Název: Výskyt posloupností v přírodě Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 6. (4. ročník vyššího gymnázia) Tématický celek: posloupnosti Stručná anotace: Tento pracovní list by měl sloužit k procvičení práce s posloupnostmi, zároveň by měl studentům ukázat propojení matematiky a přírody. Časová dotace: 1 x 45 min.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.
Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Psací potřeby Teorie Posloupností je každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel, případně taková podmnožina přirozených čísel, kde n 0 je prvkem přirozených čísel a všechny ostatní prvky definičního oboru jsou menší nebo rovny n0. Postup práce Student obdrží pracovní list se zadáním. Na základě vědomostí, nabytých během hodin matematiky, tematicky zaměřených na posloupnosti, se student pokusí porozumět zadaným úlohám a zároveň je vyřešit.
Výsledky: Úlohy 1) Do lesa chovatelé vzácné zvěře vysadili 6 párů bílého jelena. Chtějí, aby se v celé zemi populace tohoto tvora rozšířila alespoň na počet 972 kusů. Předpoklad je následující. Každý pár porodí každé dva roky 4 mláďata, přičemž tato mláďata během dalších dvou let dosáhnou pohlavní zralosti, najdou si partnera a jsou schopni porodit další 4 mláďata. Jak dlouho bude trvat, než se počet zástupců tohoto druhu rozroste na minimální požadovaný počet 600? 𝑎1 = 12, 12 . 4 = 12 + 2.12 = 3.12 = 36 2 𝑎3 = 36 + 2.36 = 3.36 = 108 𝑎2 = 12 +
Jedná se tedy o geometrickou posloupnost s prvním členem o velikosti 12 a s kvocientem 3. Stačí zjistit, kolikátý člen bude mít hodnotu 972? 𝑎𝑛 = 12. 3𝑛−1 = 972 tedy 𝑛 = (log 3
972 12
) + 1 a proto 𝑛 = 5
Požadovaný počet bude v lesích po deseti letech. 2) Představte si strom, který roste následujícím způsobem: Do výšky 90 cm roste pouze jedna větvička. Zde se rozroste a do výšky 180 cm již rostou větvičky tři. Po dalších 90 cm z každé z těchto větviček vyrostou další tři větvičky a takto se to opakuje každých 90 cm (viz. Obrázek).
Pomocí rekurentního zápisu posloupnosti vyjádřete, jaký je vztah mezi jednotlivými patry stromu. Jak vysoký bude strom, který má 19 683 koncových větviček? Jak vysoký bude strom, který má ve všech patrech celkem 121 větví?
Jedná se o geometrickou posloupnost, kde první člen má hodnotu 1 a kvocient má hodnotu 3. Zajímá nás, kolikátý v pořadí je člen s hodnotou 19 683. Následně nás bude zajímat, kolik prvních členů této posloupnosti má součet 121. 𝑎𝑛 = 1. 3𝑛−1 = 19683 tedy 𝑛 = (log 3 19683) + 1 a n je tedy 10 n představuje počet pater stromu, pokud je patro vysoké 90 cm, je strom vysoký 9 metrů. 𝒒𝒏 − 𝟏 𝟑𝒏 − 𝟏 𝒔𝒏 = 𝒂𝟏 . → 𝟏𝟐𝟏 = 𝟏. → 𝒏 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟐𝟒𝟑 → 𝒏 = 𝟓 𝒒−𝟏 𝟑−𝟏 Strom bude mít 5 pater a tedy 4,5 metru. 3) Představte si, že sněhová vločka vzniká následujícím způsobem (berme vločku jako rovinný útvar): Tělo vločky v prvním stádiu je tvořeno rovnostranným trojúhelníkem. Ve druhé fázi se každá strana tohoto trojúhelníka rozdělí na tři shodné úsečky a nad prostředními díly každé z nich se vytvoří další rovnostranné trojúhelníky. Vznikne tak pravidelný útvar, známý jako šesticípá hvězda. V každé další fázi se tento proces opakuje, každá strana objetu vzniklého v předešlé fázi se tedy rozdělí na třetiny a nad prostředními díly se znovu utvoří rovnostranné trojúhelník (viz. Obrázek). Zkuste určit, jaký bude rozdíl mezi obvodem vločky v první a druhé fázi. Pomocí rekurentního zápisu posloupnosti určete vztah mezi obvody jednotlivých vloček. Určete rozdíl mezi obvodem vločky v šesté a vločky v deváté fázi. 4
Posloupnost obvodů můžeme zapsat ve tvaru 𝑎𝑛+1 = 3 𝑎𝑛 , každá vločka má tedy obvodu předchozí vločky. 4 5
Obvod vločky v šesté fázi: 𝑎6 = 𝑎1 . (3)
4 8
4 3
Obvod vločky v deváté fázi: 𝑎9 = 𝑎1 . (3) → 𝑎9 = 𝑎6 . (3) a tedy vločka v deváté 𝟔𝟒
fázi je větší 𝟐𝟕 krát.
4 3
Pracovní list pro žáka Teorie Posloupnost je každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel, případně taková podmnožina přirozených čísel, kde n 0 je prvkem přirozených čísel a všechny ostatní prvky definičního oboru jsou větší nebo rovny n0. Úlohy 1) Do lesa chovatelé vzácné zvěře vysadili 6 párů bílého jelena. Chtějí, aby se v celé zemi populace tohoto tvora zestonásobila. Předpoklad je následující. Každý pár porodí každé dva roky 4 mláďata, přičemž tato mláďata během dalších dvou let dosáhnou pohlavní zralosti, najdou si partnera a jsou schopni porodit další 4 mláďata. Jak dlouho bude trvat, než se počet zástupců tohoto druhu rozroste na požadovaný počet 600?
2) Představte si strom, který roste následujícím způsobem: Do výšky 90 cm roste pouze jedna větvička. Zde se rozroste a do výšky 180 cm již rostou větvičky tři. Po dalších 90 cm z každé z těchto větviček vyrostou další tři větvičky a takto se to opakuje každých 90 cm (viz. Obrázek).
Pomocí rekurentního zápisu posloupnosti vyjádřete, jaký je vztah mezi jednotlivými patry stromu. Jak vysoký bude strom, který má 19 683 koncových větviček? Jak vysoký bude strom, který má ve všech patrech celkem 121 větví?
3) Představte si, že sněhová vločka vzniká následujícím způsobem (berme vločku jako rovinný útvar): Tělo vločky v prvním stádiu je tvořeno rovnostranným trojúhelníkem. Ve druhé fázi se každá strana tohoto trojúhelníka rozdělí na tři shodné úsečky a nad prostředními díly každé z nich se vytvoří další rovnostranné trojúhelníky. Vznikne tak pravidelný útvar, známý jako šesticípá hvězda. V každé další fázi se tento proces opakuje, každá strana objetu vzniklého v předešlé fázi se tedy rozdělí na třetiny a nad prostředními díly se znovu utvoří rovnostranné trojúhelník (viz. Obrázek). Zkuste určit, jaký bude rozdíl mezi obvodem vločky v první a druhé fázi. Pomocí rekurentního zápisu posloupnosti určete vztah mezi obvody jednotlivých vloček. Určete rozdíl mezi obvodem vločky v šesté a vločky v deváté fázi.
