III. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ 33 Téma: Cesty k uplatnění pravděpodobnostního posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí v normativních předpisech a v projekční praxi, 10.4.2002 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-01489-8
NUMERICKÝ VÝPOČET PRAVDĚPODOBNOSTI UŽITÍM USEKNUTÝCH HISTOGRAMŮ Petr Janas a Martin Krejsa Abstract Direct calculation of probability using numerical solution is discussed in this paper. The attention is turned first to the basic calculation operations with accidental quantities, whose probability of occurrence is expressed by bounded histograms. The way of calculation is detailed presented using basic examples with playing cube and applied in reliability assesment of cross section in steel statically indeterminate planar arch.
1. Úvod Při posuzování spolehlivosti konstrukcí je patrná snaha používat ve stále větší míře plně pravděpodobnostních metod na úkor metod deterministických, i když i tyto metody dle našeho názoru budou hrát stále svou oprávněnou úlohu. Plně pravděpodobnostní metody jsou schopny podstatně věrohodněji a přirozeněji simulovat vstupy mající nezanedbatelný vliv pro posuzování chování stavebního objektu a jeho spolehlivosti. Mají totiž většinou do značné míry náhodný charakter, který jediná deterministicky určená reprezentativní hodnota nemůže často plně charakterizovat. Plně pravděpodobnostní posuzování spolehlivosti stavebních objektů je úloha nelehká nejen z hlediska zajištění souborů potřebných vstupních údajů, ale také z hlediska jejich zpracování. Značně se však urychluje a umožňuje rozvojem výpočetní techniky. Rozvíjí se celá řada metod [2], většina z nich je založena na využití simulační techniky Monte Carlo. Předložený příspěvek je pokusem předložit alternativní postup plně pravděpodobnostního výpočtu spolehlivosti konstrukce bez využití této techniky.
2. Výpočet pravděpodobnosti numerickým řešením Postup vychází ze základních pojmů a postupů teorie pravděpodobnosti, z nichž některé z nich si dovolíme připomenout. Náhodný jev je jev, který v daných podmínkách může nastat nebo nenastat. Pravděpodobnost je kvantitativním vyjádřením náhodného jevu. Jestliže za určitých podmínek má nastat jeden z n navzájem se vylučujících jevů, přičemž není důvod předpokládat, že některý z nich má větší možnost výskytu než jiný, říkáme, že tyto jevy mají stejnou pravděpodobnost p=
1 . n
(1)
Petr Janas, Doc. Ing., CSc., Martin Krejsa, Ing., Ph.D., Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, 708 00 Ostrava - Poruba, tel.: (069) 699 1308, (069) 699 1303, e-mail:
[email protected], e-mail:
[email protected] .
34 Je-li nějaký náhodný jev A důsledkem kteréhokoliv z m jevů při daném počtu n možných jevů (navzájem se vylučujících a stejně pravděpodobných), je pravděpodobností jevu A poměr p=
m n
(2)
Pravděpodobnost současného výskytu několika jevů se rovná součinu pravděpodobnosti těchto jevů, pravděpodobnost výskytu stejného jevu z několika navzájem se vylučujících jevů se rovná součtu pravděpodobnosti těchto jevů. Náhodný charakter veličin vstupujících do výpočtu při posuzování spolehlivostí konstrukcí se často vyjadřuje histogramy vycházejícími z pozorování a měření často i dlouhodobých. Ve vlastním výpočtu se pak dostáváme do situace, kdy se jednotlivé náhodné veličiny vzájemně násobí, dělí, sčítají a odčítají, pokud nejsou potřebné složitější početní úkony. Vzniká tedy potřeba početních operací s náhodnými veličinami, které jsou vyjádřeny histogramy. Tyto operace lze realizovat přímo deterministicky při využití základních principů teorie pravděpodobnosti. Lze to jednoduše dokumentovat na příkladě. Oblíbená kostka o šesti stěnách má na každé stěně jediné číslo a to 1 až 6. Při hodu kostkou je pravděpodobnost, že padne libovolné ze šesti čísel p1 =
1 = 0,16666 . 6
(3)
Při druhém hodu kostky, je pravděpodobnost výskytu libovolného čísla stejná a to opět p 2 = 0,16666 . Pravděpodobnost současného výskytu dvou libovolných čísel ve dvou hodech po sobě se rovná v daném případě součinu p = p1 ⋅ p 2 =
1 = 0,027777 . 36
(4)
Tuto pravděpodobnost výskytu mají při dvou hodech kostkou všechny libovolné dvojice čísel, které mohou ve dvou po sobě jdoucích hodech padnou. Zajímá-li nás jaký bude pravděpodobný výsledek součtu čísel ze dvou po sobě jdoucích hodů, pak nebude u všech možností stejný, přestože platí výše uvedené pro pravděpodobnost dvojice čísel. Číslo 2 je např.výsledkem součtu 1+1, pravděpodobnost jeho výskytu je p (2) =
1 , 36
(5)
číslo 3 již může být výsledkem součtu 1+2 nebo 2+1 a pravděpodobnost jeho výskytu je dána součtem pravděpodobností v daném případě dvou navzájem se vylučujících možností tj. p(3) =
1 1 2 + = . 36 36 36
(6)
Obdobně tomu bude při výpočtu pravděpodobnosti výskytu všech ostatních možností výskytu součtu s dvou zcela libovolných čísel z prvního nebo druhého hodu. Součet všech pravděpodobností p s = ∑2 p (s ) = 1 . 12
(7)
35
Obr.1: Výpočet pravděpodobnosti – součet
Obr.2: Výpočet pravděpodobnosti - rozdíl
Naprosto shodným způsobem lze postupovat při součinu, rozdílu a podílu. Histogramem výskytu libovolného možného čísla při hodu kostkou je obdélník o výšce p=
1 . 6
(8)
Histogram součtu, rozdílu, součinu a podílu čísel dvou po sobě jdoucích hodech je zřejmý z obrázků, které byly vypočteny programem umožňujícím sčítání (obr.1), odčítání (obr.2), násobení (obr.3) a dělení (obr.4) dvou libovolných histogramů.
