Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
1. Integral Standar Kompetensi: 1.
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar: 1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu 1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana 1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar
1. •
Integral Tak Tentu Integral sebagai Anti Turunan F(x) = x
→ F’(x) = 3x 2 → F’(x) = 3x 2 → F’(x) = 3x 2
3 3
F(x) = x +10 3
F(x) = x -27 . .. 3
F(x) = x + c (c=konstanta)
→ F’(x) = 3x 2
3
Jadi fungsi F(x) = x + c (c=konstanta) dinamakan fungsi Anti Turunan dari F’(x) = 3x
2
Contoh lain: 1)
F’(x) = 12x
5
6
mempunyai anti turunan F(x)=2x +c, karena jika F(x) = 2x
diturunkan (didiferensiasikan) akan menghasilkan F’(x) = 12x 2)
Anti turunan dari F’(x) = x
11
adalah F(x) =
6
+c
5
1 12 x +c 12
Selanjutnya istilah Anti Turunan dinamakan “Integral Tak Tentu” •
Notasi dan Rumus-rumus integral Tak Tentu Lambang integral tak tentu adalah “
∫
Integral tak tentu dari fungsi F(x) = 3x
∫
F(x)dx =
∫
2
” 2
, dapat ditulis:
3
3x dx = x + c (c=konstanta)
Contoh berikutnya:
∫
12x dx = 2x + c
∫
x
5
11
dx =
6
1 12 x +c 12
Rumus-rumus integral tak tentu fungsi aljabar:
∫
kdx = kx + c
∫
ax dx =
Agus Sudiana, S.Pd
n
a n +1 x +c n +1
1
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
∫ k.F(x)dx = k ∫ F(x) dx ∫ {F ( x) + G( x)}dx = ∫ ∫ {F ( x) − G( x)}dx = ∫
∫ F(x) dx - ∫ F(x) dx +
G(x) dx G(x) dx
Integral fungsi khusus:
Fungsi logaritma natural,
Fungsi eksponen,
Fungsi Trigonometri,
∫ ∫
∫
1 dx = ln x +c x
∫
x
x
e dx = e + c
sin x dx = -cos x + c cos x dx = sin x + c
Contoh Penyelesaian:
∫ 2) ∫ 1)
3)
∫
(6x-10)dx =
2
3x - 10x + c
3
(12-4x )dx = 12x - x (
4
+c
3 − x + 3 cos x)dx = x2
1
∫
−2
(3x
-x 2 +3 cos x)dx 3
2 = -3x − x 2 + 3 sin x + c 3 −3 2 − x x + 3 sin x + = x 3 −1
Soal Latihan: Tentukanlah hasil dari pengintegralan fungsi berikut: 1)
∫
2)
∫
3)
∫
2
(3x-2) dx
2 x 3 x + 12 x x − 100 dx 4 x 2 4 cos x − 5 sin x + dx cos 2 x
……………ingat,
1 cos 2 x
adalah turunan •
dari tan x Contoh Penggunaan Integral Tak Tentu Tentukan fungsi f(x) jika diketahui turunan pertama fungsi itu f’(x) = 6x – 5 dan f(1) = 10 ! Penyelesaian: F(x) =
∫
f’(x)dx =
∫
(6x – 5)dx 2
= 3x - 5x + c F(1) = 3 – 5 + c = -2 + c F(1) = 10 -2 + c = 10 a c = 12 2
Persamaan fungsi yang diperoleh adalah F(x) = 3x - 5x + 12
Agus Sudiana, S.Pd
2
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Kurva fungsi y = f(x) di sebarang titik (x,y) memiliki persamaan gradien y’ = 2x – 3. Jika kurva y melalui titik A(3,5) tentukanlah persamaan kurva fungsi tersebut! Penyelesaian: Persamaan gradien garis pada kurva identik dengan fungsi turunan pertama, maka Y=
∫
y’dx =
∫
(4x-3)dx 2
= 2x - 3x + c Melalui titik A(3,5) artinya f(3) = 5 F(3) = 18 – 9 + c = 9 + c 9 + c = 5 ⇒ c = -4 2
Persamaan kurva, y = 2x - 3x – 4
Sebuah partikel bergerak dengan laju v m/det pada saat t detik memenuhi persamaan v(t) = 8t-1. Pada saat t=1 detik posisi benda adalah s=6 meter. Tentukanlah posisi benda (s) sebagai fungsi waktu (dalam t)! Penyelesaian: S(t) = t=1
∫
2
(8t-1)dt = 4t -t + c
⇒
s(1) = 4 – 1 + c s(1) = 6 c=3
2
s(t) = 4t -t + 3 Pada soal di atas, jika ditanyakan berapa jauh posisi partikel pada t = 10 detik, maka nilai yang dimaksud sama dengan s(10)= 397 meter. 2. Integral Tentu • Teorema Dasar Kalkulus dan Integral Tentu Jika fungsi y=f(x) kontinu pada selang a, b dan F(x) merupakan integral tak tentu dari fungsi f(x), maka Teorema Dasar Kalkulus dapat dinyatakan sebagai:
[ ]
b
b
∫
f ( x ) dx = [F ( x ) ] = F ( b ) − F ( a )
a
a
Notasi di atas selanjutnya menjadi rumus untuk Integral Tentu.
Sifat-sifat Integral Tentu: a
(1)
∫ f ( x)dx = 0 a
(2)
(3)
b
a
a
b
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx b
b
a
a
∫ k. f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b
b
b
a
a
a
(4) ∫ { f ( x ) ± g ( x )}dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x) dx
Agus Sudiana, S.Pd
3
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A c
(5)
b
∫
f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =
a
c
Semester 1
b
∫ f ( x)dx untuk a
[a, b] maka ∫ f ( x)dx > 0
(6) a. Jika f(x)>0 pada
a b
[a, b] maka ∫ f ( x)dx < 0
b. Jika f(x)<0 pada
a
Contoh Penyelesaian: 1
1)
∫ 4xdx = 2x ] 2
0 3
2)
1
2
2
= 2(1) -2(0) = 2 0
3
∫ ( x − 1) dx = ∫ ( x 2
1
2
− 2 x + 1)dx
1 3 1 3 x − x2 + x ] 3 1 1 3 1 3 2 2 = (3) − (3) + 3 - (1) − (1) + 1 3 3 2 =2 3
=
3. •
Penggunaan Integral Tentu Perhitungan Luas Daerah Perhatikan gambar berikut!
b
Y=f(x)
Luas =
∫ f ( x)dx a
a
b
Contoh Penyelesaian : 1) y=
1
Agus Sudiana, S.Pd
4 − x2
2
4
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
2
Luas =
∫ (4 − x )dx 2
1
=
[4 x − x ]
=
(4(2) − 13 (2)3 ) − (4(1) − 13 (1)3 )
=
(8 − 83 ) − (4 − 13 )
=
( 243−8 ) − ( 123−1 )
=
5 3
3 2 1
1 3
2) 5
x+ y =5
3
5
3
Luas =
∫ (5 − x)dx 0
=
[5 x −
x2
1 2
= (5(3) − = (15 − =
•
9 2
1 2
]
3 0
(3) 2 ) − (0)
)
21 2
Perhitungan Volum Benda Putar Daerah diarsir, diputar mengelilingi Sumbu X se-
5
x+ y=5 a
b
o
jauh 360 , diperoleh bangun ruang dengan volum
5
b
V = π ∫ y 2 dx a
Soal dan Contoh: 1) Pada gambar di atas,
x + y = 5 ⇔ y = 5 − x ⇔ y 2 = 25 − 10 x + x 2 Misalkan batas kiri dan kanan daerah yang diputar masing-masing x 1 =0 (Sumbu Y) dan x 2 =3 3
V = π ∫ (25 − 10 x + x 2 )dx 0
Agus Sudiana, S.Pd
5
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
=
1
= π (75 − 45 + 9)
=
π 25 x − 5 x 2 + x 3 3
Semester 1
3
0
π (25(3) − 5(3) 2 + (3)3 − π {0} 1 3
= 39 π satuan volum 2) Vomum benda putar yang dihasilkan dari daerah berikut yang diputar mengelilingi sumbu X 360 Y
y=
1
2x
2
[ ]
2
2x ⇔ y2 = 2x
y=
o
v = π ∫ 2 xdx = π x 2 1
2
1
π {2 2 − 12 } = π {4 − 1} = 3 π satuan volum
=
SOAL LATIHAN: Pilihlah jawaban yang paling tepat ! 1.
SIPENMARU 1985
∫x A. B. C. D. E. 2.
A. B.
x dx adalah ….
3 x 2 5 2 x 2 3 x 2 2 x 5 3 2 x 2
x +c
C.
x +c
D.
x +c
E.
x +c
3.
EBTANAS 1996
f ' ( x) = 6 x 2 − 8 x − 8 dan f (−2) = −9 . Jika f ' ( x) adalah turunan dari f ( x ) maka f ( x ) = .... Diberikan
x +c
SIPENMARU 1984
2 x 3 − 4 x 2 − 8 x − 16 3 2 B. 2 x − 4 x − 8 x + 16 3 2 C. 2 x − 4 x − 8 x + 23 3 2 D. 2 x − 4 x − 8 x + 7
A.
1 ∫ 2 x x dx = ....
Agus Sudiana, S.Pd
1 +c x 1 − +c 3 x 1 +c x 2 − +c x 1 − +c 2 x
−
6
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A E.
4.
Semester 1
2 x 3 − 4 x 2 − 8 x + 48
25 3 21 C. 3 7 D. 2 B.
EBTANAS 1998 Gradien garis singgung kurva pada setiap titik (x,y) dinyatakan oleh
dy = 3 x 2 − 6 x + 1. dx
Kurva melalui titik (2,-3), maka persamaan kurva adalah ….
5.
A.
y = x3 − 3x 2 + x − 5
B.
y = x3 − 3x 2 + x + 1
C.
y = x 3 − 3 x 2 + x + 12
D.
y = x − 3x + x − 1
E.
y = x3 − 3x 2 + x + 5
3
E. 2 7. Nilai
(2x – 8) dx
= -25, untuk a = …. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
2
EBTANAS 1996 Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah … satuan luas.
a +1
∫ −1
7.
UMPTN 1995 1
Jika Y
0
1 y= x 2 y=
2
∫ f ( x)dx = 5, maka a + b = ... 1
x A. B. C. D. E.
X
1 3 4 B. 3 8 C. 3
A.
8.
6.
EBTANAS 2000 Volum benda putar yang terjadi jika daerah
y = x 2 dan
parabola y = 8 x diputar mengelilingi sumbu 2
0
X sebesar 360 adalah … satuan volum
49 5 29 B. 5 24 C. 5 19 D. 5 14 E. 5
A.
5 3
EBTANAS 1998 Luas daerah yang dibatasi kurva
y = x2 − 4 , Sumbu X dan garis x=3 adalah … A. 13
Agus Sudiana, S.Pd
3 4 5 -3 -4
yang dibatasi oleh parabola
D. 1 E.
f ( x) = ax + b, ∫ f ( x)dx = 1, dan
7
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
9.
Semester 1
Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola
y = x 2 , parabola
y = 4x 2 , dfan garis y=4. Volum bendaputar yang terjadi bila D diputar terhadap Sumbu Y sejauh 360 A. 3π B. 4π C. 6π D. 8π E. 12π 10.
o
adalah ….
83 π satuan volume 15 77 π satuan volume C. 15 43 D. π satuan volume 15 35 E. π satuan volume 15
B.
