Nejpoužívanější podmínky plasticity

Nejpoužívanější podmínky plasticity Materiály bez vnitřního tření (např. kovy): • Trescova • Misesova

závisejí pouze na deviatorické části napětí

Materiály s vnitřním třením (beton, horniny, zeminy):

• Mohrova-Coulombova, Rankinova • Druckerova-Pragerova závisejí také na hydrostatické části napětí

Trescova podmínka plasticity Inspirace Schmidovým zákonem (viz plasticita krystalu). Fyzikální předpoklad: k plastickému přetváření dojde, pokud smykové napětí na kterékoliv rovině v kterémkoliv směru dosáhne kritické hodnoty.

Matematický zápis:

 max  σ    0  0

maximální hodnota smykového napětí (vypočtená z daných složek napětí σ )

kritická hodnota smykového napětí (mez kluzu ve smyku)

Trescova podmínka plasticity

 max   min   1  2  max  1 ,  2 ,  3   min  1,  2 ,  3 

 max 

největší smykové napětí

1 2

největší hlavní napětí

nejmenší hlavní napětí

Možné tvary Trescovy funkce plasticity:

f  σ    max  σ    0 nebo

f  σ    max  σ    min  σ   2 0

Příklady jednoosý tah  x    0

x x

Příklady jednoosý tlak  x    0

dvojosý tlak

x   0 y  0

x

x

x

x

y

Příklady hydrostatický tlak

čistý smyk

x   y  z    0 z

1    0  2    0

1 x

y

1 x

2

Trescova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah   0

 x        0 y      z   0  σ     xy   0   xz   0       yz   0 

1   2  0 3  0

 max   0

 max    min  0  max   1 2

   2 0

plastické přetváření nastává, pokud tahové napětí dosáhne dvojnásobku meze kluzu ve smyku

Trescova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tlak   0

 x        0 y      z   0  σ     xy   0   xz   0       yz   0 

 max  0  min  

1   2  0 3  0

 max   

 max   0

   2 0

1 2

plastické přetváření nastává, pokud tlakové napětí dosáhne dvojnásobku meze kluzu ve smyku

Trescova podmínka plasticity Příklad: hydrostatický tlak   0

 x         y      z    σ     xy   0   xz   0       yz   0 

1   2   3  

 max   0

 max    min    max  0 nelze

plastické přetváření nenastává, ať už hydrostatické napětí dosáhne jakkoliv vysokých hodnot

Trescova podmínka plasticity Příklad: čistý smyk 

 x   0      0 y      z  0  σ     xy     xz  0       yz  0 

1    2   3  0

 max   0

 max    min     max      0

plastické přetváření nastává, pokud smykové napětí dosáhne meze kluzu ve smyku

Trescova podmínka plasticity Příklad: dvojosý tlak

 0

 x         y      z   0  σ     xy   0   xz   0       yz   0 

1   2   3  0

 max   0

 max  0  min    max    1 2

   2 0

plastické přetváření nastává, pokud tlakové napětí dosáhne dvojnásobku meze kluzu ve smyku

Trescova podmínka plasticity Příklad: kombinace tahu a smyku

 x         y  0  z   0  σ    xy     xz   0       yz   0 

1  2 

x y 2

x y

3  0

x  y  2     xy   2  2

x  y  2     xy  2 2    yx  xy 2

Trescova podmínka plasticity Příklad: kombinace tahu a smyku

 x         y  0  z   0  σ    xy     xz   0       yz   0 



2

   1       2   max 2 2



2

   2       2   min 2 2

 yx

 max

 xy

1   2   max   min       2 2 2

Kombinace tahu a smyku pro různé kovy

smykové napětí

 0

kombinace napětí na mezi kluzu

měď

Trescova podmínka

hliník měkká ocel

 2  4 2   02 normálové napětí

 0

Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost

  x   x       y    y  z   0  σ     xy   xy   xz   0       yz   0 

x

y

 yx

 xy


  x   x       y    y  z   0  σ     xy   xy   xz   0       yz   0 

1  2 

x y 2

x y

3  0

2

x  y  2     xy   2  2

x  y  2     xy   2  2

Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost Stavy napětí můžeme znázorňovat jako body v trojrozměrném prostoru  x ,  y , xy , ale jednodušší je použít dvourozměrný prostor (rovinu) hlavních napětí  1 ,  2 . Podmínka plastické přípustnosti:  max  σ    0

1   2  2 0 , 1   3  2 0 ,  2   3  2 0 0

0


2

 1   2  2 0  1  2 0

2 0

 2  2 0

0

2 0

1   2  2 0

2 0

0

 0  0 2 0

1   2  2 0 1


2

 1   2  2 0  1  2 0

2 0

 2  2 0

0 2 0

0

 0  0

2 0

1

2 0

1  2 0

1  2 0


2

 1   2  2 0  1  2 0

2 0

 2  2 0

0 2 0  0

 2  2 0

0  0

2 0

2 0

1

 2  2 0


 1   2  2 0

2

 1  2 0  2  2 0 1


 1   2  2 0

2

 1  2 0  2  2 0 1

Misesova podmínka plasticity Fyzikální předpoklad: k plastickému přetváření dojde, pokud hustota energie pružné deformace souvisící se změnou tvaru dosáhne kritické hodnoty. Tato energie je úměrná invariantu J2, proto lze místo kritické hodnoty energie pracovat s kritickou hodnotou odmocniny J2, která má rozměr napětí. Matematický zápis:

J 2 σ    0  0

druhý invariant deviatorického napětí (vypočtený z daných složek napětí σ )

mez kluzu ve smyku

Misesova podmínka plasticity Výpočet invariantu J2:

J2 

1 2

2 2 2 2 2 2 s  s  s        x y z  xy xz yz 

2 2 2    x   y    x   z    y   z     xy2   xz2   yz2   1 6

Možné tvary Misesovy funkce plasticity:

f σ   J 2 σ    0

f  σ   3J 2  σ    0

f σ  J 2 σ  

f  σ   3J 2  σ   

2 0

2 0

Misesova podmínka plasticity Příklad: čistý smyk 

 x   0      0 y      z  0  σ     xy     xz  0       yz  0 

J2   2 J2  0

   0

plastické přetváření nastává, pokud smykové napětí dosáhne hodnoty  0 (  0 je tedy skutečně mez kluzu ve smyku)

Misesova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah nebo tlak 

 x        0 y      z   0  σ     xy   0   xz   0       yz   0 

J2 

1 6



J2  0

2





2



1 3



2

  3 0

plastické přetváření nastává, pokud normálové napětí dosáhne hodnoty 3  0 ( 0

 3  0 je tedy mez kluzu v tahu)

Misesova podmínka plasticity Příklad: hydrostatický tlak   0

 x         y      z    σ     xy   0   xz   0       yz   0 

J2  0

J2  0

nelze

plastické přetváření nenastává, ať už hydrostatické napětí dosáhne jakkoliv vysokých hodnot

Misesova podmínka plasticity Příklad: dvojosý tlak

 x         y      z   0  σ     xy   0   xz   0       yz   0 

 0 J2 

1 6

J2  0



2



2



1 3



2

    3 0   0

plastické přetváření nastává, pokud tlakové napětí dosáhne meze kluzu v jednoosém tlaku

Misesova podmínka plasticity Příklad: kombinace tahu a smyku

 x         y  0  z   0  σ    xy     xz   0       yz   0 

2 2 2  J 2   x   y    x   z    y   z        xy2   xz2   yz2  1 6

 13  2   2

 yx

 xy

Kombinace tahu a smyku pro různé kovy

smykové napětí

 0

Misesova podmínka

 2  3 2   02 měď

Trescova podmínka

hliník měkká ocel

 2  4 2   02 normálové napětí

 0

Misesova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost

0 2 2 2 1 J 2  6  x   y    x   z    y   z     xy2   xz2   yz2   0 0 0 2 1  2 2 2 J 2  6  x   y    x   y    xy    

1 3

2 2 2          x y x y  xy 



1 3



2 1

    1 2  2 2

3J 2   0

 12   22  1 2   02

Misesova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost

    1 2   2 1

2 2

2 0

2 0

 0

0

 0

1

Trescova a Misesova podmínka (rovinná napjatost) Tresca

2

 1   2  2 0  1  2 0

Mises

    1 2   2 1

2 2

2 0

2

 2  2 0 rovinná napjatost

1

1

Trescova a Misesova podmínka (obecná napjatost) Tresca

 1   2  2 0  1   3  2 0  2   3  2 0

přípustná oblast má tvar šestibokého hranolu

Mises

               2 2

1

2

1

2

2

3

2

3



2 0

přípustná oblast má tvar rotačního válce

pevnost v jednoosém tahu je stejná jako v jednoosém tlaku hydrostatická část napětí nehraje roli podmínky vhodné pro materiály bez vnitřního tření, např. kovy

Trescova a Misesova podmínka (obecná napjatost) Tresca přípustná oblast má tvar šestibokého hranolu

