1
WISKUNDE ENKELE VOORBEELDEN VAN DIGITALE DIDACTIEK IN DE WISKUNDE In dit artikel willen we je enkele mogelijkheden van digitale didactiek in de wiskundelessen laten zien. Uiteraard kunnen leerkrachten gebruik maken van online oefenplatformen die uitgeverijen hen aanbieden. Het is niet onze bedoeling op deze digitale ondersteuning dieper in te gaan. We laten dat over aan de uitgeverijen zelf. We gaan ook niet dieper in op het didactische gebruik van de grafische rekenmachine TI-84. Deze is immers in de meeste scholen ingeburgerd. Het gebruik ervan en de didactische mogelijkheden zijn intussen in voldoende mate gekend. In onze Didactische en Pedagogische Berichten van september 2013 hadden we het over handelingsgericht werken. Aan de hand van een mindmap kun je er heel wat concrete tips vinden. Een aantal van deze tips verwijst naar functioneel ICTgebruik en digitale didactiek. Het kan nuttig zijn om deze mindmap nog eens van naderbij te bekijken. Nu focussen we ons op een aantal andere digitale mogelijkheden. Ziehier een greep uit het grote aanbod. Naast de titel vermelden we altijd op welke manier het besproken ‘programma’ toepasbaar is. We baseren ons op volgende categorieën: 1 ICT als dril- en trainingsinstrument dat zich richt op automatisatie van regels en procedures (= behaviorisme); 2 ICT als tool om informatie op te zoeken, te stockeren en te verwerken (= cognitivisme); 3 ICT als krachtige leeromgeving om competenties te verwerven aan de hand van realistische taken (= constructivisme); 4 ICT als middel om te leren vanuit sociale interactie (= sociaal constructivisme).
2 1 Gapminder (constructivisme) Het is belangrijk dat leerlingen grafieken goed kunnen aflezen en interpreteren en er patronen en verbanden in zoeken. Het programma ‘Gapminder’ (http://www.gapminder.org) kan je hierbij diensten bewijzen. Dit is een kosteloos programma. Het is voor iedereen online beschikbaar via internet. Met Gapminder kun je op een verbluffende manier laten zien hoe de globale ontwikkeling van het jaar 1800 tot vandaag heeft plaatsgevonden. Hierbij kun je kiezen uit een reeks variabelen. Zo kun je bv. voor elk land ter wereld nagaan wat het verband is tussen de levensverwachting (uitgezet op de verticale as) en het gemiddelde inkomen per persoon (uitgezet op de horizontale as). De schaalverdeling op de assen kun je zowel lineair als logaritmisch instellen. Elke cirkel stelt een land voor. De grootte van de cirkel geeft de bevolking van het land weer en de kleur vertelt in welk continent het land ligt. Op de horizontale as kun je ook gewoon de tijd instellen. Zo kun je bv. de evolutie van de levensverwachting van de man en de vrouw tussen 1950 en vandaag voor de landen België en Zimbabwe vergelijken. Dit kun je dan bv. gebruiken in lessen over regressie.
In Uitwiskeling 30/3 – zomer 2014 treffen we een lesactiviteit aan die we hier graag vermelden.
3 Kindersterfte verminderen Elk jaar sterven ongeveer 10 miljoen kinderen onder de 5 jaar. Ongeveer 90 % van deze overlijdens is te wijten aan zes oorzaken: vroeggeboorte, longziekten, diarree, malaria, mazelen en hiv/aids. Eén van de millenniumdoelen was tegen 2015 de kindersterfte tot een derde terug te brengen tussen 1990 en 2015. Hoe kunnen we dit bereiken? Welke landen maken genoeg vooruitgang? En in welke mate werd in ons land de kindersterfte teruggebracht de laatste 100 jaar? 1. Stel het programma zo in dat de kindersterfte te volgen is op de verticale as. Op de horizontale as zet je het inkomen per persoon. Laat een spoor tekenen voor Egypte, Peru en Turkije. Hebben deze landen het doel bereikt? 2. Zestien landen slaagden er in om hun kindersterfte met 2/3de terug te brengen tussen 1990 en 2008. Zoek er twee. 3. Er zijn 43 landen goed op weg om dit te doen tegen 2015. Geef ook hier twee voorbeelden van. 4. Het slechte verhaal is dat 10 landen het vandaag niet beter of slechter doen dan in 1990. Zoek drie van deze landen. 5. Omschrijf hoe in ons land de kindersterfte werd teruggebracht de laatste 100 jaar.
