MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON DALAM MENYELESAIKAN OPTIMASI NONLINEAR MULTIVARIABEL BERKENDALA
Usulan Penelitian untuk Skripsi S-1
diajukan oleh: Siti Mahmudah 09610013
Kepada :
Program Studi Matematika Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta 2013
ii
iii
iv
v
MOTTO
Ikutilah arus dimanapun berlayar, namun pegang teguhlah Al-Qur’an dan As-Sunah, bagai karang yang kokoh meski dihantam badai
“Orang sukses adalah orang yang hari ini lebih baik dari hari kemarin,orang merugi adalah orang yang hari ini sama dengan hari kemarin,orang celaka adalah orang yang hari ini lebih buruk dari hari kemarin"
“Barang siapa yang bertaqwa kepada Allah, maka akan dicarikan jalan keluar, dan barang siapa yang bertaqwa kepada Allah akan dimudahkan segala urusannya” (At-Thalaq: 2 dan 4)
vi
PERSEMBAHAN
Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT, skripsi ini penulis persembahkan kepada :
Kedua orangtua ku tercinta “Ibu dan Bapak” yang senantiasa mendo’akan serta membimbingku. Terimakasih atas semua cinta dan kasih sayangnya yang tulus.
Kakak dan adekku atas kasih sayangnya.
Sahabat-sahabatku yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang selalu menemaniku dan memberikan dorongan pada ku untuk terus maju.
Teman-teman seperjuanganku angkatan 2009
vii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah dan inayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Modifikasi Metode Newton-Raphson Dalam Menyelesaikan Optimasi Nonlinear Multivariabel Berkendala”. Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan kerjasama berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan tulus ikhlas penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. 2. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. 3. Bapak Noor Saif Muhammad Mussafi, S.Si, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu dan tenaga untuk memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 4. Segenap staf dosen dan karyawan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. 5. Ibu dan Bapakku atas segala kasih sayang, kepercayaan, dukungan dan do’a yang tiada hentinya untukku dan kakak adikku, serta kelurga besarku yang telah memberikan motivasi, nasehat, serta semangat kepada penulis dalam menyusun skripsi. 6. Sahabat-sahabat atas keceriaan, dukungan, tempat curhat dan semangat yang kalian berikan. viii
7. Teman-teman Matematika 2009, yang telah memberikan bantuan, masukan dan saran pada penulis dalam penyusunan skripsi ini. 8. Semua pihak yang telah membantu dan mendukung dalam melaksanakan penelitian ini. Semoga semua bantuan yang diberikan selama penelitian hingga terselesaikannya skripsi ini mendapatkan balasan yang lebih dari Allah SWT. Penulis menyadari penyusunan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran, masukan, dan kritik yang membangun demi kesempurnaan skripsi ini.
Yogyakarta, Desember 2013
Penulis
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..................................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN SKRIPSI ...................................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN .....................................................................
iii
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ...............................
iv
HALAMAN PERNYATAAN BERJILBAB .............................................
v
HALAMAN MOTTO ................................................................................
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................
vii
KATA PENGANTAR ................................................................................
viii
DAFTAR ISI ..............................................................................................
x
DAFTAR LAMBANG ................................................................................
xii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................
xiii
DAFTAR TABEL ......................................................................................
xiv
ABSTRAKSI ..............................................................................................
