Nemlineáris erősítők stabilitása
3
DR. BÁRÁNYI ANDRÁS-LADVÁNSZKY JÁNOS Távközlési K u t a t ó I n t é z e t
ÖSSZEFOGLALÁS
1. Bevezetés Nagyjelű erősítők tervezésében alapvető fontos ságú a stabilitás biztosítása. Az erősítők többségé ben az a k t í v elem nemlineáris k é t k a p u , amelyre az ismert stabilitásfeltételek nem a l k a l m a z h a t ó k . Eb ben a cikkben a stabilitás vizsgálatára új m ó d s z e r t i s m e r t e t ü n k , melyben a nemlineáris k é t k a p u k leíró függvénnyel t ö r t é n ő jellemzését használjuk fel. Az új stabilitásfeltétellel Belevitch egykapukra vonat kozó eredményeit [1] általánosítjuk. Az erősítő stabilitását a kétkapu-leírófüggvények deriváltjaiból és a lezáró a d m i t t a n c i á k b ó l m e g h a t á r o z h a t ó valós e g y ü t t h a t ó s polinom zérushelyeinek vizsgálatára vezetjük vissza. A stabilitásfeltétel ben szereplő k é t k a p u - p a r a m é t e r e k számítással vagy méréssel h a t á r o z h a t ó k meg [4]. Az általános stabi litásfeltételt nemlineáris transzfer karakterisztikájú, k a p a c i t í v visszacsatolással rendelkező hangolt erő sítő esetére alkalmazzuk. Az elméleti e r e d m é n y e k e t kísérleti vizsgálatokkal igazoljuk. 2. A nemlineáris erősítő modellje Vizsgálatunk célja nemlineáris a k t í v k é t k a p u t tar t a l m a z ó hangolt erősítők stabilitásfeltételének meg határozása. Feltételezzük, hogy a nemlineáris k é t kaput lineáris, sáváteresztő jellegű generátor- és terhelő a d m i t t a n c i á k zárják le, melyeket az 1. á b r a szerint az Y ( p ) és Y (p) függvények jfllemeznek. Az erősítőt co frekvenciájú, I amplitúdójú á r a m generátor hajtja meg: s
L
0
s
f (0 = Re [I exp (jw 0] s
s
o
(1)
Elsőnek az erősítést m e g h a t á r o z ó nemlineáris egyen letrendszert állítjuk fel, majd ennek megoldását p e r t u r b á l v a állapítjuk meg a stabilitás feltételét. * A cikk a stuttgarti ECCTD '83 konferencián elhang zott előadás alapján készült [6]. Beérkezett: 1983. X . 21.
54
totta. 1982 óta műholdas távbeszélő összeköttetések fejlesztésével foglalkozik. 1960-ban szerzett villa 1965 óta tart előadásokat mosmérnöki oklevelet a a Budapesti Műszaki Egyetem szakmérnöki ok Budapesti Műszaki Egyetemen. 1960 óta a tatása keretében. 1970Távközlési Kutató Inté ben a Marylandi Egyete zetben dolgozik. Kezdet men, 1981-ben a Berke ley Egyetemen dolgozott ben mikrohullámú rádió berendezések elektronikus vendégkutatóként. Kuta áramköreinek tervezésé tási területe a nemlineá elmélete. vel és FM rendszerek ris hálózatok 1976-ban ebben a téma torzítási problémáival foglalkozott. 1973 és 1976 körben szerzett kandidá tusi fokozatot. között adatátviteli mode mek fejlesztését irányí DR.