2 Onderzoekend leren met GeoGebra (Constructivisme) Het programma GeoGebra leent zich uitstekend tot (onder andere) het onderzoeken van meetkundige eigenschappen. In bijlage vind je twee BZL-opdrachten. De eerste is bestemd voor het tweede leerjaar van de eerste graad A, de tweede voor het tweede leerjaar van de tweede graad aso/kso/tso.
De BZL-opdrachten zijn uitgewerkt voor computer. Uiteraard kun je ook met de GeoGebra-app voor tablets en iPads werken. 2.1 Het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk In bijlage 1 vind je een BZL-opdracht die als doel heeft de leerlingen de eigenschap en de omgekeerde eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk te laten onderzoeken. Deze opdracht is bedoeld voor het tweede leerjaar van de eerste graad A.
4 De volgende leerplandoelstellingen komen aan bod.
V3: Meet- en tekenvaardigheden: - het meten van de lengte van een lijnstuk; - het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het opbouwen van figuren.
V4: Wiskundige taalvaardigheden: - het begrijpen van wiskundige uitdrukkingen in eenvoudige situaties; - het begrijpen van tekeningen; - het uitdrukken van hun gedachten en inzicht in eenvoudige situaties.
V5: Denk- en redeneervaardigheden: - het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het onderzoeken van een vermoeden en bij het opbouwen van een redenering.
V6: Leervaardigheden: - het inzetten van ICT-hulpmiddelen; - het sturen van het eigen leerproces.
A3: Kritische zin: - kritische houding handelingen.
tegenover
eigen
verwoordingen
en
A4: Zelfvertrouwen, zelfstandigheid en doorzettingsvermogen.
M45: Het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden.
2.2 Eigenschappen in verband met straal, koorde en apothema Bijlage 2 is een BZL-opdracht die als doel heeft de leerlingen eigenschappen in verband met straal, koorde en apothema van een cirkel te laten onderzoeken. Deze opdracht is bedoeld voor het tweede leerjaar van de tweede graad. Ook hier komen er verschillende vaardigheden en attitudes aan bod.
5 3 Desmos (constructivisme) Met Desmos kun je op een vlugge manier een grafische voorstelling maken van de grafieken van functies. Dit kan via een app, maar ook online (surf daarvoor naar http://www.desmos.com en klik op ‘Launch Calculator’).
In het eerste leerjaar A kun je Desmos al gebruiken om de leerlingen getallenkoppels te laten uitzetten in een rooster.
In het tweede jaar kun je de leerlingen bv. laten ervaren dat bij recht evenredige grootheden de roosterpunten op een rechte liggen.
6 In de tweede en derde graad kun je met Desmos gemakkelijk grafieken van functies bestuderen.
Via schuifbalken ga je gemakkelijk de invloed van parameters in een functievoorschrift na. Als voorbeeld geven we de grafiek van een exponentiële functie.
7 Desmos kun je ook gebruiken bij het bestuderen van afgeleiden. - Het verband tussen de grafieken van een functie en zijn afgeleide functie:
- Dynamische weergave van de raaklijn in een willekeurig punt aan een grafiek:
8 We illustreren tot derdegraadsfuncties. Stel
dat
f
slot
een
merkwaardige
een
derdegraadsfunctie is met als f ( x) k . x a . x b. x c met k 0 en a b c a . De nulwaarden zijn a, b en c. Neem het gemiddelde van twee nulwaarden, bv.
ab , 2
Dan gaat de raaklijn in P
c, 0.
