´ ´ NEMLINEARIS FUNKCIONAL ANAL´IZIS
Du´ alis lek´ epez´ esek ´ es akret´ıv oper´ atorok Banach terekben
Domokos Andr´ as
Kolozsv´ ar, 2000
Tartalomjegyz´ ek 1 Bevezet˝ o
1
1.1
Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Gyenge topol´ogi´ak Banach terekben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3
Gyenge z´arts´ag ´es kompakts´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4
Reflex´ıv Banach terek
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Banach terek geometriai tulajdons´ agai
25
2.1
Szigor´ uan konvex Banach terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2
Lok´alisan uniform konvex Banach terek . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3
Uniform konvex Banach terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3 A du´ alis lek´ epez´ es
35
3.1
Konvex f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2
A du´alis lek´epez´es tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.3
A du´alis lek´epez´es ´es a t´er kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.4
P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4 Akret´ıv oper´ atorok
59
4.1
F´elskal´aris szorzat Banach terekben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2
Akret´ıv oper´atorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5 Akret´ıv oper´ atorok ´ es differenci´ alegyenletek 5.1
Vektor ´ert´ek˝ u disztrib´ uci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
77 77
´ TARTALOMJEGYZEK
2 5.2
Nemexpanz´ıv oper´atorok f´elcsoportjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.3
Differenci´alegyenletek Banach terekben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.4
Differenci´alegyenletek integr´al megold´asai . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Szakirodalom
103
1 Bevezet˝ o
E k¨onyv az 1999-2000 ´es a 2000-2001 tan´evben a Babe¸s-Bolyai Tudom´anyegyetem Matematika Kar´an tartott Nemline´aris Anal´ızis kurzus anyag´ara ´ep¨ ul. Megszerkeszt´es´eben ´epp´ ugy didaktikai, mint tudom´anyos szempontok is ´erv´enyes¨ ulnek. C´elja a bevezet´es a nemline´aris anal´ızis egy olyan ter¨ ulet´ere, amelyik a Banach terek geometriai tulajdons´agaira ´es az akret´ıv oper´atorok elm´elet´ere alapozik. Alkalmaz´asaik a differenci´alegyenletek ´es parci´alis differenci´alegyenleteken kereszt¨ ul kiterjednek sok m´as tudom´any´ag ter¨ ulet´ere is.
Ezek k¨oz¨ ul megeml´ıthetj¨ uk a folyad´ekok diff´ uzi´os
probl´em´ait, a h˝ovezet´est ´es a n´epess´egdinamik´at modell´al´o evol´ uci´os probl´em´akat. E k¨onyv fel´ep´ıt´es´enek els˝odleges c´elja, hogy olyan ismereteket adjon ´at, amelyek egy j´ol meghat´arozott ir´anyba vezetik az olvas´ot ´es megismertetik az ezen a ter¨ uleten alkalmazott gondolkod´asm´oddal ´es bizony´ıt´asi technik´akkal. Emiatt azon t´etelek ´es tulajdons´agok bizony´ıt´asaira helyezz¨ uk a hangs´ ulyt, amelyek ezt a c´elt szolg´alj´ak. Sok sikert ´es t¨ urelmet k´ıv´anok az olvas´ashoz. E k¨onyv meg´ır´as´at a Domus Hungarica Scientiarium et Artium is t´amogatta a szerz˝onek biztos´ıtott kutat´oi ¨oszt¨ond´ıja ´altal. 1
˝ 1. BEVEZETO
2
1.1
Alapfogalmak
Ebben a fejezetben megeml´ıtj¨ uk azokat a topol´ogikus terekre, line´aris topol´ogikus terekre, lok´alisan konvex terekre ´es ezeken ´ertelmezett folytonos f¨ uggv´enyekre vonatkoz´o alapfogalmakat, amelyekre a k¨ovetkez˝o fejezetekben sz¨ uks´eg¨ unk lesz. Defin´ıci´ o 1.1.1 Legyen X egy halmaz. Ha megadunk egy X r´eszhalmazaib´ ol ´all´o τ rendszert a k¨ovetkez˝ o tulajdons´agokkal: 1. ∅, X ∈ τ ; 2. Gi ∈ τ , i ∈ I ⇒ 3. G1 , ..., Gn ∈ τ ⇒
S i∈I
Gi ∈ τ ;
T
1≤i≤n
Gi ∈ τ ,
akkor azt mondjuk, hogy X-en ´ertelmezt¨ unk egy τ topol´ ogi´ at ´es az (X, τ ) kett˝ ost topol´ ogikus t´ernek nevezz¨ uk. A τ halmazrendszer elemeit ny´ılt halmazoknak nevezz¨ uk. Legyen (X, τ ) egy topol´ogikus t´er, X0 ⊂ X ´es τ0 = {G ∩ X0 : G ∈ τ }. Ekkor τ0 teljes´ıti a ny´ılt halmazokra vonatkoz´o felt´eteleket ´es ez´altal az X0 -n ´ertelmezt¨ unk egy τ0 topol´ogi´at, amit a τ ´altal sz´armaztatott topol´ogi´anak nevez¨ unk. Ha G ⊂ X egy ny´ılt halmaz, akkor az F = X \ G halmazt z´art halmaznak nevezz¨ uk. Legyen x ∈ X. Egy V ⊂ X halmazt az x pont k¨ornyezet´enek nevezz¨ uk, ha l´etezik G∈τ u ´gy, hogy x ∈ G ⊂ V . Egy x pont k¨ornyezeteinek rendszer´et N (x)-el fogjuk jel¨olni. Egy B(x), x k¨ornyezeteib˝ol ´all´o, halmazrendszert x k¨ornyezetb´azis´anak nevezz¨ uk, ha b´armely V ∈ N (x) eset´en l´etezik B ∈ B(x) u ´gy, hogy B ⊂ V . Megjegyezz¨ uk, hogy egy topol´ogia megad´asa szempontj´ab´ol egyen´ert´ek˝ u ha megadjuk a ny´ılt halmazok rendszer´et, vagy b´armely elemnek megadjuk egy k¨ornyezetb´azis´at. Egy (X, τ ) topol´ogikus t´er τ topol´ogi´aj´at megsz´aml´alhat´o topol´ogi´anak nevezz¨ uk, ha b´armely pontnak l´etezik olyan k¨ornyezetb´azisa, amely megsz´aml´alhat´o halmazt tartalmaz. P´eldak´ent megeml´ıthetj¨ uk a norm´alt terekben a norma topol´ogi´aj´at, mert
1.1. ALAPFOGALMAK
3
b´armely x pontnak a B(x) = {B(x, r) : r > 0 , r ∈ Q} halmazrendszer k¨ornyezetb´azisa. B(x, r) jel¨oli az x k¨oz´eppont´ u r sugar´ u z´art g¨omb¨ot. Legyen M ⊂ X. Azt mondjuk, hogy x ∈ M bels˝o pontja M -nek, ha M k¨ornyezete x-nek. Az M bels˝o pontjainak halmaz´at intM -el jel¨olj¨ uk ´es M belsej´enek nevezz¨ uk. M belsej´et u ´gy is ´ertelmezhetj¨ uk, mint az M -ben lev˝o ny´ılt halmazok egyes´ıt´es´et. Az M -et tartalmaz´o ¨osszes z´art halmazok metszet´et M lez´ar´as´anak nevezz¨ uk ´es M -el jel¨olj¨ uk. Az M \ intM halmazt M hat´ar´anak nevezz¨ uk ´es ∂M -el jel¨olj¨ uk. Legyen M ⊂ X. Azt mondjuk, hogy M s˝ ur˝ u X-ben, ha M = X. Azt mondjuk, hogy X szepar´abilis topol´ogikus t´er, ha l´etezik egy megsz´aml´alhat´o ´es s˝ ur˝ u r´eszhalmaza. Az M ⊂ X halmazr´ol azt mondjuk, hogy kompakt, ha b´armely ny´ılt lefed´es´eb˝ol kiv´alaszthat´o egy v´eges lefed´es. A kompakts´ag sorozatokkal is jellemezhet˝o. Ennek ´erdek´eben bevezetj¨ uk az ´altal´anos´ıtott sorozatokat. Legyen (I, ≤) egy rendezett halmaz, amely jobbra ir´any´ıtott, azaz b´armely i, j ∈ I eset´en l´etezik k ∈ I u ´gy, hogy i ≤ k ´es j ≤ k. X halmazbeli ´altal´anos´ıtott sorozatnak nevez¨ unk egy olyan x : I → X f¨ uggv´enyt, ahol I egy rendezett, jobbra ir´any´ıtott halmaz. Az ´altal´anos´ıtott sorozat elemei xi = x(i) ´es ez´ert a sorozatot (xi )i∈I -vel, vagy egyszer˝ ubben csak (xi )-vel jel¨olj¨ uk. Egy ´altal´anos´ıtott sorozatot csak sorozatnak nevez¨ unk, ha I = N. Legyen (xi )i∈I ⊂ R egy ´altal´anos´ıtott sorozat. ´.h. ∀ i ≥ iε , xi > x − ε ∀ ε > 0 ∃ iε u ´es lim inf xi = x ⇔ , i∈I 0 ∀ε > 0 ∀i, ∃i ≥ i u ´.h. xi0 < x + ε
˝ 1. BEVEZETO
4
´.h. ∀ i ≥ iε , xi < x + ε ∀ ε > 0 ∃ iε u ´es lim sup xi = x ⇔ . i∈I 0 ∀ε > 0 ∀i, ∃i ≥ i u ´.h. xi0 > x − ε Egy (X, τ ) topol´ogikus t´erbeli (xi )i∈I ´altal´anos´ıtott sorozat konverg´al az x ∈ X elemhez, ha b´armely V ∈ N (x) eset´en l´etezik iV ∈ I u ´gy, hogy b´armely i ≥ iV eset´en xi ∈ V . (xi ) ⊂ R konvergens, ha lim inf xi = lim sup xi = lim xi = x . i∈I
i∈I
i∈I
Legyen I = (0, 1) a szok´asos rendez´esi rel´aci´oval ´es xi = sin
1 1 , yi = . 1−i i
Ekkor (xi ) nem konvergens, (yi ) konvergens hab´ar nem korl´atos. Egy (yj )j∈J ´altal´anos´ıtott sorozatot az (xi )i∈I ´altal´anos´ıtott sorozat ´altal´anos´ıtott r´eszsorozat´anak nevezz¨ uk, ha l´etezik egy ϕ : J → I f¨ uggv´eny u ´gy, hogy: (i) yj = xϕ(j) , ∀ j ∈ J; (ii) ∀ i ∈ I , ∃ ji ∈ J u ´.h. ∀j ≥ ji ⇒ ϕ(j) ≥ i. Lehets´egesek olyan esetek is, amikor egy sorozatnak nincsenek konvergens r´eszsorozatai, de vannak konvergens ´altal´anos´ıtott r´eszsorozatai [9, 18]. Egy M halmaz kompakts´ag´at ´altal´anos´ıtott sorozatokkal u ´gy jellemezhetj¨ uk, hogy b´armely M -beli ´altal´anos´ıtott sorozatnak van konvergens ´altal´anos´ıtott r´eszsorozata. Az olyan halmazokat, amelyek eset´eben b´armely sorozatnak van konvergens r´eszsorozata, szekvenci´alisan kompakt halmazoknak nevezz¨ uk. Megsz´aml´alhat´o topol´ogi´ara n´ezve a kompakts´ag ´es szekvenci´alis kompakts´ag egyen´ert´ek˝ u fogalmak. Tekints¨ uk a (X, τ ) ´es (Y, σ) topol´ogikus tereket. Az f : X → Y f¨ uggv´enyr˝ol azt mondjuk, hogy folytonos az x0 ∈ X pontban, ha ∀ V ∈ N (f (x0 )) , ∃ U ∈ N (x) u ´.h. ∀ x ∈ U ⇒ f (x) ∈ V . Az f f¨ uggv´enyr˝ol azt mondjuk, hogy folytonos az X halmazon, ha folytonos X minden pontj´aban.
1.1. ALAPFOGALMAK
5
o kijelent´esek ekvivalensek: Tulajdons´ ag 1.1.1 A k¨ovetkez˝ 1. f folytonos X-en. 2. G ⊂ Y ny´ılt ⇒ f −1 (G) ny´ılt. 3. F ⊂ Y z´art ⇒ f −1 (F ) z´ art. 4. Ha xi → x ∈ X ⇒ f (xi ) → f (x). Defin´ıci´ o 1.1.2 Azt mondjuk, hogy f : X → R alulr´ ol f´elig folytonos (a.f.f.) az x0 pontban, ha xi → x0 ⇒ lim inf f (xi ) ≥ f (x0 ) . i∈I
Azt mondjuk, hogy f : X → R fel¨ ulr˝ol f´elig folytonos (f.f.f.) az x0 pontban, ha xi → x0 ⇒ lim sup f (xi ) ≤ f (x0 ) . i∈I
Ha f : X → R folytonos az x0 pontban, akkor xi → x ⇒ lim inf f (xi ) = lim sup f (xi ) = lim f (xi ) = f (x) . i∈I
i∈I
i∈I
Tulajdons´ ag 1.1.2 Ha f : X → Y folytonos ´es K ⊂ X kompakt, akkor f (K) kompakt. Defin´ıci´ o 1.1.3 Legyen (X, +, ·) egy line´aris t´er ´es az X-en megadunk egy τ topol´ ogi´ at. Azt mondjuk, hogy az (X, +, ·, τ ) egy line´aris topol´ ogikus t´er, ha az ¨osszead´ as ´es a skal´arral val´o szorz´as folytonosak. A k¨ovetkez˝okben mindig val´os skal´arokkal fogunk dolgozni. Az el˝obbi defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik, hogy egy line´aris topol´ogikus t´er eset´en el´eg ha megadjuk az orig´o egy k¨ornyezetb´azis´at. Legyen B az orig´o egy k¨ornyezetb´azisa. Ekkor egy x ∈ X elem eset´en B(x) = {x + B : B ∈ B} az x egy k¨ornyezetb´azis´at alkotja. Egy line´aris t´erbeli (xi )i∈I ´altal´anos´ıtott sorozatot Cauchy (fundament´alis) sorozatnak
˝ 1. BEVEZETO
6
nevez¨ unk, ha az orig´onak b´armely U k¨ornyezete est´en l´etezik i0 , j0 ∈ I u ´.h. xi − xj ∈ U b´armely i ≥ i0 , j ≥ j0 eset´en. Minden konvergens ´altal´anos´ıtott sorozat egyben Cauchy sorozat is. Egy line´aris teret teljesnek nevez¨ unk, ha b´armilyen ´altal´anos´ıtott Cauchy sorozat konvergens. Defin´ıci´ o 1.1.4 Egy K ⊂ X halmazr´ol azt mondjuk, hogy konvex, ha ∀ x, y ∈ K , ∀ t ∈ [0, 1] ⇒ (1 − t)x + ty ∈ K . Egy M ⊂ X halmaz eset´en konvM jel¨oli M konvex burkol´oj´at, azaz az M halmazt tartalmaz´o ¨osszes konvex halmazok keresztmetszet´et. konvM jel¨oli a konvex burkol´o lez´ar´as´at. Defin´ıci´ o 1.1.5 Az X line´aris topol´ ogikus t´err˝ ol azt mondjuk, hogy lok´alisan konvex, ha l´etezik az orig´onak egy csup´an konvex halmazokb´ol ´all´o k¨ornyezetb´ azisa. A lok´alisan konvex terek jellemz´ese ´erdek´eben bevezetj¨ uk a f´elnorma fogalm´at. Defin´ıci´ o 1.1.6 Legyen X egy line´aris t´er. Egy p : X → R f¨ uggv´enyt f´elnorm´ anak nevez¨ unk, ha: 1. p(tx) = |t|p(x) , ∀ t ∈ R , ∀ x ∈ X. 2. p(x + y) ≤ p(x) + p(y) , ∀ x, y ∈ X. Defin´ıci´ o 1.1.7 Ha egy p f´elnorma m´eg teljes´ıti a 3. p(x) = 0 ⇔ x = 0 felt´etelt is, akkor norm´anak nevezz¨ uk. T´ etel 1.1.1 Egy X line´ aris topol´ ogikus t´er lok´alisan konvex akkor ´es csakis akkor, ha l´etezik egy (pi )i∈I f´elnorma csal´ad u ´.h. a B = {Vi1 ,...,in ,ε : i1 , ..., in ∈ I, ε > 0} , halmazrendszer egy k¨ornyezetb´ azisa az orig´onak, ahol Vi1 ,...,in ,ε =
©
ª x ∈ X : pij (x) < ε , ∀ j ∈ {1, ..., n} .
1.1. ALAPFOGALMAK
7
P´ elda 1.1.1. Legyen l : R2 → R egy line´aris f¨ uggv´eny. Ekkor p(x) = |l(x)| egy f´elnorma ´es ezen f´elnorma seg´ıts´eg´evel az orig´o egy k¨ornyezetb´azis´anak az elemei a Vp,ε =
© ª x ∈ R2 : |l(x)| < ε
halmazok. A k´es˝obbiekben az ´altalunk tanulm´anyozott lok´alis konvex terek f´elnorm´ai hasonl´oak az el˝obbi p´eld´aban szerepl˝ovel. Meg´allap´ıthatjuk, hogy az orig´onak k¨ornyezetb´azis´at ilyen Vp,ε s´avok ´es ezek v´eges metszetei alkotj´ak. Ezen s´avok az orig´ora n´ezve szimmetrikusak ´es k´et p´arhuzamos hipers´ık, az l(x) = −ε ´es az l(x) = ε, k¨oz¨ott helyezkednek el. V´egtelen dimenzi´os terek eset´eben v´eges sz´am´ u ilyen s´av metszete sohasem korl´atos. Ez´ert, v´egtelen dimenzi´os Banach terek eset´eben, az ´altalunk t´argyalt gyenge topol´ogi´aknak nincs korl´atos halmazokb´ol ´all´o k¨ornyezetb´azisa. aris t´eren megadunk egy || · || : X → R+ norm´ at, akkor Defin´ıci´ o 1.1.8 Ha egy X line´ az (X, || · ||) teret norm´alt t´ernek nevezz¨ uk. Egy norm´alt t´er egyben lok´alisan konvex t´er is. Norm´alt terek eset´eben viszont az orig´onak mindig van korl´atos halmazokb´ol, azaz g¨omb¨okb˝ol ´all´o k¨ornyezetb´azisa. Defin´ıci´ o 1.1.9 Ha egy norm´alt t´erben b´armilyen Cauchy (fundament´alis) sorozat konvergens, akkor a teret Banach t´ernek nevezz¨ uk. Defin´ıci´ o 1.1.10 Legyen X egy line´aris t´er. Egy h· , ·i : X × X → R f¨ uggv´enyt skal´aris szorzatnak nevezz¨ uk, ha teljes´ıti a k¨ovetkez˝ o felt´eteleket: 1. hx , xi ≥ 0, ∀ x ∈ X ´es hx , xi = 0 ⇔ x = 0. 2. hx , yi = hy , xi, ∀ x, y ∈ X. 3. hαx + βy , zi = αhx , zi + βhy , zi, ∀ α, β ∈ R, ∀ x, y, z ∈ X. p Egy skal´aris szorzat mindig sz´armaztat egy norm´at a ||x|| = hx , xi k´eplet seg´ıts´eg´evel. Ford´ıtva, egy norma skal´aris szorzatb´ol sz´armazik akkor ´es csakis akkor, ha teljes´ıti a paralelogramma egyenl˝os´eget, azaz ¡ ¢ ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2 , ∀ x, y ∈ X .
˝ 1. BEVEZETO
8
aris t´eren megadunk egy h·, ·i skal´ aris szorzatot, akkor Defin´ıci´ o 1.1.11 Ha egy X line´ az (X, h·, ·i) p´arost prehilbert t´ernek nevezz¨ uk. Ha ebben a t´erben b´armilyen Cauchy sorozat konvergens, akkor a teret Hilbert t´ernek nevezz¨ uk. P´ elda 1.1.2. Legyen X = C[0, 2π] ´es ||x|| = max{|x(t)| : t ∈ [0, 2π]} . Ekkor (X, || · ||) Banach t´er. Ugyanez elmondhat´o a k¨ovetkez˝o esetben is: X = C2π (R), vagyis a val´os sz´amok halmaz´an ´ertelmezett folytonos ´es 2π peri´odus´ u f¨ uggv´enyek halmaza ´es ||x|| = max{|x(t)| : t ∈ [0, 2π]} . P´ elda 1.1.3. Tekints¨ uk az Rn teret a k¨ovetkez˝o norm´akkal: ||(x1 , ..., xn )||p =
p p
|x1 |p + ... + |xn |p
amikor 1 ≤ p < ∞ ´es ||(x1 , ..., xn )||∞ = max{|x1 |, ..., |xn |} . Az Rn b´armelyik norm´aval Banach teret alkot, de ezen norm´ak k¨oz¨ ul csak || · ||2 sz´armazik skal´aris szorzatb´ol. Ez a skal´aris szorzat a k¨ovetkez˝o: h(x1 , ..., xn ) , (y1 , ..., yn )i = x1 y1 + ... + xn yn . P´ elda 1.1.4. Legyen Ω ⊂ Rn , 1 ≤ p < ∞ ´es ½ ¾ Z p p I (Ω) = x : Ω → R : x Lebesque m´erhet˝o ´es |x(t)| dt < +∞ . Ω
Az I p (Ω) line´aris t´er a f¨ uggv´enyek ¨osszead´as´ara ´es skal´arral val´o szorz´as´ara n´ezve. Tekints¨ uk az I p (Ω) faktoriz´al´as´at az x ∼ y ⇔ x(t) = y(t) m.m. t ∈ Ω
1.1. ALAPFOGALMAK
9
ekvivalencia rel´aci´oval. A kapott faktorhalmazt Lp (Ω)-val jel¨olj¨ uk, ami ugyancsak egy ´ line´aris t´er. Ertelmezz¨ uk Lp (Ω)-n a k¨ovetkez˝o norm´at: µZ ¶ p1 p ||x||p = |x(t)| dt Ω
ahol x az [x] ekvivalencia oszt´alynak egy reprezent´ans´at jel¨oli. Az (Lp (Ω) , || · ||p ) Banach t´er b´amilyen p ≥ 1 eset´en, de csak p = 2-re Hilbert t´er. Ebben az esetben a norm´at sz´armaztat´o skal´aris szorzat: Z hx , yi = x(t)y(t)dt . Ω
p = ∞ eset´eben az el˝obbi szerkeszt´es a k¨ovetkez˝ok´eppen alakul: I ∞ (Ω) = {x : Ω → R : x Lebesque m´erhet˝o ´es ∃ c > 0 , u ´.h. |x(t)| ≤ c , m.m.t ∈ Ω} . Az L∞ (Ω) line´aris teret az I ∞ (Ω)-nak az el˝obbi ekvivalencia rel´aci´o szerinti faktoriz´al´as´ab´ol kapjuk. ´ Ertelmezhetj¨ uk a k¨ovetkez˝o norm´at: ||x||∞ = ess sup |x(t)| = inf{c > 0 : |x(t)| ≤ c , m.m. t ∈ Ω} . t∈Ω
(L∞ (Ω) , || · ||∞ ) Banach t´er ebben az esetben is.
P´ elda 1.1.5. A f¨ uggv´enyterekhez hasonl´oan sorozattereket is ´ertelmezhet¨ unk. Legyen p ≥ 1 ´es
( lp =
(xn ) ⊂ R :
∞ X
) |xn |p < ∞
.
n=1 p
l egy line´aris t´er ´es ´ertelmezhetj¨ uk rajta a k¨ovetkez˝o norm´at: Ã∞ ! p1 X . ||(xn )||p = |xn |p n=1
(lp , || · ||p ) Banach t´er b´armilyen 1 ≤ p < ∞ eset´en, viszont csak p = 2-re Hilbert t´er. p = ∞ eset´en l∞ = {(xn ) ⊂ R : (xn ) korl´atos} .
˝ 1. BEVEZETO
10 l∞ egy Banach t´er a k¨ovetkez˝o norm´aval: ||(xn )||∞ = sup |xn | . n∈N
P´ elda 1.1.6. A disztribuci´ok tere mint lok´alisan konvex t´er. Legyen Ω ∈ Rn egy ny´ılt halmaz. C0∞ (Ω)-val jel¨olj¨ uk az Ω-n ´ertelmezett ak´arh´anyszor differenci´alhat´o, kompakt tart´oj´ u f¨ uggv´enyek halmaz´at. Egy x : Ω → R f¨ uggv´eny tart´oj´an a k¨ovetkez˝o halmazt ´ertj¨ uk: supp x = {t ∈ Ω : x(t) 6= 0} . Legyen K ⊂ Ω kompakt halmaz ´es C0∞ (K, Ω) = {x ∈ C0∞ (Ω) : suppx ⊂ K} . B´armilyen K 0 ⊂ K kompakt halmaz, m ∈ N ´es x ∈ C0∞ (K 0 , Ω) eset´en legyen pK 0 ,m (x) =
¯ ¯ sup ¯Dk x(t)¯ . t ∈ K0 |k| ≤ m
pK 0 ,m f´elnorma C0∞ (K, Ω)-n. C0∞ (K, Ω) a pK 0 ,m f´elnorm´akkal lok´alisan konvex teret alkot. C0∞ (Ω)-n a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ertelmez¨ unk egy lok´alisan konvex topol´ogi´at: - az orig´o egy k¨ornyezetb´azisa azon U ⊂ C0∞ (Ω) halmazokb´ol ´all, amelyekre U konvex, tU ⊂ U , ∀ |t| ≤ 1 ´es b´armilyen K ⊂ Ω kompakt halmazra U ∩C0∞ (K, Ω) egy k¨ornyezete az orig´onak a C0∞ (K, Ω) lok´alisan konvex t´erben. A C0∞ (Ω)-n ´ertelmezett lok´alisan konvex teret D(Ω)-val jel¨olj¨ uk. Ezen a t´eren a f¨ uggv´enysorozatok konvergenci´aja a k¨ovetkez˝ot jelenti: xn → x akkor ´es csakis akkor, ha: - l´etezik K ⊂ Ω kompakt halmaz u ´.h. suppxn , suppx ⊂ K; - Dk xn egyenletesen konverg´al a K kompakt halmazon Dk x-hez, b´armilyen rend˝ u differenci´al eset´en. A D(Ω)-n ´ertelmezett line´aris ´es folytonos f¨ uggv´enyeket disztribuci´oknak nevezz¨ uk.
