NWO-Leraar in onderzoek, uitgevoerd aan de Rijksuniversiteit Groningen, feb-juli 2007

Schoolboekanalyse

Tussenrapportage van het onderzoek ‘Hellingen, snelheden en marginale kosten’ door Nelleke den Braber NWO-Leraar in onderzoek, uitgevoerd aan de Rijksuniversiteit Groningen, feb-juli 2007

Aan de lezer: Wilt u als lezer opmerkingen maken over de inhoud of deze inhoud elders gebruiken dan zou ik het erg op prijs stellen als u mij hiervan op de hoogte stelt. Dit kan via [email protected]

1

1

Inleiding

In het LioN-onderzoek ‘Hellingen snelheden en marginale kosten’ wordt onderzoek gedaan naar de kennis van wiskunde, in het bijzonder van afgeleide functies, bij natuurkunde-, scheikunde- en economiedocenten. Het onderzoek bevat interviews en lesobservaties met verschillende docenten, maar richt zich ook op de schoolboeken, de schoolboekanalyse genoemd. Met de schoolboekanalyse wordt geprobeerd antwoord te geven op de volgende vraag:
Hoe wordt het begrip ‘afgeleide’ in de schoolboeken van de niet-wiskundige vakgebieden behandeld? Het onderzoek beperkt zich tot de schoolboeken van economie, natuurkunde en scheikunde. Welke boeken er gekozen zijn, hoe er naar de boeken is gekeken en welk instrument gebruikt is, zal in de volgende hoofdstukken aan bod komen. Vervolgens volgen er enkele resultaten en conclusies.

2

Theoretisch kader

Voor een schoolvak, zoals natuurkunde, economie of scheikunde, kan een docent kiezen uit verschillende lesmethodes. Meestal zijn de methodes van verschillende uitgevers en heeft elke methode zijn eigen kenmerken en opbouw. Elke methode bestaat uit een aantal schoolboeken verdeeld over de verschillende leerjaren (VWO4, HAVO5 etc.). De schoolboekanalyse beslaat een aantal schoolboeken uit verschillende methodes. In het onderzoek van Roorda et al. (2007) wordt gekeken naar het leerproces van leerlingen m.b.t. de afgeleide. In dit onderzoek wordt een raamwerk gebruikt, waarmee beschreven en geanalyseerd kan worden hoe iemand begrippen met elkaar in verband brengt rondom het differentiëren en welke oplossingsstrategieën iemand gebruikt. Daarnaast kan ermee worden beschreven in hoeverre bepaalde kennis vak- of themagebonden is. Als basis voor de schoolboekanalyse is gebruik gemaakt van dit raamwerk van Roorda, ook wel het schema van Roorda genoemd. De kern van dit schema beslaat drie kolommen, elk behorende tot een representatievorm (zie tabel 1). Om informatie weer te geven kunnen we kiezen voor een grafische representatie (grafiek), symbolisch (functie) of numeriek (tabel). Binnen deze kolommen kunnen we verschillende niveaus onderscheiden, zonder daarmee een ordening in complexiteit te suggereren. Het eerste niveau geeft aan hoe een verband wordt weergeven tussen twee grootheden, namelijk met een functievoorschrift, een grafiek of gegevens geordend in een tabel. Het tweede niveau bekijkt de gemiddelde verandering op een interval, gevolgd door de mate van verandering in een punt (niveau 3) en het verband tussen de grootheid en de mate van verandering (niveau 4). Binnen het schema zijn overgangen mogelijk. Een overgang geeft de verschuiving aan tussen de verschillende cellen van het schema. Stel dat bij een gegeven functievoorschrift de afgeleide functie wordt bepaald door te differentiëren. We blijven dan in het schema binnen de functiekolom en geven deze overgang aan met de notatie F1 -> F4. Maar we kunnen ook overgangen tussen de kolommen hebben. Bijvoorbeeld, bij een gegeven functievoorschrift wordt een grafiek getekend en hieraan wordt een raaklijn in een punt getekend. Deze overgang geven we dan weer met de notatie F1 -> G1 -> G3.

2

Gezien we te maken hebben met specifieke schoolvakken zullen de overgangen een toepassinggericht karakter hebben, er wordt geredeneerd vanuit een natuurkundig, economisch of scheikundig perspectief. De wiskunde die als achtergrond dient is soms moeilijk te herkennen. Echter in deze analyse proberen we binnen de toepassing de verschillende overgangen in het schema te herkennen. We gebruiken dus niet het volledige schema van Roorda waarin aparte kolommen voor de toepassingen zijn opgenomen. Functie

Grafiek

Numeriek

G1: grafiek

N1: tabel

G2: gemiddelde helling

N2: gemiddelde verandering

F3: f’(a) afgeleide in een punt

G3: richtingscoëfficiënt raaklijn

N3: mate van verandering

F4: f’(x) afgeleide functie

G4: hellinggrafiek

N4: tabel met veranderingen

F1: f(x)

F2:

functie

∆f ∆x differentiequotiënt

Tabel 1: schema van wiskundige representaties m.b.t. de afgeleide

3

Onderzoeksopzet

Voor het LioN-onderzoek zijn twee scholen uitgezocht waarvan docenten meewerken aan interviews en lesobservaties. De lesmethodes die gebruikt worden op deze scholen, dienen als basis voor de schoolboekanalyse. Er is tevens gekozen voor een veelgebruikte derde scheikundemethode, omdat deze voorhanden was. Natuurlijk zijn er meer methodes in omloop, maar gezien de tijdsbeperking kunnen deze niet alle worden meegenomen. Bovendien geven de gekozen methodes genoeg materiaal om een beeld te vormen van de gebruikte aanpak. Voorafgaand aan de schoolboekanalyse is gekeken naar vier beschikbare wiskundemethodes om zo een beeld te krijgen van de manier waarop de afgeleide behandeld wordt in de wiskunde en om een lijst te krijgen met gebruikte begrippen en termen. Vervolgens is er tijdens een systematische, kaft tot kaft, bestudering van de schoolboeken gezocht naar wiskundige onderwerpen, waarbij de nadruk gelegd werd op het begrip afgeleide. Als eerste is er een tekstanalyse gemaakt, waarin gekeken werd hoe onderwerpen wiskundig worden toegelicht of hoe er over de wiskunde gesproken wordt in de boeken. Vervolgens is er, voor hoofdstukken en paragrafen waarin de afgeleide een rol speelt, gekeken naar de gebruikte overgangen (m.b.v. tabel 1), gebruikte representaties en wiskundige begrippen. Er is gekozen voor natuurkunde, economie en scheikunde, omdat deze drie vakgebieden het onderwerp afgeleide gebruiken. Tevens is er gekozen voor boeken van de bovenbouw van het VWO, omdat dit het hoogste middelbare schoolniveau is. Of de hier gevonden resultaten geëxtrapoleerd kunnen worden naar het HAVO zal ander onderzoek moeten uitwijzen.