Mises přípustná oblast má tvar rotačního válce

Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Tresca: k plastickému přetváření dojde, pokud smykové napětí na kterékoliv rovině v kterémkoliv směru dosáhne kritické hodnoty. Mohr-Coulomb: kritická hodnota smykového napětí není konstanta, ale závisí na normálovém napětí působícím kolmo na příslušnou rovinu. Matematický zápis:

   tan   c0  0

smykové napětí normálové napětí

soudržnost (koheze) úhel vnitřního tření

Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Zápis funkce plasticity pomocí hlavních napětí: Tresca

f  σ    max  σ    min  σ   2 0

Mohr-Coulomb

1  sin  1  sin  f σ    max  σ    min  σ   c0 cos  2 2 (pro   0 a c0   0 ekvivalentní s Trescovou podmínkou)

Mohrova-Coulombova

podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah

1    0 2  0 3  0

 max    min  0

1  sin  f    c0 cos  2 2c0 cos  f 0    1  sin  mez kluzu v jednoosém tahu

jednoosý tlak

1    0  max  0 2  0  min   3  0 1  sin  f    c0 cos  2 f 0

2c0 cos     1  sin 

mez kluzu v jednoosém tlaku

Mohrova-Coulombova

podmínka plasticity Příklad: hydrostatická napjatost

1   2   3  

 max    min  

při hydrostatickém tlaku plastické přetváření nenastává, ať už hydrostatické napětí dosáhne jakkoliv vysokých hodnot

f   sin   c0 cos  f 0

c0   tan 

mez kluzu v hydrostatickém tahu

Mohrova-Coulombova

podmínka plasticity Příklad: čistý smyk

1    2   3  0

 max    min   

f    c0 cos  f 0

   c0 cos  mez kluzu ve smyku

Mohrova-Coulombova

podmínka plasticity 2

Příklad: plasticky přípustná oblast pro rovinnou napjatost

1 2c0 cos  1  sin  2c0 cos   fc   1  sin  ft 

1  sin  1  sin  max  1,  2 ,0   min  1,  2 ,0   c0 cos   0 2 2

Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Mises: k plastickému přetváření dojde, pokud odmocnina z invariantu J2 (který je úměrný hustotě energie pružné deformace souvisící se změnou tvaru) dosáhne kritické hodnoty. Drucker-Prager: kritická hodnota J2 není konstanta, ale závisí na středním (hydrostatickém) napětí. Matematický zápis: součinitel vnitřního tření

3 m  σ   J 2  σ    0  0

střední napětí

druhý invariant deviatorického napětí

mez kluzu ve smyku

Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah

1    0 2  0 3  0

m   / 3 J2   / 3 2





f  3 m  J 2   0    1/ 3    0 f 0

 

0 1/ 3   mez kluzu v jednoosém tahu

Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tlak

1    0 2  0 3  0

m   / 3 J2   / 3 2





f  3 m  J 2   0    1/ 3    0 f 0

  

0 1/ 3  

mez kluzu v jednoosém tlaku

Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Příklad: čistý smyk

1    2   3  0

m  0 J2  

2

f  3 m  J 2   0     0 f 0

   0 mez kluzu ve smyku

Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Příklad: plasticky přípustná oblast pro rovinnou napjatost

 1   2  

fc 

1 3

2 2     1 2  1 2    0  0 2

0 1/ 3  

 fc

0 0  0  0

1 ft 

0 1/ 3  

Mohrova-Coulombova a Druckerova-Pragerova podmínka Mohr-Coulomb

Drucker-Prager rovinná napjatost

1  sin  1  sin   max   min  c0 cos 2 2

3 m  σ   J 2  σ    0

Mohrova-Coulombova a Druckerova-Pragerova podmínka Mohr-Coulomb

Drucker-Prager

přípustná oblast má tvar šestibokého jehlanu

přípustná oblast má tvar rotačního kužele

obecná napjatost

Mohrova-Coulombova a Druckerova-Pragerova podmínka Mohr-Coulomb přípustná oblast má tvar šestibokého jehlanu

Drucker-Prager přípustná oblast má tvar rotačního kužele

pevnost v jednoosém tahu je menší než v jednoosém tlaku

hydrostatická část napětí hraje roli podmínky vhodné pro materiály s vnitřním třením, např. zeminy, horniny nebo beton v podmínce plasticity se objevují dva materiálové parametry

Nejpoužívanější podmínky plasticity Misesova

Trescova

f  σ    max  σ    min  σ   2 0

f σ   J 2 σ    0

Mohrova-Coulombova

f  σ   1  sin    max  σ   1  sin    min  σ   2 0 Rankinova

Druckerova-Pragerova

f  σ    max  σ    0

f  σ    I1  σ   J 2  σ    0 zobecněná Ottosenova

f  σ   c1I1  σ   c2r   σ   J 2  σ   c3 J 2  σ   1

Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti  2 / fc

experimentální data

1 2

1 / fc

1

 xy

Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti

Rankine

Mohr-Coulomb

Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti

Drucker-Prager (tahová oblast)

