Onderwerpen Masterproef Opleiding Wiskunde Academiejaar 2012-2013 Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica
Lie-superalgebra’s: representaties en toepassingen. Promotor: Joris Van der Jeugt (
[email protected]) Doelgroep: Studenten uit de tweede master Wiskunde. Korte beschrijving: Lie-superalgebra’s zijn structuren die nauw verwant zijn met Lie-algebra’s. Zoals men Lie-algebra’s kan beschouwen als algebra’s waar het product met een commutator correspondeert, zo kan men Lie-superalgebra’s beschouwen als algebra’s waar het product een commutator of een anti-commutator kan zijn. Lie-superalgebra’s zijn structuren die hun oorsprong vinden in wiskundige natuurkunde (supersymmetrie), maar die ook door wiskundigen bestudeerd worden. Hun classificatie werd voltooid in 1977 door V.G. Kac. Inhoudelijk omvat deze masterproef: - een studie van de structuur van enkelvoudige Lie-superalgebra’s - begrippen van representaties van Lie-superalgebra’s, belangrijke klassen van representaties - verwerken van enkele toepassingen van Lie-superalgebra representaties, bijvoorbeeld in Wignerkwantumsystemen. Afhankelijk van de interesse van de student kan de nadruk liggen op representatietheorie (met begrippen als “supersymmetrische Schur functies”, karakters,…) of op toepassingen. Referentiewerken: M. Scheunert, The theory of Lie superalgebras. An introduction. Lecture Notes in Mathematics, 716. Springer, Berlin, 1979. V.G. Kac, Lie superalgebras. Advances in Math. 26 (1977), no. 1, 8--96. S. Lievens, N.I. Stoilova, J. Van der Jeugt, Harmonic oscillators coupled by springs: discrete solutions as a Wigner quantum system. J. Math. Phys. 47 (2006), no. 11, 113504, 23 pp.
Algoritmen voor symbolische sommatie Promotor: Joris Van der Jeugt (
[email protected]) Doelgroep: Studenten uit de tweede master Wiskunde. Korte beschrijving: De algoritmen van Gosper en Zeilberger dienen voor de symbolische sommatie van reeksen met hypergeometrische termen (zoals bij voorbeeld reeksen met termen bestaande uit producten van binomiaalcoëfficiënten, of rationale vormen). Deze algoritmen dateren uit het begin van de jaren 90 en zijn nu reeds geïmplementeerd in een MAPLE-pakket sumtools. De scriptie bestaat uit: overzicht van de belangrijkste sommatietheorema's voor reeksen; studie van Gospers algoritme en Zeilbergers algoritme; gebruik van programma's in MAPLE. Afhankelijk van de interesse van de student kan de studie uitgebreid worden met het onderzoek van reeksen die voorkomen in “supersymmetrische uitbreidingen”. Referentiewerken: M. Petkovsek, H. Wilf en D. Zeilberger, A=B. A.K. Peters, 1996. (http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html)
W. Koepf, Hypergeometric summation. Vieweg, 1998. (http://www.mathematik.unikassel.de/~koepf/hyper.html)
Malliavin calculus toegepast op financiële en actuariële problemen Promotor: Prof. dr. M. Vanmaele (
[email protected]) Doelgroep: studenten uit de tweede master Wiskunde Korte beschrijving: Malliavin calculus is de theorie van variaties toegepast op stochastische processen. De kracht van de Malliavin calculus is de partiële integratieformule. Hiermee kunnen bijvoorbeeld de Grieken van een financieel afgeleid product berekend worden zonder expliciet de dichtheid van het onderliggende proces te kennen. Het volstaat om de stochastische differentiaal vergelijking voor dit proces te kennen. De bedoeling van deze masterproef is het zich eigen maken van de basistechnieken van de Malliavin calculus om financiële en actuariële toepassingen te bestuderen. Als toepassingen worden eerst Europese opties genomen in een Black-Scholes setting omdat hiervoor de formules expliciet kunnen berekend worden en aldus als test dienen. Vervolgens kan het geval van Aziatische opties of meer algemeen exotische opties bestudeerd worden waar geen gesloten analytische formules voor bestaan. De Grieken worden berekend via Monte Carlo simulaties. Uitbreiding is mogelijk naar het numeriek berekenen van prijsgevoeligheden van financiële afgeleide producten in een marktmodel met sprongen. Een actuariële toepassing is het uitvoeren van een gevoeligheidsanalyse van het risicoproces verbonden aan de opbouw van de reserve om aan toekomstige verplichtingen tegemoet te kunnen komen. Als numerieke toepassing kan de Malliavinmethode vergeleken worden met de eindige differentiemethode. Literatuur: Miquel Montero, Arturo Kohatsu-Higa: Malliavin Calculus applied to finance, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Volume 320 (2003) 548–570 Nicolas Privault, Xiao Wei: A Malliavin calculus approach to sensitivity analysis in Insurance, Insurance: Mathematics and Economics, Volume 35, Issue 3 (2004) 679–690 Youssef El-Khatib, Nicolas Privault: Computations of Greeks in a market with jumps via the Malliavin calculus, Finance and Stochastics, Volume 8 (2004) 161–179 Marie-Pierre Bavouzet, Marouen Messaoud: Computation of Greeks using Malliavin’s calculus in jump type market models, Technical report INRIA (2005)
Kwadratische hedgingtechnieken voor defaultable claims Promotor: Prof. dr. M. Vanmaele (
[email protected]) Doelgroep: studenten uit de tweede master Wiskunde Korte beschrijving Bedrijfsobligaties zijn in vergelijking met staatsobligaties onderhevig aan een extra bron van risico. De houder van een bedrijfsobligatie loopt het risico om (een gedeelte van) zijn initiële investering kwijt te raken. Dit laatste gebeurt als er een zogenaamde default of faling optreedt. Een default houdt in dat de onderneming niet in staat is om aan haar contractuele verplichtingen te voldoen. Meer algemeen spreken we dus van een defaultable claim als het om een financieel instrument gaat waarbij faling mogelijk is. Een houder van zo’n financieel instrument zal zich willen indekken tegen dit falingsrisico en kan daarvoor meerdere technieken gebruiken. De bedoeling van deze masterproef is de studie van kwadratische hedgingstrategieën voor dergelijke defaultable claims namelijk de lokaal risicominimizerende hedgingstrategie en de mean-variance hedgingstrategie.
