N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı charakteristiky
1
N´ ahodn´ a veliˇ cina a jej´ı charakteristiky Pˇredstavte si, ˇze prov´ ad´ıte n´ ahodn´ y pokus, jehoˇz v´ ysledek jste schopni ohodnotit nˇejak´ ym ˇc´ıslem. Pˇred proveden´ım pokusu jeho v´ ysledek a tedy ani sledovanou hodnotu nezn´ate. Proto je promˇenn´a, kter´a pˇripisuje v´ ysledku n´ ahodn´emu pokusu v´ami sledovanou hodnotu, oznaˇcov´ana jako n´ahodn´a veliˇcina. N´ahodnou veliˇcinu znaˇc´ıme velk´ ym p´ısmenem, napˇr. X. Mnoˇzinu moˇzn´ ych hodnot n´ahodn´e veliˇciny naz´ yv´ame obor hodnot n´ ahodn´e veliˇciny X a znaˇc´ıme jej X . Pot´e, co je pokus proveden, je namˇeˇren´a hodnota n´ahodn´e veliˇciny znaˇcena mal´ ym p´ısmenem, napˇr. x = 21mm. N´ahodnou veliˇciny m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad • pod´ıl vadn´ ych v´ yrobk˚ u mezi tis´ıci • poˇcet chybnˇe pˇrenesen´ ych bit˚ u • proud v elektrick´em obvodu • doba do dopadu projektilu • poˇcet ˇskr´ abnut´ı na desce • objem plynu, kter´ y unikne pˇri plnˇen´ı plynov´e bomby • pr˚ umˇer vysoustruˇzen´e souˇc´ astky Uved’mˇe nyn´ı matematicky trochu pˇresnˇejˇs´ı popis n´ahodn´e veliˇciny. Pro plnˇe korektn´ı definici n´ahodn´e veliˇciny by bylo tˇreba zn´ at pojmy z teorie m´ıry. Z d˚ uvodu pˇr´ıstupnosti l´atky student˚ um budou pojmy a vlastnosti v tomto textu zavedeny ve stejn´e podstatˇe nicm´enˇe s m´ırn´ ymi odchylkami od pˇresn´ ych matematick´ ych formulac´ı. 1. Pojem N´ ahodnou veliˇ cinou (vzhledem k jevov´emu poli A) rozum´ıme zobrazen´ı X : Ω → (−∞, ∞), pro kter´e je mnoˇzina {ω ∈ Ω : X(ω) < x} jevem v A pro kaˇzd´e x ∈ (−∞, ∞). Obor hodnot n´ahodn´e veliˇciny X znaˇc´ıme X . Realizaci n´ ahodn´e veliˇciny, tj. X(ω), ω ∈ Ω, znaˇc´ıme x. 2. Pozn´ amka V textu budeme uˇz´ıvat zkr´acen´ı z´apisu {X < x} = {ω ∈ Ω : X(ω) < x} {X = x} = {ω ∈ Ω : X(ω) = x} a podobnˇe. 3. Pojem Re´ alnou funkci F (x) = P(X < x) definovanou na (−∞, ∞) naz´ yv´ ame distribuˇ cn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny X. 4. Vlastnosti Distribuˇcn´ı funkce F (x) n´ahodn´e veliˇciny X m´a n´asleduj´ıc´ı vlastnosti. 1. F (x) je neklesaj´ıc´ı. 2. F (x) je zleva spojit´ a. 3.
lim F (x) = 0, lim F (x) = 1.