UJIAN NASIONAL 2007 Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 − x, x = 1, x = 3, dan sumbu X diputar o
mengelilingi sumbu X sejauh 360 , maka volum benda yang terjadi adalah ….
2 π satuan volum 3 1 6 π satuan volum 3 2 8 π satuan volum 3 2 10 π satuan volum 3 1 12 π satuan 3
A.
4
B. C. D. E.
13. UJIAN NASIONAL 2008 Nilai a yang memenuhi 1
∫12 x( x
2
+ 1) 2 dx = 14 adalah ….
a
A. B. C. D.
-2 -1 0
E.
1
1 2
14. UJIAN NASIONAL 2008 Jika daerah diarsir pada gambar diputar o
mengelilingi sumbu X sejauh 360 maka volume benda putar yang terjadi adalah .... A.
123 π satuan volume 15
Agus Sudiana, S.Pd
8
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1 4.
Integral Lanjutan a) Integral Fungsi Trigonometri Ingat pendiferensialan fungsi terigonometri, 1) Jika f(x) = sin x, maka f’(x) = cos x 2) Jika f(x) = cos x, maka f’(x) = -sin x
1 f ' ( x) = cos 2 x Jika f(x) = tan x, maka f ' ( x) = sec 2 x a ingat: tan x = f ' ( x) = 1 + tan 2 x −1 f ' ( x) = sin 2 x 2 Jika f(x) = cot x, maka f ' ( x) = − csc x a ingat: cot x = f ' ( x) = −(1 + cot 2 x 1 Jika f(x) = sec x, maka f’(x) = sec x tan c (ingat: sec x = ) cos x 1 Jika f(x) = csc x, maka f’(x) = -csc x cot x (ingat: csc x = ) sin x
3)
4)
5) 6)
sin x cos x
cos x sin x
Dengan mengingat integral sebagai anti diferensial, maka dapat dinyatakan :
∫ cos xdx = sin x + c ∫ sin xdx = − cos x + c ∫ sec xdx = tan x + c ∫ csc xdx = − cot x + c ∫ sec x tan xdx = sec x + c ∫ csc x cot xdx = − csc x + c
(vii) (viii)
2
(ix)
2
(x) (xi) (xii) Contoh:
∫ (2 cos x + sec x − 3 csc x cot x)dx = 2 sin x + tan x + 2 csc x + c 2) ∫ (5 sec x tan x − 2 csc x) dx = 5 sec x + 2 cot x + c 2
1)
2
Soal latihan: Tentukan penyelesaian dari integral bentuk trigonometri berikut! a.
∫ (sec
2
x − 7 cos x) dx
3
∫ (4 csc x cot x + sin x − 2π )dx c. ∫ (5 tan x + 4 sin x + 5) dx b.
2
2
b)
Integral dengan Substitusi Sederhana
a n+1 x +c n +1 syarat : n ≠ −1
∫ ax Pandang bentuk integral berikut:
n
dx =
Dengan mengganti variable integrasinya, diperoleh bentuk
Agus Sudiana, S.Pd
9
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1 yang identik,
k n +1 u +c n +1 syarat : n ≠ −1
∫ k .u
n
du =
Misalkan u = f(x) , maka bentuk integral tersebut dapat dinyatakan :
k
∫ k{ f ( x)} d ( f ( x)) = n + 1{ f ( x)} n
n +1
+c
syarat : n ≠ −1
Agar mudah difahami, dapat dilihat dari contoh aplikasi rumus sebagai berikut: Contoh 1 Tentukan hasil dari
∫ 3x
2
( x 3 − 15) 8 dx !
Penyelesaian
du = 3x 2 dx ⇔ du = 3x 2 dx 2 3 8 3 8 2 ∫ 3x ( x − 15) dx = ∫ ( x − 15) 3x dx 3
Misalkan u = x -15
⇒
=
∫ u du 8
1 9 u +c 9 1 3 = ( x − 15) 9 + c 9 =
Contoh 2 Selesaikanlah
∫
(8 x − 3)dx (4 x 2 − 3 x + 1) 5
!
Penyelesaian
du = 8 x − 3 ⇔ du = (8 x − 3)dx dx −5 du (8 x − 3)dx = ∫ = ∫ u 2 du u5 (4 x 2 − 3 x + 1) 5 −3 1 −3 2 −2 = u +c= (4 x 2 − 3 x + 1) 2 + c −3 3 2 −2 = +c ( x 2 − 3 x + 1) ( x 2 − 3 x + 1)
Misalkan u = x - 3x + 1 ⇒ 2
∫
Agus Sudiana, S.Pd
10
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1 TIPS: Jika pada bagian integran (fungsi yang akan diintegralkan) terdapat bagian fungsi (factor) yang merupakan turunan/diferensial dari fungsi lainnya, maka integran tersebut dapat diselesaikan dengan cara substitusi. Nyatakan bagian fungsi yang paling kompleks sebagai u, tentukan derivative u (du). Lanjutkan! Contoh pada 3 x 2 ( x 3 − 15) 8 dx ;
∫
bentuk 3x 2 adalah turunan dari u = (x 3 −15) Bagaimana integral fungsi trigonometri dengan cara substitusi? Pada prinsipnya sama, yaitu dengan memandang ada bagian fungsi yang turunannya identik dengan bagian fungsi lainnya. Contoh Selesaikan integral fungsi berikut ! a.
∫ 12 sin
b.
∫ cos
c.
∫
d.
∫ sin
5
x cos xdx
sin xdx 11 x 2 sec xdx
(tan x − 3) 7
x cos 3 xdx
Penyelesaian: a. misalkan u = sin x ⇒ du = cos xdx
∫ 12 sin
5
x cos xdx = ∫ 12u 5 du 6
=2u +c
x+c b. misalkan u = cos x ⇒ du = − sin xdx ⇔ − du = sin xdx sin xdx − du −11 ∫ cos11 x = ∫ u 11 = − ∫ u du − 1 −10 = u +c 10 −1 = +c 10u 10 =2 sin
c.
∫
6
misalkan u = tan x - 3 ⇒ du = sec dx 2
sec 2 xdx (tan x − 3)
Agus Sudiana, S.Pd
=
11
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
∫ d.
du
=
u
∫ sin
7
∫u
−1
2
du =
1 1
u
1
2
+ c = 2 u + c = 2 tan x − 3 + c
2
x cos 3 xdx = ∫ sin 7 x cos x cos 2 xdx
∫ sin x cos x(1 − sin x)dx (ingat, cos = ∫ (sin x cos x − sin cos x ) dx 7
=
2
7
=
2
x = 1 − sin 2 x )
9
1 8 1 sin x − sin 10 x + c 8 10
Catatan: kita bisa membuktikan kebenaran hasil integral ini dengan cara mendiferensialkannya. Soal Latihan: Dengan mensubstitusi bagian fungsinya, selesaikanlah soal-soal berikut!
∫ (3x − 4 x)( x − 2 x (12 x + 9)dx b. ∫ (2 x + 3 x − 100) 2
a.
3
2
+ 5) 6 dx
TIPS:: Carilah bagian fungsi yang jika didiferensialkan hasilnya identik dengan bagian lain integran, misalkan sebagai u(x)
13
∫ 5 x( (10 − 2 x ) d. ∫ 12 cos x sin xdx
2 7
3
c.
2
dx
3
e.
∫
3 sec 2 xdx (tan x − 10)
c) Integral Parsial Ingat kembali pendiferensialan fungsi F(x) = u(x).v(x)
dF du dv = v ( x) + u ( x) ⇔ dF = v ( x)du + u ( x)dv dx dx dx Selanjutnya u(x) ditulis u dan v(x) ditulis v, diperoleh: dF = v.du + u.dv
∫ dF = ∫ v.du + ∫ u.dv ∫ ⇔ F = ∫ v.du + ∫ udv ⇔ u.v = ∫ v.du + ∫ udv Dari bentuk tersebut, diperoleh rumus integral parsial
(1)
∫ v.du = u.v − ∫ u.dv ;
atau
(2)
∫ u.dv = u.v − ∫ v.du
Contoh 1 Tentukan hasil dari
Agus Sudiana, S.Pd
∫ 10 x. cos xdx !
12
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1 Penyelesaian Misalkan u = 10x dan dv = cos x dx Maka dapat ditentukan u = 10x ⇒ du = 10 dx (didiferensialkan) dv = cos x dx ⇒ v = sin x (diintegralkan)
∫ u.dv = u.v − ∫ v.du ∫ 10 x. cos xdx = 10 x. sin x − ∫ sin x.10dx = 10x sin x – 10 ∫ sin xdx = 10x sinx - 10 (-cos x) + c = 10x.sinx + 10 cos x + c
Contoh 2 Selesaikanlah dengan integral parsial
∫ 6x
2
( x + 3) 4 dx !
Penyelesaian Misalkan u = 6x
2
⇒ du = 12x dx
1 ( x + 3) 5 5 1 2 4 2 1 5 5 ∫ 6 x ( x + 3) dx = 6x . 5 ( x + 3) - ∫ 5 ( x + 3) .12x.dx 12 x 2 1 5 = 6x . ( x + 3) - ∫ ( x + 3) 5 .dx 5 5 dv = (x+3)
4
dx ⇒ v =
Ada proses pengintegralan kembali menggunakan rumus integral parsial, untuk penyelesaian bagian akhir penyelesaian,
12x 12 1 5 ⇒ du = dx; dv = (x+3) dx ⇒ v= ( x + 3) 6 5 5 6 12x 1 1 12 x 6 6 12 . ( x + 3) - ∫ ( x + 3) dx ( x + 3) 5 dx = 5 6 6 5 5 2 2 1 6 7 = x( x + 3) − ( )( x + 3) + c 5 5 7
Misalkan u =
∫
Maka hasil akhir diperoleh:
∫ 6x
2
1 2 2 ( x + 3) 4 dx = 6x 2 . ( x + 3) 5 - x( x + 3) 6 + ( x + 3) 7 + c 5 5 35
TIPS:: Integran yang dapat diselesaikan dengan cara parsial dapat dilihat dari bentuk fungsinya yang terdiri dari perkalian dua fungsi, dengan satu bagian dapat didiferensialkan sampai nol, sedangkan satu bagian lain dapat diintegralkan (dengan cara biasa).
Agus Sudiana, S.Pd
13
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
TIPS:: Untuk menyederhankan prosedur, bias dicoba cara berikut: Untuk menyelesaikan ∫ 6 x 2 ( x + 3) 4 dx digunakan table berikut: u = 6x 2
dv= (x+3) 4 +
12x
1 ( x + 3) 5 5 1 ( x + 3) 6 30 1 ( x + 3) 7 210
12 + 0
Maka: 2 4 ∫ 6 x ( x + 3) dx =.
6x 2 2 2 ( x + 3) 5 - x( x + 3) 6 + ( x + 3) 7 + c 5 5 35
Keterangan: Tanda panah(
) mewakili perkalian sesuai arah panah.
SOAL LATIHAN : 1) Uraian Selesaikanlah soal-soal berikut dengan menggunakan integral secara parsial!
∫ 4 x sin xdx b. ∫ 3 x cos xdx c. ∫ ( x − 5 x + 3)( 2 x − 1) d. ∫ 2 x (5 − 2 x) dx e. ∫ 12 x cos(4 x − π )dx a.
TIPS::
2
2
4
dx
2
Pastikan bahwa integran berbentuk u(x).v(x), dan u(x) atau v(x) dapat diturunkan sampai nol, sedangkan lainnya bisa diintegralkan.
2) Soal Pilihan ganda Pilihlah jawaban yang paling tepat 1.