eigenschap
van
functievoorschrift
ab . 2
a b f aan de grafiek van f door het punt 2
1 . x 4 . x 2 . x 6 . 6 De nulpunten van de functie f zijn A 6 , 0 , B 2 , 0 en C 4 , 0 . 24 1. Neem het gemiddelde van twee nulwaarden: 2 De raaklijn in het punt P 1, f 1 1, 10,5 gaat dan door het derde nulpunt 6 , 0 . Voorbeeld: f ( x )
We controleren deze eigenschap met Desmos:
9 4 TI-Nspire (constructivisme) Voor het gebruik van TI-Nspire kun je kiezen voor computersoftware, een app of rekenmachines. Je kunt al dan niet opteren voor CAS (Computer Algebra System). We geven enkele voorbeelden. - Kegelsneden in poolcoördinaten. Beschouw de krommen in het vlak gegeven door de poolvergelijking
r
e . Ga de invloed van de excentriciteit e na. 1 e cos
De gevraagde krommen zijn de verschillende kegelsneden. Als 0 < e < 1, dan bekom je een ellips. Indien e = 1, heb je een parabool. Voor e > 1, vind je een hyperbool.
Je kunt hier ook een animatie van maken.
10 - Rekenwerk bij analyse en algebra:
- Onderzoek op grafieken:
11 5 Youtube (cognitivisme) Als je zoekt op YouTube zul je vaststellen dat deze website vele, actuele en prima filmbeelden bevat die als illustratie bij een les kunnen gebruikt worden. Zo hebben we bv. al in onze Didactische en Pedagogische Berichten van vorig schooljaar verwezen naar een filmpje dat je kunt gebruiken als inleiding op de stelling van Pythagoras: https://www.youtube.com/watch?v=JRTQZ_GUQMo. We geven nog een paar andere voorbeelden ter illustratie: 1 Exponentiële groei: https://www.youtube.com/watch?v=5hEU68pJr1s. Je vouwt een stuk papier met de grootte van een voetbalveld verschillende keren na elkaar in tweeën.
2
De slinger van Foucault: https://www.youtube.com/watch?v=mfwnkoYCTf4&t=54. We zien beelden van Parijs met onder andere de slinger in het Pantheon. In de wet die Christiaan Huygens ontdekte is de slingertijd T (één periode van een slingerbeweging) bij een mathematische slinger gelijk aan
T 2
l 2 l. g
In het filmpje komt de volgende opdracht voor: bepaal de lengte van de slinger van Foucault uit het Pantheon.
12 6 Didactische filmpjes (Cognitivisme) 6.1 WiskundeAcademie Soms gaat de uitleg tijdens de wiskundeles voor bepaalde leerlingen net iets te snel. Daarnaast kan ziekte ook zorgen voor achterstand die misschien moeilijk weer bij te werken is. Maar het kan ook zijn dat een leerling juist op een hoger tempo werkt en graag vooruit wil werken, maar tegengehouden wordt door het tempo van de klas. Op de website van WiskundeAcademie (http://wiskundeacademie.nl/) vind je over heel wat onderwerpen gratis didactische filmpjes. Deze zijn bestemd voor een breed publiek en met enkele oefenopgaven kun je testen of de leerlingen het daadwerkelijk begrepen hebben.
Er komen heel wat onderwerpen aan bod: -
algebraïsche vaardigheden, formules en functies, vergelijkingen, meetkunde, statistiek, combinatoriek en kansrekening, kwadratische verbanden, machtsverbanden, exponentiële verbanden.
Opgelet: de gebruikte notaties komen niet altijd overeen met de notaties die we hier in Vlaanderen gebruiken.
13 6.2 Freewiski De website http://www.freewiski.be is ontwikkeld door collega Erwin Meyers vanuit het ‘Flipping the classroom’-principe, maar ook hier kun je de filmpjes gebruiken vanuit de beweegredenen die we bij WiskundeAcademie aanhaalden.
Op deze website vind je instructiefilmpjes voor alle graden van het secundair onderwijs. Naast deze filmpjes, vind je ook samenvattingen, studietips en oefeningen. Wie twijfelt bij de opgave, vindt een directe link terug naar het gepaste instructiefilmpje, maar ook bij het oproepen van de oplossing, krijg je de kans om één of meerdere stappen te laten verduidelijken.
14 7 Oefenmomenten (Behaviorisme) 7.1 Wiskunde Interactief De website http://wiskunde-interactief.be staat onder het beheer van collega Chris Cambré. Je kunt er interactief de wiskunde van de eerste, tweede en derde graad verkennen en testen.
