MODUL PRAKTIKUM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (MAM2201)
DISUSUN OLEH : 1. 2.
Zulkarnain, M.Si Khozin Mu’tamar, M.Si
PRODI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU 2015
1
Modul 1 : Persamaan Diferensial Biaasa Orde-1 :
TIU
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
:
TIK
1. Mahasiswa mengenal dasar-dasar Maple untuk menyelesaikan PDB orde 1 2. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 1 linier menggunakan Maple 3. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 1 secara manual dengan menggunakan bantuan Maple.
Materi
1.1
:
Bidang arah, Pemisahan variabel, Faktor integrasi.
Bidang arah
Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde 1 dy = y 0 (x) = f (x) dx
(1)
Secara geometris persamaan (??) dapat diartikan sebagai kemiringan suatu kurva yang bernilai f (x) di setiap titiknya. Bidang arah dari persamaan (??) merupakan keluarga kurva berarah dari f (x) berdasarkan nilai dari y 0 (x) yang tidak lain adalah kemiringan dari y(x). Bidang arah sendiri dapat merepresentasikan perilaku dari solusi persamaan diferensial yang akan diselesaikan. KODE MAPLE restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DEtools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial
with(plots)
:
Package Maple untuk melakukan ploting kurva.
D(y)(t)
:
Cara menulis dy/dt
diff(y,t)
:
Cara menulis dy/dt versi 2
DEplot
:
Memplot bidang arah dari dy/dt = f (t)
plot
:
Memplot kurva dari fungsi peubah tunggal f (x)
display
:
Memplot beberapa kurva dalam satu bidang
CONTOH Misalkan diberikan PDB linier yaitu dy/dx = 2x + 2. Solusi umumnya adalah y(x) = x2 + 2x + c Berikut adalah bagaimana menampilkan kurva bidang arah yang sekaligus berdampingan dengan kurva solusi dari PDB di atas 1
Kode 1: Bidang Arah
restart ; 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
with (DETools) ; with ( plots ) ; pdb:=D( y ) ( x ) =2∗x+2; yu:=(x , c )−>x^2+2∗x+c ; p1:= plot (yu( x , 1 ) , x = −2..2 , color = blue ) ; p2:= plot (yu( x , 2 ) , x = −2..2 , color=black ) ; p3:= plot (yu( x , 3 ) , x = −2..2 , color=green ) ; p4:= plot (yu( x , 4 ) , x = −2..2 , color=magenta) ; p5:= plot (yu( x , 5 ) , x = −2..2 , color=yellow ) ; dp:=DEplot (pdb , y ( x ) , x= −2..2 ,y= −10..10) ; display ( {dp , p1 , p2 , p3 , p4 , p5} ) ;
LATIHAN Gambarkanlah bidang arah berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun laporan atas permasalahan berikut ini. 1. y 0 = y(1 − y) 2. y 0 (x) + 2y(x) = 2 3. y 0 (x) = x − 2 4. y 0 (x) − 2y(x) = 2x + 2
1.2
Pemisahan Variabel
Misalkan diberikan PDB orde 1 dalam bentuk M (x, y)dy + N (x, y)dx = 0
(2)
Jika M (x, y) hanya mengandung variabel y saja dan N (x, y) hanya mengandung variabel x saja maka solusi dari persamaan (??) dapat ditentukan dengan pemisahan variabel, yaitu dengan mengintegralkan terhadap masing-masing variabelnya. M (x, y)dy = −N (x, y)dx
(3)
Z
(4)
˜ (y)dy = − M
Z
˜ (x)dx N
KODE MAPLE restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DEtools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial
dsolve
:
Menyelesaikan PDB menggunakan package Maple
separable
:
Option dalam dsolve untuk separasi variabel
int(f,x)
:
Melakukan integral fungsi f terhadap x
CONTOH Misalkan diberikan PDB yaitu dy/dx = (1 − 2x)y 2 (x). Dengan manipulasi aljabar akan diperoleh
dy = (1 − 2x)dx y 2 (x) 2
Dengan melakukan integral di kedua ruas akan diperoleh Z
dy = (1 − 2x)dx 2 y (x) −1 = x − x2 + C y(x) Z
sehingga solusi umumny adalah y(x) =
x2
1 −x+C
Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah sebagai berikut ini Kode 2: Pemisahan Variabel
1 2 3 4 5
restart ; with ( DEtools ) ; pdb:=D( y ) ( t ) =(1−2∗t ) ∗y ( t ) ^ 2 ; int ( 1 /y^2 ,y )=int (1−2∗t , t ) ; dsolve (pdb , [ separable ] ) ;
LATIHAN Selesaikanlah PDB orde 1 berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun laporan atas permasalahan berikut ini. 1. y 0 + y 2 sin x = 0 2.
