N avrh v ıceromˇerov eho LQ regul atoru za neurˇcitosti podle omezuj ıc ıch podm ınek na velikosti sign al u. Miroslav Nov ak 14

Návrh v´ıceromˇerového LQ regulátoru za neurˇcitosti podle omezuj´ıc´ıch podm´ınek na velikosti signál˚ u. Miroslav Novák 14. srpna 2007

Obsah ´ 1 Uvod

3

2 Omezen´ı syst´ emu 2.1 Regulátor respektuj´ıc´ı vstupn´ı omezen´ı . . . . . . . . . . . . . 2.2 Hledán´ı vhodných parametr˚ u regulátoru . . . . . . . . . . . . 2.3 Pravdˇepodobnostn´ı pohled na vstupn´ı omezen´ı . . . . . . . . .

4 4 5 6

3 LQ–regul´ ator 3.1 Systém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 MIMO systém . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Matice vývoje stavu . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Rozˇs´ıˇrený stav . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Stavová matice . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Vývoj systému . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Regulátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Ztrátová funkce . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Minimalizace ztrátové funkce . . . . . . 3.3.3 Matice v odmocninové formˇe . . . . . . . 3.3.4 Ztrátová funkce v odmocninové formˇe . . 3.3.5 Dynamické programován´ı v odmocninové 3.3.6 Algoritmus pro výpoˇcet zákona ˇr´ızen´ı . . 3.3.7 Optimáln´ı ˇr´ızen´ı . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . formˇe . . . . . . . .

4 Vstupn´ı omezen´ı 4.1 Nezávislá vstupn´ı omezen´ı . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Dodrˇzen´ı vstupn´ıch omezen´ı . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Vliv vstupn´ıch omezen´ı na smyˇcku systém – regulátor 4.3.1 Tvrdá omezen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Mˇekká omezen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Tvrdá omezen´ı vstupu vypoˇcteného LQ-regulátorem . 1

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

8 8 8 9 9 9 9 11 11 12 13 14 14 14 17 18

. . . . . .

19 19 20 20 20 20 20

4.4.1 4.4.2 4.4.3

Jednoduché omezen´ı vstupu . . . . . . . . . . . . . . . 20 Omezen´ı vstupu vycházej´ıc´ı z principu LQ regulátoru . 21 Omezen´ı realizované GPC regulátorem . . . . . . . . . 21

5 Parametry regul´ atoru d˚ uleˇ zit´ e pro zajiˇ stˇ en´ı vyhovuj´ıc´ıch vstup˚ u 5.1 Druhy penalizace v kvadratickém kritériu . . . . . . . . . . . . 5.2 Obecná penalizace volbou celé odmocniny kritéria . . . . . . . 5.3 Penalizace odchylky reference a velikosti pˇr´ır˚ ustk˚ u vstup˚ u v maticové formˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Hodnocen´ı regulátoru za omezuj´ıc´ıch podm´ınek . . . . . . . . 5.4.1 Hodnocen´ı výstup˚ u pˇri regulaci s omezovaˇcem . . . . . 5.4.2 Hodnocen´ı vstup˚ u pˇri regulaci bez omezen´ı . . . . . . . 5.4.3 Hodnocen´ı výstup˚ u pˇri regulaci bez omezen´ı . . . . . . 5.5 Pravdˇepodobnostn´ı hodnocen´ı regulátoru . . . . . . . . . . . .

22 22 23 24 24 25 26 27 28

6 Metody optimalizace

29

7 Realizace v Matlabu *

30

8 Simulovan´ e pokusy 31 8.1 Spojené nádoby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9 Z´ avˇ er

33

2

Kapitola 1 ´ Uvod Teorie ˇr´ızen´ı je vˇedn´ı obor zabývaj´ıc´ı se dynamickými systémy, jejich popisem a moˇznosti ˇr´ıdit jejich chován´ı. Dynamickým systémem lze nazvat jakoukoliv soustavu s urˇcen´ım jejich vstup˚ u a výstup˚ u, která se vyv´ıj´ı v ˇcase. Dynamické systémy maj´ı mnoho podob. Mechanický dynamický systém je napˇr´ıklad závaˇz´ı na pruˇzinˇe. Z oblasti elektroniky je to nˇejak´ y elektrický obvod na nˇemˇz mˇeˇr´ıme urˇcité signály. V chemii to m˚ uˇze být prob´ıhaj´ıc´ı reakce, kde vstupem je teplota reaguj´ıc´ıch látek a výstupem mnoˇzstv´ı produktu. Ekonomická situace podniku, státu nebo celého svˇeta je dynamický systém. Popsat a pochopit tyto systémy je velmi d˚ uleˇzité. O to vˇetˇs´ı d˚ uleˇzitosti nabývá moˇznost takovéto systémy ovlivˇ novat tak, aby jejich chován´ı, reprezentováno výstupy systému, sledovalo urˇcitý zámˇer. Regulátor, který ˇr´ıd´ı nˇejaký systém, je sám také dynamický systém, který je spojen s ˇr´ızeným systémem a na základˇe jeho stavu nastavuje vstupy za u ´ˇcelem dosaˇzen´ı poˇzadovaných vlastnost´ı. Z hlediska teorie ˇr´ızen´ı je dynamický systém soustava, jej´ıˇz chován´ı je moˇzno popsat diferenciáln´ı nebo diferenˇcn´ı rovnic´ı. Regulátor je také dynamický systém, který se snaˇz´ı minimalizovat odchylku v´ ystupu regulovaného systému od poˇzadované hodnoty. Na regulovaný systém jsou vˇsak vˇzdy kladena jistá omezen´ı daná vlastnostmi systému. Tato omezen´ı mus´ı regulátor dodrˇzet, pokud má být zachována správná ˇcinnost regulovaného systému. Existuj´ı jisté metody regulace, které vˇsak omezen´ı systému neuvaˇzuj´ı. Jak takovéto regulátory vhodným zp˚ usobem pˇrimˇet k respektován´ı omezen´ı systému je tématem této práce.

3

Kapitola 2 Omezen´ı syst´ emu V této kapitole je popsáno ˇr´ızen´ı systému s pevnými omezen´ımi vstupu. Kaˇzdý systém má jistá omezen´ı, která jsou dána jeho konstrukc´ı. Kaˇzdá skuteˇcná soustava je tvoˇrena urˇcitými ˇcástmi, které jsou ovlivˇ novány vstupem a urˇcuj´ı hodnotu výstupu. Omezen´ı na výstupu je urˇceno maximáln´ı a minimáln´ı hodnotou, jakou je systém schopen na výstupu dosáhnout. Podobné omezen´ı lze nalézt i u vstup˚ u systému. Systém je schopen uˇziteˇcnˇe reagovat jen na omezené hodnoty vstupn´ıch veliˇcin. Pˇri pˇrekroˇcen´ı tˇechto omezen´ı dojde k poˇskozen´ı systému. To znamená, ˇze se p˚ uvodn´ı systém zmˇen´ı v systém jiný, takový, který jiˇz nepracuje správnˇe. Jistˇe by bylo moˇzné do p˚ uvodn´ıho systému zahrnout i jeho poˇskozen´ı jako vnitˇrn´ı stav, ale to by nebylo pˇr´ıliˇs uˇziteˇcné. Systém se nesm´ı zniˇcit. Hodnoty kaˇzdého vstupu i výstupu se mohou pohybovat jen v urˇcitých známých intervalech. Referenˇcn´ı trajektorie výstupu systému je známá, známé je i omezen´ı výstupu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze se referenˇcn´ı trajektorie pohybuje mimo omezen´ı, mus´ı být pouˇzit jiný systém nebo upravena trajektorie. Toto je jednoduché. Podstatnˇe sloˇzitˇejˇs´ı situace je s omezen´ım vstupu systému. Problém je v tom jak do regulátoru tato omezen´ı zaˇclenit, tak, aby byla zachována jeho správná ˇcinnost. D˚ uleˇzité je také zachovat rozumnou výpoˇcetn´ı nároˇcnost regulátoru, nebot’ regulátor mus´ı být schopen pracovat v reálném ˇcase.