Literatuur Biagini, F., Cretarola, A.: Quadratic hedging methods for defaultable claims, Applied Mathematics and Optimization 56(3), 425-443, 2007 Biagini, F., Cretarola, A.: Local risk minimization for defaultable markets, Mathematical Finance 19(4), 669-689, 2009 Biagini, F., Cretarola, A.: Local risk-minimization for defaultable claims with recovery process, Applied Mathematics and Optimization, 2011
Marktmodellen en rentevoetderivaten Promotor: Prof. dr. M. Vanmaele (
[email protected]) Begeleider: Catherine Daveloose Doelgroep: studenten uit de tweede master Wiskunde Korte beschrijving: Op basis van de rentevoetmodellen: het LIBOR (Londen Interbank Offered Rate) marktmodel, respectievelijk het swap marktmodel, kunnen de rentevoetderivaten: caps, respectievelijk swaptions geprijsd worden m.b.v. een Blackformule. Daar caps en swaptions vaak verhandelde opties op interestvoeten zijn die een liquide markt vormen, bewijzen deze marktmodellen hun nut. In deze masterproef is het de bedoeling om beide derivaten (caps en swaptions), de markt-modellen en het prijzen van deze producten in die modellen te bestuderen. Daarnaast is het ook mogelijk om te onderzoeken hoe deze modellen kunnen gekalibreerd worden op reële markt-prijzen van caps of swaptions. Er kunnen ook Monte Carlo simulaties opgesteld worden om caps of swaptions numeriek te prijzen. Literatuur Jamshidian, F. (1997): LIBOR and swap market models and measures, Finance and Stochastics, 1, p.293330. . Brigo, D. and Mercurio, F. (2001) Interest rate models: Theory and Practice : with Smile, Inflation, and Credit, Springer. Part III. De Jong, F., Driessen, J. and Pelsser, A. (2001) LIBOR Market Models versus Swap Market Models for the Pricing of Interest Rate Derivatives: An Empirical Analysis. European Finance Review 5 (3) p.201-237.
Lévy interestvoetmodellen Promotor: Prof. dr. M. Vanmaele (
[email protected]) Begeleider: Catherine Daveloose Doelgroep: studenten uit de tweede master Wiskunde Korte beschrijving: De laatste jaren is er in de wereld van stochastische modellering een toegenomen vraag naar de mogelijkheid tot sprongen in een model i.p.v. de gebruikelijke continue Gaussische modellen. Die vraag werd succesvol beantwoord door het invoeren van Lévyprocessen. Zo werden bijvoorbeeld ter veralgemening van het Gaussisch Heath-JarrowMorton termijnstructuurmodel, door Eberlein en Raible modellen ingevoerd die aangedreven worden door zo'n willekeurig Lévyproces. Daarnaast werden ook het continue LIBOR marktmodel en het continue swap marktmodel op een andere manier bekeken en uitgebreid tot een Lévy setting. Als masterproef zal de student om te beginnen Lévyprocessen leren kennen en vervolgens de verschillende Lévyrentevoetmodellen. Tot slot kan er bestudeerd worden hoe bepaalde Europese opties, zoals caps en
swaptions, geprijsd worden in deze modellen. Het is eventueel ook mogelijk om numerieke aspecten in de masterproef op te nemen, zoals kalibratietechnieken of Monte Carlo simulaties. Literatuur Eberlein, E. and Raible, S. (1999) Term Structure Models Driven by General Lévy Processes, Mathematical Finance, 9, No. 1 (January), p.31-53. Eberlein, E., Jacod, J. and Raible, S. (2005) Lévy term structure models: no-arbitrage and completeness. Finance and Stochastics 9, p.67-88. Eberlein, E. and Kluge, W. (2006) Exact pricing formulae for caps and swaptions in a Lévy term structure model. Journal of Computational Finance 9 (2) p.99-125. Eberlein, E. and Özkan, F. (2005) The Lévy Libor Model. Finance and Stochastics 9, p.327-348. Eberlein, E. and Liinev, J. (2007) The Lévy swap market model. Applied Mathematical Finance 14 (2) p.171196.
Benadering van de kleine sprongen van een Lévyproces Promotor: Prof. dr. M. Vanmaele (
[email protected]) Begeleider: Catherine Daveloose Doelgroep: studenten uit de tweede master Wiskunde Korte beschrijving Aandeelprijzen worden vaak gemodelleerd a.d.h.v. een geometrische Brownse beweging. Aangezien dergelijk model enkel continue prijsverlopen toelaat, schiet dit tekort om werkelijke prijsverlopen te modelleren. Dit kan verholpen worden door gebruik te maken van Lévyprocessen, deze stochastische processen laten wel sprongen toe. Zo kan men bijvoorbeeld ook aandeelprijzen modelleren met een geometrisch Lévyproces. Een Lévy proces kan opgesplitst worden in een continu deel en een spronggedeelte. Asmussen en Rosinski stelden voor om het gedeelte met de kleinste sprongen (in absolute waarde kleiner dan ε) te benaderen door een geschaalde Brownse beweging, dit met het oog op eenvoudigere simulaties. Ten gevolge van deze benadering in het drijvende Lévy proces veranderen aandeelprijzen en bijgevolg ook prijzen van opties op deze aandelen. Men kan aantonen dat, wanneer ε→ 0, deze prijzen onder een specifieke maat convergeren naar de prijzen die men verkrijgt bij het nietbenaderde model. Dit benoemt men met de term robustness. Naast de convergentie van optieprijzen kan men ook nagaan of er convergentie geldt voor de Grieken. De student zal voor deze masterproef kennismaken met Lévyprocessen, de benadering van een Lévyproces en tot slot het concept robustness. Literatuur Asmussen, S. and Rosinski, J. (2001) Approximations of Small Jumps of Lévy Processes with a View Towards Simulation, Journal of Applied Probability 38, p.482-493. Benth, F.E., Di Nunno, G. and Khedher, A. (2010) A note on convergence of option prices and their Greeks for Lévy models. E-print, No. 18, November, Department of Mathematics, University of Oslo, Norway. Benth, F.E., Di Nunno, G. and Khedher. A. (2010) Lévy models robustness and sensitivity. Published in QPPQ: Quantum Probability and White Noise Analysis, Proceedings of the 29th Conference in Hammamet, Tunisia, 13-18 October 2008. H. Ouerdiane and A Barhoumi (eds.), World Scientific, 25, p.153-184.