3x2 + 4x + 2 2(y − 1)
3.
x2 1 − y2
4.
x − e−x y + ey
5.
dy = cos2 x cos2 2y dx
1.3
Faktor Integrasi
Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde 1 dalam bentuk P (x)y 0 (x) + Qy(x) = R(x)
(5)
Persamaan (??) dapat dituliskan dalam bentuk y 0 (x) + q(x)y(x) = r(x)
(6)
Solusi persamaan (??) dapat ditentukan dengan faktor integrasi yang didefinisikan sebagai µ(x) = exp
Z
q(x) dx
µ0 (x) = µ(x)q(x) 3
(7) (8)
Persamaan (??) kemudian dituliskan menjadi µ(x)y 0 (x) + µ(x)q(x)y(x) = µ(x)r(x) dµ(x)y(x) = µ(x)r(x) dx
(9)
Solusi persamaan (??) dapat ditentukan dengan mengintegralkan masing-masing ruas sehingga Z
dµ(x)y(x) =
Z
µ(x)r(x) dx
y(x) = µ
−1
(x)
Z
µ(x)r(x) dx + C
(10)
KODE MAPLE dsolve
:
Menyelesaikan PDB secara langsung dari maple
rhs
:
Mengambil ruas kanan dari suatu persamaan
int(y(t),t)
:
Mengintegralkan y(t) terhadap t atau
simplify
:
Menampilkan output dalam bentuk paling sederhana
R
y(t) dt
CONTOH 1. y 0 (x) + 2y(x) = 2 Secara manual, pertama, tentukan faktor integrasi, yaitu µ = exp
Z
2 dx = exp (2x)
Kalikan ke dalam PDB awal sehingga diperoleh exp 2x(y 0 (x) + 2y(x)) = 2 exp 2x d(y(x) exp 2x) = 2 exp 2x dx Z Z d(y(x) exp 2x) = 2 exp 2xdx y(x) exp 2x = exp 2x + C y(x) = C exp (−2x) + 1 Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple, maka kodenya adalah 1 2 3 4 5 6 7 8
Kode 3: Faktor Integrasi
restart ; with ( DEtools ) ; pdb:=(D( y ) ) ( x ) +2∗y ( x ) =2; mu:=exp ( int ( 2 , x ) ) ; pdbRKa:= mu∗ rhs (pdb) ; yRKa:= int (pdbRKa, x ) ; y:=(yRKa+C) /mu; dsolve (pdb) ;
2. 2y 0 (x) + 4y(x) = ex 4
Persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi y 0 (x) + 2y(x) = ex /2 Faktor integrasi dari persamaan di atas adalah µ = exp
Z
2 dx = exp (2x)
Kalikan ke dalam PDB awal sehingga diperoleh exp (2x)(y 0 (x) + 2y(x)) = exp (3x)/2 d(y(x) exp 2x) = exp (3x)/2 dx Z Z 1 exp 3xdx d(y(x) exp 2x) = 2 1 y(x) exp 2x = exp 3x + C 6 1 y(x) = exp x + C exp (−2x) 6 Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kode 4: Faktor Integrasi
restart ; with ( DEtools ) ; pdb:=2∗(D( y ) ) ( x ) +4∗y ( x ) = exp ( x ) ; pdbn: = ( 1 / 2 ) ∗pdb ; mu:= exp ( int ( 2 , x ) ) ; pdbnRA:=mu∗ rhs (pdbn) ; yRA:= int (pdbnRA, x ) ; y:= simplify ( (yRA+C) /mu) ; simplify ( dsolve (pdb) ) ;
LATIHAN Selesaikanlah PDB orde 1 berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun laporan atas permasalahan berikut ini. 1. y 0 (x) − 2y(x) = 2 2. y 0 (x) = −y − 2 3. y 0 (x) − 2y(x) = 2x + 2 4. y 0 + 2y = te−2t , dengan nilai awal y(1) = 0
5
2
Modul 2 : Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 Lanjutan :
TIU
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
:
TIK
1. Mahasiswa mampu menentukan suatu persamaan diferensial eksak atau bukan 2. Mahasiswa mampu menyelesaikan Persamaan diferensial homogen 3. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB eksak
Materi
2.1
:
PDB orde 1 homogen, PDB orde 1 eksak
PDB Orde 1 Homogen
Bentuk umum PDB orde 1 homogen adalah dy = f (x, y) = f dx
y x
(11)
