Faculteit Wetenschappen. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica. De Fear Index. Joachim Hendrickx. Promotor: Prof. dr. D

Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica

De Fear Index Joachim Hendrickx

Promotor: Prof. dr. D. Vyncke

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeerrichting toegepaste wiskunde Academiejaar 2012-2013

2

Voorwoord Alvorens u mijn masterproef leest, wil ik eerst nog enkele mensen bedanken die me geholpen of gesteund hebben bij deze masterproef. Ten eerste wil ik mijn promotor, prof. dr. David Vyncke, bedanken voor de begeleiding van mijn masterproef. Hij heeft ervoor gezorgd dat ik wist wat ik moest doen en me geholpen wanneer ik vast zat. Daarop volgend wil ik ook de Universiteit Gent bedanken voor de opleiding die ik daar genoten heb. Ook wil ik nog mijn ouders, broer en zus bedanken voor de steun die ik thuis had. Mijn ouders wil ik daarbij nog extra bedanken voor de kans die ze mij gegeven hebben om verder te studeren. Tot slot wil ik nog mijn vriendin, Cara Hermans, bedanken voor de steun en het luisterende oor. Dit had ik nodig op de momenten waarop ik weer eens vast zat met een bewijs of als ik de fout in de code maar niet vond. Ook wil ik haar bedanken voor het nalezen van mijn masterproef.

Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.

Inhoudsopgave 1 Inleiding

5

2 Elementen uit Financi¨ ele Wiskunde 2.1 Algemene begrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Martingaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Kwadratische variatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sprongprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Brownse beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Compound Poisson proces . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Sprongprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Verandering van maat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Aandeel gedreven door een sprongproces . . . . . . . . 2.3 Opties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Forwards en Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Put-call pariteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 De Black-Scholes formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 De Black-Scholes formule voor een Europese call optie 2.6.2 De Black-Scholes formule voor een Europese put optie 2.6.3 Interpretatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Het 3.1 3.2 3.3

marktrisico (VIX) Achtergrond over de VIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . De volatiliteit benaderd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De VIX berekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Het selecteren van de opties . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Het berekenen van de volatiliteit . . . . . . . . . . 3.3.3 Het berekenen van de VIX als gewogen gemiddelde

4 Het liquiditeitsrisico (LIQ) 4.1 Een geschikte acceptabiliteitsindex . . . . . . . 4.1.1 Prestatiematen . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Coherente risicomaten . . . . . . . . . . 4.1.3 Acceptabiliteitsindexen . . . . . . . . . 4.1.4 De MINMAXVAR acceptabiliteitsindex 4.2 Bied- en laatprijzen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ge¨ımpliceerde liquiditeit . . . . . . . . . . . . . 4.4 De LIQ berekenen . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 7 7 8 8 9 11 14 16 19 19 20 20 21 21 23 23

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

25 25 26 30 32 33 33

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

35 36 36 37 39 43 48 49 52

4 5 Het 5.1 5.2 5.3

INHOUDSOPGAVE systemische risico (CIX) Comonotoniciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Een comonotone bovengrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Een index voor comonotoniciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 De Fear Index (FIX) 6.1 Praktisch . . . . . 6.1.1 De LIQ . . 6.1.2 De CIX . . 6.1.3 De FIX . . 6.2 BEL20 . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

53 53 55 61 63 63 63 64 68 69

7 Besluit

71

A VIX

73

B LIQ

77

C CIX

85

D FIX

95

Hoofdstuk 1

Inleiding Bij het kiezen van mijn masterproef was ik onmiddellijk ge¨ınteresseerd om iets in de richting van financiële wiskunde te onderzoeken. De uiteindelijke keuze is dan de FIX geworden, omdat dit onderwerp zeer actueel is met de financiële crisis die heerst. Dit is duidelijk te zien in het artikel waarop deze masterproef gebaseerd is, [14]. In deze masterproef proberen we een index te construeren die het algemene risico van een bepaalde financiële markt kwantificeert. Hiervoor vertrekken we van de optie- en aandelenprijzen binnen een bepaalde index die goed overeenkomt met de markt. Voor België zou deze index dus bijvoorbeeld de Bel20 kunnen zijn of voor de Verenigde Staten de Dow Jones Industrial Average. Omdat er voor investeerders veel verschillende risico’s gelden en omdat het onoverzichtelijk zou worden ze allemaal te beschouwen in de index, kiezen we er drie belangrijke uit. We nemen het marktrisico, het liquiditeitsrisico en het systemische risico in beschouwing. Zoals eerder vermeld is deze masterproef gebaseerd op [14] en in elk hoofdstuk wordt er op een ander aspect ingegaan. In hoofdstuk twee wordt een algemene inleiding gegeven voor personen die nog niet vertrouwd zijn met financiële wiskunde. Een groot deel hiervan hebben mijn medestudenten op de UGent en ik geleerd in de vakken ‘Financiële Wiskunde: Discrete Stochastische Modellen’ en ‘Financiële Wiskunde: Continue Stochastische Modellen’. Voor het schrijven van mijn masterproef ben ik voor dit hoofdstuk uitgegaan van Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, [20]. Het eigenlijke werk begint bij hoofdstuk drie. Hier bekijken we het marktrisico van naderbij, het risico dat er een grote standaardafwijking is van het verwachte resultaat. Een te grote standaardafwijking kan tot gevolg hebben dat er grote verliezen worden gemaakt. Grotere winsten zijn dan ook mogelijk, maar voor risico-averte personen wegen deze minder door dan het risico op grote verliezen. De belangrijkste bron voor dit hoofdstuk is een white paper van de Chicago Board Options Exchange, [10]. De wiskundige achtergrond hiervoor is afkomstig uit twee artikels van Carr en Wu, [3] en [4]. In hoofdstuk vier wordt het liquiditeitsrisico behandeld, voornamelijk gebaseerd op het artikel Implied Liquidity: Towards stochastic liquidity modeling and liquidity trading, [9]. Als ondersteunende artikels heb ik [6], [7], [8] en [18] gebruikt. Het liquiditeitsrisico is het risico dat men aandelen en opties niet kan kopen of verkopen op het gewenste ogenblik, omdat er geen verkopers of kopers zijn. Een laatste risico dat we beschouwen in hoofdstuk vijf is het systemische risico. Dit risico is afhankelijk van de comonotoniciteit van de aandelen in de markt, of ook wel de mate waarin ze steeds samen bewegen. De basis voor dit hoofdstuk komt uit het artikel The Herd Behavior Index: A new measure for the implied degree of co-movement in stock markets, [15]. Ook dienden de artikels [5] en [13] als ondersteuning. 5

6

HOOFDSTUK 1. INLEIDING

Hoofdstuk zes is het laatste hoofdstuk van het theoretische deel. De indexen die we hebben geconstrueerd voor de drie risico’s, worden samengebracht in één index, de FIX. De samenvoeging gebeurt zo dat een FIX van 100 een gemiddeld risico weergeeft. Een lagere FIX staat voor een lager risico en een hogere FIX voor een hoger risico. In hoofdstuk zeven ten slotte wordt er een korte toelichting gegeven bij het programmeerwerk dat gedaan is. De code zal te vinden zijn in de appendix. De code is van begeleidende commentaar voorzien ter verduidelijking.

Hoofdstuk 2

Elementen uit Financi¨ ele Wiskunde In dit hoofdstuk definiëren we verschillende begrippen en sommen we eigenschappen op die we nodig zullen hebben in het vervolg van deze masterproef. Dit hoofdstuk is gebaseerd op [20], en bevat geen bewijzen. Voor een meer gedetailleerde uitwerking en de bewijzen verwijzen we naar dit boek. De lezer die al meer weet over financiële wiskunde kan dit hoofdstuk overslaan. Er zal in het vervolg van de tekst steeds verwezen worden naar de gebruikte resultaten.

2.1 2.1.1

Algemene begrippen Martingaal

Om het begrip martingaal te definiëren hebben we eerst 2 andere definities nodig, namelijk die van filtratie en aangepast proces. Beide definities worden hieronder gegeven. Definitie 2.1. Stel dat (Ω, F, P) een kansruimte is. Een filtratie is een collectie deel-σ-algebra’s F(t), t ≥ 0 van F, waarvoor geldt: ∀0 ≤ s < t : F(s) ⊆ F(t) Definitie 2.2. Stel dat (Ω, F, P) een kansruimte is, met daarop een filtratie F(t), t ≥ 0. En stel dat X(t), t ≥ 0 een collectie toevalsvariabelen is. We noemen dit stochastisch proces aangepast aan de filtratie F(t) als voor elke t ≥ 0 de toevalsvariabele X(t) F(t)-meetbaar is. Nu kunnen we het begrip martingaal definiëren. Dit zal zeer belangrijk zijn, want het betekent dat een proces gemiddeld gezien constant blijft. Definitie 2.3. Stel dat (Ω, F, P) een kansruimte is, met daarop een filtratie F(t), t ≥ 0. Een aangepast stochastisch proces M (t) is een martingaal als E[M (t)|F(s)] = M (s)

2.1.2

∀0 ≤ s < t.

Arbitrage

Arbitrage is de mogelijkheid om uit niets een mogelijke winst te halen. Dit zou natuurlijk onmogelijk moeten zijn. Vanuit het standpunt dat arbitrage onmogelijk is, worden prijzen van afgeleide producten bepaald. We beschouwen doorheen heel deze masterproef de kansruimte (Ω, F, P) en geven hieronder de wiskundige definitie van een arbitrage. Definitie 2.4. Een portefeuilleproces X(t) is een arbitrage als voor een T > 0 geldt (i) X(0) = 0, 7

¨ HOOFDSTUK 2. ELEMENTEN UIT FINANCIELE WISKUNDE

8 (ii) P(X(T ) ≥ 0) = 1 en (iii) P(X(T ) > 0) > 0.

Om te weten of arbitrage mogelijk is, gebruiken we risiconeutrale maten. Om deze te definiëren, hebben we eerst de definitie van equivalente maten nodig, en een discount proces D(t). Definitie 2.5. Stel Ω een niet-lege verzameling en F een σ-algebra op de deelverzamelingen van e zijn equivalente maten als Ω. Twee maten P en P e ∀A ∈ F : P(A) = 0 ⇔ P(A) =0 We definiëren het verdisconteringsproces D(t), t ≥ 0 als D(t) = e−

Rt 0

R(u)du

,

(2.1)

met R(t) de risicoloze interestvoet op t. Nu kunnen we de risiconeutrale maat definiëren. e is risiconeutraal als Definitie 2.6. Een kansmaat P e en P equivalente maten zijn, en (i) P e (ii) alle verdisconteerde prijsprocessen D(t)Xi (t) martingaal zijn onder P Zo bekomen we een belangrijke stelling om na te gaan of arbitrage mogelijk is. Stelling 2.1. Als een marktmodel een risiconeutrale maat heeft, dan is er geen arbitrage mogelijk. Wegens deze stelling willen we dat ons marktmodel een risiconeutrale maat heeft.

2.1.3

Kwadratische variatie

Om aan stochastische calculus te doen, hebben we het begrip kwadratische variatie nodig. In gewone calculus was dit niet nodig, omdat de kwadratische variatie van een continu afleidbare functie 0 is. Definitie 2.7. De kwadratische variatie tot tijdstip T van een functie f is [f, f ](T ) = lim

||Π||→0

n−1 X

[f (tj+1 ) − f (tj )]2 ,

j=0

met Π = {t0 , t1 , . . . , tn }, 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T en ||Π|| = max{tj+1 − tj |j = 0, . . . , n − 1}.

2.2

Sprongprocessen

Om aandeelprijzen te modelleren, maken we gebruik van sprongprocessen. Eerst lichten we de Brownse beweging toe, daarna construeren we een compound Poisson proces om dan te komen tot sprongprocessen en hun eigenschappen. Tot slot beschouwen we aandeelprijzen die worden gedreven door een sprongproces.

2.2. SPRONGPROCESSEN

2.2.1

9

Brownse beweging

We gaan hier niet in op de constructie en het bestaan van de Brownse beweging als de limiet van geschaalde stochastische wandelingen. We beginnen onmiddellijk bij de definitie. Definitie 2.8. Stel dat (Ω, F, P) een kansruimte is. Stel dat er voor elke ω ∈ Ω een continue functie W (t), t ≥ 0 bestaat, met W (0) = 0. Dan is W (t), t ≥ 0 een Brownse beweging als voor alle 0 = t0 < t1 < · · · < tm geldt dat de toenames W (t1 ) − W (t0 ), W (t2 ) − W (t1 ), . . . , W (tm ) − W (tm−1 ) onafhankelijk zijn en normaal verdeeld met ∀i ∈ {1, . . . , m} E[W (ti ) − W (ti−1 )] = 0, Var[W (ti ) − W (ti−1 )] = ti − ti−1 . Deze Brownse beweging W (t), t ≥ 0 bevat bepaalde informatie. Maar we willen deze informatie nog apart kunnen aanduiden. Daarom definiëren we het begrip filtratie voor de Brownse beweging. Definitie 2.9. Stel (Ω, F, P) een kansruimte, met daarop een Brownse beweging W (t), t ≥ 0. Een filtratie voor de Brownse beweging is een collectie deel-σ-algebra’s F(t), t ≥ 0 van F, waarvoor geldt (i) ∀0 ≤ s < t : F(s) ⊆ F(t), (ii) ∀t ≥ 0 : W (t) is F(t)-meetbaar, (iii) ∀0 ≤ t < u is de toename W (u) − W (t) onafhankelijk van F(t). Eigenschap 1 kan gezien worden als het feit dat informatie zich ophoopt. Dit wil zeggen dat er geen informatie verloren gaat als we verder gaan in de tijd. Eigenschap 2 betekent dat de Brownse beweging aangepast is aan de filtratie. De derde eigenschap houdt in dat toekomstige toenames onafhankelijk zijn van de beschikbare informatie. Eigenschappen 1 en 2 zorgen ervoor dat de filtratie minstens evenveel informatie bevat als kan afgeleid worden uit de Brownse beweging. Eigenschap 3 zegt dat de informatie in de filtratie niet kan helpen bij het voorspellen van de toekomstige waarden van de Brownse beweging. Nu volgen enkele belangrijke eigenschappen van de Brownse beweging. Stelling 2.2. De Brownse beweging is een martingaal. Stelling 2.3. Beschouw een Brownse beweging W. Voor W geldt dat [W, W ](T ) = T voor alle T ≥ 0 bijna zeker. Vorige stelling kunnen we informeel samenvatten als dW (t)dW (t) = dt. We kunnen ook schrijven dat dW (t)dt = 0 en dtdt = 0. De tweede gelijkheid betekent eigenlijk [t, t](T ) = 0. Dit volgt doordat f (t) = t een continu afleidbare functie is. De eerste gelijkheid betekent dat de kruiselingse variatie tussen t en W (t) 0 is. Dit volgt makkelijk uit [W (t), t](T ) = lim

||Π||→0

n−1 X

(W (tj+1 ) − W (tj )) (tj+1 − tj )

j=0

≤ lim ||Π|| ||Π||→0

= 0 · T = 0.

n−1 X j=0

(W (tj+1 ) − W (tj ))


10 Stochastische calculus

In deze masterproef zullen we calculus nodig hebben voor stochastische processen. Daarom voeren we hier de definitie van de stochastische integraal in en geven we enkele belangrijke eigenschappen. Definitie 2.10. (i) Stel ∆(t), 0 ≤ t ≤ T een simpel aangepast proces. Simpel wil hierin zeggen dat er een partitie Π = {t0 , . . . , tn } van [0, T ] bestaat zodat ∆(t) constant is op elke [tj , tj+1 ). We definiëren de Itˆ o integraal van het simpel proces voor tk ≤ t ≤ tk+1 als I(t) =

k−1 X

∆(tj ) [W (tj+1 ) − W (tj )] + ∆(tk ) [W (t) − W (tk )] .

j=0

(ii) Stel hR dat ∆(t),i0 ≤ t ≤ T aangepast is aan de filtratie F(t), 0 ≤ t ≤ T . Stel ook dat T E 0 ∆2 (t)dt < ∞. Als er een rij simpele processen ∆n (t) bestaat zodat ∆n (t) → ∆(t) als n → ∞, dan wordt de Itˆ o integraal van ∆(t) gedefinieerd als I(t) = lim In (t). n→∞

Rt De Itô integraal van een aangepast proces ∆(t) schrijven we ook als I(t) = 0 ∆(u)dW (u). In de volgende stelling komen eigenschappen aan bod, die het makkelijker maken om te rekenen met Itô integralen. Stelling 2.4. Stel ∆(t),Rt ≥ 0 een aangepast proces. R t Dan gelden volgende eigenschappen voor t de Itˆ o integralen I(t) = 0 ∆(u)dW (u) en J(t) = 0 Γ(u)dW (u). (i) (Continu¨ıteit) De paden van I(t) zijn continu in t. (ii) (Aangepast) I(t) is aangepast aan de filtratie F(t). (iii) (Lineair) Voor twee constanten a en b geldt aI(t) + bJ(t) =

Rt 0

(a∆(u) + bΓ(u)) dW (u).

(iv) (Martingaal) I(t) is martingaal. Rt

(v) (Kwadratische variatie) [I, I](t) =

0

∆2 (u)dW (u).

De laatste eigenschap kan ook geschreven worden in differentiaalnotatie als dI(t)dI(t) = ∆2 (t)dt. Bij de constructie van sprongprocessen, zullen Itô processen gebruikt worden. Hieronder volgen reeds de definities. Definitie 2.11. Veronderstel dat W (t), 0 ≤ t ≤ T een Brownse beweging is die als filtratie F(t), 0 ≤ t ≤ T heeft. Een Itˆ o proces is een stochastisch proces van de vorm Z X(t) = X(0) +

t

Z ∆(u)dW (u) +

0

t

Θ(u)du, 0

met en ∆(u). Hierbij zijn Θ(u) aangepaste processen met hR X(0) nietiwillekeurig Rt t 2 E 0 ∆ (u)du en 0 |Θ(u)|du eindig voor elke t, zodat de integralen bestaan. We stellen I(t) =

Rt 0

∆(u)dW (u) en R(t) =

Rt 0

Θ(u)du zodat er geldt

X(t) = X(0) + I(t) + R(t)


11

Voor een Itˆ o proces X(t), t ≥ 0 geldt dX(t)dX(t) = (dI(t) + dR(t))2 = ∆2 (t)dW (t)dW (t) + 2∆(t)Θ(t)dW (t)dt + Θ2 (t)dtdt = ∆2 (t)dt, Rt zodat de kwadratische variatie van dat Itô proces [X, X](t) = 0 ∆2 (t)dt is. De Itô-Doeblin formule zal ons helpen om afgeleiden van Itô processen te berekenen. Hiervoor hebben we eerst de notie nodig van de integraal ten opzichte van een Itô proces. Definitie 2.12. Laat X(t), 0 ≤ t ≤ T een Itˆ o proces zijn. En stel Γ(t), 0 ≤ t ≤ T een aangepast proces. We definiëren de integraal van Γ(t) ten opzichte van het Itˆ o proces X(t) als Z

t

t

Z

We hebben hierbij verondersteld dat E de integralen goed gedefinieerd zijn.

Γ(u)Θ(u)du.

Γ(u)∆(u)dW (u) +

Γ(u)dX(u) = 0

t

Z 0

0

hR t

i R 2 (u)∆2 (u)du en t |Γ(u)Θ(u)|du eindig zijn, zodat Γ 0 0

Nu kunnen we de belangrijke Itˆ o-Doeblin formule geven. Stelling 2.5 (Itˆ o-Doeblin). Stel dat X(t), 0 ≤ t ≤ T een Itˆ o proces is. Als f (t, x) een functie is met continue partiële afgeleiden ft (t, x), fx (t, x) en fxx (t, x). Dan geldt voor elke T ≥ 0 Z

T

f (T, X(T )) = f (0, X(0)) + ft (t, X(t))dt + 0 Z 1 T + fxx (t, X(t))d[X, X](t) 2 0

Z

T

fx (t, X(t))dW (t) 0

De Itô-Doeblin formule kan in differentiaalnotatie geschreven worden als 1 df (t, X(t)) = ft (t, X(t))dt + fx (t, X(t))dX(t) + fxx (t, X(t))dX(t)dX(t). 2 Om na te gaan of een proces een Brownse beweging is, zijn er eenvoudigere criteria dan enkel de definitie toepassen. Deze criteria komen aan bod in de volgende stelling, de stelling van Lévy. Stelling 2.6 (L´ evy). Als voor een stochastisch proces M (t), t ≥ 0 de volgende 3 voorwaarden voldaan zijn, dan is M (t) een Brownse beweging. (i) M (t) is een martingaal ten opzichte van F met M(0) = 0. (ii) M (t) heeft continue paden. (iii) Voor alle t ≥ 0 is [M, M ](t) = t.

2.2.2

Compound Poisson proces

Aandeelprijsprocessen zijn niet altijd continu. Soms maken ze sprongen. Om dit te modelleren, voldoen enkel Brownse bewegingen niet meer. Hiervoor hebben we compound Poisson processen nodig. We voeren die in deze sectie in. Eerst bekijken we de eigenschappen van een Poisson proces en daaruit construeren we een compound Poisson proces.

12


Poisson proces Om een Poisson proces te definiëren beginnen we met de definitie van een exponentieel verdeelde variabele. Definitie 2.13. τ is een exponentieel verdeelde variabele als zijn kansdichtheid wordt gegeven door −λt λe t≥0 f (t) = 0 t<0 We vatten de belangrijke eigenschappen samen in de volgende stelling. Stelling 2.7. Stel τ een exponentieel verdeelde variabele, dan gelden volgende eigenschappen. (i) De verwachtingswaarde van τ is E[τ ] = λ1 . (ii) De verdelingsfunctie van τ is F (t) = 1 − e−λt . Er geldt dus ook P(τ > t) = e−λt . (iii) τ heeft geen geheugen. Dat wil zeggen dat P(τ > t + s|F(s)) = P(τ > t). Nu construeren we een Poisson proces N (t). Voor dit proces willen we dat de tijd tussen twee sprongen exponentieel verdeeld is. Stel dus τ1 , τ2 , . . . onafhankelijke identiek exponentieel Pi verdeelde toevalsvariabelen met gemiddelde λ1 . De i-de Pnsprong bevindt zich dan op j=1 τj . We noemen de τk de tussensprongtijden en Sn = j=1 τk de sprongtijden. Definitie 2.14. Stel S1 , S2 , . . . sprongtijden, zoals hiervoor gedefiniëerd. Het Poisson proces N (t) telt het aantal sprongen die gebeuren voor t, dus    0 als 0 ≤ t < S1    1 als S1 ≤ t < S2     2 als S2 ≤ t < S3 N (t) = .. .  .      n als Sn ≤ t < Sn+1   .  .. Omdat de sprongen na een gemiddelde tijd van λ1 komen, gebeuren er gemiddeld λ sprongen per tijdseenheid. Deze λ noemen we de intensiteit van het Poisson proces. Om de verdeling van dit Poisson proces te weten te komen, hebben we eerst de verdeling van de sprongtijden nodig. Deze verdeling vinden we in het volgende lemma. Lemma 2.8. Voor n ≥ 1, heeft de toevalsvariabele Sn de gamma verdeling, gedefinieerd door gn (s) =

(λs)n−1 −λs λe , s ≥ 0. (n − 1)!

Aan de hand van dit lemma kan dan de verdeling van het Poisson proces bepaald worden. Stelling 2.9. Het Poisson proces met intensiteit λ heeft verdeling P(N (t) = k) =

(λt)k −λt λe . k!

Een handige eigenschap van Poisson processen is dat de toenames onafhankelijk en stationair zijn. Deze eigenschap zorgt ervoor dat Poisson processen geschikt zijn om prijzen met sprongen te modelleren. Eerst geven we een formele definitie van stationair zijn.


13

Definitie 2.15. Een proces is stationair als de toename tussen twee punten enkel afhangt van het verschil van die twee punten. Dus X(t) is stationair als X(t2 ) − X(t1 ) = X(t2 − t1 ), voor alle 0 ≤ t1 ≤ t2 . Merk hierbij op dat een Brownse beweging per definitie stationair is. Stelling 2.10. Stel N (t) een Poisson proces met intensiteit λ > 0. Dan geldt voor gegeven 0 = t0 < t1 < · · · < tn dat de toenames N (t1 ) − N (t0 ), N (t2 ) − N (t1 ), . . . , N (tn ) − N (tn−1 ) onafhankelijk en stationair zijn. Omdat P(N (t) = k) =

(λt)k −λt , k! λe

geldt dat voor alle 0 ≤ j ≤ n en k ≥ 0

P(N (tj+1 ) − N (tj ) = k) = P(N (tj+1 − tj ) = k) =

(λ(tj+1 − tj ))k −λ(tj+1 −tj ) λe . k!

De eerste gelijkheid volgt uit het stationair zijn van het proces. Nu willen we graag de verwachtingswaarde en variantie van het Poisson proces kennen. Volgende stelling geeft beide. Stelling 2.11. Stel N (t) een Poisson proces, dan heeft een toename van N (t) als verwachtingswaarde E[N (t) − N (s)] = λ(t − s), en als variantie V ar[N (t) − N (s)] = λ(t − s) Merk op dat de variantie gelijk is aan de verwachtingswaarde. We zouden willen dat het Poisson proces martingaal is, maar dit is niet het geval. Om een martingaal te bekomen, voeren we het gecompenseerde Poisson proces in. Definitie 2.16. Voor een Poisson proces N (t) met intensiteit λ wordt het gecompenseerde Poisson proces gedefinieerd als M (t) = N (t) − λt. Nu is het gecompenseerde proces martingaal. Omdat dit een belangrijk resultaat is voor het vervolg, geven we hiervan een kort bewijs. Stelling 2.12. Voor een Poisson proces N (t) is het gecompenseerde proces M (t) martingaal. Bewijs. Neem 0 ≤ s ≤ t willekeurig. Omdat N (t) − N (s) onafhankelijk is van F(s), geldt E[M (t)|F(s)] = E[M (t) − M (s)|F(s)] + E[M (s)|F(s)] = E[N (t) − N (s) − λ(t − s)|F(s)] + M (s) = E[N (t) − N (s)] − λ(t − s) + M (s) = M (s), en dus is het gecompenseerde Poisson proces M (t) martingaal. We hebben alles bekeken over Poisson processen wat we nodig hebben verder in deze masterproef. We kunnen nu overgaan naar compound Poisson processen.

14


Compound Poisson proces We beginnen onmiddellijk met de definitie van een compound Poisson proces. Definitie 2.17. Stel dat N (t) een Poisson proces is met intensiteit λ. Stel ook dat Y1 , Y2 , ... een rij identiek verdeelde, onafhankelijk toevalsvariabelen is, met verwachtingswaarde β = E[Yi ]. We veronderstellen ook dat de Yi onafhankelijk zijn van N (t). We definiëren het compound Poisson proces Q(t) dan, voor t ≥ 0, als N (t)

Q(t) =

X

Yi

i=1

Merk op dat het compound Poisson proces Q(t) dezelfde sprongtijden heeft als het Poisson proces N (t). Maar de sprongen in Q(t) kunnen willekeurige grootte hebben, terwijl die in N (t) altijd grootte 1 hebben. Omdat de Yi onafhankelijk zijn, vinden we onmiddellijk dat Q(t) − Q(s) en Q(s) onafhankelijk zijn. En omdat N (t) − N (s) dezelfde verdeling heeft als N (t − s), geldt er ook dat Q(t) − Q(s) dezelfde verdeling heeft als Q(t − s). Dit brengt ons bij de volgende stelling. Stelling 2.13. Voor een compound Poisson proces Q(t) geldt er, voor alle 0 = t0 < t1 < · · · < tn , dat de toenames Q(t1 ) − Q(t0 ), Q(t2 ) − Q(t1 ), . . . , Q(tn ) − Q(tn−1 ), onafhankelijk en stationair zijn. De verwachtingswaarde van Q(t) is E[Q(t)] = βλt. Dit kan gezien worden als gemiddeld λ sprongen per tijdseenheid van gemiddelde grootte β. Net zoals het Poisson proces is het compound Poisson proces geen martingaal, maar door te corrigeren met de verwachtingswaarde wordt het wel martingaal. Definitie 2.18. Het gecompenseerde compound Poisson proces van een compound Poisson proces is gedefinieerd als Q(t) − βλt. Stelling 2.14. Het gecompenseerde compound Poisson proces Q(t) − βλt is martingaal.