We citeren Chris Cambré: “Je merkt al snel dat wiskunde niet zo afschrikwekkend is als schoolhater Casper laat uitschijnen. Veel surf-, denk- en reken-, kortom leerplezier!”
Per onderdeel vind je een uitgebreid oefeningenpakket. We geven hieronder een voorbeeld van een oefening uit de statistiek.
15 7.2 That Quiz ‘That Quiz’ (https://www.thatquiz.org/) is een website waar je leerstofonderdelen via een kleine quiz kunt inoefenen. Naast wiskundige onderwerpen, omvat deze site ook onderwerpen over talen, aardrijkskunde en wetenschappen. Voor wiskunde zijn de onderwerpen heel uiteenlopend:
Bij elk onderdeel kun je het aantal oefeningen en het niveau instellen. Eveneens bestaat de mogelijkheid om een tijdslimiet in te stellen en om feedback op te vragen. De feedback is spijtig genoeg beperkt tot het geven van het correcte antwoord en vermelding van je eigen antwoord.
16 7.3 Beter rekenen ‘Beter rekenen’ (http://beterrekenen.nl) is een website die geschikt is voor de eerste graad A en B-stroom. Om gebruik te maken van deze site, moet je je eerst gratis aanmelden. Je krijgt dan dagelijks een mailtje met vier vragen op drie verschillende niveaus. Eenmaal je antwoorden verzonden, ontvang je een score met feedback. Bij deze uitleg kun je een link aanklikken naar het corresponderende leerstofonderdeel. Je verkrijgt dan uitleg, alsook voorbeelden, oefeningen met oplossingen, geheugensteuntjes, tabellen voor maateenheden met dagelijkse voorbeelden enz.
Je kunt ook de opgaven en antwoorden op de vragen van de voorbije dagen oproepen. Je verkrijgt daarbij ook een overzicht van het aantal deelnemers dat correct en fout heeft geantwoord.
17 8 Interactieve digitale systemen (sociaal constructivisme) 8.1 Digitale antwoordsystemen Een digitaal antwoordsysteem is een mobiele onderwijstechnologie die de mogelijkheid biedt om alle leerlingen op uiteenlopende manieren actief aan het denken te zetten. Leerlingen geven met een draadloos digitaal stembakje of een pc, laptop, smartphone of tablet een antwoord op een geprojecteerde vraag. Vervolgens kun je de spreiding van de antwoorden onmiddellijk klassikaal weergeven. Antwoordsystemen kunnen inleidend ingezet worden als kennismaking of om voorkennis af te toetsen en te activeren. Ze kunnen ook gebruikt worden om na te gaan als de leerlingen de lesinhoud begrepen hebben. Wanneer je een antwoordsysteem formatief inzet, krijgt niet alleen de leerling heel snel feedback over zijn leerproces, maar ontvangt ook de leraar informatie over de prestaties van zijn klasgroep. Die informatie kan dan helpen om de aanpak en de inhoud optimaal af te stemmen op de noden van de leerlingen.
Enkele mogelijkheden: -
Poll Everywhere (http://polleverywhere.com) Socrative (http://www.socrative.com) Mentimeter (http://www.mentimeter.com) Exitticket (http://exitticket.org) Shakespeak (http://www.shakespeak.com)
18 8.2 Draadloze klasnetwerken TI-Nspire Navigator is een draadloos klasnetwerk dat zowel beschikbaar is voor laptops met de TI-Nspire leerlingensoftware, als voor de TI-Nspire rekenmachines. Via TI-Nspire Navigator kan de leraar op zijn computer gemakkelijk een overzicht krijgen van alle beeldschermen. Zo kan hij de leeractiviteiten van de leerlingen opvolgen. De beeldschermen van alle lln. kunnen in realtime geprojecteerd en becommentarieerd worden. Verder kunnen leraar en leerlingen vlot bestanden uitwisselen. De software bevat ook een uitgebreide toetsmodule voor het beveiligd afnemen van examens en testen. Voor meer informatie verwijzen we graag naar: http://education.ti.com/en/us/products/tinavigator-systems.
