Název: Studium kmitů na pružině Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika) Tematický celek: Mechanické kmitání a vlnění Ročník: 4. (2. ročník vyššího gymnázia) Popis - stručná anotace: Žák experimentálně určí tuhost pružiny a následně určí setrvačnou hmotnost mechanickým oscilátorem.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.
Výukové materiály
Pomůcky stojan s držákem pružiny a měřidla, sada závaží s háčkem, pružina, datalogger, modul siloměr, stopky, délkové měřidlo (nebo čidlo polohy), váhy
Teorie S kmitavým pohybem se běžně setkává každý z nás. Můžeme ho najít například v hudebních nástrojích, při jízdě automobilem, v některých hodinách či na dětském hřišti na houpačce. Kmitavý pohyb může být užitečný, ale někde může i škodit a snažíme mu zabránit. Ke kmitavému pohybu dochází zejména u těles, na které působí pružná síla. Pokud takovéto těleso vychýlíme z rovnovážné polohy, dojde ke změně pružné síly, která se bude snažit těleso vrátit do jeho rovnovážné polohy, a vlivem setrvačnosti začne těleso kmitat. Takovému pohybu se říká kmitavý pohyb. Oscilátor můžeme chápat jako systém, ve kterém se vzájemně přeměňuje jedna forma energie v jinou a zpět, jeho projevem je opakovaná výchylka nějaké veličiny do krajních hodnot, minimálních i maximálních. Mechanický oscilátor můžeme chápat jako mechanickou soustavu, která vykonává kmitavý pohyb. Oscilátor začne kmitat teprve po dodání energie, která je potřeba pro vychýlení z rovnovážné polohy. Poté začne oscilátor volně kmitat. Jestliže těleso o hmotnosti m zavěsíme na pružinu o tuhosti k, prodlouží se pružina o Δl působením síly o velikosti F. Pro tuhost pružiny k =
F . Pro tíhovou sílu platí vztah Δl
F G =m⋅g , počítáme s g = 9,81 m.s-2. Mechanický oscilátor má periodu vlastního kmitání m T 2 .k . Změříme-li periodu kmitání oscilátoru, můžeme určit hmotnost tělesa m . T 2 k 4. 2 Úkol Žák experimentálně určí tuhost pružiny a následně určí setrvačnou hmotnost mechanickým oscilátorem.
Postup práce Určení tuhosti pružiny experimentálně 1. Pružiny upevníme na držák stativu a podél pružiny upevníme délkové měřidlo (v případě, že chceme použít čidlo pro snímání polohy, položíme čidlo pod pružinu). 2. Na pružinu zavěsíme první startovací závaží (např. o hmotnosti 50g) a pomocí měřidla určíme počáteční délku pružiny l 0 . Toto závaží zůstává na pružině po celou dobu kmitání a je zde z důvodu nelineárního chování pružiny na začátku natahování. 3. Na pružiny zavěšujeme postupně závaží různých hmotností a pro každý případ změříme opět délku pružiny l i .
4. Určíme prodloužení pružiny Δl = li – l0. Údaje zapisujeme do tabulky. 5. Vypočítáme (nebo odměříme) velikost tíhové síly, která způsobila prodloužení pružiny. mg 6. Vypočteme tuhost pružiny podle vztahu k . l 7. Z naměřených hodnot vypočítáme absolutní chybu tuhosti pružiny a pak relativní chybu tuhosti pružiny. 8. Pro výpočet setrvačné hmotnosti tělesa použijeme průměrnou tuhost pružiny.
Určení periody kmitání oscilátoru a výpočet hmotnosti 1. Na pružinu zavěsíme těleso neznámé hmotnosti a mírným protažením pružinu rozkmitáme. 2. Stopkami změříme dobu, za kterou těleso vykoná 20 kmitů. 3. Měření desetkrát opakujeme. 4. Vypočteme periodu pro jednotlivá měření a průměrnou periodu kmitavého pohybu. 5. Z naměřených hodnot vypočítáme absolutní chybu periody a pak relativní chybu periody kmitání.
Výsledky Tab.1 Měření tuhosti pružiny počáteční délka pružiny po zavěšení startovacího závaží gravitačné zrychlení č.měř. m (g) F = m.g (N) 1 10 0.0981 2 20 0.1962 3 30 0.2943 4 40 0.3924 5 50 0.4905 6 60 0.5886 7 70 0.6867
l (mm) 180 219 247 282 317 355 390
l0=
Δl (mm) 34 73 101 136 171 209 244
146 mm -1 g = 9,81 m.s k (N.m-1) |Δk| (N.m-1) 2.885 0.046 2.688 0.151 2.914 0.075 2.885 0.046 2.868 0.029 2.816 0.023 2.814 0.025 k = 2,839 N.m−1
k = k ± k ,k
č.měření 20 T (s) 1* 16.66 2 17.33 3 17.39 4 17.36 5 17.41 6 17.31 7 17.42 8 17.41 9 17.4 10 17.2 aritmetický průměr
T (s) 0.8330 0.8665 0.8695 0.8680 0.8705 0.8655 0.8710 0.8705 0.8700 0.8600 0.8679
k = 2,84 ± 0,40 N .m −1 , k = 14 %
ΔT (s) 0.0349 0.0014 0.0016 0.0001 0.0026 0.0024 0.0031 0.0026 0.0021 0.0079 0.0026
*První měření jsme do aritmetického průměru ani do celkových výsledků nezapočítali z důvodu velké chyby. T = T ± T , T
T =0,868± 0,003 s , T =0,35 %
m=
Výpočet setrvačné hmotnosti
T 2⋅k 4⋅ 2
2T k T k
Výpočet relativní chyby
m=
Výpočet absolutní chyby
m= m⋅m m= m ± m , m
, m = 0,0542 k g = 54 g , m =14,6 % , m = 0,0079 k g m=0,0542±0,0079 kg , m=14,6 %
Závěr: Tuhost použité pružiny byla určena experimentálně: k =2,84±0,40 N.m−1 , k =14 %. Perioda kmitání závaží byla určena s velkou přesností (0,35%). Určení setrvačné hmotností bylo zatíženo chybou z měření tuhosti pružiny. Setrvačná hmotnost tedy: m=0,0542±0,0079 kg , m=14,6 %. Při ověření hmotností pomocí vah vychází hmotnost m=0,052±0,005 kg . Další rozšíření 1. Laboratorní práci je možné rozšířit o studium kmitů při spojení dvou pružin sériově a paralelně. 2. Možné experimentální ověření vztahu pro mechanický oscilátor.
