NME Közleményei. Mlılmlv. IV. Sorıııat, rmdszettudomdnyok, 27 (1988) kötet. 127-- 136.
EGY MEGJEGYZÉS A BREDT FORMULÁVAL KAPCSOLATBAN ECSEDI ISTVÁN
Összefoglaló E tanulmány tárgya vékony falvastagságú zárt szelvényű prizmatikus rúd csavarási feladatávııl kapcsolatos. A tanulmány célja annak igazolása, hogy bimodulusú anyag esetében is érvényes a rúd csavarási merevségére vonatkozó Bredt féle formula. A Bredt féle formulában mindössze csak annyi változtatást kell eszközölni, hogy a G csúszta-
tó rugalmassági modulust helyettesíteni kell a bimodulusú anyagot jellemző állandók bizonyos kifejezésével. I
E tanulmány tárgya az 1. ábrán vázolt vékony falvastagságú, zart szelvényű prizma tikus rud csavarási feladatával kapcsolatos. Atanulmány célja annak igazolása, hogy kettős modulusú (bimodulusú) anyag esetében is érvényes a rúd csavarási merevségére vonatkozó Bredt féle formula. A homogén izotróp lineárisan rugalmas anyag feltételezésével levezetett Bredt féle formulában mindössze csak annyi változtatást kell eszközölrıi bimodulusu anyag esetében, hogy a G csusztató rugalmassági modulust helyettesíteni kell a bimodulusú anyagot jellemző állandók bizonyos kifejezésével.
I
DR. ECSEDI ISTVÁN
docens, a műsz. tud. kandidátusa NME Mechanikai Tanszék
35 l 5 Miskolc-Egyetemváros A kézirat beérkezett: 198.5. febr. 12. Közlésre elfogadva: 1987. július
127
2 '_Z NMQ Ő __ AH illpx) iW \1}UM`\ HV___g
` 2 >/Q\_ I /_\
I_\ |/_
\O
/_ _ šwV_/_\(Q
I\
Übup I/_ll_\
Ím
u>ENN ám: tgav gătMag 5w>_ä _ä`Eë_` Oˇãa_w>
28
Fontosabb jelölések x, y, z
derékszögű koordináták,
ex, ey, ez
egységvektorok,
E
Young modulus,
G
csúsztató rugalmassági modulus,
v
Poisson szám,
o
normál feszültség,
T
csusztatófeszültség
E
fajlagos nyulás
T
feszültségi tenzor
el ,e2, e3
egységvektorok
BAR
síkbeli zárt görbe, (a vizsgált szelvény közép-görbéje),
ÖAO, öA1
zárt görbék (a szelvény határgőrbéi)
e = äc ex + gš ey
a ôAk görbe érintő egységvektora,
A ,C
zárt görbe belsejének területe,
a õAk
ˇ
u
alakváltozási energia sűrűség,
U
alakváltozási energia,
W
külső munka,
M
csavarónyomaték,
h = h (s)
szelvényvastagság,
s
görbe mentén értelmezett ívkoordináta,
t = Th
nyírófolyam értéke,
l
a rúd hossza,
19
a relatív elcsavarodás szöge,
qb = ül
szélső keresztmetszetek egymáshoz viszonyított elcısvl rodása,
R
csavarási merevség.
Egyéb mennyiségeket, változókat a szöveg értelmezi.