D. - 2( x + 1) sin 2 x − 4 cos 2 x + c
EBTANAS 1996
∫ ( x + 1) cos 2 xdx = ....
E.
1 1 ( x + 1) sin 2 x + cos 2 x + c 2 4 1 1 B. - ( x + 1) sin 2 x − cos 2 x + c 2 4 C. 2( x + 1) sin 2 x + 4 cos 2 x + c
A.
Agus Sudiana, S.Pd
2.
1 1 ( x + 1) sin 4 x − cos 2 x + c 2 4
EBTANAS 1997 Hasil dari A.
14
∫
9 x 2 dx x3 + 8
=….
1 3 x +8 +c 6
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1 C. π − 1 D. π − 2 E. 1 F.
6 x3 + 8 + c 3 3 C. x +8 +c 2
B.
x3 + 8 + c
D. 18
7. EBTANAS 1993
3 3 E. x +8 +c 2 3.
∫ ( x + 2)
1 2 ( x + 4 x + 1) 3 2 2 B. ( x + 4 x + 1) 3 1 2 2 C. ( x + 4 x + 1) 3 2 2 2 D. ( x + 4 x + 1) 3 4 2 2 E. ( x + 4 x + 1) 3
A.
EBTANAS 1997 π
3
∫ (6 cos x + 4 sin x)dx = ....
π
4.
6
A.
3- 2
B.
-1+ 3
C.
-5+ 5 3
D.
2+ 3 3
E.
1+ 5
3
3
5 ∫ 6 sin x cos xdx adalah ….
∫
B. cos x + c 6
A.
C. - sin x + c 6
x+c E. 30 sin x + c
B.
6
4
C. EBTANAS 2001
∫x
A. B. C. D. E. 6.
2 x 2 + 1dx = ...
D.
3 2 x2 + 1 + c 2 3 1 +c 2 2x2 + 1 2 1 +c 3 2 x2 + 1 2 (2 x 2 + 1) 2 x 2 + 1 + c 3 1 (2 x 2 + 1) 2 x 2 + 1 + c 6
E.
2
∫x 0
A. B.
2
x2 + 4x + 1 + c x2 + 4x + 1 + c
9. UJIAN NASIONAL 2008 Hasil
EBTANAS 1988 π
x2 + 4 x + 1 + c
= ... x3 − 5 2 3 x −5 +c 3 1 3 x −5 +c 3 1 3 x −5 +c 6 1 3 x −5 +c 8 1 3 x −5 +c 9
6
Hasil
x2 + 4x + 1 + c
x 2 dx
A. sin x + c
5.
x2 + 4x + 1 + c
EBTANAS 2000
8.
EBTANAS 1988
D. - cos
( x 2 + 4 x + 1) dx = ...
sin xdx = ....
∫
3x 2 2 x3 + 4
dx = ....
A.
4 2 x3 + 4 + C
B.
2 2 x3 + 4 + C
C.
2 x3 + 4 + C
D.
1 2
2 x3 + 4 + C
E.
1 4
2 x3 + 4 + C
2π
π
Agus Sudiana, S.Pd
15
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1 10. UJIAN NASIONAL 2008 Hasil
E.
∫ 4 sin 5 x. cos 3xdx = ....
1 4
cos 8 + 2 cos 2 x + C
A. − 2 cos 8 x − 2 cos 2 x + C B. − 14 cos 8 x − cos 2 x + C C.
1 4
cos 8 x + cos 2 x + C
D. − 12 cos 8 x − 2 cos 2 x + C
Agus Sudiana, S.Pd
16
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
2. Program Linear Standar Kompetensi: 2. Menyelesaikan masalah program linear
Kompetensi Dasar: 2.1
Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
2.2
Merancang model matematika dari masalah program linear
2.3
Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya
1. Fungsi Linear dan Grafiknya a. Bentuk Umum ♦ y = ax + b Grafik berbentuk garis lurus dengan gradien (m) = a Gradien garis disebut juga koefisien arah. Jika garis y membentuk sudut α terhadap sumbu X, maka • ax + by = c Gradien garis/kurva m= −
tan α = a .
a b
Y a
ax + by = c ⇔ c = ab
b
X
Contoh: Persamaan garis yang ditunjukkan gambar adalah
Y 3
3 x + 5 y = 15
5 X Berlaku secara umum, untuk semua a dan b bilangan Real. •
Persamaan garis yang mempunyai gradien m, melalui titik (p,q):
•
Persamaan garis yeng melalui titik A( x1 , y1 ) dan titik B( x2 , y2 ):
y − q = m( x − p ) y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1
Agus Sudiana, S.Pd
17
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A •
Semester 1
ax + by = c dengan sumbu-sumbu koordinat : c - Memotong sumbu X pada ( x0 ,0 ) dengan x0 = − a c - Memotong Sumbu Y pada ( 0, y0 ) dengan y0 = − b
Titik potong grafik fungsi linear
b. Grafik Pertidaksamaan Linear
ax + by ≠ c ! Misalkan diketahui grafik ax + by = c sebagaimana gambar (1) maka grafik/daerah yang ditunjukkan oleh pertidaksamaan ax + by ≤ c ditunjukkan oleh gambar (2).
Pandang pertidaksamaan
Y a
ax + by = c ⇔ c = ab
b Gambar (1)
Y
Daerah penyelesaian adalah yang diarsir. Ditentukan dengan sebarang titik uji, misalnya dengan ax + by ≤ c mensubstitusikan titik O(0,0) pada pertidaksamaan
a
b Gambar (2)
Contoh lain :
Y 4
Daerah diarsir mempunyai pertidaksamaan:
4 x − 5 y ≥ −20
atau
5 y − 4 x ≤ 20
-5
Agus Sudiana, S.Pd
18
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
2. Sistem Pertidaksamaan Linear Siatem pertidaksamaan linear adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear. Daerah penyelesaian (disebut daerah feasible) merupakan irisan dari daerah-daerah pertidaksamaan yang ada.
Contoh 1: Tentukan daerah pertidaksamaan yang memenuhi sistem pertidaksamaan:
2 x + 3 y ≤ 12 x+ y ≤5 Penyelesaian: • Menggambar grafik persamaan masing-masing, Diperoleh titik-titik potong dengan sumbu koordinat: - garis 2 x + 3 y = 6 mempunyai titik-titik potong: (0,4) dan (6,0); •
garis
x + y = 7 memotong titik (0,5) dan (5,0)
Daerah kedua grafik pertidaksamaan diarsir, maka persekutuan dari daerah arsir adalah penyelesaiannya. Y
x+ y =5
Daerah feasible (penyelesaian)
2 x + 3 y = 12
Contoh 2: Gambar daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan:
3 x + y ≤ 6 x + 2 y ≤ 7 x≥0 y ≥ 1 Dengan urutan langkah yang sama seperti pada contoh 1 (di atas) diperoleh daerah penyelesaian yang memenuhi empat kali arsiran sebagaimana pada gambar di bawah ini.
Agus Sudiana, S.Pd
19
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Y 6
3x + y = 6
7
2 x + 2y = 7 X 2
7
3. Model Matematika dalam Program Linear • Merupakan pemindahan dari permasalahan dalam bahasa sehari-hari ke dalam bahasa “matematik” • Terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear, berbentuk :
a1 x + b1 y ≠ c1 a x + b y ≠ c 2 2 2 ⇒ tanda “ ≠ ”mewakili tanda ≤ atau ≥ : a3 x + b3 y ≠ c3 • Terdapat 2 (dua) variabel/peubah, biasanya menggunakan variabel x dan y • Daerah penyelesaian atau daerah himpunan jawab atau daerah feasible terletak pada kuadran pertama, memenuhi nilai x dan y tak negatif. • Memuat fungsi obyektif berbentuk f ( x ) = ax + by + c , yang merupakan fungsi maksimum atau fungsi minimim. Contoh1 Ibu akan membuat pempek untuk keluarga, yang terdiri dari dua macam pempek, jenis I dan jenis II. Pempek jenis I memerlukan 100 gram sagu dan 25 gram ikan, sedangkan pempek jenis II membutuhkan 50 gram sagu dan 50 gram ikan.Bahan yang sudah disiapkan Ibu adalah 2,5 kg sagu dan 1 kg ikan, dan Ibu ingin membuat pempek sebanyak-banyaknya. Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Penyelesaian: Misalkan banyaknya pempek jenis I yang dibuat adalah x, dan pempek jenis II adalah y. Permasalahan dapat disederhanakan dalam bentuk tabel data sebagai berikut:
JENIS PEMPEK
BANYAK PEMPEK
KEBUTUHAN SAGU (g)
KEBUTUHAN IKAN (g)
I
x
100
25
II
y
50
50
2500
1000
PERSEDIAAN
Agus Sudiana, S.Pd
20
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Bahan yang digunakan tidak boleh lebih dari persediaan yang ada, sehingga dipakai lambang “
≤“
Sistem pertidaksamaan yang diperoleh:
100 x + 50 y ≤ 2500 ⇔ 2 x + y ≤ 50 25 x + 50 y ≤ 1000 ⇔ x + 2 y ≤ 40 Banyaknya pempek tidak negatif sehingga x,y ≥ 0 Model matematika lengkap untuk permasalahan yang ada menjadi:
2 x + y ≤ 50 x + 2 y ≤ 40 x≥0 y ≥ 0 Contoh2 2
2
2
Luas areal parkir adalah 176 m . Luas rata-rata mobil sedan dan bus masing-masing 4 m dan 20 m . Maksimum jumlah kendaraan yang dapat diparkir adalah 20 kendaraan dengan biaya parkir masing-masing Rp 1.000,00 per jam dan Rp 2.000,00 per jam. Dianggap dalam 1 jam tidak ada kendaraan yang pergi atau datang. Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Penyelesaian: JENIS KENDARAAN
BANYAKNYA
KEBUTUHAN
2
2
sedan
(m ) x
AREA (m ) 4
bus
y
20
AREA YANG TERSEDIA
20
176
. Sistem pertidaksamaan linear yang diperoleh:
x + y ≤ 20 x + 5 y ≤ 44 x≥0 y ≥ 0 Fungsi Obyektif atau fungsi optimum:
z = f ( x, y ) = 1000 x + 2000 y
Contoh 3 Dari permasalahan pada Contoh 2 di atas misalkan akan ditentukan daerah penyelesaian, titik-titik ektstrem (titik verteks), dan nilai maksimum (pendapatan maksimum) diperoleh dengan urutan penyelesaian sbb:
Agus Sudiana, S.Pd
21
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
20
44/5 (14,6)
20
44
Titik-titik ekstrem dari gambar diperoleh : O(0,0), A(20,0), B(14,6) Dan C(0,44/5) Nilai maksimum ditentukan dengan substitusi nilai ekstrem, diperoleh:
f (0,0) = 0
f (20,0) = 20.000 f (14,6) = 26.000 f (0, 44 ) = 17.600 5 Jadi nilaimaksimumnya adalah Rp. 26.000,SOAL-SOAL LATIHAN: 600,00 per buah dan tablet jenis kedua Rp 800,00 per buah, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah ....
1. UMPTN 2000 Rokok A yang harganya Rp. 1.000,00 dijual dengan harga RP 1.100,00 per bungkus, sedangkan rokok B yang harga belinya Rp. 1.500,00 dijual dengan hargaRp. 1.700,00 per bungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp. 300.000,00 dan kiosnya dapat menampung 250 bungkus, akan mendapatkan keuntungan maksimum jika ia membeli .... A. 150 bungkus rokok A dan 100 bungkus rokok B. B. 100 bungkus rokok A dan 150 bungkus rokok B. C. 250 bungkus rokok A dan 200 bungkus rokok B D. 250 bungkus rokok A saja E. 200 bungkus rokok B saja.