A cikkben nemlineáris működésű erősítők stabilitására adunk frek venciatartománybeli feltételt a kétkapu-leírófüggvények felhaszná lásával. A stabilitásfeltétel alkalmazását telítéses karakterisztikájú C-osztályú erősítő példáján mutatjuk be. A kísérleti eredmények az elméleti összefüggésekkel jó egyezést mutatnak. ( • )
BÁRÁNYI ANDRÁS
Az erősítő szinuszos bemeneti és kimeneti feszült ségét V illetve V a m p l i t ú d ó jellemzi: v
2
v (t) = Re[V exp()o) t)] k
k
k=í,2
0
(2)
A bemeneti és kimeneti á r a m co frekvenciájú kom ponenseinek a m p l i t ú d ó j á t / i - g y e l és I -\él jelöljük: 0
2
=
Re{l exp (jw 0 + k
o
7
t o + 2 hn P ( j f W ) e x
(3) A lezáró a d m i t t a n c i á k sáváteresztő karakterisz tikája m i a t t a szögletes zárójelben levő egyenáramú és harmonikus összetevők nincsenek hatással a be menő és kimenő feszültségekre. A bemeneti és k i meneti á r a m o k egyensúlya a következő egyenletek kel írható le: W s - Y ^ V i
(4)
(5)
szélessávú nemlineáris aktív 2-kapu 1. ábra. Nemlineáris erősítő modellje A nemlineáris a k t í v k é t k a p u áram—feszültség össze függéseit leírófüggvényekkel jellemezzük. A leíró függvények alkalmazásához fel kell tételeznünk, hogy a nemlineáris k é t k a p u szélessávú, azaz a lezáró Híradástechnika
XXXV.
évfolyam 1984. 2. szám
LADVANSZKY JÁNOS
a d m i t t a n c i á k által m e g h a t á r o z o t t áteresztősávban frekvenciafüggése elhanyagolható. A k é t k a p u jellemzéséhez k é t leírófüggvény szük séges. Legyenek ezek az Y, bemeneti és Y transz fer a d m i t t a n c i á k , az alábbi definíciók szerint:
1978-ban végzett a BME Villamosmérnöki Kará nak híradástechnika „B" szakán. Egyetemi hallgatóként nemlineáris áramkörök és tér számítás témakörben végzett tudo mányos diákköri mun kát. 1978 óta a Távközlési Kutató Intézetben dolgo zik. Kezdetben mikrohul lámú félvezetők modelle zési és méréstechnikai problémáival foglalko zott. Jelenleg aspiráns, és a szélessávú erősítők té makörében végez kutató munkát. Diákköri mun káját a BME Rektorá nak különdíjával, az Or-
T
'i=Y/(|Vil> |V |,
(6)
0 -0 )V
a
2
1
1
(7) A leírófüggvények h á r o m valós változótól függő komplex a d m i t t a n c i á k . V és V a bemeneti és k i meneti feszültségek a m p l i t ú d ó j á t ,
és 0 k fázisát jelöli. Hasonló, a h u l l á m p a r a m é t e r e k e n ala puló leírófüggvényeket javasolt Mazumder és Puije [3] a mikrohullámú erősítők tervezéséhez. Az erősítő m ű k ö d é s é t a (4)—(7) egyenletek írják le. A t o v á b b i a k b a n feltételezzük, hogy a (4) —(7) egyenletrendszernek van megoldása. 1
2
e z e
1
2
3. A stabilitás vizsgálata Az erősítő stabilitásának vizsgálatához a bemeneti és kimeneti feszültségeket perturbáljuk, majd a perturbációs komponensekre felírt lineáris egyenlet rendszer megoldásának aszimptotikus stabilitásához szükséges feltételt h a t á r o z z u k meg. Az irodalomból ismert, hogy a szinuszos megoldások stabilitásának vizsgálatához k é t modulációs oldalsávot t a r t a l m a z ó perturbáció szükséges [1, 2], ezért a bemeneti és kimeneti feszültségek perturbációját a következő alakban tételezzük fel: Av (t) = Re {bv k
D
-| + D
0
k
ku
1
ü
(9)
Qk
(10)
(13)
1Q
QP
l
d* Qk a
'QP-
P
- d QP
J
U
0
d\V \
YQ
Y
N Q P
a(0 -0 )
Q
k
(14)
QP
dY Qk~
2
(15)
3
ahol az indexek a következő értékeket vehetik fel:
*=1, 2 A lezáró a d m i t t a n c i á k modulációátvitelét az d i a g o n á l m á t r i x írja le:
A feszültség- és áram-perturbációk közötti kapcsolat m e g h a t á r o z á s á t a Függelék tartalmazza. Az e r e d m é n y egyszerűen kifejezhető a feszültség- és á r a m - p e r t u r bációs vektorok segítségével, amelyek az oldalsávok normalizált a m p l i t ú d ó j á t t a r t a l m a z z á k : X*
'IP
X P
u
(8)
exp(}a) t + st) +
T 1
'12'
J P
+D
TP
l
i (f) = Re {di
+ D
ahol I az egységmátrix, D ív 'TV '12' 'IP' D a leírófüggvények deriváltjaiból s z á m í t h a t ó 2x2-es m á t r i x o k :
rl*
ahol az u és / index a felső, illetve az alsó oldalsávot, s = jcü+(T a komplex modulációs frekvenciát, * a komplex konjugálást jelöli. A feszültségek perturbációja az á r a m o k pertur bációját eredményezi, amelyet hasonló a l a k ú n a k tételezünk fel:
n
l+ D
0
+ bv exp (jco í -f s*f)} k = 1, 2 kl
Mivel a nemlineáris k é t k a p u t szélessávúnak t é t e leztük fel, M az s modulációs frekvenciától függet len:
exp (}co t + st) +
ku
szágos Diákköri Konfe rencia I. és II. díjával és a tallinni egyetem külön díjával jutalmazták. 1980-ban a TKI „Kiváló Ifjú Mérnök" pályáza tán I. helyezést ért el.
Y ()a> + s)
M (s)--
s
0
T
Yj(jco Y*
Y?(Í«o+ **)"" Y£(j« )
Y (j« ) L
0 + S
M
r
*)
(16)
0
0
A d\ vektor a g e n e r á t o r á r a m - p e r t u r b á c i ó j á n a k normalizált odalsávjait tartalmazza. A stabilitás feltételét a öi = 0 esetre adjuk meg, a (11) és (12) egyenlet a l a p j á n : s
s
ahol x e g y a r á n t lehet feszültség vagy á r a m , és T a t r a n s z p o n á l á s t jelöli. A feszültség- és áram-perturbációs vektorok közöt t i összefüggést a következő egyenletek írják le: ói = M ŐV
(11)
D
ői = M ő v + ő i T
s
(12)
ahol Ma a nemlineáris k é t k a p u , M a lezáró admit t a n c i á k moduláció-átvitelét jellemző m á t r i x , ő i a generátor áram-perturbációs vektora. T
[l-M? M ]av = 0 1
o
Ahhoz, hogy tetszőleges öv feszültség-perturbáció aszimptotikusan zérushoz tartson, szükséges és elég séges, hogy a (17) egyenlet e g y ü t t h a t ó - m á t r i x á n a k negatív valós részű saját értékei legyenek. K ö v e t kezésképpen az erősítő stabilitását a H(s) determi náns zérusai h a t á r o z z á k meg:
s
Híradástechnika
XXXV.
évfolyam 1984. 2. szám
(17)
H(s) = det ( l - M ^ M o )
(18)
55
Az á r a m k ö r akkor és csak akkor stabil, ha a H(s) függvény minden s, zérusára teljesül, hogy Res,<0
H(s ) = 0
H(s) valós e g y ü t t h a t ó s racionális függvény, ezért a (19) feltétel ismert módszerekkel vizsgálható. Meg jegyezzük, hogy a determináns az eszköz feszültsé geinek is függvénye, így az erősítő stabilitása a pil lanatnyi teljesítményszintektől függ. Hangsúlyoz nunk kell, hgy az i t t ismertetett módszer tetszőleges fokszámú lezáró a d m i t t a n c i á r a érvényes, ha a sáv áteresztő követelmény teljesül. Ez lényeges általá nosítás, ugyanis az irodalomban rendszerint lassan változó p e r t u r b á c i ó t tételeznek fel, amely csak első fokú a d m i t t a n c i á n á l teljesül [5].