Artinya, suku tak homogen f (x, y) dapat dibentuk dalam fungsi rasional yang terdiri atas x dan y secara eksplisit. Solusi masalah ini adalah dengan memisalkan z=
y −→ xz = y x
sehingga diperoleh PDB yang baru x
dz + z = f (z) dx
Menggunakan operasi aljabar, akan diperoleh dx dz = f (z) − z x yang penyelesaiaannya dilakukan dengan integral masing-masing ruas. KODE MAPLE restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DEtools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial
int(f,x)
:
Melakukan integral fungsi f terhadap x
simplify(f)
:
Menampilkan bentuk fungsi f yang paling sederhana
convert(f,parfrac,x)
:
Melakukan konversi f dengan format parfrac
parfrac
:
Bentuk rasional partisi, yaitu bentuk a/b
CONTOH Tentukan solusi dari PDB orde 1 berikut ini dy y 2 + 2xy = dx x2 6
Pertama, sederhanakan bentuk PDB di atas menjadi dy 2xy y2 = 2+ 2 = dx x x
2 y
x
+2
y x
Terlihat bahwa suku tak homogen tersusun dalam bentuk y/x. Selanjutnya, misalkan z = y/x maka diperoleh dy = x dz + z dx sehingga x
dz dz dx + z = z 2 + 2z −→ 2 = −→ dx z +z x
Z
dz = z2 + z
Z
dx x
ruas kiri persamaan menjadi Z
dz = 2 z +z
Z
1 dz − z
Z
1 dz z+1
sehingga menghasilkan ln z − ln (z + 1) = ln x + ln C −→
z = Cx z+1
dengan mengembalikan substitusi z = y/x diperoleh y(x) =
Cx2 1 − Cx
Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah Kode 5: PDB orde 1 Homogen
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
restart ; with (DETools) ; ode:= d i f f ( y ( x ) , x ) =(y ( x ) ^2+2∗y ( x ) ∗x ) /x ^ 2 ; ode2:=subs ( y ( x )=z ( x ) ∗x , ode ) ; ode3:= simplify ( ode2 ) ; ode4:= simplify ( ode3−z ( x ) ) ; ode4kiri := convert ( 1 / rhs ( ode4 ) , parfrac , z ( x ) ) ; r u a s k i r i := int ( 1 / z −1/(z+1) , z ) ; ruaskanan:= int ( 1 / x , x ) ; s o l := r u a s k i r i = ruaskanan ; simplify ( subs ( z = y/x , s o l ) ) ;
LATIHAN Tentukan solusi dari PDB orde 1 homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1.
dy x + 3y = dx x−y
2.
4y − 3x dy = dx 2x − y
3.
dy x2 + xy + y 2 = dx x2
4.
dy x2 − 3y 2 = dx 2xy 7
5.
2.2
dy 2xy = 2 dx x − 3y 2
PDB Orde 1 Eksak
Misalkan diberikan persamaan diferensial M (x, y)dy + N (x, y)dx = 0 Persamaan diferensial di atas dikatakan PDB orde 1 Eksak jika memenuhi dM (x, y) dN (x, y) = dx dy Misalkan solusi persamaan di atas adalah ψ(x, y). Solusi ini memenuhi dψ(x, y) = N (x, y) dx dψ(x, y) = M (x, y) dy Solusi dapat diperoleh dengan beberapa langkah substitusi, yaitu 1. Integralkan N (x, y) terhadap variabel x sehingga menghasilkan fungsi ψ(x, y) yang mengandung fungsi C = g(y). 2. Substitusikan ψ(x, y) di atas pada bentuk M (x, y) sehingga akan diperoleh dg(y) dy 3. Integralkan bentuk di atas sehingga diperoleh hasil g(y) 4. Substitusikan pada bentuk pertama sehingga diperoleh solusi khusus. KODE MAPLE restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DEtools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial
diff(f,x)
:
Melakukan diferensial fungsi f terhadap variabel x
int(f,x)
:
Melakukan integral fungsi f terhadap x
unapply(f,x,y)
