Přednáška 5: Analytická geometrie v prostoru Geometrie stejně jako aritmetika stojí na několika málo základních principech. Díky tomu mohl již kolem roku 300 př. n. l. Eukleides napsat Základy1, první úplně zachovanou knihu o rovinné a prostorové geometrii, která zůstala základní učebnicí geometrie až do 19. století. Její styl byl díky své jasnosti a přesnosti dlouho vzorem pro budování matematické teorie. Eukleides dokázal z několika málo principů odvodit mnoho dodnes běžně používaných geometrických vztahů a vlastností.
Eukleidovský prostor Eukleidovy Základy začínají 23 definicemi geometrických primitivních pojmů (bod, přímka, rovina, úhel, pravý úhel, kružnice, průměr, atd.) a pěti postuláty,2 které můžeme moderně formulovat takto: 1. postulát: Každými dvěma body lze vést (právě jednu) úsečku. 2. postulát: Každou úsečku lze prodloužit na přímku. 3. postulát: Ke každé úsečce lze sestrojit kružnici, která má střed v jednom z koncových bodů a má tuto úsečku za poloměr. 4. postulát: Každé dva pravé úhly jsou shodné. 5. postulát: (o rovnoběžkách) Protíná-li přímka k dvě přímky m, n tak, že součet vnitřních úhlů na jedné straně přímky k je méně než dva pravé úhly, pak se přímky m, n na této straně protínají.
Obrázek 5.1.: Eukleidův 5. postulát Eukleides z těchto postulátů vystavěl celou planimetrii a stereometrii. Dlouho se věřilo, že Euklidova geometrie popisuje geometrii našeho vesmíru, a že pátý postulát (který se od 1
Kompletní české vydání (všech 13 knih) vyšlo nově ve čtyřech svazcích v nakladatelství OPS (2008–2012). Online je k dispozici komentovaný anglický překlad D.E. Joyce viz. Euclid’s Elements, URL: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html 2 Tedy tvrzeními, jejichž platnost se předpokládá, a proto se nedokazují. Dnes bychom je nazvali axiomy.
ostatních nápadně odlišuje také svou formulací) nějakým způsobem vyplývá z prvních čtyř. Mnoho matematiků se jej snažilo dokázat, leč neúspěšně. Přitom bylo formulováno několik tvrzení ekvivalentních s pátým postulátem (pravdivých právě tehdy pokud je pravdivý pátý postulát), například: − Playfairův postulát (1795): K zadané přímce lze daným bodem, který na ní neleží, lze sestrojit nejvýše jednu rovnoběžku. − Legendreův postulát (1794): Součet úhlů v trojúhelníku je 180°. Nakonec se ukázalo, že tomu tak není. V roce 1829 publikoval Nikolaj Lobačevskij práci, ve které popsal geometrii, ve které neplatí pátý postulát.3 Během 19. století se vyvinuly dva základní modely neeuklidovských geometrií, a to sférická a hyberbolická. Obě je sjednotil B. Riemann popisem geometrie pomocí metriky. Teprve na počátku 20. století, když Albert Einstein formuloval obecnou teorii relativity se ukázalo, že to nejsou pouhé hračky vymyšlené po potěšení matematiků, ale že náš vesmír je ve své podstatě neeuklidovský. 5.1. Příklady Eukleidovskou rovinou E 2 je například sešit nebo tabule. Naopak neeuklidovským prostorem dimenze 2 je sféra (idealizovaný povrch zeměkoule), což je příklad sférické geometrie nebo tzv. Poincarého disk, který je ilustrací hyperbolické geometrie. Eukleidovským prostorem E 3 je například přednáškový sál. Z obecné teorie relativity vyplývá, že náš vesmír Eukleidovský není, jelikož gravitace způsobuje zakřivení prostoru.