´ AK ´ BANACH TEREKBEN 1.2. GYENGE TOPOLOGI
1.2
11
Gyenge topol´ ogi´ ak Banach terekben
Defin´ıci´ o 1.2.1 Legyen X egy lok´alisan konvex t´er. Az X ∗ = {x∗ : X → R : x∗ line´ aris ´es folytonos} , line´aris teret az X du´alis ter´enek nevezz¨ uk. X ∗∗ jel¨oli az X bidu´alis ter´et, amit az X ∗ Banach t´er du´alisak´ent ´ertelmezhet¨ unk.
P´ elda 1.2.1. 1. Rn du´alisa ¨onmaga, f¨ uggetlen¨ ul att´ol, hogy melyik norm´at ´ertelmezz¨ uk rajta. 2. 1 < p < ∞ eset´en az Lp (Ω) ´es lp terek du´alisai Lq (Ω) ´es lq , ahol
1 p
+
1 q
= 1.
3. L1 (Ω) ´es l1 du´alisai L∞ (Ω) ´es l∞ . 4. A D(Ω) t´er du´alis ter´et D0 (Ω)-val jel¨olj¨ uk ´es a disztribuci´ok line´aris ter´et alkotja.
Ha X egy Banach t´er, akkor X ∗ -on ´ertelmezhet˝o a k¨ovetkez˝o norma, amivel egy¨ utt X ∗ egy Banach teret alkot: ||x∗ || = sup x∗ (x) . ||x||=1 ∗
∗
Ezut´an az x (x) = hx , xi jel¨ol´est fogjuk haszn´alni. Defin´ıci´ o 1.2.2 Az X ∗ -on a fentebbi norma ´altal sz´armaztatott topol´ ogi´ at a norma topol´ ogi´ aj´ anak vagy er˝os topol´ ogi´ anak nevezz¨ uk. A norma topol´ogi´aj´ara n´ezve X ∗ -ban az orig´onak egy k¨ornyezetb´azisa a B ∗ = {B ∗ (0, ε) : ε > 0} halmazrendszer, ahol B ∗ (0, ε) az X ∗ -beli orig´o k¨oz´eppont´ u ε sugar´ u z´art g¨omb¨ot jel¨oli. A k¨ovetkez˝okben B ∗ jel¨oli az X ∗ -beli z´art egys´egg¨omb¨ot, B az X-beli z´art egys´egg¨omb¨ot, valamint S ∗ ´es S ezek hat´arait.
˝ 1. BEVEZETO
12
Megeml´ıt¨ unk olyan tulajdons´agokat ´es t´eteleket is, amelyek a funkcion´al anal´ızis klasszikus eredm´enyeihez sorolhat´ok. Legyen X egy Banach t´er. Tulajdons´ ag 1.2.1 [18] Legyen U egy z´art altere X-nek ´es x 6∈ U . Ekkor l´etezik x∗ ∈ X ∗ u ´.h. hx∗ , xi = 1 ´es hx∗ , si = 0, ∀ s ∈ U . ´.h. ||x∗ || = 1 ´es Tulajdons´ ag 1.2.2 [18] B´armilyen x ∈ X eset´en l´etezik x∗ ∈ X ∗ u hx∗ , xi = ||x||. ∗∗ T´ etel 1.2.1 Helly t´ etele [18] Legyen x∗∗ ´es U ∗ ⊂ X ∗ egy v´eges dimenzi´os 0 ∈ X
alt´er. Ekkor b´armilyen ε > 0 eset´en l´etezik xε ∈ X u ´.h. ||xε || ≤ ||x∗∗ 0 || + ε ´es hx∗∗ , x∗ i = hx∗ , xε i , ∀ x∗ ∈ U ∗ . T´ etel 1.2.2 Riesz t´ etele [18] Legyen X egy Hilbert t´er ´es x∗0 ∈ X ∗ . Ekkor l´etezik x0 ∈ X u ´.h. hx∗0 , xi = hx0 , xi, ∀ x ∈ X. Az X ∗ -on ´ertelmez¨ unk k´et m´asik topol´ogi´at is, amelyek gyeng´ebbek a norma topol´ogi´aj´an´al. Legyen x ∈ X tetsz˝oleges. Ekkor a px : X ∗ → R, px (x∗ ) = |hx∗ , xi| , egy f´elnorm´at hat´aroz meg X ∗ -on. Defin´ıci´ o 1.2.3 A © ª Bw∗ ∗ = Vx∗1 ,...,xn ,ε : x1 , ..., xn ∈ X , ε > 0 halmazrendszer, ahol Vx∗1 ,...,xn ,ε = {x∗ ∈ X ∗ : pxi (x∗ ) < ε , ∀ i ∈ {1, ..., n}} , az orig´onak egy k¨ornyezetb´ azis´ at alkotja X ∗ -on egy lok´alisan konvex topol´ ogia sz´am´ ara, amelyet az X ∗ gyenge∗ topol´ogi´ aj´ anak nevez¨ unk ´es σ(X ∗ , X)-el jel¨ol¨ unk.
´ AK ´ BANACH TEREKBEN 1.2. GYENGE TOPOLOGI
13
Legyen x∗∗ ∈ X ∗∗ tetsz˝oleges. Ekkor a px∗∗ : X ∗ → R, px∗∗ (x∗ ) = |hx∗∗ , x∗ i| , egy f´elnorm´at hat´aroz meg X ∗ -on. Defin´ıci´ o 1.2.4 A Bw∗
n =
Vx∗∗∗ ∗∗ 1 ,...,xn ,ε
:
∗∗ x∗∗ 1 , ..., xn
o ∈X , ε>0 ∗∗
halmazrendszer, ahol © ª ∗ ∗∗ (x ) < ε , ∀ i ∈ {1, ..., n} Vx∗∗∗ = x ∈ X : p , ∗∗ x i 1 ,...,xn ,ε az orig´o egy k¨ornyezetb´ azis´ at alkotja X ∗ -on egy lok´alisan konvex topol´ ogia sz´am´ ara, amelyet az X ∗ gyenge topol´ ogi´ aj´ anak nevez¨ unk ´es σ(X ∗ , X ∗∗ )-gal jel¨olj¨ unk. Meghat´arozunk egy gyenge topol´ogi´at X-en is. Legyen x∗ ∈ X ∗ tetsz˝oleges. Ekkor a px∗ : X → R, px∗ (x) = |hx∗ , xi| , egy f´elnorm´at hat´aroz meg X-en. Defin´ıci´ o 1.2.5 A ª © Bw = Vx∗1 ,...,x∗n ,ε : x∗1 , ..., x∗n ∈ X ∗ , ε > 0 halmazrendszer, ahol ª © Vx∗1 ,...,x∗n ,ε = x ∈ X : px∗i (x) < ε , ∀ i ∈ {1, ..., n} , az orig´o egy k¨ornyezetb´ azis´ at alkotja X-en egy lok´alisan konvex topol´ ogia sz´am´ ara, amelyet az X gyenge topol´ ogi´ aj´ anak nevez¨ unk ´es σ(X, X ∗ )-gal jel¨ol¨ unk.
˝ 1. BEVEZETO
14 Sorozatok konvergenci´aj´ara a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket fogjuk haszn´alni:
- xi → x ´es x∗i → x∗ , amikor X-en ´es X ∗ -on a norma topol´ogi´aj´at tekintj¨ uk; - xi * x, amikor X-en a gyenge topol´ogi´at tekintj¨ uk; - x∗i * x∗ , amikor az X ∗ -on a gyenge, σ(X ∗ , X ∗∗ ), topol´ogi´at tekintj¨ uk; - x∗i *∗ x∗ , amikor az X ∗ -on a gyenge∗ , σ(X ∗ , X), topol´ogi´at tekintj¨ uk.
V´eges dimenzi´os X t´er eset´en X-en a norma topol´ogi´aja ´es a gyenge topol´ogia ekvivalens. Ugyanakkor X ∗ -on a norma topol´ogi´aja, a gyenge ´es a gyenge∗ -topol´ogi´ak ekvivalensek. Abban az esetben ha X nem v´eges dimenzi´os, a fentebb eml´ıtett er˝os ´es gyenge topol´ogi´ak k¨ ul¨onb¨oz˝ok. A k¨ovetkez˝o implik´aci´ok ´erv´enyesek. xi → x ⇒ xi * x x∗i → x∗ ⇒ xi * x∗ x∗i → x∗ ⇒ x∗i *∗ x∗ x∗i * x∗ ⇒ x∗i *∗ x∗ . Amint az el˝obbiekben l´attuk, sorozatok er˝os konvergenci´aja implik´alja a gyenge konvergenci´at. Ez ford´ıtva ´altal´aban nem igaz. Ez azt jelenti, hogy v´egtelen dimenzi´os Banach terekben ´altal´anos´ıtott sorozatok gyenge konvergenci´aja nem implik´alja mindig az er˝os konvergenci´at. Viszont az l1 -beli sorozatok gyenge ´es er˝os konvergenci´aja ekvivalens. A gyenge konvergenci´ak jellemz´es´er˝ol a k¨ovetkez˝oket ´ırhatjuk: Tulajdons´ ag 1.2.3 xi * x ⇔ hx∗ , xi i → hx∗ , xi , ∀ x∗ ∈ X ∗ ; x∗i * x∗ ⇔ hx∗∗ , x∗i i → hx∗∗ , x∗ i , ∀ x∗∗ ∈ X ∗∗ ;
´ AK ´ BANACH TEREKBEN 1.2. GYENGE TOPOLOGI
15
x∗i *∗ x∗ ⇔ hx∗i , xi → hx∗ , xi , ∀x ∈ X . Tulajdons´ ag 1.2.4 Ha xi * x ∈ X, akkor ||x|| ≤ lim inf ||xi || . i∈I
Bizony´ıt´ as. Az 1.2.2 tulajdons´agb´ol k¨ovetkezik, hogy l´etezik x∗ ∈ X ∗ u ´.h. ||x∗ || = 1 ´es hx∗ , xi = ||x||. Ez´ert ||xi || ≥ hx∗ , xi i → hx∗ , xi = ||x|| , teh´at lim inf ||xi || ≥ ||x||. 2
Ez az el˝obbi tulajdons´ag ekvivalens azzal, hogy a || · || : X → R norma gyeng´en alulr´ol f´elig folytonos, amit a k¨ovetkez˝o fejezetben is felhaszn´alunk.
P´ elda 1.2.2. Legyen p, q > 1 u ´.h. 1/p + 1/q = 1 ´es Ω ⊂ Rn . Ekkor Z
Z
p
∗
xn → x L (Ω) -ban ⇔
x(t)x∗ (t)dt , ∀ x∗ ∈ Lq (Ω) .
xn (t)x (t)dt → Ω
Ω
P´ elda 1.2.3. Legyen en = (0, ..., 0, 1, 0, ...) ∈ l2 (1-es az n-ik helyen) b´armely n ∈ N eset´en ´es θ = (0, ..., 0, ...). Ekkor en * θ, mivel b´armely x = (xn ) ∈ l2 -re hen , xi = xn → 0 , n → ∞ . Ugyanakkor az (en ) sorozat er˝osen nem konverg´al, mert ||en − en+1 || =
√
2, b´armely
n ∈ N eset´en.
Megjegyz´ es. Ha egy (xn ) sorozartra fenn´all, hogy hx∗ , xn i konvergens, ∀x∗ ∈ X ∗ , m´eg nem vonja maga ut´an, hogy az (xn ) sorozat gyeng´en konvergens. P´eldak´ent eml´ıthetjuk a C([0, 1]) Banach teret ´es az xn (t) = tn f¨ uggv´enysorozatot. A C([0, 1])∗
˝ 1. BEVEZETO
16
izomorf a [0, 1] intervallumon korl´atos v´altoz´as´ u f¨ uggv´enyek azon alter´evel, amelynek elemei a (0, 1) intervallumon jobbr´ol folytonosak ´es a z´er´oban z´er´o ´ert´eket vesznek fel. Ez alapj´an ha x∗ ∈ C([0, 1])∗ , akkor u ´gy lehet tekinteni, hogy x∗ : [0, 1] → R korl´atos v´altoz´as´ u, (0, 1)-en jobbr´ol folytonos, x∗ (0) = 0 ´es Z
1
∗
hx , xi =
x(t)dx∗ (t) .
0
Legyen
½ x(t) =
0, 0 < t < 1 1, t = 1
Mivel xn (t) → x(t), ∀ t ∈ [0, 1], k¨ovetkezik, hogy Z
1
Z
1
∗
xn (t)dx (t) → 0
x(t)dx∗ (t) , ∀ x∗ ∈ C([0, 1])∗ ,
0
teh´at hx∗ , xn i konvergens ∀ x∗ ∈ C([0, 1])∗ . De x 6∈ C([0, 1]), teh´at (xn ) nem konverg´al gyeng´en egyetlen C([0,1])-beli f¨ uggv´enyhez sem.
´ ´ ES ´ KOMPAKTSAG ´ 1.3. GYENGE ZARTS AG
1.3
17
Banach terek r´ eszhalmazainak korl´ atoss´ aga, gyenge z´ arts´ aga ´ es kompakts´ aga
Egy X line´aris topol´ogikus t´erbeli M halmazt korl´atosnak nevezz¨ uk, ha az orig´o b´armely U k¨ornyezete eset´en l´etezik ε > 0 u ´.h. δ · M ⊂ U , ∀ 0 ≤ δ < ε. Legyen X egy Banach t´er. Egy M ⊂ X halmaz korl´atoss´aga az er˝os topol´ogi´ara n´ezve ekvivalens az M korl´atoss´ag´aval az X gyenge topol´ogi´aj´ara n´ezve. Jel¨olje M az M lez´ar´as´at az er˝os topol´ogi´ara n´ezve ´es M
w
az M lez´ar´as´at a gyenge
topol´ogi´ara n´ezve. Ekkor w
M ⊂M . Egyenl˝os´eg nem lehets´eges minden esetben. Ezt t´amasztja al´a a kor´abbi 1.2.3 p´elda, amelyik azt is mutatja, hogy az l2 Hilbert t´erben az egys´egg¨omb felsz´ın´enek gyenge lez´ar´asa az eg´esz egys´egg¨omb. T´ etel 1.3.1 (Mazur) Egy Banach t´erben a konvex halmazok er˝os ´es gyenge lez´ar´ asa megegyezik. Bizony´ıt´ as. Legyen M ⊂ X egy konvex halmaz. Azt kell bizony´ıtanunk, hogy w
M ⊂ M , mivel a ford´ıtott bennfoglal´as mindig igaz. w
Legyen x0 ∈ M . Felt´etelezz¨ uk, hogy x0 6∈ M . Ekkor l´etezik x∗ ∈ X ∗ ´es γ > 0 u ´.h. hx∗ , x0 i < γ ≤ hx∗ , xi , ∀x ∈ M .
(1.3.1)
Legyen 0 < ε < γ − hx∗ , x0 i. A Vx∗ ,ε = {x ∈ X : |hx∗ , xi| < ε} halmaz egy k¨ornyezete, a gyenge topol´ogi´aban, az orig´onak. Tov´abb´a, x0 + Vx∗ ,ε egy k¨ornyezete az x0 pontnak a gyenge topol´ogi´aban. B´armilyen x ∈ x0 + Vx∗ ,ε eset´en l´etezik x1 ∈ Vx∗ ,ε u ´.h. x = x0 + x1 ´es ´ıgy hx∗ , xi = hx∗ , x0 + x1 i < hx∗ , x0 i + ε < γ .
˝ 1. BEVEZETO
18
Innen viszont az k¨ovetkezik, hogy x 6∈ M , teh´at x 6∈ M , b´armely x ∈ x0 + Vx∗ ,ε eset´en. w
Ez ut´obbi ellentmond azzal, hogy x ∈ M . 2
Ami a Banach terek r´eszhalmazainak kompakts´ag´at illeti, megjegyezhetj¨ uk, hogy v´eges dimenzi´os terek eset´eben a korl´atos ´es z´art halmazok kompaktak. Ez nem igaz v´egtelen dimenzi´os Banach terek eset´en, mivel a z´art egys´egg¨omb nem kompakt az er˝os topo´ l´ogi´ara n´ezve ´es gyenge kompakts´aga is csak reflex´ıv Banach terekben igaz. Altal´ anos esetben a k¨ovetkez˝o t´etel ´erv´enyes. A t´etel igaz norm´alt terek eset´en is, de mivel Banach terekkel foglalkozunk, ezekben jelentj¨ uk ki. T´ etel 1.3.2 (Alaoglu-Bourbaki) [6, 18] Legyen X egy Banach t´er. Ekkor B ∗ , az X ∗ -beli a z´art egys´egg¨ omb, gyenge∗ kompakt. Bizony´ıt´ as. Legyen x ∈ X ´es Ix = [−||x||, ||x||] ⊂ R kompakt halmaz, ´es tekints¨ uk a T =
Y
Ix
x∈X
szorzatteret, amelynek elemei olyan f : X →
S x∈X
Ix lek´epez´esek, amelyek teljes´ıtik
az f (x) ∈ Ix , ∀ x ∈ X felt´etelt. A T t´erben a szorzat topol´ogi´ara val´o konvergencia azt jelenti, hogy fi → f ⇔ fi (x) → f (x) , ∀ x ∈ X . Ekkor B ∗ ⊂ T ´es a szorzat topol´ogia ´altal sz´armaztatott topol´ogia B ∗ -on pontosan a gyenge∗ topol´ogia. Tychonov t´etele miatt T , mint kompakt topol´ogikus terek szorzattere, kompakt. Emiatt csak azt kell bizony´ıtani, hogy B ∗ z´art T -ben. Ez´ert legyen ´.h. x∗i → f a T topol´ogi´aj´ara n´ezve. Ezen felt´etelek mellett f (x∗i )i∈I ⊂ B ∗ ´es f ∈ T u line´aris, mert f (αx + βy) = lim hx∗i , αx + βyi = lim hx∗i , αxi + lim hx∗i , βyi = αf (x) + βf (y) . i∈I
i∈I
i∈I
´ ´ ES ´ KOMPAKTSAG ´ 1.3. GYENGE ZARTS AG
19
Tov´abb´a |f (x)| = lim |hx∗i , xi| ≤ ||x|| , i∈I
teh´at f ∈ B ∗ . 2
Megjegyz´ es. Az el˝obbi t´etel k¨ovetkezm´enye, hogy X ∗ b´armely korl´atos ´es gyenge∗ z´art halmaza gyenge∗ -kompakt.
˝ 1. BEVEZETO
20
1.4
Reflex´ıv Banach terek
´ Legyen X egy Banach t´er. Ertelmezz¨ uk az I : X → X ∗∗ lek´epez´est a k¨ovetkez˝o m´odon: I(x)(x∗ ) = hx∗ , xi , ∀ x ∈ X , x∗ ∈ X ∗ . Az I lek´epez´es egy line´aris izometria ´es ez´ert folytonos ´es injekt´ıv. E lek´epez´es miatt u ´gy tekinthetj¨ uk, hogy X ⊂ X ∗∗ . Ha B ∗∗ -al jel¨olj¨ uk az X ∗∗ -beli z´art egys´egg¨omb¨ot, akkor Helly t´etele azt mondja, hogy B s˝ ur˝ u B ∗∗ -ban a σ(X ∗∗ , X ∗ ) topol´ogi´ara n´ezve. Ez azt jelenti, hogy b´armely x∗∗ ∈ B ∗∗ eset´en l´etezik (xi )i∈I ⊂ B u ´.h. I(xi ) konverg´al x∗∗ -hoz a σ(X ∗∗ , X ∗ ) topol´ogi´ara n´ezve (jel¨ol´es: I(xi ) *∗∗ x∗∗ ). Defin´ıci´ o 1.4.1 Azon X Banach tereket, amelyek eset´eben az I lek´epez´es sz¨ urjekt´ıv, reflex´ıv Banach tereknek nevezz¨ uk. Reflex´ıv Banach terek eset´eben u ´gy tekinthetj¨ uk, hogy X = X ∗∗ . Ugyanakkor az X ∗ -on meghat´arozott k´et gyenge topol´ogia, a σ(X ∗ , X) ´es a σ(X ∗ , X ∗∗ ), ekvivalens. A k¨ovetkez˝okben a reflex´ıv Banach terek k´et jellemz´es´et adjuk. T´ etel 1.4.1 X reflex´ıv akkor ´es csakis akkor ha X ∗ reflex´ıv. Bizony´ıt´ as. ”⇒” Legyen I : X → X ∗∗ ´es I ∗ : X ∗ → X ∗∗∗ a k´et line´aris izometria. Mivel X reflex´ıv, b´armilyen x∗∗ ∈ X ∗∗ eset´en l´etezik x ∈ X u ´.h. x∗∗ = I(x). Legyen x∗∗∗ ∈ X ∗∗∗ . Ezen elem eset´en l´etezik x∗ = x∗∗∗ ◦ I ∈ X ∗ u ´.h. I ∗ (x∗ ) = x∗∗∗ , mert hx∗∗∗ , x∗∗ i = hx∗∗∗ , I(x)i = hx∗∗∗ ◦ I , xi = hx∗ , xi = = hI(x) , x∗ i = hx∗∗ , x∗ i , ∀ x∗∗ ∈ X ∗∗ . ”⇐” Felt´etelezz¨ uk, hogy X ∗ reflex´ıv ´es X nem reflex´ıv. ∗∗ \ I(X). Az 1.2.1 tulajdons´agb´ol Ekkor I(X) z´art altere X ∗∗ -nak ´es l´etezik x∗∗ 0 ∈ X
1.4. REFLEX´IV BANACH TEREK
21
k¨ovetkezik, hogy l´etezik x∗∗∗ ∈ X ∗∗∗ u ´.h. hx∗∗∗ , x∗∗ es hx∗∗∗ , I(x)i = 0 , ∀ x ∈ X . 0 i = 1 ´ Mivel X ∗ reflex´ıv, l´etezik x∗ ∈ X ∗ u ´.h. x∗∗∗ = I ∗ (x∗ ). Ekkor viszont 0 = hx∗∗∗ , I(x)i = hI(x) , x∗ i = hx∗ , xi , ∀ x ∈ X , teh´at x∗ ≡ 0 ´es innen x∗∗∗ ≡ 0, ami ellentmod´as azzal, hogy hx∗∗∗ , x∗∗ 0 i = 1. 2 omb, gyeng´en T´ etel 1.4.2 X reflex´ıv akkor ´es csakis akkor, ha B, az X-beli z´art egys´egg¨ kompakt. Bizony´ıt´ as. ”⇒” Az Alaoglu-Bourbaki t´etelt X ∗ -ra alkalmazva az kapjuk, hogy B ∗∗ σ(X ∗∗ , X ∗ ) kompakt. Mivel X reflex´ıv, I(B) = B ∗∗ . Legyen (xi )i∈I ⊂ B. Mivel (I(xi ))i∈I ⊂ B ∗∗ , k¨ovetkezik, hogy l´etezik (I(xj ))j∈J ´altal´anos´ıtott r´eszsorozat ´es x∗∗ = I(x) ∈ B ∗∗ u ´.h. I(xj ) *∗∗ I(x). Ez viszont ekvivalens azzal, hogy hI(xj ) , x∗ i → hI(x) , x∗ i , ∀ x∗ ∈ X ∗ ⇔ hx∗ , xj i → hx∗ , xi , ∀ x∗ ∈ X ∗ ⇔ xj * x . ”⇐” El´eg azt bizony´ıtanunk, hogy I(B) = B ∗∗ . Legyen x∗∗ ∈ B ∗∗ . Mivel I(B) s˝ ur˝ u B ∗∗ -ban, k¨ovetkezik, hogy l´etezik (xi )i∈I ⊂ B u ´.h. I(xi ) *∗∗ x∗∗ . Mivel B gyeng´en kompakt, l´etezik (xj )j∈J ´altal´anos´ıtott r´eszsorozat ´es x ∈ B u ´.h. xj * x. Ekkor viszont I(xj ) *∗∗ I(x) ´es mivel az I(xi ) konvergens ´altal´anos´ıtott sorozatnak egyetlen torl´od´asi pontja lehet, k¨ovetkezik, hogy x∗∗ = I(x). 2
˝ 1. BEVEZETO
22
Megjegyz´ es. Az el˝obbi t´etelt u ´gy is kijelenthett¨ uk volna, hogy X reflex´ıv akkor ´es csakis akkor, ha b´armely korl´atos, z´art ´es konvex halmaz gyeng´en kompakt.
P´ elda 1.4.1. 1. Lp (Ω) reflex´ıv, ha 1 < p < ∞, mert (Lp (Ω))∗ = Lq (Ω) ´es (Lq (Ω))∗ = Lp (Ω), ahol 1/p + 1/q = 1. 2. L1 (Ω) ´es L∞ (Ω) nem reflex´ıvek, mivel (L1 (Ω))∗ = L∞ (Ω) ´es (L∞ (Ω))∗ = M(Ω), a v´egesen addit´ıv pozit´ıv Radon m´ert´ekek halmaza, amelyik nem egyenl˝o L1 (Ω)-val. A f¨ uggv´enyterek k¨oz¨ ul nem reflex´ıv a C([0, 1]) sem. 3. A sorozatterek k¨oz¨ ul reflex´ıv az lp , 1 < p < ∞ esetben. Nem reflex´ıv a c0 , l1 , l∞ . Ez ut´obbiak k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝o rel´aci´ok ´erv´enyesek: (c0 )∗ = l1 , (l1 )∗ = l∞ . 4. B´armilyen Hilbert t´er reflex´ıv, mivel Riesz Frigyes t´etele alapj´an, egy Hilbert t´er du´alisa megfeleltethet˝o ¨onmag´anak. 5. A v´eges dimenzi´os Banach terek reflex´ıvek.
Bizony´ıtunk egy olyan tulajdons´agot amely reflex´ıv terekben ´erv´enyes ´es fontos szerepet fog j´atszani a k¨ovetkez˝o fejezetekben. Tulajdons´ ag 1.4.1 Legyen X egy reflex´ıv Banach t´er. Ekkor b´armilyen x∗0 ∈ X ∗ , ||x∗0 || = 1 eset´en l´etezik x0 ∈ X u ´.h. ||x0 || = 1, hx∗0 , x0 i = 1. Bizony´ıt´ as. Legyen x∗0 ∈ X ∗ , ||x∗0 || = 1. B´armilyen x ∈ X, ||x|| ≤ 1 eset´en hx∗0 , xi ≤ 1. Ugyanakkor sup hx∗0 , xi = 1 .
||x||≤1
uggv´eny, gyeng´en is folytonos. Az x∗0 , mint egy line´aris ´es folytonos f¨ ´.h. ||x0 || = 1 B gyeng´en kompakt, teh´at x∗0 el´eri maximum´at B-n, azaz l´etezik x0 ∈ B u ´es hx∗0 , x0 i = 1. 2
1.4. REFLEX´IV BANACH TEREK
23
P´ elda 1.4.2 Legyen x∗ : c0 → R u ´.h. ∗
hx , (xn )i =
∞ X xn n=1
Ekkor ||x∗ || =
n!
, ∀ (xn ) ∈ c0 .
∞ X 1 n! n=1
de b´armely (xn ) ∈ c0 , ||(xn )|| ≤ 1 eset´en |xn | ≤ 1 , ∀n ∈ N ´es b´armely 0 < ε < 1 eset´en l´etezik nε ∈ N u ´.h. |xn | < 1 − ε, ∀ n ≥ n0 . Emiatt ∞ X 1 hx , (xn )i < . n! n=1 ∗
Ez a p´elda is mutatja, hogy c0 nem reflex´ıv.
24
˝ 1. BEVEZETO
2 Banach terek geometriai tulajdons´ agai 2.1
Szigor´ uan konvex Banach terek
Ebben a fejezetben a Banach terek azon tulajdons´agaival foglalkozunk, amelyeket a norma sz´armaztat. Ezeket geometriai tulajdons´agoknak nevezik, mivel t¨obbek k¨oz¨ott az egys´egg¨omb felsz´ın´enek alakj´aval, annak g¨omb¨oly˝ us´eg´evel vannak kapcsolatban. uan konvexnek nevez¨ unk, ha b´armely Defin´ıci´ o 2.1.1 Egy X Banach teret szigor´ x, y ∈ X, ||x|| = ||y|| = 1, x 6= y elemekre fenn´all, hogy ||(1 − t)x + ty|| < 1 , ∀ t ∈ (0, 1) . E defin´ıci´o alapj´an, egy szigor´ uan konvex Banach t´er egys´egg¨ombj´enek felsz´ıne nem tartalmaz szakaszokat.
P´ elda 2.1.1. 1. Az els˝o fejezetben eml´ıtett (Rn , || · ||p ) Banach terek 1 < p < ∞ eset´en szigor´ uan konvexek, p = 1 ´es p = ∞ eset´en nem szigor´ uan konvexek. 2. A f¨ uggv´enyterek k¨oz¨ ul a C([0, 1]), L1 (Ω), L∞ (Ω) nem szigor´ uan konvexek. Az Lp (Ω) terek szigor´ uan konvexek, ha 1 < p < ∞. 3. A sorozatterek k¨oz¨ ul a c0 , l1 , l∞ nem szigor´ uan konvexek, az lp terek, 1 < p < ∞ 25
´ 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSAGAI
26
eset´eben viszont szigor´ uan konvexek.
A szigor´ uan konvex Banach tereket a k¨ovetkez˝ok´eppen lehet jellemezni. T´ etel 2.1.1 Egy X Banach t´er eset´en ekvivalensek a k¨ovetkez˝ o kijelent´esek: 1. X szigor´ uan konvex. 2. B´armilyen x∗ ∈ X ∗ legt¨ obb egy pontban ´eri el maximum´at az egys´egg¨ omb hat´ar´ an. 3. B´armilyen x, y ∈ X, ||x|| = ||y|| = 1, x 6= y, eset´en 1 || (x + y)|| < 1 . 2 Bizony´ıt´ as. ”1. ⇒ 2.” Felt´etelezz¨ uk, hogy l´etezik x∗ ∈ X ∗ ´es x, y ∈ X u ´.h. ||x|| = ||y|| = 1, x 6= y ´es hx∗ , xi = hx∗ , yi = ||x∗ ||. Ekkor ||x∗ || = hx∗ ,
1 1 (x + y)i ≤ ||x∗ || · || (x + y)|| . 2 2
Teh´at 1 || (x + y)|| ≥ 1 . 2 Ugyanakkor 1 1 || (x + y)|| ≤ (||x|| + ||y||) ≤ 1 , 2 2 teh´at 1 || (x + y)|| = 1 , 2 ami ellentmond a szigor´ u konvexit´asnak. ”2. ⇒ 3.” Legyen x, y ∈ X u ´.h. ||x|| = ||y|| = 1 , x 6= y ,
1 (x + y) = 1 . 2
A Hahn-Banach t´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy l´etezik x∗ ∈ X ∗ u ´.h. ||x∗ || = 1 , hx∗ ,
1 (x + y)i = 1 . 2
´ 2.1. SZIGORUAN KONVEX BANACH TEREK
27
Ugyanakkor hx∗ , xi ≤ 1 ´es hx∗ , yi ≤ 1, teh´at hx∗ , xi = hx∗ , yi = 1 . Ez viszont ellentmond a 2.-nek. ”3. ⇒ 1.” Jel¨olj¨ uk (u, v)-vel az X Banach t´erben az u-t a v-vel ¨osszek¨ot˝o, v´egpontok n´elk¨ uli, szakaszt. Legyen x, y ∈ X u ´.h. ||x|| = ||y|| = 1 ´es x 6= y. Ekkor 12 (x + y) < 1, ami azt jelenti, hogy 12 (x+y) az egys´egg¨omb belsej´eben van. Az egys´egg¨omb egy konvex halmaz, teh´at az (x , 12 (x + y)) ´es az ( 12 (x + y) , y) v´egpontok n´elk¨ uli szakaszok teljes eg´esz¨ ukben az egys´egg¨omb belsej´eben vannak, ez pedig a szigor´ u konvexit´ast igazolja. 2
´ 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSAGAI
28
2.2
Lok´ alisan uniform konvex Banach terek
Defin´ıci´ o 2.2.1 Az X Banach teret lok´alisan uniform konvexnek nevezz¨ uk, ha b´armely x ∈ X, ||x|| = 1 ´es b´armely ε > 0 eset´en l´etezik δ = δ(x, ε) > 0 u ´.h. b´armely y ∈ X, ||y|| = 1, elemre 1 || (x + y)|| ≥ 1 − δ ⇒ ||x − y|| ≤ ε . 2
(2.2.1)
Az el˝obbi definici´oban a (2.2.1) implik´aci´ot a k¨ovetkez˝ok´eppen is ´ırhattuk volna: 1 ||x − y|| ≥ ε ⇒ || (x + y)|| ≤ 1 − δ . 2 A lok´alis uniform konvexit´asnak a k¨ovetkez˝o ekvivalens definici´oj´at is adhattuk volna: Defin´ıci´ o 2.2.2 X lok´ alisan uniform konvex, ha b´armilyen x ∈ X, ||x|| = 1 ´es b´ armilyen (xn )n∈N ⊂ X, ||xn || = 1, ∀n ∈ N sorozat eset´en ||x + xn || → 2 ⇒ ||x − xn || → 0 , vagy lim inf ||x − xn || > 0 ⇒ lim sup ||x + xn || < 2 . n∈N
n∈N
B´armilyen lok´alisan uniform konvex t´er egyben szigor´ uan konvex is. Ez val´oban ´ıgy van, mert ha ||x|| = ||y|| = 1 ´es x 6= y, akkor az x ∈ X-hez ´es ε = ||x − y|| > 0-hoz rendelhet¨ unk egy δ > 0 sz´amot u ´.h. 1 (x + y) ≤ 1 − δ < 1 . 2 A ford´ıtott implik´aci´o csak v´eges dimenzi´os Banach terek eset´eben igaz. A lok´alisan uniform terek fontoss´aga a k¨ovetkez˝o k´et tulajdons´agukban rejlik. Tulajdons´ ag 2.2.1 [4] B´armilyen X reflex´ıv Banach t´erben meg lehet hat´arozni egy, az eredeti norm´aval ekvivalens u ´j norm´at, u ´.h. az u ´j norm´at tekintve az X ´es az X ∗ is lok´ alisan uniform konvex Banach t´er lesz.
´ 2.2. LOKALISAN UNIFORM KONVEX BANACH TEREK
29
Megjegyezz¨ uk, hogy egy ekvivalens norma bevezet´es´evel az X ∗ elemei ugyanazok a f¨ uggv´enyek maradnak. Lok´alisan uniform konvex terekben a gyenge ´es az er˝os konvergencia k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝o kapcsolat l´etezik. Tulajdons´ ag 2.2.2 Legyen X egy lok´alisan uniform konvex Banach t´er, x ∈ X ´es (xn )n∈N ⊂ X. Ekkor xn * x ´es ||xn || → ||x|| ⇒ xn → x . Bizony´ıt´ as. Ha x = 0 akkor evidens, mert ||xn || → 0 implik´alja, hogy xn → 0. Ha x 6= 0, akkor legyen y=
1 1 x ´es yn = xn . ||x|| ||xn ||
Ekkor y + yn * 2y ´es ´ıgy 2 = ||2y|| ≤ lim inf ||y + yn || ≤ lim sup ||y + yn || ≤ 2 . n→∞
n→∞
Teh´at lim ||y + yn || = 2
n→∞
´es a lok´alis uniform konvexit´as miatt ||y − yn || → 0, azaz yn → y. Ez´altal xn → x. 2
´ 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSAGAI
30
2.3
Uniform konvex Banach terek
unk, ha b´armilyen ε > 0 Defin´ıci´ o 2.3.1 Egy X Banach teret uniform konvexnek nevez¨ eset´en l´etezik δ = δ(ε) u ´.h. 1 || (x + y)|| ≥ 1 − δ ⇒ ||x − y|| ≤ ε 2
(2.3.1)
b´ armilyen x, y ∈ X, ||x|| = ||y|| = 1, eset´en. Az el˝obbi definici´oban a (2.3.1) implik´aci´ot a k¨ovetkez˝ok´eppen is ´ırhattuk volna: 1 ||x − y|| ≥ ε ⇒ || (x + y)|| ≤ 1 − δ . 2 Az uniform konvexit´asnak a k¨ovetkez˝o ekvivalens definıici´oj´at is adhattuk volna: Defin´ıci´ o 2.3.2 X uniform konvex, ha b´armilyen (xn )n∈N ⊂ X, ||xn || = 1 ∀n ∈ N ´es (yn )n∈N ⊂ X, ||yn || = 1 ∀n ∈ N, sorozatok eset´en ||xn + yn || → 2 ⇒ ||xn − yn || → 0 vagy lim inf ||xn − yn || > 0 ⇒ lim sup ||xn + yn || < 2 . n∈N
n∈N
B´armilyen uniform konvex t´er egyben lok´alisan uniform konvex ´es szigor´ uan konvex is. A ford´ıtott implik´aci´o csak v´eges dimenzi´os Banach terek eset´eben igaz. Tulajdons´ ag 2.3.1 Legyen X egy v´eges dimenzi´os Banach t´er. Ekkor X szigor´ uan konvex akkor ´es csakis akkor, ha uniform konvex. Bizony´ıt´ as. Azt kell bizony´ıtanunk, hogy ha X szigor´ uan konvex, akkor uniform konvex is, mivel ford´ıtva mindig igaz. Legyen (xn )n∈N ´es (yn )n∈N k´et sorozat u ´.h. ||xn || = ||yn || = 1 , ∀n ∈ N , 1 || (xn + yn )|| → 1 ´es ||xn − yn || 6→ 0 . 2
2.3. UNIFORM KONVEX BANACH TEREK
31
Mivel X v´eges dimenzi´os, az egys´egg¨omb kompakt halmaz, teh´at l´etezik k´et r´eszsorozat (xn k )k∈N ´es (yn k )k∈N u ´.h. xn k → x , yn k → y ´es ||x|| = ||y|| = 1 . Ekkor 1 || (x + y)|| = 1 ´es x 6= y , 2 ami ellentmond a szigor´ u konvexit´asnak. 2 E tulajdons´ag ´es a 2.1.1 p´elda alapj´an az (Rn , || · ||p ) uniform konvex t´er b´armilyen 1 < p < ∞ eset´en.
P´ elda 2.3.1 B´armilyen Hilbert t´er uniform konvex. Ahhoz, hogy ezt bizony´ıtsuk, azt kell felhaszn´alnunk, hogy ¡ ¢ ||xn − yn ||2 + ||xn + yn ||2 = 2 ||xn ||2 + ||yn ||2 = 4 , amikor ||xn || = ||yn || = 1. Az el˝obbi egyenl˝os´egb˝ol k¨ovetkezik, hogy ha ||xn + yn || → 2, akkor ||xn − yn || → 0.
P´ elda 2.3.2 Az lp ´es Lp (Ω) terek uniform konvexek, ha 1 < p < ∞. Bebizony´ıtjuk az Lp (Ω) terek uniform konvexit´as´at . Felhaszn´aljuk a k¨ovetkez˝o k´et egyenl˝otlens´eget [10]: ° ° µ ¶ p1 ° 1 °1 1 1 p p ° (x + y)° ≤ (||x|| + ||y||) ≤ ||x|| + ||y|| ≤ max{||x||, ||y||} ° 2 °2 2 2 ´es
° ° °p °p µ ¶1− 1s °1 °1 ° °s 1 1 p p p p ° ° ° (||x|| + ||y|| ) − ° (||x|| + ||y|| ) , ° 2 (x + y)° ≥ c ° 2 (x − y)° 2 2
ahol c > 1, s = 1 ha p < 2 ´es s =
p 2
ha p ≥ 2, r¨ogz´ıtett konstansok.
Legyen x, y ∈ Lp (Ω). A k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket haszn´aljuk: µ ¶ p1 1 1 p p , M = max{||x||, ||y||} . m= ||x|| + ||y|| 2 2
(2.3.2)
(2.3.3)
32
´ 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSAGAI
Ahhoz, hogy az uniform konvexit´as fenn´alljon, tetsz˝oleges ε > 0 sz´amhoz kell l´etezzen δ>0u ´.h. 1 1 ||x + y|| ≥ (1 − δ)M ⇒ ||x − y|| ≤ εM . 2 2 Felhaszn´alva a 2.3.2 ´es 2.3.3 rel´aci´okat, azt kapjuk, hogy à 1−δ ≤ ´es
µ c
1−c
1 ||x − y|| 2m
µ
1 ||x − y|| 2m
¶ ps
¶ ps ! p1
≤ 1 − (1 − δ)p .
Ha a δ ´ert´eket u ´gy v´alasztjuk, hogy ³ δ = 1 − (1 − cε)
p s
´ p1
,
akkor 1 ||x − y|| ≤ εm ≤ εM . 2 2
Egy Banach t´er reflexiv´ıt´as´ab´ol nem lehet k¨ovetkeztet´eseket levonni a t´er geometri´aj´ara vonatkoz´oan. P´eldak´ent az Rn -et lehetne eml´ıteni, mert t¨obb ekvivalens norm´at lehet rajta bevezetni, mindegyik k¨ ul¨onb¨oz˝o geometriai tulajdons´aggal. Ford´ıtott implik´aci´o lehets´eges uniform konvex terek eset´eben. T´ etel 2.3.1 (Milman, Pettis) B´ armilyen uniform konvex Banach t´er reflex´ıv. Bizony´ıt´ as. Legyen x∗∗ ∈ X ∗∗ . Felt´etelezhetj¨ uk, hogy ||x∗∗ || = 1. Mivel I(B) s˝ ur˝ u B ∗∗ -ban, l´etezik (xi )i∈I ⊂ B u ´.h. I(xi ) *∗∗ x∗∗ . Ez´altal I(xi + xj ) * x∗∗ -hoz, teh´at 2 = 2||x∗ || ≤ lim inf ||I(xi + xj )|| ≤ lim sup ||I(xi + xj )|| ≤ 2 , i,j∈I
i,j∈I
2.3. UNIFORM KONVEX BANACH TEREK
33
teh´at lim ||I(xi + xj )|| = 2 ´es lim ||xi + xj || = 2 .
i,j∈I
i,j∈I
Az uniform konvexit´as miatt lim ||xi − xj || = 0 .
i,j∈I
A t´er teljess´eg´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy az (xi )i∈I ´altal´anos´ıtott sorozat konvergens egy x ∈ B, ||x|| = 1 elemhez, mert 1 = ||x∗∗ || ≤ lim inf ||I(xi )|| ≤ lim sup ||I(xi )|| ≤ 1 i∈I
i∈I
egyenl˝otlens´egek miatt lim ||I(xi )|| = 1 , i∈I
teh´at lim ||xi || = 1 . i∈I
Emiatt I(xi ) → I(x), teh´at I(x) = x∗∗ . 2
Amint eml´ıtett¨ uk, egy X reflex´ıv Banach t´erben bevezethet˝o egy norma, amelynek seg´ıts´eg´evel X ´es X ∗ is lok´alisan uniform konvex. Hasonl´o ´altal´anos eredm´eny ekvivalens uniform konvex norma bevezethet˝os´eg´er˝ol nem lehets´eges. Emiatt azokat az X Banach tereket, amelyekben l´etezik olyan ekvivalens norma, amelynek seg´ıts´eg´evel X ´es X ∗ is uniform konvex, szuperreflex´ıv tereknek nevezz¨ uk ´es a reflex´ıv tereknek egy speci´alis oszt´aly´at alkotj´ak. Bebizony´ıtunk egy olyan tulajdons´agot, amelyet az 5. fejezetben fogunk haszn´alni. Tulajdons´ ag 2.3.2 Legyen X egy uniform konvex Banach t´er ´es 1 < p < ∞. L´etezik egy monoton n¨ovekv˝ o δp : R+ → R+ f¨ uggv´eny u ´.h. δp (r) > 0, amikor r > 0 ´es b´armely x, y ∈ X, ||x|| + ||y|| > 0, eset´en ° °p µ µ ¶¶ °1 ° ||x − y|| ||x||p + ||y||p ° (x + y)° ≤ 1 − δp . °2 ° sup{||x||, ||y||} 2
34
´ 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSAGAI
Bizony´ıt´ as. El´eg megmutatni, hogy ||x|| = 1, ||y|| ≤ 1 ´es ||x − y|| ≥ ε eset´en fenn´all ° °p p °1 ° ° (x + y)° ≤ (1 − δp (ε)) 1 + ||y|| . °2 ° 2 Felt´etelezz¨ uk, hogy nem igaz. Ekkor l´etezik egy ε > 0 ´es k´et (xn )n∈N , (yn )n∈N sorozat u ´.h. ||xn || = 1, ||yn || ≤ 1, ||xn − yn || ≥ ε ´es m´egis °1 ° ° (xn + yn )°p 2 lim = 1. n→∞ 1 (1 + ||yn ||p ) 2 Ez a hat´ar´ert´ek csak akkor lehets´eges, ha ||yn || → 1, mert b´armilyen c ≥ 0, c 6= 1 eset´en
¡1
¢p (1 + c) < 1 + cp )
2 1 (1 2
´es egyenl˝os´eg csak c = 1 eset´en lehets´eges. Ez´ert
° ° °1 ° ° (xn + yn )° → 1 , °2 °
ami ellentmond az uniform konvexit´asnak. 2
3 A du´ alis lek´ epez´ es 3.1
Konvex f¨ uggv´ enyek
Ebben a paragrafusban megeml´ıtj¨ uk a konvex f¨ uggv´enyekre ´es azok differenci´al´as´ara vonatkoz´o alapvet˝o fogalmakat ´es eredm´enyeket. Legyen X egy Banach t´er ´es K ⊂ X egy konvex halmaz. uggv´enyt konvexnek nevez¨ unk, ha Defin´ıci´ o 3.1.1 Egy f : K → R f¨ f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y) , ∀x, y ∈ K , ∀ t ∈ [0, 1] . Defin´ıci´ o 3.1.2 Egy f : K → R konvex f¨ uggv´eny epigr´afj´ anak nevezz¨ uk a k¨ovetkez˝ o halmazt: epi f = {(x, t) ∈ K × R : t ≥ f (x)} . Az el˝obbi defin´ıci´ob´ol l´atszik, hogy f konvex f¨ uggv´eny akkor ´es csakis akkor, ha epif konvex halmaz. Defin´ıci´ o 3.1.3 Az f : K → R f¨ uggv´enyt alulr´ol f´elig folytonosnak (a.f.f.) nevezz¨ uk x0 ∈ K-ban, ha f (x0 ) = lim inf f (x) = sup x→x0
inf
r>0 x∈K∩B(x0 ,r)
f (x) .
Sorozatokkal a k¨ovetkez˝ok´eppen lehet meghat´arozni az alulr´ol f´elig folytonoss´agot: xn → x0 ⇒ f (x0 ) ≤ lim inf f (xn ) . n→∞
35
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
36
Ugyanakkor azt mondjuk, hogy f a.f.f. K-n, ha a.f.f. b´armelyik x0 ∈ K pontban. Ez alapj´an bel´athat´o, hogy f a.f.f. K-n, ha b´armilyen t ∈ R eset´en az {x ∈ K : f (x) ≤ t} n´ıv´ohalmazok z´artak. Ha a n´ıv´ohalmazok az X-beli gyenge topol´ogi´ara n´ezve z´artak, azt mondjuk, hogy f gyeng´en a.f.f. A konvex ´es a.f.f. f¨ uggv´enyek jellemz´es´er˝ol a k¨ovetkez˝ot mondhatjuk. Tulajdons´ ag 3.1.1 Legyen K konvex ´es z´art. Ekkor egy f : K → R, f 6≡ +∞ f¨ uggv´eny konvex ´es a.f.f. akkor ´es csakis akkor, ha epif konvex ´es z´art. Ebb˝ol a tulajdons´agb´ol l´atszik, hogy konvex f¨ uggv´enyek eset´en az alulr´ol f´elig folytonoss´ag ekvivalens a gyeng´en alulr´ol f´elig folytonoss´aggal. Defin´ıci´ o 3.1.4 Legyen f : K → R egy konvex f¨ uggv´eny ´es x0 ∈ K. Az x∗0 ∈ X ∗ funkcion´ alt f szubgradiens´enek nevezz¨ uk az x0 pontban, ha f (x) − f (x0 ) ≥ hx∗0 , x − x0 i , ∀ x ∈ K . Az f f¨ uggv´eny x0 pontbeli szubdifferenci´ alj´ anak nevezz¨ uk az szubgradiensekb˝ ol ´all´o halmazt, vagyis ∂f (x0 ) = {x∗0 ∈ X ∗ : f (x) − f (x0 ) ≥ hx∗0 , x − x0 i , ∀ x ∈ K} . P´ elda 3.1.1 Legyen f : R → R, f (x) = |x|. Ekkor −1, x<0 [ − 1 , 1], x = 0 ∂(|x|) = 1, x > 0. P´ elda 3.1.2 Legyen K ⊂ X egy konvex, z´art halmaz. Tekints¨ uk az IK : K → R, ½ 0, x∈K IK (x) = +∞, x 6∈ K
¨ ´ 3.1. KONVEX FUGGV ENYEK
37
f¨ uggv´enyt, amit a K halmaz indik´ator f¨ uggv´eny´enek nevez¨ unk. Ebben az esetben, amikor K z´art ´es konvex, az IK konvex ´es a.f.f. Szubdifferenci´alja: ∂IK (x0 ) =
{x∗0 ∈ X ∗
∅, x0 6∈ K {0}, x0 ∈ intK : hx∗0 , x − x0 i ≤ 0 , ∀ x ∈ K} , x0 ∈ ∂K .