c
1
L
~L
d
—
/ 2
—á — IP
V |
d =-
}m Cp V
dg„
x
0
d
T2
= — dTP~
" Y
2T
C
C
t
R
V
- - Y
i
T
(29)
R
(30)
f=(o C R 0
L
(31)
P
IV
x
l
CÚQLC = 1
R(o C
= (>» 1
0
ág di V J
d
T1
1+A
TÍ$
RYr=
1+/7 1+/7
= ]f+Aw
-d
/ = o) Ci?«l
y =/fl) C/
(2i)
Yr =9Á\ V x l H j f l i o Q W V ! - 1 )
(22)
a
1
Vezessük be a meredekséget a következő értel mezés szerint: (23)
1^1
A feltételezett nagy jósági tényező m i a t t a generátorés a terhelő a d m i t t a n c i á k a t domináns zérusokkal jellemezhetjük: Y (p)=Y (p)
=
L
(7 =
2C(p-ia +a) )o
(25)
20
számításához szükséges a d m i t t a n c i a - é r t é k e k : Y ( j c o + s ) = Y (iw +s)= L
0
= Y*(jco + s*) = 0
56
(24)
=d
=j/
T P
(34)
(35)
A=g RȒ
0
P
T 2
( 3 3 )
A stabilitásfeltétel egyszerűsítése érdekében felteszszük, hogy a visszacsatolás kicsi és az erősítés nagy, ami a gyakorlatban rendszerint fennáll:
(20)
Az a k t í v k é t k a p u t nemlineáris transzfer karak terisztikájú feszültségvezérelt áramforrással és a C visszacsatoló kapacitással modellezzük. A nemlineáris k é t k a p u bemeneti és transzfer admittancia-függvénye a k ö v e t k e z ő : 0
(32)
m
Ezekkel a jelölésekkel a leírófüggvények és deri váltjaik a következőképpen fejezhetők k i :
Á módszer a l k a l m a z á s á t nemlineáris transzfer ka rakterisztikájú hangolt erősítő példáján mutatjuk be. A 2. á b r á n l á t h a t ó á r a m k ö r b e n a generátor- és a ter helő—admittancia e g y a r á n t nagy jósági tényezőjű rezgőkör, amely a bemenőjel frekvenciájára van hangolva. Az elemértékekre a következő összefüg gések érvényesek:
0
1
Vegyük figyelembe, hogy a feszültségerősítés:
RY,=\f
s
(28)
V
T
4. Nemlineáris hangolt erősíti) stabilitása
T
2
A=g R
2. ábra. Nemlineáris hangolt erősítő blokksémája
Az M
2
T 1
m
s
(27)
1
9
/
V, v -v
m
V
R
d/i —
Vezessük be a következő normalizált v á l t o z ó k a t :
'2
ff
T
(19)
t
>1
Az Yj és Y' leírófüggvények deriváltjait a (21) és (22) egyenlet alapján h a t á r o z z u k meg:
m
Ezen feltételek felhasználásával az á r a m k ö r stabi litását jellemző d e t e r m i n á n s t a (23), (30)—(34) egyenleteknek a (13)—(18) egyenletekbe történő behelyettesítésével nyerjük. A determináns-függ v é n y t kifejtve: H(s)-
1
- H / A ( l + u;) 2
2
(36)
A H u r w i t z - k r i t é r i u m o t (36)-ra alkalmazva adódik, hogy H(s) zérusai pontosan akkor negatív valós részűek, ha A / (1 + ÍÜ)<4 2
(37)
2
Egyenlőség esetén k é t képzetes zérus adódik: s =±ia (38) A (37)-es egyenlőtlenségbe az á r a m k ö r i paramétere ket visszahelyettesítve, a stabilitásfeltétel az alábbi alakban í r h a t ó : V2
i +
|V | 9 X
m
Y*(jco + s*) =
dg„ d\V \
(alC R 2
2
(39)
F
t
0
s+a Ra
Az egyenlőtlenség bal oldala a | V | bemeneti feszült ség függvénye, ezért az erősítő stabil és instabil m ű ködési t a r t o m á n y a i a bemenőszinttől függnek. x
(26)
Híradástechnika
XXXV.
