3(2-3)

Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Pertemuan VI Sebaran Penarikan Contoh

Septian Rahardiantoro - STK IPB

1

Sebaran Penarikan Contoh  Mengidentifikasi sebaran suatu fungsi dari contoh ketika diambil dari suatu populasi

Populasi (N = 5) 3

Pengambilan dengan pemulihan

6

X

9 2

8

n=2

X ~ N(𝜇 = 5.6, 𝜎 2 = 7.44)


Contoh 2 2 2 3 2 6 2 8 2 9 3 2 3 3 3 6 3 8 3 9 6 2 6 3 6 6 6 8 6 9 8 2 8 3 8 6 8 8 8 9 9 2 9 3 9 6 9 8 9 9 Rataan Var

Rataan Ragam 2.0 0.0 2.5 0.5 4.0 8.0 5.0 18.0 5.5 24.5 2.5 0.5 3.0 0.0 4.5 4.5 5.5 12.5 6.0 18.0 4.0 8.0 4.5 4.5 6.0 0.0 7.0 2.0 7.5 4.5 5.0 18.0 5.5 12.5 7.0 2.0 8.0 0.0 8.5 0.5 5.5 24.5 6.0 18.0 7.5 4.5 8.5 0.5 9.0 0.0 5.6 3.72 2

Sebaran Penarikan Contoh dari rata-rata contoh (pengambilan dengan pemulihan) Contoh 2 2 2 3 2 6 2 8 2 9 3 2 3 3 3 6 3 8 3 9 6 2 6 3 6 6 6 8 6 9 8 2 8 3 8 6 8 8 8 9 9 2 9 3 9 6 9 8 9 9 Rataan Var

Rataan Ragam 2.0 0.0 2.5 0.5 4.0 8.0 5.0 18.0 5.5 24.5 2.5 0.5 3.0 0.0 4.5 4.5 5.5 12.5 6.0 18.0 4.0 8.0 4.5 4.5 6.0 0.0 7.0 2.0 7.5 4.5 5.0 18.0 5.5 12.5 7.0 2.0 8.0 0.0 8.5 0.5 5.5 24.5 6.0 18.0 7.5 4.5 8.5 0.5 9.0 0.0 5.6 3.72

𝑋 = 5.6 = 𝜇  𝐸 𝑋 = 𝜇 𝑋 merupakan penduga tak bias bagi 𝜇 2

𝜎 7.44 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 3.72 = = 𝑛 2 Septian Rahardiantoro - STK IPB

3

Dengan ketentuan: X menyebar Normal  kombinasi linear dari X juga menyebar Normal Akibatnya sebaran dari 𝑋 adalah Normal, dengan

1 𝐸 𝑋 =𝐸 𝑛

𝑛

1 = 𝑛

𝑋𝑖 𝑖=1

1 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟 𝑛

𝑛

𝑋𝑖 𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1 𝐸 𝑋𝑖 = 𝑛

1 = 𝑛

2 𝑛

Jadi

𝑋~ 𝑁 𝜇, 𝜎 2

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1 𝜇 = 𝑛𝜇 = 𝜇 𝑛

1 𝑉𝑎𝑟 𝑋𝑖 = 𝑛

2 𝑛 𝑖=1

1 2 𝜎 = 𝑛

2

2 𝜎 𝑛𝜎 2 = 𝑛

𝜎2 → 𝑋~ 𝑁 𝜇, 𝑛 7.44 5.6


3.72

4

Bagaimana jika pengambilan contoh tanpa pemulihan? Contoh Populasi (N = 5) 3

Pengambilan tanpa pemulihan

6

X

9 2

8

n=2

X ~ N(𝜇 = 5.6, 𝜎 2 = 7.44)


2 3 2 6 2 8 2 9 3 2 3 6 3 8 3 9 6 2 6 3 6 8 6 9 8 2 8 3 8 6 8 9 9 2 9 3 9 6 9 8 Rataan Var

Rataan Ragam 2.5 0.5 4.0 8.0 5.0 18.0 5.5 24.5 2.5 0.5 4.5 4.5 5.5 12.5 6.0 18.0 4.0 8.0 4.5 4.5 7.0 2.0 7.5 4.5 5.0 18.0 5.5 12.5 7.0 2.0 8.5 0.5 5.5 24.5 6.0 18.0 7.5 4.5 8.5 0.5 5.6 9.30 2.79 5

Sebaran Penarikan Contoh dari rata-rata contoh (pengambilan tanpa pemulihan) Contoh 2 3 2 6 2 8 2 9 3 2 3 6 3 8 3 9 6 2 6 3 6 8 6 9 8 2 8 3 8 6 8 9 9 2 9 3 9 6 9 8 Rataan Var

Rataan Ragam 2.5 0.5 4.0 8.0 5.0 18.0 5.5 24.5 2.5 0.5 4.5 4.5 5.5 12.5 6.0 18.0 4.0 8.0 4.5 4.5 7.0 2.0 7.5 4.5 5.0 18.0 5.5 12.5 7.0 2.0 8.5 0.5 5.5 24.5 6.0 18.0 7.5 4.5 8.5 0.5 5.6 9.30 2.79

