Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal

Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8

M. van der Pijl

Transfer Database

ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulenhoff.nl of via onze klantenservice (088) 800 20 16. © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2013. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet j o het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.cedar.nl/pro). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

1

Rekenen met goniometrische eenheden

1

1.1 1.2 1.3 1.4

De eenheidscirkel Het verband tussen sinus, cosinus en tangens Radialen Het decimale hoekstelsel

1 4 9 16

2

Grafieken van goniometrische verbanden

2.1 2.2

Het tekenen van de grafiek van de sinus, de cosinus en de tangens Grafieken met radialen

3

Formules opstellen bij goniometrische grafieken

3.1

Formules opstellen van goniometrische functies

4

Sinusregel en cosinusregel

4.1 4.2

Sinusregel Cosinusregel

26 26 29 54 54 63 63 67

1


1 De eenheidscirkel In figuur 1 is een rechthoekige driehoek getekend die een schuine zijde heeft met een lengte 1. Deze driehoek noemen we de eenheidsdriehoek. C

SZ = 1

OR

α A

AR

B

Figuur 1

OR = overstaande rechthoekzijde AR = aanliggende rechthoekzijde SZ = schuine zijde In deze eenheidsdriehoek geldt: sin α =

OR OR AR AR = = OR en cos α = = = AR SZ 1 SZ 1

In figuur 2a beweegt de lijn met de pijl zich tegen de wijzers van de klok in omhoog tot hij een hoek van 90° maakt met het horizontale vlak. In figuur 2b is te zien dat de lijn met de pijl te beschouwen is als de straal van een cirkelsector waarvan de middelpuntshoek achtereenvolgens 15°, 30°, 45°, 60°, 75° en 90° is. De lengte van de straal is 1.

© ThiemeMeulenhoff — 8 april 2013

2

90o 1,0


y-as 90o 1,0

75o

75o

60o

60o

0,8

0,8

45o

0,6

0,6

30o

0,4

30o

0,4 15o

0,2 0

45o

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0o

Figuur 2a

15o

sin 15o 0,2 0

r=1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0o x-as 1,0 o cos 15

Figuur 2b

Vanuit het punt op de cirkelomtrek waar de middelpuntshoek 15° is, is een hoogtelijn getekend. Hierdoor ontstaat een rechthoekige driehoek. Zie figuur 2b. Hier geldt: sin α =

OR OR y = = =y r 1 1

Met een eenheidsdriehoek kunnen we dus de sinus van een hoek aflezen op de verticale as. Vb. 1

We willen de sinus van 15° bepalen met een eenheidsdriehoek. Gegeven: eenheidsdriehoek met α = 15° . Gevraagd: sin15° . Oplossing: we lezen af: sin 15° = 0, 26 . Controle met de rekenmachine: sin 15° = 0, 259 . Zo kan de cosinus worden afgelezen op de horizontale as, omdat geldt: cos α =

AR AR x = = =x r 1 1

We willen de cosinus van 15° bepalen met een eenheidsdriehoek. Gegeven Eenheidsdriehoek met α = 15° . Gevraagd cos15° Oplossing We lezen af: cos 15° = 0, 97 . Controle met de rekenmachine: cos 15° = 0, 966 .



3

Oefeningen

1 Bepaal met behulp van figuur 2b de onderstaande waarden: a sin 0° =

b

sin30° =

c

sin 45° =

d

sin60° =

e

sin90° =

f

cos 0° =

g

cos 30° =

h

cos 45° =

i

cos 60° =

j

cos 90° =


4


2 Het verband tussen sinus, cosinus en tangens Uit oefening 1 kunnen we twee regels afleiden, namelijk: sin α = cos(90° − α) en cos α = sin(90° − α)

Oefeningen

2 Bereken de volgende hoeken: a sin 0° = cos....

b

sin 30° = cos....

c

sin 45° = cos....

d

sin 60° = cos....

e

sin 90° = cos....

3 Bereken α : a cos(90° − α) = 0, 906

b

sin(90° − α) = 0, 588

c

cos(90° − α) = 0, 259

d

sin(90° − α) = 0, 731


5


e

cos(90° − α) = 0, 966

In figuur 3 is de cirkelsector uit figuur 2 aangevuld tot een hele cirkel met r = 1 . Deze cirkel noemen we de eenheidscirkel. Het middelpunt is het punt (0 , 0) ; de omtrek is 2π . Deze eenheidscirkel is verdeeld in vier kwadranten: › I van 0° tot 90° ; › II van 90° tot 180° ; › III van 180° tot 270° ; › IV van 270° tot 360° . 90o 1,0

105o 120o

75o 60o

0,8

135o

45o

0,6

150o

II

165o

30o

I

0,4

15o

0,2 180o -1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,4

0,2

0,6

0,8

-0,2

195o

III

210o

-0,4

IV 330o 315o

-0,8 240o 255o

-1,0 270o

0o/ 360o

345o

-0,6 225o

1,0

300o 285o

Figuur 3

De sinus van een hoek wordt net als bij oefening 1 steeds afgelezen op de verticale as. De cosinus op de horizontale as. Als de draairichting tegen de wijzers van de klok in gaat, zijn de hoeken positief. Met de wijzers van de klok mee, noemen we de hoeken negatief. Dus: +300° = –60° .


6


Oefeningen

4 Maak de juiste rondjes zwart.

Sinus

Cosinus

Kwadrant 1 verticaal horizontaal positief negatief verticaal horizontaal positief negatief




Tabel 1

5 Bepaal met behulp van figuur 3: a sin140°

b

sin(–30°)

c

sin250°

d

sin330°

e

sin75°

f

sin360°

g

cos140°



7

cos(–120°)

h

i

cos 270°

j

cos 230°

k

cos 330°

l

cos 45°

6 In welk kwadrant liggen de hoeken van: a sin140°

b

sin(–30°)

c

sin250°

d

sin330°

e

sin75°

f

sin360°


8


g

cos140°

h

cos(–120°)

i

cos 270°

j

cos 230°

k

cos 330°

l

cos 45°

Tussen sinus, cosinus en tangens bestaat een verband. Dit verband drukken we uit in de volgende formule: tan α =

sin α cos α

Oefeningen

7 Maak de tabel compleet voor de tangens.

Sinus Cosinus Tangens

kwadrant 1 positief positief

kwadrant 2 positief negatief

kwadrant 3 negatief negatief

kwadrant 4 negatief positief

Tabel 2


9


3 Radialen In de techniek drukken we de grootte van een hoek vaak uit in radialen in plaats van in graden. De eenheid radiaal korten we meestal af tot rad . We gaan nu het verband tussen hoeken en radialen bekijken. De grootte van een middelpuntshoek α is 1 radiaal als de bijbehorende booglengte even groot is als de straal. Zie figuur 4. B boog AB = r

r

α = 1 rad M

r

A

Figuur 4

De lengte van de cirkelboog AB kunnen we berekenen met de formule: AB =

α ⋅2⋅ π⋅r 360

Daarbij moeten we α in graden uitdrukken! › Als we α in radialen uitdrukken, geldt: α = 1 rad als boog AB = r ; α = 2 rad als boog AB = 2 ⋅ r ; α = 3 rad als boog AB = 3 ⋅ r ; α = 2π rad als boog AB = 2π ⋅ r . Voor α in radialen geldt blijkbaar voor de lengte van de cirkelboog AB de volgende formule: AB = α ⋅ r Vb. 2