x→−∞
x→∞
4. 0 ≤ F (x) ≤ 1 pro vˇsechna x ∈ (−∞, ∞). 5. F (x) m´ a nejv´ yˇse spoˇcetnˇe mnoho bod˚ u nespojitosti. 6. P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a) pro vˇsechna a < b, a, b ∈ (−∞, ∞). 7. P(a ≤ X) = 1 − F (a) pro vˇsechna a ∈ (−∞, ∞). 8. P(X ≤ a) = lim F (x) pro vˇsechna a ∈ (−∞, ∞). x→a+
9. P(X = a) = lim+ F (x) − F (x) pro vˇsechna a ∈ (−∞, ∞). x→a
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 9. listopadu 2006 UM
N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı charakteristiky
2
5. Pozn´ amka Kaˇzd´ a funkce splˇ nuj´ıc´ı vlastnosti 1., 2., 3. z odstavce 4 je distribuˇcn´ı funkc´ı vhodn´e n´ahodn´e veliˇciny. 6. Pˇ r´ıklad Na obr´ azku 1 jsou uvedeny pˇr´ıklady distribuˇcn´ıch funkc´ı a je zn´azornˇeno stanovov´an´ı nˇekter´ ych pravdˇepodobnost´ı.
0.4
0.8 P(X = a)
P(X < b)
0.6 P(X = a)
P(a ≤ X < b)
P(X < b)
P(X ≥ a)
0.8
P(a ≤ X < b)
1 P(X ≥ a)
1
0.6 0.4 0.2
0.2 0 a
a
b
b
Obr´ azek 1: Uk´azky distribuˇcn´ıch funkc´ı
Diskr´ etn´ı n´ ahodn´ a veliˇ cina ˇ 7. Pojem Rekneme, ˇze n´ ahodn´ a veliˇcina X je diskr´ etn´ı, resp. m´a diskr´ etn´ı rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti je-li jej´ı obor hodnot nejv´ yˇse spoˇcetn´a mnoˇzina X = {x1 , x2 , . . .}, tj. nab´ yv´a nejv´ yˇse spoˇcetnˇe mnoha hodnot x1 , x2 , . . ., tak, ˇze ∞ X P(X = xi ) = 1. i=1
Pˇr´ıkladem diskr´etn´ı n´ ahodn´e veliˇciny je • poˇcet student˚ u, kteˇr´ı pˇriˇsli na pˇredn´aˇsku ze statistiky • poˇcet bod˚ u z´ıskan´ ych na testu • poˇcet vadn´ ych v´ yrobk˚ u mezi tis´ıci • poˇcet chybnˇe pˇrenesen´ ych bit˚ u • poˇcet ˇskr´ abnut´ı na desce 8. Pojem Pravdˇ epodobnostn´ı funkce diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny X je funkce p : (−∞, ∞) → h0, 1i dan´a pˇredpisem p(x) = P(X = x).
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 9. listopadu 2006 UM
N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı charakteristiky
3
9. Vlastnosti Pravdˇepodobnostn´ı funkce p(x) n´ahodn´e veliˇciny X s oborem hodnot X = {x1 , x2 , . . .} m´a n´asleduj´ıc´ı vlastnosti. 1. p(x) ≥ 0 pro vˇsechna x ∈ (−∞, ∞). P 2. p(x) = 1. x∈X
3. p(x) ≤ 1 pro vˇsechna x ∈ (−∞, ∞). 4. p(x) = lim+ F (t) − F (x). t→x P 5. F (x) = p(t) pro vˇsechna x ∈ (−∞, ∞). t<x
6. P(x ∈ M ) =
P
p(x) pro libovolnou mnoˇzinu re´aln´ ych ˇc´ısel M .
x∈M
10. Pozn´ amka V pˇredchoz´ım tvrzen´ı jsou uˇzita zkr´acen´ı z´apisu v n´asleduj´ıc´ım smyslu X X p(t), kde M1 = X ∩ (−∞, x) p(t) = t<x
X
p(x)
x∈M
x∈M1
=
X
p(t),
kde M2 = X ∩ M.