2.2.3

Sprongprocessen

Nu kunnen we sprongprocessen definiëren. Daarna zullen we er enkele eigenschappen van beschouwen. De meeste stellingen in dit deel steunen op stellingen uit paragraaf 2.2.1, omdat een sprongproces kan ontbonden worden in een Itô proces en een compound Poisson proces. Definitie 2.19. Een stochastisch proces X(t) is een sprongproces als X(t) van de vorm X(t) = X(0) + I(t) + R(t) + J(t) Rt is. Hierbij is X(0) een beginvoorwaarde, I(t) = 0 Γ(t)dW (t) een Itˆ o integraal van een geadapteerd Rt proces Γ(t) ten opzichte van de Brownse beweging W en R(t) = 0 Θ(t)dt een Riemann integraal van het aangepaste proces ∆(t). J(t) ten slotte is een compound Poisson proces.


15

Hierbij zullen we steeds veronderstellen dat W (t) een Brownse beweging is ten opzichte van F(t) en dat J(t) een compound Poisson proces is ten opzichte van F(t), met F(t) een filtratie op (Ω, F, P). Dat wil zeggen dat   ∀t ≥ 0 : W (t) is F(t)-meetbaar     ∀u > t ≥ 0 : W (u) − W (t) is onafhankelijk van F(t)      ∀t ≥ 0 : J(t) is F(t)-meetbaar   ∀u > t ≥ 0 : J(u) − J(t) is onafhankelijk van F(t) Merk op dat dit niet de meest algemene definitie is van een sprongproces, omdat er maar eindig veel sprongen mogelijk zijn op een eindig tijdsinterval. Dit komt doordat J(t) een compound Poisson proces is. Dit zal voldoen voor de rest van deze masterproef. We noemen X c (t) = X(0) + I(t) + R(t) het continu gedeelte van X(t) en J(t) het pure spronggedeelte. Het is duidelijk dat compound Poisson processen rechtscontinu zijn, dus J(t) is rechtscontinu. We zullen in de rest van deze tekst J(t−) definiëren als de linkscontinue versie van J(t). Dan is J(t−) de waarde van J op t voor een eventuele sprong, en J(t) de waarde erna. Als er geen sprong is, zijn J(t−) en J(t) gelijk. Voor sprongprocessen gebruiken we dezelfde notatie. Aan de hand van deze notaties kunnen we de spronggrootte van X op t definiëren. Definitie 2.20. De spronggrootte van het sprongproces X in t is ∆X(t) = X(t) − X(t−) = J(t) − J(t−). Nu we sprongprocessen hebben gedefinieerd, beschouwen we nog een stuk over integralen ten opzichte van een sprongproces. Daarna volgt een paragraaf over verandering van maat van een sprongproces. Stochastische calculus We beginnen met de definitie van de integraal ten opzichte van een sprongproces. Definitie 2.21. Voor een sprongproces X(t) en een aangepast proces Φ(t), is de stochastische integraal van Φ ten opzichte van X gedefinieerd als Z t Z t Z t X Φ(s)dX(s) = Φ(s)Γ(s)dW (s) + Φ(s)Θ(s)ds + Φ(s)∆J(s). 0

0

0

0<s≥t

We kunnen dit in differentiaalnotatie schrijven als Φ(t)dX(t) = Φ(t)Γ(t)dW (t) + Φ(t)Θ(t)dt + Φ(t)dJ(t) = Φ(t)dI(t) + Φ(t)dR(t) + Φ(t)dJ(t) = Φ(t)dX c (t) + Φ(t)dJ(t) Voor de kwadratische variatie van een sprongproces bekomen we een mooie formule waarbij er geen kruiselingse variatie is tussen het continu gedeelte en het pure spronggedeelte. Stelling 2.15. Voor een sprongproces X(t) is de kwadratische variatie [X, X](T ) = [X c , X c ](T ) + [J, J](t) Z T X = Γ2 (t)dt + (∆J(t))2 . 0

0
16


In differentiaalnotatie geeft dit dX(t)dX(t) = dX c (t)dX c (t) + dJ(t)dJ(t) = Γ2 (t)dt + dJ(t)dJ(t). De Itô-Doeblin formule in stelling 2.5 kan uitgebreid worden naar sprongprocessen. Dit geeft volgend resultaat. Stelling 2.16 (Itˆ o-Doeblin). Stel dat X(t), 0 ≤ t ≤ T een sprongproces is. En veronderstel dat f (t, x) een functie is met continue partiële afgeleiden ft (t, x), fx (t, x) en fxx (t, x). Dan geldt voor elke T ≥ 0 Z T Z T fx (t, X(t−))dX c (t) ft (t, X(t−))dt + f (T, X(T )) = f (0, X(0)) + 0 0 Z 1 T + fxx (t, X(t−))dX c (t)dX c (t) 2 0 X [f (t, X(t)) − f (t, X(t−))] . + 0
Ook heeft ze een belangrijk gevolg, namelijk dat een Brownse beweging en een compound Poisson proces onafhankelijk zijn. Gevolg 2.17. Als W (t) een Brownse beweging is en Q(t) een compound Poisson proces ten opzichte van dezelfde filtratie F(t), dan zijn W (t) en Q(t) onafhankelijk.

2.2.4

Verandering van maat

We bekijken nu hoe we van een maat naar een andere kunnen overgaan. Dit zal van pas komen als we van de reële maat willen overgaan naar de risiconeutrale maat voor een toevalsvariabele. We onderzoeken dit eerst voor een Brownse beweging en voor een compound Poisson proces afzonderlijk, zodat we dit uiteindelijk kunnen toepassen voor een sprongproces.

Verandering van maat voor een Brownse beweging Om een verandering van maat door te voeren voor een Brownse beweging bekijken we eerst hoe we een nieuwe maat kunnen construeren met behulp van integralen. Stelling 2.18. Laat (Ω, F, P) een kansruimte zijn en stel Z een bijna zeker niet-negatieve toevalsvariabele met E [Z] = 1. Definieer voor A ∈ F Z e P(A) = Z(ω)dP(ω). (2.2) A

e is dan een kansmaat en er geldt verder voor elke niet-negatieve toevalsvariabele X dat P e E[X] = E[XZ].

(2.3)

Als Z bijna zeker strikt positief is, geldt er ook voor elke niet-negatieve toevalsvariabele Y dat e Y . E[Y ] = E (2.4) Z


17

Als de voorwaarden in stelling 2.18 voldaan zijn, en Z > 0 bijna zeker, dan volgt onmiddellijk e equivalent zijn. dat P en P De variabele Z uit stelling 2.18 noemen we de Radon-Nikod´ ym afgeleide. We noemen dit een afgeleide, omdat we de vergelijkingen uit de stelling kunnen schrijven als Z Z e X(ω)Z(ω)dP(ω), X(ω)dP(ω) = Ω Ω Z Z Y (ω) e Y (ω)dP(ω) = dP(ω), Ω Z(ω) Ω P(ω) . De volgende stelling zegt dat er voor twee en dus formeel kunnen noteren dat Z(ω) = ddP(ω) equivalente maten altijd een Radon-Nikod´ ym afgeleide bestaat. Er kan dus bijgevolg via deze Radon-Nikod´ ym afgeleide overgegaan worden van de ene naar de andere maat, en omgekeerd. e twee equivalente maten zijn op (Ω, F), dan Stelling 2.19 (Radon-Nikod´ ym). Als P en P bestaat er een bijna zeker positieve toevalsvariabele Z met E[Z] = 1, zodat Z e P(A) = Z(ω)dP(ω), voor elke A ∈ F. e

A

e absoluut continu is ten opzichte van P. Aan de Merk op dat dit in het algemeen geldt als P hand van de Radon-Nikod´ ym afgeleide, kunnen we ook een stochastisch proces construeren. e dan Definitie 2.22. Als Z een Radon-Nikodým afgeleide is voor twee equivalente maten P en P, wordt het Radon-Nikod´ ym afgeleide proces Z(t), t ≥ 0 gedefinieerd als Z(t) = E[Z|F(t)], voor t ≥ 0. De Brownse beweging W onder P zal in het algemeen geen Brownse beweging meer zijn onder e Het zou natuurlijk handig zijn als we ineens een Brownse beweging W e kennen. f onder P P. De stelling van Girsanov levert deze voor bepaalde Radon-Nikod´ ym afgeleide processen Z(t). Vooraleer we aan deze stelling komen, bekijken we eerst nog een lemma dat in het bewijs van de stelling van Girsanov wordt gebruikt. Lemma 2.20. Stel Y een F(t)-meetbare functie, dan geldt voor Z(t) het Radon-Nikodým afgeleide proces dat e ] = E[Y Z(t)], 0 ≤ t ≤ T, E[Y e |F(s)] = 1 E[Y Z(t)|F(s)], 0 ≤ t ≤ T. E[Y Z(s) Nu we deze twee eigenschappen kennen, kunnen we verder met de stelling ven Girsanov. Het bewijs hiervan steunt op deze twee eigenschappen en de stelling van Lévy (stelling 2.6). Stelling 2.21 (Girsanov). Stel dat W (t), 0 ≤ t ≤ T een Brownse beweging is op (Ω, F, P) en dat F(t), 0 ≤ t ≤ T een aangepaste filtratie is voor deze Brownse beweging. Definieer, voor het aangepaste proces Θ(t), 0 ≤ t ≤ T , Z t Z 1 t 2 Z(t) = exp − Θ(u)dW (u) − Θ (u)du , 2 0 0 Z t f (t) = W (t) + W Θ(u)du 0

i Θ2 (u)Z 2 (u)du < ∞, zodat de Itˆ o integraal goed gedefinieerd is. e gedefinieerd zoals in (2.2), is W f (t), 0 ≤ t ≤ T een Dan is E[Z(T )] = 1 en onder de kansmaat P, Brownse beweging.

Veronderstel hierbij dat E

hR

T 0


18

Verandering van maat voor een compound Poisson proces PN (t) Stel dat Q(t) = i=1 Yi een compound Poisson proces is onder P met intensiteit λ en waarbij e en fe(y) gegeven zijn. Dan willen we een maat P e de Yi dichtheid f (y) hebben. Stel ook dat λ e e construeren zodat Q(t) een compound Poisson proces is onder P met intensiteit λ en waarbij de Yi dichtheid fe(y) hebben. Dit kan via een analoge stelling aan de stelling van Girsanov, enkel het Radon-Nikod´ ym afgeleide proces zal anders zijn. We stellen namelijk N (t)

Z(t) = e

e (λ−λ)t

Y λ efe(Yi ) . λf (Yi ) i=1

Dan gelden volgende twee eigenschappen. Lemma 2.22. Z(t) is martingaal en voor alle t ≥ 0 is E[Z(t)] = 1. e Als we dan, voor alle A ∈ F, P(A) = de stelling van Girsanov.

R

A Z(T )dP

stellen, bekomen we een stelling analoog aan

e De sprongen e is Q(t) een compound Poisson proces met intensiteit λ. Stelling 2.23. Onder P in Q(t) zijn onafhankelijk en identiek verdeeld met dichtheid fe(y). Verandering van maat voor een sprongproces PN (t) We veronderstellen dat W (t) een Brownse beweging is en dat Q(t) = i=1 Yi een compound Poisson proces is op dezelfde kansruimte, met intensiteit λ en waarvan de sprongen dichtheid f (y) hebben. Ook veronderstellen we dat er één filtratie F(t) bestaat voor beiden. Dan volgt uit gevolg 2.17 dat W (t) en Q(t) onafhankelijk zijn. We willen de stelling van Girsanov combineren met stelling 2.23. e > 0, de dichtheidsfunctie fe(y) met fe(y) = 0 als f (y) = 0 en het Veronderstel dus dat λ geadapteerde proces Θ(t) gegeven zijn. We construeren de Z(t) nu als het product van diegene uit de stelling van Girsanov, stelling 2.21, en diegene uit stelling 2.23, dus Z t Z 1 t 2 Θ (u)du Z1 (t) = exp − Θ(u)dW (u) − 2 0 0 N (t)

Z2 (t) = e

e (λ−λ)t

Y λ efe(Yi ) λf (Yi )

(2.5)

i=1

Z(t) = Z1 (t)Z2 (t). Nu gelden voor deze Z weer dezelfde eigenschappen. Lemma 2.24. Z(t) is martingaal en voor alle t ≥ 0 geldt E[Z(t)] = 1. e We stellen weer P(A) = voor wat volgt.

R

A Z(T )dP,

voor alle A ∈ F. Zo bekomen we een belangrijke stelling

R e is W f (t) = W (t)+ t θ(s)ds een Brownse beweging en Q(t) een compound Stelling 2.25. Onder P 0 e en spronggroottes met dichtheid fe(y). Poisson proces met intensiteit λ f (t) en Q(t) zijn onafhankelijk. W

2.3. OPTIES

2.2.5

19

Aandeel gedreven door een sprongproces

We veronderstellen hier dat een aandeel S gedreven wordt door een Brownse beweging W (t) en een gecompenseerd compound Poisson proces Q(t) − βλt. Dit wil zeggen dat de verandering van de aandeelprijs kan geschreven worden als dS(t) = αS(t−)dt + σS(t−)dW (t) + S(t−)d(Q(t) − βλt).

(2.6)

e bestaat, zodat er geen arbitrage mogelijk We willen nu bewijzen dat er een risiconeutrale maat P is. We doen een verandering van maat, zoals in vorige sectie, met een geadapteerd proces e en een dichtheid van de sprongen fe(y), met verwachtingswaarde β. e We Θ(t), een intensiteit λ R e e construeren Z(t) zoals in (2.5) en we stellen P(A) = A Z(T )dP. Omdat we willen dat P e geldt risiconeutraal is, willen we dat voor S(t) onder P eβt e f (t) + S(t−)d Q(t) − λ dS(t) = rS(t−)dt + σS(t−)dW eβe S(t−)dt + σS(t−) (dW (t) + Θ(t)dt) + S(t−)dQ(t) = r−λ eβe + σΘ S(t−)dt + σS(t−)dW (t) + S(t−)dQ(t). = r−λ Dit moet gelijk zijn aan (2.6), zodat we bekomen dat eβe + σΘ. α − βλ = r − λ e bestaat Dit heeft duidelijk een oplossing (zelfs meerdere), zodat er een risiconeutrale maat P waarvoor geldt dat eβt e . f (t) + S(t−)d Q(t) − λ dS(t) = rS(t−)dt + σS(t−)dW

2.3

Opties

We geven hier kort enkele definities van opties. Definitie 2.23. Een optie wordt bepaald door een uitoefendag en een uitoefenprijs K. Een call optie geeft de mogelijkheid (niet verplicht) om een aandeel S(T ) te kopen voor K op T . En een put optie geeft de mogelijkheid (niet verplicht) om een aandeel S(T ) te verkopen voor K op T . T wordt de maturiteit genoemd en is de tijd tot de uitoefendag. De payoff van een call optie is (S(T ) − K)+ en van een put optie (K − S(T ))+ , met S(t) de waarde van het onderliggende aandeel S op tijdstip t. Definitie 2.24. De intrinsieke waarde van een optie is de payoff die je zou verdienen bij onmiddellijke uitoefening, dus (S(0) − K)+ voor een call optie en (K − S(0))+ voor een put optie. Een optie is in-the-money als de intrinsieke waarde positief is, dus als S(0) > K voor call opties of als S(0) < K voor put opties. Een optie is out-of-the-money als het geen intrinsieke waarde heeft, dus als S(0) ≤ K voor call opties of als S(0) ≥ K voor put opties. Een optie is at-the-money als S(0) = K. Definitie 2.25. De laatprijs van een optie is de prijs die men op de markt moet betalen om die optie te kopen. De biedprijs van een optie is de prijs die men op de markt krijgt om die optie te verkopen. De bid-ask spread is het verschil tussen de bied- en laatprijs. Merk op dat de biedprijs altijd lager zal zijn dan de laatprijs. Anders zou er een arbitrage zijn door gewoon te kopen en terug te verkopen.


20

2.4

Forwards en Futures

Forwards en futures zijn net als opties afgeleide producten. We geven hier de definitie van beide afgeleide producten. Ook bekijken we de prijsbepaling. De afleiding hiervan kan gevonden worden in [20]. Definitie 2.26. Een forward contract is een overeenkomst om op de uitoefendatum T aan een overeengekomen uitoefenprijs K een aandeel S te kopen met op tijdstip t waarde S(t). De forwardprijs F orS (t, T ) is de uitoefenprijs waarvoor het contract een risiconeutrale prijs 0 krijgt. De formule voor deze forwardprijs wordt gegeven in volgende stelling. Stelling 2.26. Voor de forwardprijs geldt F orS (t, T ) = met B(t, T ) = in (2.1).

1 e D(t) E[D(T )|F(t)]

S(t) , B(t, T )

de prijs van een nulcouponobligatie en D(t) gedefinieerd zoals

Nu definiëren we de futuresprijs en het futurescontract, waarna we het verschil berekenen met de forwardprijs. Definitie 2.27. De futuresprijs van een aandeel wordt gegeven door e F utS (t, T ) = E[S(T )|F(t)]. Een futures contract is een contract waarbij de houder als cash flows de verandering in F utS (t, T ) krijgt (zowel positief als negatief ) en de schrijver de tegenovergestelde cash flows. Nu willen we het verschil tussen de forward- en de futuresprijs bepalen, ook wel de forwardfutures spreiding genoemd. We zullen dit hier enkel doen voor een constante interestvoet R(t) = r. Dit geeft voor beiden S(t) e E[D(T )|F(t)] = er(T −t) S(t) D(t) e −rT S(T )|F(t)] = er(T −t) S(t), F utS (t, T ) = erT E[e

F orS (t, T ) =

(2.7)

zodat ze gelijk zijn.

2.5

Put-call pariteit

Omdat er geen arbitrage mag zijn, is het gemakkelijk in te zien dat er voor de waarde van een forwardcontract moet gelden dat f (t, x) = x − e−r(T −t) K. Op tijdstip T vinden we dus f (T, S(T )) = S(T ) − K. En aangezien het duidelijk is dat voor alle x de vergelijking x − K = (x − K)+ − (K − x)+ geldt, vinden we f (T, S(T )) = S(T ) − K = (S(T ) − K)+ − (K − S(T ))+ = c(T, S(T )) − p(T, S(T )), met c(t, x) de waarde van een call optie en p(t, x) de waarde van een put optie. Daar deze gelijkheid geldt op T , moet ze ook gelden op eender welke 0 < t < T , omdat er anders een arbitrage is. Deze gelijkheid wordt de put-call pariteit genoemd, f (t, S(t)) = c(t, S(t)) − p(t, S(t)).

(2.8)

2.6. DE BLACK-SCHOLES FORMULES

2.6

21

De Black-Scholes formules

In deze paragraaf zullen we een formule afleiden voor de prijs van een call optie. Daarna vinden we via de put-call pariteit een formule voor de prijs van een put optie. Ten laatste interpreteren we beide formules.

2.6.1

De Black-Scholes formule voor een Europese call optie

Stel dat je op tijdstip t een portfolio bezit met waarde X(t). Stel dat je voor dit portfolio hebt ge¨ınvesteerd in een risicoloze belegging met risicoloze interest r en in een aandeel dat wordt beschreven door een geometrische Brownse beweging dS(t) = αS(t)dt + σS(t)dW (t). Veronderstel ook dat het portfolio ∆(t) aandelen bevat. Hierbij moet ∆(t) een aangepast proces zijn aan W (t). De rest van de waarde van het portfolio, X(t) − ∆(t)S(t), is ge¨ınvesteerd in de risicoloze belegging. Zo zien we onmiddellijk dat dX(t) voldoet aan dX(t) = ∆(t)dS(t) + r(X(t) − ∆(t)S(t))dt = ∆(t)(αS(t)dt + σS(t)dW (t)) + r(X(t) − ∆(t)S(t))dt = rX(t)dt + ∆(t)(α − r)S(t)dt + ∆(t)σS(t)dW (t). Voor de verdisconteerde aandeelprijs e−rt S(t) geldt er, wegens de Itô-Doeblin formule (stelling 2.5) met f (t, x) = e−rt x, dat d(e−rt S(t)) = −re−rt S(t)dt + e−rt dS(t) = (α − r)e−rt S(t)dt + σe−rt S(t)dW (t). Dit geeft voor de verdisconteerde portefeuillewaarde dat d(e−rt X(t)) = −re−rt X(t)dt + e−rt dX(t) = ∆(t)(α − r)e−rt S(t)dt + ∆(t)σe−rt S(t)dW (t) = ∆(t)d(e−rt S(t)).

Beschouw nu een Europese call optie die (S(T ) − K)+ oplevert. De waarde van deze optie kan enkel afhangen van de tijd, de aandeelprijs, de modelparameters r en σ en de uitoefenprijs K. De enige variabelen hierbij zijn de tijd en de aandeelprijs, waardoor we de optieprijs op tijdstip t en voor een aandeelprijs S(t) = x kunnen voorstellen als c(t, x). Merk op dat deze functie niet stochastisch is, maar de optieprijs c(t, S(t)) wel. We willen nu c(t, x) bepalen zodat we de prijs van de optie kennen, als op dat tijdstip de aandeelprijs gekend is. Uit de Itô-Doeblin formule vinden we dat 1 dc(t, S(t)) = ct (t, S(t))dt + cx (t, S(t))dS(t) + cxx (t, S(t))dS(t)dS(t) 2 1 2 2 = ct (t, S(t)) + αS(t)cx (t, S(t)) + σ S (t)cxx (t, S(t)) dt 2 + σS(t)cx (t, S(t))dW (t).


22

Dit geeft voor de verdisconteerde waarde d(e−rt c(t, S(t))) = −re−rt c(t, S(t))dt + e−rt dc(t, S(t)) 1 2 2 −rt −rc(t, S(t)) + ct (t, S(t)) + αS(t)cx (t, S(t)) + σ S (t)cx x(t, S(t)) dt =e 2 −rt + e σS(t)cx (t, S(t))dW (t).

Omdat er anders een arbitrage zou zijn, moeten beide differentialen die we hebben afgeleid, gelijk zijn. Er geldt dus ∆(t)(α − r)S(t)dt + ∆(t)σS(t)dW (t) 1 2 2 = −rc(t, S(t)) + ct (t, S(t)) + αS(t)cx (t, S(t)) + σ S (t)cxx (t, S(t)) dt + σS(t)cx (t, S(t))dW (t). 2 In deze formule moeten zowel de dt-term als de dW (t)-term gelijk zijn. Als we de dW (t)-termen gelijk stellen, krijgen we ∆(t) = cx (t, S(t)). Dit geeft een regel (de zogenaamde delta-hedging regel) voor het aantal aandelen dat je moet nemen om de short positie in de optie te hedgen. Als we nu ook de dt-termen gelijk stellen, krijgen we voor alle t ∈ [0, T ) 1 cx (t, S(t))(α − r)S(t) = −rc(t, S(t)) + ct (t, S(t)) + αS(t)cx (t, S(t)) + σ 2 S 2 (t)cxx (t, S(t)). 2 Maar omdat in beide leden een term cx (t, S(t))αS(t) voorkomt, wordt dit voor alle t ∈ [0, T ) 1 rc(t, S(t)) = ct (t, S(t)) + rS(t)cx (t, S(t)) + σ 2 S 2 (t)cxx (t, S(t)). 2 We moeten nu dus een functie c(t, x) vinden die voldoet aan de Black-Scholes partiële differentiaalvergelijking 1 rc(t, x) = ct (t, x) + rS(t)cx (t, x) + σ 2 S 2 (t)cxx (t, x), ∀t ∈ [0, T ), x ≥ 0, 2 met eindvoorwaarde c(T, x) = (x − K)+ ,

∀x ≥ 0.

Het is niet moeilijk in te zien dat volgende randvoorwaarden moeten gelden h i lim c(t, x) − (x − e−r(T −t) K) = 0, ∀t ∈ [0, T ], en x→∞

c(t, 0) = 0,

∀t ∈ [0, T ].

Onder deze randvoorwaarden wordt de oplossing van de partiële differentiaalvergelijking gegeven door c(t, x) = xN (d1 (T − t, x)) − Ke−r(T −t) N (d2 (T − t, x)),

voor 0 ≤ t < T,

waarbij d1 en d2 gegeven worden door x 1 √ d1 (τ, x) = log + (r + K σ τ 1 x d2 (τ, x) = √ log + (r − K σ τ

σ2 )τ , en 2 σ2 )τ , 2

en waarbij N de cumulatieve verdelingsfunctie is van de standaard normale verdeling, Z y z2 1 N (y) = √ e− 2 dz. 2π −∞

2.6. DE BLACK-SCHOLES FORMULES

2.6.2

23

De Black-Scholes formule voor een Europese put optie

Nu we de formule hebben afgeleid voor een Europese call optie, kunnen we via de put-call pariteit een gelijkaardige formule bekomen voor een Europese put optie. Uit (2.8) vinden we dat p(t, x) = c(t, x) − f (t, x) = xN (d1 (T − t, x)) − Ke−r(T −t) N (d2 (T − t, x)) − x − Ke−r(T −t) = x(N (d1 (T − t, x)) − 1) − Ke−r(T −t) (N (d2 (T − t, x)) − 1) = Ke−r(T −t) N (−d2 (T − t, x)) − xN (−d1 (T − t, x)),

voor 0 ≤ t < T.

Nadat we beide formules hebben afgeleid, zullen we in het volgende deeltje nog even kort de interpretatie toelichten.

2.6.3

Interpretatie

Tot slot interpreteren we de Black-Scholes formule. We beginnen bij die van een call optie. De eerste term is de verwachte waarde van het aandeel op voorwaarde dat je de optie uitoefent. De tweede term is de uitoefenprijs maal de kans dat je de optie uitoefent. De Black-Scholes formule wil dus zeggen dat als je op maturiteit uitoefent, je de uitoefenprijs betaalt en het aandeel krijgt. Dit klopt door de definitie van een call optie. Bij een put optie is het juist andersom. Daar is de prijs gelijk aan de uitoefenprijs maal de kans dat je uitoefent, min de verwachte waarde van het aandeel op voorwaarde dat je uitoefent. Ook dit is juist omdat je hier op maturiteit de uitoefenprijs krijgt voor een aandeel, als je uitoefent. Samengevat kunnen we dus zeggen dat N (d1 ) (of N (−d1 ) voor een put optie) een maat is voor hoe ver de optie verwacht wordt boven (of onder voor een put optie) de uitoefenprijs te eindigen als de optie wordt uitgeoefend. In de andere term is N (d2 ) = P(ST ≥ K) of N (−d2 ) = P(ST ≤ K) de kans dat de optie wordt uitgeoefend.

24


Hoofdstuk 3

Het marktrisico (VIX) Het eerste risico voor beleggers dat we zullen beschouwen, is het risico dat de prijs van de aandelen sterk daalt. Dit wordt het marktrisico genoemd. De waarde van een index in de toekomst is een toevalsvariabele, met een bepaald gemiddelde en standaardafwijking. Deze standaardafwijking wordt bepaald door de volatiliteit en is ook afhankelijk van hoe ver je gaat in de toekomst. Een hoge volatiliteit zorgt voor een grotere onzekerheid over de prijs in de toekomst, terwijl bij lage volatiliteit een betere schatting gemaakt kan worden van de toekomstige waarde. Omdat bij een grotere volatiliteit de kans om op korte termijn grote verliezen te maken, hoger is, is de verwachte volatiliteit een goede maatstaf voor het marktrisico. Merk nog eens op dat de kans op grotere winsten ook groter is, maar dat dit voor risico-averte personen minder doorweegt. Om het marktrisico te kwantificeren, zullen we proberen de toekomstige volatiliteit te benaderen. Dit hoofdstuk is gebaseerd op de white paper van de CBOE, [10].

3.1

Achtergrond over de VIX

In 1993 werd de eerste VIX ge¨ıntroduceerd door de Chicago Board Options Exchange (CBOE) op de S&P100 Index. 10 jaar later, in 2003, werd de methode aangepast en toegepast op de S&P500 Index (SPX), met meer aandelen en dus een bredere basis voor de berekening van de VIX. Sinds 2006 kan er ook gehandeld worden in opties en futures op de VIX. Tegenwoordig worden er zelfs meer dan 100 000 contracten afgesloten per dag. De VIX is gebaseerd op opties op de aandelen van SPX, omdat optieprijzen de verwachte toekomstige volatiliteit weerspiegelen. De toekomstige volatiliteit wordt bekeken op korte termijn, namelijk 30 dagen, want de VIX wordt berekend uit opties die de eerstkomende maand vervallen en opties die de maand erna vervallen. Er bestaat ook een volatiliteitsindex voor de 3 volgende maanden (93 dagen), genaamd de VXV, maar daar gaan we hier niet verder op in. Op elke index kan een volatiliteitsindex berekend worden. Voor veel indexen wordt zo’n index tegenwoordig dan ook berekend. Voorbeelden hiervan zijn de NASDAQ-100, de Dow Jones Industrial Average en de Russel 2000. Ook op olie, goud en de euro-dollar wisselkoers bestaat er zo’n volatiliteitsindex. Deze zijn gebaseerd op aandelen op deze grondstoffen of wisselkoers, respectievelijk opties op het United States Oil Fund, SPDR Gold Shares en CurrencyShares Euro Trust. Al deze indexen zijn te vinden op de site van CBOE, zie http://www.cboe.com/ micro/volatility/introduction.aspx.