2. UJIAN NASIONAL 2005 Setiap hari seorang ibu diharuskan makan dua jenis tablet. Tablet jenis pertama mengandung 4 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B, sedangkan jenis kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam suatu hari ibu tersebut memerlukan minimal 13 unit vitamin A dan 4 unit vitamin B. Jika harga tablet jenis pertama Rp
Agus Sudiana, S.Pd
A. Rp. 3.600,00 B. Rp. 3.000,00 C. Rp. 2.400,00 D. Rp. 2.000,00 E. Rp. 1.400,00 3. UJIAN NASIONAL2006 Perisahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K, dan sepatu memerlukan 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap tas adalah Rp. 18.000,00 dan setiap sepatu adalah Rp 12.000,00. Keuntunganmaksimum perusahaan yang diperoleh adalah ,,,, A. Rp 120.000,00 B. Rp. 108.000,00 C. 96.000,00 D. Rp. 84.000,00 E. Rp 72.000,00 5. EBTANAS 1999 Nilai maksimum dari f ( x, y ) memenuhi system pertidaksamaan :
22
= 2x + y
yang
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1 7 x + 4 y ≤ 280 adalah ....
x + 2 y ≤ 8 x+ y ≤6 adalah .... x ≥ 0 y ≥ 0 A. B. C. D. E.
A. B. C. D. E.
4 6 10 12 16
52 51 50 49 48
8. UJIAN NASIONAL 2008 Tanah seluas 10.000
2
akan dibangun toko untuk 2
tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 100
2
2
dan tipe B diperlukan 75 . Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A awbwaR Rp 7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp 4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah .... A. Rp 575.000.000,00 B. Rp 675.000.000,00 C. Rp 700.000.000,00 D. Rp 750.000.000,00 E. Rp 800.000.000,00
6.UJIAN NASIONAL 2002 Jika (x,y) terletak pada daerah yang dibatasi oleh
x ≥ 0, y ≥ 0, dan y + 1 ≤ x ≤ 2 − y, maka nilai terbesar dari 2 x + y adalah ....
A. B. C. D. E.
3,5 4 4,5 5 5,5
7. SPMB 2002 Nilai maksimum dari memenuhi
z = x + y − 6 yang
x ≥ 0, y ≥ 0,3 x + 8 y ≤ 340, dan
Agus Sudiana, S.Pd
23
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
3. Matriks Standar Kompetensi: 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar: 3.1
Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain
3.2 Menentukan determinan dan invers matriks
2x2
3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel 3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah 3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah. 3.6
Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah
3.7 Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya
1. •
Pengertian, Notasi, dan Ordo Pengertian Matriks adalah susunan objek-objek (elemen, unsur) dalam bentuk persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom.
•
Notasi Nama matriks dalam huruf capital dan anggota/elemen/unsur matriks dibatasi tanda “kurung siku” atau “kurung besar”.
•
Ordo matriks Ordo matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom dari sebuah matriks. Pandang matriks A berikut:
a11 a 21 A = a 31 ... a m1
a12 a 22 a 31 ... am2
a13 a 23 a33 ... am3
... ... ... ... ...
a1n a 2 n a 3n ... a mn
Matriks A mempunyai ordo (m X n), biasanya A ( mXn )
a11 menyatakan unsur matriks yang terletak pada baris ke-1 dan kolom ke-1. a 3n menyatakan unsur matriks pada baris ke-3 dan kolom ke-n a m 2 menyatakan unsur matriks pada baris ke-m dankolom ke-2 Dan seterusnya sehingga a mn menyatakan unsur matriks pada baris ke-m dan kolom ke-n.
Agus Sudiana, S.Pd
24
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Contoh1: Berikut ini adalah contoh-contoh matriks berikut ordonya masing-masing:
1 4 A= Ordo A ( 2 X 2) ; B = 2 3 2 10 C = Ordo C ( 4 X 1) ; D = − 3 x
1 t 21 3 Ordo B (3 X 2 ) − 7 0
3 2 1 − 1 12 7 0 1 − 3 11 Ordo D ( 2 X 5)
Contoh2:
1 3 10 3 m − 1 Diketahui matriks A = − 2 8 2 0 7 11 Dari matriks A ( 4 X 3) tersebut dapat ditentukan hasil, misalnya:
•
a.
a11 + a32 − a 43 = 1 + (−1) − 11 = −11
b.
3a12 − a 21 + 5a 33 = 3(3) − 3 + 5(2) = 16
c.
(a 33 ) 2 − (a11 ) 3 = 2 2 − 13 = 4 − 1 = 3
Beberapa Matriks Khusus (1) Matriks persegi, mempunyai banyak baris dan kolom yang sama.
1 4 A= ;B= 2 3
1 9 8 3 2 5 ; dst 1 9 5
(2) Matriks baris, mempunyai tepat satu baris. C= 2 1 2 ;D= 3 2 1 1
[
]
[
2] ; dst
(3) Matriks Kolom, mempunyai tepat satu kolom.
2 0 − 3 E = ; F = ; dst − 5 2 11 (4) Matriks Nol, yaitu matriks persegi yang seluruh anggotanya nol.
0 0 G= ;H= 0 0
Agus Sudiana, S.Pd
0 0 0 0 0 0 ; dst. 0 0 0
25
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
(5) Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang anggotanya nol kecuali pada diagonal utamanya.
2 0 J= ;K= 0 5
2 0 0 0 − 1 0 ; dst 0 0 5
(6) Matriks satuan atau matriks identitas, yaitu matriks persegi yang unsur diagonal utamanya 1, sedangkan anggota lainnya nol.
Contoh matriks satuan:
1 0 1 0 I= ; I = 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 ; dst 0 1 0 0 0 1
2) Operasi Aljabar pada Matriks • Perkalian matriks dengan bilangan Real Misalkan diketahui k bilangan real (skalar) dan
a matriks A = b c
g h i
f e d
a maka, k A = k b c
g ka kf h = kb ke i kc kd
f e d
Sifat-sifat: Misalkan A dan B matriks, sedangkan (i) k . A = A.k (ii) ( k ± l ) A = k . A ± l.B
kg kh ki
k dan l scalar,
Contoh:
2 4 − 1 3 maka 2 4 6 12 1 1 2 4 1 = (i) 3A = 3 = ; A= 2 − 1 3 − 12 − 1 3 − 3 9 2 6 12 (ii) 5 A − 2 A = (5 − 2) A = 3 A = − 3 9 Diketahui A =
•
2 3 2
Penjumlahan dan Pengurangan pada Matriks Misalkan diketahui matriks-matriks: A=
A
a1 c 1
b1 dan B = d 1
a1 ± a 2 ± B= c1 ± c 2
Agus Sudiana, S.Pd
a 2 b2 c d maka: 2 2 b1 ± b2 d 1 ± d 2
26
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Catatan:Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Contoh:
1 4 1 b − 2 1 6 7 Dikatahui A = 2 − 5 , B = 1 11 , C = 8 5 2 . − 1 3 7 9 4 3 2 1 1 b − 2 5 b − 1 4 A+B= 2 −5 + 1 11 = 3 6 − 1 3 7 2 6 5 1 1 b − 2 3 1 − b 4 A–B= 2 −5 - 1 11 = 1 − 16 − 1 3 7 2 − 6 1 Matriks A dan C atau matriks B dan C tidak dapat dijumlahkan karena berlainan ordo. •
Perkalian Dua Matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika dan hanya jika banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B.
A(mXn )
X
B(nXt )
mempunyai hasil kali Ordo matriks hasil =
(mXn)
Sama
A(mXn )
X
C (mXp )
tidak ada hasil kali
tidak sama Misalkan diketahui
k l c A ( 2 X 3) B (3 X 2 ) = m n f p q ak + bm + cp al + bn + cq AXB= ( 2 X 2) dk + em + fp dl + en + fq kb + le kc + lf ka + ld B X A = ma + nd mb + ne mc + nf ( 3 X 3) pa + qd pb + qd pc + qd a b = d e
Catatan: Perkalian matriks bersifat asosiatif tetapi bersifat tidak komutatif Contoh1: Tentukan hasil kali dari matriks A =
Agus Sudiana, S.Pd
2 4 1 − 3 dan B =
27
3 1 − 2 1 !
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Penyelesaian: AXB=
2 4 1 − 3
2(1) + 4(1) 3 1 2(3) + 4(−2) = − 2 1 1(3) + (−3)(−2) 1(1) + (−3)(1) 6 − 8 2 + 4 = 3 + 6 1 − 3 =
− 2 6 9 − 2
Contoh2: Jika diketahui
1 0 a c 2 4 3 − 2 b d = 0 14 , maka tentukanlah nilai a + b + c + d !
Penyelesaian:
1 0 3 − 2
c + 0 2 4 a c 2 4 a+0 b d = 0 14 ⇔ 3a − 2b 3c − 2d = 0 14 a = 2 ⇒ 6 − 2b = 0 ⇔ 2b = 6 b=3 c = 4 ⇒ 12 − 2d = 14 ⇔ 2 d = −2 d = −1
3) Invers Matriks • Pengertian dan Notasi Invers dari matriks A ditulis A
−1
, yaitu suatu matriks yang memenuhi hubungan:
A. A −1 = A −1 . A = I , dengan I = matriks satuan Matriks A dikatakan saling invers dengan matriks B, jika dan hanya jika berlaku:
A.B = B. A = I , dengan I = matriks satuan Contoh: Matriks A =
2 − 5 − 1 3 adalah saling invers karena A.B = B.A = I =
3 5 1 2 dan B =
1 0 0 1
(Buktikan!) •
Determinan Matriks Ordo (2X2) Determinan matriks A ( 2 X 2 ) =
a b c d biasanya ditulis det.A atau A ditentukan:
Det.A = A = ad − bc
Agus Sudiana, S.Pd
28
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Contoh:
1 − 5 10 B= 1
A=
C=
2 ⇒ det A = 1+10 = 11 1 20 ⇒ det B = 20-20 = 0 2
2 7 1 2 ⇒ det C = 4-7 = -3
Matriks B disebut matriks singular, mempunyai determinan nol. •
Invers Matriks Ordo (2X2) Invers dari matriks A =
a c b d ditentukan: A −1 =
Bentuk
1 d − c det . A − b a
d − c − b a disebut juga dengan adjoint A.
Contoh1: Diketahui A =
3 2 5 4
Tentukanlah invers dari matriks A! Penyelesaian: Dari matriks A diperoleh det A = 12 – 10 = 2. Invers matriks A ditentukan,
1 (adj. A) det . A 1 4 − 2 = 2 − 5 3 2 − 1 = 5 3 − 2 2
A −1 =
Contoh2: Buktikan bahwa matriks A =
2 3 − 7 3 5 7 dan matriks B = 5 − 2 saling invers!
Penyelesaian: Jika A dan B saling invers, maka AB = BA = I (Identitas)
2 3 − 7 3 5 7 5 − 2 − 14 + 15 6 − 6 = − 35 + 35 15 − 14
AB =
Agus Sudiana, S.Pd
29
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
=
Semester 1
1 0 0 1
Penggunaan Invers matriks o Penyelesaian persamaan matriks Pandang AB = C
⇔ AB.B −1 = C.B −1 ⇔ A = C.B −1 ………………….ingat B.B −1 = I (identitas) Contoh: Tentukanlah matriks X jika diketahui,
1 0 1 − 2 = 3 4 − 5 6
X.