Literatura [1] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER J. – Fyzika, Vysoké učení technické v Brně – Nakladatelství PROMETHEUS Praha, 2000 ISBN 81-7196-214-7
Pracovní list pro žáka
Studium kmitů na pružině Laboratorní práce č. …
Vypracoval:
Třída, školní rok:
Spolupracovali:
Pomůcky stojan s držákem pružiny a měřidla, sada závaží s háčkem, pružina, datalogger, modul siloměr, stopky, délkové měřidlo (nebo čidlo polohy), váhy
Teorie S kmitavým pohybem se běžně setkává každý z nás. Můžeme ho najít například v hudebních nástrojích, při jízdě automobilem, v některých hodinách či na dětském hřišti na houpačce. Kmitavý pohyb může být užitečný, ale někde může i škodit a snažíme mu zabránit. Ke kmitavému pohybu dochází zejména u těles, na které působí pružná síla. Pokud takovéto těleso vychýlíme z rovnovážné polohy, dojde ke změně pružné síly, která se bude snažit těleso vrátit do jeho rovnovážné polohy, a vlivem setrvačnosti začne těleso kmitat. Takovému pohybu se říká kmitavý pohyb. Oscilátor můžeme chápat jako systém, ve kterém se vzájemně přeměňuje jedna forma energie v jinou a zpět, jeho projevem je opakovaná výchylka nějaké veličiny do krajních hodnot, minimálních i maximálních. Mechanický oscilátor můžeme chápat jako mechanickou soustavu, která vykonává kmitavý pohyb. Oscilátor začne kmitat teprve po dodání energie, která je potřeba pro vychýlení z rovnovážné polohy. Poté začne oscilátor volně kmitat. Jestliže těleso o hmotnosti m zavěsíme na pružinu o tuhosti k, prodlouží se pružina o Δl působením síly o velikosti F. Pro tuhost pružiny k =
F . Pro tíhovou sílu platí vztah l
F G=m⋅g , počítáme s g = 9,81 m.s-2. Mechanický oscilátor má periodu vlastního kmitání m T 2 .k . Změříme-li periodu kmitání oscilátoru, můžeme určit hmotnost tělesa m . T 2 k 4. 2 Úkol Žák experimentálně určí tuhost pružiny a následně určí setrvačnou hmotnost mechanickým oscilátorem.
Postup práce Určení tuhosti pružiny experimentálně 1. Pružiny upevníme na držák stativu a podél pružiny upevníme délkové měřidlo (v případě, že chceme použít čidlo pro snímání polohy, položíme čidlo pod pružinu). 2. Na pružinu zavěsíme první startovací závaží (např. o hmotnosti 50g) a pomocí měřidla určíme počáteční délku pružiny l 0 . Toto závaží zůstává na pružině po celou dobu kmitání a je zde z důvodu nelineárního chování pružiny na začátku natahování. 3. Na pružiny zavěšujeme postupně závaží různých hmotností a pro každý případ změříme opět délku pružiny l i .
4. Určíme prodloužení pružiny Δl = li – l0. Údaje zapisujeme do tabulky. 5. Vypočítáme (nebo odměříme) velikost tíhové síly, která způsobila prodloužení pružiny.
6. Vypočteme tuhost pružiny podle vztahu k
mg . l
7. Z naměřených hodnot vypočítáme absolutní chybu tuhosti pružiny a pak relativní chybu tuhosti pružiny. 8. Pro výpočet setrvačné hmotnosti tělesa použijeme průměrnou tuhost pružiny.
Určení periody kmitání oscilátoru a výpočet hmotnosti 1. Na pružinu zavěsíme těleso neznámé hmotnosti a mírným protažením pružinu rozkmitáme. 2. Stopkami změříme dobu, za kterou těleso vykoná 20 kmitů. 3. Měření desetkrát opakujeme. 4. Vypočteme periodu pro jednotlivá měření a průměrnou periodu kmitavého pohybu. 5. Z naměřených hodnot vypočítáme absolutní chybu periody a pak relativní chybu periody kmitání.
Výsledky
Tab. 1 Měření tuhosti pružiny počáteční délka pružiny po zavěšení startovacího závaží l0= gravitačné zrychlení č.měř m (g) F = m.g (N)
l (mm)
Δl (mm)
mm
g = 9,81 m.s-1 k (N.m-1) Δk (N.m-1)
1 2 3 4 5 6 7 k = k = k ± k , k =
k =
±
−1
N.m , k =
Tabulka č.2 č.měření
Měření periody kmitavého pohybu 20 T (s) T (s) ΔT (s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 aritmetický průměr
T = T ± T , T
T =
m=
Výpočet setrvačné hmotnosti
m=
kg =
±
s , T =
T 2⋅k = 4⋅ 2
g
Výpočet relativní chyby
m =
2T k = k T
m =
Výpočet absolutní chyby m=
m= m⋅m
kg
m= m ± m , m
m=
±
kg , m =
Závěr:
