NMA' Krıstsmdnyel. Miskolc. I V. Sorosst. Tsrmdrssttııdományok. 27(! 988) hátat. U-24.
EGY HŐVEZETESI PROBLEMARÓL ECSEDI ISTVÁN th ttıgtalô F tanulmány lárgys vékony lemez alakú testek stacionárius hővezetési problémáira vonatkozik A liãtitálsállettttlstl változását leíró kétváltozós függvénnyei kapcsolatos kerületérték feladat felállítása I Vatléutdsıáınltás ismert eredményeinek felhasználásával történik. A tanulmány a levezetett kertiUlélt Máltai megoldását tömör köralakú lemez hőmérséklet mezejének meghatározásával kapcsolat
Ha ssstnléllelt.
0. Fontosabb jelölések .\`. _v. I
derékszögű koordináták,
e,,. s,,.e,
egységvektorok, térbeli tartomány, tartomány határoló felülete, lemez vastagság, hőátadási együtthatók, hővezetési tényező,
V li V -~ 8 V, + 6 V, + ô V3 a V H I 2!! dj . dj, tl; A ' Q `-9-' s, + -Ã e + -1 e, 8.!
õy -V
ôz
Hamilton-féle differenciáloperátor (három dimenziós)
'~_.~f_ -- -;.`_*f`s-a. _:ı.»-z A ,;«~_--
lilt. t'ltf.IiI Iti'I'\/AN doesnt. s ıııtiss. tud. ksndldátuss láleiısııtiısl Tanszék
"rr
3 Atlstıııle-ltgyeteınváros A térhet tıeértıesstt: 1981. /ül 9.. Késiéıe elfogadva: 1987. június.
13
,, . „ ~
~ ~
két vektor skaláris szorzatának jclc, 3
2
2
A = V' V = -ai; + -5?-5 + -áa-5 x y Z
Á
Laplace-féle differenciáloperátor (három dimenziós),
n =?ı'x ex +'r`1'x ex +3; ex a ô V
határoló felület normális egységvektora,
3 ~ -5; n
. , . . , ıranyban szamolt derıvalt,
T I A
hőmérséklet, funkcionál, a lemez középfelülete által meghatározott zott síkbeli tartomány, az A tartomány határgörbéje, a ÖA görbén értelmezett ívkoordináta,
ÖA s V = -ga; ex + aiex
Hamilton-féle differenciáloperátor
2 2 A = V ` V = “É-5 + “íz ax ay
Laplace-féle differenciáloperátor (két dimenziós)
t = t (x, y)
hőmérséklet mezőt approxiomáló függ-
J'
(ket dimenziós)
vény,
T = T (x, y) Jo
segédfüggvény, elsőfajú nulladrendű módosított Bessel függvény, J; elsőfajú elsőrendű módosított Bessel függvény r sugár koordináta. Egyéb mennyiségeket, változókat a szöveg értelmezi.
1. Bevezetés Az I. ábra egy lemez alakú testet szemléltet. A lemez középsíkja az xy sík egyben a lemez szimmetria síkja is. A lemez vastagsága H = 2h. A lemez alakú test által elfoglalt térbeli tartomány jele V. A V tartomány
14
1
al/-al/|+aV| +aVg
lıstılıoiofelttletétis az I. ábra szemlélteti. A lemez alakú test õ V határoló felületének 3 V, (t = 1, 2, 3) feltiletszakaszán
81', (I - I, 2, 3) hőmérsékletű testtel érintkezik. A 6 V1, 8 V,, õ V, feltlletszaksszokon lnıtéııtl kiilső hővezetési az al , az, az hőatadási tényezők, a lemez alakú test belső hővsıetését pedig s A hővezetési együttható jellemzi. A vizsgálatot olyan esetre korlátozzuk, amikor T1, T, , T; időben és térben nem vsltmnalt, valııınint az a, , az, aa, il termikus paraméterek is állandó értéküek. 'leklııtsiik az alábbi előírással értelmezett funkcionált: ![Í`(x. y, z)]= N>'
--8
/-\
.:=-\
"`l>
“'2-
<ı2 ÖN) Q. w +
- T,)2 aaV+%3 f (f`- T,)= aaV+ av,
+-fi! f (7'*- T,)2aa V,
(ı.ı)
av, Ú l Ti? für, y, z) a V + E) V tartományban folytonos a V tartományban legalább egy lelt folytonosan differenciálhatő háromváltozós függvényt jelöl. ifotınális számolással kimutatható, hogy a fenti előírással értelmezett funkcionál Al 1' 0 ltlelonsrltási feltételének kielégítése egyenértékű az alábbi keriiletérték feladat
ınsgııldásávsl [2]:
KT- O ar A-5? +a,
(x, y,z)z V,
(ı.2)
(T- T,)=0
(x,y,z)eõ V),
(1.3)
+ az (T- T.) = 0
(z. y. zıeõ V..
