Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel
2 • Voorbeelden van algebra’s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed begrijpen van een klasse van voorbeelden. In dit project bestudeer je een beschrijving van nilpotente algebra’s van kleine dimensie (zeg kleiner dan 4). Een interessant artikel is W.A. de Graaf, Classification of nilpotent associative algebras of small dimension, ArXiv 1009.5339v1. • Ringen die de unie zijn van drie deelringen Een theorie steunt steeds op het goed begrijpen van een klasse van voorbeelden. In dit project bestudeer je een beschrijving van ringen die de unie zijn van drie deelringen. Dit is uiteengezet in het artikel [A. Lucchini, A. Maroti, Rings as the unions of proper subrings, arViv: 1001.3984v1]. Een interessant artikel is W.A. de Graaf, Classification of nilpotent associative algebras of small dimension, ArXiv 1009.5339v1. • Ring semigroepen Een multiplicatieve semigroep noemt men een ring semigroep als er een optelling + op S kan gedefinieerd worden zodat (S, +, .) een ring is. Zulke semigroepen zijn bestudeerd in [Bell in Words, Languages and Combinatorics, pp. 2431, World Scientific, Singapore, 1994; Jones in Semigroup Forum 47(1):16, 1993; Jones and Ligh in Semigroup Forum 17(2):163173, 1979)]. In een recent artikel heeft men de ring semigroepen gekarakteriseerd waarvan de deelsemigroepen (die 0 bevatten) een keten vormen voor de inclusie [G. Oman, Ring semigroups whose subsemigroups form a chain, Semigroup Forum 78 (2009), 374-377. • Complementen in de eenhedengroep van een ring Zij R een ring en zij U (R) de groep van inverteerbare elementen. Het Jacobsonradikaal is de deelverzameling van alle elementen r ∈ R zodat 1 + arb ∈ U (R) voor alle a, b ∈ R. Dit is een ideaal van R en 1 + J(R) is een deelgroep van U (R). In dit project bestudeer je het volgende probleem. Wanneer heeft 1 + J(R) een normaal complement in U (R), d.w.z. wanneer bestaat er een deelgroep N van U (R) zodat U (R) = (1 + J(R) o N. Easdown, Coleman and Wilcox (Complemenatation in the group of units, [ArXiv 1010.1332.v1] en [Bull. Austral.Math.Soc. 62 (2000),183– 192]) bestudeerden dit probleem voor R = Mn (Zpk . • Fix punt vrije automorfismen Zij G een groep. Een autmorfisme f van G noemt men fix punt vrij als f (g) 6= g voor elke e 6= g ∈ G. Een mooi resultaat van Burnside is het
3 volgende: als een eindige groep G een fix punt vrij automorfisme van orde 2 heeft dan is G abels en van oneven orde. Ook het omgekeerde geldt. In 2008 bewezen Deaconescu en Walls de volgende stelling: als een eindige group een fix punt vrij automorfisme heeft in de Fitting deelgroep van zijn automorfisme groep dan is de groep abels en van een speciaal type [On a theorem of Burnside on fixed point free automorphisms, Arch. Math. 90 (2008), 97–100]. • Permuteerbare groepen Zij Z een verzameling verzameling van Sylow deelgroepen die precies een Sylow p-deelgroep van G bevat voor elke priem p. Een deelgroep H van een eindige groepG noemt men Z-permuteerbaar als het permuteert met elk element van Z, d.w.z. HGp = Gp H voor elke Gp ∈ Z. Recent bewezen Heliel, Li and Li het volgende resultaat: als de cyclische deelgroepen van priem orde of orde 4 (als p = 2) van elk lid van Z Z-permuteerbare deelgroepen zijn van G dan is G superoplosbaar. Het bewijs steunt op de klassifikatie van eindig simpele groepen. Recent gaven L.F. Wang en Y.M. Wang een elementair bewijs. De opdracht in dit project is om dit bewijs te doorgronden (inclusief de nodige achtergrond in superoplosbare groepen). • Groepen met eindig veel normalisatoren van niet periodisch deelgroepen Bestudeer via het artikel [M. de Falco, F. de Giovanni, C. Musella, Groups with fintely many normalisers of non periodic subgroups, Red. del Circolo Matematico di Palermo 59 (2010), 289-294.] de groepen met eigenschap vermeld in de titel. • Productvrije deelverzamelingen van groepen Zij G een groep. Een deelverzameling van G noemt men product vrij als er geen a, b, c ∈ S bestaan (niet noodzakelijk verschillend) zodat ab = c. Men kan zich afvragen of er grote productvrije deelverzamelingen bestaan in allerlei groepen (zoals bv in Z). In dit project geef je een overzicht van enkele recente resultaten. • Rationale machtreeksen, sequenti¨ ele codes and periodiciteit van rijen In dit project bestudeer je recent werk omtrent rationale machtreeksen, sequenti¨ele codes and periodiciteit van rijen. Herinner dat een (rechts) sequenti¨ele code van lengt n over een lichaam F een deelruitmte C van F n is die voldoet aan: voor elke (a0 , ..., an−1 ) ∈ C bestaat een