x∈M2
11. Pozn´ amka Kaˇzd´ a funkce splˇ nuj´ıc´ı vlastnosti 1., 2. z odstavce 9 je pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı vhodn´e diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny. 12. Pˇ r´ıklad Pˇri v´ yrobˇe polovodiˇc˚ u jsou testov´any dvˇe desky z mnoha. U kaˇzd´e desky je moˇzn´ y v´ ysledek testu funkˇcn´ı (f ), nefunkˇcn´ı (n). Pˇredpokl´adejme, ˇze pravdˇepodobnost, ˇze vrstva projde testem s v´ ysledkem funkˇcn´ı je 0.8 a kvality vrstev jsou nez´avisl´e. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet funkˇcn´ıch testovan´ ych vrstev. Jej´ı pravdˇepodobnostn´ı funkci vypoˇcteme n´asledovnˇe P(X = 0) = 0.22 = 0.04 pro x = 0 P(X = 1) = 0.2 · 0.8 + 0.8 · 0.2 = 0.32 pro x = 1 p(x) = 2 pro x = 2 P(X = 2) = 0.8 = 0.64 0 jinak V´ ysledek m˚ uˇzeme zapsat do pravdˇepodobnostn´ı tabulky (Tabulka 1) a zn´azornit graficky (Obr´azek 2). x p(x)
0 0.04
1 0.32
2 0.64
Tabulka 1: Pravdˇepodobnostn´ı tabulka n´ahodn´e veliˇciny X z pˇr´ıkladu 12 Z pravdˇepodobnostn´ı funkce n´ ahodn´e veliˇciny X odvod´ıme jej´ı distribuˇcn´ı funkci 0 P(X = 0) = 0.04 F (x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.04 + 0.32 = 0.36 P(X = 1) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.04 + 0.32 + 0.64 = 1
ve tvaru pro pro pro pro
x≤0 0<x≤1 1<x≤2 2<x
y tvar. Schodovit´ y tvar maj´ı distribuˇcn´ı funkce Graf distribuˇcn´ı funkce F (x)v Obr´ azku 3 m´a schodovit´ vˇsech diskr´etn´ıch n´ ahodn´ ych veliˇcin. Pravdˇepodobnost, ˇze alespoˇ n jedna polovodiˇcov´a deska projde testem s v´ ysledkem funkˇcn´ı lze spoˇc´ıtat jak z pravdˇepodobnostn´ı funkce P(X ≥ 1) = P((X = 1) ∨ (X = 2)) = P(X = 1) + P(X = 2) = p(1) + p(2) = 0.32 + 0.64 = 0.96, Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 9. listopadu 2006 UM
N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı charakteristiky
4
1 p(x) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
1
2
x
Obr´ azek 2: Pravdˇepodobnostn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny X z pˇr´ıkladu 12
1 F (x) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
1
2
x
Obr´ azek 3: Distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny z pˇr´ıkladu 12
tak z distribuˇcn´ı funkce P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − F (1) = 1 − 0.04 = 0.96.
Spojit´ a n´ ahodn´ a veliˇ cina ˇ 13. Pojem Rekneme, ˇze n´ ahodn´ a veliˇcina X je spojit´ a, resp. m´a spojit´ e rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti, je-li jej´ı distribuˇcn´ı funkce F (x) spojit´a. Spojitou n´ ahodnou veliˇciny m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad • doba ˇcek´ an´ı na obˇed v menze • hodnota vˇcerejˇs´ıch deˇstov´ ych sr´ aˇzek • proud v elektrick´em obvodu • doba do dopadu projektilu • objem plynu, kter´ y unikne pˇri plnˇen´ı plynov´e bomby • pr˚ umˇer vysoustruˇzen´e souˇc´ astky 14. Pojem Hustota spojit´e n´ ahodn´e veliˇciny X je nez´aporn´a funkce f : (−∞, ∞) → h0, ∞) takov´a, ˇze Z x F (x) = f (t)dt. −∞
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 9. listopadu 2006 UM
N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı charakteristiky
5
15. Vlastnosti Hustota f (x) n´ ahodn´e veliˇciny X m´a n´asleduj´ıc´ı vlastnosti. 1. f (x) ≥ 0 pro vˇsechna x ∈ (−∞, ∞). R∞ 2. f (x) = 1. −∞
3. f (x) = F 0 (x). 4. P(x ∈ M ) =
R
f (x) pro libovolnou mnoˇzinu re´aln´ ych ˇc´ısel M .