25

26

3.2

HOOFDSTUK 3. HET MARKTRISICO (VIX)

De volatiliteit benaderd

In deze paragraaf zullen we de formule, waarop de VIX gebaseerd is, afleiden. Deze steunt op 2 artikels, namelijk [3] en [4]. We maken hierbij twee veronderstellingen. De eerste is dat het aandeel S gedreven wordt door een sprongproces, zoals in sectie 2.2.5. De tweede is dat de interestvoet constant is, zodat de forward- en de futuresprijs kunnen geschreven worden als in (2.7). We zouden willen dat de index die we construeren een goede indicatie is van de toekomstige volatiliteit. Zodoende willen we dat voor onze index geldt: e t [RVol2 V IX 2 ≈ E t,t+30 ] e t [RVt,t+30 ]. =E e t de verwachtingswaarde onder een risiconeutrale maat P e geconditioneerd op de Hierbij is E informatie beschikbaar op tijd t, RVolt,T de gerealiseerde jaarlijkse volatiliteit tussen t en T. Ten slotte is RVt,T = RVol2t,T de gerealiseerde jaarlijkse kwadratische variatie van de winst op het aandeel tussen t en T. Deze winst is ook gelijk aan de winst op de futuresprijs tussen t en t T, in formulevorm FTF−F . Infinitesimaal wordt dit FdFt−t . t e t [RVt,t+30 ] te Omdat die jaarlijkse kwadratische variatie pas gekend zal zijn op T, proberen we E benaderen met gegevens beschikbaar op t. Om de notatie te verlichten schrijven we St voor de waarde van het aandeel op tijdstip t, en Ft voor de futuresprijs op dit aandeel op tijd t. We veronderstellen ook dat Ft zich continu aanpast aan de markt, en dat Ft altijd strikt positief is. Nu kunnen we een differentiaalvergelijking afleiden voor de futuresprijs. e op de kansruimte (Ω, F), zodat de futuresprijs Stelling 3.1. Er bestaat een risiconeutrale maat P Ft een oplossing is van de volgende stochastische differentiaalvergelijking: Z dFt = Ft− σt− dWt + Ft− (ex − 1)[µ(dx, dt) − νt (x)dxdt], ∀t ∈ [0, T ], R0

e R0 de reële rechte zonder 0, Ft− de futuresprijs voor een met Wt een Brownse beweging onder P, sprong op t en σt− de volatiliteit voor een sprong op t. De maat µ(x, t) telt het aantal sprongen van Ft naar Ft ex die gebeuren voor t. Dus µ(x, t) telt het aantal sprongen Ft (ex − 1). Het proces νt (x), x ∈ R0 , t ∈ [0, T ] compenseert het R t Rmet grootte sprongproces J ≡ 0 R0 (ex − 1)µ(dx, ds). Bewijs. (eigen werk) Het aandeel S wordt gedreven door een sprongproces en uit sectie 2.2.5 e bestaat zodat volgt dan dat er een risiconeutrale maat P eβt e . ft + St− d Qt − λ dSt = rSt− dt + σt− St− dW Wegens (2.7) is Ft = er(T −t) St . Zo bekomen we via de formule van Itô-Doeblin, stelling 2.16, met f (t, x) = er(T −t) x dFt = d(er(T −t) St ) = −rer(T −t) St− dt + er(T −t) dSt h i eβt e ft + St− d Qt − λ = −rer(T −t) St− dt + er(T −t) rSt− dt + σt− St− dW eβt e ft + er(T −t) St− d Qt − λ = er(T −t) σt− St− dW eβt e . ft + Ft− d Qt − λ = σt− Ft− dW

3.2. DE VOLATILITEIT BENADERD

27

We stellen µ(x, t) gelijk aan het sprongen van grootte Ft− (ex − 1) op t. Als νt (x) nu het R t Raantal x compenserende proces is van 0 R0 (e − 1)µ(dx, ds), dan geldt Z

(ex − 1)µ(dx, dt),

dQt = ZR0 eβdt e = λ

(ex − 1)νt (x)dxdt,

R0

omdat de integraal ervoor zorgt dat sprongen van alle groottes worden beschouwd (behalve 0, want dit is geen sprong). Als we dit invullen in de vorige vergelijking, bekomen we Z

Ft− (ex − 1)d (µ(dx, dt) − νt (x)dxdt) .

ft + dFt = σt− Ft− dW R0

Om een goed gedefinieerde kwadratische variatie te hebben, moet het compenserende proces νt (x) voldoen aan Z

(x2 ∧ 1)νt (x)dx < ∞,

∀t ∈ [0, T ].

R0

We zullen zelfs veronderstellen dat het compenserende proces eindige variatie heeft: Z (|x| ∧ 1)νt (x)dx < ∞,

∀t ∈ [0, T ].

R0

Het superscript van σt− en νt (x) wijst er op dat ze beide Ft -meetbaar zijn. We beperken ze nog verder zodat Ft steeds positief is. Aan de hand van de voorstelling voor de futuresprijs die we hebben afgeleid in de vorige stelling bekomen we een kwadratische variatie op de winst van die futuresprijs. De winst op de futuresprijs is ter herinnering gelijk aan FdFt−t . Volgens [3] en [4] is de kwadratische variatie hierop tussen t en T gelijk aan RVt,T

1 = T −t

Z

T 2 σs− ds

Z

T

Z

+

2

x µ(dx, ds) .

t

t

R0

Deze formule kunnen we benaderen met gegevens beschikbaar op t, namelijk optieprijzen. De benadering is zelfs exact als de futuresprijs continu is. Dit bewijzen we in de volgende stelling. Stelling 3.2. De verwachte waarde van RVt,T kan benaderd worden met behulp van out-of-themoney optieprijzen met maturiteit T over alle uitoefenprijzen K > 0: e t [RVt,T ] = E

2 r(T −t) e T −t

Z 0

∞

Θt (K, T ) dK + . K2

In deze formule is de benaderingsfout en Θt (K, T ) de prijs op tijdstip t van een out-of-themoney optie met uitoefenprijs K > 0 en maturiteit T ≥ t. De benadering is exact als Ft continu is. Indien de futuresprijs kan springen, is de benaderingsfout van de orde O(( FdFt−t )3 ).

28


Bewijs. Uit de stelling van Itˆ o-Doeblin, stelling 2.16, volgt voor een twee keer differentieerbare functie f (F ) dat Z T Z 1 T 00 f 0 (Fs− )dFsc + f (Fs− )dFsc dFsc f (FT ) = f (Ft ) + 2 t t Z TZ [f (Fs− ex ) − f (Fs− )] µ(dx, ds) + t

R0 T

Z

1 f (Fs− )dFs + 2

Z

T

2 2 = f (Ft ) + f 00 (Fs− )Fs− σs− ds t t Z TZ + f (Fs− ex ) − f (Fs− ) − f 0 (Fs− )Fs− (ex − 1) µ(dx, ds). t

0

R0

Als we dit nu toepassen voor de functie f (F ) = ln(F ), bekomen we T

Z ln(FT ) = ln(Ft ) + t T

Z

1 1 dFs + Fs− 2

t

T

1 2 2 − 2 Fs− σs− ds Fs−

1 x + Fs− (e − 1) µ(dx, ds) ln(Fs− e ) − ln(Fs− ) − Fs− t R0 Z Z T 1 T 2 1 dFs − σs− ds = ln(Ft ) + 2 t t Fs− Z TZ Fs− ex x + ln − (e − 1) µ(dx, ds) Fs− t R0 Z Z TZ Z T 1 T 2 1 dFs − σs− ds + [x − ex + 1] µ(dx, ds) = ln(Ft ) + 2 t t R0 t Fs− Z TZ Z Z T 1 T 2 1 [x − ex + 1] µ(dx, ds) σs− ds + dFs − = ln(Ft ) + 2 t t R0 t Fs− Z Z Z Z FT FT 1 T 1 T 2 + −1 + x µ(dx, ds) − −1 − x2 µ(dx, ds) Ft 2 t R0 Ft 2 t R0 Z

Z

x

Vervolgens vermenigvuldigen we deze hele uitdrukking met 2 en brengen we Vt,T naar de linkse kant, zodat we bekomen dat Z Vt,T =

T 2 σs− ds

t

Z

T

Z

x2 µ(dx, ds)

+ t

R0

Z = 2 ln(Ft ) − 2 ln(FT ) + 2 t

T

1 dFs + 2 Fs−

T

Z t

Z

[x − ex + 1] µ(dx, ds)

R0

Z TZ FT FT 2 +2 −1 + x µ(dx, ds) − 2 −1 Ft Ft t R0

Er geldt −2 bekomen we

h

FT Ft

i h − 1 = −2 FFTt −

Ft Ft

i

= −2

RT t

1 Ft dFs .

Als we dan de integralen groeperen,

Z T 1 1 FT − 1 − ln(FT ) + ln(Ft ) + 2 − =2 dFs Ft Fs Ft t Z TZ x2 x −2 e −1−x− µ(dx, ds) 2 t R0

Vt,T

(3.1)

3.2. DE VOLATILITEIT BENADERD

29

Een Taylorontwikkeling van ln(FT ) rond het punt Ft geeft Z FT 1 1 (FT − K)dK. ln(FT ) = ln(Ft ) + (FT − Ft ) − 2 Ft K Ft Als FT ≥ Ft gelden volgende twee gelijkheden Z FT Z FT 1 1 − (F − K)dK = − (FT − K)+ dK T 2 2 K K Ft t ZF∞ 1 =− (FT − K)+ dK, en 2 Ft K Z Ft 1 (K − FT )+ dK = 0. − K2 0 En wanneer FT ≤ Ft gelden deze twee Z FT Z Ft 1 − (FT − K)dK = − 2 FT Ft K Z Ft =− 0 Z ∞ 1 − (FT − K)+ dK = 0. 2 K Ft

1 (K − FT )+ dK K2 1 (K − FT )+ dK, en K2

Zo geldt voor beide gevallen dat Z FT Z Ft Z ∞ (K − FT )+ 1 (FT − K)+ − (F − K)dK = − dK − dK. T 2 K2 K2 0 Ft K Ft Hieruit volgt dan dat 1 ln(FT ) = ln(Ft ) + (FT − Ft ) − Ft

Z 0

Ft

(K − FT )+ dK − K2

Z

∞

Ft

(FT − K)+ dK. K2

Invullen in (3.1) en FT = ST toepassen, geeft ons Z Ft Z ∞ 1 1 + + (K − ST ) dK + (ST − K) dK Vt,T = 2 2 K2 Ft K 0 Z T Z TZ 1 1 x2 x +2 − dFs − 2 e −1−x− µ(dx, ds). Fs Ft 2 t t R0 De eerste term is gelijk aan de payoff van dK out-of-the-money opties met uitoefenprijs K, voor K2 alle 0 < K < ∞. De tweede term is de payoff van een dynamische strategie waarbij het aantal opties dat je bezit op tijdstip s gelijk is aan 2er(T −s) [1/Fs− − 1/Ft ]. De derde term is een hogere orde term die veroorzaakt is door discontinu¨ıteiten in Ft . Als Ft continu is, valt deze term weg. e en bekomen We nemen aan beide kanten verwachtingswaarden onder de risiconeutrale maat P zo Z Ft Z ∞ 1 e 1 e + + e Et [Vt,T ] = 2 Et (K − ST ) dK + E (ST − K) dK 2 K2 0 Ft K Z T Z TZ 1 1 x2 x e e + 2Et − dFs − 2Et e −1−x− µ(dx, ds). Fs Ft 2 t t R0

30


Voor de tweede term geldt wegens de onafhankelijkheid van toekomstige toenames in Ft Z T Z T 1 1 1 1 et et − dFs = E − dFs E Fs Ft Fs Ft t t Z T 1 1 e e Et = − Et [dFs ] Fs Ft t Z T 1 1 e = − Et [dFs ] Ft Ft t Z T e t [dFs ] = 0, 0E = t

zodat deze wegvalt. Uit de definitie van een risiconeutrale maat, definitie 2.6, volgt er dat de verwachte waarde van de payoff van een optie de huidige prijs moet zijn, vermenigvuldigd met er(T −t) . Zo bekomen we dat 2 e Et [Vt,T ] T −t Z 2 r(T −t) ∞ Θt (K, T ) e dK + . = T −t K2 0 R R e R0 (µ(x, t)−νt (x)) is per definitie van νt (x) martingaal onder P. Zo is R0 (µ(dx, dt)−νt (x)dxdt) = 0. We vinden voor volgende uitdrukking Z TZ 2 e x2 x =− Et µ(dx, ds) e −1−x− T −t 2 t R0 Z TZ x2 2 e x Et νt (x)dxdt. e −1−x− =− T −t 2 t R0 Deze term is van orde O ( FdFt−t )3 , zodat het bewijs volledig is. e t [RVt,T ] = E

Merk op dat de out-of-the-money optie met uitoefenprijs K > 0 en maturiteit T ≥ t een call optie is als K > Ft en een put optie als K ≤ Ft . Omdat er niet voor alle 0 < K < ∞ optieprijzen bekend zijn, discretiseren we vorige formule naar optieprijzen Ot (K, T ) met een uitoefenprijs K waarvoor de prijs gekend is op de markt. Zo krijgen we X ∆Ki r(T −t) e t [RVt,T ] ≈ 2 E Ot (Ki , T ). 2 e T −t K i i

3.3

De VIX berekenen

De formule die we in de vorige paragraaf hebben afgeleid, ligt aan de basis van de berekening van de VIX. Deze formule is: σ2 =

2 X ∆Ki rT e O(Ki ). T Ki2 i

Voor K0 ≤ F willen we zowel de call als de put optie beschouwen. Er moet dan wel een correctie gebeuren. Omdat wegens de put-call pariteit (2.8) geldt dat er(T −t) Ct (K0 , T ) = er(T −t) Pt (K0 , T ) + Ft − K0 ,

(3.2)

3.3. DE VIX BEREKENEN

31

kunnen we de formule eenvoudig aanpassen. Let hierbij op dat Q(Ki ) = O(Ki ) voor alle i 6= 0, maar niet voor K0 . De formule wordt zo 2 2 X ∆Ki rT 1 Ft 2 σ = e Q(Ki ) − −1 , (3.3) T T K0 Ki2 i

want als we hierin (3.2) invullen bekomen we 2 1 ∆K0 1 Ft 2 X ∆Ki rT −1 . e O(Ki ) + (FT − K0) − σ = T T K02 T K0 Ki2 i 2

Wanneer we nu veronderstellen dat F in het midden ligt tussen opeenvolgende uitoefenprijzen, heffen de tweede en derde term elkaar op. We verkrijgen zo dat σ2 =

2 X ∆Ki rT e O(Ki ). T Ki2 i

Deze veronderstelling zal niet altijd voldaan zijn, maar is wel een goede benadering, zodat (3.3) een goede benadering is van de formule die we in de vorige paragraaf afgeleid hebben. In (3.3) is • σ=

VIX 100 ,

dus VIX = σ × 100.

• T is de tijd tot uitoefenen. Dit wordt als volgt berekend:

T = (Mvandaag + Muitoef endag + Mandere

dagen )/Mjaar ,

met Mvandaag het aantal minuten tot middernacht vandaag, Muitoef endag het aantal minuten op de uitoefendag tot het tijdstip waarop het echt wordt uitgeoefend (hangt af van de onderliggende index), Mandere dagen het aantal minuten in de dagen ertussen, en Mjaar het aantal minuten in een jaar. T wordt dus uitgedrukt in jaren. • F is de forward index level afgeleid uit de optieprijzen op de index. Dit wordt later duidelijk, maar deze wordt in essentie gehaald uit (3.2). • K0 is de hoogste uitoefenprijs kleiner dan F. • Ki is de uitoefenprijs van de ide out-of-the-money optie. Dit is een call optie als Ki > K0 (stel i dan positief) en een put optie als Ki < K0 (stel i dan negatief). Het is zowel de uitoefenprijs van een call als van een put optie als i = 0. • ∆Ki stelt de afstand voor tussen de uitoefenprijzen. ∆Ki =

Ki+1 − Ki−1 2

Als Ki de hoogste uitoefenprijs is, wordt dit Ki − Ki−1 . We passen de formule analoog aan voor de laagste uitoefenprijs: Ki+1 − Ki . • r is de risicoloze interest tot de uitoefendag. Hiervoor nemen we de interest van een nulcouponobligatie die het dichtst bij de uitoefendatum vervalt.

32

HOOFDSTUK 3. HET MARKTRISICO (VIX) • Q(Ki ) is het middelpunt (dus gewoon het gemiddelde) van de bied- en de laatprijs van de optie met uitoefenprijs Ki , omdat er anders twee verschillende prijzen voor de optie zijn. Het verschil tussen de twee wordt beschouwd in het volgende hoofdstuk bij het liquiditeitsrisico. Q(K0 ) is een uitzondering hierop. Daarvoor is dit het gemiddelde van de call en de put optie met die uitoefenprijs.

Bij het berekenen van de VIX zullen we opties gebruiken met 2 maturiteiten. Deze 2 klassen zullen we respectievelijk near-term en next-term noemen.

Definitie 3.1. Voor opties is er typisch 1 vervaldag per maand. Near-term opties zijn opties die de eerste komende vervaldag vervallen, als die niet binnen minder dan een week is. Als die vervaldag wel binnen minder dan een week is, zijn de opties die de volgende vervaldag vervallen near-term. Opties die een maand later vervallen dan de near-term optes zijn next-term.

Dus als er komende week een vervaldag voor de opties is, kijken we voor de near-term naar de vervaldag erna, en voor de next-term naar diegene daarna. We kunnen nu de VIX berekenen.

3.3.1

Het selecteren van de opties

Voor de berekening van de VIX worden er out-of-the-money call en put opties gebruikt, die rond de at-the-money uitoefenprijs K0 liggen. De uitoefenprijs van de out-of-the-money call opties is groter dan K0 , en die van out-of-the-money put opties is kleiner dan K0 . Uit de overblijvende opties worden dan nog de opties weggelaten die een biedprijs hebben die gelijk is aan 0. Merk ten eerste op dat de geselecteerde opties elke dag kunnen verschillen. Ten tweede kan het zijn dat de geselecteerde opties ook verschillen tussen near-term en next-term. Nu volgt er een gedetailleerde werkwijze om de juiste aandelen te selecteren. • Eerst berekenen we F (F1 voor de near-term en F2 voor de next-term), het forward level van de index. Dit doen we door de uitoefenprijs te zoeken waar het absoluut verschil tussen de call optieprijs en de put optieprijs het kleinst is. F is dan, via (3.2): F = Uitoefenprijs + eRT × (Call prijs − Put prijs) • Vervolgens bepalen we K0 (K0,1 voor de near-term en K0,2 voor de next-term). Dit is de grootste uitoefenprijs kleiner dan F. • Selecteer nu voor de put opties, de out-of-the-money put opties met uitoefenprijs < K0 . Begin met de grootste uitoefenprijs kleiner dan K0 , en bekijk telkens 1 uitoefenprijs lager. Laat de optie weg als de bid prijs 0 is, en als er 2 opties na elkaar worden weggelaten, worden alle volgende opties buiten beschouwing gelaten. Daarna is de selectieprocedure analoog voor de calls. Je beschouwt nu out-of-the-money call opties met uitoefenprijs > K0 . Begin met de kleinste uitoefenprijs groter dan K0 , en bekijk telkens 1 uitoefenprijs hoger. Laat de optie weg als de bid prijs 0 is, en als er 2 opties na elkaar worden weggelaten, worden alle volgende opties buiten beschouwing gelaten. Als laatste worden zowel de put als de call optie met uitoefenprijs K0 toegevoegd.

3.3. DE VIX BEREKENEN

33

Nu hebben we een lijst met opties die we zullen beschouwen voor de berekening van de VIX. Zoals in (3.3) al duidelijk was, nemen we van elke optie het gemiddelde van de bied- en de laatprijs. Dan hebben we bij elke uitoefenprijs 1 waarde, behalve bij K0 . Daarom nemen we bij K0 het gemiddelde van de call optieprijs en de put optieprijs.

3.3.2

Het berekenen van de volatiliteit

In deze stap passen we (3.3) toe voor de geselecteerde opties van next-term en near-term. Dit geeft: 2 2 X ∆Ki rT1 1 F1 = e Q1 (Ki ) − −1 , T1 T1 K0 Ki2 i 2 1 F2 2 X ∆Ki rT2 2 e Q2 (Ki ) − −1 σ2 = T2 T2 K0 Ki2 σ12

i

Merk op dat ook de Ki en de ∆Ki niet noodzakelijk hetzelfde zijn voor near-term en next-term, maar om de notatie niet te verzwaren, noteren we in beide gevallen gewoon Ki .

3.3.3

Het berekenen van de VIX als gewogen gemiddelde

In deze laatste stap kunnnen we de VIX effectief berekenen als het gewogen gemiddelde op 30 dagen van σ12 en σ22 . De VIX wordt dan: s NT2 − N30 N30 − NT1 N365 2 2 V IX = 100 × T1 σ1 + T2 σ2 × NT2 − NT1 NT2 − NT1 N30

(3.4)

waarbij NT1 het aantal minuten tot uitoefenen van de next-term opties is, en NT2 het aantal minuten tot het uitoefenen van de near-term opties. N30 en N365 zijn het aantal minuten in respectievelijk 30 en 365 dagen.

34


Hoofdstuk 4

Het liquiditeitsrisico (LIQ) Een tweede risico voor beleggers is het risico dat er geen kopers zijn voor het aandeel op het moment dat ze hun aandelen willen verkopen. De afleiding om dit risico te kwantificeren is gebaseerd op het artikel Implied liquidity, [9]. Definitie 4.1. We noemen een markt liquide als er op elk moment mensen bereid zijn om aandelen te kopen en dat er ook mensen bereid zijn om aandelen te verkopen. De liquiditeit van een markt is een graad voor het aantal kopers en verkopers die er elk moment zijn. Het artikel [21] geeft een goede uitleg over liquiditeit. Hierin stelt de auteur dat het liquiditeitsrisico het meest onderschatte beleggingsrisico is. Het volgende voorbeeld toont dit aan. We citeren Vandycke [21]: Een beleggingsadviseur raadt een klant een aandeel aan. De klant gaat prompt tot een aankoop over en ziet de prijs van wat hij net kocht stijgen. Daarop neemt hij de telefoon en vraagt de adviseur nog meer van dat aandeel voor hem te kopen. Bij het dichtleggen ziet hij dat opnieuw zijn aandelen in waarde, ik bedoel prijs, zijn gestegen. Dit gaat zo een tijdje verder. Klant koopt, prijs stijgt. Uiteindelijk zit de klant op een obsceen bedrag aan, weliswaar virtuele, winst en geeft, ietwat zenuwachtig geworden, zijn adviseur de opdracht alles te verkopen, waarop die kalm de vraag stelt ”Aan wie?”. In onze setting gaan we ervan uit dat de markt bied- en laatprijzen vaststelt. Omdat makelaars winst willen maken, zal er een bid-ask spread zijn. Hiertussen ligt de echte ’waarde’ van het aandeel. Dit is zo omdat de makelaars er zeker van willen zijn dat ze het aandeel terug kunnen verkopen met winst. Hoe minder liquide een aandeel is, hoe meer onzekerheid er is over de echte waarde en hoe groter de bid-ask spread wordt. Om de vorige redenering beter te begrijpen, is het belangrijk het verschil tussen prijs en waarde in te zien. Vandycke [21] legt dit als volgt uit: Prijs is wat je geeft, waarde is wat je (hopelijk) krijgt. Prijs is objectief, waarde subjectief. Een transactie vindt plaats wanneer twee partijen het eens zijn over de huidige prijs en waarde, maar oneens over de toekomstige. Wat vlotjes de prijs wordt genoemd is steeds geschiedenis. Het is de prijs van de laatste transactie, zonder enige garantie voor (ver)kopers in spe op een volgende noch op de prijs aan dewelke die dan zou doorgaan. Een grotere liquiditeit zorgt dus voor een kleinere bid-ask spread en een kleinere liquiditeit zorgt voor een grotere bid-ask spread. Maar omdat de bid-ask spread ook niet-lineair wordt be¨ınvloed 35

36

HOOFDSTUK 4. HET LIQUIDITEITSRISICO (LIQ)

door maturiteit en volatiliteit, is de bid-ask spread geen goede maatstaf voor de liquiditeit. Om dit probleem te verhelpen zullen we de ge¨ımpliceerde liquiditeit invoeren. Hiervoor hebben we eerst wat kennis nodig van conic finance, waar bied- en laatprijzen worden beschouwd. Dit verschilt van de klassieke financiële wiskunde, omdat er klassiek maar één prijs per optie wordt beschouwd. Daarom wordt het ook het tweeprijzenmodel genoemd.

4.1

Een geschikte acceptabiliteitsindex

Deze specifieke achtergrond is naast het artikel [9], ook gebaseerd op het artikel [7] en op [1]. Om technische moeilijkheden te vermijden, beschouwen we enkel begrensde toevalsvariabelen, dus enkel variabelen in L∞ = L∞ (Ω, F, P).

4.1.1

Prestatiematen

We beginnen onmiddellijk met enkele definities. Definitie 4.2. Een prestatiemaat α is een afbeelding van L∞ = L∞ (Ω, F, P) naar de uitgebreide positieve halfrechte [0, ∞] die een toevalsvariabele afbeeldt op de eindwaarde van alle cash flows. We gaan er hierbij van uit dat er een risicovrije interest bestaat. Definitie 4.3. Voor een prestatiemaat α definiëren we de verzameling van acceptabele transacties op niveau α als alle transacties met prestatie boven x, dus Ax = {X : α(X) ≥ x}. We voeren nu een acceptabiliteitsindex in, waarvan we in wat volgt eigenschappen nodig hebben. Definitie 4.4. Een prestatiemaat α is een acceptabiliteitsindex indien volgende voorwaarden voldaan zijn: • α is quasi-concaaf. Als α(X) ≥ x en α(Y ) ≥ x, dan geldt ook voor alle λ ∈ [0, 1] dat α(λX + (1 − λ)Y ) ≥ x. • α is monotoon, dus X ≤ Y als en slecht als α(X) ≤ α(Y ). • α is schaalinvariant, dus voor λ > 0 geldt α(λX) = α(X). • α voldoet aan de Fatou eigenschap. Voor een rij van toevalsvariabelen (Xn ) met |Xn | < 1 en α(Xn ) ≥ x geldt dat als Xn convergeert naar X, dat dan ook α(X) ≥ x. De eerste drie voorwaarden kunnen ook geformuleerd worden in functie van de verzamelingen van acceptabele transacties. Dit geeft in dezelfde volgorde volgende eigenschappen. • Voor alle x is Ax een convexe verzameling. • Voor x ≤ y is Ax ⊇ Ay . • Voor alle x is Ax een kegel. We willen dat de prestatiemaat die we gebruiken meer is dan enkel een acceptabiliteitsindex. Van volgende vier eigenschappen willen we dat er zo veel mogelijk voldaan zijn. Definitie 4.5. Een prestatiemaat is verdelingsinvariant als voor elke twee toevalsvariabelen X en Y die dezelfde verdeling hebben, geldt dat α(X) = α(Y ).

