3(2-3)

Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Pertemuan V Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak

Septian Rahardiantoro - STK IPB

1

Pertemuan minggu lalu kita sudah belajar mengenai cara untuk membuat daftar kemungkinan-kemungkinan dari suatu percobaan, serta menghitung peluang seberapa besar kemungkinan tersebut terjadi Sehingga, bagaimana jika setiap kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu kejadian ingin diketahui peluangnya terjadinya? Perlu adanya pemetaan dari ruang kejadian tersebut ke ruang bilangan real

PEUBAH ACAK

RANDOM VARIABLE


2

Peubah Acak • Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi).

• Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. • Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil.


3

Ilustrasi 1 Percobaan: Pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas

Kejadian A: Munculnya sisi Gambar

Ruang Kejadian: A = {AG, GA, GG} Ruang Contoh: S = { AA, AG, GA, GG}

Peubah Acak Misalkan X = munculnya sisi gambar Kemungkinan dari X = {0, 1} Pemetaan fungsi X AA AG GA GG

Misalkan Y = banyak munculnya sisi gambar Kemungkinan dari Y = {0, 1, 2} Pemetaan fungsi Y

AA AG GA GG

0 1 Septian Rahardiantoro - STK IPB

0 1 2 4

Tipe Peubah Acak • Peubah Acak Diskret – Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable) – Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A

• Peubah Acak Kontinu – Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable) – Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval – Misalkan X = tinggi badan (cm) Septian Rahardiantoro - STK IPB

5

Karakteristik Peubah Acak Nilai Harapan

Ragam

Nilai harapan dari peubah acak  pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali (dalam jangka waktu yang panjang). 𝑥𝑝 𝑥 ; 𝑥 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡 𝐸(𝑋) =

∀𝑥

𝑥𝑓 𝑥 ; 𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 ∀𝑥

Sifat 𝐸(𝑋): 1. 𝐸 𝑐 = 𝑐 ; 𝑐 = konstanta 2. 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸 𝑋 3. 𝐸 𝑋 ± 𝑌 = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌)

Ragam dari peubah acak X, didefinisikan sebagai: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑋) 2 = 𝐸 𝑋 2 − [𝐸(𝑋)]2 Sifat 𝑉𝑎𝑟(𝑋): 1. 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0 ; 𝑐 = konstanta 2. 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐 2 𝑉𝑎𝑟 𝑋 3. 𝑉𝑎𝑟 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌 ± 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 Dengan 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑋) 𝐸 𝑌 − 𝐸(𝑌) Jika p.a X dan Y saling bebas, maka 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 0

 𝑉𝑎𝑟


𝑋 ± 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌 6

Peubah Acak Diskret •

Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret

•

Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan peluang dari peubah acak tersebut

•

Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1

•

Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut

•

Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.


7

Ilustrasi 2 Berdasarkan ilustrasi 1 Misalkan X = munculnya sisi gambar Kemungkinan dari X = {0, 1} Sebaran peluang dari peubah acak X

Misalkan Y = banyak munculnya sisi gambar Kemungkinan dari Y = {0, 1, 2} Sebaran peluang dari peubah acak Y Kemungkinan

AA

GA

AG

GG

Kemungkinan

AA

GA

AG

GG

Peluang

1/4

1/4

1/4

1/4

Peluang

1/4

1/4

1/4

1/4

Y

0

1

1

2

X

0

1

1

1

y

P(y)

x

P(x)

0

P(Y=0) = P(AA) = 1/4

0

P(X=0) = P(AA) = 1/4

1

P(Y=1) = P(GA)+P(AG) = 2/4

1

P(X=1) = P(GA)+P(AG)+P(GG) = 3/4

Sehingga, sebaran peluang peubah acak X x

P(x)

0

1/4

1

3/4

P(Y=2) = P(GG) = 1/4 2 Sehingga, sebaran peluang peubah acak Y


y

P(Y)

0

1/4

1

2/4

2

1/4

8

Latihan 1 • Pada suatu perusahaan produksi pulpen, diketahui dari 10 pulpen yang diproduksi terdapat 2 pulpen yang tidak memenuhi standar. Jika diambil secara acak sebanyak 2 pulpen dari proses produksi, dan peubah acak X menyatakan banyaknya pulpen baik yang terambil, tentukan sebaran peubah acak X x