We willen de booglengte AB berekenen van een cirkelsector met een straal van 1 m en een middelpuntshoek van 0, 5 rad . Gegeven r = 1 m en α = 0, 5 rad Gevraagd AB Oplossing AB = α ⋅ r ⇒ AB = 0, 5 rad × 1 m = 0, 5 m


10


Oefeningen

8 Hoe groot is de booglengte AB als r = 1 m en: a α = 1 rad

b

α = 2 rad

c

α = 3 rad

d

α = 2π rad

We hebben gezien dat de grootte van de middelpuntshoek in de eenheidscirkel 2π rad is als de booglengte gelijk is aan 2π . Deze booglengte komt overeen met de omtrek van de hele eenheidscirkel, want: omtrek = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 × π × 1 = 2π De middelpuntshoek van een volledige cirkel is echter ook 360° . Hieruit volgt dus dat 360° overeenkomt met 2π rad , ofwel dat 180° overeenkomt met π rad . Dit noteren we als volgt: 360° 2π rad , ofwel 180° π rad . Nu we het verband tussen graden en radialen weten, kunnen we ze eenvoudig in elkaar omrekenen: 180° π rad ⇒ 1°

π rad 180

π , krijgen we het aantal Dus door het aantal graden te vermenigvuldigen met 180 radialen. π rad = 180° ⇒ 1 rad =

180 °. π

180 Door het aantal radialen te vermenigvuldigen met , krijgen we de hoek in π graden.


11


We willen een hoek van 1, 5 rad omrekenen in graden en een hoek van 32° in radialen.

Vb. 3

Gegeven a. α = 1, 5 rad b. β = 32° Gevraagd a. α in graden b. β in radialen Oplossing a. α = 1, 5 rad ⇒ α 1, 5 ×

b. β = 32° ⇒ β 32 ×

180 = 85, 9° π

π = 0, 56 rad 180

9 Reken de volgende hoeken om van graden naar radialen: a 48°

b

124°

c

270°

d

90°

e

225°

f

330°


12


10 Reken de volgende hoeken om van radialen naar graden: a α = 0, 78 rad

b

α = 0, 5 rad

c

α = 0, 5π rad

d

α = 0, 33π rad

e

α = 5 rad

f

α = 4, 42 rad

Als we met onze rekenmachine de sinus, cosinus of tangens van een hoek willen berekenen, moeten we eerst controleren of onze rekenmachine op de juiste eenheid ingesteld staat. Als we moeten rekenen met graden, moet de rekenmachine ingesteld staan op (DEG). Werken we in radialen, dan zetten we de rekenmachine op RAD. Met de rekenmachines van CASIO werkt dit als volgt: Onze rekenmachine staat normaal op graden (DEG). We stellen onze machine in op radialen met mode mode [2] . We kunnen hem altijd opnieuw op graden instellen met mode mode [1] . Werken we met een rekenmachine van TI, dan stellen we onze machine in op radialen met: DRG, kiezen vervolgens met de cursortoets voor RAD en eindigen met =. We kunnen hem opnieuw op graden instellen door: DRG, kiezen voor DEG en eindigen met =.



13

Oefeningen

11 Bereken in 3 decimalen nauwkeurig: a sin 2, 34

b

1 sin1 π 4

c

cos 83°

d

cos128°

e

tan 0, 25π

f

tan 1, 05

g

sin335°

h

sin 45°

i

cos 5, 67

j

cos 2, 25π


14


k

tan60°

l

tan150°

Vb. 4

Gegeven a. sin α = 0, 356 b. cos α = 0, 342 c. tan α = –2, 345 Gevraagd a. Bereken α in radialen. b. Bereken α in radialen. c. Bereken α in radialen. Oplossing 1,0

y

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

π 6

π 3

π 2

2π 5π 3 6

π

7π 4π 6 3

3π 5π 11π 2 3 6

x 2π

-0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Figuur 5


15


1,0

y

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

π 6

π 3

π 2

2π 5π 3 6

π

7π 4π 6 3

3π 5π 11π 2 3 6

x 2π

-0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Figuur 6

a. sin α = 0, 356 , α = 0, 36 rad of α = π − 0, 36 = 2, 78 rad . Zie figuur 5. b. cos α = 0, 342 , α = 1, 22 rad of α = 2π − 1, 22 = 5, 06 rad . Zie figuur 6. c. tan α = –2, 345 , α = –1, 17 rad

Oefeningen

12 Bereken α in radialen. a sin α = 0, 825

b

sin α = –0, 5

c

sin α = –0, 866

d

sin α = 0, 532

e

cos α = 0, 4

f

cos α = –0, 866


16


g

cos α = 0, 024

h

cos α = –0, 5

i

tan α = 1, 138

j

tan α = –1, 138

k

tan α = 1

4 Het decimale hoekstelsel Bij het landmeten gebruiken we meestal nog een andere hoekmaat. Het hoekstelsel met een rechte hoek van 90° blijkt niet handig in de praktijk. Daarom is in de landmeetkunde het decimale hoekstelsel ingevoerd met als eenheid de gon . In het decimale hoekstelsel is een rechte hoek niet 90 graden, maar 100 gon . De middelpuntshoek van een cirkel is daarom geen 360 graden, maar 400 gon . Dus: 90° 100 gon waaruit volgt dat: 360° 400 gon Bij het omrekenen van graden naar gon gebruiken we de formule:

α × 400 gon . 360°

400 , krijgen we de hoek in gon . 360 α × 360° . Bij het omrekenen van gon naar graden draaien we de zaak om: 400 gon 360 Door het aantal gon te vermenigvuldigen met krijgen we de hoek in graden. 400 Door het aantal graden te vermenigvuldigen met

Zoals we geleerd hebben, moeten we de rekenmachine instellen op DEG als we de sinus of cosinus van een hoek in graden willen berekenen. Als de hoeken in radialen zijn gegeven, stellen we de rekenmachine in op RAD. Op de meeste wetenschappelijke rekenmachines vinden we behalve deze twee insteltoetsen nog een derde toets: de GRA-toets bij CASIO-machines of de GRD-toets bij TI-rekenmachines. Deze instelling hebben we nodig als we de sinus, cosinus of tangens van een hoek in gon willen berekenen.


