Nekonečné řady 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice a) Označme
{an }n=1 = {a1 , a2 , a3 , L, an , L} ∞
Nekonečná číselná řada je součet tvaru
nekonečnou posloupnost reálných čísel. ∞
∑a n =1
n
= a1 + a2 + a3 + L + an + L .
Jednotlivá čísla a1 , a2 , a3 , L , an , L se nazývají členy řady, člen an obvykle nazýváme obecný nebo také n-tý člen řady. Sčítací index n může nabývat hodnot 0, 1, 2, … . b) Posloupnost {sn }n =1 = {s1 , s2 , s3 , L , sn , L} součtů tvaru ∞
s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 , M
sn = a1 + a2 + a3 + L + an ,
nazýváme posloupnost částečných součtů řady
∞
∑a n =1
c) Existuje-li konečná limita lim sn = s , nazýváme řadu n →∞
∞
∑a n =1
n
n
. ∞
∑a n =1
n
konvergentní a píšeme
= s.
Číslo s nazýváme součet řady
∞
∑a n =1
n
.
Pokud uvedená limita neexistuje nebo je nevlastní, nazývá se řada
∞
∑a n =1
Příklad 1. Rozhodněte, zda konvergují řady: a)
∞
1 , b) ∑ n −1 n =1 2
∞
n , c) ∑ n =1 2
n
divergentní.
∞
∑ (−1)
n
.
n=0
Postup řešení: ∞
1 1 1 1 = 1 + + 2 + L + n −1 + L . n −1 2 2 2 n =1 2
a) Pro představu napíšeme několik členů řady: ∑ Určíme posloupnost částečných součtů řady: Jarmila Doležalová
1
s1 = 1, 1 s2 = 1 + , 2 1 1 s3 = 1 + + , 2 4 M 1 1 1 sn = 1 + + + L + n −1 = 1 2 4 2
1 1 1− n n 2 = 2 = 2(1 − 1 ). 1 1 2n 1− 2 2
1−
Poznámka: K určení sn jsme použili vztah pro n-tý částečný součet nekonečné geometrické řady s parametry a = 1, q =
1 1 − qn (viz dále): sn = a . 1− q 2
Vypočítáme lim sn = lim 2(1 − n →∞
n →∞
1 ) = 2(1 − 0) = 2. 2n
Protože číslo 2 je konečné, je řada
b)
∞
n
1
2
3
∞
1 konvergentní a platí ∑ n −1 n =1 2
∞
1
∑2 n =1
n −1
= 2.
n
∑ 2 = 2 + 2 + 2 +L+ 2 +L . n =1
Určíme posloupnost částečných součtů řady:
1 , 2 1 2 s2 = + , 2 2 1 2 3 s3 = + + , 2 2 2 M s1 =
sn =
1 2 3 1n n 1 n (1 + n) = (1 + n). + + + L + = (1 + 2 + 3 + L + n) = 2 2 2 2 2 22 4
Poznámka: K určení sn jsme použili vztah pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti sn =
n (a1 + an ). 2
n Vypočítáme lim sn = lim (1 + n) = +∞. n →∞ n →∞ 4
Protože limita je nevlastní, je řada
∞
n
∑2
divergentní.
n =1
Jarmila Doležalová
2
c)
∞
∑ (−1) n=0
n
= 1 − 1 + 1 − 1 + L + (−1) n + L .
Je zřejmé, že součet sudého počtu členů řady s2 n = 0 , kdežto součet lichého počtu členů řady s2 n +1 = 1 . Limita lim sn proto neexistuje (každá posloupnost může mít nanejvýš jednu limitu). n →∞
Řada
∞
∑ (−1)
n
je divergentní.
n=0
Poznámka: Tato řada má speciální název oscilující (mezi -1 a 1). 1.2. Nutná podmínka konvergence řad Věta: Jestliže řada
∞
∑a n =1
n
konverguje, potom lim an = 0 . n →∞
Poznámka: Jde o podmínku nutnou, nikoliv postačující. Znamená to následující: ♦
Pokud lim an = 0 , pak řada n →∞
∞
∑a n =1
n
může konvergovat nebo divergovat
(ve vylučovacím slova smyslu). ♦
Pokud lim an ≠ 0 , pak řada n →∞
∞
∑a n =1
n
diverguje.
