyenes tengelyő (gerenda-) tartók - 3. Többcsuklós, egyenes tengelyő (Gerber-) tartók - 4. Több tengelyő és ágas tartók (keretek)

79

- 5. Íves (görbe) tengelyő tartók - 6. Három csuklós ívek és keretek II. Teherhordó kötelek: Az elsı csoportba tartozó szerkezetek, melyek tetszıleges terhelés hatására nyugalomban maradnak és alakjukat nem változtatják meg, lehetnek sztatikailag határozottak és határozatlanok. Mint már említettük, a sztatika eszközeivel csak a határozott szerkezeteket lehet megoldani. A II. csoportba tartozó szerkezetek határozottak ugyan, de a kötél abszolút hajlékonysága miatt minden terheléshez tartozik egy egyensúlyi kötélalak, melynek maghatározása lényegesen megnehezíti a probléma megoldását. 6.1. MEREV SZERKEZETEK 6.1.1. RÁCSOS TARTÓK Teherviselı szerkezetként egyetlen merev test helyett sokszor alkalmaznak rácsos szerkezeteket. Ezeknek közös jellemzıjük, hogy bennük minden alkotó elem két helyen kapcsolódik a szerkezet többi részéhez. Az elemek alakja elvileg tetszıleges lehet, de a belsı erık szempontjából az az elınyös, ha a kapcsolódási pontokat összekötı egyenes rudakat alkalmaznak. Az összességében egyetlen egy merev testnek tekinthetı szerkezetet alkalmas kényszerekkel a nyugalomban lévı környezethez kapcsoljuk. A rácsos tartókkal kapcsolatos feladat a külsı kényszererık és az alkotóelemekben (rudakban) ébredı belsı erık meghatározása. A sztatikai vizsgálathoz bizonyos feltevéseket, ill. kikötéseket teszünk, melyek lényegesen leegyszerősítik a fenti feladat megoldását, ugyanakkor gyakorlatilag elegendı pontossággal tükrözik a szerkezet valóságos erıjátékát. Ezek: - a tartó elemei súrlódásmentes csuklókkal kapcsolódnak egymáshoz,

80 -

az elemek súlytalannak tekintett, egyenes rudak, melyek mind ugyanabban a síkban fekszenek és elméleti középvonaluk átmegy a kapcsolódó csuklók középpontján, - erık a szerkezetre csak a csuklón keresztül hathatnak és ezek hatásvonalai mind beleesnek a rudak síkjába. A rácsos szerkezet egészének egyetlen merev testet kell képeznie. Ez azt jelenti, hogy a csuklókat és a rudakat nem helyezhetjük el teljesen tetszılegesen, azoknak bizonyos feltételeket ki kell elégíteniük, különben a szerkezet vagy legalábbis egy része labilissá válik. Így pl. a 6.1/a. ábrán látható, ún. négyszög képzéső rácsos tartóelem labilis, míg a 6.1/b. ábra háromszög képzéső eleme mindig stabilis. Az egész tartó merevségének elégséges feltétele, hogy ilyen háromszög elemekbıl merev rácsos szerkezetet a 6.2. ábrán látható módon építhetünk fel. A két végén csuklóval ellátott rúdhoz újabb két rudat kapcsolunk, melyek másik végükön csuklón keresztül kapcsolódnak egymáshoz (6.2/a., b. ábra). Ehhez az elsı háromszöghöz újabb két rúd és csukló hozzáadásával újabb háromszöget képezhetünk (6.2/c. ábra) s ezt folytatva tetszıleges alakú szerkezetet hozhatunk létre. A tartó szélein (kerületén) található rudakat övrudaknak, a többit rácsrudaknak nevezzük. Igen egyszerően meghatározhatjuk a csuklók és a rudak száma közötti összefüggést. Minden újabb csuklóhoz két rúdra van szükség, kivéve az elsı három csuklót, ahol nem hat, hanem csak három rudat használtunk fel, Így r = 2c – 3,

6.1

ahol c – a csuklók száma, r – a rudak száma. Ha a rudak száma kisebb, mint 2c-3 (pl. a 6.2/c. ábrán kivesszük a 2 és 3 jelő csukló közötti rudat), akkor a szerkezet labilissá válik, ha – a csuklók száma, r – a rudak száma. Ha a rudak száma kisebb, mint 2c-3 (pl. a 6.2/c. ábrán kivesszük a 2 és 3 jelő csukló közötti rudat), akkor a szerkezet labilissá válik, ha r>2c-3 (pl. a 6.2/c. ábrában az 1,4 csuklókat is összekötjük, de úgy, hogy az 1,4 rúd a 2,3 rúddal ne érintkezzen), akkor a szerkezet merev marad, de belsıleg sztatikailag határozatlanná válik. Megjegyezzük, hogy vannak nem háromszög képzéső, sztatikailag határozott tartók is. Ha a szerkezet háromszög képzéső és (6.1.) is fennáll, úgy egyszerő rácsos tartóval van dolgunk. Tegyük fel, hogy a tartót a külsı környezethez kapcsolódó kényszerek kötöttségi száma k. Az egész szerkezet szabadságfokát az alábbi gondolatmenettel határozhatjuk meg. A tartó rúdjai csak végükön terheltek, így támasztórudnak (-kényszernek) tekinthetık. Egy rúd kötöttségi száma egy. A csuklókat pedig a szerkezet tagjaiként kezelve, azok szabadságfoka kettı, két irányú transzláció, mert az elfordulás a pontnak tekinthetı csukló esetén nincs értelmezve. A szabadságfok tehát: f =f0 – z = 2c – (r + k), ha feltesszük, hogy a tartó belsıleg határozott, (6.1)-et behelyettesíthetjük:

6.2/a

81 f = 2c –(2c-3+k) = 3 - k

6.2/b

Ha k>3, a tartó külsıleg sztatikailag határozatlan. K=3 esetén, ami három mozgó csuklónak vagy egy álló és egy mozgó csuklónak felel meg, az egész szerkezet sztatikailag határozott. Külsıleg sztatikailag határozott rácsos tartók esetén a tartót egyetlen merev testnek tekintve a reakcióerık komponensei a ΣFx = 0 = ..., ΣFy = 0 = ...,

6.3/a,b,c

ΣM A = 0 = ..., egyensúlyi egyenletekbıl számítással, vagy szerkesztéssel a Culmann-féle eljárással, ill. a vektor- és kötélsokszögrajzolással határozhatók meg. Belsıleg sztatikailag határozott rácsos tartók esetén a belsı erık meghatározásához a következıket kell belátnunk. Mint már említettük – rácsos tartókkal kapcsolatos feltételezések következtében – a csuklókat összekötı elemek támasztórúdnak tekinthetık. Ezekrıl tudjuk, hogy a két végükön ható két erı csak akkor lehet egyensúlyban, ha közös hatásvonalúak, egyenlı nagyok és ellentétes értelmőek. Csak a 6.3 ábrán látható két terhelési eset jöhet szóba. A rúdra ható erı a két csuklót összekötı egyenesbe esik és vagy elmutat a rúdvégtıl, vagy rámutat arra. Ez a megállapítás a belsı erık szempontjából is fontos. A belsı erık elemzésével azt is megértjük, miért célszerő a rácsos tartó elemeit egyenes rúdként készíteni. Vágjuk el a rudat valahol egy olyan K síkkal, amely merıleges a rúd hossztengelyére ( a továbbiakban a keresztmetszeteket mindig úgy veszszük fel, hogy az merıleges legyen a rúd hossztengelyére, vagy görbe rúd esetén az adott pontban húzható érintıre). Akár balról, akár jobbról határozzuk meg a belsı erık komponenseit, látjuk (6.3. ábra), hogy a normálerı kivételével minden más igénybevétel nulla. Ha a két csuklót összekötı rúd görbe lenne, akkor természetesen a normális erı mellett nyíró- és hajlító-igénybevétel is ébredne. Az egyenes rúd igénybevétele azonban – akárhol is vesszük fel a keresztmetszetet – mindig húzás (6.3/a ábra) vagy nyomás (6.3/b. ábra). Az ilyen módon igénybevett szerkezeti elemek alakváltozás és tönkremenetel szempontjából kedvezıen viselkednek. Éppen ez a tulajdonság támasztja alá a rácsos szerkezetek nagy gyakorlati jeletıségét. A húzó-, vagy nyomóigénybevétel nagysága pedig magával a rúdra ható erıvel egyezik meg. Ezért általában nem is tesznek különbséget a rúdra ható erı és az igénybevétel között, egyszerően csak rúderırıl beszélnek (az igénybevétel elıjelét természetesen külön meg kell adni). A rúderık meghatározásához két módszert ismertetünk. 6.1.1.1. A CSUKLÓELKÜLÖNÍTÉS MÓDSZERE (CSOMÓPONTI MÓDSZER) Minden csuklót elkülönítünk, azaz szétszedjük a szerkezetet csuklókra, amelyeken mőködtetjük a rájuk ható külsı (aktív és passzív) erıket, valami t a (támasztó-) rudak által kifejtett erıt. Ez utóbbiak hatásvonala ismert, mindig rúdirányú, csak nagyságuk ismeretlen. A csuklókra, melyeket csomópontnak is nevezünk, minden esetben közös támadáspontú síkbeli erırendszer hat, a felírható egyensúlyi egyenletek száma tehát csuklónként kettı:

82 ΣFx = 0 = ...,

ΣFy = 0 = ...,

6.4/a,b

c számú csukló esetén tehát 2c egyenletbıl álló egyenletrendszert kapunk, ahonnan sztatikailag határozott rácsos tartót feltételezve az éppen 2c számú ismeretlen reakció- és rúderı egyértelmően meghatározható. Az egyensúlyi egyenletrendszer általában kevesebb egyenletbıl álló egyenletrendszerre esik szét, így megoldása nem okoz különösebb problémát. Szerkesztéssel megoldva a feladatot, minden csukló- (csomó-) pontra egy egyensúlyi vektrosokszöget kell rajzolnunk. Tudjuk azonban, hogy egy vektorsokszögben maximálisan két ismeretlent lehet meghatározni, a szerkesztést tehát csak olyan csomópontnál lehet kezdeni, amelybe legfeljebb két ismertetlen erejő rúd fut be. Itt meghatározva a rúderı nagyságát és értelmét, ezekkel azonos nagyságú csak ellentétes értelmő erı hat a rudak másik végéhez kapcsolódó csuklóra. Egy csomópont egyensúlyából tehát a vele szomszédos csuklókra ható erık egy részét is meghatározzuk. A feladat sztatikai határozottságánál fogva mindig létezik legalább egy csomóponti sorrend, amelyen végighaladva minden rúderı meghatározható. A csuklóelkülönítés módszerével az erıket a csuklók szempontjából határozzuk meg, azaz ahogy a külsı erık és a rúderık hatnak a csuklókra. Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a rudakat milyen erık terhelik, a csuklókra ható erık ellentettjét kell vennünk. A 6.4. ábra a Pi csuklóra az Sij és Sik rúderık hatnak. Ezeknek az erıknek az ellentettje hat a csuklóról a rudak végére. Az egyensúly feltétele miatt a rudak Pj és Pk végén az Sij és Sik erıknek kell hatnia és ezek ellentettjei támadja a Pj és Pk csuklókat. Könnyen

beláthatjuk, hogy ha a csomópontokat a rúderık húzzák, akkor maga a rúd is húzóigénybevételnek van kitéve, ha a csomópontok nyomottak, a rúd igénybevétele is nyomás. A 6.5. ábrán meghatároztuk szerkesztéssel a vázolt rácsos tartó reakció- és rúderıit.

83

A csuklóelkülönítés módszere igen alkalmas arra, hogy könnyen – számítás és szerkesztés nélkül – felismerjük a szerkezet vakrúdjait, azokat a rudakat, amelyekben nem ébred belsı erı. V típusú csuklónak nevezzük azokat a csomópontokat, amelyekbe két rúd fut be és T típusúaknak azokat, amelyekhez három rúd csatlakozik, de ezek közül kettı egy egyenesbe esik. A csuklók egyensúlyának vizsgálata alapján azonnal adódnak a következı szabályok (6.6. ábra): - a terheletlen V típusú csukló rúdjai vakrudak, - ha a V típusú csuklóra olyan külsı erı hat, amely párhuzamos valamelyik rúddal, akkor a párhuzamos rúdban a külsı erı nagyságának megfelelı erı ébred, a másik rúd vakrúd, - terheletlen T típusú csuklónál a T szárát képezı rúd vakrúd, a másik két rúderı pedig egyenlı, - ha a T típusú csuklóra külsı erı hat, akkora T szárában ébredı erı a T szárának irányára vet vetületével egyenlı, - ha a T típusú csuklóra a T szárával párhuzamos hatásvonalú külsı erı hat, a T szárában ébredı erı megegyezik a külsı erıvel, az egy egyenesbe esı másik két rúderı pedig egyenlı egymással. Vegyük észre, hogy a 6.5. ábra feladatának megoldása során minden erıt kétszer kellett lerajzolni. Elkerülhetjük ezt a „felesleges” munkát, ha az egyensúlyi vektorsokszögeket összetoljuk és egyetlen egy vektorábrán egyesítjük. Az egyesítés azonban csak akkor végezhetı el, ha betartjuk a következı szabályokat: - tetszılegesen felveszünk egy körüljárási irányt (az óramutató járásával egyezıen vagy azzal ellentétesen), - felrajzoljuk (ill. megszerkesztjük) a külsı erık egyensúlyi vektorábráját úgy, hogy benne az erık olyan sorrendben kövessék egymást, amilyen sorrendben azok a szerkezet kontúrját a felvett irányban körüljárva követik egymást, - a külsı erık vektorábrájába berajzoljuk az egyes csomópontok egyensúlyi vektorábráját úgy, hogy benne az egy csuklóhoz tartozó erık olyan sorrendben kövessék egymást, amilyen sorrendben a csuklót a felvett iránnyal egyezıen körüljárva a rudak, ill. a nekik megfelelı rúderık követik egymást. A fenti szabályok betartásával egyesített vektorábrát Cremona-féle erıtervnek nevezzük. A 6.7. ábrán megrajzoltuk az elızı tartó egyesített vektorábráját. Felhívjuk a fegyelmet arra, hogy a 6.5. ábra vektorsokszögeiben az erık sorrendjét az óramutató járásának megfelelıen vettük fel annak érdekében, hogy az összeillesztést jobban követhessük, a külön felrajzolt csomóponti vektorábráknál azonban a sorrendnek nincs jelentısége. A 6.7. ábrán az áthúzott nyilak az ellenkezı rúdvégen lévı csuklóra ható rúderık értelmét jelentik. A Cremonaféle erı tervszerkesztésének elsısorban az az elınye, hogy ha kijön, azaz minden erıt valóban csak egyszer kell berajzolni, akkor biztosak lehetünk abban, hogy elvi hibát nem vétettünk s az eredményünk legfeljebb csak szerkesztési pontatlansággal terhelt.

84 Ha az összes rúderıt meghatároztuk, az eredmény helyességét gyorsan ellenırizhetjük a Maxwell által levezetett tétellel. Tétel: A rácsos tartó csuklóinak helyvektorából és a rajtuk támadó külsı erık vektorából képzett skalárszorzatok összege egyenlı az egyes rudak igénybevételébıl és hosszából képzett szorzatainak összegével. Bizonyítás: Legyen a rácsos tartó ri helyvektorú Pi csuklóján a külsı erık eredıje Fi , a Pk csukló irányából ható rúderı (húzó) Sik (6.8. ábra). A Pi csukló egyensúlyának feltétele: Fi + ∑ Sik = 0, k

az összegzést a Pi pontba futó valamennyi rúdra kell elvégezni. Szorozzuk meg a fenti egyenletet ri -vel skalárisan: Fi ri + ri ∑ Sik = 0, k

és az így nyer összefüggést összegezzük az öszszes csuklóra (i=1,2,…,c): c

c

c

i =1

i =1

k

∑ Fi ri + ∑ ri ∑ Sik = 0. Alakítsuk át a bal oldal másik tagját. Vegyük észre, hogy ebben minden belsı erı kétszer szerepel, Sik és Ski , melyek egymásnak ellentettjei. A helyvektorral vett szorzatuk és összegük: ri Sik + rk Ski = ri Sik + rk (− Sik ) = ( ri − rk ) Sik = Sik rik , ahol rik - a Pk-ból a Pi csuklóba mutató helyvektor. Sik rik egy egyenesbe esnek, de ellentétes értelmőek, így skalárszorzatuk: Sik rik = Sik rik cos 180o=- Sik rik =- Sjrj. Az utolsó egyenlıség csak azt jelenti, hogy megváltoztattuk a rudak jelölését. A rudakat nem a két végükön lévı csuklóról neveztük el, hanem külön jelet kaptak (j=1,2,….r). Sj jelenti a jedik rúderı nagyságát, rj pedig a j-edik rúd hosszát. Visszatérve a kiinduló összefüggésre: c

r

∑ Fi ri + ∑ − S jrj = 0, i =1

j =1

vagy

c

r

i =1

j =1

∑ Fi ri + ∑ S jrj ,

6.5

ami a tétel állítása. A tétel, mint látjuk, térbeli, sıt sztatikailag határozatlan rácsos tartók esetén is érvényes.

85 6.1.1.2. A HÁRMAS ÁTMETSZÉS MÓDSZERE A csuklóelkülönítés módszerével egy adott rúdban ébredı erıt közvetlenül csak ritkán lehet meghatározni. Több rúderın keresztül juthatunk el a keresett rúderıhöz. A hármas átmetszés módszerével viszont szinte minden esetben közvetlenül meghatározhatjuk a kérdéses rúderıt. Az átmetszéssel a rácsos tartót (a ható erıkkel együtt) két részre választjuk az alábbi szabályok szerint: - legfeljebb három rudat vágunk át (természetesen köztük kell lenni annak a rúdnak, amelynek rúderejét keressük), - olyan három rudat kell választani, melyek átvágásával a rácsos tartó két különálló része esik szét. Ha az átvágott rudak keresztmetszetében mőködtetjük a másik oldal hatását – ami csak három rúdirányú erı lehet – akkor a bal vagy jobboldali részre alkalmazva az egyensúlyi feltételeket az ismeretlen rúderık meghatározhatók. A két részre ható erırendszer általában síkbeli általános erırendszer lesz, amelyre három egyensúlyi egyenletet írhatunk fel. Mivel a reakcióerıket még az eredeti tartón meghatároztuk, annyi ismeretlenünk lesz, amennyi az egyensúlyi egyenletek száma. Ezért kell az átvágott rudak számát háromra maximálni. Ha meghatározzuk a külsı erık eredıjét, azonnal megállapíthatjuk, hogy egy erı három adott hatásvonalon való kiegyensúlyozásáról van szó. A feladatot a Ritter-féle számítóeljárással vagy a Culmann-féle szerkesztéssel oldhatjuk meg.