129
1. A homogén izotróp testek klasszikus rugalmasságtani clıııélctébcıı ar. anyag mcchanikai tulajdonságait két jellemző határozza meg. Ezek sokféleképpen megadlıatók, de a különböző anyagállandó párok egymással kifejezhetők [1]. Leggyakrabban az E Young féle modulust és a v Poisson féle számot használják. Ezek segítségével a G csúsztató rugal massági modulus a E
G ` 2 (1 + zz)
Ü)
alakban állítható elő. Az utóbbi évtizedekben a rakétatechnikában, a repülőgép építésben, a haj óépítésben a gépiparban és az építőiparban gyakran alkalmaznak olyaıı szerkezeti anyagokat, amelyek mechanikai tulajdonságai lényegesen eltérnek húzásra és nyomásra. Bár a szóbanforgó anyagok homogén izotrópnak tekintendőek, de egy pontjuk elemi környezetének a mechanikai állapota elsősorban a vizsgált pontbeli feszültségek előjelétől függ. Nagy számú kísérleti adat feldolgozásával azt állapították meg, hogy igen sok szerkezeti anyag esetében a huzásra- nyomásra felrajzolt o - E görbének a o = 0, E = 0 pontban törése van. E törés az anyag rugalmasságának nem linearítását tükrözi vissza (2. ábra). Mind húzásra, mind nyomásra feltesszük, hogy a o = o (E) kapcsolat lineáris függvénnyel írható le (2. ábra). A dolgozatban alkalmazott anyagtörvény, amely a kettős modulusú (bimodulusú) anyag viselkedését leírja az alábbi alakú [2]: ëı=üı1U1+Ű1202+f1ıs0sz
(2)
Ez =0z101 'l' 022 02 +028 03,
(3)
63 :U31 01
(4)
+032 U2 + 033 U3 z-
ahol Hű:-“L
0'i>O
Í=1,2,3;
zz,-,~ =;1:, ha 0,
z`=1,2,3;
(6)
i=f=j
(7)
E*
,ha
-I-
a,,- =2-- ==-2--,ha E* Eˇ i=}`=l,2,3.
130
1_0|aU_ |_o_ä|_ í Nwuw _ ıowmıw
3OO _ OO
W
IAI`..IlI`lı
"_I
q u
lııI`l`ll`
í w O 2
“_ _
“_Ú
I'` l
Qlmuw
O
lgp uw
w_>ı_“ o_ W °°
U
A fenti egyenletekben o, (i = 1, 2, 3)
főfeszültség,
E, (Í = 1, 2, 3)
főnyúlás,
E", illetve E` az egytengelyű, feszültségállapotban lévő tiszta húzásnak, illetve tiszta nyomásnak alávetett próbatestre vonatkozó Young modulus (2. ábra), v“`, illetve v“ a húzáshoz illetve a nyomáshoz tartozó Poisson féle számot jelöli. A (7) előírás azt jelenti, hogy a kettős modulusú anyag C rugalmassági matrixa szimmetrikus. Igazolható, hogy szimmetrikus C matrix esetén értelmezhető az alakváltozási energia sűrűség függvény [2]. A (2), (3), (4) egyenletek tartalmazzák azt a tényt is, hogy a feszültségi és az alakváltozási tenzorok főirányai egybeesnek. Olyan esetben, amikor a terhelést zérusról fokozatosan növelve a végsőértékre a test valamennyi pontjában a feszültségállapot főiránya és a főfeszültségek előjele nem változik meg az u alakváltozási energia sűrűség az 1
u=í[o1e1+o2e2+o3E3]
(8)
alakban adható meg, ahol 0,-, 6,- (i = 1, 2, 3) a teljes terheléshez tartozó főfeszültségeket és főnyúlásokat jelölik. Ilyen esetben az elmozdulások elfordulások és a terhelés kapcsolata homogén lineáris függvénnyel írható le. ` 2. Az 1. ábrán vázolt vékony falvastagságú zárt szelvény középgörbeje a ôAk zárt görbe. A szelvényt határoló ÖAO és ÖAI zárt görbéket úgy kapjuk meg hogy a szelvény vastagság felét a h (s) [2 mennyiséget a ôAk középgörbe normálisa mentén mindkét irányban felmérj ük. A rúd feszültségállapotával kapcsolatban feltesszük, hogy az xyz koordinátarendszerben yalamennyi normálfeszültség ox, oy, az zérus, és hogy a Txy = Tyx csúsztató feszültség ıs zerus, azaz 0,, = 0}, = az = Txy = Tyx = 0. További feltevés, hogy
T.. (8) = f (8) fjf .
(9)
Tyz (S) = T (S) _%xs-
(10)
vagyis, hogy a
s
Tz :T2 (s)=7xz (S)ex +7yz (S) ey :T (S)e
132
(11)
csúsztató feszültség pérlıuzaıııos u BA* középgörbe megfelelö pontbeli érlntõjével és hogy I T, (s)| = 1' (s) csak az s lvkoordináta függvénye. A mechanikai egyensúly feltételéből az következik, hogy t =T(s) h (s) = állandó,
(12)
)
Th.
Itt M a keresztmetszet terhelő csavarónyomatékot jelöli. Könnyen kimutatható, hogy a rúd keresztmetszeteinek igénybevétele tiszta csavarás, hiszen az F nyíróerő el tűnik:
F=f„aA=ýnwn=ă%-ýemz A
a lk
=»lL 2.4,,
Ö/ik
95 dR=d
(14)
3-41:
3. Elemi számolással adódik, hogy a 0
O
Ta,
0
0
Ty, ] '_`-=
T312
7-yz
T=
O
§`
O "ˇ
(15)
0
í
ã -O
ã`l~2.~o-
oã-|@-§-
feszültségi tenzor főfeszültségei és a feszültségi tenzor főirányait meghatározó egységvektorok az alábbiak: Š
ˇ
01 :Ta
(16)
0,
(17)
02
(13)
03 =_Tı
Č1 =
C3:
d Š* _. _.,+z§.,+
__.Éč jjj ãıšg .. HT ds ey”
.,],
(19) (20)
133
1 03 =-`/'Ég'
dx
cl ex + äš ey-e,].
(21)
,
A (2), (3), (4) és a (16), (17), (18) egyenletek kombinálásával azt kapjuk, hogy
el =
T,
E
(22)
E2 = O:
E3 _.=_LÍ_?_;T_ E-
(24) .
A (12), (13), (19), (20), (21)formulákbó1kiolvasható, hogy jelen esetben a feszültségállapot főirányai változatlanok maradnak és a főfeszültségek előjele nem változik meg a terhelés, az M csavarónyomaték növelésével. 4. A csavart prizmatikus rúd u alakváltozási energiasűrűségének értékére a (8) formula alkalmazásával azt kapjuk, hogy
1
1
v*
__1_
2 E*
E*
E"
u::--
-_ +
'T
2.
Az U alakváltozási energia pedig az
U=_/`„dV=z ýuhas `
V
(26)
ally;
formula alapján határozható meg. Rövid számolással kapjuk, hogy
,
95 rah
+
U=_]!.2ll_.i_+2...ıÍ_
2
E*
E*
E"
(27)
4A§
Jelölje 19 két egymástól egységnyi távolságban lévő keresztmetszet egymáshoz viszonyított elcsavarodását. Az l távolságban lévő szélső keresztmetszetek egymáshoz képést q) = ül szöggel csavarodnak el. Az M nyomatékú erőpár munkája jelen esetben mivel a feszültségállapot főirányai és a főfeszültségek előjelei nem változnak meg a terhelés folyamán 134
w=
Ma:
(28)
összefüggés alapján számítható ki. A külső és belső munkák egyenlőségét kifejező U= W
(29)
egyenlet felhasználásával azt kapjuk, hogy az M R- Ü
(30)
formulával értelmezett csvarási merevség az +
E*
E*
4A2
E"
95 ds
-ii
ÖÁk
h
formula alapján határozható meg. 9 E formula helyessége igazolja azon állítást, hogy bimodulusú anyag esetében ll érvényes a Bredt formula, csak 1IG értékét kell helyettesíteni az
.f(E+,E-,„+)=L +2-"-+-+-L Eli
E+
(32)
E-
mennyiséggel [3]. 5. Megjegyzendő, hogy a (31) formula az E = E* = E” ,
(33)
v = v" = v"
(34)
esetben, vagyis amikor huzásra és nyomásra egfformán viselkedő anyagról van szó e ltllllll kus rugalmasságtanban levezetett eredményt adja [3], hiszen ez esetben 1 v" - + 2- +
E*
E*
1
E-
-
2 (1 + v)
E
-
1
G
.
(35)
135
IRODALOM
1.
IIYPBE, A. ld.: Teopue yepyvoczu. Plan.. Hayrc. 0113-. Mar. Jl1«ıT. Mocxna, 1970.
2.
AMBAPLIYMHI-I, C. A.: Paaııonooynermn Teopuıo ynpywocru. Mocxna, I-layxa, 1982.
3.
R. BREDT: Kritische Bemerkungen zur Drechungs-elastizität. Z. Ver. deut. Ing. 40. (1896.) 785-813.
A REMARK ON THE BREDT FORMULA I. ECSEDI
Summary The subject of this study is related to the torsion problem of a thin-walled prismatic bar having a closed cross-section. It is shown that the Bredt formula is valid also for made of a bimodular material. The Bredt formula should be modi ed substituting for the G shear modulus a defined term of constants characterizing the birnodular material. EINE BEMERKUNG IM ZUSAMMENHANG MIT DER BREDTSCHEN FORMEL I. ECSEDI
Zusammenfassung Das Thema des Aufsatzes bezieht sich auf das Torsionsproblem der dünnwändigen, geschlossenen, prismatischen Stäbe. Es ist bewiesen, dală auch im Falle von bimodulen Materialen die Bredtsche Forrnel gültig ist. Man soll statt des Schubrno duls G eine das bimodule Material kennzeichnende Formel verwenden. '
BAME'-IAHHE B CBHBPI C ÍDOPMYJIOH BPEHTA PI. 3'-IEJII/I
Peaıoıvre Ilpemvıer 1-racrosrmeit cTaTr>r«r cıssraan c sarraaeii Kpylreırr-111 Tonxocreı-rnoro, npnamamlrecxoro crepxorx, sa1vrKHyTor`o ceııeırırsı. llenott crarm srnnrıercsr noxaabınamıe Toro, \rTo npır cnylrae ruıyxMorrynrsnoro ıuareprraıra Toııce rreitcrnnrenrzna cpopıvryna Bperıra, orırocsrrııasrcsr K xcecrxocm Kpylremia crepıxrın. B cpopıvıyne Bpe1ıTa 1-ryııcı-ro npoıraaortrrrrz rıasseneırrre Ecero To, =1To Morıyma cmsnra G nano aaıvıe1ıa'1`r> (popssynolt mm zteyxuorıyırrzı-roro Mareprrana.
136
TARTALOMJEGYZÉK
Ecsedi István: Egy tétel a rugalmas kontinuumok kiegészítő energiájáról . . . . . . . . . .
J
Ecsedi István: Egy hővezetési problémáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ecsedi István' I-lőelvezetés lemez alakú bordán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecsedi Istva'n.` Korlátok a forgásfelületekkel határolt kondenzátorok kapacitására . . . . . Ecsedi István: Korlátok a vékonyfalú anizotróp rugalmas anyagú, prizmatikus rudak csavarási merevségére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 19
Ecsedi István: Korlátok az üreges forgástest alakú tárcsák csavarási merevségére . . . . . .
7,
Nándorine' Tóth Mária: Alakzatok rekonstrukciója három nézetből . . . . . . . . . . . . .
99
S9
R. Tégen Magdolna: Egy elemi megoldási módszer a közönséges lineáris differenciálegyenletek egy speciális osztályára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
Ecsedi István: Egy megjegyzés a Bredt-formulával kapcsolatban . . . . . . . . . . . . . . . Maurer I. Gyula: Romániai magyar matematikai és csillagászati szakirodalom . . . . . . .
127 137
149
A NEHEzıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 27. KÖTET - l - 2. FÜZET
MISKOLC, 1988.
HU-ISSN 0133-3992.
SZERKESZTŐ BIZOTTSÁG:
KOZÁK IMRE felelő: ızeıteeztõ MAURER GYULA, SZÓTÉR LÁSZLÓ
lüedjı ı Nehezlpıxi Műızıki Egyetem
A kiedíıeft felelõız Dr. RonııvárlPál rektoı-helyettes NME Sokııoroıltó Üzeme Nyomdeıılm: ICSZ-88-1500-NME Mlıkele-Eıyetemvlroı. 1988. Bn|ed6ly ıılme: 57768 N86 el rendezte: Dr. Fırkııı Jóıuf egyetemi tıní: Technlkel ııeılıeııtõ: Mdrkuı Ldclóııd lledelenı eı NMR Köılemenyel Sıerkeeztõıézének ıondoztıúbeıı Kell!!! lledeıe: 1988. V. 1-46| - 1988. VIII. 15-lg. Sokızotoeitóbe bedvı:'l988..lX. 8.
Nlúlııyıılm: 350
Mııüli IIH « li Elektıoıılkuı Compoıeı ızedóııel. :oteprhıt lemezről
ll HI! 560149 Ö! 8602-55 lılbvlnyok lıednt. 12 HIS ív teıjedeleluben
A ıııhııemllllıt felelde: Tóth Ond mb. llıemveıetõ
