Nosná stavební konstrukce
Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Nosná stavební konstrukce slouží k přenosu zatížení objektu do horninového masívu, na němž je objekt založen. Musí mít dostatečnou únosnost a dlouhodobou použitelnost (blíže předmět Pružnost a plasticita).
Nosné stavební konstrukce
Skládá se z horní konstrukce a ze základové konstrukce
Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku • Reálné zatížení nosných stavebních konstrukcí • Prut (geometrický popis, vnější vazby, nehybnost, silové zatížení, složky reakcí)
• Výpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Kongresové centrum, Brno 2
Třídění nosných konstrukcí podle geometrického tvaru
Zatížení nosné konstrukce
Konstrukce je obecně složena z konstrukčních prvků:
Rozdělení zatížení:
1 . Prutový konstrukční prvek (prut) – délka je výrazně větší než dva příčné rozměry, idealizace dokonale tuhou čarou (přímá nebo zakřivená)
a) silové - vnější síly a momenty b) deformační - oteplení, sedání, poddolování
2 . Plošný konstrukční prvek – tloušťka je výrazně menší než zbývající dva rozměry, idealizace rovinným nebo prostorově zakřiveným obrazcem.
a) statické - velikost, směr a umístění sil se v čase nemění, např. zatížení obytných budov b) dynamické - vyvoláno rychlou změnou velikosti, polohy nebo směru sil, vede k rozkmitání konstrukce, např. zatížení mostů jedoucími vozidly
Dělí se na stěny (zatížení ve vlastní rovině), desky (zatížení kolmo k rovině) a skořepiny (zakřivený plošný prvek). 3 . Masivní trojrozměrný konstrukční prvek Nosnou konstrukci může tvořit jediný konstrukční prvek, zpravidla je tvořena několika konstrukčními prvky – soustava konstrukčních prvků.
a) deterministické - vlastnosti jednoznačně vymezeny normou, např. měrné tíhy staviv b) stochastické (pravděpodobnostní přístup) – velikost zatížení není předepsáno jednou hodnotou, nýbrž pravděpodobnostní funkcí
Nosná konstrukce z lepeného lamelového dřeva, soustava prutových prvků a desky, Lahti, Finsko, foto: Ing. Antonín Lokaj, Ph.D. 3
4
Prut - geometrický popis prutu, idealizace
Pohybové možnosti volných hmotných objektů
Základní pojmy: F1=2F
h, d ≅ 0,1 l
F
F
a
Stupeň volnosti nv : možnost vykonat jednu složku posunu v ose souřadného systému nebo pootočení.
Rovina souměrnosti prutu
F2
Řídící čára, osa prutu (přímý prut), střednice 1
2
h
b
+x
Těžiště průřezu
d
l
P1
Prut rovinně nebo prostorově lomený.
b 1
Rax
• volný hmotný bod v prostoru: nv=3 (posun rozložen do tří os)
2
l
Raz
m[xm,zm]
• volný tuhý prut (deska) v rovině: nv=3 (posun ve dvou osách a pootočení)
P2
a Statické schéma – statický model nosné konstrukce
x’
• volný hmotný bod v rovině: nv=2 (posun v obecném směru rozložen do 2 kolmých směrů – osy souřadného systému)
Průřez prutu
+y +z
+x
(přímý i zakřivený prut)
Rbz
γ +z
z’
• tuhé těleso v prostoru: nv=6 ( obecný posun a pootočení)
5
Zajištění nehybnosti prutu
Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti. n–násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti. Název vazby Kyvný prut
K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily všechny stupně volnosti nv.