1.3. Harmonická řada je definována vztahem
∞
1
1
1
1
∑ n = 1+ 2 + 3 +L+ n +L . n =1
1 = 0 ), dá se dokázat, že je n →∞ n
Přestože tato řada splňuje nutnou podmínku konvergence ( lim divergentní. 1.4. Zobecněná harmonická řada je definována vztahem
∞
1
∑n n =1
p
= 1+
1 1 1 + p +L+ p +L . p n 2 3
Dá se dokázat následující:
Jarmila Doležalová
3
∞
1
∑n
p≤1
n =1
∞
1
∑n
p>1
diverguje
p
n =1
konverguje
p
Tab. 1 ∞
1
∑n
Poznámka: Pro p=1 jde o harmonickou řadu
.
n =1
∞
∞
1 , b) ∑ 3 n =1 n
Příklad 2. Rozhodněte, zda konvergují řady: a)
∑
n , c)
n =1
∞
∑ n =1
2 n
Postup řešení: a) Pro představu napíšeme několik členů řady:
∞
1
∑n n =1
3
= 1+
1 1 1 + 3 +L+ 3 +L 3 n 2 3
Je zřejmé, že jde o zobecněnou harmonickou řadu, v níž p=3>1. Podle předchozí tabulky tedy řada
∞
n =1
b)
1
∑n ∞
∑ n =1
Protože platí
3
konverguje.
n = 1+ 2 + 3 +L+ n +L ∞
∑ n =1
∞
1
∞
1
n =1
−
n = ∑ n2 = ∑ n =1
n
1 2
jde o zobecněnou harmonickou řadu, v níž
1 p= − <1. Podle předchozí tabulky tedy řada 2
c)
∞
∑ n =1
Protože platí
2 n ∞
∑ n =1
p=
= 2+
2 n
2 2
2
+
∞
1
= 2∑ n =1
3
n
1 2
+L+
2 n
∞
∑
n diverguje.
n =1
+ L = 2(1 +
1 2
+
1 3
+L+
1 n
+ L)
jde o dvojnásobek zobecněné harmonické řady, v níž
1 <1. Podle předchozí tabulky tedy řada 2
∞
∑ n =1
2 n
diverguje.
1.5. Nekonečná geometrická řada (NGŘ) ∞
je definována vztahem
∑ aq n =1
Jarmila Doležalová
n −1
= a + aq + aq 2 + aq 3 L + aq n −1 + L ,
4
přičemž a ≠ 0 je první člen řady a q =
a a2 a3 a4 = = = L = n , q ≠ 0 , je kvocient řady. a1 a2 a3 an −1
Lze snadno dokázat (důkaz jste prováděli na střední škole), že nekonečná geometrická řada konverguje ⇔ q < 1 . Pak pro její součet platí s =
a . 1− q
Pro q ≥ 1 nekonečná geometrická řada diverguje a nemá součet. ∞
∑ aq
q <1
n −1
konverguje a má součet s =
n −1
diverguje a nemá součet
n =1 ∞
∑ aq
q ≥1
a 1− q
n =1
Tab. 2 Příklad 3. Rozhodněte, zda konvergují řady: a)
∞
1 , b) ∑ n −1 n =1 2
∞
∑ 2n−1 , c) n =1
(−1) n . ∑ n n=0 2 ∞
Postup řešení: a) Pro představu napíšeme několik členů řady:
∞
n =1
Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q = Protože q =
s=
a = 1− q
n −1
= 1+
1 1 1 + 2 + L + n −1 + L 2 2 2
1 . 2
1 1 = < 1 , řada konverguje a pro její součet platí 2 2
1 1−
1
∑2
1 2
=
1 = 2. 1 2
Výsledek souhlasí s výsledkem příkladu 1a). b)
∞
∑2 n =1
n −1
= 1 + 2 + 22 + L + 2n −1 + L
Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q = 2 . Protože q = 2 = 2 > 1 , řada diverguje a nemá součet.
c)
(−1) n 1 1 (−1) n L = 1 − + − + +L ∑ n 2 22 2n n=0 2 ∞
1 Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q = − . 2 Jarmila Doležalová
5
Protože q = − s=
a = 1− q
1 1 = < 1 , řada konverguje a pro její součet platí 2 2
1 1 1 − (− ) 2
=
1 2 = . 3 3 2
Poznámka: Všimněte si, že dva sousední členy řady
(−1) n mají vždy opačná znaménka. ∑ n n=0 2 ∞
Takové řady se nazývají řady se střídavými znaménky nebo také alternující. 2. Nekonečné funkční řady 2.1. Definice Nekonečnou funkční řadou nazýváme součet funkcí tvaru ∞
∑f n =1
n
( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) + f3 ( x) + L + f n ( x) + L , x ∈ D ,
kde D je definiční obor součtu funkcí na pravé straně. Poznámka: Dosadíme-li do funkční řady za proměnnou x nějaké číslo x0 ∈ D , dostaneme nekonečnou číselnou řadu ∞
∑f n =1
n
( x0 ) = f1 ( x0 ) + f 2 ( x0 ) + f 3 ( x0 ) + L + f n ( x0 ) + L .