Swingopties Promotor: prof. Michèle Vanmaele (
[email protected]) Doelgroep: studenten uit de tweede master Wiskunde
Korte beschrijving: Een swingoptie wordt veel gebruikt in de energie-industrie. Zo kan het zijn dat bijvoorbeeld een elektriciteitsbedrijf dat elektriciteit opwekt met behulp van zonne-energie zijn inkomsten over de komende periode wil vastleggen. De energieproductie is echter lang niet altijd gelijk en varieert vaak binnen bepaalde grenzen (afhankelijk van de hoeveelheid zon). Om verzekerd te zijn van de inkomsten zou het bedrijf gebruik kunnen maken van een swingoptie. Ook voor bedrijven die juist energie nodig hebben (maar waarbij deze vraag varieert, doordat ze bijvoorbeeld ook eigen zonnepanelen hebben) kan een swingoptie aantrekkelijk zijn. De swingoptie bestaat uit 2 delen: het futuredeel en het swingdeel. Het futuredeel geeft een overeenkomst voor de levering van een bepaald aantal producten per periode, dankzij het swinggedeelte kan de contracthouder ervoor kiezen om (per direct) een bepaald aantal extra producten te ontvangen voor een bepaalde uitoefenprijs, of om juist wat terug te leveren. Het gedeelte van het contract waarin vermeld wordt dat de houder extra producten kan ontvangen lijkt erg op een calloptie. De mogelijkheid om terug te leveren kan juist geïnterpreteerd worden als put. De optie kan daarom gezien worden als een soort van call en put-optie tegelijk. Een groot verschil tussen de Bermuda swingoptie en andere Amerikaanse optievarianten is dat de contracthouder meerdere keren mag uitoefenen. Het onderwerp van deze masterproef is de studie van prijzingsmodellen en -methoden van swingopties. Literatuur: Barrera-Esteve C., Bergeret F., Dossal C., Gobet E., Meziou A., Munos R. and Reboul-Salze D., Numerical Methods for the Pricing of Swing Options: A Stochastic Control Approach, Mathematics and Statistics Methodology and Computing in Applied Probability 8(4), 517-540, 2006 Carmona, R. and Touzi, N. Optimal multiple stopping and valuation of swing options, Mathematical Finance 18(2): 239-268, 2008 Keppo J., Pricing of Electricity Swing Options, Journal of Derivatives, 11:26-43, 2008 Lari-Lavassani A., Simchi M. and Ware A., A discrete evaluation of swing options, Canadian Applied Mathematics Quarterly, 9(1):35-74, Spring 2001
Indifferente prijsbepaling en hedging Promotor: Prof. dr. M. Vanmaele (
[email protected]) Doelgroep: studenten uit de tweede master Wiskunde Korte beschrijving Een belegger met een bepaalde positie in een optie kan zijn nut verhogen of zijn verliezen beperken door het onderliggende aandeel te verhandelen. Een belegger die het nut maximaliseert zal hiervoor een strategie kiezen zo dat het nut van de terminale rijkdom maximaal is. De nut-indifferente prijs van de optie is dus de prijs die ervoor zorgt dat de belegger met een bepaald nut en een bepaalde rijkdom indifferent (onverschillig) is voor het al dan niet verhandelen van de optie. Deze indifferente prijs is echter niet lineair en hangt over het algemeen af van de initiële rijkdom van de belegger. Kopen en verkopen zijn bovendien geen symmetrische acties omdat een nutsfunctie winsten en verliezen op een asymmetrische manier weegt. Een uitzondering hierop is de kwadratische nutsfunctie die wel leidt tot een lineaire prijs. Hedgingstrategieën die hiermee corresponderen zijn dan de kwadratische hedgingstrategieën zoals mean-variance hedging en lokale risicominimalisatie. Het geval van een mean-variance nutsfunctie voor het prijzen en hedgen werd bestudeerd in Møller (2001) en Schweizer (2001). De bedoeling is om deze manier van prijsbepaling te bestuderen. Toepassingen zijn er bijvoorbeeld in optimale portefeuillebeheer en levensverzekeringen, zie Ilhan et al. (2008) en Ludkovski en Young (2008). Literatuur: Carmona R.: Indifference Pricing: Theory and Applications. Princeton Series in Financial Engineering. Princeton University Press (2008)
Ilhan A., Jonsson M., Sicar R.: Portfolio Optimization with Derivatives and Indifference Pricing in Volume on Indifference Pricing, (ed. R. Carmona), Princeton University Press (2008). Ludkovski M., Young V.R.: Indifference Pricing of Annuities and Pure Endowments under Stochastic Hazard and Interest Rates, Insurance: Mathematics and Economics, 42(1): 14-30, 2008 Møller T.: On transformations of actuarial valuation principles, Insurance: Mathematics and Economics, 28 (2001), 281-303 Schweizer M.: From actuarial to financial valuation principles, Insurance: Mathematics and Economics, 28 (2001), 31-47
Optimale inschatting van nuisance parameters in statistische analyses Promotor: Stijn Vansteelandt Begeleider: Karel Vermeulen Doelgroep: studenten wiskunde met interesse in ofwel theoretische, ofwel toegepaste statistiek. Korte beschrijving Over de laatste jaren maken statistische analyses meer en meer gebruik van `invers wegen'. Dit is een techniek waarbij de metingen van elk individu op een specifieke manier gewogen worden, met als doel bepaalde vormen van vertekening (bijvoorbeeld, ten gevolge van confounding) te elimineren. Een nadeel van deze techniek is echter dat de gewichten, die op basis van de maximum kans methode bekomen worden, voor sommige individuen soms zeer hoog kunnen oplopen. Dat heeft tot gevolg dat deze individuen zeer invloedrijk worden in de analyse, en bijgevolg de analyse danig in de war kunnen sturen. In deze masterproef zult u betrokken worden in een lopend onderzoeksproject waarbij een algemene theorie werd ontwikkeld om deze gewichten op een veel betere manier in te schatten (niet via de maximum kans methode). Het doel zal er meer concreet in bestaan om, na een studie van deze theorie, ze toe te passen op een concrete probleemstelling die momenteel zeer veel aandacht krijgt in de literatuur. Met name zullen we de theorie toepassen om (via zogenaamde directe en indirecte effecten) inzicht te krijgen in het causale mechanisme waarbij een bepaalde blootstelling een bepaalde uitkomst beïnvloedt. Deze toepassing is gemotiveerd door de concrete probleemstelling waarom bepaalde genen met longkanker geassocieerd zijn: omdat ze mensen ertoe aanzetten te roken, of omdat ze rechtstreeks het risico op longkanker beïnvloeden. De focus van deze masterproef kan, afhankelijk van de interesses van de student, van zeer theoretisch tot zeer toegepast variëren.