3

4

Resultaten

De resultaten worden beschreven per vakgebied. Hierbij wordt gekeken naar de gebruikte methodes, rol van functies, grafieken en tabellen en de gemaakte overgangen bij de onderwerpen waar de afgeleide gebruikt wordt.

4.1

Economie

Er is gebruik gemaakt van drie economiemethodes, namelijk Economie in Balans (EiB), Praktische Economie (PE) en het lesmateriaal van de stichting Landelijke Werkgroep Economie Onderwijs (LWEO). De twee onderwerpen waarin de afgeleide een rol speelt zijn prijselasticiteit en marginale kosten/opbrengst (niet noodzakelijk in deze volgorde). Deze onderwerpen worden in elke methode behandeld. Een derde economisch onderwerp waarin een verbinding gelegd kan worden naar differentiëren is het macro-economische model van Keynes. Hier wordt gebruik gemaakt van veranderingen in de grootheden (multipliers) en er kan zelfs gebruik gemaakt worden van partieel differentiëren (LWEO maakt hier 1 opmerking over). Echter hier wordt in geen methode verder op ingegaan dus we beperken ons tot de twee eerder genoemde onderwerpen. Het gebruik van wiskunde in de economieboeken is beperkt ten opzichte van de veelheid aan economische termen. Bovendien verschillen de methodes onderling ook sterk in de mate waarin de wiskunde voorkomt. Van de drie bekeken methodes heeft de methode EiB het hoogste gehalte aan wiskundige verwijzingen, berekeningen en uitleg. Naast het noemen en uitschrijven van de ABC-formule, rekenen met procenten, nulpunten bepalen via ontbinden vinden we ook de onderwerpen waarin het begrip afgeleide een rol speelt, vrij uitgebreid. We zien hier verschillende pagina’s in tegenstelling tot de methode PE waar in twee kleine kaders achtergronden worden weergegeven. De derde methode LWEO heeft een scheiding aangebracht in de behandeling van de theorie. In de lopende tekst worden de belangrijkste begrippen uitgelegd, maar voor meer achtergrond en uitleg over de wiskundige onderwerpen wordt de leerling verwezen naar een ‘lesbrief’ met ‘vaardigheden’. 4.1.1. De rol van functies Verbanden tussen grootheden als vraag, aanbod en prijs of kosten en productie spelen een belangrijke rol in de economie. De verbanden worden voornamelijk aangeduid met ‘functie’ of met ‘ vergelijking’, het woord ‘formule’ komen we zelden tegen. We vinden wiskundige notaties om functies weer te geven zoals in PE waar het verband tussen vraag naar appels en verschillende grootheden is aangeduid met qa = f(pa, pov, pref, bud) (blz. 25). De verbanden die beschreven worden zijn voornamelijk lineaire verbanden, veelal vraag- en aanbodfuncties. Voor de eenvoud, zoals alleen in PE wordt gezegd. Het gaat dus om een vereenvoudiging van de werkelijkheid. Is de lineaire situatie behandeld dan komen we nog kwadratische of soms derdegraads kosten- of opbrengstfuncties tegen. Bijna elke gegeven functie wordt vergezeld door een grafiek waarin het verband is weergegeven. Hierbij hoort de overgang F1 -> G1. 4.1.2. De rol van grafieken Zoals hierboven aangegeven is, worden functies in de economieboeken bijna altijd vergezeld door een grafiek. De grafische weergave wordt op verschillende manieren aangeduid in de methodes. Zo wordt in PE beschreven hoe we bij een gegeven totale kostenfunctie een totale-kosten-grafiek kunnen tekenen, ook wel totale-kosten-curve en vaak totale-kosten-lijn genoemd. Zo vinden we ook de aanbodlijn, vraaglijn, MO-lijn, MK-

4

lijn enz. De twee andere methodes gebruiken vaak de aanduidingen “teken in de grafiek” of “in de onderstaande grafiek weergegeven lijnen”, waarbij met een grafiek dan het assenstelsel (met of zonder lijnen) wordt bedoeld. Veel begrippen en verbanden tussen economische grootheden worden vaak met grafieken toegelicht. Denk hierbij bijvoorbeeld aan het verband tussen de totale winst en de totale kosten en opbrengstfunctie. Dit heeft tot gevolg dat in een assenstelsel vaak meerdere grafieken te vinden zijn. Een figuur met 4 ‘lijnen’, zoals hiernaast is aangeven is geen uitzondering in een economieboek. We zien marginale kosten en opbrengstlijnen gezamenlijk met gemiddelde kosten en opbrengstlijnen. Op de verticale as zien we geen eenheid weergegeven. Een waarde op deze as geeft een prijs per extra product weer of een gemiddelde prijs per product. Met een oppervlakte in de figuur kunnen we de totale winst vinden.

Figuur 1: figuur uit Economie in Balans, blz. 268

4.1.3 De rol van tabellen Tabellen vormen in de economieboeken een ondersteunende (en kleine) rol en dienen als hulpmiddel of om gegevens overzichtelijk weer te geven. Hulpmiddel zijn ze met name in de methode LWEO, waar ze dienen als tussenstap bij het tekenen van een grafiek die door de leerlingen zelf moeten worden uitgevoerd. In EiB wordt uitgelegd waarom marginale kosten en opbrengst gelijk zijn voor het behalen van maximale winst. Naast een grafiek worden in een tabel deze waarden uitgerekend en is te zien dat de uitgelegde theorie inderdaad klopt. Hier speelt de tabel dus een ondersteunende rol. 4.1.4 Overgangen bij prijselasticiteit De prijselasticiteit is te omschrijven als Ev=procentuele verandering van de gevraagde hoeveelheid/procentuele verandering van de prijs. De drie methodes beginnen met een lineaire vraagfunctie om de prijselasticiteit uit te rekenen, in alle gevallen vergezelt door een grafiek die de verandering aangeeft (Zie figuur 2). Het gaat hier dan om een segmentelasticiteit, dus de verandering op een bepaald interval. We herkennen hier de overgangen F1 -> G1 -> G2.