Příklad 4. Je dána řada
∞
∑x n =1
b) x1 = −1 , c) x2 =
n −1
. Rozhodněte, zda konverguje v bodech: a) x0 = 1 ,
1 1 , d) x3 = − , e) x4 = −3 . 3 5
Postup řešení: ∞
∑x
n −1
n =1
= 1 + x + x 2 + L + x n −1 + L (uvědomte si, že sčítací index je n a ne x!!!)
Funkce x, x 2 ,L , x n −1 , L jsou definovány pro všechna reálná čísla, tedy D=R. a) Dosadíme-li za x číslo x0 = 1 , dostaneme nekonečnou číselnou řadu ∞
∑1 n =1
n −1
= 1 + 1 + 12 + L + 1n −1 + L = 1 + 1 + 1 + L + 1 + L .
Jarmila Doležalová
6
Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q = 1 . Protože q = 1 = 1 , podle tabulky 2 řada
∞
∑1
n −1
diverguje.
n =1
b) Dosadíme-li za x číslo x1 = −1 , dostaneme nekonečnou číselnou řadu ∞
∑ (−1)
n −1
n =1
= 1 − 1 + 1 − L + (−1) n −1 + L .
Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q = −1 . Protože q = −1 = 1 , podle tabulky 2 řada
∞
∑ (−1)
n −1
diverguje.
n =1
c) Dosadíme-li za x číslo x2 = ∞
⎛1⎞ ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 3 ⎠
n −1
1 , dostaneme nekonečnou číselnou řadu 3
∞
1 1 1 1 = 1 + + 2 + L + n −1 + L . 3 3 3 n =1 3
=∑
n −1
1 Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q = . 3 1 1 Protože q = = < 1 , podle tabulky 2 řada 3 3 s=
∞
⎛1⎞ ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 3 ⎠
n −1
konverguje a má součet
1 1 3 a = = = . 1 2 2 1− q 1− 3 3 1 d) Dosadíme-li za x číslo x3 = − , dostaneme nekonečnou číselnou řadu 5
∞
⎛ 1⎞ ∑ ⎜− ⎟ 5⎠ n =1 ⎝
n −1
1 1 1 ⎛ 1⎞ = 1− + 2 − 3 +L+ ⎜ − ⎟ 5 5 5 ⎝ 5⎠
n −1
+L .
1 Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q = − . 5 1 1 Protože q = − = < 1 , podle tabulky 2 řada 5 5
s=
a = 1− q
1 1 1 − (− ) 5
=
∞
⎛ 1⎞ ∑ ⎜− ⎟ 5⎠ n =1 ⎝
n −1
konverguje a má součet
1 5 = . 6 6 5
e) Dosadíme-li za x číslo x4 = −3 , dostaneme nekonečnou číselnou řadu
Jarmila Doležalová
7
∞
∑ (−3)
n −1
n =1
= 1 − 3 + 9 − 27 + L + (−3) n −1 + L .
Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q = −3 . Protože q = −3 = 3 > 1 , podle tabulky 2 řada
∞
∑ (−3)
n −1
diverguje a nemá součet.
n =1
Poznámka: Z příkladu 4 je vidět, že pro některá čísla z definičního oboru přejde funkční řada v konvergentní číselnou řadu, pro jiná čísla přejde v divergentní číselnou řadu. 2.2. Obor konvergence O funkční řady je množina těch čísel x ∈ D , pro která tato funkční řada přejde v konvergentní číselnou řadu. Je zřejmé, že platí O ⊆ D . Určení oboru konvergence Obor konvergence určíme snadno v případě, že řada je nekonečná geometrická.