𝑋 = 5.6 = 𝜇 𝜎2 𝑁 − 𝑛 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 2.79 = 𝑛 𝑁−1 7.44 5−2 = 2 5−1 Jadi, jika pengambilan tanpa pemulihan

𝑋~ 𝑁 𝜇, 𝜎 2

𝜎2 𝑁 − 𝑛 → 𝑋~ 𝑁 𝜇, 𝑛 𝑁−1


6

Lebih umum berlaku hubungan

𝑋~ 𝑁 𝜇, 𝜎 2 𝑋−𝜇 𝑍= 𝜎

Penarikan contoh

𝑍~ 𝑁 0,1


𝜎2 𝑋~ 𝑁 𝜇, 𝑛 𝑋−𝜇 𝑍= 𝜎 𝑛 Asumsi: penarikan dengan pengembalian

7

Latihan 1 Sebuah perusahaan memproduksi bohlam. Bila umur bohlam itu menyebar normal dengan rata-rata 800 jam dan simpangan baku 40 jam, hitunglah peluang bahwa suatu contoh acak 16 bohlam akan mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam. Misalkan p.a X = umur bohlam (jam) X ~ N(𝜇 = 800, 𝜎 = 40) n = 16 P(𝑋 < 775) = P(Z <

775−800 ) 40/4

= P(Z < -2.5) = 0.0062


8

Latihan 2 Pengeluaran rumah tangga per bulan untuk konsumsi di suatu kabupaten diketahui menyebar normal dengan rataan 250 ribu rupiah dan simpangan baku 25 ribu rupiah. a.

Berapa persen rumah tangga yang pengeluaran per bulan untuk konsumsinya antara 225 ribu rupiah dan 265 ribu rupiah? b. Jika diambil 10 rumah tangga sebagai contoh. Berapa persen rata-rata pengeluaran per bulan untuk konsumsinya antara 225 ribu rupiah dan 265 ribu rupiah? c. Jika diambil 30 rumah tangga sebagai contoh. Berapa persen rata-rata pengeluaran per bulan untuk konsumsinya antara 225 ribu rupiah dan 265 ribu rupiah? Untuk latihan mandiri Septian Rahardiantoro - STK IPB

9

Dalil Limit Pusat “Dengan suatu sebarang sebaran populasi X, jika diambil contoh secara acak berukuran n yang besar, maka 𝑋 akan menyebar mendekati sebaran Normal dengan nilai tengah  dan ragam 2/n”

𝑋~ sebaran sebarang 𝑋~ 𝑁 𝑛→ ∞

𝜎2 𝜇, 𝑛

𝑍~ 𝑁 0,1

𝑋−𝜇 𝑍= 𝜎 𝑛

Lalu bagaimana jika ragam populasi 𝜎 2 tidak diketahui ?


10

Sebaran t - student Berdasarkan dalil limit pusat, untuk n besar sebaran 𝑋 dapat didekati oleh sebaran Normal dengan rata-rata 𝜇 dan ragam 𝜎 2 /𝑛. Namun hal ini mensyaratkan ragam populasi (𝜎 2 ) diketahui. Apabila 𝜎 2 tidak diketahui dan diganti dengan penduganya (𝑠 2 ), maka 𝑋−𝜇 ~ t-student (db = n – 1) 𝑠/ 𝑛 Sebaran t mirip sebaran N(0,1), hanya saja sebaran t lebih bervariasi tergantung besarnya derajat bebas (db) 𝑠 2


11

Lebih umum berlaku hubungan

𝑋~ sebaran sebarang 𝑋~ 𝑁 𝜇, 𝜎 2

𝑋−𝜇 𝑍= 𝜎

Penarikan contoh (𝑛 → ∞) Penarikan contoh

𝜎2 𝑋~ 𝑁 𝜇, 𝑛 𝜎 2 diketahui 𝑋−𝜇 𝑍= 𝜎 𝑛

𝑍~ 𝑁 0,1

𝜎 2 tidak diketahui 𝑋−𝜇 𝑇= 𝑠 𝑛

𝑇~ t – student(db=n-1) Septian Rahardiantoro - STK IPB

12

Latihan 3 Diketahui bahwa volume botol air menyebar normal dengan rataan 200 ml. Lalu diambil n = 9 contoh acak botol dengan simpangan baku volumenya 12 ml. Jika 5% rataan volume tertinggi dari botol tersebut akan ditolak, tentukan batas rataan volume botol yang masih diterima. Misalkan p.a X = volume botol air (ml) X ~ N(𝜇 = 200,𝜎 2 ) ; 𝜎 2 tidak diketahui n = 9  𝑠 = 12 P(𝑡 > 𝑡𝑎 ) = 0.05  𝑡𝑎 𝑑𝑏 = 9 − 1 = 1.859 Sehingga batasnya  𝑋 = (s/ 𝑛) 𝑡𝑎 + 𝜇 = 4(1.859) + 200 = 207.438 Jadi batasan rataan volume botol yang masih diterima tidak lebih dari 207.438 Septian Rahardiantoro - STK IPB

13

Thank you, see you next week 


14

3(2-3)

Recommend Documents