Het schatten van directe en indirecte effecten in gematchte case-controle studies Promotor: Stijn Vansteelandt Doelgroep: studenten wiskunde met interesse in ofwel theoretische, ofwel toegepaste statistiek. Korte beschrijving In de epidemiologie, psychologie en sociologie bestaat er een enorme interesse in het schatten van directe en indirecte effecten van een bepaalde blootstelling op een bepaalde uitkomst. Bijvoorbeeld, zijn bepaalde genen met longkanker geassocieerd omdat ze mensen ertoe aanzetten te roken, of omdat ze rechtstreeks het risico op longkanker beïnvloeden? Recent werden verschillende technieken voorgesteld om dergelijke effecten te schatten. In deze masterproef zult u sommige van de bestaande technieken bestuderen. Vervolgens zult u betrokken worden in een lopend onderzoeksproject met de Universiteit van Cambridge met als doel deze technieken uit te breiden naar de analyse van het gematchte case-controle studies. De resultaten die in dat project ontwikkeld worden, zult u theoretisch en door middel van simulatie bestuderen. Vervolgens zullen ze toegepast worden om op basis van een
grootschalige Italiaanse genetische associatiestudie, het directe effect van het FTO gen te schatten op het risico op vroegtijdig hartfalen, waarbij body mass index een intermediaire variabele is. De focus van deze masterproef kan, afhankelijk van de interesses van de student, van zeer theoretisch tot zeer toegepast variëren.
Statistische consulting Promotor: Stijn Vansteelandt Doelgroep: studenten wiskunde met interesse in toegepaste statistiek Korte beschrijving In deze masterproef zult u betrokken worden in één of meerdere statistisch (medisch) consulting projecten. Het concrete onderwerp zal worden bepaald in functie van de consulting projecten die zich bij de promotor aandienen voor eind september. Het doel is om de nodige statistische technieken voor de succesvolle afwerking van het project aan te leren, deze vervolgens toe te passen en de resultaten zowel schriftelijk als mondeling terug te rapporteren aan de betrokken clinici.
Titel: Normaalvormen van dynamische systemen Promotor: Willy Govaerts (
[email protected]) Begeleider: Virginie De Witte (
[email protected]) Doelgroep: Master wiskunde Korte beschrijving Als een dynamisch systeem parameters bevat, dan kan zijn gedrag fundamenteel veranderen als de parameters variëren. Zulke veranderingen noemt men bifurcaties en de parameterwaarden waarvoor dit gebeurt, noemt men de bifurcatiewaarden. De eenvoudigste gevallen zijn deze die in het algemeen verwacht kunnen worden bij het veranderen van één enkele parameter. In het geval van equilibria zijn dat de vouwbifurcatie en de Hopf bifurcatie. Om zulke bifurcaties te bestuderen moet men het dynamisch systeem reduceren tot een zo eenvoudig mogelijke vorm, een zogenaamde normaalvorm. Dit gebeurt door het gedrag van het systeem te herleiden tot het gedrag in een laagdimensionale ruimte, de zogenaamde centrale variëteit. In die centrale variëteit kan het systeem dan beschreven worden door de normaalvorm, een gestandaardiseerd dynamisch systeem met een klein aantal parameters. De coëfficiënten van de normaalvorm bepalen de precieze aard van de bifurcatie. Bijvoorbeeld, de normaalvorm van de Hopf bifurcatie bevat een parameter die men de eerste Lyapunov coëfficiënt noemt. Als deze negatief is, dan ontstaan in het Hopf punt stabiele periodieke banen; als hij positief is, dan ontstaan onstabiele periodieke banen. In deze masterthesis bestudeert de student de wiskundige (analytische) technieken voor het berekenen van normaalvormen, met expliciete uitwerking van de codimensie 1 en 2 bifurcaties van equilibria en de codimensie 1 bifurcaties van periodieke banen. Dit wordt aangevuld met enkele interessante toepassingen uit verschillende onderzoeksgebieden en een inleiding tot het speciale geval van oneindig-dimensionale systemen. Uitgangspunt is het boek “Elements of Applied Bifurcation Theory” van Yuri A. Kuznetsov, Springer 2005, hoofdstukken 5 en 8.
Titel: Startalgoritmen voor de continuatie van krommen in hoogdimensionale ruimten. Promotor: Willy Govaerts (
[email protected])
Begeleider: Virginie De Witte (
[email protected]) Doelgroep: Master wiskunde Korte beschrijving Abstract: Numerieke continuatie is een eenvoudig te formuleren probleem. De opgave is het berekenen van oplossingstakken voor een stelsel vergelijkingen van de vorm F(X)=0
(1)
Waarbij X een vector is in de (N+1)- dimensionale reële ruimte en F waarden aanneemt in de N-dimensionale reële ruimte. In de regel representeert X een object met speciale eigenschappen, bijvoorbeeld een periodieke oplossing van een dynamisch systeem. Hierbij kan N gemakkelijk zeer groot worden. Bijvoorbeeld, als X een discretizatie voorstelt van een periodieke baan in een 10-dimensionale ruimte, en men een collocatiemethode gebruikt met 50 testintervallen waarin de baan benaderd wordt met veeltermen van de graad 4, dan is X een vector met 2+(50 x 4 +1) x 10 =2012 componenten. Er bestaan universele codes voor de numerieke voortzetting van takken van oplossingen van (1) waarbij het essentieel is dat men niet alleen punten op de tak berekent maar ook een raaklijnvector langs de tak bijhoudt. Men kan dan ook singuliere punten ontdekken en in het bijzonder punten waar takken van andere soorten van speciale objecten ontstaan. In het geval van periodieke banen zouden dat bijvoorbeeld homoclinische banen kunnen zijn. Het struikelblok bij het verwisselen van tak ("branch switching") is vaak het vinden van een initieel punt dat goed genoeg is, samen met de bijbehorende raaklijn. Vaak heeft men een niet al te goede benadering X0 voor een oplossing van (1) maar geen bijbehorende benadering voor een raaklijn langs de kromme. De standaardtechniek in dit geval is dat men als zoekrichtingen voor de raaklijn achtereenvolgens alle coördinaatrichtingen probeert. Dit werkt meestal goed bij laagdimensionale systemen, hoewel er hierover weinig theorie bestaat. Het levert wel regelmatig problemen op bij hoogdimensionale systemen zoals bij het berekenen van periodieke en homoclinische banen. De problemen kunnen zijn: -
Geen enkele coördinaatrichting voldoet.
-
Het uittesten van alle coördinaatrichingen is zeer tijdrovend (voor iedere co\"ordinaatrichting moet namelijk een Newton iteratie opgestart worden).
