NUMERICKÉ MYŠLENÍ POČETNÍ ÚLOHY NUMERICKÉ Jakmile uvidíte proužek čísel zabírající šíři téměř celé stránky s mezerou či otazníkem na konci, můžete se vsadit, že máte co dělat s úlohou číselné souslednosti. Takovým úlohám se obvykle říká řady. Znamená to, že mezi každým jejím číslem a číslem po něm následujícím je určitý vztah. Vaším úkolem je tento vztah nalézt a na základě jeho znalosti zjistit chybějící číslo. Podívejte se na příklad, označený Q1: Q1 : Jaké je další číslo této řady? 2 4 6 8 ? V tomto případě je odpověď jednoduchá. Jediný pohled vám stačí k tornu, abyste poznali, že řada postupně narůstá. Podíváte-li se ještě lépe, zjistíte, že každý člen této řady je právě o dvě větší než ten předcházející. Přičtěte tedy 2 k poslednímu známému členu, čímž dostanete 10 a to je i správná odpověď. Teď se budeme podrobně zabývat způsobem, jak k této správné odpovědi dospět. Vzhledem k jednoduchosti tohoto příkladu vám možná ani nepřijde, že jste o odpovědi museli přemýšlet. Ve skutečnosti jste museli ve svém myšlení udělat tři velmi důležité kroky, které jsou pro zodpovězení všech úloh IQ klíčové. Nejde o nic jiného, než již zmíněný Spearmanův třístupňový postup. (»Co to je?« zvolá teď asi ten, kdo 1
přeskočil úvodní kapitolu této knihy.) Dobrá, sice si to nezasloužíte, ale projdeme si to ještě jednou. Spearman nazval tato tři stadia: *: pochopení (toho, co poznávám) *: vyvození (dedukce) vztahu *: odvození dalšího na základě znalosti vztahu Česky řečeno – musíte udělat toto: Za prvé si všimněte, že se něco děje. Vidíte, že čísla se postupně zvětšují zleva doprava. To je asi něco, co je spojuje. Za druhé zjistíte přesně ten vztah, který mezi nimi existuje; v tomto případě jste zjistili, že je nutné ke každému dalšímu číslu přičíst 2. Za třetí aplikujete tento vztah na poslední známé číslo řady, čímž zjistíte číslo neznámé. Ptáte se sami sebe: »Jestliže musím pokaždé přičíst 2, co dostanu, přičtu-li 2 k osmičce?« To už pak není tak těžké.
DALŠÍ TYPY ŘAD Řady mají obvykle na konci prázdné místo doplnění odpovědi. Jenomže někteří autoři testů mazaní a dávají prázdné místo na začátek. Vy musíte přijít na vztah a potom jít v řadě pozpátku třeba teď:
pro jsou pak jako
Q2: Doplníte chybějící číslo? - 8 11 15 20 V tomhle případě se rozdíl (či interval) mezi čísly vždy zvýší o 3, 4, a 5. Tak jste vyvodili vztah. Teď musíte jít zpět, abyste zjistili, jaké bylo první číslo z této narůstající řady intervalů. To jsou samozřejmě 2. To nyní aplikujete na 2
první známé číslo posloupnosti, což je 8. Výsledek je 6, protože 8-2=6 (nebo chcete-li, 6+2=8). Dalším, ještě úskočnějším typem je řada s chybějícím členem uprostřed. Například tato: Q3: Které číslo schází? 5 7 ? 17 25 Takové úlohy mohou být velice obtížné, protože ke zjištění vztahu je nutné udělat více kroků. V tomto případě se zdá, že řada celkem pravidelně narůstá, takže se nejprve podíváme na rozdíly mezi jejími členy. Rozdíl mezi dvěma prvními členy (5 a 7) je 2, zatímco rozdíl mezi dvěma posledními známými členy ( 17 a 25) je 8. Víme, že rozdíl 10 musí být dán součtem dvou rozdílů dílčích. Pro ty máme mnoho kombinací: 0 a 10, 1 a 9, 2 a 8, 3 a 7, 4 a 6 nebo 5 a 5. Pro nás je zajímavá kombinace 4 a 6, protože se nám hodí do řady rozdílů 2, 4, 6, 8. Přičteme 4 k 7 a máme výsledek 11. Když budete chtít, přičtěte ještě dalších 6 a ověřte si správnost tím, že obdržíte 17.