:
Merubah ekpresi f menjadi fungsi dengan variabel x dan y
simplify(f)
:
Menampilkan bentuk fungsi f yang paling sederhana
implicit(f)
:
Menampilkan fungsi f secara implicit
CONTOH Selesaikan persamaan diferensial berikut ini (4x + 2y)dx + (2x − 2y)dy = 0
8
Berdasarkan soal, diperoleh dM (x, y) =2 dx dN (x, y) N (x, y) = 4x + 2y −→ =2 dy
M (x, y) = 2x − 2y −→
yang menunjukkan bahwa persamaan diferensial ini merupakan PDB orde 1 eksak. Selanjutnya, integralkan N (x, y) terhadap variabel x sehingga diperoleh ψ(x, y) =
Z
N (x, y) dx = 2x2 + 2xy + g(y)
Substitusikan pada M (x, y) sehingga dψ(x, y) dg(y) = M (x, y) −→ 2x + = 2x − 2y dy dy Sederhanakans sehingga menghasilkan dg(y) = −2y dy yang dengan integral biasa akan menghasilkan g(y) = −y 2 Solusi akhir dari permasalahan ini adalah ψ(x, y) = 2x2 + 2xy − y 2 Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple kodenya adalah Kode 6: PDB eksak
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
restart ; with (DETools) ; ode:=4∗x+2∗y ( x ) =−(2∗x−2∗y ( x ) ) ∗ (D( y ) ) ( x ) ; s o l := simplify ( dsolve ( ode , i m p l i c i t ) ) ; N :=(x , y )−>4∗x+2∗y ; M :=(x , y )−>2∗x−2∗y ; Ny := d i f f (N( x , y ) , y ) ; Mx := d i f f (M( x , y ) , x ) ; psi :=unapply ( int (N( x , y ) , x )+g ( y ) , x , y ) ; odeN:=M( x , y ) −( d i f f ( psi ( x , y ) , y ) ) ; dsolve (odeN) ;
LATIHAN Tentukan solusi dari PDB orde 1 berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. (2x + 4y) + (2x − 2y)y 0 = 0 2. 2xy 2 + 2y + (2x2 y + 2x)y 0 = 0
9
3. (x ln y + xy)dx + (y ln x + xy)dy = 0 4. (y/x + 6x)dx + (ln x − 2)dy = 0 5. (ex sin y + 3y)dx − (3x − ex sin y)dy = 0
10
3
Modul 3 : Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 Homogen
TIU
:
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
TIK
:
Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 2 homogen dengan menggunakan metode persamaan karateristik
Materi
:
Metode Karateristik
Bentuk umum PDB orde 2 homogen adalah ay 00 (t) + by 0 (t) + cy(t) = 0. Didefinisikan λ =
(12)
d sehingga persamaan (??) menjadi dt (aλ2 + bλ + c)y(t) = 0
Dengan asumsi y(t) 6= 0 maka akan diperoleh persamaan karateristik yaitu aλ2 + bλ + c = 0
(13)
yang merupakan persamaan kuadrat dengan 3 kemungkinan akar,yaitu riil berbeda, riil sama dan akar imajiner. Solusi persamaan (??) ditentukan berdasarkan jenis dan nilai solusi persamaan (??) 1. Jika solusinya akar riil berbeda maka solusi umumnya berbentuk y(t) = c1 exp λ1 t + c2 exp λ2 t 2. Jika solusinya akar riil sama maka solusi umumnya berbentuk y(t) = c1 exp λt + c2 t exp λt 3. Jika solusinya akar imajiner yang berbentuk z = α + ßβ maka solusi umumnya berbentuk y(t) = exp (αt)(A cos βt + B sin βt) KODE MAPLE with(DETools)
:
Package Maple untuk masalah persamaan diferensial.
dsolve
:
Menyelesaikan persamaan diferensial
solve
:
Menyelesaikan persamaan linier atau nonlinier
Re(z)
:
Menyatakan nilai real dari bilangan kompleks z = a + ib.
Im(z)
:
Menyatakan nilai imajiner dari bilangan kompleks z = a+ib.