4.1. EEN GESCHIKTE ACCEPTABILITEITSINDEX

37

Wanneer deze eigenschap voldaan is, weten we de prestatie van cash flows enkel aan de hand van de verdelingsfunctie. Dit is zeer handig omdat we dan enkel de verdelingsfunctie van de toevalsvariabele nodig hebben. Voor de tweede eigenschap hebben we eerst een andere definitie nodig. Definitie 4.6. Stel dat X en Y twee toevalsvariabelen zijn. Y domineert X stochastisch in de tweede orde als voor elke concave stijgende functie U geldt dat E[U (X)] ≤ E[U (Y )]. Definitie 4.7. Een prestatiemaat is consistent met de tweede orde stochastische dominantie als voor twee toevalsvariabelen X en Y geldt Y domineert X stochastisch in de tweede orde ⇒ α(X) ≤ α(Y ). Deze eigenschap wil zeggen dat als een transactie door elke handelaar wordt verkozen boven een andere, dat deze dan ook een hogere prestatie moet geven. Definitie 4.8. Een prestatiemaat is arbitrageconsistent als voor elke toevalsvariabele X geldt dat X ≥ 0 bijna overal ⇔ α(X) = ∞. We willen dat deze eigenschap voldaan is, omdat dit betekent dat arbitrages altijd accepteerbaar zijn. Iedereen accepteert uiteraard een mogelijkheid tot arbitrage. Definitie 4.9. Een prestatiemaat is verwachtingsconsistent als voor elke toevalsvariabele X geldt dat ( E[X] < 0 ⇒ α(X) = 0 E[X] > 0 ⇒ α(X) > 0. Verwachtingsconsistentie zegt dat als er verwacht wordt dat de opbrengst negatief zal zijn, dat dan het laagste niveau van acceptabiliteit wordt bereikt. Wanneer een positieve opbrengst voorzien wordt, is het niveau van acceptabiliteit zeker hoger. In de rest van paragraaf 4.1 houden we ons bezig met het bewijzen dat er een acceptabiliteitsindex bestaat die ook voldoet aan de vier extra eigenschappen. We zullen deze ook construeren.

4.1.2

Coherente risicomaten

Hier en in het volgende deel zullen we equivalente eigenschappen voor acceptabiliteitsindexen beschouwen. Hiervoor voeren we eerst coherente risicomaten in en daarna zullen we bekijken wat de onderliggende maten zijn om zo te komen tot de equivalente eigenschappen. We beginnen met de definitie van een coherente risicomaat. Definitie 4.10. ρ : L∞ → R ∪ {+∞} is een coherente risicomaat als volgende vier voorwaarden voldaan zijn. ρ is (i) monotoon dalend, (ii) sub-additief, (iii) positief homogeen, dwz dat voor alle a ≥ 0 en Z ∈ L∞ geldt dat ρ(aZ) = aρ(Z), en (iv) invariant onder translatie, dwz dat voor alle a ≥ 0 en Z ∈ L∞ geldt dat ρ(Z +a) = ρ(Z)−a.

38


Deze eigenschappen komen overeen met wat men intu¨ıtief verwacht van een risicomaat. Als een beleggingsstrategie bijna overal een hogere waarde uitkomt dan een andere beleggingsstrategie, dan heeft die wegens de eerste eigenschap een kleiner risico. De tweede eigenschap zegt dat de combinatie van twee portfolio’s niet risicovoller kan worden dan de som van de risico’s. Dit is ook gekend als het principe van de diversificatie. De derde eigenschap stelt dat een veelvoud van een portfolio hetzelfde veelvoud aan risico bevat. Tot slot wil de laatste zeggen dat als we cash toevoegen aan het portfolio, dat dan het risico daalt met dat bedrag. Een coherente risicomaat is ook genormaliseerd, wat wil zeggen dat ρ(0) = 0. Dit volgt uit het positief homogeen zijn. Het betekent dat als je niets belegt, dat je dan ook geen risico loopt. De volgende stelling geeft ons een eenvoudige voorstelling van een coherente risicomaat. Omdat het bewijs ons veel te ver zou leiden, laten we dit achterwege en verwijzen we naar [11]. Stelling 4.1. Elke coherente risicomaat ρ(X) kan voorgesteld worden als ρ (X) = − inf EQ [X] , Q∈D

(4.1)

met D een verzameling van absoluut continue kansmaten ten opzichte van P. Aan de hand van een coherente risicomaat kunnen we ook acceptabele transacties definiëren. Definitie 4.11. Een transactie X is acceptabel als ρ (X) ≤ 0, dus als het een risico heeft kleiner dan 0. Dit gebeurt enkel als alle kansmaten in D aan X een niet-negatieve verwachtingswaarde geven. De verzameling D die deze acceptabiliteit (en coherente risicomaat) definieert, is niet uniek. Er bestaat wel een unieke maximale verzameling, gegeven door D = {Q ∈ P : ∀X ∈ L∞ : −ρ (X) ≤ EQ [X]}, waarbij P de verzameling is van alle kansmaten die absoluut continu zijn ten opzichte van P. Nu komen er nog enkele definities die zullen gebruikt worden in het vervolg van de tekst. Definitie 4.12. • De maximale verzameling D zodat de coherente risicomaat ρ kan geschreven worden als in (4.1), noemen we de verzameling van de onderliggende maten voor ρ. • Voor een toevalsvariabele X noemen we de verzameling van maten waarvoor het infimum in (4.1) wordt bereikt, de verzameling van de extreme maten. We zullen deze noteren als Q∗ (X). Nu definiëren we nog een acceptabiliteitsverzameling geassocieerd met een coherente risicomaat. Definitie 4.13. Voor een coherente risicomaat ρ is de acceptabiliteitsverzameling gegeven door A = {X ∈ L∞ : ρ(X) ≤ 0}. Dit is de verzameling van portfolio’s die voor elke maat in D een positieve verwachtingswaarde hebben. Het is duidelijk dat dan ρ(X) = inf{m ∈ R : X + m ∈ A}. ρ is dus de kleinste hoeveelheid cash geld die toegevoegd moet worden aan X zodat de som acceptabel is. Nu we coherente risicomaten hebben ingevoerd en de bijhorende acceptabiliteitsverzameling hebben gedefinieerd, gaan we op zoek naar equivalente eigenschappen voor een acceptabiliteitsindex.


4.1.3

39

Acceptabiliteitsindexen

De eerste equivalente eigenschap voor een acceptabiliteitsindex gaat over de link met een stijgende één-parameterfamilie van kansmaten. Daarbij is α(X) de grootste x, waarvoor X een positieve verwachtingswaarde heeft onder elke maat van de verzameling die correspondeert met niveau x. Anders gezegd betekent acceptabiliteit op niveau x dat alle maten van de overeenkomende familie X een positieve verwachtingswaarde geven. α(X) is dan het hoogste niveau van acceptabiliteit dat bereikt wordt. Stelling 4.2. Een afbeelding α : L∞ → [0, ∞] die vanboven onbegrensd is, is een acceptabiliteitsindex als en slechts als er een familie van deelverzamelingen (Dx )x∈R+ van P bestaat, zodat Dx ⊆ Dy voor x ≤ y en + Q α(X) = sup x ∈ R : inf E [X] ≥ 0 , (4.2) Q∈Dx

waarbij inf φ = ∞ en sup φ = 0. Bewijs. Het bewijs in [7]. is gevonden + Stel α(X) = sup x ∈ R : inf Q∈Dx EQ [X] ≥ 0 . We gaan nu de vier voorwaarden na voor een acceptabiliteitsindex. Als α(X) ≥ x en α(Y ) ≥ x, dan geldt voor alle y < x en Q ∈ Dy dat EQ [X] ≥ 0 en EQ [Y ] ≥ 0. Maar dan is ook voor alle λ ∈ [0, 1], EQ [λX + (1 − λ)Y ] ≥ 0 en daaruit volgt dat α(λX + (1 − λ)Y ) ≥ x. Dit bewijst dat α quasi-concaaf is. Als X ≤ Y bijna overal, dan is EQ [X] ≤ EQ [Y ] voor alle kansmaten Q. Als de verwachtingswaarde van X groter is dan 0, dan is die van Y groter dan 0. Zo zien we onmiddellijk dat α(Y ) ≥ α(X), wat de monotoniciteit bewijst. De schaalinvariantie volgt uit de lineariteit van verwachtingswaarden, als volgt + Q α(aX) = sup x ∈ R : inf E [aX] ≥ 0 Q∈Dx Q + = sup x ∈ R : inf E [X] ≥ 0 Q∈Dx

= α(X). Nu rest ons nog de Fatou eigenschap te bewijzen. Hiervoor nemen we een rij Xn die naar X convergeert, waarbij voor alle n ∈ N geldt dat |Xn | ≤ 1 en α(Xn ) ≥ x. Dan geldt voor alle y < x, Q ∈ Dy en n ∈ N dat EQ [Xn ] ≥ 0, maar dan is ook EQ [X] ≥ 0. En zo volgt dat α(X) ≥ x. Veronderstel omgekeerd dat α een acceptabiliteitsindex is. Definieer dan Ax en ux als Ax = {X ∈ L∞ : α(X) ≥ 0} ux (X) = sup {m ∈ R : X − m ∈ Ax } . We zien onmiddellijk dat in elke Ax de positieve constanten zitten, want α(a) = ∞ voor alle a > 0 wegens de monotoniciteit en schaalinvariantie van α. Als Ax 6= L∞ , bevat Ax geen negatieve constanten. Indien Ax wel een negatieve constante zou bevatten, dan zou er via de monotoniciteit en schaalinvariantie van α volgen dat Ax = L∞ . Als X ∈ Ax en Y ≥ X bijna overal, dan is ook Y ∈ Ax . Hieruit volgt dat ux eindig is als Ax 6= L∞ . We gaan nu na dat ux voldoet aan volgende vier eigenschappen als Ax 6= L∞ . (i) ux (X) is een convexe functie.

40


(ii) ux (X) is monotoon stijgend. (iii) Voor alle λ ≥ 0 geldt ux (λX) = λux (X). (iv) Als Xn een rij is die in kans naar X convergeert en als |Xn | ≤ 1 voor alle n ∈ N. Dan is ux (X) ≥ lim supn ux (Xn ). Omdat α(X) quasi-concaaf is, is Ax convex voor alle x en dus is ux een convexe functie. De tweede eigenschap volgt eenvoudig uit het feit dat α monotoon is. Voor de derde eigenschap beschouwen we twee gevallen, λ = 0 en λ > 0. Er geldt α(0) = ∞, door de Fatou eigenschap en het feit dat dit geldt voor alle getallen groter dan 0, en dus is ux (0) ≥ 0. Maar omdat Ax geen negatieve constanten bevat, is ux (0) = 0, wat het gestelde bewijst voor λ = 0. Voor λ > 0 vinden we ux (λX) = sup {m ∈ R : λX − m ∈ Ax } = λ sup {m ∈ R : λX − λm ∈ Ax } = λ sup {m ∈ R : λ(X − m) ∈ Ax } = λ sup {m ∈ R : X − m ∈ Ax } = λux (X), waarbij de voorlaatste gelijkheid volgt uit de schaalinvariantie van α. Voor de laatste eigenschap nemen we een v < lim supn ux (Xn ). We kiezen dan een deelrij zodat Xm − v ∈ Ax . Dan is α(Xm − v) ≥ x voor alle m en dan volgt uit de Fatou eigenschap dat α(X − v) ≥ x. Omdat v willekeurig is, is ux (X) ≥ lim supn ux (Xn ). Uit deze eigenschappen volgt dat ux het negatieve is van een coherente risicomaat ρ. Stel nu Dx de verzameling van onderliggende maten voor ρ. Stel hierbij Dx = φ, voor alle x waarvoor Ax = L∞ . Dan geldt wegens stelling 4.1 voor alle x ∈ R+ dat ux (X) = inf Q∈Dx EQ [X]. Nu is, omdat Ax dalend is, ux dalend in x en daaruit volgt dat de verzamelingen Dx stijgend zijn in x. Omdat het ook duidelijk is dat α(X) ≥ x als en slechts als ux (X) ≥ 0, volgt voor deze familie verzamelingen dat (4.2) geldt. Voorgaande stelling toont dat acceptabiliteitsindexen en coherente risicomaten nauw verbonden zijn. Wegens stelling 4.1 kunnen we ze namelijk herschrijven zoals in gevolg 4.3. Gevolg 4.3. Een afbeelding α : L∞ → [0, ∞] die vanboven onbegrensd is, is een acceptabiliteitsindex als en slechts als er een stijgende één-parameterfamilie van coherente risicomaten ρx (X) bestaat, zodat α(X) de grootste x is waarvoor X acceptabel is ten opzichte van ρ(X). Hierbij verwijzen we voor de definitie van acceptabel naar definitie 4.13. α is dus een acceptabiliteitsindex als en slechts als er een stijgende één-parameterfamilie van coherente risicomaten ρx (X) bestaat, zodat α(X) = sup x ∈ R+ : ρx (X) ≤ 0 . (4.3) Ook hier is de familie verzamelingen Dx niet uniek. Er is wel een unieke familie maximale verzamelingen. Dit wordt aangetoond in de volgende stelling. Stelling 4.4. Voor een acceptabiliteitsindex α bestaat er een maximaal systeem (Dx )x∈R+ , dat voldoet aan (4.2). Dit wil zeggen dat voor elk ander systeem (Dx0 )x∈R+ dat aan (4.2) voldoet, geldt dat Dx0 ⊆ Dx voor alle x ∈ R+ . Dit maximale systeem wordt gegeven door (4.4) Dx = Q ∈ P : EQ [X] ≥ 0 voor elke X waarvoor α(X) > x , x ∈ R+ .


41

Bewijs. (Dx )x∈R+ is duidelijk stijgend in x. Stel nu (Dx0 )x∈R+ zodat, voor de acceptabiliteitsindex α, (4.2) voldaan is. Veronderstel dat voor een X ∈ L∞ geldt dat + Q α(X) > sup x ∈ R : inf E [X] ≥ 0 , Q∈Dx

dan bestaat er een x0 tussen α(X) en het supremum. Dan bestaat er, wegens de definitie van (Dx )x∈R+ , een Q ∈ Dx0 zodat EQ [X] < 0, maar dit is in contradictie met de definitie van Dx0 . Dus geldt de ongelijkheid + Q α(X) ≤ sup x ∈ R : inf E [X] ≥ 0 , Q∈Dx

voor alle x ∈ L∞ . Verder geldt dat Dx0 ⊆ Dx voor alle x ∈ R+ , omdat anders zou gelden dat er een Q ∈ Dx0 bestaat zodat EQ [X] < 0 en α(X) > x, wat in contradictie is met (4.2). Hieruit volgen zowel de omgekeerde ongelijkheid als de maximaliteit van (Dx )x∈R+ , zodat het bewijs volledig is. Definitie 4.14. Het maximale systeem uit voorgaande stelling noemen we het systeem van onderliggende maten voor α. Het systeem van onderliggende maten vinden voor een acceptabiliteitsindex, zal in het vervolg belangrijk zijn om de eigenschappen van die acceptabiliteitsindex na te gaan. Daarom geven we hier een stelling die het eenvoudiger maakt om deze te vinden. Hierbij is een deelverzameling van P L1 -gesloten als de verzameling van zijn Radon-Nikod´ ym afgeleiden ten opzichte van P L1 -gesloten is. Stelling 4.5. Stel dat (Dx )x∈R+ een familie convexe, L1 -gesloten deelverzamelingen van P is, waarvoor voor elke x ∈ R+ geldt dat Dx = ∩y>x Dy . Definieer α door (4.2). Dan is (Dx )x∈R+ het systeem van onderliggende maten voor α. ex )x∈R+ . Doordat ook (Dx )x∈R+ Bewijs. Noteer het systeem van onderliggende maten voor α als (D + e voldoet aan (4.2) geldt voor elke x ∈ R dat Dx ⊆ Dx . Stel nu dat er een x ∈ R+ bestaat zodat ex . Omdat Dx = ∩y>x Dy , bestaat er dan een y > x en een Q0 ∈ D ex Dx een echt deel is van D ∞ zodat Q0 ∈ / Dy . Volgens de Hahn-Banach stelling bestaat er een X ∈ L zodat EQ0 [X] < 0 < inf EQ [X]. Q∈Dx

Volgens de tweede ongelijkheid is α(X) > x, maar dan is de eerste in contradictie met (4.4). ex en dus is (Dx )x∈R+ het systeem van onderliggende maten voor Dus voor alle x ∈ R+ is Dx = D α. Voor acceptabiliteitsindexen hebben we ook een begrip zoals extreme maten bij coherente risicomaten, dit wordt hier het extreme systeem genoemd. Definitie 4.15. Voor een acceptabiliteitsindex is (Q∗x (X))x∈R+ het extreme systeem. Hierbij is Q∗x (X) de verzameling van alle elementen in Dx waarvoor het minimum EQ [X] wordt bereikt. Merk onmiddellijk op dat kennis van Q∗x (X) ook kennis geeft over de risicomaat ρx , want ∗

ρx (X) = −EQx (X) [X],

x ∈ R+ .

We bekijken nog twee stellingen die bijkomende eigenschappen van acceptabiliteitsindexen uitdrukken aan de hand van het systeem van onderliggende maten. Het gaat hierbij om de arbitrageconsistentie en de verwachtingsconsistentie. We beginnen met die voor arbitrageconsistentie.

42


Stelling 4.6. Een acceptabiliteitsindex α is arbitrageconsistent als en slechts als voor het systeem van onderliggende maten geldt dat ∪x Dx = P. Bewijs. (eigen werk) Stel dat α arbitrageconsistent is. ∪x Dx ⊆ P geldt altijd, dus we moeten bewijzen dat P ⊆ ∪x Dx . Neem hiervoor X ∈ L∞ zodat voor alle x ∈ R+ geldt dat α(X) > x, dus dat α(X) = ∞. Omdat α arbitrageconsistent is, is X ≥ 0 bijna overal. Maar dan is voor alle Q ∈ P, EQ [X] ≥ 0, wegens de definitie van verwachtingswaarde. Dus alle Q ∈ P zitten ook in ∪x Dx . Veronderstel omgekeerd dat ∪x Dx = P. Dan geldt X ≥ 0 bijna overal ⇒ ∀Q ∈ P : EQ [X] ≥ 0 ⇒ α(X) = ∞, hierbij volgt de eerste implicatie uit de definitie van verwachtingswaarde en de tweede uit de definitie van α. De omgekeerde implicatie volgt dan α(X) = ∞ ⇒ ∀Q ∈ ∪x Dx : EQ [X] ≥ 0 ⇒ ∀Q ∈ P : EQ [X] ≥ 0 ⇒ X ≥ 0 bijna overal. Hier volgt de eerste implicatie uit de definitie van de Dx en de tweede uit het veronderstelde. Dit bewijst dat α arbitrageconsistent is. Om de karakterisatie voor verwachtingsconsistentie te bewijzen, hebben we eerst een lemma nodig. Lemma 4.7. Stel dat Q ∈ P en Q 6= P. Dan bestaat er een X ∈ L∞ zodat E[X] > 0 en EQ [X] < 0. Bewijs. (eigen werk) Kies A ⊂ Ω zodat Q(A) 6= P(A). Omdat Q en P kansmaten zijn, is ofwel Q(A) < P(A) ofwel Q(Ac ) < P(Ac ). Stel dat Q(A) < P(A), het andere geval volgt dan door Ac en A te verwisselen. Nu geldt dus dat Q(A) − P(A) < 0 en P(Ac ) − Q(Ac ) < 0. Ook zijn P(A) en P(Ac ) niet gelijk aan 0, want dan zou ook Q(A) of respectievelijk Q(Ac ) 0 zijn. We beschouwen nu twee gevallen, Q(A) > 0 en Q(A) = 0. Definieer X voor het geval Q(A) > 0 als ( P(Ac ) ω∈A X(ω) = . −Q(A) ω ∈ Ac Dan vinden we voor de twee verwachtingswaarden E[X] = P(Ac )P(A) − Q(A)P(Ac ) = P(Ac ) (P(A) − Q(A)) > 0, en EQ [X] = P(Ac )Q(A) − Q(A)Q(Ac ) = Q(A) (P(Ac ) − Q(Ac )) < 0, wat de stelling bewijst voor dit geval. Kies voor het geval Q(A) = 0 een ∈ R zodat 0 < < P(A). Definieer X dan als ( P(Ac ) ω∈A X(ω) = . −P(A) + ω ∈ Ac


43

Dan vinden we voor de twee verwachtingswaarden E[X] = P(Ac )P(A) + (−P(A) + ) P(Ac ) = P(Ac ) > 0, en EQ [X] = P(Ac )Q(A) + (−P(A) + ) Q(Ac ) = −P(A) + < 0, wat de stelling ook bewijst voor het andere geval. Stelling 4.8. Een acceptabiliteitsindex α is verwachtingsconsistent als en slechts als voor het systeem van onderliggende maten geldt dat D0 = {P}. Bewijs. (eigen werk) Stel dat α verwachtingsconsistent is. Dan is duidelijk P ∈ D0 , omdat geldt dat enkel E[X] < 0 kan zijn als α(X) = 0. Veronderstel nu dat er nog een Q ∈ D0 bestaat verschillend van P. Kies dan een X ∈ L∞ zodat E[X] > 0 en EQ [X] < 0. Dit kan wegens voorgaand lemma. Maar als E[X] > 0, dan is, wegens de verwachtingsconsistentie van α, α(X) > 0. Dit geeft samen met EQ [X] < 0 en Q ∈ D0 een contradictie. Veronderstel nu omgekeerd dat D0 = {P}. Als E[X] < 0, dan is α(X) = 0, want anders zou P∈ / D0 . Dit bewijst het eerste deel van de verwachtingsconsistentie. Veronderstel dat er een X ∈ L∞ bestaat waarvoor E[X] > 0 en α(X) = 0. Uit (4.2) volgt dan dat er een Q ∈ D0 bestaat zodat EQ [X] = 0. Maar omdat P het enige element in D0 is, is E[X] = 0, wat in contradictie is met E[X] > 0. Dus voor alle X ∈ L∞ met E[X] > 0, geldt dat α(X) > 0. En zo is ook het tweede deel van de verwachtingsconsistentie bewezen.

4.1.4

De MINMAXVAR acceptabiliteitsindex

In dit deel proberen we een acceptabiliteitsindex te construeren die ook aan de vier bijkomende eigenschappen voldoet. In het artikel [7] bekomt men als resultaat dat het ’Sharpe ratio’ en de ’tilt coëfficiënt’ geen acceptabiliteitsindexen zijn. Het ’gain-loss ratio’ en de ’Coherent Risk-Adjusted Return on Capital’ zijn dit wel, maar voldoen niet aan de arbitrageconsistentie. Deze vier zullen we hier niet beschouwen, maar we pikken in vanaf de TVAR acceptabiliteitsindex. De TVAR acceptabiliteitsindex Definieer de Tail Value at Risk als TVARλ (X) = − inf EQ [X], Q∈Tλ

met λ ∈ (0, 1] en Tλ de verzameling van alle absoluut continue kansmaten ten opzichte van P zodat dQ/dP ≤ λ−1 . Door stelling 4.1 weten we dat dit een coherente risicomaat is. Als X een continue verdeling heeft is dit TVARλ (X) = −E[X|X ≤ qλ (X)], dus TVARλ is de verwachtingswaarde van de cash flow geconditioneerd op het feit dat die kleiner is dan het λ-kwantiel. Dit motiveert de benaming Tail Value at Risk. De TVARλ is een één-parameterfamilie die daalt in λ, zodat we via gevolg 4.3 onmiddellijk de bijhorende acceptabiliteitsindex kunnen definiëren als n o AIT(X) = sup x ∈ R+ : TVAR 1 (X) ≤ 0 . 1+x

44


AIT is verdelingsinvariant, arbitrageconsistent en verwachtingsconsistent. Ook is AIT consistent met de tweede orde stochastische dominantie. Maar op deze eigenschappen gaan we niet verder in. Men toont ook aan in [7] dat de extreme maten economisch gezien te extreem zijn. Dat is de reden waarom we niet de AIT zullen gebruiken. De WVAR acceptabiliteitsindexen Definieer de Weighted Value at Risk met µ een kansmaat op (0, 1], als Z TVARλ (X)µ(dλ). WVARµ = (0,1]

Het is eenvoudig in te zien dat dit terug een coherente risicomaat is. De eigenschappen waaraan een coherente risicomaat moet voldoen worden geërfd door integratie. We kunnen deze risicomaat ook op een andere manier schrijven, die bruikbaarder zal blijken. Definieer daarom voor µ de functie Z yZ λ−1 µ(dλ)dz, y ∈ [0, 1]. Ψµ (y) = 0

(z,1]

Dit is een concave vervormingsfunctie, zodat Ψ een bijectie is tussen de kansmaten op (0, 1] en de concave vervormingsfuncties van (0, 1] naar (0, 1]. Stelling 4.9. Ψµ is een concave vervormingsfunctie voor elke kansmaat µ, dwz dat Ψµ een niet-dalende, concave, continue functie is waarvoor Ψµ (0) = 0 en Ψµ (1) = 1. Bewijs. We zien duidelijk dat Ψµ continu is. Als we Ψµ afleiden, vinden we dat Ψµ monotoon en concaaf is. Voor de duidelijkheid geeft dit voor de monotoniciteit Z d(Ψµ (y)) = λ−1 µ(dλ) dy (y,1] >0

voor y ∈ (0, 1).

Het concaaf zijn, volgt dan d2 (Ψµ (y)) = −y −1 dy 2 <0 voor y ∈ (0, 1). Het is ook duidelijk dat Ψµ (0) = 0. Om het bewijs te vervolledigen vinden we nog Z 1Z Ψµ (1) = λ−1 µ(dλ)dz 0 (z,1] Z Z z = λ−1 dz µ(dλ) [0,1] 0 Z = λ−1 λ µ(dλ) [0,1] Z = 1µ(dλ) [0,1]

=1 Hierbij mogen we de integralen verwisselen door de stelling van Fubini, want f (λ, z) = λ−1 > 0 op (0, 1] × [0, 1]. De laatste gelijkheid volgt omdat µ een kansmaat is op (0, 1].


45

Volgende stelling is handig om verschillende acceptabiliteitsindexen te construeren. Stelling 4.10. Voor een kansmaat µ geldt Z WVARµ = −

yd(Ψµ (FX (y))). R

Bewijs. We bewijzen de stelling hier enkel voor het continue geval. Voor het algemene geval verwijzen we naar [16], Theorem 4.64. Uit de definitie van voorwaardelijke verwachtingswaarde halen we dat voor alle λ ∈ (0, 1] geldt TVARλ = −E[X|X ≤ qλ (X)] R (−∞,qλ (X)) ydFX (y) =− . λ Ook geldt er voor de differentiaal van Ψµ (y) dat !

Z d(Ψµ (y)) =

λ

−1

µ(dλ) dy.