x∈M
5. P(x = c) = 0 pro kaˇzd´e c ∈ (−∞, ∞).
16. Pˇ r´ıklad Spr´ avce poˇc´ıtaˇcov´e s´ıtˇe zjiˇst’uje zat´ıˇzen´ı syst´emu pomoc´ı pˇr´ıkazu, kter´ y d´av´a dobu mezi zad´an´ım pˇr´ıkazu a pˇrihl´ aˇsen´ım nov´eho uˇzivatele do syst´emu. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a d´elku takov´eho ˇcasov´eho intervalu v hodin´ ach. Za urˇcit´ ych pˇredpoklad˚ u je hustota n´ahodn´e veliˇciny X tvaru ( 15e−15x pro x > 0, f (x) = 0 jinak jej´ıˇz graf je uveden v obr´ azku 4 (a). Distribuˇcn´ı funkci n´ ahodn´e veliˇciny X vypoˇcteme z hustoty n´asledovnˇe (R 0 F (x)
=
−∞ Rx −∞
0dt +
Rx 0
15e−15t dt =
15 −15t x ]0 −15 [e
= −[e−15x − 1] = 1 − e−15x
pro x > 0, (1)
0dt = 0
jinak.
Pravdˇepodobnost, ˇze se nov´ y uˇzivatel pˇrihl´as´ı do syst´emu mezi 6-tou a 12-tou minutou, tj. od 0.1 hod do 0.2 hod, lze vypoˇc´ıst jak z hustoty n´ ahodn´e veliˇciny X Z 0.2 Z 0.2 0.2 P(0.1 ≤ X ≤ 0.2) = f (t)dt = 15e−15t dt = −[e−15t ]0.1 = e−15·0.1 − e−15·0.2 = 0.1733 0.1
0.1
tak z jej´ı distribuˇcn´ı funkce P(0.1 ≤ X ≤ 0.2) = F (0.2) − F (0.1) = (1 − e−15 0.2 ) − (1 − e−15 0.1 ) = e−15·0.1 − e−15·0.2 = 0.1733 Oba zp˚ usoby v´ ypoˇctu jsou graficky zn´ azornˇeny na obr´azku 4. f (x)
F (x)
1 P(0.1 ≤ X ≤ 0.2) 0.8
15
10
0.6 P(0.1 ≤ X ≤ 0.2)
0.4
5
0.2 0
0 -0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
x (a) Hustota n´ ahodn´ e veliˇ ciny X
0.4 x
(b) Distribuˇ cn´ı funkce n´ ahodn´ e veliˇ ciny X
Obr´azek 4: V´ ypoˇcet pravdˇepodobnosti P(0.1 ≤ X ≤ 0.2) pomoc´ı hustoty a distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny X z pˇr´ıkladu 16
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 9. listopadu 2006 UM
N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı charakteristiky
6
ˇ ıseln´ C´ e charakteristiky n´ ahodn´ ych veliˇ cin 17. Pojem Stˇ redn´ı hodnotou n´ ahodn´e veliˇciny X rozum´ıme re´aln´e ˇc´ıslo P xp(x) je-li X diskr´etn´ı, x∈X E(X) = R∞ xf (x) je-li X spojit´a −∞
pokud pˇr´ısluˇsn´ a ˇrada, resp. integr´ al, absolutnˇe konverguje. 18. Vlastnosti Pro stˇredn´ı hodnoty n´ahodn´ ych veliˇcin X, X1 , . . . , Xn plat´ı 1. E(aX + b) = aE(X) + b pro vˇsechna a, b ∈ R. n n P P 2. E( Xi ) = E(Xi ). i=1
i=1
3. E(Πni=1 Xi ) = Πni=1 E(Xi ), jsou-li n´ahodn´e veliˇciny X1 , . . . , Xn nez´avisl´e (viz. kapitola N´ahodn´ y vektor).