CONTOH 1. y 00 (x) − 9y 0 (x) + 9y(x) = 0 11
Persamaan karateristiknya adalah λ2 − 9λ + 9 = 0 Akar karateristiknya menggunakan rumus ABC adalah λ1,2 =
9±
√
√ 81 − 36 9±3 5 = 2 2
Solusi umum dari masalah di atas adalah √ ! √ ! 9+3 5 9−3 5 y(x) = C1 exp + C2 exp 2 2 Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah Kode 7: PDB Orde-2
1 2 3 4 5 6 7
restart ; with (DETools) ; pdb:=D^ ( 2 ) ( y ) ( x ) −9∗(D( y ) ) ( x ) +9∗y ( x ) =0; ye:= dsolve (pdb) ; pk:=lambda^2−9∗lambda+9 = 0 ; ak:= solve (pk) ; y:=c1∗exp ( ak [ 1 ] ) +c2∗exp ( ak [ 2 ] ) ;
2. y 00 (x) + y 0 (x) + 9y(x) = 0 Persamaan karateristiknya adalah λ2 + λ + 9 = 0 Akar karateristiknya menggunakan rumus ABC adalah λ1,2 =
−1 ±
√
1 − 36
2
√ −1 ± 35i = 2
Solusi umum dari masalah di atas adalah y(x) = exp
−1 x 2
C1 cos
35 2
+ C2 sin
35 2
Jika diselesaikan dengan Maple maka langkah penyelesaiaannya adalah 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kode 8: PDB Orde-2
restart ; with (DETools) ; pdb:=D^ ( 2 ) ( y ) ( x )+D( y ) ( x ) +9∗y ( x ) =0; ye:= dsolve (pdb) ; pk:=lambda^2+lambda+9=0; ak:= solve (pk) ; akR:=Re( ak [ 1 ] ) ; akI:=Im( ak [ 1 ] ) ; y:=exp (akR∗x ) ∗ ( c1∗ cos ( akI∗x )+c2∗ sin ( akI∗x ) ) ;
12
LATIHAN Tentukan solusi umum dari PDB orde 2 homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. 2y 00 (t) − 3y 0 (t) + y(t) = 0 2. y 00 (t) − 2y 0 (t) − 2y(t) = 0 3. y 00 (t) + 3y(t) = 0 4. 4y 00 (t) − y 0 (t) = 0 5. 2y 00 (t) + y 0 (t) − 4y(t) = 0 dengan nilai awal y 0 (0) = 1 dan y(0) = 1
13
4
Modul 4 : Persamaan Diferensial Biasa orde-2 Nonhomogen :
TIU
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
:
TIK
1. Mahasiswa dapat menyelesaikan PDB orde 2 dengan menggunakan metode koefisien tak tentu 2. Mahasiswa dapat menyelesaikan PDB orde 2 dengan menggunakan metode variasi parameter
Materi
4.1
:
PD orde 2 nonhomogen
Metode Koefisien Tak Tentu
Bentuk umum PDB orde 2 tak homogen adalah ay 00 (x) + by 0 (x) + cy(x) = f (x)
(14)
Solusi PDB orde 2 nonhomogen disusun atas solusi homogen (yh ) dan solusi partikular (yp ). Solusi homogen diperoleh dengan mengasumsikan f (x) = 0. Selanjutnya, solusi partikular diperoleh dengan memperhatikan bentuk f (x) kemudian menyesuaikan dengan tabel berikut ini Fungsi yp selanjutnya disubstitusikan ke persamaan (??). Dengan menggunakan manipulasi aljabar, maka akan diperoleh setiap nilai dari koefisien yang diinginkan. KODE MAPLE restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(DETools)
:
Package Maple masalah persamaan diferensial
dsolve
:
Menyelesaikan persamaan diferensial
solve
:
Menyelesaikan persamaan linier atau nonlinier
diff(f,x)
:
Melakukan diferensial fungsi f terhadap variabel x
$
:
Menyatakan repetisi atau pengulangan
CONTOH Misalkan diberikan PDB orde 2 tak homogen y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2. Secara manual, dihitung solusi homogen dimana λ2 − 4λ + 3 = 0 (λ − 3)(λ − 1) = 0 sehingga akar karateristiknya adalah λ1 = 1 dan λ2 = 3. Solusi homogen dari PDB orde 2 di atas adalah yh = c1 exp t + c2 exp 3t
14
Oleh karena f (t) = 2 maka solusi partikular yang dipilih adalah yp = k ·2 dengan k adalah konstanta yang akan ditentukan nilainya. Selanjutnya diperoleh yp = 2k yp0 = 0 yp00 = 0 Substitusikan dalam PDB awal sehingga diperoleh 0 − 4 · 0 + 3(2k) = 2 yang menghasilkan k = 1/3 dan solusi umumnya adalah y(t) = c1 exp t + c2 exp 3t +
2 3
Solusi dengan Maple dilakukan dengan langkah Kode 9: PDB Orde-2 nonhomogen
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
restart ; with (DETools) ; pdb:=D^ ( 2 ) ( y ) ( t ) −4∗D( y ) ( t ) +3∗y ( t ) =2; pk:=lambda^2−4∗lambda+3; ak:= solve (pk) ; yh:=c1∗exp ( ak [ 1 ] ∗ t )+c2∗exp ( ak [ 2 ] ∗ t ) ; yp:=2∗k ; ypt:= d i f f (yp , t ) ; yptt:= d i f f ( ypt , t ) ; pdbnew:= 0−4∗0+3∗yp = 2 ; k:= solve (pdbnew, k ) ; s o l u s i :=yh+yp ; s o l u s i 2 := dsolve (pdb) ;
