MÝTUS NEKONEČNA Jeden pojem ruší a bortí všechny jiné. Ne, nemluvím o zlu, jehož doménou je etika. Mluvím o nekonečnu. J. L. Borghes 1
Vše, co si představujeme, je konečné. ... Pravíme-li, že je něco nekonečné, chceme tím jen naznačit, že nejsme s to pomyslit si toho konec ... Nemáme ponětí o té věci, nýbrž jen o své nedostatečnosti. Užíváme-li slova Bůh, není to proto, že bychom se snažili představit si jej - neboť Bůh je nepochopitelný a jeho velikost a moc je nepředstavitelná - ale proto, abychom se mu klaněli. Thomas Hobbes (Leviathan) 2
Nikdy se nebudeme mořit bádáním o nekonečnu, neboť by bylo zjevně nesmyslné, kdybychom je my, jsouce koneční, nějak vymezovali, snažili se je ohraničit a pojmout. Rene Descartes
3
Grandhotel Nekonečno Hilbert, Gamow, Lem, Vilenkin, Vopěnka, Barrow … 1 Lze se v něm ubytovat, přestože je zaplněný. Stačí, aby se všichni hosté přestěhovali do pokoje s číslem o jednotku vyšším. 2 Do hotelu se můžeme přistěhovat i s přáteli, kterých je nekonečný počet. Přemístíme hosty do pokojů dvojnásobného čísla. 3 Majitel hotelu má nekonečně vysoké příjmy, má ale i nekonečné daně. Zbude mu nějaký zisk? Pokud by se zisk počítal jako příjmy s odečtením daňových výdajů, vyjde ∞ - ∞ = ?, tj. neurčitý, nedefinovaný výraz. Pokud se však daně počítají procentem ze zisku, získá majitel i daňový úřad nekonečnou sumu. 4 Majitel hotelu požádá správce, aby vypracoval seznam všech možných způsobů, jak lze hotel obsadit (seznam kombinací plných a prázdných pokojů). Tuto úlohu ale splnit nelze, a to ani za předpokladu, že požadovaný seznam by byl nekonečně dlouhý. (?) 4
• • • • • • • • • • • •
∞+X=∞ ∞-X=∞ ∞+∞=∞ Ax∞=∞ ∞:A=∞ A:∞=0 ∞-∞=? ∞:∞=? ∞ X = ∞ (speciálně třeba √∞ = ∞½ = ∞) pokud je X > 1 je X∞ = ∞, 1∞ = 1, pro X < 1 je X∞ = 0
PŘIROZENÉ NEKONEČNO – VELMI VELIKÉ ČÍSLO 5
PŘIROZENÉ NEKONEČNO – VELMI VELIKÉ ČÍSLO Ale, co je „velmi veliké“? „Plovoucí“ horizont, Vopěnka (fenomenologie)
6
Archaické koncepce nekonečna EGYPT: HEH (Hah, Huh) – nekonečno = milion („přirozené nekonečno“, metafora?) „Chrámy miliónů let“
INDIE: PURNAM (všechno, úplnost, plnota…), ANANTA
7
ŘECKO: APEIRON Archaický (pseudo)pojem (Homér, Hésiodos) – neznalost, neohraničenost, síť, kruh, prsten, chaos.
Anaximandros • (TO) APEIRON - ARCHÉ vydělováním
protikladů kosmos – nebo jen atribut něčeho?
• HÝLÉ, MATÉRIE, božství? (sporné: Aristotelés, Theofrastos, Aitios, Hegel) …
8
Precizace pojmu Pýthagorejci Filoláos – APEIRON v matematickém smyslu LOGOS – racionální číslo, apeirofobie? Iracionální číslo, „vnitřní“ nekonečno smrt Hippasa (oceán = APEIRON?)
Archýtás z Tarentu
(asi 430–345 př. n. l.)
Kdybych se ocitnul co nejdále, třeba v nebi stálic, mohl bych dál natáhnout ruku nebo hůl ven nebo nemohl? To, že bych nemohl, je nemožné. Pokud však natáhnu, pak bude vně buď těleso, nebo místo [prostor].... A 24 = Eudémos, Physica 30 Simplikios, Physica 467, 26 9
Zénón z Eleje (asi 490–430 př.n.l.) Aporie Poukazují na spornost (paradoxnost?) pojmů nekonečna a mnohosti • Letící šíp • Půlení (bisekce) úsečky • Achilles (a želva)
Atomisté a epikúrejci Vyhnali nekonečno z mikrosvěta do vesmíru Vesmír je nekonečný rozlohou i věkem.
10
Pozdní epikúreismus Nekonečný vesmír (argumentace gravitací?)