(L4)
A äš. + az, (T- T,) - O
(sz, y, z)«a V,
(ı.s)
K 1
A fellrt keriiletérték feladat megoidásával nyerjilk az I. ábrán vázolt lemez alakú test 15
-zzi 8 v,
2
R T1
__ T3
2
8)/3
2
---> X
ex
.C
°v
v 1; 6A A
l
s
__r
_ 1
l
n
~~ ,, ::,„_ x
`__.7-' S
I
1. ábra.: Lemez alakú test 16
~
ill e X
T-T(x.y.z)
[(,v.y.ı)ı V-1-av]
lıdmátsáklet mezejét [1]. kimutatható még az is, hogy az (l.l) funkcionál az (1.2), (1 .3), (1 .4), (1 .S) egyenletek által kijelölt kerületérték feladat T == T (x, y, z) megoldás filggvényénél abszolut ııılııinıuınmal rendelkezik, azaz a stacionaritási feltételen felül még teljesül az alábbi egyenIntlenségi reiáció is [2]:
1 [T(z, y, z)]<1[Í°(x, y, z)].
(ı.õ)
ll tanulmány célja egy közelitő módszer kidolgozása a lemez alakú test hőmérséklet elosslásénsk ıneghatározására. A közelítő módszer lényeges feltevése, hogy elteklntünlt a Hotel Adlndrsáklet mezejének a lemez vastagsága mentán történõ ııáltvzásátál, vmrls feltátıllsllth. hogy a lemez x, y, z koordinátával kijelölt P pontjának hőmérséklete csak II š, y Arltmllnáták függványe azaz T 2 t (x, y). Iz Ilts módszer A llitr. módszer alkalmazásával az (1.1) funkcionál stacionaritási feltételét kihasználva jutunk s t 'I t (x, y) függvényt meghatározó kerületérték feladatra. lslnije A s lemez középsíkja által meghatározott xy síkbeli tartományt. Az A tar tnnıány lıstıtrgörbéjét õA-val jelöljük. õlõn pediga õA határgörbe „külső” normális
e mentén szıtmolt deriváltat jelöli. legyen sz (l. l) funkcionálban
1*- `*f
(sy. z)õV+ õ V
(2-1)
lt' RH! gondolstmenetét követve az (1.1) funkcionál minimum helyét csak egy szűkített iıelmsrmı sr. At + BA zárt tartományban folytonos az A tartományban legalább egyszer tıılv tonnssn ıiit`t'erenciálható kétváltozós függvények osztályában keressük. As i l. I ) funkcionált minimálissá tevő t = t (x, y) kétváltozós függvénnyel közelítlltl s ÍA vastagságú lemez alakú test hőmérséklet mezejét. Ar i I. l ) és s (2. l) egyenletek kombinálásával nyerjllk a (2.2) egyenletet: 011 ı[1u.y)]- Ah ÃÍ(v:)° 4.4 +7 A_/`(z-- T,)' 4.-1 +
V
f(f ˇ” T3 )2 (ÍÁ + hű;
A
f (l"" T3), dő
6.4
17
A ôl = 0 egyenlet részletes kifejtésével kapjuk az alábbi egyenletet:
õı = zxn fv:-võzazı +8, f(z-- T,)õ:aA + az, fa- T,) 814.4 + A
A
A
+ 2ıza, f (z- T,) õ zas = O.