Příklad 5. Určete obor konvergence a součet řad: a)
∞
∑ x n−1 , b) n =1
c)
( x − 2) n , ∑ 32 n n=0 ∞
(2 x + 1) n . ∑ 23 n n=0 ∞
Postup řešení: a)
∞
∑x n =1
n −1
= 1 + x + x 2 + L + x n −1 + L
Funkce x, x 2 ,L , x n −1 , L jsou definovány pro všechna reálná čísla, tedy D=R. Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q = x . Podle tabulky 2 řada konverguje pro q < 1 , tedy po dosazení x < 1 . K řešení nerovnice s absolutní hodnotou použijeme geometrický význam absolutní hodnoty: V nerovnici x − x0 < R nazveme x0 střed a R poloměr. Řešením nerovnice pak jsou všechna reálná čísla x , která jsou od středu x0 vzdálena méně než poloměr R , tedy O = ( x0 − R, x0 + R ) . V našem případě platí x − 0 < 1 , proto střed x0 = 0 a poloměr R = 1
Jarmila Doležalová
8
Řada
∞
∑x
n −1
konverguje v intervalu O = (0 − 1, 0 + 1) = (−1,1) a má v něm součet
n =1
s=
a 1 = . 1− q 1− x b)
( x − 2) n x − 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) n L = 1 + + + + +L ∑ 32 n 32 34 32 n n=0 ∞
Funkce jsou definovány pro všechna reálná čísla, tedy D=R. Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a = 1, q =
x−2 . 32
Podle tabulky 2 řada konverguje pro q < 1 , tedy po dosazení Po úpravách
x−2 9
< 1,
x−2 < 1, 32
x − 2 < 9.
V našem případě je proto střed x0 = 2 a poloměr R = 9 . Řada s=
( x − 2) n konverguje v intervalu O = (2 − 9, 2 + 9) = (−7,11) a má v něm součet 32 n n=0 ∞
∑
a = 1− q
c)
1 1 9 . = = x − 2 9 − ( x − 2) 11 − x 1− 9 9 (2 x + 1) n 2 x + 1 (2 x + 1) 2 (2 x + 1)3 (2 x + 1) n = + + + + +L L ∑ 23 n 23 26 29 23 n n =1 ∞
Funkce jsou definovány pro všechna reálná čísla, tedy D=R. Je zřejmé, že jde o NGŘ, pro niž platí a =
2x + 1 2x + 1 , q= . 3 2 23
Podle tabulky 2 řada konverguje pro q < 1 , tedy po dosazení Po úpravách
2x + 1 8
< 1,
2x + 1 < 8 ,
V tomto případě je proto střed x0 = −
Jarmila Doležalová
x+
1 < 4, 2
2x + 1 < 1, 23
1 x − (− ) < 4 . 2
1 a poloměr R = 4 . 2
9
Řada
(2 x + 1) n 1 1 9 7 konverguje v intervalu O = (− − 4, − + 4) = (− , ) a má v něm součet 3n 2 2 2 2 2 n=0 ∞
∑
2x + 1 2x + 1 8 2x + 1 23 . = = 2x + 1 8 8 − (2 x + 1) 7 − 2 x 1− 3 2
a s= = 1− q
Obecně lze obor konvergence určit pomocí kritérií konvergence, z nichž uvedu pouze kritérium podílové. 2.3. Kritérium podílové v limitním tvaru: Je dána funkční řada
∞
∑f n =1
∞
∑f
L>1
n =1
∑f n =1
L=1
n =1
n →∞
f n +1 ( x) , f n ( x)
( x) diverguje
n
( x) konverguje
n
( x) konverguje nebo diverguje
∞
∑f
( x) . Označme L = lim
n
∞
L<1
n
f n ( x) ≠ 0 . Pak platí:
Tab. 3 Příklad 6. Určete obor konvergence řad: a)
∞
xn , b) ∑ 2 n =1 n
( x − 2) n , c) ∑ 2n n = 0 ( n + 1).3 ∞
(− x) n . ∑ n! n =1 ∞
Postup řešení: a)
∞
x n x x 2 x3 xn = + + + L + +L ∑ 2 1 22 32 n2 n =1 n
Funkce jsou definovány pro všechna reálná čísla, tedy D=R.