4 b ∈ F zodat (a1 , ..., an−1 , b) ∈ C. Als b uniek bepaald is door is (a0 , ..., an−1 ) ∈ C dan noemt men C deterministisch. • Gelfand-Kirillov dimensie van een algebra • Priem dimensie Beschouw de polynomenring R[X]. Dan zijn P1 = 0 en P2 = (X) = R[X]X idealen van R[X] zodat R[X]/Pi een domein is (geen nuldelers). Men noemt P1 en P2 priemidealen en we verkrijgen de keten van priemidealen P1 ⊂ P2 . Bovendien kan men aantonen dat er geen langere keten van priemidealen bestaat. men zegt dat R[X] priemdimensie 1 heeft. Men kan algemener aantonen dat een veeltermring R[x1 , ..., xn ] in n commuterende veranderlijken priemdimensie n heeft. De notie van priemdimensie kan in het algemeen geformuleerd worden. In dit project bestudeer je de priemdimensie van commutatieve ringen en bereken je deze voor verschillende voorbeelden. • Nilpotente en oplosbare groepen Nilpotente en oplosbare groepen vormen een belangrijke klasse van groepen. Je zult o. a. hun belang gezien in Galois theorie. Herinner dat abelse groepen nilpotent zijn en dat alle nilpotente groepen oplosbaar zijn. De di¨edergroep D8 van orde 8 is nilpotent, de di¨edergroep D6 van orde 6 is oplosbaar, maar niet nilpotent. In dit project maak je een studie van basiseigenschappen van deze klasse van groepen (inclusief voorbeelden en oefeningen). Eventueel zoek je voorbeelden in recente onderzoeksliteratuur waarin deze groepen aan bod komen. • Vrije groepen en matrix groepen Matrix groepen (of lineaire groepen) zijn groepen waarvan de elementen inverteerbare matrices zijn over een gegeven lichaam. M.a.w, dit zijn deelgroepen van de algemene lineaire groep GLn (K). Vanwege hun toepassingen in allerlei takken van de wiskunde is kennis van hun algebrasche structuur bijzonder belangrijk. Een concreet voorbeeld van een lineaire is de groep groep voortgebracht door de 1 2 1 0 matrices A = en B = . Men kan aantonen dat 0 1 2 1 n m n m n m als A1 B1 A2 B2 ...Ak Bk verschillend is van 1, alle ni en mi niet-nul gehele getallen zijn. Men zegt dat < A, B > een vrije groep is. In dit project maak je een studie van basiseigenschappen van matrix groepen (inclusief voorbeelden en oefeningen). Eventueel zoek je voorbeelden in recente onderzoeksliteratuur waarin deze groepen aan bod komen. In een recent artikel geeft men een “elementair” bewijs voor de volgende stelling: een deelgroep van een vrije groep is vrij. (zie B. Steinberg, An elementary proof that subgroups of free groups are free, arXiv
5 1006.3833v1). Een mogelijk project is om dit artikel volledig te doorgronden. In een recent artikel construeert men vrije groepen in oneindige bovendriehoeks matrices. (zie [1] Roksana Slowik, Some free and non-free subgroups of a group of infinite unitriangular matrices en [2] W. Holubowski, Free subgroups of unitriangular matrices, I.J.A.C. vol 13, no.1 (2003), 81-86). Een mogelijk project is om dit artikel volledig te doorgronden. • Zorn’s matrix algebra en niet-associatieve structuren (Cayley getallen) Belangrijke voorbeelden in associatieve ring theorie zijn matrix ringen Mn (K) over een lichaam K. Associatief betekent dat a(bc) = (ab)c voor alle elementen in de ring. Alhoewel deze eigenschap heel natuurlijk is zijn er nochthans voorbeelden van ”ringen” die niet associatief R R3 waarbij de optelling comzijn. Een zo’n voorbeeld is R = R3 R ponentsgewijs gebeurt en de vermenigvuldiging als volgt gedefinieerd is 0 aa0 + B.C 0 aB 0 + d0 B − C × C 0 a B0 a B . = a0 C + dC 0 + B × B 0 C.B 0 + dd0 C 0 d0 C d Deze ring, genoemd de matrix algebra van Zorn over R, is niet associatief. Deze ring kan ook op een andere manier gedefinieerd worden, namelijk als een ”verdubbeling” van de quaternionenalgebra H(R). Deze laatste is een ”verdubbeling” van de complexe getallen C en C is een ”verdubbeling” van R. In dit project maak je een studie van Cayley getallen, de matrix algebra van Zorn en alternatieve ringen. Eventueel zoek je voorbeelden in recente onderzoeksliteratuur waarin deze objecten aan bod komen. • GAP en algebra • Commutatieve semigroeptheorie Semigroepen zijn verzamelingen S voorzien van een associatieve bewerking. Uiteraard zijn groepen voorbeelden van semigroepen. In eerste instantie zou men de indruk kunnen hebben dat de klasse van semigroepen ”te groot” is om er iets nuttigs over te kunnen zeggen. Wel, niets is minder waar. In dit project bestudeer je commutatieve semigroepen en je ontdekt dat deze objecten een zeer rijke structuur hebben. • Toepassingen van algebra In het ”dagelijkse” leven wordt er veelvuldig gebruik gemaakt van niet elementaire algebra. In dit project ga je op zoek naar zulke toepassingen en de theori¨en die gebruikt worden.
6 • Conjugatie in Semigroepen In groepentheorie hebben wij gezien dat inwendige conjugatie een belangrijk begrip is. In de definite maakt men echter gebruik van het inverse van een element. Bijgevolg is deze definite niet toepasbaar in een willekeurige semigroep. In dit project bestudeer je recent werk dat drie verschillende mogelijkheden bestudeert voor het invoeren van conjugatie in semigroepen.