17


Met de rekenmachines van CASIO werkt dit als volgt: Onze rekenmachine staat normaal op graden (DEG). We stellen onze machine in op gon met mode mode [3] . We kunnen hem altijd opnieuw op graden instellen met mode mode [1] . Werken we met een rekenmachine van TI, dan stellen we onze machine in op gon met: DRG, kiezen voor GRD en bevestigen met =. We kunnen opnieuw op graden instellen met: DRG, kiezen voor DEG en bevestigen met =. In het volgende overzicht staat aangegeven hoe we in de verschillende hoekstelsels de sinus van een rechte hoek berekenen: Hoek:

Bereken:

Rekenmachine op:

Intoetsen:

Uitkomst:

90°

sin 90

DEG

sin [90]

1

100 gon

sin100

GRA of GRD

sin[100]

1

1 π rad 2

1 sin π 2

RAD

sin ([0,5] x[ ])

1

Tabel 3

Tip: als de rekenmachine geen GRA of GRD-toets heeft, zoals de grafische rekenmachine TI-83/84, rekenen we de hoeken in gon eerst om naar graden. Vervolgens bepalen we daarvan de sinus, cosinus of tangens. Vb. 5

We willen een hoek α van 60° omrekenen in gon . Gegeven α = 60° Gevraagd α in gon Oplossing α = 60° ⇒ α 60 ×

400 = 66, 7 gon 360


18


Oefeningen

13 Reken om van graden naar gon : a 180° =

b

330° =

c

35° =

d

75° =

e

275° =

f

145° =

Vb. 6

We willen een hoek α van 60 gon omrekenen in graden. Gegeven α = 60 gon Gevraagd α in graden. Oplossing 60 gon

60 gon × 360° = 54° 400 gon



14 Reken om van gon naar graden: a 380 gon =

b

65gon =

c

240 gon =

d

150 gon =

e

200 gon =

f

80 gon =

19

15 Bereken: a sin30°

b

cos125°

c

tan75°

d

sin60 gon

e

cos140 gon


20


f

tan330 gon

g

sin 0, 3π

h

cos π

i

tan3

Vb. 7

Gegeven We willen de hoek α in gon berekenen als: a. sin α = 0, 356 b. cosα = 0, 342 c. tan α = –2, 345 Gevraagd a. α in gon b. α in gon c. α in gon Oplossing a. sin α = 0, 356 ⇒ α = 23, 2gon of α = 200 gon − 23, 2 gon = 176, 8 gon (in plaats van 180° − α ) b. cos α = 0, 342 ⇒ α = 77, 8 gon of α = 400 gon − 77, 8 gon = 322, 2 gon (in plaats van 360° − α ) c. tan α = –2, 345 ⇒ α = – 74, 3 gon

Oefeningen

16 Bereken α in gon : a sin α = 0, 564

b

cos α = –0, 372



c

tan α = 0, 451

d

sin α = 0, 751

e

cos α = 0, 893

f

tan α = –0, 257

21


22


Antwoorden

1a 0 b 0, 5 c 0, 7 d 0, 87 e 1 f 1 g 0, 87 h 0, 7 i 0, 5 j 0

2a 90° b 60° c 45° d 30° e 0°

3a α b α c α d α e α

= 72, 2° = 60, 0° = 16, 7° = 47, 8° = 83, 4°

4 Sinus

Cosinus





Tabel 3

5a 0, 64 b –0, 5 c –0, 94 d –0, 5 e 0, 96 f 0 g –0, 77 h –0, 5 i 0 j –0, 64


23


k l

0, 87 0, 7

6a kwadrant 2 b k wadrant 4 c k wadrant 3 d k wadrant 4 e k wadrant 1 f k wadrant 1 g k wadrant 2 h k wadrant 2 i k wadrant 4 j k wadrant 3 k k wadrant 4 l k wadrant 1

7 Sinus Cosinus Tangens

kwadrant 1 positief positief positief

kwadrant 2 positief negatief negatief

kwadrant 3 negatief negatief positief

kwadrant 4 negatief positief negatief

Tabel 4

8a 1 m b 2 m c 3 m d 6, 28 m

9a 0, 84 rad b 2, 16 rad c 4, 71 rad d 1, 57 rad e 3, 93 rad f 5, 76 rad

10a 45° b 28, 8° c 90° d 59, 4° e 286, 2° f 253, 8°

11a 0, 718 b –0, 707 c 0, 122 d –0, 616 e 1


24

f g h i j k l


1, 743 –0, 423 0, 707 0, 818 0, 707 1, 732 –0, 577 = 0, 97 rad of α = 2, 17 rad = –0, 52 rad of α = 3, 66 rad = –1, 05 rad of α = 4, 19 rad = 0, 56 rad of α = 2, 58 rad = 1, 16 rad of α = 5, 12 rad = 2, 62 rad of α = 3, 66 rad = 1, 55 rad of α = 4, 73 rad = 2, 09 rad of α = 4, 19 rad = 0, 85 rad = –0, 85 rad = 0, 79 rad

12a α b α c α d α e α f α g α h α i α j α k α

13a 200 gon b 38, 9 gon c 305, 6 gon d 366, 7 gon e 83, 3 gon f 161, 1 gon

14a 342° b 58, 5° c 216° d 135° e 180° f 72°

15a 0, 5 b –0, 574 c 3, 732 d 0, 809 e –0, 588 f –1, 963 g 0, 809 h –1 i –0, 143



25

16a 38, 1 gon of 161, 9 gon b 124, 3 gon of 275, 7 gon c 27, 0 gon d 54, 1 gon of 145, 9 gon e 29, 7 gon of 270, 3 gon f –16, 0 gon


2


1 Het tekenen van de grafiek van de sinus, de cosinus en de tangens We beginnen met het tekenen van de grafiek van de sinus, dus y = sin x . Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een x -as en een y -as. Vervolgens stellen we een tabel op waarin we voor een aantal waarden voor x de bijbehorende y berekenen. We nemen hierin voor x het interval [0°; 360°] met steeds stappen van 30°. De bijbehorende y -waarde kunnen we met onze rekenmachine berekenen. Let op dat onze rekenmachine op graden (DEG) staat ingesteld. 0° 0