évfolyam 198á. 2. szám
3. ábra. A feszültségvezérelt áramgenerátor transzfer karakterisztikái a
A (39) összefüggéssel megadott stabilitásfeltételt a 3. á b r a szerinti telítéses transzfer karakteriszti kájú C-osztályú erősítő esetén kísérleti ú t o n ellen őriztük. A 3. á b r a szerinti töréspontos karakterisz t i k á t k é t k a s z k á d b a kapcsolt differenciálerősítővel valósítottuk meg, a következő p a r a m é t e r e k k e l : J = l , l mA, V = 67 mV és V = 9 5 mV. A rezgő köröket / = 2 9 , 3 kHz-re hangoltuk, a sávszélességet pedig 700 Hz-re á l l í t o t t u k be. A m é r t és a s z á m í t o t t értékek összehasonlítása érdekében bevezetjük a nor malizált feszültséget és meredekséget: 0
T
0
0
*=I.V |/V„
y=9 V /I
1
m
0
(40)
0
A cikkben nemlineáris működésű erősítők stabilitá sára adunk frekvenciatartománybeli feltételt a k é t kapu-leírófüggvények felhasználásával. A stabilitásfeltétel a l k a l m a z á s á t telítéses karak terisztikájú C-osztályú erősítő példáján mutatjuk be. A kísérleti eredmények az elméleti összefüggé sekkel jó egyezést mutatnak.
/ \ INSTABIL STABIL/
1
t á s á v a l á l l í t o t t u k be. A különböző N é r t é k e k e t az á b r á n vízszintes vonalak ábrázolják. E g y adott vonal m e n t é n a bemeneti feszültséget növelve az á r a m k ö r először stabil, majd az F(x) függvénnyel való k é t metszéspont k ö z ö t t gerjedés lép fel, végül a m e g n ö velt bemeneti feszültség elnyomja az oszcillációt és ismét stabil m ű k ö d é s t eredményez. A gerjedés m é r t intervallumait az á b r á n kereszttel jelöltük. A m é r t és s z á m í t o t t eredmények jó egyezést mutatnak. A k i meneti spektrum az 5. á b r á n l á t h a t ó . A z oldalsávok m é r t frekvenciakülönbsége 700 H z , a (38) egyenlet nek megfelelően. 6. Összefoglalás
j"(x)=y*2*ü+w)
.2
H<3o2.-5 5. ábra. A gerjedés spektruma 1 osztás = 100 H z
5. Kísérleti eredmények
^ v..
STABIL Függelék
0.0,
•
•
•
i
•
•
•—i
~f
I_J
A perturbációs
i_«—i—i—>—•—.—.—r
ln<301-*l)
4. ábra. Az erősítő stabil és instabil működési tarto mányai
összefüggések
meghatározása
A perturbációs összefüggések meghatározásához szi nuszos v i v ő t t é t e l e z ü n k fel k é t modulációs oldalsávot tartalmazó perturbációval: 2 x ( í ) = X exp QcoJ) + X * exp ( - \ a > J )
Ezekkel a jelölésekkel a stabilitás feltétele a k ö v e t kező alakban í r h a t ó :
ahol
F(*) = y * | u £ - ^ j ( x )
I
< i V 2
(41)
mCR
2
0
0
(42)
F
Az F(x) függvény csak a 3. á b r á n megadott karakterisztika alakjától függ. Az F(x) függvényt a szinuszos vezérléshez t a r t o z ó á r a m alapharmonikusából h a t á r o z z u k meg. A stabil működés h a t á r a i t megadó F(x) függvény görbéjét a 4. ábra mutatja. N külön böző értékeit a C visszacsatoló k a p a c i t á s változtaF
Híradástechnika
XXXV.
