Moduler Prima Kurang Dari 50 Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.pd
Oleh, Dini Indriani 142151234
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SILIWANGI 2015
2
MODULER PRIMA Dalam mata kuliah Teori Bilangan kita pasti mengenal istilah aritmatika moduler, bahkan istilah itu sudah tidak asing lagi khususnya bagi
mahasiswa
pendidikan
matematika pada semester kedua, karena
disetiap
pembahasan
materinya kata moduler selalu diikut sertakan
dalam
permasalahan
menyelesaikan
disetiap
bab
nya.
Untuk itu marilah kita bahas apa itu
Gambar 1. Carl Friedrich Gaus
aritmatika moduler dan bagaimana menyelesaikan berhubungan
persoalan dengan
yang
aritmatika
moduler. Aritmatika moduler (kadang juga disebut aritmatika jam) adalah sistem aritmatika untuk bilangan bulat dimana kedua bilangan bulat dioperasikan sampai mencapai nilai tertentu, yaitu modulus (sisa) atau juga merupakan bilangan sisa dari suatu pembagian bilangan bulat. Aritmetika modulo diperkenalkan
Gambar 2. Cover Buku
pertama kali oleh Carl Friedrich
Disquistiones Arithmaticae
Gaus dalam bukunya “Disquistiones Arithmaticae” yang dipublikasikan pada tahun 1801.
Dalam hal ini aritmatika akan diikut sertakan untuk menemukan sisa pembagian dari bilangan yang
3
tidak
habis
dibagi
oleh
suatu
Jawab :
bilangan prima yang kurang dari 50,
567 tidak habis dibagi 2 karena
Karena jika hanya berfokus pada
bilangan yang diwakili angka
ciri-ciri bilangan yang habis dibagi
terakhirnya ganjil.
oleh bilangan prima maka ketika kita
Untuk
mengetahui ciri-cirinya, kita hanya
pembagiannya maka disinilah
akan mendapatkan jawaban iya atau
saatnya menggunakan aritmatika
tidak.
jika
moduler. Karena pembaginya 2
menemukan
maka 2 merupakan modulo, oleh
Lantas
diperjalanan
bagaimana kita
mengetahui
bilangan yang tidak habis dibagi oleh
karena
bilangan prima, berdasarkan ciri-ciri
pembagiannya antara 0 dan 1.
tadi kita hanya bisa mendapatkan
Sehingga kita bisa membuat
jawaban tidak tanpa kita tahu berapa
hubungan seperti ini :
sisa pembagiannya. Namun sebelum
itu
untuk
sisa
itu akan dibahas terlebih dahulu ciri-
= 37
ciri bilangan yang habis dibagi oleh
= 40 – 37
bilangan prima kurang dari 50.
=2 3
a. Bilangan habis dibagi 2 Semua bilangan habis dibagi dua jika bilangan yang diwakili oleh
misalkan
tersebut adalah (
)
bilangan (
)
habis dibagi 2, maka
567
habis
dibagi 2 ? jika tidak berapakah sisa pembagiannya ?
)
Maka sisa pembagian dari
ditulis dalam bentuk 567 (
)
bilangan yang tidak habis dibagi
pembagianya
Contoh 1 : bilangan
(
dua karena untuk mencari sisa
haruslah b habis dibagi 2.
Apakah
)
Ada keistimewaan tersendiri dari
.
Supaya
(
567 : 2 adalah 1 atau bisa
angka terakhirnya genap. Bukti:
sisa
tidak
perlu
menggunakan cara diatas karena sudah pasti sisa pembagiannya 1, karena angka yang diwakili oleh angka terakhirnya ganjil.
4
sedangkan 0 hanya digunakan
modulernya
karena
beperan
untuk bilangan yang habis dibagi
sebagai
2 yaitu dengan ciri angka yang
dibuat hubungan seperti berikut :
diwakili oleh angka terakhirnya
10
(
)
genap.
10
(
)
pembagi,
sehingga
Untuk sisa pembagian dari
b. Bilangan habis dibagi 3 Suatu bilangan habis dibagi 3
bilangan yang tidak habis
jika
dibagi 3, sama dengan sisa
jumlah
bilangan
yang
diwakili oleh angka-angkanya
pembagian
habis dibagi 3.
angka bilangan awal.
jumlah
digit
Maka sisa pembagian dari
Contoh 1: Apakah bilangan 3456 habis
1234 : 3 sama dengan sisa
dibagi 3? jika tidak berapa sisa
pembagian 10 : 3 adalah 1
pembagiannya?
atau bisa di tulis dalam
Jawab :
bentuk
3456
= 3+4+5+6
( (
atau
)
)
=3|18 Ternyata 18 habis dibagi 3 maka
Contoh 3:
3456 habis dibagi 3. sehingga
Apakah 56789 habis dibagi 3?
sisa pembagiannya 0.