19. Pozn´ amka Stˇredn´ı hodnota je jednou z charakteristik polohy rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny. Dalˇs´ımi takov´ ymi charakteristikami jsou • medi´an x0.5 – re´ aln´e ˇc´ıslo takov´e, ˇze F (x0.5 ) ≤ 0.5 a limx→x+ F (x) ≥ 0.5. 0.5
• modus x ˆ – re´ aln´e ˇc´ıslo takov´e, ˇze maximalizuje (pˇr´ıpadnˇe je supr´emem) pravdˇepodobnostn´ı funkce p(x), resp. hustotu f (x), n´ ahodn´e veliˇciny X. 20. Pojem Rozptylem n´ ahodn´e veliˇciny X rozum´ıme re´aln´e ˇc´ıslo D(X) = E([X − EX]2 ). Z rozptylu stanovujeme smˇ erodatnou odchylku n´ahodn´e veliˇciny X jako re´aln´e ˇc´ıslo p σ(X) = D(X).
21. Vlastnosti Pro rozptyly n´ ahodn´ ych veliˇcin X, X1 , . . . , Xn plat´ı 1. D(X) ≥ 0. 2. D(a) = 0 pro vˇsechna a ∈ R. 3. D(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 . 4. D(aX + b) = a2 D(X) pro vˇsechna a, b ∈ R. n n P P D(Xi ), jsou-li n´ ahodn´e veliˇciny X1 , . . . , Xn nez´avisl´e (viz. kapitola N´ahodn´ y vektor) 5. D( Xi ) = i=1
i=1
Vlastnosti smˇerodatn´e odchylky lze pˇr´ımo odvodit z vlastnost´ı rozptylu. ˇ ı n´ 22. Pojem Sikmost´ ahodn´e veliˇciny X s nenulov´ ym rozptylem rozum´ıme re´aln´e ˇc´ıslo E [X − E(X)]3 A3 (X) = . [σ(X)]3
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 9. listopadu 2006 UM
N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı charakteristiky
7
23. Vlastnosti Pro ˇsikmost n´ ahodn´e veliˇciny X plat´ı 1. A3 (X) = 0, je-li rozdˇelen´ı n´ ahodn´e veliˇciny X symetrick´e, viz. obr. 5 (b). 2. A3 (X) < 0, je-li rozdˇelen´ı n´ ahodn´e veliˇciny X doprava zeˇsikmen´e, viz. obr. 5 (c). 3. A3 (X) > 0, je-li rozdˇelen´ı n´ ahodn´e veliˇciny X doleva zeˇsikmen´e, viz. obr. 5 (a). 4. A3 (aX + b) = A3 (X) pro vˇsechna a, b ∈ R, a 6= 0.