A ∂IK (x0 ) halmazt a K halmaz norm´alis k´ upj´anak nevezz¨ uk az x0 pontban. Tulajdons´ ag 3.1.2 Legyen K ⊂ X z´art ´es konvex, f : K → R, f 6= +∞, konvex ´es a.f.f. Ekkor ∂f (x) 6= ∅, ∀ x ∈ K. Defin´ıci´ o 3.1.5 Legyenek X, Y Banach terek, K ⊂ X, x0 ∈ intK ´es f : K → Y . 1) Azt mondjuk, hogy f Gˆ ateaux differenci´ alhat´ o az x0 pontban, ha l´etezik egy Df (x0 ) ∈ L(X, Y ) line´aris lek´epez´es u ´.h. lim t→0
||f (x0 + th) − f (x0 )|| = Df (x0 )(h) , ∀h ∈ X . t
2) Azt modjuk, hogy f Fr´echet differenci´ alhat´o az x0 pontban, ha l´etezik egy Df (x0 ) ∈ L(X, Y ) line´aris lek´epez´es u ´.h. lim
x→x0
||f (x) − f (x0 ) − Df (x0 )(x − x0 )|| = 0. ||x − x0 ||
Ha f differenci´alhat´o egy halmaz minden pontj´aban akkor azt mondjuk, hogy f differenci´alhat´o az illet˝o halmazon. A Fr´echet differenci´alhat´os´agb´ol k¨ovetkezik a Gˆateaux differenci´alhat´os´ag. Ford´ıtva csak abban az esetben igaz, ha X = R. Azonban, ha f Gˆateaux differenci´alhat´o az x0 pont egy k¨ornyezet´eben ´es Df (·) folytonos x0 -ban, akkor f Fr´echet differenci´alhat´o x0 -ban.
P´ elda 3.1.3 Egy egyszer˝ u p´elda egy olyan f¨ uggv´enyre, amelyik Gˆateaux, de nem Fr´echet differenci´alhat´o az orig´oban: ½ 2
f : R → R , f (x, y) =
1 , y = x2 6= 0 0 , m´ashol .
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
38
P´ elda 3.1.4 Tekints¨ uk az f : X → R, f (x) = ||x|| f¨ uggv´enyt. f konvex, folytonos f¨ uggv´eny ´es ha x0 = 6 0, akkor x∗0 ∈ ∂(||x0 ||) ⇔ ||x∗0 || = 1 , hx∗0 , x0 i = ||x0 || . Bizony´ıt´ as. ”⇒” Legyen x∗0 ∈ ∂(||x0 ||). Ekkor ||x|| − ||x0 || ≥ hx∗0 , x − x0 i , ∀ x ∈ X . Innen ||x − x0 || ≥ hx∗0 , x − x0 i , amib˝ol k¨ovetkezik, hogy ||x∗0 || ≤ 1. x = 0 eset´eben −||x0 || ≥ hx∗0 , −x0 i , ahonnan hx∗0 , x0 i ≥ ||x0 || ´es ||x∗0 || ≥ 1 . Az ut´obbi rel´aci´ok alapj´an ||x∗0 || = 1 ´es hx∗0 , x0 i = ||x0 ||. ”⇐” hx∗0 , x − x0 i = hx∗0 , xi − hx∗0 , x0 i ≤ ||x|| − ||x0 || . 2 uggv´eny Gˆateaux differenTulajdons´ ag 3.1.3 [4] Egy f : K → R konvex, a.f.f. f¨ ci´alhat´ o x0 -ban akkor ´es csakis akkor, ha ∂f (x0 ) = {Df (x0 )}. Defin´ıci´ o 3.1.6 Egy X Banach teret sim´anak nevez¨ unk, ha b´armely x0 6= 0 pontban a norma Gˆateaux differenci´ alhat´ o. A 3.1.4 p´eld´ab´ol ´es a 3.1.3 tulajdons´agb´ol k¨ovetkezik, hogy: Tulajdons´ ag 3.1.4 Egy X Banach t´er sima akkor ´es csakis akkor, ha b´armely x ∈ X, x 6= 0, eset´en l´etezik egyetlen x∗ ∈ X ∗ u ´.h. ||x∗ || = 1, hx∗ , xi = ||x||.
¨ ´ 3.1. KONVEX FUGGV ENYEK
39
unk, ha b´armely Defin´ıci´ o 3.1.7 Egy X Banach teret lok´alisan uniform sim´anak nevez¨ x0 6= 0 pontban a norma Fr´echet differenci´ alhat´ o. Defin´ıci´ o 3.1.8 Egy X Banach teret uniform sim´anak nevez¨ unk, ha ∂B- n, az egys´egg¨omb fel¨ ulet´en, a norma egyenletesen Fr´echet differenci´ alhat´ o. Egy Banach t´er konvexit´asa ´es du´alis´anak simas´aga k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´esek lehets´egesek: Tulajdons´ ag 3.1.5 1) X ∗ szigor´ uan konvex ⇒ X sima. 2) X ∗ lok´ alisan uniform konvex ⇒ X lok´ alisan uniform sima. 3) X ∗ uniform konvex ⇒ X uniform sima. Bizony´ıt´ as. 1) Legyen x0 ∈ X, ||x0 || 6= 0. Mivel X ∗ szigor´ uan konvex, I(x0 ) ⊂ X ∗∗ csak egyetlen pontban ´eri el maximum´at az X ∗ egys´egg¨ombj´en ´es a 3.1.4 p´elda alapj´an ez azt jelenti, hogy ∂(||x0 ||) egyetlen elemet tartalmaz. A 3.1.3 tulajdons´ag szerint ez a Gˆateaux differenci´alhat´os´ag sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele. 2) Ennek a pontnak a bizony´ıt´asa ´erdek´eben a 3.3.7 tulajdons´agra ´es a 3.2.1 megjegyz´esre kell hivatkoznunk. Ezek alapj´an, ha X ∗ lok´alisan uniform konvex, akkor a J du´alis lek´epez´es folytonos ´es mivel az X ∗ egyben szigor´ uan konvex is, a norma Gˆateaux differenci´alhat´o b´armely x 6= 0 pontban. Ugyanakkor ∂(||x||) =
1 · J(x) , ||x||
ami azt jelenti, hogy a Gˆateaux differenci´al folytonos, teh´at a norma Fr´echet differenci´alhat´o. 3) A bizony´ıt´as hasonl´o az el˝obbi pont bizony´ıt´as´ahoz, csak itt azt kell figyelembe venni, hogy J egyenletesen folytonos az egys´egg¨omb hat´ar´an. 2
Tov´abb´a igazolhat´o ([4, 18]), hogy
40
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
Tulajdons´ ag 3.1.6 1) X ∗ sima ⇒ X szigor´ uan konvex. 2) X ∗ uniform sima ⇒ X uniform konvex. 3) X reflex´ıv ´es sima ⇒ X ∗ szigor´ uan konvex. 4) X uniform sima ⇒ X ∗ uniform konvex. 5) X reflex´ıv ´es szigor´ uan konvex ⇒ X ∗ sima. 6) X reflex´ıv ´es lok´alisan uniform konvex ⇒ X ∗ lok´alisan uniform sima. 7) X uniform konvex ⇒ X ∗ uniform sima.
´ ´ ´ TULAJDONSAGAI ´ 3.2. A DUALIS LEKEPEZ ES
3.2
41
A du´ alis lek´ epez´ es tulajdons´ agai
Legyen X ´es Y k´et Banach t´er. Egy olyan F lek´epez´est, amelyik minden x ∈ X ponthoz, hozz´arendel egy F (x) ⊂ Y halmazt, halmaz´ert´ek˝ u, vagy t¨obb´ert´ek˝ u lek´epez´esnek nevezz¨ uk. Jel¨ol´es: F : X ; Y . A k¨ovetkez˝o halmazt az F halmaz´ert´ek˝ u lek´epez´es t´enyleges ´ertelmez´esi tartom´any´anak nevezz¨ uk ´es DomF -el jel¨olj¨ uk: DomF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} . Defin´ıci´ o 3.2.1 Legyen X egy Banach t´er. A J : X ; X ∗ , J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = ||x∗ || · ||x|| = ||x||2 } , halmaz´ert´ek˝ u lek´epez´est, az X Banach t´er du´alis lek´epez´es´enek nevezz¨ uk. T´ etel 3.2.1 (Asplund)
µ J(x) = ∂
1 ||x||2 2
¶ .
Bizony´ıt´ as. x = 0 eset´en µ {0} = J(0) = ∂
¶¯ ¯ 1 2 ¯ ||x|| ¯ . 2 x=0
Tekints¨ unk egy tetsz˝oleges x 6= 0 elemet. ”⊂” Legyen x∗ ∈ J(x). Ekkor ¿
1 ∗ x ,x ||x||
À
° ° ° 1 ∗° ° = ||x|| ´es ° ° ||x|| x ° = 1 .
Innen 1 ∗ x ∈ ∂(||x||) , ||x|| amib˝ol k¨ovetkezik, hogy µ ∗
x ∈ ||x|| ∂(||x||) ⊂ ∂
1 ||x||2 2
¶ .
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
42 ”⊃” Legyen x∗ ∈ ∂
¡1 2
¢ ||x||2 . Ekkor
1 1 ||y||2 − ||x||2 ≥ hx∗ , y − xi , ∀y ∈ X . 2 2
(3.2.1)
Tekints¨ unk egy olyan tetsz˝oleges y ∈ X elemet, amelyre ||y|| = ||x||. A (3.2.1) rel´aci´o ebben az esetben azt mutatja, hogy 0 ≥ hx∗ , y − xi . Teh´at hx∗ , yi ≤ hx∗ , xi , ∀ y ∈ Y u ´.h. ||y|| = ||x|| . V´egigosztva az egyenl˝otlens´eget ||x||-el, azt kapjuk, hogy hx∗ , zi ≤
1 hx∗ , xi , ∀ z ∈ X , ||z|| = 1 . ||x||
Ez alapj´an ||x∗ || = sup hx∗ , zi ≤ ||z||=1
1 hx∗ , xi ≤ ||x∗ || , ||x||
ahonnan k¨ovetkezik, hogy hx∗ , xi = ||x∗ || · ||x|| . A (3.2.1) egyel˝otlens´egben az
µ yn =
1 1+ n
¶ ·x
elemeket helyettes´ıtve, k¨ovetkezik, hogy õ ! ¶2 ¿ À 1 1 2 ∗ 1 1+ − 1 ||x|| ≥ x , x . 2 n n Innen n 2
µ
1 2 + 2 n n
¶ ||x||2 ≥ hx∗ , xi .
Ha n → ∞ , akkor ||x||2 ≥ hx∗ , xi. A (3.2.1) egyenl˝otlens´egben az µ yn =
1 1− n
¶ x
´ ´ ´ TULAJDONSAGAI ´ 3.2. A DUALIS LEKEPEZ ES
43
elemeket helyettes´ıtve, a ford´ıtott egyenl˝otlens´eget kapjuk, azaz ||x||2 ≤ hx∗ , xi. Teh´at ||x||2 = hx∗ , xi, ´es ez´altal x∗ ∈ J(x). 2
Megjegyz´ es 3.2.1. Ha X ∗ szigor´ uan konvex, akkor a norma Gˆateaux differenci´alhat´o b´armely x 6= 0 pontban. Ekkor µ J(x) = D
1 ||x||2 2
¶ = ||x|| · D(||x||) ,
mivel ||x + ty||2 − ||x||2 ||x + ty|| − ||x|| ||x + ty|| + ||x|| hJ(x), yi = lim = lim · = t→0 t→0 2t t 2 = ||x|| · D(||x||) . ¨ Osszefoglaljuk a du´alis lek´epez´es alapvet˝o tulajdons´agait: Tulajdons´ ag 3.2.1 1) B´ armilyen x ∈ X eset´en J(x) 6= ∅, korl´atos, konvex, gyenge∗ -z´ art ´es emiatt gyenge∗ kompakt. 2) A du´alis lek´epez´es monoton, azaz hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0 , ∀ x, y ∈ X , x∗ ∈ J(x) , y ∗ ∈ J(y) . 3) J(tx) = tJ(x) ´es J(−x) = −J(x), ∀ t > 0, x ∈ X. 4) J line´ aris akkor ´es csakis akkor, ha X Hilbert t´er. 5) Legyen J ∗ : X ∗ ; X ∗∗ az X ∗ du´alis lek´epez´ese. Ekkor x∗ ∈ J(x) ⇔ x ∈ J ∗ (x∗ ) . Az el˝obbi rel´ aci´ o azt jelenti, hogy ha X reflex´ıv Banach t´er, akkor J ∗ : X ∗ ; X a J inverz´enek tekinthet˝o.
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
44
Bizony´ıt´ as. 1) Az 1)-es tulajdons´ag annak a k¨ovetkezm´enye, hogy J(x) = ∂( 12 ||x||2 ) uggv´enyt hat´aroz meg. Bizony´ıtsuk el˝obb a J(x) ´es az 12 ||x||2 egy konvex ´es folytonos f¨ konvexit´as´at. Legyen x∗1 , x∗2 ∈ J(x) ´es t ∈ [0, 1]. Ekkor 1 1 ||y||2 − ||x||2 ≥ hx∗1 , y − xi , ∀ y ∈ X 2 2 ´es 1 1 ||y||2 − ||x||2 ≥ hx∗2 , y − xi , ∀ y ∈ X . 2 2 Az els˝o egyenl˝otlens´eget (1 − t)-vel, a m´asodikat t-vel szorozva ´es ¨osszeadva azt kapjuk, hogy 1 1 ||y||2 − ||x||2 ≥ h(1 − t)x∗1 + tx∗2 , y − xi , ∀ y ∈ X , 2 2 azaz
µ (1 −
t)x∗1
+
tx∗2
∈ ∂
1 ||x||2 2
¶ .
Az´ert, hogy bizony´ıtsuk a J(x) gyenge∗ z´arts´ag´at, legyen (x∗i )i∈I ⊂ J(x) u ´.h. x∗i *∗ x∗ . A gyenge∗ konvergencia miatt hx∗i , y − xi → hx∗ , y − xi , ∀ y ∈ X . Ugyanakkor 1 1 ||y||2 − ||x||2 ≥ hx∗i , y − xi , ∀ y ∈ X , 2 2 teh´at 1 1 ||y||2 − ||x||2 ≥ hx∗ , y − xi , ∀ y ∈ X , 2 2 2) Legyen x∗ ∈ J(x) ´es y ∗ ∈ J(y). Ezen elemekre fenn´all, hogy 1 1 ||y||2 − ||x||2 ≥ hx∗ , y − xi 2 2 ´es 1 1 ||x||2 − ||y||2 ≥ hy ∗ , x − yi . 2 2 ¨ Osszeadva az ut´obbi k´et egyenl˝otlens´eget, k¨ovetkezik, hogy hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0 .
´ ´ ´ TULAJDONSAGAI ´ 3.2. A DUALIS LEKEPEZ ES
45
3) Legyen t > 0. Ekkor ¿ ∗
x ∈ tJ(x) ⇔
1 ∗ x ,x t
À
° ° ° 1 ∗° ° = ° x° · ||x|| = ||x||2 ⇔ t °
⇔ hx∗ , txi = ||x∗ || · ||tx|| = ||tx||2 ⇔ x∗ ∈ J(tx) . Tov´abb´a x∗ ∈ J(−x) ⇔ hx∗ , −xi = ||x∗ || · || − x|| = || − x||2 ⇔ ⇔ h−x∗ , xi = || − x∗ || · ||x|| = ||x||2 ⇔ −x∗ ∈ J(x) . 4) ”⇒” Legyen X egy Hilbert t´er. Ekkor hJ(x) , hi = lim t→0
=
+ th||2 − 12 ||x||2 = t
1 hx + th , x + thi − hx , xi lim = 2 t→0 t =
=
1 ||x 2
1 2thx , hi + t2 hh , hi lim = 2 t→0 t
1 lim 2hx , hi + thh , hi = hx , hi , ∀ h ∈ X . 2 t→0
Ez alapj´an a J(x) ∈ X ∗ line´aris ´es folytonos f¨ uggv´enynek megfeleltethet˝o az x ∈ X elem u ´.h. hJ(x) , hi = hx , hi , ∀ h ∈ X , ami azt is jelenti, hogy J line´aris ´es azt is, hogy u ´gy tekinthet˝o mintha J = I az X t´er identit´asa lenne. ”⇐” Tudjuk, hogy X Hilbert t´er akkor ´es csakis akkor, ha fenn´all a paralelogramma egyenl˝os´eg, azaz ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2||x||2 + 2||y||2 , ∀ x, y ∈ X . Legyen x∗ ∈ J(x) ´es y ∗ ∈ J(y). Mivel J line´aris x∗ + y ∗ ∈ J(x + y) ´es x∗ − y ∗ ∈ J(x − y) .
46
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
Ez´altal ||x + y||2 + ||x − y||2 = hx∗ + y ∗ , x + yi + hx∗ − y ∗ , x − yi = = hx∗ , xi + hx∗ , yi + hy ∗ , xi + hy ∗ , yi + +hx∗ , xi − hx∗ , yi − hy ∗ , xi + hy ∗ , yi = = 2hx∗ , xi + 2hy ∗ , yi = 2||x||2 + 2||y||2 . 2
´ ´ ´ ES ´ A TER ´ KAPCSOLATA 3.3. A DUALIS LEKEPEZ ES
3.3
47
A du´ alis lek´ epez´ es ´ es a t´ er geometriai tulajdons´ agai k¨ oz¨ otti kapcsolat
Ebben a paragrafusban a du´alis lek´epez´es azon tulajdons´agaival foglalkozunk, amelyek a t´er k¨ ul¨onb¨oz˝o geometriai tulajdons´agaival vannak kapcsolatban. A hangs´ ulyt a du´alis lek´epez´es monotonit´as´ara ´es folytonoss´ag´ara helyezz¨ uk. El˝osz¨or megadjuk a k¨ ul¨onb¨oz˝o monotonit´asok defin´ıci´oit. Legyen F : X ; X ∗ egy t¨obb´ert´ek˝ u lek´epez´es. Defin´ıci´ o 3.3.1 a) Azt mondjuk, hogy F monoton, ha hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0 , ∀x, y ∈ DomF , x∗ ∈ F (x) , y ∗ ∈ F (y) . b) Azt mondjuk, hogy F szigor´ uan monoton, ha monoton ´es hx∗ − y ∗ , x − yi > 0 , ∀x 6= y ∈ DomF , x∗ ∈ F (x) , y ∗ ∈ F (y) . c) Azt mondjuk, hogy F ϕ-monoton, ha hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ ϕ (||x − y||) ||x − y|| , ∀x, y ∈ DomF , x∗ ∈ F (x) , y ∗ ∈ F (y) , ahol ϕ : R+ → R+ egy olyan monoton n¨ovekv˝ o f¨ uggv´eny, amelyre ϕ(0) = 0 ´es ϕ(r) > 0 amikor r > 0. d) Azt mondjuk, hogy F er˝osen monoton, ha hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ c||x − y||2 , ∀x, y ∈ DomF , x∗ ∈ F (x) , y ∗ ∈ F (y) , ahol c > 0 egy r¨ogz´ıtett konstans. Az el˝obbi defin´ıci´okb´ol k¨ovetkezik, hogy er˝osen monoton ⇒ ϕ-monoton ⇒ szigor´ uan monoton ⇒ monoton .
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
48
uan konvex akkor ´es csakis akkor, ha J szigor´ uan monoTulajdons´ ag 3.3.1 X szigor´ ton. Bizony´ıt´ as. ”⇒” Legyen x 6= y ∈ X ´es x∗ ∈ J(x), y ∗ ∈ J(y). Felt´etelezz¨ uk, hogy hx∗ − y ∗ , x − yi = 0. Ekkor 0 = hx∗ − y ∗ , x − yi = hx∗ , xi − hx∗ , yi − hy ∗ , xi + hy ∗ , yi ≥ ≥ ||x||2 − ||x∗ || · ||y|| − ||y ∗ || · ||x|| + ||y||2 = (||x|| − ||y||)2 ≥ 0 , teh´at ||x|| = ||y|| . Mivel X szigor´ uan konvex ´es ¿
1 x , x ||x||
À
∗
k¨ovetkezik, hogy
¿ x∗ ,
1 y ||y||
= ||x∗ || ,
À < ||x∗ || .
Emiatt hx∗ , yi < ||x||2 . Hasonl´oan
¿ y∗ ,
1 x ||x||
À < ||y ∗ || ,
´es innen hy ∗ , xi < ||y||2 . Ezek alapj´an 0 = hx∗ − y ∗ , x − yi = hx∗ , xi − hx∗ , yi − hy ∗ , xi + hy ∗ , yi > > ||x||2 − ||x||2 − ||y||2 + ||y||2 = 0 , ami ellentmond´as. ”⇐” Legyen x, y ∈ X, tn ∈ (0, 1), x∗ ∈ J(x) ´es xn∗ ∈ J(x + tn y). Ekkor 1 1 ||x + tn y||2 − ||x||2 ≥ hx∗ , tn yi 2 2 ´es 1 1 ||x||2 − ||x + tn y||2 ≥ hx∗n , −tn yi . 2 2
´ ´ ´ ES ´ A TER ´ KAPCSOLATA 3.3. A DUALIS LEKEPEZ ES
49
Ezek alapj´an ∗
hx , yi ≤
1 ||x 2
+ tn y||2 − 12 ||x||2 ≤ hx∗n , yi . tn
(3.3.1)
Felt´etelezz¨ uk, hogy X nem szigor´ uan konvex, teh´at l´etezik x1 6= x2 ∈ X u ´.h. ||x1 || = ||x2 || = 1 ´es ||tx1 + (1 − t)x2 || = 1 , ∀ t ∈ (0, 1) . Egy tn → 0 sorozat eset´en ||x2 + tn (x1 − x2 )|| = 1 ´es felhaszn´alva a (3.3.1) rel´aci´ot, azt kapjuk, hogy az x∗2 ∈ J(x2 ) ´es x∗n ∈ J(x2 + tn (x1 − x2 )) elemekre fenn´all, hogy hx∗2 , x1 − x2 i ≤
1 ||x2 2
+ tn (x1 − x2 )||2 − 12 ||x2 ||2 ≤ hx∗n , x1 − x2 i . tn
(3.3.2)
Innen hx∗2 , x1 − x2 i ≤ 0 ´es hx∗n , x1 − x2 i ≥ 0 . Mivel x2 + tn (x1 − x2 ) → x2 , a [4] Prop 3.4 alapj´an l´etezik egy (x∗nk ) r´eszsorozat ´es y ∗ ∈ J(x2 ) u ´.h. hx∗nk , x1 − x2 i → hy ∗ , x1 − x2 i . Ez´altal y ∗ ∈ J(x2 ) ´es hy ∗ , x1 − x2 i = 0 . Hasonl´o gondolatmenet alapj´an l´etezik z ∗ ∈ J(x1 ) u ´.h. hz ∗ , x2 − x1 i = 0 . Teh´at x1 6= x2 , y ∗ ∈ J(x2 ) , z ∗ ∈ J(x1 ) ´es hz ∗ − y ∗ , x1 − x2 i = 0 , ami ellentmond a szigor´ u konvexit´assal. 2
Megjegyz´ es. Ha J szigor´ uan monoton, akkor J injekt´ıv, azaz x1 6= x2 , x∗1 ∈ J(x1 ) ´es x∗2 ∈ J(x2 )-b˝ol k¨ovetkezik, hogy x∗1 6= x∗2 .
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
50 Tulajdons´ ag 3.3.2 [15]
Ha X uniform konvex, akkor a du´alis lek´epez´es ϕR -monoton b´armilyen B(0, R) z´ art g¨ omben. Bizony´ıt´ as. ”⇒” Legyen X uniform konvex ´es R > 0. Meghat´arozzuk a ϕR : R+ → R+ f¨ uggv´enyt a k¨ovetkez˝o m´odon: ϕ(0) = 0 ,
ϕ(r) = ϕ(2R) , ∀ r > 2R
´es 0 < r ≤ 2R eset´en ϕR (r) =
1 inf · hx∗ − y ∗ , x − yi . ||x − y|| x, y ∈ B(0, R) ||x − y|| ≥ r x∗ ∈ J(x), y ∗ ∈ J(y)
A ϕR f¨ uggv´eny meghat´aroz´as´ab´ol k¨ovetkezik, hogy monoton n¨ovekv˝o. Azt kell teh´at bizony´ıtanunk, hogy r > 0 eset´en ϕR (r) > 0. Felt´etelezz¨ uk az ellenkez˝oj´et, azaz, hogy l´etezik r ∈ (0, 2R] u ´gy, hogy ϕR (r) = 0. Ekkor l´eteznek (xn )n∈N , (yn )n∈N ⊂ B(0, R), x∗n ∈ J(xn ), yn∗ ∈ J(yn ) u ´gy, hogy ||xn − yn || ≥ r ´es
1 hx∗ − yn∗ , xn − yn i → 0 . ||xn − yn || n
Innen hx∗n − yn∗ , xn − yn i → 0 ´es mivel 0 ≤ (||xn || − ||yn ||)2 ≤ hx∗n − yn∗ , xn − yn i , k¨ovetkezik, hogy lim ||xn || = lim ||yn || = a > 0 .
n→∞
n→∞
Legyen un =
1 1 xn , v n = yn , ||xn || ||yn ||
´ ´ ´ ES ´ A TER ´ KAPCSOLATA 3.3. A DUALIS LEKEPEZ ES
51
1 ∗ 1 xn ∈ J(xn ) = J(un ) , ||xn || ||xn || 1 ∗ 1 vn∗ = yn ∈ J(yn ) = J(vn ) . ||yn || ||yn ||
u∗n =
Mivel lim inf ||un − vn || = n→∞
1 r lim inf ||xn − yn || ≥ , a n→∞ a
az uniform konvexit´as implik´alja, hogy lim sup ||xn − yn || = a lim sup ||un − vn || < 2a . n→∞
n→∞
Ugyanakkor, mivel lim hu∗n − vn∗ , un − vn i = lim hx∗n − yn∗ , xn − yn i = 0
n→∞
n→∞
´es ¡ ¢ ¡ ¢ 0 ≤ ||un ||2 − hu∗n , vn i + ||vn ||2 − hvn∗ , un i = = hu∗n − vn∗ , un − vn i → 0 , k¨ovetkezik, hogy lim hu∗n , vn i = lim hvn∗ , un i = 1 .
n→∞
n→∞
Emiatt lim hx∗n , yn i = lim hyn∗ , xn i = a ,
n→∞
n→∞
teh´at 2a2 = lim hx∗n , xn + yn i ≤ lim ||xn + yn || · ||x∗n || < 2 , n→∞
n→∞
ami ellentmond´as. 2
A k¨ovetkez˝o tulajdons´ag k¨ovetkezik a 3.2.1 tulajdons´ag 4) pontj´ab´ol: Tulajdons´ ag 3.3.3 X Hilbert t´er akkor ´es csakis akkor ha J line´aris ´es er˝osen monoton.