(23)
8.4 A szorzat függvény deriválási szabályának és a Gauss-féle integrál átalakítási tételnek az együttes alkalmazásával jutunk a (2.4) egyenletre:
fvr-võıaA= fv-(v:õz)aAÁ
.Á
- fArõrdA= fäõrdsÁ
ÖÁ
- _/'AzõzaA.
(2.4)
A A (2.4) egyenlet felhasználásával átalakítjuk a (2.3) egyerıletet:
õı = f[- 2M A: + (zzz, + 81,):A
- (sz, T, + az, T,)]õz z1A+ Ö
_
+ f[2)h-ãÍ+2a,h(:-T,)]ds=O. n
(2.s)
aA
A fenti kifejezésből a variációszámítás alap lemmájának alkalmazásával nyerjük a t = t (x, y) függvényt meghatározó kerületérték feladatot: -27\hAt+(a1+a2)t-
18
ˇ' (011 T1 + 012 T2) = Ü
(X, Y) EA,
(2-Ő)
õt ha-ri + az, (t - T3) = 0
(x, y) eôA.
(2.7)
A (2.6), (2.7) egyenletek által kijelölt kétdlmenziós kerületérték feladat (2.6) pareiáiis dtflereneiál - egyenlete tartalmazza a lemez 8 V, és 8 V, határfelületein történő hdátadással kapcsolatos tagokat. Ez utóbbi tény mikor figyelembe vesszük s hõmérséklet mező lemezvsstsgság mentén történő változását, az (l .3), (1 .4) peremfeltételekben jelenik meg. 3. Néhány me egyzés a t I t (x, y) függvénnyel kapcsolatos kerületérték feladathoz 3.! A (2.6) egyenlet alapján írhatjuk, hogy -2h)\ f-aa%ds+(a1+a-2) ftdzá841
A
-(a, T, +8, T,).z=o.
(3.ı)
A (M) egysnletbéı pedig a A
d$'l"C!3 fÍdS“'G3T3l=0
IA
8.4
spentst lıevetkszık. A fenti sgyenletekben
ı - fdx ay,
ı--- _/' az.
A
(3,3), (3.4)
azt
A (3. l) és (3.2) egyenletek kombinálásával nyeıjük a (3.5) egyenletet:
za, 1. _/' :d8+ (az, +a,) fra/i= M
Á
-(G1 T1'1'Gg Tz)d+ 2 3 T3
áél s sl A + 8.4 zárt tartományban folytonos t I t (x, y) kétváltozós függvény legtil stbiı értékét tmx, legkisebb értékét pedig tm., . A (3.5) egyenlet alapján beláthatók Il alábbi összefüggések: (011 T1 +012 Te)4'l' 201e Tahi :m“>
(G1 "1"Gg)d"l' 2G; All
'
19
((11 T1 +03 Tz) + 2G; T3 tmh<
(G1 +Gz)d+2CI3
A fenti egyenlőtlenségek jobb oldalai a lemez hőmérséklet eloszlásának egy „átlag értékét” definiálják.
3.2 Legyen T = T (x, y) = t (x, y) + T3
(x, y) EA + BA.
(3.8)
A (3.8) formula és a (2.6), (2.7) egyenletenek kombinálásával a következő kerületérték feladatot nyerjük a T = T (x, y) függvényre: AT-B2T-C=0
(x,y)eA,
(3.9)
Šš +k'r=0
(x,y)EõA,
(3.10)
ahol 2 _ a1+a2 B
““'
_ -G3 3
k°'“
Ă
,
C..«1+«z
3 ,,
( ' )
Tekintsük a Laplace-féle differenciáloperátorral kapcsolatos alábbi saj átérték felada tot [3]: A gp, + 11,- ip, = 0
Ö*Pi_|_
-5-Ã
__
ko;-0
(x, y) EA,
(3.14)
(x, y)EôA.
(3.15)
Bizonyított, hogy a fenti sajátérték problémának megszámlálhatóan végtelensok 11,- sajátértéke van, továbbá valamennyi sajátérték pozitív, egyszeres multiplicitású [3]. A vi (í = 1, 2, . . . )sajátértékek a végesben nem torlódnak. A V, sajátértékekhez tartozó go, = ga, (x, y) saját függvények az alábbi ortogonalitási tulajdonsággal rendelkeznek:
fwp, aA =õ,,= A 20
0 ha ı'#'=j, 1 ha ı'=j.