X = banyaknya pulpen baik yang terambil X = {0, 1, 2}

P(x)

0

P(X=0) = P(TT) =

1

P(X=1) = P(TB) =

2

P(X=2) = P(BB) =


2 8 2 0 10 2 2 8 1 1 10 2 2 8 0 2 10 2

1

= 45 16

= 45 28

= 45 9

Latihan 2 • Diketahui dalam suatu kotak terdapat 2 bola kuning dan 4 bola hijau. Jika diambil 3 bola secara acak, dan peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya bola kuning yang terambil, tentukan sebaran peluang peubah acak X Untuk latihan mandiri


10

Karakteristik Peubah Acak Diskret Nilai Harapan Misalkan X p.a diskret, maka 𝐸(𝑋)

𝐸 𝑋 =

Contoh Misalkan diketahui p.a diskret X dengan sebaran peluang

𝑥𝑝(𝑥)

x

P(X)

0

1/8

Ragam

2

4/8

Misalkan X p.a diskret, maka 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

4

3/8

∀𝑥

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 2 − [𝐸(𝑋)]2 Dengan

𝐸 𝑋2 =

𝑥 2 𝑝(𝑥) ∀𝑥

𝐸 𝑋 =

∀𝑥 𝑥𝑝(𝑥) = 0 + 1 + 12/8 = 5/2 𝐸 𝑋 2 = ∀𝑥 𝑥 2 𝑝(𝑥) = 0 + 2 + 6 = 8 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 2 − [𝐸(𝑋)]2

= 8 – 25/4 = 7/4 𝐸 2𝑋 − 1 = 2𝐸 𝑋 − 1 = 4 𝑉𝑎𝑟 2𝑋 − 1 = 4𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 7


11

Latihan 3 • Pada Latihan 1 dan Latihan 2, tentukanlah: a. 𝐸(𝑋) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) b. Jika Y = 2X + 6, tentukan 𝐸(𝑌) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑌) Untuk latihan mandiri


12

Beberapa Sebaran Peluang Diskret Sebaran Peluang Bernoulli • • •

Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal Misal, 𝑝 = P(sukses), maka fungsi peluang p.a X ~ Bernoulli(𝑝)

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑝 𝑥 1 − 𝑝 1−𝑥 ; 𝑥 = 0,1 𝐸 𝑋 =𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝(1 − 𝑝)

Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20%

Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebesar 5%.


13

Sebaran Peluang Binomial Terdiri dari 𝑛 kejadian Bernoulli yang saling bebas Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n Misal, 𝑝=P(sukses), maka fungsi peluang p.a X ~ Binomial(𝑛, 𝑝)

• • •

𝑛 𝑥 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑝 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 ; 𝑥 = 0,1,2, … 𝑥 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) X = banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan

S

S

S

G S S G G S

S G S G S G

S S G S G G

G

G

G



x=3

𝑃(𝑋 = 3) =

3 3 𝑝 1−𝑝 3

3−3



x=2

𝑃(𝑋 = 2) =

3 2 𝑝 1−𝑝 2

3−2



x=1

𝑃(𝑋 = 1) =

3 1 𝑝 1−𝑝 1

3−1



x=0

𝑃(𝑋 = 0) =

3 0 𝑝 1−𝑝 0

3−0


Rata-rata sukses melakukan lemparan 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 3𝑝

14

Sebaran Peluang Poisson • •

Peubah acak yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu Peubah acak X disebut menyebar poisson dengan parameter 𝜇 jika X ~ Poisson( 𝜇 ) dengan

𝑒 −𝜇 𝜇 𝑥 𝑃 𝑋=𝑥 = ; 𝑥 = 0,1,2, … 𝑥! 𝐸 𝑋 =𝜇 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜇

Contoh: • Banyaknya kecelakaan lalulintas yang terjadi di persimpangan jalan dalam waktu satu minggu • Banyaknya gempa bumi di Jawa Barat yang terjadi dalam waktu satu tahun • Banyaknya orang yang terserang flu burung di suatu tempat pada jangka waktu satu tahun