2.1

Regul´ ator respektuj´ıc´ı vstupn´ı omezen´ı

Aby systém nebyl poˇskozen, regulátor nesm´ı pˇrekroˇcit vstupn´ı omezen´ı regulovaného systému. Je proto nutné výstup regulátoru omezit na povolený rozsah zmˇenou pˇresahuj´ıc´ı hodnot na nejbliˇzˇs´ı povolenou hodnotu. Takto 4

upravený regulátor zaruˇc´ı splnˇen´ı vstupn´ıch omezen´ı a lze jej v urˇcitých pˇr´ıpadech pouˇz´ıt. Toto ˇreˇsen´ı má vˇsak velkou nev´ yhodu ve spojen´ı s prediktivn´ımi regulátory, které nemaj´ı moˇznost zahrnout vstupn´ı omezen´ı do výpoˇctu predikce, jako napˇr´ıklad LQ regulátory. Funkce prediktivn´ıho regulátoru je zaloˇzena na simulaci systému urˇcitý ˇcas do budoucna, v kaˇzdém bodˇe této simulace je známa odchylka vstupu od referenˇcn´ı trajektorie. Regulátor hledá takový pr˚ ubˇeh vstup˚ u, aby nˇejaká funkce, závisej´ıc´ı mimo jiné i na odchylkách výstup˚ u byla co nejmenˇs´ı. Prvn´ı takto vypoˇc´ıtaný vstup pouˇzije pro ˇr´ızen´ı. Prediktivn´ı regulátor, jehoˇz výstup je omezován mimo jeho výpoˇcet, nem˚ uˇze pracovat správnˇe, protoˇze nen´ı schopen toto omezován´ı zahrnout do simulace. A celá predikce je proto chybná. Také existuj´ı prediktivn´ı regulátory, jako napˇr´ıklad GPC – General Predictive Control, které uvaˇzuj´ı omezen´ı jiˇz pˇri výpoˇctu vstupu. To je bezesporu velmi dobrá vlastnost, nicménˇe maj´ı i ˇradu nevýhod. Pˇredevˇs´ım jsou nelineárn´ı, coˇz pˇrináˇs´ı pot´ıˇze s analityckými metodami urˇcenými napˇr´ıklad pro urˇcen´ı stability regulace. Obecnˇe plat´ı, ˇze systém s vstupn´ımi omezen´ımi nen´ı lineárn´ı, a proto ani regulátor, který s tˇemito omezen´ımi poˇc´ıtá, nen´ı lineárn´ı. Tento druh regulátor˚ u nen´ı rozeb´ırán v tomto textu. V pˇr´ıpadˇe regulátoru, který nen´ı na okrajové podm´ınky stavˇený, je nutno tento problém vyˇreˇsit jiným zp˚ usobem. Je tˇreba dosáhnout toho, aby vstupy systému setrvávaly v dovolených mez´ıch, aˇckoliv se ve výpoˇctu regulátoru omezuj´ıc´ı interval explicitnˇe nevyskytuje. Takto nebude nutno vstupy omezovat a funkce regulátoru bude bez chyb. Jde o správné nastaven´ı parametr˚ u regulátoru.

2.2

Hled´ an´ı vhodn´ ych parametr˚ u regul´ atoru

Urˇcitý druh regulátoru je plnˇe charakterizován svými parametry. Tˇemi je dána schopnost regulátoru pˇresnˇe sledovat referenˇcn´ı trajektorii výstupu a také uˇzitá velikost vstupn´ıch veliˇcin. Této vlastnosti lze vyuˇz´ıt pro sn´ıˇzen´ı rozsahu vstupn´ıch veliˇcin regulátoru vhodným nastaven´ım parametr˚ u. Pˇri tom vˇsak mus´ı být regulátor stále dostateˇcnˇe schopný ˇr´ıdit. Je patrné, ˇze pˇri pouˇzit´ı jednoho typu regulátoru je pˇresnost sledován´ı referenˇcn´ı trajektorie pˇribliˇznˇe nepˇr´ımo u ´ mˇerná nárok˚ um na rozsah uˇzitých vstupn´ıch hodnot. Zhorˇsen´ı funkce regulátoru ve smyslu sledován´ı referenˇcn´ı trajektorie nastane pˇri omezen´ı vstupn´ıch hodnot, které nesmˇej´ı opustit dovolený interval. To vˇsak nastane v kaˇzdém pˇr´ıpadˇe a to bud’ omezován´ı vstupu bez u ´ˇcasti al5

goritmu regulátoru, a nebo dojde k omezen´ı jiˇz pˇri samém výpoˇctu. Kaˇzdá z tˇechto dvou moˇznost´ı pˇrináˇs´ı jisté nevýhody. Pokud dojde k omezen´ı vstup˚ u jiˇz pˇri výpoˇctu pomoc´ı vhodného nastaven´ı parametr˚ u, budou zmenˇseny také vstupy, které by nepˇresáhly omezen´ı a tak se zbyteˇcnˇe zhorˇs´ı vlastnosti regulace. V pˇr´ıpadˇe omezován´ı vstupu je situace mnohem nepˇrehlednˇejˇs´ı, protoˇze prediktivn´ı regulátor pˇrestane správnˇe plnit svou funkci predikce. Chován´ı takto ˇspatnˇe predikuj´ıc´ıho regulátoru je sloˇzité popsat. V této práci je pozornost vˇenována nastaven´ı parametr˚ u regulátoru tak, aby k poruˇsen´ı omezen´ı nedocházelo v˚ ubec nebo co nejménˇe. Hledán´ı vhodných parametr˚ u bude provádˇeno urˇcitým iteraˇcn´ım zp˚ usobem, kdy se v kaˇzdém kroku ohodnot´ı m´ıra poruˇsen´ı daných omezen´ı. C´ılem iterace bude naj´ıt bod v prostoru moˇzných parametr˚ u regulátoru, ve kterém je poruˇsen´ı omezen´ı minimáln´ı. M´ıru poruˇsen´ı lze vyjádˇrit jako funkci zobrazuj´ıc´ı parametry regulátoru na ˇc´ıslo. Pokud k poruˇsen´ı bˇehem regulace nedojde v˚ ubec bude tato funkce nulová. Se zvˇetˇsuj´ıc´ım se nedodrˇzen´ım dovoleného intervalu tato funkce roste. Konkrétn´ı podoba této funkce je libovolná.

2.3

Pravdˇ epodobnostn´ı pohled na vstupn´ı omezen´ı

V pˇr´ıpadˇe ideáln´ıho deterministického systému je moˇzné dosáhnout toho, aby byla vstupn´ı omezen´ı dodrˇzena vˇzdy. Jinými slovy lze nalézt takové parametry regulátoru, ve se vstupy chovaj´ı podle naˇsich poˇzadavk˚ u. Toto tvrzen´ı lze zd˚ uvodnit tak, ˇze pokud známe referenˇcn´ı trajektorii výstupu regulátor pˇri nˇejakém nastaven´ı parametr˚ u pouˇzije pro ˇr´ızen´ı urˇcitou omezenou oblast vstup˚ u. Protoˇze regulátor je deterministický, je pr˚ ubˇeh regulace vˇzdy stejný a tedy i tato oblast se nemˇen´ı. Vhodnou zmˇenou parametr˚ u lze doc´ılit menˇs´ıho rozsahu vstup˚ u tak, ˇze neopouˇstˇej´ı povolený rozsah. Deterministický systém je vˇsak pouhou idealizac´ı skuteˇcnosti. Pokud má model systému odpov´ıdat reálnému svˇetu, ve kterém p˚ usob´ı r˚ uzné nemˇeˇritelné poruchy, je nezbytné tyto poruchy do modelu zahrnout. Protoˇze jsou poruchy nemˇeˇritelné, nen´ı známa jej´ıch hodnota a jediný moˇzný popis je pomoc´ı rozdˇelen´ı hustoty pravdˇepodobnosti. To ovˇsem mˇen´ı celou situaci a s t´ım, jak je jedna veliˇcina systému náhodná, jsou náhodné vˇsechny ostatn´ı, které na n´ı závis´ı. Regulátor je zpˇetnovazebn´ı a tyto poruchy po jednom kroku ovlivn´ı vˇsechny veliˇciny regulovaného systému i regulátoru. Pˇri modelován´ı nedeterministického, jinými slovy stochastického, systému se náhodné poruchy berou jako b´ılý ˇsum s normáln´ım rozdˇelen´ım hustoty

6

ˇ pravdˇepodobnosti a s nulovou stˇredn´ı hodnotou. Cinnost regulátoru stochastického systému je stejná jako u deterministického, ale m´ısto hodnot veliˇcin se poˇc´ıtá s jejich stˇredn´ımi hodnotami. Pokud by podm´ınka dodrˇzen´ı vstupn´ıch omezen´ı byla pro stochastické systémy formulována podobnˇe, tedy aby stˇredn´ı hodnota pˇrekroˇcen´ı omezen´ı vstup˚ u neopustila povolenou oblast, nebylo by to mnoho platné. Podle hustoty pravdˇepodobnosti normáln´ıho rozdˇelen´ı by hodnota vstupn´ıch veliˇcin vyhovovala omezen´ım s pravdˇepodobnost´ı pˇribliˇznˇe jedna polovina. Na druhou stranu nelze po regulátoru cht´ıt, aby vˇsechny vstupy vyhovˇely omezen´ı, to jest, aby pravdˇepodobnost splnˇen´ı omezen´ı byla rovna jedné. To je dáno tvarem funkce hustoty pravdˇepodobnosti normáln´ıho rozdˇelen´ı, která je nenulová na celém oboru reálných ˇc´ısel. Proto bude splnˇen´ı vstupn´ıch omezen´ı spojeno vˇzdy s urˇcitým ˇc´ıslem udávaj´ıc´ım dovolenou m´ıru nesplnˇen´ı. Pokud by byla uvaˇzována jen splnˇen´ı ˇci nesplnˇen´ı omezen´ı, byla by touto m´ırou pravdˇepodobnost splnˇen´ı podm´ınek. M´ıra nesplnˇen´ı podm´ınek je dána hodnot´ıc´ı funkc´ı, která m˚ uˇze hodnotit napˇr´ıklad i velikost pˇrekroˇcen´ı.