A 6.9. ábrán meghatároztuk a korábbi rácsos tartó S1,2, S2,4 rúderejét szerkesztéssel. A három átvágandó rúd szinte automatikusan adódik és, ha a felsı rész egyensúlyát vizsgáljuk, a reakcióerıket nem is kell meghatároznunk.. A rudakra ható erık nyílértelmét a folytonos nyílfolyammal záródó vektorsokszög adja. Mivel most a rudakra ható erıkrıl van szó, az S1,2 erı húzásra a másik két erı nyomásra veszi be a rudakat. 6.1.2. KÉT TÁMASZÚ ÉS BEFOGOTT, EGYENES TENGELYŐ (GERENDA) TARTÓK Egyenes tengelyő vagy gerendatartónak nevezzük, azt a teherviselésre alkalmas szerkezetet, amelynek elemei(tagjai) egyenes tengelyő rudak, azaz olyan merev testek, melyek hosszmérete lényegesen nagyobb a hossztengelyre merıleges méreteiknél és amelyek sztatikailag határozott vagy határozatlan módon a nyugvó környezethez vannak kapcsolva. A sztatikában a hossztengelyre merıleges síkmetszet, a keresztmetszet geometriai alakjának nincs különösebb jelentısége, ezért az egyenes tengelyő tartó ábrázolásakor megelégszünk a keresztmetszetek geometriai középpontját összekötı egyenesek, az ún. középvonalnak a feltüntetésével. Csak a sztatika eszközeivel megoldható, tehát sztatikailag határozott egyenes tengelyő tartókkal foglalkozunk. Ennek megfelelıen az egyetlen egy merev testbıl álló teherviselı szerkezet lehetséges megfogási módjait a 6.10. ábrán láthatjuk. Az a/ ábrarészleten látható

86 tartó a mereven befogott tartó vagy konzoltartó a többi mind kéttámaszú vagy kétcsuklós tartó. A c/ és d/ ábrarészlet tartóit egy-, ill. kétoldalon konzolos kéttámaszú tartóknak nevezzük. Az egyenes tengelyő tartókkal kapcsolatos feladat a kényszerekben ébredı reakcióerık és az egyenes rúd tetszıleges keresztmetszetében fellépı belsı erık, igénybevételek meghatározása. A 6.10. ábrán láthatjuk, hogy a reakciókomponensek száma mindig három. Ezeket számítással a ∑ Fx = 0 = ....,

∑ F = 0 = ...., ∑ M = 0 = ...., x

A

egyensúlyi egyenletekbıl (vagy tetszılegesen választott három, egymástól lineárisan független egyensúlyi egyenletbıl), szerkesztéssel a vektor- és kötélsokszög rajzolással (merıleges kiegyensúlyozás) határozzuk meg. Az igénybevételek meghatározásánál abból indulunk ki, hogy ismerjük a tartóra ható összes külsı erıt és tudjuk róluk, hogy egyensúlyi erırendszert alkotnak. Kössünk a rúdhoz egy olyan koordinátarendszert, melynek kezdıpontja a rúd bal szélsı keresztmetszetének súlypontja, a z tengely pedig essen egybe a rúd középvonalával. A továbbiakban mindig ezt a 6.11. ábrán látható koordinátarendszert használjuk. A tartó igénybevételeit akkor ismerjük, ha valamilyen formában meg tudjuk adni összes keresztmetszetének belsı erıit. Ennek egyik módja az lehet, hogy olyan összefüggéseket keresünk, amelyek a keresztmetszet z koordinátával jelzett helyének függvényében adják meg az egyes igénybevételeket. Az N=N(z),

T=T(z)

és

M=M(z)

kifejezéseket normális-, nyíró- és hajlító igénybevételi függvényeknek nevezzük. 6.1.2.1. IGÉNYBEVÉTELI FÜGGVÉNYEK Az igénybevételek definíciójának megfelelıen írjuk fel a 6.12. ábrán látható egyenes tengelyő tartó igénybevételi függvényeit (a tartón csak a K keresztmetszettıl balra lévı erıket tüntettük fel, mégpedig a lehetséges erıfajtákból egyet-egyet). A normális igénybevétel függvénye: r

bv

i =1

bk

N K = N(z) = ∑ Fi cos α1 + ∫ p(ξ)dξ, 6.5/a

87 r – a K keresztmetszettıl balra lévı utolsó koncentrált erı sorszáma. A tartótengellyel párhuzamos megoszló terhelést úgy vettük figyelembe, hogy elıször a ) ∆ξ elemi szakaszon ható megoszló erıt a p( ξ ) ∆ξ nagyságú koncentrált erıvel helyettesítettük, majd ezeket a kis koncentrált erıket összegeztük a bv -bk szakaszon. A nyíró-igénybevételi függvény: bv

TK = T (z) = ∑ Fi sin α i + ∫ q (ξ)dξ, i =1

6.5/b

bk

a tartótengelyre merıleges terhelésnél ugyanúgy jártunk el mint az elıbb. A hajlító-igénybevétel függvénye: m

r

j =1

i =1

bv

M K = M (z) = ∑ M j + r ∑ Fi sin α i (z − a i ) + ∫ q (ξ)(z − ξ)dξ ,

6.5/c

bk

M – a K keresztmetszettıl balra lévı utolsó koncentrált nyomaték sorszáma. Vegyük észre, hogy hajlító-igénybevételt a koncentrált nyomatékon kívül csak a tartótengelyre merıleges erıkomponensek okoznak. Ha visszatérnénk a valóságos erırendszerhez – amikor az erık a tartó felületen támadnak – akkor, természetesen a tartótengellyel párhuzamos erıkomponenseknek is lenne nyomatéka. Ez a nyomaték azonban, a keresztmetszeti méretek viszonylagos kicsisége miatt a tartótengelyre merıleges erık által okozott nyomatékokhoz képest gyakorlatilag elhanyagolható. A (6.5) összefüggések azt mutatják, hogy az igénybevételek meghatározásánál is használható az egymásra halmozás (szuperpozíció) elve, ami lehetıvé teszi – fıleg a szerkesztı eljárásnál elınyös – , hogy a tartóra mindig csak egy fajta tehertípust, terheket tegyünk fel és az egyes terhelésekbıl származó igénybevételeket a végén algebrailag összegezzük. Az igénybevételek számítását a következı tétel is megkönnyítheti. Tétel: Egy keresztmetszet igénybevételei mindig meghatározhatók egy másik keresztmetszet igénybevételeinek a kérdéses keresztmetszetre számított hatásainak és a két keresztmetszet közötti szakaszon ható külsı erıkbıl származó igénybevételeknek algebrai összegeként. Bizonyítás: Mivel az igénybevétel, mint belsı erı nem más, mint a keresztmetszettıl balra lévı külsı erık eredıje, egy, az elızı keresztmetszettıl jobbra esı keresztmetszet igénybevétele az egymásra halmozás elvével számítható. (Ne kerülje el a figyelmünket, hogy a bal oldali keresztmetszet nyíróerejének a jobb oldali keresztmetszetre hajlítónyomatéki hatása is van). Az igénybevételek számításánál és ellenırzésénél jól használhatjuk a (3.37) jelő összefüggéseket. Egyenes tengelyő tartónál csak annyi változtatást kell tennünk, hogy az ívkoordináta helyére a z koordinátát írjuk. A (6.5) jelő összefüggések általában csak tartónak egy bizonyos szakaszán érvényesek, mégpedig azokon a tartományokon, amelyeken a terhelés jellegében nem következik be változás (pl. ha a keresztmetszetet jobbra visszük, azaz z-t növeljük, lehet, hogy egy újabb koncentrált erıt vagy nyomatékot is számításba kell vennünk. Ezeket pedig az elızı keresztmetszethez tartozó függvények nem tartalmazzák). Az igénybevételek tehát, a terhelés jellegétıl függıen, egy vagy több függvénnyel adhatók csak meg. Így az igénybevételi függvények felírása és használata elég körülményes, helyettük inkább az igénybevételi ábrákat alkalmazzuk. Az igénybevételi ábrákat az igénybevételi függvények grafikus ábrázolásával kapjuk. Az igénybevételek értékeit az egyenes tengelyő tartó alatt, a hossztengellyel párhuzamos egyenesekre merılegesen mérjük fel, így az igénybevételi ábra megadja adott terhelı erırendszer esetén tetszıleges keresztmetszet függılegesében az igénybevétel komponensek elıjelhelyes nagyságát.

88 Az igénybevételi ábrákat azonban – némi gyakorlattal – , ha nem is léptékhelyesen, de jellegüknek megfelelıen, az igénybevételi függvények felírása nélkül is megrajzolhatjuk. Az igénybevételi ábrákat tehát gyorsan felvázoljuk, mégis nagyon sok információt nyújtanak a tartó igénybevételeirıl. 6.1.2.2. A SPECIÁLIS TEHETTÍPUSOKNAK MEGFELELİ IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁK JELLEGZETESSÉGEI Az igénybevételi ábrák rajzolását megkönnyíti, az igénybevételek definíciója mellett bizonyos általános érvényő szabályok ismerete. Ezeket pedig úgy állapíthatjuk meg, hogy az egyes teherfajtáknak megfelelı igénybevételi függvényeket részletesen analizáljuk. Ezért sorra veszszük a legalapvetıbb terhelési eseteket, az igénybevételi függvények alapján megrajzoljuk igénybevételi ábrákat és legvégül összefoglaljuk a legfontosabb szabályokat. a/ Koncentrált erı Hasson a 6.13. ábrán vázolt tartóra egyetlen F erı a tartó végétıl számított a távolságú pontban. A keresztmetszet helyét adjuk meg a z független változóval. Természetesen a K keresztmetszettıl jobbra is hatnak külsı erık, sıt olyan erırendszernek kell hatnia, amelyik az F erıt kiegyensúlyozza. A jobb oldali erırendszerrel azonban nem foglalkozunk, hiszen csak a koncentrált erı által okozott jellegzetességeket kívánjuk meghatározni. Ha a keresztmetszetet valahol az a hosszúságú szakaszon vennénk fel, akkor – mivel balról semmilyen erı nincs – igénybevétel sincs: ha z
T(z) = 0,

M(z) = 0.

6.6/a,b,c

Ha a keresztmetszetet a koncentrált erı támadáspontjából jobbra vesszük fel, akkor a definíciók értelmében az egyes igénybevételek: ha z ≥ a, N(z) = F cos α = áll., T(z) = F sin α = áll., M(z) = F sin α (z-a).

6.6/d,e,f

A normális és nyíró igénybevétel tehát független z-tıl, az ábrát a tartótengellyel párhuzamos egyenes határolja. A hajlító igénybevétel z-nek lineáris függvénye, a nyomatéki ábrát egy ferde helyzető egyenes határolja. b/ Vonal mentén megoszló terhelés α /Egyenletesen megoszló terhelés Egyenletesen megoszló terhelés esetén a teherintenzitás értéke állandó: q(z) = q = áll. Az igénybevételeket ismét két szakaszra kell megadnunk: ha z < a,

89 N(z) = 0, ha z ≥ a,

T(z) = 0,

M(z) 0,

N(z) 0 , z

T(z) = - ∫ qdξ = −q(z − a ),

6.7

α

z  (z − a ) 2 ξ2  M (z) = − ∫ q (z − ξ)dξ = − q zξ −  ∫ = −q . 2 α 2  α A nyíró-igénybevétel nem más, mint a megoszló terhelést jelképezı téglalap területe, ami z-nek lineáris függvénye, azaz egy ferde helyzető egyenes határolja a nyíróerı-ábrát. A nyomatéki függvényben z a második hatványon van, így a nyomatéki ábrát másodfokú parabola határolja. Határozzuk meg még a (z-a) szakaszon ható megoszló erırendszer eredıjét. Az eredı nyilvánvalóan totális eredı lesz, melynek nagysága: z

z

Q = ∫ q(ξ)dξ = q(z − a ),

6.8/a

α

Hatásvonala párhuzamos a megoszló terhelés hatásvonalával, a keresztmetszettıl mért távolsága pedig: bv

∫ q(ξ)(z − ξ)dξ

z−a , 6.8/b Q 2 A helyettesítı erı hatásvonala tehát a megoszló terhelés téglalapjának súlypontján megy át. A megoszló terhelés által okozott igénybevételeket a helyettesítı erıvel is számíthatjuk. A K keresztmetszettıl balra csak a Q erı található, az általa okozott igénybevételek: ξQ =

N(z) = 0,

T(z) = -Q = -q(z-a),

bk

M ( z ) = −Q

=

z−a (z − a ) 2 = −q , 2 2

amelyek pontosan megegyeznek a (6.7) megfelelı kifejezéseivel. Térjünk vissza a nyomatéki függvényhez és keressünk néhány támpontot a másodfokú parabola megszerkesztéséhez. Határozzuk meg a 6.14. ábra A, B és C pontjában a hajlítónyomatékot, azaz használjuk a (6.7) utolsó összefüggését: MA = 0, M C = −q

(z − a ) 2 , 2

1 z−a (z − a ) 2 M C  M B = − q (a + ) − a  = −q = . 2 2 8 4  2

Határozzuk meg a nyomatéki görbe A, B, C pontjában az érintık iránytangensét. Az iránytangens általános egyenlete:

90

tgα =

dM (z) = T (z) = −q (z − a ). dz

Behelyettesítve a kérdéses pontok koordinátáit: tg α A = 0, az érintı az A pontban vízszintes,

tgαC = −q(z − a) =

2MC MC = , a C-beli érintıt tehát /úgy kapjuk, hogy (6.14. ábra) a Cz − a (z − a) 2

ben felmért MC-t összekötjük a z –a szakasz felezıpontjával,

z−a 2M C M   = C , tgα B = −q (a + ) − a = 2   2( z − a ) z − a a görbe B pontbeli érintıje párhuzamos a C-ben felmért MC végpontját és a megoszló teher kezdıpontját összekötı egyenessel. Ezen ismérvek alapján a parabolát már kielégítı pontossággal meg tudjuk rajzolni. β / Egyenletesen változó megoszló terhelés

Egyenletesen változó megoszló terhelésrıl akkor beszélünk, ha a teherintenzitás a helynek lineáris függvénye. Ennek egyik leggyakoribb formája a 6.15. ábrán látható, ún. háromszög alakú megoszló terhelés, ahol a megoszló terhelés egyik végpontjában a teherintenzitás nulla, másik végpontjában q. A z koordinátájú helyen a teherintenzitást hasonló háromszögek felhasználásával számíthatjuk: q ( z) = q

z−a = p( z − a ) . b−a

6.9

Az igénybevételi függvényeket ismét két szakaszra bontva írhatjuk fel: ha z < a, N(z) = 0, T(z) = 0, M(z) = 0 , 6.10/a,b,c ha z ≥ a, N(z) = 0, z

z

T(z) = − ∫ q(ξ)dξ = −p ∫ (ξ − a )dξ = − p( a

= − p(

a

ξ2 − aξ) az = 2

z a P z−a − az − + a 2 ) = − (z.a ) 2 = −q (z) , 2 2 2 2 2

2

91 z

z

M (z) = − ∫ q (ξ)(z − ξ)dξ = −p ∫ (ξ − a )(z − ξ)dξ = a

a

z 3 3 a p (z − a ) 2 z−a z−a = − p( − az 2 + za 2 − ) = − (z − a )3 = −q (z) = −q ( z ) . 6 6 6 6 6 6 3 2 3

6.10/d,e,f

3

A nyíróigénybevétel (6.10/e) szerint a keresztmetszettıl balra lévı, megoszló terhelést jelképezı háromszögnek a területe, maga a nyíróerıfüggvény z-nek másodfokú függvénye, tehát parabola. A hajlítónyomaték függvényében z a harmadik hatványon van, a nyomatéki ábrát tehát harmadfokú görbe határolja. Határozzuk meg ismét a z – a szakaszon ható, háromszög alakú megoszló terheléshelyettesítı erejét. A totális eredı erı nagysága:

p z−a Q = ∫ q(ξ)dξ = p ∫ (ξ − a )dξ = (z − a ) 2 = q(z) , 2 2 a a hatásvonala párhuzamos q-val és a K szelvénytıl mért távolsága: z

z

6.11/a

z

ξQ =

∫ q(ξ)(z − ξ)dξ a

Q

p (z − a )3 z−a 6 = = , p 3 2 (z − a ) 2

6.11/b

a helyettesítı erı hatásvonala átmegy a megoszló terhelés – K keresztmetszettıl balra levı – háromszögének súlypontján. Most is számíthatjuk az igénybevételeket a helyettesítı erıvel: N(z) = 0,

T ( z ) = − Q = −q ( z )

z−a , 2

z−a (z − a ) 2 M ( z ) = −Q = −q ( z ) , 3 6 melyek megegyeznek a (6.10) összefüggésekkel. A nyírófüggvény formailag megegyezik egy p/2 intenzitású egyenletesen megoszló terhelés nyomatéki függvényével, szerkesztésére tehát az ott megismert szabályok érvényesek (6.15. ábra). A nyomatéki ábra harmadfokú függvényének rajzolásához számítsuk ki az A, B, C pontokban a függvényértéket és az érintık iránytangensét: MA = 0, p M C = − (z − a )3 , 6 p 2( z − a ) p 8 8M C  M B = − a + − a  = − . ( z − a )3 = ≅ 0,3M C . 6 3 6 27 27  3

Az iránytangens általános kifejezése: tgα =

dM (z) p = T (z ) = − ( z − a ) 2 . dz 2

92 Ezzel: tgα A = 0, az érintı vízszintes, p 3M C MC tgα C = − (z − a ) 2 = = , a C pontbeli érintıt tehát úgy kapjuk, hogy a C-ben 2 z − a (z − a) 3 felmért MC végpontját összekötjük a vízszintes tengely és a Q helyettesítı erı hatásvonalának metszéspontjával, p 2( z − a ) p 4 MC  , tgα B = − (a + ) − a  = − . (z − a ) 2 = 3 ( z − a) 2 3 2 9  4 a görbe B pontbeli érintıje párhuzamos a C-ben felmért MC végpontját és a vízszintes tenge3 lyen a K-tól (z − a ) távolságban lévı pontot összekötı egyenessel (6.15. ábra). 4 Az egyenletesen változó megoszló terhelések csoportjába tartozik az ún. trapéz alakú terhelés. Ez annyiban különbözik a háromszög alakú terheléstıl, hogy egyik végén sem nulla a teherintenzitás (6.26. ábra). Az ilyen feladatokat a legegyszerőbben az egymásrahalmozás elvével oldhatjuk meg. A trapéz alakú terhelés ugyanis mindig felbontható egy egyenletesen megoszló (téglalap alakú) és egy háromszög alakú terhelésre, amelyek jellemzıivel már megismerkedtünk. 2

γ / Egyéb megoszló terhelés

A megoszló terhelést elvileg tetszıleges függvénnyel megadhatjuk. Ezekkel azonban – kis gyakorlati jelentıségük miatt – nem foglalkozunk. Ha mégis elıfordulna valamilyen speciális megoszló terheléstípus, az elızıekben megismert eljárást kell alkalmazni. Az eddig vizsgált megoszló terhelések mindig merılegesek voltak a tartó hossztengelyére. Láttuk, hogy ezek normális igénybevételt nem okoznak. Ha a megoszló terhelés párhuzamos a tartó hossztengelyével, akkor nyíró- és hajlítóigénybevétel nem ébred, a normális igénybevétel függvényei pedig a tartótengelyre merıleges megoszló terhelés hatására ébredı nyíróerıfüggvényekhez hasonlóan alakulnak. 3. Koncentrált nyomaték Az igénybevételi függvények igen egyszerőek lesznek. ha z < a, N(z)=0, T(z) = 0, M(z) = 0,

6.12/a,b,c

ha z ≥ a, N(z) = 0,

T(z) = 0,

M(z) = M =áll.

6.12/d,e,f

A koncentrált nyomaték normális- és nyíróigénybevételt nem okoz. A hajlítónyomaték független a keresztmetszet helyétıl, a nyomatéki ábrát a tartótengellyel párhuzamos egyenes határolja.

93 Vegyük észre, hogy mindegyik vizsgált esetben fennállnak az igénybevételi függvények között a (3.37) összefüggések. Ezek után megfogalmazhatjuk azokat a szabályokat, amelyek segítséget nyújtanak az igénybevételi ábrák – nem számításon alapuló – felvázolásánál. Ezeket a szabályokat, amelyek akár tételként is felfoghatók, külön nem bizonyítjuk, azok a (3.37) jelő összefüggések és az elıbb megadott terhelési esetek általánosításából egyértelmően következnek. Nem árt azonban, ha veszi az olvasó a fáradtságot és megpróbálja belátni az állítások helyességét, ill. a lehetséges bizonyítás gondolatmenetét. Általános szabályok: - terheletlen szakaszon a normális ábra vonala a tengellyel párhuzamos, - terheletlen szakaszon a nyíróerıábra vonal a tengellyel párhuzamos, - terheletlen szakaszon a nyomatéki ábra vonala ferde, esetleg vízszintes helyzető egyenes - a hajlítónyomaték helyi szélsı értékei ott lépnek fel, ahol a nyíróerı nulla, - a nyíróerıábra összterülete nulla. Koncentrált erıre vonatkozó szabályok: - a koncentrált erı helyén a normális ábrában az erı tartótengellyel párhuzamos összetevıjének megfelelı nagyságú ugrás (szakadás) van, - a koncentrált erı helyén a nyíróerıábrában az erı tartótengelyre merıleges összetevıjének megfelelı nagyságú ugrás (szakadás) van, - a koncentrált erı helyén – és csak itt – a nyomatéki ábrában törés van, amely az erı nyílához hasonló. Egyenletes megoszló teherre (a terhelés merıleges a tartó hossztengelyére) vonatkozó szabályok: - a megoszló terhelés szakaszán a nyíróerıábra vonala olyan ferde helyzető egyenes, amelynek meredeksége (iránytangense) a teherintenzitással egyenlı, - - megoszló terhelés szakaszán a nyomatéki ábra vonala parabola, a parabolához húzott érintı iránytangense az adott hely nyíróerejével egyenlı. Egyenletesen változó megoszló teherre (a terhelés merıleges a tartó hossztengelyére) vonatkozó szabályok: - a megoszló terhelés szakaszán a nyíróerıábra vonala olyan parabola, amelynek érintıje az adott hely teherintenzitásával egyenlı, - - a megoszló terhelés szakaszán a nyomatéki ábra vonala harmadfokú görbe, érintıjének iránytangense az adott hely nyíróerejével egyenlı. Tartótengellyel párhuzamos hatásvonalú megoszló terhelésre vonatkozó szabályok: - a terhelésbıl nyíró- és hajlítóigénybevétel nem ébred, a normális ábrára az elızı két terhelési eset elsı megállapításai érvényesek annyi módosítással, hogy nyíróerı ábra helyett normális ábrát kell mondanunk.. Koncentrált nyomatékra vonatkozó szabályok: - a normális- és nyíró-erıábrában a koncentrált nyomaték nem okoz változást, - a koncentrált nyomaték helyén a nyomatéki ábrában a koncentrált nyomatéknek megfelelı nagyságú ugrás van.