(3.15)
f(x, y) -I l
(x, y) e A + 8 A
függvény
4:, -I ıp, (x. y)
(I -I 1, 2, . . . )
saját függvények
mılııt ıorbıfejtve vv 1"' Z f HP: (1-Y) ıı
(3-16)
n- f«=„<x.y>dA,
(3.17)
llıaılıul
A
(iIi.2,...). lëli ye ilmuiıtható, hogy a (3.9), (3.10) egyenletek által kijelölt kerületérték felıdıt tt lılúlll I (3.14), (3.15) egyenletekhez tartozó sajátérték probléma megoldéıának birto-
llbın O
z-f=-~ c Z -;;-É-5; ~„(x.y>
(x.y>zA+õA (8.18)
Í=l
ıiıiıbın ıdlme meg. A (3. I B) formula azonban csak elvi jelentőségű, hiszen bonyolult alakú tartoményBill lliıllbın nem ismerjük a (3.14), (3.15) egyenletek explicit alakú megoldását. 4. Tömör körlemez A 2. ábra egy b sugarú tömör körlemezt szemléltet. A forgásezimınetria következté I!! llyllvln I éı T csak az r sugérkoordináta függvénye, t= r (r), T H T (r). El utóbbi megjegyzés figyelembevételével a megoldandó kerületérték felıdıt jelen
beh ez ılébbi alakú leız: I
r*-'íč +z%?-8=r=f-Ha-O
o
(4.ı)
g + ızf-o
r-D.
(4.2)
21
Y
fãq zoyz
OS ráb
BA
X
F
2. ábra.: Körlemez
A (4.l) közönséges differenciálegyenlet (4.2) peremfeltételt kielégítő r = 0 korlátos meg oldása az alábbi egyváltozós függvény [4]:
f=f(f)=-É-[
J°(g')
J., (Eb) +í J, (Eb)
1},
O
(4,3)
A fenti formulában Jo elsőfajú nulladrendű, J1 pedig elsőfajú elsőrendű módosított
Bessel függvény. A körlemez hőmérséklet eloszlását közelítő t = t (r) függvényt a feladatot közvet-
lenül jellemző hőtani és geometriai mennyiségek betüjeleivel a következő alakban tudjuk megadni: t=t(r)__ al T1 +°f2 T2 + 011 (Ta"Tı)+°f2 (Ta"T2)__ G1 + (Iz
22
(Il + C22
CI|+G3
“°[|l"E`zTzT` 'l
(4.4) _°_Lıj_9_ç_ _ı_ el ez K a+a "°[|' mi b]+a,l""`T`TJ*Ü/_ı§,f'b] (O < r < b). A Ieııll formula ı (3.8) éı (4.3) egyenletek kombináiásával vezethető le.
IRODALOM
iz IAIILAW ll. li. ıınd J. G. JÃGER: Conducrion oflíear in Soilds. Clarendon Preıı Oxford. 1939. is Ü. D. ICH!!!-'l|'|'I'ZR: The Veriarlonailllethods in Engineering. Mc Graw Hill. Book Cornpony New
mi. teet.
i. HIUÜ MIT » HILBERT: Methods of Mathemarícal ıysics Vol. I. (lntersclence Pubi. ine. New Vûliz IÜI li 4 I. ÜÁUIIE D wenfielgielchungen. Lösımgmethoden und Lösungen, I. Leipzlg. 1959.
ON A HEAT CONDUCTIVITY PROBLEM I. ECSEDI
Summary Ilie ıltltly deılı with the poblems of stationary heat eonductlvity of bodieı having e ıhıpe
ní lliltl illeti. The bounduy vaiue problem relating to a function of two vıriebieı deıcrlblng the chan|jrıı nl D teınpeııluıe field lı derlved using some known results of variation eaiculuı. The ıolutien of the ıbızltl lll lııılmúıry vılue problem is demonstrated by the example of the tempexıture field of e ıolid
rimılıı lılıte.