30° 0, 5

60° 0, 866

210° –0, 5

240° 270° –0, 866 –1

90° 1

120° 0, 866

300° 330° –0, 866 –0, 5

150° 0, 5

180° 0

360° 0

Tabel 1

De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 1. 1,5

y

1,0 0,5 0 -0,5

60o

120o

180o

240o

300o

x 360o

-1,0 -1,5 Figuur 1


27


Op dezelfde wijze kunnen we ook de grafiek van de cosinus tekenen. Vb. 1

Teken de grafiek van y = cos x op het interval [0°; 360°] . Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een x-as en een y-as. Daarna maken we een tabel om bij de x-waarden de waarde voor y te berekenen. 0°

30°

60°

90°

120°

150°

1

0, 866

0, 5

0

–0, 5

–0, 866 –1

210°

240°

270°

300°

330°

360°

0

–0, 5

0, 866

1

–0, 866 –0, 5

180°

Tabel 2

De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 2. 1,5

y

1,0 0,5 0

60o

-0,5

120o

180o

240o

x 360o

300o

-1,0 -1,5 Figuur 2

We vervolgen met de grafiek van de tangens. Vb. 2

Teken de grafiek van y = tan x op het interval [0°; 360°] . Eerst tekenen we weer een assenstelsel met een x-as en een y-as. Daarna maken we een tabel om bij de x-waarden de waarde voor y te berekenen. 0°

30°

60°

90°

120°

150°

180°

0

0, 577

1, 732

-

–0, 732 –0, 577 0

210°

240°

270°

300°

330°

0, 577

1, 732

-

–0, 732 –0, 577 0

360°

Tabel 3


28


Als we met onze rekenmachine tan90° en tan270° berekenen, krijgen we geen uitkomst (Math ERROR). Met andere woorden: deze waarde valt niet te berekenen. We zeggen ook wel dat tan90° en tan270° onbepaald zijn. De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 3. 8

y

6 4 2 0

60o

-2

120o

180o

240o

300o

x 360o

-4 -6 -8 Figuur 3

In de volgende paragraaf zullen we werken met radialen in plaats van graden. Let op dat bij alle berekeningen onze rekenmachine nu op radialen moet zijn ingesteld. Voor het verband tussen graden en radialen geldt: 360° = 2·π radialen. Met dit verband kunnen we de volgende tabel opstellen: graden

radialen

graden

0°

0

210°

30° 60° 90° 120° 150° 180°

1 π = 0, 52 6 1 π = 1, 05 3 1 π = 1, 57 2 2 π = 2, 09 3 5 π = 2, 62 6

240° 270° 300° 330° 360°

radialen 1 1 π = 3, 67 6 1 1 π = 4, 19 3 1 1 π = 4, 71 2 2 1 π = 5, 24 3 5 1 π = 5, 76 6 2π = 6, 28

π =3, 14

Tabel 4


29


2 Grafieken met radialen

Vb. 3

Teken de grafiek van y = sin x op het interval [0; 2π] . Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een x -as en een y -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x -waarden de waarde van y uitrekenen. 1 De term π benaderen we door 0, 52 om deze x -waarde op de getallenlijn te 6 kunnen tekenen. Voor het berekenen van de bijbehorende y -waarde moeten we sin ( π / 6 ) = intypen! 1 1 1 2 5 π = 0, 52 π = 1, 05 π = 1, 57 π = 2, 09 π = 2, 62 π = 3, 14 6 3 2 3 6

x

0

y

0 0,5

0, 866

1

0, 866

0, 5

0

1 2 5 1 1 x 1 π = 3, 67 1 π = 4, 19 1 π = 4, 71 1 π = 5, 24 1 π = 5, 76 2π = 6, 28 6 3 6 3 2 y –0, 5 –0, 866 –1 –0, 866 –0, 5 0 Tabel 5

De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 4. 4

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 4


30

Vb. 4


Bereken: sin x = 0, 6 We berekenen dit op de volgende manier met de rekenmachine: 1. We stellen onze rekenmachine in op radialen. 2. We typen in: SHIFT sin [0.6] = met als afgerond resultaat 0, 64 . 4

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 5

In figuur 5 zien we dat de grafieken y = sin x en y = 0, 6 nog een tweede snijpunt x2 hebben. Dat tweede snijpunt x2 kunnen we als volgt berekenen: x2 = π − 0, 64 = 2, 50 . Tussen 0 en 2π vinden we dus de antwoorden: x1 = 0, 64 rad en x2 = 2, 50 rad . Omdat y = sin x een periodieke functie is en y = 0, 6 een horizontale lijn, zijn er oneindig veel uitkomsten. Dezelfde antwoorden komen steeds na 2π terug. Die waarde 2π noemen we de periode. Alle oplossingen kunnen we daarom kortweg noteren als: x1 = 0, 64 rad + k ⋅ 2π en x2 = 2, 50 rad + k ⋅ 2π . Daarbij is k een willekeurig geheel getal. Voor k = 0 vinden we x1 = 0, 64 rad + 0 × 2π = 0, 64 rad of x2 = 2, 50 rad + 0 × 2π = 2, 50 rad . Voor bijvoorbeeld k = 1 vinden we x3 = 0, 64 rad + 1 × 2π = 6, 92 rad of x4 = 2, 50 rad + 1 × 2π = 8, 78 rad . We controleren die laatste oplossing: sin 8, 78 rad = 0, 60 , en dat klopt! Dus als we voor de vergelijking sin x = a met onze rekenmachine een oplossing α vinden, geldt: x1 = α + k ⋅ 2π of x2 = (π − α) + k ⋅ 2π . Het is handig om bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen de grafiek van de betreffende goniometrische functie op het interval [0; 2π] te schetsen. Op deze manier zien we eenvoudig hoe we aan de tweede oplossing moeten komen zonder een formule te onthouden.