xv
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang Masalah......................................................................... 1 1.2 Batasan Masalah .................................................................................... 3 1.3 Rumusan Masalah.................................................................................. 3 1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................. 3 1.5 Manfaat Penelitian ................................................................................ 4 1.6 Tinjauan Pustaka ................................................................................... 4 1.7 Metodologi Penelitian ........................................................................... 7 1.8 Sistematika Penulisan ............................................................................ 8 BAB II LANDASAN TEORI.............................................................................. 10 2.1 Optimasi ................................................................................................ 10 2.2 Optimasi Nonlinear................................................................................ 10 2.3 Matriks .................................................................................................. 12 2.3.1 Jenis Matriks................................................................................. 12 x
2.3.2 Operasi Matriks ............................................................................ 14 2.4 Vektor Gradien dan Matriks Hessian...................................................... 20 2.5 Pengali Lagrange ................................................................................... 21 2.6 Metode Newton-Raphson....................................................................... 22 2.7 Modifikasi Metode Newton-Raphson..................................................... 25 2.8 MATLAB .............................................................................................. 37 2.8.1 Memulai MATLAB ...................................................................... 38 2.8.2 Operator aritmatika dasar pada MATLAB .................................... 39 2.8.3 Operasi Matriks ............................................................................ 39 2.8.4 Penggunaan M-file........................................................................ 43 2.8.5 Kontrol Program ........................................................................... 44 2.9 Portofolio............................................................................................... 45 BAB III PEMBAHASAN..................................................................................... 47 3.1 Penerapan Analisis Portofolio ................................................................ 47 3.2 Penyelesaian Optimasi Nonlinear Multivariabel Berkendala Dengan Modifikasi Metode Newton-Raphson..................................................... 55 3.3 Penyelesaian Optimasi Nonlinear Multivariabel Berkendala Dengan Menggunakan Software MATLAB 7.1. ................................................. 65 3.3.1 Penggunaan M-file........................................................................ 66 3.3.2 Uji Coba Penyelesaian Optimasi Nonliear Multivariabel Berkendala.................................................................................... 70 3.4 Analisis Hasil Komputasi Penyelesaian Optimasi Nonlinear Multivariabel Berkendala Dengan Modifikasi Metode Newton-Raphson 75 BAB IV PENUTUP.............................................................................................. 78 4.1 Kesimpulan............................................................................................ 78 4.2 Saran ..................................................................................................... 79 DAFTAR PUSTAKA........................................................................................... 81 LAMPIRAN ......................................................................................................... 82
xi
DAFTAR LAMBANG
2
= Variansi (variance)
2
= Kovarians
Ei
= Expected Return +1
= Nilai = Nilai
ke ( ke
)
= Matriks Hessian ∇ (
= Vektor Gradien │ )−1
= Invers Matriks Hessian dititik Z
Z0
= Vektor Gradient dititik Z
f(x)
= Fungsi tujuan
hi(x)
= Fungsi kendala
∇ │
= Titik awal
= Pengali Lagrange = Matriks kovarians (covariance matrix) F
= Jumlah uang
i
= Jenis investasi
k
= Selang waktu
L
= Proporsi dana terendah yang dialokasikan
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Pelukisan grafis metode Newton-Raphson........................................... 23 Gambar 2.2. Icon MATLAB 7.1 ............................................................................ 38 Gambar 2.3. Editor M-File..................................................................................... 43
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Operasi Aritmatika ................................................................................. 39 Tabel 2.2 Operasi dalam Matriks ........................................................................... 42 Tabel 3.1 Pembayaran dividen tiap jenis investor pada tahun 1 hingga 5 ................ 51 Tabel 3.2 Kombinasi pembayaran dividen dari setiap jenis investasi ...................... 52
xiv
MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON DALAM MENYELESAIKAN OPTIMASI NONLINEAR MULTIVARIABEL BERKENDALA Siti Mahmudah (09610013)
ABSTRAK
Optimasi disebut nonlinear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinear pada salah satu atau keduanya. Optimasi nonlinear multivariabel berkendala merupakan salah satu permasalahan optimasi nonlinear. Permasalahan tersebut diterapkan dalam analisis portofolio. Pada awalnya metode Newton-Raphson digunakan untuk mencari akar dari suatu fungsi rill. Pada perkembangannya metode Newton-Raphson telah banyak mengalami kemajuan, metode ini dapat dimodifikasi sehingga dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan lain. Algoritma modifikasi metode Newton-Raphson dapat digunakan untuk mencari titik optimal dari permasalahan optimasi nonlinear multivariabel berkendala. MATLAB 7.1 dapat membantu menyelesaikan permasalahan optimasi nonlinear multivariabel berkendala karena dikenal memiliki ratusan fungsi untuk menyelesaikan berbagai masalah. Kata Kunci: optimasi nonilinear, portofolio, Modifikasi metode Newton Raphson dan MATLAB 7.1
xv
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah Pada kenyataannya Matematika sebagai ilmu eksakta yang sangat erat dengan rumus dan perhitungan yang dapat dijadikan sebagai alat bantu untuk menyederhanakan penyajian pembahasan masalah. Dengan menggunakan bahasa matematika, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, difahami, dianalisis dan diselesaikan. Akan tetapi tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan
dengan
menggunakan
perhitungan
biasa.