94 6.1.2.3. AZ IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁK SZERKESZTÉSE Lehetıség van arra, is, hogy az igénybevételeket szerkesztéssel határozzuk meg, ill. az igénybevételi ábrákat szerkesszük. Ehhez már korábban megismert vektor- és kötélsokszögszerkesztést és az erırendszer nyomatékának szerkesztéssel történı meghatározását használjuk fel. Mivel a tartótengellyel párhuzamos terhek nyíró- és hajlító-igénybevételt nem okoznak, célszerő a terheket tartótengellyel párhuzamos és arra merıleges összetevıkre felbontani. Ha a tartón megoszló terhelés van, ezeket eredıjükkel helyettesítjük úgy, hogy a megoszló terhelés szakaszán koncentrált erı vagy nyomaték is hat, annyi helyettesítı részeredıt határozunk meg, ahány részre felbontják ezek a koncentrált hatások a megoszló terhelést. A koncentrált nyomatékot vagy erıpárral helyettesítjük (hiszen azt a vektorsokszögben nem tudjuk figyelembe venni), vagy levesszük a tartóról és az egymásra-halmozás elvét alkalmazva két részletben oldjuk meg a feladatot. Koncentrált nyomatékkal terhelt tartót általában csak számítással szoktunk megoldani, majd a szerkesztı eljárásnak megfelelı erı- és nyomaték léptéket felvéve az igénybevételi ábrákat összegezzük. A tartótengellyel párhuzamos erırendszer mindig közös hatásvonalú erırendszer lesz egy ismeretlen reakció-komponessel, melyet az egyenessé fajuló vektorsokszögbıl meghatározhatunk. Ha minden tartótengellyel párhuzamos erı ismert, akkor a normális erık ábráját az erık egyszerő felmérésével megrajzolhatjuk. A tartótengelyre merıleges teherkomponensek síkbeli párhuzamos erırendszert alkotnak, így akár kéttámaszú, akár befogott tartóval van dolgunk a reakciókomponensek is merılegesek lesznek a tartó tengely hossztengelyére. Nagyságuk meghatározásához a vektor- és kötélsokszöget a szokásos módon rajzoljuk, csupán annyi megkötést kell tennünk, hogy a vektorsokszögben az erık olyan sorrendben kövessék egymást, ahogy a tartón balról jobbra menı sorrendben elhelyezkednek (erre azért van szükség, hogy egy adott keresztmetszetben az attól balra lévı külsı erık nyomatékát, azaz a hajlító-nyomatékot könnyen meghatározhassuk). Kéttámaszú tartónál a mesterséges záróoldal kimetszi a tartótengelyre merıleges reakciókomponensek nagyságát. Befogott tartónál a vektorsokszögbıl megkapjuk a reakciókomponenst, a kötélsokszög elsı és utolsó kötéloldalához tartozó erı, ill. a köztük lévı távolság pedig azt a terhelı nyomatékot, amelyet a reakciónyomatékkal kell kiegyensúlyozni. A hossztengelyre merıleges reakciókomponensek ismeretében a nyírıerıábra megszerkeszthetı, ami nem áll másból, mint a megfelelıerık felmérésébıl és az ábrák megoszló terhelés alatti részeinek – az egyes teherfajtáknak megfelelı elvek szerinti – módosításából. Az 5.23. ábrának megfelelı szerkesztés alapján már tudjuk, hogy a reakcióerık meghatározásához rajzolt kötélsokszög egyben a hossztengelyre merıleges terheléső tartó nyomatéki ábrája is, pontosabban azzal arányos. Az arányossági tényezı a pólustávolság, ami a párhuzamos erırendszer miatt állandó. A koncentrált erıkre megszerkesztett kötélsokszöget természetesen a megoszló terhelések alatt módosítani kell, ami abból áll, hogy a megoszló terhelés kezdı- és végpontjának függılegesei között parabolát rajzolunk az egyenletes, vagy egyenletesen változó megoszló terhelés ismérveinek megfelelıen. A nyomatéki metszék a záróoldal és az adott keresztmetszethez tartozó (az alatti) kötéloldal által közrezárt, a tartótengelyre merıleges szakasz lesz. Ha ezt szorozzuk a pólustávolsággal, akkor – a szerkesztett nyomaték definíciójának megfelelıen – a keresztmetszettıl balra lévı külsı erık keresztmetszetre vonatkozó nyomatékát, azaz a hajlító-igénybevételt kapjuk. A hajlító-igénybevétel elıjelkonvenciója alapján könnyen beláthatjuk, hogy a záróvonal alatti metszékek a pozitívak. A számított nyomatéki ábrákkal való összhang kedvéért vettük ott is lefelé a pozitív nyomatékot. A számított és szerkesztett nyomatéki ábrák között a legfeltőnıbb különbség, hogy a szerkesztett záróoldal általában nem vízszintes. Ez azonban a szerkesztés pontosságát nem befolyásolja. Vannak egyszerő módsze-

95

rek (pl.. a Culmann-egyenes sajátosságainak felhasználásával), amelyekkel a záróoldalt vízszintes helyzetbe lehet transzformálni, ezek gyakorlati jelentısége azonban csekély. A fentiek bemutatására a 6.18. ábrán szerkesztéssel meghatároztuk egy kéttámaszú tartó reakcióerıit és igénybevételi ábráit. Az összehasonlítás kedvéért felvettük a számított nyomatéki ábrát is. Lássuk be, hogy a normális- és nyíróerıábra szerkesztése igen egyszerő (szinte nem is beszélhetünk szerkesztésrıl). A tartón ható erık megfelelı komponenseit felmérjük elıjelhelyesen abban a pontban, amelyben hatnak. A nyomatéki ábra megoszló terhelésnek megfelelı

96

módosítása is egyszerő. Az A és az F1 erı támadáspontja között a berajzolandó parabola érintıi a két végpontban az 1 és 2 jelő kötéloldal. Az ezek által alkotott háromszöget a Q1 hatásvonalán felezzük és ezen a ponton is átmegy a parabola. A szerkesztett nyomatéki ábrában a konzolrészen nem a záróoldal, hanem a konzolon ható erıkhöz tartozó kötéloldalak

97 határolják a nyomatéki metszékeket. Végül használjuk fel az igénybevételi ábrákat a rajzolásunkra vonatkozó szabályok átismétlésére és ellenırzésére. Az igénybevételi ábrákkal kapcsolatban meg kell még említenünk a következıket. A rajzolásunkra vonatkozó szabályokban azt állítottuk, hogy koncentrált erı alatt a nyíróerıábrában ugrás, a nyomatéki ábrában törés van, valamint koncentrált nyomatéknak a nyíróerıábrára nincs hatása, a nyomatéki ábrában viszont ugrás van. Ezek a megállapítások azonban csak az idealizált koncentrált hatásokra vonatkoznak. Tudjuk, hogy a valóságban ezek felületen megoszló erık, melyek síkban vonal mentén megoszló erıkké redukálódnak. A koncentrált erı a valóságban tehát egy kicsi ∆z szakaszon oszlik meg, az intenzitás függvény elvileg tetszıleges függvény lehet. A lényeg az, hogy a megoszló erırendszer eredıje éppen F legyen. A 6.19/a ábrán megrajzoltuk a terhelésnek megfelelı igénybevételi ábrákat és a koncentrált erınek megfelelı idealizált ábrákat. Megállapíthatjuk, hogy ha ∆z elegendıen kicsi, az ábrák között gyakorlatilag nincs különbség. A koncentrált nyomatékot a valóságban mindig erıpár képviseli, mégpedig olyan, amelynek a karja kicsi, s ennek megfelelıen alapja nagy: F = M / ∆k . Az erıpár koncentrált erıit ismét megoszló erırendszerként mőködtetve a 6.19/b ábrán megrajzoltuk a valóságos igénybevételi ábrákat, majd az idealizáltakat. Ha ∆k és ∆z tart a nulla felé, a két nyomatéki ábra gyakorlatilag megegyezik. A nyíróerı-ábrában azonban a határátmenet képzésével elvileg végtelen nagyságú erık lépnek fel, ami végtelen nagyságú ugrást von maga után. Ezt szimbolizálja a koncentrált nyomaték helyén felvett két, „végtelen hosszúságú” párhuzamos egyenes. Az így keletkezett ugrás azonban alkalmatlan a nyíró-igénybevétel meghatározására, ezért inkább megmaradunk annál – az elvi szempontból ugyan helytelen, de gyakorlatilag elfogadható – megállapításnál, hogy a koncentrált nyomaték a nyíróerıábrában nem okoz változást. 6.1.2.4. AZ IGÉNYBEVÉTELEK SZÉLSİ ÉRTÉKEINEK MEGHATÁROZÁSA A tartószerkezetek méretezése szempontjából az egyik legfontosabb feladat az igénybevételek szélsı értékeinek meghatározása. Elméletileg egy függvény szélsı értékeit, ill. szélsıértékhelyeit a függvény hely szerinti differenciálásával kapjuk. A hajlítónyomaték lokális szélsıértékeinek helyeit deriválással és (3.37/c.) figyelembevételével a dM (z) = T(z) = 0 dz kifejezésbıl számíthatjuk. A nyomaték szélsı értékei tehát azokon a helyeken lépnek fel, ahol a nyíróerı nulla. A normális erı és nyíróerı szélsı értékeinek meghatározásához is hasonló összefüggéseket írhatunk fel, de ezekre – a függvények egyszerősége miatt – nincs is szükség. Éppen az igénybevételek szélsı érzékeinek meghatározásánál láthatjuk be leginkább a – felvázolt – igénybevételi ábrák rendkívüli jelentıségét. Segítségükkel rögtön megtaláljuk a szélsı értékek helyeit. Ezekre a keresztmetszetekre alkalmazva az igénybevételek definícióit a szélsı értéket számíthatjuk vagy a szerkesztett ábrákról levehetjük. Méretezéstechnikai okokból szükség van a normális- és hajlító-igénybevételek maximumára és minimumára is, melyeket az alábbi módon jelölünk: + − + − N max , N min = N max , M max , M min = M max .

A nyíró-igénybevételnél elegendı annak abszolút maximumát megadni:

98

T max = Tmax , Nem kell különbséget tenni a pozitív és negatív nyíróigénybevétel között. Szemléltetésül határozzuk meg a 6.18. ábra feladatának szélsı igénybevételeit. Normálerı: Csak húzóigénybevétel lép fel és az minden keresztmetszetben ugyanakkora: + N max = F2 x , N −max = 0.

Nyíróerı: Ha csak felvázolt nyíróerıábránk van, akkor három helyen kell szélsı értéket gyanítanunk, az A pontban és a B ponttól balra esı szakaszon. Mindhármat kiszámolva vagy a szerkesztett ábráról lemérve, az alábbi értékre legnagyobb: Tmax = Ay. Hajlítónyomaték: A nyíróerı-függvény négy helyen metszi a nulla tengelyt. A tartó végpontjain, itt a nyomatékok nullák és az F1 , valamint a B erık talppontjában, ahol a nyomatékok számítással és szerkesztéssel: qa 2 = py +max , 2 = F2 y a = py −max .

M +max = A ya − − M max

6.1.3. TÖBBCSUKLÓS, EGYENESTENGELY (GERBER-) TARTÓK Gerber tartónak nevezzük az olyan többtámaszú, egyenes tengelyő tartót, melyen az egy állócsuklós és n-1 mozgócsuklós megtámasztáson kívül – bizonyos feltételeket kielégítı helyeken – n-2 darab csukló is található (6.20. ábra). Elkülönítve a szerkezetet az összes lehetséges merev testre, azok száma n-1 lesz, külsı kényszerként egy álló csukló és n-1 mozgó csukló (támasztás), belsı kényszerként n-2 csukló szerepel. A szerkezet szabadságfoka: f = f 0 − z = 3(n − 1) − [2.1 + 2(n − 2) + 1(n − 1)] = 0. A szerkezet sztatikailag határozott. Az elkülönítés módszere egyben lehetıséget ad a külsı és belsı kényszerekben ébredı erık meghatározására. A csuklóknál szétszedett n-1 darab egyenes tengelyő tartóra felírva a három, lineárisan független egyensúlyi egyenletet az egyenletrendszerbıl a 3(n-1) reakció- és csuklóerıkomponens meghatározható. Ebben a megoldásban a csuklóerıket felszabadítottuk, formailag külsıvé alakítottuk. A Gerber-tartókkal kapcsolatos feladatokat azonban más gondolatmenettel is megoldhatjuk. Ha nem lennének csuklók a tartóban, a szerkezet szabadságfoka f = f 0 − z = 3.1 − [2.1 + 1(n − 1)] = −(n − 2) Lenne. Az egyetlen merev testbıl álló, n támaszú tartó tehát sztatikailag n-2-szer határozatlan. Sztatikai eszközökkel ez a feladat nem oldható meg. A szerkezetet valamilyen módon határozottá kell tenni. Ennek egyik módja a csuklóbevitel. A csuklók ugyanis nyomatékot az egyik

99

tartórésznél a másikra nem tudnak átadni, az egész tartót tekintve a csuklók keresztmetszetében a hajlító-igénybevételnek nullával kell egyenlınek lennie. Minden csuklóra felírhatunk hát egy olyan igénybevételi egyenletet, amelynek egyik oldalán a csuklótól balra vagy jobbra lévı külsı erınek a nyomatéka szerepel, a másik oldala pedig nulla. A csuklóra írt igénybevételi egyenletek – helyes csuklóhely választás esetén – egymástól lineárisan függetlenek és az egyensúlyi egyenletekkel egy n+1 egyenletbıl álló egyenletrendszert alkotnak: Egyensúlyi egyenletek: ∑ Fx = 0...,

∑ F = 0..., ∑ M = 0..., y

A

6.13/1, 2, 3.

100 Igénybevételi egyenletek: ∑ M Ci (balról) = ∑ M Ci ( jobbról) = 0 = ...(i = 1,2,....n − 2),

6.13/4, 5,…, n+1

ahonnan az n+1 számú ismeretlen reakciókomponens (támaszerı) meghatározható. Az összes külsı erı ismeretében az igénybevételi ábrákat már megrajzolhatjuk, ill. tetszıleges keresztmetszetben az igénybevételeket számíthatjuk. A nyomatéki ábra rajzolásánál némi segítséget ad az az ismeret, hogy az ábra vonalának a csuklók függılegesen át kell mennie a nulla ponton (6.20. ábra). A csuklókat az eredetileg határozatlan tartón úgy kell elhelyezni, hogy a csuklóknál szétszedett tartórészre ható erık elvileg egyensúlyi erırendszert alkothassanak. A 6.20. ábrán alkalmazott csuklóelhelyezés megfelel ennek az alapelvnek. Ha egy csuklót pl. a jobboldali konzolon helyeztünk volna el, akkor erre a jobb oldali tartórészre ható erık (a megoszló terhelés és a csuklóerı) nem alkothatnak egyensúlyi rendszert, egy kiegyensúlyozatlan nyomaték lépne fel. Az igénybevételek szélsı értékeinek meghatározása ugyanúgy történik, mint az egyszerő egyenestengelyő tartóknál. 6.1.4. TÖRT TENGELYŐ ÉS ÁGAS TARTÓK (KERETEK) Ha a tartó keresztmetszeteinek középpontját összekötı vonal egyenes, de egymással mereven összekapcsolt szakaszokból áll, tört tengelyő, ha a középvonal el is ágazik, ágas tartóról beszélünk. Ezeket a szerkezeteket alakjuk miatt kereteknek is nevezik. Ha a középvonal önmagába visszatért, zárt hurkot alkot, zárt, egyébként nyitott keretrıl beszélünk (6.21. ábra). Mivel a szerkezet egyetlen egy merev testet alkot, sztatikailag határozott megtámasztás esetén a külsı reakciókomponensek a már megismert módszerekkel mindig meghatározhatók. A belsı erık meghatározása szempontjából az egyik probléma a keresztmetszettıl balra vagy jobbra lévı tartórész meghatározása. Mivel a tartó alakja tetszıleges lehet, a balra és jobbra fogalmának szokásos értelmezése tévedéshez vezethet, így azt a következıképpen definiálhatjuk. Vegyünk fel egy irányt, amely mentén végighaladva elérünk a tartó egyik végétıl a másikig. Ágas tartók esetén természetesen a felvett irány is elágazik. A tartó valamely keresztmetszetétıl balra esı erırendszeren azokat az erıket értjük, amelyek a felvett iránnyal ellentétes tartórészen mőködnek. A 6.21. ábra nyitott keretein bejelöltünk egy lehetséges irányfelvételt. A keretek felépítésük következtében lehetnek belsıleg is határozatlanok, azaz hiába ismerjük az összes külsı erıt, a belsı erıket mégsem tudjuk meghatározni. Ez a helyzet a zárt kereteknél. Akárhol vesszünk fel keresztmetszetet, ahhoz képest az egész szerkezet „balra” esik, tehát az összes külsı erı hatását figyelembe kell venni, azok azonban egyensúlyi erırendszert alkotnak, az igénybevételre tehát nullát kapnánk, ami lehetetlen. A zárt keretek igénybevételeit csak az alakváltozás figyelembevételével lehet meghatározni. A nyitott keretek – akár elágazók, akár nem – belsıleg mindig határozottak. Ezeknél az igénybevételi ábrákat a tartó tengelyvonalára rajzoljuk, úgy, hogy az igénybevétel értékét a tengelyvonalra merılegesen mérjük fel. Felhívjuk a figyelmet, hogy az igénybevételi függvények közötti (3.37) összefüggések csak az egyes egyenes szakaszokon érvényesek, a sarokpontokban érvényüket vesztik. Lehet pl. egy sarokpontban a nyíróerıábrában ugrás anélkül, hogy ott koncentrált erı mőködne. A nyomatéki ábrák rajzolását megkönnyíti az a tulajdonság, hogy két azonos sarokpontba összefutó rúd végein a hajlítónyomaték, ha nincs ott koncentrált nyomaték, megegyezik. Elágazó csomópontban viszont az elıjeles nyomatékösszegnek nullával kell egyenlınek lennie, hiszen a kivágottnak képzelt elágazási pont a rá ható nyomatékok hatására egyensúlyban van.

101

A 6.22. és 6.23. ábrán egy tört tengelyő és egy elágazó tartónak az igénybevételi ábráit vázoltuk fel a szemléltetés kedvéért. 6.1.5. ÍVES (GÖRBE) TENGELYŐ TARTÓK Ha a tartó középvonalát szimbolizáló vonal görbe, íves tengelyő tartóról beszélünk. A szerkezet most is egyetlen egy merev testbıl áll, így a sztatikailag meghatározott megfogású tartó három reakciókomponense számítással vagy szerkesztéssel mindig meghatározható. Az igénybevételek szempontjából a zárt ívek határozatlanok, csak a nyitott íves tartók belsı erıit lehet sztatikai eszközökkel meghatározni. A jobb és bal oldal eldöntéséhez – a tört tengelyő tartókhoz hasonlóan – általában itt is fel kell venni egy irányt. Az igénybevételi ábrák rajzolásának egyik módja, hogy a keresztmetszetnél a tartógörbéhez húzott érintıre merılegesen felmérjük az igénybevétel értékét. Ezt a módszert azonban körülményessége miatt ritkán alkalmazzák.

102

Az íves tengelyő tartók igénybevételeit szerkesztéssel az eddigiektıl némileg eltérı módon is meg lehet határozni. Szerkesszük meg a 6.24. ábrán látható tartó reakcióerıit a már ismert módon. Ezek ismeretében vegyünk fel egy keresztmetszetet valahol az A csukló és az F1 talppontja között. A keresztmetszettıl balra csak az A erı hat, nagyságát és hatásvonalának irányát a vektorsokszögbıl kivehetjük. Ezután vegyük fel a keresztmetszetet valahol az F1 és F2 talppontja között. A keresztmetszettıl balra most az A és az F1 erı van, ezek

103

eredıje R 1 , melynek nagysága , hatásvonalának dılése a vektorsokszögbıl kivehetı, helye pedig az A és az F1 hatásvonalának metszéspontján van. Hasonlóan határozhatjuk meg az F2 − F3 és az F3 − B erık talppontjai között felvett keresztmetszetek bal oldali eredıit. Egy K keresztmetszetben a normális és nyíró-igénybevételt úgy határozzuk meg, hogy a hozzátartozó bal oldali eredıt a 6.24/c. ábrának megfelelıen felbontjuk a keresztmetszet síkjára merıleges és azzal párhuzamos komponensekre. A hajlító-igénybevétel nem más, mint a bal oldali eredı és keresztmetszet középpontjából az eredıre bocsátott merıleges szakasz hosszának szorzata, az ábra jelöléseivel: MK=R1yK. Az A, R 1 , R 2 , B erık azonban úgy is felfoghatók, mint egy 0’ póluspontból húzott kötélsokszög oldalai, a nekik megfelelı kötélsokszög ágai az adott keresztmetszethez tartozó bal oldali eredı erı hatásvonalának helyét adják. Ezt a kötélsokszöget nyomásvonalnak nevezzük. A nyomásvonalat természetesen nemcsak egyenes, hanem görbe szakaszok is határolhatják. Mivel a nyomásvonal kötélsokszög, a különbözı tehertípusok alatti szerkesztésre a hajlító-igénybevételi ábránál tanultak érvényesek. A nyomásvonal és a rajta ható erık nagyságának ismeretében – azaz ismét vektor és kötélsokszögszerkesztéssel – az igénybevételek a fent leírt módon meghatározhatók. Könnyen beláthatjuk, hogy ha a nyomásvonal követné a tartó alakját, pontosabban a tartót olyan alakúra terveznék, mint a terhelésbıl meghatározható nyomásvonal, akkor – a tartó keresztmetszeteiben csak normálerı ébredne, mégpedig az esetek többségében nyomóerı (innen a nyomásvonal elnevezés). 6.1.6. HÁROMCSUKLÓS ÍVEk ÉS KERETEK Ha a korábban megismert nyitott ívet vagy keretet két álló csuklóval rögzítjük a környezethez, az sztatikailag egyszeresen határozatlanná válik. A határozatlanságot itt is, mint a Gerbertartóknál egy újabb csukló elhelyezésével szüntethetjük meg. A csuklóknál elkülönített tartó két tagból és három kétkötöttségő kinematikai párból áll, így a szabadságfok: f = f0-z = 3.2 – 2.3 = 0.

104 A harmadik csuklót úgy kell elhelyezni, hogy a csuklónál szétválasztott két tartó az aktív és passzív erırendszer hatására elvileg nyugalomban maradhasson. A fenti alapelvnek megfelelı és a gyakorlatban sokszor alkalmazott szerkezeteket háromcsuklós tartóknak nevezzük. A külsı kényszererık meghatározására ismét két lehetıség nyílik. A harmadik csuklónál szétválasztjuk a szerkezetet két merev testre és a reakciók, valamint a csuklóerık hat komponensét a rendelkezésre álló hat egyensúlyi egyenletbıl számíthatjuk. A másik eljárásnál nem kell meghatározni a csuklóerıket. Az egész szerkezetre felírjuk az egyensúlyi egyenleteket és a harmadik csuklóra egy hajlító-igénybevételi összefüggést, amelyet nullával teszünk egyenlıvé, hiszen a csukló nyomatékot vihet át:

∑ F = 0 = ..., ∑ F = 0 = ..., ∑ M = 0 = ..., (balról) = ∑ M ( jobbról) = 0... x

y

A

∑M

C

C

Ezekbıl a külsı reakciók négy komponense éppen meghatározható. Az igénybevételeket ugyanúgy számítjuk, mint az egyszerő tört tengelyő vagy íves tartók esetén.