5

Figuur 2: segmentelasticiteit uit PE, blz. 30 De overgang (van niveau 2 naar 3) van segment- naar prijselasticiteit wordt in alle methodes op gelijke wijze behandeld. Het economische model wordt wiskundig bewerkt, zoals in de figuur hieronder getoond wordt. Merk op: bij een lineair model is er geen verschil tussen beide begrippen.

Figuur 3: schema uit EiB, blz. 295 Een woordelijke toelichting bij deze overgang (F2 -> F3) kan als volgt worden teruggevonden (PE, blz. 31): “We laten dan ∆p naar nul naderen (dus heel klein worden), waardoor ∆q/∆p overgaat in het differentiaalquotiënt dq/dp.” Een grafische illustratie vinden we in LWEO (Vaardigheden blz. 27) en een redenering ter ondersteuning: “Bij het berekenen van de puntelasticiteit hebben we eigenlijk te maken met een zeer kleine prijsverandering. Grafisch kun je je dat als volgt voorstellen: de driehoek in de grafiek wordt steeds kleiner totdat je bij zeer kleine veranderingen alleen nog maar het punt A in de grafiek ziet.”

6

Figuur 4: overgang van segment naar puntelasticiteit uit LWEO “….Je ziet dat ‘∆’ vervangen is door een ‘d’; het gaat immers niet meer om een absolute verandering in P en Qv ,maar om een oneindig kleine verandering” Er wordt hierboven dus aandacht besteed aan de limietovergang op een geheel eigen wijze die we zouden kunnen weergeven als G2 -> G3. Dat de term dq/dp gelijk is aan de helling van de lineaire functie of de richtingscoëfficiënt hiervan is, wordt vermeld in de methodes. Maar dat het om de afgeleide gaat van deze functie en dat men dit ook kan toepassen bij kwadratische of andere functies wordt alleen in EiB behandeld. Hier geven de auteurs bovendien een voorbeeld met een kwadratische functie en gaan ze partieel differentiëren bij een voorbeeld waarbij een vraagfunctie afhangt van twee prijzen. 4.1.5 Overgangen bij marginale kosten en opbrengsten De marginale kosten (MK) zijn de extra kosten voor de productie en verkoop van één extra eenheid product. Marginale opbrengst (MO) is op gelijke wijze te definiëren. De drie methodes geven allen aan dat we MK (of MO) kunnen zien als de eerste afgeleide van de totale kosten of opbrengstfunctie en geven, in extra kaders of modules meer uitleg over deze procedure. De aanpak daarin vertoont enkele duidelijke overeenkomsten, de verschillen zitten vooral in de manier waarop het behandeld wordt: vrij uitgebreid (met name EiB), toepasbaar of juist compact of abstract (PE). Als eerste bekijken we in alle methodes de marginale opbrengst (of MK) aan de hand van een lineaire functie en geven de auteurs dat MO=∆TO/∆q. Dit wordt veelal grafisch weergeven, zoals hieronder in figuur 5 is aangegeven (overgang F1 -> F2 -> G2):

Figuur 5: marginale kosten uit LWEO vaardigheden, blz. 32

7

Bij de figuur hoort de volgende begeleidende tekst: “Het quotiënt ∆TK/∆q, ook wel differentiequotiënt genoemd, is in de grafiek gelijk aan de tangens van de hoek alpha. En dit is tevens de richtingscoefficient van de TK-functie.” Uit de tekst wordt niet duidelijk waarom de hoek alpha genoemd wordt. PE noemt als enige methode de verhouding tussen de beide veranderingen ∆TK/∆q, de differentiële kosten. Dit is een ongebruikelijke term, maar ook hier wordt het als de richtingscoëfficiënt van de lijn genoemd. De overgang van het niveau van differentiequotiënt naar dat van differentiaalquotiënt (F2 -> F3) wordt ook in elke methode gemaakt. LWEO maakt een redenatie gebaseerd op figuur 4, nu met een TK functie, maar wel differentiaalquotiënt genoemd. EiB (blz. 225) probeert woordelijke toelichting te geven: “….uit de TO-functie afleiden door te doen alsof we met zeer kleine veranderingen van de hoeveelheid te maken hebben. In dit geval vinden we de MO door in de functie TO = 80q de TO te differentiëren naar q. We krijgen dan MO = dTO/dq of MO = TO’=80” PE (blz. 55) gebruikt in de beschrijving het woord ‘limiet’, zoals hieronder is terug te lezen: “De marginale kosten (MK) vinden we als de limiet van de differentiële kosten. Als we de verandering van de productieomvang q heel klein nemen (tot nul naderen), kunnen we schrijven: MK is de limiet van ∆TK/∆q= dTK/dq als ∆q nadert tot 0. Het zogenaamde differentiaalquotiënt dTK/dq laat zien dat we de marginale kosten vinden als we de totale kosten naar de afzet differentiëren.” Na deze stap treden verschillen op in de methodes. PE geeft geen uitleg over hoe je een afgeleide bepaalt met behulp van de machtsregel van differentiëren (ze geven enkel de afgeleide van een derdegraads kostenfunctie) noch illustreren ze wat de afgeleide functie betekent bij niet-lineaire functies waar de andere twee methodes wel verder op ingaan. Dit komt in beide andere methodes wel aan bod op onderstaande wijze, met een grafische weergave (cel G3) zoals in figuur 6: “De richtingscoëfficiënt heeft in elk punt van deze grafiek een andere waarde en is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan het betreffende punt op de TO-curve.” (EiB, blz. 260)