DVOJITÉ ŘADY Někdy se ve skupině čísel objeví řady dvě. často jsou ve vzájemném vztahu. Vyzkoušejte si toto: Q4: Která čísla chybějí? 5 6 7 8 10 11 14 ? ? Zdá se to být obtížné, protože vám došlo, že nejde o řadu jednu, ale dvě, které se střídají – první se skládá z 3
čísel 5, 7, 10, 14 (a potom 19, protože rozdíl se vždy zvětšuje o 1) – a druhá z čísel 6, 8, 11 (a 15, protože rozdíl vždy znovu narůstá o 1). Prozrazení: Tyto úlohy mívají často určitá klamná řešení, proto stojí za to jim věnovat maximální soustředěnost, zejména zdáli se první způsob řešení poněkud nejistý. Stává se i to, že řada, která se zdá být jednoduchou, je ve skutečnosti dvojitá. První nápověda: Nejdříve si všimněte, že zde jsou dvě prázdná místa. Zkoušející vám dává za úkol zjistit následující člen v každé řadě. Druhá nápověda: Dále se podívejte, zda vzájemně se střídající čísla jsou si nějak podobná či zda jsou tvořena podle nějakého vzoru. Tak jsou totiž dvojité řady tvořené a těžko existuje nějaká možnost, jak to udělat jinak. Třetí nápověda: A konečně zjistěte, zda se některé ze střídajících se čísel nezvětšují a ostatní nezmenšují. Q5: Jaká jsou chybějící čísla? 5 ? 7 li 10 8 14 6 ? Jde o stejné řady jako v úloze Q4 s tím rozdílem, že zde jde první zleva doprava a druhá zprava doleva. Poslední nápověda: Jde o celkovou délku řady. Dobrý zkoušející zřídka potřebuje více než čtyři čísla a jedno prázdné místo pro úlohu vycházející z jednoduché řady. Vidíte-li sedm nebo osm čísel, můžete tušit, že na vás něco ušil.
4
O JAKÉ VZTAHY JDE? Pro řady existuje několik společných vzorů, proto je užitečné se nejprve zabývat jimi: Stejné intervaly: Stejné rozdíly mezi členy číselných řad je velmi snadné zjistit, proto se v úlohách IQ objevují zřídka. V případě klesajících řad se ale někdy stejné rozdíly objevují, protože je poněkud obtížnější je odhalit. Q6: Doplníte chybějící číslo? 21 17 13 9 ? Zde je rozdíl jednoduchý: 4. Jestliže jej odečtete od každého předchozího čísla, dostanete číslo po tomto následující. Konečná odpověď je tedy 5. Rostoucí a klesající intervaly: Už jsme viděli příklady rostoucích diferencí o 2, 3, 4 atd. Často se také objevují intervaly klesající jako 5, 4, 3, 2. Možná méně známé jsou intervaly, které se pravidelně zvětšují o stejně pravidelně se zvětšující číslo, jako je tomu v tomto příkladu: Q7: Doplníte chybějící číslo? 1 5 13 25 ? Rozdíly mezi čísly zde (4, 8, 12) vždy vzrostou o 4, další tedy bude 16, což dá výsledek 41 (25+16). Načítání členů řady: Mnoho úloh o řadách je založeno na tom, že se dva předchozí členy řady sečtou a součet je dalším členem řady.