-
Er wordt een ver afgelegen punt gevonden dat niets te maken heeft met $X_0$ en misschien op een andere oplossingstak ligt.
Voor het verhelpen van dit probleem zijn er enkele denkpistes: -
De volgorde van het zoeken in de coördinaatrichtingen aanpassen aan de aard van het probleem om overbodig werk te vermijden.
-
Restricties leggen op het aanvaarden van een punt als oplossing.
-
A priori zoeken naar een benadering voor de raaklijn, bijvoorbeeld als de singuliere vector van de Jacobiaan van F in X0.
Het is de bedoeling van deze thesis, de verschillende denkpistes te onderzoeken en uit te testen in een aantal verschillende situaties (equilibria, periodieke banen, homoclinische banen etc.), eventueel nog andere of gecombineerde strategieën te bedenken en deze te implementeren in het pakket MatCont (www.sourceforge.net).
Gestructureerde populatiemodellen. Promotor: Prof. W. Govaerts (
[email protected]) Begeleider: Charlotte Sonck (
[email protected]) Doelgroep: Master wiskunde Korte beschrijving In populatiemodellen is de basiseenheid het individu. Er wordt getracht om de kennis over mechanismen op het individuele niveau te vertalen naar modellen voor het aantal individuen. Een voorbeeld van zo’n individu is een cel, zoals biergist, waarvan men de individuele groei kan voorstellen door één of meerdere differentiaalvergelijkingen. Bij het opstellen van populatiemodellen is men geïnteresseerd in wat er een niveau hoger gebeurt: hoe is de verdeling van de celgrootte bij een populatie van cellen in functie van de tijd? De meest natuurlijke aanpak is om de individuele celtoestand zo compleet mogelijk trachten te beschrijven door een beperkt aantal numerieke variabelen (zoals grootte, massa,…) en om vervolgens vergelijkingen op te stellen die het verband vormen tussen de processen in de individuele cel en het statistische en dynamische gedrag van de populatie cellen. Het is de bedoeling dat de student in deze thesis inzicht krijgt in de basis van gestructureerde populatiemodellen aan de hand van het uitwerken van een aantal voorbeelden. Uitgangspunt hiervoor is deel I van [1], een basiswerk voor dit soort modelleringen. Deze voorbeelden omvatten o.a. modellen voor grootteafhankelijke reproductie bij ectothermische dieren en bij ééncelligen. Het uitwerken van deze voorbeelden houdt o.a. het begrijpen van de onderliggende dynamiek in, het bestuderen van de gewone en partiële differentiaalvergelijkingen en het oplossen van de oefeningen uit het hoofdstuk. Naargelang de interesse van de student, kan dit onderwerp dan verder uitgespit worden in een bepaalde richting. Referentie: [1] J.A.J. Metz and O. Diekmann, The Dynamics of Physiologically Structured Populations, SpringerVerlag 1986.
Testen voor de gelijkheid van de centra van verschillende groepen Promotor: Stefan Van Aelst Korte beschrijving De anova toets gaat na of de verdelingen van gegevens opgedeeld in verschillende groepen volgens een bepaald kenmerk (bv. de plaats van de metingen of type behandeling), een verschillend gemiddelde hebben of niet. Als meerdere kenmerk per subject in de steekproef opgemeten worden, dan kan de anova toets uitgebreid worden tot een multivariate anova (manova) toets. Deze manova toets is een likelihood ratio (LR) test. De teststatistiek vergelijkt de maximale waarde van de likelihood functie bij meerdere gemiddelden met de maximale waarde van deze functie in de veronderstelling van slechts 1 gemiddelde. Deze LR test steunt echter sterk op de veronderstelling van normaliteit van de multivariate data en wordt dan ook onbruikbaar wanneer van deze veronderstelling afgeweken wordt. Als alternatief kan de likelihood functie vervangen worden door een meer algemeen bruikbare objectief functie die gemaximaliseerd wordt. Deze meer algemene maximum likelihood ratio type (LRT) teststatistieken zijn meer robuust in de zin dat minder strikte veronderstellingen over de data gemaakt worden. Om de test effectief uit te voeren moet de verdeling van de teststatistiek onder de nulhypothese bepaald worden. Deze verdeling kan benaderd worden door de asymptotische verdeling of door de bootstrap verdeling. De bedoeling van deze thesis is om verschillende versies van de LRT testen te vergelijken met elkaar om zo te bepalen welke keuze tot de beste resultaten leidt bij een groot aantal soorten data van verschillende grootte.
Robuuste boosting technieken Promotor: Stefan Van Aelst Korte beschrijving Bij hedendaagse problemen in gegevensanalyse zijn er vaak een groot aantal predictorvariabelen ter beschikking om een uitkomst te verklaren. Een minderheid van de beschikbare predictoren heeft hierbij inderdaad een belangrijke invloed op de uitkomst, maar de meerderheid van de kandidaat predictoren heeft weinig verband met de respons. Dit is een veel voorkomende situatie in genomics waar bv. gezocht wordt naar de relatie tussen aanwezige genen en een ziekte. Een belangrijke taak voor de gegevensanalyse is dan ook om de meest relevante predictorvariabelen te identificeren met bijkomend probleem dat de dimensie (aantal beschikbare predictorvariabelen) het aantal observaties (opgemeten subjecten) overstijgt. Moderne analysetechnieken zoals boosting bouwen een model op door een opeenvolging van zeer veel kleine stapjes uit te voeren. Elk klein stapje bestaat uit de selectie van de belangrijkste predictor via regressie analyse, gevolgd door een kleine aanpassing van de respons. Een klassieke regressie analyse is computationeel heel efficiënt, maar heel gevoelig aan afwijkingen van de (strenge) modelveronderstellingen). Het is de bedoeling om boosting technieken uit te werken waarbij de klassieke regressie analyse vervangen wordt door minder gevoelige alternatieven, maar de computationele efficiëntie behouden blijft zodat enkele duizenden opeenvolgende uitvoeringen mogelijk blijft in een redelijke tijd.