31

Oefeningen

1 Los de volgende vergelijkingen op: a sin x = 0, 866

b

sin x = 0, 2

c

sin x = 1

d

sin x = –0, 5

e

sin x = 0

f

sin x = –0, 3

g

sin x = –0, 65


32

Vb. 5


Teken de grafiek van y = cos x op het interval [0; 2π] . Eerst tekenen we een assenstelsel met een x -as en een y -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x -waarden de waarde van y uitrekenen. 5 1 1 2 1 π = 2, 62 π = 3, 14 π = 0, 52 π = 1, 05 π = 2, 09 π = 1, 57 6 6 3 3 2

x 0

y 1 0, 866

0, 5

0

–0, 5

–0, 866

–1

1 2 1 5 1 x 1 π = 3, 67 1 π = 4, 19 1 π = 4, 71 1 π = 5, 24 1 π = 5, 76 2π = 6, 28 3 3 6 6 2 y –0, 866 –0, 5 0, 5 0, 866 0 1 Tabel 6


y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 6


33


Vb. 6

Bereken: cos x = 0, 4 We gaan dit op de volgende manier met de rekenmachine berekenen: We controleren of onze rekenmachine op radialen staat. Vervolgens typen we in: SHIFT resultaat 1, 16 . 4

cos [0.4] =

met als afgerond

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 7

In figuur 7 zien we dat het eerste snijpunt van de grafieken y = cos x en y = 0, 4 een x -waarde heeft van 1, 16 . Ook hier zien we een tweede snijpunt, dat we als volgt berekenen: x2 = 2π − 1, 16 = 6, 28 − 1, 16 = 5, 12 . De antwoorden zijn: x1 = 1, 16 rad of x2 = 5, 12 rad . Omdat y = cos x een periodieke functie is en y = 0, 4 een horizontale lijn is, zijn ook hier weer oneindig veel uitkomsten. Dezelfde antwoorden komen steeds na 2π terug. Dit noteren we als: x1 = 1, 16 rad + k ⋅ 2π of x2 = 5, 12 rad + k ⋅ 2π . Dus als we voor de vergelijking cos x = a met onze rekenmachine een oplossing α vinden, geldt: x1 = α + k ⋅ 2π of x2 = (2π − α) + k ⋅ 2π .


34


Oefeningen

2 Los de volgende vergelijkingen op: a cos x = 0, 6

b

cos x = 0, 3

c

cos x = 0

d

cos x = –1

e

cos x = –0, 866

f

cos x = –0, 6

g

cos x = –0, 25


35


Vb. 7

Teken de grafiek van y = tan x op het interval [0; 2π] . Eerst tekenen we een assenstelsel met een x -as en een y -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x -waarden de waarde van y uitrekenen. 0 x

1 π = 0, 52 6

y 0 0,577

1 π = 1, 05 3

1 π = 1, 57 2

2 π = 2, 09 3

5 π = 2, 62 6

–π = 3, 14

1, 732

-

–1, 732

–0, 577

0

2 5 1 1 1 x 1 π = 3, 67 1 π = 4, 19 1 π = 4, 71 1 π = 5, 24 1 π = 5, 76 2π = 6, 28 3 6 3 6 2 y 0, 577 1, 732 –1, 732 –0, 577 0 Tabel 7


y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 8


36

Vb. 8


Bereken: tan x = 1, 25 We berekenen dit op de volgende manier met de rekenmachine: We controleren of onze rekenmachine op radialen staat. tan [1, 25] = met als afgerond

Vervolgens typen we in: SHIFT resultaat 0, 90 . 4

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 9

In figuur 9 zien we dat het eerste snijpunt van de grafieken y = tan x en y = 1, 25 een x -waarde heeft van 0, 90 . Het tweede snijpunt kunnen we als volgt berekenen: x2 = 0, 90 + π = 0, 90 + 3, 14 = 4, 04 . Omdat y = tan x een periodieke functie is en y = 1, 25 een horizontale lijn is, zijn er ook hier weer oneindig veel uitkomsten. Het verschil met de sinus en cosinus is dat hier dezelfde antwoorden niet na 2π , maar steeds na π terugkomen. De tangens heeft dus een periode van π . We kunnen daarom de oplossingen, x1 = 0, 90 rad + k ⋅ 2π of x2 = 4, 04 rad + k ⋅ 2π combineren en kortweg schrijven als x = 0, 90 rad + k ⋅ π . Dus als tan x = a , dan is x = α + k ⋅ π .

Oefeningen

3 Los de volgende vergelijkingen op. a tan x = 0, 3

b

tan x = 5


37


c

tan x = 1

d

tan x = –1

e

tan x = –0, 866

f

tan x = –1, 6

g

tan x = –0, 2

Vb. 9

Teken de grafiek van y = sin2 x op het interval [0; 2π] . Eerst tekenen we een assenstelsel met een x-as en een y-as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x-waarden de waarde van y uitrekenen.

x 0

1 π = 0, 52 6

y 0 0, 866

1 π = 0, 79 4

1 π = 1, 05 3

1 π = 1, 57 2

1

0, 866

0

2 π = 2, 09 3

3 π = 2, 36 4

5 π = 2, 62 6

π = 3, 14

–0, 866

–1

–0, 866

0

Tabel 8


38



y

1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 Figuur 10

We zien nu op het interval [0; 2π] twee sinussen getekend dus een volledige sinusgolf op het interval [0; π] . De periode is in dit geval π .

Oefeningen

4 Teken de grafieken van de volgende functies op het interval  0, 2π  .

a

b

c

y = sin3 x 1 y = sin x 2 y = sin 4 x

d

y = cos 0, 5 x

e

y = cos 3 x

f

y = cos 2, 5 x

g

y = tan2 x

h

y = tan 0, 5 x

i

y = sin 1, 5 x

j

y = cos 4 x


39


We hebben gezien dat y = sin x en y = cos x een periode hebben van 2π . De periode van y = tan x is π . Als we een getal voor de x zetten, zoals bij y = sin3 x , zal ook de periode veranderen. Vb. 10

Los de volgende vergelijking op: sin 4 x = 0, 5 Oplossing We gebruiken de grafiek van oefening 4c. Zie figuur 11. 2

y

1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 Figuur 11

4 x1 = 0, 52 rad + k ⋅ 2π of 4 x2 = π − 0, 52 = 3, 14 − 0, 52 = 2, 62 rad + k ⋅ 2π ⇒ (delen door 4 ). x1 = 0, 13 rad + k ⋅ 0, 5π of x2 = 0, 66 + k ⋅ 0, 5π π Zoals we ook aan de grafiek zien, is de periode van y = sin 4 x gelijk aan . 2

Oefeningen

5 Los de volgende vergelijkingen op: a cos 3 x = 0, 6

b

1 tan x = 1 2


40


c

1 sin x = 0, 866 3

d

cos 2, 5 x = –0, 5

e

sin 3 x = –0, 866

f

tan 2 x = 1, 732

g

sin 0, 5 x = –1

h

cos 0, 25 x = –1


41


Vb. 11

Teken de grafiek van y = 2sin x op het interval [0; 2π] en bereken 2 sin x = 1, 5 Eerst tekenen we een assenstelsel met een x -as en een y -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x -waarden de waarde van y uitrekenen. x 0

5 1 1 2 1 π = 2, 62 π = 3, 14 π = 1, 05 π = 1, 57 π = 2, 09 π = 0, 52 6 3 2 3 6

y 0 1

1, 732

1, 732

2

0

1

2 1 5 1 x 1 π = 3, 67 1 π = 4, 19 1 1 π = 4, 71 1 π = 5, 24 1 π = 5, 76 2π = 6, 28 3 3 6 6 2 y –1

–1, 732

–2

–1, 732

–1

0

Tabel 9

De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 12. y 2 1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 Figuur 12

2 sin x = 1, 5 ⇒ (links en rechts delen door ) sin x = 0, 75 ⇒ x1 = 0, 85 en x2 = π − 0, 85 = 3, 14 − 0, 85 = 2, 29 x1 = 0, 85 rad + k ⋅ 2π en x2 = 2, 29 rad + k ⋅ 2π We zien dat door het getal 2 voor de sinusfunctie de y -waarden zijn verdubbeld, de periode blijft onveranderd 2π .