Obr.3: Výpočet pravděpodobnosti – součin
Obr.4: Výpočet pravděpodobnosti - podíl
Program, jehož algoritmus je založen na výše uvedených základech teorie pravděpodobnosti, byl vytvořen v programovacím jazyce Borland Delphi 6.0 a zatím byl použit pro řešení několika poměrně jednoduchých příkladů. Jedním z nich je např. součin histogramu, vyjadřujícího pevnost na mezi kluzu fy = 235 MPa ocelových válcovaných průřezů a histogramu s normálovým rozdělením. Výsledný histogram této matematické operace je zobrazen na obr.6 a porovnán s výstupem z programu AntHill, pracujícím metodou SBRA (obr.5).
36
Obr.5: Součin dvou histogramů (program AntHill)
Obr.6: Součin dvou histogramů (numerický výpočet)
37
3. Posudek spolehlivosti průřezu Výše uvedené postupy pro matematické operace s histogramy byly rovněž aplikovány při posudku spolehlivosti průřezu ve vrcholu oboustranně vetknutého parabolického oblouku, zatíženého ve vrcholu soustavou tří svislých osamělých břemen. Střednice oblouku je definována křivkou s rovnicí: y=
4. f .x .(l − x ) , l2
(9)
kde f je vzepětí oblouku a l rozpětí oblouku (v daném případě je f = 4 m a l = 12 m). Vlastní posudek je proveden s použitím interakčního vzorce: N Sd N pl
2
+ M Sd ≤ 1 , M pl
(10)
ve kterém figurují následující proměnné: N Sd = −
15.l.F 64. f
(normálová síla v posuzovaném průřezu)
(11)
(ohybový moment v posuzovaném průřezu)
(12)
N pl = f y .( A. Avar )
(plastická únosnost průřezu v prostém tlaku)
(13)
M pl = f y .(W pl .W var )
(plastická únosnost průřezu v ohybu)
(14)
M Sd =
3 .F .l 64
Proměnná F představuje kombinaci zatížení zmíněných tří osamělých břemen (DL – stálé zatížení, SL – krátkodobé nahodilé zatížení a LL – dlouhodobé nahodilé zatížení), každé z nich je vyjádřeno extrémní hodnotou zatížení a histogramem (DLvar, SLvar a LLvar), vyjadřujícím jeho variabilitu: F = 100.DLvar + 70.SLvar + 40.LLvar
(15)
Průřezové charakteristiky A (průřezová plocha) a Wpl (plastický průřezový modul) a napětí na mezi kluzu fy jsou rovněž proměnlivé veličiny (histogramy Avar, Wvar a fy). V uvedeném demonstračním příkladě byl použit ocelový profil IPE 270 s napětím na mezi kluzu fy = 235 MPa. Veškeré histogramy byly použity z [2]. Posudek spolehlivosti průřezu byl proveden výpočtem pravděpodobnosti poruchy Pf a jejím porovnáním s návrhovou pravděpodobností Pd, danou normou ČSN 73 1401 – Navrhování ocelových konstrukcí. Pravděpodobnost poruchy byla určena s pomocí funkce spolehlivosti SF, uvedeného tvaru: N SF = 1 − Sd N pl
2
+ M Sd M pl
(16)
38 Vlastní výpočet pravděpodobnosti Pf byl proveden numerickým výpočtem programem, vytvořeným v programovacím jazyce Borland Delphi 6.0. Výsledný graf funkce spolehlivosti a vypočtená pravděpodobnost poruchy je uvedena na obrázku 8. Výstup z programu AntHill, pracující metodou SBRA s použitím simulační techniky Monte Carlo, je uveden na obrázku 7.
Obr.7: Posudek spolehlivosti průřezu (program AntHill)
Obr.8: Posudek spolehlivosti průřezu (numerický výpočet)
Závěr Výpočetní postup pro numerické řešení pravděpodobnosti aplikující matematické operace s histogramy je dle prvních zkušeností velice efektivní. Strojový čas výpočtu dosahuje minimálních hodnot, neboť na rozdíl od metody Monte Carlo odpadá nutnost generování náhodných čísel a množství početních operací se podstatně snižuje. Vypočtená hodnota pravděpodobnosti je z daných vstupních dat určena relativně velmi přesně. Výpočet může být ovlivněn pouze chybou vyplývající ze zvoleného počtu intervalů histogramů a z limitovaného počtu údajů, uváděných pro všechny intervaly. Operace s histogramy umožňující přímý numerický výpočet pravděpodobnosti může být po dalším rozpracování významným kvalitativním krokem při určování spolehlivosti systémů.
Oznámení Příspěvek byl vypracován v rámci výzkumu spolehlivosti konstrukcí na ÚTAM AV ČR Praha a na FaSt VŠB TU Ostrava (projekt Grantové Agentury ČR č. 103/01/1410 a 105/01/0783).
Literatura [1] Bronštejn, I.N., Semenďajev, K.A.: Příručka matematiky pre inžinierov a pre študujúcich na vysokých školách technických, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, n.p., Bratislava 1963. [2] Marek, P., Guštar, M., Anagnos, T.: Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press Inc., Boca Raton, 1995, ISBN 0-8493-8286-6.