Jika
Contoh 2:
pembagiannya?
tidak
berapa
sisa
Apakah 1234 habis dibagi 3? Jika
tidak
berapa
sisa
pembagiannya ?
Jawab: 56789
Jawab: 1234
= 5+6+7+8+9 = 35 3
= 1+2+3+4 Untuk
= 10
mengetahui
sisa
sisa
pembagiannya
yaitu
pembagiannya
yaitu
menggunakan
aritmatika
menggunakan
aritmatika
Untuk
moduler,
mengetahui
dengan
3
sebagai
moduler,
dengan
modulernya
3
karena
sebagai beperan
5
sebagai
pembagi,
sehingga
2. Jika angka terakhirnya lebih
dibuat hubungan seperti berikut :
dari
sisa
(
)
pembagiannya yaitu angka
35
(
)
terakhir dikurangi 5. d. Bilangan habis dibagi 7 Bilangan habis dibagi 7 jika
dengan sisa pembagian 2.
bilangan kelipatan 7 mendekati
c. Bilangan habis dibagi 5 Suatu bilangan habis dibagi 5
angka awal tetapi lebih dari
jika angka paling kanan dari
angka awal kemudian dikurangi
bilangan tersebut adalah 5 atau
angka awal, jika hasilnya habis
0.
membagi 7 maka bilangan awal
Contoh 1:
habis dibagi 7.
Apakah 12345 dan 123567 habis
Contoh 1 :
dibagi 5 ? jika tidak tentukan
Apakah 100 dan 123 habis
sisa pembagiannya?
dibagi 7 ? jika tidak berapa sisa
Jawab:
pembagiannya?
12345 habis dibagi 5 karena
Jawab:
angka paling kanan nya adalah 5
maka
35
56789 tidak habis dibagi 3
5
= 140 – 100
100 : 7
sesuai dengan ciri bilangan habis
= 40
dibagi 5.
= 70 – 40
1234567 tidak habis dibagi 5
= 30
karena angka terakhirnya bukan
= 35 – 30
0 maupun 5. Adapun untuk
=5
mengetahui sisa pembagiannya
5
(
)
yaitu ada 2 cara untuk bilangan
5
(
)
yang tidak habis dibagi 5, yaitu :
7–5=2
1. Jika
Sisa dari (100 : 7) yaitu 2 atau
angka
terakhirnya maka
bisa ditulis sebagai 100
sisa
(
pembagiannya yaitu angka terakhir itu sendiri.
)
123 : 7
70
= 70 + 35 + 18 (
)
6
35
(
)
membagi 13 maka bilangan awal
18 = 4 (mod 7)
habis dibagi 13.
Sisa nya, 0+0+4 = 4
Contoh 1:
Sisa pembagian dari 123:7 yaitu
Apakah 2613, 100003, 655 habis dibagi 13 ? jika tidak berapa sisa
4 atau bisa ditulis , (
123
)
pembagiannya ? Jawab :
e. Bilangan habis dibagi 11 Suatu bilangan habis dibagi 11 jika
pada
bilangan
2613 : 13 = 2600 + 13 -2613
tersebut
= 0 habis dibagi 13 Sehingga 2613 habis dibagi 13
jumlah bilangan yang diwakili oleh angka pada tempat ganjil
(dihitung dari sebelah kanan)
500
dikurangi
500 =
dengan
jumlah
100003
=
(
bilangan yang diwakili oleh
= 12
angka-angka pada tempat genap
= 24
habis dibagi 11. 12345678=(8+6+4+2)-(7+5+3+1)
200
(
)
(
)
200 =
= 20 – 16 = 4 11
)
=
=5
Sisa =
4
(
)
58
4
(
)
100003 tidak habis dibagi 13
Ternyata 12345678 tidak habis
bisa
4 atau bisa ditulis 12345678 ).
)
dengan sisa pembagian 7 atau
dibagi 11 dengan sisa pembagian (
(
ditulis
(
100003
) = 650 + 13 – 655
655
f. Bilangan habis dibagi 13
= 8 13
Bilangan habis dibagi 13 jika
8
(
)
bilangan kelipatan 13 mendekati
8
(
)
angka awal tetapi lebih dari
13 – 8 = 5
angka awal kemudian dikurangi
655 tidak habis dibagi 13
angka awal, jika hasilnya habis
dengan sisa pembagian 5.