8

Figuur 6: grafiek met raaklijnen uit EiB, blz. 259 Bij deze figuur kunnen we opmerken dat we de grafiek van de functie (TO) en de grafiek van zijn afgeleide functie (MO) in één figuur tegenkomen. De grafiek van MO is dus een hellinggrafiek waarbij we ons in de cel G4 bevinden. De achtergrond voor het vinden van maximale opbrengst en/of maximale winst is nu gelegd. Vervolgens gaat EiB hier uitgebreid op in met twee methodes voor het vinden van maximale winst, MO=MK en TW’=0. In het boek praktische economie wordt dit wel genoemd en (zeer) kort economisch onderbouwd, maar zonder gebruik te maken van raaklijnen. 4.1.6 Conclusies economie In de economieboeken komen we veel wiskundige termen en begrippen tegen, waaronder differentiequotiënt, differentiaalquotiënt, afgeleide, differentiëren, tabel, functie, vergelijkingen en grafiek. Een grafiek kan een lijn zijn in een assenstelsel, maar ook het assenstelsel zelf, waarin we dan lijnen vinden. Het komt veel voor dat in een assenstelsel meerdere lijnen staan weergegeven, elk met een eigen betekenis en eenheid. We komen veel lineaire functies tegen en de functies die gegeven worden (lineaire of anders) worden veelal gevolgd door een grafiek waarbij we dus de overgang F1 -> G1 maken. De onderwerpen waarin de afgeleide een rol speelt worden verschillend aangeboden. Compact of uitgebreid, de wiskunde in de tekst geïntegreerd of in aparte kaders of bijlages weergegeven. Niveau twee, waarin we de differentiequotiënt tegenkomen wordt vaak grafisch weergegeven (F1 -> F2 -> G2). De overgang naar niveau drie wordt met woorden of met een eenvoudige tekening toegelicht (F2 -> F3 of G2 -> G3). Twee methodes proberen extra uitleg te geven door te werken met raaklijnen (G3). De machtsregel voor het differentiëren wordt behandeld behalve in de methode PE en de afgeleide functies (MO of MK) worden gegeven of bepaald (F4). Deze vinden we dan vaak terug in hetzelfde assenstelsel als de oorspronkelijke functies (TO of TK).

9

4.2

Natuurkunde

Voor de schoolboekanalyse zijn twee natuurkundemethodes bekeken, Systematische Natuurkunde (SysNa) en Scoop. Het begrip afgeleide en aanverwante onderwerpen komen we op verschillende plekken tegen in de schoolboeken. Een veelvoud aan delta-notaties en differentiequotiënten (nooit zo genoemd) vinden we door beide methodes heen. Denk hierbij aan veldsterkte E = ∆V/∆x met ∆V het potentiaalverschil tussen twee punten van een veldlijn en ∆x de afstand tussen die punten; de stroomsterkte I wordt beschreven als zijnde ∆Q/∆t, de weerstand van een metaal als ∆R=αR(0)∆T en vermogen als P=∆IE/∆t (omgezette energie delen door benodigde tijd). Soms wordt hierbij een grafische weergave gegeven en wordt met behulp van de richtingscoëfficiënt van de (rechte) lijn of de oppervlakte onder de grafiek een uitspraak gedaan. Veel termen worden echter ook alleen gegeven als formule waarmee gewerkt moet worden. In een hoofdstuk over soortelijke warmte wordt in Scoop wel een verwijzing gemaakt naar een differentiaalvergelijking en een controle door leerlingen wordt gevraagd. Onderwerpen met betrekking tot de afgeleide waar door de methodes dieper op wordt ingegaan (diepte verschillend) zijn beweging, trillingen en radioactiviteit. Hier zal verder in het hoofdstuk aandacht aan worden besteed. De methode Scoop beschrijft in de inleiding (blz. 13) dat er bij natuurkunde experimenten worden gedaan en dat er ook conclusies moeten worden getrokken. “daarvoor is wiskunde nodig, of zoals Galilei, ook een 17e eeuwer het zei: ‘Het boek van de natuur is in wiskundige taal geschreven’ ” . Vervolgens wordt geschreven: “Proeven en wiskunde hebben natuurkunde gemaakt tot wat het nu is, Maar laat je daardoor niet afschrikken….” De verbinding tussen natuurkunde en wiskunde is van oudsher sterk en overal terug te vinden. De twee onderzochte natuurkundemethodes gaan hier echter op een geheel eigen wijze mee om. De methode SysNa bevat een inleidend hoofdstuk met basisvaardigheden waar we de volgende verwijzingen vinden: “volgens de wiskunde is er dan sprake van een functie. In de natuurkunde wordt daarom wel gezegd: het verloop van de slingertijd wordt onderzocht als functie van de slingerlengte” (blz. 29) “Volgens de wiskunde geldt voor een rechte lijn door de oorsprong de functie (formule) y = a.x. Hierin zijn x en y variabelen, maar a is getal, een constante” (blz. 31) Gegeven wordt tevens een assenstelsel waarin kracht en uitrekking tegen elkaar worden uitgezet. De veerconstante C (uit F=C.u) bepalen we door de verhouding van p en q (dus p/q) te bepalen, in het boek de steilheid genoemd. Er wordt vervolgens verteld dat: de steilheid van een rechte NIET gelijk is aan de richtingscoëfficiënt van de lijn. De r.c. is, volgens het boek, bepaald door r.c. = tan α (met α de hellingshoek tussen de rechte en de as). De indeling van de assen bepaalt in dit geval de hellingshoek en zo de rc, die dan niet constant is. De wiskundige lezer zal weten dat in wiskundige problemen er geen verschil bestaat tussen steilheid en rc.