Koncem 19. století byla formulace základů euklidovské geometrie zpřesněna Davidem Hilbertem, který doplnil tiché předpoklady držící teorii pohromadě. V práci Grundlagen der Geometrie (1899) formuloval devět základních nedefinovaných (tzv. primitivních) pojmů: bod, přímka, rovina, bod leží mezi dvěma body, bod leží na přímce, bod leží v rovině, přímka leží v rovině, shodnost úseček a shodnost úhlů; a dvacet axiomů, které se staly s vzorem pro vybudování bezesporné teorie z nezávislých axiomů. 5.2. Konstrukce Euklidovského prostoru E 3 Vycházíme z 3-dimenzionálního vektorového prostoru ℝ3 , ve kterém zvolíme „počátek“ P (tím získáme tzv. afinní prostor A 3 , srovnej odstavec 1.20 Aplikace v analytické geometrii). Nic nám nebrání zvolit si počátek tak, aby platilo P = [ 0, 0, 0] . Další body vyrobíme z polohových vektorů v = V − P . Souřadnice bodu V pak budou stejné jako souřadnice vektoru v . Nakonec ještě definujeme na ℝ 3 skalární součin, který nám umožní měřit délky a úhly. Skalárním součinem vektorů u = (u1 , u2 , u3 ) a v = (v1 , v2 , v3 ) rozumíme reálné číslo u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 , kde na pravé straně vystupuje součet tří obyčejných součinů reálných čísel. Díky tomu můžeme definovat velikost vektoru u = (u1 , u2 , u3 ) vzorcem u = u ⋅ u = (u1 )2 + (u2 ) 2 + (u3 ) 2 , což je pro vektor u = B − A prostě vzdálenost dvou bodů A a B , 3
(5.1)
(5.2)
Podobnými úvahami se nezávisle zabýval také János Bólyai, který je publikoval o něco později. Podobnými úvahami se zabýval také „princ matematiků“Carl Friedrich Gauss, ale ze strachu před kritikou a nepochopením své úvahy nepublikoval.
v( A, B) = (b1 − a1 ) 2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 ) 2 (5.3) Odchylku vektorů u = (u1 , u2 , u3 ) a v = (v1 , v2 , v3 ) definujeme vzorcem u ⋅v cos ϕ = (5.4) u ⋅v Afinní prostor s tímto skalárním součinem nazýváme Eukleidovským prostorem a značíme jej E 3 . Konstrukci lze naprosto analogicky provést pro vektorový prostor libovolné konečné dimenze n . Tak obdržíme Eukleidovskou rovinu E 2 i prostory vyšších dimenzí E n . Poznamenejme ještě, že dnešní formulace je ekvivalentní výše uvedené formulaci Hilbertově. Geometrickou interpretaci skalárního součinu obdržíme z rovnice (5.4). Platí totiž, že u ⋅ v = u ⋅ v cos ϕ . Zvolme vektor u tak, aby u = 1 , pak u ⋅ v = v cos ϕ , viz obrázek 5.3., tedy skalární součin je velikost kolmé projekce vektoru u do směru vektoru v .
Obrázek 5.3.: Geometrický význam skalárního součinu 5.3. Poznámka (vlastnosti skalárního součinu) (i) Je-li u ⋅ v = 0 , pak jsou vektory u a v navzájem kolmé. (ii) Skalární součin je komutativní, tedy u ⋅v = v ⋅u . (iii) Skalární součin je bilineární, tedy platí (ku ) ⋅ v = k (u ⋅ v ), (u + v ) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w. Dále proberme zajímavé vlastnosti Eukleidovských prostorů.
5.4. Existence kanonické báze V E 3 existuje báze e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e3 = (0, 0,1) , pro kterou platí, že její vektory jsou navzájem kolmé ( ei ⋅ e j = 0 pro i ≠ j ) a každý z nich má velikost rovnu jedné ( ei ⋅ e j = 1 pro i = j ). O takových bázích říkáme, že jsou ortonormální a zkráceně to zapisujeme pomocí tzv. Kroneckerova symbolu
0 pro i ≠ j , ei ⋅ e j = δ ij , kde δ ij = 1 pro i = j. Pro úplnost doplňme, že z libovolné báze Eukleidovského prostoru lze vyrobit ortonormální bázi. Postup převodu na ortonormální bázi se nazývá Gramm–Schmidtův ortogonalizační proces. 5.5. Definice Vektorovým součinem vektorů u = (u1 , u2 , u3 ) a v = (v1 , v2 , v3 ) rozumíme vektor u2 u3 u3 u1 u1 u2 u×v = , , v v v v v1 v2 2 3 3 1 Vektorový součin lze zapsat a spočítat pomocí determinantu e1 e2 e3 u × v = u1 u2 u3 ,
.