7
g. Bilangan habis dibagi 17 jika
= (34, 17)
FPB dari bilangan itu dengan 17
= (17, 17 )
adalah 17 maka bilangan itu
Ternyata FPB dari 357 dan 17
habis
adalah 17 sehingga bilangan itu
dibagi
17,
atau
bisa
menggunakan cara pengurangan
habis dibagi 17.
kelipatan 17 dengan bilangan
Tetapi cara menggunakan FPB
itu.
kurang efektif untuk bilangan
Mencari FPB yang digunakan
prima karena tidak mengetahui
adalah
sisa
menggunakan
aturan
Algoritma Stein, yaitu aturan
pembagiannya
jika
bilangan itu tidak habis dibagi.
ganjil genap. 1. Jika
kedua
bilangan
ganjil,
) dengan
Misalkan( maka (
)
(
Bilangan habis dibagi 19 jika FPB dari bilangan itu dengan
)
19 adalah 19 maka bilangan itu
2. Kedua bilangan genap Misalkan (
)
(
h. Bilangan habis dibagi 19
habis dibagi 19, atau bisa
)
menggunakan 3. jika bilangan ganjil dan genap misalkan ( dan (
v
) dengan u genap
ganjil
)
maka,(
)
kelipatan
19
dengan bilangan itu. Contoh ; Apakah bilangan 10045 dan
Contoh : Apakah
pengurangan
cara
2381 habis dibagi 19? Jika bilangan
357
habis
tidak berapa sisanya ?
dibagi 17? Jika tidak berapa sisa
Jawab ;
pembagiannya?
Disini kita menggunakan cara
Jawab :
pada catatan poin 2 karena
Menggunakan
cara
dengan
yang diminta dari soal selain
mencari FPB dari (357, 17)
menjawab habis dibagi atau
(357,17) = (
)
tidak tetapi juga diminta untuk
= (170, 17)
menjawab sisa pembagiannya,
= (85, 17)
karena jika menggunakan cara
8
FPB
tidak
langsung
mengetahui
= 198 = 230 – 198
sisa
pembagiannya.
= 32
10045
=19000-10045
= 46 – 32
= 8955
= 14 23
= 9500 – 8955
Bilangan 1578 tidak habis
= 545
dibagi 23 dengan sisa 14.
= 570 – 545
j. Bilangan habis dibagi 29 56098
= 25
= 58000 – 56098
= 38 – 25
= 1902
= 13 19
= 2900 – 1902
Maka bilangan 10045 tidak
= 998
habis dibagi 19 dengan sisa
= 1450 – 998
pembagiannya
= 452
13
sesuai
dengan cara pada catatan poin
= 725 – 452
2.
= 273
i. Sisa pembagian Bilangan tidak
= 17 29
habis dibagi 23. Sama
seperti
bilangan
cara
prima
sebelumnya,
pada
29 – 17 = 12
yang
56098 tidak habis dibagi 29
sekarang
bisa
langsung diaplikasikan kepada contoh
soal
= 290 – 273
karena
23
merupakan bilangan prima.
dengan sisa 12 k. Sisa pembagian Bilangan tidak habis dibagi 31. FPB(12345,31)
Contoh :
= (6157, 31)
Apakah 1578 habis dibagi 23
= (3063, 31)
?jika tidak berapa sisanya ?
= (3032, 31)
Jawab :
= (1516, 31)
1. 1578 = 2300 – 1578
= (758, 31)
= 722
= (379, 31)
= 920 – 722
= (174, 31)
= (12345, 31)
9
= (87, 31)
Suatu bilangan habis dibagi 37
= (28,31)
jika bilangan itu dipisahkan tiga
= (7, 31)
digit tiga digit dari belakang
= (7, 3)
kemudian
= (1,1)
bilangan yang telah dipecah tadi
jika
jumlah
Maka 12345 tidak habis dibagi 31
bernilai
karena FPB nya 1. Namun cara ini
kelipatan tiga digit maka bilangan
tidak menandakan sisa pembagian
tersebut habis dibagi 37 atau bisa
karena 31 merupakan bilangan
menggunakan FPB dari bilangan
prima.
itu dengan 37 jika FPB nya
Untuk
mengetahui
sisa
bilangan
dari
berulang
bilangan prima itu sendiri maka
pembagiannya bisa menggunakan
bilangan tersebut habis dibagi 37.
cara pada poin-poin pada catatan.