Spaarzame dimensiereductie Promotor: Stefan Van Aelst Doelgroep: master Wiskunde Korte beschrijving Bij hedendaagse problemen in gegevensanalyse zijn er vaak meerder variabelen ter beschikking. Dit zorgt ervoor dat de subjecten in een hoogdimensionele ruimte gelegen zijn zodat het moeilijk is om inzicht in de structuur van de data te krijgen. Via dimensiereductie tracht men dan over te gaan op een ruimte van lagere dimensie waarbij er naar gestreefd wordt om het verlies aan informatie zo beperkt mogelijk te houden. Een standaard techniek hiervoor is principale componenten analyse waarbij er zo weinig mogelijk verlies aan variabiliteit in de data beoogd wordt. Als we nu over heel veel variabelen beschikken (honderden of duizenden zoals in genetische toepassingen) dan liggen de gegevens in een heel hoge dimensionele ruimte waarbij er meestal vanuit gegaan kan worden dat vele van de beschikbare variabelen minder relevant zijn, maar de trends zich weerspiegelen in slechts een klein aantal van de variabelen. Dimensiereductie technieken kunnen de dimensie van de gegevens sterk reduceren, maar standaard technieken slagen er niet in om de belangrijke variabelen te selecteren. Deze technieken maken gebruik van alle variabelen waardoor ze instabiel kunnen worden. Als alternatief kunnen spaarzame (sparse) dimensiereductie technieken gebruikt worden. Deze leggen op dat de dimensiereductie uitgevoerd wordt aan de hand van slechts een beperkt aantal variabelen. De beperking wordt opgelegd aan de hand van een strafterm (penalty) die het gebruik van extra variabelen bestraft zodat de extra variabelen enkel gebruikt worden als een veel beter eindresultaat bekomen wordt. In deze masterproef worden verschillende spaarzame dimensiereductie technieken gebaseerd op optimalizatie met een strafterm (penalized optimization) bestudeerd en met elkaar vergeleken.
Kwadratuurformules voor integralen met een sterk oscillerend integrandum Promotor: Marnix Van Daele Begeleider: Veerle Ledoux
Doelgroep: master wiskunde/ master wiskundige informatica Korte beschrijving Sterk oscillerende integralen komen voor in een brede waaier van praktische fysische problemen. Kwadratuur van dergelijke integralen is dus een numerieke uitdaging met een grote relevantie en belang. Oscillerende integralen kunnen gemodelleerd worden door integralen met een integrandum van de vorm I = f(x)exp(i g(x)). De parameter bepaalt de frequentie van de oscillaties in het integrandum. De functies f en g zijn nietoscillatorisch. Traditionele technieken falen voor integralen van deze vorm voor hoge frequenties. Zo zijn NewtonCotes- of Gauss-kwadratuurformules gebaseerd op veelterminterpolatie. Maar veeltermen zijn niet geschikt om sterk oscillerende functies te benaderen en de fout neemt snel toe bij stijgende . Toch is de efficiënte en goedkope benadering van oscillerende integralen perfect mogelijk. Een aantal geavanceerde methoden werden ontwikkeld specifiek voor dit soort integralen. Deze methoden hebben enkel een vast aantal operaties voor stijgende nodig en geven een nauwkeurigheid die zelfs stijgt met . Deze methoden zijn gebaseerd op de observatie dat de waarde van wordt bepaald door het gedrag van f en g in de buurt van de eindpunten a en b, en van de stationaire punten. Deze punten worden gevonden als oplossing van de vergelijking g'(e) = 0, e in [a, b]. Hun belang volgt uit het feit dat de oscillerende factor in rond een stationair punt lokaal quasi constant is. Het deel van de integraal rond een stationair punt heeft daardoor een belangrijke bijdrage tot de waarde van . In de andere delen van het interval [a, b] heffen de oscillaties elkaar in toenemende mate op bij stijgende waarden van . Het doel van de scriptie is een studie te maken van een aantal methoden voor sterk oscillerende integralen van de vorm en ze toe te passen op een aantal testproblemen. Enkele wetenschappelijke artikels: 1. R. Cools, D. Huybrechs and D. Nuyens, Recent Topics in Numerical Integration, Int. J. Quant. Chem. 109 (2009). 2. A. Iserles and S. Nørsett, On quadrature methods for highly oscillatory integrals and their implementation, BIT 44 (2004)...
Het berekenen van de eigenfuncties van een Schrödinger probleem in Matslise Promotor: Marnix Van Daele Begeleider: Veerle Ledoux Doelgroep: master wiskunde/ master wiskundige informatica Korte beschrijving In de meest gekende vorm, bestaat een interpolatieprobleem erin om een formule te vinden die toelaat een benadering te berekenen voor y in enkele arbitraire punten x (a < x < b) wanneer de waarden van y gegeven zijn in een aantal roosterpunten x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b. De klassieke methodes (zoals bvb. Lagrange interpolatie) zijn gebaseerd op de veronderstelling dat y(x) voldoende braaf is om benaderd te worden door een veelterm. Veelterminterpolatie is echter niet altijd aangewezen en is bijvoorbeeld niet erg effectief wanneer y(x) een oscillerend gedrag vertoont. Betere resultaten worden dan bekomen door meer geavanceerde technieken (zoals exponential fitting) te gebruiken. De kwaliteit van de interpolatie hangt eveneens af van de beschikbare informatie. De geïnterpoleerde waarden zullen uiteraard beter zijn wanneer naast de waarden y(xi) ook de eerste orde afgeleiden y'(xi) gekend zijn en in rekening gebracht kunnen worden, en nog beter wanneer we bijkomend de tweede orde afgeleide gebruiken. Als concrete toepassing beschouwen we het berekenen van de golffunctie van een Schrödinger-probleem. Het Schrödingerprobleem bestaat uit een tweede orde gewone differentiaalvergelijking (ODE) van de vorm y''= (V (x) − E)y, a < x < b, met randvoorwaarden in de eindpunten a en b. De Schrödingervergelijking vormt de fundamentele vergelijking in de quantummechanica. Een waarde voor de parameter E waarvoor een niet-nul oplossing bestaat, wordt een eigenwaarde genoemd. De eigenwaarden worden typisch geordend als E0 < E1 < E2 < . . . en de golffunctie of eigenfunctie yk(x), horende bij Ek, heeft dan exact k nulpunten in het interval (a, b). Dit betekent dat
de “hogere” eigenfuncties sterk oscilleren. Dit sterk oscillerend gedrag is de reden waarom een klassieke ODE methode (een lineaire meerstapsmethode of een Runge-Kutta methode) moeilijkheden ondervindt om een Schrödinger probleem op te lossen. Veel betere resultaten worden bekomen wanneer men een zogenaamde CP methode toepast. Door het toepassen van een CP methode, verkrijgen we de waarde van de golffunctie y en van de eerste orde afgeleide y’ in een aantal roosterpunten, maar ook de waarde van y” in dezelfde punten via de Schrödinger vergelijking. Doordat de CP methoden toelaten om stapgroottes te nemen die typisch groter zijn dan de golflengte, moet geïnterpoleerde data toegevoegd worden om een mooie figuur van de golffunctie te kunnen maken. De standaard interpolatietechnieken volstaan echter niet doordat de golffunctie meerdere nulpunten kan hebben binnen 1 stap.