10

De wiskunde, als genoemd in deze methode, lijkt vaak als ‘ander vakgebied’ gezien te worden. Bij de wiskunde doet men het op deze manier, bij natuurkunde doen we het zo. Verderop in het boek komen we geen duidelijke wiskundige verwijzingen meer tegen, maar blijft alles in een natuurkundige context. De methode Scoop probeert wiskunde meer te integreren in het boek. Bladerend door het boek komen we verwijzingen tegen van wiskundige aard. Verhoudingen in een driehoek bijvoorbeeld, Pythagoras, logaritmische rekenregels, het gebruik van oneindig wat pas in een later hoofdstuk wordt toegelicht onder het kopje nul (0) en oneindig(∞). “Als een wiskundige iets nul noemt, is het ook nul. Delen door nul is dan ook streng verboden. Als een natuurkundige iets nul noemt, bedoelt hij dat het zo klein is dat je het kunt verwaarlozen.” en “We gebruiken daar het symbool ∞ voor, het betekent oneindig. Het is geen echt getal, maar als een natuurkundige toch door nul deelt, gebruikt hij ∞ als antwoord.” (blz. 154, boek 1) Verder vinden we dat steilheid en richtingscoëfficiënt hetzelfde zijn in dit boek en we vinden het volgende stukje tekst waarin een beeld van wiskunde wordt gegeven: “Wanneer je als natuurkundige een of ander verschijnsel bestudeert, probeer je storende factoren voorlopig uit te schakelen. Storend wil zeggen dat er lastige wiskunde in het spel komt. Luchtwrijving is zo’n factor” (blz. 44, boek 1.). Het laatste hoofdstuk van het eerste boek heet ‘Algemene technieken’. In de inhoudsopgave staat bij dit hoofdstuk beschreven: “afronden; wiskundige trucs en verslagen maken”. Het gaat hier dan om technieken die je nodig hebt in eerdere hoofdstukken, te denken aan afronden, significantie en werken met grafieken. Zo wordt er beschreven hoe je een kromme grafiek kunt ‘rechtbuigen’ door de assen van de grafiek goed te kiezen. (bijv. h uit te zetten tegen t2 zodat de steilheid van de lijn (rc) gelijk is aan 0,5g). Dit heet in het boek dan ‘het wiskundige trucje’. Ook wordt enkel en dubbellogaritmisch papier behandeld en de begrippen evenredig en omgekeerd evenredig. 4.2.1 De rol van functies Al vroeg in beide methodes zien we dat we niet meer spreken over functies, maar over formules. Veel natuurkundige verbanden worden beschreven met een formule. Aan de hand van de tekst moeten gegevens worden ingevuld in de formules om zo een onbekende waarde uit te rekenen. 4.2.2 De rol van grafieken Veel natuurkundige verbanden (met een formule beschreven of uit een experiment afgeleid) worden met een grafiek weergegeven (overgang F1 -> G1). De methode SysNa noemt dit een diagram, een grafiek is de lijn in het diagram. Scoop gebruikt geen diagrammen, maar het woord ‘grafiek’ vaak vooraf gegaan door het type, bijvoorbeeld x(t)-grafiek. Ze geven aan waar je op moet letten om een goede grafiek te tekenen, met de volgende zin als aandachtspunt: “geef de assen een schaalverdeling. Anders dan bij wiskunde hoef je de assen niet op dezelfde manier in te delen” (blz. 25). Grafieken komen we ook veel tegen in de uitleg van de theorie, vooral bij het onderwerp bewegingen.

11

4.2.3 De rol van tabellen Tabellen spelen een beperkte rol in de boeken en worden gebruikt om resultaten van een experiment ordelijk weer te geven. 4.2.4 Overgangen bij beweging Met behulp van grafieken zijn verschillende overgangen goed toe te lichten, waaraan beide methodes ook aandacht besteden. Het blijkt dat de snelheid van een eenparige beweging de steilheid van de lijn is in een x(t)-grafiek en de oppervlakte eronder is de totaal afgelegde weg (overgang G1 -> G2). Zie figuur 7.

Figuur 7: afstand-tijd diagram uit SysNa, blz. 52 Figuur 8: diagrammen uit SysNa, blz. 66

Bij een beweging met een snelheid die niet constant is kunnen we dan een andere aanpak gebruiken. De auteurs van Systematische Natuurkunde beschrijven het als volgt (blz. 66): “de snelheid op een tijdstip kun je grafisch bepalen door (op de juiste plaats) een raaklijn te trekken aan de (x,t)-grafiek en van die raaklijn de steilheid te bepalen.” Een vervolgopmerking noemt de term ‘steilheidsdriehoek’. Dit is de driehoek die je tekent om de steilheid te bepalen. Deze moet zo groot mogelijk gekozen worden. Figuur 8 geeft aan hoe je eerst een groot interval neemt en dan overgaat in de raaklijn (overgang G2 -> G3). Deze methode wordt door de auteurs de ‘raaklijnmethode’ genoemd en deze kunnen we gebruiken om een (v,t)-diagram te maken. “Dit is overigens wel een tijdrovend werk als je het nauwkeurig wil doen.” (blz. 67) De methode Scoop pakt het iets anders aan om van de snelheid op een interval te gaan naar een snelheid in een punt (de overgang van niveau 2 naar 3). Een grafiek wordt opgeblazen, om zo een recht stukje grafiek te krijgen en hiervan met behulp van de rc de snelheid te bepalen. Op bladzijde 27 vinden we de opmerkingen:

12

“Het bepalen van de snelheden is nu lastiger, want ook bij opblazen van de grafiek blijft hij hol of bol. Bij sterk opblazen merk je echter niets meer van de kromming” “Je kunt de computer de opdracht geven om bij alle (2000) punten de grafiek ‘eventjes’ op te blazen en dan de snelheid uit te rekenen.” “Deze activiteit van de computer wordt differentiëren genoemd, of ook wel het bepalen van de afgeleide functie.” Er wordt hier dus een stap gemaakt naar de afgeleide functie (G4, want alleen de hellinggrafiek wordt gegeven). Pas een hoofdstuk later wordt een notatie voor gemiddelde snelheid gegeven en vinden we een differentiequotiënt terug (niet zo genoemd in het boek). Dit is overgang F1 -> F2:

v=

∆x x2 − x1 = ∆t t2 − t1

of ∆x = v .∆t

Voor de versnelling geven ze een vergelijkbare formule. Nu vinden we de verwijzing naar de raaklijn (G3), blz. 52. “We kunnen v ook bepalen door een raaklijn te trekken.” “we maken zo’n raaklijn zo lang mogelijk en we lezen de coördinaten van begin- en eindpunt af…” Het verband tussen de versnelling en de raaklijnen in een snelheids-tijd-diagram wordt uiteraard niet overgeslagen in de methodes alsmede de formules voor de eenparig versnelde beweging die worden afgeleid uit grafieken of met behulp van en tikkerband experiment. Uiteindelijk leiden de verschillende paragrafen tot een overzichtsplaatje zoals de twee onderstaande figuren aangeven.

Figuur 9: overzichtsdiagrammen SysNa, blz.83

13

Figuur 10: x(t)-grafiek, v(t)-grafiek en a(t)-grafiek van een trein op een hellend vlak uit Scoop, blz. 53 4.2.5. Overgangen bij trillingen De methodes geven aan dat een harmonische trilling kan worden weergeven door een sinusoïde en ze geven een grafische weergave van een harmonische trilling. In Scoop wordt opnieuw onderscheid gemaakt tussen een wiskundige en natuurkundige benadering (blz. 243). “wiskundig gezien loopt een sinus verticaal van -1 to + 1…….natuurkundig gezien zet je verticaal de uitwijking u uit ……” Vervolgens kunnen we, aldus beide methodes, raaklijnen gebruiken om van uitwijking naar snelheid te gaan, waarbij wat extra toelichting wordt gegeven in de vorm van: “waar de raaklijn horizontaal loopt, is de snelheid nul; waar de raaklijn het steilst staat, is de snelheid het grootst. Bovendien moet je aan het volgende denken: als de raaklijn ‘voorover helt’ heeft de snelheid een positieve waarde; als de raaklijn ‘achterover helt, heeft de snelheid een negatieve waarde.” ( SysNa deel 2, blz. 36) (Voorover hellen riep bij deze lezer juist een ander beeld op dan bedoeld in het boek, namelijk van een dalende lijn).