A reakcióerık és az igénybevételek szerkesztéssel is meghatározhatók. A szerkesztéshez az egymásrahalmozás elvét használjuk fel. Vegyük le a C csuklótól jobbra lévı terhelést (6.25. ábra). Ezzel a CB tartórész támasztórúddá válik és a bal oldali terhelés hatására a B csuklóban ébredı részreakció iránya csak a C és B pontokat összekötı egyenes lehet. Vektorés kötélsokszög-szerkesztéssel az A1 és B1 részreakciók nagyságát és hatásvonaluk dılését meghatározhatjuk. Ezután a C csuklótól balra lévı terhelést vesszük le és az elıbbiekhez hasonlóan megszerkesztjük az A 2 , a B2 részreakciókat. Az eredı reakcióerıket, azaz a teljes terhelés hatására fellépı reakciókat nyilvánvalóan a részreakciók vektoriális összege adja. Ezt a 6.25/b ábrában egyszerően megkapjuk. Az A és B reakciók vektorábrabeli 0’ metszéspontját póluspontnak tekintve, az A, R 1 , R 2 , R 3 , B bal oldali eredıknek megfelelı kötéloldalakkal megrajzolt kötélsokszög a tartó nyomásvonalát adja. A nyomásvonalnak át kell mennie a C csuklón, mert csak így tőnik el a bal oldali eredı erı nyomatéka a C pontra. A nyomásvonalat másként is megrajzolhatjuk. Olyan kötélsokszöget kell szerkeszteni, amely három, elıre megadott ponton megy át. Az A ponton át felvett Culmann egyenessel elérjük,

105 hogy a második kötélsokszög átmenjen a B ponton is, majd az A és B ponton át felvett második Culmann egyenes lehetıvé teszi, hogy a harmadik kötélsokszög a C ponton is átmenjen. Ez a kötélsokszög megadja az A és B reakciók hatásvonalát, a folytonos nyílértelemmel záródó vektorsokszög pedig nagyságukat. A nyomásvonal ismeretében az igénybevételek ugyanúgy számíthatók, mint íves tengelyő tartók esetén. 6.1.7. MOZGÓ TERHELÉSŐ TARTÓ A teherviselı szerkezetek nagy részén a terhek általában nyugalomban vannak, ill. a mozgó terhek az összes tehernek oly csekély hányadát teszik ki, hogy jó közelítéssel azokat is nyugvónak tekinthetjük. Vannak azonban olyan szerkezetek (hidak, darupályák), amelyekre elsısorban helyüket változtató, mozgó terhek hatnak. Mozgó terhelés hatására a tartó reakciói, egyes keresztmetszeteinek igénybevételei a teher helyének függvényében változnak. Nyugvó terhelés esetén a tartó tetszıleges keresztmetszetének igénybevételeirıl az igénybevételi függvények és –ábrák adtak felvilágosítást, azok megadják a nyugvó terhelésnek megfelelı teherálláshoz az összese keresztmetszet igénybevételét. Mozgó terhelésnél azonban nemcsak egy, hanem végtelen sok teherállás van, az igénybevételi ábra rajzolás tehát igen gazdaságtalan lenne. Helyette inkább olyan függvényekre (ábrákra) lenne szükség, amelyek ugyan csak egy keresztmetszetre, de az összes lehetséges teherálláshoz megadják az igénybevételeket. Ha néhány tipikus helyzető keresztmetszetre ismerjük ezeket a függvényeket, akkor általában kielégítı képet kaphatunk az egész szerkezet igénybevételeirıl. Természetesen így is megoldhatatlan problémával állunk szemben, ha az összes elképzelhetı teherfajtára és –rendszerre kívánnánk a fenti függvényeket meghatározni. Az egymásrahalmozás elve azonban lehetıvé teszi, hogy terhelésként egyetlen, egységnyi nagyságú, koncentrált erıt vegyünk csak figyelembe, amely a szerkezet bármely pontján elhelyezkedhet. Az egységnyi koncentrált teher okozta reakciókat , igénybevételeket hatásnak nevezzük, a fenti alapelvnek megfelelı függvényeket hatásfüggvényeknek grafikus ábrázolásukat pedig hatásábráknak. A hatásfüggvény tehát megadja a tartó egy elıre kiválasztott helyén, keresztmetszetében a hatásokat az egységnyi koncentrált erı helyének függvényében. Beszélhetünk reakció-, normálerı-, nyíróerı-, nyomatéki hatásfüggvényérıl, ill. hatásábráról. Látni fogjuk, hogy a hatásábrák – hasonlóan az igénybevételi ábrákhoz – a hatásfüggvények ismerete nélkül is könnyen megszerkeszthetık néhány egyszerő szabály alapján. A hatásábrák pedig kiválóan alkalmasak arra, hogy segítségükkel meghatározzuk a tényleges terhelésnek megfelelı igénybevételek szélsı értékeit. A hatásábrák nagy elınye, hogy alakjuk csak a tartó szerkezetei felépítésétıl függ. Mindenféle szerkezethez lehet hatásábrát szerkeszteni, mi azonban csak függıleges hatásvonalú erıkkel terhelt, vízszintes helyzető, egyenes tengelyő (befogott, kéttámaszú és Gerber-tartók) és párhuzamos övő rácsos tartókkal foglalkozunk. Az egyenes tengelyő tartóknál reakció-, nyíróerı- és hajlító-nyomatéki hatásábrákat, a rácsos tartóknál rúderıhatásábrákat kell szerkeszteni. 6.1.7.1. EGYENES TENGELYŐ TARTÓK HATÁSÁBRÁI A hatásfüggvényeket éppúgy kell felírni, mint az igénybevételi függvényeket, csak annyi a változás, hogy itt a független változó az egységnyi koncentrált erı helye. A hatásfüggvények ismeretében a hatásábrák könnyen megrajzolhatók. A hatásfüggvények felírásához és az ábrák rajzolásához vizsgáljuk meg a 6.26. ábrán látható kéttámaszú tartót: Határozzuk meg az ηA reakcióhatást. Az egységnyi erı helyét jelöljük z-vel és írjunk fel a B pontra egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

106

∑M

B

= 0 = ηA b − 1(b − z),

innen z . b Az A reakcióhatás függvénye lineáris, a neki megfelelı egyenes felrajzolása nem okoz gondot (az ábrán tradicionális okokból a pozitív mennyiségeket lefelé mérjük). Vegyük észre, hogy a függvény a B támasztól jobbra, azaz a konzolrészen is érvényes. Az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletbıl ηB -t határozhatjuk meg: ηA = 1 −

∑M

A

= 0 = ηB b − 1z ,

z , b ami az elızıvel éppen ellentétes meredekségő egyenes. Határozzuk meg az A támasztól a távolságra lévı keresztmetszetben a nyíróerıhatást: ha z < a z z ηTK = ηA − 1 = 1 − − 1 = − , b b ha z > a z ηTK = ηA = 1 − . b Míg az egységnyi erı a keresztmetszettıl balra van, a nyíróerıhatás a ηB mínusz egyszerese, a keresztmetszettıl jobbra pedig maga az ηA . Így a nyíróerıhatásábrát már megszerkeszthetjük. Az ábrában a K keresztmetszet alatt szakadás van. A hajlító-igénybevételi (nyomatéki) hatás a K keresztmetszetben: ha z < a z az ηM K = ηA a − 1(a − z) = (1 − )a − a + z = z − , b b ha z > a az ηM K = ηA a = a − . b ηB =

Az elsı függvény z = 0-nál nulla, z = b-nél b-a, a második függvény z = 0-nál a, z = b-nél nulla. E pontokat kell egyenesekkel összekötni és mindegyik csak az értelmezési tartományán érvényes. A hatásábrák alapján tetszıleges z helynek megfelelı η hatásmetszék – hasonló háromszögek felhasználásával – számítható. A hatásfüggvények még azt is megmutatják, hogy a

107 reakció- és nyíróerı-hatásmetszék dimenzió nélküli szám, a nyomatéki hatásmetszék dimenziója pedig hosszúság. Teljesen hasonló elven határozhatnánk meg a befogott tartó vagy a Gerber-tartó hatásfüggvényeit. A hatásábrákat azonban a virtuális munka elvének felhasználásával még egyszerőbben is megszerkeszthetjük. Vizsgáljuk a 6.27. ábrán látható Gerber-tartót és határozzuk meg az ηA reakcióhatást az egységnyi teher z helyzeténél. Alkalmazzuk a virtuális munka elvét (egyensúlyi erırendszer virtuális elmozdulás során végzett munkája nulla). Mivel a tartó sztatikailag határozott+, valamilyen módon f=1 szabadságfokúvá kell alakítanunk. Pl. távolítsuk el az A támaszt (csuklót). Ettıl a szerkezet már mozgathatóvá válik. Mozdítsuk el a tartó A támasz feletti részét y távolsággal lefelé. Ahhoz hogy a virtuális elmozdulásnak eleget tegyünk, a tartó többi támasz feletti pontjának helyben kell maradnia és az eredetileg egyenes tartóvonal csak a C csuklónál törhet meg. A munkaegyenletben csak az egységnyi erı és az ηA reakcióhatás (értelmérıl feltesszük, hogy felfelé mutat) fog szerepelni:

− ηA y + 1η = 0, ahol η -val az egységnyi erı elmozdulását jelöltük. Az egyenletbıl: ηA =

η , y

ha y-t nemcsak eleminek, de egységnyinek is választjuk:

ηA = η , ami azt jelenti, hogy az elmozdított tartóvonal – ha a keresett helyen az elmozdítás egységnyi nagyságú – éppen a reakcióhatásábra vonala. Gyakorlásképpen megszerkesztettük a B és D támasz reakcióhatásábráit is. A K keresztmetszet nyíróerıhatásának meghatározásához úgy tesszük az eredeti tartót mozgatgatóvá, hogy a K pontban átvágjuk a tartót. Mőködtessük az átvágás bal és jobb oldali keresztmetszetében a lehetséges belsı erıket, az ηTK nyíróerı- és az ηM K nyomatéki hatást, majd adjunk a szerkezetnek a 6.28. ábrán látható virtuális elmozdulást. A pontba futó bal oldali tartóvéget mozdítsuk el y1 távolsággal lefelé, a jobb oldalit y2 távolsággal felfelé. A

108 virtuális elmozdulásnak megfelelıen a támaszok felett a tartóvonal helyben marad, törés csak a csuklónál lehetséges. A munkaegyenlet: ηTK y1 + ηTK y 2 − ηM K ϕ1 + ηM K ϕ2 + 1η = 0,

ϕ1 és ϕ2 az elmozdítás következtében fellépı keresztmetszet-elfordulás. A fenti kifejezésbıl:

ηT =

− η + η M K (ϕ1 − ϕ2 ) y1 + y 2

K

,

ha az elmozdítás eleget tesz a ϕ1 − ϕ2 = 0 és y1+y2 = 1 feltételeknek, akkor

ηT = −η . K

Tehát az átvágott rúdvégeket úgy mozdítjuk el – a negatív elıjel miatt a bal oldalit felfelé – hogy egységnyi távolságra kerüljenek egymástól és ugyanakkor párhuzamosak legyenek egymással, akkor az elıállott tartóvonal éppen a K keresztmetszet nyíróerıhatásábrája. A nyomatéki hatás meghatározásához az átvágás után mozdítsuk el mindkét tartóvéget y távolsággal lefelé. A virtuális elmozdítás ismérveit már nem kell részleteznünk. A két rúdvégre ható belsı erıket a 6.29. ábrán külön is kirajzoltuk. A munkaegyenlet: 1η − ηTK y − ηM K ϕ1 + ηTK y − ηM K ϕ2 = 0, Innen

ηM K =

η . ϕ1 + ϕ2

Ha az átvágás után a tartóvégeket azonos értékben lefelé úgy mozdítjuk el, hogy ϕ1 + ϕ2 =1 legyen, akkor

ηM = η , K

az elmozdított tartóvonal éppen a kijelölt keresztmetszet nyomatéki hatásábráját adja. Az azonos nagyságú elmozdítás biztosítására formailag elegendı, ha csuklót helyezünk el a kérdéses keresztmetszetben. A csuklónál a tartó vonala megtörhet és addig kell lefelé elmozdítanunk a csuklót, míg ún. egységnyi szögelfor-

109 dulást végzünk. Az egységnyi szögelfordulásra vonatkozó feltételt akkor teljesítjük, ha a 6.29. ábrának megfelelıen szerkesztjük meg a rudak helyzetét. Az elemi elmozdulás miatt: ϕ1 + ϕ2 ≅ tgϕ1 + tgϕ2 =

b − a a b − a − +a + = = 1. b b b

Az egyenes tengelyő tartók hatásábráit a fentiek alapján a következı szabályok szerint végezhetjük: -

Raekció hatásábra: Távolítsuk el gondolatban a kérdéses támaszt. Ezáltal a tartó mozgathatóvá válik. Mozdítsuk el a tartónak az eltávolított támasz feletti pontját lefelé egységnyi távolsággal (az egységet oly kicsire választjuk, hogy a ferde vonalak hossza vízszintes vetületük hosszától csak lényegtelenül különbözzön). A tartó többi támasza helyben marad, az eredetileg egyenes tartótengely csak a csuklónál törhet meg.

-

Nyíróerı hatásábra: A vizsgált keresztmetszetnél gondolatban elvágjuk a tartót, mely így ismét mozgathatóvá válik. Az elvágott tartóvégeket távolítsuk el egymástól – bal oldalit felfelé, a jobb oldalit lefelé - egységnyi távolságra úgy, hogy a tartóvégek egymással párhuzamosak legyenek. A virtuális mozgatással elıálló tartóvonal a nyíróerı hatásábra határvonala.

-

Nyomatéki hatásábra: A vizsgált keresztmetszetnél gondolatban csuklót iktatunk a tartóba. Az ily módon mozgathatóvá vált tartón forgassuk el a csuklónál csatlakozó darabokat – a bal oldalit az óramutató járásával egyezıen, a jobb oldalit ellentétesen –. Úgy, hogy a csuklótól egységnyi távolságra felvett függılegesbıl az elfordított darabok egyenesei egységnyi függıleges szakaszt metszenek ki (ún. egységnyi elforgatást végzünk). Az így kapott tartóvonal a nyomatéki hatásábra határvonala.

6.1.7.2. A PÁRHUZAMOS ÖVŐ RÁCSOS TARTÓK RÚDERİ HATÁSÁBRÁI A párhuzamos övő rácsos tartó alsó és felsı övrúdjai egy-egy egyenesbe esnek, melyek párhuzamosak egymással. A rácsrudak a két övet kötik össze, ha az övekkel derékszöget zárnak be oszlopnak, minden más szög esetén ferde rácsrúdnak nevezzük ıket. az olyan oszlopnak a neve, amely a legtöbb teherállásnál vakrúdként viselkedik, összekötırúd. Mivel a rácsos tartókra csak a csomópontokban hathatnak erık, mindig szükség van egy egy kiegészítı tartóra, amelyen az egységnyi koncentrált tehet bárhol elhelyezkedhet és amely a csomópontokon támaszkodik fel. ezt a kiegészítı tartót röviden pályának hívjuk. Ha a pálya az alsó övek csomópontjában adja át a terhét, alsópályás, ha a felsı öv csomópontjain függ felsıpályás szerkezetrıl beszélünk. Ha az egységnyi teher a pályán két csomópont között tartózkodik, kiegyensúlyozása a két csomóponton a kéttámaszú tartó reakcióerıinek megfelelıen történik. A hatásábrák szerkesztésének szabályaihoz vizsgáljuk a 6.30. ábrán látható tartót az I jelő alsó pályás és a II jelő felsı pályás esetben. Határozzuk meg az η2,3 rúderıhatást. Hármas átmetszést alkalmazva a rúd nyomatéki fıpontja a 7 jelő csomópont. A bal oldali tartórész egyensúlyát vizsgálva: ηA a − 1z − η2,3m = 0, innen

110

η2,3 =

1 [ηAa − 1z] = 1 ηM 7 , m m

mert a szögletes zárójelben lévı kifejezés egy mozgó terheléső, kéttámaszú tartónak a 7-es pontra, mint keresztmetszetre vonatkozó nyomatéki hatásábrája. A fenti összefüggés szerint a 2,3 jelő övrúd rúderı hatásábrája a rúd nyomatéki fıpontjára szerkesztett nyomatéki hatásábrának az m-ed része, ahol m a párhuzamos övő tartó magassága. Az így nyert hatásábrát még módisítani kell annak érdekében, hogy figyelembe vegyük azt a megkötést, hogy a rácsos tartóra csak a csomópontokban hathat erı. Amíg az egységnyi teher a 6 és 7 csomópontok között helyezkedik el, egy része a 6-os, másik része a 7-es csomópontot terheli. Mivel a két csomópontra ható erı a hely függvényében lineárisan változik, a hatásábrák módisítása is egyenesekkel történik. A 6 és 7 jelő csomópontokban felvett függılegeseket átviteli függılegeseknek nevezzük. Ahol az átviteli függılegesek metszik a hatásábrák határvonalát, azokat a pontokat összekötjük egy egyenessel. Elıfordulhat, hogy a módosítás nem változtat az eredeti hatásábrán. Ez a helyzet az alsó pályás esetnek megfelelı η2,3 hatásábráján. Felsıpályás esetben az átviteli függılegeseket a 2es és 3-as csomópontokon át kell húzni és ezek már megváltoztatják az eredeti hatásábra határvonalát. Teljesen hasonló alapelven határozhatjuk meg a 6, 7 jelő övrúd rúderı hatásábráját. A nyomatéki fıpont itt a 3-as csomópont, az átviteli függılegesek pedig csak alsó pályás esetben módosíthatják az η6, 7 ábra határvonalát. A 3,7 jelő rúderı hatásának meghatározásához az elızı átmetszést alkalmazva írjuk fel a bal oldali tartórészre egy függıleges irányú vetületi egyensúlyi egyenletet: ηA − 1 + η3, 7 sin α = 0, innen: η3,7 =

−1 [ηA − 1] = 1 ηTK , sin α sin α

111 mert a szögletes zárójelben lévı mennyiség a mozgó terheléső, kéttámaszú tartónak az átvágás keresztmetszetére vonatkozó nyíróerı hatásfüggvénye. A ferde rácsrúd rúderı hatásábráját ezek szerint úgy kapjuk, hogy az átvágás keresztmetszetére szerkesztett nyíróerı hatásábrát osztjuk sin α -val, ahol α a ferde rácsrúd övrúddal bezárt szöge. Ha az átviteli függılegesek között módosítjuk a hatásábrát, rögtön belátjuk, hogy az átvágás pontos helyének nincs jelentısége. A 6.30. ábra utolsó két hatásábrája az alsó és felsıpályás esetnek megfelelı η3,7 rúderı hatásábrákat mutatja. Oszlopok rúderı hatásábráját ugyanúgy szerkesztjük, mint a ferde rácsrúdét, csak ezeknél α = 90o , így sin α = 1. Összekötı rudak rúderı hatásábrája nagyon egyszerően alakul. Ha az egységnyi teher éppen a T alakú csomópont felett van, a rúderı hatás is egységnyi. A két szomszédos csomópontnál a rúderı hatás nulla, a csomópontok között pedig lineárisan változik. A 6.31. ábrán a 4, 9 jelő oszlop és az 5, 8 jelő összekötı rúd rúderı hatásábráit láthatjuk az alsó és felsıpályás eseteknek megfelelıen. Ezután már összefoglalhatjuk a párhuzamos övő rácsos tartók rúderı hatásábra szerkesztésének szabályait: - Övrudak: Az övrúd fıpontjára vonatkozó – kéttámaszúnak képzelt egyenes tengelyő tartó – nyomatéki hatásábra metszékeit elosztjuk a rácsos tartó magasságával. - Ferde rácsrudak: A kéttámaszúnak képzelt egyenes tengelyő tartó nyíróerı hatásábra metszékeit elosztjuk a rácsrúd és az övrúd által bezárt szög szinuszával. - Oszlopok: Az oszlopok a ferde rácsrúdak csoportjába tartoznak azzal a specialitással, hogy - mivel az oszlop és az övrúd által bezárt szög derékszög – sin α = sin 90o = 1. - Összekötı rudak: Hatás csak akkor ébred, ha a T alakú csomóponton támaszkodik a pálya. A hatásábra olyan háromszög, melynek magassága a rúd függılegesében egységnyi, a szomszédos csomópontokban pedig nulla.

A hatásábrákat az átviteli függılegesek között módosítani kell úgy, hogy függılegesek és a hatásábra határvonalának metszéspontjait egy egyenessel összekötjük. A húzó hatásmetszéket pozitív, a nyomó hatásmetszéket negatív elıjellel látjuk el. A rúderı hatásábrametszékek dimenzió nélküli, puszta számok. 6.1.7.3. A REAKCIÓK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK SZÉLSİ ÉRTÉKEINEK MEGHATÁROZÁSA MOZGÓ TERHELÉS ESETÉN Mint láttuk, a mozgó terhelésnek kitett reakció- és igénybevételi hatások nagysága és elıjele is változhat az egységnyi teher helyének függvényében. A szélsı értékekkel kapcsolatban

112 általában szükség van a reakciók vagy egy elıre kijelölt keresztmetszet igénybevételeinek maximális (legnagyobb pozitív) és minimális (legnagyobb negatív) értékeire. A szélsı értékek számítását az ún. mértékadó vagy veszélyes teherállás megkeresésével kezdjük. A veszélyes teherállása tartó lehetséges teherkombinációi közül az, amelyik a reakciónak vagy egy adott keresztmetszet valamelyik igénybevételének a szélsı értékét adja. Egy elıre kijelölt keresztmetszet igénybevételeinek szélsı értékei relatív szélsı igénybevételeknek nevezzük. A relatív szélsı értékek maximumát, ill. minimumát, azaz a tartón fellépı legnagyobb és legkisebb igénybevételeket abszolút szélsı igénybevételeknek nevezzük. Az abszolút szélsı értékek meghatározásához elıször meg kell keresni a tartó veszélyes keresztmetszetét, azt a keresztmetszetet, amelyben az abszolút szélsı igénybevételek ébrednek, majd erre a szelvényre a veszélyes teherállást és végül ki kell számítani a tényleges igénybevételeket. 1. A veszélyes szelvény meghatározása. - Egyik végén befogott, egyenes tengelyő tartóknál a veszélyes szelvény mind a hajlítónyomaték, mind a nyíróerı szempontjából a befogás keresztmetszetében van. - Kéttámaszú, egyenes tengelyő tartóknál a veszélyes keresztmetszet hajlítónyomaték szempontjából az alátámasztási köz közepe, nyíróerı szempontjából valamelyik támasz feletti szelvény. - Konzolos kéttámaszú tartóknál elképzelhetı, hogy a nyomaték szempontjából is valamelyik támasz feletti szelvény a veszélyes. Egyértelmő döntést csak mindegyik szelvény kiértékelése után tehetünk. - Többtámaszú, egyenes tengelyő (Gerber-) tartóknál általános érvényő szabályt nem lehet adni. A veszélyes szelvényt próbálgatással kell megkeresni. A nyomaték szempontjából a veszélyes szelvény általában a legnagyobb támaszköz közepén vagy valamelyik támasz felett lesz, a nyíróerı szempontjából valamelyik támasz feletti szelvény jöhet szóba. - Rácsos tartóknál általában minden rúderıt meg kell határozni, így veszélyes szelvényrıl vagy rúdról nem szoktunk beszélni. 2. A mértékadó (veszélyes) teherállás meghatározása. A mozgó terhelésnek kitett szerkezetekre általában nem mozgó, azaz helyüket nem változtató terhek is hatnak. A hatásábrák természetesen ilyenkor is alkalmasak a reakcióerık és az igénybevételek meghatározására.

