Onderwerpen Masterproef Opleiding Wiskunde Academiejaar 2015-2016 Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek
Titel: “Constant term identities” Promotor: Joris Van der Jeugt (
[email protected]) Doelgroep: Studenten uit de tweede master Wiskunde. Korte beschrijving: In de literatuur zijn er tal van intrigerende “constant term identities” te vinden, die dikwijls hun oorsprong vinden in algebra of combinatoriek. Het berekenen of bepalen van de constante term van een rationale functie (van een bepaalde klasse) is niet eenvoudig. Meestal moet men zich wenden tot technieken die dan kunnen geïmplementeerd worden in computeralgebrapakketten. Voor deze scriptie onderzoekt de student eerst een gebied waarin de berekening van constante termen van belang is, zoals de bepaling van Kronecker coëfficiënten voor symmetrische functies. Hiervoor is kennis van symmetrische functies en karakters van S_n een pluspunt. Vervolgens onderzoekt de student enkele methodes/algoritmes om constante term berekeningen te doen. Implementatie van zulke algoritmes in Maple (of Sage) maakt ook deel uit van het werk. Referenties: A. Garsia, N. Wallach, G. Xin and M. Zabrocki, Kronecker coefficients via symmetric functions and constant term identities. (zie o.a. arXiv:0810.0060 [math.CO]). G. Xin, A fast algorithm for MacMahon’s partition analysis (arXiv:math/0408377 *math.CO+).
Titel: Algoritmen voor symbolische sommatie Promotor: Joris Van der Jeugt (
[email protected]) Doelgroep: Studenten uit de tweede master Wiskunde. Korte beschrijving: De algoritmen van Gosper en Zeilberger dienen voor de symbolische sommatie van reeksen met hypergeometrische termen (zoals bij voorbeeld reeksen met termen bestaande uit producten van binomiaalcoëfficiënten, of rationale vormen). Deze algoritmen dateren uit het begin van de jaren 90 en zijn nu reeds geïmplementeerd in een MAPLE-pakket sumtools. De scriptie bestaat uit: overzicht van de belangrijkste sommatietheorema's voor reeksen; studie van Gospers algoritme en Zeilbergers algoritme; gebruik van programma's in MAPLE. Afhankelijk van de interesse van de student kan de studie uitgebreid worden met het onderzoek van reeksen die voorkomen in “supersymmetrische uitbreidingen”. Referenties: M. Petkovsek, H. Wilf en D. Zeilberger, A=B. A.K. Peters, 1996. (http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html) W. Koepf, Hypergeometric summation. Vieweg, 1998. (http://www.mathematik.unikassel.de/~koepf/hyper.html)
Risicominimalisatie onder partiële informatie Doelgroep: master wiskunde Promotor: prof. M. Vanmaele Korte beschrijving: Een verzekeringsmaatschappij kan op elk moment het aantal sterftegevallen voor een bepaalde portefeuille met individuele verzekeringscontracten waarnemen. Echter, de hazard rate van sterfte kunnen ze niet waarnemen. Bij een hazard rate gaat het om een (voorwaardelijke) kans om van de ene toestand in de andere terecht te komen. Om een unit-linked levensverzekeringscontract te hedgen stelt zich dus het probleem van deze partiële informatie. Bij dergelijke contracten hangen de verzekeringsvoordelen immers af van de prijs van een specifiek aandeel en de uitvoering van betalingen hangt af van het al dan niet voorkomen van een gebeurtenis verbonden met het leven/de leeftijd van de polishouder. Er moet een model opgesteld worden dat de financiële en de verzekeringsmarkt combineert rekening houdend met de beperkingen op de beschikbare informatie over de verzekeringsmarkt. De hedging kan niet perfect gebeuren want er is geen complete markt. In het geval van kwadratische hedging maakt men gebruik van een risicominimalisatie in een martingaalsetting en van lokale risicominimalisatie in een semimartingaalsetting. Deze hedgingstrategieën zijn gebaseerd op de Galtchouck-Kunita-Watanabe-decompositie respectievelijk de Föllmer-Schweizer-decompositie. Daarom dat eerst deze decomposities dienen bestudeerd te worden in het geval van partiële informatie om daarna de kwadratische hedgingstrategieën onder beperkte informatie te bestuderen. Voor deze studie kan gesteund worden op de volgende artikels: Ceci C., Colaneri K., Cretarola A., Local risk-minimization under restricted information on asset prices. prepint Ceci C., Colaneri K., Cretarola A., Hedging of unit-linked life insurance contracts with unobservable mortality hazard rate via local risk-minimization. Insurance: Mathematics and Economics, Volume 60, pp. 47-60, 2015. Ceci C., Cretarola A., Russo F., GKW representation theorem under restricted information. An application to risk-minimization. Stochastics and Dynamics, Volume 14, Issue 2, pp. 1350019 (23 pages), 2014. Ceci C., Cretarola A., Russo F., BSDEs under partial information and financial applications. Stochastic Processes and their Applications, Volume 124, Issue 8, pp. 2628-2653, 2014.