14

Door veel raaklijnen te tekenen aan het (u,t)-diagram krijgen we een (v,t)-diagram en dit blijkt de vorm van een cosinus te hebben. Door raaklijnen te tekenen in dit diagram krijg je een versnellings-diagram . Deze heeft de vorm van een ‘ negatieve sinus’ . Een plaatje uit SysNa geeft een overzicht:

Figuur 11: diagrammen uit SysNa, blz. 37 De methode Scoop geeft dezelfde informatie, maar dan zeer compact aangegeven, gevolgd door een figuur vergelijkbaar met figuur 11. Wel vinden we dan nog de volgende tekst (blz. 244): “zonder bewijs geven we de formule voor de maximale snelheid. (Je kunt dat zelf afleiden als je de regels voor differentiëren van een sinus kent)” Dit bewijzen moeten de leerlingen doen in het hoofdstuk met achtergronden (blz. 277). Hier worden de afgeleides gegeven en er wordt gezegd “als je dit bij wiskunde nog niet gehad hebt, moet je het maar even geloven”. We gebruiken dus de overgang van G1, naar raaklijn (G3) en hellinggrafiek (niet zo genoemd, maar wel G4) met een korte verwijzing naar de afgeleide (F4). 4.2.6. Overgangen bij radioactiviteit Een formule voor radioactief verval kan als volgt worden weergegeven: t

 1  t1 N (t ) = N (0 ) ⋅   2 . 2 N is het aantal beschikbare radioactieve kernen. Deze formule geeft aan dat het aantal radioactieve deeltjes exponentieel daalt. Het is mogelijk met behulp van de formule een (N,t)-diagram ofwel vervalkromme te tekenen, aldus het boek (SysNa boek 3, blz. 38) en hier de activiteit mee te bepalen. “Met behulp van de vervalkromme kun je op ieder tijdstip t de heersende activiteit bepalen. We trekken daartoe de raaklijn aan de grafiek.”

15

De steilheid van deze raaklijn is ∆N/∆t, een grafiek illustreert de net gemaakte uitspraak en de overgang F1 -> G1 -> G3.

Figuur 12: activiteit bepalen uit de grafiek uit SysNa boek 3, blz. 38 De formule voor activiteit wordt gegeven, maar de verbinding naar afgeleide functie of hellinggrafiek wordt niet gemaakt. We gebruiken dus net als bij trillingen de grafiek met de raaklijn om in dit geval de overgang van F1 naar F4 te maken zonder dat dit als afgeleide functie wordt herkend. Het boek Scoop is hier minder uitgebreid en komt niet voorbij het differentiequotiënt. Formules voor activiteit en aantal deeltjes worden gegeven en er wordt gezegd dat : A = -∆N(t)/∆t. Geen verwijzing naar raaklijnen en afgeleide functies. 4.2.8. Conclusies natuurkunde In de natuurkundemethodes komen we weinig wiskundige terminologie tegen op het gebied van de afgeleide. Het begrip differentiëren of afgeleide functie wordt alleen bij Scoop terloops genoemd, maar er wordt verder weinig toelichting op gegeven. Er wordt veel gebruik gemaakt van formules die vaak grafisch worden weergegeven in een diagram of grafiek (overgang F1 -> G1). Bij lineaire formules komen we de overgang G1 -> G2 tegen om de steilheid van de lijn te bepalen of we vinden de differentiequotiënt (niet zo genoemd) in formulevorm bij verschillende toepassingen. De overgang van G2 naar G3 komen we tegen bij het onderwerp beweging in de ‘raaklijnmethode’. Bovendien zien we het gebruik van de raaklijnen terug in de overige twee onderwerpen om toe te werken naar de afgeleide functie (niet zo genoemd). Bij Scoop wordt bij het onderwerp trillingen nog heel kort verwezen naar het differentiëren, maar deze methode laat bij de radioactiviteit geen verwijzing zien naar raaklijnen of afgeleide functie.

16

4.3

Scheikunde

Voor de analyse zijn drie methodes bekeken, Curie, Chemie en Chemie Overal. De delta-notatie komen we tegen in energiediagrammen, maar er is maar één onderwerp waar we de verbinding met het begrip afgeleide of aanverwante onderwerpen kunnen leggen. Dit is het onderwerp reactiesnelheid die door alle methodes wel wordt behandeld, maar verschillende in wiskundige diepgang. Wiskunde vinden we in de scheikundeboeken in zeer beperkte mate terug. Denk hierbij aan chemisch rekenenen (verhoudingen), pH-waarden (logaritmes) en evenwichtsvergelijkingen waarbij vergelijkingen worden opgelost (abc-formule of machtsvergelijkingen). De methode Chemie Overal bevat het grootste aantal wiskundige verwijzingen. 4.3.1 De rol van functies, grafieken en tabellen Gezien de aard van de scheikunde en de kleine rol van wiskunde in de schoolboeken, spelen de wiskundige begrippen ‘functies’, ‘grafieken’ en ‘tabellen’ hier een andere rol. De reactievergelijkingen nemen de rol van de functies over, die we uiteraard veelvuldig terugvinden in de tekst. Grafieken, vaak diagrammen genoemd, worden wel gebruikt om concentratie of snelheid binnen een reactie, uit te zetten tegen de tijd of evenwichten aan te geven. Niet altijd zijn hierbij de (beide) assen ingedeeld, maar gaat het slechts om het verloop van de reactie. Zie onderstaand voorbeeld.