Pada output akan terlihat bahwa solusi dengan menggunakan Maple akan menghasilkan output yang sama dengan hasil perhitungan secara manual. LATIHAN Tentukan solusi umum dari PDB orde 2 tak homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2t 2. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2 + cos 3t 3. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2t + sin 3t 4. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = 2t + cos 3t + 4 5. y 00 (t) − 4y 0 (t) + 3y(t) = exp 3t
15
4.2
Metode Variasi Parameter
Metode variasi parameter mengasumsikan solusi partikular dari persamaan (??) berbentuk yp (x) = u1 (x)y1 (x) + u2 (x)y2 (x) Persamaan di atas kemudian didiferensialkan sehingga y 0 = u01 y1 + u1 y10 + u02 y2 + u2 y20 dan diasumsikan u01 y1 + u02 y2 = 0 sehingga y 0 = u1 y10 + u2 y20 y 00 = u01 y10 + u1 y100 + u02 y20 + u2 y200 Persamaan ini kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (??) sehingga menghasilkan sistem u01 y10 + u02 y20 = f (x) u01 y1 + u02 y2 = 0 dengan solusi sistem adalah y2 f (x) dx W (y1 , y2 ) Z y1 f (x) u2 = dx W (y1 , y2 )
u1 = −
Z
dimana y1 , y2 adalah solusi homogen dari persamaan (??) dan W (y1 , y2 ) adalah Wronskian dari y1 dan y2 yang didefinisikan sebagai y 1 W (y1 , y2 ) = 0 y 1
y2
= y1 y20 − y10 y2
y20
Solusi umum PDB orde-2 dengan variasi parameter adalah y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + yp (x) KODE MAPLE with(LinearAlgebra)
:
Package Maple untuk aljabar linier.
int(f,x)
:
Melakukan integral fungsi f terhadap variabel x.
Re(z)
:
Menyatakan nilai real dari bilangan kompleks z = a + ib.
Im(z)
:
Menyatakan nilai imajiner dari bilangan kompleks z = a+ib.
Determinant(A)
:
Menghitung determinan matriks
simplify(A)
:
Menampilkan bentuk yang paling sederhana
16
CONTOH Misalkan diberikan PDB orde 2 tak homogen y 00 (x) + 4y(x) = csc 2x. csc 2x akan sulit untuk ditentukan secara koefisien tak tentu. Solusi homogen dari persamaan tersebut adalah λ2 + 4 = 0 sehingga akar karateristiknya adalah λ1 = ±2i. Solusi homogen dari PDB di atas adalah yh = c1 cos 2x + c2 sin 2x Selanjutnya dihitung Wronskian W = cos 2x sin0 2x − sin 2x cos0 2x = 2 Solusi untuk u1 (x) dan u2 (x) adalah u1 = − u2 =
1 2
1 2 Z
1 csc 2x sin 2x dx = − x 2 1 csc 2x cos 2x dx = ln sin 2x 4
Z
Solusi partikularnya adalah 1 1 yp (x) = − x cos 2x + sin 2x ln (sin 2x) 2 4 Solusi umum dari permasalahan di atas adalah 1 1 y(x) = c1 cos 2x + c2 sin 2x − x cos 2x + sin 2x ln (sin 2x) 2 4 Solusi dengan Maple dilakukan dengan langkah 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Kode 10: PDB Orde-2 nonhomogen
restart ; with ( LinearAlgebra ) ; with (DETools) ; f := csc ( 2 ∗x ) ; pdb:=D^ ( 2 ) ( y ) ( x ) +4∗y ( x )=f ; pk:=lambda^2+4 = 0 ; ak:= solve (pk) ; akR := Re( ak [ 1 ] ) ; akI := Im( ak [ 1 ] ) ; yh:=exp (akR∗x ) ∗ ( c1∗ cos ( akI∗x )+c2∗ sin ( akI∗x ) ) ; y1:= cos ( akI∗x ) ; y2 := sin ( akI∗x ) ; wron:=<
|>; w:= simplify ( Determinant (wron) ) ; u1:=−( int ( f ∗y2/w, x ) ) ; u2:= int ( f ∗y1/w, x ) ; yp:=u1∗y1+u2∗y2 ; yt:= yh+yp ; ye:= dsolve (pdb) ;
Pada output akan terlihat bahwa solusi dengan menggunakan Maple akan menghasilkan 17
output yang sama dengan hasil perhitungan secara manual. LATIHAN Tentukan solusi umum dari PDB orde 2 tak homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. y 00 (t) − 5y 0 (t) + 6y(t) = 2 exp t 2. y 00 (t) + 2y 0 (t) + y(t) = 3 exp (−t) 3. y 00 (t) + y(t) = tan t 4. y 00 (t) + 9y(t) = 9 sec2 3t
18
5
Modul 5 : Sistem Persamaan Diferensial Biasa :
TIU
Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB)
:
TIK
1. Mahasiswa mampu menentukan jenis kestabilan dari sistem PDB linier 2. Mahasiswa mampu menentukan solusi dari sistem persamaan diferensial dengan subtitusi 3. Mahasiswa mampu menyelesaikan solusi sistem persamaan diferensial biasa dengan matriks fundamental.