5
Q8: Jaký je další člen této řady? 1 2 3 5 8 ? Výsledek je 13 (=5+8). Určitě si dokážete sami představit další složitější varianty na toto téma. Násobení: Všechny řady, s nimiž jsme se zabývali do této chvíle, narůstaly či klesaly velmi pomalu. To značí, že šlo o úlohy, ve kterých musíte hledat vztah založený na sčítání nebo odečítání. Když však řada roste či klesá rychle, musíte čekat něco jiného Například tohle: Q9: Jaké je další číslo v řadě? 2 6 18 54 ? Tato řada narůstá takovou měrou, že musí jít o nějaký vztah násobení. Prozkoumejte vztahy mezi kteroukoli z dvojic čísel v řadě a zjistíte, že musíte každé číslo vynásobit 3, abyste dostali to další. Takže 54x3 dá 162, což je i odpověď. Číslo, jímž je třeba násobit – v této úloze to jsou 3 – většinou není příliš velké. Druhé a třetí mocniny: Používají se velmi zřídka, protože je lze díky rychlému nárůstu čísel řady snadno odhalit. Čísla nabývají řádově tisícové velikosti a lidé sedící nad testem se pak dopouštějí spíše početních než rozumových chyb. Takový test potom neposkytne příliš užitečný výsledek. Druhé mocniny se používají častěji, ale i jejich užití má své meze:
6
Q10: Jaké je další číslo? 2 4 16 256 ? Každé číslo z následující řady je druhou mocninou (čtvercem) předcházejícího a to poslední si tedy už můžete zjistit sami (65 536). Ale takovéhle otázky se stávají nezvladatelnými tak brzo, že se s nimi nikdy nesetkáte. Co vás ale asi nemine, jsou řady tvořené druhými mocninami jednoduchých aritmetických posloupností: Q11: Doplníte chybějící číslo? 1 4 9 16 25 ? Tato čísla jsou prostě druhými mocninami čísel 1, 2, 3, 4, 5 (a potom i 6). Tyto řady rostou pomaleji než řady založené na násobení členů. Také nejsou běžné úlohy, v nichž se vyskytují větší čísla jako základ pro umocňování (jako jsou 2, 4, 8, 12, 16), protože pak roste náročnost na výpočet. Proto se nejprve snažte objevit co nejjednodušší princip úlohy. Dvoukroková formule: Dokonce ani úlohy s mocninami nemají rozhodující význam pro měření IQ, proto se v mnoha úlohách tesu setkáte se dvěmi matematickými operacemi – násobením a potom s přičítáním či odečítáním. Tak jako v následujícím příkladu:
7
Q12: Které číslo chybí? 6 11 ? 41 81 Na první pohled vidíme, že řada roste natolik rychle, aby šlo o vztah násobeni a že čísla jsou vždy přibližně dvojnásobná. Ale – stejně jako je musíme zdvojnásobit – musíme i pokaždé odečíst 1. Takže 11x2 dá 22; odečteme 1 a máme výsledek 21. Vyzkoušejte si to opět vynásobením 2 a odečtením 1. Ano 41 je správný výsledek. Někdy jde také o řady druhých mocnin zvětšených či zmenšených o nějaké číslo. Jako třeba tady: Q13: Jaký je další člen této řady? 1 2 5 10 17 ? Jde právě o druhé mocniny 0, 1, 2, 3, 4 (a 5), k nimž se vždy přičítá 1. Takže výsledek 26 získáte umocněním 5 (5x5=25) a přičtením 1.
OPAKOVÁNÍ SOUVISLOSTÍ Dalším druhem číselných úloh je ten, v němž se nejprve uvádí příklad matematického vztahu, který máte převést na jinou skupinu čísel. Podívejte se na následující příklad: Q14: Doplníte chybějící číslo? 185 89
(141) ( )
8
97 103
Výsledek dostanete tak, že sečtete čísla vně závorek a součet vy dělíte dvěma. Takže 89+103 dává 192, polovina je 96, což je i správná odpověď. Takové úlohy jsou skutečně jen číselnou formou známých testových IQ otázek jako že: »něco se má k něčemu, jako tohle k tomu to«. Tyto úlohy už jistě znáte: Q15: Která barva chybí? Rajské jablko má k červené barvě takový vztah, jako má hrách k–. Není to příliš těžké. Vztah spočívá v tom, že první slovo (či slova) jsou názvem potraviny a druhé názvem barvy. Hrášek je samozřejmě zelený. (Nenamítejte hned, že rajčata jsou často také zelená nebo i žlutá. Tento příklad