42


Oefeningen

6 Bereken: a 1, 5 sin x = 1

b

2 cos x = 1, 5

c

0, 5 tan x = 1

Vb. 12

1 Teken de grafiek van f ( x) = sin( x − π) op het interval [0; 2π] en bereken 3 1 sin( x − π) = 0, 6 . 3 Eerst tekenen we een assenstelsel met een x -as en een y -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x -waarden de waarde van y uitrekenen. x 0

1 2 1 5 1 π = 1, 57 π = 2, 09 π = 0, 52 π = 1, 05 π = 2, 62 π = 3, 14 2 3 6 6 3

y –0, 866

–0, 5

0

0, 5

0, 866

1

0, 866

2 1 1 1 5 x 1 π = 3, 67 1 π = 4, 19 1 π = 4, 71 1 π = 5, 24 1 π = 5, 76 2π = 6, 28 3 3 2 6 6 y 0, 5 –0, 5 –0, 866 –0, 866 0 –1 Tabel 10


43



y

1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 Figuur 13

1 sin( x − π) = 0, 6 ⇒ 3 1 1 x1 − π = 0, 64 en x2 − π = π − 0, 64 = 3, 14 − 0, 64 = 2, 50 ⇒ 3 3 1 1 x1 − π = 0, 64 ⇒ (links en rechts – π ) 3 3 1 1 x2 − π = 2, 50 ⇒ (links en rechts – π ) 3 3 1 1 x1 = 0, 64 + π = 0, 64 + 1, 05 = 1, 69 en x2 = 2, 50 + π = 2, 50 + 1, 05 = 3, 55 ⇒ 3 3 x1 = 1, 69 rad + k ⋅ 2π en x2 = 3, 55 rad + k ⋅ 2π 1 We zien dat als er een getal achter de x staat zoals bij y = sin( x − π) , de grafiek 3 langs de x-as verschoven wordt. De periode blijft weer gelijk.

Oefeningen

7 Teken de grafiek van de volgende functies en los de bijbehorende vergelijkingen op.

a

1 sin( x + π) = 0, 8 6


44


b

cos( x − 0, 5) = –0, 2

c

1 cos( x − π) = 0, 4 6

d

sin( x + 1) = –0, 75

e

1 tan( x − π) = 2 6

f

1 tan( x + π) = –1,5 6

g

1 2 sin( x − π) = 1, 5 3

h

1 3 cos( x + π) = 2 6

i

1 2 tan( x − π) = 3 3


45


Vb. 13

Teken de grafiek van f ( x) = 1 + sin x op het interval 0; 2π . Eerst tekenen we een assenstelsel met een x-as en een y-as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x-waarden de waarde van y uitrekenen. 1 5 2 1 1 π = 0, 52 π = 2, 62 π = 3, 14 π = 2, 09 π = 1, 05 π = 1, 57 6 6 3 3 2

x 0

y 0 0,5

1

0, 866

0, 866

0, 5

0

2 5 1 1 1 x 1 π = 3, 67 1 π = 4, 19 1 π = 4, 71 1 π = 5, 24 1 π = 5, 76 2π = 6, 28 3 6 6 3 2 y –0, 5 –0, 866 –1 –0, 866 –0, 5 0 Tabel 11


y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 14

Door een getal bij de functie op te tellen, zoals bij f ( x) = 1 + sin x , zien we een verschuiving van de grafiek langs de y-as.


46


Oefeningen

8 Teken de grafieken van de volgende functies op het interval  0; 2π .

a

f ( x) = 1 − cos x

b

f ( x) = –1 + tan x

c

1 f ( x) = 2 + sin x 2



d

47

f ( x) = –2 + 2 cos x


48


Antwoorden

1a x1 = 1, 05 rad + k ⋅ 2π of x2 = 2, 09 rad + k ⋅ 2π b x1 = 0, 20 rad + k ⋅ 2π of x2 = 2, 94 rad + k ⋅ 2π c x = 1, 57 rad + k ⋅ 2π d x = –0,52 rad + k ⋅ 2π en x = 3, 66 rad + k ⋅ 2π e x = 0 rad + k ⋅ π f x = –0,30 rad + k ⋅ 2π en x = 3, 44 rad + k ⋅ 2π g x = –0,71 rad + k ⋅ 2π en x = 3, 85 rad + k ⋅ 2π

x1 = 0, 93 rad + k ⋅ 2π en x2 = 5, 35 rad + k ⋅ 2π x = 1, 27 rad + k ⋅ 2π en x = 5, 01 rad + k ⋅ 2π x1 = 1, 57 rad + k ⋅ 2π en x2 = 4, 71 rad + k ⋅ 2π x = 3, 14 rad + k ⋅ 2π x = 2, 62 rad + k ⋅ 2π en x = 3, 66 rad + k ⋅ 2π x = 2, 21 rad + k ⋅ 2π en x = 4, 07 rad + k ⋅ 2π x = 1, 82 rad + k ⋅ 2π en x = 4, 46 rad + k ⋅ 2π

2a b c d e f g

3a x b x c x d x e x f x g x

4a Zie figuur.