Jika
suatu
permasalahan dalam matematika itu sulit diselesaikan dengan metode analitik, maka metode numerik yang berperan penting disini. Permasalahan nonlinear terutama dalam permasalahan optimasi nonlinear multivariabel berkendala, pada umumnya tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga diperlukan teori khusus dalam memudahkan perhitungan. Salah satu teori yang biasa digunakan adalah metode numerik. Dengan menggunakan metode numerik akan membantu setiap penyelesaian permasalahan. Secara matematis dapat dibentuk suatu pola hubungan antar variabel atau parameter. Hal ini akan menjadi lebih baik jika pola hubungan 1
2
yang terbentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi. Metode numerik disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinear pada salah satu atau keduanya. Optimasi nonlinear merupakan topik lanjutan dari optimasi linear yang secara konseptual, sedikit lebih sulit untuk diselesaikan karena diperlukan pengetahuan mengenai kalkulus, persamaan differensial dan aljabar linear. Optimasi nonlinear berguna untuk masalah yang relatif sulit yaitu fungsi tujuan nonlinear, yang mempunyai daerah penyelesaian dengan batas nonlinear (non Convex). Dalam penelitian ini akan dibahas permasalahan portofolio yang berbentuk pemrograman kuadratis. Pemrograman nonlinear salah satunya adalah pemrograman kuadratis, maka permasalahan portofolio dikatakan berbasis optimasi nonlinear. Secara umum belum ditentukan metode penyelesaian yang terbaik dalam menyelesaikan optimasi nonlinear, tetapi ada suatu metode yang dianggap lebih baik dibandingkan metode lainnya, yaitu metode Newton Raphson. Metode Newton-Raphson digunakan untuk mencari pendekatan atau hampiran terhadap akar suatu fungsi rill. Pada perkembangannya metode ini telah banyak mengalami kemajuan. Metode Newton-Raphson tidak hanya mencari akar dari suatu fungsi, namun metode ini digunakan untuk mencari titik optimal dari suatu persamaan dalam optimasi nonlinear multivariabel
3
berkendala. Penelitian ini menggunakan bantuan program MATLAB 7.1 yang dikenal memiliki ratusan fungsi untuk menyelesaikan berbagai masalah.
1.2 Batasan Masalah Batasan masalah dalam penelitian ini difokuskan pada permasalahan portofolio dalam bentuk pemrograman kuadratis dengan meminimumkan risiko dan jumlah variabel lebih banyak daripada jumlah kendala.
1.3 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dijabarkan, maka yang menjadi permasalahan antara lain: 1. Bagaimana
model
pemrograman
nonlinear
dalam
permasalahan
portofolio? 2. Bagaimana penyelesaian optimasi nonlinear multivariabel berkendala menggunakan modifikasi metode Newton-Raphson? 3. Bagaimana optimasi nonlinear multivariabel berkendala diselesaikan menggunakan program MATLAB 7.1 ?
1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah 1. Untuk mengetahui model pemrograman nonlinear dalam permasalahan portofolio.
4
2. Untuk mengetahui penyelesaian yang menggunakan modifikasi metode Newton-Raphson dalam menyelesaikan masalah optimasi nonlinear multivariabel berkendala. 3. Untuk
mengetahui
penyelesaian
optimasi
nonlinear
multivariabel
berkendala dengan menggunakan program MATLAB 7.1.
1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Memberikan gambaran bagaimana metode Newton-Raphson dapat dimodifikasi sehingga dapat menyelesaikan masalah optimasi nonlinear multivariabel berkendala. 2. Menambah pengetahuan dan keilmuan tentang komputer, khususnya bahasa pemrograman MATLAB 7.1. 3. Sebagai literatur penunjang khususnya bagi mahasiswa matematika.