7

Kapitola 3 LQ–regul´ ator 3.1

Syst´ em

LQ regulátor je urˇcen pro ˇr´ızen´ı lineárn´ıho diskrétn´ıho systému. Pro ˇr´ızen´ı spojitého systému je nutné ho diskretizovat a pro ˇr´ızen´ı nelineárn´ıho systému zase linearizovat. Obecný diskrétn´ı systém je dán svým vstupem u(t) a výstupem y(t). Vstup a výstup jsou svázány diferenˇcn´ı rovnic´ı F (y(t), y(t − 1), . . . , y(t − n), u(t), u(t − 1), . . . , u(t − m)) = 0 nebo jedná-li se o lineárn´ı systém an (t)y(t − n) + . . . + a0 (t)y(t) = bm (t)u(t − m) + . . . + b0 (t)u(t) V této kapitole je systém definován následuj´ıc´ım zp˚ usobem jsou potom p´ısmena a a b s mnoha indexy pouˇzita trochu jiným zp˚ usobem.

3.1.1

MIMO syst´ em

poznámka

popsat Simulovaný systém je v mylq dán vnˇejˇs´ım popisem, to znamená, aktuáln´ı to výstup y je urˇcen lineárn´ı kombinac´ı minulých výstup˚ u a vstup˚ u a konstanty, poˇrádnˇe ˇcili stavu x, aktuáln´ıch vstup˚ u u a ˇsumu e T y(t) = Θ u(t), x(t), 1 + e(t)

matice Θ urˇcuje tu lineárn´ı kombinaci. To ˇze jde o vnˇejˇs´ı popis je dáno t´ım ˇze stav obsahuje pouze minulé vstupy a výstupy, a tud´ıˇz jej nen´ı nutné sloˇzitˇe rekonstruovat. 8

3.2 3.2.1

Matice v´ yvoje stavu Struktura

Pracujeme s vnˇejˇs´ım popisem MIMO systému. Jeho struktura necht’ je popsána takto: nu — poˇcet vstup˚ u (sloˇzek vstupu) ny — poˇcet výstup˚ u (sloˇzek výstupu) ru — poˇcet vstup˚ u z r˚ uzných ˇcasových okamˇzik˚ u, je jich o jednu v´ıce neˇz je ’ pamˇet pro vstup, protoˇze se poˇc´ıtá téˇz aktuáln´ı vstup ry — poˇcet výstup˚ u z r˚ uzných ˇcasových okamˇzik˚ u, je rovno velikosti pamˇet’ pro výstup

3.2.2

Rozˇ s´ıˇ ren´ y stav

Pro popis systému je pouˇzit tzv. rozˇs´ıˇrený stav systému, coˇz je stav, vstup a referenˇcn´ı hodnoty veliˇcin v jednom vektoru. Pro ilustraci pˇredpokládejme ˇze je pouˇzit systém se dvˇema vstupy a dvˇema výstupy s pamˇet´ı jeden krok pro vstup a dva kroky pro výstup Za tohoto pˇredpokladu budou m´ıt vˇsechny výˇse uvedené parametry struktury systému hodnotu dva. Rozˇs´ıˇrený stav systému vstup

stav

}| { z }| { z 1 2 1 2 1 2 1 2 T 1 2 1 2 T z = (u x) = (u1 u1 u2 u2 y1 y1 y2 u2 1 u0 u0 y0 y0 ) | {z } | {z } v´ ystup

(3.1)

refer. hodnoty

index nahoˇre urˇcuje sloˇzku veliˇciny a index dole dobu pˇred jakou byla aktuáln´ı, jedniˇcka ve vektoru je kv˚ uli vyjádˇren´ı posunut´ı výstupn´ıch hodnot. Referenˇcn´ı hodnoty veliˇcin se uplatn´ı v kritériu regulátoru jako poˇzadováné hodnoty. C´ılem regulace je, aby výstupy sledovaly svou referenˇcn´ı hodnotu, která je v tomto pˇr´ıpadˇe konstantn´ı.

3.2.3

Stavov´ a matice

Zmˇenu stavu v jednom ˇcasovém kroku vyjadˇruje matice vývoje stavu

9

znaˇcit vˇsechny matice bud’ P nebo P



             P=            

u11 . . 1 .

u21 . . . 1

u12 . . . .

u22 . . . .

1 1 b1 2 1 b1

1 2 b1 2 2 b1

1 1 b2 2 1 b2

1 2 b2 2 2 b2

y11 y12 y21 y22 nu nu (ru − 1) 1 1 a1 2 1 a1

1 2 a1 2 2 a1

1 1 a2 2 1 a2

1 2 a2 2 2 a2

1 .

. 1

. .

. .

1 u10 u20 y01 y02



        )  1 k  ny  2  k   ny (ry − 1)     1 }1   1 . nu   . 1  1 .   ny . 1 

(3.2)

Teˇcky znamenaj´ı nuly. Pokud uvaˇzujeme nulové vstupy systému, plat´ı z(t + 1) = P z(t). Popis blok˚ u matice:

• Prvn´ı dva ˇrádky matice jsou nulové, protoˇze vývoj systému nedává hodnoty vstupu – ty budou doplnˇeny pozdˇeji. (teˇcky znamenaj´ı nuly) • Blok na druhých dvou ˇrádc´ıch zajiˇst’uje posun historie vstupu. • Blok na dalˇs´ıch dvou ˇrádc´ıch urˇcuje hodnotu výstupu. Zde je vyuˇzit vnˇejˇs´ı popis systému. Jsou to vlastnˇe parametry systému. Celé ˇrádky na nichˇz blok leˇz´ı jsou oznaˇcovány jako Θ ∈ Rny , nu (ru +1)+ny (ry +1)+1 . Matice Θ má prvky pˇripadaj´ıc´ı referenˇcn´ım hodnotám (posledn´ıch nu + ny ˇrádk˚ u) nulové, protoˇze ty nejsou ˇcást´ı p˚ uvodn´ıho systému, ovlivˇ nuj´ı pouze regulaci. • Blok na ˇctvrté dvojici ˇrádk˚ u posouvá historii výstupu. • Zbytek matice, posledn´ıch pˇet jedniˇcek na diagonále, zachovávaj´ı konstantn´ıch pˇet posledn´ıch sloˇzek vektoru rozˇs´ıˇreného stavu. Matice P je generována funkc´ı matp.

10

3.2.4

V´ yvoj syst´ emu

ˇ Casov´ y vývoj rozˇs´ıˇreného stavu systému lze popsat následuj´ıc´ı smyˇckou 1. t 2. z(u11 u21 ) 3. z 4. t 5. jdi na 2.

= = = =

1 z = z0 1 (u (t) u2 (t)) Pz t+1

(3.3)

Obsah vektoru z se v jednotlivých kroc´ıch mˇen´ı. Pro zvýraznˇen´ı vývoje stavu vzhledem k ˇcasu, je zde tabulka, která ukazuje d˚ uleˇzitou ˇcást stavu po proveden´ı kroku 2. a 3. z

pˇred kr. 2. po kr. 2. po kr. 3.

u11 u21 u12 u22 y11 y12 y21 y22

0 0 u1 (t − 1) u2 (t − 1) y 1 (t − 1) y 2 (t − 1) y 1 (t − 2) y 2 (t − 2) .. .

.. .

u1 (t) u2 (t) u1 (t − 1) u2 (t − 1) y 1 (t − 1) y 2 (t − 1) y 1 (t − 2) y 2 (t − 2) .. .

0 0 u1 (t) u2 (t) y 1 (t) y 2 (t) y 1 (t − 1) y 2 (t − 1) .. .

(3.4)

teˇcky na posledn´ım ˇrádku nahrazuj´ı nezaj´ımavou ˇcást stavu, to jest konstantn´ı jedniˇcku a referenˇcn´ı hodnoty. Simulace vývoje je ve funkci simsys, která nav´ıc ˇr´ıd´ı systém ve smyslu LQ–regulace. Prakticky je vˇsak rychlejˇs´ı m´ısto násoben´ı matic´ı P pouze posouvat stav a aktuáln´ı výstup poˇc´ıtat (y11, y12)T = Θ z. Matice P se uplatn´ı pˇredevˇs´ım pˇri výpoˇctu zákona ˇr´ızeni v LQ–regulaci.