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
52 urjekt´ıv. Tulajdons´ ag 3.3.4 Ha X reflex´ıv, akkor J sz¨
Bizony´ıt´ as. J sz¨ urjekt´ıv akkor ´es csakis akkor, ha b´armely x∗ ∈ X ∗ eset´en l´etezik x ∈ X u ´.h. x∗ ∈ J(x). Legyen x∗ ∈ X ∗ tetsz˝oleges. Mivel X reflex´ıv, az 1.4.1 tulajdons´ag alapj´an, l´etezik x ∈ X u ´.h. ||x|| = 1 ´es hx∗ , xi = ||x∗ ||. Teh´at ° ° ¿ À ° 1 ∗° 1 ∗ ° x ,x = 1 = ° ° ||x∗ || x ° · ||x|| , ||x∗ || amib˝ol k¨ovetkezik, hogy 1 ∗ x ∈ J(x) ´es x∗ ∈ J(||x∗ || · x) . ||x∗ || 2
Az el˝obbi tulajdons´agok alapj´an: Tulajdons´ ag 3.3.5 Ha X reflex´ıv, szigor´ uan konvex ´es X ∗ is szigor´ uan konvex, akkor J bijekt´ıv lek´epez´es. A du´alis lek´epez´es folytonoss´ag´ara n´ezve a k¨ovetkez˝oket bizony´ıtjuk: Tulajdons´ ag 3.3.6 Ha X ∗ szigor´ uan konvex, akkor J demifolytonos, azaz folytonos az X-beli er˝os topol´ ogi´ at ´es az X ∗ -beli gyenge∗ topol´ ogi´ at tekintve. Bizony´ıt´ as. T´etelezz¨ uk fel, hogy J nem demifolytonos x0 ∈ X-ban. Ekkor l´etezik egy (xn ) sorozat ´es J(x0 )-nak egy V σ(X ∗ , X)-k¨ornyezete u ´.h. xn → x0 ´es J(xn ) 6∈ V , ∀ n ∈ N . Mivel ||J(xn )|| = ||xn || ´es (xn ) egy korl´atos sorozat, k¨ovetkezik, hogy (J(xn )) ugyancsak egy korl´atos sorozatot alkot. Felhaszn´alva az Alaoglu-Bourbaki t´etelt, azt mondhatjuk, ´.h. J(xnk ) *∗ x∗0 ´es x∗0 6∈ V . hogy l´etezik egy (J(xnk )) r´eszsorozat ´es egy x∗0 ∈ X ∗ u A konvergencia miatt ∀ ε > 0, ∃ k(ε) ∈ N u ´.h. |hJ(xnk ) , x0 i − hx∗0 , x0 i| < ε , ∀ k ≥ k(ε) .
´ ´ ´ ES ´ A TER ´ KAPCSOLATA 3.3. A DUALIS LEKEPEZ ES Teh´at, ∀ k ≥ k(ε) eset´en
53
¯ ∗ ¯ ¯hx0 , x0 i − ||xn ||2 ¯ ≤
≤ |hx∗0 , x0 i − hJ(xnk ) , x0 i| + |hJ(xnk ) , x0 i − hJ(xnk ) , xnk i| ≤ ≤ ε + kJ(xnk )k · kx0 − xnk k . Amikor k → ∞ azt kapjuk, hogy hx∗0 , x0 i = ||x0 ||2 . Innen k¨ovetkezik az is, hogy ||x∗0 || ≥ ||x0 ||. Ugyanakkor, mivel J(xnk ) *∗ x∗0 , tudjuk, hogy ||x∗0 || ≤ lim inf kJ(xnk )k = lim ||xnk || = ||x0 || . k→∞
k→∞
Emiatt ||x∗0 || ≤ ||x0 || ´es ezt ¨osszevetve a ford´ıtott egyenl˝otlens´eggel, azt kapjuk, hogy ||x∗0 || = ||x0 ||. ´Igy x∗0 = J(x0 ), ami ellentmond´as azzal, hogy x∗0 6∈ V . 2
Tulajdons´ ag 3.3.7 Ha X ∗ lok´alisan uniform konvex, akkor J folytonos az X ´es X ∗ terek er˝os topol´ ogi´ aj´ at tekintve. Bizony´ıt´ as. Legyen xn → x0 . Ha x0 = 0 akkor evidens, hogy J(xn ) → 0 = J(0). Felt´etelezz¨ uk, hogy x0 6= 0. Legyenek un =
1 1 xn ´es u0 = x0 . ||xn || ||x0 ||
Ekkor ||un || = ||u|| = 1 ´es un → u. Tov´abb´a 2 ≥ hJ(un ) + J(u0 ) , u0 i = hJ(un ) , u0 i + hJ(u0 ) , u0 i = = 1 + hJ(un ) , un i + hJ(un ) , u0 − un i ≥ 2 − ||u0 − un || . Innen lim ||J(un ) + J(u0 )|| = 2 .
n→∞
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
54 Az X ∗ lok´alisan uniform konvexit´asa miatt viszont lim ||J(un ) − J(u0 )|| = 0
n→∞
´es emiatt J(xn ) → J(x0 ). 2 Az el˝obbi tulajdons´agok ´es a 3.1.5, 3.1.6 tulajdons´agokb´ol k¨ovetkezik, hogy Tulajdons´ ag 3.3.8 Legyen X egy reflex´ıv Banach t´er. Ekkor X ´es X ∗ lok´alisan uniform konvexek akkor ´es csakis akkor, ha J homeomorfizmus, azaz J bijekt´ıv ´es J, J −1 folytonosak. Tulajdons´ ag 3.3.9 [4] X ∗ uniform konvex akkor ´es csakis akkor, ha J egyenletesen folytonos az egys´egg¨ omb hat´ar´ an. T´ etel 3.3.1 Legyen X egy Banach t´er, X ∗ szigor´ uan konvex, K ⊂ X z´ art ´es konvex. Ekkor x0 ∈ K ´es ||x0 || = min ||x|| x∈K
akkor ´es csakis akkor, ha hJ(x0 ) , x − x0 i ≥ 0 , ∀ x ∈ K . Bizony´ıt´ as. ”⇒” Legyen x ∈ K ´es t ∈ [0, 1]. Mivel x0 + t(x − x0 ) ∈ K, ||x0 || ≤ ||x0 + t(x − x0 )|| ´es innen 0 ≤ lim t→0
1 ||x0 2
+ t(x − x0 )||2 − 12 ||x0 ||2 = hJ(x0 ) , x − x0 i . t
”⇐” ||x0 || · ||x|| = ||J(x0 )|| · ||x|| ≥ hJ(x0 ) , xi ≥ hJ(x0 ) , x0 i = ||x0 ||2 . 2
´ ´ ´ ES ´ A TER ´ KAPCSOLATA 3.3. A DUALIS LEKEPEZ ES
55
T´ etel 3.3.2 Legyen X egy Banach t´er, X ∗ szigor´ uan konvex, x, y ∈ X. Ekkor a k¨ovetkez˝ o k´et kijelent´es ekvivalens: 1) ||x|| ≤ ||x + ty||, ∀ t ≥ 0. 2) hJ(x) , yi ≥ 0. Bizony´ıt´ as. Az el˝obbi t´etelt alkalmazzuk. Legyen K = {x + ty : t ≥ 0}. K konvex ´es z´art. Az el˝obbi t´etel alapj´an ||x|| ≤ ||x + ty|| ∀ t ≥ 0 akkor ´es csakis akkor, ha hJ(x) , x + ty − xi ≥ 0 , ∀t ≥ 0 , ez viszont ekvivalens azzal, hogy hJ(x) , yi ≥ 0. 2
uan konvex, x, y ∈ X ´es c ∈ R. T´ etel 3.3.3 Legyen X egy Banach t´er, X ∗ szigor´ Ekkor a k¨ovetkez˝ o k´et kijelent´es ekvivalens: 1) ||x|| ≤ ||(1 − ct)x + ty||, ∀ t ≥ 0. 2) hJ(x) , yi ≥ c · ||x||2 . Bizony´ıt´ as. Az el˝obbi t´etelt alkalmazzuk x-re ´es y − cx-re. Ezek alapj´an ||x|| ≤ ||(1 − ct)x + ty|| , ∀ t ≥ 0 ⇔ ⇔ ||x|| ≤ ||x + t(y − cx)|| , ∀ t ≥ 0 ⇔ ⇔ hJ(x) , y − cxi ≥ 0 , ⇔ ⇔ hJ(x) , yi ≥ c · ||x||2 . 2
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
56
3.4
P´ eld´ ak du´ alis lek´ epez´ esekre
P´ elda 3.4.1. 2 ≤ p < ∞ eset´en Lp (Ω) du´alis lek´epez´ese: J(x)(t) =
1 p−2 , ∀x ∈ Lp (Ω) , x 6= 0 , t ∈ Ω . p−2 x(t)|x(t)| ||x||p
Val´oban, mert figyelembe v´eve, hogy mivel Lp (Ω) uniform konvex, a norma Lp (Ω)-ban Fr´echet differenci´alhat´o, teh´at ¯ ¿ À ¯ d 1 · J(x) , y = = ||x + λy||p ¯¯ ||x||p dλ λ=0 ½Z ¾ p1 ¯¯ d ¯ = |x(t) + λy(t)|p dt ¯ = ¯ dλ Ω λ=0 ¯ ¾ p1 −1 ½Z Z ¯ 1 d ¯ = |x(t)|p dt |x(t) + λy(t)|p dt¯ = ¯ p dλ Ω Ω λ=0 Z ® x(t)|x(t)|p−2 y(t)dt = ||x||1−p x|x|p−2 , y . = ||x||1−p p p Ω
P´ elda 3.4.2. 2 ≤ p < ∞ eset´en lp du´alis lek´epez´ese: ¡ ¢ J((xn )) = ||(xn )||2−p xn |xn |p−2 n∈N p A bizony´ıt´as hasonl´o az el˝obbihez, azzal a k¨ ul¨onbs´eggel, hogy integr´alok helyett ¨osszegeket kell haszn´alni. P´ elda 3.4.3. Tekints¨ uk a W 1,p (Ω) Szobolev tereket, azon Lp (Ω)-beli f¨ uggv´enyek ter´et, amelyeknek disztribuci´os deriv´altja is Lp (Ω)-beli f¨ uggv´eny. p ≥ 1 eset´en W 1,p (Ω) egy Banach t´er a k¨ovetkez˝o norm´aval: ÃZ Ã ¯p ! ! p1 n ¯ X ¯ ¯ ∂x ¯ (t)¯ dt |x(t)|p + . ||x||1,p = ¯ ∂ti ¯ Ω i=1 W01,p (Ω)-val jel¨olj¨ uk a C0∞ (Ω) lez´ar´as´at W 1,p (Ω)-ban. Ha Ω ny´ılt ´es korl´atos, akkor W01,p (Ω)-n meghat´arozhatunk egy, a || · ||1,p -vel ekvivalens norm´at: ||x||0,1,p
à n Z µ¯ ¯ ¶ ! p1 X ¯ ∂x ¯p ¯ (t)¯ dt = . ¯ ∂ti ¯ Ω i=1
´ AK ´ 3.4. PELD
57
Meghat´arozzuk W01,p (Ω) du´alis lek´epez´es´et erre a norm´ara vonatkoz´oan. El´eg a sz´am´ıt´asokat C0∞ (Ω)-beli elemekre elv´egezni, mivel a s˝ ur˝ us´eg miatt az eredm´enyek kiterjeszthet˝ok az eg´esz W01,p (Ω)-ra. Legyen x, y ∈ C0∞ (Ω), x 6= 0. Ekkor ¯ ¿ À ¯ d 1 · J(x) , y = = ||x + λy||0,1,p ¯¯ ||x||0,1,p dλ λ=0 ¯ ( n Z ¯ ¯p ) p1 ¯ X ¯ ¯ ¯ ∂x d ¯ (t) + λ ∂y (t)¯ dt ¯ = = ¯ ¯ ¯ dλ i=1 Ω ∂ti ∂ti ¯ λ=0
1 = p
(
¯ n Z ¯ X ¯ ∂x ¯p ¯ (t)¯ dt ¯ ¯ Ω ∂ti i=1
) p1 −1
n Z X i=1
Ω
¯ ¯p ¯ d ¯¯ ∂x ∂y ¯¯ ¯¯ (t) + λ ¯ ¯ dλ ¯ ∂ti ∂ti ¯
λ=0
¯ Z ¯ ¯ ∂x ¯p−2 ∂x ∂y 1−p ¯ (t)¯ = ||x||0,1,p (t) (t) dt = ¯ ∂ti ¯ ∂ti ∂ti Ω i=1 ï ! ¯p−2 Z X n ¯ ¯ ∂ ∂x ∂x ¯ (t)¯ = −||x||1−p (t) y(t) dt . 0,1,p ¯ ∂ti ¯ ∂ti Ω i=1 ∂ti n X
Ezek alapj´an J(x)(t) = −||x||2−p 0,1,p
n X ∂ ∂ti i=1
ï ! ¯ ¯ ∂x ¯p−2 ∂x ¯ (t)¯ (t) . ¯ ∂ti ¯ ∂ti
E kifejez´es jobb oldal´at pszeudo-Laplace oper´atornak szokt´ak nevezni. Ezt az elnevez´est igazolja, hogy p = 2 eset´en n X ∂ 2x J(x)(t) = − (t) = −4x(t) , ∂t2i i=1
vagyis x Laplace oper´atora.
dt =
58
´ ´ ´ 3. A DUALIS LEKEPEZ ES
4 Akret´ıv oper´ atorok 4.1
F´ elskal´ aris szorzat Banach terekben
Legyen X egy Banach t´er, x0 , y ∈ K ´es f : X → R egy konvex, folytonos f¨ uggv´eny. Bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝o ir´anymenti deriv´altakat: f+0 (x0 )(y) = lim
f (x0 + ty) − f (x0 ) f (x0 + ty) − f (x0 ) = inf t&0 t t
f−0 (x0 )(y) = lim
f (x0 + ty) − f (x0 ) f (x0 + ty) − f (x0 ) = sup . t t t%0
t&0
t%0
A k´et ir´anymenti deriv´altnak a k¨ovetkez˝o tulajdons´agai vannak: Tulajdons´ ag 4.1.1 [4] 1) f−0 (x0 )(y) = − f+0 (x0 )(−y); 2) f−0 (x0 )(y) ≤ f+0 (x0 )(y); 3) f+0 (x0 ) : X → R folytonos, konvex f¨ uggv´eny; 3) x∗0 ∈ ∂f (x0 ) akkor ´es csakis akkor, ha f−0 (x0 )(y) ≤ hx∗0 , yi ≤ f+0 (x0 )(y) , ∀ y ∈ X ; 4) f+0 (x0 )(y) = max{hx∗0 , yi : x∗0 ∈ ∂f (x0 )}; 5) f Gˆ ateaux differenci´ alhat´ o x0 -ban ha f−0 (x0 )(y) = f+0 (x0 )(y) , ∀ y ∈ X . 59
´ 4. AKRET´IV OPERATOROK
60 Az el˝obbi tulajdons´agokat alkalmazzuk az f (x) =
1 ||x||2 2
f¨ uggv´enyre ´es az f+0 ir´anymenti deriv´altra a k¨ovetkez˝o jel¨ol´est alkalmazzuk: hx, yi+
||x + ty||2 − ||x||2 . = lim t&0 2t
Defin´ıci´ o 4.1.1 Az el˝obb megadott h· , ·i+ : X × X → R f¨ uggv´enyt f´elskal´ aris szorzatnak nevezz¨ uk. Felhaszn´alva a 4.1.1 tulajdons´agot ´es azt, hogy J(x) = ∂( 21 ||x||2 ), a f´elskal´aris szorzatnak a k¨ovetkez˝o tulajdons´agait igazolhatjuk. Tulajdons´ ag 4.1.2 1) hx , ·i+ : X → R folytonos ´es konvex f¨ uggv´eny; 2) hx , yi+ = max{hx∗ , yi : x∗ ∈ J(x)}; 3) Ha a norma Gˆateaux differenci´ alhat´ o, akkor hx , yi+ = hJ(x) , yi , ∀ x, y ∈ X . A k¨ovetkez˝o tulajdons´agok igazolj´ak a f´elskal´aris szorzat elnevez´est. Tulajdons´ ag 4.1.3 B´armilyen x, y, z ∈ X eset´en: 1) hx , y + zi+ ≤ hx , yi+ + hx , zi+ ; 2) hαx , βyi+ = αβhx , yi+ , ha α, β ∈ R ´es αβ > 0. 3) hx , yi+ ≤ ||x|| · ||y||; 4) hx , y + cxi = c · ||x||2 + hx , yi+ , ∀ c ∈ R. 5) hx − y , z − xi+ ≤
¢ 1¡ ||z − y||2 − ||x − y||2 . 2
6) h·, ·i+ : X × X → R fel¨ ulr˝ ol f´elig folytonos.
´ ´ 4.1. FELSKAL ARIS SZORZAT BANACH TEREKBEN Bizony´ıt´ as. 1) L´etezik x∗ ∈ J(x) u ´.h. hx, y + zi+ = hx∗ , y + zi = = hx∗ , yi + hx∗ , zi ≤ hx, yi+ + hx, zi+ . 2) Legyen α > 0, β > 0. Ekkor hαx , βyi+ = max{hz ∗ , βyi : z ∗ ∈ J(αx) = αJ(x)} = = max{hαx∗ , βyi : x∗ ∈ J(x)} = = αβ max{hx∗ , yi : x∗ ∈ J(x)} = αβhx , yi+ . Ugyanakkor h−αx , −βyi+ = max{hz ∗ , −βyi : z ∗ ∈ J(−αx) = −αJ(x)} = = max{h−αx∗ , −βyi : x∗ ∈ J(x)} = = αβ max{hx∗ , yi : x∗ ∈ J(x)} = αβhx , yi+ . 3) L´etezik x∗ ∈ J(x) u ´.h. hx, yi+ = hx∗ , yi ≤ ||x∗ || · ||y|| = ||x|| · ||y|| . 4) Legyen x∗ ∈ J(x) u ´.h. hx, y + cxi+ = hx∗ , y + cxi = = hx∗ , cxi + hx∗ , yi ≤ c||x||2 + hx, yi+ . Ugyanakkor b´armely x∗ ∈ J(x) eset´en hx, y + cxi+ ≥ hx∗ , y + cxi = = c||x||2 + hx∗ , yi .
61
´ 4. AKRET´IV OPERATOROK
62 Teh´at
hx, y + cxi ≥ c||x||2 + hx, yi+ . 5) hx − y, z − xi+ = hx − y, z − y + y − xi+ = 1 1 ≤ hx − y, z − yi+ − ||x − y||2 ≤ ||x − y||2 + ||z − y||2 − ||x − y||2 = 2 2 ¡ ¢ 1 ||z − y||2 − ||x − y||2 . = 2 6) Legyen (xn ) , (yn ) ⊂ X, x0 , y0 ∈ X u ´.h. xn → x0 ´es yn → y0 . A 4.1.2 tulajdons´agb´ol ´.h. hxn , yn i+ = hx∗n , yn i. k¨ovetkezik, hogy l´etezik x∗n ∈ J(xn ) u Mivel (hxn , yn i+ ) ⊂ R korl´atos sorozat, kiv´alaszthatunk k´et (xnk ), (ynk ) r´eszsorozatot u ´.h. (hxnk , ynk i+ ) konvergens. Az Alaoglu-Bourbaki t´etelt alkalmazva felt´etelezhetj¨ uk, hogy x∗nk *∗ x∗0 . Ekkor hx∗0 , x0 i = lim hx∗nk , xnk i = lim ||xnk ||2 = ||x0 ||2 n→∞
k→∞
´es ||x∗0 || ≤ lim inf ||x∗nk || = lim ||xnk || = ||x0 || . k→∞
k→∞
Innen k¨ovetkezik, hogy x∗0 ∈ J(x0 ). Ugyanakkor, mivel yn → y0 , lim hxnk , ynk i+ = lim hx∗nk , ynk i = hx∗0 , y0 i ≤ hx0 , y0 i+ ,
k→∞
k→∞
teh´at lim suphxn , yn i+ ≤ hx0 , y0 i+ . n→∞
2
Megeml´ıtj¨ uk, hogy abban az esetben, ha X ∗ szigor´ uan konvex, akkor h·, ·i+ folytonos ´es abban az estben, ha X ∗ uniform konvex, akkor h·, ·i+ egyenletesen folytonos a korl´atos halmazokon. Az el˝oz˝o fejezet 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3 t´eteleit ´altal´anos´ıtjuk abban az esetben, amikor a du´alis lek´epez´es nem egy´ert´ek˝ u.
´ ´ 4.1. FELSKAL ARIS SZORZAT BANACH TEREKBEN
63
art, konvex ´es x0 ∈ K. Ekkor Tulajdons´ ag 4.1.4 Legyen X egy Banach t´er, K ⊂ X z´ ||x0 || = inf ||x|| ⇔ hx0 , x − x0 i+ ≥ 0 . x∈K
Bizony´ıt´ as. ”⇐” Mivel 0 ≤ hx0 , x − x0 i+ = hx0 , xi+ − ||x0 ||2 , k¨ovetkezik, hogy ||x0 ||2 ≤ hx0 , xi ≤ ||x0 || · ||x|| . ”⇒” Legyen x ∈ K tetsz˝oleges. Mivel ||x0 || ≤ ||x||, k¨ovetkezik, hogy 1 1 ||x0 + t(x − x0 )||2 − ||x0 ||2 ≥ 0 , ∀ t ∈ [0, 1] . 2 2 Ez´altal 0 ≤ lim
1 ||x0 2
t&0
+ t(x − x0 )||2 − 12 ||x0 ||2 = hx0 , x − x0 i+ . t
2
Tulajdons´ ag 4.1.5 ||x|| ≤ ||x + ty|| , ∀ t ≥ 0 ⇔ hx , yi+ ≥ 0 . Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk a K = {x + ty : t ≥ 0} konvex ´es z´art halmazt ´es alkalmazzuk az el˝obbi tulajdons´agot. 2
Tulajdons´ ag 4.1.6 ||x|| ≤ ||x + ty|| , ∀ t ≥ 0 ⇔ ∃ x∗ ∈ J(x) u ´.h. hx∗ , yi ≥ 0 .
´ 4. AKRET´IV OPERATOROK
64
Bizony´ıt´ as. A 4.1.5 ´es a 4.1.2 tulajdons´agok k¨ovetkezm´enye. E k´et tulajdons´agt´ol f¨ uggetlen¨ ul, a k¨ovetkez˝ok´eppen lehet bizony´ıtani. x = 0 eset´en evidens. Felt´etelezz¨ uk, hogy x 6= 0. ”⇐” ||x||2 = hx∗ , xi ≤ hx∗ , xi + thx∗ , yi = = hx∗ , x + tyi ≤ ||x|| · ||x + ty|| . ”⇒” Legyen x∗t ∈ J(x + ty) ´es yt∗ =
1 ∗ x . ||x∗t || t
Ekkor ||x|| ≤ ||x + ty|| = hyt∗ , x + tyi ≤ ≤ hyt∗ , xi + thyt∗ , yi ≤ ||x|| + thyt∗ , yi . Innen lim hyt∗ , xi ≥ ||x|| ´es hyt∗ , yi ≥ 0 . t&0
Mivel (yt∗ ) ⊂ B ∗ , l´etezik egy (ys∗ ) r´eszsorozat ´es egy y ∗ ∈ B ∗ u ´.h. ys∗ *∗ y ∗ ´es hy ∗ , xi ≥ ||x|| , hy ∗ , yi ≥ 0 . Ez´altal hy ∗ , xi = ||x|| ´es ||y ∗ || = 1 . Legyen x∗ = ||x|| · y ∗ . Ekkor x∗ ∈ J(x) ´es hx∗ , yi ≥ 0 . 2
K¨ ovetkezm´ eny 4.1.1 Az utols´o h´arom tulajdons´agb´ol k¨ovetkezik, hogy egy Banach t´erben a k¨ovetkez˝o h´arom kijelent´es ekvivalens:
´ ´ 4.1. FELSKAL ARIS SZORZAT BANACH TEREKBEN
65
1) hx , yi+ ≥ 0; 2) ∃ x∗ ∈ J(x) u ´.h. hx∗ , yi ≥ 0; 3) ||x|| ≤ ||x + ty||, ∀ t ≥ 0.
K¨ ovetkezm´ eny 4.1.2 Az el˝obbi ekvivalens kijelent´esekben y helyett y−cx-et helyettes´ıtve, azt kapjuk, hogy egy Banach t´erben a k¨ovetkez˝o h´arom kijelent´es ekvivalens: 1) hx , yi+ ≥ c||x||2 ; 2) ∃ x∗ ∈ J(x) u ´.h. hx∗ , yi ≥ c||x||2 ; 3) ||x|| ≤ ||(1 − ct)x + ty||, ∀ t ≥ 0.