1.6 Tinjauan Pustaka Penulisan skripsi ini terinspirasi dari beberapa penelitian sebelumnya, antara lain: 1. Skripsi saudari Khutwatun Nasiha (2008), mahasiswa Universitas Islam Negeri Malang yang berjudul “Penyelesaian Sistem Persamaan Tak-Linear Dengan Metode Newton-Raphson”. Penelitian ini membahas tentang penyelesaian sistem persamaan tak linear dengan metode NewtonRaphson. Adapun aplikasinya, penulis memberikan dua contoh sistem
5
persamaan tak linear. Kedua persamaan tersebut dikerjakan dengan metode Newton-Raphson, hasil yang diperoleh dianalisis bahwa semakin kecil nilai deviasi atau nilai galat yang diperoleh maka semakin tepat nilai penyelesaiannya. 2. Skripsi saudara Denny Robertha (2010), mahasiswa Universitas Sumatera Utara Medan yang berjudul “Analisis Pendekatan Metode NewtonRaphson Dalam Menyelesaikan Optimasi Multivariabel Dengan Kendala Persamaan”. Penelitian ini membahas proses perhitungan dengan metode Newton-Raphson pada kasus optimasi multivariabel dengan kendala persamaan serta dibahas laju konvergen dan taksiran kesalahan. Optimasi multivariabel dengan kendala persamaan yang diselesaikan dengan metode Newton-Raphson hanya fokus untuk menentukan titik optimal dari persamaan kendala yang ada, sehingga sangat sulit untuk menentukan taksiran kesalahan dari perhitungannya. 3. Jurnal yang ditulis oleh I Wayan Santiyasa dengan judul “Algoritma Newton Raphson Dengan Fungsi Nonlinear”. Dalam jurnal ini dibahas mengenai pencarian nilai tegangan kerja dioda dengan menggunakan metode Newton-Raphson, solusi akhir dari tegangan kerja dioda yang diperoleh juga akan dipengaruhi oleh nilai awal bagi metode NewtonRaphson. Apabila dioda dipasang dengan bias maju (seperti dalam rangkaian dioda ini), maka besarnya tegangan kerja dioda secara teoritis akan sangat kecil bila dibandingkan dengan tegangan hambatan (R).
6
Penerapan praktisnya, rangkaian dioda dianggap dihubung singkat (hambatan R dioda sangat kecil/ dianggap nol). No
Nama Peneliti
Judul Penelitian
Perbedaan dengan penelitian sebelumnya
1
2
Khutwatun
Penyelesaian Sistem
Aplikasi dalam contoh optimasi
Nasiha
Persamaan Tak-
nonlinear multivariabel dan
Linear Dengan
penyelesaiannya menggunakan
Metode Newton-
modifikasi metode Newton-
Raphson
Raphson.
Denny
Analisis Pendekatan
Penyelesaian
Robertha
Metode Newton-
menggunakan cara manual tetapi
Raphson Dalam
dengan menggunakan software
Menyelesaikan
MATLAB 7.1 dalam bentuk M-
Optimasi
file dan permasalahan diterapkan
Multivariabel
dalam analisis portofolio.
tidak
hanya
Dengan Kendala Persamaan 3
I Wayan
Algoritma Newton
Metode yang digunakan yaitu
Santiyasa
Raphson Dengan
modifikasi
Fungsi Nonlinear
Raphson sehingga dapat mencari titik
metode
optimal
permasalahan.
dari
Newton-
suatu
7
1.7 Metodologi Penelitian Metodologi penelitian yang dilakukan dalam proses penyusunan skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Studi Literatur Penelitian ini diawali dengan mempelajari dan memahami permasalahan portofolio dan pendekatan metode Newton-Raphson. Membaca dan mempelajari beberapa literatur seperti buku, jurnal, skripsi, tesis, dan literatur lainnya yang berkaitan dengan permasalahan optimasi nonlinear. 2. Membahas konsep permasalahan optimasi nonlinear Menjelaskan pengertian optimasi nonlinear serta permasalahan portofolio. 3. Membahas konsep metode Newton-Raphson Menjelaskan algoritma modifikasi metode Newton-Raphson serta gagasan
awal
metode
Newton-Raphson
sebelum
mengalami
perkembangan menjadi modifikasi metode Newton-Raphson. 4. Membahas tatacara penggunaan MATLAB Menjelaskan perintah-perintah dalam MATLAB, serta menjelaskan aturan-aturan dalam melakukan operasi pada MATLAB. 5. Melakukan perhitungan dengan modifikasi metode Newton-Raphson secara manual maupun komputasi menggunakan software MATLAB 7.1. 6. Membuat kesimpulan dan perbandingan penyelesaian optimasi nonlinear multivariabel berkendala dengan Modifikasi Metode Newton-Raphson
8
menggunakan cara manual maupun komputasi menggunakan software MATLAB 7.1.