3.3

Regul´ ator

LQ regulátor patˇr´ı do rodiny prediktivn´ıch regulátor˚ u a jeho ˇcinnost je zaloˇzena na pˇredv´ıdán´ı chován´ı ˇr´ızeného systému urˇcitý ˇcas do budoucna podle modelu systému, který je v regulátoru obsaˇzen. Je nutné rozliˇsit aktuáln´ı ˇcas t, ve kterém prob´ıhá regulaˇcn´ı krok a ˇcas hloubky predikce τ , tj. posunut´ı v˚ uˇci aktuáln´ımu ˇcasu. Pˇri predikci, by mˇely být vˇsechny pˇredv´ıdané veliˇciny oznaˇceny dvˇema ˇcasy, napˇr z(t, τ ) je predikovaný stav skuteˇcného stavu z(t + τ ). 11

V této sekci bude pro zjednoduˇsen´ı zápisu aktuáln´ı ˇcas t z výraz˚ u vynechán a budeme uvádˇet pouze ˇcas prdikce τ .

3.3.1

Ztr´ atov´ a funkce

Optimáln´ı pr˚ ubˇeh stavu systému v ˇcasovém horizontu optimalizace T je pro LQ–regulátor urˇcen jako minimum aditivn´ı ztrátové funkce L=

T X

l(τ ) ,

τ =1

kde l(τ ) je ztráta v ˇcase τ . Je to kvadratická forma (rozˇs´ıˇreného) stavu systému l(τ ) = z(τ )T Q z(τ ) . ˇ adané chován´ı regulace je Matice Q je symetrická pozitivnˇe semidefinitn´ı. Z´ tam, kde je ztráta l nejmenˇs´ı (nulová). Pˇr´ıklad kritéria. Chceme, aby výstupy y11 a y12 sledovaly pˇredepsané hodnoty y01 a y02 , pˇri tom by vˇsak nemˇely být vstupy systému pˇr´ıliˇs veliké, tj. nemˇely by být moc vzdálené hodnotám u10 a u20 . Pro takovéto poˇzadavky na regulaci je v ˇcase τ ztráta l(τ ) = qu1 (u11 − u10 )2 + qu2 (u21 − u20 )2 + qy1 (y11 − y01)2 + qy2 (y12 − y02)2

(3.5)

uleˇzitosti jednotlivých sˇc´ıtanc˚ u kritéria, jsou to koeficienty q•• urˇcuj´ı váhy d˚ nezáporná reálná ˇc´ısla. Matice Q pro takové kritérium je u11 u21 · · · y11 y12 u1 qu1 · · · .. u21  qu2  . ..  .   y11  qy1  2 y1  qy2 ..  .. .. .  . .  u10 −qu1 · · ·  u20  −qu2  . y01  −qy1 .. y02 −qy2 1

Q=

· · · u10 u20 · · · −qu1 .. . −qu2 ···

.. .

· · · qu1 ···

qu2

y01

y02



      −qy1  · · · −qy2   (3.6)       ..  .  qy1 · · · qy2

Platnost, ˇze l(τ ) = z(τ )T Q z(τ ) odpov´ıdá l(τ ) z (3.5), lze snadno ovˇeˇrit. 12

3.3.2

Minimalizace ztr´ atov´ e funkce

Vstup je jediné co lze ovlivˇ novat, proto hledáme minimum kritéria L pˇres vˇsechny vstupy v ˇcasovém horizontu regulace. Funkce l(τ ) je funkc´ı stavu z(τ ) a ten závis´ı na pˇredchoz´ım stavu z(τ − 1) a aktuáln´ım vstupu u(τ ). Na vstupu v ˇcase 1 závis´ı funkce l(τ ) pro vˇsechna τ . Na vstupu v posledn´ım ˇcasovém okamˇziku horizontu T závis´ı pouze funkce l(T ). Této vlastnosti vyuˇz´ıvá dynamické programován´ı, kdy se provede nejprve minimalizace posledn´ıho sˇc´ıtance z L, tedy l(T ), podle u(T ). Nalezené minimum, oznaˇc´ıme hmin (T ), jiˇz nezávis´ı na u(T ), ale pouze na pˇredchoz´ıch vstupech. V dalˇs´ım kroku se minimalizuje l(T − 1) + hmin (T ) pˇres u(T − 1). Výsledek oznaˇcme hmin (T − 1). Takto postupnˇe provád´ıme minimalizaci výrazu. To je moˇzno zapsat rekurentn´ı rovnic´ı hmin (τ ) = min(l(τ ) + hmin (τ + 1)),

∀τ ∈ h1, T i

(3.7)

hmin (T + 1) = 0

(3.8)

u(τ )

od ˇcasu T aˇz k poˇcátku. Hodnota hmin (τ ) je minimum hmin (τ ) =

min

u(τ ), τ ∈{τ ...T }

T X

l(i)

i=τ

coˇz jest ztráta od ˇcasu τ do konce horizontu. Funkce hmin (τ ) se proto nazývá optimal cost to go. hmin (1) je minimáln´ı ztráta L pro celý horizont regulace. Hodnoty vstup˚ u vedouc´ı k optimalitˇe jsou dány argumentem minima uopt (τ ) = arg min(l(τ ) + hmin (τ + 1)), u(τ )

∀τ ∈ h1, T i

Ukazuje se, ˇze uopt nen´ı vyjádˇreno absolutnˇe, ale výrazem uopt (τ ) = cl(τ ) x(τ ) , kde cl(τ ) je tzv. zákon ˇr´ızen´ı (control law). Pro ˇr´ızen´ı v kaˇzdém kroku !rozmer pouˇzijeme pouze cl(τ ) v ˇcase τ = 1, protoˇze z(1) obsahuje skuteˇcnou, cl, zak namˇeˇrenou hodnotu stavu, nikoliv predikci. riz je to cl a u(1) = cl(1) z(1) ne ten Pokud je l(τ ) nezávislé na kroku regulace, ˇci-li matice Q je konstantn´ı, je soucin moˇzno zákon ˇr´ızen´ı cl(1) vypoˇc´ıtat pouze jednou, protoˇze je konstantn´ı téˇz. 13

3.3.3

Matice v odmocninov´ e formˇ e

√ uheln´ıková Odmocnina matice A, oznaˇcme A, pokud existuje, je horn´ı troj´ √ T√ matice splˇ nuj´ıc´ı A = A A. [kdy existuje (PSD)? jednoznaˇ cnost?] [d´ at sem to tvrzen´ ı z d˚ ukazu.] [m´ a se odmocnina definovat jako horn´ ı troj˚ uheln´ ıkov´ a, nebo je to jedno, protoˇ ze ji lze na HT vˇ zdy upravit n´ asoben´ ı OG matic´ ı.

3.3.4

Ztr´ atov´ a funkce v odmocninov´ e formˇ e

Ztrátovou funkci l(τ ) lze vyjádˇrit v odmocninové formˇe p Tp l(τ ) = z(τ )T Q z(τ ) = z(τ )T Q Q z(τ ) = T p p p p Tp Q z(τ ) Q z(τ ) = l(τ ) l(τ ) = k l(τ )k2 = p

l(τ ) =

p Q z(τ )

pˇredefinovat odmocninu i na matice (3.9)

Pro ilustraci odmocnina matice Q z rovnice (3.6) je u11 u21 √q 1 u √ qu2  p  Q = 

3.3.5

· · · y11 √

qy1

y12

√

· · · u10 √ − qu1

u20 √ − qu2

qy2

y01 √ − qy1

y02 

  (3.10)  √  − qy2

Dynamick´ e programov´ an´ı v odmocninov´ e formˇ e

Pro snadnˇejˇs´ı zápis definujeme h(τ ) jako h(τ ) = l(τ ) + hmin (τ + 1) Minimalizujeme stejný výraz jako (3.7), ale v odmocninové formˇe, tedy k

p

p p hmin (τ )k = min k l(τ ) + hmin (τ + 1)k = min k h(τ )k, u(τ )

u(τ )

p Nyn´ı dokáˇzeme, ˇze výraz h(τ ) lze vyjádˇrit p h(τ ) = H(τ )z(τ ), ∀τ ∈ h1, T i 14

∀τ ∈ h1, T i (3.11) (3.12)

kde H je jistá horn´ım troj´ uheln´ıková odmocnina a ˇze optimáln´ı ˇr´ızen´ı je tvaru uopt (τ ) = cl(τ ) x(τ ),

∀τ ∈ h1, T i

(3.13)

kde cl(τ ) je matice pˇr´ısluˇsných rozmˇer˚ u. • Pro τ = T + 1 je h(T + 1) = 0, protoˇze jsme na konci simulace a stav za horizontem nemá na optimalitu ˇzádný vliv. Plat´ı tedy p p p p h(T ) = l(T ) + hmin (T + 1) = l(T ) = Q z(T ) √ ˇcili H(T ) = Q. • Necht’ pro jisté τ plat´ı

p

h(τ ) = H(τ )z(τ )