Kdyby byla rozloha celého světa konečná a ze všech stran sevřena v určité hráze, zásoba hmoty by se svou tíhou už odevšad sesedla dolů a žádná věc by se nemohla pod Sluncem dít… Lucretius (cca 50 př.n.l.), O přírodě, str. 55 11
Časově neomezený, ale konečný (uzavřený, opakující se) vesmír rozdíl neomezenost – nekonečnost
Egypt lineární čas (věčnost) - „džet“, čas cyklické obnovy - “neheh“ „Tep sepej“ - počátek světa (jednoho z řady cyklů?) V Textech rakví (i v Knize mrtvých) představa, že „v nekonečně vzdálené budoucnosti“ se vše navrátí do počátečního chaosu.
Pythagorejci, Hérakleitos, stoikové – ekpyróze: Lucretius (1. st. př.n.l.) – nemůžeme si pamatovat nic z minulého cyklu 12
Vesmír ve skořápce
… neboť matematikové nemají zapotřebí neomezena ve skutečnosti a neužívají ho. Jim dostačuje, že neomezená čára jest libovolně veliká. Aristotelés, Fyzika III.7.33 13
Nekonečno potenciální a aktuální Potencialita a aktualita … se nesmí pojímat v tom smyslu, že je-li například kov v možnosti sochou tak, že bude jednou také sochou, tak také je v možnosti APEIRA, že jednou bude APEIREM ve skutečnosti. Aristotelés, Fyzika III.7.15
14
Svatý Augustin (354 – 430 n.l.) I buď daleka od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známi býti ... ... i kdož jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... sv. Augustin, O obci Boží (překlad F. L. Čelakovský) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
JAHVE SEBAOTH - „pán zástupů, armád“ PANTOKRATOR – vševládnoucí (z toho neplyne, že by měl být schopen všeho) OMNIPOTENS – všehoschopný --------------------------------------------------------------------
Bůh filosofů a matematiků x theologický Bůh Křesťanský Bůh není původce geometrických pravd a řádu živlů (to je věc pohanů a epikurejců). Bůh Abrahámův, Izákův, Jákobův, Bůh křesťanů je Bůh lásky a útěchy. Blaise Pascal (1623–1662) 15
Tomáš Akvinský (1225–1274) Úprava Aristotela, racionalizace křesťanství, tomismus Aristotelsko – ptolemaiovský kosmos časově i prostorově konečný „Kdyby Bůh chtěl, mohl stvořit vesmír věčný“ Věčnost – „imaginární čas“ (Stephen Hawking)
Mikuláš Kusánský (1407?-1464) O vědoucím nevědění (De docta ignorantia) – proti konečnosti vesmíru 16
Thomas Digges 1576 nekonečný vesmír …
Giordano Bruno (1548–1600) O Aristotelově poslední sféře stálic:
Takovou nedůstojnou věc si mohou představovat jen dětičky. Ty si mohou myslet, že kdyby hvězdy nebyly k plechové klenbě přilepeny dobrým klihem nebo přitlučeny tuze trvanlivými hřebíky, padaly by nám na hlavu nejinak než jako kroupy ze vzduchu nad zemí. Takto je rozmnožena znamenitost Boží a zjevena velikost jeho říše. Není oslavován jedním, nýbrž nespočetnými slunci, nikoli jedinou zemí a jedním světem, ale tisícem tisíců, co pravím, nekonečností světů. (O nekonečnu, vesmíru a světech)
17
G. Bruno: „Mohu si představit nekonečný počet světů jako je naše Země, s Rajskými zahradami na každém z nich. Ve všech těchto Rajských zahradách polovina Adamů a Ev nesní ovoce poznání a polovina ho sní. Avšak polovina nekonečna je nekonečno, takže nekonečný počet světů pozbude Boží milosti a bude následovat i nekonečný počet ukřižování ...“ (O příčině, principu a jednotě, 5. dialog) 18
Galileo Galilei (1564 – 1642)
Návrat stoického vesmíru Přirozených čísel není ani stejně, ani více než jejich čtverců. Pojmy „více“ a „méně“ jsou pro nekonečná množství nepoužitelné…”
paradox reflexivity 19
Rodrigo de Arriaga (1592–1667) 1. nekonečno, co do množství, nelze spočítat tak, aby počítání skončilo 2. nekonečno co do rozlehlosti (extenzivní, např. přímka) 3. nekonečno co do intenzity (síla, rychlost, ale i láska) …
Uznání aktuálního nekonečna Aristotelské pojetí kontinua se od pojetí atomistického liší pouze tím, že těch bodů je nekonečně mnoho. Body, dotýkajíce se, leží vedle sebe tak těsně, že mezi ně není možno vložit bod další. Bod může ležet vedle bodu, i z bezrozměrných bodů lze složit kontinuum…
20