Penyelesaian: Misal A =
1 − 2 1 − 2 − 2 3 dan C = − 5 6 .
Diperoleh persamaan matriks X.A = C. Maka X = C.A
−1
1 3 2 − 3 − 2 = − 1 2 1 − 2 − 1 1 − 2 − 3 − 2 X= − 5 6 − 2 − 1 − 3 + 4 − 2 + 2 = 15 − 12 10 − 6
A
−1
= o
=
1 0 3 4
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear dua variable berbentuk:
2 x + 3 y = 7 dapat diubat menjadi persamaan matriks berbentuk: x + 2y = 4 2 3 x 7 Misalkan A = B = dan C = 1 2 y 4 −1 −1 AB = C ⇔ A .AB = A .C −1 ⇔ B = A .C 1 2 − 3 2 − 3 −1 A = = 4 − 3 − 1 2 − 1 2 B=
2 3 x 7 1 2 y = 4
2 − 3 7 − 1 2 4
Agus Sudiana, S.Pd
30
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
=
14 − 12 − 7 + 8
=
2 1
Semester 1
4. Matriks Ordo (3X3) a. Determinan matriks ordo (3X3) Pandang matriks A ( 3 X 3) •
+
-
•
d e f
g h i
Determinan matriks dengan Metoda Sarrus
a Dari matriks b c
+
a = b c
g h dinyatakan dalam bentuk: i
d e f
+
a
d
g
a
b c
e f
h b i c
d e ⇒ det A = aei + dhc + gbf − ceg − fha − ibd f
- Determinan matriks dengan Metoda Minor (kofaktor)
a
d
g
e h d g d b e h =a -b +c f i f i e c f i = aei − afh − bdi + bfg + cdh − ceg = aei + dhc + gbf − ceg − fha − ibd
g h
Contoh: Misalkan digunakan Metoda Sarrus;
1 4 7 Determinan matriks A = 2 5 8 adalah 3 6 9 1 4 7 1 4 2 5 8 2 5 3 6 9 3 6 = 1(5)(9)+4(8)(3)+7(2)(6)-3(5)(7)-6(8)(1)-9(2)(4) = 45+96+84-105-48-72 = 0 …………………………….(kebetulan, singular)
Agus Sudiana, S.Pd
31
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
• Minor, Kofaktor, Adjoint dan Invers Matriks Ordo (3X3)
a Dari matriks A = b c
d e f
g h . i
Minor-minor matriks A ditentukan antara lain:
M 11 =
a 22 a 32
a 23 a 21 ; M 12 = a33 a 31
a 23 a 21 ; M 13 = a33 a31
a 22 a 32
M 21 =
a12 a32
a13 a11 ; M 22 = a33 a 31
a 31 a11 ; M 23 = a33 a 31
a12 a32
M 31 =
a12 a 22
a13 ; a 23
Kofaktor dari matriks A masing-masing adalah:
K 11 = (−1)1+1 M 11 = M 11 =
a 22 a 32
K 12 = (−1)1+ 2 M 12 = − M 12 = − K 13 = (−1)1+ 3 M 13 = M 13 =
a 21 a31
a 23 ; a33 a 21 a 31
a 23 ; a 33
a 22 ; a 32
dan seterusnya, menggunakan rumus:
K ij = (−1) i + j M ij Matriks kofaktor dari matriks A,
K 11 Kof ( A) = K 21 K 31
K 13 K 22 K 23 K 32 K 33 K 11 K 21 K 31 M 11 − M 21 T ⇒ [Kof (a )] = K 12 K 22 K 32 = − M 12 M 22 K 13 K 23 K 33 M 31 − M 23 T Adjoint dari matriks A adalah [Kof ( a )] sehingga diperoleh: M 11 − M 21 M 31 Adj (A) = − M 12 M 22 − M 32 M 31 − M 23 M 33 K 12
M 31 − M 32 M 33
Invers matriks A memenuhi rumus:
A −1 =
1 Adj ( A) det . A
Agus Sudiana, S.Pd
32
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Contoh:
1 3 2 Diketahui matriks A = 2 6 2 , maka untuk mencari invers matriks tersebut dilakukan langkah 5 9 4 langkah sebagai berikut: Determinan A, (misalnya digunakan Cara Sarrus): Det.A = 1.6.4+3.2.5+2.2.9-5.6.2-9.2.1-4.2.3 = 24+30+36-60-18-24 = -12 Kofaktor A, dengan elemen masing-masing:
2 − 12 6 Kof ( A) = 6 − 6 6 sehingga diperoleh Adjoint matriks A − 6 2 0 6 − 6 6 Adj (A) = 2 − 6 2 − 12 6 0 Invers matriks A ditentukan:
6 − 6 6 1 1 A = Adj ( A) = 2 − 6 2 det . A − 12 − 12 6 0 − 12 − 12 12 1 − 16 = − 16 2 1 − 12 0 −1
Latihan: Dengan langkah-langkah sebagaimana contoh di atas, tentukanlah inver dari matriks-matriks berikut:
2 1 0 3 5 2 1 4 7 B = 2 2 − 2 ; C = 5 7 4 ; D = 2 5 8 − 1 3 4 0 1 6 3 6 9 SOAL LATIHAN: Pilihlah jawaban yAng paling tepat! 1. EBTANAS 1996
1 0 − 2 1 1 0 C. 2 1
1 − 1 Diketahui matriks A = dan 2 2 1 − 1 B= . X adalah matriks bujursangkar 0 4 rode 2. Jika XA = B maka X adalah matriks …. 1 0 1 0 A. D. 0 1 2 −1
Agus Sudiana, S.Pd
B.
33
E.
0 1 − 1 − 2
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A 2.
EBTANAS 1996
Diketahui matriks
B.
2 4 A= dan 3 1
1 0 I = . Matrix ( A − kI ) adalah singular, 0 1 nilai k = …. A. B. C. D. E.
Semester 1
C.
D. 1 E. 3 6. EBTANAS 2000
A.
2 3 Diketahui matriks A = . Nilai k yang 6 10 T −1 memenuhi k . det . A = det . A (det =
C. D. E.
B. 2 ( x −
y) 2
C. 2 ( x +
y) 2
D. 2 ( x
2
− y2 )
E. 2 ( x
2
+ y2 )
5 3 1 4 1 − 7 − 1 − 1.P = 2 − 1 + − 3 2 . Inver −1 s matriks P adalah P = .... 1 − 1 A. 1 0
4. EBTANAS 1998
0 1 − 1 1 0 − 1 C. 1 − 1 0 1 D. − 1 − 1 1 1 E. − 1 0
1 3 A= ; 4 7 8 − 6 3 5 B= ; dan C = . Nilai 8 3k − 5 4 7 k yang memenuhi A − B = C −1 ( C −1 invers
B.
Diketahui matriks
matriks C) adalah …. A. 5 B. 3 C. − 53
8. UN 2006
2 − 1 x + y − 1 ; B= y 1 4 1
2 6 A= ; − 3 − 2 − 1 − 5 2 3 B= ; dan C = . Nilai 0 3k + 1 3 5 k yang memenuhi A + B = C −1 ( C −1 invers
Diketahui matriks A=
Diketahui matriks
7 2 T . Apabila B − A = C ; 3 1 T C = transpose matriks C, maka nilai x. y = ....
dan C=
matriks C) adalah …. A. -1
Agus Sudiana, S.Pd
( x − y) 2
7. UN 2005 Diketahui persamaan matriks
1 4 7 4 9 4 19 4
D. -3 E. -5 5. EBTANAS 1999
y 1 . Bentuk x − 1
p 2 + q 2 dinyatakan dalam x dan y adalah ….
3. EBTANAS 1997
B.
p x q = y
Diketahui
-2 atau 5 -5 atau 2 2 atau 5 3 atau 4 1 atau 2
determinan) adalah …. A. − 16
1 3 1 3
A.
34
10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
5. Determinan Matriks untuk Penyelesaian Sistem Persamaan Linear • Matriks Ordo 2 (Ordo (2X2) Pandang system persamaan linear dalam persamaan matriks berikut :
ax + by = c a b x c dalam persamaan matriks menjadi = px + qy = r p q y r a b Misalkan A = , maka dapat ditentukan masing-masing: p q
a
b
(i)
D=
(ii)
Dx =
c b
Dy =
a
p q r
= aq − bp
= cq − br
q c
= ar − cp p r Maka nilai x dan y masing-masing dapat ditentukan:
(iii)
x= •
Dx D
y=
Matriks Ordo 3
Dy D
a1 x + b1 y + c1 z = d 1 Dari system persamaan linear a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 diperoleh persamaan matriks a x + b y + c z = d 3 3 3 3 a1 a 2 a 3
c1 x d 1 b2 c 2 y = d 2 maka determinan matriks masing-masing ditentukan b3 c3 z d 3 a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d 1 c1 a1 b1
D = a2
b1
b2 b3
c2 ; Dx = d 2 c3 d3
c2 ; D y = a 2 c3 a3
b2 b3
a3 Nilai x, y , dan z masing-masing ditentukan:
x =
Dx D
y =
D
y
D
d2 d3
c2 ; Dz = a 2 c3 a3
z =
Dz D
b2 b3
d1 d2 d3
Contoh 1: Nilai x dan y yang memenuhi system persamaan berikut, menggunakan determinan matriks, diperoleh sebagai berikut:
2 x + 5 y = 9 ⇔ x + 3y = 5
Agus Sudiana, S.Pd
2 5 x 9 1 3 y = 5
35
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
D= x=
2 5 1 3
= 6 − 5 = 1 ; Dx =
9 5 5 3
Semester 1
= 27 − 25 = 2 ; D y =
2 9 1 5
= 10 − 9 = 1
Dy 1 Dx 2 = = 1 dan y = = =1 D 1 D 1
Contoh 2:
1 2 3 x 3 y = 2 ditentukan maisng-masing: Untuk persamaan matriks 1 1 1 2 3 0 z 1 1 2 3 1 .1 .0 + 2 .1 .2 + 3 .1 .3 − 2 .1 .3 − 3 .1 .1 − 0 . 1 .2 D = 1 1 1 = 0+ 4+9−6−3−0 2 3 0 4 3 2 3 3 .1 .0 + 2 .1 .1 + 3 .2 .3 − 1 .1 .3 − 3 .1 .3 − 0 .2 .2 D x = 2 1 1 = 0 + 2 + 18 − 3 − 9 1 3 0 8 1 3 3 1 .2 .0 + 3 .1 .2 + 3 .1 .1 − 2 .2 .3 − 1 .1 .1 − 0 .1 .3 D y = 1 2 1 = 0 + 6 + 3 − 12 − 1 − 0 2 1 0 − 4 1 .1 .1 + 2 .2 .2 + 3 .1 .3 − 2 .1 .3 − 3 .2 .1 − 1 .1 .2 Dz = 1 1 2 = 1 + 8 + 9 − 6 − 6 − 2 2 3 1 4 1 2 3
Maka diperoleh masing-masing nilai:
x=
8 −4 4 = 2; y = = −1; dan z = = 1 4 4 4
Soal Latihan: Tentukan pilihan yang paling tepat! 2. EBTANAS 2000 Himpunan penyelesaian system persamaan :
1. UN 2006 Jika ( x 0 , y 0 , z 0 ) memenuhi system persamaan:
9 14 x + y = 10 adalah ( x 0 , y 0 ) 6 2 − =1 x y Nilai x 0 − y 0 = ....
2 x + 3 y + 6 z = 14 4x + 2 y + z = 3 x + 4 y + 5z = 8 maka nilai x 0 adalah …. A. B. C. D. E.