Násobnost vazby Označení vazby a reakce v = nv 1
Posuvná kloubová podpora
1
Pevný kloubová podpora
2
Posuvné vetknutí
Raz v < nv
nebo Raz
Raz
2
nebo
Rax Raz
Rax
v > nv Raz
Ma
3
Ma Rax
Podepření objektu je kinematicky určité, zajištěna nehybnost objektu, použitelná jako stavební konstrukce. Podepření objektu je kinematicky neurčité, nehybnost objektu není zajištěna, jako stavební konstrukce nepřípustná (nedostatečný počet vazeb). Podepření objektu je kinematicky přeurčité, nehybnost objektu zajištěna, použitelná jako stavební konstrukce (větší počet vazeb než je nezbytně nutné).
Vazby musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost objektu – nesmí se jednat o tzv. výjimkový případ kinematicky určité nebo přeurčité konstrukce.
Raz Dokonalé vetknutí
6
Raz 7
8
Stupeň statické neurčitosti nosníku v rovině
v = a1 + 2.a2 + 3.a3
Kinematicky i staticky určitá konstrukce Podepření objektu je kinematicky určité
v = nv
nv = 3
Prut je staticky určitý (3 složky reakcí, 3 podmínky rovnováhy)
v = 3, nv = 3 v = ve ... počet vnějších vazeb nosníku
nv ... počet stupňů volnosti nosníku v rovině
a1 ... počet jednonásobných vazeb a2 ... počet dvojnásobných vazeb
P1 Prostý nosník:
a3 ... počet trojnásobných vazeb nv = v
staticky i kinematicky určitá soustava
nv < v
staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava
nv > v
staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava
P2
a
b
P1
Konzola:
P2 v= nv = s=
a
Stupeň statické neurčitosti
v= nv = s=
s = v - nv 9
Kinematicky neurčitá konstrukce
Kinematicky přeurčitá, staticky neurčitá konstrukce v > nv kinematicky přeurčité, staticky neurčité podepření Stupeň statické neurčitosti: s = v - nv
P1
P1 b
a
kinematicky neurčité podepření
v < nv
P2
a
P1
10
P2 b
P2 b
a
v= nv = s=
v= nv = s=
v= nv =
Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení Ve stavební praxi nepoužitelné.
11
12
Výjimkové případy podepření
Idealizované silové zatížení prutů Bodová síla [kN], [N]
Vazby musí být vhodně uspořádány – nesmí vzniknout výjimkové případy podepření, které jsou ve stavební praxi nepoužitelné.
P1
Bodový moment [kNm], [Nm]
(a)
a) kroutící b) ohýbající
P2
a
v= nv =
b
Nejčastěji vzniká při přeložení excentrické síly do působiště na ose prutu (obr.6.10.c)
(b)
(a) P1 a
P2 b
c
Determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ.
v= nv =
(b)
(c) Bodová zatížení
Bodové momenty
Obr. 6.10. / str. 81
Obr. 6.11. / str. 81
13
Liniová zatížení
14
Příklad stropní konstrukce
Silové liniové zatížení - příčné [kN/m], [N/m] Příklady: • tíha zděné příčky působící na stropní nosník • nahodilé zatížení stropu [kN/m2] soustředěné na nosník formou sběrného pásu
Příklad příčného silového liniového zatížení nosníku Obr. 6.12. / str. 82 15
Stropní konstrukce výzkumného energetického centra VŠB-TU Ostrava 16
Staticky určitá konstrukce
Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil Soustava je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x a z a součet všech momentů k libovolnému momentovému středu s je roven 0.
Prut je staticky určitý (v rovině: v = 3, nv = 3) 3 neznámé složky reakcí lze vypočítat ze 3 podmínek rovnováhy.