(5.5)
(5.6)
v1 v2 v3 který spočítáme rozvojem podle prvního řádku: e1 e2 e3 u u3 u u u u u1 u2 u3 = 2 e1 − 1 3 e2 + 1 2 e3 , v2 v3 v1 v3 v1 v2 v1 v2 v3 odkud vyplývá křížové pravidlo (5.5). Vektorový součin je anti-komutativní a bilineární, tedy platí u × v = −v × u , (ku ) × v = k (u × v ), (u + v ) × w = u × w + v × w. Jsou-li vektory u a v lineárně nezávislé, tvoří vektory u , v , u × v pravotočivou (kladnou) bázi ℝ 3 . Platí, že
u × v ⊥ u a zároveň u × v ⊥ v a pro velikost vektorového součinu platí vzorec u × v = u ⋅ v ⋅ sin ϕ . Naopak jsou-li u a v lineárně závislé, platí ϕ = 0 a u × v = o .
(5.7)
Obrázek 5.4.: Vektorový součin Rovnice (5.7) ukazuje na geometrický význam vektorového součinu: Velikost vektorového součinu vektorů u a v se rovná obsahu rovnoběžníka o stranách u a v . Díky tomu můžeme použít vektorový součin ke snadnému výpočtu obsahu trojúhelníka ABC v prostoru. Je-li a = C − B, b = C − A a c = B − A , pak pro obsah △ ABC platí S△ = 12 b × c = 12 a × c = 12 a × b (5.8) Vektorový součin má také široké uplatnění ve fyzice: definuje se pomocí něj moment síly M = r × F , v teorii elektromagnetismu se používá při definici Lorentzovy síly působící na elektricky nabitou částici F = q ( E + v × B ) . Dále se používá v definici diferenciálního operátoru rotace ∇ × F , který vystupuje například Maxwellových rovnicích elektromagnetismu nebo ve Stokesově větě důležité pro výpočty vícenásobných integrálů v matematice a fyzice.
5.6. Definice Smíšeným součinem vektorů u = (u1 , u2 , u3 ) , v = (v1 , v2 , v3 ) a w = ( w1 , w2 , w3 ) rozumíme číslo
u1 u2 u3 u ⋅ (v × w) = v1 v2 v3 (5.9) w1 w2 w3 Geometricky je jeho význam dán významem determinantu na pravé straně rovnice (5.9), srov. odstavec 3.4. Tři vektory u , v , w nazýváme komplanární (leží v jedné rovině) právě tehdy, když u ⋅ (v × w) = 0 . Je-li determinant roven nule, jsou jeho řádky lineárně závislé, a lze tedy některý z vektorů u , v , w napsat jako lineární kombinaci zbylých dvou vektorů. Absolutní hodnota smíšeného součinu vektorů u , v , w je rovna objemu hranolu jehož hrany tvoří umístění těchto vektorů. Pro objem čtyřstěnu ABCD , kde u = B − A, v = C − A, w = D − A platí
V = 16 u ⋅ (v × w) .
(5.10)
Smíšený součin se také využívá k sestavení obecné rovnice roviny v E 3 , viz odstavec 5.12.: Převod parametrického vyjádření roviny na obecnou rovnici.
Lineární objekty v Eukleidovském prostoru: přímka a rovina V dalším se budeme zabývat dvěma významnými typy podprostorů v Eukleidovském prostoru, přímkou a rovinou. Pokusíme se je popsat jednak vektorově (parametricky), tedy jako množiny bodů, které lze sestrojit z jednoho bodu a jednoho (respektive v případě roviny dvou) vektorů pomocí jednoho čí dvou parametrů. Dále je popíšeme pomocí soustav lineárních rovnic. Body ležící v konkrétním podprostoru pak budou řešeními těchto rovnic, počet parametrů v řešení pak určí dimenzi a tedy i typ podprostoru.