Hedging van swaptions in een Lévy-gedreven Heath-Jarrow-Morton-model Doelgroep: master wiskunde Promotor: prof. M. Vanmaele Korte beschrijving: Als we in het Heath-Jarrow-Morton (HJM) model dat de voorwaartse interestvoet modelleert de Brownse beweging vervangen door een Lévyproces bekomen we het zogenaamde uitgebreide HJMmodel. Een swaption is een optie op een swap waarbij een vaste interestvoet gewisseld wordt voor een variabele interestvoet (payer swap) of omgekeerd (receiver swap). Een payer swaption kan opgevat
worden als een putoptie met uitoefenprijs 1 op een coupondragende obligatie. De bedoeling is deze swaption te prijzen en de deltahedge te bepalen via Fouriertransformaties. Daarnaast is het de bedoeling om een kwadratische hedgingstrategie op te zetten gebruik makend van obligaties en van swaps geschreven op dezelfde onderliggende. Via numerieke resultaten zouden de verschillende hedgingstrategieën met elkaar kunnen vergeleken worden. Voor deze studie kan gesteund worden op volgende artikels: E. Eberlein and S. Raible. Term structure models driven by general Lévy processes. Mathematical Finance, 9(1):31–53, 1999 E. Eberlein and W. Kluge. Exact pricing formulae for caps and swaptions in a Léevy term structure model. Journal of Computational Finance, 9:99–125, 2006 F. Hubalek, J. Kallsen, and L. Krawczyk. Variance-optimal hedging for processes with stationary independent increments. Annals of Applied Probability, 16: 853–885, 2006 R. Cont , P. Tankov , E. Voltchkova. Hedging with options in models with jumps. In: Proceedings of the II Abel Symposium 2005 on Stochastic analysis and applications, Springer, 2005
Targeted maximum likelihood estimation (TLME) voor het schatten van causale effecten in observationele studies Promotor: Prof. dr. S. Vansteelandt Begeleider: Karel Vermeulen Doelgroep: studenten wiskunde met interesse in mathematische statistiek Korte beschrijving: In heel wat epidemiologische studies is men geïnteresseerd in het schatten van het causaal effect van een blootstelling op een bepaalde uitkomst; bijvoorbeeld, het causaal effect van roken op het risico op sterfte. Dit wordt vaak bemoeilijkt door confounding: de aanwezigheid van factoren die zowel de blootstelling als uitkomst beïnvloeden, waardoor de associatie tussen beiden niet langer een zuiver causaal effect weerspiegelt. Bijvoorbeeld, niet-rokers zijn doorgaans individuen met een gezondere levensstijl dan rokers. Het niet in rekening brengen van confounding leidt tot een vertekende inschatting van het effect van roken. Over de laatste jaren zijn er heel wat schattingstechnieken ontwikkeld om vertekening ten gevolge van confounding te elimineren. Hiervoor moeten statistische modellen worden gebouwd die de associatie van confounders met de uitkomst en/of blootstelling modelleren. Wanneer deze modellen echter niet correct gespecificeerd zijn, kunnen vertekende schattingen worden bekomen. Recent werd er in de literatuur een algemene schattingsmethode voorgesteld, targeted maximum likelihood estimation, die om die reden zuinig omspringt met statistische modellering en schatters met gunstige eigenschappen (bvb. kleine variantie) oplevert. Het doel van deze masterproef zal in eerste instantie zijn om inzicht te verwerven hoe deze schattingsmethode te werk gaat en vervolgens de performantie van TMLE door middel van een simulatiestudie te vergelijken met andere bestaande schattingsmethoden om een causaal effect van een blootstelling op een uitkomst te schatten. Uitgangspunt is het boek “Targeted Learning, causal inference for observational and experimental data” van Mark J. van der Laan en Sherri Rose, Springer Series in Statistics, hoofdstukken 1 tot 7.