v = nv
3 podmínky rovnováhy 1) 2 silové, 1 momentová:
n
1.∑ Pi , x = 0 i =1
P1 Rax
P2
Raz
Rbz P1
May
Rax
m
i =1
i =1
2) V praktických aplikacích je často výhodnější sestavit 2 momentové podmínky k momentovým středům a, b: 1.∑ M i , a = 0 2.∑ M i ,b = 0
b
a
n
2.∑ Pi , z = 0 3.∑ M i , s = 0
Tyto pomínky se doplní třetí podmínkou - silovou: n pokud je v ose x pouze 3 .∑ Pi , x = 0 i =1 jedna neznámá složka reakce
P2
pokud je v ose z pouze jedna neznámá složka reakce 3) Užívané jsou také 3 momentové podmínky ke třem libovolným momentovým středům, které nesmí ležet v jedné přímce 1.∑ M i , a = 0 2.∑ M i ,b = 0 3.∑ M i ,c = 0 n
3 .∑ Pi , z = 0
a
i =1
Raz
17
Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil Například : P1 Ra,x
∑P ∑M ∑M
ix
1
=0 ia
ib
Kontrola :
iz
s1
=0
s2
=0
s3
=0
l
=0
s2
Ra
a
=
s3
∑ P iz = 0 Rc
∑M ∑M
ia
ib
Kontrola :
i ,x
a
=0
ix
=0
∑M
i ,a
=0
∑M
i ,b
=0
Ra,x Kontrola:
=0 R a,z
∑P
Podmínky rovnováhy
∑F
1
P1
b
Rb
b
2
P2
s1
∑M ∑M ∑M
3
Snaha odhadnout směr reakcí
Rb,z
P1
∑P
P2
l
=0
3
P
b
2
= 0 Ra,z
P a
P2
a
Příklad 1: PROSTÝ NOSNÍK Rb,x
b
18
=0
19
∑F
i ,z
=0 20
Příklad 2: PROSTÝ NOSNÍK
Příklad 3: PROSTÝ NOSNÍK – superpozice předešlých úloh
M=2kNm M=12kNm
Snaha odhadnout směr reakcí a
Popřemýšlet … , závěr ?
P=6kN
b
6
a
3
b
3
+ Podmínky rovnováhy
∑F ∑M
i ,a
=0
∑M
i ,b
=0
=0
i ,x
= M=12kNm a
3
P=6kN b
3
Kontrola:
∑F
i ,z
=0
21
22
Příklad 4: PROSTÝ NOSNÍK– doma – doplňte podmínky rovnováhy a vyřešte reakce M=12kNm a
P=6kN
3
Raz
3
Příklad 5: PROSTÝ NOSNÍK P = 70 kN
Rbx Rax
b
Pz 60°
a
c
Rbz
Raz
b Px
2
P
4
6
60° Pz Px
Rbz
+ Podmínky rovnováhy
∑F ∑M
∑M
∑F
i, x
i ,a
i ,b
=0
=0
Kontrola:
∑F
+ Podmínky rovnováhy
=0
i ,x
i ,z
=0
Rbx = 0kN
∑M
Rbz = 5kN ( ) skut.směr
∑M
Raz = 1kN ( ) skut.směr
= 0:
i ,a
i ,b
= 0: = 0:
Kontrola: 23
∑F
i,z
= 0:
24
Příklad 6: PROSTÝ NOSNÍK q = 3kN/m
Q a
Rax
3
i ,a
= 0:
i ,b
= 0:
∑F ∑M ∑M
i ,a
= 0:
i ,b
= 0:
∑F
5
5 q = 2,4 kN/m
Q a Raz
Podmínky rovnováhy
b
8
a Raz
i ,a
= 0:
i,b
= 0:
∑M
2
10
Rbz
+
= 0:
i, x i ,a
i ,b
Q1 =
b 8
Podmínky rovnováhy
+
náhradní břemena:
Q2 =
2
= 0:
= 0:
Q2
Rax
∑F ∑M
i,z
q = 2,4 kN/m
Q1
Rbz
10
1
4
náhradní břemeno: Q=
= 0: = 0:
Kontrola:
Kontrola:
∑F
26
Příklad 8b: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM
Rax
∑M
+
= 0:
i, z
Příklad 8a: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM
i,x
Rbz
Kontrola: 25
∑F ∑M
3 9
= 0:
i, x
= 0:
i,z
b
Podmínky rovnováhy
+
Kontrola:
∑F
a
Raz
= 0:
i, x