(a) Hustota pˇri A3 (X) > 0
(b) Hustota pˇri A3 (X) = 0
(c) Hustota pˇri A3 (X) < 0
Obr´ azek 5: Uk´ azka tvaru hustot pˇr´ısluˇsn´ ych n´ahodn´ ym veliˇcin´am s r˚ uzn´ ymi ˇsikmostmi
ˇ catost´ı n´ 24. Pojem Spiˇ ahodn´e veliˇciny X s nenulov´ ym rozptylem rozum´ıme re´aln´e ˇc´ıslo A4 (X) =
E([X − E(X)]4 ) − 3. [σ(X)]4
25. Vlastnosti Pro ˇspiˇcatost n´ ahodn´e veliˇciny X plat´ı ˇ catost n´ 1. Spiˇ ahodn´e veliˇciny s norm´aln´ım rozdˇelen´ım je A4 (X) = 0. 2. A4 (aX + b) = A4 (X) pro vˇsechna a, b ∈ R, a 6= 0. 26. Pojem 100p% kvantil n´ ahodn´e veliˇciny X je pro p ∈ (0, 1) re´aln´e ˇc´ıslo xp = inf{x : F (x) ≥ p} Nˇekter´e kvantily maj´ı vlastn´ı n´ azvy, napˇr. x0.25 je oznaˇcov´an jako doln´ı kvartil, x0.75 jako horn´ı kvartil a x0.5 jako medi´ an. 27. Pˇ r´ıklad Uvaˇzujme n´ ahodnou veliˇcinu X z pˇr´ıkladu 12 s pravdˇepodobnostn´ı tabulkou v Tabulce 1. Jej´ı stˇredn´ı hodnotu vypoˇcteme jako E(X) = 0 · 0.04 + 1 · 0.32 + 2 · 0.64 = 1.6 Pro v´ ypoˇcet rozptylu D(X) vyuˇzijeme vlastnosti 3. Bude tedy tˇreba nejdˇr´ıve vyˇc´ıslit E(X 2 ) = 02 · 0.04 + 12 · 0.32 + 22 · 0.64 = 2.88, odkud dost´av´ ame D(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 2.88 − 1.62 = 0.32. Smˇerodatn´a odchylka je odmocninou z rozptylu p . σ(X) = D(X) = 0.5656.
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 9. listopadu 2006 UM
N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı charakteristiky
8
Z pravdivostn´ı tabulky v Tabulce 1 je t´eˇz moˇzn´e urˇcit hodnotu modusu x ˆ = argmax (p(x)) = 2. Horn´ı, doln´ı kvartil a medi´ an stanovujeme z distribuˇcn´ı funkce odvozen´e v pˇr´ıkladu 12 x0.75 x0.25 x0.5
= inf{x : F (x) ≥ 0.75} = inf{x : x ∈ (2, ∞)} = 2 = inf{x : F (x) ≥ 0.25} = inf{x : x ∈ (1, ∞)} = 1 = inf{x : F (x) ≥ 0.5} = inf{x : x ∈ (2, ∞)} = 2.
Pro v´ ypoˇcet ˇsikmosti je tˇreba nejdˇr´ıve vyˇc´ıslit E [X − E(X)]3 = (0 − 1.6)3 · 0.04 + (1 − 1.6)3 · 0.32 + (2 − 1.6)3 · 0.64 = −0.192, odkud
E [X − E(X)]3 −0.192 . A3 = = −1.0606. = 3 [σ(X)] 0.323/2 Podobnˇe pro ˇspiˇcatost je tˇreba vypoˇc´ıst E [X − E(X)]4 = (0 − 1.6)4 · 0.04 + (1 − 1.6)4 · 0.32 + (2 − 1.6)4 · 0.64 = 0.32, z ˇcehoˇz
E [X − E(X)]4 0.32 . A4 = = = 3.125. 4 [σ(X)] 0.322