P´ elda 4.1.1. Legyen K ⊂ Rn egy kompakt halmaz ´es X = C(K) a k¨ovetkez˝o norm´aval: ||x|| = max |x(t)| . t∈K
Ebben a Banach t´erben a f´elskal´aris szorzat a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o: hx , yi+ = ||x|| max{(sgn x(t))y(t) : t ∈ K , |x(t)| = ||x||}, . Bizony´ıt´ as. Legyen t ∈ K u ´.h. |x(t)| = ||x||. Ekkor ||x + εy||2 − ||x||2 |x(t) + εy(t)|2 − |x(t)|2 ≥ = 2ε 2ε =
|x(t) + εy(t)| − |x(t)| |x(t) + εy(t)| + |x(t)| · . ε 2
Felhaszn´alva azt, hogy |x(t)| = (sgn x(t))x(t) ´es azt, hogy el´eg kicsi ε-ra x(t) + εy(t) el˝ojele megegyezik x(t) el˝ojel´evel, azt kapjuk, hogy ||x + εy||2 − ||x||2 (sgn x(t))(x(t) + εy(t) − x(t)) |x(t) + εy(t)| − |x(t)| ≥ · = 2ε ε 2 = (sgn x(t)) · y(t) ·
|x(t) + εy(t)| + |x(t)| . 2
Teh´at hx, yi+ ≥ (sgn x(t))|x(t)|y(t) = ||x|| · (sgn x(t))y(t)
´ 4. AKRET´IV OPERATOROK
66 ´es innen
hx, yi+ ≥ ||x|| · max{(sgn x(t))y(t) : t ∈ K , |x(t)| = ||x||} . Bizony´ıtsuk be a ford´ıtott egyenl˝otlens´eget is. Ez´ert legyen (tn ) ⊂ K u ´.h. ° ° ¯ ¯ ° ° ¯ ¯ °x + 1 y ° = ¯x(tn ) + 1 y(tn )¯ , ∀ n ∈ N . ¯ ° ° ¯ n n K kompakts´aga miatt felt´etelezhetj¨ uk, hogy (ak´ar csak r´eszsorozatokat tekintve) tn → t ∈ K ´es x(tn ) + n1 y(tn ) ≥ 0 vagy x(tn ) + n1 y(tn ) ≤ 0, ∀ n ∈ N. Felt´etelezz¨ uk az el˝obbit. Ekkor ||x + n1 y||2 − ||x||2 ≤ 2 n1 x(tn ) + n1 y(tn ) − x(tn ) ||x + n1 y|| + ||x|| ≤ · = 1 2 n ||x + n1 y|| + ||x|| = y(tn ) · . 2 Innen k¨ovetkezik, hogy hx, yi+ ≤ y(t) · ||x||. Ugyanakkor x(t) ≥ 0 ´es |x(t)| = ||x||, teh´at hx, yi+ ≤ ||x|| max{(sgn x(t)) · y(t) : t ∈ K , |x(t)| = ||x||} . P´ elda 4.1.2 Ha X = C2π (R), akkor a norma is ´es a f´elskal´aris szorzat is hasonl´o a C([0, 2π]) t´erbeliekhez, azaz ||x|| = max |x(t)| t∈[0,2π]
´es a f´elskal´aris szorzat hx , yi+ = ||x|| max{sgn(x(t))y(t) : t ∈ [0, 2π] , |x(t)| = ||x||}, . P´ elda 4.1.3 Legyen Ω ⊂ Rn korl´atos, ny´ılt ´es p = 1. Ekkor L1 (Ω)-ban a f´elskal´aris szorzat a k¨ovetkez˝o: µZ hx , yi+ = ||x||
Z Ω+ x
y(t)dt −
¶ |y(t)|dt ,
Z Ω− x
y(t)dt + Ω0x
´ ´ 4.1. FELSKAL ARIS SZORZAT BANACH TEREKBEN
67
ahol Ω+ x = {x ∈ Ω : x(t) > 0} , Ω− x = {x ∈ Ω : x(t) < 0} , Ω0x = {x ∈ Ω : x(t) = 0} . Bizony´ıt´ as. Ha ε > 0 el´eg kicsi, akkor
Z =
Ω+ x
||x + εy|| − ||x|| = ε Z Z |x(t) + εy(t)| − x(t) |x(t) + εy(t)| + x(t) |y(t)|dt . dt + dt + ε ε Ω− Ω0x x
Teh´at
Z
||x + εy|| − ||x|| lim = ε→0 ε ´es ez´altal
Z Ω+ x
y(t)dt +
µZ hx, yi+ = ||x||
Z Ω− x
(−y(t))dt +
Z Ω+ x
y(t)dt −
¶ |y(t)|dt .
Z Ω− x
|y(t)|dt Ω0x
y(t)dt + Ω0x
P´ elda 4.1.4 Legyen Ω ⊂ Rn korl´atos, ny´ılt ´es p ≥ 2. Ekkor Lp (Ω) uniform konvex, du´alisa ugyancsak uniform konvex, teh´at a du´alis lek´epez´es homeomorfizmus ´es a f´elskal´aris szorzat a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o: hx , yi+ = hJ(x) , yi , ami a du´alis lek´epez´es kifejez´ese miatt Z hx , yi+ = ||x||
2−p
|x(t)|p−2 x(t)y(t)dt . Ω
P´ elda 4.1.5. Legyen M egy halmaz ´es B(M ) = {x : M → R : x korl´atos} . B(M ) Banach t´er a k¨ovetkez˝o norm´aval: ||x|| = sup |x(t)| . t∈M
´ 4. AKRET´IV OPERATOROK
68 A f´elskal´aris szorzat a k¨ovetkez˝o:
hx, yi+ = ||x|| lim sup{(sgn x(t)) · y(t) : t ∈ M , |x(t)| > ||x|| − ε} . ε→0
Bizony´ıt´ as. Ahogy ε & 0 u ´gy a sup{(sgn x(t)) · y(t) : t ∈ M , |x(t)| > ||x|| − ε} n¨ovekszik. Ugyanakkor korl´atos is, teh´at konvergens ´es l´etezik az L = lim sup{(sgn x(t)) · y(t) : t ∈ M , |x(t)| > ||x|| − ε} . ε→0
Tekints¨ uk az εn & 0 sorozatot u ´.h. ||x|| > 2εn ||y|| + ε2n = ε0n , ∀ n ∈ N . Ha |x(t)| ≥ ||x|| − ε2n , akkor ||x + εn y|| − ||x|| |x(t) + εn y(t)| − |x(t)| − ε2n ≥ = εn εn =
(sgn x(t)) (x(t) + εn y(t) − x(t) − ε2n ) = (sgn x(t)) · (y(t) − εn ) , εn
teh´at hx, yi+ ≥ L. Legyen (tn ) ⊂ M u ´.h. |x(tn ) + εn y(tn )| ≥ ||x + εn y|| − ε2n , ∀ n ∈ N. Ha x(tn ) + εn y(tn ) ≥ 0, akkor ||x + εn y|| − ||x|| x(tn ) + εn y(tn ) + ε2n − x(tn ) ≤ = y(tn ) + εn εn εn ´es x(tn ) > ||x + εn y|| − ε2n − εn y(tn ) ≥ ||x|| − ε0n > 0 . Ha x(tn ) + εn y(tn ) ≤ 0, akkor −x(tn ) − εn y(tn ) + ε2n + x(tn ) ||x + εn y|| − ||x|| ≤ = −y(tn ) + εn εn εn ´es −x(tn ) > ||x + εn y|| − ε2n + εn y(tn ) ≥ ||x|| − ε0n > 0 .
´ ´ 4.1. FELSKAL ARIS SZORZAT BANACH TEREKBEN
69
¨ Osszeveteve az el˝obbi k´et esetet, azt kapjuk, hogy ||x + εn y|| − ||x|| ≤ (sgn x(tn )) · y(tn ) + εn , ∀ tn ∈ M , |x(tn )| > ||x|| − ε0n . εn Innen viszont k¨ovetkezik, hogy hx, yi+ ≤ L. 2.
P´ elda 4.1.6. Az el˝obbi p´eld´ahoz hasonl´o m´odon lehet bizony´ıtani, hogy L∞ (Ω)-ban hx, yi+ = ||x|| · lim ess sup{(sgn x(t)) · y(t) : t ∈ Ω , |x(t)| > ||x|| − ε} . ε→0
´ 4. AKRET´IV OPERATOROK
70
4.2
Akret´ıv oper´ atorok
Ebben a paragrafusban az akret´ıv oper´atorok defin´ıc´oj´aval ´es alapvet˝o tulajdons´agaival foglalkozunk. Defin´ıci´ o 4.2.1 Legyen X egy Banach t´er ´es D ⊂ X. Egy A : D → X oper´ atort akret´ıvnek nevez¨ unk, ha b´armely x, y ∈ D elemre fenn´all egyik a k¨ovetkez˝ o h´arom ekvivalens felt´etel k¨oz¨ ul: 1) hx − y , A(x) − A(y)i+ ≥ 0 ; 2) ∃ j(x − y) ∈ J(x − y) u ´.h. hj(x − y) , A(x) − A(y)i ≥ 0; 3) ||x − y|| ≤ ||x − y + t(A(x) − A(y))||, ∀ t ≥ 0. Megjegyz´ es. Abban az esetben, ha A : D → X line´aris ´es D ⊂ X egy alt´er, akkor az akretivit´as felt´etelei a k¨ovetkez˝ok´epen ´ırhat´ok: 1) hx , A(x)i+ ≥ 0 ; 2) ∃ j(x) ∈ J(x) u ´.h. hj(x) , A(x)i ≥ 0; 3) ||x|| ≤ ||x + tA(x)||, ∀ t ≥ 0.
Az akretivit´as a k¨ovetkez˝o tulajdons´agok ´altal´anos´ıt´asa: - egy A : R → R monoton n¨ovekv˝o f¨ uggv´eny akret´ıv; - egy M , n-szeres n´egyzetes m´atrix ´altal meghat´arozott A : Rn → Rn , A(x) = M x line´aris f¨ uggv´eny akret´ıv, ha M pozit´ıv definit, azaz xM x ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
P´ elda 4.2.1. Legyen X = C2π (R), D = {x ∈ C2π (R) : x0 ∈ C2π (R)} ´es A : D → X, A(x) = x0 . Az A line´aris oper´ator akret´ıv, mivel hx , A(x)i+ = ||x|| max{x0 (t)sgn(x(t)) : x(t) = ||x||} = 0 . Ennek bizony´ıt´asa v´egett azt kell bel´atnunk, hogy azon pontokban, ahol x(t) = ||x||, az x f¨ uggv´enynek maximumpontja van ´es ez´ert a deriv´altja 0.
´ 4.2. AKRET´IV OPERATOROK
71
P´ elda 4.2.2 Legyen p ≥ 2, X = Lp (0, 1), D = {x ∈ Lp (0, 1) : x0 ∈ Lp (0, 1) , x(0) = 0} ´es A : D → X, A(x) = x0 . Ekkor hx , A(x)i+ = hJ(x) , A(x)i = Z 1 2−p = ||x|| |x(t)|p−2 x(t)x0 (t)dt = 0
= ||x||
2−p
¯1 · |x(t)|p ¯0 = ||x||2−p · |x(1)|p ≥ 0 .
Defin´ıci´ o 4.2.2 Legyen X egy Banach t´er, D ⊂ X, A : D → X egy akret´ıv oper´ ator ´es λ > 0 . A k¨ovetkez˝ o k´et oper´ atort vezetj¨ uk be: Jλ = (I + λA)−1 : R(I + λA) → X ´es Aλ =
1 (I − Jλ ) . λ
Az Aλ oper´ atort az A oper´ ator Yosida megk¨ ozel´ıt´es´enek nevezz¨ uk. Az el˝obb bevezetett oper´atorok a k¨ovetkez˝o tulajdons´agokkal rendelkeznek. Tulajdons´ ag 4.2.1 1) Jλ nemexpanz´ıv, azaz ||Jλ (u) − Jλ (v)|| ≤ ||u − v|| , ∀ u, v ∈ R(I + λA) . 2) ||Aλ (u) − Aλ (v)|| ≤
2 λ
||u − v|| , ∀ u, v ∈ R(I + λA).
3) Aλ akret´ıv. 4) Aλ (u) = A(Jλ (u)) ´es ||Aλ (u)|| ≤ ||A(u)||, ∀ u ∈ R(I + λA). 5) limλ&0 Jλ (u) = u, ∀ u ∈ R(I + λA). 6) Ha A folytonos, akkor limλ→0 Aλ (u) = A(u), ∀ u ∈ R(I + λA). 7) Ha A demifolytonos ´es X lok´alisan uniform konvex, akkor limλ→0 Aλ (u) = A(u), ∀ u ∈ R(I + λA).
´ 4. AKRET´IV OPERATOROK
72 Bizony´ıt´ as. 1) A
||x − y|| ≤ ||x − y + λ(A(x) − A(y))|| egyenl˝otlens´egben x = (I +λA)−1 (u)-t ´es y = (I +λA)−1 (v)-t helyettes´ıtve, azt kapjuk, hogy ||Jλ (u) − Jλ (v)|| ≤ ||u − v|| . 2) 1 1 ||Aλ (u) − Aλ (v)|| = || (I − Jλ ) (u) − (I − Jλ )(v)) || ≤ λ λ ≤
1 2 (||u − v|| + ||Jλ (u) − Jλ (v)||) ≤ ||u − v|| . λ λ
3) 1 hu − v , u − v − (Jλ (u) − Jλ (v))i+ = λ ¢ 1¡ = ||u − v||2 − hu − v , Jλ (u) − Jλ (v)i+ ≥ 0 . λ
hu − v , Aλ (u) − Aλ (v)i+ =
4) Aλ (u) = A (Jλ (u)) ⇔
1 (u − Jλ (u)) = A(Jλ (u)) ⇔ λ
⇔ u = Jλ (u) + λA (Jλ (u)) ⇔ u = (I + λA) (Jλ (u)) . Tov´abb´a ||Aλ (u)|| =
1 1 ||u − Jλ (u)|| = ||Jλ (u + λA(u)) − Jλ (u)|| ≤ λ λ ≤
1 ||λA(u)|| = ||A(u)|| . λ
5) Az el˝obbi pont bizony´ıt´as´ab´ol felhaszn´aljuk az k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´eget: ||u − Jλ (u)|| ≤ λ||Aλ (u)|| ≤ λ||A(u)|| . Ez alapj´an lim ||u − Jλ (u)|| = 0 .
λ&0
´ 4.2. AKRET´IV OPERATOROK
73
6) A 4)-es ´es 5)-¨os pontokb´ol k¨ovetkezik. 7) Az A demifolytonoss´ag´ab´ol ´es a 4) pontb´ol k¨ovetkezik, hogy Aλ (u) = A(Jλ (u)) * A(u) . Ugyanakkor ||A(u)|| ≤ lim inf ||Aλ (u)|| ≤ lim sup ||Aλ (u)|| ≤ ||A(u)|| . λ&0
λ&0
Innen k¨ovetkezik, hogy ||Aλ (u)|| → ||A(u)|| ´es a lok´alis uniform konvexit´as miatt Aλ (u) → A(u). 2
atort Defin´ıci´ o 4.2.3 Legyen X egy Banach t´er, D ⊂ X. Egy A : D → X akret´ıv oper´ m-akret´ıvnek nevezz¨ uk, ha R(I + λA) = X, ∀ λ > 0. ator m-akret´ıv, akkor ´es csakis akkor, ha T´ etel 4.2.1 Egy A : D → X akret´ıv oper´ R(I + A) = X. Bizony´ıt´ as. Azt kell bizony´ıtanunk, hogy R(I + A) = X ⇒ R(I + λA) = X , ∀λ > 0 . Legyen y ∈ X ´es λ > 0. Kell keresn¨ unk egy x ∈ X elemet u ´.h. x + λA(x) = y. Ez az ut´obbi rel´aci´o ekvivalens azzal, hogy µ −1
x = (I + A)
¶ 1 (y − (1 − λ)x) . λ
Teh´at azt kell bizony´ıtanunk, hogy a µ −1
T : X → X , T (x) = (I + A) oper´atornak van fixpontja.
¶ 1 (y − (1 − λ)x) λ
Ezt az´altal bizony´ıthatjuk, ha igazoljuk, hogy l´etezik
0≤c<1u ´.h. ||T (x1 ) − T (x2 )|| ≤ c||x1 − x2 || , ∀ x1 , x2 ∈ X .
´ 4. AKRET´IV OPERATOROK
74
Az A akretivit´as´ab´ol k¨ovetkezik, hogy (I + A)−1 nemexpanz´ıv, azaz ||(I + A)−1 (x1 ) − (I + A)−1 (x2 )|| ≤ ||x1 − x2 || , ∀ x1 , x2 ∈ X . Tov´abb´a ||T (x1 ) − T (x2 )|| = ° µ ¶ ¶° µ ° ° 1 1 −1 −1 ° = °(I + A) (y − (1 − λ)x1 ) − (I + A) (y − (1 − λ)x2 ) ° ° ≤ λ λ ¯ ¯ ¯1 ¯ 1 ≤ ||(1 − λ)(x1 − x2 )|| = ¯¯ − 1¯¯ · ||x1 − x2 || . λ λ Ha λ > 12 , akkor
¯ ¯ ¯1 ¯ ¯ 0 ≤ ¯ − 1¯¯ < 1 , λ
teh´at T -nek van fixpontja ´es emiatt I + λA sz¨ urjekt´ıv. √ Ha 0 < λ < 21 , akkor l´etezik n ∈ N u ´.h. n λ ≥ 12 . Felhaszn´alva a bizony´ıt´as els˝o r´esz´et, √ √ √ k¨ovetkezik, hogy R(I + n λA) = X. Innen R(I + n λ n λA) = X. Megism´etelve n-szer azt kapjuk, hogy R(I + λA) = X. 2
P´ elda 4.2.3. A 4.2.1 ´es a 4.2.2 p´eld´akban eml´ıtett akret´ıv oper´atorok m-akret´ıvek. Bizony´ıtsuk ezt be a 4.2.1 p´elda eset´eben, amikor X = C2π (R) , D = {x ∈ C2π (R) : x0 ∈ C2π (R)} , A : D → X , A(x) = x0 . Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy az A akret´ıv oper´ator m-akret´ıv, azt kell bizony´ıtanunk, hogy b´armely y ∈ C2π (R) eset´en a ½ 0 x (t) + x(t) = y(t) , 0 < t < 2π x(0) = x(2π) bilok´alis feladatnak van x ∈ D megold´asa. A homog´en differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´asa x0 (t) = ce−t . Egy xp (t) = c(t)e−t partikul´aris megold´ast az ´alland´o vari´al´as´anak m´odszer´evel keresve, azt kapjuk, hogy Z t −t y(s)es ds , xp (t) = e 0
´ 4.2. AKRET´IV OPERATOROK
75
teh´at
Z x(t) = ce
−t
t
−t
+e
y(s)es ds .
0
Az x(0) = x(2π) felt´etelt haszn´alva, azt kapjuk, hogy e−2π c = 1 − e−2π
Z
2π
y(s)es ds
0
´es k¨ovetkez´esk´eppen e−2π −t e x(t) = 1 − e−2π
Z
2π
Z s
y(s)e ds + e 0
t
−t
y(s)es ds .
0
K¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy x ∈ C2π (R) ´es mivel x0 = y − x, k¨ovetkezik, hogy x0 ∈ C2π (R), teh´at x ∈ D. 2
76
´ 4. AKRET´IV OPERATOROK
5 Akret´ıv oper´ atorok a differenci´ alegyenletek ´ es parci´ alis differenci´ alegyenletek elm´ elet´ eben 5.1
Vektor ´ ert´ ek˝ u f¨ uggv´ enyek ´ es disztrib´ uci´ ok
Ebben a paragrafusban bevezetj¨ uk azokat a f¨ uggv´eny tereket ´es disztrib´ uci´o tereket, amelyekben a differenci´alegyenleteket tanulm´anyozni fogjuk. A C0∞ (0, T ) line´aris teret ´es a rajta ´ertelmezett lok´alisan konvex D(0, T ) teret m´ar meghat´aroztuk. Defin´ıci´ o 5.1.1 Legyen X egy Banach t´er.
Egy vektor ´ert´ek˝ u disztrib´ uci´ on egy
u : D(0, T ) → X line´aris ´es folytonos f¨ uggv´enyt ´ert¨ unk. Ezen disztrib´ uci´ ok tere: D0 (0, T ; X) = {u : D(0, T ) → X : u line´ aris ´es folytonos} . A vektor ´ert´ek˝ u disztrib´ uci´ok eset´eben is ´ertelmezhetj¨ uk a disztrib´ uci´os deriv´altat. ´ Defin´ıci´ o 5.1.2 Legyen u ∈ D0 (0, T ; X) ´es k ∈ N. Ertelmezz¨ uk az u(k) ∈ D(0, T ; X) disztrib´ uci´ ot a k¨ovetkez˝ o rel´ aci´ oval: hu(k) , ϕi = (−1)k hu , ϕ(k) i , ∀ ϕ ∈ D(0, T ) . Defin´ıci´ o 5.1.3 a) Egy x : (0, T ) → X f¨ uggv´enyr˝ ol azt mondjuk, hogy l´epcs˝ os f¨ uggv´eny, ha l´eteznek 77
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
78
B1 , ..., Bn ⊂ (0, T ) Lebesque m´erhet˝ o halmazok u ´.h. x konstans f¨ uggv´eny mindegyik Bi -n ´es 0 rajtuk kiv¨ ul. b) Azt mondjuk, hogy egy x : (0, T ) → X f¨ uggv´eny Bochner m´erhet˝ o, ha l´etezik egy (xn ) l´epcs˝ os f¨ uggv´enyekb˝ ol ´all´o sorozat u ´.h. xn (t) → x(t), m.m. t ∈ (0, T ). Legyen p ≥ 1 ´es ½ p
I (0, T ; X) =
Z
T
x : (0, T ) → X : x Bochner m´erhet˝o ´es
¾ p
||u(t)|| dt < +∞
.
0
´ Ertelmezz¨ uk az Lp (0, T ; X) line´aris teret, mint az I p (0, T ; X) faktoriz´al´asa a ”majdnem mindenhol egyenl˝o” ekvivalencia rel´aci´oval. Lp (0, T ; X)-en ´ertelmezz¨ uk a k¨ovetkez˝o norm´at: µZ
T
||x||p =
¶ p1 ||x(t)|| dt . p
0
Ezzel a norm´aval az Lp (0, T ; X) egy Banach teret alkot. Tulajdons´ ag 5.1.1 [1, 2] Ha X egy reflex´ıv Banach t´er ´es 1 < p < ∞, akkor Lp (0, T ; X) ugyancsak reflex´ıv ´es du´ alisa Lq (0, T ; X ∗ ), ahol
1 p
+
1 q
= 1.
Ha x ∈ Lp (0, T ; X) ´es x∗ ∈ Lq (0, T ; X ∗ ) akkor Z
T
∗
hx , xi =
hx∗ (t) , x(t)idt .
0
Tulajdons´ ag 5.1.2 [7] Ha X uniform konvex Banach t´er ´es 1 < p < ∞, akkor Lp (0, T ; X) ugyancsak uniform konvex Banach t´er. Bizony´ıt´ as. Legyen u, v ∈ Lp (0, T ; X) u ´.h. ||u|| ≤ 1, ||v|| ≤ 1 ´es ||u − v|| > ε. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o halmazt: ½ ¾ εp p p p M = t ∈ (0, T ) : ||u(t) − v(t)|| > (||u(t)|| + ||v(t)|| ) . 4
´ EK ´ U ˝ DISZTRIBUCI ´ OK ´ 5.1. VEKTOR ERT
79
M Lebesque m´erhet˝o ´es Z Z εp T εp p ||u(t) − v(t)|| dt ≤ (||u(t)||p + ||v(t)||p ) dt ≤ . 4 0 2 (0,T )\M Figyelembe v´eve, hogy ||u − v||p ≥ εp k¨ovetkezik, hogy Z εp ||u(t) − v(t)||p dt ≥ . 2 M ´es innen
(µZ ||u(t)||p dt
sup
¶ p1
¶ p1 ) ≥ ||v(t)||p dt
µZ , M
M
ε 2
p+1 p
.
Felhaszn´alva a 2.3.3 tulajdons´agot, k¨ovetkezik, hogy µ ¶p ¾ Z T½ 1 1 p p (||u(t)|| + ||v(t)|| ) − ||u(t) + v(t)|| dt ≥ 2 2 0 µ ¶p ¾ Z ½ 1 1 p p ≥ (||u(t)|| + ||v(t)|| ) − ||u(t) + v(t)|| dt ≥ 2 2 M Z ³ ε ´ ||u(t)||p + ||v(t)||p ³ ε ´ εp ≥ δp 1/p dt ≥ δp 1/p p+2 . 4 2 4 2 M Teh´at 1 ||u + v|| ≤ 2
µ
³ ε ´ εp ¶1/p 1 − δp 1/p p+2 = 1 − η(ε) , 4 2
ahol η(ε) > 0, amikor ε > 0. 2
Tulajdons´ ag 5.1.3 Ha X egy Hilbert t´er ´es 1 < p < ∞, akkor Lp (0, T ; X) egy uniform konvex Banach t´er ´es L2 (0, T ; X) egy Hilbert t´er a k¨ovetkez˝ o skal´aris szorzattal: Z T hx , yi = hx(t) , y(t)idt . 0
2
p = ∞ eset´eben legyen I ∞ (0, T ; X) = {x : (0, T ) → X : ∃ 0 < c < ∞ u ´.h. ||x(t)|| ≤ c , m.m. t ∈ (0, T )}
80
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
´es legyen L∞ (0, T ; X) az I ∞ (0, T ; X) faktoriz´al´asa a ”majnem mindenhol egyenl˝o” ekvivalencia rel´aci´oval. L∞ (0, T ; X) egy Banach t´er a k¨ovetkez˝o norm´ara vonatkoz´oan: ||x||∞ = ess sup ||x(t)|| = inf{c > 0 : ||x(t)|| ≤ c , m.m. t ∈ (0, T )} . t∈(0,T )
A disztrib´ uci´os deriv´altak seg´ıts´eg´evel meghat´arozzuk a k¨ovetkez˝o tereket, amelyek az 1. fejezetben bevezetett Szobolev terek megfelel˝oi. Legyen 1 ≤ p ≤ ∞ ´es k ∈ N. W k,p (0, T ; X) =
© ª x ∈ Lp (0, T ; X) : u(j) ∈ Lp (0, T ; X) , ∀ j ∈ {0, ..., k} .