Rankine + Drucker-Prager (tlaková oblast)

Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti  2 / fc

Menétrey-Willam

vhodná podmínka plasticity pro beton, závisí na všech třech invariantech napětí

1 / fc

Přehled základních rovnic pro ideálně pružnoplastický model víceosá napjatost

ε  εe  ε p σ  De εe f σ   0 εp   g σ  funkce udávající orientovaný směr přírůstku plastické deformace

 0

 f σ   0

Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - jednoosá napjatost

f    0  0 nepřípustné stavy

přípustné stavy

0

f    0

0



nepřípustné stavy funkce plasticity

f       0

Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - jednoosá napjatost

 0

p

přípustné stavy

0

f    0

0



p funkce plasticity

f       0

směr přírůstků plastické deformace: „ven“ z přípustné oblasti, ve směru nárůstu funkce plasticity

df    p   sgn    d  0

Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - víceosá napjatost

f    0 plastické stavy

Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - víceosá napjatost nepřípustné stavy

f    0

f    0 f    0

přípustné stavy nepřípustné stavy

Sdružený zákon plastického přetváření prostor napětí - víceosá napjatost

přípustné stavy

p

p

sdružený zákon (pravidlo normality)

f  σ  εp   σ  0

směr přírůstků plastické deformace: „ven“ z přípustné oblasti, ve směru nejrychlejšího nárůstu funkce plasticity

Sdružený zákon plastického přetváření složkový zápis:

 px    py  

f  x ,  y ,  z , xy , xz , yz   x

f  x ,  y ,  z , xy , xz , yz   y

...

 pyz  

f  x ,  y ,  z , xy , xz , yz   yz


f  σ  εp   σ  0

Sdružený zákon plastického přetváření příklad – sdružený zákon pro Misesovu podmínku:

f σ   J 2 σ    0 f  σ  J 2  σ  1    x 2 J 2  σ   x


f  σ  εp   σ 2 2 2 1 J 2  6  x   y    x   z    y   z     xy2   xz2   yz2  

J 2  σ  1  6 2  x   y   2  x   z   13  2 x   y   z   sx  x f  σ  J 2  σ  1 1 sx  px       sx     x 2 0 2 0 2 J 2  σ   x


sx  px    2 0

 pxy

sy

 pxz

 py   

2 0

sz  pz    2 0

 pyz

 xy  0  xz  0  yz  0


f  σ  εp   σ


sy sx sz  px    ,  py    ,  pz    2 0 2 0 2 0

 px :  py :  pz  sx : s y : sz  pV   px   py   pz   

s x  s y  sz

plastické přetváření vede pouze ke změně tvaru, nikoli ke změně objemu

2 0

0

Sdružený zákon plastického přetváření příklad – sdružený zákon pro Misesovu podmínku: jednoosý tah nebo tlak

x  , y  z  0 m 

1 3



x

y z   

x

1 3

sx   x   m   2 3

s y   y   m   13   sz

 px :  py :  pz  sx : s y : sz  2 :  1 :  1

x

Sdružený zákon plastického přetváření příklad – sdružený zákon pro Misesovu podmínku: dvojosý tah nebo tlak

x  y  , z  0 m 

1 3



x

y z    2 3

x x

sx   x   m    s y 1 3

sz   z   m   23 

y

 px :  py :  pz  sx : s y : sz  1:1:  2 

Sdružený zákon plastického přetváření příklad – sdružený zákon pro Misesovu podmínku: smyk v rovině xy

x  y  z  0 s x  s y  sz  0

 xy   ,  xz   yz  0

 px   py   pz  0  pxy  pxz

       sgn  0   pyz  0


p

2

3  0 jednoosý tlak

0

p

0

 0

p

dvojosý tah

1

p

 0

dvojosý tlak

p

jednoosý tah smyk

Nesdružený zákon plastického přetváření sdružený zákon odvozený z funkce plasticity f

f  σ  εp   σ

σ

nesdružený zákon odvozený z jiné funkce g zvané plastický potenciál

g  σ  εp   σ εp

εp

f σ   0

σ

f σ   0

Nesdružený zákon plastického přetváření J2

εp

nesdružený zákon odvozený z jiné funkce g zvané plastický potenciál

g  σ  εp   σ

I1 příklad – Druckerův-Pragerův model s nesdruženým zákonem součinitel vnitřního tření funkce plasticity

f  σ   3 m  σ   J 2  σ    0

plastický potenciál

g  σ   3  m  σ   J 2  σ    0 součinitel dilatace

Nejpoužívanější podmínky plasticity

Recommend Documents