HP Prime, een grafische rekenmachine met touchbediening, is een innovatief systeem waarbij met draadloze cradles en software alle rekentoestellen kunnen connecteren aan de computer van de leraar. Op deze manier kunnen er heel wat interactieve werkvormen ontstaan en is er de mogelijkheid om digitaal en spiekvrij testen af te nemen. Voor meer informatie verwijzen we graag naar: https://www.educalc.net/2336502.page.
19 9
Tablets Voor wie het gebruik van tablets overweegt of al met tablets werkt, nemen we een kleine greep uit het aanbod van beschikbare apps die je binnen de wiskundelessen kunt gebruiken. We verwijzen hierbij zo veel mogelijk naar gratis apps per besturingssysteem.
9.1
Onderzoeken of rekenhulp (constructivisme)
App
Apple
Android
Windows
Geogebra: Algebra; Meetkunde; Rekenblad; CAS; 3D tekenen; Kansberekening.
x
x
x
Grafisch rekentoestel: TI-Nspire CAS (Apple); Mathlab, met CAS (Android); Wabbitemu, TI84 (Android).
€ 29,99
Desmos:
x
x
Alternatief:
Algebra.
Math Plotter Algebra: EzyGraphs (Apple); Graphing calculator (Android); Graph expert (Windows).
€ 1,49 Driehoeksmeetkunde: EzyTriangles (Apple); Triangle calculator (Android); Trigonometry expert (Windows).
€ 1,49
20
Matrix Calculator: Bewerkingen; Determinanten; Stelsels oplossen (rechtstreeks of via een matrix). Ruimtefiguren: iCrosss Lite (Apple); Math geometry (Windows).
9.2
Digitaal oefenen met ondersteuning (behaviorisme)
App
Apple
Android
Windows
MathSpace (online oefenen)
x
x
X
Bookwidgets
Oefeningen oplossen met uitleg: Steps2Math (Apple); Math helper (Android); Math – calculus expert (Windows).
€ 1,49
€ 0,99
9.3
Rapportering (cognitivisme) Voor onderstaande programma’s vermelden we de ontwikkelaar, omdat het gebruikersgemak afhankelijk zal zijn van het systeem waarmee je hoofdzakelijk werkt.
App (ontwikkelaar)
Tekstverwerking: Pages (Mac); Word (Microsoft); Google docs (Google). Deze programma’s kun je ook (beperkt) online gebruiken via de webbrowser.
Apple
Android
Windows
21
Rekenblad: Numbers (Mac); Excel (Microsoft); Google Spreadsheet (Google). Deze programma’s kun je ook (beperkt) online gebruiken via de webbrowser.
Presentaties: Keynote (Mac); Powerpoint (Microsoft); Google presentaties (Google). Deze programma’s kun je ook (beperkt) online gebruiken via de webbrowser.
Eigen bestanden beheren, delen synchroniseren: Google drive (Google); Dropbox; One Drive (Microsoft).
en
Onderstaande apps zijn niet meer ontwikkeld door de specifieke systeembeheerders, maar voor elk soort tablet is een ander programma noodzakelijk. Filmpjes: Educreations (Mac); Lensoo Create (Google); iXplain (Windows). Bestanden verzamelen: Showbie (Apple); Schoology (Android); ClassPolicy (Windows); Class Charts (Windows).
22
Bronnen HAUTEKIET, G.; LEFEVRE, L.; VAN EMELEN, E., ‘Onder de loep – beschrijvende statistiek in de tweede graad’, Uitwiskeling, jaargang 30 (2014), juni/juni/aug., nr. 3, p. 41-44. ROBESYN, C.; VANDERERFVEN, C, BZL-opdrachten, Spes Nostra Heule. GHEYSENS, L., internet (http://www.bloggen.be/gnomon). DESES, D., Voorbeelden met de TI-Nspire uit de analyse: uitgewerkte voorbeelden voor de 3de graad aso (cahier 33), internet, (http://www.t3vlaanderen.be). BUYSSCHAERT, S.; VAN LOKEREN, S, ‘Binnenkijken in de hoofden van leerlingen – Digitale didactiek is meer dan ICT’, Breedbeeld, jaargang 7 (2014), sept.-nov., nr. 1, p.17-20.
Geert Delaleeuw Lies Van de Wege
23