1 ≤ p < ∞ est´eben W k,p (0, T ; X) Banach t´er a k¨ovetkez˝o norm´at tekintve:
||x||k,p
à k !1 X ° °p p °x(j) ° . = p j=0
p = ∞ eset´eben W k,∞ (0, T ; X) egy Banach t´er a k¨ovetkez˝o norm´aval: ||x||k,∞ =
k X
||x(j) ||∞ .
j=0
Ezen terek jellemz´ese ´erdek´eben bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enytereket. El˝osz¨or az abszol´ ut folytonos f¨ uggv´enyek defin´ıci´oj´at kell megadjuk. Defin´ıci´ o 5.1.4 Legyen X egy Banach t´er ´es x : [0, T ] → X. Azt mondjuk, hogy x abszol´ ut folytonos, ha ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0 u ´.h. ∀ (αn , βn ) ⊂ [0, T ] intervallumsorozatra, amely teljes´ıti az (αn , βn ) ∩ (αm , βm ) = ∅ , n 6= m , ´es
∞ X n=1
felt´eteleket, fenn´all, hogy
∞ X n=1
||x(βn ) − x(αn )|| ≤ ε .
(βn − αn ) ≤ δ
´ EK ´ U ˝ DISZTRIBUCI ´ OK ´ 5.1. VEKTOR ERT
81
A Lipschitz tulajdons´ag´ u lek´epez´esek abszol´ ut folytonosak, mert ha l az x lek´epez´es Lipschitz ´alland´oja, akkor ∞ X
||x(βn ) − x(αn )|| ≤ l
n=1
∞ X
(βn − αn ) ≤ lδ ≤ ε ,
n=1
ha δ ≤ εl . Az abszol´ ut folytonoss´ag er˝osebb felt´etel mint a folytonoss´ag, de gyeng´ebb, mint a differenci´alhat´os´ag (0, T )-n. E vonatkoz´asban megeml´ıthetj¨ uk a k¨ovetkez˝o tulajdons´agokat. ut folytonos f¨ uggv´eny majdnem mindenTulajdons´ ag 5.1.4 Egy x : [0, T ] → R abszol´ hol differenci´ alhat´ o (0, T )-n. Tulajdons´ ag 5.1.5 [1, 2] Legyen X egy reflex´ıv Banach t´er. Egy x : [0, T ] → X abszol´ ut folytonos lek´epez´es majdnem mindenhol differenci´ alhat´ o ´es Z
t
x(t) = x(0) +
x0 (s)ds .
0
Megjegyz´ es. Az utols´o tulajdons´ag nem igaz, ha X nem reflex´ıv. P´eldak´ent a k¨ovetkez˝o esetet eml´ıthetj¨ uk: Legyen X = L1 (0, T ) ´es x : [0, T ] → L1 (0, T ), u ´.h. ∀ t ∈ [0, T ], x(t) : [0, T ] → R ´es ½ x(t)(s) =
1, 0 ≤ s ≤ t 0, t < s ≤ T .
Az x lek´epez´es abszol´ ut folytonos, de nem differenci´alhat´o egyetlen pontban sem. Az´ert, hogy ezt bizony´ıtsuk, felt´etelezz¨ uk, hogy differenci´alhat´o t0 -ban. Ekkor b´armely x∗ ∈ (L1 (0, T ))∗ = L∞ (0, T ) f¨ uggv´enyre, Z ∗
f (t) = hx , x(t)i =
T
x(t)(s)x∗ (s)ds
0
differenci´alhat´o t0 -ban. V´alasszuk x∗ -ot a k¨ovetkez˝ok´eppen: ½ ∗
x (s) =
1 , s < t0 −1 , s ≥ t0 .
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
82 Ekkor
½ f (t) =
t , t < t0 2t0 − t , t ≥ t0
´es nem differenci´alhat´o t0 -ban. 2
Legyen Ak,p (0, T ; X)
=
© x : [0, T ] → X : x(j) absz. folyt. ∀ j ∈ {0, 1, .., k − 1} , ª x(j) ∈ Lp (0, T ; X) , ∀ j ∈ {0, 1, .., k} .
Ha k = 1 akkor A1,p (0, T ; X) = {x : [0, T ] → X : x absz. folyt. , x0 ∈ Lp (0, T ; X)} . Ha X reflex´ıv Banach t´er, akkor A1,p (0, T ; X)
=
{x : [0, T ] → X : ∃ y ∈ Lp (0, T ; X) u ´.h. Z t x(t) = x(0) + y(s)ds , ∀ t ∈ [0, T ]} . 0
T´ etel 5.1.1 [1, 2] Legyen X egy Banach t´er, 1 ≤ p ≤ ∞ ´es u ∈ Lp (0, T ; X). Ekvivalensek a k¨ovetkez˝ o kijelent´esek: 1) u ∈ W k,p (0, T ; X). 2) ∃ u1 ∈ Ak,p (0, T ; X) u ´.h. u(t) = u1 (t), m.m. t ∈ [0, T ]. Az el˝obbi t´etel szerint minden u ∈ W k,p (0, T ; X) ekvivalencia oszt´alyban van egy abszol´ ut folytonos f¨ uggv´eny. Ha sz¨ uks´eges, ezt az abszol´ ut folytonos f¨ uggv´enyt lehet az ekvivalencia oszt´aly reprezent´ans´anak v´alasztani.
´ ´ 5.2. NEMEXPANZ´IV OPERATOROK FELCSOPORTJAI
5.2
83
Nemexpanz´ıv oper´ atorok f´ elcsoportjai
Defin´ıci´ o 5.2.1 Legyen X egy Banach t´er, C ⊂ X egy z´art halmaz. Egy S : [0, +∞) × C → X f¨ uggv´enyt nemexpanz´ıv oper´ atorok f´elcsoportj´ anak nevezz¨ uk, ha teljes´ıti a k¨ovetkez˝ o felt´eteleket: 1) S(t + s)(x) = S(t)(S(s)(x)), ∀ x ∈ C, t, s ≥ 0. 2) S(0)(x) = x, ∀ x ∈ C. 3) limt&0 S(t)(x) = x, ∀ x ∈ C. 4) ||S(t)(x) − S(t)(y)|| ≤ ||x − y||, ∀ t ≥ 0, x, y ∈ C. Az el˝obbi defin´ıci´o felt´eteleib˝ol k¨ovetkezik, hogy S(·)(x) folytonos a [0, +∞) halmazon ´es Lipschitz tulajdons´ag´ u b´armely [0, T ] intervallumon, ahol 0 < T < +∞.
atorok f´elcsoportja ´es Defin´ıci´ o 5.2.2 Legyen S : [0, +∞) × C → X nemexpanz´ıv oper´ ½ ¾ S(t)(x) − x D(As ) = x ∈ C : ∃ lim , t&0 t ½ ¾ S(t)(x) − x D(Aw ) = x ∈ C : ∃ w lim . t&0 t (w lim jel¨oli a hat´ar´ert´eket a gyenge topol´ ogi´ aban.) Az S(t) nemexpanz´ıv oper´ atorok f´elcsoportj´ anak er˝os illetve gyenge infinitezim´alis sz´armaztat´oj´ anak nevezz¨ uk az As : D(As ) → X illetve Aw : D(Aw ) → X lek´epez´eseket, amelyekre S(t)(x) − x t&0 t
As (x) = lim ´es
S(t)(x) − x . t&0 t
Aw (x) = w lim
Tulajdons´ ag 5.2.1 Legyen S : [0, +∞)×C → X nemexpanz´ıv oper´ atorok f´elcsoportja. Ekkor a (−As ) ´es a (−Aw ) lek´epez´esek akret´ıvek.
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
84
Bizony´ıt´ as. Legyen x, y ∈ D(As ) vagy D(Aw ) ´es j(x − y) ∈ J(x − y). Ekkor ¿ À S(t)(x) − x S(t)(y) − y − j(x − y) , = t t 1 1 hj(x − y) , S(t)(x) − S(t)(y)i − hj(x − y) , x − yi ≤ t t 1 1 ≤ · ||x − y|| · ||S(t)(x) − S(t)(y)|| − · ||x − y||2 ≤ 0 . t t
=
Amikor t & 0, hat´ar´ert´ekre t´erhet¨ unk ugyan´ ugy az er˝os, mint a gyenge topol´ogi´ara n´ezve, ´es ´ıgy hj(x − y) , −As (x) − (−As (y))i ≥ 0 , vagy hj(x − y) , −Aw (x) − (−Aw (y))i ≥ 0 . 2
Evidens, hogy D(As ) ⊂ D(Aw ). Reflex´ıv Banach terekben igaz, hogy D(As ) = D(Aw ), m´ıg uniform konvex terekben D(As ) = D(Aw ). Felvet˝odik az a k´erd´es, hogy hogyan viszonyul a D(As ) ´es a D(Aw ) a C halmazhoz. Reflex´ıv Banach terekben igaz, hogy D(As ) s˝ ur˝ u C-ben, de ez ´altl´anos Banach terekben nem igaz. C[0, 1]-ben olyan p´eld´at is adtak, amelyre D(As ) = ∅ [1]. T´ etel 5.2.1 (Crandall-Ligett) Legyen X egy Banach t´er, D ⊂ X ´es A : D → X akret´ıv lek´epez´es u ´.h. D ⊂ R(I +λA), ∀ λ > 0. Ekkor l´etezik az S : [0, +∞) × D → X, µ ¶−n t (x) = lim J nt (x) , S(t)(x) = lim I + A n→∞ n n→∞ n f¨ uggv´eny ´es nemexpanz´ıv oper´ atorok f´elcsoportj´ at alkotja.
´ 5.3. DIFFERENCIALEGYENLETEK BANACH TEREKBEN
5.3
85
Differenci´ alegyenletek Banach terekben
Defin´ıci´ o 5.3.1 Legyen X egy Banach t´er ´es u : [0, T ] → X. Azt mondjuk, hogy u gyeng´en differenci´ alhat´ o a t0 ∈ (0, T ) pontban, ha b´armely x∗ ∈ X ∗ eset´en az hx∗ , u(·)i : [0, T ] → R f¨ uggv´eny deriv´alhat´ o t0 -ban, azaz l´etezik u0 (t0 ) ∈ X u ´.h. ¯ ¯ d ∗ hx , u(t)i¯¯ = hx∗ , u0 (t0 )i , ∀ x∗ ∈ X ∗ . dt t=t0 Lemma 5.3.1 Felt´etelezz¨ uk, hogy u : [0, T ] → X gyeng´en differenci´ alhat´ o t0 -ban ´es ||u(·)|| deriv´ alhat´ o t0 -ban. Ekkor ¯ ¯ d ||u(t0 )|| · ||u(t)||¯¯ = hx∗ , u0 (t0 )i , ∀ x∗ ∈ J(u(t0 )) . dt t=t0 Bizony´ıt´ as. Legyen x∗ ∈ J(u(t0 )). Ekkor hx∗ , u(t0 + t) − u(t0 )i ≤ ||u(t0 + t) − u(t0 )|| · ||u(t0 )|| . t > 0 eset´en elosztva t-vel ´es ha t & 0, akkor ¯ ¯ d ||u(t0 )|| · ||u(t)||¯¯ ≥ hx∗ , u0 (t0 )i . dt t=t0 t < 0 eset´en elosztva t-vel ´es ha t % 0, akkor ¯ ¯ d ≤ hx∗ , u0 (t0 )i , ∀ x∗ ∈ J(u(t0 )) . ||u(t0 )|| · ||u(t)||¯¯ dt t=t0 2
Legyen X egy Banach t´er, D ⊂ X, x ∈ D ´es A : D → X. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o kezdeti ´ert´ek feladatot: ½ 0 u (t) + A(u(t)) = 0 , m.m. t > 0 u(0) = x ∈ D .
(5.3.1)
86
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
as´ anak nevezz¨ uk, Defin´ıci´ o 5.3.2 Egy u : [0, T ] → X lek´epez´est az (5.3.1) feladat megold´ ha u abszol´ ut folytonos b´armilyen [0, T ] kompakt intervallumon, differenci´ alhat´ o m.m. t > 0 pontban ´es teljes´ıti az (5.3.1) feladat felt´eteleit. Lemma 5.3.2 Legyen A : D → X egy akret´ıv oper´ ator. Felt´etelezz¨ uk, hogy az (5.3.1) feladatnak van ux megold´ asa b´armilyen x ∈ D eset´eben. Ekkor: 1. ||ux (t) − uy (t)|| ≤ ||x − y|| , ∀ t ∈ [0, T ]; 2. ||ux (t) − x|| ≤ t||A(x)|| , ∀ t ∈ [0, T ]; 3. ||u0x (t)|| = ||A(ux (t))|| ≤ ||A(x)|| , m.m. t ∈ (0, T ). Bizony´ıt´ as. 1. Legyen x, y ∈ D. Mivel ux ´es uy megold´asai az (5.3.1) feladatnak, k¨ovetkezik, hogy d (ux (t) − uy (t)) = −A (ux (t)) − (−A (uy (t))) , m.m. t > 0 . dt Tetsz˝oleges j(ux (t) − uy (t)) ∈ J(ux (t) − uy (t)) eset´en hj(ux (t) − uy (t)) ,
d (ux (t) − uy (t))i = dt
= hj(ux (t) − uy (t)) , −A (ux (t)) − (−A (uy (t)))i ≤ 0 , m.m. t > 0 . Ugyanakkor ||ux (·) − uy (·)|| abszol´ ut folytonos, ez´ert majdnem mindenhol deriv´alhat´o ´es az (5.3.1) lemm´at alkalmazva azt kapjuk, hogy ||ux (t) − uy (t)||
d ||ux (t) − uy (t)|| ≤ 0 dt
´es emiatt d ||ux (t) − uy (t)|| ≤ 0 , m.m.t > 0 . dt Mivel ||ux (·) − uy (·)|| folytonos, az el˝obbi egyenl˝otlens´eg azt jelenti, hogy monoton cs¨okken˝o, teh´at ||ux (t) − uy (t)|| ≤ ||ux (0) − uy (0)|| = ||x − y|| , ∀ t > 0 .
´ 5.3. DIFFERENCIALEGYENLETEK BANACH TEREKBEN 2. Mivel d (ux (t) − x) = −A(ux (t)) dt ´es tetsz˝oleges j(ux (t) − x) ∈ J(ux (t) − x) eset´en az A akretivit´asa miatt hj(ux (t) − x) , −A(ux (t))i ≤ hj(ux (t) − x) , −A(x)i ´es innen k¨ovetkezik, hogy d ||ux (t) − x|| ≤ ||A(x)|| . dt Integr´alva a [0, t] intervallumon, azt kapjuk, hogy ||ux (t) − x|| ≤ t||A(x)|| . 3. Tetsz˝oleges h > 0 ´es m.m. h > 0 eset´en d (ux (t + h) − ux (t)) = −A (ux (t + h)) − (−A (ux (t))) dt ´es u ´jra felhaszn´alva az A akretivit´as´at ´es az (5.3.1) lemm´at, azt kapjuk, hogy d ||ux (t + h) − ux (t)|| ≤ 0 . dt Ez´altal ||ux (· + h) − ux (·)|| monoton cs¨okken˝o, teh´at ||ux (t + h) − ux (t)|| ≤ ||ux (h) − x|| . Az el˝obbi pontot is figyelembe v´eve, azt kapjuk, hogy ||ux (t + h) − ux (t)|| ≤ h||A(x)|| . Innen k¨ovetkezik, hogy ||u0 x (t)|| ≤ ||A(x)|| . 2
Matematikai indukci´oval bizony´ıthat´o, hogy [2]:
87
88
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
uggv´enysorozat, amelynek tagjai Lemma 5.3.3 Legyen ϕn : R+ → R, n = 0, 1, ... egy f¨ lok´ alisan integr´ alhat´ ok (0, +∞)-n, ϕ0 (t) ≤ t ´es Z ϕn (t) ≤ ne
−t
t
+
es−t ϕn−1 (s)ds , n ≥ 1 .
0
Ekkor ¡ ¢1 ϕn (t) ≤ (n − t)2 + t 2 , ∀ t > 0 . Lemma 5.3.4 [2] Legyen A : D → X egy akret´ıv oper´ ator, α ≤ β ´es n, m ∈ N, m ≤ n. Ekkor
n£ ° n ° ¤1 °Jα (x) − Jβm (x)° ≤ (nα − mβ)2 + nα(β − α) 2 + £ ¤1 o + mβ(β − α) + (mβ − nα)2 2 · ||A(x)|| ,
ahol Jαn (x) = (I + αA)−1 ◦ ... ◦ (I + αA)−1 . | {z } n-szer E lemma alapj´an t > 0, n, m ∈ N, m ≤ n eset´en ¶1 µ ° ° 1 1 2 ° n m° − ||A(x)|| . °J t − J t ° ≤ 2t n m m n T´ etel 5.3.1 [2] Legyen X egy Banach t´er, C ⊂ X konvex ´es z´art, T : C → C nemexpanz´ıv, azaz ||T (x) − T (y)|| ≤ ||x − y|| , ∀ x, y ∈ C . Ekkor b´armilyen x ∈ C eset´en az ½
u0 (t) + u(t) − T (u(t)) = 0 , ∀ t ≥ 0 u(0) = x
(5.3.2)
feladatnak van egyetlen u ∈ C 1 (0, ∞; X) megold´ asa, amelyre u(t) ∈ C, ∀t ≥ 0 ´es ||u(n) − T n (x)|| ≤
√
n||x − T (x)|| , ∀ n ∈ N .
´ 5.3. DIFFERENCIALEGYENLETEK BANACH TEREKBEN
89
Bizony´ıt´ as. Az (5.3.2) feladat ekvivalens az Z t −t u(t) = e x + es−t T (u(s))ds , t ≥ 0 0
integr´alegyenlettel. Mivel I −T Lipschitz tulajdons´ag´ u ´es akret´ıv, az (5.3.2) feladatnak van ux ∈ C 1 (0, T ; X) megold´asa b´armilyen [0, T ] intervallumon. Ezen megold´asokra igaz, hogy ux (t) ∈ C, ∀ t ∈ [0, T ]. Mivel ezen megold´asok egy´ertelm˝ uek b´armilyen [0, T ] intervallumon, meghosszabb´ıthat´ok az eg´esz [0, +∞) f´elegyenesre. Az 5.3.2. lemm´ab´ol k¨ovetkezik, hogy ||ux (t) − x|| ≤ t||x − T (x)|| , ∀ t ≥ 0 . Tov´abb´a
Z n
−t
ux (t) − T (x) = xe
t
+
es−t T (u(s))ds − T n (x) =
0
Z
t
= e−t (x − T n (x)) +
es−t (T (u(s)) − T n (x)) ds
0
´es ´ıgy Z n
−t
t
n
||u(t) − T (x)|| ≤ e ||x − T (x)|| +
es−t ||T (u(s)) − T n (x)||ds ≤
0
¡ ¢ ≤ e−t ||x − T (x)|| + ||T (x) − T 2 (x)|| + ... + ||T n−1 (x) − T n (x)|| + Z t + es−t ||T (u(s)) − T n (x)||ds ≤ 0
Z
t
−t
≤ ne ||x − T (x)|| +
es−t ||u(s) − T n−1 (x)||ds .
0
Az (5.3.3.) lemm´at alkalmazva a ϕn (t) =
||u(t) − T n (x)|| ||x − T (x)||
f¨ uggv´enyre, azt kapjuk, hogy ||u(n) − T n (x)|| ≤ 2
√
n||x − T (x)|| , ∀ n ∈ N .
90
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
´.h. konvD ⊂ T´ etel 5.3.2 Legyen X egy Banach t´er, D ⊂ X , A : D → X akret´ıv u R(I + λA), ∀ t > 0. Ekkor b´armilyen x ∈ D tetsz˝oleges elemre igazak a k¨ovetkez˝ o kijelent´esek: 1. B´armilyen λ > 0 eset´en az ½ 0 uλ (t) + Aλ (uλ (t)) = 0 , ∀ t > 0 uλ (0) = x
(5.3.3)
kezdeti ´ert´ek feladatnak van egyetlen uλ ∈ C 1 (0, ∞; X) megold´ asa. 2.
µ lim uλ (t) = S(t)(x) = lim
n→∞
λ&0
¶−n t I+ A (x) , n
egyenletesen minden [0, T ] kompakt intervallumon. 3. Ha az (5.3.1.) feladatnak van ux megold´ asa, akkor ¶−n µ t ux (t) = lim uλ (t) = lim I + A (x) . n→∞ λ&0 n Bizony´ıt´ as. 1. Amint a 4.2.1 tulajdons´ag bizony´ıtja, a Jλ = (I + λA)−1 lek´epez´es nemexpanz´ıv. Legyen C = konvD ´es T (u) = Jλ (u). Az 5.3.1 t´etel alapj´an az ½ 0 u (t) + u(t) − Jλ (u(t)) = 0 , ∀ t ≥ 0 u(0) = x
(5.3.4)
feladatnak van egy´ertelm˝ u vλ ∈ C 1 (0, ∞; X) megold´asa. Ugyanakkor ||vλ (n) − Jλn (x)|| ≤
√
n||x − Jλ (x)|| =
√
nλ||Aλ (x)|| .
Az uλ (t) = vλ ( λt ) lek´epez´es megoldja az (5.3.3.) feladatot ´es ||uλ (nλ) − Jλn (x)|| ≤
√
nλ||Aλ (x)|| , ∀ n ∈ N .
(5.3.5)
2. Azt kell bizony´ıtsuk, hogy uλ (t) → S(t)(x), amikor λ → 0. Ez´ert legyen t > 0 r¨ogz´ıtett. Minden 0 < λ < t eset´en l´etezik nλ ∈ N ´es 0 ≤ µλ < λ u ´.h. t = nλ λ + µλ . ´ Eszrevehet˝ o, hogy amikor λ → 0, akkor nλ → ∞, µλ → 0 ´es nλ λ → t. Mivel Aλ akret´ıv ´es d (uλ (t) − uλ (nλ λ)) = −Aλ (uλ (t)) dt
´ 5.3. DIFFERENCIALEGYENLETEK BANACH TEREKBEN
91
k¨ovetkezik, hogy ||uλ (t) − uλ (nλ λ)|| ≤ µλ ||A(x)|| .
(5.3.6)
A k¨ovetkez˝o rel´aci´ot haszn´aljuk: ||uλ (t) − S(t)(x)|| ≤ ||uλ (t) − uλ (nλ λ)|| + ||uλ (nλ λ) − Jλnλ (x)|| + + ||Jλnλ (x) − J ntλ (x)|| + ||J ntλ (x) − S(t)(x)|| . nλ
(5.3.7)
nλ
A (5.3.5) ´es (5.3.6) rel´aci´ok miatt az els˝o k´et tag tart a 0-hoz, mikor λ → 0. A 5.3.4 lemma miatt a harmadik tag is tart 0-hoz, mivel λ ||Jλnλ (x) − J ntλ (x)|| = ||J nt−µ (x) − J ntλ (x)|| . λ nλ
nλ
nλ
Az utols´o tag is tart a 0-hoz, mivel nλ → ∞ mikor λ → 0 ´es ¶−n µ t S(t)(x) = lim I + A (x) . n→∞ n Az el˝obbi z´er´ohoz val´o konverg´al´asok egyenletesen t¨ort´ennek b´armely [0, T ] kompakt intervallumon. Ez´altal bebizony´ıtottuk az 2. k¨ovetkeztet´est is. 3. Legyen tov´abb´a u az (5.3.1) feladat megold´asa ´es ε > 0. Megszerkesztj¨ uk az uε : [0, ∞) → X l´epcs˝os f¨ uggv´enyt a k¨ovetkez˝o m´odon: uε (t) = (I + εA)−j (x) , t ∈ [(j − 1)ε, jε] , ∀ j ∈ {1, 2, ...} . E defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik, hogy uε (t) = (I + εA)−1 ◦ uε (t − ε) , ∀ t ≥ ε . Bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyeket: yε (t) = u0 (t) −
u(t) − u(t − ε) , m.m. t > 0 . ε
Mivel d (u(t) − u(t − ε)) = −A(u(t)) + A(u(t − ε)) , m.m. t > ε , dt
(5.3.8)
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
92
az (5.3.1) lemm´ab´ol k¨ovetkezik, hogy d ||u(t) − u(t − ε)|| ≤ 0 , m.m. t > ε . dt Innen ||u(t) − u(t − ε)|| ≤ ||u(ε) − x|| ≤ ε||A(x)|| , ∀ t ≥ ε ´es ||yε (t)|| ≤ 2||A(x)|| , m.m. 0 < t < ∞ .