A. B. C. D. E.
1 2 4 6 8
Agus Sudiana, S.Pd
36
6 5 3 1 -1
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
4. Vektor a. Definisi B
Dari titik A ditarik garis menuju titik B diperoleh ruas garis berarah AB , disebut vektor AB .
A
Vektor AB memiliki kedudukan 6 satuan ke kanan (arah positif) dan 3 satuan ke atas, ditulis AB =
Q P
6 3 . Vektor PQ , 9 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas,
− 9 2
maka PQ =
Vektor adalah sebuah besaran yang mempunyai ukuran/panjang dan arah. b. Panjang Vektor Misalkan diketahui vektor
a AB = maka panjang vektor AB = b
a2 + b2 .
Pada gambar dapat ditentukan,
AB = 6 2 + 3 2 =
36 + 9 = 45
PQ = (−9) 2 + 2 2 = 81 + 4 = 85 c. Beberapa Vektor Khusus Pada bidang koordinat, tergambar sebagai berikut:
y1
A( x1 , y1 )
j i Vektor
x1
x x OA = 1 dapat ditulis a = 1 = ( x1 , y1 ) y1 y1
Atau dalam kombinasi linear dinyatakan:
a = x1 i + y1 j Vektor vektor i dan
j disebut vektor basis, karena terletak pada basis atau sumbu koordinat, sedangkan vektor
OA atau vektor a yang bertitik asal (=titik tangkap) dinamakan vektor posisi.
Agus Sudiana, S.Pd
37
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Jika ditentukan vektor lain, sebut misalnya vektor maka vektor
Semester 1
u u = 1 terletak pada vektor a dan panjangnya 1 (satu) satuan, u2
u dinamakan vektor satuan.
Vektor satuan searah vektor
a adalah u =
a
, sedangkan vektor satuan searah vektor
b adalah u =
a
b
dan
b
seterusnya. d. Operasi Geometrik pada Vektor 1) Penjumlahan
a
b
a
a+b b Model penjumlahan di atas menggunakan metoda ”poligon”. Jika digunakan metoda ”jajar genjang” akan diperoleh gambaran sebagai berikut:
a
a a+b
b
b 2) Pengurangan
−b
a b
−b
a −b = a + ( −b)
a
x − x1 , A( x1 , y1 ) dan B( x 2 , y 2 ) maka vektor AB diwakili oleh nilai komponen 2 y 2 − y1 x1 − x 2 . sedangkan vektor BA diwakili oleh nilai komponen y1 − y 2 Misalkan diketahui titik
Tentu
AB ≠ BA , bahkan AB = − BA berlawanan.
A( x1 , y1 ) B( x 2 , y 2 )
Dari gambar diperoleh bahwa,
Agus Sudiana, S.Pd
x − x1 . AB = AO + OB = −OA + OB = OB − OA = 2 y 2 − y1
38
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Panjang vektor
AB = AB = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
Panjang vektor
BA = BA = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 =
Dalam hal ini
( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
AB = BA , yang membedakannya hanyalah arah vektor masing-masing (berlawanan)
e. Operasi Aljabar pada vektor 1) Penjumlahan dan Pengurangan Misalkan dikatahui vektor-vektor
x x a = 1 dan b = 2 maka penjumlahan dan pengurangan dilakukan: y1 y2
x a ± b = 1 ± y1
x2 y2
x1 ± x 2 = y1 ± y 2
Contoh:
2 3 a = dan b = maka diperoleh: 5 − 1 2 3 2 + 3 5 = a + b = + = 5 − 1 5 + (−1) 4
Misalkan diketahui
2 3 2 − 3 − 1 = a − b = − = 5 − 1 5 − (−1) 6 2) Lawan vektor Lawan dari vektor
x − x a = 1 adalah vektor − a = 1 adalah sebuah vektor yang panjangnya sama tetapi y1 − y1
arahnya berlawanan, sehingga
a + (−a ) = 0
3) Perkalian bilangan skalar dengan vektor
x k , l bilangan skalar (real) dan vektor a = 1 , maka ditentukan: y1 x kx k .a = k 1 = 1 y1 ky1
Pandang
Berlaku sifat-sifat perkalian sebagai berikut:
k ( a ± b) = k a ± k b
(k ± l )a = k a ± l a
Contoh: Diketahui vektor
2 6 a = dan b = maka dapat ditentukan diantaranya: 5 − 2
Agus Sudiana, S.Pd
39
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A 2 5a + 12 b = 5 + 5
Semester 1
6 10 3 13 = + = − 2 25 − 1 24 2 14 3 11 (11 3 ) 14 2 a − 2 a = 2 + 2 a = 2 a = 7 = 5 35 1 2
( )
2 6 2 − 6 − 4 − 12 = 3 = 3a − 3b = 3 a − b = 3 − = 3 5 − 2 5 − ( − 2 ) 7 21 4) Perkalian skalar dua vektor Dari vektor-vektor
x x a = 1 dan b = 2 dengan a = panjang vektor a dan b = panjang vektor b . y1 y2
Membentuk sudut antara kedua vektor tersebut yaitu Perkalian skalar vektor
∠(a, b) = α
a pada b ditentukan:
a.b = a b . cos α Bila diambil a = x1 i + y1 j dan
b = x 2 i + y 2 j maka perkalian skalar dapat dinyatakan :
a.b = ( x1 i + y1 j ).( x 2 i + y 2 j )
= x1 i.x 2 i + x1 i. y 2 + y1 j.x 2 i + y1 j. y 2 j = x1 .x 2 + y1 . y 2 Catatan: o
Perhatikan bahwa i dan j saling tegak lurus, karena masing-masing terletak pada sumbu koordinat, sehingga nilai kosinus sudutnya nol, maka perkalian skalarnya juga menghasilkan nol.
o
Vektor i dengan i atau vektor j dengan j pasti membentuk sudut nol sehingga nilai kosinusnya adalah 1, maka perkalian skalarnya menghasilkan bilangan 1.
f. Vektor di R3
Z
Y
A( x1 , y1 , z1 ) X
Titik
A( x1 , y1 , z1 ) pada Sistem Koordinat Ruang atau disebut juga R3.
x1 Vektor posisi OA = y1 = ( x1 , y1 , z1 ) = x1 i + y1 j + z1 k ......(ingat vektor basis) z 1
Agus Sudiana, S.Pd
40
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Panjang vektor
OA = OA = x1 + y1 + z1 2
2
Semester 1 2
Operasi geometrik dan operasi aljabar pada vektor di R3 berlaku sebagaimana operasi pada R2, demikian pula sifatsifat operasinya. g. Pembagian Ruas Garis Titik C membagi
AB (diantara) dengan perbandingan AC : CB = m : n
A( x1 , y1 , z1 ) m
a
C ( x, y , z )
n
c b
B( x 2 , y 2 , z 2 )
O Koordinat titik C ditentukan dengan rumus:
C ( x, y , z ) =
mB + nA m( x 2 , y 2 , z 2 ) + n( x1 , y1 , z1 ) = m+n m+n
Jika titik C terletak pada perpanjangan AB, maka nilai perbandingan dinyatakan Rumus pembagian ruas garis dituliskan sebagai berikut:
C ( x, y , z ) =
AC : CB = m : (−n)
mB − nA m( x 2 , y 2 , z 2 ) − n( x1 , y1 , z1 ) = m−n m−n
demikian juga jika titik C pada perpanjangan BA, diperoleh:
C ( x, y , z ) =
− mB + nA − m( x 2 , y 2 , z 2 ) + n( x1 , y1 , z1 ) = −m+n −m+n
Contoh: Diketahui ruas garis AB dengan A(2,1,-2) dan B(12,-4,8). Misalkan ada titik C , D dan E segaris dengan AB, masingmasing memiliki perbandingan: AC : CB = 3 : 2 , kemudian AD : DB = 6 : ( −1) , dan selanjutnya
AE : EB = (−3) : 8. Tentukanlah koordinat titik A, B dan C! Penyelesaian: Untuk koordinat titik C, ditentukan sebagai berikut:
mB + nA 3(12,−4,8) + 2(2,1,−2) = m+n 3+ 2 (36,−12,24) + (4,2,−4) C ( x, y , z ) = 5 (40,−10,20) C ( x, y , z ) = 5 C ( x, y, z ) = (8,−2,4) C ( x, y , z ) =
Agus Sudiana, S.Pd
41
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Untuk koordinat titik D, digunakan cara serupa:
6 B − 1A 6(12,−4,8) − 1(2,1,−2) = 6 −1 6 −1 (72,−24,48) − (2,1,−2) (70,−25,50 D ( x, y , z ) = = = (14,−5,10) 5 5 D ( x, y , z ) =
Untuk koordinat titik E, digunakan rumus
− 3B + 8 A − 3(12,−4,8) + 8(2,1,−2) = −3+8 −3+8 (−36,12,−24) + (16,8,−16) E ( x, y , z ) = 5 (−20,20,−40) E ( x, y , z ) = 5 E ( x, y, z ) = (−4,4,−8) E ( x, y , z ) =
h. Sudut Antara Dua Vektor Pandang perkalian skalar vektor a pada vektor
a.b = a b cos α ⇔ cos α =
b
a.b ab
x1 y1 + x 2 y 2 + x3 y 3
cos α =
x1 + y1 + z1 2
2
2
x2 + y 2 + z 2 2
2
2
Contoh: Diketahui vektor-vektor a = (2,3,−1) Dn vektor Tentukan sudut aantara kedua vektor tersebut!
b = (1,2,8)
Penyelesaian :
cos α =
a.b ab
a.b = 2(1) + 3(2) + (−1)(8) = 2 + 6 − 8 = 0 cos α = 0 ⇒ α = 90 0
i. Proyeksi Vektor pada Vektor Lain Vektor
a dan b membentuk sudut α . Vektor a diproyeksikan
pada vektor
b , diperoleh hasil proyeksinya sebuah vektor baru
searah dengan vektor bidang proyeksi, sebutlah vektor
c α
Misalkan panjang vektor a adalah
Agus Sudiana, S.Pd
a dan panjang vektor hasil proyeksi adalah c maka ditemukan
42
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A c
cos α =
Semester 1
⇒ c = a . cos α
a
a
cos α =
Karena
a.b
maka diperoleh
ab a.b
c = a.
α
ab
c
dinamakan proyeksi skalar ortogonal
b
a.b
c =
b Misalkan vektor satuan pada vektor
b adalah vektor u =
b
dan vektor
b // c , maka komponen vektor
b c ditentukan c = c .u =
c=
a.b 2
a.b b a.b . = 2 .b b b b
.b
dinamakan proyeksi vektor ortogonal
a pada b
b SOAL-SOAL APLIKASI Pilihlah jawaban yang paling tepat dari pilihan yang tersedia! 1. ABCDEF adalah segienam beraturan berppusat di O.
C 3. Perhatian gambar! B
AB dan BC masing-masing dinyatakan oleh vektor a dan v, maka CD sama dengan ....
Jika
S T
a.
u+v
D A Pada segiempat ABCD, S dan T masing-masing titik
b.
u −v
tengah AC dan BD. Jika u
c.
2v − u
AB + AD + CB + CD dapat dinyatakan
d.
u − 2v
sebagai....
e.
v −u
a.
1 4
u
c. u
b.
1 2
u
d.2 u
2. Balok ABCDEFGH mempunyai panjang = 4 cm, lebar = 3 cm, dan tinggi = 12 cm. Nilai
AC + AG = ....
a.
4
61
b.
3
61
c. d. e.