(3.14)

kde H(τ ) je odmocnina v horn´ım troj´ uheln´ıkovém tvaru. Dokáˇzeme, ˇze pak plat´ı p h(τ − 1) = H(τ − 1)z(τ − 1) (3.15) Podle (3.11) a indukˇcn´ıho pˇredpokladu (3.14) je p k hmin (τ )k = min kH(τ )z(τ )k u(τ )

(3.16)

Pˇrep´ıˇseme souˇcin na pravé stranˇe v normˇe do blokového tvaru    u(τ ) Huu Hux         x(τ )  (3.17) H(τ )z(τ ) =  0 H xx        0 0 Hledáme minimum normy tohoto souˇcinu vzhledem k u(τ ), na u(τ ) závis´ı pouze prvn´ıch nu sloˇzek souˇcinu, nebot’ matice H je horn´ı troj´ uheln´ıková. Pro dosaˇzen´ı minima vol´ıme takové u(τ ), aby tyto prvn´ı sloˇzky byly minimáln´ı. Pokud nejsou ˇzádné dalˇs´ı poˇzadavky na vstup, lze dosáhnout toho, ˇze jsou nulové. Huu u(τ ) + Hux x(τ ) = 0 Optimáln´ı ˇr´ızen´ı potom je u(τ ) = −H−1 uu Hux x(τ ) 15

(3.18)

Tak jsme z´ıskali zákon ˇr´ızen´ı uopt (τ ) = cl(τ ) x(τ )

(3.19)

kde cl(τ ) = −Huu (τ )−1 Hux (τ ) a dokázali tak (3.13) pro jedno τ , pro vˇsechna τ bude dokázáno aˇz po ukonˇcen´ı indukce. Protoˇze vˇzdy budeme volit u(τ ) optimáln´ı, nebude jiˇz souˇcin (3.17) záviset na u(τ ) a prvn´ıch nu sloˇzek souˇcinu bude vˇzdy nulových. Hodnota normy se nezmˇen´ı pokud tyto prvn´ı nulové sloˇzky u ´plnˇe vypust´ıme. To lze provést vypuˇstˇen´ım blok˚ u Huu a Hux z matice H ˜ Minimáln´ı a zbyde jen matice z bloku nul a bloku Hxx, oznaˇc´ıme ji H. odmocnina funkce h(τ ) je potom p ˜ )z(τ ) hmin (τ ) = H(τ

˜ pˇripadnou pˇri násoben´ı vstup˚ Podle konstrukce matice H um jen nuly a výsledek na aktuáln´ım vstupu tedy nezávis´ı. Násoben´ı stavu z(τ ) matic´ı P dostaneme stav z(τ +1) ovˇsem bez vstupu, který samozˇrejmˇe nen´ı d˚ usledkem, ale pˇricház´ı zvenku. 0 u(τ ) = Pz(τ ) = P x(τ + 1) x(τ )

˜ Vstup je formálnˇe nastaven na nulu, coˇz vˇsak pˇri násoben´ı matic´ı H nevad´ı. Proto plat´ı p ˜ )z(τ ) = H(τ ˜ )Pz(τ − 1) hmin (τ ) = H(τ (3.20) Tvrzen´ı: Necht’ A = F T F , B = GT G a C = H T H jsou odmocniny, pak z definice maticového násoben´ı plyne T F F T C =A+B =H H = G G a tedy

F H= G

Z tohoto tvrzen´ı, z (3.20) a z (3.9) plyne 16

p

h(τ − 1) =

Oznaˇc´ıme

p

˜ p hmin (τ ) H(τ )P √ = z(τ −1) l(τ − 1) + hmin (τ ) = p Q l(τ − 1) (3.21) ˜ H(τ )P √ H (τ − 1) := Q

(3.22)

H(τ − 1) = TH′ (τ − 1)

(3.23)

′

matice H′ (τ − 1) vˇsak nemus´ı být horn´ı troj´ uheln´ıková. Horn´ı troj´ uheln´ıkovou matici H(τ − 1) stejných vlastnost´ı z´ıskáme vynásoben´ım vhodnou ortogonáln´ı matic´ı T

tak zmˇen´ıme pouze odmocninu, ale neodmocnˇený tvar se nezmˇen´ı, protoˇze I z }| { H′T H′ = H′T TT T H′ = (TH′ )T (TH′ )

Pro nalezen´ı ortogonáln´ı matice T lze pouˇz´ıt QR-algoritmus. Z (3.22) a (3.23) dostaneme pˇresnˇe rovnici (3.15) p h(τ − 1) = H(τ − 1)z(τ − 1) kterou jsme chtˇeli dokázat.

Uzavˇren´ım indukce také v´ıme, ˇze zákon ˇr´ızen´ı (3.13) plat´ı pro celý horizont regulace.

3.3.6

Algoritmus pro v´ ypoˇ cet z´ akona ˇ r´ızen´ı

Konstrukce d˚ ukazu v pˇredchoz´ı sekci dává algoritmus pro výpoˇcet zákona ˇr´ızen´ı cl(1) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 6.

τ H H H H τ

= = = = = =

√ T , H = Q horn´ı troj´ uheln´ıková H bez blok˚ u Huu a Hux HP H √ Q

TH , kde T je ortog. a taková, ˇze levá strana je hor. troj. τ −1 pokud τ > 0, jdi na 2. cl = H−1 uu Hux (3.24) 17

Krok 5. je realizován QR-rozkladem matice H na souˇcin ortogonáln´ı a horn´ı troj´ uheln´ıkové matice TT H := H Pro zvýˇsen´ı stability výpoˇctu je vhodné v 1. kroku volit H = αI kde α je dostateˇcnˇe velké ˇc´ıslo.

3.3.7

napsat proˇc

Optim´ aln´ı ˇ r´ızen´ı

Algoritmus (3.24) vypoˇc´ıtá zákon ˇr´ızen´ı cl(1). Výpoˇcet predikce prob´ıhal v ˇcase t, proto lze cl(1) oznaˇcit cl(t, 1) podle u ´ mluvy ze sekce 3.3. Funkce cl(t, 1) nezávis´ı na stavu, ale jen na matici Q, která nezávis´ı na ˇcase. Pro ˇr´ızen´ı je potˇreba pouze cl(t, τ ) pro τ = 1. Z tˇechto d˚ uvod˚ u budeme oznaˇcovat cl(t, 1) = cl. A tedy optimáln´ı vstup ve smyslu LQ-regulace je uopt (t) = cl x(t) Matici cl je moˇzno vypoˇc´ıtat pouze jednou pro dané Q.

18

Kapitola 4 Vstupn´ı omezen´ı Velikost vstupn´ı veliˇciny je u skuteˇcného systému témˇeˇr vˇzdy omezena. Toto omezen´ı vyjádˇr´ıme mnoˇzinou U, ve které mus´ı leˇzet hodnota vstupu u ∈ U ⊂ R nu Obrázek 2D omezuj´ıc´ı mnoˇziny – nˇejaká brambora

4.1

Nez´ avisl´ a vstupn´ı omezen´ı

Obrázek 2D omezuj´ıc´ı mnoˇziny nezávislé – obdéln´ık Mnoˇzina U m˚ uˇze vypadat r˚ uznˇe. Pokud vˇsak jsou omezen´ı jednotlivých sloˇzek vstup˚ u navzájem nezávislá a omezen´ı jedné sloˇzky nezávis´ı na hodnotˇe jiných sloˇzek ui ∈ huimin , uimax i, pro i = 1, · · · , nu mnoˇzina moˇzných vstup˚ u U je potom kartézským souˇcinem tˇechto interval˚ u nu Y huimin , uimax i U=

(4.1)

i=1

a tvoˇr´ı nu -rozmˇerný kvádr. Vlastnost u ∈ U, je moˇzno napsat jako umin ≤ u ≤ umax Pˇri konstrukci smyˇcky regulátor—systém, je tˇreba zajistit, aby do ˇr´ızeného systému byl pˇrivádˇen vstup leˇz´ıc´ı v mnoˇzinˇe U. Je nˇekolik moˇznost´ı jak toho dosáhnout

19

4.2

Dodrˇ zen´ı vstupn´ıch omezen´ı

a) tvrd´ a omezen´ı vstup navrhovaný regulátorem jistým zp˚ usobem omezit tak, aby náleˇzel do U b) mˇ ekk´ a omezen´ı nastavit regulátor a jeho parametry tak, aby k poruˇsen´ı omezen´ı nedocházelo c) kombinace pˇredchoz´ıch dvou, tj. nastavit regulátor tak, aby k poruˇsen´ı docházelo co nejménˇe, a pak vstupy jeˇstˇe dodateˇcnˇe omezovat

4.3 4.3.1

Vliv vstupn´ıch omezen´ı na syst´ em – regul´ ator

smyˇ cku

Tvrd´ a omezen´ı

Tvrdé omezuj´ıc´ı podm´ınky na vstupy zp˚ usob´ı, ˇze výsledný systém jiˇz nen´ı lineárn´ı a výpoˇcet je podstatnˇe sloˇzitˇejˇs´ı. Prediktivn´ı regulátory, které jsou na omezuj´ıc´ı podm´ınky pˇr´ımo stavˇeny se nazývaj´ı GPC–regulátory a jsou zaloˇzeny na metodˇe kvadratického programován´ı. Tyto regulátory vˇsak svou nelinearitou pˇrináˇs´ı pot´ıˇze pˇri urˇcován´ı jejich asymptotických vlastnost´ı a stability.