Materi
5.1
:
Sistem Persamaan Diferensial Linier
Sistem Persamaan Diferensial Linier
Sistem persamaan diferensial linier adalah sekumpulan persamaan diferensial yang bersifat linier. Bentuk umum yang sering dijumpai adalah dx = ax + by dt dy = cx + dy dt
(15) (16)
dimana a, b, c, d adalah koefisien sedangkan x, y adalah variabel yang bergantung kepada variabel bebas t. Bentuk diatas seringkali juga dinyatakan dalam bentuk matriks persamaan diferensial, yaitu x0 (t) y 0 (t)
!
=
a b
!
c d
!
x(t)
(17)
y(t)
atau yang kemudian ditulis dalam notasi matriks dan vektor sehingga ~x˙ = A~x dengan ~x = (x(t) y(t))T dan A=
5.2
a b
!
c d
Kestabilan berdasarkan Nilai Eigen
Perhatikan bahwa sistem PDB linier dapat dituliskan dalam notasi matriks dan vektor. Kestabilan dari sistem ini dapat ditentukan dengan memeriksa nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen dari matriks A dapat ditentukan dengan persamaan a − λ det (A − λI) = c
19
b
=0
d − λ
yang menghasilkan (λ − a)(λ − d) − bc = 0 −→ λ2 − (a + d)λ + (ad − bc) = 0 yang nilai λ dapat ditentukan dengan persamaan λ1,2 =
(a + d) ±
p
(a + d)2 − 4(ad − bc) 2
Berdasarkan nilai eigen matriks A, kestabilan sistem persamaan diferensial dapat ditentukan dengan kriteria sebagai berikut ini 1. Titik simpul Jika nilai akar λ adalah bilangan real, berbeda dan memiliki tanda yang sama. Sistem stabil asimtotik jika akar negatif dan tidak stabil jika akar positif. 2. Titik pelana Jika nilai akar λ adalah bilangan real, berbeda dan memiliki tanda berbeda. Sistem tidak stabil. 3. Titik bintang Jika nilai akar λ adalah bilangan real dan sama. Sistem stabil jika akar bertanda negatif dan tidak stabil jika bertanda positif. 4. Titik spiral Jika nilai akar λ adalah bilangan imajiner. Sistem stabil asimtotik jika bagian real dari akar bertanda negatif sedangkan sistem tidak stabil jika bagian real dari akar bertanda positif. 5. Titik pusat Jika nilai akar λ adalah bilangan imajiner murni. Sistem stabil namun tidak stabil asimtotik. KODE MAPLE restart
:
Kode untuk memulai block dokumen baru
with(LinearAlgebra)
:
Package Maple untuk aljabar linier yang digunakan untuk menentukan nilai dan vektor eigen
Matriks(2,2,[[a,b],[c,d]])
:
Cara menulis matriks di Maple
< | >
:
Cara lain menulis matriks di Maple
Eigenvalues(A)
:
Menentukan nilai eigen dari suatu matriks
CONTOH Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial y 0 = 2x + 2y dan x0 = x + y 1 2 3 4 5 6
Kode 11: Nilai Eigen restart ; with (DETools) ; with ( LinearAlgebra ) ; sys : = [ (D( y ) ) ( t ) =2∗x ( t ) −2∗y ( t ) , (D( x ) ) ( t )=x ( t )−y ( t ) ] ; A := Matrix ( 2 , 2 , [ [ 2 , 2 ] , [ 1 , 1 ] ] ) ; B := <<2,1>|<2,1>>; 20
Eigenvalues (A) ; Eigenvalues (B) ;
7 8
Pada output akan terlihat bahwa nilai eigen dari matriks A atau B adalah 0 dan 3 yang berarti sistem di atas tidak stabil. LATIHAN Tentukan nilai eigen dan jenis kestabilan sistem persamaan diferensial berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial di bawah ini x0 = −2x y 0 = −y 2. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial di bawah ini x0 = −2x + 3y − z y0 = x − y − z z0 = y − z