Optimale inschatting van nuisance parameters in statistische analyses Promotor: Prof. dr. S. Vansteelandt Begeleider: Karel Vermeulen Doelgroep: studenten wiskunde met interesse in ofwel theoretische, ofwel toegepaste statistiek. Korte beschrijving: Over de laatste jaren maken statistische analyses meer en meer gebruik van `invers wegen'. Dit is een techniek waarbij de metingen van elk individu op een specifieke manier gewogen worden, met als doel bepaalde vormen van vertekening (bijvoorbeeld, ten gevolge van confounding) te elimineren. Een nadeel van deze techniek is echter dat de gewichten, die op basis van de maximum kans methode bekomen worden, voor sommige individuen soms zeer hoog kunnen oplopen. Dat heeft tot gevolg dat deze individuen zeer invloedrijk worden in de analyse, en bijgevolg de analyse danig in de war kunnen sturen. In deze masterproef zult u betrokken worden in een lopend onderzoeksproject waarbij een algemene theorie werd ontwikkeld om deze gewichten op een veel betere manier in te schatten (niet via de maximum kans methode). Het doel zal er meer concreet in bestaan om, na een studie van deze theorie, ze toe te passen op een concrete probleemstelling die momenteel zeer veel aandacht krijgt in de literatuur. Met name zullen we de theorie toepassen om (via zogenaamde directe en indirecte effecten) inzicht te krijgen in het causale mechanisme waarbij een bepaalde blootstelling een bepaalde uitkomst beïnvloedt. Deze toepassing is gemotiveerd door de concrete probleemstelling waarom bepaalde genen met longkanker geassocieerd zijn: omdat ze mensen ertoe aanzetten te roken, of omdat ze rechtstreeks het risico op longkanker beïnvloeden. De focus van deze masterproef kan, afhankelijk van de interesses van de student, van zeer theoretisch tot zeer toegepast variëren.
Een ander onderwerp in het domein van de mathematische statistiek en/of toegepaste data-analyse Promotor: Prof. dr. S. Vansteelandt Doelgroep: studenten uit de tweede master Wiskunde. Bespreekbaar
Option Pricing with Bayesian Learning Promotor: David Vyncke Begeleider: Hilmar Gudmundsson Doelgroep: Toegepaste Wiskunde Korte beschrijving Currently, standard option pricing theory struggles to accommodate certain empirical characteristics of real life option prices, such as smirks in the implied volatility surface. Various technical improvements have been explored, including the introduction of stochastic volatility and jumps to better capture the real life pricing process in the market. While the empirical fit can be significantly improved through these modifications, they are ad hoc in nature and lack a clear connection to the decision making of investors that drives price formation in the market.
The purpose of this project is to introduce a decision theoretic modification to jump diffusion, with the aim of constructing a pricing model that has the potential to capture these empirical characteristics, i.e. to get a model that has a good fit with prices in the market and has a clear economic justification. This project requires solid knowledge of 1) stochastic processes, including Brownian motion and Poisson processes, 2) the foundations of mathematical finance, including arbitrage pricing and option theory such as the Black Scholes framework. In addition, the project might require some familiarity with 3) time series analysis in financial markets, 4) the concept of Nash equilibrium, and 5) programming in Matlab.