1.8 Sistematika penulisan Skripsi ini menggunakan sistematika penulisan dan pembahasan sebagai berikut : Bab I Pendahuluan Pada bab ini berisi tentang dasar-dasar untuk pembahasan pada bab selanjutnya, yaitu: latar belakang, batasan masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, serta sistematika penulisan. Bab II Landasan Teori Pada bab ini membahas tentang landasan teori yang digunakan sebagai dasar pemikiran dalam pembahasan. Landasan teori ini berisi tentang optimasi nonlinear, portofolio dan penjelasan mengenai algoritma Modifikasi Metode Newton-Raphson. Bab III Pembahasan Pada bab ini berisi tentang model permasalahan portofolio, algoritma dan flowchart Modifikasi Metode Newton-Raphson untuk menyelesaikan permasalahan optimasi nonlinear multivariabel berkendala. Bab ini akan membahas analisis hasil perhitungan permasalahan optimasi nonlinear multivariabel berkendala yang diselesaikan menggunakan cara manual maupun komputasi menggunakan software MATLAB 7.1.
9
Bab IV Penutup Pada bab ini berisi tentang kesimpulan yang diperoleh dari penyelesaian dalam permasalahan dan saran-saran guna pengembangan penulisan tugas akhir ini.
BAB IV PENUTUP
4.1. Kesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan tentang permasalahan portofolio yang diselesaikan dengan algoritma modifikasi metode Newton-Raphson, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut : 1. Model pemrograman nonlinear dalam permasalahan portofolio sebagai berikut : Meminimumkan : n
n
z ij2 xi x j X T CX i 1 j 1
Dengan kendala : 1
⋯
2
1 1
2 2
⋯
=
≥
2. Pada pembahasan dalam studi kasus permasalahan portofolio, dengan mendefinisikan fungsi f (x) sebagai fungsi tujuan dan ℎ ( ) sebagai fungsi
kendala dengan
=
dan
diperoleh model pemrograman nonlinear
sebagai berikut sebagai berikut :
Meminimumkan 3
1
( )=
5,6 78
2 1
2 1
,8
2 2
2
55,
2
3
1
5,6
1 2
2
79
dengan kendala
ℎ1 ( ) =
ℎ2 ( ) = 9
1
1
2
7
0
2
= .000
≥ 8.000
Penyelesaian optimasi nonlinear multivariabel berkendala dengan cara manual diperoleh
yang 1
menggunakan
= 500,
2
= 500,
modifikasi = 0,
1
metode =
Newton-Raphson
35.000 dan
2
= 4.600.
Jadi proporsi dana yang harus diinvestasikan dalam tiap jenis investasi agar kedua persyaratannya terpenuhi yaitu investor harus membagi proporsi dananya secara merata diantara dua jenis investasi yaitu saham dan obligasi sebesar $500 pada masing-masing jenis investasi, sedangkan untuk asuransi tidak mendapatkan proporsi dana yang diinvestasikan. 3. Optimasi nonlinear multivariabel berkendala yang diselesaikan dengan menggunakan software MATLAB 7.1 diperoleh hasil x = y = 500 dan z = 0. Jadi proporsi dana sebesar $500 harus diinvestasikan pada dua jenis invetasi yaitu saham dan obligasi, sedangkan yang tidak mendapatkan proporsi dana yaitu asuransi. 4.2. Saran Berdasarkan penelitian yang dilakukan, maka terdapat beberapa saran untuk kemajuan penelitian ini dimasa mendatang antara lain : 1. Penelitian ini hanya membahas optimasi nonlinear multivariabel berkenda yang diaplikasikan dalam permasalahan portofolio. Diharapkan penelitian selanjutnya dapat mengaplikasikan dalam permasalahan yang lain, seperti masalah transportasi dan masalah ekonomi.