α / Nem mozgó terhelés Természetes, hogy a tartón a nem mozgó terhelést ott helyezzük el, ahol az a valóságban is hat. A helyét nem változtató terhelés lehet koncentrált erı vagy megoszló terhelés is (az önsúly pl. mindkét formában figyelembe vehetı a szerkezeti elemek jellegétıl függıen). β / Mozgó terhelés Egy koncentrált erı: A mértékadó teherállásban az erı a reakciók és az igénybevételek maximuma szempontjából a legnagyobb pozitív hatásmetszék felett van, a minimum szempontjából a legnagyobb negatív hatásmetszék felett. Több összekapcsolt koncentrált erı: (ilyenek pl. a gépkocsik vagy egymás után kötött jármővek, vagon kerekei által átadódó terhek). A mértékadó teherállást legtöbbször próbálgatással lehet megtalálni. Általános érvényő szabályként azt mondjuk, hogy a hatásábra alakjától függıen azt az erıt kell a legnagyobb pozitív vagy negatív hatásmetszék fölé tenni, amelyik az egész koncentrált erırendszer eredıjéhez közelebb van. A többi erıt ehhez képest úgy kell elhelyezni (az erık eredeti sorrendje és a köztük lévı távolság betartásával), hogy az a koncentrált erık alatt a hatásmetszékek a lehetı legnagyobbak legyenek (lásd. A 6.32. ábrát).

113 Megoszló terhelés: A megoszló terhelést általában parciálisan alkalmazzuk, azaz a tartónak csak bizonyos szakaszaira tesszük fel. Többtámaszú tartóknál (most a befogott és a kéttámaszú tartót is ide értjük) a reakcióerık maximumának meghatározásához terhelni kell a támasz jobb és bal oldali mezejét és ezekhez képest minden második mezıt, a minimumhoz csak az elızıleg üresen maradt helyeket terheljük. A hajlítónyomaték maximumának meghatározásához terheljük a vizsgált keresztmetszet mezejét és minden másodikat, a minimumhoz a vizsgált keresztmetszet melletti mezıket és ezekhez képest minden másodikat. Mivel a nyíróerık szélsı értékei a támaszoknál vannak, ezekre ugyanolyan parciális tehereloszlás érvényes, mint a reakcióerıkre. Rácsos tartóknál hasonló a helyzet, csak ott nem támaszközökrıl beszélünk, hanem olyan szakaszokról, melyeken belül a hatásmetszékek azonos elıjelőek. Általánosságban is azt mondhatjuk, hogy a mozgó megoszló terhelést mindig azokra a tartórészekre teszszük fel, amelyek alatt a hatásmetszékek azonos elıjelőek. A 6.33. ábrán bemutatjuk a parciális terhelés alkalmazását a B+max , TK− max = TK max és M K+ max mennyiségek meghatározása szempontjából. 3. A reakciók és igénybevételek számítása a hatásábrák felhasználásával Már említettük, hogy az egymásrahalmozás elve teszi lehetıvé, hogy tetszıleges terhelés hatására fellépı külsı és belsı erıket meghatározzuk az egységnyi koncentrált erıre megrajzolt hatásábrák segítségével.

α / Egy koncentrált erı: Mivel a hatásábrák egységnyi nagyságú erıre vonatkoznak, F nagyságú koncentrált erı esetén a teljes hatás – Y-nal jelöljük és reakcióerıt vagy bármely igénybevételt értünk alatta – a hatásábra erı alatti metszékének F-szerese lesz: Y = Fη .

6.14/a

β / Megoszló terhelés: A ∆ z hosszúságon ható megoszló terhet q(z). ∆ z nagyságú koncentrált erıvel helyettesítjük és a belıle származó hatást összegezzük a megoszló terhelés teljes hosszán: ∆Y = q (z)η(z)∆z , b

b

b

a

a

a

Y = ∑ ∆Y = ∫ dY = ∫ q(z)η(z)dz = ∫ q(z)dA,

6.14/b

ha q(z)=q=áll. (ez fordul elı a gyakorlati esetek többségében): b

Y = q ∫ dA = qA,

6.14/c

a

ahol A – a hatásábra megoszló terhelés alatti területe. γ / Több koncentrált erı és megoszló terhelés együtt:

Mivel az egymásrahalmozás elve érvényes: n

b

i =1

a

Y = ∑ Fi ηi + ∫ q(z)dA ,

6.14/d

114

ahol ηi - az Fi erı alatti hatásmetszék (6.34. ábra). 6.2. TEHERHORDÓ KÖTELEK A függesztıkötelet, mint kényszert súlytalannak, nyújthatatlannak és tökéletesen hajlékonynak tekintettük. A teherhordásra alkalmas kötelet is ugyanilyen ideális tulajdonságokkal ruházzuk fel. Ha a kötél önsúlya a többi teher mellett nem hanyagolható el, azt is külsı terhelésként vehetjük számításba. Abszolút hajlékonysága miatt a kötél a különbözı terheléseknek megfelelıen más és más alakot vesz fel, mint tartószerkezet sztatikailag túlhatározott (kinematikailag határozatlan). A külsı erık és az azokat kiegyensúlyozó, a felfüggesztési pontokban ébredı reakcióerık hatására a kötél meghatározott alakot vesz fel, melyet egyensúlyi kötélalaknak nevezünk. A kötélnek ebben az egyensúlyi helyzetében a rá ható aktív és passzív erık egyensúlyi erırendszert alkotnak. Az idealizált tulajdonságokból az is következik, hogy a kötél bármely keresztmetszetében a belsı erınek csak normális komponense lehet (a nyomaték vagy nyíróerı ugyanis elhajlítaná a kötélszakaszt egyensúlyi helyzetébıl, pontosabban az egyensúlyi kötélalak éppen ezen belsı erık hatására alakul ki, a kötél addig változtatja alakját, amíg el nem tőnnek azok a belsı erık, amelyek elhajlásra késztetnék) és igénybevétele mindig húzás. 6.2.1. KONCENTRÁLT ERİKKEL TERHELT KÖTÉL

Ha egy síkbeli erırendszert az erık hatásvonalának síkjában felvett A és B pontokon felfüggesztett (egyelıre súlytalannak tekintett) kötéllel kívánjuk egyensúlyozni, az egyensúlyi kötélalakot és az egyes kötélágakban ébredı erıket – az éppen errıl a feladatról elnevezett – vektor- és kötél-sokszög-szekesztéssel viszonylag egyszerően meghatározhatjuk. Olyan kötélsokszöget kell rajzolnunk, amelynek elsı oldala az A felfüggesztési ponton, utolsó oldala a B felfüggesztési ponton megy át. Ehhez a Culmann-egyenes sajátosságait használjuk fel (6.35. ábra). Az A ponton átmenı Culmann I egyenes lehetıvé teszi, hogy a kötélsokszög utolsó

115 oldala átmenjen a B ponton. Az 02 póluspontból meghúzott vektor- és kötélsokszög megadja a kötél egyensúlyi alakját és az egyes kötélágakban ébredı erıket, ill. a felfüggesztési pontok reakcióerıit. Az A és B ponton át felvett újabb Culmann II egyenes lehetıvé teszi, hogy a kötélsokszög, amelynek póluspontja az 02 ponton átmenı Culmann II egyenessel párhuzamos egyenesen van, mindig átmenjen a felfüggesztési pontokon. Az 03 póluspontú kötélsokszög pl. abban különbözik az elızıtıl, hogy a két felfüggesztési pontot összekötı kötél hossza nem azonos. A szerkesztésbıl megállapíthatjuk, hogy minél kisebb a kötél hossza, annál kisebb a kötél belógása, ugyanakkor annál nagyobbak a kötélágakban ébredı erık. A feladatot számítással a következı gondolatmenettel oldhatjuk meg, n számú koncentrált erı esetén a feladatban 3n+1 ismeretlen szerepel, az n+1 kötélágban ébredı erı és az n számú töréspont xi, yi koordinátái. Ezek meghatározásához minden töréspontra felírhatunk két vetületi egyensúlyi egyenletet és megfogalmazhatunk n+1 számú geometriai feltételt az erık hatásvonala és a töréspontok helyzete között, ill. a töréspontok közti távolság és a teljes kötélhossz között. Ilyen módon egy nem-lineáris algebrai egyenletrendszer keletkezik, melynek megoldása már kis számú erı esetén is meglehetısen bonyolult és hosszadalmas. A gyakorlati eseték többségében a tartókötélre súlyerıbıl származó, tehát párhuzamos erırendszer hat. Ilyenkor a számító eljárás is lényegesen egyszerősödik.

Ismerjük meg a számítóeljárás gondolatmenetét, ha a kötélen csupán egyetlen egy erı hat (6.36. ábra). Határozzuk meg elıször az egyensúlyi kötélalakot és a kötélerıket szerkesztéssel. A C töréspont egyensúlyának vizsgálatából megállapíthatjuk, hogy az odafutó két kötélágban ébredı erı vízszintes komponense megegyezik és ez a H-val jelölt erı a vektorábra pólustávolságával azonos. Az elsı, az 0’ póluspontból megrajzolt kötélgörbe második ága nem fog átmenni a B ponton. Ha azt akarjuk, hogy a kötélerık vízszintes komponense az új, most már a B ponton is átmenı kötélsokszögben is H legyen, a Culmann-egyenest az A ponton át, az F erı hatásvonalával párhuzamosan kell felvenni. Az 0 póluspontú kötélgörbe már az egyensúlyi kötélalakot adja, a neki megfelelı vektorsokszög pedig a kötélerıket. Gondoljuk át, hogy az adott F erınél nagyobbat kétféleképpen tudunk kiegyensúlyozni. Ha meg kívánjuk tartani ugyanezt az egyensúlyi kötélalakot, akkor az egyensúlyi vektorábra az F-hez tartozóéhoz hasonló lesz, csak nagyobb. Ilyenkor a kötélerı vízszintes komponensének növekedésével kell számolnunk. Ha a kötélerı vízszintes komponensét nem kívánjuk megváltoztatni, akkor a nagyobb erıt csak meredekebb kötélágakkal lehet kiegyensúlyozni. A nagyobb erıhöz tartozó egyensúlyi alak töréspontjának belógása – változatlan H esetén – nagyobb lesz. Határozzuk meg a C töréspontnak az A, B pontokat összekötı egyeneshez viszonyított belógását. Ennek egyik lehetséges módja, hogy elvágjuk az egyes kötélágakat az átvágás keresztmetszetében mőködtetjük a K1 kötélerıt. Írjunk egy egyensúlyi nyomatéki egyenletet a B felfüggesztési pontra úgy, hogy a K1 kötélerıt toljuk el a B pont F hatásvonalával párhuzamos

116 egyeneséig és ott bontsuk fel y és z irányú összetevıkre. Az y irányú összetevınek nincs nyomatéka a B pontra, a z irányú összetevı pedig éppen a kötélerık vízszintes, H nagyságú komponense: ∑ M B = 0 = F(l − z) − Hd, A H erı karját azonban kifejezhetjük – hasonló háromszögek felhasználásával – az η belógással: l d=η . z Ezt az elızı egyenletbe helyettesítve, a belógást kifejezhetjük: η=

F z (l − z ) . H l

6.15

Ezzel a számítással meghatározhatjuk a C töréspont helyét, jelen esetben a kötél egyensúlyi alakját. Ezek után már hagyományos módon számíthatjuk a kötelekben ébredı erıket (a töréspontra felírt egyensúlyi egyenletekkel). Hasonlóan oldhatjuk meg a feladatot, ha több erı hat a tartókötélre. A szerkesztés csak annyiban módosul, hogy a kötéloldal n+1 (n – a koncentrált erık száma) ágból áll (6.37. ábra). A koncentrált erık alatti töréspontok helyét ismét a belógással adjuk meg. A belógások értékét ismét a B felfüggesztési pontra írt nyomatéki egyensúlyi egyenletbıl határozzuk meg:

∑M

B

= 0 = F1 (l − z1 ) + F2 (l − z 2 ) + F3 (l − z 3 ) − Hd1 ,

d1 most is kifejezhetı η1 − el hasonló háromszögek alapján: A két kifejezésbıl: η1 =

z1 [F1 (l − z1 ) + F2 (l − z 2 ) + F3 (l − z3 )]. Hl

6.16/a

η2 meghatározásához a kötelet a 2-es kötélágban vágjuk el és az átvágástól jobbra levı erık nyomatékát számítjuk a B pontra:

∑M

B

= 0 = F2 (l − z 2 ) + F3 (l − z 3 ) − Hd 2 .

d2-t kifejezhetjük η1 és η2 felhasználásával, mert hasonló háromszögek alapján:

d2 l + k2 = η2 z 2 + k 2 Ezekbıl: d 2 = η2

és

η2 z 2 + k 2 = . η1 z1 + k 2

l − z1 l − z2 − η1 . z 2 − z1 z 2 − z1

117

Így a belógás: η2 =

z 2 − z1 [F2 (l − z 2 ) + F3 (l − z3 )] + η1 l − z 2 . H(l − z1 ) l − z1

6.16/b

Hasonló elven kapjuk az F3-hoz tartozó belógást: η3 =

z3 − z 2 [F3 (l − z3 )] + η2 l − z3 . H (l − z 2 ) l − z2

6.16/c

Könnyen észrevehetjük, hogy a (6.16) összefüggések tetszıleges számú erı esetére is általánosíthatók:

ηi =

 z i − z i −1  n l − zi , ∑ Fj (l − z j ) + ηi −1 − H(l − z i −1 )  j=1 l z i − 1 

6.17

118 és z0=0, η0 = 0.

i=1,2…,n,

Ha ismerjük minden erı alatt a belógást, akkor ismert az egyensúlyi kötélalak. Ezután a töréspontok egyensúlyi feltételébıl a kötélágak erıi számíthatók. 6.2.2. MEGOSZLÓ ERİVEL TERHELT KÖTÉL Terhelje a kötelet egy függıleges hatásvonalú, q =q(z) intenzitású megoszló erırendszer (6.38. ábra). Vizsgáljuk a kötél ∆s hosszúságú darabjának egyensúlyát. A kötéldarabra a

q(z) ∆ z helyettesítı koncentrált erı hat, valamint az átvágás keresztmetszeteiben a K(z) és K(z+ ∆ z) kötélerı, ezek hatásvonala a kötéldarab két végpontjában a kötélgörbéhez húzott érintı irányába esik. A számításhoz felbontottuk ıket egy Kz vízszintes és a Ky függıleges komponensre. Az egyensúlyi egyenletek:

∑F

z

∑F

y

= 0 = −K z (z) + K z (z + ∆z),

= 0 = − K y (z) + K y (z + ∆z) + q(z)∆z.

Rendezés és határértékképzés után: lim ∆z → 0

 K z (z + ∆z) − K z (z)  dK z (z )   = dz = 0, ∆z

lim ∆z → 0

 K y (z + ∆z) − K y (z)  = − q ( z)  ,  ∆z  

azaz K z (z) = K z = áll.,

dK y (z) dz

= −q (z),

6.18/a,b

a kötélerı vízszintes komponense tehát a kötél minden pontjában ugyanakkora, a függıleges irányú komponens hely szerinti deriváltja pedig a teherintenzitás ellentettje. A lineárisan független egyensúlyi egyenletek után felírhatunk egy, a kötél goemetriájával kapcsolatos egyenletet. Mivel a kötélerı hatásvonala egy adott pontban a kötél egyensúlyi görbéjéhez húzott érintı irányába eshet csak, az ábra alapján felírhatjuk:

119

tgϕ =

dy(z) K y (z) = , dz Kz

6.18/c

ahol y(z) – a kötél egyensúlyi alakjának függvénye, ϕ - pedig egy adott pontban a görbéhez húzott érintı z tengellyel bezárt szöge. Az utolsó kifejezést differenciáljuk z szerint és helyettesítsük be a (6.18/b) kifejezést: d 2 y( z) 1 dK y (z) q(z) = . =− , 2 dz Kz dz Kz s ezzel a kötél egyensúlyi alakjának differenciálegyenlete: d 2 y( z) q ( z) = y ,, = − . 2 dz Kz

6.19

Ezt a másodrendő defferenciálegyenletet kell megoldani az egyensúlyi alak meghatározásához. Az egyensúlyi kötélgörbe ismeretében a belógás, azaz a kötélnek az A és B pontokat összekötı egyeneshez képesti behajlása: h l

η (z) = y(z) − z.

6.20

A (6.19) differenciálegyenlet megoldása nyilvánvalóan attól függ, hogy a q(z) teherintenzitás milyen függvénnyel adható meg. Gyakorlatilag az egyik legfontosabb probléma az, hogy a kötél a saját súlya hatására milyen alakot vesz fel, ill. mekkora erık ébrednek benne. 6.2.2.1. A SAJÁT SÚLYÁVAL TERHELT KÖTÉL PONTOS MEGOLDÁSA Legyen a kötél egységnyi hosszra esı súlya p. A ∆z szakaszra esı ∆s = ∆z 2 + ∆y 2 hosszúságú kötéldarab súlya p ∆s, amely a még ismeretlen q(z) teherintenzitás ∆z -szeresével:

 ∆y  q (z) ⋅ ∆z = p ⋅ ∆s = p ∆z + ∆y = p 1 +   ∆z,  ∆z  2

2

2

határátmenettel:

[

]

2

q(z) = p 1 + tg 2ϕ = p 1 + y, (z) ,

6.21

a teherintenzitás tehát helyrıl-helyre változik. Helyettesítsük be (6.21)et a kötél egyensúlyi alakjának differenciálegyenletébe: y,, (z) = −

[

]

2 p 1 + y, (z) . Kz

6.22

Ez az y’(z) = r(z) helyettesítéssel egy szétválasztható, elsırendő differenciálegyenletté alakítható:

120 r, = −

p 1 + r2 . Kz

Megoldása: z=−

Kz ⋅ Ar sh r + C1 , p

melynek inverze:,

 p  r (z) = y, (z) = tgϕ(z) = sh − (z − C1 ) .  Kz 

6.23

Még egyszer integrálva:

y(z ) = −

 p  Kz ⋅ ch  (z − C1 ) + C 2 . p  Kz 

6.24

Ezzel megkaptuk a kötél egyensúlyi alakjának egyenletét, egyenlıre általános formában. A kötél alakja – saját súlya hatására – ch függvény lesz. Ezért szokták a ch függvényt kötélgörbeként is emlegetni. A C1 és C2 integrálási állandók a z = 0, y = 0 és a z = l, y = h kerületi feltételekbıl határozhatók meg:

  l Kz C1 = − ⋅ 1n  2 p  

2

    ph ph   +1+ pl  2K sh pl  2K zsh z  2K z  2K z

C2 =

  ,   

Kz pC ⋅ ch 1 . p Kz

6.25

6.26

Ezeket visszahelyettesítve a megoldás (6.24) általános egyenletébe, megkapjuk a feladat pertikuláris megoldását. Az egyensúlyi alak ismeretében az összes többi jellemzı már meghatározható: A kötél hossza:

[

]

 p  L = ∫ ds = ∫ 1 + y (z) = ∫ 1 + sh 2 − (z − C1 ) dz =  Kz  0 0 0 l

l

= ∫ ch 0

l

,

2

l

p K  p pC  (z − C1 )dz = z sh (l − C1 ) + sh 1  = Kz p  Kz Kz  2

 2K pl  = h +  z sh . 2K z   p 2

A kötélerı függıleges komponense (6.18/c).bıl:

6.27

121

 p  K y (z) = K z y, (z) = K x ⋅ sh − (z − C1 ) .  Kz  Az eredı kötélerı: K (z ) =

[

]

2 Kz p ∆s = Kz = K z 1 + y, (z) = K z ⋅ ch (z − C1 ). cos ϕ ∆z Kz

6.28

6.29

A kötélerı maximuma mindig a felsı felfüggesztési pontban ébred, esetünkben a z = 0 helyen: pC K max = K z ⋅ ch 1 . 6.30 Kz A kötél belógása: η(z) = −

Kz p h ⋅ ch (z − C1 ) + C 2 − z, p Kz l

6.31

a belógás maximumának helyét úgy kapjuk, hogy a fenti függvényt a hely szerint differenciáljuk, egyenlıvé tesszük nullával és kifejezzük belıle a z=zm értékét: 2  Kz  h h   z m = C1 − 1n +   + 1 . p l  l  

6.32

Könnyen beláthatjuk, hogy a belógás maximuma csak akkor lesz az l távolság közepén, ha a két felfüggesztési pont azonos magasságban van, egyébként a maximum a magasabb felfüggesztési pont irányába tolódik el. A fenti összefüggések meglehetısen bonyolultak, inkább csak számítógépes feldolgozásra alkalmasak. Bizonyos feltételek teljesülése esetén egy közelítı, de számítástechnikailag jobban kezelhetı és gyakorlatilag elfogadható pontosságú megoldást is találhatunk. 6.2.2.2. A SAJÁT SÚLYÁVAL TERHELT KÖTÉL KÖZELÍTİ MEGOLDÁSA Ha a kötél belógása kicsi, akkor hossza csak kicsivel nagyobb, mint az A, B pontokat összekötı egyenes hossza és y , (z) ≅ tgϕ = h / 1. Ilyenkor(6.21) − et az alábbi formára írhatjuk át: 2

p 2 h  q( z) = p 1 +   = l + h 2 = q = áll. l l  

6.33

Ami azt mutatja, hogy az önsúlyból eredı teherintenzitás kis belógás esetén állandónak tekinthetı s nem más, mint az A és B pontok között egyenesre kifeszített kötél teljes súlyának az egységnyi vízszintes szakaszra esı hányada. Ha elıre ismerjük a kötél tényleges hosszát, akkor a teherintenzitást a pL q= = áll. 6.34 l kifejezéssel pontosabban számíthatjuk.