náhradní břemeno Q=
Rax
Rbz
10
Podmínky rovnováhy
∑M ∑M
Q=
6
7
q = 4kN/m
Q
náhradní břemeno
b
Raz
∑F
Příklad 7: PROSTÝ NOSNÍK
27
∑F
i,z
= 0:
28
Příklad 9: KONZOLA Ma
Pz
Px = Pz = 6,36kN 45°
Rax a Raz
Příklad 10: KONZOLA
b
Q = 12kN
b
a
Px
6 5
Mb Rbx
3 9
+
Podmínky rovnováhy
Rbz
+
Podmínky rovnováhy
∑F = 0: ∑F = 0: ∑ M i ,a = 0 :
∑F ∑F
i,x i,z
i,x
= 0:
i, z
= 0:
∑M
i ,b
= 0:
Kontrola:
Kontrola:
∑M
∑M
= 0:
i,b
q = 2 kN/m
P = 9kN
i ,a
= 0:
29
30
Vnitřní síly
Příklad 11: NOSNÍK S PŘEVISLÝMI KONCI •
Prut v rovině – 3°volnosti
P2 = 6kN
•
Podepření - 3 vazby, odebrány 3°volnosti, staticky určitá úloha
P1 = 4kN
•
Vnější zatížení a reakce – musí být v rovnováze, 3 podmínky rovnováhy, z nich 3 neznámé reakce
•
Vnější zatížení a reakce se nazývají vnější síly
•
Uvnitř nosníku působením vnějších sil vznikají vnitřní síly
•
Obecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme na tři složky – • v ose x - normálová síla • v ose z - posouvající síla • ohybový moment
q = 4 kN/m M = 3kNm Rax a
b 3
2
3
1
Raz Podmínky rovnováhy
∑F ∑M
i ,a
i ,b
+
= 0:
i, x
∑M
Rbz
= 0: = 0:
Kontrola:
∑F
i,z
= 0:
31
32
Výpočet nosníku v osové úloze
Normálová síla N
Působí-li zatížení pouze v ose nosníku. Jedna vnější vazba v ose x z podmínky rovnováhy:
Normálová síla N v libovolném průřezu x nosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících v ose nosníku zleva nebo zprava od x.
∑Fi,x = 0 : − Rax + R = 0 ⇒ Rax − R = 0 ⇒ Rax = R Složka vnitřních sil v ose nosníku – normálová síla N.
(a)
(c)
(b)
(d)
Výpočet reakce a normálové síly v osové úloze Obr. 7.1. / str. 90
+
Vnější síly
N
N
N
Kladná normálová síla vyvozuje v průřezu x tah a působí z průřezu. V opačném případě je normálová síla záporná a vyvozuje tlak.
N
a
b
+ tah
Rax N
F N
a
b
Rax
33
osa nosníku
- tlak
F 34
Výpočet nosníku v příčné úloze
Příklad – N síly F1 =12
a
F2 =16
F3 =10
F2 =12
F1 =18 a
Zatížení – síly v ose z a momentové zatížení. V příčné úloze dva druhy vnitřních sil: posouvající síla a ohybový moment.
b
F3 =16
M
P
Rbx=0
b a
Zadání: sestrojit průběh normálových sil N Raz
l/2
l/2
b
Rbz
Průběh normálových sil po celé délce se znázorňuje graficky formou diagramu (grafu). kladné normálové síly N se vynášejí nahoru, záporné dolů Řešení příkladu 4.2 Obr. 7.3. / str. 91 35
36
Posouvající síla V Posouvající síla V v libovolném průřezu x nosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících kolmo k ose nosníku zleva nebo zprava od x.