Contoh 1 :
Disini kita menggunakan cara
Apakah 179825 habis dibagi 37 ?
pada poin 2.
jika
12345
tidak
= 15500 – 12345
pembagiannya ?
= 3155
Jawab :
= 7750 – 3155
1798258
berapa
sisa
= 001 + 798 + 258
= 4595
= 1057
= 6200 – 4595
= 001+057
= 1605
= 58 37
= 3100 – 1605
58
= 1495
58
= 1550 – 1495
Sehingga sisa pembagiannya 21.
(
) (
)
= 55
Contoh 2 :
= 62 – 55
Apakah 2345 habis dibagi 37 ?
= 7 31
jika
Sisa pembagiannya 7 . l. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 37
tidak
berapa
pembagiannya ? 2345
= 002 + 345 = 347 = 3 + 4 +7
sisa
10
= 116
= 37 14 14
(
14
= 215 – 116
) (
)
= 43 99
Sehingga 2345 tidak habis dibagi
99
37 dengan sisa pembagian 14.
99
(
) (
)
43 – 13 = 30 Karena 99 tidak habis dibagi 43 m. Sisa pembagian dari bilangan
maka 546 tidak habis dibagi 43
yang tidak habis dibagi 41
sehingga
Contoh :
pembagiannya 30.
2341
didapat
= 4100 – 2341
Contoh 2 :
= 1759
4352 = 4300 + 52
sisa
= 2050 – 1759
4300
= 291
52
= 410 – 291
Sisa pembagiannya = 0 + 9 = 9
= 119
Karena 52 tidak habis dibagi 43
( (
) )
= 205 – 119
maka 4352 tidak habis dibagi 43
= 86 41
sehingga
86
(
)
86
(
)
didapat
pembagiannya 9.
Karena 86 tidak habis dibagi 41
o. Sisa pembagian dari bilangan
maka 2341 tidak habis dibagi 41
yang tidak habis dibagi 47
sehingga
Contoh :
didapat
sisa
sisa
234 = 470 – 234
pembagiannya 4
= 236 = 235 – 236
n. Sisa pembagian dari bilangan
= (-1) 47
yang tidak habis dibagi 43 Contoh :
-1
546 = 860 – 546
= 314 = 430 – 314
(
) (
)
Karena (-1) tidak habis dibagi 47 maka 234 tidak habis dibagi 47
11
sehingga
didapat
sisa
2. Jika terdiri dari 3 angka atau lebih
pembagiannya 46.
maka lakukan cara diatas dengan
Contoh 2:
memisahkan dua angka dari kiri
546
(76)
= 940 – 546
kemudian
= 394
diatas setelah mendapatkan sisa dari
= 470 – 394
penguraiandua angka dari kiri maka
= 76 47
sisanya dibuat sebagai puluhan dan
(
(76)
) (
lanjutkan
seperti
cara
satuannya yaitu angka setelah yang )
dipisahkan tadi. Lakukan langkah itu
Karena 76 tidak habis dibagi 47
sampai angka terakhir bilangan yang
maka 546 tidak habis dibagi 47
akan dibagi.
sehingga
Contoh
didapat
sisa
yang terdiri dari dua
angka:
pembagiannya 29.
Tentukan sisa pembagian dari 98 Adapun cara lain untuk mengetahui
dibagi 19 ?
sisa pembagian bilangan prima 19
Jawab:
yaitu
98
menggunakan
aturan
= 9 + 2(8)
aritmatika modulo.
= 25
Langkah-langkahnya :
(
1. Jika terdiri dari dua angka, pisahkan
)
Karena 6 adalah genap maka sisa
satu angka dari kiri dan tambahkan
pembagiannya 6 dibagi 2 yaitu 3.
dengan 2 kali angka dari kanan,
Contoh yang terdiri dari 3 angka :
kemudian jika hasinya kurang dari
Tentukan sisa pembagian dari 978
modulo dan genap maka hasilnya
dibagi 19 ?
dibagi 2 setelah dibagi 2 maka
Jawab:
hasilnya
sisa
Karena terdiri dari 3 angka maka
setelah
ambil dua angka dari kiri dan cari
sama
pembagiannya.
dengan Jika
penjumlahan tadi hasilnya ganjil
sisanya,
maka bilangan itu di tambah modulo
97
= 9 + 2(7)
dikurangi ganjil dibagi 2 hasilnya
= 23
sama dengan sisa pembagiannya.
(
)
12
(
Karena angka 4 genap maka 4 dibagi
)
2 hasinya 2.