80
2. Metode dalam penyelesaian optimasi nonlinear multivariabel berkendala yang digunakan adalah modifikasi metode Newton-Raphson. Diharapkan penelitian selanjutnya dapat menggunakan metode selain modifikasi metode Newton-Raphson, yang dapat menyelesaikan permasalahan optimasi nonlinear multivariabel berkendala. Selain modifikasi metode Newton-Raphson dapat digunakan metode Karush Kunh Tucker dan metode Feasible Direction. 3. Program MATLAB yang digunakan dalam menyelesaiakan permasalahan optimasi nonlinear multivariabel berkendala hanya terbatas untuk permasalahan dengan 2 kendala dan 3 variabel. Diharapkan penelitian selanjutnya dapat menyelesaikan permasalahan optimasi nonlinear multivariabel berkendala dengan kendala dan variabel yang lebih banyak.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. Ayres, Frank. 1994. Matriks. Jakarta : Erlangga. Bronson, Richard Ph. D. 1996. Teori Dan Soal-Soal Operationss Research. Jakarta: Erlangga. Chapra, Steven C. & Canale, Raymond P. 1988. Metode Numerik. Jakarta: Erlangga. Chong, K.P. 2001. An Introduction to Optimization. Canada : John Wiley & Sons. Kusumawati, Rierien. 2009. Aljabar Linear & Matriks. Malang: UIN Malang Press. Luknanto, Djoko. 2000. Pengantar optimasi Nonlinear. Yogyakarta: Universitas Gajah Mada. Mussafi, Noor Saif Muhammad, M.Sc. 2011. Optimisasi Portofolio Resiko Menggunakan Model Markowitz MVO (Mean-Variance Optimization). Yogyakarta : Prodi Matematika UIN Sunan Kalijaga Peranginangin, Kasiman. 2006. Pengenalan MATLAB. Yogyakarta : Penerbit ANDI. Pujriyanto,
Andry. 2004. Cepat Mahir Matlab. www.ilmukomputer.com, Akses 1 Maret 2013.
copyright@2004:
Rao, S.S. 1984. Optimization Theory and Applications Second Edition. New York : John Wiley & Sons. Susatio, Yerri. 2005. Metode Numerik Berbasis MathCAD. Yogyakarta: Penerbit ANDI.
81
Lampiran
M-file penyelesaian optimasi nonlinear multivariabel berkendala dengan MATLAB 7.1 clc; clear; disp('=================================================') disp('===OPTIMASI NONLINEAR MULTIVARIABEL BERKENDALA===') disp('=====Dengan Modifikasi Metode Newton-Raphson=====') disp('==================Siti Mahmudah==================') disp('=====================09610013====================') Z=0; syms x y z a b L fx=input('Fungsi tujuan='); h1x=input('Fungsi kendala pertama='); h2x=input('Fungsi kendala kedua='); disp('Maka diperoleh Pengali Lagrange sebagai berikut:') L=fx-a*h1x-b*h2x dx=diff(L,x); dy=diff(L,y); dz=diff(L,z); da=diff(L,a); db=diff(L,b); disp('Diperoleh Vektor Gradien:') G=[dx;dy;dz;da;db] gradf1 = [diff(dx,'x') diff(dx,'y') diff(dx,'z') diff(dx,'a') diff(dx,'b')] ; gradf2 = [diff(dy,'x') diff(dy,'y') diff(dy,'z') diff(dy,'a') diff(dy,'b')] ; gradf3 = [diff(dz,'x') diff(dz,'y') diff(dz,'z') diff(dz,'a') diff(dz,'b')] ; gradf4 = [diff(da,'x') diff(da,'y') diff(da,'z') diff(da,'a') diff(da,'b')] ; gradf5 = [diff(db,'x') diff(db,'y') diff(db,'z') diff(db,'a') diff(db,'b')] ; disp('Diperoleh Matriks Hessian:') H=[gradf1;gradf2;gradf3;gradf4;gradf5] x=input('Masukkan nilai awal x='); y=input('Masukkan nilai awal y='); z=input('Masukkan nilai awal z='); a=input('Masukkan nilai awal a='); b=input('Masukkan nilai awal b='); z0=[x;y;z;a;b]; iterasi=0; eps=1; err=1; tol=0.00001;
82
83
while err>tol iterasi=iterasi+1 disp('Vektor Gradien dititik awal') T=eval(G) disp('Matriks Hessian dititik awal') R=eval(H) disp('Invers dari matriks Hessian dititik awal') P=inv(R) disp('Proses Iterasi') Z=z0-(P*T) x=Z(1,1) y=Z(2,1) z=Z(3,1) eps=(abs(Z-z0)); err=norm(eps); z0=Z; x=z0(1);y=z0(2);z=z0(3);a=z0(4);b=z0(5); end;