ÜBER EIN WÃRMELEITUNGSPROBLBM
i. ECSEDI Zuıammenfıısung Él Mbit befıút ıleh mit den ıtıtloniiren Wlrmeleltungıproblemen der dllnnen, bleehförmlIl DD Atıfıieliung deı Rındwertpıoblemı der die Verlnderung deı Temperıtuıfeldeı beilll liı ltvelvıılıble Funktion lıt, mit der Anwendung der bekınnten Ergebnlııen der Vıılıtlenıreeh:xl llellp hıl. Der Aufııtz verınıehıulleht die ıbgeleitete Löıung deı Rındwertpıoblemı in Vers IH lllll III leıilmmung dıı Tempeııturfeideı elneı vellen, kreiıföımlgen Bleeheı.
23
OB 0111-[OH ITPOBIIEME TEHIIOHPOBOHHOCTH H. 3'-IEIIH
Peaıome l'Iperı,MeT Hacron mert cTaTr„n omocurcn K npoõnemam cratmonapnoñ Termonpoaormocrn Tonxux nncrooõpaarmx Ten. Fiocraııoaxa Kpaeno aanauıı cnaaamroii c .ıııayxnepeuenuoit cbyuıcuneii, ormcaıouielt usıvıeneıme Teuneparypr-roro nona nponcxorıı-rr ucnonnaonaımeıu nsnecmux peaynr„TaTon aapuau oı-more ncvııcneıma. B cTa'n.e peureıme nuaenenno Kpaeaoli sarıaım Hnmocrpapyewcsr D casraa c onpenenemreu TeMnepa'ı`ypı-ıoro nona nnomoro Kpyrnoro nHcTa.
E
24
TARTALOMJEGYZÉK
Ecsedi István: Egy tétel a rugalmas kontinuumok kiegészítő energiájáról . . . . . . . . . .
J
Ecsedi István: Egy hővezetési problémáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ecsedi István' I-lőelvezetés lemez alakú bordán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecsedi Istva'n.` Korlátok a forgásfelületekkel határolt kondenzátorok kapacitására . . . . . Ecsedi István: Korlátok a vékonyfalú anizotróp rugalmas anyagú, prizmatikus rudak csavarási merevségére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 19
Ecsedi István: Korlátok az üreges forgástest alakú tárcsák csavarási merevségére . . . . . .
7,
Nándorine' Tóth Mária: Alakzatok rekonstrukciója három nézetből . . . . . . . . . . . . .
99
S9
R. Tégen Magdolna: Egy elemi megoldási módszer a közönséges lineáris differenciálegyenletek egy speciális osztályára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
Ecsedi István: Egy megjegyzés a Bredt-formulával kapcsolatban . . . . . . . . . . . . . . . Maurer I. Gyula: Romániai magyar matematikai és csillagászati szakirodalom . . . . . . .
127 137
149
A NEHEzıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 27. KÖTET - l - 2. FÜZET
MISKOLC, 1988.
HU-ISSN 0133-3992.
SZERKESZTŐ BIZOTTSÁG:
KOZÁK IMRE felelő: ızeıteeztõ MAURER GYULA, SZÓTÉR LÁSZLÓ
lüedjı ı Nehezlpıxi Műızıki Egyetem
A kiedíıeft felelõız Dr. RonııvárlPál rektoı-helyettes NME Sokııoroıltó Üzeme Nyomdeıılm: ICSZ-88-1500-NME Mlıkele-Eıyetemvlroı. 1988. Bn|ed6ly ıılme: 57768 N86 el rendezte: Dr. Fırkııı Jóıuf egyetemi tıní: Technlkel ııeılıeııtõ: Mdrkuı Ldclóııd lledelenı eı NMR Köılemenyel Sıerkeeztõıézének ıondoztıúbeıı Kell!!! lledeıe: 1988. V. 1-46| - 1988. VIII. 15-lg. Sokızotoeitóbe bedvı:'l988..lX. 8.
Nlúlııyıılm: 350
Mııüli IIH « li Elektıoıılkuı Compoıeı ızedóııel. :oteprhıt lemezről
ll HI! 560149 Ö! 8602-55 lılbvlnyok lıednt. 12 HIS ív teıjedeleluben
A ıııhııemllllıt felelde: Tóth Ond mb. llıemveıetõ