5.7. Vektorové a parametrické vyjádření roviny Rovina α je v Eukleidovském prostoru E 3 dána třemi body A, B, C , které neleží na jedné přímce. Z nich lze vyrobit dva lineárně nezávislé vektory, např. u = B − A, v = C − A . Bod X leží v rovině α (zapisujeme to X ∈ α ) právě tehdy, když je vektor AX lineární kombinací vektorů u a v , tedy když existují reálná čísla r , s (alespoň jedno z nich nenulové) tak, že X − A = ru + sv . Odtud můžeme vyjádřit X a dostáváme vektorovou rovnici roviny α ≡ ABC ve tvaru X = A + ru + sv , kde r , s ∈ ℝ . (5.11) Říkáme, že rovina α prochází bodem A a má zaměření u , v tvořené směrovými vektory u av.
Obrázek 5.5.: Rovina v E 3 Rovnice (5.11) vznikla z rovnosti dvou vektorů, proto musí platit pro každou jejich souřadnici. Je-li X = [ x, y, z ] , A = [ a1 , a2 , a3 ] , u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) , pak rozepsáním vektorové rovnice pro jednotlivé souřadnice dostáváme tři rovnice tvořící parametrické vyjádření roviny α v E 3
x = a1 + ru1 + sv1 , ;
y = a2 + ru2 + sv2 ,
(5.12)
z = a3 + ru3 + sv3 , r , s ∈ ℝ. Parametrické vyjádření rovnice není jednoznačné, mohu si zvolit libovolný bod, který leží v rovině a libovolné násobky dvou libovolných (avšak lineárně nezávislých) vektorů ze zaměření. 5.8. Příklad Napište parametrické vyjádření roviny σ ≡ KLM , kde K = [1, −1,1] , L = [1, 0,1] , M = [ −1,1, 0]
5.9. Definice
Mějme rovinu α se zaměřením u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) procházející bodem A = [ a1 , a2 , a3 ] . Normálovým vektorem roviny α rozumíme vektor n = u×v .
(5.13)
Vektor n je tedy kolmý na každý vektor ze zaměření roviny α , a navíc je určen jednoznačně až na reálný násobek. Tedy: jsou-li n1 , n2 dva normálové vektory roviny α , pak n1 = kn2 .
5.10. Obecná rovnice roviny Mějme zadán normálový vektor n = (a, b, c) roviny α procházející bodem A = [ a1 , a2 , a3 ] . Pro libovolný bod X = [ x, y, z ] patřící do roviny α platí, že n ⋅ ( X − A) = 0,
. a ( x − a1 ) + b( y − a2 ) + c( z − a3 ) = 0. Označíme-li d = − aa1 − ba2 − ca3 , můžeme rovnici přepsat do tvaru ax + by + cz + d = 0, který nazýváme obecnou rovnicí roviny α .
5.11. Úsekový tvar rovnice Pro d ≠ 0 můžeme převést obecnou rovnici (5.15) na tzv. úsekový tvar x y z d d d + + = 1 , kde px = − , p y = − , pz = − . px p y pz a b c
(5.14)
(5.15)
(5.16)
pro roviny, které nejsou rovnoběžné s žádnou souřadnicovou osou. Body Px = [ px , 0, 0] ,
Py = 0, p y , 0 a Pz = [ 0, 0, pz ] jsou průsečíky roviny s jednotlivými souřadnicovými osami. Pro roviny rovnoběžné s některou ze souřadných os odpovídající průsečík neexistuje a v úsekovém tvaru rovnice chybí příslušný člen.
S obecnou rovnicí roviny se většinou pracuje daleko lépe než s parametrickým vyjádřením, proto se naučíme mezi nimi volně přecházet. 5.12. Převod parametrického vyjádření roviny na obecnou rovnici (i) Mějme rovinu α se zaměřením u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) procházející bodem A = [ a1 , a2 , a3 ] . Jelikož n = u × v , můžeme dosadit do rovnice (5.14) a díky komutativitě skalárního součinu můžeme levou stranu napsat jako smíšený součin ( X − A) ⋅ (u × v ) = 0 . Ten snadno vypočítáme pomocí determinantu a obecná rovnice získá tvar x − a1 y − a2 z − a3
u1 v1
u2 v2
u3 v3
= 0.