15

Latihan 4 Peluang turun hujan per hari diketahui 𝑝 = 0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah: a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu? b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu? Misalkan p.a X = banyaknya hari turun hujan dalam seminggu X ~ binomial(𝑛 = 7, 𝑝 = 0.6) 7 0.60 1 − 0.6 7−0 = 0.47 0 b. P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0.47 a. P(X = 0) =


16

Peubah Acak Kontinu •

Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu

•

Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi kepekatan peluang

•

Integral fungsi kepekatan peluang dari semua kemungkinan nilai sama dengan 1

•

Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai tersebut

Beberapa Sebaran Peluang Kontinu • • • • •

Seragam Normal Weibull Gamma Beta Septian Rahardiantoro - STK IPB

17

Sebaran Seragam • •

Peubah acak yang mempunyai peluang yang sama di titik-titik tertentu pada suatu selang [a, b] Peubah acak X disebut menyebar seragam pada interval [a, b]; b > a jika X ~ Seragam(a, b) dengan

1 𝑓 𝑥 = ;𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑏−𝑎 𝑎+𝑏 (𝑏 − 𝑎)2 𝐸 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 2 12

Contoh: • Kejadian kedatangan seseorang secara acak di stasiun untuk naik kereta pada waktu tertentu • Kejadian kedatangan seseorang pada satu jam sebelum kuliah dimulai


18

Sebaran Normal • • •

Bentuk sebaran simetri, sehingga mean = median = modus Merupakan sebaran dasar dalam pengembangan alat analisis statistika (dengan mengasumsikan data menyebar normal) Peubah acak X disebut menyebar normal dengan nilai harapan 𝜇 dan ragam 𝜎 2 jika X ~ N(𝜇, 𝜎 2 ) dengan

𝑓 𝑥 =

1

2𝜋𝜎 𝐸 𝑋 =𝜇

1 𝑥−𝜇 2 − 𝑒 2 𝜎 ; −∞

≤𝑥≤∞

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 2

Contoh: • Tinggi badan • Berat badan


19

Karakteristik Peubah Acak Kontinu Nilai Harapan Misalkan X p.a kontinu, maka 𝐸(𝑋)

𝐸 𝑋 =

𝑥𝑓(𝑥) ∀𝑥

Ragam Misalkan X p.a kontinu, maka 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 2 − [𝐸(𝑋)]2 Dengan

𝐸 𝑋2 =

𝑥 2 𝑓(𝑥) ∀𝑥


20

Spesial: Sebaran Normal Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbedabeda(tergantung dari nilai 𝜇 dan 𝜎 2  perhitungan peluang akan sulit Lakukan transformasi dari X ~ N( , 2) menjadi peubah acak normal baku Z~N(0,1) dengan menggunakan fungsi transformasi

𝑋−𝜇 𝑍= 𝜎 Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z  N(0,1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku

-1

+1 z0


21

Cara Penggunaan Tabel Normal Baku • •

Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua) Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai z  P(Z < z).

P(Z < -0.52) = 0.3015

P(Z < -3.11) = 0.0009


22

Latihan 5 Untuk membantu korban bencana sebuah lembaga sosial berinisiatif mengumpulkan dana dari para donatur. Jumlah sumbangan setiap donatur diketahui menyebar normal dengan rata-rata 120 ribu dan simpangan baku 80 ribu. 1. 2.

Berapa persen sumbangan 150 ribu sampai 200 ribu rupiah Jika pemerintah berencana memberikan penghargaan kepada para donatur dengan sumbangan 5% tertinggi, berapa minimum sumbangan yang mendapatkan penghargaan

Misalkan p.a X = besarnya sumbangan setiap donatur (dalam ribuan) X ~ N(𝜇 = 120, 𝜎 = 80) 1. 2.

P(150 ≤ X ≤ 200) = P(3/8< Z < 1) = P(Z < 1) – P(Z < 3/8) = 0.8413 – 0.6480 = 0.1933 P(Z > z) = 0.05  P(Z < z) = 0.95  z = 1.645 Sehingga X = 𝜇 + 𝜎z = 120 + 80(1.645) = 251.6 Septian Rahardiantoro - STK IPB

23

Latihan 6 Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm2. Hitunglah, 1. 2. 3. 4.

Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm? Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm? Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm? Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut! Untuk latihan mandiri


24

Thank you, see you next week 


25

3(2-3)

Recommend Documents