x n +1 2 f ( x) (n + 1) 2 x n x1 n 2 ⎛ n ⎞ x Nejprve určíme podíl n +1 = = = ⎜ ⎟ . f n ( x) xn (n + 1) 2 x n ⎝ n +1⎠ n2
Jarmila Doležalová
10
Nyní vypočítáme 2
2
⎛ n ⎞ ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎜ f n +1 ( x) 1 ⎟ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ 1 ⎞ n L = lim = lim x ⎜ ⎜ ⎟ = x lim ⎜ ⎟ = x⎜ ⎟ = x lim ⎜ ⎟ = x lim ⎟ = x n →∞ n →∞ n →∞ n + 1 n →∞ n + 1 n →∞ f n ( x) ⎝ n +1⎠ ⎝ ⎠ ⎝1+ 0 ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟ n⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ Podle tabulky 3 řada konverguje pro L<1, po dosazení x <1, tedy x − 0 <1. 2
2
Z geometrického významu absolutní hodnoty vyplývá: střed x0 = 0 a poloměr R = 1 . Řada
∞
xn konverguje v intervalu (0 − 1, 0 + 1) = (−1,1) . ∑ 2 n =1 n
Z tabulky 3 je dále zřejmé, že pro L=1 řada může konvergovat nebo divergovat. Musíme proto krajní body intervalu (−1,1) , v nichž L=1, vyšetřit zvlášť. Za x dosadíme do zadání hodnotu x1 = −1 : (−1) n 1 1 1 (−1) n = − + − + + +L L ∑ 2 1 22 32 n2 n =1 n ∞
Tato číselná řada konverguje absolutně, proto číslo x1 = −1 patří do oboru konvergence O. Za x dosadíme do zadání hodnotu x2 = 1 : ∞
1n 1 1 1 1 = + 2 + 2 +L+ 2 +L ∑ 2 1 2 n 3 n =1 n
To je číselná zobecněná harmonická řada, v níž p=2>1. Podle tabulky 1 tedy řada
∞
1n
∑n n =1
2
konverguje, proto číslo x2 = 1 patří do oboru konvergence O. Závěr: O=<-1,1>.
b)
( x − 2) n x − 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) n 1 = + + + L + +L ∑ 2n 2.32 3.34 (n + 1).32 n n = 0 ( n + 1).3 ∞
Funkce jsou definovány pro všechna reálná čísla, tedy D=R.
( x − 2) n +1 f ( x) (n + 2).32( n +1) ( x − 2) n ( x − 2)1 (n + 1).32 n x − 2 n + 1 = = = . Nejprve určíme podíl n +1 f n ( x) 9 n+2 ( x − 2) n (n + 2).32 n 32 ( x − 2) n (n + 1).32 n n +1 f ( x) x − 2 n +1 x−2 n +1 x − 2 Nyní vypočítáme L = lim n +1 lim lim n , = lim = = n →∞ n →∞ n →∞ 9 n+2 9 9 n→∞ n + 2 f n ( x) n+2 n Jarmila Doležalová
11
x−2 L= lim 9 n →∞
1 n = x − 2 1+ 0 = x − 2 . 1 9 1 + 2.0 9 1+ 2 n 1+
Podle tabulky 3 řada konverguje pro L<1, po dosazení
x−2 <1, tedy 9
x − 2 <9.
Z geometrického významu absolutní hodnoty vyplývá: střed x0 = 2 a poloměr R = 9 . Řada konverguje v intervalu (2 − 9, 2 + 9) = (−7,11) . Z tabulky 3 je dále zřejmé, že pro L=1 řada může konvergovat nebo divergovat. Musíme proto krajní body intervalu (−7,11) , v nichž L=1, vyšetřit zvlášť. Za x dosadíme do zadání hodnotu x1 = −7 : ∞
(−7 − 2) n
∑ (n + 1).3
2n
n=0
∞ ∞ (−9) n (−1) n .9n (−1) n 1 1 1 (−1) n = = = 1 − + − + + +L L ∑ ∑ n 2n 2 3 4 n +1 n = 0 ( n + 1).3 n = 0 ( n + 1).9 n=0 n + 1 ∞
=∑
Tato číselná řada se nazývá Leibnizova a lze dokázat, že konverguje relativně, proto číslo x1 = −7 patří do oboru konvergence O. Za x dosadíme do zadání hodnotu x2 = 11 : ∞ ∞ (11 − 2) n 9n 1 1 1 1 1 = = = 1+ + + +L+ +L ∑ ∑ ∑ n 2n 2 3 4 n +1 n = 0 ( n + 1).3 n = 0 ( n + 1).9 n=0 n + 1 ∞
To je harmonická řada, která diverguje, proto číslo x2 = 11 nepatří do oboru konvergence O. Závěr: O=<-7,11).
c)
(− x) n x 2 x3 (− x) n K = − x + − + + +K ∑ 2 6 n! n! n =1 ∞
(− x) n +1 f n +1 ( x) (n + 1)! (− x) n (− x)1 n ! −x . = = = Nejprve určíme podíl n n (n + 1).n ! (− x) f n ( x) n +1 (− x) n! Nyní vypočítáme L = lim n →∞
f n +1 ( x) 1 −x = lim = − x lim = x .0 = 0 . n →∞ n →∞ f n ( x) n +1 n +1
Podle tabulky 3 řada konverguje pro každé x, protože L=0<1 vždy. Závěr: O=D.
Jarmila Doležalová
12