4.3.2

Mˇ ekk´ a omezen´ı

Mˇekká omezen´ı jsou realizována pouhou zmˇenou parametr˚ u regulátoru. Regulovaný systém neztrat´ı na linearitˇe. Nevýhodou je ovˇsem celkové utlumen´ı vstup˚ u i tam, kde to nen´ı vzhledem ke vstupn´ım omezen´ım nutné. Výsledkem je horˇs´ı regulace ve smyslu poˇzadovaných hodnot výstupu.

4.4 4.4.1

Tvrd´ a omezen´ı vstupu vypoˇ cten´ eho LQregul´ atorem Jednoduch´ e omezen´ı vstupu

Uvaˇzujme pˇr´ıpad, kdy LQ-regulátor navrhuje vstup, který neodpov´ıdá omezen´ım. Vstup je ze zákona ˇr´ızen´ı dán u ˜ = cl x 20

vstup je oznaˇcen vlnkou, protoˇze opravdový vstup, bez vlnky, bude omezen. Nejjednoduˇsˇs´ı omezen´ı je, aby skuteˇcný vstup byl co moˇzná nejbl´ıˇze vstupu ze zákona ˇr´ızen´ı u = arg min ku − u ˜k u∈U

Pokud je omezuj´ıc´ı mnoˇzina U jen nu -rozmˇerný kvádr (4.1), staˇc´ı omezit pouze jednotlivé sloˇzky u na nejbliˇzˇs´ı bod pˇr´ısluˇsného intervalu huimin , uimax i. Toto je jistˇe pˇrirozená volba omezen´ı skuteˇcného vstupu, pokud známe pouze vstup daný regulátorem.

4.4.2

Omezen´ı vstupu vych´ azej´ıc´ı z principu LQ regul´ atoru

Obrázek, Pˇri LQ regulaci vˇsak m˚ uˇzeme znát v´ıc. M˚ uˇzeme hledat minimum normy jak se souˇcinu (3.17), coˇz je totéˇz, jako hledat minimum normy vektoru sestaveného omezuje z prvn´ıch nu sloˇzek tohoto souˇcinu klasicky u = arg min kHuu u + Hux xk2 (4.2) a jak u∈U pˇres kde matice Huu a Hux jsou z posledn´ıho kroku dynamického programován´ı, QP kde τ = 1. Pˇri omezen´ıch jiˇz nebude vˇzdy moˇzné dosáhnout nuly, tak jako v (3.18). Minimalizace (4.2) vede na u ´ lohu kvadratického programován´ı u = arg

min

umin ≤u≤umax

(uT HTuu Huu u + 2xT HTux Huu u)

(4.3)

V kaˇzdém kroku regulace mus´ı probˇehnout algoritmus kvadratického programován´ı, který je v obecném pˇr´ıpadˇe pomˇernˇe ˇcasovˇe nároˇcný. Poˇcet vstup˚ u systému je vˇsak zpravidla n´ızký, takˇze doba potˇrebná pro výpoˇcet je pˇrijatelná.

4.4.3

Omezen´ı realizovan´ e GPC regul´ atorem

GPC regulátor minimalizuje ztrátovou funkci vˇcetnˇe predikce pouze metodou kvadratického programován´ı a v˚ ubec nepouˇz´ıvá zákon ˇr´ızen´ı. Výhodou je, ˇze jsou vstupn´ı omezen´ı dodrˇzována i pˇri predikci. Nevýhodou znaˇcná ˇcasová nároˇcnost výpoˇctu a obt´ıˇzné urˇcován´ı asymptotických vlastnost´ı systému.

21

Kapitola 5 Parametry regul´ atoru d˚ uleˇ zit´ e pro zajiˇ stˇ en´ı vyhovuj´ıc´ıch vstup˚ u Dalˇs´ı moˇznost jak udrˇzet vstupy povoleném rozsahu, je vhodnˇe nastavit váhy u, budou vstupy q•• v kritériu (3.5). Pokud nastav´ıme vˇetˇs´ı penalizaci vstup˚ optimáln´ıho ˇr´ızen´ı menˇs´ı. Dostateˇcnˇe velkou hodnotu tˇechto vah lze doc´ılit splnˇen´ı vstupn´ıch omezen´ı. Omezen´ı vstup˚ u pouhým zvýˇsen´ım odpov´ıdaj´ıc´ıch parametr˚ u v kritériu nen´ı naprosto spolehlivé a je nutno jeˇstˇe vstupy omezovat nˇekterým zp˚ usobem z kapitoly 4.4. D˚ uvodem je napˇr´ıklad velká porucha v ˇsumu, regulátor zareaguje ˇr´ızen´ım u ´ mˇerným velikosti poruchy. Pokud povaˇzujeme ˇsum za normálnˇe rozdˇelený, nelze pˇredem vylouˇcit i libovolnˇe velikou poruchu. Pˇri tomto zp˚ usobu dodrˇzen´ı vstupn´ıch omezen´ı, jsou tvrdé korekce vstup˚ u na vstupy z kapitoly 4.4 pouˇzita jen minimálnˇe, a lze pouˇz´ıt znalosti o asymptotickém chován´ı LQ-regulátoru. Volba velké penalizace vstup˚ u ve ztrátové funkci m˚ uˇze pˇreváˇzit penalizaci výstup˚ u a systém pak jiˇz pˇrestává být ˇr´ızen. To je neˇzádouc´ı. V této kapitole je ztrátovou funkc´ı m´ınˇena funkce L, která je pouˇzita pˇri výpoˇctu zákona ˇr´ızen´ı, tedy pˇred nebo v pr˚ ubˇehu regulaˇcn´ıho procesu.

5.1

Druhy penalizace krit´ eriu

v

kvadratick´ em

V kapitole 3.3.1 je uvedeno kritérium penalizace (3.5), to vˇsak nen´ı jediná moˇznost jak m˚ uˇze vypadat. 22

Nyn´ı budou uvedeny r˚ uzné druhy vah, jejichˇz lineárn´ı kombinaci lze pouˇz´ıt jako ztrátovou funkci. 1. penalizace odchylky od referenˇcn´ı hodnoty Tato penalizace má tvar (u•1 − u•0 )2 pro vstupy a pro vstupy vypadá obdobnˇe. Lze ji povaˇzovat za základn´ı váhu, protoˇze vystihuje náˇs prvoˇradý c´ıl – sledovat referenˇcn´ı trajektorie. Je pouˇzita v rovnici (3.5). 2. penalizace pˇr´ır˚ ustk˚ u vstup˚ u ´ kol je zabránit pˇr´ıliˇs rychlým zmˇenám Je tvaru (u•1 − u•2 )2 a jej´ı u mezi jednotlivými kroky regulace. C´ılem této penalizace je pomoci pˇri udrˇzován´ı vstup˚ u v povoleném rozsahu. (Moˇzná by mohlo být uˇziteˇcné pouˇz´ıt tuto váhu i na výstupy.) 3. vzájemná penalizace rozd´ılu dvou r˚ uzných veliˇcin 2 2 1 u by mohla Je tvaru (u1 − u1 ) a v urˇcitých pˇr´ıpadech MIMO systém˚ m´ıt d˚ uleˇzitý vliv na udrˇzen´ı vstup˚ u v povoleném rozsahu. Pokud je vˇsak u10 6= u20 , pak tato penalizace bude p˚ usobit proti penalizaci na dodrˇzován´ı referenˇcn´ı hodnoty, která je v´ıce – ménˇe prvoˇradé ˇ sen´ım je tato modifikace ((u1 − u1 ) − (u2 − u2 ))2 . d˚ uleˇzitosti. Reˇ 1 0 1 0 Penalizace z dvou pˇredchoz´ıch bod˚ u jsou ve výsledné ztrátové funkci násobeny nezápornými koeficienty (váhami) q• . V tomto pˇr´ıpadˇe je moˇzné koeficient dostat pod mocninu, pˇritom u kaˇzdého ze ˇclen˚ u rozd´ılu m˚ uˇze být koeficient jiný (q•1 (u11 − u10 ) − q•2 (u21 − u20 ))2 .

4. dalˇs´ı moˇznosti penalizac´ı jako je napˇr´ıklad vzájemná penalizace tˇr´ı r˚ uzných veliˇcin, nebo m´ısto penalizace pˇr´ır˚ ustk˚ u, aproximuj´ıc´ıch prvn´ı derivaci, penalizovat aproximaci tˇret´ı derivace. Moˇznost´ı je v´ıce.