slouží jen pro názornost.) Pro řady platí, že musíte objevit základní vztah a ten pak aplikovat na další členy řady. Máte tedy více možností jej najít. Ale u úloh založených na opakování souvislosti máte šanci pouze jedinou. Proto by se vám mohlo stát, že jsou takové úlohy složitější. Je zde však několik faktů, které hovoří ve váš prospěch. Za prvé vám už samotné zadání poskytne jisté vodítko. Ze zadání výše uvedeného příkladu je hned jasné, že nejde o řadu. Namísto toho víte, že musíte udělat něco s čísly vně závorek, abyste dostali číslo uvnitř. To vám ostatně zadání jasně říká. Za druhé jsou čísla obvykle dostatečně velká a už pohled na ně vám zhruba řekne, oč tu běží. Musí totiž být velká, protože při odhalování vztahu musí být vyloučeny veškeré dvojsmyslnosti. Podívejte se na tento příklad: 9
2 (4) 6 Z takového zadání byste nebyli moudří. Je snad prostřední číslo polovinou jednoho z venkovních nebo je snad polovinou jejich součtu nebo snad jejich rozdílem či o co vlastně jde? Každá z domněnek by vám poskytla odlišný výsledek, pokud byste ji aplikovali na jinou skupinu čísel, proto je takové zadání k ničemu. Shrneme-li dosavadní zkušenosti, pak platí, že při setkání s tímto typem úloh může jít o některou z následujících čtyř možností: * součet vnějších čísel (nebo rozdíl); * násobení výsledku (nebo jeho vydělení) nějakým číslem, čímž dostanete číslo vnitřní. Takže řešení budou vypadat následovně: * sečti vnější čísla a násob výsledek 3; * sečti vnější čísla a vyděl výsledek 10; * rozdíl mezi venkovními čísly vyděl 2; nebo * zdvojnásob rozdíl venkovních čísel.
JINÉ DRUHY ČÍSELNÝCH ÚLOH Princip může být často stejný jakou předchozích druhů, ale čísla jsou rozdělena či uspořádána jinak. Třeba do přihrádek: Q16: Doplníte chybějící číslo? 25
27
83
86
?
70
10
V tomto případě jde o číslo 39, které dostanete tak, že vezmete čtvrtinu součtu vnějších čísel. Může jít i o jiné obrázky či uspořádání: Q17: Které číslo schází?
Nebo třeba: Q18: Doplníte následující tabulku?
Tady jsou spodní čísla součtem dvou čísel nad nimi. A zase platí, že i tento typ zadání vám poskytne vodítko, jak se dopracovat řešení. Zkuste si tedy říci, co vám asi chtěl naznačit člověk, který tu otázku vytvořil. Pozn.: U některých úloh je otazník umístěn i na jiné místo než zrovna doprostřed. Například: Q19: Doplníte chybějící číslo?
To je jen jiný způsob zadání, kterému jsme se už věnovali v příkladě Q14.
11
POČETNÍ OPERACE Můžete se setkat s úlohami vyžadujícími různé početní operace. Mohou být složitější a chtít víc než pouhé převedení téhož vztahu na jinou skupinu čísel. Nicméně i v tomto druhu úloh se pořádně podívejte na formulaci – způsob zadání úlohy. Určitě naleznete nějaké vodítko. Je to užitečný trik. Už z pouhé podoby zadání můžete usoudit, jakou matematickou operaci musíte provést, abyste se dobrali výsledku. Magické čtverce: Příkladem jsou mřížkové úlohy známé jako »kouzelný čtverec«. Jde o velmi rozšířenou podobu otázek testů IQ. Q20: Doplníte chybějící číslo? 5 16 8
17 ? 11
7 12 10
V kouzelném čtverci jsou součty všech čísel v řádcích i sloupcích stejné, v tomto případě je to 29, chybějící číslo je tedy 1. Podoby: Někdy i rozdílná podoba této úlohy označuje rozdílné operace, které musíte v zájmu získání správného výsledku provést. Jako třeba tady:
12
Q21: Doplníte chybějící číslo?
Součet čísel v trojúhelnících a vynásobení číslem ve čtverci dává odpověď uvedenou v kruhu = 12. Další příklad. Q22: Které číslo chybí v tomto schématu?
V tomto případě jde o rozdíl čísel v trojúhelnících, vydělený součinem čísel v kruzích. Výsledek je vždy uveden ve čtverečku. Odpověď tedy je 2 (stejně tak vám mohlo vyjít 18).