2 13 12
61
Agus Sudiana, S.Pd
4. Diketahui
= ST maka
e.
4u
a = 3i − 2 j , b = −i + 4 j dan
r = 7i − 8 j . Jika r = k a + mb, maka k + m = .... a. -2 b. -1 c. 1 d. 2 e. 3
43
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1 8.
2 − 1 1 5. Diketahui a = 1 ; b = 0 ; c = 2 3 2 − 1 Nilai dari 2 ( a − b) + 3c
= ....
9 b. 8 1
9.
AB = u dan
c.
− 15 5
d.
− 12 2
e.
− 12 3
2 Diketahui vektor a = 1 dan xvektor 1
30
o
b.
60
o
c.
90
o
e.
0
a = 3i + 5 j − 4k dan
b = 8i − 4 j + k adalah ....
a.
d.
AB + AC + AD + AE + AF = ....
120 135
o
o
x 11. Agar kedua vektor a = 4 dan 7
b. 2 u +2 v
4u + 4v
6 b = y segaris, haruslah nilai x − y = .... 14
+ 5v
6u + 6v Diketahui persegi panjang OABC dengan panjang OA = 12 dan AB = 5. Jika
− 16 2
vektor
AF = v , maka
7.
b.
5
10. Besar sudut antara vektor
6. Diberikan segienam ABCDEF. Jika
e.
1 21
Nilai x adalah .... a. -1 atau 16 b. -1 atau 17 c. 1 atau 16 d. 1 atau -17 e. 2 atau -16
9 e. − 8 1
d. 5 5u
a.
1 b = x . Sudut antara a dan b adalah 604 2
9 c. 8 −1 8 d. − 9 1
c.
A(1,−1,−2) B (4,3,−7); C (2,−3,0).
Kosinus sudut antara AB dan AC adalah ...
8 a. 9 1
a.
Diketahui titik-titik
OA = u dan OB = v , maka
u.v = .... a. 13 b. 60 c. 144 d. 149 e. 156
a. b. c. d. e.
-5 -2 3 4 6
x 2 12. Diketahui : a = 3 ; b = − 6 sama panjang. 2 3 Kedua vektor itu akan
Agus Sudiana, S.Pd
44
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
(1) membuat sudut lancip (2) membuat sudut tumpul (3) berimpit (4) saling tegak lurus Pernyataan yang benar adalah.... a. (1), (2) dan (3) b. (1) dan (3) c. (2) dan (4) d. (4) saja e. Semuanya benar 13. Jika sudut antara
1 c. 2 2 −1 d. − 2 2 o
a dan b sama dengan 60 dengan
a = 2 dan b = 5 maka a.(a + b) = .... a. b. c. d. e.
5 7 8 9 10
1 e. − 2 − 2 A(1,1,2) , B (1,2,3) dan P ( x, y, z ) pada
16. Jika
AB sehingga AP : PB = 1 : 2 maka OP = ....
k − 3 3 14. Vektor p = k tegak lurus vektor k2
a.
1 3
69
b.
1 3
70
c.
1 3
71
− 1 q = 1 untuk nilai k sama dengan: − 3
d.
1 3
73
e.
1 3
74
16. Jika diketahui vektor
a = 3i + j − 5k diproyeksikan pada vektor
(1) 3 (2) -1 (3) 1 (4) -3 Yang benar adalah .... a. (1), (2), dan (3) b. (1) dan (3) c. (2) dan (4) d. (4) saja e. Semuanya benar
b = −i + 2 j − 2k menghasilkan vektor p maka p = .... a. 9 b. 6 c. 5 d. 3 e. 1 17. Koordinat titik berat ∆ABC jika diketahui masingmasing A( −3,1,2), B ( 2,3,1) dan
3 15. Vektor a = 1 diproyeksikan pada vektor − 5 1 b = − 2 menghasilkan vektor c = .... 2
C (−2,2,3) adalah .... a. b. c. d. e.
1 a. − 2 2
18. Panjang proyeksi vektor
2 a = pada vektor 1
x b = sama dengan 2. Jika sudut antara kedua y
−1 b. 2 − 2
Agus Sudiana, S.Pd
(-3,6,6) (-3,6,3) (-1,3,2) (-1,3,3) (-1,2,2)
vektor adalah lancip, maka vektor
b = ....
a. (3
4 ) atau (1 0) b. (− 3 4 ) atau (1 0) 45
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
(3 4 ) atau (1 2) d. (2 − 1) atau (1 0 ) e. (1 2 ) atau (0 1) c.
Agus Sudiana, S.Pd
46
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
5. Transformasi Geometri a. Definisi Transformasi T di bidang datar adalah suatu pemetaan titik / objek di bidang yang sama. Pemetaani titik P ( x, y ) oleh transformasi T sehingga menjadi P ' ( x ' , y ' ) biasanya ditulis:
T : ( x, y ) → ( x', y ') Atau dapat juga ditulis T P ( x, y ) → P '( x', y ')
Transformasi ini dinamakan Transformasi Geometri, selanjutnya digunakan istilah “transformasi” b. Jenis Transformasi Geometri: Translasi (Pergeseran) Refleksi (Pencerminan) Rotasi (Perputaran) Dilatasi (Perkalian Bangun) 1) Translasi Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
a = akan memetakan titik P ( x, y ) sehingga diperoleh P ' ( x' , y ' ) dengan x' = x + a dan b y ' = y + b , sehingga P ' ( x + a, y + b) . 3
Translasi T
Ditulis:-2
a T = : P ( x, y ) → P ' ( x + a, y + b) b
Contoh: 1.
Tentukan bayangan titik P (−1,4) yang dipindahkan oleh translasi T
5 = ! 3
Jawab
5 T = memetakan titik P (−1,4) , maka bayangannya adalah P ' (−1 + 5,4 + 3) = P ' (4,7) . 3 a 2. Titik B ( 2,−2) ditranslasikan oleh T = menjadi B ' ( 4,−11). Tentukan komponen translasi T ! b Jawab:
x' x + a 4 2+a 2+a = 4⇒ a = 2 = ⇔ = y' y + b − 11 − 2 + b − 2 + b = −11 ⇒ b = −9 2 Komponen translasi T = − 9 3.
Titik Q ( x, y ) ditranslasikan oleh T
4 = menghasilkan bayangan Q ' (4,3). Koordinat titik asal? − 3
Jawab:
Agus Sudiana, S.Pd
47
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
x+4=4⇔ x =0
Koordinat titik asal Q (0,6) y −3= 3⇔ y = 6 3 memetakan garis g : 4 x + 5 y + 1 = 0, maka persamaan garis bayangan dari 4. Translasi T = − 8 g adalah.... Jawab:
x' = x + a ⇒ x' = x + 3 x = x'−3...............(1) y' = y + b ⇒ y' = y − 8
y = y '+8..............(2) g ': 4( x'−3) + 5( y '+8) + 1 = 0 Persamaan garis
g ': 4 x'−12 + 5 y '+40 + 1 = 0 g ': 4 x'+5 y '+29 = 0
x' dan y ' masing-masing cukup ditulis x atau y , sehingga diperoleh.... g ' : 4 x + 5 y + 29 = 0
Selanjutnya
2) Refleksi Refleksi (pencerminan) adalah sebuah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yangakan dipindahkan itu. Refleksi pada Sumbu-sumbu Koordinat
y = −x
P4
Hasil-hasil Refleksi pada Sumbu Koordinat: Refleksi terhadap Sumbu X
y=x
Y
M X : P( x, y ) → P1 ( x1 , y1 ) = P' ( x,− y )
P
P2
Refleksi terhadap Sumbu Y
M Y : P( x, y ) → P2 ( x 2 , y 2 ) = P' (− x, y )
Refkelsi terhadap titik O(0,0)
M O : P ( x, y ) → P3 ( x3 , y 3 ) = P ' (− x,− y )
X P3
Refleksi terhadap garis y = x
P1
M y = x : P ( x, y ) → P4 ( x 4 , y 4 ) = P ' ( y, x)
P5
Refleksi terhadap garis y = − x
M y =− x : P( x, y) → P5 ( x5 , y5 ) = P' (− y,− x)
Agus Sudiana, S.Pd
48
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Refleksi pada Garis Sejajar Sumbu Koordinat Y P7
x=m
(n − k )
y=k (n − k ) P
M x =m
P6
(m − x) (m − x) : P ( x, y ) → P6 ( x6 , y 6 ) = P ' (2m − x, y )
X
M y = k : P ( x, y ) → P6 ( x6 , y 6 ) = P ' ( x,2k − y ) Contoh: Diketahui titik P ( 2,5) direfleksikan terhadap masing masing Sumbu X, Sumbu Y, Pusat Koordinat, garis y=x, dan garis y=-x. Bayangan yang diperoleh masing-masing:
M X : P(2,5) → P' (2,−5)
M y = x : P (2,5) → P ' (5,2)
M Y : P(2,5) → P' (−2,5)
M y =− x : P(2,5) → P' (−5,−2)
M O : P (2,5) → P ' (−2,−5) Bisakah Anda menemukan bayangan titik
P (2,5) bila direfleksikan terhadap garis x=4 atau terhadap garis y=-3 ?