(y,1]

Uit deze twee vaststellingen halen we dat Z WVARµ = TVARλ (X)µ(dλ) (0,1] Z Z =− λ−1 ydFX (y)µ(dλ) (0,1] (−∞,qλ (X)) Z Z =− y λ−1 µ(dλ)dFX (y) R (FX (y),1) Z = − yd(Ψµ (FX (y))), R

waarbij we de integralen mogen omwisselen door de stelling van Fubini. Merk op dat dit het negatieve is van de verwachtingswaarde van een toevalsvariabele met verdelingsfunctie Ψµ (FX ). Hierna zullen we een acceptabiliteitsindex construeren, maar eerst zoeken we de verzameling van onderliggende maten voor WVARµ . Hiervoor stellen we Ψ+ eren we x = lim↓x Ψx+ en defini¨ Φx als Φx (y) = sup

Ψ+ x (z) − yz .

z∈[0,1]

Stelling 4.11. Stel µ een kansmaat. Dan wordt de verzameling van onderliggende maten voor WVARµ gegeven door Dµ = Q ∈ P : ∀y ∈ R+ : E (ZQ − y)+ ≤ Φµ (y) , waarbij ZQ de dichtheidsfunctie is van Q ten opzichte van P en Φµ het convex geconjugeerde van Ψµ , dwz Φµ (y) = sup (Ψµ (z) − yz) . z∈[0,1]

46


Om dit te kunnen bewijzen zijn er heel wat voorbereidende lemma’s nodig. Dit zou ons te ver leiden, daarom dat we enkel verwijzen naar [6], sectie 4. Uit stelling 4.10 is het duidelijk dat WVARµ ≤ WVARµe , als µ ≤ µ e. Aan de hand van deze observatie kunnen we een acceptabiliteitsindex construeren. Stel (Ψx )x∈R een stijgende familie concave vervormingsfuncties, dan wordt de WVAR acceptabiliteitsindex gedefinieerd als Z + yd(Ψµ (FX (y))) ≥ 0 . (4.5) AIW(X) = sup x ∈ R : R

Stelling 4.12. AIW is een acceptabiliteitsindex, die bovendien verdelingsinvariant is en consistent met de tweede orde stochastische dominantie. Bewijs. α is onmiddellijk een acceptabiliteitsindex omdat het is geconstrueerd volgens (4.3). TVAR is gedefinieerd aan de hand van de verdeling van X, en dus is TVARλ verdelingsinvariant, maar omdat dit voor alle λ ∈ (0, 1] is, is ook WVARµ verdelingsinvariant. Maar dan is duidelijk ook AIW verdelingsinvariant. Voor de laatste eigenschap merken we eerst op dat als Y X stochastisch domineert in de tweede orde, dat dan voor alle λ ∈ (0, 1] geldt dat TVARλ (X) ≥ TVARλ (Y ). Hiervoor verwijzen we naar [16], Corollary 4.59, omdat dit ons anders te ver zou leiden. Maar als voor alle λ ∈ (0, 1] geldt dat TVARλ (X) ≥ TVARλ (Y ), dan geldt door de definitie van WVAR ook voor alle kansmaten µ dat WVARµ (X) ≥ WVARµ (Y ). Uit de definitie van AIW volgt dat AIW(X) ≤ AIW(Y ) en dus is AIW verdelingsinvariant. Uit stelling 4.11 en 4.5 is het nu duidelijk dat het systeem van onderliggende maten voor AIW wordt gegeven door Dx = Q ∈ P : ∀y ∈ R+ : E (ZQ − y)+ ≤ Φx (y) . Aan de hand van dit systeem kunnen we bewijzen wanneer AIW arbitrage- en verwachtingsconsistent is. Dit doen we in de volgende twee stellingen. Stelling 4.13. Als Ψx (y) puntsgewijs naar 1 convergeert op (0, 1] voor x → ∞, dan is AIW arbitrageconsistent. Bewijs. (eigen werk) Stel dat Ψx (y) puntsgewijs naar 1 convergeert op (0, 1] voor x → ∞. Wegens de definitie van de Dx geldt er dat Q ∈ ∪x Dx als en slechts als er voor alle y ∈ R+ geldt dat E[(Q − y)+ ] ≤ sup Φx (y). x∈R+

Het is onmiddellijk duidelijk dat voor het linkerlid geldt dat E[(ZQ − y)+ ] ≤ E[ZQ ] = 1, omdat Q een kansmaat is absoluut continu ten opzichte van P. Nu geldt er voor het rechterlid dat sup Φx (y) ≥ lim Φx (y) x∈R+

x↑∞

= lim sup (Ψ+ x (z) − yz) x↑∞ z∈[0,1]

= sup (1 − yz) z∈[0,1]

= 1. Zo zien we dat de vereiste ongelijkheid waar is voor alle Q ∈ P, en zo is ∪x Dx = P. Uit stelling 4.6 volgt nu dat AIW arbitrageconsistent is.


47

Stelling 4.14. Als Ψx (y) puntsgewijs naar y convergeert op (0, 1] voor x ↓ 0, dan is AIW verwachtingsconsistent. Bewijs. (eigen werk) Stel dat Ψx (y) puntsgewijs naar y convergeert op (0, 1] voor x ↓ 0. Neem nu een Q ∈ D0 . Omdat voor alle x∈ R+ geldt dat Dx = ∩y>x Dy , is Q ∈ ∩y>0 Dy . Ter herinnering is Dx = Q ∈ P : ∀y ∈ R+ : E (ZQ − y)+ ≤ Φx (y) . Nu geldt voor alle y ∈ R+ E (ZQ − y)+ ≤ lim Φx (y) x↓0

= lim sup (Ψ(z) − yz) x↓0 z∈[0,1]

= sup (z − yz) . z∈[0,1]

Als we nu y = 1 stellen, geldt er E (ZQ − 1)+ ≤ 0. Omdat het integrandum altijd positief is geldt er E (ZQ − 1)+ = 0. Hieruit volgt dat ZQ ≤ 1 bijna overal. Omdat Q absoluut continu is ten opzichte van P, geldt er ook dat E [ZQ ] = 1. Dan is ZQ = 1 bijna overal. Dit wil juist zeggen dat Q = P, dus is D0 = {P}. Uit stelling 4.12 volgt dan dat AIW verwachtingsconsistent is. Bij de vorige twee stellingen is telkens ook de omgekeerde implicatie waar, maar die zullen we niet nodig hebben. Vandaar dat die niet wordt gegeven. De MINMAXVAR acceptabiliteitsindex Nu zullen we een acceptabiliteitsindex construeren die voldoet aan de bijkomende eigenschappen. In [7] bewijst men dat ook de MINVAR, de MAXVAR en de MAXMINVAR acceptabiliteitsindex voldoen. Maar men bewijst ook dat de MINVAR acceptabiliteitsindex begrensd is en dat de MAXVAR acceptabiliteitsindex een eindige waarde oplevert in de limiet naar +∞. Men toont ook aan dat dit economisch gezien niet klopt. Definitie 4.16. Definieer de MINMAXVAR risicomaat ρx als de WVAR risicomaat met als vervormingsfunctie x+1 1 Ψx (y) = 1 − 1 − y x+1 . De geassocieerde acceptabiliteitsindex is dan Z + AIMINMAXVAR = sup x ∈ R : yd(Ψµ (FX (y))) ≥ 0 . R

Om dit deel te beëindigen bewijzen we nog dat deze acceptabiliteitsindex voldoet. Stelling 4.15. AIMINMAXVAR is een acceptabiliteitsindex die ook nog verdelingsinvariant, consistent met de tweede orde stochastische dominantie, arbitrageconsistent en verwachtingsconsistent is. Bewijs. Dat AIMINMAXVAR een acceptabiliteitsindex is die ook nog verdelingsinvariant en consistent met de tweede orde stochastische dominantie is, volgt uit stelling 4.12. Voor Ψx (y) geldt x+1 1 x+1 lim Ψx (y) = lim 1 − 1 − y x→∞

x→∞

= 1,

48


zodat, wegens stelling 4.13, AIMINMAXVAR arbitrageconsistent is. Ook geldt voor Ψx (y) dat x+1 1 x+1 lim Ψx (y) = lim 1 − 1 − y x↓0

x↓0

= 1 − (1 − y 1 )1 = y, zodat, wegens stelling 4.14, AIMINMAXVAR verwachtingsconsistent is.

4.2

Bied- en laatprijzen

In dit deel leiden we uitdrukkingen af voor de bied- en laatprijzen. We kunnen uit die uitdrukkingen de ge¨ımpliceerde liquiditeit halen. Dit deel is naast [9] ook gebaseerd op [8] en [18]. In deze artikels wordt er een MINMAXVAR2 vervormingsfunctie ingevoerd. Deze is afhankelijk van twee parameters en wordt gegeven door γ+1 1 Ψλ,γ (u) = 1 − 1 − u λ+1 . Hierbij is λ de afwezigheid van winstbejag en γ het niveau van risico-aversie. We gaan aan de hand van een bied- en laatprijs op zoek naar een koppel (λ, γ). Om te vermijden dat er oneindig veel oplossingen zijn, stellen we λ = γ. Zo komen we terug bij de gewone MINMAXVAR vervormingsfunctie. We nemen een vast niveau van acceptabiliteit λ en stellen de correcte bied- en laatprijzen vast voor een cash flow X. We beginnen met de laatprijs. Door concurrentie kunnen we zeggen dat de markt een cash flow aan een minimale prijs a verkoopt, zodat a − X accepteerbaar is. Deze prijs wordt gegeven door aλ (X) = inf a ∈ R+ : α(a − X) ≥ λ = inf a ∈ R+ : EQ [a − X] ≥ 0 voor alle Q ∈ Dλ = sup EQ [X]. Q∈Dλ

Voor de biedprijs gebruiken we hetzelfde argument van concurrentie. Zo zien we dat de markt een cash flow aan een maximale prijs b verkoopt, zodat X − b accepteerbaar is. Dit levert bλ (X) = sup b ∈ R+ : α(X − b) ≥ λ = sup b ∈ R+ : EQ [X − b] ≥ 0 voor alle Q ∈ Dλ = inf EQ [X]. Q∈Dλ

Het is onmiddellijk duidelijk dat de biedprijs lager is dan de laatprijs, zoals gewenst. Deze uitdrukkingen zijn praktisch niet bruikbaar. Daarom zullen we nu de MINMAXVAR vervormingsfuncties Ψλ gebruiken. Zo geldt er, via stelling 4.10 en (4.5), voor de laatprijs dat Z ∞ α(a − X) ≥ λ ⇔ xdΨλ (Fa−X (x)) ≥ 0 −∞ Z ∞ ⇔a+ xdΨλ (F−X (x)) ≥ 0. −∞

En dan is het onmiddellijk duidelijk dat Z

∞

aλ (X) = −

xdΨλ (F−X (x)). −∞

4.3. GEÏMPLICEERDE LIQUIDITEIT

49

Analoog geldt er voor de biedprijs dat Z

∞

xdΨλ (FX−b (x)) ≥ 0

α(X − b) ≥ λ ⇔ Z−∞ ∞

xdΨλ (FX (x)) − b ≥ 0.

⇔ −∞

Dit geeft voor de biedprijs ∞

Z

xdΨλ (FX (x)).

bλ (X) = −∞

We hebben hierbij geen rekening gehouden met de risicoloze interest die we ondertussen kunnen bekomen. Veronderstel nu dat X de payoff van een optie is, die een maturiteit T heeft. Veronderstel ook dat de risicoloze interest een constante r is. Dan krijgen we voor de laat- en biedprijs dat Z ∞ −rT xdΨλ (F−X (x)), en (4.6) aλ (X) = −e −∞ Z ∞ −rT bλ (X) = e xdΨλ (FX (x)). −∞

Als we nu de vervormde verwachtingswaarde definiëren als Z ∞ Eλ [X] = xdΨλ (FX (x)), −∞

dan kunnen we de laat- en biedprijs van een optie met payoff X schrijven als aλ (X) = −e−rT Eλ [−X] en bλ (X) = e−rT Eλ [X].

(4.7)

Nu we dit gedaan hebben, kunnen we de ge¨ımpliceerde liquiditeit invoeren.

4.3

Ge¨ımpliceerde liquiditeit

We beginnen met de definitie van ge¨ımpliceerde liquiditeit. Definitie 4.17. Stel dat X de payoff is van een gegeven optie en dat a en b respectievelijk de laatprijs en de biedprijs zijn voor deze optie. De ge¨ımpliceerde liquiditeit is dan de λ zodat de bied- en laatprijs voldoen aan (4.7). Voor een call optie is dit dus de λ zodat a = −e−rT Eλ [−(ST − K)+ ] en b = e−rT Eλ [(ST − K)+ ].

(4.8)

Voor een put optie is het de λ zodat a = −e−rT Eλ [−(K − ST )+ ] en b = e−rT Eλ [(K − ST )+ ].

(4.9)

Om dit uit te rekenen, hebben we eenvoudigere uitdrukkingen nodig voor de integralen in (4.6). Deze worden gegeven in de volgende stelling.

50


Stelling 4.16. De laat- en biedprijzen voor een call optie C en een put optie P worden gegeven door Z ∞ Ψλ (1 − FS (x))dx aλ (C) = e−rT K Z ∞ −rT (1 − Ψλ (FS (x)))dx bλ (C) = e K Z K Ψλ (FS (x))dx aλ (P ) = e−rT 0 Z K −rT (1 − Ψλ (1 − FS (x)))dx bλ (P ) = e 0

Bewijs. Merk ten eerste op dat voor x > 0, geldt dat FC (x) = P(S − K ≤ x) = P(S ≤ K + x) = FS (K + x) F−C (x) = P(−(S − K) ≤ x) = 1 − P(S ≤ K − x) = 1 − FS (K − x). En omdat ook geldt dat FC (x) = 0 voor x < 0, vinden we voor de biedprijs dat Z ∞ bλ (C) = e−rT xdΨλ (FC (x)) −∞ Z ∞ −rT xdΨλ (FC (x)) =e Z0 ∞ xdΨλ (FS (K + x)) = e−rT 0 Z ∞ = e−rT (x − K)dΨλ (FS (x)) K Z ∞ ∞ −rT =e (Ψλ (FS (x)) − 1)(x − K)|K − (Ψλ (FS (x)) − 1)dx K Z ∞ (1 − Ψλ (FS (x)))dx. = e−rT K

Voor de laatprijs vinden we dat Z ∞ −rT xdΨλ (F−C (x)) aλ (X) = −e −∞ 0

Z

= −e−rT

xdΨλ (F−C (x)) −∞ Z 0

= −e−rT

xdΨλ (1 − FS (K − x)) Z−∞ ∞

= −e−rT

xdΨλ (1 − FS (K + x)) 0

Z

−rT

= −e

∞

(x − K)dΨλ (1 − FS (x)) K Z ∞ Ψλ (1 − FS (x))(x − K)|K −

−rT

= −e

∞

K

= e−rT

Z

∞

Ψλ (1 − FS (x))dx. K

Ψλ (1 − FS (x))dx

4.3. GEÏMPLICEERDE LIQUIDITEIT

51

Voor de put optie merken we eerst op dat FP (x) = P(K − S ≤ x) = 1 − P(S ≤ K − x) = 1 − FS (K − x) F−P = P(−(K − S) ≤ x) = P(S ≤ K + x) = FS (K + x). Omdat hier ook geldt dat FP (x) = 0 voor x < 0 en omdat voor x > K ook FS (K − x) = 0, vinden we voor de biedprijs dat Z ∞ −rT xdΨλ (FP (x)) bλ (C) = e −∞ Z ∞ −rT xdΨλ (FP (x)) =e Z0 ∞ xdΨλ (1 − FS (K − x)) = e−rT 0 Z K −rT xdΨλ (1 − FS (K − x)) =e 0 Z 0 (K − x)dΨλ (1 − FS (x)) = e−rT K Z K −rT = −e (K − x)dΨλ (1 − FS (x)) 0 Z K K −rT = −e (Ψλ (1 − FS (x)) − 1)(x − K)|0 − (Ψλ (1 − FS (x)) − 1)(−dx) 0

= e−rT

Z

K

(1 − Ψλ (1 − FS (x)))dx. 0

Voor de laatprijs van de put optie vinden we ten laatste dat Z ∞ −rT aλ (X) = −e xdΨλ (F−P (x)) −∞ 0

Z

= −e−rT

xdΨλ (F−P (x)) −∞ Z 0

= −e−rT

xdΨλ (FS (K + x)) Z−∞ ∞

= −e−rT

xdΨλ (FS (K − x)) 0

Z

−rT

= −e

−rT

K

xdΨλ (FS (K − x)) 0 K

Z

(K − x)dΨλ (FS (x))

=e

0

= e−rT Z

Ψλ (FS (x))(K − x)|K 0 −

Z

K

Ψλ (FS (x))(−dx)

0

K

(Ψλ (1 − FS (x)) − 1)dx.

= 0

Om de ge¨ımpliceerde liquiditeit te kunnen berekenen, hebben we een uitdrukking nodig voor FS (x). Uit de interpretatie van de N (−d2 )-term in de Black-Scholes formule (paragraaf 2.6.3)

52


vinden we onmiddellijk dat FS (x) = P(S ≤ x) log(S0 /x) + (r − σ 2 /2)T √ . =N − σ T In deze formule zijn alle parameters gekend, behalve de volatiliteit σ. Voor σ zullen we de Black-Scholes ge¨ımpliceerde volatiliteit van de optie gebruiken. Dit is de volatiliteit zodat de optieprijs gelijk is aan de theoretische optieprijs volgens het Black-Scholes model. Hierbij nemen we als prijs van de optie het gemiddelde van de bied- en laatprijs.

4.4

De LIQ berekenen

Het is duidelijk dat als λ = 0, dat dan Eλ [X] = E[X]. Dan is a(X) = E[X] = −E[−X] = b(X). We hebben dan te maken met een liquide markt. Hoe groter λ is, hoe groter het verschil is tussen de bied- en de laatprijs, dus hoe kleiner de liquiditeit wordt en hoe groter het liquiditeitsrisico wordt. Dit maakt de ge¨ımpliceerde liquiditeit een goede maatstaf voor het liquiditeitsrisico. We maken nu een parameter LIQ die het liquiditeitsrisico kwantificeert. We willen LIQ zowel op de liquiditeit van de bedrijven binnen de index als op de liquiditeit van de index zelf baseren. We definiëren eerst LIQj , de liquiditeitsparameter voor het j-de bedrijf in de index. Merk op dat de liquiditeit anders is voor verschillende maturiteiten. Daarom willen we dat LIQj de liquiditeit is over 30 dagen, zodat de maturiteit geen verschil kan maken. Maar er zijn niet altijd opties beschikbaar die over 30 dagen verlopen. Daarom dat we hier weer gebruik maken van near- en next-term opties. Ten eerste wordt λ∗j (Ti ), i = 1, 2 berekend als het gemiddelde van de ge¨ımpliceerde liquiditeiten van alle call en put opties met biedprijzen verschillend van 0. Bij λ∗j (T1 ) worden de near-term opties gebruikt en bij λ∗j (T2 ) de next-term opties. Nu definiëren we LIQj analoog aan (3.4) als gewogen gemiddelde van λ∗j (T1 ) en λ∗j (T2 ). LIQj wordt zo LIQj =

NT2 − N30 ∗ N30 − NT1 λj (T1 ) + λ∗ (T2 ). NT2 − NT1 NT2 − NT1 j

Voor de index doen we hetzelfde. Zo bekomen we N30 − NT1 NT2 − N30 ∗ λ (T1 ) + λ∗ (T2 ). LIQIndex = NT2 − NT1 Index NT2 − NT1 Index Onze algemene liquiditeitsindex berekenen we als gewogen gemiddelde van dit alles, waarbij de index als gewicht 1/2 krijgt en de individuele bedrijven 1/2n, met n het aantal bedrijven in de index. Zo wordt LIQ n

1 1 X LIQ = LIQIndex + LIQj . 2 2n j=1

Merk nog eens op dat indien deze LIQ groot is dat er dan een kleine liquiditeit is en dus een groot liquiditeitsrisico.

Hoofdstuk 5

Het systemische risico (CIX) We hebben twee beleggingsrisico’s bekeken en gekwantificeerd in een index, het marktrisico met de VIX en het liquiditeitsrisico met de LIQ. Nu beschouwen we nog een derde en laatste risico, het systemische risico, of anders gezegd het risico dat de hele markt hetzelfde reageert. Wanneer de markt samen beweegt, doen ofwel alle aandelen het goed ofwel alle aandelen het slecht. Diversificatie heeft dan minder effect. Dit hoofdstuk is gebaseerd op [15] en [14], onderdeel 4. Beschouw een index met n aandelen met bijhorende aandeelprijsprocessen Si (t), t ≥ 0. De indexprijs kan geschreven worden als S(t) =

n X

wi Si (t),

t ≥ 0,

i=1

met w1 , . . . , wn vaste positieve gewichten. We veronderstellen voor de rest van het hoofdstuk dat er call en put opties bestaan op zowel de onderliggende aandelen als op de index. We schrijven Ci (K, T ) en Pi (K, T ) voor respectievelijk Europese call en Europese put opties op het i-de aandeel met uitoefenprijs K en maturiteit T . Voor Europese call en put opties op de index schrijven we C(K, T ) en P(K, T ). De payoff van een Europese call op de index met uitoefenprijs K en maturiteit T wordt Poptie n + gegeven door (S(T ) − K) = ( i=1 ωi Si (T ) − K)+ . Maar om deze prijs effectief te berekenen hebben we de afhankelijkheidsstructuur tussen al de onderliggende aandelen nodig. Deze informatie is niet altijd beschikbaar. Als de index comonotoon is, zal blijken dat dit niet nodig is.

5.1

Comonotoniciteit

Eerst geven we een definitie van een comonotone verzameling vectoren. Definitie 5.1. Een verzameling A ⊆ Rn is comonotoon als voor elke x, y ∈ A ofwel x ≤ y ofwel x ≥ y geldt. Volgende definitie geeft betekenis aan een comonotone toevalsvector. Dit komt eigenlijk overeen met het feit dat het bereik of de drager van de toevalsvector een comonotone verzameling is. Definitie 5.2. Stel dat Y1 , . . . , Yn toevalsvariabelen zijn en dat U een uniform verdeelde toevalsvariabele is op het eenheidsinterval. De toevalsvector Y = (Y1 , . . . , Yn ) is comonotoon als d

[−1]

[−1]

Y = (FY1 (U ), . . . , FYn (U )), 53

54

HOOFDSTUK 5. HET SYSTEMISCHE RISICO (CIX) d

[−1]

waarbij = gelijkheid in verdeling aanduidt en FY

(u) = inf {x ∈ R : FY (x) ≥ u}.

Een comonotone vector hangt maar af van één factor U , in ons geval het systemische risico. De drager van een comonotone vector wordt gegeven door n o FX−11 (p), . . . , FX−1n (p) |0 < p < 1 . (5.1) We kunnen nu ook voor elke vector de comonotone tegenhanger definiëren. Definitie 5.3. Stel dat Y = (Y1 , . . . , Yn ) een toevalsvector is. De comonotone tegenhanger van Y wordt gedefinieerd als d [−1] [−1] Yc ≡ (Y1c , . . . , Ync ) = FY1 (U ), . . . , FYn (U ) . In ons geval kunnen we het prijsproces van de comonotone index noteren als S c (t) =

n X

wi Sic (t),

i=1

waarbij S c = (S1c , . . . , Snc ) de comonotone tegenhanger is van de aandelenprijsvector S = (S1 , . . . , Sn ). We definiëren de prijs van de comonotone call optie als C c (K, T ) = e−rT E[(S c (T ) − K)+ ]. Merk op dat dit juist de prijs is wanneer alle aandelen perfect samen zouden bewegen. Deze prijs moet dus hoger zijn dan die van een gewone call optie omdat de volatiliteit hoger is. In het vervolg van dit hoofdstuk laten we de tijdscomponent t weg als er geen verwarring mogelijk is. We zullen nog enkele definities nodig hebben. Deze geven we hier zonder dat we er verder op in gaan. Definieer ten eerste voor een toevalsvariabele Y , [−1+]

FY

(u) = sup {x ∈ R : FY (x) ≤ u} .

Aan de hand van deze definitie kunnen we de alfa-inverse invoeren. Definitie 5.4. Voor 0 < α < 1 wordt de alfa-inverse van de verdelingsfunctie van een toevalsvariabele Y gedefinieerd als [−1(α)]

FY

[−1]

(u) = αFY

[−1+]

(u) + (1 − α)FY

(u).

Voor de comonotone index S c en voor 0 < α ≤ 1 definiëren we de alfa-inverse van de verdelingsfunctie als [−1(α)]

FS c

(u) =

n X

[−1(α)]

wi FSi

(u).

i=1

Omdat de drager van een comonotone vector gegeven door (5.1) niet noodzakelijk samenhangend is, hebben we nog een laatste definitie nodig. Definitie 5.5. De samenhangende drager van een comonotone vector X = (X1 , . . . , Xn ) wordt gegeven door n o [−1(α)] [−1(α)] FX1 (p), . . . , FXn (p) |0 < p < 1, 0 ≤ α ≤ 1 .

5.2. EEN COMONOTONE BOVENGRENS

5.2

55

Een comonotone bovengrens

Om een index te maken voor het systemische risico moeten we de comonotone optieprijzen kunnen uitdrukken in beschikbare gegevens. Dat doen we in dit deel. We zoeken een bovengrens aan de hand van gekende call en put optieprijzen. Hiervoor hebben we eerst de verdeling FS c van de comonotone index nodig. [−1+] Als x ≤ FS c (0), dan is duidelijk [−1+] FS c (x) ≤ FS c FS c (0) ≤ 0, en is FS c (x) = 0. [−1] Voor x ≥ FS c (1), vinden we analoog dat [−1] FS c (x) ≥ FS c FS c (1) ≥ 1, en dan is FS c (x) = 1. Voor de andere gevallen bekomen we het resultaat in volgende stelling [−1+] [−1] Stelling 5.1. Voor x ∈ FS c (0), FS c (1) wordt de verdelingsfunctie van de comonotone indexprijs gegeven door ( ) n X [−1] FS c (x) = sup p ∈ [0, 1] : wi FSi (p) ≤ x . i=1

Bewijs. (eigen werk) Uit de definitie van de verdelingsfunctie vinden we FS c (x) = P(S c ≤ x) =P =P

n X i=1 n X i=1

! wi Sic ≤ x ! [−1] wi FSi (p) ≤ x p ∈ [0, 1] ,

waarbij de laatste gelijkheid volgt uit de comonotoniciteit van S c . Omdat stijgend is in p, is dit ook gelijk aan ( ) n X [−1] FS c (x) = sup p ∈ [0, 1] wi FSi (p) ≤ x .

[−1] i=1 wi FSi (p)

Pn

i=1

Nu komen we aan bij een zeer belangrijke stelling, waarmee het mogelijk wordt om de verwachte payoff van een call optie op de index te berekenen. Het bewijs is gevonden in [13], Theorem 7. [−1+] [−1] Merk vooreerst nog op dat de gevallen K ≤ FS c (0) en K ≥ FS c (1) niet nuttig zijn, want het eerste geeft E[(S c − K)+ ] = E[S c ] − K omdat dan FS c (K) = 0. Het tweede geval geeft E[(S c − K)+ ] = 0, omdat dan FS c (K) = 1. [−1+] [−1] Stelling 5.2. Voor K ∈ FS c (0), FS c (1) en voor S c het comonotone prijsproces van de index geldt n + X [−1(αK )] c + E[(S − K) ] = wi E Si − FSi (FS c (K)) , i=1 [−1(αK )]

waarbij αK ∈ [0, 1] zo is gekozen dat FS c

(FS c (K)) = K.

56

HOOFDSTUK 5. HET SYSTEMISCHE RISICO (CIX)

[−1+] [−1] Bewijs. Omdat K ∈ FS c (0), FS c (1) is 0 < FS c (K) < 1. [−1(α)]

Uit sectie 3 in [13] halen we dan dat er een αK ∈ [0, 1] bestaat zodat FS c (FS c (K)) = K. c De samenhangende drager van S is comonotoon. In het hypervlak {X|x1 + · · · + xn = K} geldt er voor alle punten X, Y dat noch X ≤ Y , noch X ≥ Y , zodat dit hypervlak maximaal één punt gemeenschappelijk heeft metde samenhangende drager van S c . [−1(α )] [−1(α )] Stel nu V = (v1 , . . . , vn ) = w1 FS1 K (FS c (K)), . . . , wn FSn K (FS c (K) . Uit de definitie van de samenhangende drager is het onmiddellijk duidelijk dat V een element is van de samenhangende drager van S c . Maar uit de definitie van de alfa-inverse van de verdelingsfunctie van de comonotone index hebben we ook dat n X

[−1(αK )]

wi FSi

[−1(αK )]

(FS c (K)) = FS c

(FS c (K)) = K,

i=1

zodat V ook in het hypervlak ligt. Zo kunnen we besluiten dat V het unieke punt is in de doorsnede van de verbonden drager van S c en het hypervlak. Stel nu dat S ook een element is van de samenhangende drager van S c . Dan geldt de volgende gelijkheid (s1 + · · · + sn − K)+ = (s1 − v1 )+ + · · · + (sn − vn )+ . Dit is duidelijk door twee gevallen te beschouwen, namelijk si ≥ vi voor alle i en si ≤ vi voor alle i. Omdat V en X punten zijn in dezelfde comonotone verzameling, zijn dit de enige twee gevallen. In het eerste geval zijn alle termen strikt positief en is het in orde doordat V in het beschouwde hypervlak ligt. In het andere geval zijn alle termen gelijk aan 0. Als we nu de vi terug invullen en verwachtingswaarden nemen zien we dat het gestelde waar is. Uit voorgaande stelling volgt onmiddellijk dat de comonotone call optieprijs gegeven wordt door c

C (K) =

n X

[−1(α )] wi Ci FSi K (FS c (K)) .

i=1

Deze uitdrukking vertelt ons dat de comonotone call optieprijs samengesteld kan worden als de gewogen som van opties op de componenten. Hierbij zijn de gewichten hetzelfde als die van de index en hebben de opties dezelfde maturiteit als de comonotone call optie. Hun uitoefenprijs wordt gegeven door [−1(αK )]

Ki∗ = FSi

(FS c (K)).