(5.3.9)
Ugyanakkor u(t) = (I + εA)−1 (u(t − ε) − εyε (t)) , m.m. t > 0 . Kivonva mind a k´et oldalb´ol uε (t) mennyis´eget ´es felhaszn´alva a (5.3.8) rel´aci´ot ´es az (I + εA)−1 nemexpanzivit´as´at, azt kapjuk, hogy ||u(t) − uε (t)|| ≤ ε||yε (t)|| + ||u(t − ε) − uε (t − ε)|| .
(5.3.10)
Integr´alva egy (ε, T ) intervallumon, k¨ovetkezik, hogy 1 ε
Z
Z
T
T
||u(t) − uε (t)||dt ≤ ε
ε
1 ||yε (t)||dt + ε
Z
T
||u(t − ε) − uε (t − ε)||dt . ε
Az utols´o integr´alban helyettes´ıtve t -vel a t − ε kifejez´est, mind a k´et oldalb´ol levonva az 1 ε
Z
T −ε
||u(t) − uε (t)||dt ε
intergr´alt, k¨ovetkezik, hogy 1 ε
Z
Z
T
T
||u(t) − uε (t)||dt ≤ T −ε
ε
1 ||yε (t)||dt + ε
Z
ε
||u(t) − uε (t)||dt . 0
Felhaszn´alva, hogy uε (t) = (I + εA)−1 (x) = Jε (x), amikor t ∈ [0, ε] ´es ||u(t) − Jε (x)|| ≤ ||u(t) − x|| + ||x − Jε (x)|| ≤ ≤ ε||A(x)|| + ε||A(x)|| ≤ 2ε||A(x)|| ,
´ 5.3. DIFFERENCIALEGYENLETEK BANACH TEREKBEN
93
azt kapjuk, hogy 1 ε Az ε =
Z
Z
T
T
||u(t) − uε (t)||dt ≤ T −ε
||yε (t)||dt + 2ε||A(x)|| . 0
T n
sz´amokat tekintve, k¨ovetkezik, hogy ° ° µ ¶−n Z T Z ° ° T n T T ° ° ||y T (t)||dt + 2 ||A(x)|| . (x)° dt ≤ °u(t) − I + A n ° T (1− n1 )T ° n n 0
Tudva, hogy yε (t) → 0, m.m. t > 0, amikor ε → 0, ha n → ∞, k¨ovetkezik, hogy µ ¶−n T u(T ) = lim I + A (x) . n→∞ n 2
Lemma 5.3.5 Legyen X egy Banach t´er, D ⊂ X, A : D → X akret´ıv ´es z´art oper´ ator, konvD ⊂ R(I + λA), ∀λ > 0 ´es x0 , x ∈ D. Akkor ¿ À S(t)(x0 ) − x0 lim sup x0 − x , ≤ hx0 − x , −A(x)i+ , ∀ x ∈ D t t→0 +
(5.3.11)
Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk az (5.3.1) ´es az (5.3.3) feladatokat az u(0) = x0 ´es uλ (0) = x0 kezdeti ´ert´ekekkel. B´armilyen λ > 0 eset´en legyen uλ az (5.3.3.) feladat megold´asa ´es xλ = x + λA(x). Akkor Aλ (xλ ) = A(x). Az (5.3.1) lemm´at ´es a d (uλ (t) − xλ ) = −Aλ (uλ (t)) dt rel´aci´ot haszn´alva, k¨ovetkezik, hogy b´armilyen x∗λ (t) ∈ J(uλ (t) − xλ ) eset´en 1d ||uλ (t) − xλ ||2 ≤ hx∗λ (t) , −Aλ (xλ )i , m.m. t > 0 . 2 dt Integr´alva a (0, t) intervallumon, azt kapjuk, hogy Z t ¢ 1¡ 2 2 hx∗λ (s) , −A(x)ids ≤ ||uλ (t) − xλ || − ||x0 − xλ || ≤ 2 0 Z t ≤ huλ (s) − xλ , −A(x)i+ ds . 0
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
94
A 4.1.3 tulajdons´ag 5) pontj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy hx0 − xλ , uλ (t) − x0 i+ ≤ Teh´at
¿
¢ 1¡ ||uλ (t) − xλ ||2 − ||x0 − xλ ||2 . 2
À Z uλ (t) − x0 1 t x0 − x , ≤ huλ (s) − xλ , −A(x)i+ ds = t t 0 + Z 1 = huλ (tτ ) − xλ , −A(x)i+ dτ . 0
Tudva, hogy limλ→0 uλ (t) = S(t)(x0 ), h·, ·i+ fel¨ ulr˝ol f´elig folytonos ´es limt→0 S(tτ )(x0 ) = x0 , kapjuk az (5.3.11) rel´aci´ot. 2 T´ etel 5.3.3 Legyen X egy Banach t´er, D ⊂ X , x0 ∈ D, A : D → X z´art, akret´ıv ¢−n ¡ (x0 ). oper´ ator, konvD ⊂ R(I + λA), ∀λ > 0 ´es S(t)(x0 ) = limn→∞ I + nt A Ha S(·)(x0 ) differenci´ alhat´o majdnem mindenhol a (0, T ) intervallumon, akkor ux0 (t) = S(t)(x0 ) megoldja az ½ 0 u (t) + A(u(t)) = 0 , m.m. t > 0 u(0) = x0 feladatot. Bizony´ıt´ as. Legyen t0 > 0 u ´.h. S(·)(x0 ) differenci´alhat´o ebben a pontban. Be kell bizony´ıtanunk, hogy d S(t0 )(x0 ) = −A(S(t0 )(x0 )) . dt A t0 pontbeli differenci´alhat´os´ag miatt S(t0 − h)(x0 ) = S(t0 )(x0 ) − h
d S(t0 )(x0 ) + g(h) , 0 < h < t0 dt
´es ||g(h)|| = 0. h→0 h lim
Mivel S(t0 − h)(x0 ) ∈ D ⊂ R(I + hA), l´etezik xh ∈ D u ´.h. S(t0 − h)(x0 ) = S(t0 )(x0 ) − h
d S(t0 )(x0 ) + g(h) = xh + hA(xh ) . dt
´ 5.3. DIFFERENCIALEGYENLETEK BANACH TEREKBEN Teh´at
µ S(t0 )(x0 ) − xh = h
¶ d S(t0 )(x0 ) + A(xh ) − g(h) . dt
95
(5.3.12)
Az 5.3.5 lemm´aban x, A(x), x0 helyett az xh , A(xh ), S(t0 )(x0 ) elemeket helyettes´ıtve, azt kapjuk, hogy ¿ À S(t)(S(t0 )(x0 )) − S(t0 )(x0 ) lim sup S(t0 )(x0 ) − xh , = t t→0 + ¿ À S(t + t0 )(x0 ) − S(t0 )(x0 ) = = lim sup S(t0 )(x0 ) − xh , t t→0 + ¿ À S(t + t0 )(x0 ) − S(t0 )(x0 ) = lim S(t0 )(x0 ) − xh , = t→0 t + À ¿ d ≤ = S(t0 )(x0 ) − xh , S(t0 )(x0 ) dt + ≤ hS(t0 )(x0 ) − xh , −A(xh )i+ . Az el˝obbi egyenl˝otlens´eg ´es a f´elskal´aris szorzat tulajdons´agai miatt À ¿ d ≤ S(t0 )(x0 ) − xh , S(t0 )(x0 ) + A(xh ) dt + ¿ À d ≤ S(t0 )(x0 ) − xh , S(t0 )(x0 ) + hS(t0 )(x0 ) − xh , A(xh )i+ ≤ 0 . dt + Az (5.3.12) rel´aci´ot haszn´alva azt kapjuk, hogy ¿ À 1 0 ≥ S(t0 )(x0 ) − xh , (S(t0 )(x0 ) − xh + g(h)) = h + ¿ À ¿ À 1 1 = S(t0 )(x0 ) − xh , (S(t0 )(x0 ) − xh ) + S(t0 )(x0 ) − xh , g(h) ≥ h h + + ≥
1 1 ||S(t0 )(x0 ) − xh ||2 − ||S(t0 )(x0 ) − xh || · ||g(h)|| . h h
Teh´at ||g(h)|| ≥ ||S(t0 )(x0 ) − xh || . Innen k¨ovetkezik, hogy lim xh = S(t0 )(x0 )
h→0
(5.3.13)
96
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
´es S(t0 )(x0 ) − xh = 0. h→0 h lim
(5.3.14)
Az (5.3.12) ´es (5.3.14) rel´aci´okb´ol k¨ovetkezik, hogy lim (−A(xh )) =
h→0
d S(t0 )(x0 ) . dt
(5.3.15)
Az A oper´ator folytonoss´aga miatt az (5.3.13)-b´ol k¨ovetkezik, hogy lim (−A(xh )) = −A(S(t0 )(x0 )) .
h→0
(5.3.16)
Az (5.3.15) ´es (5.3.16) rel´aci´okb´ol azt kapjuk, hogy d S(t0 )(x0 ) = −A(S(t0 )(x0 )) . dt 2 T´ etel 5.3.4 Legyen X egy reflex´ıv Banach t´er, D ⊂ X , A : D → X z´ art, akret´ıv oper´ ator, konvD ⊂ R(I + λA), ∀λ > 0. Ekkor b´armely x ∈ D eset´en l´etezik az ½ 0 u (t) + A(u(t)) = 0 , m.m.t > 0 u(0) = x0 feladatnak egyetlen u : [0, +∞) → X megold´ asa ´es ¶−n µ t u(t) = S(t)(x) = lim I + A (x0 ) . n→∞ n Bizony´ıt´ as. Az S(·)(x) Lipschitz tulajdons´ag´ u b´armilyen kompakt intervallumon, teh´at az X reflexivit´asa miatt majdnem mindenhol differenci´alhat´o a [0, +∞) halmazon. Tov´abb´a felhaszn´aljuk az (5.2.1), (5.3.2) ´es (5.3.3) t´eteleket. 2
Megjegyz´ es. M-akret´ıv oper´atorok eset´en teljes¨ ulnek a konvD ⊂ R(I + λA), ∀λ > 0 felt´etelek.
´ 5.3. DIFFERENCIALEGYENLETEK BANACH TEREKBEN
97
P´ elda 5.3.1 Legyen X = R ´es A : X → X, A(x) = x. Ekkor ¶−n µ t −t S(t)(x) = xe = x · lim 1 + n→∞ n ´es S(·)(x) megoldja az
½
u0 (t) + u(t) = 0 , t > 0 u(0) = x
kezdeti ´ert´ek feladatot.
P´ elda 5.3.2 Legyen X = L2 (0, π), D ⊂ X ´es A : D → X u ´.h. D = {x ∈ X : x00 ∈ L2 (0, π) , x(0) = x(π) = 0} ´es A(x) = −x00 .
Az A oper´ator m-akret´ıv ([17]) ´es az A ´altal sz´armaztatott
S : [0, +∞) × X → X nemexpanz´ıv oper´atorok f´elcsoportja a k¨ovetkez˝o alak´ u: S(t)(x)(s) =
∞ X
2
ak (x)e−k t sin ks ,
k=1
ahol 2 ak (x) = π
Z
π
x(s) sin ks ds . 0
Val´oban ´ıgy van, mert az u(t, s) = S(t)(x)(s) ∂u 2 ∂t (t, s) − ∂∂su2 (t, s) = 0 , u(0, s) = x(s) , u(t, 0) = u(t, π) = 0 ,
megold´asa a t > 0 , m.m. s ∈ (0, π) m.m. s ∈ (0, π) t≥0
h˝ovezet´esre vonatkoz´o parabolikus parci´alis differenci´alegyenletnek.
98
5.4
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
Differenci´ alegyenletek integr´ al megold´ asai
Ennek a paragrafusnak a c´elja az, hogy az el˝obbi paragrafusban keresett megold´asokt´ol elt´er˝oen, m´as t´ıpus´ u megold´asok l´etez´es´ere is f´enyt der´ıtsen. Ezen megold´asok egyszer˝ ubb felt´etelek mellett is l´eteznek ´es kevesebb tulajdons´aggal rendelkeznek mint a rendes megold´asok. Bizony´ıt´asainkat a k¨ ul¨onb¨oz˝o t´ıpus´ u megold´asok k¨oz¨otti rel´aci´okra fogjuk koncentr´alni. Legyen X egy Banach t´er, D ⊂ X, A : D → X, x0 ∈ D ´es f ∈ L1 (0, T ; X). Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o kezdeti ´ert´ek feladatot: ½
u0 (t) + A(u(t)) = f (t) , m.m. 0 < t < T u(0) = x0 .
(5.4.1)
uggv´enyt az (5.4.1) kezdeti ´ert´ek feladat megold´ aDefin´ıci´ o 5.4.1 Egy u : [0, T ] → X f¨ s´ anak nevezz¨ uk, ha folytonos a [0, T ] intervallumon, Lipschitz tulajdons´ag´ u minden kompakt [a, b] ⊂ (0, T ) intervallumon, majdnem mindenhol differenci´ alhat´ o a (0, T ) intervallumon ´es teljes´ıti az (5.4.1) feladat felt´eteleit.
T´ etel 5.4.1 [1, 2, 17] Legyen X egy reflex´ıv Banach t´er, D ⊂ X, A : D → X m-akret´ıv oper´ ator, f ∈ W 1,1 (0, T ; X). Ekkor l´etezik egy u ∈ W 1,∞ (0, T ; X) megold´ asa az (5.4.1) feladatnak.
Ha X nem reflex´ıv akkor nem biztos, hogy l´eteznek megold´asok. Ez´ert sz¨ uks´eg¨ unk van a k¨ovetkez˝o defin´ıci´ora.
Defin´ıci´ o 5.4.2 Egy folytonos u : [0, T ] → X lek´epez´est az (5.4.1) feladat integr´ al megold´ as´ anak nevezz¨ uk, ha b´armely x ∈ D, 0 ≤ s ≤ t ≤ T eset´en 1 1 ||u(t) − x||2 ≤ ||u(s) − x||2 + 2 2
Z
t
hu(τ ) − x , f (τ ) − A(x)i+ dτ . s
(5.4.2)
´ ´ MEGOLDASAI ´ 5.4. DIFFERENCIALEGYENLETEK INTEGRAL
99
asa az (5.4.1) feladatnak, akkor integr´ al megold´ asa Tulajdons´ ag 5.4.1 Ha u megold´ is. Bizony´ıt´ as. Legyen u az (5.4.1) feladat megold´asa ´es x ∈ D. Ekkor d (u(t) − x) = f (t) − A(u(t)) , m.m. 0 < t < T dt ´es innen j(u(t) − x) ∈ J(u(t) − x) eset´en fenn´all, hogy ¿
À d j(u(t) − x) , (u(t) − x) = hj(u(t) − x) , f (t) − A(u(t))i , m.m. 0 < t < T . dt
Az 5.3.1 lemm´at, az A lek´epez´es akretivit´as´at ´es a f´elskal´aris szorzat defin´ıci´oj´at haszn´alva, k¨ovetkezik, hogy 1d ||u(t) − x||2 ≤ hu(t) − x , f (t) − A(u(t))i+ ≤ hu(t) − x , f (t) − A(x)i+ . 2 dt Integr´alva s-t˝ol t-ig, megkapjuk az (5.4.2) rel´aci´ot. 2 Tulajdons´ ag 5.4.2 Legyen X egy Banach t´er, D ⊂ X, A : D → X akret´ıv ´es z´art lek´epez´es, konvD ⊂ R(I + λA), ∀λ > 0, x0 ∈ D. Ekkor az ½
u0 (t) + A(u(t)) = 0 , m.m. 0 < t < T u(0) = x0
feladatnak az
µ S(t)(x0 ) =
t I+ A n
¶−n (x0 )
integr´ al megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Legyen x ∈ D ´es s ≥ 0 r¨ogz´ıtett. Jel¨olj¨ uk vλ -val az ½
vλ0 (t) + Aλ (vλ (t)) = 0 , ∀ 0 < t < T vλ (0) = S(s)(x0 )
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
100
feladat megold´as´at. Legyen ugyanakkor xλ = x + λA(x). Ekkor vλ (t) → S(t + s)(x0 ), amikor λ → 0, egyenletesen b´armilyen kompakt intervallumon ´es xλ → x, amikor λ → 0. Az 5.3.5 lemma bizony´ıt´as´ab´ol tudjuk, hogy ¢ 1¡ ||vλ (t) − xλ ||2 − ||S(s)(x0 ) − xλ ||2 ≤ 2
Z
t
hvλ (τ ) − xλ , −A(x)i+ dτ . 0
Az el˝obb eml´ıtett konvergenci´akb´ol k¨ovetkezik, hogy Z t ¢ 1¡ 2 2 ||S(t + s)(x0 ) − x|| − ||S(s)(x0 ) − x|| ≤ hS(τ + s)(x0 ) − x , −A(x)i+ dτ = 2 0 Z t+s = hS(µ)(x0 ) − x , −A(x)i+ dµ . s
Innen k¨ovetkezik, hogy 0 ≤ s ≤ t ≤ T eset´en ¢ 1¡ ||S(t)(x0 ) − x||2 − ||S(s)(x0 ) − x||2 ≤ 2
Z
t
hS(µ)(x0 ) − x , −A(x)i+ dµ , s
ami azt jelenti, hogy S(·)(x0 ) az ½ 0 u (t) + A(u(t)) = 0 , m.m. 0 < t < T u(0) = x0 feladat integr´al megold´asa. Defin´ıci´ o 5.4.3 Azt mondjuk, hogy az u : [0, T ] → X ´ altal´ anos´ıtott megold´ asa az (5.4.1) feladatnak, ha l´etezik k´et (un ) ∈ C([0, T ], X) ´es (fn ) ∈ L1 (0, T ; X) f¨ uggv´enysorozat u ´.h. 1) ∀ n ∈ N eset´en un megold´ asa az ½ 0 un (t) + A(un (t)) = fn (t) , m.m. 0 < t < T un (0) = x
(5.4.3)
kezdeti ´ert´ek feladatnak. (2) limn→∞ un = u, C([0, T ], X)-ben ´es limn→∞ fn = f , L1 (0, T ; X)-ben. Tulajdons´ ag 5.4.3 Ha u egy ´altal´ anos´ıtott megold´ asa az (5.4.1) feldatnak, akkor integr´ al megold´ asa is.
´ ´ MEGOLDASAI ´ 5.4. DIFFERENCIALEGYENLETEK INTEGRAL
101
Bizony´ıt´ as. Legyen un megold´asa az (5.4.3) feladatnak. Ekkor integr´al megold´asa is ´es ez´ert 1 1 ||un (t) − x||2 ≤ ||un (s) − x||2 + 2 2
Z
t
hun (τ ) − x , fn (τ ) − A(x)i+ dτ .
(5.4.4)
s
Kiv´alaszthatunk egy fnk r´eszsorozatot, amelyre fnk (t) → t, m.m. t ∈ [0, T ]. Ugyanakkor unk egyenletesen tart u-hoz, ez´ert hat´ar´ert´ekre t´erhet¨ unk az (5.4.4) egyenl˝otlens´egben mikor k → ∞ ´es azt kapjuk, hogy: 1 1 ||u(t) − x||2 ≤ ||u(s) − x||2 + 2 2
Z
t
hu(τ ) − x , f (τ ) − A(x)i+ dτ . s
2 aci´ oDefin´ıci´ o 5.4.4 Legyen f ∈ L1 (0, T ; X) ´es ε > 0. Az (5.4.1) feladat ε-diszkretiz´ j´anak nevezz¨ uk az (ε; t0 , t1 , ..., tn ; f1 , ..., fn ) egy¨ uttest, ha: 1) 0 ≤ t0 ≤ ... ≤ tn ≤ T , t0 ≤ ε, ti − ti−1 ≤ ε, T − tn ≤ ε; 2) f1 , ..., fn ∈ X ´es
n Z X i=1
ti
||f (s) − fi ||ds ≤ ε . ti−1
Defin´ıci´ o 5.4.5 Legyen f ∈ L1 (0, T ; X), ε > 0 ´es (ε; t0 , ..., tn ; f1 , ..., fn ) az (5.4.1) feladat ε-diszkretiz´ aci´ oja. Egy v : [t0 , tn ] → X f¨ uggv´enyt az (5.4.1) feladat (ε; t0 , ..., tn ; f1 , ..., fn )-diszkretiz´ alt megold´ asanak nevezz¨ uk, ha l´etezik v0 , ..., vn ∈ D u ´.h. 1) vi − vi−1 + A(vi ) = fi , ∀ i ∈ {1, ..., n} ; ti − ti−1 2) v(t0 ) = v0 , v(t) = vi , ∀ t ∈ (ti−1 , ti ), i ∈ {1, ..., n}. Megjegyz´ es. Az 1)-es felt´etel ekvivalens azzal, hogy vi = (I + (ti − ti−1 )A)−1 (vi−1 + (ti − ti−1 )fi ) ami azt jelenti, hogy m-akret´ıv A oper´ator eset´en a vi sorozat rekurzi´os m´odszerrel megszerkeszthet˝o.
102
´ ´ DIFFERENCIALEGYENLETEK ´ 5. AKRET´IV OPERATOROK ES
Defin´ıci´ o 5.4.6 Legyen f ∈ L1 (0, T ; X). Egy u : [0, T ] → X lek´epez´est az (5.4.1) mild (enyhe) megold´ as´ anak nevezz¨ uk, ha 1) u ∈ C([0, T ], X); 2) ∀ ε > 0 eset´en l´etezik az (5.4.1) feldat egy (ε; t0 , ..., tn ; f1 , ..., fn ) diszkretiz´ aci´ oja ´es ennek egy vε megold´ asa u ´.h. ||u(t) − vε (t)|| ≤ ε , ∀ t ∈ [t0 , tn ] . T´ etel 5.4.2 [1, 2, 12] Legyen A : D → X m-akret´ıv, x0 ∈ D ´es f ∈ L1 (0, T ; X). Ekkor az (5.4.1) feladatnak l´etezik egyetlen mild megold´ asa ´es ez egyben az egyetlen integr´ al megold´ asa is. P´ elda 5.4.1 Legyen Ω ⊂ Rn egy korl´atos, sima hat´ar´ u tartom´any, n ≥ 1 ´es legyen ρ : R → R egy monoton n¨ovekv˝o, folytonos f¨ uggv´eny u ´.h. ρ(0) = 0. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o parabolikus parci´alis differenci´alegyenletre vonatkoz´o CauchyDirichlet feladatot, amelyik diffuzi´os probl´emak eset´eben fordul el˝o: ∂u ∂t (t, x) − ∆(ρ(u(t, x))) = f (t, x) , m.m. (t, x) ∈ (0, T ) × Ω u(t, x) = 0 , m.m. (t, x) ∈ (0, T ) × ∂Ω u(0, x) = u0 (x) , m.m. x ∈ Ω
(5.4.5)
ahol f ∈ L1 ((0, T ), L1 (Ω)) ´es u0 ∈ L1 (Ω). Legyen X = L1 (Ω), A : D → L1 (Ω), A(u) = −∆(ρ(u)) ´es D = {u ∈ L1 (Ω) : ρ(u) ∈ W01,1 (Ω) , ∆(ρ(u)) ∈ L1 (Ω)} . Az A lek´epez´es m-akret´ıv [17]. Az 5.4.5 feladat ´at´ırhat´o a k¨ovetkez˝o, L1 (Ω)-ban ´ertelmezett Cauchy-feladatk´ent: ½ 0 u (t) + A(u(t)) = f (t) , m.m. t ∈ (0, T ) (5.4.6) u(0) = u0 . Az 5.4.2 t´etel alapj´an az 5.4.6 feladatnak van egyetlen u ∈ C([0, T ], L1 (Ω)) mild megold´asa, amelyik egyben integr´al megold´asa is.
Szakirodalom [1] V. Barbu, Semigrupuri de contract¸ii neliniare ˆın spat¸ii Banach, 1974. [2] V. Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, 1976. [3] V. Barbu, T. Precupanu, Convexity and optimization in Banach spaces, 1978. [4] I. Cior˘anescu, Aplicat¸ii de dualitate ˆın analiza funct¸ional˘a neliniar˘a, 1974. [5] K. Deimling, Nonlinear functional analysis and its applications, 1985. [6] N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear operators, part I: General theory, 1958. [7] H. Gajewski, K. Gr¨oger, K. Zacharias, Nichlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen, 1974. [8] S. Hu, N.S. Papageorgiu, Handbook of multivalued analysis, 1997. [9] L.V. Kantorovici, G.P. Akilov, Analiz˘a funct¸ional˘a, 1986. [10] D. Pascali, Operatori neliniari, 1974. [11] D. Pascali, S. Sburlan, Nonlinear mappings of monotne type, 1978. [12] N.H. Pavel, Ecuat¸ii diferent¸iale asociate unor operatori neliniari pe spat¸ii Banach, 1977. [13] N.H. Pavel, Differential equations, flow invariance and applications, 1984. [14] E. Popa, Culegere de probleme de analiz˘a funct¸ional˘a, 1981. 103
104
SZAKIRODALOM
uß - A characterization of uniform-convexity and application to accretive [15] J. Pr¨ operators, Hiroshima Math. J. 11(1981), 229-234. [16] R.E. Showalter, Monotone operators in Banach spaces and nonlinear partial differential equations, 1997. [17] I. Vrabie, Compactness methods for nonlinear evolutions, 1987. [18] A. Wilansky, Functional Analysis, 1964. [19] E. Zeidler - Nonlinear Functional Analysis and its Applications, 1986- , vol. I, II/a, II/b, III, IV.