= 0, 29 rad + k ⋅ π = 1, 37 rad + k ⋅ π = 0, 79 rad + k ⋅ π = –0, 79 rad + k ⋅ π = –0, 71 rad + k ⋅ π = –1, 01 rad + k ⋅ π = –0, 20 rad + k ⋅ π

2

y

1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 Figuur 15


49


b

Z ie figuur. 2

y

1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 Figuur 16

c

Z ie figuur. 2

y

1 x

-1 -2 Figuur 17

d

Z ie figuur. 2

y

1 x

-1 -2 Figuur 18


50

e


Z ie figuur. 2

y

1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 Figuur 19

f

Z ie figuur. 2

y

1 x

-1 -2 Figuur 20

g

Z ie figuur. 4

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 21


51


h

Z ie figuur. 4

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 22

i

Z ie figuur. 2

y

1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 Figuur 23

j

Z ie figuur. 2

y

1 x

-1 -2 Figuur 24


52


5a x1 = 0, 31 rad + k ⋅ 0, 67π en x2 = 1, 78 + k ⋅ 0, 67π b x = 1, 58 + k ⋅ 2π c x1 = 3, 15 rad + k ⋅ 6π en x2 = 6, 27 + k ⋅ 6π d x1 = 0, 84 rad + k ⋅ 0, 8π en x2 = 1, 68 + k ⋅ 0, 8π e x1 = –0,35 rad + k ⋅ 0, 67π en x2 = 1, 39 + k ⋅ 0, 67π f x = 1, 03 + k ⋅ 0, 5π g x = –3, 14 rad + k ⋅ 4 π h x = 12, 56 rad + k ⋅ 8π

6a b c

x1 = 0, 73 rad + k ⋅ 2π en x2 = 2, 41 rad + k ⋅ 2π x1 = 0, 72 rad + k ⋅ 2π en x2 = 5, 56 rad + k ⋅ 2π x = 1, 11 rad + k ⋅ π

7a b c d e f g h i

x1 = 0, 41 rad + k ⋅ 2π en x2 = 1, 69 rad + k ⋅ 2π x1 = 2, 27 rad + k ⋅ 2π en x2 = 5, 01 rad + k ⋅ 2π x1 = 1, 68 rad + k ⋅ 2π en x2 = 5, 64 rad + k ⋅ 2π x1 = –1, 85 rad + k ⋅ 2π en x2 = 2, 99 rad + k ⋅ 2π x = 1, 63 rad + k ⋅ π x = –0, 98 rad + k ⋅ π x1 = 1, 90 rad + k ⋅ 2π en x2 = 3, 34 rad + k ⋅ 2π x1 = 0, 32 rad + k ⋅ 2π en x2 = 4, 92 rad + k ⋅ 2π x = 2, 03 rad + k ⋅ π

8a

Z ie figuur. 4

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 25



b

53

Z ie figuur. 4

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 26

c

Z ie figuur. 4

y

3 2 1 -1 -1

x

-2 -3 -4 Figuur 27

d

Z ie figuur. 3

y

2 1 -1 -1

x

-2 -3 -4 -5 Figuur 28


3


1 Formules opstellen van goniometrische functies Een goniometrische functie kunnen we weergeven met een van de volgende formules:  2π  f ( x) = d + c ⋅ sin  ⋅ ( x ± a)  b  of  2π  f ( x) = d + c ⋅ cos  ⋅ ( x ± a)  b  of  2π  f ( x) = d + c ⋅ tan  ⋅ ( x ± a)  b  Hierbij is: a de verschuiving op de x-as; b de periode; c d e amplitude of maximale uitwijking bij een sinus- en cosinusvorm; bij een tangensvorm is c een vermenigvuldigingsfactor die meestal moeilijk af te lezen is; d de verschuiving op de y-as. Bij het opstellen van de formule of functievoorschrift van een goniometrische grafiek doorlopen we de volgende stappen: Stap 1 B epaal of de grafiek te herleiden is tot een sinus-, cosinus- of tangensvorm. Stap 2 Bepaal de amplitude of maximale uitwijking. Stap 3 Bepaal de verschuiving op de x-as: ›› verschuiving van a naar links: ( x + a) ›› verschuiving van a naar rechts: ( x − a) Stap 4 Bepaal de verschuiving op de y-as.



55

Stap 5 B epaal de periode (dit is de afstand op de x-as waarin één volledige beweging wordt uitgevoerd).

Vb. 1

Geef het functievoorschrift van de volgende goniometrische grafiek. Zie figuur 1. 4

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 1

Oplossing Stap 1 De grafiek is te herleiden tot een sinusvorm. Stap 2 De amplitude is 1, 5 dus c = 1, 5 . Stap 3 Verschuiving 0, 5 naar rechts, dus ( x − 0, 5) . Stap 4 Er is geen verschuiving op de y-as dus d = 0 . Stap 5 De periode is 2π , dus b = 2π . Met de bovenstaande gegevens kunnen we het volgende functievoorschrift opstellen:  2π   2π  f ( x) = d + c ⋅ sin  ⋅ ( x ± a) ⇒ f ( x) = 0 + 1, 5 ⋅ sin  ( x − 0, 5) ⇒   b   2π f ( x) = 1, 5 ⋅ sin( x − 0, 5)


56


Oefeningen

1 Geef het functievoorschrift van de volgende grafieken: a Zie figuur. y 4 3 2 1 1

-1 -1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 2

b

Zie figuur. 4

y

3 2 1 -1 -1

1

x

-2 -3 -4 Figuur 3



c

57

Zie figuur. 4

y

3 2 1 1

-1 -1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 4

d

Zie figuur. 4

y

3 2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 Figuur 5


58

e


Zie figuur. 3

y

2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 Figuur 6

f

Zie figuur. 3

y

2 1 -1 -1

1

x

-2 -3 Figuur 7

g

Zie figuur. 3

y

2 1 -1 -1

1

x

-2 -3 Figuur 8



h

59

Zie figuur. 3

y

2 1 1

-1 -1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 -5 Figuur 9

2 Geef het functievoorschrift van de volgende grafieken: a Zie figuur. 3

y

2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 Figuur 10


60

b


Zie figuur. 3

y

2 1 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 Figuur 11

c

Zie figuur. 3

y

2 1 -1 -1

1

x

-2 -3 Figuur 12

d

Zie figuur. 3

y

2 1 -1 -1

1

x

-2 -3 Figuur 13


61


De hiervoor behandelde goniometrische vormen zijn voorbeelden van periodieke functies. Dat zijn functies die zich met een vaste periode herhalen. De meeste willekeurige periodieke functies, zoals een blokgolf of een zaagtandspanning, kunnen we wiskundig opvatten als een som van verschillende sinus- en/of cosinusvormen. We spreken dan van een Fourierreeks (spreek uit foerjee-reeks). De coëfficiënten kunnen we bepalen met een wiskundige techniek die we Fourieranalyse noemen.