122

A kötél egyensúlyi alakjának differenciálegyenlete most egyszerőbb lesz: y,, (z) = −

q = áll. Kz

6.35

Integrálva: y , (z) = tgϕ (z) = −

qz + C1 , Kz

6.36

újabb integrálás után: y( z) = −

qz 2 + C1z + C 2 , 2K z

6.37

ami a közelítés általános megoldása. Látjuk, hogy az egyensúlyi kötélalak most másodfokú parabola. Az integrálási állandókat a pontos megoldásnál alkalmazott kerületi feltételekbıl számítjuk: h ql C1 = + , C 2 = 0. l 2K z Ezeket behelyettesítve az általános megoldásba megkapjuk a partikuláris megoldást: y , (z) = tgϕ(z) =

h q + (l − 2z), l 2K z

6.38

y(z ) =

qz h (l − z ) + z . 2K z l

6.39

η(z) =

qz (l − z). 2K z

6.40

A belógás:

A maximális belógás helye most az l távolság közepére esik, z m = l / 2 :

ηmax =

ql 2 , 8K z

6.41

A kötélerı függıleges irányú komponense:

h  q K y ( z ) = K z y, ( z) = K z  + (é − 2 z )  , 6.42  é 2K z  Ennek maximuma ismét a magasabban lévı felfüggesztési pontban van, esetünkben a z=0 helyen: h ql K y max = K z . + . 6.43 l 2 Az eredı kötélerı:

[

]

K (z) = K 2z + K y (z) , és maximuma:

2

6.44

123 K max = K 2z + K 2y max .

6.45

A kötélhossza: l

l

0

0

L = ∫ ds = ∫

2

h  q 1+  + (l − 2z) dz.  l 2K z 

A fenti kifejezésben az integranduszt Taylor-sorba fejtjük, de csak az elsı három tagot tartjuk meg. Kis belógású kötélnél ugyanis q / K z értéke 1-nél jóval kisebb, így kettınél magasabb hatványai elhanyagolhatók. A kötél hosszára a következı kifejezést nyerjük: q 2l6

L = l2 + h 2 + 24K

2 z

l +h 2

2

3

.

6.46

A mőszaki gyakorlatban elıforduló kötélszerkezetek többsége kis belógásúnak tekinthetı, így a fenti közelítı összefüggések használata igen elterjedt. 6.2.3. ÖNSÚLYÁVAL ÉS EGYETLEN KONCENTRÁLT ERİVEL TERHELT KÖTÉL Szállítási feladatokat sokszor oldanak meg kötélpályák felhasználásával. Ennek egyik legegyszerőbb formája, mikor – 6.39. ábrának megfelelıen – az A, B pontokon felfüggesztett kötélen egy elhanyagolható sugarú görgın át F nagyságú terhet mozgatunk egy ún. vonókötél segítségével. A görgı feladata a mozgás folyamán keletkezı súrlódás csökkentése. Ha a görgı és a kötél közötti súrlódóerıt teljesen elhanyagoljuk, akkor a kötélre, mint súrlódásmentes támaszvonalra csak normálerı hathat. Ennek azonban az a következménye, hogy az érintkezési pontba futó két kötélágban ébredı erı nagysága megegyezik (K1 = K2). Az aktív F erıvel a normálerı és a vonókötélben ébredı erı tart egyensúlyt, a normálerı pedig K1 és K 2 eredıje. A szerkezet erıjátékát a vektorsokszög szemlélteti. Ez alapján az alábbi két egyensúlyi egyenletet írhatjuk:

K 2 z − K1z − S cos β = 0, K1y − K 2 y − F + S sin β = 0. A töréspont kötélerıinek egyenlıségébıl:

K12z + K12y = K 22 z + K 22 y . A kis belógású kötél elméletét használva alkalmazzuk a (6.42) összefüggést a két kötélágra:

h  q K1y = K1z  1 + 1 (l1 − 2l 1 ) ,  l1 2K1z  h  q K 2 y = K 2 z  2 + 2 (l 2 − 0) .  l 2 2K 2 z 

124

A fenti öt ismeretlen (K1z, K1y, K2z, K2y, S) tartalmazó egyenletrendszerbıl a kötélerık vízszintes komponense és a vonóerı kifejezhetı. K1z-re egy másodfokú egyenletet kapunk: 2   a1     ab a K a 3 − a 4    + K1z 2a 4 1 2 1 − 1 q 2 h 2 − q1h1  + a2 a2   a 2     2 1z

2

2

2

 b  q 1  q 1  b + 1 q 2 h 2 − a 4  1  +  1 1  −  2 2  = 0, a2 a2   2   2  ahol 2

2

h  h  h h ql q l a1 = 1 − tgβ, a 2 = 2 − tgβ, a 3 =  1  + 1, a 4 =  2  + 1, b1 = F + 1 1 + 2 2 . l1 l2 2 2  l1   l2  A másik két erı:

6.47

125

h  q i = p 1 +  i   li 

2

a1 b1 − , a2 a2

K 2 z = K1z

S=

K 2 z − K1z cos β

6.48

i = 1, 2. A kötélerık függıleges komponensét (6.42)-vel számítjuk. Az erık ismeretében minden további mennyiség (a kötélszakaszok hossza, maximális belógása) a kis belógás elméletének megfelelı összefüggésekkel meghatározható. 7. A SÚLYPONT A Föld tömegvonzása következtében a testekre, szerkezetekre, ill. azok elemeire erık hatnak, az ún. súlyerık. Ha a test vagy szerkezet geometriai kiterjedése lényegesen kisebb a Föld méreténél, akkor a súlyerık jó közelítéssel párhuzamos erırendszert alkotnak. Minden párhuzamos erırendszernek van középpontja, melyen a párhuzamos erık eredıjének – amit jelen esetben a test súlyának nevezünk – hatásvonala átmegy, akárhogyan is választjuk meg a test helyzetét a gravitáció irányához képest. A tömegvonzásból származó párhuzamos erık középpontját súlypontnak nevezzük. A súlypontnak fontos szerepe van a mőszaki gyakorlatban. Ez teszi lehetıvé, hogy a testek súlyát egyetlen egy adattal jellemezzük és testek olyan jellemzı pontjáról beszéljünk, amely a súlyponttól ugyan elvonatkoztatott mégis rokonságban van. 7.1. TÖMEGPONTRENDSZER SÚLYPONTJA Tömegpontrendszer alatt most olyan anyagi rendszert értünk, amelyben a tömegpontok egymáshoz viszonyított helyzete nem változik meg (egy merev rendszert alkotnak). Legyen az n számú tömegpont i-edik anyagi pontjának tömege mi, helyvektor ri , súlya pedig G i = mi g. A tömegpontrendszerre ható párhuzamos erırendszer középpontját, ill. súlypontját az (5.9) összefüggéssel számíthatjuk (7.1. ábra). n

rS =

∑rm g i =1 n

i

i

∑m g i =1

.

7.1/a

i

Ha a nehézségi gyorsulás értéke a tömegpontok helyének függvényében nem vagy csak elhanyagolható mértékben változik, g-vel egyszerősíthetünk: n

rS =

∑rm i =1 n

∑m i =1

vagy skalárkomponensekkel:

i

i

, i

7.1/b

126 n

xS =

n

∑ ximi i =1 n

∑m i =1

,

yS =

i

∑y m i

i =1 n

∑m i =1

n

i

∑z m

zS =

i =1 n

i

∑m

i

i =1

i

.

7.1/c,d,e

i

Ilyenkor súlypont helyett tömegközéppontról beszélünk. Ha a nehézségi gyorsulás nem függ a tömegpontok helyétıl, azaz állandó, akkor a súlypont és a tömegközéppont ugyanabba a pontba esik. 7. 2. FOLYTONOS TEST (KONTINUuM) SÚLYPONTJA Ha a testet felbontjuk elemi nagyságú ∆Vi térfogatok összességére (7.2. ábra), akkor a tömegpontrendszerként kezelhetı és súlypontját a (7.1/a) kifejezéssel számíthatjuk. Ha a ∆Vi térfogatelemet, ill. a benne foglalt ∆mi tömegelemet egyre kisebbnek vesszük, akkor határátmenetet képezve: n

rS = lim

∑ r g∆m ∫ rgdm

i =1 ∆m i → 0 n

i

i

∑ g∆m i =1

i

=

m

∫ gdm

.

7.2/a

m

Ha g-t a testen belül megint állandónak tekintjük, az integráljel elé kiemelhetı és egyszerősíthetünk vele. Íly módon megkapjuk a kontinuum tömegközéppontját:

rS =

∫ rdm ∫ rdm m

∫ dm

=

m

m

,

7.2/b

m

a nevezıben a test egész tömegét jelenti m. A tömegközéppont skalár-koordinátái:

xS =

∫ xdm m

m

,

yS =

∫ ydm m

m

zS =

,

∫ zdm m

m

.

7.2/c,d,e

Ha a test elemi tömegét elemi térfogatával és ρ sőrőségével fejezzük ki, valamint feltételezzük, hogy a sőrőség a test térfogatán belül állandó, akkor:

rS =

∫ rρ dV ∫ rdV ∫ rdV v

∫ ρ dV v

=

v

∫ dV

=

v

V

,

7.2/f

v

V – a test teljes térfogata. Az ily módon számított súlypontot geometriai középpontnak nevezzük. Homogén testek esetén a súlypont és a geometriai középpont ugyanabba a pontba esik.

127

A geometriai középpontot állandó vastagságú héjaknál vagy síkidomoknál a felület felhasználásával számíthatjuk. (7.2/f)-bıl kiindulva a 7.3. ábra felhasználásával:

rS =

∫ rvdA ∫ rdA ∫ rdA A

∫ vdA A

=

A

∫ dA

=

A

A

,

7.2/g

A

ahol s a vonalidom teljes hossza. A súlypont helyét szerkesztéssel is meghatározhatjuk annak alapján, hogy a súlypont az eredı hatásvonalának egy pontja. A merev testet – jellegétıl függıen – felosztjuk olyan tárfogat-, terület-, vagy vonaldarabokra, amelyeknek ismerjük a súlypontját. Ezekben a súlypontokban a részidomok jellemzıivel arányos nagyságú erıket mőködtetünk egy tetszıleges iránnyal párhuzamosan. Az így kapott párhuzamos erırendszer eredıjének hatásvonalát szerkesztéssel meghatározzuk (síkbeli feladatnál a vektor- és kötélsokszög szerkesztést alkalmazzuk, térbeli feladatnál az erıkkel párhuzamos két, egymásra merıleges síkra vett vetületi erırendszeren végezzük el a szerkesztést). Ezután az erıket támadáspontjuk, azaz az egyes súly-

128 pontok körül elforgatjuk (általában derékszöggel) és ennek az elforgatott erırendszernek a hatásvonalát is meghatározzuk. Síkbeli feladatnál a két hatásvonal metszéspontja adja a geometriai középpontot. Térbeli feladatnál a két síkon kapott metszéspontra merılegest emelünk, ezek térbeli metszéspontja a geometriai középpont. A 7.4. ábrán bemutatjuk egy síkidom súlypont meghatározásának szerkesztı megoldását. 7.3. ELSİRENDŐ VAGY SZTATIKAI NYOMATÉK A (7.1) és (7.2) összefüggéseket skalár formába átírva, azok számlálóiban a szumma- vagy integráljel után egy távolságot kellett összeszorozni valamilyen mennyiség (tömeg, térfogat, terület, ívhossz) elemi nagyságával. Az ezen a módon nyert mennyiségek fontos szerepet töltenek be a mechanika területén. Az olyan mennyiségeket, amelyek egy test valamely pontjának elemi környezetére jellemzı mennyiségének és a pontnak egy adott síktól mért távolságának a szorzatával és az így kapott szorzatoknak az egész testen való összegzésével nyerünk, elsırendő (mert a távolság az elsı hatványon van) vagy sztatikai nyomatékoknak nevezzük. A jellemzı mennyiség elvileg bármi lehet, legfontosabbak azonban a súlypont számításánál alkalmazott mennyiségek. Lényegében a forgatónyomaték, az erı nyomatéka is sztatikai nyomaték. Térbeli test esetén a koordinátarendszer síkjaira vonatkozó sztatikai nyomatékok (7.5/a. ábra):

Sxy = lim

∆m i → 0

n

∑ z ∆m = ∫ zdm, i =1

i

i

Szx = ∫ ydm,

Syz = ∫ xdm.

m

m

m

7.3/a,b,c

Síkidomoknál a legtöbbször a síkidom síkjára merıleges síkokra vett sztatikai nyomatékokra van szükség, ilyenkor tengelyre vonatkozó sztatikai nyomatékról is beszélhetünk (7.5./b. ábra): Sx = ∫ ydA, Sy = ∫ xdA . 7.4/a,b A

A

A szerint, hogy milyen jellemzı mennyiséget választunk, az integrálás dm vagy dA helyett a választott jellemzı szerint kell elvégezni. A sztatikai nyomaték (7.3) vagy (7.4) definíciókkal történı meghatározása nem mindig egyszerő. Az integrálást ugyanis csak akkor tudjuk elvégezni, ha tudjuk, hogy a távolság a jellemzı mennyiségnek milyen függvénye, vagy a jellemzı mennyiség milyen függvénye a távolságnak. Sokszor mindkettıt egy harmadik változó függvényében célszerő kifejezni. A legtöbb esetben nincs szükség arra, hogy a sztatikai nyomatékot a definíciók felhasználásával határozzuk meg. Néhány rájuk vonatkozó tétel lehetıvé teszi elemi úton való számításukat. Tétel: Valamely test síkra (tengelyre) vett sztatikai nyomatéka egyenlı az egész test jellemzıjének és a test súlypontjának a síktól (tengelytıl) mért távolságának szorzatával. Bizonyítás: Alakítsuk át a 7.2/c összefüggést:

mxS = ∫ xdm = Syz ,

7.5

m

Ha ismerjük tehát a test súlypontját és jellemzı mennyiségének az egész testre vonatkozó mértékét, a kettı szorzata éppen a sztatikai nyomatékot adja. Tétel: Súlyponton átmenı síkra (tengelyre) a test sztatikai nyomatéka nulla.

129

Bizonyítás: Ha sík (tengely) átmegy a súlyponton, akkor a súlypont távolsága ettıl a síktól (tengelytıl) nulla és az elızı tételbıl következik, hogy Syz = m ⋅ 0 = 0. Tétel:Valamely test sztatikai nyomatéka valamely síkra (tengelyre) egyenlı részeinek ugyanazon síkra (tengelyre) vett sztatikai nyomatékainak összegével (összegzési tétel). Bizonyítás: A sztatikai nyomaték definíciója szerint, a sztatikai nyomaték az elemi nagyságú jellemzık sztatikai nyomatékának összege. Ez akkor is érvényben marad, ha a jellemzıket véges nagyságúnak választjuk:

Syz = ∫ xdm = ∑ x i ∆m i = ∑ Si yz . m

i =1

7.6

i =1

Tétel: Valamely test síkra (tengelyre) vonatkozó sztatikai nyomatéka egyenlı egy alkalmasan kiegészített test és a kiegészítés ugyanazon síkra (tengelyre) vett sztatikai nyomatékának különbségével (kiegészítési tétel). Bizonyítás: Az elızı tétel matematikai megfogalmazásának átrendezésével éppen a tétel állítását kapjuk:

Sere det i yz = Skiegészített yz − Skiegészítés yz .

7.8

Tétel: Ha a test egyes részeit a vonatkoztatási síkkal (tengellyel) párhuzamosan eltoljuk, a sztatikai nyomaték változatlan marad. Bizonyítás: A tengellyel való párhuzamos eltolás sem a jellemzı mennyiségek nagyságát, sem azok síktól (tengelytıl) mért távolságát nem változtatja meg. Így az összegzési tétel szerint az egész test sztatikai nyomatéka sem változik. A 7.6. ábrán látható síkidomok sztatikai nyomatéka megegyezik.

7.4. FORGÁSTESTEK FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA Ha egy síkgörbét a síkjában lévı valamilyen tengely körül tetszıleges szöggel elforgatunk, forgástestet kapunk. A síkgörbét meridián vonal és a forgástengely által közrezárt területet meridián metszetnek nevezzük.

130 Tétel: Egy forgástest felszínét megkapjuk, ha a meridiánvonal elforgatásának szögét szorozzuk a meridiánvonal forgástengelyre vonatkozó sztatikai nyomatékával (Pappus (III. évszázad) – Guldin (1577-1643) I. tétele). Bizonyítás: Jelöljük ϕ -vel az elforgatás szögét (7.7. ábra). Ekkor a forgástengelytıl ri távolságra lévı ∆si vonalelem által súrolt felület: ∆Fi = ϕ ri ∆s i Ezeket a kis felületeket összegezve az egész meridiánvonalon, majd határátmenetet képezve: F = lim

∆s i → 0

n

∑ ∆F = ∫ ϕ rds = ϕ ∫ rds = ϕS i

i =1

f ( vonal )

s

.

7.9/a

s

Tétel: Egy forgástest térfogatát megkapjuk, ha a meridiánmetszet elforgatásának szögét szorozzuk a meridiánmetszet forgástengelyre vett sztatikai nyomatékával (Pappus Guldin II. tétele). Bizonyítás: A meridiánmetszeten felvett ∆A i területelem elforgatás következtében leírt ∆Vi elemi térfogata (7.8. ábra):

∆Vi = ϕ ri ∆A i . Összegezve ezeket az egész metszeten és határátmenetet képezve:

V = lim

∆A i → 0

n

∑ ∆V = ∫ ϕ rdA =ϕ ∫ rdA = ϕ S i =1

i

f ( metszet )

A

.

7.9/b

A

8. A SÚRLÓDÁS Az eddigi feltevésünk szerint két, egymással érintkezı test között csak az érintkezési felületre merıleges hatásvonalú erık ébredhettek. Ezt a feltevést a testek felületének abszolút simaságával indokoltuk. A valóságban azonban abszolút sima felület nem létezik, ezért az érintı síkkal párhuzamos elmozdítás is ellenállásba ütközik. Érdekes testek esetén tehát a támasztófelületen a reakcióerınek nemcsak normális, hanem érintı (tangenciális) irányú összetevıi is lesznek. A tangenciális erıt létrehozó okot és jelenséget súrlódásnak nevezzük.

8.1. SZÁRAZ (COULOMB-FÉLE) SÚRLÓDÁS A/ Nyugvásbeli száraz súrlódás Helyezzünk egy α hajlásszögő lejtıre egy G súlyú testet. A megfigyelések szerint. Míg a hajlásszög el nem ér egy bizonyos értéket, a test a lejtıhöz képest nyugalomban marad. Ez csak úgy magyarázható, ha a test és a lejtı közös érintkezési felületét érdesnek tekintjük és a

131 lejtı által kifejtett kényszererıbıl feltesszük, hogy normális komponense mellett egy lejtıvel párhuzamos komponense is létezik. Ezt az erıt nyugvásbeli súrlódóerınek nevezzük és a 8.1. ábrán S-el jelöltük. Mivel a test egyensúlyban van, a ráható erıknek ki kell elégíteniük az egyensúlyi feltételeket:

∑F

x

= 0 = S − G sin α,

∑F

y

= 0 = G cos α − N.

Innen: S = Gsin α ,

N = Gcos α .