Automatisch bepalen van de similariteitsrelatie bij het gebruik van vaagruwverzamelingenleer in machinaal leren Promotoren: Chris Cornelis, Yvan Saeys ({chris.cornelis,yvan.saeys}@ugent.be) Begeleider: Sarah Vluymans (
[email protected]) Doelgroep: Wiskundige Informatica, Toegepaste Wiskunde, Computerwetenschappen
Situering Vaagruwverzamelingleer is een hybridisatie van vaagverzamelingenleer en ruwverzamelingenleer. Vaagverzamelingen laten toe om subjectieve concepten zoals mooi, slim, . . . te modelleren door geen strikte lidmaatschap van elementen tot een verzameling te eisen. Ruwverzamelingen gaan om met onvolledige informatie. Dit betekent dat, op basis van de gemeten kenmerken, er geen eenduidig onderscheid kan gevormd worden tussen elementen die behoren tot een concept en elementen die er niet toe behoren. Om dit probleem op te vangen, wordt in de ruwverzamelingenleer een concept C benaderd door twee verzamelingen: een onder- en bovenbenadering. De onderbenadering bevat elementen die met absolute zekerheid tot C behoren. In de eerste plaats behoren ze zelf tot C, maar daarnaast behoren ook alle andere elementen die dezelfde waarden hebben voor alle kenmerken ertoe. Elementen in de bovenbenadering behoren misschien tot C: er bestaat ten minste ´e´en element in de dataset met dezelfde waarden voor alle kenmerken dat tot C behoort. Bij de vervaging van ruwverzamelingenleer tot vaagruwverzamelingenleer wordt een (mogelijks vaag) concept benaderd door twee vaagverzamelingen: de vaagruwe onder- en bovenbenadering. Zij worden geconstrueerd aan de hand van een ononderscheidbaarheidsrelatie, die uitdrukt in welke mate twee elementen gerelateerd zijn.
Probleemstelling Het onderzoek van deze thesis heeft betrekking op de ononderscheidbaarheids- of similariteitsrelatie R. Op dit moment wordt er bij de definitie van R enkel rekening gehouden met het onderscheid tussen categorische en numerieke kenmerken. Desalniettemin kunnen verschillende situaties verschillende similariteitsmaten vereisen, afhankelijk van de belangrijkheid van elk kenmerk, ontbrekende of ruizige data, gestructureerde data types etc. In dit project vragen we om, op basis van de data, automatisch gepaste similariteitsmetrieken te construeren om R vorm te geven.
Doelstellingen We hebben twee grote doelstellingen voor ogen: 1. Integratie van state-of-the-art technieken uit similariteitsleren: de keuze van een gepaste metriek is een voorbeeld van similariteitsleren. In de eerste plaats dient het gebruik van state-of-the-art methoden uit dit domein voor de definitie van R te worden ge¨evalueerd binnen bestaande vaagruwe methoden. De focus dient hierbij vooral te liggen op dichtste-buur technieken, zoals Mahalanobis afstandsleren, en hun uitbreidingen. 2. Optimalisatie van kenmerkgewijze granulariteit: er dient te worden bepaald hoe fijn de vergelijking tussen elementen moet te zijn. De optimale granulariteit wordt bepaald van geparametriseerde similariteitsmaten, waarbij het doel is om per kenmerk de minimale granulariteit te vinden zodanig dat we elementen die tot verschillende klassen behoren nog steeds van elkaar kunnen onderscheiden. Om de zoekruimte effici¨ent te verkennen, stellen we voor om gebruik te maken van evolutionaire technieken. 1