62


Antwoorden

1a b c d e f g h

f ( x) = 2 ⋅ sin( x + 0, 5) f ( x) = 1 + sin x f ( x) = –0, 5 + cos x f ( x) = 2 ⋅ cos( x − 1) f ( x) = –2 + tan x f ( x) = –1 + 1, 1 ⋅ tan( x − 0, 5) f ( x) = 1 + 0, 5 ⋅ sin x f ( x) = –2 + 2 ⋅ cos( x + 0, 5)

2a b c d

f ( x) = 2 sin 0, 5( x − 0, 5) f ( x) = 2 + cos 2( x + 1) f ( x) = –1 + sin 4( x − 1) f ( x) = cos 3( x + 0, 5)


4


1 Sinusregel De sinusregel kunnen we toepassen om zijden en hoeken te berekenen in een willekeurige driehoek. Deze driehoek hoeft dus niet rechthoekig te zijn. Zie figuur 1. C

γ

b

a

α A

β c

B

Figuur 1

De volledige sinusregel luidt: a b c = = sin α sin β sin γ In een driehoek kunnen we de niet gegeven zijde(n) en hoek(en) berekenen met de sinusregel als gegeven zijn: ›› twee zijden en de hoek tegenover een van deze zijden; of ›› twee hoeken en de zijde tegenover een van deze hoeken.


64

Vb. 1


Gegeven

C

b

a

α A

c

B

Figuur 2

In figuur 2 is een driehoek getekend waarvan a = 3, 8 cm , b = 4, 4 cm en α = 49° . Gevraagd Bereken de overige hoeken en zijde c . Oplossing a b = ⇒ 3, 8 cm = 4, 4 cm ⇒ Na kruislings vermenigvuldigen volgt: sin α sin β sin 49° sin β 3, 8 × sin β = 4, 4 × sin 49 ⇒ sin β =

4, 4 × sin 49° = 0, 874 ⇒ 3, 8

β = 60, 9° γ = 180° − 49° − 60, 9° = 70, 1° a c 3, 8 cm c = ⇒ = ⇒ sin α sin γ sin 49° sin 70, 1° c=

3, 8 × sin 70, 1° = 4, 7 cm sin 49°



65

Oefeningen

1 a

In ABC is a = 10 cm , b = 6 cm en β = 30°. Maak een tekening.

b

Bereken de ontbrekende hoeken en zijde.

2 a

In ABC is a = 20 cm , α = 50° en β = 70°. Maak een tekening.

b

Bereken de ontbrekende hoek en zijden.


66


3 De kerktoren in stadje A is 350 m verwijderd van de televisietoren in dorp B.

Joop loopt vanaf de televisietoren 360 m langs de rivier. Als hij in punt C is aangekomen, ziet hij beide torens onder een hoek van 55° . Zie figuur 3. Bereken de afstand tussen Joop en de kerktoren in stadje A. A

55o

B

C Figuur 3

4 a

Van ABC is gegeven: a = 4 cm , b = 5cm en ∠A = 50° . Maak een tekening.

b

Bereken ∠B en zijde c .


67


2 Cosinusregel Bij de voorgaande opgaven hebben we gebruik gemaakt van de sinusregel. Het ging hierbij om driehoeken waar de volgende zaken bekend waren: ›› twee zijden + de hoek tegenover een van deze zijden; of ›› twee hoeken + de zijde tegenover een van deze hoeken. Dit is niet altijd het geval. Soms kennen we: ›› drie zijden; of ›› één hoek + twee zijden die niet tegenover de gegeven hoek liggen. In deze gevallen kunnen we de sinusregel niet gebruiken en moeten we gebruik maken van de cosinusregel. De volgorde in de cosinusregel is afhankelijk van de bekende zijden en hun ingesloten hoek. Zie figuur 4. C b

a

α A

B

c

Figuur 4a

C b

a

β A

B

c

Figuur 4b

C b A

γ

a

c

B

Figuur 4c

2 2 2 ›› Figuur 4a: b , c en α bekend ⇒ a = b + c − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α 2 2 2 ›› Figuur 4b: a , c en β bekend ⇒ b = a + c − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β ›› Figuur 4c: a , b en γ bekend ⇒ c 2 = a2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ Als er drie zijden gegeven zijn, berekenen we één hoek met de cosinusregel en de tweede hoek met de sinusregel. Die tweede hoek kunnen we ook met de cosinusregel berekenen, maar de sinusregel werkt eenvoudiger. De derde hoek volgt ten slotte door beide berekende hoeken van 180° af te trekken.


68

Vb. 2


Gegeven In een stomphoekige ABC geldt AB = 6, 2 cm , AC = 4, 6 cm en BC = 9, 3 cm. Zie figuur 5. C

γ α A

β

B

Figuur 8

Gevraagd Bereken de drie hoeken. Oplossing a2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α ⇒ (9, 3 cm)2 = (4, 6 cm)2 + (6, 2 cm)2 − 2 × 4, 6 cm × 6, 2 cm × cos α ⇒ 86, 49 = 21, 16 + 38, 44 − 57, 04 × cos α ⇒ 26, 89 = –57, 04 × cos α ⇒ –26, 89 cos α = = –0, 471 ⇒ 57, 04 α = 118° De tweede hoek gaan we met de sinusregel berekenen: a b = ⇒ sin α sin β 9, 3 cm 4, 6 cm = ⇒ sin 118° sin β 4, 6 × sin 118° sin β = = 0, 437 ⇒ 9, 3 β = 25, 9° , γ = 180° − 118° − 25, 9° = 36, 1°

Oefeningen

5

Van ABC is gegeven: a = 4 cm , b = 5cm en c = 7cm . Bereken de hoeken α , β en γ van deze driehoek (in 1 decimaal na de komma nauwkeurig).



6

Van ABC is gegeven: a = 5cm , b = 6cm en c = 10 cm. Bereken de hoeken α , β en γ van deze driehoek (in 1 decimaal na de komma nauwkeurig).

7

Van ABC is gegeven: b = 9cm , c = 6cm en α = 21° . Bereken de lengte van a en de hoeken β en γ van deze driehoek (in 1 decimaal na de komma nauwkeurig).

8

Van ABC is gegeven: a = 8 cm , b = 9cm en γ = 140° . Bereken de lengte van c en de hoeken α en β van deze driehoek (in 1 decimaal na de komma nauwkeurig).

69


70


Antwoorden

1b

α = 56, 4° , γ = 93, 6° , c = 12, 0 cm

2b

γ = 60° , b = 24, 5 cm , c = 22, 6 cm

3

4b

5

α = 34° , β = 44, 3° , γ = 101, 7°

6

α = 33, 3°, β = 41, 2° , γ = 105, 5°

7

a = 4, 0 cm , β = 53, 7° , γ = 105, 3°

8

c = 16, 0 cm , α = 18, 7° , β = 21, 3°

AC = 395 m ∠B = 73, 2° , c = 4, 4 cm


Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Recommend Documents