Karena
Kemudian hasilnya dibuat menjadi
dikurangi 9 kemudian hasilnya di
puluhan dan satuannya adalah angka
bagi 2 selanjutnya jumlahkan dengan
yang belum diuraikan dari bilangan
9.
awal, dalam hal ini yaitu 8.
19 – 9 = 10 =
28
= 2 + 2(8) )
modulo
=5
hasilnya 7.
Karena 18 genap maka 18 dibagi 2 hasilnya 9 dan 9 adalah sisa dari 978 dibagi 19.
Setelah diketahui sisanya 7 kemudian dibuat
menjadi
puluhan
dan
satuannya adalah angka yang belum
Contoh yang terdiri dari 6 angka : sisa
pembagian
dari
178235 dibagi 19 ?
diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 2. 72
Jawab :
= 7 + 2(2) = 11
Seperti halnya pada contoh yang terdiri dari tiga angka maka pisahkan dua angka dari kiri, karena dalam soal diatas dua angka dari kiri adalah (
17 dan
) maka
ambil tiga angka dari kiri terlebih
(
)
Karena 11 ganjil maka, 19 – 11 = 8 = = 4 11 + 4 = 15 Setelah
diketahui
sisanya
15
kemudian dibuat menjadi puluhan
dahulu. = 17 + 2(8) (
)
14 Diperoleh dari 33 dikurangi 19 atau bisa menggunakan cara seperti berikut, = 3 + 2(3) =9
dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal,
= 33
33
maka
Karena 14 genap maka 14 dibagi 2
(
178
ganjil
9 + 5 = 14
= 18
Tentukan
9
dalam hal ini yaitu 3. 153
= 15 + 2(3) = 21 (
)
Karena 2 genap maka, = 1
13
Setelah diketahui sisanya 1 kemudian
mengurangkan modulo dengan
dibuat
sisa pengurangan bilangan awal.
menjadi
puluhan
dan
satuannya adalah angka yang belum
3. Jika bilangan awal menggunakan
diuraikan dari bilangan awal, dalam
kelipatan yang nmendekati sekali
hal ini yaitu 5.
bilangan
Dalam hal ini tidak perlu diuraikan
pengurangannya merupakan sisa
kembali karena 15 masih anggota
pembagian bilangan awal dengan
dari modulo.
prima.
(
)
4. Jika
awal
yang
maka
sisa
digunakan
adalah
Karena tidak ada lagi bilangan yang
perkalian atau penjumlahan maka
belum
hasil
diuraikan
maka
sisa
dari
perkalian
dan
pembagiannya adalah hasil terakhir
penjumlahan itu merupakan sisa
yaitu 15.
pembagiannya. Manfaat dari moduler prima ini
Catatan : 1. untuk bilangan kelipatan yang
yaitu
untuk
mengetahui
sisa
dikurangi
pembagian untuk bilangan yang
bilangan awal jika kelipatannya
tidak habis dibagi bilangan prima
mengikuti pendekatan kelipatan
tanpa
modulo dari digit depan pada
pembagian secara manual, yaitu
bilangan
digunakan
untuk
menggunakan
maka
sisa
dengan
merupakan
sisa
pendekatan dari bilangan yang
awal
pengurangan
harus
akan
pembagian bilangan awal,
menggunakan
dibagi
metode
adapun
untuk
pola
mengetahui bilangan yang habis
modulo
dibagi atau tidak maka bisa
yang dibagi 2 dari setiap bilangan
menggunakan FPB jika FPB nya 1
sisa, jika tidak habis dibagi 2
maka bilangan itu tidak habis
maka menggunakan kelipatan 13
dibagi oleh bilangan prima.
2. jika
menggunakan
pendekatan
itu sendiri
kelipatan
tetapi tidak begitu
mendekati bilangan awal maka untuk
mengetahui
pembagiannya
yaitu
sisa dengan
14
DAFTAR PUSTAKA Anonim. [Online]. Tersedia: https://www.google.co.id/se arch?q=buku+disquisitiones +arithmeticae&newwindow =1. [26 juni 2015] Hakim, Arnaz Maliku. [Online]. Tersedia:https://zanragtg.wo rdpress.com. [19 juni 2015] Hoca, Senol. [Online]. Tersedia: https://m.youtube.com/watc h?v=KGOI_y9LUfA. [19 juni 2015] Nngermanto, Agus Tersedia:
.
[Online].
https://m.youtube.com/watc h?v=7hH0liKUDN0.[19 juni 2015] Sihabudin. [Online]. Tersedia: https://asimtot.wordpress.co m/2010/05/03/modulo-dankongruensi/.[20 juni2015]