Implementatie van een hogere orde Constant Pertubation-methode voor Sturm-Liouville problemen Klassieke methoden voor de numerieke integratie van gewone differentiaalvergelijkingen zijn vaak gebaseerd op veelterminterpolatie. Dit zorgt ervoor dat wanneer de oplossing van het probleem een veelterm is van voldoend lage graad, de exacte oplossing wordt teruggevonden, terwijl voor vele andere problemen een numerieke oplossing gevonden kan worden die, binnen een bepaalde afgesproken toleratie, aanvaardbaar is. Er kunnen echter problemen rijzen wanneer de oplossing sterk oscillatorisch is. In dat geval dient men met een klassieke methode zeer kleine stapjes te nemen om de oplossing accuraat te kunnen beschrijven. Dit resulteert in enorm veel rekenwerk, waardoor die klassieke methoden praktisch onbruikbaar zijn. Een alternatief wordt geboden door de klasse van de CP-methoden, wat staat voor Constant Perturbation methods. Als concrete toepassing beschouwen we het berekenen van de golffunctie y van een Schr¨odinger-probleem. Het Schr¨ odingerprobleem bestaat uit een tweede orde gewone differentiaalvergelijking (ODE) van de vorm y 00 = (V (x) − E)y,
a < x < b,
(1)
met randvoorwaarden in de eindpunten a en b. De Schr¨odingervergelijking vormt de fundamentele vergelijking in de kwantummechanica. Een waarde voor de parameter E waarvoor een niet-nul oplossing bestaat, wordt een eigenwaarde genoemd. De eigenwaarden worden typisch geordend als E0 < E1 < E2 < . . . en de golffunctie of eigenfunctie yk (x), horende bij Ek , heeft dan exact k nulpunten in het interval (a, b). Dit betekent dat de “hogere” eigenfuncties sterk oscilleren. De eerste stap van een CP methode bestaat er in de functie V (x) stuksgewijs te benaderen door een constante, d.w.z. in het interval [xi , xi+1 ] wordt de vergelijking (1) gewijzigd in y 00 = (V¯ − E)y,
xi < x < xi+1 , ,
waarbij V¯ een geschikte constante is. Deze vergelijking, waarvan de co¨effici¨enten constanten zijn, kan analytisch exact opgelost worden. Aldus verkrijgen we de waarde van de golffunctie y en van de eerste orde afgeleide y 0 in een aantal roosterpunten. Deze oplossing is uiteraard maar een benaderende oplossing, want V (x) werd vervangen door V¯ . Deze benaderende oplossing, laat ze ons y (0) noemen, wordt vervolgens gecorrigeerd door het in acht nemen van V (x) − V¯ . Via een perturbatieprocedure bekomt men uiteindelijk alsmaar betere benaderingen y (1) , y (2) , . . . die telkens analytisch kunnen worden bepaald. Deze techniek werd oorspronkelijk ontwikkeld voor problemen in de vorm (1, maar voor meer algemene Sturm-Liouville problemen (p(x)y 0 )0 + q(x) y = E w(x) y(x) (2) dient een zogenaamde Liouville-transformatie uitgevoerd te worden. Omdat deze transformatie soms duur uitvalt of zelfs niet steeds mogelijk is, werd een techniek ontwikkeld om CP rechtstreeks uit te voeren op het probleem (2). Dit resulteerde in een zesde orde methode. Dit is echter vrij laag in vergelijking met de ordes (14, 16, zelfs 18) van de CP-methoden die bestaan het Schr¨odinger-probleem (1). Het doel van de thesis is de bouw van een CP-methode van orde acht die direct toepasbaar is op het Sturm-Liouville probleem (2). Dit vereist niet alleen het opstellen en implementeren van formules, maar ook het bouwen van fout-controlemechanismen. Het hierboven beschreven onderzoek en de daaruit voortspruitende methoden werden ge¨ımplementeerd in de succesvolle code MATSLISE, onwikkeld in de onderzoeksgroep Numerieke Wiskunde van de UGent. Literatuur 1. V. Ledoux, M. Van Daele en G. Vanden Berghe, CP methods of higher order for SturmLiouville and Schrdinger equations, Computer Physics Communications 162 (2004) 151-165 2. V. Ledoux en M. Van Daele, Solving SturmLiouville problems by piecewise perturbation methods, revisited, Computer Physics Communications 181 (2010) 1335-1345 3. V. Ledoux, Study of special algorithms for solving Sturm-Liouville and Schrodinger equations, UGent, 2007 (doctoraatsproefschrift) 4. http://sourceforge.net/projects/matslise/ 1