(5.17)
(ii) Pro rovinu α ≡ ABC má předchozí rovnice tvar AX ⋅ ( AB × AC ) = 0 . (iii) Obecnou rovnici lze také získat vyloučením parametrů z parametrického vyjádření (5.12). Ze tří rovnic o dvou parametrech můžeme pomocí vhodných elementárních úprav (zejména přičtení vhodného násobku jedné rovnice ke zbylým dvěma) získat dvě rovnice o jednom parametru, a jeho vyloučením získáme jednu rovnici, která má tvar (5.15).
5.13. Příklad Převeďte parametrické vyjádření
σ:
x =1 −2 s , y = r +2 s , z =1 − s, r , s ∈ ℝ. roviny σ ≡ KLM z příkladu 5.8 na obecnou rovnici. (i) Dosazením bodu L = [1, 0,1] a vektorů u = L − K = (0,1, 0) a v = M − K = (−2, 2, −1) , do předchozí rovnice (5.17) dostáváme
(ii) Vyloučení parametrů: Vynecháním druhé rovnice (proč to smíme udělat?) získáme soustavu dvou rovnic o jenom parametru x = 1 − 2 s, z = 1 − s, s ∈ ℝ. Přičtením (–2)-násobku druhé rovnice k první získáme obecnou rovnici ve tvaru x − 2 z = −1 . 5.14. Příklad Nalezněte nějaké parametrické vyjádření roviny β : x − 2 y + 4 z − 1 = 0 .
5.15. Vektorové a parametrické vyjádření přímky Vektorové a parametrické vyjádření přímky získáme velmi snadným zobecněním případu přímky v rovině známého ze střední školy, prostě jen přidáme třetí souřadnici. Přímka p je v Eukleidovském prostoru E 3 dána dvěma různými body A = [ a1 , a2 , a3 ] , B = [b1 , b2 , b3 ] , , které definují směrový vektor u = B − A . Bod X leží na přímce p (zapisujeme to X ∈ p ) právě tehdy, když jsou vektory AX a u kolineární (lineárně závislé). V tom případě existuje reálné číslo k ≠ 0 tak, že X − A = ku . Odtud můžeme vyjádřit X a dostáváme vektorovou rovnici přímky p ≡ AB X = A + ku , kde k ∈ ℝ . (5.18) Rozepsáním vektorové rovnice pro jednotlivé souřadnice dostáváme tři rovnice tvořící parametrické vyjádření přímky p v E 3 x = a1 + ku1 , y = a2 + ku2 , z = a3 + ku3 , k ∈ ℝ. 5.16. Implicitní vyjádření přímky V Eukleidovském prostoru E 3 neexistuje obecná rovnice přímky. Přímku lze ovšem definovat jako průsečnici dvou různoběžných rovin: Platí-li pro dvě různoběžné roviny α1 , α 2 , že α1 ∩ α 2 = p , nazýváme každou soustavu dvou rovnic ekvivalentní se soustavou a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, (5.19) a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0, implicitním vyjádřením přímky p . Zdůrazněme ještě, že sni jedno vyjádření přímky není jednoznačné.
5.17. Příklad Nalezněte parametrické a implicitní vyjádření přímky q ≡ CD , kde C = [ 2,9, 3] a D = [5,3,11] .
Doplňující zdroje: Online zdroje http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_Universe http://en.wikipedia.org/wiki/Playfair's_axiom http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Vektorraum http://archive.org/details/grunddergeovon00hilbrich http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovy_Z%C3%A1klady http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleid%C3%A9s
Literatura Burda, P., Havelek, R., Hradecká, R.: Algebra a analytická geometrie. VŠB-TU Ostrava, 2005. Vrbenská, H., Bělohlávková, J.: Základy matematiky pro bakaláře II. VŠB-TU Ostrava, 2003. T. Gowers, Matematika. Průvodce pro každého (Dokořán, 2006). Kapitola 6. Geometrie. Eukleidés, Základy, Knihy I–IV (OPS, 2008, 151 s.), Knihy V–VI (2009, 132 s.), Knihy VII–IX (2010, 191 s.), Knihy XI–XII (2012, 152 s.).