Om deze uitoefenprijzen te kennen, hebben we de verdelingsfuncties FSi nodig. Deze verdelingsfuncties kunnen bekomen worden uit het oppervlak van optieprijzen, namelijk zoals in volgende stelling. Stelling 5.3. De verdelingsfunctie van een aandeel S kan aan de hand van call optieprijzen geschreven worden als rT ∂C(K) , x > 0. FS (x) = 1 + e ∂K K=x Bewijs. (eigen werk) De prijs van een call optie is de verdisconteerde verwachtingswaarde van de payoff, dus Z ∞ C(K) = e−rT max(x − K, 0)P(S = x)dx. 0


57

Afleiden naar de uitoefenprijs K, levert ∂C(K) = e−rT (−1)P(S > K). ∂K Na herschikking bekomen we FS (K) = P(S ≤ K) = 1 − P(S > K) = 1 + erT

∂C(K) . ∂K

Hieruit volgt het gestelde. De formule in bovenstaande stelling kan enkel toegepast worden als er opties bestaan voor alle uitoefenprijzen. Omdat dit niet het geval is, voeren we toevalsvariabelen S i in met een stuksgewijs constante verdelingsfunctie, gedefinieerd als  als x < Ki,0  0 Ci (Ki,j+1 )−Ci (Ki,j ) rT FS i (x) = 1 + e als Ki,j ≤ x < Ki,j+1 voor een j ∈ {0, 1, . . . , mi } , Ki,j+1 −Ki,j   1 als x ≥ Ki,mi +1 (5.2) waarbij Ki,j , j ∈ {1, 2, . . . , mi } alle gegeven uitoefenprijzen zijn van het i-de aandeel en waarbij (1). Merk op dat in de realiteit deze Ki,mi +1 oneindig kan zijn. Ook Ki,0 = 0 en Ki,mi +1 = FS−1 i is deze in vele gevallen niet bekend. De resultaten die we afleiden, hangen niet af van Ki,mi +1 als de Ki,mi +1 groot genoeg gekozen worden. Hierop volgend definiëren we ook c

S =

n X

wi FS−1 (U ).

i=1

i

Zo zien we dat ( FS c (x) = sup p ∈ [0, 1] :

n X

) wi FS−1 (p) ≤ x . i

i=1

c

Ten laatste definiëren we nog optieprijzen op deze index S en op de S i , namelijk c

c

C (K) = e−rT E[(S − K)+ ], c

c

P (K) = e−rT E[(K − S )+ ], C i (K) = e−rT E[(S i − K)+ ], P i (K) = e−rT E[(K − S i )+ ]. Merk op dat zo’n opties niet werkelijk worden verhandeld, maar ze zijn handig omdat hun prijs wel exact te bepalen is. Dit brengt ons bij de volgende stelling waarin wordt bewezen dat de call optieprijs op deze nieuwe index uitgedrukt kan worden aan de hand van opties op componenten van de oude index. Maar voordat we deze stelling beschouwen, bewijzen we eerst nog een lemma dat we nodig zullen hebben. Lemma 5.4. Voor de opties C i (K) op S i geldt dat C i (K) = 0 als K ≥ Ki,mi +1 . Voor Ki,j ≤ K < Ki,j+1 geldt C i (K) =

Ci (Ki,j+1 ) − Ci (Ki,j ) (K − Ki,j ) + Ci (Ki,j ). Ki,j+1 − Ki,j

58


Ook geldt er voor 0 < p < 1 en 0 ≤ α ≤ 1 dat ( Ki,j [−1(α)] FS (p) = i αKi,j + (1 − α)Ki,j+1

als FS i (Ki,j−1 ) < p < FS i (Ki,j ) . als p = FS i (Ki,j )

Bewijs. Ten eerste is het uit de definitie van C i en (5.2) onmiddellijk duidelijk dat C i (K, T ) = 0 als K ≥ Ki,mi +1 . Voor het andere geval hebben we voor alle j = 1, . . . , mi en Ki,j ≤ K < Ki,j+1 Z ∞ (1 − FS i (x))dx C i (K) = e−rT K ! Z Z ∞

= e−rT

K

Ki,j

=e

=e

−rT

mi Z X

−rT

l=j Ki,l mi Z Ki,l+1 X l=j

− e−rT =

(1 − FS i (x))dx −

mi X

(1 − FS i (x))dx

Ki,l+1

(1 − FS i (x))dx − e

−rT

Z

K

Ki,j

(1 − FS i (x))dx

rT Ci (Ki,l+1 ) − Ci (Ki,l ) dx 1−1−e Ki,l+1 − Ki,l Ki,l Z K Ci (Ki,j+1 ) − Ci (Ki,j ) 1 − 1 − erT dx Ki,j+1 − Ki,j Ki,j

−Ci (Ki,l+1 ) + Ci (Ki,l ) +

l=j

=

Ki,j

Ci (Ki,j+1 ) − Ci (Ki,j ) (K − Ki,j ) Ki,j+1 − Ki,j

Ci (Ki,j+1 ) − Ci (Ki,j ) (K − Ki,j ) + Ci (Ki,j ). Ki,j+1 − Ki,j

Dit bewijst het eerste deel van het lemma. Het tweede deel is duidelijk uit de constructie van FS i . Uit dit lemma volgt ook duidelijk dat C i (Ki,j ) = Ci (Ki,j ). P Pn c [−1+] n w K Stelling 5.5. Voor K ∈ w F (0), i=1 i i,mi kan de call optieprijs op S geschreven i=1 i S i worden als X X c C (K) = wi Ci (Ki,ji ) + wi (αK Ci (Ki,ji ) + (1 − αK )Ci (Ki,ji +1 )) . i∈NK

i∈N / K

Hierin is ji , i = 1, 2, . . . , n gekozen in {0, 1, . . . , mi + 1} zodat FS i (Ki,ji −1 ) < FS c (K) ≤ FS i (Ki,ji ). [−1(α )]

De coëfficiënt αK ∈ [0, 1] is, zoals in voorgaande stelling, zo gekozen dat FS c K (FS c (K)) = K is. En de verzameling NK is gegeven door n o NK = i ∈ {1, 2, . . . , n} : FS i (Ki,ji −1 ) < FS c (K) < FS i (Ki,ji ) . Bewijs. Uit voorgaand lemma en de definities van ji en NK vinden we dat ( Ki,ji als i ∈ NK [−1(αK )] FS . (FS c (K)) = i αK Ki,ji + (1 − αK )Ki,ji +1 als i ∈ / NK


59

Als we dit combineren met het eerste deel van dat lemma, bekomen we ( C i (Ki,ji ) als [−1(αK )] C i FS (FS c (K)) = i C i (αK Ki,ji + (1 − αK )Ki,ji +1 ) als ( Ci (Ki,ji ) = αK Ci (Ki,ji ) + (1 − αK )Ci (Ki,ji +1 )

i ∈ NK i∈ / NK als i ∈ NK als i ∈ / NK

Verder uitrekenen, geeft Ci

[−1(αK )] FS (FS c (K)) i

( Ci (Ki,ji ) = αCi (Ki,ji −1 ) + (1 − α)Ci (Ki , ji − 1)

als i ∈ NK . als i ∈ / NK

We hebben ook, analoog aan stelling 5.2, dat c

C (K) =

n X

[−1(αK )] (FS c (K)) . wi C i FS i

i=1

Beiden gecombineerd, geeft dit X X c C (K) = wi Ci (Ki,ji ) + wi (αK Ci (Ki,ji ) + (1 − αK )Ci (Ki,ji +1 )) , i∈NK

i∈N / K

wat we wilden bewijzen. Merk nog op dat de methode voor put opties analoog is en dat daar ook X X c P (K) = wi Pi (Ki,ji ) + wi (αK Pi (Ki,ji ) + (1 − αK )Pi (Ki,ji + 1)) i∈NK

i∈N / K

bekomen wordt. Het enige verschil daarbij is dat de S i verschillend zijn. De verdelingsfunctie Si kan analoog aan stelling 5.3 geschreven worden zoals in volgende stelling. Stelling 5.6. De verdelingsfunctie van een aandeel S kan aan de hand van put optieprijzen geschreven worden als rT ∂P (K) FS (x) = e , x > 0. ∂K K=x Bewijs. (eigen werk) De prijs van een put optie is de verdisconteerde verwachtingswaarde van de payoff, dus Z ∞ −rT P (K) = e max(K − x, 0)P(S = x)dx. 0

Als we dit afleiden naar de uitoefenprijs K, dan bekomen we ∂P (K) = e−rT .1.P(S < K). ∂K Hieruit bekomen we dan dat FS (K) = erT Zo volgt het gestelde.

∂P (K) . ∂K

60


Analoog definiëren we S i met stuksgewijs constante verdelingsfunctie

FS i

  0 P (K )−Pi (Ki,j ) = erT i Ki,j+1 i,j+1 −Ki,j   1

c

als x < 0 als Ki,j ≤ x < Ki,j+1 voor een j ∈ {0, 1, . . . , mi } .

(5.3)

als x ≥ Ki,mi +1

c

Om C (K) en P (K) praktisch te berekenen, hebben we nog een uitdrukking nodig voor αK . We willen dat die uitdrukking gemakkelijk te berekenen is. Stelling 5.7. De αK die we hiervoor hebben gebruikt, is ook gelijk aan P K − ni=1 wi Ki,ji αK = 1 − P . i∈N / K wi (Ki,ji +1 − Ki,ji ) Bewijs. Zoals we in voorgaande stelling hebben afgeleid, geldt er voor α ∈ [0, 1] dat [−1(α)] FS (FS c (K)) i

( Ki,ji = αKi,ji + (1 − α)Ki,ji +1

als i ∈ NK . als i ∈ / NK

[−1(α )]

Nu gaan we na dat voor de gegeven αK geldt dat FS c K (FS c (K)) = K. Hiervoor merken we eerst op dat het bewezen kan worden dat het complement van NK niet leeg is. Zo bekomen we [−1(αK )]

FS c

(FS c (K)) =

n X

[−1(αK )]

wi F S

i=1

=

=

X

i

wi Ki,ji +

X

i∈NK

i∈N / K

X

X

wi Ki,ji +

i∈NK

wi Ki,ji

i∈NK

+

wi

! P K − nk=1 wi Kk,jk 1− P Ki,ji k∈N / K wk (Kk,jk +1 − Kk,jk )

P K − nk=1 wi Kk,jk Ki,ji +1 k∈N / K wk (Kk,jk +1 − Kk,jk ) X + wi Ki,ji

wi P

i∈N / K

X

wi (αK Ki,ji + (1 − αK )Ki,ji +1 )

i∈N / K

X

+ =

(FS c (K))

i∈N / K

X

wi (Ki,ji +1 − Ki,ji ) P

i∈N / K

=

n X i=1

wi Ki,ji + K −

n X

P K − nk=1 wi Kk,jk k∈N / K wk (Kk,jk +1 − Kk,jk )

wi Ki,ji

i=1

= K.

De vorige twee stellingen en het lemma daarvoor, alsook hun bewijzen zijn afkomstig uit [5]. c Nu we een praktisch bruikbare uitdrukking hebben voor C (K), kunnen we in de volgende paragraaf een index voor de comonotoniciteit invoeren.

5.3. EEN INDEX VOOR COMONOTONICITEIT

5.3

61

Een index voor comonotoniciteit

We kennen nu de optieprijzen voor de comonotone index. Daarmee kunnen we met behulp van de volgende stelling en het feit dat c

0 ≤ C(K) ≤ C c (K) ≤ C (K)

(5.4)

c

c

0 ≤ P(K) ≤ P (K) ≤ P (K), een index voor de comonotoniciteit invoeren. Stelling 5.8. Als S = (S1 , . . . , Sn ) een vector is van positieve toevalsvariabelen met verdelingsfuncties FSi , i = 1, . . . , n, dan zijn de volgende beweringen equivalent. (i) S is comonotoon. d

(ii) S = S c . (iii) Var(S) = Var(S c ). (iv) C(K) = C c (K), voor alle K ≥ 0. (v) P(K) = P c (K), voor alle K ≥ 0. Bewijs. (i) ⇒ (ii) volgt uit de definitie van comonotoniciteit en (ii) ⇒ (iii) is triviaal. Om (iii) ⇒ (i) te bewijzen, merken we eerst op dat Var(S) = Var(S c ) ⇔

n X

corr(Si , Sj )σSi σSj =

i,j=1

n X

−1 (U ) σSi σSj . (U ), F corr FS−1 Si i

i,j=1

Omdat ook duidelijk geldt dat −1 (U ) , (U ), F corr(Si , Sj ) ≤ corr FS−1 Sj i

∀i, j = 1, . . . , n,

kunnen we besluiten dat −1 (U ) , (U ), F corr(Si , Sj ) = corr FS−1 S i i

∀i, j = 1, . . . , n.

Dit is duidelijk equivalent met (i). Nu rest ons nog te bewijzen dat de voorgaande equivalent zijn met (iv) en (v). Merk op dat d

S = S c ⇐⇒ E[(S − K)+ ] = E[(S c − K)+ ], +

c +

⇐⇒ E[(K − S) ] = E[(K − S ) ],

∀K ≥ 0 ∀K ≥ 0.

Hieruit volgt dat (ii) ⇔ (iv) ⇔ (v), zodat het bewijs volledig is. P(K) Var(S) We zouden nu de index kunnen definiëren als CC(K) c (K) of P c (K) voor een K ≥ 0 of als Var(S c ) . Deze drie mogelijkheden liggen allen tussen 0 en 1, wegens (5.4) en aangezien de variantie groter is als alle aandelen samen bewegen. Door voorgaande stelling kunnen we ook besluiten dat deze drie mogelijkheden dichter naar 1 zullen naderen als de index meer comonotoon is. Var(S) We kiezen voor de laatste mogelijkheid, Var(S c ) , omdat deze niet afhankelijk is van de keuze voor K.

62


In hoofdstuk 3 hebben we een index ingevoerd om de toekomstige volatiliteit te benaderen. Nu willen we analoog een comonotone VIX definiëren. Stel dus 2 σcom (T ) =

2 1 F 2 X ∆Ki rT c e Q (K ) − − 1 , i 2 T T K0 K i i

c

waarbij Q (K) is gedefinieerd door

c

Q (K) =

 c  Pc (K)

als K < K0 c

C (K)+P (K)   c 2

C (K)

als K = K0 . als K > K0

De comonotone VIX is dan analoog aan (3.4) s N30 − NT1 N365 NT2 − N30 c 2 2 + T2 σcom,2 × . T1 σcom,1 V IX = 100 × NT2 − NT1 NT2 − NT1 N30

(5.5)

De index voor comonotoniciteit wordt dan CIX =

V IX . V IX c

De CIX ligt tussen 0 en 1 en hoe dichter bij 0, hoe kleiner het systemische risico is, omdat de aandelen dan minder hard samen bewegen.

Hoofdstuk 6

De Fear Index (FIX) In de vorige drie hoofdstukken hebben we indexen ingevoerd voor drie verschillende risico’s, namelijk het marktrisico, het liquiditeitsrisico en het systemische risico. Nu willen we deze drie risico’s combineren in één index, de FIX. De auteurs van [14] stellen voor om de FIX in te voeren als een lineaire combinatie van de drie indexen, FIX = ω1 VIX + ω2 LIQ + ω3 CIX. Ze kiezen ervoor om de drie risico’s even veel te laten bijdragen in het gemiddelde geval. Daarom g en CIX ] van de indexen over een bepaalde berekenen we de gemiddelde waarden V] IX, LIQ periode. Opdat de drie indexen even veel zouden bijdragen in het gemiddelde geval, worden de gewichten gedefinieerd zodat g = ω2 LIQ g = ω3 CIX g = ω1 VIX

100 . 3

De gewichten zijn dan gelijk aan ω1 =

100 100 100 , ω2 = en ω3 = . g g g 3VIX 3LIQ 3CIX

Als de FIX op deze manier gedefinieerd wordt, zien we onmiddellijk dat hij een gemiddelde waarde van 100 heeft. Een FIX > 100 betekent dat het angstniveau in de markt groter is dan normaal en een FIX < 100 betekent dat het angstniveau in de markt kleiner is dan normaal. Er is geen economische motivatie om de index lineair te maken, of om elk risico even veel te laten bijdragen. Maar er is ook geen motivatie om dit niet te doen. Op deze manier blijft de index wel eenvoudig en makkelijk interpreteerbaar.

6.1

Praktisch

Analoog aan de opbouw van de masterproef heb ik ervoor gekozen om het computerprogramma op te splitsen in vier delen. Ik heb drie delen gemaakt voor de drie verschillende risico’s en dan een vierde deel om de drie andere programma’s samen te voegen. Het programma voor de VIX is vrij beknopt en rechtstreeks. Daarom zullen we er hier niets aan toevoegen.

6.1.1

De LIQ

Hier volgen enkele opmerkingen over de LIQ. De eerste opmerking gaat over de ge¨ımpliceerde volatiliteit. In Matlab bestaat er een programma 63

64

HOOFDSTUK 6. DE FEAR INDEX (FIX)

om de Black-Scholes ge¨ımpliceerde volatiliteit te berekenen, namelijk blsimpv. Maar dit werkte niet zoals het hoorde te werken en dus ben ik op zoek gegaan naar een beter programma. Dit heb ik gevonden op [19]. Het programma werkte al een stuk beter en het bleek ook dat dit veel sneller is. Omdat dit programma enkel werkt voor call opties, heb ik enkele kleine aanpassingen gedaan zodat het ook werkt voor put opties. Het programma heb ik ivol genoemd en is te vinden in de appendix. Het probleem met de ge¨ımpliceerde volatiliteit is dat deze oneindig wordt voor grote of kleine uitoefenprijzen. Als dat het geval is, is het niet mogelijk om de integralen uit stelling 4.16 te berekenen. We laten deze uitoefenprijzen dan weg en geven ze geen gewicht in de berekening van de ge¨ımpliceerde liquiditeit. Dit wordt toegepast in regels 56-59 van iliq.m en regels 60, 67, 80 en 87 van LIQ.m. Dat de ge¨ımpliceerde volatiliteit zo groot wordt voor grote en kleine uitoefenprijzen, valt te verklaren door de volatility smile. In het Black-Scholes model wordt ervan uitgegaan dat de winst lognormaal verdeeld is, maar in de realiteit wegen de uiteinden zwaarder door. De kurtosis is met andere woorden groter dan 0. Dit heeft als gevolg dat de ge¨ımpliceerde volatiliteit heel groot wordt voor extreme uitoefenprijzen. Voor meer informatie hierover verwijzen we naar [12]. Een laatste probleem is dat er niet altijd voor alle aandelen in een index opties (en dus optieprijzen) bestaan. Dit lossen we eenvoudig op door geen ge¨ımpliceerde liquiditeit te berekenen voor deze aandelen. De gewichten passen we aan zodat het totale gewicht van de aandelen in LIQ terug 1/2 is. Voor het computerprogramma komt het er op neer dat voor de aandelen waarvoor geen opties bestaan, geen gegevens moeten worden ingegeven. Merk ten laatste op dat het voor (4.8) en (4.9) telkens voldoende is om te zorgen dat de λ voldoet aan één van de twee gelijkheden. De tweede gelijkheid zal voldaan zijn doordat we als volatiliteit de ge¨ımpliceerde volatiliteit voor het gemiddelde van de bied- en laatprijs gebruiken.

6.1.2

De CIX

Voor de CIX zullen we de problemen die we tegen kwamen bij het programmeren punt per punt aanpakken.

• Na (5.2) wordt er gezegd dat Ki,mi +1 groot genoeg gekozen moet worden. Maar wat is groot genoeg? In [17] bewijst men dat als de voorwaarde max FS i (Ki,mi −1 ) <

i∈{1,...,n}

min i∈{1,...,n}

FS i (Ki,mi )

(6.1)

voldaan is, dat dan de comonotone optieprijzen kloppen voor alle uitoefenprijzen in i Pn [−1+] FS c (0), i=1 wi Ki,mi . Hierbij wordt impliciet verondersteld dat alle mi > 0. Uit (5.2) volgt dat FS i (Ki,mi ) gegeven wordt door FS i (Ki,mi ) = 1 − erT

Ci (Ki,mi ) . Ki,mi +1 − Ki,mi

Hieruit volgt dat FS i (Ki,mi ) stijgend is in Ki,mi +1 . Dus dan kan Ki,mi +1 groot genoeg gekozen worden zodat FS i (Ki,mi ) dicht genoeg bij 1 is. Dit wil juist zeggen dat voorwaarde (6.1) voldaan is als alle Ki,mi +1 groot genoeg zijn gekozen.

6.1. PRAKTISCH

65

Als we nu (5.2) invullen in (6.1), dan bekomen we voor i in {1, . . . , n} Ki,mi +1 > Ki,mi + Ci (Ki,mi ) ×

max j∈{1,...,n}

Kj,mj − Kj,mj −1 Cj (Kj,mj −1 ) − Cj (Kj,mj )

.

Dit geeft ons een voorwaarde hoe groot de Ki,mi +1 moeten zijn. Deze werkwijze wordt ge¨ımplementeerd in CIX.m op regels 69-87, 109 en 140. • Bij de constructie van de verdelingsfuncties FS i wordt gebruik gemaakt van de optieprijzen voor Ki,0 , Ki,1 , . . . , Ki,mi +1 , maar enkel de optieprijzen voor Ki,1 , Ki,2 , . . . , Ki,mi zijn gekend. Om dit op te lossen zoeken we de optieprijzen Ci (0), Pi (0), Ci (Ki,mi +1 ) en Pi (Ki,mi +1 ). We hebben duidelijk dat Ci (Ki,mi +1 ) = Pi (0) = 0. Verder kunnen we uit de theoretische optieprijsformules halen dat Ci (0) = e−rT E[Si ],

en

Pi (Ki,mi +1 ) = e−rT (Ki,mi +1 − E[Si ]). In deze formules wordt E[Si ] gebruikt, maar ook deze is niet gekend. In [15] wordt voorgesteld om deze te berekenen aan de hand van de put-call pariteit voor de put en call optie waarvan het verschil tussen de prijzen het kleinst is, dus E[Si ] = erT (Ci (Ki∗ ) − Pi (Ki∗ )) + Ki∗ , Ki∗

=

argmin

met

|Ci (K) − Pi (K)|.

K∈{Ki,1 ,...,Ki,mi }

Dit geeft ons een methode om de gewenste optieprijzen te berekenen. De implementatie hiervan is terug te vinden in CIX.m op regels 112-114, 117, 142-144 en 147. • Het kan gebeuren dat de stuksgewijs lineaire functie C i (K) (of P i (K)) niet convex is. Dit heeft als gevolg dat FS i niet stijgend is en dat het dus geen verdelingsfunctie is. Het probleem wordt opgelost door een functie FSei in te voeren. Deze functie definiëren we als FSei (Ki,j ) = min{FS i (Ki,j ), FSei (Ki,j+1 )},

voor j = 0, 1, . . . , mi .

Hierbij stellen we FSei (Ki,mi +1 ) = 1. De functie FS i wordt omgezet naar FSei in CIX.m op regels 123-126 en 152-155. • We zijn bij het construeren van de CIX uitgegaan van Europese opties. Voor de marktindex zal dit altijd het geval zijn. Maar wat als de opties op de onderliggende aandelen Amerikaanse opties zijn? We mogen dan de Amerikaanse optieprijzen gebruiken om de comonotone optieprijs te bepalen. Omdat Amerikaanse optieprijzen groter zijn dan Europese, zal de comonotone optieprijs ook groter zijn. Dit is nog steeds een bovengrens voor de Europese optieprijs van de index. Als we dit op die manier doen, komen we enkel een kleinere waarde uit voor CIX. Dit is geen probleem zolang we het maar voor alle dagen hetzelfde doen.

66

HOOFDSTUK 6. DE FEAR INDEX (FIX) • Een laatste probleem is dat er niet altijd voor alle aandelen in een index opties (en dus optieprijzen) bestaan. Hiervoor heeft men ook in [17] een oplossing gevonden. Deze oplossing wordt hieronder besproken en is ge¨ımplementeerd in CIX.m op regels 290-293 en 361-363. Dit is enkel voor de call opties, want voor de put opties is er geen extra implementatie nodig.

Bij aandelen waarvoor geen optieprijzen bestaan is, mi = 0. Dit wil zeggen dat er geen koppel optieprijzen (Ci (Ki,j ), Pi (Ki,j ) beschikbaar is voor 0 < Ki,j < Ki,mi +1 . Veronderstel nu dat voor de eerste k aandelen mi > 0 is en dat voor de volgende n − k aandelen mi = 0 is. Dit kan door herordening. De verdeling FS i van de aandelen S i , i = k + 1, . . . , n is dan volgens (5.2)  als x < 0  0 C (0) als 0 ≤ x < Ki,1 . FS i (x) = 1 + erT Ki i,1 (6.2)   1 als x ≥ Ki,1 c

Noteer nu S k voor de comonotone som van de eerste k aandelen, dus c Sk

=

k X

wi FS−1 (U ). i

i=1

Voor de bijhorende comonotone call en put opties noteren we c c C k (K) = e−rT E (S k − K)+ , en c c P k (K) = e−rT E (K − S k )+ . [−1+] We vinden voor FS c (K) met K ∈ FS c (0), FS−1 dat c (1) k k k ( ) k X wi FS−1 (p) ≤ x . FS c (x) = sup p ∈ [0, 1] : k

i

i=1

Uit stelling 5.2 halen we dat c C k (K)

=

k X

"

h

wi C i FS c

c P k (K)

=

"

h

i (k) −1 αK

wi P i FS c

# FS c (K) , k

i

i=1

# FS c (K) , k

i

i=1 k X

i (k) −1 αK

en

(6.3)

(6.4)

waarbij h

i (k) −1 αK

FS c

FS c (K) = K. k

k

c

Analoog aan stelling 5.5 vinden we dan een uitdrukking voor C k (K). En daarmee passen we c c verder dezelfde werkwijze toe als in sectie 5.2 om de comonotone optieprijzen C k (K) en P k (K) te berekenen. c

c

We bewijzen nu dat de berekening van C (K) en P (K) in essentie neerkomt op de berekening c c van C k (K) en P k (K), op voorwaarde dat de maximale waardes Ki,1 , i = k + 1, . . . , n voldoen aan max FS i (Ki,0 ) < min FS i (0). i≤k

i>k

(6.5)

Uit (6.2) is het duidelijk dat deze voorwaarde voldaan is als de Ki,1 van de laatste n−k aandelen voldoende groot gekozen worden.

6.1. PRAKTISCH

67

Stelling 6.1. Stel dat mi > 0 voor de eerste k aandelen en dat mi = 0 voor i = k + 1, . . . , n. Stel ook dat = k + 1, . . . , n zo zijn gekozen dat aan (6.5) voldaan is. Dan geldt er voor de Ki,1 , i P c c [−1+] k elke K ∈ FS c (0), i=1 wi Ki,mi +1 dat C (K) en P (K) gegeven worden door c

C (K) =

c C k (K)

+

n X

wi Ci (0),

en

i=k+1 c

c

P (K) = P k (K). P [−1+] [−1+] Bewijs. Stel dat K ∈ FS c (0), ki=1 wi Ki,mi +1 is. Dan is duidelijk ook K ∈ FS c (0), FS−1 c (1) , k k Pk [−1+] [−1+] omdat FS c (0) ≤ FS c (0) en FS−1 w K . c (1) = i i,m +1 i i=1 k k Voor p ∈ Ak = F Si (Ki,j )|i = 1, . . . , k en j = 0, 1, . . . , mi en i > k geldt er wegens (6.5) 0 < p < F Si (0). Maar dan geldt er wegens (6.2) dat −1

F Si (p) = 0,

voor p ∈ Ak en i > k.

(6.6)

Hieruit volgt k X

( FS c (K) = sup p ∈ [0, 1] : k

) wi FS−1 (p) ≤ K i

i=1 k X

(

)

wi FS−1 (p) ≤ K

= max p ∈ Ak :

i=1 n X

( = max p ∈ Ak :

i

) wi FS−1 (p) ≤ K

i=1 n X

(

≤ sup p ∈ [0, 1] :

i=1

i

) wi FS−1 (p) i

≤K

= FS c (K). Omdat de omgekeerde ongelijkheid altijd geldt, hebben we FS c (K) = FS c (K).