Příklad – V síly F1=10kN
Vnější síly
c
2
Rbz=18 F2=40kN
2
F V
V
-
V
2
…… bez podpor, jen síly
e
d
2 4
Raz=34 V
F3=2kN
b
a c
+
2
4
F1=10kN V
…… s podporami
e
2
Raz=34
osa nosníku
F3=2kN
b
d 2
Kladná posouvající síla počítána zleva směřuje nahoru. V opačném případě je záporná. Kladná posouvající síla počítána zprava směřuje dolů. V opačném případě je záporná.
V
F2=40kN
a
+
2 Rbz=18
Doplňte hodnoty V sil a znaménka:
a
kladné posouvající síly V se vynášejí nahoru, záporné dolů
b
V Ra
Rb 37
38
Ohybový moment M
Příklad – ohybové momenty M
Ohybový moment M v libovolném průřezu x nosníku je roven algebraickému součtu všech statických momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od x.
F1=10kN
Kladným ohybovým momentem jsou dolní vlákna tažena a horní tlačena (nosník je prohýbán směrem dolů). U záporného ohybového momentu je to naopak.
c M
M
Kladný ohybový moment počítaný zleva otáčí po směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný. Kladný ohybový moment počítaný zprava otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.
F2=40kN
a
+
d 2
2
Rbz=18 F2=40kN
a
Ra
tlak
F
c 2 b
+
tah
b
tlak Ra M
F
M
2
e
d
2 4
Doplňte hodnoty M a znaménka:
Rb tah
a
Raz=34
-
Rb 39
M
F3=2kN
b
a M
2
4
F1=10kN M
…… s podporami
e
2
Raz=34
osa nosníku
F3=2kN
b
…… bez podpor, jen síly
2 Rbz=18 ohybové momenty M se vynášejí na stranu tažených vláken, u nosníku nahoru záporné, dolů kladné hodnoty 40
Schwedlerovy vztahy Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové úloze
Směr působení vnitřních sil V
+
M
Kladné směry vnitřních sil:
M n
N
N
x2
x
x1
N
N+dN
V
z x V
-
M
Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:
M
Rx = 0: N
-N + (N+dN) + n.dx = 0
N
→
V
dN = −n dx
41
Schwedlerovy vztahy – Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze
42
Závěry ze Schwedlerových vztahů – extrémní hodnoty vnitřních sil
Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:
q
V
Johann Wilhelm Schwedler (1823-1894) významný německý inženýr
Rz = 0: -V + (V+dV) + q.dx = 0 →
M
M+dM x2
z
x
x
Σ Mi,x2 = 0: V+dV
dx
-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0
→
pro m=0: dM 3. =V dx
dV 2. = −q dx
dV = −q dx
x1 m
dN 1. = −n dx
dM =V −m dx
Extrém funkce f(x):
dV = −q dx
Extrém posouvajících sil V je v průřezu, kde q=0
pro m=0:
Extrém ohybových momentů → dM =V = 0 M je v průřezu, kde V=0 dx nebo mění znaménko
dM =V dx
dM =V pro m=0: dx 43
df ( x ) =0 dx
Závěry:
→ dV dx
= −q = 0
integrace
dQ = q.dx
Schwedlerovy vztahy
Derivačně – integrační schéma
-q V M
derivace
Záporné směry vnitřních sil:
dx
44
Shrnutí - určení extrémních hodnot vnitřních sil →
Extrém M v průřezu, kde V=0 nebo mění znaménko
Závěry: dV = −q dx 1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech
dM =V dx
2. místa extrému u V(x) a M(x)
-q V M
derivace
dM =V = 0 dx
integrace
Extrém M může vzniknout: a) v podporových bodech b) v působištích osamělých sil (znaménko V se mění skokem) c) pod spojitým zatížením v místě, kde je V=0