A fenti két egyenlet egymással elosztva és rendezve: S = Ntgα , e szerint egyensúlyi állapotban a súrlódó erı arányos a normális erıvel és az arányossági tényezı a lejtı hajlásszögének tangense. Ha ρ 0 -al jelöljük azt a szöget, amelynél a test éppen az elmozdulás határhelyzetében van, akkor a súrlódó erı az α szög nagyságától függıen nulla és Ntgρ0 között minden értéket felvehet. A súrlódó erı maximuma: Smax = Ntgρ0 = µ 0 N,

8.1

ahol µ0 - a nyugvásbeli súrlódási tényezı, amely a fentiek alapján a lejtı hajlásszögének tangense az elmozdulás határhelyzetében. µ0 értéke elsısorban az érintkezı felületek fizikai tulajdonságaitól függ, ez idı szerint csak kísérlettel állapítható meg. Meghatározására pl. éppen a fenti lejtı-elv használható. A nyugvásbeli súrlódás jellemzıi: -

súrlódó erı csak akkor ébred, ha az egyensúly fenntartásához szükség van rá, a súrlódó erı arányos a normális reakciókomponessel, ha normális erı nincs, súrlódó erı sem ébredhet, mivel nyugalom van, a súrlódó erı és a testre ható aktív erık eredıjének a támasztófelülettel párhuzamos komponense egyenlı, értelmük pedig ellentétes, a súrlódó erı nagysága soha nem lehet nagyobb µ0 N -nél, S-re tehát a 0 ≤ S ≤ µ0 N

8.2

viszony érvényes. (8.2) miatt a súrlódással kapcsolatos feladatok általában sztatikailag határozatlanok (azaz végtelen sok megoldás lehetséges). A mőszaki gyakorlatban azonban a legtöbbször az elmozdulás határhelyzetében kell ismernünk a ható erıket, ilyenkor viszont (8.1) érvényes, s a feladatok sztatikailag határozottá válnak. Mivel az egyensúlyi határhelyzetben a támasz által kifejtett reakcióerı hatásvonala a lejtı normálisával ρ 0 szöget zár be, az egyensúly fennállását szerkesztéssel is eldönthetjük. Ehhez a súrlódási kúp fogalmát kell bevezetnünk. A súrlódási kúp tengelye párhuzamos a támasztófelület normálisával és átmegy a testre ható aktív erık eredıjének a támasztófelület-

132 tel való döféspontján. A súrlódási kúp egyenes körkúp, a tengely és az alkotók által bezárt szög ρ 0 . ρ 0 -t a súrlódási kúp félszögének is nevezik. A fentiek alapján nyilvánvaló, hogy a test akkor van nyugalomban, ha a rá ható aktív erık eredıjének hatásvonala (s ezzel a reakcióerıé is) a súrlódási kúp belsejébe vagy határesetben valamely alkotójába esik (8.2. ábra). B/ Mozgásbeli száraz súrlódás. Ha a lejtı hajlásszögét α 〉 ρ0 -nak választjuk, a test nem marad nyugalomban. A lejtı és a test között ilyenkor is ébred súrlódó erı. A mozgás ugyan már kinetikai feladat, de a mozgás során fellépı mozgásbeli súrlódás jellemzıivel célszerő itt foglalkoznunk. A kísérletek alapján a súrlódó erı most is arányos a normálerıvel, értékét, irányát és értelmét az

S = −µN

v v

8.3

összefüggés adja, ahol v - a test sebessége, µ - pedig a mozgásbeli súrlódási tényezı, melynek értéke az érintkezı testek fizikai tulajdonságaitól és a mozgás sebességétıl függ. Jelenleg µ értéke is csak kísérlettel állapítható meg. A nyugvásbeli súrlódási tényezı általában nagyobb, mint a mozgásbeli. Nézzünk egy példát a súrlódási tényezık alakulására:

Szárazon Fa fán

0,4-0,6

µ0 Olajjal kenve 0,16

µ Vízzel kenve 0,7

Szárazon

0,2-0,4

Olajjal kenve 0,08

Vízzel kenve 0,25

A mozgásbeli súrlódás jellemzıi: - a súrlódó erıt a mozgás hozza létre és nem az egyensúly fenntartásának kényszere, - a súrlódó erı vektora a test relatív sebességének vektorával ellentétes, - a súrlódó erı értéke mindig µN . Tanulságos megvizsgálnunk azt az esetet, mikor a testre az idıben monoton növekvı Ft tangenciális erı hat és a kényszererı normális komponense állandó. A 8.3. ábrán az idı függvényében ábrázoltuk a súrlódó erı alakulását. Míg az Ft el nem éri a µ 0 N értéket, addig Ft = S és a test nyugalomban van. Ha a tangenciális erı tovább növekszik, a test mozgásnak indul a súrlódó erı pedig visszaesik a µN mozgásbeli értékre. Az Ft - µN erıkülönbsége a test gyorsítására szolgál.

133 8.2. A SZÁRAZ SÚRLÓDÁSON ALAPULÓ, AZZAL KAPCSOLATOS MECHANIKAI JELENSÉGEK, SZERKEZETEK 8.2.1. CSAPSÚRLÓDÁS Az álló csuklós kényszer, mint kinematikai pár egy furatból és a benne elhelyezkedı csapból áll (8.4. ábra). A csap elfordulási lehetıségének biztosítására a csap átmérıje egy kicsit mindig kisebb, mint a furaté. A csap és a furat érintési pontját, ill. azok felületét abszolút simának tekintve – ahogy eddig tettük – a csap akkor lehet nyugalomban, ha az aktív erık eredıje átmegy a középpontján, mert a furat által kifejtett reakcióerı hatásvonala is ezen a ponton mehet át. A gyakorlati tapasztalat azonban azt mutatja, hogy a csap bizonyos körülmények között, akkor is nyugalomban marad, ha az aktív erık eredıjének hatásvonala nem megy át a csap középpontján. Ilyen esetben az egyensúly már csak súrlódó erık figyelembevételével magyarázható. Sıt feladjuk az abszolút merev test feltételezést is és a valóságos, szilárd testeknek megfelelıen a furat által kifejtett kényszererıt nem egy pontban vagy egy alkotó mentén támadónak, hanem felületen – síkban ívhossz mentén – megoszlónak képzeljük. A/ NYUGVÁSBELI CSAPSÚRLÓDÁS Hasson az r sugarú csapra egy olyan F erı, melynek hatásvonala a középponttól e távolságra van. Azt mondjuk, hogy az erı külpontosan hat és a külpontosság mértéke e. A gyakorlat azt mutatja, hogy ha a külpontosság nem túl nagy, a csap nyugalomban marad. Az egyensúly vizsgálatához toljuk el az aktív erıt a csap középpontjába. Az egyenértékőség betartása miatt ekkor a központosan ható F erı mellett egy M=Fe nagyságú nyomatékot is kell mőködtetnünk aktív teherként. A furat által ki fejtett ív menti megoszló erırendszert a ϕ szöggel jellemzett helyen bontsuk fel egy dN differenciálisan kicsi normálerı- és egy dS szintén differenciálisan kicsi súrlódóerı komponensre. Az így keletkezı síkbeli általános erırendszer egyensúlyi feltételei (8.5/a. ábra): ϕv

∑ Fx = 0 = ∫ (cos ϕ dS − sin ϕ dN), ϕk

ϕv

∑ Fy = 0 = −F + ∫ (cos ϕ dN + sin ϕ dS), ϕk

ϕv

∑ M 0 = 0 = −M + ∫ rdS. ϕk

134 Mivel az egyensúly határhelyzetét vizsgáljuk a súrlódóerınek a maximális értékét vesszük figyelembe: dS = µ0dN = tgρ 0dN. A tg ρ0 = sin ρ0 / cos ρ0 azonosság felhasználásával, a fenti négy összefüggés az alábbi formában írható: ϕv

0 = ∫ sin(ϕ − ρ0 )dN, ϕk

ϕv

F = ∫ cos(ϕ − ρ0 ) ϕk

1 dN, cos ρ0

ϕv

M = rtgρ0 ∫ dN. ϕk

Mivel a normálerı megoszlása ismeretlen, a feladat csak bizonyos közelítı feltevések alkalmazásával oldható meg. Elsı közelítésben tegyük fel, hogy a normálerı a ϕ = ρ 0 alkotó mentén lép fel (8.5/b ábra), ebben az esetben ugyanis az elsı egyenlet automatikusan kielégül, a többibıl pedig az alábbi összefüggéseket kapjuk: N = F cos ρ0 , S = F sin ρ0 ,

M = Fr sin ρ0 .

Vezessük be a λ 0 = r sin ρ0 mennyiséget, melyet a nyugvásbeli csapsúrlódás sugarának nevezünk. Ezzel a súrlódóerınek az aktív nyomatékkal szembeni kifejtett nyomatékát, az ún. csapsúrlódás nyomatékát egyszerően kifejezhetjük: M 0 = λ 0 F. A fenti összefüggések egyben arra mutatnak, hogy a csap kiinduló helyzetébıl addig fordul a terhelı nyomatékkal ellentétes irányba, míg érintkezési pontja el nem éri a súrlódási kúp félszöge által a furaton kijelölt helyet. A valóságban az érintkezés a ϕ = ρ0 -tól balra és jobbra esı felületen (ívhosszon) megy végbe és így a cos ( ϕ = ρ0 ) kifejezés értéke mindig kisebb egynél. Ezt a tényt egy tapasztalati tényezı bevezetésével vehetjük figyelembe. Most N = αF cos ρ0 , S = αF sin ρ0 , M = αFr sin ρ0 ,

8.4/a,b,c

ahol α 〉 1. Vezessük be a csapsúrlódási tényezınek nevezett értéket: ν 0 = α sin ρ0 =

αtgρ0 1 + tg ρ0 2

=

αµ 0 1 + µ 02

.

8.4/d

ν 0 értékét kísérlettel állapíthatjuk meg. Ha α értéke a (8.4/d) kifejezés nevezıjével körülbelül egyenlı, akkor kísérlet hiányában ν 0 ≅ µ 0 vehetünk. Ezzel a csapsúrlódás sugara:

135

λ 0 = rν 0 ≅ rµ 0 .

8.5

A csap nyugalma esetén a csapsúrlódás nyomatékának abszolút értéke nulla és λ0 F között bármely értéket felvehet az egyensúly fenntartása érdekében. A nyugvásbeli csapsúrlódás alapösszefüggése tehát: 0 ≤ M 0 ≤ λ 0 F.

8.6

A fentiek alapján látjuk, hogy a nyugvásbeli csapsúrlódás közvetlen analógiát mutat a nyugvásbeli csúszó súrlódással. Módunkban áll szerkesztéssel is eldönteni, hogy a csap nyugalomban marad-e. A 8.5/b ábrán láthatjuk, hogy a furat által kifejtett reakcióerı hatásvonala határesetben a csap középpontjától λ 0 távolságra lehet, a (8.4/a,b,c) összefüggések pedig azt mutatják, hogy N, S és M0 arányos F-el. E szerint a csap mindaddig nyugalomban marad, míg az aktív erık eredıje metszi a csap középpontjából a csapsúrlódás sugarával megrajzolt kört vagy határesetben éppen érinti azt. B/ MOZGÁSBELI CSAPSÚRLÓDÁS Ha a csapra ható aktív nyomaték nagyobb, mint a nyugvásbeli csapsúrlódás nyomatéka, a csap a furatban forgómozgást végez. A tapasztalat szerint a súrlódóerık ilyenkor is nyomatékot fejtenek ki a forgás irányával ellentétesen:

M 0 = −λF ahol

ω , ω

8.7

λ - a mozgásbeli csapsúrlódás sugara, értékét kísérlettel kell meghatározni, ω - a csap furatához viszonyított szögsebessége. (8.7) szerint az analógia a mozgásbeli csúszósúrlódással itt is teljes.

8.2.2. CSAPSÚRLÓDÁS CSAPÁGYAKBAN A csapágyak kenése, olajozása következtében a csapágyakban a Coulomb-féle súrlódás helyébe a folyadéksúrlódás, ill. a kettı valamilyen kombinációja lép. A gyakorlatban a csapágysúrlódás nyomatékát is az ω M 0 = −λ'F 8.8 ω kifejezéssel szokás megadni, ahol λ' - a mozgásbeli csapágysúrlódás sugara, amelynek értéke függ a kenıanyag viszkozitásától, a csap felületegységére esı terhelıerı nagyságától, a csap szögsebességétıl. λ' igen tág határok között mozoghat, értékét a legcélszerőbb kísérlettel meghatározni. A csapágyakat kifejezetten a forgómozgás biztosítása érdekében készítik, így a nyugvásbeli csapágysúrlódásnak nincs gyakorlati jelentısége. 8.2.3. CSAPSÚRLÓDÁS KÚPOS TALPCSAPÁGYAKBAN (FÚRÓ SÚRLÓDÁS) Gyakran elıfordul, hogy a csapra nemcsak tengelyre merıleges, hanem azzal párhuzamos erık is hatnak. A tengellyel párhuzamos erıt a csap és a furat megfelelı kialakításával (pl.

136 kúpos) lehet kiegyensúlyozni (8.6. ábra). Az F erı hatására a furat kúpos felületének egy elemi dA nagyságú darabján dN normálerı ébred, ami lehetıvé teszi, hogy az egyensúly biztosítására, vagy a forgómozgás nehezítésére súrlódóerık lépjenek fel a csap hossztengelyére merılegesen. A/ NYUGVÁSBELI SÚRLÓDÁS Adott F teher esetén a csap nyugalomban marad mindaddig, míg az M nagysága el nem ér egy bizonyos értéket. A kúpos talpcsapágy súrlódási nyomatékának meghatározásához írjunk fel a csap tengelyére egy vetületi és egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

∑F

z

= 0 = −F + ∫ sin β dN, A

∑M

z

= 0 = − M + ∫ rdS, A

amelyekben az integrálást az egész felfekvı kúpfelületen kell végrehajtani. Tegyük fel, hogy a normálerı eloszlása a csonkakúp mentén egyenletes, azaz dN p= , dA ahol p a felületi nyomás. Az egyensúly határhelyzetében: dS = tgρ0dN = tgρ0 pdA. Helyettesítsük be ezt az egyensúlyi egyenletekbe és fejezzük ki M-et: rdA tgρ0 A∫ . M=F sin β ∫ dA A

Ahhoz, hogy el tudjuk végezni az integrálást, az r és r+dr koordináták között lévı elemi csonkakúp felületet ki kell fejeznünk a következı formában: dA =

2rπ dr. sin β

Ezt behelyettesítve és elvégezve az integrálást az R2 és R1 határok között megkapjuk azt a nyomatékot, amelynél a csap az elfordulás határhelyzetébe kerül. Ez a nyomaték a kúpos talpcsapágy elfordulással szemben kifejtett ellenállásának maximuma. Alapösszefüggésként tehát az M0 ≤ relációt írhatjuk.

2tgρ0 R 32 − R 13 F 3 sin β R 22 − R12

8.9

137 Ha β = 900 , és R2=0, vagyis a tengely egy R1 sugarú körlapon támaszkodik, a talpcsapágy súrlódási nyomatékának alapösszefüggése: M0 ≤

2 tgρ0 R 1F. 3

8.10

B/ MOZGÁSBELI SÚRLÓDÁS Ha az aktív terhelınyomaték nagysága (8.9)-nél nagyobb, a csap forgómozgást végez. A talpcsapágy ellenállására jellemzı nyomatékot úgy kapjuk, hogy a fenti kifejezésekben csak az egyenlıség jelét vesszük figyelembe és a ρ 0 helyébe a mozgásbeli súrlódásnak megfelelı ρ = arctgµ értéket helyettesítjük be. 8.2.4. A KÖTÉLSÚRKÓDÁS A/ NYUGVÁSBELI KÖTÉLSÚRLÓDÁS Tekerjünk fel egy álló korongra egy kötelet úgy, hogy a kötél és a korong β szögtartományon érintsék egymást (8.7. ábra). Hasson az egyik kötélvégen K1, a másikon K2 erı. Ha a súrlódástól eltekintünk, K1 = K2. A súrlódás figyelembevételével azonban K2 értéke bizonyos mértékben változhat anélkül, hogy az egyensúly felbomlana. Vizsgáljuk az egyensúlynak azt a határállapotát, mikor a kötél a K2 irányú elmozdulás határán van. Jelöljünk ki a kötélen egy tetszıleges ϕ szögő helyzetben egy ∆ϕR hosszúságú darabot. A kötélre ható erık: a két kötélerı, a korongról ható normálerı és az elmozdulás irányával ellentétes súrlódóerı. Ennek a négy erınek egyensúlyi erırendszert kell alkotnia: ∆ϕ

∆ϕ

∑ F = 0 = dN − K(ϕ) sin 2 − K (ϕ + ∆ϕ) sin 2 ∑ M = 0 = K(ϕ)R − K (ϕ + ∆ϕ)R + dSR , y

,

0

határhelyzetben a súrlódó erı értéke: dS = µ 0dN. ∆ϕ ∆ϕ A sin ≅ közelítés felhasználásával a fenti összefüggésekbıl a következı kifejezést 2 2 kapjuk: K (ϕ + ∆ϕ) − K (ϕ) K (ϕ + ∆ϕ) − K (ϕ) = µ0 . ∆ϕ 2 Ez a kifejezés ∆ϕ → 0 határátmenettel az alábbi alakot ölti, melyet a kötélsúrlódás differenciálegyenletének nevezünk:

138 dK (ϕ) = µ 0 K (ϕ) . dϕ Megoldása:

∫

dK (ϕ) = ∫ µ 0d ϕ , Kϕ

1nK (ϕ) = µ 0ϕ + C.

Ha ϕ = 0 − nál K = K1 , az integrálási állandó értéke: C = lnK1. Ezzel a partikuláris megoldás: K (ϕ) = K1 exp(µ 0ϕ).

8.11

A K2 erı maximuma (saját irányba való elmozdulásnál): K 2 = K1 exp(µ 0β).

8.12/a

Ellentétes irányú elmozdulásnál csupán a súrlódó erı vált elıjelet, Így a K2 erı minimuma: K 2 = K1 exp(−µ 0β) .

8.12/b

A kötél tehát mindaddig nyugalomban van, míg a K1 exp(−µ 0β) ≤ K 2 ≤ K1 exp(+µ 0β) feltétel fennáll. Az elemi súrlódóerık eredıje nyilvánvalóan a kötélvégi két erı különbsége. K2 irányú elmozdulásnál: S = K 2 − K1 = K1 (exp(µ 0β) − 1) és K2-vel ellentétes irányú, K1 irányú elmozdulásnál: S' = K1 − K 2 = K1 (1 − exp(−µ 0β)) és K2-vel azonos irányú. B/ MOZGÁSBELI KÖTÉLSÚRLÓDÁS Ha a kötél K2 irányában csúszik a korongon, a mozgatáshoz szükséges minimális erı:

K 2 min = K1 exp(µβ), ahol µ - mozgásbeli súrlódási tényezı. 8.2.5. AZ ÉK Egy α b + α j élszögő éket verjünk be egy szilárd testbe. Az ék anyaggal érintkezı síklapjain egy felületen megoszló erırendszer ébred. A feladatot síkban modellezve (8.8. ábra), az erı-

139 rendszert egy koncentrált normálerıvel és a neki megfelelı súrlódóerıvel helyettesíthetjük (feltesszük, hogy az erık a nyomatéki egyensúlyi feltételeket kielégítik). Határozzuk meg, mekkora F erıvel kell tartani az éket, hogy az ne nyomódjon ki az anyagból. Nb és Nj – két éklapon ébredı normálerı, µ 0 b , µ 0 j a nyugvásbeli súrlódási tényezık. A kinyomódás határhelyzetében a súrlódóerık a test belseje felé mutatnak. A súrlódóerık és a normálerık eredıi a súrlódási kúp palástjára esnek. Így a feladat tulajdonképpen három erı egyensúlyának vizsgálata.

∑ F = 0 = N cos α + µ N sin α − N cos α − µ N sin α , ∑ F = 0 = −F + N sin α − µ N cos α + N sin α − µ N cos α . x

y

b

b

b

0b

b

b

0b

b

b

j

b

j

j

0j

j

j

oj

j

j

j

Gyakorlatilag az az eset a legfontosabb, mikor α b = α j = α és µ ob = µ 0 j = µ 0 , valamint az F erı hatásvonala az ék szimmetriatengelyébe esik. Ilyenkor (az egyensúlyi egyenletekbıl is köetkezik): Nb = Nj = N és sin α cos ρ0 − sin ρ0 cos α sin(α − ρ0 ) F = 2 N(sin α − µ 0 cos α) = 2 N = 2N . 8.13 cos ρ0 cos ρ0 Adott N esetén tehát ekkora erıvel tudjuk az éket egyensúlyban tartani. Amennyiben az éket tovább kívánjuk befelé tolni, a súrlódóerık értelmének elıjelváltása miatt – teljesen analóg levezetés szerint – a fenti képletben a negatív elıjel pozitívra változik. Önzárónak nevezzük az éket, ha F ≤ 0, azaz húzóerıre van szükség a kimozdításához. Ilyenkor sin(α − ρ0 ) 2N ≤ 0, sin(α − ρ0 ) ≤ 0, α − ρ0 ≤ 0, cos ρ0

ρ0 ≥ α , ami tehát az önzárás feltétele. Azaz az ék önzáró, ha a súrlódási kúp félszöge nagyobb, mint az ék félszöge vagy határesetben egyenlık.