évfolyam 1984. 2. szám
(F. 1)
2dx(t) - bX exp (jü> f -|-sí) + bX exp Qco i + s*t) + u
0
t
0
+ <5X* exp ( - j c V + s * 0 + ő X f exp ( - j a j + s t )
(F.2)
ahol x e g y a r á n t jelentheti az á r a m o t és a feszültsé get. A z (F.2) egyenletből kifejezhető az X komplex a m p l i t ú d ó normalizált differenciálja: exp (sO + ^ e x p (s*f)
(F.3)
A komplex differenciál függése az a m p l i t ú d ó és a fázis megváltozásától a k ö v e t k e z ő : ŐX_ b\X\ + j ő arc X X ~ IXI
(F.4)
57
Az (F.3) egyenlet valós és képzetes részét véve az a m p l i t ú d ó és a fázis oldalsávokkal való össze függését kapjuk:
i rőx
őxfi
u
IXI
+
* 2 [ X*
ŐX,
ti
= ( 1 + i(j o).'\ su
vJl
exp (s*í)
<5X* X*
x*
ÖY
exp (st) +
{
+•
Vi
ha
k= 2
(ő arc V —ő arc V ) 2
(F.7)
ahol a (15) jelöléseket h a s z n á l t u k fel. Az (F.3) és (F.5) egyenleteknek (F.7)-be t ö r t é n ő helyettesítése u t á n az exp (st)-t és exp (s*í)-t tartal mazó tagok szétválasztásával a (13) m á t r i x e g y e n l e t adódik. A generátor- és a terhelő-admittaucia frek%'enciafüggő, így a felső és az alsó modulációs oldalsávot
58
&
I
s i
{
Y (ia s
)o
+ s*) ÖVu
0
2U
dly
Y&COt
Y,
0
+ S*)
dVy V2
Az (F.8) és (F.9) egyenletet összegeztük a (16) m á t r i x egyenletben. IRODALOM
(F.6)
v, x
Wiu
(F.9)
Q
Q P
s(K+*) Yj
A terhelésre jellemző összefüggéseket az (5) egyen let alapján h a t á r o z z u k meg:
L
Mivel Y h á r o m változó függvénj^e, a normalizált differenciál
+ jd
Y +
Y Qo> )
ha Q= T
M \
Y (jco +s) ŐV
exp (s*t)
ŐV,
a
&I
Y,
A feszültségek és az á r a m o k normalizált differenciál j a i közti összefüggést a (6) és (7) egyenletből szár maztatjuk: ÖL.
Q>
(F.8) Y
L
dX, X
Y
dI
(F.5) <5X„ jő a r c X = X
külön kell figyelembe v e n n ü n k . A generátorra vonat kozó összefüggések a (4) és (6) egyenletekből a d ó d n a k :
[1] Belevitch, V.: Théorie des circuits non-linéaries en régime altérnatif, Uystpruyst, Louvain, 1959. [2] Bárányi A., HenkT.: „On thestabilityof sinusoidal oscillations", Proc. of the V I I . International Conference on Nonlinear Oscillations, Berlin, 1975. [3] Mazumder, S. R. and Van der Puije, P. D.: „An experimentál method of characterizing nonlinear two-ports and its application to microwave class-C transistor power amplifier design", I E E E Journal of Solid State Circuits, Vol. SC-12, Oct. 1977. [4] Bárányi A., Ladvánszky, J. and Kolumbán, G.: „Accurate large signal characterization of micro wave transistors", Proc. of the Seventh Colloquium on Microwave Communication, Budapest, 1982. [5] Kurokawa, K.: „Injection locking of microwave solid-state oscillators", Proc. I E E E 61, No. 10, 1973. [6] Bárányi A., Ladvánszky, J.: ,,On the stability of nonlinear two-port amplifiers", Proc. ECCTD '83, Stuttgart, Sept. 1983.
Híradástechnika
XXXV.
évfolyam 1984. 2. szám