5.2

Obecn´ a penalizace volbou cel´ e odmocniny krit´ eria

M´ısto zabudováván´ı jednotlivých druh˚ u penalizac´ı do kritéria jako v pˇredchoz´ı sekci je moˇzné vz´ıt celý troj´ uheln´ık odmocniny jako jednu penalizaci, jej´ıˇz váhy jsou právˇe prvky troj´ uheln´ıkové odmocniny. Výhodou tohoto pˇr´ıstupu je, ˇze v takové to penalizaci jsou zastoupeny vˇsechny moˇzné druhy penalizac´ı z pˇredchoz´ı sekce. Nevýhodou je velké mnoˇzstv´ı parametr˚ u (vah) kritéria. Poˇcet prvk˚ u n(n+1) troj´ uheln´ıku matice n × n je 2 . 23

Který z tˇechto dvou pˇr´ıstup˚ u je lepˇs´ı to zat´ım nev´ım. Výchoz´ı penalizac´ı pˇri tomto postupu vol´ıme tak, aby pouze výstupy sledovaly referenˇcn´ı hodnoty – to je c´ılem regulace. V dalˇs´ıch iterac´ıch zaˇcnou m´ıt vliv penalizace vstup˚ u. nev´ım jestli to dokonverguje k nejlepˇs´ımu ˇreˇsen´ı, jestli to tˇreba nezaˇcne zhorˇsovat výstupy, i kdyˇz by existovalo jiné ˇreˇsen´ı jak zlepˇsit vstupy, ale asi to bude stejné jako ve zp˚ usobu z pˇredchoz´ı kapitoly. Moˇzná bude potom nutné prohledat vˇsechna ˇreˇsen´ı na nejlepˇs´ı výstup. To bude ale pracné.

iterace patˇr´ı aˇz do metod optimalizace 5.3 Penalizace odchylky reference a velikosti toto dát pˇ r´ır˚ ustk˚ u vstup˚ u v maticov´ e formˇ e aˇz do Obecná penalizace je pˇr´ıliˇs výpoˇcetnˇe nároˇcná a výsledek nemá jasnou popisu fyzikáln´ı interpretaci. Jednotlivé druhy penalizac´ı jsou zas pˇr´ıliˇs konkrétn´ı. metody miniUrˇcitý kompromis ve volbˇe penalizace je ztrátová funkce ve tvaru mali(u1 − u0 )T Qu (u1 − u0) + (u2 − u1 )T Qdu (u2 − u1 ) + (y1 − y0 )T I(y1 − y0 ) ace kde u1 je aktuáln´ı vektor vstupu, u0 je referenˇcn´ı hodnota a u2 je vstup spoˇzdˇený o jeden krok. P´ısmeno I oznaˇcuje jednotkovou matici. Matice Qu penalizuje velikost vstup˚ u. Jej´ı diagonáln´ı prvky urˇcuj´ı váhu odchylky vstupu od referenˇcn´ı hodnoty. Mimodiagonáln´ı prvky definuj´ı váhy kˇr´ıˇzových penalizac´ı. Velikost pˇr´ır˚ ustk˚ u vstupn´ı veliˇciny penalizuje matice Qdu diagáln´ımi prvky. Obdobnˇe prvky mimo diagonálu penalizuj´ı kˇr´ıˇzové velikosti zmˇen pˇr´ır˚ ustk˚ u hodnot vstup˚ u. Obˇe matice Qu i Qdu mus´ı být pozitivnˇe semidefinitn´ı. Nebo Penalizace výstup˚ u je konstantnˇe jednotková matice. definitn´ı? Význam matic Qu a Qdu a jejich diagonáln´ıch a mimodiagonáln´ıch prvk˚ u bude demonstrován na simulovaných systémech. XXX struktura matice Q sestavená z bloku Qu a Qdu . XXXX

5.4

Hodnocen´ı regul´ atoru za omezuj´ıc´ıch podm´ınek

Pokud má ˇr´ızený systém omezen´ı na vstup a je nutno upravit regulátor zmˇenou jeho parametr˚ u. Vybereme takové parametry, aby regulace byla co nejlepˇs´ı. Vlastnost ”nejlepˇs´ı regulace” definujeme jako minimum jisté ztrátové funkce. 24

Pro tento u ´ˇcel definujeme ztrátovou funkci V , která bude m´ıt podobný význam jako ztrátová funkce L v sekci 3.3.1. Rozd´ıl je vˇsak v tom, ˇze ztrátová funkce V nebude pouˇzita v pr˚ ubˇehu regulace, ˇci sp´ıˇse pˇri prediktivn´ım výpoˇctu zákona ˇr´ızen´ı cl jako funkce L. Naopak, funkce V bude hodnotit pr˚ ubˇeh veliˇcin systému aˇz po proveden´ı simulace. Funkce L nem˚ uˇze zastoupit funkci V , protoˇze LQ-regulace je pro L vˇzdy optimáln´ı - funkce nem˚ uˇze hodnotit sama sebe. Dalˇs´ım d˚ uvodem je omezován´ı vstup˚ u, které je aplikováno aˇz na regulátorem navrhovaný vstup a ten o nˇem tedy “nev´ı”. Ztrátová funkce V je aplikována na výsledný pr˚ ubˇeh veliˇcin regulace, ten je vˇsak dán parametry regulátoru a proto je V funkc´ı tˇechto parametr˚ u. Obecnˇe bude m´ıt tvar bud’to pr˚ umˇeru nebo maxima z jednotlivých ztrát, které závis´ı na konkrétn´ıch ˇcasových kroc´ıch regulace. Pt=Tsim v(t) V = t=1 (5.1) Tsim nebo V =

max v(t)

t=1,...Tsim

(5.2)

kde Tsim je poˇcet krok˚ u simulace. Ztrátová funkce tvaru sumy je vhodná pro trvalé akˇcn´ı zásahy napˇr´ıklad pˇri kompenzaci poruchy. Pokud budeme hodnotit vstupy v systému, který reaguje napˇr´ıklad na skok, bude vhodné poˇc´ıtat maximum z d´ılˇc´ıch funkc´ı v, protoˇze skok je proveden v jednom kroku a vstupy se ustál´ı také rychle. Kdyby byla ztráta dána pr˚ umˇerem, záleˇzela by pak na délce regulace, pˇr´ıpadnˇe na poˇctu skok˚ u. Taková ztrátová funkce m˚ uˇze hodnotit napˇr´ıklad chován´ı výstup˚ u pˇri regulaci s omezovaˇcem, vstup˚ u pˇri regulaci bez tvrdých omezen´ı (jak to udˇelat v praxi) nebo výstup˚ u na oblasti parametr˚ u s dobrým chován´ım vstup˚ u

5.4.1

Hodnocen´ı v´ ystup˚ u pˇ ri regulaci s omezovaˇ cem

Pˇrirozený poˇzadavek na regulátor je, aby ˇr´ızený systém vykazoval minimáln´ı odchylku výstupu od poˇzadovaných výstupn´ıch hodnot. Omezen´ı vstupu lze jednoduˇse zajistit vloˇzen´ım omezovac´ıho ˇclenu na vstup ˇr´ızeného systému. Ztrátu v jednom kroku regulace vy (t) pro tento pˇr´ıpad definujeme jako nˇejakou vzdálenost výstupu od jeho referenˇcn´ı hodnoty vy (t) = ky(t) − y0 (t)k?

(5.3)

Pouˇzitá norma m˚ uˇze být r˚ uzná, napˇr. pr˚ umˇer nebo maximum z jednotlivých sloˇzek výstupu, pokud jich má systém v´ıc. 25

Celková ztráta Vy závis´ı na tˇechto d´ılˇc´ıch ztrátách vy jedn´ım ze zp˚ usob˚ u 5.1 nebo 5.2. Globáln´ı minimum funkce Vy je v bodˇe, který odpov´ıdá parametr˚ um nejlepˇs´ıho regulátoru. Aˇckoli je tento pˇr´ıstup k hodnocen´ı regulátoru velmi objektivn´ı, má i své váˇzné nedostatky. Napˇr´ıklad pˇri velmi pˇr´ısn´ ych omezen´ıch se bude vstup pohybovat témˇeˇr vˇzdy na hranici povolené oblasti, omezen´ı budou skoro vˇzdy aktivn´ı. T´ım se ovˇsem ztrat´ı hladkost pr˚ ubˇehu regulace, a tak se dostav´ı stejný problém jako u GPC regulátor˚ u, nebude moˇzné urˇcit asymptotické vlastnosti regulaˇcn´ı smyˇcky.