René Descartes (1596–1650) Nikdy se nebudeme mořit bádáním o nekonečnu, neboť by bylo zjevně nesmyslné, kdybychom je my, jsouce koneční, nějak vymezovali, snažili se je ohraničit a pojmout. Nebudeme se tedy starat o odpověď pro ty, kteří se ptají, zda, když je dána nekonečná přímka, bude její polovina také nekonečná, či zda je nekonečné číslo sudé či liché.“ (Principy filosofie)
„infinitum“ – jen Bůh, jinak „indefinitum“ (aktuální a potenciální nekonečno) 21
John Wallis (1616 – 1703)
a líná osmička „lemniskáta“, z latinského LEMNISCUS – stuha, pásek
22
Isaac Newton (1642/3–1727) a nekonečnost vesmíru Stoický vesmír → epikúrejský (protože gravitace) Časová konečnost vesmíru: Ale: Ve 4. dopise Bentleyovi: …před naším světem mohly být jiné „systémy světa“, a před nimi zase jiné, a tato posloupnost světů se mohla táhnout z nekonečné minulosti. (připomíná to Aristotela Fyz. III,4) 23
Nekonečno co do počtu množiny Bernard Bolzano
(1781 - 1848)
Menge – množina
Wisenshaftlehre (1837), bijekce Paradoxy nekonečna (1851) Všechny pravdy, nekonečno potenciální → v mysli Boží aktuální
Bolzanova říše pravd 24
Georg Cantor a množiny
(1845 – 1918)
1882, o Bolzanově knize
“Chybí v ní to hlavní, co by tam mělo být.“ Paradoxy, které jsou s nekonečnými množinami spojeny, nejsou nic „nepěkného“, nic, co by se mělo odstraňovat. Naopak, jsou tím, co odlišuje nekonečné množiny od konečných, tím, co vytváří svéráz nekonečna. 25
Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme prvky) do jediného celku. G. Cantor
Celek menší než část (Eukleidés)
x Vzájemně jednoznačné zobrazení (bijekce) → stejný počet
26
Spočetné nekonečno – přirozená čísla, racionální čísla …algebraická čísla …
„malé“ spočetné a „velké“ nespočetné (mohutnost kontinua). Všechna spočetná nekonečna mají stejný počet prvků: sudých čísel je stejně jako všech (přirozených) čísel, stejně tolik je i prvočísel, druhých mocnin, racionálních čísel atd. 27
Nespočetné nekonečno (není už „co do počtu“)
reálná čísla Cantorův diagonální důkaz
28
“Vidím to, ale nemohu tomu uvěřit” Richard Dedekind (1831-1916): … vzájemně jednoznačné zobrazení mezi čtvercem a úsečkou neexistuje, protože: „je zřejmé, že dvě nezávisle proměnné veličiny nelze převést na jedinou“.
x Cantor ale dokázal opak → ve čtverci stejně bodů jako na úsečce, jako v prostoru … 29
Cantorův “zip” a = 0, a1 a2 a3 ... b = 0, b1 b2 b3 ... -------------x = 0,a1b1a2b2a3b3 .... („Opravdový zip“ patentován v USA 1851 E. Howem.) 1 2 3 4 ---------------------------------------------------------------a 0,3 0,34 0,345 0,345 1 b 0,7 0,72 0,721 0,721 80 -----------------------------------------------------------------x 0,37 0,374 2 0,374 251 0,374 251 18 30
∞ = ∞2 = ∞3 = ∞4 = ∞5 = ∞6 = ... Nikdo nás nebude moci vyhnat z ráje, který pro nás vytvořil Cantor. David Hilbert, Über das Unendliche, Math. Ann. 95
Paradox: Body na úsečce lze přeskupit tak, že vytvoří celou přímku, body ze čtverce jde seřadit do úsečky (a naopak), body z celého viditelného vesmíru mohu natěsnat na malou úsečku a podobně. „možnosti“ udělat z koule úsečku, z úsečky celý prostor a pod. jsou čistě teoretické, fyzickému světu nenáležející. Paradox Banachův a Tarského (1924): kouli je možné rozdělit na pět dílů tak, že jejich jiným složením (posunem a otočením) vzniknou dvě koule stejně veliké. 31
Babylonská věž nekonečen Potenční množina Počet prvků: P(X) = 2X Kombinatorická exploze počet prvků potenční množina X P(X)
1 2 3 10 20 40
2 4 8 1024 4 194 304 18 bilionů
Cantorova věta: platí to i pro nekonečné množiny N
32
•
Cantorův paradox:
Představme si množinu všech množin. Pak tato množina musí obsahovat jako prvek nejen sama sebe ale i všechny své podmnožiny. Ale jak už víme, mohutnost množiny všech podmnožin je vyšší než původní množiny. Takže by měla obsahovat část, která je mohutnější než je sama, což je spor. •
Russellův paradox:
Představme si množinu všech množin takových, že neobsahují samy sebe jako prvek. Ptáme se: obsahuje tato množina sama sebe? Jestliže neobsahuje, pak by se měla obsahovat, jestli obsahuje, tak by se obsahovat neměla. Opět neřešitelný spor.
Ne paradoxy, ale vnitřní spory! Axiomatizace • •
ZF, GB Vyloučení “podivných množin”, třídy
Teorie množin “židovská věda” (Cantor byl katolík)
33
Konec nekonečna
34