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil
n = nebezpečný (kritický) průřez 1º
+ 0º
-
n
V
n
+
+
+
M
1º
2º
Mmax
Mmax
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103 45
46
příklad 1 – normálové síly
Pravidla, která je nutno dodržet při řešení vnitřních sil q = 3 kN/m Rax c
a N
Raz 7,35
n
d
Rbz
=0 xnL
V
b
xn P
n 1°
-13,65 M 1°
2°
22,05
(29,4)
Mmax = 31,05 kNm Výpočet reakcí dodržet všechna pravidla: 3 podmínky rovnováhy + 1 kontrolní, zřetelné značení skutečného směru
Vnitřní síly - vykreslit schéma pro všechny 3 vnitřní síly (i nulové) - N,V kladné nad osu, M na stranu tažených vláken - vlevo od každého schématu označit, o kterou vnitřní sílu se jedná. Značení v kroužku, např. N - v každém obrazci zřetelné znaménko vnitřní síly - obrazce buď šrafovat kolmo na osu nosníku nebo ponechat prázdné - značení stupňů polynomů - značení bodu, kde se mění stupeň polynomů (bod c) - všechny potřebné hodnoty vnitřních sil do obrázku: v místě změny zatížení (bod c), minimálně 1 hodnota M v poli pod spojitým zatížením (bod d), extrémní moment - označit a okótovat místo nebezpečného průřezu - u V,N stačí potřebné hodnoty v obrázku, nejsou nutné rovnice výpočtu - výpočet polohy nebezpečného průřezu - nutná rovnice - výpočet momentů – pro všechny hodnoty nutné rovnice 47
Pz = 35 kN Rax= 60,62kN a
c
P = 70 kN
+ hodnoty kreslit nad osu
b
zleva:
+
Px = 60,62 kN 4 6
Raz= 23,33kN
a
+
60°
2
Rax
+
Rbz = 11,67kN
b
c Px
zprava:
+
N
48
příklad 1 – ohybové momenty
příklad 1 – posouvající síly +
P = 70 kN
Pz = 35 kN
+ + hodnoty kreslit nad osu
60°
Rax= 60,62kN a c 2
Raz= 23,33kN
Pz = 35 kN
Rax
a c
b Px = 60,62 kN 4
lac = 2 zleva:
+
c Rbz
zprava:
+
+
- 11,67
b
Raz
zleva: Rbz
23,33
+ a
c
lbc = 4
6
V
Pz = 35 kN a
oh.momenty vynášet na stranu tažených vláken (dole + znaménko) b
Px = 60,62 kN
Raz
Rbz = 11,67kN
6
P = 70 kN 60°
Raz
b Pz = 35 kN
zprava:
Rbz
+
V
M
+
49
příklad 3
příklad 2 xL
zadání
Ma = 31,82kNm
x Ma=31,82kNm
Rax= 6,36kN
a
zleva: - úsek ac
xP 45° P = 9kN
Pz=6,36
Raz = 6,36kN
b
b
xL (zleva) a
Raz = 0,333kN
M = 3kNm
xP (zprava)
c
6
b
3
Rbz=0,333kN
9 Px=6,36
- úsek cb
5
5
Raz=6,36kN
řešení
Rax = 6,36kN
45° P = 9kN
a
50
N
N
=0
V
-0,333
zprava: - úsek cb V
Mca = -2 M
- úsek ca M 51
(- Raz . x)
Mcb =1 v bodě c počítat hodnotu momentu 2krát!!! – tzv. momentový skok, 2 hodnoty v 1 bodě
52
Okruhy problémů k ústní části zkoušky •
Zatížení nosných stavebních konstrukcí
•
Zajištění nehybnosti prutu, kinematická a statická určitost, neurčitost, přeurčitost, stupeň statické neurčitosti
•
Typy podpor, složky reakcí ve vnějších vazbách
•
Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů
•
Výpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku
•
Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerovy vztahy, využití
•
Určení extrémních hodnot vnitřních sil
53