5.4.2

Hodnocen´ı vstup˚ u pˇ ri regulaci bez omezen´ı

Dodrˇzen´ı vstupn´ıch omezen´ı lze dosáhnout i jinak neˇz pouhým zapojen´ım omezovac´ıho ˇclenu. Budeme hledat takové parametry regulátoru pˇri kterých bude vstup co nejménˇe poruˇsovat omezen´ı. Vlastnost výstupu necháme zat´ım stranou. Hodnot´ı se pouze vstupy podle m´ıry pˇrekroˇcen´ı vstupn´ıch omezen´ı. Obvod regulace je bez omezovac´ıho ˇclenu. Chován´ı výstup˚ u se nehodnot´ı. Jednou z moˇznost´ı je poˇc´ıtat ztrátovou funkci jako souˇcet d´ılˇc´ıch ztrátových funkc´ı jednotlivý krok˚ u regulace. Kaˇzdá taková d´ılˇc´ı funkce bude vyjádˇrena nˇejakým druhem vzdálenosti aktuáln´ıho vstupu od mnoˇziny dané vstupn´ımi omezen´ımi. Skuteˇcná ztrátová funkce bude m´ıt jistou toleranci pro poruˇsen´ı vstup˚ u. Napˇr´ıklad pokud do systému vstupuje ˇsum, nen´ı moˇzné vylouˇcit, ˇze k pˇrekroˇcen´ı omezen´ı nˇekdy stejnˇe dojde, a proto je tato tolerance potˇrebná. Od sumy d´ılˇc´ıch ztrátových funkc´ı bude tato tolerance odeˇctena, výsledek oznaˇc´ıme Vu . Znaménko Vu rozdˇeluje parametrický prostor na dvˇe ˇcásti. Oblast, ve které je záporné obsahuje regulátory, které vedou k dodrˇzen´ı vstupn´ıch omezen´ı v dané toleranci nebo lépe. V m´ıstech s kladným znaménkem funkce Vu jsou omezen´ı dodrˇzována nedostateˇcnˇe. Funkce Vu pro hodnocen´ı poruˇsen´ı vstupn´ıch omezen´ı U bude tvaru Vu =

t=T sim X t=1

vu (t) − utol

nebo Vu =

max vu (t) − utol

t=1,...Tsim

kde utol je tolerance pro poruˇsen´ı vstupn´ıch omezen´ı a vu je vu (t) = ̺(u(t), U) 26

Jak to provést na reálném systému? Jak ve skuteˇcnosti neomezovat?

kde ̺ je nˇejaká vzdálenost. Pokud jsou omezen´ı nezávislá, viz. (4.1), m˚ uˇze být, podobnˇe jako v pˇredchoz´ı sekci, dána pr˚ umˇerem nebo maximem z odchylek jednotlivých sloˇzek od povolené oblasti. Pˇritom kaˇzdá sloˇzka odchylky je jeˇstˇe normalizovaná podle velikosti pˇr´ısluˇsného omezen´ı. S pouˇzit´ım znaˇcen´ı z (4.1) m˚ uˇze ztrátová funkce m´ıt následuj´ıc´ı tvar P nu ̺(ui(t), huimin , uimax i) vu (t) = i=1 nu ̺ je v tomto pˇr´ıpadˇe obyˇcejná vzdálenost na reálných ˇc´ıslech. C´ılem je naj´ıt regulátor náleˇz´ıc´ı do oblasti, na které je Vu menˇs´ı nebo rovno nule. Vlastnost výstupu je nejlepˇs´ı, kdyˇz maj´ı vstupy co nejvˇetˇs´ı volnost a se zvˇetˇsuj´ıc´ımi parametry se tlum´ı vstupy. Proto bude regulátor m´ıt parametry v m´ıstech, kde se obˇe oblasti dotýkaj´ı, tedy tam, kde je Vu nulová. lépe Oblast kde je funkce Vu nulová, vˇsak nebude jen pod, ale nˇejaká nadplocha v parametrickém prostoru. Lze tedy na n´ı dále vyb´ırat. Abychom mohli formálnˇe mluvit o ztrátové funkci, je nutno brát absolutn´ı hodnotu této funkce kVu k, protoˇze ztrátová funkce se vˇzdy minimalizuje. Modifikace pro realizovatelnost Ve skuteˇcnosti nen´ı moˇzné ˇr´ıdit systém mimo povolené vstupy, protoˇze by se mohl prostˇe zniˇcit. Pˇredpokládám, ˇze vstupn´ı omezen´ı jsou maximáln´ı pˇr´ıpustné. ˇ sen´ım je pouˇz´ıt omezovaˇc vˇzdy, ale pro výpoˇcet pouˇz´ıt velikost vstupu Reˇ pˇred omezovaˇcem, nebo-li ztráta vstupu Vu bude souˇcet rozd´ıl˚ u hodnot pˇred a za omezovaˇcem.

5.4.3

Hodnocen´ı v´ ystup˚ u pˇ ri regulaci bez omezen´ı

V pˇredchoz´ı sekci bylo uvedeno, ˇze optimáln´ı regulátor ve smyslu vstupn´ıch omezen´ı leˇz´ı na jisté nadploˇse. Nyn´ı se soustˇred´ıme na vyb´ırán´ı z nejlepˇs´ıho regulátoru z této nadplochy. Nejvhodnˇejˇs´ı kritérium pro výbˇer bude jistˇe chován´ı výstup˚ u ve smyslu odchylky od ˇzádané trajektorie. Na nadploˇse budeme minimalizovat ztrátovou funkci Vy ze sekce 5.4.1. Nyn´ı se nemus´ıme omezovat jen na nadplochu, ale pˇr´ıpustné ˇreˇsen´ı je z celé ˇcásti prostoru, kde Vu je záporná nebo nulová. V pˇredchoz´ı sekci byla hranice vybrána jen proto, ˇze tam pˇredpokládáme nejlepˇs´ı ˇr´ızen´ı výstup˚ u. Ted’ vˇsak budou optimalizovány pˇr´ımo. Z optimalizaˇcn´ıho hlediska hledáme minimáln´ı Vy pˇri omezen´ı Vu ≤ 0. 27

5.5

Pravdˇ epodobnostn´ı regul´ atoru

hodnocen´ı

Chtˇelo by to znát rozdˇelen´ı ztrátové funkce V jako náhodné veliˇciny. Pouˇzit´ı dlouhé doby simulace to vˇsak ˇcásteˇcnˇe kompenzuje. Nicménˇe se najde jen stˇredn´ı hodnota a ne rozdˇelen´ı. Bylo by jistˇe uˇziteˇcné zaruˇcit, ˇze napˇr. z 90% budou vstupy dobré. A na to je nutné rozdˇelen´ı znát. (viz. ”Výzkumný u ´kol”)

28

Kapitola 6 Metody optimalizace simplex search quasi-newton SQP nejvˇetˇs´ı spád

29

Kapitola 7 Realizace v Matlabu * ´ ˇ AKTUALN ´ Í) (NENÍ UPLN E

30

Kapitola 8 Simulovan´ e pokusy V této kapitole jsou uvedeny r˚ uzné pokusy, které ilustruj´ı moˇznosti optimalizace LQ regulátoru vˇcetnˇe výpoˇcetn´ı nároˇcnosti.

8.1

Spojen´ e n´ adoby

Systém spojených nádob. Nejprve byla provedena minimalizace pouze výstupu, viz sekce 5.4.2. Výchoz´ı bod byl poˇcátek. z = -2.1618e-005 zm = 0.0410 Hodnota funkce Vu = −2.1618e − 005, ˇcili omezen´ı vstupu je splnˇeno právˇe v toleranci. Naˇslo se nˇejaké lokáln´ı minimum, ne optimáln´ı v˚ uˇci výstup˚ um. Chován´ı výstup˚ u je Vy = 0.0410, tj. výstupy se odchyluj´ı pomˇernˇe hodnˇe. Pr˚ ubˇeh regulace je na obrázku 8.1 prvn´ı zleva. 4

3.5

3

3 2.5

2

2

1.5

1

1

0.5

0 0

−0.5

−1 −1

−2

0

10

20

30

40

50

60

−1.5

0

10

20

30

40

50

Obrázek 8.1: Pr˚ ubˇeh regulace pˇred a po pouˇz´ıt´ı funcke fmincon

31

60

Výsledky minimalizace Vu a pak omezené minimalizace Vy (obr. 8.1). Z obrázku je vidˇet, ˇze vázaná minimalizace má smysl. Pro pˇr´ıpad normované ztrátové funkce, byl rozd´ıl podobný. Z tohoto obrázku má vázaná minimalizace význam pro eliminaci konstantn´ı odchylky ˇr´ızen´ı. Minimalizace podle kˇr´ıˇzových kritéri´ı, se ukázala naprosto zbyteˇcná. Dokonce se pˇri n´ı mimodiagonáln´ı prvky v˚ ubec neodchýlily od startovn´ı nuly. —TO JE CHYBA V PROGRAMU —

32

Kapitola 9 Z´ avˇ er

33

N avrh v ıceromˇerov eho LQ regul atoru za neurˇcitosti podle omezuj ıc ıch podm ınek na velikosti sign al u. Miroslav Nov ak 14

Recommend Documents