5.3
Solusi dengan Substitusi
Pandang kembali sistem persamaan diferensial linier. Untuk mendapatkan solusi dengan substitusi, dilakukan dengan beberapa langkah berikut ini 1. Turunkan persamaan (??) sehingga diperoleh x ¨ = ax˙ + by˙ 2. Substitusikan persamaan (??) pada persamaan di atas menjadi x ¨ = ax˙ + b (cx + dy) 3. Substitusikan persamaan (??) untuk mengganti variabel y sehingga diperoleh x˙ − ax x ¨ = ax˙ + cbx + bd b
−→ x ¨ − (a + d)x˙ + (ad − cb)x = 0
yang merupakan PDB orde 2 homogen 4. Solusi dari persamaan di atas disubstitusikan pada persamaan (??) yang selanjutnya menjadi PDB orde 1 yang dapat diselesaikan dengan faktor integrasi. CONTOH
21
Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial berikut ini dy dt dx dt
: 3x : 8x + y
Untuk menyelesaikan SPDL di atas, dapat dilakukan dengan metode substitusi 1. Turunkan persamaan pertama sehingga diperoleh y 00 = 3x0 2. Substitusikan persamaan kedua pada hasil langkah pertama sehingga diperoleh y 00 = 3(8x + y) = 24x + 3y 3. Ganti variabel x menggunakan persamaan pertama pada sistem sehingga diperoleh y 00 = 24x + 3y = 24(y 0 /3) + 3y = 8y 0 + 3y −→ y 00 − 8y 0 − 3y = 0 yang merupakan PDB orde 2 homogen yang solusinya dapat diselesaikan dengan persamaan karateristik λ2 − 8λ − 3 = 0 sehingga diperoleh λ1,2 =
√
8±
dan solusinya adalah
√
y(t) = C1 e4+
19
64 + 12 2 √
+ C2 e4−
19
4. Substitusi solusi y(t) pada persamaan kedua dalam sistem sehingga diperoleh PDB orde 1 dengan faktor integrasi √
x0 − 8x = C1 e4+
19
dengan faktor integrasi µ(t) = e8t .
22
√
+ C2 e4−
19
5. Menyelesaikan solusi untuk x(t) yaitu √
µ(x0 − 8x) = µ C1 e4+
√
d(µx(t)) = µ C1 e4+ Z
d(µx(t)) =
Z
+ C2 e4−
19
+ C2 e4−
√
µ C1 e4+
µx(t) = C1 = C1
Z
√
19
√
e(12+
√
19
19)t
19
19
+ C2 e4− dt + C2
√ e(12+ 19)t
√
dt
19
Z
dt
e(12−
√
19)t
dt
√
e(12− 19)t √ + C2 √ 12 + 19 12 − 19 √
√
e(4+ 19)t e(4− 19)t √ + C2 √ x(t) = C1 12 + 19 12 − 19 Jadi solusi akhir dari SPDL adalah √
√
e(4+ 19)t e(4− 19)t √ + C2 √ x(t) = C1 12 + 19 12 − 19 √
y(t) = C1 e4+
19
+ C2 e4−
√
19
Jika diselesaikan dengan mengunakan Maple, maka langkahnya adalah sebagai berikut ini Kode 12: Sistem PDB Linier
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
restart ; with (DETools) ; sodes := d i f f ( y ( t ) , t ) =3∗x ( t ) , d i f f ( x ( t ) , t ) =8∗x ( t )+y ( t ) ; dsolve ( [ sodes ] ) ; l 0 := sodes [ 1 ] ; l 1 := d i f f ( l0 , t ) ; l 2 := sodes [ 2 ] ; l 3 :=subs ( l2 , l 1 ) ; l 4 :=subs ( x ( t ) =(1/3) ∗ lhs ( l 0 ) , l 3 ) ; l 5 := dsolve ( l 4 ) ; l 6 :=subs ( y ( t )=rhs ( l 5 ) , l 2 ) ; dsolve ( l 6 ) ;
LATIHAN Tentukan solusi dari SPDL berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini. 1. SPDL dengan 2 variabel
2. SPDL dengan 2 variabel
dy dt dx dt
= 2x + 3y
dy dt dx dt
= x + 2y
= x−y
= x+y
23
3. SPDL dengan 3 peubah
4. SPDL dengan 3 peubah
dx dt dy dt dz dt dx dt dy dt dz dt
= 2x + 3y − z = x−y+z = x+y+z
= x+y+z = x−y−z = y−x+z
24