13
ČÍSLA ZNÁMÁ I NEZNÁMÁ Kolečka, čtverce, přihrádky a další pomůcky vám mohou posloužit k nalezení správné odpovědi. Ale to ostatní slouží jen vašemu zmatení. Maskované řady: Nám už známé jednoduché číselné řady jsou velmi často předkládány v podobě kruhového diagramu. To má za cíl vás poplést, ale teď, když víte, oč jde, už to nebude tak snadné. Například: Q23: Které číslo doplní toto paprskové kolo?
Správná odpověď je 33 a dostanete ji zdvojnásobením předchozího čísla (tak, jak jdou za sebou ve směru chodu hodin) a pak odečtete 1. (17x2=34; 34-1=33). Ale na tomhle příkladě lze doložit platnost přísloví, že i mistr tesař se někdy utne. Jestliže vezmete políčko, na němž je otazník, jako začátek řady namísto konce, vyjde vám 1½ x 2=3, 3-1=2 což zde platí. Odpovědi jsou tedy dvě. Je však moudřejší setrvat na jednodušším řešení, protože zkoušející nemusí vždy vaši geniální alternativu pochopit. Zde máme další maskovanou číselnou řadu:
14
Q24: Která čísla patří do prázdných čtverečků?
Zadáním úlohy nám autor přesvědčivě naznačil, že v každém sloupci – odshora dolů – se do každého čtverce přičítá 1, zatímco při pohybu do stran se přičítá 2. Takže odpovědi jsou 16 a 16. Další řady lze zamaskovat jinak. Třeba takhle: Q25: Které číslo chybí?
Mřížka nás trochu plete, nicméně platí, že čísla dole jsou druhými mocninami čísel nahoře. Odpověď je 25. Dvojité číselné řady se často zobrazují jako domino: Q26: Která čísla doplníte do tohoto domina?
Horní řada má rozdíl vzrůstající vždy o 1 (5, 6, 7 a 8), dolní také, ale rozdíl začíná čtyřkou. 15
Odpověď tedy je 30 a 23. Protilehlá čísla: Některé kruhové diagramy neskrývají řady, ale obsahují vztahy mezi čísly, řekněme protilehlými; jako třeba zde: Q27: Doplníte chybějící číslo?
Jednoznačná odpověď by byla 12, protože nejde na první pohled o číselnou řadu. Čísla v dolní polovině jsou jednoznačně devítinásobkem svých horních protějšků. Jiná úloha v témže stylu. Q28: Které číslo schází?
V tomto kruhu platí, že čísla v horní polovině je nutné vynásobit dvěma a pak od nich odečíst 1. Tím dostanete odpovídající číslo v dolní polovině. Odpověď je tedy 7. Teď tedy víte všechno, co je možné znát o různých druzích početních či číselných úloh, s nimiž se v testech IQ můžete setkat. 16
Zkuste si tedy nové znalosti na následujícím malém testu. Odpovědi najdete konci dokumentu.
ČÍSELNÝ KVÍZ V každé z dále uvedených úloh doplňte chybějící číslo na místo otazníku. Q29: 5 12 ? 54 110 Q30:
Q31: 10 12 22 24 34 ? Q32: 3 8 ? 21 Q33: -1 2 7 14 ? Q34:
17
Q35:
Q36:
Q37:
18
Q38:
Výsledky Q29) 26. Dvojnásobek předchozího čísla plus 2 Q30) 25 a 29. Při pohybu v řádku zleva doprava +1. Při pohybu dolů ve sloupku +5. Q31) 36. Čísla jsou rozdělena do dvojic. Rozdíl v nich je +2. Q32) 14. Rozdíly činí postupně 5, 6, 7. Q33) 23. Řada stoupá s rozdíly 3, 5, 7, 9. Q34) 55. Rozdíly v řadě se zdvojnásobují, tedy 7, 14, 28. Q35) 6. Čísla v levé polovině jsou trojnásobkem odpovídajících čísel v pravé polovině. Q36) 7. NAHOŘE. 24. DOLE. Kostky jsou zpřeházeny. Po uvedení do normálního pořadí uvidíme rostoucí a klesající posloupnosti. Q37) 21. Dvě řady – vezmeme-li je v i proti směru chodu hodinových ručiček. Q38) 1. Číslo ve čtverci plus součet druhých mocnin čísel v trojúhelnících je roven číslu v kolečku.
19