Figure 1: Een typische oplossing y van een Schrödinger vergelijking: een eigenfunctie (blauwe lijn) geconstrueerd op basis van de CP benadering (rode punten) in een aantal roosterpunten zoals bekomen in Matslise Het uiteindelijke doel is om het berekenen en de grafische voorstelling van de Schrödinger eigenfuncties in het Matlab software pakket Matslise te verbeteren. Matslise is een Matlab toolbox die binnen onze onderzoeksgroep werd ontwikkeld voor het berekenen van de eigenwaarden en eigenfuncties van Schrödinger en meer algemene Sturm-Liouville problemen. Matslise maakt gebruik van een CP methode wat toelaat ook voor zeer hoge E-waarden een efficiënte en accurate oplossing te bekomen, i.e. nauwkeurige benaderingen voor y en y’ in een aantal roosterpunten. Het kan echter interessant zijn voor een gebruiker van het pakket om de eigenfunctie te kunnen evalueren in eigen gekozen x-waarden of om een mooie gladde grafische voorstelling van de eigenfunctie te zien. Enkele wetenschappelijke artikels: 1. L. Gr. Ixaru, Numerical operations on oscillatory functions, Computers and Chemistry 25 (2001). 2. K. J. Kim and S. H. Choi, Frequency-dependent interpolation rules using first derivatives for oscillatory functions, J. Comput. Appl. Math. 205 (2007). 3. L. Gr. Ixaru, Methods tuned on the physical problem - a way to improve numerical codes, Rom. Journ. Phys. 55 (2010). 4. L. Gr. Ixaru, CP methods for the Schr¨odinger equation, J. Comput. Appl. Math. 125 (2000)...
Modelleren van hoogdimensionale financiële data met afgeknotte reguliere vines Promotor: David Vyncke Doelgroep: master Wiskunde Korte beschrijving Vine copula's vormen een flexibele klasse van afhankelijkheidsstructuren voor het modelleren van hoogdimensionale financiële data. Daarbij modelleert men de afhankelijkheid als een hiërarchische structuur van tweedimensionale copula's. Deze flexibiliteit komt evenwel met een exponentieel stijgende complexiteit in hogere dimensies. Om daaraan tegemoet te komen, stellen Brechmann et al (2012) voor om de vines af te knotten met
behulp van statistische technieken voor modelselectie. Voor deze scriptie zal de student zich eerst verdiepen in copula's en vines om de technieken daarna toe te passen op reële datasets. Referenties T. Bedford, R. Cooke (2002). Vines — a new graphical model for dependent random variables. Annals of Statistics 30, 1031–1068. K. Aas, C. Czado, A. Frigessi, H. Bakken (2009). Pair-copula constructions of multiple dependence. Insurance: Mathematics and Economics 44 (2), 182-198. E. Brechmann, C. Czado, K. Aas (2012). Truncated regular vines in high dimensions with application to financial data. Canadian Journal of Statistics 40 (1), 68–85.
Bayesiaanse modelselectie voor D-vine pair copula constructies Promotor: David Vyncke Doelgroep: master Wiskunde Korte beschrijving Vine copula's vormen een flexibele klasse van afhankelijkheidsstructuren voor het modelleren van hoogdimensionale data. Daarbij modelleert men de afhankelijkheid als een hiërarchische structuur van tweedimensionale copula's. Voor het schatten van de parameters maakt men meestal gebruik van de maximum likelihood methode, maar betrouwbaarheidsintervallen zijn niet eenvoudig te bepalen. Min en Czado (2011) ontwikkelen daarom een Markov chain Monte Carlo (MCMC) algoritme waarmee credibiliteitsintervallen kunnen berekend worden. Voor deze scriptie zal de student zich verdiepen in vines en het MCMC algoritme in detail bestuderen. Referenties T. Bedford, R. Cooke (2002). Vines — a new graphical model for dependent random variables. Annals of Statistics 30, 1031–1068. K. Aas, C. Czado, A. Frigessi, H. Bakken (2009). Pair-copula constructions of multiple dependence. Insurance: Mathematics and Economics 44 (2), 182-198. A. Min, C. Czado (2011). Bayesian model selection for D-vine pair-copula constructions. Canadian Journal of Statistics 39 (2), 239–258.
FIX: de Fear Index Promotor: David Vyncke Doelgroep: master Wiskunde Korte beschrijving Een beurskrach zoals bij de dot-com bubble in 2000 en de kredietcrisis van 2007 is een samenspel van volatiliteit, illiquiditeit en kuddegedrag. Dhaene et al (2011) introduceren de zogenaamde Fear Index (FIX) als barometer voor het risico op een beurskrach. De FIX brengt de volatiliteit in rekening via de Volatility Index (VIX), het liquiditeitsrisico via de implied liquidity en het kuddegedrag via de Herd Behavior Index (HIX). Aangezien elk van deze componenten gebaseerd is op optieprijzen, heeft de FIX een voorspellend karakter. De bedoeling van deze scriptie is de FIX in detail te bestuderen en toe te passen op reële datasets. Referenties Chicago Board Options Exchange, Inc. (2009). The CBOE Volatility Index - VIX. White paper.
J. Corcuera, F. Guillaume, D. Madan, W. Schoutens (2010), Implied Liquidity - towards liquidity modeling and liquidity trading. Eurandom Report. J. Dhaene, J. Dony, M. Forys, D. Linders, W. Schoutens (2011). FIX - The fear index - Measuring market fear. Research report, FEB, KULeuven. J. Dhaene, D. Linders, W. Schoutens, D. Vyncke (2012). The Herd Behavior Index: a new measure for the implied degree of co-movement in financial markets. Insurance: Mathematics and Economics, 50 (3), 357-370.