(6.7)

k

Zo volgt er dat FS c (K) ∈ Ak en dus geldt wegens (6.6) dat FS−1 (FS c (K)) = 0,

voor i > k.

i

Zo bekomen we n X i=1

FS−1 (FS c (K)) i

=

k X i=1

FS−1 (FS c (K)), i

(k)

waaruit volgt dat αK = αk . Samen met (6.7) geeft dit h [−1(αK )] FS (FS c (K)) i

= FS

i (k) −1 αK i

(FS c (K)). k

68


Ten slotte geeft stelling 5.2, gecombineerd met (6.3), dat c

C (K) =

=

n X i=1 k X

h i [−1(α )] wi C i FS c K FS c (K) h

i (k) −1 αK

wi C i FS c

i=1 c

k

i

"

= C k (K) +

FS c (K)

k

i

n X

# +

"

i (k) −1 αK

wi C i FS c i

i=k+1

n X

h

FS c (K)

#

k

wi Ci (0)

i=k+1

Dit is wat we wilden bewijzen. c

c

Voor de put optie volgt analoog dat P (K) = P k (K), omdat Pi (0) = 0. Uit de vorige stelling kunnen we besluiten dat als voorwaarde (6.5) voldaan is, de berekening Pk c c [−1+] van C (K) en P (K) voor K ∈ FS c (0), i=1 wi Ki,mi +1 neerkomt op de berekening van c

k

c

C k (K) en P k (K). P Merk op dat K < ki=1 wi Ki,mi +1 geldt, als de Ki,mi +1 , i ≤ k voldoende groot gekozen zijn, zodat we vorige stelling altijd kunnen gebruiken. De uitdrukking voor de call optie is nog steeds niet praktisch bruikbaar. Maar het is duidelijk dat als de laatste n − k aandelen geen dividend uitbetalen dat dan Ci (0) = Si , i = k + 1, . . . , n. Indien er wel een dividend wordt betaald, hebben we nog steeds dat Ci (0) ≤ Si , i = k + 1, . . . , n. c Als we dus Ci (0) vervangen door Si , zal dit een bovengrens zijn voor C (K) zodat het ook een bovengrens is voor C(K). Zo kunnen we in het geval dat er op de laatste n − k aandelen geen opties bestaan de comonotone optieprijzen benaderen door c

C (K) ≤

c C k (K)

+

n X

wi S i ,

en

i=k+1 c

c

P (K) = P k (K).

6.1.3

De FIX

Het laatste programma, FIX.m genoemd, combineert de andere drie indexen. Dit gebeurt rechtstreeks zoals in het begin van het hoofdstuk uitgelegd werd en hierbij is dus geen uitleg meer nodig. Bij het gebruiken van de FIX moet men er wel aan denken dat dit een relatieve index is. Als er een ander tijdsinterval wordt gebruikt, zal ook de FIX verschillen. Men heeft bovendien redelijk wat data nodig, want bij weinig data zal de FIX eigenlijk weinig zeggen. Voor het geval waarbij men weinig data heeft, heb ik nog een tweede programma geschreven, FIX2.m. Daarin worden de gewichten berekend aan de hand van een referentiedatum en dan toegepast op de datum waarvoor men de FIX wil kennen. Zo wordt het probleem opgelost dat de datum waarop men de FIX wil berekenen te veel invloed heeft op de gewichten. Bovendien zouden we zo ook de index minder relatief kunnen maken door een uniforme referentiedatum te gebruiken en de gewichten vast te houden. Het nadeel hiervan is wel dat de evolutie van de belangrijkheid van de risico’s niet mee wordt beschouwd. Merk ook op dat een FIX van 100 dan niet noodzakelijk meer het gemiddelde geval is. Ten laatste is het ook nog belangrijk op te merken dat in de data geen opties mogen zitten waarvan de laatprijs 0 is. Als de laatprijs zowel voor de call als de put optie 0 is, wordt deze

6.2. BEL20

69

uitoefenprijs best weggelaten. Als er maar één van de twee 0 is, kan deze via de put-call pariteit berekend worden uit de andere. Ook de biedprijs wordt dan berekend via de put-call pariteit.

6.2

BEL20

Om het programma te testen heb ik data van de BEL20 index gebruikt. Ik heb deze index gekozen omdat deze slechts 20 aandelen bevat en omdat die de Belgische markt weergeeft. Hiervoor heb ik data verzameld op 3 dagen. De data heb ik gevonden op [2]. Volgende tabel geeft de resultaten weer. Referentiedatum 14/5/2013 14/5/2013 15/5/2013

Datum van berekening 15/5/2013 22/5/2013 22/5/2013

FIX 103.6130 106.4526 102.8680

FIX2 107.6958 116.1562 108.7900

Over deze tabel kunnen we verschillende opmerkingen maken. • Ten eerste merken we op dat de FIX dichter bij 100 ligt dan de FIX2. Dit is te verklaren doordat de gewichten bij FIX mee worden be¨ınvloed door de gegevens van de dag van berekening. We zien ook dat indien de FIX op een bepaalde dag groter is dan op een andere, dat dan de FIX2 niet noodzakelijk groter is. Dit heeft waarschijnlijk dezelfde oorzaak. Daarom is het aangewezen om de FIX2 te gebruiken als er weinig data beschikbaar zijn. • Ten tweede is het onmiddellijk duidelijk dat zowel FIX als FIX2 sterk afhangen van de referentiedatum. Dit hebben we eerder al aangehaald. Maar in dit voorbeeld zien we dat indien we de referentiedatum één dag opschuiven, het verschil ten opzichte van 100 kan verdubbelen. De vraag is dan wat we kunnen concluderen uit deze gegevens. We kunnen besluiten dat de angst in de markt (en dus de risico’s) op 22 mei groter was dan op 14 en 15 mei. En ook dat de angst op de 15 mei groter was dan op 14 mei. Dit alles kunen we besluiten omdat in al deze gevallen de FIX groter was dan 100 en dan is het risico groter op de dag van berekening dan op de referentiedatum.

70


Hoofdstuk 7

Besluit Deze masterproef had als doel een index te construeren die een maat is voor het risico dat je loopt in een bepaalde markt. Hierbij beschouwen we drie risico’s , het marktrisico, het liquiditeitsrisico en het systemische risico. We gebruiken hiervoor een marktindex die de markt karakteriseert. Daarbij beschouwen we de aandeelprijzen waarop de index steunt, de indexprijs en opties hierop. Met deze gegevens maken we benaderingen voor de toekomstige volatiliteit en liquiditeit en bekijken we hoe comonotoon de markt is. Voor het marktrisico hebben we enkel gegevens van de index nodig, namelijk optieprijzen en hun maturiteiten, en de risicoloze interest. Hiermee maken we een benadering van de toekomstige volatiliteit op 30 dagen e t [RVol2 V IX 2 ≈ E t,t+30 ] e t [RVt,t+30 ]. =E In hoofdstuk drie bewijzen we dat we zo aan een formule komen die we vandaag kunnen uitrekenen. Hierbij worden twee basisveronderstellingen gemaakt, namelijk dat de indexprijs wordt gedreven door een sprongproces en dat de risicoloze interest constant blijft. De formule die we bekomen, ziet er dan als volgt uit e t [RVt,T ] ≈ E

2 X ∆Ki r(T −t) e Ot (Ki , T ). T −t Ki2 i

Om ook de in-the-money call optie met uitoefenprijs K0 te kunnen beschouwen, voeren we nog een correctie door om te komen tot 2 2 X ∆Ki rT 1 Ft 2 σ = e Q(Ki ) − −1 , (7.1) T T K0 Ki2 i

Aan de hand van deze formule stellen we een werkwijze op om de VIX te berekenen. Deze werkwijze komt er in essentie op neer dat we out-of-the-money opties beschouwen waarvoor de biedprijs niet gelijk is aan 0 en dat we daar de formule op toepassen voor de near- en next-term opties apart. Daarvan nemen we dan een gewogen gemiddelde op 30 dagen om de volatiliteit op 30 dagen te bekomen. Tot slot nemen we daar nog de wortel van en vermenigvuldigen we met 100 om een percentage te bekomen. Daarna behandelen we het liquiditeitsrisico. Hiervoor hebben we optieprijzen op de index en de onderliggende aandelen nodig, alsook de indexprijs en de aandelen prijzen. Ook hier is de risicoloze interest van belang. 71

72

HOOFDSTUK 7. BESLUIT

Voor dit risico leiden we een formule af voor de bied- en laatprijzen van een optie met een bepaalde liquiditeit λ Z ∞ −rT Ψλ (1 − FS (x))dx aλ (C) = e ZK∞ (1 − Ψλ (FS (x)))dx bλ (C) = e−rT K Z K −rT Ψλ (FS (x))dx aλ (P ) = e 0 Z K (1 − Ψλ (1 − FS (x)))dx. bλ (P ) = e−rT 0

We definiëren de ge¨ımpliceerde liquiditeit van een optie als de λ waarvoor deze uitdrukkingen gelijk worden aan de prijs op de markt. LIQj en LIQIndex zijn een gewogen gemiddelde op 30 dagen van de ge¨ımpliceerde liquiditeit van de near- en next-term opties. LIQj is dit voor het j-de aandeel en LIQIndex voor de index. LIQ is dan uiteindelijk een gewogen gemiddelde van deze, waarbij het gewicht bij de index 1/2 is en van elke aandeel 1/2n (met n het aantal aandelen in de index). Het derde risico dat we behandelen, is het systemische risico. Hierbij hebben we dezelfde gegevens nodig als bij LIQ, en dan ook nog eens de gewichten van elk aandeel in de index. Om dit risico te kwantificeren, bepalen we eerst een comonotone bovengrens, dit is de prijs die de optie zou hebben als alle aandelen volledig samen zouden bewegen. We definiëren dan de CIX zo dat het de VIX is gedeeld door de VIX die bekomen zou worden door de comonotone optieprijzen te gebruiken. In het laatste hoofdstuk construeren we de FIX. Dit doen we zoals in [14] door een lineaire combinatie te nemen van de andere drie risico’s. Ook definiëren we nog een FIX2 waarbij de gewichten worden bekomen aan de hand van een referentiedatum. In dat hoofdstuk worden ook nog enkele praktische moeilijkheden besproken die ik ben tegengekomen bij het implementeren van de programma’s in de appendix.

Bijlage A

VIX Hieronder wordt de Matlab-code gegeven voor het berekenen van de VIX. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

function VIX = VIX( Optie1 , Optie2 , T1 , T2 , r , Nvandaag , Nuitoefen) % Deze functie berekent de VIX voor een gegeven index, een maat voor de % volatiliteit van de index. % Input: De 1 staat telkens voor de near-term en de 2 voor de next-term % Optie: De eerste kolom bevat de uitoefenprijzen waarin wordt % verhandeld van klein naar groot % De tweede kolom bevat de biedprijzen van de call optie % De derde kolom bevat de laatprijzen van de call optie % De vierde kolom bevat de biedprijzen van de put optie % De vijfde kolom bevat de laatprijzen van de put optie % T: de maturiteit (in jaren) % r: de risicoloze interest (op jaarbasis) % Nvandaag: Het aantal minuten dat er vandaag nog te gaan zijn % Nuitoefen: Het aantal minuten dat er op de uitoefendatum % verstrijken vooraleer de optie wordt uitgeoefend % (dit is standaard en dus hetzelfde voor de near% en next-term) % Output: VIX: de VIX van de index % Auteur: Joachim Hendrickx % Datum: 15 april 2013

21 22 23 24 25

l = size(Optie1); l1 = l(1); l = size(Optie2); l2 = l(1);

26 27 28 29 30 31 32

% Om de VIX te berekenen, hebben we een enkele prijs nodig voor elke optie, % we nemen dus het gemiddelde van de bied- en laatprijs. Call1 = (Optie1(:,2)+Optie1(:,3))/2; Put1 = (Optie1(:,4)+Optie1(:,5))/2; Call2 = (Optie2(:,2)+Optie2(:,3))/2; Put2 = (Optie2(:,4)+Optie2(:,5))/2;

33 34 35

% Nu bepalen we het forward level en K_0 [˜,i] = min(abs(Call1-Put1)); 73

74 36 37 38 39 40 41 42

BIJLAGE A. VIX

F1 = Optie1(i,1) + exp(r*T1)*(Call1(i)-Put1(i)); [˜,i1] = min((F1-Optie1(:,1)+abs(F1-Optie1(:,1)))/2); if Optie1(i1,1)<=F1 || i1==1 K01 = Optie1(i1,1); else K01 = Optie1(i1-1,1); end

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

[˜,i] = min(abs(Call2-Put2)); F2 = Optie2(i,1) + exp(r*T2)*(Call2(i)-Put2(i)); [˜,i2] = min((F2-Optie2(:,1)+abs(F2-Optie2(:,1)))/2); if Optie2(i2,1)<=F2 || i2==1 K02 = Optie2(i2,1); else K02 = Optie2(i2-1,1); end % Vervolgens selecteren we de gewenste opties en slagen hun prijs op in Q Q1 = [Optie1(:,1) zeros(l1,1)]; Q1(i1,2) = (Call1(i1)-Put1(i1))/2; a=0; b=0; for i = i1:l1 if Optie1(i-b,2)==0 if a==0 Q1(i-b,:)=[]; a=1; b=b+1; else Q1(i-b:l1-b,:)=[]; break end else Q1(i-b,2)=Call1(i); a=0; end end a=0; for i = i1:-1:1 if Optie1(i,4)==0 if a==0 Q1(i,:)=[]; a=1; else Q1(1:i,:)=[]; break end else Q1(i,2)=Put1(i); a=0; end

75 86

end

87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Q2 = [Optie2(:,1) zeros(l2,1)]; Q2(i2,2) = (Call2(i2)-Put1(i2))/2; a=0; b=0; for i = i2:l2 if Optie2(i-b,2)==0 if a==0 Q2(i-b,:)=[]; a=1; b=b+1; else Q2(i-b:l2-b,:)=[]; break end else Q2(i-b,2)=Call2(i); a=0; end end a=0; for i = i2:-1:1 if Optie2(i,4)==0 if a==0 Q2(i,:)=[]; a=1; else Q2(1:i,:)=[]; break end else Q2(i,2)=Put2(i); a=0; end end

122 123 124 125 126 127 128 129

% Nu berekenen we de afstanden tussen de uitoefenprijzen en dan hebben we % alle gegevens om de formule toe te passen. lQ1 = length(Q1); DeltaK1 = zeros(lQ1,1); DeltaK1(1) = Q1(2,1)-Q1(1,1); DeltaK1(lQ1) = Q1(lQ1,1)-Q1(lQ1-1,1); DeltaK1(2:lQ1-1) = (Q1(3:lQ1,1) - Q1(1:lQ1-2,1))/2;

130 131 132 133 134 135

lQ2 = length(Q2); DeltaK2= zeros(lQ2,1); DeltaK2(1) = Q2(2,1)-Q2(1,1); DeltaK2(lQ2) = Q2(lQ2,1)-Q2(lQ2-1,1); DeltaK2(2:lQ2-1) = (Q2(3:lQ2,1) - Q2(1:lQ2-2,1))/2;

76

BIJLAGE A. VIX

136 137 138 139 140 141

% En dan kunnen we nu effectief de VIX berekenen uit de formules op p33 som1 = sum(DeltaK1./Q1(:,1).ˆ2.*exp(r*T1).*Q1(:,2)); som2 = sum(DeltaK2./Q2(:,1).ˆ2.*exp(r*T2).*Q2(:,2)); sigma1kwadraat = 2/T1 * som1 - 1/T1*(F1/K01-1)ˆ2; sigma2kwadraat = 2/T2 * som2 - 1/T2*(F2/K02-1)ˆ2;

142 143 144 145 146

NT1 = 1440*T1*365 + Nvandaag + Nuitoefen; NT2 = 1440*T2*365 + Nvandaag + Nuitoefen; N30 = 43200; N365 = 525600;

147 148 149

g1 = (NT2-N30)/(NT2-NT1); g2 = (N30-NT1)/(NT2-NT1);

150 151 152

VIX = 100*sqrt((T1*sigma1kwadraat*g1+T2*sigma2kwadraat*g2)*N365/N30); end

Bijlage B

LIQ Voor de LIQ heb ik eerst twee andere programma’s gemaakt. ivol berekend de ge¨ımpliceerde volatiliteit voor een optie en iliq berekend de ge¨ımpliceerde liquiditeit voor een optie. Nu volgen eerste die twee programma’s. 1

function sigma=ivol(klasse,V,S,K,r,T,q,tol)

2 3 4 5 6 7 8 9 10

% % % % % % % %

klasse = 1 for call options and = 0 for put options C: call price (scalar or vector) S: Stock price (scalar or vector) K: Strike price (scalar or vector) r: Interest rate (scalar or vector) T: Maturity date (scalar or vector) [q]: Dividend yield (scalar or vector). Default=0; [tol]: Tolerance. Default=1e-6

11 12 13 14

function d=d1(S,K,r,sigma,T) d=(log(S./K)+(r+sigma.ˆ2*0.5).*(T))./(sigma.*sqrt(T)); end

15 16 17 18

function d=d2(S,K,r,sigma,T) d=(log(S./K)+(r-sigma.ˆ2*0.5).*(T))./(sigma.*sqrt(T)); end

19 20 21 22

function p=Phi(x) p=0.5*(1.+erf(x/sqrt(2))); end

23 24 25 26

function p=PhiPrime(x) p=exp(-0.5*x.ˆ2)/sqrt(2*pi); end

27 28 29 30 31 32 33

function c=call(S,K,r,sigma,T,q) if nargin>5 c=exp(-q.*(T)).*call(S,K,r-q,sigma,T); else c=S.*Phi(d1(S,K,r,sigma,T))-K.*exp(-r.*(T)).*Phi(d2(S,K,r,sigma,T) end 77

78 34

BIJLAGE B. LIQ end

35 36 37 38 39 40 41 42

function v=call_vega(S,K,r,sigma,T,q) if nargin>5 v=exp(-q.*(T)).*call_vega(S,K,r-q,sigma,T); else v=S.*PhiPrime(d1(S,K,r,sigma,T)).*sqrt(T); end end

43 44 45 46 47

if nargin<8 tol=1e-6; end

48 49 50 51

if nargin<7 || isempty(q) q=0; end

52 53 54 55 56 57

if klasse == 1 C = V; else C = exp((r-q)*T)*(S-K) + V; end

58 59 60

F=S*exp((r-q).*T); G=C.*exp(r.*T);

61 62 63

alpha=log(F./K)./sqrt(T); beta=0.5*sqrt(T);

64 65 66 67

a=beta.*(F+K); b=sqrt(2*pi)*(0.5*(F-K)-G); c=alpha.*(F-K);

68 69

disc=max(0,b.ˆ2-4*a.*c);

70 71

sigma0=(-b+sqrt(disc))./(2*a);

72 73

sigma=NewtonMethod(sigma0);

74 75

function s1=NewtonMethod(s0)

76 77 78 79 80

s1=s0; count=0; f=@(x) call(S,K,r,x,T,q)-C; fprime=@(x) call_vega(S,K,r,x,T,q);

81 82 83

max_count=1e3;

79 while max(abs(f(s1)))>tol && count<max_count count=count+1;

84 85 86

s0=s1; s1=s0-f(s0)./fprime(s0);

87 88

end

89 90

if max(abs(f(s1)))>tol disp(’Newton method did not converge’) end

91 92 93

end

94 95

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

end

function impliq = iliq( bied , laat , S0 , K , T , r , klasse) % Deze functie berekent de geimpliceerde liquiditeit voor een gegeven optie % Input: bied: de biedprijs van de optie % laat: de laatprijs van de optie % S0: de prijs van de onderliggende % K: de uitoefenprijs van de optie % T: maturiteit van de optie (in jaren) % r: de risicoloze interest (per jaar) % klasse: true voor een call optie % false voor een put optie % Output: iliq: de geimpliceerde liquiditeit van de optie (nauwkeurig % tot op 0.00001) % Dit is Inf als het programma niet heeft gewerkt doordat % de geimpliceerde volatiliteit niet eindig was. % Auteur: Joachim Hendrickx % Datum: 19 april 2013

17 18 19 20 21 22 23

function y = Int(x, lambda, S0, T, r, sigma, klasse, soort) % Berekent de functie die moet geintegreerd worden om de bied- en % laatprijzen te bekomen voor een bepaalde lambda % De parameters zijn hetzelfde als in impliq.m % en soort = 1 als het om een biedprijs gaat en 0 als het om een % laatprijs gaat.

24 25 26 27

% We berekenen eerst F_S(x) a = -(log(S0./(x)) + (r-sigmaˆ2/2)*T)/(sigma*sqrt(T)); F = normcdf(a);

28 29 30 31

% Daarna berekenen we PSI_lambda(F_S(x)) en PSI_lambda(1 - F_S(x)) P = 1 - (1 - F.ˆ(1/(lambda+1))).ˆ(lambda+1); P2 = 1 - (1 - (1-F).ˆ(1/(lambda+1))).ˆ(lambda+1);

32 33 34 35 36 37

if klasse == 1 if soort == 1 y = 1 - P; else y = P2;

80

BIJLAGE B. LIQ end else if soort == 1 y = 1 - P2; else y = P; end end

38 39 40 41 42 43 44 45 46

end

47 48 49 50

% We berekenen eerst de geimpliceerde volatiliteit. V = (bied + laat)/2; s = ivol( klasse , V , S0 , K , r , T );

51 52 53 54 55 56 57 58 59

% De geimpliceerde volatiliteit moet eindig zijn, anders kan de % geimpliceerde liquiditeit niet berekend worden. Het programma kan hier % dan al stopgezet worden. We stellen iliq dan gelijk aan Inf zodat we % kunnen achterhalen dat het programma niet heeft gewerkt. if s == Inf || s == -Inf impliq = Inf; return end

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

% Nu gaan we alle lambda’s af vanaf 0 totdat de gevonden biedprijs voor % die liquiditieit lager is dan de biedprijs. Dit kan omdat voor % stijgende lambda de biedprijs daalt. Daarna is de geimpliceerde % liquiditeit de lambda die het verschil minimaliseert (dit is sowieso 1 % van de laatste 2). lambda = 0; for i = 1:5 b = bied + 1; while b > bied b2 = b; if klasse == 1 b=exp(-r*T)*quadgk(@(x)Int(x,lambda,S0,T,r,s,klasse,1),K,Inf); else b=exp(-r*T)*quadgk(@(x)Int(x,lambda,S0,T,r,s,klasse,1),0,K); end lambda = lambda + 0.1î; % De geimpliceerde liquiditeit is nauwkeurig op (0.1)î end lambda = lambda - 0.1î - 9*0.1ˆ(i+1); % Als quadgk NaN of Inf uitkomt, kan het zijn dat lambda<0 wordt, % maar dan stellen we het gelijk aan 0 if lambda < 0 lambda = 0; end end

86 87

v = bied - b;

81 88 89 90 91 92 93

v2 = b2 - bied; if v < v2 impliq = lambda - 0.00001; else impliq = lambda - 0.00002; end

94 95 96 97 98 99 100 101

% Als quadgk NaN of Inf uitkomt, kan het zijn dat impliq<0 wordt, maar dan % stellen we het gelijk aan 0 if impliq < 0 impliq = 0; end end Nu volgt nog de code voor het berekenen van de LIQ.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

function LIQ = LIQ(Optie1, Optie2, S0, T1, T2, r, Nvandaag, Nuitoefen) % Deze functie berekent de LIQ voor een gegeven index, een maat voor de % liquiditeit van de index. % Input: Optie1: bevat near-term optieprijzen % Optie2: bevat next-term optieprijzen % Deze 2 matrices zijn 3-dimensionaal % Optie1(:,:,1) en Optie2(:,:,1) zijn de optieprijzen van % de index % Optie1(:,:,i) en Optie2(:,:,i) met i>1, bevat de % optieprijzen voor het (i-1)-de aandeel van de index. % De eerste kolom bevat de uitoefenprijzen waarin wordt % verhandeld van klein naar groot (na de grootste komen % er 0-en, om aan te geven dat dit de grootste % uitoefenprijs was) % De tweede kolom bevat de biedprijzen van de call optie % De derde kolom bevat de laatprijzen van de call optie % De vierde kolom bevat de biedprijzen van de put optie % De vijfde kolom bevat de laatprijzen van de put optie % S0: array met de prijs van de onderliggenden % S0(1) de index en vanaf dan de aandelen waaruit de % index is opgebouwd. % T1: maturiteit van de near-term opties (in jaren) % T2: maturiteit van de next-term opties (in jaren) % r: de risicoloze interest (op jaarbasis) % Nvandaag: Het aantal minuten dat er vandaag nog te gaan zijn % Nuitoefen: Het aantal minuten dat er op de uitoefendatum % verstrijken vooraleer de optie wordt uitgeoefend % (dit is standaard en dus hetzelfde voor de near% en next-term) % Output: LIQ: de LIQ van de index % Auteur: Joachim Hendrickx % Datum: 23 april 2013

33 34

n1 = size(Optie1);

82 35

BIJLAGE B. LIQ

n2 = size(Optie2);

36 37 38 39 40 41 42 43 44

% We berekenen eerst LIQindex en LIQi voor alle bedrijven van de index. % Dit doen we door de lambda1 voor de near-term en de lambda2 voor de % next-term te berekenen en dan bekomen we LIQindex en LIQi door de % formules op pagina 50. liq = zeros(n1(3),1); NT1 = 1440*T1*365 + Nvandaag + Nuitoefen; NT2 = 1440*T2*365 + Nvandaag + Nuitoefen; N30 = 43200;

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

g1 = (NT2-N30)/(NT2-NT1); g2 = (N30-NT1)/(NT2-NT1); for i = 1:n1(3) k1 = 0; l1 = 0; k2 = 0; l2 = 0; for j = 1:n1(1) if Optie1(j,1,i) == 0 break else K = Optie1(j,1,i); if Optie1(j,2,i) ˜= 0 l = iliq(Optie1(j,2,i),Optie1(j,3,i),S0(i),K ,T1,r,1); if l ˜= Inf l1 = l1 +l; k1 = k1 + 1; end end if Optie1(j,4,i) ˜= 0 l = iliq(Optie1(j,4,i),Optie1(j,5,i),S0(i),K,T1,r,0); if l ˜= Inf l1 = l1 +l; k1 = k1 + 1; end end end end for j = 1:n2(1) if Optie2(j,1,i) == 0 break else K = Optie2(j,1,i); if Optie2(j,2,i) ˜= 0 l = iliq(Optie2(j,2,i),Optie2(j,3,i),S0(i),K,T2,r,1); if l ˜= Inf l2 = l2 +l; k2 = k2 + 1; end

83 end if Optie2(j,4,i) ˜= 0 l = iliq(Optie2(j,4,i),Optie2(j,5,i),S0(i),K,T2,r,0); if l ˜= Inf l2 = l2 +l; k2 = k2 + 1; end end

85 86 87 88 89 90 91 92

end

93

end lambda1 = l1/k1; lambda2 = l2/k2; liq(i) = g1*lambda1 + g2*lambda2;

94 95 96 97 98

end

99 100 101 102

%Nu is LIQ het gewogen gemiddelde van de afzonderlijke liq’s. LIQ = (liq(1) + sum(liq(2:n1(3)))/(n1(3)-1))/2; end

84

BIJLAGE B. LIQ

Bijlage C

CIX Hier volgt de code voor de CIX. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

function CIX = CIX(Optie1,Optie2,w,T1,T2,r,Nvandaag,Nuitoefen,S0,vix) % Deze functie berekent de CIX voor een gegeven index, een maat voor de % comonotoniciteit van de aandelen in de index. % Input: Optie1: bevat near-term optieprijzen % Optie2: bevat next-term optieprijzen % Deze 2 matrices zijn 3-dimensionaal % Optie1(:,:,1) en Optie2(:,:,1) zijn de optieprijzen van de % index % Optie1(:,:,i) en Optie2(:,:,i) met i>1, bevat de % optieprijzen voor het (i-1)-de aandeel van de index, % als er opties beschikbaar zijn. % De eerste kolom bevat de uitoefenprijzen waarin wordt % verhandeld van klein naar groot (na de grootste komen % er 0-en, om aan te geven dat dit de grootste % uitoefenprijs was) % De tweede kolom bevat de biedprijzen van de call optie % De derde kolom bevat de laatprijzen van de call optie % De vierde kolom bevat de biedprijzen van de put optie % De vijfde kolom bevat de laatprijzen van de put optie % w: bevat de gewichten van de aandelen in de index (eerste die % van de aandelen waarvoor opties beschikbaar zijn en dan % van de aandelen waarvoor er geen beschikbaar zijn). % T1: maturiteit van de near-term opties (in jaren) % T2: maturiteit van de next-term opties (in jaren) % r: de risicoloze interest (op jaarbasis) % Nvandaag: Het aantal minuten dat er vandaag nog te gaan zijn % Nuitoefen: Het aantal minuten dat er op de uitoefendatum % verstrijken vooraleer de optie wordt uitgeoefend % (dit is standaard en dus hetzelfde voor de near% en next-term) % S0: Bevat de aandeelprijzen voor de aandelen waarvoor er geen % opties beschikbaar zijn. % VIX (optioneel): De VIX van de index, als deze niet wordt % toegevoegd, wordt de functie VIX % opgeroepen om hem te berekenen. 85