140 Adott, konkrét esetben a feladatot szerkesztéssel is megoldhatjuk. Az egyensúly feltétele a folytonos nyílértelemmel záródó vektorsokszög. Ha az így kiadódó F erı értelme lefelé mutat, az ék nem önzáró, egyensúlyban tartásához a kapott erıre van szükség. Ha az erı felfelé mutat az ék önzáró, kihúzásához a szerkesztéssel kapott erıre van szükség (8.9. ábra). 8.2.6. A CSAVAR A csavar egyenes körhengerre felcsavart lejtı. Ha a lejtı felszíne merıleges a henger tengelyére lapos menető csavarról, ha a felszín a tengelyt ferde szög alatt metszi éles menető csavarról beszélünk. Szorítsuk össze a csavar és az anya egymással érintkezı csavarfelületét F erıvel. Kötıelemként használva ez az erı a csavar meghúzásából, teheremelıként használva a teher súlyából származik. Az alábbi kérdésekre kell válaszolnunk (8.10. ábra). a/ Mekkora nyomatékra van szükség, hogy a terhet tovább emeljük, ill. az összekötıcsavart jobban meghúzhassuk és b/ mekkora nyomatékot kell alkalmaznunk, hogy az F erı ne tekerje vissza a csavart (azaz a teher ne süllyedjen, ill. a csavar ne lazuljon meg). α - a csavar menetemelkedési szöge, β - az élesmenet fél ékszöge, µ0 - a nyugvásbeli súrlódási tényezı. Válasszunk ki az érintkezı csavarfelületen egy elemi felületdarabot. Ezen a felületelemen dN normálerı és a neki megfelelı dS = µ 0dN súrlódóerı mőködik. Az ábrán felvett pontban ható normálerı hatásvonala az x-z síkkal α , az y-z síkkal β szöget zár be. A súrlódó erı hatásvonala az x-y síkkal α szöget zár be. Írjuk fel az egyensúlyi egyenleteket a felfelé való elmozdulás pillanatában:

∑M

z

= 0 = M − ∫ r cos αdS − ∫ r sin α cos αdN, A

∑F

z

A

= 0 = −F + ∫ cos β cos αdN − ∫ sin αdS. A

A

Ezekbıl:

M = r (µ 0 cos α + sin α cos β) ∫ dN, A

F = (cos α cos β − µ 0 sin α) ∫ dN, A

ahol A – a teljes felfekvési felület. A két kifejezésbıl: µ sin α + 0 cos α sin α + µ '0 cos α sin α cos ρ'0 + sin ρ'0 cos α cos β M = Fr = Fr = Fr = ' ' ' µ0 cos α − µ sin α cos α cos ρ − sin ρ sin α 0 0 0 cos α − sin α cos β

141

= Fr

sin(α + ρ'0 ) = Fr.tg (α + ρ'0 ), ' cos(α + ρ0 )

8.14

ahol µ '0 = µ 0 / cos β - a módosított nyugvásbeli súrlódási tényezı. Nyilvánvaló, hogy µ '0 ≥ µ 0 , s így ρ'0 ≥ ρ0 . Vegyük észre, hogy laposmenető csavar esetén β = 0, ilyenkor ρ'0 = ρ0 . Tehát M=Frtg( α + ρ'0 ) minimális nagyságú nyomatékra van szükség az F súlyú teher emeléséhez, vagy összekötıelemként alkalmazva a csavar további megszorításához (ami természetesen az F erı megnövekedésével jár). Visszacsavarodáskor – a másik egyensúlyi helyzet határán – csak a súrlódóerı értelme változik ellentétesre. Az egyensúlyi egyenletekben tehát a dS elé ellentétes elıjelet kell írni. Az egyenletrendszer megoldásával: M = Fr

sin α − µ '0 cos α = Fr.tg (α − ρ'0 ). ' cos α + µ 0 sin α

8.15

A csavart önzárónak nevezzük, ha csak M ≤ 0 (azaz ellentétes irányú nyomaték) esetén csavarodik vissza. Ennek feltétele: Frtg( α − ρ'0 ) ≤ 0, α − ρ'0 ≤ 0, azaz ρ'0 ≥ α. A csavar tehát önzáró, ha a redukált nyugvásbeli súrlódási kúp felszöge nagyobb, mint a csavar menetemelkedési szöge, ill. határesetben egyenlık. Teheremeléskor, mikor az a cél, hogy minél kisebb nyomatékkal emeljünk minél nagyobb terhet, kis menetemelkedéső, laposmenető csavart alkalmazunk. Ekkor – β = 0 miatt − µ '0 = µ 0 / cos β = µ 0 = tgρ0 , azaz a redukált súrlódási kúp félszöge a lehetı legkisebb. Szerkezeti elemként pedig élesmenető csavart használunk, hogy adott α menetemelkedési szög esetén a ρ'0 〉 ρ0 miatt a ρ'0 〉 α egyenlıtlenség biztosan fennálljon. 8.2.7. GÖRDÜLÉSI ELLENÁLLÁS Gördülı mozgásról akkor beszélünk, ha az egyik test a másikhoz képest úgy mozog, hogy abban a pontban vagy azon alkotó mentén, amelyen érintkeznek, relatív sebességük nulla. Hengerpalást felülető vagy gömb alakú testek gördülı mozgásánál az elmozdulással, ill. a folyamatos mozgással szemben ellenállás lép fel, melyet gördülési ellenállásnak (súrlódásnak) nevezünk. A gördülı mozgást gátolni igyekvı hatás lényegesen kisebb, mint a csúszósúrlódásnál, így a testek gördüléssel való mozgatásának igen nagy a gyakorlati jelentısége. Az ellenállást most is csak az egymáson gördülı testek alakváltozásának figyelembevételével tudjuk megmagyarázni. Kísérlettel megfigyelhetı, hogy a gördülı test elıtt a támasztó felület felnyomódik és a véges nagyságú érintkezési felületen már kialakulhat egy olyan megoszló erırendszer, amely az ellenállást kifejti, sıt bizonyos körülmények között biztosítja a test egyensúlyát. A mőszaki gyakorlatban a legfontosabb a körhenger vagy gömb alakú testek gördülése. Ezek síkbeli modelljét látjuk a 8.11/a ,b ábrán a gördülést létrehozó két leggyakoribb esetben. A/ NYUGVÁSBELI GÖRDÜLÉSI ELLENÁLLÁS A 8.11/a. ábrának megfelelı esetben a gördülést az M koncentrált nyomaték (erıpár) okozza. A Kísérletek azt mutatják, hogy míg M egy bizonyos érték alatt van, a test egyensúlyban marad. Az érdességet és az érintkezı felületek deformációját figyelembe véve, reakcióként a támasztófelület elemi nagyságú helyén dN normálerıt és dS súrlódóerıt feltételezhetünk. Mi-

142 vel ezek megoszlását nem ismerjük, a feladatot csak közelítéssel oldhatjuk meg. Ha a támasztó felületet a valóságnak megfelelıen kicsinek képzeljük, akkor a dN és dS elemi erık hatásvonala jó közelítéssel függılegesnek, ill. vízszintesnek vehetı. Ez a feltételezés lehetıvé teszi, hogy a reakcióerıket az N = ∫ dN és S = ∫ dS A

A

eredıjükkel helyettesítsük. Az egyensúly határhelyzetében:

∑F

= 0 = S,

∑F

= 0 = − Fy + N,

∑M

0

x

y

= 0 = − M + f 0 N.

A harmadik egyenletben feltételezzük, hogy az N eredı hatásvonala az elméleti érintkezési ponttól (0 pont) f0 távolságra van. A fenti összefüggések szerint az eredı súrlódó erı nulla és a támasztófelület ellenállását egy nyomatékkal jellemezhetjük, amelyet a nyugvásbeli gördülési ellenállás nyomatékának nevezünk. Egyensúly esetén az alapösszefüggés: M = M g 0 ≤ f 0 N = f 0 Fy ,

8.16/a

ahol Mg0 – a nyugvásbeli gördülési ellenállás nyomatéka, f0 – nyugvásbeli gördülési ellenállás karja, amely a teher nagyságától, a gördülı test érintkezési pontbeli görbületi sugarától, a sebességtıl és még sok mennyiségtıl függ. Értékét kísérlettel kell meghatározni. A 8.11/b. ábrának megfelelı terhelési esetben a gördülést az aktív erı vízszintes komponense hozza létre. Az egyensúly határhelyzetében az elızı közelítéseknek megfelelıen:

∑F

x

∑F

y

∑M

0

= 0 = Fx − S,

= 0 = − Fy + N,

= 0 = −M + f 0 N, ahol M = Fx r .

A test egyensúlyban akkor lehet, ha Fx = S ≤ µ 0 N = µ 0 Fy és

8.16/b

M = Fx r = M g 0 ≤ f 0 N = f 0 Fy ,

8.16/c

Mg0 és f0 értelmezése ugyanaz, mint elıbb.

143 B/ MOZGÁSBELI GÖRDÜLÉSI ELLENÁLLÁS Ha a (8.16) relációk nem állnak fenn, a test mozgásnak indul. A 8.11/a ábrának megfelelı esetben a mozgás gördülés és a gördüléssel szemben kifejtett nyomaték: M g = fN = fFy ,

8.17

ahol f – a mozgásbeli gördülési ellenállás karja, értéke sok mennyiség függvénye, így kísérlettel célszerő meghatározni. Fel kell hívni a figyelmet arra, hogy súrlódóerı nélkül a test a terhelı nyomaték hatására egy helyben forogna. Gördüléskor tehát mindig kell súrlódóerınek ébrednie. Ez egyébként elkerülhetetlen, mert a támasztó és gördülı test érintkezési felületének egyenlıtlen deformációja (a támasztófelület megnyúlik, a gördülıfelület összehúzódik) következtében az elemi felületdarabok egymáshoz képest elmozdulhatnak s így közöttük súrlódóerı ébred. Nyomatékkel való gördítés esetén az elemi súrlódóerık eredıje nulla. A 8.11/b. ábrának megfelelı esetben a test háromféleképpen is viselkedhet. a/ Ha

Fx 〉 µ0 Fy

és

M ≤ Mg0 ,

a test transzlációs mozgást végez, a támasztófelületen csúszik. b/ Ha

Fx ≤ µ0 Fy

és

M 〉 Mg0 ,

a test csúszás nélkül ún. tiszta gördüléssel mozog. A mozgásbeli gördülési ellenállás nyomatékát itt is (8.17) adja. c/ Ha

Fx 〉 µ 0 Fy

és

M 〉 Mg0 ,

a test egyszerre csúszik és gördül. Ez azt jelenti, hogy míg egyszer körbefordul, a középpontja által megtett távolság kisebb vagy nagyobb, mint a kerülete. Ezt a jelenséget szlípnek nevezzük. Ilyenkor a testre az S = µFy nagyságú, mozgásbeli súrlódóerı és a (8.17)-nak megfelelı nagyságú, mozgásbeli gördülési ellenállás nyomaték hat. 8.2.8. EGYSZERŐ GÉPEK HATÁSFOKA A mőszaki gyakorlatban használt erıátviteli eszközök egyszerő szerkezeti elemekbıl épülnek fel. Ilyenkor pl. a lejtı, ék, csavar, csukló, emelı, hengerkerék, csigasor stb. melyeket közös néven egyszerő gépeknek nevezünk. Az egyszerő gépek lehetıvé teszi, hogy egy bizonyos nagyságú munkát viszonylag kis erıbefektetéssel végezzünk el. Az egyszerő gépeknek – és minden munka-, ill. teljesítményátadásra szolgáló szerkezetnek – van egy hátrányos tulajdonsága. A befektetett munka nem nyerhetı vissza belılük teljes mértékben. A súrlódás és egyéb ellenállások következtében a munka egy része elvész, pontosabban a mechanikai felhasználás szempontjából használhatatlan hıvé alakul. A gépek egyik igen fontos mőszaki jellemzıje, hogy a visszanyerhetı (hasznos) munka és a befektetett (teljes) munka milyen viszonyban van egymással. A hányadost η -val jelöljük és hatásfoknak nevezzük:

η=

W Whasznos Wteljes − Wveszteség = = 1 − veszteség . Wteljes Wteljes Wteljes

8.18/a

144 Az idı szerint differenciálva a számlálót és a nevezıt, (2.24/b) szerint a hasznos és a teljes teljesítményt kapjuk: P η = hasznos . 8.18/b Pteljes A hatásfok számításához sokszor célszerő a virtuális elmozdulás során végzett munkát felhasználni. Számítsuk pl. a teheremelésre használható lejtı hatásfokát (8.12 ábra)). A testre ható aktív erı a G súlyerı. Ha a testnek a lejtıvel párhuzamos, δs nagyságú virtuális elmozdulást adunk, a hasznos munka: δWhasznos = G sin αδs. Az elmozdítás során azonban a többi erı is munkát végezhet. Esetünkben a normális reakciókomponens munkája nulla, mert az elmozdulás merıleges a hatásvonalára. A súrlódóerı munkája pedig Sδs = µG cos αδs(µ - a mozgásbeli súrlódási tényezı). A teljes munka:

δWteljes = G sin αδs + µG cos αδs Így a hatásfok:

η=

δWhasznos G sin αδs 1 = = . δWteljes G sin αδs + µG cos αδs 1 + µctgα

Ha megköveteljük, hogy a lejtı önzáró legyen, akkor a hajlásszög a határesetben α = ρ0 ≅ ρ = arctgµ . Ilyenkor a hatásfok: η=

1 1 = . 1 + tgρ ⋅ ctgρ 2

Ha α 〈 ρ , a hatásfok mindig kisebb, mint 0,5 azaz, a befektetett munkának több, mint a fele elvész. 9. EGYENSÚLYI HELYZETEK Ha a nyugalomban lévı testek, valamely szerkezetnek a tagjai tetszıleges hatás (pl. virtuális elmozdulás) következtében egyensúlyi helyzetükbıl kissé kitérnek, a kitérést létrehozó hatás megszünte után háromféle módon viselkedhetnek: a/ Visszatérnek eredeti egyensúlyi helyzetükbe. b/ Még inkább eltávolodnak eredeti egyensúlyi helyzetüktıl. c/ Az elmozdított helyzetben is nyugalomban (egyensúlyban) maradnak. A három lehetıséget egy egyszerőesetben a 9.1. ábra szemlélteti. Az a/ esetben biztos,, a b/ esetben bizonytalan, a c/ esetben közömbös egyensúlyi helyzetrıl beszélünk. Ha vizsgálataink olyan szerkezetekre korlátozódnak, melyekre aktív erıként csak súlyerık hatnak, az egyensúlyi helyzet milyenségét – a 9.1. ábrán láthatónál sokkal bonyolultabb szerkezetek esetén – matematikai módszerekkel kell és lehet eldönteni.

145

Tétel: Csak súlyerık hatása alatt állószerkezet akkor van egyensúlyban, ha tetszıleges virtuális elmozdulásnál a rendszer súlypontjának magassága (a súlypont helyvektorának a súlyerık hatásvonalával párhuzamos komponense) nem változik meg. Bizonyítás: Vegyünk egy n tagból álló szerkezetet, ahol a tagok ri helyvektorú súlypontjában G i súlyerı hat (9.2. ábra). A koordinátarendszer z tengelyét úgy vettük fel, hogy párhuzamos legyen a súlyerık hatásvonalával, így G i = −G i ez . Adjunk a tagok súlypontjainak δ ri virtuális elmozdulást. Mivel a szerkezet nyugalomban van, az összes erı egyensúlyi erırendszert alkot. Alkalmazzuk a virtuális munka elvét: n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

δW = ∑ δWi = ∑ G i δri = −∑ G i ez δri = −∑ G i δz i = 0 .

9.1

(A fenti egyenletben természetesen a belsı erık és a reakcióerık nem szerepelnek.) Az egész rendszer súlypontját megadó helyvektorának z irányú komponense (7.1/a) szerint: n

zS =

∑G z i =1 n

i i

∑G i =1

, i

így n

δzS =

∑ G δz i

i =1

.

n

∑G i =1

i

i

A súlypont virtuális elmozdulásának függıleges komponense (9.1) felhasználásával: n

δzS = ∑ G i δz i = 0.

9.2

i =1

Az egész rendszer virtuális elmozdulásánál tehát a rendszer súlypontjának függıleges irányú virtuális elmozdulása nulla, a rendszersúlypont magassági koordinátája tehát változatlan marad.

146 A súlypont koordináta számlálójában lévı mennyiséget a rendszer potenciális vagy helyzeti energiájának nevezzük: n

U = U(z) = ∑ G i z i .

9.3

i =1

Tétel: Csak súlyerık hatása alatt álló szerkezet helyzeti energiájának az egyensúlyi helyzetben helyi szélsı értéke van. Bizonyítás: (9.2) integrálásával kapjuk, hogy n

zS = ∑ G i z i = áll. i =1

(9.3)-et is figyelembe véve ez azt jelenti, hogy a potenciális energia a virtuális elmozdulásnál nem változik meg. A virtuális elmozdulás azonban mindig az egyensúlyi helyzet kis környezetére korlátozódik. Ebben a kis környezetben a potenciális energia úgy lehet állandó, ha a potenciális energiafüggvénynek helyi szélsı értéke van. Ezek alapján, ha fel tudjuk írni a szerkezet potenciális energiáját a helyzet függvényében, akkor a szerkezet egyensúlyi helyzetét vagy helyzeteit – feltéve, hogy a rendszer egy szabadságdfokú – a dU(z) =0 9.4/a dz egyenlıségbıl számíthatjuk. A 9.1. ábra elemzésével könnyen beláthatjuk, de általánosan nem bizonyítjuk a következı tételt. Tétel: Ha a szélsı érték helyén a potenciális energia minimális, az egyensúlyi helyzet biztos, ha maximális, az egyensúlyi helyzet bizonytalan. Egy szabadságfokú rendszernél tehát az egyensúlyi helyzet biztos, ha z = z0 egyensúlyi helyzetben d 2 U(z) 〉 0, 9.4/b dz 2 bizonytalan, ha d 2 U ( Z) 〈 0. 9.4/c dz 2 10. ÁLLÉKONYSÁG A sztatikailag túlhatározott szerkezetek speciális erırendszerek hatására biztos egyensúlyi helyzetbe kerülhetnek. Ilyen eset a mőszaki gyakorlatban akkor fordul elı legtöbbször, ha a test vagy a szerkezet érdes felületen támaszkodik. Mivel az aktív erırendszer megváltozásával a biztos egyensúlyi helyzet felborulhat, mindig meg kell vizsgálni, hogyan változhat az aktív erırendszer a szerkezet elmozdulásának veszélye nélkül. A mozgás elcsúszásában vagy valamilyen tengely körüli elfordulásban, ún. felbillenésben (felborulásban), esetleg egyszerre mind a kettıben nyilvánulhat meg. A megcsúszás és a felbillenéssel szembeni ellenállást a szerkezet állékonyságának nevezzük. Adott szerkezet, megtámasztási mód és aktív erırendszer esetén a stabilitás biztonságát az elcsúszás és a felbillenés elleni biztonsági tényezıvel fejezzük ki.

147 A/ AZ ELCSÚSZÁSSAL SZEMBENI BIZTONSÁG A súrlódás jelenségének ismeretében könnyen beláthatjuk, hogy elcsúszással szemben akkor biztosított az érdes felületen megtámasztott test, ha a támasztási pontokban (felületeken) az egyensúly elméleti biztosításához szükséges reakció támasztófelülettel párhuzamos komponense kisebb vagy határesetben egyenlı az ott fellépı súrlódóerı lehetséges maximum értékével. Ha a megtámasztási pontban Fx-szel és Fy-nal jelöljük az elméleti egyensúly fenntartásához szükséges, támasztófelülettel párhuzamos és arra merıleges reakciókomponenseket, a test az adott támaszon nem csúszik meg, ha Fx ≤ µ 0 Fy ,

10.1

ahol µ0 - a nyugvásbeli súrlódási tényezı. Az elcsúszással szembeni biztonsági tényezı:

n elcsúszás =

µ 0 Fy . Fx

10.2

(10.1)-bıl következik, hogy n elcsúszás 〉 1 , ha az elcsúszás veszélye nem áll fenn.

Szerkesztéssel is eldönthetjük az elcsúszás, vagy helyben maradás tényét. Ha a támaszon az elméletileg szükséges reakcióerı hatásvonala beleesik a súrlódási kúpba, az elcsúszás veszélye nem áll fenn. A 10.1/a,b. ábrán az elcsúszás grafikus vizsgálatára látunk két példát. Az a/ ábrán a vízszintes felületen támaszkodó G súlyú testre F erı hat. A két aktív erı eredıjének hatásvonala beleesik a súrlódási kúpba, az elcsúszás veszélye nem áll fenn. A b/ feladatnál minden olyan F erı esetén nyugalomban marad a test, melynek hatásvonalán a két támaszreakció hatásvonala a sraffozott területen metszıdik. B/ FELBILLENÉSSEL SZEMBENI BIZTONSÁG Az aktív erık egy része nemcsak elcsúsztatni, hanem feltölteni is igyekszik a testet vagy szerkezetet. A felbillenés mindig valamilyen tengely körül történik. Ez a tengely a támaszkodó

148 felület által meghatározott támaszidom valamely éle, ill. érintıje. A támaszidom a támaszkodó felület konvex burka, alakzata. Konvex alakzat alatt olyan síkidomot (térbeli testet) értünk, amelynek bármely két pontját összekötı egyenese is az alakzathoz tartozik. Síkidomok esetén a konvex burkot legegyszerőbben úgy képzelhetjük el, hogy a támaszkodó pontok, felületdarabok köré kívülrıl egy fonalat feszítünk. A fonál által közrezárt terület a konvex burok. A 10.2. ábrán sraffozással jelöltük a támaszkodó felületet, pontozással annak konvex burkát.

Olyan tengely, amely körül a test felbillenhet elvileg végtelen sok van. Gyakorlatilag azonban nem nehéz kiválasztani azt a tengelyt, az aktív erıket figyelembe véve, amelyik a feldöntés szempontjából a legkritikusabb. Ha több tengely is veszélyesnek látszik, mindegyiket külön meg kell vizsgálnunk. Ha az aktív erık olyanok, hogy a test éppen a felbillenés határán van, akkor nyomatékuk a kritikus tengelyre nulla. A reakcióerık hatásával nem kell foglalkoznunk, mert úgy képzeljük, hogy az egyensúly határhelyzetében a test már csak a kritikus tengely mentén érintkezik a támasztófelülettel, az itt ébredı reakciók nyomatéka erre a tengelyre azonban nulla. A testre ható aktív erıket két csoportra osztjuk. Az egyik csoport igyekszik felbillenteni a testet, ezek nyomatékát a kritikus tengelyre jelöljük Mstabilizáló-val jelöljük. A test nem billen fel, ha Mtényleges billentı ≤ Mstabilizáló 10.3 Az egyensúly határhelyzetében a két nyomaték egyenlı. Ilyenkor a billentı nyomatékot határ billentı nyomatéknak nevezzük. A felbillenéssel szembeni biztonsági tényezı:

n felbillené s =

M stabiliozáló . M tényleges billentı

10.4

Ha a felbillenés veszélye nem áll fenn, akkor – (10.3) miatt – nfelbillenés > 1. Szerkesztéssel is megállapíthatjuk a felbillenés veszélyét. Határhelyzetben a stabilizáló és a tényleges billentı nyomaték egymással egyenlı, ami azt jelenti, hogy az aktív erık eredıje átmegy a kritikus tengelyen. Így tehát, ha az aktív erık eredıje a támasztófelületet a támaszidom belsejében döfi, a felbillenés nem áll fenn. Ez a helyzet a 10.1/a ábránál.

149

Felhasznált és ajánlott irodalom 1. 2. 3. 4.

Budó, Á. 1964: Mechanika. Tankönyvkiadó, Budapest. Huszár, I. 1978: Mechanika I. Statika. Jegyzet. GATE Gödöllı. Muttnyánszky, Á. 1961: Statika. Tankönyvkiadó, Budapest. Neuber, H. 1971: Technische Mechanik. Erster Teil: Statik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. 5. Parkus, H. 1983: Mechanik der festen Körper, Springer-Verlag. Wien, New York. 6. Pelikán, J. 1971: Statika. Tankönyvkiadó, Budapest. 7. Pöschl, Th. 1949: Statik und Dynamik. Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg. 8. Roller, B. - Árvay, K. 1984: Mechanika. Merev testek statikája. Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest. 9. Terplán, Z. 1962: Mechanizmusok. Tankönyvkiadó, Budapest. 10. Czitary, E. 1962: Seilschwebebahnen. Springer-Verlag, Wien.