Figuur 13: het verloop van de reactiesnelheid (a) en van de concentratie(b) tijdens de reactie: A(g) + B(g) -> C(g) uit Chemie overal 1, blz. 185 Tabellen worden nauwelijks gebruikt in de boeken, hooguit om concentraties te ordenen of meetgegevens weer te geven. 4.3.2 Overgangen en reactiesnelheid De snelheid van een chemische reactie wordt door verschillende factoren beïnvloed. Deze invloeden worden door alle methodes besproken en een grafiek met de reactiesnelheid als functie van de tijd vinden we in elke methode terug (al dan niet met ingedeelde assen). We kunnen dit dus herkennen als overgang F1 -> G1. We kunnen echter ook een kwantitatieve beschrijving geven van de reactiesnelheid. Op de methodesite horende bij de methode van Curie (www.curie-online.nl) vinden we als enige plek deze definitie waar we de overgang F1 -> F2 zouden kunnen aangeven:

17

“…. De snelheid s van de reactie

pA + qB

rC + sD kun je berekenen

met de volgende relatie:

waarbij ∆[A] de verandering van concentratie A is en ∆t de tijd waarin die verandering plaats vindt.” Chemie Overal gebruikt wel deze beschrijving, maar dan aan de hand van een gegeven reactie. We praten dan over de gemiddelde snelheid op een interval, maar kunnen ook de snelheid op een tijdstip berekenen (overgang niveau 2 naar 3). Chemie Overal licht deze overgang toe aan de hand van een beschrijving en een grafiek: “Het is daarom gewenst het tijdsinterval zo klein mogelijk te kiezen. Het is te zien dat bij een oneindig klein tijdsinterval in plaats van de rechte door A en B de raaklijn door punt C aan de curve moet worden getrokken”. (blz. 189)

Figuur 14: bepalen van de reactiesnelheid uit Chemie Overal, blz. 189 De methode Curie geeft geen enkele uitleg over het bepalen van de reactiesnelheid. Chemie geeft in een opgave waarin de leerlingen een concentratie-tijd-diagram vinden de volgende informatie (boek 1, blz. 246): “Uit het gegeven diagram kun je met behulp van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn de reactiesnelheid berekenen.” Vervolgens moeten de leerlingen in de opgave deze procedure voor enkele punten uitvoeren. In het antwoordenboekje vinden we hoe we de reactiesnelheid uitrekenen. De reactiesnelheid berekenen we door de toename in stof te delen door de toename in tijd.

18

Het antwoordenboekje geeft onderstaande grafiek om te laten zien hoe de leerlingen de raaklijnen hadden moeten tekenen.

Figuur 15: afbeelding uit het antwoordenboekje bij Chemie deel 1, blz. 75 In een andere opgave moeten de leerlingen de reactiesnelheid weten als functie van de concentratie H+. Tussen twee onderdelen van de opgaven (boek 2, blz. 179) lezen we nu: “Met behulp van het diagram van d kun je met behulp van raaklijnen op ieder tijdstip de reactiesnelheid berekenen als de verandering van [H+] in de tijd. Anders gezegd: bepaal op die tijdstippen de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek.” De vraag die wordt gesteld is dan: “Leg uit dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn op een bepaald moment de reactiesnelheid op dat moment is.” In het antwoordenboekje kunnen we zien wat de leerlingen hadden moeten antwoorden. “De snelheid, s, is de verandering van de concentratie, c, tegen de tijd, t. Anders gezegd: s = dc/dt Dit is volgens wiskundigen de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve f(s,t).” De orde van een reactie zegt iets over de relatie tussen de reactiesnelheid en de concentraties van de reagerende stoffen. Hier hoort een wiskundige achtergrond van differentiaalvergelijkingen en integreren bij. Formules worden gegeven of er wordt naar Binas verwezen, maar die achtergrond wordt niet genoemd, behalve kort in het Chemie Overal boek voor scheikunde 2. Deze methode geeft ook aan dat de oppervlakte onder een reactiesnelheidgrafiek de gereageerde hoeveelheid is (aan de hand van figuur 13). Integreren wordt hierbij niet genoemd.

19

4.3.3. Conclusies scheikunde Zoals in de vorige paragrafen is beschreven komen we de wiskundige begrippen en notaties in de scheikundeboeken weinig tegen. We praten over reactievergelijkingen en diagrammen waarin soms slechts het algemeen verloop van een reactie is aangegeven. Bij het begrip reactiesnelheid kunnen we via raaklijnen aan de grafiek (G3) de snelheid bepalen, maar hier gaat slechts één methode echt op in. Een tweede methode noemt het terloops in een opgave, waarin de auteurs ervan uit gaan dat leerlingen deze kennis al bezitten. De derde methode kijkt alleen maar naar factoren die van invloed zijn op de reactiesnelheid en laat het gebruik van raaklijnen geheel achterwege.

5

Conclusies

De schoolboekanalyse had als doel antwoord te geven op de volgende vraag:
Hoe wordt het begrip ‘afgeleide’ in de schoolboeken van de niet-wiskundige vakgebieden behandeld? Naast het beantwoorden van deze vraag is er bovendien gekeken naar de manier waarop wiskundige begrippen worden gebruikt of hoe naar het vak wiskunde wordt verwezen in de schoolboeken. Hieruit zijn de volgende conclusies tot stand gekomen. We kunnen concluderen dat in de economieboeken bij de wiskundige onderwerpen gebruikt gemaakt wordt van veel gangbare wiskundige terminologie als functie, vergelijking, differentiequotiënt, differentiaalquotiënt, richtingscoëfficiënt van de raaklijn, afgeleide en differentiëren. Er worden veel functies gebruikt (veel lineair) die vervolgens grafisch worden weergeven (F1 -> G1). Grafisch wordt de differentiequotiënt weergeven bij zowel elasticiteit als marginale kosten (G1 -> G2). Vervolgens wordt voornamelijk woordelijk of met behulp van enige grafische illustratie de overgang naar de differentiaalquotiënt gemaakt (F2 -> F3 of G2 -> G3). Na deze stap volgt in twee gevallen nog extra toelichting met behulp van raaklijnen (G2 -> G3). De ontstane hellinggrafiek (cel G4) van MO of MK wordt vaak afgebeeld in het assenstelsel met de grafiek van TO of TK. Een grafiek kan in de methodes de betekenis hebben van een lijn in een assenstelsel, maar ook het assenstelsel zelf waarin dan lijnen zijn getekend. Tabellen spelen slecht een ondersteunde of ordende rol. De methodes proberen bij de economische problemen wiskundige achtergronden te geven bij hun uitleg, maar slagen daar in mijn optiek niet allemaal even goed in. Wiskundige termen (bijv. limiet) worden genoemd die ver af staan van de economische toepassing of niet voldoende worden toegelicht. De scheiding tussen economie en wiskunde wordt versterkt doordat de wiskundige achtergronden in aparte kaders of zelfs in aparte hoofdstukken worden aangeboden. Vooral als dan de praktische kant, hoe differentieer ik een functie, niet wordt uitgelegd is de verbinding tussen economie en wiskunde voor de leerlingen mijns inzien moeilijk te leggen en blijven het juist twee gescheiden vakgebieden in plaats van geïntegreerde. Bij de natuurkundemethodes zien we de wiskunde op een andere manier terugkomen dan bij economie en bovendien is soms de terminologie anders. Zo worden begrippen als differentiequotiënt of differentiaalquotiënt niet gebruikt en spreekt men vooral over formules (geen functies). Diagrammen (of grafieken) geven dan vaak het genoemde verband weer en tabellen zijn er alleen om meetgegevens te ordenen. Grafisch worden veel begrippen toegelicht en overgangen gemaakt. We zien bijvoorbeeld de differentiequotiënt in verschillende toepassingen terug. Hoewel niet zo