Multivariate Extreme Waarde Theorie en copula's Promotor: David Vyncke Doelgroep: master Wiskunde Korte beschrijving: Naar analogie met de Centrale Limietstelling voor het steekproefgemiddelde stelden Fisher en Tippett (1928) een limietverdeling op voor het steekproefmaximum. Dit resultaat leidde tot een nieuw onderzoeksgebied in de statistiek, nl. dat van de Extreme Waarde Theorie (EWT). De EWT vindt haar toepassingen o.a. bij banken en verzekeringen waar extreem grote verliezen en hoge claims nefaste gevolgen kunnen hebben. In het univariate geval is de EWT al uitgebreid behandeld, maar voor multivariate risico's is de theorie veel beperkter. Dit is deels te wijten aan het ontbreken van een standaard ordening in de meerdimensionale ruimte, maar ook aan de onenigheid over de te volgen aanpak. Eén mogelijke aanpak bestaat erin de multivariate verdeling op te splitsen in twee delen: de marginale (univariate) verdelingen enerzijds en hun copula (afhankelijkheidsstructuur) anderzijds. De bedoeling van deze scriptie is de resultaten in verband met multivariate EWT in kaart te brengen, met bijzondere aandacht voor de Extreme Waarde Copula. Referenties T. Mikosch (2005). How to model multivariate extremes if one must? Statistica Neerlandica 59 (3), 324–338. G. Gudendorf, J. Segers (2009). Extreme-Value Copulas. Discussion Paper 0926, Institut de Statistique, Université Catholique de Louvain.
Schatten van het causaal effect van de geobserveerde dosis in een gerandomiseerde studie met variabele inname van het toegewezen product. Promotor: Els Goetghebeur Doelgroep: studenten wiskunde Korte beschrijving: In een gerandomiseerde klinische studie wordt typisch een lukrake helft van de groep patiënten aan een nieuwe (experimenteel) middel toegewezen en de andere helft aan een standaard middel. Een vergelijking van de uiteindelijke uitkomsten tussen die twee groepen levert dan een onvertekende schatter op van het causaal effect van de toewijzing van het middel. Als niet iedereen het middel trouw heeft aangewend bestaat de wens om de groep perfecte compliers te vergelijken met de controlegroep en op die manier de effectiviteit van het middel onder de voorgeschreven vorm te bestuderen. Die therapietrouwe groep kan echter vrij selectief na de randomisatie tot stand komen waardoor de vergelijking niet langer eerlijk is: men spreekt van confounding. Om vertekening te vermijden kan men onder bepaalde voorwaarden zogenaamde `two stage least squares’ regressie toepassen. Recent werd bovenstaande techniek aangewend om de tijd tot hiv- besmetting te vergelijken voor vrouwen die ter bescherming al dan niet een vaginale (N9) gel gebruikten. Om de deelnemers aan de twee groepen zoveel mogelijk
vergelijkbaar te houden werd ook aan de controlegroep het gebruik van een (niet-actieve maar verder niet te onderscheiden) placebogel voorgeschreven. Alhoewel de `two stage least squares’ methode voor het schatten van het causaal effect van de geobserveerde niveaus van gelgebruik ook het selectie-effect moet schatten, doet zij dit zonder het gelgebruik in de placebogroep in rekening te brengen. Die laatste bron van informatie kan onder bepaalde voorwaarden nochtans heel wat nuttige informatie verschaffen. Men vermoedt dat dit de schatting van het causaal effect sterk zou kunnen verbeteren. In deze thesis krijgt u de kans om - voortbouwend op het vak lineaire regressie - deze nieuwe methode uit te werken en toe te passen op data van een klinische studie van de N9 gel ter preventie van HIV seroconversie. Literatuur: Van Damme L.; Ramjee G.; Alary M.; et al. (2002). Effectiveness of COL-1492, a nonoxynol-9 vaginal gel, on HIV-1 transmission in female sex workers: a randomised controlled trial. LANCET: 360, 971-977 DOI: 10.1016/S01406736(02)11079-8 Maracy, M. and Dunn, G. (2011). Estimating dose-response effects in psychological treatment trials: the role of instrumental variables. STATISTICAL METHODS IN MEDICAL RESEARCH: 20, 191-215 DOI: 10.1177/0962280208097243 ______________________________________________________________________________________________ Exacte logistische regressie voor de bepaling van kwaliteit van ziekenhuiszorg Promotor: Els Goetghebeur Doelgroep: studenten wiskunde Korte beschrijving: Om binaire uitkomsten te verklaren op basis van een ree ks prediktoren wordt typisch logistische regressie analyse gebruikt, een uitbreiding van de lineaire regressiemethode. Standaard software doet daarbij een beroep op maximum likelihood schatters en produceert betrouwbaarheidsintervallen op basis van de normale benadering voor grote aantallen. Om de kwaliteit van zorg tussen verschillende ziekenhuiscentra te vergelijken kan men zo de uitkomst `sterfte binnen de 30 dagen na operatie’ voorspellen op basis van het centrum waar de patiënt is geopereerd na correctie voor patiënt-specifieke eigenschappen (zoals de leeftijd en het stadium van de ziekte). In deze context hecht men echter ook een groot belang aan de evaluatie van de kwaliteit in kleinere centra. Voor de schatting van hun effect op de uitkomst is een benadering gebaseerd op grote aantallen niet toereikend. In deze thesis willen we een artikel lezen rond exacte logistische regressie en de methode toepassen in de context van de ziekenhuisdata. Literatuur: Heinze G. (2006) A comparative investigation of methods for logistic regression with separated or nearly separated data. STATISTICS IN MEDICINE: 25, 4216-4226 DOI: 10.1002/sim.2687 Kressner M.; Mans B.; Bjorn C.; et al. (2009) The Impact of Hospital Volume on Surgical Outcome in Patients with Rectal Cancer. DISEASES OF THE COLON & RECTUM: 52, 1542-1549.
Titel: Vaagrelaties - fundamenten en toepassingen Promotoren: Mike Nachtegael, Etienne E. Kerre. Doelgroep: Studenten uit de tweede master wiskunde en informatica. Korte beschrijving Het begrip "relatie" is een fundamenteel concept binnen de wiskunde, en leent zich zowel tot interessante diepgaande theoretische studies als tot praktische toepassingen in uiteenlopende domeinen. Relaties zijn de
wiskundige modellering van verbanden tussen verzamelingen van objecten, en vaak is de uitdaging om uit deze informatie nieuwe informatie af te leiden. Dat is bijvoorbeeld het geval in de context van zogenaamde "aanbevelings-systemen" (recommendation systems), waarbij men op basis van het profiel van een gebruiker gepersonaliseerde data (aanbevelingen) wil aanbieden. Het probleem wordt complexer van zodra men de vaak imprecieze aard van relaties in rekening brengt. In dat geval biedt de vaagverzamelingenleer soelaas, met een eigen arsenaal aan bewerkingen om met vaagrelaties te werken. De doelstelling van dit thesisonderwerp is een gedetaileerde theoretische studie van vaagrelaties, en de uitwerking van één of meer praktijkvoorbeelden.