3) Rotasi Rotasi (perputaran pada bidang koordinat, ditentukan oleh titik pusat rotasi, besar sudut dan arah perputaran. Rotasi arah positif didefinisikan berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, dan sebaliknya. Y
y'
Bayangan hasil Rotasi sebesar sudut α : Berpusat di O (0,0)
P’
R(O ,α ) : P( x, y ) → P' ( x' , y ' ) y
P
α x'
x
X
x' x cos α − y sin α = y ' x sin α + y cos α Berpusat di T ( a, b) R(T ,α ) : P( x, y ) → P' ( x' , y ' ) x'−a ( x − a ) cos α − ( y − b) sin α = y '−b ( x − a ) sin α + ( y − b) cos α
Contoh: Tentukan bayangan titik P(6,4) jika direfleksikan di a. Titik O(0,0), sejauh 60
o
b. Titik T(2,2), sejauh 90
o
Agus Sudiana, S.Pd
49
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Jawab:
O(0,0) , sejauh 60 o : P (6,4) → P ' ( x' , y ' )
a. Pusat rotasi di
R(O , 60)
x' 6 cos 60 o − 4 sin 60 o 6( 12 ) − 4( 12 3 ) 3 − 2 3 = = = o o 6( 1 3 + 4( 1 ) 3 3 + 2 ' y 6 sin 60 + 4 cos 60 2 2 o b. Pusat rotasi di T ( 2 , 2 ) sejauh 90 R(T ,90) : P (6,4) → P ' ( x' , y ' )
x'−2 (6 − 2) cos 90 o − (4 − 2) sin 90 o 4(0) − 2(1) − 2 = = = o o y '−2 (6 − 2) sin 90 + (4 − 2) cos 90 4(1) + 2(0) 4 Bisakah Anda menggunakan rumus yang sama jika sudut putarnya searah putaran jarum jam (ke arah negatif)? 4) Dilatasi Dilatasi sebuah objek yaitu proses perkalian usuran objek tersebut, tetapi tidak mengubah bentuknya. Bayangan hasil sebuah dilatasi ditentukan oleh antara lain : pusat dilatasi dan faktor skalanya. Y
Dilatasi berpusat di O(0,0), factor skala k
y'
D(O,k ) : P(x, y) → P' (x' , y' ) =' (kx, ky)
P’(x’,y’)
x' kx = y' ky
y P(x,y) X Dilatasi berpusat di
T (a, b) dengan factor skala k:
Y
y'
P’(x’,y’)
y
a
D(T ,k ) : P(x, y) → P' (x' , y' )
P(x,y)
x'−a k (x − a) = y ' − b k ( y − b )
T
b
Contoh: Tentukanlah bayangan
x
x'
X
∆ABC dengan A(2,1); B (5,1); C (3,6) oleh sebuah dilatasi yang berpusat di
O(0,0) dengan factor skala 3! Jawab:
x1 x 2 x3 3(2) 3(5) 3(3) 6 15 9 = = y1 y 2 y 3 3(1) 3(1) 3(6) 3 3 18 ∆A' B' C ' ⇒ A' (6,3); B' (15,3)' C ' (9,18)
Agus Sudiana, S.Pd
50
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
c. Matriks Transformasi
Refleksi terhadap Sumbu X
Refleksi terhadoap Sumbu Y
Refleksi terhadap Pusat Koordinat
Refleksi terhadap garis
y=x
Refleksi terhadap garis
y = −x
Rotasi
90 o
Rotasi
− 90 o = Rotasi 270 o
Rotasi 180
Rotasi sejauh
Dilatasi dengan factor skala k
1 0 0 −1 −1 0 0 1 −1 0 0 − 1 0 1 1 0 0 − 1 −1 0 0 − 1 1 0 0 1 −1 0 −1 0 0 − 1
o
α
cos α sin ε k 0
− sin α cos α 0 k
d. Komposisi Transformasi
P
P1
P2
T1
T2
T1 (a) = a1
T2 (a1 ) = a 2
(T2 o T1 )(a) = a2 Misalkan T1 mentransformasikan titik P menjadi P 1 , kemudian T2 mentransformasikan titik P 1 menjadi P 2 . Sebuah komposisi transformasi yang mentransformasikan titik P menjadi titik P 2 adalah transformasi (T2 o T1 ) . Ditulis :
(T2 o T1 )( P) = P2
Agus Sudiana, S.Pd
Atau bisa juga ditulis
51
T1 T2 P → P1 → P2
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Untuk komposisi transformasi yang menggunakan matriks
T1 dilanjutkan dengan T2 , lambang ” o ” pada
(T2 o T1 ) dinyatakan sebagai lambang perkalian dua matriks. Contoh1:
1 2 kemudian bayangannya A(4,−6) ditansformasikan berturut-turut oleh matriks M = 0 1 0 1 . Tentukanlah bayangan titik A ! ditransformasikan oleh matriks N = −1 0
Titik
Jawab: Misalkan matriks
T = NoM
T adalah matriks transformasi pengganti dari komposisi kedua matriks M dan N , maka
0 1 1 2 T = − 1 0 0 1 Bayangan titik A( 4,−6) ditentukan sebagai berikut: 1 4 0 − 6 − 6 x' 0 = = = y ' − 1 − 2 − 6 − 4 + 12 8
Contoh 2:
P (2,−1) direfleksikan terhadap Sumbu X, kemudian dilanjutkan oleh rotasi 90 o berpusat di titik O(0,0). Koordinat bayangannya?
Titik
Jawab:
1 0 0 − 1 dan matriks rotasi 90 o , R90 = maka matriks M x = 0 − 1 1 0 0 − 1 1 0 0 1 = pengganti kedua transformasinya T = 1 0 0 −1 1 0 x ' 0 1 2 − 1 = = ⇒ Koordinat bayangan hádala P ' (−1,2) y ' 1 0 −1 2
Matriks pencerminan pada sumbu X,
SOAL-SOAL APLIKASI Pilihan jalaban yang paling tepat! 1. Garis g dengan persamaan 3 x − 2 y − 6 ditranslasikan oleh
3 maka hasil − 4
transformasinya adalah .... a. 3 x − 2 y = −11
3x − 2 y = 6 e. 3 x − 2 y = 23 d.
=0
2.
A(3,−1) ke titik
A' (5,3) adalah .... 2 a. T = 3
3 x − 2 y = −3 c. 3 x − 2 y = 3 b.
Agus Sudiana, S.Pd
Translasi yang memindahkan titik
52
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
1 T = 2 2 c. T = 4
Jarak A' keB' adalah .... a. 20 satuan b. 14 satuan c. 9 satuan d. 5 satuan e, 4 satuan
b.
− 2 T = − 4 2 e. T = − 4
d.
3.
Bayangan garis l yang melalui titik bergradien 3 karena translasi
5.
Suatu bangun jika dikenakan dilatasi dengan faktor skala − 2 , maka bangun itu .... a. diperbesar dua kali lipat dan arah tetap b. diperbesar dua kali lipat dan arah berlawanan c. tetap dan berlawanan rah d. bergeser 1 satua dan arah tetap. e. bergeser 1 satuan dan arah berlawanan.
6.
3 x + 2 y − 10 = 0 direfleksikan terhadap garis y − x = 0 a. 3 x + 2 y + 10 = 0 b. 3 x − 2 y + 10 = 0 c. 3 x − 2 y − 10 = 0 d. 2 x + 3 y − 10 = 0 e. 2 x + 3 y + 10 = 0
7.
Matriks yang bersesuai dengan rotasi 60 berpusat di titik O(0,0) kemudian dilanjutkan dengan rotasi
(2,1)
2 0 T1 = dilanjutkan translasi T2 = adalah 0 1 .... a. y b. c. d. e. 3.
= 3x − 6 y = 3 x − 10 y = 3x − 1 y = 3x − 5 y = 10 − 3 x
Persamaan
bayangan
dari
lingkaran
( x + 5) 2 + ( y − 3) 2 = 4 oleh percerminan terhadap garis y = − x adalah ....
4.
a. x
2
+ y 2 + 6 x − 10 y + 30 = 0
b. x
2
+ y 2 + 6 x + 10 y − 30 = 0
c.
x 2 + y 2 − 6 x − 10 y + 30 = 0
d.
x 2 + y 2 − 6 x + 10 y − 30 = 0
e.
x 2 + y 2 − 6 x − 10 y − 30 = 0
Jika titik
0 1 0 c. −1
1 0 0 −1 − 1 0 e. 0 1
a.
garis
8.
AB
B (2,−1) didilatasikan menghasilkan ruasgaris
Agus Sudiana, S.Pd
dengan oleh
− 1 0 1 0
d.
o
Ruas
setelah
o
b.
sudut putar 90 , maka koordinat bayangannya adalah....
5.
garis
30 o berpusat di titikyang sama adalah .... 0 − 1 a. − 1 0
T (5,−2) dirotasikan dengan pusat O dan
(−5,−2) b. (5,−2) c. ( 2,−5) d. ( 2,5) e (−2,5)
Bayangan
Persamaan transformasi
bayangan x + 2 y − 6 = 0 oleh yang bersesuaian dengan matriks
1 0 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap 0 2 garis y = x adalah .... a. x + y − 6 = 0 b. x + y + 6 = 0 2
A(−1,3) dan D[(0,0);4]
A' B ' . 53
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
2x + y − 6 = 0 d. 4 x + y − 6 = 0 e. 4 x + y + 6 = 0
(12,5) c. (10,5) d. (5,10) e. (5,14)
c.
9.
b.
Diketahui matriks transformasi
2 1 dan T1 = 2 13. Bayangan kurva y = x − 1 oleh dilatasi pusat O 3 1
− 1 1 . Peta dari garis x + y = 4 T2 = 0 1 karena transformasi T1 dilanjutkan dengan transformasi T2 adalah .... a. − 2 x + y = 4 b. − x − y = 4 c. x − y = 4 d. 4 x + y = 4 14. e. 8 x + 5 y = 4
dengan faktor skala 2, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y adalah .... a.
y = 12 x 2 − 1
b.
y = 12 x 2 + 1
c.
y = − 12 x 2 + 2
d.
y = − 12 x 2 − 2
e.
y = 12 x 2 − 2
Diketahui T1 dan T2 adalah transformasi-transformasi yang bersesuaian dengan matriks:
3 x − y − 12 = 0 karena refleksi terhadap garis y − x = 0 dilanjutkan oleh
0 3 2 1 dan M 2 = M 1 = 3 0 0 1
transformasi yang bersesuaian dengan matriks
Koordinat bayangan yang dinyatakan dengan komposisi transformasi (T2 o T1 )(7,−2 ) adalah...
10. Persamaan peta garis
− 3 5 adalah .... −1 1 a. y + 11x + 24 = 0 b. y − 11x − 10 = 0 c. y − 11x + 6 = 0 d. 11 y − x + 24 = 0 e. 11 y − x − 24 = 0
(21,9) b. (21,10 ) c. (21,11) d. (9,12 ) e. (9,31)
a.
a T = memetakan titik P (−3,4) ke titik b P ' (0,2). Bayangan se2gitiga ABC dengan A(1,4), B (7,4), dan C (7,11) oleh translasi T mempunyai luas.... satuan luas.
15. Translasi
11. Bayangan garis 3 x − y + 2 = 0 apabila dicerminkan terhadap garis y = x , dilanjutkan dengan
rotasi sebesar O(0,0) adalah ....
90 o
berpusat
di
a. 20 1
2 3x + y + 2 = 0 b. 42 b. − x + 3 y + 2 = 0 c. 21 d. 12 c. 3 x + y + 2 = 0 e. 11 12 d. x − 3 y + 2 = 0 e. − 3 x + y + 2 = 0 16. T1 adalah transformasi rotasi pusat di O(0,0) dengan 12. Peta dari P ( x, y ) oleh pencerminan terhadap o sudut putar 90 . T2 adalah transformasi refleksi garis x = −2 dilanjutkan rotasi sejauh terhadap garis y = − x . Jika koordinat peta titik A oleh R O,180 o adalah P (14,15). transformasi T1 o T2 adalah ( '8,−6) , maka koordinat Koordinat P ( x, y ) adalah .... titik A adalah .... a. (14,5)
a.
[
]
Agus Sudiana, S.Pd
54
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
(− 6,−8) b. (− 6,8) c. (6,8) d. (8,6 ) e. (10,8)
Semester 1
x x = 1 diputar mengelilingi pusat koordinat x2 o O sejauh 90 dalam arah berlawanan dengan
a.
17. Persamaan garis
20. Vektor
perputaran arah jarum jam. Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu X, menghasilkan
x = 1 − 2 y dirotasikan
x = A. y , maka A =…. 0 1 a. 1 0 0 − 1 b. −1 0 0 − 1 c. 1 0 1 0 d. 0 1 −1 0 e. 0 − 1
+ 90 o berpusat di O(0,0). Persamaan bayangan garisnya adalah .... a. x = 2 y − 1
x = 1− 2y c. y = 1 − 2 x d. y = −2 x − 1 e. y = 2 x + 1 b.
18
Persamaan peta parabola
( x + 1) 2 = 2( y − 2) oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi terhadap pusat O dan sudut putar
π
2 2 a. ( x − 1) = 2( y + 2)
19.
b.
( x − 1) 2 = 12 ( y − 2)
c.
( y − 1) 2 = 2( y − 2)
d.
( y + 1) 2 = 2( x − 2)
e.
( y + 1) 2 = 12 ( x − 2)
y y = 1 . Jika y2
radian adalah ....
T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan 5 3 dan T2 adalah transformasi matriks −1 2 1 − 3 . yang bersesuaian dengan matriks − 2 4 Bayangan A( m, n) oleh transformasi T1 o T2 adalah (−9,7). Nilai m + n sama dengan …. a. b. c. d. e.
4 5 6 7 8
Agus Sudiana, S.Pd
55
SMA Plus Negeri 4 OKU
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Agus Sudiana, S.Pd
Semester 1
56
SMA Plus Negeri 4 OKU