86 36 37 38

BIJLAGE C. CIX

% Output: CIX: de CIX van de index % Auteur: Joachim Hendrickx % Datum: 30 april 2013

39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

p = 1; q = 1; while Optie1(p+1,:,1) ˜= 0 p = p+1; end while Optie1(q+1,:,1) ˜= 0 q = q+1; end if nargin < 10 vix = VIX(Optie1(1:p,:,1),Optie2(1:q,:,1),T1,T2,r,Nvandaag,Nuitoefen); end n1 = size(Optie1); n2 = size(Optie2);

53 54 55 56 57 58 59 60 61

% Om de CIX te berekenen, hebben we een enkele prijs nodig voor elke % optie, we nemen dus het gemiddelde van de bied- en laatprijs. Optie1(:,2,:) = (Optie1(:,2,:) + Optie1(:,3,:))/2; Optie1(:,3,:) = (Optie1(:,4,:) + Optie1(:,5,:))/2; Optie2(:,2,:) = (Optie2(:,2,:) + Optie2(:,3,:))/2; Optie2(:,3,:) = (Optie2(:,4,:) + Optie2(:,5,:))/2; Optie1(:,4:5,:) = []; Optie2(:,4:5,:) = [];

62 63 64

O1 = [zeros(1,3,n1(3)-1); Optie1(:,:,2:n1(3)); zeros(1,3,n1(3)-1)]; O2 = [zeros(1,3,n2(3)-1); Optie2(:,:,2:n2(3)); zeros(1,3,n2(3)-1)];

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

% We berekenen nu eerst het maximum dat we nodig hebben om de K_{i,m_i+1} % te berekenen. Hierbij laten we de opties weg als er 2 opeenvolgende % dezelfde prijs hebben, anders wordt het maximum oneindig. M = zeros(n1(3)-1,1); for i = 1:n1(3)-1 j = 2; while O1(j+1,1,i) ˜= 0 && O1(j+1,2,i) ˜= O1(j,2,i) j = j+1; end M(i) = O1(j,1,i) - O1(j-1,1,i); M(i) = M(i)/(O1(j-1,2,i) - O1(j,2,i)); end m1 = 10*max(M); for i = 1:n2(3)-1 j = 2; while O2(j+1,1,i) ˜= 0 && O2(j+1,2,i) ˜= O2(j,2,i) j = j+1; end M(i) = O2(j,1,i) - O2(j-1,1,i); M(i) = M(i)/(O2(j-1,2,i) - O2(j,2,i));

87 86 87

end m2 = 10*max(M);

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135

% We maken nu matrices die de stuksgewijs constante verdelingsfuncties FSi % karakteriseren. % De eerste kolom zijn terug de uitoefenprijzen. % De tweede kolom is de waarde van de verdelingsfunctie vanaf die % uitoefenprijs tot de volgende voor de call optie. % De derde kolom is de waarde van de verdelingsfunctie vanaf die % uitoefenprijs tot de volgende voor de put optie. F1Si = zeros(n1(1)+2,3,n1(3)-1); for i = 1:n1(3)-1 % We berekenen eerst K_{i,m_i+1}. Ondertussen vullen we ineens F1Si aan % tussen K_{i,1} en K_{i,m_i}. j = 2; while O1(j+1,1,i) ˜= 0 F1Si(j,2,i) = exp(r*T1)*(O1(j+1,2,i)-O1(j,2,i)); F1Si(j,2,i) = F1Si(j,2,i)/(O1(j+1,1,i)-O1(j,1,i)); F1Si(j,2,i) = 1 + F1Si(j,2,i); F1Si(j,3,i) = exp(r*T1)*(O1(j+1,3,i)-O1(j,3,i)); F1Si(j,3,i) = F1Si(j,3,i)/(O1(j+1,1,i)-O1(j,1,i)); j = j+1; end O1(j+1,1,i) = O1(j,1,i) + O1(j,2,i) * m1 + 10; F1Si(:,1,i) = O1(:,1,i); % Vervolgens zoeken we Ki* om daarna E[Si] te berekenen. [˜,I] = min(abs(O1(2:j,2,i)-O1(2:j,3,i))); E = exp(r*T1)*(O1(I+1,2,i)-O1(I+1,3,i)) + O1(I+1,1,i); O1(1,2,i) = exp(-r*T1) * E; F1Si(1,2,i)= 1+(exp(r*T1)*(O1(2,2,i)-O1(1,2,i))) / (O1(2,1,i)); F1Si(1,3,i)= exp(r*T1)*O1(2,3,i)/ (O1(2,1,i)); O1(j+1,3,i) = exp(-r*T1) * (F1Si(j+1,1,i)-E); F1Si(j,2,i) = 1-(exp(r*T1)*O1(j,2,i)) / (F1Si(j+1,1,i)-O1(j,1,i)); F1Si(j,3,i)=exp(r*T1)*(O1(j+1,3,i)-O1(j,3,i))/(F1Si(j+1,1,i)-O1(j,1,i)); F1Si(j+1,2,i) = 1; F1Si(j+1,3,i) = 1; % We zorgen er nog voor dat de verdelingsfunctie stijgend is for a = j:-1:1 F1Si(a,2,i) = min(F1Si(a+1,2,i),F1Si(a,2,i)); F1Si(a,3,i) = min(F1Si(a+1,3,i),F1Si(a,3,i)); end end % Nu volgen dezelfde berekeningen voor de next-term opties. F2Si = zeros(n2(1)+2,3,n2(3)-1); for i = 1:n2(3)-1 j = 2; while O2(j+1,1,i) ˜= 0 F2Si(j,2,i) = exp(r*T2)*(O2(j+1,2,i)-O2(j,2,i)); F2Si(j,2,i) = F2Si(j,2,i)/(O2(j+1,1,i)-O2(j,1,i)); F2Si(j,2,i) = 1 + F2Si(j,2,i);

88

F2Si(j,3,i) = exp(r*T2)*(O2(j+1,3,i)-O2(j,3,i)); F2Si(j,3,i) = F2Si(j,3,i)/(O2(j+1,1,i)-O2(j,1,i)); j = j+1;

136 137 138

end O2(j+1,1,i) = O2(j,1,i) + O2(j,2,i) * m2 + 10; F2Si(:,1,i) = O2(:,1,i); [˜,I] = min(abs(O2(2:j,2,i)-O2(2:j,3,i))); E = exp(r*T2)*(O2(I+1,2,i)-O2(I+1,3,i)) + O2(I+1,1,i); O2(1,2,i) = exp(-r*T2) * E; F2Si(1,2,i)= 1+(exp(r*T2)*(O2(2,2,i)-O2(1,2,i))) / (O2(2,1,i)); F2Si(1,3,i)= exp(r*T2)*O2(2,3,i)/ (O2(2,1,i)); O2(j+1,3,i) = exp(-r*T2) * (F2Si(j+1,1,i)-E); F2Si(j,2,i) = 1-(exp(r*T2)*O2(j,2,i)) / (F2Si(j+1,1,i)-O2(j,1,i)); F2Si(j,3,i)=exp(r*T2)*(O2(j+1,3,i)-O2(j,3,i))/(F2Si(j+1,1,i)-O2(j,1,i)); F2Si(j+1,2,i) = 1; F2Si(j+1,3,i) = 1; for a = j:-1:1 F2Si(a,2,i) = min(F2Si(a+1,2,i),F2Si(a,2,i)); F2Si(a,3,i) = min(F2Si(a+1,3,i),F2Si(a,3,i)); end

139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

BIJLAGE C. CIX

end

157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185

% Nu maken we een matrix met de verdelingsfunctie van FSc. % We sorteren de waarden voor de verdelingsfuncties van FSi en zoeken de % bijhorende uitoefenprijzen aan de hand van de gewogen som. F = reshape(F1Si(:,2,:),[(n1(1)+2)*(n1(3)-1) 1]); F1ScCALL(:,2) = unique(F); s = size(F1ScCALL); K = 0; % K onthoudt wat de uitoefenprijs is, en telt er telkens bij op wat er % bij moet komen. I = ones(n1(3)-1,1); % I onthoudt welke waarden al gepasseerd zijn. for i = 1:s(1) for j = 1:n1(3)-1 while F1Si(I(j),2,j) == F1ScCALL(i,2) if I(j) ˜= 1 K = K + w(j)*(F1Si(I(j),1,j)-F1Si(I(j)-1,1,j)); end if I(j) == n2(1) break else I(j) = I(j) + 1; end end end F1ScCALL(i,1) = K; end % Hiervoor is de berekening gedaan voor de near-term call optie, nu volgt % ze voor de near-term put opties

89 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235

F = reshape(F1Si(:,3,:),[(n1(1)+2)*(n1(3)-1) 1]); F1ScPUT(:,2) = unique(F); s = size(F1ScPUT); K = 0; I = ones(n1(3)-1,1); for i = 1:s(1) for j = 1:n1(3)-1 while F1Si(I(j),3,j) == F1ScPUT(i,2) if I(j) ˜= 1 K = K + w(j)*(F1Si(I(j),1,j)-F1Si(I(j)-1,1,j)); end if I(j) == n1(1) break else I(j) = I(j) + 1; end end end F1ScPUT(i,1) = K; end % De berekening voor de next-term call opties F = reshape(F2Si(:,2,:),[(n2(1)+2)*(n2(3)-1) 1]); F2ScCALL(:,2) = unique(F); s = size(F2ScCALL); K = 0; I = ones(n2(3)-1,1); for i = 1:s(1) for j = 1:n2(3)-1 while F2Si(I(j),2,j) == F2ScCALL(i,2) if I(j) ˜= 1 K = K + w(j)*(F2Si(I(j),1,j)-F2Si(I(j)-1,1,j)); end if I(j) == n2(1) break else I(j) = I(j) + 1; end end end F2ScCALL(i,1) = K; end % De berekening voor de next-term put opties F = reshape(F2Si(:,3,:),[(n2(1)+2)*(n2(3)-1) 1]); F2ScPUT(:,2) = unique(F); s = size(F2ScPUT); K = 0; I = ones(n2(3)-1,1); for i = 1:s(1) for j = 1:n2(3)-1 while F2Si(I(j),3,j) == F2ScPUT(i,2)

90

BIJLAGE C. CIX if I(j) ˜= 1 K = K + w(j)*(F2Si(I(j),1,j)-F2Si(I(j)-1,1,j)); end if I(j) == n2(1) break else I(j) = I(j) + 1; end

236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285

end end F2ScPUT(i,1) = K; end % Nu maken we 2 matrices Optie1COM en Optie2COM, die de waarden bevatten % voor opties op de comonotone index met dezelfde uitoefenprijzen als die % van de gewone index. Optie1COM = Optie1(:,:,1); Optie2COM = Optie2(:,:,1); J = zeros(n1(3)-1,5); for i = 1:n1(1) if Optie1COM(i,1) == 0 Optie1COM(i:n1(1),:) = []; break end l = 1; while F1ScCALL(l+1,1)<=Optie1COM(i,1) l = l+1; end for k = 1:n1(3)-1 j = 1; while F1Si(j,2,k) < F1ScCALL(l,2) j = j+1; end j = j-1; J(k,1) = O1(j,1,k); J(k,2) = O1(j,2,k); if F1Si(j+1,2,k) == F1ScCALL(l,2) J(k,3) = 0; else J(k,3) = 1; end J(k,4) = O1(j+1,1,k); J(k,5) = O1(j+1,2,k); % J bevat nu op de eerste kolom de uitoefenprijs van elk aandeel % in de index horend bij K (K_{i,j_i}). Op de tweede kolom staat % de prijs van de call optie met die uitoefenprijs en op de derde % kolom een logical, die aangeeft of i \in N_K. % In de vierde en vijfde kolom staat de volgende uitoefenprijs met % bijhorende call optieprijs. end a = Optie1COM(i,1)-(w(1:n1(3)-1)’*J(:,1));

91 a = a / (((1-J(:,3)).*w(1:n1(3)-1))’*(J(:,4)-J(:,1))); a = 1 - a; Optie1COM(i,2)=((1-J(:,3)).*w(1:n1(3)-1))’*(a*J(:,2)+(1-a)*J(:,5)); Optie1COM(i,2) = Optie1COM(i,2) + (J(:,3).*w(1:n1(3)-1))’*J(:,2); if nargin>8 && ˜(isempty(S0)) s0 = length(S0); Optie1COM(i,2) = Optie1COM(i,2) + w(n1(3):n1(3)+s0-1)’*S0; end

286 287 288 289 290 291 292 293 294

% Nu doen we hetzelfde voor de put optie l = 1; while F1ScPUT(l+1,1)<=Optie1COM(i,1) l = l+1; end for k = 1:n1(3)-1 j = 1; while F1Si(j,3,k) < F1ScPUT(l,2) j = j+1; end j = j-1; J(k,1) = O1(j,1,k); J(k,2) = O1(j,3,k); if F1Si(j+1,3,k) == F1ScPUT(l,2) J(k,3) = 0; else J(k,3) = 1; end J(k,4) = O1(j+1,1,k); J(k,5) = O1(j+1,3,k); % J bevat nu op de eerste kolom de uitoefenprijs van elk aandeel % in de index horend bij K (K_{i,j_i}). Op de tweede kolom staat % de prijs van de call optie met die uitoefenprijs en op de derde % kolom een logical, die aangeeft of i \in N_K. % In de vierde en vijfde kolom staat de volgende uitoefenprijs met % bijhorende call optieprijs. end a = Optie1COM(i,1)-(w(1:n1(3)-1)’*J(:,1)); a = a / ((1-(J(:,3)).*w(1:n1(3)-1))’*(J(:,4)-J(:,1))); a = 1 - a; Optie1COM(i,3)=((1-J(:,3)).*w(1:n1(3)-1))’*(a*J(:,2)+(1-a)*J(:,5)); Optie1COM(i,3) = Optie1COM(i,3) + (J(:,3).*w(1:n1(3)-1))’*J(:,2);

295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327

end

328 329 330 331 332 333 334 335

% En dan volgt het nog eens analoog voor Optie2COM. J = zeros(n2(3)-1,5); for i = 1:n2(1) if Optie2COM(i,1) == 0 Optie2COM(i:n2(1),:) = []; break end

92 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363

BIJLAGE C. CIX l = 1; while F2ScCALL(l+1,1)<=Optie2COM(i,1) l = l+1; end for k = 1:n2(3)-1 j = 1; while F2Si(j,2,k) < F2ScCALL(l,2) j = j+1; end j = j-1; J(k,1) = O2(j,1,k); J(k,2) = O2(j,2,k); if F2Si(j+1,2,k) == F2ScCALL(l,2) J(k,3) = 0; else J(k,3) = 1; end J(k,4) = O2(j+1,1,k); J(k,5) = O2(j+1,2,k); end a = Optie2COM(i,1)-(w(1:n1(3)-1)’*J(:,1)); a = a / (((1-J(:,3)).*w(1:n1(3)-1))’*(J(:,4)-J(:,1))); a = 1 - a; Optie2COM(i,2)=((1-J(:,3)).*w(1:n1(3)-1))’*(a*J(:,2)+(1-a)*J(:,5)); Optie2COM(i,2) = Optie2COM(i,2) + (J(:,3).*w(1:n1(3)-1))’*J(:,2); if nargin>8 && ˜(isempty(S0)) Optie2COM(i,2) = Optie2COM(i,2) + w(n1(3):n1(3)+s0-1)’*S0; end

364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385

l = 1; while F2ScPUT(l+1,1)<=Optie2COM(i,1) l = l+1; end for k = 1:n2(3)-1 j = 1; while F2Si(j,3,k) < F2ScPUT(l,2) j = j+1; end j = j-1; J(k,1) = O2(j,1,k); J(k,2) = O2(j,3,k); if F2Si(j+1,3,k) == F2ScPUT(l,2) J(k,3) = 0; else J(k,3) = 1; end J(k,4) = O2(j+1,1,k); J(k,5) = O2(j+1,3,k); end a = Optie2COM(i,1)-(w(1:n2(3)-1)’*J(:,1));

93 a = a / ((1-(J(:,3)).*w(1:n2(3)-1))’*(J(:,4)-J(:,1))); a = 1 - a; Optie2COM(i,3)=((1-J(:,3)).*w(1:n2(3)-1))’*(a*J(:,2)+(1-a)*J(:,5)); Optie2COM(i,3) = Optie2COM(i,3) + (J(:,3).*w(1:n2(3)-1))’*J(:,2);

386 387 388 389 390

end

391 392 393 394 395 396 397 398

Optie1COM(:,4:5) = [Optie1COM(:,3) Optie1COM(:,3)]; Optie1COM(:,3) = Optie1COM(:,2); Optie2COM(:,4:5) = [Optie2COM(:,3) Optie2COM(:,3)]; Optie2COM(:,3) = Optie2COM(:,2); vixCOM = VIX( Optie1COM , Optie2COM , T1 , T2 , r , Nvandaag , Nuitoefen); CIX = vix/vixCOM; end

94

BIJLAGE C. CIX

Bijlage D

FIX Tot slot volgen hier nog de codes voor de Fear Index. De eerste code is voor de FIX zoals in artikel [14]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

function FIX = FIX( OPT1 , OPT2 , w , S0 , T1 , T2 , r , Nvand , Nuit ) % Deze functie berekent de FIX voor een gegeven index, een maat voor het % angstniveau in die markt % Input: OPT1: bevat near-term optieprijzen % OPT2: bevat next-term optieprijzen % Deze 2 matrices zijn 4-dimensionaal, waarbij de vierde % dimensie de tijd is, dus elke OPT1(:,:,:,i) en % OPT2(:,:,:,i) bevat gegevens voor dag i % OPT1(:,:,1) en OPT2(:,:,1) zijn de optieprijzen % van de index. % OPT1(:,:,i) en OPT2(:,:,i) met i>1, bevat de % optieprijzen voor het (i-1)-de aandeel van de % index. % De eerste kolom bevat de uitoefenprijzen waarin wordt % verhandeld van klein naar groot (na de grootste % komen er 0-en, om aan te geven dat dit de grootste % uitoefenprijs was) % De tweede kolom bevat de biedprijzen van de call optie % De derde kolom bevat de laatprijzen van de call optie % De vierde kolom bevat de biedprijzen van de put optie % De vijfde kolom bevat de laatprijzen van de put optie % S0: Matrix met op op elke kolom de indexprijs en de prijzen % voor de onderliggende aandelen voor een bepaalde dag % (S0(1,1) bevat de indexprijs op dag 1, S0(i,1) bevat % de prijs van het (i-1)-de aandeel op dag 1, S0(1,2) % bevat de indexprijs op dag 2, S0(i,2) bevat de prijs % van het (i-1)-de aandeel op dag 2, ...) % w: bevat de gewichten van de aandelen in de index. % Deze moeten constant blijven in de tijd! % T1: array met de bijhorende maturiteiten van de near-term % opties voor elke dag (in jaren). % T2: array met de bijhorende maturiteiten van de next-term % opties voor elke dag (in jaren). % r: array met de risicoloze interest (op jaarbasis) voor 95

96 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

BIJLAGE D. FIX

% elke dag. % Nvand: Het aantal minuten dat er vandaag nog te gaan zijn % (zorg ervoor dat je data telkens op hetzelfde uur % genomen worden) % Nuit: Het aantal minuten dat er op de uitoefendatum % verstrijken vooraleer de optie wordt uitgeoefend % (dit is standaard en dus hetzelfde voor de near% en next-term) % Output: FIX: de FIX van de index % Auteur: Joachim Hendrickx % Datum: 30 april 2013

46 47 48 49 50

n v l c

= = = =

size(OPT1); zeros(n(4),1); zeros(n(4),1); zeros(n(4),1);

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

for i = 1:n(4) s0 = length(S0(:,i)); if s0 ˜= n(3) k = s0 - n(3); S = S0(s0-k+1:s0,i); else S = []; end v(i)=VIX(OPT1(:,:,1,i),OPT2(:,:,1,i),T1(i),T2(i),r(i),Nvand,Nuit); l(i)=LIQ(OPT1(:,:,:,i),OPT2(:,:,:,i),S0(:,i),T1(i),T2(i),r(i),Nvand,Nuit); c(i)=CIX(OPT1(:,:,:,i),OPT2(:,:,:,i),w, T1(i),T2(i),r(i),Nvand,Nuit,S,v(i)); end w1 = 100/3/mean(v); w2 = 100/3/mean(l); w3 = 100/3/mean(c);

67 68 69

FIX = w1*v(n(4)) + w2*l(n(4)) + w3*c(n(4)); end De volgende code is dan voor de andere index die ik zelf gemaakt heb, omdat ik weinig gegevens ter beschikking had. Ik heb hem om het simpel te houden FIX2 genoemd.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

function F = FIX2(OPT1 , OPT2 , w , S0 , T1 , T2 , r , Nvand , Nuit) % Deze functie berekent de FIX voor een gegeven index op datum 2 ten % opzichte van een referentiedatum 1. Dit is een vereenvoudiging van de % functie FIX voor als er weinig data beschikbaar zijn. % Input: OPT1: bevat near-term optieprijzen % OPT2: bevat next-term optieprijzen % Deze 2 matrices zijn 4-dimensionaal, waarbij de vierde % dimensie de tijd is, dus elke OPT1(:,:,:,1) en % OPT2(:,:,:,1) bevatten gegevens voor de referentiedag, en % OPT1(:,:,:,2) en OPT2(:,:,:,2) bevatten gegevens voor de % dag waarop we de FIX willen kennen

97 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

% OPT1(:,:,1) en OPT2(:,:,1) zijn de optieprijzen % van de index. % OPT1(:,:,i) en OPT2(:,:,i) met i>1, bevat de % optieprijzen voor het (i-1)-de aandeel van de % index. % De eerste kolom bevat de uitoefenprijzen waarin wordt % verhandeld van klein naar groot (na de grootste % komen er 0-en, om aan te geven dat dit de grootste % uitoefenprijs was) % De tweede kolom bevat de biedprijzen van de call optie % De derde kolom bevat de laatprijzen van de call optie % De vierde kolom bevat de biedprijzen van de put optie % De vijfde kolom bevat de laatprijzen van de put optie % S0: Matrix met op op elke kolom de indexprijs en de prijzen % voor de onderliggende aandelen voor een bepaalde dag % (S0(1,1) bevat de indexprijs op dag 1, S0(i,1) bevat % de prijs van het (i-1)-de aandeel op dag 1, S0(1,2) % bevat de indexprijs op dag 2, S0(i,2) bevat de prijs % van het (i-1)-de aandeel op dag 2) % w: bevat de gewichten van de aandelen in de index. % Deze moeten constant blijven in de tijd! % T1: array met de bijhorende maturiteiten van de near-term % opties voor de twee dagen (in jaren). % T2: array met de bijhorende maturiteiten van de next-term % opties voor de twee dagen (in jaren). % r: array met de risicoloze interest (op jaarbasis) voor % de twee dagen. % Nvand: Het aantal minuten dat er vandaag nog te gaan zijn % (zorg ervoor dat je data telkens op hetzelfde uur % genomen worden) % Nuit: Het aantal minuten dat er op de uitoefendatum % verstrijken vooraleer de optie wordt uitgeoefend % (dit is standaard en dus hetzelfde voor de near% en next-term) % Output: F: de FIX2 van de index, een vereenvoudiging van de FIX. % Auteur: Joachim Hendrickx % Datum: 15 mei 2013

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

% We berekenen eerst de 3 indexen voor de referentiedatum om zo de % gewichten te berekenen. n = size(OPT1); s0 = length(S0(:,1)); if s0 ˜= n(3) k = s0 - n(3); S = S0(s0-k+1:s0,1); else S = []; end v1=VIX(OPT1(:,:,1,1),OPT2(:,:,1,1),T1(1),T2(1),r(1),Nvand,Nuit); l1=LIQ(OPT1(:,:,:,1),OPT2(:,:,:,1),S0(:,1),T1(1),T2(1),r(1),Nvand,Nuit);

98 62 63 64 65

BIJLAGE D. FIX

c1=CIX(OPT1(:,:,:,1),OPT2(:,:,:,1),w, T1(1),T2(1),r(1),Nvand,Nuit,S,v1); w1 = 100/3/v1; w2 = 100/3/l1; w3 = 100/3/c1;

66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

% Nu we de gewichten hebben, berekenen we de indexen voor de gewenste datum % en vermenigvuldigen dit met de gewichten. if s0 ˜= n(3) k = s0 - n(3); S = S0(s0-k+1:s0,1); else S = []; end v2=VIX(OPT1(:,:,1,2),OPT2(:,:,1,2),T1(2),T2(2),r(2),Nvand,Nuit); l2=LIQ(OPT1(:,:,:,2),OPT2(:,:,:,2),S0(:,2),T1(2),T2(2),r(2),Nvand,Nuit); c2=CIX(OPT1(:,:,:,2),OPT2(:,:,:,2),w, T1(2),T2(2),r(2),Nvand,Nuit,S,v2);

78 79

F = w1*v2 + w2*l2 + w3*c2;

80 81

end

Bibliografie [1] Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M., Heath, D.(1999), Coherent measures of risk, Mathematical Finance 9(3), 203-228. [2] Beursduivel (2013), Beleggen, BEL20, http://www.beursduivel.be/aandeel-Bel_20. opties?all=true (op 14 mei 2013, 15 mei 2013 en 22 mei 2013) [3] Carr, P., Wu, L. (2004), Variance Risk Premia, http://www.afajof.org/pdfs/ 2005program/UPDF/P219_Asset_Pricing.pdf (op 2 november 2012) [4] Carr, P., Wu, L. (2006), A Tale of Two indices, Journal of Derivatives: Spring 2006, 13-29. [5] Chen, X., Deelstra, G., Dhaene, J., Vanmaele, M. (2008), Static Super-Replicating Strategies for a Class of Exotic Options, Insurance: Mathematics and Economics 42, 1067-1085. [6] Cherny, A. (2006), Weighted VAR and its properties, Finance and Stochastics 10, 367-393. [7] Cherny, A., Madan, D. B. (2009), New measures of performance evaluation, Review of Financial Studies 22, 2571-2606. [8] Cherny, A., Madan, D. B. (2009), Markets as a Counterparty: An Introduction to Conic Finance, International Journal of Theoretical and Applied Finance 13, 1149-1177. [9] Corcuera, J. M., Guillaume, F., Madan, D. B. and Schoutens, W.(2010) Implied Liquidity: Towards stochastic liquidity modeling and liquidity trading, Eurandom report. [10] Chicago Board Options Exchange, Inc. (2009) The CBOE volatility index - VIX, white paper. [11] Delbaen, F. (2002), Coherent Risk Measures on General Probability Spaces, in K. Sandmann and P. Schonbucher (eds.), Advances in Finance and Stochastics: Essays in Honor of Dieter Sondermann, Springer, Berlin, 1-37. [12] Derman, E.), Laughter in the Dark: An Introduction to the Volatility Smile, http://www. ederman.com/new/docs/laughter.html (op 28 mei 2013). [13] Dhaene, J., Denuit, M., Goovaerts, M.J., Kaas, R. and Vyncke, D. (2002), The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: theory, Insurance: Mathematics and Economics 31, 3-33. [14] Dhaene, J., Dony, J., Forys, M.B., Linders, D. And Schoutens, W. (2011), FIX - The Fear Index: measuring market fear, K.U.Leuven, Faculty of Business and Economics research report. [15] Dhaene, J., Linders, D., Schoutens, W. and Vyncke, D. (2012), The Herd Behavior Index: A new measure for the implied degree of co-movement in stock markets, Insurance: Mathematics and Economics 50, 357-370. 99

100

BIBLIOGRAFIE

[16] Föllmer, H., Schied, A. (2004), Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time, 2nd Edition, Walter de Gruyter. [17] Linders, D.,Dhaene, J., Hounnon., Vanmaele M. (2012), Index options: a model-free approach, Leuven: KU Leuven-Faculty of Business and Economics working paper. [18] Madan, D. B., Schoutens, W. (2010), Conic Financial Markets and Corporate Finance, Eurandom Report 2010, Eindhoven. [19] Matlab Central (2013), Black-Scholes Call and Implied Vol functions http://www. mathworks.co.uk/matlabcentral/fileexchange/28682 [20] Shreve, S.E. (2004), Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, New York: Springer Finance. [21] Vandycke, D., Geld moet rollen, De Standaard, 22 mei 2013.

Faculteit Wetenschappen. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica. De Fear Index. Joachim Hendrickx. Promotor: Prof. dr. D

Recommend Documents