20

genoemd, wordt een formule gegeven en soms volgt een grafische toelichting waarin met behulp van de steilheid van de lijn een waarde wordt berekend (F1 -> G1 -> G2). Het begrip afgeleide functies of differentiëren wordt afhankelijk van de methode niet genoemd of zonder (weinig) toelichting gegeven. Het gebruik van de zogenaamde raaklijnmethode wordt grafisch toegelicht wat leidt tot de snelheid in een punt (G2 -> G3). De raaklijnmethode kunnen we dan gebruiken om een hellinggrafiek (G4) te maken. Aan de verbinding met de afgeleide functie of het differentiëren, alsmede het noemen van het begrip hellinggrafiek wordt geen tot nauwelijks aandacht besteed. Het boek redeneert vanuit een natuurkundig perspectief, waarbij de verbinding met wiskunde op geheel eigen wijze wordt gemaakt. Vaak wordt dan wiskunde gezien als een apart gebied waarin de zaken anders worden aangepakt. In de wiskunde doen we het op deze manier, in de natuurkunde echter….. De scheikundemethodes bevatten nauwelijks wiskundige notaties. We gebruiken opnieuw vaak het woord diagram dat soms alleen gegeven worden als schets voor het verloop van een verband. Indien genoemd wordt de reactiesnelheid wel berekend met de richtingscoëfficiënt van de raaklijn (G3). De reden van dit gebruik wordt terloops of nauwelijks toegelicht alsof de leerlingen deze kennis al moeten hebben. Er wordt, logischerwijs, bij de verschillende schoolvakken veel gekeken vanuit het eigen vakgebied. De verbinding met wiskunde vanuit de natuurkunde, scheikunde of economieboeken wordt op meerdere manieren gemaakt. De verbinding wordt niet gemaakt (bijv. de afgeleide wordt niet genoemd); wordt wiskundig verwarrend gemaakt (bijv. rc is geen steilheid); wordt genoemd, maar niet toegelicht (bijv. noemen dat iets een afgeleide functie is, maar niet uitleggen hoe deze kan worden bepaald); er wordt vermeld dat er een vergelijkbaar wiskundige link is (wiskundig gezien….natuurkundig gezien) of er wordt geprobeerd de begrippen uitvoerig toe te lichten. Bij de laatste optie wordt de verbinding met het eigen vakgebied soms weer teveel losgelaten (bijv bij PE en het gebruik van het begrip limiet). Kortom, tussen de schoolvakken zien we veel verschillen in de wiskundige benaderingen en toelichting, zowel qua terminologie als aanpak. Er wordt veel gebruik gemaakt van een grafische weergave bij een gegeven verband (F1 -> G1). Vaak beginnen we met lineaire verbanden. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn komen we in alle vakken tegen (G3) en wordt meestal genoemd om de overgang van niveau 2 naar 3 toe te lichten. Bij het vak economie wordt de meeste aandacht besteed aan de overgang van niveau 2 naar 3 en het geven van de afgeleide functie (F4), bij natuurkunde blijven deze vaak achterwege.

21

Literatuur Adriaansen, P. et al (2004). Praktische Economie handboek VWO. ’s-Hertogenbosch: Malmberg Biezeveld, H. & L. Mathot (1998). Scoop VWO natuurkunde 1 deel 1. Groningen: Wolters-Noordhoff bv Biezeveld, H. & L. Mathot (2000). Scoop VWO natuurkunde 1 deel 2. Groningen: Wolters-Noordhoff bv Biezeveld, H. & L. Mathot (1999). Scoop VWO natuurkunde 2. Groningen: WoltersNoordhoff bv Bouma, H. et al ThiemeMeulenhof

(2003).

Curie

VWO

informatieboek

1.

Utrecht/Zutphen:

Bouma, H. et al ThiemeMeulenhof

(2004).

Curie

VWO

informatieboek

2.

Utrecht/Zutphen:

Franken, P.W. et al (1998). Chemie Overal VWO NG/NT 1. Houten: EPN Franken, P.W. et al (1998). Chemie Overal VWO NG/NT 2. Houten: EPN Franken, P.W. et al (1999). Chemie Overal VWO NT 3. Houten: EPN Haak, J.K. van den & A. Pelssers (2002). Economie in Balans VWO theorieboek 1. Baarn: NijghVersluys Haak, J.K. van den & A. Pelssers (2003). Economie in Balans VWO theorieboek 2. Baarn: NijghVersluys Middelink, J.W. et al (1998). Systematische Natuurkunde N1 VWO1. Baarn: NijghVersluys Middelink, J.W. et al (2000). Systematische Natuurkunde N1 VWO2. Baarn: NijghVersluys Middelink, J.W. et al (2001). Systematische Natuurkunde N1 VWO3. Baarn: NijghVersluys Middelink, J.W. et al (1999). Systematische Natuurkunde N2 VWO1. Baarn: NijghVersluys Middelink, J.W. et al (2000). Systematische Natuurkunde N2 VWO2. Baarn: NijghVersluys Pieren, L.O.F. et al (1998). Chemie scheikunde 1 deel 1 (+uitwerkingboek). Groningen: Wolters-Noordhoff bv.

22

Pieren, L.O.F. et al (1999). Chemie scheikunde 1 deel 2 (+uitwerkingsboek). Groningen: Wolters-Noordhoff bv. Pieren, L.O.F. et al (1999). Chemie scheikunde 2. Groningen: Wolters-Noordhoff bv. Roorda, G., Vos, P. and Goedhart, M. (2007), Derivatives in applications: how to describe students’ understanding, CERME5 paper, Cyprus, 22-26 February 2007 Stichting landelijke werkgroep economie onderwijs (2005), lesbrieven VWO, Eindhoven: Ergon bedrijven.

23