28. Pˇ r´ıklad Vypoˇctˇeme ˇc´ıseln´e charakteristiky n´ahodn´e veliˇciny doby od zad´an´ı pˇr´ıkazu do pˇrihl´aˇsen´ı nov´eho uˇzivatele z pˇr´ıkladu 16. Pro v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty uˇzijeme metodu integrace per partes Z 0 Z ∞ u=x u0 = 1 E(X) = x 0 dx + 15xe−15x dx = 0 −15x −15x = v = 15e v = −e −∞ 0 Z ∞ 1 −15x ∞ [e ]0 = = [−xe−15x ]∞ + e−15x dx = [−xe−15x ]∞ 0 0 − 15 0 1 1 = −[ lim xe−15x − 0] − [0 − 1] = . x→∞ 15 15 Pro v´ ypoˇcet rozptylu pomoc´ı vztahu 3 nejprve stanov´ıme E(X 2 ) Z 0 Z ∞ u = x2 u0 = 2x 2 2 2 −15x E(X ) = x 0dx + 15x e dx = 0 −15x v = 15e v = −e−15x −∞ 0 Z ∞ 2 = [−x2 e−15x ]∞ 2xe−15x dx = [−x2 e−15x ]∞ E(X) = 0 + 0 + 15 0 2 1 2 = −[ lim x2 e−15x − 0] + = 2. x→∞ 15 15 15
=
Odtud
2 1 1 D(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = 2 − 2 = 2 . 15 15 15 p Smˇerodatn´a odchylka je proto σ(X) = 1/152 = 1/15. Z grafu hustoty 4(a) lze stanovit x ˆ = 0. Pro stanoven´ı horn´ıho, doln´ıho kvartilu a medi´anu odvod´ıme obecn´ y tvar 100p% kvantilu n´ahodn´e veliˇciny X s vyuˇzit´ım distribuˇcn´ı funkce (1) z pˇr´ıkladu 16 xp = inf x : 1 − e−15x ≥ p = inf x : e−15x ≤ 1 − p = inf {x : −15x ≤ ln (1 − p)} = 1 1 = inf x : x ≥ − ln (1 − p) = − ln (1 − p) . 15 15 Odtud x0.25 x0.5 x0.75 Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
1 . ln (0.75) = 0.019, 15 1 . = − ln (0.5) = 0.046, 15 1 . = − ln (0.25) = 0.092. 15
= −
´ FSI v Brnˇe, 9. listopadu 2006 UM
N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı charakteristiky
9
Zb´ yv´a stanovit ˇsikmost a ˇspiˇcatost n´ ahodn´e veliˇciny X pˇri jejichˇz v´ ypoˇctu vyuˇzijeme E([X − E(X)]3 ) E([X − E(X)]4 )
= =
E(X 3 ) − 3E(X 2 )E(X) + 2[E(X)]3 , E(X 4 ) − 4E(X 3 )E(X) + 6E(X 2 )[E(X)]2 − 3[E(X)]4 .
(2) (3)
Integraˇcn´ı metodou per partes vypoˇcteme E(X 3 ) a E(X 4 ) E(X 3 )
Z
0
=
x3 0dx +
−∞
=
∞
Z 0
[−x3 e−15x ]∞ 0
Z +
u = x3 15x3 e−15x dx = 0 v = 15e−15x
∞
3x2 e−15x dx = [−x3 e−15x ]∞ 0 +
0
u0 = 3x2 −15x = v = −e 3 E(X 2 ) = 15
6 3 2 = 3 = −[ lim x e − 0] + 2 x→∞ 15 15 15 Z ∞ Z 0 u = x4 u0 = 4x3 4 −15x 4 4 15x e dx = 0 x 0dx + E(X ) = −15x v = 15e v = −e−15x 0 −∞ Z ∞ 4 = [−x4 e−15x ]∞ 4x3 e−15x dx = [−x4 e−15x ]∞ E(X 3 ) = 0 + 0 + 15 0 4 6 24 = −[ lim x4 e−15x − 0] + = 4 x→∞ 15 153 15 3 −15x
=
z ˇcehoˇz dosazen´ım do (2) a (3) dost´ av´ ame E([X − E(X)]3 )
=
E([X − E(X)]4 )
=
2 1 1 2 6 −3 2 +2 3 = 3 , 153 15 15 15 15 4 2 24 6 1 2 1 9 1 − 4 + 6 − 3 = 4, 4 3 2 15 15 15 15 15 15 15
a pot´e A3
=
A4
=
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
E [X − E(X)]3 2/153 = = 2, [σ(X)]3 1/153 E [X − E(X)]4 9/154 = = 9. 4 [σ(X)] 1/154
´ FSI v Brnˇe, 9. listopadu 2006 UM
